Condiciones de contorno para problemas en medios semi-infinitos mediante el MEF: Perfectly Matched Layers y Elementos Infinitos aplicados a problemas de la interacción suelo-estructura

FEquation Chapter 1 Section 1 Trabajo Fin de Grado Ingeniería Civil Condiciones de contorno para problemas en medios semi-infinitos mediante el MEF: Perfectly Matched Layers y Elementos Infinitos aplicados a problemas de la interacción suelo-estructura Autor: Juan Diego Valadés Rodríguez Tutor: Pedro Galvín Barrera Dp to . de Mecánica de los Medios Continuos y Teoría de Estructuras Escuela Técnica Superior de Ingeniería Sevilla, 2019 iii Trabajo Fin de Grado Ingeniería Civil Condiciones de contorno para problemas en medios semi-infinitos mediante el MEF: Perfectly Matched Layers y Elementos Infinitos aplicados a problemas de la interacción sueloestructura Autor: Juan Diego Valades Rodrıguez Tutor: Pedro Galvın Barrera Catedratico de Universidad Dpto. de Mecanica de los Medios Continuos y Teorıa de Estructuras Escuela Tecnica Superior de Ingenierıa Universidad de Sevilla Sevilla, 2019 v Trabajo Fin de Grado: Condiciones de contorno para problemas en medios semi-infinitos mediante el MEF: Perfectly Matched Layers y Elementos Infinitos aplicados a problemas de la interaccion sueloestructura Autor: Juan Diego Valades Rodrıguez Tutor: Pedro Galvın Barrera El tribunal nombrado para juzgar el Proyecto arriba indicado, compuesto por los siguientes miembros: Presidente: Vocales: Secretario: Acuerdan otorgarle la calificacion de: Sevilla, 2019 El Secretario del Tribunal vii A mi familia A mis amigos A mis maestros ix Agradecimientos Sin duda nada de lo conseguido habrıa sido posible sin determinadas personas que han puesto su esfuerzo para que ası haya sido, a las que pertenece el 50% de ello. Agradecer a mi familia en general, y principalmente a mi madre y a mis tios, fundamentales en todo esto, por su apoyo incondicional, por darme la oportunidad de poder hacer lo que me mas me gusta; por reducir todas las dificultades que en el camino se han encontrado y sobre todo, por aguantarme en las situaciones de maximo estres. Y lo que os queda. A mis amigos ‘’de casa’’, Alex, Javi, Lucıa, Jaime… y todos los demas, porque sois imprescindibles. A mis amigos ‘’de Sevilla’’ y companeros de fatiga, Manolo, Alejandra, Vicky, Riki, Vıctor... y todos los demas, nadie como vosotros para afrontar este reto, grandes amigos, companeros de estudio y en un futuro de profesion. Os deseo lo mejor. A Cecilia, por su apoyo, paciencia, y por hacerlo todo mas facil. Agradecer a Pedro la oportunidad de realizar este trabajo, y de contar con su tiempo y conocimientos para ello; su constante disponibilidad siempre, y su ayuda en los momentos en que no veıa solucion. He disfrutado y aprendido a partes iguales durante el proceso. Gracias. Sevilla, 2019 xvii ÍNDICE DE FIGURAS Figura 1.1. Presa de Alcantara en el cauce del rıo Tajo durante el desembalse, como ejemplo de estructura masica. 2 Figura 1.2. Viaducto de archidona. Lınea de Alta Velocidad Cordoba-Granada. 3 Figura 1.3. Tabla III de E. Alarcon [17]. Modelos asumibles, ensayos necesarios y propiedades caracterısticas del suelo en funcion del rango de deformaciones esperado. 7 Figura 1.4. A la izquierda la composicion del suelo segun Casagrande (1940), a la derecha el medio poroelastico de Biot (1956) 8 Figura 2.1. Propagacion y desplazamiento de los puntos en una onda de tipo P: s equivale a q en la notacion empleada. 16 Figura 2.2. Propagacion y desplazamiento de los puntos en una onda de tipo S: s equivale a q en la notacion empleada. 16 Figura 3.1. Barra teorica semi-inifinita. 21 Figura 3.2. Equilibrio en la seccion diferencial. 22 Figura 3.3. Ilustracion sobre la propiedad de combinacion perfecta 27 Figura 3.4. Barra semi-infinita compuesta por tramo elastico y tramo PMM 29 Figura 3.5. Barra finita compuesta por tramo elastico y tramo con propiedades PMM. 30 Figura 3.6. Comportamiento de la oscilacion en funcion del valor que toma fo. 31 Figura 3.7. Comportamiento de la oscilacion de acuerdo al valor del coeficiente m 32 Figura 3.8. Funcion de atenuacion y su integral a alo largo de la barra. 32 Figura 3.9. Comportamiento de la onda a lo largo de la barra. 33 Figura 3.10. Oscilacion en una coordenada real. 34 Figura 3.11. Aenuacion de la oscilacion conforme la coordenada se adquiere una parte compleja. 34 Figura 3.12. Parte real e imaginaria de la coordenada. 34 Figura 3.13.Rigiez dinamica segun los valores de L/ro, disponiendo profundidad Lp insuficiente (Lp<ro) 38 Figura 3.14. Resultados obtenidos para la rigidez dinamica en funcion de la longitud elastica (L/ro) empleando una profundidad del PML suficiente (Lp>ro) 38 Figura 3.15. Resultados obtenidos para diferentes valores de fo. 39 Figura 3.16. Resultados obtenidos para diferentes grados de la funcion de atenuacion. 40 Figura 3.17. Resultados obtenidos para la rigidez dinamica en inicio de la barra para un numero de 10 elementos en la zona elastica (ne) y diferentes elementos en la zona del PML (np) 47 Figura 3.18. Resultados obtenidos para la rigidez dinamica en inicio de la barra para un numero de 60 elementos en la zona elastica (ne) y diferentes elementos en la zona de PML (np) 48 Figura 3.19. Desplazamientos longitudinales en la barra para diferentes frecuencias de excitacion. 49 Figura 4.1. Esquema del modelo simplificado producto del metodo. Las rigideces seran funciones de la frecuencia. 57 Figura 4.2. Grados de libertad en una cimentacion rıgida tridimensional. 60 Figura 4.3. Esquemas de modelos con y sin capa de elementos PML en los contornos. 62 Figura 4.4. Esquema de los modelos a generar en ANSYS 63 Figura 4.5. Esquema geometrico del elemento SOLID185 65 Figura 4.6. Volumenes y mallado del modelo que incluye la zapata. 66 Figura 4.7. Compliancia vertical obtenida mediante el modelo sin PML 68 Figura 4.8. Compliancia vertical obtenida mediante modelo con PML. Lp= 3 m; Ls=8 m; B=2 m; Lh= 4 m 68 Figura 4.9. Deformada (arriba) y solucion nodal para el desplazamiento vertical (Uz) (abajo), para una misma frecuencia, a la izquierda en el modelo con PML, a la derecha en el modleo sin PML. 69 Figura 4.10. Resultados de compliancia vertical para el modelo que incorpora la zapata (Model. Cim), y las diferentes condiciones en la interfase, para el que no la incorpora: acoplamiento del grado de libertad de desplazamiento vertical (CEQ z) y acoplamiento de los tres grados de libertad de desplazamiento (CEQ xyz). 70 Figura 4.11. Resultados para la compliancia vertical obtenidos por otros autores, y obtenidos en este trabajo para los modelos con cimentacion (Model. Cim.) y sin cimentacion acoplando el grado de libertad de desplazamiento vertical (CEQ z) 71 Figura 4.12. Resultados obtenidos para la compliancia vertical, empleando diferentes valores de amortiguamiento 72 Figura 4.13. Resultados obtenidos para diferentes tamanos de suelo modelizado, Ls. 73 Figura 4.14. Resultados (parte real de la compliancia), para los diferentes espesores de capa PML empleados. 73 Figura 4.15. Resultados (parte imaginaria de la compliancia) para los diferentes espesores de capa PML empleados. 74 Figura 4.16. Resultados (parte real de la compliancia), obtenidos para diferente numero de elementos en la capa PML. 74 Figura 4.17. Resultados (parte imaginaria de la compliancia), obtenidos para diferente numero de elementos en la capa PML. 75 Figura 4.18. Capa PML con 3 elementos. 75 Figura 4.19. Esquema geometrico del elemento Shell181 de ANSYS 76 Figura 4.20. Resutados obtenidos para la impedancia al giro mediante modelo sin PML. 77 Figura 4.21. Resultados para la impedancia al giro empleando modelos con PML. Comparativa con los resultados obtenidos por otros autores. 77 Figura 4.22. Resultados obtenidos para la impedancia al giro empleando diferentes valores del amortiguamiento en el suelo. 78 Figura 5.1. Esquema de relacion para el caso unidimensional. 81 Figura 5.2. Funciones de mapeo para el caso unidimensional. 84 Figura 5.3. Elemento cuadratico de Lagrange de 9 nodos 86 Figura 5.4. Funciones de mapeo para el elemento considerado. 88 Figura 5.5. Ejemplo de funciones de forma de elementos infinitos. 91 Figura 5.6. Esquema de los modelos con PML y elementos inifinitos. 94 Figura 5.7. Carga escalon. 95 Figura 5.8 Generacion de los elementos infinitos en el contorno. 95 xix Figura 6.1. Esquema de la carga aplicada. 100 Figura 6.2. Croquis en alzado del modelo generado. 103 Figura 6.3. Seccion del puente viga. Formada por la losa de hormigon y el perfil metalico. 103 Figura 6.4. Esquema del elemento BEAM188 de Ansys. Ansys MAPDL Element Library. 105 Figura 6.5. Esquema del elemento INFIN257 de Ansys. Ansys MAPDL Element Library. 106 Figura 6.6. Modelo de estribos en ANSYS: 106 Figura 6.7. Modelo de suelo, estribos y tablero. 107 Figura 6.8. Modelo de tablero (izquierda), y suelo con elementos infinitos (derecha) 107 Figura 6.9. Primeros cinco modos naturales de vibracion del tablero. 108 Figura 6.10. Tendencia de la respuesta en funcion de la rigidez del suelo, para modelos con elementos infinitos (C/EInf.) y sin ellos (S/EInf.). 110 Figura 6.11. Desplazamiento en el centro del vano para el modelo con suelo tipo I. 110 Figura 6.12. Aceleracion en el centro del vano para un suelo tipo I. 111 Figura 6.13. Desplazamiento en el centro del vano para un suelo tipo II. 111 Figura 6.14. Aceleracion en el centro del vano para un suelo tipo II. 112 Figura 6.15. Respuesta en centro de vano para un suelo tipo III. 112 Figura 6.16. Desplazamiento en el centro de vano para los diferentes suelos considerados en los modelos con elementos infinitos. 113 Figura 6.17. Desplazamiento en el centro de vano para los diferentes suelos considerados en los modelos sin elementos infinitos. 113 Figura 6.18. Contenido en frecuencia de la respuesta para el modelo de viga simple sin consideracion del suelo. 114 Figura 6.19. Contenido en frecuencia de la respuesta para el modelo con suelo tipo I. 115 Figura 6.20. Contenido en frecuencia de la respuesta para el modelo con suelo tipo II. 115 Figura 6.21. Contenido en frecuencia de la respuesta para el modelo con suelo tipo III. 116 Figura 6.22. Asiento experimentado por un estribo para los diferentes suelos. 116 Figura 6.23. Campo de desplazamientos para un tiempo de integracion de 0.3 segundos. 117 Figura 6.24. Campo de desplazamientos para un tiempo de integracion de 0.74 segundos. 117 Figura 6.25. Campo de desplazamientos para un tiempo de integracion de 1.27 segundos. 117 Figura 6.26. Campo de desplazamientos en los elementos infinitos para un tiempo de integracion de 1.07 segundos. 118 Figura 6.27. Vista en planta del campo de desplazamientos en los elementos infinitos para un tiempo de integracion de 0.3 segundos 118 Figura 6.28. Deformada del tablero para un tiempo de integracion de 0.4 segundos. 119 Figura 6.29. Factor Rn teorico frente a velocidad de la carga, para el primer y segundo modo. 121 Figura 6.30. Amplitud de la respuesta en vibracion libre para suelo tipo I. 122 Figura 6.31. Amplitud de la respuesta en vibracion libre para suelo tipo II. 122 Figura 6.32. Amplitud de la respuesta en vibracion libre para suelo tipo I. 123 Figura 6.33. Amplitudes de la respuesta en vibracion libre para los diferentes tipos de suelo. (Modelos sin elementos infinitos) 123 Figura 6.34. Velocidades [km/h] de resonancia y cancelacion para los diferentes modelos. 124 Figura 7.1. Esquema en planta del modelo empleado. 127 Figura 7.2. Modelos sin elementos infinitos (izquierda) y con elementos infinitos (derecha). 128 Figura 7.3. Nueve primeros modos naturales de vibracion de la estructura. 129 Figura 7.4. Aceleracion en direccion x para un suelo tipo I en un punto del forjado superior. 130 Figura 7.5. Aceleracion en direccion y para un suelo tipo I en un punto del forjado superior. 131 Figura 7.6. Aceleracion en direccion z para un suelo tipo I en un punto del forjado superior. 131 Figura 7.7. Desplazamientos horizontales para un suelo tipo I en un punto del forjado superior. 132 Figura 7.8. Desplazamiento vertical para un suelo tipo I en un punto del forjado superior. 133 Figura 7.9. Contenido en frecuencia de la respuesta en direccion X para el modelo con suelo tipo I. 133 Figura 7.10. Contenido en frecuencia de la respuesta en direccion Y para el modelo con suelo tipo I. 134 Figura 7.11. Contenidos en frecuencia para las respuestas horizontales. 135 Figura 7.12. Campo de desplazamientos para un tiempo de integracion de 0.336 segundos. 136 Figura 7.13. Campo de desplazamientos para un tiempo de integracion de 0.504 segundos. 136 Figura 7.14. Campo de desplazamientos para un tiempo de integracion de 0.576 segundos. 137 Figura 7.15. Campo de desplazamientos para un tiempo de integracion de 1.44 gundos. 137 Figura 7.16. Campo de desplazamientos en los elementos infinitos. 138 Figura 7.17. Aceleracion en direccion X para los modelos con elementos infinitos. 139 Figura 7.18. Aceleracion en direccion X para los modelos sin elementos infinitos. 139 Figura 7.19. Aceleraciones en direccion Y para los modelos con elementos infinitos (izquierda) y sin ellos (derecha). 140 Figura 7.20. Desplazamiento en direccion X para los modelos con elementos infinitos. 140 Figura 7.21. Desplazamiento en direccion X para los modelos sin elementos infinitos. 141 Figura 7.22. Contenido en frecuencia de la respuesta para los diferentes suelos considerados, en modelos con elementos infinitos. 141 Figura 7.23. Contenido en frecuencia de la respuesta para los diferentes suelos considerados, en los modelos sin elementos infinitos. 142 xxi Notación Ω Dominio de integracion general ∂ Ω Contorno del dominio de integracion general 𝛁 = (     ,     ,     ) Operador diferencial Nabla 𝛁 · 𝐅 Divergencia del campo vectorial F 𝛁 × 𝐅 Rotacional del campo vectorial F 𝛁 f Gradiente del campo escalar f Re, Real Parte real Im, Imag Parte imaginaria S Rigidez dinamica general 𝑆  Rigidez dinamica del medio semi-infinito Ω  Dominio de tipo PMM Γ Interfase entre dos medios Ω  Dominio de suelo Ω  Dominio de estructura Ω  Dominio tipo PMM truncado -> PML 𝑓 Funcion de atenuacion en el PML 𝐹  Funcion integral de la funcion de atenuacion 𝑁  Funcion de forma asociada al nodo i 𝑀  𝐿   Funcion de mapeo asociada al nodo i Polinomio de Lagrange de grado n asociado al nodo i 𝐺 , 𝜇 Modulo de elasticidad transversal, modulo de corte o segundo parametro de Lame E Modulo de elasticidad longitudinal 𝜌 Densidad 𝑐  Velocidad de propagacion de las ondas de corte, S 𝑐  Velocidad de propagacion de las ondas longitudinales, P ∆ 𝑡 Paso de tiempo en la integracion 𝑓  Frecuencia de muestreo 1 Introduccion 2 1 INTRODUCCIÓN 1.1. El problema de la interacción suelo-estructura. n la busqueda del conocimiento sobre el comportamiento de las estructuras, y ası mismo en la generacion de modelos numericos mas o menos complejos de cara a este objetivo siempre habra algo presente, entre otros aspectos, y es la sustentacion de dicha estructura o su union al mundo. Es bien sabido que dicha union tiene implicaciones directas en el comportamiento de las estructuras, implicaciones que se han de tener en cuenta a la hora de su calculo y diseno. Si bien en el regimen estatico analizar las estructuras suponiendo su union a un medio infinitamente rıgido puede suponer errores considerables, es en el regimen dinamico (o cuando las cargas adquieren una variabilidad temporal tal que los efectos inerciales y viscosos no pueden ser ignorados) cuando esta practica hace aguas. El comportamiento dinamico de las estructuras esta fuertemente (en algunos casos mas que en otros) influenciado por el suelo o terreno donde esta se sustenta de una u otra forma. Estas implicaciones se ponen de manifiesto tanto en las frecuencias de vibracion que exhiben las respuestas como en las amplitudes que estas adquieren. El suelo participa de la respuesta con la estructura como un sistema acoplado, proporcionandole una determinada inercia, y un amortiguamiento adicional. Es este ultimo quizas uno de los factores principales en este fenomeno: por un lado, el amortiguamiento material del suelo y por otro, y con mayor importancia incluso, el amortiguamiento de radiacion que este proporciona. Las vibraciones que se producen en las estructuras son transmitidas al cimiento y de este al suelo donde se propagan en forma de ondas. Esto representa una disipacion de energıa en forma de dichas ondas, y es un fenomeno que debe ser tenido en cuenta en los calculos. Este hecho lleva asociada la necesidad de tener en cuenta el suelo en los modelos de calculo. Para ello, de forma general, se diferencian dos metodologıas diferentes: Metodos Directos y Metodos de Subestructuracion. El primero de los metodos responde a modelos que integran de forma completa la estructura y un volumen de suelo, y se establecen los acoplamientos necesarios entre estructura y suelo, reproduciendo de la forma mas fiel posible la situacion real. Estos modelos se someteran a las solicitaciones pertinentes, extrayendo la respuesta de la estructura en conjunto con el suelo. El segundo se basa en la superposicion de problemas mas simples los cuales tienen en cuenta fenomenos particulares, para acabar obteniendo un modelo simplificado con el que evaluar el fenomeno. Esto se trata en capıtulos posteriores. E Figura 1.1. Presa de Alcántara en el cauce del río Tajo durante el desembalse, como ejemplo de estructura másica. 3 3 Condiciones de contorno para problemas en medios semi-infinitos mediante el MEF: Perfectly Matched Layers y Elementos Infinitos aplicados a problemas de la interacción suelo-estructura De forma general, podemos descomponer el fenomeno de la interaccion suelo-estructura en dos fenomenos fısicos: una interaccion cinematica y una interaccion inercial. La primera de ellas no es mas que la alteracion que provoca en el campo de desplazamientos del suelo la presencia de una determinada estructura con una cimentacion, generalmente de rigidez muy superior al suelo que la rodea. Un determinado movimiento o perturbacion que se propague por el terreno (frentes de ondas de diferente naturaleza) se veran alterados por la presencia de dicha cimentacion, desembocando en fenomenos de refraccion y reflexion de ondas, distanciandose la respuesta del terreno de la que obtendrıa si no existiera dicha estructura. El segundo, la interaccion inercial ya mencionada, relacionada con las propias vibraciones que se producen en la estructura y se transmiten a cimentacion y terreno. Si bien es cierto que todas las estructuras presentan esta interaccion con el terreno, es en algunas de ellas donde dicho fenomeno tiene mayores implicaciones. Es tradicionalmente en las cimentaciones para plantas con maquinaria pesada, que transmite elevadas vibraciones al terreno, indispensable la consideracion de este fenomeno; las estructuras para plantas de energıa nuclear; las estructuras que poseen una elevada masa como son las presas de gravedad (tambien las presas en arco, boveda…etc.), las estructuras para el trafico ferroviario, fuentes de importantes vibraciones. En la generacion de modelos para la evaluacion de este fenomeno en el comportamiento estructural surgen diversas dificultades relacionadas con diferentes elementos, que acaban haciendo de este un problema bastante complejo. La dificultad comienza asociada al propio suelo, y a la dificultad ıntrinseca que presenta el conocimiento del comportamiento de este. Son extendidos los modelos de calculo que suponen un comportamiento elastico-lineal, isotropo y homogeneo para el medio que representa el suelo. Es bien sabido que en el comportamiento del suelo hay poco de linealidad, de isotropıa y mucho menos de homogeneidad. Si bien, los primeros ofrecen buenos resultados y han servido en rangos de deformaciones pequenas y bajo determinadas consideraciones, la Mecanica del Suelo estudia el comportamiento de este y ofrece modelos mas complejos que lo caracterizan mejor, pero que agregan complejidad al problema. Otra de las dificultades esta relacionada con el caracter semi-infinito del medio. Desde el punto de vista del calculo estructural el suelo responde a un medio semi-infinito, en el cual las perturbaciones se propagan en forma de ondas sin ningun obstaculo que impida su radiacion, la cual como se ha comentado es crucial en la respuesta del sistema. Es obvio que los modelos de calculo han de ser finitos, y encontramos aquı la dificultad de plasmar el comportamiento de radiacion mencionado, dado que en los modelos sera necesaria la introduccion de determinadas fronteras que induciran a resultados erroneos. Figura 1.2. Viaducto de archidona. Línea de Alta Velocidad Córdoba-Granada. Introduccion 10 11 2 ONDAS EN MEDIOS ELÁSTICOS l presente capıtulo tiene por objetivo presentar, de forma breve, los conceptos basicos que gobiernan los fenomenos de propagacion de ondas en medios elasticos. La propagacion de ondas debido a la relacion directa de este fenomeno con el comportamiento de estructuras en su interaccion con el suelo como ya se comentaba anteriormente. En medios elasticos porque ası seran los modelos de suelos que se presenten mas adelante, en el analisis de ciertos problemas estructurales. Las ideas y razonamientos seguidos en este capıtulo pueden encontrarse, en mayor profundidad, en J. Domınguez (1993) [3] 2.1. El problema elastodinámico. Ecuaciones básicas. La notacion empleada sera en negrita vectores y tensores y el resto escalares. Las ecuaciones se expresan en un sistema cartesiano con ejes dados por 𝑥 𝑗=1,2,3. Se emplea notacion indicial. Se considera un medio solido elastico, isotropo y homogeneo, definido en un dominio Ω , y con un contorno 𝜕Ω. Sea el desplazamiento de un punto cualquiera 𝒙 del solido, en un instante 𝑡, expresado como 𝒖(𝒙,𝑡). Las ecuaciones de compatibilidad relacionan este con el tensor de pequenas deformaciones, 𝜺, en un punto 𝒙 y un instante 𝑡, segun 𝜀=12𝑢,+𝑢, [2.1] Por otro lado, de la conservacion de la cantidad de movimiento se obtiene, 𝜎,+𝜌𝑏=𝜌𝑢󰇘 [2.2] las ecuaciones de equilibrio interno. Donde 𝝈(𝒙,𝑡) es el tensor de tensiones, 𝒃(𝒙,𝑡) son fuerzas por unidad de volumen y masa y 𝝆(𝒙) es la densidad. La conservacion del momento cinetico implica la simetrıa del tensor de tensiones. Por ultimo, las ecuaciones de comportamiento o ecuaciones constitutivas del material. Para un material elastico-lineal e isotropo, la relacion lineal entre tensiones y deformaciones viene dada por: 𝜀=−𝜈𝐸𝜎𝛿+1+𝜈 𝐸𝜎 [2.3] E Ondas en medios elasticos 12 donde 𝐸 es el modulo de Young , 𝜈 el coeficiente de Poisson, constantes elasticas del material y 𝛿 la delta de Kronecker ( =1 𝑠𝑖 𝑖=𝑗 𝑦 0 𝑠𝑖 𝑖≠𝑗) Como es sabido, el comportamiento de un solido elastico lineal e isotropo queda totalmente definido en base a dos unicas constantes elasticas (dentro de las cinco comunmente empleadas) independientes, siendo el resto de constantes relacionadas entre sı. De este modo la ecuacion [2.3] puede expresarse en funcion de las constantes de Lame 𝜎=𝜆𝛿𝜀+2𝜇𝜀 [2.4] donde 𝜆 es la primera constante o parametro de Lame y 𝜇 es el segundo parametro de Lame o modulo de elasticidad transversal ( tambien 𝐺) Pues bien, las anteriores: equilibrio, compatibilidad y comportamiento, forman un sistema de ecuaciones que definen el comportamiento dinamico de solidos elastico-lineales, homogeneos e isotropos. Sustituyendo [2.1] y [2.4] en la ecuacion [2.2], obtenemos unas ecuaciones para el campo de desplazamientos, 𝜇 𝑢,+(𝜆+𝜇)𝑢,+ 𝜌 𝑏= 𝜌 𝑢󰇘 [2.5] que de forma vectorial quedan, 𝜇 𝛁𝟐𝒖+(𝜆+𝜇) 𝛁 𝛁 · 𝒖 + 𝜌 𝒃=𝜌 𝒖 󰇘 [2.6] estas son las ecuaciones de gobierno del problema elastodinamico en terminos de los desplazamientos, o ecuaciones de Navier. Tanto las ecuaciones de equilibrio, compatibilidad y comportamiento como ası mismo la ecuacion de gobierno deben satisfacerse en el dominio Ω. Por otro lado, debemos imponer las condiciones de contorno al problema. Por una parte, el tensor de tensiones debera satisfacer, 𝜎 𝑛=𝑡  𝑒𝑛 𝜕Ω [2.7] donde 𝑡  seran las fuerzas exteriores en cualquier punto de 𝜕Ω y 𝑛 la normal al plano tangente al contorno en dicho punto. Siendo 𝜕Ω aquella parte del contorno donde se supongan conocidas las cargas externas, las cuales son igualmente funcion del tiempo. Mientras que el campo de desplazamientos se supondra conocido en 𝜕Ω, dandose que 𝑢=𝑢 𝑒𝑛 𝜕Ω [2.8] con su dependencia temporal correspondiente, siendo 𝜕Ω ∪ 𝜕Ω= 𝜕Ω y 𝜕Ω ∩ 𝜕Ω= ∅ . 13 Condiciones de contorno para problemas en medios semi-infinitos mediante el MEF: Perfectly Matched Layers y Elementos Infinitos aplicados a problemas de la interacción suelo-estructura Tras imponer las condiciones en el contorno, podemos cerrar el problema a expensas de imponer las condiciones iniciales para todo punto contenido en Ω a tiempo inicial 𝑡=0 𝑢(𝒙,0)=𝑢(𝒙) [2.9] 𝑢󰇗(𝒙,0)=𝑣(𝒙) [2.10] 2.1.1 Dilatación y rotación Resulta evidente la gran complejidad del problema a la vista de las ecuaciones de gobierno que conforman un sistema de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales acopladas, funcion del espacio y el tiempo. Las componentes de los desplazamientos por lo tanto se encuentran acopladas. La dificultad de ello ha impulsado a diversos autores a buscar diferentes formas de desacoplar el sistema y encontrar ecuaciones mas sencillas. Se describe con brevedad el procedimiento propuesto por Stokes (1849). Se definen la dilatacion volumetrica y el vector rotacion de la siguiente forma 𝜃=∇ · 𝒖 [2.11] 𝝎=∇ × 𝒖 [2.12] Ahora bien, si tomamos la ecuacion de gobierno [2.6] y aplicamos el rotacional y la divergencia, teniendo en cuenta que para campos vectoriales, v, la divergencia del rotacional es nula, ∇·(∇×𝒗)= 0, y que ∇𝒗=∇ ∇ · 𝒗 − ∇ × ∇ ×𝒗, y para campos escalares, 𝑎, el rotacional del gradiente es nulo, ∇× ∇𝑎=0; obtenemos las siguientes ecuaciones: 𝑐 ∇𝜃+∇·𝒃=𝜃󰇘 [2.13] 𝑐 ∇𝝎+∇×𝒃=𝝎󰇘 [2.14] Siendo la primera ecuacion de caracter escalar, en funcion de la dilatacio n y la segunda de ellas vectorial, en funcion del vector rotacion. Las constants 𝑐 y 𝑐 son las velocidades de propagacion de las ondas, y vienen dadas por, 𝑐=𝜆+2𝜇 𝜌 [2.15] 𝑐=𝜇𝜌 [2.16] Ondas en medios elasticos 14 normalmente denominadas 𝑐 y 𝑐 respectivamente. Esto es dado que, la primera de las ecuaciones representa una onda que se desplaza con velocidad 𝑐≡𝑐 de naturaleza dilatacional, es decir, es una perturbacion asociada a cambios de volumen; mientras que la segunda es una onda que se mueve con velocidad 𝑐≡𝑐 y que esta asociada a distorsiones o cambios en la forma. Estas son las conocidas ondas P y S, longitudinales y de corte, las cuales se describen de forma muy breve en adelante. 2.2. Ondas armónicas Es evidente que el problema formulado en el apartado anterior consta de completa generalidad, diferentes pertubaciones con diferente naturaleza podran cumplir las ecuaciones presentadas para ser solucion del problema, en funcion del medio, las condiciones de contorno y la naturaleza que las provoca. Existen diferentes tipos de ondas en medios solidos, desde ondas de cuerpo o internas (ondas S y ondas P, por ejemplo), hasta ondas superficiales que se dan en una determinada superficie libre, como las ondas de Rayleigh; ondas que se manifiestan en la interfase entre dos solidos, como las ondas Love. Tendran caracter diferente en funcion de su dependencia espacial (ondas planas, ondas esfericas…) y temporal (ondas armonicas, por ejemplo). Las ondas de diferente naturaleza exhibiran comportamientos diferentes, y se propagaran en el medio con un caracter que dependera de esta. No es el objetivo de este apartado profundizar en el tema sino poner de manifiesto un tipo de ondas que conviene conocer. Estas son las ondas armonicas. Son todas aquellas cuyo comportamiento en el tiempo viene gobernado por funciones de tipo sinusoidales: cos(𝜔𝑡),sin(𝜔𝑡), con 𝜔 la frecuencia angular; o de forma exponencial compleja: 𝑒,𝑒. El interes por incluir un hueco para hablar este tipo de ondas se debe a que, en primer lugar, esto servira de base a capıtulos posteriores, los cuales se basan en este tipo de onda; y por otro lado, la utilidad que estas presentan dado que cualquier otra perturbacion puede, empleando el principio de superposicion bajo tecnicas como las series de Fourier, representarse como una suma de ondas armonicas. Esto es muy empleado en diversos campos de la ingenierıa y la ciencia. De forma general, para el caso unidimensional, el campo de desplazamientos solucion del problema, cuando la perturbacion es del tipo 𝐹(𝑡)=𝐹𝑒 [2.17] vendra dado por 𝑢(𝑥,𝑡)=𝐴𝑒 ( )+𝐵𝑒 ( ) [2.18] donde 𝐴 y 𝐵 son amplitudes, 𝑒 () representa una onda propagandose en direccion positiva de x, y 𝑒 () en direccion negativa; c es la velocidad de propagacion de onda, 𝜔 la frecuencia. La perturbacion con caracter armonico se caracteriza por un periodo 𝑇=2𝜋/𝜔 y una longitud de onda 𝜆=𝑐󰇡 󰇢=𝑐𝑇. Se define el numero de onda como 𝑘= =2𝜋/𝜆, que representa el numero de longitudes de onda en una longitud de 2𝜋. 15 Condiciones de contorno para problemas en medios semi-infinitos mediante el MEF: Perfectly Matched Layers y Elementos Infinitos aplicados a problemas de la interacción suelo-estructura Por otro lado, es interesante describir las ondas armonicas planas. Previo a ello, cabe definir el concepto de onda plana. Una onda plana es una perturbacion definida por una direccion de propagacion 𝒒, donde todos los puntos contenidos en el plano perpendicular a dicha direccion se mueven de identica forma. El desplazamiento adquiere una forma general del tipo: 𝒖=𝑓󰇡𝑡−𝒒·𝒙 𝑐󰇢𝒅 [2.19] Donde 𝒒 es el vector unitario en direccion de propagacion, 𝒅 es el vector unitario en direccion del movimiento de los puntos contenidos en el plano perpendicular a la direccion de propagacion, 𝒙 es el vector de posicion y c es la velocidad de propagacion de la onda. Ahora bien, esta forma general puede particularizarse para el caso de onda armonica donde tomara la forma: 𝒖=𝑒(𝒒𝒙)𝒅 [2.20] suponiendo una amplitud unidad, con k=𝜔/𝑐 el numero de onda. 2.3. Propagación de ondas en los medios elásticos Se pretende, de forma muy breve, poner de manifesto algunos conceptos sobre la propagacion de las ondas. Esto se hara en base a particularizaciones del campo de desplazamientos: se supone una onda plana y armonica de la forma [2.20] Si tomamos las velocidades de propagacion de ondas S y P dadas por [2.15] y [2.16] y escribimos la ecuacion de gobierno en terminos de el vector rotacion y la dilatacion nos queda: −𝑐 ∇× 𝝎 + 𝑐 ∇𝜃=𝒖󰇘 [2.21] Si ahora suponemos un vector de desplazamientos dado por [2.20], de acuerdo a una onda armonica plana, la ecuacion [2.21] queda de la forma: (𝑐−𝑐)𝒅+𝑐−𝑐(𝒒·𝒅)𝒒=0 [2.22] Esta ultima expresion nos permite razonar sobre la propagacion de estas ondas. Si la velocidad de la onda considerada, c, toma valor de la velocidad de ondas P, 𝑐, entonces [2.22] se cumple sı y solo sı 𝒒=±𝒅 . Esto quiere decir que el vector en direccion de la propagacion ha de ser paralelo al vector que indica el desplazamiento de los puntos contenidos en el plano perpendicular a la propagacion, o lo que es lo mismo, que la onda P sea una perturbacion longitudinal, experimentando todos los puntos un Ondas en medios elasticos 16 movimiento en direccion de la propagacion. Figura 2.1. Propagación y desplazamiento de los puntos en una onda de tipo P: s equivale a q en la notación empleada. Por otro lado, si c toma el valor de la velocidad de onda S, 𝑐, entonces la expresion [2.22] se cumplira sı y solo sı el producto escalar del vector propagacion y desplazamiento es nulo, 𝒒·𝒅=0, es decir, que estos sean ortogonales. Esto implica que la onda S es una perturbacion donde los puntos contenidos en el plano perpendicular a la propagacion experimentan desplazamientos contenidos en dicho plano. Figura 2.2. Propagación y desplazamiento de los puntos en una onda de tipo S: s equivale a q en la notación empleada. Las ondas P y S conviviran en el medio infinito, siendo la velocidad de las ondas P superior a la de las ondas S, conocidas de este modo como primarias y secundarias respectivamente, y con las propiedades descritas con anterioridad. 17 Condiciones de contorno para problemas en medios semi-infinitos mediante el MEF: Perfectly Matched Layers y Elementos Infinitos aplicados a problemas de la interacción suelo-estructura Si bien las anteriores corresponden a ondas volumetricas o de cuerpo (dado que se propagan en el interior del medio) se debe destacar la existencia de otras tipologıas de ondas las cuales se propagan en las superficies, estas son las ondas de Rayleigh y las ondas Love. Ambas superficiales, presentan propiedades diferentes. Las ondas de Rayleigh aparecen en la superficie libre del medio (superficie del terreno), provocando que las partıculas se muevan describiendo trayectorias elıpticas verticales retrogradas en el sentido de la propagacion de la onda. Esto produce un movimiento ondulatorio similar al observado en la superficie del mar. Su velocidad de propagacion se presenta menor que la de ondas S, P e incluso ondas Love. Por otro lado, las ondas Love, son igualmente ondas de superficie que se manifiestan en la interfase de capas de diferentes propiedades: habitualmente cuando una capa de material con baja velocidad de propagacion se superpone a otras cuya velocidad de propagacion es alta. Estas ondas provocan en las partıculas movimientos horizontals y perpendiculares a la direccion de propagacion. Suelen ser el producto de la interferencia de numerosas ondas tipo S. Las ondas de superficie en tienden a atenuarse mas rapidamente que las ondas de cuerpo. 19 3 ENFOQUE DEL PROBLEMA MEDIANTE EL PERFECTLY MATCHED LAYER e trata de abordar el problema de la interaccion suelo-estructura mediante el metodo conocido como Perfectly Matched Layer (PML), el cual se presenta a continuacion y que, desde el punto de vista de los modelos numericos, representa una herramienta de utilidad de cara a obtener buenos resultados en el intento de resolver problemas asociados a las condiciones de contorno en modelos de medios semiinfintos. En lo que sigue se pretende plasmar la idea basica tras el uso de esta herramienta en los modelos de calculo y que permite mejorar en los mismos. Ademas de esto se desarolla la base teorica del metodo, mediante un ejemplo a modo de ilustracion del concepto; para luego tratar su implementacion en los modelos numericos. La formulacion aquı expuesta es propuesta por U. Basu y A.K. Chopra en [4], para la resolucion de problemas relacionados con la propagacion de ondas en medios elasticos. Concretamente se asume una dependencia temporal armonica, y se establece el analisis en el dominio de la frecuencia. Ası mismo implementa esta formulacion en el Metodo de los Elementos Finitos el software ANSYS con el cual se resolveran algunos problemas relacionados con la interaccion suelo-estructura en capıtulos posteriores. 3.1 Idea básica del método Como se ha introducido, una estructura solicitada por determinadas cargas moviles se convierte en una fuente de vibraciones que se transmiten por el terreno en el que esta se cimenta. Esta propagacion de ondas es un mecanismo de disipacion de energıa y tendra implicaciones claras en el comportamiento dinamico de la estructura. Se trata por lo tanto de plasmar dicha propagacion de ondas a traves del terreno en nuestro modelo. El caracter infinito de este medio hace necesario truncar el modelo a una determinada distancia, y la clave aquı es: como lograr dicho truncamiento, que genera una frontera no real, de forma que no se produzcan reflexiones de ondas en el modelo que afectan a los resultados. Existen diversos problemas cuyas soluciones decaen rapidamente con la distancia, por lo que truncar los modelos no resulta un problema demasiado relevante. Sin embargo, los problemas que involucran ecuaciones de onda se presentan mas sensibles a esto. Este decremento lento de la solucion implica que imponer condiciones de borde o frontera del tipo Dirichlet o Neumann (es decir, imponer la condicion matematica de valor nulo al campo solucion o a su derivada) puede ocasionar la reflexion de ondas en el modelo, sin plasmar bien el comportamiento real. S Enfoque del problema mediante el Perfectly Matched Layer 26 dicho cambio, pero mas adelante se pondra de manifiesto la implicacion de este en las ecuaciones del PMM. Dada la continuidad de la funcion 𝜆(𝑥) se tiene: 𝑑𝑥 𝑑𝑥=𝜆(𝑥) [3.26] y ası mismo, 𝑑 𝑑𝑥=1 𝜆(𝑥)𝑑 𝑑𝑥 [3.27] Si ahora introducimos [3.27] en las ecuaciones de gobierno [3.6] a [3.8], obtenemos las siguientes, 1 𝜆(𝑥)𝑑𝜎 𝑑𝑥−𝑘 𝐴𝑢= −𝜔𝜌𝑢 [3.28] 𝜀= 1 𝜆(𝑥)𝑑𝑢 𝑑𝑥 [3.29] 𝜎=𝐸𝜀 [3.30] De modo que, un PMM sera aquel medio donde el campo de desplazamientos esta gobernado por las ecuaciones [3.28] a [3.30]. Observando las ecuaciones anteriores debemos puntualizar que [3.28] y [3.29], se presentan diferentes a las ecuaciones en el medio elastico, siendo la [3.30] identica. La diferencia reside en la presencia de la funcion 𝜆(𝑥). Una consideracion fundamental a hacer y que aparecera mas adelante, es que como se puede apreciar, el medio elastico es una particularizacion del Perfectly Matched Medium, para una funcion 𝜆(𝑥)=1 en todo el dominio. Ahora bien, al igual que en el apartado anterior, buscamos las soluciones de las ecuaciones de gobierno, que operando de forma similar encontramos las siguientes para el PMM. Para 𝒂𝒐<𝟏, 𝑢(𝑥)=exp󰇧−1−𝑎 𝑥 𝑟󰇨 [3.31] para la onda evanescente que se propaga hacia la derecha en la barra y, 𝑢(𝑥)=exp󰇧+1−𝑎 𝑥 𝑟󰇨 [3.32] para la onda evanescente que se propaga hacia la izquierda en la barra. Para 𝒂𝒐>𝟏, 27 Condiciones de contorno para problemas en medios semi-infinitos mediante el MEF: Perfectly Matched Layers y Elementos Infinitos aplicados a problemas de la interacción suelo-estructura 𝑢(𝑥)=exp󰇧−𝑖𝑎 −1𝑥 𝑟󰇨 [3.33] para la onda que se propaga hacia la derecha en la barra y, 𝑢(𝑥)=exp󰇧+𝑖𝑎 −1𝑥 𝑟󰇨 [3.34] para la onda que se propaga hacia la izquierda. Si observamos las soluciones son identicas a las del medio elastico con la salvedad de donde se tenıa 𝑥 ahora se tiene 𝑥. Una vez presentada la idea del PMM, destacar las propiedades fundamentales de este, las cuales son las bases del metodo para generar el PML.  En primer lugar, se tiene que, dos medios PMM: Ω  𝑦 Ω  , semi-infinitos, adyacentes en un conjunto de puntos Γ, con diferentes funciones 𝜆(𝑥) , y 𝜆(𝑥), tal que 𝜆(𝑥) queda definida en todo el dominio Ω  y 𝜆(𝑥) en el dominio Ω , y que ademas se cumpla que: 𝜆(𝑥)= 𝜆(𝑥), ∀𝑥∈Γ es decir, que presenten el mismo valor en los puntos de la interfase entre ambos, permiten el paso de una determinada onda de un medio a otro a traves de la interfase sin generar ondas reflejadas. Esto es conocido como Perfect Matching Property (o propiedad de combinacion perfecta). Podemos hacernos la idea de que esta propiedad es fundamental en la generacion de capas PML. Ademas dicha propiedad se cumple para [3.31] a [3.34 ]siendo independiente del tipo de onda, de la direccion de propagacion y de la frecuencia, 𝑎. Figura 3.3. Ilustración sobre la propiedad de combinación perfecta Enfoque del problema mediante el Perfectly Matched Layer 28  Otra de las propiedades que presenta el PMM, igual de fundamental que la anteriormente expuesta, tiene que ver con la funcion 𝜆(𝑥).1 Hasta el momento se ha presentado como una funcion generica, pero resulta que, si se elige convenientemente, las soluciones que se obtienen para el PMM adquieren la misma forma que las soluciones para el medio elastico, pero presentan una atenuacion espacial adicional. Esto es, aparecen multiplicadas por una exponencial negativa que las atenua rapidamente con x. Era esto lo que buscabamos para lograr esa absorcion de las ondas en los contornos del modelo numerico. Nos centramos en esta ultima propiedad. De cara a mostrar esta, de [4] tomamos la funcion 𝜆(𝑥) de la siguiente forma, para 𝑎>1: 𝜆(𝑥)=1−𝑖 𝑓(𝑥) 𝑎−1 [3.35] La cual queda definida en terminos de 𝑓(𝑥), una funcion continua y real en todo el dominio. Teniendo en cuenta [3.25]: 𝑥= 1−𝑖 𝑓(𝑠) 𝑎−1  𝑑𝑠 [3.36] Dividiendo por 𝑟: 𝑥 𝑟= 1 𝑟 𝑑𝑠 − 𝑖 1 𝑎−1  𝑓(𝑠) 𝑟𝑑𝑠   [3.37] Si definimos 𝐹(𝑠) como la integral de 𝑓(𝑠), 𝑥 𝑟=𝑥 𝑟−𝑖 𝐹󰇡𝑥 𝑟󰇢 𝑎− 1 [3.38] De forma generica se define: 𝐹(𝑥)=𝑓  𝜉𝑑𝜉 [3.39] donde 𝜉=  , y 𝑓𝜉=𝑓𝑟𝜉=𝑓(𝜉) Si ahora tomamos la ecuacion [3.38] y la introducimos en [3.33], se obtiene la siguiente expresion: 1 La elección de la función 𝜆(𝑥) es en sí un tema de estudio, y existe un gran abanico de posibilidades a la hora de tormar esta. Es de gran importancia dado que es la función que controla el comportamiento del PML. Algo más se profundizará mas adelante, pero solo se estudiarán funciones de la forma dada por (34) propuestas en [4]. 29 Condiciones de contorno para problemas en medios semi-infinitos mediante el MEF: Perfectly Matched Layers y Elementos Infinitos aplicados a problemas de la interacción suelo-estructura 𝑢(𝑥)=exp−𝐹 𝑥 𝑟exp󰇧−𝑖𝑎 −1𝑥 𝑟󰇨 [3.40] que como se puede apreciar es exactamente la misma solucion para la onda que viaja hacia la derecha en el medio elastico [3.17] pero aquı multiplicada por una exponencial negativa de la funcion 𝐹 󰇡 󰇢. Entonces podemos concluir que, si la funcion 𝐹 es positiva en todo el PMM, la onda se atenuara en la direccion x. Ademas con esta atenuacion independiente de la frecuencia 𝑎, debido a la eleccion de la funcion 𝜆(𝑥)que se ha realizado. La funcion 𝑓(𝑥) es denominada función de atenuación, y hasta el momento no se ha hecho ninguna consideracion sobre esta, salvo que su integral sea positiva para todo x en el PMM. Parece obvio que la eleccion de esta funcion sera determinante a la hora de implementar numericamente el metodo del PML. Este aspecto se discutira mas adelante. Por otro lado, para el caso en que el parametro 𝑎<1, se propone una funcion 𝜆(𝑥) similar a la anterior: 𝜆(𝑥)=1+ 𝑓(𝑥) 1−𝑎 [3.41] obteniendose de nuevo la misma solucion que para el medio elastico, con la atenuacion adicional. 3.2.3. Generación del Perfectly Matched Layer (PML) Una vez entendido como funciona el PMM y que propiedades fundamentales presenta, estamos en disposicion de definir el concepto del Perfectly Matched Layer o capa perfectamente combinada, que no es mas que darle forma de capa, adecuadamente, al PMM. Considerese un determinado dominio finito, acotado en sus bordes, al que se acopla un medio del tipo PMM, el cual es infinito, en forma de capa adyacente al anterior. De este modo el dominio finito junto con el PMM modelizan un medio infinito o semi-infinito. Esta capa de PMM es la que denominaremos PML. Para continuar con el ejemplo que venimos desarrollando, consideramos estos dominios en forma de barra, tal como se observa en la Figura 3.4. Figura 3.4. Barra semi-infinita compuesta por tramo elástico y tramo PMM Por un lado tenemos el medio elastico y finito, Ω ∈[0,𝐿] el cual se rige por las ecuaciones [3.6], [3.7] y [3.8], y del cual conocemos las expresiones de las ondas que se producen; y por otro lado el medio PMM en forma de capa, a priori de longitud infinita, Ω  ∈(𝐿,∞) , el cual se rige por las ecuaciones [3.28], [3.29] y [3.30], y del cual tambien conocemos las expresiones de las ondas que en el Enfoque del problema mediante el Perfectly Matched Layer 30 se propagan. La cuestion es la siguiente: dado que, como se ha expuesto, el medio elastico es un caso particular del PMM donde 𝜆(𝑥)=1 en todo el dominio, si definimos una funcion 𝜆(𝑥) en cada uno de los dominios de la forma: 𝜆(𝑥)=1, 𝑥∈[0,𝐿] [3.42] 𝜆(𝑥)= ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ 1+𝑓(𝑥−𝐿) 1−𝑎, 𝑎<1 1−𝑓(𝑥−𝐿) 𝑎−1, 𝑎>1 , 𝑥∈(𝐿,∞) [3.43] si ademas definimos la funcion de atenuacion 𝑓(𝑥) tal que 𝑓(𝐿)=0 , es decir, que en x=L, la interfaz entre ambos medios, sea nula y ası mismo la funcion 𝜆(𝐿)=1, compatibilizando ambas funciones de los dos medios en la interfaz, 𝜆(𝐿)=𝜆(𝐿), logramos que toda onda que se propaga fuera del medio finito Ω sea absorbida por el medio Ω  ( sin generar reflexiones en la interfase , Perfect Matching Property) y ademas es atenuada en dicho medio conforme esta se propaga en esa direccion. Dado esto, surge la siguiente cuestion: si la onda que atraviesa la interfase se atenua lo suficiente en una distancia finita en el medio Ω , podemos truncar dicho medio a dicha distancia y hacerlo finito, logrando que la onda se atenue antes de llegar al final de este y evitando ası las reflexiones. Esta distancia sera el espesor del PML, llamemoslo 𝐿, y sera un parametro fundamental en la generacion de los modelos numericos de cara a obtener buenos resultados, surgiendo ası el concepto de PML. Figura 3.5. Barra finita compuesta por tramo elástico y tramo con propiedades PMM. De modo que, truncando el PMM a una distancia 𝐿, obtenemos el modelo que se observa en la Figura 3.5. Se tendrıa ası el medio finito de caracter elastico, Ω ∈[0,𝐿]; y el PMM ahora en forma de capa finita, PML, Ω ∈(𝐿,𝐿+ 𝐿]. Dado que la onda al llegar al final del PML se ha atenuado lo suficiente como para producir reflexiones nulas o insignificantes, un punto 𝑃 contenido en Ω en la barra semi-infinita (Ω≔(Ω∪Ω ) experimenta el mismo desplazamiento (o con un grado de proximidad suficiente) que el mismo punto 𝑃∗ contenido en Ω en la barra finita (Ω≔(Ω∪Ω) En conclusion, hemos logrado modelar un medio semi-infinito mediante un modelo acotado, disponiendo estas capas que sabemos como funcionan, y que evitan la reflexion de las ondas que intervienen en los calculos, tal y como perseguıamos. De cara a clarificar los conceptos expuestos hasta este punto, se considera una barra de 5 metros de longitud, con una capa PML de 1 metro de longitud en su extremo. Es decir, se definen el medio elastico tal que Ω ∈[0,5], y el medio PMM Ω ∈(5,5 + 1].La funcion 𝜆(𝑥) se define de acuerdo a [3.42] y [3.43] donde L=5 metros y la funcion de atenuacion se elige de la siguiente forma, como se propone en [1], 31 Condiciones de contorno para problemas en medios semi-infinitos mediante el MEF: Perfectly Matched Layers y Elementos Infinitos aplicados a problemas de la interacción suelo-estructura 𝑓(𝑥)=󰇱0, 𝑥≤5 𝑓𝑜󰇧𝑥 𝐿󰇨, 5<𝑥≤6 [3.44] donde 𝐿𝑝 es la profundidad de la capa PML.La funcion se ha tomado como un polinomio de grado m, afectado por el coeficiente fo. Es decir, este alcanzara el valor maximo en el extremo final del PML y presentara un crecimiento dado por 𝑚 y 𝑓𝑜. La eleccion de los parametros 𝐿𝑝, 𝑚 y 𝑓𝑜 se discutira en el siguiente apartado, pero cabe plasmar aquı de forma simplificada como se comporta la onda en el PML en funcion de la eleccion de 𝑓𝑜 y 𝑚. En la Figura 3.6 podemos observar como la oscilacion se ve reducida conforme 𝑓𝑜 crece, y por otro lado, como la oscilacion se ve amplificada cuando el grado de la funcion, 𝑚, adquiere mayores valores, Figura 3.7. Figura 3.6. Comportamiento de la oscilación en función del valor que toma fo. Enfoque del problema mediante el Perfectly Matched Layer 32 Figura 3.7. Comportamiento de la oscilación de acuerdo al valor del coeficiente m Esto impulsa a tomar la funcion de atenuacion como un polinomio de primer grado, y el factor 𝑓𝑜 suficientemente elevado para lograr la atenuacion necesaria en la profundidad 𝐿𝑝 determinada. Para este ejemplo se ha tomado una funcion lineal, con 𝑓𝑜=10, y una profundidad para el PML de un metro como se ha indicado anteriormente. Figura 3.8. Función de atenuación y su integral a alo largo de la barra. Se observa la evolucion lineal para dicha funcion, siendo nula en todo el dominio Ω y tomando valores a partir de la interfase, hasta alcanzar un valor maximo en el final del PML. Ademas, podemos observar la integral de la funcion, definida de acuerdo a [3.39]. 33 Condiciones de contorno para problemas en medios semi-infinitos mediante el MEF: Perfectly Matched Layers y Elementos Infinitos aplicados a problemas de la interacción suelo-estructura Pues bien, aplicando el concepto teorico que se viene analizando, y para estos valores de los parametros se obtiene el siguiente comportamiento para la onda que se excita en su extremo inicial, con amplitud unidad y se propaga hacia la derecha Figura 3.9. Comportamiento de la onda a lo largo de la barra. Vemos como al llegar a la interfaz entre el medio elastico y el PMM (𝑥=5) la onda continua propagandose en el PMM, sin producir reflexiones, y se atenua rapidamente. Puede observarse que la atenuacion se lleva acabo en una distancia menor a la profundidad determinada para el PML, por lo que este podrıa reducirse. 3.2.4. Estudio analítico de los parámetros básicos y su efecto en la respuesta. En este apartado se pretende destacar los principales parametros que gobiernan el comportamiento del PML, y que ya se han presentado con anterioridad, estudiando de forma breve como afectan a la precision de este metodo. De cara a efectuar dicho analisis se definen previamente dos conceptos que seran empleados en este estudio: el coeficiente de reflexion y la rigidez dinamica del dominio Ω. Como se ha comentado anteriormente, el fundamento del PML es un artefacto matematico que logra atenuar las ondas con el objetivo de evitar reflexiones indeseadas en los contornos. La idea tras la modificacion de la coordenada dado por [3.25] no es otra que anadir a la coordenada x, de la cual es funcion la solucion obtenida para la onda que se propaga, una parte imaginaria creciente a partir de la interfase con el PML. Esto es, transformar la coordenada real x en una coordanada compleja, cuya parte imaginaria queda controlada por la funcion 𝜆(𝑥) y en concreto por la funcion de atenuacion 𝑓(𝑥). De forma ilustrativa basandonos en [3], si tomamos una funcion generica a modo de solucion armonica dada por 𝑒 y la evaluamos a lo largo de la coordenada real x obtenemos el siguiente comportamiento oscilatorio: Amplitud de la onda Enfoque del problema mediante el Perfectly Matched Layer 34 Figura 3.10. Oscilación en una coordenada real. Si bien, ahora evaluamos la misma solucion a lo largo de una coordenada x, la cual modificamos y logramos que a partir de un determinado punto comience a tener parte imaginaria no-nula, con un crecimiento lineal, por ejemplo, obtenemos el siguiente comportamiento: Figura 3.11. Aenuación de la oscilación conforme la coordenada se adquiere una parte compleja. Figura 3.12. Parte real e imaginaria de la coordenada. Amplitud Amplitud Imag(x) 35 Condiciones de contorno para problemas en medios semi-infinitos mediante el MEF: Perfectly Matched Layers y Elementos Infinitos aplicados a problemas de la interacción suelo-estructura Es inmediato ver que ocurre para el intervalo donde la parte imaginaria de la coordenada comienza a adquirir valores no nulos, y es que al evaluar la solucion se obtiene, 𝑒=𝑒()=𝑒𝑒 [3.45] en este caso a partir de x=4 la coordenada comienza a tener parte imaginaria no nula, y se logra la atenuacion de la solucion a partir de este punto. Esta atenuacion por lo tanto estara controlada por la constante k y la parte imaginaria de x. Es esto en lo que se basa la formulacion del PML, donde la atenuacion dependera de la funcion 𝜆(𝑥) y a su vez de la funcion de atenuacion 𝑓(𝑥) que sera la que controle la evolucion de la parte imaginaria de la coordenada. Esto sirve para destacar la importancia en la eleccion de las funciones adecuadas y los valores de los parametros, que tendran una implicacion radical en el comportamiento de los resultados obtenidos. Aunque en el apartado anterior ya se han expuesto algunas ideas sobre ello, es aquı donde se va a analizar, de forma breve, el efecto que esto presenta en la precision de los resultados aplicando la teorıa del PML. La idea que se persigue aquı es analizar el efecto que presenta en los resultados el truncar a una determinada longitud finita 𝐿 el PML, es decir, imponer la condicion de borde de desplazamiento nulo en este extremo final. Para estudiar esto, tal y como propone [1] se compara de forma analıtica la rigidez dinamica del sistema finito con la capa PML, Ω, con la obtenida para el sistema elastico semi-infinito, dada por [3.24]. En el momento en que truncamos a una determinada distancia la capa PML estamos asumiendo la posible reflexion de ondas, y el objetivo pasa a ser intentar controlar las amplitudes de estas, y lograr que sean lo menor posible. Por ello, antes de calcular la rigidez dinamica del dominio Ω , procedemos a exponer el concepto de coeficiente de reflexion, R. Si consideramos una determinada capa PML, de longitud 𝐿, con la funcion 𝜆(𝑥) definida tal y como se viene haciendo hasta ahora, y una onda unidimensional que penetra en el PML con amplitud unidad, y se propaga en este atenuandose segun esta direccion, a la cual se le impone la condicion de borde dada por 𝑢𝐿=0, entonces podemos admitir soluciones del tipo [3.46] para la onda que se propaga, 𝑢(𝑥)=exp−𝑖𝑎−1 𝑥 𝑟+𝑅exp +𝑖𝑎− 1 𝑥 𝑟  [3.46] estando formada por un primer termino correspondiente a la onda que se propaga a la derecha, y un segundo termino que hace referencia a la onda que se refleja, cuya amplitud viene dada por R, y que se propaga hacia la izquierda.Es interesante conocer de que depende esta amplitud de la onda reflejada, y si imponemos la condicion 𝑢𝐿=0, operando se obtiene que |𝑅|=exp−2𝐹𝐿 𝑟 [3.47] Es decir, que la amplitud de la onda reflejada disminuye de forma exponencial con la integral de la Enfoque del problema mediante el Perfectly Matched Layer 42 𝑑𝜎 𝑑𝑥𝑤 𝑑Ω=(𝑤𝜎)|− 𝜎𝑑𝑤 𝑑𝑥𝑑Ω  [3.60] Introduciendo [3.50] en [3.59] se tiene, (𝑤𝜎)|− 𝜎𝑑𝑤 𝑑𝑥𝑑Ω − 𝑘 𝐴𝜆(𝑥)𝑢𝑤 𝑑Ω =− 𝜔𝜆(𝑥)𝜌𝑢𝑤  𝑑Ω  [3.61] Reordenando los terminos,  𝜎𝑑𝑤 𝑑𝑥𝑑Ω + 𝑘 𝐴𝜆(𝑥)𝑢𝑤 𝑑Ω − 𝜔 𝜆(𝑥)𝜌𝑢𝑤  𝑑Ω = (𝑤𝜎)|  [3.62] con 𝜕Ω el contorno del dominio de integracion. Ahora bien, lo siguiente para la obtencion de las ecuaciones del MEF sera discretizar el dominio Ω en determinados subdominios elementales Ω, y aproximar en el elemento tanto el campo basico (campo de desplazamientos, 𝑢) como la funcion arbitrarea 𝑤, de la forma: 𝑢(𝑥)=𝑢·𝑁(𝑥)   [3.63] 𝑤(𝑥)=𝑤·𝑁(𝑥)   [3.64] donde 𝑢 y 𝑤 son los valores nodales del campo de desplazamientos y de la funcion de ponderacion; 𝑁(𝑥) es la funcion de forma asociada al nodo 𝑖 y definida en todo el elemento, y 𝑁(𝑥) la funcion de forma asociada al nodo 𝑗 y definida en todo el dominio elemental; y 𝑁 es, de forma general, el numero de nodos del elemento en cuestion. Teniendo en cuenta [3.56], [3.57]: 𝜎= 𝐸 𝜆(𝑥)𝑑𝑢 𝑑𝑥 [3.65] Que introduciendo en el primer termino de [3.62],  𝐸 𝜆(𝑥)𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝑤 𝑑𝑥𝑑Ω + 𝑘 𝐴𝜆(𝑥)𝑢𝑤 𝑑Ω − 𝜔 𝜆(𝑥)𝜌𝑢𝑤  𝑑Ω = (𝑤𝜎)|  [3.66] Ahora bien hacemos uso de [3.63] y [3.64], e integramos en el dominio elemental, Ω 43 Condiciones de contorno para problemas en medios semi-infinitos mediante el MEF: Perfectly Matched Layers y Elementos Infinitos aplicados a problemas de la interacción suelo-estructura  𝑤𝑑𝑁(𝑥) 𝑑𝑥 𝐸 𝜆(𝑥) 𝑑𝑁(𝑥) 𝑑𝑥 𝑢 𝑑Ω  +1 𝐴 𝑤𝑁(𝑥)𝜆(𝑥)𝑘𝑁(𝑥)𝑢 𝑑Ω  −𝜔 𝑤𝑁(𝑥)𝜆(𝑥)𝜌𝑁(𝑥)𝑢 𝑑Ω = (𝑤𝜎)| [3.67] Operando con [3.67],  𝑤𝑑𝑁(𝑥) 𝑑𝑥 𝐸 𝜆(𝑥) 𝑑𝑁(𝑥) 𝑑𝑥 𝑢 𝑑Ω  + 𝑤𝑁(𝑥)𝜆(𝑥)𝑘 𝐴 𝑁(𝑥)𝑢 𝑑Ω  −𝜔 𝑤𝑁(𝑥)𝜆(𝑥)𝜌𝑁(𝑥)𝑢 𝑑Ω = (𝑤𝜎)| [3.68] 𝑤󰇩 𝑑𝑁(𝑥) 𝑑𝑥 𝐸 𝜆(𝑥) 𝑑𝑁(𝑥) 𝑑𝑥 𝑑Ω 󰇪𝑢+𝑤󰇩 𝑁(𝑥)𝜆(𝑥)𝑘 𝐴𝑁(𝑥) 𝑑Ω 󰇪𝑢 −𝑤 󰇩 𝑁(𝑥)𝜆(𝑥)𝜌𝑁(𝑥) 𝑑Ω󰇪𝜔𝑢= (𝑤𝜎)| [3.69] Dado el caracter arbitrareo de la funcion 𝑤 [3.69] debe satisfacerse para cualquier valor que esta adquiera, lo que lleva a la relacion siguiente 󰇩 𝑑𝑁(𝑥) 𝑑𝑥 𝐸 𝜆(𝑥) 𝑑𝑁(𝑥) 𝑑𝑥 𝑑Ω 󰇪𝑢+󰇩 𝑁(𝑥)𝜆(𝑥)𝑘 𝐴𝑁(𝑥) 𝑑Ω 󰇪𝑢 − 󰇩 𝑁(𝑥)𝜆(𝑥)𝜌𝑁(𝑥) 𝑑Ω󰇪𝜔𝑢= (𝜎)| [3.70] La ecuacion obtenida, (59), no es mas que la ecuacion de equilibrio elemental, entre fuerzas elasticas, Enfoque del problema mediante el Perfectly Matched Layer 44 inerciales y externas, en el dominio de la frecuencia. De forma matricial, ([𝐾]−𝜔[𝑀])𝑈=𝐹 [3.71] siendo: 𝑈=[𝑢 𝑢 𝑢···𝑢], vector que contiene los desplazamientos nodales; 𝐹=(𝜎)|=𝑓   la fuerza externa al elemento en el nodo i. Notese que no se han considerado cargas distribuidas a lo largo del elemento. 𝐾=𝑘 ⋯ 𝑘  ⋮ ⋱ ⋮ 𝑘 ⋯ 𝑘  la matriz de rigidez del elemento, con cada una de sus componentes dada por 𝑘 = 𝑑𝑁(𝑥) 𝑑𝑥 𝐸 𝜆(𝑥) 𝑑𝑁(𝑥) 𝑑𝑥 𝑑Ω + 𝑁(𝑥)𝜆(𝑥)𝑘 𝐴𝑁(𝑥) 𝑑Ω  [3.72] 𝑀=𝑚 ⋯ 𝑚  ⋮ ⋱ ⋮ 𝑚 ⋯ 𝑚  la matriz de masa del elemento, con cada una de sus componentes dada por 𝑚 = 𝑁(𝑥)𝜆(𝑥)𝜌𝑁(𝑥) 𝑑Ω [3.73] En este caso, dado el dominio unidimensional, tenemos que: 45 Condiciones de contorno para problemas en medios semi-infinitos mediante el MEF: Perfectly Matched Layers y Elementos Infinitos aplicados a problemas de la interacción suelo-estructura 𝑑Ω=𝐴 𝑑𝑥 [3.74] Que teniendolo en cuenta se obtendrıa: 𝑘 = 𝑑𝑁(𝑥) 𝑑𝑥 𝐸𝐴 𝜆(𝑥) 𝑑𝑁(𝑥) 𝑑𝑥 𝑑𝑥  + 𝑁(𝑥)𝜆(𝑥)𝑘𝑁(𝑥) 𝑑𝑥   [3.75] 𝑚 = 𝑁(𝑥)𝜆(𝑥)𝑚𝑁(𝑥)𝑑𝑥   [3.76 ] donde 𝑚 es la masa por unidad de longitud, 𝑚=𝜌𝐴; 𝑥 y 𝑥 son las coordenadas de los extremos del elemento. Cabe comentar que a diferencia de las funciones de forma, 𝑁, la funcion 𝜆(𝑥) no esta definida de forma elemental, sino de forma global en el dominio. 3.4. Análisis numérico del caso unidimensional Se implementan las expresiones obtenidas para las matrices del MEF para el caso unidimensional que se viene analizando en un simple codigo de MATLAB (Codigo 1 del Anexo). La intencion es probar que los resultados obtenidos analıticamente se logran de forma numerica. Se discretiza la barra unidimensional empleando elementos tipo barra, unidimensionales de dos nodos, con un solo grado de libertad por nodo en direccion axil, y funciones de forma lineales dadas por 𝑁(𝜉)=12(1−𝜉) [3.77] 𝑁(𝜉)=12(1+𝜉) [3.78] siendo 𝜉 la coordenada natural definida en −1<𝜉<1 Puesto que se aborda el problema en el dominio de la frecuencia como se ha venido planteando analıticamente, la ecuacion de la dinamica a resolver sera 𝑷(𝜔)=𝑺(𝜔)𝒖(𝜔) [3.79] siendo 𝑢(𝜔) un vector que contiene los desplazamientos de los nodos, incognita; 𝑃(𝜔) es un vector que contiene las fuerzas nodales, y 𝑆(𝜔) es la matriz de rigidez dinamica dada por, Enfoque del problema mediante el Perfectly Matched Layer 46 𝑺(𝜔)=[−𝜔𝑴+𝑖𝜔𝑪+𝑲] [3.80] siendo M, C y K las matrices de masa, amortiguamiento y rigidez de la barra. Estas matrices seran obtenidas mediante el MEF de acuerdo a las expresiones obtenidas en el apartado anterior, considerando el PMM. La barra tendra una determinada longitud L, y la capa PML otra longitude, Lp. La funcion 𝜆(𝑥) se definira de forma global de acuerdo a [3.42] y [3.43] de modo que el efecto del PML solo entrara en juego para 𝑥>𝐿. Notese que las matrices M, C y K resultaran ser funciones de la frecuencia, dada la formulacion y la eleccion de 𝜆(𝑥), ademas de en banda y complejas. De este modo tanto las matrices de rigidez dinamica como las de masa, amortiguamiento y rigidez han de hallarse para cada frecuencia. La matriz de amortiguamiento no ha entrado en juego en el razonamiento analıtico seguido hasta aquı, pero puede hallarse suponiendo amoriguamiento proporcional de Rayleigh, de la forma 𝑪=𝛼𝑴+𝛽𝑲 con los coeficientes 𝛼,𝛽 dados por, 𝛼=𝜉2𝜔𝜔 𝜔+𝜔 [3.81] 𝛽=𝜉 2 𝜔+𝜔 [3.82] siendo 𝜉 el factor de amortiguamiento respecto del crıtico, y 𝜔,𝜔 las frecuencias extremas del rango de frecuencias a considerar en el analisis. De todas formas, se supone amortiguamiento nulo, como en los resultados analıticos. El problema que se ha de resolver implica las condiciones de contorno de desplazamiento impedido en el utimo nodo (final de la capa PML) y el desplazamiento unidad preescrito en el nodo correspondiente al inicio de la barra. Si diferenciamos los desplazamientos conocidos de los que son incognita en el problema, se puede reescribir el sistema como 𝑃 𝑃=𝑆 𝑆 𝑆 𝑆󰇣𝑢 𝑢󰇤 [3.83] siendo 𝑢 los desplazamientos conocidos (nulo en el final del PML y unidad en el inicio de la barra), 𝑢 los desplazamienos desconocidos (en el resto de nodos) e incognitas, 𝑃 las componentes incognitas del vector de fuerzas (el subındice c aquı puede ser inadecuado), una la reaccion en el final del PML y otra la fuerza en el nodo inicial, que es a su vez la rigidez dinamica en el inicio de la barra, y 𝑃 serıan las fuerzas nodales en el resto de nodos, que son conocidas y nulas. De [3.83] se obtienen las ecuaciones: 𝑢=−𝑆  𝑆𝑢 [3.84] 𝑃=𝑆𝑢+𝑆𝑢 [3.85] 47 Condiciones de contorno para problemas en medios semi-infinitos mediante el MEF: Perfectly Matched Layers y Elementos Infinitos aplicados a problemas de la interacción suelo-estructura de la primera obtenemos los desplazamientos, de la segunda obtenemos la rigidez dinamica en el inicio de la barra, que sera comparada con el resultado teorico, 𝑆     (𝑎𝑜), para la barra semi-infinita. Los parametros a variar son 𝑛 y 𝑛 el numero de elementos en la longitud elastica y en el PML, respectivamente. Para la funcion de atenuacion se toma 𝑓=10 y 𝑚=1, y para la longitud de la barra L= 5 m. Figura 3.17. Resultados obtenidos para la rigidez dinámica en inicio de la barra para un número de 10 elementos en la zona elástica (ne) y diferentes elementos en la zona del PML (np) Enfoque del problema mediante el Perfectly Matched Layer 48 Figura 3.18. Resultados obtenidos para la rigidez dinámica en inicio de la barra para un numero de 60 elementos en la zona elástica (ne) y diferentes elementos en la zona de PML (np) Se exponen los resultados obtenidos para la rigidez dinamica en el extremo de la barra, frente a la solucion analıtica exacta para el caso de la barra infinita. A la vista de las Figuras 3.17 y 3.18, podemos comprobar que con un mallado de la zona elastica insuficiente, el aumentar el numero de elementos en la zona del PML no produce mejores resultados, sino mas bien, peores. Sin embargo, si el mallado de la zona elastica es suficientemente denso, podemos apreciar como con relativamente pocos elementos en la zona del PML (un tercio aproximadamente) la solucion se encuentra muy proxima a la analıtica. 49 Condiciones de contorno para problemas en medios semi-infinitos mediante el MEF: Perfectly Matched Layers y Elementos Infinitos aplicados a problemas de la interacción suelo-estructura Figura 3.19. Desplazamientos longitudinales en la barra para diferentes frecuencias de excitación. Tambien podemos apreciar los resultados obtenidos para los desplazamientos 𝑢(𝑥,𝑎), es decir el vector 𝑢, en la Figura 3.19, para diferentes frecuencias de exitacion en el extremo libre de la barra. Se aprecia claramente como las ondas penetran en la zona de PML 𝑥>5 y se atenuan rapidamente, como se esperaba. 3.5. Formulación general para el caso tridimensional. Una vez profundizado en el caso unidimensional, de cara a plasmar las ideas principales, se recoge aquı de forma mas breve la extension de dicha formulacion al caso tridimensional generico. La formulacion es de la misma forma propuesta por U. Basu y A.K.Chopra en [4]. Considerese el problema elastodinamico de la forma general, definido por las ecuaciones ya presentadas en el capıtulo 2, definido en un dominio isotropo, elastico-lineal y homogeneo, 𝐸𝑞𝑢𝑖𝑙𝑖𝑏𝑟𝑖𝑜 𝜎,+𝜌𝑏=𝜌𝑢󰇘 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑎𝑡𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝜀=12(𝑢,+𝑢,) 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝜎=𝜆𝛿𝜀+2𝜇𝜀 Enfoque del problema mediante el Perfectly Matched Layer 50 Si bien , suponganse nulas las fuerzas volumetricas, y admıtase un campo de desplazamientos con dependencia temporal armonica de la forma 𝒖(𝒙)exp (𝑖𝜔𝑡), la ecuacion de equilibrio queda 𝜕𝜎 𝜕𝑥 =−𝜔𝜌𝑢 [3.86] Compatibilidad y comportamiento, de la misma forma 𝜀=12󰇧𝜕𝑢 𝜕𝑥+𝜕𝑢 𝜕𝑥󰇨 [3.87] 𝜎=𝐶𝜀 , [3.88] siendo 𝐶 las componentes del tensor de rigidez o propiedades constitutivas del material, 𝑪, dadas por 𝐶=󰇡𝑘− 𝜇󰇢𝛿𝛿+𝜇(𝛿𝛿+𝛿𝛿) con 𝑘 el modulo de Bulk y 𝛿 la delta de Kronecker. Los subındices 𝑖,𝑗,𝑘,𝑙∈(1,2,3) para el caso tridimensional. (Observar que se ha abandonado la notacion indicial de cara a seguir con la notacion empleada en [] para la formulacion del PML) Las ecuaciones definidas sobre un dominio semiinfinito admiten soluciones de ondas planas armonicas del tipo P, 𝒖(𝒙,𝜔)=𝑒𝒙·𝒑𝒒 [3.89] y S, 𝒖(𝒙,𝜔)=𝑒𝒙·𝒑𝒒 [3.90] donde 𝑘 es el numero de onda, dado por 𝑘= 𝜔/𝑐, con 𝑐 tomando el valor de 𝑐 o 𝑐, 𝒒 es el vector unitario en direccion del movimiento y 𝒑 el vector unitario en direccion de la propagacion, con las consideraciones establecidas en el capıtulo 2 Pues bien, bajo la misma idea que para el caso unidimensional, se define el PMM mediante las siguientes ecuaciones 1 𝜆𝑥𝜕𝜎 𝜕𝑥 =−𝜔𝜌𝑢 [3.91] 51 Condiciones de contorno para problemas en medios semi-infinitos mediante el MEF: Perfectly Matched Layers y Elementos Infinitos aplicados a problemas de la interacción suelo-estructura 𝜎=𝐶𝜀 , [3.92] 𝜀=12󰇧1 𝜆𝑥𝜕𝑢 𝜕𝑥+1 𝜆(𝑥)𝜕𝑢 𝜕𝑥󰇨 [3.93] donde 𝜆 sera una funcion continua, y compleja, de tal forma que 𝑥 = 𝜆(𝑠)𝑑𝑠   [3.94] de igual forma que en el caso unidimensional, la continuidad de dicha funcion implica que 𝜕 𝜕𝑥 =1 𝜆(𝑥)𝜕 𝜕𝑥 [3.95] las ecuaciones del PMM admiten, en un medio semi-infinito, igualmente soluciones de onda tipo P y S, de la forma 𝒖(𝒙,𝜔)=𝑒𝒙·𝒑𝒒 [3.96] 𝒖(𝒙,𝜔)=𝑒𝒙·𝒑𝒒 [3.97] de nuevo las funciones 𝜆 han de elegirse convenientemente. Por ejemplo, si se elige de la forma: 𝜆(𝑥)=1−𝑖𝑓(𝑥) 𝑘 [3.98] con 𝑓 la funcion de atenuacion, y de este modo 𝑥 =𝑥−𝑖𝐹(𝑥) 𝑘 [3.99] siendo 𝐹(𝑥)= 𝑓(𝜉)𝑑𝜉   [3.100] se obtienen soluciones del tipo Caso de aplicacion: comportamiento dinamico de cimentaciones 58 Figura 4. Modelo de subestructuración Supongamos abordar el problema mediante el Metodo de los Elementos Finitos, la ecuacion de equilibrio dinamica, en el dominio Ω, convenientemente discretizado, es la siguiente 𝑴𝒖󰇘(𝑡)+𝑪𝒖󰇗(𝑡)+𝑲𝒖(𝑡)=𝑭(𝑡) [4.7] fruto del equilibrio entre fuerzas elasticas, inerciales y viscosas. Donde 𝑴 , 𝑪 y 𝑲 son las matrices de masa, amortiguamiento y rigidez, respectivamente. Estas matrices seran por lo tanto obtenidas mediante el MEF. El vector 𝑭 es un vector de fuerzas externas al sistema. Observar que la ecuacion [4.7] se encuentra en el dominio del tiempo. Esta ecuacion podra resolverse por metodos de integracion directa en el tiempo (Metodo de Newmark por ej.) o por superposicion modal. Es de utilidad, debido a que sufre simplificaciones, expresar la ecuacion [4.7] en el dominio de la frecuencia. Aplicando la Transformada de Fourier a la ecuacion se tiene, [−𝜔𝑴+𝑖𝜔𝑪+𝑲]𝒖(𝜔)=𝑷(𝝎) [4.8] donde la accion externa es de tipo armonico o de cualquier otro descompuesta en funciones armonicas mediante la Transformada de Fourier 𝑷(𝝎)=𝟏 √𝟐𝝅 𝑭(𝒕)𝑒 𝑑𝑡   [4.9] Podemos escribir la ecuacion [4.8] como 𝑺(𝜔)𝒖(𝜔)=𝑷(𝝎) [4.10] 59 Condiciones de contorno para problemas en medios semi-infinitos mediante el MEF: Perfectly Matched Layers y Elementos Infinitos aplicados a problemas de la interacción suelo-estructura siendo 𝑺(𝜔)=[−𝜔𝑴+𝑖𝜔𝑪+𝑲] la matriz de impedancias o rigideces dinamicas del conjunto. Ahora bien, enfocamos el problema desde el punto de vista de la subestructuracion. Por un lado, tenemos el equilibrio dinamico en el subdominio estructural, Ω, dado por: 𝑆 𝑆 𝑆 𝑆   󰇩𝑢 𝑢󰇪=𝑃 𝑃 [4.11] siendo 𝑢 ,𝑢 los desplazamientos totales de los nodos pertenecientes a la estructura y a la interfase suelo-estructura respectivamente, y 𝑆  la submatriz de rigidez dinamica de la estructura relativa a los nodos ubicados en el area de contacto. Por otro lado, el equilibrio en la interfase, Γ, responde a, 𝑆 𝑢 ∗−𝑢=[𝑃∗] [4.12] donde 𝑢 es el movimiento de los nodos de la interfase sin presencia de la estructura, y 𝑆  es la matriz de rigidez dinamica, o impedancia, del suelo. La compatibilidad y el equilibrio en la zona de interfase implican: [𝑃∗]+[𝑃]=0 [4.13] [𝑢 ∗]=[𝑢 ] [4.14] De modo que se tiene, [𝑃]=−𝑆 𝑢−𝑢 [4.15] que sustituyendo en [4.11] nos queda el sistema, 𝑆 𝑆 𝑆 𝑆 +𝑆   󰇩𝑢 𝑢󰇪=𝑃 𝑆 𝑢 [4.16] El sistema de ecuaciones dado por [4.16] representa el equilibrio dinamico del conjunto sueloestructura. Observar que el hecho de incluir el efecto del suelo en el comportamiento dinamico de la estructura se traduce en la suma de la submatriz correspondiente a la impedancia dinamica del terreno en los grados de libertad en la interfase, Γ ; y a la consideracion de una fuerzas dierectamente aplicadas sobre la interfase, que no son mas que el movimiento del suelo multiplicado por la impedancia dinamica Caso de aplicacion: comportamiento dinamico de cimentaciones 60 del terreno. Cabe comentar que esto ultimo estara ligado a problemas de ındole sısmica donde se estudie el primer paso del Metodo, y se analice ası la respuesta del suelo ante un determinado tren de ondas, sin presencia de la estructura. El enfoque del problema desde el punto de vista del analisis o diseno de cimentaciones para maquinas, en el estudio del efecto que la vibracion de estas presenta en el comportamiento estructural, elimina este desplazamiento del terreno. Tomando la ecuacion [4.16] , eliminando el movimiento del terreno, y retomando la notacion de la seccion anterior, se tiene, 𝑆 𝑆 𝑆 𝑆 +𝑍  󰇩𝑢 𝑢󰇪=󰇣𝑃 0󰇤 [4.18]  0 0 0 𝑍+𝑆 𝑆 𝑆 𝑆   󰇩𝑢 𝑢󰇪=󰇣𝑃 0󰇤 [4.19]  0 0 0 𝑍−𝜔𝑴+ 𝑖𝜔𝑪 + 𝑲 𝒖(𝜔)=𝑷(𝝎) [4.20] donde 𝒁≡𝒁(𝜔) es la matriz de impedancia del terreno que, como se apuntaba, relaciona las cargas y desplazamientos en la interfase; 0,0 𝑦 0 son matrices nulas de tamanos 𝑛× 𝑛 ; 𝑛×𝑛 𝑦 𝑛× 𝑛. Antes de dar fin a este apartado conviene discutir sobre el tamano de la matriz de impedancia del terreno. El tamano de esta matriz depende del modelo de cimentacion que se considere, que a su vez estara ligado a la tipologıa que presente la cimentacion, en concreto, a su rigidez. Esto quiere decir que, si se trata de una cimentacion de gran masa y con una suficiente rigidez como para aceptar la hipotesis de cimentacion indeformable, el numero de grados de libertad se reducira inmediatamente (a 3 grados de libertad en el plano, o 6 en el espacio). Mientras que si la cimentacion es considerada deformable se tendran que tener en cuenta un mayor numero de grados de libertad que logren representar adecuadamente el comportamiento de la misma. En el primer caso, estarıamos condensando el efecto del suelo sobre la estructura en un punto, elegido adecuadamente (normalmente el centro de la cimentacion). Figura 4.2. Grados de libertad en una cimentación rígida tridimensional. 61 Condiciones de contorno para problemas en medios semi-infinitos mediante el MEF: Perfectly Matched Layers y Elementos Infinitos aplicados a problemas de la interacción suelo-estructura 4.3. Obtención de la rigidez dinámica de cimentaciones superficiales mediante el MEF. Una vez planteadas las ideas anteriores, se dedica esta seccion al estudio de la rigidez dinamica de cimentaciones superficiales rıgidas mediante modelos de elementos finitos. El problema a resolver sera, por lo tanto, generar modelos capaces de reproducir fielmente el comportamiento dinamico de una determinada cimentacion superficial sometida a una carga de tipo armonico. El objetivo principal que se persigue es poner de manifiesto la aplicacion practica de la teorıa expuesta en capıtulos anteriores sobre el Perfectly Matched Layer, comparando los resultados obtenidos mediante modelos que implementen este y aquellos que no lo hagan. Ademas de observar como varıan los resultados cuando se alteran ciertos parametros basicos como pueden ser el tamano del modelo en cuanto a suelo modelizado se refiere, el espesor de la capa de PML o el amortiguamiento material del suelo. El problema a resolver sera el de una zapata rıgida superficial, de planta cuadrada, sobre un semiespacio infinito elastico lineal, homogeneo e isotropo, de la cual se espera extraer su matriz de rigidez dinamica (o de la misma forma, su matriz de compliancia). Bajo hipotesis de zapata rıgida y un modelo tridimensional, la matriz de compliancia dinamica sera 6×6 , dado los seis grados de libertad de la misma. Tendra un aspecto como el siguiente ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 𝑢 𝑢 𝑢 𝜃 𝜃 𝜃 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 𝐶 0 0 0 𝐶 0 0 0 𝐶  0 𝐶 𝐶  𝐶 0 𝐶  𝐶 𝐶 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 𝐶  0 0 0 𝐶 0 0 0 𝐶  ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 𝑃 𝑃 𝑃 𝑀 𝑀 𝑀 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ [4.21] donde en 𝑀 ,, se encuentran los momentos aplicados en el centro de gravedad de la cimentacion, y la reduccion dinamica de cualquier carga excentrica que genere momento respecto del mismo; y en 𝑃 las cargas aplicadas. Se calcularan determinadas componentes de dicha matriz dado que se considera suficiente para el objetivo que se persigue: mostrar el funcionamiento del PML en modelos de elementos finitos. De cara a esto, se realizan modelos de elementos finitos sin PML, modelizando una fraccion del suelo que se presenta como parametro clave, e imponiendo condiciones de nulidad a los desplazamientos en los contornos del mismo. Por otro lado, se generan modelos de identicas propiedades pero que integran una capa de elementos PML en los contornos. En la siguiente seccion se detallaran las caracterısticas de estos. Se espera pues, diferencias en los resultados debido a la capacidad que ofrece el PML para plasmar la condicion de medio semi-infinito, y evitar la reflexion de las ondas que radian desde la zapata (foco de excitacion). Caso de aplicacion: comportamiento dinamico de cimentaciones 62 4.3.1. Descripción del modelo Se emplea el software de elementos finitos ANSYS MECHANICAL APDL para la generacion de los diferentes modelos. Los modelos de calculo seran tridimensionales, y de forma simple, modelizan una determinada fraccion del campo cercano a la estructura. La geometrıa de dicha fraccion de suelo sera cubica, y sus dimensiones susceptibles de variar, de cara a un breve analisis parametrico, como se indica en la Figura 4.4. Observar que el modelo que implementa elementos PML poseera una capa del mismo volumen de suelo mallada con elementos PML. Dicha capa, Ω, se encuentra de forma que envuelve el resto de volumen mallado como suelo, sin condicion de PML, y actua como una extension de su contorno. Como ya se expuso en el capıtulo dedicado a la teorıa del Perfectly Matched Layer, las condiciones de contorno (valor nulo del campo de desplazamientos) se impondran en el final de dicha capa de PML, mientras que en el modelo que no cuenta con esta se imponen en el contorno el mismo. Generando los modelos surge una cuestion: incluir en el modelo la zapata, dotandola de una rigidez muy elevada y una masa nula; o no incluir esta en el modelo, y trabajar con los nodos de la interfase zapata-suelo. Figura 4.3. Esquemas de modelos con y sin capa de elementos PML en los contornos. 63 Condiciones de contorno para problemas en medios semi-infinitos mediante el MEF: Perfectly Matched Layers y Elementos Infinitos aplicados a problemas de la interacción suelo-estructura Ante esta cuestion se decide generar ambos dos tipos de modelo, y observar si existen diferencias apreciables en los resultados. El primero de estos modelos, como los observados en la Figura 4.3 incluyen el solido correspondiente a la zapata, el cual se caracteriza por una densidad nula y una rigidez muy elevada (en relacion a la rigidez del suelo). Cualquier fuerza que se aplique sobre la zapata rıgida sera transmitida, por medio del area de contacto, al suelo. Debe tenerse en cuenta que se supone un contacto perfecto en la interfase suelo-cimentacion, suponiendo que los puntos pertenecientes a cada medio en dicha interfase se comportan de igual forma. Figura 4.4. Esquema de los modelos a generar en ANSYS Caso de aplicacion: comportamiento dinamico de cimentaciones 64 Esto ultimo invita a, dado que los puntos del area de contacto se moveran de identica forma, en lugar de aplicar la fuerza sobre la zapata, aplicar esta directamente sobre uno de los nodos de la interfase (el nodo que se encuentra bajo el centro de gravedad de la cimentacion) y establecer las ligaduras necesarias entre los grados de libertad de dicho nodo y los de los demas nodos contenidos en esta area. Se ha de puntualizar que, mediante cualquiera de los procedimientos anteriores, obtendrıamos un resultado aproximado, y solo valido en un rango de deformaciones suficientemente pequenas. Esto se debe a que, tal como se ha descrito, se supone un cierto acoplamiento entre los puntos correspondientes a la zapata y al suelo en el area de contacto. Esto obliga a que la cimentacion, dado un desplazamiento vertical de la misma levante al suelo, y no se despegue del mismo. El problema se deberıa de afrontar desde el punto de vista de un problema de contacto no lineal. Siguiendo con la idea anterior, si de la forma mas general, organizamos los grados de libertad de todo el modelo 𝑢 en dos conjuntos: los grados de libertad de los nodos contenidos en la interfase, 𝑢 y el resto del modelo, 𝑢: 𝑢=󰇣𝑢 𝑢󰇤 [4.22] si tomamos un nodo de la interfase como nodo maestro, hacemos que el resto de nodos adquieran un desplazamiento que depende de este, mediante las ecuaciones necesarias, de la forma 𝑢=𝑇 𝑢 [4.23] donde 𝑇 es la matriz de relaciones cinematicas, 𝑢 es un vector de tamano 𝑛∗𝑁×1 y 𝑢 es un vector que contiene los grados de libertad del nodo maestro, de tamano 𝑁×1, con 𝑛 el numero de nodos en la interfase y 𝑁 el numero de grados de libertad de cada nodo. La generacion de la matriz 𝑇, o lo que es equivalente, las ecuaciones de ligadura cinematicas, se realizan con un breve codigo de MATLAB (Codigo 2 Anexo) que devuelve las ecuaciones mediante los comandos de APDL necesarios. Una vez definida la geometrıa, cabe comentar su modelizacion en ANSYS en cuanto a elementos y materiales empleados en el mismo. Por un lado, los modelos se realizan con elementos tridimensionales, concretamente el elemento SOLID185 de ANSYS. Este es un elemento solido 3D de 8 nodos, con 3 grados de libertad (traslaciones) por nodo: UX, UY, UZ. (𝑁=3) Este elemento se empleara para mallar el volumen correspondiente al suelo, ademas de la capa de PML, dado que el elemento permite implementar esta formulacion. Observar que, segun se apunta en el Mechanical APDL Theory Reference, el elemento PML empleara funciones de atenuacion parabolicas. 65 Condiciones de contorno para problemas en medios semi-infinitos mediante el MEF: Perfectly Matched Layers y Elementos Infinitos aplicados a problemas de la interacción suelo-estructura Figura 4.5. Esquema geométrico del elemento SOLID185 El mallado de los diferentes volumenes se hara procurando la regularidad, es decir, se dispondran elementos de geometrıa hexaedrica, lo que permite un mejor control del modelo en lo que se refiere a acoplamiento de grados de libertad, variacion de los parametros, etc. (ver Figura 4.6) Por otro lado, en cuanto a las propiedades de los materiales tanto el suelo, como la zapata (en los modelos donde se inlcuya) seran modelizados como medios elasticos, homogeneos e isotropos. Para el modelo que incluye la zapata, esta se dotara de las siguientes propiedades: 𝐸=1𝑒20 [𝑁/ 𝑚] 𝜗=0.2 𝜌=0 [𝐾𝑔/𝑚] donde 𝐸 es el modulo de Young, 𝜗 el coeficiente de Poisson y 𝜌 la densidad. Como se observa, se le atribuye una gran rigidez mediante un modulo de Young muy elevado. Para el suelo, se debe aclarar que, salvo el amortiguamiento, todas las propiedades del suelo se mantendran constantes. Esto es debido a que los resultados se expondran de forma adimensional (se detalla esto adelante) donde se adimensionaliza mediante las propiedades del suelo, por lo que una variacion en estas carece de relevancia. Distinto es para el amortiguamiento, propiedad la cual no se emplea para adimensionalizar, y que se variara para analizar la influencia en los resultados. Recordar lo comentado con anterioridad: en el suelo tendran efecto los amortiguamientos de radiacion y el propio amortiguamiento del material, 𝜉. El suelo se carcaterizara por las siguientes propiedades: 𝐶=200 [𝑚/𝑠] 𝜈=0.3 𝜌=1750 [𝐾𝑔/𝑚] siendo 𝐶 la velocidad de propagacion de las ondas de corte en el suelo, 𝜈 el coeficiente de Poisson en el suelo, y 𝜌 la densidad. De la velocidad de propagacion de las ondas de corte y la densidad del medio se Caso de aplicacion: comportamiento dinamico de cimentaciones 66 obtiene el modulo de elasticidad transversal o modulo de corte del terreno de acuerdo a: 𝐶=𝐺 𝜌 ; 𝐺=70𝑒6 [𝑁/𝑚] En cuanto al amortiguamiento del suelo, este adquirira diferentes valores (se detalla en adelante) de cara a observar la posible influencia que tenga este parametro en los resultados obtenidos. 4.3.2. Obtención de los resultados: compliancia vertical. Una vez definido el modelo y materiales, debemos realizar el analisis pertinente. Se procede en la presente seccion a obtener la compliancia vertical de la zapata. Para ello se realizara un analisis armonico con el modulo de ANSYS Harmonic Analysis, en el que se resolvera la ecuacion 𝒖(𝜔)=𝑪(𝜔)𝑷(𝜔) [4.24] haciendo nula toda componente de 𝑷(𝜔) excepto 𝑃 , la ecuacion se reduce a, Figura 4.6. Volúmenes y mallado del modelo que incluye la zapata. 67 Condiciones de contorno para problemas en medios semi-infinitos mediante el MEF: Perfectly Matched Layers y Elementos Infinitos aplicados a problemas de la interacción suelo-estructura 𝒖𝒛(𝜔)=𝑪𝑷𝒛 𝒖𝒛 (𝜔)𝑷𝒛(𝜔) [4.25] donde se aplica una sola fuerza nodal en el nodo correspondiente al centro de la zapata (en el modelo que la incluya) o en el nodo maestro de la interfase (en el modelo que no incluya la zapata), llamemoslo 𝑀, en direccion 𝑍, dada por: 𝑷𝒛(𝜔)=𝑃(𝜔)=−1 [𝑁] Extrayendo los desplazamientos de dicho nodo obtenemos la componente de la matriz de compliancia deseada. Observar que la fuerza aplicada en este nodo se distribuye en todos los nodos del area de contacto bien a traves de la rigidez de la zapata modelizada, o a traves de las ecuaciones de ligadura que igualan el desplazamiento de estos nodos con el nodo donde se aplica. El primer resultado que se espera es una comparativa entre el comportamiento obtenido mediante el uso de elementos PML en los contornos, y el obtenido sin ello. En la Figura 4.6 se puede apreciar el resultado obtenido para la compliancia vertical en el modelo sin PML, mientras que la figura () recoge el resultado correspondiente a exactamente el mismo modelo, pero empleando elementos PML en los contornos. Se representa la compliancia vertical (parte real e imaginaria) frente a la frecuencia adimensional 𝑎, dada por: 𝑎=𝜔𝐵 𝐶 Siendo 𝐵 el semilado de la cimentacion y 𝐶 la velocidad de propagacion de las ondas de corte en el terreno. Las dimensiones de la cimentacion no son de interes dado en analisis adimensional de los resultados. Si bien, se modelizan zapatas cuadradas de cuatro metros de lado. La compliancia vertical de la cimentacion es funcion de la forma en planta de esta, es decir, presentaran comportameintos diferentes aquellas que sean circulares, rectangulares o de forma arbitrarea. Caso de aplicacion: comportamiento dinamico de cimentaciones 74 Figura 4.15. Resultados (parte imaginaria de la compliancia) para los diferentes espesores de capa PML empleados. Notese que ademas del espesor de la capa PML se indica el numero de elementos con que esta se malla. Este hace referencia al numero de elementos en los que la capa se discretiza en direccion perpendicular al lado del modelo al cual se encuentra adyacente. (ver Figura 4.17). Puede resultar enganoso observar el comportamiento obtenido en funcion del espesor de la capa PML, dado que esto no nos indica, de forma independiente, la influencia que pueda tener el tamano de mallado en la misma. Es decir, dado un espesor de capa constante, como influye el numero de elementos con que se discretiza esta. Esto mismo se recoge en las Figuras 4.15 y 4.16, donde para un espesor de 0.6 metros, se varıa el tamano de mallado, obteniendo uno, dos o tres elementos en la capa. Figura 4.16. Resultados (parte real de la compliancia), obtenidos para diferente número de elementos en la capa PML. 75 Condiciones de contorno para problemas en medios semi-infinitos mediante el MEF: Perfectly Matched Layers y Elementos Infinitos aplicados a problemas de la interacción suelo-estructura Figura 4.17. Resultados (parte imaginaria de la compliancia), obtenidos para diferente número de elementos en la capa PML. Si bien, se pone de manifiesto como el numero de elementos en que se discretiza la capa PML es crucial en el comportamiento obtenido, independientemente del espesor que se de a dicha capa. Figura 4.18. Capa PML con 3 elementos. 4.3.3. Obtención de los resultados: impedancia al giro. El procedimiento a seguir es identico al anterior. Se determina ahora la rigidez dinamica o impedancia de la zapata al cabeceo. Para obtener esta, de nuevo se ejecuta un analisis armonico en ANSYS, donde ahora se aplica a la zapata un momento segun uno de los ejes contenidos en su plano, obteniendo la respuesta de la misma, es decir el giro. Con ello somos capaces de determinar la impedancia de la misma a este movimiento. 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 ao 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 1 elemento 2 elementos 3 elementos J.Domínguez (MEC) Caso de aplicacion: comportamiento dinamico de cimentaciones 76 La ecuacion a resolver es del tipo, 𝜃=𝐶  𝑀 [4.26] o de forma equivalente, 𝑀=𝐾 𝜃 [4.27] donde 𝐾 =𝑖𝑛𝑣󰇡𝐶  󰇢 [4.28] es la rigidez dinamica o impedancia al giro segun el eje x. La razon por la que se exponen resultados en forma de impedancia en lugar de compliancia como en el caso anterior, es el establecer comparacion de los resultados con los de otros autores que ası lo exponen. Debido al elemento empleado para la modelizacion del suelo (SOLID185), el cual solo posee grados de libertad de traslacion y no giro, para conseguir someter a la zapata a un momento se ha empleado, para la zona de interfase, elementos tipo placa. La imposibilidad de aplicar momentos a los nodos de estos elementos lleva a modelizar la zona de la interfase cimentacion-suelo mediante elementos SHELL181. Estos elementos implementan la teorıa de placas con deformacion por cortante (Reissner-Mindlin). Dotando a estos de una elevada rigidez y aplicando ecuaciones de ligadura entre los nodos correspondientes a estos y los correspondientes al suelo, en la misma posicion geometrica, conseguimos recrear un comportamiento rıgido al giro de la interfase. Figura 4.19. Esquema geométrico del elemento Shell181 de ANSYS El modelo cuenta con un suelo de caracterısticas identicas al anterior (ver seccion 4.3.2) y sin considerar ningun tipo de amortiguamiento en el mismo. La zona de interfase se modeliza con los elementos descritos, dotandola de densidad nula. En primer lugar, como se hizo en la seccion anterior, se muestra el resultado del analisis sin considerar elementos PML en el modelo. Se observa de nuevo (Figura 4.20) un comportamiento poco natural: de nuevo la parte imaginaria presenta un valor nulo. Ante esto el razonamiento es el mismo que anteriormente: el modelo que no implementa PML no es capaz de reproducir correctamente la propagacion de las ondas y asi mismo el amortiguamiento asociado a la radiacion. 77 Condiciones de contorno para problemas en medios semi-infinitos mediante el MEF: Perfectly Matched Layers y Elementos Infinitos aplicados a problemas de la interacción suelo-estructura Figura 4.20. Resutados obtenidos para la impedancia al giro mediante modelo sin PML. Se representa la parte real rigidez dinamica 𝐾 ≡𝐾 adimensionalizada a la rigidez estatica 𝐾. Esta u ltima adquiere un valor de 1.1033e+09 [ ]; y la parte imaginaria adimensionalizada a la frecuencia adimensional ao y a la rigidez estatica igualmente. Para el modelo con PML el comportamiento de nuevo se presenta radicalmente diferente (ver Figura 4.20), debido a lo ya razonado con anterioridad. Se presentan los resultados junto con los obtenidos por otros autores con anterioridad (J. Domınguez (1978) y Veletsos & Wei (1971)). Figura 4.21. Resultados para la impedancia al giro empleando modelos con PML. Comparativa con los resultados obtenidos por otros autores. Caso de aplicacion: comportamiento dinamico de cimentaciones 78 Como se ha comentado, los resultados anteriores han sido obtenidos sin considerar ningun amortiguamiento propio del suelo. Se incluyen en el suelo amortiguamientos del 2 y del 5%, observando (Figura 4.21) poca diferencia para la parte real de la impedancia dinamica, mientras que una gran diferencia en la parte imaginaria de esta. Observar como, a mayor amoriguamiento, tal como la frecuencia disminuye, la parte imaginaria de la impedancia crece abruptamente. 4.4. Conclusiones Es directo observar las diferencias que presentan los resultados de los diferentes modelos. La respuesta obtenida del modelo con contornos rıgidos no se aproxima de ningun modo a la realidad, revelando el caracter rıgido del modelo o el llamado efecto caja: la parte real presenta un pico muy acentuado, mientras que la parte imaginaria se obtiene nula. Esto ultimo es de interes dado que como se comentaba es esta parte imaginaria la que representa esa componente de amortiguamiento asociado no al propio caracter material del suelo, sino al efecto de la radiacion de las ondas en el medio: que como puede razonarse no es representado por este modelo. La inclusion de los elementos PML en la capa externa al modelo soluciona con creces este problema: el comportamiento se presenta radicalmente diferente, y se aproxima notablemente al obtenido por otros autores con anterioridad. Esto lleva a afirmar que la disposicion de este tipo de elementos proporciona en el analisis establecido buenos resultados a la hora de modelizar el medio semi-infinito. Destacar la importancia de un suficiente mallado de la capa PML: se ha observado una notable sensibilidad al numero de elementos empleados en dicha capa, obteniendose buenos resultados para un numero de elementos superior a tres. En cuanto al efecto del amortiguamiento material del suelo, este provoca una sutil disminucion en la parte real de la compliancia vertical, y un aumento de la parte imaginaria. Para la rigidez al giro el amortiguamiento conlleva una disminucion de la partea real, y un aumento notable de la parte imaginaria, la cual presenta un crecimiento muy elevado a frecuencias bajas. Real(Krotx)/Krotx0 Imag(Krotx/ao)/Krotx0 Figura 4.22. Resultados obtenidos para la impedancia al giro empleando diferentes valores del amortiguamiento en el suelo. 79 Condiciones de contorno para problemas en medios semi-infinitos mediante el MEF: Perfectly Matched Layers y Elementos Infinitos aplicados a problemas de la interacción suelo-estructura Enfoque del problema mediante los elementos infinitos 80 5 ENFOQUE DEL PROBLEMA MEDIANTE LOS ELEMENTOS INFINITOS 5.1 Introducción Como ya se adelanto anteriormente, se presenta aquı otra alternativa a la resolucion de problemas en medios semi-infinitos. En este caso este enfoque no es mas que una extension del Metodo de los Elementos Finitos que pretende, de alguna forma, plasmar el comportamiento del medio infinito en un modelo que no lo es. Este enfoque es debido a P.Bettess (1977) , y R.F.Ungless (1973), quienes formulan los elementos infinitos por primera vez. Estos elementos se presentan de gran utilidad, entre otros motivos debido a que conceptualmente distan poco de los elementos finitos habituales. Las diferencias entre estos se encuentran fundamentalmente en una extension del elemento y las funciones de forma a emplear en ellos. Los elementos infinitos (EI) no son mas que una extension de los elementos finitos habituales (EF). De este modo, se presentan de utilidad en la generacion de modelos formados por ambos elementos acoplados (EF-EI). La idea es modelizar un medio infinito a partir de un dominio discretizado mediante EF, y que en lugar de imponer valores al campo de desplazamiento en sus bordes (condiciones de contorno habituales, y no reales), se establezcan en dichos bordes estos EI, que se encargaran de simular la extension al inifnito de los anteriores EF, obteniendo ası soluciones mas precisas. Estos elementos se han formulado para la resolucion de diferentes problemas, ası como problemas hidrodinamicos, acusticos, elastodinamicos…etc. Siendo estos ultimos los de interes en este trabajo, de cara a la aplicacion que se persigue: interaccion suelo-estructura. A partir de los primeros trabajos sobre esta formulacion, se han desarollado diferentes tipos de tecnicas para generar elementos infinitos, que buscan obtener mejores resultados a cada problema en cuestion. En lo que sigue se pretende presentar de forma breve la idea de partida de esta formulacion y la base teorica en que se sustenta, de cara a adquirir una idea general que permita obtener una vision comparativa entre este y el metodo anteriormente presentado. 5.2 Base teórica La idea tras la formulacion de este tipo de elementos se puede resumir en dos conceptos: la extension geometrica del elemento hacia el infinito en una o varias direcciones y la aproximacion de campo basico de modo que este decaiga de alguna forma en dichas direcciones. Ası mismo esto da pie a diferentes tecnicas para la generacion de elementos infinitos, conceptualmente diferentes, las cuales han sido estudiadas por diversos autores. En este capıtulo se hara referencia a dos de ellas: Elementos Infinitos tipo Mapped (Mapped type Infinite Element) en lo que sigue, MIF y Elementos Infinitos de Atenuacion (Decay type Infinite Elements), en lo que sigue, DIF. 81 Condiciones de contorno para problemas en medios semi-infinitos mediante el MEF: Perfectly Matched Layers y Elementos Infinitos aplicados a problemas de la interacción suelo-estructura De forma resumida, y previamente a ser desarrolladas las ideas, podemos apuntar las diferencias clave entre este tipo de elementos que, adelantando, se puede intuir que residen en las funciones de forma. Por un lado, los MIF emplean unas determinadas funciones de mapeo (Mapping Functions) con las que logran relacionar un dominio global aparentemente infinito con un dominio elemental finito. Mientras que los elementos tipo DIF parten de las funciones de forma habituales para, aplicandoles alguna transformacion mediante otra funcion, obtener otras que logran exhibir el caracter atenuante que se busca. 5.3 Mapped Infinite Elements (MIF) 5.3.1 Caso unidimensional Este primer enfoque trata de, a partir de un elemento definido hasta el infinito, en un sistema global, determinar la transformacion del mismo a un sistema elemental finito. Para ilustrar esta idea se considera en primer lugar el caso unidimensional. Considerese el dominio infinito unidimensional definido por a coordenada 𝑥, el cual define el elemento infinito de forma global. Es importante destacar que el EI se dispondra adyacente al dominio discretizado por EF, el cual se intenta extender en sus bordes. Teniendo esto presente, debemos considerar la coordenada 𝑥 situada en el dominio discretizado mediante EF, y la cual se denomina pole o nodo de referencia. Este sera fundamental en la defincion de los EI de acuerdo a las diferentes geometrıas del dominio donde se resuelve el problema, como se vera mas adelante. El elemento se define a traves de las coordenadas 𝑥,𝑥 y 𝑥 la cual se dispone en el infinito. La idea es transformar este elemento, a priori definido en un dominio infinito a uno finito, dado por la coordenada -1< 𝜉<1, tal como se puede apreciar en la Figura 5.1. La metodologıa para la transformacion presentada aquı es debida a Zienkiewicz et al (1983), y se presenta de mucha utilidad dado su facilidad a la hora de implementarse en codigos de elementos finitos, sin necesidad de grandes modificaciones. Figura 5.1. Esquema de relación para el caso unidimensional. se propone la siguiente relacion, 𝑥=𝑁(𝜉)𝑥+𝑁(𝜉)𝑥 [5.1] donde 𝑁(𝜉) y 𝑁(𝜉) son conocidas como mapping functions. Enfoque del problema mediante los elementos infinitos 82 Donde se encuentran las siguientes expresiones para las mismas, ensayando polinomios cuadraticos en 𝜉 , 𝑁(𝜉)=−𝜉 1−𝜉 [5.2] 𝑁(𝜉)=1+ 𝜉 1−𝜉 [5.3] De tal forma que [5.1] cumpla que, 𝐸𝑛 𝜉=1, x=  ()(x−x)+x=x=∞ 𝐸𝑛 𝜉=0, x=0𝑥+1𝑥=𝑥 𝐸𝑛 𝜉=−1, x= + =𝑥 Observar que la coordenada 𝑥 se toma en el punto medio entre el nodo de referencia 𝑥 y la coordenada 𝑥. De esta forma tenemos establecida la transformacion geometrica del dominio infinito al finito. Si ahora consideramos una determinada funcion de forma definida en el dominio de la coordenada 𝜉, podrıamos obtener la funcion transformada al dominio de 𝑥. Esto es habitual en el MEF, y se materializa a partir de la obtencion del Jacobiano. Tomamos una funcion de forma generica dada por P, un polinomio en 𝜉 como es habitual emplear en el MEF (que podrıa ser cualquiera de las funciones de forma empleadas habitualmente en la interpolacion del campo basico), 𝑃(𝜉)=𝜌+𝜌𝜉+𝜌𝜉+⋯+𝜌𝜉 [5.4] Antes de expresar [5.4] en funcion de 𝑥, tomamos la relacion 𝜉↔𝑥 dada por [5.1] , [5.2] y [5.3] y la reescribimos de la forma, 𝑥=𝑥+2𝑎 (1−𝜉) [5.5] donde 𝑎=𝑥−𝑥=𝑥−𝑥. Si ademas definimos 𝑟 como la distancia entre una 𝑥 generica y el nodo de referencia 𝑥, 𝑟=𝑥−𝑥 escribimos [5.5] como 𝑟= 2𝑎 (1−𝜉) [5.6] y de la misma forma, 𝜉=1−2𝑎 𝑟 [5.7] 83 Condiciones de contorno para problemas en medios semi-infinitos mediante el MEF: Perfectly Matched Layers y Elementos Infinitos aplicados a problemas de la interacción suelo-estructura De esta forma [5.6] y [5.7] representan la relacion entre ambas coordenadas de forma mas compacta y en funcion de r. Si bien, introducimos [5.7] en [5.4], obtenemos una nueva funcion de forma, expresada en la coordenada 𝑥 como potencias inversas de 𝑟, 𝑃(𝑟)=𝛽+𝛽 𝑟+𝛽 𝑟+⋯+𝛽 𝑟 [5.8] Como se puede observar la funcion de forma del elemento infinito decrece con la coordenada 𝑟. Podemos controlar, mediante el termino independiente 𝛽 la convergencia del polinomio en el infinito, segun interese en el problema a resolver. Ası mismo si elegimos un termino independiente nulo la funcion decrecera hasta alcanzar un valor nulo en el infinito. Este comportamiento decreciente con potencias de 𝑟 puede ser muy util en la resolucion de problemas cuyos fenomenos involucrados presenten dicho comportamiento. En el siguiente apartado donde se presenta la otra alternativa para conseguir elementos infinitos se comentara algo mas sobre este aspecto, y como lograr otro tipo de comportamiento en las funciones de forma, de cara a fenomenos que no sean bien representados con el presente. Ahora bien, dado que el punto correspondiente a 𝑥 (polo) no es un nodo perteneciente al elemento infinito, conviene expresar las funciones en los nodos correspondientes a este (𝑥 y 𝑥), de la forma: 𝑥=𝑀𝑥+𝑀𝑥 [5.9] donde 𝑀 y 𝑀 son las funciones de mapeo, que quedan de la forma, 𝑀=2𝑁(𝜉)=− 2𝜉 1−𝜉 [5.10] 𝑀=𝑁(𝜉)−𝑁(𝜉)=1+𝜉 1−𝜉 [5.11] Estas funciones adquieren un valor unidad en el nodo asociado, nulo en el opuesto, y tienden a infinito en el tercer nodo del elemento (𝑥) el cual se situa en el infinito en la coordenada global, y en 𝜉=1 en la local. Vease la Figura 5.2. Enfoque del problema mediante los elementos infinitos 90 el cual se definen unas funciones de forma infinitas dadas por, 𝑁(𝜉,𝜂)=𝑀(𝜉,𝜂)𝑓(𝜉,𝜂) [5.32] donde 𝑓(𝜉,𝜂) sera la comentada funcion de atenuacion, que tomara un valor unidad para el nodo 𝑖, y sera elegida de forma que represente un comportamiento adecuado, y 𝑁(𝜉,𝜂) tienda al valor deseado en el infinito (habitualmente nulo para los problemas que aquı interesan) Con estas nuevas funciones de forma, 𝑁, se puede operar de cara a obtener las derivadas que aparezcan en las expresiones pertinentes para la obtencion de las matrices necesarias, 𝜕𝑁 𝜕𝜉=𝜕𝑀 𝜕𝜉𝑓+ 𝑀𝜕𝑓 𝜕𝜉 [5.33] 𝜕𝑁 𝜕𝜂=𝜕𝑀 𝜕𝜂𝑓+ 𝑀𝜕𝑓 𝜕𝜂 [5.34] Tal como concluye [] en la obtencion de las matrices del MEF para elementos infinitos de este modo, se emplean las funciones de forma habituales para establecer la relacion geometrica entre variables globales y naturales (Jacobiano) y se emplean las funciones de forma infinitas obtenidas de este modo para la aproximacion de las variables basicas. La parte fundamental en esta tecnica sera, de este modo, una buena eleccion de la funcion de atenuacion, ademas de una buena eleccion del nodo de referencia y la disposicion de los elementos. Habitualmente se elige el nodo de referencia de forma centrada en el foco que provoca la perturbacion, y la coordenada elemental 𝜉 , o de forma global,𝑟, partira de dicho nodo alejandose del foco. Las relaciones entre 𝑟 y 𝜉 dependera evidentemente de la geometrıa y disposicion de los elementos, pero como se ha dicho, se realizara por medio de las funciones de forma habituales. En la bibliografıa se recomiendan diferentes tipos de funciones de atenuacion dependiendo del problema que se resuelve: P. Bettes [14] propone funciones exponenciales del tipo 𝑓(𝜉,𝜂)=exp𝜉+𝜂−𝜉−𝜂 𝐿 [5.35] siendo L una longitud caracterıstica para la atenuacion, y las coordenadas naturales 𝜉,𝜂 en sentido positivo. Estas funciones pueden ser utiles para problemas estaticos en medios elasticos. Por otro lado, C. B. Yun & J. M. Kim en [10] y [11] proponen funciones de atenuación dadas por ecuaciones de onda, aproximadas en base a soluciones analíticas conocidas. Esto logra reproducir el comportamiento esperado en problemas dinámicos. Estos autores proponen una formulación en el dominio de la frecuencia, donde la función de forma infinita viene dada por 𝑁(𝜉,𝜂,𝝎)=𝑀(𝜉,𝜂)𝑓(𝜉,𝜂,𝝎) [5.36] donde de la forma general 𝑓(𝜉,𝜂,𝝎) responde a una funcion de onda oportuna, segun una direccion 91 Condiciones de contorno para problemas en medios semi-infinitos mediante el MEF: Perfectly Matched Layers y Elementos Infinitos aplicados a problemas de la interacción suelo-estructura determinada, la cual se obtiene de forma aproximada en base a soluciones analıticas. Un ejemplo sencillo, tal como se recoge en [10], para un elemento infinito horizontal de 3 nodos, que tiende al infinito en la direccion 𝜉, siendo la direccion ortogonal 𝜂. Tomando 𝑀 dado por el polinomio de Lagrange y 𝑓 la funcion de onda en direccion 𝜉 dados por: 𝑀(𝜂)=𝐿(𝜂)=𝜂(1−𝜂) 2 [5.37] 𝑀(𝜂)=𝐿(𝜂)=−𝜂(1+𝜂) [5.38] 𝑓(𝜉,𝜔)=𝑒 [5.39] la dependencia de 𝑓 de la frecuencia se debe al numero de onda 𝑘; 𝛽 es un coeficiente de amortiguamiento geometrico, 𝑥 es la coordenada x global del nodo correspondiente. Se toman valores aleatorios de cara a observar de forma cualitativa el aspecto de estas funciones de forma. 𝑁(𝜉,𝜂)=𝑀·𝑓 [5.40] 𝑁(𝜉,𝜂)=𝑀· 𝑓 [5.41] 5.5 Contornos viscosos de J. Lysmer y Roger L. Kuhlemeyer [15]. Se trata de una de las alternativas citadas en el primer capıtulo para la generacion de bordes que no reflejen las ondas al interior del dominio, mediante la generacion de contornos viscosos. En la Referencia [15] puede encontrarse en detalle esta tecnica. De forma breve, tengase en cuenta la ecuacion de gobierno de la perturbacion en el solido sin fuerzas por unidad de volumen, 𝜕𝜎 𝜕𝑥=𝜌𝑢󰇘 [5.42] Figura 5.5. Ejemplo de funciones de forma de elementos infinitos. Enfoque del problema mediante los elementos infinitos 92 la relacion constitutiva dada por 𝜎=𝜆𝜀+2𝐺𝜀 [5.43] y la compatibilidad, 𝜀=12󰇧𝜕𝑢 𝜕𝑥+𝜕𝑢 𝜕𝑥󰇨 [5.44] que dan lugar a la ecuacion de gobierno de la forma 𝜌𝜕𝑢 𝜕𝑡=𝐺𝜕𝑢 𝜕𝑥+(𝜆+𝐺)𝜕𝑢 𝜕𝑥𝜕𝑥 [5.45] Si bien, se asume que las perturbaciones se propagan a una cierta distancia del foco que las produce en forma de ondas planas (capıtulo 2), la ecuacion de gobierno puede escribirse para ese caso particular como: 𝜕𝑢 𝜕𝑡=𝑐 ∇𝑢 [5.46] con c la velocidad de propagacion de las ondas, c tomara el valor de 𝑐 y 𝑐, para ondas P y ondas S respectivamente. La solucion general a la ecuacion [5.46] esta formada por una componente, 𝑓, de onda que se propaga en sentido positivo y una componente, 𝑔, que se propaga en el negativo 𝑢(𝑥,𝑡)=𝑢=𝑓(𝑥−𝑐𝑡)+𝑔(𝑥+𝑐𝑡) [5.47] Para una onda tipo P propagandose en direccion x, sabemos que las partıculas se moveran en direccion de la propagacion de modo que el campo de desplazamientos queda 𝑢=𝑓𝑥−𝑐𝑡 𝑢=𝑢=0 [5.48] 93 Condiciones de contorno para problemas en medios semi-infinitos mediante el MEF: Perfectly Matched Layers y Elementos Infinitos aplicados a problemas de la interacción suelo-estructura La velocidad y la deformacion en direccion x queda 𝑢󰇗=𝜕𝑢 𝜕𝑡 =−𝑐𝑓󰆒𝑥−𝑐𝑡 [5.49] 𝜀=𝜕𝑢 𝜕𝑥 =𝑓󰆒𝑥−𝑐𝑡 [5.50] Las componentes de tension a partir de la relacion de comportamiento 𝜎=(𝜆+2𝐺)𝜀 𝜎=𝜎=𝜆𝜀 [5.51] Ahora podemos expresar la tension en funcion de la velocidad de la partıcula, de la forma 𝜎=−𝜌𝑐𝑢 󰇗 [5.52] Si razonamos igualmente para una onda S que se propaga en direccion x, las componentes de desplazamiento de las partıculas estaran contenidas en el plano 𝑢=0 𝑢=𝑓(𝑥−𝑐𝑡) 𝑢=𝑓(𝑥−𝑐𝑡) [5.53] Expresando las tensiones en funcion de las velocidades de las partıculas, 𝜎=−𝜌𝑐𝑢󰇗 𝜎=−𝜌𝑐𝑢󰇗 [5.54] Si asumimos en algun punto de la direccion x un medio de diferentes propiedades, o un contorno rıgido, la onda incidente producira en el primer caso una componente refractada y otra reflejada, siendo en el segundo caso toda reflejada. Aparecera ası una perturbacion en direccion opuesta, transformandose las compresiones en tracciones y viceversa (cambio en el signo de las ecuaciones 5.52 y 5.54). El objetivo sera por lo tanto evitar la componente reflejada al interior del dominio. En [15] se encuentra el razonamiento en detalle, en resumen, de forma general en el contorno se tendran perturbaciones incidiendo con un determinado angulo, pudiendo ser descompuestas en componente normal y tangencial al contorno de la forma: 𝜎=𝑎𝜌𝑐𝑢󰇗 𝜎=𝑏𝜌𝑐𝑢󰇗 [5.55] siendo a y b constantes adimensionales, cuyo valor se recomienda unidad o proximo a ella segun [15]. Se trata de generar matrices de amortiguamiento para los contornos, a partir de [5.55] Enfoque del problema mediante los elementos infinitos 94 5.6 PML vs E. Infinitos Notese que existen claras diferencias conceptuales entre el metodo del PML y los Elementos Inifnitos. Con el mismo objetivo, en el primer metodo se trata de discretizar una porcion del medio externa al dominio de interes, habitualmente en forma de capa. La discretizacion de dicha capa es influyente en los resultados obtenidos como se ha observado en el capıtulo anterior, y debe asegurar la compatibilidad entre los nodos en la interfase con el dominio de interes. Sin embargo, el segundo de los metodos no se enfoca ası: es un solo elemento el que se dispone en el contorno del medio de interes, extendiendo el mismo hacia el infinito. Este elemento parte de los nodos que se encuentran en el contorno de dicho medio a partir de las tecnicas anteriormente expuestas. Siendo el primero de los metodos, a priori, independiente de la geometrıa, el segundo dependera fuertemente de ella, y en concreto de la generacion de los elementos a partir de la posicion del nodo o nodos de referencia (𝑥 en la notacion anterior). Por otro lado, la funcion de atenuacion del PML, responsable principal del efecto que este tiene en los resultados, queda definida como ya se apunto de forma global. Mientras que, para los Elementos Infinitos, puesto que no son mas que elementos finitos conceptualment, las funciones de forma y mapeo quedaran definidas de forma elemental. Figura 5.6. Esquema de los modelos con PML y elementos inifinitos. 95 Condiciones de contorno para problemas en medios semi-infinitos mediante el MEF: Perfectly Matched Layers y Elementos Infinitos aplicados a problemas de la interacción suelo-estructura 5.7 Verificación: semiespacio sometido a carga escalón Como ejemplo de cara a la verificacion del metodo, se considera la modelizacion de un semiespacio infinito sometido a una carga puntual con una distribucion temporal de tipo escalon. Se realizan dos modelos en ANSYS: un primer modelo en cuyos contornos se impide el desplazamiento en todos los grados de libertad de los nodos contenidos en los mismos; y un segundo modelo donde se generan elementos infinitos en los contornos. La geometrıa, materiales, y carga es identica en ambos modelos, la u nica diferencia existente son las condiciones de contorno establecidas en ambos. Figura 5.7. Carga escalón. Se trata de un semiespacio elastico con una velocidad de propagacion de ondas S de 50m/s , una densidad de 1000 kg/m y un coeficiente de Poisson de 0.3, sometido a un impulso de valor maximo 10 kN y una duracion de 0.01 segundos en el centro del modelo. Se genera un volumen mallado regular con elementos tridimensionales SOLID185 de 0.1 m de lado, y una capa de elementos infinitos INFIN157. El elemento INFIN157 se genera a partir de un nodo de referencia o polo (𝑥 en la teorıa anterior) y los nodos contenidos en el contorno del volumen generado con SOLID185, adquiriendo las propiedades mecanicas del material de dicho volumen. Este elemento implementa la teorıa anteriormente expuesta. Figura 5.8 Generación de los elementos infinitos en el contorno. X Y Z X Y Z X Y Z X Y Z X Y Z X Y Z Enfoque del problema mediante los elementos infinitos 96 Se realiza un analisis transitorio con un paso de integracion de 0.1 segundos. Los resultados revelan lo esperado: las respuestas obtenidas en ambos modelos son similares mientras que la perturbacion no llega a los contornos del mismo. Cuando esto ocurre las respuestas adquieren un comportamiento totalmente diferente: el modelo que no incluye elementos infinitos provoca reflexiones hacia el interior del modelo, afectando al campo de desplazamientos obtenido en el. Sin embargo, se manifiesta un correcto comportamiento en el modelo con elementos ifinitos, donde no existen dichas reflexiones espurias. Se presenta el campo de desplazamientos vertical para diferentes instantes de tiempo. MN MX X Y Z -.973096 -.77579 -.578484 -.381178 -.183872 .013433 .210739 .408045 .605351 .802657 MN MX X Y Z -.241822 -.140586 -.03935 .061887 .163123 .264359 .365596 .466832 .568068 .669305 Figura 5.8. Campo de desplazamientos para un tiempo de integración de 0.11 segundos: a la izquierda el modelo con elementos infinitos, a la derecha el modelo sin ellos. MN MX X Y Z -.507684 -.426249 -.344814 -.263379 -.181945 -.10051 -.019075 .06236 .143794 .225229 MN MX X Y Z -.232799 -.175176 -.117553 -.059929 -.002306 .055317 .112941 .170564 .228187 .285811 SMX =.285811 Figura 5.9. Campo de desplazamientos para un tiempo de integración de 0.25 segundos: a la izquierda el modelo con elementos infinitos, a la derecha el modelo sin ellos. 97 Condiciones de contorno para problemas en medios semi-infinitos mediante el MEF: Perfectly Matched Layers y Elementos Infinitos aplicados a problemas de la interacción suelo-estructura MN MX X Y Z -.418818 -.345024 -.271229 -.197435 -.12364 -.049846 .023949 .097743 .171538 .245332 MN MX X Y Z -.239213 -.202288 -.165364 -.12844 -.091515 -.054591 -.017667 .019258 .056182 .093106 Figura 5.10. Campo de desplazamientos para un tiempo de integración de 0.27 segundos: a la izquierda el modelo con elementos infinitos, a la derecha el modelo sin ellos. Enfoque del problema mediante los elementos infinitos 98 99 Condiciones de contorno para problemas en medios semi-infinitos mediante el MEF: Perfectly Matched Layers y Elementos Infinitos aplicados a problemas de la interacción suelo-estructura 6 CASO DE APLICACIÓN: COMPORTAMIENTO DINÁMICO DE PUENTES DE FERROCARRIL 6.1 Introducción Se presenta aquı un caso de estudio de cara a la aplicacion practica de la teorıa presentada con anterioridad. Se trata de estudiar la influencia que presenta, en general la consideracion del suelo, y en particular los elementos infinitos en modelos numericos para el analisis de la interaccion sueloestructura. El caso elegido es el de puentes de ferrocarril para alta velocidad de luces en el rango de medias-cortas, para los que se generaran modelos de elementos finitos con el software ANSYS. La eleccion de este tipo estructural se motiva a raız de la gran interaccion con el suelo que presenta este tipo de estructuras. En general las estructuras ferroviarias presentan un comportamiento dinamico fuertemente influenciado por su interaccion con el suelo, y particularmente dentro de estas, los viaductos de alta velocidad de luces medias-cortas (12.5 a 25 metros). Este tipo de estructuras se ha estudiado exhaustivamente en su comportamiento dinamico, econtrandose comportamientos carcaterısticos en las mismas, los cuales deben ser tenidos en cuenta a la hora de su diseno y explotacion, como son los conocidos fenomenos de resonancia y cancelacion para dichos puentes. Estos dependen de diversos factores como las frecuencias naturales de la estructura, las frecuencias de las solicitaciones, la velocidad de paso de la carga (tren de cargas) en la estructura, las propiedades del terreno en que se cimenta, etc. Se ha de aclarar que en lo que sigue el objetivo no es estudiar el comportamiento de una gran diversidad de viaductos de forma parametrica, obteniendo respuestas en funcion de diferentes factores como las luces, las secciones y materiales del tablero, etc; sino obtener una perspectiva sobre la influencia de la implantacion de elementos infinitos en los modelos de calculo. Para ello se generaran, por un lado, modelos con elementos finitos que modelen el campo cercano a la estructura, y elementos infinitos para la modelizacion del campo lejano a la misma; y por otro lado, modelos con unicamente elementos finitos. La idea es comparar los resultados extraıdos de estos y obtener conclusiones. Se estudia un determinado modelo de puente viga de 25 metros de luz, cimentado sobre diferentes tipos de suelos y sometido a una carga movil aislada. Se recoge el comportamiento (desplazamientos y aceleraciones) en el mismo. Se estudian modelos con elementos infinitos y sin ellos, de cara a observar la influencia de estos. Caso de aplicacion: comportamiento dinamico de puentes de ferrocarril 106 contenidos en el borde. Este elemento implementa la teorıa del mapping infinite element (MIF) para el caso estatico y la teorıa de borde absorbente o decay type infinite element (DIF) para el caso dinamico. Figura 6.5. Esquema del elemento INFIN257 de Ansys. Ansys MAPDL Element Library Una vez conocidos los elementos a emplear, se describe el modelo de elementos finitos generado. Estara formado por los estribos embebidos en la masa de suelo tal y como se observa en la Figura 6.6. Este suelo es el modelizado con Solid185. Notese la geometrıa regular, de cara a un mallado regular en forma de cubos: esto facilita, o posibilita la generacion de elementos infinitos. Recordar que estos son fuertemente dependientes de la geometrıa y principalmente de la posicion del nodo de referencia y de los nodos de borde del modelo. Figura 6.6. Modelo de estribos en ANSYS: 107 Condiciones de contorno para problemas en medios semi-infinitos mediante el MEF: Perfectly Matched Layers y Elementos Infinitos aplicados a problemas de la interacción suelo-estructura Para la generacion de los elementos infinitos se seleccionan dos nodos de referencia, ambos en el centro del modelo: uno a la altura de la superficie libre de suelo entre ambos estribos (z=0) y otro a la altura de los estribos (z=altura del estribo). Seleccionando los nodos de los contornos del modelo, los elementos infinitos se generaran a partir de las rectas que pasan por dichos nodos y el de referencia. Se pueden usar hasta 3 nodos de referencia en la generacion. En el modelo se han generado estos a partir de uno y dos nodos de referencia. 6.3.4 Viga simple: frecuencias y modos naturales de vibración Antes de nada se considera interesante analizar el comportamiento del modelo mas simple posible: el tablero del puente viga sin estribos ni suelo adyacente. Esto es un problema de una viga simplemente apoyada. Un analisis modal en ANSYS nos revelara sus frecuencias naturales y modos de vibracion, cuando esta no se encuentra solicitada por ninguna accion, es decir, en vibracion libre. El estudio en vibracion libre de las estructuras se muestra fundamental de cara a una comprension acertada de su comportamiento, dado que, cuando estas se vean solicitadas por diferentes acciones responderan de la forma que fuera, pero siempre tras dicha respuesta se esconderan los Figura 6.7. Modelo de suelo, estribos y tablero. Figura 6.8. Modelo de tablero (izquierda), y suelo con elementos infinitos (derecha) Caso de aplicacion: comportamiento dinamico de puentes de ferrocarril 108 modos naturales de vibrar de esta estructura. Ademas, aunque no empleandose aquı, la extraccion de los modos de vibracion proporciona una herramienta matematica de gran utilidad a la hora de obtener la respuesta de la estructura ante alguna solicitacion, pues estos forman una base ortonormal que sirve para proyectar la respuesta temporal, y ademas, gracias a sus propiedades de ortogonalidad permiten afrontar el problema dinamico descomponiendolo en subproblemas mas simple. Esto es conocido como solucion mediante superposicion modal. Modo 1. 7 Hz. Modo 2. 16.73 Hz. Modo 3. 16.93 Hz. Modo 4. 24.5Hz. Modo 5. 34.47 Hz Figura 6.9. Primeros cinco modos naturales de vibración del tablero. 109 Condiciones de contorno para problemas en medios semi-infinitos mediante el MEF: Perfectly Matched Layers y Elementos Infinitos aplicados a problemas de la interacción suelo-estructura 6.3.5 Análisis y resultados Se realiza por tanto el analisis descrito en el apartado 6.2.: una carga movil de 210 kN que recorre el tablero a la velocidad de 300 km/h. Se presentan los resultados obtenidos para los diferentes modelos con elementos infinitos y sin ellos, y teniendo en cuenta la presencia de los distintos tipos de suelo propuestos. En la Tabla 6.2 se recogen los valores maximos para el desplazamiento y la aceleracion vertical en el centro de vano. Se observa una clara tendencia en los desplazamientos de disminucion de la amplitud maxima de estos conforme el suelo presenta una mayor rigidez. Con la aceleracion ocurre a la inversa. Tabla 6.2. Desplazamientos y aceleraciones máximas en centro de vano. Si bien, dicha tendencia se pone de manifiesto en ambos modelos los que no incluyen elementos infinitos se presentan mas rıgidos, dando lugar a desplazamientos menores y aceleraciones mayores. En la Figura 6.10 se plasma graficamente lo comentado. Se puede intuir como las aceleraciones se presentan notablemente superiores en los modelos que no los incluyen, presentando ademas variaciones mas bruscas. A la vista de los resultados obtenidos, y en cuanto a las aceleraciones verticales en el tablero, cabe destacar que presentan un valor aceptable. Considerense los lımites establecidos en la Instrucción sobre las acciones a considerar en el proyecto de puentes de ferrocarril (IAPF) [49] en su apartado 4.2.1.1.1., donde se establece un valor maximo para vıa en balasto de 0.35g y de 0.5g en vıa sin balasto, para esta aceleracion. Evidentemente estas aceleraciones se habran de obtener mediante modelos de trenes de carga, y no cargas aisladas. Desplaz. Máx. [mm] Acel. Máx. [m/s2] Suelo I Modelo Sin Einf. 1,49 0,67 Modelo Con Einf. 1,6 0,64 Suelo II Modelo Sin Einf. 1,39 0,76 Modelo Con Einf. 1,48 0,66 Suelo III Modelo Sin Einf. 1,39 0,86 Modelo Con Einf. 1,43 0,7 Viga Simple 1,36 0,9 Caso de aplicacion: comportamiento dinamico de puentes de ferrocarril 110 Figura 6.10. Tendencia de la respuesta en función de la rigidez del suelo, para modelos con elementos infinitos (C/EInf.) y sin ellos (S/EInf.). En primer lugar, para cada tipo de suelo, conviene observar las respuestas obtenidas empleando elementos infinitos frente a las obtenidas prescindiendo de ellos. Para el suelo menos rıgido, Suelo I, el comportamiento obtenido mediante ambos modelos presenta notables diferencias. A la vista de las Figuras 6.11 y 6.12 se puede observar como el modelo que no incorpora este tipo de elementos exhibe un comportamiento muy diferente: este se presenta mas rıgido, a igualdad de material. En la vibracion forzada (𝑡<=0.3 𝑠𝑒𝑔) el desplazamiento mayor se produce para el modelo con elementos infinitos, mientras que en la vibracion libre (𝑡<0.3 𝑠𝑒𝑔) las oscilaciones mayores se dan en el modelo sin elementos infinitos. Ademas, se observa que la vibracion libre se amortigua mucho antes en el modelo que incluye estos elementos. Figura 6.11. Desplazamiento en el centro del vano para el modelo con suelo tipo I. 111 Condiciones de contorno para problemas en medios semi-infinitos mediante el MEF: Perfectly Matched Layers y Elementos Infinitos aplicados a problemas de la interacción suelo-estructura Recordar que tanto el amortiguamiento estructural como el correspondiente al suelo se mantienen con el mismo valor en ambos modelos, de modo que la diferencia reside unicamente en la consideracion de estos elementos que proporcionan un amortiguamiento adicional de radiacion. Figura 6.12. Aceleración en el centro del vano para un suelo tipo I. Cuando se consideran suelos con rigideces no tan bajas como el tipo I (Suelos tipo II y III) se observa un cambio notable en la respuesta del modelo sin elementos infinitos, algo mas natural y proxima a la del modelo que si los integra (Figuras 6.13 a 6.15) Aun ası, se pone de manifiesto de nuevo el amortiguamiento superior que experimenta la respuesta en el segundo de estos. Figura 6.13. Desplazamiento en el centro del vano para un suelo tipo II. Caso de aplicacion: comportamiento dinamico de puentes de ferrocarril 112 Figura 6.14. Aceleración en el centro del vano para un suelo tipo II. Por otro lado, de cara a obtener una mejor idea de las diferentes respuestas observadas en los diferentes suelos, y ademas, en el modelo de viga simple sin consideracion de suelo alguno, se muestran estas de forma conjunta, para los modelos que incorporan elementos infinitos, en la Figura 6.16 y para los que no, en la Figura 6.17 Figura 6.15. Respuesta en centro de vano para un suelo tipo III. 113 Condiciones de contorno para problemas en medios semi-infinitos mediante el MEF: Perfectly Matched Layers y Elementos Infinitos aplicados a problemas de la interacción suelo-estructura Figura 6.16. Desplazamiento en el centro de vano para los diferentes suelos considerados en los modelos con elementos infinitos. Figura 6.17. Desplazamiento en el centro de vano para los diferentes suelos considerados en los modelos sin elementos infinitos. Se revelan varias circunstancias. Por un lado, en la respuesta obtenida de los modelos que no incorporan estos elementos, las diferencias entre los suelos II y III es mınima, y bastante inferior a la observada para los otros modelos, donde se puede observar como las oscilaciones crecen con la rigidez del suelo. Por otro lado, lo ya comentado con anterioridad, a los 6 segundos en el primer caso la vibracion esta totalmente atenuada no siendo ası en el segundo. Tambien salta a la vista el extrano comportamiento que exhibe la respuesta para el suelo mas blando, tipo I. Los modelos sin elementos infinitos son mas rıgidos que los que los incoproran, en la Figura 6.17 se observa que la respuesta Caso de aplicacion: comportamiento dinamico de puentes de ferrocarril 114 obtenida para un suelo tipo III es practcamente identica a la obtenida sin considerar terreno alguno, es decir, aplicandole las condiciones de contorno rıgidas a los extremos del tablero. Visto esto, cabe observar el contenido en frecuencia de las diferentes respuestas para cada modelo. Es evidente que, dada la carga a la que se somete la estructura, el comportamiento dinamico estudiado en este analisis sera el correspondiente a la flexion del tablero. Es decir, la respuesta en el dominio de la frecuencia debera revelar las frecuencias correspondientes a los modos de flexion del tablero. Aplicandole la Transformada Discreta de Fourier a las respuestas en el tiempo, con una frecuencia de muestreo de 𝑓𝑠= ∆=100 𝐻𝑧 , con ∆𝑡 el paso de tiempo en la integracion, con la herramienta MATLAB, obtenemos el contenido en frecuencia de las mismas. Para el caso de la viga simple, sin consideracion de suelo alguno, el contenido en frecuencia de la respuesta es el que se muestra en la Figura 6.18. Se representa la amplitud adimensionalizada a la amplitud maxima. A la vista de la misma se observa la presencia de ciertos picos que corresponden, como era de esperar, a frecuencias proximas a la naturales de la estructura. Recordar que el primer modo natural de flexion lleva asociada una frecuencia de 7 Hz, siendo de 24.5 y 34.47 Hz para el segundo y el tercer modo de flexion, respectivamente. La respuesta por lo tanto esta gobernada por los modos de flexion del tablero, como no podıa ser de otra forma. Figura 6.18. Contenido en frecuencia de la respuesta para el modelo de viga simple sin consideración del suelo. Ahora bien, a continuacion, se exponen las respuestas en el dominio de la frecuencia para los diferentes tipos de suelo, en comparativa de los modelos con y sin elementos infinitos. En la Figura 6.20 se muestra la respuesta en frecuencia para el suelo tipo I. Se observa que esta se presenta mas suave en el modelo que implementa elementos infinitos, obteniendose dos picos claramente diferenciados en las frecuencias de 6.65 y 32. 7 Hz, algo menores a las frecuencias obtenidas del analisis modal para el primer y tercer modo de flexion. Por otro lado, se observa para el modelo sin elementos infinitos una respuesta que presenta diversos picos, obteniendose el maximo para una frecuencia de 7.22 Hz por encima de la frecuencia natural correspondiente al primer modo, y superior al pico de la anterior respuesta (6.65 Hz). 115 Condiciones de contorno para problemas en medios semi-infinitos mediante el MEF: Perfectly Matched Layers y Elementos Infinitos aplicados a problemas de la interacción suelo-estructura Figura 6.19. Contenido en frecuencia de la respuesta para el modelo con suelo tipo I. Figura 6.20. Contenido en frecuencia de la respuesta para el modelo con suelo tipo II. Caso de aplicacion: comportamiento dinamico de puentes de ferrocarril 122 6.3.6.2 Resultados del análisis: barrido de velocidades Se realiza un barrido de velocidades en ANSYS para los modelos que se presentaron con anterioridad, para los suelos I, II y III, y el modelo de viga simple. El barrido comprende desde los 80 km/h hasta los 340 km/h, en intervalos de 10 km/h (suficiente para el objetivo que se persigue). Notese que para obtener mejores resultados ha de barrerse con un intervalo menor. Se exponen aquı los resultados obtenidos para estos modelos. Figura 6.30. Amplitud de la respuesta en vibración libre para suelo tipo I. Figura 6.31. Amplitud de la respuesta en vibración libre para suelo tipo II. 123 Condiciones de contorno para problemas en medios semi-infinitos mediante el MEF: Perfectly Matched Layers y Elementos Infinitos aplicados a problemas de la interacción suelo-estructura Figura 6.32. Amplitud de la respuesta en vibración libre para suelo tipo I. Figura 6.33. Amplitudes de la respuesta en vibración libre para los diferentes tipos de suelo. (Modelos sin elementos infinitos) Se observan ligeras diferencias en las velocidades de resonancia (maximos de la respuesta) y cancelacion (mınimos): acentuandose estas diferencias en la primera velocidad de resonancia. Se observa igualmente como la primera cancelacion se desplaza a la derecha para modelos menos rıgidos (suelo tipo I, y en general modelos con elementos infinitos). En las amplitudes de la respuesta encontramso claras diferencias, de forma general mayores amplitudes para modelos mas rıgidos (suelos II y III y modelos sin elementos infinitos). Los modelos que no incorporan elementos infinitos, sobre todo en suelos medianamente rıgidos, tienden rapidamente a la respuesta de una viga simplemente apoyada. Esto no ocurre para aquellos que si los incorporan. Caso de aplicacion: comportamiento dinamico de puentes de ferrocarril 124 Figura 6.34. Velocidades [km/h] de resonancia y cancelación para los diferentes modelos. 6.4 Conclusiones En cuanto a la respuesta para el centro del vano en vibracion forzada (con la carga sobre el tablero) se extraen de la figura 6.10 conclusiones claras: los desplazamientos adquieren mayores valores en suelos de menor rigidez, mientras que las aleceleraciones verticales crecen conforme crece la rigidez del suelo. Esta tendencia se aprecia para los modelos con elementos infinitos, mientras que para aquellos en los que se establecen condiciones de contorno rıgidas los desplazamientos adquieren un mismo valor practicamente para todas las rigideces del suelo, no existiendo diferencia apreciable; mientras que las aceleraciones crecen rapidamente con la rigidez del suelo, aproximandose a las obtenidas para la viga simple. Por otro lado, en regimen de vibracion libre las oscilaciones del tablero se presentan mayores en suelos mas rıgidos, mientras que se presentan menores en suelos de rigidez mas baja. Ocurre igual para las aceleraciones. Esto se observa de forma clara en los modelos con elementos infinitos, mientras que para los que no los incorporan las oscilaciones adquieren un valor practicamente identico en todos los suelos, excepto para el suelo menos rıgido donde el comportamiento observado es especialmente extrano. Ademas, en los modelos con elementos infinitos se observa como la respuesta en vibracion libre se amortigua antes para suelos con menos rigidez, algo que no se recoge en los otros modelos donde todas las respuestas se amortiguan de la misma forma, y ademas a tiempos superiores con respecto a los modelos con elementos infinitos. (Figuras 6.17 y 6.18) Viga Simple Con EInf. Sin EInf. Con EInf. Sin EInf. Con EInf. Sin EInf. Res 1 320 335 300 340 320 314 324 Can 1 245 254 248 249 245 246 245 Res 2 206 215 195 215 204 210 207 Can 2 176 177 170 177 173 178 174 Res 3 154 160 151 160 155 159 155 Can 3 136 142 132 140 138 140 137 Res 4 122 124 120 123 122 126 121 Can 4 109 111 110 110 110 111 110 Res 5 97 98 100 98 96 98 97 Can 5 81 84 85 83 82 81 81 Suelo I Suelo II Suelo III 125 Condiciones de contorno para problemas en medios semi-infinitos mediante el MEF: Perfectly Matched Layers y Elementos Infinitos aplicados a problemas de la interacción suelo-estructura Caso de aplicacion. Vibraciones en estructuras inducidas por el paso de cargas moviles a alta velocidad 126 7 CASO DE APLICACIÓN. VIBRACIONES EN ESTRUCTURAS INDUCIDAS POR EL PASO DE CARGAS MÓVILES A ALTA VELOCIDAD s de especial interes el determinar la influencia que puede tener la circulacion de trenes de alta velocidad en las proximidades de la vıa por donde este circula. El fenomeno vibratorio esta ligado al ferrocarril, por la propia naturaleza de las cargas que este conlleva, y su interes abarca desde lo tecnico hasta lo social. Con el desarrollo de la alta velocidad se ha hecho indispensable el estudio de las vibraciones que este tipo de cargas induce en las zonas proximas a la vıa, de cara a su afeccion a las estructuras cercanas, tanto desde el punto de vista de la seguridad estructural de las mismas como del confort de quienes se encuentren en ellas. La circulacion del ferrocarril induce una serie de vibraciones en las cuales interviene tanto la interaccion del vehıculo con la vıa, como la de la superestructura que contenga la vıa con el suelo, por el cual dichas vibraciones se propagan en forma de ondas. Existe una relacion entre las amplitudes de dichas ondas y la velocidad de circulacion del ferrocarril, presentandose mayores conforme esta crece. Dıa a dıa se hace mas indispensable este tipo de estudios previos a la ejecucion de proyectos ferroviarios y diversos autores y entidades ponen esfuerzo en ello. Podemos destacar en la actualidad como desarollos en este ambito a G.Lombaert et al. (2006), (2009); C.E. Hanson et al (2005); P.Galvın, A.Romero y J.Domınguez (2010) (2014) [37,38] que desarollan y aplican modelos BEM-FEM tridimensionales para el analisis las perturbaciones ocasionadas por este tipo de cargas, entre otros. En el presente capitulo se expone otro caso de aplicacion a la implementacion de elementos infinitos en los modelos de calculo, en este caso, relacionado con este tema. Se genera un modelo de elementos infinitos que, de forma simple, recoge la respuesta de una determinada estructura ante el paso de una carga movil a alta velocidad. Ni la tipologıa de la estructura, ni la precisa modelizacion de la carga movil y la vıa son el objeto del presente, siendolo sin embargo, la determinacion de la respuesta mediante diferentes modelos que permitan observar de forma clara la influencia de las condiciones de borde en este tipo de problemas, como se viene haciendo a lo largo del trabajo. La idea es, de este modo, generar un modelo relativamente pequeno que incluya, por un lado, una carga movil aislada que recorra una determinada longitud a una velocidad dada y por otro lado, una estructura que se encuentra a una cierta distancia de dicha perturbacion. El modelo de elementos finitos en sus contornos se terminara, bien imponiendo las repsectivas condiciones de borde que implican la nulidad del campo de desplazamientos en los mismos, o bien, estableciendo la existencia de una capa de elementos infinitos que simulen el caracter infinito del medio. Se comienza describiendo brevemente los modelos generados para luego plasmar los resultados obetenidos de los mismos y extraer conclusiones. E 127 Condiciones de contorno para problemas en medios semi-infinitos mediante el MEF: Perfectly Matched Layers y Elementos Infinitos aplicados a problemas de la interacción suelo-estructura 7.1 Descripción del modelo Los modelos desarollados se resumen en uno solo. Se trata de un modelo que, por un lado, incluye el suelo, definido en un volumen relativamente pequeno, en la superficie del cual se encuentran tanto la vıa por donde circula la carga, como la estructura a una distancia de esta. Se modelizara un volumen de suelo dado por un cuadrado de 30 metros de lado en una profundidad de 8 metros. Se dispone una estructura con planta rectangular de 8x4 metros propia de edificacion, formada por unos pilares y unos forjados, cimentada sobre una losa superficial. Esto, evidentemente, sera una simplificacion del modelo. Por otro lado, la vıa se situa a 15 metros de esta, con un ancho de 4 metros. Como se puede observar en la Figura 7.1 tanto la vıa como la estructura se encuentran proximas a los contornos del modelo. Figura 7.1. Esquema en planta del modelo empleado. El modelo de elementos finitos se realizara con los elementos que se vienen empleando. El modelo de la estructura se realizara con elementos BEAM188 para los pilares y SHELL181 para los forjados y la losa. La via por otro lado, supuesta un modelo simplificado de vıa en placa, se modelizara con elementos SHELL181. El suelo por su lado, con elementos tridimensionales, SOLID185. Tanto para la vıa como para la estructura se empleara un hormigon con un modulo de elasticidad lineal de 20 MPa, y el suelo se dotara de diferentes propiedades, manteniendo en todo momento un amortiguamiento del 5%. Los suelos empleados seran los presentados en el apartado 6.3.2. Se ignora el amortiguamiento estructural. La unica diferencia, como ya se adelantaba, de los modelos con elementos infinitos respecto de los que no los incluyen seran precisamente estos. Disponiendo una geometrıa identica, se anadiran estos en los contornos del mismo. Caso de aplicacion. Vibraciones en estructuras inducidas por el paso de cargas moviles a alta velocidad 128 El mallado de la vıa se realiza con un tamano identico (concretamente 1 metro de lado) al mallado en el suelo, para el posterior acoplamiento de los grados de libertad de los nodos que queden coincidentes. Cabe destacar que se acoplaran los grados de libertad de desplazamientos, dado que son los que poseen los elementos tridimensionales. Los elementos tipo placa cuentan con grados de libertad de giro que quedaran desacoplados. Sobre los diferentes modelos se realiza un analisis transitorio, donde una carga puntual de 170 kN recorre la vıa a 300 km/h por su lınea central, de forma que se satisfaga la condicion 𝑑𝑥=𝑉𝑑𝑡, para lo que se elige un paso de tiempo para el analisis transitorio adecuado. Dicha carga genera una perturbacion que se propaga por el suelo en forma de ondas, las cuales provocan una serie de desplazamientos en la estructura que se situa cercana. Es bien sabido de antemano que los mayores desplazamientos se experimentaran en los puntos mas altos del edificio, por ello se recogeran los desplazameintos y aceleraciones de uno de los nodos del forjado superior. Este proceso se hara teniendo en cuenta diferentes tipos de suelos, de cara a establecer una comparativa entre ellos y determinar la influencia de los mismos, ademas de la implementacion de elementos infinitos. Cabe comentar que la edificacion, como ya se ha dicho, se ha modelado de forma simplificada suponiendola cimentada superficialmente y, ademas, supuesto un acoplamiento perfecto de los grados de libertad de los nodos contenidos en la losa y en el suelo para la zona de la interfase. 7.2 Frecuencias y modos naturales de vibración Es interesante, previo a la generacion del analisis transitorio, realizar un analisis modal de la estructura sin considerar la interaccion con el suelo. Esto nos revelara las frecuencias y los modos de vibracion naturales de esta estructura, dependientes unicamente de su masa y rigidez, cuando esta no esta sometida a carga alguna. Figura 7.2. Modelos sin elementos infinitos (izquierda) y con elementos infinitos (derecha). 129 Condiciones de contorno para problemas en medios semi-infinitos mediante el MEF: Perfectly Matched Layers y Elementos Infinitos aplicados a problemas de la interacción suelo-estructura Pues bien, se realiza un analisis modal en ANSYS del cual se extraen los primeros modos de vibracion, los cuales se pueden observar a continuacion. Modo 1. 1.28 Hz Modo 2. 1.32 Hz Modo 3. 2.11 Hz Modo 4. 4.82 Hz Modo 5. 4.9 Hz Modo 6. 5.34 Hz Modo 7. 5.55 Hz Modo 8. 5.61 Hz Modo 9. 7.83 Hz Figura 7.3. Nueve primeros modos naturales de vibración de la estructura. Caso de aplicacion. Vibraciones en estructuras inducidas por el paso de cargas moviles a alta velocidad 130 El comportamiento estructural estara gobernado por los primeros modos de vibracion, siendo estos los que requieren una menor energıa de deformacion, y ası mismo, los fundamentales en la respuesta de la estructura ante una determinada solicitacion. 7.3 Respuesta estructural en suelo blando. Se analiza la respuesta de la estructura cuando se trata de un suelo blando. Exactamente se trata del suelo tipo I con una velocidad carcaterıstica de propagacion de ondas S de 100 m/s y un modulo de corte de 17.5 MPa. La respuesta de la estructura se toma del forjado superior, de una de sus esquinas concretamente. Se establecen las diferencias entre las respuestas obtenidas mediante el modelo de elementos finitos, con una condicion de restriccion al campo de desplazameintos en todos los contornos del modelo, y el que incluye los elementos infinitos. Para el caso de un suelo con las caracterısticas del que aquı se emplea las diferencias son bien notables. Se puede observar que las aceleraciones (ver Figuras 7.4, 7.5 y 7.6) que experimenta la estructura en el modelo con elementos infinitos son muy inferiores en magnitud a las exhibidas en el otro modelo. Ademas, estas cesan mucho antes. Se puede observar como en el modelo sin elementos infinitos la tendencia de las aceleraciones sigue un comportamiento un tanto extrano en su amortiguamiento. Figura 7.4. Aceleración en dirección x para un suelo tipo I en un punto del forjado superior. 131 Condiciones de contorno para problemas en medios semi-infinitos mediante el MEF: Perfectly Matched Layers y Elementos Infinitos aplicados a problemas de la interacción suelo-estructura Figura 7.5. Aceleración en dirección y para un suelo tipo I en un punto del forjado superior. Figura 7.6. Aceleración en dirección z para un suelo tipo I en un punto del forjado superior. La componente en direccion z global de aceleracion se atenua rapidamente en el modelo que cuenta con los elementos infinitos, no siendo ası en el otro caso.