Estudio de la estabilidad del Levitron® frente a perturbaciones en la posición

Equation Chapter 1 Section 1 Trabajo de Fin de Grado Grado en Ingeniería Aeroespacial Estudio de la estabilidad del Levitron® frente a perturbaciones en la posición Autor: Ricardo Martínez García Tutor: Antonio de la Cruz González Fernández Dep. Física Aplicada III Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2017 Trabajo de Fin de Grado Grado en Ingeniería Aeroespacial Estudio de la estabilidad del Levitron® frente a perturbaciones en la posición Autor: Ricardo Martínez García Tutor: Antonio de la Cruz González Fernandez Profesor titular Dep. de Física Aplicada III Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2017 Trabajo de Fin de Grado: Estudio de la estabilidad del Levitron® frente a perturbaciones en la posición Autor: Ricardo Martínez García Tutor: Antonio de la Cruz González Fernández El tribunal nombrado para juzgar el Proyecto arriba indicado, compuesto por los siguientes miembros: Presidente: Vocales: Secretario: Acuerdan otorgarle la calificación de: Sevilla, 2017 El Secretario del Tribunal i Agradecimientos La finalización de este trabajo supone un punto de inflexión en mi vida, tanto en el ámbito académico como en el personal. Han sido cuatro años magníficos y muy intensos, llenos de experiencias, cambios continuos y sobre todo, días y noches de duro trabajo. Es duro pararse un momento para echar la vista a atrás y reflexionar sobre quién soy hoy, y quién era el primer día que entré en esta escuela. Ahora, es momento de aprovechar todo lo aprendido en los estudios en esta escuela, y aventurarse en una nueva etapa, académica y profesional. Me gustaría dedicar unas líneas para agradecer a todos aquellos que han hecho posible que llegue hasta aquí, y de la satisfacción que ello supone. En primer lugar, gracias a mi familia, quienes confiaban en mi desde el primer momento, me apoyaron y me seguirán apoyando por siempre. Gracias a mis amigos, quienes creían en mi incondicionalmente, y me aportaron su inmejorable compañía en todas esas noches y días de descanso cuando de verdad lo necesitaba. Gracias a mis compañeros de la carrera, con quienes he compartido todos esos momentos de alegría y, también, sufrimiento que no habría sido posible de superar sin su apoyo. Por último, pero no menos importante, me gustaría agradecer en especial a mi tutor Antonio González, quién consiguió transmitirme el gran interés por la materia desde el primer momento. Este trabajo nunca hubiera sido posible sin su enorme implicación y conocimientos, Ricardo Martínez García Escuela Técnica Superior de Ingeniería Sevilla, 2017 ii Resumen El objetivo de este trabajo es el de analizar la dinámica del juguete comercial basado en una peonza que levita, el Levitron® , y determinar las condiciones en las que se puede dar la levitación estable. Primeramente, se introducirá a la temática con una breve reseña histórica y una descripción general del sistema. Se enunciará el Teorema de Earnshaw, y se analizará en detalle en que casos no es aplicable, siendo el Levitron® uno de ellos. Posteriormente se definirá el modelado del sistema de la peonza y la base imantada, realizando una serie de hipótesis y simplificaciones, para los posteriores desarrollos matemáticos. En el capítulo 3 se estudiará la dinámica del sistema, a través de las ecuaciones de la mecánica clásica vectorial hasta llegar al sistema de ecuaciones diferenciales que gobiernan el movimiento. A continuación, se linearizarán las ecuaciones en torno a un punto de equilibrio y se estudiará la región de estabilidad lineal del sistema y sus frecuencias naturales. Una vez estudiado el sistema líneal simplificado, se pasará a resolver numéricamente el sistema completo, variando los diferentes parámetros y condiciones iniciales. Se observará la influencia de los parámetros en las trayectorias y se definirán los límites de estabilidad no lineal de manera numérica. Por último, se dedicará un último capítulo para discutir los resultados y proponer unas posibles líneas de trabajo futuras. iii Abstract The aim of this project is to analyse the dynamics of the commercial spin-based levitating top, Levitron® , and to determine the conditions that allow the stable levitation. Firstly, the topic will be introduced with a brief historical overview and a general description of the system. Earnshaw’s theorem will be discussed in detail, in order to determine in which cases does not apply, being the Levitron® one those. Following, the mathematical model of the top and the magnetic base will be defined, making a series of hypotheses and symplifications in order to ease the following mathematical formulations. In chapter 3 the differential equations of motion for the six degrees of freedom model are obtained, using the formulation of the vectorial classical dynamics. These equations are linearized at a given metastable equilibrium point, in order to study the linear stability of the system and its natural frequencies. Once the linear system has been studied, the complete system is solved numerically, varying the parameters and the initial conditions that define it. Thus, the influence of this parameters in the trajectory is observed and the non-linear boundaries of stability are calculated numerically. Finally, a last chapter is dedicated to summarize the results obtained in the analysis, and to propose possible future additions to this theory. 1 INTRODUCCIÓN Y DESCRIPCIÓN DEL SISTEMA La levitación magnética es el fenómeno mediante el cual, un objeto permanece en suspensión sin otro apoyo que las fuerzas generadas por la acción de un campo magnético, oponiéndose a la fuerza gravitatoria u otro tipo de aceleración. La levitación ha sido objeto de fascinación e interés humano desde el descubrimiento de los materiales ferromagnéticos en la edad antigua. A través de la intuición, parece posible y fácil de realizar, que dos imanes enfrentados entre sí sean capaces permanecer levitando en equilibrio estático. Sin embargo la práctica demuestra que esto no es posible utilizando materiales paramagnéticos comunes, el imán siempre acaba rotando y saliendo despedido. La imposibilidad de una levitación estática y estable fue formulada por Samuel Earnshaw en 1842. El teorema de Earnshaw prohíbe la levitación estable de materiales magnéticos permanentes en presencia únicamente de imanes comunes o corrientes estáticas. Su explicación reside en que, para que exista equilibrio estático en un punto, todas las líneas de fuerza del campo deben apuntar a ese punto, de manera que, ante cualquier perturbación, el objeto sea dirigido al punto inicial. Esto quiere decir que la divergencia del campo de fuerzas en ese punto debe ser negativa. Pero en el caso de fuerzas derivadas de un potencial armónico que satisfaga la ecuación de Laplace, como es el caso de los campos magnéticos y electrostáticos, y según la ley de Gauss, se tiene: 𝛻·𝑭=𝛻·−𝛻𝑈 =−𝛻2𝑈= 0 (1-1) Este resultado implica que no puede haber un mínimo en la energía potencial de un sistema formado solo por fuerzas conservativas, derivadas de un potencial armónico, sino que este es, a lo sumo, un punto de silla. Es por tanto que un sistema formado solo por imanes y materiales paramagnéticos o cargas electrostáticas no puede alcanzar el equilibrio estático. El equilibrio puede producirse en alguna o varias direcciones, pero es inestable en, al menos, una dirección. Visualmente se puede representar como una bola que se encuentra en el punto representado en la Figura 1.1 , sobre un paraboloide hiperbólico. [1] Figura 1.1 Punto de silla en un paraboloide hiperbólico Introducción y Descripción del Sistema 2 Sin embargo, este teorema ha intentado ser rebatido por numerosos físicos varias veces a lo largo de la historia. Es por eso que han surgido excepciones en las que no el teorema no es aplicable y se puede dar, de hecho, la levitación magnética bajo ciertas condiciones. A lo largo de la historia han surgido casos bien conocidos de levitación magnética, como son: • El uso de materiales superconductores. • Campos electromágneticos variables con el tiempo, utilizado en los trenes comúnmente conocidos como Maglev. • El uso de materiales diamagnéticos, con inducción magnética opuesta al campo aplicado. De forma adicional a todos esos casos ya conocidos, en 1976, Roy Harrigan inventó el Levitron® , que posteriormente fue patentado (1983) y ampliamente comercializado durante la década de los 90 como un juguete educativo en los EE.UU. Este invento supuso el descubrimiento de la levitación estabilizada por efecto giroscópico, que se sumó a las excepciones de la no aplicabilidad del Teorema de Earnshaw. [2] El Levitron®. Descripción física del sistema Roy Harrigan descubrió la posibilidad de conseguir una levitación por períodos de tiempo prolongados haciendo uso únicamente del giro propio de la peonza. Criticado por muchos por incumplir, aparentemente, el teorema de Earnshaw, no logró tener la aceptación que esperaba, no vendiendo casi ninguna unidad desde sus inicios. Sin embargo, y por desgracia de Harrigan, no fue hasta 1995 cuando Bill Hones de la empresa de juguetes Fascinations descubrió la patente ya existente e introdujo unas pequeñas modificaciones para introducir su propia patente y poder comerciarlo bajo el nombre de Levitron®. La patente de Harrigan incluía una base circular que hacía que la peonza se desestabilizase al poco tiempo, y era muy difícil hacerla levitar. Hones se apoyaba en los argumentos de los físicos que criticaban al invento original, y cambió la base circular por una cuadrada. Este cambio carecía de diferencias físicas perceptibles, ya que los principios físicos que gobiernan ambos inventos son los mismos. Sin embargo, las leyes de protección industrial permitían incluir una nueva patente tan solo con esta ligera modificación. La patente modificada de Hones consiguió vender más de 700,000 copias en los Estados Unidos, siendo un juguete muy popular en la época de los 90. Figura 1.2 Roy Harrigan, inventor del Levitron®. 3 Estudio de la estabilidad del Levitron® frente a perturbaciones en la posición El Levitron® consiste en una base imantada apoyada sobre unas patas regulables para conseguir el campo lo mas vertical posible, y por otro lado una peonza imantada en sentido opuesto al campo de la base. A continuación se muestran unas imágenes tomadas del ejemplar disponible en la Escuela Técnica Superior de Ingeniería de Sevilla, por el profesor Antonio González. Este modelo se ha utilizado como referencia a lo largo de todo el desarrollo de este trabajo. Figura 1.3 Sistema completo del Levitron®. Figura 1.4 Vista lateral de la base Introducción y Descripción del Sistema 4 Figura 1.5 Peonza Las medidas del sistema empleado como modelo en este estudio son 70 mm para el diámetro externo del disco imantado, 25 mm para el diámetro interior y un espesor de 3.2 mm. La peonza tiene un diámetro de 29.2 mm, por lo que a una altura lo suficientemente alejada, puede considerarse como un dipolo magnético. La forma de proceder es la siguiente: la peonza se eleva hasta la altura de levitación, que es de unos 7.5 cm aproximadamente como se demostrará en capítulos posteriores. A continuación, se hace girar alreedor de su eje vertical apoyada en una superficie lisa lo más cerca posible del eje vertical de la base, de forma que ambos estén aproximadamente alineados entre sí. Una vez puesta en giro sobre la superficie plana, esta se retira suavemente hasta que la peonza queda levitando encima de la base. La velocidad de giro esta en torno a 6 rev/s, y se trata de uno de los parámetros críticos a controlar, junto a la masa del sistema y el ángulo de inclinación. Con el objetivo de modificar la masa de la peonza, el Levitron® trae consigo unos pequeños aros metálicos, que añadidos a la peonza aumentan levemente la masa. De esta manera, se puede conseguir el equilibrio perfecto para la levitación. La masa del sistema resulta un parámetro crítico en la determinación de posiciones de equilibrio, ya que debe existir un balance entre repulsión magnética y el peso de la peonza para que ambas fuerzas se contrarresten entre sí. Como se ha introducido anterioremente a través del Teorema de Earnshaw, para que exista estabilidad estática en un punto del sistema, la energía potencial debe presentar un punto estacionario en el que el gradiente vale cero. Para el caso del Levitron® considerado como un dipolo puntual 𝜇 alineado con el eje vertical se tiene: 𝑈=𝑚𝑔𝑧 − 𝜇 ·𝐵=𝑚𝑔𝑧 +𝜇𝐵0𝑧 (1-2) Como el campo magnético de la base imantada presenta un máximo en torno a una distancia de 5 cm de la base, es importante controlar la masa del dipolo para que exista un mínimo en la energía potencial del mismo. Una representación gráfica del campo magnético se muestra en la Figura 1.6. [5] 5 Estudio de la estabilidad del Levitron® frente a perturbaciones en la posición Figura 1.6. Campo magnético en el eje. Una masa demasiado grande del dipolo implicaría que el término asociado a la energía potencial gravitatoria se haga demasiado grande la energía potencial total no presente ningún mínimo. A pesar de que en capítulos posteriores se analizará con mayor profundidad los puntos de equilibrio estático del dipolo y las regiones estables, aquí se pretende dar una introducción cualitativa para una mayor compresión del problema que se está planteando. A lo largo del trabajo se trabajará utilizando variables adimensionales con el objetivo de obtener resultados más generales en las simulaciones numéricas. Aunque no es el objeto de esta introducción y en el Capítulo 3 se describirán con mayor detalle, aquí se presentan algunas de las unidades utilizadas para la adimensionalización, así como los parámetros que resultan. 𝑧∗=𝑧 𝑎 𝐵0 ∗=𝐵0 𝐵𝑢 𝑈∗=𝜇𝑎 𝐵𝑢 𝑈 (1-3) Donde 𝑎 designa el radio de la base imantada y 𝐵𝑢 un cierto valor de referencia para el campo magnético. También se introduce el parámetro 𝛽=𝜇𝐵𝑢/𝑚𝑔𝑎, con el que se trabajará a lo largo de todo el trabajo para designar el cociente 𝜇/𝑚, utilizado con motivo de la incertidumbre en las medidas experimentales de 𝜇 tomadas de [5]. Cuando el dipolo se encuentra perfectamente alineado con el eje del disco imantado, la energía potencial toma la forma (adimensional): 𝑈∗=𝑧∗+𝛽𝐵0 ∗𝑧 (1-4) Es condición necesaria que para que exista estabilidad en la levitación, exista un mínimo relativo en la dirección vertical en la energía potencial. Aunque esto no quiere decir que el dipolo se encuentre en equilibrio estable por si solo, ya que siempre existirá inestabilidad en el resto de direcciones, en concordancia con el Teorema de Earnshaw. Introducción y Descripción del Sistema 6 Figura 1.7. Energía potencial para distintos valores de 𝛽 . Como se puede obesrvar, el mínimo de la energía potencial en dirección vertical se hace mas “profundo” en tanto en cuanto la masa del dipolo va decreciendo (𝛽 aumenta). Esto indica que existe un mínimo valor de 𝛽 para el cual puede existir levitación estable (valor en el que hay un punto de silla), y a partir del cual existe un mínimo en la energía y por tanto hay zona estable. Sin embargo, la presencia de un mínimo en la energía potencial del dipolo alineado en el eje solo tiene en cuenta la existencia de una zona estable en el eje vertical, por lo que no se puede asegurar la estabilidad en el plano horizontal. Este concepto será aclarado y discutido con mayor profundidad en capítulos posteriores. El objetivo de este trabajo es el de analizar la dinámica del Levitron®, su modelo linealizado y no lineal. Para ello se asumirá que la peonza actúa como un disco, y que puede considerarse un dipolo magnético. Se resolverán numéricamente las ecuaciones en MATLAB® y se establecerán las condiciones en las que es posible una levitación estable. Primeramente, se definirán las condiciones de equilibrio estático en el caso de que el dipolo se encontrase hipotéticamente alineado con el eje vertical del campo de la base. Posteriormente, A partir de ahí, se desarrollará un modelo linealizado en torno al punto de equilibrio predefinido, en el que los movimientos sobre el eje vertical y los horizontales están desacoplados. Además, se estudiarán variaciones de los parámetros críticos que conforman al sistema, así como modificaciones en las condiciones iniciales de giro. Para todo este análisis, se considerará la mecánica clásica vectorial, y se obtendrá un sistema de ecuaciones diferenciales a partir de las ecuaciones vectoriales de cantidad de movimiento y momento cinético en un modelo de sólido rígido para el dipolo. 2 MODELADO DEL SISTEMA En este capítulo se describe el modelo de sólido rígido con seis grados de libertad de la peonza utilizado para deducir las ecuaciones de la dinámica, así como el modelado del campo magnético de la base y la peonza. 2.1. Modelado de la peonza La peonza imantada puede ser aproximada como un disco de las mismas dimensiones, ya que la parte metálica tiene esta forma y es donde se concentra la mayoría de la masa de la misma. Si se considera de esta manera, se tiene que el tensor de inercia medido en un sistema de referencia ligado al eje 𝑂𝑍 es: 𝐼= 𝐼𝑋0 0 0𝐼𝑋0 0 0 𝐼𝑍 =1 4𝑚𝑅2 100 010 002 (2-1) donde 𝑅 es el radio de la peonza. Se tiene así que el cociente de inercias es 𝐼𝑋/𝐼𝑍≈2. Tomaremos este valor en la resolución numérica posterior. El imán de la peonza, se puede aproximar como un dipolo puntual, con momento dipolar 𝜇 alineado con el eje de simetría de la peonza y apuntando la base inferior, como se puede apreciar en la Figura 2.1. 2.2. Campo magnético de la base El campo generado por la base magnética puede ser modelado como el producido por dos espiras concéntricas de radios 𝑎 y 𝑏 por las que circula una corriente de la misma intensidad 𝐼, en sentidos opuestos. Una ilustración de esta situación se muestra en la Figura 2.2. Figura 2.1 M. dipolar Modelado del sistema 8 Figura 2.2 Campo magnético por dos espiras concéntricas. Imagen tomada de [4]. 2.2.1. Campo magnético exacto La expresión del campo magnético exacto puede hallarse haciendo uso de integrales elípticas. En este trabajo solo se recogen las expresiones finales. La deducción matemática completa puede encontrarse en [10]. Usando coordenadas cilíndricas (𝜌,𝜑,𝑧): 𝜌=𝑥2+𝑦2 𝜑=arctg 𝑦 𝑥 (2-2) La expresión del campo producido por estas dos espiras en todo el espacio, en coordenadas cilíndricas, según [5] toma una forma: 𝐵(𝜌,𝑧) = 𝐵𝜌𝑢𝜌+𝐵𝑧𝑢𝑧 (2-3) 𝐵𝜌=𝜇0𝐼𝑧 4𝜋𝜌 1 𝑑𝑏 𝐷𝑏 2+𝑑𝑏 2 𝐷𝑏 2E𝑚𝑏−K𝑚𝑏−1 𝑑𝑎 𝐷𝑎 2+𝑑𝑎 2 𝐷𝑎 2E𝑚𝑎−K𝑚𝑎 𝐵𝑧= 𝜇0𝐼 2𝜋 1 𝑑𝑏 4𝑏2− 𝑑𝑏 2− 𝐷𝑏 2 2𝐷𝑏 2𝐸 𝑚𝑎+𝐾 𝑚𝑎−1 𝑑𝑎 4𝑎2− 𝑑𝑎 2− 𝐷𝑎 2 2𝐷𝑎 2𝐸 𝑚𝑎+𝐾 𝑚𝑎 (2-4) (2-5) Donde 𝑚𝑎=−4𝜌𝑎 𝜌 − 𝑎 2+𝑧2 𝑑𝑎=𝜌 − 𝑎 2+𝑧2 𝐷𝑎=𝜌+𝑎2+𝑧2 𝑚𝑏=−4𝜌𝑏 𝜌 − 𝑏 2+𝑧2 𝑑𝑎=𝜌 − 𝑏 2+𝑧2 𝐷𝑏=𝜌+𝑏2+𝑧2 (2-6) 9 Estudio de la estabilidad del Levitron® frente a perturbaciones en la posición Y 𝐸 𝑚 y 𝐾(𝑚) indican las integrales elípticas completas de primera y segunda especie respectivamente, tales que: E𝑚= 1 − 𝑚 sen2𝜃 d𝜃 𝜋 2 0 K 𝑚=1 1− 𝑚 sen2𝜃 d𝜃 𝜋 2 0 (2-7) Como se puede apreciar, estas expresiones resultan complicadas de manejar, y su uso supondría un gasto computacional y un aumento del error numérico demasiado grandes para la precisión requerida en este trabajo. Es por tanto que se ha decido utilizar una aproximación basada en un desarrollo en serie de potencias alrededor del campo magnético en el eje, cuya expresión analítica es conocida y manejable. 2.2.2. Campo magnético aproximado Como alternativa a la expresión anterior, se ha optado por utilizar una serie de potencias en torno al campo magnético del eje, cuya expresión análitica es más manejable. La expresión del campo magnético en el eje es sencilla y según [6], para el caso de dos espiras concénctricas con corrientes iguales y en sentidos opuestos toma la forma: 𝐵0=𝐴𝑏2 𝑏2+𝑧23 2 −𝑎2 𝑎2+𝑧23 2 𝑘1 (2-8) Donde 𝐴=𝜇0𝐼/2 es un parámetro medido experimentalmente, de [5] se tiene que 𝐴= 1.9608 · 103 mm·mT. Para el radio de la espira pequeña se tiene 𝑎=25 mm por las dimensiones del disco interior y el de la espira grande 𝑏=67.6864 mm. Una vez se tiene la expresión analítica del campo en el eje, se deben obtener expresiones aproximadas en serie de potencias para las componentes radial 𝐵𝜌, y vertical 𝐵𝑧. Partiendo de las ecuaciones de la magnetostática, quedan reducidas para este caso a 1 𝜌 𝜕 𝜕𝜌 𝜌𝐵𝜌+𝜕𝐵𝑧 𝜕𝑧 = 0 𝜕𝐵𝜌 𝜕𝑧 −𝜕𝐵𝜌 𝜕𝑧 = 0 (2-9) Suponiendo que nos encontramos cerca del eje OZ se tiene que 𝐵𝑧≈ 𝐵0. De la segunda ecuación de (2-9), se obtiene 𝜕 𝜕𝜌 𝜌𝐵𝜌=−𝜌 𝜕𝐵𝑧 𝜕𝑧 =−𝜌 d𝐵0 d𝑧 (2-10) Integrando esta expresión 𝜌𝐵𝜌=−𝜌2 2 d𝐵0 d𝑧 → 𝐵𝜌=−𝜌 2 d𝐵0 d𝑧 𝜌 ≪ 1 (2-11) Dinámica del sistema 16 𝑥 = 𝑣𝑥 𝑦 = 𝑣𝑦 𝑧 = 𝑣𝑧 𝑣𝑥 = 𝜇 𝑚−sen 𝜃𝜕𝐵𝑥 𝜕𝑥 +cos𝜃sen 𝜙𝜕𝐵𝑦 𝜕𝑥 −cos𝜃cos𝜙𝜕𝐵𝑧 𝜕𝑥 𝑣𝑦 = 𝜇 𝑚−sen 𝜃𝜕𝐵𝑥 𝜕𝑦 +cos𝜃sen 𝜙𝜕𝐵𝑦 𝜕𝑦 −cos𝜃cos𝜙𝜕𝐵𝑧 𝜕𝑦 𝑣𝑧 = 𝜇 𝑚−sen 𝜃𝜕𝐵𝑥 𝜕𝑧 +cos𝜃sen 𝜙𝜕𝐵𝑦 𝜕𝑧 −cos𝜃cos𝜙𝜕𝐵𝑧 𝜕𝑧 − 𝑔 (3-15) Si se introducen las expresiones del campo magnético deducidas en el capítulo anterior, (2-18) y (2- 19) y se derivan, el sistema queda: 𝑥 = 𝑣𝑥 𝑦 = 𝑣𝑦 𝑧 = 𝑣𝑧 𝑣𝑥 = −𝜇 𝑚sen 𝜃 − 1 2𝐵0 ′𝑧+3𝑥2+𝑦2 16 𝐵0 ′′′ 𝑧+𝜇 𝑚cos𝜃sen 𝜙𝑥𝑦 8𝐵0 ′′′ 𝑧 − −𝜇 𝑚cos𝜃cos𝜙 − 𝑥 2𝐵0 ′′ 𝑧+𝑥 𝑥2+𝑦2 16 𝐵0 ′′′ 𝑧 𝑣𝑦 = −𝜇 𝑚sen 𝜃𝑥𝑦 8𝐵0 ′′′ +𝜇 𝑚cos𝜃sen 𝜙 − 1 2𝐵0 ′𝑧+𝑥2+ 3𝑦2 16 𝐵0 ′′′ 𝑧 − −𝜇 𝑚cos𝜃cos𝜙 − 𝑦 2𝐵0 ′′ 𝑧+𝑦 𝑥2+𝑦2 16 𝐵0 ′′′ 𝑧 𝑣𝑧 = −𝜇 𝑚sen 𝜃 − 𝑥 2𝐵0 ′′ 𝑧+𝑥 𝑥2+𝑦2 16 𝐵0 ′′′′ 𝑧 !!!!! +𝜇 𝑚cos𝜃sen 𝜙 − 𝑦 2𝐵0 ′𝑧+𝑦 𝑥2+𝑦2 16 𝐵0 ′′′ 𝑧 !−𝜇 𝑚cos𝜃cos𝜙 𝐵0 ′𝑧 −𝑥2+𝑦2 4𝐵0 ′′′ 𝑧+𝑥2+𝑦2 2 64 𝐵0 5)𝑧 − 𝑔 (3-16) 17 Estudio de la estabilidad del Levitron® frente a perturbaciones en la posición 3.4. Movimiento de rotación Para deducir las ecuaciones correspondientes a la rotación de la peonza, se aplicará el teorema del momento cinético, utilizando el sistema “3” como base para las derivadas temporales. Por la simetría de revolución de la peonza, el tensor de inercia es igual en cualquier sistema de ejes coordenados que contenga al eje Z del disco y cuyo plano XY coincida con el del disco (ejes principales de inercia). 3.4.1. Momento cinético La variación temporal (respecto de un sistema de referencia inercial) del momento cinético es igual al momento dinámico sobre el mismo punto: 𝑑𝐿𝐺 𝑑𝑡 | 1=𝑀𝐺 (3-17) Donde el momento cinético se escribe, en ejes principales de inercia tal y como se están utilizando: 𝐿𝐺=𝐼·𝜔41 =𝐼𝑋𝜔𝑋𝚤3+𝐼𝑋𝜔𝑌𝚥3+𝐼𝑍𝜔𝑍𝑘3 (3-18) Y el momento dinámico: 𝑀𝐺 =𝜇×𝐵 (3-19) La velocidad de rotación del dipolo (sistema “4”) respecto del sistema fijo “1” tiene la forma (expresado en el sistema “3”): 𝜔41 =𝜔43 +𝜔32 +𝜔21 = 𝜓𝑘3+𝜃𝚥3+𝜙𝚤2=𝜙cos𝜃 𝚤3+𝜃𝚥3+𝜓+𝜙sen 𝜃 𝑘3 (3-20) De donde se deduce: 𝜙 = 𝜔𝑋 tg 𝜃 𝜃 = 𝜔𝑌 𝜓 = 𝜔𝑍− 𝜔𝑋tg 𝜃 (3-21) Para derivar respecto del sistema fijo utilizando los ejes móviles usamos la formula de Poisson 𝑑𝐿𝐺 𝑑𝑡 1=𝑑𝐿𝐺 𝑑𝑡 3+𝜔31×𝐿𝐺 (3-22) La velocidad de rotación del sistema intermedio “3” se puede expresar en términos de la velocidad de rotación del sólido tal que: 𝜔31 =𝜔32 +𝜔21 =𝜃𝚥3+𝜙𝚤2=𝜔𝑋𝚤3+𝜔𝑌𝚥3+𝜔𝑋tg 𝜃 𝑘3 (3-23) La derivada del momento cinético relativa al sistema intermedio “3” es: 𝑑𝐿𝐺 𝑑𝑡 | 3= 𝐼𝑋𝜔𝑋𝚤3+𝐼𝑋𝜔𝑌𝚥3+𝐼𝑍𝜔𝑍𝑘3 (3-24) Dinámica del sistema 18 Por otro lado: 𝜔31×𝐿𝐺= (𝐼𝑍𝜔𝑍𝜔𝑌− 𝐼𝑋𝜔𝑌𝜔𝑋tg 𝜃) 𝚤3+ (𝐼𝑋𝜔𝑋 2tg 𝜃 − 𝐼𝑍𝜔𝑍𝜔𝑋) 𝚥3 (3-25) Agrupando términos: 𝑑𝐿 𝑑𝑡 "1" =𝐼𝑋𝜔𝑋+𝐼𝑍𝜔𝑍𝜔𝑌− 𝐼𝑋𝜔𝑌𝜔𝑋tg 𝜃 𝚤3 + [𝐼𝑋𝜔𝑌 +𝐼𝑋𝜔𝑋 2tg 𝜃 − 𝐼𝑍𝜔𝑍𝜔𝑋𝚥3+𝐼𝑍𝜔𝑍𝑘3 (3-26) Escribiendo (3-9) por componentes: 𝑀𝑋 𝐺 = 𝜇𝐵𝑌 𝑀𝑌 𝐺 = −𝜇𝐵𝑋 𝑀𝑍 𝐺 = 0 (3-27) Donde las componentes del campo con subíndice en mayúsculas indican el sistema intermedio “3”, que son: 𝐵𝑋=𝐵𝑥cos𝜃+𝐵𝑦sen 𝜃sen 𝜙 − 𝐵𝑧sen 𝜃cos 𝜙 (3-28) 𝐵𝑌=𝐵𝑦cos𝜙+𝐵𝑧sen 𝜙 (3-29) Igualando las expresiones por componente y despejando las derivadas temporales, queda: 𝜔𝑋 = 𝜇 𝐵𝑦cos 𝜙+𝐵𝑧sen 𝜃+𝜔𝑋𝜔𝑌tg 𝜃 − 𝐼𝑍 𝐼𝑋 𝜔𝑍𝜔𝑌tg 𝜃 𝜔𝑌 = −𝜇 𝐵𝑥cos 𝜃+𝐵𝑦sen 𝜙sen 𝜃 − 𝐵𝑧sen 𝜃cos 𝜙 − 𝜔𝑋 2tg 𝜃+𝐼𝑍 𝐼𝑋 𝜔𝑋𝜔𝑍 𝜔𝑍 = 0 (3-30) De aquí se deduce que 𝜔𝑍 es una constante del movimiento. En los desarrollos posteriores se supondrá que 𝜔𝑍=𝛺, conocida, que equivale a decir que la velocidad de rotación propia del dipolo está dada por la velocidad inicial que se le transmite y se mantiene constante, ya que no se han tenido en cuenta efectos disipativos. Esto implica, además, que la coordenada 𝜓 es una coordenada cíclica, cuya ecuación diferencial viene dada por: 𝜓=𝜔𝑋− 𝛺 tg 𝜃 (3-31) Como se ve examinando el sistema completo, la ecuación (3-31) está desacoplada del resto del problema, por lo que se puede omitir en el sistema de ecuaciones. Una vez resuelto numéricamente el sistema formado por el resto de ecuaciones, se puede obtener la ley horaria 𝜓(𝑡) sin mas que integrar la ecuación (3-31). En el análisis realizado en este trabajo esta ley carece de interés para la finalidad que se persigue, que es estudiar de manera general la estabilidad del Levitron®, por lo que no se resolverá la ecuación. 19 Estudio de la estabilidad del Levitron® frente a perturbaciones en la posición Como se hizo con el movimiento de traslación, la rotación del dipolo también se puede escribir como un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden. Combinando (3-21) y (3-30) e introduciendo la constante del movimiento 𝛺 en las ecuaciones: 𝜙 = 𝜔𝑋 tg 𝜃 𝜃 = 𝜔𝑌 𝜓 = 𝛺 − 𝜔𝑋tg 𝜃 𝜔𝑋 = 𝜇 𝐵𝑦cos 𝜙+𝐵𝑧sen 𝜃+𝜔𝑋𝜔𝑌tg 𝜃 − 𝐼𝑍 𝐼𝑋 𝛺𝜔𝑌tg 𝜃 𝜔𝑌 = −𝜇 𝐵𝑥cos 𝜃+𝐵𝑦sen 𝜙sen 𝜃 − 𝐵𝑧sen 𝜃cos𝜙 − 𝜔𝑋 2tg 𝜃+𝐼𝑍 𝐼𝑋 𝛺𝜔𝑋 𝜔𝑍 = 0 (3-32) 3.5. Resumen de ecuaciones Al combinar (3-32) y (3-18) el problema queda como definido a través de un sistema de 12 ecuaciones diferenciales de primer orden, de las cuales una de ellas tiene solución trivial y proporciona una constante del movimiento, 𝛺 , y otra queda desacoplada del resto y sin interés particular en el problema que se está estudiando. A continuación se muestra un sumario del sistema de ecuaciones resultante. Dinámica del sistema 20 𝑥 = 𝑣𝑥 𝑦 = 𝑣𝑦 𝑧 = 𝑣𝑧 𝑣𝑥 = −𝜇 𝑚sen 𝜃 − 1 2𝐵0 ′𝑧+3𝑥2+𝑦2 16 𝐵0 ′′′ 𝑧+𝜇 𝑚cos𝜃sen 𝜙𝑥𝑦 8𝐵0 ′′′ 𝑧 − −𝜇 𝑚cos𝜃cos𝜙 − 𝑥 2𝐵0 ′′ 𝑧+𝑥 𝑥2+𝑦2 16 𝐵0 ′′′ 𝑧 𝑣𝑦 = −𝜇 𝑚sen 𝜃𝑥𝑦 8𝐵0 ′′′ +𝜇 𝑚cos𝜃sen 𝜙 − 1 2𝐵0 ′𝑧+𝑥2+ 3𝑦2 16 𝐵0 ′′′ 𝑧 − −𝜇 𝑚cos𝜃cos𝜙 − 𝑦 2𝐵0 ′′ 𝑧+𝑦 𝑥2+𝑦2 16 𝐵0 ′′′ 𝑧 𝑣𝑧 = −𝜇 𝑚sen 𝜃 − 𝑥 2𝐵0 ′′ 𝑧+𝑥 𝑥2+𝑦2 16 𝐵0 ′′′′ 𝑧 + 𝜇 𝑚cos𝜃sen 𝜙 − 𝑦 2𝐵0 ′𝑧+𝑦 𝑥2+𝑦2 16 𝐵0 ′′′ 𝑧 −𝜇 𝑚cos𝜃cos𝜙 𝐵0 ′𝑧 −𝑥2+𝑦2 4𝐵0 ′′′ 𝑧+𝑥2+𝑦2 2 64 𝐵0 5)𝑧 − 𝑔 𝜙 = 𝜔𝑋 tg 𝜃 𝜃 = 𝜔𝑌 𝜓 = 𝛺 − 𝜔𝑋tg 𝜃 𝜔𝑋=𝜇 𝐵𝑦cos 𝜙+𝐵𝑧sen 𝜃+𝜔𝑋𝜔𝑌tg 𝜃 − 𝐼𝑍 𝐼𝑋 𝛺𝜔𝑌tg 𝜃 𝜔𝑌=−𝜇 𝐵𝑥cos 𝜃+𝐵𝑦sen 𝜙sen 𝜃 − 𝐵𝑧sen 𝜃cos 𝜙 − 𝜔𝑋 2tg 𝜃+𝐼𝑍 𝐼𝑋 𝛺𝜔𝑋 𝜔𝑍= 0 (3-33) 3.6. Ecuaciones adimensionales 3.6.1. Variables adimensionales Con el objetivo de escalar las ecuaciones para su posterior resolución numérica, se definirá una escala temporal y de longitudinal para adimensionalizar las ecuaciones. Las variables adimensionales utilizadas se definen a continuación. 𝑥∗=𝑥 𝑎 𝑦∗=𝑦 𝑎 𝑧∗=𝑧 𝑎 (3-34) 𝑡∗=𝑡 𝑡0 (3-35) 𝑣𝑥 ∗=𝑣𝑥 𝑡0 𝑎 𝑣𝑦 ∗=𝑣𝑦 𝑡0 𝑎 𝑣𝑧 ∗=𝑣𝑧 𝑡0 𝑎 (3-36) 21 Estudio de la estabilidad del Levitron® frente a perturbaciones en la posición 𝜙∗=𝜙 𝑡0 𝜃∗=𝜃 𝑡0 𝜓∗=𝜓 𝑡0 (3-37) 𝜔𝑋 ∗=𝜔𝑋 𝑡0 𝜔𝑌 ∗=𝜔𝑌 𝑡0 𝜔𝑍 ∗=𝜔𝑍 𝑡0 (3-38) 𝜔𝑋 ∗=𝜔𝑋 𝑡0 2 𝜔𝑌 ∗=𝜔𝑌 𝑡0 2 𝜔𝑍 ∗=𝜔𝑍 𝑡0 2 (3-39) 𝐵∗=𝐵 𝐵𝑢 (3-40) Donde se han utilizado las siguientes escalas para las medidas del campo magnético y el tiempo: 𝑡0=𝑎 𝑔 𝐵𝑢=𝐴 𝑎 (3-41) Además, se utilizarán los siguientes parámetros adimensionales que caracterizan el problema: 𝛽=𝜇𝐵𝑢 𝑚𝑔𝑎 𝛿=𝑚𝑎2 𝐼𝑋 𝜆=𝐼𝑍 𝐼𝑋 (3-42) Al no conocer los valores exactos de las inercias de la peonza, se utilizará la aproximación del disco presentada en el capítulo 2. Así, 𝛿 ≈ 16 y 𝜆 ≈ 2 en todas las simulaciones numéricas que vendrán a continuación. Dinámica del sistema 22 3.6.2. Ecuaciones adimensionales 𝑥∗ = 𝑣𝑥 ∗ 𝑦∗ = 𝑣𝑦 ∗ 𝑧∗ = 𝑣𝑧 ∗ 𝑣∗𝑥 = −𝛽 sen 𝜃 − 1 2𝐵∗0 ′𝑧+3𝑥∗2+𝑦∗2 16 𝐵∗0 ′′′ 𝑧+𝛽cos𝜃sen 𝜙𝑥∗𝑦∗ 8𝐵∗0 ′′′ 𝑧 − −𝛽 cos 𝜃cos𝜙 − 𝑥∗ 2𝐵∗0 ′′ 𝑧+𝑥∗𝑥∗2+𝑦∗2 16 𝐵∗0 ′′′ 𝑧 𝑣∗𝑦 = −𝛽 sen 𝜃𝑥∗𝑦∗ 8𝐵∗0 ′′′ +𝛽cos𝜃sen 𝜙 − 1 2𝐵∗0 ′𝑧+𝑥∗2+ 3𝑦∗2 16 𝐵∗0 ′′′ 𝑧 − −𝛽 cos 𝜃cos𝜙 − 𝑦∗ 2𝐵∗0 ′′ 𝑧+𝑦∗𝑥∗2+𝑦∗2 16 𝐵∗0 ′′′ 𝑧 𝑣∗𝑧 = −𝛽 sen 𝜃 − 𝑥∗ 2𝐵∗0 ′′ 𝑧+𝑥∗𝑥∗2+𝑦∗2 16 𝐵∗0 ′′′′ 𝑧 +𝛽cos 𝜃sen 𝜙 − 𝑦∗ 2𝐵∗0 ′𝑧+𝑦∗𝑥∗2+𝑦∗2 16 𝐵∗0 ′′′ 𝑧 −𝛽 cos 𝜃cos𝜙 𝐵∗0 ′𝑧 – 𝑥∗2+𝑦∗2 4𝐵∗0 ′′′ 𝑧+𝑥∗2+𝑦∗22 64 𝐵∗ 0 5)𝑧 − 1 𝜙∗ = 𝜔𝑋 ∗ tg 𝜃 𝜃∗ = 𝜔𝑌 ∗ 𝜓∗ = 𝛺∗− 𝜔𝑋 ∗tg 𝜃 𝜔𝑋 ∗ = 𝛽𝛿 𝐵𝑦cos𝜙+𝐵𝑧sen 𝜃+𝜔𝑋 ∗𝜔𝑌 ∗tg 𝜃 − 𝜆𝛺∗𝜔 ∗tg 𝜃 𝜔𝑌 ∗ = −𝛽𝛿 𝐵𝑥 ∗cos𝜃+𝐵𝑦 ∗sen 𝜙sen 𝜃 − 𝐵𝑧 ∗sen 𝜃cos𝜙 − 𝜔∗𝑋 2tg 𝜃+𝜆𝛺∗𝜔𝑋 ∗ 𝜔𝑍 ∗ = 𝛺∗ (3-43) En lo que sigue a continuación se utilizarán únicamente las variables adimensionales. Por comodidad en la escritura, se omitirá la notación específica, utilizándose la misma que para las variables dimensionales. La nomenclatura utilizada para las unidades es: UL para referirse a las unidades longitudinales y UT para unidades temporales. 23 Estudio de la estabilidad del Levitron® frente a perturbaciones en la posición 4 SISTEMA LINEALIZADO En este capitulo se tratará el estudio del sistema linealizado en torno a una posición de equilibrio estático. Se linealizará el sistema de ecuaciones diferenciales deducido en (3-43) en torno a una posición de equilibrio vertical. Una vez deducida la región de equilibrio vertical, se estudiará la región de equilibrio horizontal, en función de los parámetros 𝛽 y 𝛺. Posteriormente, se representarán gráficamente las frecuencias naturales que conforman el movimiento oscilatorio del sistema lineal y se representarán graficamente las soluciones para cada una de las mismas, para diferentes valores de los parámetros del sistema. 4.1. Región de equilibrio vertical Supongamos que el dipolo se encuentra perfectamente alineado con el eje 𝑂𝑍 de la base magnetizada. En este caso la energía potencial se escribe, en su forma adimensional: 𝑈 =𝑧 +𝛽𝐵0 𝑧 (4-1) En este caso existe existe un punto en el eje vertical 𝑧𝑚, tal que la energía potencial del dipolo presenta un mínimo en la dirección vertical. El valor de 𝛽 para que exista un mínimo en el punto 𝑧𝑚viene dado por: 𝑑𝑈 𝑑𝑧 = 0 → 𝛽 =−1 𝐵0 ′𝑧𝑚 (4-2) En la Figura 4.1 se puede ver una representación gráfica de cómo varía la posición del punto de equilibrio vertical en función del valor del parámetro 𝛽. Sistema linealizado 32 Figura 4.4 Mínimo en la energía potencial. 𝑧𝑚= 3.1 UL. Se puede observar que el “ancho” del mínimo es muy pequeño, siendo solo Δ𝑧 ≈ 0.51 UL y Δ𝑈 ≈ 0.004, por lo que una mínima perturbación, tal que una pequeña ráfaga de aire, haría que el dipolo saliese de la zona estable y la peonza volcase. 4.4. Soluciones del sistema lineal. Una vez se ha estudiado en detalle la región de estabilidad lineal, se trata ahora de estudiar las soluciones que conforman el sistema de 8 ecuaciones. Se estudiará el movimiento en el plano horizontal, y la proyección del dipolo con el eje 𝑂𝑍, dada por 𝜂=𝑘1× 𝑘3×𝑘1=𝑘3− 𝑘1·𝑘3𝑘1=sen 𝜃 𝚤1−cos𝜃sen 𝜙 𝚥1≈ 𝜃𝚤1− 𝜙𝚥1 (4-16) Y la proyección del dipolo sobre el campo. 𝜉=𝐵 × 𝑘3×𝐵 𝐵0 2=𝐵0 2𝑘3− 𝐵 ·𝑘3·𝐵≅𝐵0 2𝑘3− 𝐵0𝐵= = 𝐵2𝜃+𝐵𝐾 𝑥 2𝚤1+−𝐵2𝜙+𝐵𝐾 𝚥1 (4-17) 33 Estudio de la estabilidad del Levitron® frente a perturbaciones en la posición 𝑥=𝑣𝑥 𝑦=𝑣𝑦 𝑣𝑥=−1 2𝜃+𝑆 2𝑥 𝑣𝑦=1 2𝜙+𝑆 2𝑦 𝜙=𝜔𝑋 𝜃=𝜔𝑌 𝜔𝑋=−𝜆𝛺𝜔𝑌+𝛿 2𝑦+𝛿𝐵𝜙 𝜔𝑌=𝜆𝛺𝜔𝑋−𝛿 2𝑥+𝛿𝐵𝜃 (4-18) 4.4.1. Expresión analítica de las soluciones Al tratarse de un sistema lineal, las soluciones tienen la forma general dada en (4-12), y dado que nos encontramos dentro de la región de estabilidad, los autovalores asociados a la matriz son complejos con parte real nula. Por tanto, las soluciones se pueden escribir como la suma de una combinación lineal de funciones trigonométricas para cada uno de las cuatro parejas de autovectores complejos conjugados, 𝜆𝑖= ±𝑗𝜔𝑖. Partiendo de una solución de la forma 𝑥=𝑥0cos𝜔𝑡 𝑦=𝑦0sen 𝜔𝑡 (4-19) Y derivando 𝑣𝑥=−𝜔𝑥0sen 𝜔𝑡 𝑦=𝜔𝑦0cos𝜔𝑡 (4-20) Derivando de nuevo y despejando 𝜃= 2𝑤2+𝑆 𝑥0cos 𝜔𝑡 𝜙=−2𝑤2+𝑆 𝑦0sen 𝜔𝑡 (4-21) Se tiene que el vector de proyección sobre el eje 𝑂𝑍 𝜂=𝜃𝚤1− 𝜙𝚥1 es proporcional al movimiento del dipolo en el plano XY. Esto quiere decir que el dipolo orbita circularmente alrededor del centro de la base, y el movimiento de precesión está contenido en la superficie de un cono. Derivando otra vez y sustituyendo en las dos últimas ecuaciones del sistema 𝜔2+𝛿𝐵 2𝜔2+𝑆 − 𝛿 2𝑦0=𝜆Ω𝜔 2𝜔2+𝑆 𝑥0 𝜔2+𝛿𝐵 2𝜔2+𝑆 − 𝛿 2𝑥0=𝜆Ω𝜔 2𝜔2+𝑆 𝑦0 (4-22) Dividiendo una ecuación por la otra se llega a 𝑥= ±𝑦0 (4-23) Sistema linealizado 34 Por lo que se puede concluir que las órbitas son circulares de radio 𝑟, velocidad 𝑣=𝑣𝑥 2+𝑣𝑦 2 y velocidad angular de precesión 𝜔𝑃=𝜔𝑋 2+𝜔𝑌 2 constantes en todo el movimiento. El factor que hace que el giro del dipolo sea contrario o a favor de la rotación propia es 𝛥=𝜔2+𝛿𝐵 2𝜔2+𝑆 − 𝛿 2 (4-24) Si tomamos 𝑥0= +𝑦0 en (4-22), llegamos a la ecuación característica de los autovalores del sistema (frecuencias naturales): 𝜔2+𝛿𝐵 2𝜔2+𝑆 − 𝛿 2=𝜆Ω𝜔 2𝜔2+𝑆 (4-25) De esta ecuación de cuarto grado podemos calcular los cuatro autovalores de la matriz asoaciada. Para completar la base de las soluciones, a cada solución de la forma dada en (4-19), le corresponde una como 𝑥=−𝑥0sen 𝜔𝑡 𝑦=𝑥0cos 𝜔𝑡 (4-26) Por lo que la solución del sistema para todas las variables se puede escribir como: 𝑥=𝑎𝑖cos 𝜔𝑖𝑡 − 𝑏𝑖sen 𝜔𝑖𝑡 4 𝑖=1 (4-27) 4.4.2. Caracterización de los modos normales Una vez se ha deducido la forma de las soluciones, se pasará a estudiar numéricamente los autovalores y su dependencia con los parámetros del sistema, 𝑧𝑚 y 𝛺. Sin embargo, antes de proceder con el estudio numérico es necesario introducir la forma en la que se van a caracterizar cada una de las soluciones. La matriz asociada tiene 4 parejas de autovalores complejos conjugados con parte real nula asociados, de la forma: 𝜆1,2 = ±𝑗𝜔1 𝜆3,4 = ±𝑗𝜔2 𝜆5,6 = ±𝑗𝜔3 𝜆7,8 = ±𝑗𝜔4 (4-28) A cada frecuencia natural le corresponde una pareja de autovectores complejos conjugados, que corresponde con las condiciones iniciales del problema para excitar cada modo normal. Aunque los autovectores son complejos aquí solo consideraremos indistintamente la parte real o la imaginaria de los mismos, considerando que el dipolo se encuentra inicialmente en el eje 𝑂𝑋 y con un cierto ángulo de inclinación inicial 𝜃0. Sería equivalente decir que el dipolo está en el eje 𝑂𝑌 inclinado un ángulo −𝜙0 debido a la simetría circular del problema. Como los autovectores tienen un grado de libertad, se tomará como parámetro el angulo de inclinación inicial 𝜃0. Para caracterizar cada modo y compararlos entre sí, se estudiará el caso en el que el dipolo esté inclinado con 𝜃0=1o. De esta forma se podrán comparar el radio de las órbitas de cada uno de los modos normales. Por tanto, las condiciones iniciales correspondientes a cada modo son de la forma: 35 Estudio de la estabilidad del Levitron® frente a perturbaciones en la posición 𝑥0= 𝑥0 0 0 𝑣𝑦0 0 1 𝜔𝑋0 0 (4-29) Donde sabemos que 𝑣𝑦0=𝑥0𝜔. 4.4.3. Variación de las frecuencias naturales frente a los parámetros Resolviendo numéricamente mediante MATLAB® la ecuación característica dada en (4-25) se obtienen las cuatro frecuencias naturales del sistema. A continuación se muestran dichas frecuencias frente a la velocidad de giro propio, para un valor de 𝑧𝑚= 3.1 UL. Figura 4.5 Frecuencias naturales frente a 𝛺 . En la Figura 4.5 se pueden distinguir las cuatro frecuencias naturales del sistema. Estas frecuencias se corresponden con los cuatro modos normales, ordenados de mayor a menor frecuencia natural: • Modo 1, con frecuencia 𝜔1, en azul. • Modo 2, con frecuencia 𝜔2, en rojo. • Modo 3, con frecuencia 𝜔3, en amarillo. • Modo 4, con frecuencia 𝜔4, en morado. Sistema linealizado 36 Se ve que existe un modo mucho más rápido del resto, con frecuencias del orden de 30-40 (UT)-1 que decrecen a medida que lo hace la velocidad de giro propio, mientras que el segundo modo (𝜔2) tiene el comportamiento contrario, hasta llegar al punto en la frontera de estabilidad en el que se acoplan para velocidades de rotación propia muy pequeñas. A continuación se muestra un detalle de los modos mas lentos, 𝜔3 y 𝜔4. Figura 4.6 Detalle modos 3 y 4. Las frecuencias de estos dos últimos modos son del mismo orden, aunque tienen comportamientos diferentes frente a 𝛺. La frecuencia 𝜔3 crece con 𝛺 hasta que se acopla con 𝜔2 en la frontera de la región estable. La dependencia con 𝑧𝑚 varía dependiendo de cada frecuencia natural. Las siguientes figuras muestran como varían cada una de las frecuencias con respecto a ambos parámetros. Figura 4.7 Variación de 𝜔1 y 𝜔2 frente a 𝛺 para distintos 𝑧𝑚. 37 Estudio de la estabilidad del Levitron® frente a perturbaciones en la posición 4.4.4. Variación de 𝒙𝟎 y 𝝎𝑿 frente a los parámetros En las siguientes figuras se muestra el radio de las órbitas circulares para los distintos modos. Figura 4.9 Variación de 𝑥0 frente a 𝛺 para distintos 𝑧𝑚. Modos 1 y 2. Figura 4.10 Variación de 𝑥0 frente a 𝛺 para distintos 𝑧𝑚. Modos 3 y 4. Figura 4.8 Variación de 𝜔3 y 𝜔4 frente a 𝛺 para distintos 𝑧𝑚. Sistema linealizado 38 Para el modo de precesión rápida (modo 1), el dipolo se encuentra muy cercano al eje OZ, disminuyendo esta distancia a medida que aumenta la velocidad de rotación propia. Se puede apreciar que la dependencia con 𝛽 (o lo que es equivalente 𝑧𝑚) es casi nula. La tendencia de los modos 2 y 4 es la contraria, al incrementar 𝛺 crece el radio de las órbitas. También, se puede apreciar que los modos más lentos, 3 y 4, están mas alejados del eje OX y la dependencia con 𝑧𝑚 es mas pronunciada. Como tendencia general, podemos decir que el radio de la órbita crece de manera inversa a la frecuencia, siendo mayor para los modos mas lentos. En las siguientes figuras se muestra la variación de la velocidad de precesión inicial 𝜔𝑋0. Figura 4.11 Variación de 𝜔𝑋0 frente a 𝛺 para distintos 𝑧𝑚. Modos 1 y 2 Figura 4.12 Variación de 𝜔𝑋0 frente a 𝛺 para distintos 𝑧𝑚. Modos 3 y 4 Exceptuando el modo mas lento, todos presentan 𝜔𝑋0< 0, lo que indica precesión en la misma dirección que la rotación propia del dipolo. Al igual que con el alejamiento horizontal, la dependencia con 𝑧𝑚 solo es apreciable para los dos modos lentos. El cuarto modo, con frecuencia natural mas lenta, presenta giro retrográdo para todos los valores de 𝑧𝑚 dentro de la región de estabilidad, lo que quiere decir que gira alrededor del eje 𝑂𝑍 en sentido contrario al giro propio. Por tanto, para este modo el parámetro 𝛥< 0 y las condiciones iniciales 𝑣𝑦0< 0 y 𝜔𝑋0> 0. 39 Estudio de la estabilidad del Levitron® frente a perturbaciones en la posición 4.5. Resumen de conceptos Se ha visto en el desarrollo de este capitulo, que si suponemos que el dipolo permanece muy cercano a la posición de equilibrio vertical, se puede linealizar el sistema en torno a la misma. A continuación se expone un resumen de los conceptos y conclusiones extraidas de este análisis. • La condición de estabilidad vertical no es única para garantizar la levitación estable de la peonza, si no que hace falta una condición más en cuanto a la curvatura de la energía potencial en la dirección radial (4-14). Esto se traduce a que el sistema linealizado sea puramente oscilatorio, con autovalores complejos puros. • Existe una región muy estrecha de estabilidad lineal en la que se cumplen las condiciones para posibilitar la levitación estable, mostrada en las Figuras 4-2 y 4-3. • En sistema linealizado se desacopla el movimiento oscilatorio vertical y el horizontal, estando este último definido por un sistema lineal de 8 ecuaciones. • Las soluciones del sistema lineal son orbitas circulares resultantes de combinaciones lineales de cuatro modos naturales de vibración. Los modos naturales de vibración presentan las siguientes características, ordenados por la magnitud de su frecuencia natural asociada (autovalores). o Modo 1. Modo con frecuencia de giro alrededor de OZ muy rápida y con ángulo de inclinación y separación horizontal pequeños. El movimiento de precesión es en el mismo sentido que el de giro propio (𝛥> 0). o Modo 2. Frecuencia mucho más lenta y radio de las orbitas moderado. Movimiento de precesión en el mismo sentido (𝛥> 0). o Modo 3. Mas lento y separado del eje OZ. Presenta también precesión en el mismo sentido que rotación propia (𝛥> 0). o Modo 4. Es el modo más lento y alejado del eje vertical. La precesión se realiza en sentido contrario a la rotación propia (𝛥< 0). 4.6. Simulación numérica A continuación se muestran los resultados de la simulación númerica para los valores de 𝑧𝑚= 3.1 UL y 𝛺=18 UT-1 tomando como ángulo de inclinación 𝜃0= 1o. Para estos datos, 𝛽=30.9079. En la siguiente tabla se recogen, para cada uno de los modos naturales: la frecuencia natural 𝜔, la velocidad de la órbita en el plano 𝑣, el radio de la órbita 𝑟 y la velocidad de precesión 𝜔𝑃. Tabla 4-1. Resultados de la simulación numérica para 𝑧𝑚= 3.1 UL y 𝛺=18 UT-1 Modo 𝜔 [UT-1] 𝑣 [UL/UT] 𝑟 [UL] 𝜔𝑃 [UT-1] 1 34.921028 0.000249 0.000007 -0.609487 2 0.962225 0.008329 0.008656 -0.016794 3 0.232261 0.014885 0.064086 -0.004054 4 0.115514 -0.010548 0.091311 0.002016 Sistema linealizado 40 En la siguiente figura se muestra una comparación de los radios de las órbitas para los distintos modos. Como se puede apreciar, las diferencias entre los modos más lentos y los más rapidos es bastante pronunciada. Figura 4.13. Radios de las órbitas para 𝑧𝑚= 3.1 UL y 𝛺=18 UT-1 5 SISTEMA COMPLETO En este capítulo se resolverán las ecuaciones del sistema de ecuaciones diferenciales completo (3-43) y se estudiará el comportamiento del sistema para diferentes condiciones iniciales. Primeramente, se tomarán las correspondientes a los modos naturales, aumentando progresivamente el ángulo de inclinación 𝜃0 de la peonza. De esta forma se observará como a medida que este aumenta, se produce un acoplamiento con el resto de frecuencias naturales. Es neceario aclarar que en sistema completo el movimiento vertical y el horizontal no están desacoplados, por lo que la peonza oscila verticalmente al mismo tiempo que orbita en torno al eje OZ. Posteriormente, se definirá la frontera de la región de estabilidad no lineal, definida mediante el máximo ángulo de inclinación 𝜃0 𝑚𝑎𝑥 que puede tener el dipolo para conseguir una levitación estable, sin volcar. Por último, se estudiarán los casos en los que las condiciones iniciales no correspondan a un modo en concreto, si no que puedan expresarse como combinación lineal de los mismos. Algunos ejemplos de estas situaciones se dan cuando el dipolo esta alineado con OZ y 𝜃0= 0, o cuando se encuentra separado una cierta distancia 𝑥0 y paralelo a OZ. 5.1. Exploración de los modos en el Sistema completo En el sistema linealizado, la forma de las soluciones para cada uno de los modos permanecen invariables con respecto a la amplitud de las condiciones iniciales del problema (en otras palabras, la inclinación 𝜃0). Esto quiere decir que las órbitas permanecerán siempre circulares y el movimiento será puramente horizontal independimiente de cuán inclinada se encuentre la peonza. Como caso extremo, se podría planear que el dipolo tuviese una inclinación de 𝜃0= 180º y aún así se diese el movimiento, lo que carece de sentido físico. Al utilizar las ecuaciones en su forma completa, aparece un acoplamiento con el resto de modos a medida que aumentamos la inclinación del dipolo y las órbitas dejan de ser puramente circulares, al mismo tiempo que aparece una oscilación vertical. En este apartado se resolverán las ecuaciones en forma completa, utilizando la aproximación del campo magnético dada en (2-18) y (2-19). Para la expresión del campo en el eje, se utilizará el desarrollo de Taylor dado en (2-23), (2-24) y (2-25). En este análisis se obviarán ciertas variables del sistema de ecuaciones por carecer de interés. Principalmente, se estudiará la evolución temporal de la posición de la peonza, tanto en el plano 𝑂𝑋𝑌 como en el eje vertical 𝑂𝑍, así como la inclinación del eje del dipolo con respecto al eje 𝑂𝑍 (mediante la proyección del vector 𝑘3 en el plano) y el ángulo formado con respecto al campo magnético 𝐵. Las expresiones de estos parámetros son las dadas en (5-1) y (5-2) respectivamente. 𝜉=sen 𝜃 𝚤1−cos 𝜃sen 𝜙 𝚥1 (5-1) 𝜂=arccos 𝐵𝑥sen 𝜃 − 𝐵𝑦cos𝜃sen 𝜙+𝐵𝑧cos 𝜃cos 𝜙 𝐵 (5-2) Sistema completo 48 5.1.2 Modo 2 Se muestrán a continuación los resultados correspondientes al segundo modo, cuya frecuencia natural es 𝜔2= 0.9622 UT-1. Cabe destacar, que para este modo natural, las oscilaciones verticales se realizan por encima de la posición equilibrio, al contrario que en el primer modo que se realizaban por debajo de esta. 5.1.2.1 Soluciones para 𝜽𝟎=𝟐º Figura 5.12 Movimiento en el plano XY. Modo 2. 𝜃0=2º Figura 5.13 Movimiento de precesión. Modo 2. 𝜃0=2º 49 Estudio de la estabilidad del Levitron® frente a perturbaciones en la posición Figura 5.14 Movimiento vertical. Modo 2. 𝜃0=2º Figura 5.15 Ángulo que forma el dipolo con el campo. Modo 2. 𝜃0=2º Como se observa en las figuras anteriores, para una inclinación relativamente pequeña de 2º, el movimiento es idéntico al del sistema linealizado, produciéndose solo acoplamiento con el movimiento vertical. Para este modo, el dipolo mantiene un ángulo aproximadamente constante con respecto al campo magnético local, pero en este caso no es igual a 𝜃0, si no algo inferior. Sistema completo 50 5.1.2.2 Soluciones para 𝜽𝟎=𝟖º Para ángulos de inclinación mas elevados, las órbitas se mantienen aproximadamente circulares tanto para en el plano como para la precesión. Figura 5.16 Movimiento en el plano XY. Modo 2. 𝜃0=8º Figura 5.17 Movimiento de precesión. Modo 2. 𝜃0=8º 51 Estudio de la estabilidad del Levitron® frente a perturbaciones en la posición Figura 5.18 Movimiento tridimensional. Modo 2. 𝜃0=8º Como se observa en la Figura 5.18, las oscilaciones verticales se hacen mayores a medida que aumentamos la amplitud de las condiciones iniciales. El movimiento queda definido alrededor de la superficie de un cilindro imaginario. En cuanto al ángulo que forma el dipolo con el campo, se mantiene constante e aproximadamente igual a 𝜂= 7.2º. 5.1.3 Modo 3 Se muestrán a continuación los resultados correspondientes al tercer modo, cuya frecuencia natural es 𝜔3= 0.2322 UT-1. Para este modo, el acoplamiento de frecuencias es más acentuado, percibiéndose las diferencias en las trayectorias con respecto al sistema lineal para amplitudes mas bajas. Sistema completo 52 5.1.3.1 Soluciones para 𝜽𝟎=𝟐º Figura 5.19 Movimiento en el plano XY. Modo 3. 𝜃0=2º . Figura 5.20 Movimiento vertical. Modo 3. 𝜃0=2º . Se puede observar que las oscilaciones verticales no proceden de una frecuencia únicamente, si no que existe cierto acoplamiento con otras frecuencias. 53 Estudio de la estabilidad del Levitron® frente a perturbaciones en la posición Figura 5.21 Movimiento de precesión. Modo 3. 𝜃0=2º . Figura 5.22 Ángulo que forma el dipolo con el campo. Modo 3. 𝜃0=2º . De la Figura 5.21 deducimos que existe un acoplamiento con otras frecuencias para las coordenadas 𝜃 y 𝜙, por lo que las órbitas de la proyección del eje 𝑍3 dejan de ser circulares. En cuanto al ángulo que forma el dipolo con el campo, se mantiene constante durante el movimiento e igual a 𝜂= 0.43 º. Sistema completo 54 5.1.3.2 Soluciones para 𝜽𝟎=𝟖º A medida que aumentamos la amplitud de las condiones iniciales, el acoplamiento de frecuencias es mas acentuado, y las órbitas dejan de tener forma circular. Para 𝜃=8º la trayectoria del movimiento en el plano es la siguiente. Figura 5.23 Movimiento en el plano XY. Modo 3. 𝜃0=8º . Figura 5.24 Movimiento de precesión. Modo 3. 𝜃0=8º . En cuanto al movimiento vertical, se puede apreciar con claridad que deja de tener forma sinusoidal simple. 55 Estudio de la estabilidad del Levitron® frente a perturbaciones en la posición Figura 5.25 Movimiento vertical. Modo 3. 𝜃0=8º . El ángulo formado con el campo deja de ser constante y presenta oscilaciones complejas. Figura 5.26 Ángulo que forma el dipolo con el campo. Modo 3. 𝜃0=8º . Sistema completo 56 5.1.3.3 Soluciones para 𝜽𝟎=𝟏𝟐º Para ángulos tan grandes como 𝜃0=12º, las trayectorias se vuelven mas caóticas y desordenadas, así como la oscilación vertical se hace mayor. Figura 5.27 Movimiento en el plano XY. Modo 3. 𝜃0=12º . Figura 5.28 Movimiento de precesión. Modo 3. 𝜃0=12º . 57 Estudio de la estabilidad del Levitron® frente a perturbaciones en la posición Figura 5.29 Ángulo que forma el dipolo con el campo. Modo 3. 𝜃0=12º . El ángulo que forma el dipolo con el campo presenta oscilaciones complejas entre 2º y 5º de inclinación. A continuación se muestra una representación en 3D del movimiento, a modo ilustrativo. Figura 5.30 Movimiento tridimensional. Modo 3. 𝜃0=12º . Sistema completo 64 Figura 5.42 Frontera de estabilidad no lineal. 𝛺=𝑐𝑡𝑒. Modo 2. En cuanto al tercer modo, el ángulo de estabilidad límite se hace más pequeño a medida que aumenta la velocidad de giro propio 𝛺. Al ser un modo más caótico, con mayor acoplamiento de frecuencias que los dos anteriores, las simulaciones arrojan valores más espaciados, por lo que el ajuste polinómico presenta mayor error. Al variar 𝑧𝑚 se observa una tendencia creciente, y luego decreciente. Para el ajuste de esta curva se ha utilizado un polinomio de cuarto grado. Nótese que a velocidades de giro pequeñas, el sistema levita de forma estable a ángulos 𝜃0 del orden de 30º. Figura 5.43 Frontera de estabilidad no lineal. 𝑧𝑚=𝑐𝑡𝑒. Modo 3. 65 Estudio de la estabilidad del Levitron® frente a perturbaciones en la posición Figura 5.44 Frontera de estabilidad no lineal. 𝛺=𝑐𝑡𝑒. Modo 3. El cuarto modo también presenta una fuerte dependencia del ángulo 𝜃0 𝑚𝑎𝑥 con la velocidad de giro propio, siendo decreciente con al aumentar esta. Al variar 𝑧𝑚, el ángulo límite crece, con una tendencia casi lineal, como se aprecia en la Figura 5.46. Figura 5.45 Frontera de estabilidad no lineal. 𝑧𝑚=𝑐𝑡𝑒. Modo 4. Sistema completo 66 Figura 5.46 Frontera de estabilidad no lineal. 𝛺=𝑐𝑡𝑒. Modo 4. 5.3 Combinación de modos Hasta ahora todas las simulaciones numéricas llevadas a cabo corresponden al caso en el que las condiciones iniciales del problema corresponden a los modos normales del sistema, es decir, a los autovalores de la matriz asociada al sistema lineal. Los movimientos hasta aquí mostrados corresponden a los que realiza el sistema al ser excitado en una de sus frecuencias naturales, con las condiciones iniciales determinadas. Sin embargo, estos casos son díficiles de aplicar en la realidad, puesto que haría falta muchísima precisión para lograr los valores exactos de velocidad inicial, posición y velocidad angular. A continuación se estudian los casos de las condiciones iniciales más simples, que no corresponden a un autovector en concreto, si no que pueden escribirse como combinación lineal de varios. Se estudiarán los casos en los que el dipolo se encuentra totalmente alineado con el eje 𝑂𝑍 y a separado una cierta distancia 𝑥0 del mismo, y en los que se encuentra en el centro del disco inclinado cierto ángulo 𝜃0. Estos casos son más realistas de llevar a cabo en un experimento si se quisiera. Mediante simulaciones numéricas, se estudiará la forma de las trayectorias, así como los límites de estabilidad. En todas las simulaciones mostradas a continuación se han utilizado los valores de los parámetros 𝑧𝑚= 3.1 UL y 𝛺=18 UT-1. 5.3.1 Comportamiento al variar 𝜽𝟎 Se han realizado simulaciones con 𝜃0 variando entre 0º y 8º, que coincide con el ángulo límite para el cual el dipolo se desestabiliza pasado un intervalo de tiempo. En este caso, las órbitas en el plano XY dejan de ser circulares por completo. A continuación se muestra la proyección de la trayectoria de la peonza sobre el plano XY para 𝜃0= 0.5º y 𝜃0=6º. 67 Estudio de la estabilidad del Levitron® frente a perturbaciones en la posición Figura 5.47 Movimiento en el plano XY. 𝜃0= 0.5º y 𝜃0=6º. A medida que crece el ángulo la amplitud de las oscilaciones en el plano aumenta. Nótese la diferencia entre la simulación con 𝜃0= 0.5º a la izquierda y la mostrada a la derecha con 𝜃0=6º, donde la distancia al eje es del orden de diez veces mayor. A partir de 𝜃0=6º se ha comprobado que el dipolo empieza a ser inestable pasando un cierto periodo de tiempo, el cual es menor a medida que se aumenta la inclinación. El movimiento de precesión se muestra en la siguiente imagen. Al igual que con el movimiento en el plano, el movimiento de precesión se vuelve más amplio a medida que lo hace el ángulo de inclinación inicial. Es decir, el dipolo rota con mayor inclinación. Esto da lugar a que llegado a cierto punto, el ángulo 𝜃>𝜃0 se haga demasiado grande y el dipolo vuelque. Por ejemplo, con un 𝜃0=6º, en el movimiento la peonza llega a alcanzar ángulos del orden de 𝜃 ≈ 12º. En cuanto a las oscilaciones verticales, estas aumentan con el ángulo de inclinación. También, al mismo tiempo la forma de las mismas cambia, debido a que unas frecuencias se hacen dominantes frente a otras, como se puede observar en la Figura 5.49. Figura 5.48 Movimiento de precesión. 𝜃0= 0.5 º y 𝜃0=3º . Sistema completo 68 A partir de ángulos superiores a 𝜃0=8º el dipolo se desestabiliza y cae. En la Figura 5.50 se puede observar la proyección en el plano XZ del movimiento en esta situación. Figura 5.50 Movimiento en el plano XZ. 𝜃0=8º . Adicionalmente, resulta interesante comprobar como varía el tiempo que tarda en caer la peonza con el ángulo 𝜃0. En la siguiente gráfica se muestran los resultados de varias simulaciones. Figura 5.49 Movimiento vertical. 𝜃0= 3 º y 𝜃0= 6º. 69 Estudio de la estabilidad del Levitron® frente a perturbaciones en la posición Figura 5.51 Tiempo de simulación 𝑡𝑠 [UT] frente a 𝜃0 [º]. Se puede comprobar que el tiempo de levitación se reduce drásticamente al superar 𝜃0>8º, a partir del cual la disminución es menos acusada. 5.3.2 Comportamiento al variar 𝒙𝟎 A continuación se estudiará el caso en el que el dipolo se encuentre perfectamente alineado con el eje vertical del disco, es decir 𝜃0= 0, y separado una cierta distancia inicial 𝑥0. Se mostrarán las trayectorias del movimiento, tanto en el plano horizontal como en el plano vertical, así como el estudio de los ángulos con respecto al campo y al eje OZ, como se viene trabajando hasta ahora. También se estudiarán los límites de estabilidad en términos de la distancia máxima 𝑥0 𝑚𝑎𝑥 en función de la velocidad de giro propio de la peonza 𝛺. La forma de las órbitas en el plano horizontal es similar al aumentar la lejanía 𝑥0, haciéndose cada vez más grandes. Como se ve en las figuras, la distancia máxima al eje OZ que recorre la peonza es superior a 𝑥0, llegando a ser de 0.8 UL para 𝑥0= 0.5 UL, lo que equivale, en unidades físicas a 20 mm, una distancia considerablemente grande. Figura 5.52 Movimiento en el plano XY. 𝑥0= 0.1 UL y 𝑥0= 0.3 UL Sistema completo 70 Al igual que con el caso estudiado anteriormente, el movimiento de precesión se va acentuando a lo largo de la simulación, lo que quiere decir que el dipolo levita cada vez con más inclinación. En las siguientes figuras se muestran las órbitas para 𝑥0= 0.3 UL y 𝑥0= 0.5 UL. También resulta interesante ver la evolución de la coordenada 𝜃(𝑡) a lo largo del movimiento. A pesar de que el movimiento con inclinación nula, la tendencia natural del dipolo a lo largo de la levitación es de inclinarse y precesar sobre si mismo. Cuanto mayor es el radio de la órbita, mayor es el ángulo de inclinación. En la siguente figura se puede ver la evolución temporal de 𝜃(𝑡) en dos simulaciones diferentes, para 𝑥0= 0.3 UL y 𝑥0= 0.5 UL. Obsérvese que para 𝑥0= 0.5 UL el dipolo alcanza inclinaciones de hasta 20º en el movimiento. Figura 5.53 Movimiento de precesión. 𝑥0= 0.3 UL (izq.) y 𝑥0= 0.5 UL (dcha.). Figura 5.54 𝜃(𝑡) . 𝑥0= 0.3 UL y 𝑥0= 0.5 UL. 71 Estudio de la estabilidad del Levitron® frente a perturbaciones en la posición A continuación se muetra la evolución de la coordenada 𝑧(𝑡) para 𝑥0= 0.3 UL y 𝑥0= 0.5 UL. Para concluir, es necesario remarcar que todas estas simulaciones se han hecho para una velocidad de giro propio 𝛺=𝑐𝑡𝑒. Sin embargo, este parámetro es un factor crítico a la hora de estabilizar la peonza. A continuación, la Figura 5.56 se muestran los resultados de varias simulaciones para diferentes valores de 𝛺, en los que se ha calculado el máximo valor del alejamiento horizontar que puede alcanzar la peonza para mantener una levitación estable. Figura 5.56 Distancia máxima de levitación estable en función de 𝛺 . Se puede apreciar que existe un máximo en torno a 𝛺=18 UT-1 en las distancias máximas de levitación estable. A partir de ese punto, la velocidad se hace demasiado grande, por lo que a distancias más alejadas, esta tiende a sacar el dipolo de la zona de levitación debido a que el eje del dipolo es demasiado rígido para efectuar los movimientos de precesión. Por otra parte, a velocidades de giro más pequeñas la distancia máxima disminuye. Figura 5.55 Movimiento vertical. 𝑥0= 0.3 UL y 𝑥0= 0.5 UL. 6 DISCUSIÓN DE LOS RESULTADOS En este capítulo se expondrán las conclusiones extraídas del análisis realizado en este trabajo, así como una discusión sobre el alcance y la validez de los resultados obtenidos en el mismo. A parte, se marcarán unas líneas futuras de trabajo para su posible estudio. 6.1 Alcance y validez de los resultados En todo el análisis realizado en este trabajo se han despreciado los efectos de fricción con el aire. A priori la hipótesis es razonable si se supone que los experimentos se realizan en un lugar cerrado y sin viento. Sin embargo, la fricción disiparía la energía del dipolo lentamente al cabo del tiempo, por lo que su velocidad de giro se reduciría y acabaría volcando al cabo del tiempo. Otra simplificación que se ha hecho, ha sido la de considerar el imán de la peonza como un dipolo puntual con momento dipolar 𝜇. A esto se le suma el añadido de que los experimentos realizados en [4] carecen de la precisión suficiente, debido a la dificultad para realizar medidas, por lo que se ha trabajado con el cociente 𝜇/𝑚, en forma del parámetro 𝛽. Esto le añade una cierta incertidumbre a la validez de los resultados numéricos extraidos, puesto que pueden no concordar de forma exacta con el sistema modelo. 6.2 Conclusiones Tras este estudio sobre la estabilidad del Levitron®, podemos extraer las siguientes conclusiones: • La levitación estable solo es posible en una franja de altura muy pequeña, en unidades físicas esta se encuentra entre los 7.38 cm y 7.85 cm de altura sobre el plano medio de la base imantada, aproximadamente. • La masa de la peonza juega un papel crucial para la levitación estable. A una masa determinada, le corresponde una altura de equilibrio (en términos de energía potencial) determinada. En torno a esta posición de equilibrio metaestable, se produce la levitación en forma de oscilaciones en las tres dimensiones. • La velocidad de rotación propia 𝛺, también juega un papel fundamental. Se ha determinado en este análisis, que solo es posible una levitación estable para velocidades angulares comprendidas entre 1.9 r.p.s y 7.6 r.p.s, aproximadamente. • A lo largo del trabajo, se han estudiado las trayectorias correspondientes a la excitación del sistema mediante sus frecuencias naturales, por medio de los modos normales. Sin embargo lograr este movimiento en un experimento sería una cuestión casi imposible, debido a la precisión requerida para lograr las condiciones iniciales correspondientes. En la realidad, el movimiento de levitación es una combinación de los cuatro modos normales. • Por otra parte, también se puede concluir que la posición inicial de la peonza es determinante. Principalmente, y como se ha analizado, la distancia horizontal al eje del disco y la inclinación con respecto al mismo. En el desarrollo del trabajo se ha visto que la