Instruction théorique et applications de la régle logarithmique ou a calculs

OPUSCUL9 SOBRE PROBABILIDADES, CON APLICACION À ALGUNOS JUEGOS DE SUERTE, | GOMPUESTO CON LICENCIA : MADRID IMPRENTA DE D. EUSEBIO ALVAREZ. ENERO 183% — Se hallard en Madrid en la librer la de Munaiz y Millana, sarréra de San Gerénimo, aum. 8, ! t è : hic S 1e du 4 ay M # 1 s HG à tr “be Ho 46 Et ax à s végt ve 3 L: Ÿ: : ; à ‘ $ # t L. ES LE ÉRR Ha té 55 move Le, * £ ru x, Ë = ni x # É 40 mg l OPUÜUSCULO SOBRE PROBABILIDADES, | 00006000000000000005006000060056000 COCO) CON APLICACION A ALGUNOS JUEGOS DE SUERTE. Acepciones de las voces GERTEZA Y PROBABILIDAD. tr. Âtes de pasar à -esponer la doctrina del cäleulo de las probabilidades, debe fijarse el sentido dela voz probabilidaa, Pues quedando vaga 6 inexacta su significacion, daria esto mo= vo 4 que cada uno formase ideas diferentes: sobre: el objeto de este cälculo, y sobre los principios sélidos en que se funda. nos podrian creer que por medio de este ramo delas mate Mäâticas se determina con toda exactitud ‘el-6rden y el modo de suceder los acontecimientos, lo que equivaldria 4 preveer lo fturo; mientras que otros, que por probable no entendiesen Sino lo que es muy inseguro y aun incierto, mirarian este asunto où desprecio, tendrian por atrevido su objeto, y por quiméfcas las importantes verdades que de él se deducen. Unos y tros se engañarian; pero mucho mas los ültimos que los priMeros. Aunque las matemäticas no determinen con exactitud el den y el modo de los eventos que han de suceder, porque sienesto un asunto que no pende de la direccion conocida de lingan agente, es imposible preveer el 6rden de los sucesos, terminan sin embargo con toda la evidencia de sus demosaciones el mayÿor 6 menor nümero de los que sucederän, y la layor 6 menor confianza con que debemos esperar: la apariMon del acontecimiento que forme el objeto de nuestras inveslgaciones. | 2. Comparando las voces cierto y probable, conocerémos la 'erdadera significacion de estas palabras, y el limite que las -se= %a, Si subimos al origen de nuestras ideas , hallaremos’que. Li l [4] todas las debemos 4 las sensaciones 6 impresiones que hacen en nuestros sentidos los objecos existentes, y 4 la facultad 6 capa- | cidad de estos mismos séntidos para recibir las impresiones de los cuerpos. Sino tuviéramos sencidos no sabriamos de la existencia de los .objetos esteriores, ÿ si estos no tuviesen la projedad de hacernos impresiones anälogas À las que nuestros sentidos pueden recibir, ignorariamos tambien que los habia. La conciencia, pues, de una sensaclon actual 6 presente, y la per- ; cepcion clara y evidente de la conveniencia 6 discrepancia de dos ideas, es lo que constituye el mas alto grado de certidumbre. Cuando al despertar por la mañana vemos al sol, afirimnamos con la mayor seguridad posible, con certeza absoluta, que es de dia. | 8. Si comparamos este grado de certeza con la que tenemos sobre la! repeticion de aquellos hechos, que hemos chservado siempre sin que les conozcamos escepcion alguna, principiaremos ya 4 notar diferentes grados de certidumbre, La constancia de las leyes de la naturaleza funda tambien de un modotbastante seguro los motivos de nuestra creencia 6 de nues= tras opiniones, pero no de un modo tan absoluto. Al ver que todos los dias sale el sol, sin que esto haya dejado de suceder ni una sola vez en tantos millares de años, tenemos bastante confianza de que esto mismo se repetirä los dias siguientes;, por manera que afirmaremos con mucha seouridad que el sol volver 4:salir de 24 en 24 horas; pero ningun hombre podrä de” | cir: Estoy seguro de que mañana saldrä el sol, y esto lo conozco con. la misma certeza con que lo veo hoy sobre el horizonte.” ;Quién le asegura la repeticion de un hecho, cuya$ leyes no conoce bien? Acaso la ley que hasta el presente ha hecho girar 4 la tierra sobre su eje, y dar una vuelta entefi en:24 horas, cesarä 6 se modificarä con el tiempo; 6 quizä el sol;en virtud de.otras:leyes y de otras revoluciones de 105 sistemas plauetarios, mudarä de lugar en lo sucesivo, y vaÿ 4 colocarse 4 tanta distancia de nuestro planeta, que 6 le per” damos erteramente de vista, 6 no le veamos sino como un estrella, Asi que, el grado de certidumbre que adquirimos po | medio de la repeticion constante y jamas interrutmpida de Jos mispos -hechos, estä bien cerca de la certeza absoluta , per” no: gs-igual à ella, ; | [5 4. Siguiendo la Le) de la certidumbre, y pasando 4 hechos que hayan ofrecido alguna escepcion, la veremos debilitarse mas y mas, à medida que estas escepciones hayan sido mas numerosas. Un observador, dice Lacroix, que haya notado constantemente que siempre que Îlueve baja el mercurio en el barometro, que entonces sopla el aire de tal punto, y que las nubes tienen estas 6 aquellas circunstancias, mirarä como pré. xima la Iluvia, cuando vea la coincidencia de todos sus indicios, sin que por esto pueda asegurar que Iloverä infaliblemente; porque se acordarä al mismo tiempo que algunas veces han sido engañosas estas apariencias, que el mercurio ha bajado en el barometro, y que el tiempo ha estado nublado, sin que haya Ilovido; que vientos 6 corrientes superiores que no se babian previsto, 6 cualesquiera otras modificaciones del aire, han disipado las nubes mas amenazadoras: pero él tendré una confianza tanto mayor en que Îloverä, cuanto mayor sea el nûnero de hechos conformes 4 su conjetura, que el de los hechos contrarios, 5. Aunque el hecho de Ilover sea dudoso para el que observa sus indicios, no debemos creer sin embargo que sea casual en si mismo; porque este hecho natural tiene uua dependencia inmediata del estado anterior y presente de la atmésfera, y de las consecuencias necesarias de este estado. Una inteligencia superior que conociese todas las condiciones necesarias, inferiria infaliblemente lo que debia suceder. Se puede, pues, asegurar, que propiamente hablando, no hay ningun acontecimiento casual; pero hay su equivalente, esto es, la ignorancia que tenemnos de las verdaderas causas de los acontecumientos. El hombre limitado en sus conocimientos, no pudiendo conocer todas las circuntancias necesarias para que un acoutecimiento suceda, 6 no pudiendo hacer una enumeracion exacta de ellas, lo que hace es tener cuenta con todos los indicios, y si de este examen resultan mas juicios afirmativos que negativos, entonces siente una inclinacion 4 creer que el hecho sucederä. Para comprender esto mejor, supongamos que en una urna haya 15 cédulas blancas y 1 negra, y que una persona con los ojos vendados saca una de las 16 cédulas contenidas en la urna. Al ver que el nämero de las cédulas blancas es macho mayor que el: de las negras, juzgariamos mucho mas posible la salida a nÉpan cts tie in de una de aquellas que de estas, © formariamos 15 juicios para la salida de una cédula blanca, y 1 solo para la salida de una negra; y no podriamos menos de esperar con mucha mas confianza que sacase una de aquellas, que el que saliese la negra. Si en vez de 16 cédulas suponemos un millon de cédulas blancas y una sola negra, seria muchisimo mayor nuestra confianza en que saldria una blanca, y no podria menos de causarnos la mas viva sorpresa el que saliese la negra 4 la primera vez. 6. De la degradacion, pues, de la certidumbre, y de la ignorancia de las verdaderas causas de los acontecimientos, nace la probabulidad. Lo absolutamente cierto es aquello que conocemos con toda evidenéia, como una sensacion actual, 6 la conveniencia 6 discrepancia de dos ideas, v. g. estas: la nieve es blanca; el circulo no es ua cuadrado. Lo cierto simplenente es aquello à que no le conocemos ningun hecho contrario, y que por consiguiente tenemos una seguridad en que siempre ser lo mismo: como que el sol sale todos los dias, y que una piedra arrojada à aire bajarä al suelo. Probable es lo que se acerca mas 4 lo cierto que 4 lo incierto, aquello que tiene mas razones para suceder que para no suceder, 6 en favor de lo que podemos formar mas jaicios afirmativos que negativos, lo que por consiguiente engaña menos veces, 6 se verilica en la mayor parte de los casos, ra Debemos notar que hay diferentes grados de probabilidad, pero en todos ellos ha de ser mayor el nûmero de los jui= cios afirmativos que el de los negativos. En el egemplo propuesto la probabilidad de sacar uua cédula blanca, cuando no hay mas de 16 en la urna, es mucho menor que cuando hay un millon; pero en ambos casos hay probabilidad, porque los juicios afirmativos son mas que los nepativos. El nûmero, pues, de juicios afirmativos en contraposicion de los negativos es el que determina el grado de confianza 6 de probabilidad; si se aumenta su nümero, se aumenta tambien la probabilidad: pero se debe advertir, que no se debe considerar este nümerocomo absolato, sino como relativo; porque si se aumenta el nümero de cédulas de un color en la misma proporcion que las del otro, permanecerä siempre la misina proporcion entre los juicios afirmativos y negativos, Si se dobla, por egemplo, el nämero de cédulas blancas y el de las negras, habrä el mismo grado de confianza que äntes para esperar la salida de una blanca; porque [7] Jos juicios afirmativos serän 30, y 2 los negativos, lo que es equivalente 4 15 afirmativos y 1 negativo, por ser iguales las dos razones 30:2 y 15:1. De aqui podemos inferir que la medida del grado de coufianza debe ser la razon del nmero de juicios afirmativos al nümero total de juicios tanto afirmativos como negativos, En el egemplo propuesto esta medida es la ra zon que hay entre el nümero de cédulas blancas y el nûmero total de ellas, esto es: +£. Esta medida, pues, espresada nu méricamente, es lo que se [lama probubilidad matematica , que se forma dividiendo el numero de lances favorables al acontecimiento por el numero total de lances, 8.. Segun lo que se acaba de ver, la probabilidad matemä= tica estä siempre espresada por una fraccion propiamente dicha, Ô menor que la unidad, 4 la que se acercarä tanto mas cuanto mayor sea el nümero de lances favorables al acontecimiento que se considera, con relacion al nümero total de lances; pero nunca podrä .igualarse con la unidad sino en el caso de que no exista ningun lance contrario al acontecimiento, en cuyo caso deberia suceder infaliblemente: Si las 16 cédulas de la urna fuesen todas blancas, infaliblemente saldria una blanca, y entonces estaria espresada la probabilidad de sacar una cédula blança por la fraccion + que es igual à x; por manera que /a unidad es el simbolo de lo absolutamente cierto. Es, pues, evidente que cuanto mas se acerca Ja fraccion de la probabilidad 4 la uni dad, tanto mas se acerca la probabilidad 4 la certeza; y que si dicha fraccion Ilega 4 ser igual 4 x , entonces deja de ser el he cho probable, y pasa 4 ser absolutamente cierto. Despues vere= mos con cuanta exactitud responde el cälculo 4 estas proposiciones, 9. Tambien debe notarse que cada acontécimiento incierto da origen 4 dos probabilidades contrarias, la de que el acontecimiento sucederä, y la de que no sucederä, Y como infalible. mente ha de suceder lo uno 6 lo otro, siendo la unidad el sim bolo de la certeza, la suma de estas dos probabilidudes contra: ras debe ser igual à la unidad, En el egemplo de la urna Ja probabilidad de sacar una cédula blanca es +, y la de sacar Una negra, 6 la de no sacar una blanca, es —; y la suma de S+ 2 226— 7 a , 16 16 16 ç Como los lances favorables 6 contrarios 4 un acontecimiento [S pueden ser conocidos 6 desconocidos, se divide este tratado en dos partes: la primera trata de aquellas cuestiones en que el nümero de lances de cada especie, 6 la relacion de estos nûmeros, es asignable y puede deducirse priori; y la segunda se ocupa de la teoria que somete al cälculo de las probabilidades, aquellas cuestiones en que el nümero total de lances y sus relaciones con el de los de cada especie, no se puede determinar. Aqui se resolverän solamente algunas cuestiones pertenecientes 4 la primera, dando algunas férmulas generales para resolver otras semejantes, Determinacion à priori de la probabilidad matemdtica. 10. Se ha dicho (7) que la medida de la probabilidad matemätica es la fraccion que resulta de dividir el nümero de lances favorables por el nümero total de lances. Ahora añadiremos que es necesario para la determinacion de la probabilidad que todos los lances sean igualmente posibles, porque sino lo son; varia entonces la probabilidad respectiva de cada lance. Supongamos en confirmacion de esto, que se tiran dos dados de 4 seis caras cada uno, señaladas con los nümeros desde el r hasta el 6; si Iamamos A al un dado y B al otro, 4 poco que reflexionemos, conoceremos que cada una de las caras del dado A puede presentarse con cada una de las del dado B; de suerte que podrän suceder los 36 lances que mauifiesta la tabla siguiente: b © © D © be QUE © D OS © D ' --Considerande-separa PR ana de, la tabla, no puede menos de notarse .que todos tienen un mis: | ho grado de probäbilidad, porque todos son igualmente posi- ! les; asièque, sacar r con el dado A y /4,con el dado, B,es: tan probable como sacar G: con uno y otro dado. La probabilidad deccadæ uno de estos lances es 57, porque entre todos. éllos no haÿ mas de uno de .cada. especie, © pohay nisguno : igual 4 otro. Perd 8i considerarhos la salida de los puntos sin, distincion de érden”6 dé los dadosique los'producen ; no es ya. una mistna [la probabilidad de sacar dos puntos. r y 4,:y la de . sacar 6 y 6 b las senas; porque' la: probabilidad de estas es 6 porno: habèr mas de un lance entre Jos 36 que las produzcan; . Mientrasique para sacar ir :y 4& © 4 y 1, hay dos lances entre los 36: de là tabla; y por:consipuiente:la probabilidad de saarr y 4 sinodistincion de érdénes.—. : : | ; | Siten véz defconsiderar, los puntos separadamente ; no con- : sideramos sino el nümero que, suman :estos puntos tomados co: lectivamente, ‘hallaremos diversas probabilidades para cada nûmero. Si se exigiése vi & sacar el nümero 2 con una tirada de | î dos dadés, como entre-los 36 lances que pueden suceder,i loouño delellos’da 2, queès el langer y 1 ,:n0 puedessalir d näméro 2 Îsiao de-una sola mankra, ÿ su probabilidad serâ 3: Si como tampoco hay |mas deun lance para sacar el puata 12; | perd el nüuiero 7, por égemplo} puede sobtenerse con los seis,: lânces diférentés 1 y 63 6 y1; 2 y 55 5 ÿ 25.8 ÿ-45,4;ÿ 8: | Le este:caso serä Ja probabilidad: de sacar el .nüméro 7. con : Uha sola tirada de los! dos dados =: Del mismo modo sa ! caremos que la probabilidad deisacar 3 puntos es 5=+; la : ke -sacar 4,2%; la de sacar 5, = Re. E& 17.2 Siendo tres los dadosen vez de dos, se aumenta conns de conte de los /lances ;0porque, seoun la:doc- ! UE Ve PP trina de las! combiuacionesy cadà uno de los puntos del nuevo. : do, que llamatenios| C3 puede! combinarse;con cada uno de? los 36 Jances queëpueden rsugeder| con «dos dhdos ;; asi que ebnt-!à mMero de lances ne con: tres! dados es 36x6=216, coma | A2 Le é | L: n? . , se ve en la tahlasigui nBiè-pl EDE + ES Def E Ô = | RAR si. 2 Ai + Be OC AT MD ut lriperdE Va 1 "4 = À … e 1 . : : 3 . , | - > Mpe : ç fi ü 9.9 264 Lo Q dia 20 md . & | COLA 4 Eure ee me US TN AP ES Ge LPS + ER RARE ET hies PRE TRIT RE RIRES BR à SNL SET AN TUE LOS PTE ar ve. LED DRGRRX CR LT MER Ohièéet ts TÉ . ul ( p: [1 6] 3 L L neraque‘el cälculo responde perfectamente con. sus resultados 4 la evidencia de los raciocinios. “Anse ie ns cu 6% Muchas-veces el'acontecimiento que se pide, se compone dél concurso de:otros muchos, que tiene cada uno su proba bilidad propia, de las que se debe deducir la del primero: Si se tratase , por ejemplo, de sacar de una baraja de 40 naipes una figura de palo deterininado, y se dividiése la baraja en cuatro paquetes’con las ro cartas de cada palo cada uno, mezcladas entre ellas de‘un modo ignorado, pudiendo estar indiferentemente là cata designada en uno cualquiera de los cuatro paquetes ; la probabilidad de dirigir la mano al paquete que la-contiene-es =; pero como este paqiete contiene 10 cartas entre las que solo se encuentran 3 figuras, la probabilidad-de sacar’ üna de estas, cuando se leva la mano al paquete que la contiene, sera +. Asi que _parä acertar con la carta determinada, es aecesario el-concursg de dos”acontecimiéntos ; cuyas probabilidades son = y + La pro: babilidad de este concurso es. el producto de las dos precedentes; por que siendo los paquetes iguales y conteniehdo uno solo la _carta designada , los lances que la dan son = del n'mero totakidé lances; y como de los 10 lances contenidos en este = tres sola- * mente Ilenan la condicion pedida se deberän tomar los € de 2 para obtener la razon del-nümero de lances favorables al nûmero total de lances; ser pues la probabilidad: buscada Ex Esta probabilidad es la misma que se halla suponiendo todas las cartas jantas en sun paquête, donde solo; se-encontrarän:3 figüras de cada palo entre las 40 cartas: la probabilidad pues de sacar una de aquelläs, siendo 3 los lances favorables y 37 los conL 4 id trarios es bon LE nan 3:26 3 é, 3 HE 2A Ans à , 5h 10% de BAÉB7.L 19 AOL: x7. El ejemplo anterior-puede representarse por la tirada simultanèa de dos dados;-de los.cuales’el uno tenga 4 caras, una señalada’ con la letra-A y lag otras blancas, y el otro 16 caras, “tres señaladas con la letra B y las otras blancas: el concurso de las letras A y B ser precisamente semejante al de los acontes | cimientos del nümero anterior. Pero pudiéndose presentar cualquiera de las caras del primer dado:con cualquiera de las del se= LA 17] : La gundo, el nümero total de lances seri 4x 10 — 40 ; y entre este ntinero 3 solamente formados por la combinacion de la cara A del primer dado con las tres caras B del sepundo, Ilenan la conse . ra ‘1° 2 3 re Tr + dicion pedida; la probabilidad que se busca, ser4 pues x, como ya lo hemos hallado de otra manera, mn ‘ 18. En general, si representa la probabilidad de mn un acontecimiento, y la de otro, la probabilidad de su P+g concurso serà mi P mp | >x< = + Mn p+gq (mn) (p+ 9) porque podemos suponer que se tiran dos dados, de los que el primero tenga m caras señaladas con la letra À y n caras blancas, y el segundo p caras señaladas con la letra B y g caras blancas. Entonces el nämero total de lances posibles ser4, como hemos visto en el ejemplo anterior y en el nümero 10, el producto de todas las çaras del primer dado por todas las del segundo, esto es, (m—-n)(p—+-q); pero entre este nümero de lances solarmente hay las »#p combinaciones de las caras señaladas con la Jetra À y de las señaladas con B, que produzcan el acontecimiento -pedido; asi que la probabilidad del çoncurso de las letras A y Bes mp m P XX (nm +n) (p+q) mn p+g Estas consideraciones pueden estenderse al concurso de tres acontecimientos À, B, C, cuyas probabilidades particulares fuesen | [8] la probabilidad de su concurso ser mpr nm P r a ————— = x X< (Zn) (p+g) (+5) mn p+q r+s, y del mismo modo cualquiera que fuese el nmero de los acontecimieutos. Si llamamos probabilidad simple la de cada acontecimiento en particular, y probabilidad compuesta la de su concurso, se puede establecer generalmnente este principio: {a probabilidad compuesta es el producto de lus probabilidades simples. 10, Por medio de las probabilidades compuestas se abrevian mucho los cälculos, pues se evita el tener que formar el desarrollo de todas las combinaciones posibles. Supongamos que se hayan juntado en un paquete los 12 naipes de un mismo palo de una baraja de 48 cartas, y que se pregunta la probabilidad de que las dos primeras cartas del paquete sean el as, y el dos, por ejemplo. Si hubiesemos de sacar esta probabilidad ajustando todos los lances posibles 6 todas las combinaciones de las 12 cartas, tendriamos que considerar que en el primer lugar puede hallarse el x y en el segundo el 2, 6 el : YB1y41y51yé; LY751Y8: 1 YO;1YI0; 1 y 11, 1 Y 12; 0el2y1; 2Y3,2y 452 ÿ5;52y 6,2Y7:2y8;2yÿ0;2 y10;52y11; 2y12;0el 3 y1;3y 2, 8 y4:3 y 5; 3 y 6; 3 y 7: 3 y 8; 3 y 9; 3 y 10; 3 Y11:53Y 12; 0 el 4 y 15 4 Y 25; 4 y 3; 4 y 5541ÿ 654 Y 754 Y 85 4 Y 95 4 ÿ 1054 Y 115 4 y 12,6 el Sy1;,5y2;5 Y 3 9y4:97y 6,5y7:5 y8;5 Y9:55y 10; S Y11:5 y12;6el6 y 1; 6 y 2; 6 y 3; 6 y 4; 6 y 5; 6yY7;:6y8;6y9;:67y:10;6 y 11; 6 y 12; 6e 7 y; TN OS ES AATAY 55 TOY 65 AVS 7 y 05 7 y 10: 7Y 115 7.-ÿ 195 6 €l-0-y 15 8 y 258 y 3; 8-y 4; 8 y 5; 8 y 0,8 y 7; 8 y 9 8 y 10; 8 y 11; 8 y 12; 6 el 9 y t; 9 F2 9 3: 9Y4;9 y 559 y 639 y 7:39 y 8; 9 y 10; 9y 1159 y120el10 y 1:10 y 2; 10 y 3; 10 y 4; 10 y 5; 10 y 6; 10 y 75 10 Y 8; 10 y 9; 10 y 115 10 y 12; Ô el 1x Vats 112Y/ 25.11 VS TT ysds XI Y 55.11 ÿ 6: 11 Y 7517 y 8; 11 ÿ 9; IX ÿ IO;UI y 123 Oel 12:y 1; 12 Y 2; 12 y 3; 12 Y 45 12 ÿ 9; 2 y 0; 12 y-7; 12 y 8; 12 Y 9; 12 y 10; 12 ÿ 11. | [ro Entre estas 132 combinaciones de 4 dos cartas que pueden hallarse en los dos primeros lugares del paquete, la primera solamente Ilena la condicion pedida, luego hay un lance para que suceda el acontecimiento deseado, y 13x para que no suceda; sera pues su probabilidad I Y mmmsemeeemiteigé Es I131 132 Mucho trabajo nos hubieramos ahorrado, si nos hubiesemos va. lido de la formula de las permutaciones. Todas las que se pueden formar con 12 cartas son el producto de 1.2. 3. 4... 11. 12; y observando que cuando dos de las cartas del paquete tienen un sitio determinado, quedan 10 que se pueden combinar entre si de todas las maneras posibles; esto es; de 1. 2. 3. 4... 10 maneras, serän estos los lances que producen el acontecimiento deseado; cuya probabilidad ser por consiguiente ÉD ET EAU dr P s” T9 24 Diese LOST TS T2; y suprimiendo los factores 1. 2. 3. 4. 10, que son comunes. al numerador y denominador, queda solamente me TR Xr 12 13 22 que es lo mismo que ya habiamos sacado. Pero esta misma probabilidad la sacaremos facilisimamente por medio de las probabilidades compuestas: para esto consideraremos, que la probabilidad de que el as sea la primera carta del paquete es +, puesto que podria hallarse en uno cualquiera de los r2 sitios del paquete; quitada la primera carta quedan 11; asi que la probabilidad de que el dos se halle en el primer lugar de estas tr es ; la probabilidad pues del concurso de estos II dos acontecimientos ser4 ES 20] De este mismo modo hallareinos con igual facilidad, que là probabilidad, de que las tres rs cartas del paquete sean el as, el does y eltres, es xx"; la de que las cuatro primeras sean el as, él de el tres, y el cuatro es Dis nes 20. Para convencernos mas claramente de la facilidad con que se resuelven los problemas por medio de las probabilidades compuestas, supongamos dos urnas, en una de las cuales haya 2 bolas blancas y 1 negra, y en la otra 4 blancas y 1 negra; y que se pide la probabilidad de sacar una blanca, tomando à la casualidad de una cualquiera de las dos urnas. . La probabilidad de meter la mano en la primera urna es Z, y la de sacar una bola blanca de esta urna cuando se ha metido la mano en ella es £; la probabilidad pues del concurso de estos dos acontecimientos es =xË—. Del mismo modo la probabilidad compuesta de [a segunda urna es 2x—-<. Ahora ne las dos probabilidades À y <£; porque cada una de ellas espresa una parte de los lances favorables al acobtecimiento pedido, pussto que tanto se puede Îlevar la mano 4 la A uFna como à la seeunda: ser4 _pues la probabilidad total EEE. Del mismo mode caleularemos la probabil idad de sacar una bola negra, que es +=. Sumando - con 2 resulta la unidad, como debe suceder , porque sé trata de dos acontecimientos de los que precisamente ha de suceder uno. / Este egemplo puede dar märgen 4 un error, que vamos 4 prevenir: À primera vista pudiera pensarse que siendo 8 las boJas contenidas en las dos urnas, entre las que se eucuentran 6 blancas y 2 negras, la prol babilidad dé sacar una blanca sera =; cuya fraccion es mayor que 2 que hemos sacado antes. Este error proviene de que para considerar junitas las bolas de las dos urnas, se necesita que el nümero de bulas sea el mismo en una y otra, para que todos los lances sean igualmente posibles, lo que no sucederia sin esta circunstancia. En efecto, considerando separadas las bolas , la probabilidad de sacar una de las de la primera urna es igual à la de sacar una de las de la Cr] sepunda; pero si se consideran juntag todas' las r bolas, ‘siendo entonces 8, de las cuales 3 son de ‘la primera ‘urnia y 5 de la segunda, ya no es igual la de’ sacar una de las de la primera 4 la de sacar una de las de la segunda; siendo + la probabilidad de sacar una de las bolas de la pritmera urna, y + la de sacar una de las de la segunda. Pero esta diferencia de probabilidades desaparece: 1.0 cuando el nümero de bolas es el mismo:en una y'otra-urna; porque entonces, auñque se consideren juntas todas las bolas, la probabilidad de sacar una de las de la primera es igual 4 la de sacar vaa de las della segundas2 8007 ré | >° Reduciendo al-mismo+denominador las probabilidades 2 y + de sacar una bola blanca de cada urna, lo que no altera los valores respectivos de estas probabilidades , pües dichas fracciones siempre son del mismo valor aunque se reduzcan al mismo denominador. Haciéndolo asi se convierten en ++ y ++: de este modo se considera que la primera urna contiene 10 bo'as| blancas y 5 negras, y la sepunda 12 blancas y 3 negras; las pro= babilidades respectivas son las mismas que antes (7), y el nû- © mero total de bolas se ha hecho el mismo en cada urna: considerando ahéra estas boläs reunidas en una solà urna en nüunero de 30, de las cuales 22 son blancas, la probabilidad de sacar una bola blanca es A LESTÉ que es lo) que antes habiamos sacado, 39 Cyando entre las bolas blancas y negras de la primera urna hay. la-misma razonque entre las bolas blancas y regras: de la segunda. Si suponemos que en la primera ‘haya 9 bolas blancas y 3 negras, y en la segunda 15 blancas y 5 negras, como en una y otra urna Ja razon de las blancas à las negras es la misma, esto es, 3:1, Ja misma probabilidäd sacaremos en este caso consideräadolas aparte, que si las suponemos reunidas. En efecto, la'de sacar una bola blanca de la primera urna es 2x5; y la.de sacar una blanca:de la :segunda es Fx55= 75; la suma de eitas dos probabilidades es À lions. Si suponemos ahora todas las bolas juntas, como entre tudas son 32, de las que 24 son blancas, serä la probäbilidad de sacar una blanca =$. us 2 21. Si se quiere una demostracion general de toda esta doctrina, supongamos urnas en niunéro &, que contenga cäda! uba ra bolas blancas y n negras: y uruas en numero 4, que con- [22 tenga cada una p bolas blancas ÿ 9 népras; y procediendo como en el egemplo nutnérico de las dos urnas, hallaremos que la probabilidad de dirigir la mano 4 Cualquiera de las urnas &, es (74 ——; y la probabilidad de sacar una bola blanca de estas ura —+-b m nas, cuando se ha dirigido la mano 4 ellas es ——. Mn | & mm la de su concurso ser4 PUES —x———. Del mismo modo Ia ab mn probabilidad del concurso de las dos probabilidades parciales Brner ip para sacar una bola blanca de las urnas 4 es —X<— ; ab p+q y la suma de ambas probabilidades es a m bp am(p+9)+5p(m+n) pe ab mn ab p+g (a+b Gn+-n) (p+-9) y haciendo para abreviar GC, MHZ, p+g=s, se convierte la fraccion anterior en ams+-bpr antenne Crs Si se reducen à un mismo denominador las fracciones m pP ms pr —- y -, resultarän las ">> ÿ Se podrän reemplazar T D) TS TS todas las urnas por una sola qte contenga ers bolas, de las cuales sean ams+6pr blancas; de donde se forma la probabilidad 23 espresada por la fraccion hallada poco hace, que es diferente de am+bp la fraccion ———— ;que resulta de dividir el nûmero actual de ar +-bs bolas blancas por el nümero total y actual-de-bolas; -porque el nümero actual de bolas blancas es am+-bp ; y: elinÿmero total . de bolas es ar+bs; y suponiendo todas las bolas reunidas, seria Ÿ | am+-bp la probabilidad de sacar na blanca 22, fraccion que es diTOUTES TOUS 1 | amis +-b pr _ferente de la verdadera que ya hemos sacado Anh crs Pero esta desigualdad desaparece, :x °cuando-eknümero de bolas es el mismo en cada urna; porque entonces 7=s, y NDS 98, , 10UENSENUE: de CG ec bob ee: chosihi ams+-bpr am+-bp , 2 ers ar+-bs porque siendo r=s se tendrä ” ni = \ ; pi à Ÿ ams-bpr* arer-bpr am=+-bp. am bp am+-bp am-+bp | —…—… ES ee means = crs crisis + on: C(a+b)r ar=t-br: arbs - 2° Cuando en itodas las urnas hay la misma-razonentre el nümero de las bolas blancas y el ge las negras;: porque si llamaMos X esta razon, se tendrä;segun los principios de la arirmética, n=hm; g=hp; r=m(i+-2), s=p(x +), ams-+-bpr.. : am—+-bp con lo-que las espresiones 7 } | 2 08 ON TS A ‘ ar +-bs PR PTT ET EEE [241 x se reducen una y otra 4 luego serän iguales; porque 1+4 am + bp am bp am—+-bp son) ne rt es ar +-bs : a(m-+mh) -b (p+-ph) am amh+ bp+-bph y dividiendo sus dos términos por el numerador, se reduce ä he 000 pot ams+bpr > rai (p+-ph}+-bp(n-+-mh) ———: y = ———— this crs * (ab) (p+-ph) (nm) amp=-amph-bpm#-bpmh + apt-oamph=ampl?-+-bpm+-2bpnh#+bpnh" que dividiendo sus dos términos por el numerador, se reduce ï tambien à 1—+h Determinacion de las probabilidades en las pruebas repetidas de bien nue lob-mimondancess W\È+-U0 | PTT 22. Este género de probabilidades se determina por medio de las probabilidades compuestas. Si nos proponemos, por egemplo, sacar-dos veces seguidas el punto Gotirando dos veces el mmismo dado, eqnivale esto al concursode:dos acontecimientos, cuyÿas probabilidades: simples son + para cada uno: ser, pues, la probabilidad de sacar dos veces el 6, 2x2 del mismo modo hallaremos que la probabilidad de no sacar el-6 en nin_ guna de las dos tiradas es £x£2=4$. La suma de estas dos probabilidades noces 1 ; porque ademas de los acontecimientos que acabamos de-considerar; puede suceder que. se saqte el 6:4la primera tirada y 4 la seguuda no, à que no se saque ä la pri- 23 mera y si 4 la sepunda: la Las de sacar el 6 4 la primera tirada es =, y la de que 4 la seounda salga cualquiera-de los otros puntos, y no salga el 6 es €, y el concurso de estas dos probabilidades es +x%=-". Del mismo modo la probabilidad de que el 6 no salga sino 4 la segunda tirada es 2x2; y sumando todas las probabilidades de los cuatro acontecimientos posibles, se tiene RTS 2 2 us à ET CE 38 36 36 36 — 36 — Île Asimismo la probabilidad de sacar el 6 tres veces seguidas en tres tiradas del mismo dado es xx, y la de no sacarlo en ninguna de las tres tiradas es xx. Ademas de estos dos acontecimientos hay todavia otros seis que tambien son posibles, que sou: la de sacar el 6 4 la primera tirada, y en las otras dos no; la de sacarlo 4 la sezunda, y en las otras dos no; la de sacarlo 4 la tercera, y no en las dos primeras; la de sacarlo en las dos primeras, y en la tercera no; la de sacarlo en la primera y tercera, y en la seguada no; y la de no sacarlo sino en las dos dltimas tiradas: las probabilidades respectivas de estos seis lances son ; 6 Less 25 + ST SIT à SSI STI LS 57. SE 5 — 216? ATEN ET 9 6 6 6-21 ? CE 6 sr C s PR HE 66676 Ÿ 666 — 316 La suma de las probabilidades de estos ocho acontecimientos es igual 4 la unidad, porque se han considerado todos los lances posibles ; en efecto ET Le RTC C 6 ns Fais EC E Tnt À 23, Discurriendo del mismo modo es fâcil sacar la probabilidad de los lances que pueden ocurrir tirando cuatro, cinco, seis, etc. veces el mismo dado; pero en vez de calcular asi una despues de otra las diversas probabilidades de los aconteciMientos que resultan de las tiradas sucesivas del mismo dado, se pueden obtener todas de una vez por medio de una. misma formula, Para esto basta considerar, que si en una prueba hay | 4 rm mg mr rm mp om [32 Si se hubiese exigido nie sacar el 4 al menos una vez, hubiera sido necesario tomar los cinco primeros términos del desarrollo de (e+-f)*; pero como e+f=1, y por consiguiente (e+-f)=1, la suma de los cinco primeros términos ser igual à 1-f*; y es mas fäcil calcular el término f* y restarlo de la unidad, lo que darä — 372$. 465T sn ne rs 65 — 7776 7776 para la probabilidad pedida; la que siendo mayor que =, manifiesta que es probable que el punto 4 salga una vez en cinco tiradas, La probabilidad del acontecimiento contrario, esto es, de que no salga ni una vez siquiera el punto 4 en las cinco tiradas es f 1%, porque no conteniendo el término f* âlae, iudica solamente la repeticion de los acontecimientos B. Se ha determinado la probabilidad pedida por medio de su contraria; y asi se debe hacer siempre que la espresion de esta sea mas sencilla que la de la primera, 28, Se ve por el egemplo anterior que la probabilidad de sacar el punto 4, que no es mas de = 4 la primera prueba, va creciendo por dla repeticion de las tiradas del dado. Esto puede dar motivo 4 la cuestion siguiente: determinar el nümero de pruebas necesario para que ur acontecimiento adquiera una pro= babilidad dada. Si se pidiese en cuantas tiradas del mismo dado se obtendria la probabilidad a de que el punto 6 salga al menos una vez, se tendria ex, fé, ax (porque la condicion propuesta abraza todos los términos menos el ültimo), y se deberia determinar x con la condicion de que la suma de los términos CHR fe f fuese igual 4 a, lo que no se podria hacer sino por ensayos repetidos ; pero tomando la probabilidad contraria espresada por el término f”, que en la hipôtesis establecida debe ser igual 4 1-4, se tendrä, haciendo 1-a=b, la ecuacion he [33] f°—b, de donde x log. f=log. b, x= log. &. log, f. Si sustituimos à las letras f y & las fracciones _&e hallarä 1: LtLr, = Ls-—ln Con esta formula podemos resolver la cuestion siguiente: hallar el numero necesario de tiradas de dos dados en que haya tanta probabilidad de saçar los dos seises 6 las senas, como de no sacarlas. En este caso tendremos x = 7 = JS 36: F6 (10)3 de donde sacaremos RUE 12 X= ——— 24, 6; 1,36--1,35 lo cual manifiesta que el acontecimiento propuesto es menos Probable que su contrario, cuando no se abrazan mas de 24 Pruebas ; y mas probable cuando se abrazan 25. 29. Las probabilidades simples se pueden determinar tambien por medio de las de los acontecimientos compuestos. Por tjemplo, conociendo un jugador que en una partida formada de tres puntos puede ceder dos de ellos d su contrario, para que haya isualdad entre los dos, se pide la probabilidad que tieñe el Drimer jugador de ganar un punto. De la propuesta se infiere que tiene la probabilidad + de gafar los tres puntos seeuidos, porque perderia el juego si su Contrario ganase uno antes: tendremos, pues, en este Cas0, Jus 3 e==, de dondee=V2 . Que se reduce casi 4 0,7937 un poco menos de +. [34 Si el primer jugador no ac sino uno de los tres puntos. entonces los lances en su favor serian 6 ganar los tres punto seguidos, 6 4 lo inenos tres en cuatro tiradas, porque si pes diera dos golpes, ganaria su contrario la partida 4 ; asi que $ tendria Li retail A € 44e f—= y poniendo en lugar de f su valor 1Ts convierte la espre” sion anterior en et 4e x(r-6)=etp4e-4et=4e-3e"—"%; y resolviendo esta ültima ecuacion por medio de las ecuaciones numéricas, se halla o, 6143. 30. Una vez que los términos del desarrollo (m+n) indican los lances favorables 4 cada uno de los acontécimiento$ compuestos, que, en un nümero x de pruebas pueden resultaf de las diversas sucesiones de los acontecimientos simples A y B, es facil determinar cul de «estos acontecimientos tiene mas lancés en su favor, y es por iconsiguiente mas probable. Para esto no haÿ mas que buscar cuäl de los términos ‘del desarrollo (mn) tien un valor mas considerable. Si se hace mn, el término mayor serä aquel que ocupé el medio de la férroula cuando ‘el nümero x sea par, y cuando êste nümero sea impar , habrä entonces enmedio del desarrollo dos términos consecütivos que serän iguales entre si y mayores que cualquiera de los atros, como se puede ver en las primeraf potencias del binomio +7 (nn) =m+-2mnn° (mn) =m+3mn+3mn+n° (mn) "=mt+4mÎn+6mn+4mn$+n (nn) =mS+5mtn+10mn°+10m"n+-5Smnt+n. Siendo mn los desarrollos de estas cinco potencias del bi- #omio se convierten en C35] m°+-2m + mt m°+3m+3m"+m | m'+4amt+6m+4mt+me m+5m+i1om 10m" +5mS+mS ; donde se observa que los términos de enmedio de las potencias pares 2° y 6m*, son respectivamente los mas considerables, Porque tienen el mayor coeficiente, siendo una misma Ja cantidad que afectan; asi como tambien se ve que en las potencias impares hay enmedio de sus desarrollos dos términos iguales 3m° y 10m, que tambien son los mayores. De aqui se infiere que si se considera un juego en que el nümero de lances sea el mismo en favor del acontecimiento À que de.su contrario B, que es la hipôtesis m—n. los acontecimientos compuestos Mas probables serân, 1 vez À y 1 vez Ben 2 pruebas; 2 veces À y 2 veces B en 4 pruebas, y asi de las demas cuando el nümero de pruebas es par, Pero cuando este nümero sea impar, habrä en cada prueba dos acontecimientos compuestos de igual probabilidad y mayor que las de todus los demas, 4 saber: 2 veces À y 1 vez B, 6 2 veces B ÿ 1 vez À en 3 pruebas; 3 veces A y 2 veces B, 6 3 veces B y 2 veces 4 en 5 pruebas, y asi de las demas. Las probabilidades de: estos diversos acontecimientos sons 2m" 2m. m Para x vez À y 1 vez B, 2 veces À y 2 veces P, = = à veces Ay 3 veces B, 4 veces À y 4 veces B, TE [36] 3 a veces À y 1 vez B, 6 3m DUR 2 veces Ë y 1 vez 4, PRES ; Ë 5 O1 3 veces À y 2 veces P, 0 10 m e 10 : n 2 veces À.y 3 veces B, tres on 5 ’ - 4 A": 7 : à veces À y 3 veces B, d 35 m a 35 4 veces D y 3 veces 4, am) 3 158 31. Estas diversas probabilidades van decreciendo 4 medida que aumenta elnûümero de pruebas, lo cual es muy sencillo; porque aunque cada una sea la mayor de todas las que nacen del nümero de pruebas de que hace parte, no corresponde sin embargo sino 4 uno solo de los acontecimientos compuestos, que se multiplican 4 medida que se abraza un nûmero mayor de pruebas; y como la suma de todas las probabilidades de un desarrollo es igual à 1, cuanto mayor sea el nümero de términos, mas dividida estar4 entre ellos la unidad. 32. No sucede asi con las probabilidades relativas de los diversos acontecimientos compuestos que da el mismo numero de pruebas. Por ejemplo, la probabilidad de sacar r vez A Ve: vez B mas bien que 2 veces seguidas A, siendo el cociente de la probabilidad absoluta de estos diversos acontecimientos divi- -dida por la suma de las probabilidades de los dos (1 4), se tendrä a 4 PC] e ——— = —; x x !- +: 3 La probabilidad de sacar 2 veces À y dos veces Z,mas bien ‘que 4 veces.4 de seguida, es L 6 2 Te es D [37] la de sacar 3 veces À y 3 veces # mas bien que 6 veces 4 de seguida, 8 | | £ 20 6 RS 57 ee 21 F4 La de sacar 4 veces A.y 4 veces B, mas bien que 8 veces seguidas la 4, es 85 x TA 236 TI TEA La de sacar 2 veces À y 1 vez B, 6 2 veces B y una vez À mas bien que 3 veces À, 6 B, de seguida, es 3 e 3 RÉ _4 cc + | œJH La de sacar 3 veces À y 2 veces B, 6 3.veces B y 2 veces 4, mas bien que 5 veces 4 6 B de seguida, es....© .: 5 16 10 3 = — F —: SA I APE” AL 4 —— y la de sacar 4 veces À y 3 veces B, 6 4 veces B, y 3 veces A mas bien que 7 veces seguidas 4 6-B;'es. : 35 i 25 += 36 17 128 128 Continuando de esta manera el cälculo, se podrä inferir la diferencia de posibilidad entre los acontecimientos compuestos de la repeticion constante del mismo acontecimiento simple, y la de aquel cuya composicion se aproxime mas 4 la razon de posibilidad de los acontecimientos simples. | es _ 33. Es facil sacar las formulas generales de donde se dedupesant te à 38 .cen todas las. observaciones de È nlümeros anteriores : pues para esto no se necesita mas que calcular el término medio del desarrollo de una potencia par del binomio, 6 los dos que ocupen el mismo lugar cuando la potencia es impar, La espresiom del primero es D 4 (x=1).. (xSU 1) 2x % x (x-1).. x (= +1) a —— n eme n°, ï. PENT F ° TZ, Do % 3 ? guando mn LU La de los otros dos es X-1 æ (x-1).…. (x- —— +1) :(x-1) (2+1) ; RES | - m na nm ne | 2 æ (x-1): = + 1) = ROSES mm | T-I ZX, PTT 34. Cuando » ÿ 7 no son iguales, es decir, cuando no hay el misrmo nümero de lancés en favor de los acontecimientos simples À y B, el acontecimiento compuesto mas probable es aquel en que el nümero de acontecimientos À es al de los. acontecimientos B; como el nümero de lances favorables al primero es al nümere de lances favorables al segundo, ; . Para comprender bien esta proposicion hagamos m—3, n=— 2; y hagamos sucesivamente x—5,= 10,— 15. Esto quiere decir que los, lances en favor de À y de B, estän en razon de 89 “8: a, Esto supuesto, vamos En que de todos los aconteci= mientos compuestos, que pueden resultar de un nümero x de pruebas , el mas probable sera aquel en que el nümero de acontecimientos À, sea al nmero de acontecimientos B, como 3: a, En efecto, siendo x=5 el desarrollo de (mn) serä m° + Smin + 10mn° + 10m n° + 5mnt +7; donde se ve que el mayor término de este desarrollo es 10m n°, y por consiguiente este-serä el acontecimiento compuesto mas probable, y en él se verifica, que los acontecimien- -tos À son 4 los acontecimientos B como 3: 2. Faciles -conocér que este es el mayor término del desarrollo; pues sustituyendo ‘en vez de »m y n sus valorés; y poniéndole ä cada término el denominador que debe Ilevar, esto es, (mn), resultan las probabilidades is 35 24%) 00 se or: do — == para 5 veces Æ, (nn) °230:5% 3125 Li € 5 mn 5. 3.4 At 810 j — = ——— para 4 veces À y 1 vez B,' (mb 01 ngbien cavañie D (rai sl in 10 m° ni 10. 3.2 2° 1080 à = = ——— para 3 veces À y 2 veces B, (n+n) 55 3125 ‘xoemn 110,372 720 : = — para 2 veces À y 3 veces B, (nn) 5° * 3125 5mnt 5. 3. at 240 | = ———— = — para 1 vez À y 4 veces B, (m+n) 5° 3125 n a’ 32 e para 5 veces À, (an) 529 6 Sra5 | [40] Del mismo modo, siendo 10 6 15 las pruebas, los desarro- - Jos de (mn)® y (mn) son, el primero MH 10 nn +45 mÊn + 120 m°n° + 210m°nt+ 252 mn" 4 210mt n°+120m n+ 45m" n° + 10mn—+n"; y el segundo 5 MH 15 mn 105mint+455m"n 113065 mn 43003 mni-5do8 mn 64-6435 men, 6435 m?n°+-5005 mên + B003m'n Pt2366 mn 46 Smet o5m'n +1 5mn tnt, En cuyos desarrollos, sustituyendo en vez de m y n sus valores, se observa que en el de (m+-n)°. el término mas considerable es àù à 2 r0mtns 210,3.52 2449440 Le) ee es none en (m+-n}° 5'° 9765625 y en el de (mn) el término mas considerable lo es el 5005m°n° 50054334! 6304858560 (rm +n) 5% 30517578125 40 cuyas fracciones, que son las mayores de todas, como se puede comprobar , espresan la probabilidad de sacar 6 veces À y 4 veces B en 10 pruebäs; y 9 veces 4 y 6 veces B, en 15 pruebas; y los nûmeros 6 y 4, 9 y 6 estän en la misma razon que 3: 2, Si comparamos las tres fracciones 2792, 2424? y Siotasisee veremos que la tercera es menos que la seyunda y esta menor que la primera; lo cual es conforme 4 lo dicho en el nümero 31; pero cada una de estas tres probabilidades es-la mayor con relacion 4 todas las-que se deducen del mismo desarrollo. 35. Como solo los mültiplos de 5 pueden dividirse en dos 41] nüméfos enteros que estén sie si eñ razon de 3: 2, el decar… rollo de las potencias, cuyo esponente no sea un mültiplo de5, no contendrä términos en que los esponentes de las letras m y An estén en dicha razon; pero los términos que se aproximen mas 4 llenar esta condicion, serän los mas. considerables, como lo vamos ä ver por la determinacion algébrica de (mn). Siendo el término general del desarrollo de (+7) mr) (x-2).. (x-g + x) n'?n?, 1,1 2, SAT. q se halla precedido del término x (x-1) (x-2)... (x-g42) — DE TERTT Je 2. Due QI { y dividiendo por esta ültima espresion la primera, se tendrä el cociente a v Y-QHI D xn-gn+n q m ge cuya fraccion serä Ja razon de dos términos consecutivos tomados en un lugar cualquiera del desarrollo propuesto; valor que disminuye à medida que el nümero g aumenta. Segun esto es évidente, que un término ser mayor 6 menor que el que le Precede seuun que xn=qn —+-n > 1,0 < 1; gm L Si pues esta fraccion es mayor que 1, ser4 el numerador %n-qn—+n > qm; si à los dos miembros de esta desigualdad ahadimos la cantidad gn, resultar4 +7 + n >qgm—-qn; y di= «72 ie 20h Vidiéndolos por mn se convertirä en > qg Del 6 Mt M DS Mt ee + con den de D oO DNA LC DE SSSR Stos à | | [48] :Sise sacasen dos naipes por arriba y fuesen 2 freses, la probabilidad de gauar el'primer jugador serta = 4 2 26 + 6 3 y la del segundo A Ver to z 2 =— 2 FE ere 6 3 y ültimamente si se sacasen 3 treses y 1 dos por arriba, entonces las probabilidades serian SE 3 — Eee 1 x TZ = para el primero y 3 para el sezundo 20 en: À. CUESTION SEGUNDA. 39. Supongamos que apuesta un jugador que saldrä primer un dos que un tres sacando por debajo de la baraja: la carta que estä encima no se sabe cuäl es, pero se sabe que no es el dos de oros, ;que probabilidad tiene de ganar? Tambien resolveremos este ejemplo por medio de las probabilidades relativas; pero toda la dificultad de este problema consiste, en determinar los lances que tiene en su favor cada uno de los jugadores. Para averiguarlo, consideraremos, que segun el orden con que esten combinados los 40 naipes de la baraja, saldrä primero un dos 6 un tres. Las combinaciones : diferentes de las cuarenta cartas de la baraja son el producto de 1.2. 3.....,..40—m, y de este nümero de combinaciones la mitad, que es “= #7" haria ganar al primer jugador, y la otra mitad al segundo si se ignorase: absolutamente el 6rden en que estän combinados los 40 naipes; pero como se sabe que el dos de oros nQ esta encima, habrä que rebajàr del nûme- [+9] ro total de combinaciones, todas aquellas en que el dos de oros debiera ocupar la parte superior, esto es, habrä que rebajar 1. 2. 3...,....... 395 combinaciones, y el residuo espre sara el nûmero de combinaciones diferentes con que pueden estar combinadas las 40 cartas, sin que el dos de oros esté encima: la cuestion est pues reducida 4 averiguar cuantas de las combinaciones que se deben rebajar harian ganar al primer jugador, y cuantas 4 su contrario, para restar cada uno de estos nümeros de los lances que corresponden 4 cada jugador. Ahora bien, el nümero de combinaciones que harian ganar al primer jugador, aun estando el dos de oros encima, es las tres séptimas partes del nämero s, que rebajadas del nümero%; dan -<:— TE; y el némero de combinaciones que harian ganar al segundo, estando el dos de oros encima, es las cuatro séptimas Partes del nûmero s, que rebajadas del nümero = dan 7 7? : segun esto las probabilidades respectivas de los dos jugadores son, para el primero M 7-3. 5. 2 M. T4. 5 2m 7=8 5. 2. que poniendo en lugar de m y s sus valores se convierten en 14/2: 8... 40. 7-8. Ie 2. 3..... 39. 2 rm 1.2.9. 40,7-4.1,2, 3e 30.21, 2,3... 40.7-8,1.2, 3. 39,2 ÿ quitando los factores comunes al numerador y denominador queda reducida esta fraccion 4 40. 7-3. 2 274 137 If 40, 7-4. 240, 7-3. 2 546 273 la probabilidad del segundo es Me 7-4 Se 2 M, 74e 5 2m, 7-3, Se 2 CÉ [50] "26 Sue. Os 7-47, 2: CITES 394 2 + oo Te 243 ue 40e 74e Te 2. Be 89.2 Ie 2 Bu 40.73.17, 3. 3... 80.2 40e 74.2 272 136 40. 7-4, 2 +40. 7-30 2 546 273 Las ünicas dudas que pueden ocurrirse con respecto 4 este problema, son las dos siguientes: 1. si el nûmero s representa en realidad las combinaciones en que el dos de oros ocupa la parte superior. ka : Pero «esto «es facil de entender; ‘pues suponiendo ‘que en la baraja falte «el «dos de oros, se pueden. hacer con los 39 naipes restantes 1.2.3... 89 combinaciones, en cada una de las cuales se puede colocar el «405 de .oros encima. 23 Si de este numero s los + harian ganar al primer jugador y dos otros + al segundo. Esto «es ‘evidente, pues no contando con ‘el dos de oros que ocupa Ja parte superior «en dicho nämero .s de combinaciones, las otras 39 cartas restantes estarän combinadas de todas las maneras posibles, y como entre ellas se encuentran 3 doses y 4 treses, las combinaciones en que venga un dos 6 un tres delante estarän divididas en razon de 3:4. EUR Para convencernos präcticamente de «esto,. hagamos todas Jas:combinaciones posibles primero con 3, y luego con 4 letras, que son las siguientes: [sx] con 3 letras con 4 letras 1.2.3.4.=24 rd53r=26 combinaciones. combinaciones. ON A&Q 8 GR oo œ 0 Si suponemos ahora en las combinaciones de 3 letras que siempre que la a esté delante gana un jugador, y que cuando esté delante la à 6 la c gana el otro, hallaremos 2 lances en favor del primero y 4 en. favor del segundo, es decir en razon de 1:2; lo mismo que se observa en las combinaciones de 4 letras, en las queen 8 de ellasestä delante la a, y en las otras 16 estan delante la b6 lac, es decir, en razon de 1:2. Lo mismo sucederia aunque las combinaciones fuesen de muchas mas letras; pues cada una de ellas estarä delante un nümero de veces igual al de cada una de las otras, y por lo mismo el nümero de veces que una letra se halle delante, es al nümero de veces que se hallen delante otras .dos letras como 1:23; y el nümero de veces que se hallen delañte dos letras es al en que se hallen delante otras tres letras, como 2:3; y generalmente el nümero de veces que alternativamente se hallen delante un nûmero designado de letras, es al en que se encuentren primero otro nümero designado de letras, como el nümero de las primeras es al de las segundas. Asi que en el‘problema que nos. ocupa; en el nümero s de combinaciones, en el que el dos, de’oros est encima, los 52 otros 3 doses estarän delante con respecto 4 los 4 treses en la misma razon que 3:4. Con estas observaciones nos serä muy fäcil resolver los demas problemas de este género que se puedan proponer, como si se pidrese, por-egemplo;, la probabilidad que tiene cada uno de los dos jugadores en la misma cuestion , en la suposicion que se sepa que ninguno de los 4 doses estä encima,. En este caso la probabilidad del 1.° seria 1.2,3...40.7=--1,2,3....30.4.3.2, + ne 1 23. 40.7=1 .2.3,.439.4.402H 1028 40.7-1,2,3..30, 403.2, 40.7-4.3.2 2606:::, 32 ET te ps ee 40.7-4.42+4+40.7-4.3.2, 504 63 y la del 2.° 1.2.3...40.7-1.2.3....30.4.4.2 1,2,3..40.7=1.2.3..30.4.4.22-7,2.3...40.7-1.9.3..30.4.3,2 40,7-4.4.2 2485 191 40,7-4.4.2-+40.7-4.8,2 504 63 CUESTION TERCERA. 40. Un jugador apuesta contra otro que tirando 7 veces un dado de seis caras sacarä lo menos dos veces el punto 6, y el «contrario apuesta que tirändolo 9 veces sacar4 al menos 3 veces el punto 6, ;qué probabilidad tienén de ganar ? Por la férmula debn.® 27 se ve que el primero tiene la probabilidad | e7+-7e6f-+ are ft #35 f3+35ef 4+21ef = dope Le je 1250 god 495 sn t1625 04-9125) 7703 au ler art er OT gr 2 LG 3328 (53) y el segundo pe f--3007f7+8405f9-+126e5f4x26etf5+84ef5 u 1796446 _ 898223 7 10077696 5038848 y comparando ahora las dos probabilidades ültimas, hallaremos 7408. 38814246144 23328 PE ee) Lies 029708109928 = 0,6494 23328 038848 para el primer jugador ; y 292222 20953863784 $038848 = —— = 0,3$05 598223 77 509768109928 5038848 23328 para el secundo. CUESTION CUARTA. 41. ;Cuântas veces se debe tirar un dado de seis caras para tener una probabilidad igual ä _ de sacar el 6 4 lo menos una vez? Este egemplo se resuelve por la fbrile del n.° 38, en la que todos los términos, menos el ültimo, deben sumar 5, y el ültimo <; ser pues -L23-l4 f° =<£ de donde x = = 9,59; L6-15 ‘lo que manifiesta que abrazando mas de 9 tiradas, se tiene una “Probabilidad superior 4 = 22 de sacar el 6 4 lo menos una vez. Si se pidiese el nümero de tiradas necesario para tener una * probabilidad' de £ de sacar los cuatro seises tirando 4 dados, à de ee pee [54] 1.5 entonces 2 a Do ADM = 2065,79; 1.1206-1.1295 ültimamente para que haya tanta probabilidad de sacar las se nas Como para no sacarlas tirando con los mismos 4 dados e-$@ necesitan;; r ;! bilsedonc eobeenk sois obnsrgcre La : = 885,38 'tiradas X= l.1296-L. 1295 CUESTION QUINTA. 42. j De cuäntas maneras diferentes se pueden combinar Jas 40 cartas en el juego del sresillo, 6 cuäntos son los lances d fste quemios | SIP Para resolver esta. cuestion ; tendremos presente lo dicho acerca de las potencias de los polinomios en el n.° 37. Considerando que en este jueso cada uno de los tres jugadores. tiene 9 cartas, y Que quedan 13 sobrantes en el platillo, inferire mos que los lances de este juego estarän espresados por el coeficiente de a°°c°d'* en: el desarrollo de (a+-b+c+4)*, d cual es Leur 4 Le 28 44e 4.0 | 02,3 .OX1 2,30 OX 1 0200 QXT 020 Bouvee I 3 :.que suprimiendo los factores comunes al numerador y denominädor , se reduce 4 2.738.757. 13."17,10:28,29.31=1592814047068800 numero de disposiciones diferentes en que pueden quedar repartidas las 40 cartas entre los 3 jugadores y el platillo, Suponiendo , que la 100" parte de los 600000000 de habitantes que se regulan en el mundo sepan este jueso, que se dividan en ternas , y jueouen . en efecto cuatro horas,cada dia; suponiendo tambien que un juego con otro dure 3 minutos, se. necesitarian 15650980534 : [55 afos para que se verificasen [5] läs combinaciones del'tresilo; y esto en el supuesto de no repetirse ninguna. Sin embargo, no debe creerse que ascienda 4 tanto el nümero de lances esen= cialmente diferentes del tresillo. Hay juegos, por ejemplo, que son imperdibles de cualquier modo que esten distribuidas las demas cartas, y de cualquier modo que se jueguen. Un juego de 7 triunfos deespada, mala, punto, rey, caballo, seis ÿ cinco, es imperdible; y tambien lo.es tro dé espada, punto,-rey, caballo, sota, tres y seis, etc. | CUESTION SESTA. 43. Cuatro jugadores 4, B, C, D han reunido 15 fichasen una urna, de-las que 9 son blancas y 6 negras, y han convenido ‘en que el primero que saque una ficha negra ganar4 el juego. El jugador 4 es el 1.° que debe-sacar, B el 2.°,Cel 3,°,:y Del 4, y asi en este érden:-las fichas que se sacan de la urna no se vuelven 4 meter en .ella, ;qué probabilidad tiene cada uno de ganar? Supongamos 2 el némero de fichas blancas y 7 el de las _ megras; la probabilidad de sacar una nègraser4 "= | Mn N/1/ r: | “ Le + Y la de sacar Una: blanca R "az > y como segun.las :conditios nes del juego no se acaba éste aunque se saque una ficha Hlanca; m serä tambien la probabilidad de que. se pasarä 4 la se ! " .. M \ ) 7 gunda tirada, 6 de.que tendr# lugar la sepunda tirada : para que ésta se verifique, habrä sido recesario que se sacase una blancæ en la tirada anterior; asi que en esta segunda tirada quedarän m-1 fichas. blancas, y las probabilidades en esta tirada serän MI Das - de.saçar una blanca, 1 EN à ” : Mein . » —— de sacar una negra _ + ou FER “deisaearruna negrà. — 4 oui) ons horse Cet Estas probabilidades deben multiplicarse por la de que ten drä lugar la segunda tirada para obitenerlas probabilidades d los dos acontecimientos que de ella resultan (x 7), lo que darä m1 m mn X —— de sacar una blanca el jugador Z M-1+ MN TL »*< Min MAN de sacar una negra. Si B saca una blanca, ya no quedarän en la urna mas de m-2 fichas blancas, y discurriendo para la tercera tirada como para la | m-2 segunda, hallaremos ——— de sacar una blanca, y ; m-2+n M2 +1 de sacar una negra; y multiplicando estas probabilidades por la de que se pasarä 4 la tercera tirada, que es © mi=x 7" dsl m(m-1) Min Mn. (mn) (m-1+n) m (m-1) on CE 29 de sacar una negra, (mn) (m-1+4n) m-2+n 6 en favor del jugador C, tendremos m(m=1 __ m-2 Gex) ma de sacar una blanca, Çm-n)(m-1+-n) m-2+n , que serä la de que tendrä lugar la 4% tirada, Si C saca una blanca, no quedarän en la urna mas de m-3, y las probabilidades de la 4.* tirada serän a de sacar Mm>3+-n una blanca, y e — ‘de sacar una negra, y multiplicändolas e | [57] por la de que tendrä lugar la 4.2 tirada, se tendrä m(m-1)(m-2) n (a+n)(m-1+-n)(m-2+-n) m-3+n a — en favor del jugador D, m(m=x)(m-2) m-3 (m+-n)(m-1+n)(m-2+4-n) m-3+n contra D, 6 de que teadrä lugar la 5.* tirada, Si el jugador D saca una blanca , volverä 4 sacar el jugador 4, y como no habrän quedado mas de m4 blancas, tendrä la probabilidad m(m-1)(m-2)m-3) n an à Gu+n)(m-1+n)(m-2+n)(m-3-n) m-44n de ganar, m(m-1)(m-2)(m-3) M4 (n+n)(n-1+4n)(m-2+n)(m-3-#n) m-4+n de perder, Continuando de este modo, y haciendo para De senci= lez m+n=r) se formarä la série mn mn(m-1) mn(m-x Xm-2) DORA ES Contre HE) r=1)(c-2) Ÿ r(r-2) (2) (3)! mn(n-1Xm-2Xm-3) … mn(m-1Ym-2}{m-3)n-4) ra )(=2)r-3)-4) | 1-5) (2) 3-0 CS) mn(m=1)(m-2)(m-3)(m=4) (m-5) r(r=1)(r=2)(r-3)(r-4)(r-5) (1-6) en La que el 1°, 5,°, 9.° términos espresan las probabilidades 8 n er À | T " etc., TE 64 no puede hallarse mas de Re seguidas despues del primer lugar ; la disposicion BAAAAB, por ejemplo, no puede entrar en la de seis golpes, por que la disposicion BA44 termina el juego al cuarto golpe. Con estas observaciones facilmente haIlaremos los diversos acontecimientos posibles, que son: al primer golpe al segundo al tercero al cuarto etc, A AA AB A ABAA b B AB ABB AB4B BA BAA APB4 BB B4B ABBB BAAA vec BA4B rleu ul bio, B 4BA | BB Buscando en esta tabla, que es fcil continuar, las disposiciones en que una letra se halle repetida dos veces mas que la otra, que son las que terminan el juego, se hallarän 2 en dos goles, à saber AA y BB; 4 en cuatro golpes, que son AB44, ABBB, BAA4, y PABB; y asi de las demas. Y como la probabilidad de ganar un qu se ha supuesto +, la de ganar dos puntos seguidos serd +. que sera la probabilidad de cada uno de los dcohtebimidétos del no golpe; la de cada uno vs de los de tres golpes sera +.+.7=—%; la de cada uno de los de cuatro golpes ser4 =. iii, ces ; por consiguiente, una vez que hay dos lances que terminan el juego en dos golpes, habrio — probabilidad de que el juego se acabarä al segundo golpe; ge = de probabilidad de que se-acabar4 al cuarto golpe; y por de mismo habrä © +3; de probabilidad de que el jueso no pasari del cuarto golpe : ; del mismo modo hallariamos ne LE = cn de que el juego no pasarä del sesto golpe» = +< Ha ga —+$ de que no pasarä del octavo golpe, y asi de los demas. Ës inûtil advertir que el juego no puede terminar, segun las condiciones impuéstas, sino en un nümero par de golpes. Segun esto, y siendo la superioridad pedida de dos puntos so- lamente, la formula que dä las probabilidades para dos golpes es (ef) =e" + 2ef + f”; en la que el término e* indica la probabilidad de que el jugador A, ganar4 los dos puntos seguidos, y por consiguiente que se acabar4 el juego en dos golpes; 2ef, la probabilidad de que no se acabarä el juego en dos golpes, porque uno de los jugadores gana un punto y otro su contrario; y f° la probabilidad de que ganarä el jueso el jugador 2, y que se acabarä el juego en dos golpes; de modo que e*+f” indica la probabilidad de que se acabarä el juego en dos golpes. Si consideramos mas tiradas ser4 facil sacar las probabilidades de la misma formula, multiplicändola por ef tantas veces como mas tiradas se consideren, lo que es conforme 4 los principios de las probabilidades compuestas (18); pero como los términos e* y f* terminan el juego, no se deben multiplicar por ef por que indicarän lances de tres letras que no se pueden verificar: asi que solo se multiplicarän los términos que no deciden el juego. Haciéndolo con el 2ef por ef resultarän los afe + 2ef* correspondientes 4 los acontecimientos BAA, ABB de los que ninguno decide el juego. Considerando cuatro golpes, y multiplicando por e+-f los dos ültimos términos, tendremos dd 26° f+4e"f 2poef : en que el término de enmedio corresponde al caso en que no se acaba el juego: y como no puede acabarse este sino en un nümero par de golpes, ser mas fâcil tomar por multiplicador e—oef+f", y continuando la operacion, vendremos à parar 4 esta progresion geométrica sef, 4e°f*, 8e°f*, 16etf# etc. para las probabilidades de que no se acabarä el juego en estos 9 [66] golpes; ÿ suponiendo que las probabilidades simples sean ? para ganar cada punto, se tendrä para las probabilidades de que no se acabar4 el juego al 2.0, al 4, al 6°, al 8.° etc. golpe; y restando de la unidad cada una de estas fracciones, resultarän las ide gs 36 © T1 ni3 2r4 que espresarän las probabilidades. de que se acabar4 el juego en los mismos golpes, | | Cuando el esceso de los puntos que hacen ganar es de mas. de dos, entonces la regla qué hay que seguir es la siguiente: Para hallar la probabilidad de que el juego, en que el ju &ador À debe ganar. p puntos al jugador B, 6 éste { puntos al Jugador À, no se acabard en un nürnero r. de golpes, multipliquese el binomio ef por sl miSMO tantas veces como unidades haya en r-1, teniendo cuidado despues de cada multiplicacion de borrar los términos en:que el esponente de la letra e sea ma— yor en la cantidad p que el esponente de f, asl como los termi nos en que el esponente de f sea mayor que el de e en la cantidad q; y los téfminos restantes dardn la’ Probabilidad. pedida. Los términos que se borran es porque corresponden 4 acontecimientos que terminan el juego. Si se hubiese convenido, por egemplo, en que el jugador A debiese ganar 3 puntos mas que su contrario, ÿ este 2 puntos mas que el jugador A para ganar el juego , :y,se pidiese la pro= babilidad de que se acabarä el juego al 7.° golpe, entonces PESs59=2, 017 y despues de seis multiplicaciones hallariamos 216*f3+13ef; [67] | y sise supone que e—f—>, equivaldrän dichos términos 4, : ARS Ad AT 128 7 128 64 , para la probabilidad de que no se acabarä el jueso en 7 golpes; y -restando esta probabilidad de.x, se tendrä la de que se acabarä el juego 4 lus 7 golpes, la cual es r-27=#7 Si el esceso de los puntos del jugador A Hübiese de ser 5 para ganar el juego, y el de los del jugador B hubiesen de ser 4 . para lo mismo, y se pidiese la probabilidad de que se acabarä | el juego en 12 tiradas, entonces PES) {4,719 y despues de 11 multiplicaciones se Ilegaria 4 274e7f*+440e5f"+406e5f*; ÿ suponiendo que tambien fuese + la probabilidad de ganar un punto, equivaldria esta espresion 4 . 274-440-4406: 1120 1-85" 2048 7 2048 64 Que es la probabilidad de que no se acabarä el juego ; la cual, restada de la-unidad, darä la probabilidad pedida, que es #7, la Que siendo menor que ? manifiesta que no es probable que se acabe: el juego en 12 tiradas. | Se ve por lo que precede, que cuando el esceso de los puntos | Sialgo"considerable se necesita mucho némero de tiradas para Que haya probabilidad de que,se acabe el juego, 6 de que lo gane, Uno de los jugadores, Esto manifiesta que la clase de juegos en Que se atraviesa dinero, menos perjudicial 4 las costumbres, es. que llamamos de Los juegos al, rebatir ; sobre todo cuando se. ja un esceso algo grande; pues por mucho tiempo, que empleen. ellos los jugadores, no se puede atravesar un n'mero. considerable de juegos; asi como son los mas perjudiciales cuando no % atraviesa dinero, porque consumen el tiempo, que es de un. [68] valor inestimable. No considerando, por egemplo, mas de 4 puntos de esceso, se necesitarian 12 tiradas para Îlegar 4 una probabilidad mayor que + de que se acabarä el juego con este nümero de golpes, como se manifiesta en las diversas multiplicaciones de e-+-f que siguen: 3 e+f e*+2ef+-f* ; e°+-3e"f+3ef"+f" 4e f-+6e°f"+4ef ; actf+ 0e f"+ioe"f5+4ef 5 x4ctf "+206 f "+ 4e ft 1405 f840#f 34e ft 4e fs 48e"f + 68ef a8ef"; 48e6f°+xr0esf+r16ef"+48e5f6; 16466 f#+232ef—+164efS; 3 x64e7f 4439 Ge°f+896e"f°+164e"f7; xG4erf +5 6oe7f+79206f +5 Goe“f7+164etft 3 y suponiendo siémpre e=/=°, y calculando cada una de estas ésprésiones , se halla que sus valores son: 7, 1,1, 7,1,5,% 2,22, 84,2%, y #7; que espresan las probabilidades de que n9 se acabarä el juéo en 1, 2, 3,12 golpes; y como solo 11 ültima de’estas fracciones es menor que *, inferiremos que la .probabihdad éontraria, 6 la de que se acabarä el juego, no ef Mayor que + sino se abrazan 12 tiradas. ©! Hay mucho que reparar en las cspresiones anteriores. Ef primer Hgar la 1, 2 ÿ 3, és cada nna jgual +, lo qu | [69] manifiesta que ciertamente no se acabarä el juego en una ni en dos, ni en tres tiradas (8); lo cuales evidente por las mismas _ condiciones del juego, pues solamente se puede acabar cuando un jugador haya ganado 4 puntos mas que su contrario, para, lo que se necesitan jugar lo menos cuatro tiradas. Ea segundo lugar la 4° y 5, fa 6297". la”0, ÿ 9%, la UV 12e son iguales entre si; y esto es muy sencillo , porque aunque los lances que no acaban el juego son en doble nümero en un nümero impar de tiradas que en el numero par anterior , como puede verse, continuando la tabla de las combinaciones de las letras 4 y B, tambien es cierto que abrazando un golpe mas hay que multiplicar la fraccion anterior por + para obtener la probabilidad compuesta del golpe siguiente, y por consiguiente lo que por una parte se aumenta, por otra se disminuye. Cuando la probabilidad de ganar un punto es menor que =, se viene 4 parar tambien à una progresion geométrica, cuardo el esceso que hace ganar es de dos puntos solamente, Pero en este caso no se pueden calcular las probabilidades de que se acabarä el jusgo por medio de sus contrarias, sino que hayÿ que calcularlas directamente. La regla que hay que sèguir para esto es la misma que la anterior, sin mas diferencia que el poner aparte el valor de los tériminos que se van borrando, pues su suma dä las probabilidades de que se acabarä el juepo en 2, 4, 6 etc. tiradas. Siendo +, por egemplo, la probabilidad de ganar un punto, hallariamos Left para la probabilidad de que se acabarä el juego en dos tiradas; Ces 3 SA LA 2 M3 26 f+2ef = 5 55H 5x para la de que se acabarä en cuatro tiradas; 4r2 SCA BE, 8 22 , 266 4f ae ss 75 ter 73s para la de que se acabarä én seis tiradas; y asi de las demas. Donde .se advierte, que cuando la probabilidad de panar un punto es menor que + se necésita un gran nütnero de tiradas para Îlegar 4 una probabilidad mayor que 5 de que se acabarä el juego, aun cuando la conclusion de este dependa ünicamente del esceso de 2 puntos. | [70] CON) D0080000000000000000000000086000000008 DETERMINACION DE LAS SS +oGabilisades De [a Steria, DD © mms CUESTION DECIMA. éQué probabilidad tiene de acertur el que hœ señalado uno 6 mas de los 90 nümeros de la Loterta ? 47. Este juego se hace por lo comun 4 cuenta de los Do= biernos, y consiste en meter en una caja 90 nümeros desde el r hasta el 00, y estraer 5 de ellos. Con anticipacion han señalado los jugadores en las respectivas administraciones los nûmeros que quieren jugar, pagando al respecto de la clase de su jugada; y despues de publicada la estraccion acuden 4 cobrar sus ganancias los que han tenido acierto 4 las administraciones donde-jugaron. Es muy diverso el modo de hacer las jugadas: uaos señalan uno 6 mas nümeros, y los juegan à estracto simple © 4 estracto determinado; y si sale alguno 6 algunos de los que jugaron, reciben un premio igual 4 10 veces lo que juga. ron à cada estracto simple de los que aciertan, d à 5o veces lo que jugaron ä cada estracto determinado de los que aciertan. Otros señalan 2 6 mas nümeros, y los juegan al ambo ; y. si aciertan 2 nümeros ganan un ambo, si aciertan tres nümeros gaaan 3 ambos, si 4, ganan 6 ambos, ÿ si aciertan los 5 ganan 10 ampos: por cada ambo que ganan reciben un premioa igual 4 238 veces lo que jagaron 4 cada ambo de los que aciertan. Otros ültimamente señalan 3 6 mas nümeros, y los juesan al terno, y si aciertan 3 nûmeros ganan un terno, Si 4, ganan 4 ternos, y si los 5, ganan ro ternos; y por cada terno que aciertan reciben un premio igual 4 4250 veces lo que ju- [71] -garon à cada terno de los que aciertan, Cada uno paga tantos aimbos 6 ternos como combinaciones diferentes de 4 dos 6 de à tres nümeros es posible hacer con los nümeros que juegan. Si, por egemplo, se juegan 5 nümeros al ambo, se pagarin $#=r0 ambos; si se juegan los 5 nümeros al terno, se pagan Le 10 ternos ; y si se Juegan al ambo y teruo, se pagan 10 ambos y 10 ternos. Si se juegan 10 nümeros al ambo, se pagan =2°=45 De ambos ; si se juegan al terno, se pagan <-Ë=r20 ternos ; y si se juegan al ambo y terno, se pagan 45 ambos y 120 ternos. Despues de esto tratemos de resolver la cuestion propuesta. Puesto que en cada estraccion se sacan 5 nümeros de los 90, es evidente que cada nümero tiene =;; de probabilidad para salir; asi que el que ha señalado un nümero tiene + de probabilidad para acertarlo,.y +7 para no acertarlo.. De aqui no .debe inferirse que el-que ha señalado 2 6 3 nümeros tiene 4 Ô :$ de probabilidad para acertar uno; porque entonces el que señalase 18 nümeros tendria =£ de probabilidad de acertar uno, y como esta fraccion es igual à la unidad, se seguiria que el Que juega 18 nümeros tiene certeza de acertar uno; lo cual es un absurdo. | | Para sacar las probabilidades de açertar un nümero señalando dos 6 mas de ellos, consideraremos que una estraccion es una combinacion de 5 nümeros cualesquiera de los 00, y Como estos componen = — 43949268 combinaciones de 4 5 nümeros 6. cinquinas , tendrä 4-su favor el jugador todas aquellas cinquinas que contengan uno 6 mas nümeros de los que senalé. Sis: por epemplo, se juégan dos nümeros, y se quiere saber la: probabilidad de acertar uno, habr4 4 favor todas aquellas cinquinas que contengan uno de los nimeros designados. La cuestion esta pues reducida 4 buscar este némero, Esto es sûmamente fäcil, pues no hay mas que càlculär las cuas ternas que componen los 88 nümeros restantes, y juntar alter hativamente 4 cada una de eilas cada uno de los dos nmeros señalados; asi que se tendrän 4 favor PTE 24663780 . . . +. , 1:2:844 ’ Cinquinas; y dividiendo ahora este nmero por el nümero to= tal de cinquinas, se tendr4.-ff57% —0,106: de probakilidad de acertar nada mgs de un-nümero-señalando dos. Si se“quisiese saber la probabilidad de acertar 4 lo:menos uno de los dos, en- 1] tonces no solo habria 4 favor todas las cinquinas que contuviesen uno de los nümeros señalados, sino tambien todas aquellas que contuviesen los dos: estas ültimas se forman averiguando los ternos de los 88 nümeros restantes, para juntar 4 la vez 4 cada uno de ellos los dos nümeros designados; y se tendrân otros *2272%— 109736 lances favorables, que agregados 4 los 4663780 anteriores, componen 4773516 lances favorables, que divididos por el nümero total de lances, se tendrä 4773516 A0 1086 que es la probabilidad de acertar 4 lo menos un nümero, designando dos. } 48. Para resolver el problema que nos ocupa con toda generalidad , consideraremos una loteria compuesta de 7 nümeros, y que en cada estraccion se sacan m; segun lo que, la probabi- - Jidad de que designando £ nümeros, se acertarän s, se hallarä formando la espresion del nümero de combinaciones de los n-£ nümeros restantes tomados en nümero m-s, que ser (n-t)(n-t-1)(n-t-2)..…. { n=t-(m-s) +1 » > 1.2. doneiatand (m-s) : - considerando despues que los & nûmeros designados pueden com binarse de ter )(t-2)u (6-5 +1) me maneras, RL VS DETTE se multiplicarä esta ültima espresion por la anterior para obtener el numero de lances favorables. El nümero total de lances se sacarä formando las combinaciones que componen los % nümeros de la loteria tomados en nümero g, que son ‘ n(n-1)..(n-m+3) L. DT co 71 ; [73] y dividiendo por ülrimo.el nümero de lances favorables por el nümero total de lances, se tendrä la probabilidad pedida, la cual es x I .2:3 sréners(71-S) t{t-1Xt-2). (6-51) 12e a —— ——— À 125 D(-1 ps (n-m+-1) formula que se simplifica, suprimiendo los factores comunes af numerador y denominador. | x Cuando la probabilidad pedida no es: la de la salida de un nümero preciso de nümeros designados, sino la de que no se acertarän menos de,un nûmero determinado,r, por egemplo, entonces se pondrän en lugar de s los nümeros r,rer 72 hasta m, sit>æm, 6 hasta t si tm. Con estos antecedentes ficilmente resolveremos todos los pro= blemas de este género que se puedañ proponer. : Supongamos en primer lugar que se han señalado 20 de ks 90 nümeros, y hallaremos por las férmulas anteriores, las Probabilidades siguientes: | Di at Para no acertar ninguno de los 20 nümeros, 70:69.68.67.66 x.2.3,4.5 X 1,2,3.4.5 90.89.88.87.86 =0,2753; Para acertar un némero nada mas, :-:70.69.68.67 20 1.2.3,4.5, , "= 0,417; 1.2,3.4 1 90.89.88.87.86 10 MT Mer l—= mn in es 5 2 il y C m-2 m-2 Fees m3 Th a Ver FE Fe nl sgcte. BP AB CCR C ÉDET Bent Da D AUS De FANS 71 PP "EB D'$. cp Bret se determinarä por medio de una série, tanto mas convergente cuanto mayor sea el nümero n la razon de cada término de la férmula ‘propuesta comparado con el primero; y ser fäcil determinar la probabilidad que se busca por medio de dicha férmula, la que con las observaciones ültimas queda reducida à ABC “D TP PDF 1) Para obtener [a probabilidad pedida se deben calcular tantos términos de la férmula como unidades haya en i+r, Si suponemos m0, i—=5, que son las condiciones de la loteria primitiva, hallaremos calculando los seis primeros términos para la probabilidad de que haÿan salido todos los nû= meros en 100 eéstracciones 0,7410 Considerando solo 85 estracciones, hallariamos 0,4887. En 150 estracciones la pro babilidad de que hayan salido todos los nümeros es 0,983r, y ültimamente en 200 estracciones la misma probabilidad es 0,99902. [8] De la esperanza, matemätica y dela valuccien de las apuectas 52... Entiéndese por esperanza matemätica e2 producto de Una suma eventual por la probabilidad de obtenerla. Si > por ecem« Po, hay un fondo de una, importancia x destinado para aquel de dos jugadores que gane el juego ,:y suponemos que uno tiene à de probabilidad. para ganarlo: el otro £ la esperanza mareMätica del, primero sobre dicho fondo ser4 FXa5, y la del Sgundo +xx—{: por manera que trarando de euagenar su Speranza uno de los jugadores,, lo'que equitativamente puede Pedir por la suya el primero es, yel segundo Fe 153. Segun esto es muy: ficil determinar ja parte que cada Uno .deberä poner en el fondo antesde principiarse el jüegos Dues es claro que la parte de cada uno: debé. ser proporcional 4 €Speranza que tiene de-ganar. De aqui se infiere que a sumæ Le cada uno de los Jugadores debe poner en el fondo det Juego de ser. proporcional al numero de lances que tiene en su favur; ° suerte que Îlamando.e la. probabilidad de un. jugador , f la $ otro, ya b las ;sumas que ;ponen. en el fondo, para que ed fartido sea equitacivo, debe verificarse. la Proporcion aïbi:e:f, de donde af=be. Si, por esemplo, apuesta un Jugador-sacat un punto deteri. inado-tiraudo con. ua -dado.de seis «caras, lo que debe poner Qel fondoes r, ÿ Su contrario 5, porque el primero no tiene Mas. de-un lance en su favor, mientras éste tiene cinco; y de Ste modo se, verifica la Proporcion =: #::1:5, Esto es muÿ acillo, pero para comprenderlo:con-mas: claridad, suponga— q. ueiseis jagadores.se han repartido los:seis lances que pue- | Musuceder, ;cuando se-tita nn:dado 2de ‘seis ‘Caras, tomando Ada. uno el suyo,; eneste caso: todos: deberän poner' igual can “ad en el fondo , porque no hay razon ninguna para que üno ne mas y otro menos. En este estado, si otro jugador qui € sustituirsé 4 cinco dé Jos que han apostado , 6 quisiese Bprarles : su esperanzai,, deberia:da 4: cata tino su dinerôs Por consiguiente este-Jugador pondria 5 tantos rrins que su “rario,, Del wismormodordiscurriremos con réspecto 4/otros 11 [ 82: egemplos mas complicados, Si, . egemplo, se quiere saber lo que debe pouer en el fondo el que apuesta sacar 4 lo menos dos veces el punto 4 tirando cinco veces el mismo dado, sabiendo por el némero 27 que la probabilidad de este lance es Le, infeririamos que debia poner 1526: y su contrario 6250, © 54. Cuando la decision del'juego depende de pruebas re petidas, y han tenido lugar ya algunas de ellas, varia la esperanza matemâtica y puede adquirir mas 6 'menos importancia: Supongamos que apuesta uno sacar 2 veces sepuidas el punto 6 tirando dos veces un dado de 6 caras, y que por consiguienté ha puesto 1 en el fondo y su contrario 35 ; despues de esto 5 tira una vez el dado y sale/un_ 6; y'antes de tirarse la segandi vez se convienen en separarse, ;qué cäntidad debe tomar cadi ‘uno? Es:claro que el primero debe Ilevarse 6 ÿ su'contrario 30; porque habiendo salido ya una vez el 6,; la decision de la suette depende de que salga 6 no el 6 en la tirada que queda; Ÿ como la probabilidad de que salga el 6 en esta tirada es +, J la de “que no salga £, se Ilevarä el primero la sesta parte de fondo y el segundo las cinco séstas: partes, * p 2. Del: mismo modo; si suponemos que hay un fondo destin®” do para aquel de dos jugadores que gane antes tres juegos , Ÿ que, habiendo ganado uno de ellos dos juegos y el otro un® quiere separarse, nos serä fäcil determinar por medio de probabilidades compuestas la parte que cada uno se debe Ileval Paratesto_consideraremos que: sise hubiese jugado un juef” mas , y lo hubiese ganado el primero, se Ilevaria todo el fondo la probabilidad de este acontecimiento es =. Si el juego lo gañ el segundo jugador, cada uno de ellos habria ganado dos juego” y el siguiente decidiria la suerte; pero como la probabilids de que llegue 4 jugarse este juego es 3, tendrä cada jugador x probabilidad de ganarlo: ahora bien, esta ültima probabilid’ s la ünica esperanza que le queda al sepundo jugador, mientf? que el primero tiene ademas 4 desde el juego precedente; sef pues las probabilidades 6 las esperanzas que quedan 4 cada W | | para el primer jugador 4 };=3, y para el 2.° #5 y por consiguiente si el fondo del juego fuese 36 pieza primero se Ilevaria 36x3=27, y el segundo 36x79: d Hemos considerado aqui la separacion de los jugadores an | [83 dé la decision de su suerte como hu de convencion, pero ‘en muchos casos puede ser necesaria; y esto sucede cuando no se puede determinar el fin del juego, el que puede ser intermina= ble en los juegos al rebatir. Supongamos, contrayéndonos al egemplo del n.° 46, cuestion 97, que el jugador À gana un puñto al primer golpe, y que entonces propone la separacion. Segun la tabla del numero citado si sale 4 à la primera tirada, ya no quedan para la segunda sino los acontecimientos À 6 B, de los que cada uno tiene 3 de probabilidad; si sale el primer gana el jugador À, y si sale el segundo quedan reducidos 4 la igualdad los dos jugadores; 6 quedan, como al principio del juego, con la probabilidad 4 de ganar; luego el primer jugador tiene, despues de ganado un punto, + -x4+ de probabilidad de ganar, y el segundo 4x4=+7 solamente; ÿ por consi— guiente si se separan, se Îlevarä el primero los à del fondo, y el segundo +. CONCLUSION. Por todo lo que precede se ha podido notar la exactitud de que es susceptibleel Cälculo de las Probabilidades, y hasta qué ‘Punto puede fundar los -motivos de nuestra opinion sobre los acontecimientos inciertos. Es verdad que por medio de este ramo de las Matemäticas no se fija de un modo preciso lo que infaliblemente debe suceder ; pero se determina con toda la exactitud_ de-un cälculo rigorosamente verdadero el grado de: confiariza -con : que: debemos -esperar. el aconteciiniento que sea el objeto de nuestra interes; y esto: es ya sin duda muy importante, Aunque sea cierto que con solo: el auxilio de la . razon podemos Ilegär 4 descubrir la mayor 6 menor probabilidad de un acontecimiento, nos es imposible sin embargo deter - minar el grado de confianza. con que debemos.esperarlo, sin Valernos para esto del cälculo; ‘y aurtnos puede suceder que, Îlevados de las apariencias; tengamos por muy probables algunos hechos ; que; -sujétandolos 4 un”cälculo matemätico , resulten ser improbables, 6 que'sea menor que + la fraccion que esprese su’ probabilidad: “tri à Solo las Jeyes de las combinaciones y algunos principios de &lgebra, nos han conducido al descubrimiento de las verdades importantes que contiene esta primera seccion del Cäl- 04 cülo de: las Probabilidädes: Pero ‘estasmismns leyes ya apli cacion de las partes-mas elevadas del älgebra, conducen 4 resul: tados mucho mas interesaites en la determinacion de las proba: bilidades diposterioris La consideracion de las Pruebas repetidas, y la determinacion dellas probabilidades compuestas de los acontecimientos que de ellas resultan con arreglo/ä .sus probabilidaz des simples ; hizo concebir la! idea dé hacer servir de una ma nera incontestable la observacion de los acontecimientos pasados & la determinacion de’ los: futüros, y Ilegar 4 conocer la proba bilidad de los: hechos tnicamente por medio. de las observacignes, por que es demostrado, que en una larga série de pruebas, | la distribucion de los acontecimienitos simples tiende continuaMente 4 aproximarse 4 la razon de su probabilidad. Esta ley que se pru-ba :por el cälculo, ÿ-qûe acredita la esperiencia, es inu lumiñosa , ÿ diômorivo 4 Jacobo Bernoulli. para‘ llevar el Céleulo de las Probabilidades mas l-jos de lo que tal vez podian imagie nar los primeros que se ocuparon de él, icon el tnico objeto de resolver cuestiones relativas 4 los juegos de suerte, Bernoulli comparô: los 'acontecirnientos, CUyA causa no se |conioce, 41lab ex tracciones repetidas desana urna que: contuviese un ntmero Fgnorado de billetes :blancos y negros ; pero que permaneciese siempre el mismonümero, volviendo 4 meter en Ja: urna 4 cada tirada el billete que se hubiesesacado : esta suposicion es leuie tima, pues pudiéndose mirar ‘como infinito el nümero de los aconteciinientos: naturales no -debe considerarse que:se dismi - nuye sensiblemente, porquese verifiquen los que ‘observamos. Esto le dié ‘motivo 4 proponerse: el'siguiente problema que tüvo sin resolverien suilibro de memoria por espacio de veinte años, 4 saber: Buscar si, aumentando: sin cesar él nümero de observaciones , se hacla crecer la probabilidad de tener la verdadera razon entre el nümero de lances que producen un acontecirmiento y los lances contrarios, de tal modo que dicha Probubilidad llegase d'ser Mayor que un, grado determinado: de certeza. La solucion de este problema,. y: la de otros que se le siguieron, abri uh estenso campo donde: se-egercitaron sublimes talentos € ilustres geômetras, aplicando con tanto fruto el Cälculo! dé las Probabilidades 4 las ciencias fisicas, morales y politicas, +: 2 Ge , "Mioroil si 2h HER: de Lo contenido en este Lopéisculo. ZAéepciones de Las voces certeza.y. probabilidad. 42. 3 Definicion de la probabilidad matemaätica. . 7 La unidad es el simbolo de lo absolutamente cierto. … ibid, Determinacion à priori de la probabilidad matemdPLU DIS MU ee + a Me stle este le Di se lbs D Cüômo se obtiene B probabilidad Rp. Si TR OMR Como se obtiene la probabilidad compuesta. . . . .. 18 Determinacion de las probabilidades en las pruebas repetidas de los mismos lances. . ........, 24 Cômo se determina el némero necesario de ue para que un acontecimiento adquiera una probabiLL Er LT An VS LE PE a TE ARE L Cômo se determinan las probabilidades simples por medio de Las compuestas. . ....... anne laits r103 Cual es el acontecimiento compuesto mas PÉRATTA en un numero cualquiera de pruebas. , 34 Resolucion de varias cuestiones por medio de las PÉOUADTIUA US A EMAIDRA Re ee die ae ue 47 UTC ET ST MÉNONS APN EC EE Ce Anh 0e 0 OR CORCONE QMAR RES DR eee de + à à +, DU AL ER EE PSE OPEN ….. 53 QUE er ein Shui sos ess. 54 SSH Res Na 06 h OBS SITES PRTRENRT MAIRES don, DAME + cette DUR RAR ET en ele st staln so ee à o :0T OUR Nr ne Re pra s n°0 0 4 _Ü4 Determinacion de las probabilidades de la Loteria. . 70 OS ie nn ae » » e:0IQ. De la esperanza matemäâtica y de [a valuacion de RURAAMENEAN Ie Re se Melia le à Non Es 107 Conclysion. ardent 14 10 fedora ana ee Loteie 88 ‘ G 1 ” : { ’ (a # i . r LVL. , e > SM es ED ee € 0 D ns den e-.J8 0... 8. 0 » " Lu TN el Sa te CR s . : } C} . s Pägina. Linea. ERRATAS, Dice. de el los 54 (nm) (m+-m) m, 5,3.°2° n +1365m "n +5005mn°n 210,32 menos à que se +35ef —+126e°f 6, Ecase, de ellos 5S (nm) (n—+-11)8 m°, O2 n° —+1365m" "nt —+5005m°n° 210.3.5a+ menor que se +35eft —+126ef* 6* LE