A calculadora gráfica e a comunicação escrita: experiência com alunos do 10.º ano

Universidade do Minho Instituto de Educação Cristina Maria Araújo Sá A calculadora gráfica e a comunicação escrita: Experiência com alunos do 10.º ano dezembro de 2021 Cristina Maria Araújo Sá A calculadora gráfica e a comunicação escrita: Experiência com alunos do 10.º ano Relatório de Estágio Mestrado em Ensino de Matemática no 3.º Ciclo do Ensino Básico e no Ensino Secundário Trabalho efetuado sob a orientação de Maria Helena Martinho dezembro de 2021 Universidade do Minho Instituto de Educação ii Este é um trabalho académico que pode ser utilizado por terceiros desde que respeitadas as regras e boas práticas internacionalmente aceites, no que concerne aos direitos de autor e direitos conexos. Assim, o presente trabalho pode ser utilizado nos termos previstos na licença abaixo indicada. Caso o utilizador necessite de permissão para poder fazer um uso do trabalho em condições não previstas no licenciamento indicado, deverá contactar o autor, através do RepositóriUM da Universidade do Minho. Licença concedida aos utilizadores deste trabalho Atribuição-NãoComercial-SemDerivações CC BY-NC-ND https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/ iii Em primeiro lugar quero agradecer à minha família, em especial atenção ao meu pai por todo o apoio e motivação dado ao longo de toda a minha formação académica e à minha mãe por tentar procurar sempre o melhor para mim. À minha orientadora, Doutora Maria Helena Martinho, pela sua disponibilidade, dedicação, sugestões e críticas durante toda a realização deste trabalho. Ao melhor que esta Academia me trouxe, a minha família de praxe que eu tanto os amo. Agradeço ao meu padrinho, por ser “O Padrinho” e por toda a paciência que tem comigo. Às minhas irmãzinhas, Elsa e Sara por todos os momentos passados e todo o amor incondicional. À minha afilhada, Rosinha, pelo apoio e por me acompanhar sempre sem hesitar. À minha avó Marta, por auxiliar em todo o meu percurso e carinho prestado. Ao meu primo Hulk pela amizade e por todas as vezes que deixei as chaves dentro do carro e veio comigo buscar as suplentes. A todos os meus amigos, em particular, à Lúcia por ter sido a minha parceira nesta caminhada de luta e incerteza de conseguirmos realizar o proposto dentro do tempo limite. À Ana Veiga e ao Carlos Martins pelas correções e sugestões feitas neste trabalho, assim como toda a disponibilidade para ajudar e todo o incentivo para concluir o mesmo. A todos vocês, do fundo do meu coração, Obrigada. iv Declaro ter atuado com integridade na elaboração do presente trabalho académico e confirmo que não recorri à prática de plágio nem a qualquer forma de utilização indevida ou falsificação de informações ou resultados em nenhuma das etapas conducente à sua elaboração. Mais declaro que conheço e que respeitei o Código de Conduta Ética da Universidade do Minho. v A CALCULADORA GRÁFICA E A COMUNICAÇÃO ESCRITA: EXPERIÊNCIA COM ALUNOS DO 10.º ANO Cristina Maria Araújo Sá Mestrado em Ensino de Matemática no 3.º Ciclo do Ensino Básico e no Ensino Secundário Universidade do Minho, 2021 O presente estudo incide na calculadora gráfica e na comunicação escrita e resulta de uma intervenção pedagógica com alunos de uma turma do 10.º ano, durante a lecionação de conteúdos do tópico Funções. Este estudo teve como objetivo compreender em que medida os alunos conseguem tirar partido da calculadora gráfica para a resolução de tarefas e como registam a respetiva resolução por escrito. Assim, para a concretização deste objetivo, elaboraram-se questões de investigação: 1. Como utilizam os alunos a calculadora gráfica na resolução de tarefas sobre funções? 2. Como registam os alunos a resolução de tarefas sobre funções? Quais os contributos da calculadora gráfica para o registo de tarefas? 3. Quais as dificuldades sentidas pelos alunos na resolução de tarefas com recurso à calculadora gráfica e no registo escrito da sua resolução? Para conseguir dar resposta às questões propostas, recorreu-se a diferentes instrumentos de recolha de dados: uma ficha diagnóstica realizada no início da intervenção pedagógica no ensino à distância; dois questionários, um no início e outro no fim da intervenção; observação; análise documental, onde inclui tarefas realizadas em grupo ao longo do estudo, e uma questão de aula realizada no fim da mesma, sendo realizada individualmente. Segundo as dimensões da comunicação escrita: clareza , fundamentação , lógica e profundidade , identificadas no enquadramento teórico, foram analisados e interpretados os dados recolhidos. A categoria em que os alunos tiveram melhor desempenho, apresentando representações adequadas recorrendo à calculadora gráfica, foi a clareza . Na categoria lógica , os alunos não obtiveram tão bons níveis com a predominância de níveis baixo e médio, sendo ainda pouco capazes de fazer conexões de ideias entre os resultados obtidos pela calculadora gráfica e o contexto da tarefa de forma clara e precisa. Palavras-Chave: calculadora gráfica; comunicação escrita; funções. vi THE GRAPHING CALCULATOR AND WRITTEN COMMUNICATION: EXPERIMENT WITH 10th YEAR CLASS Cristina Maria Araújo Sá Master's Degree in Mathematics Teaching in the 3rd Cycle of Basic Education and High School University of Minho, 2021 The present study focuses on the graphing calculator and written communication resulting from a pedagogical intervention with students from a 10th grade class, during the teaching of contents on the topic Functions. This study aimed to understand to what extent students are able to take advantage of the graphing calculator to solve tasks and how they record the respective resolution in writing. Thus, to achieve this objective, the following research questions were elaborated: 1. How do students use the graphing calculator in solving tasks about functions? 2. How do students register the resolution of tasks about functions? What are the contributions of the graphing calculator to the registration of tasks? 3. What are the difficulties felt by students in solving tasks using a graphing calculator and in recording their resolution in writing? In order to be able to answer the proposed questions, different data collection instruments were used: a diagnostic form carried out at the beginning of the pedagogical intervention in distance learning; two questionnaires, one at the beginning and one at the end of the intervention; observation; document analysis, which includes tasks performed in groups throughout the study, and a class question held at the end of it, being performed individually. According to the dimensions of written communication: clarity, reasoning, logic and depth, identified in the theoretical framework, the collected data were analyzed and interpreted. The category in which students performed better, presenting adequate representations using the graphic calculator, was clarity. In the logical category, students did not obtain such good levels, with a predominance of low and medium levels, and were still unable to make connections between the results obtained by the graphing calculator and the context of the task in a clear and precise manner Keywords: graphing calculator; written communication; functions. vii ÍNDICE DIREITOS DE AUTOR E CONDIÇÕES DE UTILIZAÇÃO DO TRABALHO POR TERCEIROS ....................................................... ii AGRADECIMENTOS ........................................................................................................................................................... iii DECLARAÇÃO DE INTEGRIDADE .........................................................................................................................................iv RESUMO ............................................................................................................................................................................ v ABSTRACT..........................................................................................................................................................................vi Lista de Figuras ..................................................................................................................................................................ix Lista de Tabelas ................................................................................................................................................................. x Lista de Quadros ................................................................................................................................................................xi Capítulo 1 Introdução ............................................................................................................................................ 1 Tema, objetivo e questões de estudo .................................................................................................................. 1 Pertinência do estudo ........................................................................................................................................ 2 Organização do estudo ....................................................................................................................................... 3 Capítulo 2 Enquadramento teórico ......................................................................................................................... 5 A comunicação matemática ............................................................................................................................... 5 2.1.1 Comunicação em Matemática ............................................................................................................... 5 2.1.2 Comunicação escrita ............................................................................................................................. 8 2.1.3 Potencialidades e dificuldades na comunicação escrita ........................................................................ 11 A calculadora gráfica ........................................................................................................................................ 12 2.2.1 A história da calculadora gráfica .......................................................................................................... 12 2.2.2 A calculadora gráfica na aprendizagem em matemática ....................................................................... 14 2.2.3 Potencialidades e constrangimentos da calculadora gráfica .................................................................. 16 2.2.4 A calculadora gráfica e o ensino das funções ....................................................................................... 19 Capítulo 3 Enquadramento contextual .................................................................................................................. 21 Contexto de intervenção ................................................................................................................................... 21 3.1.1 Caracterização da escola ..................................................................................................................... 21 3.1.2 Caracterização dos participantes ......................................................................................................... 22 Plano geral de intervenção ............................................................................................................................... 24 3.2.1 Metodologia de ensino e de aprendizagem........................................................................................... 25 3.2.2 Planificação da intervenção pedagógica ............................................................................................... 26 Estratégias de investigação e avaliação da ação ............................................................................................... 27 3.3.1 Instrumentos e procedimentos de recolha de dados ............................................................................ 28 3.3.2 Análise dos dados ............................................................................................................................... 30 Capítulo 4 Apresentação dos resultados ............................................................................................................... 32 Opinião dos alunos sobre a comunicação escrita e a calculadora gráfica........................................................... 32 Conhecimentos dos alunos sobre funções ........................................................................................................ 34 A calculadora gráfica e a comunicação escrita no estudo de funções ................................................................ 37 Capítulo 5 Conclusões ......................................................................................................................................... 58 Capítulo 1 – Introdução 3 suma importante procurar saber como os alunos recorrem à calculadora gráfica, de forma a potencializar o seu uso e progredirem no seu processo de ensino-aprendizagem da Matemática. Com o progredir do ensino, o interesse da comunicação matemática pela comunidade de investigação tem vindo a ser cada vez maior. A discussão, a explicitação, e a sistematização de conhecimentos origina uma avaliação dos aspetos nas diversas áreas ainda por explorar no funcionamento da comunicação no ensino da Matemática, levantando “questões transversais relativas à diversidade cultural, ao uso da tecnologia e aos recursos didáticos” (Menezes & Nacarato, 2020, p. 2). Segundo alguns autores, um contributo que auxiliou a reavivar um ensino direcionado para a comunicação matemática foi a publicação do Perfil dos Alunos à Saída da Escolaridade Obrigatória (Ferreira, 2018; Menezes & Nacarato, 2020) . Os relatórios apresentados pelo Programme for International Student Assessment (PISA), reforçam a importância de desenvolver a literacia matemática no aluno. A comunicação e as ferramentas matemáticas são duas das sete capacidades matemáticas, consideradas no PISA, como fundamentais. Estas competências, de acordo com o Perfil dos Alunos à Saída da Escolaridade Obrigatória, vão ao encontro das novas exigências sociais, de forma a preparar os jovens a “reconhecer o papel da matemática no mundo e formular juízos e decisões, fundamentadamente, como se espera de cidadãos participativos, empenhados e reflexivos” (Lourenço et al., 2018, p. 39). A tecnologia e a comunicação na Matemática são, ainda, temas de preocupação e de investigação, pelo que, na realização deste estudo foi levada em consideração a capacidade de comunicar por escrito, de aplicar conteúdos matemáticos adquiridos por escrito e qual o contributo da calculadora gráfica no desenvolvimento e aprendizagem de funções com alunos do 10º ano de escolaridade. Organização do estudo O presente estudo encontra-se divido em 5 capítulos distintos. No segundo capítulo é realizado um enquadramento teórico sobre as diversas formas de comunicação no ensino de matemática, e expostas as suas potencialidade e dificuldades. Por último é efetuado um enquadramento e descrição da importância da calculadora gráfica no estudo. No terceiro capítulo é apresentado o enquadramento contextual dividido em três subcapítulos crucias. Em 3.1 é feita uma caracterização da escola e dos participantes do estudo. Segue-se, em 3.2 uma descrição da metodologia de ensino e aprendizagem adotada, sendo em seguida apresentada a planificação realizada para a intervenção pedagógica. Por fim, em 3.3 são descritas as estratégias de Capítulo 1 – Introdução 4 investigação e a avaliação da ação realizada no estudo, sendo enunciados os instrumentos e os procedimentos levados a cabo para a recolha e analise dos dados recolhidos ao longo do estudo. No decorrer do quarto capítulo serão apresentados e escrutinados os resultados analisados que foram obtidos da realização do presente estudo. Numa primeira instância será abordada a opinião dos alunos relativamente à comunicação escrita em matemática com recurso à utilização da calculadora gráfica. Em seguida segue-se um estudo inicial na forma como os alunos apresentam as suas resoluções por escrito. Por último, apresenta-se uma secção que trata da calculadora gráfica na promoção da comunicação escrita de um problema. Por fim, no quinto capítulo, são apresentadas as respostas às questões de investigação propostas pela professora investigadora e, por fim, é feita uma reflexão e são referidas algumas recomendações para trabalhos futuros. 5 No Perfil dos Alunos à Saída da Escolaridade Obrigatória, pressupõe-se que “o desenvolvimento de literacias múltiplas, tais como a leitura e a escrita, a numeracia e a utilização das tecnologias de informação e comunicação, são alicerces para aprender e continuar a aprender ao longo da vida” (Ministério da Educação, 2017, p. 19). Neste seguimento, e com o intuito de dar continuidade ao desenvolvimento da comunicação e da utilização das tecnologias na Matemática, este capítulo destinase ao enquadramento teórico do tema do presente estudo realizado. Este capítulo, encontra-se dividido em três subcapítulo. No primeiro subcapítulo, 2.1, é efetuada uma breve descrição da importância da comunicação Matemática. No subcapítulo seguinte, 2.2, é efetuada uma breve introdução da calculadora gráfica e a sua importância no estudo e desenvolvimento das capacidades dos alunos. A comunicação matemática A comunicação matemática é uma capacidade transversal que pode ser expressa oralmente ou por escrito, com o intuito de proporcionar ao aluno momentos de reflexão e partilha de conhecimentos e/ou ideias desenvolvidas no seu trabalho na disciplina de Matemática. Em seguida será abordada a comunicação em Matemática, dando destaque à comunicação escrita. 2.1.1 Comunicação em Matemática No quotidiano, a comunicação encontra-se presente em todas as atividades que o ser humano possa praticar. Menezes (2000), atribui dois sentidos para a definição de comunicação: O primeiro sentido é referente à importância que a comunicação tem para a vida em comunidade e, o segundo sentido é a comunicação de informação entre interlocutores, sendo atribuído a cada um dos intervenientes o poder de argumentar. Boavida (2005) vai ao encontro do citado por Menezes (2000), destacando três características importantes de argumentação: a primeira é a sua importância na interação social, a Capítulo 2 – Enquadramento teórico 6 segunda o poder de influenciar pessoas e, por último, a relação que cria entre o raciocínio e a lógica quando se pretende defender a ideia em questão. Neste sentido, a comunicação pode ser vista como um processo de interação social ou como uma forma de transmissão de informação ou de defesa de uma ideia (Menezes et al., 2014; Ponte et al., 2007). A comunicação no ensino da Matemática, ao longo dos últimos anos, tem vindo a ser constante objeto de várias investigações e, cada vez mais, essas investigações estão a reconhecer a importância que esta tem na aprendizagem dos alunos. Vários autores consideram fundamental que os alunos sejam capazes de explicar e fundamentar os seus raciocínios, vendo também a comunicação como um auxílio para a consolidação de conceitos. Ajuda a recordar conceitos antigos e na descoberta de novos, “surgindo, assim, como elemento estruturante do ensino” (Menezes et al., 2014, p. 135; Ponte et al., 2007). Silva (2018), no seu estudo, conclui que para estarmos perante um bom currículo escolar de Matemática, este “deve contemplar de forma profunda e decidida a competência de comunicação em matemática” (p. 48). Com o reconhecimento de que a comunicação escrita na Matemática é importante na aprendizagem dos alunos, esta passou a ser uma aprendizagem essencial (DGE, 2018), inserida em todos os anos de escolaridade, tratando-se de uma capacidade transversal. No Perfil dos Alunos à Saída da Escolaridade Obrigatória, (Ministério da Educação, 2017), refere a comunicação como uma das dez áreas de competência a desenvolver. Esse desenvolvimento ocorre, na sua maioria, dentro da sala de aula. Há a troca de conhecimentos e pretende-se que o aluno seja capaz de selecionar e analisar informação, proveniente de diferentes fontes, para que transforme a informação em conhecimento de forma crítica e autónoma, “a comunicação é uma ferramenta (meio) e uma capacidade a desenvolver (fim)” (Menezes, 2021, p. 13). Serrazina (2018), considera também ser uma capacidade a desenvolver, vista como um processo mais significativo de aprendizagem e como uma orientação metodológica. Através da comunicação, existe a oportunidade de os alunos refletirem e organizarem os seus pensamentos, de forma a serem “críticos no contexto matemático” (NCTM, 2007, p. 69). A criação de ambientes que promovam a discussão entre alunos acaba por se refletir numa aprendizagem mais ativa, uma vez que estes sentem-se mais à vontade em partilhar os seus raciocínios e expor as suas ideias. O mesmo já não acontece em ambientes de discussão onde envolva professor e alunos, já que os alunos ficam mais acanhados em participar e o professor, na sua maioria, acaba por controlar o discurso, como no caso da professora Maria, no estudo realizado por Martinho e Ponte (2005). Capítulo 2 – Enquadramento teórico 7 Quando o aluno está inserido numa discussão, leva os colegas a estarem atentos à sua argumentação para que depois possam concordar, ou contrapor, com o que o colega acabou de dizer. A incitação do professor nestas discussões leva a que, os alunos possam refletir sobre o que vão usar para argumentar e a estabelecer conexões, assim estas atividades de argumentação matemática enquanto experiências particulares de aprendizagem em que a fundamentação de raciocínios, a descoberta do porquê de determinados resultados ou situações, a resolução de desacordos através de explicações e justificações convincentes e válidas de um ponto de vista matemático, a formulação e avaliação de conjeturas e a refutação ou prova dessas conjeturas assumem um papel preponderante. (Boavida et al., 2002, p. 18) Ao professor, cabe assim, ter em atenção ao tipo de tarefas colocadas à turma para que estas sejam desafiantes e relevantes para discussão, de tal forma que qualquer aluno se sinta à vontade para participar e com contributos para dar (Ponte et al., 2007). A procura de estratégias que incentive o aluno a interagir e refletir, de forma a que o professor não seja um mero transmissor de conhecimento, mas um criador de ambientes para um desenvolvimento de competências comunicativas “adequadas aos exigentes desafios destes tempos” (Ministério da Educação, 2017, p. 12), de forma a promover momentos onde os alunos explicitem os seus raciocínios (Serrazina, 2018). Os alunos, fora da sala de aula, não têm por hábito falar sobre Matemática, pelo que, a comunicação em Matemática não é tão natural como em Português. No entanto, não quer dizer que não o façam, quando falam, por exemplo, da evolução do número de casos da pandemia (COVID-19), onde sem se aperceberem falam da evolução da curva de uma função. A qualidade da comunicação depende do modo como o professor promove a mesma através de tarefas. Neste sentido, quanto mais diversificadas forem as tarefas, mais estas vão contribuir para a comunicação escrita. A diversidade de situações que é possível apresentar aos alunos, leva a que estes não mecanizem os processos de resolução, mas que raciocinem nos diversos casos, de forma a envolverem-se na procura de processos de resolução, para uma futura comparação e defesa de ideias (Boavida et al., 2002). A comunicação, a defesa e comparação de ideias advém do trabalho autónomo que posteriormente leva às discussões coletivas (Serrazina, 2018). Dentro da sala de aula, as formas mais frequentes de comunicar são através do discurso oral ou através de redações escritas, onde há a partilha de conhecimento entre alunos ou aluno e professor (Menezes, 2000). Assim, vários autores, defendem que “ensinar e aprender são, inegavelmente, processos naturalmente comunicativos” (Faria & Rodrigues, 2020, p. 94). Capítulo 2 – Enquadramento teórico 8 2.1.2 Comunicação escrita Grande parte da avaliação sumativa, realizada ao longo do ano letivo, está sujeita a aptidões de comunicação escrita, sendo esta pouco trabalhada na sala de aula (Pires et al., 2018). Existem várias funcionalidades da comunicação escrita em Matemática, sendo elas o poder de explicar métodos de resolução, informar outros intervenientes do problema ou transcrever a argumentação de/e para terceiros. Esta aptidão é ainda pouco trabalhada na disciplina de Matemática, os alunos acabam por ter alguma resistência, pois consideram o discurso oral mais rápido e menos trabalhoso (Barbosa & Vale, 2019a; Boavida et al., 2002). A capacidade de expressão escrita possui um maior impacto relativamente à capacidade de expressão oral, uma vez que, antes de escrever temos de refletir, sistematizar e organizar ideias (NCTM, 2007). Quando nos exprimimos oralmente, num curto espaço de tempo, são transmitidas várias informações, tal não se verifica na escrita. A forma e a ordem como escrevemos é essencial para a coerência e interpretação do texto escrito (Cândido, 2018), sendo que, através da escrita existe um maior esforço da parte dos alunos. A comunicação escrita “é valorizada como suporte do discurso oral, correção e formalização da linguagem matemática, pela sua natureza de registo e de permanência para além do momento da aula” (Guerreiro & Martins, 2020, p. 19). O facto de ficar algo registado, permite uma nova reflexão sobre o que escreveram e ajuda a clarificar/consolidar conceitos, podendo sempre ser consultados, os registos, em qualquer momento (Guerreiro & Martins, 2020; NCTM, 2007). A comunicação escrita é “uma boa competência comunicativa” (Pires et al., 2018, p. 28) que potencializa as aprendizagens no ensino de Matemática sendo estas mais significativas, sólidas e consistentes (NCTM, 2007; Pires et al., 2018). Barbosa e Vale (2019b) consideram a escrita como uma grande potencialidade no desenvolvimento de competências de comunicação e na proficiência em matemática. A criação de oportunidades para comunicar na matemática deve ser significativa para o aluno, de forma a incentivar o aluno a rever a resposta de forma a apresentar as suas conclusões de forma clara (DGE, 2018). É então, fundamental para a aprendizagem dos alunos, confrontá-los com tarefas que envolvam a justificação dos seus raciocínios de forma clara e com uma sequência lógica, com o intuito de desenvolver a comunicação escrita em matemática (Martinho & Rocha, 2018). Vários autores, defendem que escrever sobre a Matemática pode ajudar os alunos a melhorar as competências na comunicação em matemática, contribuir para a construção de significados e uma organização das suas ideias para uma melhor justificação das suas opções, uma vez que, como já foi referido, obriga-os “a refletir sobre o seu trabalho e a clarificar as suas ideias acerca das noções Capítulo 2 – Enquadramento teórico 9 desenvolvidas na aula” (NCTM, 2007, p. 67). A argumentação, a favor ou contra, das opções dos colegas ajuda à compreensão dos seus conhecimentos pelo professor, onde através dos seus registos, fornecem também, informação ao professor que, de outra maneira, não conseguia. A sua explicitação ajuda, o aluno, a ter uma melhor perceção das suas dificuldades (Braun, 2014; Goma et al., 2020; Menezes, 2020; Ponte et al., 2007; Pugalee, 2004). São vários os estudos onde se pode ver a influência da comunicação escrita na aprendizagem dos alunos. Num estudo realizado por Faria e Rodrigues (2020), a escrita ajudou os alunos na clareza da comunicação e na mobilidade dos conhecimentos, onde metade dos alunos envolvidos tiveram um desempenho positivo. Um terço das resoluções apresentadas revelaram dificuldades na linguagem, sem uma boa adequação do vocabulário utilizado, e os restantes, apesar de não terem um desempenho positivo ficaram perto de uma boa classificação concluindo, os autores, que os alunos mostraram ter “agilidade para clarificar as suas ideias matemáticas através da escrita” (p. 112). Magalhães (2010) também realizou um estudo onde se pode verificar como a comunicação escrita trouxe uma aprendizagem bastante significativa aos alunos. Os alunos com dificuldades no raciocínio e na compreensão mostraram, ao logo do estudo, evoluções notórias. O facto de formularem e testarem as suas conjeturas ajudou na argumentação apresentada pelos mesmos, uma vez que tinham de refletir como expor os resultados de forma que estes fossem validados. No estudo realizado por Guerreiro e Martins (2020), onde estiveram envolvidos investigadores e professores, observa-se uma preocupação da parte dos alunos apenas com o registo do resultado sem darem qualquer tipo de importância ao registo do processo, o que muitas vezes acaba por prejudicar na perceção da resolução do problema através da comunicação escrita da matemática. Cabe ao professor criar situações diferentes de interação e de exploração de materiais que potencializem a comunicação escrita. No estudo realizado por Martinho e Ponte (2005) é chamada a atenção para a importância de diversificar situações e de como o recurso a materiais e às novas tecnologias podem contribuir significativamente para o trabalho do aluno. Para uma argumentação mais completa e fiel, o uso de argumentos visuais pode auxiliar na escrita e perceção da matemática. Os alunos, nos seus registos podem fazer-se acompanhar de diferentes representações, tais como, tabelas, figuras, linguagem simbólica, entre outras (Pires et al., 2018; Serrazina, 2018). Ao incluir uma representação visual matemática, esta deve estar em conformidade com o texto de forma a transmitir informações pertinentes (Lee, 2010). Lee (2010) refere ainda vários aspetos a ter em conta no registo da escrita em Matemática, encontrando-se entre eles, a explicitação do problema em questão, supondo que o leitor não está familiarizado; as fórmulas e equações devem Capítulo 2 – Enquadramento teórico 10 estar no decorrer do texto, tendo sempre gramática, ortografia e a pontuação corretas de forma a ter um discurso escrito claro e fácil de entender e não usar uma linguagem vaga, não esquecendo de descrever cada variável que se utiliza. A comunicação escrita pode ser analisada através de diferentes dimensões como a clareza, a lógica, entre outras. No Quadro 1, é apresentado o instrumento utilizado para a analise da comunicação escrita da Matemática numa investigação realizada por Pires, Costa e Leite (2018). Quadro 1: Dimensões e níveis de desempenho na comunicação escrita (Pires et al., 2018, p. 29) Clareza O aluno expressa, por escrito, as suas ideias, recorrendo a vocabulário correto e representações adequadas. Nível baixo: o aluno apresenta ideias imprecisas, utiliza vocabulário incorreto ou incompreensível e recorre a representações inadequadas. Nível médio: o aluno apresenta ideias precisas, mas utiliza vocabulário pouco preciso ou compreensível e recorre a representações pouco adequadas. Nível elevado: o aluno apresenta ideias precisas, utiliza vocabulário preciso e correto e recorre a representações adequadas. Fundamentação O aluno justifica, de forma escrita, os seus processos ou ideias, apresentando argumentos plausíveis. Nível baixo: o aluno justifica os seus processos ou ideias de forma imprecisa. Nível médio: o aluno justifica razoavelmente os seus processos ou ideias. Nível elevado: o aluno justifica adequadamente os seus processos ou ideias. Lógica O aluno manifesta raciocínio e coerência nos registos escritos, apresentando conexões entre as ideias registadas. Nível baixo: o aluno revela pouco raciocínio e coerência nos registos escritos, não mostrando conexões entre as ideias. Nível médio: o aluno revela algum raciocínio e coerência nos registos escritos, a par de alguma conexão entre as ideias. Nível elevado: o aluno revela raciocínio e coerência nos registos escritos, manifestando conexões entre as ideias. Profundidade O aluno revela, de forma escrita, o domínio de aspetos importantes e complexos sobre o assunto a trabalhar. Nível baixo: o aluno revela, frequentemente, não dominar aspetos importantes sobre o assunto. Nível médio: o aluno revela, alguma vezes, o domínio de aspetos importantes e complexos sobre o assunto. Nível elevado: o aluno revela, frequentemente, o dominar os aspetos mais complexos sobre o assunto. Estes autores, na sua investigação, concluem que os alunos têm melhor desempenho quando trabalham coletivamente. A dimensão onde os alunos sentiram mais à vontade, no estudo apresentado, Capítulo 2 – Enquadramento teórico 11 foi na clareza expressando-se de forma clara e precisa. Já nas dimensões fundamentação e lógica são as que acarretam mais dificuldades. Do mesmo modo, Goma, Manrique e Martinho (2020) utilizaram as mesmas dimensões e níveis propostos por Pires et al. (2018) para estudar a comunicação matemática escrita de futuros professores dos anos iniciais do ensino fundamental em relação ao pensamento algébrico, onde verificaram, na dimensão clareza alguma coerência no raciocínio e na apresentação das ideias, mas com uso do vocabulário pouco rigoroso e representações inadequadas. Na dimensão fundamentação não apresentam ideias convenientemente, mas alguns registos com rigor. Na dimensão lógica e profundidade não constataram nenhuma evidência de níveis elevados. 2.1.3 Potencialidades e dificuldades na comunicação escrita A comunicação escrita, apesar de ser uma das dez áreas de competência do Perfil do Aluno à Saída da Escolaridade Obrigatória , é ainda pouco trabalhada na sala de aula. Lee (2010) refere que escrever sobre matemática não é a atividade mais fácil, no entanto, escrever bem matemática é uma boa prática para aprender. Esta pode ser usada também como meio para a avaliação (Lee, 2010, NCTM, 2007). Como referido em 2.1.1 e 2.1.2, o registo escrito efetuado pelos alunos ajuda-os a auxiliar na sua aprendizagem, podendo ser consultados sempre que necessário (NCTM, 2007). Através dos registos são fornecidas informações ao professor que de outra forma seriam esquecidas e ajuda o aluno a perceber as suas dificuldades. Uma das outras potencialidade desta competência é do auxílio na construção da planificação do professor para a sua prática (Martinho & Rocha, 2018). NCTM (2007) refere ainda que as tecnologias, onde dá o exemplo da calculadora, são considerados um meio potencializador para o auxílio da comunicação. O facto de o aluno registar o seu pensamento, aumenta o seu nível de reflexão sobre os seus pensamentos e melhora a sua compreensão e o seu processo de aprendizagem (Goma et al., 2020). Menezes (2021), sintetiza os contributos fundamentais da escrita para a aprendizagem, sendo eles: (i) O desenvolvimento da compreensão matemática; (ii) Promoção da reflexão; (iii) Desenvolvimento da autoconfiança ao comunicar oralmente; (iv) Registo para auxílio do estudo; (v) Proporciona atitudes positivas em relação à Matemática; (vi)Auxilia na avaliação da aprendizagem da matemática feito pelo aluno e pelo professor. Os alunos não se encontram habituados a escrever sobre Matemática e quando lhes é pedido que o façam, não gostam de o fazer, considerando que não tem utilidade. Aqueles que escrevem com frequência ganham sensibilidade à forma como apresentam as suas ideias e reconhecem a sua evolução Capítulo 2 – Enquadramento teórico 12 nos conteúdos trabalhados, sendo “beneficiados duplamente, onde comunicam para aprender matemática e aprendem a comunicar matematicamente” (Goma et al., 2020, NCTM, 2007, p. 66). O insucesso no registo escrito advém, em alguns momentos, dos alunos não conseguirem transformar o seu pensamento em palavras, sentindo dificuldades a “escrever, e na forma de apresentar a frase e encadear as ideias” (Martinho & Rocha, 2018, p. 34). No estudo realizado por Guerreiro e Martins (2020) é notório como os professores tentam promover o diálogo, de forma que todos os alunos participem. No entanto, deparam-se que estes não têm conhecimento de como comunicar em geral, não tendo o conhecimento de algumas simbologias que acabam por dificultar a escrita dos registos. A calculadora gráfica No decorrer deste subcapítulo, será efetuada uma abordagem à história e evolução da máquina de calcular e uma contextualização da sua integração na aprendizagem da Matemática, sendo também enunciadas as suas potencialidades para auxílio no estudo e as dificuldades que este instrumento apresenta para o seu domínio. 2.2.1 A história da calculadora gráfica Muito antes da invenção da máquina de calcular, a maioria dos matemáticos utilizava como instrumento de auxílio de estudo o ábaco, enquanto que os restantes matemáticos recorriam ao cálculo escrito. Com a crescente evolução da matemática, a pesquisa, a evolução dos meios e as ferramentas de estudo que a sustentam, tem vindo a acompanhar as necessidades da ciência e da sociedade no seu desenvolvimento. Os primeiros homens a contribuir, de forma ativa, para o aparecimento da máquina de calcular foram Wilhelm Schickard (1592-1635) e Blaise Pascal (1623-1662). Decorria o ano 1623, quando Schickard construiu a primeira máquina de calcular mecânica. A máquina de calcular, muito eficiente para a altura, capaz de realizar operações de adição e subtração, não teve a sua devida aceitação e impacto na sociedade da altura (Teixeira et al., 1998). Mais tarde, Blaise Pascal com o objetivo de ajudar o pai, que trabalhava nos impostos, em 1645 desenvolveu e construiu uma nova máquina de adição e subtração. Foram várias as tentativas realizadas sem sucesso até a máquina de calcular ser construída, acabando por produzir e até mesmo vender cerca de 30 exemplares. A máquina de calcular produzida por Pascal, já era capaz de realizar operações de Capítulo 2 – Enquadramento teórico 19 calculadora nos cálculos mais simples, que acabam por não treinar o cálculo mental e a confiar plenamente na calculadora sem um pensamento crítico. Além disso, é possível afirmar que o uso desajustado desta ferramenta pode levar o aluno a induzir em erro. Ribeiro e Ponte (2000) recomendam que o professor reflita sobre as suas aulas e a atividade dos alunos de forma a progredir no trabalho realizado dentro da sala de aula. A utilização da calculadora gráfica, por parte do professor tem influência no aproveitamento feito pelos alunos, uma vez que, tendem a seguir os métodos trabalhados na sala de aula, por isso, é importante que o professor procure um uso correto e eficiente (Rocha, 2000; Semião & Canavarro, 2012). Na opinião de Consciência (2003), as limitações desta ferramenta, podem ser utilizadas pedagogicamente, através do confronto dos alunos e das limitações da máquina, explorando as diversas situações que daí possam ocorrer. O uso continuado da calculadora leva a uma melhor destreza da parte dos alunos, acabando por adquirir, cada vez mais, uma atitude mais crítica e reflexiva (Rocha, 2000). No estudo feito por McCulloch, Keene e Kenney (2013), foi possível concluir que os alunos ao possuírem uma ferramenta que lhes permita confirmar os resultados, tornam-se mais confiantes na sua atividade, e através do uso da calculadora gráfica, as aulas tornam-se mais dinâmicas e menos tradicionais, onde as atividades de classificação e registo podem levar a descobertas que, por meio de reflexão e generalização, resulta em teoremas interessantes. Isso contrasta com o método tradicional, em que as definições e teoremas são apresentados no início da aprendizagem, na expectativa de que a compreensão seja adquirida através da aplicação repetida (Doorman et al., 2007, p. 416). O hábito de exploração e consolidação de conceitos, por parte dos alunos, pode ser implementado com o recurso à calculadora gráfica, bem como a oportunidade de conjeturar as suas próprias hipóteses e testá-las. Apesar de cada um ter a sua própria máquina, não restringe os momentos de partilha com os restantes colegas e com o professor, acabando por ter um apoio para a estruturação do pensamento, permitindo um melhor raciocínio e compreensão das ideias (Campos, 2014; Magalhães & Martinho, 2011; NCTM, 2007; Rocha, 2012; Semião & Canavarro, 2012). 2.2.4 A calculadora gráfica e o ensino das funções Com o notório avanço tecnológico da sociedade, verificado ao longo dos últimos anos, as capacidades matemáticas que o sustentam encontram-se em constante evolução, de forma a proporcionar as mais diversas provas e meios da sua correta evolução. A “relação entre o ato de resolver Capítulo 2 – Enquadramento teórico 20 e o ato de exprimir torna-se mais robusta, e também mais notória, quando as tecnologias digitais estimulam o desenvolvimento de uma abordagem ao problema e suportam a expressão de pensamento matemático” (Jacinto, 2018, p. 78). No contexto do atual Programa de Matemática do Ensino Básico, as funções são referidas pela primeira vez no 3.º Ciclo, no domínio das Funções, Sequências e Sucessões. Assim, os alunos abordam explicitamente o tema das funções no 7.º ano de escolaridade, onde estudam a sua definição e as operações com funções numéricas. No ano seguinte voltam a ouvir falar nas funções ficando a saber identificar os gráficos de funções afins e a representá-los, ao passo que, no 9.º ano de escolaridade abordam as funções algébricas. Relativamente aos Programas de Matemática do Ensino Secundário para Cursos CientificoHumanísticos, os alunos não voltam a abordar o tema das funções de forma direta. Já os alunos que frequentam Matemática B abordam as generalidades acerca de funções reais de variável real e o estudo intuitivo de propriedades das funções quadráticas e cúbicas, bem como dos seus gráficos. Os alunos que estão inseridos nesta investigação frequentam a disciplina de Matemática A, assim, interessa saber mais detalhadamente o que é abordado nesta mesma disciplina. A turma inicia o estudo das funções com as generalidades de funções reais de variáveis reais, de seguida, estuda as funções quadráticas, módulo e funções definidas por ramos e, por último, os polinómios. Os alunos que participam nesta investigação, desde o seu 7.º ano de escolaridade, ouvem falar do termo “função”, pelo que, já devem ter um conhecimento prévio do conceito bem como as suas operações. A aprendizagem dos alunos, depende também, das ferramentas utilizadas na sala de aula e como são usadas. O estudo de funções, através da calculadora gráfica, permite obter representações, que podem ajudar na compreensão do gráfico de uma função. Essas construções, são aproximações das representações dos gráficos de funções. O que a calculadora gráfica apresenta, é através de um ecrã reduzido, o que pode dificultar a procura de uma boa janela de visualização, sendo que, é necessário que haja um incentivo a experimentar vários zooms (Teixeira et al., 1998). Consciência (2003), verificou uma maior facilidade no reconhecimento e identificação de funções através do uso da calculadora gráfica, onde os alunos tiveram sucesso na resolução de problemas verificando também um progresso no conceito de função de um nível operacional para um nível estrutural. Verificou também as dificuldades a estabelecer conexões entre representações de uma função, pelo que, “a calculadora gráfica pode desempenhar um papel bastante importante, em particular no estabelecimento de conexões entre a representação algébrica e a gráfica” (p. 514). 21 No decorrer do presente capítulo será efetuado um enquadramento contextual do estudo realizado. O capítulo 3 encontra-se então dividido em três partes. Na primeira é apresentado a caracterização da escola e da turma que participou neste estudo, seguindo-se o plano geral de intervenção e por último os métodos de recolha e tratamento de dados. Contexto de intervenção Para uma melhor perceção do meio onde o estudo foi realizado, no presente subcapítulo será efetuado uma contextualização do ambiente de intervenção. Desta forma, será apresentada a caracterização da escola e dos participantes escolhidos para o estudo realizado. 3.1.1 Caracterização da escola O projeto de investigação foi implementado numa escola do concelho de Braga, no Curso Ciências e Tecnologias numa das turmas do 10.º ano de escolaridade na disciplina de Matemática A. A escola tem como base os princípios orientadores da educação inclusiva, tendo especial atenção ao percurso realizado anteriormente pelo aluno proveniente de contextos sociais, culturais e económicos diferentes. É uma escola que ao longo dos anos se preocupa por garantir aprendizagem de qualidade a todos os alunos, bem como, a igualdade no acesso e no sucesso educativo dos alunos com necessidades educativas especiais, sendo esta representada por 4% da comunidade escolar. O agrupamento é distinguido pela diversidade de modalidades de educação e formação, integra todos os níveis de ensino desde a educação pré-escolar ao ensino secundário (regular e profissional) e modalidades de educação de adultos. Dentro da população escolar, mais de 20% dos alunos são apoiados pelo serviço de ação social escolar, existem mais de 300 profissionais na função docente e cerca de 100 profissionais na função não docente (Assistentes Técnicos e Assistentes Operacionais). O projeto do agrupamento está direcionado para a comunidade local e para a relevância social da ação educativa. Assim, no contexto apresentado, a sua missão é de desenvolver percursos formativos e Capítulo 3 – Enquadramento contextual 22 educativos de forma a dar a cada aluno os conhecimentos, as capacidades e as atitudes facilitadores de um projeto de vida individual e inserido na sociedade. Promover o sucesso, a equidade social e prevenir o abandono escolar são alguns dos princípios deste agrupamento. Abarca com práticas pedagógicas no sentido de favorecer a comunicação, a reflexão e o trabalho de projeto. São criadas atividades artísticas, das ciências naturais e tecnologias, do desporto e das humanidades e da educação para a cidadania, com o intuito de desenvolver valores dos saberes. 3.1.2 Caracterização dos participantes A turma onde foi implementado o projeto tem 25 alunos, dos quais 15 raparigas e 10 rapazes. A moda da idade da turma é de 15 anos. Destes vinte e cinco alunos, onze referem ter apoio no estudo de Matemática fora da escola, dois referem não ter qualquer tipo de ajuda e os restantes têm apoio dos familiares mais próximos. Através de dois questionários realizados, um no início e outro no final da intervenção, possibilitou uma melhor caracterização da turma (Anexo1; Anexo 2). Três dos alunos indicaram estudar menos de uma hora para a disciplina. Há ainda um aluno a referir que não pretende ingressar no ensino superior, os restantes pretendem ingressar em cursos como Engenharia Informática, Aeronáutica Militar, Bioquímica, entre outros. Doze alunos classificaram o seu desempenho na disciplina de Matemática com “Muito bom” ou “Bom” e 5 alunos qualificaram o seu desempenho como “Fraco”. A turma, na sua maioria, considera que aprendem melhor quando resolvem exercícios e tentam resolver problemas, dados estes presentes na Tabela 1. Tabela 1: Métodos através dos quais os alunos consideram aprender melhor Tipos de resposta Frequência Quando escreves no caderno o que o professor vai explicando 12 Quando fazes exercícios 24 Quando participas ativamente 6 Quando memorizas a matéria à medida que vais escutando 8 Quando transcreves do quadro/monitor a matéria 11 Quando trabalhas em grupo 7 Quando tentas resolver problemas ou desafios matemáticos 13 Capítulo 3 – Enquadramento contextual 23 No início da intervenção pedagógica, dos vinte e cinco alunos, dois não sabiam se a comunicação escrita é importante para o seu processo de ensino-aprendizagem e dois consideraram que não é importante, referindo que na Matemática não deveria ser necessário escrever, apenas apresentar cálculos. Acrescentam ainda que escrever em matemática obriga ao uso “exclusivo” de linguagem simbólica. Estes alunos, no fim da intervenção pedagógica, acabaram por mudar de ideias considerando que a comunicação lhes pode trazer benefícios para a sua aprendizagem. Todos os alunos consideraram, a disciplina de Matemática importante para o seu futuro profissional. No entanto, referem a falta de estudo como a principal causa de dificuldade na disciplina. Fora do contexto escolar, os alunos têm noção da importância da Matemática e referem situações do quotidiano como por exemplo, que envolvem dinheiro ou a escolha de um trajeto mais curto. Os alunos desta turma demonstram ser trabalhadores e bastante participativos, envolvendo-se nas atividades propostas e não se acanham em expor as suas dúvidas. Devido à pandemia a intervenção realizou-se em dois contextos diferentes, inicialmente on-line e posteriormente presencial. A formação dos grupos no ensino à distância foi realizada pela professora investigadora de forma que não houvesse grupos desequilibrados. Contudo, com o voltar do ensino presencial estes grupos foram reorganizados de acordo com os lugares que ocupavam na disposição das mesas na sala de aula, com o intuito de evitar o maior contacto entre os alunos. Contudo, apesar do avanço tecnológico permitir, em certa medida, a formação de crianças e jovens no sistema educativo através do ensino à distância, esta alternativa acarreta desvantagens. A desvantagem mais apontada pelos alunos foi a dificuldade em compreender a matéria, como se pode observar na Tabela 2. Alguns alunos consideram também que existe um maior desgaste físico, pois passam demasiadas horas em frente ao computador e a maioria das aulas são síncronas e monótonas. O facto de o professor estar condicionado a ir à beira do aluno tirar dúvidas, faz com que este desmotive e o leve a distrair-se mais facilmente. Capítulo 3 – Enquadramento contextual 24 Tabela 2: Desvantagens apontadas pelos alunos no Ensino à Distância Tipos de resposta Frequência Falta de convívio entre alunos 4 Dificuldade em compreender a matéria 11 Maior desgaste físico 5 Falta de condições 7 Dificuldade em expor dúvidas/falta de apoio 5 Distrações do exterior 5 Excesso de trabalhos 3 Falta de motivação 3 Métodos de avaliação 2 No entanto, existem algumas vantagens a ter em consideração pelos alunos. A maioria, como se pode observar na Tabela 3, refere que assistir às aulas no conforto de suas casas é a maior vantagem do ensino à distância. Referem ainda, que existe, uma maior organização e explicação dos conteúdos lecionados pelo professor, acabando por cativar uma maior atenção dos alunos. Com tais melhorias, o tempo, para retirarem apontamento e esclarecerem dúvidas acaba por ser maior, conferindo uma maior organização do estudo do aluno. Tabela 3: Vantagens apontadas pelos alunos no Ensino à Distância Tipos de resposta Frequência Maior organização 7 Menor pressão 3 Mais conforto 10 Maior autonomia 7 Maior participação 3 Plano geral de intervenção No decorrer deste subcapítulo, irá ser efetuado um breve enquadramento sobre as metodologias de ensino e de aprendizagem adotadas, abordando os diversos métodos adotados. Em seguida, é Capítulo 3 – Enquadramento contextual 25 apresentada a planificação da intervenção pedagógica, sendo explanados os diversos momentos que a constituem. 3.2.1 Metodologia de ensino e de aprendizagem Para o ser humano aprender ou ensinar algo, é necessário a implementação de diversas metodologias de ensino e aprendizagem, de acordo com os objetivos definidos para tal. O modelo mais comum de ensinar Matemática é centrado no professor, na exposição de tópicos e posteriormente na realização de exercícios por parte dos alunos a fim de verificar a absorção da matéria lecionada. Contudo, esta prática não se revela a mais adequada para todas as exigências curriculares (Canavarro et al., 2012). O Ministério da Educação (2013), apresenta indicações metodológicas, cabendo a cada professor implementar a metodologia que melhor se enquadra em cada turma. Assim, a professora investigadora tendo em consideração o ano de escolaridade e as características dos alunos, recorreu ao ensino exploratório para ajudar os alunos a obter o melhor desempenho, de acordo com as Metas Curriculares estabelecidas. O facto de a calculadora gráfica ter disponível um software , para o computador, facilitou a prática pedagógica da professora investigadora, pois os alunos puderam partilhar o ecrã do seu computador com os colegas e posteriormente com a turma na discussão das tarefas. Este recurso permitiu auxiliar o aluno durante a resolução de cada tarefa proposta, dando ao aluno a liberdade de explorar e construir novos conceitos sempre com as devidas justificações. Vários autores, referem o grande potencial no desenvolvimento da capacidade de comunicação escrita em ambientes de ensino-aprendizagem exploratório e no trabalho autónomo realizado pelos alunos individualmente ou em pequenos grupos (Ferreira, 2018; Serrazina 2018). Ao professor, cabe procurar tarefas relevantes para uma aprendizagem significativa dos alunos através do trabalho realizado por eles, sendo o foco do processo de gestão curricular realizado à volta do aluno e, é à volta deste que se deve tomar todas as decisões (Nunes & Ponte, 2008). Assim, a escolha das tarefas, foi também uma preocupação, uma vez que, foi importante apresentar tarefas propícias a promover a construção de conceitos, a formulação de estratégias de resolução, a fundamentação dos seus raciocínios, criação de um ambiente propício para a comunicação na sala de aula e a utilização da calculadora gráfica no auxílio na realização das tarefas. Ponte (2010), refere que de uma aula de ensino exploratório é mais complexa de gerir, uma vez que é impossível antecipar todas as possíveis sugestões Capítulo 3 – Enquadramento contextual 26 e questões que os alunos possam expor. O discurso do professor vai depender do pensamento dos alunos onde a discussão/partilha de ideias ocupa um espaço importante da aula. Assim, é criado um ambiente favorável para o desenvolvimento da comunicação em Matemática “e a negociação de significados, recorrendo ao uso de linguagem e representações matemáticas” (Menezes et al., 2014, p. 155). Um dos aspetos referidos no Perfil dos Alunos à Saída da Escolaridade Obrigatória é o relacionamento interpessoal, sendo também esta uma das áreas de competência do perfil dos alunos. O aluno quando sai da escola, deve saber “interagir com tolerância, empatia e responsabilidade e argumentar, negociar e aceitar diferentes pontos de vista, desenvolvendo novas formas de estar, olhar e participar na sociedade” (p. 25). Assim, durante a intervenção, os alunos formaram grupos de quatro/cinco membros. Durante toda a intervenção pedagógica, houve sempre a preocupação de procurar orientar, ajudar e questionar os alunos e valorizar as aprendizagens que obtiveram, em cada uma das suas resoluções das tarefas propostas apresentadas. 3.2.2 Planificação da intervenção pedagógica Antes de iniciar uma aula, esta precisa de ser bem preparada por parte do professor. A construção de um plano de aula envolve várias etapas, como a definição dos objetivos e o cumprimento das orientações curriculares estabelecidas (Ponte et al., 2015). A pré-reflexão de cada aula, permite ao professor pensar e tomar decisões prévias sobre as tarefas a colocar à turma, para que estas não sejam nem demasiado fáceis nem demasiado difíceis, antecipar dificuldades e o tempo de reação da “capacidade de improviso e de resposta a situações inesperadas” (Ponte et al., 2015, p. 25). A pósreflexão permite refletir como decorreu a aula de forma a melhorar e progredir na prática pedagógica. No Quadro 2: Estrutura da intervenção pedagógica , é apresentada a estrutura da intervenção pedagógica com as datas em que ocorreu cada intervenção, bem como o respetivo sumário. Capítulo 3 – Enquadramento contextual 27 Quadro 2: Estrutura da intervenção pedagógica Data Sumário Regime 05/03/2021 - Ficha de Diagnóstico Ensino à distância 06/04/2021 - Função par e função ímpar. - Resolução de exercícios Ensino à distância 09/04/2021 - Translações do gráfico de uma função - Resolução de problemas Ensino à distância 13/04/2021 - Dilação e contração do gráfico de uma função - Resolução de problemas Ensino à distância 14/04/2021 - Reflexões do gráfico de uma função - Resolução de problemas Ensino à distância 04/06/2021 - Resolução de problemas Ensino presencial 16/06/2021 - Questão de aula Ensino presencial Após uma rápida observação do Quadro 2, é possível verificar que apenas as duas últimas aulas foram lecionadas no ensino presencial, com o foco na consolidação de conceitos e posteriormente avaliação dos mesmos. De acordo com a planificação estabelecida no início do ano, o estudo foi organizado em cinco aulas (Anexo 4) envolvendo tarefas de caracter exploratório sobre o tema de funções (Anexo 5). As aulas, ou as partes de aulas, que foram objeto de análise para a realização do presente estudo são referentes à ficha de diagnóstico, às tarefas de exploração do dia nove e treze de abril, à resolução de problemas (aula presencial) e à questão de aula. Estratégias de investigação e avaliação da ação Para realizar uma investigação, é necessário haver um propósito ou um problema, uma vez que sem eles não há motivo para se realizar (Dalfovo, et al., 2008). Assim, este estudo foi realizado com a intenção de compreender em que medida os alunos tiram partido da calculadora gráfica para a resolução de tarefas e, de que forma registam a respetiva resolução por escrito, seguindo uma metodologia qualitativa de cunho interpretativo. Neste seguimento e com o intuito de dar resposta às questões de investigação este subcapítulo é dividido em duas partes, sendo que na primeira são apresentados os Capítulo 3 – Enquadramento contextual 28 instrumentos e procedimentos de recolha de dados e na segunda como se pretende realizar a análise dos mesmos. 3.3.1 Instrumentos e procedimentos de recolha de dados Para dar resposta ao objeto de estudo, é fundamental definir os instrumentos de recolha de dados. Para tal, foram utilizadas diversas estratégias neste estudo, de forma a recolher a informação para poder dar resposta às questões de investigação. Foram utilizados dois questionários (um inicial e outro final), uma ficha diagnóstica, produções dos alunos e a observação. Os questionários são compostos por questões abertas, fechadas e de escolha múltipla. O primeiro questionário foi implementado no início da intervenção pedagógica e o outro no final da mesma. No questionário inicial constaram questões sobre hábitos de estudo, preferências dos alunos e questões acerca de como veem e qual a importância que dão à comunicação escrita e à calculadora gráfica no seu estudo, na disciplina de Matemática. O questionário final contou também com perguntas à cerca de como os alunos veem a comunicação escrita e a calculadora e com afirmações sobre as aprendizagens adquiridas envolvendo a comunicação e a calculadora, onde podiam concordar e discordar. Algumas das questões são comuns aos dois questionários, para posteriormente fazer uma comparação acerca da opinião dos alunos. Com a realização dos questionários, foi possível analisar e caracterizar a turma, bem como definir as suas potencialidades e dificuldades nas estratégias utilizadas e no processo de ensinoaprendizagem. Estes questionários permitiram responder à questão um e três do estudo, com o expressar das dificuldades sentidas dos alunos na comunicação escrita e na utilização da calculadora gráfica assim como na forma como utilizam esta. A ficha diagnóstica , Anexo 3, foi implementada antes da intervenção pedagógica realizada, com o intuito de fornecer informação de cada aluno sobre os seus conhecimentos matemáticos ao professor (Braun, 2014). Segundo o Decreto-lei nº 17/2016 de 4 de abril, é importante esta avaliação, pois ajuda a “fundamentar a definição de planos didáticos, de estratégias de diferenciação pedagógica, de superação de eventuais dificuldades dos alunos, de facilitação da sua integração escolar e de apoio à orientação escolar e vocacional” (p. 1125). A ficha diagnóstica permitiu perceber em que nível está a turma, para posteriormente ajudar na justificação de planos e para combater as dificuldades dos alunos. A ficha diagnóstica, serviu também para perceber o nível da redação escrita dos alunos com o recurso à calculadora gráfica e avaliar a evolução dos alunos até ao fim da intervenção, terminando com uma tarefa numa questão de aula. Capítulo 4 – Apresentação dos resultados 35 Não houve nenhum aluno a responder corretamente a esta questão. Vários alunos confundiram a função contante 𝑦 = 𝑎1 com a equação cartesiana da reta vertical de equação 𝑥 = 𝑎2. A resposta mais comum, dada pelos alunos, foi o gráfico A e C, com a justificação de que a cada objeto associa-se uma e uma só imagem como é o caso do aluno A8 (Figura 1): Figura 1: Resolução do aluno A8 à questão 1 É possível, através da análise das respostas obtidas, reparar que os alunos têm alguma noção do conceito de função, no entanto, não souberam escolher corretamente as opções. A maioria dos alunos confundiu o seu raciocínio e misturou conceitos de geometria analítica, abordada anteriormente, ao terem escolhido o gráfico B como uma representação de função, e este ser uma representação de uma circunferência. Das vinte e cinco respostas, apenas seis não apresentaram qualquer tipo de justificação para as escolhas feitas, como os alunos A5 e A13 (Figura 2). Assim, em geral, pode-se afirmar que a turma se mostra preocupada em justificar devidamente a sua escolha. Figura 2: Respostas dos alunos A5 e A13 à questão 1 Relativamente à segunda tarefa, esta teve como objetivo definir uma função, indicar o domínio e esboçar o gráfico da função conhecidas algumas das suas propriedades. Houve respostas parcialmente corretas, no entanto, vários alunos mostraram dificuldades em encontrar a expressão da função do seguinte problema: Na figura está representado um retângulo [𝐴𝐵𝐶𝐷]. Tem-se que 𝐴𝐵     = 5 e 𝐵𝐶     = 3. Um ponto 𝐸 desloca-se sobre o lado [𝐴𝐵], nunca coincidindo com o ponto 𝐴. Um ponto 𝐹 deslocase sobre o lado [𝐶𝐷], acompanhando o movimento do ponto 𝐸, de tal forma que [𝐸𝐹] permanece sempre paralelo a [𝐴𝐷]. Capítulo 4 – Apresentação dos resultados 36 Seja 𝑔 a função que, ao comprimento 𝑥 do segmento [𝐴𝐸], faz corresponder a área 𝑦 do retângulo [𝐴𝐸𝐹𝐷]. Numa pequena composição explica como podes definir a função 𝑔, indicando domínio, e desenha o seu gráfico. Dos alunos que conseguiram definir a função do problema podemos dividi-los em dois grupos: os que apenas apresentam cálculos e os que apresentam justificações de todas as etapas que incluíram na sua resolução. O aluno A17 (Figura 3) apenas apresenta o que é pedido no enunciado sem qualquer tipo de justificação, tendo o cuidado de desenhar corretamente o referencial ortonormado e de colocar as variáveis correspondentes, mas não apresenta o domínio de acordo com o enunciado da tarefa. Figura 3: Resolução do aluno A17 à questão 2 A resolução do aluno A11 (Figura 4) está incompleta, pois não apresenta corretamente os valores da janela de visualização utilizada para representar o gráfico, sendo também percetível as falhas em definir o domínio no contexto do problema. É visível também uma falta de rigor na construção do gráfico e não apresenta todos os elementos necessários, como por exemplo, a representação das variáveis nos eixos. Capítulo 4 – Apresentação dos resultados 37 Figura 4: Resolução do aluno A11 à questão 2 Através das várias resoluções, é notório como os alunos não estão habituados a utilizar as potencialidades da calculadora gráfica na resolução das tarefas. Para confirmar a resposta à primeira questão, os alunos, podiam definir funções arbitrárias e assim verificarem qual dos gráficos representava uma função. Em ambas as questões, a redação escrita está muito ausente e, como avaliação das tarefas propostas, é verificado que a turma mostra não estar habituada a transcrever o seu raciocínio para a folha de respostas, limitando-se apenas a apresentar esboços de gráficos e expressões algébricas. A calculadora gráfica e a comunicação escrita no estudo de funções Após a realização individual da ficha diagnóstica, seguiu-se o trabalho em grupo para a realização de tarefas de exploração e problemas. A apresentação da análise da comunicação escrita é feita na base das dimensões e níveis propostos por Pires el al. (2018). São também evidenciados os contributos e dificuldades sentidas na realização das tarefas com o recurso à calculadora gráfica. Tarefa de exploração 2: A seguinte tarefa, foi introduzida para iniciar o estudo das transformações do gráfico de uma função. Com o intuito de beneficiar das potencialidades da calculadora gráfica, os alunos tinham de inserir a função 𝑓(𝑥) com o seu domínio. No estudo da família de funções 𝑔(𝑥), os alunos tinham de atribuir Capítulo 4 – Apresentação dos resultados 38 valores arbitrários a 𝑎 e a 𝑏 de forma a perceberem que alterações houve em relação ao gráfico da função inicial. 1. Usando a calculadora gráfica, representa graficamente a seguinte função 𝑓(𝑥)= 𝑥4− 4𝑥2 de domínio [−2,1]. Indica o contradomínio da função 𝑓(𝑥). 2. Considera a família de funções 𝑔(𝑥)= 𝑓(𝑥 − 𝑎)+ 𝑏, 𝑎 e 𝑏 ∈ ℝ. O que observas ao alterar os parâmetros 𝑎 e 𝑏? Justifica todas as tuas conclusões através de um relatório escrito. Como as aulas estavam a ser lecionadas à distância, e de forma a facilitar o trabalho dos grupos, foi pedido que todos os alunos instalassem no seu computador o emulador da calculadora gráfica. Como os alunos até ao momento não tinham utilizado as potencialidades da calculadora gráfica, a professora investigadora exemplificou como poderiam inserir a função 𝑓(𝑥). Contudo, não se revelou suficiente. Na segunda questão, os alunos não tinham a certeza de como resolver e acabaram por recorrer a uma função afim para retirarem resultados, como podemos ver no seguinte diálogo do G1: Aluno 1: Eu não faço a menor ideia de como se faz o outro. Olha tenta escrever 𝑓(𝑥 − 𝑎)+ 𝑏 a ver se aparece alguma coisa. Aluno 2: Onde? Aluno 1: Num gráfico, faz aí um gráfico com isso. Nem sei se isso se pode fazer. Aluno 2: O quê? Não podes fazer isso… não dá para fazer, nem vou experimentar! Quando nós mudamos o 𝑏 nós estamos a mudar a interseção com o eixo 𝑂𝑦 e quando nós mudamos o 𝑎 nós estamos a mudar… a… estamos a mudar na mesma o eixo 𝑂𝑦. Estamos a mudar o 𝑥 e o 𝑦. Quando nós alteramos o parâmetro 𝑏 nós estamos a restringir o domínio. O contradomínio! Aluno 1: Porquê? Não é por causa da inclinação? Aluno 2: Nós não estamos a mudar o contradomínio, estamos a mudar o domínio. Aluno 1: Não estamos nada. Aluno 2: Estamos sim! Aluno 1: Se for uma linha contínua que vá passar em todos os pontos. Aluno 2: Podes fazer, mas a inclinação é diferente. Aluno 1: Mudamos o contradomínio! Aluno 2: Mas então o que estás a dizer é que também o contradomínio vai ser ℝ à vontade. O declive dela (da reta) não vai mudar, porque o 𝑏 não tem um 𝑥, Capítulo 4 – Apresentação dos resultados 39 a variável independente é o 𝑏, por isso, a única coisa que vai mudar no nosso gráfico vai ser o sítio onde ele interseta o eixo 𝑂𝑦. O grupo apesar de ter conseguido inserir corretamente a função na calculadora gráfica, acabou por estar um pouco indeciso sobre a influência na variação dos parâmetros. Os alunos não estavam habituados a este tipo de tarefas, nem a recorrer às capacidades da calculadora gráfica para a exploração das mesmas. Eles assumem que não é possível e, por isso, limitamse a escrever a função 𝑓(𝑥) na calculadora, não explorando as suas potencialidades. Como verificado no grupo em análise (Figura 5), os alunos utilizam a função afim, mas sem a introduzir na máquina, apenas imaginam o que poderia acontecer ao alterar cada um dos parâmetros. Figura 5: Relatório escrito apresentado pelo G1 A comunicação escrita observada tem um nível baixo na dimensão clareza , uma vez que não utilizou um vocabulário correto, ao referir que é o domínio que muda e sem qualquer tipo de representação. Em fundamentação , também foi considerado um nível baixo, pois o grupo apresentou as suas ideias de forma imprecisa restringindo-se apenas no caso da função afim. Na categoria lógica , o potencial do grupo também é de nível baixo, demonstrando pouco raciocínio nos registos efetuados e apenas revelando a conclusão a que chegaram. Em profundidade , apresentam um nível médio, pois apesar de não utilizarem as funções dadas, utilizaram uma outra em que demostram ter algum domínio sobre o assunto, ao mencionarem que ao mudar o parâmetro 𝑏 vai alterar no eixo das ordenadas. Na calculadora gráfica, foram sentidas dificuldades logo no início ao inserir a função 𝑓(𝑥). Contudo, os alunos que não colocaram o domínio conseguiram retirar as suas conclusões através da visualização do gráfico da função. Tarefa de exploração 3: Na tarefa de exploração seguinte, com o intuito de estudar a dilatação e contração do gráfico de uma função, foi pedido aos alunos que estudassem a influência dos parâmetros 𝑎 e 𝑏. Capítulo 4 – Apresentação dos resultados 40 1. Usando a calculadora gráfica, representa graficamente a seguinte função 𝑓(𝑥)= 𝑥4− 4𝑥2 de domínio [−2,1]. Indica o contradomínio da função 𝑓(𝑥). 2. Considera a família de funções 𝑔(𝑥)=𝑎𝑓(𝑏𝑥), 𝑎 e 𝑏 ∈ ℝ+. O que observas ao alterar os parâmetros 𝑎 e 𝑏? Justifica todas as tuas conclusões através de um relatório escrito. Após explorar as potencialidades da calculadora gráfica com a turma, na tarefa de exploração 2, nesta, os alunos já formularam e testaram as suas próprias conjeturas, como é o caso do G5: Aluno 1: Agora vou alterar o 𝑎 para ver o que acontece. Aluno 2: Tu só alteraste o parâmetro 𝑏 que é 2. Antes de alterares o 𝑎, o domínio alterou-se, mas o contradomínio continuou o mesmo! Aluno 1: Sim. Aluno 2: Aí no 𝑎, para 𝑎 = 2, basicamente, o contradomínio muda e o domínio não. É ao contrário. Aluno 1: Exato! Ok, então, basicamente, se multiplicarmos a… Aluno 2: Sim, se mudarmos o 𝑎 e o 𝑏 vão mudar os dois, logicamente, certo? Aluno 1: Exato, vou fazer isso! Aluno 2: Eu acho que a dilatação acontece quando alteras o 𝑎 e a contração acontece quando alteras o 𝑏…não é? Aluno 1: É que eu mudei as duas e contraiu o domínio e aumentou o contradomínio. Aluno 2: Se calhar pode acontecer dilatação só em relação ao eixo 𝑂𝑦 e contração só em relação ao eixo 𝑂𝑥, acho que é isso que temos de ver. Vai primeiro à função que só alteraste um parâmetro. Quando alteras o 𝑎 houve uma dilatação do contradomínio. Professora: O que significa dilatação do contradomínio? Aluno 1: Fica com mais números, abrange mais números. Professora: Tentem não só números inteiros, tentem números fracionários. Aluno 1: O que acontece com um número menor, será que também há diferença, se eu substituir o 𝑎 por 2 e depois por 1 2, será que a dilatação será maior ou menor? Capítulo 4 – Apresentação dos resultados 41 Aluno 2: Não. Se substituíres o 𝑎 por 2 será dilatação do contradomínio se substituíres por 1 2 será contração do contradomínio, foi o que aconteceu quando meteste 1 2. Durante o diálogo apresentado, é notório que o diálogo se estabeleceu apenas entre dois elementos. Os alunos começaram o seu estudo a atribuir valores aos parâmetros 𝑎 e 𝑏, isoladamente. Verificaram que houve alterações no domínio e no contradomínio, pelo que, erradamente referiram que o domínio e/ou contradomínio dilatava ou contraía e não referiram que era o esboço do gráfico da nova função obtida. Os alunos utilizavam a calculadora gráfica para testar as conjeturas, no entanto, nunca alteravam a janela de visualização e não transcreveram para a sua folha de respostas o que visualizaram, Figura 6. Figura 6: Relatório escrito apresentado pelo G5 A comunicação escrita, do grupo em causa, na dimensão clareza está num nível médio, apresentando as suas ideias recorrendo a um vocabulário compreensível e específico do tema que está a ser trabalhado. No que diz respeito à dimensão fundamentação , foi considerado um nível médio, pois o grupo justifica razoavelmente que tipo de alteração acontece na variação de cada parâmetro, indicando para que valores acontece uma dilatação ou contração. Demonstram também algum raciocínio, sendo atribuída na dimensão lógica um nível médio. Existe coerência no seu registo faltando apenas mencionar que a alteração verificada no gráfico de uma função está associada a um coeficiente. Na dimensão profundidade apresentam um nível baixo, pois revelaram não dominar aspetos importantes onde mencionam apenas que o domínio e/ou o contradomínio a dilata ou contrai. Este erro foi comum a vários Capítulo 4 – Apresentação dos resultados 42 grupos, como o grupo G3 (Figura 7). Na comunicação escrita, tem um nível médio na dimensão clareza , pois apesar de apresentarem ideias precisas o esboço da janela de visualização está incompleto, uma vez que, não representam os eixos coordenados. No entanto, estes alunos mostram ter algum sentido crítico com a alteração da janela de visualização standard , ficando a faltar o registo dos valores da janela utilizada. O G3 justifica corretamente as suas ideias através de exemplos, apresentando uma fundamentação de nível elevado, no entanto não generaliza para todos os casos, lógica com nível médio. É visível a existência de raciocínio e coerência no seu registo, mas nem sempre mostraram dominar aspetos importantes, profundidade nível médio, como por exemplo, se 0 < 𝑏 < 1 há uma dilatação do gráfico de coeficiente 1 𝑏. Figura 7: Relatório escrito apresentado pelo G3 A calculadora gráfica para a resolução desta tarefa contribuiu, em ambos os grupos, no auxílio da observação da alteração dos parâmetros 𝑎 e 𝑏. Não se verificando grandes dificuldades em utilizar e alterar a janela de visualização. Em todas as discussões, de cada grupo, é notório a influência que a Capítulo 4 – Apresentação dos resultados 43 calculadora gráfica teve para comprovarem as suas suposições e, na maioria, todos os relatórios escritos fazem-se acompanhar de uma representação do esboço da janela de visualização, para um relatório escrito mais completo. Para a discussão envolvendo todos os alunos da turma, foi eleito, aleatoriamente, um grupo para partilhar ecrã com a resolução e explicar como resolveram a tarefa. Esta estratégia fez com que na sua maioria todos os elementos contribuíssem para a resolução da tarefa e tivessem mais cuidado nas justificações que apresentavam. Vários alunos, na discussão, cometeram o mesmo erro em concluir que era o domínio e/ou o contradomínio que dilatava ou contraia, pelo que houve alguma discussão, bem como em obter o novo domínio e contradomínio da nova função. Um dos aspetos que nenhum dos grupos abordou e foi alvo de discussão, foram as raízes para um estudo mais completo da nova função. Globalmente, os alunos apresentaram uma melhor prestação nesta tarefa com as notórias evidências nos relatórios, como a inserção de gráficos, e no maior cuidado em fundamentar todas as suas ideias. Agência de aluguer de veículos O casal Martins deslocou-se, de comboio, no período de férias a uma localidade. Para melhor conhecerem a região, decidiram alugar um automóvel. Consultaram duas agências de aluguer de veículos que lhes apresentaram as seguintes condições: Agência A: Taxa fixa de 400 € e 1,20 € por cada quilómetro percorrido. Agência B: Taxa fixa de 80 € e 2 € por cada quilómetro percorrido. O casal Martins pensou em dois tipos de ocupações nas férias. Numa das hipóteses, estimam percorrer cerca de 500 km. Na outra alternativa, preveem percorrer cerca de 320 km, reservando mais tempo para aproveitarem a praia local. Atendendo a cada alternativa, como aconselharias o casal na escolha da agência? Em outras situações, os alunos, tendem a usar a resolução analítica, uma vez que lhes foi sempre incutido que em Matemática A, os alunos devem resolver qualquer tarefa analiticamente sem necessitar de recorrer à calculadora gráfica. Na resolução desta tarefa alguns grupos apenas recorreram à resolução exclusivamente analítica, que é o caso dos grupos G1 (Figura 8) e G4 (Figura 9). No entanto o intuito desta tarefa era que os alunos recorressem à calculadora gráfica e rapidamente determinassem a interseção dos dois gráficos. Dessa forma optavam pela melhor agência de acordo com o número de quilómetros a percorrer. A resolução dos grupos G1 e G4 são semelhantes, sendo atribuídos os mesmos níveis nas dimensões à exceção da dimensão fundamentação, onde G1 tem um nível médio, pois apresenta o Capítulo 4 – Apresentação dos resultados 44 significado de cada uma das variáveis escolhidas ao contrário do grupo G4, nível baixo, que não apresenta qualquer tipo de justificação. Na dimensão clareza ambos os grupos estão num nível médio, apresentando estratégias de resolução, mas não utilizam um vocabulário preciso. Manifestam raciocínio sem nunca demonstrar conexão entre as ideias, retirando todas as conclusões no contexto do problema, e por isso, a lógica estar classificada no nível baixo. Por fim, em profundidade , foi atribuído um nível médio, demonstrando saber como resolver a tarefa, mas sem evidência de cálculos ou do uso da calculadora gráfica para a determinação do valor do custo a pagar pela agência escolhida. Figura 8: Resposta do G1 sem recurso à calculadora gráfica Figura 9: Resposta do G4 sem recurso à calculadora gráfica Capítulo 4 – Apresentação dos resultados 51 Figura 13: Composição escrita do G4 Ao longo das aulas foram referidos quatro elementos que não devem faltar no registo da resolução de uma tarefa que envolva a calculadora gráfica, são eles: as funções utilizadas, a janela de visualização, o esboço dos gráficos das funções utilizadas e a resposta à tarefa, o que nem sempre se pode verificar, como exemplificado na Figura 13 onde falta as funções utilizadas. No seguinte diálogo, do mesmo grupo, é evidente que entenderam o que era pedido e como deveriam recorrer à calculadora gráfica para responder ao problema. Aluno 1: O que eu pensei foi: 1 é a altura, uma função constante, e fui ver os pontos de interseção. Percebeste o que eu fiz? Aluno 2: Eu não estou a ouvir, eu estou a fazer sozinha. Aluno 1: Colega2, primeiro começa por fazer uma coisa e faz uma restrição do domínio, porque é impossível tempos negativos. Põe uma restrição do domínio de 0 a +∞. Agora na janela de visualização mete também o 𝑦 zero, porque não há alturas negativas, certo!? No máximo preciso de 1, por isso, põe 6, o 𝑥 máximo também não e preciso tanto. O máximo é 1,05 passando para metros é 105 que deu (a segunda condição é satisfeita). A seguinte o 𝑦 = 1… Aluno 2: 𝑦 = 1? Aluno 1: Sim, 𝑦 = 1. 1 hectómetro são 100 metros. Fomos ver a interseção entre esses dois pontos e dá 1,3 minutos para aí, ou mais, já não sei. Capítulo 4 – Apresentação dos resultados 52 O grupo demonstrou entreajuda e sabiam como resolver a tarefa. Contudo, não tiveram atenção à forma como apresentaram a resolução da tarefa, clareza nível médio. Recorreram a uma representação do esboço do gráfico da função e todos os critérios estabelecidos pelo júri são justificados adequadamente, incluindo informação do gráfico e o respetivo significado no contexto, assim, o G4 tem fundamentação no nível elevado. Na dimensão lógica , o grupo enquadra-se no nível médio, uma vez que, revelaram ter raciocínio, mas nem sempre houve conexão entre os resultados obtidos pela máquina com as etapas do concurso. O grupo, revelou ainda, de forma escrita, dominar aspetos importantes sobre o assunto, pois em todas as etapas do concurso sabiam qual a propriedade da função que tinham de analisar, profundidade nível elevado. Neste grupo verificou-se que a calculadora contribuiu para a comunicação escrita. Os alunos utilizaram várias funcionalidades do menu como, por exemplo, para a determinação do máximo e do zero da função. Este grupo representou as variáveis nos eixos coordenados com as letras 𝑥 e 𝑦 e não as variáveis de acordo com a tarefa, tal como o G6 na tarefa “Praga de moscas-da-fruta”. Este aspeto não foi muito usual de encontrar nos registos escritos, mas revela que existe alunos que apenas se limitam a transcrever o que veem no ecrã da calculadora sem conexão de ideias. Através desta tarefa, verificou-se uma melhoria por parte de alguns grupos na comunicação escrita. Exemplo disso é o G3 (Figura 14), que iniciou a resolução da tarefa utilizando a calculadora para saber qual a classificação do avião e posteriormente escrever uma composição matemática. Por esse motivo, este grupo começou pela resposta final. Na composição matemática, o G3 apresenta um nível elevado na dimensão clareza , apresentado rigor na representação do esboço do gráfico, onde é visível claramente a janela de visualização. Para uma leitura mais clara dos pontos utilizados para responder a cada um dos critérios estabelecidos pelo júri, o grupo podia atribuir letras. No que diz respeito à fundamentação , nível elevado, esta apresenta a justificação de todas as etapas de resolução. Para uma justificação mais completa, podiam ainda, referir qual a propriedade utilizada para responder a cada critério. Por exemplo, no primeiro critério referir que determinaram o zero da função que corresponde ao tempo de voo do avião. Revelaram raciocínio ao longo do registo escrito e fazem a conversão da altura dada em metros para hectómetros sempre com a ligação do pensamento e os resultados da calculadora com o enunciado da tarefa, assim, a dimensão lógica estar no nível elevado. Este grupo revelou também dominar aspetos importantes sobre o assunto, uma vez que em todas as etapas do concurso sabiam qual a propriedade da função que tinham de analisar, demonstrando um nível de profundidade elevado, e qual a sua interpretação. Capítulo 4 – Apresentação dos resultados 53 Figura 14: Relatório escrito elaborado pelo G3 No grupo G3, não se verificou dificuldades no manuseamento da calculadora gráfica. Utilizaram-na para o auxílio da representação do esboço do gráfico assim como para a verificação do cumprimento de cada critério, permitindo explorar e interpretar as propriedades da função da tarefa e, assim, contribuir para a organização de ideias e para a construção de resposta. Questão de aula Um outro exemplo, onde se verifica a justificação elaborada por alguns alunos, proveniente da informação que a calculadora gráfica lhes fornece é a seguinte tarefa, colocada na questão de aula: Capítulo 4 – Apresentação dos resultados 54 Num laboratório foi estudada a evolução de uma colónia de bactérias. Às 8 h, fez-se a primeira contagem e as seguintes realizaram-se em cada hora decorrida. Verificou-se que o número 𝑁 de bactérias, em milhares, ℎ horas após o início da contagem, é dado por 𝑁(ℎ)= −ℎ2+4ℎ + 9. a) Em que período do dia o número de bactérias foi superior a 9000? b) Descreve a evolução da colónia desde as 8 horas até às 13 horas. Uma vez mais, os alunos tinham de efetuar várias conversões, uma vez que as 8 h, quando se iniciou a contagem das bactérias, correspondia a ℎ = 0, na representação do gráfico da função. Os alunos seguiram todos o mesmo método de resolução na primeira alínea (Figura 15). Representaram os esboços dos gráficos das funções 𝑁(ℎ)= −𝑥2+ 4𝑥 + 9 e 𝑁(ℎ)= 9, onde posteriormente determinaram o ponto de interseção das duas funções, com a ajuda da calculadora gráfica. A comunicação escrita do aluno A25, na dimensão clareza , está num nível médio, pois apesar do seu registo ter uma representação adequada e a resolução apresentar ideias claras, estas nem sempre foram registadas na ordem correta, como a explicação das horas, que está depois da resposta ao problema. O vocabulário nem sempre foi o mais correto como por exemplo, quando se refere às funções utilizadas como “retas”. Apresenta ideias claras, é objetivo e tem o cuidado de justificar devidamente todas as etapas presentes na resolução, e por isso, a sua fundamentação enquadra-se no nível elevado. O aluno, na dimensão lógica, está num nível elevado, revelando raciocínio e coerência nos registos ao longo da resolução com a apresentação de todas as conversões necessárias, assim como, a representação do referencial de acordo com as variáveis da tarefa. Por fim, na dimensão profundidade , o aluno apresenta num nível elevado, uma vez que demonstrou dominar e aplicar adequadamente os conceitos que estavam sobre avaliação. A calculadora gráfica, aparentemente, ajudou na organização de ideias, na representação do gráfico da função e na obtenção de valores dos pontos que permitiram responder à questão. A forma como o aluno A25 representou o referencial e o gráfico da função não revela dificuldades em obter uma boa janela de visualização e de utilizar as potencialidades da calculadora. Revela assim, um sentido critico ao uso que lhe deu, pois de acordo com o enunciado do problema apenas dá importância ao primeiro quadrante. Capítulo 4 – Apresentação dos resultados 55 Figura 15: Resolução da alínea a) do aluno A25 Na resolução da primeira alínea, já foi notória, por parte de alguns alunos, alguma evolução na forma como apresentam a sua resposta, e na forma como recorrem ao uso da calculadora gráfica na sua resolução. Os alunos mostram já dominar algumas das capacidades da calculadora gráfica, mas, por vezes, não registam o seu pensamento e a justificação das ideias de forma clara, apresentando um nível baixo nas dimensões clareza e fundamentação , como se pode observar na Figura 16. Revelam ter algum raciocínio ao evidenciar a conversão dos valores obtidos pela calculadora gráfica para o contexto da tarefa. Mostram já saber aplicar os conceitos abordados, como a determinação dos pontos de interseção, aparentemente, recorrendo à calculadora gráfica e, por isso, a lógica e profundidade enquadrarem-se num nível médio. Capítulo 4 – Apresentação dos resultados 56 Figura 16: Resolução da alínea a) do aluno A26 Relativamente à segunda alínea da questão de aula, os alunos tinham de descrever a evolução da colónia desde as 8 horas até às 13 horas. Na resolução, houve quem representasse novamente o gráfico da função (Figura 17). Os alunos, no geral, no seu registo apresentaram sempre o gráfico, a janela de visualização e a resposta ao problema, mas não incluíram as expressões das funções utilizadas como, por exemplo, o aluno A21. Figura 17: Resolução da alínea b) do aluno A21 A comunicação escrita do aluno A21, na dimensão clareza , apresenta um nível elevado. O aluno explicita as suas ideias de forma precisa com uma representação do gráfico adequada, salientando pontos do gráfico que utilizou. Justifica toda a evolução da colónia adequadamente e apresenta coerência na ligação correta entre a informação preveniente da calculadora gráfica com o contexto do problema, assim, em fundamentação e lógica o aluno A21 está num nível elevado. Por último, na dimensão profundidade, revela, de forma escrita, conhecer os conceitos e aplicá-los corretamente como, por exemplo, na determinação do máximo da função ou a representação do esboço do gráfico apenas no primeiro quadrante. Capítulo 4 – Apresentação dos resultados 57 A calculadora nesta alínea, aparentemente, ajudou o aluno A21 na interpretação da evolução das bactérias e, através das potencialidades que esta acarreta, possibilitou analisar a função de uma forma mais rápida e menos morosa. Ao longo do estudo realizado foi possível apurar que a maior dificuldade sentida pelos alunos, na utilização da calculadora gráfica, foi a de encontrar uma janela de visualização adequada para a tarefa que se encontravam a realizar. Outra das dificuldades verificadas, foi a de selecionar e converter devidamente a informação proveniente da calculadora gráfica para o contexto do problema. Contudo, a realização das tarefas em grupo teve um papel preponderante, para um melhor desempenho na forma com os alunos interagem com a calculadora gráfica, potenciando a discussão de ideias entre eles e com a professora investigadora sobre o correto uso das suas potencialidades e como fazer a transcrição dos resultados obtidos. 58 Na realização da presente dissertação de mestrado foi apresentado e explanado um estudo realizado numa turma do 10.º ano de escolaridade, no âmbito da disciplina de Matemática A. As conclusões desta investigação vão procurar responder a cada uma das questões formuladas no início do estudo. Assim, o presente capítulo encontra-se divido em quatro subcapítulos. Nos primeiros três subcapítulos são apresentadas as respostas obtidas a cada uma das questões de investigação. No último subcapítulo é realizada uma breve reflexão sobre o presente estudo e são apresentadas sugestões para trabalho futuro. Como utilizam os alunos a calculadora gráfica na resolução de tarefas sobre funções? Habitualmente, os alunos começam a utilizar a calculadora no 5.º ano de escolaridade, contudo, apenas no 10.º ano, no tópico de funções, é que utilizam a calculadora gráfica. Ao longo do estudo realizado, a máquina de calcular gráfica passou a ter um papel preponderante no auxílio da confirmação de resultados, aspeto também constatado no estudo de Semião e Canavarro (2012). Os alunos, também passaram a utilizá-la para criar e testar as suas próprias conjeturas, bem como para a visualização de gráficos de funções, dando mais enfâse à resolução analítica a ser apresentada. Os alunos, por vezes, não percebem quando é que a calculadora gráfica pode ser um recurso valioso. A sua utilização, no auxílio da resolução de tarefas pelos alunos ainda não é intuitiva, acabando algumas vezes por ser usada desnecessariamente ou nem demonstrar evidências do seu uso. Por exemplo, os alunos não usaram a calculadora e poderia ser muito útil na tarefa “Praga de moscas-dafruta”. Quando foi pedido aos alunos que efetuassem o registo dos dados obtidos pela calculadora gráfica, quer os esboços dos gráficos como cálculos que efetuavam, verificou-se um melhoramento progressivo na categoria fundamentação . Durante a resolução das tarefas, os alunos recorriam aos diferentes menus constituintes da calculadora gráfica para determinar pontos pertencentes à função de forma a obter uma resposta mais rápida, sem ter que realizar cálculos analíticos. O facto de ser possível obter um gráfico de uma determinada função, num curto espaço de tempo, possibilitou o seu registo, bem como completá-lo com a averiguação e representação de algumas das suas propriedades (máximo, Capítulo 5 – Conclusões 59 zeros, domínio…). Tal como refere Lee (2010), também neste estudo, a utilização da calculadora gráfica deu a possibilidade de uma melhor compreensão sobre os conceitos já abordados. Contudo, a representação gráfica nem sempre correspondia corretamente ao domínio de acordo com o contexto da tarefa pois, a maioria dos registos eram efetuados sem uma correta seleção da janela de visualização pelos alunos. No entanto, houve grupos a utilizarem corretamente o zoom da calculadora gráfica mostrando espírito crítico. Num panorama geral, o uso da calculadora gráfica, na resolução das tarefas, permitiu que os alunos utilizassem as suas potencialidades de forma a encontrar uma solução para a tarefa e, assim, redigir uma resposta de forma mais clara e organizada, incluindo um esboço do gráfico mais preciso, apresentando na categoria clareza um melhor desempenho. Os alunos fazem um manuseamento da calculadora gráfica adequado, mas ainda um pouco reticentes, devido a lhes ser incutido que devem saber como resolver todas as tarefas analiticamente. Como registam a resolução de tarefas? Quais os contributos da calculadora gráfica para o registo de tarefas? No primeiro contacto realizado entre a professora investigadora e os alunos, estes apenas registavam as resoluções, em resposta às tarefas propostas, sem qualquer tipo de referência a dados obtidos através da calculadora gráfica. Os alunos não evidenciaram raciocínio nem conhecimento dos tópicos aprendidos na sala de aula. Vários alunos apresentaram níveis baixos nas dimensões lógica e profundidade . Ao longo do estudo, foi possível presenciar uma evolução nos registos apresentados pelos alunos, mais completos e com informações prevenientes da calculadora gráfica, levando de facto, a um aumento de nível na dimensão fundamentação . Exemplo disso, foi a representação do esboço do gráfico da função e uma justificação mais detalhada de todas as etapas presentes na resolução. Uma das justificações, encontrada pela professora investigadora, para esta mudança na apresentação dos resultados, deve-se à alteração da opinião de alguns alunos em relação à comunicação escrita em Matemática, que veio a mudar ao longo da intervenção. No início da intervenção, aquando da realização do questionário inicial à turma, dois alunos desvalorizavam a comunicação escrita em Matemática. Com a realização do questionário final, todos os alunos passaram a ter uma opinião positiva sobre os benefícios da comunicação escrita em Matemática. A turma considera que a comunicação escrita lhes pode trazer benefícios na explicitação de raciocínios e na organização de ideias, sendo a clareza o domínio com a melhor classificação. Capítulo 5 – Conclusões 60 O registo, na maior parte das vezes, era incompleto, uma vez que, os alunos não colocavam nas suas redações todas as informações pertinentes para a tarefa, como por exemplo, as funções utilizadas para obter o esboço do gráfico e, até mesmo, como obtiveram determinados valores a partir da calculadora gráfica, tendo assim a dimensão fundamentação um nível médio. Os alunos, em geral, começavam o registo da resolução das tarefas através do esboço do gráfico das funções correspondentes. Junto à representação do gráfico era explicitado o intervalo da janela de visualização utilizado, bem como eram salientados alguns dos pontos da função fundamentais para obter uma conclusão, sendo estes posteriormente mencionados ao longo da resposta. O facto de iniciar a resolução recorrendo à calculadora gráfica e, em seguida, apresentarem o esboço do gráfico, permitiulhes organizar o seu pensamento de forma a conseguirem explicar os passos seguidos na resolução com recurso a esta ferramenta. Contudo, existe ainda um pequeno grupo de alunos que não conseguem expor e fundamentar as suas ideias de forma clara e precisa. Houve também grupos de alunos a iniciar o seu registo com a resposta à tarefa e só depois apresentar todo o seu raciocínio. Como os alunos resolvem a tarefa com a calculadora gráfica e só depois passam para o papel o que fizeram explicitando o caminho seguido, daí que o registo seja invertido. Mais precisamente a possibilidade de rapidamente chegarem a uma resposta, apenas com o recurso a este material didático, e só depois registarem as suas ideias foi um dos contributos mencionados pelos alunos. Através do uso da calculadora gráfica, pode verificar-se nas respostas escritas dos alunos dois métodos distintos de resolver a mesma tarefa, através da análise gráfica e analiticamente, sendo o último método mencionado como uma forma mais demorosa de chegar à resposta. Ao longo do estudo realizado, foi verificada uma evolução por parte de alguns alunos nas diferentes dimensões propostas por Pires et al. (2018), na forma como redigem as suas ideias, assim como, nas estratégias utilizadas. Na tarefa da “Agência de aluguer de veículos”, houve grupos de alunos a resolver apenas pelo processo analítico e grupos a utilizar a calculadora gráfica. Verificou-se que os alunos que recorreram às capacidades da calculadora gráfica tiveram melhor desempenho nos seus registos escritos relativamente aos alunos que usaram apenas o método analítico. Este desempenho pode estar relacionado com o uso da calculadora gráfica, uma vez que, podem confirmar os seus resultados. A possibilidade de assegurar a validade da resolução, também foi referida pelos alunos como uma mais valia para o seu registo escrito e ganho de confiança durante o processo de resolução. 67 A calculadora gráfica e a comunicação escrita: Experiência com alunos do 10.º ano 68 Este questionário é respondido de forma anónima. É realizado no âmbito do estágio Profissional do Mestrado em Ensino de Matemática no Ensino Básico e Secundário da Universidade do Minho, onde se pretende recolher informação sobre as preferências, hábitos e escolhas feitas pelos alunos do 10.ºano referentes à disciplina de Matemática. Idade: _______ Sexo: Masculino Feminino 1. Quanto tempo, por semana, dedicas ao estudo de Matemática? Menos de 1 hora 1 a 3 horas 3 a 5 horas Mais de 5 horas 2. Gostas de Matemática? Gosto muito Gosto Gosto pouco Não gosto 3. Como classificas a disciplina de Matemática? Muito difícil Difícil Aceitável Fácil Muito fácil 4. Como classificas o teu desempenho a Matemática? Fraco Razoável Bom Muito bom 5. Em relação a cada uma das afirmações, indica a que se devem as tuas dificuldades a Matemática, caso existam Nunca Raramente Às vezes Muitas vezes Sempre Falta de estudo Falta de bases Falta de interesse pela disciplina Métodos de ensino utilizados pelos professores Falta de apoio fora da aula Outro _________________________________________ 6. Fora da escola, tens ajuda na resolução das tarefas da disciplina de Matemática? Se sim, quem te ajuda? (explicador, pais, internet, etc.) ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ 7. Pretendes ingressar no ensino superior? Se sim, que curso(s) pretendes frequentar? ___________________________________________________________________________ A calculadora gráfica e a comunicação escrita: Experiência com alunos do 10.º ano 69 8. Em que medida te parece que a Matemática poderá ser importante para o teu futuro profissional? Nada; Pouco; Bastante; Imensamente importante. 9. No teu dia a dia, fora das aulas de matemática, já tiveste situações em que a Matemática te foi útil? Podes dar alguns exemplos? ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ 10. Os métodos que te permitem aprender melhor na aula são [assinala apenas três opções]: Quando escreves no caderno o que o professor vai explicando Quando fazes exercícios Quando memorizas a matéria à medida que vais escutando Quando transcreves do quadro a matéria Quando trabalhas em grupo Quando tentas resolver problemas ou desafios matemáticos Outro:_______________________ 11. Achas importante a comunicação escrita na tua aprendizagem em matemática? Porquê? ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ 12. Refere três vantagens da comunicação escrita na tua aprendizagem em matemática. ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ 13. Qual o modelo da tua calculadora gráfica? ___________________________________________________________________________ 14. Para que fins utilizas a calculadora gráfica no teu estudo da disciplina de matemática? ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ 15. Consideras um entrave ou uma mais valia o uso da calculadora no teu estudo na disciplina de matemática? Porquê? A calculadora gráfica e a comunicação escrita: Experiência com alunos do 10.º ano 70 ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Obrigada pela colaboração! A calculadora gráfica e a comunicação escrita: Experiência com alunos do 10.º ano 71 Este questionário é respondido de forma anónima. É realizado no âmbito do estágio Profissional do Mestrado em Ensino de Matemática no Ensino Básico e Secundário da Universidade do Minho, sobre o tema "A calculadora gráfica e a comunicação escrita" onde se pretende recolher informação sobre as preferências matemáticas dos alunos e em que medida a calculadora e a comunicação escrita ajudaram os alunos na disciplina de Matemática. 1. Em que medida consideras importante a comunicação escrita na tua aprendizagem em matemática? ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ 2. Em que medida consideras importante a utilização da calculadora gráfica na tua aprendizagem em matemática? ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ 3. Para que fins utilizas a calculadora gráfica no teu estudo na disciplina de matemática? ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ 4. Consideras que a calculadora gráfica contribuiu para o registo de tarefas? Porquê? Concordo Não Concordo Sem Opinião A utilização da calculadora gráfica motivou-me para a aprendizagem de funções. A calculadora gráfica ajudou-me a organizar o pensamento. Através da escrita consolidei melhor os conceitos. Expliquei melhor o meu raciocínio com o auxílio da calculadora gráfica. Prefiro expressar-me oralmente do que por escrito. A calculadora gráfica e a comunicação escrita: Experiência com alunos do 10.º ano 72 ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ 5. Quais foram as dificuldades sentidas na escrita da resolução de tarefas com recurso à calculadora gráfica? ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ 6. O trabalho de grupo ajudou-te a compreender melhor os conteúdos? Em que aspetos? ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Obrigada pela colaboração! A calculadora gráfica e a comunicação escrita: Experiência com alunos do 10.º ano 73 1. Quais dos seguintes gráficos representam funções? Justifica. Nota 1: Adaptado de Carvalho & Carvalho (2006, p. 106) 2. Na figura está representado um retângulo [𝐴𝐵𝐶𝐷]. Tem-se que 𝐴𝐵     = 5 e 𝐵𝐶     = 3. Um ponto 𝐸 desloca-se sobre o lado [𝐴𝐵], nunca coincidindo com o ponto 𝐴. Um ponto 𝐹 desloca-se sobre o lado [𝐶𝐷], acompanhando o movimento do ponto 𝐸, de tal forma que [𝐸𝐹] permanece sempre paralelo a [𝐴𝐷]. Seja 𝑔 a função que, ao comprimento 𝑥 do segmento [𝐴𝐸], faz corresponder a área 𝑦 do retângulo [𝐴𝐸𝐹𝐷]. Numa pequena composição explica como podes definir a função 𝑔, indicando domínio e desenha o seu gráfico. A) B) C) D) A calculadora gráfica e a comunicação escrita: Experiência com alunos do 10.º ano 74 Nota 2 : Adaptado de Sousa (2013, p. 11) A calculadora gráfica e a comunicação escrita: Experiência com alunos do 10.º ano 75 Aula Tópicos Objetivos Materiais Aula 1 Dia: 06/04/2021 - Função par - Função ímpar -Identificar uma função real de variável real 𝑓 como sendo par se ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓,−𝑥 ∈ 𝐷𝑓 e 𝑓(−𝑥)= 𝑓(𝑥); -Identificar uma função real de variável real 𝑓 como sendo ímpar se ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓,−𝑥 ∈ 𝐷𝑓 e 𝑓(−𝑥)= −𝑓(𝑥); -Dada 𝑓 ímpar, função real de variável real, justificar que se 0 ∈ 𝐷𝑓, então 𝑓(0)= 0; -Aplicação de conhecimentos. -Calculadora gráfica; -Ficha de trabalho; -Caderno diário; -Computador Aula 2 Dia: 09/04/2021 -Translações do gráfico de uma função -Representar, na calculadora gráfica, o gráfico de uma função e o seu transformado por meio de uma translação; -Identificar o domínio, o contradomínio e as coordenadas dos zeros de uma função e da função obtida, por meio de uma translação do seu gráfico; -Reconhecer que o gráfico da função 𝑔 definida por 𝑔(𝑥)= 𝑓(𝑥 − 𝑐) é a imagem do gráfico de 𝑓 pela translação de vetor 𝑢 󰇍 = (𝑐, 0), sendo 𝑐 um número real e 𝑓 uma função real de variável real; -Reconhecer que no caso da translação vertical, em que 𝑔(𝑥)= 𝑓(𝑥)+ ℎ, o gráfico de 𝑔 é a imagem do gráfico de 𝑓 pela translação segundo o vetor 𝑢 󰇍 = (0,ℎ), o 𝐷𝑔= 𝐷𝑓; -Dado um gráfico e o seu transformado reconhecer se ocorreu uma translação vertical ou horizontal. -Reconhecer que o gráfico da função 𝑔 definida por 𝑔(𝑥)= 𝑓(𝑥 − 𝑐)+ ℎ é a imagem do gráfico de 𝑓 pela translação de vetor 𝑢 󰇍 = (𝑐, ℎ), sendo 𝑐 e ℎ números reais e 𝑓 uma função real de variável real; -Representar e reconhecer os gráficos obtidos por reflexão; -Calculadora gráfica; -Ficha de trabalho; -Caderno diário; -Computador A calculadora gráfica e a comunicação escrita: Experiência com alunos do 10.º ano 76 -Aplicação de conhecimentos Aula 3 Dia: 13/04/2021 -Dilatação e contração do gráfico de uma função -Reconhecer que o gráfico de 𝑔(𝑥)=𝑎𝑓(𝑥), com 0 < 𝑎 < 1 e 𝑓 função 𝑟.𝑣.𝑟. é a imagem do gráfico de 𝑓 pela contração vertical; -Reconhecer que o gráfico de 𝑔(𝑥)=𝑎𝑓(𝑥), com 𝑎 > 1 e 𝑓 função 𝑟. 𝑣. 𝑟. é a imagem do gráfico de 𝑓 pela dilatação vertical; -Reconhecer que o gráfico de 𝑔(𝑥)= 𝑓(𝑎𝑥), com 0 < 𝑎 < 1 e 𝑓 função 𝑟.𝑣.𝑟. é a imagem do gráfico de 𝑓 pela dilatação horizontal de coeficiente 1 𝑎; -Reconhecer que o gráfico de 𝑔(𝑥)= 𝑓(𝑎𝑥), com 𝑎 > 1 e 𝑓 função 𝑟. 𝑣. 𝑟. é a imagem do gráfico de 𝑓 pela contração horizontal de coeficiente 1 𝑎; -Representar, na calculadora gráfica, o gráfico de uma função; -Reconhecer os gráficos obtidos por contração e dilatação horizontal e vertical; -Aplicação de conhecimentos -Calculadora gráfica; -Ficha de trabalho; -Caderno diário; -Computador Aula 4 Dia: 14/04/2021 -Reflexão -Reconhecer que o gráfico de 𝑔(𝑥)= −𝑓(𝑥), definido em 𝐷𝑔= 𝐷𝑓, é imagem do gráfico de 𝑓 pela reflexão de eixo 𝑂𝑥; -Reconhecer que o gráfico de 𝑔(𝑥)= 𝑓(−𝑥), definido em 𝐷𝑔= {−𝑥: 𝑥 ∈ 𝐷𝑓}, é imagem do gráfico de 𝑓 pela reflexão de eixo 𝑂𝑦; -Representar e reconhecer os gráficos obtidos por reflexão; -Aplicação de conhecimentos sobre a contração e dilatação vertical e horizontal em tarefas -Calculadora gráfica; -Ficha de trabalho; -Caderno diário; -Computador Aula 5 Dia: 04/06/2021 -Função par; -Função ímpar; -Translação do gráfico de uma função; -Aplicação de conhecimentos envolvendo todos os tópicos sobre transformações de gráficos de uma função num relatório a realizar-se em grupos com o auxílio da calculadora gráfica. -Calculadora gráfica; -Ficha de trabalho -Caderno diário; -Computador; -Projetor; -Marcadores; -Quadro.