Evaluación de un estimador de estado a partir de una matriz de pesos no diagonal

i Equation Chapter 1 Section 1 Trabajo de Fin de Grado Grado en Ingeniería de Tecnologías Industriales Evaluación de un estimador de estado a partir de una matriz de pesos no diagonal Autor: Joaquín de Ory Carreto Tutor: Antonio de la Villa Jaén Dep. de Ingeniería Eléctrica Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2016 iii Trabajo de Fin de Grado Grado en Ingeniería de Tecnologías Industriales Evaluación de un estimador de estado a partir de una matriz de pesos no diagonal Autor: Joaquín de Ory Carreto Tutor: Antonio de la Villa Jaén Profesor titular Dep. de Ingeniería Eléctrica Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2016 v Proyecto Fin de Carrera: Evaluación de un estimador de estado a partir de una matriz de pesos no diagonal Autor: Joaquín de Ory Carreto Tutor: Antonio de la Villa Jaén El tribunal nombrado para juzgar el Proyecto arriba indicado, compuesto por los siguientes miembros: Presidente: Vocales: Secretario: Acuerdan otorgarle la calificación de: Sevilla, 2016 El Secretario del Tribunal vii A mi familia A mis profesores ix Agradecimientos En primer lugar, agradecer al profesor D. Antonio de la Villa las orientaciones y la confianza mostrada al ofrecerme realizar este trabajo fin de grado. Sin su total disposición ante las dudas que han ido surgiendo y su carácter generoso no hubiese sido posible su realización. Y por supuesto, a mi madre, mi padre y mi hermano porque sin su apoyo ni su paciencia, no hubiese llegado hasta aquí. Joaquín de Ory Carreto Sevilla, 2016 xvii ÍNDICE DE TABLAS Tabla 2–1. Derivadas parciales de la ecuación (2.1). 4 Tabla 2–2 Derivadas parciales de la ecuación (2.8). 4 Tabla 2–3. Límites de error de los transformadores de tensión inductivos. 5 Tabla 2–4. Factores de cobertura con sus correspondientes intervalos de confianza. 6 Tabla 2–5. Límites de error de los trandformadores de intensidad. 6 Tabla 4–1. Comparación de los vectores de estado estimados de la red de dos nudos. 18 Tabla 4–2. Comparación de los valores de las medidas estimadas en la red de dos nudos. 18 Tabla 4–3. Comparación de los residuos de las medidas de la red de dos nudos. 19 Tabla 4–4. Índices de calidad en la red de dos nudos. 19 Tabla 4–5. Resultados del ensayo introduciendo una medida en errónea de tensión en la red de dos nudos 20 Tabla 4–6. Resultados del ensayo al introducir una doble medida de tensión en la red de dos nudos. 20 Tabla 4–7. Resultados correspondientes a la primera iteración del test en la red de dos nudos. 21 Tabla 4–8. Resultados correspondientes a la segunda iteración del test en la red de dos nudos. 22 Tabla 4–9. Resultados correspondientes a la tercera iteración del test en la red de dos nudos. 22 Tabla 4–10. Resultados correspondientes a la cuarta iteración del test en la red de dos nudos. 23 Tabla 4–11. Comparación de medidas descartadas al realizar el “Test del mayor residuo normalizado” en la red de dos nudos 23 Tabla 4–12. Comparacion de los vectores de estado estimados de la red de 14 nudos. 25 Tabla 4–13. Comparación de los residuos de las medidas de la red de 14 nudos. 26 Tabla 4–14. Índices de calidad en la red de 14 nudos 26 Tabla 4–15. Resultados introduciendo una medida errónea de tensión en el nudo 6 de la red de 14 nudos, afectando sólo a los flujos. 27 Tabla 4–16. Resultados introduciendo una medida errónea de tensión en el nudo 6 de la red de 14 nudos, afectando a los flujos e inyecciones. 28 Tabla 4–17. Resultados introduciendo ruido y una medida errónea de tensión en el nudo 6 de la red de 14 nudos, afectando a los flujos e inyecciones. 28 Tabla 4–18. Resultados introduciendo una medida errónea de tensión en el nudo 2 de la red de 14 nudos, afectando sólo a los flujos. 29 Tabla 4–19 Resultados introduciendo una medida errónea de tensión en el nudo 2 de la red de 14 nudos, afectando a los flujos e inyecciones. 29 Tabla 4–20. Resultados introduciendo ruido y una medida errónea de tensión en el nudo 2 de la red de 14 nudos, afectando a los flujos e inyecciones. 30 Tabla 4–21. Resultados correspondientes al ensayo de dos errores no conformes. 30 Tabla 4–22. Resultados correspondientes a la primera iteración del test en la red de 14 nudos. 31 Tabla 4–23. Resultados correspondientes a la segunda iteración del test en la red de 14 nudos. 31 Tabla 4–24. Resultados correspondientes a la tercera iteración del test en la red de 14 nudos. 32 Tabla 4–25 Resultados correspondientes a la cuarta iteración del test en la red de 14 nudos. 32 Tabla 4–26. Resultados correspondientes a la quinta iteración del test en la red de 14 nudos. 33 Tabla 4–27. Resultados correspondientes a la sexta iteración del test en la red de 14 nudos. 33 Tabla 4–28. Resultados correspondientes a la séptima iteración del test en la red de 14 nudos. 34 Tabla 4–29. Comparación de medidas descartadas al realizar el “Test del mayor residuo normalizado” en la red de 14 nudos. 34 xix ÍNDICE DE FIGURAS Figura 2-1. Intervalos de confianza en la distribución normal. 6 Figura 3-1. Nube de puntos P-Q correspondiente al primer ensayo. 11 Figura 3-2. Nube de puntos P-V correspondiente al primer ensayo. 11 Figura 3-3. Nube de puntos Q-V correspondiente al primer ensayo. 12 Figura 3-4. Histogramas de las variables medidas. 12 Figura 3-5. Nube de puntos P-Q correspondiente al segundo ensayo. 13 Figura 3-6. Nube de puntos P-V correspondiente al segundo ensayo 14 Figura 3-7. Nube de puntos Q-V correspondiente al segundo ensayo. 14 Figura 3-8. Nube de puntos P-Q correspondiente al tercer ensayo. 15 Figura 4-1. Diagrama de la red IEEE de 14 nudos 24 xxi Notación m Número de medidas en la red z Vector de medidas de la red n Número de nudos del sistema σ Desviación típica o estándar J(x) Función objetivo del Estimador de Mínimos Cuadrados e Error de la medida h(x) Función que relaciona la medida con el vector de estado W Matriz de pesos o de ponderación G Matriz de ganancias H Jacobiano de h(x) x Vector de estado P Potencia activa Q Potencia reactiva V Valor eficaz de la tensión I Intensidad ƟV Fase de la tensión δI Fase de la intensidad Sx Término de covarianza σx2 X Término de varianza Variable aleatoria XN Variable aleatoria normalizada o tipificada rN Residuo normalizado Índice de Figuras 22 1 1 INTRODUCCIÓN n estimador de estado tiene como objetivo obtener el estado óptimo del sistema, y para conseguirlo realiza un análisis estadístico en base a un conjunto de m medidas. Además de proporcionar el estado del sistema, también obtiene valores estimados de las magnitudes medidas, lo cual permite verificar la exactitud de la estimación. Como se ha dicho, se parte de un vector z de m medidas compuesto por flujos e inyecciones de potencia activa y reactiva, y los módulos de las tensiones de los nudos. En una red de n nudos el vector de estado posee 2n elementos, por lo que las medidas se relacionan con el vector de estado mediante: 𝑧=ℎ(𝑥)+𝑒 Siendo:  ℎ(𝑥), la función que relaciona la medida i con el vector de estado.  𝑒, el error correspondiente a la medida i. La mayoría de los sistemas de medición están contaminados por un ruido aleatorio (debido a la mala calibración o defectos en los equipos) que distorsiona los valores reales. Esto implica la existencia de error en los valores medidos. Es por ello que se realizan varias medidas aproximadas de una misma magnitud para descartar posibles errores no gaussianos que pueden ser filtrados mediante un análisis previo antes de comenzar el proceso de estimación. Antes de realizar el proceso de estimación es necesario saber si la red es observable, es decir, que se puede obtener el estado estimado de una red si se han realizado suficientes medidas y están bien distribuidas. Por lo que para estimar el estado de un sistema se debe procesar un conjunto de medidas redundantes. Se dice que hay redundancia cuando el número de medidas (m) es mayor que el de variables de estado del sistema (2n). De entre los distintos tipos de estimadores, se opta para la ejecución del trabajo por el “Estimador de Mínimos Cuadrados” que requiere un determinado modelo estadístico que supone que los errores de las medidas siguen una distribución normal con media nula, una desviación típica σ y que son variables aleatorias independientes (lo que supone que su matriz de covarianzas es diagonal). El Estimador de Mínimos Cuadrados obtiene la estimación más creíble realizando el mínimo de la siguiente función objetivo: 𝐽(𝑥)=𝑟𝑇∙𝑊∙𝑟 Siendo:  𝑟 el vector de residuos de medidas, es decir, la diferencia entre el valor medido y el estimado.  𝑊 la matriz de pesos o matriz de ponderación, que es la inversa de la matriz de covarianza. Mediante 𝑊 le damos mayor peso a las medidas de menor desviación típica, es decir, las más exactas. U Introducción 2 Para resolver matemáticamente el problema 𝑀𝑖𝑛(𝑟𝑇∙𝑊∙𝑟)→𝜕𝐽(𝑥) 𝜕𝑥 =0 se usan las denominadas ecuaciones normales: 𝐺∙∆𝑥=𝐻𝑇∙𝑊∙𝑟 Siendo:  𝐺 la matriz de ganancia. Es una matriz simétrica y definida positiva. Si esto no se cumple la red no es observable. Se define como: 𝐺=𝐻𝑇∙𝑊∙𝐻  𝐻, el jacobiano de ℎ(𝑥): 𝐻=𝜕ℎ 𝜕𝑥 Su correspondiente solución permite actualizar el vector del estado 𝑥 en cada iteración hasta que todos los elementos de ∆𝑥 sean menor que una determinada tolerancia: 𝑥𝑘+1=𝑥𝑘+∆𝑥 Resumiendo: 𝑧→𝑥→𝑧 por lo que, tal y como se dijo anteriormente se puede evaluar la exactitud de la estimación con: 𝑟=𝑧−𝑧=𝑧−ℎ(𝑥) Es posible que surjan errores no gaussianos que no son los suficientemente grandes como para ser detectados en el prefiltrado y que por tanto son necesarios identificar y eliminar. Para facilitar su detección se recurren a los residuos normalizados que poseen una distribución normal con media nula y desviación típica unidad, cuya definición es la siguiente: 𝑟𝑖𝑁=𝑟𝑖 √Ω𝑖𝑖 Donde Ω𝑖𝑖, es la varianza de la medida i. Se considera que para |𝑟𝑖𝑁|<3 los residuos tienen un valor aceptable de acuerdo a dicha distribución. En el caso de que el mayor residuo no cumpla lo anterior, se descarta la correspondiente medida, y se vuelve a repetir el proceso de estimación, identificación y eliminación hasta que todos los residuos cumplan |𝑟𝑖𝑁|<3. Esto se conoce como “Test del mayor residuo normalizado”. Actualmente es la técnica convencional en la detección de errores. 3 2 EXPRESIONES TEÓRICAS DE LOS ELEMENTOS DE LA MATRIZ DE COVARIANZA n el capítulo anterior se ha asumido que los errores de las medidas son variables aleatorias independientes. Sabiendo que en una red la tensión 𝑉 y la intensidad 𝐼 se miden a través de transformadores de tensión y de intensidad respectivamente, las expresiones de la potencia activa y reactiva quedan: 𝑃=𝑉∙ 𝐼∙ 𝑐𝑜𝑠𝜑=𝑉∙ 𝐼∙ cos (𝜃𝑉−𝛿𝐼) ( 2.1) 𝑄=𝑉∙𝐼∙𝑠𝑒𝑛𝜑=𝑉∙𝐼∙sen(𝜃𝑉−𝛿𝐼) ( 2.2) Luego se puede comprobar que si 𝑉, 𝐼, 𝜃𝑉 y 𝛿𝐼 tienen error, éste afecta a 𝑃 y 𝑄, por lo que existe una relación de covarianza. Para ver el efecto de los errores de estas magnitudes sobre la incertidumbre de las funciones anteriores (2.1) y (2.2), utilizamos la “Teoría de propagación de errores”: 𝑃=𝑃(𝑉,𝐼,𝜃𝑉,𝛿𝐼) ( 2.3) 𝑄=𝑄(𝑉,𝐼,𝜃𝑉,𝛿𝐼) ( 2.4) Al ser 𝑃 y 𝑄 funciones no lineales y de varias variables, el error de éstas se aproxima mediante un desarrollo en serie como se verá en la sección 2.1. El objetivo de este capítulo es la obtención de las expresiones teóricas de los términos de la matriz de covarianza: 𝑅=[𝜎𝑉2 𝑆𝑉𝑃 𝑆𝑉𝑄 𝑆𝑉𝑃 𝜎𝑃2 𝑆𝑃𝑄 𝑆𝑉𝑄 𝑆𝑃𝑄 𝜎𝑄2] ( 2.5) 2.1 Desarrollo en serie de las funciones 2.1.1 Términos diagonales Estos elementos son los correspondientes a la varianza de 𝑉 y de las funciones 𝑃 y 𝑄. Partiendo de (2.1) y realizando el desarrollo en serie: E Validación experimental de la matriz de covarianza 10 Ya obtenidos 𝑉,𝐼,𝜃𝑉,𝛿𝐼, se calculan las magnitudes P y Q, para finalmente obtener la matriz de covarianzas experimental mediante la función de Matlab cov. 3.2 Ensayos en Matlab En esta sección se va a proceder a realizar los ensayos con un objetivo doble: verificar que las expresiones obtenidas en el capítulo 2 son correctas, y bajo qué condiciones la matriz de covarianzas experimental se ajusta más a la teórica. 3.2.1 1º Ensayo Tomando: 𝑉𝑒𝑥𝑎𝑐=1.05 𝑝𝑢,𝐼𝑒𝑥𝑎𝑐=0.8 𝑝𝑢,𝜃𝑉𝑒𝑥𝑎𝑐=50°,𝑓𝑑𝑝=0.9 (𝑖𝑛𝑑𝑢𝑐𝑡𝑖𝑣𝑜),𝛿𝐼𝑒𝑥𝑎𝑐=50°− arccos (0.9) Se obtiene:  𝑃𝑒𝑥𝑎𝑐=0.7560  𝑄𝑒𝑥𝑎𝑐=0.3661  Matriz de covarianzas experimental: [0.0061 0.0042 0.0028 0.0042 0.1485 −0.1706 0.0028 −0.1706 0.4146]·10−3  Matriz de covarianzas teórica: [0.0063 0.0045 0.0022 0.0045 0.1499 −0.1731 0.0022 −0.1731 0.4235]·10−3 Comparando ambas matrices: |𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟𝑚𝑎𝑥|=8.9∙10−6 La covarianza es un valor que mide la relación existente entre dos variables aleatorias, que en el caso que nos ocupa son los errores de las medidas. Si estas variables aleatorias fuesen independientes, la covarianza sería nula. En cuanto al signo de la covarianza, es importante tener en cuenta que es positivo si para cuando se incrementa el valor de una variable, aumenta el valor de la otra; pero negativo si para el incremento del valor de una de las variables, supone una disminución a la otra. En este ensayo los términos de 𝑆𝑃𝑄 son negativos, por lo que la tendencia de la relación entre la incertidumbre de las funciones de P y Q es tal y como se muestra en la siguiente nube de puntos, que se aproxima por un polinomio de primer grado (regresión lineal) con pendiente negativa: 11 Figura 3-1: Nube de puntos P-Q correspondiente al primer ensayo. La relación entre la incertidumbre de las medidas de V-P y V-Q se representan a continuación. Cabe destacar las pendientes positivas de los polinomios de primer grado, lo que ratifica el signo positivo de cada uno de los términos correspondientes: Figura 3-2: Nube de puntos P-V correspondiente al primer ensayo. Validación experimental de la matriz de covarianza 12 Figura 3-3: Nube de puntos Q-V correspondiente al primer ensayo. También resulta interesante observar los siguientes histogramas de cada una de las variables medidas: Figura 3-4: Histogramas de las variables medidas. A simple vista se puede ver que las variables medidas están distribuidas normalmente. Además, al ser 𝜇=0, la esperanza matemática o valor esperado de cada una de estas magnitudes coincide con su correspondiente valor exacto. Es decir, los datos se ajustan en torno a este valor. 13 3.2.2 2º Ensayo Este ensayo se pretende realizar con P y Q negativos, para ello se escoge 𝜑=210° (tercer cuadrante). Tomando: 𝑉𝑒𝑥𝑎𝑐=0.9 𝑝𝑢,𝐼𝑒𝑥𝑎𝑐=0.85 𝑝𝑢,𝜃𝑉𝑒𝑥𝑎𝑐=250°,𝑓𝑑𝑝=0.87 (𝑖𝑛𝑑𝑢𝑐𝑡𝑖𝑣𝑜), 𝛿𝐼𝑒𝑥𝑎𝑐=40° Se obtiene:  𝑃𝑒𝑥𝑎𝑐=−0.6594  𝑄𝑒𝑥𝑎𝑐=−0.3878  Matriz de covarianzas experimental: [0.0063 −0.0046 −0.0023 −0.0046 0.1457 −0.1636 −0.0023 −0.1636 0.3295]·10−3  Matriz de covarianzas teórica: [0.0063 −0.0046 −0.0027 −0.0046 0.1453 −0.1620 −0.0027 −0.1620 0.3255]·10−3 Comparando los determinantes de ambas matrices: |𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟𝑚𝑎𝑥|=4∙10−6 En este caso, los términos 𝑆𝑉𝑃,𝑆𝑉𝑄,𝑆𝑃𝑄 son negativos. Esto explica la pendiente negativa de la recta de regresión lineal (a la que son aproximadas las siguientes nubes de puntos), que representa la evolución de la relación entre la incertidumbre de las correspondientes funciones: Figura 3-5: Nube de puntos P-Q correspondiente al segundo ensayo. Validación experimental de la matriz de covarianza 14 Figura 3-6: Nube de puntos P-V correspondiente al segundo ensayo Figura 3-7: Nube de puntos Q-V correspondiente al segundo ensayo. 15 3.2.3 3º Ensayo Vemos los resultados que da el programa para 𝑃>0,𝑄<0 (cuarto cuadrante): 𝑉𝑒𝑥𝑎𝑐=0.8 𝑝𝑢,𝐼𝑒𝑥𝑎𝑐=1.03 𝑝𝑢,𝜃𝑉𝑒𝑥𝑎𝑐=410°,𝑓𝑑𝑝=0.985 (𝑖𝑛𝑑𝑢𝑐𝑡𝑖𝑣𝑜), 𝛿𝐼𝑒𝑥𝑎𝑐=60° Se obtiene:  𝑃𝑒𝑥𝑎𝑐=0.8115  𝑄𝑒𝑥𝑎𝑐=−0.1430  Matriz de covarianzas experimental: [0.0064 0.0064 −0.0022 0.0064 0.0560 0.0755 −0.0022 0.0755 0.4723]·10−3  Matriz de covarianzas teórica: [0.0063 0.0063 −0.0011 0.0063 0.0561 0.0762 −0.0011 0.0762 0.4748]·10−3 Comparando los determinantes de ambas matrices: |𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟𝑚𝑎𝑥|=2.5∙10−6 Al contrario de los dos ensayos anteriores, en este el término 𝑆𝑃𝑄 es positivo. Esto se refleja en la pendiente positiva del polinomio de primer grado al que hemos aproximado la siguiente nube de puntos: Figura 3-8: Nube de puntos P-Q correspondiente al tercer ensayo. Validación experimental de la matriz de covarianza 16 3.2.4 4º Ensayo Por último probamos con otras condiciones si ambas matrices siguen siendo similares. En este caso con 𝑃<0,𝑄>0 (segundo cuadrante): 𝑉𝑒𝑥𝑎𝑐=1.1 𝑝𝑢,𝐼𝑒𝑥𝑎𝑐=1.05 𝑝𝑢,𝜃𝑉𝑒𝑥𝑎𝑐=20°,𝑓𝑑𝑝=0.9063 (𝑐𝑎𝑝𝑎𝑐𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜), 𝛿𝐼𝑒𝑥𝑎𝑐=175° Se obtiene:  𝑃𝑒𝑥𝑎𝑐=−1.0468  𝑄𝑒𝑥𝑎𝑐=0.4881  Matriz de covarianzas experimental: [0.0063 −0.0064 0.0024 −0.0064 0.2283 0.3383 0.0024 0.3383 0.7921]·10−3  Matriz de covarianzas teórica: [0.0063 −0.0062 0.0029 −0.0062 0.2285 0.3408 0.0029 0.3408 0.8003]·10−3 Comparando los determinantes de ambas matrices: |𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟𝑚𝑎𝑥|=8.2∙10−15 Tras realizar estos ensayos con diferentes condiciones, se puede ver en cada uno de los casos ambas matrices son muy similares, por lo que se pueden dar por validadas las expresiones teóricas. 17 4 ENSAYOS EN REDES asta ahora, se ha visto que los errores de las magnitudes medidas no son independientes, es decir, que su matriz de covarianzas no es diagonal, y se han deducido y han sido validadas experimentalmente las ecuaciones que definen cada uno de los términos de dicha matriz. En este capítulo se va a proceder a utilizar en el proceso de estimación la matriz de pesos no diagonal, que, como se dijo en el primer capítulo de introducción, es la inversa de la matriz de covarianzas. Para ello se ha realizado una función en Matlab que calcula la matriz de pesos no diagonal en función del número de medidas que se hayan realizado en la red cuyo estado se quiere estimar. El objeto de este capítulo es doble: 1. Verificar si se obtiene el mismo estado estimado si se realiza el proceso de estimación con la matriz de pesos diagonal y con elementos no diagonales. 2. Se pretende realizar un análisis de errores. Ver el comportamiento del estimador ante errores en la medición de las distintas magnitudes y por tanto observar si el proceso de estimación con matriz de pesos no diagonal presenta alguna mejoría en la detección de errores respecto al caso de estimación convencional, esto es, con la matriz de pesos diagonal, debido a la suposición de la independencia de las variables aleatorias de los errores de las medidas. Para ello se van a realizar una serie de ensayos sobre dos redes: una red tutorial de dos nudos que se introduce por motivos de simplicidad, y una red IEEE de 14 nudos que tiene un carácter más real. 4.1 Red tutorial de dos nudos Se supone que se parte de un conjunto real de medidas en el que por cada nudo se tiene 𝑉𝑖,𝑃𝑖 y 𝑄𝑖 de inyección, y los flujos 𝑃𝑖𝑗,𝑄𝑖𝑗, además de la referencia de fase 𝜃1. 4.1.1 Comparación del estado estimado Para la comparación del vector de estado estimado obtenido por un lado mediante la matriz de pesos diagonal, y por otro añadiendo elementos no diagonales a la matriz, se ha utilizado el comando rng(´default´). Esto permite generar el mismo conjunto de ruidos aleatorios (que afectan a la medición) para ambos casos. A continuación se muestran los resultados obtenidos al realizar un ensayo en la red: H Ensayos en redes 18 Nudo CON W DIAGONAL CON W NO DIAGONAL Mag. (pu) Desviación típica σ Fase(º) Desviación típica σ Mag. (pu) Desviación típica σ Fase(º) Desviación típica σ 1 1.0591 0.0018 -0.0000 0.3323 1.0570 0.0018 0.0000 0.3323 2 1.0801 0.0018 0.2984 0.3326 1.0776 0.0018 0.3793 0.3326 Tabla 4-1: Comparación de los vectores de estado estimados de la red de dos nudos. Como se puede ver, en este caso no se obtiene el mismo vector de estado estimado del sistema. A continuación se comparan el valor estimado del resto medidas con el valor exacto: MEDIDAS CON W DIAGONAL CON W NO DIAGONAL Magnitud Valor medido Valor estimado Desviación típica σ Vector de estado estimado Desviación típica σ 𝜃1 0.0000 -0.0000 0.0058 -0.0000 0.0058 𝑉1 1.0697 1.0591 0.0018 1.0570 0.0018 𝑉2 1.0691 1.0801 0.0018 1.0776 0.0018 𝑃1 -0.1566 -0.2023 0.0042 -0.2242 0.0039 𝑃2 0.1933 0.2047 0.0042 0.2266 0.0039 𝑄1 -0.3674 -0.3399 0.0028 -0.3243 0.0027 𝑄2 0.2885 0.2867 0.0029 0.2714 0.0027 𝑃12 -0.1735 -0.2023 0.0042 -0.2242 0.0039 𝑃21 0.2691 0.2047 0.0042 0.2266 0.0039 𝑄12 -0.3153 -0.3399 0.0028 -0.3243 0.0027 𝑄21 0.2788 0.2867 0.0029 0.2714 0.0027 Tabla 4-2: Comparación de los valores de las medidas estimadas en la red de dos nudos. Para comprobar si añadiendo o no los términos no diagonales a la matriz W se obtiene una estimación con mayor precisión, se representan en la siguiente tabla los residuos en valor absoluto: |𝑟𝑖|=|𝑧𝑖𝑒𝑥𝑐−𝑧𝑖 | 19 MEDIDA RESIDUOS UTILIZANDO W DIAGONAL RESIDUOS UTILIZANDO W NO DIAGONAL 𝑉1 0.0106 0.0127 𝑉2 0.011 0.0085 𝑃1 0.0457 0.0676 𝑃2 0.0114 0.0333 𝑄1 0.0275 0.0431 𝑄2 0.0018 0.0171 𝑃12 0.0288 0.0507 𝑃21 0.0644 0.0425 𝑄12 0.0246 0.009 𝑄21 0.0079 0.0074 Tabla 4-3: Comparación de los residuos de las medidas de la red de dos nudos. Si se introduce el índice de calidad: 𝐼𝐶=∑(𝑧𝑖𝑒𝑥𝑐−𝑧𝑖 )2 𝑖 Se obtiene para cada una de las matrices: CON W DIAGONAL CON W NO DIAGONAL IC 0.0088557 0.01257 Tabla 4-4: Índices de calidad en la red de dos nudos. Por lo que se ve, que la estimación es más exacta cuando se utiliza la matriz de pesos diagonal. 4.1.2 Análisis de errores Se realizan ensayos en los que se han introducido medidas erróneas con el fin de comprobar si la incorporación de los términos no diagonales en W presenta mejoría en la detección e identificación de errores respecto al caso de W diagonal. 4.1.2.1 Sin eliminar medidas Es importante señalar que medidas aisladas de P y Q con error no se tienen, sino que son afectadas por el error en la medición de 𝐼,𝑉,∅𝑢,𝛿𝑖. Ensayos en redes 26 MEDIDA RESIDUOS UTILIZANDO W DIAGONAL RESIDUOS UTILIZANDO W NO DIAGONAL 𝑉1 0.0063 0.0052 𝑉2 0.0161 0.0181 𝑉3 0.001 0.0006 𝑉4 0.0014 0.0039 𝑉5 0.0103 0.0125 𝑉6 0.0054 0.0068 𝑉7 0.0016 0.0033 𝑉8 0.0153 0.0139 𝑉9 0.012 0.0106 𝑉10 0.01 0.0114 𝑉11 0.0133 0.012 𝑉12 0.0006 0.001 𝑉13 0.004 0.0057 𝑉14 0.0001 0.0016 Tabla 4-13: Comparación de los residuos de las medidas de la red de 14 nudos. Introduciendo el índice de calidad: 𝐼𝐶=∑(𝑧𝑖𝑒𝑥𝑐−𝑧𝑖 )2 𝑖 Se obtiene para cada una de las matrices: CON W DIAGONAL CON W NO DIAGONAL IC 1.11102∙10−3 1.19918∙10−3 Tabla 4-14: Índices de calidad en la red de 14 nudos. Al igual que en la sección de la red tutorial de dos nudos, se puede ver que la estimación es más exacta cuando se utiliza la matriz de pesos diagonal, ya que se obtienen residuos menores. 27 4.2.2 Análisis de errores En esta sección se pretende observar el comportamiento del estimador con medidas erróneas de la red IEEE de 14 nudos para ambos casos de la matriz de pesos. 4.2.2.1 Sin eliminar medidas Texto del apartado dentro de la subsección. Los siguientes ensayos se han realizado teniendo en cuenta el conjunto completo y otro reducido de medidas como se comentó anteriormente: Suponiendo conjunto completo de medidas sin ruido, introduciendo un error en la medición de 𝑉6 de un +8%:  Afectando sólo a los flujos: CON W DIAGONAL CON W NO DIAGONAL Max. Residuos normalizados Valor estimado Desviación típica σ R.N. Max. Residuos normalizados Valor estimado Desviación típica σ R.N. Mag. Valor Mag. Valor 𝑉6 1.1556 1.0773 0.0007 32.7 𝑉6 1.1556 1.0776 0.0007 32.5 𝑃6−5 -0.4752 -0.4437 0.0010 7.2 𝑃6 -0.1129 -0.1014 0.0009 9.9 𝑃6−12 0.0838 0.0789 0.0003 5.3 𝑃6−5 -0.4752 -0.4378 0.0009 8.5 𝑃6−11 0.0787 0.0737 0.0004 4.7 𝑃6−12 0.0838 0.0800 0.0003 4.2 𝑃6−13 0.1907 0.1792 0.0006 4.7 𝑃12 -0.0611 -0.0632 0.0004 4.0 𝑄6 0.0431 0.0498 0.0024 3.6 𝑃11 -0.0348 -0.0362 0.0004 3.9 Tabla 4-15: Resultados introduciendo una medida errónea de tensión en el nudo 6 de la red de 14 nudos, afectando sólo a los flujos. Ensayos en redes 28  Contaminando a flujos e inyecciones de potencia: CON W DIAGONAL CON W NO DIAGONAL Max. Residuos normalizados Valor estimado Desviación típica σ R.N. Max. Residuos normalizados Valor estimado Desviación típica σ R.N. Mag. Valor Mag. Valor 𝑉6 1.1556 1.0774 0.0007 32.7 𝑉6 1.1556 1.0778 0.0007 32.4 𝑃6−5 -0.4752 -0.4466 0.0011 6.6 𝑃6 -0.1220 -0.1069 0.0009 11.7 𝑃6−12 0.0838 0.0784 0.0003 6.0 𝑃6−5 -0.4752 -0.4406 0.0010 7.9 𝑃6−11 0.0787 0.0732 0.0004 5.3 𝑃6−12 0.0838 0.0794 0.0003 4.8 𝑃6−13 0.1907 0.1780 0.0007 5.2 𝑃6−11 0.0787 0.0741 0.0004 4.3 𝑃6 0.1220 -0.1171 0.0012 4.8 𝑃6−13 0.1907 0.1803 0.0006 4.2 Tabla 4-16: Resultados introduciendo una medida errónea de tensión en el nudo 6 de la red de 14 nudos, afectando a los flujos e inyecciones.  Introduciendo el ruido aleatorio de los aparatos de medida al ensayo anterior: CON W DIAGONAL CON W NO DIAGONAL Max. Residuos normalizados Valor estimado Desviación típica σ R.N. Max. Residuos normalizados Valor estimado Desviación típica σ R.N. Mag. Valor Mag. Valor 𝑉6 1.1508 1.073 0.0007 30.3 𝑉6 1.1508 1.0776 0.0007 30.4 𝑃6 -0.1190 -0.1032 0.0012 17.6 𝑃6 -0.1190 -0.0958 0.0009 19.9 𝑃11 -0.0433 -0.0400 0.0004 13.0 𝑃14−13 -0.0655 -0.0583 0.0003 13.6 𝑃14−13 -0.0655 -0.0588 0.0004 12.9 𝑃11 -0.0433 -0.0403 0.0004 10.8 𝑃4−7 0.2554 0.2850 0.0011 10.5 𝑃10−9 -0.0448 -0.0540 0.0007 8.9 𝑃13−14 0.0546 0.0594 0.0004 9.1 𝑄6 0.0417 0.0630 0.0021 8.7 Tabla 4-17: Resultados introduciendo ruido y una medida errónea de tensión en el nudo 6 de la red de 14 nudos, afectando a los flujos e inyecciones. 29 Partiendo de un conjunto reducido de medidas de flujos de potencia sin ruido, y con un error en 𝑉2 de un - 10%:  Afectando sólo a los flujos: CON W DIAGONAL CON W NO DIAGONAL Max. Residuos normalizados Valor estimado Desviación típica σ R.N. Max. Residuos normalizados Valor estimado Desviación típica σ R.N. Mag. Valor Mag. Valor 𝑉2 0.9405 1.0314 0.0009 38.8 𝑉2 0.9405 1.0311 0.0009 38.6 𝑄2 0.2948 0.2855 0.0054 11.1 𝑄2 0.2948 0.3387 0.0046 15.3 𝑃4 -0.4763 -0.4537 0.0033 10.8 𝑃4 -0.4763 -0.4505 0.0031 10.9 𝑃2 0.1840 0.1343 0.0065 10.6 𝑃23 0.6590 0.7092 0.0019 10.2 𝑃23 0.6590 0.7087 0.0021 10.3 𝑃25 0.3737 0.4006 0.0011 9.8 𝑃24 0.5053 0.5411 0.0014 9.5 𝑃24 0.5053 0.5416 0.0013 9.6 Tabla 4-18: Resultados introduciendo una medida errónea de tensión en el nudo 2 de la red de 14 nudos, afectando sólo a los flujos.  Contaminando a flujos e inyecciones de potencia: CON W DIAGONAL CON W NO DIAGONAL Max. Residuos normalizados Valor estimado Desviación típica σ R.N. Max. Residuos normalizados Valor estimado Desviación típica σ R.N. Mag. Valor Mag. Valor 𝑉2 0.9405 1.0308 0.0009 38.6 𝑉2 0.9405 1.0305 0.0009 38.3 𝑃4 -0.4763 -0.4535 0.0033 10.9 𝑄2 0.2654 0.3018 0.0043 15.1 𝑄2 0.2654 0.2584 0.0049 10.3 𝑃4 -0.4763 -0.4502 0.0031 11.0 𝑃23 0.6590 0.7081 0.0021 10.1 𝑃23 0.6590 0.7084 0.0019 10.0 𝑃2 0.1656 0.1281 0.0061 9.5 𝑃25 0.3737 0.3996 0.0010 9.4 𝑃24 0.5053 0.5404 0.0014 9.3 𝑃24 0.5053 0.5406 0.0013 9.3 Tabla 4-19: Resultados introduciendo una medida errónea de tensión en el nudo 2 de la red de 14 nudos, afectando a los flujos e inyecciones.  Introduciendo el ruido aleatorio de los aparatos de medida al ensayo anterior: Ensayos en redes 30 CON W DIAGONAL CON W NO DIAGONAL Max. Residuos normalizados Valor estimado Desviación típica σ R.N. Max. Residuos normalizados Valor estimado Desviación típica σ R.N. Mag. Valor Mag. Valor 𝑉2 0.9403 1.0281 0.0009 37.5 𝑉2 0.9403 1.0279 0.0009 37.3 𝑃2−5 0.3145 0.3845 0.0011 31.0 𝑃2−5 0.3145 0.3831 0.0010 30.1 𝑃2 0.1170 0.0471 0.0060 17.8 𝑄2 0.2646 0.3098 0.0033 25.7 𝑃12 -0.0699 -0.0580 0.0005 17.4 𝑃12−13 0.0203 0.0182 0.0002 16.9 𝑃6 -0.1068 -0.0921 0.0013 17.1 𝑃6 -0.1068 -0.0887 0.0010 15.6 𝑃4 -05116 -0.4774 0.0034 13.9 𝑃12 -0.0699 -0.0599 0.0005 14.8 Tabla 4-20: Resultados introduciendo ruido y una medida errónea de tensión en el nudo 2 de la red de 14 nudos, afectando a los flujos e inyecciones. Como se puede ver en estos ensayos, el estimador tanto con W diagonal como con términos no diagonales es capaz de detectar e identificar el error correctamente, pero en el caso con W no diagonal, con un residuo normalizado menor que con W diagonal. Esto mismo pasa en el siguiente ensayo, en el que no hay contaminación por ruido y se han introducido dos errores no conformes, es decir, que no tienen acuerdo. Estos son en 𝑉2 de un-7% y en 𝑉13 de un +6%: CON W DIAGONAL CON W NO DIAGONAL Max. Residuos normalizados Valor estimado Desviación típica σ R.N. Max. Residuos normalizados Valor estimado Desviación típica σ R.N. Mag. Valor Mag. Valor 𝑉2 0.9718 1.0379 0.0009 28.2 𝑉2 0.9718 1.0375 0.0009 28.0 𝑉13 1.1136 1.0540 0.0008 25.1 𝑉13 1.1136 1.0529 0.0008 25.5 𝑃4 -0.4763 -0.4606 0.0033 7.5 𝑄2 0.2742 0.3010 0.0044 10.5 𝑄2 0.2742 0.2689 0.0050 7.3 𝑃13−14 0.0593 0.0555 0.0005 8.4 𝑃2−3 0.6810 0.7157 0.0021 6.9 𝑃4 -0.4763 -0.4592 0.0031 7.2 𝑃2−4 0.5221 0.5473 0.0014 6.4 𝑃2−3 0.6810 0.7170 0.0019 7.0 Tabla 4-21: Resultados correspondientes al ensayo de dos errores no conformes. En este ensayo también se ha realizado correctamente, ya que el estimador ha sido capaz de detectar las dos medidas erróneas con mayor residuo normalizado. 31 4.2.2.2 Eliminando medidas Se realiza el “Test de residuos normalizados” para comprobar el funcionamiento del estimador en el caso que nos ocupa, en el que los errores de las medidas no son variables aleatorias independientes. Se prueba a realizar el test para el caso de la sección anterior de los errores no conformes, cuyos resultados se muestran en la tabla (4-21): 1º CON W NO DIAGONAL Max. Residuos normalizados Valor estimado Desviación típica σ R.N. Magnitud Valor 𝑉2 0.9718 1.0375 0.0009 28.0 𝑉13 1.1136 1.0529 0.0008 25.5 𝑄2 0.2742 0.3010 0.0044 10.5 𝑃13−14 0.0593 0.0555 0.0005 8.4 𝑃4 -0.4763 -0.4592 0.0031 7.2 𝑃2−3 0.6810 0.7170 0.0019 7.0 Tabla 4-22: Resultados correspondientes a la primera iteración del test en la red de 14 nudos. 2º CON W NO DIAGONAL Max. Residuos normalizados Valor estimado Desviación típica σ R.N. Magnitud Valor 𝑉13 1.1136 1.0560 0.0008 24.2 𝑃13−14 0.0593 0.0556 0.0005 8.2 𝑃2−3 0.6810 0.7189 0.0019 7.4 𝑃2−4 0.5221 0.5498 0.0013 7.0 𝑃2−5 0.3861 0.4062 0.0011 7.0 𝑃4 -0.4763 -0.4628 0.0031 5.7 Tabla 4-23: Resultados correspondientes a la segunda iteración del test en la red de 14 nudos. Ensayos en redes 32 3º CON W NO DIAGONAL Max. Residuos normalizados Valor estimado Desviación típica σ R.N. Magnitud Valor 𝑃2−3 0.6810 0.7184 0.0019 7.3 𝑃2−4 0.5221 0.5497 0.0013 7.0 𝑃2−5 0.3861 0.4060 0.0011 6.9 𝑃4 -0.4763 -0.4618 0.0031 6.1 𝑃13 -0.1424 -0.1333 0.0011 5.3 𝑃2 0.1711 0.1488 0.0061 5.1 Tabla 4-24: Resultados correspondientes a la tercera iteración del test en la red de 14 nudos. 4º CON W NO DIAGONAL Max. Residuos normalizados Valor estimado Desviación típica σ R.N. Magnitud Valor 𝑃2−4 0.5221 0.5521 0.0014 7.6 𝑃2−5 0.3861 0.4077 0.0011 7.5 𝑃13 -0.1424 -0.1334 0.0010 5.3 𝑃4 -0.4763 -0.4641 0.0031 5.3 𝑃13−14 0.0593 0.0572 0.0005 4.8 𝑃2 0.1711 0.1541 0.0061 4.0 Tabla 4-25: Resultados correspondientes a la cuarta iteración del test en la red de 14 nudos. 33 5º CON W NO DIAGONAL Max. Residuos normalizados Valor estimado Desviación típica σ R.N. Magnitud Valor 𝑃2−5 0.3861 0.4106 0.0012 8.6 𝑃13 -0.1424 -0.1340 0.0011 5.0 𝑃13−14 0.0593 0.0572 0.0005 4.7 𝑃4 -0.4763 -0.4695 0.0032 3.0 𝑃6 -0.1129 -0.1101 0.0011 2.8 𝑄6 0.0431 0.0484 0.0022 2.5 Tabla 4-26: Resultados correspondientes a la quinta iteración del test en la red de 14 nudos. 6º CON W NO DIAGONAL Max. Residuos normalizados Valor estimado Desviación típica σ R.N. Magnitud Valor 𝑃13−14 0.0593 0.0572 0.0005 4.8 𝑃13 -0.1424 -0.1343 0.0010 4.7 𝑃14 -0.1489 -0.1516 0.0010 1.8 𝑃12−13 0.0158 0.0161 0.0002 1.7 𝑄13−14 0.0161 0.0141 0.0010 1.6 𝑃9−14 0.0946 0.0961 0.0007 1.4 Tabla 4-27: Resultados correspondientes a la sexta iteración del test en la red de 14 nudos. Ensayos en redes 34 7º CON W NO DIAGONAL Max. Residuos normalizados Valor estimado Desviación típica σ R.N. Magnitud Valor 𝑃13 -0.1424 -0.1377 0.0011 2.8 𝑃12−13 0.0158 0.0162 0.0002 2.1 𝑃14 -0.1489 -0.1471 0.0012 1.3 𝑄12−13 0.0073 0.0070 0.0004 1.1 𝑄13−14 0.0161 0.0150 0.0010 0.9 𝑄12 -0.0159 -0.0172 0.0009 0.9 Tabla 4-28: Resultados correspondientes a la séptima iteración del test en la red de 14 nudos. En este ensayo pasa lo mismo que en el apartado 4.1.2.2 de la red tutorial de dos nudos, al disminuir la redundancia, el estimador utiliza las medidas erróneas: 𝑃2,𝑃13,𝑄2,𝑄13,𝑄2−3,𝑄2−4,𝑄2−5,𝑄13−14 ya que tienen |𝑟𝑖𝑁|<3. Para finalizar, se van a comparar las medidas descartadas cuando se utilizan ambas matrices. En este caso las medidas no han sido contaminadas por un ruido aleatorio, y se ha introducido un error de un -10% en la medida de tensión en el nudo dos: CON W DIAGONAL CON W NO DIAGONAL Iteración Medida R.N. Iteración Medida R.N. 1º 𝑉2 38.6 1º 𝑉2 38.3 2º 𝑃4 10.3 2º 𝑃2−3 10.6 3º 𝑃2 10.8 3º 𝑃2−4 10.9 4º 𝑃4−5 7.4 4º 𝑃2−5 12.3 5º 𝑃3 6.2 6º 𝑃1−5 4.4 7º 𝑃2−3 3.9 8º 𝑃6 3.2 Tabla 4-29: Comparación de medidas descartadas al realizar el “Test del mayor residuo normalizado” en la red de 14 nudos. Este ensayo pone de manifiesto que el proceso de detección e idetificación de errores funciona mejor en el caso de utilizar W no diagonal. 35 5 CONCLUSIONES a estimación del estado de un sistema es una disciplina muy importante en la ingeniería eléctrica, ya que la información que proporciona es utilizada por los sistemas de control de energía de la red. El proceso de estimación convencional supone que los errores de las medidas son variables aleatorias independientes. Sin embargo, en este trabajo se estudia el proceso de estimación desde un punto de vista diferente, en el que se ha cuestionado esta independencia. Por tanto, se ha introducido elementos no diagonales que representan la relación entre las correspondientes variables aleatorias, es decir, que se ha evaluado el proceso de estimación a partir de una matriz de pesos no diagonal. Tras deducir y validar experimentalmente las ecuaciones que definen los términos de la nueva matriz de pesos, se han realizado ensayos con el objetivo de observar el comportamiento del estimador y comprobar si se mejora el proceso de detección e identificación de errores. A partir de los resultados obtenidos, se puede ver que la estimación del vector de estado sigue siendo más exacta con la matriz de pesos diagonal, ya que se obtienen residuos de las medidas menores respecto al caso de matriz de pesos no diagonal. También se puede observar que el estimador es capaz de detectar e identificar adecuadamente la medida errónea introducida en los ensayos, incluso en el caso del ensayo de dos errores no conformes. Al realizar el “Test del mayor residuo normalizado” se puede apreciar una mejoría al utilizar la matriz de pesos no diagonal. En caso contrario, se descartarían medidas sanas, lo cuál puede suponer una mala calidad de la estimación. Es importante señalar que esta técnica de detección de errores funciona en el entorno teórico en el que sólo hay una medida errónea, por eso elimina la medida correspondiente al mayor residuo normalizado. Sin embargo, en este trabajo se ha deducido que un error afecta simultáneamente a varias medidas, luego no se parten de las condiciones iniciales del test, que suponía que todas las medidas son perfectas excepto una errónea. Resumiendo:  Los errores de las medidas no son variables aleatorias independientes por lo que hay que poner los términos no diagonales en la matriz de pesos.  La estimación del vector de estado de un sistema es más precisa cuando se obtiene a partir de la matriz de pesos diagonal.  El “Test de residuos normalizados” es mejorable, se necesita una nueva técnica de detección de errores. L ANEXO A 42 %% MEDIDAS DE FLUJO %% covarianza_pq_rama=zeros(size(P_flow,1),size(Q_flow,1)); %%%% Varianza de P y covarianza PQ %%%% for i=1:size(P_flow,1) for j=1:size(Q_flow,1) if z(P_flow(i,1),5)==z(Q_flow(j,1),5) P_flow_med=z(P_flow(i,1),3); Q_flow_med=z(Q_flow(j,1),3); covarianza_pq_rama(i,j)= (P_flow_med*Q_flow_med*(Et^2/k^2 + Ei^2/k^2 - sigma_fasei^2 - sigma_fasev^2)); end end end for i=1:size(P_flow,1) bq=find(z(:,1)==4 & z(:,5)==z(P_flow(i,1),5)); if size(bq,1)>0 P_flow_med=z(P_flow(i,1),3); Q_flow_med=z(bq,3); varianza_p_rama(i,1)= ((Q_flow_med^2)*(sigma_fasei^2+sigma_fasev^2))+((P_flow_med^2)*(Ei^2/k^2 + Et^2/k^2)); else P_flow_med=z(P_flow(i,1),3); c=find(zc(:,1)==4 & zc(:,5)==z(P_flow(i,1),5)); Q_flow_med=zc(c,3); varianza_p_rama(i,1)= ((Q_flow_med^2)*(sigma_fasei^2+sigma_fasev^2))+((P_flow_med^2)*(Ei^2/k^2 + Et^2/k^2)); end end for i=1:size(Q_flow,1) bp=find(z(:,1)==3 & z(:,5)==z(Q_flow(i,1),5)); if size(bp,1)>0 Q_flow_med=z(Q_flow(i,1),3); P_flow_med=z(bp,3); varianza_q_rama(i,1)= ((P_flow_med^2)*(sigma_fasei^2+sigma_fasev^2))+((Q_flow_med^2)*(Ei^2/k^2 + Et^2/k^2)); else Q_flow_med=z(Q_flow(i,1),3); c=find(zc(:,1)==3 & zc(:,5)==z(Q_flow(i,1),5)); P_flow_med=zc(c,3); varianza_q_rama(i,1)= ((P_flow_med^2)*(sigma_fasei^2+sigma_fasev^2))+((Q_flow_med^2)*(Ei^2/k^2 + Et^2/k^2)); end end 43 %% CÁLCULO DE W %% %%%% Términos diagonales %%%% for i=1:size(o,1) R(o(i,1),o(i,1))=varianza_o(i,1); end for i=1:size(v,1) R(v(i,1),v(i,1))=varianza_v(i,1); end for i=1:size(P_iny,1) R(P_iny(i,1),P_iny(i,1))=varianza_p_iny(i,1); end for i=1:size(Q_iny,1) R(Q_iny(i,1),Q_iny(i,1))=varianza_q_iny(i,1); end for i=1:size(P_flow,1) R(P_flow(i,1),P_flow(i,1))=varianza_p_rama(i,1); end for i=1:size(Q_flow,1) R(Q_flow(i,1),Q_flow(i,1))=varianza_q_rama(i,1); end %%%% Términos NO diagonales %%%% for i=1:size(v,1) for j=1:size(P_flow,1) R(v(i),P_flow(j))=covarianza_v_p_rama(i,j); R(P_flow(j),v(i))=covarianza_v_p_rama(i,j); end end for i=1:size(v,1) for j=1:size(Q_flow,1) R(v(i),Q_flow(j))=covarianza_v_q_rama(i,j); R(Q_flow(j),v(i))=covarianza_v_q_rama(i,j); end end for i=1:size(v,1) for j=1:size(P_iny,1) R(v(i,1),P_iny(j,1))=covarianza_v_p_iny(i,j); R(P_iny(j,1),v(i,1))=covarianza_v_p_iny(i,j); end end ANEXO A 44 for i=1:size(v,1) for j=1:size(Q_iny,1) R(v(i,1),Q_iny(j,1))=covarianza_v_q_iny(i,j); R(Q_iny(j,1),v(i,1))=covarianza_v_q_iny(i,j); end end for i=1:size(P_iny,1) for j=1:size(Q_iny,1) R(P_iny(i,1),Q_iny(j,1))=covarianza_pq_iny(i,j); R(Q_iny(j,1),P_iny(i,1))=covarianza_pq_iny(i,j); end end for i=1:size(P_flow,1) for j=1:size(Q_flow,1) R(P_flow(i,1),Q_flow(j,1))=covarianza_pq_rama(i,j); R(Q_flow(j,1),P_flow(i,1))=covarianza_pq_rama(i,j); end end R pause W=inv(R); 45 REFERENCIAS [1] AENOR, «Transformadores de medida» UNE-EN 60044-1, Parte 1:Transformadores de intensidad, p.31, Enero 2000. [2] AENOR, «Transformadores de medida» UNE-EN 60044-1, Parte 1:Transformadores de tensión inductivos, p.31, Noviembre 1999. [3] Pedro Javier Zarco Periñan, Antonio Gómez Expósito, «Estimación de estado en redes eléctricas» Estimación de estado y parámetros en redes eléctricas, pp.1-30,1999. [4] Markos Asprou, Elias Kyriakides,Mihaela Albu, «Uncertainty Calculation of the Conventional Measurements » IEEE Transactions on instrumentation and measurement, vol.63, nº6, pp.1488-1489, Junio 2014. Referencias 46 47 GLOSARIO Varianza: es una medida de cómo esta dispersa la variable aleatoria. 1 Covarianza: Relación existente entre dos variables aleatorias. 1 Media o Esperanza matemática: Indica un punto alrededor del cuál están los valores de la variable aleatoria. 1 Propagación de errores: Es el impacto que tienen los errores de variables en la incertidumbre de una función dependiente de ellas. 3