Aspectos computacionales del Polinomio de Bernstein-Sato de una singularidad

ASPECTOS COMPUTACIONALES DEL POLINOMIO DE BERNSTEIN-SATO DE UNA SINGULARIDAD Adolfo Rendón Rodríguez de Molina ASPECTOS COMPUTACIONALES DEL POLINOMIO DE BERNSTEIN-SATO DE UNA SINGULARIDAD FACULTAD DE MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO DE ÁLGEBRA Adolfo Rendón Rodríguez de Molina Trabajo Fin de Máster presentado como parte de los requisitos para la obtención del título de Máster en Matemáticas por la Universidad de Sevilla. Dirigido por: Luis Narváez Macarro 2 Julio, 2021 Índice general English Abstract 1 Introducción 3 1. G-álgebras y PBW-álgebras 7 1.1. 𝐺-álgebras................................. 12 1.2. El anillo de operadores diferenciales logarítmicos respecto de un divisor libre visto como 𝐺-álgebra...................... 16 1.2.1. Condición de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.2.2. Condición de no degeneración anulada . . . . . . . . . . . . . 18 1.3. Bases de Gröbner en 𝐺-álgebras..................... 20 1.4. Filtraciones y propiedades de 𝐺-álgebras ................ 30 1.4.1. Filtraciones asociadas a vectores de peso . . . . . . . . . . . . 32 1.4.2. Dimensión de Gel’fand-Kirillov . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2. 𝑏-función global 37 2.1. 𝑏-función global con respecto a vectores de peso . . . . . . . . . . . . 38 2.1.1. Cálculo del ideal inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.1.2. 𝑏-función global respecto al ideal de Malgrange . . . . . . . . 41 ii aspectos computacionales del polinomio de bernstein-sato de una singularidad 2.2. El ideal de Malgrange y existencia del polinomio de Bernstein-Sato . 42 2.3. Ideales de Bernstein-Sato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.4. El ideal anulador 𝑠-paramétrico ..................... 50 2.4.1. OakuyTakayama ........................ 50 2.4.2. Briançon y Maisonobe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.5. Intersección de un ideal con un subálgebra principal y algoritmos para el cálculo de la 𝑏-función global e ideales de Bernstein-Sato mediante el ideal anulador 𝑠-paramétrico...................... 57 2.6. Algoritmos para verificar raíces de la 𝑏-función global . . . . . . . . . 64 3. Recubrimientos de Gröbner en PBW-álgebras 73 3.1. AlgoritmoCGS .............................. 74 3.2. Recubrimientos de Gröbner para el cálculo de la 𝑏-función e ideales deBernstein-Sato ............................. 81 3.2.1. CGS para el cálculo del ideal anulador 𝑠-paramétrico mediante el método de Briançon y Maisonobe . . . . . . . . . . . . . . 82 3.2.2. Ideales de Bernstein-Sato y 𝑏-función reducida mediante el algoritmo CGS ............................ 83 3.3. CheckRoot sobre polinomios paramétricos . . . . . . . . . . . . . . . 87 Abstract The Bernstein-Sato polynomial or the 𝑏-function is an important invariant in singularity theory. It is closely related to differentials operators. This polynomial has very useful properties and applications in differents fields of mathematics. It was introduced in the early 1970s simultaneously, but under different scopes, by Joseph Bernstein and Mikio Sato. The purpose of this Master Thesis Dissertation is an update and an overview of the main tools and results on which the algorithmic study of 𝑏-function is based. In addition, we study some of the most efficient algorithms for computing 𝑏-functions to date, implemented in algebraic systems such as Singular/Plural or Risa/Asir. Introducción El polinomio de Bernstein-Sato asociado a un polinomio en varias variables con coeficientes en un cuerpo de característica 0, también conocido como la 𝑏-función global, es un polinomio univariante estrechamente relacionado con los operadores diferenciales. Su origen se debe, de manera simultánea, a Mikio Sato y Joseph Bernstein. Mikio Sa- to introdujo a principios de 1970 las 𝑎−,𝑏−y𝑐−funciones asociadas a los espacios vectoriales prehomogéneos, los cuales tienen muchas aplicaciones en la Geometría, Teoría de Números, Análisis y Teoría de Representaciones [39]. Joseph Bernstein, de manera simultánea, definió el polinomio de Bernstein como parte de la construcción de prolongaciones meromorfas de distribuciones [5,6]. Además probó que todo polinomio en varias variables con coeficientes en un cuerpo de característica 0 no constante tiene asociado un polinomio de Bernstein no nulo. Hoy en día, se define usualmente al polinomio de Bernstein-Sato de un germen de función holomorfa o regular 𝑓sobre ℂ, como el polinomio mónico 𝑏𝑓(𝑠)en ℂ[𝑠]no nulo de menor grado para el cual existe un operador diferencial 𝑃(𝑠)con coeficientes gérmenes de funciones holomorfas o regulares satisfaciendo la denominada ecuación funcional de Bernstein 𝑏𝑓(𝑠)𝑓𝑠=𝑃(𝑠)𝑓𝑠+1. Como ya hemos comentado, Bernstein probó la existencia de dicho polinomio no nulo cuando 𝑓es un polinomio en varias variables con coeficientes sobre un cuerpo de característica 0. Además este resultado ha sido, posteriormente, extendido por Björk [7] a anillos de series formales y por Masaki Kashiwara a anillos de series convergentes [18]. Una prueba unificada se puede encontrar en [27]. Teóricamente se conocen muchos resultados que envuelven al polinomio de Bernstein- Sato, como, por ejemplo, que dicho polinomio tiene todas su raíces racionales negativas, resultado que fué probado por Masaki Kashiwara [18]. A pesar de todos los 10 aspectos computacionales del polinomio de bernstein-sato de una singularidad end-while return ℎ END Podemos observar que en cada elección arbitraria de 𝑔∈𝐺ℎpuede hacer que nos salga una forma normal distinta. Proposición 1.1.El algoritmo NF aplicado sobre 𝑓∈𝑇y𝐺∈termina y devuelve una forma normal de 𝑓respecto de 𝐺. Demostración. Comenzando en ℎ0=𝑓, en el 𝑖-ésimo paso del bucle while se calcula ℎ𝑖. Por construcción, es claro que lm(ℎ𝑖)≺lm(ℎ𝑖−1). Luego obtenemos una sucesión estrictamente decreciente lm(ℎ0)>lm(ℎ1)> ... > lm(ℎ𝑖)> ... de los monomios líderes de los respectivos ℎ𝑖. Por tanto, como ≺es un buen orden, el conjunto que forma dicha sucesión tiene un mínimo, que es donde el algoritmo termina. Supongamos que este mínimo se alcanza en el paso 𝑚del bucle. Sea ℎ=ℎ𝑚≠0 y sean 𝑙𝑖, 𝑟𝑖los monomios correspondientes a las distintas elecciones de 𝑔𝑖∈𝐺en cada paso del bucle anterior al paso 𝑚-ésimo. Volviendo atrás mediante sustituciones, obtenemos la siguiente expresión de ℎ ℎ=𝑓− 𝑚−1 ∑ 𝑖=1 𝑙𝑖𝑔𝑖𝑟𝑖, tal que lm(𝑓) = lm(𝑙1𝑔1𝑟1)>lm(𝑙𝑖𝑔𝑖𝑟𝑖)>lm(ℎ𝑚). Además, por construcción del algoritmo, 𝐺ℎ= ∅ en el paso 𝑚-ésimo, (ya que ℎ≠0). Luego lm(𝑔) ∉ L(𝐺). De donde se deduce que devuelve una forma normal de 𝑓respecto de 𝐺con cualquier elección que estemos haciendo de los 𝑔𝑖. Sea 𝑇=𝐾⟨𝑥1, ..., 𝑥𝑛⟩la 𝐾-álgebra libre (asociativa y unitaria) generada por 𝑥1, ..., 𝑥𝑛, y≺un orden monomial fijado sobre (𝑇). Para un 𝑚fijado, se define el conjunto de índices 𝑚∶= {(𝑖1, ..., 𝑖𝑚)|1≤𝑖1< 𝑖2< ... < 𝑖𝑚≤𝑛}. Supongamos que existen dos conjuntos 𝐶= {𝑐𝑖𝑗}⊂ 𝐾∗y𝐷= {𝑑𝑖𝑗 }⊂ 𝑇 , donde (𝑖, 𝑗) ∈ 2, tales que podemos construir el conjunto 𝐹∶= {𝑓𝑖𝑗 |(𝑖, 𝑗) ∈ 2}verificando: 𝑓𝑗𝑖 =𝑥𝑗𝑥𝑖−𝑐𝑖𝑗 ⋅𝑥𝑖𝑥𝑗−𝑑𝑖𝑗, lm(𝑓𝑗𝑖) = 𝑥𝑗𝑥𝑖y lm(𝑑𝑖𝑗)≺ 𝑥𝑖𝑥𝑗. 1. g-álgebras y pbw-álgebras 11 Además, vamos a suponer que los polinomios 𝑑𝑖𝑗 están ya dados en monomios estándar. En caso de que un polinomio 𝑑𝑖𝑗 no esté dado en monomios estándar se puede hacer una simplificación para reducirlo a monomios estándar de la siguiente forma. Supongamos que tomamos ≺un buen orden sobre (𝑇)con 𝑥𝑛≺ ... ≺ 𝑥1, entonces 𝑥𝑛−1𝑥𝑛≺ 𝑥𝑛−2𝑥𝑛≺ 𝑥𝑛−2𝑥𝑛−1 ≺ ... ≺ 𝑥1𝑥2. De esta forma 𝑑𝑛−1,𝑛 consiste únicamente en monomios estándar. El siguiente, 𝑑𝑛−2,𝑛 únicamente tiene a 𝑥𝑛𝑥𝑛−1 aparte de los monomios estándar, pero podemos reemplazar 𝑥𝑛𝑥𝑛−1 con 𝑐𝑛−1,𝑛𝑥𝑛−1𝑥𝑛+𝑑𝑛−1,𝑛 y así obtener un 𝑑′ 𝑛−2,𝑛 que únicamente contiene monomios estándar. Además, como lm(𝑓𝑗𝑖) = 𝑥𝑗𝑥𝑖 y lm(𝑑𝑖𝑗)≺ 𝑥𝑖𝑥𝑗, este proceso de ir sustituyendo terminará en un número finito de pasos y obtendremos 𝐹∶= 𝐹′, un conjunto donde cada 𝑑′ 𝑖𝑗 está únicamente dado en monomios estándar. Sea entonces 𝐼=⟨𝐹⟩⊂ 𝑇 el ideal bilátero generado por 𝐹después de la simplificación a dicho conjunto, (es decir, los 𝑑𝑖𝑗 únicamente están representados en monomios estándar). Definición 1.7. Sea 𝑇=𝐾⟨𝑥1, ..., 𝑥𝑛⟩la 𝐾-álgebra libre (asociativa y unitaria) generada por 𝑥1, ..., 𝑥𝑛y sea 𝐼=⟨𝐹⟩el ideal bilátero generado por el conjunto 𝐹anterior. Se definen los elementos de no degeneración para (𝑖, 𝑗, 𝑘) ∈ 3como  𝑖𝑗𝑘 =𝑐𝑖𝑘𝑐𝑗𝑘 ⋅𝑑𝑖𝑗𝑥𝑘−𝑥𝑘𝑑𝑖𝑗 +𝑐𝑗𝑘 ⋅𝑥𝑗𝑑𝑖𝑘 −𝑐𝑖𝑗 ⋅𝑑𝑖𝑘𝑥𝑗+𝑑𝑗𝑘𝑥𝑖−𝑐𝑖𝑗 𝑐𝑖𝑘 ⋅𝑥𝑖𝑑𝑗𝑘 ∈𝑇. Teorema 1.1 (PBW Theorem [20]). Supongamos que existe un conjunto 𝐹= {𝑓𝑖𝑗 |1≤𝑖<𝑗≤𝑛}⊂ 𝑇 =𝐾⟨𝑥1, ..., 𝑥𝑛⟩, como en el caso anterior, tal que 𝑓𝑗𝑖 =𝑥𝑗𝑥𝑖−𝑐𝑖𝑗 ⋅𝑥𝑖𝑥𝑗−𝑑𝑖𝑗, para todo 𝑗 > 𝑖, con 𝑐𝑖𝑗 ∈𝐾∗,𝑑𝑖𝑗 ∈𝑇. Sea el ideal bilátero 𝐼=⟨𝐹⟩y supongamos que existe un buen orden ≺sobre (𝑇), tal que lm(𝑓𝑗𝑖) = 𝑥𝑗𝑥𝑖ylm(𝑑𝑖𝑗)≺ 𝑥𝑖𝑥𝑗. Entonces son equivalentes: (𝑖)𝐹es una base de Gröbner de 𝐼respecto de ≺, (𝑖𝑖)Para cualquier forma normal NF sobre 𝑇, se tiene que NF ( 𝑖𝑗𝑘, 𝐹 )=0 para todo (𝑖, 𝑗, 𝑘) ∈ 3, (𝑖𝑖𝑖)La 𝐾-álgebra 𝐴=𝑇∕𝐼tiene una base de Poincairé-Birkhoff-Witt (PBW) con respecto a 𝑥1, ..., 𝑥𝑛. 12 aspectos computacionales del polinomio de bernstein-sato de una singularidad 1.1 𝐺-álgebras En las condiciones del teorema anterior, tenemos 𝐴=𝑇∕𝐼una 𝐾-álgebra con una base de PBW, la cual sabemos que es el conjunto de monomios estándar de 𝑇. Por ello, vamos a llamar de la misma forma, monomios de 𝐴, a los elementos de la base PBW de 𝐴. Vamos a denotar al conjunto de monomios de 𝐴por (𝐴)los cuales además, gracias a la existencia de la base PBW se pueden identificar con ℕ𝑛mediante 𝑥𝛼=𝑥𝛼1 1⋯𝑥𝛼𝑛 𝑛→ (𝛼1, ..., 𝛼𝑛) = 𝛼. Definición 1.8. Sea <un buen orden total sobre ℕ𝑛y sea 𝐴una 𝐾-álgebra asociativa con una base PBW. ∙Un orden ≺(=<)se dice que es un orden monomial sobre 𝐴si se verifican las siguientes condiciones: - Para cada 𝛼, 𝛽 ∈ℕ𝑛, si 𝛼 < 𝛽, entonces 𝑥𝛼≺ 𝑥𝛽, - Para cada 𝛼, 𝛽, 𝛾 ∈ℕ𝑛tales que 𝑥𝛼≺ 𝑥𝛽se tiene 𝑥𝛼+𝛾≺ 𝑥𝛽+𝛾. ∙Cualquier 𝑓∈𝐴⧵{0} se puede escribir de forma única como 𝑓=𝑐𝛼𝑥𝛼+𝑓′, con 𝑐𝛼∈𝐾∗y𝑥𝛼′≺ 𝑥𝛼para cualquier término no nulo 𝑐′𝑥𝛼′de 𝑓′. Definimos lm≺(𝑓) ∶= 𝑥𝛼, el monomio líder de 𝑓, lc≺(𝑓) ∶= 𝑐𝛼, el coeficiente líder de 𝑓, le≺(𝑓) ∶= 𝛼, el exponente líder de 𝑓y lt≺(𝑓) ∶= 𝑐𝛼𝑥𝛼, el término líder de 𝑓. Esta definición prácticamente se basa en la identificación de cualquier monomio 𝑥𝛼= 𝑥𝛼1 1⋯𝑥𝛼𝑛 𝑛en 𝐴, debido a la existencia de una PBW base en 𝐴, por (𝛼1, ..., 𝛼𝑛) = 𝛼. A lo largo del texto escribiremos lm≺ylm de manera idéntica en caso de que no halla confusión. Definición 1.9. Sea 𝐾un cuerpo, 𝑇=𝐾⟨𝑥1, ..., 𝑥𝑛⟩e𝐼un ideal bilátero de 𝑇, generado por los elementos 𝑥𝑗𝑥𝑖−𝑐𝑖𝑗 ⋅𝑥𝑖𝑥𝑗−𝑑𝑖𝑗,1≤𝑖<𝑗≤𝑛, donde 𝑐𝑖𝑗 ∈𝐾∗y todo 𝑑𝑖𝑗 ∈𝑇es un polinomio que únicamente contiene monomios estándar de 𝑇. Una 𝐾-álgebra 𝐴=𝑇∕𝐼se dice que es una 𝐺-álgebra, si se verifican 1. g-álgebras y pbw-álgebras 13 las siguientes condiciones: ∙Condición de orden: existe un orden monomial ≺sobre ℕ𝑛, tal que lm(𝑑𝑖𝑗)≺ 𝑥𝑖𝑥𝑗 para todo 𝑖<𝑗. ∙Condición de no degeneración anulada:  𝑖𝑗𝑘 = 0 para todo 1≤𝑖<𝑗<𝑘≤𝑛 y para los conjuntos 𝐶= {𝑐𝑖𝑗}⊂ 𝐾∗y𝐷= {𝑑𝑖𝑗}⊂ 𝐴. Por el PBW Theorem 1.1 tenemos que cualquier 𝐺-álgebra tiene una base de PBW debido a que sus elementos de no degeneración son todos nulos. Como consecuencia directa de este resultado, al igual que antes, obtenemos que cualquier elemento no nulo 𝑓de una 𝐺-álgebra 𝐴se puede escribir de forma única en términos de la PBW-base canónica: 𝑓=∑ 𝛼∈ℕ0 𝑐𝛼𝑥𝛼,𝑐𝛼∈𝐾∗y𝑥𝛼∈(𝐴). Definición 1.10. Definimos el grado total de 𝑓: deg(𝑓) ∶= m ax𝛼∈ℕ𝑛 0{|𝛼|∶𝑐𝛼≠0}. Donde |𝛼|=𝛼1+⋯+𝛼𝑛. Y, dado un vector 0≠𝑤∈ℝ𝑛, definimos el grado total ponderado de 𝑓con respecto al vector de pesos 𝑤a: deg𝑤(𝑓) ∶= m ax𝛼∈ℕ𝑛 0{𝑛 ∑ 𝑖=1 𝑤𝑖𝛼𝑖|𝑐𝛼≠0}. Por convenio, deg(0) ∶= deg𝑤(0) ∶= −∞. Volveremos a estas definiciones más adelante cuando hablemos de filtraciones con respecto a vectores de peso. Definición 1.11. Sea 𝐴una 𝐺-álgebra en 𝑛variables sujeta a ciertas relaciones dadas por un conjunto 𝐹como en la definición 1.9, entonces: - Si todo 𝑑𝑖𝑗 = 0, diremos que es un álgebra quasi-conmutativa - Si todo 𝑐𝑖𝑗 = 1, estaremos tratando un álgebra de tipo Lie. - Si todo 𝑐𝑖𝑗 = 1 y𝑑𝑖𝑗 = 0, entonces es un álgebra conmutativa. Observación 1.1.Si 𝐴es una 𝐺-álgebra en 𝑛variables sujeta a unas relaciones dadas por un conjunto 𝐹como en la definición 1.9. Notar que podemos escribirla de manera equivalente mediante la forma: 14 aspectos computacionales del polinomio de bernstein-sato de una singularidad 𝐴=𝐾⟨𝑥1, ..., 𝑥𝑛|{𝑥𝑗𝑥𝑖=𝑐𝑖𝑗 ⋅𝑥𝑖𝑥𝑗+𝑑𝑖𝑗,1≤𝑖<𝑗≤𝑛}⟩, donde 𝑐𝑖𝑗 ∈𝐾∗, 𝑑𝑖𝑗 ∈𝐴. Las 𝐺-álgebras que tratemos las notaremos de esta forma a lo largo del texto. Ejemplos: (1) Un caso peculiar de 𝐺-álgebra que vamos a tratar durante todo el texto, es la 𝑛-ésima álgebra de Weyl, la cual se suele denotar por 𝐴𝑛y viene dada por: 𝐴𝑛=𝐾⟨𝑥, 𝜕𝑥⟩∶= 𝐾⟨𝑥1, ..., 𝑥𝑛, 𝜕1, ..., 𝜕𝑛|{𝜕𝑗𝑥𝑖=𝑥𝑖𝜕𝑗+𝛿𝑖𝑗 para 1≤𝑖, 𝑗 ≤𝑛}⟩ Donde 𝛿𝑖𝑗 es la delta de Kronecker. Las relaciones entre el conjunto de variables {𝑥𝑖} entre sí, y entre el conjunto de variables {𝜕𝑖}entre sí, son conmutativas y normalmente omitiremos la escritura de las relaciones conmutativas. En este caso tenemos que 𝑑𝑖𝑗 =𝛿𝑖𝑗 y𝑐𝑖𝑗 = 1 para todo 1≤𝑖, 𝑗 ≤𝑛, siempre que tratemos las relaciones no conmutativas, ya que en el caso de las relaciones no conmutativas tenemos que 𝑐𝑖𝑗 = 1 y que 𝑑𝑖𝑗 = 0 siempre. Luego tomando un orden monomial de la forma 𝑥𝑛≺ ... ≺ 𝑥1≺ 𝜕𝑛≺ ... ≺ 𝜕1es claro que lm(𝑑𝑖𝑗)≺ 𝑥𝑖𝜕𝑗. Además, con un pequeño abuso de notación, denotando 𝑥𝑘∶= 𝜕𝑘para 𝑛+1 ≤𝑘≤2𝑛, como los 𝑐𝑖𝑗 = 1 siempre, entonces se tiene que  𝑖𝑗𝑘 =𝑑𝑖𝑗𝑥𝑘−𝑥𝑘𝑑𝑖𝑗 +𝑥𝑗𝑑𝑖𝑘 −𝑑𝑖𝑘𝑥𝑗+𝑑𝑗𝑘𝑥𝑖−𝑥𝑖𝑑𝑗𝑘, para todo 1≤𝑖<𝑗<𝑘≤2𝑛. Y como 𝑑𝑙𝑟 ∈ {0,1} en cualquier situación, entonces podemos escribir el término anterior para todo 1≤𝑖<𝑗<𝑘≤2𝑛de la forma  𝑖𝑗𝑘 = (𝑑𝑖𝑗 −𝑑𝑖𝑗)𝑥𝑘+ (𝑑𝑖𝑘 −𝑑𝑖𝑘)𝑥𝑗+𝑥𝑖(𝑑𝑗𝑘 −𝑑𝑗𝑘), de donde se concluye la condición de no degeneración anulada. En este caso, las relaciones no conmutativas obtenidas son del tipo Lie y por tanto la comprobación de la condición de no degeneración anulada no tiene complicación. Sin embargo, hay casos donde esta comprobación se vuelve muy costosa. Aunque para ello podemos usar Singular de la siguiente forma: 1. Construcción del álgebra no conmutativa. ring A = 0,(x1,x2,x3,d1,d2,d3),dp; matrix D[6][6]; 1. g-álgebras y pbw-álgebras 15 D[1,4]=1; D[2,5]=1; D[3,6]=1; ncalgebra (1,D); Donde x1,x2,x3,d1,d2,d3, son las variables y dp es el orden lexicográfico inverso. 𝐷es la matriz que representa los elementos 𝑑𝑖𝑗 y el 1 representa la matriz unidad 𝐶que daría los elementos 𝑐𝑖𝑗 (son todos 1). El comando ncalgebra construye el álgebra no conmutativa usando las matrices 𝐶y𝐷como los conjuntos {𝑐𝑖𝑗}y{𝑑𝑖𝑗}vistos anteriormente. Ahora podemos ver las propiedades de este álgebra llamándola directamente en el comando de Singular. A; ==> // characteristic : 0 // number of vars : 6 // block 1 : ordering dp // : names x1 x2 x3 d1 d2 d3 // block 2 : ordering C // noncommutative relations: // d1x1=x1d1+1 // d2x2=x2d2+1 // d3x3=x3d3+1 2. Comprobación de la condición de no degeneración anulada. LIB "nctools.lib"; ideal N = ndcond(); N; ==> N[1]=0 Para usar el comando ncond hay que importar la librería "nctools.lib" [24]. Este comando calcula el conjunto de todos los elementos de no degeneración y, por tanto, si el ideal generado por dicho conjunto es nulo, quiere decir que se verifica la condición de no degeneración anulada. Por lo tanto, dicho comando es una herramienta muy útil para comprobar si estamos trabajando sobre una 𝐺-álgebra. (2) Otro ejemplo claro de 𝐺-álgebra, es el anillo de polinomios 𝐾[𝑥1, ..., 𝑥𝑛], el cual es simplemente la 𝐾-álgebra generada por las variables 𝑥1, ..., 𝑥𝑛con las relaciones 16 aspectos computacionales del polinomio de bernstein-sato de una singularidad conmutativas entre ellas. Es conocido que el anillo de polinomios es un 𝐴𝑛-módulo a la izquierda, simple y de torsión que podemos identificar con 𝐴𝑛∕⟨𝜕1, ..., 𝜕𝑛⟩. Donde ⟨𝜕1, ..., 𝜕𝑛⟩es el ideal a la izquierda generado por los operadores diferenciales 𝜕1, ..., 𝜕𝑛 en 𝐴𝑛. En este caso, el anillo de polinomios es una 𝐺-álgebra conmutativa ya que los coeficientes 𝑐𝑖𝑗 = 1 y los 𝑑𝑖𝑗 = 0. Lema 1.1.Sea 𝐴=𝐾⟨𝑥1, ..., 𝑥𝑛|𝑅𝐴⟩y𝐵=𝐾⟨𝑦1, ..., 𝑦𝑚|𝑅𝐵⟩dos 𝐺-álgebras cuyas variables están sujetas a los conjuntos de relaciones 𝑅𝐴y𝑅𝐵respectivamente. Entonces 𝐴 ⊗𝐾𝐵≅𝐾⟨𝑥1, ..., 𝑥𝑛, 𝑦1, ..., 𝑦𝑚|𝑅𝐴∪𝑅𝐵∪ {𝑦𝑗𝑥𝑖=𝑥𝑖𝑦𝑗|1≤𝑖≤𝑛, 1≤𝑗≤𝑚}⟩ es también una 𝐺-álgebra [20]. Corolario 1.1.El n-ésimo álgebra de Weyl 𝐴𝑛se puede considerar como el producto tensorial de 𝑛copias del álgebra de Weyl 𝐴1. Es decir, 𝐴𝑛≅ 𝑛 ⨂ 𝑖=1 𝐾𝐴1[20]. Proposición 1.2 ( [20]).Sea 𝐴una 𝐺-álgebra en 𝑛variables, entonces tenemos las siguientes propiedades: ∙𝐴tiene una base PBW. ∙𝐴es Noetheriano a la izquierda y a la derecha. ∙𝐴es un dominio de integridad. 1.2 El anillo de operadores diferenciales logarítmicos respecto de un divisor libre visto como 𝐺- álgebra Definición 1.12. Sea 𝑓∈𝐾[𝑥1, ..., 𝑥𝑛]. Diremos que 𝑓es un divisor libre si el módulo de las derivaciones logarítmicas er(log 𝑓)={𝛿=∑𝑖𝑎𝑖𝜕𝑥𝑖|𝑎𝑖∈𝐾[𝑥1, ..., 𝑥𝑛],𝛿(𝑓)∈(𝑓)}, es un módulo libre (necesariamente de rango 𝑛) sobre el anillo 𝐾[𝑥1, ..., 𝑥𝑛]. El objetivo de esta sección es probar que, dado un divisor libre 𝑓∈𝐾[𝑥1, ..., 𝑥𝑛], el módulo de las derivaciones logarítmicas er(log 𝑓)es una 𝐺-álgebra. Para ello se 1. g-álgebras y pbw-álgebras 17 puede probar que una base del subanillo del álgebra de Weyl generado por 𝐾[𝑥1, ..., 𝑥𝑛] y por er(log 𝑓)(𝑓=𝐾[𝑥1, ..., 𝑥𝑛]⟨𝛿1, ..., 𝛿𝑛⟩) viene dada por {𝛿1, ..., 𝛿𝑛}(Teor. 2.1.4 [10]), donde se verifican las siguientes relaciones: [𝛿𝑖, 𝛿𝑗] = 𝑛 ∑ 𝑘=1 𝛼𝑖𝑗 𝑘𝛿𝑘(1) 𝛿𝑖= 𝑛 ∑ 𝑗=1 𝑎𝑖𝑗𝜕𝑥𝑗(2) 𝛿𝑖𝑥𝑗=𝑥𝑗𝛿𝑖+𝛿𝑖(𝑥𝑗) = 𝑥𝑗𝛿𝑖+𝑎𝑖𝑗 (3) Donde los 𝛼𝑖𝑗 𝑘∈𝐾[𝑥1, ..., 𝑥𝑛]y los 𝑎𝑖𝑗 ∈𝐾[𝑥1, ..., 𝑥𝑛]son los que determinan cada 𝛿𝑖: ⎛⎜⎜⎝ 𝛿1 ⋮ 𝛿𝑛⎞⎟⎟⎠ =𝐴⋅⎛⎜⎜⎝ 𝜕𝑥1 ⋮ 𝜕𝑥𝑛⎞⎟⎟⎠ (1.1) A esta matriz 𝐴= (𝑎𝑖𝑗), se la denomina matriz de Saito y verifica que det(𝐴) = 𝑘⋅𝑓, para algún 𝑘∈𝐾⧵{0}. Debido a las condiciones (3) y (1), se tiene que la base {𝑥1, ..., 𝑥𝑛, 𝛿1, ..., 𝛿𝑛}es una PBW-base de er(log 𝑓). Veamos que en particular dicha base lo dota de estructura de 𝐺-álgebra. En ( [11], Remark 3, pág. 138) ya se sugiere la posibilidad de que los anillos de operadores diferenciales logarítmicos admitan una buena teoría de bases de Gröbner. En particular, al probar que es 𝐺-álgebra podremos usar la teoría de bases de Gröbner sobre 𝐺-álgebras que veremos en la siguiente sección. Denotemos al conjunto de variables {𝑥1, ..., 𝑥𝑛, 𝛿1, ..., 𝛿𝑛}por {𝑥1, ..., 𝑥𝑛, 𝑥𝑛+1, ..., 𝑥2𝑛}. Entonces los conjuntos 𝐶= {𝑐𝑖𝑗} ∈ 𝐾∗y𝐷= {𝑑𝑖𝑗} ∈ 𝑓tal que (𝑖, 𝑗) ∈ 2∶= {(𝑖, 𝑗)|1≤𝑖<𝑗≤2𝑛}de la definición de 𝐺-álgebra 1.9, vienen dados por: 𝑐𝑖𝑗 = 1, para todo (𝑖, 𝑗) ∈ 2, 𝑑𝑖𝑗 = 0, para (𝑖, 𝑗) ∈ 2con 𝑗≤𝑛(variables conmutativas), (a) 𝑑𝑖𝑗 =𝑎𝑖,𝑗−𝑛, para (𝑖, 𝑗) ∈ 2con 𝑖≤𝑛y (b) 𝑑𝑖𝑗 = − 𝑛 ∑ 𝑘=1 𝛼𝑖−𝑛,𝑗−𝑛 𝑘𝑥𝑘+𝑛, para (𝑖, 𝑗) ∈ 2con 𝑖>𝑛. (c) 18 aspectos computacionales del polinomio de bernstein-sato de una singularidad 1.2.1 Condición de orden Hay que probar que existe un orden monomial ≺sobre la base estándar de monomios ({𝑥1, ..., 𝑥2𝑛}), tal que lm(𝑑𝑖𝑗)≺ 𝑥𝑖𝑥𝑗para todo (𝑖, 𝑗) ∈ 2. Cada una de las posibilidades de los elementos 𝑑𝑖𝑗 nos proporciona condiciones sobre el orden monomial buscado. ∙Los elementos 𝑑𝑖𝑗 dados en (𝑎)no proporcionan ninguna condición sobre dicho orden. ∙Los elementos 𝑑𝑖𝑗 dados en (𝑏)son polinomios 𝑎𝑖𝑗 ∈𝐾[𝑥1, ..., 𝑥𝑛]de grado total arbitrario, pero finito. Se tiene que verificar: lm(𝑎𝑖𝑗)≺ 𝑥𝑖𝑥𝑗=𝑥𝑖𝛿𝑗−𝑛 Por tanto, basta tomar un orden monomial basado en pesos, el cual le dé un peso lo suficientemente grande a la variable 𝛿𝑗−𝑛=𝑥𝑗para que el producto 𝑥𝑖𝑥𝑗sea mayor, con respecto a dicho orden, que el monomio líder de 𝑎𝑖𝑗, que será un monomio en las variables {𝑥1, ..., 𝑥𝑛}de grado arbitrario. ∙Los elementos 𝑑𝑖𝑗 dados en (𝑐)son combinaciones con coeficientes en 𝐾[𝑥1, ..., 𝑥𝑛] de las variables 𝑥𝑛+1, ..., 𝑥2𝑛. Por tanto, para que se verifique lm( 𝑛 ∑ 𝑘=1 𝛼𝑖𝑗 𝑘𝑥𝑘+𝑛)≺ 𝑥𝑖𝑥𝑗=𝛿𝑖−𝑛𝛿𝑗−𝑛 Debemos de dar un peso lo suficientemente grande a 𝑥𝑖y𝑥𝑗para que su producto sea mayor, respecto de dicho orden, que cualquiera de las variables 𝑥𝑘+𝑛, para 𝑘= 1, ..., 𝑛, por separado. 1.2.2 Condición de no degeneración anulada Como los elementos 𝑐𝑖𝑗 = 1 para todo (𝑖, 𝑗) ∈ 2, los elementos de no degeneración del álgebra vienen dados por:  𝑖𝑗𝑘 =𝑑𝑖𝑗𝑥𝑘−𝑥𝑘𝑑𝑖𝑗 +𝑥𝑗𝑑𝑖𝑘 −𝑑𝑖𝑘𝑥𝑗+𝑑𝑗𝑘𝑥𝑖−𝑥𝑖𝑑𝑗𝑘, con (𝑖, 𝑗, 𝑘) ∈ 3. Además, usando de nuevo que 𝑐𝑖𝑗 = 1 para todo (𝑖, 𝑗) ∈ 2, se tiene que 𝑥𝑗𝑥𝑖= 𝑥𝑖𝑥𝑗+𝑑𝑖𝑗 y por lo tanto 𝑑𝑖𝑗 = [𝑥𝑗, 𝑥𝑖]. Luego los elementos de no degeneración son de la forma: 1. g-álgebras y pbw-álgebras 19  𝑖𝑗𝑘 = [𝑥𝑗, 𝑥𝑖]𝑥𝑘−𝑥𝑘[𝑥𝑗, 𝑥𝑖] + 𝑥𝑗[𝑥𝑘, 𝑥𝑖]−[𝑥𝑘, 𝑥𝑖]𝑥𝑗+ [𝑥𝑘, 𝑥𝑗]𝑥𝑖− 𝑥𝑖[𝑥𝑘, 𝑥𝑗]=[[𝑥𝑗, 𝑥𝑖], 𝑥𝑘]+[𝑥𝑗,[𝑥𝑘, 𝑥𝑖]] + [[𝑥𝑘, 𝑥𝑗], 𝑥𝑖] = [𝑥𝑖,[𝑥𝑗, 𝑥𝑘]] + [𝑥𝑗,[𝑥𝑘, 𝑥𝑖]] + [𝑥𝑘,[𝑥𝑖, 𝑥𝑗]] = 0 Debido a la identidad de Jacobi. Ejemplos: (1) Sea 𝑓=𝑥2 1−𝑥3 2y sea 𝐷 ⊂ ℂ2el divisor libre definido por la ecuación polinomial aterior, la cual es cuasi-homogénea con respecto al vector de pesos (𝑤1, 𝑤2) = (3,2) respecto de las variables (𝑥1, 𝑥2). Se tiene que 𝐷es libre y, como ya hemos visto, una base global de er(log 𝐷)viene dada por {𝛿2, 𝛿2}, donde: 𝛿1= 3𝑥1𝜕𝑥1+ 2𝑥2𝜕𝑥2, 𝛿2= 3𝑥2 2𝜕𝑥1+ 2𝑥1𝜕𝑥2y 𝛿1(𝑓)=6𝑓, 𝛿2(𝑓)=0,[𝛿1, 𝛿2] = 𝛿2. Es decir 𝛿2𝛿1=𝛿1𝛿2−𝛿2. Entonces, tomando la PBW-base {𝑥1, 𝑥2, 𝛿1, 𝛿2}como ya mencionamos antes, los conjuntos 𝐶= {𝑐𝑖𝑗}y𝐷= {𝑑𝑖𝑗}se pueden representar con las matrices: 𝐶=⎛⎜⎜⎜⎜⎝ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ⎞⎟⎟⎟⎟⎠ , 𝐷 =⎛⎜⎜⎜⎜⎝ 0 0 3𝑥13𝑥2 2 0 0 2𝑥22𝑥1 0 0 0 −𝛿2 0 0 0 0 ⎞⎟⎟⎟⎟⎠ (1.2) Para que se verifique la condición de orden, podemos tomar un orden monomial por pesos que dé el peso 1 a las variables 𝑥1,𝑥2y el peso 3 a las variables 𝛿1,𝛿2. 26 aspectos computacionales del polinomio de bernstein-sato de una singularidad paso 𝑔←𝑔− lc(𝑔)lm(𝑔). Pasemos ahora a dar un algoritmo para el cálculo de bases de Gröbner (a la izquierda) sobre 𝐺-álgebras, el cual se basa principalmente en el algoritmo de Buchberger extendido al caso no conmutativo. Algoritmo 1.4. GB(𝐻, ≺) Input: 𝐻∈,≺un orden monomial dado. Output: 𝐺∈, una base de Gröbner (a la izquierda) del submódulo (a la izquierda) 𝐼=𝐴⟨𝐻⟩⊂ 𝐴𝑟. BEGIN 𝐺←𝐻 𝑃←{(𝑓, 𝑔)|𝑓, 𝑔 ∈𝐺}⊂ 𝐺 ×𝐺 while (𝑃≠∅) do Elegir (𝑓, 𝑔) ∈ 𝑃 𝑃←𝑃⧵{(𝑓, 𝑔)} ℎ←LeftNormalForm(𝑆𝑝𝑜𝑙𝑦(𝑓, 𝑔), 𝐺) if (ℎ≠0) then 𝑃←𝑃∪ {(ℎ, 𝑓)|𝑓∈𝐺} 𝐺←𝐺∪ℎ end-if end-while return 𝐺 END Lema 1.3.El algoritmo GB(𝐻, ≺)termina y devuelve una base de Gröbner (a la izquierda) del ideal 𝐼generado por 𝐻en 𝐴,(𝐼=𝐴⟨𝐻⟩). Demostración. El algoritmo termina: de la propiedad (𝑖𝑖)de la definición de una forma normal, (NF (𝑓, 𝐺)≠0⇐⇒ lm(NF (𝑓, 𝐺)) ∉ 𝐿(𝐺)), tenemos que si ℎ≠0 entonces lm(ℎ) ∉ 𝐿(𝐺). Por tanto, se tiene que 𝐴⟨𝐺⟩⊂ 𝐴⟨{𝐺, ℎ}⟩y obtenemos, de esta forma, una sucesión estrictamente creciente de ideales en 𝐴. Usando que 𝐴es noetheriano 1.2, esta sucesión se estabiliza en en algún momento. Luego, después de un número finito de pasos, siempre tendremos que NF (𝑆𝑝𝑜𝑙𝑦(𝑓, 𝑔), 𝐺)=0, para todo (𝑓, 𝑔) ∈ 𝑃y, después de otra cantidad de pasos finitos, tendremos que el conjunto 𝑃 de pares será vacío. Eso concluye que el algoritmo termine. El algoritmo devuelve una base de Gröbner del ideal (a la izquierda) 𝐼=𝐴⟨𝐻⟩: la demostración se obtiene directamente del criterio de Buchberger extendido al caso no conmutativo, mediante el uso de una forma normal, que vamos a ver a continuación (teorema 1.2). 1. g-álgebras y pbw-álgebras 27 Observación 1.4.Si en el algoritmo anterior tenemos que LeftNormalForm es una forma normal reducida y que 𝐻está reducido, entonces la base de Gröbner 𝐺, que obtenemos, es una base de Gröbner reducida. Si 𝐻no está reducido, se puede aplicar después LeftNormalForm a(𝑓, 𝐺 ⧵{𝑓}) para todo 𝑓∈𝐺para obtener una base de Gröbner reducida. Denotaremos por RedGB(𝐻, ≺)al proceso que primero calcula una base de Gröbner de 𝐼=𝐴⟨𝐻⟩ y después la reduce para la obtención de una base de Gröbner reducida. Teorema 1.2. Sea 𝐴una 𝐺-álgebra, 𝐼 ⊆ 𝐴𝑟un submódulo (a la izquierda) y 𝐺= {𝑔1, ..., 𝑔𝑙}⊆ 𝐼 un subconjunto. Sea NF (⋅, 𝐺)una forma normal sobre 𝐴con respecto de 𝐺. Entonces son equivalentes: (1) 𝐺es una base de Gröbner de 𝐼. (2) NF (𝑓, 𝐺)=0para todo 𝑓∈𝐼. (3) Cada 𝑓∈𝐼tiene una representación estándar con respecto a 𝐺. Es decir, existen 𝑎1, ..., 𝑎𝑙∈𝐴tales que 𝑓se puede escribir de la forma 𝑓= 𝑙 ∑ 𝑖=1 𝑎𝑖𝑔𝑖. Donde lm(𝑎𝑖𝑔𝑖)≺ 𝑓 y𝑎𝑖𝑔𝑖≠0para todo 1≤𝑖≤𝑙. (4) Criterio de Buchberger: NF (Spoly (𝑔𝑖, 𝑔𝑗), 𝐺)=0para todo 1≤𝑖, 𝑗 ≤𝑙. Demostración. (1) ⇐⇒ (2), se sigue directamente del lema de Diamond [4]. (2) ⇐⇒ (3), se tiene de las definiciones correspondientes. (3) ⇐⇒ (1), vemos que si 𝑓tiene una representación estandar con respecto a 𝐺, entonces lm(𝑓)debe aparecer como monomio líder de 𝑎𝑖𝑔𝑖para algún 𝑖= 1, ..., 𝑙. Esto significa que lm(𝑔𝑖)|lm(𝑓), luego 𝐺es una base de Gröbner de 𝐼. (3) ⇐⇒ (4), sea ℎ=NormalForm(𝑆𝑝𝑜𝑙𝑦(𝑓𝑖, 𝑓𝑗), 𝐺) ∈ 𝐼. Entonces por hipótesis, si ℎ≠0, tenemos que lm(ℎ) ∈ 𝐿(𝐺), lo que contradice la propiedad (𝑖𝑖𝑖)de NF 1.19. (4) ⇐⇒ (1), se prueba de manera equivalente al criterio de Buchberger del caso conmutativo. En particular, este último criterio es muy útil para la construcción de bases de Gröbner y se puede agudizar un poco más cuando los respectivos 𝑔𝑖y𝑔𝑗verifican que sus monomios líderes no tienen factores en común. Lema 1.4 ( [23]).Sea 𝐴una 𝐺-álgebra de Lie y sean 𝑓, 𝑔 ∈𝐴. Si lm(𝑓)ylm(𝑔)no tienen factores en común, entonces 𝑆𝑝𝑜𝑙𝑦(𝑓, 𝑔)se reduce a [𝑓, 𝑔] ∶= 𝑓𝑔 −𝑔𝑓 con respecto al conjunto {𝑓, 𝑔}. A diferencia que ocurre en el caso conmutativo, en las 𝐺-álgebras no conmutativas puede ocurrir que no podamos eliminar ciertas variables debido a que no exista un orden de eliminación apropiado para la eliminación de dichas variables. Por ello, va- 28 aspectos computacionales del polinomio de bernstein-sato de una singularidad mos a definir el concepto de 𝐺-álgebra admisible para diferenciar cuándo se pueden eliminar ciertas variables. Definición 1.21. Sea 𝐴=𝐾⟨𝑥1, ..., 𝑥𝑛|{𝑥𝑗𝑥𝑖=𝑐𝑖𝑗𝑥𝑖𝑥𝑗+𝑑𝑖𝑗 para 1≤𝑖<𝑗≤𝑛}⟩ una 𝐺-álgebra. Consideremos la subálgebra 𝐴𝑟, generada por el subconjunto de variables {𝑥𝑟+1, ..., 𝑥𝑛}de {𝑥1, ..., 𝑥𝑛}para algún 𝑟≥1sujetas a las relaciones de 𝐴(que envuelvan a las variables consideradas). Entonces diremos que 𝐴𝑟es un álgebra admisible si 𝑑𝑖𝑗 son polinomios en 𝑥𝑟+1, ..., 𝑥𝑛para 𝑟+ 1 ≤𝑖 < 𝑗 ≤𝑛. Entonces, 𝐴𝑟es cerrada bajo el producto heredado de 𝐴, por lo que es una 𝐺-álgebra. Definición 1.22. Sea 𝐴una 𝐺-álgebra en 𝑛variables, generada por {𝑥1, ..., 𝑥𝑛}tal que {𝑥𝑟+1, ..., 𝑥𝑛}genera una sub-𝐺-álgebra admisible 𝐵 ⊂ 𝐴. Diremos que un orden ≺sobre 𝐴es un orden de eliminación para 𝑥1, ..., 𝑥𝑟, si para todo 𝑓∈𝐴, tal que lm(𝑓) ∈ 𝐵implica que 𝑓∈𝐵. Si, además 𝑥1, ..., 𝑥𝑟genera también una sub-𝐺-álgebra admisible 𝐶, diremos también que ≺es un orden de eliminación para 𝐶. ∙Si ≺es un orden de eliminación para las variables 𝑥𝑟, ..., 𝑥𝑛que además verifica lm(𝑑𝑖𝑗 )≺ 𝑥𝑖𝑥𝑗para todo 𝑖<𝑗diremos que ≺es un orden de eliminación admisible. Lema 1.5.Sea 𝐴una 𝐺-álgebra como en la definición anterior, 𝐼 ⊆ 𝐴 un ideal, 𝐵=𝐾⟨𝑥𝑟+1, ..., 𝑥𝑛|𝑥𝑗𝑥𝑖=𝑐𝑖𝑗𝑥𝑖𝑥𝑗+𝑑𝑖𝑗⟩una sub-𝐺-álgebra admisible de 𝐴. Si 𝑆= {𝑓1, ..., 𝑓𝑚}es una base de Gröbner de 𝐼, entonces 𝑆∩𝐵es una base de Gröbner de 𝐼∩𝐵. Demostración. Dado 𝑥𝛼∈𝐿(𝐼), por definición de base de Gröbner, existe un 𝑓∈𝐼 tal que lm(𝑓) = 𝑥𝛼. Como ≺es un orden de eliminación para las variables 𝑥1, ..., 𝑥𝑟y lm(𝑓) ∈ (𝐵), por la definición anterior se tiene que 𝑓∈𝐵. Por tanto, 𝐿(𝐼) ∩ 𝐵es igual a: ⊕{𝐾𝑥𝛼|∃𝑓∈𝐼,lm(𝑓) = 𝑥𝛼} ∩ 𝐵=⊕{𝐾𝑥𝛼|∃𝑓∈𝐼∩𝐵,lm(𝑓) = 𝑥𝛼}. Pero esto último es 𝐿(𝐼∩𝐵). Por tanto, 𝐿(𝑆)∩𝐵=𝐿(𝐼)∩𝐵=𝐿(𝐼∩𝐵) = 𝐿(𝑆∩𝐵), y de aquí se concluye que 𝑆∩𝐵es una base de Gröbner de 𝐼∩𝐵(1.2). Cuando decimos de eliminar un conjunto de variables 𝑥1, ..., 𝑥𝑟de un ideal 𝐼, en realidad, queremos decir que estamos calculando la intersección del ideal 𝐼con la subálgebra admisible 𝐴𝑟. Aunque puede ocurrir que no exista un orden de eliminación admisible para un cierto subconjunto de variables sobre una 𝐺-álgebra. En cambio, en álgebras conmutativas siempre existe un orden de eliminación, por ejemplo, el orden lexicográfico. 1. g-álgebras y pbw-álgebras 29 Ejemplo: Supongamos que tenemos la 𝐺-álgebra generada por {𝑒, 𝑓, ℎ, 𝑎}tal que [𝑓, 𝑒]=−ℎ,[ℎ, 𝑒]=2𝑒,[ℎ, 𝑓] = −2𝑓. Tomando el orden lexicográfico total, denotado en Singular por Dp, se puede comprobar de manera sencilla que se trata de una 𝐺-álgebra. Es claro que 𝑎conmuta con las demás variables, por tanto podemos eliminar dicha variable. En Singular se procedería como sigue: ring r = 0,(e,f,h,a),Dp; matrix d[4][4]; d[1,2]=-h; d[1,3]=2e; d[2,3]=-2f; ncalgebra(1,D); poly p = 4ef+h2-2h-a; ideal I = e3, f3, h3-4h, p; eliminate(I,a) ==> // _[1] = h3-4h // _[2] = fh2-2fh // _[3] = f3 // _[4] = eh2+2eh // _[5] = 2efh-h2-2h // _[6] = e3 Por otra parte, se puede observar que no es posible eliminar la variable ℎ, ya que [𝑓, 𝑒] = −ℎy por tanto el correspondiente 𝑑12 = −ℎ∉ {𝑒, 𝑓, 𝑎}. Es decir, no estaríamos sobre un álgebra admisible 1.21. Esta vez en Singular, si intentáramos eliminarla con el proceso anterior tendríamos el siguiente mensaje de error. eliminate(I,h) ==> ? no elimination is possible: subalgebra is not admissible ? error occurred in or before STDIN line 71: ‘eliminate(I,h);‘ El algoritmo eliminate(ideal I, subálgebra S), implementado en Singular/Plural, trabaja siguiendo los siguientes pasos: 1. Comprueba cuando 𝑆es un subálgebra admisible 1.21, en caso de que no lo sea envía el mensaje de error del ejemplo anterior; 2. En caso de ser admisible, elige de manera heurística un orden de eliminación ≺𝑆 respecto de las variables a eliminar; 3. Comprueba cuando ≺𝑆es un orden de eliminación admisible 1.22; 30 aspectos computacionales del polinomio de bernstein-sato de una singularidad 4. Calcula una base de Gröbner de 𝐼con respecto de ≺𝑆; 5. Elimina todos los elementos de dicha base de Gröbner tales que sus monomios líderes tengan otras variables fuera de 𝑆. Una vez realizado este proceso, se puede reducir un poco la salida mediante el cálculo de una base de Gröbner reducida. En el texto vamos a trabajar mucho sobre el álgebra de Weyl 𝐴𝑛=𝐾⟨𝑥, 𝜕𝑥|{𝜕𝑥𝑗𝑥𝑖= 𝑥𝑖𝜕𝑥𝑗+𝛿𝑖𝑗 para 1≤𝑖<𝑗≤𝑛}⟩, de la cual sabemos que es una 𝐺-álgebra. Además es fácil ver que el orden lexicográfico es un orden admisible sobre 𝐴𝑛. 1.4 Filtraciones y propiedades de 𝐺-álgebras Recordemos el concepto de holonomicidad de un 𝐷-módulo y algunas propiedades de los anillos graduados. Definición 1.23. Un anillo o álgebra 𝐴se dice filtrado si para todo entero 𝑖≥0, existe un subespacio 𝐹𝑖tal que se verifica: (1) 𝐹𝑖⊆ 𝐹𝑗para 𝑖≤𝑗,1 ∈ 𝐹0, (2) 𝐹𝑖⋅𝐹𝑗⊆ 𝐹𝑖+𝑗y (3) 𝐴= ∞ ⋃ 𝑖=0 𝐹𝑖. Al conjunto = {𝐹𝑖|𝑖≥0} se le denomina filtración de 𝐴. Es usual definirlo para todo 𝑖∈ℤimponiendo que 𝐹𝑖= ∅ para 𝑖 < 0. Definición 1.24. Un anillo o álgebra 𝐴se dice que es graduado, si existe una familia 𝐺= {𝐺𝑖|𝑖≥0} de subgrupos del grupo aditivo de 𝐴tales que (1) 𝐺𝑖⋅𝐺𝑗⊆ 𝐺𝑖+𝑗para todo 𝑖, 𝑗 ≥0y (2) 𝑅=⨁ 𝑖≥0 𝐺𝑖 A la familia 𝐺se la llama graduado de 𝐴. Observación 1.5.Cualquier anillo graduado 𝑅=⊕𝑖≥0𝐺𝑖tiene una filtración natural = {𝐹𝑖|𝑖≥0}, definida mediante 𝐹𝑖=⊕ℎ≤𝑖𝐺𝑖. Por otro lado, si tenemos 𝑅un anillo filtrado por una filtración = {𝐹𝑖|𝑖≥0}. Construimos un anillo graduado 𝑔𝑟(𝑅), mediante dicha filtración haciendo: 𝐺𝑖∶= 𝐹𝑖∕𝐹𝑖−1 para cada 𝑖≥0, y construimos 𝑔𝑟(𝑅) ∶= ⊕𝑖≥0𝐺𝑖. 1. g-álgebras y pbw-álgebras 31 Definición 1.25. Dada una filtración = {𝐹𝑖|𝑖≥0} de 𝐴, el anillo graduado asociado (resp. álgera graduada asociada) al anillo filtrado (resp. álgebra filtrada) 𝐴 viene definido por 𝑔𝑟(𝐴) = ⨁ 𝑖≥0 𝐺𝑖donde 𝐺𝑖=𝐹𝑖∕𝐹𝑖−1 y𝐹−1 ∶= 0, con el producto dado por el producto de clases (𝑎𝑖+𝐹𝑖−1)⋅(𝑎𝑗+𝐹𝑗−1) = 𝑎𝑖𝑎𝑗+𝐹𝑖+𝑗−1. Ejemplos: Consideramos el espacio vectorial en 𝐾[𝑥1, ..., 𝑥𝑛]de los elementos que tienen grado total (1.10) a lo sumo 𝑘, es decir: 𝐹𝑘∶= {𝑃∈𝐾[𝑥1, ..., 𝑥𝑛]|deg(𝑃)≤𝑘}. Entonces 𝐹𝑘= {0} para 𝑘 < 0ya que deg(0) = −∞ por convenio y 0 es el único polinomio que tiene grado total negativo. Se puede probar fácilmente que = {𝐹𝑘| 𝑘≥0} verifica las propiedades de filtración sobre 𝐾[𝑥1, ..., 𝑥𝑛], la cual se denomina filtración del grado total. Esta filtración se puede ver también en el álgebra de Weyl y dota de interesantes propiedades a su anillo graduado. Es decir, tomando 𝐴𝑛el álgebra de Weyl en las 𝑛variables 𝑥1, ..., 𝑥𝑛, podemos considerar la llamada filtración de Bernstein = {𝐵𝑘}𝑘∈ℕ, donde 𝐵𝑘se define como el conjunto de todos los operadores de 𝐴𝑛de grado total menor o igual a 𝑘. Y obtener, mediante dicha filtración, su anillo graduado correspondiente, 𝑆𝑛=𝑔𝑟(𝐴𝑛), del cual se puede probar que es isomorfo al anillo de polinomios en 2𝑛variables, resultado que dota de grandes propiedades a dicho graduado [13]. En particular, se tiene que 𝐵0=𝐾y que una base como 𝐾-espacio vectorial de 𝐵1vie- ne dada por {1, 𝑥1, ..., 𝑥𝑛, 𝜕𝑥1, ..., 𝜕𝑥𝑛}. Es más, una base de 𝐵𝑘consta de un número de elementos determinado por el número de soluciones no negativas de la ecuación 𝛼1+... +𝛼𝑛+𝛽1+... +𝛽𝑛≤𝑘. Este número se obtiene fácilmente por combinatoria y es (2𝑛+𝑘 𝑘). Número del cual se conoce que tiene una gran importancia en el concepto de dimensión de un 𝐴𝑛-módulo [13]. Teorema 1.3. [26] Sea 𝐴un anillo o álgebra filtrado respecto de una filtración , y𝐺=𝑔𝑟(𝐴)su anillo graduado. Entonces (1) Si 𝑔𝑟𝐹(𝐴)es Noetheriano a la izquierda (resp. derecha), entonces 𝐴es Noetheriano a la izquierda (resp. derecha). (2) Si 𝑔𝑟𝐹(𝐴)no tiene divisores de cero, entonces 𝐴tampoco tiene divisores de cero. 32 aspectos computacionales del polinomio de bernstein-sato de una singularidad Como mencionábamos en el ejemplo anterior, como 𝑔𝑟(𝐴𝑛) ≅ 𝐾[𝑥1, ..., 𝑥𝑛, 𝑦1, ..., 𝑦𝑛], se verifican las condiciones del resultado anterior para el álgebra de Weyl. 1.4.1 Filtraciones asociadas a vectores de peso Muchos algoritmos dentro de anillos de operadores diferenciales utilizan los denominados vectores de peso para construir un orden de eliminación apropiado, ya que al contrario que ocurre en el caso conmutativo, ( por ejemplo, el orden lexicográfico siempre es de eliminación), en el caso no conmutativo puede ocurrir que no exista un orden monomial de eliminación admisible. Definición 1.26. ∙Un vector de pesos es un vector de componentes enteras no negativas 𝑤= (𝑤1, ..., 𝑤𝑛). Sobre el álgebra de Weyl usaremos la notación (𝑢, 𝑣) ∈ ℤ2 ≥0 para referirnos a que las variables 𝑥1, ..., 𝑥𝑛tienen el vector de pesos 𝑢y las variables 𝜕𝑥1, ..., 𝜕𝑥𝑛tienen los de 𝑣 ∙Sea 𝐴una 𝐺-álgebra y 𝑤un vector de pesos. Diremos que ≺𝑤es un orden graduado de pesos sobre 𝐴, si hay un vector de pesos 𝑤y algún orden monomial ≺sobre 𝐴tal que 𝛼 ≺𝑤𝛽⇐⇒ 𝑛 ∑ 𝑖=1 𝑤𝑖𝑎𝑖≺ 𝑛 ∑ 𝑖=1 𝑤𝑖𝑏𝑖ó, si 𝑛 ∑ 𝑖=1 𝑤𝑖𝑎𝑖= 𝑛 ∑ 𝑖=1 𝑤𝑖𝑏𝑖, entonces 𝛼 ≺ 𝛽. Donde 𝛼= (𝑎1, ..., 𝑎𝑛)y𝛽= (𝑏1, ..., 𝑏𝑛). Para un monomio 𝑥𝛼sobre la base de monomios (𝑥1, ..., 𝑥𝑛)de una 𝐺-álgebra 𝐴, definimos una función graduada de pesos sobre 𝐴respecto de un vector de pesos 𝑤, como una aplicación: deg𝑤(𝑥𝛼) ∶= 𝑤1𝛼1+⋯𝑤𝑛𝛼𝑛. Extendemos esta definición para cualquier operador 𝑃∈𝐴, como deg𝑤(𝑃) = deg𝑤(lm(𝑃)), y pondremos que deg𝑤(𝑥𝛼)=0 ⇐⇒ 𝛼= 0. Lema 1.6.deg𝑤(𝑃 𝑄) = deg𝑤(𝑃) + deg𝑤(𝑄). Demostración. Sobre los monomios líderes tendríamos deg(𝑥𝛼𝑥𝛽) = deg(𝑥𝛼+𝛽) = 𝑛 ∑ 𝑖=1 𝑤𝑖(𝛼𝑖+𝛽𝑖) = deg𝑤(𝑥𝛼) + deg𝑤(𝑥𝛽) 1. g-álgebras y pbw-álgebras 33 Luego usando que lm(𝑃 𝑄) = lm(𝑃)lm(𝑄), tenemos que deg𝑤(𝑃 𝑄) = deg𝑤(lm(lm(𝑃)lm(𝑄))) = deg𝑤(lm(𝑄)lm(𝑄)) = deg𝑤(𝑃) + deg𝑤(𝑄). Ejemplo: Tomando un vector de pesos (𝑢, 𝑣)para el álgebra de Weyl, podemos definir el conjunto 𝑉𝑖∶= {𝑃∈𝐴𝑛|deg(𝑢,𝑣)(𝑃)≤𝑚}de todos los operadores de 𝐴𝑛cuyo grado total con respecto al vector de pesos (𝑢, 𝑣)sea a lo sumo 𝑖. Entonces 𝑉∶= {𝑉𝑖| 𝑖∈ℕ}es una filtración sobre 𝐴𝑛, denominada la 𝑉-filtración con respecto del vector de pesos (𝑢, 𝑣). Este ejemplo anterior se puede generalizar un poco más a una 𝐺-álgebra cualquiera. Sea 𝐴una 𝐺-álgebra cualquiera, sea 𝑤un vector de pesos sobre las variables de 𝐴y sea 𝐹𝑘el 𝐾-espacio vectorial generado por {𝑚∈(𝐴)|deg𝑤(𝑚)≤𝑛}. De esta forma, 𝐹0=𝐾, 𝐹𝑖⊆ 𝐹𝑗⊆ 𝐴, para todo 𝑖≤𝑗y𝐴= ∞ ⋃ 𝑖=1 𝐹𝑖. Luego usando el lema 1.6, tenemos que 𝐹𝑖⋅𝐹𝑗⊆ 𝐹𝑖+𝑗para todo 0≤𝑖 < 𝑗. Como sabemos, 𝐺𝑖=𝐹𝑖∕𝐹𝑖−1 es el conjunto de todos los elementos homogeneizados de grado total ponderado igual a 𝑖en 𝐴, con 𝐺0=𝐹0=𝐾. Tenemos el siguiente resultado. Lema 1.7.Supongamos que tenemos un 𝐺-álgebra 𝐴tal que para cada 𝑖<𝑗se tiene que deg𝑤(𝑑𝑖𝑗)<deg𝑤(𝑥𝑖𝑥𝑗) = 𝑤𝑖+𝑤𝑗. Denotemos por 𝑥a la clase de 𝑥𝑖cociente 𝐹𝑖−1. Es decir, 𝑥𝑖=𝑥𝑖+𝐹𝑖−1. Entonces 𝑔𝑟deg𝑤(𝐴) = ∞ ⨁ 𝑖=1 𝐺𝑖=𝐾⟨𝑥1, ..., 𝑥𝑛|𝑥𝑗𝑥𝑖=𝑐𝑖𝑗𝑥𝑖𝑥𝑗para 𝑖<𝑗} Es decir, en este caso 𝑔𝑟deg𝑤(𝐴)es isomorfo a un álgebra cuasi-homogénea en 𝑛variables. Luego usando el teorema (Jacobson) 1.3, tenemos que 𝐴es un dominio Noetheriano. La demostración de este resultado se tiene directamente de la hipótesis deg𝑤(𝑑𝑖𝑗)< deg𝑤(𝑥𝑖𝑥𝑗)ya que 34 aspectos computacionales del polinomio de bernstein-sato de una singularidad 𝑥𝑗𝑥𝑖= (𝑥𝑗+𝐹𝑗−1)(𝑥𝑖+𝐹𝑖−1)=(𝑐𝑖𝑗𝑥𝑖𝑥𝑗+𝑑𝑖𝑗) + 𝐹𝑖+𝑗−1 =𝑐𝑖𝑗 𝑥𝑖𝑥𝑗, para 1≤𝑖<𝑗≤𝑛 En particular, volviendo al caso del álgebra de Weyl 𝐴𝑛, la filtración de Bernstein 𝐵𝑘= {𝑚∈(𝐴𝑛)|deg(1,...,1)(𝑚)≤𝑘}. Donde deg(1,...,1)(𝑚)denota también al grado total de un operador que definimos anteriormente. Entonces, como el álgebra de Weyl es una 𝐺-álgebra donde los 𝑐𝑖𝑗 ∈ {0,1} para todo 𝑖, 𝑗 = 1, ..., 2𝑛, entonces, por el resultado anterior, se verifica que 𝑔𝑟deg(1,..,1) (𝐴𝑛) = 𝑔𝑟(𝐴𝑛) ≅ 𝐾[𝑥1, ..., 𝑥𝑛, 𝑦1, ..., 𝑦𝑛] como ya mencionábamos anteriormente. 1.4.2 Dimensión de Gel’fand-Kirillov En teoría de 𝐷-módulos y en particular en el álgebra de Weyl, un concepto muy importante es el de la dimensión de un 𝐴𝑛-módulo. Gracias a este concepto se puede definir la propiedad de holonomicidad de un 𝐴𝑛-módulo, que tiene que ver con que dicha dimensión sea “la menor posible”. La dimensión de un 𝐴𝑛-módulo 𝑀, usualmente se define como el grado del polinomio de Hilbert de 𝑀. Se conoce que la dimensión de Gel’Fand-Kirillov coincide con dicha definición de dimensión de un 𝐴𝑛-módulo y, por tanto, sirve para probar la famosa desigualdad de Bernstein, la cual establece que la dimensión de un 𝐴𝑛-módulo es como mínimo 𝑛. Esto permite dar la definición de un 𝐴𝑛-módulo holónomo, como comentábamos antes, por tener dimensión mínima. Definición 1.27. Sea 𝐴un anillo filtrado con una filtración = {𝐹𝑖|𝑖≥0}. Una filtración de un 𝐴-módulo (a la izquierda) 𝑀, es una familia de conjuntos {𝑀𝑖|𝑖≥0} tal que (1) 𝑀𝑖⊆ 𝑀𝑗para todo 𝑖<𝑗, (2) 𝐹𝑖𝑀𝑗⊆ 𝑀𝑖+𝑗para todo 𝑖, 𝑗 ≥0, y (3) 𝑀= ∪𝑖≥0𝑀𝑖. Un modulo con una filtración se dirá que es un módulo filtrado. Al igual que en la definción de filtración sobre un anillo, es usual tomar 𝑖∈ℤe imponer que 𝑀𝑖= ∅ para 𝑖 < 0. De la misma forma que hemos hecho para un anillo con una filtración, se puede definir el módulo graduado asociado al módulo filtrado 𝑀respecto de la filtración = {𝑀𝑖 |𝑖≥0}, como 𝑔𝑟(𝑀) = ⨁𝑖≥0𝑀𝑖∕𝑀𝑖−1. Definición 1.28. Sea 𝐴una 𝐾-álgebra con una filtración 𝐴′= {𝐴𝑖|𝑖∈ℕ}y𝑀 un 𝐴-módulo a la izquierda con una filtración 𝑀′= {𝑀𝑖|𝑖∈ℕ}. 1. g-álgebras y pbw-álgebras 35 Diremos que 𝐴′es una filtración estándar si 𝐴𝑖=𝐴𝑖 1para todo 𝑖y que es una filtración de dimensión finita si 𝐴0=𝐾ydim𝐾(𝐴𝑖)<∞para todo 𝑖. De la misma forma, diremos que 𝑀′es estándar si 𝑀𝑖=𝐴𝑖𝑀0para todo 𝑖, y que es de dimensión finita si dim𝐾(𝑀𝑖)<∞para todo 𝑖. Ejemplo: Por ejemplo, la filtración de Bernstein sobre el álgebra de Weyl es una filtración estándar y de dimensión finita. Pasa lo mismo con la filtración del grado total que vimos anteriormente, sobre 𝐾[𝑥1, ..., 𝑥𝑛]. En la cual se puede hacer algo similar a lo que se hizo en el álgebra de Weyl. Consideramos 𝑉𝑖∶= {𝑃∈𝐾[𝑥1, ..., 𝑥𝑛]|deg(1,...,1)(𝑃) = 𝑖}y pongamos 𝑉∶= 𝑉1. Claramente, 𝐹∶= {𝐹𝑖|𝑖≥0} es una filtración estándar, donde 𝐹0∶= 𝑉0=𝐾y 𝐹𝑖∶= ⊕𝑖 𝑘=0𝑉𝑘para 𝑖 > 0. Además {𝑥1, ..., 𝑥𝑛}es una base como 𝐾-espacio vectorial de 𝑉y en general {𝑥𝑖1 1⋯𝑥𝑖𝑛 𝑛|𝑖𝑘≥0,∑𝑛 𝑘=1 𝑖𝑘=𝑖}es una base como 𝐾-espacio vectorial de 𝑉𝑖. Por tanto, al igual que vimos anteriormente, dim𝐾(𝑉𝑖) = (𝑖+𝑛 𝑛)que es igual al número de soluciones no negativas de la ecuación 𝑖1+⋯+𝑖𝑛=𝑖. Observación 1.6.Sea 𝑅una 𝐾-álgebra asociativa finitamente generada. Entonces existe un 𝐾-espacio vectorial de dimensión finita 𝑉 ⊆ 𝑅 tal que 𝑅está generado por 𝑉como 𝐾-álgebra. Este 𝑉induce una filtración estándar de dimensión finita {𝑅𝑖| 𝑖≥0} sobre 𝑅de la forma 𝑅0∶= 𝑉0∶= 𝐾y𝑅𝑖∶= ∑𝑖 𝑗=0 𝑉𝑗. Si 𝑀es un 𝑅-módulo (a la izquierda) finitamente generado, entonces existe un subespacio 𝑀0tal que 𝑀=𝑅𝑀0. Entonces 𝑀tiene una filtración inducida por la de 𝑅de la forma {𝑀𝑖|𝑖≥0} con 𝑀𝑖∶= 𝑀0𝑅𝑖para cada 𝑖 > 0. Definición 1.29. Sea {𝑅𝑖|𝑖≥0} y{𝑀𝑖|𝑖≥0} filtraciones sobre 𝑅y𝑀como en la observación anterior. Entonces la dimensión de Gel’fand-Kirillov de 𝑅se define GKdim(𝑅)=l ım sup 𝑖→∞ log𝑖(dim𝐾(𝑅𝑖)) = l ım sup 𝑖→∞ ln(dim𝐾(𝑅𝑖)) ln(𝑖). Y definimos la dimensión de Gel’fand-Kirillov de 𝑀por GKdim(𝑀)=l ım sup 𝑖→∞ log𝑖(dim𝐾(𝑀𝑖)) = l ım sup 𝑖→∞ ln(dim𝐾(𝑀𝑖)) ln(𝑖). Se puede probar de manera fácil que la dimensión así definida no depende de la elección de la filtración [13]. Teorema 1.4. Sea 𝐴una 𝐺-álgebra en 𝑛variables. Entonces GKdim(𝐴) = 𝑛. En particular, GKdim(𝐴𝑛)=2𝑛y GKdim(𝐾[𝑥1, ..., 𝑥𝑛]) = 𝑛[1]. 42 aspectos computacionales del polinomio de bernstein-sato de una singularidad y se define el polinomio de Bernstein-Sato o 𝑏-función global, como el generador mónico del ideal formado por los polinomios 𝑏(𝑠)que satisfacen la ecuación anterior para algún 𝑃(𝑠) ∈ 𝐴𝑛[𝑠]. La prueba del resultado de la existencia de dicho polinomio sobre el anillo de polinomios, se prueba principalmente mediante resultados de holonomicidad [13]. Probaremos en la siguiente sección 2.4, que la 𝑏-función global asociada a 𝑓de la definición 2.6 coincide con la definición del generador mónico del ideal formado por los polinomios 𝑏(𝑠)que satisfacen la ecuación funcional de Bernstein-Sato. Es decir, se puede probar que ambas definiciones son equivalentes. 2.2 El ideal de Malgrange y existencia del polinomio de Bernstein-Sato Sea 𝑓∈𝐾[𝑥] ∶= 𝐾[𝑥1, ..., 𝑥𝑛]y sea 𝑠una nueva variable. Consideramos el (𝑛+ 1)- ésima álgebra de Weyl 𝐴𝑛+1 =𝐴𝑛⟨𝑡, 𝜕𝑡⟩con los nuevos generadores 𝑡y𝜕𝑡. Consideramos el anillo conmutativo 𝐾[𝑥, 𝑠]𝑓y el 𝐾[𝑥, 𝑠]𝑓-módulo libre de rango 1, 𝐾[𝑥, 𝑠]𝑓𝑓𝑠 generado por el símbolo 𝑓𝑠. El cual tiene estructura de 𝐴𝑛⟨𝑡, 𝜕𝑡⟩-módulo con las operaciones: 𝑥𝑖⋅𝑝(𝑥, 𝑠)𝑓𝑠∶= 𝑥𝑖𝑝(𝑥, 𝑠)𝑓𝑠, para 1≤𝑖≤𝑛. 𝜕𝑥𝑖⋅𝑝(𝑥, 𝑠)𝑓𝑠=𝜕𝑝 𝜕𝑥𝑖 𝑓𝑠+ (𝑠)𝑝(𝑥, 𝑠)𝜕𝑓 𝜕𝑥𝑖 𝑓𝑠+1, para 1≤𝑖≤𝑛. 𝑡⋅𝑝(𝑥, 𝑠)𝑓𝑠=𝑝(𝑥, 𝑠 + 1)𝑓𝑠+1. 𝜕𝑡⋅𝑝(𝑥, 𝑠)=−𝑠𝑝(𝑥, 𝑠 − 1)𝑓𝑠−1. Para 𝑝∈𝐾[𝑥, 𝑠]y𝑓𝑠+𝑗=𝑓𝑗𝑓𝑠para 𝑗∈ℤ. Es decir, 𝑥𝑖actúa vía multiplicación, 𝜕𝑥𝑖mediante la derivada parcial, 𝑡actúa por 𝑠→ 𝑠+ 1 y𝜕𝑡es el producto por −𝑠y el cambio 𝑠→ 𝑠− 1. Como mencionábamos al comienzo del capítulo 2, en este tema vamos a demostrar el siguiente resultado. Aunque antes de pasar a la prueba, vamos a estudiar ciertas propiedades del ideal de Malgrange, las cuales son fundamentales para que la definición que hemos dado en el tema anterior cobre sentido. 2. 𝑏-función global 43 Teorema 2.4. El polinomio de Bernstein-Sato 𝑏𝑓(𝑠)(o 𝑏-función global) asociado a 𝑓está unívocamente determinado por el polinomio de menor grado en 𝐾[𝑠]que satisface la igualdad 𝑃(𝑠)⋅𝑓𝑠+1 =𝑏(𝑠)𝑓𝑠 Para algún operador 𝑃en el 𝐺-álgebra 𝐴𝑛[𝑠] ∶= 𝐴𝑛⊗ 𝐾[𝑠]. El conjunto de todos los polinomios 𝑏(𝑠) ∈ 𝐾[𝑠]que verifican la ecuación anterior, constituyen un ideal en 𝐾[𝑠]. Como 𝐾[𝑠]es un dominio de ideales principales, entonces dicho ideal estará representado por su generador mónico. Como hemos mencionado, antes de pasar a la prueba del teorema anterior, veamos algunos resultados en relación al ideal de Malgrange, el cual es una de las claves para la construcción de la 𝑏-función global. Observación 2.2.Notar que la ecuación funcional del resultado anterior es equivalente a encontrar el polinomio mónico no nulo que verifica (𝑏𝑓(𝑠) − 𝑃(𝑠)𝑓)⋅𝑓𝑠= 0. Es decir, 𝑏𝑓(𝑠) ∈ Ann𝐴𝑛[𝑠](𝑓𝑠) + ⟨𝑓⟩⊆ 𝐴𝑛[𝑠] = 𝐴𝑛⊗𝐾𝐾[𝑠]. Donde Ann𝐴𝑛[𝑠](𝑓𝑠) ∶= {𝑃(𝑠) ∈ 𝐴𝑛[𝑠]|𝑃(𝑠)⋅𝑓𝑠= 0} Se denomina el ideal anulador 𝑠-paramétrico de 𝑓𝑠. Donde la operación 𝑃(𝑠)⋅𝑓𝑠 es la acción que ya hemos definido al comienzo de este tema para las variables 𝑥y𝜕𝑥, con la nueva acción de 𝑠que actúa simplemente por el producto conmutativo de 𝑠. Definición 2.7. Se define el Ideal de Malgrange asociado a un polinomio 𝑓∈𝐾[𝑥] como el ideal generado por los elementos 𝑡−𝑓y𝜕𝑥𝑖+𝜕𝑓 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑡, para 𝑖= 1, ..., 𝑛 en el (𝑛+ 1)-ésimo álgebra de Weyl 𝐴𝑛⟨𝑡, 𝜕𝑡⟩. Definición 2.8. El ideal anulador de 𝑓𝑠en 𝐴𝑛⟨𝑡, 𝜕𝑡⟩se define por el conjunto Ann𝐴𝑛⟨𝑡,𝜕𝑡⟩∶= {𝑃∈𝐴𝑛⟨𝑡, 𝜕𝑡⟩|𝑃⋅𝑓𝑠= 0} 44 aspectos computacionales del polinomio de bernstein-sato de una singularidad Donde el producto 𝑃⋅𝑓𝑠está determinado por los productos definidos al comienzo de la sección. Observación 2.3.Es fácil comprobar que dicho conjunto es un ideal a la izquierda en 𝐴𝑛⟨𝑡, 𝜕𝑡⟩, ya que 𝑓𝑠∈𝐾[𝑥, 𝑠]𝑓𝑠y𝐾[𝑥, 𝑠]𝑓𝑠es un 𝐴𝑛⟨𝑡, 𝜕𝑡⟩-módulo con las operaciones ya mencionadas. Nuestro objetivo ahora es probar que el ideal de Malgrange 𝐼𝑓coincide con Ann𝐴𝑛⟨𝑡,𝜕𝑡⟩(𝑓𝑠) mediante propiedades importantes que verifica el ideal de Malgrange. Una vez hecho esto, veremos que también hay una relación fuerte entre el ideal anulador 𝑠paramétrico y el ideal de Malgrange, la cual se debe principalmente a cierta aplicación (𝑡𝜕𝑡→ −𝑠− 1) que veremos más adelante. Con todo ello podremos pasar a la prueba del resultado 2.4. Lema 2.1.Sea 𝐼𝑓el ideal de Malgrange asociado a un polinomio 𝑓∈𝐾[𝑥1, ..., 𝑥𝑛]. Es decir, 𝐼𝑓=⟨𝑡−𝑓, 𝜕𝑥1+𝜕𝑓 𝜕𝑥1 𝜕𝑡, ..., 𝜕𝑥𝑛+𝜕𝑓 𝜕𝑥𝑛 𝜕𝑡⟩. Escojamos un orden monomial ≺tal que, lm(𝑡−𝑓) = 𝑡ylm(𝜕𝑥𝑖+𝜕𝑓 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑡) = 𝜕𝑥𝑖.Entonces los generadores del ideal de Malgrange forman, por si mismos, una base de Gröbner del ideal 𝐼𝑓respecto del orden monomial ≺. Demostración. Para probar el resultado, vamos a usar el criterio de Buchberger (𝐺 es base de Gröbner de 𝐼si y sólo si NF (𝑓, 𝐺)=0para todo 𝑓∈𝐼, 1.2). Para ello, usamos el lema 1.4: 𝑆𝑝𝑜𝑙𝑦(𝑡−𝑓, 𝜕𝑥𝑖+𝜕𝑓 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑡)se reduce por 𝐼𝑓a[𝑡−𝑓, 𝜕𝑥𝑖+𝜕𝑓 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑡], y 𝑆𝑝𝑜𝑙𝑦(𝜕𝑥𝑖+𝜕𝑓 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑡, 𝜕𝑥𝑖+𝜕𝑓 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑡)se reduce por 𝐼𝑓a[𝜕𝑥𝑖+𝜕𝑓 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑡, 𝜕𝑥𝑖+𝜕𝑓 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑡]. Donde [𝑡−𝑓, 𝜕𝑥𝑖+𝜕𝑓 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑡] = 𝑡𝜕𝑓 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑡−𝜕𝑓 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑡𝑡−𝑓𝜕𝑥𝑖+𝜕𝑥𝑖𝑓= [𝑡, 𝜕𝑡]𝜕𝑓 𝜕𝑥𝑖 +[𝜕𝑥𝑖, 𝑓] = 𝜕𝑓 𝜕𝑥𝑖 +[𝜕𝑥𝑖, 𝑓]=0 [𝜕𝑥𝑖+𝜕𝑓 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑡, 𝜕𝑥𝑖+𝜕𝑓 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑡] = 𝜕𝑓 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑡𝜕𝑥𝑗−𝜕𝑥𝑗 𝜕𝑓 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑡+𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑓 𝜕𝑥𝑗 𝜕𝑡−𝜕𝑓 𝜕𝑥𝑗 𝜕𝑡𝜕𝑥𝑖= −[𝜕𝑥𝑗,𝜕𝑓 𝜕𝑥𝑖 ]𝜕𝑡+ [𝜕𝑥𝑖,𝜕𝑓 𝜕𝑥𝑖 ]𝜕𝑡= 0. 2. 𝑏-función global 45 Las últimas igualdades a 0, se deben a que en el álgebra de Weyl, si 𝑃∈𝐴𝑛entonces [𝜕𝑥𝑖, 𝑃 ] = 𝜕𝑃 𝜕𝑥𝑖 , (ver Corolario 1.25, [1]). Entonces, por el criterio de Buchberger, que mencionamos antes, se concluye el resultado. Teorema 2.5. El ideal de Malgrange 𝐼𝑓es holónomo en 𝐴𝑛⟨𝑡, 𝜕𝑡⟩. Demostración. Usando el lema anterior, tomamos el orden monomial anterior para que se verifique que los generadores de 𝐼𝑓forman una base de Gröbner. De esta forma, tenemos que 𝐿(𝐼𝑓) = ⟨𝑡, 𝜕𝑥1, ..., 𝜕𝑥𝑛⟩con respecto a dicho orden monomial. Por otro lado, para el cálculo de la dimensión de Gel’fand-Kirillov de 𝐼𝑓usamos el teorema 1.6: GKdim(𝐼𝑓) =GKdim(𝐴𝑛⟨𝑡, 𝜕𝑡⟩∕𝐼𝑓) = dim𝐾(𝐾[𝑥1, ..., 𝑥𝑛, 𝜕𝑥1, ..., 𝜕𝑥𝑛, 𝑡, 𝜕𝑡]∕⟨𝑡, 𝜕𝑥1, ..., 𝜕𝑥𝑛⟩) = dim𝐾(𝐾[𝑥1, ..., 𝑥𝑛, 𝜕𝑡]) = 𝑛+ 1. Por tanto 𝐼𝑓es holónomo en 𝐴𝑛⟨𝑡, 𝜕𝑡⟩. Corolario 2.1.El ideal de Malgrange 𝐼𝑓es un ideal propio. Demostración. Sabemos que 𝐴𝑛y𝐴𝑛+1 =𝐴𝑛⟨𝑡, 𝜕𝑡⟩son ambas 𝐺-álgebras, luego tenemos que GKdim(𝐴𝑛)=2𝑛y que 2(𝑛+ 1) =GKdim(𝐴𝑛⟨𝑡, 𝜕𝑡⟩)(1.4). Por otro lado, usando el resultado anterior (2.5), tenemos que GKdim(𝐼𝑓) = 𝑛+ 1 <2(𝑛+ 1) =GKdim(𝐴𝑛⟨𝑡, 𝜕𝑡⟩). De donde se concluye que sea un ideal propio. Teorema 2.6. El ideal de Malgrange 𝐼𝑓es un ideal maximal (a la izquierda). Demostración. Tomando el orden monomial ≺que tomábamos en el lema 2.1, teníamos que 𝐿(𝐼𝑓) = ⟨𝑡, 𝜕𝑥1, ..., 𝜕𝑥𝑛⟩. Supongamos que 𝐼𝑓no es un ideal maximal. Entonces existe un ideal 𝐽, no trivial, que contiene a 𝐼𝑓. Sea 𝐺una base de Gröbner del ideal 𝐽 respecto del orden monomial ≺tal que contenga entre sus generadores a los elementos de 𝐼𝑓. Es decir, 𝐺=⟨𝐼𝑓⟩∪𝑃, donde 𝑃= {𝑝1, ..., 𝑝𝑚}es un conjunto de elementos nuevos, 𝑚≥1. Sin pérdida de generalidad supongamos que lm(𝑝𝑖) ∈ ⟨𝑥, 𝜕𝑡⟩. Entonces, usando el teorema 1.6 tenemos que GKdim(𝐴𝑛⟨𝑡, 𝜕𝑡⟩∕𝐽) = dim𝐾(𝐾[𝑥, 𝜕𝑥, 𝑡, 𝜕𝑡]∕𝜓(𝐿(𝐺))) = dim𝐾(𝐾[𝑥, 𝜕𝑡]∕𝐿(𝑃)) < dim𝐾(𝐾[𝑥, 𝜕𝑡]) = 𝑛+ 1. Que contradice la desigualdad de Bernstein (1.5). 46 aspectos computacionales del polinomio de bernstein-sato de una singularidad Lema 2.2.El ideal de Malgrange 𝐼𝑓coincide con Ann𝐴𝑛⟨𝑡,𝜕𝑡⟩(𝑓𝑠). Demostración. En primer lugar, tenemos que (𝑡−𝑓)⋅𝑓𝑠=𝑓𝑠+1 −𝑓𝑓𝑠= 0 y (𝜕𝑥𝑖+𝜕𝑓 𝜕𝑥𝑖 )⋅𝑓𝑠=𝑠𝜕𝑓 𝜕𝑥𝑖 𝑓𝑠−1 −𝜕𝑓 𝜕𝑥𝑖 𝑠𝑓𝑠−1 = 0. Por lo que 𝐼𝑓⊆Ann𝐴𝑛⟨𝑡,𝜕𝑡⟩(𝑓𝑠). Como 1⋅𝑓𝑠≠0, Ann𝐴𝑛⟨𝑡,𝜕𝑡⟩es un ideal propio. Por lo que usando que 𝐼𝑓es maximal 2.6, concluimos que debe ser 𝐼𝑓=Ann𝐴𝑛⟨𝑡,𝜕𝑡⟩(𝑓𝑠). Teorema 2.7. El anulador 𝑠-paramétrico, Ann𝐴𝑛[𝑠](𝑓𝑠)coincide con (𝐼𝑓∩𝐴𝑛[𝑡𝜕𝑡])|𝑡𝜕𝑡=−𝑠−1 . Donde 𝐼𝑓denota el ideal de Malgrange de la definición 2.7 y 𝐴𝑛[𝑡𝜕𝑡]es una subálgebra de 𝐴𝑛⟨𝑡, 𝜕𝑡⟩. Demostración. Consideramos el isomorfismo entre 𝐾-álgebras 𝐴𝑛[𝑠]y𝐴𝑛[𝑡𝜕𝑡]definido por 𝑠→ −𝑡𝜕𝑡− 1 (transformación de Mellin). Usando las operaciones que vimos al principio de la sección, tenemos que en el subálgebra 𝐴𝑛[𝑡𝜕𝑡] 𝑡𝜕𝑡⋅𝑔(𝑥, 𝑠)𝑓𝑗+𝑠=𝑡⋅(−𝑠𝑔(𝑥, 𝑠 − 1)𝑓𝑠+𝑗−1) = −(𝑠+ 1)𝑔(𝑥, 𝑠)𝑓𝑠+𝑗 Por tanto, (−𝑡𝜕𝑡− 1) ⋅𝑔(𝑥, 𝑠)𝑓𝑠+𝑗= (𝑠+ 1)𝑔(𝑥, 𝑠)𝑓𝑠+𝑗−𝑔(𝑥, 𝑠)𝑓𝑠+𝑗=𝑠𝑔(𝑥, 𝑠)𝑓𝑠+𝑗. Luego, la operación en 𝐴𝑛[𝑡𝜕𝑡]es compatible con la definida sobre 𝐴𝑛[𝑠]y aplicando el inverso del isomorfismo anterior de la forma 𝑡𝜕𝑡→ −𝑠− 1, junto con que el ideal de Malgrange 𝐼𝑓coincide con el ideal Ann𝐴𝑛⟨𝑡,𝜕𝑡⟩(𝑓𝑠), a la siguiente ecuación Ann𝐴𝑛[𝑡𝜕𝑡](𝑓𝑠) = Ann𝐴𝑛⟨𝑡,𝜕𝑡⟩(𝑓𝑠) ∩ 𝐴𝑛[𝑡𝜕𝑡] = 𝐼𝑓∩𝐴𝑛[𝑡𝜕𝑡], concluimos que Ann𝐴𝑛[𝑠](𝑓𝑠)=(𝐼𝑓∩𝐴𝑛[𝑡𝜕𝑡])|𝑡𝜕𝑡=−𝑠−1 Por último, antes de pasar con la prueba del teorema 2.4, vamos a estudiar un resultado relacionado con las operaciones dentro del álgebra de Weyl entre sus operadores para hacer más clara la prueba de dicho resultado. Proposición 2.1.[1] Sea 𝐴𝑛y sea 𝜃𝑖∶= 𝑥𝑖𝜕𝑥𝑖para cualquier 𝑖= 1, ..., 𝑛. Entonces para cualquier 𝑚∈ℕ, tenemos la igualdad 2. 𝑏-función global 47 𝑥𝑚 𝑖𝜕𝑚 𝑥𝑖= 𝑚−1 ∏ 𝑘=0 (𝜃𝑖−𝑘) Demostración. Prueba del teorema 2.4: Siguiendo la observación 2.2, tenemos que la ecuación del enunciado es equivalente a que (𝑏𝑓(𝑠) − 𝑃(𝑠)𝑓)⋅𝑓𝑠= 0. Es decir, 𝑏𝑓(𝑠)− 𝑃(𝑠)𝑓∈Ann𝐴𝑛[𝑠](𝑓𝑠), para algún operador 𝑃(𝑠) ∈ 𝐴𝑛[𝑠]. Ahora bien, si usamos la equivalencia del teorema 2.7, tenemos que 𝑏𝑓(−𝑡𝜕𝑡− 1) − 𝑃(−𝑡𝜕𝑡− 1)𝑓∈𝐼𝑓. Donde la notación 𝑃(−𝑡𝜕𝑡− 1) es simplemente 𝑃|𝑠=−𝑡𝜕𝑡−1 . Como además tenemos que 𝑡−𝑓∈𝐼𝑓y, por lo tanto, −(𝑡−𝑓) ∈ 𝐼𝑓, se sigue que 𝑏𝑓(−𝑡𝜕𝑡− 1) − 𝑃(−𝑡𝜕𝑡− 1)𝑓+𝑃(−𝑡𝜕𝑡− 1)(−𝑡+𝑓) = 𝑏𝑓(−𝑡𝜕𝑡− 1) − 𝑃(−𝑡𝜕𝑡− 1)𝑡∈𝐼𝑓, lo cual implica, por la definición del ideal inicial, que in(−𝑤,𝑤)(𝑏𝑓(−𝑡𝜕𝑡− 1) − 𝑃(−𝑡𝜕𝑡− 1)𝑡) ∈ in(−𝑤,𝑤)(𝐼𝑓), para 𝑤= (1,0, ..., 0) ∈ ℕ𝑛+1. Por tanto, como deg(−𝑤,𝑤)((𝑡𝜕𝑡)𝑘)=−𝑘+𝑘= 0 para cualquier 𝑘∈ℤ, tenemos que 0 = deg(−𝑤,𝑤)(𝑏𝑓(−𝑡𝜕𝑡− 1)) = deg(−𝑤,𝑤)(𝑃(−𝑡𝜕𝑡− 1)) >deg(−𝑤,𝑤)(𝑃(−𝑡𝜕𝑡− 1)𝑡) = −1. Esta última igualdad se tiene de que deg(−𝑤,𝑤)(𝑃(−𝑡𝜕𝑡− 1) ⋅𝑡) = deg(−𝑤,𝑤)(𝑃(−𝑡𝜕𝑡− 1)) + deg(−𝑤,𝑤)(𝑡) = −1. Luego concluimos que 𝑏𝑓(−𝑡𝜕𝑡− 1) ∈in(−𝑤,𝑤)(𝐼𝑓) ∩ 𝐾[𝑡𝜕𝑡]. Es decir, 𝑏𝑓(𝑠)es un múltiplo del polinomio de la 𝑏-función asociada a 𝑓2.6. Por otro lado, si 𝑏𝑓(𝑠)es un múltiplo de la 𝑏-función global asociada a 𝑓, entonces 𝑏𝑓(−𝑡𝜕𝑡− 1) ∈in(−𝑤,𝑤)(𝐼𝑓) ∩ 𝐾[𝑡𝜕𝑡],𝑤= (1,0, ..., 0) ∈ ℕ𝑛+1, por definición (2.6). Entonces existe algún 𝑃∈𝐴𝑛⟨𝑡, 𝜕𝑡⟩tal que 𝑏𝑓(−𝑡𝜕𝑡− 1) + 𝑃∈𝐼𝑓e in(−𝑤,𝑤)(𝑏𝑓(−𝑡𝜕𝑡− 1) + 𝑃) = 𝑏𝑓(−𝑡𝜕𝑡− 1). Ahora bien, como deg(−𝑤,𝑤)(𝑏𝑓(−𝑡𝜕𝑡− 1)) = 0, esto quiere decir que 𝑡divide a cada monomio de 𝑃, ya que en caso contrario deg(−𝑤,𝑤)(𝑃)≥ 48 aspectos computacionales del polinomio de bernstein-sato de una singularidad deg(−𝑤,𝑤)(𝑏𝑓(−𝑡𝜕𝑡− 1)), lo que contradice que la forma inicial sea la anterior. Dicho de otra forma, cualquier monomio de 𝑃que sea divisible por 𝜕𝑙 𝑡para algún 𝑙∈ℕ, entonces es divisible por 𝑡𝑘para cierto 𝑙+1 ≤𝑘∈ℕ. Entonces sacando factor común 𝑡, podemos escribir 𝑃de la forma 𝑃=(∑ 𝛼,𝛽,𝑘,𝑙 𝑐𝛼𝛽𝑘𝑙𝑥𝛼𝜕𝛽 𝑥𝑡𝑘𝜕𝑙 𝑡)𝑡=(∑ 𝛼,𝛽,𝑘,𝑙 𝑐𝛼𝛽𝑘𝑙𝑥𝛼𝜕𝛽 𝑥𝑡𝑘−𝑙𝑡𝑙𝜕𝑙 𝑡)𝑡=∗ (∑ 𝛼,𝛽,𝑘,𝑙 𝑐𝛼𝛽𝑘𝑙𝑥𝛼𝜕𝛽 𝑥𝑡𝑘−𝑙(𝑙−1 ∏ 𝑘=0 (𝑡𝜕𝑡−𝑘)))𝑡. Donde en (=∗)hemos usado la proposición anterior (prop. 2.1) tomando 𝜃𝑡=𝑡𝜕𝑡. Por otro lado, como 𝑡−𝑓∈𝐼𝑓=Ann𝐴𝑛⟨𝑡,𝜕𝑡⟩(𝑓𝑠)(2.2), haciendo este cálculo en 𝐴𝑛⟨𝑡, 𝜕𝑡⟩∕Ann𝐴𝑛⟨𝑡,𝜕𝑡⟩(𝑓𝑠), podemos tomar 𝑡=𝑓(como clases de equivalencia). Por tanto se tiene que 0+(Ann𝐴𝑛⟨𝑡,𝜕𝑡⟩(𝑓𝑠)) = (𝑏𝑓(−𝑡𝜕𝑡− 1) + 𝑃)+(Ann𝐴𝑛⟨𝑡,𝜕𝑡⟩(𝑓𝑠)) = (𝑏𝑓(−𝑡𝜕𝑡− 1) + (∑ 𝛼,𝛽,𝑘,𝑙 𝑐𝛼𝛽𝑘𝑙𝑥𝛼𝜕𝛽 𝑥𝑓𝑘−𝑙(𝑙−1 ∏ 𝑖=0 (𝑡𝜕𝑡−𝑖)))𝑓)+(Ann𝐴𝑛⟨𝑡,𝜕𝑡⟩(𝑓𝑠)) El representante de la última clase de equivalencia anterior es, en particular, un elemento de 𝐴𝑛[𝑡𝜕𝑡]y𝑘−𝑙 > 0en cualquier término no nulo. Aplicando ahora el isomorfismo 𝑡𝜕𝑡→ −𝑠− 1, tenemos que 0+(Ann𝐴𝑛[𝑠](𝑓𝑠)) = (𝑏𝑓(𝑠) + (∑ 𝛼,𝛽,𝑘,𝑙 𝑐𝛼𝛽𝑘𝑙𝑥𝛼𝜕𝛽 𝑥𝑓𝑘−𝑙(𝑙−1 ∏ 𝑖=0 (−𝑠−1−𝑖)))𝑓)+ (Ann𝐴𝑛[𝑠](𝑓𝑠)). Donde aquí hemos usado el teorema 2.7. Tomando entonces 𝑃∶= − ∑ 𝛼,𝛽,𝑘,𝑙 𝑐𝛼𝛽𝑘𝑙𝑥𝛼𝜕𝛽 𝑥𝑓𝑘−𝑙(𝑙−1 ∏ 𝑖=0 (−𝑠−1−𝑖)), tenemos que se verifica 𝑏𝑓(𝑠) − 𝑃⋅𝑓∈Ann𝐴𝑛[𝑠](𝑓𝑠). La razón por la que se sustituye 𝑠por −𝑠− 1 en la definición del polinomio de Bernstein-Sato o 𝑏-función global toma más sentido ahora, simplemente es por el isomorfismo 𝑡𝜕𝑡→ −𝑠− 1 donde, por definición, la 𝑠“sería” el −𝑡𝜕𝑡. 2. 𝑏-función global 49 2.3 Ideales de Bernstein-Sato En esta sección vamos a generalizar el caso de la 𝑏-función global asociada a un único polinomio 𝑓, al caso de tomar un número finito de polinomios 𝑓1, ..., 𝑓𝑞∈ 𝐾[𝑥1, ..., 𝑥𝑛]. Sea entonces 𝑞≥1entero y las nuevas variables 𝑠∶= (𝑠1, ..., 𝑠𝑞). Sea 𝐴𝑛[𝑠]el 𝐺-álgebra definida por 𝐴𝑛[𝑠] ∶= 𝐴𝑛⊗𝐾𝐾[𝑠1, ..., 𝑠𝑞], que es, básicamente 𝐾⟨𝑠, 𝑥, 𝜕𝑥∶𝑄′ 𝑊⟩, donde las relaciones 𝑄′ 𝑊vienen definidas por: 𝑄′ 𝑊=𝑄𝑊∪ {𝑠𝑗𝑠𝑖=𝑠𝑖𝑠𝑗, 𝑠𝑖𝑥𝑙=𝑥𝑙𝑠𝑖, 𝑠𝑖𝜕𝑙=𝜕𝑙𝑠𝑖|1≤𝑖≤𝑗≤𝑞, 1≤𝑙≤𝑛}. Y donde 𝑄𝑊son las relaciones ya vistas entre las variables del álgebra de Weyl 𝐴𝑛. Sean 𝑓1, ..., 𝑓𝑞∈𝐾[𝑥1, ..., 𝑥𝑛]polinomios no nulos. Vamos a denotar 𝐹∶= 𝑓1⋯𝑓𝑞 y por 𝐹𝑠∶= 𝑓𝑠1 1⋯𝑓𝑠𝑞 𝑞. Al igual que hacíamos en el caso 𝑞= 1, consideramos el 𝐾[𝑠, 𝑥1, ..., 𝑥𝑛]𝐹-módulo, 𝐾[𝑠, 𝑥1, ..., 𝑥𝑛]𝐹𝐹𝑠, libre de rango 1, generado por 𝐹𝑠. Que tiene estructura de 𝐴𝑛[𝑠]-módulo definida de forma natural por: 𝜕𝑥𝑖⋅(𝑔𝐹 𝑠) = (𝜕𝑔 𝜕𝑥𝑖 +𝑔 𝑞 ∑ 𝑗=1 𝑠𝑗 𝜕𝑓𝑗 𝜕𝑥𝑖 𝑓−1 𝑗)𝐹𝑠, para todo 𝑖= 1, ..., 𝑛 y𝑔∈𝐾[𝑠, 𝑥1, ..., 𝑥𝑛]𝐹. Definición 2.9. Sean 𝑓1, ..., 𝑓𝑞∈𝐾[𝑥1, ..., 𝑥𝑛]⧵{0}. El ideal generado por los polinomios 𝑏(𝑠) ∈ 𝐾[𝑠], para los cuales existe un operador diferencial 𝑃(𝑠) ∈ 𝐴𝑛[𝑠]satisfaciendo la igualdad 𝑏(𝑠)𝐹𝑠=𝑃(𝑠)𝐹 𝐹 𝑠, se denomina el ideal de Bernstein-Sato asociado a 𝑓1, ..., 𝑓𝑞. que denotaremos por 𝐼𝐵. Igualmente, se definen los otros ideales de Bernstein-Sato 𝐼𝐵𝑗y𝐼∑de la forma 𝐼𝐵𝑗= {𝑏(𝑠) ∈ 𝐾[𝑠]|𝑏(𝑠)𝐹𝑠∈𝐴𝑛[𝑠]𝑓𝑗𝐹𝑠}, para 1≤𝑗≤𝑞y 𝐼∑= {𝑏(𝑠) ∈ 𝐾[𝑠]|𝑏(𝑠)𝐹𝑠∈ 𝑞 ∑ 𝑘=1 𝐴𝑛[𝑠]𝑓𝑘𝐹𝑠}. La prueba de que 𝐼𝐵≠0para 𝑞= 1 es el teorema de la existencia del polinomio de Bernstein-Sato, el cual ya hemos probado y se puede extender de manera sencilla para un 𝑞 > 1. Tendríamos por tanto el siguiente resultado. 50 aspectos computacionales del polinomio de bernstein-sato de una singularidad Teorema 2.8. [40] Sean 𝑓1, ..., 𝑓𝑞∈𝐾[𝑥1, ..., 𝑥𝑛], para 𝑞 > 1. Entonces 𝐼𝐵≠0. Al igual que en el tema anterior se puede probar dicho resultado con la construcción del ideal de Malgrange asociado a 𝐹=𝑓1⋯𝑓𝑞. Sean las nuevas variables = (𝑡1, ..., 𝑡𝑞)y consideremos 𝐴𝑛⟨𝑡, 𝜕𝑡⟩el (𝑛+𝑞)-ésimo álgebra de Weyl. Definición 2.10. Definimos, de igual forma que en la sección anterior, el ideal de Malgrange asociado a 𝐹, que denotaremos por 𝐼𝐹, como el ideal generado por los operadores 𝑡𝑗−𝑓𝑗, para 𝑗= 1, ..., 𝑞 y𝜕𝑥𝑖+ 𝑞 ∑ 𝑘=1 𝜕𝑓𝑘 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑡𝑘, para 𝑖= 1, ..., 𝑛. Entonces se pueden generalizar los mismos resultados que hemos probado para 𝑞= 1, y calcular el ideal anulador 𝑠-paramétrico de 𝐹𝑠de la forma Ann𝐴𝑛[𝑠](𝐹𝑠)=(𝐼𝐹∩𝐴𝑛[𝑡1𝜕𝑡1, ..., 𝑡𝑞𝜕𝑡𝑞])|𝑡𝑗𝜕𝑡𝑗=−𝑠𝑗−1 . Como podemos observar, para el cálculo de la 𝑏-función y de los ideales de Bernstein- Sato mediante este método, es imprescindible el cálculo del ideal anulador 𝑠-paramétrico de 𝑓𝑠(resp. 𝐹𝑠). 2.4 El ideal anulador 𝑠-paramétrico Los dos algoritmos que vamos a estudiar para el cálculo del ideal anulador 𝑠-paramétrico asociado a 𝐹van a ser, el algoritmo de Oaku y Takayama [32], y el algoritmo de Briançon y Maisonobe [8]. Posterior a estos algoritmos, procederemos a estudiar brevemente la complejidad de los mismos. 2.4.1 Oaku y Takayama El algoritmo de Oaku y Takayama ( [34], [35], [37]) utiliza homogeneización en el álgebra de Weyl (para más detalle ver [12]). Con la notación 𝑡= (𝑡1, ..., 𝑡𝑞),𝜕𝑡= (𝜕𝑡1, ..., 𝜕𝑡𝑞)y𝐴𝑛+𝑞∶= 𝐴𝑛⊗𝐾𝐴𝑞(𝐾[𝑡1, ..., 𝑡𝑞]), Consideramos 𝐴𝑛⊗ 𝐾[𝑡1𝜕𝑡1, ..., 𝑡𝑞𝜕𝑡𝑞] = 2. 𝑏-función global 51 𝐾⟨𝑥, 𝜕𝑥⟩[𝑡1𝜕𝑡1, ..., 𝑡𝑛𝜕𝑡𝑛]⊂ 𝐴𝑛+𝑞. El algoritmo basa todos sus cálculos sobre el álgebra de Weyl. Se toma el ideal de Malgrange que definimos anteriormente como: 𝐼′ 𝐹=⟨{𝑡𝑗−𝑓𝑗, 𝑞 ∑ 𝑘=1 𝜕𝑓𝑘 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑡𝑘+𝜕𝑥𝑖|𝑖= 1, ..., 𝑛,𝑗= 1, ..., 𝑘}⟩ Y se aplican los siguientes pasos: 1) Se calcula 𝐽′=𝐼′ 𝐹∩𝐾[𝑡1𝜕𝑡1, ..., 𝑡𝑛𝜕𝑡𝑛]⟨𝑥, 𝜕𝑥⟩. 2) Se toma 𝐽′′ =Ann𝐴𝑛[𝑠](𝐹𝑠), donde 𝐽′′ denota el ideal generado por los generadores de 𝐽′después de reemplazar 𝑡𝑖𝜕𝑡𝑖 → −𝑠𝑖− 1. 3) Se calcula 𝐵= (⟨𝐺⟩∩⟨𝑓1, ..., 𝑓𝑞⟩) ∩ 𝐾[𝑠], donde 𝐺es una base de Gröbner de 𝐽′′ con respecto a un orden de eliminación para {𝑥𝑖}∪{𝜕𝑥𝑖}. Para el cálculo de 𝐼′ 𝐹∩𝐾[𝑡1𝜕𝑡1, ..., 𝑡𝑞𝜕𝑡𝑞]⟨𝑥, 𝜕𝑥⟩se introducen unas nuevas variables conmutativas 𝑢𝑗, 𝑣𝑗para 1≤𝑗≤𝑞es decir, se consideran 2𝑛+ 4𝑞variables en total. Entonces el cálculo de dicha intersección se realiza mediante la eliminación de estas nuevas variables del siguiente ideal sobre 𝐻∶= 𝐴𝑛+𝑞⊗ 𝐾[𝑢1, ..., 𝑢𝑞, 𝑣1, ..., 𝑣𝑞]. 𝐼𝐹(𝑢,𝑣)=⟨{𝑡𝑗−𝑢𝑗𝑓𝑗, 𝜕𝑥𝑖+ 𝑞 ∑ 𝑘=1 𝜕𝑓𝑘 𝜕𝑥𝑖 𝑢𝑘𝜕𝑡𝑘,1 − 𝑢𝑗𝑣𝑗|𝑗= 1, ..., 𝑞,𝑖= 1, ..., 𝑛}⟩. De esta forma, si fijamos un 𝑗con 1≤𝑗≤𝑞, tenemos que los generadores del ideal de Malgrange 𝐼′ 𝐹son homogéneos con respecto de los siguientes pesos: 𝑥𝑖, 𝜕𝑥𝑖(𝑖= 1, ..., 𝑛)peso 0, 𝑡𝑗, 𝜕𝑡𝑗pesos -1,1 respectivamente, 𝑢𝑗, 𝑣𝑗pesos -1,1 respectivamente, 𝑡𝑘, 𝜕𝑡𝑘, 𝑢𝑘, 𝑣𝑘(𝑘≠𝑗)peso 0. Algoritmo 2.2. [35] sAnnOT(𝑓1, ..., 𝑓𝑞, ≺𝑢,𝑣) Input: 𝑓1, ..., 𝑓𝑞∈𝐾[𝑥1, ..., 𝑥𝑛],≺𝑢,𝑣 un orden monomial de eliminación para las variables 𝑢= (𝑢1, ..., 𝑢𝑞)y𝑣= (𝑣1, ..., 𝑣𝑞)sobre 𝐴𝑛[𝑢, 𝑣] = 𝐴𝑛⊗𝐾𝐾[𝑢1, ..., 𝑢𝑞, 𝑣1, ..., 𝑣𝑞]. Output: Un conjunto generador de Ann𝐴𝑛[𝑠](𝑓𝑠). BEGIN 𝐼←⟨{𝑡𝑗−𝑢𝑗𝑓𝑗, 𝜕𝑥𝑖+ 𝑞 ∑ 𝑘=1 𝜕𝑓𝑘 𝜕𝑥𝑖 𝑢𝑘𝜕𝑥𝑘,1 − 𝑢𝑗𝑣𝑗|𝑖= 1, ..., 𝑛,𝑗= 1, ..., 𝑞}⟩ 𝐺←GB(𝐼, ≺𝑢,𝑣) 58 aspectos computacionales del polinomio de bernstein-sato de una singularidad 𝑏𝑓(𝑠) ∈Ann𝐴𝑛[𝑠](𝑓𝑠) + ⟨𝑓⟩se tiene directamente de lo primero. (2). La ecuación funcional de Bernstein-Sato (2.4) nos asegura que 𝑃⋅𝑓𝑠+1 = 𝑏𝑓(𝑠)𝑓𝑠≠0, por tanto 𝑃∉Ann𝐴𝑛[𝑠](𝑓𝑠+1). (3). Usando de nuevo la ecuación funcional del teorema 2.4 y que 𝑏𝑓(𝑠)=(𝑠+ 1)𝑏′ 𝑓(𝑠)(2.4), tenemos que 𝑃⋅𝑓𝑠+1 =𝑏𝑓(𝑠)𝑓𝑠= (𝑠+ 1)𝑏′ 𝑓(𝑠)𝑓𝑠 𝜕𝑓 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑓 𝜕𝑥𝑖 = (𝜕𝑥𝑖⋅𝑓𝑠+1)𝑏′ 𝑓(𝑠)1 𝜕𝑓 𝜕𝑥𝑖 . Luego, 𝜕𝑓 𝜕𝑥𝑖 𝑃⋅𝑓𝑠+1 =𝑏′ 𝑓(𝑠)𝜕𝑥𝑖⋅𝑓𝑠+1 y por tanto, 𝜕𝑓 𝜕𝑥𝑖 𝑃−𝑏′ 𝑓(𝑠)𝜕𝑥𝑖∈Ann𝐴𝑛[𝑠](𝑓𝑠+1). Observación 2.4.Podemos observar del punto (1) del corolario 2.2 y de la propia definición de la 𝑏-función global 2.6 que 𝑏𝑓(𝑠)está en (Ann𝐴𝑛[𝑠](𝑓𝑠)+⟨𝑓⟩)∩𝐾[𝑠]. Es más, como 𝐾[𝑠]es un dominio de ideales principales, el ideal generado por los elementos que están en dicha intersección, (verificando la ecuación funcional), que fácilmente se puede comprobar que forman un ideal, tiene un único generador mónico. Este generador mónico es la 𝑏-función global asociada a 𝑓y usualmente se suele definir de esta forma en vez de en la forma que se ha definido en 2.6. Gracias a todo esto, vamos a poder calcular de manera algorítmica la 𝑏-función asociada a un polinomio (resp. a un conjunto de polinomios) realizando los siguientes pasos: 1. Calcular una base de Gröbner 𝐺de Ann𝐴𝑛[𝑠](𝑓𝑠) + ⟨𝑓⟩, mediante los algoritmos ya conocidos 2.4. 2. Calcular la intersección de 𝐺con el subálgebra 𝐾[𝑠]. El primer paso, que se basa en el cálculo del ideal anulador 𝑠-paramétrico asociado a 𝑓, ya lo hemos estudiado en el tema anterior. Falta entonces estudiar el problema de la intersección de un ideal a la izquierda con una subálgebra. Supongamos que 𝐴es un 𝐾-álgebra asociativa. Nuestro objetivo es, dado un ideal a la izquierda 𝐽 ⊂ 𝐴, calcular la intersección de 𝐽con el subálgebra 𝐾[𝑠], donde 𝑠va a ser un elemento de 𝐴⧵𝐾. Básicamente, buscamos el polinomio mónico 𝑏∈𝐴tal que ⟨𝑏⟩=𝐽∩𝐾[𝑠]. 2. 𝑏-función global 59 Supondremos también que siempre existe un orden monomial sobre 𝐴tal que 𝐽tiene una base de Gröbner 𝐺. De esta forma, pueden ocasionarse diferentes situaciones: 1. Ningún elemento de lm(𝐺)divide a lm(𝑠𝑘), para cualquier 𝑘∈ℕ. 2. Existe un elemento en 𝐺cuyo monomio líder divide a lm(𝑠𝑘), para algún 𝑘∈ℕ. En estas condiciones, tenemos las siguientes posibles situaciones. 2.1. 𝐽⋅𝑠⊂𝐽ydim𝐾(End𝐴(𝐴∕𝐼)) <∞. 2.2. No se tiene alguna de las dos condiciones de 2.1. 2.2.1. La intersección es cero. 2.2.2. La intersección no es cero. Estudiemos primero el caso 1. Lema 2.5.Si no existe 𝑔∈𝐺tal que lm(𝑔)divida a lm(𝑠𝑘)para cualquier 𝑘∈ℕ, entonces 𝐽∩𝐾[𝑠] = {0}. Demostración. Supongamos que tenemos 0≠𝑏∈𝐽∩𝐾[𝑠]. Entonces lm(𝑏) = lm(𝑠𝑘) para algún 𝑘∈ℕ. Como 𝑏∈𝐽, existe un 𝑔∈𝐺tal que lm(𝑔)divide a lm(𝑏) = lm(𝑠𝑘). En la segunda situación, no podemos decir si la intersección es nula o no. Para entender esto, veamos el siguiente ejemplo. Ejemplo: Consideremos 𝐾[𝑥, 𝑦]y𝐽=⟨𝑦2+𝑥⟩. Entonces 𝐽∩𝐾[𝑦] = {0}, mientras que {𝑦2+𝑥}es una base de Gröbner de 𝐽para cualquier orden monomial, y por tanto, tomando un orden monomial que verifique 𝑦 >> 𝑥, tenemos que lm(𝑦2+𝑥) = 𝑦2que divide a 𝑦𝑘para cualquier 𝑘≥2par. Lema 2.6.Si tenemos 𝐽⋅𝑠⊂𝐽ydim𝐾(End𝐴(𝐴∕𝐽)) <∞. Entonces 𝐽∩𝐾[𝑠]≠{0}. Demostración. Consideremos la aplicación producto a a la derecha con 𝑠como aplicación, (⋅𝑠) ∶ 𝐴∕𝐽→𝐴∕𝐽, que es un endomorfismo de 𝐴-módulos bien definido en 𝐴∕𝐽, ya que si 𝑎−𝑎′∈𝐽, entonces (𝑎−𝑎′)𝑠∈𝐽⋅𝑠⊂𝐽, por hipótesis para cualesquiera 𝑎, 𝑎′∈𝐴. Como End𝐴(𝐴∕𝐽)tiene dimensión finita, entonces el álgebra lineal nos asegura que existe un polinomio mínimo 𝜇asociado a dicho endomorfismo. Es más 𝜇es el generador mónico de 𝐽∩𝐾[𝑠], ya que, como es polinomio mínimo asociado a dicho endomorfismo se tiene que 𝜇(𝑠)=0en 𝐴∕𝐽y por tanto 𝜇(𝑠) ∈ 𝐽∩𝐾[𝑠], y además deg(𝜇)es mínimo por definición. Observación 2.5.En el caso en que 𝐴sea el álgebra de Weyl, se conoce que si 𝐴∕𝐽 es un 𝐴𝑛-módulo holónomo, entonces se tiene que dim𝐾(End𝐴(𝐴∕𝐽)) <∞. De esta forma, hemos reducido el problema de calcular la intersección de un ideal con una subálgebra generada por un elemento a un problema de álgebra lineal, el 60 aspectos computacionales del polinomio de bernstein-sato de una singularidad problema de encontrar el polinomio mínimo de un endomorfismo. el siguiente algoritmo calcula la intersección de un ideal a la izquierda 𝐽 ⊂ 𝐴 con 𝐾[𝑠]para un elemento 𝑠∈𝐴, basándose en el problema de encontrar el polinomio mínimo del endomorfismo (⋅𝑠). Algoritmo 2.4. PrincipalIntersect(𝑠, 𝐽) Input: 𝑠∈𝐴,𝐽 ⊂ 𝐴 un ideal a la izquierda tal que 𝐽∩𝐾[𝑠]≠{0}. Output: 𝑏∈𝐾[𝑠]el generador mónico de la intersección 𝐽∩𝐾[𝑠]. BEGIN 𝐺←GB(𝐽)(asumiendo que existe) 𝑖←1 if existen 𝑎0, ..., 𝑎𝑖−1 ∈𝐾tal que NF (𝑠𝑖, 𝐺) + 𝑖−1 ∑ 𝑗=0 𝑎𝑗NF (𝑠𝑗, 𝐺)=0 then return 𝑏←𝑠𝑖+ 𝑖−1 ∑ 𝑗=0 𝑎𝑗𝑠𝑗 else 𝑖←𝑖+ 1 end-if END Notar que NF (𝑠𝑖, 𝐺) + 𝑖−1 ∑ 𝑗=0 𝑎𝑗NF (𝑠𝑗, 𝐺)=0 es equivalente a que 𝑠+ 𝑖−1 ∑ 𝑗=0 𝑎𝑗𝑠𝑗∈𝐽, el algoritmo busca un polinomio mónico en 𝐾[𝑠]que también esté en 𝐽. Podemos observar que este proceso de búsqueda se realiza aumentando de uno en uno el grado a través de las potencias de 𝑠hasta encontrar la dependencia lineal. De esta forma, se asegura que el algoritmo devuelva el polinomio de grado mínimo. Desde el principio se ha supuesto que 𝐽∩𝐾[𝑠]≠{0}, ya que, en caso contrario, este algoritmo no termina. Este algoritmo ha sido implementado en la librería "bfun.lib" de Singular por Daniel Andrés y Viktor Levandovskyy [3] mediante el procedure pIntersect(poly s, ideal I, list #). Su función es calcular la intersección del ideal 𝐼con la subálgebra 𝐾[𝑠], donde 𝑠es un polinomio. Por otro lado, por defecto, la lista #=∅, pero en caso contrario, si se dá un 𝑚 > 0en la lista, entonces se busca el generador mónico de dicha intersección con a lo sumo grado 𝑚. Esto está bien definido ya que como comentábamos antes, el algoritmo va de menos a más, aumentando el grado del posible generador mónico, por tanto ese 𝑚dado sería 2. 𝑏-función global 61 la cota superior del mismo. Ahora que se ha estudiado el problema de la intersección, se puede construir un algoritmo para el cálculo del polinomio de Bernstein-Sato, a través del cálculo del ideal anulador 𝑠-paramétrico como se comentó en 2.4. Algoritmo 2.5. bfctAnn(𝑓, ≺𝜕𝑡, ≺𝑠) Input: 𝑓∈𝐾[𝑥1, ..., 𝑥𝑛],≺𝜕𝑡orden de eliminación para las variables de 𝜕𝑡,≺𝑠orden de eliminación para las variables de 𝑠. Output: El polinomio de Bernstein-Sato 𝑏𝑓(𝑠) ∈ 𝐾[𝑠]asociado a 𝑓. BEGIN 𝐼←sAnnfsBM(𝑓, ≺𝜕𝑡) 𝐺←GB(𝐼+⟨𝑓⟩, ≺𝑠) 𝑏𝑓(𝑠)←PrincipalIntersect(𝑠, 𝐺) return 𝑏𝑓(𝑠) END Debido al corolario 2.2(1) y a la definición del polinomio de Bernstein-Sato, tenemos que 𝑏𝑓(𝑠)es un elemento de ⟨𝐺⟩∩𝐾[𝑠]. Por otro lado, el algoritmo PrincipalIntersect devuelve el polinomio mínimo de dicha intersección, el cual sabemos que coincide con el ideal de Bernstein-Sato (2.4). Por lo tanto, este algoritmo termina y devuelve el polinomio de Bernstein-Sato asociado a 𝑓. Este algoritmo se puede mejorar considerando las derivadas parciales de 𝑓respecto de las variables 𝑥1, ..., 𝑥𝑛. Es decir, añadiendo las derivadas parciales de 𝑓a Ann𝐴𝑛[𝑠](𝑓𝑠)+ ⟨𝑓, ⟩. Este resultado es conocido y su demostración se puede encontrar en [1]. Lema 2.7.Sea 𝑓∈𝐾[𝑥1, ..., 𝑥𝑛]. Entonces se tienen los siguientes resultados: (1). Tenemos que 𝑓𝜕𝑥𝑖−𝑠𝜕𝑓 𝜕𝑥𝑖 ∈Ann𝐴𝑛[𝑠](𝑓𝑠)para todo 1≤𝑖≤𝑛. (2). (Ann𝐴𝑛[𝑠](𝑓𝑠) + ⟨𝑓, 𝜕𝑓 𝜕𝑥𝑖 , ..., 𝜕𝑓 𝜕𝑥𝑛⟩)∩𝐾[𝑠] = ⟨𝑏𝑓(𝑠) 𝑠+1 ⟩. Volviendo al caso en el que tenemos 𝑓1, ..., 𝑓𝑞∈𝐾[𝑥1, ..., 𝑥𝑛]⧵{0}, podemos generalizar los resultados obtenidos hasta ahora para el caso 𝑞= 1, y por tanto, podemos escribir los ideales de Bernstein-Sato estudiados en (2.3) de la forma: 𝐼𝐵=(Ann𝐴𝑛[𝑠](𝐹𝑠) + ⟨𝑓1𝑓2⋯𝑓𝑞⟩) ∩ ℂ[𝑠], 𝐼𝐵𝑗=(Ann𝐴𝑛[𝑠](𝐹𝑠) + ⟨𝑓𝑗⟩) ∩ ℂ[𝑠], 𝐼𝐵∑=(Ann𝐴𝑛[𝑠](𝐹𝑠) + ⟨𝑓1, 𝑓2, ..., 𝑓𝑞⟩) ∩ ℂ[𝑠]. 62 aspectos computacionales del polinomio de bernstein-sato de una singularidad A su vez, gracias al ideal anulador 𝑠-paramétrico de 𝐹𝑠, podemos generalizar el algoritmo 2.5 al caso que tengamos 𝑓1, ..., 𝑓𝑞∈𝐾[𝑥1, ..., 𝑥𝑛]para un cierto entero 𝑞 > 1. Algoritmo 2.6. BernsIdeal([𝑓1, ..., 𝑓𝑞], ≺𝜕𝑡, ≺𝑠) Input: (𝑓1, ..., 𝑓𝑞) ∈ 𝐾[𝑥1, ..., 𝑥𝑛],≺𝜕𝑡orden monomial de eliminación para las variables de 𝜕𝑡,≺𝑠orden de eliminación para las variables de 𝑠. Output: Los ideales 𝐼𝐵, 𝐼𝐵∑y𝐼𝐵𝑗, para 𝑗= 1, ..., 𝑝. BEGIN 𝐼←sAnnfsBM(𝑓1, ..., 𝑓𝑞, ≺𝜕𝑡) 𝐺𝐵←GB(𝐼+⟨𝑓1⋯𝑓𝑞⟩, ≺𝑠) 𝐺𝐵∑←GB(𝐼+⟨𝑓1, ...𝑓𝑞⟩, ≺𝑠) for 𝑗= 1, ..., 𝑞 do 𝐺𝐵𝑗 ←GB(𝐼+⟨𝑓𝑗⟩, ≺𝑠) end-for 𝐼𝐵←⟨𝐺𝐵∩𝐾[𝑠1, ..., 𝑠𝑞]⟩ 𝐼𝐵∑←⟨𝐺𝐵∑∩𝐾[𝑠1, ..., 𝑠𝑞]⟩ for 𝑗= 1, ..., 𝑞 do 𝐼𝐵𝑗 ←⟨𝐺𝐵𝑗∩𝐾[𝑠1, ..., 𝑠𝑞]⟩ end-for return 𝐼𝐵, 𝐼𝐵∑, 𝐼𝐵1, ..., 𝐼𝐵𝑞. END Por último, volviendo a la sección 2.1, dejamos sin demostrar que la 𝑏-función global de un ideal 𝐼respecto de un vector de pesos 𝑤era no nula. Veamos la prueba de dicho resultado y, como aplicación directa, un algoritmo para el cálculo de la 𝑏-función global asociada a un ideal 𝐼respecto de un vector de pesos ≠0que se basa en los dos pasos que vimos en 2.1. Demostración. Prueba del teorema 2.1 . Sea 0≠𝑤∈ℝ𝑛 ≥0,𝐼 ⊂ 𝐴𝑛tal que 𝐴𝑛∕𝐼es un módulo holónomo, 𝐽∶= in(−𝑤,𝑤)(𝐼) y𝑠∶= ∑𝑛 𝑖=1 𝑤𝑖𝑥𝑖𝜕𝑥𝑖. Sin pérdida de generalidad sea 0≠𝑃=∑ 𝛼,𝛽 𝑐𝛼𝛽 𝑥𝛼𝜕𝛽∈𝐽un operador (−𝑤, 𝑤)-homogéneo. Entonces para cada monomio en 𝑃, usando la regla de Leibniz, obtenemos 𝑥𝛼𝜕𝛽𝑥𝑖𝜕𝑥𝑖=𝑥𝛼+𝑒𝑖𝜕𝛽+𝑒𝑖+𝛽𝑖𝑥𝛼𝜕𝛽= (𝜕𝑥𝑖𝑥𝛼𝑖+1 𝑖− (𝛼𝑖+ 1)𝑥𝛼𝑖 𝑖)𝑥𝛼 𝑥𝛼𝑖 𝑖 𝜕𝛽+𝛽𝑖𝑥𝛼𝜕𝛽= (𝜕𝑥𝑖𝑥𝑖− (𝛼𝑖+ 1) + 𝛽𝑖)𝑥𝛼𝜕𝛽= (𝑥𝑖𝜕𝑥𝑖−𝛼𝑖+𝛽𝑖)𝑥𝛼𝜕𝛽. Pongamos 𝑚= −𝑤𝛼 +𝑤𝛽 para algún término 𝑐𝛼𝛽𝑥𝛼𝜕𝛽en 𝑃donde 𝑐𝛼𝛽 es no nulo. 2. 𝑏-función global 63 Como 𝑃es (−𝑤, 𝑤)-homogéneo, 𝑚no depende de la elección de este término. Por tanto, 𝑃⋅𝑠=𝑃 𝑛 ∑ 𝑖=1 𝑤𝑖𝑥𝑖𝜕𝑥𝑖= 𝑛 ∑ 𝑖=1 𝑤𝑖∑ 𝛼,𝛽 (𝑥𝑖𝜕𝑥𝑖−𝛼𝑖+𝛽𝑖)𝑐𝛼𝛽 𝑥𝛼𝜕𝛽= 𝑠⋅𝑃+ 𝑛 ∑ 𝑖=1 ∑ 𝛼,𝛽 𝑤𝑖(−𝛼𝑖+𝛽𝑖)𝑐𝛼𝛽 𝑥𝛼𝜕𝛽= (𝑠+𝑚)⋅𝑃∈𝐽. Por lo tanto, tenemos que 𝐽⋅𝑠⊂𝐽. Como 𝐴𝑛∕𝐽es holónomo (Saito et al. 2000), luego por la observación 2.5 y el lema 2.6 se tiene el resultado deseado. Usando principalmente la observación 2.2, y los algoritmos para el cálculo del ideal inicial de un ideal 𝐼holónomo con respecto de un vector de pesos 0≠𝑤, y para el cálculo de la intersección entre un ideal y un subálgebra principal, obtenemos el siguiente algoritmo para el cálculo de la 𝑏-función global asociada a un ideal 𝐼con respecto a un vector de pesos 0≠𝑤. Algoritmo 2.7. bfctIdeal(𝐼, 𝑤) Input: 𝐼 ⊆ 𝐴𝑛un ideal holónomo, 0≠𝑤∈ℝ𝑛 >0un vector de pesos. Output: 𝑏𝐼,𝑤(𝑠) ∈ 𝐾[𝑠], la 𝑏-función global de 𝐼con respecto a 𝑤. BEGIN 𝐽←initialIdeal(𝐼, (−𝑤, 𝑤)) (2.1) 𝑠← 𝑛 ∑ 𝑖=1 𝑤𝑖𝑥𝑖𝜕𝑥𝑖 𝑏𝐼,𝑤(𝑠)←principalIntersect(𝑠, 𝐽)(2.4) return 𝑏𝐼,𝑤(𝑠) END En particular, usando la definición de la 𝑏-función global asociada a un polinomio 𝑓no nulo que se ha dado en 2.6, y usando el algoritmo anterior, se puede construir un algoritmo que calcula la 𝑏-función global asociada a un polinomio no nulo 𝑓∈ 𝐾[𝑥1, ..., 𝑥𝑛]. Algoritmo 2.8. bfct(𝑓) Input: 𝑓∈𝐾[𝑥1, ..., 𝑥𝑛]⧵{0}. Output: 𝑏𝑓(𝑠) ∈ 𝐾[𝑠]la 𝑏-función asociada a 𝑓(definición 2.6). BEGIN 𝐼𝑓←⟨𝑡−𝑓, 𝜕𝑥1+𝜕𝑓 𝜕𝑥1 𝜕𝑡, ..., 𝜕𝑥𝑛+𝜕𝑓 𝜕𝑥𝑛 𝜕𝑡⟩⊆ 𝐴𝑛⟨𝑡, 𝜕𝑡⟩(ideal de Malgrange 2.5) 64 aspectos computacionales del polinomio de bernstein-sato de una singularidad 𝑤←(1,0, ..., 0) ∈ ℝ𝑛+1 (tal que el peso de 𝜕𝑡es 1) 𝑏𝐼,𝑤(𝑠)←bfctIdeal(𝐼𝑓, 𝑤) 𝑏𝑓(𝑠)←𝑏𝑓(−𝑠− 1) return 𝑏𝑓(𝑠) END 2.6 Algoritmos para verificar raíces de la 𝑏-función global En muchas ocasiones el cálculo del polinomio de Bernstein-Sato o 𝑏-función global es muy costoso en la mayoría de los algoritmos existentes e incluso en ocasiones no son posibles mediante algunos de ellos. Sin embargo, es conocido que el polinomio de Bernstein-Sato o 𝑏-función global tiene únicamente raíces racionales negativas [18], por tanto, aprovechando la racionalidad de las raíces de dicho polinomio, hay otro tipo de algoritmos más eficaces, que en vez de calcular la 𝑏-función en sí, verifican si un número racional dado es, o no es, raíz de la 𝑏-función asociada a un polinomio o a un conjunto de polinomios. Estos algoritmos han sido implementados en el sistema Singular/Plural por Víctor Levandovskyy y Jorge Martín Morales [22], y tienen diversas aplicaciones. Los principales problemas a estudiar en esta sección son los siguientes: 1. Calcular una cota superior de 𝑏𝑓(𝑠). Es decir, encontrar un polinomio 𝐵(𝑠) ∈ 𝐾[𝑠]tal que 𝑏𝑓(𝑠)|𝐵(𝑠). Pongamos: 𝐵(𝑠) = 𝑑 ∏ 𝑖=1 (𝑠−𝛼𝑖)𝑚𝑖, para ciertos 𝛼𝑖∈ℚ<0,𝑖= 1, ..., 𝑑. 2. Comprobar cuando un 𝛼𝑖es raíz de 𝑏𝑓(𝑠). 3. En caso de ser una raíz, Calcular la multiplicidad de 𝛼𝑖en 𝑏𝑓(𝑠). Uno se puede preguntar si, suponiendo que podemos encontrar de alguna forma una cota superior del polinomio de Bernstein-Sato, existen algoritmos para el cálculo del polinomio de Bernstein-Sato a partir de dicha cota superior. Claramente si tenemos una cota superior 𝐵(𝑠) = 𝑑 ∏ 𝑖=1 (𝑠−𝛼𝑖)𝑚𝑖de la 𝑏-función 𝑏𝑓(𝑠), 2. 𝑏-función global 65 entonces 𝑏𝑓(𝑠) = 𝑑 ∏ 𝑖=1 (𝑠−𝛼𝑖)𝑛𝑖donde 0≤𝑛𝑖≤𝑚𝑖. Por tanto, si también tenemos un algoritmo que nos diga cuando 𝛼𝑖sea raíz de 𝑏𝑓(𝑠)y que, en particular, nos proporcione las multiplicidades de las que sí son raíces, se podría calcular la 𝑏-función global mediante los siguientes pasos: 1. Calcular la cota superior 𝐵(𝑠) = 𝑑 ∏ 𝑖=1 (𝑠−𝛼𝑖)𝑚𝑖. 2. Verificar para todo 𝑖= 1, ..., 𝑑 cuando 𝛼𝑖sea raíz de la 𝑏-función global. 3. En los casos afirmativos, calcular su multiplicidad 𝑛𝑖, y en caso contrario hacer 𝑛𝑖= 0. 4. Devolver 𝑏𝑓(𝑠) = 𝑑 ∏ 𝑖=1 (𝑠−𝛼𝑖)𝑛𝑖. Ahora bien, uno se puede preguntar qué es más eficiente, el cálculo de la 𝑏-función global de manera directa con alguno de los algoritmos conocidos, ó el cálculo de la 𝑏-función global por medio de verificar cada una de las raíces de una cota superior y calcular sus multiplicidades en los casos afirmativos. Esta pregunta obviamente dependerá de la eficacia de los algoritmos para verificar las raíces y de que el algoritmo para el cálculo de la cota superior nos proporcione una cota los suficientemente “cercana”, para que este proceso sea eficiente, ya que así los cálculos de las multiplicidades serán más sencillos al tener esta cota superior “cercana”. El resultado principal en la que se basan los tres problemas anteriores, se debe principalmente a la igualdad que sabíamos que verificaba la 𝑏-función global: ⟨𝑏𝑓(𝑠)⟩= (Ann𝐴𝑛[𝑠](𝑓𝑠) + ⟨𝑓⟩) ∩ 𝐾[𝑠], (1) Definición 2.11. Sea 𝐴una 𝐺-álgebra, 𝐼 ⊂ 𝐴 un ideal a la izquierda y 𝑍=𝑍(𝐴) el centro de 𝐴(conjunto de elementos de 𝐴que conmutan con todos los demás elementos). Entonces se definen: ∙Para cada 𝑧∈𝑍, el submódulo a la izquierda (𝐼∶𝑧) ∶= {𝑣∈𝐴|𝑧𝑣 ∈𝐼}. ∙Para un ideal 𝐽 ⊂ 𝑍 el submódulo 𝐼∶𝐽se define como (𝐼∶𝐽) ∶= {𝑣∈𝐴|𝑧𝑣 ∈𝐼para todo 𝑧∈𝐽}. ∙El submódulo 𝐼∶𝑧∞se define por l ım inf𝑛∈ℕ𝐼∶𝑧𝑛. ∙El submódulo 𝐼∶𝐽∞, llamado saturación central de 𝐼por 𝐽, se define como l ım inf𝑛∈ℕ𝐼∶𝐽𝑛. Lema 2.8.Sea {𝑔1, ..., 𝑔𝑙}una base de Gröbner de 𝐽 ⊂ 𝑍(𝐴), entonces se tiene que 66 aspectos computacionales del polinomio de bernstein-sato de una singularidad (𝐼∶𝐽) = 𝑙 ⋂ 𝑖=1 (𝐼∶𝑔𝑖). La demostración se sigue de que 𝐽es un ideal en el centro de la 𝐺-álgebra 𝐴, [19]. Teorema 2.12. Sea 𝐴una 𝐺-álgebra cuyo centro contiene a 𝐾[𝑠]. Sea 𝑞(𝑠) ∈ 𝐾[𝑠] y sea 𝐼 ⊂ 𝐴 un ideal a la izquierda satisfaciendo 𝐼∩𝐾[𝑠]≠0. Entonces se tienen las siguientes igualdades. 1. (𝐼+𝐴⟨𝑞(𝑠)⟩) ∩ 𝐾[𝑠] = 𝐼∩𝐾[𝑠] + 𝐾[𝑠]⟨𝑞(𝑠)⟩, 2. (𝐼∶𝑞(𝑠)) ∩ 𝐾[𝑠]=(𝐼∩𝐾[𝑠]) ∶ 𝑞(𝑠), 3. (𝐼∶𝑞(𝑠)∞) ∩ 𝐾[𝑠]=(𝐼∩𝐾[𝑠]) ∶ 𝑞(𝑠)∞. En particular, tomando 𝐼=Ann𝐴𝑛[𝑠](𝑓𝑠) + 𝐴𝑛[𝑠]⟨𝑓⟩⊆ 𝐴𝑛[𝑠]en las ecuaciones anteriores, tenemos que -[Ann𝐴𝑛[𝑠](𝑓𝑠) + 𝐴𝑛[𝑠]⟨𝑓, 𝑞(𝑠)⟩] ∩ 𝐾[𝑠] = ⟨𝑏𝑓(𝑠), 𝑞(𝑠)⟩=⟨mcd(𝑏𝑓(𝑠), 𝑞(𝑠))⟩, -[(Ann𝐴𝑛[𝑠](𝑓𝑠) + 𝐴𝑛[𝑠]⟨𝑓⟩) ∶ 𝑞(𝑠)] ∩ 𝐾[𝑠] = ⟨𝑏𝑓(𝑠)⟩∶𝑞(𝑠) = ⟨𝑏𝑓(𝑠) mcd(𝑏𝑓(𝑠),𝑞(𝑠)) ⟩, -[(Ann𝐴𝑛[𝑠](𝑓𝑠) + 𝐴𝑛[𝑠]⟨𝑓⟩) ∶ 𝑞(𝑠)∞] ∩ 𝐾[𝑠] = ⟨𝑏𝑓(𝑠)⟩∶𝑞(𝑠)∞. Donde mcd(𝑓(𝑠), 𝑔(𝑠)) denota el máximo común divisor entre dos polinomios en la variable 𝑠. Demostración. Tomemos 0≠𝑏(𝑠)es un generador de 𝐼∩𝐾[𝑠]. Supongamos que ℎ(𝑠)∈(𝐼+𝐴⟨𝑞(𝑠)⟩) ∩ 𝐾[𝑠]. Entonces se tiene que ℎ(𝑠) = 𝑃(𝑠) + 𝑄(𝑠)𝑞(𝑠) donde 𝑃(𝑠) ∈ 𝐼y𝑄(𝑠) ∈ 𝐴. Sea 𝑑(𝑠)el máximo común divisor de 𝑏(𝑠)y𝑞(𝑠). Por tanto, existen 𝑏1(𝑠)y𝑞1(𝑠)tales que 𝑑(𝑠)𝑏1(𝑠) = 𝑏(𝑠)y𝑑(𝑠)𝑞1(𝑠) = 𝑞(𝑠), y entonces 𝑏1(𝑠)𝑞(𝑠) = 𝑞1(𝑠)𝑏(𝑠). Como 𝑠es una variable que conmuta con todos los elementos de 𝐴, podemos multiplicar la ecuación ℎ(𝑠) = 𝑃(𝑠) + 𝑄(𝑠)𝑞(𝑠)por 𝑏1(𝑠)en ambos lados y obtener 𝑏1(𝑠)ℎ(𝑠) = 𝑏1(𝑠)𝑃(𝑠) + 𝑄(𝑠)𝑞1(𝑠)𝑏(𝑠) ∈ 𝐼. Luego, 𝑏1(𝑠)ℎ(𝑠) ∈ 𝐼∩𝐾[𝑠] = ⟨𝑏(𝑠)⟩y por tanto ℎ(𝑠) ∈ ⟨𝑏(𝑠)⟩∶⟨𝑏1(𝑠)⟩=⟨𝑑(𝑠)⟩= 𝐼∩𝐾[𝑠] + ⟨𝑞(𝑠)⟩. La otra inclusión es trivial. De igual forma se prueban la segunda y la tercera igualdad. 2. 𝑏-función global 67 La segunda (resp. la tercera) parte del teorema anterior se puede usar para encontrar una cota superior de 𝑏𝑓(𝑠)(resp. las raíces de 𝑏𝑓(𝑠)). Como 𝑞(𝑠)está en el centro de 𝐴𝑛[𝑠], los ideales cociente y saturado se pueden calcular algorítmicamente [19]. Una forma más clásica para el cálculo, aunque menos efectiva, es mediante el uso de una nueva variable conmutativa 𝑇, y la fórmula 𝐼∶𝑞(𝑠)∞=𝐴𝑛[𝑠, 𝑇 ]⟨𝐼, 1 − 𝑇 𝑞(𝑠)⟩∩𝐴𝑛[𝑠]. Ejemplo: Sea 𝑓∈ℂ[𝑥, 𝑦]el polinomio 𝑥(𝑥2+𝑦3). El ideal anulador 𝑠-paramétrico de 𝑓𝑠está generado por los operadores 𝑃1(𝑠)=3𝑥𝑦2𝜕𝑥−𝑦3𝜕𝑦− 3𝑥2𝜕𝑦y𝑃2(𝑠) = 3𝑥𝜕𝑥+ 2𝑦𝜕𝑦− 9𝑠. Consideramos el polinomio 𝑞(𝑠)=(𝑠+ 1)(𝑠+5 9)(𝑠+8 9)(𝑠+10 9)(𝑠+7 9)(𝑠+11 9)(𝑠+13 9). Calculando una base de Gröbner, se puede ver que el ideal generado por {𝑃1(𝑠), 𝑃2(𝑠), 𝑓, 1− 𝑇 𝑞(𝑠)} en 𝐴𝑛[𝑠, 𝑇 ]es el total. Es decir, la base de Gröbner reducida es {1}. Luego por el tercer punto del teorema 2.12, se deduce que 𝑞(𝑠)contiene todas las raíces de 𝑏𝑓(𝑠). Por lo que 𝑞(𝑠)es una cota superior de la 𝑏-función. Con este proceso, basta comprobar que un ideal sea el anillo entero o no, para la obtención de una cota superior. Además, en el proceso de comprobar si un ideal es el anillo total o no se puede usar cualquier orden monomial, ya que simplemente hay que comprobar que la base de Gröbner calculada contenga al 1. Esto hace que el cálculo computacional pueda ser muy rápido con una buena elección del orden monomial. Corolario 2.3.Supongamos que 𝑃1(𝑠), ..., 𝑃𝑘(𝑠)genera Ann𝐴𝑛[𝑠](𝑓𝑠). Las siguientes condiciones son equivalentes: 1. 𝛼∈ℚ>0es una raíz de 𝑏𝑓(−𝑠). 2. 𝐴𝑛[𝑠]⟨𝑃1(𝑠), ..., 𝑃𝑘(𝑠), 𝑓, 𝑠 +𝛼⟩≠𝐴𝑛[𝑠]. 3. 𝐴𝑛⟨𝑃1(−𝛼), ..., 𝑃𝑘(−𝛼), 𝑓⟩≠𝐴𝑛. Además, en tal caso, 𝐴𝑛[𝑠]⟨𝑃1(𝑠), ..., 𝑃𝑘(𝑠), 𝑓, 𝑠 +𝛼⟩∩𝐾[𝑠] = 𝐾[𝑠]⟨𝑠+𝛼⟩. Demostración. Sea 𝐽=𝐴𝑛[𝑠]⟨𝑃1(𝑠), ..., 𝑃𝑘(𝑠), 𝑓, 𝑠+𝛼⟩y𝐿=𝐽∩𝐴𝑛=⟨𝑃1(−𝛼), ..., 𝑃𝑘(−𝛼), 𝑓⟩. Como tenemos que 𝐽=𝐴𝑛[𝑠]⇐⇒ 𝐽∩𝐾[𝑠] = 𝐾[𝑠]⇐⇒ 𝐿=𝐴𝑛, y que mcd(𝑏𝑓(𝑠), 𝑠 +𝛼)=1 ⇐⇒ 𝑏𝑓(−𝛼)≠0, 74 aspectos computacionales del polinomio de bernstein-sato de una singularidad 3.1 Algoritmo CGS La notación usual que vamos a utilizar a lo largo de esta sección, va a ser la siguiente. Sea 𝐾un cuerpo de característica 0 y 𝐾una clausura algebraica del cuerpo 𝐾. Sean 𝑥= (𝑥1, ..., 𝑥𝑛)e𝑢= (𝑢1, ..., 𝑢𝑚)dos conjuntos de variables distintas. A lo largo de este capítulo vamos a basar los resultados principalmente en las siguientes dos 𝐺-álgebras: 𝐴𝑛[𝑢] = 𝐾[𝑢]⊗ 𝐴𝑛=𝐾[𝑢]⟨𝑥, 𝜕𝑥∶𝑄⟩y 𝐾⟨𝑢, 𝑥, 𝜕𝑥⟩=𝐾⟨𝑢, 𝑥, 𝜕𝑥∶𝑄′⟩. Donde 𝑄= {𝜕𝑗𝑥𝑖=𝑥𝑖𝜕𝑗+𝛿𝑖𝑗 |𝑖, 𝑗 = 1, ..., 𝑛}, con las relaciones conmutativas ya vistas, y 𝑄′= {𝜕𝑗𝑥𝑖=𝑥𝑖𝜕𝑗+𝛿𝑖𝑗,[𝑢𝑘, 𝑢𝑙]=[𝑢𝑘, 𝑥𝑙]=[𝑢𝑘, 𝜕𝑥𝑙]=0|𝑖, 𝑗, 𝑙 = 1, ..., 𝑛, 𝑘= 1, ..., 𝑚}. Es decir, 𝑄′es 𝑄junto con las relaciones conmutativas de las variables 𝑢con todas las variables. Por tanto, como hemos estado omitiendo las relaciones conmutativas del conjunto de relaciones, escribiremos sin pérdida de generalidad 𝑄=𝑄′. La diferencia entre estas dos 𝐺-álgebras es simplemente la forma de interpretar sus coeficientes: mientras que en 𝐴𝑛[𝑢]los coeficientes son polinomios en las variables 𝑢1, ..., 𝑢𝑚, en 𝐾⟨𝑢, 𝑥, 𝜕𝑥∶𝑄⟩los coeficientes son elementos del cuerpo 𝐾. El uso de la segunda 𝐺-álgebra es simplemente para el cálculo de bases de Gröbner en la primera 𝐺-álgebra. Es decir, para un conjunto 𝐻en 𝐴𝑛[𝑢]el cálculo de una base de Gröbner de 𝐻en 𝐴𝑛[𝑢], se traducirá al cálculo de una base de Gröbner de 𝐻en 𝐾⟨𝑢, 𝑥, 𝜕𝑥∶𝑄⟩respecto de un orden monomial por bloques, que ahora veremos lo que es. Es decir, la diferencia entre ambas 𝐺-álgebras es puramente computacional, ya que teóricamente son idénticas. Ya hemos visto que, debido a la existencia de PBW-bases en ambas 𝐺-álgebras, existe un isomorfismo natural entre 𝐾-espacios vectoriales 𝜑∶𝐾⟨𝑢, 𝑥, 𝜕𝑥∶𝑄′⟩→ 𝐾[𝑢, 𝑥, 𝜉]definido por 𝜑(𝑢𝛾𝑥𝛼𝜕𝛽 𝑥)→ 𝑢𝛾𝑥𝛼𝜉𝛽. De la misma forma se define sobre 𝜑∶𝐴𝑛[𝑢]→𝐾[𝑢][𝑥, 𝜉]. De esta forma, podemos suponer que los operadores en ambas 𝐺-álgebras vendrán dados en su forma canónica con respecto a su PBW-álgebra. Como hemos comentado antes, vamos a considerar un orden monomial por bloques ≺. Este va a ser, en particular, el orden producto de los órdenes monomiales ≺𝑥∪𝜕𝑥y≺𝑢. Es decir, tomaremos un orden monomial en las variables 𝑥∪𝜕𝑥(denotado por ≺𝑥∪𝜕𝑥) y otro orden monomial sobre las variables 𝑢(denotado por ≺𝑢), y consideraremos ≺ 3. recubrimientos de gröbner en pbw-álgebras 75 =≺𝑥∪𝜕𝑥⋅≺𝑢, que es el orden monomial que primero compara los exponentes de los monomios líderes en las variables 𝑥∪𝜕𝑥(es decir, con respecto al orden ≺𝑥∪𝜕𝑥) y, en caso de ser idénticos, usa el segundo orden monomial sobre las variables de 𝑢. Por ejemplo, consideraremos que en ese orden producto se verifique 𝑢≺𝜕𝑥≺ 𝑥. Para diferenciar entre la primera 𝐺-álgebra y la segunda estos órdenes monomiales, denotartemos ≺𝑧y≺respectivamente. De igual forma que hicimos en la sección de PWB-álgebras denotamos, dado un operador 𝑃∈𝐾⟨𝑢, 𝑥, 𝜕𝑥⟩, por lm(𝑃),lc(𝑃)ylt(𝑃)al monomio líder, el coeficiente líder y el término líder de 𝑃. Donde lt(𝑃) = lc(𝑃)⋅lm(𝑃). Al igual sobre 𝐴𝑛[𝑢], denotamos lt𝑧(𝑃),lc𝑧(𝑃)ylm𝑧(𝑃). Donde aquí 𝑃∈𝐴𝑛[𝑢]. Como ya vimos, se pueden extender estos conceptos a conjuntos de operadores sobre las dos PBW-álgebras anteriores. Sea 𝐼un ideal en una de las dos PBW-álgebras anteriores. Diremos que 𝐼es un ideal paramétrico considerando las variables 𝑢1, ..., 𝑢𝑚como parámetros. El objetivo es, dado un ideal paramétrico, encontrar una base de Gröbner para cada valor que le damos a los parámetros de 𝑢. Es decir, dado 𝑎∈𝐾𝑚, construir una base de Gröbner del ideal 𝐼𝑢=𝑎sobre 𝐴𝑛=𝐾⟨𝑥, 𝜕𝑥∶𝑄⟩. Para ver esto, comencemos con la siguiente definición que detalla la notación que hemos tomado de 𝐼𝑢=𝑎. Definición 3.1. Para cualquier 𝑎∈𝐾𝑚definimos el homomorfismo canónico de especialización 𝜎𝑎∶𝐾[𝑢]⟨𝑥, 𝜕𝑥∶𝑄⟩(resp. 𝐾⟨𝑢, 𝑥, 𝜕𝑥⟩)→𝐾⟨𝑥, 𝜕𝑥∶𝑄⟩de la forma 𝑝(𝑢, 𝑥, 𝜕𝑥)→ 𝜎𝑎(𝑝(𝑢, 𝑥, 𝜕𝑥)) = 𝑝(𝑎, 𝑥, 𝜕𝑥). Es decir, como la aplicación que sustituye los parámetros 𝑢= (𝑢1, ..., 𝑢𝑚)del operador paramétrico, por los valores 𝑎= (𝑎1, ..., 𝑎𝑚) ∈ 𝐾𝑚. Se puede extender esta definición a un ideal paramétrico 𝐼 ⊆ 𝐾[𝑢]⟨𝑥, 𝜕𝑥∶𝑄⟩(resp. 𝐾⟨𝑢, 𝑥, 𝜕𝑥⟩) de la forma 𝐼𝑢=𝑎=𝜎𝑎(𝐼) ∶= {𝜎𝑎(𝑝)|𝑝∈𝐼}⊆ 𝐾⟨𝑥, 𝜕𝑥∶𝑄⟩. Definición 3.2. Sean 𝑓1, ..., 𝑓𝑟∈𝐾[𝑢]un conjunto finito de polinomios. La variedad afín del conjunto de polinomios 𝑓1, ..., 𝑓𝑟viene dada por: (𝑓1, ..., 𝑓𝑟)={𝑎∈𝐾𝑚|𝑓𝑖(𝑎)=0,∀𝑖= 1, ..., 𝑟} El conjunto de puntos de 𝐾𝑚que anulan todos los polinomios 𝑓1, ..., 𝑓𝑟. Definición 3.3. Sea 𝑋una variedad cuasi-proyectiva [14], equipada con la topología de Zariski. Diremos que un subconjunto 𝐶de 𝑋es localmente cerrado si 𝐶=𝑉∩𝑍, donde 𝑉es abierto y 𝑍es cerrado de la topología de Zariski. Diremos que un subconjunto de 𝑋es constructible, si es una unión finita disjunta de conjuntos localmente cerrados. Definición 3.4. Llamaremos a un conjunto constructible de la forma (𝑔1, ..., 𝑔𝑟)⧵ (𝑔′ 1, ..., 𝑔′ 𝑙)⊆ 𝐾𝑚con 𝑔1, ..., 𝑔𝑟, 𝑔′ 1, ..., 𝑔′ 𝑙∈𝐾[𝑢], una estratificación. (Usualmente se 76 aspectos computacionales del polinomio de bernstein-sato de una singularidad denota 𝔸1,𝔸2..., 𝔸𝑙para representar los estratos, que son subconjuntos disjuntos, localmente cerrados que cubren la estratificación al completo). En realidad si 𝑆es un conjunto localmente cerrado, entonces existen ideales radicales 𝐼, 𝐽 tales que 𝑆=(𝐼)⧵(𝐽), donde además estos ideales están únicamente determinados por 𝑆debido a la correspondencia unívoca entre ideales radicales y variedades. Al par (𝐼, 𝐽)se le denomina la representación 𝐶-canónica del conjunto localmente cerrado 𝑆. (Para más detalle de la existencia de estos ideales radicales y dicha correspondencia ver: [28]). Definición 3.5. Sea ≺un orden monomial admisible por bloques sobre 𝐴𝑛[𝑢]. Sea 𝑃 ⊆ 𝐴𝑛[𝑢]y𝔸1,𝔸2..., 𝔸𝑙estratos en 𝐾𝑚. Sean 𝐺1, ..., 𝐺𝑙subconjuntos de 𝐴𝑛[𝑢]. Diremos un conjunto finito de pares = {(𝔸1, 𝐺1), ..., (𝔸𝑙, 𝐺𝑙)} es un sistema exhaustivo de Gröbner (CGS) (o recubrimiento de Gröbner) sobre 𝔸1∪⋯∪𝔸𝑙, de ⟨𝑃⟩, si para todo 𝑎∈𝔸𝑖,𝜎𝑎(𝐺𝑖), es una base de Gröbner del ideal ⟨𝜎𝑎(𝑃)⟩(ideal de extensión) en 𝐾⟨𝑥, 𝜕𝑥∶𝑄⟩, para cada 𝑖= 1, ..., 𝑙. Llamaremos al par (𝔸𝑖, 𝐺𝑖)de como el 𝑖-ésimo segmento de . Diremos simplemente que es un sistema exhaustivo de Gröbner para ⟨𝑃⟩, si tenemos que 𝔸1∪⋯∪𝔸𝑙=𝐾𝑚. Es decir, un sistema exhaustivo de Gröbner para un subconjunto 𝑃 ⊆ 𝐴𝑛[𝑢]básicamente consiste en un conjunto finito de pares = {(𝔸𝑖, 𝐺𝑖)∶1≤𝑖≤𝑙}donde los 𝔸𝑖⊆ 𝐾𝑚forman una partición del espacio paramétrico 𝐾𝑚y son subconjuntos localmente cerrados. Y donde los 𝐺𝑖son bases de Gröbner del ideal extensión de 𝑃 por 𝜎𝑎al sustituir sus parámetros por valores dentro de la partición correspondiente. Hay muchos algoritmos para el cálculo de un sistema exhaustivo de Gröbner. Por ejemplo, como mencionábamos al inicio de esta sección, en SINGULAR tenemos la librería "grobcov.lib" [29] donde Antonio Montes y Hans Schoenemann han implementado un algoritmo, grobcov(𝐼) que calcula el recubrimiento de Gröbner de un ideal paramétrico 𝐼 ⊆ 𝐾[𝑢][𝑥]. Definición 3.6. Dado un subconjunto 𝐺 ⊂ 𝐴𝑛[𝑢], se define una base minimal de 𝐺como el subconjunto 𝐹 ⊂ lm(𝐺)que verifica las siguientes condiciones: 1. Para cada operador 𝑔∈𝐺existe un operador 𝑚∈𝐹tal que 𝑚|𝑔. 2. Para cada par de operadores 𝑚≠𝑚′∈𝐹, se tiene que 𝑚no divide a 𝑚′y viceversa. Denotaremos al conjunto 𝐹verificando las propiedades anteriores por MBlm(𝐺). Notar que dado un conjunto 𝐺 ⊂ 𝐴𝑛[𝑢], pueden existir distintas bases minimales de 𝐺, pero en cualquier caso se tiene claramente que ⟨lm(𝐹)⟩=⟨lm(𝐺)⟩. 3. recubrimientos de gröbner en pbw-álgebras 77 El siguiente resultado es una extensión del teorema de Kapur-Sun-Wang [28] que, en particular, prueba la estabilidad [16] de las bases de Gröbner bajo homomorfismos de especialización en el PBW-álgebra 𝐴𝑛[𝑢] = 𝐾[𝑢]⟨𝑥, 𝜕𝑥∶𝑄⟩. Teorema 3.1. Sea 𝐺una base de Gröbner de un ideal 𝐼 ⊆ 𝐴𝑛[𝑢]con respecto a un orden monomial por bloques ≺(para ciertos ≺𝑥∪𝜕𝑥y≺𝑢). Sean 𝐸∶= 𝐺∩𝐾[𝑢], y sea {𝑚1, ..., 𝑚𝑙} =MBlm(𝐺⧵𝐸). Pongamos que 𝐺𝑖= {𝑓∈𝐺⧵𝐸|lm𝑧(𝑓) = 𝑚𝑖} para todo 𝑖= 1, ..., 𝑙. Entonces, para todo 𝑎∈(𝐸)⧵⋃𝑙 𝑖=1 (lc𝑧(𝐺𝑖)), se tiene que 𝜎𝑎(𝐺1∪⋯∪𝐺𝑙)es una base de Gröbner de 𝜎𝑎(𝐼)con respecto del orden monomial ≺𝑥∪𝜕𝑥 en 𝐴𝑛(𝐾) = 𝐾⟨𝑥, 𝜕𝑥∶𝑄⟩. Demostración. Para todo 𝑎∈(𝐸)⧵⋃𝑙 𝑖=1 (lc(𝐺𝑖)), existe un 𝑝𝑖∈𝐺𝑖tal que 𝜎𝑎(lm(𝑝𝑖)) ≠0para cada 𝑖= 1, ..., 𝑙. Supongamos que 𝐺= {𝑔1, ..., 𝑔𝑟}y que 𝑃= {𝑝1, ..., 𝑝𝑙}. Entonces, claramente 𝑃 ⊆ 𝐺 y MBlt(𝑃)=MBlt(𝐺⧵𝐸)={𝑚1, ..., 𝑚𝑙}se mantiene. También tenemos que Para todo 𝑎∈(𝐸)⧵⋃𝑙 𝑖=1 (lc(𝐺𝑖)), 𝜎𝑎(lm(𝐼)) = lm(𝜎𝑎(𝐼)). La prueba de esto se puede encontrar en [31]. Haciendo uso de esto, tenemos: lm(𝜎𝑎(𝐼)) = ⟨𝜎𝑎(lm(𝑔1)), ..., 𝜎𝑎(lm(𝑔𝑟))⟩=⟨MBlm(𝐺⧵𝐸)⟩= ⟨MBlm(𝐺1∪𝐺2∪... ∪𝐺𝑙)⟩=⟨𝜎𝑎(lm(𝐺1∪𝐺2∪... ∪𝐺𝑙))⟩ en 𝐾⟨𝑥, 𝜕𝑥∶𝑄⟩. Como 𝐺1∪𝐺2∪... ∪𝐺𝑙⊂ 𝐼 ⊂ 𝐾[𝑢]⟨𝑥, 𝜕𝑥∶𝑄⟩, es claro que 𝜎𝑎(𝐺1∪𝐺2∪...∪𝐺𝑙)⊂ 𝜎𝑎(𝐼)⊂𝐾⟨𝑥, 𝜕𝑥∶𝑄⟩. Por lo tanto, 𝜎𝑎(𝐺1∪𝐺2∪...∪𝐺𝑙)es una base de Gröbner de 𝜎𝑎(𝐼)con respecto el orden monomial ≺𝑥∪𝜕𝑥en 𝐾⟨𝑥, 𝜕𝑥∶𝑄⟩. Para la construcción de un algoritmo efectivo para el cálculo de CGS, en vez de usar directamente el teorema anterior, vamos a usar el siguiente corolario, que esencialmente es el mismo que el teorema de Kapur-Sun-Wang [17]. En la referencia de [28] podemos encontrar el resultado de Kapur-Sun-Wang, seguido del algoritmo para el cálculo de un CGS, el cual es muy similar al que estudiaremos posterior al siguiente resultado. Corolario 3.1 (Kapur-Sun-Wang).Usando la misma notación que en el teorema anterior, sea 𝑔𝑖∈𝐺𝑖yℎ𝑖= lc(𝑔𝑖)para cada 𝑖= 1, ..., 𝑙. Entonces, para todo 𝑎∈ (𝐸)⧵(ℎ1ℎ2⋯ℎ𝑙),𝜎𝑎({𝑔1, ..., 𝑔𝑙}) es una base de Gröbner minimal de 𝜎𝑎(𝐼)con respecto a ≺𝑥∪𝜕𝑥en 𝐴𝑛(𝐾) = 𝐾⟨𝑥, 𝜕𝑥∶𝑄⟩. 78 aspectos computacionales del polinomio de bernstein-sato de una singularidad Demostración. Como (𝐸)⧵(ℎ1ℎ2⋯ℎ𝑙)⊆(𝐸)⧵((lc(𝐺1)) ∪ (lc(𝐺2)) ∪ ... ∪ (lc(𝐺𝑙)), usando el teorema anterior ⟨𝜎𝑎(lm({𝑔1, 𝑔2, ..., 𝑔𝑙}))⟩=⟨𝜎𝑎(lm(𝐺1∪𝐺2∪... ∪𝐺𝑙))⟩. Por lo tanto, 𝜎𝑎({𝑔1, 𝑔2, ..., 𝑔𝑙}) es una base de Gröbner de 𝜎𝑎(𝐼)con respecto a ≺𝑥∪𝜕𝑥en 𝐾⟨𝑥, 𝜕𝑥∶𝑄⟩. Como ningún lm(𝜎𝑎(𝑔𝑖)) en el conjunto lm({𝜎𝑎(𝑔1), 𝜎𝑎(𝑔2), ..., 𝜎𝑎(𝑔𝑙)}) divide a otro lm(𝜎𝑎(𝑔𝑗)) para 𝑖≠𝑗con 𝑖, 𝑗 = 1, ..., 𝑙, entonces además es una base de Gröbner minimal. Algoritmo 3.1. CGS(𝐸, 𝑁, 𝑃 , ≺) Input: 𝐸, 𝑁 subconjuntos de 𝐾[𝑢];𝑃un subconjunto finito de 𝐴𝑛[𝑢] = 𝐾[𝑢]⟨𝑥, 𝜕𝑥∶ 𝑄⟩;≺un orden monomial por bloques sobre 𝐴𝑛[𝑢]. Output: un recubrimiento de Gröbner de ⟨𝑃⟩con respecto de ≺sobre el subconjunto (𝐸)⧵(𝑁)de 𝐾𝑚. BEGIN ←∅; if (𝐸)⧵(𝑁)=∅then return ;end-if 𝐺←GB(𝑃∪𝐸, ≺); (Algoritmo para el cálculo de una base de Gröbner) if 1∈𝐺then return {((𝐸)⧵(𝑁),{1})}; end-if 𝐺′←𝐺⧵((𝐺∩𝐾[𝑢]) ∩ ⟨𝐸⟩); {𝑚1, ..., 𝑚𝑙}←MBlm(𝐺′);ℎ←1; for 𝑖= 1, ..., 𝑙 do 𝑔𝑖←tomar 𝑔𝑖de 𝐺′tal que lm(𝑔𝑖) = 𝑚𝑖; ℎ←lc(𝑔𝑖)⋅ℎ; end-for ℎ𝛼1 1ℎ𝛼2 2⋯ℎ𝛼𝑟 𝑟←factor(ℎ); if ((𝐸)⧵(𝑁)) ⧵(ℎ1ℎ2⋯ℎ𝑟)≠∅then ←∪ {((𝐸)⧵(𝑁∧ {ℎ1ℎ2⋯ℎ𝑟}),{𝑔1, 𝑔2, ..., 𝑔𝑙})}; end-if for 𝑖= 1, ..., 𝑟 do ←∪CGS(𝐸∪ {ℎ𝑖}, 𝑁 ∧ {ℎ1ℎ2⋯ℎ𝑖−1}, 𝐺′, ≺); end-for return()END (Donde si 𝐴, 𝐵 ⊂ 𝐾[𝑢],𝐴∧𝐵= {𝑝𝑞|𝑝∈𝐴, 𝑞 ∈𝐵}). Y la función factor(ℎ)calcula la factorización de ℎen 𝐾[𝑢]. 3. recubrimientos de gröbner en pbw-álgebras 79 Este algoritmo funciona de la siguiente forma: (1) Primero, prueba si (𝐸)⧵(𝑁)es vacío o no. En el caso de que sea vacío, el algoritmo termina devolviendo el conjunto vacío. (2) Suponiendo ahora que (𝐸)⧵(𝑁)≠∅, el algoritmo calcula una base de Gröbner, 𝐺, de 𝑃∪𝐸con respecto a ≺,GB(𝑃∪𝐸, ≺). Si 1 ∈ 𝐺, entonces el algoritmo termina y devuelve {((𝐸)⧵(𝑁),{1})}. (3) Si no se verifica lo anterior, entonces considera 𝐺∩𝐾[𝑢]que básicamente es la parte de 𝐺que contenga únicamente parámetros (se puede obtener de manera fácil ya que el orden monomial producto ≺, es de eliminación sobre dichos parámetros). Después obtiene 𝐺′=𝐺⧵((𝐺∩𝐾[𝑢]) ∩ ⟨𝐸⟩)y calcula una base minimal de 𝐺′que viene denotada por {𝑚1, ..., 𝑚𝑙}. (4) Aquí, siguiendo el corolario anterior al algoritmo, toma ciertos elementos 𝑔𝑖∈𝐺′ tales que lm(𝑔𝑖) = 𝑚𝑖, calcula el producto de todos los coeficientes líderes de estos 𝑔𝑖 y factoriza dicho producto en 𝐾[𝑢]. Es decir, en orden, calcula lo siguiente {ℎ1, ..., ℎ𝑙} = {lc(𝑔𝑖)|𝑔𝑖∈𝐺′con lm(𝑔𝑖) = 𝑚𝑖} ℎ= 𝑙 ∏ 𝑖=1 lc(𝑔𝑖) ℎ𝛼1 1ℎ𝛼2 2⋯ℎ𝛼𝑟 𝑟=factor(ℎ) Llegado a este punto, usando el corolario anterior, sabemos que para cualquier 𝑎∈ (𝐸)⧵(ℎ1ℎ2⋯ℎ𝑟),𝜎𝑎({𝑔1, ..., 𝑔𝑙}) es una base de Gröbner minimal de 𝜎𝑎(𝑃). Por tanto como también debemos quitar el conjunto de puntos que anulan 𝑁, el algoritmo realiza la comprobación ((𝐸)⧵(𝑁)) ⧵(ℎ1ℎ2⋯ℎ𝑟)≠∅. En caso de que se verifique, estamos en las condiciones de dicho corolario y por tanto añadimos el segmento ((𝐸)⧵(𝑁∧ {ℎ1ℎ2⋯ℎ𝑟}),{𝑔1, ..., 𝑔𝑙}) al Recubrimiento de Gröbner (CGS). (5) (Paso recursivo.) Finalmente, el algoritmo considera los subconjuntos disjuntos restantes de (𝐸)⧵(𝑁). Primero, realiza de nuevo el proceso donde se cumpla ℎ1= 0; después el segmento donde ℎ2= 0 pero ℎ1≠0, y así sucesivamente, en el paso 𝑖-ésimo, el segmento donde ℎ𝑖= 0 y ninguno de los anteriores a ℎ𝑖sea 0. Estos claramente forman una partición del conjunto total disjunta. Teorema 3.2. El algoritmo CGS termina y devuelve un recubrimiento de Gröbner de ⟨𝑃⟩sobre (𝐸)⧵(𝑁). Demostración. Usando el corolario 3.1, ((𝐸)⧵(𝑁∧ {ℎ1ℎ2⋯ℎ𝑟}),{𝑔1, ..., 𝑔𝑙}) es un segmento del recubrimiento de Gröbner. Para probar que el algoritmo termina es suficiente probar que, en cada iteración, el algoritmo sólo crea ramas finitas. En cada iteración de CGS, el número de elementos de MBlm(𝐺′)es finito. Ya que lc(𝑔𝑖) ∈ 𝐾[𝑢] 80 aspectos computacionales del polinomio de bernstein-sato de una singularidad para algún 𝑔𝑖∈𝐺, donde 𝐺es una base de Gröbner reducida de ⟨𝑃∪𝐸⟩⊂ 𝐴𝑛[𝑢]y lc(𝑔𝑖) ∉ ⟨𝐸⟩⊂ 𝐾[𝑢], y de lo contrario, 𝑔∈𝐺se puede simplificar aún más con la base de Gröbner de ⟨𝐸⟩. En la siguiente llamada recursiva de CGS, el input 𝐸∪ {ℎ𝑗} cuyo ideal es estrictamente mayor que ⟨𝐸⟩de la anterior llamada recursiva de CGS. Por tanto, cada rama termina en un número finito de pasos. Veamos un par de ejemplos del cálculo de recubrimientos de Gröbner mediante el procedimiento anterior. Para ello vamos a usar el algoritmo implementado en [31] en el sistema algebraico Risa/Asir. Para ello, el comando usado para la realización del proceso anterior es newcgsw1(𝑃 , 𝑈, [𝑉 , 𝐷], 𝑂𝑟𝑑), que calcula un recubrimiento de Gröbner de ⟨𝑃⟩con respecto del orden 𝑂𝑟𝑑. (2 es el orden lexicográfico, 1 es el orden lexicográfico total y 0 es el orden lexicográfico inverso, los cuales son todos admisibles sobre el 𝑃 𝐵𝑊 -álgebra 𝐴𝑛[𝑢]). 𝑈es una lista de parámetros, que en nuestros ejemplos van a ser [𝑎, 𝑏]y[𝑎, 𝑏, 𝑐]respectivamente. 𝑉es una lista de variables y 𝐷es una lista de los operadores diferenciales respecto de las variables de 𝑉. Ejemplos: 1. Sea 𝑃= {𝑥2𝜕𝑦+ 2𝑥𝜕2 𝑥+𝑎𝑥𝜕2 𝑥, 𝑥𝑦𝜕2 𝑥+𝑏𝑦, 𝑦2𝜕𝑥+𝑏𝑦2}⊂ 𝐴2(ℂ)[𝑎, 𝑏] = ℂ[𝑎, 𝑏]⟨𝑥, 𝑦, 𝜕𝑥, 𝜕𝑦⟩y≺el orden monomial lexicográfico sujeto a 𝜕𝑦≺ 𝜕𝑥≺ 𝑦 ≺ 𝑥. Entonces usando el algoritmo anterior, obtenemos que un recubrimiento de Gröbner de 𝐹con respecto a ≺viene dado por: {((𝑏)⧵(𝑏, 𝑎2+ 4𝑎+ 4),{𝑎𝜕𝑦+ 2𝜕𝑦, 𝑎𝜕𝑥+ 2𝜕𝑥}), ((𝑏, 𝑎 + 2),{𝑦𝜕2 𝑦+ 2𝜕𝑦, 𝑦𝜕𝑥, 𝑦2𝜕𝑦, 𝑥2𝜕𝑥, 𝑥2𝜕𝑥− 2𝑥𝑦𝜕𝑦}), ((𝑎+ 2) ⧵(𝑏, 𝑎 + 2),{𝑏𝑦, 𝑏𝑥2}), (ℂ2⧵(𝑏𝑎 + 2𝑏),{1})}. Esto nos quiere decir que: - Cuando 𝑏= 0 y no se anulan a la vez 𝑏, 𝑎2+ 4𝑎+ 4 entonces una base de Gröbner, fijando los valores de 𝑎y𝑏en esos parámetros, viene dada por {𝑎𝜕𝑦+ 2𝜕𝑦, 𝑎𝜕𝑥+ 2𝜕𝑥}. - Cuando 𝑏= 0 y𝑎+ 2 = 0 entonces una base de Gröbner viene dada por {𝑦𝜕2 𝑦+ 2𝜕𝑦, 𝑦𝜕𝑥, 𝑦2𝜕𝑦, 𝑥2𝜕𝑥, 𝑥2𝜕𝑥− 2𝑥𝑦𝜕𝑦}. - Cuando 𝑎+ 2 = 0 y no se anulan a la vez 𝑏, 𝑎 + 2 la base de Gröbner viene dada por {𝑏𝑦, 𝑏𝑥2}. - Por último cuando no se anula 𝑏𝑎 + 2𝑏=𝑏(2 + 𝑎)tenemos que la base de Gröbner es {1}, como indica el paso (2) que comentábamos tras el algoritmo CGS. Donde el comando directamente escrito en Risa/Asir para este cálculo ha sido newcgsw1([𝑥2∗𝑑𝑦 + 2 ∗ 𝑥∗𝑑𝑥2+𝑎∗𝑥∗𝑑𝑥2, 𝑥 ∗𝑦∗𝑑𝑥2+𝑏∗𝑦, 𝑦2∗𝑑𝑥 +𝑏∗ 3. recubrimientos de gröbner en pbw-álgebras 81 𝑦2],[𝑎, 𝑏],[[𝑥, 𝑦],[𝑑𝑥, 𝑑𝑦]],2); 2. Sea 𝑃= {𝑎𝑥2𝑦+𝑏𝑦𝜕𝑦+𝜕𝑥,2𝑥2𝜕𝑥+𝑏𝑥𝑦, 𝑥𝑦2𝜕𝑥+𝑐𝑦 +𝜕𝑥}⊆ 𝐴2(ℂ)[𝑎, 𝑏, 𝑐]y de nuevo ≺el orden lexicográfico. Entonces obtenemos: {((𝑎, 𝑏, 𝑐),{𝜕𝑥}),((𝑎, 𝑏)⧵(𝑎, 𝑏, 𝑐),{𝜕𝑥, 𝑐𝑦}),((𝑏)⧵(𝑎, 𝑏),{𝜕𝑥, 𝑎𝑦}),(ℂ⧵(𝑏),{1})} Este ejemplo es mucho más intuitivo de ver. Lo que nos quiere decir este output es: - Cuando los tres parámetros son nulos, el conjunto 𝑃es de la forma {𝜕𝑥,2𝑥2𝜕𝑥, 𝑥𝑦2𝜕𝑥+ 𝜕𝑥}. Por lo que es claro que todos sus elementos se reducen, al calcular una base de Gröbner, a 𝜕𝑥. - Si hacemos 𝑎=𝑏= 0 y quitamos el origen, tendremos al sustituir {𝜕𝑥,2𝑥2𝜕𝑥, 𝑥𝑦2𝜕𝑥+ 𝑐𝑦 +𝜕𝑥}. Luego, en este caso, al reducir respecto de 𝜕𝑥todos los elementos, obtendremos que el último se reducirá a 𝑐𝑦 y por tanto tendremos que la base de Gröbner viene dada por {𝜕𝑥, 𝑐𝑦} - Cuando sustituimos 𝑏= 0 y quitamos los puntos donde también ocurre 𝑎= 0 obtenemos que la base de Gröbner viene dada por {𝜕𝑥, 𝑎𝑦}. - Por último, Cuando consideramos todos los puntos (𝑎, 𝑏, 𝑐)con 𝑏no nulo, obtenemos que la base de Gröbner es todo el espacio. El comando que se ha escrito directamente en Risa/Asir para el cálculo es newcgsw1([𝑎∗𝑥2∗𝑦+𝑏∗𝑦∗𝑑𝑦 +𝑑𝑥, 2 ∗ 𝑥2∗𝑑𝑥 +𝑏∗𝑥∗𝑦, 𝑦2∗𝑥∗𝑑𝑥 +𝑐∗ 𝑦+𝑑𝑥],[𝑎, 𝑏, 𝑐],[[𝑥, 𝑦],[𝑑𝑥, 𝑑𝑦]],2); Notar también que en este ejemplo se puede ver con mayor facilidad la recursión en la que se basa el algoritmo que vimos anteriormente. Estos ejemplos calculados en Risa/Asir mediante el comando anterior se han computado en menos de un segundo, aunque notar que con otros ejemplos se ha tenido que finalizar la operación ya que el programa no finalizada. Lo cual indica que el coste computacional de este algoritmo es enorme. 3.2 Recubrimientos de Gröbner para el cálculo de la 𝑏-función e ideales de Bernstein-Sato El cálculo de un recubrimiento de Gröbner de un ideal paramétrico dado, presenta varias aplicaciones directas del cálculo de las 𝑏-funciones al trabajar sobre el álgebra de Weyl con parámetros. En esta subsección vamos a usar el algoritmo para el cálculo 82 aspectos computacionales del polinomio de bernstein-sato de una singularidad de recubrimientos de Gröbner para calcular el ideal anulador 𝑠-paramétrico asociado a un conjunto de polinomios 𝑓1, ..., 𝑓𝑞∈𝐾[𝑢][𝑥]y, posterior a ello, estudiaremos los resultados ya conocidos para el cálculo del ideal de Bernstein-Sato y el polinomio de Bernstein-Sato por medio de estos recubrimientos de Gröbner, haciendo uso del ideal anulador 𝑠-paramétrico como hemos hecho hasta ahora. 3.2.1 CGS para el cálculo del ideal anulador 𝑠-paramétrico mediante el método de Briançon y Maisonobe Dados 𝑓1, ..., 𝑓𝑞polinomios no constantes en 𝐾[𝑥1, ..., 𝑥𝑛], vimos en la sección 2.4.2 un método para el cálculo del ideal anulador 𝑠-paramétrico asociado a 𝐹𝑠=𝑓𝑠1 1⋯𝑓𝑠𝑞 𝑞, donde 𝑠= (𝑠1, ..., 𝑠𝑞)eran nuevas variables a considerar. Este ideal anulador lo denotábamos y definíamos de la forma: Ann𝐴𝑛[𝑠](𝐹𝑠)={𝑝∈𝐴𝑛[𝑠]|𝑝⋅𝐹𝑠= 0} el cual se podía calcular mediante el ideal de Malgrange generado por los elementos: 𝜕𝑥𝑖+ 𝑞 ∑ 𝑘=1 𝜕𝑓𝑘 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑡𝑘, para todo 𝑖= 1, .., 𝑛 y 𝑠𝑗+𝑓𝑗𝜕𝑡𝑗, para todo 𝑗= 1, ..., 𝑞. Sobre el 𝐺-álgebra 𝐵=𝐴𝑛⊗𝐾𝐾⟨𝑠1, ..., 𝑠𝑞, 𝜕𝑡1, ..., 𝜕𝑡𝑞∶ {𝜕𝑡𝑗𝑠𝑘=𝑠𝑘𝜕𝑡𝑗−𝛿𝑗𝑘𝜕𝑡𝑗}⟩, calculando la intersección de este ideal con 𝐴𝑛[𝑠]. Es decir, si notamos por 𝐼al ideal generado por los elementos anteriores en 𝐵, entonces Ann𝐴𝑛[𝑠](𝐹𝑠) = 𝐼∩𝐴𝑛[𝑠]( [8]). Este algoritmo se puede traducir al cálculo de un recubrimiento de Gröbner sobre el ideal 𝐼con un orden de eliminación adecuado para las variables 𝜕𝑡𝑖, (como ya vimos en dicha sección, son las variables que queremos eliminar), de la siguiente forma. Algoritmo 3.2. ANN(𝑓1, ..., 𝑓𝑞) Input: 𝑓1, ..., 𝑓𝑞polinomios paramétricos en 𝐾[𝑢][𝑥], Output: = {(𝐸1, 𝑁1, 𝐺1),(𝐸2, 𝑁2, 𝐺2), ..., (𝐸𝑟, 𝑁𝑟, 𝐺𝑟)} tal que para todo 𝑎∈(𝐸𝑖)⧵ (𝑁𝑖), 𝜎𝑎(𝐺𝑖)es una base de Ann(𝜎𝑎(𝑓𝑠1 1𝑓𝑠2 2⋯𝑓𝑠𝑞 𝑞)) para todo 𝑖= 1, ..., 𝑟. BEGIN 3. recubrimientos de gröbner en pbw-álgebras 83 ←∅ 𝐼←{𝑠𝑗+𝑓𝑗𝜕𝑡𝑗, 𝜕𝑥𝑖+ 𝑞 ∑ 𝑘=1 𝜕𝑓𝑘 𝜕𝑥𝑖 𝑡𝑘|𝑖= 1, ..., 𝑛, 𝑗 = 1, ..., 𝑞} ≺{𝜕𝑡}←un orden de eliminación para {𝜕𝑡}sobre la base de monomios (𝑠, 𝑥, 𝜕𝑥, 𝜕𝑡) ←CGS({0},{1}, 𝐼, ≺{𝜕𝑡}) while  ≠ ∅do selecciona (𝐸, 𝑁, 𝐺)de  ←⧵{(𝐸, 𝑁, 𝐺)}; ←∪ {(𝐸, 𝑁, 𝐺 ∩𝐴𝑛[𝑠])} end-while return  END Notar que en CGS({0},{1}, 𝐼, ≺𝜕𝑡), estamos poniendo 𝐸= {0} y𝑁= {1} ya que queremos calcularlo en todo el espacio paramétrico sin imponer condiciones. También nptar que el algoritmo CGS está en un principio definido para un conjunto 𝑃∈𝐴𝑛[𝑢], pero en realidad se puede extender a una 𝑃 𝐵𝑊 -álgebra cualquiera ( [31]). 3.2.2 Ideales de Bernstein-Sato y 𝑏-función reducida mediante el algoritmo CGS Una vez calculado el ideal anulador 𝑠-paramétrico asociado a 𝑓𝑠(resp. a 𝐹𝑠=𝑓𝑠1 1⋯𝑓𝑠𝑞 𝑞), y sabiendo que ⟨𝑏𝑓(𝑠)⟩=(Ann𝐴𝑛[𝑠](𝑓𝑠)+⟨𝑓⟩)∩𝐾[𝑠], (resp. para los ideales de Bernstein- Sato ver sección 2.3), podemos construir por medio del uso de recubrimientos de Gröbner un algoritmo que calcule la 𝑏-función global asociada a 𝑓, (resp. los ideales de Bernstein-Sato), de la siguiente forma. Algoritmo 3.3. ParamBS({𝑓1, ..., 𝑓𝑞}, 𝐹 ) Input: 𝑓1, ..., 𝑓𝑞polinomios paramétricos en 𝐾[𝑢][𝑥];𝐹puede ser uno de los siguientes conjuntos {𝑓1⋯𝑓𝑞},{𝑓1, ..., 𝑓𝑞}ó{𝑓𝑗}, (también puede ser 𝐹=𝑓1un único polinomio). Output: = {(𝔸1, 𝐼𝐵1),(𝔸2, 𝐼𝐵2), ..., (𝔸𝑟, 𝐼𝐵𝑟)}, tal que para todo 𝑎∈𝔸𝑖,⟨𝜎𝑎(𝐼𝐵𝑖)⟩es el ideal de Bernstein-Sato asociado a 𝜎𝑎(𝐹), (en el caso 𝐹=𝑓1correspondería con la 𝑏-función global asociada a 𝜎𝑎(𝑓)1). BEGING ←∅ ≺𝑥∪𝜕𝑥 ←un orden monomial de eliminación para 𝑥∪𝜕𝑥sobre la base de monomios 90 aspectos computacionales del polinomio de bernstein-sato de una singularidad Como en nuestro caso 𝑏≠0, entonces viene dado por (𝑠+ 1)2(3𝑠+ 2)(3𝑠+ 4)(6𝑠+ 5)(6𝑠+ 7), que claramente concuerda con los valores del parámetro 𝑠que hacían la base de Gröbner reducida distinta de {1}. Este algoritmo se basa principalmente en el siguiente resultado. Teorema 3.3. Sea 𝑓∈𝐾[𝑢][𝑥]un polinomio paramétrico. Supongamos que aplicamos los siguientes pasos: 1) Ejecutar ANN(𝑓), (Alg. 3.2). 2) Aplicar el algoritmo CGS, (alg. 3.1) sobre Ann𝐴𝑛[𝑠](𝑓𝑠) + ⟨𝑓⟩en ℂ[𝑠]⟨𝑥, 𝜕𝑥⟩. Entonces el output siempre será √𝑏𝑓(𝑠)y todas las raíces de 𝑏𝑓(𝑠)=0como estrato, donde √𝑏𝑓(𝑠)es el polinomio libre de cuadrados de 𝑏𝑓(𝑠). Demostración. En el paso 2 estamos aplicando el algoritmo CGS sobre 𝐹=Ann𝐴𝑛[𝑠](𝑓𝑠)+ ⟨𝑓⟩con respecto a un orden monomial por bloques sujeto a 𝑠 << {𝑥, 𝜕𝑥} (𝑠 < 𝑥𝑖, 𝑠<𝜕𝑥𝑖para todo 𝑖= 1, ..., 𝑛). Como estamos considerando este único parámetro, obtendremos una única tripleta con 𝐸= {0} y𝑁= {1}. Como el generador de (Ann𝐴𝑛[𝑠](𝑓𝑠) + ⟨𝑓⟩) ∩ ℂ[𝑠]es la 𝑏-función de 𝑓y𝐺(en el algoritmo CGS) es la base de Gröbner reducida con respecto el orden monomial por bloques, entonces 𝑏𝑓(𝑠) ∈ 𝐺∩ℂ[𝑠]. Entonces, como MBlm(𝐺) = {1},(ℂ⧵(√𝑏𝑓(𝑠)),{𝑏𝑓(𝑠)}) es un segmento de CGS, por construcción de dicho algoritmo. Por último, como todas las raíces de 𝑏𝑓(𝑠)son racionales [18], la 𝑏-función 𝑏𝑓(𝑠)puede ser factorizada linealmente sobre [𝑠]. Por lo tanto, todas las raíces de la 𝑏-función aparecen en el estrato. Bibliografía [1] Andres, D. Algorithms for the computation of sato’s b-functions in algebraic d-module theory. Diploma tesis (2010). [2] Andres, D., Levandovskyy, V., and Martín-Morales, J. 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