Productos warped en variedades para-hermíticas y para-contacto métricas

FACULTAD DE MATEM´ ATICAS DEPARTAMENTO DE GEOMETR´ IA Y TOPOLOG´ IA Productos warped en variedades para-Herm´ıticas y para-contacto m´etricas Memoria realizada por Daniel Garc´ıa Cano Dirigido por: VoBo Dr. Alfonso Carriazo Rubio Abstract In this work, we use the warped product as a bridge between two different geometries: para-Hermitian geometry and para-contact metric geometry. We focus our study on slant submanifolds. Firstly, we define them in the paracontact case and we proof several properties and characterizations. Later, we provide many examples, by using the above mentioned warped products. 3 4 ´ Indice general Introducci´on 7 1. Preliminares 11 1.1. Geometr´ıa para-Herm´ıtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2. Subvariedades slant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3. Geometr´ıa para-contacto m´etrica . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2. Subvariedades slant en variedades casi para-contacto m´etricas 21 2.1. Definici´on y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2. Ejemplos.............................. 36 Bibliograf´ıa 45 5 6´ INDICE GENERAL Introducci´on Los productos warped (o, como se traducir´ıan al espa˜nol, “productos alabeados”), constituyen una de las herramientas m´as ´utiles en diversos ´ambitos de la Geometr´ıa Diferencial y, m´as concretamente, de la Geometr´ıa semi- Riemanniana. Si bien, desde el punto de vista de las variedades diferenciables, estos productos tienen la misma estructura topol´ogica que un producto usual, las diferencias aparecen a la hora de considerar la m´etrica. De hecho, si al aplicar el producto de la recta real con una variedad lo que se consigue es un cilindro sobre la misma, el producto warped modificar´ıa dicho cilindro confiriendo a la correspondiente copia de la variedad en cada punto de la recta un tama˜no diferente. Adem´as, estos productos son la base para el establecimiento de algunos modelos cosmol´ogicos en la Teor´ıa de la Relatividad General, como es el caso de los espacio-tiempos de Robertson-Walker. En nuestro caso, utilizaremos los productos warped como puente entre dos tipos de geometr´ıas: la Geometr´ıa para-Herm´ıtica y la Geometr´ıa paracontacto m´etrica. Y, m´as concretamente, nos centraremos en un tipo especial de subvariedad: las llamadas subvariedades slant. El concepto de inmersi´on slant en la geometr´ıa Herm´ıtica fue introducido por B.-Y. Chen en [5]. En este art´ıculo se defin´ıan como aquellas inmersiones en las que el ´angulo entre JX yTxf Mes constante con respecto a X. Las inmersiones holomorfas y totalmente reales pueden ser consideradas como casos particulares de inmersiones slant donde este ´angulo, conocido como ´angulo de Wirtinger, tiene los valores 0 y π 2.En el mismo art´ıculo B.-Y. Chen introduc´ıa el concepto de subvariedad slant como aquella subvariedad cuya inmersi´on natural resulta ser slant. A partir de aqu´ı, el concepto de subvariedad slant ha sido trasladado a diferentes contextos. P. Alegre y A. Carriazo [2] introduce esta idea en el contexto de la geometr´ıa para-Herm´ıtica. Junto a la definici´on dan una serie de interesantes teoremas de caracterizaci´on junto a un gran n´umero de 7 8INTRODUCCI ´ ON ejemplos. A. Lotta [8] hace lo mismo pero para el caso contacto m´etrico. Usando la definici´on dada por A. Lotta, J. L. Cabrerizo et al. [3] dan una serie de resultados de caracterizaci´on de las subvariedades slant tomando como entorno las variedades Sasakianas. Dichos resultados de caracterizaci´on usan la derivada covariante como herramienta principal. Junto a esto, dan una gran cantidad de ejemplos de subvariedades slant dentro de variedades casi contacto m´etricas y Sasakianas. En [1] P. Alegre et al. dan un m´etodo para conseguir variedades casi contacto m´etricas a partir de variedades Herm´ıticas. Estos art´ıculos ser´an la piedra angular de este trabajo. Nuestro objetivo ser´a introducer la noci´on de subvariedad slant en el contexto de la geometr´ıa para-contacto m´etrica junto a una serie de resultados y ejemplos de ´estas. Para ello tomaremos como referencia estos documentos e intentaremos conseguir resultados an´alogos a los vistos ah´ı pero en el contexto para-contacto. El contenido original de este trabajo se dividir´a en dos secciones. En primer lugar, introduciremos una definici´on coherente de subvariedad slant. A partir de ah´ı daremos una serie de resultados de caracterizaci´on de ´estas. Podr´ıamos diferenciar esta secci´on en dos partes. En la primera, estos resultados usar´ıan la forma del tensor P2como herramienta para caracterizar a dichas subvariedades. Cabe aclarar que el tensor Pes la parte tangente del (1,1)-tensor ϕque toda estructura para-contacto posee aunque esto se explicar´a con m´as detalle en el trabajo. En la segunda parte, caracterizaremos a las subvariedades slant en t´erminos de la derivada covariante de P2. Claramente las principales fuentes de inspiraci´on de esta secci´on son los documentos [2] y [3]. Todos los resultados que veremos tienen su versi´on en la geometr´ıa para-Herm´ıtica o contacto m´etrica en dichos art´ıculos. No s´olo por ello nos son ´util dichos art´ıculos, sino tambi´en en un sentido m´as profundo. Tengamos en cuenta que la geometr´ıa para-contacto comparte caracter´ısticas con ambos casos. Comparte el entorno semi-Riemanniano con la geometr´ıa para-Herm´ıtica y, por otro lado, su estructura para-contacto es muy similar a la estructura contacto. En la segunda secci´on, nuestro objetivo ser´a dar ejemplos de subvariedades slant. Para ello usaremos el producto warped. Al igual que en [1], demostraremos que el producto warped de una variedad para-Herm´ıtica con la recta real resulta en una variedad casi para-contacto m´etrica. No s´olo eso, extenderemos este resultado a las subvariedades slant. Demostraremos que la subvariedad resultante es slant dentro de la nueva variedad casi para-contacto INTRODUCCI ´ ON 9 m´etrica. Esto nos dar´a un m´etodo para conseguir ejemplos de este tipo de subvariedades. Basta usar la gran cantidad de ejemplos que tenemos en [2]. No puedo acabar esta introducci´on sin agradecer a D. Alfonso Carriazo Rubio su ayuda y gu´ıa durante el desarrollo de este trabajo. 16 CAP´ ITULO 1. PRELIMINARES 1.3. Geometr´ıa para-contacto m´etrica En esta secci´on, al igual que en las anteriores, veremos los conceptos m´as b´asicos sobre la geometr´ıa para-contacto centr´andonos principalmente en el caso de variedades (casi) para-contacto m´etricas. Adem´as, veremos casos particulares como son las variedades K para-contacto y para-Sasakianas. Para esto vamos a seguir [4], si bien utilizaremos una noci´on m´as general de variedad casi para-contacto m´etrica, eliminando una de las condiciones de la definici´on cl´asica (v´ease [7]), pues no resulta necesaria en nuestro contexto. Definici´on 1.3.1 Sea f Muna variedad diferenciable de dimensi´on 2n+1 para alg´un nnatural. Se dice que Mposee una estructura de variedad casi paracontacto o, equivalentemente, es una variedad casi para-contacto si existe un (1,1)-tensor ϕ, un campo vectorial ξy una 1-forma ηtales que 1. η(ξ)=1. 2. ϕ2=I−η⊗ξ. A partir de la definici´on concluimos las siguientes propiedades: ϕ(ξ)=0, η ◦ϕ= 0. Pero la consecuencia principal es que X(f M) se descompone como D⊕span{ξ} donde D=ker{η}.Por tanto, todo campo vectorial Xse puede descomponer como XD+fξ donde XD∈D. Antes de continuar cabe decir que al igual que en los apartados anteriores prescindiremos de la notaci´on (f M, ϕ, ξ, η, g) para referirnos a una variedad casi para-contacto. Definici´on 1.3.2 Sea f Muna variedad casi para-contacto. Se dice que es normal si el tensor Nϕ= [ϕ, ϕ]−2dη ⊗ξes nulo. Lema 1.3.3 Una f Muna variedad casi para-contacto es normal si y s´olo si [ξ,X]∈Dpara todo X∈D. 1.3. GEOMETR´ IA PARA-CONTACTO M ´ ETRICA 17 Definici´on 1.3.4 Sean f Muna variedad casi para-contacto y guna m´etrica semi-Riemanniana sobre la misma. Se dice que f Mes una variedad casi paracontacto m´etrica si cumple que g(ϕX, ϕY ) = −g(X, Y ) + η(X)η(Y) para todos X, Y ∈X(f M). De esta definici´on podemos deducir f´acilmente que g(·, ϕ) = −g(ϕ, ·) yη=g(·, ξ).Por tanto, conocida la m´etrica y el campo vectorial ξqueda totalmente determinada la 1-forma η. Definici´on 1.3.5 Sea f Muna variedad casi para-contacto m´etrica. Si cumple que dη =φcon φ=g(·, ϕ·),se dice que f Mes una variedad para-contacto m´etrica. Definici´on 1.3.6 Sea f Muna variedad para-contacto m´etrica. Se dice que Mes una variedad K para-contacto si el tensor h=Lξϕes nulo. Antes de seguir conviene recordar que en t´erminos de la conexi´on de Levi- Civita, un vector Xes de Killing si y s´olo si g(e ∇YX, Z) + g(Y, e ∇ZX) = 0 para todo Y, Z ∈TM. Se puede probar f´acilmente que hes nula si y s´olo si ξes de Killing. La definici´on anterior resulta excesivamente laboriosa a la hora de trabajar con ella. por tanto, al igual que hemos hecho en secci´ones anteriores, vamos a ver un lema que nos facilitar´a bastante los c´alculos. Lema 1.3.7 Una variedad para-contacto m´etrica f Mes K para-contacto si y s´olo si e ∇Xξ=−ϕX para todo X∈X(f M). Definici´on 1.3.8 Sea f Muna variedad para-contacto m´etrica. Si adem´as es normal, se dice que f Mes una variedad para-Sasakiana. Al igual que en el caso anterior vamos a ver un teorema de caracterizaci´on para estas variedades. 18 CAP´ ITULO 1. PRELIMINARES Proposici´on 1.3.9 Sea f Muna variedad para-contacto m´etrica. Entonces, f Mes para-Sasakiana si y s´olo si (e ∇Xϕ)Y=−g(X, Y )ξ+η(Y)X para cualquiera X, Y ∈X(f M). Es posible demostrar que la condici´on para-Sasakiana implica la condici´on K para-contacto. La otra implicaci´on resulta cuando la variedad tiene dimensi´on 3. Consideremos ahora una subvariedad Mde una variedad casi para-con- tacto m´etrica f My un campo vectorial Xtangente a la subvariedad. Vamos a descomponer ϕX de la siguiente manera: ϕX =PX +FX, donde PX es la parte tangente y FX la normal. Por otro lado, sea Vcampo vectorial normal a la subvariedad, vamos a descomponer ϕV como ϕV =tV +fV, donde tV es la parte tangente y fV la normal. Sabiendo esto diremos que la subvariedad es invariante si Fes nula. Por otro lado, si Pes nula, diremos que la subvariedad es anti-invariante. Si ξes tangente a la subvariedad, tenemos que Pξ =Fξ = 0 puesto que ϕξ = 0.An´alogamente, si ξes normal, tξ =fξ = 0 por el mismo motivo. Por comodidad hemos usado la misma notaci´on que en el caso para- Herm´ıtico. Si a lo largo de este documento existe alg´un problema puntal con ello, avisaremos del debido cambio de notaci´on. Dicho esto prosigamos con el tema que nos compete. En este contexto conviene recordar las f´ormulas de Gauss-Weingarten dadas por e ∇XY=∇XY+σ(X,Y) , e ∇XV=−AVX+DXV, para todos X,Y∈X(f M) y V∈X⊥(f M).Cabe aclarar que Des la conexi´on normal en X⊥(f M), σ es la segunda forma fundamental de f MyAVes el endomorfismo de Weingarten asociado a V. Supongamos ahora que adem´as la variedad f Mes para-Sasakiana. Entonces, usando la Nota 1.3.9 y las ecuaciones anteriores podemos llegar a las siguientes ecuaciones. 1.3. GEOMETR´ IA PARA-CONTACTO M ´ ETRICA 19 (∇XP)Y=tσ (X,Y) + AF Y X−g(X,Y)ξ+η(Y)X, (∇XF)Y=fσ (X,Y)−σ(X,PY ),(1.3.1) para todo X,Y∈X(M). Recordemos que (∇XP)Y=∇X(PY )−P(∇XY), (∇XF)Y=DXFY −F(∇XY),(1.3.2) para todo X,Y∈X(M). A partir de estos resultados resultan triviales los siguientes lemas. Lema 1.3.10 Sea Muna subvariedad anti-invariante de una variedad para- Sasakiana f M. Entonces (∇XF)Y=fσ (X,Y), ∀X,Y∈X(M). Lema 1.3.11 Sea Muna subvariedad tangente a ξde una variedad K paracontacto f M. Entonces ∇Xξ=−PX, ∀X,Y∈X(M). Con este lema queda terminada tanto la secci´on como el cap´ıtulo. A continuaci´on pasaremos al contenido principal del trabajo. En ´el veremos el concepto de subvariedad slant en el contexto de la geometr´ıa para-contacto m´etrica. 20 CAP´ ITULO 1. PRELIMINARES Cap´ıtulo 2 Subvariedades slant en variedades casi para-contacto m´etricas Este cap´ıtulo se estructura en dos secciones. En la primera vamos a ver la definici´on de subvariedad slant para, posteriormente, dar una serie de resultados en torno a ´estas. Como ya dijimos vamos a fijarnos principalmente en los art´ıculos [2] y [3]. Intentaremos conseguir resultados an´alogos a los visto ah´ı pero en el contexto de la geometr´ıa para-contacto. En la segunda secci´on daremos algunos ejemplos concretos de subvariedades slant. Para ello vamos a dar un resultado relacionado con el producto warped que nos facilita la b´usqueda de dichos ejemplos. 2.1. Definici´on y propiedades Para comenzar la secci´on resulta conveniente que reflexionemos sobre lo que vamos a hacer. El primer paso l´ogico del cap´ıtulo ser´a dar una definici´on coherente de subvariedad slant en este entorno. Resulta imposible no usar como modelo lo visto en el cap´ıtulo anterior. Concretamente me refiero a la Definici´on 1.2.1. En un primer momento podr´ıamos pensar en una definici´on an´aloga para el caso para-contacto m´etrico pero r´apidamente nos asalta una pregunta: ¿puede ser el denominador nulo en el caso para-contacto m´etrico o basta con las mismas condiciones que en el caso para-Herm´ıtico? La respuesta es que no. Debemos realizar ciertas modificaciones sobre la definici´on para 21 22 CAP´ ITULO 2. SUBVARIEDADES SLANT que todo resulte correcto. La siguiente proposici´on est´a pensada como un paso previo para resolver este problema. Proposici´on 2.1.1 Sea f Muna variedad casi para-contacto m´etrica. Para todo X∈X(f M)linealmente independiente respecto de ξtal que XDes espacial o temporal, se tiene que g(ϕX, ϕX)6= 0. Demostraci´on: Sea X=XD+fξ un campo vectorial cualquiera. Por definici´on, g(ϕX,ϕX) = −g(X,ϕ2X) = −g(X,XD) = −g(XD,XD). Dado que por hip´otesis g(XD,XD)6= 0,tenemos que g(ϕX,ϕX)6= 0. Gracias a esta proposici´on podemos dar la definici´on que busc´abamos. Cabe aclarar que lo que hemos conseguido es saber en que casos g(ϕX,ϕX) no se anula y, por tanto, usarlo como denominador de manera an´aloga a la vista en la Definici´on 1.2.1. Definici´on 2.1.2 Sea Muna subvariedad de una variedad casi para-contacto m´etrica f M. Se dice que Mes una subvariedad slant si para todo campo vectorial Xtangente, linealmente independiente respecto de ξy con XDno luminoso, se tiene que g(PX, PX)/g(ϕX, ϕX) es constante. Nota 2.1.3 A partir de esta definici´on podemos clasificar las subvariedades slant en 3 casos. El caso invariante correspondiente a P=ϕ. El caso antiinvariante donde P= 0. Por ´ultimo donde la variedad no es ni invariante ni anti-invariante y a la cual nos referiremos como subvariedad slant propia. Los casos invariantes y anti-invariantes coinciden con los casos l´ımites en que el cociente vale 1 o 0. De forma an´aloga al caso para-Herm´ıtico, podemos clasificar las subvariedades slant propias de la siguiente manera. Definici´on 2.1.4 Sea Muna subvariedad slant propia de una variedad casi para-contacto m´etrica f M. Entonces podemos clasificar Mseg´un los siguientes criterios: Si para todo campo vectorial tangente Xtal que es linealmente independiente respecto de ξyXDes espacial (temporal), se tiene que PX es temporal (espacial) y kP Xk kϕXk>1,se dice que Mes de tipo 1. 2.1. DEFINICI ´ ON Y PROPIEDADES 23 Si para todo campo vectorial tangente Xtal que es linealmente independiente respecto de ξyXDes espacial (temporal), se tiene que PX es temporal (espacial) y kP Xk kϕXk<1,se dice que Mes de tipo 2. Si para todo campo vectorial tangente Xtal que es linealmente independiente respecto de ξyXDes espacial (temporal), se tiene que PX es espacial (temporal), se dice que Mes de tipo 3. A modo de peque˜no comentario resulta ´util saber que PX =PXDpara todo campo Xtangente. Esto resulta directo de la propiedad ϕξ = 0. Al igual que para el caso para-Herm´ıtico, trabajar con esta definici´on resulta complicado. Nuestro siguiente objetivo ser´a dar un teorema an´alogo al Teorema 1.2.4 para el caso casi para-contacto m´etrico. Teorema 2.1.5 Sea Muna subvariedad de una variedad casi para-contacto m´etrica f M. Se tiene que: 1. Mes slant propia de tipo 1 si y s´olo si para todo campo vectorial X tangente a Mtal que es linealmente independiente respecto de ξyXD es espacial (temporal), se tiene que PX es temporal (espacial), y existe una constante λ∈(1,∞)tal que P2=λ(Id −η⊗ξ). Se puede considerar que λ= cosh2θpara alg´un θ > 0. 2. Mes slant propia de tipo 2 si y s´olo si para todo campo vectorial X tangente a Mtal que es linealmente independiente respecto de ξyXD es espacial (temporal), se tiene que PX es temporal (espacial), y existe una constante λ∈(0,1) tal que P2=λ(Id −η⊗ξ). Se puede considerar que λ= cos2θpara alg´un 0< θ < 2π. 3. Mes slant propia de tipo 3 si y s´olo si para todo campo vectorial X tangente a Mtal que es linealmente independiente respecto de ξyXD es espacial (temporal), se tiene que PX es espacial (temporal), y existe una constante λ∈(−∞,0) tal que P2=λ(Id −η⊗ξ). Se puede considerar que λ=−sinh2θpara alg´un θ > 0. 24 CAP´ ITULO 2. SUBVARIEDADES SLANT Para cualquier caso, θes conocida como ´angulo slant. Demostraci´on: Antes de comenzar debemos aclarar que vamos a centrarnos en el primer caso, es decir, subvariedades slant propias de tipo 1. El resto de casos tiene una demostraci´on an´aloga. Sean Msubvariedad slant propia de tipo 1 y Xun campo tangente tal que es linealmente independiente respecto de ξyXDes espacial. El caso en que XDsea temporal posee una demostraci´on an´aloga. Esto implica entre otras cosas que kPXk kϕXk= cosh θ > 1 para alg´un θ. En particular, ocurre para PX. Por tanto, kP2Xk kϕPXk= cosh θ. Dado que θes la misma para ambos casos tenemos que: kPXk kϕXk=kP2Xk kϕPXk.(2.1.1) Consideremos ahora g(P2X,X).Por un lado: g(P2X,X) = g(ϕPX,X) = =−g(PX,ϕX) = −g(PX,PX).(2.1.2) Por otro lado: g(P2X,ξ) = g(ϕPX,ξ) = =−g(PX,ϕξ) = −g(PX, 0) = 0. Es decir, P2Xno tiene componente en ξ. Por tanto, tenemos que g(P2X,X) = g(P2X,XD) = −g(PX,PX). Cambiando de tercio, sabemos que g(ϕX, ϕX) = −g(X, X) + η(X)η(X). Dado que Xse puede descomponer como XD+fξ donde f=η(X),tenemos que g(ϕX, ϕX) = −g(X, X) + η(X)η(X) = =−g(XD, XD)−g(fξ, fξ) + η(X)2=−g(XD, XD). 2.1. DEFINICI ´ ON Y PROPIEDADES 25 De esto deducimos que kϕXk=kXDk. Consideremos ahora el campo ϕPX. g(ϕPX,ϕPX) = −g(PX,ϕ2PX) = =−g(PX,PX) + η(PX)g(PX,ξ) = −g(PX,PX). Resulta trivial que η(PX) = 0 a partir de η(·) = g(·, ξ) y ϕ(ξ)=0. Finalmente, deducimos que kϕPXk=kPXk. Aplicando todas estas igualdades a (2.1.1) tenemos que kPXk kXDk=kP2Xk kPXk. Despejando, kPXk2=kP2XkkXDk. Usando (2.1.2) llegamos a que g(P2X,XD) = kP2XkkXDk. Lo que tenemos es el caso particular de la desigualdad de Cauchy-Schwarz en el que se da la igualdad. Sabemos que en esta situaci´on ambos campos deben ser colineales. Por tanto, existe νtal que P2X=νXD.(2.1.3) Obviamente XD= (Id −η⊗ξ)X. Dicho esto lo que vamos a comprobar es que νes una constante que no depende del campo. Para comenzar remarquemos que por (2.1.3) si P2Xes espacial, XDtambi´en lo es. Recordemos que estamos considerando que Xes un campo cualquiera tal que XDes espacial y que la subvariedad es slant tipo 1. Por tanto, tenemos que PX es temporal y, en consecuencia, P2Xespacial. Con este detalle podemos demostrar que ν > 0.Consideremos lo siguiente 32 CAP´ ITULO 2. SUBVARIEDADES SLANT Proposici´on 2.1.11 Sea Muna subvariedad slant de una variedad K paracontacto f M. Entonces, ∇P2= 0 si y s´olo si Mes una variedad antiinvariante. Demostraci´on: Recordemos que por definici´on existe λtal que P2=λ(I−η⊗ξ) para todos X,Y∈X(M).Por tanto, P2∇XY=λ∇XY−λη (∇XY)ξ, (2.1.8) ∇XP2Y=∇X(λY −λη (Y)ξ) = =λ∇XY−λX (η(Y)) ξ−λη (Y)∇Xξ. (2.1.9) Por la compatibilidad de la m´etrica con la conexi´on de Levi-Civita tenemos que X(η(Y)) = X(g(Y,ξ)) = g(∇XY,ξ) + g(Y,∇Xξ) = =η(∇XY) + g(Y,∇Xξ). Por tanto, la ecuaci´on (2.1.9) queda como ∇XP2Y=λ∇XY−λη (∇XY)ξ−λg (Y,∇Xξ)ξ−λη (Y)∇Xξ. (2.1.10) Por tanto, ∇P2= 0 si y s´olo si ∇XP2Y=P2∇XYpara todos X,Y∈ X(M).O equivalentemente si λg (Y,∇Xξ)ξ+λη (Y)∇Xξ= 0.Se puede comprobar con relativa facilidad que esto s´olo es posible si y s´olo si ∇Xξ= 0.Dado que la variedad ambiente es K para-contacto podemos aplicar el Lema 1.3.11 y, por tanto, ∇Xξ= 0 si y s´olo si PX = 0 para todo X∈ TM. Recordemos que ´esta es la definici´on de variedad anti-invariante. As´ı, podemos concluir que ∇P2= 0 si y s´olo si Mes anti-invariante.  Fij´andonos en las ecuaciones (2.1.8) y (2.1.10) podemos plantearnos la siguiente pregunta: ¿podemos caracterizar a las subvariedades slant a partir de ∇P2?´ Este ser´a nuestro pr´oximo objetivo pero antes debemos ver el siguiente lema. Lema 2.1.12 Sea Muna subvariedad slant propia de una variedad casi paracontacto m´etrica f M. En esta situaci´on tenemos que P2X=λ1X para todo campo tangente X∈D. 2.1. DEFINICI ´ ON Y PROPIEDADES 33 Demostraci´on: Resulta trivial a partir de la propiedad η(X) = 0 para todo campo tangente X∈Dy del Teorema 2.1.5. Adem´as, λ1es igual a la λdel Teorema 2.1.5.  Aunque simple, ´este lema resulta ´util en el siguiente teorema puesto que nos ahorra unas l´ıneas en la demostraci´on. Teorema 2.1.13 Sea Muna subvariedad de una variedad K para-contacto f Mtal que ξes tangente a M. Entonces, Mes slant propia si y s´olo si 1. P2X=λ1Xpara todo campo tangente X. 2. Existe una funci´on λ2:M→Rtal que ∇XP2Y=λ2(−g(X,PY )ξ+η(Y)PX) para todos X,Y∈X(M). Demostraci´on: Comencemos con la implicaci´on directa. El primer punto resulta trivial a partir del Lema 2.1.12 as´ı que nos centraremos en demostrar el segundo. Para ello s´olo es necesario recordar el Lema 1.3.11. Por definici´on, ∇XP2Y=∇XP2Y−P2(∇XY) = =∇X(λ(Y−η(Y)ξ)) −λ∇XY+λη (∇XY)ξ= =λ∇XY−λX (Y)ξ−λη (Y)∇Xξ−λ∇XY+λη (∇XY) = =−λX (η(Y)) ξ+λη (∇XY)ξ−λη (Y)∇Xξ =−λX (η(Y)) ξ+λη (∇XY)ξ+λη (Y)PX, donde λ∈ {cosh2θ, cos2θ, - sinh2θ}dependiendo del tipo de subvariedad slant propia que sea M. Basta aplicar la compatibilidad de la m´etrica con la conexi´on de Levi- Civita para ver que −λX (η(Y)) ξ+λη (∇XY)ξes igual a −λg (PY ,X)ξ. Por tanto, la ecuaci´on anterior queda como ∇XP2Y=λ(−g(PY ,X)ξ+η(Y)PX),(2.1.11) 34 CAP´ ITULO 2. SUBVARIEDADES SLANT con lo que queda demostrada la implicaci´on. Centr´emonos ahora en la implicaci´on rec´ıproca. Para demostrar que la subvariedad es slant vamos a usar el Teorema 2.1.5. Aunque el teorema incluya m´as condiciones, para este caso basta demostrar la existencia de νconstante tal que P2=ν(I−η⊗ξ) para todo campo tangente. El tipo de subvariedad slant propia vendr´a determinada por el valor de ν. Para comenzar consideremos la funci´on λ1del punto (1). En un principio no sabemos si esta funci´on es constante por lo que el primer paso ser´a demostrarlo. Lo m´as f´acil ser´a ver que para todo tangente Xtenemos que X(λ1) = 0.En este caso Xpuede ser luminoso y proporcional a ξ. En primer lugar consideremos campo tangente Y∈Dunitario y veamos que es ortogonal a ∇XYyP2∇XY. Por la compatibilidad de la conexi´on de Levi-Civita con la m´etrica tenemos que 0 = X(g(Y,Y)) = g(Y,∇XY) + g(∇XY,Y) = 2g(∇XY,Y).(2.1.12) Gracias a esta ecuaci´on podemos obtener lo siguiente: gP2∇XY,Y=−g(P∇XY,PY ) = g∇XY,P2Y= =g(∇XY,λ1Y) = λ1g(∇XY,Y) = 0.(2.1.13) Por otro lado, aplicando (2) a nuestra Ytenemos que: ∇XP2Y=∇X(λ1Y) = P2∇XY−λ2g(X,PY )ξ. (2.1.14) Con esto tenemos los ingredientes para demostrar que λ1es constante. As´ı, X(λ1) =X(g(λ1Y,Y)) = g(∇Xλ1Y,Y) + g(λ1Y,∇XY). Usando (2.1.12) y (2.1.14) obtenemos que X(λ1) =g(∇Xλ1Y,Y) = gP2∇XY−λ2g(X,PY )ξ,Y= =gP2∇XY,Y−λ2g(X,PY )g(ξ,Y). Por (2.1.13) y dado que Y∈Dtenemos que la ecuaci´on anterior es nula y, por tanto, λ1es constante. 2.1. DEFINICI ´ ON Y PROPIEDADES 35 Hecho esto vamos a considerar un campo tangente Xcualquiera. Por (1) tenemos que XDo, lo que es lo mismo, X−η(X)ξcumple P2XD=λ1XD=λ1(X−η(X)ξ). Por otro lado, dado que ϕξ = 0 tenemos que Pξ = 0 y, por tanto, P2XD= P2X. Es decir, hemos demostrado que existe λ1constante tal que para todo campo tangente Xtenemos que P2X=λ1(X−η(X)ξ) y, en consecuencia, la subvariedad Mes slant propia. Como ya se puntualiz´o m´as arriba, el tipo est´a determinado por el valor de dicha constante. Con esto queda demostrado el teorema.  En el siguiente corolario vamos a ver un caso particular en el que el teorema anterior puede simplificarse y eliminar una de sus condiciones para que la subvariedad sea slant propia. Para ello se limita la dimensi´on de la subvariedad. Esto permiter tener controlados todos los campos tangentes. Ve´amoslo. Corolario 2.1.14 Sea Muna subvariedad de dimensi´on 3 de una variedad K para-contacto f Mtal que ξes tangente a M. Entonces, Mes slant propia si y s´olo si existe una funci´on λ:M−→ Rtal que ∇XP2Y=λ(−g(X,PY )ξ+η(Y)PX), para todos X,Y∈X(M). Demostraci´on: La implicaci´on directa resulta trivial a partir del Teorema 2.1.13. Para la otra implicaci´on vamos a usar el mismo teorema. Basta demostrar que existe una funci´on νtal que P2X=νX para todo campo tangente X. Sea {e1,e2,ξ}una base ortonormal de X(M). Pe1es normal a e1dado que g(e1,Pe1) = −g(Pe1,e1).Por el mismo motivo, Pe2es normal a e2. Por tanto, existen α,β:M−→ Rfunciones diferenciables tales que Pe1= αe2yPe2=βe1.Se deduce de aqu´ı que P2e1=P(Pe1=P(αe2) = αβe1) y, de la misma manera, P2e2=αβe2. Dado un campo tangente cualquiera X∈Dresulta que P2X=αβX. Aplicando el Teorema 2.1.13, tenemos el resultado deseado.  Con esto queda terminada la secci´on. Despu´es de hablar tanto de subvariedades slant y sus propiedades resulta natural buscar ejemplos. Aunque 36 CAP´ ITULO 2. SUBVARIEDADES SLANT pueda parecer f´acil, esto no es nada trivial. En esta secci´on usaremos el producto warped dar un m´etodo con el que conseguir ejemplos f´acilmente. 2.2. Ejemplos Como hemos dicho, el objetivo es usar el producto warped para conseguir ejemplos de subvariedades slant. La idea es bien sencilla: demostrar que el producto warped de una variedad para-Herm´ıtica con la recta eucl´ıdea da como resultado una variedad casi para-contacto m´etrica. Hecho esto veremos que los subvariedades slant de la variedad para-Herm´ıtica lo siguen siendo tras realizar el producto warped. Gracias a esto podemos usar ejemplos de subvariedades slant en la geometr´ıa para-Herm´ıtica para conseguir subvariedades slant en la geometr´ıa para-contacto m´etrica. Dicho esto vamos a comenzar recordado muy r´apidamente qu´e es el producto warped. Para ello seguiremos [9]. Sean dos variedad semi-Riemannianas A,By una funci´on estrictamente positiva fen A. Llamamos producto warped de ambas variedades a la variedad producto A×Bdotada de la m´etrica g=π∗(gA)+(f◦π)2σ∗(gB), donde πyσson las proyecciones de A×Bsobre AyB, respectivamente. Denotaremos al producto warped de las dos variedades como A×fB. Con el objetivo de hacer este documento m´as comprensible, vamos a simplificar el tensor m´etrico de la siguente manera: g=gA+f2gB. Dicho esto, pasamos al primer resultado de esta secci´on. Teorema 2.2.1 Sean M2n,J,guna variedad para-Herm´ıtica y funa funci´on estrictamente positiva en R.Entonces, el producto warped f M=R×f Mes una variedad casi para-contacto m´etrica. Demostraci´on: Comencemos aclarando que estamos considerando Rcon la estructura semi-Riemanniana dada por la m´etrica gR=dt ⊗dt. En esta situaci´on sabemos que por definici´on la m´etrica del producto viene dada por 2.2. EJEMPLOS 37 g=gR+f2g. Dicho esto vamos a comenzar a definir todos los elementos de la geometr´ıa casi para-contacto m´etrica. Nuestro (1, 1)-tensor que vamos a denotar como ϕviene dado por el levantamiento horizontal de J(σ∗X) para todo X∈X(f M).Para que esto quede m´as claro, consideremos un campo X∈X(f M).´ Este se puede descomponer como X=X+f∂ ∂t con X∈X(M).Entonces, ϕX =JX. Este abuso del lenguaje tiene como fin facilitar la lectura del texto. Designamos como campo vectorial ξal ´unico elemento de la base de X(R), es decir, ∂ ∂t. Finalmente, usando lo visto en la introducci´on, vamos a definir la 1-forma como η=g(·,∂ ∂t. ) = g(·,ξ). Hecho esto pasemos a comprobar si la variedad cumple las condiciones para ser casi para-contacto m´etrica. En primer lugar debemos ver que η(ξ)=1.Ve´amoslo η(ξ) = gξ,∂ ∂t=gR∂ ∂t,∂ ∂t+f2g(0, 0) = =gR∂ ∂t,∂ ∂t= 1. Dado X∈X(f M) un campo vectorial cualquiera podemos descomponerlo como X=X+h∂ ∂t .Con esta nota podemos pasar a demostrar la siguiente condici´on, es decir, ϕ2=I−η⊗ξ. Por una parte, ϕ2X=J2X=X. Por otro lado, (I−η⊗ξ)X=X−η(X)ξ=X−gX,∂ ∂tξ= =X+h∂ ∂t −h∂ ∂t =X. Por tanto, ϕ2=I−η⊗ξ. 38 CAP´ ITULO 2. SUBVARIEDADES SLANT Con esto hemos demostrado que el producto warped tiene estructura de variedad casi para-contacto, ahora vamos a ver que adem´as es m´etrica. Es decir, debemos demostrar que: g(ϕX,ϕY ) = −g(X,Y) + η(X)η(Y), para todos X,Y∈X(f M). Sean X,Y∈X(f M) tales que X=X+h1∂ ∂t eY=Y+h2∂ ∂t .Entonces, g(ϕX,ϕY ) = gJX,JY =f2gJX,JY =−f2gX,Y.(2.2.1) Por definici´on, tenemos que: f2gX,Y=g(X,Y)−gRh1 ∂ ∂t,h2 ∂ ∂t=g(X,Y)−h1h2 Pero, h1=gX,∂ ∂t=η(X), h2=gY,∂ ∂t=η(Y). Sustituyendo todo en (2.2.1): g(ϕX,ϕY ) = −f2gX,Y= =−g(X,Y) + h1h2=−g(X,Y) + η(X)η(Y).(2.2.2) Por tanto, R×fMes una variedad casi para-contacto m´etrica. Con esto concluye la demostraci´on.  Nuestro siguiente paso ser´a ver que ocurre con las subvariedades slant que pueda tener la variedad para-Herm´ıtica tras realizar el producto warped. Teorema 2.2.2 Sea M∗una subvariedad slant de la variedad para-Herm´ıtica M,J,g.Entonces, M=R×fM∗es una subvariedad slant de la variedad casi para-contacto m´etrica f M=R×fM. Adem´as, el tipo de la subvariedad slant Mcoincide con el tipo de M∗. 2.2. EJEMPLOS 39 Demostraci´on: Sea un campo X∈X(M) linealmente independiente respecto de ξtal que XDno es luminoso. Recordemos que Xse puede descomponer como X∗+h∂ ∂t donde X∗∈X(M∗).Resulta muy sencillo comprobar que XDcoincide con X∗. Aclarado este punto, veamos que ocurre con ϕX. Por definici´on, ϕX no tiene componente en ∂ ∂t .Por tanto, g(ϕX,ϕX) = f2g(ϕX,ϕX) = f2g(JX∗,JX∗). Aplicando el mismo razonamiento a PX, tenemos que: g(PX,PX) = f2g(PX,PX) = f2g(PJX∗,PJX∗), donde PJX∗denota la parte tangente del campo JX∗. Finalmente, como la subvariedad M∗s´ı es slant y X∗no es luminoso, existe una constante ctal que: kPXkf M kϕXkf M =fkPJX∗kM fkJX∗kM =c. Por tanto, Mes una subvariedad slant cuyo tipo coincide con el de M∗ al estar en ambos casos determinados por la constante c.  Como podemos ver en el enunciado del teorema, no hemos usado el t´ermino slant propia en ning´un momento. Esto se debe a que los casos invariante y anti-invariantes est´an incluidos. En esta situaci´on tenemos que si la subvariedad slant M∗es totalmente compleja, la subvariedad slant Mes invariante. Por otro lado, si M∗es totalmente real, Mes anti-invariante. Con este ´ultimo comentario queda terminado toda la teor´ıa de esta secci´on. S´olo nos queda usar lo visto para dar algunos ejemplos de subvariedades slant dentro de una variedad para-contacto m´etrica. Para ello vamos a usar los ejemplo que tenemos en [2]. Consideremos R4con la siguiente estructura para-Kaehleriana: 40 CAP´ ITULO 2. SUBVARIEDADES SLANT J=    0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0    , g =    1 0 0 0 0−1 0 0 0 0 1 0 000−1    . En esta variedad podemos encontrar los siguientes ejemplos: Ejemplo 2.2.3 Consideremos la superficie dada por la siguiente parametrizaci´on: x(u, v) = (usin a, v sin b, u cos a, v cos b), con a,b∈R.Entonces, esta superficie es una subvariedad slant propia de tipo 2 en (R4, J, g) con P2 J= cos2(a−b)Id. Consideremos ahora (R, ge) donde gees la m´etrica eucl´ıdea sobre Ry a la funci´on estrictamente positiva f > 0.El producto warped de estas variedades resulta en (R5, G) donde G=       f0 0 0 0 0−f0 0 0 0 0 f0 0 000−f0 00001      . Aplicando lo visto el Teorema 2.2.1, tenemos que ϕX =JX, lo cual en este contexto se traduce en: ϕ=       01000 10000 00010 00100 00000      . En este caso ξes el vector (0,0,0,0,1) y, por tanto, η(·) = G(ξ, ·) = (0,0,0,0,1). Con todo esto dicho, aplicamos el Teorema 2.2.2. Vamos a denotar como y(u, v, w) a la parametrizaci´on de la subvariedad resultante de realizar el porducto entre la superficie x(u, v) y R.De manera expl´ıcita, y(u, v, w) = (x(u, v), w) donde el dominio de wes todo R.Como sabemos por el teorema antes citado, la nueva subvariedad sigue siendo slant propia y comparte tipo 2.2. EJEMPLOS 41 con x(u, v).Por tanto, y(u, v, w) parametriza una subvariedad slant propia de tipo 2 en (R5, ϕ, ξ, η, G) con P2= cos(a−b)(Id −η⊗ξ).Con esto hemos terminado el ejemplo. A partir de ahora los ejemplos que veamos tendr´an menor detalle. Nos centraremos en darlas estructuras concretas dado que el procedimiento est´a explicado en el ejemplo 1. Ejemplo 2.2.4 Sea la superficie dada por la siguiente parametrizaci´on: x(u, v)=(usinh a, v sinh b, u cosh a, v cosh b), con a,b∈R.Entonces, esta superficie es una subvariedad slant propia de tipo 2 en (R4, J, g) con P2 J=(a+b)2 2(a2+b2)Id. Por el mismo razonamiento del Ejemplo 2.2.3, la subvariedad determinada por y(u, v, w) = (x(u, v), w) es una subvariedad slant propia de tipo 2 en (R5, ϕ, ξ, η, G) con P2=(a+b)2 2(a2+b2)(Id −η⊗ξ). Ejemplo 2.2.5 Sea la superficie dada por la siguiente parametrizaci´on: x(u, v) = (au, v, bu, u), con a,b∈Rya2+b26= 1.Entonces, esta superficie es una subvariedad slant propia en (R4, J, g) con P2 J=a2 −1+a2+b2Id. La subvariedad es 1. de tipo 1 si a2+b2>1 y b2<1, 2. de tipo 2 si a2+b2>1 y b2>1, 3. de tipo 3 si a2+b2<1. Por el mismo razonamiento del Ejemplo 2.2.3, la subvariedad determinada por y(u, v, w) = (x(u, v), w) es una subvariedad slant propia en (R5, ϕ, ξ, η, G) con P2=a2 −1+a2+b2(Id −η⊗ξ).El tipo tambi´en est´a determinado por la clasificaci´on anterior. Ejemplo 2.2.6 Sea la superficie dada por la siguiente parametrizaci´on: x(u, v) = (ucosh2θ, v, up1−sinh2θ, u),