Control predictivo basado en datos

Control Predictivo Basado en Datos J.M. Manzano*, D. Limon*, T. Alamo*, J.P. Callies** *Universidad de Sevilla. josmancr[email protected], d[email protected], [email protected] **University of Cambridge. [email protected] Resumen Este art´ıculo presenta el dise˜no estabilizante de un controlador predictivo a partir ´unicamente de datos de entrada-salida de un sistema a controlar. El modelo que incluye este controlador es una funci´on no lineal estimada usando una t´ecnica de aprendizaje autom´atico no param´etrica conocida como Kinky Inference. Como primeras pruebas en esta nueva l´ınea de investigaci´on, se dise˜nan y se prueban controladores en un reactor continuamente agitado, considerando las cuestiones necesarias para una correcta implementaci´on pr´actica. Palabras clave: Control predictivo; Control basado en datos; Aprendizaje autom´atico; Sistemas no lineales con restricciones. 1. Introducci´on El control predictivo basado en modelo (MPC, por sus siglas en ingl´es) es una t´ecnica de control no lineal capaz de controlar un sistema garantizando la satisfacci´on de restricciones duras [6], tanto en las entradas manipulables como en las variables controladas. Para ello el controlador cuenta con un modelo din´amico del sistema, que se usa para predecir el comportamiento esperado del mismo ante una secuencia de acciones futuras prevista. Las predicciones obtenidas permiten estimar el coste asociado a la trayectoria prevista as´ı como el grado de satisfacci´on de las restricciones impuestas. De esta forma, es posible calcular la secuencia de acciones futuras que logren un menor coste de operaci´on satisfaciendo las restricciones, mediante la resoluci´on de un problema de optimizaci´on est´atica. Con el fin de dotar de realimentaci´on al sistema y obtener mejores predicciones, se aplica tan s´olo la acci´on calculada correspondiente al instante actual, descartando el resto. De esta forma, en cada tiempo de muestreo se actualiza la informaci´on necesaria para realizar las predicciones, actuando ante posibles errores de modelado. Esta es la llamada estrategia de horizonte deslizante. El control predictivo ha logrado un notable ´exito en la pr´actica gracias a su car´acter ´optimo y a su capacidad de manejar las restricciones. Este ´exito se ha dado principalmente en las aplicaciones en las que se dispone de modelos de predicci´on fiables, t´ıpicamente de primeros principios. Al ser un controlador basado en modelo, los errores de modelado inducen errores en las predicciones y por lo tanto en la toma de decisiones. Por ello, la disponibilidad de buenos modelos de predicci´on es clave en el dise˜no de controladores predictivos. Cuando los modelos de primeros principios no resultan adecuados para realizar predicciones, se pueden inferir modelos de predicci´on a partir de datos hist´oricos disponibles. T´ıpicamente esto se lleva a cabo mediante t´ecnicas de identificaci´on de sistemas din´amicos, especialmente adecuadas para modelos lineales en torno a un punto de operaci´on [3]. El objetivo de este art´ıculo es estudiar el desarrollo de controladores predictivos que sean capaces de controlar la planta a partir de datos hist´oricos disponibles del sistema a controlar. Mediante t´ecnicas de aprendizaje autom´atico, se van a inferir procedimientos para calcular las predicciones a partir de las cuales se determinar´a un controlador predictivo, de forma que el controlador resultante se basar´a directamente en los datos de entradasalida de la planta a controlar. En [1] se propone usar t´ecnicas de aprendizaje autom´atico para estimar las incertidumbres globales del sistema con el fin de mejorar las predicciones. En [7] se propone un controlador predictivo no lineal basado en datos usando t´ecnicas de interpolaci´on de Lipschitz asumiendo que se conoce de antemano la constante de Lipschitz del sistema. En este trabajo nos vamos a centrar en t´ecnicas de inferencia basadas en la interpolaci´on de Lipschitz (extendidas a funciones con continuidad de H¨older) que no requieren un conocimiento previo de las constantes de Lipschitz [4]. Se van a presentar los trabajos preliminares que demuestran que estas t´ecnicas son adecuadas para el desarrollo de controladores predictivos basados ´unicamente en datos. Notaci´on Sean dos espacios, XeY, se definen las pseudo-m´etricas dX(·,·) : X2→R≥0y dY(·,·) : Y2→R≥0como sim´etricas, positivas, y que cumplen la desigualdad triangular. XXXVIII Jornadas de Automática 115 2. Kinky Inference: el predictor Como se ha comentado, el objetivo de esta investigaci´on es el desarrollo de controladores predictivos cuyo modelo est´a ´unicamente basado en datos. Este modelo ser´a no expl´ıcito, generado por un m´etodo de aprendizaje autom´atico propuesto por [5] y conocido como Lazily Adapted Constant Kinky Inference (LACKI). Este m´etodo se va a usar para aprender un cierto un mapa f:X → Y definido entre espacios y pseudo-m´etricas (X,dX) e (Y,dY), que se asume es continuo en el sentido de H¨older con una constante de H¨older L∗y exponente α, por lo que para todo ∀x1, x2∈ X cumple la siguiente condici´on: dY(f(x1), f(x2)) ≤L∗dX(x1, x2)α(1) De dicha funci´on objetivo f:X → Y se conocen ciertas parejas de entradas y salidas (posiblemente ruidosas) que conforman el dataset Dn:= {(si,˜ fi)|i= 1,...,Nn}, siendo ˜ fla medida con ruido de f. Aunque se desconoce la funci´on real f, se asume que se conoce la cota del error observacional, dada por ¯ e, de forma que ∀x∈ X :dY(˜ f(x), f(x)) ≤¯ e∈R≥0. Dado que tan s´olo se dispone de los datos de entrada-salida medidos, resulta necesario estimar una cierta constante que se use como par´ametro en el aprendizaje del sistema. En [5] se describen varios m´etodos para realizarlo. El que consideramos en este art´ıculo incluye un par´ametro de regularizaci´on, γ, que suaviza la predicci´on conociendo la cota de ruido observacional ¯ e. El t´ermino Lazily Adapted Constant de LACKI hace referencia a la forma de obtener la constante, pues ser´a la m´ınima que sea v´alida conforme a los datos D. Se calcula de la siguiente forma: L(Dn, γ) := m´ax (s,s′)∈Un dY(˜ f(s), f(s′)) −γ dα X(s, s′)(2) con γ≥2¯ e. De ahora en adelante se expresar´a L(Dn, γ) como LD, para simplificar. Esta estimaci´on es siempre menor o igual que la m´ınima constante de H¨older de la funci´on, LD≤L∗, y tiende a ´esta a medida que aumenta la densidad del conjunto de datos. A partir ´unicamente del conjunto de puntos observados, y de la constante LD(estimada a partir de ese conjunto), se puede realizar la interpolaci´on de Lipschitz para cualquier otro punto x /∈ Dn. El estimador ˆ fnse construye de la siguiente forma para la componente j-´esima de la funci´on: ˆ fj(x;Dn) = 1 2m´ın i=1,...,Nn ˜ fi,j +L(Dn)dα X(x, si) +1 2m´ax i=1,...,Nn ˜ fi,j −L(Dn)dα X(x, si)(3) Es importante destacar que el error de estimaci´on del predictor de KI, definido como µ=dY(f,ˆ f), tiende a cero a medida que aumenta la densidad de los puntos de entrada, siendo capaz de estimar el mapa verdadero f(·) con un error arbitrariamente peque˜no a partir de un conjunto de datos suficientemente denso, siempre que el mapa real sea continuo en el sentido de H¨older. 3. Control predictivo basado en datos Se desea desarrollar un controlador predictivo que permita controlar un sistema del cual tan s´olo se dispone de las medidas de las variables a controlar y(k), definidas en el espacio Y=Rn, y de las variables manipulables u(k), definidas en el espacio U ⊆ Rm. Realizando una hip´otesis no muy restrictiva, se asume que el sistema se puede describir mediante un modelo ARX, con las caracter´ısticas descritas en [9], de forma que y(k+ 1) = f(x(k), u(k)) + e(k) (4) donde x(k) = [y(k),···, y(k−na), u(k− 1),···, u(k−nb)] ∈ X := Y(na+1) × Unb⊂Rnx con nx= (na+ 1)n+nbm, para cierto horizonte de memoria na, nb∈N; y e(k) describe posibles ruidos en las medidas. N´otese que x(k) est´a definido para nb≥1; sin embargo, se contempla la posibilidad de tener nb= 0 para indicar que el estado no depende de las acciones de control pasadas, xk6=xk(u). En esta secci´on se desarrollan controladores predictivos para controlar este sistema, del cual no se conoce el modelo f(·,·), sino un conjun- to de datos hist´oricos de entrada-salida Dn= {(u(j), y(j)), j = 1,···, Nn}, obtenido a partir de ensayos previos. El modelo de predicci´on ser´a el estimador derivado usando la t´ecnica LACKI para aprender el modelo regresivo del sistema. Este predictor permitir´a estimar la evoluci´on del sistema para el instante k+ 1 seg´un cierta se˜nal de control ukdada, y a partir de un conjunto de variables pasadas (el regresor xk) y el dataset Dn, que se considera fijo y con el que se estima la LD: ˆy(k+ 1) = ˆ f(x(k), u(k); Dn, LD) (5) As´ı, el modelo de predicci´on en variables de estado, en el instante k, para una secuencia de acciones futuras (ˆu0,...), vendr´a dado por: ˆx(j+ 1|k) = ˆ F(ˆx(j|k),ˆu(j)) (6) ˆy(k|j) = Mˆx(j|k) (7) XXXVIII Jornadas de Automática 116 siendo ˆx(j|k) = (ˆy(j|k),···,ˆy(1|k), y(k),···, y(k+j−na), ˆu(j−1),···,ˆu(j−nb)) y la funci´on del modelo ˆ F(ˆx(j|k), u(k+j)) es (ˆ f(ˆx(j|k), u(k+j); Dn, LD), ˆy(j|k),···, y(k),···, y(k+j−na+ 1),· · · , u(k+j),···, u(k+j−nb+ 1)) yM= [In,0,...,0]. Para derivar el controlador predictivo se debe definir una funci´on de coste de etapa, que en este caso se ha elegido como una funci´on cuadr´atica que penalice el error de seguimiento de las entradas y salidas respecto al punto de referencia en el que se quiere estabilizar el sistema, dado por (yr, ur). Se obtiene as´ı xr= (yr, . . . , yr, ur,...,ur)∈ Rna+1+nb. Dicho coste de etapa se define a continuaci´on: ℓ(y, u) = (y−yr)TQ(y−yr)+(u−ur)TR(u−ur) (8) Por todo ello el problema de optimizaci´on PNp,Nc(x(k),Dn) a resolver es el siguiente [13]: m´ın ˆu VNp,Nc(x(k),ˆu) = Nc−1 P i=0 ℓ(ˆy(i|k),ˆu(i)) + Np−1 P i=Nc ℓ(ˆy(i|k), κf(ˆx(i|k))) + λVf(ˆx(Np|k)) s.a. ˆx(0|k) = x(k) ˆx(j+ 1|k) = ˆ F(ˆx(j|k),ˆu(j)), j ∈I0,N−1 ˆy(j|k) = Mˆx(j|k) ˆu(j)∈ U (9) siendo λuna constante mayor que 1 que es un par´ametro del controlador. Npes el horizonte de predicci´on, Ncel de control; y κfla ley de control terminal. La ley de control ser´a u(k) = κMP C (x(k); Dn) = ˆu∗(0). Para garantizar la estabilidad nominal por dise˜no, se ha a˜nadido una funci´on de coste terminal cuadr´atica Vf(x) = (x−xr)TP(x−xr) y una ley de control terminal lineal κf(x) = K(x−xr)+ur, siendo Kla soluci´on del LQR. Estos t´erminos se pueden dise˜nar de la forma est´andar [10] a partir del modelo linealizado obtenido num´ericamente de la funci´on de predicci´on. Como se demuestra en [11], esta ley control garantiza la estabilidad para cualquier λ≥1 con un dominio de atracci´on que crece al aumentar λ. Adem´as, gracias a la continuidad de H¨older de los ingredientes del problema Time [s] 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 Output CA 0 0.2 0.4 0.6 0.8 CSTR - Chirp Signal Noisy Nominal Time [s] 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 Input Tr 300 350 400 450 Figura 1: Ensayo para la obtenci´on de datos de optimizaci´on, se puede demostrar que el sistema controlado es estable entrada-estado respecto a los errores de estimaci´on del predictor [12]. 4. Caso de estudio En las secciones anteriores se ha expuesto la teor´ıa necesaria para el desarrollo de un controlador predictivo, estabilizante por dise˜no, basado ´ıntegramente en datos. El objetivo de este art´ıculo es aplicar dichas metodolog´ıas a un caso de estudio que motive la investigaci´on llevada a cabo. Se pretende validar dichas ideas con casos realistas, mediante ensayos realmente implementables. Como primer trabajo dentro del proyecto de investigaci´on, se est´a desarrollado un controlador para un reactor continuamente agitado (CSTR, por sus siglas en ingl´es), presentando en [15]. Esta secci´on analiza el dise˜no de los experimentos, desde la obtenci´on de los datos y la construcci´on del predictor hasta el control del sistema bajo determinadas condiciones. 4.1. Obtenci´on de los datos Se parte de un modelo de caja negra del reactor, que recibe como entrada la temperatura del refrigerante Tr[K] y proporciona como salida la concentraci´on del reactivo a controlar, CA. Las restricciones en la entrada son 300 ≤Tr≤450, y no se consideran restricciones en los estados o la salida. Se simula adem´as con un ruido en las se˜nales de hasta el 3,5 %. Es nuestro objetivo realizar un ensayo en el reactor que proporcione un conjun- to de datos con informaci´on suficiente para poder dise˜nar posteriormente el controlador. La primera parte del problema consiste entonces en aplicar t´ecnicas basadas en la identificaci´on de sistemas. Se estudia la caracter´ıstica est´atica del sistema y sus din´amicas principales, para dise˜nar posteriormente un ensayo de acuerdo con las XXXVIII Jornadas de Automática 117 Time [s] 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 CA 0 0.1 0.2 0.3 CSTR - Kinky Inference Validation Real Curve Inferred Curve Time [s] 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 Tr [K] 300 350 400 450 (a) Parte de un ensayo de validaci´on Absolute error -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 Number of samples 0 500 1000 1500 2000 2500 Validation error - Histogram (b) Histograma con el error de validaci´on Figura 2: Muestra del funcionamiento del predictor. En (a) se muestra la respuesta del sistema y la del predictor frente a una misma se˜nal de entrada aleatoria. En (b) se realiza un histograma del error de predicci´on: µ=dY(˜ f,ˆ f) metodolog´ıas seguidas en [14]. Este ensayo estar´a compuesto por la superposici´on de varias se˜nales chirp como entrada, con frecuencias variando entre 0.1 mHz y 0.1 Hz y amplitud suficiente con cierto solape entre ellas para cubrir todo el espacio de inter´es. El resultado es el representado en la Figura 1. Se obtienen adem´as varios ensayos generados por se˜nales de entrada aleatorias, que ser´an usados como ensayos de validaci´on. Los siguientes pasos consisten en obtener un dataset Dv´alido para la interpolaci´on, y una estimaci´on de la constante de Lipschitz del sistema. Para ello es necesario cierto procesamiento de los datos obtenidos con el ensayo mostrado en la Figura 1. Esto incluye el escalado de las se˜nales y el esquilmado de los datos, pues el ensayo de la se˜nal chirp conten´ıa cerca de 10000 puntos. Se aplica un filtro para obtener dos datasets menores: D1con 297 puntos, y D2con 895 puntos. En primer lugar debe construirse el modelo din´amico del sistema. Haciendo uso del modelo autorregresivo presentado en (4), podemos expresar la concentraci´on en cierto instante como una funci´on de los valores pasados de temperaturas (u), y concentraciones (y): yk+1 =F(xk, uk) (10) siendo Fla funci´on que se desea aprender (obtendremos el estimador ˆ F), ukla se˜nal de control en ese mismo instante y xkel vector de regresi´on en el instante k, dado por: xk:= [yk, yk−1,...,yk−na, uk−1,...,uk−nb] (11) El siguiente paso por tanto es la construcci´on de este regresor con los valores indicados en (11) para todos los puntos del dataset Dobtenido en el ensayo mostrado en la Figura 1. Cada punto est´a por tanto compuesto por {˜ fk, sk}, donde ˜ fk=yk+1 y sk= (xk, uk). Puede as´ı estimarse la constante de Lipschitz del sistema aplicando la ecuaci´on (2), si fueran dados los par´ametros naynb; y obtener por consiguiente el predictor, definido en la ecuaci´on (3). Puede comprobarse su bondad mediante ensayos de validaci´on, usando los datasets aleatorios obtenidos previamente (ver Figura 2). Estos ensayos de validaci´on sirven, entre otras funciones, para determinar los valores ´optimos de los par´ametros naynb. Para na= 2 y nb= 0 se minimiza el error de validaci´on (diferencia entre la concentraci´on real del sistema y la estimada por el predictor, ante la misma se˜nal de entrada). Con estos valores y con γ= 2¯ e(recu´erdese que ¯ ese asume conocida) se obtiene una LD= 1,563. N´otese que seg´un se ha definido el modelo autorregresivo en (4), es posible el valor nb= 0, pues la se˜nal de control actual, uk, est´a definida fuera del regresor xk. 4.2. Control del reactor Se aborda entonces el problema de control presentado en la Secci´on 3. Se ha implementado un controlador predictivo en MatLab usando la funci´on de optimizaci´on fmincon. La ecuaciones que gobiernan este MPC son las expresadas en (9). Para el ensayo se fija el estado inicial en el punto de equilibrio dado por y= 0,7509. La referencia se fija en otro punto de equilibrio dado por y= 0,25, aunque se construye un SSTO por si esta referencia no fuera alcanzable. Se considerar´a un XXXVIII Jornadas de Automática 118 Time [s] 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Output CA 0 0.2 0.4 0.6 0.8 ODEs MPC. Noisy CSTR. Cost=461 Time [s] 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Input Tr [K] 300 350 400 450 Figura 3: MPC ideal en el que se conociese el modelo del sistema, para ilustrar el control objetivo coste de etapa cuadr´atico, con Q= 100 y R= 5; y se definen las restricciones en la entrada y el coste terminal como se indica en la secci´on 3. Para dar una idea al lector del objetivo del control; se realiza un primer experimento en el que el modelo usado por el MPC es la propia planta (definida por su conjunto de ecuaciones diferenciales u ODEs) a la que luego se aplica la se˜nal de control. N´otese que este modelo de la planta, para el resto del art´ıculo, es desconocido; es decir, s´olo se ha utilizado aqu´ı para obtener una idea de c´omo ser´ıa un controlador ´optimo que conociese el sistema. Este resultado se muestra en la Figura 3. Sin embargo, como se ha indicado previamente, este modelo de ODEs es desconocido, de caja negra, por lo que experimentalmente s´olo hemos podido obtener un conjunto de datos a partir de se˜nales de entrada. Bas´andose en los datos se ha obtenido el predictor como se indica en las secciones 2 y 3. Los resultados de este controlador aplicado sobre el CSTR se muestran en la Figura 4. Como se puede observar, los resultados no son satisfactorios. Esto se debe a problemas de implementaci´on que se analizan en la siguiente secci´on. 4.3. Mejoras en la implementaci´on Como parte experimental de la teor´ıa presentada en [13], ciertos aspectos pr´acticos surgen a la hora de implentar los controladores all´ı definidos. En este apartado se analizan posibles modificaciones para reducir la carga computacional y para mejorar la actuaci´on del optimizador. 4.3.1. Partici´on en ´arboles El prop´osito de esta l´ınea de investigaci´on es el manejo de una cantidad de datos suficiente no s´olo Time [s] 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Output CA 0.2 0.4 0.6 KI-MPC. Nominal CSTR Time [s] 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Input Tr [K] 300 350 400 450 Figura 4: Primeros ensayos realizados usando el predictor KI, con problemas en la resoluci´on del optimizador para explorar toda la regi´on de trabajo, sino tambi´en para proporcionar una predicci´on veraz y con error acotado, que permita manejar sistemas no lineales con restricciones. Los modelos de predicci´on presentados, basados en datos, requieren un dataset que a menudo no es peque˜no, y que puede contar con numerosas dimensiones (tanto en entrada como en salida) dado el car´acter din´amico y multivariable de los sistemas considerados. Por todo ello, creemos necesario desarrollar metodolog´ıas que reduzcan la carga computacional de los algoritmos, y poder as´ı implementar un control en tiempo real. Una de estas metodolog´ıas consiste en dividir el espacio de trabajo con t´ecnicas de aprendizaje autom´atico como clustering onearest neighbors. Cierta bibliograf´ıa respecto a este tema puede encontrarse en [2], [4] y [8]. En este trabajo se han realizado particiones iguales en el espacio de entrada X ∈ R3del dataset Dn, de forma que un nuevo punto a interpolar x /∈ Dnse situar´a primero en la divisi´on que le corresponde, y se realizar´a la predicci´on utilizando solamente un subconjunto de Dnalrededor de x. Dividiendo en 10 particiones por cada dimensi´on del regresor, el tiempo de c´alculo se reduce hasta un 90 %, sin aumentar el error de predicci´on, µ= dY(˜ f,ˆ f). 4.3.2. Filtrado del predictor El t´ermino Kinky Inference hace referencia al resultado del predictor descrito en la ecuaci´on (3). Debido al tipo de interpolaci´on que se hace basada en los datos y la continuidad de Lipschitz, la funci´on resultante ˆ fno es diferenciable, sino que presenta una forma angulosa, que propicia el t´ermino kinky en ingl´es. XXXVIII Jornadas de Automática 119 Time [s] 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Output CA 0 0.2 0.4 0.6 0.8 KI-MPC Offline. Noisy CSTR. Dataset N=297. Cost=538 Time [s] 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Input Tr [K] 300 350 400 450 (a) CPBD con menor cantidad de datos (D1) Time [s] 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Output CA 0 0.2 0.4 0.6 0.8 KI-MPC Offline. Noisy CSTR. Dataset N=895. Cost=510 Time [s] 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Input Tr [K] 300 350 400 450 (b) CPBD con mayor cantidad de datos (D2) Figura 5: Control predictivo basado en datos para un reactor CSTR, proporcionando al modelo datasets con diferente tama˜no Esta funci´on forma parte del problema de optimizaci´on, y el hecho de ser no diferenciable perjudica gravemente los m´etodos de optimizaci´on gradenciales como la funci´on fmincon. Es nuestro objetivo, por tanto, suavizar o filtrar de cierta forma esta ˆ fpara convertirla en diferenciable, manteniendo la misma LD. En [4] se propone una nueva versi´on del predictor conocida como smoothed kinky inference (SKI), que consiste en realizar una combinaci´on convexa de ciertos puntos alrededor del punto xa interpolar, como se indica a continuaci´on: f∗ n(x) = 1 q P i=−q wi q X i=−q wiˆ fn(x+iσn) (12) para qpuntos alrededor de xcon pesos wiy siendo σnun vector en Rnxque indica el incremento en cada componente dimensional. En la Figura 5 se muestra el resultado de los experimentos tras aplicar las mejoras citadas en esta secci´on. Se realiza adem´as con diferentes datasets, con el objetivo de demostrar que con m´as datos se mejora la actuaci´on, y motivando la teor´ıa presentada en [13]. 5. Conclusiones y futuras l´ıneas Se han presentado las primeras l´ıneas para el proyecto de investigaci´on de controladores predictivos basados en datos. A partir de los problemas desarrollados en [13], se ha considerado un reactor continuamente agitado como modelo de caja negra, por lo que ha sido necesario dise˜nar el m´etodo para obtener el predictor, mediante t´ecnicas de identificaci´on. Se ha construido el modelo NARX, y estimando la constante de Lipschitz se ha construido el predictor de KI. Posteriormente se ha dise˜nado un MPC usando ese modelo, y se han realizado ensayos de control. Se proponen algunas de mejoras y se muestran los resultados obtenidos, aplicados al CSTR. Como se comentaba, este art´ıculo representa una primera aproximaci´on al control basado en datos. Experimentalmente, algunos de los pr´oximos pasos a seguir en esta l´ınea comprenden: La adaptaci´on de los algoritmos al control robusto, sin p´erdida de generalidad ni de estabilidad. La versi´on online, o en l´ınea, del controlador. Es nuestro objetivo tener en cuenta nuevos puntos que vayan surgiendo durante la operaci´on del sistema, y que permitan mejorar nuestro controlador. Destacamos tres usos: •Para actualizar la constante de Lipschitz del sistema. Como se comentaba en la secci´on 2, la estimaci´on de LDa partir de los datos es menor o igual que la real, por lo que nuevos datos permitir´an un c´alculo recursivo para mejorar dicha estimaci´on. •Para a˜nadir puntos al dataset con los que mejorar la interpolaci´on. Se deber´a llegar a un compromiso entre reducir el error de predicci´on y aumentar la carga computacional por el incremento del dataset. •Para explorar regiones del espacio Xno contempladas en Dn, si bien deber´a hacerse sin incrementar el error de estimaci´on. Seguir implementando t´ecnicas para reducir la carga computacional de los algoritmos, XXXVIII Jornadas de Automática 120 pues al realizar la interpolaci´on entre puntos el tiempo de c´alculo dista del deseado. Una t´ecnica a estudiar ser´a la paralelizaci´on de estos algoritmos. Agradecimientos A los autores les gustar´ıa agradecer al MINECO y a los fondos FEDER (contratos DPI2013-48243- C2-2-R y DPI2016-76493-C3-1-R) por financiar este trabajo. Referencias [1] Aswani, A., Gonzalez, H., Sastry, S.S., & Tomlin, C. (2013). Provably safe and robust learning-based model predictive control. Automatica, 49(5), 1216–1226. [2] Beliakov, G. (2006). Interpolation of Lipshitz functions. 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