Algunos aspectos dinámicos en un modelo bioeconómico

Algunos aspectos dinámicos en un modelo bioeconómico VÍLCHEZ LOBATO, Mª LUISA Universidad de Huelva VELASCO MORENTE, FRANCISCO Universidad de Sevilla GARCÍA DEL HOYO, JUAN J. Universidad de Huelva RESUMEN Se estudian en este trabajo algunos aspectos relevantes de la teoría de Sistemas Dinámicos aplicados a un modelo de competición interespecies. Se trata de un estudio cualitativo en el cual, en función de los parámetros del sistema, se analizan los cambios en el número y/o estabilidad de los puntos de equilibrio del sistema. Todo ello con el objetivo de establecer los tipos de bifurcaciones que pueden presentarse en el modelo. dx dx 'rx 1&x K&áxy dy dt 'sy 1&y L&âxy Figuras tomadas de Clark, W. C.(1990), p.194. 1 (1.1) 1.- Introducción. Justificación del modelo. El modelo que presentamos está basado en un sistema dinámico inicialmente estudiado analítica y experimentalmente por Gause(1935) como un modelo de competición entre dos especies, a saber: donde r, s, K, L, á y â son constantes positivas representando las dos primeras las tasas intrínsecas de crecimiento de cada especie, las dos segundas las poblaciones máximas asintóticas respectivas, y siendo las dos últimas los coeficientes que miden la interacción debida a la competición por la utilización de un mismo recurso. Éste último mantiene a cada población en ausencia de la otra de acuerdo a una ley logística (P. F. Verhulst, 1838). Un análisis de las isoclinas muestra que pueden darse dos situaciones generales de equilibrio denominadas por Gause de coexistencia competitiva (Figura 1.a) y de exclusión 1 competitiva (Figuras 1.b, 1.c). En la primera existe un nodo estable Q = (x y) con x , y > 0, y 0, 0 0 0 en la segunda el equilibrio lleva irremediablemente a la extinción de una de las especies. En la realidad esto último no sucede así exactamente, pues la especie que pierde la competición puede encontrar varios recursos de los que alimentarse para continuar sobreviviendo aunque sea en pequeño número (así lo demostró Gause en su famoso experimento del escarabajo de la harina, en el cual la introducción de pequeños tubos de cristal permitió a una especie de escarabajos sobrevivir antes que ser eliminada por una segunda especie). Las ecuaciones de Gause son estructuralmente estables excepto en ciertos casos, como por ejemplo en el de la Figura 1.d, donde un pequeño cambio en la posición de las isoclinas puede transformar este gráfico en uno como el de la Figura 1.b. ÿx'rx 1&x K&áxy&qEx ÿ E'kE x&c pq c pq Clark W. C.(1990), p.322. 2 Ilustración 1 (1.2) (1.3) Supongamos ahora que la especie x es sometida a captura, de modo que la primera ecuación del sistema (1.1) se modifica según: donde E es el esfuerzo de pesca y q un coeficiente de capturabilidad. Así mismo se considera el esfuerzo de pesca como una variable dinámica que se rige por la ecuación diferencial: 2 siendo c , p y k parámetros positivos representando respectivamente los costes de pesca, el precio de la captura y un coeficiente de proporcionalidad. El cociente es el nivel de stock de beneficio cero para la pesquería. El modelo a estudiar es, pues, un sistema de ecuaciones diferenciales tridimensional: dx dt 'rx(1&x K)&áxy&qEx dy dt 'sy(1&y L)&âxy dE dt 'kE(x&c pq) ÿx'f(x) ¯x¯x ö(t0)&ø(t0)<ä,se cumple ö(t)&ø(t)< g œt>t0 ¯ äö(t0)&ø(t0)<¯ ä,entonces lim t6%4 ö(t)&ø(t)'0 Wiggins, S.(1990), p.6. 3 (1.4) (2.1) cuyo estudio resulta más complicado que el sistema bidimensional anterior. 2.- Conocimientos previos. Definamos en primer lugar los conceptos de punto fijo y estabilidad . 3 Definición 1.- Dado el sistema dinámico con x 0 ú, f: U f ú v ú, U abierto, llamamos puntos fijos o puntos de equilibrio del sistema, n n a aquéllos puntos 0 U tales que f( ) = 0. El estudio de los puntos de equilibrio está íntimamente ligado al de la estabilidad de las trayectorias del sistema, pues en algún momento pueden ser atractivos y atraer a las trayectorias con valores iniciales próximos a ellos haciendo que se mantengan cerca unas de otras. Ésta es la idea fundamental del concepto de estabilidad, que se define a continuación. Definición 2.- Una solución ö(t) del sistema (2.1) es estable ( en el sentido de Liapunov) si para cualquier g > 0, existe un ä(g) > 0 tal que para cualquier otra solución ø(t) del sistema tal que . Definición 3.- La solución ö(t) del sistema (2.1) es asintóticamente estable, si es estable y existe un > 0 tal que si . Básicamente, la estabilidad implica que si una órbita es ligeramente perturbada, el movimiento resultante no diverge mucho del que se obtiene sin perturbar la órbita. Si la órbita es asintóticamente estable, ello significa que el efecto de la perturbación es progresivamente eliminado conforme pasa el tiempo. ¯x ¯xÿy'ÿx'f(x)'f(y%¯x) ¯x ÿy'Ay¯x ¯x Una referencia clásica para el estudio de la estabilidad es Hahn (1967). Resultados más recientes 4 sobre estabilidad y sus aplicaciones a la Economía pueden encontrarse en Brock (1989), capítulos 4, 7 y 9. Ver LaSalle y Lefschetz (1961) ó Rouché et al (1977) para un tratamiento más exhaustivo. 5 Ver Hartman (1964) ó Guckenheimer y Holmes (1983) para la prueba. 6 Aplicación continua con inversa continua. 7 La estabilidad de las soluciones de un sistema dinámico se estudia mediante los métodos 4 debidos a Liapunov, uno de ellos basado en el estudio de la estabilidad de soluciones del sistema lineal asociado a (2.1) y otro, conocido como el método directo de Liapunov , que garantiza la 5 estabilidad de soluciones bajo la hipótesis de existencia de cierta función cuya derivada puede usarse para medir “una distancia” entre una solución y la solución de equilibrio, calibrando si esta distancia crece o decrece y , consecuentemente, determinando si hay o no estabilidad. Este segundo método prueba fácilmente la estabilidad una vez conocida la llamada función de Liapunov, pero precisamente la dificultad del problema reside en la búsqueda de dicha función pues, salvo para algunos tipos concretos de sistemas dinámicos, no existe un método stándard para construir funciones de Liapunov. En la práctica se recurre siempre a la linealización del sistema, que se logra de la siguiente manera.Si es un punto de equilibrio del sistema (2.1), se considera el cambio de variable y = x- , con lo cual . Desarrollando f en serie de Taylor en un entorno de , y despreciando los términos no lineales, obtenemos el sistema lineal donde A es la matriz jacobiana de f en . Por el teorema de Hartman - Grobman , si A no tiene autovalores iguales a cero o 6 imaginarios puros (sistemas hiperbólicos), existe entonces un homeomorfismo h definido en algún 7 entorno de que localmente transforma trayectorias del flujo no lineal en trayectorias del flujo lineal. Además este homeomorfismo preserva el sentido de las trayectorias y puede elegirse también de forma que preserve la parametrización en el tiempo. En definitiva, el comportamiento local de un sistema no lineal es cualitativamente similar al del sistema linealizado. En particular, la estabilidad (inestabilidad) asintótica del sistema lineal presupone la estabilidad ( inestabilidad) asintótica del sistema no lineal. Por otra parte, sabemos que la estructura orbital de un sistema lineal depende de los autovalores de la matriz del sistema, y de cómo sean éstos depende en última instancia la estabilidad de las soluciones del sistema no lineal. Si todos los autovalores de la matriz A tienen parte real negativa, la solución de equilibrio del sistema (2.1) es asintóticamente estable. Definición 4.- Se dice que en un sistema dinámico ocurre una bifurcación si el retrato de fases cambia su estructura topológica cuando un parámetro varía. Los cambios a que se refiere la definición afectan al número y/o estabilidad de los puntos fijos u órbitas cerradas. En sistemas bidimensionales pueden presentarse varios tipos de bifurcaciones, que se generalizan para dimensiones mayores, a saber: rx(1&x K)&áxy&qEx '0 sy(1&y L)&âxy '0 kE(x&c pq)'0 Ks(&r%áL) &rs%âKLá,&Lr(s&âK) &rs%âKLá,0 c pq ,0,r(qKp&c) q2Kp c pq ,&L(&psq%âc) spq ,&&srKqp%rsc%áLKsqp&áLKâc q2Ksp (3.1) a) Bifurcación nodosilla: Es el mecanismo básico de creacióndestrucción de puntos fijos. Conforme un parámetro del sistema crece o decrece, los puntos fijos del mismo se aproximan unos a otros , colisionan.y desaparecen. Después de ello siguen incluso ejerciendo su influencia sobre el flujo del sistema atrayendo las trayectorias hacia una región “fantasma”. b) Bifurcación transcrítica: A medida que un parámetro varía, los puntos fijos se aproximan y colisionan, pero no desaparecen, sino que intercambian su estabilidad. c) Bifurcación “ de la horca”: En este tipo de bifurcación los puntos fijos tienden a aparecer (caso supercrítico) y desaparecer (caso subcrítico) en pares simétricos. d) Bifurcación de Hopf:: En este tipo de bifurcación se produce una pérdida de estabilidad debido a que los autovalores complejos pasan de tener parte real negativa, a tener parte real positiva, atravesando por tanto el eje imaginario. Se distinguen al igual que antes dos tipos: Supercrítica y Subcrítica. En el primero un punto espiral estable cambia a espiral inestable rodeado por un pequeño ciclo límite atractivo. El segundo caso es más drástico, pues después del valor de bifurcación las trayectorias deben saltar a una atractor distante que puede ser un punto fijo, un ciclo límite, infinito ó en dimensiones n $3 un atractor caótico (es, por ejemplo, el caso de Lorenz). 3.- Obtención de puntos fijos. Los puntos fijos del sistema (2.1) son las soluciones de la ecuación f(x) = 0, es decir (para nuestro sistema (1.4): El sistema tiene 6 puntos fijos que son: P1= (0,0,0), P2= (K,0,0), P3= (0,L,0), P4= , P5= P6= La matriz jacobiana de f es: J' r&2r Kx&áy&qE&áx&qx &âys&2s Ly&bx 0 kE 0 k x&c pq &kc pq (3.2) 4.- Algunos parámetros estimados. Vamos a considerar un ejemplo práctico real de una pesquería que explota la especie x, por ejemplo la anchova o melva, la cual compite por un mismo recurso con la especie y, sardina o boquerón. Tomando como referencia las estimaciones realizadas para estas dos especies en el documento “Análisis Económico de la Pesca de Cerco en la Región Suratlántica Española”. Papeles de Economía Española, 71,231- 251, del autor García del Hoyo, J.J.(1997), asignamos los siguientes valores para algunos de los parámetros: K = 10000 Toneladas L = 1000 Toneladas c = 15000 ptas/día p = 80000 ptas/Tonelada r = 0.75 s = 0.35 k= 0.05 Nuestro estudio pretende analizar la dinámica del sistema en función de los parámetros á, â y q. 5.- Análisis de la estabilidad de los puntos P1, P2, P3 y P4. El análisis de la estabilidad de los puntos P2, P3 y P4 resulta sencillo si tenemos en cuenta que para dichos puntos el esfuerzo de pesca es 0, con lo cual la dinámica del sistema es equivalente a la del sistema bidimensional (1.1), pudiéndose alcanzar los equilibrios P2, P3 ó P4 según se mostraba en la Figura 1. La dinámica en torno al punto P1 = (0,0,0) no es relevante, si bien puede comprobarse que este equilibrio es un punto de silla sin más que observar que los autovalores asociados son: ë= r > 0 1 ë = s > 0 2 ë= <0 3 de donde se deduce que el origen es un punto inestable en dos direcciones y estable en la otra. ë1'&âc pq %s ë2' & cr%cr(4ckK&4kK2pq%cr) 2Kpq ë3'&cr%cr(4ckK&4kK2pq%cr) 2Kpq ë1<0]q<âc sp 4ckK%cr 4kK2p'q2 ]q>c Kp'q1 Para los valores asignados a los parámetros r, s, K, L, c, p y k, los valores de q y q 81 2 son: q = 1.875@10 y q = 1.875703125@10 . El valor de q depende de â. 12 3 -5 -5 6.- Análisis de la estabilidad del punto P5. Particularizamos la matriz Jacobiana (3.2) del sistema (1.4) en el punto P5 y calculamos sus autovalores. Obtenemos: Nos interesa estudiar en qué casos estos autovalores van a ser de tipo estable, es decir, reales negativos o complejos con parte real negativa. En esta situación el punto P5 será atractivo. Se puede comprobar que = q . 3 Así mismo, si q < Y ë , ë 0 ú y ë < 0. 23 2 En ese caso, ë< 0 . Nótese que q < q siempre . Así, obtenemos la siguiente 3 1 2 8 clasificación para los autovalores asociados al punto P5: q < q q < q #qq > q 1 1 2 2 q > q ë>0, ë<0, ë >0 ë>0, ë<0, ë <0 ë>0, Re(ë)<0, Re( ë )<0 31 2 31 2 31 2 3 Vílchez L.,M.L., Velasco M., F., García Del Hoyo J.J., “ Estabilidad de los puntos 9 fijos hiperbólicos en un modelo de competición interespecies”, XII Reunión Asepelt España. q < q ë<0, ë<0, ë >0 ë<0, Re(ë)<0, Re( ë )<0 31 2 3ë<0, ë<0, ë <0 P5 1 2 3 es un nodo estable 1 2 3 P5 es un foco estable Tabla 1: Estabilidad del punto P5 Nota: En el caso en que fuera q = q , el autovalor ë sería nulo y la linealización no determinaría 1 3 el carácter del punto P5. Lo mismo ocurriría para ë si q = q . En ambos casos habría que 1 3 recurrir al estudio del sistema restringido a la variedad centro. Si q = q , ë = ëson reales y negativos. 2 2 3 En la Figura 2 se ha representado una trayectoria del sistema (1.4) que comienza en un punto próximo a P5 para los valores á = 9.75@10 , â = 1.62@10 y q = 1.8756@10 0 (q ,q ), es -4 -4 -5 12 decir para un caso en el que el punto P5 = (9996.80, 0, 12.7918) (para los valores anteriores) es un nodo estable. La trayectoria tiende rápidamente hacia P5. Nótese cómo este punto está próximo a P2. Veremos más adelante que ambos puntos coinciden en un valor de bifurcación para q muy próximo al asignado para hacer la gráfica. En la Figura 3 se muestra lo mismo para el valor q = 7@10 , para el cual el punto P5 es un -5 punto espiral estable en dos direcciones y un nodo estable en una. En este caso la trayectoria se aproxima en espiral hacia P5 = (2678.57, 0, 7844.38). 7.- Análisis de la estabilidad del punto P6. El estudio cualitativo de la estabilidad del punto P6 en función de los parámetros q, á, y â, resulta difícil de abordar en la forma anterior debido a la manera en que se presentan las expresiones de los autovalores como funciones de dichos parámetros. Es por ello que hemos recurrido a un estudio numérico de algunos casos particulares para este punto. Basándonos en un trabajo anterior en el que, fijado el valor de q = 0.00009 (estimado para la especie x), obteníamos 9 algunos valores de á, y â para los cuales P6 era estable, hemos considerado ahora fijos á = 9.75 @10 , y â = 1.62 @10 y hemos realizado un análisis numérico sobre valores del parámetro q desde -4 -4 0 hasta 1. Las conclusiones obtenidas se resumen en la Tabla 2. El valor q es el mismo que figura 3 en la Tabla 1, q = 0.0002980886049 y q = 0.00032. 4 5 0 < q < q q < q < q q < q < q q < q < 1 3 3 4 4 5 5 Signo Re(ë) = Re(ë) < 0, Re(ë) = Re(ë) < 0, Re(ë) =Re(ë)>0, ë<0 ë<0 autovalore ë> 0 ë< 0 ë> 0 ë> 0 s 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 Figura 7 Ilustración 8 Ilustración 9 Ilustración 10 Ilustración 11 Bibliografía Brock, W.A. (1989): “ Differential Equations, Stability and Chaos in Dynamics Economics”. North Holland. Clark, W.C. (1990): “ Mathematical Bioeconomics”. Wiley & Sons. Gause, G.F. (1935): “ La Théorie mathématique de la lutte pour la vie”. Paris: Herman. Guckenheimer, J./ Holmes, P. (1983): “Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems and Bifurcations of Vector Fields”. Springer Verlag. Hahn, W. (1967): “ Stability of Motion”. Springer Verlag. Hartman, P.(1960): “A lemma in the theory of structural stability of differential equations”. Proc. Amer. Math. Soc. 11, 610- 620. La Salle, J.P. and Lefschetz, S.(1961): “ Stability by Liapunov’s Direct Method”. Academic Press: New York. Rouché, N. P. Habets, M. Laloy (1977): “ Stability Theory by Liapunov´s Direct Method”. Springer Verlag. Strogatz, S.H. (1994): “Nonlinear Dynamics and Chaos”. Addison- Wesley. Verhulst, P.F.(1938): “ Notice sur la loi que la population suit dans son accroissement”. Correspondance Mathématique et Physique 10, 113- 121. Wiggins, S.(1990): “ Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos”, p. 6. Springer Verlag. Zeeman, E. C. (1974): “ Levels of structure in catastrophe theory”. Proceedings of the International Congress of Mathematicians. Vancouver. Vol. 2, pp. 533- 546. View publication statsView publication stats