Estudio de las incertidumbres asociadas a la estructura hadrónica y la dinámica nuclear en reacciones de neutrinos con núcleos y nucleones a energías intermedias
Abstract
En este trabajo, se realiza una descripción teórica de los procesos de dispersión elástica neutrino-nucleón y de dispersión cuasielástica neutrino-núcleo con el propósito de analizar las incertidumbres asociadas a la estructura hadrónica y la dinámica nuclear. Ambos procesos son relevantes para el estudio del fenómeno de las oscilaciones de neutrinos, ya que son dos de los mecanismos de interacción de los neutrinos con el material activo de los detectores y que permiten su detección.
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Facultad de F ´ ısica Trabajo Fin de M´ aster ESTUDIO DE LAS INCERTIDUMBRES ASOCIADAS A LA ESTRUCTURA HADR´ ONICA Y LA DIN´ AMICA NUCLEAR EN REACCIONES DE NEUTRINOS CON N ´ UCLEOS Y NUCLEONES A ENERG´ IAS INTERMEDIAS Autora: Marta Sayago Rodr´ıguez Tutores: Dr. Juan Antonio Caballero Carretero Dr. Guillermo Daniel Meg´ıas V´azquez Noviembre 2023
´ Indice general Resumen/Abstract 1 I Introducci´on y motivaci´on del trabajo 2 1. Introducci´on 3 2. El neutrino 4 2.1. Postulado y descubrimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.2. Sabor ...................................... 5 2.3. Helicidad..................................... 8 2.4. Masa....................................... 9 2.4.1. El fen´omeno de las oscilaciones de neutrinos . . . . . . . . . . . . . 9 2.4.1.1. ¿C´omo se estudian las oscilaciones? . . . . . . . . . . . . . 10 II Dispersi´on el´astica neutrino-nucle´on 12 3. Formalismo general 13 3.1. Cinem´atica del proceso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.2. Secci´oneficaz .................................. 15 3.2.1. Corrientes lept´onica y hadr´onica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.2.2. Hamiltoniano d´ebil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.2.3. C´alculo de la amplitud de la transici´on . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.2.4. Secci´on eficaz diferencial doble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.2.5. Secci´on eficaz diferencial simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.3. Factores cinem´aticos lept´onicos y funciones de respuesta hadr´onica . . . . . 29
4. Estructura d´ebil del nucle´on 34 4.1. Estructuravector................................ 34 4.1.1. Parametrizaci´on de los factores de forma EM . . . . . . . . . . . . . 36 4.2. Estructuraaxial................................. 39 4.2.1. Parametrizaci´on del factor de forma axial . . . . . . . . . . . . . . . 40 5. An´alisis del proceso 43 5.1. Cinem´atica ................................... 43 5.2. Asimetr´ıa neutrino-antineutrino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 6. Comparaci´on con datos experimentales 48 6.1. C´amarasdeburbuja .............................. 48 6.2. Fermilab..................................... 50 III Dispersi´on cuasiel´astica neutrino-n´ucleo 56 7. Introducci´on 57 8. Formalismo general 60 8.1. Modelonuclear ................................. 60 8.2. Cinem´atica el proceso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 8.3. Corriente nuclear y secci´on eficaz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 9. An´alisis del proceso 67 9.1. Secci´on eficaz diferencial doble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 9.2. L´ımiteel´astico.................................. 69 10.Comparaci´on con datos experimentales 71 10.1.C´amarasdeburbuja .............................. 71 10.2.T2K ....................................... 73 10.2.1. Mediciones combinadas de dispersi´on de neutrinos y antineutrinos en 12C y 1H ............................... 74 10.2.2. Mediciones simult´aneas de dispersi´on de neutrinos en 12C y 16O . . 78
IV Conclusiones 82 11.Resumen y conclusiones 83 V Ap´endices 86 A. Part´ıculas de esp´ın 1/2 87 A.1.Ecuaci´ondeDirac................................ 87 A.2. Soluciones libres de la ecuaci´on de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 A.3. Proyectores de energ´ıa y esp´ın . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 A.4.Covariantesbilineales.............................. 90 B. Delta de Dirac 92 B.1. Integraci´on de la delta de Dirac δ4en Sfi ................... 92 B.2. M´odulo al cuadrado de la delta de Dirac δ4.................. 93 B.3. Integraci´on de la delta de Dirac δ4en dσ ................... 93 C. Tensores lept´onico y hadr´onico 95 C.1.Laamplitudinvariante............................. 95 C.2.Teoremadetrazas ............................... 97 C.3. Tensor lept´onico ηαβ ..............................100 C.4. Tensor hadr´onico Wαβ .............................101 C.5. Contracci´on ηαβWαβ ..............................106 Bibliograf´ıa 112
Resumen En este trabajo, se realiza una descripci´on te´orica de los procesos de dispersi´on el´astica neutrino-nucle´on y de dispersi´on cuasiel´astica neutrino-n´ucleo con el prop´osito de analizar las incertidumbres asociadas a la estructura hadr´onica y la din´amica nuclear. Ambos procesos son relevantes para el estudio del fen´omeno de las oscilaciones de neutrinos, ya que son dos de los mecanismos de interacci´on de los neutrinos con el material activo de los detectores y que permiten su detecci´on. Abstract In this work, a theoretical description of the elastic neutrino-nucleon scattering and quasielastic neutrino-nucleus scattering processes are performed to analyze the uncertainties associated to hadronic structure and nuclear dynamics. Both processes are relevant for the study of the phenomenon of neutrino oscillations, as they are two of the neutrinointeraction mechanisms with the active material of detectors that allow their detection. 1
Parte I Introducci´on y motivaci´on del trabajo 2
Cap´ıtulo 1 Introducci´on El neutrino es una part´ıcula elemental que ha planteado diversas inc´ognitas referentes a su naturaleza desde su descubrimiento. Se trata de un lept´on el´ectricamente neutro y de masa despreciable que origin´o la introducci´on de una nueva fuerza fundamental en la naturaleza, la interacci´on d´ebil. Por otro lado, la masa del neutrino sigue siendo una inc´ognita. No obstante, sabemos de su existencia debido a las observaciones que corroboran las oscilaciones de neutrinos, dado que las transiciones de sabor solo se explican en un contexto en el que los neutrinos presentan masa. Estas part´ıculas ligeras se detectan de manera indirecta mediante los productos que genera al interaccionar con la materia. Por lo tanto, es necesario tener un conocimiento profundo sobre c´omo interaccionan los neutrinos con el material activo de los detectores. Esto es aplicable al estudio del fen´omeno de las oscilaciones de neutrinos, donde la mayor dificultad de estos experimentos reside en saber interpretar las se˜nales de los detectores de manera que se asocien a su correspondiente proceso. Asimismo, el estudio de la interacci´on neutrino-n´ucleo aporta informaci´on sobre la estructura nuclear y hadr´onica. En este trabajo se estudian dos de los principales mecanismos de interacci´on de los neutrinos con el material activo de los detectores: los procesos de dispersi´on el´astica en nucleones y de dispersi´on cuasiel´astica en n´ucleos. El trabajo se divide en cuatro partes. En la Parte I, se introducen las propiedades fundamentales del neutrino. En las Partes II y III, se describen te´oricamente los procesos anteriormente mencionados con el prop´osito de obtener las secciones eficaces y compararlas con resultados experimentales. Esto nos permitir´a evaluar las incertidumbres asociadas a la estructura hadr´onica y la din´amica nuclear en ambos procesos. Por ´ultimo, en la Parte IV, se muestran las conclusiones. 3
Cap´ıtulo 2 El neutrino En este cap´ıtulo, se hace un breve repaso de la historia del neutrino; desde su postulado y posterior descubrimiento hasta sus extra˜nas propiedades cuya descripci´on a´un supone un desaf´ıo para los f´ısicos. 2.1. Postulado y descubrimiento El neutrino se postul´o en un intento de explicar el espectro energ´etico continuo del decaimiento β. En este proceso, un n´ucleo inestable decae a otro distinto m´as estable junto con la emisi´on de una part´ıcula β(electr´on o positr´on). Conforme a esta descripci´on, la part´ıcula βdeber´ıa tener una energ´ıa cin´etica bien definida seg´un la ley de conservaci´on de la energ´ıa y el momento. No obstante, la determinaci´on experimental del espectro energ´etico del decaimiento βresult´o en un continuo de energ´ıa (ver Figura 2.1). Figura 2.1: Espectro de energ´ıa del decaimiento beta. El continuo muestra que la part´ıcula βpuede emitirse en un rango de energ´ıas inferior a la energ´ıa disponible en el proceso. 4
5 2.2. SABOR En 1930, Wolfgang Pauli postul´o que, junto a la part´ıcula β, deb´ıa emitirse otra part´ıcula a´un no detectada de manera que ambas compartieran la energ´ıa disponible en el proceso. Este planteamiento permit´ıa explicar el espectro continuo del decaimiento βy, al mismo tiempo, preservar la ley de conservaci´on de la energ´ıa y el momento. La nueva part´ıcula ser´ıa un fermi´on con carga el´ectrica y masa nulas, al que se le denomin´o neutrino. Partiendo de este postulado, en 1933, Enrico Fermi desarroll´o una teor´ıa del decaimiento β[1]. Podemos distinguir entre el decaimiento β−o el decaimiento β+dependiendo de si la part´ıcula emitida es un electr´on o un positr´on, respectivamente. β−:n→p+e−+νe, β+:p→n+e++νe. En este contexto, la presencia del neutrino tambi´en es necesaria para la conservaci´on del momento angular total. Debido a que en el estado inicial tenemos un fermi´on de esp´ın semientero, es necesario que el estado final contenga un n´umero impar de fermiones. Una vez postulado el neutrino, era necesario confirmarse su existencia de manera experimental. Dado que se trata de una part´ıcula sin carga el´ectrica, su detecci´on debe llevarse a cabo de forma indirecta, observando los productos generados durante su interacci´on con la materia. En 1956, Frederick Reines y Clyde L. Cowan estudiaron el proceso de desintegraci´on beta inversa (νe+p→n+e+) empleando un reactor nuclear de fisi´on como fuente artificial de antineutrinos (1). Dise˜naron un experimento con el que lograron poner de manifiesto la presencia del positr´on y del neutr´on producidos en dicho proceso, proporcionando as´ı una confirmaci´on de la existencia del antineutrino. 2.2. Sabor En las d´ecadas de 1930 y 1940, el estudio de los rayos c´osmicos revel´o una nueva propiedad del neutrino denominada sabor. Los rayos c´osmicos son radiaciones de alta energ´ıa, compuestos principalmente por protones. Cuando estos interaccionan con los ´atomos de la atm´osfera terrestre, generan una cascada de part´ıculas secundarias, lo que condujo al descubrimiento de nuevas part´ıculas, como el pi´on y el mu´on [1]. (1) Anteriormente se hab´ıa intentado demostrar la existencia del neutrino usando uno de estos reactores sin obtener ning´un resultado [1], esto evidencia que existen diferencias entre neutrinos y antineutrinos.
Parte II Dispersi´on el´astica neutrino-nucle´on 12
Cap´ıtulo 3 Formalismo general En este cap´ıtulo, se aborda el an´alisis te´orico del proceso de dispersi´on el´astica neutrinonucle´on (ν−N). Se establece el formalismo general necesario para describir este proceso d´ebil y se lleva a cabo el c´alculo de su secci´on eficaz(1). Nos restringiremos al caso particular de dispersi´on νl−Nmediada por corrientes cargadas, donde el sub´ındice ldenota el sabor lept´onico. Las expresiones que obtendremos son aplicables a cualquier sabor, simplemente es necesario considerar la masa del lept´on cargado correspondiente. El proceso mediado por corrientes neutras no ser´a objeto de nuestro estudio. No obstante, puede encontrarse una descripci´on detallada del mismo en [13]. 3.1. Cinem´atica del proceso Consideremos el proceso de dispersi´on el´astica νl−Nmediada por corrientes cargadas. La descripci´on del proceso en primer orden en teor´ıa de perturbaciones est´a representada en la Figura 8.2. Obs´ervese que el diagrama consta de dos v´ertices, uno lept´onico y otro hadr´onico, entre los cuales se produce un intercambio de carga debido al intercambio del bos´on vectorial cargado W±, que es mediador de la interacci´on d´ebil. Asimismo, cabe destacar que el plano de reacci´on est´a contenido en el plano XZ, debido a nuestra elecci´on de ejes cartesianos, en la cual el momento transferido solo tiene componente en la direcci´on z. Esta elecci´on es importante, ya que simplifica considerablemente el desarrollo matem´atico que se presenta a continuaci´on. (1) En lo sucesivo, se trabaja en el sistema natural de unidades de manera que ℏ=c= 1. 13
14 3.1. CINEM´ ATICA DEL PROCESO Figura 3.1: Diagrama de Feynman del proceso de dispersi´on el´astica neutrino-nucle´on. Se indica el momento y el esp´ın de las part´ıculas implicadas en el proceso. Escogemos trabajar en el sistema laboratorio de manera que el neutrino incidente colisiona con el nucle´on inicial que supondremos que se encuentra libre y en reposo. En ese caso, el momento transferido se corresponde con el momento del prot´on saliente. Adicionalmente, consideraremos la aproximaci´on del neutrino ultrarelativista de manera que su masa no ser´a relevante en la descripci´on del proceso. A continuaci´on, se introduce la notaci´on de los cuadri-momentos de las part´ıculas implicadas en el proceso. Neutrino incidente νl •Cuadri-momento: Kµ ν= (εν, kν)•Energ´ıa: εν=| kν| Nucle´on inicial n •Cuadri-momento: Pµ i= (Ei, pi= 0) •Energ´ıa: Ei=MN Lept´on saliente l− •Cuadri-momento: Kµ l= (εl, kl)•Energ´ıa: εl=qm2 l+| kl|2 •´ Angulo de salida respecto al neutrino incidente: θl
15 3.2. SECCI´ ON EFICAZ Nucle´on final p •Cuadri-momento: Pµ f= (Ef, pf)•Energ´ıa: Ef=qM2 N+|pf|2 Bos´on intercambiado W+ •Cuadri-momento: Qµ= (ω, q )•Energ´ıa: ω=qM2 W+|q |2 Las relaciones que definen la cinem´atica del proceso se obtienen aplicando la ley de conservaci´on de la energ´ıa y el momento en cada uno de los v´ertices del diagrama de Feynman que describe el proceso. V´ertice 1 Conservaci´on de la energ´ıa: ω=εν−εl Conservaci´on del momento: q = kν− kl→ |q |2=ε2 ν+| kl|2−2εν| kl|cos θl V´ertice 2 Conservaci´on de la energ´ıa: MN+ω=Ef Conservaci´on del momento: q =pf ω2+ 2Mω =|q |2→2Mω =−Q2=|Q2| Las conservaciones impuestas nos muestran que la cinem´atica del proceso est´a completamente descrita por las variables εν,εlyθl. Es m´as, relaciona dichas variables, de manera que fijada dos de las mismas, la tercera est´a un´ıvocamente determinada. Asimismo, las relaciones previas conducen a que el cuadri-momento transferido es un cuadri-vector de tipo espacial dado que Q2=ω2−|q |2<0. 3.2. Secci´on eficaz La secci´on eficaz est´a asociada a la probabilidad de ocurrencia de un cierto proceso. Es un observable que se mide experimentalmente. De ah´ı, que gran parte de este cap´ıtulo se centre en el c´alculo y an´alisis de la secci´on eficaz de nuestro proceso en estudio. La secci´on eficaz diferencial [6, 14] viene dada por dσ =|Sfi|2 T·ϕinc dNf,(3.1)
16 3.2. SECCI´ ON EFICAZ siendo Sfi la amplitud de la transici´on, Tel tiempo, ϕinc el flujo de part´ıculas incidentes ydNfla densidad de estados finales. La densidad de estados finales se define como dNf=Y j V (2π)3d3pj=V2 (2π)6d3 kld3pf,(3.2) donde pjson los momentos de las part´ıculas en el estado final. Recu´erdese que nuestro proceso en estudio presenta dos part´ıculas salientes, el lept´on cargado y el prot´on con momentos klypf, respectivamente. El flujo de part´ıculas incidentes se corresponde con el m´odulo de la velocidad relativa de las part´ıculas en el estado inicial dividido por el volumen, es decir, ϕinc =|v1−v2| V≈1 V,(3.3) donde v1yv2representan las velocidades referidas a las dos part´ıculas iniciales. Debe tenerse en cuenta que, en nuestro proceso, el nucle´on inicial se encuentra en reposo. Por consiguiente, la velocidad relativa se corresponde con la del neutrino incidente que se supone que se desplaza a una velocidad pr´oxima a la de la luz. 3.2.1. Corrientes lept´onica y hadr´onica Antes de abordar el c´alculo de la amplitud de la transici´on Sfi, el cual se detalla en la secci´on 3.2.3, es fundamental introducir ciertas definiciones que se emplean durante el proceso de c´alculo. En primer lugar, definimos las corrientes lept´onica y hadr´onica asociadas a cada uno de los v´ertices del diagrama de Feynman del proceso. Corriente lept´onica. Es la corriente asociada al v´ertice 1 de nuestro proceso (ver Figura 8.2). Permite describir la destrucci´on de un neutrino y la creaci´on de un lept´on de carga el´ectrica negativa en el v´ertice, disminuyendo la carga en una unidad en el mismo. La expresi´on de esta corriente es Jα† (l)(X1) = Ψl(X1)γα(1 −γ5) Ψν(X1).(3.4) Si la part´ıcula incidente fuera un antineutrino, la corriente lept´onica sufre un cambio de signo en el t´ermino asociado a γ5, como consecuencia de la quiralidad definida que
17 3.2. SECCI´ ON EFICAZ presentan los leptones y antileptones en procesos d´ebiles. Esto permite describir la destrucci´on de un antineutrino y la creaci´on de un lept´on de carga el´ectrica positiva en el v´ertice, aumentando la carga en una unidad en el mismo. Obs´ervese que, en tal caso, el nucle´on inicial debe ser un prot´on para que se conserve la carga el´ectrica en los v´ertices del diagrama de Feynman. Corriente hadr´onica. Se trata de la corriente asociada en el v´ertice 2 de nuestro proceso (ver Figura 8.2). Permite describir la destrucci´on de un nucle´on y la creaci´on otro distinto en el v´ertice, apreci´andose un cambio de la carga el´ectrica en una unidad o, equivalentemente, un cambio de la tercera componente de isosp´ın en una unidad. La expresi´on de esta corriente es Jβ (N)(X2) = Ψp(X2)γβ(CV+CAγ5) Ψn(X2),(3.5) donde se incluyen los t´erminos CVyCAque est´an relacionados con la estructura interna del nucle´on, concretamente con su parte vector y axial, respectivamente. En las corrientes (3.4) y (3.5), aparecen la funci´on de onda de Dirac Ψ y su adjunta Ψ, donde los sub´ındices indican la part´ıcula a la que describen. Cabe descatar que ambas corrientes incluyen un t´ermino γµy un t´ermino γµγ5. Ambos t´erminos junto a las funciones de onda de Dirac forman covariantes bilineales cuya modificaci´on, bajo transformaciones de Lorentz, es conocida. Esta construcci´on de las corrientes lleva impl´ıcito la violaci´on de la paridad en la interacci´on d´ebil y tambi´en est´a asociado a la violaci´on de la conjugaci´on de carga en dicha interacci´on (consultar el Ap´endice A.4 para m´as informaci´on). La funci´on de onda de Dirac para part´ıculas libres viene dada por Ψ(X) = sM V Ep u(p, s)e−iPµXµ,(3.6) donde u(p, s) es el espinor de Dirac. Mientras la funci´on de onda adjunta de Dirac resulta Ψ(X)=Ψ†(X)γ0=sM V Ep u(p, s)eiPµXµ,(3.7) siendo u(p, s) el espinor adjunto de Dirac. El Ap´endice A.2 contiene una descripci´on m´as detallada sobre las soluciones libres de la ecuaci´on de Dirac.
18 3.2. SECCI´ ON EFICAZ Teniendo en cuenta las definiciones introducidas previamente, las corrientes lept´onica y hadr´onica pueden expresarse como se muestra a continuaci´on. Corriente lept´onica: Jα† (l)(X1) = 1 Vrmνml ενεl u( kl, sl) Γαu( kν, sν)eiX1·(Kl−Kν),(3.8) donde el t´ermino X1·(Kl−Kν) indica la contracci´on de los correspondientes cuadrivectores. Adem´as, se ha introducido el operador de Dirac Γαque viene dado por Γα=γα(1 −γ5).(3.9) Corriente hadr´onica: J(N) β(X2) = 1 V MN pEiEf u(pf, sf)˜ Γβu(pi, si)eiX2·(Pf−Pi),(3.10) donde el operador de Dirac ˜ Γβes ˜ Γβ=FV 1γβ+iFV 2 2MN σβµQµ | {z } ˜ ΓV β +GAγβγ5+GP 2MN Qβγ5 | {z } ˜ ΓA β .(3.11) Obs´ervese que el operador ˜ Γβtiene una expresi´on m´as compleja que la del operador Γα, como consecuencia de que los nucleones poseen una estructura interna de la cual los leptones carecen. En concreto, el operador ˜ Γβest´a compuesto por las componentes vector ˜ ΓV βy axial ˜ ΓA βque, a su vez, dependen de los siguientes factores de forma del nucle´on: FV 1,FV 2,GAyGP. Los t´erminos FV 1yFV 2est´an relacionados con la estructura vector del nucle´on, mientras GAyGPest´an asociados a la estructura pseudovector y pseudoescalar del nucle´on, respectivamente. Una descripci´on m´as detallada de estos factores de forma puede encontrarse en el cap´ıtulo 4. Por ´ultimo, es relevante destacar que hemos considerado una masa gen´erica MNpara el nucle´on, independientemente de si estamos considerando el prot´on o el neutr´on. Esto es posible dado que Mn≈Mp, de manera que definimos MNcomo el promedio de las masas del prot´on y el neutr´on.
19 3.2. SECCI´ ON EFICAZ 3.2.2. Hamiltoniano d´ebil Una vez introducidas las corrientes lept´onica y hadr´onica, se define el hamiltoniano d´ebil para procesos mediados por corrientes cargadas [6, 14]. Este viene dado por H(X1) = gW 2√22 Jα† (l)(X1)A(N) α(X1),(3.12) donde gWes la constante de acoplamiento d´ebil, an´aloga a la constante de estructura fina en la interacci´on electromagn´etica, mientras A(N) α(X1) es el cuadri-potencial que representa el campo que genera el nucle´on en su interacci´on con el neutrino. Este ´ultimo depende tanto de la corriente hadr´onica como del propagador del mediador de la interacci´on tal y como sigue A(N) α(X1) = Z∞ −∞ d4X2DW αβ(X1−X2)Jβ (N)(X2),(3.13) donde el propagador del bos´on Wen coordenadas espacio-temporales es DW αβ(X1−X2) = 1 (2π)4Z∞ −∞ d4Q DW αβ(Q)e−iQ·(X1−X2)(3.14) que, a su vez, depende del propagador en el espacio de momentos DW αβ(Q) = −gαβ +QαQβ/M2 W Q2−M2 W+iϵ .(3.15) En el rango de energ´ıas de nuestro inter´es podemos aplicar la aproximaci´on est´atica dado que |Q2| ≪ M2 Wdebido al elevado valor de la masa del bos´on cargado W. Recu´erdese que el momento transferido se corresponde con el momento del prot´on saliente mientras la masa del bos´on Wes 80.40 GeV [6]. En esta aproximaci´on, el propagador en el espacio de momentos se reduce a DW αβ(Q)≈gαβ M2 W .(3.16) De la misma manera, la aproximaci´on est´atica nos permite relacionar la constante de Fermi GF, que caracteriza la intensidad de la interacci´on d´ebil, con la constante de acoplamiento d´ebil gWcomo sigue GF √2=g2 W 8M2 W .(3.17)
20 3.2. SECCI´ ON EFICAZ 3.2.3. C´alculo de la amplitud de la transici´on La amplitud de la transici´on Sfi se corresponde con el elemento de matriz de la matriz de colisi´on Sentre los estados final e inicial. La matriz de colisi´on Sconecta el estado inicial de un sistema |ϕ(−∞)⟩con una combinaci´on lineal de los posibles estados finales del mismo |ϕ(+∞)⟩de manera que |ϕ(+∞)⟩=S|ϕ(−∞)⟩[6, 14]. Por consiguiente, el elemento de matriz Sfi =⟨f|S|i⟩indica la amplitud de probabilidad de que el sistema en el estado inicial |i⟩alcance el estado final |f⟩tras la colisi´on. La amplitud de transici´on para nuestro proceso en estudio viene dada por Sfi =−iZ∞ −∞ d4X1H(X1) =−igW 2√22Z∞ −∞ d4X1Jα† (l)(X1)A(N) α(X1) =−igW 2√22Z∞ −∞ d4X1Z∞ −∞ d4X2Jα† (l)(X1)DW αβ(X1−X2)Jβ (N)(X2).(3.18) Introduciendo las corrientes lept´onica (3.8) y hadr´onica (3.10) y el propagador del bos´on Wen la aproximaci´on est´atica (3.16) resulta Sfi =−i V2smlmνM2 N εlενEfEiZ∞ −∞ d4Q (2π)4Z∞ −∞ d4X1ei(Kl−Kν−Q)·X1Z∞ −∞ d4X2ei(Pf−Pi−Q)·X2 ·g2 W 8M2 Whul( kl, sl)Γαuν( kν, sν)ihup(pf, sf)˜ Γαun(pi, si)i.(3.19) Las integrales que aparecen en (3.19) se encuentran desarrolladas en el Ap´endice B.1 resultando (2π)4δ4(Kl+Pf−Kν−Pi) donde la δ4est´a relacionada con la conservaci´on del cuadri-momento en el proceso. Sustituyendo este resultado en (3.19) e introduciendo la constante de Fermi GFdefinida en (3.17), la amplitud de la transici´on queda Sfi =−i V2smlmνM2 N εlενEfEi (2π)4δ4(Kl+Pf−Kν−Pi) ·GF √2hul( kl, sl)Γαuν( kν, sν)ihup(pf, sf)˜ Γαun(pi, si)i,(3.20) cuyo m´odulo al cuadrado es |Sfi|2=1 V4 mlmνM2 N εlενEfEi(2π)4δ4(Kl+Pf−Kν−Pi)2|Mfi|2,(3.21)
21 3.2. SECCI´ ON EFICAZ donde se ha introducido la amplitud invariante Mfi que contiene toda la informaci´on f´ısica de la interacci´on, a diferencia de los restantes t´erminos que ´unicamente describen la cinem´atica del proceso, y que est´a definida como Mfi =GF √2hul( kl, sl)Γαuν( kν, sν)ihup(pf, sf)˜ Γαun(pi, si)i.(3.22) Adem´as, teniendo en cuenta el desarrollo realizado en el Ap´endice B.2, se obtiene que (2π)4δ4(Kl+Pf−Kν−Pi)2= (2π)4V Tδ4(Kl+Pf−Kν−Pi).(3.23) Por consiguiente, el m´odulo de la amplitud de la transici´on resulta |Sfi|2=1 V4 mlmνM2 N εlενEfEi (2π)4V Tδ4(Kl+Pf−Kν−Pi)|Mfi|2.(3.24) C´alculo del m´odulo al cuadrado de la amplitud invariante |Mfi|2 En principio, los espines de las part´ıculas son desconocidos de manera que para determinar |Mfi|2sumamos sobre los estados de esp´ın finales y promediamos sobre los estados de esp´ın iniciales de las part´ıculas implicadas en el proceso. Tras un desarrollo extenso que puede verse en el Ap´endice C.1 resulta, 1 2X sν,sl,si,sf|Mfi|2=G2 FηαβWαβ,(3.25) donde aparece la contracci´on de los tensores lept´onico ηαβ y hadr´onico Wαβ. Estos tensores se determinan mediante el m´etodo de trazas (ver Ap´endice C.2). El c´alculo exhaustivo de los tensores lept´onico y hadr´onico se puede encontrar en los Ap´endices C.3 y C.4, respectivamente. No obstante, en lo que sigue se muestran los resultados m´as relevantes. Tensor lept´onico ηαβ ηαβ =1 2X sl,sνhul( kl, sl)Γαuν( kν, sν)ihuν( kν, sν)Γβul( kl, sl)i =1 2Tr / Kl+ml 2ml Γα/ Kν+mν 2mν Γβ =1 mlmνhKα lKβ ν−(Kl·Kν)gαβ +Kβ lKα ν−iϵαβδϕKlδKνϕi,(3.26)
28 3.2. SECCI´ ON EFICAZ Para realizar la integral, es conveniente expresar la funci´on δde Dirac de manera apropiada. Haciendo uso de las propiedades de dicha funci´on se obtiene que δω−|Q2| 2MN= 2MNδ2MNω−Q2.(3.62) A su vez, la funci´on δresultante puede reescribirse como sigue haciendo uso de las relaciones obtenidas al aplicar la ley de conservaci´on de la energ´ıa y el momento: δ2MNω−Q2=1 2εν| kl|δ cos θl−2 (ενεl+MNεl−MNεν)−m2 l 2εν| kl| | {z } cos θ0 .(3.63) El desarrollo preciso para llegar a esta expresi´on puede encontrarse en el Ap´endice B.3. Esto simplifica el c´alculo de la secci´on eficaz diferencial simple: dσ dεl =ZdΩl dσ dεldΩl =G2 F 4π2 MN ε2 νZdΩlδ(cos θl−cos θ0) ˜ηαβWαβ =G2 F 4π2 MN ε2 ν 2π˜ηαβWαβcos θl=cos θ0 =G2 F 2π MN ε2 ν ˜ηαβWαβcos θl=cos θ0 .(3.64) A partir de este resultado, podemos obtener la secci´on eficaz diferencial simple respecto al coseno del ´angulo de dispersi´on del lept´on saliente, usando la relaci´on cinem´atica entre la energ´ıa y el ´angulo de dispersi´on del lept´on saliente: dσ dcos θl =dσ dεl dεl dcos θl =G2 F 2π MN ε2 ν | kl| 1 + MN εν−εlcos θl | kl| ˜ηαβWαβcos θl=cos θ0 ,(3.65) donde se ha tenido en cuenta que cos θl=−m2 l−2ενMN+ 2εl(εν+MN) 2εν| kl|→dεl dcos θl =| kl| 1 + MN εν−εlcos θl | kl| .(3.66) Por ´ultimo, podemos determinar la secci´on eficaz simple respecto al ´angulo s´olido del lept´on saliente como sigue dσ dΩl =dσ dεl dεl dcos θl =G2 F 2π MN ε2 ν | kl| 1 + MN εν−εlcos θl | kl| ˜ηαβWαβcos θl=cos θ0 ,(3.67)
29 3.3. FACTORES CINEM´ ATICOS Y FUNCIONES DE RESPUESTA la cual puede reescribirse como dσ dΩl =1 2π dσ dcos θl =G2 F 4π2| kl| εν f−1 rec ˜ηαβWαβcos θl=cos θ0 ,(3.68) donde se ha introducido el factor de retroceso frec: frec = 1 + εν(| kl|−εlcos θl) MN| kl|.(3.69) 3.3. Factores cinem´aticos lept´onicos y funciones de respuesta hadr´onica La contracci´on de los tensores lept´onico reducido y hadr´onico ˜ηαβWαβ puede descomponerse en las distintas componentes de los tensores implicados en la contracci´on [15], permitiendo expresar la secci´on eficaz simple (3.68) como (2): dσ dΩlχ =σ0F2 χ,(3.70) donde χhace referencia a los casos neutrino (χ= +) y antineutrino (χ=−), mientras la amplitud σ0viene dada por σ0=G2 F 2π2εl| kl|cos2˜ θ 2f−1 rec,(3.71) siendo tan2˜ θ 2=|Q2| v0 yv0= (εν+εl)2−|q |2= 4ενεl−Q2.(3.72) Por ´ultimo, el t´ermino F2 χcontiene toda la informaci´on de la estructura nuclear: F2 χ=ˆ VCCRCC + 2 ˆ VCLRCC +ˆ VLLRLL +ˆ VTRT+χˆ VT′RT′,(3.73) donde ˆ VKyRKrepresentan los factores cinem´aticos lept´onicos y las funciones de respuesta hadr´onica, respectivamente. Estos se corresponden con las distintas componentes de los tensores lept´onico reducido y hadr´onico, respectivamente. (2) La relaci´on entre (3.68) y (3.70) reside en que ˜ηαβ Wαβ =v0 2F2 χ.
30 3.3. FACTORES CINEM´ ATICOS Y FUNCIONES DE RESPUESTA La descomposici´on (3.73) incluye t´erminos de tipo carga-carga (CC), carga-longitudinal (CL), longitudinal-longitudinal (LL) y dos tipos de t´erminos transversales (T y T’). Los t´erminos de tipo carga est´an asociados a la componente 0 de las corrientes implicadas en el proceso, mientras que los de tipo longitudinal se refieren a la componente 3 de las mismas que, a su vez, se corresponde con la componente longitudinal del momento transferido. Por su parte, los t´erminos transversales se relacionan con las componentes transversales del momento transferido, es decir, las componentes 1 y 2 de las corrientes. Recu´erdese que la contracci´on ˜ηαβWαβ puede descomponerse en suma de una parte sim´etrica y una antisim´etrica: ˜ηαβWαβ = ˜ηαβ SWS αβ + ˜ηαβ AWA αβ, donde WS αβ =WV V αβ +WAA αβ yWA αβ =WV A αβ . Tambi´en podemos separar las componentes de las funciones de respuesta hadr´onica en sus contribuciones vector y axial: RCC =RV V CC +RAA CC RCL =RV V CL +RAA CL RLL =RV V LL +RAA LL RT=RV V T+RAA T RT′=RV A T′.(3.74) Adem´as, la parte sim´etrica vector de las corrientes implicadas en la contracci´on tensorial satisface la propiedad de conservaci´on de la corriente: QµJV µ= 0. Por consiguiente, las componentes temporal y longitudinal de estas corrientes est´an relacionadas por la energ´ıa y el momento transferidos, dado que ωJV 0+qJV 3= 0, por ende, JV 3=−ω qJV 0. T´engase en cuenta que Wαβ ∝J(N) αJ(N)† β, de manera que: WV V 03 =WV V 30 =−ω qWV V 00 −→ RV V CL =−ω qRV V CC ,(3.75) WV V 33 =ω q2 WV V 00 −→ RV V LL =ω q2 RV V CC .(3.76) Esto permite reescribir (3.73) de una forma m´as compacta ya que la suma de las contribuciones vector (α, β) = (0,0), (0,3), (3,0) y (3,3) se agrupan en un ´unico t´ermino: ˆ VCCRV V CC + 2 ˆ VCLRV V CL +ˆ VLLRV V LL =ˆ VLRV V L≡XV V L,(3.77)
31 3.3. FACTORES CINEM´ ATICOS Y FUNCIONES DE RESPUESTA donde RV V L=RV V CC ,(3.78) ˆ VL=ˆ VCC −2ω qˆ VCL +ω q2 ˆ VLL.(3.79) Esto no se produce en las contribuciones axiales correspondientes, puesto que la parte sim´etrica axial de las corrientes no satisface la propiedad de conservaci´on anteriormente mencionada: QµJA µ= 0. En su lugar, se tiene que ˆ VCCRAA CC + 2 ˆ VCLRAA CL +ˆ VLLRAA LL ≡XAA C/L.(3.80) Respecto a las componentes transversales, por un lado, tenemos las contribuciones sim´etricas correspondientes a (α, β) = (1,1) y (2,2): ˆ VTRV V T+RAA T≡XT,(3.81) mientras que las contribuciones (α, β) = (1,2) y (2,1) est´an asociadas al t´ermino de interferencia vector-axial y se engloban en: 2ˆ VT′RV A T′≡XT′.(3.82) Finalmente, la respuesta completa queda recogida en la siguiente expresi´on: F2 χ=XV V L+XAA C/L +XT+χXT′.(3.83) Para desarrollar las funciones de respuesta hadr´onica y los factores cinem´aticos lept´onicos, es com´un introducir las siguientes variables adimensionales: λ≡ω 2MN , κ ≡q 2MN , τ ≡|Q2| 4M2 N =κ2−λ2,(3.84) donde la condici´on de proceso el´astico, ω=|Q2| 2MN, implica que λ=τ. La definici´on de las funciones de respuesta hadr´onica y de los factores cinem´aticos lept´onicos en funci´on de las componentes del tensor hadr´onico y lept´onico, respectivamente, as´ı como sus resultados se muestran a continuaci´on.
32 3.3. FACTORES CINEM´ ATICOS Y FUNCIONES DE RESPUESTA Funciones de respuesta hadr´onica: RV V CC =WV V 00 =κ2 τhG(1) Ei2,(3.85) RAA CC =WAA 00 =κ2 τλ κ2hG′(1) Ai2,(3.86) RAA CL =−1 2WAA 03 +WAA 30 =−κ2 τλ κhG′(1) Ai2,(3.87) RAA LL =WAA 33 =κ2 τhG′(1) Ai2,(3.88) RV V T=WV V 11 +WV V 22 = 2τhG(1) Mi2,(3.89) RAA T=WAA 11 +WAA 22 = 2τ(1 + τ)hG(1) Ai2,(3.90) RV A T′=−i 2WV A 12 −WV A 21 =−2pτ(1 + τ)G(1) MG(1) A,(3.91) siendo G(1) E=FV 1(Q2)−τFV 2(Q2),(3.92) G(1) M=FV 1(Q2) + FV 2(Q2),(3.93) G(1) A=GA(Q2),(3.94) G′(1) A=GA(Q2)−τGP(Q2).(3.95) En el Cap´ıtulo 4 se muestra que G(1) EyG(1) Mse corresponden con los factores de forma de Sachs d´ebiles el´ectrico y magn´etico, respectivamente. Mientras GAyGP se corresponden con los factores de forma axial y pseudoescalar, tal y como se coment´o previamente. Obs´ervese que las funciones de respuesta hadr´onica recogen la informaci´on relativa a la estructura interna del nucle´on.
33 3.3. FACTORES CINEM´ ATICOS Y FUNCIONES DE RESPUESTA Factores cinem´aticos lept´onicos: ˆ VCC =2 v0 ˜η00 = 1 −δ2tan2˜ θ 2,(3.96) ˆ VCL =2 v0 ˜η03 =λ κ+δ2 ρ′tan2˜ θ 2,(3.97) ˆ VLL =2 v0 ˜η33 =λ κ2 +1 + 2λ κρ′+ρδ2δ2tan2˜ θ 2,(3.98) ˆ VT=1 v0˜η11 + ˜η22=ρ 2+ tan2˜ θ 2−δ2 ρ′tan2˜ θ 2λ κ+ρρ′δ2 2,(3.99) ˆ VT′=i v0˜η12 −˜η21=1 ρ′ ˜ θ 21−λρ′δ2 κ,(3.100) donde se han introducido las siguientes variables adimensionales adicionales: δ=ml p|Q2|,(3.101) ρ=|Q2| q2=τ κ2,(3.102) ρ′=q εν+εl =tan ˜ θ/2 qρ+ tan2˜ θ/2∈(0,1).(3.103) Cabe se˜nalar que los factores cinem´aticos lept´onicos se expresan en t´erminos de variables puramente cinem´aticas, que describen la energ´ıa y el momento transferidos en el proceso as´ı como la energ´ıa o masa de los leptones involucrados. Por consiguiente, estos factores est´an ´unicamente ligados a la cinem´atica espec´ıfica del proceso y no contienen informaci´on sobre la estructura interna del nucle´on.
Cap´ıtulo 4 Estructura d´ebil del nucle´on Para describir te´oricamente el proceso de dispersi´on el´astica neutrino-nucle´on, es esencial conocer la forma de la corriente hadr´onica, la cual depende de los factores de forma d´ebiles del nucle´on. Estos factores de forma son funciones matem´aticas que se introducen para describir propiedades espec´ıficas de los nucleones y que nos proporcionan informaci´on de su estructura interna. En este cap´ıtulo, se presentan los factores de forma d´ebiles del nucle´on, junto con distintas parametrizaciones que se utilizan en la actualidad para su descripci´on. En la construcci´on de estos factores de forma, es importante destacar las hip´otesis de conservaci´on de la corriente vector (CVC) y de la corriente axial parcialmente conservada (PCAC), pues establecen relaciones fundamentales entre los distintos factores de forma del nucle´on. Para obtener informaci´on m´as detallada, puede consultarse [16]. 4.1. Estructura vector La parte vector de la corriente hadr´onica (3.10) depende de los factores de forma d´ebiles FV 1(Q2) y FV 2(Q2), que son conocidos como factores de forma isovectores. No obstante, resulta m´as conveniente definir las siguientes combinaciones lineales de los mismos: GV E(Q2) = FV 1(Q2)−τFV 2(Q2),(4.1) GV M(Q2) = FV 1(Q2) + FV 2(Q2),(4.2) 34
35 4.1. ESTRUCTURA VECTOR donde GV E(Q2) y GV M(Q2) se denominan factores de forma d´ebiles de Sachs el´ectrico y magn´etico, respectivamente. La ventaja de estas construcciones es que aparecen directamente en las funciones de respuesta hadr´onica (v´ease las ecuaciones 3.92 y 3.93), y, por lo tanto, en la secci´on eficaz de nuestro proceso en estudio. Recurriendo a la hip´otesis CVC, podemos expresar los factores de forma de Sachs d´ebiles en funci´on de los electromagn´eticos. Dicha hip´otesis establece que la conservaci´on de la corriente electromagn´etica implica la conservaci´on de la parte vector de la corriente d´ebil, lo que permite relacionar la estructura vector d´ebil del nucle´on con la electromagn´etica. En consecuencia, puede escribirse que GV E(Q2) = Gp E(Q2)−Gn E(Q2),(4.3) GV M(Q2) = Gp M(Q2)−Gn M(Q2),(4.4) donde Gn,p E(Q2) y Gn,p M(Q2) representan los factores de forma de Sachs el´ectrico y magn´etico, respectivamente, para el neutr´on y el prot´on. Estos se construyen, a su vez, mediante los factores de forma de Pauli Fn,p 1(Q2) y Dirac Fn,p 2(Q2) para el neutr´on y el prot´on, de la siguiente manera: Gn,p E(Q2) = Fn,p 1(Q2)−τFn,p 2(Q2),(4.5) Gn,p M(Q2) = Fn,p 1(Q2) + Fn,p 2(Q2).(4.6) La informaci´on experimental de los factores de forma electromagn´eticos se extrae principalmente del estudio de procesos de dispersi´on de electrones por protones o blancos ligeros, debido a la dificultad de conseguir un blanco de neutrones aislados. Estas medidas se emplean para formular distintas parametrizaciones de los factores de forma electromagn´eticos, que se aplican en el estudio de procesos de interacci´on de neutrinos con nucleones y n´ucleos. Las parametrizaciones de los factores de forma electromagn´eticos deben reproducir un comportamiento espec´ıfico en los l´ımites extremos, donde su respuesta es conocida [17]. En el l´ımite est´atico, cuando |Q2|= 0, los factores de forma electromagn´eticos de Sachs se corresponden con la carga el´ectrica y el momento magn´etico del nucle´on: Gp E(0) = 1, Gp M(0) = µp= 2.793,(4.7) Gn E(0) = 0, Gn M(0) = µn=−1.913.(4.8)
36 4.1. ESTRUCTURA VECTOR Para valores elevados de |Q2|, la Cromodin´amica Cu´antica perturbativa (pQCD) predice que estos factores de forma son funci´on de Q−4. Nuestra falta de conocimiento en la regi´on intermedia se subsana mediante los datos experimentales obtenidos en procesos de dispersi´on de electrones, los cuales se emplean para ajustar las distintas parametrizaciones. 4.1.1. Parametrizaci´on de los factores de forma EM A continuaci´on, se presentan distintas parametrizaciones de los factores de forma electromagn´eticos del nucle´on que permiten caracterizar su estructura vector d´ebil. Parametrizaci´on dipolar [18]: Esta parametrizaci´on se basa en una forma funcional dipolar, describiendo los factores de forma electromagn´eticos del nucle´on como Gp E(Q2) = GD(Q2),(4.9) Gn E(Q2) = −µnτξnGD(Q2),(4.10) Gp M(Q2) = µpGD(Q2),(4.11) Gn M(Q2) = µnGD(Q2),(4.12) donde el factor dipolar GD(Q2) viene dado por GD(Q2) = 1 1 + |Q2| Λ22,(4.13) siendo Λ2= 0.71 GeV2. Mientras que ξn= (1 + τλn)−1con λn= 5.6. Parametrizaci´on BBBA05 [19]: Esta parametrizaci´on tambi´en considera una ´unica forma funcional para describir los cuatro factores de forma electromagn´eticos del nucle´on. En este caso, la forma funcional general viene dada por G(Q2)∝P2 k=0 akτk 1 + P4 k=1 bkτk,(4.14) donde los par´ametros akybkpara los distintos factores de forma de Sachs se recogen en la Tabla 4.1.
37 4.1. ESTRUCTURA VECTOR a0a1a2b1b2b3b4 Gp E(Q2) 1 -0.0578 - 11.1 13.6 33.0 - Gp M(Q2)/µp1 0.150 - 11.1 19.6 7.54 - Gn E(Q2) 0 1.25 1.30 -9.86 305 -758 802 Gn M(Q2)/µn1 1.81 - 14.1 20.7 68.7 - Tabla 4.1: Par´ametros de ajuste de la parametrizaci´on BBBA05 para los distintos factores de forma electromagn´eticos de Sachs. Estos valores han sido extra´ıdos de [19]. Parametrizaciones basadas en los modelos VMD: Los modelos de mesones vectoriales dominantes (VMD) consideran que, en primer orden en teor´ıa de perturbaciones, el fot´on intercambiado en la interacci´on electr´on-nucle´on se transforma en un mes´on vectorial que posteriormente se acopla al nucle´on. En consecuencia, las parametrizaciones basadas en los modelos VMD expresan los factores de forma electromagn´eticos del nucle´on en t´erminos de los propagadores mes´onicos y de los factores de forma mes´on-nucle´on, siendo su descripci´on compleja. En este trabajo se consideran dos parametrizaciones basadas en los mencionados modelos: GKeX [20] ytwo-component model [21]. Una vez establecidas las parametrizaciones de los factores de forma electromagn´eticos de inter´es, se procede a analizar sus comportamientos. En la Figura 4.1, se representan los factores de forma de Sachs electromagn´eticos correspondientes a las distintas parametrizaciones previamente introducidas. Tambi´en se incluyen datos experimentales obtenidos en experimentos de dispersi´on de electrones. Observamos que, a valores bajos de |Q2|, todas las parametrizaciones muestran respuestas similares. Sin embargo, a medida que |Q2|aumenta, comienzan a surgir diferencias significativas. Las mayores desviaciones con respecto a los datos experimentales se observan para la parametrizaci´on dipolar, mostrando que la forma funcional dipolar no tiene la capacidad de reproducir los datos experimentales.
44 5.1. CINEM´ ATICA proceso cuasiel´astico, el cual ser´a objeto de estudio en cap´ıtulos posteriores. Las variables cinem´aticas que vamos a considerar son: el cuadri-momento transferido |Q2|, el ´angulo de dispersi´on θµ, la energ´ıa ωy el momento qtransferidos. En la Figura 5.1, se representa la secci´on eficaz simple (5.1) en funci´on de las variables cinem´aticas anteriormente mencionadas, para distinto valores de la energ´ıa del neutrino incidente. En cada caso, el rango de valores de las distintas variables en el que la secci´on eficaz est´a definida viene determinado por las propiedades de conservaci´on de energ´ıa y momento en el proceso. 0 0.5 1 1.5 2 2.5 jQ2j(GeV2) 0 0.5 1 1.5 d< d+71cm2 sr 2 #10-38 "8= 0:5 GeV "8= 1:0 GeV "8= 1:5 GeV (a) 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 37(/) 10-41 10-40 10-39 10-38 10-37 d< d+71cm2 sr 2 (b) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 !(GeV) 0 0.5 1 1.5 d< d+71cm2 sr 2 #10-38 (c) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 q(GeV) 0 0.5 1 1.5 d< d+71cm2 sr 2 #10-38 (d) Figura 5.1: Secci´on eficaz diferencial el´astica frente a |Q2|(a), θµ(b), ω(c) y q(d). Se consideran distintos valores para la energ´ıa del neutrino incidente εν. En la Figura 5.1a, se representa la secci´on eficaz en funci´on de |Q2|. Se observa que, a medida que aumenta la energ´ıa del neutrino incidente, el rango de valores accesibles para |Q2|se ampl´ıa. Esta tendencia es l´ogica, ya que a mayor energ´ıa del neutrino incidente,
45 5.2. ASIMETR´ IA NEUTRINO-ANTINEUTRINO hay m´as energ´ıa disponible para transferir al nucle´on con el que interacciona. Adem´as, se aprecia que la secci´on eficaz disminuye a medida que |Q2|aumenta. Este decrecimiento es m´as pronunciado a medida que la energ´ıa del neutrino incidente se incrementa, lo que sugiere que la transferencia de valores bajos de |Q2|es m´as probable en el proceso. En tales casos, el lept´on saliente apenas modifica su trayectoria respecto a la del neutrino incidente, es decir, el ´angulo de dispersi´on θµes peque˜no. Esto concuerda con lo que se muestra en la Figura 5.1b, donde se representa la secci´on eficaz en funci´on de θµ. Se puede notar que la secci´on eficaz disminuye a medida que el ´angulo θµse incrementa. Adem´as, esta disminuci´on es m´as acentuada a medida que la energ´ıa del neutrino incidente crece, lo que coincide con la tendencia observada en la Figura 5.1a. Por lo tanto, a medida que la energ´ıa del neutrino incidente aumenta, es menos probable que ocurra una dispersi´on hacia valores elevados del ´angulo θµ, lo que est´a asociado a una transferencia de valores altos de |Q2|. Asimismo, recu´erdese que |Q2|=|q |2−ω2>0. Por lo tanto, valores bajos de |Q2| corresponden con valores peque˜nos y/o similares de qyω. Sin embargo, es importante tener en cuenta la condici´on de r´egimen el´astico, que establece que ω=|Q2| 2MN. Esto implica que qyωtienen valores peque˜nos cuando |Q2|toma valores bajos. Es decir, la cinem´atica m´as probable es aquella en la que tanto qcomo ωtienen valores peque˜nos. Esto se refleja en las Figuras 5.1d y 5.1c, donde se representa la secci´on eficaz en funci´on de qyω, respectivamente. 5.2. Asimetr´ıa neutrino-antineutrino La diferencia entre los casos neutrino y antineutrino radica en el cambio de signo asociado a la parte axial de la corriente lept´onica (3.4). Este cambio es una consecuencia directa de la quiralidad bien definida que presentan los leptones y antileptones en procesos d´ebiles, y se manifiesta en un cambio de signo en el t´ermino XT′de la secci´on eficaz (5.1). En la Figura 5.2, se muestra la contribuci´on de las distintas componentes presentes en la secci´on eficaz (5.1) en el caso neutrino. El prop´osito de esta representaci´on es analizar la contribuci´on de cada una de estas componentes a la secci´on eficaz completa. Se observa que la componente XV V Lsolo es relevante para valores peque˜nos de |Q2|o, equivalentemente, para ´angulos θlpeque˜nos, como se mencion´o anteriormente. Adem´as,
46 5.2. ASIMETR´ IA NEUTRINO-ANTINEUTRINO cabe destacar que las componentes m´as significativas son las transversales, es decir, XT yXT′. En particular, XTdisminuye a medida que el valor de |Q2|aumenta. Esta disminuci´on se compensa con un aumento de XT′en los valores m´as bajos de |Q2|. En ´ultima instancia, ambas componentes disminuyen hasta converger, proporcionando una respuesta similar para los valores m´as altos de |Q2|. Finalmente, la componente XAA C/L presenta un aporte m´ınimo a la secci´on eficaz. Es importante tener en cuenta que este t´ermino est´a directamente relacionado con G′(1) A, el cual se reduce a: G′(1) A=1−|Q2| m2 π+|Q2|GA(Q2)≈m2 π |Q2|GA(Q2),(5.2) para la cinem´atica que estamos considerando, ya que |Q2| ≫ m2 π. Por ese motivo, este t´ermino tiene una contribuci´on pr´acticamente insignificante. 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 jQ2j(GeV2) 0 1 2 3 4 5 6 7 d< d+71cm2 sr 2 #10-39 d<=d+7 XVV L XAA C=L XT XT0 Figura 5.2: Secci´on eficaz diferencial el´astica y la contribuci´on de sus componentes que est´an definidas como XK=σ0XK. Se ha considerado εν= 1 GeV. En la Figura 5.3, se presenta la secci´on eficaz (5.1) para los casos neutrino y antineutrino. Como se mencion´o previamente, la diferencia fundamental entre ambos casos radica en un cambio de signo en el t´ermino XT′, cuya respuesta se muestra en la Figura 5.2. Esto resulta en que la secci´on eficaz para neutrinos siempre es mayor que la correspondiente a antineutrinos por una cantidad de 2σ0XT′.
47 5.2. ASIMETR´ IA NEUTRINO-ANTINEUTRINO Es interesante notar que XT′∝GA(Q2) y que GA(Q2) se anula para valores elevados de |Q2|, como se aprecia en la Figura 4.3a. Esto implica que la secci´on eficaz para neutrinos tiende a acercarse a la de antineutrinos a medida que |Q2|aumenta. En el l´ımite de valores muy altos de |Q2|, ambas secciones eficaces ser´ıan iguales. No obstante, para alcanzar valores elevados de |Q2|, es necesario que la energ´ıa del neutrino incidente sea significativamente alta. Asimismo, es importante tener en cuenta que a medida que esta energ´ıa aumenta, otros mecanismos de reacci´on comienzan a cobrar relevancia. Por ejemplo, las resonancias nucle´onicas, la producci´on de piones y la dispersi´on profundamente inel´astica desempe˜nan un papel m´as significativo en esa regi´on energ´etica. Por lo tanto, no podemos afirmar la existencia de una simetr´ıa real entre las respuestas de neutrinos y antineutrinos, ya que estamos considerando solo uno de los m´ultiples procesos que pueden tener lugar. 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 jQ2j(GeV2) 0 1 2 3 4 5 6 7 d< d+71cm2 sr 2 #10-39 87 87 Figura 5.3: Secci´on eficaz diferencial el´astica para los casos neutrino y antineutrino. Se ha considerado εν= 1 GeV.
Cap´ıtulo 6 Comparaci´on con datos experimentales En este cap´ıtulo, utilizaremos la secci´on eficaz el´astica calculada para tratar de reproducir datos experimentales. Nuestra descripci´on es aplicable tanto a los procesos de dispersi´on de neutrinos con nucleones libres como a aquellos en los que los nucleones forman parte de n´ucleos muy ligeros, donde los efectos de ligadura entre nucleones son menos notorios. En esta ´ultima situaci´on, suponemos que el neutrino interact´ua con un ´unico nucle´on, mientras que los restantes nucleones act´uan como meros espectadores. Los datos experimentales que consideraremos provienen de mediciones realizadas en c´amaras de burbuja por diversos laboratorios durante las d´ecadas de 1970 y 1980, as´ı como de mediciones publicadas por el laboratorio Fermilab este mismo a˜no. Estas ´ultimas son especialmente relevantes, ya que se ha empleado un m´etodo innovador para medir la dispersi´on el´astica de antineutrinos en protones. 6.1. C´amaras de burbuja Durante las d´ecadas de 1970 y 1980, se realizaron las primeras medidas de procesos de dispersi´on de neutrinos mediados por corrientes cargadas en blancos ligeros, empleando c´amaras de burbuja. Los datos experimentales m´as destacados provienen de experimentos llevados a cabo en el Laboratorio Nacional Argonne (ANL, Chicago), el Laboratorio Nacional de Brookhaven (BNL, Nueva York) y el Centro Europeo de Investigaci´on Nuclear (CERN, Ginebra) en el marco del experimento Gargamelle (GGM). 48
49 6.1. C´ AMARAS DE BURBUJA Las mediciones se corresponden con secciones eficaces totales, las cuales se obtienen mediante la integraci´on de la secci´on eficaz simple (5.1) en el ´angulo s´olido dΩl. En cuanto a los blancos empleados por estos experimentos, se incluyen tanto n´ucleos ligeros como mol´eculas. En la Figura 6.1, se presentan los resultados de dispersi´on de neutrinos en deuterio (2H) y en distintas mol´eculas (CF3Br y C3H8), junto con la secci´on eficaz total el´astica. Se observa que el mejor acuerdo con la predicci´on te´orica se obtiene para los datos de dispersi´on en deuterio (2H), lo cual es coherente, dado que el deuterio es un sistema prot´on-neutr´on muy d´ebilmente ligado. En contraste, las mol´eculas consideradas incluyen n´ucleos m´as pesados, donde los efectos nucleares tienen un impacto m´as significativo, lo que resulta en un peor acuerdo. 0 1 2 3 4 5 "8(GeV) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 <!10!38cm2" El4astica ANL73 (2H) ANL83 (2H) BNL81 (2H) GGM77 (CF3Br) GGM79 (C3H8) Figura 6.1: Secci´on eficaz total el´astica para neutrinos comparada con distintos datos experimentales. Estos ´ultimos han sido extra´ıdos de los experimentos ANL73 [26], ANL83 [27], BNL81 [28], GGM77 [29] y GGM79 [30]. Adicionalmente, en la Figura 6.2, se presentan los datos de dispersi´on de antineutrinos en hidr´ogeno (1H) y en diversas mol´eculas, como CF3Br y C3H8, junto con la correspondiente secci´on eficaz el´astica. En este caso, se dispone de una medida de dispersi´on en nucleones libres, espec´ıficamente en hidr´ogeno, aunque con una estad´ıstica muy limitada, ya que solo se registraron 13 eventos. No obstante, este dato concuerda completamente con la predicci´on te´orica. En contraposici´on, en la dispersi´on en mol´eculas, una vez m´as, se hacen evidentes los efectos nucleares que dificultan alcanzar un acuerdo satisfactorio.
50 6.2. FERMILAB 0 1 2 3 4 5 "8(GeV) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 <!10!38cm2" El4astica BNL80 (1H) GGM77 (CF3Br) GGM79 (C3H8;CF3Br) Figura 6.2: Secci´on eficaz total el´astica para antineutrinos comparada con distintos datos experimentales. Estos ´ultimos han sido extra´ıdos de los experimentos BNL80 [31], GGM77 [29] y GGM79 [32]. 6.2. Fermilab A principios de este a˜no, Fermilab public´o las primeras medidas experimentales con suficiente estad´ıstica de dispersi´on el´astica de antineutrinos mu´onicos en protones [25]. Para identificar el proceso mediado por corrientes cargadas, es esencial la detecci´on tanto del mu´on µ+como del neutr´on nque se generan en dicho proceso (v´ease la Figura 6.3). La innovaci´on de este experimento radica en la detecci´on del neutr´on saliente mediante los productos que se originan cuando interacciona con la materia. Figura 6.3: Diagrama de Feynman del proceso de dispersi´on el´astica antineutrino-prot´on en primer orden en teor´ıa de perturbaciones.
51 6.2. FERMILAB Sin embargo, la detecci´on individual de un mu´on µ+y un neutr´on nno asegura necesariamente que provengan de un proceso el´astico. Existen otros procesos, como puede ser la dispersi´on cuasiel´astica, que tienen esas mismas part´ıculas presentes tras la interacci´on. Cabe destacar que los detectores actuales est´an compuestos por n´ucleos de distinta naturaleza en proporci´on variable, de manera que el m´etodo utilizado por Fermilab lo que trata es de determinar si el n´ucleo blanco, en un evento dado, es hidr´ogeno. La identificaci´on del proceso se basa en el hecho de que la dispersi´on el´astica depende exclusivamente de dos variables cinem´aticas independientes. En consecuencia, si se conocen dos de estas variables, como la energ´ıa y el ´angulo de dispersi´on del mu´on saliente, la cinem´atica de las restantes part´ıculas implicadas en el proceso queda completamente determinada. En particular, se obtiene informaci´on sobre la energ´ıa y la direcci´on de movimiento del neutr´on saliente. De esta manera, al comparar las cinem´aticas del mu´on µ+ y del neutr´on ndetectados, es factible determinar si el evento observado es coherente con un proceso el´astico o no. Respecto al dispositivo experimental utilizado por el experimento de Fermilab, el flujo de antineutrinos mu´onicos empleado proven´ıa de la l´ınea de haces de neutrinos NuMI de Fermilab, con una energ´ıa promedio de 5.4 GeV. Mientras que la regi´on activa del detector MINERvA [33], compuesta principalmente por 12C (92.2 %) e 1H (7.6 %), fue utilizada como blanco. Cuando ten´ıa lugar el proceso el´astico, el neutr´on saliente interactuaba con los n´ucleos presentes en la misma regi´on activa de MINERvA, mientras que el mu´on era detectado en el detector cercano del experimento MINOS, ubicado inmediatamente despu´es de MINERvA. El neutr´on saliente, pod´ıa interaccionar el´asticamente con el hidr´ogeno (n+1H→n+p) o inel´asticamente con el carbono (n+12 C→n+p+11 B). En ambos procesos, se producen protones pcon una energ´ıa que permite ser detectados. Reconstruyendo la cinem´atica de estos procesos hacia atr´as, se determina la cinem´atica del neutr´on (1). La configuraci´on del dispositivo experimental solo permite la detecci´on de muones con energ´ıas en el rango de 1.5 GeV < εµ<20 GeV y ´angulos de dispersi´on θµ<20◦con respecto a la direcci´on del neutrino incidente. Asimismo, es importante tener en cuenta que los eventos debidos a la interacci´on de los antineutrinos con el 12C son mayoritarios, lo que constituye un fondo significativo. (1) Para reconstruir la cinem´atica del proceso n+12 C→n+p+11 B, es necesario considerar un modelo nuclear que describa la din´amica de los nucleones dentro de los n´ucleos.
52 6.2. FERMILAB Las mediciones publicadas por Fermilab corresponden a la secci´on eficaz simple dσ dQ2, integrada con respecto al flujo de antineutrinos. Para derivar esta secci´on eficaz, recurrimos a la secci´on eficaz dσ dcos θl, definida en la ecuaci´on (3.66), debido a que ambas est´an relacionadas de la siguiente manera: dσ dQ2=dσ dcos θl dcos θl dQ2(6.1) siendo dQ2 dcos θl = 2ενεµ1 + εµ MN (1 −cos θl).(6.2) La expresi´on previa se deriva a trav´es de las relaciones de conservaci´on de energ´ıa y momento en el proceso. Por ´ultimo, la secci´on eficaz integrada con respecto al flujo de antineutrinos viene dada por dσ dQ2=1 Φtotal Zdσ dQ2εν Φ(εν)dεν,(6.3) donde Φ(εν) es el flujo de antineutrinos en funci´on de la energ´ıa εν, Φtotal =RΦ(εν)dεν es el flujo incidente total y dσ dQ2εν es la secci´on eficaz diferencial simple para una energ´ıa dada εν, cuyo comportamiento puede verse en la Figura 6.4, donde se representa dicha secci´on eficaz para varias energ´ıas ενrespecto al ´angulo de dispersi´on θµ. Figura 6.4: Secci´on eficaz simple del proceso de dispersi´on el´astica antineutrino-prot´on para distintas energ´ıas del antineutrino incidente εν.
53 6.2. FERMILAB El comportamiento observado concuerda con lo expuesto en el Cap´ıtulo 5. La secci´on eficaz disminuye a medida que se consideran valores m´as elevados de θµ, o, lo que es equivalente, valores m´as altos de |Q2|. Esta disminuci´on se acent´ua a medida que la energ´ıa ενaumenta. Adem´as, la representaci´on incluye un aumento que abarca los ´angulos de dispersi´on entre 0 y 20 grados. Los eventos con estos ´angulos de dispersi´on son los que realmente contribuyen a las medidas de Fermilab, como se mencion´o anteriormente. Por lo tanto, el experimento se enfoca en la detecci´on de los eventos el´asticos que presentan la cinem´atica m´as probable. En la Figura 6.5, se muestran las mediciones experimentales publicadas por Fermilab, junto con varios resultados te´oricos obtenidos mediante diferentes combinaciones de las parametrizaciones de los factores de forma, detalladas en la Tabla 6.1. Dado que estos datos experimentales representan la primera medici´on de dispersi´on de antineutrinos en protones con un n´umero estad´ısticamente significativo de eventos, se llevar´a a cabo una evaluaci´on de la capacidad de las diferentes parametrizaciones de los factores de forma del nucle´on para reproducir estas mediciones. Figura 6.5: Secci´on eficaz diferencial simple del proceso de dispersi´on el´astica antineutrinoprot´on. Se compara los datos experimentales de Fermilab, los cuales han sido extra´ıdos de [25], con la predicci´on te´orica empleando distintas combinaciones de las parametrizaciones de los factores de forma del nucle´on, indicadas en la Tabla 6.1. En la leyenda se especifica la parametrizaci´on del factor de forma axial.
Cap´ıtulo 8 Formalismo general En este cap´ıtulo, se aborda el an´alisis te´orico del proceso de dispersi´on cuasiel´astica neutrino-n´ucleo. Se presenta y desarrolla el marco te´orico fundamental para su descripci´on. El n´ucleo blanco se describir´a mediante el modelo del Gas de Fermi Relativista (RFG). Esto nos permitir´a definir la corriente nuclear asociada al v´ertice hadr´onico de manera precisa y calcular la correspondiente secci´on eficaz. Nos centraremos en la disperi´on cuasiel´astica mediada por corrientes cargadas (CCQE) donde solo un nucle´on es liberado del n´ucleo, los procesos para neutrinos y antineutrinos se ilustran a continuaci´on: νl+A ZA → l−+p+A−1 ZB, νl+A ZA → l++n+A−1 Z−1C. donde ldenota el sabor lept´onico. Consideraremos la Aproximaci´on de Impulso (IA) de manera que el neutrino solo interacciona con uno de los nucleones del n´ucleo el cual es liberado, mientras que los restantes nucleones permanecen como observadores pasivos (1). 8.1. Modelo nuclear En los procesos de dispersi´on neutrino-n´ucleo, se pone de manifiesto la estructura interna del n´ucleo, lo que requiere la utilizaci´on de un modelo nuclear para su descripci´on. Dada la energ´ıa de los neutrinos que estamos considerando (0.1-10 GeV), resulta (1) La Aproximaci´on de Impulso es adecuada para describir interacciones de neutrinos de energ´ıas intermedias/altas con n´ucleos ligeros. Para obtener m´as informaci´on, se puede consultar [34]. 60
61 8.1. MODELO NUCLEAR fundamental adoptar una descripci´on relativista tanto para la cinem´atica como para la din´amica de los nucleones. Existen varios modelos nucleares relativistas, el m´as b´asico de ellos es el modelo del Gas de Fermi Relativista (RFG), que representa el n´ucleo como un conjunto de nucleones no interactuantes. Sin embargo, existen otros modelos m´as sofisticados que ofrecen una descripci´on m´as realista de la din´amica nuclear, como los modelos de campo medio. En estos ´ultimos, se considera que cada nucle´on se mueve en respuesta a un campo de interacci´on promedio creado por los otros nucleones presentes en el n´ucleo. Modelo del Gas de Fermi Relativista (RFG) El modelo RFG describe el n´ucleo como un sistema de nucleones que no interaccionan entre s´ı. En este caso, los nucleones est´an dentro de la capa de masas (on-shell). Asimismo, dado que los nucleones son fermiones, siguen la estad´ıstica de Fermi-Dirac y est´an sujetos al principio de exclusi´on de Pauli. La distribuci´on de momentos de los nucleones en el n´ucleo viene dada por una funci´on escal´on, cuyo m´aximo se corresponden con el momento de Fermi kF(ver Figura 8.1). Por consiguiente, los nucleones llenan los niveles de energ´ıa de menor a mayor, obedeciendo rigurosamente el principio de exclusi´on de Pauli, que impide que dos fermiones ocupen el mismo estado cu´antico. El efecto asociado al principio de exclusi´on de Pauli se conoce como Pauli Blocking (PB) y afecta ´unicamente a la regi´on de bajo momento transferido, concretamente cuando q≤2kF. Figura 8.1: Distribuci´on de momentos de los nucleones en el n´ucleo en el marco del modelo RFG.
62 8.1. MODELO NUCLEAR El modelo incluye dos par´ametros efectivos, los cuales se ajustan con datos experimentales: el momento de Fermi (kF) y la energ´ıa de ligadura (Eshift). Por un lado, el momento de Fermi kFse corresponde con el momento m´aximo de la distribuci´on de momentos de los nucleones en el n´ucleo. Esto significa que los nucleones ligados en el n´ucleo tienen un momento k≤kF, mientras que el nucle´on libre tiene un momento k > kF. Por lo tanto, establece una transici´on entre los estados nucleares ocupados y los estados del continuo. Por otro lado, la energ´ıa de ligadura Eshift se corresponde con la energ´ıa promedio de separaci´on de un nucle´on, que es la energ´ıa necesaria para separar a un nucle´on del n´ucleo. Se introduce modificando la energ´ıa transferida como sigue: ω→ω′=ω−Eshift. Esta modificaci´on impone que la energ´ıa transferida debe ser como m´ınimo igual a la energ´ıa de ligadura para que el proceso tenga lugar. Ambos par´ametros dependen del n´ucleo considerado dado que la densidad y el n´umero de nucleones se modifica, un ajuste de los mismos para diversos n´ucleos se muestra en la Tabla 8.1. N´ucleo kF(MeV/c) Eshift (MeV) Litio 165 15 Carbono 228 20 Magnesio 230 25 Aluminio 236 18 Calcio 241 28 Hierro 241 23 Niquel 245 30 Esta˜no 245 28 Oro 245 25 Plomo 248 31 Tabla 8.1: Momento de Fermi kFy energ´ıa de ligadura Eshift para distintos n´ucleos [35]. A pesar de su simplicidad, el modelo RFG posibilita una descripci´on totalmente relativista del proceso. Adem´as, es el ´unico modelo nuclear que permite obtener la secci´on eficaz de manera anal´ıtica, sin necesidad de aplicar aproximaciones adicionales.
63 8.2. CINEM´ ATICA EL PROCESO 8.2. Cinem´atica el proceso Consideremos la dispersi´on cuasiel´astica neutrino-nucle´on mediada por corrientes cargadas. La descripci´on del proceso, en primer orden en teor´ıa de perturbaciones, est´a representada en la Figura 8.2. Obs´ervese que estamos considerando la Aproximaci´on de Impulso, lo que significa que el neutrino interacciona ´unicamente con un nucle´on del n´ucleo. En este sentido, el diagrama de Feynman guarda una gran similitud con el diagrama del proceso de dispersi´on el´astica neutrino-nucle´on mostrado en la Figura 8.2, ya que ambos constan de dos v´ertices, uno lept´onico y otro hadr´onico, entre los cuales se produce un intercambio de carga debido a la transferencia del bos´on vectorial cargado W±, que act´ua como mediador de la interacci´on d´ebil. Figura 8.2: Diagrama de Feynman del proceso de dispersi´on cuasiel´astica neutrino-nucle´on mediado por corrientes cargadas, en la Aproximaci´on de Impulso. Se indica el cuadrimomento de las part´ıculas implicadas en el proceso. En el sistema laboratorio, el n´ucleo blanco se encuentra en reposo. Por su parte, el nucle´on ligado que interacciona con el neutrino presenta un cuadri-momento inicial Pµ i= (Ei, pi) con |pi| ≤ kF, mientras que en el estado final, una vez ha sido liberado, est´a caracterizado por un cuadri-momento Pµ f= (Ef, pf) siendo |pf|=|pi+q|> kF. En ambos casos, el nucle´on est´a dentro de la capa de masas (on-shell) de manera que Ei=pM2 N+|pi|2yEf=pM2 N+|pf|2.
64 8.2. CINEM´ ATICA EL PROCESO Asimismo, hemos seleccionado el conjunto de ejes cartesianos que se muestra en la Figura 8.3. El plano de dispersi´on, que contiene los momentos del neutrino y del lept´on saliente, est´a contenido en el plano XZ. Siguiendo la convenci´on del proceso el´astico, hemos fijado el eje z de tal manera que se alinee con la direcci´on del momento transferido. El momento del nucle´on final forma un ´angulo θNcon el momento transferido. Por ´ultimo, el plano de reacci´on, que incluye el momento transferido y el del nucle´on emitido, forma un ´angulo ϕNcon el plano de dispersi´on. Figura 8.3: Sistema de ejes cartesianos elegido para describir la cinem´atica del proceso de dispersi´on cuasiel´astica neutrino-nucle´on mediado por corrientes cargadas. Las relaciones que describen la cinem´atica del proceso se derivan mediante la aplicaci´on de la ley de conservaci´on de la energ´ıa y el momento en cada uno de los v´ertices del diagrama de Feynman que representa el proceso. En particular, el v´ertice lept´onico es id´entico al del proceso el´astico, por lo que nos centraremos exclusivamente en el v´ertice hadr´onico. V´ertice hadr´onico Conservaci´on de la energ´ıa: Ei=Ef−ω=MA−EB Conservaci´on del momento: pi=pf−q =−pB Obs´ervese que el momento del nucle´on ligado tiene la misma direcci´on, pero sentido opuesto que el momento del n´ucleo residual.
65 8.3. CORRIENTE NUCLEAR Y SECCI´ ON EFICAZ 8.3. Corriente nuclear y secci´on eficaz Conocida la cinem´atica del proceso cuasiel´astico neutrino-nucle´on, continuamos centrando nuestro inter´es en la determinaci´on de la secci´on eficaz. Es importante tener en cuenta que, en el modelo RFG, las funciones de onda que describen al nucle´on antes y despu´es de la interacci´on son soluciones libres de la ecuaci´on de Dirac, al igual que ocurre en el proceso el´astico. La determinaci´on de la secci´on eficaz implica obtener el tensor nuclear Wαβ. Este tensor es m´as complejo que el tensor hadr´onico del proceso el´astico debido a que el nucle´on que participa en el proceso no es libre ni est´a en reposo, sino que se encuentra ligado y presenta una distribuci´on de momentos posibles. En el modelo RFG, el tensor nuclear viene determinado integrando el tensor hadr´onico del proceso el´astico, respecto a la distribuci´on de momentos posibles que puede tener el nucle´on ligado en el n´ucleo. El resultado es como sigue: Wαβ =V (2π)3Zd3Pi 2M2 N EiEf Ws.n. αβ (pi, pf)δ(Ef−Ei−ω)Θ(kF−pi)Θ(pf−kF),(8.1) donde el volumen del sistema V= 3π2N/k3 Fest´a relacionado con el momento de Fermi (kF) y es proporcional al n´umero Nde protones o neutrones participantes en el proceso. El t´ermino Ws.n. αβ es el tensor hadr´onico single-nucleon que viene dado por (3.43), en el cual hay que tener en cuenta la cinem´atica del proceso CCQE. Asimismo, el integrando incluye una funci´on δde Dirac que asegura la conservaci´on de la energ´ıa en el v´ertice hadr´onico, adem´as de dos funciones de Heaviside que garantizan que el nucle´on antes y despu´es de la interacci´on tenga un momento adecuado. Al desarrollar la integral (8.1) y agrupar sus componentes siguiendo el mismo procedimiento ilustrado en la secci´on 3.3, se obtienen las siguientes funciones de respuesta para el r´egimen cuasiel´astico (2): RK=N 2κkF fRF G(ψ)Rs.n. K,(8.2) donde Rs.n. Khace referencia a las funciones de respuesta hadr´onica single-nucleon, mientras (2) Estos resultados contienen efectos del movimiento de los nucleones en el n´ucleo hasta primer orden en kF, dado que se han despreciado t´erminos de orden k2 Fy superior. Esto est´a en acuerdo con los datos de dispersi´on de electrones.
66 8.3. CORRIENTE NUCLEAR Y SECCI´ ON EFICAZ que la funci´on fRFG(ψ) se denomina funci´on de scaling: fRF G(ψ) = 3 4(1 −ψ)Θ(1 −ψ2).(8.3) La variable cinem´atica ψrepresenta la variable de scaling que depende de qyω: ψ=1 √ξF λ−τ pτ(1 + λ) + κpτ(1 + τ),(8.4) y que se relaciona con los siguientes par´ametros adimensionales asociados a kF: ξF≡q1 + η2 F−1 siendo ηF≡kF MN .(8.5) Las restantes variables cinem´aticas que aparecen en (8.4) fueron introducidas en (3.84). Para m´as informaci´on sobre el procedimiento de c´alculo, puede consultarse [36]. Estos resultados permiten obtener la secci´on eficaz del proceso CCQE. Secci´on eficaz diferencial doble: d2σ dEldΩl =| kl| εν G2 F 4π2 v0 2F2 χ→d2σ dkldΩl =| kl|2 ενεl G2 F 4π2 v0 2F2 χ.(8.6) Secci´on eficaz diferencial simple: dσ dΩl =σ0F2 χ,(8.7) donde el t´ermino F2 χcontiene toda la informaci´on de la estructura nuclear y se expresa en t´ermino de las funciones de respuesta nucleares como sigue: F2 χ=ˆ VCCRCC + 2 ˆ VCLRCC +ˆ VLLRLL +ˆ VTRT+χˆ VT′RT′,(8.8) donde ˆ VKyRKrepresentan los factores cinem´aticos lept´onicos y las funciones de respuesta nucleares, respectivamente. Los t´erminos v0yσ0est´an definidos en la secci´on 3.3.
Cap´ıtulo 9 An´alisis del proceso En este cap´ıtulo, analizamos la secci´on eficaz cuasiel´astica en el contexto del modelo RFG y evaluamos c´omo los par´ametros de dicho modelo influyen en esta secci´on eficaz. Nos centraremos en el estudio de la secci´on eficaz diferencial doble, ya que en el Cap´ıtulo 10 se mostrar´on datos experimentales de esta naturaleza. Asimismo, verificaremos que la secci´on eficaz simple del proceso cuasiel´astico se reduce a la del proceso el´astico cuando los par´ametros del modelo RFG tienden a anularse. Para este estudio, consideraremos las parametrizaciones GKeX y dipolar para los factores de forma electromagn´eticos y axial, respectivamente. Asimismo, supondremos que el neutrino tiene sabor mu´onico y que el n´ucleo blanco es 12C, el cual estar´a caracterizado por los siguientes par´ametros en el modelo RFG: kF= 228 MeV y Eshift = 20 MeV. 9.1. Secci´on eficaz diferencial doble En el r´egimen cuasiel´astico, a diferencia del el´astico, no hay una relaci´on directa entre el cuadri-momento transferido |Q2|y la energ´ıa transferida ω. Por lo tanto, la secci´on eficaz diferencial doble se define para una amplia distribuci´on de valores de la energ´ıa transferida, cuyo m´aximo tiende a ubicarse alrededor de ω=|Q2| 2MN. La cinem´atica del proceso cuasiel´astico est´a caracterizada por tres variables cinem´aticas independientes. Para estudiar la cinem´atica, nos interesa representar la secci´on eficaz en funci´on del momento del mu´on final kµ, dado que es una medida directa de los experimentos de dispersi´on de neutrinos. Representaremos resultados correspondientes a valores diversos de la energ´ıa del neutrino incidente ενy del ´angulo de dispersi´on θµ, con 67
68 9.1. SECCI´ ON EFICAZ DIFERENCIAL DOBLE el objetivo de analizar en detalle los efectos asociados a dichas variables. En la Figura 9.1, se representa la secci´on eficaz cuasiel´astica (8.6) en funci´on de kµ para diferentes valores de la energ´ıa εν, mientras se mantiene constante el ´angulo θµ. Se puede observar que a medida que la energ´ıa ενaumenta, la respuesta es cada vez m´as ancha. Adem´as, la secci´on eficaz se desplaza hacia valores m´as altos de momento kµy su m´aximo disminuye a medida que se incrementa esta energ´ıa. 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 k7(GeV) 0 1 2 3 4 5 6 d< dk7d+71cm2 GeV"sr"nucleon 2 #10-39 "8= 0:75 GeV "8= 1:00 GeV "8= 1:25 GeV "8= 1:50 GeV "8= 1:75 GeV Figura 9.1: Secci´on eficaz diferencial doble respecto al momento del mu´on kµpara el 12C. Se han considerado distintos valores de la energ´ıa incidente εν, mientras que se ha fijado el ´angulo de dispersi´on θµ= 45◦. Por otra parte, en la Figura 9.2, se representa la secci´on eficaz cuasiel´astica (8.6) en funci´on de kµpara distintos valores del ´angulo θµ, manteniendo constante la energ´ıa εν. En este caso, se observa que la secci´on eficaz se desplaza hacia valores m´as peque˜nos del momento kµconforme aumenta el ´angulo θµ, apreci´andose adem´as una reducci´on progresiva del m´aximo de la secci´on eficaz. Esto es consistente con lo que se expuso previamente para el proceso el´astico: a medida que el ´angulo de dispersi´on aumenta, se produce una mayor transferencia de energ´ıa y, por lo tanto, el momento del mu´on saliente es menor. Del mismo modo, la dispersi´on a ´angulos cada vez mayores se vuelve menos probable para una energ´ıa del neutrino incidente dada.
69 9.2. L´ IMITE EL´ ASTICO 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 k7(GeV) 0 5 10 15 20 25 30 35 d< dk7d+71cm2 GeV"sr"nucleon 2 #10-39 37= 15/ 37= 30/ 37= 45/ 37= 60/ 37= 75/ 37= 90/ (a) 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 k7(GeV) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 d< dk7d+71cm2 GeV"sr"nucleon 2 #10-39 37= 90/ 37= 105/ 37= 120/ 37= 135/ 37= 150/ 37= 165/ (b) Figura 9.2: Secci´on eficaz diferencial doble respecto al momento del mu´on kµpara el 12C. Se han considerado distintos valores del ´angulo de dispersi´on θµ, mientras que se mantiene constante la energ´ıa incidente εν= 1 GeV. En (a), se representan diversos ´angulos θµen el rango de 0 a 90 grados, mientras que, en (b), se ilustran ´angulos en el rango de 90 a 180 grados. 9.2. L´ımite el´astico Los resultados obtenidos para el proceso cuasiel´astico deben reducirse a los del proceso el´astico en el l´ımite en el que los nucleones dejan de estar ligados. En el marco del modelo RFG, esto equivale a anular el efecto de los par´ametros kFy Eshift. Para comprobarlo, en la Figura 9.3, se representa la secci´on eficaz cuasiel´astica (8.7) para valores cada vez m´as reducidos de los par´ametros del modelo RFG, junto con la secci´on eficaz el´astica (5.1). Se observa un incremento en la secci´on eficaz al eliminar el efecto de Eshift, mientras se mantiene constante el valor de kF. Esto es coherente, pues hemos quitado una restricci´on cinem´atica. Recu´erdese que la introducci´on de la energ´ıa de ligadura Eshift implica que el proceso no puede tener lugar a menos que ω≥Eshift. Por otro lado, al reducir gradualmente el valor de kF, se observa un marcado aumento en la secci´on eficaz. T´engase en cuenta que el momento de Fermi kFdetermina la transici´on de los nucleones ligados al estado continuo, por lo que a medida que su valor disminuye, los nucleones ligados en el n´ucleo requerir´an menos energ´ıa para alcanzar estados del continuo. En el l´ımite kF→0, la respuesta cuasiel´astica se reduce a la el´astica, demostrando la equivalencia entre ambas descripciones.
76 10.2. T2K a los datos experimentales. Si analizamos el acuerdo entre neutrinos y antineutrinos por separado, observamos que este no parece verse afectado de manera significativa por la parametrizaci´on de los factores de forma. Adem´as, la predicci´on te´orica utilizando el modelo SuSAv2 tampoco presenta diferencias significativas en comparaci´on con el modelo RFG. 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 k7[GeV] 0 2 4 6 8 10 d2< dk7d cos 37h10!39cm2 GeV"nucleon i 8: 0:60 <cos 37<0:70 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 k7[GeV] 0 1 2 3 4 5 d2< dk7d cos 37h10!39cm2 GeV"nucleon i 8: 0:60 <cos 37<0:70 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 k7[GeV] 0 2 4 6 8 10 12 d2< dk7d cos 37h10!39cm2 GeV"nucleon i 8: 0:80 <cos 37<0:85 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 k7[GeV] 0 1 2 3 4 5 6 d2< dk7d cos 37h10!39cm2 GeV"nucleon i 8: 0:80 <cos 37<0:85 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 k7[GeV] 0 2 4 6 8 d2< dk7d cos 37h10!39cm2 GeV"nucleon i 8: 0:94 <cos 37<0:98 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 k7[GeV] 0 2 4 6 8 d2< dk7d cos 37h10!39cm2 GeV"nucleon i 8: 0:94 <cos 37<0:98 RFG !Dipolar RFG !z-expansion (1H) RFG !z-expansion (2H) SuSAv2 Figura 10.3: Secci´on eficaz diferencial doble respecto a la cinem´atica del mu´on final medida en el experimento T2K. Se compara con distintos resultados te´oricos, indicados en la leyenda, donde se se˜nala el modelo nuclear y la parametrizaci´on del factor de forma axial empleada. Se muestran las medidas de neutrinos (columna izquierda) y antineutrinos (columna derecha). Los datos experimentales han sido extra´ıdos de [37].
77 10.2. T2K 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 k7[GeV] 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 A 0:60 <cos 37<0:70 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 k7[GeV] -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 A 0:80 <cos 37<0:85 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 k7[GeV] -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 A 0:94 <cos 37<0:98 RFG !Dipolar RFG !z-expansion (1H) RFG !z-expansion (2H) SuSAv2 Figura 10.4: Asimetr´ıa medida en el experimento T2K respecto a la cinem´atica del mu´on final. Se compara con distintos resultados te´oricos, indicados en la leyenda. Primero se indica el modelo nuclear y despu´es la parametrizaci´on del factor de forma axial empleada. Los datos experimentales han sido extra´ıdos de [37]. ν+ν (ndof =116) A (ndof = 58) ν (ndof=58) ν (ndof=58) RFG - Dipolar 464.48 184.85 197.65 119.59 RFG - z-expansion (1H) 438.65 186.44 193.98 108.95 RFG - z-expansion (2H) 437.00 184.33 188.22 114.20 SuSAv2 443.11 181.56 188.42 123.55 Tabla 10.1: El acuerdo general χ2entre los datos experimentales y las predicciones te´oricas, para las medidas simult´aneas de dispersi´on de neutrino y antineutrinos. Se indica el n´umero de grados de libertad (ndof) para cada χ2.
78 10.2. T2K 10.2.2. Mediciones simult´aneas de dispersi´on de neutrinos en 12C y 16O En la Figura 10.5, se muestran las medidas experimentales m´as relevantes publicadas por la colaboraci´on T2K, junto con las correspondientes predicciones te´oricas empleando los modelos y parametrizaciones de los factores de forma del nucle´on indicadas anteriormente, para los casos de dispersi´on en carbono y ox´ıgeno. Adem´as, en la Figura 10.6, se muestra el “ratio” entre las medidas para ox´ıgeno y para carbono. Esta cantidad es interesante porque permite apreciar los cambios que sufre la respuesta nuclear al considerar n´ucleos cada vez m´as pesados, donde los efectos nucleares van a ser m´as intensos. En este caso, para el 16O, hemos considerado los par´ametros kF= 216MeV yEshift = 25MeV [39]. En la Figura 10.5, se puede apreciar que las respuestas te´oricas reproducen de manera m´as precisa los resultados de dispersi´on en carbono en comparaci´on con los de dispersi´on en ox´ıgeno. En teor´ıa, la secci´on eficaz del ox´ıgeno deber´ıa ser mayor que la del carbono, debido a que el ox´ıgeno es un n´ucleo m´as pesado. Sin embargo, para el intervalo de 0.93 <cos θl<1.00, se observa que las predicciones te´oricas sobreestiman algunos de los datos experimentales. En estos puntos, el ratio ox´ıgeno/carbono representado en la Figura 10.6 tambi´en muestra un comportamiento inusual, ya que las mediciones de carbono son mayores que las de ox´ıgeno. Asimismo, en la Figura 10.6, podemos apreciar las distintas distribuciones de los datos experimentales a lo largo de kµ, mostrando las variaciones en las respuestas nucleares entre los procesos de dispersi´on de neutrinos en ox´ıgeno y en carbono. Para evaluar la concordancia entre los datos experimentales y las predicciones te´oricas, nuevamente calculamos el acuerdo general χ2. Es importante destacar que las mediciones de dispersi´on de ox´ıgeno y carbono est´an relacionadas, por lo que el c´alculo de χ2se realiza de manera conjunta para ambas medidas. Sin embargo, tambi´en realizaremos un c´alculo separado de χ2. En la Tabla 10.2, se presenta el valor del acuerdo χ2obtenido en cada caso. No se observan cambios significativos en el acuerdo al considerar distintas parametrizaciones de los factores de forma. Tampoco entre los modelos RFG y SuSAv2.
79 10.2. T2K 0.1 0.2 1 2 3 4 5 k7(GeV) 0 2 4 6 8 10 d2< dk7d cos 37110!39cm2 GeV"nucleon 2 C : 0:00 <cos 37<0:60 RFG !Dipolar RFG !z-expansion (1H) RFG !z-expansion (2H) SuSAv2 0.1 0.2 1 2 3 4 5 k7(GeV) 0 2 4 6 8 10 12 d2< dk7d cos 37110!39cm2 GeV"nucleon 2 O : 0:00 <cos 37<0:60 0.1 0.2 1 2 3 4 5 k7(GeV) 0 2 4 6 8 10 12 d2< dk7d cos 37110!39cm2 GeV"nucleon 2 C : 0:75 <cos 37<0:86 0.1 0.2 1 2 3 4 5 k7(GeV) 0 2 4 6 8 10 12 14 d2< dk7d cos 37110!39cm2 GeV"nucleon 2 O : 0:75 <cos 37<0:86 0.1 0.2 1 2 3 4 5 k7(GeV) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 d2< dk7d cos 37110!39cm2 GeV"nucleon 2 C : 0:93 <cos 37<1:00 0.1 0.2 1 2 3 4 5 k7(GeV) 0 1 2 3 4 5 6 7 d2< dk7d cos 37110!39cm2 GeV"nucleon 2 O : 0:93 <cos 37<1:00 Figura 10.5: Secci´on eficaz diferencial doble por nucle´on respecto a la cinem´atica del mu´on final medida en el experimento T2K. Se compara con distintos resultados te´oricos, indicados en la leyenda, donde se se˜nala el modelo nuclear y la parametrizaci´on del factor de forma axial empleada. Se muestran las medidas de carbono (columna izquierda) y ox´ıgeno (columna derecha). Los datos experimentales han sido extra´ıdos de [38].
80 10.2. T2K 0.1 0.2 1 2 3 4 5 k7(GeV) 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 RO=C 0:00 <cos 37<0:60 RFG !Dipolar RFG !z-expansion (1H) RFG !z-expansion (2H) SuSAv2 0.1 0.2 1 2 3 4 5 k7(GeV) 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 RO=C 0:75 <cos 37<0:86 0.1 0.2 1 2 3 4 5 k7(GeV) 0 0.5 1 1.5 2 RO=C 0:93 <cos 37<1:00 Figura 10.6: Ratio entre la secci´on eficaz diferencial doble respecto a la cinem´atica del mu´on final del ox´ıgeno y el carbono medida en el experimento T2K. Se compara con distintos resultados te´oricos, indicados en la leyenda. Primero se indica el modelo nuclear y despu´es la parametrizaci´on del factor de forma axial empleada. Los datos experimentales han sido extra´ıdos de [38]. O + C (ndof=58) RO/C (ndof=29) O (ndof=29) C (ndof=29) RFG - Dipolar 125.03 32.89 52.51 58.54 RFG - z-expansion 1H119.30 32.95 50.69 57.20 RFG - z-expansion 2H122.20 32.89 52.96 55.80 SuSAv2 123.26 32.61 55.39 53.16 Tabla 10.2: El acuerdo general χ2entre los datos experimentales y las predicciones te´oricas, para las medidas simult´aneas de dispersi´on de neutrino. Se indica el n´umero de grados de libertad (ndof) para cada χ2.
81 10.2. T2K Despu´es de analizar las medidas experimentales de T2K, podemos concluir que la elecci´on de la parametrizaci´on de los factores de forma del nucle´on apenas afecta a la secci´on eficaz cuasiel´astica. El efecto de elegir una parametrizaci´on u otra podr´ıa hacerse m´as evidente en el estudio de experimentos que operan a energ´ıas m´as altas, como MINER- vA o NOvA, donde los valores promedio de |Q2|ser´ıan m´as elevados. Recordemos que las mayores diferencias entre las parametrizaciones de los factores de forma del nucle´on, especialmente en el factor axial, se observan en la regi´on de alto |Q2|. Asimismo, la incorporaci´on de un modelo de campo medio, que proporciona una representaci´on m´as realista del n´ucleo, no ha implicado cambios significativos respecto al modelo RFG. Sin embargo, es evidente que un estudio completo debe tener en cuenta todos los procesos que contribuyen a la secci´on eficaz.
Parte IV Conclusiones 82
Cap´ıtulo 11 Resumen y conclusiones El objetivo principal de este trabajo ha sido analizar las incertidumbres asociadas a la estructura hadr´onica y la din´amica nuclear en interacciones de neutrinos con nucleones y n´ucleos, dada su relevancia en el estudio del fen´omeno de las oscilaciones de neutrinos. Para ello, comenzamos nuestro an´alisis con el estudio del proceso de dispersi´on el´astica neutrino-nucle´on, ´unicamente afectado por las incertidumbres asociadas a la estructura hadr´onica. Posteriormente, consideramos el proceso de dispersi´on cuasiel´astica neutrino-n´ucleo, afectado adem´as por las incertidumbres asociadas a la estructura nuclear. En ambos casos, solo hemos considerado los procesos mediados por corrientes cargadas, para los cuales hemos calculado la secci´on eficaz te´orica de forma anal´ıtica que hemos comparado con los datos experimentales. En el proceso de dispersi´on el´astica neutrino-nucle´on, el nucle´on se encuentra libre y en reposo. La secci´on eficaz te´orica de este proceso ha sido comparada con diversos resultados experimentales. En primer lugar, hemos considerado las mediciones efectuadas durante las d´ecadas de 1970 y 1980 en c´amaras de burbuja, que utilizaban como blancos n´ucleos ligeros o mol´eculas con n´ucleos ligeramente pesados. Estas medidas han sido ampliamente utilizadas para ajustar distintas parametrizaciones del factor de forma axial, fundamentalmente las de dispersi´on en deuterio, teniendo en cuenta para ello correcciones debidas al medio nuclear. En segundo lugar, hemos analizado las medidas recientemente publicadas por Fermilab del proceso de dispersi´on el´astica antineutrino-prot´on. Estas mediciones representan un hito al proporcionar datos estad´ısticamente significativos sobre la dispersi´on de neutrinos en nucleones libres. Los resultados se han utilizado para ajustar una nueva parametri- 83
84 zaci´on del factor de forma axial. Adem´as, debido a su importancia, los hemos empleado para evaluar las parametrizaciones de los factores de forma electromagn´eticos y axial introducidas en el trabajo. Descubrimos que los mayores cambios en la secci´on eficaz el´astica se producen al variar la parametrizaci´on del factor de forma axial, mientras que modificar la parametrizaci´on de los factores de forma electromagn´eticos tiene poco efecto sobre esta. Esto nos indica que las incertidumbres relacionadas con la estructura hadr´onica en este proceso se concentran principalmente en el factor de forma axial, al cual solo se puede acceder a trav´es de procesos d´ebiles, en particular de dispersi´on de neutrinos, ya que forma parte de la estructura d´ebil del nucle´on. En lo que respecta al proceso de dispersi´on cuasiel´astica neutrino-n´ucleo, nos centramos en el proceso m´as probable, en el cual un ´unico nucle´on es expulsado del n´ucleo, mientras los dem´as nucleones act´uan como observadores pasivos. En este contexto, el nucle´on interaccionante no est´a libre ni en reposo, sino que est´a ligado al n´ucleo y presenta una cierta cinem´atica debido a la din´amica nuclear. Por lo tanto, es necesario emplear un modelo que describa apropiadamente al n´ucleo. En nuestro caso, hemos utilizado el modelo del Gas de Fermi Relativista (RFG), el cual caracteriza al n´ucleo como un sistema de nucleones no interaccionantes e introduce dos par´ametros efectivos para representar que los nucleones dentro del n´ucleo est´an ligados y en movimiento. De esta manera, hemos utilizado la secci´on eficaz cuasiel´astica te´orica en el modelo RFG para compararla con diversos datos experimentales. Inicialmente, la comparamos con las mediciones en c´amaras de burbujas y la secci´on eficaz el´astica. Como resultado, observamos que la influencia del medio nuclear provoca una reducci´on en la secci´on eficaz cuasiel´astica en comparaci´on con el caso el´astico, lo cual concuerda mejor con las mediciones de dispersi´on en mol´eculas compuestas por n´ucleos ligeramente pesados. A continuaci´on, evaluamos distintas medidas del experimento T2K. Es esencial tener en cuenta que el proceso cuasiel´astico es solo uno de los procesos que contribuyen a la respuesta nuclear. No obstante, es el proceso predominante en el rango de energ´ıas de 0.1-10 GeV, que coincide con el flujo de neutrinos del experimento T2K. A´un siendo consciente de las limitaciones asociadas a nuestra predicciones te´oricas y su comparaci´on con los datos experimentales, hemos evaluado y analizado en detalle el impacto de las diferentes parametrizaciones de los factores de forma del nucle´on en la secci´on eficaz
85 cuasiel´astica. Nuestros resultados indican que la elecci´on de las parametrizaciones de los factores de forma del nucle´on no influye de manera significativa en dicha secci´on eficaz, lo cual est´a asociado a la energ´ıa promedio de T2K que es inferior a 1 GeV. Adem´as, en estas medidas hemos tenido en cuenta la predicci´on te´orica del proceso cuasiel´astico en el modelo SuSAv2, el cual proporciona una descripci´on m´as sofisticada del n´ucleo utilizando un modelo de campo medio. Los resultados obtenidos no han revelado diferencias significativas entre el uso del modelo RFG y el modelo SuSAv2. Sin embargo, es evidente que es necesario considerar los dem´as procesos que contribuyen a la secci´on eficaz para llevar a cabo un an´alisis completo. En principio, hemos observado que la parametrizaci´on de los factores de forma del nucle´on parece tener un impacto limitado en la secci´on eficaz cuasiel´astica. No obstante, la parametrizaci´on del factor de forma axial influye en la secci´on eficaz el´astica. En este sentido, la metodolog´ıa presentada por el experimento Fermilab para la medici´on del proceso de dispersi´on el´astica antineutrino-prot´on podr´ıa abrir la puerta a que otros experimentos realicen mediciones similares con sus detectores actuales. Esto, a su vez, podr´ıa contribuir a mejorar significativamente la parametrizaci´on del factor de forma axial. Hay que tener en cuenta que los detectores actuales est´an compuestos principalmente por n´ucleos ligeramente pesados, por lo que la comprensi´on de la interacci´on neutrinon´ucleo es esencial para caracterizar las se˜nales de los detectores. Sin embargo, estas medidas se ven considerablemente afectadas por el amplio rango de energ´ıa que presentan los flujos de neutrinos utilizados, lo que dificulta caracterizar la respuesta nuclear de manera precisa. Adem´as, el flujo de neutrinos no se conoce con exactitud. Tambi´en debemos tener en cuenta que, despu´es de la interacci´on del neutrino, las part´ıculas resultantes pueden verse afectadas por otros efectos nucleares, como las corrientes de intercambio de mesones (MEC), la interacci´on de estados finales (FSI) o las correlaciones entre nucleones. Como vemos el problema es complejo, y su soluci´on requiere una mejora tanto en las t´ecnicas de an´alisis de los datos experimentales como en los modelos te´oricos que describen la din´amica nuclear involucrada en el proceso de interacci´on neutrino-n´ucleo. Igualmente esencial es aumentar nuestra comprensi´on de c´omo interact´uan los neutrinos con la materia nuclear, en regiones cinem´aticas correspondientes a un amplio rango de energ´ıas, donde muy distintos mecanismos de reacci´on est´an presentes en el proceso de dispersi´on.
Ap´endice B Delta de Dirac En este ap´endice se desarrollan los distintos c´alculos que son necesario para determinar la secci´on eficaz y que involucran la delta de Dirac en 4-dimensiones. B.1. Integraci´on de la delta de Dirac δ4en Sfi En la expresi´on (3.18) de la amplitud de la transici´on Sfi aparecen las integrales Z∞ −∞ d4Q (2π)4Z∞ −∞ d4X1ei(Kl−Kν−Q)·X1Z∞ −∞ d4X2e(Pf−Pi−Q)·X2.(B.1) Estas se resuelven teniendo en cuenta que Zd4X1ei(Kl−Kν−Q)·X1= (2π)4δ4(Kl−Kν−Q),(B.2) Zd4X2e−i(Pf−Pi−Q)·X2= (2π)4δ4(Pf−Pi−Q),(B.3) de manera que el c´alculo de (B.1) se reduce a Zd4Q(2π)4δ4(Kl−Kν−Q)δ4(Pf−Pi−Q) = (2π)4δ4(Kl+Pf−Kν−Pi).(B.4) 92
93 B.2. M´ ODULO AL CUADRADO DE LA DELTA DE DIRAC δ4 B.2. M´odulo al cuadrado de la delta de Dirac δ4 En la expresi´on (3.21) del m´odulo de la amplitud de la transici´on al cuadrado |Sfi|2 aparece el siguiente m´odulo cuadrado (2π)4δ4(Kl+Pf−Kν−Pi)2.(B.5) Para calcularlo, desarrollamos la expresi´on del siguiente modo (2π)4δ4(Kl+Pf−Kν−Pi)(2π)4δ4(Kl+Pf−Kν−Pi) = (2π)4δ4(Kl+Pf−Kν−Pi)Zd4Xe−i(Kl+Pf−Kν−Pi)·X = (2π)4δ4(Kl+Pf−Kν−Pi)Zd4X = (2π)4V Tδ4(Kl+Pf−Kν−Pi),(B.6) donde la integral Rd4Xes igual al producto del tiempo Ty volumen Vconsiderados. Obs´ervese que Kl+Pf−Kν−Pi= 0 debido al principio de la conservaci´on de la energ´ıa y el momento. Esto es, la suma de los cuadri-momentos finales es igual a la suma de los cuadri-momentos iniciales. B.3. Integraci´on de la delta de Dirac δ4en dσ La expresi´on (3.55) de la secci´on eficaz diferencial dσ incluye la integral Zd3pf δ4(Kl+Pf−Kν−Pi) 2Ef .(B.7) Para resolverla, introducimos la funci´on escal´on de Heaviside: Θ(Ef) = 0 si Ef<0 1 si Ef≥0 ,(B.8) que nos permitir´a hacer uso de la siguiente propiedad de la delta de Dirac δ(f(x)) = X n δ(x−xn) |f′(xn)|con f(xn) = 0 y f′(xn)= 0.(B.9)
94 B.3. INTEGRACI´ ON DE LA DELTA DE DIRAC δ4EN dσ A continuaci´on, se encuentra el desarrollo de la integral (B.7). Zd3pf δ4(Kl+Pf−Kν−Pi) 2Ef =Zd3pf δ4(Pf−Pi−Q) 2Ef =Zd3pf δ4(Pf−Pi−Q) 2EfZdEfδEf−q|p2|2+M2 N+δEf+q|p2|2+M2 NΘ(Ef) =Zd4Pfδ4(Pf−Pi−Q) δEf−p|p2|2+M2 N+δEf+p|p2|2+M2 N 2Ef Θ(Ef) =Zd4Pfδ4(Pf−Pi−Q)δ(P2 f−M2 N)Θ(Ef) =δ[(Pi+Q)2−M2 N]Θ(MN+ω) =δ[(Pi+Q)2−M2 N].(B.10) Continuamos desarrollando la delta δ. Para eso es necesario tener en cuenta la definici´on de los cuadri-momentos implicados y atender a relaciones cinem´aticas que derivan de la conservaci´on de la energ´ıa y el momento en los v´ertices del diagrama de Feynman del proceso. Toda esta informaci´on se encuentra recogida en la Secci´on 3.1. δ[(Pi+Q)2−M2 N] = δQ2+ 2Pi·Q=δω2−|q |2+ 2Efω =δ(εν−εl)2−ε2 ν−ε2 l+m2 l+ 2εν|pf|cos θl+ 2Ei(εν−εl) =δm2 l−2ενεl+ 2Eiεν−2Eiεl+ 2εν|pf|cos θl =1 2εν|pf|δcos θl−2 (ενεl+Eiεν−Eiεl)−m2 l 2εν|pf| =1 2εν|pf|δ(cos θl−cos θ0),(B.11) siendo cos θ0=2 (ενεl+Eiεν−Eiεl)−m2 l 2εν|pf|.(B.12) Por consiguiente, Zd3pf δ4(Kl+Pf−Kν−Pi) 2Ef =δ(cos θl−cos θ0) 2εν|pf|.(B.13)
Ap´endice C Tensores lept´onico y hadr´onico En este ap´endice, se calcula el m´odulo al cuadrado de la amplitud invariante |Mfi|2 para el proceso de dispersi´on el´astica neutrino-nucle´on. Este se expresa en t´erminos de la contracci´on de los tensores lept´onico ηαβ y hadr´onico Wαβ, cuya determinaci´on se encuentra en el presente ap´endice. Asimismo, se introducen algunas de las relaciones del teorema de trazas que son de utilidad para desarrollar la expresi´on de los tensores. C.1. La amplitud invariante La amplitud invariante del proceso de dispersi´on el´astica neutrino-nucle´on mediado por corrientes cargadas es Mfi =GF √2hul( kl, sl)Γαuν( kν, sν)ihup(pf, sf)˜ Γαun(pi, si)i,(C.1) donde los operadores de Dirac Γαy˜ Γαvienen dados por Γα=γα(1 −γ5),(C.2) ˜ Γα=FV 1γα+iFV 2 2MN σαµQµ+GAγαγ5+GP 2MN Qαγ5.(C.3) Al tomar m´odulo al cuadrado en (C.1) se suma sobre los espines de las part´ıculas finales y se promedia sobre los de las finales debido a que estos, en principio, son desconocidos. Como resultado, se obtiene que 95
96 C.1. LA AMPLITUD INVARIANTE 1 2X sν,sl,si,sf|Mfi|2=G2 F 4X sν,sl,si,sfhul( kl, sl)Γαuν( kν, sν)ihup(pf, sf)˜ Γαun(pi, si)i ·hup(pf, sf)˜ Γβun(pi, si)i†hul( kl, sl)Γβuν( kν, sν)i†.(C.4) Haciendo uso de la relaci´on: [u(p2, s2)Γu(p1, s1)]†=u(p1, s1)Γu(p2, s2) donde se ha introducido el operador adjunto de Dirac Γ = γ0Γ†γ0, podemos reducir (C.4) a 1 2X sν,sl,si,sf|Mfi|2=G2 F 4X sν,sl,si,sfhul( kl, sl)Γαuν( kν, sν)ihup(pf, sf)˜ Γαun(pi, si)i ·hun(pi, si)˜ Γβup(pf, sf)ihuν( kν, sν)Γβul( kl, sli.(C.5) A continuaci´on, se separan los sumatorios y se utiliza la definici´on del operador de proyecci´on de energ´ıa positiva (A.21). Primero, desarrollamos los sumatorios de sνysl: X sν,slhul( kl, sl)Γαuν( kν, sν)ihuν( kν, sν)Γβul( kl, sl)i =X sl ul( kl, sl)Γα"X sν uν( kν, sν)uν( kν, sν)#Γβul( kl, sl) =X sl ul( kl, sl)Γα/ Kν+mν 2mνΓβul( kl, sl) =X slul( kl, sl)ul( kl, sl)ηϕ Γα/ Kν+mν 2mν Γβϕη = Tr / Kl+ml 2ml Γα/ Kν+mν 2mν Γβ.(C.6) A continuaci´on, seguimos el mismo procedimiento con los sumatorios de siysf: X si,sfhup(pf, sf)˜ Γαun(pi, si)ihun(pi, si)˜ Γβup(pf, sf)i =X sf up(pf, sf)˜ Γα"X si un(pi, si)un(pi, si)#˜ Γβup(pf, sf) =X sf up(pf, sf)˜ Γα/ Pi+MN 2MN˜ Γβup(pf, sf) =X sf (up(pf, sf)up(pf, sf)))λδ ˜ Γα / Pi+MN 2MN ˜ Γβδλ = Tr / Pf+MN 2MN ˜ Γα / Pi+MN 2MN ˜ Γβ.(C.7)
97 C.2. TEOREMA DE TRAZAS Finalmente, el m´odulo de la amplitud invariante promediada resulta 1 2X sν,sl,si,sf|Mfi|2=G2 F 4Tr / Kl+ml 2ml Γα/ Kν+mν 2mν ΓβTr / Pf+MN 2MN ˜ Γα / Pi+MN 2MN ˜ Γβ, (C.8) que puede reescribirse como 1 2X sν,sl,si,sf|Mfi|2=G2 FηαβWαβ,(C.9) introduciendo los tensores lept´onico ηαβ y hadr´onico Wαβ como sigue ηαβ =1 2Tr / Kl+ml 2ml Γα/ Kν+mν 2mν Γβ,(C.10) Wαβ =1 2Tr / Pf+MN 2MN ˜ Γα / Pi+MN 2MN ˜ Γβ.(C.11) C.2. Teorema de trazas El teorema de trazas permite simplificar la determinaci´on de los tensores lept´onico y hadr´onico. A continuaci´on, se indican las propiedades del teorema de traza que se usan durante procedimiento de c´alculo. La traza de un n´umero impar de matrices γµes 0.(C.12) Tr[γαγβ]=4gαβ.(C.13) Tr[γ5γαγβγµγν] = 4iϵαβµν.(C.14) Tr[ / A/ B] = 4AµBµ= 4A·B. (C.15) Tr[ / A/ B/ C/ D] = A·BTr[ / C/ D]−A·CTr[ / B/ D] + A·DTr[ / B/ C].(C.16) Tr[A+B] = Tr[A] + Tr[B].(C.17) Tr[λA] = λTr[A] siendo λ= cte.(C.18)
98 C.2. TEOREMA DE TRAZAS Definimos el tensor antisim´etrico ϵαβµν seg´un el convenio utilizado en [7]: ϵαβµν = 1 si (α, β, µ, ν) es una permutaci´on par de (1,2,3,4) −1 si (α, β, µ, ν) es una permutaci´on impar de (1,2,3,4) 0 si dos ´ındices son iguales ,(C.19) que presenta las siguiente propiedades que nos ser´an de utilidad ϵαβµν =−ϵαβµν,(C.20) −ϵαβµνϵαβστ = 2(δµ σδτ ν−δµ τδσ ν),(C.21) siendo la delta de Kronecker δµ ν= 1 si ν=µ 0 en otro caso .(C.22) El desarrollo de los tensores lept´onico y hadr´onico implica el c´alculo de numerosas trazas. Aplicando las propiedades de las trazas, estas se pueden reducir a (C.13), (C.14) o a trazas del producto de 4 y 6 matrices γ. A continuaci´on, se determinan estas ´ultimas. Se hace esto para mostrar d´onde reside la base del c´alculo de los tensores lept´onico y hadr´onico puesto que no se va indicar su desarrollo en profundidad, especialmente el del tensor hadr´onico debido a su enorme extensi´on. La traza de un n´umero par de matrices γse obtiene aplicando la propiedad de anticonmutaci´on de dichas matrices: {γµ, γν}= 2gµνI. Adem´as, se tiene en cuenta que la traza de un producto de matrices tiene simetr´ıa c´ıclica. Para determinar la traza del producto de 4 matrices γcomenzamos aplicando la propiedad de anticonmutaci´on hasta desplazar la primera matriz del producto de izquierda a derecha: Tr γaγbγcγd= Tr −γbγa+ 2gabγcγd =−Tr γbγaγcγd+ 2gabTr γcγd =−Tr γb(−γcγa+ 2gac)γd+ 2gabTr γcγd = Tr γbγcγaγd+ 2gabTr γcγd−2gacTr γbγd = Tr γbγc−γdγa+ 2gad+ 2gabTr γcγd−2gacTr γbγd =−Tr γbγcγdγa+ 2gabTr γcγd−2gacTr γbγd + 2gadTr γbγc.(C.23)
99 C.2. TEOREMA DE TRAZAS Posteriormente, simplemente se debe aplicar la simetr´ıa c´ıclica de la traza y la relaci´on (C.13) para obtener el resultado: Tr γaγbγcγd=gabTr γcγd−gacTr γbγd+gadTr γbγc = 4 gabgcd −gacgbd +gadgbc.(C.24) El mismo procedimiento se sigue para la traza del producto de 6 matrices γ: Tr γaγbγcγdγeγf= Tr −γbγa+ 2gabγcγdγeγf =−Tr γbγaγcγdγeγf+ 2gabTr γcγdγeγf =−Tr γb(−γcγa+ 2gac)γdγeγf+ 2gabTr γcγdγeγf = Tr γbγcγaγdγeγf+ 2gabTr γcγdγeγf−2gacTr γbγdγeγf = Tr γbγc−γdγa+ 2gadγeγf+ 2gabTr γcγdγeγf −2gacTr γbγdγeγf =−Tr γbγcγdγaγeγf+ 2gabTr γcγdγeγf−2gacTr γbγdγeγf + 2gadTr γbγcγeγf =−Tr γbγcγd(−γeγa+ 2gae)γf+ 2gabTr γcγdγeγf −2gacTr γbγdγeγf+ 2gadTr γbγcγeγf = Tr γbγcγdγeγaγf+ 2gabTr γcγdγeγf−2gacTr γbγdγeγf + 2gadTr γbγcγeγf−2gaeTr γbγcγdγf = Tr γbγcγdγe−γfγa+ 2gaf + 2gabTr γcγdγeγf −2gacTr γbγdγeγf+ 2gadTr γbγcγeγf−2gaeTr γbγcγdγf =−Tr γbγcγdγeγfγa+ 2gabTr γcγdγeγf −2gacTr γbγdγeγf+ 2gadTr γbγcγeγf−2gaeTr γbγcγdγf + 2gaf Tr γbγcγdγe.(C.25) De manera que, finalmente, puede expresarse en funci´on de las trazas del producto de 4 matrices γcomo sigue: Tr γaγbγcγdγeγf=gabTr γcγdγeγf−gacTr γbγdγeγf+gadTr γbγcγeγf −gaeTr γbγcγdγf+gaf Tr γbγcγdγe.(C.26)
100 C.3. TENSOR LEPT´ ONICO ηαβ C.3. Tensor lept´onico ηαβ El tensor lept´onico ηαβ viene dado por ηαβ =1 2Tr / Kl+ml 2ml Γα/ Kν+mν 2mν Γβ,(C.27) donde el operador adjunto de Dirac de Γβes Γβ=γ0Γβ†γ0=γ0γβ(1 −γ5)†γ0=γ0(1 −γ† 5)γβ†γ0 =γ0(1 −γ5)γβ†γ0=γ0γβ†γ0−γ0γ5γβ†γ0 =γ0γβ†γ0+γ5γ0γβ†γ0= (1 + γ5)γo(γβ)†γ0 = (1 + γ5)γβ=γβ(1 −γ5) = Γβ.(C.28) Para desarrollar la expresi´on del tensor lept´onico se har´a uso de las propiedades del teorema de trazas que fueron introducidas en el Ap´endice C.2 junto con las propias propiedades de las matrices γµyγ5que se detallan en el Ap´endice A.1. El procedimiento se detalla a continuaci´on. ηαβ =1 2Tr / Kl+ml 2ml Γα/ Kν+mν 2mν Γβ =1 8mlmν Tr / Kl+mlΓα/ Kν+mνΓβ =1 8mlmν Tr / KlΓα/ KνΓβ | {z } 1. + Tr mlΓαmνΓβ | {z } 2. .(C.29) 1. Tr / KlΓα/ KνΓβ= Tr / Klγα(1 −γ5)/ Kνγβ(1 −γ5) = Tr / Klγα/ Kνγβ+ Tr / Klγαγ5/ Kνγβγ5 −Tr / Klγαγ5/ Kνγβ−Tr / Klγα/ Kνγβγ5 = 2 Tr / Klγα/ Kνγβ−Tr / Klγα/ Kνγβγ5. = 8 nKlαKνβ−(Kl·Kν)gαβ +Kβ lKα ν−iϵδαϕβKlδKνϕo.(C.30)
101 C.4. TENSOR HADR´ ONICO Wαβ 2. Tr mlΓαmνΓβ=mlmνTr[γα(1 −γ5)γβ(1 −γ5)] =mlmνTr[γαγβ] + Tr[γαγ5γβγ5]−Tr[γαγ5γβ]−Tr[γαγβγ5] =mlmνnTr[γαγβ]−Tr[γαγβ(γ5)2] + Tr[γαγβγ5]−Tr[γαγβγ5]o =mlmνTr[γαγβ]−Tr[γαγβ] + Tr[γαγβγ5]−Tr[γαγβγ5] = 0.(C.31) Reagrupando los t´erminos, obtenemos el tensor lept´onico: ηαβ =1 2Tr / Kl+ml 2ml Γα/ Kν+mν 2mν Γβ =1 mlmνhKα lKβ ν−(Kl·Kν)gαβ +Kβ lKα ν−iϵαβδϕKlδKνϕi.(C.32) Asimismo, se puede introducir el tensor lept´onico reducido ˜ηαβ como sigue: ˜ηαβ =mlmνηαβ =hKα lKβ ν−(Kl·Kν)gαβ +Kβ lKα ν−iϵαβδϕKlδKνϕi.(C.33) C.4. Tensor hadr´onico Wαβ El tensor hadr´onico Wαβ viene dado por Wαβ =1 2Tr / Pf+MN 2MN ˜ Γα / Pi+MN 2MN ˜ Γβ,(C.34) donde el operador adjunto de Dirac ˜ Γβ=˜ ΓV β+˜ ΓA βcon ˜ ΓV β=γ0(˜ ΓV β)†γ0=γ0FV 1γβ+iFV 2 2MN σβµQµ† γ0 =γ0FV 1γ† β−iFV 2 2MN σ† βµQµγ0=FV 1γβ−iFV 2 2MN σβµQµ =FV 1γβ−iFV 2 2MN σβµQµ=˜ ΓV β,(C.35) ˜ ΓA β=γ0(˜ ΓA β)†γ0=γ0GAγβγ5+GP 2MN Qβγ5† γ0 =γ0GA(γβγ5)†+GP 2MN Qβ(γ5)†γ0=GAγβγ5+GP 2MN Qβγ5 =GAγβγ5−GP 2MN Qβγ5=˜ ΓA β,(C.36)
108 C.5. CONTRACCI´ ON ηαβWαβ En cuanto a la contracci´on de las partes antisim´etricas: ˜ηαβ AWA αβ =W3(Q2) 2M2 N (−iϵαβδϕKlδKνϕ) (iϵσαρβPiσQρ) ∝(−iϵαβδϕKlδKνϕ)(iϵσαρβPiσQρ) = 2(δδ µδϕ σ−δδ σδϕ µ)KlδKνϕPiσQρ = 2 [(Pi·Kν)(Q·Kl)−(Pi·Kl)(Q·Kν)] = 2MNενh(εν+εl)εl−| kl|cos θl−m2 li,(C.81) donde se ha aplicado la propiedad (C.21). Reagrupando los t´erminos se obtiene, finalmente, que ˜ηαβWαβ = (˜ηαβ S+ ˜ηαβ A)(WS αβ +WA αβ) = ˜ηαβ SWS αβ + ˜ηαβ AWA αβ = 2W1(Q2)ενεl−| kl|cos θl +W2(Q2)ενεl+| kl|cos θl +W3(Q2) MN ενh(εν+εl)εl−| kl|cos θl−M2 li +m2 l M2 N W4(Q2)ενεl−| kl|cos θl −m2 l MN W5(Q2)εν.(C.82)
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