Clasificación de cuadros latinos parciales de orden menor o igual a 4

Clasificaci´on de cuadrados latinos parciales de orden menor o igual a 4. R.M. Falc´on Universidad de Sevilla Sevilla (Spain) [email protected] Resumen El n´umero de cuadrados latinos parciales relacionados con un autotopismo dado es conocido para orden menor o igual a 4. En el presente art´ıculo se hace uso del lema de Burnside para determinar el n´umero de clases de isotopismos e isomorfismos de dichos cuadrados. Posteriormente se identifica el grupo de autotopismos entre dos cuadrados latinos parciales con el conjunto de ceros de un ideal cero-dimensional, lo que permite utilizar bases de Gr¨obner para obtener de forma expl´ıcita tanto las clases isot´opicas como las principales. Finalmente se obtiene la distribuci´on de dichas clases atendiendo respectivamente al n´umero de elementos de sus grupos de autoparatopismos y autotopismos. 1. Introducci´on. La estructura c´ıclica de una permutaci´on πdel grupo sim´etrico Snes la expresi´on zπ= nλπ n·... ·2λπ 2·1λπ 1, donde λπ ies el n´umero de ciclos de longitud ien la descomposici´on de πcomo producto de ciclos disjuntos. Dos permutaciones son conjugadas si y s´olo si tienen la misma estructura c´ıclica. CSndenota el conjunto de estructuras c´ıclicas de Sn. Un cuadrado latino parcial de orden nes una matriz n×ncon elementos tomados de un conjunto de ns´ımbolos distintos tales que cada s´ımbolo ocurre a lo m´as una vez en cada fila y en cada columna. En el presente art´ıculo, [n] = {1,2, ..., n}ser´a dicho conjunto de s´ımbolos y PLSn denotar´a el conjunto de cuadrados latinos parciales no vac´ıos de orden n. Dado P∈ PLSn, su tama˜no |P|es el n´umero de sus celdas no vac´ıas. Si |P|=n2, entonces Pes un cuadrado latino. El conjunto de cuadrados latinos de orden nse denota por LSn. Sea PLSn,s el conjunto de cuadrados latinos parciales de orden ny tama˜no s. La representaci´on ortogonal de P= (prc)∈ PLSnes el conjunto O(P) = {(r, c, prc)|r, c, prc ∈[n]} definido por las filas r, columnas cy s´ımbolos prc de P. Un cuadrado latino parcial P∈ PLSn es completable a un cuadrado latino L∈ LSnsi O(P)⊆O(L). Si Les el ´unico cuadrado latino en tal condici´on, entonces Pes ´unicamente completable aL. El conjunto de cuadrados latinos parciales de orden nque son ´unicamente completables se denota por UCn. Todo cuadrado Latino parcial puede identificarse geom´etricamente con una 3-semirred, i.e., un par (S, L) formado por un conjunto finito de puntos Sy un subconjunto de l´ıneas L⊆ P(S), tal que existe una partici´on de Len tres subconjuntos o clases verific´andose que todo par de l´ıneas de clases diferentes se cortan a lo m´as en un punto y cada punto en Lpertenece exactamente a una l´ınea de cada clase. En concreto, las celdas no vac´ıas de un cuadrado latino parcial determinan los puntos de una 3-semirred cuyas l´ıneas se clasifican atendiendo a las filas, columnas y s´ımbolos asociados a dichas celdas. Dada una permutaci´on πdel grupo sim´etrico S3, se define el cuadrado latino parcial Pπ tal que O(Pπ) = {(pπ(1), pπ(2), pπ(3))|(p1, p2, p3)∈O(P)}, el cual se dice ser parastr´ofico a P. Permutaciones de filas, columnas y s´ımbolos tambi´en dan lugar a nuevos cuadrados latinos parciales. En concreto, dadas tres permutaciones α, β, γ ∈Sn, la terna Θ = (α, β, γ) es un isotopismo de cuadrados latinos parciales y PΘse dice ser isot´opico aP, donde O(PΘ) = J. C´aceres, C. Grima, A. M´arquez, M.L. Puertas (eds.); Avances en Matem´atica Discreta en Andaluc´ıa (vol.2), Carmona (Sevilla), Noviembre 2011, pp. 5–12 5 Clasificaci´on de cuadrados latinos parciales de orden menor o igual a 4. Falc´on {(α(r), β(c), γ(s)) |(r, c, s)∈O(P)}. As´ı, |PΘ|=|P|. Si α=β=γ, entonces Θ es un isomorfismo de cuadrados latinos parciales y se escribe Θ = αen lugar de (α, α, α). Sean In e Inrespectivamente los grupos de isotopismos e isomorfismos de PLSn. Por su parte, dados P, Q ∈ PLSn, sea IP,Q el conjunto de isotopismos de PaQ.PyQson parat´opicos o est´an en la misma clase principal si existen Θ = (α, β, γ)∈Inyπ∈S3tales que PΘπ=Q. La cuaterna (α, β, γ, π) es un paratopismo de cuadrados latinos parciales y Pndenota el grupo de paratopismos de PLSn.Inpuede ser considerado subgrupo normal de Pnuna vez que todo isotopismo (α, β, γ)∈Ines identificado con el correspondiente paratopismo (α, β, γ, Id)∈Pn, donde Id denota la permutaci´on trivial. Ser isot´opico (resp. isom´orfico o parat´opico) es una relaci´on de equivalencia entre cuadrados latinos parciales, la cual determina el conjunto cociente ICn(resp. ICno MCn). Su restricci´on a PLSn,s determina el conjunto cociente ICn,s (resp. ICn,s o MCn,s). Dado P∈ PLSn, sean ICP, ICPy MCPrespectivamente sus clases isot´opica, isom´orfica y principal. Las clases isot´opicas de cuadrados latinos parciales est´an en relaci´on biun´ıvoca con las clases isom´orficas de 3-semirredes. Por su parte, las clases principales lo est´an con las clases parat´opicas de estas ´ultimas, i.e., 3-semirredes isom´orficas salvo reordenaci´on en las clases de l´ıneas. El n´umero de cuadrados latinos y de clases isot´opicas, isom´orficas y principales de LSnes conocido para n≤11 [7, 6]. Sin embargo, dado s < n2, el cardinal de PLSn,s es s´olo conocido [4] para n≤4. M´as a´un, el n´umero de clases isot´opicas y principales de cuadrados latinos parciales ha sido s´olo acotado inferiormente por el n´umero de conjuntos cr´ıticos de orden menor o igual a 6 [1], i.e., el conjunto de cuadrados latinos parciales P∈ UCn, tales que no existe Q∈ UCnsiendo O(Q)⊂O(P). El grupo estabilizador de Ppor la acci´on de In(resp. InoPn) es el conjunto IP(resp. IPo PP) de sus autotopismos (resp. automorfismos oautoparatopismos). En concreto, el conjunto de autotopismos de PLSnes denotado por APn. Dado Θ ∈APn, sean PLSΘ,PLSΘ,s yPLSΘ,ICP los conjuntos de cuadrados latinos parciales no vac´ıos que tienen a Θ como autotopismo, su subconjunto de cuadrados latinos parciales de tama˜no sy el de aqu´ellos que son isot´opicos a P. Los cardinales de PLSΘ,s yPLSΘ,ICPs´olo dependen de la clase conjugada de Θ o, equivalentemente, de su estructura c´ıclica zΘ= (zα, zβ, zγ). As´ı, estos cardinales son respectivamente denotados como ∆s(zΘ) y ∆ICP(zΘ). Espec´ıficamente, cuando Θ es el isotopismo trivial (Id, Id, Id), resulta ∆s((1n,1n,1n)) = |PLSn,s|. En [4] se caracteriza el conjunto CSAPnde posibles estructuras c´ıclicas de autotopismos de cuadrados latinos parciales de orden ny se prueba que los valores ∆s(z) s´olo dependen de la clase parastr´ofica de z= (z1, z2, z3), i.e., del conjunto [z] = {zπ= (zπ(1), zπ(2), zπ(3) |π∈S3}. En concreto, los valores ∆s(z) son determinados para todas las estructuras c´ıclicas de autotopismos de cuadrados latinos parciales de orden n≤4. El objetivo del presente art´ıculo es hacer uso de dichos valores para determinar las clases isot´opicas, isom´orficas y principales de estos cuadrados, as´ı como la distribuci´on de dichas clases atendiendo respectivamente al n´umero de elementos de sus grupos de autoparatopismos y autotopismos. El art´ıculo est´a organizado como sigue: En la Secci´on 2 se utiliza el lema de Burnside para determinar el n´umero de clases isot´opicas e isom´orficas. En la Secci´on 3, el conjunto de isotopismos entre dos cuadrados latinos parciales dados es identificado con el conjunto de ceros de un ideal cero-dimensional, lo que permite utilizar bases de Gr¨obner para determinar expl´ıcitamente las clases isot´opicas y principales de ICn,s para todo s∈[n]. Finalmente, en la Secci´on 4 se muestra la distribuci´on de dichas clases atendiendo respectivamente al n´umero de elementos de sus grupos de autoparatopismos y autotopismos. 6 Avances en Matem´atica Discreta (vol.2) Clasificaci´on de cuadrados latinos parciales de orden menor o igual a 4. Falc´on 2. El n´umero de clases isot´opicas e isom´orficas. En la presente secci´on se estudiar´a el n´umero de clases isot´opicas e isom´orficas de los cuadrados latinos parciales de orden ny tama˜no s: Teorema 2.1. El n´umero de clases isot´opicas de PLSn,s es: |ICn,s|=X (z1,z2,z3)∈CSAPn ∆s((z1, z2, z3)) Qi∈[n]z1i!·iz1i·Qj∈[n]z1j!·iz1j·Qk∈[n]z1k!·iz1k.(1) Por su parte, el n´umero de clases isom´orficas de PLSn,s es: |ICn,s|=X z∈CSn ∆s((z, z, z)) Qi∈[n]zi!·izi.(2) Prueba. Al ser Inun grupo finito que act´ua sobre PLSn,s, el lema de Burnside implica: |ICn,s|=1 |In|·X Θ∈In ∆s(zΘ). As´ı, por la f´ormula de Cauchy para el n´umero de permutaciones con estructura c´ıclica dada: |ICn,s|=1 n!3·X (z1,z2,z3)∈CSAPn ∆s((z1, z2, z3))·n! Qi∈[n]z1i!·iz1i·n! Qj∈[n]z2j!·jz2j·n! Qk∈[n]z3k!·kz3k. De la anterior expresi´on se obtiene (1) de forma inmediata. La segunda f´ormula se prueba de forma an´aloga al restringir el estudio a los isomorfismos de cuadrados latinos parciales. ✷ El Teorema 2.1 puede ser aplicado a los datos mostrados en [4] para obtener el n´umero de clases isot´opicas de PLSn,s, con n≤4. Veamos, por ejemplo, el caso de PLS3,2: El Cuadro 1 muestra, salvo parastrofismo, los valores de ∆2(z) para las ocho posibles estructuras c´ıclicas de un autotopismo de cuadrados latinos parciales de orden 3 y tama˜no 2. z∆2(z) (2 ·1,2·1,2·1) 10 (2 ·1,2·1,13) 6 (2 ·1,13,13) 18 (13,13,13) 270 Cuadro 1: Valores positivos de ∆2(z) para cada clase parastr´ofica de CSAP3. Seg´un el Teorema 2.1, |IC3,2|=10 2·2·2+ 3 ·6 2·2·6+ 3 ·18 2·6·6+270 6·6·6= 4. Por tanto, existen cuatro clases isot´opicas de cuadrados latinos de PLS3,2. En concreto, estas clases est´an determinadas por los siguientes cuatro cuadrados latinos parciales:   1 2 · · · · · · ·  ,  1· · 2· · · · ·  ,  1· · ·1· · · ·  ,  1· · ·2· · · ·  . De forma similar al ejemplo anterior, es posible obtener el n´umero de clases isot´opicas de todos los cuadrados latinos de orden menor o igual a 4. De igual manera, la f´ormula (2) puede usarse para obtener el n´umero de clases isom´orficas. Los correspondientes valores pueden observarse en los Cuadros 2 y 3. VII EAMD, Carmona (Sevilla), Noviembre 2011 7 Clasificaci´on de cuadrados latinos parciales de orden menor o igual a 4. Falc´on n |ICn,s| |ICn|s 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 1 1 2 1 4 1 1 7 3 1 4 11 18 23 15 6 1 1 80 4 1 4 11 52 139 507 1161 2136 2429 2004 975 364 72 18 2 2 9877 Cuadro 2: N´umero de clases isot´opicas de cuadrados latinos parciales de orden n≤4. n |ICn,s| |ICn|s 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 1 1 2 4 10 4 1 19 3 5 50 221 525 651 415 136 20 5 2028 4 5 88 1120 10172 60092 239510 639098 1148898 1374447 1082435 548440 176313 35473 4728 403 39 5321261 Cuadro 3: N´umero de clases isom´orficas de cuadrados latinos parciales de orden n≤4. Lema 2.2. Dado s∈N, se cumple que |ICn,s|=|ICs,s|y|MCn,s|=|MCs,s|,∀n≥s. Prueba. Sea s∈Nyn≥s. La primera igualdad resulta del hecho de que todo cuadrado latino parcial de PLSn,s es isot´opico a un cuadrado latino parcial cuyas celdas no vac´ıas pertenecen a las primeras sfilas y scolumnas y cuyos s´ımbolos pertenecen al conjunto [s]. La segunda igualdad sigue de forma inmediata por parastrofismo. ✷ Proposici´on 2.3. Se verifica que |ICn,1|= 1,∀n∈N,|ICn,2|= 4,∀n≥2,|ICn,3|= 11,∀n≥3 y|ICn,4|= 52,∀n≥4. Prueba. Es consecuencia inmediata de aplicar el Lema 2.2 a los datos del Cuadro 2. ✷ 3. El n´umero de clases principales. El siguiente resultado identifica isotopismos con conjuntos de soluciones factibles: Lema 3.1. Existe una biyecci´on entre el conjunto de isotopismos Iny el conjunto de soluciones factibles de:                      Pj∈[n]xij = 1,∀i∈[n], Pj∈[n]yij = 1,∀i∈[n], Pj∈[n]zij = 1,∀i∈[n], Pi∈[n]xij = 1,∀j∈[n], Pi∈[n]yij = 1,∀j∈[n], Pi∈[n]zij = 1,∀j∈[n], (3) donde xij, yij, zij ∈ {0,1},para todos i, j ∈[n]. M´as a´un, dados P= (prc), Q = (qrc)∈ PLSn, si las ecuaciones: (xik ·yjl ·(zpij qkl −1) = 0,∀i, j, k, l ∈[n]tales que pij, qkl ∈[n], xik ·yjl = 0,∀i, j, k, l ∈[n]tales que qkl =∅,(4) 8 Avances en Matem´atica Discreta (vol.2) Clasificaci´on de cuadrados latinos parciales de orden menor o igual a 4. Falc´on son a˜nadidas a (3), entonces existe una biyecci´on entre IP,Q y el conjunto de soluciones factibles del sistema de ecuaciones resultante. Prueba. Para probar el primer aserto es suficiente observar que todo isotopismo Θ = (α, β, γ)∈Inpuede ser un´ıvocamente identificado con una soluci´on factible (xΘ 11, xΘ 12, ..., xΘ 1n, xΘ 21, ..., xΘ nn, yΘ 11, ..., zΘ nn), donde xΘ ij = 1 (resp. yΘ ij = 1 o zΘ ij = 1) si α(i) = j(resp. β(i) = joγ(i) = j) y 0 en otro caso. En concreto, puesto que xij, yij, zij ∈ {0,1}, para todos i, j ∈[n], entonces los tres primeros conjuntos de ecuaciones de (3) implican que α, β yγson aplicaciones, mientras que los siguientes tres conjuntos de ecuaciones implican que son permutaciones. El segundo aserto es entonces consecuencia de dicha correspondencia, puesto que, dados i, j, k, l ∈[n], la correspondiente ecuaci´on en (4) es equivalente a decir que γ(pij) = qkl ∈[n] si y s´olo si α(i) = kyβ(j) = l, i.e., (i, j, pij)∈O(P) si y s´olo si (α(i), β(j), γ(pij)) ∈O(Q). ✷ El Lema 3.1 implica que IP,Q queda determinado por 6n+ 3n2+|P|·|Q|+n2·(n2− |Q|) ecuaciones polin´omicas de grado menor o igual a 3 en 3n2variables: Teorema 3.2. Dados P= (prc), Q = (qrc)∈ PLSn,IP,Q puede ser identificado con el conjunto de ceros del ideal cero-dimensional I=h1−Pj∈[n]xij |i∈[n]i+h1−Pj∈[n]yij |i∈[n]i+h1− Pj∈[n]zij |i∈[n]i+h1−Pi∈[n]xij |j∈[n]i+h1−Pi∈[n]yij |j∈[n]i+h1−Pi∈[n]zij |j∈ [n]i+hxij ·(1 −xij)|i, j ∈[n]i+hyij ·(1 −yij)|i, j ∈[n]i+hzij ·(1 −zij )|i, j ∈[n]i+hxik · yjl ·(zpij qkl −1) |i, j, k, l ∈[n]tales que pij, qkl ∈[n]i+hxik ·yjl |i, j, k, l ∈[n]tales que qkl = ∅ i ⊆ Q[xn,yn,zn] = Q[x11, ..., xnn, y11, ..., znn]. M´as a´un, |IP,Q|= dimQ(Q[xn,yn,zn]/I). Prueba. Por el Lema 3.1, IP,Q puede ser identificado con la variedad af´ın V(I) definida por el ideal I. Adem´as, la finitud de IP,Q implica que Ies cero-dimensional. Ahora, puesto que I∩Q[wij] = hwij ·(1 −wij)i ⊆ I, para todo w∈ {x, y, z}ei, j ∈[n], la Proposici´on 2.7 de [2] asegura que Ies radical y, por tanto, el Teorema 2.10 de [2] implica que |IP,Q|=|V(I)|= dimQ(Q[xn,yn,zn]/I). ✷ La variedad af´ın V(I) del Teorema 3.2 y su dimensi´on pueden obtenerse a partir de cualquier base de Gr¨obner de I. En este sentido, ha sido implementado en Singular [3] un procedimiento llamado isot, que ha sido incluido en la librer´ıa pls.lib [5]. Esta librer´ıa tambi´en contiene un procedimiento PLST, donde el ideal definido en el Corolario 4.9 de [4] es utilizado con vistas a obtener el conjunto de cuadrados latinos parciales de orden ny tama˜no srelacionados con un autotopismo dado. En concreto, si PLST es aplicado sobre el autotopismmo trivial, el conjunto PLSn,s puede ser determinado. De esta forma, la combinaci´on de estos dos procedimientos ha hecho posible la identificaci´on de las clases isot´opicas de los cuadrados latinos parciales de orden menor o igual a 4 y, como consecuencia inmediata, el correspondiente conjunto de clases principales. El n´umero de clases principales es mostrado en el Cuadro 4. n |MCn,s| |MCn|s 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 1 1 2 1 2 1 1 5 3 1 2 5 8 9 7 4 1 1 38 4 1 2 5 18 39 121 253 442 495 420 218 96 25 8 2 2 2147 Cuadro 4: N´umero de clases principales de cuadrados latinos parciales de orden n≤4. El siguiente resultado es consecuencia inmediata de aplicar el Lema 2.2 al Cuadro 4: VII EAMD, Carmona (Sevilla), Noviembre 2011 9 Clasificaci´on de cuadrados latinos parciales de orden menor o igual a 4. Falc´on Figura 1: Clasificaci´on de las 38 3-semirredes asociadas salvo paratopismo a PLS3. Proposici´on 3.3. Se verifica que |MCn,1|= 1,∀n∈N,|MCn,2|= 2,∀n≥2,|MCn,3|= 5,∀n≥ 3y|MCn,4|= 18,∀n≥4.✷ Puesto que las clases principales de cuadrados latinos parciales est´an en correspondencia biun´ıvoca con las clases parat´opicas de 3-semirredes, los datos anteriores permiten obtener tambi´en un censo de estas ´ultimas. La Figura 1 muestra por ejemplo la lista, salvo paratopismo, de las 3-semirredes asociadas a los cuadrados latinos parciales de orden 3. 4. La distribuci´on de clases principales. Dado P∈ PLSn, el orden de su grupo de autotopismos IPs´olo depende de su clase principal: Lema 4.1. Dados P∈ PLSnyQ, R ∈MCP, se cumple que |IQ|=|IR|. Prueba. Sea T∈Pntal que QT=R. Dado Θ ∈AQ, debe ser T′=TΘT−1∈IR, con lo que |IQ| ≤ |IR|. La desigualdad opuesta se prueba de forma similar. ✷ Sea ICMCPel conjunto de clases isom´orficas cuyos cuadrados latinos parciales pertenecen a la clase principal de P∈ PLSn. Se verifica el siguiente resultado: Teorema 4.2. Dado P∈ PLSn: |ICP|=n!3 |IP|,|MCP|=|ICMCP|·|ICP|,|PP|=6n!3 |MCP|. Prueba. Puesto que InyPnson grupos finitos que act´uan sobre PLSn, la primera y la tercera f´ormula son consecuencias del teorema estabilizador de ´orbitas y el teorema de Lagrange. 10 Avances en Matem´atica Discreta (vol.2) Clasificaci´on de cuadrados latinos parciales de orden menor o igual a 4. Falc´on Por su parte, la segunda f´ormula se obtiene de forma inmediata a partir del Lema 4.1, el cual implica que todas las clases isom´orficas contenidas en la clase principal de Ptienen el mismo n´umero de elementos. ✷ Una consecuencia del Teorema 4.2 es que |ICMCP|= 6·|IP|/|MCP|, que es una generalizaci´on para cuadrados latinos parciales del Teorema 2 (iii) de [7]. Todos estos resultados se verifican debido a la normalidad de Incomo subgrupo de Pn, la cual es usada en nuestro caso en la prueba del Lema 4.1. En este sentido, cabe observar que el aserto (i) del ´ultimo teorema mencionado indica que n!2· |IL|/|IL|es el n´umero de clases isom´orficas en la clase isot´opica de un cuadrado latino L∈ LSn. Sin embargo, Inno es un subgrupo normal de Iny la anterior f´ormula resulta de hecho no ser cierta, puesto que puede encontrarse cuadrados latinos de la misma clase isot´opica con un n´umero diferente de automorfismos. As´ı, por ejemplo, existen cinco clases isom´orficas de cuadrados latinos de orden 3, los cuales est´an todos contenidos en una ´unica clase isot´opica. Sin embargo, si consideramos los cuadrados latinos parciales: L1=  132 321 213  yL2=  123 231 312  , si bien ambos est´an asociados a 18 autotopismos, existen seis automorfismos de L1(todas las permutaciones de S3) pero s´olo dos automorfismos de L2((23) y el automorfismo trivial). Dada una clase principal de MCny un cuadrado latino parcial Pde dicha clase, el procedimiento isot puede ser usado para obtener el orden de IPy, a partir del Teorema 4.2, el cardinal de ICP. M´as a´un, puesto que las clases isot´opicas que corresponden a cada clase principal son identificadas, el cardinal de ICMCPes conocido, al igual por tanto, de nuevo por el Teorema 4.2, que los ´ordenes de MCPyPP. En concreto, todos estos valores han sido obtenidos para cuadrados latinos parciales de orden menor o igual a 4. El Cuadro 5 muestra la distribuci´on de clases principales atendiendo a los ´ordenes |PP|y|IP|de, respectivamente, los grupos de autoparatopismos y autotopismos de cualquier cuadrado latino parcial de la correspondiente clase principal. La distribuci´on de clases isot´opicas (resp. cuadrados latinos parciales) puede ser obtenida multiplicando el n´umero de clases principales por 6 · |IP|/|PP|(resp. por 6n!3/|PP|). Cabe observar que el orden del grupo de parastrofismo de la ´unica clase principal de LS2es 24. Esto no concuerda con el valor 4 dado en [7], el cual debe ser una errata, puesto que, en otro caso, deber´ıan existir seis clases isot´opicas en LS2, si bien s´olo existe una. 5. Futuras l´ıneas de trabajo. Los resultados mostrados en el presente art´ıculo se basan en los datos num´ericos obtenidos en [4]. Dado que existen cotas inferiores del n´umero de clases principales de cuadrados latinos parciales de orden menor o igual a 6, conviene mejorar el algoritmo utilizado en la Secci´on 3, con vistas a resolver problemas relacionados con el tiempo de computaci´on y la memoria de almacenamiento y abordar as´ı al menos los ´ordenes 5 y 6. Un desglose de los tipos de simetr´ıas de cada clase principal atendiendo a las estructuras c´ıclicas de los autotopismos asociados facilitar´ıa por su parte la caracterizaci´on de dichas clases, al mismo tiempo que permitir´ıa encontrar los par´ametros de las estructuras de incidencia asociadas. Finalmente, deber´ıan analizarse las propiedades de las 3-semirredes asociadas a las clases principales obtenidas, con vistas a profundizar en las relaciones entre ambos tipos de estructuras. VII EAMD, Carmona (Sevilla), Noviembre 2011 11 Clasificaci´on de cuadrados latinos parciales de orden menor o igual a 4. Falc´on n s |PP| |IP|♯Cl. pr. 1 1 6 1 1 2 1 6 1 1 24 2 1 12 2 1 3 6 1 1 4 24 4 1 3 1 48 8 1 28 4 1 12 2 1 3 2 1 1 4 2 1 6 1 1 24 12 1 36 6 1 4 2 1 3 4 2 2 6 1 2 24 4 1 5 2 1 4 4 2 3 6 1 1 24 4 1 6 2 1 3 6 1 1 12 2 1 6 1 36 6 1 7 4 2 1 6 1 1 12 2 2 8 12 2 1 9 108 18 1 4 1 1296 216 1 2 96 16 1 48 1 3 8 4 2 36 6 1 48 8 1 72 36 1 4 2 1 2 42 2 4 2 6 1 2 n s |PP| |IP|♯Cl. pr. 4 4 8 4 3 16 8 1 24 12 1 32 16 2 144 24 1 192 32 1 288 144 1 5 1 1 6 21 12 2 4 4 2 10 6 1 2 8 4 3 12 2 1 24 4 1 6 1 1 43 21 30 2 8 42 18 4 2 61 4 3 1 84 4 8 1 12 2 3 6 1 16 8 3 24 12 1 36 6 1 48 8 1 7 1 1 136 21 80 2 6 3 1 2 4 2 13 61 6 3 1 8 4 1 12 2 3 6 3 24 4 1 36 6 1 8 1 1 258 n s |PP| |IP|♯Cl. pr. 4 8 21 107 2 18 3 1 3 42 32 4 1 6 1 3 8 4 9 12 2 4 16 8 3 32 16 1 48 8 1 64 32 1 192 32 1 9 1 1 320 21 139 2 5 3 1 1 4 2 12 61 8 3 2 12 2 4 6 1 18 3 1 36 6 1 108 18 1 10 1 1 243 21 97 2 15 3 1 3 42 40 4 1 61 8 3 2 8 4 2 12 2 4 6 2 18 3 1 36 6 1 108 18 1 11 1 1 111 21 84 2 2 3 1 2 n s |PP| |IP|♯Cl. pr. 4 11 4 2 11 6 1 6 12 2 2 12 1 1 27 21 34 2 4 42 10 4 1 61 5 3 1 8 4 5 12 2 2 16 8 3 24 4 1 48 8 1 24 1 72 12 1 13 1 1 3 2 1 11 4 2 3 61 3 3 1 12 2 2 6 1 18 3 1 14 4 2 3 6 1 1 8 4 2 12 2 2 15 12 2 1 36 6 1 16 192 32 1 576 96 1 Cuadro 5: Distribuci´on de las clases principales de los cuadrados latinos parciales de orden n≤4. Referencias [1] P. Adams, R. Bean y A. Khodkar, A census of critical sets in the Latin squares of order at most six, Ars Combinatoria 68 (2003), 203–223. [2] D. A. Cox, J. B. Little y D. O’Shea, Using Algebraic Geometry, Springer-Verlag, New York, 1998. [3] W. Decker, G.-M. Greuel, G. Pfister y H. Sch¨onemann, Singular 3-1-3. A computer algebra system for polynomial computations, 2011. http://www.singular.uni-kl.de. [4] R. M. Falc´on, The set of autotopisms of partial Latin squares, preprint, 2011, http://arxiv.org/abs/1107.3248. [5] R. M. Falc´on, 2011, http://personal.us.es/raufalgan/LS/pls.lib. [6] A. Hulpke, P. Kaski y P. R. J. ¨ Osterg˚ard, The number of Latin squares of order 11, Math. Comp. 80 (2011), 1197-1219. [7] B. D. McKay, A. Meynert y W. Myrvold. Small Latin Squares, Quasigroups and Loops, J. Comb. Designs, 15, No.2 (2007), 98-119. 12 Avances en Matem´atica Discreta (vol.2) View publication statsView publication stats