Métricas equivalentes y existencia de puntos fijos para aplicaciones de tipo no-expansivo

Programa de Doctorado “Matem´aticas” Tesis M´ ETRICAS EQUIVALENTES Y EXISTENCIA DE PUNTOS FIJOS PARA APLICACIONES DE TIPO NO-EXPANSIVO ALFREDO Autor Alfredo Barrera Cuevas Directora Prof. Dra. M. ´ Angeles Jap´on Pineda 24 de marzo de 2015 Universidad de Sevilla Facultad de Matem´aticas Departamento de An´alisis Matem´atico M´ ETRICAS EQUIVALENTES Y EXISTENCIA DE PUNTOS FIJOS PARA APLICACIONES DE TIPO NO-EXPANSIVO ALFREDO Memoria presentada por Alfredo Barrera Cuevas para optar al grado de Doctor en Matem´aticas por la Universidad de Sevilla Fdo. D. Alfredo Barrera Cuevas Vo. Bo.: Directora del trabajo Fdo. Dra. D˜na. Mar´ıa ´ Angeles Jap´on Pineda Profesora Titular del Departamento de An´alisis Matem´atico de la Universidad de Sevilla 24 de marzo de 2015 i Agradecimientos En el a˜no 2010 me aventur´e a realizar el M´aster Universitario en Matem´atica Avanzada en la Universidad de Sevilla en mi af´an de no abandonar de manera activa las matem´aticas, una de mis grandes pasiones. Mientras rellenaba la matr´ıcula, no me imaginaba d´onde llegar´ıa y la hip´otesis de hacer un doctorado se antojaba m´as que ut´opica, debido a diversos factores que lo condicionaban. Cuando lleg´o el momento de desarrollar el Trabajo de Fin de M´aster, le propuse a un profesor relacionado con el ´area que me interesaba que me tutorizara, pero en esa ´epoca se encontraba enfrascado en un trabajo que absorb´ıa gran parte de su tiempo y comprendi´o que su tutorizaci´on no ser´ıa la adecuada. No obstante, se preocup´o enormemente por ello y se encarg´o, muy amablemente, de ponerme en contacto con alguien de su confianza, concretizando con sus propias palabras, que me dejaba en muy buenas manos. Me recomend´o a la profesora DaMar´ıa de los ´ Angeles Jap´on Pineda, a la cual yo no conoc´ıa personalmente. Mucho antes de terminar el Trabajo de Fin de M´aster comprend´ı en todo su esplendor las palabras de seguridad en s´ı mismo de aquel profesor, porque era cierto que me dej´o en las mejores manos. Nunca podr´e agradecer a Mari ´ Angeles todo lo que ha hecho por m´ı desde que comenzamos aquel trabajo hasta la finalizaci´on de esta tesis. A parte de su gran labor como investigadora, tutora y directora de tesis, hechos objetivos y evidentes, yo destacar´ıa su faceta humana. Ha sido sumamente paciente y comprensiva con mi situaci´on laboral y personal, que quiz´as no sea tan favorable para llevar a cabo el desarrollo de una tesis como la de un alumno que puede dedicar a ello todo el tiempo que desee. Adem´as, me ha animado en momentos de baj´on an´ımico y gracias a ella ha sido posible finalizar esta memoria. Quiz´as sea un t´opico, pero en este caso es absolutamente cierto que sin ella, esta tesis no existir´ıa a d´ıa de hoy, iii por su ayuda y apoyo, hechos que son conocidos hasta la saciedad por mis familiares y amigos m´as cercanos. Ha sido un inmenso placer conocerla y poder trabajar con ella. Desde que me decid´ı a estudiar Bachillerato y salir de mi pueblo para ello, los esfuerzos que han realizado mis padres para que, tanto mi hermano como yo, pudi´esemos alcanzar nuestros prop´ositos acad´emicos, han sido enormes. Ellos son dos personas cuya ilusi´on m´as grande en la vida es la de ver felices y realizados a sus hijos, a cualquier precio. Sacrificaron muchos momentos de diversi´on y placer para volcarse en nosotros. Fue duro porque hubo rachas econ´omicas muy desfavorables, pero nos demostraron que con ilusi´on, amor, compromiso y dedicaci´on todo es posible. Sus ense˜nanzas, que no est´an escritas en ning´un libro, son los mejores conocimientos que me he llevado en la vida. Mi padre nunca pis´o la escuela y mi madre lo hac´ıa por cortas temporadas anuales y aunque, por desgracia, jam´as comprender´an los conceptos que se exponen en esta tesis, s´e que son, con total seguridad, los que m´as valor le van a dar. A Anto la conoc´ı a mediados de 2000 y a principios de 2001 comenz´o la mejor etapa de mi vida. Ella ha estado desde entonces a mi lado en todos los acontecimientos. Me ha apoyado en momentos de debilidad, me ha ayudado en en momentos de dificultad y tambi´en ha disfrutado conmigo los instantes de esplendor. Fue ella la que m´as me anim´o y alent´o para realizar esta tesis y siempre estuvo a mi lado sin pedir nada a cambio. Hubo incluso una ocasi´on donde estuve a punto de abandonar y ella se convirti´o en mi psic´ologa y consejera para convencerme que estaba muy cerca de conseguirlo, que deb´ıa hacerlo por mis padres y por ella, que se sentir´ıan muy orgullosos de m´ı, por Mari ´ Angeles, por todo su trabajo y comprensi´on, y por m´ı mismo, por el hecho de que no hay satisfacci´on m´as grande que la de cumplir un sue˜no. De todo lo bueno que me ha ofrecido, destacar´ıa su amistad y amor incondicionales, y le doy las gracias por haberme dado a Javier y ´ Alvaro, los dos faros que iluminan mi vida cada d´ıa y me gu´ıan ante el reto m´as grande y hermoso al que me enfrentar´e jam´as, el de ser padre. Ella, junto a mis padres, es la persona que m´as orgullosa est´a de que esta tesis haya sido culminada. Por ´ultimo, tambi´en me gustar´ıa acordarme de todos mis familiares y amigos que siempre me han apoyado y confiado en m´ı. S´e que a todos, en un sentido u otro, les he robado algo irrecuperable, que es el tiempo de dedicaci´on. A partir de ahora mi reto es ese, recompensarlos y recuperar parte de ese tiempo, llam´emoslo no dedicado a ellos, porque no puedo decir que haya sido un tiempo perdido, sino invertido en cumplir un sue˜no. iv Proverbios y Cantares ALFREDO XXIX Caminante, son tus huellas el camino y nada m´as; Caminante, no hay camino, se hace camino al andar. Al andar se hace el camino, y al volver la vista atr´as se ve la senda que nunca se ha de volver a pisar. Caminante no hay camino sino estelas en la mar. XLIV Todo pasa y todo queda, pero lo nuestro es pasar, pasar haciendo caminos, caminos sobre la mar. ALFREDO Antonio Machado. A mis padres y hermano. A Anto. A Javier y ´ Alvaro. v ´ Indice general Introducci´on IX 1 Preliminares 1 2 Normas Secuencialmente Separadoras 13 2.1. Primeras nociones y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2. Propiedades........................... 20 3 Normas equivalentes con la FPP 31 3.1. Normas secuencialmente separadoras y la FPP . . . . . . . . 31 3.2. Demostraci´on del Teorema de renormamiento con la FPP . . 34 3.3. Aplicaciones a algunos espacios de sucesiones de Musielak- Orlicz .............................. 41 3.4. Construcci´on de espacios de Banach no reflexivos renormablesconlaFPP......................... 44 3.5. La FPP en algunos espacios de Banach definidos como suma directa de espacios de dimensi´on infinita . . . . . . . . . . . 47 3.6. Algunas propiedades lineales de las normas en P(X) con la FPP ............................... 50 3.7. Extensi´on a operadores de tipo (L) . . . . . . . . . . . . . . 53 4 Relaciones con la Geometr´ıa del espacio de Banach 54 4.1. Geometr´ıa de los espacios de Banach con norma secuencialmenteseparadora........................ 54 4.2. Relaci´on del coeficiente S(X, p) con otros coeficientes geom´etricosconocidos .......................... 61 vii 1Preliminares Sean Cun conjunto y T:C→Cuna aplicaci´on. Diremos que x∈C es un punto fijo de Tsi Tx =x. La Teor´ıa M´etrica de Punto Fijo estudia la existencia de tales puntos bajo condiciones que dependen de la m´etrica considerada y que, por lo general, no se conservan si cambiamos la m´etrica por otra equivalente. Este no es el caso de otros resultados de punto fijo muy conocidos, como son el teorema de Brouwer o el Teorema de Schauder: Teorema 1.1. (Teorema del punto fijo de Brouwer, 1912). Sea Bn⊂Rnla bola unidad cerrada y sea T:Bn→Bnuna aplicaci´on continua. Entonces Ttiene punto fijo. En 1930 Schauder [54] demuestra una generalizaci´on del resultado anterior para espacios de dimensi´on infinita. Teorema 1.2. (Teorema de Schauder) Sea Xun espacio de Banach y K⊂Xconvexo y compacto para la norma. Si T:K→Kes continua, entonces existe x∈Ktal que T(x) = x. Finalmente, en 1935 el teorema de punto fijo de Schauder fue generalizado a espacios vectoriales localmente convexos por Tychonoff [55]. Obs´ervese que la continuidad de la aplicaci´on es un invariante topol´ogico y no depende de la norma equivalente considerada. La Teor´ıa M´etrica del Punto Fijo tiene sus or´ıgenes con el Teorema la Aplicaci´on Contractiva de Banach, probado por S. Banach en su tesis en 1922. 1 Recordemos que dado un espacio m´etrico (C, d), una aplicaci´on T: C→Cse dice que es contractiva si existe una constante k < 1 tal que d(Tx, Ty)≤kd(x, y) para todo x, y ∈C. Teorema 1.3. (Principio de la Aplicaci´on Contractiva). Sea (C, d)un espacio m´etrico completo. Si T:C→Ces una aplicaci´on contractiva entonces Ttiene un ´unico punto fijo. Adem´as, la sucesi´on (Tnx0)converge a hacia el punto fijo, para cualquier x0∈Cfijado. Una simple traslaci´on en Rnmuestra que resultado anterior no es cierto si relajamos la condici´on de contractividad, permitiendo que la constante k sea igual a uno. Dado un espacio m´etrico (C, d) diremos que T:C→Ces no-expansiva si d(Tx, Ty)≤d(x, y) para todo x, y ∈C. Los primeros resultados positivos de existencia de puntos fijos para aplicaciones no-expansivas aparecieron en 1965 en el entorno de subconjuntos convexos, cerrados y acotados de un espacio de Banach. Definici´on 1.4. Sea Xes un espacio de Banach y C⊂X, se dice que: Ces convexo si para todo λ∈[0,1] se tiene que λC + (1 −λ)C⊂C. Ces acotado si existe M∈Rtal que para todo x∈Cse tiene que kxk ≤ M. Ces cerrado si lo es para la topolog´ıa generada por la norma en el espacio X. Recordemos a continuaci´on algunos ejemplos de espacios de Banach de sucesiones cl´asicos: Definici´on 1.5. Se define el espacio c0como c0=n{an}∞ n=1 ⊂R: l´ım n→∞ an= 0o, dotado de la norma k{an}∞ n=1k∞= m´ax{|an|:n∈N}. Se define el espacio `p, para todo 1≤p < ∞, como `p=({an}∞ n=1 ⊂R: ∞ X n=1 |an|p<∞), dotado de la norma k{an}∞ n=1kp= ∞ X n=1 |an|p!1 p . 2 Cap´ıtulo 1 Preliminares Se define el espacio `∞como `∞={{an}∞ n=1 ⊂R:{an}∞ n=1 est´a acotada}, dotado de la norma k{an}∞ n=1k∞= sup{|an|:n∈N}. Definici´on 1.6. Un espacio de Banach Xse dice que es uniformemente convexo si para todo ε∈(0,2] existe δ > 0tal que para cualesquiera x, y ∈ BXcon kx−yk>  se cumple     x+y 2   ≤1−δ. Teorema 1.7. (F.E. Browder, D. G¨ohde, 1965) Sea Xun espacio de Banach uniformemente convexo, Cun subconjunto convexo, cerrado y acotado de XyT:C→Cuna aplicaci´on no-expansiva. Entonces Ttiene punto fijo. Definici´on 1.8. Se dice que un espacio de Banach Xtiene la propiedad del punto fijo (FPP) si para todo C⊆Xconvexo, cerrado y acotado y para toda aplicaci´on T:C→Cno-expansiva, existe x∈Ctal que Tx =x. Por tanto, el resultado anterior muestra que los espacios uniformemente convexos cumplen la FPP. Usando la igualdad del paralelogramo, no es dif´ıcil comprobar que los espacios de Hilbert son tambi´en uniformemente convexos y que por tanto verifican la FPP. Por otra parte, estos resultados tampoco pueden generalizarse si la aplicaci´on es Lipschitziana con constante k > 1, es decir, si kTx −Tyk ≤ kkx−ykpara todo x, y ∈Cy para alg´un k > 1. En efecto, sea H=`2,BH la bola unidad cerrada, sea  > 0 y se considera la aaplicaci´on T:BH→BH dada por: T(x1, x2,···)=((1 −kxk2), x1, x2, ...). Es f´acil ver que Tno tiene puntos fijos y es Lipschitziana con constante k= (1 + 2)1 2. M´as generalmente, P.K. Lin e Y. Sternfeld demostraron [45] que si Ces un subconjunto convexo y no compacto de un espacio de Banach X, entonces para todo k > 1 existe un operador T:C→Ccuya constante de Lipschitz es igual a ky tal que Tno posee puntos fijos. Ejemplo 1.9. Los espacios de Hilbert, los espacios (`p,k.kp) y los (Lp,k.kp) con 1 <p<+∞son uniformemente convexos y por tanto cumplen la FPP. 3 En el mismo a˜no, el resultado de F.E. Browder y D. G¨ohde fue generalizado por W.A. Kirk [39] para espacios de Banach con estructura normal. Definici´on 1.10. Sean Xun espacio de Banach y Cun subconjunto de X acotado con diam(C)>0. Decimos que x0∈Ces un punto diametral si sup x∈Ckx−x0k=diam(C). El conjunto Cse llama diametral si todos sus puntos son diametrales. No es dif´ıcil comprobar que todo subconjunto Cno trivial, convexo y compacto para la topolog´ıa de la norma, contiene un punto que no es diametral, es decir, existe x0∈Ctal que sup x∈Ckx−x0k< diam(C). Definici´on 1.11. Un espacio de Banach Xse dice que tiene estructura normal (NS) si todo subconjunto convexo, cerrado, acotado de Xcon di´ametro positivo, contiene un punto no diametral. La estructura normal en un espacio de Banach fue definida por Brodskii y Milman [8] en 1948 relacionada con problemas de An´alisis Lineal. Posteriormente adquiri´o gran importancia en Teor´ıa M´etrica de Punto Fijo con el siguiente resultado de W.A. Kirk que la relaciona con la propiedad del punto fijo. Teorema 1.12. (W.A. Kirk, 1965) Sea Xun espacio de Banach reflexivo que con NS. Entonces Xtiene la FPP. La implicaci´on en sentido contrario no se cumple, ya que existen espacios reflexivos con la FPP que no tienen estructura normal. En 1976, L.A. Karlovitz dio un ejemplo en [38] de dichos espacios. Ejemplo 1.13. Sea `2dotado de la norma equivalente kxk= m´ax kxk∞,kxk2 √2 El espacio (`2,k.k) tiene la FPP, pero no tiene NS. Existen otras propiedades geom´etricas que aseguran la FPP en espacios de Banach reflexivos. Algunos ejemplos son las siguientes: (D. van Dulst y B. Sims [23]) Sea Xun espacio de Banach reflexivo que verifica la condici´on de Kadec Klee uniforme. Entonces Xtiene la FPP. 4 Cap´ıtulo 1 Preliminares (J.P. Gossez y E. Lami Dozo [28]) Sea Xun espacio de Banach reflexivo que verifica la condici´on de Opial uniforme. Entonces Xtiene la FPP. (P.K. Lin [42]) Sea Xun espacio de Banach reflexivo para el cual existe una base 1-incondicional. Entonces Xtiene la FPP. Para estos resultados y otros relacionados se puede consultar las referencias [3], [27], [40]. Hay que destacar que la no-expansividad de una aplicaci´on depende fuertemente de la norma que estemos considerando. El conjunto de aplicaciones no-expansivas puede cambiar si cambiamos la norma por otra equivalente. Dado un espacio de Banach (X, k.k), se define el conjunto de las normas equivalentes como P(X) := {p:X→[0,+∞) : pes norma equivalente a k.k}. Recordemos que dos normas k.ky|.|son equivalentes si existen m, M > 0 tales que para todo x∈Xse tiene que mkxk ≤ |x| ≤ Mkxk. En este caso decimos que (X, |.|) es un renormamiento de (X, k.k). Hemos comprobado que ciertas clases de espacios de Banach tienen la FPP. Tambi´en existen espacios de Banach que no verifican dicha propiedad: ejemplos cl´asicos son los espacios de sucesiones `1yc0dotados de sus normas habituales. Ejemplo 1.14. 1. El espacio (`1,k.k1) no cumple la FPP. Sean C=(∞ X n=1 tnen:tn≥0, ∞ X n=1 tn= 1) el cual es un subconjunto convexo, cerrado y acotado de `1. Se considera la aplicaci´on T:C→Cdefinida por T(x) = T ∞ X n=1 tnen!= ∞ X n=1 tnen+1. Tes no-expansiva y sin puntos fijos. 5 2. El espacio (c0,k.k∞) no tiene la FPP. Sea C=(∞ X n=1 tnen: 0 ≤tn≤1), que es convexo, cerrado y acotado. Se define T:C→dada por T(x) = T ∞ X n=1 tnen!=e1+ ∞ X n=1 tnen+1, Tes no-expansiva y sin puntos fijos. Durante m´as de cuarenta a˜nos, se hab´ıan publicado numerosos resultados estudiando la conjetura “FPP⇐⇒ reflexividad”, obteni´endose soluciones parciales pero sin llegar a resolver el problema. En dichos intentos, las copias asint´oticamente isom´etricas de `1yc0jugaron un papel fundamental. Antes de introducir las definiciones correspondientes vamos a recordar el Teorema de distorsi´on de James. En el a˜no 1964, R.C. James [35] demuestra el siguiente resultado: Teorema 1.15. (Teorema de distorsi´on de James). Sea puna norma equivalente en `1. Entonces para cada ∈(0,1) existe una sucesi´on (xn)en `1 tal que (1 −) ∞ X n=1 |tn| ≤ p ∞ X n=1 tnxn!≤ ∞ X n=1 |tn| para todo (tn)∈`1. James obtiene un resultado similar para para el espacio c0, con p∈ P(c0) y considerando la norma usual k·k∞. Analizando la demostraci´on del Teorema de James, se consigue obtener una copia casi isom´etrica de `1, es decir una sucesi´on (xn) que cumple (1 −m) ∞ X n=m|an| ≤ p ∞ X n=m anxn!≤ ∞ X n=m|an|. para una sucesi´on (n) con l´ım nn= 0. Es decir, todo renormamiento de `1 contiene una copia casi isom´etrica de `1. El papel que juega la sucesi´on (n) en la desigualdad anterior motiv´o a J. Hagler a introducir la siguiente definici´on: 6 Cap´ıtulo 1 Preliminares Definici´on 1.16. (J. Hagler, 1972) Un espacio de Banach Xcontiene una copia asint´oticamente isom´etrica (c.a.i.) de `1si existen una sucesi´on (xn) en Xy una sucesi´on (n)en (0,1) con n→n0tales que ∞ X n=1 (1 −n)|tn| ≤      ∞ X n=1 tnxn    ≤ ∞ X n=1 |tn|,∀(tn)∈`1. J. Hagler prob´o que un espacio de Banach tiene una copia asint´oticamente isom´etrica de `1si y solo si su dual contiene una copia isom´etrica de L1[0,1], generalizando as´ı un resultado anterior de A. Pelczy´nski para copias isomorfas de `1. Esta noci´on fue recuperada por P.N. Dowling y C.J. Lennard, los cuales definieron un concepto similar en el caso de c0: Definici´on 1.17. (P.N. Dowling, C.J. Lennard, 1997) Se dice que un espacio de Banach (X, k.k)contiene una copia asint´oticamente isom´etrica (c.a.i.) de c0si existen una sucesi´on (xn)en Xy una sucesi´on (n)en (0,1) con l´ım nn= 0 tales que sup n∈N (1 −n)|tn| ≤      ∞ X n=1 tnxn    ≤sup n∈N|tn|,∀(tn)∈c0. Finalmente, estas definiciones se relacionan con la propiedad de punto fijo de la siguiente forma: Teorema 1.18. (P.N. Dowling, C.J. Lennard, 1997) Si un espacio de Banach (X, k·k)tiene una c.a.i. de `1o de c0, entonces (X, k·k)no cumple la FPP. Demostraci´on: Vamos a mostrar la prueba en el caso de que el espacio Xtenga una c.a.i. de `1. La demostraci´on para el caso en que tuviera c.a.i. de c0es an´aloga tomando convenientemente el conjunto Cdonde se define la aplicaci´on Tque no tiene punto fijo. La idea consiste en incluir de alguna forma el ejemplo anterior de una aplicaci´on no-expansiva sin puntos fijos definida en un subconjunto convexo, cerrado y acotado de `1, al espacio de Banach X. Tomemos una sucesi´on {xn} ⊂ Xtal que para todo x= ∞ X n=1 anen∈`1 se verifique: 7 ∞ X n=1 (1 −n)|an| ≤      ∞ X n=1 anxn    ≤ ∞ X n=1 |an|. En primer lugar, notemos que esto implica que kxnk ≤ 1. Tomemos una sucesi´on estrictamente decreciente λn∈(1,+∞) con l´ım n→∞ λn= 1. Sin p´erdida de generalidad, tomando una subsucesi´on si fuese necesario, podemos suponer que λn+1 <(1 −n)λn. Sea C=co{λnxn}, que es un subconjunto no vac´ıo, cerrado, acotado y convexo. Sea yn=λnxn. Se puede probar que x∈Csi y solo si x= ∞ X n=1 γnyn, con γn≥0 y ∞ X n=1 γn= 1. Se define T:C→Cpor T ∞ X n=1 γnyn!= ∞ X n=1 γnyn+1.Tes una aplicaci´on que no tiene puntos fijos. Queda probar que es no-expansiva. Tomemos x= ∞ X n=1 tnyney= ∞ X n=1 snyn, entonces kTx −Tyk=     ∞ X n=1 (tn−sn)yn+1    ≤ ∞ X n=1 |tn−sn|kyn+1k ≤ ≤ ∞ X n=1 |tn−sn|λn+1 < ∞ X n=1 |tn−sn|(1 −n)λn≤ ≤ ∞ X n=1 k(tn−sn)ynk=kx−yk. De hecho, en realidad de se prueba que kTx −Tyk<kx−ykpara todo x, y ∈C. Tras la dificultad de encontrar ejemplos concretos de aplicaciones noexpansivas sin puntos fijos en un espacio de Banach en general, con el resultado anterior conocemos que todos los subespacios infinito dimensionales de (`1,k·k1), todo subespacio no reflexivo de (L1[0,1],k·k1) o todo espacio de Orlicz no reflexivo dotado con la norma de Orlicz, no tienen la FPP porque estos espacios contienen una copia asint´oticamente isom´etrica de `1[17], [16]. Lo mismo ocurre por ejemplo para todos los subespacios infinito dimensionales de (c0,k·k∞) o los espacios no reflexivos de K(H) (los operadores 8 Cap´ıtulo 1 Preliminares lineales y compactos en un espacio de Hilbert con la norma usual). Estos espacios no cumplen la FPP porque contienen una copia asint´otica de c0 (ver [40], Cap´ıtulo 9). Por otra parte, si Γ es no numerable, todo renormamiento de `1(Γ) y de c0(Γ) contienen una copia asint´oticamente isom´etrica de `1o de c0 respectivamente. Este resultado muestra que `1(Γ) y c0(Γ) no pueden ser renormados para tener la FPP. Lo mismo ocurre para el espacio de sucesiones `∞, ya que este espacio contiene a un `1(Γ) para Γ no numerable (ver [40], Cap´ıtulo 9). Surge entonces la cuesti´on de si todo renormamiento de `1o de c0contie- ne una copia asint´otica de `1oc0respectivamente. La respuesta es negativa en ambos casos. Consideremos el caso de renormamientos de `1: Ejemplo 1.19. [17] Sea (γk) una sucesi´on en (0,1) tal que γk→1. Definimos la siguiente norma |||(tn)||| = sup k γk ∞ X n=k|tn|,∀(tn)∈`1. Se tiene que (`1,|||.|||) es un renormamiento de (`1,k.k1) el cual no tiene c.a.i de `1. Adem´as es f´acil comprobar que γ1kxk1≤ |||x||| ≤ kxk1para todo x∈`1, por tanto se pueden conseguir renormamientos sin tales copias tan cerca como se quiera de la norma usual de `1. Finalmente, P.K. Lin demostr´o [43] que este espacio s´ı cumple la FPP. Teorema 1.20. (P.K. Lin, 2008) El espacio (`1,|||.|||)tiene la FPP. Como conclusi´on, para un espacio de Banach tener la FPP no implica ser reflexivo, respondiendo de forma negativa a una de las implicaciones de la conjetura de W.A. Kirk. Tras el art´ıculo de P.K. Lin, varios autores han obtenido otras normas equivalentes en `1con la FPP u otros espacios no-reflexivos que tambi´en pueden renormarse para cumplir la FPP (ver por ejemplo [25], [33], [34], [21], [44]). Los resultados obtenidos en estos art´ıculos y relacionados con el contenido de la Tesis ser´an enunciados a lo largo de la Memoria. 9 2.1 Primeras nociones y ejemplos Definici´on 2.5. Sea Xun espacio de Banach con base de Schauder y sea p∈ P(X). Definimos el coeficiente de separaci´on secuencial de la norma p(·)como S(X, p) := l´ım kSk(X, p). Este coeficiente se relaciona con la separaci´on secuencial de la norma definida anteriormente de la siguiente forma: Lema 2.6. Sea p(·)una norma en un espacio de Banach Xcon base de Schauder. Entonces p(·)es secuencialmente separadora si y solo si S(X, p) = 1. Demostraci´on. Supongamos primero que S(X, p) = 1 y tomemos  > 0. Como la sucesi´on (Sk(X, p))kdecrece a 1, podemos escoger un k0∈Ntal que Sk0(X, p)≤1 + , por tanto: p(x)+l´ım sup n p(xn)≤Sk0(X, p) l´ım sup n p(x+xn)≤(1+) l´ım sup n p(x+xn) siempre que k0≤xy (xn) sea una sucesi´on bloque. Supongamos ahora que p(·) es una norma secuencialmente separadora. Tomemos  > 0, entonces existe k0∈Ntal que p(x) + l´ım sup n p(xn)≤(1 + ) l´ım sup n p(x+xn) siempre que k0≤xy (xn) sea una sucesi´on bloque. Por tanto, para todo k≥k0se tiene que 1≤Sk(X, p)≤Sk0(X, p)≤1 + , lo que implica que S(X, p) = 1.  Vamos a dar los primeros ejemplos donde calcularemos los coeficientes de separaci´on secuencial en algunos espacios cl´asicos. Ejemplo 2.7. Sea (`1,k.k1), dotado de la base de Schauder habitual {en} de vectores unitarios. Se cumple que S(`1,k.k1) = Sk(`1,k.k1) = 1, para todo k∈N. De hecho, para toda norma p(·) que verifique la condici´on (∗) en un espacio de Banach Xcon base de Schauder, se cumple S(X, p) = Sk(X, p) = 1, para todo k∈N. 16 Cap´ıtulo 2 Normas Secuencialmente Separadoras Ejemplo 2.8. Consideremos la siguiente norma en el espacio `1: kxk1,∞= m´ax{kx+k1,kx−k1}. Esta norma satisface que 1 2kxk1≤ kxk1,+∞≤ kxk1, lo cual implica que Sk(`1,k·k1,∞)≤2, ya que si k≤xy (xn) es una sucesi´on bloque, se tiene que kxk1,∞+ l´ım supnkxnk1,∞ l´ım supnkx+xnk1,∞≤kxk1+ l´ım supnkxnk1 1 2l´ım supnkx+xnk1 = 2, y tomando supremo en kya se cumple. Tomando x=ekyxn=−en, se tiene que Sk(`1,k·k1,∞) = 2 para todo k∈Ny por tanto S(`1,k·k1,∞) = 2. Ejemplo 2.9. Sea (`r,k.kr), siendo r > 1, dotado de la base de Schauder habitual. Se cumple que S(`r,k.kr) = Sk(`r,k.kr)=2r−1 r, para todo k∈N. En efecto. Veamos en primer lugar que si xyse cumple que kxkr+kykr≤2r−1 rkx+ykr. Para ello basta probar que a+b≤2r−1 r(ar+br)1 r,∀a, b ∈R despu´es se toman a=kxkryb=kykry ya estar´ıa probado. Tomemos la funci´on f: [a, b]→Rdada por f(x) = xr(r > 1). Esta funci´on es convexa, luego se cumple que fa+b 2≤f(a) + f(b) 2,es decir, a+b 2r ≤ar+br 2, lo cual implica la desigualdad buscada. Ya que (xn) es una suceci´on bloque, existir´a n0tal que para todo n≥n0 los vectores xyxnser´an de soportes disjuntos. Por tanto, para todo n≥n0 se cumple que kxkr+kxnkr≤2r−1 rkx+xnkr, y tomando l´ımite, se tiene que kxkr+ l´ım sup nkxnkr≤2r−1 rl´ım sup nkx+xnkr. Por tanto 17 2.1 Primeras nociones y ejemplos Sk(`r,k.kr) = sup kxkr+ l´ım supnkxnkr l´ım supnkx+xnkr :k≤x; (xn) sucesi´on bloque≤ ≤sup (2r−1 rl´ım supnkx+xnkr l´ım supnkx+xnkr :k≤x; (xn) sucesi´on bloque)= 2r−1 r. Veamos que se alcanza el valor 2r−1 r. Si tomamos los vectores x=ek, xn=en, siendo n>kse cumple que kekkr+kenkr kek+enkr =1+1 21 r = 2r−1 r. Ejemplo 2.10. Sea c0, dotado de la base de Schauder de vectores unitarios habitual. Se cumple que S(c0,k.k∞) = Sk(c0,k.k∞) = 2, para todo k∈N. Veamos en primer lugar que si k≤xy (xn) es una sucesi´on bloque, se cumple que kxk∞+ l´ım sup nkxnk∞≤2 l´ım sup nkx+xnk∞. Sean x= m X i=k xiei, xn= qn X i=pn xn iei. Ya que (xn) es una sucesi´on bloque, existir´a n0tal que para todo n≥n0 los vectores xyxnser´an de soportes disjuntos. Por tanto, para todo n≥n0 se cumple que kxk∞+kxnk∞= sup k≤i≤m{|xi|}+ sup i≥m+1{|xn i|} ≤ ≤sup i≥k{|xi+xn i|}+ sup i≥k{|xi+xn i|} = 2kx+xnk∞. Tomando l´ımites se tiene la desigualdad buscada. Por tanto Sk(c0,k.k∞) = sup kxk∞+ l´ım supnkxnk∞ l´ım supnkx+xnk∞ :k≤x, (xn) sucesi´on bloque≤ ≤sup 2 l´ım supnkx+xnk∞ l´ım supnkx+xnk∞ :k≤x, (xn) sucesi´on bloque= 2. 18 Cap´ıtulo 2 Normas Secuencialmente Separadoras Veamos que se alcanza el valor 2. Si tomamos el vector x=eky la sucesi´on xn=en. Para todo n>kse cumple que kekk∞+kenk∞ kek+enk∞ =1+1 1= 2. Observaci´on 2.11. El valor del coeficiente S(X, p) puede depender de la base de Schauder que se tome en el espacio de Banach X. Por ejemplo, si tomamos en c0la base de Schauder sumante (sn), donde sn=e1+ . . . +en, entonces S(c0,k.k∞) = Sk(c0,k.k∞) = 3. En efecto, n´otese que si x= q X k=p xnsn, entonces kxk∞= sup n≤k≤q q X n=k xn. Veamos en primer lugar que si k≤xy (xn) es una sucesi´on bloque, se cumple que kxk∞+ l´ım sup nkxnk∞≤3 l´ım sup nkx+xnk∞. Sean x= m X i=k xisi, xn= qn X i=pn xn isi. Ya que (xn) es una sucesi´on bloque, existir´a n0tal que para todo n≥n0 los vectores xyxnser´an de soportes disjuntos. Por tanto, para todo n≥n0 se cumple lo siguiente: Por una parte kx+xnk∞= sup k≤i≤m;j≥m+1 ( m X r=i xr+ ∞ X r=m+1 xn r; ∞ X r=j xn r). Por otra parte kxk∞= sup k≤i≤m( m X r=i xr)= sup k≤i≤m( m X r=i xr+ ∞ X r=m+1 xn r− ∞ X r=m+1 xn r)≤ ≤sup k≤i≤m( m X r=i xr+ ∞ X r=m+1 xn r+ ∞ X r=m+1 xn r)= = sup k≤i≤m( m X r=i xr+ ∞ X r=m+1 xn r)+ ∞ X r=m+1 xn r≤ 19 2.2 Propiedades ≤ kx+xnk∞+kx+xnk∞= 2kx+xnk∞. Adem´as kxnk∞= sup i≥m+1 ( ∞ X r=i xn r)≤ kx+xnk∞, con lo que kxk∞+kxnk∞≤3kx+xnk∞, y tomando l´ımites kxk∞+ l´ım sup nkxnk∞≤3 l´ım sup nkx+xnk∞. Por tanto, con respecto a la base sumante, se tiene que Sk(c0,k.k∞) = sup kxk∞+ l´ım supnkxnk∞ l´ım supnkx+xnk∞ :k≤x, (xn) sucesi´on bloque≤ ≤sup 3 l´ım supnkx+xnk∞ l´ım supnkx+xnk∞ :k≤x, (xn) sucesi´on bloque= 3. Veamos que se alcanza el valor 3. Si tomamos los vectores x=−sk, xn=1 2sn, se cumple que k−skk∞+ l´ım supnk1 2snk∞ k−sk+1 2snk∞ =1 + 1 2 1 2 = 3. A lo largo de la Memoria, la base de Schauder considerada en los diferentes espacios de Banach de sucesiones ser´a la habitual {en}, donde enes el vector que tiene un uno en la coordenada ny cero en el resto. 2.2. Propiedades En esta secci´on vamos a estudiar nuevas propiedades de los coeficientes de separaci´on secuencial. Como una primera consecuencia deduciremos que siempre est´an bien definidos, es decir, para todo espacio de Banach con base de Schauder, Sk(X, p)<+∞para todo k∈Ny para todo p∈ P(X). 20 Cap´ıtulo 2 Normas Secuencialmente Separadoras Proposici´on 2.12. Sea Xun espacio de Banach con base de Schauder. Sea p∈ P(X). Se cumplen las siguientes propiedades: 1. Sea q∈ P(X)tal que ap(x)≤q(x)≤bp(x)∀x∈X, siendo a, b > 0. Entonces a bSk(X, p)≤Sk(X, q)≤b aSk(X, p). 2. Si Y⊆Xes un subespacio bloque, es decir, Yest´a generado por una sucesi´on bloque de la base de Schauder, entonces Sk(Y, p)≤Sk(X, p) para todo k∈N. 3. Sea q∈ P(X)una norma bimon´otona. Entonces Sk(X, q)≤2para todo k∈N. Demostraci´on. 1. Observemos que q(x) + l´ım sup n q(xn)≤b(p(x) + l´ım sup n p(xn)) y que l´ım sup n q(x+xn)≥al´ım sup n p(x+xn),∀x∈Xy∀(xn)⊆X, por tan- to Sk(X, q) = sup q(x) + l´ım supnq(xn) l´ım supnq(x+xn):k≤x; (xn) sucesi´on bloque ≤sup b(p(x) + l´ım supnp(xn)) al´ım supnp(x+xn):k≤x; (xn) sucesi´on bloque =b aSk(X, p). Por otra parte, se tiene que q(x) + l´ım sup n q(xn)≥a(p(x) + l´ım sup n p(xn)) y l´ım sup n q(x+xn)≤bl´ım sup n p(x+xn), para todo x∈Xy toda (xn)⊆X, por tanto 21 2.2 Propiedades Sk(X, q) = sup q(x) + l´ım supnq(xn) l´ım supnq(x+xn):k≤x; (xn) sucesi´on bloque ≥sup a(p(x) + l´ım supnp(xn)) bl´ım supnp(x+xn):k≤x; (xn) sucesi´on bloque =a bSk(X, p). 2. En primer lugar veremos que para todo z∈Y, podemos obtener z∈Xa partir de ztal que supp(z)⊂supp(z) con m´ın supp(z) = m´ın supp(z), sup supp(z) = sup supp(z). Al ser Yun subespacio bloque de X, existe una sucesi´on de escalares (ai) y una sucesi´on de enteros (mj), tales que para todo j∈Nse define un vector uj= mj+1 X i=mj+1 aiei6= 0, donde la sucesi´on (uj) es una base de Schauder de Y. Sea z= s X j=r zjuj∈Y, entonces podemos escribir z= s X j=r zj mj+1 X i=mj+1 aiei =zr mr+1 X i=mr+1 aiei+zr+1 mr+2 X i=mr+1+1 aiei+. . . +zs ms+1 X i=ms+1 aiei =X i∈I ziaiei= ms+1 X i=mr+1 ziei=: z, donde I={mr+1, mr+2, . . . , mr+1, mr+1+1, . . . , mr+2,...ms+1,...ms+1}. Con lo cual, todo vector de Ycon k≤xest´a en Xcon k≤x. Adem´as si (xn) es una sucesi´on bloque en Y, es tambi´en una sucesi´on bloque en X, por tanto, Sk(Y, p)≤Sk(X, p) para todo k∈N. 3. Por ser quna norma bimon´otona, para todo x∈Xtal que k≤xy toda (xn) sucesi´on bloque se cumple que q(x)≤l´ım sup n q(x+xn), por 22 Cap´ıtulo 2 Normas Secuencialmente Separadoras ser premon´otona y l´ım sup n q(xn)≤l´ım sup n q(x+xn), por ser mon´otona. Por tanto, Sk(X, q) = sup q(x) + l´ım supnq(xn) l´ım supnq(x+xn):k≤x; (xn) sucesi´on bloque≤ ≤sup l´ım supnq(x+xn) + l´ım supnq(x+xn) l´ım supnq(x+xn):k≤x; (xn) sucesi´on bloque= = sup 2 l´ım supnq(x+xn) l´ım supnq(x+xn):k≤x; (xn) sucesi´on bloque= 2.  Como consecuencia podemos deducir: Corolario 2.13. Sea Xun espacio de Banach con base de Schauder, entonces Sk(X, p)<+∞, para toda p∈ P(X). Demostraci´on. Esta propiedad es cierta debido al hecho de que siempre podemos encontrar una norma q∈ P(X) la cual es bimon´otona. En efecto, sea p∈ P(X) y definimos q(x) := sup n<m;n,m∈N(p m X i=n xiei!). N´otese que si la norma pes bimon´otona, entonces p(·) = q(·). Tambi´en es f´acil comprobar que q∈ P(X), de hecho se cumple que p(x)≤q(x)≤2kp(x), siendo kla constante b´asica de la base de Schauder para la norma p. Veamos que es bimon´otona: Por una parte, q(Qkx) = sup k≤n<m (p m X i=n xiei!)≤sup n<m (p m X i=n xiei!)=q(x), lo cual prueba que es premon´otona. Por otra parte, q(Pkx) = sup n<m≤k(p m X i=n xiei!)≤sup n<m (p m X i=n xiei!)=q(x), 23 2.2 Propiedades lo cual prueba que es mon´otona. Sea entonces p∈ P(X), por el apartado 1.del resultado anterior se cumple que Sk(X, p)≤2kSk(X, q), y aplicando el apartado 3.de la proposici´on anterior tenemos que 1≤Sk(X, p)≤4k < +∞.  Lema 2.14. Sean p, q ∈ P(X)tales que existen dos sucesiones de n´umeros reales ak≤bkpara k∈Ntales que akp(x)≤q(x)≤bkp(x),siempre que k≤x. Si l´ım inf k bk ak = 1, entonces pes una norma secuencialmente separadora si y solo si qtiene la misma propiedad. Demostraci´on. Para todo k∈Nyx≥k, obtenemos las desigualdades siguientes: Sk(X, q)≤bk ak Sk(X, p), Sk(X, p)≤ak bk Sk(X, q). Tomando l´ımite cuando ktiende a infinito, deducimos el lema.  Ejemplo 2.15. Siguiendo con la misma notaci´on que en [15], sea p= (pn)n una sucesi´on en (1,+∞). Sea X:= K⊕p1(K⊕p2(K⊕p3(K⊕p4···))) dotado con la norma νp(x) = l´ımnνn(p, x) donde ν1(p, x) := |x1|, νn+1(p, x) := (|x1|p1+νn(Sp, Sx)p1)1/p1, con x= (x1, x2, ...) y Sz := (z2, z3, ...) si z= (z1, z2, ...). Sea c00 el espacio de las sucesiones de escalares nulas a partir de un t´ermino en adelante. Ya que la sucesi´on {νn(p, x)}nes creciente para todo x∈c00 yνn(p, x)≤ kxk1, el l´ımite νp(x) = l´ım nνn(p, x) existe y define una norma en c00. Denotamos por Xel completado (la clausura) de c00 con la norma (respecto de la norma) νp(·). 24 Cap´ıtulo 2 Normas Secuencialmente Separadoras Sea (qn)nsatisfaciendo 1 pn+1 qn= 1 para todo n∈N. Asumamos en particular que ∞ X n=1 1 qn <+∞(por ejemplo con pn=2n 2n−1) y sea Ck:= ∞ Y r=k 2−1+ 1 pr. Siguiendo los mismos argumentos que en [15] se puede probar que kxk1≥νp(x)≥ ∞ Y r=k 2−1+ 1 pr!kxk1,si k≤x. En efecto, νn(p, x)≤ |x1|+|x2|+. . .+|xn|para todo n. As´ı, νp(x)≤ kxk1 para todo x∈`1. Para la otra desigualdad, notemos primero que, ya que todos los espacios lineales y normados de dimensi´on 2 son equivalentes, lo son `2 qy`2 1. De hecho, para q≥1, k(x1, x2)kq≥2−1+1/qk(x1, x2)k1. Entonces, tomando Kj= 2−1+ 1 pj, se tiene que νn(p, x) = (|xk|pk+νn−1(Sp, Sx)pk)1 pk≥Kk(|xk|+νn−1(Sp, Sx)) = =Kk|xk|+|xk+1|pk+1 +νn−2(S2p, S2x)pk+1 1 pk+1 ≥ ≥Kk|xk|+Kk+1 |xk+1|+νn−2(S2p, S2x)≥ ≥KkKk+1 |xk|+|xk+1|+νn−2(S2p, S2x)≥. . . ≥KkKk+1 ···Kn n X j=1 |xj|. De lo anterior, si tomamos l´ımite, se deduce que νp(·) es una norma equivalente a k·k1in `1y que Ckkxk1≤νp(x)≤ kxk1siempre que k≤x. Ya que l´ım kCk= 1, deducimos que S(`1, νp(·)) = 1 y que νp(·) es una norma asint´oticamente separadora. Es bien conocido que (`1, νp(·)) no tiene copia asint´oticamente isom´etrica de `1[15], pero todav´ıa no se sabe si (`1, νp) tiene la FPP. Ejemplo 2.16. Sea (γk)kuna sucesi´on en (0,1) con l´ım kγk= 1 y consideremos la norma |||x||| = sup k γkkQkxk1, x ∈`1 25 3.1 Normas secuencialmente separadoras y la FPP siempre que x∈Xy{xn}sea una sucesi´on ρk-acotada con xn T →0. (II) Existen dos sucesiones (αk)y(βk) satisfaciendo 0 ≤αk≤βk<1 con l´ımkαk= 1 tal que para todo k∈N αkl´ım sup n|xn|ρ≤l´ım sup n ρk(xn)≤βkl´ım sup n|xn|ρ, siempre que {xn}sea una sucesi´on ρk-acotada con xn T →0. (III) Existe alg´un α > 1 tal que para toda sucesi´on {xn}convergente a cero en la topolog´ıa Tse cumple l´ım sup k ρk(x0)≤l´ım supn|xn|ρ α para alg´un x0∈co|·|ρ({xn}). Teorema 3.1. [34] Bajo las condiciones anteriores, se cumple lo siguiente: Sean Cun subconjunto de Xconvexo, |·|ρ-cerrado, |·|ρ-acotado y T:C→C una aplicaci´on no-expansiva. Entonces Ttiene un punto fijo siempre que Ttenga alguna sucesi´on aproximada de punto fijo T-convergente en todo subconjunto de C, que sea |·|ρ-cerrado, convexo y T-invariante. Como consecuencia del teorema anterior deducimos el siguiente resultado: Teorema 3.2. Sea Xun espacio de Banach con una base de Schauder acotadamente completa y supongamos que existe alguna norma p0∈ P(X) premon´otona y secuencialmente separadora. Entonces Xadmite una norma equivalente con la FPP. Demostraci´on. Tomemos (γk)kcualquier sucesi´on en (0,1) con l´ım kγk= 1. Como antes, definimos p1(x) = sup k γkp0(Qk(x)), la cual es una norma equivalente en X. Consideremos las seminormas ρk(x) = γkp0(Qk(x)) y p1(x) = sup k ρk(x). Vamos a probar que esta familia de seminormas verifica las condiciones (I), 32 Cap´ıtulo 3 Normas equivalentes con la FPP (II) y (III) cuando τes la topolog´ıa d´ebil estrella definida como sigue: Al ser la base acotadamente completa, Xes isomorfo al espacio dual de Z= [e∗ n], siendo Zel subespacio de X∗generado por los funcionales coordenadas. Este isomorfismo es j:X→Z∗dado por j(x)(e∗ n) = e∗ n(x) para n∈N. Por tanto podemos considerar en Xla topolog´ıa τ=σ(Z, Z∗) tal que si (xn) es una sucesi´on acotada, entonces xn τ →xsi y solo si j(xn)τ →j(x), si y solo si j(xn)(e∗ k)→j(x)(e∗ k) para todo k∈N, si y solo si xn→xcoordenada a coordenada [47]. (I) Definamos δk:= sup ρk(x) + l´ım supnρk(xn) l´ım supnρk(x+xn):τl´ım nxn= 0, x ∈X Notemos que la sucesi´on (δk)ksatisface la desigualdad dada en (I). Vamos a probar que l´ım kδk= 1. Usando la definici´on de la seminorma ρk(·), la τ-convergencia a cero o convergencia a cero coordenada a coordenada, podemos escribir δk= sup p0(Qk(x)) + l´ım supnp0(Qk(xn)) l´ım supnp0(Qk(x+xn)) :τl´ım nxn= 0, x ∈X = sup l´ım supnp0(xn) + p0(x) l´ım supnp0(x+xn):τl´ım nxn= 0, k ≤x∈X =Sk(X, p) Como p0(·) es una norma secuencialmente separadora, l´ım kδk= 1 y se cumple (I). (II) Sea (xn) una sucesi´on τ-convergente a cero. Para k∈Nfijo, podemos asumir que kxnpara nsuficientemente grande. Esto implica que l´ım sup n p0(Qk(xn)) = l´ım sup n p0(xn) = l´ım sup n|xn|ρ(ya que p0(·) es premon´otona) y (II) se satisface tomando αk=βk=γkpara todo k∈N. (III) Para todo x∈X, l´ım kγkp0(Qk(x)) = 0, por tanto se verifica (III).  Corolario 3.3. Sea p0es una norma premon´otona y secuencialmente asint´oticamente separadora en P(X). Definimos por inducci´on la sucesi´on de normas equivalentes: 33 3.2 Demostraci´on del Teorema de renormamiento con la FPP pn(x) = sup k γkpn−1(Qkx), n ∈N. Entonces (X, pn)cumple la FPP para todo n∈Ncon n≥1. 3.2. Demostraci´on del Teorema de renormamiento con la FPP El resto del contenido de este cap´ıtulo est´a basado en aplicaciones del Teorema 3.2. Por ello hemos decidido incluir en esta secci´on una demostraci´on directa de tal resultado, bas´andonos exclusivamente en la definici´on del coeficiente S(X, p). Comenzamos recordando algunos conceptos importantes en teor´ıa m´etrica de punto fijo para aplicaciones no-expansivas. Sea Cun subconjunto convexo, cerrado y acotado de un espacio de Banach (X, k·k) y T:C→Cuna aplicaci´on no-expansiva. Consideremos z0∈Cy para todo n∈Ndefinimos el operador Tn:C→Cdado por Tn(x) = 1−1 nT(x) + 1 nz0. N´otese que Tnest´a bien definido por ser Cun subconjunto convexo. Por otro lado Tnes una aplicaci´on contractiva y por el Teorema de Banach podemos encontrar xn∈Ctal que Tn(xn) = xnpara todo n∈N. No es dif´ıcil comprobar que para la sucesi´on (xn)⊂Cse cumple l´ım nkxn−Txnk= 0. A las sucesiones cumpliendo la igualdad anterior se les llama sucesiones de puntos fijos aproximados (a.f.p.s.) y por tanto, toda aplicaci´on no-expansiva definida en un subconjunto convexo, cerrado y acotado de un espacio de Banach con imagen en s´ı mismo contiene sucesiones de puntos fijos aproximados. En las condiciones anteriores, sea T:C→Cuna aplicaci´on no-expansiva y (xn)⊂Cuna a.f.p.s. Sea λ > 0 y consideremos el conjunto C(λ) = z∈C: l´ım sup nkxn−zk ≤ λ. 34 Cap´ıtulo 3 Normas equivalentes con la FPP C(λ) es de nuevo un subconjunto convexo, cerrado y acotado. Supongamos que C(λ) es distinto del conjunto vac´ıo. Vamos a demostrar que C(λ) es tambi´en T-invariante. En efecto, sea z∈C(λ). Entonces: l´ım supnkxn−Tznk ≤ l´ım supnkxn−Txnk+ l´ım supnkTxn−Tzk ≤l´ım supnkxn−zk ≤ λ. Por tanto, podemos considerar que C(λ) contiene de nuevo sucesiones de puntos fijos aproximados para T. En el siguiente resultado buscamos un subconjunto T-invariante que sea minimal en cierto sentido: Lema 3.4. Sea C⊂Xun subconjunto convexo, cerrado y acotado y sea T:C→Cuna aplicaci´on no-expansiva. Si Tno tiene puntos fijos, existe a > 0y un subconjunto D⊂Cconvexo, cerrado y T-invariante tal que para toda sucesi´on de puntos fijos aproximados (xn)contenida en Dy para todo z∈Dse cumple: l´ım sup nkxn−zk ≥ a. La prueba del lema anterior es la siguiente: Si el resultado fuese falso, existir´ıa una a.f.p.s. (x1 n) en Cyz1∈Ctal que l´ım sup nkx1 n−z1k<1 2. Por tanto D1=z∈C: l´ım sup nkx1 n−zk ≤ 1 2 ser´ıa de nuevo un subconjunto no vac´ıo, convexo, cerrado y T-invariante de C. Con los mismos argumentos, deducir´ıamos que existe una a.f.p.s. (x2 n)⊂ D1yz2∈D1tal que l´ım sup nkx2 n−z2k<1 22. Por tanto: D2=z∈D1: l´ım sup nkx2 n−zk ≤ 1 22 es un subconjunto T-invariante de D1el cual es no vac´ıo, convexo, cerrado. De esta forma, podr´ıamos construir una sucesi´on decreciente (Dn) de subconjuntos de Cconvexos, cerrados, T-invariantes y tal que diam(Dn)≤ 1 2n−1. Por el Teorema de Intersecci´on de Cantor, \ n Dn={z0}. Como cada 35 3.2 Demostraci´on del Teorema de renormamiento con la FPP Dnes T-invariante, T(z0) = z0, lo cual contradice el hecho de que Tno tenga puntos fijos. Demostraci´on completa del Teorema 3.2 Sea p0∈ P(X) una norma premon´otona y secuencialmente separadora. Tomemos (γk)kcualquier sucesi´on en (0,1) con l´ım kγk= 1. Sin p´erdida de generalidad podemos suponer que (γk)kes una sucesi´on creciente. Definimos p1(x) = sup k γkp0(Qk(x)), la cual es una norma equivalente en X. De hecho γ1p0(x)≤p1(x)≤ p0(x) para todo x∈X. Sea τla topolog´ıa d´ebil estrella heredada por X al ser isomorfo al dual de Z= [e∗ n], y cuya convergencia es equivalente a la convergencia coordenada a coordenada para sucesiones acotadas. Probamos en primer lugar los siguientes resultados t´ecnicos relacionando propiedades de ambas normas: 1) Para toda sucesi´on w∗-convergente a zero l´ım sup n p0(xn) = l´ım sup n p1(xn). En efecto, por ser p0(·) premon´otona obtenemos que p1(x)≤p0(x) para todo x∈X. Por otra parte, l´ım supnp0(xn) = l´ım supnp0(Qk(xn)) para toda sucesi´on que converga a cero d´ebil estrella. Si consideramos k∈N, l´ım sup n p0(xn) = 1 γk γkl´ım sup n p0(Qk(xn)) ≤1 γk l´ım sup n p1(xn) Tomando l´ımites en k, finalmente obtenemos la igualdad buscada. 2) Sean (xn), (yn) dos sucesiones que convergen a xeyrespectivamente con respecto a la topolog´ıa d´ebil estrella. Para simplificar la notaci´on, denotemos Sk=Sk(X, p0). Entonces para todo k∈Nse cumple: l´ım supml´ım supnp1(xn−ym)≥γk Sk l´ım sup n p1(xn−x) +γk S2 k l´ım sup m p1(ym−y) +γk S2 k p0(Qk(y−x)). 36 Cap´ıtulo 3 Normas equivalentes con la FPP En efecto, fijemos k∈N: l´ım sup ml´ım sup n p1(xn−ym)≥ l´ım sup ml´ım sup n γkp0(Qk(xn−ym)) = l´ım sup ml´ım sup n γkp0(Qk(xn−x+x−ym)) ≥ γkl´ım sup m 1 Skl´ım sup n p0(Qk(xn−x)) + p0(Qk(x−ym))= γk 1 Skl´ım sup n p0(Qk(xn−x)) + l´ım sup m p0(Qk(x−y+y−ym))≥ γk 1 Skl´ım sup n p0(Qk(xn−x)) + 1 Skl´ım sup m p0(Qk(ym−y)) + p0(Qk(x−y)) =γk 1 Sk l´ım sup n p1(xn−x) + γk S2 k l´ım sup m p1(ym−y) + γk S2 k p0(Qk(x−y)). Sea Cun subconjunto convexo, cerrado y acotado de XyT:C→C una aplicaci´on no-expansiva para la norma p1(·). Supongamos que Tno tiene puntos fijos. N´otese que Cest´a acotado y por tanto es un subconjunto w∗-relativamente secuencialmente compacto. Por tanto, toda sucesi´on de C tiene una subsucesi´on d´ebil estrella convergente, aunque el l´ımite puede no estar en C. Aplicando el Lema 3.4 encontramos D⊂Cconvexo, cerrado, T-invariante y tal que a:= ´ınf l´ım sup n p1(xn−z) : z∈D>0, cuando el ´ınfimo es tomado sobre todas las sucesiones de puntos fijos aproximados (xn)⊂Dque son w∗-convergentes. Sea c= ´ınf l´ım sup n p1(xn−x):(xn) es una a.f.p.s. en D w∗- l´ım nxn=x. Veamos en primer lugar que c > 0. En efecto, si (xn)⊂Dcon w∗-l´ım nxn=x, a≤l´ım sup m l´ım sup n p1(xn−xm)≤2 l´ım sup p1(xn−x), y por tanto c≥a/2>0. Sea 1∈(0, c/4) y tomemos (xn)⊂Duna a.f.p.s. con w∗-l´ım nxn=xy tal que l´ım sup n p1(xn−x)< c +1. 37 3.2 Demostraci´on del Teorema de renormamiento con la FPP Mediante una traslaci´on del problema y sin p´erdida de generalidad podemos suponer que x= 0. Por tanto l´ım sup n p1(xn)< c +1y utilizando la desigualdad triangular l´ım sup m l´ım sup n p1(xn−xm)<2c+ 21. Por tanto podemos suponer que el conjunto K=z∈D: l´ım sup n p1(xn−z)≤2c+ 21:z∈D es no vac´ıo, convexo, cerrado, acotado y Tinvariante por ser (xn) una sucesi´on de puntos fijos aproximados. Adem´as, a partir de un cierto t´ermino en adelante, la sucesi´on (xn) tambi´en est´a en K. Definimos r:= ´ınf l´ım sup n p1(yn−y):(yn)⊂K, a.f.p.s. w∗- l´ım nyn=y Notar que c≤r≤c+1, ya que (xn)⊂K. Por la desigualdad anterior 2), siempre que (yn) sea una a.f.p.s. en K w∗-convergente a alg´un vector y∈Xobtenemos: 2c+ 21≥l´ım sup m l´ım sup n p0(xn−ym)≥ γk 1 Sk l´ım sup n p1(xn) + γk S2 k l´ım sup m p1(ym−y) + γk S2 k p0(Qk(y)) ≥ γk 1 Sk r+γk S2 k r+γk S2 k p0(Qk(y)), lo cual implica que p0(Qk(y)) ≤dk:= S2 k γk2r+ 21−γk Sk c−γk S2 k c. Hemos probado que para todo l´ımite d´ebil estrella yde una a.f.p.s. (yn)⊂Dse cumple p0(Qk(y)) ≤dk∀k∈N. Tomando l´ımites cuando ktiende a infinito: 0≤l´ım kdk= 2c−2r+ 21≤21. 38 Cap´ıtulo 3 Normas equivalentes con la FPP Sea w0∈K. Como l´ım kp0(Qk(w0)) = 0, podemos encontrar k0∈Ntal que p0(Qk(w0)) < 1;dk<31 para todo k≥k0. Como el conjunto Kes acotado podemos suponer que existe una constante P > 0 tal que p0(Qk(w0−y)) ≤P0(Qk(w0)) + p0(Qk(y)) ≤P para todo yl´ımite d´ebil estrella de una a.f.p.s. (yn)⊂K. Esto podemos conseguirlo porque la sucesi´on (dk) anterior est´a acotada. N´otese que l´ım λ→0+γk0(2 −λ)r+λP = 2γk0r < 2r, luego podemos encontrar λ∈(0,1) tal que γk0(2 −λ)r+λP < 2r y2>0 tal que γk0(2 −λ)(r+2) + λP < 2r. (∗) Adem´as 2r−λ(r+2−41)<2r. (∗∗) Por definici´on de ´ınfimo, podemos encontrar (yn)⊂Kuna a.f.p.s. tal que w∗-l´ımnyn=yverificando l´ım sup n p1(yn−y)< r +2 yn1∈Ntal que p1(yn−y)< r +2para todo n≥n1. Definimos el vector z=λw0+ (1 −λ)yn1∈Kya que Kes convexo. Vamos a acotar superiormente l´ım supnp1(yn−z). Notar que yn−z=yn−y−(1 −λ)(yn1−y)−λ(w0−y) Fijamos n≥n1y recordemos que p1(x) = supkp0(Qk(x)) para todo x∈X. Separamos ahora dos casos: 39 3.2 Demostraci´on del Teorema de renormamiento con la FPP Caso 1. Supongamos que k≤k0. Entonces γkp0(Qk(yn−z)≤ γk0[p0(Qk(yn−y)) + (1 −λ)p0(Qk(yn1−y)) + λp0(Qk(w0−y))] ≤ γk0(2 −λ)(r+2) + λP Caso 2. Supongamos que k > k0. Entonces: γkp0(Qk(yn−z)≤ p0(Qk(yn−y)) + (1 −λ)p0(Qk(yn1−y)) + λp0(Qk(w0−y)) ≤ (2 −λ)(r+2) + λ(p0(Qk(w0)) + p0(Qk(y))) ≤ (2 −λ)(r+2) + λ41= 2r−λ(r+2−41) Hemos probado entonces que para todo n≥n1 p1(yn−z)< M < 2r donde M= m´ax{γk0(2 −λ)(r+2) + λP, 2r−λ(r+2−41)}<2rpor las desigualdades (∗) y (∗∗). Tomando l´ımites cuando ntiende a infinito conseguimos que l´ım sup n p1(yn−z)≤M < 2r. Sea ahora H:= z∈K: l´ım sup n p1(yn−z)≤M, el cual es no vac´ıo, convexo, cerrado y T-invariante. Por tanto podemos encontrar en Huna sucesi´on de puntos fijos aproximados (zn)⊂Hy tal que w∗-l´ım nzn=z. En este caso l´ım sup m l´ım sup n p1(yn−zm)≤M. Por otro lado, aplicando la desigualdad obtenida en 2) a las sucesiones (yn), (zn), tomando l´ımites cuando ktiende a infinito y teniendo en cuenta que l´ım kSk= 1, por ser p0(·) una norma secuencialmente separadora, obtenemos: M≥l´ım supml´ım supnp1(yn−zm) ≥l´ım sup n p1(yn−y) + l´ım sup m p1(zm−z) ≥r+r= 2r lo cual es una contradicci´on porque M < 2r. Por tanto Ttiene punto fijo, como quer´ıamos probar.  40 Cap´ıtulo 3 Normas equivalentes con la FPP 3.3. Aplicaciones a algunos espacios de sucesiones de Musielak-Orlicz Una funci´on φ: [0,+∞)→[0,+∞) se dice que es una funci´on de Orlicz si φes convexa, continua por la izquierda, φ(0) = 0 y no id´enticamente nula. Una sucesi´on Φ := {φn}nde funciones de Orlicz se llama funci´on de Musielak-Orlicz. Dada una funci´on de Musielak-Orlicz Φ = {φn}n, se define un modular convexo Iφ, en el conjunto de todas las sucesiones reales, de la siguiente forma Iφ(x) = ∞ X n=1 φn(|x(n)|). Un espacio de sucesiones de Musielak-Orlicz generado por Φ se define por `Φ:= {x= (xn) : IΦ(λx)<+∞for some λ > 0} Consideramos `Φdotado con la norma de Luxemburg kxk= ´ınf{k > 0 : IΦ(x/k)≤1} bajo la cual es un espacio de Banach ([50]). En el caso que Φ = φnpara todo n∈Nsimplemente diremos que `Φes un espacio de sucesiones de Orlicz. Se dice que una funci´on de Musielak-Orlicz Φ satisface la condici´on δ2si existen constantes positivas ayKy una sucesi´on con coordenadas mayores o iguales que cero (cn)∈`1tal que φn(2t)≤Kφn(t) + cn para todo n∈N,t∈R+satisfaciendo φn(t)≤a. En este caso, los vectores unitarios forman una base acotadamente completa, normalizada, incondicional de `Φ. Notemos que en caso de que la funci´on de Musielak-Orlicz no satisfaga la condici´on δ2, el espacio `Φcontendr´a una copia isomorfa de `∞y por tanto, no admitir´ıa una norma equivalente con la FPP. 41 3.5 La FPP en sumas directas de espacios de dimensi´on infinita Entonces el espacio X:= ⊕1 ∞ X n=1 (Xn,k·k) tiene una base de Schauder y satisface la condici´on (∗). Demostraci´on. Denotemos por {en k}kla base de Schauder en Xnpara todo n∈Ny definamos een kal elemento en X, el cual tiene el vector nulo en toda coordenada j6=nyen ken la coordenada n-´esima para todo k∈N. La sucesi´on {ee1 1,ee1 2,ee2 1,ee1 3,ee2 2,ee3 1, ...}forma una base de Schauder para el espacio de Banach X. Denotemos por Pn:X→Xna la proyecci´on natural tal que Pn(x) = xn siempre que x= ∞ X n=1 xncon xn∈Xn. Sea (xk)kuna sucesi´on bloque acotada de la base de Schauder en Xy x∈X. Sin p´erdida de generalidad, podemos suponer que xes de soporte finito y que existe alg´un n0∈Ntal que xpertenece al espacio generado por {eej i: 1 ≤i, j ≤n0}. Por lo tanto, x= n0 X n=1 Pn(x) y Pn(x) pertenece al espacio generado por {en k:k≤n0}para todos k, n ∈N. Notemos que podemos extraer una subsucesi´on (xks)sde (xk) tal que l´ım supkkxkk= l´ımskxksky los siguientes l´ımites existen: l´ım skxks+xk; l´ım skPn(xks+x)kn,l´ım skPn(xks)kn∀n∈N; l´ım s ∞ X n=n0+1 kPn(xks)kn. Por tanto: 48 Cap´ıtulo 3 Normas equivalentes con la FPP l´ım supkkxk+xk ≥ l´ımskxks+xk= l´ıms ∞ X n=1 kPn(xks+x)kn = l´ıms n0 X n=1 kPn(xks+x)kn+ ∞ X n=n0+1 kPn(xks+x)kn! = l´ıms n0 X n=1 kPn(xks+x)kn+ l´ım s ∞ X n=n0+1 kPn(xks)kn = n0 X n=1 l´ım skPn(xks+x)kn+ l´ım s ∞ X n=n0+1 kPn(xks)kn = n0 X n=1 kPn(x)kn+ l´ım skPn(xks)kn+ l´ım s ∞ X n=n0+1 kPn(xks)kn = n0 X n=1 kPn(x)kn+ l´ım s n0 X n=1 kPn(xks)kn+ l´ım s ∞ X n=n0+1 kPn(xks)kn = n0 X n=1 kPn(x)kn+ l´ım s n0 X n=1 kPn(xks)kn+ ∞ X n=n0+1 kPn(xks)kn! =kxk+ l´ımskxksk=kxk+ l´ım supkkxkk. Finalmente, usando la desigualdad triangular deducimos que X, dotado de la norma usual, cumple la condici´on (∗).  Como consecuencia del Teorema 3.2 deducimos: Corolario 3.12. Denotemos por {(Xn,k · kn)}na una sucesi´on de espacios de Banach con base de Schauder acotadamente completa, tal que las constantes b´asicas son uniformemente acotadas. Supongamos que todo (Xn,k·kn)satisface la condici´on (∗). Entonces el espacio X:= ⊕1 ∞ X n=1 (Xn,k·k) puede ser renormado para tener la FPP. Este resultado se puede aplicar, por ejemplo, a los espacios de Banach con la condici´on (∗) obtenidos en la secci´on anterior y otra vez obtenemos nuevas familias de espacios de Banach no reflexivos que pueden ser renormados con la FPP. 49 3.6 Algunas propiedades lineales de las normas en P(X)con la FPP 3.6. Algunas propiedades lineales de las normas en P(X)con la FPP Por medio del concepto de normas secuencialmente separadoras, tambi´en podemos mejorar el Teorema 1.1 de [33] enunciado en esta Memoria como Teorema 2.2 en el Cap´ıtulo II, en el siguiente sentido: podemos considerar espacios de Banach m´as generales que el espacio `1y podemos obtener nuevos conjuntos de normas equivalentes con la FPP. En efecto, podemos sustituir la condici´on (∗) en el Teorema 2.2 por la condici´on de ser secuencialmente separadora y deducir lo siguiente: Corolario 3.13. Sea Xun espacio de Banach con una base de Schauder acotadamente completa. Supongamos que existe alguna norma p, q0∈ P(X) secuencialmente separadoras. Supongamos que q0(·)es premon´otona y definamos q1(x) := supkγkq0(Qk(x)) con (γk)⊂(0,1) yl´ımkγk= 1. Entonces la norma equivalente p(·) + λq1(·) verifica la FPP para todo λ > 0. Demostraci´on. Para probar el Corolario 3.13 usaremos el Teorema 3.1: Definimos en Xlas seminormas: ρk(x) := p(x) + λγkq0(Qk(x)) para todo k∈N. N´otese que en este caso p(x) + λq1(x) = sup k ρk(x) para todo x∈X. Nuestro objetivo ser´a probar que en conjunto de seminormas {ρk(·)}verifican las condiciones (I), (II) y (III) definidas al comienzo de este cap´ıtulo y por tanto aplicando el Teorema 3.1 podremos afirmar que la norma dada verifica la FPP. (I) Es f´acil comprobar que la composici´on p(·) + λq1(·) es de nuevo secuencialmente separadora. Por tanto, aplicando el mismo razonamien- to que en la demostraci´on de la condici´on (I) en el Teorema 3.2, se obtiene para la nueva familia de seminormas asociadas a p(·)+λq1(·). 50 Cap´ıtulo 3 Normas equivalentes con la FPP (II) Sea (xn) una sucesi´on acotada que converja a cero para la topolog´ıa d´ebil estrella. Tomando una subsucesi´on apropiada y sin p´erdida de generalidad podemos suponer que los l´ımites que usamos a continuaci´on existen. Sea k∈N: l´ımnρk(xn) = l´ımnp(xn) + λγkl´ımnq0(Qk(xn)) = l´ımnp(xn) + λγkl´ımnq1(xn) ≥γkl´ımn[p(xn) + λq1(xn)], y se obtiene la desigualdad izquierda de (II) con αk=γk. Para probar la otra desigualdad definimos a= ´ınf{q1(x) : p(x)=1}. Como son normas equivalentes podemos asegurar que a > 0. Adem´as ap(x)≤q1(x) para todo x∈X. En este caso: l´ımnρk(xn) = l´ımnp(xn) + λγkl´ımnq0(Qk(xn)) = l´ımnp(xn) + λγkl´ımnq1(xn) =γkl´ımn[p(xn) + λq1(xn)] + (1 −γk) l´ımnp(xn) ≤γkl´ımn[p(xn) + λq1(xn)] + (1 −γk)1 1+λa l´ımn[p(xn) + λq1(xn)] =hγk+ (1 −γk)1 1+λail´ımn[p(xn) + λq1(xn)]. Definiendo βk:= γk+ (1 −γk)1 1 + λa<1, obtenemos finalmente la condici´on (II). (III) Consideremos cualquier vector x0∈C. Sea de nuevo a= ´ınf{q1(x) : p(x) = 1}. l´ımkρk(x0) = l´ımk[p(x0) + λγkq0(Qk(x0))] = p(x0) ≤1 1+λa [p(x0) + λq1(x0)] Sea (xn) una sucesi´on que converja a cero para la topolog´ıa d´ebil estrella y sea  > 0 tal que 1+ 1+a<1. Notemos m:= l´ım sup[p(xn) + λq1(xn)] y sea n0tal que p(xn0) + λq1(xn0)<(1 + )m. Teniendo en cuenta las desigualdades anteriores para el vector xn0se obtiene: l´ımkρk(xn0)≤1 1 + λa [p(x0) + λq1(x0)] ≤1 +  1 + am, y se obtiene entonces la condici´on (III) como queriamos probar. 51 3.6 Algunas propiedades lineales de las normas en P(X)con la FPP Aplicando el Teorema 3.1 se obtiene el corolario.  Por otra parte, el hecho de ser secuencialmente separadora es una propiedad lineal en el sentido de que λp(·) + µq(·) es una norma secuencialmente separadora si λ, µ ≥0 (m´ax{λ, µ}>0) yp(·), q(·) verifican la misma propiedad. Notemos que el conjunto P(X) es un cono en el sentido que λp1+µp2∈ P(X) si p1, p2∈ P(X) y λ, µ ≥0. Dadas p1, p2∈ P(X), el subconjunto {p1+λp2:λ≥0}se denomina rayo (lineal) cerrado contenido en P(X), siendo p1su punto inicial. De manera similar se definen los rayos abiertos cuando λ > 0. Dado L⊂ P(X), se dice que Les una variedad n-dimensional si existen q1, q2, . . . , qn∈ P(X). . . tal que L={q+λ1q1+···+λnqn, λi≥0,m´ax 1≤i≤nλi> 0}. Mediante el Teorema 2.2 probado en [33] pod´ıamos obtener en `1la existencia de rayos abiertos de normas con la FPP. Con los resultados obtenidos en esta secci´on y usando el m´etodo inductivo para generar normas secuencialmente separadoras podemos extender ampliamente el Teorema 2.2 y deducir lo siguiente: Corolario 3.14. Sea Xun espacio de Banach con una base de Schauder acotadamente completa. Supongamos que existe alguna norma p0∈ P(X) premon´otona y secuencialmente separadora. Entonces el conjunto de normas de P(X)que verifican la FPP contiene variedades afines n-dimensio- nales para todo n∈N. Dada p0con las hip´otesis del corolario y n∈N, para todo λ1,··· , λn n´umeros mayores o iguales que cero (con alg´un λi6= 0), la norma p0(·) + λ1p1(·) + ···+λn−1pn−1(·) + λnpn(·) verifica la FPP ya que cumple las hip´otesis del Corolario 3.13. N´otese que incluso podemos elegir p0(·) para que sea una norma que tambi´en verifique la FPP.  52 Cap´ıtulo 3 Normas equivalentes con la FPP 3.7. Extensi´on a operadores de tipo (L) Sea (X, k·k) un espacio de Banach y Cun subconjunto de X. Una aplicaci´on T:C→Cse dice que satisface la condici´on (L) si se cumple las siguientes dos propiedades: (i) Cada subconjunto D⊂Cconvexo, cerrado y acotado, que sea T- invariante contiene una sucesi´on de puntos fijos aproximados. (ii) Para cualquier sucesi´on de puntos fijos aproximados {xn} ⊂ Cy para todo x∈Cse cumple l´ım sup nkxn−Txk ≤ l´ım sup nkxn−xk. Las aplicaciones con la condici´on (L) fueron definidas por E. Moreno y E. Llorens-Fuster en [49] como una generalizaci´on natural de las aplicaciones no-expansivas. Sin embargo, existen en la literatura diversas clases de aplicaciones m´as generales que las no-expansivas, pero que verifican la condici´on (L) (ver [49] para nuevas definiciones y ejemplos). Si observamos las demostraciones de renormamientos de punto fijo realizadas en este cap´ıtulo, pueden extenderse al caso de aplicaciones tipo (L) ya que las propiedades (i) y (ii) son las condiciones usadas de la noexpansividad. Esto significa que todos los resultados sobre renormamientos con la propiedad del punto fijo dados en este cap´ıtulo pueden ser enunciados para aplicaciones de tipo (L) en general. 53 4Relaciones con la Geometr´ıa del espacio de Banach Este cap´ıtulo est´a dividido en dos secciones donde estudiaremos algunas relaciones de los conceptos definidos en el Cap´ıtulo II con la geometr´ıa del espacio de Banach. Una vez que hemos probado que las normas secuencialmente separadoras dan origen a un renormamiento con la propiedad de punto fijo, ser´ıa interesante saber si el espacio de Banach c0, o un espacio de Banach reflexivo, podr´ıan ser renormados con una norma equivalente cumpliendo dicha propiedad. La primera secci´on de este cap´ıtulo responde a este problema ya que estudiaremos qu´e tipo de espacios de Banach pueden admitir una norma equivalente que sea secuencialmente separadora. A continuaci´on relacionaremos el coeficiente S(X, p) definido en el Cap´ıtulo II con otros coeficientes geom´etricos conocidos y relacionados con la teor´ıa m´etrica de punto fijo para aplicaciones no-expansivas. Tales coeficientes ser´an el m´odulo de Opial uniforme y el coeficiente τCS(X) cuyas definiciones y aplicaciones a la propiedad de punto fijo con respecto a una topolog´ıa τrecordaremos al iniciar la secci´on. 4.1. Geometr´ıa de los espacios de Banach con norma secuencialmente separadora En esta secci´on vamos a estudiar algunas propiedades geom´etricas de los espacios de Banach que admiten una norma secuencialmente separadora. Comprobamos que para la base de Schauder usual, S(c0,k·k∞) = 2 y S(`r,k · kr)=2r−1 rpara 1 < r < +∞. Nos podr´ıamos preguntar si el espacio de Banach c0o si alg´un espacio de Banach reflexivo podr´ıa admitir 54 Cap´ıtulo 4 Relaciones con la Geometr´ıa del espacio de Banach una norma equivalente la cual sea secuencialmente separadora. En este cap´ıtulo vamos a probar que todo espacio de Banach con una base de Schauder que admite una norma secuencialmente separadora, debe contener una copia isomorfa de `1y, por tanto, ni c0ni ning´un espacio de Banach reflexivo puede ser renormado con normas secuencialmente separadoras. En realidad, probaremos un resultado m´as fuerte. Vamos a usar conceptos de teor´ıa de Ramsey. Para ello, necesitamos introducir la siguiente notaci´on: Denotemos por [N] a todas las subsucesiones infinitas de N. Para k∈N, [N]kdenota todas las subsucesiones finitas de N de longitud k. Si M∈[N], usamos una notaci´on similar, [M] y [M]k, para denotar a todas las subsucesiones (o todas las subsucesiones de longitud k) de M. El conjunto [N] est´a dotado con la topolog´ıa producto; as´ı una base de conjuntos abiertos en [N] es de la forma O(n1,··· , nk) = {M= (mi)∈[N] : mi=nifor i≤k} donde n1<··· < nkson arbitrarios. Recordemos a continuaci´on el resultado clave que vamos a utilizar, que fue probado por F. Galvin y K. Prikry en 1973. Teorema 4.1. [26] Sea A ⊂ [N]un conjunto de Borel para la topolog´ıa descrita anteriormente. Entonces para todo M∈[N]existe L∈[M]de manera que [L]⊂ A o[L]⊂[N]\A. Para saber m´as sobre teoremas de tipo Ramsey y sus aplicaciones a la geometr´ıa de espacios de Banach, se puede consultar [29] y las referencias all´ı incluidas. Dado L∈[N] y una sucesi´on {xn:n∈L}en un espacio de Banach, decimos que un vector y∈span{xn:n∈L}si existe un n´umero fini- to {n1,··· , ns} ⊂ Ly n´umeros reales {λ1,··· , λs}con λs6= 0 tal que y= s X i=1 λixni. Vamos a probar el siguiente lema t´ecnico: Lema 4.2. Sea Xun espacio de Banach y p∈ P(X)tal que S(X, p) = 1. Dado cualquier  > 0yM∈[N], existe alg´un L∈[M]tal que p(ek) + p(y)≤(1 + )p(ek+y) si k∈Ley∈span{en:n∈L, n > k}. 55 4.1 Geometr´ıa de los espacios de Banach Demostraci´on. Fijemos un  > 0 y definamos A:= {(ni)i≥1∈[N] : p(en1) + p(y)≤(1 + )p(en1+y),∀y∈span{eni:i≥2}} Vamos a probar que Aes un subconjunto cerrado en la topolog´ıa de [N]. Para ello vamos a probar que [N]\Aes abierto. Sea L= (mi)i∈[N]\A, esto significa que existe alg´un y∈span{emi:i > 1}tal que p(em1) + p(y)>(1 + )p(em1+y). Supongamos que y∈span{em2,··· , ems}. Entonces O(m1,··· , ms)⊂ [N]\A, lo cual prueba que [N]\Aes abierto y que Aes cerrado. Seg´un el Teorema 4.1, existe alg´un L∈[M] tal que ocurre que [L]⊂ A o [L]∩A=∅. Vamos a ver que la segunda opci´on no es posible en caso de que S(X, p) = 1: Fijemos L= (mi)iy consideremos alg´un i0∈N. Si [L]∩ A=∅,L1={mi:i≥i0}/∈ Apor lo que existe alg´un y1∈span{emi:i>i0}tal que p(emi0) + p(y1)>(1 + )p(emi0+y1). Tomemos s2∈Ntal que ms2>m´ax{supp(y1)}y consideremos L2= {mi0}∪{mi:i≥s2}. De nuevo, L2/∈ A, as´ı podemos definir y2∈ span{emi:i≥s2}tal que p(emi0) + p(y2)>(1 + )p(emi0+y2). Tomemos s3∈Ntal que ms3>m´ax{supp(y2)}y consideremos L3= {mi0}∪{mi:i≥s3}. Reiterando el proceso, construimos una sucesi´on (yn) bloque de la base de Schauder tal que p(emi0) + p(yn)>(1 + )p(emi0+yn) para todo n∈N. Tomando l´ımite cuando ntiende a infinito, Smi0(X, p)≥p(emi0) + l´ım sup p(yn) l´ım supnp(emi0+yn)≥1 + . Ya que i0∈Nera arbitrario, deducimos que S(X, p)≥1 + , lo cual contradice el hecho de que p(·) sea una norma secuencialmente separadora. Lo anterior muestra que [L]⊂ Ay por tanto, el lema se cumple.  56 Cap´ıtulo 4 Relaciones con la Geometr´ıa del espacio de Banach Teorema 4.3. Sea Xun espacio de Banach con una base de Schauder {en}n. Supongamos que Xpuede ser renormado con una norma secuencialmente separadora p(·). Entonces toda subsucesi´on de {en}ncontiene otra subsucesi´on {enk}ktal que {enk p(enk)}kgenera una copia casi isom´etrica de `1. Demostraci´on. Tomemos L0∈[N] y consideremos la subsucesi´on de la base de Schauder {en}n∈L0. En primer lugar, supongamos que p(en) = 1 para todo n∈N. Sea (δn)⊂(0,1) una sucesi´on decreciente con l´ımnδn= 0 y tomemos (n) una sucesi´on de n´umeros reales positivos tales que ∞ Y i=k (1 + i)<1 1−δk . Usando los argumentos del Lema 4.2 repetidamente, definiendo el correspondiente conjunto An, podemos construir, por inducci´on, una sucesi´on (Ls)sde elementos en [N] tales que Ls⊂Ls−1⊂ ··· ⊂ L1⊂L0y tal que p(ek) + p(y)≤(1 + s)p(ek+y) si k∈Lsyy∈span{en:n∈Ls, n > k}para todo s≥1. Tomemos n1∈L1,n2∈L2\{n1},...,ns∈Ls\{n1,··· , ns−1}para todo s∈N. Vamos a probar que la subsucesi´on {ens}sgenera una copia casi isom´etrica de `1. Fijemos s∈Ny{ai:i= 1,··· , s}n´umeros reales. Sin p´erdida de generalidad, podemos suponer que ai6= 0 para todo i∈ {1,··· , s}. En otro caso, omitimos los ´ındices icon ai= 0. Usando la desigualdad previa repetidamente, obtenemos: 57 4.2 Relaci´on del coeficiente S(X, p)con otros coeficientes geom´etricos Lema 4.12. Sea Xun espacio de Banach con una base de Schauder {en}. Para todo n∈Nconsideremos xn= ∞ X k=1 ak(n)ek∈X. Si para todo k∈N se cumple que l´ımnak(n) = 0 entonces existe una sucesi´on (xnk)ky una sucesi´on bloque (yk)kde la base de Schauder tal que l´ımkkxnk−ykk= 0. Demostraci´on. Sea (n)⊂(0,1) una sucesi´on con l´ımnn= 0. Sea k1∈Ntal que      ∞ X i>k1 ak(1)ei    <  y definimos y1= k1 X k=1 ai(1)eicon lo que kx1−y1k< 1. Podemos encontrar n2∈Ntal que      k1 X i=1 ai(n)en    <2 2 para todo n≥n2yk2> k1tal que     X i>k2 ai(n2)ei    < /2. Definimos y2= k2 X i>k1 ai(n2)eiy por tanto ky2−xn2k< 2. Reiterando el proceso conseguimos una subsucesi´on (xnk) y unos intervalos disjuntos Ii= [ki−1, ki] (con k0= 1) tal que la sucesi´on bloque yk=PIkxnkverifica kxnk−ykk< k. Tomando l´ımites cuando ktiende a infinito obtenemos el resultado.  Finalmente vamos a relacionar el coeficiente de separaci´on secuencial S(X, p) con el m´odulo uniforme de Opial y el coeficiente τCS(X) cuando τes la topolog´ıa d´ebil o la topolog´ıa d´ebil estrella. Por tanto, podremos deducir resultados propiedad d´ebil y propiedad d´ebil estrella de punto fijo a trav´es de dichos coeficientes: Sea Xun espacio de Banach con una base de Schauder {en}y sea {e∗ n}la sucesi´on de los correspondientes funcionales ortogonales. Recordemos que si la base {en}es acotadamente completa, entonces Xes isomorfo a un espacio dual de Z, donde Zes el subespacio de X∗generado por los vectores {e∗ n} (Teorema 3.2.10 en [1]). En este caso se puede definir la topolog´ıa dual w∗=σ(X, Z), donde w∗- l´ım xn=xsi y s´olo si l´ımne∗ k(xn) = e∗(x) para sucesiones acotadas en norma. Es decir una sucesi´on acotada converge d´ebil estrella si y s´olo si converge coordenada a coordenada. Adem´as cuando la base es mon´otona en la demostraci´on del Teorema 3.2.10 de [1] se prueba que Xes de hecho isom´etrico a Z. 64 Cap´ıtulo 4 Relaciones con la Geometr´ıa del espacio de Banach Lema 4.13. Para k= 1 y(X, p)un espacio de Banach con base de Schauder se cumple lo siguiente: i) 1 + c 1 + rX,w(c)≤S1(X, p). ii) En caso de que la base sea acotadamente completa 1 + c 1 + rX,w∗(c)≤S1(X, p). Demostraci´on. La demostraci´on es id´entica en ambos casos, luego denotemos por τa la topolog´ıa d´ebil o d´ebil estrella. N´otese que en las hip´otesis de ii) 1 + rX,w∗(c)≤1 + rX,w(c) para todo c≥0. Sea c > 0, (xn) una sucesi´on con τl´ımnxn= 0 y l´ım infnp(xn)≥1. Sea x∈Xcon p(x)≥c. Como en ambos casos la convergencia con respecto a la topolog´ıa implica la convergencia coordenada a coordenada, aplicando el Lema 4.12, podemos considerar una sucesi´on bloque (yn) de la base de Schauder tal que el l´ımite l´ımnp(yn+x) = l´ımnp(xy+x) = l´ım infnp(xn+x) y l´ımnp(yn) = l´ım infnp(xn). Se cumple entonces: c+ 1 l´ımnp(xn+x)≤p(x) + l´ım supnp(xn) l´ımnp(xn+x)≤p(x) + l´ım supnp(yn) l´ımnp(yn+x)≤S1(X, p). Por tanto c+ 1 S1(X, p)≤l´ım inf np(xn+x). Tomando ´ınfimos c+ 1 S1(X, p)≤rX,τ (c)+1, como quer´ıamos probar.  El lema anterior prueba que si para k= 1 se obtiene S1(X, p)<2 entonces rX,τ (1) >0y(X, p) cumple la propiedad d´ebil de punto fijo. Cuando la base es acotadamente completa y pes w∗-slsc se deduce que (X, p) cumple la propiedad estrella de punto fijo. En el pr´oximo resultado veremos que utilizando el coeficiente S(X, p) podemos exigir menos al espacio para cumplir propiedad d´ebil o d´ebil estrella de punto fijo. 65 4.2 Relaci´on del coeficiente S(X, p)con otros coeficientes geom´etricos Lema 4.14. Sea Xun espacio de Banach con una base de Schauder y sea p∈ P(X). Entonces τCS(X, p)≥2 S(X, p) donde τes la topolog´ıa d´ebil. En caso de que la base sea acotadamente completa podemos suponer τ=w∗siendo ´esta la topolog´ıa d´ebil estrella definida anteriormente. Demostraci´on. Denotemos por τla topolog´ıa d´ebil o d´ebil estrella seg´un el caso. Sea δ > 0 y sea (xn) una sucesi´on que converge a cero en τy tal que l´ımnp(xn)6= 0 tal que los l´ımites l1:= l´ım n,m;n6=mp(xn−xm), l2:= l´ım np(xn) existen y l1 l2≤w∗CS(X, p) + δ. De igual forma, por el Lema 4.12, sin p´erdida de generalidad podemos asumir que (xn) es una sucesi´on bloque de la base. Tomemos k∈N, > 0 y n0∈Ntal que l1−≤p(xn−xm)≤l1+, l2−≤p(xn)≤l2+and kxnpara todo n, m ≥n0. Entonces 2l2− l1+≤p(xn0) + l´ımmp(xm) l´ımmp(xn0−xm)≤Sk(X, p) Haciendo que se vaya a cero, deducimos que 2 Sk(X, p)≤l1 l2≤τCS(X, p) + δ Tomando l´ımites cuando ktiende a infinito, 2 S(X, p)≤τCS(X, p) + δ y como δ > 0 es arbitrario, deducimos las desigualdades deseadas.  Corolario 4.15. Sea (X, k·k)un espacio de Banach con base de Schauder tal que S(X, k·k)<2, entonces (X, k·k)tiene w-NS y la w-FPP. Corolario 4.16. Si Xes un espacio de Banach con base de Schauder acotadamente completa y p∈ P(X)con S(X, p)<2, entonces Xtiene w∗-NS(p). En particular, si pes una norma secuencialmente separadora, w∗CS(X, p) = 2. 66 Cap´ıtulo 4 Relaciones con la Geometr´ıa del espacio de Banach Aplicaremos el resultado anterior a la estabilidad de la propiedad d´ebil estrella de punto fijo en el siguiente cap´ıtulo. A continuaci´on vamos a comprobar que la desigualdad dada el Lema 4.14 puede ser estricta, es decir, existen espacios de Banach tal que w∗CS(X, p)>2/S(X, p): Ejemplo 4.17. Para s∈N, consideramos Xs= (Rs,k·k1)⊕∞(`1,k·k1) con la norma k(x, y)ks= m´ax{kxk1,kyk1} para x∈Rs,y∈`1. Definimos el espacio de Banach X:= ⊕1 ∞ X s=1 Xs:= (z= (zs) : zn∈Xs,|z|1= ∞ X s=1 kzsks<+∞) dotado con la norma uno de la suma | · |1definida. Notar que Xes un espacio de Banach dual con base de Schauder. Denotemos por {es i}ila base de Schauder en Xspara todo s∈Ny definamos ees ial elemento en X, el cual tiene el vector nulo en toda coordenada j6=syes ien la coordenada s-´esima para todo i∈N. La sucesi´on {ee1 1,ee1 2,ee2 1,ee1 3,ee2 2,ee3 1, ...}forma una base de Schauder para el espacio de Banach X. En primer lugar vamos a comprobar que S(X, |·|1)≥2: Consideramos una numeraci´on de la base de Schauder en el orden anterior establecido y fijamos k∈N. Para s∈Nconsideramos en el subespacio Xsel vector xs= (x(n)) con x(n) = 0 si n6=syx(s) = 1 y la sucesi´on de vectores b´asicos {es n}n. En el espacio Xspodemos comprobar que kxsks+ l´ım sup kes nks l´ım supnkxs+es nks = 2. Adem´as, fijado el ´ındice k∈N, podemos encontrar slo suficientemente grande para que el vector en x= (xs)∈Xdefinido como xn= 0 si n6=s yxs=xsverifique que k≤x. Consideramos la sucesi´on bloque (yn)⊂X donde yn= (yn(s))syyn(s) = 0 si n6=syyn(s) = es ssi s=n. Para estos vectores |x|1+ l´ım sup |yn|1 l´ım supn|x+xn|1 =kxsks+ l´ım sup kes nks l´ım supnkxs+es nks = 2. 67 4.2 Relaci´on del coeficiente S(X, p)con otros coeficientes geom´etricos Por tanto Sk(X, |·|1)≥2 para todo k∈NyS(X, |·|1)≥2. Como la norma es bimon´otona, finalmente deducimos que S(X, |·|1) = 2. Por otra parte, Xes un espacio con base Schauder mon´otona acotadamente completa y por tanto un espacio de Banach dual. Vamos a comprobar que w∗CS(Xk) = 2 para todo k∈N. En efecto, sea (xn)nuna sucesi´on d´ebil estrella nula en Xktal que los l´ımites l´ımnkxnkky l´ımn,m;n6=mkxn−xmkk existen y l´ımnkxnkk6= 0. Sin p´erdida de generalidad, ya que la convergencia d´ebil estrella implica que puedo considerar las primeras k-coordenadas tan peque˜nas como queramos, podemos suponer que xnes en realidad un vector de `1para todo ny por tanto l´ımn,m;n6=mkxn−xmkk= l´ımn,m;n6=mkxn− xmk1= 2 l´ımnkxnk1= 2 l´ımnkxnkky por tanto w∗CS(Xk) = 2. Por otra parte, razonando de igual forma que en el Teorema 5.2 del Cap´ıtulo V de [3] (ver tambi´en [11]) se puede probar que w∗CS(X) = ´ınf{w∗CS(Xk),2 : k∈N}= 2 y por tanto la igualdad en el Lema 4.14 no se cumple como quer´ıamos comprobar. N´otese que la propiedad de Schur es estable al considerar una 1-suma directa de espacios de Banach con la propiedad de Schur. En el ejemplo anterior cada Xstiene la propiedad de Schur ya que es isomorfo a `1. De hecho las constantes de equivalencia entre Xsy`1se mantienen para todo s∈N y por tanto X=⊕1PsXses isomorfo a ⊕1Ps`1y este ´ultimo espacio es isom´etrico a `1. Es decir, el espacio (X, |·|1) introducido en el Ejemplo 4.17 admite una norma equivalente secuencialmente separadora. Sin embargo de forma similar podemos definir el siguiente espacio de Banach: Y=⊕1 ∞ X s=1 Ys donde Ys= (Rs,k·kp)⊕∞(`1,k·k1) para alguna norma p∈(1,+∞]. En este caso, el espacio de Banach Ytambi´en tendr´ıa la propiedad de Schur, S(Y, |·|1) = 2, pero Yno es isomorfo a `1ya que contendr´ıa copias isom´etricas de `n p(´o cn 0) donde la dimensi´on nes finita pero tan grande como queramos. De acuerdo con el problema planteado al final de la primera secci´on de esta cap´ıtulo: ¿Podr´ıa ser renormado Ycon una norma equivalente secuencialmente separadora? 68 5Resultados de estabilidad para renormamientos de los espacios `1yc0 5.1. Nociones previas Como hemos comprobado a lo largo de la Memoria, la propiedad de punto fijo para aplicaciones no-expansivas es una propiedad isom´etrica, pero no es invariante por isomorfismos. Es decir, un espacio de Banach X puede cumplir la FPP para un cierto subconjunto de normas de P(X) y no cumplirlas para otras. Ser´ıa interesante conocer algunas propiedades del conjunto de normas de P(X) que verifican la FPP para un espacio de Banach dado. A lo largo de esta cap´ıtulo vamos a denotar PFPP (X) := {p∈ P(X) : (X, p) cumple la FPP }. En el Cap´ıtulo III estudiamos ciertas propiedades de linealidad del conjunto PF P P (X) para algunos espacios de Banach concretos. En particular, probamos que PFPP (X) contiene variedades afines de dimensi´on finita arbitraria siempre que el espacio de Banach admita una norma equivalente secuencialmente separadora. Este ser´ıa el caso de PF P P (`1). Cuando consideramos Xcomo el espacio de sucesiones c0, es todav´ıa un problema abierto saber si PFPP (c0) contiene alg´un elemento, es decir, si c0puede ser reformado para tener la FPP. Para hablar de propiedades topol´ogicas del subconjunto PFPP (X), tendremos que definir en P(X) una topolog´ıa. Hay varias formar de hacerlo, sin embargo vamos a tener en cuenta lo siguiente: como la propiedad de punto fijo es isom´etrica, definimos en P(X) la siguiente relaci´on: p∼ =qsi existe un constante λ > 0 tal que p=λq. Es muy f´acil comprobar que ∼ = 69 5.1 Nociones previas es una relaci´on de equivalencia y, al considerar las clases de equivalencia asociadas, estamos unificando todas las normas que son m´ultiplos de una dada. Sin p´erdida de generalidad, si p∈ P(X) seguiremos denotando por p(·) la clase de equivalencia de todas las normas que son m´ultiplo de p. N´otese que si p, q son normas equivalentes, entonces existen a, b > 0 tal que ap(x)≤q(x)≤bp(x) para todo x∈X, o equivalentemente p(x)≤aq(x)≤b ap(x) para todo x∈X. Si consideramos como p(·) y q(·) los representantes de la clase de equivalencia que verifican p(x)≤q(x)≤c p(x) para todo x∈Xy para alg´un c≥1, podemos definir d(p, q) := ´ınf{c≥1 : p(x)≤q(x)≤cp(x) para x∈X}. Si queremos ser estr´ıctamente formales, tendr´ıamos que usar como definici´on logd(p, q), pero la funci´on logxes continua y estr´ıctamente creciente, por tanto, abusando de la notaci´on, usaremos d(p, q) definida como anteriormente para medir la distancia entre dos normas de P(X). Adem´as, en caso de que p(x)≤q(x)≤cp(x) para alg´un c > 0, d(p, q) = 1 si y s´olo si p(x) = q(x) para todo x∈X. Dotado P(X) con una m´etrica, podemos considerar propiedades topol´ogicas de PF PP (X) como subconjunto de P(X). Por ejemplo, si consideramos X=`1es conocido que PFPP (`1) no es ni abierto ni cerrado en P(`1): la norma de P.K. Lin |||·||| ∈ PF P P (`1) pero tan cerca de ella como queramos podemos encontrar una norma equivalente sin la FPP [33]. Por el contrario, la norma usual k·k1no cumple la FPP pero de igual forma tan cerca de ella como queramos podemos encontrar una equivalente en PFPP (`1). M´as generalmente, T. Dom´ımguez Benavides [13] prob´o lo siguiente: Teorema 5.1. Sea Xun espacio de Banach que contenga una copia isomorfa de `1o de c0. Entonces el conjunto de normas que no cumplen la FPP es denso en P(X). 70 Cap´ıtulo 5 Resultados de estabilidad para renormamientos de `1yc0 Con la notaci´on anterior, P(X)\PF P P (X) es denso en P(X) en el caso particular de que Xsea c0o`1. Esto quiere decir que no existe ninguna norma equivalente en `1yc0que puedan tener estabilidad de la propiedad de punto fijo, es decir, para cualquier norma equivalente en c0o`1existe otra tan cerca a la primera como queramos sin la FPP. En general, dado τuna topolog´ıa en un espacio de Banach y p∈ P(X) cumpliendo la τ-FPP, el problema general de la estabilidad de punto fijo se plantea como sigue: ¿existe una constante K=Kτ(X, p)>1 tal que si q∈ P(X) yd(p, q)< K, podemos asegurar tambi´en que qsatisface la τ-FPP? Para τla topolog´ıa d´ebil, el problema de la estabilidad ha sido ampliamente estudiado y se han podido encontrar resultados positivos de estabilidad para numerosas familias de espacios de Banach (ver por ejemplo [3], [40] y las referencias que all´ı se encuentran). Tambi´en para la topolog´ıa d´ebil estrella se encuentran resultados positivos cuando suponemos que la norma equivalente qes w∗-slsc [14]. Este ´ultimo cap´ıtulo de la Memoria est´a dividido en dos secciones. En la primera de ellas vamos a estudiar algunos resultados de estabilidad de la w∗-FPP en el espacio `1con relaci´on a distintas normas equivalente en P(`1). Comprobaremos que dichos resultados generalizan y ampl´ıan otros conocidos. En la segunda secci´on extenderemos el resultado enunciado en Teorema 5.1 en el caso del espacio de sucesiones c0, ya que probaremos que el conjunto de normas equivalentes en c0que no cumplen la FPP ni tienen copias asint´oticas de c0es tambi´en denso en P(c0), estando este conjunto estr´ıctamente contenido en P(c0)\PFPP (c0). 5.2. Estabilidad de la w∗-FPP para normas equivalentes en `1 Recordemos el siguiente resultado obtenido en [14] en el caso de `1y la topolog´ıa d´ebil estrella σ(`1, c0): Teorema 5.2. Supongamos que pes una norma definida en `1tal que q(x)≤ kxk1≤cq(x) 71 5.2 Estabilidad de la w∗-FPP para normas equivalentes en `1 para todo x∈`1. Entonces (`1, q)tiene la w∗-FPP si qes una funci´on w∗-slsc yc<w∗CS(`1,k·k1) = 2. Teniendo en cuenta el resultado anterior y el problema de la estabilidad de la w∗-FPP planteado en caso de normas w∗-slsc, podemos afirmar que Kw∗(`1,k·k1)≤2. De hecho se conoce que Kw∗(`1,k·k1) es exactamente 2, es decir, existe una norma equivalente k·k1,∞en `1con kxk1,∞≤ kxk1≤2kxk1,∞ para todo x∈`1y tal que (`1,k · k1,∞) no tiene la σ(`1, c0)-FPP [41]. Recordemos que kxk1,∞= m´ax{kx+k1,kx−k1}. Teniendo en cuenta que en Cap´ıtulo III probamos que toda norma secuencialmente separadora p(·) en un espacio de Banach dual con base de Schauder acotadamente completa verifica w∗CS(X, p) = 2, podemos extender el Teorema 5.2 de la siguiente forma: Teorema 5.3. Supongamos que p(·)es una norma secuencialmente separadora definida en un espacio de Banach con base de Schauder acotadamente completa. Entonces Kw∗(X, p)≤2, es decir, si q∈ P(X)es w∗-slsc y q(x)≤p(x)≤cq(x)∀x∈X, con c < 2, entonces qcumple la w∗-FPP. Como acabamos de comprobar, cualquier norma equivalente de `1que sea secuencialmente separadora tiene tambi´en cota de estabilidad de la w∗- FPP de al menos 2. Podr´ıamos preguntarnos si se podr´ıa alcanzar un mayor valor, o m´as generalmente, si pudiera existir una norma equivalente en `1 con cota de estabilidad estr´ıctamente mayor que 2. En esta secci´on vamos a comprobar que la respuesta es negativa, es decir, no existe ning´un renormamiento de `1con cota de estabilidad mayor que 2 para la σ(`1, c0)-FPP. Para ello vamos a utilizar la siguiente generalizaci´on del lema de exten- si´on de normas probado en [13]: Lema 5.4. Sean (X, k.k)un espacio de Banach e Yun subespacio de X. Supongamos que para alg´un λ≤1existe una norma pen Ytal que λkyk ≤ p(y)≤ kyk ∀y∈Y. 72 Cap´ıtulo 5 Resultados de estabilidad para renormamientos de `1yc0 Entonces existe una norma qen Xtal que: q(y) = p(y)∀y∈Y, λkxk ≤ q(x)≤ kxk,∀x∈X. Demostraci´on. Razonamos de forma similar como en la prueba del Lema 2.2 en [13]. Para un espacio de Banach Zarbitrario y p∈ P(Z) denotamos BZ(p) la bola cerrada de centro el origen y radio 1 para la norma p. En primer lugar vamos a observar lo siguiente: Sean p, q dos normas equivalentes en Zya > 0. Entonces ap(z)≤q(z) para todo z∈Zsi y s´olo si BZ(q)⊂1 aBZ(p). En efecto, si se cumple la primera condici´on y z∈BZ(q), entonces podemos escribir z=1 aaz donde az ∈BZ(p) ya que p(az) = ap(z)≤q(z)≤1. Supongamos ahora la relaci´on de contenci´on entre las bolas y que existe alg´un z0∈Ztal que q(z0)< ap(z0). N´otese que az0/q(z0) debe de pertenecer a BZ(p) ya que z0/q(z0)∈BZ(q). Sin embargo, p(az0/q(z0)) = ap(z0)/q(z0)>1. Por tanto debe de cumplirse que ap(z)≤q(z) para todo z∈Z. Vamos a demostrar ahora la tesis del lema. La condici´on p(y)≤ kykpara todo y∈Yimplica que BY(k·k)⊂BY(p). Sea B=co(BX(k·k)∪BY(p)). Es f´acil comprobar que Bes un subconjunto de Xequilibrado, convexo, cerrado y absorbente. Por tanto Bes la bola unidad cerrada de una norma qen X, es decir B=BX(q). Veamos que qcumple las condiciones requeridas: Si consideramos la restricci´on de qal subespacio Y, n´otese que B∩Y= BY(p) y por tanto p(y) = q(y) para todo y∈Y. Como BX(k·k)⊂BX(q) por construcci´on, obtenemos por la observaci´on anterior que q(x)≤ kxkpara todo x∈X. Por otra parte BX(k · k)⊂1 λBX(k · k) ya que 0 < λ ≤1. Por las hip´otesis sobre la norma pen el espacio Y,BY(p)⊂1 λBY(k · k)⊂1 λBX(k · k), por tanto, BX(k·k)∪BY(p)⊂1 λBX(k·k) y BX(q)⊂1 λBX(k·k). Por la observaci´on anterior, esto implica que λkxk ≤ q(x) para todo x∈X y la prueba queda concluida.  Podemos ahora probar lo siguiente: Teorema 5.5. Para toda norma equivalente p(·)en `1yδ > 0existe otra norma |·|1,∞con |x|1,∞≤p(x)≤2 1−δ|·|1,∞ 73 5.3 Estabilidad de la FPP en espacios de Banach con copia de c0 η(x) := X n |tn| 2n. Observemos lo siguiente: 1. Con esta notaci´on |x|∞=kxk∞+η(x) para todo x∈c0. Notemos que η(ax +by) = |a|η(x) + |b|η(y) si x, y son dos vectores en c0con soportes disjuntos y a, b ∈R. Ya que la sucesi´on (yn) es acotada y de soportes disjuntos, podemos podemos probar que l´ımnη(yn) = 0. En efecto: 2. Tomemos la sucesi´on (η(yn)). Como la sucesi´on (yn) es de soportes disjuntos y finitos, es decir, yn= qn X k=pn ξkek,∀n, siendo p1≤q1< p2≤q2< . . . < pn≤qn< . . . , entonces se tiene que η(yn) = |ξpn| 2pn+. . . +|ξqn| 2qn Se sabe que (ξn) est´a acotada, entonces existe M > 0 tal que supn|ξn| ≤ M, por lo tanto η(yn) = |ξpn| 2pn+. . . +|ξqn| 2qn≤M qn X k=pn 1 2k→0,cuando n→ ∞, es decir, l´ım nη(yn) = 0. Por lo tanto, existe una subsucesi´on (ynk) tal que (η(ynk)) es decreciente. Definamos el conjunto C:= (∞ X k=1 tkynk: 0 ≤tk≤1), el cual es un subconjunto cerrado, convexo y acotado de c0y est´a contenido en Y. Vamos a considerar la aplicaci´on T:C→Cdada por 80 Cap´ıtulo 5 Resultados de estabilidad para renormamientos de `1yc0 T ∞ X k=1 tkynk!=yn1+ ∞ X k=1 tnyn(k+1) La aplicaci´on Tno tiene punto fijo. En efecto, supongamos que si lo tuviera, entonces tnk= 1 para todo k∈N, por ser (ynk)kuna sucesi´on b´asica. El posible punto fijo de la aplicaci´on ser´ıa una sucesi´on con un 1 en la posici´on nk,∀ky ese punto no pertenece a c0. Vamos a probar que Tes noexpansiva para la norma q0=q+λ|·|∞. Bastar´ıa probar que Tes q-noexpansiva y |.|∞-noexpansiva, con lo cual tambi´en ser´ıa q0-noexpansiva. En primer lugar, veamos que Tes no-expansiva para la norma q. Hay que probar que q(Tx −Ty)≤q(x−y),∀x, y ∈C. Fijemos x= ∞ X k=1 tkynk, y= ∞ X k=1 skynkdos vectores en C. En ese caso, Tx =yn1+P∞ k=1 tkynk+1 , Ty =yn1+P∞ k=1 skynk+1 . q(Tx −Ty) = |Tx −Ty|= sup k|tk−sk|=|x−y|=q(x−y) Veamos ahora que Ttambi´en es no-expansiva para la norma |·|∞. Habr´ıa que probar que |Tx −Ty|∞≤ |x−y|∞,∀x, y ∈C. En primer lugar, observemos que kx−yk∞= sup{|t1−s1|·kyn1k∞,|t2−s2|·kyn2k∞,|t3−s3|·kyn3k∞, . . .}, donde la igualdad se tiene por ser los (yn) de soportes disjuntos. Tambi´en sabemos que kynk∞=α, ∀n, donde αes una constante, por lo tanto kx−yk∞=α·sup k|tk−sk|. Igualmente se tiene que kTx −Tyk∞=α·supk|tk−sk|. Por otra parte, como ynk=Pqnk j=pnkξjej, se tiene que x= ∞ X k=1 tk  qnk X j=pnk ξjej =t1 qn1 X j=pn1 ξjej+t2 qn2 X j=pn2 ξjej+t3 qn3 X j=pn3 ξjej+. . . = 81 5.3 Estabilidad de la FPP en espacios de Banach con copia de c0 =t1ξpn1epn1+. . . t1ξqn1eqn1+ +t2ξpn2epn2+. . . t2ξqn2eqn2+ +t3ξpn3epn3+. . . t3ξqn3eqn3+. . . Con un razonamiento an´alogo obtenemos que y=s1ξpn1epn1+. . . s1ξqn1eqn1+ +s2ξpn2epn2+. . . s2ξqn2eqn2+ +s3ξpn3epn3+. . . s3ξqn3eqn3+. . . Como Tx =yn1+ ∞ X k=1 tkynk+1 ,entonces Tx =ξpn1epn1+. . . ξqn1eqn1+ +t1ξpn2epn2+. . . t1ξqn2eqn2+ +t2ξpn3epn3+. . . t2ξqn3eqn3+ +t3ξpn4epn4+. . . t3ξqn4eqn4+. . . Como Ty =yn1+ ∞ X k=1 skxnk+1 ,entonces Ty =ξpn1epn1+. . . ξqn1eqn1+ +s1ξpn2epn2+. . . s1ξqn2eqn2+ +s2ξpn3epn3+. . . s2ξqn3eqn3+ +s3ξpn4epn4+. . . s3ξqn4eqn4+. . . 82 Cap´ıtulo 5 Resultados de estabilidad para renormamientos de `1yc0 Observemos que x−y= (t1−s1)ξpn1epn1+. . . + (t1−s1)ξqn1eqn1+ +(t2−s2)ξpn2epn2+. . . + (t2−s2)ξqn2eqn2+ +(t3−s3)ξpn3epn3+. . . + (t3−s3)ξqn3eqn3+. . . Tx −Ty = (t1−s1)ξpn2epn2+. . . + (t1−s1)ξqn2eqn2+ +(t2−s2)ξpn3epn3+. . . + (t2−s2)ξqn3eqn3+ +(t3−s3)ξpn4epn4+. . . + (t3−s3)ξqn4eqn4+. . . Por lo tanto |Tx −Ty|=α·sup k|tk−sk|+|t1−s1|·|ξpn2| 2pn2+. . . +|t1−s1|·|ξqn2| 2qn2+ +|t2−s2|·|ξpn3| 2pn3+. . .+|t2−s2|·|ξqn3| 2qn3+|t3−s3|·|ξpn4| 2pn4+. . .+|t3−s3|·|ξqn4| 2qn4+. . . = =α·sup k|tk−sk|+|t1−s1|·η(yn2) + |t2−s2|·η(yn3) + |t3−s3|·η(yn4) + . . . |x−y|=α·sup k|tk−sk|+|t1−s1|·|ξpn1| 2pn1+. . . +|t1−s1|·|ξqn1| 2qn1+ +|t2−s2|·|ξpn2| 2pn2+. . .+|t2−s2|·|ξqn2| 2qn2+|t3−s3|·|ξpn3| 2pn3+. . .+|t3−s3|·|ξqn3| 2qn3+. . . = =α·sup k|tk−sk|+|t1−s1|·η(yn1) + |t2−s2|·η(yn2) + |t3−s3|·η(yn3) + . . . 83 5.3 Estabilidad de la FPP en espacios de Banach con copia de c0 Para demostrar que |Tx −Ty| ≤ |x−y|ser´ıa suficiente comprobar que η(ynk+1 )≤η(ynk),∀k, lo cual es cierto, ya que (η(ynk))kes una sucesi´on decreciente. Luego Tes |.|∞-noexpansiva. Lo anterior muestra que Tes no-expansiva para la norma q+λ|·|∞para todo λ > 0. Tomando λ > 0 lo suficientemente pr´oximo a cero, conseguimos una norma tan cerca como queramos de la original, sin la FPP y sin copias asint´oticamente isom´etricas de c0, como quer´ıamos demostrar.  84 Bibliograf´ıa [1] F. Albiac, N.J. Kalton. Topics in Banach Space Theory. Graduate Texs in Mathematics, Springer, 2006. [2] Alspach, D.E. A fixed point free nonexpansive map. Proc. Amer. Math. Soc. 82 (1981), no. 3, 423-424. [3] Ayerbe Toledano, J. M.; Dom´ınguez Benavides, T.; L´opez Acedo, G. Measures of noncompactness in metric fixed point theory. Operator Theory: Advances and Applications, 99. Birkh¨auser Verlag, Basel, 1997. [4] S. Banach. Sur les op´erations dans les ensembles abstraits et leurs applications. Fund. Math. 3 (1922) 133-181. [5] A. Barrera-Cuevas, M. Jap´on, Density of the set of renormings in c0 without asymptotically isometric copies of c0and failing to have the fixed point property. Fixed Point Theory, 2013. Vol. 14 (1), (2013), 53-57. [6] A. Barrera-Cuevas, M. 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