O conhecimento matemático de professores portugueses de matemática dos primeiros anos
Abstract
Há cerca de 40 anos, instaurou-se um novo paradigma acerca das investigações relacionadas com o conhecimento do professor. Estes estudos direcionaram-se para a matéria que o professor ensina. Nesta linha de ideias, o presente trabalho explora o Conhecimento Matemático para Ensinar de professores dos 1.º e 2.º ciclos em Portugal, tendo as seguintes questões de investigação orientadoras, a que se propôs responder: (1) Em que medida e de que modo se podem adaptar as medidas construídas nos EUA, de forma a poderem ser usadas para medirem o conhecimento matemático para se ensinar em Portugal?; (2) Qual o conhecimento matemático para ensinar de professores dos 1.º e 2.º ciclos em Portugal?. Para isso, foi adotada uma abordagem de investigação mista, tendo sido utilizadas as seguintes técnicas de recolha de dados: o instrumento de medição do Conhecimento Matemático para Ensinar com questões de questões de escolha múltipla de Números, Operações e Conceitos e Geometria e Medida, desenvolvidas pelo grupo de investigação de Michigan nos EUA, com o projeto Learning Mathematics for Teaching; entrevistas cognitivas e análise documental. Neste estudo, após a tradução do questionário de forma independente por dois investigadores e da sua adaptação ao contexto português; o mesmo foi validado por seis colaboradores – investigadores especialistas da educação matemática e/ ou professores dos primeiros anos, que deram o seu parecer sobre adequação do questionário à realidade portuguesa; por fim, o questionário foi aplicado a 61 professores portugueses dos 1.º e 2.º ciclos do Ensino Básico. Como principais conclusões do estudo efetuado, destacam-se as seguintes acerca do conhecimento matemático desta amostra de professores portugueses dos primeiros anos: – Os professores apresentaram um melhor desempenho em questões que envolviam Conhecimento Comum do Conteúdo (CCK), do que nas que exigem Conhecimento Especializado do Conteúdo (SCK) (Ball, Thames & Phelps, 2008); – Os docentes participantes na investigação revelaram as classificações mais baixas em perguntas que envolviam Conhecimento do Conteúdo e dos Alunos (KSC) (Ball, Thames & Phelps, 2008; – Os professores participantes nesta investigação tiveram um melhor desempenho nas questões que envolviam “Geometria e Medida” do que nas perguntas de “Números e Operações”.
Full text
Universidade do Minho Instituto de Educação Catarina Vasconcelos Pereira Gonçalves O conhecimento matemático de professores portugueses de matemática dos primeiros anos Tese de Doutoramento Estudos da Criança e Especialidade Matemática Elementar Trabalho realizado sob orientação da Prof. Doutora Alexandra Gomes Abril de 2020
ii DIREITOS DE AUTOR E CONDIÇÕES DE UTILIZAÇÃO DO TRABALHO POR TERCEIROS Este é um trabalho académico que pode ser utilizado por terceiros desde que respeitadas as regras e boas práticas internacionalmente aceites, no que concerne aos direitos de autor e direitos conexos. Assim, o presente trabalho pode ser utilizado nos termos previstos na licença indicada. Caso o utilizador necessite de permissão para poder fazer um uso do trabalho em condições não previstas no licenciamento indicado, deverá contactar o autor, através do RepositóriUM da Universidade do Minho. Atribuição CC BY https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
iii Agradecimentos Aos meus pais e à minha irmã, pelo sentir, cuidar, ensinar a aprender, estar sempre, acreditar... À minha avó, pelo ouvir, unir, fazer crescer, observar, reunir … Ao terminar este trabalho, não posso deixar de agradecer a todos aqueles que, de alguma forma, tornaram possível a sua realização. Começo por agradecer à Professora Doutora Maria Alexandra Gomes, que me acompanhou e orientou ao longo destes anos, por ter partilhado comigo os seus conhecimentos e saberes, pelas suas observações sempre pertinentes e pensadas, pelo tempo que dedicou a mim e ao meu trabalho e por ter sabido como gerir comigo as fases de trabalho árduo e persistente com as fases em que se precisava de outras pensagens e sensações para que o trabalho fluísse. Um Muito Obrigada. Agradeço ao Professor Doutor Pedro Palhares, que orientou o meu trabalho em parte do primeiro ano de Doutoramento, por me ter mostrado diferentes áreas de investigação em torno da Educação Matemática e por me ter conduzido ao tema deste trabalho. O meu obrigada ao Professor Doutor Leandro Almeida, presidente do Instituto da Educação da Universidade do Minho, que se disponibilizou a dar-me umas orientações relativamente às teorias de medida, e à Professora Doutora Merrie Blunk da Universidade de Michigan, por ter estado sempre disponível para prestar qualquer esclarecimento relativamente aos instrumentos de medição do MKT, construídos pelo LMT e por ter contribuído para que fosse possível se ter realizado o curso TKAS (Teacher Knowledge Assessment System). A todos os professores que aceitaram participar no presente estudo, uma palavra de agradecimento por terem possibilitado a realização da presente investigação. Aos Gambozinos por me terem mostrado o que é a verdadeira “Escola”. Obrigada a ti, Raul, por me acompanhares sempre e por acreditares e fazeres comigo a “matemática com mãos e cabeça”. Finalmente, uma palavra de gratidão aos meus pais e à minha irmã por estarem presentes em todas as fases e por acreditarem sempre em mim; aos meus amigos e à minha família por me lembrarem sempre que era capaz de chegar ao fim desta jornada; e à minha avó, sempre.
iv DECLARAÇÃO DE INTEGRIDADE Declaro ter atuado com integridade na elaboração do presente trabalho académico e confirmo que não recorri à prática de plágio nem a qualquer forma de utilização indevida ou falsificação de informações ou resultados em nenhuma das etapas conducente à sua elaboração. Mais declaro que conheço e que respeitei o Código de Conduta Ética da Universidade do Minho.
v O conhecimento matemático de professores portugueses de matemática dos primeiros anos Resumo Há cerca de 40 anos, instaurou-se um novo paradigma acerca das investigações relacionadas com o conhecimento do professor. Estes estudos direcionaram-se para a matéria que o professor ensina. Nesta linha de ideias, o presente trabalho explora o Conhecimento Matemático para Ensinar de professores dos 1.º e 2.º ciclos em Portugal, tendo as seguintes questões de investigação orientadoras, a que se propôs responder: (1) Em que medida e de que modo se podem adaptar as medidas construídas nos EUA, de forma a poderem ser usadas para medirem o conhecimento matemático para se ensinar em Portugal?; (2) Qual o conhecimento matemático para ensinar de professores dos 1.º e 2.º ciclos em Portugal?. Para isso, foi adotada uma abordagem de investigação mista, tendo sido utilizadas as seguintes técnicas de recolha de dados: o instrumento de medição do Conhecimento Matemático para Ensinar com questões de questões de escolha múltipla de Números, Operações e Conceitos e Geometria e Medida, desenvolvidas pelo grupo de investigação de Michigan nos EUA, com o projeto Learning Mathematics for Teaching ; entrevistas cognitivas e análise documental. Neste estudo, após a tradução do questionário de forma independente por dois investigadores e da sua adaptação ao contexto português; o mesmo foi validado por seis colaboradores – investigadores especialistas da educação matemática e/ ou professores dos primeiros anos, que deram o seu parecer sobre adequação do questionário à realidade portuguesa; por fim, o questionário foi aplicado a 61 professores portugueses dos 1.º e 2.º ciclos do Ensino Básico. Como principais conclusões do estudo efetuado, destacam-se as seguintes acerca do conhecimento matemático desta amostra de professores portugueses dos primeiros anos: – Os professores apresentaram um melhor desempenho em questões que envolviam Conhecimento Comum do Conteúdo (CCK), do que nas que exigem Conhecimento Especializado do Conteúdo (SCK) (Ball, Thames & Phelps, 2008); – Os docentes participantes na investigação revelaram as classificações mais baixas em perguntas que envolviam Conhecimento do Conteúdo e dos Alunos (KSC) (Ball, Thames & Phelps, 2008; – Os professores participantes nesta investigação tiveram um melhor desempenho nas questões que envolviam “Geometria e Medida” do que nas perguntas de “Números e Operações”. Palavras-chave: Validação de um teste de medição do MKT, Conhecimento Matemático para Ensinar.
vi The mathematical knowledge of Portuguese mathematics teachers of the early years Abstract About 40 years ago, a new paradigm was established about investigations related to the teacher's knowledge. These studies focused on the subject the teacher teaches. In this line of ideas, the present work explores the Mathematical Knowledge for Teaching of 1st and 2nd cycle teachers in Portugal, having the following guiding research questions, which it proposed to answer: (1) To what extent and of How can US-built measures be adapted so that they can be used to measure mathematical knowledge for teaching in Portugal? (2) What is the mathematical knowledge for teaching of 1st and 2nd grade teachers in Portugal ?. For this, a mixed research approach was adopted, and the following data collection techniques were used: the Mathematical Knowledge measurement tool to Teach with questions of multiple choice questions of Numbers, Operations and Concepts and Geometry and Measure, developed by the Michigan research group in the USA with the Learning Mathematics for Teaching project; cognitive interviews and document analysis. In this study, after the translation of the questionaire independently by two researchers and its adaptation to the Portuguese context; it was validated by six collaborators – researchers specializing in mathematics education and/ or teachers from the early years, who gave their opinion on the adequacy of the questionnaire to the Portuguese reality; finally, the questionnaire was applied to 61 Portuguese teachers from the 1st and 2nd cycles of Basic Education. The main conclusions of the study are the following about the mathematical knowledge of this sample of Portuguese teachers from the early years: - Teachers performed better on issues involving Common Content Knowledge (CCK) than on those requiring Specialized Knowledge of Content (SCK) (Ball, Thames & Phelps, 2008); - Teachers participating in the research revealed the lowest scores on questions involving Knowledge of Student and Content (KSC) (Ball, Thames & Phelps, 2008) – Teachers participating in this research performed better on questions involving “Geometry and Measure” than in the “Numbers and Operations” questions. Keywords: Validation of an MKT measurement test, Mathematical Knowledge for Teaching.
vii Índice Agradecimentos .................................................................................................................................. iii Resumo............................................................................................................................................... v Abstract.............................................................................................................................................. vi Lista de Abreviaturas e Siglas1 ............................................................................................................. ix Lista de Figuras .................................................................................................................................. xi Lista de Tabelas ................................................................................................................................ xiv Índice de Anexos ............................................................................................................................. xviii Capítulo 1 – Introdução .....................................................................................................................19 1.1. Contexto................................................................................................................................ 19 1.2. Problema de Investigação ...................................................................................................... 20 1.3. Relevância ............................................................................................................................. 24 1.4. Organização da tese .............................................................................................................. 26 Capítulo 2 – Estado da arte: conhecimento do professor ....................................................................27 2.1. Conhecimento do professor ................................................................................................... 27 2.2. Estudos sobre o conhecimento matemático do professor ....................................................... 39 2.3. Teoria do Conhecimento Matemático para se Ensinar (MKT) .................................................. 57 2.3.1 Domínios do MKT ................................................................................................................. 61 2.3.2. Medir o MKT ........................................................................................................................ 68 2.4. Adaptação, validação e aplicação da Teoria do MKT noutros países/contextos ....................... 74 Capítulo 3 – Metodologia ...................................................................................................................76 3.1. Aspetos teóricos .................................................................................................................... 76 3.1.1. Métodos de investigação .................................................................................................... 77 3.1.2. Plano de investigação .......................................................................................................... 82 3.2. Metodologia Adotada neste Estudo ........................................................................................ 84 3.2.1. Métodos de investigação deste estudo .............................................................................. 84 3.2.2. Fases do trabalho ................................................................................................................ 86 3.2.3. Recolha de dados: instrumento de medição do MKT em Portugal..................................... 94 Capítulo 4 – Fase 1 do Estudo ...........................................................................................................97 Validação do Instrumento de medição do MKT no contexto português ................................................97
viii 4.1. Processo de seleção das questões do Teste de Medição do MKT ........................................... 98 4.2. Descrição das questões ....................................................................................................... 107 4.3. Tradução e adaptação do teste ao contexto português ......................................................... 126 Capítulo 5 – Fase 2 do Estudo ........................................................................................................ 137 Análise dos resultados de professores Portugueses no questionário ................................................. 137 5.1. Aplicação do teste a professores dos 1.º e 2.º ciclos do Ensino Básico ................................. 138 5.1.1. Caracterização da amostra ................................................................................................ 140 5.1.2. Análise geral do MKT de professores portugueses ........................................................... 146 5.1.3. Desempenho dos professores por domínios da matemática ........................................... 158 5.1.4. Desempenho dos professores por domínios do MKT ....................................................... 168 5.1.5. Desempenho dos professores de acordo com o nível de dificuldade das questões em estudo .......................................................................................................................................... 180 5.2. Prestação dos professores entrevistados em questões do questionário ................................. 206 5.2.1. Caracterização dos entrevistados ..................................................................................... 206 5.2.2. As questões analisadas nas entrevistas e a prestação dos professores entrevistados..... 207 5.3. Associação entre a prestação dos professores nas perguntas do questionário e o seu raciocínio apresentado nas entrevistas: análise caso a caso ............................................................................ 214 Capítulo 6 – Conclusões e Implicações ........................................................................................... 233 6.1. Conclusões ......................................................................................................................... 234 6.1.1. O processo de seleção, adaptação e validação das questões construídas nos EUA ao contexto português ..................................................................................................................... 234 6.1.2. Conclusões sobre o conhecimento matemático para ensinar de professores dos 1.º e 2.º ciclos em Portugal. ...................................................................................................................... 238 6.2. Implicações com base no trabalho realizado – abertura a novos estudos .............................. 248 6.2.1. Implicações para a Formação Matemática de Professores dos primeiros anos ............... 248 6.2.2. Implicações em termos de investigações futuras ............................................................. 249 Capítulo 7 – Referências Bibliográficas ........................................................................................... 252 Anexos ........................................................................................................................................... 268
ix Lista de Abreviaturas e Siglas1 CCK – Common Content Knowledge – Conhecimento Comum do Conteúdo. CK – Content Knowledge – Conhecimento do Assunto. COACTIV – Cognitive Activation in the Classroom – Ativação Cognitiva na Sala de Aula. d – Grau de dificuldade obtido em estudos estatísticos nos EUA. D – Grau de dificuldade obtido no presente estudo com professores portugueses. GM – Geometry and Measurenment – Geometria e Medida. ICME – International Congress on Mathematical Education – Congresso Internacional de Educação Matemática. IEA – Internacional Association for the Evaluation of Educational Achievement – Associação Internacional para a Avaliação do Desempenho Educacional. IRT – Item Response Theory – Teoria de Resposta ao Item. KCT – Knowledge of Content and Teaching – Conhecimento do Conteúdo e do Ensino. KSC – Knowledge of Student and Content – Conhecimento do Conteúdo e dos Alunos. LMT – Learning Mathematics for Teaching – Aprendizagem da Matemática para a Ensinar. MCK – Mathematics Content Knowledge – Conhecimento do Conteúdo Matemático. MKT – Mathematics Knowledge for Teaching – Conhecimento Matemático para se Ensinar. MPCK – Mathematics Pedagogical Content Knowledge – Conhecimento Pedagógico do Conteúdo Matemático. MPDIs – California’s Mathematics Professional Development Institutes – Instituto do Desenvolvimento Profissional Matemático da Califórnia. MT21 – The Mathematics Teaching for the 21st Century Project – O Ensino da Matemática para o Projeto do século XXI. MTLT – The Mathematics Teaching Learning to Teach Project – O Ensino da Matemática para aprender a ensinar com projetos. NCTM – National Council for Teachers of Mathematics – Conselho Nacional de Professores de Matemática. NO – Numbers and Operations – Números e Operações. NSF – National Science Foundations – Fundação Nacional da Ciência.
xvi Tabela 39 – Caracterização da questão 18c) _____________________________________ p. 171 Tabela 40 – Respostas à questão 18c) _________________________________________ p. 173 Tabela 41 – Caracterização da questão 19b) _____________________________________ p. 173 Tabela 42 – Respostas à questão 19b) _________________________________________ p. 174 Tabela 43 – Percentagem de respostas corretas e incorretas nas questões que envolviam Conhecimento Especializado do Conteúdo __________________________________ p. 175 – 176 Tabela 44 – Caracterização da questão 4 ____________________________________ p. 176-177 Tabela 45 – Respostas à questão 4 ___________________________________________ p. 177 Tabela 46 – Percentagem respostas corretas e incorretas nas questões que envolvem Conhecimento do Conteúdo e dos Alunos (KSC) _____________________________________________ p. 178 Tabela 47 – Caracterização da questão 24b _____________________________________ p. 179 Tabela 48 – Respostas à questão 24 b _________________________________________ p. 179 Tabela 49 – Número de questões, categorizadas segundo o grau de dificuldade d e D observado p. 181 Tabela 50 – Média dos professores portugueses nas questões de escolha múltipla, por grau de dificuldade (D) e por área da Matemática _______________________________________ p. 182 Tabela 51 – Grau de dificuldade (D) revelado pelas questões fáceis do questionário ____ p. 183 – 184 Tabela 52 – Caracterização da questão 21a _________________________________ p. 185-186 Tabela 53 – Respostas à questão 21a __________________________________________ p. 186 Tabela 54 – Caracterização da questão 1d ______________________________________ p. 187 Tabela 55 – Respostas à questão 1d __________________________________________ p. 188 Tabela 56 – Caracterização da questão 12b _____________________________________ p. 189 Tabela 57 – Respostas à questão 12 b _________________________________________ p. 189 Tabela 58 – Caracterização da questão 18d _____________________________________ p. 189 Tabela 59 – Respostas à questão 18 d _________________________________________ p. 190 Tabela 60 – Caracterização da questão 18e _____________________________________ p. 190 Tabela 61 – Respostas à questão 18e __________________________________________ p. 191 Tabela 62 – Caracterização da questão 20 ______________________________________ p. 192 Tabela 63 – Respostas à questão 20 __________________________________________ p. 193 Tabela 64 – Caracterização da questão 22 ______________________________________ p. 193 Tabela 65 – Respostas à questão 22 __________________________________________ p. 194 Tabela 66 – Caracterização da questão 24c _____________________________________ p. 195 Tabela 67 – Respostas à questão 24c __________________________________________ p. 195
xvii Tabela 68 – Grau de dificuldade (D) das questões difíceis ou um pouco difíceis do questionário_ p. 196 Tabela 69 – Caracterização da questão 11 ______________________________________ p. 197 Tabela 70 – Respostas à questão 11 __________________________________________ p. 197 Tabela 71 – Caracterização da questão 2 _______________________________________ p. 200 Tabela 72 – Respostas à questão 2 ___________________________________________ p. 200 Tabela 73 – Caracterização da questão 6 _______________________________________ p. 201 Tabela 74 – Respostas à questão 6 ___________________________________________ p. 202 Tabela 75 – Caracterização da questão 8a _________________________________ p. 203 Tabela 76 – Respostas à questão 8a ___________________________________________ p. 203 Tabela 77 – Caracterização da questão 12d _____________________________________ p. 204 Tabela 78 – Respostas à questão 12d __________________________________________ p. 204 Tabela 79 – Caracterização da questão 24a _____________________________________ p. 205 Tabela 80 – Respostas à questão 24a __________________________________________ p. 206 Tabela 81 – Dados dos professores entrevistados _________________________________ p. 207 Tabela 82 – Questões selecionadas das entrevistas ___________________________ p. 208 – 209 Tabela 83 - Avaliação das respostas dos professores entrevistados a questões de Números e Operações _____________________________________________________________ p. 213 Tabela 84 – Avaliação das respostas dos professores a questões de Geometria e Medida ______________________________________________________________________ p. 214 Tabela 85 – Dados da entrevista da Maria _______________________________________ p. 225 Tabela 86 – Dados da entrevista do Pedro __________________________________ p. 231 – 232
xviii Índice de Anexos Anexo 1 – Caracterização das questões de escolha múltipla construídas pelo LMT e estudadas no presente trabalho, por categorias do MKT. _______________________________________ p. 269 Anexo 2 – Conteúdos matemáticos de “Números e Operações” e “Geometria e Medida” avaliados nas questões do LMT presentes no questionário deste trabalho, organizados por anos de escolaridade, de acordo com o currículo português. _________________________________________ p. 270-281 Anexo 3 – Carta aos professores participantes do estudo. ____________________________ p. 282 Anexo 4 – Guião da entrevista semi-estruturada realizada aos professores entrevistados.______ p. 283 Anexo 5 – Os parâmetros “slope” e “grau de dificuldade”, obtidos em estudos estatísticos nos EUA e nesta investigação com professores portugueses. ______________________________ p. 284-285
19 Capítulo 1 – Introdução Que nada nos defina. Que nada nos sujeite. Que a liberdade seja a nossa própria substância. Simone Beauvoir Neste capítulo, irá realizar-se uma introdução ao assunto em estudo neste trabalho. Para isso, primeiro irá apresentar-se de que modo, em que contextos e porque motivos se chegou ao matéria a que se propôs estudar. Numa segunda secção, irá discutir-se a relevância da temática, segundo várias perspetivas e visões e, por último, descrever-se-á de que forma o presente trabalho está organizado. 1.1. Contexto A formação em matemática, seguida da de educação matemática a alunos do 3.º ciclo do Ensino Básico e do Ensino Secundário, contrastante com o trabalho na escola dos Gambozinos, no Porto, escola que abrange do pré-escolar ao 2.º ciclo, conduziu a estados de inquietude, inesperados, de como é difícil ensinar crianças a aprender matemática. Estes estados conduziram a uma procura de respostas, exigidas por um local de trabalho onde se pensa verdadeiramente a educação, em que se pretende, principalmente, “ajudar gente a crescer”, a crescer de modo que se formem adultos que pensem o mundo de uma maneira ampla e diversa, e que “tenham dele o conhecimento como um espaço de todos, (…), o conhecimento do valor da sua diversidade, heterogeneidade e potencialidade de felicidade para todos”, tal como refere Suzana Ralha (2015), da direção da Escola. Nesta perspetiva, tendo-se um trabalho exigente ao nível da docência, encontrou-se no Doutoramento em Estudos da Criança, no âmbito da especialidade de Matemática Elementar, uma forma de alargar os conhecimentos no que concerne à matemática, à educação, mas, sobretudo, à educação matemática. Ao longo destes anos de docência de matemática elementar, tem-se constatado a dificuldade em ensinar crianças a aprender matemática e, principalmente, em identificar as suas
20 dificuldades, o que pode estar na origem da ansiedade (de que tanto se fala em Portugal) associada à matemática. Contrastando com esta perspetiva, continua-se a constatar a opinião unânime da facilidade dos conteúdos subjacentes à matemática elementar e da ausência de dificuldades no seu ensino. Num estudo de Gomes (2003), (futuros) professores do 1.º ciclo “denotam a ideia de que a matemática elementar é simples [e] assumem que o seu ensino é também uma tarefa fácil” (p. 294). No entanto, segundo Ma (1999), a matemática elementar pode ser vista como básica – uma coleção de procedimentos – ou ainda como fundamental . Segunda a autora, a matemática elementar caracteriza-se como fundamental , descrevendo-a como “(…) um campo intelectualmente exigente, desafiante e excitante – uma base sobre a qual muito se pode construir” (Ma, 1999, p. 202). Nesta perspetiva, os investigadores, ao longo dos anos, têm vindo a estudar a matemática dos primeiros anos e a descobrir que conhecimento precisa um professor de modo a visar “aprendizagens matemáticas relevantes e sustentáveis para todos os alunos”, como se refere no documento Aprendizagens Esseciais (ME, 2018, p.1). Este trabalho segue, assim, esta linha de investigação, iniciada por Shulman e pelos seus colegas (1986), acerca do estudo do conhecimento matemático do professor, neste caso, de professores de 1.º e 2.ºciclos, em Portugal. 1.2. Problema de Investigação Ao longo dos anos de docência de Matemática nos primeiros anos, tem-se deparado com o desafio que caracteriza o ato de ensinar crianças a aprender matemática e, principalmente, em identificar a origem das suas dificuldades na aprendizagem desta disciplina. Por outro lado, também se deteta que existe uma opinião corrente, segundo a qual há uma facilidade dos conteúdos subjacentes à matemática elementar e uma ausência de dificuldades no seu ensino. Porque se pensa que este (dito) facilitismo que se patenteia no senso comum não é real, assim se gerou uma questão a investigar. Alguns investigadores têm vindo a estudar este antagonismo entre a (dita) facilidade dos conceitos matemáticos dos primeiros anos e a dificuldade e complexidade que está inerente a
21 ensinar a aprender esta disciplina. Nesta linha de ideias, Aharoni (2012) afirma que a primeira matemática não é nada fácil, que pode não ser complexa, mas é profunda , pode “não ser sofisticada, mas é sábia” (Aharoni, 2012, p.34). Ma (1999), na mesma perspetiva, considera que a matemática elementar pode ser vista como básica – uma coleção de procedimentos – ou como fundamental. Segundo a autora, a matemática elementar caracteriza-se como fundamental, pois “constitui os alicerces da futura aprendizagem matemática e contém as ferramentas e os rudimentos de muitos conceitos importantes em ramos mais avançados da disciplina” (Gomes, 2003, p. 233). A matemática elementar caracteriza-se por ser a base do edifício na aprendizagem da matemática dos alunos. A aprendizagem da matemática elementar está dividida em camadas, aparentemente em pouquíssimas camadas, estando algumas delas escondidas e outras de difícil caracterização (Aharoni, 2012). Assim, exige-se do professor uma observação exaustiva e atenta, de modo a aferir diagnósticos rigorosos que lhe permitam realizar o seu papel de orientador do aluno “para as noções corretas, na ordem certa” (Aharoni, 2012, p.22) e de modo a criar oportunidades às crianças para que experimentem “as bases concretas da abstração por si próprias” (Aharoni, 2012, p. 92), possibilitandolhes a formulação de princípios. Controvérsias acerca do ensino de matemática nos primeiros anos e sobre o conhecimento matemático necessário a um professor para ensinar as crianças a aprender matemática conduziram este estudo. Desde 1980 que o Psychology of Mathematics Education (PME) desenvolveu novas perspetivas acerca do conhecimento dos professores, em que se destacaram os trabalhos de Elbaz (1983), Schön (1983) e Shulman (1986), que determinaram a direção dos estudos sobre os professores. Shulman (1986) caracterizou-se como um dos principais (se não o principal) investigador desta temática. Shulman e os seus colegas revolucionaram as investigações sobre o conhecimento do professor, na medida em que se focaram e destacaram o estudo da perceção do conteúdo por parte do professor como uma forma especial de conhecimento que, segundo estes autores, determinaria a sua prática de ensino. Baseando-se no trabalho deste investigador, Deborah Ball definiu-se, mais tarde, como uma das principais investigadoras na área do conhecimento do professor. Em 1990, no seu Doutoramento, através do estudo Formação de Professores e Aprender a Ensinar (projeto TELT
22 ( Teacher Education and Learning to Teach )) da Universidade do Estado de Michigan, desenvolveu instrumentos matemáticos “para testar o conhecimento matemático dos professores no contexto de práticas comuns que os professores adotam no processo de ensino” (Ma, 1999, p. 25). Ao longo dos anos, Ball e outros investigadores, como Heather Hill e Hyman Bass, questionaram-se acerca daquilo que, na prática, “os professores precisam de saber sobre matemática para terem sucesso com os seus alunos” (Ball, Hill & Bass, 2005, p. 17). Nesta linha de ideias, Ball, Hill e Bass (2005) definiram Conhecimento do Conteúdo para Ensinar Matemática, que subdividiram em conhecimento comum da matemática, o que qualquer adulto possui, e conhecimento da matemática que se caracteriza como especializado , sendo este último tipo de conhecimento que os refereidos investigadores consideram ser aquele que é específico para se ensinar esta disciplina, e que apenas os professores precisam de ter. Este grupo de investigadores da Universidade de Michingan tem desenvolvido dois projetos intitulados de The Mathematics Teaching and Learning to Teach Project , liderado por Deborah Loewenberg Ball e Hyman Bass, e Learning Mathematics for Teaching Project, que tinha como principais investigadores Ball, Bass e Heather C. Hill. Com estes projetos têm-se expandido muitas estratégias para se aprofundar o construto do Conhecimento Matemático para Ensinar e, desta forma, construiu-se a Teoria do Conhecimento Matemático para Ensinar, que se caracteriza como o foco deste trabalho. Esta teoria foi concebida através do estudo da prática do ensino da disciplina em estudo, a partir da perspetiva matemática, tal como se irá realizar neste trabalho. Tendo por base as suas investigações, para estudarem o Conhecimento Matemático para Ensinar, o grupo de Michigan construiu questões de escolha múltipla que aplicaram a professores americanos. Estas questões, ao contrário do que tinha vindo a ser desenvolvido até então, não avaliam apenas o conhecimento de conteúdo matemático (puro), mas sim as diferentes categorias que permitem caracterizar o “Conhecimento Matemático para Ensinar”. Posteriormente à construção destas questões, estes investigadores realizaram uma análise psicométrica que demonstrou que as pontuações das questões de escolha múltipla, construídas por estes investigadores, que medem o “Conhecimento necessário para se Ensinar Matemática”- Mathematics Knowledge for Teaching (MKT), caracterizam-se como consistentes, de acordo com o conhecimento do professor (Hill et al., 2004). Assim, estas questões
23 permitiram, por um lado, estudar e categorizar o MKT e, por outro lado, estender estes instrumentos de medida a outros estudos e até contextos. O presente estudo não foi desenvolvido, somente, para avaliar o conhecimento matemático dos professores, mas também se caracterizou por verificar a validade de se adaptar os instrumentos desenvolvidos nos Estados Unidos para avaliar este tipo de conhecimento na realidade portuguesa. O trabalho caracteriza-se como uma validação empírica da transferência do construto “Conhecimento Matemático para Ensinar” matemática nos primeiros anos desenvolvido nos EUA a Portugal. Destina-se a examinar de que forma um estudo (neste caso sobre o “Conhecimento Matemático para Ensinar”), com um número possível de intervenientes, pode informar acerca da adaptação das medidas dos EUA a Portugal, e de que forma esse mesmo estudo pode medir esse tipo de conhecimento de professores portugueses. Nesta linha de ideias, as medidas ou instrumentos, desenvolvidos pelo Learning Mathematics for Teaching Project (LMT) da Universidade de Michigan, têm sido adaptados e, posteriormente, usados em diferentes países, fora dos EUA. A primeira adaptação destas questões de escolha múltipla foi de Delaney (2008), que adaptou estas medidas ao contexto irlandês. Seguindo os mesmos passos de Delaney (2008), outros investigadores têm realizado o processo, que se caracteriza como complexo, de adaptação das questões de escolha múltipla construídas pelo LMT para medirem o MKT dos professores de outros países, entre os quais: Cole (2009), que procedeu da mesma forma no Gana, Know (2009) na Coreia do Sul, Ng (2011) na Indonésia, e Mosvold et al. (2009) na Noruega. Nesta perspetiva, as questões desenvolvidas e aplicadas a professores dos EUA, tendo como base a Teoria do Conhecimento Matemático para ensinar, podem ser estendidas a outros estudos, tendo já sido usadas por outros investigadores, noutros países (como, por exemplo, Delaney (2008), Cole (2009), Know (2009), Ng (2011) ou Mosvold et al. (2009)), pretende-se usar, similarmente, neste trabalho, a Teoria do Conhecimento Matemático para Ensinar com o propósito de se estudar o conhecimento matemático dos professores dos 1º e 2º ciclos em Portugal. Deste modo, similarmente a estes países, pretende-se usar, similarmente, neste trabalho, a Teoria do Conhecimento Matemático para ensinar para se estudar o conhecimento matemático de professores dos 1.º e 2.º ciclos em Portugal.
24 Assim, tendo por base a definição de “Conhecimento Matemático para Ensinar” do LMT, da Universidade de Michigan, neste trabalho, pretende-se responder às seguintes questões de investigação: (1) Em que medida e de que modo se podem adaptar as medidas construídas nos EUA, de forma a poderem ser usadas para medirem o conhecimento matemático para se ensinar em Portugal?; (2) Qual o conhecimento matemático para se ensinar de professores dos 1.º e 2.º ciclos em Portugal?. Para isso, neste estudo, ficará patente o trabalho de tradução, adaptação e validação dos instrumentos desenvolvidos pelo grupo de investigadores de Michigan, e a sua aplicação a um grupo de 61 professores portugueses, com o objetivo de se estudar o MKT destes docentes. 1.3. Relevância A aprendizagem dos alunos caracteriza-se como o foco do processo de ensino. Ao longo dos anos, têm sido realizados vários estudos e investigações que patenteiam a importância: do professor, do seu papel e do seu conhecimento na aprendizagem dos alunos. McKinsey e os seus colegas (2007) referem que, dos estudos já realizados, se conclui que a qualidade dos professores é o fator mais determinante na aprendizagem dos alunos. Ensinar é aprender na e da prática o melhor caminho que suporte a aprendizagem de cada criança (Franke, Kazemi & Battey, 2007). Ensinar é principalmente uma relação mútua entre o decidir e o fazer, que emerge da complexa interação entre o conhecimento, as crenças e os objetivos dos professores (Franke, Kazemi & Battey, 2007). Ensinar matemática trata-se de criar um ambiente de aprendizagem que permita a emergência da individualidade de cada aluno e de cada um deles como um elemento de um grupo (Franke, Kazemi & Battey, 2007). Ensinar é perceber os alunos, quem são na sua individualidade e no coletivo (Franke, Kazemi, & Battey, 2007). Ensinar é ter a capacidade de diagnosticar e interpretar o que os alunos fazem e sabem, detalhando a trajetória de aprendizagem exata que cada aluno deve e precisa de realizar.
25 Numa investigação realizada por Sanders e Rivers (1996, citado em McKinsey et al., 2007), há dez anos atrás, com dados do Tenesse, patenteou-se que se dois alunos de oito anos aprendessem com dois professores com níveis de desempenho diferentes (um deles com alto desempenho e outro com baixo), a prestação destes alunos divergeria em mais de 50%, durante três anos. Noutro estudo, desenvolvido em Dallas, verificou-se uma diferença de 49% no desempenho de alunos que foram ensinados três anos seguidos por bons professores e por docentes ineficazes (McKinsey et al., 2007). Em Boston, quando se colocaram alunos a aprender matemática com professores de alto desempenho, observaram-se ganhos substanciais na aprendizagem destes discentes (Haycock, 2006, citado por McKinsey et al., 2007). Por outro lado, Haycock (2006) constatou que os alunos que trabalharam matemática com os piores professores, tiveram um retrocesso na aprendizagem da matemática. Relativamente à aprendizagem dos primeiros anos, McKinsey e os seus colegas (2007) destacam que todas as evidências sugerem que, mesmo em bons sistemas de ensino, os alunos que não progridem rapidamente nos primeiros anos de escola, porque não estão expostos a professores com conhecimentos suficientes, irão ter muitas dificuldades em recuperar as aprendizagens não compreendidas e assimiladas. Numa publicação da European Comission (2018), destaca-se mesmo que vários investigadores como Coleman e os seus colegas (1966), Hanushek (1992), Nyem Konstantopouls e Hedges (2004), Motoko, Letendre e Scribner (2007) e Sanders e Rivers (1996) consideram que “a qualidade do professor caracteriza-se como o fator escolar que mais afeta os resultados dos alunos” (European Comission, 2018, p. 9). A qualidade de um professor é influenciada pelo seu conhecimento. O conhecimento do professor é considerado, inquestionavelmente, fulcral no processo de ensino e aprendizagem, na medida que determina o que se faz na sala de aula e a forma e o quê que o aluno aprende. Por outro lado, estudar o conhecimento do professor tem-se revelado uma tarefa difícil e complexa pois, tal como refere Gomes (2003, p. 61), “esse conhecimento apresenta-se numa forma heterogénea, formado por diferentes componentes interligadas e difíceis de isolar”.
32 “quando feita no decurso da própria ação, sem a interromper, mas com breves instantes de distanciamento e de possível reformulação dessa ação” (Serrazina, 2014, p. 1054). Por outro lado, a reflexão sobre a ação desenrola-se posteriormente à própria ação, desenvolvendo-se de forma mais formal, com apoio da linguagem e por isso com mais rigor e critério. Este tipo de reflexão, segundo Ponte (1994b), “tem lugar, muitas vezes, a partir de discussões e trocas de experiências entre professores preocupados com problemas comuns” (p.10). O conhecimento do professor segundo Shulman Lee S. Shulman é psicólogo e filósofo e foi professor doutorado de Psicologia Educacional e Educação Médica na Universidade de Michigan (no período de 1963 a 1982) e de Psicologia na Universidade de Stanford. Este autor é considerado um dos investigadores mais influentes no campo da formação de professores e, segundo Gaia, Cesário e Tancredi (2007) as suas decisões pessoais e profissionais “contribuíram para se tornar, na atualidade, um dos célebres teóricos da área, valorizando [nas] suas pesquisas a figura do professor como aquele que detém o saber de referência da profissão docente” (p.144). Shulman (1986) revolucionou as investigações sobre o conhecimento do professor, na medida em que se focaram e destacaram o estudo da perceção do conteúdo por parte do professor como uma forma especial de conhecimento que, segundo estes autores, determinaria a sua prática de ensino. Shulman (1986) referiu que na maioria dos estudos sobre o ensino, e como consequência na maioria dos programas, a avaliação e a certificação dos professores se caracterizavam por não ter em conta a compreensão do conteúdo a ensinar. Ao destaque e atenção prestada ao conteúdo, Shulman (1986) designou como “missing paradigm”, uma vez que considerou o conteúdo como um “ponto cego” ( blind spot ), ignorado pelos investigadores até então. Shulman (1987) definiu sete tipologias do conhecimento, de seguida explicitadas, para caracterizar o conhecimento profissional para o ensino, que consideraram ser necessário para que um professor possa ensinar: “. Conhecimento do Conteúdo;
33 . Conhecimento Pedagógico Geral, com referência especial aos princípios e estratégias amplos de gestão e organização da sala de aula que parecem transcender o assunto; . Conhecimento do Currículo, com compreensão particular dos materiais e programas que servem como “ferramentas do ofício” para os professores; . Conhecimento dos alunos e suas características; . Conhecimento de contextos educacionais, variando de trabalhos de grupo ou sala de aula, governo e financiamento de distritos escolares, até o caráter de comunidades e culturas; . Conhecimento dos fins, propósitos e valores educacionais e seus fundamentos filosóficos e históricos” (Shulman, 1987, p. 8) Shulman (1987) classifica as categorias: conhecimento pedagógico geral; conhecimento dos alunos e das suas características; conhecimento do contexto educativo; e conhecimento das metas, finalidades e valores da educação, numa dimensão de aspectos gerais do conhecimento do professor, nas quais não focou o seu trabalho. Nas restantes três categorias, Shulman discute as perspetivas sobre o conhecimento do professor, propondo uma descrição das dimensões que devem constituir o conhecimento de conteúdo do professor. Estas três categorias juntas constituem aquilo que Shulman refere como o paradigma em falta na investigação em ensino, que serão exploradas com detalhe de seguida. (a) O Conhecimento do Currículo – “Curricular Knowledge” representa, segundo Shulman (1986), todos os programas, desenhados para ensinar determinados tópicos dos diferentes níveis, os materiais necessários ao seu ensino e um conjunto de características que servem como indicações e contraindicações no uso do currículo ou de materiais do programa em situações particulares. Shulman subdividiu o Conhecimento do Currículo em Conhecimento Horizontal do Currículo e Conhecimento Vertical do Currículo . O primeiro subdomínio descreve-o como o conhecimento das diferentes áreas trabalhadas ao longo de um ano e o Conhecimento Vertical do Currículo caracteriza-o pela familiaridade com os tópicos e os problemas (de uma área) que decorrem ao longo dos anos. (b) Conhecimento da Matéria – “Subject-Matter Content Knowledge” envolve “a quantidade e a organização do conhecimento presente na mente dos professores”
34 (Shulman, 1986, p. 9). Este tipo de conhecimento inclui o conhecimento do objeto e organização da sua estrutura (Grossman, Wilson & Shulman, 1989; Wilson, Shulman & Richert, 1987, citado em Ball, Thames & Phelps, 2008). Inclui os factos e os conceitos do domínio, mas também as razões pelas quais os factos e os conceitos são verdadeiros e de que forma o conhecimento é gerado e estruturado na disciplina (Shulman, 1986; Wilson et al, 1987; Hill, Ball & Schilling, 2004). Shulman (1986) afirmou que conhecer o assunto que se vai ensinar requer mais do que conhecer os seus factos e conceitos. Segundo este investigador, os professores precisam não só de saber que o que ensinam se define de uma forma, mas também a razão pela qual é desse modo, isto é, tal como referiu Ma (1999), um professor deve ter como atitude geral não se contentar em saber o “como”, mas também o “porquê”. Ainda sobre o “conhecimento do conteúdo”, Grossman, Wilson e Shulman (2005) ressalvam a sua importância, na medida em que os estudos realizados sobre esta categoria do conhecimento do professor e analisadas por estes autores permitiram-lhes concluir que: “os professores que têm um entendimento mais amplo do assunto que ensinam, que compreendem a relação de tópicos ou habilidades individuais com tópicos mais gerais, também podem ser mais eficazes no ensino das suas disciplinas” (p. 10). (c) O Conhecimento Pedagógico do Conteúdo (PCK) – “ Pedagogical Content Knowledge” foi definido por Shulman (1986) como os “modos de representar e formular a matéria, tornando-a compreensível para os outros” (p. 9) e, em 2005, o autor também caracterizou o PCK como “esa especial amalgama entre matéria y pedagogia que constituye una esfera exclusiva de lós maestros, su propiá forma especial de comprensíon professional” (p.10). Shulman (1986, 1987, 1989, 2005) demonstrou um interesse particular pela categoria: Conhecimento Pedagógico do Conteúdo (PCK), uma vez que considera que o PCK “ vai além do conhecimento do assunto em si, até à dimensão do conhecimento do assunto para o ensino” (Shulman, 1986, p. 9).
35 Segundo este autor, este tipo de conhecimento compreende “as formas mais úteis de representação das ideias, as analogias mais importantes, as ilustrações, exemplos, explicações e demonstrações, numa palavra, a forma de representar e formular a matéria para a tornar compreensível” (Shulman, 1986, p. 5). A expressão Conhecimento Pedagógico do Conteúdo foi pela primeira vez utilizada numa conferência na Universidade do Texas em 1983, cujo título era: “O paradigma perdido na investigação sobre o ensino”. Este paradigma definia-o como “perdido” pela escassa atenção que lhe era dado na formação dos professores. Esta categoria do conhecimento caracterizou-se como o foco de estudo dos investigadores, dos professores e educadores, e é a mais enfatizada por Shulman (1986): “as formas mais úteis de representação dessas ideias, as analogias, ilustrações, exemplos, explicações e demonstrações mais poderosas - em uma palavra, as maneiras mais úteis de representar e formular o assunto que o torna compreensível para os outros ... O conhecimento pedagógico também inclui a compreensão do que é mais fácil ou difícil o aluno aprender: as concepções e preconceitos que estudantes de diferentes idades e origens trazem consigo para o aluno dos tópicos e lições mais frequentemente ensinados (p. 9)”. Shulman (1987) destacou a relevância do PCK como a categoria do conhecimento que distingue o conhecimento de um especialista numa matéria (por exemplo, matemática) de um professor, noção esta já reconhecida por Dewey em 1902: “Todo o estudo ou assunto tem, portanto, dois aspetos: um para o cientista, como cientista; outro para o professor como professor. Esses dois aspetos não são de forma alguma opostos ou conflituantes. Mas também não são completamente idênticos. Para o cientista, o assunto representa simplesmente um dado corpo de verdade a ser empregado para localizar novos problemas, instituir novas pesquisas e conduzi-las a um resultado verificado… O problema do professor é outro. Como professor, não está preocupado em adicionar novos factos à ciência que ensina; na proposição de novas hipóteses ou na verificação delas. Está preocupado com o assunto da ciência como representando um determinado estágio ou fases do desenvolvimento da experiência” (Dewey, 1902, p. 29-30).
36 Em paralelo com as três categorias de conhecimento dos professores referidas, Shulman considera três formas de conhecimento segundo as quais cada uma dessas três categorias pode estar organizada: (a) conhecimento proposicional; (b) conhecimento de casos; (c) conhecimento estratégico. Shulman (1986) destacou o estudo do conhecimento proposicional , que inclui princípios. No entanto, também explanou o conhecimento de casos , que se trata de um “conhecimento detalhado de situações concretas” (Ponte, 1994a, p.11), e o conhecimento estratégico , que permite a tomada de decisões. O conhecimento do professor segundo Grossman Ao longo dos anos, vários autores acrescentaram e especificaram as componentes do conhecimento profissional definidas por Shulman (1986), focando-se, principalmente, no conhecimento do conteúdo e no conhecimento pedagógico do conteúdo (Grossman, 1990; Sherin et al., 1999; Shulman, 1987). Grossman (1990), que foi orientada por Shulman no seu Doutoramento, reorganizou a categorização de Shulman e dos seus colegas em quatro categorias: conhecimento do objeto , conhecimento pedagógico geral, conhecimento pedagógico do conteúdo e conhecimento do contexto. Na Figura 1, apresentada de seguida, observa-se o Modelo de Conhecimento de Professores proposto por Grossman (1990). Neste modelo, Grossman (1990), utiliza o termo Subject Matter Knowlegde (Conhecimento do Tema), no lugar do Subject-Matter Content Knowledge (Conhecimento da Matéria), definido por Shulman, pois considera que o conhecimento do professor deve conter a compreensão do porquê de um determinado tópico ser ensinado numa disciplina a não apenas o conhecimento desse tópico. No modelo da investigadora fica clara a importância dada ao PCK, na medida que o considera central e constituído pelo conhecimento da compreensão dos alunos; pelo conhecimento do currículo e pelo conhecimento das estratégias de ensino.
37 Figura 1 – Modelo do conhecimento de professores (Grossman, 1990, p.5). Outros estudos sobre conhecimento do professor Baseados nos trabalhos de Shcön (1983), de Elbaz (1983), de Shulman (1986) e de outros investigadores surgiram estudos que deram origem a mais especificidades do conhecimento do professor. Exemplo disso é a noção de Conhecimento Profissional de Ponte (1994a) que é determinada através de uma investigação, que fez parte do projeto “O Saber dos Professores”, sobre o conhecimento dos professores, as suas crenças, conceções e práticas. Este trabalho decorreu de estudos de caso de três professoras, no tema transversal resolução de
38 problemas, cada um deles explanado e discutidos, respectivamente, em Ponte et al. (1993); Delgado (1993); Canavarro (1993). Em suma, Ponte (1994a) dividiu o Conhecimento Profissional do professor nas seguintes quatro categorias: (1) visões e relação pessoal dos professores com a matemática; (2) conhecimento dos professores e sua relação com os estudantes; (3) conhecimento do professor e sua visão do currículo; (4) forma como os professores vivem a profissão. Ponte (1998) referiu que o Conhecimento Profissional era objeto de estudo de múltiplos investigadores e que se apoia “na própria experiência acumulada da profissão, com as suas tradições, normas e mitos, bem como o saber que se vai elaborando na interface entre a profissão e outras comunidades com quem interage mais directamente” (p. 32). Este investigador distinguiu três grandes vertentes do Conhecimento Profissional do professor (Ponte, 1998): (a) uma vertente didática , associada à prática letiva; (b) uma vertente organizacional , referente à participação nas diversas esferas da vida da escola e da sua relação com a comunidade; (c) uma vertente pessoal , relacionada com o modo como o professor encara e promove o seu próprio desenvolvimento profissional. Além disso, seguiram-se muitos estudos que combinaram a noção de conhecimento do professor de Shulman com outras ideias teóricas, tal como referem Ponte e Chapman (2006). Por exemplo, em investigações sobre o conhecimento de professores de matemática elementar, Klein e Tirosh (1997, citado em Ponte & Chapman, 2006) estudaram o conhecimento de futuros professores e professores no ativo, no tocante às dificuldades dos alunos em problemas que envolvessem a multiplicação e a divisão de números racionais. Destes estudos, Klein e Tirosh (1997, citado em Ponte & Chapman, 2006) observaram um conhecimento muito débil por parte dos futuros professores. No entanto, constataram a consciência destas dificuldades dos alunos, pelos professores em serviço, apesar de não terem o conhecimento da sua origem. Destas investigações também surgiu que a instrução direta com
39 formas dos alunos pensarem podem aumentar o conhecimento pedagógico do conteúdo pelos professores em serviço e por futuros professores. 2.2. Estudos sobre o conhecimento matemático do professor Antigamente, nos estudos sobre o conhecimento matemático do professor, media-se o conhecimento do professor do ensino básico e do ensino secundário pelo número e tipo de cursos de matemática que os professores tinham frequentado e pela sua prestação em exames (Begle, 1979; Goldhaber & Brewer, 2001; Monk, 1994, citado em Cole, 2011, p. 26). No entanto, tal como mencionou Begle (1979, citado em Ma, 1999), não se encontrava grande correlação entre estas medidas de conhecimento dos professores e a aprendizagem dos alunos. Begle (1979) conduziu uma grande investigação, durante um período de 16 anos, que analisava: . o número de cursos ao nível do cálculo que os professores tinham tirado; . o número de cursos de métodos matemáticos; . se a sua licenciatura foi de matemática; . a sua influência na performance dos alunos. As suas descobertas nem sempre foram consistentes. Diga-se que primeiro descobriu que o número de cursos de um professor estava relacionado positivamente com a boa prestação dos alunos na disciplina de Matemática. Em segundo lugar, descobriu que ter um curso de métodos matemáticos também influenciava positivamente a função de docência. Finalmente, Begle (1979) verificou que ter um curso com mais ou menos matemática influenciava a performance dos alunos de forma positiva. Monk (1994) usou os dados do Longitudal Survey of American Youth para estudar a influência do conhecimento dos professores na aprendizagem dos alunos. Este investigador descobriu que por cada curso de matemática que o professor acrescentasse ao seu percurso, os resultados dos alunos subiam 1,2%. A partir de 5 cursos, para cada curso adicional previa-se apenas uma subida de 0,2% no desempenho dos discentes. Apesar disso, estas descobertas não eram estatisticamente significativas.
40 Além disso, Monk (1994) verificou que cursos de métodos de matemática produziam um efeito maior do que cursos de conteúdos matemáticos. Neste subcapítulo irão apresentar-se, de forma aprofundada, estudos sobre conhecimento matemático do professor. Nestes estudos e teorias são identificados diferentes tipos de conhecimento matemático e de compreensão (“understanding”) em matemática. Apesar das investigações e teorias identificarem diferentes tipos de conhecimento matemático, observam-se semelhanças e sobreposições. Decidiu-se, em primeiro lugar, apresentar a distinção entre “Compreensão Instrumental” e “Compreensão Relacional” de Skemp (1976), o Conhecimento Matemático Processual e Concetual de Hiebert e Lefevre (1986) e Conhecimento Matemático Operacional e Estrutural de Sfard (1991), na medida em que estas caracterizações da compreensão (“understanding”) e de conhecimento matemático do professor podem dar informações importantes acerca das ações dos professores em sala de aula e, consequentemente, a forma como os alunos aprendem matemática e, por isso, acrescentar informação importante à presente investigação. Compreensão Instrumental versus Relacional por Skemp Skemp (1976) distingue dois tipos de compreensão em Matemática: compreensão instrumental e relacional. A compreensão instrumental diz respeito à realização de um procedimento que foi memorizado, a uma aprendizagem por meio do hábito (Skemp, 1989), isto é, “ é o que eu descrevi no passado como “regras sem motivos”, sem perceber que, para muitos alunos e professores, a posse de uma regra e a capacidade de a usar era entendido por ‘compreensão’”(Skemp, 1976, p.2). O tipo de aprendizagem que conduz à Matemática Instrumental consiste numa aprendizagem de planos fixos, pelos quais os alunos descobrem o seu caminho apartir de
41 pontos de partida específicos (dados) até obterem os pontos finais necessários (respostas às perguntas). O plano fornece aos alunos o que fazer em cada ponto (Skemp, 1976). Por outro lado, a compreensão relacional refere-se à realização do procedimento com compreensão. Para Skemp (1989) a compreensão relacional é mais profunda, na medida em que requer saber-se “o que se fazer e porquê”. Segundo Skemp (1976, p. 14), a matemática relacional consiste em: “construir uma estrutura conceitual ( esquema) a partir da qual seu possuidor pode (em principio) produzir um número ilimitado de planos para ir de qualquer ponto de partida dentro de seu esquema a qualquer ponto de chegada. (Digo ‘em princípio’ porque é claro que alguns desses caminhos serão muito mais difíceis de construir do que outros).” (Skemp, 1976, p. 14) Desta forma, a partir das suas investigações, Skemp afirmou que os alunos que tenham uma compreensão relacional serão mais capazes de resolver novas tarefas e terão uma maior habilidade para transferir o conhecimento que já detêm a situações novas e a problemas diferentes daqueles que já resolveram. Conhecimento Matemático Processual versus Concetual por Hiebert e Lefevre Hiebert e Lefevre (1986) distinguem entre conhecimento concetual e conhecimento processual. Estes investigadores definiram o conhecimento concetual como “o conhecimento rico em relações” (Hiebert & Lefevre, 1986, p.3). Este conhecimento, segundo os investigadores, pode ser pensado como uma rede em que todos os conceitos estão interligados, o que permite flexibilidade no seu uso e no acesso à sua informação. Hiebert e Lefevre (1986) afirmam que este tipo de conhecimento é formado por duas partes diferentes entre si: representação simbólica da matemática e os procedimentos passo-apasso, técnicas ou algoritmos, como por exemplo os algoritmos da adição e da multiplicação. “Many of the procedures that students possess probably are chains of prescriptions for manipulating symbols” (Hiebert & Lefevre, 1986, pp. 7-8). Assim, Hiebert e Lefevre (1986) consideram que o conhecimento concetual se caracteriza por muitos tipos diferentes de relações, enquanto que o processual é linear e requer
48 O “Teacher Education and Development Study in Mathematics” (TEDS-M) representa o primeiro estudo internacional que fornece dados sobre o conhecimento que futuros professores do ensino básico e secundário adquiriram ao longo da sua formação. Foi também o primeiro e maior estudo que examinou as variações e a influência da formação de professores dentro do seu país e entre países (Tatto et al., 2008). Segundo o relatório “Police, Practice and Readiness to Teach Primary and Secondary Mathematics in 17 countries” (Tatto et al., 2012), foi o primeiro estudo comparativo internacional de grande escala sobre formação dos professores, especificamente de matemática, do ensino básico e secundário. Esse projeto, como também está presente neste relatório (Tatto et al., 2012, p. 3), teve dois propósitos: (1) identificar de que modo os países participantes do TEDS-M preparam os professores para ensinar matemática a alunos do ensino básico e do ensino secundário; (2) estudar a variação na natureza e no impacto dos programas de formação de professores no ensino e aprendizagem de matemática dentro do próprio país e entre os países participantes. Tatto e os seus colegas (2012) recolheram dados de futuros professores dos seguintes 17 países: Botswana, Canadá, Chile, China, Geórgia, Alemanha, Malásia, Noruega, Omã, Filipinas, Polónia, Rússia, Singapura, Espanha, Suíça, Tailândia, e EUA. Aproximadamente 23000 professores estagiários do ensino básico e do ensino secundário responderam a um teste de aproximadamente 60 minutos (estandardizado). Este teste continha questões baseadas em situações de sala de aula e abordava conceitos matemáticos de números, álgebra e geometria e, em menor quantidade, de estatística. Saber, aplicar e raciocinar impunham-se como as três dimensões cognitivas presentes no teste, baseadas e usadas no Trends in International Mathematics and Science Study (TIMSS) (Garden et al., 2006; Mullis, Martin, Ruddock, O’Sullivan, Arora & Erberber, 2007, citado em Tatto et al., 2012). O TEDS-M pretendeu medir o conhecimento do professor, tendo utilizado, para isso, a categorização do conhecimento matemático do professor definida por Shulman e pelos seus colegas (1987), categorização essa já explicitada neste capítulo deste trabalho.
49 Nesse projeto, o grupo de investigação de Maria Teresa Tatto e os seus colegas construíram questões e instrumentos de medição do Conhecimento do Conteúdo Matemático (MCK) e do Conhecimento Pedagógico do Conteúdo Matemático (MPCK) de futuros professores do ensino básico e secundário de matemática. Além das questões originais do TEDS-M, também utilizaram itens desenvolvidos noutros estudos, como o LMT (Hill, Schilling & Ball, 2004), que será descrito no próximo subcapítulo, e pelo The Mathematics Teaching for the 21st Century Project (MT21) (Schmidt et al., 2011). Este último, o MT21 caracterizou-se como um estudo internacional conduzido por diversos investigadores como William Schmidt, Sigrid Blömeke e Maria Teresa Tatto, financiado pelo National Science Foundation, para examinar a preparação de professores de matemática dos 6.º ao 8.º anos de escolaridade (“middle school”) (Schmidt et al., 2011). Neste estudo participaram os seguintes seis países: Bulgária, Alemanha, Coreia do Sul, Taiwan, México e nos EUA. A estrutura do MPCK definida pelo TEDS-M (Schmidt et al., 2011) abrange três subdomínios: Conhecimento do Currículo de Matemática (“Mathematics Curricular Knowledge”) , Conhecimento de Planificação do Ensino e da Aprendizagem da Matemática (“Knowledge of Planning Mathematics Teaching and Learning”) e Conhecimento de Promulgar o Ensino e Aprendizagem da Matemática (“ Enacting Mathematics for Teaching and Learning ”), explanados Tabela 1, em baixo. Tabela 1 - Estrutura do Conhecimento Pedagógico do Conteúdo Matemático (MPCK) (Schmidt et al., 2011) Subdomínios Tópicos Conhecimento do Currículo de Matemática (“Mathematics Curricular Knowledge”) Conhecer o currículo de matemática escolar; Estabelecer metas de aprendizagem apropriadas; Identificar ideias-chave em programas de aprendizagem; Selecionar possíveis caminhos e identificar conexões dentro do currículo; Conhecer diferentes formatos e propósitos de avaliação. Conhecimento de Planificação do Ensino e da Aprendizagem da Matemática (“Knowledge of Planning Mathematics Teaching Selecionar atividades adequadas; Prever respostas típicas dos alunos, incluindo
50 and Learning”) conceções erradas; Planear métodos apropriados para representar ideias matemáticas; Vincular métodos didáticos e projetos instrucionais; Identificar diferentes abordagens para resolver problemas matemáticos; Escolher formatos e itens de avaliação. Conhecimento de Promulgar o Ensino e Aprendizagem da Matemática (“ Enacting Mathematics for Teaching and Learning ”) Explicar ou representar conceitos ou procedimentos matemáticos e aprender a construir questões; Saber analisar as respostas dos alunos, incluindo conceções erradas; Analisar ou avaliar as soluções ou argumentos matemáticos dos alunos; Analisar o conteúdo das perguntas dos alunos; Responder a problemas matemáticos inesperados; Fornecer feedback apropriadoA categorização do conhecimento matemático do professor definida pelo TEDS-M não será a utilizada no presente trabalho, uma vez que os instrumentos de medição construídos por este projeto destinavam-se a medir o MCK e o MPCK de futuros professores e não de professores em serviço, que foi o foco nesta investigação. Estudo do Cognitive Activation in the Classroom (COACTIV) (Baumert et al., 2010) Na Alemanha, têm sido desenvolvidos estudos de larga escala sobre o conhecimento matemático de professores do Ensino Secundário, com o objetivo de o relacionar com a qualidade do ensino e com a aprendizagem dos alunos.
51 Este estudo faz parte do projeto COACTIV – Cognitive Activation in the Classroom , que se caracteriza, segundo Baumert e os seus colegas (2010), como um método múltiplo que tem como objetivo descrever os processos de ensino e de aprendizagem da Matemática, combinando, por isso, três diferentes fontes: os alunos – Individual Learning Support , os professores – Cognitive Activation e os materiais de ensino – Classroom Management . Segundo Baumert e os seus colegas (2010), esta abordagem inovadora permite a reconstrução dos processos de ensino e de aprendizagem com algum detalhe, concebendo o ensino como um compromisso competente na gestão da aula, ensino individualizado e mudanças cognitivas (Kunter et al., 2007). Baumert e os seus colegas usaram 35 itens de resposta aberta para medir o conhecimento do conteúdo e o conhecimento pedagógico do conteúdo, aplicado a 181 professores do ensino secundário, com 194 turmas e 4533 alunos. Estes itens foram aplicados a professores de alunos do 10º ano que participaram no Programm for International Student Assessment (PISA) de 2004, permitindo assim comparar a performance dos professores com a dos seus alunos. Concluiu-se, desta investigação, que quando “a avaliação matemática no 9º ano foi constante, os alunos foram ensinados por professores com um elevado conhecimento pedagógico do conteúdo e a prestação dos alunos no 10.º ano é melhor” (Blum & Krauss, 2008, p. 3). Assim, o conhecimento pedagógico do conteúdo é de importância fundamental para o progresso matemático dos alunos, sendo decisivo para a qualidade da instrução. Não obstante, também o conhecimento do conteúdo deve merecer uma atenção especial na formação inicial e na prática letiva uma vez que o seu deficit pode comprometer o desenvolvimento do conhecimento pedagógico do conteúdo e, consequentemente, ter efeitos negativos sobre a instrução e o progresso dos alunos. Segundo Delaney (2008), as descobertas deste estudo comprovam que é possível estabelecer uma relação entre a avaliação dos alunos e o conhecimento matemático dos professores. Refira-se que estes testes aplicados por Baumert e pelos seus colegas não se adequam a este trabalho, na medida em que se dirigiam a professores de ensino secundário e não de ensino básico, a população em estudo no presente trabalho.
52 Baseando-se nos modelos e teorias sobre o Conhecimento Matemático do Professor, apresentados neste subcapítulo, alguns investigadores portugueses têm vindo a desenvolver estudos, em Portugal, acerca desta temática. Apesar de (ainda) não existirem muitos trabalhos investigativos sobre o Conhecimento Matemática do Professor desenvolvidos com professores portugueses, parece importante explorar alguns deles, na medida em que podem trazer informação significativa para o presente trabalho. Estudos portugueses acerca do Conhecimento Matemático do Professor Ainda não existem muitas investigações, realizadas em Portugal, sobre o Conhecimento Matemático do Professor. Os estudos portugueses que serão aqui apresentados incidirão sobre as áreas da Matemática mesmo assim mais estudadas neste país, que dizem respeito à Geometria, aos Números Racionais e ao Pensamento Algébrico. Relativamente à Geometria, irá explanar-se um estudo de Alexandra Gomes (2003) e um de Ângela Couto (2015). De seguida, serão explorados alguns dos estudos do investigador Miguel Ribeiro e dos seus colegas acerca de Números Racionais e, por último, abordar-se-á uma investigação sobre o Pensamento Algébrico de Maria Teresa Pimentel Cardoso (2010). Gomes (2003), no seu trabalho de Doutoramento, explorou o conhecimento matemático de (futuros) professores do 1.º ciclo, em Portugal, com o objetivo principal de identificar obstáculos (cognitivos, didáticos, epistemológicos, e/ ou metacognitivos) na construção de conceitos geométricos elementares, bem como tentar perceber as possíveis causas dessas dificuldades. Para isso, aplicou um questionário, construído pela investigadora, e realizou, posteriormente, entrevistas a alguns dos 216 estudantes de uma Universidade, 141 alunos da licenciatura em Ensino Básico do 1.º ciclo e 75 professores do 1.º ciclo inscritos em cursos de Complementos de Formação, participantes no estudo. Alexandra Gomes (2003), no seu trabalho, referiu que: “os obstáculos à aprendizagem manifestam-se através de erros cometidos pelos indivíduos (…) e os erros não são somente consequência da ignorância, (…) mas resultam de conhecimentos prévios que se revelam falsos ou desapropriados às novas situações” (p. 79)
53 Deste trabalho de investigação, a autora, aquando da identificação de obstáculos de natureza cognitiva, verificou que um número significativo dos (futuros) professores do 1.ºciclo participantes no seu estudo desconheciam alguns conceitos geométricos elementares e que alguns deles tinham imagens incompletas ou mesmo erradas de vários conceitos. Ao identificar os obstáculos de natureza cognitiva, Gomes (2003) concluiu, no geral, que estes (futuros) professores do 1.º ciclo apresentam um conhecimento matemático deficitário. Nas conclusões do seu estudo, Gomes(2003), ao identificar os obstáculos de natureza didática, deixou patente que é mesmo necessário olhar-se com mais atenção para a formação científica dos (futuros) docente do 1.º ciclo, uma vez que verificou que estes professores revelam um desconhecimento preocupante ao nível de conhecimentos de índole científica. Quanto aos obstáculos de natureza epistemológica, Gomes (2003) salientou a falta de maturidade dos conhecimentos demonstrados pelos participantes. Ao identificar os obstáculos de natureza metacognitiva, Alexandra Gomes (2003) concluiu que os partipantes do seu estudo parecem não gostar de matemática e, por outro lado, referem ter muitas dificuldades nesta disiciplina. Este tipo de obstáculos, segundo a investigadora, estão ligados ao facto dos (futuros) docentes desconhecerem as dificuldades reais presentes nos conceitos ditos elementares. Po último, do seu trabalho investigativo, Gomes (2003) construiu um modelo (teórico) de relacionamento causal entre os quatro tipos de obstáculos estudados pela autora, quer em termos de aprendizagem, quer em termos de ensino da Matemática, que se pode observar na figura em baixo.
54 Figura 2 - Relações de dependência/ causalidade, do ponto de vista das conclusões do estudo (Gomes, 2003). Couto (2015) realizou um estudo investigativo, de natureza qualitativa de caráter descritivo e interpretativo, com quatro alunas do 2.º ano da Licenciatura em Educação Básica, de uma Escola Superior de Educação, que constituíram dois grupos-caso, no âmbito da unidade curricular de Geometria, com os objetivos de caracterizar o conhecimento de Geometriia dos alunos e o seu raciocínio geométrico tendo em conta os níveis de van Hiele (1986), identificando as principais dificuldades ao longo dos testes e das tarefas, e as atitudes que manifestaram relativamente às tarefas aplicadas. Couto (2015), no que que diz respeito ao conhecimento geométrico dos intervenientes da sua investigação, verificou várias lacunas em conceitos geométricos ditos elementares e constatou que “a manipulação de fórmulas faz perder a essência da Geometria” (Couto, 2015, p. 299) e conduz à não compreensão dos conceitos geométricos que estão por detrás das fórmulas. Contudo, esta investigadora verificou uma evolução positiva, por parte dos intervenientes na sua investigação, no conhecimento e compreensão de conceitos geométricos e na linguagem matemática usada, comparando a sua prestação antes e depois da realização da unidade curricular de Geometria. Além disso, também constatou uma diminuição nos erros cometidos o que, para a investigadora, reflete, de alguma forma, as consequências positivas que a instrução teve nos conhecimentos geométricos. No que diz respeito ao raciocínio geométrico, Couto (2015) verificou, num dos gruposcaso, uma evolução de mais de um grau no respetivo nível de van Hiele. Além disso, os
55 participantes nesta investigação de Couto (2015) revelaram-se mais motivados na resolução das tarefas que continham uma componente visual, as que se caraterizavam como desafios e as que poderiam ter utilidade num futuro, enquanto docentes. Pinto e Ribeiro (2013) estudaram o conhecimento revelado por futuros professores dos primeiros anos, relativamente ao conceito do número racional e operações com números racionais, através de métodos quantitativos, com um estudo de caso instrumental (Stake, 2000, citado em Pinto & Ribeiro, 2013). Para isso, aplicaram algumas tarefas ao nível do 4.º ano de escolaridade, a 27 futuros professores, alunos de duas Instituições de Ensino Superior (IES), tendo por foco o desenvolvimento do MKT destes futuros docentes. Desta investigação, Pinto e Ribeiro (2013) verificaram que a maioria dos estudantes apresentavam sérias lacunas em termos dos diferentes significados das frações e que tinham pouca familiaridade com o significado da fração como parte-todo, conceito este muito trabalhado ao longo da sua escolaridade. Estes futuros professores demonstraram dificuldades em fazer correspondência entre as diferentes representações de uma fração e em lidar com símbolos e linguagem matemática formal. Sumariamente, Pinto e Ribeiro (2013) concluíram que a maioria destes futuros professores apresentavam dificuldades em todas as componentes do sentido de número que se situavam ao nível do CCK e que, por isso: “definem um ponto de partida bastante baixo para a concetualização de formas de incrementar o MKT destes futuros professores e elevá-lo a níveis que consideramos minimamente aceitáveis à saída da formação inicial” (Pinto & Ribeiro, 2013, p. 15). Ribeiro (2009) estudou o conhecimento matemático para se ensinar (MKT) (Ball, Thames & Phelps, 2008) num grupo de trabalho colaborativo, formado por 9 docentes, no âmbito de um Programa de Formação Contínua em Matemática para professores dos 1.º e 2.º ciclos do Ensino Básico (PFCM), onde refletiram as práticas do ensino e aprendizagem da Matemática, mais especificamente as bases teóricas da multiplicação de dois números decimais. Para isso, realizou um estudo de caso, com abordagem interpretativa. Desta investigação, Ribeiro (2009) verificou que os professores possuíam um CCK, na ótica do utilizador, do algoritmo da multiplicação com números decimais, isto é, sabiam o procedimento de resolução desta operação matemática. No entanto, este investigador denotou que estes docentes não têm conhecimento de outras formas alternativas de abordar, junto dos
56 seus alunos, esta operação matemática, isto é, não possuem um Conhecimento Especializado do Conteúdo (SCK), “(…) não se encontrando, portanto capacitados a torná-lo compreensível para os seus alunos, de modo a que estes os utilizem com compreensão” (p.18) Ribeiro (2009) referiu que as operações com números fracionários, em particular, com decimais não são tão intuitivas de se resolverem como por exemplo as operações que envolvem números naturais, sendo, por vezes, segundo este investigador “(…) encaradas pelos professores como apenas um conjunto de regras que os alunos devem aprender e aplicar” (p.18). Para Ribeiro (2009), este trabalho centrado na memorização de regras, técnicas e procedimentos ensinados aos alunos no trabalho das operações matemáticas com números decimais só será ultrapassado se “(…) os próprios professores forem possuidores de um saber ensinar a fazer, mais do apenas um saber fazer” (Ball & Bass, 2003; Ball, Hill & Bass, 2005; Ball, Thames & Phelps, 2008; Hill, Rowan & Ball, 2005, citado em Ribeiro, 2009, p. 18). Na mesma linha de ideias, Caseiro e Ribeiro (2012) estudaram o conhecimento revelado por futuros professores dos Primeiros Anos, sobre números racionais, em concreto, no que concerne à divisão e ao papel da unidade. Para isso, aplicaram uma tarefa a 80 futuros professores que frequentavam três turmas do 2.º ano da Licenciatura em Educação Básica, sobre a divisão equitativa, onde um dos objetivos era abordar o papel da unidade e o da representação das frações como parte-todo. Utilizaram métodos qualitativos, com um estudo de caso instrumental (Stake, 2005, citado em Caseiro & Ribeiro, 2012). Caseiro e Ribeiro (2012) identificaram carências no Conhecimento Comum do Conteúdo (CCK), por parte destes futuros docentes, uma vez que estes revelaram dificuldades em fazer por si próprios a tarefa proposta, relativa aos números racionais. Deste modo, estes investigadores alertaram que “(…) apenas ultrapassando estas carências ao nível do CCK é que seria possível ensinar o MKT e, posteriomente, promover um desenvolvimento de um conhecimento do conteúdo em todos os seus subdomínios” (Caseiro & Ribeiro, 2012, p.10). Cardoso (2010), no seu estudo de Doutoramento, investigou o impacto do programa de formação contínua no conhecimento matemático e didático dos professores participantes, com incidência no pensamento algébrico, nas perspetivas de docentes sobre a matemática e o seu ensino e aprendizagem e nas atitudes e aprendizagens dos alunos envolvidos. Procurou
57 compreender a influência da dinâmica da formação em quatro professores envolvidas, que acompanhou durante dois anos, numa Escola Superior de Educação. Segundo a autora, com a criação e aplicação de tarefas em sala de aula e posterior reflexão sobre estas, os professores envolvidos desenvolveram o conhecimento matemático e didático. Além disso, o facto do trabalho ter incidido na temática do pensamento algébrico, segundo Cardoso (2010), deu a oportunidade aos professores envolvidos de desenvolverem “(…)o seu conhecimento matemático e didático num tema que se acabou por revelar integrador do currículo” (p. 7). Ao longo do estudo, denotou-se que o modelo de formação contínua influencia, positivamente, o desenvolvimento profissional dos docentes. Segundo Cardoso (2010), este trabalho desenvolvido no programa de formação contínua vai ao encontro dos trabalhos mais recentes de Ball (2009, citado em Cardoso, 2010), “quando aponta que o ensino da matemática é um trabalho intrincado, não natural, que precisa de ser aprendido e, como tal ensinado” (p.453). 2.3. Teoria do Conhecimento Matemático para se Ensinar (MKT) Um grupo de investigação da Universidade de Michigan tem realizado vários trabalhos sobre o conhecimento matemático necessário para um professor ensinar esta disciplina, trabalhos que são foco de estudo da presente investigação. Estes investigadores têm contribuído para o desenvolvimento da teoria sobre o conhecimento matemático para ensinar matemática. São três as contribuições do seu trabalho, muito na sequência das ideias pioneiras de Shulman: . voltar-se a focar a atenção (por parte dos investigadores) no objeto de estudo da importância do conhecimento para o ensino; . reconduzir-se a atenção na organização das disciplinas como base do que os professores têm de saber para ensinar; . focar-se a atenção no que se espera que os professores saibam sobre o conteúdo que ensinam e como o usam para ensinar (Hill, Schilling & Ball, 2004).
64 Figura 3 – Domínios do MKT (Ball, Thames & Phelps, 2008) O “Conhecimento Matemático para Ensinar” (MKT) divide-se, assim, em dois tipos de conhecimento: o “Conhecimento do Assunto” – Subject Matter Knowledge e o “Conhecimento Pedagógico do Conteúdo” – Pedagogical Content Knowledge (PCK). O “Conhecimento do Assunto” – Subject Matter Knowledge divide-se nos seguintes domínios: (a) “Conhecimento Comum do Conteúdo” – Common Content Knowledge (CCK); (b) “Conhecimento Especializado do Conteúdo” – Specialized Knowledge of Content (SKC); (c) “Conhecimento Horizonte do Conteúdo” – Horizon Content Knowledge . Tal como se visualiza no esquema anterior, o Conhecimento Pedagógico do Conteúdo inclui os seguintes domínios: (d) “Conhecimento do Conteúdo e dos Alunos ” – Knowledge of Student and Content (KSC) ; (e) “ Conhecimento do Conteúdo e do Ensino ” – Knowledge of Content and Teaching (KCT) ; (f) “ Conhecimento do Conteúdo e do Currículo ” – Knowledge of Content and Curriculum (KCC).
65 De seguida, vai-se descrever cada um dos domínios do MKT. (a) Conhecimento Comum do Conteúdo – Common Content Knowledge (CCK) Relativamente ao domínio do “Conhecimento do Assunto” (CK) , Ball, Thames e Phelps (2008) referem que o primeiro subdomínio – “Conhecimento Comum do Conteúdo”, é o conhecimento necessário para efetuar “um simples cálculo ou responder corretamente a um dado problema” (p. 399). Os professores precisam de conhecer os conteúdos que ensinam: conceitos matemáticos, procedimentos, técnicas, algoritmos e regras matemáticas práticas e porque razão estas regras funcionam. Só desse modo, os docentes desta disciplina serão capazes de reconhecer quando um aluno dá uma resposta errada ou quando o manual tem uma definição incorreta, tarefas estas que decorrem diariamente nas salas de aula. Ball, Thames e Phelps (2008), apesar de denominarem este conhecimento como “comum”, esclarecem que não significa que toda a gente possua este conhecimento, mas que, no entanto, não é um conhecimento único para ensinar. Exemplos de tarefas/atividades matemáticas que têm presente CCK: – identificar que as figuras como o quadrado o retângulo ou o triângulo têm duas dimensões; – saber realizar o cálculo de uma percentagem e identificar graficamente qual a parte de uma unidade representa. (b) “Conhecimento Especializado do Conteúdo” – Specialized Knowledge of Content (SKC) O segundo subdomínio, de grande interesse para os autores – “Conhecimento Especializado do Conteúdo” (SCK), os investigadores definem como o “conhecimento matemático e habilidade (skill) e caracterizam-no como a forma de conhecimento que é
66 unicamente necessária aos professores para conduziram o seu trabalho” (Ball et al., 2008, p. 400). Assim, Ball, Thames e Phelps (2008) identificam que um professor que possua o SCK é capaz de executar as seguintes tarefas: “apresentar ideias matemáticas; responder “porquê” a questões dos alunos; encontrar um exemplo para fazer um ponto específico da matemática; reconhecer o que se está a incluir no uso de determinada representação; usar diferentes tipos de representação para correlacionar diferentes ideias e diferentes representações; relacionar os tópicos que estão a ensinar com tópicos de anos anteriores e com outros que vão ser lecionados posteriormente; explicar os objetos da matemática e os seus propósitos aos pais; melhorar e adaptar o conteúdo matemático presente nos manuais; modificar questões para torná-las mais fáceis ou difíceis; avaliar rapidamente a plausibilidade das questões (reivindicações) dos alunos; dar ou avaliar explicações matemáticas; escolher ou desenvolver definições; usar a notação e a linguagem matemática e criticar o seu uso; fazer questões matemáticas “produtivas”; selecionar representações com um dado propósito; detetar equivalências” (p. 400). O SKC inclui saber-se, por exemplo, um conjunto de definições de figuras que são compreensíveis pelos alunos em diferentes níveis de ensino, com diferentes especificidades matemáticas. Com este tipo de conhecimento, os professores são capazes de realizar representações mais adequadas para ensinarem determinado conteúdo, para fazerem a exploração de determinado conceito de forma correta e para avaliarem o conhecimento matemático dos alunos. (c) “Conhecimento Horizonte do Conteúdo” – Horizon Content Knowledge. Foi descrito por Ball, Thames e Phelps (2008, in Delaney, 2008, p. 24), como uma estrutura, como “uma categoria provisória referente às conexões necessárias a realizar entre os diferentes tópicos do currículo”.
67 (d) “Conhecimento do Conteúdo e dos Alunos ” – Knowledge of Student and Content (KSC) ; O Conhecimento do Conteúdo e dos Alunos (KSC), segundo Ball, Thames e Phelps (2008), combina o conhecimento sobre os alunos e sobre a matemática. Este conhecimento é caracterizado pela capacidade de se antecipar o que os alunos vão pensar, o que vão confundir, o que lhes vai ser mais fácil e mais difícil, “(…) erros típicos, razões para esses erros, desenvolvimento de sequências e estratégias para resolver os seus problemas” (Hill, Schilling & Ball, 2004, p. 17). Por exemplo, os professores precisam de saber que muitos alunos que conseguem reconhecer um quadrado pensarão que é uma figura diferente se a rodarmos 45º. (e) “ Conhecimento do Conteúdo e do Ensino ” – Knowledge of Content and Teaching (KCT) . Outro subdomínio descrito, o Conhecimento do Conteúdo e do Ensino – Knowledge of Content and Teaching (KCT), descrito como o conhecimento que engloba saber sobre o ensino e saber sobre a matemática (Ball, Thames & Phelps, 2008). Segundo Delaney (2008), este conhecimento engloba a capacidade de escolha de diferentes materiais para se ensinar e saber qual a sequência (a ordem) mais adequada para se ensinar determinado tópico. Por exemplo, um professor tem de ser capaz de selecionar figuras para mostrar aos alunos – figuras essas que incluam exemplos que não sejam os exemplos-tipo e estereotipados, de modo a tornar a perceção e o conhecimento dos alunos sobre figuras mais seguro e capaz. (f) Conhecimento do Conteúdo e do Currículo – Knowledge of Content and Curriculum. Por fim, o Conhecimento do Conteúdo e do Currículo , já definido por Shulman (1986), caracteriza-se pela noção dos tópicos a serem trabalhados em cada tema (nos diferentes níveis) e dos materiais necessários ao seu ensino
68 Além da estrutura do MKT, o grupo de investigação de Michigan realizou investigações para verificar se as questões de escolha múltipla que construíram mediam, com rigor e confiabilidade, o conhecimento dos professores, neste âmbito. Esta temática será abordada no próximo subcapítulo. 2.3.2. Medir o MKT Através do projeto Learning Mathematics for Teaching (LMT), foi desenvolvido um conjunto de questões de escolha múltipla, a sua maioria (ainda) utilizadas atualmente, para estudar e medir o MKT. A National Science Foundations (NSF) financiou este trabalho, por várias subvenções, e o Study Instructional Improvement financiou a construção de um conjunto inicial destes itens. Heather C. Hill tornou-se a investigadora principal em muitas dessas concessões, juntamente com Deborah Ball, Hyman Bass, Geoffrey Phelps e Steve Schilling. Este grupo de investigação, através do projeto LMT, desenvolveu e construiu as questões de escolha múltipla, pretendendo fazer uma representação do MKT e medir o conhecimento dos professores, neste âmbito. As questões construídas pelos membros do Study of Instructional Improment/ Learning Mathematics for Teaching , entre 2000 e 2008, tinham quatro objetivos (Hill, 2007): Refletir o conhecimento dos professores utilizado no seu ensino – tanto o conteúdo que ensinam aos seus alunos, como o conhecimento especializado do conteúdo, essencial para os professores ensinaram um assunto aos seus alunos (Hill, Schilling & Ball, 2004); Situar estes problemas em contextos que se desenrolam em sala de aula – examinar definições de manuais, desenhar tarefas de sala de aula, avaliar afirmações dos alunos; Escrever questões que não representassem qualquer visão particular de como a matemática deve ser pensada; Construir questões que diferenciariam os professores.
69 Os itens construídos pelo projeto LMT caracterizam-se como questões de resposta múltipla, o que conduziu a algumas ressalvas por parte de alguns investigadores, no que diz respeito à validade destas medidas do MKT. Beswick, Callingham & Watson (2012, p. 131) consideraram que as “várias facetas do conhecimento do professor se desenvolvem em conjunto”, e, por isso, não se conseguem medir separadamente através de questões de escolha múltipla. Na mesma linha de ideias, Haertel (2004) afirma que sendo estas questões de escolha múltipla podem conduzir a trivial o ato complexo de ensinar. Não obstante, algumas das questões construídas pelo LMT diferem de questões de escolha múltipla standard. As questões de escolha múltipla standard consistem em duas partes: um problema e uma lista de soluções sugeridas. Esta lista geralmente contém uma alternativa de resposta correta e uma ou mais respostas erradas. Algumas das questões desenvolvidas pelo grupo de investigação de Michigan não conterm nenhuma alternativa de resposta errada, mas sim apresentarem uma mais correta ou mais completa, uma das opções de resposta descreve-se como “Todas as afirmações acima”. Sobre este aspeto, Osterlind (1997) recomenda que este tipo de questões têm de ser usadas com cuidado e que estas questões não devem ser incluídas no mesmo instrumento que contenha questões de escolha múltipla ditas standards (Haladyna, 2004). Por outro lado, se uma questão de um teste tiver duas de três alternativas de resposta corretas, o participante pode responder corretamente através da opção de resposta: “Todas as afirmações acima”. Outra diferença das questões de escolha múltipla do LMT caracteriza-se por algumas das questões terem como opção de resposta “Não tenho a certeza”, como se apresenta na Figura 4, em baixo, numa das questões de escolha múltipla em estudo na presente investigação. Esta opção é sempre codificada como incorreta. Assim, à partida, os professores sabem que uma das opções de resposta será um distrator . Isto pode convidar os professores a evitar esta solução. Outros professores escolhem esta solução para evitar responder de forma errada. Haladyna (2004) recomenda que todos os distratores têm de ser plausíveis.
70 Mr. Allen encontrava-se confuso numa manhã quando estava a preparar uma aula. Percebendo que dez elevado a dois era 100, questionou-se sobre que potência de 10 seria igual a 1. Perguntou a Ms. Berry na porta ao lado. O que deveria ela ter respondido? (a) 0 (b) 1 (c) Não existe nenhuma potência de 10 que igual a 1 (d) -1 (e) Não tenho a certeza. Figura 4 - Exemplo de uma questão presente num questionário de medição do MKT (Hill, Schilling & Ball, 2004) Baseados, assim, na hipótese dos domínios do Conhecimento Matemático para Ensinar , posteriormente organizados por Deborah Ball, Mark Thames e Georgey Phelps (2008), Ball, Hill e os seus colegas desenvolveram itens de escolha múltipla, que começaram a construir em 2001 e estas questões de escolha múltipla pretendiam medir o MKT. Estas questões estavam divididas em diferentes domínios do conteúdo: conceitos numéricos , operações , padrões , funções e álgebra . Segundo Hill, Schilling e Ball (2004), conceitos numéricos e operações foram tópicos selecionados porque compõem uma grande parte do currículo e porque existe um trabalho útil e importante no ensino e aprendizagem destes tópicos. Padrões , funções e álgebra, Hill, Schilling e Ball (2004) justificam o seu estudo por serem tópicos incluídos recentemente no currículo K-6, permitindo, assim, saber-se de que forma e o que os professores sabem sobre estes tópicos e, por outro lado, estudar-se a relação entre a profundidade do conhecimento dos professores de um dado tópico com a experiência do seu ensino desse tópico. Por outro lado, dentro de cada tópico, Hill, Ball e Schilling (2004) dividiram as questões em duas áreas do conhecimento: o Conhecimento do Conteúdo – CK do professor – e o Conhecimento dos Alunos e do Conteúdo – KSC . Não obstante, em 2001, aquando desta investigação, o tópico padrões, funções e álgebra apresentava-se como recente nos currículos. Por esta razão, neste domínio, apenas se investigou a área Conhecimento do Conteúdo , tal como se apresenta em baixo na Tabela 2.
71 Tabela 2 – Tópicos do currículo de matemática e respetivo conhecimento analisados (Hill, Ball & Schilling, 2004, p. 16) Tópico Domínios do conhecimento Conhecimento do conteúdo Conhecimento dos alunos e do conteúdo Conceitos numéricos Operações Padrões, funções e álgebra Além de construírem questões referentes a diferentes domínios da matemática e que avaliavam áreas distintas do conhecimento do professor, como está explanado na Tabela 2, estes investigadores tiveram em conta, no desenho das questões a aplicar, as diferentes tarefas do professor, como por exemplo: escolha de representações, interpretação de uma resposta de um aluno, análise de dificuldades dos alunos, avaliação da correção e da adequação dos seus materiais ao currículo, entre outras (Hill, Schilling & Ball, 2004). Refira-se que questões pertencentes à mesma célula da segunda coluna da Tabela 2 podem caracterizar-se como diferentes, na medida em que umas questões exigem apenas Conhecimento Comum do Conteúdo (CCK) e outras já requerem que o professor possua Conhecimento Especializado do Conteúdo (SCK) (Ball, Hill & Bass, 2005). Hill, Schilling e Ball (2004) mostram em dois exemplos, apresentados em baixo, respetivamente, o uso do Conhecimento Comum do Conteúdo (CCK) (Exemplo 1) e do Conhecimento Especializado do Conteúdo (SCK) (Exemplo 2). Exemplo 1 Mr. Allen encontrava-se confuso numa manhã quando estava a preparar uma aula. Percebendo que dez elevado a dois era 100, questionou-se sobre que potência de 10 seria igual a 1. Perguntou a Ms. Berry na porta ao lado. O que deveria ela ter respondido? (f) 0 (g) 1 (h) Não existe nenhuma potência de 10 que iguale a 1 (i) -1 (j) Não tenho a certeza.
72 Exemplo 2 Imagine que estás a trabalhar com uma turma o algoritmo da multiplicação com mais do que um algarismo nos dois fatores. Entre as respostas dos teus alunos, verificaste que alguns deles usaram diferentes algoritmos: Aluno A Aluno B Aluno C Método que trabalha com todos os números inteiros Método que não trabalha com todos os números inteiros Não sei a) Método A 1 2 3 b) Método B 1 2 3 c) Método C 1 2 3 Figura 5 – Exemplos de questões, construídas pelo LMT, que requerem Conhecimento do Conteúdo (Hill, Schilling & Ball, 2004) Como se pode observar nos exemplos a cima, no primeiro, exige-se apenas o conhecimento da noção de potência e do valor de uma potência de base diferente de zero e expoente zero. Isto é, esta questão requer apenas conhecimento de conteúdos matemáticos. Por outro lado, no Exemplo 2, apresenta-se uma questão que pretende avaliar a destreza do professor na análise de resoluções levadas a efeito pelos seus alunos. Neste caso, além do professor ter de saber resolver o algoritmo da multiplicação, tem de ser capaz de atribuir a cada método apresentado pelos seus alunos qual ou quais se adequam ao trabalho com todos os números inteiros. Na mesma linha de ideias, questões pertencentes a células da terceira coluna da Tabela 2 podem classificar-se como diferentes, na medida que o KSC que requerem aos professores é distinto, tal como se exemplifica em baixo, nos dois exemplos apresentados por Hill, Ball e Schilling (2004). Estes autores referem que nestes dois exemplos é exigido um conhecimento distinto do conteúdo e dos alunos, uma vez que no exemplo 3 para se resolver o problema corretamente exige-se um conhecimento dos erros mais frequentes dos alunos na ordenação de números decimais, enquanto que no exemplo 4, exige-se um conhecimento dos erros mais comuns dos alunos na resolução de algoritmos da adição, ou então pressupõe-se que o
73 professor tenha uma capacidade de analisar, com detalhe, uma resolução matemática, para lhe ser possível responder corretamente a esta questão. Exemplo 3 Mr. Fitzgerald tem vindo a ensinar os seus alunos a comparar números decimais. Ele está a conceber um exemplo para aplicar aos seus alunos de modo a que lhe mostre se os seus alunos sabem ordenar corretamente números decimais. Qual destes conjuntos é mais adequado propor? (a) 0,5; 7; 0,01; 11,4 (b) 0,60; 2,53; 3,14; 0,45 (c) 0,6; 4,25; 0,565; 2,5 (d) Qualquer uma das três opções iria ser uma boa proposta. Requer-se que os alunos saibam ler e interpretem os números decimais. Exemplo 4 Mrs. Jackson está-se a preparar para o exame de estado, e está a preparar umas miniaulas para os seus alunos, focando-se, em particular, nas dificuldades que têm apresentado no algoritmo da adição. Para tornar a sua instrução mais individualizada, organiza os alunos em grupos, de acordo com o tipo de erro que cometeram no último teste. Mrs. Jackson verificou três erros dos alunos nestes testes: Quais são as opções que apresentam o mesmo tipo de erro? (a) I e II (b) I e III (c) II e III (d) I, II e III Figura 6 – Exemplos de questões, construídas pelo LMT, que exigem KSC (Hill, Schilling & Ball, 2004) Posteriormente à construção das questões, o grupo de Michigan realizou uma análise psicométrica que “foi conduzida para se estabelecer a consistência das pontuações dos itens de escolha múltipla” (Delaney, 2008, p.40) que foram consideradas “boas a excelentes” (Hill et al., 2004, p. 25). Segundo Hill et al. (2004), esta análise psicométrica foi realizada com o objetivo de estender os itens, que refletem os domínios do MKT colocados como hipótese pelo grupo de investigadores de Michigan, a outros estudos.
80 2007), na medida em que não só descreve fenómenos, mas estabelece também relações entre as variáveis. Na metodologia de investigação quantitativa os métodos de recolha de dados mais frequentes são: questionários, observações estruturadas, escalas, entrevistas estruturadas e testes. A investigação qualitativa e quantitativa distinguem-se e complementam-se em diversos aspetos. Na tabela 3 a baixo, apresenta-se um sumário descrito por Bogdan e Biklen (1994) sobre as características destes dois tipos de investigação, no que diz respeito: à afiliação teórica e académica, aos objetivos e ao plano pelo qual se regem, ao tipo de dados e de amostra, à relação que se estabelece com os sujeitos, aos instrumentos, ao tipo de análise de dados e aos problemas inerentes ao uso de cada tipo de investigação. Tabela 3 – Algumas características das abordagens qualitativa e quantitativa (Bogdan & Biklen, 1994). Investigação qualitativa Investigação quantitativa Afiliação teórica Interação simbólica; cultura; etnometodologia; idealismo; fenomenologia. Funcionalismo estrutural; empirismo lógico; realismo; positivismo; teoria dos sistemas; comportamentalismo. Afiliação académica Sociologia; antropologia; história. Psicologia; sociologia; economia; ciência política. Objetivos Desenvolver conceitos sensíveis; teoria fundamentada; descrever realidades múltiplas; desenvolver a compreensão. Tese de teorias; encontrar relações entre variáveis; encontrar factos; descrição estatística; predição. Plano Progressivo; flexível; geral; intuição relativa ao modo de avançar. Estruturado; predeterminado; formal; específico; plano detalhado de trabalho. Dados Descritivos; fotografias; documentos pessoais; o discurso dos sujeitos; notas de campo; documentos oficiais e outros. Quantitativos; variáveis operacionalizadas; codificação quantificável; estatística; contagens; medidas. Amostra Pequena; amostragem teórica; não representativa. Ampla; seleção aleatória; estratificada; controlo de variáveis extrínsecas; grupos de controlo; precisa. Técnicas ou métodos Observação; observação participante; estudo de documentos vários; entrevista aberta. Experimentos; inquéritos; entrevista estruturada; observação estruturada; conjuntos de dados. Relação com os sujeitos Empatia; contacto intenso; ênfase na confiança: o sujeito como amigo; Circunscrita; distante; curta duração; sujeito-investigador.
81 igualdade; ser neutral. Instrumentos Gravador; transcrição. Inventários; computadores; questionários; escalas; índices; resultados de testes. Análise de dados Contínua; indução analítica; modelos, temas, conceitos; método comparativo constante; indutivo. Dedutiva; estatística; verifica-se após a conclusão dos dados. Problemas com o uso da abordagem Demorada; os procedimentos não são estandardizados; difícil de síntese de dados; garantia; dificuldade em estudar populações de grandes dimensões. Controlo de outras variáveis; intrusão; reificação; validade. Ao longo dos anos, os investigadores puristas das metodologias qualitativas e quantitativas consideravam-nas incompatíveis e que quando fundidas causavam um conflito ontológico e epistemológico. No entanto, na década de 90, com a Guerra de Paradigmas (Tashakkori & Teddlie, 2003), como se intitulou, estas ideias puristas foram ultrapassadas, com uma nova metodologia, a metodologia mista , que integra as metodologias de investigação qualitativa e quantitativa. Das controvérsias inerentes ao positivismo e ao construtivismo emergiu o paradigma mais adequado à metodologia mista: o pragmatismo . A metodologia mista utiliza no mesmo estudo métodos quantitativos e qualitativos, pretendendo o equilíbrio entre as duas vertentes, tendo por objetivo usufruir das potencialidades de cada um destes dois métodos e enfraquecer as suas limitações. Por um lado, o uso da metodologia qualitativa vem colmatar o facto de a metodologia quantitativa não assegurar a subjetividade dos fenómenos sociais e dos comportamentos humanos e da (quase) impossibilidade da separação do investigador e do objeto de estudo, e, por sua vez, a metodologia quantitativa introduz mais rigor e objetividade à investigação.
82 3.1.2. Plano de investigação O plano ( design ) caracteriza-se por um conjunto de ações e orientações a que uma investigação deve obedecer, sendo determinante no processo investigativo. Uma investigação terá tantos melhores resultados, quanto for mais bem planificada (Jimenez, 1986). Durante esta etapa do processo de investigação, segundo Jimenez (1986), devem ser delimitados pelo menos os seguintes aspetos: a) O problema científico que motiva a investigação; b) Os métodos que serão utilizados para o resolver; c) Os recursos necessários e disponíveis; d) O tempo necessário para o realizar; e) A forma como será processada a informação e os métodos que serão usados na sua análise. Segundo Almeida e Freire (2017), em primeiro lugar, um plano de investigação deve garantir que os procedimentos vão de encontro aos objetivos do estudo e se adequam à natureza do problema de investigação, isto é, um plano deve ser rigoroso e adequado. Em segundo lugar, segundo Almeida e Freire (2017), o plano de investigação deve ser válido , isto é, deve garantir a validade da informação recolhida, sendo crucial que controle as diferentes origens do erro que poderão colocar em causa o significado dos resultados – validade interna – e a generalização destes resultados a outras amostras e situações – validade externa. A validade interna diz respeito ao “grau com que, no final da investigação, se consegue atribuir os resultados observados na variável dependente à manipulação da variável independente” (Almeida & Freire, 2017, p. 52). Estes autores enumeram vários fatores que afetam a validade interna de um estudo: contexto; maturação e/ou desenvolvimento dos sujeitos; seleção diferencial dos sujeitos; mortalidade experimental; efeitos de interações; reatividade da medida; instrumentação; regressão estatística; difusão ou imitação do tratamento. A validade externa está relacionada com a generalização dos resultados obtidos a outras amostras, à população em geral ou a outras situações ou condições reais. Segundo Almeida e Freire (2017), a reatividade experimental, as interacções tratamento-atributos, o efeito reativo ou interactivo do pré-teste, as interferências de tratamentos múltiplos e a novidade do tratamento são fatores que influenciam a validade externa de uma investigação.
83 Quando se realiza um plano de investigação e uma investigação propriamente dita é crucial garantir-se a sua qualidade. A qualidade de uma investigação está diretamente relacionada com questões de validade (interna e externa) e fiabilidade . A fiabilidade está relacionada com a presunção que a repetição de um estudo nas mesmas condições conduziria aos mesmos resultados. Bogdan e Biklen (1994) consideraram que, numa investigação qualitativa, a garantia é entendida mais como uma correspondência entre os dados que são registados e aquilo que de facto se passa no local de estudo do que como uma consistência literal entre diferentes observações. Nesta linha de ideias, pode-se considerar que dois investigadores que realizem o mesmo estudo, no mesmo local, nas mesmas condições, tirem diferentes conclusões e obtenham dados diferentes, apesar de ambas as investigações serem consistentes. Neste trabalho, irá utilizar-se uma metodologia mista que, segundo Tashakkori e Creswell (2007), se refere à integração de descobertas e inferências “using both qualitative and quantitative approaches or methods in a single study or program of inquiry” (p. 4). Ao longo dos anos, os investigadores foram definindo diferentes planos de investigação baseados em metodologias mistas. Tedlie e Tashakkori (2009) referiram que estes planos são produzidos por dois fatores: pela componente qualitativa do estudo e pela sua natureza oportunista. O primeiro fator refere-se a uma investigação que tem uma estratégia emergente, mas que finaliza com métodos de investigação qualitativos. O segundo fator diz respeito a estudos que têm à partida definida a natureza dos seus métodos de investigação, mas, ao longo da realização dos trabalhos, surgem dados de outro cariz que exigem outros tipos de recolha e de análise. Tedlie e Tashakkori (2009) agruparam sete critérios que os investigadores criaram para definirem as metodologias de pesquisa mistas (e.g., Creswell, Plano Clark, Gutmann & Hanson, 2003; Greene, Caracelli & Graham, 1989; Greene et al., 1997b; Johnson & Onwuegbuzie, 2004; Morgan, 1998; Morse, 1991, 2003, citado em Tedlie & Tashakkori, 2009): – Número de metodologias utilizadas; – Número de vertentes ou fases; – Tipo do processo de implementação; – Estado de integração das abordagens; – Abordagem metodológica prioritária; – Funções do estudo de pesquisa;
84 – Perspetiva teórica e ideológica. 3.2. Metodologia Adotada neste Estudo Neste subcapítulo, irá ser descrito o processo metodológico utilizado nesta investigação. Para isso, na primeira secção apresentar-se-á as metodologias de investigação utilizadas neste estudo; em 3.2.2. irá explorar-se as diferentes fases do trabalho e os objetivos inerentes a estas e na terceira secção deste subcapítulo vai-se descrever a estrutura do instrumento de recolha de dados central neste trabalho. 3.2.1. Métodos de investigação deste estudo Neste trabalho, e de acordo com as considerações feitas, pretende-se utilizar uma metodologia mista, que envolva métodos de investigação qualitativos e quantitativos. De um modo geral, pretende-se estudar o conhecimento matemático para ensinar, dos professores que ensinam matemática nos primeiros anos de escolaridade, em Portugal. O presente estudo utilizou um instrumento de recolha de dados constituído por questões de escolha múltipla construídas por um grupo de investigação da Universidade de Michigan para avaliar o “conhecimento matemático para se ensinar” de professores dos Estados Unidos da América. Para isso, este estudo envolveu a tradução, a adaptação e a validação deste instrumento à realidade portuguesa. Ao longo deste trabalho, quando se aludir ao “questionário” estar-se-á a fazer-se referência ao instrumento de medição do MKT traduzido, adaptado e validado em Portugal, na presente investigação. Este processo de adaptação do questionário a Portugal caracterizou-se como dinâmico e heterogéneo, composto por métodos qualitativos e quantitativos, uma vez que investigadores que já realizaram esta adaptação a outros países concluíram que o uso de diferentes tipos de
85 metodologias “podem assegurar com maior qualidade a adaptação das medidas do MKT” (Mosvold et al., 2012, p. 397). Este estudo será desenvolvido através de métodos qualitativos e quantitativos, como já se disse, que se complementarão ao longo de todo o processo investigativo, tendo como objetivo final o estudo do conhecimento matemático de professores dos 1.º e 2.º ciclos de Matemática em Portugal. Assim, tal como se apresenta na Figura 7 a baixo, o processo metodológico deste trabalho envolverá abordagens de investigação qualitativas na seleção fundamentada das questões de escolha múltipla, de entre todas as construídas no âmbito do projeto Learning Mathematics for Teaching, pelo grupo de investigação da Universidade de Michigan e na sua tradução e adaptação ao contexto português. Posteriormente, com recurso ao programa IBM SPSS Statistics, versão 25 , utilizar-se-ão estatísticas descritivas, como medidas de correlação, para se caracterizar o MKT de uma amostra de professores portugueses. Todo o processo investigativo será dividido em duas fases que serão descritas no próximo subcapítulo. Figura 7 – Processo metodológico do presente trabalho.
86 3.2.2. Fases do trabalho Para se realizar este trabalho utilizaram-se diferentes caminhos para se dar resposta às questões de investigação orientadoras do estudo. É oportuno referir que este trabalho desenvolveu-se em duas fases gerais, complementares. A primeira fase do estudo, que será descrita no Capítulo 4, consistiu na realização do processo de validação dos testes construídos nos EUA, visando adaptar o questionário ao contexto português. A segunda fase, explorada no Capítulo 5, corresponde ao estudo, propriamente dito, do conhecimento matemático para se ensinar, por parte de professores de matemática dos primeiros anos, em Portugal. Tal como se pode observar na Figura 8, a primeira fase deste trabalho decorreu durante os dois primeiros momentos. Nos dois primeiros momentos, concretizou-se a seleção das questões de escolha múltipla, de forma fundamentada, dos testes construídos no âmbito do projeto Learning Mathematics for Teaching na Univerdidade de Michigan. Seguiu-se o processo de tradução e de adaptação das questões selecionadas à realidade portuguesa. Este processo iniciou-se por uma tradução dupla e respetiva adaptação do questionário, seguida da sua validação por parte de seis colaboradores. O terceiro momento disse respeito à aplicação de um teste, constituído por questões de escolha múltipla trabalhadas nos dois primeiros momentos, já explicitados, a 61 professores dos 1.º e 2.º ciclos do ensino básico português, bem como a sua análise. Num quarto momento, realizaram-se entrevistas a dois dos professores intervenientes nesta investigação, com o objetivo de verificar se as suas respostas destes docentes ao questionário são consistentes com o seu raciocínio apresentado nas entrevistas e com a pretensão de se acrescentar mais informação acerca do conhecimento matemático dos professores portugueses.
87 Figura 8 – Esquema representativo das fases do presente trabalho investigativo. Após a apresentação esquemática das fases da investigação, importa especificar os objetivos inerentes a cada uma, tal como se realiza de seguida. Fase 1 V Va al li id da aç çã ão o i in ns st tr ru um me en nt to o d de e m me ed di iç çã ão o d do o M MK KT T d de e p pr ro of fe es ss so or re es s p po or rt tu ug gu ue es se es s 1.º Momento: Seleção das questões dos testes de medição do MKT a serem estudadas 2.º Momento: Tradução e adaptação das questões selecionadas ao contexto português 3.º Momento: Validação das questões traduzidas e adaptadas à realidade portuguesa. 4.º Momento: Aplicação das questões seleccionadas, traduzidas e adaptadas à realidade portuguesa a professores dos 1.º e 2.º ciclos do ensino básico Fase 2 E Es st tu ud do o d do o c co on nh he ec ci im me en nt to o m ma at te em má át ti ic co o p pa ar ra a s se e e en ns si in na ar r d de e p pr ro of fe es ss so or re es s d de e M Ma at te em má át ti ic ca a d do os s p pr ri im me ei ir ro os s a an no os s e em m P Po or rt tu ug ga al l 5.º Momento: Entrevistas a professores após a resolução do teste
88 Fase 1 – Validação do instrumento de medição do MKT de professores portugueses Objetivos: a) Analisar as questões de escolha múltipla dos instrumentos construídos pelo projeto LMT na Universidade de Michigan, selecionando as questões que dizem respeito aos primeiros anos do ensino básico e aos domínios de Matemática predominantes no currículo nacional, as que apresentaram melhores resultados no que diz respeito ao “slope” e às “dificuldades” apresentados em estudos estatísticos nos EUA, e que mais se adequam ao contexto português, tendo em conta o Programa do Ensino Básico de Matemática em Portugal. b) Traduzir e adaptar o questionário, construído nos EUA, ao contexto português e documentar estes processos; c) Validar este instrumento pelo parecer de seis colaboradores investigadores especialistas em educação matemática e professores dos 1.º e/ ou 2.º ciclos do Ensino Básico. No primeiro momento – Seleção das questões dos testes de medição do MKT a serem estudadas , em que se pretende dar resposta ao objetivo a), apresentado em cima, um dos processos realizados disse respeito à análise dos parâmetros “slope” e “dificuldade”, apresentados pelas questões de Número e Operações de 2008 e de Geometria e Medida de 2004, em estudos estatísticos realizados pelo grupo de investigação de Michigan, nos EUA. No estudo dos testes do LMT, nos EUA, as respostas dos professores às questões de escolha múltipla, presentes no instrumento de recolha de dados, foram analisadas através da “Teoria de Resposta ao Item” (IRT). Este modelo é um ramo da Teoria da Medida usado predominantemente na análise de questionários e, ao invés da Teoria Clássica dos Testes (TCT), investiga de forma individual as propriedades de cada item. A IRT, teoria da psicometria moderna, é utilizada para medir os traços que são características dos indivíduos que não podem ser medidas diretamente. Neste modelo, a probabilidade de acerto de um item é obtida de acordo com a proficiência do traço latente (Andrade, Tavares & Vale, 2000). Nestas investigações, o grupo de Michigan, tal como é recomendado no estudo de amostras de grandes dimensões (Harris, 1989), usou a IRT com um parâmetro: a Dificuldade .
89 Além disso, é uma prática nas análises IRT usar-se uma medida denominada de Slope para examinar a habilidade de cada item para diferenciar os professores, identificando os que detêm um nível de habilidade particular (Hambleton, Swaminathan & Rogers, 1991). Este valor deve rondar 0,4. Fornecer apenas as classificações que os professores obtiveram na resolução das questões de escolha múltipla podia não demonstrar com fidelidade o seu “conhecimento matemático para ensinar”, na medida que as questões que o compõem apresentam diferentes graus de dificuldade. Assim, o uso do modelo IRT, pelo LMT, colmatou este facto e relatou o desempenho dos professores americanos na resposta a estas questões, tendo em conta os desafios impostos pelo relatório de pontuações brutas (Bock, Thissen & Zimowsky, 1997). A “Teoria de Resposta ao Item” apresenta uma escala com um média de 0 e um desvio padrão 1 para estimar o MKT. A IRT utiliza também a mesma escala para estudar dificuldades em questões específicas, o que significa que uma questão com uma dificuldade média apresenta 0, o que implica que um professor com um resultado médio tem 50% de hipóteses de responder a esta questão correctamente (Hambleton, Swaminathan & Rogers, 1991); por sua vez, uma questão considerada fácil apresentará uma dificuldade de -3 e uma questão difícil +3. No entanto, refira-se desde já que, na Fase 2 do presente trabalho, no 4.º momento, aquando da análise do MKT dos docentes portugueses envolvidos neste estudo, um dos critérios de análise também será o “grau de dificuldade” apresentado pelas questões de escolha múltipla que compõem o questionário. Contudo, este “grau de dificuldade” não será o referido anteriormente, obtido em estudos estatísticos nos EUA, mas sim o apresentado na presente investigação com docentes portugueses. Como se irá verificar mais à frente, este parâmetro do “grau da dificuldade”, ao contrário do que foi feito nos EUA, foi obtido com o uso da Teoria Clássica dos Testes (TCT). No segundo momento desta fase do presente trabalho, realizou-se a tradução e a adaptação das 52 questões. O processo de tradução caracterizou-se como uma tradução dupla do teste, recomendada por Adams (2005), que se trata de um método de tradução mais utilizado em estudos desta tipologia. Num processo de dupla tradução, e neste processo especificamente, dois tradutores portugueses, traduziram, de forma independente, o mesmo instrumento e, de seguida, compararam-no, discutiram a sua tradução e a sua adaptação ao contexto português, chegando ao produto final: questionário traduzido para a língua do estudo.
96 “Discordo Completamente”; “Discordo”; “Indiferente”; “Concordo”; e “Concordo Completamente”. Com a aplicação deste questionário pretende-se validar, em Portugal, as questões de escolha múltipla presentes no questionário e estudar o conhecimento matemático de professores dos 1.º e 2.º ciclos do Ensino Básico em Portugal. O questionário foi aplicado entre janeiro de 2017 e abril de 2017. Por questões de confidencialidade dos dados e para garantir a veracidade e o rigor dos resultados, quanto ao conhecimento dos intervenientes e à sua gestão de tempo na resolução do questionário, estes questionários foram respondidos no fim de reuniões de avaliação das escolas, na presença da investigadora.
97 Capítulo 4 – Fase 1 do Estudo Validação do Instrumento de medição do MKT no contexto português A essência do conhecimento consiste em aplicá-lo, uma vez possuído. Confúcio Esta investigação foi desenhada para validar as questões construídas pelo grupo de investigação da Universidade de Michigan, liderado pela Deborah Ball, e para medir o conhecimento matemático dos professores necessário para se ensinar no contexto português e, posteriormente, analisar e discutir este conhecimento. Neste capítulo 4, intitulado de Fase 1 do Estudo: Validação do Instrumento de medição do MKT de professores Portugueses, pretende-se apresentar o processo de seleção, tradução, adaptação e validação das questões que constituem o questionário, construídas pelo grupo de investigação da Universidade de Michigan para medir o MKT de professores nos EUA. Nesta perspetiva, com este capítulo, pretende-se dar resposta à primeira questão de investigação do presente trabalho: (1) Em que medida e de que modo as medidas construídas nos EUA podem ser usadas para medirem o MKT em Portugal. Este capítulo está dividido em três subcapítulos. O primeiro subcapítulo – 4.1. Seleção das questões do Teste de Medição do MKT – descreve o processo de seleção das perguntas que virão a formar o instrumento de recolha de dados do presente estudo, tenho em conta vários critérios, entre os quais (e com grande relevância) a adequação dos conteúdos matemáticos presentes nas questões ao programa português. No segundo subcapítulo, 4.2. Descrição das questões, irão caracterizar-se as 52 questões selecionadas no primeiro subcapítulo, tendo em conta o (s) conteúdo (s) matemático (s) contemplados, o conteúdo da tarefa, o tipo de conhecimento matemático do professor que avalia, segundo a categorização de Ball, Thames e Phelps (2008) e o grau de dificuldade que apresentaram nos estudos realizados nos EUA. Por último, em 4.3. Tradução e adaptação do teste ao contexto português, irá documentar-se estes dois processos complementares divididos em duas fases. Numa primeira fase irá
98 descrever-se a tradução/ adaptação realizada por dois tradutores independentes e, posteriormente, discutida. Numa segunda fase, irá apresentar-se o parecer de seis colaboradores acerca da tradução/ adaptação do instrumento à realidade portuguesa. Por último, irá tirar-se conclusões acerca da validade deste teste em Portugal. 4.1. Processo de seleção das questões do Teste de Medição do MKT Este momento caracterizou-se pela escolha fundamentada das questões de escolha múltipla a serem contempladas no instrumento de medição do “conhecimento matemático para ensinar”. Para isso, após o contacto com o grupo de Investigação da Universidade de Michigan e da aprovação num teste aplicado por estes, realizou-se um curso on-line , intitulado Teacher Knowledge Assessment System (TKAS) , em Março de 2017, disponibilizado e administrado pelos investigadores do Learning Mathematics for Teaching Project , permitindo o acesso a todos os instrumentos construídos até agora pelo grupo de investigação de Michigan. O grupo de investigação da Universidade de Michigan, através do projeto LMT, que tinha como principais investigadores Heather C. Hill, Deborah Ball, Hyman Bass, Geoffrey Phelps e Steve Schilling, desenvolveu e construiu, aproximadamente, 100 questões de escolha múltipla para medir o MKT de professores dos EUA. As questões de escolha múltipla, criadas com o projeto de investigação LMT, estão agrupadas em questionários, organizados por níveis de ensino e por domínios da Matemática, como se observa na Tabela 5. Todos estes questionários apresentam duas versões ( Form A e B ), que contêm diferentes itens.
99 Tabela 5 - Categorização dos questionários construídos pelo LMT. Nível de ensino Domínio da Matemática Ano Pré-escolar ( Kindergarten ) Números racionais 2008 Geometria e Medida 2008 Raciocínio Proporcional 2008 Probabilidades, Dados e Estatística 2008 Ensino Básico ( Elementary school ) Padrões, Funções e Álgebra 2001, 2004, 2006 Geometria e Medida 2004 Números e Operações 2001, 2002, 2004, 2008 Place Value 2006 Ensino Secundário ( Middle School ) Padrões, Funções e Álgebra 2005, 2006 Geometria e Medida 2005 Números e Operações 2007 No presente trabalho, como já se referiu no capítulo 3, a seleção das questões de escolha múltipla, a serem agrupadas num questionário, tiveram em conta os seguintes critérios: 1. nível de ensino dos professores de matemática do presente trabalho; 2. os domínios da matemática mais predominantes no Programa e Metas Curriculares de Matemática do Ensino Básico (2013) e nas Aprendizagens Essenciais (2018), relativos aos 1.º e 2.º ciclos do Ensino Básico; 3. os valores dos parâmetros “slope” e “dificuldade” das questões obtidos nos estudos dos EUA; 4. a adequação dos conteúdos matemáticos contemplados nas questões ao programa português; 5. o número de questões que formariam o questionário, tendo em conta que cada pergunta tem um tempo médio de resposta 1-2 minutos. Nesta linha de ideias, tendo em conta os critérios (1) e (2) apresentados anteriormente, selecionaram-se questões relativas aos questionários assinalados (sublinhados) na Tabela 5 em cima, que dizem repeito aos dois domínios da Matemática mais dominantes no Programa e Metas Curriculares de Matemática do Ensino Básico (2013) e nas Aprendizagens Essenciais (2018): “Geometria e Medida” e “Números e Operações”. Os questionários de Geometria e Medida de 2004 e de Números e Operações de 2008 têm duas versões: A e B. Para se determinar qual das versões se iriam trabalhar analisaram-se
100 os valores dos parâmetros “slope” e “dificuldade” das questões obtidos nos estudos dos EUA – quarto critério considerado. Para se decidir qual das versões A ou B dos questionários de Números e Operações e de Geometria se iria trabalhar, analisaram-se os parâmetros “slope” e “dificuldade”, obtidos nos EUA, nas questões de cada versão. Refira-se que, no presente trabalho, teve-se em conta os valores do parâmetro de “dificuldade” obtidos em estudos estatísticos nos EUA, como referências. No entanto, como se vai constatar no capítulo 6, posteriormente à aplicação do questionário, analisou-se a prestação dos professores portugueses envolvidos neste estudo, tendo em conta o “grau de dificuldade” obtido nesta investigação, em cada pergunta do questionário. Na tabela 6, em baixo, apresentam-se, em cada versão, a questão que apresentou o nível de slope mínimo e máximo. Além disso, agruparam-se as questões das versões A e B, respetivamente, do teste de Números e Operações de 2008, construído pelo grupo de investigação de Michigan, segundo o grau de dificuldade. Tabela 6 - Análise dos parâmetros slope e dificuldade no teste NO 2008. Parâmetros/ Versões do teste Elementary 2008 NO Slope* ≃0,4 Dificuldade Total de questões Mínimo Máximo Fácil Um pouco fácil Um pouco difícil Difícil d<-2 -2<d<0 0<d<2 d>2 Versão A 0,268 questão 20 d 0,735 questão 27 e 1d 1a, 1b,1c, 12, 18, 20c, 21a, 21b, 21c, 27a, 5, 8, 9, 13, 20a, 20b, 20d,21d, 24, 27c, 27d 17, 25, 32, 35
101 27b, 27e Total de questões 1 12 11 4 28 Versão B 0,312 questão 22 d 0,863 questão 9 - 3a, 3c, 11, 12, 15a, 15b, 18, 22a, 22c, 22d, 23a, 23b, 23c, 23d, 28, 30b 3b, 3d, 5, 9, 14, 15c, 16, 22b, 29, 30a, 30c 4, 19 Total de questões - 0 16 11 2 29 Posto isto, como se apresenta em baixo, contabilizaram-se o número de questões fáceis e o número de questões difíceis. Do número de questões fáceis fazem parte as questões fáceis (d<-2) e as questões um pouco fáceis (-2<d<0). De forma semelhante, o número de questões difíceis diz respeito às questões um pouco difíceis (0<d<2) e às difíceis (d>2) .
102 Tabela 7 - Análise do parâmetro dificuldade no teste NO 2008. Dificuldade Total de questões Total de questões (em %) nº de questões fáceis (d<0) nº de questões difíceis (d>0) Versão A 13 ≃47% 15 ≃53% 28 100% Versão B 16 ≃55% 13 ≃45% 29 100% Como se oberva na tabela 7 em cima, apesar dos valores serem muito próximos, a percentagem de questões fáceis (55%) é superior à de questões difíceis (47%) na versão B do teste de Números e Operações de 2008, o que não se verifica na versão A. Por essa razão, no presente trabalho, irão ser utilizadas as questões de Números e Operações que dizem respeito à versão B. No que diz respeito às questões de Geometria, analisaram-se também os valores dos parâmetros “slope” e “grau de dificuldade”. Na tabela em baixo, apresentam-se as questões de Geometria com o menor e o maior valor de “slope”. Além disso, agruparam-se as questões segundo o seu grau de dificuldade. Tabela 8 - Análise dos parâmetros Slope e Dificuldade nas questões de Geometria nas versões A e B. Parâmetros/ Versões do teste Elementary 2004 Geometria Slope ≃0,4 Grau de dificuldade Total de questões mínimo Máximo Fácil Um pouco fácil Um pouco difícil Difícil d<-2 -2<d<0 0<d<2 d>2 Versão A 0,437 questão 1,109 questão – 15a, 15d,15e, 16a, 16b, 16c, 16e, 17a, 17b, 15b, 15c, 16d, 18, 19, 21 –
103 18 16 d 17c, 17d, 20, 22 Total de questões 0 13 6 0 19 Versão B 0,417 questão 19 b2 1,109 questão 20 19b2 15, 16a, 16c, 17a, 17b, 17c, 17d, 19a1, 19b1, 19c1, 19a2, 19c2, 21, 22a, 22b 16b, 16d, 16e, 18, 20, 22c, 22d - Total de questões 1 15 7 0 23 Para se comparar o grau de dificuldade nas questões das versões A e B do teste de Geometria, agruparam-se as questões um pouco fáceis e fáceis e as difíceis e um pouco difíceis , como se verifica na tabela em baixo. Tabela 9 - Análise do parâmetro Dificuldade nas questões de Geometria. Dificuldade Total de questões Total de questões (em %) nº de questões fáceis (d<0) nº de questões difíceis (d>0) Versão A 13 ≃68% 6 ≃32% 19 100% Versão B 16 ≃70% 7 ≃30% 23 100%
104 Tendo em conta que o número de questões fáceis da versão B é (ligeiramente) superior ao da versão A, as questões de Geometria em estudo nesta investigação serão as que compõem a versão B do questionário de Geometria, construído pelo LMT. Deste modo, nesta investigação, procedeu-se de forma semelhante a investigadores de outros países que utilizaram uma das versões dos instrumentos completas de um ou dois domínios da Matemática (ou três, no caso da Noruega) e adaptaram ao contexto do seu país, com exceção de Delaney (2008), na Irlanda, que seleccionou questões de diferentes instrumentos de vários tópicos da Matemática. Em suma, o questionário em análise neste estudo é assim constituído por 52 questões: 29 do domínio da Matemática Números e Operações e 23 questões de Geometria e Medida. De seguida, e considerando-se o terceiro critério de seleção de questões – (3) a adequação dos conteúdos matemáticos contemplados nas questões ao programa português – analisaram-se os conteúdos matemáticos avaliados nestas questões para se garantir que não continham conceitos, técnicas e/ou procedimentos não trabalhados em Portugal (Anexo 3). Assim, apresentam-se, na Tabela 10, todos os conteúdos matemáticos do Programa e Metas Curriculares de Matemática (2013) e das Aprendizagens Essenciais (2018), por ano de escolaridade, avaliados nas questões de escolha múltipla em análise (Anexo 2). Tabela 10 - Conteúdos matemáticos presentes em cada questão. Conteúdos matemáticos presentes nas questões 1.º ano 2.º ano 3.º ano 4.º ano 5.º ano 6.º ano 7.º ano 8.º ano 9.º ano Adição de números racionais. 1a; 1c; 9 Adição, subtração, multiplicação e divisão de números racionais não negativos representados na forma de fração. 1d; 11 Algoritmo da divisão inteira. 6 Conjunto de números inteiros relativos e conjuntos de números racionais. 1 a; 1b Critérios de divisibilidade por 3, 4 e 9. 3
105 Divisão de um número; número divisível por outro; relação entre múltiplo e divisor. 2 Divisão inteira por métodos informais. 1d Equação linear com uma incógnita 16a , 16b Figuras equidecomponíveis e figuras equivalentes. 22 Figuras planas: retângulo, quadrado, triângulo e respetivos lados e vértices, circunferência, círculo; 17 18a 18b Fórmula para a área do círculo. 18d Fórmula para o volume do paralelepípedo retângulo com dimensões de medida racional. 20 Fórmulas para a área de paralelogramos e triângulos. 22 Frações equivalentes e noção de número racional. 4 Medições de áreas em unidades do sistema métrico. 24 Multiplicação de números racionais representados por dízimas finitas, utilizando o algoritmo. 15 Multiplicação e divisão de números racionais por naturais e por racionais na forma de fração unitária. 10 Múltiplo de um número. 3 Polígonos e linhas poligonais. 19b Polígonos inscritos numa circunferência. 19d Problemas de até três passos envolvendo situações de partilha equitativa e de agrupamento. 5
112 (5x4=20). Assim, as 3 partes que inicialmente estavam a ser contabilizadas na construção da fração 3/5, corresponde agora a 3x4 (12) das novas partes em que a unidade foi dividida. Portanto, o número racional representado por qualquer daquelas frações é o mesmo. Figura 10 - Problema com frações equivalentes (Bivar, Grosso, Oliveira, Timóteo, 2013, p. 72). Após a resolução geométrica desta questão, o professor poderia também chamar a atenção aos seus alunos que: Assim, os alunos verificariam que realmente através da simplificação de frações se obtém uma fração equivalente, na medida em que na realidade só se está a dividir a fração (neste caso, 12/20) por um, logo esta fração representa a mesma quantidade (do que 3/5), o que justifica a opção correta à questão 4. Questão 5 Esta questão envolve avaliação de problemas até três passos envolvendo situações de partilha equitativa e de agrupamento. Este conteúdo faz parte do Programa e Metas Curriculares do Ensino Básico de Matemática (2013, p. 11) do 3.º ano de escolaridade. Esta pergunta envolve um Conhecimento Especializado do Conteúdo , na medida em que requer a análise de um problema presente num manual e a sua alteração a um novo contexto, mantendo, no entanto, o conteúdo matemático.
113 Para responder corretamente a esta questão, um professor teria de ser capaz de verificar que os dois problemas de divisão, presentes na pergunta, envolvem divisões em situações de agrupamento e nenhum em situação de partilha . Em baixo, apresenta-se um exemplo de um problema que envolve a divisão numa situação de agrupamento e outro em que a divisão aparece numa situação de partilha (Caderno Apoio 1.º ciclo, 2013, p.41). Exemplo 1 (divisão como agrupamento) O Ricardo tem 25 berlindes e vai dividi-los em conjuntos de 6 berlindes. Quantos conjuntos de 6 berlindes consegue fazer? Exemplo 2 (divisão como partilha) A mãe da Rita vai dividir igualmente 30 bolos por 4 caixas. Quantos bolos vai colocar em cada caixa? Figura 11 - Problemas de divisão em situações de agrupamento e de partilha, respetivamente (Caderno Apoio 1.ºciclo, 2013, p.41). Os problemas de divisão como agrupamento ou medida, como o exemplo 1, em cima, são caracterizados por fornecerem o número total de objetos e o número de objetos de cada grupo. O número de grupos (crianças, recetores, etc) é um valor desconhecido. Por outro lado, os problemas que envolvem a divisão como partilha, ou divisão partitiva, segundo Carpenter e os seus colegas (1999), referem uma quantidade (o número total de objetos) que é partilhada igualmente entre um dado número de recetores e pedem para se determinar o número de objetos que ficará para cada recetor, tal como o exemplo 2. Além disso, a questão 5 exigia ao professor a interpretação do significado do resto da divisão em cada um dos problemas apresentados. Atente-se no exemplo 1 apresentado em cima e no exemplo 3 em baixo. Ambos os problemas envolvem uma situação de divisão como agrupamento. No entanto, apesar de para se
114 resolver qualquer um dos problemas se resolver a seguinte divisão: 25:6=4(r=1), no exemplo 1 a resposta ao problema não tem em conta o resto da divisão, isto é, a resposta é 4 conjuntos, enquanto no exemplo 3, a resposta ao problema é 5 sacos e não 4. Exemplo 3 (situação de agrupamento) O Ricardo tem 25 berlindes e vai dividi-los em sacos de 6 berlindes. Qual o número mínimo de sacos que precisa para transportar os 25 berlindes? Figura 12 - Problema de divisão em situação de agrupamento Quanto ao grau de dificuldade, esta questão foi denominada de um pouco fácil, num estudo realizado pelo LMT em 2008, tendo apresentado um valor de –0,854 para este parâmetro. Questão 6 Esta questão aborda o algoritmo da divisão inteira. Este conteúdo matemático está presente no Programa e Metas Curriculares do Ensino Básico de Matemática (2013, p.12) do 4.º ano de escolaridade. Nesta pergunta os professores têm de avaliar uma abordagem não standard do algoritmo da divisão, utilizada por um aluno, e caracterizar a sua validade. Assim, para responder a esta questão o professor utiliza um Conhecimento Especializado do Conteúdo . Esta questão apresentou um valor do parâmetro grau de dificuldade de –1,157, num estudo realizado em 2008 pelo grupo de investigação de Michigan, tendo sido, por isso, designada de um pouco fácil. Questão 7 Na questão 7 patenteia-se a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição e subtração. Este conteúdo matemático no Programa de Matemática do Ensino Básico (2013) está presente no capítulo da Álgebra, do 5.ºano.
115 Para responder corretamente a esta pergunta, um professor teria de “encontrar um exemplo para fazer um ponto específico da matemática” (Ball, Thames & Phelps, 2008, p.400), mais especificamente, teria de selecionar o melhor exemplo, dos quatro exemplos apresentados, para ajudar a sua turma a perceber que a propriedade distribuitiva da multiplicação em algumas situações faz com que as expressões numéricas sejam mais fáceis de se resolver. Nesta linha de ideias, a resposta à questão 7 exigia um Conhecimento matemático Especializado do Conteúdo . Esta questão foi considerada um pouco difícil num estudo do LMT, em 2008, por ter apresentado um valor de grau de dificuldade de 1,462. Questões 8a, 8b e 8c Nas questões 8a, 8b e 8c apresenta-se um algoritmo da subtração com números da ordem das centenas. Este conteúdo matemático faz parte do Programa e Metas Curriculares do Ensino Básico (2013, p.8) do 2.º ano de escolaridade. Cada uma das alíneas a), b) e c) apresenta uma explicação de um aluno por que razão um procedimento semelhante ao apresentado em baixo funciona. Exemplo: Subtração com dois transportes Calcula a diferença entre 623 e 475. 623-475=148
116 Neste exemplo, dado que os algarismos das ordens das unidades e das dezenas do aditivo têm valores inferiores aos respetivos algarismos do subtractivo, é necessário começar por decompor uma dezena em dez unidades e, em seguida, decompor uma centena em dez dezenas, fazendo os correspondentes transportes. Figura 13 – Resolução de um algoritmo da subtração com dois transportes (Bivar et al., 2013, p. 72). Para responder corretamente a estas três questões, um professor teria avaliar as explicações dos alunos e verificar se evidenciavam que os alunos tinham ou não percebido o procedimento. Assim, estas questões exigiam um Conhecimento do Conteúdo e dos Alunos (KSC). Num estudo realizado pelos investigadores que compõem o grupo de Michigan, em 2008, as questões 8a e 8b foram consideradas de um pouco fáceis , tendo apresentado, respectivamente, os valores de –0,808 e –0,957 de grau de dificuldade. Na questão 8c, o parâmetro em causa, apresentou um valor de 1,542, em 2008, sendo, por isso, designada como uma questão um pouco difícil . Questão 9 Esta questão avalia o conteúdo matemático do algoritmo da subtração com números das ordens das dezenas. Este conteúdo matemático faz parte do Programa e Metas Curriculares do Ensino Básico (2013, p.8) do 2.º ano de escolaridade. Para responder corretamente a esta questão, um professor tinha de analisar um algoritmo da subtração e verificar que era válido para todos os números. Esta questão envolve um Conhecimento Especializado do Conteúdo . Num estudo realizado em 2008, pelo projeto LMT, observou-se um valor de 0,556 do parâmetro grau de dificuldade, tendo-se, por isso, considerado esta questão um pouco difícil.
117 Questão 10 Na questão 10 avalia-se a representação de frações na reta numérica, presente no Programa e Metas Curriculares da Matemática do Ensino Básico (2013, p. 11), no 3.ºano. Para responder a esta questão teria de se usar Conhecimento Comum do Conteúdo . Num estudo estatístico de 2008, realizado pelo grupo de investigação de Michigan, esta pergunta, para o parâmetro grau de dificuldade, apresentou o valor de –0,360, sendo designada de um pouco fácil. Questão 11 Esta questão aborda a divisão de números racionais na forma de fração. Este conteúdo está presente no Programa e Metas Curriculares do Ensino Básico (2013, p. 18) do 5.ºano. Para responder corretamente a esta pergunta, um professor tinha de analisar um método proposto pelo aluno para a divisão de números fracionários e verificar que este procedimento estava correto, mas que para muitos números resultaria em respostas desorganizadas. Nesta linha de ideias, esta questão exigia um Conhecimento Especializado do Conteúdo . Quanto ao grau de dificuldade, esta questão caracterizou-se como difícil , num estudo realizado por Ball e pelos seus colegas, em 2008, apresentando um valor de 2,343. Questões 12a, 12b, 12c e 12d Nas alíneas que fazem parte da questão 12 apresentam-se “problemas de vários passos envolvendo números racionais representados na forma de frações, dízimas, percentagens e numerais mistos” (ME, 2013, p.18). Este conceito integra os conteúdos matemáticos do 5.ºano de escolaridade, do Programa de Matemática do Ensino Básico (2013). No que diz respeito ao nível de dificuldade, as questões 12a, 12 c e d são consideradas um pouco fáceis, tendo apresentado nos estudos estatísticos de 2008 já mencionados os valores de –0,752, –0,807 e–1,150. A pergunta 12b revelou um grau de dificuldade de 1,620, sendo assim, caracterizada como um pouco difícil.
118 Esta questão apresenta um problema sobre divisão de números racionais e, em cada alínea, exige identificar se os problemas apresentados têm a mesma interpretação da divisão ou uma interpretação diferente. Estas perguntas requerem assim um Conhecimento Especializado do Conteúdo . O problema fornecido no enunciado da pergunta 12 exige a mesma interpretação da divisão do que o Problema 1, apresentado em baixo. Neste tipo de problemas de divisão de números racionais é apresentado a medida total ( 5 metros, que corresponde ao comprimento da unidade), a medida de cada uma das partes ( 1/4 metros ) e é pedido o número de vezes que a parte cabe na unidade. Na questão 12, apenas a alínea c descrevia um problema com esta interpretação da divisão, isto é, com a mesma interpretação do que a do enunciado da pergunta. Problema 1 – “A passo de caracol” Um caracol, que está no fundo de um poço com 5 metros de profundidade, sobe por dia ¼ metros. Quantos dias demorará a atingir o topo do poço? Explica como chegaste à resposta. Figura 14 - Problema sobre divisão de números racionais – retirado "Tarefas 6.º ano - Formação contínua de professores de matemática dos 1.º e 2.º ciclos – ESEV (ME, 2010)” Nas restantes alíneas (a), b) e c)) da questão 12, apresentavam-se problemas com uma interpretação diferente da divisão, relativamente ao problema fornecido no enunciado desta pergunta. Observe-se o problema 2 em baixo e verifique-se que a interpretação da divisão nesta tarefa é diferente da do problema 1. Neste tipo de problemas, como o mostrado em baixo, referem-se a quantidade que vai ser utilizada (neste caso, ¾ do total) e qual a sua medida (12 cm) e é pedido o comprimento inicial (isto é, a medida da unidade).
119 Problema 2 – “A pulseira da Mafalda” A Mafalda tem em casa um fio verde para fazer pulseiras. Se ela usasse ¾ do fio para fazer uma pulseira com medida de 12 cm, que comprimento tinha o fio inicial da Mafalda? Explica como chegaste à resposta. Figura 15 - Problema sobre divisão de números racionais Questões 13a, 13b, 13c e 13d As perguntas que compõem a questão 13 contêm os seguintes conteúdos matemáticos: números racionais negativos; módulo da diferença de dois números como medida da distância entre os pontos que representam esses números na reta numérica (ME, 2013, p. 17). Estes dois conceitos matemáticos integram os conteúdos do Programa de Matemática do Ensino Básico (2013) do 6.º ano de escolaridade. Nesta questão, apresenta-se um problema sobre temperaturas e é pedido aos alunos para o traduzirem numa expressão numérica que represente a diferença entre a temperatura mais alta e mais baixa. Para responder de forma correta a cada uma destas perguntas, um professor tinha de ser capaz de analisar as expressões propostas pelos alunos para representarem o problema e identificar se traduzem ou não raciocínios corretos, exigindo assim, um Conhecimento Especializado do Conteúdo para dar resposta a estas questões. As questões 13a, 13b, 13c e 13d, num estudo efetuado em 2008, estas quatro perguntas foram consideradas um pouco fáceis, apresentando um grau de dificuldade de – 0,501, –0,501, –1,076 e –0,533, respetivamente,
120 Questão 14 A questão 14 aborda o conceito de percentagem. Nesta questão apresentam-se vários retângulos e é pedido que se identifique em qual deles se apresenta menos de 1% pintado. Assim, esta questão exigia um Conhecimento Comum do Conteúdo . Esta questão apresentou um nível de dificuldade de –0,711, numa investigação realizada pelo grupo de Michigan em 2008, tendo sido, por isso, denominada de um pouco fácil. Questão 15 Nesta questão aborda-se a regra utilizada para se determinar o local onde se coloca a vígula num algoritmo da multiplicação de números decimais. A “multiplicação de números racionais representados por dízimas finitas, utilizando o algoritmo” (ME, 2013, p. 12) é um conteúdo que faz parte do Programa e Metas Curriculares de Matemática para o Ensino Básico (2013) referente ao 4.ºano de escolaridade. Para responder corretamente a esta questão, um professor tinha de selecionar a melhor explicação para esta regra, isto é, que como um número decimal é um número inteiro dividido por potências de 10, o número de casas decimais fornece o número de vezes que se dividiu o número por 10. Logo, somar o número de casas decimais dos dois fatores, indica o número de vezes que se dividiu o total por 10. Em baixo, apresenta-se um algoritmo da multiplicação de números decimais, presente no Caderno de Apoio ao 1.º ciclo (2013, p. 80), e a explicação para a reposta correta a esta questão. Como se pode observar a soma do número de casas decimais – três – corresponde ao número de vezes que de dividiu o produto por 10.
121 Exemplo de um algoritmo da multiplicação com números decimais Calcula o produto de 37,6 por 0,38. O produto de 37,6 por 0,38 é 14,288. Aplicação da regra utilizada para se determinar o local onde se coloca a vírgula no algoritmo da multiplicação de números decimais no exemplo em cima 33 37,6 0,38 376 0,1 38 0,01 376 38 0,1 0,01 14288 0,001 14288 10 14288:10 14,288 Figura 16 – Exemplo de um algoritmo da multiplicação com números decimais (Bivar et al., 2013, p. 72) e aplicação da regra utilizada para se determinar o local da vírgula neste algoritmo. Esta pergunta envolvia, assim, segundo a categorização de Ball, Thames e Phelps (2008), Conhecimento Comum do Conteúdo . Esta questão foi considerada um pouco difícil, num estudo realizado em 2008, tendo revelado um grau de dificuldade 0,708. Questões 16a, 16b, 16c As alíneas a) e b) da questão 16 contêm uma equação linear com uma incógnita. Este conceito, no Programa de Matemática do Ensino Básico (ME, 2013, p. 22), faz parte dos conteúdos matemáticos do 7.º ano e integra o domínio da álgebra. A alínea c), por sua vez, aborda o conceito das proporções, que faz parte dos conteúdos do 6.º ano (ME, p. 21). A questão 16 apresenta um problema matemático e as alíneas a), b) e c) que o constituem dizem respeito a estratégias de resolução de alunos. Para responder corretamente a
128 A primeira categoria refere-se, por exemplo, a alterações no nome das pessoas, para serem mais familiares para os professores; adaptação da linguagem não matemática – palavras ou situações/contextos relacionados com a realidade americana, mas que não são tão familiares aos portugueses; alteração de atividades especificamente culturais relativas ao países a outros contextos culturais, como se apresenta na tabela 12. Nas “alterações relacionadas com o contexto cultural escolar” agruparam-se as palavras e/ou frases traduzidas do inglês americano para o português e adaptadas a esta nova realidade, em duas categorias: “Termos escolares” e “Estrutura do sistema educativo”, como se apresenta na Tabela 13. Estas duas primeiras categorias não estão relacionadas com alterações que afetem o conteúdo matemático do instrumento, mas sim são importantes para que os professores pertencentes a outro país e contexto, que não o dos EUA, neste caso a realidade portuguesa, não sejam distraídos por termos ou contexto que não lhes sejam familiares. A terceira categoria – alterações relacionadas com os conteúdos matemáticos – diz respeito a alterações nas unidades de medida, alterações na linguagem matemática para a que é usada nas escolas, alterações das representações usadas e alterações nas respostas dos alunos que são antecipadas. Refira-se que Mosvold (2009) no seu estudo também considerou uma outra categoria que dizia respeito a alterações relacionadas com directrizes escolares, que não será incluída no presente estudo, uma vez que não se encontraram diferenças significativas entre as directrizes políticas escolares seguidas EUA e Portugal. De seguida, apresenta-se todas as alterações realizadas aquando da tradução e adaptação do questionário construído nos EUA ao contexto português. A tradução do inglês americano para o português de algumas palavras ou frases foram alteradas por não se enquadrarem no contexto da questão onde estão inseridas, este tipo de alterações também foram introduzidas por Mosvold e pelos seus colegas (2009) aquando da sua tradução do questionário construído pelos investigadores da Universidade de Michigan ao contexto norueguês. Por exemplo na questão 11, que se refere à divisão de números fracionários, traduziu-se a palavra “problema” em inglês americano para o português como “operação matemática”, uma vez que a palavra “problema” não faria sentido aquando da tradução do inglês americano para português.
129 (1) Alterações relativas ao contexto cultural geral Na Tabela 12, em baixo, apresentam-se as alterações que foram realizadas na tradução e adaptação do questionário, relativas ao contexto cultural no geral. Estas alterações acarretam mudanças no “Nome de pessoas”, em palavras ou expressões que contêm “Linguagem não Matemática”, em “Atividades” e em mudanças “do inglês para o português”. Tabela 12 - Alterações relativas ao contexto cultural geral nas questões do instrumento do presente estudo Tipo de alteração Questão Forma EUA Forma adaptada a Portugal Nome de pessoas 2 Hosko Luís 2 King Andreia 3 Harris Maria 4 West Paula 5 Walker Fátima 5 Kelly Joana 6 Barber Catarina 6 Chad Tiago 7 Catalano Filipa 8 Bisson Laura 9; 11 Lewis Pedro 9 Braun Sara 10 Stone Francisco 11 Charlie Diogo 12 Sander Marta 12 Alex Tiago 12 Frank Afonso 13 Barton Luísa 14 Vasquez Ana 16 Montgomery Graça 17 Starr Margarida 18 Marco Nuno 19 Erikson Miguel 20 Nager Rui 21 Moreno Beatriz 22 Juarez Gonçalo 23 Markhill Cátia
130 24 Lewis Helena 24 Emilio João Linguagem não matemática 1 “Rules of thumb” Regras práticas 2 Mr. Mrs. Professor Professora 5 Box of candy Caixa de bombons 23 Video game Jogo Atividades 5 Field trip Visita de estudo 12 Relay race Corta mato Do Inglês para o Português 1 Handy memory devices Técnicas de fácil memorização 2 Is undefined É indeterminada 9 Problem Subtração 11 Problem Operação matemática 16 Each type animal Espécie animal Como se observa na tabela em cima, na tradução das questões do inglês americano para o português teve-se o cuidado de alterar os nomes dos professores e de alunos para nomes utilizados em Portugal. Além disso, no caso dos professores adaptou-se o tratamento dado nos EUA de “Mr.” e “Ms.” para “professor” ou “professora” seguido do nome, pois é desta forma que, em Portugal, abordamos um(a) professor(a). Nesta categoria, também se apresentam as alterações relacionadas com termos não matemáticos como “box of candy” que numa tradução de inglês americano diz respeito a “caixa de doces” que foi traduzido, em vez disso, para “caixa de chocolates”, uma vez que a primeira expressão não é usual em Portugal. (2) Alterações relacionadas com o contexto cultural escolar Na tabela 13, em baixo, apresentam-se alterações relacionadas com o contexto cultural escolar, mais especificamente mudanças relativas a “termos escolares” e à “estrutura do sistema educativo”.
131 Tabela 13 - Alterações relativas ao contexto cultural escolar nas questões do instrumento do presente estudo.Tipo de alteração Questão Forma EUA Forma adaptada a Portugal Termos escolares 3; 4; 5; 23 Class Turma 10 Materials Fichas de trabalho Estrutura do sistema educativo 17 College Universidade (3) Alterações relacionadas com os conteúdos matemáticos Nesta terceira categoria agruparam-se às alterações relativas aos conteúdos matemáticos. Consideraram-se mudanças que diziam respeito a unidades de medida, à linguagem matemática escolar propriamente dita e a representações matemáticas. Tabela 14 - Alterações relacionadas com conteúdos matemáticos nas questões do instrumento do presente estudo. Tipo de alteração Questão Forma EUA Forma adaptada a Portugal Unidades 5 $38 dollars 38 € 5 $4 4€ 12 12 Milhas Feet Quilómetros (Km) Metros Linguagem matemática escolar 3 Divisibility rules Critérios de divisibilidade 3 7,548 7548 3 7,500 7500 15 7.34 7,34 15 24 5.8 3.5 5,8 3,5 6 Single-digit divisors Divisores com um algarismo 7 a) b) c) d) 7 Multi-digit subtraction Subtração de números com números
132 de vários algarismos 11 Divid numerators and denominators Divido os numeradores pelos numeradores e os denominadores pelos denominadores 15 Digits Algarismos 19 Circle Circunferência 21 Solid figure Sólido geométrico Representações 6 22 Retângulo ABCD Triângulo AED Triângulo AEF ∆AED, ∆AFD, ∆AGD, ∆AEG, ∆DGF Retângulo [ABCD] Triângulo [AED] Triângulo [AEF] [AED], [AFD], [AGD], [AEG], [DGF] Nesta categoria consideraram-se alterações relativas às unidades de medida. Procurouse utilizar unidades que se usam em Portugal. Como se observa na tabela, o “dólar”, presente nos testes americanos, foi substituído pela moeda oficial de Portugal o “euro”. Além disso, substitui-se a “milha”, que não é uma unidade muito usual em Portugal, pelo “quilómetro” e, de forma semelhante, a unidade “feet”, traduzida por “pés” pelos “metros”. Relativamente a mudanças relativas à “linguagem matemática escolar” refira-se, por exemplo, à diferença existente entre os EUA e Portugal relativamente à representação dos números inteiros e decimais. Nos EUA o ponto é utilizado para separar a parte inteira da parte decimal, o que em Portugal é substituído por uma vírgula. Por sua vez, nos EUA, a vírgula tem como função separar as diferentes classes inteiras dos números, o que é omitido em Portugal. Por exemplo, na questão 24 “3.5” foi traduzido para “3,5” e na questão 3 “7,500” para “7500”. Ainda nesta categoria agruparam-se mudanças nas representações matemáticas. Por exemplo, como se verifica na tabela em cima, na questão 6, a representação do algoritmo da divisão apresentado no questionário americano teve de ser adaptado por não ter a mesma
133 apresentação em Portugal. Além disso, na questão 22 realizaram-se alterações relacionadas com a escrita matemática. Para se clarificar de que modo se realizou a tradução e a adaptação do instrumento de medição do MKT à realidade portuguesa, de seguida, irá utilizar-se um exemplo presente num artigo de Hill, Schilling e Ball (2004) para se mostrar como se realizou este processo. Note-se que não se irão utilizar as questões em estudo no presente trabalho para ilustrar o método de tradução e adaptação, uma vez que, como já se referiu, estas perguntas não podem ser reveladas, por questões de confidencialidade exigidas pelo LMT. Este processo envolveu diferentes tipos de alteração, aquando da tradução do inglês americano para o português. Serão assinaladas a cinzento as palavras, frases, números e/ ou representações que foram sujeitas a alteração. Estas alterações serão caracterizadas de acordo com as categorias já descritas anteriormente neste estudo. Mr. Fitzgerald has been helping his students learn how to compare decimals. He is trying to devise an assignment that shows him whether his students know how to correctly put a list of decimals in order of size. Which of the following sets of numbers will best suit that purpose? a) .5 7 .01 11.4 b) .60 2.53 3.14 .45 c) .6 4.25 .565 2.5 d) Any of these would work well for this purpose. They all require the students to read and interpret decimals Figura 17 – Exemplo de uma questão de medição do MKT por traduzir (Hill, Schilling & Ball, 2004). Em baixo, apresenta-se a mesma questão, mas traduzida e adaptada ao contexto português. O Professor José tem vindo a ensinar os seus alunos a comparar números decimais. Ele está a tentar conceber uma tarefa que lhe mostre se os seus alunos sabem ordenar corretamente uma lista de números decimais. Qual dos seguintes conjuntos melhor atenderá esse propósito? a) 0,5; 7; 0,01; 11,4 b) 0,60; 2,53; 3,14; 0,45 c) 0,6; 4,25; 0,565; 2,5 d) Qualquer uma das três opções funcionaria bem para esse fim. Todas as opções exigem que os alunos saibam ler e interpretem os números decimais. Figura 18 - Questão presente num artigo de Hill, Schilling e Ball (2004),traduzida e adaptada ao contexto português.
134 Na tradução desta questão, realizaram-se diferentes alterações de tipos diferentes, de modo a que esta questão fosse adaptada ao contexto português. A primeira alteração refere-se a uma mudança de contexto cultural geral , em que se traduziu Mr. Fitzgerald para Professor José . Em Portugal, é comum usar-se o primeiro nome do professor(a). Quanto a mudanças relacionadas com a linguagem matemática escolar , destaque-se a alteração do “.”, utilizado nos EUA para a “,” que é usada no ensino, em Portugal. Assim, os números 11.4; 2.53; 3.14; 4.25 e 2.5 , na tradução e adaptação ao contexto português, foram substituídos pelos seguintes: 11,4; 2,53; 3,14; 4,25 e 2,5 . Além disso, ainda nas alterações relacionadas com conteúdos matemáticos, observe-se que nos EUA se omite o zero à esquerda da vírgula, enquanto que em Portugal isso não se verifica. Deste modo, os números .5; .01; .60; .45; .6 e .565 foram substituídos por 0,5; 0,01; 0,60 e 0,565 na questão em português. II. Tradução/ adaptação do teste ao contexto português Como já foi mencionado no início deste subcapítulo, após a a dupla tradução do teste e sua adaptação à realidade portuguesa, seis colaboradores deram o seu parecer sobre este processo. No geral, os colaboradores (apenas) fizeram sugestões de alteração ao questionário de índole linguístico. Consideraram as questões do teste adequadas ao contexto português e capazes de medir os diferentes tipos de conhecimento matemático necessários para se ensinar matemática nos primeiros anos. Quanto à estrutura das questões, as duas colaboradoras do 2.º ciclo caracterizaram-nas como “questões demasiado extensas”. Além disso, estas duas colaboradoras referiram ter tido dificuldades em responder às questões que tinham subjacentes conteúdos e/ou técnicas matemáticas do 1.º ciclo, aludindo “desconhecer as estratégias mais usadas, [tendo] dificuldades em “desmontar” problemas para a sua resolução”.
135 De todas as questões do teste, apenas um colaborador referiu considerar que três questões – 6, 8 e 9 – não caracterizavam o conhecimento necessário que o professor deve ter para ensinar matemática em Portugal, pois, segundo este professor do 2.º ciclo, estas questões “apresentam resoluções que não são usuais no nosso ensino”. Apesar deste parecer do colaborador, decidiu-se manter as questões 6, 8 e 9 no questionário final, a aplicar a professores dos 1.º e 2.º ciclos do ensino básico de Portugal, pois os conhecimentos matemáticos aludidos nestas três questões dizem respeito a técnicas e/ou conteúdos que fazem parte do Programa e Metas Curriculares do Ensino Básico (2013) e das Aprendizagens Essenciais (2018), relativos ao domínio de “Números e Operações” do 2.º ciclo. Relembre-se do subcapítulo 5.2 – Descrição das questões em que consistia cada uma destas três questões. A questão nº 6 refere-se a uma abordagem não standard da divisão, que se exige que um aluno adquira no 5º ano, tal como está presente no Programa (2013), “reconhecer que numa dada uma divisão inteira, que se um número divide o divisor ( d ) e o resto ( r ) então divide o dividendo ( D )”(Ministério da Educação, 2013, p. 29). As questões nº 8 e 9 requerem conhecimento sobre algoritmos com representação vertical devem ser trabalhados com os alunos no 1.º ciclo, tal como se refere no Programa e Metas Curriculares do Ensino Básico (2013), no domínio “Números e Operações” relativo a conteúdos matemáticas da “Adição e Subtração” do 2º ano. Na questão 8, pede-se a resolução de uma “subtração com dois transportes”, assim denominada no Caderno de Apoio ao 1.º ciclo (2013) e também usado como um exemplo de uma tarefa a ser efetuada com os alunos no 2.º ano para trabalharem a subtração de dois números naturais até 1000. A questão 9 solicita a análise de um algoritmo não standard da subtração. Apesar de não ser um algoritmo referido no Programa de Matemática português, como referem Hill e Ball (2004), um professor de Matemática deve ser capaz de “avaliar um raciocínio matemático, compreender o significado de ideias e procedimentos matemáticos” (p. 331) de modo a validar ou não as conjecturas apresentadas pelos alunos. Após o processo de seleção, tradução e adaptação das questões construídas para medir o MKT de professores americanos à realidade portuguesa, apresentado ao longo deste capítulo, considera-se o instrumento constituído por estas 52 questões: 29 questões do domínio da
136 Matemática Números e Operações e 23 questões de Geometria e Medida validadas no contexto português. Nesta linha de ideias, estas questões foram aplicadas a uma amostra de 61 professores dos 1.º e 2.º ciclos do Ensino Básico, com vista a estudar o seu conhecimento matemático necessário para ensinarem, como se irá explanar no próximo capítulo (capítulo 6).
137 Capítulo 5 – Fase 2 do Estudo Análise dos resultados de professores Portugueses no questionário How we in mathematics education hold a mirror up to ourselves? Jeremy Kilpatrick (1984) Após a tradução, adaptação e validação do questionário que mede o conhecimento necessário para se ensinar matemática nos 1.º e 2.º ciclos, ao contexto português, aplicou-se este instrumento a uma amostra de 61 professores, de modo a ser possível responder à segunda questão de investigação deste trabalho: 2) Qual o conhecimento matemático para se ensinar de professores dos 1.º e 2.º ciclos em Portugal?. Neste capítulo 6, intitulado de Fase 2 do Estudo: Análise dos resultados de professores Portugueses no questionário, pretende-se analisar o conhecimento matemático necessário para se ensinar de professores portugueses dos primeiros anos. Este capítulo está dividido em três subcapítulos. No primeiro subcapítulo – 5.1. Aplicação do teste a professores dos 1.º e 2.º ciclos do Ensino Básico – caracteriza-se a amostra dos 61 docentes participantes neste trabalho e estudase o Conhecimento Matemático para se Ensinar (MKT) destes professores. No segundo subcapítulo – 5.2. Prestação dos professores entrevistados em questões do questionário – apresenta-se a caracterização dos professores entrevistados, descrevem-se as questões selecionadas para análise nas entrevistas e analisa-se a prestação destes docentes entrevistados nestas perguntas. Por último, no terceiro subcapítulo – 5.3. Associação entre a prestação dos professores nas perguntas do questionário e o seu raciocínio apresentado nas entrevistas: análise caso a caso – realiza-se a associação entre o desempenho destes professores entrevistados no questionário e o raciocínio apresentado nas entrevistas.
144 Intervenientes – dados de ensino No presente estudo, além de uma caracterização geral da amostra dos professores participantes, decidiu-se incluir também no questionário as questões desenvolvidas pelo grupo de investigação da Universidade de Michigan, questões essas que permitem recolher alguns dados sobre: − a formação dos professores intervenientes nos campos da matemática e da educação; − o tempo que esses professores dedicaram à matemática e a outros assuntos letivos no último ano; − a avaliação que fazem acerca do seu conhecimento matemático; − as estratégias que privilegiam para ensinar matemática. Objetivos desta parte do questionário: − caracterizar a amostra, quanto à sua perceção desses professores, enquanto docentes de matemática; − realizar correlações entre estas variáveis e outras mais relacionadas com o conhecimento matemático para o ensino, correlações essas que podem vir a fornecer dados importantes para esta investigação. Quanto ao tempo que dedicaram à formação em matemática ou ao seu ensino no último ano letivo, 30 (49%) professores consideraram ter dedicado mais de 35 horas, 5 professores (8%) 16 a 35 horas, 9 professores (15%) referiram utilizar entre 6 a 15 horas, 8% menos de 6 horas e (ainda) 12 professores (20%) responderam não terem usado nenhum do seu tempo, no ano passado, com a matemática.
145 Tabela 19 – Tempo dedicado à matemática e a outros assuntos no último ano, pelos professores intervenientes nesta investigação. Respostas Tempo dedicado à Matemática no último ano Tempo dedicado com outros assuntos no último ano Frequência absoluta Percentagem Frequência absoluta Percentagem Nenhum 12 19,7 10 16,4 Menos de 6 horas 5 8,2 4 6,6 6-15 horas 9 14,8 8 13,1 16-35 horas 5 8,2 8 13,1 Mais de 35 horas 17 27,9 13 21,3 Não responde 13 21,3 18 29,5 Total 61 100,0 61 100,0 No que diz respeito à formação nas áreas da matemática e da metodologia do ensino desta disciplina, apesar de 24 professores (39%) intervenientes neste estudo terem referido que a sua formação conteve seis ou mais disciplinas de Matemática e 20 professores (33%) de Didática da Matemática, 13 professores (21%) consideraram não ter tido nenhuma disciplina de Matemática e 15 (25%) consideraram não ter tido nenhuma disciplina de Metodologia do Ensino da Matemática. Quatro professores (7%) mencionaram terem tido (apenas) uma ou duas disciplinas de Matemática, sete (12%) entre três a cinco e os 13 professores restantes (22%) não responderam a esta questão. Quanto ao número de disciplinas de Metodologia do Ensino da Matemática, oito intervenientes neste trabalho (13%) disseram ter frequentado (apenas) uma ou duas disciplinas desta área e 6 professores (10%) entre três a cinco disciplinas. Os professores participantes nesta investigação, na sua maioria, não realizara,atividades, além das suas funções de docência. Apenas 5 (8%) professores dos 61 referiram ter tido redução do tempo letivo para serem orientadores de futuros professores de Matemática, e sete (12,1%) mencionaram ter exercido funções de orientação de futuros professores, embora tivessem continuado com as mesmas responsabilidades e o mesmo tempo de trabalho. Além disso, 10 (16%) professores realizaram, enquanto formadores, cursos ou workshops relacionados com matemática ou com o ensino da matemática e 26 % dos professores
146 intervenientes neste estudo colaborou num grupo de trabalho ou numa associação de matemática ao nível de distrito ou de escola. Da análise dos dados, pode-se também concluir que estes professores, no geral, consideram conhecer a matemática que precisam para ensinar, pois 46 professores (75 %) dos 61 responderam positivamente a esta questão, apenas um referiu indiferença e 5 professores (8%) indicaram não ter este conhecimento e 9 professores (15%) deixaram a resposta em branco. Além disso, 25 (41%) docentes mencionaram ter um conhecimento profundo de todas as áreas da matemática escolar, 17 (28%) referiram indiferença neste campo, 11 (18%) não responderam, e oito docentes (13%) consideraram não ter um conhecimento profundo para o ensino da matemática. Ainda neste campo do conhecimento matemático para o ensino, 29 professores (48%) descrevem-se como “mestres” enquanto professores de matemática, 16 (26%) discordam desta caracterização do seu papel enquanto docentes desta disciplina e 16 (26%) responderam 3 na escala de Lickert de (1 a 5). 5.1.2. Análise geral do MKT de professores portugueses Neste subcapítulo, fornece-se uma visão geral da prestação dos docentes intervenientes neste estudo na resolução deste instrumento e apresentam-se possíveis correlações com outras variáveis em análise neste trabalho. Nesta linha de ideias, neste subcapítulo, irá verificar-se, com auxílio do programa computacional IBM SPSS Statistics versão 25, se existe correlação entre as classificações dos 61 professores portugueses e as seguintes variáveis estatísticas: (1) O tempo de serviço docente; (2) O ciclo do Ensino Básico que ensinam; (3) Formação Académica dos professores; (4) Perceção que os professores têm sobre o conhecimento que têm da matemática que precisam de saber para ensinar.
147 Da análise das respostas dos professores ao questionário composto pelas questões de escolha múltipla em estudo no presente trabalho refira-se que, em média, estes docentes obtiveram uma classificação de, aproximadamente, 56%. Além disso, como se pode observar no histograma apresentado em baixo, os 61 docentes apresentaram classificações bastante díspares, sendo que todas as classes referentes às percentagens que obtiveram no questionário apresentaram valores diferentes de zero. Observe-se também que classe modal é entre os 50% e os 60%, sendo que 12 professores obtiveram classificações neste intervalo percentual. Figura 22 - Histograma representativo das classificações, em percentagem, dos professores portugueses intervenientes neste estudo. Os dois professores com melhor pontuação obtiveram 92,31%, tendo um dos professores deixado uma questão por responder e o outro não tendo deixado nenhuma resposta em branco. O docente com menor classificação obteve (apenas) 3,85%. Note-se que este docente não respondeu a mais de metade do questionário – deixou 67% das questões por responder – e das dezassete questões que respondeu, apenas duas das respostas estavam corretas. Por outro lado, observe-se na Figura 21, no diagrama de extremos e quartis que a mediana é um valor próximo dos 60%, mais precisamente 59,6%, que 25% das classificações são inferiores a 37% - primeiro quartil - e 25% são superiores a 79%. Existe algum enviesamento do lado esquerdo, isto é, os dados estão mais dispersos, ou seja, menos concentrados na parte inferior do que na parte superior.
148 Figura 23 - Diagrama de extremos e quartis representativo das classificações, em percentagem, dos professores portugueses participantes nesta investigação. (1) Relação das classificações dos professores com o tempo de serviço docente Analisou-se, através do programa IBM SPSS Statistics versão 25, se existe correlação entre as pontuações que os 61 docentes participantes neste estudo obtiveram neste teste de medição do conhecimento matemático, com o tempo de serviço de docência. Recorde-se do subcapítulo anterior, através do histograma apresentado em baixo, que 76% (46 professores) dos 61 docentes caracterizavam-se como professores experientes, apresentando mais de 10 anos de exercício de funções docentes.
149 Figura 24 - Histograma representativo do tempo de serviço (em anos) docente dos professores intervenientes neste estudo. Na tabela em baixo, observa-se a média da classificação dos professores intervenientes, de acordo com o tempo de serviço docente (em anos). Apesar se constatar que os professores com melhores pontuações têm entre 5 e 10 anos de serviço, relembre-se que apenas se está a falar de dois docentes. Por outro lado, os docentes menos experientes, que têm até 5 anos de serviço, apresentaram as classificações mais baixas, tendo, em média, obtido 30,6%. Figura 25 - Histograma representativo da média das pontuações de professores portugueses, de acordo com o tempo de serviço docente.
150 Para se estudar, de forma mais rigorosa e precisa, a relação entre as variáveis estatísticas pontuações da amostra de docentes e o tempo de serviço docente analisou-se o coeficiente de correlação de Pearson, pois “este coeficiente mede a intensidade e a direção da associação de tipo linear entre duas variáveis quantitativas” (Marôco, 2014, p. 23). Note-se que este coeficiente varia entre –1 e +1 (–1≤R≤1) e se r>0 as variáveis variam no mesmo sentido; se r<0 as variáveis variam em sentido oposto (Marôco, 2014). Repare-se e analise-se a tabela apresentada em baixo, construída no programa SPSS. Tabela 19 - Análise da correlação entre as classificações dos professores e o tempo de serviço docente. Classificações Tempo de serviço docente Classificações Correlação de Pearson 1 0,408** Sig. (2 extremidades) 0,001 N 61 61 Tempo de serviço docente Correlação de Pearson 0,408** 1 Sig. (2 extremidades) 0,001 N 61 61 **. A correlação é significativa no nível 0,01 (2 extremidades). Verifica-se na tabela em cima que existe uma correlação positiva (r=0,408) e estaticamente significativa ao nível de 0,01. A associação entre as classificações dos professores e o tempo de serviço docente caracteriza-se como moderada, segundo Marôco (2014), pois 0,25≤|r|≤0,5. Assim, pode concluir-se que, neste conjunto de dados, parece existir uma associação positiva e moderada entre a classificação destes professores na resolução do teste e número de anos de experiência de ensino, isto é, quanto maior é o tempo de serviço docente, maior é a pontuação que obtida neste teste.
151 (2) Relação das classificações dos professores com o ciclo do Ensino Básico que ensinam Neste subcapítulo também se explora a existência de associação entre as pontuações da amostra de professores portugueses intervenientes nesta investigação e o ciclo do Ensino Básico em que lecionam. Como se explanou no subcapítulo anterior, na descrição dos participantes desta investigação, e como se observa no gráfico em baixo, a maioria dos docentes, 59% (36), leccionam o 1.º ciclo do Ensino Básico, 34% (21) ensinam Matemática ao 2.º ciclo, 3% (2) docentes referiram que dão aulas a alunos dos 1.º e 2.º ciclos e os restantes não forneceram nenhuma informação sobre o ciclo do Ensino Básico a que ensinam. Figura 26 - Gráfico de barras representativo da percentagem de docentes que lecionam em cada ciclo do Ensino Básico. No geral, constata-se, no gráfico de barras apresentado em baixo, que a média das classificações dos docentes que lecionam no 1.º ciclo é inferior à dos professores do 2.º ciclo. Na coluna denominada “Todos” apresenta-se a média dos professores que ensinam matemática a alunos dos 1.º e 2.º ciclos do Ensino Básico.
152 Figura 27 - Média das classificações dos professores, de acordo com o nível de ensino que lecionam. De seguida, analisou-se, através do programa IBM SPSS Statistics versão 25, a associação entre as pontuações dos 61 docentes e o nível de ensino que lecionam. Note-se que a variável estatística relativa às classificações se classifica como quantitativa discreta e o nível de ensino caracteriza-se como uma variável qualitativa ordinal. Deste modo, para se estudar a relação entre estas duas variáveis, utilizou-se o coeficiente de correlação de Spearman (–1≤RS≤1) por se tratar de “(…) medida de associação entre duas variáveis pelo menos ordinais” (Marôco, 2014, p. 25). Observe-se a tabela em baixo: Tabela 21 - Análise da correlação entre as classificações dos 61 professores e o nível de ensino que lecionam. Classificações de professores Nível de ensino que leciona rô de Spearman Classificações de professores Coeficiente de Correlação 1,000 0,447** Sig. (2 extremidades) 0,000 0,000 N 61 61 Nível de ensino que leciona Coeficiente de Correlação 0,447** 1,000 Sig. (2 extremidades) 0,000 .
153 N 61 61 **. A correlação é significativa no nível 0,01 (2 extremidades). Observa-se através do valor obtido do coeficiente de correlação de Spearman (0,447) que existe uma associação positiva e moderada entre as classificações dos professores e o nível de ensino que lecionam e que é estatisticamente significativo ao nível 0,01 . Por essa razão, parece poder dizer-se que quanto maior o nível de ensino que os professores participantes lecionam, maior será a sua classificação no teste. (3) Relação das classificações dos professores com a sua formação académica Estudou-se também a relação entre as pontuações da amostra de professores portugueses intervenientes nesta investigação e a sua formação académica. Como se referiu no subcapítulo anterior e se mostra no gráfico de barras em baixo, a maioria dos professores profissionalizados que responderam ao questionário deste trabalho, 67% (41), indicaram ser licenciados; cerca de 16% (10) disseram ter Mestrado, 5% (3) referiram ter completado, para além da Licenciatura, um Curso de Pós-graduação, e também 5% (3) mencionaram, ter Bacharelato. Figura 28 - Gráfico de barras representativo do número de professores intervenientes na investigação, em percentagem, de acordo com a sua formação académica.
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272 Problemas de um passo envolvendo situações de retirar, comparar ou completar. X Adição e Subtração de números naturais: Cálculo mental: somas de números de um algarismo, diferenças de números até 20, adições e subtrações de 10 e 100 a números de três algarismos; Adições cuja soma seja inferior a 1000; X Subtrações de números até 1000; X Problemas de um ou dois passos envolvendo situações de juntar, acrescentar, retirar, comparar ou completar. X Algoritmos da adição e da subtração envolvendo números até um milhão. X Problemas de até três passos envolvendo situações de juntar, acrescentar, retirar, comparar ou completar. X Multiplicação de números naturais: Sentido aditivo e combinatório; o símbolo «x» e os termos «fator» e «produto»; Produto por 1 e por 0 ; tabuadas do 2, 3, 4, 5, 6 e 10; Os termos «dobro», «triplo», «quádruplo» e «quíntuplo»; Problemas de um ou dois passos envolvendo situações multiplicativas nos sentidos aditivo e combinatório. Tabuadas do 7, 8 e 9; X Múltiplo de um número; X 3 Cálculo mental: produto por 10, 100, 1000, etc.; X Produto de um número de um algarismo por um número de dois algarismos; X Algoritmo da multiplicação envolvendo números até um milhão; X Critério de reconhecimento dos múltiplos de 2, 5 e 10; X Problemas de até três passos envolvendo situações multiplicativas nos sentidos aditivo e combinatório. X Divisão inteira: Divisão exata por métodos informais; X 2.
273 Relação entre a divisão exata e a multiplicação: dividendo, divisor e quociente; o símbolo «:»; X Os termos «metade», «terça parte», «quarta parte» e «quinta parte»; X Problemas de um passo envolvendo situações de partilha equitativa e de agrupamento X Divisão inteira por métodos informais; X Relação entre dividendo, divisor, quociente e resto; cálculo mental: divisões inteiras com divisores e quocientes inferiores a 10-. X 3 Divisor de um número, número divisível por outro; relação entre múltiplo e divisor. X Problemas de até três passos envolvendo situações de partilha equitativa e de agrupamento. X 5 Algoritmo da divisão inteira; X 6 Determinação dos divisores de um número natural até 100; X Problemas de vários passos envolvendo números naturais e as quatro operações. X Números racionais não negativos Frações 1 2 , 1 3 , 1 4 , 1 5 , 1 10 , 1 100 e 1 1000 como medidas de comprimentos e de outras grandezas; X Representação dos números naturais e das frações 1 2 , 1 3 , 1 4 , 1 5 e 1 10 numa reta numérica. X Fração como representação de medida de comprimento e de outras grandezas; X Numerais fracionários; X Representação de frações na reta numérica; X 10 Frações equivalentes e noção de número racional; X 4 Ordenação de números racionais representados por frações com o mesmo numerador ou o mesmo denominador, ou utilizando a reta numérica ou a medição de outras grandezas; X Frações próprias. X
274 Construção de frações equivalentes por multiplicação dos termos por um mesmo fator. X Simplificação de frações de termos pertencentes à tabuada do 2 e do 5 ou ambos múltiplos de 10. X Simplificação de frações. X 4 Frações irredutíveis. Redução de duas frações ao mesmo denominador. X Ordenação de números racionais representados por frações; X Adição, subtração, multiplicação e divisão de números racionais não negativos representados na forma de fração; X 1d; 11 Representação de números racionais na forma de numerais mistos; adição e subtração de números racionais representados por numerais mistos; X Aproximações e arredondamentos de números racionais; X Problemas de vários passos envolvendo números racionais representados na forma de frações, dízimas, percentagens e numerais mistos. X 14 Números racionais negativos; Simétrico e valor absoluto de um número racional; Semirreta de sentido positivo associada a um número; ordenação de números racionais; Conjunto dos números inteiros relativos e conjunto dos números racionais. X Adição e subtração de números racionais não negativos representados por frações: Adição e subtração na reta numérica por justaposição retilínea de segmentos de reta; X Produto de um número natural por um número racional representado por uma fração unitária; X Adição e subtração de números racionais representados por frações com o mesmo denominador; X Decomposição de um número racional na soma de um número natural com um número racional representável por uma fração própria. X Representação decimal de números racionais não negativos: frações decimais; X Representação na forma de dízimas finitas; X Redução de frações decimais ao mesmo denominador; X Adição de números racionais representados por frações decimais com denominadores até mil; X
275 Algoritmos para a adição e para a subtração de números racionais representados por dízimas finitas; X Decomposição decimal de um número racional representado na forma de uma dízima finita. X Segmentos de reta orientados; Orientação positiva e negativa de segmentos orientados da reta numérica; X Adição de números racionais; Definição e propriedades; Subtração e soma algébrica de números racionais; X 1a; 1c; 9 Definição e propriedades; X Módulo da diferença de dois números como medida da distância entre os pontos que representam esses números na reta numérica. X Multiplicação e Divisão de números racionais não negativos: Multiplicação e divisão de números racionais por naturais e por racionais na forma de fração unitária; X 10 Produto e quociente de um número representado por uma dízima por 10, 100, 1000, 0,1, 0,001, 0,0001; X 1b Utilização do algoritmo da divisão inteira para obter aproximações na forma de dízima de números racionais; X Multiplicação de números racionais representados por dízimas finitas, utilizando o algoritmo. X 15 Utilização do algoritmo da divisão inteira para obter aproximações na forma de dízima de quocientes de números racionais; X Problemas de vários passos envolvendo números racionais, aproximações de números racionais e as quatro operações. X 12a, 12b, 12c, 12d, 13a, 13b, 13c, 13d. 1.º ano 2.º ano 3.º ano 4.º ano 5.º ano 6.º ano Geometria e Medida Localização e orientação no espaço
276 Relações de posição e alinhamentos de objetos e pontos; X Comparação de distâncias entre pares de objetos e pontos; X Figuras geometricamente iguais. X Direções no espaço relativamente a um observador; X Voltas inteiras, meias voltas, quartos de volta, viragens à direita e à esquerda; X Itinerários em grelhas quadriculadas. X Segmentos de reta paralelos e perpendiculares em grelhas quadriculadas; X Direções perpendiculares e quartos de volta; X Direções horizontais e verticais; X Coordenadas em grelhas quadriculadas. X Ângulo formado por duas direções; vértice de um ângulo; X Ângulos com a mesma amplitude; X A meia volta e o quarto de volta associados a ângulos. X Figuras Geométricas Partes retilíneas de objetos e desenhos; partes planas de objetos; X Segmentos de reta e extremos de um segmento de reta; X Comparação de comprimentos e igualdade geométrica de segmentos de reta; X Figuras planas: retângulo, quadrado, triângulo e respetivos lados e vértices, circunferência, círculo; X 17, 18a, 18b Sólidos: cubo, paralelepípedo retângulo, cilindro e esfera. X Retas e semirretas; X Polígonos e linhas poligonais; Parte interna e externa de linhas planas fechadas; Triângulos isósceles, equiláteros e escalenos; Quadriláteros (retângulo, quadrado e losango); Pentágonos e hexágonos; X 19b Sólidos geométricos – poliedros e não poliedros; pirâmides e cones; vértice, aresta e face; X 18c, 21 Atributos geométricos e não geométricos de um objeto; X Construção de figuras com eixo de simetria. X
277 Circunferência, círculo, superfície esférica e esfera; centro, raio e diâmetro; X Identificação de eixos de simetria em figuras planas. X Ângulos convexos e ângulos côncavos; ângulos verticalmente opostos; ângulos nulos, rasos e giros; critério de igualdade de ângulos; ângulos adjacentes; comparação das amplitudes de ângulos; ângulos retos, agudos e obtusos. X Retas concorrentes, perpendiculares e paralelas; retas não paralelas que não se intersetam; retângulos como quadriláteros de ângulos retos; polígonos regulares; polígonos geometricamente iguais; planos paralelos; paralelepípedos retângulos; dimensões; prismas retos; planificações de cubos, paralelepípedos e prismas retos; pavimentações do plano. X Ângulo ao centro e setor circular; Polígonos inscritos numa circunferência; Retas e segmentos de reta tangentes a uma circunferência; Polígonos circunscritos a uma circunferência; Apótema de um polígono. X 19d Propriedades Geométricas Ângulos, paralelismo e perpendicularidade: Ângulo igual à soma de outros dois; definição e construção com régua e compasso; Bissetriz de um ângulo; construção com régua e compasso; Ângulos complementares e suplementares; Igualdade de ângulos verticalmente opostos; Semirretas diretamente e inversamente paralelas; Ângulos correspondentes e paralelismo; Ângulos internos, externos e pares de ângulos alternos internos e alternos externos determinados por uma secante num par de retas concorrentes; relação com o paralelismo; Ângulos de lados diretamente e inversamente paralelos; pares de ângulos de lados perpendiculares. X Triângulos e quadriláteros Ângulos internos, externos e adjacentes a um lado de um polígono; Ângulos de um triângulo: soma dos ângulos internos, relação de um ângulo externo com os internos não adjacentes e soma de três ângulos externos com vértices distintos; Triângulos acutângulos, obtusângulos e retângulos; hipotenusa e catetos de um triângulo retângulo; Ângulos internos de triângulos obtusângulos e retângulos; Paralelogramos; ângulos opostos e adjacentes de um paralelogramo; Critérios de igualdade de triângulos: critérios LLL,
278 LAL e ALA; construção de triângulos dados os comprimentos de lados e/ou as amplitudes de ângulos internos; Relações entre lados e ângulos num triângulo ou em triângulos iguais; Igualdade dos lados opostos de um paralelogramo; Desigualdade triangular; Pé da perpendicular traçada de um ponto para uma reta e, num dado plano, perpendicular a uma reta num ponto; Distância de um ponto a uma reta e entre retas paralelas; altura de um triângulo e de um paralelogramo. Problemas Problemas envolvendo as noções de paralelismo, perpendicularidade, ângulos e triângulos. X Sólidos geométricos e propriedades Prismas; prismas oblíquos e regulares; Pirâmides; Bases, faces laterais e vértices de prismas e pirâmides; Pirâmides regulares; Cilindros; bases, eixo, geratrizes e superfície lateral de um cilindro; Cones; base, vértice, eixo, geratrizes e superfície lateral de um cone; Cilindros e cones retos; Relação entre o número de arestas e de vértices de um prisma (ou pirâmide) e da respetiva base; Poliedros convexos; Relação de Euler; Planificações de sólidos; Problemas envolvendo sólidos geométricos e respetivas planificações. X Medida Distâncias e comprimentos Comparação de medidas de comprimento em dada unidade; Subunidades de comprimento: um meio, um terço, um quarto, um quinto, um décimo, um centésimo e um milésimo da unidade; Unidades do sistema métrico; Perímetro de um polígono. X X Unidades de medida de comprimento do sistema métrico; conversões. X Área Figuras equidecomponíveis e figuras equivalentes. X 22 Medidas de área em unidades não convencionais. X Medições de áreas em unidades quadradas; Fórmula para a área do retângulo de lados de X
279 medida inteira. Unidades de área do sistema métrico; Medições de áreas em unidades do sistema métrico; conversões; Unidades de medida agrárias; conversões; Determinação, numa dada unidade do sistema métrico, de áreas de retângulos com lados de medidas exprimíveis em números inteiros, numa subunidade. X 24 Área de retângulos de lados de medida racional; Fórmulas para a área de paralelogramos e triângulos; Problemas envolvendo o cálculo de áreas de figuras planas X 22 Fórmula para o perímetro do círculo; aproximação por perímetros de polígonos regulares inscritos e circunscritos; Fórmula para a área de polígonos regulares; Fórmula para a área e do círculo; aproximação por áreas de polígonos regulares inscritos; Problemas envolvendo o cálculo de perímetros e áreas de polígonos e círculos. X 18d Volume e capacidade Sólidos equidecomponíveis em cubos de arestas iguais; Medidas de volume em unidades não convencionais; Ordenação de capacidades de recipientes; Medidas de capacidades em unidades não convencionais; O litro como unidade de medida de capacidade; Comparação de volumes de objetos por imersão em líquido contido num recipiente. X Unidades de capacidade do sistema métrico; conversões; Medições de capacidades em unidades do sistema métrico. X Medições de volumes em unidades cúbicas; Fórmula para o volume do paralelepípedo retângulo de arestas de medida inteira; Unidades de volume do sistema métrico; conversões; Relação entre o decímetro cúbico e o litro. X Fórmula para o volume do paralelepípedo retângulo com dimensões de medida racional; Fórmulas para o volume do prisma reto e do cilindro reto; Problemas envolvendo o cálculo de volumes de sólidos. X 20 Tempo Utilização de fenómenos cíclicos naturais para contar o tempo; Dias, semanas meses e anos; Designação dos dias da semana e dos meses do X
280 ano. Instrumentos de medida do tempo; A hora; Relógios de ponteiros e a medida do tempo em horas, meias horas e quartos de hora; Calendários e horários. X Minutos e segundos; leitura do tempo em relógios de ponteiros; Conversões de medidas de tempo; Adição e subtração de medidas de tempo. X Massa Comparação de massas em balanças de dois pratos; Pesagens em unidades não convencionais; O quilograma como unidade de medida de massa. X Unidades de massa do sistema métrico; conversões; Pesagens em unidades do sistema métrico; Relação entre litro e quilograma. X Dinheiro Moedas e notas da área do Euro; Contagens de dinheiro envolvendo números até 100, apenas em euros ou apenas em cêntimos. X Contagens de dinheiro em euros e cêntimos envolvendo números até 1000. X Adição e subtração de quantias de dinheiro. X Problemas Problemas de um ou dois passos envolvendo medidas de diferentes grandezas. X Problemas de até três passos envolvendo medidas de diferentes grandezas. X Problemas de vários passos relacionando medidas de diferentes grandezas. X Amplitude de ângulos Medidas de amplitudes de ângulos; O grau como unidade de medida de amplitude; minutos e segundos de grau; Utilização do transferidor para medir amplitudes de ângulos e para construir ângulos de uma dada medida de amplitude; Problemas envolvendo adições, subtrações e conversões de medidas de amplitude expressas em forma complexa e incomplexa. X Isometrias do plano Reflexão central como isometria; invariância da amplitude de ângulo; Mediatriz de um segmento de reta; construção da mediatriz utilizando régua e compasso; Reflexão axial como isometria; invariância da amplitude de ângulo; eixos de simetria; a bissetriz de um ângulo como eixo de simetria; X 23
281 Rotação de sentido positivo ou negativo como isometria; invariância da amplitude de ângulo; Imagem de um segmento de reta por uma isometria; Construção de imagens de figuras planas por reflexões centrais e axiais e por rotações; Simetrias de rotação e de reflexão; Problemas envolvendo as propriedades das isometrias e utilizando raciocínio dedutivo; Problemas envolvendo figuras com simetrias de rotação e de reflexão axial.