Análisis del frenado magnético en un sistema de caída libre

Equation Chapter 1 Section 1 Trabajo fin de grado Ingeniería Aeroespacial Departamento de Física Aplicada III Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Análisis del frenado magnético en un sistema de caída libre Autor: Jorge Herena Panadero Tutor: Antonio González Fernández Sevilla, 2018 iii Trabajo fin de grado Ingeniería Aeroespacial Análisis del frenado magnético en un sistema de caída libre Autor: Jorge Herena Panadero Tutor: Antonio González Fernández Profesor titular de Universidad Departamento de Física Aplicada III Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2018 v Trabajo fin de grado: Análisis del frenado magnético en un sistema de caída libre Autor: Jorge Herena Panadero Tutor: Antonio Fernández González El tribunal nombrado para juzgar el Proyecto arriba indicado, compuesto por los siguientes miembros: Presidente: Vocales: Secretario: Acuerdan otorgarle la calificación de: Sevilla, 2018 El secretario del Tribunal vii A mi familia A mi tutor ix Agradecimientos Este trabajo fin de grado supone una meta, que, a nivel personal, era inalcanzable cuando todo comenzó, pero que ya está llegando a su fin. Quisiera dar las gracias a mi familia por el constante apoyo en este duro camino. En especial a mis padres, que han estado a mi lado en todos y cada uno de los días de esta carrera, en las buenas y en las malas. Sin ellos nada de esto hubiera sido posible. Gracias, también, al Dr. D. Antonio González Fernández, mi tutor, por su paciencia y entrega a este trabajo, pues ha hecho todo lo que ha estado en sus manos. Gracias a todos los amigos que la Universidad me ha brindado. Jorge Herena Panadero Estudiante de Ingeniería Aeroespacial Sevilla, 2018 xvii ÍNDICE DE TABLAS Tabla 4–1. Valores de interpolación 𝐺(𝑏∗) 23 Tabla 5–1. Algunos valores del campo magnético de un imán frente a la distancia de la sonda 30 Tabla 5–2. Algunos valores del campo magnético de dos imanes frente a la distancia de la sonda 31 Tabla 5–3. Tiempos de caída en primera aproximación para tres imanes distintos 33 Tabla 5–4. Tiempos de caída para dos imanes distintos 34 Tabla 5–5. Valores de la constante de fricción 35 xix ÍNDICE DE FIGURAS Figura 1-1. Fuerzas que actúan sobre el imán en su movimiento 1 Figura 1-2. C. Magnético B(t) generado por una espira por la que circula una corriente de intensidad I(t) 2 Figura 1-3. Sistema de frenado magnético para un motor eléctrico 4 Figura 1-4. Esquema de las fuerzas de frenado inducidas 4 Figura 2-1. Esquema del momento magnético de un electrón orbitando alrededor del núcleo 5 Figura 2-2. Modelo de Ampère y Gilbert, respectivamente 6 Figura 2-3. Dipolo que cae en el interior de un tubo de metal conductor 7 Figura 2-4. Barra imanada que cae en el interior de un tubo de metal conductor 8 Figura 3-1. Campo generado por el dipolo que cae en el interior de un tubo metálico conductor 9 Figura 3-2. Comportamiento cualitativo del campo eléctrico generado por un dipolo magnético 13 Figura 3-3. Comportamiento cualitativo de la potencia disipada a lo largo del tubo en el caso del dipolo 14 Figura 3-4. Velocidad de caída del dipolo 17 Figura 3-5. Posición del dipolo 18 Figura 4-1. Comportamiento del valor de G(b*) calculada numéricamente 24 Figura 5-1. Báscula digital de precisión OHAUS Scout Pro 27 Figura 5-2. Sistema para medición de campo magnético 27 Figura 5-3. Dipolo representado como una distribución de corrientes: solenoide 28 Figura 5-4. Dipolo representado como dos discos independientes 29 Figura 5-5. Ajuste del campo magnético generado por el dipolo magnético 31 Figura 5-6. Ajuste del campo magnético generado por la barra imanada 32 Figura 5-7. Sistema de medición del tiempo de caída 33 Figura 6-1. Sistema real de amortiguador magnético 39 Figura 6-2. Esquema de un sistema de amortiguación magnético 39 1 1 INTRODUCCIÓN l sistema a estudiar es un imán que cae por el interior de un tubo metálico vertical. Para ello se toma la hipótesis de que el imán cae totalmente centrado en el eje del tubo, sin ningún tipo de oscilación en su movimiento. Por otro lado, se supone que el tubo es infinitamente largo en comparación con la longitud del imán, por lo que se desprecian los efectos de borde. Figura 1-1. Fuerzas que actúan sobre el imán en su movimiento. El imán, en su movimiento de caída, está sometido a dos fuerzas, el peso propio debido a la gravedad y la fuerza de frenado (Figura 1-1). Por eso, en este capítulo se describirán los principios de esta fuerza de frenado, antes de comenzar con la resolución del problema en sí. 1.1 Conceptos básicos Cuando se habla de campos eléctricos y campos magnéticos estacionarios o permanentes, los problemas de ambos se encuentran desacoplados como si de problemas independientes se tratara. Sin embargo, cuando se tienen campos variables en el tiempo el enfoque del problema cambia, ya que existe una dependencia entre ellos. Faraday comprobó que la variación de un campo magnético lleva asociada la aparición de un campo eléctrico, de la misma forma que Maxwell predijo que la variación de un campo eléctrico lleva consigo la aparición de un E El trabajo de James Clerk Maxwell cambió el mundo para siempre. - Albert Einstein - Introducción 2 campo magnético, hecho que fue demostrado experimentalmente por Hertz. Este hecho es el fundamento que diferencia los campos magnéticos y eléctricos estacionarios de los variables en el tiempo [1]. Figura 1-2. Campo magnético B(t) generado por una espira por la que circula una corriente de intensidad I(t). Imagen obtenida de [3] En la figura 1-2 se representa que, para el caso de una espira por la que circula una corriente 𝐼(𝑡) aparece un campo magnético variable en el tiempo 𝐁(𝑡). En el caso contrario, cuando se induce a una corriente, a partir de un campo magnético variable en el tiempo, el sentido de dicha corriente, depende del comportamiento del campo, es decir, si este aumenta o disminuye. Por tanto, se puede hablar en estos casos de campos electromagnéticos, cuyo comportamiento viene determinado por las ecuaciones de Maxwell. Ahora se está en condiciones de hablar de la ley de inducción, cuyo fundamento es la aparición de una fuerza electromotriz ante un campo magnético variable en el tiempo y matemáticamente se puede expresar mediante la Ley de Faraday [2]: ∇×𝐄=−𝜕𝐁 𝜕𝑡 De forma integral, tomando la integral de superficie y mediante el Teorema de Stokes se obtiene: ∮𝐄∙𝑑𝐥 𝐶=−𝑑 𝑑𝑡∫𝐁∙𝑑𝐒 𝑆 Fuerza electromotriz inducida≡𝜀=∮𝐄∙𝑑𝐥 𝐶 Flujo magnético≡Φ=∫𝐁∙𝑑𝐒 𝑆 Así queda determinada la fuerza electromotriz inducida en un circuito, para el caso en que este esté en movimiento en el seno de un campo magnético, a partir de la variación del flujo magnético como: 𝜀=−𝑑Φ 𝑑𝑡 3 3 Análisis del frenado magnético en un sistema de caída libre Se debe indicar que el signo negativo viene dado por la Ley de Lenz, que afirma que el sentido de la corriente inducida es tal que se opone a la variación de flujo magnético. 1.2 Aplicaciones prácticas Tras el fundamento físico de los campos electromagnéticos, no solo hay una simple cuestión matemática en la que están basados, sino que son de gran interés en diversas ramas de la ingeniería y tecnología. La idea es poder utilizar la inducción electromagnética para producir campos eléctricos a partir de magnéticos y viceversa. El objeto de este trabajo fin de grado radica en el estudio de la caída libre de una barra imanada en el interior de un tubo metálico, para estudiar la fuerza de frenado que experimenta dicha barra en su recorrido a lo largo de la caída. Por tanto, la aplicación directa en este caso es el frenado magnético. Son muchos los usos y aplicaciones del frenado magnético, también conocido como frenado por corrientes de Foucault o corrientes de remolino (eddy currents). Estos sistemas de frenado son empleados en diversos campos de la ingeniería como, por ejemplo, frenado de grandes vehículos de transporte como camiones, trenes o ferrocarriles, pero también son de gran interés en la industria. Por eso, a modo de introducción, se va a mostrar de una forma detallada un sistema utilizado como sistema de frenado magnético en motores eléctricos. La idea está fundamentada en disponer de un sistema, en que se puedan realizar pruebas y comprobaciones de motores antes de su instalación en la aplicación industrial final. Estas pruebas, se realizan principalmente para comprobar aspectos, tales como valores de temperatura alcanzados en los elementos constituyentes, relaciones entre las variables del problema, intensidades de corriente en las bobinas de inducción, etc. Esto es simplemente un ejemplo de sistema en el que se utiliza el frenado magnético, basado en las corrientes de Foucault, pero hay otras muchas aplicaciones fuera del campo industrial donde se puede encontrar este sistema. A continuación, se presentan una serie de ejemplos donde el frenado magnético es de aplicación: • Atracciones como montañas rusas y actividades de puenting. Ventaja de precisión y mantenimiento. La energía cinética es disipada en forma de calor por efecto Joule. Se tiene la ventaja de que, a mayores velocidades, mayor es el efecto. Desventaja de que a bajas velocidades siguen siendo imprescindibles los frenos mecánicos. • Medidores de consumo eléctrico. Permite el calibrado y ajuste de los discos y elementos que los forman. • Algunos tacómetros. • Análisis de piezas en ensayos no destructivos. De hecho, al final de este trabajo fin de grado, se tratará de una forma más desarrollada y extensa el empleo de las corrientes de Foucault en el diseño de amortiguadores. Esto lleva consigo la gran ventaja de eliminar la fricción entre los componentes del amortiguador, y la reducción de mantenimiento que el sistema tiene asociado. 1.2.1 Ejemplo de aplicación práctica El sistema que se va a mostrar a continuación está diseñado para motores que no excedan los 4 Kw de potencia y las 4500 rev/min. Se puede indicar que el sistema es modificable para actuar sobre sistemas con potencias y regímenes de giro superiores, pero eso no atañe a este trabajo [4]. Los elementos de los que consta el sistema son (Figura 1-3): Introducción 4 1. Soporte de balanza 2. Balanza 3. Mesa de anclaje del motor 4. Rejilla de protección 5. Discos de frenado 6. Eje de acople al motor 7. Bobinas de inducción Figura 1-3. Sistema de frenado magnético para un motor eléctrico. Imagen obtenida de [4] Como se puede observar, en este caso el movimiento no es lineal sino rotatorio, pero el principio físico en el que descansa su funcionamiento es idéntico al que atañe a este trabajo, por eso se cree de gran interés como muestra de la variedad de aplicaciones que se pueden tener. El motor se ancla a la mesa para tal fin, y su eje se conecta a la toma de los discos de frenado. Por otro lado, el sistema se conecta a una fuente de corriente, de forma que aparece un campo magnético a causa de la circulación de una intensidad de corriente por las bobinas. El disco de frenado, de material conductor, al estar en movimiento en el seno de un campo magnético experimenta una fuerza contraria a la de su movimiento que produce su frenado y por ende el frenado del eje del motor al que está conectado. De este sistema en concreto se han realizado una serie de ensayos que muestran las variables indicadas anteriormente, pero no son de interés en esta introducción. A continuación, se muestra el fenómeno de forma gráfica (Figura 1-4): Figura 1- 4. Esquema de las fuerzas de frenado inducidas. Imagen obtenida de [4] 5 2 MODELO DEL SISTEMA n este segundo capítulo se va a tratar el campo magnético generado por materiales magnéticos, a partir del concepto de la imanación de materia. Se presentará el concepto de potencial vector asociado a un dipolo puntual y se realizará el cálculo de dicho potencial para el caso de la barra imanada. Con ello se podrá obtener el campo magnético generado por cada uno de ellos. A partir de la unidad básica que forma la materia, el átomo, se puede establecer el campo magnético generado por un determinado material. Todos los medios materiales están formados por átomos, y a su vez, estos átomos cuentan con un electrón que orbita en torno al núcleo del mismo. Figura 2-1. Esquema del momento magnético de un electrón orbitando alrededor del núcleo. Con este concepto, se puede definir el momento magnético de un átomo que bajo el estudio de la Mecánica Cuántica se denomina spin (Figura 2-1). Debe notarse que el electrón, a modo de semejanza, es equivalente a una corriente que pasa por una espira infinitesimal. Por otro lado, en un medio material magnético se puede definir el concepto de imanación (M), que se representa como el momento dipolar magnético por unidad de volumen del medio material en el que se esté estableciendo, de forma que se puede designar como: 𝐌=1 ∆𝑉∑𝐦𝒊 𝑖 E La Teoría de la Relatividad se debe en sus orígenes a las ecuaciones de Maxewll del campo electromagnético. - Albert Einstein- Caída de un dipolo puntual 12 3.2 Solución 3.2.1 Primera forma Debemos comenzar con el cálculo de la potencia disipada, que ya hemos desarrollado: 𝑃𝑑𝑖𝑠=∫𝜎𝐸2𝑑𝑉 𝑉 𝑑𝑉=2𝜋𝑎𝑑𝑧𝛿 𝑃𝑑𝑖𝑠=∫ 𝜎𝐸22𝜋𝑎𝛿𝑑𝑧 +∞ −∞ Ahora, utilizando la expresión para el campo eléctrico a partir del potencial vector, deducida en el apartado anterior, se obtiene: 𝐄=−𝜕𝐀 𝜕𝑡=−𝜕𝐀 𝜕𝑧′𝜕𝑧′ 𝜕𝑡, 𝜕𝑧′ 𝜕𝑡=𝑣 𝐄=−𝑣𝜕𝐀 𝜕𝑧′=−𝑣𝜇0 4𝜋 3𝑚(𝑧−𝑧′) (𝑎2+(𝑧−𝑧′)2)52𝐮𝛉 Antes de continuar con el desarrollo, se podría realizar una representación gráfica con el fin de obtener la forma del campo eléctrico generado por dicho dipolo. Para ello, se adimensionaliza la expresión de la que se quiere obtener el comportamiento a partir del siguiente cambio de variable: 𝑧=𝑧′+𝑎𝑧∗ Realizando el cambio de variable, el campo eléctrico obtenido queda: 𝐸=𝑣𝜇0 4𝜋3𝑚𝑎 𝑎5𝑧∗ (1+𝑧∗2)52 Ahora estamos en condiciones de representar el comportamiento cualitativo del campo eléctrico (Figura 3-2): 13 Análisis del frenado magnético en un sistema de caída libre Figura 3-2. Comportamiento cualitativo del campo eléctrico generado por un dipolo magnético. Una vez realizada esta representación gráfica, se continúa con el cálculo principal de la potencia disipada, de la que también habrá que sacar el comportamiento cualitativo. 𝑃𝑑𝑖𝑠=∫ 𝜎(−𝜇0 4𝜋 3𝑚(𝑧−𝑧′) (𝑎2+(𝑧−𝑧′)2)52𝑣)22𝜋𝑎𝛿𝑑𝑧 +∞ −∞ Realizando el cambio de variable 𝑧1=𝑧−𝑧0 la integral quedaría: 𝑃𝑑𝑖𝑠=𝜎 𝜇02 16𝜋29𝑚2𝑣22𝜋𝑎𝛿∫ (𝑧1)2 (𝑎2+(𝑧1)2)5 +∞ −∞ 𝑑𝑧1 Ahora, con el cambio de variable 𝑧1=𝜌tan𝛼, se reduce a: 𝑃𝑑𝑖𝑠=𝜎 𝜇02 16𝜋29𝑚2𝑣22𝜋𝑎𝛿∫ 𝑎2(tan𝛼)2𝑎1 (cos𝛼)2(cos𝛼)10 𝑎10 𝜋2 −𝜋2𝑑𝛼 𝑃𝑑𝑖𝑠=𝜎 𝜇02 16𝜋29𝑚21 𝑎7𝑣22𝜋𝑎𝛿∫ (sin𝛼)2(cos𝛼)6 𝜋2 −𝜋2𝑑𝛼=𝜎 𝜇02 16𝜋29𝑚21 𝑎75𝜋 128𝑣22𝜋𝑎𝛿 𝑃𝑑𝑖𝑠=45 1024𝜇02 𝑎6𝜎𝑚2𝛿𝑣2 Caída de un dipolo puntual 14 Para obtener la representación de la potencia disipada, se puede expresar dicho parámetro como: 𝑃𝑑𝑖𝑠=∫𝑝𝑑𝑧,𝑐𝑜𝑛 𝑝=(𝜇0 4𝜋 3𝑚(𝑧−𝑧′) (𝑎2+(𝑧−𝑧′)2)52𝑣)2 Así que la expresión de p quedaría como: 𝑝=(𝜇0 4𝜋3𝑚 𝑎4𝑣)2𝑧∗2 (1+𝑧∗2)5 Así que el comportamiento cualitativo de la potencia disipada a lo largo del tubo sería (Figura 3-3): Figura 3-3. Comportamiento cualitativo de la potencia disipada a lo largo del tubo en el caso del dipolo. Tras analizar el comportamiento del campo eléctrico generado por el dipolo y la potencia disipada en el tubo, se observa que se tiene dos extremos. En el caso del campo eléctrico, máximo y mínimo relativos, mientras que en la potencia disipada, dos máximos relativos. Esto se debe a que lo que cuenta es la derivada, que justo en el centro, para el caso de la potencia dispada, es nula. Por tanto, estos máximos vienen dados por el momento en que el dipolo se acerca y se aleja al elemento diferencial del tubo. Finalmente, a partir de la igualdad que se ha explicado anteriormente entre la potencia disipada y la potencia de las fuerzas no conservativas, se puede obtener la expresión de la fuerza de frenado que experimenta el dipolo: 𝑃𝑑𝑖𝑠=𝐅∙𝐯 𝐅=− 45 1024𝜇02 𝑎6𝜎𝑚2𝛿𝐯 15 Análisis del frenado magnético en un sistema de caída libre 3.2.2 Segunda forma Puesto que el campo eléctrico está calculado en la forma anterior, comenzamos con el cálculo de la intensidad de corriente: 𝑑𝐼=𝜇0 4𝜋𝜎3𝑚(𝑧−𝑧′) (𝑎2+(𝑧−𝑧′)2)52𝑣𝛿𝑑𝑧 Hay que especificar que la componente 𝐵𝜌 produce fuerza vertical y la componente 𝐵𝑧 produce fuerza radial, por lo que la fuerza resultante es vertical. La simetría hace que la componente radial se anule. La fuerza que genera el elemento diferencial sobre el dipolo: 𝑑𝐅=𝜇0 4𝜋𝜎3𝑚(𝑧−𝑧′) (𝑎2+(𝑧−𝑧′)2)52𝑣𝛿2𝜋𝑎𝐵𝜌𝑑𝑧𝐮𝐳 Para el caso del dipolo en el interior de un tubo es conveniente expresarlo en coordenadas cilíndricas, obteniendo de esta forma la componente radial del campo magnético que es la que nos interesa para determinar la fuerza: 𝐵𝜌=𝐵𝑟sin𝜃+𝐵𝜃cos𝜃=𝜇0 4𝜋 3𝑚(𝑧−𝑧′)𝜌 (𝜌2+(𝑧−𝑧′)2)52 𝑑𝐅=𝜇0 4𝜋𝜎3𝑚(𝑧−𝑧′) (𝑎2+(𝑧−𝑧′)2)52𝑣𝛿2𝜋𝑎[𝜇0 4𝜋 3𝑚(𝑧−𝑧′)𝑎 (𝑎2+(𝑧−𝑧′)2)52]𝑑𝑧𝐮𝐳 𝑑𝐅= 𝜇02 16𝜋2𝜎9𝑚2𝑎(𝑧−𝑧′)2 (𝜌2+(𝑧−𝑧′)2)5𝑣𝛿2𝜋𝑎𝑑𝑧𝐮𝐳 De esta forma, la fuerza total es: 𝐅= 𝜇02 16𝜋2𝜎9𝑚2𝑎𝑣𝛿2𝜋𝑎[∫ (𝑧−𝑧′)2 (𝜌2+(𝑧−𝑧′)2)5𝑑𝑧 +∞ −∞ ]𝐮𝐳=45 1024𝜇02 𝑎6𝜎𝑚2𝛿𝑣𝐮𝐳 𝐅=− 45 1024𝜇02 𝑎6𝜎𝑚2𝛿𝐯 Caída de un dipolo puntual 16 Como se puede comprobar y era de esperar, los resultados de la fuerza de frenado sobre el dipolo, son idénticos por los dos caminos abordados. 3.2.3 Ejemplo numérico Se van a dar los resultados analíticos para el caso del tubo que posteriormente se va a utilizar en los experimentos. El diamétro exterior del mismo es de 12 mm, el espesor de 1 mm y la conductividad del cobre es de 5,96×107𝑆 𝑚 . Para el cálculo de la fuerza se va a utilizar el diámetro medio. Por ello, teniendo en cuenta que el espesor del tubo es 1 mm, se utiliza un diámetro de 11 mm. Por tanto, la fuerza de frenado es: 𝐅=149000𝑚2𝑣𝐮𝐳(N),con 𝑚(Am2) y 𝑣(ms) 3.3 Gráficas Para obtener las curvas que representan la posición y velocidad como función del tiempo, se realiza el equilibrio de fuerzas vertical, tomando M como la masa del dipolo y considerando la velocidad positiva hacia abajo: 𝑀𝑠𝑑𝑣 𝑑𝑡=𝑀𝑠𝑔−𝐹=𝑀𝑠𝑔−𝐾𝑣 Integrando la expresión en t se obtiene: 𝑣(𝑡)=𝑀𝑠𝑔 𝐾−𝑀𝑠𝑔 𝐾𝑒−𝑡𝐾 𝑀𝑠; 𝑣(𝑡)=𝑉𝑇(1−𝑒−𝑡𝜏) Donde se pueden definir los siguientes parámetros: Constante de tiempo: 𝜏=𝑀𝑠 𝐾 Velocidad terminal: 𝑉𝑇=𝑀𝑠𝑔 𝐾 17 Análisis del frenado magnético en un sistema de caída libre Una vez definida la velocidad, se vuelve a integrar para obtener la posición, obteniéndose finalmente: 𝑧(𝑡)=𝑉𝑇𝜏(𝑡𝜏−1+𝑒−𝑡𝜏) En la figura 3-4 se representa la velocidad del dipolo. Para dicha curva se han tomado los valores asociados al dipolo con el que posteriormente se van a realizar los experimentos. Utilizando valores de 𝜏=0,04s y 𝑉𝑇= 0,4m s para la constante de tiempo y la velocidad terminal respectivamente, se obtiene: Figura 3-4. Velocidad de caída del dipolo. Como se puede comprobar, la duración del régimen transitorio del movimiento es muy pequeño respecto al tiempo total de caída, como ya se había anticipado anteriormente. Tras aproximadamente 0,25 segundos se alcanza el valor de la velocidad terminal. En la figura 3-5 se muestra la posición del dipolo respecto del tiempo obteniéndose como era de esperar una recta desde el origen de coordenadas. Caída de un dipolo puntual 18 Figura 3-5. Posición del dipolo. 19 4 CAÍDA DE UN IMÁN DE LONGITUD FINITA Lo importante en ciencia no es tanto obtener nuevos hechos como descubrir nuevas formas de pensar sobre ellos. - William Lawrence Braggna vez analizado el caso del dipolo magnético, se está en condiciones para entrar en el objeto de este trabajo fin de grado, el análisis de la caída libre en el interior de un tubo de una barra imanada de una longitud dada. El objetivo es llegar a la dependencia funcional de dicha longitud de la barra en el problema planteado. Como se ha visto anteriormente, hay dos formas de proceder para determinar la fuerza de frenado magnético: mediante análisis de fuerzas o mediante la potencia disipada. Por cuestión de sencillez en el planteamiento se procederá con el cálculo de la potencia disipada. 4.1 Ecuaciones El desarrollo de ecuaciones para el caso de la barra imanada es exactamente el mismo. A partir de la Ley de Inducción de Faraday, se tiene que para el caso de una espira inmóvil en el seno de un campo magnético variable en el tiempo: ∇×𝐄=−𝜕𝐁 𝜕𝑡,con 𝐁=∇×𝐀 ∇×𝐄=−𝜕 𝜕𝑡(∇×𝐀)=∇×(−𝜕𝐀 𝜕𝑡) 𝐄=−𝜕𝐀 𝜕𝑡−∇𝜙 Que, para el caso del campo eléctrico en una espira circular cerrada, que tiene la forma: 𝐄=𝐸𝐮𝛉 𝜙=0,𝐄=−𝜕𝐀 𝜕𝑡 U Caída de un imán de longitud finita 20 20 Una vez determinado el campo eléctrico E: 𝐉=𝜎𝐄,𝜎≡𝑐𝑜𝑛𝑑𝑢𝑐𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑢𝑏𝑜 𝑑𝑃𝑑𝑖𝑠=𝐄∙𝐉𝑑𝑉 𝑃𝑑𝑖𝑠=∫𝜎𝐸2𝑑𝑉 𝑉 Ya determinada la potencia disipada, como se explicó en el capítulo anterior, se puede obtener la fuerza de frenado que experimenta el dipolo despejando de la siguiente expresión: 𝑃𝑑𝑖𝑠=𝐅∙𝐯 4.2 Solución Debemos comenzar con el cálculo de la potencia disipada, que ya hemos desarrollado: 𝑃𝑑𝑖𝑠=∫𝜎𝐸2𝑑𝑉 𝑉 𝑑𝑉=2𝜋𝑎𝑑𝑧𝛿 𝑃𝑑𝑖𝑠=∫ 𝜎𝐸22𝜋𝑎𝑑𝑧𝛿 +∞ −∞ Para este caso sigue siendo válida la hipótesis del tubo infinito, ya que, aunque ahora la barra tiene una determinada longitud, esta es mucho menor que la longitud del propio tubo. En caso de que la longitud de la barra imanada no pueda ser considerada mucho menor que la del tubo, dicha hipótesis dejaría de ser válida y el cálculo de la potencia disipada pasaría a ser: 𝑃𝑑𝑖𝑠=∫𝜎𝐸22𝜋𝑎𝑑𝑧𝛿 ℎ 0 Para el cálculo del campo eléctrico producido por la barra imanada, se toma el potencial vector obtenido anteriormente para dicho caso y partir del mismo se obtiene el nuevo campo eléctrico para el mismo. Sin embargo, en este caso la expresión del potencial vector para el caso de la barra imanada, resulta de una cierta complejidad para obtener el campo eléctrico a partir de ella. Por ello vamos a utilizar la siguiente identidad matemática. 21 Análisis del frenado magnético en un sistema de caída libre A partir de la función: 𝐹(𝑡)=∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑏(𝑡) 𝑎(𝑡) La derivada de la misma se puede obtener a partir de la llamada Fórmula de Leibniz: 𝐹′(𝑡)=𝑏′(𝑡)𝑓(𝑏)−𝑎′(𝑡)𝑓(𝑎) Por tanto, para el caso del campo eléctrico: 𝐄=−𝜕𝐀 𝜕𝑡=−𝜕𝐀 𝜕𝑧0𝜕𝑧0 𝜕𝑡, 𝜕𝑧0 𝜕𝑡=𝑣 𝐄=−𝑣𝜕𝐀 𝜕𝑧0 𝐀(𝐫)=∫ 𝜇0 4𝜋 𝑚𝑎 𝑏(𝑎2+(𝑧−𝑧′)2)32 𝑧0(𝑡)+𝑏 𝑧0(𝑡)𝑑𝑧′𝐮𝛉 Por lo explicado anteriormente, mediante el teorema indicado se tiene: 𝜕𝐀 𝜕𝑧0=𝜇0 4𝜋𝑚𝑎 𝑏 [ 1 (𝑎2+(𝑧−𝑧0(𝑡)−𝑏)2)32−1 (𝑎2+(𝑧−𝑧0(𝑡))2)32 ] 𝐮𝛉 Y por tanto el campo eléctrico generado por la barra imanada queda: 𝐄=−𝜇0 4𝜋𝑚𝑎 𝑏𝑣 [ 1 (𝑎2+(𝑧−𝑧0(𝑡)−𝑏)2)32−1 (𝑎2+(𝑧−𝑧0(𝑡))2)32 ] 𝐮𝛉 𝑃𝑑𝑖𝑠=∫ 𝜎 ( −𝜇0 4𝜋𝑚𝑎 𝑏𝑣 [ 1 (𝑎2+(𝑧−𝑧0(𝑡)−𝑏)2)32−1 (𝑎2+(𝑧−𝑧0(𝑡))2)32 ] ) 22𝜋𝑎𝛿𝑑𝑧 +∞ −∞ EXPERIMENTOS 28 28 barra imanada, quedarían representados como dos discos del mismo valor de carga, uno de ellos negativo y el otro positivo. Por otro lado, el modelo de Ampère, trata el elemento volumétrico como una distribución de corrientes de magnetización K. Por tanto, el imán y la barra imanada se representarían como una distribución uniforme de dichas corrientes. Al superponer la acción de todas ellas, el imán puede ser tratado como un solenoide infinito. Para la obtención de un modelo que se aproxime a los resultados experimentales, se va tomar el imán de esta última forma, ya que los resultados obtenidos se ajustan perfectamente a los experimentales. A continuación, se muestra el desarrollo de la obtención del campo magnético según dicho modelo. De este, derivarán cuatro constantes que tomaremos para el cálculo numérico de los valores experimentales. Esto nos permitirá hacer la comparación entre dichos valores y los obtenidos de forma analítica. Figura 5-3. Dipolo representado como una distribución de corrientes: solenoide. De esta imagen (Figura 5-3), se puede obtener el valor de la distancia al punto donde se quiere el valor del campo magnético, medida desde cada uno de los extremos del dipolo. sin𝛼2=𝑧−𝑎 √𝑐2+(𝑧−𝑎)2 sin𝛼1=𝑧−𝑑 √𝑐2+(𝑧−𝑑)2 Por tanto, de esta forma y atendiendo al modelo utilizado, el campo magnético generado en un punto genérico quedaría: 𝐵=𝐴(𝑧−𝑎 √𝑐2+(𝑧−𝑎)2−𝑧−𝑑 √𝑐2+(𝑧−𝑑)2), 𝐴=𝜇0𝑀0 2 29 Análisis del frenado magnético en un sistema de caída libre Donde {𝐴,𝑎,𝑑,𝑐} son las constantes a determinar, que nos darán una expresión para el campo magnético en función de 𝑧. Aunque esta sea la forma elegida de calcular estas constantes, la expresión obtenida impone una gran limitación y es que esta sólo es válida en el centro del imán o la barra imanada, en el caso que corresponda. Al tratarse de un solenoide infinito, habría que resolver el problema de un solenoide semi-infinito. Pero esto resulta de tal complejidad que no se cree conveniente desarrollarla. Por tanto, para solventar este problema, se procede usando los valores obtenidos mediante este modelo, al relacionarlos con los parámetros del modelo de campo magnético que proporciona el modelo de Gilbert. Según este último (Figura 5-4), el imán se considera como dos discos de carga de valor 𝑞𝑚. Figura 5-4. Dipolo representado como dos discos independienes. Aquí conviene resaltar que, con el objetivo de hallar el flujo y por tanto la inducción, dichos discos pueden ser considerados como cargas puntuales, pero a la hora de realizar el ajuste requerido, dicho modelo considera que son discos completos. De esta forma para el cálculo de las corrientes inducidas, el campo magnético se puede aproximar por: 𝐵=𝜇0 4𝜋𝑞𝑚(1 (𝑧−𝑧+)2−1 (𝑧−𝑧−)2), 𝑞𝑚=𝑀0𝜋𝑐2 Donde al sustituir el valor de 𝑞𝑚 queda: 𝜇0 4𝜋𝑞𝑚=𝜇0 4𝜋𝑀0𝜋𝑐2=𝜇0𝑀0𝑐2 4=𝐴𝑐2 2 Con esta expresión, ya se puede obtener valores numéricos de este término, que permitirán hallar el valor de la constante K que aparece en la expresión de la fuerza de frenado, y finalmente su comparación con los valores obtenidos experimentalmente. EXPERIMENTOS 30 30 Medida con un imán En este caso se ha realizado un primer barrido, desplazando el imán respecto al extremo de la sonda con un incremento de 0,05 mm hasta recorrer un total de 5 mm. Después se ha realizado un segundo barrido hasta llegar a los 10 mm con un incremento de 0,1 mm. Por último, se ha completado hasta los 2 cm de distancia con un paso de 0,2 mm. Algunos de los resultados obtenidos se incluyen en la tabla que se muestra a continuación y en el Anexo se incluye la tabla con la totalidad de los resultados. z(mm) B(mT) 0,00 -130,7 0,05 -128,5 0,10 -125,8 0,15 -123,1 0,20 -120,6 0,25 -118,0 0,30 -115,6 0,35 -113,2 0,40 -110,8 0,45 -108,8 0,50 -106,6 0,55 -104,5 Tabla 5-1. Algunos valores del campo magnético de un imán frente a la distancia de la sonda. Una vez obtenido el conjunto de datos, con la ayuda de Wolfram Mathematica 11.2, se puede obtener un modelo no lineal que se ajuste a estos valores. Se debe indicar que el software utilizado para hallar dicho modelo no da información acerca de la incertidumbre y por eso no parece reflejada. Por tanto, de esta forma se obtiene la siguiente aproximación, que permite tener valores numéricos para comenzar con los cálculos: 𝐵=504,5548(𝑧+3,0500 √8,2555+(𝑧+3,0500)2−𝑧+18,2110 √8,2555+(𝑧+18,2110)2) Si representamos esta función junto con el listado de los valores medidos experimentalmente, se puede observar que el ajuste entre ambas curvas es prácticamente perfecto. En la siguiente gráfica (Figura 5-5) se muestra en color rojo los puntos medidos experimentalmente y en azul la curva del modelo de ajuste que se ha obtenido. 31 Análisis del frenado magnético en un sistema de caída libre Figura 5-5. Ajuste del campo magnético generado por el dipolo magnético Como ya se ha descrito en este apartado, con los valores obtenidos del modelo {𝐴,𝑎,𝑏,𝑐}, se puede tener una primera aproximación del valor de K, de forma analítica. Medida con dos imanes De la misma forma que se han realizado las mediciones del campo magnético generado por el imán se han realizado los de la barra imanada. Estas mediciones se han llevado a cabo a partir de la superposición de dos imanes. En este caso, se ha vuelto a barrer una distancia total de 2 cm, midiendo en el primer centímetro cada 0,1 mm y cada 0,2 mm en el segundo. A continuación, se muestran algunos de los resultados obtenidos en la medición. La tabla general con la totalidad de los resultados se incluye en el Anexo. z(mm) B(mT) 0,0 -132,1 0,1 -126,5 0,2 -121,7 0,3 -116,9 0,4 -112,4 0,5 -108,0 0,6 -104,0 0,7 -100,1 0,8 -96,4 0,9 -92,8 1,0 -89,4 1,1 -86,2 Tabla 5-2. Algunos valores del campo magnético de dos imanes frente a la distancia de la sonda. EXPERIMENTOS 32 32 De forma análoga a lo que se ha hecho para el caso del dipolo, con el software de Wolfram Mathematica 11.2 se puede obtener otra función para el caso de la barra imanada mediante un modelo no lineal, obteniendo la siguiente expresión con otros valores: 𝐵=444,258(𝑧+2,9400 √9,0705+(𝑧+2,9400)2−𝑧+31,7516 √9,0705+(𝑧+31,7516)2) Figura 5-6. Ajuste del campo magnético generado por la barra imanada Como se puede observar (Figura 5-6), con los valores obtenidos se tiene un ajuste perfecto entre los valores medidos experimentalmente y la curva obtenido a partir del modelo no lineal. 5.1.3 Primera estimación del tiempo de caída Para la medición de los tiempos de caída, el sistema utilizado es algo más complejo. El sistema utilizado consta de (figura 5-7): • 2 sensores de posición • Contador • Barra soporte • Cables de conexión • Pie soporte • Nueces • Pinzas • Tubo • Placa metálica rígida 33 Análisis del frenado magnético en un sistema de caída libre Figura 5-7. Sistema de medición del tiempo de caída. En cuanto al funcionamiento del sistema, consta de dos sensores. El primero, se encuentra al inicio del tubo y abre el contador del tiempo cuando el imán ha pasado completamente (flanco de bajada). El segundo, situado al final del tubo, detiene dicho contador en el momento que el imán ha salido completamente por la parte inferior, proporcionando así el tiempo que el imán ha tardado en caer a lo largo del tubo utilizado. En una primera aproximación, sin el sistema disparador montado y preparado para realizar el experimento, se hacen una serie de medidas con 3 imanes distintos, midiendo el tiempo de caída de cada uno de ellos 10 veces consecutivas para verificar que el sistema está bien montado y ajustado. Estos experimentos se han realizado dejando caer el imán por el interior del tubo con la mano, pues como ya se ha comentado, la única finalidad es verificar el sistema y que se obtienen mediciones razonables. A continuación, se muestran los datos obtenidos: AZUL AMARILLO VERDE Medida t(s) Medida t(s) Medida t(s) 1 2,035 1 1,876 1 1,914 2 1,916 2 1,729 2 1,934 3 1,965 3 1,822 3 1,969 4 1,935 4 1,849 4 1,932 5 1,877 5 1,818 5 1,963 6 1,974 6 1,748 6 2,035 7 2,015 7 1,763 7 1,938 8 1,976 8 1,757 8 1,947 9 1,932 9 1,817 9 2,020 10 1,943 10 1,872 10 1,926 T. Medio (s) 1,96(3) T. Medio (s) 1,80(3) T. Medio (s) 1,96(2) Tabla 5-3. Tiempos de caída en primera aproximación para tres imanes distintos EXPERIMENTOS 34 34 De esta forma, en primera aproximación, se puede confirmar que el sistema está preparado para la realización de las medidas exactas, pues los tiempos obtenidos son razonables. 5.1.4 Medida exacta del tiempo de caída Una vez se ha comprobado que efectivamente, el sistema está correctamente montado, y las células están dispuestas de forma que la medida del tiempo de caída en el interior del tubo es correcta, se procede a la medida del tiempo de caída usando el sistema disparador. La razón de la utilización de un sistema rígido para dejar caer el imán en el interior del tubo es interceder lo menos posible en su movimiento antes de comenzar la caída. Manualmente se produce un par sobre dicho imán y el rozamiento con las paredes es demasiado grande, para considerar exactas estas medidas. Las medidas se han realizado con dos imanes distintos, cuyo peso varía ligeramente debido a la tolerancia de fabricación, pero su valor nominal es el mismo. A continuación, se muestran dichas medidas del tiempo, junto con las longitudes del tubo y del imán, que permiten estimar la velocidad terminal de caída por el interior del tubo. Tabla 5-4. Tiempos de caída para dos imanes distintos. Llegando a estos valores de velocidad terminal, se está en condiciones de obtener la constante de frenado experimental (𝐾) de la que se hablaba al comienzo de este trabajo fin de grado, con el objetivo final de calcular la fuerza de frenado en la caída del imán por el interior del tubo. En el Capítulo 3, se mostraba la expresión de dicha fuerza, quedando: 𝐅=−𝐾𝐯, 𝐾=𝑀𝑠𝑔 𝑉𝑇 AZUL (4,64 g) AMARILLO (4,67 g) Medida t(s) v(mm/s) Medida t(s) v(mm/s) 1 2,045 475,794621 1 2,1 463,333333 2 1,873 519,487453 2 2,038 477,428852 3 1,906 510,493179 3 2,146 453,401678 4 1,931 503,883998 4 2,135 455,737705 5 1,805 539,058172 5 2,185 445,308924 6 1,83 531,693989 6 2,126 457,666980 7 1,965 495,165394 7 2,166 449,215143 8 1,805 539,058172 8 2,136 455,524345 9 1,887 515,633280 9 2,168 448,800738 10 1,915 508,093995 10 2,081 467,563671 T. Medio (s) 1,90(5) T. Medio (s) 2,13(3) V. Media (mm/s) 514(13) V. Media (mm/s) 457(6) 35 Análisis del frenado magnético en un sistema de caída libre Por tanto, para el caso de los dos imanes anteriores, se obtienen los siguientes resultados para 𝑔= 9,80665 𝑚/𝑠2: 𝑀𝑠(kg) 𝑉𝑇(m/s) 𝐾(kg/s) AZUL 0,00464(1) 0,514(3) 0,0885(6) AMARILLO 0,00467(1) 0,457(6) 0,0981(13) Tabla 5-5. Valores de la constante de fricción. 5.1.5 Comparación con resultados analíticos El objetivo de este apartado es la comparación de los resultados que se han obtenido en los experimentos anteriormente descritos y los resultados que se obtuvieron en los capítulos 3 y 4 de este trabajo fin de grado. Cómo ya se explicó en el primer capítulo, la idea generalizada que permite la comparación entre ambos métodos, es la obtención de la constante de fricción K, que, junto a la velocidad, definen la fuerza de frenado experimentada por el imán. Por tanto, a continuación, se va a llevar a cabo dicha comparación para el caso del imán. Imán Experimentalmente, ya se ha obtenido la velocidad de caída para el caso de dos imanes semejantes, cuyos resultados se han mostrado anteriormente. Esta velocidad, junto con la masa de cada uno de los imanes, ha permitido la obtención de la constante de fricción en la caída de los mismos. Esta constante de fricción está indicada en la Tabla 5-5. Tomando la expresión calculada en el capítulo 4, es posible calcular dicha constante. 𝑃𝑑𝑖𝑠=3 32𝜎𝜇02(𝑚 𝑏)2𝛿 𝑎(𝑎+𝛿)𝑣2 Donde el valor de la constante de fricción viene dado por: 𝐾=3 32𝜎𝜇02(𝑚 𝑏)2𝛿 𝑎(𝑎+𝛿) En esta expresión, todos los datos geométricos son conocidos, pero el factor (𝜇0𝑚)2se debe extraer de las mediciones del campo magnético realizadas. Para ello, de la relación entre los dos modelos usados para definir el imán (Gilbert y Ampère) se obtiene: 𝜇0𝑀0 4𝑐2=𝐴𝑐2 2, 𝜇0𝑀0=2𝐴 EXPERIMENTOS 36 36 Donde A, es el valor obtenido numéricamente en el modelo del imán. Si ahora se desarrolla el término 𝜇0𝑚 queda como: 𝜇0𝑚=𝜇0(𝑀0𝑐2𝜋(𝑑−𝑎)); 𝜇0𝑚=2𝐴𝑐2𝜋(𝑑−𝑎) La expresión de la constante quedaría de la siguiente manera: 𝐾=3 32𝜎(2𝐴)2𝑐4𝜋2𝛿 𝑎(𝑎+𝛿) De esta forma, ya se puede calcular exactamente el valor de la constante, y así, la comparación con los valores mostrados de dicha constante anteriormente. Para el primer experimento, los valores que darán el resultado de la constante son: 𝐴=504,5548×10−3 T 𝑐=2,87324×10−3 m 𝑎=5×10−3 m 𝜎𝐶𝑢=5,96×107 S/m 𝛿=1×10−3 m Con todos estos valores, se obtiene que la constante de fricción K tiene un valor de: 𝐾=0,1275 kg/s Por tanto, tras llegar a este resultado, se puede afirmar que con las hipótesis realizadas en el procedimiento y el error que se haya cometido en las mediciones, los resultados están en concordancia entre la parte analítica y experimental. Analíticamente se habían calculado valores de esta constante para los dos imanes utilizados, obteniendo los valores de: • 𝐾(4,64 𝑔)=0,0885(6)kg/s • 𝐾(4,67 𝑔)=0,0981(13)kg/s La diferencia entre los resultados analíticos y experimentales se puede obtener como el cociente entre ambos valores, de forma que cuanto más próximo a la unidad esté el número, más se ajustarán los dos resultados. 𝐶= 𝐾𝑒𝑥𝑝 𝐾𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑜 37 Análisis del frenado magnético en un sistema de caída libre Dicho esto, los valores de este cociente son: 𝐶1=0,6941 𝐶2=0,7694 De esta forma, se puede comprobar que los resultados obtenidos por ambos métodos se ajustan de forma correcta, a pesar de las hipótesis simplificativas realizadas para la resolución del problema. La diferencia entre 𝐶1 y 𝐶2 se debe a que en primer lugar son medidas independientes, y aunque se ha intentado realizar los experimentos con el máximo de rigurosidad, siempre se comete algún error. En segundo lugar, se trata de imanes distintos por lo que es aceptable que haya cierta diferencia. Anexo 44 44 z(mm) B(mT) 5,50 -22,6 5,60 -22,1 5,70 -21,6 5,80 -21,1 5,90 -20,6 6,00 -20,2 6,10 -19,8 6,20 -19,4 6,30 -18,9 6,40 -18,5 6,50 -18,1 6,60 -17,7 6,70 -17,3 6,80 -16,9 6,90 -16,6 7,00 -16,3 7,10 -15,9 7,20 -15,6 7,30 -15,3 7,40 -15,0 7,50 -14,7 7,60 -14,3 7,70 -14,1 7,80 -13,8 7,90 -13,5 8,00 -13,2 8,10 -13,0 8,20 -12,7 8,30 -12,5 8,40 -12,3 8,50 -12,0 8,60 -11,8 z(mm) B(mT) 8,70 -11,6 8,80 -11,4 8,90 -11,2 9,00 -10,9 9,10 -10,8 9,20 -10,6 9,30 -10,4 9,40 -10,2 9,50 -10,0 9,60 -9,8 9,70 -9,7 9,80 -9,5 9,90 -9,4 10,10 -9,0 10,30 -8,7 10,50 -8,5 10,70 -8,2 10,90 -7,9 11,10 -7,7 11,30 -7,4 11,50 -7,2 11,70 -7,0 11,90 -6,8 12,10 -6,6 12,30 -6,4 12,50 -6,2 12,70 -6,0 12,90 -5,8 13,10 -5,7 13,30 -5,5 13,50 -5,4 13,70 -5,2 z(mm) B(mT) 13,90 -5,1 14,10 -4,9 14,30 -4,8 14,50 -4,7 14,70 -4,6 14,90 -4,4 15,10 -4,3 15,30 -4,2 15,50 -4,1 15,70 -4,0 15,90 -3,9 16,10 -3,8 16,30 -3,7 16,50 -3,6 16,70 -3,6 16,90 -3,5 17,10 -3,4 17,30 -3,3 17,50 -3,2 17,70 -3,1 17,90 -3,1 18,10 -3,0 18,30 -2,9 18,50 -2,9 18,70 -2,8 18,90 -2,8 19,10 -2,7 19,30 -2,6 19,50 -2,5 19,70 -2,5 19,90 -2,4 45 Análisis del frenado magnético en un sistema de caída libre Tabla 2. Medidas experimentales del campo magnético generado por dos imanes (versión completa) z(mm) B(mT) 0 -132,1 0,1 -126,5 0,2 -121,7 0,3 -116,9 0,4 -112,4 0,5 -108,0 0,6 -104,0 0,7 -100,1 0,8 -96,4 0,9 -92,8 1,0 -89,4 1,1 -86,2 1,2 -83,2 1,3 -80,3 1,4 -77,4 1,5 -74,7 1,6 -72,2 1,7 -69,8 1,8 -67,5 1,9 -65,3 2,0 -63,2 2,1 -61,2 2,2 -59,3 2,3 -57,4 2,4 -55,6 2,5 -53,9 2,6 -52,3 2,7 -50,7 2,8 -49,2 2,9 -47,7 3,0 -46,4 3,1 -45,0 3,2 -43,8 3,3 -42,6 3,4 -41,4 3,5 -40,2 3,6 -39,1 3,7 -38,1 3,8 -37,0 3,9 -36,1 4,0 -35,1 4,1 -34,2 z(mm) B(mT) 4,2 -33,4 4,3 -32,5 4,4 -31,7 4,5 -30,9 4,6 -30,2 4,7 -29,4 4,8 -28,7 4,9 -28,0 5,0 -27,4 5,1 -26,7 5,2 -26,1 5,3 -25,5 5,4 -24,9 5,5 -24,4 5,6 -23,8 5,7 -23,4 5,8 -22,8 5,9 -22,3 6,0 -21,9 6,1 -21,4 6,2 -20,9 6,3 -20,5 6,4 -20,1 6,5 -19,7 6,6 -19,3 6,7 -18,9 6,8 -18,5 6,9 -18,1 7,0 -17,8 7,1 -17,4 7,2 -17,1 7,3 -16,7 7,4 -16,4 7,5 -16,1 7,6 -15,8 7,7 -15,5 7,8 -15,2 7,9 -14,9 8,0 -14,7 8,1 -14,4 8,2 -14,1 8,3 -13,9 Anexo 46 46 z(mm) B(mT) 8,4 -13,6 8,5 -13,4 8,6 -13,2 8,7 -12,9 8,8 -12,7 8,9 -12,5 9,0 -12,3 9,1 -12,1 9,2 -11,9 9,3 -11,7 9,4 -11,5 9,5 -11,3 9,6 -11,1 9,7 -10,9 9,8 -10,7 9,9 -10,6 10,0 -10,4 10,2 -10,1 10,4 -9,8 10,6 -9,5 10,8 -9,2 11,0 -8,9 11,2 -8,7 11,4 -8,4 11,6 -8,2 11,8 -7,9 12,0 -7,7 12,2 -7,5 12,4 -7,3 12,6 -7,1 12,8 -6,9 13,0 -6,7 13,2 -6,5 13,4 -6,4 z(mm) B(mT) 13,6 -6,2 13,8 -6,1 14,0 -5,9 14,2 -5,8 14,4 -5,6 14,6 -5,5 14,8 -5,4 15,0 -5,2 15,2 -5,1 15,4 -5,0 15,6 -4,9 15,8 -4,7 16,0 -4,6 16,2 -4,5 16,4 -4,4 16,6 -4,3 16,8 -4,2 17,0 -4,1 17,2 -4,0 17,4 -4,0 17,6 -3,9 17,8 -3,8 18,0 -3,7 18,2 -3,6 18,4 -3,6 18,6 -3,5 18,8 -3,4 19,0 -3,3 19,2 -3,3 19,4 -3,2 19,6 -3,2 19,8 -3,1 20,0 -3,0 47 Análisis del frenado magnético en un sistema de caída libre