Modelos de previsão a curto prazo para variáveis meteorológicas

Fernanda Catarina Cardoso Pereira Modelos de Previsão a Curto Prazo para Variáveis Meteorológicas novembro de 2020 U M i n h o | 2 0 2 0 Fernanda Catarina Cardoso Pereira Universidade do Minho Escola de Ciências Modelos de Previsão a Curto Prazo para Variáveis Meteorológicas Fernanda Catarina Cardoso Pereira Modelos de Previsão a Curto Prazo para Variáveis Meteorológicas Dissertação de Mestrado Mestrado em Estatística Trabalho efetuado sob a orientação da Professora Doutora Arminda Manuela Andrade Pereira Gonçalves e do Professor Doutor Marco André da Silva Costa Universidade do Minho Escola de Ciências novembro de 2020 DIREITOS DE AUTOR E CONDIÇÕES DE UTILIZAÇÃO DO TRABALHO POR TERCEIROS Este é um trabalho académico que pode ser utilizado por terceiros desde que respeitadas as regras e boas práticas internacionalmente aceites, no que concerne aos direitos de autor e direitos conexos. Assim, o presente trabalho pode ser utilizado nos termos previstos na licença abaixo indicada. Caso o utilizador necessite de permissão para poder fazer um uso do trabalho em condições não previstas no licenciamento indicado, deverá contactar o autor, através do RepositóriUM da Universidade do Minho. Licença concedida aos utilizadores deste trabalho Atribuição CC BY https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/ Agradecimentos “Podes esbo¸car, criar e construir o lugar mais maravilhoso do mundo. Mas s˜ao necess´arias pessoas para tornar o teu sonho realidade.” (Walt Disney) Aos meus orientadores, Professora Doutora Arminda Manuela Gon¸calves e ao Professor Doutor Marco Costa, pela disponibilidade, por todo o apoio, paciˆencia, dedica¸c˜ao, amizade e pela partilha de conhecimentos ao longo deste ano. ` A minha querida m˜ae, pelo amor incondicional, pelo incentivo, conselhos, palavras carinhosas, apoio, transmiss˜ao de valores morais e por toda a base educacional. Muito obrigada. ` A minha querida irm˜a e ao meu cunhado, por estarem presentes quando preciso, por me ouvirem, por me incentivarem a continuar e por todo o carinho. A todos os meus amigos e colegas que me acompanharam ao longo desta jornada. Obrigada pela ajuda, incentivo e amizade. ` A Professora Doutora Sofia Lopes, pela bolsa concebida. Ao Professor Doutor Aureliano, pela cedˆencia da base de dados. A todos os Professores que me acompanharam e fizeram parte da minha forma¸c˜ao. Este trabalho foi cofinanciado pelo Fundo Europeu de Desenvolvimento Regional (FEDER), atrav´es do SA&ICT do Programa Operacional de Competitividade e Internacionaliza¸c˜ao (POCI) - COMPETE 2020, do Portugal 2020, pela Funda¸c˜ao para a Ciˆencia e a Tecnologia (FCT), atrav´es de Fundos Nacionais. iii DECLARAÇÃO DE INTEGRIDADE Declaro ter atuado com integridade na elaboração do presente trabalho académico e confirmo que não recorri à prática de plágio nem a qualquer forma de utilização indevida ou falsificação de informações ou resultados em nenhuma das etapas conducente à sua elaboração. Mais declaro que conheço e que respeitei o Código de Conduta Ética da Universidade do Minho. vi Resumo Nos ´ultimos anos, devido `as altera¸c˜oes clim´aticas, os per´ıodos de seca tˆem sido mais frequentes e prolongados e, portanto, torna-se essencial uma gest˜ao sustent´avel da ´agua, em particular, nos sistemas de rega. Este estudo tem como principal objetivo desenvolver modelos de previs˜ao a curto prazo (com horizonte temporal at´e 6 dias), para as diferentes vari´aveis meteorol´ogicas que tˆem impacto no processo de evapotranspira¸c˜ao. Assim, s˜ao propostos os modelos de espa¸co de estados que permitem lidar com s´eries temporais com um comportamento inst´avel, que ´e uma caracter´ıstica predominante nos dados meteorol´ogicos. Estes modelos s˜ao muito flex´ıveis permitindo incorporar componentes estoc´asticas bastante ´uteis na previs˜ao a curto prazo, melhorando, assim, a qualidade preditiva das previs˜oes obtidas. Os modelos propostos est˜ao associados ao filtro de Kalman na obten¸c˜ao das predi¸c˜oes ´otimas das vari´aveis n˜ao observ´aveis, uma vez que ´e um algoritmo recursivo que atualiza e melhora as previs˜oes do vetor de estados em tempo real, sempre que novas observa¸c˜oes ficam dispon´ıveis. Neste estudo s˜ao analisadas duas bases de dados distintas: a primeira corresponde a registos di´arios de vari´aveis meteorol´ogicas, temperaturas m´axima e m´ınima do ar, registadas numa esta¸c˜ao meteorol´ogica instalada numa quinta em Carrazeda de Ansi˜aes, situada em Bragan¸ca, regi˜ao Norte de Portugal, recolhidas no per´ıodo de 20 de fevereiro a 11 de outubro de 2019; a segunda base de dados ´e referente `as previs˜oes provenientes do website weatherstack.com com horizonte temporal at´e 6 dias relativas `as mesmas vari´aveis meteorol´ogicas e no mesmo per´ıodo temporal. Apresenta-se uma compara¸c˜ao entre modelos de previs˜ao, nomeadamente os modelos de espa¸co de estados associados ao filtro de Kalman, em particular o modelo de calibra¸c˜ao, e os modelos de regress˜ao linear simples, que constituem uma classe particular do modelo de calibra¸c˜ao, considerando o estado determin´ıstico. Esta disserta¸c˜ao foi realizada no ˆambito de uma Bolsa de Investiga¸c˜ao (BI) do Projeto “TO CHAIR - Os Desafios ´ Otimos na Irriga¸c˜ao”, cofinanciado pelo Fundo Europeu de Desenvolvimento Regional (FEDER), atrav´es do SA&ICT do Programa Operacional de Competitividade e Internacionaliza¸c˜ao (POCI) - COMPETE 2020, do Portugal 2020, pela Funda¸c˜ao para a Ciˆencia e a Tecnologia (FCT), atrav´es de Fundos Nacionais. Palavras-chave: Irriga¸c˜ao; S´eries temporais; Previs˜oes a curto prazo; Vari´aveis meteorol´ogicas; Calibra¸c˜ao; Modelo de espa¸co de estados; Filtro de Kalman. vii 7.6 Box plots e histogramas da temperatura m´ınima observada e das respetivas previs˜oes a h-passos, h= 1,...,6 dias provenientes do website. 66 7.7 Coeficientes de correla¸c˜ao linear de Pearson (r) e valores de prova (p) entre a temperatura m´ınima observada, Ym t, e as respetivas previs˜oes ah-passos, Wm t,(h),h= 1,...,6dias.................... 67 7.8 Box plots do r´acio entre a temperatura m´axima observada e as respetivas previs˜oes a h-passos, h= 1,...,6dias. .............. 70 7.9 Box plots do r´acio entre a temperatura m´ınima observada e as respetivas previs˜oes a h-passos, h= 1,...,6dias. .............. 70 7.10 S´eries da temperatura m´axima observada e das respetivas previs˜oes ah-passos, h= 1,...,6dias........................ 72 7.11 S´eries da temperatura m´axima observada (a preto), previs˜oes do website (a vermelho) e das previs˜oes calibrada (a azul); gr´afico superior - MEES1, gr´afico inferior - MEES6..................... 76 7.12 Parte superior - previs˜oes βt|t−1, centro - filtragem βt|t, parte inferioralisamento βt|npara a temperatura m´axima; lado esquerdo - MEES1, lado direito - MEES6............................ 77 7.13 S´erie, histograma e QQ-plot dos res´ıduos da temperatura m´axima; lado esquerdo - MEES1, lado direito - MEES6.............. 78 7.14 FAC e FACP dos res´ıduos da temperatura m´axima; lado esquerdo - MEES1, lado direito - MEES6....................... 78 7.15 S´eries da temperatura m´axima observada (a preto), previs˜oes do website com a substitui¸c˜ao dos outliers do r´acio YM t/WM t,(h)(a vermelho) e das previs˜oes calibrada (a azul); gr´afico superior - MEES∗ 1, gr´afico inferior - MEES∗ 6.............................. 79 xiv 7.16 Parte superior - previs˜oes βt|t−1; centro - filtragem βt|t; parte inferioralisamento βt|npara a temperatura m´axima; lado esquerdo - MEES∗ 1, lado direito - MEES∗ 6............................ 80 7.17 S´erie, histograma e QQ-plot dos res´ıduos; lado esquerdo - MEES∗ 1, lado direito - MEES∗ 6............................ 81 7.18 FAC e FACP dos res´ıduos da temperatura m´axima; lado esquerdo - MEES∗ 1, lado direito - MEES∗ 6....................... 81 7.19 S´eries da temperatura m´axima observada (a preto), previs˜oes do website (a vermelho) e das previs˜oes calibrada (a azul); gr´afico superior - MEEC1, gr´afico inferior - MEEC6..................... 85 7.20 Parte superior - previs˜oes βt|t−1; centro - filtragem βt|t; parte inferioralisamento βt|npara a temperatura m´axima; lado esquerdo - MEEC1, lado direito - MEEC6. .......................... 86 7.21 S´erie, histograma e QQ-plot dos res´ıduos da temperatura m´axima; lado esquerdo - MEEC1, lado direito - MEEC6. ............ 87 7.22 FAC e FACP dos res´ıduos da temperatura m´axima; lado esquerdo - MEEC1, lado direitoMEEC6....................... 87 7.23 S´eries da temperatura m´axima observada (a preto), previs˜oes do website com a substitui¸c˜ao dos outliers do r´acio YM t/WMt,(h)(a vermelho) e das previs˜oes calibrada (a azul); gr´afico superior - MEEC∗ 1, gr´afico inferior - MEEC∗ 6.......................... 88 7.24 Parte superior - previs˜oes βt|t−1; centro - filtragem βt|t; parte inferioralisamento βt|npara a temperatura m´axima; lado esquerdo - MEEC∗ 1, lado direito - MEEC∗ 6. .......................... 88 7.25 S´erie, histograma e QQ-plot dos res´ıduos da temperatura m´axima; lado esquerdo - MEEC∗ 1, lado direito - MEEC∗ 6. ............ 89 xv 7.26 FAC e FACP dos res´ıduos da temperatura m´axima; lado esquerdo - MEEC∗ 1, lado direito - MEEC∗ 6. ..................... 90 7.27 S´eries da temperatura m´ınima observada (a preto) e das respetivas previs˜oes a h-passos (a vermelho), h= 1,...,6 dias. . . . . . . . . . . 92 7.28 S´eries da temperatura m´ınima observada (a preto), previs˜oes do website (a vermelho) e das previs˜oes calibrada (a azul); gr´afico superior - MEES1, gr´afico inferior - MEES6..................... 96 7.29 Na parte superior - previs˜oes βt|t−1; no centro - filtragem βt|t; na parte inferior - alisamento βt|nda temperatura m´ınima. Lado esquerdo - MEES1, lado direito - MEES6....................... 97 7.30 S´erie, histograma e QQ-plot dos res´ıduos da temperatura m´ınima; lado esquerdo - MEES1, lado direito - MEES6.............. 98 7.31 FAC e FACP dos res´ıduos da temperatura m´ınima; lado esquerdo - MEES1, lado direito - MEES6....................... 98 7.32 S´eries da temperatura m´ınima observada (a preto), previs˜oes do website ah-passos (a vermelho) e das previs˜oes calibrada (a azul); gr´afico superior - MEES∗ 1, gr´afico inferior - MEES∗ 6. .............. 99 7.33 Na parte superior - previs˜oes βt|t−1; no centro - filtragem βt|t; na parte inferior - alisamento βt|nda temperatura m´ınima; lado esquerdo -MEES∗ 1, lado direito - MEES∗ 6. .....................100 7.34 S´erie, histograma e QQ-plot dos res´ıduos da temperatura m´ınima; lado esquerdo - MEES∗ 1, lado direito - MEES∗ 6..............100 7.35 FAC e FACP dos res´ıduos da temperatura m´ınima. Lado esquerdo - MEES∗ 1, lado direito - MEES∗ 6.......................101 7.36 S´eries da temperatura m´ınima observada (a preto), previs˜oes do website (a vermelho) e das previs˜oes calibrada (a azul); gr´afico superior - MEEC1, gr´afico inferior - MEEC6.....................105 xvi 7.37 Na parte superior - previs˜oes βt|t−1; no centro - filtragem βt|t; na parte inferior - alisamento βt|nda temperatura m´ınima; lado esquerdo - MEEC1, lado direito - MEEC6. ....................106 7.38 S´erie, histograma e QQ-plot dos res´ıduos da temperatura m´ınima; lado esquerdo - MEEC1, lado direito - MEEC6. ............106 7.39 FAC e FACP dos res´ıduos da temperatura m´ınima; lado esquerdo - MEEC1, lado direito - MEEC6. .....................107 7.40 S´eries da temperatura m´ınima observada (a preto), previs˜oes do website com a substitui¸c˜ao dos outliers do r´acio Ym t/Wm t,(h)(a vermelho) e das previs˜oes calibrada (a azul); gr´afico superior - MEEC∗ 1, gr´afico inferior - MEEC∗ 6..............................108 7.41 Na parte superior - previs˜oes βt|t−1; no centro - filtragem βt|t; na parte inferior - alisamento βt|nda temperatura m´ınima; lado esquerdo - MEEC∗ 1, lado direito - MEEC∗ 6. ....................108 7.42 S´erie, histograma e QQ-plot dos res´ıduos da temperatura m´ınima; lado esquerdo - MEEC∗ 1, lado direito - MEEC∗ 6. ............109 7.43 FAC e FACP dos res´ıduos da temperatura m´ınima; lado esquerdo - MEEC∗ 1, lado direito - MEEC∗ 6. .....................110 xvii xviii Lista de Tabelas 2.1 Compara¸c˜ao da FAC e FACP dos v´arios processos ARMA(p, q), adaptado de Murteira et al. (1993)....................... 23 7.1 Estat´ısticas descritivas da temperatura m´axima observada, YM t, e das respetivas previs˜oes a h-passos, WM t,(h),h= 1,...,6 dias do website. . 63 7.2 Estat´ısticas descritivas da temperatura m´ınima observada, Ym t, e das respetivas previs˜oes a h-passos, Wm t,(h),h= 1,...,6 dias do website. . 67 7.3 Estimativas dos parˆametros e respetivos erros padr˜ao dos quatro modelos para a s´erie da temperatura m´axima, onde YM trepresenta a temperatura m´axima observada, WM t,(h)corresponde `as previs˜oes a hpassos do website eWM∗ t,(h)corresponde `as previs˜oes com a substitui¸c˜ao dos outliers do r´acio YM t/WM t,(h),h= 1,...,6 dias. . . . . . . . . . . . 74 7.4 Compara¸c˜ao das medidas e de crit´erios de sele¸c˜ao dos quatro modelos para a s´erie da temperatura m´axima. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 7.5 Estimativas dos parˆametros e respetivos erros padr˜ao dos quatro modelos com a componente aditiva determin´ıstica αpara a s´erie da temperatura m´axima, onde YM trepresenta a temperatura m´axima observada, WM t,(h)corresponde `as previs˜oes a h-passos do website e WM∗ t,(h)corresponde `as previs˜oes com a substitui¸c˜ao dos outliers do r´acio YM t/WM t,(h),h= 1,...,6dias..................... 83 xix 7.6 Compara¸c˜ao das medidas e dos crit´erios de sele¸c˜ao dos quatro modelos para a s´erie da temperatura m´axima. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 7.7 Estimativas dos parˆametros e respetivos erros padr˜ao dos quatro modelos para a s´erie da temperatura m´ınima, onde Ym trepresenta a temperatura m´ınima observada, Wm t,(h)corresponde `as previs˜oes a hpassos do website eWm∗ t,(h)corresponde `as previs˜oes com a substitui¸c˜ao dos outliers do r´acio Ym t/Wm t,(h),h= 1,...,6dias. ........... 94 7.8 Compara¸c˜ao das medidas e de crit´erios de sele¸c˜ao dos quatro modelos sem constante aditiva da temperatura m´ınima di´aria. . . . . . . . . . 95 7.9 Estimativas dos parˆametros e respetivos erros padr˜ao dos quatro modelos com a componente aditiva determin´ıstica αpara a s´erie da temperatura m´ınima, onde Ym trepresenta a temperatura m´ınima observada, Wt,(h)corresponde `as previs˜oes a h-passos do website eWm∗ t,(h) corresponde `as previs˜oes com a substitui¸c˜ao dos outliers do r´acio Ym t/Wm t,(h),h= 1,...,6dias........................103 7.10 Compara¸c˜ao das medidas e dos crit´erios de sele¸c˜ao dos quatro modelos com constante aditiva para a s´erie da temperatura m´ınima. . . . . . . 104 A.1 Teste da Normalidade Kolmogorov-Smirnov para a s´erie da temperatura m´axima, YM te das respetivas previs˜oes do website weatherstack, WM t,(h),h= 1,...,6dias. .........................123 A.2 Teste da Normalidade Kolmogorov-Smirnov para a s´erie da temperatura m´ınima, Ym te das respetivas previs˜oes do website weatherstack, Wm t,(h),h= 1,...,6dias. .........................123 A.3 Outliers do r´acio, YM t/WM t,(h), temperatura m´axima observada, YM t, previs˜oes do website weatherstack,WM t,(h)e previs˜oes do website com a substitui¸c˜ao dos outliers do r´acio por interpola¸c˜ao linear, WM∗ t,(h), h= 1,...,6dias. .............................123 xx A.4 Outliers do r´acio, Ym t/Wm t,(h), temperatura m´ınima observada, Ym t, previs˜oes do website weatherstack,Wm t,(h)e previs˜oes do website com a substitui¸c˜ao dos outliers do r´acio por interpola¸c˜ao linear, Wm∗ t,(h), h= 1,...,6dias. .............................125 B.1 Estimativas e erros padr˜ao do modelo de regress˜ao linear simples e do modelo de calibra¸c˜ao sem constante aditiva para a s´erie da temperatura m´axima dividida em duas subs´eries: primeira subs´erie - 20 fevereiro at´e 20 abril de 2019; segunda subs´erie - 21 abril at´e 11 outubrode2019.................................130 B.2 Estimativas e erros padr˜ao do modelo de regress˜ao linear simples e do modelo de calibra¸c˜ao com constante aditiva para a s´erie da temperatura m´axima dividida em duas subs´eries: primeira subs´erie - 20 fevereiro at´e 20 abril de 2019; segunda subs´erie - 21 abril at´e 11 outubrode2019.................................131 B.3 Medidas de avalia¸c˜ao dos modelos referentes `as subs´eries da temperaturam´axima. ...............................132 xxi xxii Lista de abreviaturas AIC -Akaike’s Information Criterion (em portuguˆes, Crit´erio de Informa¸c˜ao de Akaike) AR -Autoregressive model (em portuguˆes, modelo Autorregressivo) ARIMA -Autoregressive Integrated Moving Average model (em portuguˆes, modelo Autorregressivo Integrado de M´edias M´oveis) ARMA -Autoregressive Moving Average model (em portuguˆes, modelo Autorregressivo e de M´edias M´oveis) BI - Bolsa de Investiga¸c˜ao BIC -Bayesian Information Criterion (em portuguˆes, Crit´erio de Informa¸c˜ao Bayesiano) CV -Cross-Validation (em portuguˆes, Valida¸c˜ao Cruzada) EAM - Erro Absoluto M´edio EEAM - Erro Escalado Absoluto M´edio EM - Erro M´edio EPAM - Erro Percentual Absoluto M´edio EQM - Erro Quadr´atico M´edio FAC - Fun¸c˜ao de Autocorrela¸c˜ao FACP - Fun¸c˜ao de Autocorrela¸c˜ao Parcial FCT - Funda¸c˜ao para a Ciˆencia e a Tecnologia FEDER - Fundo Europeu de Desenvolvimento Regional FK - Filtro de Kalman xxiii Cap´ıtulo 1. Introdu¸c˜ao Os modelos de regress˜ao linear tˆem sido a abordagem mais aplicada quando um modelo de previs˜ao ´e necess´ario. No entanto, Gon¸calves e Costa (2013) salientam que ´e pouco prov´avel que os modelos estat´ısticos com efeitos fixos produzam uma boa precis˜ao preditiva, particularmente em situa¸c˜oes onde a rela¸c˜ao entre o preditor e a covari´avel n˜ao seja constante ao longo do tempo. Neste artigo, tamb´em referem que os modelos de espa¸co de estado linear tˆem o potencial de superar o modelo de regress˜ao linear usual em termos de sua capacidade de incorporar a dinˆamica temporal inerente ao procedimento em estudo. Nas s´eries temporais de dados meteorol´ogicos, ´e muito comum faltar um n´umero significativo de dados e, quando os valores ausentes causam erros, Hyndman e Athanasopoulos (2018) referem que h´a pelo menos duas alternativas para lidar com o problema. Uma seria apenas utilizar todos os dados ap´os o ´ultimo valor ausente, supondo que existam observa¸c˜oes suficientes para produzir previs˜oes significativas. Outra alternativa seria substituir os valores em falta por estimativas. O FK permite modelar s´eries temporais com valores em falta. Por exemplo, Linroth (2014) aplicou o FK a dados obtidos desde janeiro de 1983 at´e dezembro de 2003, relativos `a altura das ondas do mar, onde faltavam cerca de 17% dos dados. Para al´em da presen¸ca de valores em falta neste tipo de dados, existem tamb´em eventualidades que os perturbam. Costa e Gon¸calves (2011) referem que os dados ambientais s˜ao naturalmente afetados pelas diferentes esta¸c˜oes do ano e pelas altera¸c˜oes clim´aticas que se tˆem verificado de forma mais agravada nos ´ultimos anos. Portanto, qualquer modelo de previs˜ao deve ter em considera¸c˜ao esses dois fatores. Os MEE possuem uma estrutura muito vers´atil e gra¸cas a esta caracter´ıstica, tˆem sido aplicados em diversas ´areas, sobretudo na ´area ambiental. Por exemplo, Costa e Alpuim (2010, 2011) consideraram modelos de espa¸co de estado associados ao FK na calibra¸c˜ao de observa¸c˜oes da precipita¸c˜ao do radar meteorol´ogico, com o objetivo de melhorar as estimativas da precipita¸c˜ao numa determinada ´area durante um per´ıodo de tempo, relacionando as observa¸c˜oes obtidas de radar meteorol´ogico e de um pluvi´ometro (ou ud´ometro), onde o vetor de estados funciona como um fator de corre¸c˜ao que varia ao longo do tempo. Uma vez que os dados relativos `a precipita¸c˜ao n˜ao seguiam uma distribui¸c˜ao Normal, a aplica¸c˜ao do m´etodo da m´axima verosimilhan¸ca para estimar os parˆametros do MEE n˜ao demonstrou ter um bom desempenho. Neste sentido, em alternativa propuseram uma abordagem independente da distribui¸c˜ao de base na qual, ao contr´ario do m´etodo da m´axima verossimilhan¸ca, os parˆametros do modelo podem ser calculados sem assumir qualquer distribui¸c˜ao espec´ıfica para os erros. Para avaliar o desempenho dos modelos, 6 Modelos de Previs˜ao a Curto Prazo para Vari´aveis Meteorol´ogicas recorreram `a Raiz quadrada do Erro Quadr´atico M´edio (REQM). No geral, os MEE mostraram ser uma abordagem eficiente para melhorar a precis˜ao da estimativa do radar meteorol´ogico da precipita¸c˜ao. Outro exemplo, Gon¸calves et al. (2018) propuseram uma abordagem baseada em modelos estruturais de s´eries temporais com a representa¸c˜ao de espa¸co de estados associados ao FK com o objetivo de analisar e avaliar a evolu¸c˜ao temporal de s´eries de vari´aveis ambientais, em particular no contexto de um problema de monitoriza¸c˜ao da qualidade da superf´ıcie da ´agua numa bacia hidrogr´afica, identificando tendˆencias e poss´ıveis mudan¸cas na qualidade da ´agua num contexto dinˆamico de controlo. Al´em disso, ainda referem que a abordagem proposta permite obter resultados pertinentes relativamente `a avalia¸c˜ao da qualidade da superf´ıcie da ´agua e de pontos de mudan¸ca. Para avaliar a qualidade da ´agua, Dabrowski et al. (2018) apresentam um estudo comparativo, cujo objetivo ´e fornecer assistˆencia aos criadores de camar˜ao de viveiro no monitoriza¸c˜ao da qualidade da ´agua com dados limitados, pois uma m´a gest˜ao em termos da qualidade da ´agua pode provocar grandes perdas nas cria¸c˜oes. Os indicadores de qualidade utilizados foram o oxig´enio dissolvido e o pH. Compararam o desempenho dos MEE Gaussiano linear e n˜ao linear, associados ao FK, cujos modelos foram baseados na estrutura dos dados e n˜ao nos processos subjacentes que os geraram. A medida de avalia¸c˜ao utilizada foi o Erro Percentual Absoluto M´edio (EPAM) e conclu´ıram que, no geral, o modelo linear Gaussiano obteve um melhor desempenho. ´ Alvarez et al. (2019) propuseram um novo algoritmo do FK que fornece uma an´alise estat´ıstica formal aos dados espa¸co-temporais com uma estrutura autorregressiva que permite captar tanto a dependˆencia temporal quanto a estrutura de correla¸c˜ao espacial atrav´es da formula¸c˜ao de espa¸co de estados. Com o principal objetivo de realizar inferˆencia estat´ıstica em termos de estimativa de parˆametros e previs˜ao em locais n˜ao observados, foram comparadas a abordagem do FK com a previs˜ao cl´assica de krigagem por meio de um estudo de simula¸c˜ao, onde mostraram, de uma forma geral, que o desempenho do FK foi superior tanto na estima¸c˜ao como na previs˜ao dos dados espa¸co-temporais. Ao contr´ario da metodologia de krigagem, que utiliza apenas informa¸c˜oes associadas ao instante atual t, o FK incorpora todas as informa¸c˜oes dispon´ıveis at´e ao instante t, n˜ao limitando as informa¸c˜oes temporais gerais. Achar et al. (2020) prop˜oem uma nova metodologia para a previs˜ao do tempo de chegada dos autocarros, em tempo real, cujos dados s˜ao de natureza espa¸cotemporal. O modelo proposto deteta a ordem desconhecida da dependˆencia espacial 7 Cap´ıtulo 1. Introdu¸c˜ao dos dados e, de seguida, captura as correla¸c˜oes temporais entre as viagens sucessivas em fun¸c˜ao da diferen¸ca do tempo. O modelo de previs˜ao proposto for reescrito na formula¸c˜ao de espa¸co de estados linear, onde foi aplicado posteriormente o FK que permitiu obter previs˜oes estatisticamente ´otimas. O m´etodo de otimiza¸c˜ao adotado neste trabalho ´e o m´etodo de Broyden-FletcherGoldfarb-Shanno (1970), usualmente conhecido como BFGS, que ´e um m´etodo num´erico derivado dos m´etodos de otimiza¸c˜ao de Newton onde ´e assumido que a derivada parcial da fun¸c˜ao de log-verosimilhan¸ca em rela¸c˜ao ao vetor dos parˆametros pode ser aproximada localmente atrav´es da expans˜ao da s´erie de Taylor em torno do ponto ´otimo, onde s˜ao utilizadas as primeira e segunda derivadas, que correspondem ao gradiente e `a matriz Hessiana, respetivamente. Este m´etodo iterativo ´e interrompido atrav´es de um crit´erio de convergˆencia definido de acordo com um determinado n´ıvel de tolerˆancia. Shumway e Stoffer (2017) aplicaram o m´etodo BFGS a dados relativos `a taxa de infla¸c˜ao trimestral para obter as estimativas de m´axima verosimilhan¸ca dos parˆametros do modelo com a representa¸c˜ao de espa¸co de estados que relaciona a taxa de infla¸c˜ao trimestral com a covari´avel relativa `a taxa de juros trimestral. 1.2 Estrutura da Disserta¸c˜ao Atendendo aos objetivos a serem alcan¸cados, no Cap´ıtulo 2 faz-se uma introdu¸c˜ao `as s´eries temporais, expondo conceitos importantes, assim como s˜ao apresentados os principais modelos em s´eries temporais. Nos Cap´ıtulos 3 e 4 ´e introduzida e desenvolvida a teoria relacionada aos MEE, nomeadamente a sua formula¸c˜ao, as propriedades inerentes importantes, onde s˜ao dados alguns exemplos de modelos estruturais. De seguida, apresenta-se o algoritmo do FK, assim como o alisamento e previs˜ao. O Cap´ıtulo 4 termina com uma breve compara¸c˜ao entre os MEE e os modelos ARMA. O Cap´ıtulo 5 ´e dedicado `a estima¸c˜ao dos parˆametros do MEE, que ´e feita atrav´es do m´etodo de m´axima verosimilhan¸ca. No Cap´ıtulo 6 s˜ao descritas algumas medidas de avalia¸c˜ao e crit´erios de sele- ¸c˜ao utilizados para comparar o desempenho dos modelos. Tamb´em apresenta-se o m´etodo de valida¸c˜ao cruzada para s´eries temporais e alguns testes estat´ısticos necess´arios para verificar se os pressupostos dos modelos s˜ao verificados. No Cap´ıtulo 7 prossegue-se com a aplica¸c˜ao dos MEE `as s´eries da temperatura m´axima e m´ınima do ar. Inicialmente ´e feita uma breve apresenta¸c˜ao da base de dados, seguida da an´alise explorat´oria de das vari´aveis meteorol´ogicas em quest˜ao 8 Modelos de Previs˜ao a Curto Prazo para Vari´aveis Meteorol´ogicas e, por fim s˜ao exibidos os resultados resultantes do ajustado dos modelos, onde ´e feita uma an´alise comparativa em termos da capacidade preditiva, qualidade de ajustamento e an´alise dos res´ıduos. Por fim, no Cap´ıtulo 8 s˜ao expostas as principais conclus˜oes e propostas para o desenvolvimento do trabalho futuro. 9 Cap´ıtulo 1. Introdu¸c˜ao 10 Cap´ıtulo 2 S´eries Temporais Uma s´erie temporal, {yt, t = 1,2, . . . , n}, ´e definida como sendo um conjunto de observa¸c˜oes indexadas no tempo de um dado fen´omeno. A ordem e o momento aos quais cada uma das observa¸c˜oes est´a associada s˜ao utilizados posteriormente para analisar e modelar as s´eries em estudo. A an´alise de s´eries temporais tem uma vasta aplicabilidade em diferentes ´areas, tais como na economia, medicina, meteorologia, engenharia, entre outros. As s´eries temporais podem ser classificadas como discretas ou cont´ınuas, dependendo do suporte do instante em que foram observadas. Quando as observa¸c˜oes s˜ao medidas em pontos de tempo espec´ıficos, dizem-se que s˜ao discretas, quando s˜ao medidas praticamente em todos os instantes de tempo, dizem-se que s˜ao cont´ınuas. Normalmente, nas s´eries temporais discretas, as observa¸c˜oes s˜ao registadas em intervalos de tempo igualmente espa¸cados, com separa¸c˜oes temporais di´arias, semanais, mensais, anuais, etc. No entanto, uma s´erie temporal cont´ınua pode ser facilmente transformada numa s´erie discreta, discretizando os dados em instantes de tempo espec´ıficos. Ao longo desta disserta¸c˜ao, o estudo ser´a limitado `as s´eries temporais discretas. Dada a natureza deste tipo de observa¸c˜oes, os dados de s´eries temporais tˆem, em regra, como principal caracter´ıstica a presen¸ca de uma dependˆencia temporal entre elas. Ou seja, numa s´erie temporal, n˜ao se pode assumir que as observa¸c˜oes s˜ao independentes entre si. A dependˆencia das observa¸c˜oes ´e um conceito primordial e ´e atrav´es dessa dependˆencia que ´e feita a an´alise e a modela¸c˜ao das s´eries. 11 Cap´ıtulo 2. S´eries Temporais A an´alise de s´eries temporais pode ser feita de v´arias formas, dependendo dos objetivos as serem alcan¸cados. De um modo geral, Murteira et al. (1993) destacam as quatro principais motiva¸c˜oes: a) Descri¸c˜ao. A descri¸c˜ao de uma s´erie ´e uma tarefa prim´aria cuja finalidade passa por compreender como a vari´avel se altera e/ou se relaciona com uma ou mais vari´aveis ao longo de um determinado per´ıodo de tempo. Pode ser feita atrav´es da constru¸c˜ao de um cronograma, c´alculo das medidas descritivas, como a m´edia aritm´etica, variˆancia, a taxa m´edia de varia¸c˜ao, etc; b) Explica¸c˜ao. Encontrar o melhor modelo que permita explicar a evolu¸c˜ao de uma s´erie temporal; c) Previs˜ao. Antecipar a evolu¸c˜ao no futuro das s´eries temporais em estudo, a partir do modelo que melhor se ajustou aos dados, de modo a obter previs˜oes fi´aveis das observa¸c˜oes futuras; d) Controlo. Uma s´erie temporal pode traduzir uma caracter´ıstica quantitativa de uma produ¸c˜ao em s´erie. Admite-se que um processo est´a sob controlo se uma determinada caracter´ıstica se mant´em dentro dos limites previamente estabelecidos; caso contr´ario, a produ¸c˜ao ser´a interrompida e ter´a de se procurar corrigir os fatores respons´aveis pelo comportamento at´ıpico. Decomposi¸c˜ao de uma s´erie temporal Geralmente, uma s´erie temporal pode incorporar quatro componentes que podem ser separadas a partir dos dados observados. Esses componentes s˜ao: a tendˆencia, a sazonalidade, a componente c´ıclica e a componente aleat´oria (Murteira et al., 1993). Acomponente de tendˆencia (Tt) representa a varia¸c˜ao, em m´edia, ao longo do tempo, descrevendo um movimento regular e consistente durante per´ıodos longos. Permite definir o comportamento padr˜ao (crescente, decrescente, linear, n˜ao linear,...) presente na s´erie. Esta componente pode ser consequˆencia de valores observados que dependam de uma componente determin´ıstica que ´e fun¸c˜ao mon´otona do tempo. Acomponente de sazonalidade (St) corresponde `as varia¸c˜oes que se repetem periodicamente, isto ´e, est´a relacionada com as oscila¸c˜oes que ocorrem na s´erie durante um determinado per´ıodo de tempo (semanal, mensal, anual, etc). As varia¸c˜oes sazonais podem ser explicadas por diversos fatores, como por exemplo o clima e as 12 Modelos de Previs˜ao a Curto Prazo para Vari´aveis Meteorol´ogicas esta¸c˜oes do ano, cujo efeito ´e intenso nas atividades tais como a agricultura, turismo, consumo de energia, costumes tradicionais, etc. Acomponente c´ıclica (Ct) associa-se a fases alternadas de expans˜ao e depress˜ao que n˜ao apresentam qualquer tipo de periodicidade definida, podendo esconder uma evolu¸c˜ao no tempo caracter´ıstica. Estes ciclos s˜ao dificilmente separ´aveis da tendˆencia e, al´em disso, s˜ao dif´ıceis de se prever. A maior parte das s´eries temporais econ´omicas e financeiras, como por exemplo a s´erie de produ¸c˜oes e pre¸cos, mostram algum tipo de varia¸c˜ao c´ıclica. Acomponente aleat´oria (Et) ´e a componente estoc´astica engloba tudo o que n˜ao se consegue definir ou modelar. Esta componente tem um papel muito importante nos modelos probabil´ısticos. A an´alise de uma s´erie temporal, de uma forma geral, considera uma das seguintes estruturas ou modelos 1. modelo aditivo Yt=Tt+St+Ct+Et; 2. modelo multiplicativo Yt=Tt·St·Ct·Et; 3. modelos mistos Yt= (Tt+Ct)St+Etou Yt=Tt·St·Ct+Et. O modelo que ir´a obter o melhor ajustamento varia de s´erie para s´erie e, quando a ideia de decomposi¸c˜ao ´e aceite, a melhor op¸c˜ao ser´a fazer v´arias tentativas at´e chegar ao modelo que produza a menor componente residual sem prejudicar a aleatoriedade (Murteira et al., 1993). Um modelo aditivo ´e facilmente obtido a partir de um multiplicativo atrav´es da fun¸c˜ao logar´ıtmica log(Yt) = log(Tt) + log(St) + log(Ct) + log(Et). 2.1 Processos Estoc´asticos Estacion´arios Os modelos determin´ısticos n˜ao s˜ao os modelos mais adequados para estudar fen´omenos dinˆamicos observados no mundo real. O objetivo da teoria dos processos 13 Cap´ıtulo 2. S´eries Temporais estoc´asticos consiste em encontrar o modelo probabil´ıstico que melhor descreva o comportamento de um determinado fen´omeno, a fim de se obter boas previs˜oes. Assim, uma s´erie temporal pode ser vista como uma realiza¸c˜ao de um processo estoc´astico cujo espa¸co de parˆametros ´e um conjunto discreto de´ındices que representa o tempo. Defini¸c˜ao 2.1.1. Um processo estoc´astico ´e qualquer fam´ılia ou cole¸c˜ao de vari´aveis aleat´orias Yt, t ∈T, em que T ´e um conjunto de ´ındices que representa o tempo. O conjunto de ´ındices T chama-se espa¸co de parˆametros e o contradom´ınio das vari´aveis aleat´orias Ytdesigna-se por espa¸co de estados, que se representa por S. Para T=Zou T=Ndiz-se que o processo ´e de tempo discreto. Caso T=Rou T=R+, diz-se que o processo ´e de tempo cont´ınuo. Um processo estoc´astico pode ser estacion´ario se o sistema se encontrar num estado de equil´ıbrio estat´ıstico em torno de um n´ıvel m´edio fixo, isto ´e, o comportamento do processo ´e governado pela mesma lei de probabilidade ao longo do tempo (Murteira et al., 1993). Se as caracter´ısticas do processo forem alteradas ao longo do tempo, ent˜ao o processo ´e n˜ao estacion´ario. Al´em disso, um processo estacion´ario pode ser classificado como estritamente estacion´ario ou estacion´ario de 2. ª ordem. Defini¸c˜ao 2.1.2. Um processo estoc´astico {Yt, t ∈T}diz-se estritamente estacion´ario ou fortemente estacion´ario se a distribui¸c˜ao conjunta de (Yt1, . . . , Ytn)for igual `a distribui¸c˜ao conjunta de (Yt1+δ, . . . , Ytn+δ)qualquer que seja o n-´uplo (t1, . . . , tn) e para qualquer δ, ou seja, F(Yt1,...,Ytn)(y1, . . . , yn) = F(Yt1+δ,...,Ytn+δ)(y1, . . . , yn), para todos os pontos (y1, . . . , yn). A defini¸c˜ao de estritamente estacion´ario ´e demasiado exigente e dif´ıcil de se verificar na pr´atica, pois exige o conhecimento de todas as distribui¸c˜oes marginais (Cordeiro, 2003). Para contornar esta dificuldade, ´e definida a estacionaridade com base na igualdade dos momentos e n˜ao na igualdade das distribui¸c˜oes, descrevendo o mesmo tipo de comportamento f´ısico. Defini¸c˜ao 2.1.3. Um processo {Yt, t ∈T}diz-se estacion´ario de 2. ª ordem ou fracamente estacion´ario ou ainda estacion´ario para a covariˆancia se todos os momentos at´e `a 2. ª ordem de (Yt1, . . . , Ytn)existem e s˜ao iguais aos momentos correspondentes 14 Modelos de Previs˜ao a Curto Prazo para Vari´aveis Meteorol´ogicas at´e `a 2. ª ordem de (Yt1+δ, . . . , Ytn+δ). Logo, num processo fracamente estacion´ario, tem-se 1. o valor m´edio n˜ao depende de t, isto ´e, E(Yt) = µt=µ, ∀t; 2. a variˆancia n˜ao depende de t, isto ´e, var(Yt) = σ2 t=σ2,∀t; 3. a covariˆancia entre Yt1eYt2depende apenas do desfasamento t2−t1, isto ´e, cov(Yt1, Yt2) = γ(|t2−t1|). Dado que a estacionaridade no sentido estrito ´e muito forte, apenas se exige a estacionaridade de 2. ª ordem, pelo que, a partir de agora, consideram-se os processos estacion´arios de 2. ª ordem designados simplesmente por processos estacion´arios. Exemplo 2.1.1. Um exemplo cl´assico do processo estacion´ario de 2. ª ordem ´e o processo de ru´ıdo branco. A maior importˆancia deste processo n˜ao adv´em de si, mas da importˆancia que representa na constru¸c˜ao de outros processos estacion´arios relevantes na modela¸c˜ao de s´eries temporais. Um processo de ru´ıdo branco ´e constitu´ıdo por uma sucess˜ao de vari´aveis aleat´orias com a mesma distribui¸c˜ao, m´edia constante E(Yt) = µ(usualmente µ= 0), variˆancia constante var(Yt) = σ2e covariˆancia cov(Yt1, Yt2) = 0, para todo t16=t2. Na Figura 2.1 est´a representado uma trajet´oria simulada de um ru´ıdo branco Gaussiano com m´edia nula e variˆancia unit´aria de 200 observa¸c˜oes. Ruído branco tempo 0 50 100 150 200 −2 −1 0 1 2 Figura 2.1: Simula¸c˜ao de um ru´ıdo branco Gaussiano. 15 Cap´ıtulo 2. S´eries Temporais 2.2.3 Processos Autorregressivos e de M´edias M´oveis (ARMA(p, q)) Os processos autorregressivos e de m´edias m´oveis s˜ao modelos que combinam as duas representa¸c˜oes: o processo autorregressivo e o processo de m´edias m´oveis. Defini¸c˜ao 2.2.3. Um processo estacion´ario {Yt, t ∈T}diz-se ser um processo autorregressivo e de m´edias m´oveis de ordens p e q, ARMA(p,q), se satisfaz a equa¸c˜ao Yt=φ1Yt−1+···+φpYt−p+εt−θ1εt−1−···−θqεt−q,(2.3) onde εt´e um processo de ru´ıdo branco e φ1, . . . , φp, θ1, . . . , θqs˜ao constantes reais. Usando o operador atraso, B, a equa¸c˜ao (2.3) pode ser reescrita Φp(B)Yt= Θq(B)εt, onde εt´e um ru´ıdo branco, independente de Yt−kpara todo o k≥1, Φp(B) = 1−φ1B−···−φpBp´e o polin´omio autorregressivo de ordem pe Θq(B)=1−θ1B− ···−θqBq´e polin´omio de m´edias m´oveis de ordem q. Condi¸c˜oes de invertibilidade e estacionaridade Para que o processo seja estacion´ario, as ra´ızes de Φp(B) = 0 devem estar fora do c´ırculo unit´ario. Para que o processo seja invert´ıvel, as ra´ızes de Θq(B) = 0 devem estar fora do c´ırculo unit´ario. Fun¸c˜ao de autocovariˆancia multiplicando a equa¸c˜ao (2.3) por Yt−ke tomando os valores esperados, vem γk=φ1γk−1+···+φpγk−p, k ≥q+ 1. Fun¸c˜ao de autocorrela¸c˜ao (FAC) Dividindo a fun¸c˜ao de autocovariˆancia por γ0=σ2, obt´em-se a express˜ao para a FAC ρk=φ1ρk−1+···+φpρk−p, k ≥q+ 1. 22 Modelos de Previs˜ao a Curto Prazo para Vari´aveis Meteorol´ogicas Fun¸c˜ao de autocorrela¸c˜ao parcial (FACP) A FACP apresenta um decaimento gradual para zero majorado por uma soma de exponenciais e/ou sinusoides amortecidas, tendo um comportamento muito semelhante ao da FACP dos processos de m´edias m´oveis (Murteira et al., 1993). Na Tabela 2.1 encontram-se esquematizadas as propriedades preliminares para a identifica¸c˜ao dos v´arios tipos de processos AR(p), MA(q) e ARMA(p, q). Tabela 2.1: Compara¸c˜ao da FAC e FACP dos v´arios processos ARMA(p, q), adaptado de Murteira et al. (1993). Processo FAC FACP AR(p)Decaimento exponencial e/ou Queda brusca para zero sinusoidal para zero a partir de k=p+ 1 MA(q)Queda brusca para zero Decaimento exponencial e/ou a partir de k=p+ 1 sinusoidal para zero ARMA(p, q)Decaimento exponencial e/ou Decaimento exponencial e/ou sinusoidal para zero sinusoidal para zero 23 Cap´ıtulo 2. S´eries Temporais 24 Cap´ıtulo 3 Modelos de Espa¸co de Estados Os MEE s˜ao modelos com uma estrutura bastante flex´ıvel que permitem incorporar componentes n˜ao observadas de forma estoc´astica. Os modelos de regress˜ao linear s˜ao um caso particular dos MEE, cujos parˆametros consideram-se determin´ısticos, ou seja, s˜ao invariantes no tempo. Modelo de Regress˜ao Linear Simples Para que seja poss´ıvel fazer previs˜oes sobre uma vari´avel a partir de uma ou mais covari´aveis, ´e necess´ario que exista uma rela¸c˜ao de causa-efeito, isto ´e, que a varia¸c˜ao de uma possa ser explicada `a custa da varia¸c˜ao das outras (Reis, 2008). Existem v´arios tipos de rela¸c˜ao entre vari´aveis: linear, exponencial, logar´ıtmica, etc. Para estudar o tipo de rela¸c˜ao funcional existente, deve come¸car-se por fazer um diagrama de dispers˜ao dos dados. Se essa rela¸c˜ao for do tipo linear, os pontos devem encontram-se dispersos aleatoriamente em torno de uma reta. No caso da RLS, o modelo traduz a rela¸c˜ao afim entre a vari´avel resposta, Yt, e a vari´avel explicativa, Xt, que pode ser descrita matematicamente atrav´es da seguinte equa¸c˜ao Yt=β0+β1Xt+et, t = 1, . . . , n, (3.1) onde −a vari´avel aleat´oria Ytrepresenta a vari´avel resposta ou dependente; −a vari´avel aleat´oria Xtrepresenta a vari´avel explicativa, preditor ou independente; −β0eβ1chamam-se coeficientes (parˆametros) de regress˜ao: β0´e a interse¸c˜ao da 25 Cap´ıtulo 3. Modelos de Espa¸co de Estados reta com o eixo vertical e representa o valor esperado da vari´avel Ytquando a vari´avel explicativa ´e nula e β1´e o declive da reta e representa a varia¸c˜ao do valor esperado de Ytpor cada incremento unit´ario na vari´avel explicativa. Os coeficientes de regress˜ao s˜ao constantes e, por regra, desconhecidos; −et´e a vari´avel residual que inclui outros fatores explicativos de Ytn˜ao inclu´ıdos em Xte ainda erros de medi¸c˜ao. ´ E uma vari´avel aleat´oria n˜ao observ´avel porque depende dos coeficientes de regress˜ao. Modelo de regress˜ao linear m´ultipla Por vezes a vari´avel resposta, Yt, ´e frequentemente influenciada por mais do que uma vari´avel explicativa. Por exemplo, o rendimento de uma colheita pode depender da quantidade de fertilizantes nitrogenados, fosfatados e pot´assicos utilizados. Estas vari´aveis s˜ao controladas pelo pesquisador, mas o rendimento tamb´em pode depender de outras vari´aveis que n˜ao s˜ao control´aveis, como as associadas ao clima. Quando existem duas ou mais vari´aveis explicativas, o modelo ´e chamado de modelo de regress˜ao linear m´ultipla e ´e dado por Yt=β0+β1Xt,1+β2Xt,2+···+βpXt,p +et, t = 1, . . . , n. (3.2) Como em (3.1), etrepresenta a varia¸c˜ao de Yque n˜ao ´e explicada pelas vari´aveis Xt,i (i= 1, . . . , p). O coeficiente β0representa o valor esperado de Ytquando as vari´aveis explicativas s˜ao simultaneamente nulas e βi(i= 1, . . . , p) representa a varia¸c˜ao do valor esperado de Ytpor cada incremento unit´ario na vari´avel Xi, quando as restantes vari´aveis explicativas se mantˆem constantes. ´ E de real¸car que o modelo em (3.2) ´e linear nos parˆametros βe n˜ao ´e necessariamente linear nas vari´aveis explicativas Xt,i (t= 1,2, . . . , n ei= 1, . . . , p). As nigualdades deste modelo tamb´em podem apresentar-se sob a nota¸c˜ao matricial. Com efeito, fazendo Y=      Y1 Y2 . . . Yn       ,X=      1X1,1··· X1,p 1X2,1··· X2,p . . .. . ..... . . 1Xn,1··· Xn,p       ,β=      β0 β1 . . . βp       ,e=      e1 e2 . . . en       , obt´em-se Y=Xβ +e, 26 Modelos de Previs˜ao a Curto Prazo para Vari´aveis Meteorol´ogicas onde Y´e o vetor n×1 das vari´aveis resposta, X´e a matriz n×(p+ 1) das observa¸c˜oes das vari´aveis explicativas. Como o modelo tem um termo independente, β0, a primeira coluna de X´e constitu´ıda por uns. O vetor βtem dimens˜ao (p+1)×1 e cont´em os coeficientes da regress˜ao e e´e o vetor de dimens˜ao n×1 dos erros aleat´orios. Qualidade de ajustamento Para avaliar o ajustamento do modelo aos dados, existem medidas do grau de associa¸c˜ao ou correla¸c˜ao entre os Yte os ˆ Yt(t= 1, . . . , n): o coeficiente de correla¸c˜ao amostral e o coeficiente de determina¸c˜ao. Ocoeficiente de correla¸c˜ao amostral (tamb´em conhecido por coeficiente de correla¸c˜ao de Pearson) ´e dado por r= n P t=1 Yt−Yˆ Yt−ˆ Y rn P t=1 Yt−Y2n P t=1 ˆ Yt−ˆ Y2, onde Yeˆ Ys˜ao as m´edias dos Yte dos ˆ Y, respetivamente. Este coeficiente mede o grau de associa¸c˜ao linear entre duas vari´aveis e toma valores entre -1 e 1, sendo que 1 significa uma rela¸c˜ao linear perfeita e positiva, enquanto que -1 ´e tamb´em uma rela¸c˜ao linear perfeita mas negativa. Quando r= 0 significa apenas a ausˆencia da rela¸c˜ao linear entre as duas vari´aveis, podendo existir uma rela¸c˜ao n˜ao linear entre as vari´aveis. Outra medida do grau de rela¸c˜ao linear entre duas vari´aveis, definida como sendo a m´edia do produto das diferen¸cas entre os valores de cada vari´avel e a respetiva m´edia, ´e a covariˆancia, dada por cov(Y, ˆ Y) = 1 n−1 n X t=1 Yt−Yˆ Yt−ˆ Y. A grande desvantagem na utiliza¸c˜ao da covariˆancia como medida de associa¸c˜ao linear entre duas vari´aveis comparativamente ao coeficiente de correla¸c˜ao amostral ´e o facto de depender da unidade de medida das vari´aveis. Al´em disso, como o coeficiente de correla¸c˜ao amostral possui limites bem definidos, torna poss´ıvel distinguir entre graus de associa¸c˜ao elevados ou reduzidos. Ocoeficiente de determina¸c˜ao ´e definido como sendo o quadrado do coefici27 Cap´ıtulo 3. Modelos de Espa¸co de Estados ente de correla¸c˜ao amostral entre os Yte os ˆ Yt(t= 1, . . . , n) dado por r2=n P t=1 Yt−Yˆ Yt−ˆ Y2 n P t=1 Yt−Y2n P t=1 ˆ Yt−ˆ Y2. Como 0 ≤r2≤1, quando r2≃1, melhor ´e o ajustamento. No entanto, esta medida apresenta um inconveniente: quando se acrescenta ao modelo mais uma vari´avel explicativa, qualquer que ela seja, o r2nunca decresce (para a mesma amostra) (Murteira et al., 2015). O coeficiente de determina¸c˜ao pode ser utilizado para comparar modelos com o mesmo grau de complexidade, mas para comparar modelos com graus de complexidade distintos, deve utilizar-se ocoeficiente de determina¸c˜ao ajustado dado por r2 a= 1 −n−1 n−p−1(1 −r2), onde r2´e o coeficiente de determina¸c˜ao, n´e o n´umero de observa¸c˜oes e p´e o n´umero de vari´aveis explicativas. Pressupostos do modelo de regress˜ao linear Nos modelos de regress˜ao linear existem alguns pressupostos que se devem ter em conta 1. os erros aleat´orios devem seguir uma distribui¸c˜ao aproximadamente Normal, ou seja, e∼N(0, σ2); 2. o valor esperado dos erros aleat´orios deve ser nulo, ou seja, E(et)=0,∀t; 3. a variˆancia dos erros aleat´orios deve ser constante ao longo do tempo (homocedasticidade), ou seja, var(et) = σ2,∀t(variˆancia constante e desconhecida); 4. Os erros aleat´orios n˜ao devem ser autocorrelacionados, isto ´e, cov(et, ej) = 0, para todo t6=j. 28 Modelos de Previs˜ao a Curto Prazo para Vari´aveis Meteorol´ogicas 3.1 Modelo de Espa¸co de Estados Os modelos baseados na representa¸c˜ao de espa¸co de estados apresentam uma vasta aplicabilidade nos problemas da atualidade e podem ser encontrados em diversas ´areas tais como na Economia, Biologia, Engenharia de Controlo, Machine Learning, Processamento de Sinais, An´alise de S´eries Temporais, etc. Historicamente, os MEE foram desenvolvidos na engenharia no in´ıcio dos anos 60 com o objetivo de monitorizar e controlar os sistemas dinˆamicos. As primeiras aplica¸c˜oes mais conhecidas foram nos programas aeroespaciais Apollo e Polaris, sendo amplamente desenvolvidos nos anos 70-80 (Petris et al., 2009). A formula¸c˜ao de espa¸co de estados assume que o desenvolvimento de um sistema ao longo do tempo ´e determinado por um processo de vetores β1,β2,...,βn(estados), n˜ao observados, associados linearmente ou n˜ao a uma s´erie de observa¸c˜oes Y1,Y2,...,Yn. Do ponto de vista da an´alise de s´eries temporais, a representa¸c˜ao de espa¸co de estados formaliza a rela¸c˜ao temporal entre as vari´aveis que s˜ao observadas, vari´aveis n˜ao observ´aveis (estados) e erros estoc´asticos (Costa, 2006). Os MEE s˜ao modelos bastante flex´ıveis devido `a sua capacidade de integrar v´arias carater´ısticas dos dados que permitem analisar fen´omenos dinˆamicos que variam de forma significativa ao longo do tempo. Segundo Petris et al. (2009), s˜ao muito mais flex´ıveis do que os modelos ARMA no tratamento de s´eries temporais n˜ao estacion´arias e na modela¸c˜ao de mudan¸cas estruturais e, geralmente, s˜ao mais f´aceis de interpretar. Uma das principais mais-valias dos modelos com a representa¸c˜ao de espa¸co de estados ´e a possibilidade de fazer-se inferˆencias sobre os estados n˜ao observados e fazer previs˜oes de futuras observa¸c˜oes com base nos dados dispon´ıveis. Uma das grandes vantagens destes modelos baseia-se na capacidade de atualizar de forma recursiva e em tempo real uma s´erie temporal `a medida que novas observa¸c˜oes v˜ao sendo disponibilizadas, melhorando as previs˜oes fornecidas. Tendo em conta a natureza dinˆamica dos dados meteorol´ogicos, estes modelos conseguem captar de forma estoc´astica tal comportamento, devido `a sua versatilidade e flexibilidade. Al´em disso, uma caracter´ıstica muito comum neste tipo de dados ´e a existˆencia de valores em falta (NA), na qual os MEE lidam de forma particularmente simples com este tipo de lacunas. No geral, o modelo linear Gaussiano de espa¸co de estados ´e caracterizado por duas equa¸c˜oes: a equa¸c˜ao de observa¸c˜ao e a equa¸c˜ao de estado (ou equa¸c˜ao de transi¸c˜ao). A equa¸c˜ao de observa¸c˜ao relaciona o vetor p-dimensional das vari´aveis observ´aveis Ytcom o vetor βtn˜ao observ´avel m×1, designado por vetor de estados. 29 Cap´ıtulo 3. Modelos de Espa¸co de Estados A equa¸c˜ao de observa¸c˜ao ´e dada por Yt=Wtβt+et, t = 1, . . . , n, (3.3) onde Wt´e uma matriz p×massumida como conhecida e et´e um vetor p×1 dos erros independentes e identicamente distribu´ıdos com distribui¸c˜ao Normal de m´edia zero e matriz de covariˆancia H, ou seja et∼N(0,H) e E(ete0 s) = 0,para todo t6=s. (3.4) A equa¸c˜ao de estado descreve a dinˆamica do vetor de estados βtque, embora n˜ao sejam observados, os elementos de βts˜ao atualizados no tempo segundo um processo autorregressivo de ordem um. A equa¸c˜ao de estado ´e dada por βt=Φβt−1+εt, t = 1, . . . , n, (3.5) onde Φ´e uma matriz m×mdesignada por matriz autorregressiva ou matriz de transi¸c˜ao eεt´e um vetor m×1 dos erros independentes e identicamente distribu´ıdos com distribui¸c˜ao Normal de m´edia zero e matriz de covariˆancia Q, ou seja εt∼N(0,Q) e E(εtε0 s) = 0,para todo t6=s. (3.6) As matrizes WteHda equa¸c˜ao de observa¸c˜ao (3.3) e as matrizes ΦeQda equa- ¸c˜ao de estado (3.5) chamam-se matrizes do sistema e s˜ao inicialmente assumidas como conhecidas. Nesta abordagem, existem duas assun¸c˜oes importantes a ter em conta −o vetor de estados inicial, β1, tem distribui¸c˜ao Normal com m´edia a1e matriz de covariˆancia P1, ou seja, β1∼N(a1,P1); −os erros eteεts˜ao n˜ao correlacionados entre si e tamb´em s˜ao n˜ao correlacionados com o vetor de estados inicial, ou seja E(etε0 s) = 0, E(etβ0 1) = 0eE(εtβ0 1) = 0,para todo t, s = 1, . . . , n. (3.7) Na pr´atica, algumas ou at´e mesmo todas as matrizes Wt,Φ,HeQpodem depender de um conjunto de parˆametros desconhecidos (Durbin e Koopman, 2001). Estes parˆametros s˜ao representados pelo vetor Θ. Nos MEE, a estrutura e dependˆencia de (3.3) e (3.5) mant´em-se, exceto as suposi¸c˜oes de linearidade e normalidade, 30 Modelos de Previs˜ao a Curto Prazo para Vari´aveis Meteorol´ogicas que n˜ao s˜ao exigidas. As vantagens da formula¸c˜ao de espa¸co de estados reside na facilidade com que ´e poss´ıvel tratar v´arias configura¸c˜oes de dados em falta e na variedade de modelos que podem ser gerados a partir de (3.3) e (3.5). ´ E poss´ıvel gerar v´arios modelos com estruturas de efeitos fixos ou aleat´orios, ou seja, que s˜ao constantes ou que variam ao longo do tempo fazendo escolhas apropriadas para a matriz Wte para a estrutura de transi¸c˜ao Φ(Shumway e Stoffer, 2017). 3.2 Modelos Estruturais Os modelos estruturais s˜ao uma classe geral de modelos que lidam com a tendˆencia e a sazonalidade e podem ser representados na forma de espa¸co de estados. Nesta abordagem, s˜ao constru´ıdos submodelos para modelar cada componente n˜ao observ´avel separadamente e depois s˜ao colocamos juntos para formar um s´o modelo. Os componentes n˜ao observ´aveis que ocorrem com maior frequˆencia numa s´erie temporal s˜ao: −tendˆencia (µt); −componente sazonal (γt); −componente c´ıclica (δt); −componente aleat´oria ou erro (et). Uma s´erie temporal univariada {Yt},t= 1,2, . . . , n pode ser decomposta de acordo com as suas componentes n˜ao observ´aveis da seguinte forma Yt=µt+γt+δt+et,(3.8) onde et i.i.d. ∼N(0, σ2 e). A partir do modelo (3.8), derivam in´umeros modelos estruturais (Commandeur e Koopman, 2007; Baturin, 2016). Exemplo 3.2.1. O modelo de n´ıvel local (ou modelo linear dinˆamico de primeira ordem ou passeio aleat´orio mais um erro) ´e um dos modelos estruturais mais simples, na qual considera o modelo (3.8), tomando µt=αt, onde αt´e um passeio aleat´orio, n˜ao incorpora a componente sazonal e todas as vari´aveis aleat´orias s˜ao normalmente distribu´ıdas. Al´em disso, assume que o erro ettem variˆancia constante σ2 e. O modelo 31 Cap´ıtulo 4. Filtragem, Alisamento e Previs˜ao de Kalman parˆametros estimados. Esta metodologia designa-se desta forma porque o gr´afico de βt|n´e mais “liso” do que as previs˜oes βt|t−1e os filtros βt|t(Shumway e Stoffer, 2019). Para o MEE definido pelas equa¸c˜oes (4.1) e (4.2), com as condi¸c˜oes iniciais βn|n ePn|ndadas em (4.5) e (4.6), respetivamente, tem-se βt−1|n=βt−1|t−1+Jt−1(βt|n−βt|t−1),(4.11) Pt−1|n=Pt−1|t−1+Jt−1(Pt|n−Pt|t−1)J0 t−1,(4.12) onde Jt−1=Pt−1|t−1Φ0[Pt|t−1]−1,(4.13) para t=n, n −1,...,1. As demonstra¸c˜oes de (4.11), (4.12) e (4.13) podem ser consultada em Shumway e Stoffer (2017). Em suma, as estimativas obtidas a partir do alisamento s˜ao mais precisas, comparadas `as obtidas a partir das previs˜oes ou `a filtragem. Isto deve-se `a quantidade de dados utilizados em cada recurs˜ao. No alisamento s˜ao utilizados todos os dados dispon´ıveis, a par que nas previs˜oes s˜ao utilizadas todas a informa¸c˜oes dispon´ıveis para tdado t−1 e no FK s˜ao utilizados os dados dispon´ıveis at´e ao momento t. Consequentemente, os intervalos de confian¸ca para βt|napresentar˜ao menor variabilidade. 4.3 Previs˜ao Para calcular as previs˜oes de uma s´erie temporal na formula¸c˜ao de espa¸co de estados recorre-se ao FK, onde os dados v˜ao sendo atualizados sequencialmente a 1-passo sempre que uma nova observa¸c˜ao ´e introduzida. Considerando o modelo Gaussiano de espa¸co de estados definido pelas equa¸c˜oes (4.1) e (4.2), o FK estima o vetor de estados no instante n, com base em todas as nobserva¸c˜oes, ou seja, estima βn|n. Assim, a ´ultima observa¸c˜ao, Yn, pode ser utilizada para atualizar o vetor de estados no instante n+ 1 da seguinte forma: βn+1|n=Φβn|n, onde a previs˜ao a 1-passo ´e dada pela express˜ao Yn+1|n=Wn+1βn+1|n. 38 Modelos de Previs˜ao a Curto Prazo para Vari´aveis Meteorol´ogicas Considerando agora o problema da previs˜ao a h-passos, onde h= 2,3, . . . , substituindo repetidamente na equa¸c˜ao de estado (4.2) no instante n+h, resulta βn+h=Φhβn+ h−1 X j=1 Φh−jεn+j+εn+h, h = 2,3, . . . donde βn+h|n=E(βn+h|e Yt) = Φhβn|n, e a matriz de covariˆancias ´e dada pela express˜ao Pn+h|n=ΦhPn|nΦh0+ h−1 X j=0 ΦjQΦj0, h = 2,3, . . . A estimativa para Yn+hpode ser obtida diretamente de βn+h|n. Tomando o valor esperado na equa¸c˜ao de observa¸c˜ao no instante n+h, obt´em-se Yn+h|n=E(Yn+h|e Yt) = Wn+hβn+h|n, h = 2,3, . . . A matriz de covariˆancias ´e, ent˜ao, dada por Σn+h|n=Wn+hPn+h|nW0 n+h+H, h = 2,3, . . . 4.3.1 Intervalos de Previs˜ao Por vezes ´e desej´avel determinar n˜ao s´o o valor da previs˜ao como tamb´em ´e desej´avel determinar os intervalos de previs˜ao pois permitem quantificar a incerteza associada `as previs˜oes pontuais, dando uma ideia do qu˜ao confi´avel ´e a previs˜ao. Geralmente, os intervalos de previs˜ao baseiam-se no Σt|t−1pois fornecem uma estimativa da variˆancia do erro de previs˜ao a 1-passo. Tamb´em ´e importante salientar que os intervalos de previs˜ao s´o s˜ao v´alidos se o modelo ajustado descrever de forma satisfat´oria a s´erie temporal e os respetivos pressupostos forem v´alidos. Al´em disso, os erros de previs˜ao devem seguir uma distribui¸c˜ao Normal com m´edia nula (Makridakis et al., 1998). Sob estas suposi¸c˜oes e para o caso univariado, por simplifica¸c˜ao dos c´alculos, tem-se Yt−Yt|t−1 pΣt|t−1∼N(0,1), onde Σt|t−1corresponde `a variˆancia das inova¸c˜oes dada por (4.10) para o caso univariado. 39 Cap´ıtulo 4. Filtragem, Alisamento e Previs˜ao de Kalman Considerando que o grau de confian¸ca ´e de 1 −α, com 0 < α < 1, obt´em-se P −z1−α/2<Yt−Yt|t−1 pΣt|t−1 < z1−α/2!= 1 −α, donde PYt|t−1−z1−α/2pΣt|t−1< Yt< Yt|t−1+z1−α/2pΣt|t−1. Portanto, o intervalo de previs˜ao a (1 −α)×100% para Yt´e dado por Yt|t−1−z1−α/2pΣt|t−1, Yt|t−1+z1−α/2pΣt|t−1,(4.14) onde z1−α/2´e o quantil da distribui¸c˜ao Normal padr˜ao e 1 −α´e o grau de confian¸ca do intervalo. Segundo Harvey (1992), `a medida que o horizonte temporal da previs˜ao aumenta, tamb´em aumenta a incerteza associada `as previs˜oes e o intervalo de previs˜ao. De acordo com Commandeur e Koopman (2007), as previs˜oes s˜ao, por natureza, sujeitas a mais incerteza do que qualquer outro valor estimado dentro do intervalo temporal da s´erie observada e, portanto, ´e habitual ser um pouco menos conservador nos limites dos intervalos de previs˜ao. Em vez dos valores usuais de 95%, costumam ser usados limites de confian¸ca de 90% ou 85%, ou at´e mais baixos. Para previs˜oes a h-passos, o intervalo de previs˜ao a (1 −α)×100% para Yt´e dado por Yt+h|t−z1−α/2pΣt+h|t, Yt+h|t+z1−α/2pΣt+h|t,(4.15) onde z1−α/2´e o quantil da distribui¸c˜ao Normal padr˜ao e 1 −α´e o grau de confian¸ca do intervalo. Para o c´alculo dos intervalos de previs˜ao (4.14) e (4.15), ´e exigido que os erros tenham distribui¸c˜ao Normal. 4.4 Inicializa¸c˜ao do Filtro de Kalman At´e agora foi assumido por conveniˆencia que o estado inicial β1∼N(a1,P1), onde a1eP1s˜ao conhecidos. No entanto, na maioria dos casos reais alguns ou todos os elementos de a1eP1n˜ao s˜ao conhecidos. Nesta situa¸c˜ao, existem duas alternativas: assume-se que os elementos correspondentes de a1s˜ao fixos e estima-se por m´axima verosimilhan¸ca ou assume-se que tˆem m´edia zero e matriz de variˆancia kI, onde I´e a matriz identidade e k→ ∞. Neste ´ultimo caso, chama-se a distri40 Modelos de Previs˜ao a Curto Prazo para Vari´aveis Meteorol´ogicas bui¸c˜ao de difusa. Este procedimento ´e conhecido como Inicializa¸c˜ao Difusa do Filtro de Kalman. No entanto, Harvey et al. (2004) afirmam que as duas abordagens fornecem resultados muito pr´oximos, onde as equa¸c˜oes recursivas da filtragem e do alisamento resultantes tˆem uma estrutura semelhante `aquelas com a1eP1 conhecidas. 4.5 Abordagens de Espa¸co de Estados versus ARMA Uma das ´areas mais importantes que envolve a modela¸c˜ao de s´eries temporais ´e a teoria de controlo que trata do problema de manter o valor de alguma vari´avel o mais pr´oximo poss´ıvel de um valor ideal num sistema sujeito a perturba¸c˜oes que, dada a sua natureza, o problema de controlo necessita de m´etodos adaptativos ou recursivos atrav´es dos quais novas observa¸c˜oes v˜ao sendo incorporadas no modelo, atualizando-o e tornando-o capaz de conduzir as melhores estimativas e previs˜oes (Murteira et al., 1993). Os MEE s˜ao uma ´otima ferramenta que lidam com os problemas de controlo. Al´em disso, esta metodologia permite lidar com s´eries cujas observa¸c˜oes foram perdidas ou feitas em intervalos irregulares. A vantagem dos MEE face aos modelos ARMA ´e que os modelos ARMA s˜ao insuficientes para lidar com os problemas de controlo uma vez que trabalham com base em amostras de dimens˜ao fixa, onde os parˆametros do modelo v˜ao sendo estimados a partir de dados observados em vez das estimativas serem adaptadas recursivamente `a medida que novas observa¸c˜oes v˜ao sendo disponibilizadas. A formula¸c˜ao dos MEE procuram modelar explicitamente as s´eries n˜ao estacion´arias, tendo em conta as diferentes componentes que a constituem, tais como a tendˆencia, a sazonalidade e a componente c´ıclica, juntamente com o efeito das vari´aveis explicativas, enquanto que nos modelos ARMA estas componentes precisam de ser removidas antes de qualquer an´alise, dada a necessidade da estacionaridade das s´eries (Durbin e Koopman, 2001). 41 Cap´ıtulo 4. Filtragem, Alisamento e Previs˜ao de Kalman 42 Cap´ıtulo 5 Estima¸c˜ao dos Parˆametros do Modelo de Espa¸co de Estados Considere o MEE definido pelas equa¸c˜oes (4.1) e (4.2). Seja Θ={Φ,H,Q}o vetor dos parˆametros desconhecidos do modelo. Pretende-se estimar esses parˆametros e existem v´arias maneiras de o fazer. O m´etodo mais usual ´e o m´etodo da m´axima verosimilhan¸ca que consiste em encontrar a fun¸c˜ao de verosimilhan¸ca do modelo e, em seguida, estimar as componentes de Θque maximize a fun¸c˜ao, ou seja, pretende-se maximizar a probabilidade das observa¸c˜oes Y1,Y2,...,Ynem rela¸c˜ao aos componentes do vetor Θ. Assume-se que o estado inicial segue uma distribui¸c˜ao Normal, β1∼N(a1,P1), assim como as componentes aleat´orias, εt i.i.d. ∼N(0,Q) e et i.i.d. ∼N(0,H). Por simplicidade, assume-se que εteets˜ao n˜ao correlacionados. A probabilidade ´e calculada usando as inova¸c˜oes ηt|t−1=Yt−Wtβt|t−1, t = 1, . . . , n. A fun¸c˜ao de verosimilhan¸ca pode ser determinada a partir dos valores obtidos pelo FK e ´e dada por L(Θ;e Yn) = n Y t=1 p(Yt|e Yt−1),(5.1) onde e Yn= (Y1,Y2,...,Yn)0ep(Yt|e Yt−1) ´e a densidade de Ytdado e Yt−1, que pode ser escrita como p(Yt|e Yt−1) = (2π)−1/2|Σt|t−1(Θ)|−1/2exp{ηt|t−1(Θ)0Σt|t−1(Θ)−1ηt|t−1(Θ)}, (5.2) 43 Cap´ıtulo 5. Estima¸c˜ao dos Parˆametros do Modelo de Espa¸co de Estados onde Σt|t−1=WtPt|t−1W0 t+Hrepresenta a matriz de covariˆancias das inova¸c˜oes. Aplicando o logaritmo a (5.1), a fun¸c˜ao de log-verosimilhan¸ca pode ser escrita como log L(Θ;e Yn) = −n 2log(2π)−1 2 n X t=1 log |Σt|t−1(Θ)|− −1 2 n X t=1 ηt|t−1(Θ)0Σt|t−1(Θ)−1ηt|t−1(Θ). (5.3) Na fun¸c˜ao (5.3), destaca-se a dependˆencia das inova¸c˜oes, ηt|t−1(Θ), e da respetiva matriz de covariˆancias, Σt|t−1(Θ), em rela¸c˜ao ao vetor de parˆametros Θque se pretende estimar. Em algumas aplica¸c˜oes, quando o processo {βt}t=1,...,n n˜ao ´e estacion´ario, os valores iniciais do FK β1|0eP1|0podem ser inclu´ıdos em Θde modo a que sejam estimados com base na amostra. No entanto, esta inclus˜ao implica um aumento da complexidade do processo de otimiza¸c˜ao da log-verosimilhan¸ca. Como alternativa pode optar-se por valores iniciais n˜ao informativos ou por algoritmos mais espec´ıficos (Costa, 2006). Uma vez que a fun¸c˜ao (5.3) ´e altamente n˜ao linear e tamb´em n˜ao ´e f´acil de ser minimizada, a estima¸c˜ao dos parˆametros ´e feita atrav´es da maximiza¸c˜ao da fun¸c˜ao de log-verosimilhan¸ca recorrendo a algoritmos de otimiza¸c˜ao. Geralmente estes algoritmos partem de um conjunto inicial de valores Θ, realizam uma s´erie de itera¸c˜oes e, para cada itera¸c˜ao ´e calculada um novo valor para a fun¸c˜ao de log-verosimilhan¸ca. Quando a fun¸c˜ao n˜ao sofrer grandes altera¸c˜oes, o algoritmo termina. Existem v´arios m´etodos num´ericos que podem ser aplicados, mas talvez o mais conhecido seja oalgoritmo Expectation-Maximization. Este algoritmo foi desenvolvido por Dempster et al. (1977) e ´e utilizado para calcular estimativas de m´axima verosimilhan¸ca dos parˆametros do modelo em dois passos: E-step (esperan¸ca), que consiste no c´alculo do valor esperado da fun¸c˜ao de log-verosimilhan¸ca (5.3) e o M-step, que consiste em maximizar o valor esperado da fun¸c˜ao de log-verosimilhan¸ca (5.3). No entanto, este algoritmo apresenta alguns inconvenientes, nomeadamente a necessidade de um grande n´umero de itera¸c˜oes at´e se verificar a convergˆencia (convergˆencia lenta) e ´e sens´ıvel `a escolha inicial dos parˆametros. Por outro lado, existem v´arios m´etodos num´ericos que se baseiam no m´etodo 44 Modelos de Previs˜ao a Curto Prazo para Vari´aveis Meteorol´ogicas de Newton-Raphson na qual se resolve a equa¸c˜ao ∂1(Θ) = ∂log L(Θ;e Yn) ∂Θ= 0,(5.4) aplicando a s´erie de Taylor de primeira ordem tem-se ∂1(Θ)≃˜ ∂1(Θ) + ˜ ∂2(Θ)(Θ−˜ Θ),(5.5) para algum valor ´otimo ˜ Θ, onde ˜ ∂1(Θ) = ∂1(Θ)|Θ=˜ Θ,˜ ∂2(Θ) = ∂2(Θ)|Θ=˜ Θ, com ∂2(Θ) = ∂2log L(Θ;e Yn) ∂Θ∂Θ0.(5.6) Igualando (5.5) a zero obt´em-se o valor corrigido ¯ Θ, atrav´es da express˜ao ¯ Θ=˜ Θ−˜ ∂2(Θ)−1˜ ∂1(Θ). Este processo ´e repetido at´e convergir. ∂1(Θ) ´e chamado de gradiente ou vetor score e determina a dire¸c˜ao na qual se espera que a fun¸c˜ao de log-verosimilhan¸ca (5.3) cres¸ca at´e encontrar um ponto onde assuma o valor m´aximo. ∂2(ψ) representa amatriz Hessiana que cont´em a informa¸c˜ao sobre a curvatura da fun¸c˜ao (Durbin e Koopman, 2001). Na pr´atica, o c´alculo num´erico do gradiente geralmente ´e poss´ıvel. No entanto, o c´alculo da hessiana requer, na maioria dos casos, um grande esfor¸co computacional e geralmente ´e aproximada por diferentes m´etodos. Um exemplo ´e o m´etodo BFGS (Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shannon), que faz a aproxima¸c˜ao `a inversa da matriz hessiana, diminuindo, assim, o custo computacional quando comparado com o c´alculo exato da mesma. Neste trabalho ser´a utilizado o m´etodo BFGS, atrav´es da fun¸c˜ao optim(), implementada no package stats do software estat´ıstico R. 45 Cap´ıtulo 5. Estima¸c˜ao dos Parˆametros do Modelo de Espa¸co de Estados 46 Cap´ıtulo 6 Avalia¸c˜ao dos Modelos “All models are wrong, but some models are more useful than others.” (em portuguˆes, Todos os modelos est˜ao errados, mas alguns s˜ao mais ´uteis do que outros) ´e uma cita¸c˜ao muito conhecida frequentemente atribu´ıda a George Box. A ideia de que “todos os modelos est˜ao errados” ´e de que um modelo, sendo uma representa- ¸c˜ao simplificada da realidade, nunca representar´a o comportamento real exato, “mas alguns s˜ao mais ´uteis do que outros” pois, apesar de serem uma aproxima¸c˜ao da realidade, alguns modelos conseguem captar melhor a estrutura inerente aos dados do que outros e, al´em disso, podem ser bastante ´uteis para explicar, prever e entender as v´arias componentes presentes nos dados. No entanto, ´e muito importante ter em aten¸c˜ao aos pressupostos na constru¸c˜ao de um modelo porque os modelos s´o s˜ao realmente ´uteis quando esses pressupostos s˜ao verificados. Para comparar diferentes MEE, ´e muito frequente recorrer a crit´erios de informa- ¸c˜ao, como por exemplo o AIC ou o BIC, que fornecem uma medida da qualidade de ajustamento dos modelos. Complementarmente, ´e usual, tamb´em, analisar-se um conjunto de indicadores de desempenho baseados na precis˜ao das previs˜oes. Contudo, tornou-se pr´atica comum o uso de t´ecnicas de valida¸c˜ao cruzada na regress˜ao. Esses m´etodos tamb´em s˜ao utilizados na literatura para avaliar, por exemplo, regress˜oes autom´aticas em s´eries temporais (Bergmeir e Ben´ıtez, 2012). 6.1 Medidas de Avalia¸c˜ao Para avaliar o desempenho de um determinado modelo ou m´etodo de previs˜ao, deve-se estudar a precis˜ao das previs˜oes obtidas. As medidas de avalia¸c˜ao s˜ao utilizadas para verificar o n´ıvel de precis˜ao que o modelo de previs˜ao possui. Assim, quanto mais pr´oximas as previs˜oes forem aos dados observados da s´erie, menor ser´a 47 Cap´ıtulo 6. Avalia¸c˜ao dos Modelos Figura 6.1: S´erie temporal dividida em amostra de treino (pontos verdes) e amostra de teste (pontos vermelhos). Fonte: Hyndman e Athanasopoulos (2018). Geralmente, a dimens˜ao da amostra de teste ´e cerca de 20% da dimens˜ao da amostra total, embora este valor dependa da dimens˜ao da amostra e do horizonte temporal da previs˜ao (Hyndman e Athanasopoulos, 2018). A dimens˜ao da amostra de teste deve ser, pelo menos, igual ao horizonte temporal m´aximo da previs˜ao necess´aria. Note que os dados pertencentes `a amostra de teste n˜ao s˜ao utilizados para a constru¸c˜ao do modelo. Esta abordagem pode ser aplicada a dados de s´eries temporais uma vez que, como assumimos que o futuro depende do passado, a dependˆencia natural dos dados ´e respeitada (Bergmeir e Ben´ıtez, 2012). No entanto, esta abordagem apresenta algumas desvantagens. Um modelo que se ajuste bem aos dados da amostra de treino n˜ao significa que produzir´a necessariamente previs˜oes adequadas, uma vez que um ajuste perfeito pode ser obtido atrav´es de um modelo n˜ao parcimonioso. Al´em disso, para s´eries n˜ao estacion´arias, esta abordagem pode ser enganosa, pois os dados da amostra de teste podem ser muito diferentes dos dados da amostra de treino e, portanto, o futuro desconhecido tamb´em pode ser diferente da amostra de treino, da amostra de teste ou de ambas. Outro inconveniente deste m´etodo, principalmente para s´eries com poucas observa¸c˜oes, ´e o facto de n˜ao utilizar a totalidade dos dados dispon´ıveis para ajustar o modelo. Devido a estas dificuldades, ´e pr´atica comum na previs˜ao de s´eries temporais assumir s´eries temporais estacion´arias (Bergmeir e Ben´ıtez, 2012). Segundo Bergmeir et al. (2018), o facto desta abordagem de dividir uma s´erie na amostra de treino e de teste ser a mais aplicada no contexto das s´eries temporais, est´a relacionada com o facto do ajustamento dos modelos padr˜ao, como por exemplo o alisamento exponencial ou os modelos ARIMA, serem totalmente iterativos, no sentido em que iniciam a estima¸c˜ao no in´ıcio da s´erie. Inoue e Kilian (2006) mostram que os crit´erios de sele¸c˜ao AIC e BIC apresentam um desempenho assintoticamente melhor do que a abordagem de dividir uma s´erie temporal na amostra de treino e de teste e, al´em disso, mencionam o facto desta abordagem falhar em utilizar apenas uma parte dos dados dispon´ıveis, perdendo informa¸c˜oes potencialmente importantes. Posto isto, Hyndman (2014) e Hyndman e Athanasopoulos (2018) prop˜oem uma 54 Modelos de Previs˜ao a Curto Prazo para Vari´aveis Meteorol´ogicas vers˜ao mais sofisticada na qual intitulam de valida¸c˜ao cruzada de s´eries temporais. Nesta abordagem, os autores sugerem utilizar v´arias amostras de treino diferentes onde, por cada itera¸c˜ao, cada uma cont´em mais uma observa¸c˜ao do que a amostra anterior e cada amostra de teste correspondente ´e constitu´ıda por apenas uma observa¸c˜ao. As observa¸c˜oes da amostra de treino, como ocorrem antes das observa¸c˜oes que constituem a amostra de teste, nenhuma observa¸c˜ao futura ´e utilizada na constru¸c˜ao da previs˜ao. Na Figura 6.2 est´a representado a s´erie da amostra de treino (a verde) e amostras de teste (a vermelho). Para calcular a precis˜ao das previs˜oes, s˜ao calculadas as medidas de avalia¸c˜ao a 1-passo. Figura 6.2: Valida¸c˜ao cruzada de s´eries temporais baseadas nas previs˜oes a 1-passo. Pontos verdes - amostras de treino; pontos vermelhos - amostra de teste; pontos cinzentos s˜ao ignorados. Fonte: Hyndman (2014). Nesta abordagem de valida¸c˜ao cruzada, ´e necess´ario definir um tamanho m´ınimo para a amostra de treino porque muitas vezes n˜ao ´e poss´ıvel obter previs˜oes confi´aveis se n˜ao houver dados suficientes na amostra de treino para estimar o modelo escolhido. O tamanho m´ınimo da amostra de treino depende da complexidade do modelo que se deseja ajustar (Hyndman, 2014). Suponhamos que s˜ao necess´arias kobserva¸c˜oes para obter previs˜oes confi´aveis. Ent˜ao, o procedimento funciona da seguinte forma: 1. Selecionar a observa¸c˜ao no tempo k+ina amostra de teste e utilizar as observa¸c˜oes nos tempos 1,2, . . . , k +i−1 para estimar o modelo de previs˜ao. Calcular o erro de previs˜ao para o tempo k+i; 2. Repetir o passo 1 para i= 1,2, . . . , n −k, onde nrepresenta o n´umero total de observa¸c˜oes; 3. Calcular as medidas de avalia¸c˜ao com base nos erros obtidos. 55 Cap´ıtulo 6. Avalia¸c˜ao dos Modelos Atrav´es desta abordagem, uma boa maneira de encontrar o melhor modelo de previs˜ao ´e escolher o que tiver o menor REQM ( Hyndman e Athanasopoulos, 2018). Uma desvantagem da valida¸c˜ao cruzada de s´eries temporais comparativamente `a abordagem de amostra de treino/teste, ´e que esta envolve apenas uma etapa de treino e de teste, enquanto a valida¸c˜ao cruzada de s´eries temporais envolve essas etapas para todas as subamostras, sendo mais exigente computacionalmente. No entanto, Hyndman (2014) recomenda o uso de valida¸c˜ao cruzada em s´eries temporais sempre que poss´ıvel, em vez da simples divis˜ao da amostra de treino/teste. Existem outras abordagens de CV aplicadas `a estimativa dos erros de previs˜ao em ambiente dependente na qual tˆem sido estudadas extensivamente na literatura devido `a sua capacidade de selecionar modelos no contexto n˜ao param´etrico. V´arias t´ecnicas de CV podem ser encontrados na literatura, destacando-se, por exemplo, a Blocked CV (Bergmeir et al., 2014; Cerqueira et al., 2019), h-Block CV (Burman et al., 1994; Racine, 1997) e hv-Block CV (Racine, 2000). 6.4 An´alise dos Res´ıduos A an´alise dos res´ıduos permite avaliar a qualidade de ajustamento de um modelo e identificar observa¸c˜oes que n˜ao s˜ao bem explicadas pelo modelo. Espera-se que um bom modelo, em termos da qualidade de ajustamento, gere res´ıduos com um comportamento pr´oximo ao de um ru´ıdo branco, no caso dos modelos de regress˜ao linear, e os res´ıduos padronizados, no caso dos MEE. Ou seja, espera-se que cumpram os pressupostos de m´edia nula, variˆancia constante e n˜ao correla¸c˜ao. Al´em disso, torna-se pertinente verificar se os res´ıduos apresentam uma distribui¸c˜ao aproximadamente Normal. Esta condi¸c˜ao ´e necess´aria para a constru¸c˜ao de intervalos de previs˜ao e para a verifica¸c˜ao das express˜oes anteriormente obtidas para estimadores de m´axima verosimilhan¸ca. Daqui em diante, sempre que se referir aos res´ıduos, ser˜ao os res´ıduos no caso dos modelos de regress˜ao linear e res´ıduos padronizados, no caso dos MEE, sendo, neste caso, a partir de (4.10), dado por η† t|t−1=ηt|t−1 pΣt|t−1 . •Normalidade A an´alise do pressuposto de normalidade dos res´ıduos pode ser feita atrav´es de representa¸c˜oes gr´aficas, como o histograma, que deve aproximar-se do comportamento da fun¸c˜ao densidade de uma distribui¸c˜ao Normal e o QQ-plot, que re56 Modelos de Previs˜ao a Curto Prazo para Vari´aveis Meteorol´ogicas laciona os quantis de uma amostra com os quantis te´oricos de uma distribui¸c˜ao te´orica. Os pontos devem ficar pr´oximos a uma reta, permitindo visualizar os desvios da normalidade. Al´em da an´alise gr´afica, pode-se verificar a condi¸c˜ao da normalidade dos res´ıduos recorrendo a testes estat´ısticos tais como o teste de Shapiro-Wilk, mais indicado para amostras de pequenas dimens˜oes (menos de 30 observa¸c˜oes), e o teste de Kolmogorov-Smirnov, em que ambos testam a mesma hip´otese nula H0:“Os erros seguem uma distribui¸c˜ao Normal”. •N˜ao correla¸c˜ao Analogamente `a condi¸c˜ao da normalidade, a an´alise da n˜ao correla¸c˜ao dos res´ıduos pode ser feita por inspe¸c˜ao gr´afica atrav´es da FAC e FACP amostrais, cujas estruturas de correla¸c˜ao devem aproximar-se ao de um ru´ıdo branco, tendo autocorrela¸c˜oes n˜ao significativamente diferentes de zero, devendo estar dentro dos limites do intervalo ±1,96/√n. Al´em disso, a avalia¸c˜ao do comportamento dos res´ıduos pode ser feita atrav´es de testes estat´ısticos, como os de Portmanteau, mais especificamente o teste de Ljung-Box, que testa se as primeiras kautocorrela¸c˜oes s˜ao conjuntamente nulas. A estat´ıstica de teste Q ´e dada por Q=n(n+ 2) k X i=1 ˆρ2 i n−i, onde Q∼χ2 k−p, sendo no n´umero de observa¸c˜oes, po n´umero de parˆametros a serem estimados e kcorresponde ao n´umero de autocorrela¸c˜oes a serem testadas. Hyndman e Athanasopoulos (2018) sugerem fazer k= 10 para dados n˜ao sazonais e k= 2mpara dados sazonais, onde mcorresponde ao per´ıodo de sazonalidade. Caso k > n/5, sugerem utilizar k=n/5. Em caso de rejei¸c˜ao de H0, conclui-se que o modelo n˜ao ´e apropriado. •M´edia nula e homocedasticidade Para al´em das duas condi¸c˜oes mencionadas na qual os res´ıduos devem cumprir, tamb´em devem ter m´edia nula e variˆancia constante ao longo do tempo (homocedasticidade). Para testar se a m´edia dos res´ıduos ´e nula, recorre-se ao teste tpara o valor m´edio. Note-se que este teste s´o pode ser aplicado caso os pressupostos de normalidade sejam verificados. No entanto, se a distribui¸c˜ao dos res´ıduos for aproximadamente sim´etrica e a dimens˜ao da amostra for superior a 20 observa¸c˜oes, o teste tpode ser aplicado. Para averiguar a condi¸c˜ao de homocedasticidade, pode-se recorrer `a an´alise gr´afica atrav´es da representa¸c˜ao dos res´ıduos ao longo do tempo. 57 Cap´ıtulo 6. Avalia¸c˜ao dos Modelos 58 Cap´ıtulo 7 An´alise e Previs˜ao das S´eries de Dados Meteorol´ogicos Neste cap´ıtulo s˜ao analisadas s´eries temporais relativas `as vari´aveis meteorol´ogicas, ajustando v´arios modelos de calibra¸c˜ao considerando modelos com o fator de calibra¸c˜ao determin´ıstico (em particular, os modelos de RLS) e estoc´astico (que correspondem aos MEE associados ao FK). Para isso, neste estudo ´e feita uma breve apresenta¸c˜ao dos dados, seguida de uma an´alise explorat´oria. Esta etapa ´e muito importante pois permite identificar e compreender o comportamento dos dados que dar˜ao informa¸c˜oes relevantes para a aplica¸c˜ao das metodologias j´a expostas. Este passo tamb´em permite identificar algumas rela¸c˜oes existentes entre as vari´aveis, como por exemplo o horizonte temporal e a temperatura m´axima e min´ıma prevista. Para a realiza¸c˜ao da an´alise estat´ıstica, recorreu-se ao software estat´ıstico R (vers˜ao 3.5.1). Para a implementa¸c˜ao dos MEE, foram criados novos c´odigos, na qual foram utilizados algumas fun¸c˜oes implementadas no package “astsa” (Applied Statistical Time Series Analysis), da autoria de David Stoffer (15/05/2020). Em toda a an´alise estat´ıstica, considera-se o n´ıvel de significˆancia de 5%. 59 Cap´ıtulo 7. An´alise e Previs˜ao das S´eries de Dados Meteorol´ogicos 7.1 Caracteriza¸c˜ao da Base de Dados Figura 7.1: Quinta Senhora da Ribeira, Bragan¸ca. Os dados utilizados neste estudo provˆem de duas bases de dados distintas: a primeira corresponde a registos di´arios de duas vari´aveis meteorol´ogicas observadas: temperatura m´axima do ar ( ° C) e temperatura m´ınima do ar ( ° C), registadas numa esta¸c˜ao meteorol´ogica port´atil instalada numa quinta chamada Senhora da Ribeira, em Carrazeda de Ansi˜aes, situada no distrito de Bragan¸ca, na regi˜ao Norte de Portugal. Estas observa¸c˜oes foram recolhidas no per´ıodo entre 20 de fevereiro de 2019 e 11 de outubro de 2019, perfazendo um total de 234 registos; a segunda base de dados ´e referente `as previs˜oes provenientes do website weatherstack com horizonte temporal at´e 6 dias relativas `as mesmas vari´aveis meteorol´ogicas: temperatura m´axima do ar ( ° C) e temperatura m´ınima do ar ( ° C). A base de dados correspondente `as observa¸c˜oes registadas na quinta apresenta valores em falta nas duas vari´aveis meteorol´ogicas desde 24/04/2019 at´e 01/05/2019 e de 29/09/2019 a 30/09/2019. Esta situa¸c˜ao ´e bastante comum em dados reais devido a diversos fatores como, por exemplo, avaria dos dispositivos de observa¸c˜ao como sensores na esta¸c˜ao meteorol´ogica, perda de dados, entre outros. Lidar com s´eries temporais com valores em falta pode ser bastante problem´atico e, por vezes, podem induzir a enviesamentos no modelo de previs˜ao. Al´em disso, grande parte dos algoritmos s˜ao projetados para dados completos. Para lidar com este problema, uma solu¸c˜ao passa por fazer a imputa¸c˜ao dos dados, que consiste em preencher esses valores ausentes com base em algumas propriedades dos dados. 7.2 An´alise Explorat´oria dos Dados 7.2.1 Temperatura M´axima Na Figura 7.2 est˜ao representadas as s´eries temporais da temperatura m´axima observada juntamente com as respetivas previs˜oes com horizonte temporal de 1 at´e 6 dias. ´ E poss´ıvel notar que a s´erie da temperatura m´axima observada (linha 60 Modelos de Previs˜ao a Curto Prazo para Vari´aveis Meteorol´ogicas mar mai jul set 10 15 20 25 30 35 40 45 tempo (dias) temperatura (ºC) Temperatura máxima observada Previsão a 1−passo mar mai jul set 10 15 20 25 30 35 40 45 tempo (dias) temperatura (ºC) Temperatura máxima observada Previsão a 2−passos mar mai jul set 10 15 20 25 30 35 40 45 tempo (dias) temperatura (ºC) Temperatura máxima observada Previsão a 3−passos mar mai jul set 10 15 20 25 30 35 40 45 tempo (dias) temperatura (ºC) Temperatura máxima observada Previsão a 4−passos mar mai jul set 10 15 20 25 30 35 40 45 tempo (dias) temperatura (ºC) Temperatura máxima observada Previsão a 5−passos mar mai jul set 10 15 20 25 30 35 40 45 tempo (dias) temperatura (ºC) Temperatura máxima observada Previsão a 6−passos Figura 7.2: S´eries da temperatura m´axima observada e das respetivas previs˜oes a h-passos, h= 1,...,6 dias provenientes do website. a preto) apresenta valores em falta. Como referido na sec¸c˜ao 8.1, est˜ao em falta as observa¸c˜oes desde 24/04/2019 at´e 01/05/2019 e de 29/09/2019 a 30/09/2019. Para completar a s´erie, isto ´e, imputar os valores ausentes, adotou-se um m´etodo simples de interpola¸c˜ao linear atrav´es do ajustamento de modelos de RLS aos dados: para completar os dados entre 24/04/2019 e 01/05/2019, inclusive, ajustou-se uma reta de regress˜ao aos dados compreendidos entre 01/04/2019 e 31/05/2019; para completar os dados dos dias 29/09/2019 e 30/09/2019, o procedimento foi o mesmo, mas ajustando o modelo aos dados compreendidos entre 01/09/2019 e 11/10/2019. Nestes modelos, a vari´avel resposta corresponde `a temperatura m´axima observada na quinta em Carrazeda de Ansi˜aes e a vari´avel independente corresponde `a temperatura m´axima observada em Vila Real, nomeadamente 61 Cap´ıtulo 7. An´alise e Previs˜ao das S´eries de Dados Meteorol´ogicos TM t,CA =α+βTM t,V R +at, onde TM t,CA eTM t,V R representam as temperaturas m´aximas em Carrazeda de Ansi˜aes e Vila Real, respetivamente. A escolha desta vari´avel independente deve-se `a proximidade geogr´afica entre Vila Real e Bragan¸ca. Analisando a Figura 7.3, constata-se uma pequena diferen¸ca entre os box plots da temperatura m´axima observada e das previs˜oes, cuja mediana da temperatura m´axima observada ´e ligeiramente superior `as das previs˜oes. 10 20 30 40 temperatura (ºC) temperatura (ºC) densidade 10 20 30 40 0.00 0.04 Temperatura máxima observada 10 20 30 40 temperatura (ºC) temperatura (ºC) densidade 5 15 25 35 0.00 0.04 Previsão a 1−passo 10 20 30 40 temperatura (ºC) temperatura (ºC) densidade 5 15 25 35 0.00 0.04 Previsão a 2−passos 10 20 30 40 temperatura (ºC) temperatura (ºC) densidade 5 15 25 35 0.00 0.04 Previsão a 3−passos 10 20 30 40 temperatura (ºC) temperatura (ºC) densidade 10 30 0.00 0.04 Previsão a 4−passos 10 20 30 40 temperatura (ºC) temperatura (ºC) densidade 5 15 25 35 0.00 0.04 Previsão a 5−passos 10 20 30 40 temperatura (ºC) temperatura (ºC) densidade 5 15 25 35 0.00 0.04 Previsão a 6−passos Figura 7.3: Box plots e histogramas da temperatura m´axima observada e das respetivas previs˜oes ah-passos, h= 1,...,6 dias provenientes do website. Tamb´em ´e poss´ıvel observar que nenhuma vari´avel em estudo possui outliers. Relativamente aos histogramas, sugerem que as vari´aveis s˜ao aproximadamente si62 Modelos de Previs˜ao a Curto Prazo para Vari´aveis Meteorol´ogicas m´etricas, cujas distribui¸c˜oes assemelham-se `a da distribui¸c˜ao Normal, podendo ser comprovado atrav´es do teste estat´ıstico Kolmogorov-Smirnov (ver Tabela A.1, Apˆendice A). Comparando as estat´ısticas descritivas presentes na Tabela 7.1, ´e not´oria a discrepˆancia entre a temperatura m´axima observada, denotada por YM t, e as respetivas previs˜oes, denotadas por WM t,(h),h= 1,...,6 dias. Por exemplo, o m´ınimo de YM t´e de 12,50 ° C, enquanto que das previs˜oes s˜ao de aproximadamente 9 ° C (uma diferen¸ca de 3 ° C, aproximadamente). O mesmo acontece com o m´aximo. A m´edia de YM t´e de 28,45 ° C, enquanto que das previs˜oes, WM t,(h), a m´edia anda em torno de 24,8 ° C. Tabela 7.1: Estat´ısticas descritivas da temperatura m´axima observada, YM t, e das respetivas previs˜oes a h-passos, WM t,(h),h= 1,...,6 dias do website. YM tWM t,(1) WM t,(2) WM t,(3) WM t,(4) WM t,(5) WM t,(6) m´ınimo 12,50 9,30 9,10 8,70 9,80 9,50 9,70 1. º quartil 23,45 19,32 19,12 19,32 19,80 19,50 19,30 mediana 28,70 24,75 25,25 25,15 25,70 25,70 25,70 m´edia 28,45 24,61 24,67 24,61 24,80 24,96 24,96 3. º quartil 33,50 29,90 29,77 29,60 30,18 30,68 30,60 m´aximo 42,10 39,00 39,10 39,90 40,20 37,50 39,50 desvio padr˜ao 6,65 6,62 6,74 6,79 6,74 6,73 7,10 coeficiente de varia¸c˜ao (%) 23,38 26,90 27,33 27,59 27,19 26,97 28,44 dados omissos 10 0 0 0 0 0 0 Os dados correspondentes `a temperatura m´axima observada parecem ser mais homog´eneos do que as previs˜oes, uma vez que possuem menor coeficiente de varia¸c˜ao (23,38 ° C). O 1. º quartil de YM t´e de 23,45 ° C, o que significa que cerca de 25% dos dias, no per´ıodo de observa¸c˜ao, apresentaram temperaturas m´aximas inferiores a 23,45 ° C. De acordo com a Figura 7.4, existem evidˆencias de uma forte rela¸c˜ao linear entre a temperatura m´axima observada e as respetivas previs˜oes para os diferentes horizontes temporais at´e 6 dias, uma vez que todas as correla¸c˜oes s˜ao superiores a 0,80. De facto, os valores de prova do teste de correla¸c˜ao linear de Pearson s˜ao inferiores ao n´ıvel de significˆancia (5%), levando `a rejei¸c˜ao da hip´otese nula da inexistˆencia de correla¸c˜ao linear entre as vari´aveis. Por outro lado, `a medida que o horizonte temporal aumenta, a correla¸c˜ao entre as previs˜oes e a temperatura m´axima observada diminui, o que ´e bastante intuitivo. 63 Cap´ıtulo 7. An´alise e Previs˜ao das S´eries de Dados Meteorol´ogicos Os pressupostos listados para o modelo de calibra¸c˜ao dadas pelas equa¸c˜oes (7.1) e (7.2) tamb´em s˜ao v´alidos para o modelo definido pelas equa¸c˜oes (7.3) e (7.4). O objetivo da aplica¸c˜ao deste modelo aos dados ´e compar´a-lo com o modelo de calibra¸c˜ao dadas pelas equa¸c˜oes (7.1) e (7.2), a fim de verificar se a adi¸c˜ao de uma componente estoc´astica na equa¸c˜ao de observa¸c˜ao melhoraria em termos de ajustamento. Nas Figuras 7.8 e 7.9 est˜ao representados os box plots dos r´acios entre os valores observados e as respetivas previs˜oes correspondentes `a temperatura m´axima e `a temperatura m´ınima, respetivamente, para os diferentes horizontes temporais. h=1 h=2 h=3 h=4 h=5 h=6 1.0 1.5 2.0 temperatura (ºC) Figura 7.8: Box plots do r´acio entre a temperatura m´axima observada e as respetivas previs˜oes a h-passos, h= 1,...,6 dias. h=1 h=2 h=3 h=4 h=5 h=6 0 10 20 30 40 50 60 temperatura (ºC) Figura 7.9: Box plots do r´acio entre a temperatura m´ınima observada e as respetivas previs˜oes a h-passos, h= 1,...,6 dias. Atrav´es da an´alise gr´afica, percebe-se que existem previs˜oes que diferem a larga amplitude dos valores observados, dada presen¸ca de outliers relativos ao r´acio entre os valores observados e os valores previstos do website weatherstack. Na Figura 7.8 ´e poss´ıvel observar o efeito que o horizonte temporal tem sobre a precis˜ao das previs˜oes da temperatura m´axima, dado que a dispers˜ao aumenta com o aumento do horizonte temporal, o que ´e bastante intuitivo visto que a incerteza associada `as previs˜oes tende a aumentar com o aumento do horizonte temporal. Tamb´em ´e percet´ıvel que as medianas n˜ao se diferem significativamente, assumindo um valor de aproximadamente 1,2 ° C. Por outro lado, na Figura 7.9, observam-se outliers bastante discrepantes. Isto acontece uma vez que, como correspondem a r´acios entre temperaturas m´ınimas, est˜ao envolvidos valores inferiores `a unidade e portanto geram r´acios de valores elevados. Perante esta situa¸c˜ao, procedeu-se, ent˜ao, pela remo¸c˜ao dos outliers dos r´acios e substituir os valores em falta por estimativas atrav´es da interpola¸c˜ao linear (ver Tabelas A.3 e A.4, Apˆendice A). Decidiu-se aplicar o modelo de calibra¸c˜ao definido pelas equa¸c˜oes (7.3) e (7.4), 70 Modelos de Previs˜ao a Curto Prazo para Vari´aveis Meteorol´ogicas apesar do r´acio entre os valores observados e os valores previstos no website n˜ao coincidirem com o fator de calibra¸c˜ao deste modelo. Assim, torna-se poss´ıvel comparar v´arios modelos uma vez que s˜ao aplicados sobre a mesma base de dados. A interpola¸c˜ao linear ´e um m´etodo que calcula o valor aproximado de f(x) atrav´es de uma fun¸c˜ao linear dada por (Samarin, 2012) L(x) = α(x−x1) + β, onde os parˆametros αeβs˜ao escolhidos de forma a que os valores de L(x) sejam iguais aos valores de f(x), dados os pontos x1ex2que s˜ao conhecidos, ou seja, L(x1) = f(x1), L(x2) = f(x2). Estas condi¸c˜oes s˜ao satisfeitas por L(x) = f(x2)−f(x1) x2−x1 (x−x1) + f(x1), que aproxima a fun¸c˜ao f(x) no intervalo [x1, x2] f(x)−L(x) = f00(ξ) 2(x−x1)(x−x2), ξ ∈[x1, x2]. A substitui¸c˜ao dos valores em falta por estimativas foi realizada recorrendo `a fun- ¸c˜ao na.interp(), da autoria de R. Hyndman, implementada no package forecast do software R. Esta fun¸c˜ao faz interpola¸c˜ao linear para s´eries temporais n˜ao sazonais. Caso a s´erie seja sazonal, ´e feita uma decomposi¸c˜ao STL1. Na primeira etapa, a componente sazonal ´e removida da s´erie temporal, de seguida ´e feita uma interpola¸c˜ao linear para imputar os valores e posteriormente a componente sazonal ´e adicionada novamente (Moritz et al., 2015). Moritz et al. (2015) compararam experimentalmente seis fun¸c˜oes de imputa¸c˜ao do software R, onde foram consideradas seis s´eries temporais. O primeiro passo consistiu em excluir valores do conjunto de dados usando quatro propor¸c˜oes diferentes de valores em falta. De seguida foram aplicadas as fun¸c˜oes de imputa¸c˜ao e avaliaram o seu desempenho atrav´es de duas medidas de avalia¸c˜ao (REQM e EPAM) para os valores imputados e conclu´ıram que, das implementa¸c˜oes testadas, a fun¸c˜ao 1A decomposi¸c˜ao STL (Seasonal-Trend decomposition procedure based on Loess) ´e um m´etodo que decomp˜oe uma s´erie temporal em trˆes componentes: tendˆencia, a componente sazonal e o ru´ıdo. 71 Cap´ıtulo 7. An´alise e Previs˜ao das S´eries de Dados Meteorol´ogicos na.interp() foi uma das que mostrou os melhores resultados. 7.3.1 Temperatura M´axima Na Figura 7.10 est˜ao representadas as s´eries temporais da temperatura m´axima observada e as respetivas previs˜oes a h-passos, h= 1,...,6 dias, provenientes do website weatherstack. De um modo geral, ´e not´avel a subestima¸c˜ao das previs˜oes em rela¸c˜ao `a temperatura m´axima observada, sendo bastante evidente no mˆes de julho, onde as previs˜oes chegam a discernir cerca de 15 ° C, dando ind´ıcios de poss´ıveis outliers. mar mai jul set 10 15 20 25 30 35 40 45 tempo (dias) temperatura (ºC) Temperatura máxima observada Previsões a 1−passo mar mai jul set 10 15 20 25 30 35 40 45 tempo (dias) temperatura (ºC) Temperatura máxima observada Previsões a 2−passos mar mai jul set 10 15 20 25 30 35 40 45 tempo (dias) temperatura (ºC) Temperatura máxima observada Previsões a 3−passos mar mai jul set 10 15 20 25 30 35 40 45 tempo (dias) temperatura (ºC) Temperatura máxima observada Previsões a 4−passos mar mai jul set 10 15 20 25 30 35 40 45 tempo (dias) temperatura (ºC) Temperatura máxima observada Previsões a 5−passos mar mai jul set 10 15 20 25 30 35 40 45 tempo (dias) temperatura (ºC) Temperatura máxima observada Previsões a 6−passos Figura 7.10: S´eries da temperatura m´axima observada e das respetivas previs˜oes a h-passos, h= 1,...,6 dias. 72 Modelos de Previs˜ao a Curto Prazo para Vari´aveis Meteorol´ogicas Analisando a Tabela 7.3, ´e poss´ıvel tirar algumas conclus˜oes −Nos quatro modelos, as estimativas e os erros padr˜ao de σetendem a aumentar com o aumento do horizonte temporal. Por outro lado, a log-verosimilhan¸ca tende a diminuir; −Para ambos os modelos de calibra¸c˜ao com o fator de calibra¸c˜ao estoc´astico, MEEShe MEES∗ h, os valores estimados de φest˜ao muito pr´oximos da unidade (um processo AR(1) ´e estacion´ario se |φ|<1); −As estimativas do valor m´edio, no modelo MEESh, do processo {βt}t=1,...,n, µ, s˜ao de aproximadamente 1,13 ° C, coincidindo com as estimativas de βno modelo de regress˜ao linear RLSSh. Isto indica que, em m´edia, a temperatura m´axima observada ´e cerca de 13% superior em rela¸c˜ao `as previs˜oes. Por outro lado, as estimativas e os erros padr˜ao de σes˜ao mais elevados no modelo de regress˜ao linear. As mesmas conclus˜oes podem ser tiradas comparando os modelos RLSS∗ he MEES∗ h. Na Tabela 7.4 est˜ao apresentadas algumas medidas de avalia¸c˜ao e crit´erios de sele¸c˜ao referentes aos quatro modelos, cujas estimativas dos parˆametros encontramse na Tabela 7.3. No geral, percebe-se que −Nos quatro modelos, os crit´erios AIC e BIC tendem a aumentar com o aumento do horizonte temporal, assim como as medidas REQM, EAM, EEAM e U-Theil. O coeficiente de determina¸c˜ao, r2, e o coeficiente de determina¸c˜ao ajustado, r2 a, tendem a diminuir; −O modelo MEEShproduziu os menores valores de AIC e BIC do que o modelo RLSSh, assim como obteve menores valores de REQM, EAM, EEAM e U-Theil. No entanto, o modelo mais simples (RLSSh) obteve um melhor ajustamento, visto que tem menores valores de r2 a; −O modelo MEES∗ hobteve menores valores para a REQM, EAM, EEAM e UTheil, assim como produziu menores valores para os crit´erios de sele¸c˜ao AIC e BIC. No entanto, o modelo RLSS∗ hobteve valores mais elevados de r2 apara h= 1,3,4,5 dias. 73 Cap´ıtulo 7. An´alise e Previs˜ao das S´eries de Dados Meteorol´ogicos Tabela 7.3: Estimativas dos parˆametros e respetivos erros padr˜ao dos quatro modelos para a s´erie da temperatura m´axima, onde YM trepresenta a temperatura m´axima observada, WM t,(h)corresponde `as previs˜oes a h-passos do website eWM∗ t,(h)corresponde `as previs˜oes com a substitui¸c˜ao dos outliers do r´acio YM t/WM t,(h),h= 1,...,6 dias. h=1 h=2 h=3 h=4 h=5 h=6 YM t=βWM t,(h)+et βestimativa 1,1390 1,1342 1,1345 1,1267 1,1180 1,1106 erro padr˜ao 0,0055 0,0062 0,0075 0,0077 0,0088 0,0103 σeestimativa 2,1591 2,4107 2,9351 3,0311 3,4642 4,0962 erro padr˜ao 0,1398 0,1559 0,1899 0,1964 0,2247 0,2648 logL -511,6332 -537,4309 -583,4917 -591,0225 -622,2736 -661,4873 YM t=βtWM t,(h)+et, βt=µ+φ(βt−1−µ) + εt φestimativa 0,9859 0,9861 0,9849 0,9796 0,9080 0,9387 erro padr˜ao 0,0115 0,0097 0,0144 0,0196 0,0758 0,0545 µestimativa 1,1297 1,1247 1,1322 1,1187 1,1316 1,1299 erro padr˜ao 0,0387 0,0382 0,0392 0,0404 0,0183 0,0270 σεestimativa 0,0056 0,0060 0,0060 0,0058 0,0212 0,0225 erro padr˜ao 0,0032 0,0027 0,0043 0,0086 0,0102 0,0112 σeestimativa 1,9285 2,1574 2,7785 2,8852 3,2421 3,8000 erro padr˜ao 0,0956 0,1045 0,1338 0,1569 0,1726 0,2017 logL -279,0373 -304,9940 -362,5232 -370,1581 -404,1322 -441,4972 YM t=βWM∗ t,(h)+et βestimativa 1,1320 1,1258 1,1295 1,1219 1,1138 1,1037 erro padr˜ao 0,0044 0,0048 0,0056 0,0061 0,0073 0,0087 σeestimativa 1,7234 1,9078 2,1840 2,3983 2,8929 3,4805 erro padr˜ao 0,1116 0,1236 0,1415 0,1556 0,1879 0,2254 logL -458,8993 -482,6831 -514,3246 -536,2211 -580,0963 -623,3697 YM t=βtWM∗ t,(h)+et, βt=µ+φ(βt−1−µ) + εt φestimativa 0,9795 0,9584 0,9829 0,9817 0,9821 0,6063 erro padr˜ao 0,0221 0,0361 0,0145 0,0150 0,0086 0,1922 µestimativa 1,1407 1,1441 1,1350 1,1253 1,0966 1,1253 erro padr˜ao 0,0309 0,0261 0,0328 0,0320 0,0274 0,0152 σεestimativa 0,0083 0,0161 0,0073 0,0075 0,0036 0,0745 erro padr˜ao 0,0051 0,0071 0,0032 0,0034 0,0050 0,0273 σeestimativa 1,4004 1,4099 1,9392 2,1650 2,7347 2,5573 erro padr˜ao 0,0861 0,1065 0,0962 0,1065 0,1363 0,4305 logL -211,8309 -227,9199 -282,5388 -307,3497 -356,2259 -398,8004 74 Modelos de Previs˜ao a Curto Prazo para Vari´aveis Meteorol´ogicas Tabela 7.4: Compara¸c˜ao das medidas e de crit´erios de sele¸c˜ao dos quatro modelos para a s´erie da temperatura m´axima. h=1 h=2 h=3 h=4 h=5 h=6 YM t=βWM t,(h)+et REQM 2,1544 2,4055 2,9289 3,0247 3,4568 4,0875 EAM 1,4723 1,6694 2,0048 2,1331 2,4793 3,0681 EEAM 0,5815 0,6594 0,7919 0,8425 0,9793 1,2119 U-Theil 0,6066 0,6453 0,7380 0,7126 0,7446 0,8323 r20,9257 0,9094 0,8616 0,8452 0,7914 0,7363 r2 a0,9257 0,9094 0,8616 0,8452 0,7914 0,7363 AIC 1027,2660 1078,8620 1170,9830 1186,0450 1248,5470 1326,9750 BIC 1034,1770 1085,7720 1177,8940 1192,9560 1255,4580 1333,8850 YM t=βtWM t,(h)+et, βt=µ+φ(βt−1−µ) + εt REQM 1,9754 2,2060 2,8398 2,9316 3,3927 3,9831 EAM 1,2459 1,3745 1,8716 1,9971 2,4365 2,9679 EEAM 0,4921 0,5429 0,7392 0,7888 0,9624 1,1723 U-Theil 0,5003 0,5371 0,6771 0,6470 0,6746 0,7368 r20,9228 0,9038 0,8524 0,8353 0,7874 0,7250 r2 a0,9228 0,9038 0,8524 0,8353 0,7874 0,7250 AIC 566,0746 617,9880 733,0464 748,3162 816,2644 890,9944 BIC 579,8959 631,8093 746,8677 762,1375 830,0857 904,8157 YM t=βWM∗ t,(h)+et REQM 1,7197 1,9037 2,1794 2,3931 2,8867 3,4731 EAM 1,3037 1,4536 1,7106 1,8685 2,2720 2,7737 EEAM 0,5149 0,5742 0,6757 0,7380 0,8974 1,0956 U-Theil 0,5897 0,6611 0,6595 0,7599 0,8503 0,9520 r20,9527 0,9414 0,9222 0,8994 0,8503 0,7986 r2 a0,9527 0,9414 0,9222 0,8994 0,8503 0,7986 AIC 921,7986 969,3662 1032,6492 1076,4422 1164,1926 1250,7394 BIC 928,7092 976,2768 1039,5598 1083,3528 1171,1032 1257,6500 YM t=βtWM∗ t,(h)+et, βt=µ+φ(βt−1−µ) + εt REQM 1,4970 1,5986 2,0233 2,2522 2,7741 3,3447 EAM 1,1009 1,1783 1,5499 1,7114 2,1969 2,6521 EEAM 0,4348 0,4654 0,6122 0,6760 0,8677 1,0475 U-Theil 0,4533 0,4772 0,5632 0,6611 0,7737 0,7765 r20,9526 0,9452 0,9171 0,8942 0,8424 0,8028 r2 a0,9526 0,9452 0,9171 0,8942 0,8424 0,8028 AIC 431,6618 463,8398 573,0776 622,6994 720,4518 805,6008 BIC 445,4831 477,6611 586,8989 636,5207 734,2731 819,4221 Na Figura 7.11 est˜ao representadas as s´eries da temperatura m´axima observada com as respetivas previs˜oes a h-passos, obtidas no website weatherstack, e as previs˜oes a h-passos calibrada. A parte superior corresponde ao modelo MEES1e a parte inferior ao modelo MEES6. No geral, ´e not´oria uma melhoria nas previs˜oes calibradas em rela¸c˜ao `as previs˜oes dadas pelo website, onde ´e poss´ıvel perceber que as previs˜oes calibradas a 1-passo sobrep˜oem melhor a s´erie da temperatura m´axima observada em compara¸c˜ao com a previs˜ao a 6-passos calibrada. Esta situa¸c˜ao j´a era de esperar visto que as previs˜oes com menor horizonte temporal tendem a ser mais 75 Cap´ıtulo 7. An´alise e Previs˜ao das S´eries de Dados Meteorol´ogicos precisas. mar mai jul set 10 15 20 25 30 35 40 45 tempo (dias) temperatura (ºC) Temperatura máxima observada Previsão a 1−passo Previsão a 1−passo calibrada mar mai jul set 10 15 20 25 30 35 40 45 tempo (dias) temperatura (ºC) Temperatura máxima observada Previsão a 6−passos Previsão a 6−passos calibrada Figura 7.11: S´eries da temperatura m´axima observada (a preto), previs˜oes do website (a vermelho) e das previs˜oes calibrada (a azul); gr´afico superior - MEES1, gr´afico inferior - MEES6. Na parte superior da Figura 7.12 est˜ao representadas as previs˜oes do fator de calibra¸c˜ao, βt|t−1, para t= 1,...,234 dias, como uma linha cont´ınua, obtidas atrav´es do FK e os limites do erro, βt|t−1±1,96pPt|t−1, como linhas tracejadas. No gr´afico do meio est˜ao representados os valores filtrados, βt|t, para t= 1,...,234 dias, como uma linha e os limites do erro, βt|t±1,96pPt|tcomo linhas tracejadas. No gr´afico inferior est˜ao representados, como uma linha, o fator de calibra¸c˜ao alisado, βt|npara t= 1,...,234 dias e n= 234, obtidos atrav´es do alisamento de Kalman e os limites do erro, βt|n±1,96pPt|n. Por observa¸c˜ao gr´afica, verifica-se que o comportamento de βt|n´e mais suave do que o comportamento de βt|t−1eβt|tpara ambos os modelos. Isto acontece porque as estimativas obtidas a partir do alisamento s˜ao mais precisas em rela¸c˜ao `as obtidas a partir da previs˜ao ou da filtragem, uma vez que utiliza a totalidade dos dados. Al´em disso, os intervalos (limites do erro) para o modelo de calibra¸c˜ao com h= 6 dias (lado direito) apresentam maior variabilidade do que os intervalos para o modelo de 76 Modelos de Previs˜ao a Curto Prazo para Vari´aveis Meteorol´ogicas calibra¸c˜ao com h= 1 dia (lado esquerdo). Isto deve-se ao facto que as previs˜oes a 1-passo s˜ao mais precisas do que as previs˜oes a 6-passos, tendo em conta de que a incerteza associada `as previs˜oes tende a aumentar com o aumento do horizonte temporal. Por outro lado, verifica-se que nos trˆes gr´aficos correspondentes ao modelo a 1-passo (lado esquerdo), as estimativas para βtoscilam entre 1,1 e 1,2, a passo que no modelo a 6-passos (lado direito), oscilam entre 1,0 e 1,2. 0 50 100 150 200 0.9 1.1 1.3 1.5 Previsão tempo (dias) βt 0 50 100 150 200 0.9 1.1 1.3 1.5 Filtragem tempo (dias) βt 0 50 100 150 200 0.9 1.1 1.3 1.5 Alisamento tempo (dias) βt 0 50 100 150 200 0.9 1.1 1.3 1.5 Previsão tempo (dias) βt 0 50 100 150 200 0.9 1.1 1.3 1.5 Filtragem tempo (dias) βt 0 50 100 150 200 0.9 1.1 1.3 1.5 Alisamento tempo (dias) βt Figura 7.12: Parte superior - previs˜oes βt|t−1, centro - filtragem βt|t, parte inferioralisamento βt|n para a temperatura m´axima; lado esquerdo - MEES1, lado direito - MEES6. Para validar um modelo de previs˜ao, ´e essencial fazer a an´alise das inova¸c˜oes (res´ıduos) a fim de verificar se tˆem um comportamento similar ao de um ru´ıdo branco, tendo que cumprir os pressupostos da normalidade, independˆencia, m´edia nula e variˆancia constante (homocedasticidade) oo longo do tempo. A condi¸c˜ao da normalidade pode ser verificada atrav´es da an´alise gr´afica do histograma dos res´ıduos e atrav´es de um teste estat´ıstico que, neste caso, o teste escolhido ´e o teste Kolmogorov-Smirnov, tendo em conta `a dimens˜ao da amostra (n= 234 observa¸c˜oes). Analisando o histograma dos res´ıduos (Figura 7.13) correspondente ao modelo MEES1(lado esquerdo), sugere que os res´ıduos apresentam uma cauda pesada `a direita, sendo o suficiente para que o teste Kolmogorov-Smirnov rejeite a hip´otese da normalidade dos erros (valor de prova de 0,0059). No caso no modelo de calibra¸c˜ao MEES6(lado direito), sugere que os res´ıduos tˆem um comportamento pr´oximo ao da fun¸c˜ao densidade da distribui¸c˜ao Normal, sendo comprovado pelo teste KolmogorovSmirnov (valor de prova de 0,3080). No entanto, para ambos os modelos, verifica-se que no gr´afico QQ-plot, existem pontos nos extremos que n˜ao est˜ao sobrepostos sobre a reta nos extremos. O pressuposto da m´edia nula aparenta ser v´alido para ambos os modelos. No 77 Cap´ıtulo 7. An´alise e Previs˜ao das S´eries de Dados Meteorol´ogicos entanto, relativamente ao pressuposto da homocedasticidade dos erros, a an´alise gr´afica sugere que, para ambos os modelos, a variˆancia n˜ao ´e constante, apresentando valores mais elevados no in´ıcio de julho. mar mai jul set −4 −2 0 2 4 6 8 tempo (dias) temperatura (ºC) resíduos densidade −4 −2 0 2 4 6 8 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −3 −2 −1 0 1 2 3 −4 −2 0 2 4 6 8 quantis teóricos da distribuição Normal padrão quantis observados da amostra mar mai jul set −4 −2 0 2 4 6 8 tempo (dias) temperatura (ºC) resíduos densidade −2 0 2 4 6 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −3 −2 −1 0 1 2 3 −4 −2 0 2 4 6 8 quantis teóricos da distribuição Normal padrão quantis observados da amostra Figura 7.13: S´erie, histograma e QQ-plot dos res´ıduos da temperatura m´axima; lado esquerdo - MEES1, lado direito - MEES6. Relativamente ao pressuposto da independˆencia dos erros, fez-se o teste LjungBox, aplicado `a s´erie dos res´ıduos (inova¸c˜oes), fazendo variar kentre 7 e 17, onde krepresenta o n´umero de autocorrela¸c˜oes a serem testadas. Segundo os resultados do teste, a hip´otese da independˆencia ´e rejeitada para todos os valores de k, exceto para k= 17 (valor de prova de 0,0534) para o modelo a 1-passo e exceto para k= 17 (valor de prova de 0,0529) para o modelo a 6-passos. De facto, a FAC e a FACP dos res´ıduos (Figura 7.14) apresentam correla¸c˜oes significativas para ambos os modelos de calibra¸c˜ao. Portanto, o pressuposto da independˆencia n˜ao ´e verificado. 0.00 0.05 0.10 0.15 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 lag FAC 0.00 0.05 0.10 0.15 −0.15 −0.05 0.05 0.15 lag FACP 0.00 0.05 0.10 0.15 −0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 lag FAC 0.00 0.05 0.10 0.15 −0.20 −0.10 0.00 0.10 lag FACP Figura 7.14: FAC e FACP dos res´ıduos da temperatura m´axima; lado esquerdo - MEES1, lado direito - MEES6. Segundo a Figura 7.15, onde est˜ao representadas as s´eries da temperatura m´axima observada (a preto), das previs˜oes a 1-passo do website com a substitui¸c˜ao 78 Modelos de Previs˜ao a Curto Prazo para Vari´aveis Meteorol´ogicas dos outliers do r´acio YM t/WM t,(h)por estimativas atrav´es da interpola¸c˜ao linear (a vermelho) e das respetivas previs˜oes a 1-passo calibrada (azul), correspondentes aos modelos MEES∗ 1(gr´afico superior) e MEES∗ 6(gr´afico inferior), ´e not´oria uma melhoria nas previs˜oes calibradas em rela¸c˜ao `as previs˜oes dadas pelo website com a substitui¸c˜ao de observa¸c˜oes, onde ´e poss´ıvel perceber que as previs˜oes calibradas a 1-passo acompanham melhor a s´erie da temperatura m´axima observada do que a previs˜oes a 6-passos calibradas. mar mai jul set 10 15 20 25 30 35 40 45 tempo (dias) temperatura (ºC) Temperatura máxima observada Previsão a 1−passo Previsão a 1−passo calibrada mar mai jul set 10 15 20 25 30 35 40 45 tempo (dias) temperatura (ºC) Temperatura máxima observada Previsão a 6−passos Previsão a 6−passos calibrada Figura 7.15: S´eries da temperatura m´axima observada (a preto), previs˜oes do website com a substitui¸c˜ao dos outliers do r´acio YM t/WM t,(h)(a vermelho) e das previs˜oes calibrada (a azul); gr´afico superior - MEES∗ 1, gr´afico inferior - MEES∗ 6. Analisando os gr´aficos da Figura 7.16, a principal caracter´ıstica que se destaca s˜ao as amplitudes dos intervalos entre o modelo de calibra¸c˜ao a 1-passo (esquerda) e o modelo de calibra¸c˜ao a 6-passos (direita), onde se verifica que as margens de erro para o modelo a 6-passos s˜ao bastante superiores comparativamente ao modelo a 1-passo. Al´em disso, os comportamentos de βt|t−1(previs˜ao), βt|t(filtragem) e βt|n(alisamento) s˜ao mais suaves no modelo a 1-passo. Isto deve-se ao facto das previs˜oes com maior horizonte temporal terem, geralmente, maior erro associado. 79 Cap´ıtulo 7. An´alise e Previs˜ao das S´eries de Dados Meteorol´ogicos 0 50 100 150 200 0.2 0.6 1.0 Previsão tempo (dias) βt 0 50 100 150 200 0.2 0.6 1.0 Filtragem tempo (dias) βt 0 50 100 150 200 0.2 0.6 1.0 Alisamento tempo (dias) βt 0 50 100 150 200 0.2 0.6 1.0 Previsão tempo (dias) βt 0 50 100 150 200 0.2 0.6 1.0 Filtragem tempo (dias) βt 0 50 100 150 200 0.2 0.6 1.0 Alisamento tempo (dias) βt Figura 7.20: Parte superior - previs˜oes βt|t−1; centro - filtragem βt|t; parte inferioralisamento βt|n para a temperatura m´axima; lado esquerdo - MEEC1, lado direito - MEEC6. Para verificar se um modelo ´e apropriado, ´e necess´ario que os res´ıduos cumpram os pressupostos da normalidade, independˆencia, m´edia nula e variˆancia constante ao longo do tempo. Analisando o histograma dos res´ıduos (Figura 7.13) correspondente ao modelo MEEC1(lado esquerdo), sugere que os res´ıduos apresentam uma distribui¸c˜ao aproximadamente sim´etrica. No entanto, no QQ-plot existem pontos que est˜ao bastante afastados de uma reta, sendo o suficiente para que o teste Kolmogorov-Smirnov rejeite a hip´otese da normalidade dos erros (valor de prova de 0,0076). No caso do modelo MEEC6(lado direito), o histograma dos res´ıduos sugere que os res´ıduos tˆem um comportamento pr´oximo ao da fun¸c˜ao densidade da distribui¸c˜ao Normal, al´em de que no QQ-plot, os pontos est˜ao dispostos maioritariamente sobre uma linha reta, tendo apenas 2 pontos no extremo que se desviam. O teste Kolmogorov-Smirnov n˜ao rejeita a hip´otese da normalidade dos erros (valor de prova de 0,8206). Analisando ambos os gr´aficos da s´erie dos res´ıduos, parecem apresentar uma distribui¸c˜ao em torno de zero, n˜ao apontando para a rejei¸c˜ao da m´edia nula dos erros. Relativamente ao pressuposto da homocedasticidade dos erros, a an´alise gr´afica das s´eries dos res´ıduos sugerem que, para ambos os modelos, a variˆancia n˜ao ´e constante. Em rela¸c˜ao ao pressuposto da independˆencia dos erros, aplicou-se o teste LjungBox `a s´erie dos res´ıduos (inova¸c˜oes), onde foram testadas de 7 a 17 autocorrela¸c˜oes. Segundo o teste, a hip´otese da independˆencia dos erros para o modelo a 1-passo ´e rejeitada para os valores de k= 7,8,9,10,14, apresentando valores de prova entre 0,0035 (k= 7) e 0,1287 (k= 17). Para o modelo a 6-passos, a hip´otese da independˆencia dos erros ´e rejeitada para todos os valores de k. 86 Modelos de Previs˜ao a Curto Prazo para Vari´aveis Meteorol´ogicas mar mai jul set −4 −2 0 2 4 6 8 tempo (dias) temperatura (ºC) resíduos densidade −4 −2 0 2 4 6 8 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −3 −2 −1 0 1 2 3 −4 −2 0 2 4 6 8 quantis teóricos da distribuição Normal padrão quantis observados da amostra mar mai jul set −4 −2 0 2 4 6 8 tempo (dias) temperatura (ºC) resíduos densidade −2 0 2 4 6 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −3 −2 −1 0 1 2 3 −4 −2 0 2 4 6 8 quantis teóricos da distribuição Normal padrão quantis observados da amostra Figura 7.21: S´erie, histograma e QQ-plot dos res´ıduos da temperatura m´axima; lado esquerdo - MEEC1, lado direito - MEEC6. Relativamente `a FAC e a FACP dos res´ıduos, representadas na Figura 7.22, apresentam correla¸c˜oes significativas para alguns lags em ambos os modelos de calibra¸c˜ao. Portanto, o pressuposto da independˆencia dos erros n˜ao ´e verificado. 0.00 0.05 0.10 0.15 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 lag FAC 0.00 0.05 0.10 0.15 −0.15 −0.05 0.05 0.15 lag FACP 0.00 0.05 0.10 0.15 −0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 lag FAC 0.00 0.05 0.10 0.15 −0.15 −0.05 0.05 0.15 lag FACP Figura 7.22: FAC e FACP dos res´ıduos da temperatura m´axima; lado esquerdo - MEEC1, lado direitoMEEC6. Analisando os gr´aficos da Figura 7.23, verifica-se que, no geral, as previs˜oes calibradas parecem aproximar-se mais da temperatura m´axima observada do que as previs˜oes dadas pelo website com a substitui¸c˜ao de observa¸c˜oes dos outliers do r´acio YM t/WM t,(h), onde ´e poss´ıvel perceber que as previs˜oes a 1-passo calibradas tˆem uma melhor performance, visto que sobrep˜oem melhor a s´erie da temperatura m´axima observada (gr´afico superior). Atrav´es da an´alise gr´afica da Figura 7.24, percebe-se que o comportamento de βt|n(alisamento) para ambos os modelos ´e mais irregular comparativamente ao comportamento de βt|t−1(previs˜ao). Al´em disso, os comportamentos dos trˆes gr´aficos do modelo a 6-passos (direita) aparentam ser mais irregulares do que no modelo a 87 Cap´ıtulo 7. An´alise e Previs˜ao das S´eries de Dados Meteorol´ogicos 1-passo (esquerda), al´em de possu´ırem maior variabilidade. mar mai jul set 10 15 20 25 30 35 40 45 tempo (dias) temperatura (ºC) Temperatura máxima observada Previsão a 1−passo Previsão a 1−passo calibrada mar mai jul set 10 15 20 25 30 35 40 45 tempo (dias) temperatura (ºC) Temperatura máxima observada Previsão a 6−passos Previsão a 6−passos calibrada Figura 7.23: S´eries da temperatura m´axima observada (a preto), previs˜oes do website com a substitui¸c˜ao dos outliers do r´acio YM t/WMt,(h)(a vermelho) e das previs˜oes calibrada (a azul); gr´afico superior - MEEC∗ 1, gr´afico inferior - MEEC∗ 6. 0 50 100 150 200 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 Previsão tempo (dias) βt 0 50 100 150 200 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 Filtragem tempo (dias) βt 0 50 100 150 200 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 Alisamento tempo (dias) βt 0 50 100 150 200 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 Previsão tempo (dias) βt 0 50 100 150 200 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 Filtragem tempo (dias) βt 0 50 100 150 200 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 Alisamento tempo (dias) βt Figura 7.24: Parte superior - previs˜oes βt|t−1; centro - filtragem βt|t; parte inferioralisamento βt|n para a temperatura m´axima; lado esquerdo - MEEC∗ 1, lado direito - MEEC∗ 6. 88 Modelos de Previs˜ao a Curto Prazo para Vari´aveis Meteorol´ogicas Relativamente `a an´alise dos res´ıduos, na Figura 7.25, verifica-se que o histograma associado aos res´ıduos do modelo a 1-passo (esquerda) apresenta uma cauda bastante evidente `a esquerda, que, no entanto, n˜ao foi suficiente para rejeitar a hip´otese da normalidade dos erros do teste Kolmogorov-Smirnov (valor de prova de 0,1699); o histograma dos res´ıduos associado ao modelo a 6-passos (direita) apresenta uma assimetria `a direita, n˜ao sendo tamb´em o suficiente para rejeitar a hip´otese da distribui¸c˜ao Normal dos erros (valor de prova de 0,4369). Analisando o QQ-plot para ambos os modelos, verifica-se que os pontos encontram-se alinhados, havendo alguns pontos no extremo no modelo a 1-passo que se distanciam da reta. De acordo com a representa¸c˜ao gr´afica da s´erie dos res´ıduos (Figura 7.25), esta parece apresentar uma distribui¸c˜ao em torno de zero, sendo comprovada a n˜ao rejei¸c˜ao da hip´otese de m´edia nula pelo teste t para o valor esperado (valor de prova de 0,8764 para o modelo a 1-passo e 0,9981 para o modelo a 6-passos). Relativamente `a variˆancia dos erros, a an´alise gr´afica sugere que a variabilidade dos res´ıduos para o modelo a 6-passos ´e superior comparativamente ao modelo a 1-passo. Al´em disso, a variabilidade res´ıduos de ambos os modelos n˜ao aparentam apresentar um comportamento constante ao longo do tempo. mar mai jul set −4 −2 0 2 tempo (dias) temperatura (ºC) resíduos densidade −4 −2 0 2 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 −3 −2 −1 0 1 2 3 −4 −2 0 2 quantis teóricos da distribuição Normal padrão quantis observados da amostra mar mai jul set −4 −2 0 2 tempo (dias) temperatura (ºC) resíduos densidade −3 −2 −1 0 1 2 3 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 −3 −2 −1 0 1 2 3 −4 −2 0 2 quantis teóricos da distribuição Normal padrão quantis observados da amostra Figura 7.25: S´erie, histograma e QQ-plot dos res´ıduos da temperatura m´axima; lado esquerdo - MEEC∗ 1, lado direito - MEEC∗ 6. Para verificar o pressuposto da independˆencia dos erros, o teste Ljung-Box ´e aplicado `a s´erie dos res´ıduos, fazendo variar k(n´umero de autocorrela¸c˜oes) entre 7 a 17, n˜ao rejeitando a hip´otese da independˆencia dos erros para nenhum valor de kno modelo a 1-passo, apresentando valores de prova entre 0,2632 (k= 7) e 0,8219 (k= 14). No modelo a 6-passos, a hip´otese da independˆencia dos erros ´e rejeitada para todos os valores de k, exceto para k= 8 (valor de prova de 0,0581), 89 Cap´ıtulo 7. An´alise e Previs˜ao das S´eries de Dados Meteorol´ogicos k= 9 (valor de prova de 0,1447) e k= 17 (valor de prova de 0,0833). De facto, os resultados do teste Ljung-Box est˜ao de acordo com a an´alise da FAC e a FACP dos res´ıduos (Figura 7.22), uma vez que, para o modelo a 1-passo (esquerda), n˜ao apresentam correla¸c˜oes significativas, contrariamente ao que se sucede no modelo a 6-passos (direita), na qual se destaca uma correla¸c˜ao bastante significativa para ambos os gr´aficos. 0.00 0.05 0.10 0.15 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 lag FAC 0.00 0.05 0.10 0.15 −0.10 0.00 0.05 0.10 lag FACP 0.00 0.05 0.10 0.15 −0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 lag FAC 0.00 0.05 0.10 0.15 −0.2 −0.1 0.0 0.1 lag FACP Figura 7.26: FAC e FACP dos res´ıduos da temperatura m´axima; lado esquerdo - MEEC∗ 1, lado direito - MEEC∗ 6. Considera¸c˜oes adicionais Num ponto de vista mais amplo, tamb´em ´e poss´ıvel obter mais conclus˜oes atrav´es da compara¸c˜ao das Tabelas 7.3 e 7.5 −O modelo MEEChobteve menores estimativas de φdo que o modelo MEESh, assim como o modelo MEEC∗ hproduziu menores estimativas para o mesmo parˆametro do que o modelo MEES∗ h; −O modelo de regress˜ao linear RLSChobteve menores estimativas para σedo que o modelo RLSSh. Analogamente, o modelo RLSC∗ hobteve menores estimativas para σedo que o modelo RLSS∗ h. Comparando as Tabelas 7.4 e 7.6, conclui-se que −De todos os modelos cuja vari´avel independente ´e Wt,(h), o que obteve menores valores de AIC e BIC, assim como produziu maioritariamente menores valores para as medidas REQM, EAM, EEAM e U-Theil e maior r2 afoi o modelo MEECh; −De todos os modelos cuja vari´avel independente ´e W∗ t,(h), o que obteve menores valores de AIC e BIC, assim como produziu maioritariamente menores valores para as medidas REQM, EAM, EEAM e U-Theil e maior r2 afoi o modelo MEEC∗ h; 90 Modelos de Previs˜ao a Curto Prazo para Vari´aveis Meteorol´ogicas −Por um lado, verificou-se que o modelo RLSChgerou menores valores de REQM, EAM, EEAM e obteve maiores valores de r2 ado que o modelo MEESh. No entanto, o modelo MEEShobteve menores valores de U-Theil e de AIC e BIC. Esta situa¸c˜ao ´e parecida nos modelos RLSC∗ he MEES∗ h(exceto no caso do r2 a); −Todos os modelos obtiveram valores elevados de r2 a, dado que todos s˜ao superiores a 0,70. Relativamente ao cumprimento dos pressupostos associados aos modelos (normalidade, m´edia nula, variˆancia constante e a n˜ao correla¸c˜ao dos erros), verificou-se que −Os modelos MEEShe MEEChfalham no pressuposto da independˆencia dos erros para h= 1,6 dias; al´em disso, n˜ao cumprem o pressuposto da normalidade para h= 1. Atendendo aos restantes horizontes temporais (h= 2,3,4,5 dias), foram efetuados os testes de normalidade Kolmogorov-Smirnov e verificou-se que a condi¸c˜ao da normalidade dos erros n˜ao ´e v´alida em ambos os modelos com h= 2,3,4 dias. J´a a condi¸c˜ao da n˜ao correla¸c˜ao, recorreu-se ao teste Ljung-Box, onde se fez variar o n´umero de autocorrela¸c˜oes de 7 a 17, inclusive, e chegou-se `a conclus˜ao de que nenhum dos modelos compre o referido pressuposto; −Ambos os modelos MEES∗ he MEEC∗ hcumprem os pressupostos da normalidade para h= 1,6 dias; o pressuposto da independˆencia dos erros foi verificada para ambos os modelos com h= 1; no entanto, n˜ao foi verificada para h= 6. Em rela¸c˜ao aos restantes horizontes temporais (h= 2,3,4,5 dias), foram efetuados os testes de normalidade Kolmogorov-Smirnov e verificou-se que a condi¸c˜ao da normalidade dos erros n˜ao ´e v´alida para o modelo MEES∗ hcom h= 4 dias (valor de prova de 0,0112) e n˜ao ´e v´alida para o modelo MEEC∗ hcom h= 2 dias (valor de prova de 0,0457) e h= 4 dias (valor de prova de 0,0306). J´a a condi¸c˜ao da n˜ao correla¸c˜ao, recorreu-se ao teste Ljung-Box, onde se fez variar o n´umero de autocorrela¸c˜oes de 7 a 17, inclusive. O modelo MEES∗ h n˜ao rejeitou a hip´otese da independˆencia dos erros apenas para h= 3 dias (cujos valores de prova variam entre 0,0753 (k= 7) e 0,4776 (k= 15)). O modelo MEEC∗ hn˜ao rejeitou a hip´otese da independˆencia dos erros para h= 2 dias (valores de prova variam entre 0,0937 (k= 8) e 0,4993 (k= 17)), h= 3 (valores de prova variam entre 0,0978 (k= 7) e 0,6483 (k= 15)) e h= 5 (valores de prova variam entre 0,1150 (k= 8) e 0,3713 (k= 14)). 91 Cap´ıtulo 7. An´alise e Previs˜ao das S´eries de Dados Meteorol´ogicos 7.3.2 Temperatura M´ınima Na Figura 7.27 est˜ao representadas as s´eries temporais da temperatura m´ınima observada (a preto) com as respetivas previs˜oes a h-passos, h= 1,...,6 dias, provenientes do website weatherstack (a vermelho). Diferentemente ao que acontece na temperatura m´axima, na qual as previs˜oes subestimavam o valor observado, atrav´es da an´alise gr´afica verifica-se que as previs˜oes da temperatura m´ınima parecem acompanhar a s´erie observada, existindo previs˜oes que se afastam do valor da temperatura m´ınima observada. mar mai jul set −5 0 5 10 15 20 25 tempo (dias) temperatura (ºC) Temperatura mínima observada Previsão a 1−passo mar mai jul set −5 0 5 10 15 20 25 tempo (dias) temperatura (ºC) Temperatura mínima observada Previsão a 2−passos mar mai jul set −5 0 5 10 15 20 25 tempo (dias) temperatura (ºC) Temperatura mínima observada Previsão a 3−passos mar mai jul set −5 0 5 10 15 20 25 tempo (dias) temperatura (ºC) Temperatura mínima observada Previsão a 4−passos mar mai jul set −5 0 5 10 15 20 25 tempo (dias) temperatura (ºC) Temperatura mínima observada Previsão a 5−passos mar mai jul set −5 0 5 10 15 20 25 tempo (dias) temperatura (ºC) Temperatura mínima observada Previsão a 6−passos Figura 7.27: S´eries da temperatura m´ınima observada (a preto) e das respetivas previs˜oes a h-passos (a vermelho), h= 1,...,6 dias. 92 Modelos de Previs˜ao a Curto Prazo para Vari´aveis Meteorol´ogicas Analisando a Tabela 7.7, ´e poss´ıvel tirar algumas conclus˜oes −Nos quatro modelos, as estimativas e os erros padr˜ao de σetendem a aumentar com o aumento do horizonte temporal. Por outro lado, a log-verosimilhan¸ca tende a diminuir com o aumento do horizonte temporal; −No modelo MEESh, o valor estimado de φest´a muito pr´oximo de 0,90 (um processo AR(1) ´e estacion´ario se |φ|<1); −Comparando os modelos RLSShe MEESh, verifica-se que as estimativas do valor m´edio do processo {βt}t=1,...,n,µ, variam entre os 1,09-1,14 ° C, que ´e ligeiramente superior `a estimativa de βno modelo de regress˜ao linear, que varia entre os 1,07-1,10 ° C. Isto indica que, em m´edia, a temperatura m´ınima observada ´e cerca de 9-14% superior em rela¸c˜ao `as previs˜oes, no modelo de calibra¸c˜ao, e cerca de 7-10% superior em rela¸c˜ao `as previs˜oes, no modelo de regress˜ao linear simples. Por outro lado, as estimativas e os erros padr˜ao de σes˜ao mais elevados no modelo de regress˜ao linear. As mesmas conclus˜oes podem ser tiradas comparando os modelos RLSS∗ he MEES∗ h. Na Tabela 7.8 est˜ao exibidas algumas medidas de avalia¸c˜ao e crit´erios de sele¸c˜ao referentes aos quatro modelos cujas estimativas dos parˆametros encontram-se na Tabela 7.7. No geral, constata-se que −Nos quatro modelos, os crit´erios AIC e BIC tendem a aumentar com o aumento do horizonte temporal, assim como as medidas REQM, EAM, EEAM e UTheil. Por outro lado, r2er2 a, tendem a diminuir com o aumento do horizonte temporal; −O modelo MEEShobteve menores valores de AIC e BIC em compara¸c˜ao com o modelo RLSSh, assim como obteve menores valores de REQM, EAM, EEAM e U-Theil e menor r2 a. O mesmo acontece com os modelos RLSS∗ he MEES∗ h; −Nos modelos MEEShe RLSSh, verifica-se que, a partir de h= 5, a estat´ıstica U-Theil assume valores muito elevados. 93 Cap´ıtulo 7. An´alise e Previs˜ao das S´eries de Dados Meteorol´ogicos Tabela 7.7: Estimativas dos parˆametros e respetivos erros padr˜ao dos quatro modelos para a s´erie da temperatura m´ınima, onde Ym trepresenta a temperatura m´ınima observada, Wm t,(h)corresponde `as previs˜oes a h-passos do website eWm∗ t,(h)corresponde `as previs˜oes com a substitui¸c˜ao dos outliers do r´acio Ym t/Wm t,(h),h= 1,...,6 dias. h=1 h=2 h=3 h=4 h=5 h=6 Ym t=βWm t,(h)+et βestimativa 1,1028 1,0971 1,1003 1,0912 1,0880 1,0733 erro padr˜ao 0,0106 0,0107 0,0123 0,0119 0,0127 0,0135 σeestimativa 2,0906 2,1134 2,4185 2,3681 2,5195 2,7176 erro padr˜ao 0,1341 0,1354 0,1551 0,1523 0,1622 0,1743 logL -504,0925 -506,6304 -538,1841 -533,2560 -547,7639 -565,4683 Ym t=βtWm t,(h)+et, βt=µ+φ(βt−1−µ) + εt φestimativa 0,8943 0,8797 0,9207 0,8994 0,9059 0,9052 erro padr˜ao 0,0541 0,0574 0,0397 0,0562 0,0536 0,0440 µestimativa 1,1348 1,1274 1,1397 1,1079 1,0975 1,0865 erro padr˜ao 0,0268 0,0245 0,0331 0,0222 0,0196 0,0228 σεestimativa 0,0356 0,0354 0,0322 0,0227 0,0181 0,0238 erro padr˜ao 0,0108 0,0112 0,0100 0,0102 0,0101 0,0117 σeestimativa 1,8732 1,9036 2,2052 2,2556 2,4347 2,5640 erro padr˜ao 0,1030 0,1056 0,1163 0,1161 0,1217 0,1320 logL -282,8734 -285,7735 -317,2342 -315,6864 -330,8449 -346,0075 Ym t=βWm∗ t,(h)+et βestimativa 1,1018 1,0945 1,0943 1,0834 1,0792 1,0690 erro padr˜ao 0,0098 0,0095 0,0108 0,0100 0,0104 0,0110 σeestimativa 1,9278 1,8889 2,1435 2,0000 2,1022 2,2298 erro padr˜ao 0,1246 0,1219 0,1386 0,1298 0,1368 0,1451 logL -485,1175 -480,3539 -509,9389 -493,7298 -505,3940 -519,1760 Ym t=βtWm∗ t,(h)+et, βt=µ+φ(βt−1−µ) + εt φestimativa 0,8406 0,8208 0,9039 0,8754 0,8891 0,8392 erro padr˜ao 0,0733 0,0703 0,0406 0,0560 0,0550 0,0821 µestimativa 1,1313 1,1257 1,1349 1,1033 1,0891 1,0811 erro padr˜ao 0,0229 0,0217 0,0310 0,0204 0,0184 0,0218 σεestimativa 0,0474 0,0504 0,0396 0,0308 0,0238 0,0449 erro padr˜ao 0,0142 0,0136 0,0109 0,0109 0,0099 0,0189 σeestimativa 1,6253 1,5539 1,8290 1,8028 1,9684 1,9457 erro padr˜ao 0,1066 0,1058 0,1052 0,1006 0,1025 0,1326 logL -260,3443 -253,7488 -282,5510 -271,4519 -286,0662 -296,0774 94 Modelos de Previs˜ao a Curto Prazo para Vari´aveis Meteorol´ogicas Tabela 7.8: Compara¸c˜ao das medidas e de crit´erios de sele¸c˜ao dos quatro modelos sem constante aditiva da temperatura m´ınima di´aria. h=1 h=2 h=3 h=4 h=5 h=6 Ym t=βWm t,(h)+et REQM 2,0861 2,1089 2,4133 2,3630 2,5141 2,7117 EAM 1,6098 1,6694 1,8798 1,8224 1,9036 2,0441 EEAM 0,9084 0,9420 1,0608 1,0284 1,0742 1,1535 U-Theil 0,5364 0,5548 1,2234 0,8823 3,7574 2,0140 r20,8726 0,8718 0,8301 0,8316 0,8066 0,7844 r2 a0,8726 0,8718 0,8301 0,8316 0,8066 0,7844 AIC 1012,1850 1017,2610 1080,3680 1070,5120 1099,5280 1134,9370 BIC 1019,0960 1024,1710 1087,2790 1077,4230 1106,4380 1141,8470 Ym t=βtWm t,(h)+et, βt=µ+φ(βt−1−µ) + εt REQM 2,0074 2,0339 2,3293 2,3236 2,4853 2,6540 EAM 1,5499 1,5874 1,8122 1,7610 1,8881 2,0015 EEAM 0,8746 0,8958 1,0226 0,9937 1,0655 1,1294 U-Theil 0,4717 0,4644 1,0817 0,8587 3,7498 2,0199 r20,8767 0,8771 0,8391 0,8375 0,8132 0,7978 r2 a0,8767 0,8771 0,8391 0,8375 0,8132 0,7978 AIC 573,7468 579,5470 642,4684 639,3728 669,6898 700,0150 BIC 587,5681 593,3683 656,2897 653,1941 683,5111 713,8363 Ym t=βWm∗ t,(h)+et REQM 1,9236 1,8849 2,1389 1,9957 2,0977 2,2250 EAM 1,5019 1,5161 1,6828 1,5894 1,6378 1,7467 EEAM 0,8475 0,8555 0,9496 0,8969 0,9242 0,9857 U-Theil 0,9550 0,9309 1,2280 0,9327 1,0275 0,9087 r20,8813 0,8879 0,8526 0,8651 0,8454 0,8252 r2 a0,8813 0,8879 0,8526 0,8651 0,8454 0,8252 AIC 974,2350 964,7078 1023,8778 991,4596 1014,7880 1042,3520 BIC 981,1456 971,6184 1030,7884 998,3702 1021,6986 1049,2626 Ym t=βtWm∗ t,(h)+et, βt=µ+φ(βt−1−µ) + εt REQM 1,8407 1,7881 2,0219 1,9331 2,0607 2,1735 EAM 1,4376 1,4064 1,5815 1,5343 1,6218 1,7056 EEAM 0,8112 0,7936 0,8925 0,8658 0,9152 0,9625 U-Theil 0,8476 0,8049 1,0390 0,8557 0,9776 0,8312 r20,8863 0,8942 0,8650 0,8723 0,8515 0,8346 r2 a0,8863 0,8942 0,8650 0,8723 0,8515 0,8346 AIC 528,6886 515,4976 573,1020 550,9038 580,1324 600,1548 BIC 542,5099 529,3189 586,9233 564,7251 593,9537 613,9761 Por observa¸c˜ao gr´afica da Figura 7.28, onde est˜ao representadas as s´eries da temperatura m´ınima observada com as previs˜oes a h-passos do website weatherstack 95 Cap´ıtulo 7. An´alise e Previs˜ao das S´eries de Dados Meteorol´ogicos −J´a nos modelos MEEC∗ he RLSC∗ h, as estimativas do valor m´edio do processo {βt}t=1,...,n,µvariam entre os 0,78-0,87 ° C, enquanto que no modelo de regress˜ao linear, as estimativas de βvariam entre os 0,94-0,97 ° C. Ambas as estimativas representam a mudan¸ca na m´edia de Ytpor cada aumento unit´ario nas previs˜oes. Al´em disso, as estimativas e os erros padr˜ao de σes˜ao mais elevados no modelo de regress˜ao linear. Na Tabela 7.10 est˜ao apresentadas algumas medidas e crit´erios de sele¸c˜ao referentes aos quatro modelos cujas estimativas dos parˆametros encontram-se na Tabela 7.9. De um modelo geral, conclui-se que −Nos quatro modelos, `a medida que o horizonte temporal aumenta, os crit´erios AIC e BIC tendem a aumentar, assim como as medidas REQM, EAM e EEAM. O coeficiente de determina¸c˜ao, r2, e o coeficiente de determina¸c˜ao ajustado, r2 a, tendem a diminuir. J´a a medida de precis˜ao U-Theil apresenta um comportamento oscilat´orio; −O modelo MEEChobteve menores valores de AIC e BIC comparativamente ao modelo RLSCh, assim como obteve maioritariamente os menores valores de REQM, EAM e EEAM. Tamb´em obteve melhor ajustamento, visto que produziu maior r2 a. No entanto, o modelo de regress˜ao linear simples obteve os menores valores para U-Theil; −O modelo MEEC∗ hproduziu menores valores de AIC e BIC, assim como obteve os menores valores de REQM, EAM e EEAM do que o modelo RLSC∗ h. Tamb´em obteve maior r2 a. No entanto, o modelo de regress˜ao linear simples obteve menores valores para a estat´ıstica U-Theil; −Relativamente aos modelos MEEChe MEEC∗ h, verifica-se que U-Theil>1 e, portanto, o m´etodo na¨ ıve (onde a ´ultima observa¸c˜ao ´e utilizada como previs˜ao) ´e mais eficiente do que o m´etodo em avalia¸c˜ao. 102 Modelos de Previs˜ao a Curto Prazo para Vari´aveis Meteorol´ogicas Tabela 7.9: Estimativas dos parˆametros e respetivos erros padr˜ao dos quatro modelos com a componente aditiva determin´ıstica αpara a s´erie da temperatura m´ınima, onde Ym trepresenta a temperatura m´ınima observada, Wt,(h)corresponde `as previs˜oes a h-passos do website eWm∗ t,(h) corresponde `as previs˜oes com a substitui¸c˜ao dos outliers do r´acio Ym t/Wm t,(h),h= 1,...,6 dias. h=1 h=2 h=3 h=4 h=5 h=6 Ym t=α+βWm t,(h)+et αestimativa 2,4671 2,5456 2,8475 2,6601 2,7610 3,1641 erro padr˜ao 0,2997 0,2989 0,3430 0,3464 0,3731 0,3859 βestimativa 0,9274 0,9172 0,8979 0,9033 0,8931 0,8532 erro padr˜ao 0,0233 0,0231 0,0267 0,0267 0,0287 0,0294 σeestimativa 1,8431 1,8486 2,1282 2,1191 2,2711 2,3980 erro padr˜ao 0,1202 0,1206 0,1388 0,1382 0,1481 0,1564 logL -474,1104 -474,8003 -507,7579 -506,7541 -522,9656 -535,6889 Ym t=α+βtWm t,(h)+et, βt=µ+φ(βt−1−µ) + εt φestimativa 0,9675 0,9690 0,9700 0,9724 0,9751 0,9739 erro padr˜ao 0,0090 0,0075 0,0079 0,0074 0,0070 0,0088 αestimativa 4,1287 4,2973 4,7340 4,8140 5,2705 5,4145 erro padr˜ao 0,4140 0,3999 0,4585 0,4573 0,4647 0,4211 µestimativa 0,8222 0,8118 0,7847 0,7727 0,7375 0,7097 erro padr˜ao 0,0396 0,0361 0,0427 0,0476 0,0566 0,0677 σεestimativa 0,0119 0,0096 0,0112 0,0127 0,0150 0,0208 erro padr˜ao 0,0054 0,0361 0,0062 0,0056 0,0053 0,0075 σeestimativa 1,5809 1,5634 1,7964 1,7868 1,8703 1,8856 erro padr˜ao 0,0807 0,0795 0,0922 0,0906 0,0933 0,0993 logL -237,5923 -234,4363 -267,2617 -266,5849 -278,1084 -283,2522 Ym t=α+βWm∗ t,(h)+et αestimativa 1,9337 1,9661 2,1240 1,7043 1,5170 1,5654 erro padr˜ao 0,2999 0,2899 0,3341 0,3278 0,3591 0,3846 βestimativa 0,9638 0,9553 0,9434 0,9632 0,9721 0,9592 erro padr˜ao 0,0232 0,0223 0,0258 0,0250 0,0273 0,0290 σeestimativa 1,7790 1,7293 1,9823 1,8969 2,0302 2,1588 erro padr˜ao 0,1160 0,1128 0,1293 0,1237 0,1324 0,1408 logL -465,8288 -459,1902 -491,1491 -480,8334 -496,7269 -511,1053 Ym t=α+βtWm∗ t,(h)+et, βt=µ+φ(βt−1−µ) + εt φestimativa 0,9647 0,9650 0,9643 0,9696 0,9753 0,9732 erro padr˜ao 0,0114 0,0102 0,0105 0,0093 0,0079 0,0113 αestimativa 3,4283 3,5093 3,8176 3,6473 3,9214 4,1443 erro padr˜ao 0,4694 0,4461 0,5011 0,5182 0,5628 0,5754 µestimativa 0,8672 0,8592 0,8389 0,8431 0,8211 0,7830 erro padr˜ao 0,0409 0,0373 0,0424 0,0457 0,0560 0,0747 σεestimativa 0,0121 0,0104 0,0120 0,0122 0,0134 0,0230 erro padr˜ao 0,0063 0,0066 0,0070 0,0060 0,0052 0,0086 σeestimativa 1,5732 1,5183 1,6955 1,6486 1,7606 1,7785 erro padr˜ao 0,0822 0,0809 0,0892 0,0854 0,0888 0,0996 logL -235,1674 -226,2863 -253,4555 -246,8862 -263,1579 -273,4144 103 Cap´ıtulo 7. An´alise e Previs˜ao das S´eries de Dados Meteorol´ogicos Tabela 7.10: Compara¸c˜ao das medidas e dos crit´erios de sele¸c˜ao dos quatro modelos com constante aditiva para a s´erie da temperatura m´ınima. h=1 h=2 h=3 h=4 h=5 h=6 Ym t=α+βWm t,(h)+et REQM 1,8352 1,8407 2,1190 2,1100 2,2613 2,3877 EAM 1,4030 1,4205 1,5760 1,5732 1,6969 1,8765 EEAM 0,7917 0,8016 0,8893 0,8878 0,9576 1,0589 U-Theil 0,5955 0,8592 1,1117 0,9649 1,0375 0,6035 r20,8726 0,8718 0,8301 0,8316 0,8066 0,7844 r2 a0,8721 0,8712 0,8294 0,8309 0,8058 0,7835 AIC 954,2208 955,6006 1021,5158 1019,5082 1051,9312 1077,3778 BIC 964,5868 965,9666 1031,8818 1029,8742 1062,2972 1087,7438 Ym t=α+βtWm t,(h)+et, βt=µ+φ(βt−1−µ) + εt REQM 1,6738 1,6610 1,9091 1,9025 1,9919 2,0424 EAM 1,2841 1,2992 1,4430 1,4352 1,5166 1,5425 EEAM 0,7246 0,7331 0,8143 0,8099 0,8558 0,8704 U-Theil 1,0599 1,1085 1,2822 1,2189 1,2703 1,2426 r20,8941 0,8958 0,8623 0,8633 0,8501 0,8423 r2 a0,8936 0,8954 0,8617 0,8627 0,8495 0,8416 AIC 485,1846 478,8726 544,5234 543,1698 566,2168 576,5044 BIC 502,4612 496,1492 561,8000 560,4464 583,4934 593,7810 Ym t=α+βWm∗ t,(h)+et REQM 1,7714 1,7219 1,9739 1,8887 2,0215 2,1496 EAM 1,3548 1,3376 1,4711 1,4694 1,6036 1,7200 EEAM 0,7645 0,7548 0,8302 0,8292 0,9049 0,9706 U-Theil 1,0624 1,0055 1,2367 1,0490 1,1426 1,0324 r20,8813 0,8879 0,8526 0,8651 0,8454 0,8252 r2 a0,8808 0,8874 0,8520 0,8645 0,8447 0,8244 AIC 937,6576 924,3804 988,2982 967,6668 999,4538 1028,2106 BIC 948,0236 934,7464 998,6642 978,0328 1009,8198 1038,5766 Ym t=α+βtWm∗ t,(h)+et, βt=µ+φ(βt−1−µ) + εt REQM 1,6565 1,5996 1,8007 1,7486 1,8696 1,9606 EAM 1,2586 1,2495 1,3653 1,3688 1,4912 1,5334 EEAM 0,7102 0,7051 0,7704 0,7724 0,8415 0,8653 U-Theil 1,2306 1,1423 1,3212 1,2534 1,4343 1,3065 r20,8963 0,9033 0,8775 0,8845 0,8679 0,8547 r2 a0,8959 0,9029 0,8770 0,8840 0,8673 0,8541 AIC 480,3348 462,5726 516,9110 503,7724 536,3158 556,8288 BIC 497,6114 479,8492 534,1876 521,0490 553,5924 574,1054 104 Modelos de Previs˜ao a Curto Prazo para Vari´aveis Meteorol´ogicas Tendo em conta a Figura 7.36, parece verificar-se uma melhoria das previs˜oes calibradas em rela¸c˜ao `as previs˜oes dadas pelo website.´ E de notar que o modelo de calibra¸c˜ao a 6-passos conseguiu melhorar a previs˜ao no mˆes de fevereiro. mar mai jul set −5 0 5 10 15 20 25 tempo (dias) temperatura (ºC) Temperatura mínima observada Previsão a 1−passo Previsão a 1−passo calibrada mar mai jul set −5 0 5 10 15 20 25 tempo (dias) temperatura (ºC) Temperatura mínima observada Previsão a 6−passos Previsão a 6−passos calibrada Figura 7.36: S´eries da temperatura m´ınima observada (a preto), previs˜oes do website (a vermelho) e das previs˜oes calibrada (a azul); gr´afico superior - MEEC1, gr´afico inferior - MEEC6. Atrav´es da an´alise comparativa dos gr´aficos da Figura 7.37, verifica-se que os intervalos (limites do erro) para o modelo de calibra¸c˜ao com h= 6 dias (lado direito) apresentam margens de erro ligeiramente superiores comparativamente aos intervalos para o modelo de calibra¸c˜ao a 1-passo (lado esquerdo). Al´em disso, o comportamento dos trˆes gr´aficos relativos ao modelo MEEC1apresentam um comportamento mais suave. Relativamente `a an´alise dos res´ıduos, o histograma dos res´ıduos (Figura 7.30) correspondente ao modelo MEEC1(lado esquerdo), sugere que os res´ıduos apresentam uma distribui¸c˜ao aproximadamente assim´etrica `a esquerda. No QQ-plot existem pontos que est˜ao afastados de uma reta. No entanto, o teste Kolmogorov-Smirnov n˜ao rejeita a hip´otese da normalidade dos erros (valor de prova de 0,7497). No caso do QQ-plot relativo ao modelo MEEC1(lado direito), tamb´em possui pontos que 105 Cap´ıtulo 7. An´alise e Previs˜ao das S´eries de Dados Meteorol´ogicos 0 50 100 150 200 0.0 0.5 1.0 Previsão tempo (dias) βt 0 50 100 150 200 0.0 0.5 1.0 Filtragem tempo (dias) βt 0 50 100 150 200 0.0 0.5 1.0 Alisamento tempo (dias) βt 0 50 100 150 200 0.0 0.5 1.0 Previsão tempo (dias) βt 0 50 100 150 200 0.0 0.5 1.0 Filtragem tempo (dias) βt 0 50 100 150 200 0.0 0.5 1.0 Alisamento tempo (dias) βt Figura 7.37: Na parte superior - previs˜oes βt|t−1; no centro - filtragem βt|t; na parte inferior - alisamento βt|nda temperatura m´ınima; lado esquerdo - MEEC1, lado direito - MEEC6. se afastam da reta, por´em, o teste de Kolmogorov-Smirnov tamb´em n˜ao rejeita a hip´otese da distribui¸c˜ao Normal dos erros (valor de prova de 0,6514). Analisando o gr´afico da s´erie dos res´ıduos de ambos os modelos, parecem apresentar uma distribui¸c˜ao em torno de zero, n˜ao apontando para a rejei¸c˜ao da m´edia nula dos erros. O teste t ao valor esperado apresenta um valor de prova de 0,7380 para o modelo a 1-passo e 0,8145 para o modelo a 6-passos, pelo que resulta na n˜ao rejei¸c˜ao da hip´otese de m´edia nula. Relativamente ao pressuposto da homocedasticidade dos erros, a an´alise gr´afica das s´eries dos res´ıduos sugerem que, para ambos os modelos, a variˆancia n˜ao ´e constante. mar mai jul set −2 0 2 4 tempo (dias) temperatura (ºC) resíduos densidade −2 −1 0 1 2 3 4 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −3 −2 −1 0 1 2 3 −2 0 2 4 quantis teóricos da distribuição Normal padrão quantis observados da amostra mar mai jul set −2 0 2 4 tempo (dias) temperatura (ºC) resíduos densidade −2 0 2 4 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −3 −2 −1 0 1 2 3 −2 0 2 4 quantis teóricos da distribuição Normal padrão quantis observados da amostra Figura 7.38: S´erie, histograma e QQ-plot dos res´ıduos da temperatura m´ınima; lado esquerdo - MEEC1, lado direito - MEEC6. 106 Modelos de Previs˜ao a Curto Prazo para Vari´aveis Meteorol´ogicas O teste Ljung-Box ´e aplicado `a s´erie dos res´ıduos (inova¸c˜oes) para verificar o pressuposto da independˆencia dos erros, onde k, que representa o n´umero de autocorrela¸c˜oes a serem testadas, varia entre 7 e 17. Conforme os resultados do teste, a hip´otese da independˆencia dos erros para o modelo MEEC1´e rejeitada para todos os valores de k, exceto para k= 17 (valor de prova de 0,0511). Para o modelo MEEC6, a hip´otese da independˆencia dos erros ´e rejeitada para todos os valores de k. De facto, a FAC e a FACP dos res´ıduos (Figura 7.39) apresentam correla¸c˜oes significativas para alguns lags em ambos os modelos de calibra¸c˜ao. Portanto, o pressuposto da independˆencia n˜ao ´e verificado. 0.00 0.05 0.10 0.15 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 lag FAC 0.00 0.05 0.10 0.15 −0.10 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 lag FACP 0.00 0.05 0.10 0.15 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 lag FAC 0.00 0.05 0.10 0.15 −0.15 −0.05 0.05 0.10 lag FACP Figura 7.39: FAC e FACP dos res´ıduos da temperatura m´ınima; lado esquerdo - MEEC1, lado direito - MEEC6. Na Figura 7.40 est˜ao representadas as s´eries da temperatura m´ınima observada, das previs˜oes a h-passos, obtidas no website weatherstack com a substitui¸c˜ao dos outliers do r´acio Ym t/Wm t,(h)por estimativas atrav´es da interpola¸c˜ao linear, e das respetivas previs˜oes a h-passos calibrada, cujo gr´afico superior corresponde ao modelo MEEC∗ 1e o gr´afico inferior ao modelo MEEC∗ 6. Atrav´es da an´alise gr´afica, verifica-se uma melhoria das previs˜oes calibradas em rela¸c˜ao `as previs˜oes dadas pelo website com a substitui¸c˜ao de outliers do r´acio Ym t/Wm t,(h), uma vez que ambas est˜ao mais pr´oximas do comportamento da s´erie da temperatura m´ınima observada. Comparando os gr´aficos da Figura 7.41, verifica-se que o comportamento dos gr´aficos da previs˜ao (βt|t−1), filtragem (βt|t) e alisamento (βt|n) correspondentes ao modelo a 1-passo (esquerda) parecem ser mais suaves do que os do modelo a 6-passos (direita). Al´em disso, os trˆes gr´aficos correspondentes ao modelo a 6-passos parecem apresentar amplitudes de erro maiores comparativamente ao modelo a 1-passo. 107 Cap´ıtulo 7. An´alise e Previs˜ao das S´eries de Dados Meteorol´ogicos mar mai jul set −5 0 5 10 15 20 25 tempo (dias) temperatura (ºC) Temperatura mínima observada Previsão a 1−passo Previsão a 1−passo calibrada mar mai jul set −5 0 5 10 15 20 25 tempo (dias) temperatura (ºC) Temperatura mínima observada Previsão a 6−passos Previsão a 6−passos calibrada Figura 7.40: S´eries da temperatura m´ınima observada (a preto), previs˜oes do website com a substitui¸c˜ao dos outliers do r´acio Ym t/Wm t,(h)(a vermelho) e das previs˜oes calibrada (a azul); gr´afico superior - MEEC∗ 1, gr´afico inferior - MEEC∗ 6. 0 50 100 150 200 0.0 0.5 1.0 1.5 Previsão tempo (dias) βt 0 50 100 150 200 0.0 0.5 1.0 1.5 Filtragem tempo (dias) βt 0 50 100 150 200 0.0 0.5 1.0 1.5 Alisamento tempo (dias) βt 0 50 100 150 200 0.0 0.5 1.0 1.5 Previsão tempo (dias) βt 0 50 100 150 200 0.0 0.5 1.0 1.5 Filtragem tempo (dias) βt 0 50 100 150 200 0.0 0.5 1.0 1.5 Alisamento tempo (dias) βt Figura 7.41: Na parte superior - previs˜oes βt|t−1; no centro - filtragem βt|t; na parte inferior - alisamento βt|nda temperatura m´ınima; lado esquerdo - MEEC∗ 1, lado direito - MEEC∗ 6. 108 Modelos de Previs˜ao a Curto Prazo para Vari´aveis Meteorol´ogicas De acordo com a an´alise da Figura 7.42, verifica-se que o histograma associado aos res´ıduos do modelo a 1-passo (esquerda) apresenta uma cauda evidente `a direita, que, no entanto, n˜ao foi suficiente para rejeitar a hip´otese da normalidade dos erros do teste Kolmogorov-Smirnov (valor de prova de 0,5435); o histograma dos res´ıduos associado ao modelo a 6-passos (direita) sugere que os res´ıduos tˆem uma distribui¸c˜ao sim´etrica, sendo comprovado pelo teste Kolmogorov-Smirnov (valor de prova de 0,9815). Analisando o QQ-plot para ambos os modelos, verifica-se que nem todos os pontos encontram-se alinhados, principalmente no modelo MEEC∗ 1, havendo pontos no extremo que se distanciam da reta. De acordo com a representa¸c˜ao gr´afica da s´erie de ambos os res´ıduos (Figura 7.42), estes parecem oscilar em torno de zero, sendo pelo teste t para o valor esperado (valor de prova de 0,7615 para o modelo a 1-passo e 0,7649 para o modelo a 6-passos). Relativamente `a variˆancia dos erros, a an´alise gr´afica sugere que a variabilidade dos res´ıduos n˜ao aparentam apresentar um comportamento constante ao longo do tempo. mar mai jul set −2 0 2 4 tempo (dias) temperatura (ºC) resíduos densidade −2 −1 0 1 2 3 4 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −3 −2 −1 0 1 2 3 −2 0 2 4 quantis teóricos da distribuição Normal padrão quantis observados da amostra mar mai jul set −2 0 2 4 tempo (dias) temperatura (ºC) resíduos densidade −3 −2 −1 0 1 2 3 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −3 −2 −1 0 1 2 3 −2 0 2 4 quantis teóricos da distribuição Normal padrão quantis observados da amostra Figura 7.42: S´erie, histograma e QQ-plot dos res´ıduos da temperatura m´ınima; lado esquerdo - MEEC∗ 1, lado direito - MEEC∗ 6. Segundo os resultados do teste Ljung-Box (cujo n´umero de autocorrela¸c˜oes k testadas variam entre 7 e 17), a hip´otese da independˆencia dos erros ´e rejeitada para ambos os modelos, para quaisquer valores de k. A FAC e a FACP dos res´ıduos de ambos os modelos (MEEC∗ 1e MEEC∗ 6) est˜ao representadas na Figura 7.22. Verifica-se que ambos apresentam correla¸c˜oes significativas, uma vez que algumas correla¸c˜oes n˜ao de encontram dentro dos intervalos de confian¸ca de 95%. 109 Cap´ıtulo 7. An´alise e Previs˜ao das S´eries de Dados Meteorol´ogicos 0.00 0.05 0.10 0.15 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 lag FAC 0.00 0.05 0.10 0.15 −0.10 0.00 0.05 0.10 0.15 lag FACP 0.00 0.05 0.10 0.15 −0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 lag FAC 0.00 0.05 0.10 0.15 −0.15 −0.05 0.05 0.15 lag FACP Figura 7.43: FAC e FACP dos res´ıduos da temperatura m´ınima; lado esquerdo - MEEC∗ 1, lado direito - MEEC∗ 6. Considera¸c˜oes adicionais Atrav´es da an´alise comparativa das Tabelas 7.7 e 7.9, conclui-se que −O modelo MEEShobteve menores estimativas para φdo que o modelo MEECh, assim como o modelo MEES∗ hobteve menores estimativas para o mesmo parˆametro do que o modelo MEEC∗ h; −O modelo de regress˜ao linear RLSChobteve menores estimativas para σedo que o modelo RLSSh. Analogamente, o modelo RLSC∗ hobteve menores estimativas para σedo que o modelo RLSS∗ h. Comparando as Tabelas 7.8 e 7.10, conclui-se que −Tendo em conta aos modelos RLSSh, RLSCh, MEEShe MEECh, o que obteve menores valores de AIC e BIC, assim como produziu maioritariamente menores valores para as medidas REQM, EAM, EEAM e U-Theil e maior r2 afoi o modelo MEECh; −Relativamente aos modelos RLSS∗ h, RLSC∗ h, MEES∗ he MEEC∗ h, o que obteve menores valores de AIC e BIC, assim como produziu maioritariamente menores valores para as medidas REQM, EAM, EEAM e U-Theil e maior r2 afoi o modelo MEEC∗ h; −Por um lado, verificou-se que o modelo RLSChgerou menores valores de REQM, EAM, EEAM do que o modelo MEESh. No entanto, o modelo MEESh obteve maiores valores de r2 ae menores valores de AIC e BIC. Esta situa¸c˜ao ´e idˆentica para os modelos RLSC∗ he MEES∗ h; −Todos os modelos obtiveram valores elevados de r2 a, uma vez que todos s˜ao superiores a 0,75. 110 Modelos de Previs˜ao a Curto Prazo para Vari´aveis Meteorol´ogicas Relativamente ao cumprimento dos pressupostos sobre os erros associados aos modelos, nomeadamente a normalidade, m´edia nula, variˆancia constante e a n˜ao correla¸c˜ao dos erros, verificou-se que −Os modelos MEEShe MEEChfalharam no pressuposto da independˆencia dos erros para h= 1 e h= 6 dias; no entanto, cumprem o pressuposto da normalidade. No que diz respeito aos restantes horizontes temporais (h= 2,3,4,5 dias), foram efetuados os testes de normalidade Kolmogorov-Smirnov e verificou-se que a condi¸c˜ao da normalidade dos erros tamb´em ´e v´alida em ambos os modelos para h= 2,3,4 dias. J´a a condi¸c˜ao da n˜ao correla¸c˜ao, recorreu-se ao teste Ljung-Box, onde se fez variar o n´umero de autocorrela¸c˜oes de 7 a 17, inclusive, e chegou-se `a conclus˜ao de que nenhum dos modelos compre o referido pressuposto; −Ambos os modelos MEES∗ he MEEC∗ hcumprem os pressupostos da normalidade para h= 1 e h= 6 dias; o pressuposto da independˆencia dos erros foi apenas verificada pelo modelo MEES∗ hcom h= 1 dia. Em rela¸c˜ao aos restantes horizontes temporais (h= 2,3,4,5 dias), foram efetuados os testes de normalidade Kolmogorov-Smirnov e verificou-se que a condi¸c˜ao da normalidade dos erros ´e v´alida para ambos os modelos. J´a a condi¸c˜ao da n˜ao correla¸c˜ao, recorreu-se ao teste Ljung-Box, onde se fez variar o n´umero de autocorrela¸c˜oes de 7 a 17, inclusive e verificou-se que os modelos MEES∗ he MEEC∗ hn˜ao verificaram o pressuposto da independˆencia dos erros. 111 Bibliografia [10] Bergmeir, C., Hyndman, R. J. e Koo, B. (2018). A note on the validity of crossvalidation for evaluating autoregressive time series prediction. Computational Statistics & Data Analysis, 120: 70-83. [11] Burman, P. (1989). A Comparative Study of Ordinary Cross-Validation, v-Fold Cross-Validation and the Repeated Learning-Testing Methods. Biometrika, 76(3), 503-514. [12] Burman, P., Chow, E. e Nolan, D. (1994). A cross-validatory method for dependent data. Biometrika, 84: 351-358. [13] Cerqueira, V., Torgo, L. e Mozetic, I. (2019). Evaluating time series forecasting models: An empirical study on performance estimation methods. arXiv: 1905.11744. [14] Chai, T. e Draxler, R. R. (2014). Root mean square error (RMSE) or mean absolute error (MAE)? - Arguments against avoiding RMSE in the literature. Geoscientific Model Development, 7(3): 1247-1250. [15] Commandeur, J. J. F. e Koopman, S. J. (2007). An Introduction to State Space Time Series Analysis. Oxford University Press. [16] Cordeiro, C. (2003). Modelos de Previs˜ao em S´eries Temporais. Aplica¸c˜ao da Metodologia Bootstrap. Tese de Mestrado, Faculdade de Ciˆencias e Tecnologia da Universidade Nova de Lisboa. [17] Costa, C. (2019). Desenvolvimento de Modelos de Previs˜ao de Vari´aveis Clim´aticas. Tese de Mestrado, Escola de Ciˆencias da Universidade do Minho. [18] Costa, M. (2006). Estima¸c˜ao dos Parˆametros de Modelos em Espa¸co de Estados. Uma aplica¸c˜ao `a calibra¸c˜ao do radar meteorol´ogico. Tese de Doutoramento, Faculdade de Ciˆencias da Universidade de Lisboa. [19] Costa, M. e Alpuim, T. (2010). Parameter Estimation of State Space Models for Univariate Observations. Journal of Statistical Planning and Inference, 140(7): 1889-1902. [20] Costa, M. e Alpuim, T. (2011). Adjustment of State Space Models in View of Area Rainfall Estimation. Environmetrics, 22(4): 530-540. 118 Modelos de Previs˜ao a Curto Prazo para Vari´aveis Meteorol´ogicas [21] Costa, M., Gon¸calves, A. M. (2011). Clustering and forecasting of dissolved oxygen concentration on a river basin. Stochastic Environmental Research and Risk Assessment, 25: 151–163. [22] Dabrowski, J. J., Rahman, A., George, A., Arnold, S. e McCulloch, J. (2018). State Space Models for Forecasting Water Quality Variables: An Application in Aquaculture Prawn Farming. In Proceedings of the 24th ACM SIGKDD International Conference on Knowledge Discovery & Data Mining (KDD ’18). Association for Computing Machinery, New York, NY, USA: 177–185. [23] Dempster, A. P., Laird, N. M. e Rubin, D. B. (1977). Maximum likelihood from incomplete data via the EM algorithm. Journal of the Royal Statistical Society. Series B, 39(1): 1–38. [24] Durbin, J. e Koopman, S. (2001). Time Series Analysis by State Space Methods. Oxford University Press, Oxford. [25] Gon¸calves, A. M., Baturin, O. e Costa, M. (2018). Time Series Analysis by State Space Models Applied to a Water Quality Data in Portugal. AIP Conference Proceedings Vol. 1978: 470101-1 - 470101-4. [26] Gon¸calves, A. M. e Costa, M. (2013). Predicting Seasonal and Hydrometeorological Impact in Environmental Variables Modelling via Kalman Filtering. Stochastic Environmental Research and Risk Assessment, 27(5): 1021-1038. [27] Harvey, A. C. (1992).Forecasting, Structural Time Series Models and the Kalman Filter. Cambridge University Press. [28] Harvey, A. C., Koopman, S. J. e Shephard, N. (2004). State Space and Unobserved Component Models: Theory and Applications. Cambridge University Press. [29] Hyndman, R. J. (2014). Measuring forecast accuracy. Citeseer. [30] Hyndman, R. J. e Athanasopoulos, G. (2018). Forecasting: principles and practice, 2. ª edi¸c˜ao. OTexts: Melbourne, Australia. https://otexts.com/fpp2/. [31] Hyndman, R. J. e Koehler, A. B. (2006). Another Look at Measures of Forecast Accuracy. International journal of forecasting, 22(4): 679-688. [32] Inoue, A. e Kilian, L. (2006). On the selection of forecasting models.Journal of Econometrics, 130(2): 273-306 119 Bibliografia [33] Kalman, R. E. (1960). A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems. Transactions of the ASME. Journal of Basic Engineering, 82(Series D): 35–45. [34] Kalman, R. E. e Bucy, R. S. (1961). New Results in Linear Filtering and Prediction Theory. Transactions of the ASME. Journal of Basic Engineering, 83(Series D) : 95-108. [35] Linroth, C. (2014). Statistical analysis of wave heights using Kalman Filtering methods. Relat´orio de Projeto, Universidade de Uppsala. [36] Lopes, S. O., Fontes, F., Pereira, R., Pinho, M. e Gon¸calves, A. M. (2016). Optimal Control Applied to an Irrigation Planning Problem. Mathematical Problems in Engineering, 2016: 1-10. [37] Makridakis, S., Wheelwright, S. C., e Hyndman, R. J. (1998). Forecasting: Methods and Applications. John wiley and Sons, 3. ª edi¸c˜ao. [38] Moreira, R. (2019). Principais m´etodos de rega utilizados na agricultura. https: //acientistaagricola.pt/principais-metodos-de-rega/. 27/08/2020. [39] Moritz, S., Sard´a, A., Bartz-Beielstein, T., Zaefferer, M. e Stork, J. (2015). Comparison of Different Methods for Univariate Time Series Imputation in R. arXiv preprint arXiv:1510.03924. [40] Murteira, B., Muller, D. e Turkman, K. F. (1993). An´alise de Sucess˜oes Cronol´ogicas. McGraw-Hill. [41] Murteira, B., Ribeiro, C. S., Silva, J. A., Pimenta, C. e Pimenta, F. (2015). Introdu¸c˜ao `a Estat´ıstica. Escolar editora, 3. ª edi¸c˜ao. [42] National Geographic (2020). Freshwater Crisis. https://www. nationalgeographic.com/environment/freshwater/freshwater-crisis/. 29/08/20. [43] Petris, G., Petrone, S. e Campagnoli, P. (2009). Dynamic Linear Models with R. Springer. [44] R Core Team (2018). R: A language and environment for statistical computing. R Foundation for Statistical Computing, Vienna, Austria. [45] Racine, J. (2000). Consistent cross-validatory model-selection for dependent data: hv-block cross-validation. Journal of Econometrics, 99(1): 39-61. 120 Modelos de Previs˜ao a Curto Prazo para Vari´aveis Meteorol´ogicas [46] Racine, J. (1997). Feasible cross-validatory model selection for general stationary processes. Journal of Applied Econometrics, 12: 169-179. [47] Reis, Elizabeth (2008). Estat´ıstica Descritiva. S´ılabo, 7. ª edi¸c˜ao. [48] Samarin, M. K. (2012). Linear Interpolation, Encyclopedia of Mathematics. https://encyclopediaofmath.org/wiki/Linear_interpolation. 26/08/20. [49] Schwarz, G. (1978). Estimating the Dimension of a Model. Annals of Statistics, 6: 461-464. [50] Shumway, R. H. e Stoffer, D. S. (2017). Time Series Analysis and Its Applications: With R Examples. Springer, 4th edition. [51] Shumway, R. H. e Stoffer, D. S. (2019). Time Series: A Data Analysis Approach using R. CRC Press. [52] Vicente, M. (1997). M´etodos de Determina¸c˜ao do Azimute por Observa¸c˜oes Astron´omicas. Departamento de Matem´atica da Faculdade de Ciˆencias e Tecnologia da Universidade de Coimbra. [53] WWAP (2019). Relat´orio Mundial das Na¸c˜oes Unidas sobre o Desenvolvimento dos Recursos H´ıdricos 2019: N˜ao Deixar Ningu´em para Tr´as, fatos e dados. UNESCO. [54] WWAP (2020). Relat´orio Mundial das Na¸c˜oes Unidas sobre o Desenvolvimento dos Recursos H´ıdricos 2020: ´ Agua e Mudan¸ca Clim´atica, resumo executivo. UNESCO. 121 Bibliografia 122 Apˆendice A Tabelas Tabela A.1: Teste da Normalidade Kolmogorov-Smirnov para a s´erie da temperatura m´axima, YM t e das respetivas previs˜oes do website weatherstack,WM t,(h),h= 1,...,6 dias. YM tWM t,(1) WM t,(2) WM t,(3) WM t,(4) WM t,(5) WM t,(6) estat´ıstica de teste 0,0541 0,0608 0,0746 0,0672 0,0869 0,0647 0,0877 valor de prova 0,5274 0,3526 0,1474 0,2417 0,0586 0,2817 0,0547 Tabela A.2: Teste da Normalidade Kolmogorov-Smirnov para a s´erie da temperatura m´ınima, Ym t e das respetivas previs˜oes do website weatherstack,Wm t,(h),h= 1,...,6 dias. Ym tWm t,(1) Wm t,(2) Wm t,(3) Wm t,(4) Wm t,(5) Wm t,(6) estat´ıstica de teste 0,0882 0,0760 0,0726 0,0627 0,0767 0,0728 0,0798 valor de prova 0,0612 0,1338 0,1697 0,3162 0,1274 0,1673 0,1016 Tabela A.3: Outliers do r´acio, YM t/WM t,(h), temperatura m´axima observada, YM t, previs˜oes do website weatherstack,WM t,(h)e previs˜oes do website com a substitui¸c˜ao dos outliers do r´acio por interpola¸c˜ao linear, WM∗ t,(h),h= 1,...,6 dias. horizonte temporal data outliers de YM t/WM t,(h)YM tWM t,(h)WM∗ t,(h) h=1 04/03/2019 1,3701 17,4 12,7 15,7 06/03/2019 1,6436 16,6 10,1 12,8 03/04/2019 1,4508 17,7 12,2 15,4 05/04/2019 1,4851 15,0 10,1 10,8 06/04/2019 1,4375 13,8 9,6 10,0 09/05/2019 1,4867 22,3 15,0 20,1 10/05/2019 1,6732 25,6 15,3 22,2 16/05/2019 0,9454 22,5 23,8 23,9 13/07/2019 1,5388 33,7 21,9 34,9 Continua na pr´oxima p´agina 123 Apˆendice A. Tabelas Tabela A.3 – continua¸c˜ao da p´agina anterior horizonte temporal data outliers de YM t/WM t,(h)YM tWM t,(h)WM∗ t,(h) 17/07/2019 1,8551 38,4 20,7 33,1 25/08/2019 0,8589 27,4 31,9 32,2 16/09/2019 0,9441 27,0 28,6 29,4 h=2 04/03/2019 1,4622 17,4 11,9 15,2 06/03/2019 1,6768 16,6 9,9 11,9 03/04/2019 1,3828 17,7 12,8 15,6 05/04/2019 1,5306 15,0 9,8 10,8 06/04/2019 1,3939 13,8 9,9 9,9 25/04/2019 1,4216 14,5 10,2 14,3 09/05/2019 1,4867 22,3 15,0 19,5 10/05/2019 1,6732 25,6 15,3 21,7 23/06/2019 1,5529 26,4 17,0 29,2 24/06/2019 0,8084 21,1 26,1 27,9 14/07/2019 1,7136 37,7 22,0 32,0 18/07/2019 1,8454 38,2 20,7 34,8 h=3 27/02/2019 1,4774 22,9 15,5 18,3 04/03/2019 1,5398 17,4 11,3 15,8 05/03/2019 1,9770 17,2 8,7 14,2 06/03/2019 1,8652 16,6 8,9 12,6 09/05/2019 1,6519 22,3 13,5 18,4 10/05/2019 1,6732 25,6 15,3 21,1 16/05/2019 0,8929 22,5 25,2 21,9 24/06/2019 0,8474 21,1 24,9 21,6 15/07/2019 1,8155 37,4 20,6 33,2 19/07/2019 2,2629 39,6 17,5 34,2 25/08/2019 0,8457 27,4 32,4 32,9 h=4 04/03/2019 1,5398 17,4 11,3 16,1 05/03/2019 1,7551 17,2 9,8 14,4 06/03/2019 1,6275 16,6 10,2 12,6 14/03/2019 1,4690 21,3 14,5 15,8 17/03/2019 1,4773 19,5 13,2 16,9 19/03/2019 1,4507 20,6 14,2 14,2 05/04/2019 1,4423 15,0 10,4 12,4 15/04/2019 0,8690 19 9 22,9 19,6 17/04/2019 0,8128 19,1 23,5 17,9 16/05/2019 0,8824 22,5 25,5 24,5 17/05/2019 1,5581 20,1 12,9 19,9 24/06/2019 0,7563 21,1 27,9 27,1 16/07/2019 2,0109 37,0 18,4 33,9 20/07/2019 2,0508 36,3 17,7 35,7 Continua na pr´oxima p´agina 124 Modelos de Previs˜ao a Curto Prazo para Vari´aveis Meteorol´ogicas Tabela A.3 – continua¸c˜ao da p´agina anterior horizonte temporal data outliers de YM t/WM t,(h)YM tWM t,(h)WM∗ t,(h) 25/08/2019 0,8354 27,4 32,8 31,8 h=5 06/03/2019 1,5370 16,6 10,8 12,6 12/03/2019 1,7583 21,1 12,0 15,2 17/03/2019 1,5600 19,5 12,5 15,7 05/04/2019 1,5789 15,0 9,5 12,9 17/07/2019 1,8916 38,4 20,3 32,9 21/07/2019 2,3735 39,4 16,6 36,5 25/08/2019 0,7405 27,4 37,0 34,7 h=6 27/02/2019 2,3608 22,9 9,7 18,2 12/03/2019 2,0095 21,1 10,5 16,1 31/03/2019 1,6497 25,9 15,7 20,3 14/04/2019 1,5921 24,2 15,2 18,6 18/04/2019 1,6111 20,3 12,6 18,2 24/05/2019 1,7640 28,4 16,1 26,4 18/07/2019 1,8019 38,2 21,2 33,1 22/07/2019 2,1156 42,1 19,9 36,4 Tabela A.4: Outliers do r´acio, Ym t/Wm t,(h), temperatura m´ınima observada, Ym t, previs˜oes do website weatherstack,Wm t,(h)e previs˜oes do website com a substitui¸c˜ao dos outliers do r´acio por interpola¸c˜ao linear, Wm∗ t,(h),h= 1,...,6 dias. horizonte temporal data outliers de Ym t/Wm t,(h)Ym tWm t,(h)Wm∗ t,(h) h=1 26/02/2019 0,5362 3,7 6,9 5,8 08/03/2019 1,8125 5,8 3,2 3,9 13/03/2019 1,8387 5,7 3,1 4,5 18/03/2019 1,8621 5,4 2,9 4,2 20/03/2019 1,7353 5,9 3,4 3,5 21/03/2019 4,2500 6,8 1,6 3,6 26/03/2019 1,7872 8,4 4,7 6,3 27/03/2019 2,3235 7,9 3,4 5,8 28/03/2019 2,1622 8,0 3,7 5,3 03/04/2019 1,8222 8,2 4,5 6,5 04/04/2019 3,6000 3,6 1,0 5,4 07/04/2019 -6,3333 5,7 -0,9 5,4 26/04/2019 1,8113 9,6 5,3 6,2 10/05/2019 1,9452 14,2 7,3 9,0 20/02/2019 0,5088 2,9 5,7 4,7 26/02/2019 0,5362 3,7 6,9 5,8 08/03/2019 1,9333 5,8 3,0 4,0 Continua na pr´oxima p´agina 125 Apˆendice A. Tabelas Tabela A.4 – continua¸c˜ao da p´agina anterior horizonte temporal data outliers de Ym t/Wm t,(h)Ym tWm t,(h)Wm∗ t,(h) 13/03/2019 1,9655 5,7 2,9 4,4 16/03/2019 0,6071 3,4 5,6 4,0 21/03/2019 4,0000 6,8 1,7 3,7 26/03/2019 1,7143 8,4 4,9 6,1 27/03/2019 2,2571 7,9 3,5 5,7 28/03/2019 2,2222 8,0 3,6 5,2 h=2 03/04/2019 1,8636 8,2 4,4 7,1 04/04/2019 6,0000 3,6 0,6 6,2 05/04/2019 2,6800 6,7 2,5 5,2 07/04/2019 57,0000 5,7 0,1 5,1 08/04/2019 1,6833 10,1 6,0 6,0 26/04/2019 2,2857 9,6 4,2 6,2 10/05/2019 1,9452 14,2 7,3 8,4 08/07/2019 1,8085 17,0 9,4 15,9 h=3 20/02/2019 0,4603 2,9 6,3 6,3 05/03/2019 2,6296 7,1 2,7 6,3 07/03/2019 2,2222 4,0 1,8 4,4 13/03/2019 2,0357 5,7 2,8 4,7 18/03/2019 2,2500 5,4 2,4 4,2 20/03/2019 2,8095 5,9 2,1 2,8 21/03/2019 3,5789 6,8 1,9 3,2 26/03/2019 1,8667 8,4 4,5 6,0 27/03/2019 2,1944 7,9 3,6 5,6 28/03/2019 2,1053 8,0 3,8 5,2 04/04/2019 2,1176 3,6 1,7 4,4 05/04/2019 2,9130 6,7 2,3 3,9 07/04/2019 2,7143 5,7 2,1 4,1 08/04/2019 2,2444 10,1 4,5 4,8 10/04/2019 1,8889 8,5 4,5 4,8 19/04/2019 2,0893 11,7 5,6 8,5 24/04/2019 4,0526 7,7 1,9 5,8 26/04/2019 2,1333 9,6 4,5 5,8 10/04/2019 1,9452 14,2 7,3 7,1 23/06/2019 1,8916 15,7 8,3 15,2 19/07/2019 1,9159 20,5 10,7 19,1 20/02/2019 0,4754 2,9 6,1 5,5 05/03/2019 8,8750 7,1 0,8 5,7 14/03/2019 2,4615 3,2 1,3 3,5 18/03/2019 1,9286 5,4 2,8 5,6 19/03/2019 2,3125 3,7 1,6 5,2 20/03/2019 3,9333 5,9 1,5 4,7 Continua na pr´oxima p´agina 126 Modelos de Previs˜ao a Curto Prazo para Vari´aveis Meteorol´ogicas Tabela A.4 – continua¸c˜ao da p´agina anterior horizonte temporal data outliers de Ym t/Wm t,(h)Ym tWm t,(h)Wm∗ t,(h) 21/03/2019 3,0909 6,8 2,2 4,3 27/03/2019 1,8810 7,9 4,2 5,5 h=4 28/03/2019 2,1622 8,0 3,7 5,1 03/04/2019 1,7826 8,2 4,6 7,6 04/04/2019 2,5714 3,6 1,4 6,2 05/04/2019 2,9130 6,7 2,3 4,8 23/04/2019 1,7872 8,4 4,7 7,6 24/04/2019 3,2083 7,7 2,4 6,7 26/04/2019 2,3415 9,6 4,1 6,0 16/07/2019 1,9636 21,6 11,0 20,2 20/07/2019 2,2174 20,4 9,2 19,0 h=5 21/02/2019 0,5068 3,7 7,3 4,9 25/02/2019 0,5625 3,6 6,4 6,3 26/02/2019 0,5781 3,7 6,4 6,1 07/03/2019 1,7391 4,0 2,3 4,8 08/03/2019 2,7619 5,8 2,1 4,9 13/03/2019 2,3750 5,7 2,4 4,7 14/03/2019 1,8824 3,2 1,7 3,7 16/03/2019 0,5152 3,4 6,6 4,1 18/03/2019 4,1538 5,4 1,3 5,2 19/03/2019 2,4667 3,7 1,5 4,9 20/03/2019 59,0000 5,9 0,1 4,7 21/03/2019 5,2308 6,8 1,3 4,4 28/03/2019 1,8605 8,0 4,3 7,4 04/04/2019 3,0000 3,6 1,2 7,1 05/04/2019 2,6800 6,7 2,5 6,9 06/04/2019 1,8065 5,6 3,1 6,6 07/04/2019 2,3750 5,7 2,4 6,4 13/04/2019 2,0000 10,0 5,0 8,4 20/04/2019 2,2400 16,8 7,5 8,0 24/04/2019 1,9744 7,7 3,9 7,3 26/04/2019 2,3415 9,6 4,1 6,2 29/05/2019 1,7927 14,7 8,2 11,7 17/07/2019 1,7252 22,6 13,1 18,8 21/07/2019 2,8406 19,6 6,9 20,7 21/02/2019 0,4353 3,7 8,5 6,0 24/02/2019 -0,8200 4,1 -5,0 6,8 26/02/2019 0,5522 3,7 6,7 5,7 13/03/2019 5,1818 5,7 1,1 3,9 14/03/2019 1,8824 3,2 1,7 3,7 18/03/2019 7,7143 5,4 0,7 6,3 Continua na pr´oxima p´agina 127