Implementación de técnica de medida basada en interferometría espectral para caracterización de componentes ópticos

i Y6wwww Equation Chapter 1 Section 1 Trabajo Fin de Máster Máster Universitario en Ingeniería de Telecomunicación Implementación de técnica de medida basada en interferometría espectral para caracterización de componentes ópticos Autor: Belén Rodríguez Estévez Tutor: Alejandro Carballar Rincón Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2019 iii Trabajo Fin de Máster Máster Universitario en Ingeniería de Telecomunicación Implementación de técnica de medida basada en interferometría espectral para caracterización de componentes ópticos Autor: Belén Rodríguez Estévez Tutor: Alejandro Carballar Rincón Catedrático Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2019 v Trabajo Fin de Máster: Implementación de técnica de medida basada en interferometría espectral para caracterización de componentes ópticos Autor: Belén Rodríguez Estévez Tutor: Alejandro Carballar Rincón El tribunal nombrado para juzgar el Proyecto arriba indicado, compuesto por los siguientes miembros: Presidente: Vocales: Secretario: Acuerdan otorgarle la calificación de: Sevilla, 2019 El Secretario del Tribunal vii A mi familia A mis amigos ix Agradecimientos Dicen que ser estudiante es la mejor etapa de la vida, y, en mi caso, no hay otra frase que lo defina mejor. Este trabajo pone punto y final a una fase de esfuerzo, superación, lágrimas y mucho estudio y ojeras; pero también unos años de descubrimiento y aprendizaje de todo aquello que me apasiona, de incontables sonrisas, de felicidad… Gracias, en primer lugar, a mi tutor Alejandro Carballar, por su infinita paciencia conmigo, por su pasión por lo que hace y por enseñarme tanto. Gracias a mis padres, que me han dado todo en esta vida y siempre me han apoyado y animado para que sea yo misma. Gracias por ser mi pilar incondicional, por todos los esfuerzos que habéis hecho y por haberme permitido estudiar esta carrera y este máster. Gracias a mi hermano que, incluso desde la distancia, me ha seguido aguantando implacablemente. Gracias por ser como eres, tan parecido y tan distinto a mí. Gracias a todos aquellos, que me han acompañado a lo largo de este camino. A Pedro, por ser siempre capaz de contestar mil preguntas con paciencia día tras día. A Irene y Cristina, por todas esas cervezas, cenas y conversaciones que me han dado la vida. A Paula porque siempre ha estado y estará ahí. Y gracias a Gonzalo, por ser la persona que me complementa, que me saca fácilmente una sonrisa y que me hace muy feliz. Te quiero. Gracias a todos. Belén Rodríguez Estévez Sevilla, 2019 xvii ÍNDICE DE TABLAS Tabla 1- Parámetros modelado OFDR en Matlab. 44 Tabla 2- Parámetros modelado HTSI en Matlab. 62 Tabla 3- Parámetros modelado realista OFDR. 78 Tabla 4- Parámetros modelado realista HTSI balanceado. 80 Tabla 5- Parámetros modelado realista HTSI no balanceado. 82 Tabla 6- Parámetros modelado realista HTSI fase no mínima. 85 Tabla 7- Parámetros modelado realista HTSI con 𝐿𝑅𝐸𝐹>𝐿𝐷𝑈𝑇. 87 Tabla 8- Parámetros modelado láser discreto punto a punto. 92 Tabla 9- Parámetros modelado error de normalización. 113 Tabla 10- Parámetros modelado estado de polarización. 119 xix ÍNDICE DE FIGURAS Figura 1.1- Sistema en el dominio del tiempo. 1 Figura 1.2- Sistema en el dominio de la frecuencia. 2 Figura 2.1- Icono de fuente óptica. 6 Figura 2.2- Esquema acoplador direccional. 6 Figura 2.3- Funcionamiento de acoplador direccional. 7 Figura 2.4- Icono acoplador direccional. 8 Figura 2.5- Icono fibra óptica. 9 Figura 2.6- Icono fotodetector. 10 Figura 2.7- Esquema interferómetro Mach-Zehnder. 10 Figura 2.8- Respuesta en frecuencia ideal de un filtro. 11 Figura 2.9- Esquema dispositivo bipuerta. 12 Figura 2.10- Principio de operación de las FBG. 13 Figura 3.1- Onda incidente en discontinuidad del medio. 15 Figura 3.2- Icono detección directa. 16 Figura 3.3- Icono detección coherente. 17 Figura 4.1- Montaje interferométrico OFDR. 22 Figura 5.1- Esquema de algoritmo de reconstrucción de fase mínima. 34 Figura 5.2- Transformación intermedia para obtener fase mínima. 36 Figura 5.3- Montaje interferométrico HTSI. 37 Figura 6.1- Respuesta impulsiva FBG Uniforme reflexión OFDR. 44 Figura 6.2- Función de transferencia FBG Uniforme reflexión OFDR. 45 Figura 6.3- Retardo de grupo FBG Uniforme reflexión OFDR. 45 Figura 6.4- Enventanado FBG Uniforme reflexión OFDR. 46 Figura 6.5- Respuesta impulsiva FBG Uniforme transmisión OFDR. 46 Figura 6.6- Función de transferencia FBG Uniforme transmisión OFDR. 47 Figura 6.7- Retardo de grupo FBG Uniforme transmisión OFDR. 47 Figura 6.8- Enventanado FBG Uniforme transmisión OFDR. 48 Figura 6.9- Respuesta impulsiva FBG Uniforme Apodizada reflexión OFDR. 48 Figura 6.10- Función de transferencia FBG Uniforme Apodizada reflexión OFDR. 49 Figura 6.11- Retardo de grupo FBG Uniforme Apodizada reflexión OFDR. 49 Figura 6.12- Enventanado FBG Uniforme Apodizada reflexión OFDR. 50 Figura 6.13- Respuesta impulsiva FBG Uniforme Apodizada transmisión OFDR. 50 Figura 6.14- Función de transferencia FBG Uniforme Apodizada transmisión OFDR. 51 Figura 6.15- Retardo de grupo FBG Uniforme Apodizada transmisión OFDR. 51 Figura 6.16- Enventanado FBG Uniforme Apodizada transmisión OFDR. 52 Figura 6.17- Respuesta impulsiva FBG con Chirp reflexión OFDR. 52 Figura 6.18- Función de transferencia FBG con Chirp reflexión OFDR. 53 Figura 6.19- Retardo de grupo FBG con Chirp reflexión OFDR. 53 Figura 6.20- Enventanado FBG con Chirp reflexión OFDR. 54 Figura 6.21- Respuesta impulsiva FBG con Chirp transmisión OFDR. 54 Figura 6.22- Función de transferencia FBG con Chirp transmisión OFDR. 55 Figura 6.23- Retardo de grupo FBG con Chirp transmisión OFDR. 55 Figura 6.24- Enventanado FBG con Chirp transmisión OFDR. 56 Figura 6.25- Respuesta impulsiva FBG con Chirp Apodizada reflexión OFDR. 56 Figura 6.26- Función de transferencia FBG con Chirp Apodizada reflexión OFDR. 57 Figura 6.27- Retardo de grupo FBG con Chirp Apodizada reflexión OFDR. 57 Figura 6.28- Enventanado FBG con Chirp Apodizada reflexión OFDR. 58 Figura 6.29- Respuesta impulsiva FBG con Chirp Apodizada transmisión OFDR. 58 Figura 6.30- Función de transferencia FBG con Chirp Apodizada transmisión OFDR. 59 Figura 6.31- Retardo de grupo FBG con Chirp Apodizada transmisión OFDR. 59 Figura 6.32- Enventanado FBG con Chirp Apodizada transmisión OFDR. 60 Figura 6.33- Función de transferencia FBG con Chirp reflexión OFDR inicial. 60 Figura 6.34- Enventanado FBG con Chirp reflexión OFDR inicial. 61 Figura 6.35- Detalle del enventanado FBG con Chirp reflexión OFDR inicial. 61 Figura 6.36- Respuesta impulsiva FBG Uniforme reflexión HTSI. 63 Figura 6.37- Función de transferencia FBG Uniforme reflexión HTSI. 63 Figura 6.38- Retardo de grupo FBG Uniforme reflexión HTSI. 64 Figura 6.39- Respuesta impulsiva FBG Uniforme transmisión HTSI. 64 Figura 6.40- Función de transferencia FBG Uniforme transmisión HTSI. 65 Figura 6.41- Retardo de grupo FBG Uniforme transmisión HTSI. 65 Figura 6.42- Respuesta impulsiva FBG Uniforme Apodizada reflexión HTSI. 66 Figura 6.43- Función de transferencia FBG Uniforme Apodizada reflexión HTSI. 66 Figura 6.44- Retardo de grupo FBG Uniforme Apodizada reflexión HTSI. 67 Figura 6.45- Respuesta impulsiva FBG Uniforme Apodizada transmisión HTSI. 67 Figura 6.46- Función de transferencia FBG Uniforme Apodizada transmisión HTSI. 68 xxi Figura 6.47- Retardo de grupo FBG Uniforme Apodizada transmisión HTSI. 68 Figura 6.48- Respuesta impulsiva FBG con Chirp reflexión HTSI. 69 Figura 6.49- Función de transferencia FBG con Chirp reflexión HTSI. 69 Figura 6.50- Retardo de grupo FBG con Chirp reflexión HTSI. 70 Figura 6.51- Respuesta impulsiva FBG con Chirp transmisión HTSI. 70 Figura 6.52- Función de transferencia FBG con Chirp transmisión HTSI. 71 Figura 6.53- Retardo de grupo FBG con Chirp transmisión HTSI. 71 Figura 6.54- Respuesta impulsiva FBG con Chirp Apodizada reflexión HTSI. 72 Figura 6.55- Función de transferencia FBG con Chirp Apodizada reflexión HTSI. 72 Figura 6.56- Retardo de grupo FBG con Chirp Apodizada reflexión HTSI. 73 Figura 6.57- Respuesta impulsiva FBG con Chirp Apodizada transmisión HTSI. 73 Figura 6.58- Función de transferencia FBG con Chirp Apodizada transmisión HTSI. 74 Figura 6.59- Retardo de grupo FBG con Chirp Apodizada transmisión HTSI. 74 Figura 7.1- Diagrama de bloques del OSA. 76 Figura 7.2- Parámetros principales del OSA. 77 Figura 7.3- Respuesta impulsiva FBG realista OFDR. 78 Figura 7.4- Función de transferencia FBG realista OFDR. 79 Figura 7.5- Retardo de grupo FBG realista OFDR. 79 Figura 7.6- Enventanado FBG realista OFDR. 80 Figura 7.7- Respuesta impulsiva FBG realista HTSI balanceado. 81 Figura 7.8- Función de transferencia FBG realista HTSI balanceado. 81 Figura 7.9- Retardo de grupo FBG realista HTSI balanceado. 82 Figura 7.10- Respuesta impulsiva FBG realista HTSI no balanceado. 83 Figura 7.11- Función de transferencia FBG realista HTSI no balanceado. 83 Figura 7.12- Retardo de grupo FBG realista HTSI no balanceado. 84 Figura 7.13- Interferograma FBG realista HTSI balanceado. 84 Figura 7.14- Interferograma FBG realista HTSI no balanceado. 84 Figura 7.15- Respuesta impulsiva FBG realista HTSI fase no mínima. 85 Figura 7.16- Función de transferencia FBG realista HTSI fase no mínima. 86 Figura 7.17- Retardo de grupo FBG realista HTSI fase no mínima. 86 Figura 7.18- Respuesta impulsiva FBG realista HTSI con 𝑳𝑹𝑬𝑭>𝑳𝑫𝑼𝑻. 87 Figura 7.19- Función de transferencia FBG realista HTSI con 𝑳𝑹𝑬𝑭>𝑳𝑫𝑼𝑻. 87 Figura 7.20- Retardo de grupo FBG realista HTSI con 𝑳𝑹𝑬𝑭>𝑳𝑫𝑼𝑻. 88 Figura 7.21- Transmitividad del DUT. 89 Figura 7.22- Interferograma unidades logarítmicas luz blanca. 89 Figura 7.23- Detalle de Interferograma unidades logarítmicas luz blanca. 89 Figura 7.24- Interferograma unidades naturales luz blanca. 90 Figura 7.25- Detalle de Interferograma unidades naturales luz blanca. 90 Figura 7.26- Interferograma unidades logarímicas luz blanca más balanceado. 90 Figura 7.27- Detalle de Interferograma unidades logarímicas luz blanca más balanceado. 90 Figura 7.28- Interferograma unidades naturales luz blanca más balanceado. 91 Figura 7.29- Detalle de Interferograma unidades naturales luz blanca más balanceado. 91 Figura 7.30- Transmitividad del DUT. 91 Figura 7.31- Interferograma unidades naturales longitud de onda láser discreto punto a punto. Caso 1. 92 Figura 7.32- Detalle de Interferograma unidades naturales longitud de onda láser discreto punto a punto. Caso 1. 92 Figura 7.33- Interferograma unidades naturales frecuencia láser discreto punto a punto. Caso 1. 92 Figura 7.34- Detalle de Interferograma unidades naturales frecuencia láser discreto punto a punto. Caso 1. 92 Figura 7.35- Interferograma unidades naturales frecuencia interpolada láser discreto punto a punto. Caso 1. 93 Figura 7.36- Detalle de Interferograma unidades naturales frecuencia interpolada láser discreto punto a punto. Caso 1. 93 Figura 7.37- Función de transferencia FBG láser discreto punto a punto HTSI. Caso 1. 93 Figura 7.38- Transmitividad unidades naturales FBG láser discreto punto a punto HTSI. Caso 1. 94 Figura 7.39- Transmitividad unidades logarítmicas FBG láser discreto punto a punto HTSI. Caso 1. 94 Figura 7.40- Respuesta impulsiva FBG láser discreto punto a punto HTSI. Caso 1. 94 Figura 7.41- Retardo de grupo FBG láser discreto punto a punto HTSI. Caso 1. 95 Figura 7.42- Interferograma unidades naturales longitud de onda láser discreto punto a punto. Caso 2. 95 Figura 7.43- Detalle de Interferograma unidades naturales longitud de onda láser discreto punto a punto. Caso 2. 95 Figura 7.44- Interferograma unidades naturales frecuencia láser discreto punto a punto. Caso 2. 96 Figura 7.45- Detalle de Interferograma unidades naturales frecuencia láser discreto punto a punto. Caso 2. 96 Figura 7.46- Interferograma unidades naturales frecuencia interpolada láser discreto punto a punto. Caso 2. 96 Figura 7.47- Detalle de Interferograma unidades naturales frecuencia interpolada láser discreto punto a punto. Caso 2. 96 Figura 7.48- Función de transferencia FBG láser discreto punto a punto HTSI. Caso 2. 97 Figura 7.49- Transmitividad unidades naturales FBG láser discreto punto a punto HTSI. Caso 2. 97 Figura 7.50- Transmitividad unidades logarítmicas FBG láser discreto punto a punto HTSI. Caso 2. 97 Figura 7.51- Respuesta impulsiva FBG láser discreto punto a punto HTSI. Caso 2. 98 Figura 7.52- Retardo de grupo FBG láser discreto punto a punto HTSI. Caso 2. 98 Figura 7.53- Interferograma unidades naturales longitud de onda láser discreto punto a punto HTSI. Caso 3. 99 Figura 7.54- Detalle de Interferograma unidades naturales longitud de onda láser discreto punto a punto HTSI. Caso 3. 99 Figura 7.55- Interferograma unidades naturales frecuencia láser discreto punto a punto HTSI. Caso 3. 99 Figura 7.56- Detalle de Interferograma unidades naturales frecuencia láser discreto punto a punto HTSI. Caso 3. 99 Figura 7.57- Interferograma unidades naturales frecuencia interpolada láser discreto punto a punto HTSI. Caso 3. 100 xxiii Figura 7.58- Detalle de Interferograma unidades naturales frecuencia interpolada láser discreto punto a punto HTSI. Caso 3. 100 Figura 7.59- Función de transferencia FBG láser discreto punto a punto HTSI. Caso 3. 100 Figura 7.60- Transmitividad unidades naturales FBG láser discreto punto a punto HTSI. Caso 3. 101 Figura 7.61- Transmitividad unidades logarítmicas FBG láser discreto punto a punto HTSI. Caso 3. 101 Figura 7.62- Respuesta impulsiva FBG láser discreto punto a punto HTSI. Caso 3. 101 Figura 7.63- Retardo de grupo FBG láser discreto punto a punto HTSI. Caso 3. 102 Figura 7.64- Transmitividad del DUT. 102 Figura 7.65- Interferograma láser barrido continuo 1nm/s. 103 Figura 7.66- Interferograma láser barrido continuo 5nm/s. 103 Figura 7.67- Interferograma láser barrido continuo 10nm/s. 103 Figura 7.68- Interferograma láser barrido continuo 20nm/s. 103 Figura 7.69- Interferograma láser barrido continuo 40nm/s. 104 Figura 7.70- Función de transferencia FBG láser barrido continuo HTSI. 104 Figura 7.71- Transmitividad unidades naturales FBG láser barrido continuo HTSI. 105 Figura 7.72- Transmitividad unidades logarítmicas FBG láser barrido continuo HTSI. 105 Figura 7.73- Retardo de grupo FBG láser barrido continuo HTSI. 105 Figura 7.74- Esquema para balanceo del interferómetro. 106 Figura 7.75- Distancias relativas entre los casos medidos. 106 Figura 7.76- Transmitividad del DUT. 106 Figura 7.77- Interferograma en longitud de onda Caso A. 107 Figura 7.78- Interferograma en tiempo Caso A. 107 Figura 7.79- Interferograma en longitud de onda Caso B. 107 Figura 7.80- Interferograma en tiempo Caso B. 107 Figura 7.81- Interferograma en longitud de onda Caso C. 107 Figura 7.82- Interferograma en tiempo Caso C. 107 Figura 7.83- Interferograma en longitud de onda Caso D. 108 Figura 7.84- Interferograma en tiempo Caso D. 108 Figura 7.85- Interferograma en longitud de onda Caso E. 108 Figura 7.86- Interferograma en tiempo Caso E. 108 Figura 7.87- Interferograma en longitud de onda Caso F. 108 Figura 7.88- Interferograma en tiempo Caso F. 108 Figura 7.89- Enventanado Caso F OFDR. 109 Figura 7.90- Función de transferencia Caso F OFDR. 110 Figura 7.91- Transmitividad unidades naturales Caso F OFDR. 110 Figura 7.92- Transmitividad unidades logarítmicas Caso F OFDR. 110 Figura 7.93- Retardo de grupo Caso F OFDR. 111 Figura 7.94- Función de transferencia Caso F HTSI. 111 Figura 7.95- Transmitividad unidades naturales Caso F HTSI. 112 Figura 7.96- Transmitividad unidades logarítmicas Caso F HTSI. 112 Figura 7.97- Respuesta impulsiva Caso F HTSI. 112 Figura 7.98- Retardo de grupo Caso F HTSI. 113 Figura 7.99- Respuesta impulsiva con error de normalización HTSI. 114 Figura 7.100- Función de transferencia con error de normalización HTSI. 114 Figura 7.101- Retardo de grupo con error de normalización HTSI. 115 Figura 7.102- Escenario con aisladores y referencia. 115 Figura 7.103- Interferograma unidades naturales con aisladores y referencia. 116 Figura 7.104- Comparación interferograma unidades naturales del sistema y de la referencia. 116 Figura 7.105- Interferograma normalizado unidades naturales con aisladores y referencia. 117 Figura 7.106- Escenario interferométrico completo. 117 Figura 7.107- Escenario interferométrico solo con brazo del DUT. 117 Figura 7.108- Escenario interferométrico solo con brazo de referencia. 118 Figura 7.109- Medida de potencia unidades naturales solo con brazo del DUT. 118 Figura 7.110- Medida de potencia normalizada unidades naturales solo con brazo del DUT. 119 Figura 7.111- Comparación de Interferogramas unidades logarítmicas del sistema y de la referencia. 120 Figura 7.112- Interferograma normalizado unidades naturales FBG con estado de polarización. 120 Figura 7.113- Función de transferencia FBG con estado de polarización OFDR. 121 Figura 7.114- Transmitividad unidades naturales FBG con estado de polarización OFDR. 121 Figura 7.115- Transmitividad unidades logarítmicas FBG con estado de polarización OFDR. 121 Figura 7.116- Respuesta impulsiva FBG con estado de polarización OFDR. 122 Figura 7.117- Retardo de grupo FBG con estado de polarización OFDR. 122 Figura 7.118- Enventanado FBG con estado de polarización OFDR. 123 Figura 7.119- Función de transferencia FBG con estado de polarización HTSI. 123 Figura 7.120- Transmitividad unidades naturales FBG con estado de polarización HTSI. 124 Figura 7.121- Transmitividad unidades logarítmicas FBG con estado de polarización HTSI. 124 Figrua 7.122- Respuesta impulsiva FBG con estado de polarización HTSI. 124 Figura 7.123- Retardo de grupo FBG con estado de polarización HTSI. 125 Figura 7.124- Interferograma normalizado unidades naturales FBG sin aisladores. 126 Figura 7.125- Función de transferencia FBG sin aisladores HTSI. 126 Figura 7.126- Transmitividad unidades naturales FBG sin aisladores HTSI. 127 Figura 7.127- Transmitividad unidades logarítmicas FBG sin aisladores HTSI. 127 Figura 7.128- Respuesta impulsiva FBG sin aisladores HTSI. 127 Figura 7.129- Retardo de grupo FBG sin aisladores HTSI. 128 Figura 7.130- Interferograma normalizado unidades naturales FBG con aisladores. 128 Figura 7.131- Función de transferencia FBG con aisladores HTSI. 129 Figura 7.132- Transmitividad unidades naturales FBG con aisladores HTSI. 129 Figura 7.133- Transmitividad unidades logarítmicas FBG con aisladores HTSI. 129 Figura 7.134- Respuesta impulsiva FBG con aisladores HTSI. 130 xxv Figura 7.135- Retardo de grupo FBG con aisladores HTSI. 130 Figura 7.136- Escenario interferométrico con control de polarización. 131 Figura 7.137- Interferograma unidades naturales FBG controlador de polarización. 131 Figura 7.138- Interferograma normalizado unidades naturales FBG controlador de polarización. 131 Figura 7.139- Función de transferencia FBG controlador de polarización HTSI. 132 Figura 7.140- Transmitividad unidades naturales FBG controlador de polarización HTSI. 132 Figura 7.141- Transmitividad unidades logarítmicas FBG controlador de polarización HTSI. 132 Figura 7.142- Respuesta impulsiva FBG controlador de polarización HTSI. 133 Figura 7.143- Retardo de grupo FBG controlador de polarización HTSI. 133 Dispositivos Básicos 6 Figura 2.1- Icono de fuente óptica. 2.2. Acoplador óptico Un acoplador óptico [3] es un dispositivo de cuatro puertos que distribuye la potencia que le entra por un puerto entre los demás puertos restantes. Se caracteriza por dos parámetros: a, que es la constante de pérdidas del acoplador si consideramos que este no es ideal; y k, que es la constante de acoplo. Esta última constante indica la influencia de cada una de las entradas en las salidas, ya que una es proporcional a k y la restante es proporcional a 1-k. Figura 2.2- Esquema acoplador direccional. Si se considera una ausencia de reflexiones en los puertos, es decir, que a partir de una onda que se propaga en un sentido, no se puede generar otra que se propague en sentido contrario, se obtendrá la siguiente matriz de scattering, que caracteriza el comportamiento del dispositivo: 𝑆=[0 0 0 0 𝑠13 𝑠14 𝑠23 𝑠24 𝑠31 𝑠32 𝑠41 𝑠42 0 0 0 0 ] (2.1) Teniendo en cuenta que el dispositivo es recíproco, es decir, 𝑠13=𝑠24 (2.2) 𝑠31=𝑠42 (2.3) y, teniendo en cuenta los parámetros anteriormente mencionados (a constante de pérdidas y k constante de acoplo), se llega al siguiente desarrollo de la matriz de scattering. 7 Implementación de técnica de medida basada en interferometría espectral para caracterización de componentes ópticos 𝑆= [ 0 0 0 0 √(1−𝑎)𝑘 𝑗√(1−𝑎)(1−𝑘) 𝑗√(1−𝑎)(1−𝑘) √(1−𝑎)𝑘 √(1−𝑎)𝑘 𝑗√(1−𝑎)(1−𝑘) 𝑗√(1−𝑎)(1−𝑘) √(1−𝑎)𝑘0 0 0 0 ] (2.4) El desarrollo del trabajo se va a centrar en el funcionamiento del acoplador óptico en un solo sentido de transmisión. Por tanto, se puede realizar una simplificación de la matriz que caracteriza el comportamiento del dispositivo. Figura 2.3- Funcionamiento de acoplador direccional. Para ello, trabajamos con la caracterización del acoplador óptico mediante su matriz de transmisión ABCD, obteniendo. 𝑇=[𝐴 𝐵 𝐶 𝐷]=[√(1−𝑎)𝑘 𝑗√(1−𝑎)(1−𝑘) 𝑗√(1−𝑎)(1−𝑘) √(1−𝑎)𝑘] (2.5) De esta manera, considerando 𝐼1 e 𝐼2 la potencia incidente en los puertos de entrada, así como 𝑂1 y 𝑂2 la potencia generada en los puertos de salida, cada una de estas salidas estará determinada por las siguientes ecuaciones: 𝑂1=𝐴𝐼1+𝐵𝐼2 (2.6) 𝑂2=𝐶𝐼1+𝐷𝐼2 (2.7) Como se ha definido, este dispositivo es, de forma general, de cuatro puertos. Sin embargo, también existen de tres puertos, siendo posibles las combinaciones dos entradas+una salida, así como una entrada+dos salidas. En el primer caso, bastará con no tener en cuenta la ecuación correspondiente a 𝑂2, por lo que la potencia de salida se correspondería solo con (2.6). En el segundo caso, habrá que considerar que una de las entradas tiene un valor nulo. Por efectos de nomenclatura, consideraremos que la entrada sin potencia es 𝐼2. De esta manera, las salidas del acoplador óptico tendrán los siguientes valores. Dispositivos Básicos 8 𝑂1=𝐴𝐼1 (2.8) 𝑂2=𝐶𝐼1 (2.9) El icono del acoplador direccional es el siguiente: Figura 2.4- Icono acoplador direccional. 2.3. Fibra óptica El medio material por el que se propagan las comunicaciones ópticas es la fibra óptica. Podemos describir la fibra óptica como una guiaonda dieléctrica formada por dos capas, núcleo y revestimiento, que presentan dopajes que permiten obtener el perfil de índice de refracción deseado. En función de si la fibra acopla la potencia óptica incidente en uno o varios modos de propagación, clasificamos a las fibras ópticas en monomodo y multimodo respectivamente. El número de modos soportados por la fibra es función del radio de su núcleo y la frecuencia de la señal óptica. A medida que una señal de luz se propaga a lo largo de la fibra, es importante considerar todas las manipulaciones que se realizan sobre ella. La luz, a medida que se propaga por el medio material, sufre dos procesos de degradación que se deberán caracterizar: - Una pérdida de potencia debido a un proceso de atenuación, ya que los pulsos luminosos pierden energía durante su propagación por la fibra. - Una pérdida de forma debido a un proceso de dispersión, dado que se produce un ensanchamiento temporal en función de la distancia recorrida por el material. 2.1.1 Atenuación Cuando la luz se transmite a través de la fibra, su potencia disminuye exponencialmente con la distancia. Si 𝑃(0) es la potencia óptica en el origen de la fibra, es decir, en 𝑧=0, la potencia en una distancia 𝑧, 𝑃(𝑧) será: 𝑃(𝑧)=𝑃(0) 𝑒−𝛼𝑝𝑧 (2.10) donde se define 𝛼𝑝=1 𝑧ln(𝑃(0) 𝑃(𝑧)) (2.11) que es el coeficiente de atenuación de la fibra. Por simplicidad, para calcular la atenuación de la señal óptica en una fibra, el método común es expresar el coeficiente de atenuación en unidades de decibelios por kilómetro: 𝛼(𝑑𝐵 𝑘𝑚)=10 𝑧log(𝑃(0) 𝑃(𝑧))=4.343𝛼𝑝(𝑘𝑚−1) (2.12) Este parámetro depende de la pulsación y, por tanto, de la longitud de onda de trabajo. 9 Implementación de técnica de medida basada en interferometría espectral para caracterización de componentes ópticos 2.1.2 Dispersión Sabiendo que 𝛼(𝜔) es el coeficiente de atenuación de la fibra, definimos 𝛽(𝜔) como la constante de propagación o constante de fase. Disponiendo de ambos parámetros, podremos caracterizar de forma aproximada el comportamiento de la luz en su propagación a lo largo de la fibra óptica. La constante de propagación se define como: 𝛽(𝜔)= 𝜔 𝑐𝑛=2𝜋𝑓 𝑐𝑛 (2.13) siendo 𝑛 el índice de refracción de la fibra óptica. Esta constante de propagación tiene una dependencia no lineal con respecto a la pulsación, lo cual causa el ensanchamiento del pulso luminoso introducido en la fibra. Este fenómeno recibe el nombre de dispersión. La característica dispersiva tiene varios componentes: - La dispersión cromática del material: depende de las propiedades físicas de la fibra óptica y, más concretamente, del sílice del que está constituida. - La dispersión de guiaonda: aparece como consecuencia del fenómeno de guiado de la luz. - La dispersión de polarización: surge debido a la propagación de dos modos degenerados y ortogonales. Para realizar una caracterización completa de la fibra óptica habría que tener en cuenta todos estos efectos dispersivos. Sin embargo, para conseguir una buena aproximación, basta con considerar la aproximación lineal de la constante de propagación realizada en (2.13). 2.1.3 Propagación por la fibra óptica Los parámetros presentados en los dos apartados anteriores, 𝛼(𝜔) constante de atenuación de la fibra y 𝛽(𝜔) constante de propagación de la fibra, permiten poder caracterizar, de forma simplificada pero realista, el comportamiento del pulso a través de la fibra óptica. Ambos parámetros se pueden agrupar en otro, llamado constante de propagación compleja, que define el comportamiento completo de la fibra óptica. Esta componente 𝛾 se define como: 𝛾=−(𝛼+𝑗𝛽) (2.14) Considerando que a la entrada de la fibra se introduce un pulso 𝐸𝑠, y que el punto a analizar el pulso es 𝑧, se obtendrá la siguiente ecuación: 𝐸(𝑧)=𝐸𝑠 𝑒𝛾𝑧=𝐸𝑠 𝑒−(𝛼+𝑗𝛽)𝑧 (2.15) De esta manera, si la longitud de la fibra óptica es 𝐿, el pulso a la salida de esta será de la forma 𝐸(𝐿)=𝐸𝑠 𝑒𝛾𝐿=𝐸𝑠 𝑒−(𝛼+𝑗𝛽)𝐿 (2.16) Por tanto, el comportamiento de la fibra se puede considerar con la siguiente función de transferencia, siendo 𝐿 la longitud de la fibra: 𝐻(𝑓)=𝑒𝛾𝐿=𝑒−(𝛼+𝑗𝛽)𝐿=𝑒−𝛼𝐿𝑒−𝑗2𝜋𝑓 𝑐𝑛𝐿 (2.17) Figura 2.5- Icono fibra óptica. Dispositivos Básicos 10 2.4. Receptor óptico El objetivo de un receptor óptico es convertir la señal del dominio óptico al dominio eléctrico, con el fin de recuperar los datos transmitido a través del sistema. Su principal componente es el fotodetector, que transforma la luz en electricidad a través del efecto fotoeléctrico. Los requerimientos del fotodetector son similares a los de la fuente óptica, puesto que deben tener alta sensibilidad, rápida respuesta y bajo ruido. Estas limitaciones hacen que los mejores fotodetector es estén fabricados de materiales semiconductores. El fotodetector está compuesto por un fotodiodo polarizado en inversa, cuya señal de salida es una corriente eléctrica proporcional a la potencia óptica recibida. El comportamiento de este dispositivo se rige por la siguiente ecuación: 𝐼=ℜ𝑃𝑜𝑝𝑡 =ℜ |𝐸|2 (2.18) donde ℜ es la responsividad del fotodetector, 𝐼 es la corriente fotodetectada, 𝑃𝑜𝑝𝑡 es la potencia óptica incidente y 𝐸 es el campo eléctrico incidente. Como se puede observar en la ecuación, la fotodetección solo tiene información de la respuesta en magnitud del campo eléctrico incidente y no obtiene información alguna sobre la respuesta en fase. Figura 2.6- Icono fotodetector. 2.5. Interferómetro Mach-Zehnder El interferómetro Mach-Zehnder es un montaje muy empleado para caracterización y diseño de componentes ópticos. Su implementación es sencilla: la señal óptica es separada en dos caminos y luego es recombinada a la salida. Los dos caminos del interferómetro no tienen la misma distancia, pero tampoco debe existir una diferencia muy abrupta. Figura 2.7- Esquema interferómetro Mach-Zehnder. Para dividir la señal en dos caminos ópticos se emplea un acoplador direccional a la entrada del montaje, justo después de la fuente que esté generando la señal. Este acoplador óptico constará de una entrada y dos salidas. Esto se refleja en las siguientes ecuaciones. 11 Implementación de técnica de medida basada en interferometría espectral para caracterización de componentes ópticos 𝐸𝑖1=√(1−𝑎)𝑘𝑖 𝐸𝑠 (2.19) 𝐸𝑖2=𝑗√(1−𝑎)(1−𝑘𝑖) 𝐸𝑠 (2.20) donde definimos 𝐸𝑖1 como el campo incidente en el brazo de longitud 𝐿, y 𝐸𝑖2 como el campo incidente en el brazo de longitud 𝐿+∆𝐿. A continuación, se tienen dos brazos que recrean un camino óptico distinto mediante fibras ópticas de distinta longitud, como ya se ha mencionado. De esta manera, la diferencia de longitud entre ambas actúa como retardo de la señal. 𝐸𝑜1=√(1−𝑎)𝑘𝑖 𝐸𝑠 𝑒−(𝛼+𝑗𝛽)𝐿 (2.21) 𝐸𝑜2=𝑗√(1−𝑎)(1−𝑘𝑖) 𝐸𝑠 𝑒−(𝛼+𝑗𝛽)(𝐿+∆𝐿) (2.22) Posteriormente, para combinar nuevamente la señal de ambos brazos en una sola, se emplea un acoplador direccional, esta vez de dos entradas y una salida. 𝐸𝑖𝑛𝑡=√(1−𝑎)𝑘𝑜√(1−𝑎)𝑘𝑖 𝐸𝑠 𝑒−(𝛼+𝑗𝛽)𝐿 +𝑗√(1−𝑎)(1−𝑘𝑜)𝑗√(1−𝑎)(1−𝑘𝑖) 𝐸𝑠 𝑒−(𝛼+𝑗𝛽)(𝐿+∆𝐿) (2.23) Finalmente, esta señal será captada por un fotodetector al final del montaje interferométrico. 𝐼𝑖𝑛𝑡=ℜ |𝐸𝑖𝑛𝑡|2 (2.24) 2.6. Redes de difracción de Bragg en fibra El objetivo de un filtro óptico es la selección y discriminación de un determinado rango de frecuencias ópticas. Un filtro ideal, por tanto, tendrá un módulo rectangular que no se anula en las frecuencias de interés, así como una fase lineal. Esta fase implica un retardo de grupo constante, que, a su vez, conlleva una dispersión nula. Figura 2.8- Respuesta en frecuencia ideal de un filtro. Dispositivos Básicos 12 Como es lógico, los filtros reales intentarán imitar el comportamiento mostrado en las figuras. Para analizar el comportamiento de un filtro, podemos caracterizarlo como un dispositivo bipuerta como el que se muestra en la figura: Figura 2.9- Esquema dispositivo bipuerta. Haciendo uso del formalismo de matrices de transferencia, podemos relacionar los campos a la entrada en función de los campos a la salida. (𝐸1+ 𝐸1−)=(𝑀11 𝑀12 𝑀21 𝑀22)(𝐸2+ 𝐸2−) (2.25) De esta manera, podemos calcular los parámetros de reflexión y transmisión: 𝐻𝑟(𝑓)=𝐸1− 𝐸1+|𝐸2−=0=𝑀21 𝑀11 (2.26) 𝐻𝑡(𝑓)=𝐸2+ 𝐸1+|𝐸2−=0=1 𝑀11 (2.27) La ventaja de este formalismo es que cumple el principio de multiplicación, es decir, la matriz de transferencia de un sistema será igual a la multiplicación de las matrices de transferencia de los elementos que lo componen. Las redes de difracción de Bragg en fibra (FBG Fiber Bragg Grating) son fibras ópticas monomodo en las que, longitudinalmente se introduce una perturbación periódica senoidal en el índice de refracción del núcleo. De esta manera, en cada salto de índice se produce una reflexión y una transmisión, consiguiendo un espejo selectivo en frecuencia. Para analizar las frecuencias que refleja, hay que tener en cuenta las interferencias constructivas que se producen entre las sucesivas reflexiones. El desfase entre dos reflexiones sucesivas será múltiplo de 2𝜋: 2𝛽 Λ=2mπ (2.28) 22𝜋 𝜆𝑛𝑒𝑓𝑓Λ=2mπ (2.29) 𝑓𝐵=𝑚 𝑐 2𝑛𝑒𝑓𝑓Λ, 𝜆𝐵=2𝑛𝑒𝑓𝑓Λ 𝑚 (2.30) donde Λ es el periodo de la perturbación. El principio de funcionamiento de las redes de difracción de Bragg en fibra se observa en la Figura 2.10. En ella, se puede apreciar que, al introducir una señal a la entrada, se obtienen dos señales, una reflejada y otra transmitida, como consecuencia de los sucesivos cambios en el índice de refracción. Las redes de difracción uniformes son aquellas cuyo perfil de índice de refracción en el núcleo de la fibra tiene un periodo constante a lo largo de su eje. Asímismo, también dispone de una envolvente constante e igual al 13 Implementación de técnica de medida basada en interferometría espectral para caracterización de componentes ópticos incremento del índice de refracción inducido en el núcleo de la fibra. Es el filtro óptico más sencillo basado en FBG. Figura 2.10- Principio de operación de las FBG. Las redes de difracción han experimentado una serie de mejoras sobre la estructura uniforme original, para aumentar sus prestaciones. Principalmente, se ha de destacar el apodizado de la perturbación (con función de apodizado 𝐴(𝑧)) en los extremos de la red, para eliminar las resonancias Fabry-Perot. La red de difracción uniforme con función de apodizado también se llama suavizado de la envolvente de la perturbación del índice de refracción. Consiste en multiplicar la función sinusoidal de la red de difracción uniforme por otra función que modifica su amplitud, de tal manera que reduce la envolvente de la senoide en los extremos de la red. Con esto se persigue reducir el perfil de la perturbación del índice de refracción por las zonas más próximas al trozo de fibra con índice de refracción constante, para que la interfaz entre la fibra y la red no presente un cambio brusco. De esta forma, se consiguen reducir los lóbulos secundarios de la función de transferencia. También se pueden resaltar las técnicas de variación del periodo de red a lo largo del eje de la fibra (función de chirp, Λ(𝑧)) para aumentar el ancho de banda acoplado por estas redes, y poder conseguir las características requeridas de retardo de grupo en función de la frecuencia. La función de chirp o variación del periodo de red a lo largo del eje de la fibra consigue acoplar mayores anchos de banda sin necesidad de disminuir la longitud de la red, y permite obtener características espectrales de fase con retardo de grupo lineal en la función de transferencia. Generalmente, estas redes de difracción chirpeadas incluyen funciones de apodizado, que, del mismo modo que para las redes de difracción uniforme, modifican el índice de refracción de la perturbación. Dispositivos Básicos 14 15 3 CONCEPTOS l objetivo de este apartado es explicar una serie de conceptos que son comunes tanto al método OFDR como al método HTSI, y que son necesarios para el desarrollo de los mismos. 3.1. Reflectometría Toda onda electromagnética incidente sobre una discontinuidad de su medio de propagación sufre una reflexión y una refracción, descomponiéndose en dos nuevas ondas cuyas direcciones de propagación vienen dadas por la ley de Snell. 𝑛1sin(𝜃1)=𝑛2sin(𝜃2) (3.1) Figura 3.1- Onda incidente en discontinuidad del medio. La reflectrometría óptica es una disciplina que se encarga del estudio de los efectos producidos por la reflexión de ondas electromagnéticas. Es una técnica no destructiva que permite estudiar las diferentes propiedades de componentes fotónicos. Su objetivo es medir la reflectividad óptica en función de la distancia. E What would life be if we had no courage to attempt anything? ¿Qué sería de la vida si no tuviésemos el valor de intentar algo nuevo? - Vincent Van Gogh - OFDR 22 Figura 4.1- Montaje interferométrico OFDR. El comportamiento de cada uno de los elementos del montaje interferométrico se ha explicado en apartados anteriores. En todo el desarrollo, se ha considerado que los dos acopladores direccionales tienen el mismo valor para la constante de acoplo y la constante de pérdidas. Con posterioridad a la detección que realiza el último componente del escenario, se ejecuta un procesado matemático, que sigue los siguientes pasos: 1. Obtención de la función interferométrica en el dominio del tiempo mediante la transformada inversa de Fourier de la función interferométrica captada por el fotodetector. 𝑖𝑖𝑛𝑡(𝑡)=ℱ−1{𝐼𝑖𝑛𝑡(𝑓)} (4.1) 2. Enventanado de la función interferométrica para descartar las componentes que no se corresponden con la respuesta impulsiva del DUT. ℎ𝐷𝑈𝑇,𝑟𝑒𝑐=𝑖𝑖𝑛𝑡(𝑡)𝒲 (4.2) donde 𝒲 es la ventana que se emplea. 3. Obtención de la respuesta impulsiva normalizada del DUT. ℎ𝐷𝑈𝑇,𝑛𝑜𝑟𝑚=𝐹𝑒 ℎ𝐷𝑈𝑇,𝑟𝑒𝑐 (4.3) donde 𝐹𝑒 es el factor de escalado que permite la normalización de la respuesta impulsiva. 4. Obtención de la función de transferencia del DUT. 𝐻𝐷𝑈𝑇,𝑟𝑒𝑐= ℱ{ℎ𝐷𝑈𝑇,𝑛𝑜𝑟𝑚}=𝐻𝐷𝑈𝑇 𝑒−𝑗𝐿𝐷𝑈𝑇−𝐿𝑅𝐸𝐹 𝑐𝑛 (4.4) 5. Compensación del retardo de propagación. 𝐻𝐷𝑈𝑇=𝐻𝐷𝑈𝑇,𝑟𝑒𝑐 𝑒𝑗𝐿𝐷𝑈𝑇−𝐿𝑅𝐸𝐹 𝑐𝑛 (4.5) En el siguiente apartado se plasmará todo el análisis matemático que justifica todos estos pasos, el cual se ha basado en [7]. 4.3. Algoritmo Si se atiende al montaje interferométrico, la primera acción que se debe llevar a cabo es excitarlo mediante una fuente, que aproximaremos por un modelo de luz blanca, es decir, una fuente de espectro plano en el ancho de banda de interés. Por tanto, para todo el desarrollo, se cumplirá que: 23 Implementación de técnica de medida basada en interferometría espectral para caracterización de componentes ópticos 𝐸𝑠=𝐴 (4.6) siendo 𝐴 la amplitud de dicha fuente. A la salida del primer acoplador óptico se tienen dos ramas: 𝐸𝑡𝑒𝑠𝑡𝑖 (correspondiente a la rama en la que se encuentra el DUT) y 𝐸𝑟𝑒𝑓𝑖 (correspondiente a la rama que actúa como referencia). Aplicando la matriz de transmisión de este dispositivo, y, teniendo en cuenta que solo disponemos de una señal de entrada, obtenemos las siguientes señales. 𝐸𝑡𝑒𝑠𝑡𝑖 =√(1−𝑎)𝑘 𝐴 (4.7) 𝐸𝑟𝑒𝑓𝑖 =𝑗√(1−𝑎)(1−𝑘) 𝐴 (4.8) Una vez que ambas señales llegan al segundo acoplador, se han nombrado como 𝐸𝑡𝑒𝑠𝑡𝑜 y 𝐸𝑟𝑒𝑓𝑜 respectivamente. La primera señal ha pasado por el dispositivo bajo prueba, por lo que se ve afectada por la función de transferencia compleja de este. Además, habrá que tener en cuenta el desplazamiento que se produce al recorrer este brazo del interferómetro. 𝐸𝑡𝑒𝑠𝑡𝑜=𝐸𝑡𝑒𝑠𝑡𝑖 𝐻𝐷𝑈𝑇 𝑒−(𝛼+𝑗𝛽)𝐿𝐷𝑈𝑇 (4.9) Por su parte, la señal que atraviesa el brazo de referencia se ve afectada solamente por la atenuación y la dispersión correspondientes a la fibra óptica por la que transcurre. De esta manera, es afectada por la constante de atenuación, la constante de propagación y la longitud de la fibra. 𝐸𝑟𝑒𝑓𝑜 =𝐸𝑟𝑒𝑓𝑖 𝑒−(𝛼+𝑗𝛽)𝐿𝑅𝐸𝐹 (4.10) donde 𝛼 se corresponde con la constante de atenuación de la fibra que representa las pérdidas que se producen en esta (expresada en pérdidas/distancia); mientras que 𝛽 representa la constante de propagación de la fibra y se identifica con 𝛽=2𝜋𝑓𝑛/𝑐 (4.11) Sustituyendo en ambas ecuaciones los valores de 𝐸𝑡𝑒𝑠𝑡𝑖 y 𝐸𝑟𝑒𝑓𝑖 respectivamente, se puede obtener 𝐸𝑡𝑒𝑠𝑡𝑜=√(1−𝑎)𝑘 𝐴 𝐻𝐷𝑈𝑇 𝑒−(𝛼+𝑗𝛽)𝐿𝐷𝑈𝑇 (4.12) 𝐸𝑟𝑒𝑓𝑜=𝑗√(1−𝑎)(1−𝑘) 𝐴 𝑒−(𝛼+𝑗𝛽)𝐿𝑅𝐸𝐹 (4.13) A continuación, ambas ramas se unen a través de un segundo acoplador óptico. En este caso, solo consideraremos una salida, que será de la forma: 𝐸𝑖𝑛𝑡=√(1−𝑎)𝑘 𝐸𝑡𝑒𝑠𝑡𝑜+𝑗√(1−𝑎)(1−𝑘) 𝐸𝑟𝑒𝑓𝑜 (4.14) 𝐸𝑖𝑛𝑡=√(1−𝑎)𝑘√(1−𝑎)𝑘 𝐴 𝐻𝐷𝑈𝑇 𝑒−(𝛼+𝑗𝛽)𝐿𝐷𝑈𝑇 +𝑗√(1−𝑎)(1−𝑘)𝑗√(1−𝑎)(1−𝑘) 𝐴 𝑒−(𝛼+𝑗𝛽)𝐿𝑅𝐸𝐹 (4.15) Seguidamente se desarrolla la anterior expresión matemática anterior. 𝐸𝑖𝑛𝑡=(1−𝑎)𝑘 𝐴 𝐻𝐷𝑈𝑇 𝑒−(𝛼+𝑗𝛽)𝐿𝐷𝑈𝑇 −(1−𝑎)(1−𝑘) 𝐴 𝑒−(𝛼+𝑗𝛽)𝐿𝑅𝐸𝐹 (4.16) OFDR 24 Se saca como factor común el término asociado a las pérdidas de los acopladores ópticos y la amplitud de la fuente óptica. 𝐸𝑖𝑛𝑡=(1−𝑎)𝐴 (𝑘 𝐻𝐷𝑈𝑇 𝑒−(𝛼+𝑗𝛽)𝐿𝐷𝑈𝑇 −(1−𝑘) 𝑒−(𝛼+𝑗𝛽)𝐿𝑅𝐸𝐹) (4.17) De cara al desarrollo matemático producido en el siguiente componente, es más sencillo distribuir los términos de 𝐸𝑖𝑛𝑡 en parte real y parte imaginaria. Para ello, en primer lugar, se aplica la fórmula de Euler 𝑒𝑧= 𝑒𝑥+𝑗𝑦=𝑒𝑥(cos𝑦+𝑗sin𝑦) 𝐸𝑖𝑛𝑡=(1−𝑎)𝐴 [𝑘 𝐻𝐷𝑈𝑇 𝑒−(𝛼+𝑗𝛽)𝐿𝐷𝑈𝑇 −(1−𝑘) 𝑒−𝛼𝐿𝑅𝐸𝐹cos(𝛽𝐿𝑅𝐸𝐹) +𝑗(1−𝑘) 𝑒−𝛼𝐿𝑅𝐸𝐹sin(𝛽𝐿𝑅𝐸𝐹)] (4.18) La función de transferencia del dispositivo bajo prueba se puede descomponer en módulo y fase de la siguiente forma. 𝐻𝐷𝑈𝑇=|𝐻𝐷𝑈𝑇|𝑒𝑗∠𝐻𝐷𝑈𝑇 (4.19) donde |𝐻𝐷𝑈𝑇| y ∠𝐻𝐷𝑈𝑇 son el módulo y la fase de 𝐻𝐷𝑈𝑇 respectivamente. Sustituyendo en la ecuación anterior, 𝐸𝑖𝑛𝑡=(1−𝑎)𝐴 [𝑘|𝐻𝐷𝑈𝑇|𝑒𝑗∠𝐻𝐷𝑈𝑇𝑒−(𝛼+𝑗𝛽)𝐿𝐷𝑈𝑇 −(1−𝑘) 𝑒−𝛼𝐿𝑅𝐸𝐹cos(𝛽𝐿𝑅𝐸𝐹) +𝑗(1−𝑘) 𝑒−𝛼𝐿𝑅𝐸𝐹sin(𝛽𝐿𝑅𝐸𝐹)] (4.20) Agrupando la exponencial correspondiente con la fase del DUT con la exponencial debida al desplazamiento que se produce en el componente óptico y aplicando la fórmula de Euler, se obtiene: 𝑒𝑗∠𝐻𝐷𝑈𝑇 𝑒−(𝛼+𝑗𝛽)𝐿𝐷𝑈𝑇 = 𝑒−𝛼𝐿𝐷𝑈𝑇+𝑗(∠𝐻𝐷𝑈𝑇−𝛽𝐿𝐷𝑈𝑇) =𝑒−𝛼𝐿𝐷𝑈𝑇 cos(∠𝐻𝐷𝑈𝑇−𝛽𝐿𝐷𝑈𝑇)+𝑗𝑒−𝛼𝐿𝐷𝑈𝑇sin(∠𝐻𝐷𝑈𝑇−𝛽𝐿𝐷𝑈𝑇) (4.21) Aplicando (4.21) en (4.20): 𝐸𝑖𝑛𝑡=(1−𝑎)𝐴 [𝑘|𝐻𝐷𝑈𝑇|𝑒−𝛼𝐿𝐷𝑈𝑇cos(∠𝐻𝐷𝑈𝑇−𝛽𝐿𝐷𝑈𝑇) +𝑗𝑘|𝐻𝐷𝑈𝑇|𝑒−𝛼𝐿𝐷𝑈𝑇sin(∠𝐻𝐷𝑈𝑇−𝛽𝐿𝐷𝑈𝑇)−(1−𝑘) 𝑒−𝛼𝐿𝑅𝐸𝐹cos(𝛽𝐿𝑅𝐸𝐹) +𝑗(1−𝑘) 𝑒−𝛼𝐿𝑅𝐸𝐹sin(𝛽𝐿𝑅𝐸𝐹)] (4.22) De esta manera, podemos agrupar los términos reales e imaginarios de forma independiente. 𝐸𝑖𝑛𝑡=(1−𝑎)𝐴 [𝑘|𝐻𝐷𝑈𝑇|𝑒−𝛼𝐿𝐷𝑈𝑇cos(∠𝐻𝐷𝑈𝑇−𝛽𝐿𝐷𝑈𝑇)−(1−𝑘) 𝑒−𝛼𝐿𝑅𝐸𝐹cos(𝛽𝐿𝑅𝐸𝐹) +𝑗(𝑘|𝐻𝐷𝑈𝑇|𝑒−𝛼𝐿𝐷𝑈𝑇 sin(∠𝐻𝐷𝑈𝑇−𝛽𝐿𝐷𝑈𝑇)+(1−𝑘) 𝑒−𝛼𝐿𝑅𝐸𝐹sin(𝛽𝐿𝑅𝐸𝐹))] (4.23) Por tanto, el término 𝐸𝑖𝑛𝑡= ℝ𝕖(𝐸𝑖𝑛𝑡)+𝑗 𝕀𝕞(𝐸𝑖𝑛𝑡) estará compuesto por ℝ𝕖(𝐸𝑖𝑛𝑡)=(1−𝑎)𝐴 [𝑘|𝐻𝐷𝑈𝑇|𝑒−𝛼𝐿𝐷𝑈𝑇cos(∠𝐻𝐷𝑈𝑇−𝛽𝐿𝐷𝑈𝑇)−(1−𝑘) 𝑒−𝛼𝐿𝑅𝐸𝐹cos(𝛽𝐿𝑅𝐸𝐹)] (4.24) 𝕀𝕞(𝐸𝑖𝑛𝑡)=(1−𝑎)𝐴[𝑘|𝐻𝐷𝑈𝑇|𝑒−𝛼𝐿𝐷𝑈𝑇sin(∠𝐻𝐷𝑈𝑇−𝛽𝐿𝐷𝑈𝑇)+(1−𝑘) 𝑒−𝛼𝐿𝑅𝐸𝐹sin(𝛽𝐿𝑅𝐸𝐹)] (4.25) El último componente del montaje interferométrico realizado es el fotodetector. Recordando que su comportamiento se corresponde con la siguiente ecuación: 𝐼𝑖𝑛𝑡=ℜ |𝐸𝑖𝑛𝑡|2 (4.26) 25 Implementación de técnica de medida basada en interferometría espectral para caracterización de componentes ópticos y, teniendo en cuenta que se ha obtenido 𝐸𝑖𝑛𝑡 en términos reales e imaginarios de la siguiente forma: 𝐼𝑖𝑛𝑡=ℜ(ℝ𝕖2(𝐸𝑖𝑛𝑡)+𝕀𝕞2(𝐸𝑖𝑛𝑡)) (4.27) se puede aplicar dicho resultado directamente la expresión de 𝐸𝑖𝑛𝑡 obtenida en (4.24) y (4.25). 𝐼𝑖𝑛𝑡=ℜ(1−𝑎)2|𝐴|2[(𝑘|𝐻𝐷𝑈𝑇|𝑒−𝛼𝐿𝐷𝑈𝑇cos(∠𝐻𝐷𝑈𝑇−𝛽𝐿𝐷𝑈𝑇) −(1−𝑘) 𝑒−𝛼𝐿𝑅𝐸𝐹cos(𝛽𝐿𝑅𝐸𝐹))2 +(𝑘|𝐻𝐷𝑈𝑇|𝑒−𝛼𝐿𝐷𝑈𝑇sin(∠𝐻𝐷𝑈𝑇−𝛽𝐿𝐷𝑈𝑇)+(1−𝑘) 𝑒−𝛼𝐿𝑅𝐸𝐹sin(𝛽𝐿𝑅𝐸𝐹))2] (4.28) Con el objetivo de simplificar la ecuación obtenida, se van a efectuar varias transformaciones matemáticas. En primer lugar, teniendo en cuenta las identidades notables, (𝑎+𝑏)2=𝑎2+2𝑎𝑏+𝑏2 y (𝑎−𝑏)2=𝑎2− 2𝑎𝑏+𝑏2: 𝐼𝑖𝑛𝑡=ℜ(1−𝑎)2|𝐴|2[𝑘2|𝐻𝐷𝑈𝑇|2 𝑒−2𝛼𝐿𝐷𝑈𝑇cos(∠𝐻𝐷𝑈𝑇−𝛽𝐿𝐷𝑈𝑇)2 −2𝑘(1−𝑘)𝑒−𝛼(𝐿𝐷𝑈𝑇+𝐿𝑅𝐸𝐹)|𝐻𝐷𝑈𝑇|cos(∠𝐻𝐷𝑈𝑇−𝛽𝐿𝐷𝑈𝑇)cos(𝛽𝐿𝑅𝐸𝐹) +(1−𝑘)2𝑒−2𝛼𝐿𝑅𝐸𝐹cos(𝛽𝐿𝑅𝐸𝐹)2 +𝑘2|𝐻𝐷𝑈𝑇|2 𝑒−2𝛼𝐿𝐷𝑈𝑇sin(∠𝐻𝐷𝑈𝑇−𝛽𝐿𝐷𝑈𝑇)2 +2𝑘(1−𝑘)𝑒−𝛼(𝐿𝐷𝑈𝑇+𝐿𝑅𝐸𝐹)|𝐻𝐷𝑈𝑇|sin(∠𝐻𝐷𝑈𝑇−𝛽𝐿𝐷𝑈𝑇)sin(𝛽𝐿𝑅𝐸𝐹) +(1−𝑘)2𝑒−2𝛼𝐿𝑅𝐸𝐹sin(𝛽𝐿𝑅𝐸𝐹)2] (4.29) Se simplifica la expresión, 𝐼𝑖𝑛𝑡=ℜ(1−𝑎)2|𝐴|2[𝑘2|𝐻𝐷𝑈𝑇|2 𝑒−2𝛼𝐿𝐷𝑈𝑇(cos(∠𝐻𝐷𝑈𝑇−𝛽𝐿𝐷𝑈𝑇)2+sin(∠𝐻𝐷𝑈𝑇−𝛽𝐿𝐷𝑈𝑇)2) +(1−𝑘)2𝑒−2𝛼𝐿𝑅𝐸𝐹(cos(𝛽𝐿𝑅𝐸𝐹)2+sin(𝛽𝐿𝑅𝐸𝐹)2) −2𝑘(1−𝑘)𝑒−𝛼(𝐿𝐷𝑈𝑇+𝐿𝑅𝐸𝐹)|𝐻𝐷𝑈𝑇|(cos(∠𝐻𝐷𝑈𝑇−𝛽𝐿𝐷𝑈𝑇)cos(𝛽𝐿𝑅𝐸𝐹) −sin(∠𝐻𝐷𝑈𝑇−𝛽𝐿𝐷𝑈𝑇)sin(𝛽𝐿𝑅𝐸𝐹))] (4.30) Teniendo en cuenta que cos(𝑥)2+sin(𝑥)2=1 lo aplicamos a la ecuación anterior. 𝐼𝑖𝑛𝑡=ℜ(1−𝑎)2|𝐴|2[𝑘2|𝐻𝐷𝑈𝑇|2 𝑒−2𝛼𝐿𝐷𝑈𝑇 +(1−𝑘)2𝑒−2𝛼𝐿𝑅𝐸𝐹 −2𝑘(1−𝑘)𝑒−𝛼(𝐿𝐷𝑈𝑇+𝐿𝑅𝐸𝐹)|𝐻𝐷𝑈𝑇|(cos(∠𝐻𝐷𝑈𝑇−𝛽𝐿𝐷𝑈𝑇)cos(𝛽𝐿𝑅𝐸𝐹) −sin(∠𝐻𝐷𝑈𝑇−𝛽𝐿𝐷𝑈𝑇)sin(𝛽𝐿𝑅𝐸𝐹))] (4.31) Por otro lado, cos(𝑎+𝑏)=cos𝑎cos𝑏−sin𝑎sin𝑏, 𝐼𝑖𝑛𝑡=ℜ(1−𝑎)2|𝐴|2[𝑘2|𝐻𝐷𝑈𝑇|2 𝑒−2𝛼𝐿𝐷𝑈𝑇+(1−𝑘)2𝑒−2𝛼𝐿𝑅𝐸𝐹 −2𝑘(1−𝑘)𝑒−𝛼(𝐿𝐷𝑈𝑇+𝐿𝑅𝐸𝐹)|𝐻𝐷𝑈𝑇|cos(∠𝐻𝐷𝑈𝑇−𝛽𝐿𝐷𝑈𝑇+𝛽𝐿𝑅𝐸𝐹)] (4.32) Se agrupan las longitudes y, se tiene en cuenta que 𝐿𝐷𝑈𝑇 >𝐿𝑅𝐸𝐹: 𝐼𝑖𝑛𝑡=ℜ(1−𝑎)2|𝐴|2[𝑘2|𝐻𝐷𝑈𝑇|2 𝑒−2𝛼𝐿𝐷𝑈𝑇 +(1−𝑘)2𝑒−2𝛼𝐿𝑅𝐸𝐹 −2𝑘(1−𝑘)𝑒−𝛼(𝐿𝐷𝑈𝑇+𝐿𝑅𝐸𝐹)|𝐻𝐷𝑈𝑇|cos(∠𝐻𝐷𝑈𝑇−𝛽(𝐿𝐷𝑈𝑇−𝐿𝑅𝐸𝐹))] (4.33) Esta expresión se ha llamado función interferométrica, y es el resultado obtenido después del fotodetector, tras hacer pasar la señal de la fuente por el montaje interferométrico que se ha explicado. Como se puede observar, es una medida de potencia; pero, sin embargo, hay un término de la función en la que aparece la fase del DUT. Mediante la realización de un algoritmo matemático, dicho término va a permitir recuperar la función de transferencia compleja del dispositivo bajo prueba. OFDR 26 La técnica OFDR prosigue con el tratamiento de esta señal mediante la realización de la transformada inversa de Fourier. Para poder desarrollarlo, se ha dividido la expresión obtenida en tres partes: 𝐼𝑖𝑛𝑡|1=ℜ(1−𝑎)2|𝐴|2(1−𝑘)2𝑒−2𝛼𝐿𝑅𝐸𝐹 (4.34) 𝐼𝑖𝑛𝑡|2=ℜ(1−𝑎)2|𝐴|2𝑘2|𝐻𝐷𝑈𝑇|2 𝑒−2𝛼𝐿𝐷𝑈𝑇 (4.35) 𝐼𝑖𝑛𝑡|3=−ℜ(1−𝑎)2|𝐴|22𝑘(1−𝑘)𝑒−𝛼(𝐿𝐷𝑈𝑇+𝐿𝑅𝐸𝐹)|𝐻𝐷𝑈𝑇|cos(∠𝐻𝐷𝑈𝑇−𝛽(𝐿𝐷𝑈𝑇−𝐿𝑅𝐸𝐹)) (4.36) En primer lugar, 𝐼𝑖𝑛𝑡|1 representa un término constante centrado en el origen, que depende de la amplitud de la fuente de excitación y de las atenuaciones o amplificaciones producidas por los elementos intermedios que se encuentran en el montaje. 𝑖𝑖𝑛𝑡|1=ℱ−1{ℜ(1−𝑎)2|𝐴|2(1−𝑘)2𝑒−2𝛼𝐿𝑅𝐸𝐹} (4.37) Esta transformada inversa dará lugar a una delta en el origen cuya amplitud dependerá de estos términos: 𝑖𝑖𝑛𝑡|1=ℜ(1−𝑎)2|𝐴|2(1−𝑘)2𝑒−2𝛼𝐿𝑅𝐸𝐹 𝛿(𝑡) (4.38) En segundo lugar, el término 𝐼𝑖𝑛𝑡|2 es proporcional a la densidad espectral de potencia del dispositivo bajo prueba. Del mismo modo que el anterior, se encuentra afectado por el comportamiento de los elementos del montaje interferométrico. 𝑖𝑖𝑛𝑡|2=ℱ−1{ℜ(1−𝑎)2|𝐴|2𝑘2 𝑒−2𝛼𝐿𝐷𝑈𝑇|𝐻𝐷𝑈𝑇|2} (4.39) Esta operación dará lugar a la autocorrelación de la respuesta impulsiva del DUT, que estará también centrada en el origen. 𝑖𝑖𝑛𝑡|2=ℜ(1−𝑎)2|𝐴|2𝑘2 𝑒−2𝛼𝐿𝐷𝑈𝑇𝓇ℎ𝐷𝑈𝑇ℎ𝐷𝑈𝑇(𝑡) (4.40) El último término de la función interferométrica es el término que permitirá la adquisición de la función de transferencia del dispositivo bajo prueba. 𝑖𝑖𝑛𝑡|3=ℱ−1{−ℜ(1−𝑎)2|𝐴|22𝑘(1 −𝑘)𝑒−𝛼(𝐿𝐷𝑈𝑇+𝐿𝑅𝐸𝐹)|𝐻𝐷𝑈𝑇|cos(∠𝐻𝐷𝑈𝑇−𝛽(𝐿𝐷𝑈𝑇−𝐿𝑅𝐸𝐹))} (4.41) Para hacer la transformada de Fourier inversa de este término se va a acometer un análisis matemático solo de los términos que dependen de la frecuencia, agrupando los términos −ℜ(1−𝑎)2|𝐴|22𝑘(1− 𝑘)𝑒−𝛼(𝐿𝐷𝑈𝑇+𝐿𝑅𝐸𝐹) bajo el nombre de 𝑐𝑡𝑒. 𝑖𝑖𝑛𝑡|3=ℱ−1{𝑐𝑡𝑒 |𝐻𝐷𝑈𝑇|cos(∠𝐻𝐷𝑈𝑇−𝛽(𝐿𝐷𝑈𝑇−𝐿𝑅𝐸𝐹))} (4.42) Para comenzar, se va a desarrollar la expresión del coseno en su versión en exponenciales: cos(𝑥)= 1 2(𝑒𝑗𝑥+𝑒−𝑗𝑥), 𝑖𝑖𝑛𝑡|3=ℱ−1{𝑐𝑡𝑒 (1 2|𝐻𝐷𝑈𝑇|𝑒𝑗∠𝐻𝐷𝑈𝑇𝑒−𝑗𝛽(𝐿𝐷𝑈𝑇−𝐿𝑅𝐸𝐹)+1 2|𝐻𝐷𝑈𝑇|𝑒−𝑗∠𝐻𝐷𝑈𝑇𝑒𝑗𝛽(𝐿𝐷𝑈𝑇−𝐿𝑅𝐸𝐹))} (4.43) 27 Implementación de técnica de medida basada en interferometría espectral para caracterización de componentes ópticos Como se puede apreciar, ha aparecido el término |𝐻𝐷𝑈𝑇|𝑒𝑗∠𝐻𝐷𝑈𝑇, que corresponde con la función de transferencia compleja del DUT, es decir, 𝐻𝐷𝑈𝑇. Del mismo modo, también está presente el conjugado de dicha función de transferencia, 𝐻𝐷𝑈𝑇∗, de la forma |𝐻𝐷𝑈𝑇|𝑒−𝑗∠𝐻𝐷𝑈𝑇. 𝑖𝑖𝑛𝑡|3=ℱ−1{𝑐𝑡𝑒 (1 2𝐻𝐷𝑈𝑇𝑒−𝑗𝛽(𝐿𝐷𝑈𝑇−𝐿𝑅𝐸𝐹)+1 2𝐻𝐷𝑈𝑇∗𝑒𝑗𝛽(𝐿𝐷𝑈𝑇−𝐿𝑅𝐸𝐹))} (4.44) A continuación, se desarrollan las exponenciales mediante la fórmula de Euler. 𝑖𝑖𝑛𝑡|3=ℱ−1{𝑐𝑡𝑒 (1 2𝐻𝐷𝑈𝑇[cos(𝛽(𝐿𝐷𝑈𝑇−𝐿𝑅𝐸𝐹))−𝑗sin(𝛽(𝐿𝐷𝑈𝑇−𝐿𝑅𝐸𝐹))] +1 2𝐻𝐷𝑈𝑇∗[cos(𝛽(𝐿𝐷𝑈𝑇−𝐿𝑅𝐸𝐹))+𝑗sin(𝛽(𝐿𝐷𝑈𝑇−𝐿𝑅𝐸𝐹))])} (4.45) Se agrupan los términos en parte real y parte imaginaria. 𝑖𝑖𝑛𝑡|3=ℱ−1{𝑐𝑡𝑒 (1 2(𝐻𝐷𝑈𝑇+𝐻𝐷𝑈𝑇∗)cos(𝛽(𝐿𝐷𝑈𝑇−𝐿𝑅𝐸𝐹)) +1 2𝑗(−𝐻𝐷𝑈𝑇+𝐻𝐷𝑈𝑇∗)sin(𝛽(𝐿𝐷𝑈𝑇−𝐿𝑅𝐸𝐹)))} (4.46) Teniendo en cuenta que 𝐻𝐷𝑈𝑇+𝐻𝐷𝑈𝑇∗=2ℝ𝕖{𝐻𝐷𝑈𝑇} y que 𝐻𝐷𝑈𝑇−𝐻𝐷𝑈𝑇∗=2𝕀𝕞{𝐻𝐷𝑈𝑇}, se puede simplificar la expresión, 𝑖𝑖𝑛𝑡|3=ℱ−1{𝑐𝑡𝑒 (ℝ𝕖{𝐻𝐷𝑈𝑇}cos(𝛽(𝐿𝐷𝑈𝑇−𝐿𝑅𝐸𝐹))−𝑗𝕀𝕞{𝐻𝐷𝑈𝑇}sin(𝛽(𝐿𝐷𝑈𝑇−𝐿𝑅𝐸𝐹)))} (4.47) A partir de las propiedades de la transformada de Fourier, se puede aplicar la propiedad que establece que una multiplicación en frecuencia es equivalente a una convolución en el tiempo, 𝑖𝑖𝑛𝑡|3=𝑐𝑡𝑒(ℱ−1{ℝ𝕖{𝐻𝐷𝑈𝑇}}∗ℱ−1{cos(𝛽(𝐿𝐷𝑈𝑇−𝐿𝑅𝐸𝐹))}−𝑗ℱ−1{𝕀𝕞{𝐻𝐷𝑈𝑇}} ∗ℱ−1{sin(𝛽(𝐿𝐷𝑈𝑇−𝐿𝑅𝐸𝐹))}) (4.48) Empleando lo explicado en el apartado 3.3 acerca de la relación entre las partes reales e imaginarias y las partes par e impar, así como las transformadas de seno y coseno y, teniendo en cuenta que 𝛽=2𝜋𝑓𝑛/𝑐, se obtiene 𝑖𝑖𝑛𝑡|3=𝑐𝑡𝑒(ℰ𝓋ℯ𝓃{ℎ𝐷𝑈𝑇}∗[1 2(𝛿(𝑡+𝐿𝐷𝑈𝑇−𝐿𝑅𝐸𝐹 𝑐𝑛)+𝛿(𝑡−𝐿𝐷𝑈𝑇−𝐿𝑅𝐸𝐹 𝑐𝑛))] −𝑗𝒪𝒹𝒹{ℎ𝐷𝑈𝑇}∗[1 2𝑗(𝛿(𝑡+𝐿𝐷𝑈𝑇−𝐿𝑅𝐸𝐹 𝑐𝑛)−𝛿(𝑡−𝐿𝐷𝑈𝑇−𝐿𝑅𝐸𝐹 𝑐𝑛))]) (4.49) A continuación, se sustituyen los valores de las partes par e impar, 𝑖𝑖𝑛𝑡|3=𝑐𝑡𝑒1 4((ℎ𝐷𝑈𝑇(𝑡)+ℎ𝐷𝑈𝑇∗(−𝑡))∗[(𝛿(𝑡+𝐿𝐷𝑈𝑇−𝐿𝑅𝐸𝐹 𝑐𝑛)+𝛿(𝑡−𝐿𝐷𝑈𝑇−𝐿𝑅𝐸𝐹 𝑐𝑛))] −(ℎ𝐷𝑈𝑇(𝑡)−ℎ𝐷𝑈𝑇∗(−𝑡)) ∗[(𝛿(𝑡+𝐿𝐷𝑈𝑇−𝐿𝑅𝐸𝐹 𝑐𝑛)−𝛿(𝑡−𝐿𝐷𝑈𝑇−𝐿𝑅𝐸𝐹 𝑐𝑛))]) (4.50) y se realiza la convolución aplicando la propiedad ℎ(𝑡)∗𝛿(𝑡−𝑎)=ℎ(𝑡−𝑎), OFDR 28 𝑖𝑖𝑛𝑡|3=𝑐𝑡𝑒1 4(ℎ𝐷𝑈𝑇(𝑡+𝐿𝐷𝑈𝑇−𝐿𝑅𝐸𝐹 𝑐𝑛)+ℎ𝐷𝑈𝑇(𝑡−𝐿𝐷𝑈𝑇−𝐿𝑅𝐸𝐹 𝑐𝑛) +ℎ𝐷𝑈𝑇∗(−𝑡+𝐿𝐷𝑈𝑇−𝐿𝑅𝐸𝐹 𝑐𝑛)+ℎ𝐷𝑈𝑇∗(−𝑡−𝐿𝐷𝑈𝑇−𝐿𝑅𝐸𝐹 𝑐𝑛) −ℎ𝐷𝑈𝑇(𝑡+𝐿𝐷𝑈𝑇−𝐿𝑅𝐸𝐹 𝑐𝑛)+ℎ𝐷𝑈𝑇(𝑡−𝐿𝐷𝑈𝑇−𝐿𝑅𝐸𝐹 𝑐𝑛) +ℎ𝐷𝑈𝑇∗(−𝑡+𝐿𝐷𝑈𝑇−𝐿𝑅𝐸𝐹 𝑐𝑛)−ℎ𝐷𝑈𝑇∗(−𝑡−𝐿𝐷𝑈𝑇−𝐿𝑅𝐸𝐹 𝑐𝑛)) (4.51) Asimismo, se opera en la ecuación y se sustituye el valor de 𝑐𝑡𝑒: 𝑖𝑖𝑛𝑡|3=−ℜ(1−𝑎)2|𝐴|22𝑘(1−𝑘)𝑒−𝛼(𝐿𝐷𝑈𝑇+𝐿𝑅𝐸𝐹)1 4(2ℎ𝐷𝑈𝑇(𝑡−𝐿𝐷𝑈𝑇−𝐿𝑅𝐸𝐹 𝑐𝑛) +2ℎ𝐷𝑈𝑇∗(−𝑡+𝐿𝐷𝑈𝑇−𝐿𝑅𝐸𝐹 𝑐𝑛)) (4.52) 𝑖𝑖𝑛𝑡|3=−ℜ(1−𝑎)2|𝐴|2𝑘(1−𝑘)𝑒−𝛼(𝐿𝐷𝑈𝑇+𝐿𝑅𝐸𝐹)(ℎ𝐷𝑈𝑇(𝑡−𝐿𝐷𝑈𝑇−𝐿𝑅𝐸𝐹 𝑐𝑛) +ℎ𝐷𝑈𝑇∗(−𝑡+𝐿𝐷𝑈𝑇−𝐿𝑅𝐸𝐹 𝑐𝑛)) (4.53) En esta expresión se puede ver la respuesta impulsiva del dispositivo bajo prueba desplazada en el factor 𝐿𝐷𝑈𝑇−𝐿𝑅𝐸𝐹 𝑐𝑛. Este término contiene tanto la respuesta en magnitud como la respuesta en fase del dispositivo, caracterizándolo totalmente. Una vez se ha realizado la transformada de Fourier inversa a todos los componentes de la función interferométrica, se pueden unir para obtener dicha función de forma completa en el tiempo. 𝑖𝑖𝑛𝑡=ℜ(1−𝑎)2|𝐴|2(1−𝑘)2𝑒−2𝛼𝐿𝑅𝐸𝐹 𝛿(𝑡)+ℜ(1−𝑎)2|𝐴|2𝑘2 𝑒−2𝛼𝐿𝐷𝑈𝑇𝓇ℎ𝐷𝑈𝑇ℎ𝐷𝑈𝑇(𝑡) −ℜ(1−𝑎)2|𝐴|2𝑘(1−𝑘)𝑒−𝛼(𝐿𝐷𝑈𝑇+𝐿𝑅𝐸𝐹)(ℎ𝐷𝑈𝑇(𝑡−𝐿𝐷𝑈𝑇−𝐿𝑅𝐸𝐹 𝑐𝑛) +ℎ𝐷𝑈𝑇∗(−𝑡+𝐿𝐷𝑈𝑇−𝐿𝑅𝐸𝐹 𝑐𝑛)) (4.54) Recapitulando, esta expresión es la transformada de Fourier inversa de la medida de potencia proporcionada por el fotodetector. De toda esta ecuación, solo interesa obtener la respuesta impulsiva del DUT. Como se ha ido reflejando, los dos primeros términos están centrados en el origen, mientras que el tercer término está compuesto por dos partes, una centrada en 𝐿𝐷𝑈𝑇−𝐿𝑅𝐸𝐹 𝑐𝑛, que se corresponde con la señal de interés y otra centrada en −𝐿𝐷𝑈𝑇−𝐿𝑅𝐸𝐹 𝑐𝑛, que se corresponde con la señal de interés con una serie de transformaciones matemáticas. Para finalizar la técnica OFDR, se procede a enventanar dicha señal de interés mediante el uso de una ventana que representaremos mediante la letra 𝒲. De esta forma, la respuesta impulsiva recuperada se construirá: ℎ𝐷𝑈𝑇,𝑟𝑒𝑐 =𝑖𝑖𝑛𝑡 𝒲=−ℜ(1−𝑎)2|𝐴|2𝑘(1−𝑘)𝑒−𝛼(𝐿𝐷𝑈𝑇+𝐿𝑅𝐸𝐹)ℎ𝐷𝑈𝑇(𝑡−𝐿𝐷𝑈𝑇−𝐿𝑅𝐸𝐹 𝑐𝑛) (4.55) 29 Implementación de técnica de medida basada en interferometría espectral para caracterización de componentes ópticos La respuesta impulsiva recuperada será igual a la respuesta impulsiva del DUT desplazada en la cantidad 𝐿𝐷𝑈𝑇−𝐿𝑅𝐸𝐹 𝑐𝑛 y atenuada en la cantidad −ℜ(1−𝑎)2|𝐴|2𝑘(1−𝑘)𝑒−𝛼(𝐿𝐷𝑈𝑇+𝐿𝑅𝐸𝐹). Para escalar adecuadamente la respuesta impulsiva recuperada, se compensará este factor de atenuación, pues todos los componentes son valores conocidos. ℎ𝐷𝑈𝑇,𝑛𝑜𝑟𝑚=𝐹𝑒 𝑖𝑖𝑛𝑡 𝒲=ℎ𝐷𝑈𝑇(𝑡−𝐿𝐷𝑈𝑇−𝐿𝑅𝐸𝐹 𝑐𝑛) (4.56) donde 𝐹𝑒=−1 ℜ(1−𝑎)2|𝐴|2𝑘(1−𝑘)𝑒−𝛼(𝐿𝐷𝑈𝑇+𝐿𝑅𝐸𝐹) y se ha llamado factor de escalado. Con el fin de obtener la función de transferencia del dispositivo, basta con realizar la transformada de Fourier al resultado anterior 𝐻𝐷𝑈𝑇,𝑟𝑒𝑐 = ℱ{ℎ𝐷𝑈𝑇,𝑛𝑜𝑟𝑚}=𝐻𝐷𝑈𝑇 𝑒−𝑗𝐿𝐷𝑈𝑇−𝐿𝑅𝐸𝐹 𝑐𝑛 (4.57) Para compensar el retardo producido por la diferencia en la propagación, se puede multiplicar por la inversa de la exponencial anterior, con el objetivo de conseguir la función de transferencia del dispositivo bajo prueba sin desplazamiento alguno. 𝐻𝐷𝑈𝑇=𝐻𝐷𝑈𝑇,𝑟𝑒𝑐 𝑒𝑗𝐿𝐷𝑈𝑇−𝐿𝑅𝐸𝐹 𝑐𝑛=𝐻𝐷𝑈𝑇 𝑒−𝑗𝐿𝐷𝑈𝑇−𝐿𝑅𝐸𝐹 𝑐𝑛𝑒𝑗𝐿𝐷𝑈𝑇−𝐿𝑅𝐸𝐹 𝑐𝑛=𝐻𝐷𝑈𝑇 (4.58) OFDR 30 31 5 HTSI a técnica HTSI (Hilbert Transform Spectral Interferometry) fue desarrollada por Alejando Carballar y Carlos Janer en [14]. Se le dio este nombre como analogía a la técnica FTSI (Fourier Transform Spectral Interferometry), la cual está basada en OFDR, y emplea un algoritmo de reconstrucción fundamentado en el análisis de Fourier. HTSI se basa en obtener la respuesta en fase a partir de la respuesta en magnitud (más fácil de conseguir como ya se ha mencionado) mediante la transformada de Hilbert. A lo largo de este capítulo se recogen una serie de conceptos necesarios para entender el funcionamiento del algoritmo que realiza HTSI. En primer lugar, se expondrá la relación entre módulo y fase de una función de transferencia, proponiendo un algoritmo de reconstrucción de fase mínima basado en la transformada de Hilbert, y la transformación de un sistema cualquiera en uno con función de transferencia de fase mínima. Posteriormente, y de forma equivalente a la explicación de la técnica OFDR, se procederá a explicar el montaje interferométrico y el funcionamiento completo del algoritmo. 5.1. Relación módulo-fase Como mostró en el apartado 3.3, las partes real e imaginaria de la función de transferencia están relacionadas con las partes par e impar de la respuesta impulsiva mediante la Transformada de Fourier. Por lo tanto, debido a que las partes par e impar están relacionadas entre sí mediante las siguientes ecuaciones ℎ𝑒(𝑡)=ℎ𝑜(𝑡) 𝑠𝑖𝑔𝑛(𝑡) (5.1) ℎ𝑜(𝑡)=ℎ𝑒(𝑡) 𝑠𝑖𝑔𝑛(𝑡) (5.2) se puede hallar la correspondencia de estas expresiones, con el objetivo de vincular la parte real e imaginaria de 𝐻(𝑓). Así, realizando los cálculos con la frecuencia angular para ser congruentes con el desarrollo en [5], que se relaciona con la frecuencia mediante la expresión 𝜔=2𝜋𝑓 y, teniendo en cuenta que la transformada de Fourier de la función signo es 2/𝑗𝜔, se obtiene: ℝ𝕖[𝐻(𝜔)]=1 2𝜋{𝑗𝕀𝕞[𝐻(𝜔)]∗2 𝑗𝜔} (5.3) 𝑗𝕀𝕞[𝐻(𝜔)]=1 2𝜋{ℝ𝕖[𝐻(𝜔)]∗2 𝑗𝜔} (5.4) L If opportunity doesn’t knock, build a door. Si la oportunidad no llama, construye una puerta. - Milton Berle - HTSI 38 luz blanca, manteniéndose constante en todo el ancho de banda de interés. 𝐸𝑠=𝐴 (5.44) donde 𝐴 es la amplitud de la fuente óptica. A la salida del primer acoplador óptico tenemos dos ramas: 𝐸𝑡𝑒𝑠𝑡𝑖 (correspondiente a la rama en la que se encuentra el DUT) y 𝐸𝑟𝑒𝑓𝑖 (correspondiente a la rama de que actúa como referencia). Aplicando la matriz de transmisión de este dispositivo, y, teniendo en cuenta que solo tenemos una señal de entrada, obtenemos las siguientes señales. 𝐸𝑡𝑒𝑠𝑡𝑖 =√(1−𝑎)𝑘 𝐴 (5.45) 𝐸𝑟𝑒𝑓𝑖 =𝑗√(1−𝑎)(1−𝑘) 𝐴 (5.46) Una vez que este par de señales llega al segundo acoplador, se han nombrado como 𝐸𝑡𝑒𝑠𝑡𝑜 y 𝐸𝑟𝑒𝑓𝑜 respectivamente. La primera señal ha pasado por el dispositivo bajo prueba, por lo que se ve afectada por la función de transferencia compleja de este. Además, hay que tener en cuenta el desplazamiento que se produce al recorrer este brazo del interferómetro. 𝐸𝑡𝑒𝑠𝑡𝑜=𝐸𝑡𝑒𝑠𝑡𝑖 𝐻𝐷𝑈𝑇 𝑒−(𝛼+𝑗𝛽)𝐿𝐷𝑈𝑇 (5.47) Por su parte, la señal que recorre el brazo de referencia se ve afectada solamente por las características correspondientes a la fibra óptica por la que transcurre. De esta manera, se ve afectada por la constante de atenuación, la constante de propagación y la longitud de la fibra. 𝐸𝑟𝑒𝑓𝑜 =𝐸𝑟𝑒𝑓𝑖 𝑒−(𝛼+𝑗𝛽)𝐿𝑅𝐸𝐹 (5.48) donde 𝛼 se corresponde con la constante de atenuación de la fibra que representa las pérdidas que se producen en esta (expresada en pérdidas/distancia); mientras que 𝛽 representa la constante de propagación de la fibra y se identifica con 𝛽=2𝜋𝑓𝑛/𝑐 (5.49) Sustituyendo en ambas ecuaciones los valores de 𝐸𝑡𝑒𝑠𝑡𝑖 y 𝐸𝑟𝑒𝑓𝑖 respectivamente, se puede obtener 𝐸𝑡𝑒𝑠𝑡𝑜=√(1−𝑎)𝑘 𝐴 𝐻𝐷𝑈𝑇 𝑒−(𝛼+𝑗𝛽)𝐿𝐷𝑈𝑇 (5.50) 𝐸𝑟𝑒𝑓𝑜=𝑗√(1−𝑎)(1−𝑘) 𝐴 𝑒−(𝛼+𝑗𝛽)𝐿𝑅𝐸𝐹 (5.51) A continuación, ambas ramas se unen a través de un segundo acoplador óptico. En este caso, solo consideraremos una salida, que será de la forma: 𝐹𝑖𝑛𝑡=√(1−𝑎)𝑘 𝐸𝑡𝑒𝑠𝑡𝑜+𝑗√(1−𝑎)(1−𝑘) 𝐸𝑟𝑒𝑓𝑜 (5.52) Hasta ahora se ha mantenido la nomenclatura con el fin de que fuese similar con la técnica OFDR. Sin embargo, se ha renombrado la señal 𝐸𝑖𝑛𝑡 como 𝐹𝑖𝑛𝑡 para ser coherente con la nomenclatura empleada en [14]. De este modo, 𝐹𝑖𝑛𝑡 se denota como función interferométrica compleja. 𝐹𝑖𝑛𝑡=√(1−𝑎)𝑘√(1−𝑎)𝑘 𝐴 𝐻𝐷𝑈𝑇 𝑒−(𝛼+𝑗𝛽)𝐿𝐷𝑈𝑇 +𝑗√(1−𝑎)(1−𝑘)𝑗√(1−𝑎)(1−𝑘) 𝐴 𝑒−(𝛼+𝑗𝛽)𝐿𝑅𝐸𝐹 (5.53) 39 Implementación de técnica de medida basada en interferometría espectral para caracterización de componentes ópticos Seguidamemte, se desarrolla la anterior expresión matemática. 𝐹𝑖𝑛𝑡=(1−𝑎)𝑘 𝐴 𝐻𝐷𝑈𝑇 𝑒−(𝛼+𝑗𝛽)𝐿𝐷𝑈𝑇 −(1−𝑎)(1−𝑘) 𝐴 𝑒−(𝛼+𝑗𝛽)𝐿𝑅𝐸𝐹 (5.54) Sacando como factor común el término asociado a las pérdidas de los acopladores ópticos y la amplitud de la fuente óptica se obtiene: 𝐹𝑖𝑛𝑡=(1−𝑎)𝐴 (𝑘 𝐻𝐷𝑈𝑇 𝑒−(𝛼+𝑗𝛽)𝐿𝐷𝑈𝑇 −(1−𝑘) 𝑒−(𝛼+𝑗𝛽)𝐿𝑅𝐸𝐹) (5.55) Para poder aplicar el método HTSI, hay que disponer de una función de fase mínima. Para ello, se saca factor común a la expresión anterior. 𝐹𝑖𝑛𝑡=(1−𝑎)𝐴 (1−𝑘) 𝑒−(𝛼+𝑗𝛽)𝐿𝑅𝐸𝐹 (−1+ 𝑘 1−𝑘 𝐻𝐷𝑈𝑇 𝑒−(𝛼+𝑗𝛽)(𝐿𝐷𝑈𝑇−𝐿𝑅𝐸𝐹)) (5.56) De esta manera, la expresión que se encuentra entre paréntesis constituye una función de fase mínima a la que llamaremos función interferométrica normalizada compleja, ya que se puede identificar con la expresión (5.33). 𝐹𝑖𝑛𝑡,𝑛𝑜𝑟𝑚=−1+ 𝑘 1−𝑘 𝐻𝐷𝑈𝑇 𝑒−(𝛼+𝑗𝛽)(𝐿𝐷𝑈𝑇−𝐿𝑅𝐸𝐹)=−1+𝜂 𝐻(𝜔) (5.57) Del apartado 5.3 hay que recordar que el valor de 𝜂 está acotado de forma 0<𝜂<1. Como consecuencia, para que la expresión anterior sea cierta se debe cumplir la siguiente restricción: 0< 𝑘 1−𝑘<1 (5.58) lo cual implica que el valor de la constante de acoplo, 𝑘, debe ser menor que 0.5, siendo ese valor el límite, pues ya presentaría una discontinuidad en la fase. Por tanto, la expresión (5.56) queda de la siguiente forma: 𝐹𝑖𝑛𝑡=(1−𝑎)𝐴 (1−𝑘) 𝑒−(𝛼+𝑗𝛽)𝐿𝑅𝐸𝐹 𝐹𝑖𝑛𝑡,𝑛𝑜𝑟𝑚 (5.59) El último componente del montaje interferométrico realizado es el fotodetector. Recordando que su comportamiento se corresponde con la siguiente ecuación 𝐼𝑖𝑛𝑡=ℜ |𝐹𝑖𝑛𝑡|2 (5.60) podemos obtener la siguiente corriente fotodetectada: 𝐼𝑖𝑛𝑡=ℜ |(1−𝑎)𝐴 (1−𝑘) 𝑒−(𝛼+𝑗𝛽)𝐿𝑅𝐸𝐹 (−1+ 𝑘 1−𝑘 𝐻𝐷𝑈𝑇 𝑒−(𝛼+𝑗𝛽)(𝐿𝐷𝑈𝑇−𝐿𝑅𝐸𝐹))|2 (5.61) Esta expresión es la que se obtendría a la salida del fotodetector. Una vez se ha completado esta fase, se comienza a aplicar la técnica HTSI, que comienza normalizando dicha expresión para que no dependa de la responsividad del fotodetector. 𝐼𝑖𝑛𝑡,𝑛𝑜𝑟𝑚=𝐼𝑖𝑛𝑡/ℜ (5.62) donde llamaremos a 𝐼𝑖𝑛𝑡,𝑛𝑜𝑟𝑚 a la corriente fotodetectada normalizada. Desarrollando la expresión HTSI 40 𝐼𝑖𝑛𝑡,𝑛𝑜𝑟𝑚= |(1−𝑎)𝐴 (1−𝑘) 𝑒−(𝛼+𝑗𝛽)𝐿𝑅𝐸𝐹 (−1+ 𝑘 1−𝑘 𝐻𝐷𝑈𝑇 𝑒−(𝛼+𝑗𝛽)(𝐿𝐷𝑈𝑇−𝐿𝑅𝐸𝐹))|2 (5.63) y, considerando que la función interferométrica normalizada es compleja, y que, por tanto, se puede descomponer en módulo y fase de la forma: 𝐹𝑖𝑛𝑡,𝑛𝑜𝑟𝑚=|𝐹𝑖𝑛𝑡,𝑛𝑜𝑟𝑚|𝑒∠𝐹𝑖𝑛𝑡,𝑛𝑜𝑟𝑚 (5.64) se puede expresar (5.63) de la siguiente forma: 𝐼𝑖𝑛𝑡,𝑛𝑜𝑟𝑚= |(1−𝑎)𝐴 (1−𝑘) 𝑒−(𝛼+𝑗𝛽)𝐿𝑅𝐸𝐹 |𝐹𝑖𝑛𝑡,𝑛𝑜𝑟𝑚|𝑒𝑗∠𝐹𝑖𝑛𝑡,𝑛𝑜𝑟𝑚|2 (5.65) Aplicando el operador módulo existente en la anterior ecuación se obtiene: 𝐼𝑖𝑛𝑡,𝑛𝑜𝑟𝑚=(1−𝑎)2 |𝐴|2 (1−𝑘)2 𝑒−2𝛼𝐿𝑅𝐸𝐹 |𝐹𝑖𝑛𝑡,𝑛𝑜𝑟𝑚|2 (5.66) Se despeja, a continuación, la función de interés para el procedimiento, es decir, el módulo de la función interferométrica normalizado: |𝐹𝑖𝑛𝑡,𝑛𝑜𝑟𝑚|=√ 𝐼𝑖𝑛𝑡,𝑛𝑜𝑟𝑚 (1−𝑎)2 |𝐴|2 (1−𝑘)2 𝑒−2𝛼𝐿𝑅𝐸𝐹 (5.67) En esta ecuación, todos los datos son conocidos, 𝐼𝑖𝑛𝑡,𝑛𝑜𝑟𝑚 proviene de la señal de salida del montaje interferométrico, mientras que el resto de parámetros son debidos a elementos de dicho montaje y, por tanto, tienen un valor conocido. Mediante esta operación, obtenemos la respuesta en magnitud de una función de fase mínima. El siguiente paso del procedimiento es el cálculo de la respuesta en fase de la función interferométrica normalizada. Para ello, se parte de la respuesta en magnitud, y se utiliza una transformada de Hilbert, relaciones de Kramers-Krönig o cualquier otro algoritmo de reconstrucción de fase. Se aplica el algoritmo explicado en el apartado 5.2. ∠𝐹𝑖𝑛𝑡,𝑛𝑜𝑟𝑚=1 𝜋∫ln(|𝐹𝑖𝑛𝑡,𝑛𝑜𝑟𝑚|) Ω−𝜔 𝑑Ω ∞ −∞ (5.68) A partir de la respuesta en magnitud y la respuesta en fase de la función interferométrica normalizada se puede construir la función interferométrica normalizada compleja. Esta construcción es inmediata, de la forma 𝐹𝑖𝑛𝑡,𝑛𝑜𝑟𝑚=|𝐹𝑖𝑛𝑡,𝑛𝑜𝑟𝑚|𝑒∠𝐹𝑖𝑛𝑡,𝑛𝑜𝑟𝑚 (5.69) Teniendo en cuenta la composición de la función interferométrica normalizada, atendiendo a (5.57), obtenemos 𝐹𝑖𝑛𝑡,𝑛𝑜𝑟𝑚=−1+ 𝑘 1−𝑘 𝐻𝐷𝑈𝑇 𝑒−(𝛼+𝑗𝛽)(𝐿𝐷𝑈𝑇−𝐿𝑅𝐸𝐹) (5.70) Por último, para llegar a la función de transferencia del DUT, basta con emplear la relación que se acaba de exponer: 41 Implementación de técnica de medida basada en interferometría espectral para caracterización de componentes ópticos 𝐻𝐷𝑈𝑇=1−𝑘 𝑘𝑒−(𝛼+𝑗𝛽)(𝐿𝐷𝑈𝑇−𝐿𝑅𝐸𝐹) (1+𝐹𝑖𝑛𝑡,𝑛𝑜𝑟𝑚) (5.71) La obtención de la respuesta impulsiva del DUT se calcula mediante la transformada de Fourier inversa de la característica espectral completa del DUT obtenida previamente. ℎ𝐷𝑈𝑇=ℱ−1{𝐻𝐷𝑈𝑇} (5.72) HTSI 42 43 6 MODELADO EN MATLAB on el objetivo de demostrar el funcionamiento de ambas técnicas, así como de simular su funcionamiento, se ha realizado una implementación en Matlab que representa el comportamiento de ambas. El banco de pruebas que se ha empleado consta de cuatro redes de difracción de Bragg en fibra. Cada una de ellas tiene la información guardada en los siguientes ficheros: fg_uniforme.mat, fg_uniformeapodizado.mat, fg_chirp.mat y fg_chirpapodizado.mat. Tal y como los nombres indican, se corresponden respectivamente con una FBG uniforme, uniforme con función de apodizado, linealmente chirpeada y linealmente chirpeada con función de apodizado. Cada uno de esos ficheros contiene las siguientes variables: - t_i: espacio de representación de tiempos. - f_i: espacio de representación de frecuencias. - hr_0L: respuesta impulsiva compleja en reflexión. - ht_0L: respuesta impulsiva compleja en transmisión. - r_0L: función de transferencia compleja en reflexión. - t_0L: función de transferencia compleja en transmisión. Esto permitirá analizar el comportamiento de los elementos del banco de pruebas tanto en transmisión como en reflexión. 6.1. OFDR Para la simulación en Matlab de la técnica OFDR se han efectuado las siguientes consideraciones: - La amplitud de la fuente utilizada es la unidad. - El acoplador direccional manejado será un dispositivo ideal con unas pérdidas nulas. - La constante de acoplo de dicho dispositivo se corresponderá con 3dB, es decir, 0.5. De esta manera, el acoplador divide la potencia entre sus salidas en partes iguales, - La constante de atenuación de la fibra óptica también es nula, mientras que el índice de refracción es el típico de la SMF-SiO2, es decir, de una fibra monomodo. C We ourselves feel that what we are doing is just a drop in the ocean. But the ocean would be less because that missing drop. A veces sentimos que lo que hacemos es tan solo una gota en el mar, pero el mar sería menos si le faltara una gota. - Madre Teresa de Calcuta - Modelado en Matlab 44 - La responsividad del fotodetector es 1. Amplitud de la fuente A=1 Constante de pérdidas de acopladores 𝑎=0 Constante de acoplo de acopladores 𝑘=1 2 Constante de atenuación de la fibra 𝛼=0 Índice de refracción de la fibra 𝑛=1.452 Responsividad del fotodetector ℜ=1 Longitud del brazo del DUT 𝐿𝐷𝑈𝑇=110 𝑚𝑚 Longitud del brazo de referencia 𝐿𝑅𝐸𝐹=10 𝑚𝑚 Tabla 1- Parámetros modelado OFDR en Matlab. 6.1.1 FBG Uniforme En primer lugar, se va a realizar la caracterización de la FBG uniforme. Para ello, se caracteriza el filtro en reflexión. En la siguiente imagen se pueden observar la respuesta impulsiva original y la que se ha recuperado mediante la técnica OFDR. Figura 6.1- Respuesta impulsiva FBG Uniforme reflexión OFDR. Del mismo modo, se puede apreciar que no existe apenas diferencia entre la respuesta en magnitud de la función de transferencia original y la recuperada. 45 Implementación de técnica de medida basada en interferometría espectral para caracterización de componentes ópticos Figura 6.2- Función de transferencia FBG Uniforme reflexión OFDR. Observando el comportamiento del retardo de grupo para analizar la respuesta en fase, también se puede distinguir que ambas curvas tienen un comportamiento muy similar. Las discontinuidades que se recogen en la gráfica son debidas a problemas numéricos en los cálculos de las derivadas, y no son relevantes. Figura 6.3- Retardo de grupo FBG Uniforme reflexión OFDR. Modelado en Matlab 46 Otra imagen que puede proporcionar información es la siguiente, donde se recoge el enventanado que se realiza a la función interferométrica. Figura 6.4- Enventanado FBG Uniforme reflexión OFDR. Seguidamente, se muestran las gráficas resultantes del análisis de la FBG uniforme en transmisión. Figura 6.5- Respuesta impulsiva FBG Uniforme transmisión OFDR. 47 Implementación de técnica de medida basada en interferometría espectral para caracterización de componentes ópticos Figura 6.6- Función de transferencia FBG Uniforme transmisión OFDR. ´ Figura 6.7- Retardo de grupo FBG Uniforme transmisión OFDR. Modelado en Matlab 54 Figura 6.20- Enventanado FBG con Chirp reflexión OFDR. De forma complementaria, también se han recogido las soluciones a las pruebas realizadas con la FBG con chirp en transmisión. Figura 6.21- Respuesta impulsiva FBG con Chirp transmisión OFDR. 55 Implementación de técnica de medida basada en interferometría espectral para caracterización de componentes ópticos Figura 6.22- Función de transferencia FBG con Chirp transmisión OFDR. Figura 6.23- Retardo de grupo FBG con Chirp transmisión OFDR. Modelado en Matlab 56 Figura 6.24- Enventanado FBG con Chirp transmisión OFDR. 6.1.4 FBG con Chirp Apodizada Otra pieza que completa nuestro estudio es el análisis de la FBG con chirp apodizada, cuyos resultados en reflexión se muestran a continuación. Figura 6.25- Respuesta impulsiva FBG con Chirp Apodizada reflexión OFDR. 57 Implementación de técnica de medida basada en interferometría espectral para caracterización de componentes ópticos Figura 6.26- Función de transferencia FBG con Chirp Apodizada reflexión OFDR. Figura 6.27- Retardo de grupo FBG con Chirp Apodizada reflexión OFDR. Modelado en Matlab 58 Figura 6.28- Enventanado FBG con Chirp Apodizada reflexión OFDR. Como parte del trabajo, también se ha observado el comportamiento de la FBG con chirp apodizada en transmisión. Figura 6.29- Respuesta impulsiva FBG con Chirp Apodizada transmisión OFDR. 59 Implementación de técnica de medida basada en interferometría espectral para caracterización de componentes ópticos Figura 6.30- Función de transferencia FBG con Chirp Apodizada transmisión OFDR. Figura 6.31- Retardo de grupo FBG con Chirp Apodizada transmisión OFDR. Modelado en Matlab 60 Figura 6.32- Enventanado FBG con Chirp Apodizada transmisión OFDR. 6.1.5 Problemas encontrados A lo largo del desarrollo del código de Matlab que recrea el funcionamiento del algoritmo, se encontró un problema fundamental cuya solución se ha empleado para obtener las figuras previamente mostradas. Dicho problema se hacía patente, especialmente en la FBG con chirp. Si se representa la función de transferencia recuperada en reflexión, el resultado es el reflejado en la siguiente figura. Figura 6.33- Función de transferencia FBG con Chirp reflexión OFDR inicial. 61 Implementación de técnica de medida basada en interferometría espectral para caracterización de componentes ópticos Como se puede observar, el algoritmo no está funcionando correctamente. Si se presta atención al proceso de enventanado, la conclusión que se extrae es que no se está teniendo en cuenta toda la respuesta impulsiva. Figura 6.34- Enventanado FBG con Chirp reflexión OFDR inicial. Figura 6.35- Detalle del enventanado FBG con Chirp reflexión OFDR inicial. Esto quiere decir que la respuesta impulsiva es mucho más larga de lo que se está teniendo en cuenta, ya que la reconstrucción la está considerando más corta. Esto se debe a que se están produciendo múltiples reflexiones dentro de la FBG que no se están tomando en consideración. Este fenómeno se llama resonancia interna. Modelado en Matlab 62 Por tanto, el tiempo de representación de la ventana de la imagen debe ser más grande. Ese tiempo se denomina 𝑡𝑚𝑎𝑥. Este tiempo viene definido por la siguiente ecuación 𝑡𝑚𝑎𝑥=𝑡𝑚 𝑁𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 (6.1) donde 𝑡𝑚es el tiempo de muestreo y 𝑁𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 el número de muestras. El parámetro 𝑡𝑚 no se puede modificar, porque queda determinada por la frecuencia máxima de representación que hay, es un parámetro fijo. Sin embargo, el número de puntos es un parámetro que sí podemos modificar. El número inicial es 4096 pero, interpolando valores en ese intervalo espectral, se puede aumentar. De este modo, todas las gráficas anteriores se han adquirido con una interpolación previa de los datos, para obtener un total de 16384 puntos. Debido a que los datos son complejos, la interpolación se ha realizado para los datos de frecuencia, magnitud de la función de transferencia y fase de la función de transferencia. El comportamiento en tiempo, tanto del eje de tiempos como de la respuesta impulsiva (módulo y fase) queda determinada por el cálculo anterior mediante la aplicación de la transformada inversa de Fourier. 6.2. HTSI Para la simulación en Matlab de la técnica HTSI se han adoptado las siguientes consideraciones: - La amplitud de la fuente utilizada es la unidad. - El acoplador direccional utilizado será un dispositivo ideal con unas pérdidas nulas. - La constante de acoplo de dicho dispositivo se corresponderá con 3dB, es decir, 0.5. De esta manera, el acoplador divide en partes iguales la potencia entre sus salidas. - La constante de atenuación de la fibra óptica también es nula, mientras que el índice de refracción es el típico de la SMF-SiO2, es decir, de una fibra monomodo. - La responsividad del fotodetector es 1. Amplitud de la fuente A=1 Constante de pérdidas de acopladores 𝑎=0 Constante de acoplo de acopladores 𝑘=1 3 Constante de atenuación de la fibra 𝛼=0 Índice de refracción de la fibra 𝑛=1.452 Responsividad del fotodetector ℜ=1 Longitud del brazo del DUT 𝐿𝐷𝑈𝑇=110 𝑚𝑚 Longitud del brazo de referencia 𝐿𝑅𝐸𝐹 =110 𝑚𝑚 Tabla 2- Parámetros modelado HTSI en Matlab. Para la realización de las simulaciones se ha realizado también una interpolación antes de aplicar el algoritmo, al igual que en el caso de OFDR. 63 Implementación de técnica de medida basada en interferometría espectral para caracterización de componentes ópticos 6.1.6 FBG Uniforme Estos son los resultados alcanzados con la FBG uniforme en reflexión. Figura 6.36- Respuesta impulsiva FBG Uniforme reflexión HTSI. Figura 6.37- Función de transferencia FBG Uniforme reflexión HTSI. Modelado en Matlab 70 Figura 6.50- Retardo de grupo FBG con Chirp reflexión HTSI. Igualmente, también se han recogido estos datos acerca de la FBG con chirp en transmisión. Figura 6.51- Respuesta impulsiva FBG con Chirp transmisión HTSI. 71 Implementación de técnica de medida basada en interferometría espectral para caracterización de componentes ópticos Figura 6.52- Función de transferencia FBG con Chirp transmisión HTSI. Figura 6.53- Retardo de grupo FBG con Chirp transmisión HTSI. Modelado en Matlab 72 6.1.9 FBG con Chirp Apodizada Por último, se ha analizado la respuesta de la FBG con chirp apodizada en reflexión. Figura 6.54- Respuesta impulsiva FBG con Chirp Apodizada reflexión HTSI. Figura 6.55- Función de transferencia FBG con Chirp Apodizada reflexión HTSI. 73 Implementación de técnica de medida basada en interferometría espectral para caracterización de componentes ópticos Figura 6.56- Retardo de grupo FBG con Chirp Apodizada reflexión HTSI. Asimismo, también se han observado dichos resultados de la FBG con chirp apodizada en transmisión. Figura 6.57- Respuesta impulsiva FBG con Chirp Apodizada transmisión HTSI. Modelado en Matlab 74 Figura 6.58- Función de transferencia FBG con Chirp Apodizada transmisión HTSI. Figura 6.59- Retardo de grupo FBG con Chirp Apodizada transmisión HTSI. 75 7 PROCESADO DE DATOS DE LABORATORIO omo se mencionó al inicio de este Trabajo de Fin de Máster, hay una empresa llamada Aragón Photonics, que, en colaboración con la Universidad de Zaragoza, ha desarrollado un dispositivo llamado BOSA. Consiste en un OSA pero que hace uso de un efecto no lineal llamado Brillouin para realizar las operaciones. Este dispositivo puede caracterizar el comportamiento en magnitud de los elementos ópticos, pero, sin embargo, no es capaz de obtener el comportamiento en fase. Por tanto, la caracterización de dichos dispositivos no es completa. Con el fin de realizar la caracterización completa con el BOSA, con el cual se efectuaron una serie de medidas, obteniendo la función interferométrica correspondiente. El objetivo es aplicar la técnica HTSI a esta función interferométrica para poder tener completamente caracterizados los dispositivos, tanto respuesta en magnitud como respuesta en fase. En primer lugar, se van a describir los conceptos de OSA y efecto Brillouin para, a continuación, proceder a analizar las sucesivas pruebas que se realizaron en campo. Las figuras de los escenarios que aparecen a lo largo de este capítulo han sido obtenidas a partir de los informes realizados en laboratorio. 7.1. OSA El analizador de espectros ópticos (OSA, Optical Spectrum Analyzer) se utiliza para realizar medidas de potencia óptica en función de la longitud de onda. Sus aplicaciones incluyen la caracterización de fuentes de luz (diodos LED y láser) en cuanto a distribución de potencia y anchura espectral, así como la medida de la característica en transmisión de componentes ópticos pasivos. El diagrama de bloques de un analizador de espectros ópticos se muestra en la Figura 7.1. La luz que entra al OSA pasa a través de un filtro óptico sintonizable en longitud de onda, llamado monocromador o interferómetro, el cual selecciona las componentes espectrales individuales. A continuación, el fotodetector convierte la señal de potencia óptica en una corriente eléctrica proporcional a la señal incidente. C Chance favors the prepared mind. La fortuna juega a favor de la mente preparada. - Luis Pasteur - Procesado de datos de laboratorio 76 Figura 7.1- Diagrama de bloques del OSA. La corriente del fotodetector se convierte a tensión mediante el amplificador de transimpedancia y, seguidamente, se digitaliza. Cualquier procesado posterior de la señal se hace digitalmente. Un generador en rampa determina la localización horizontal de la traza conforme se representa de izquierda a derecha. Esta rampa también es la encargada de la sintonización del filtro óptico para que la longitud de onda resonante sea proporcional a la posición horizontal. El resultado es la representación de la traza de potencia óptica en función de la longitud de onda. La calidad del analizador de espectros óptico vendrá determinada por los parámetros que caracterizan al filtro óptico paso-banda sintonizable en longitud de onda. En la Figura 7.2 se representan estos parámetros principales: - Resolución en longitud de onda: ancho de banda a 3 dB del filtro óptico paso-banda. - Sensibilidad: mínimo nivel de potencia óptica que puede detectar el analizador de espectro. - Rango de operación en longitud de onda: rango de longitudes de onda en el que puede sintonizarse el filtro óptico paso-banda. - Margen dinámico: diferencia entre la mayor y la menor potencia óptica que puede detectar el analizador de espectros. 77 Implementación de técnica de medida basada en interferometría espectral para caracterización de componentes ópticos Figura 7.2- Parámetros principales del OSA. 7.2. Efecto Brillouin La dispersión de Brillouin es uno de los efectos ópticos no lineales más destacados. El ser no lineal implica que, a partir de cierta potencia umbral, el resultado de la interacción de la dispersión Brillouin no sigue una relación lineal con los desencadenantes de esa interacción. Podemos distinguir dos tipos, scattering espontáneo de Brillouin y scattering estimulado de Brillouin. En la dispersión espontánea de Brillouin, un fotón procedente de una onda de luz incidente se transforma en un fotón y en un fonón dispersado. Para que se cumplan las leyes de conservación de la energía, la onda incidente genera dos ondas retrodispersadas: una de frecuencia más baja conocida como onda de Stokes y otra de frecuencia más alta conocida como anti-Stoke. Por lo general, la intensidad de la señal de Stokes es muy baja, pero, en una fibra óptica, a pesar de que sea baja, se puede propagar durante decenas de kilómetros sin apenas verse atenuada. A partir de un valor determinado de potencia óptica, el proceso se vuelve estimulado (SBS, Stimulated Brillouin Scattering). Esto se debe a una conversión de energía entre la señal de entrada y la onda retrodispersada. Asumiendo que la intensidad de luz es lo necesariamente baja como para no alterar las propiedades ópticas del medio, la dispersión Brillouin espontánea solo se produce por las fluctuaciones térmicas. No obstante, el proceso de dispersión Brillouin estimulado (SBS) tiene su origen en el fenómeno físico denominado electrostricción [18], que se manifiesta como una variación de la densidad del medio por la presencia de un fuerte campo eléctrico. Este efecto se produce en un ancho de banda muy estrecho. 7.3. Comprobación del funcionamiento En primer lugar, se van a aplicar las técnicas estudiadas a lo largo de este trabajo a una simulación de la FBG de la cual se ha hecho uso en el laboratorio. Estos datos, aunque simulados, son más realistas que los trabajados anteriormente, ya que tienen en cuenta efectos como el ruido. Para ello, primero se caracteriza el dispositivo en reflexión con OFDR con las siguientes características. Procesado de datos de laboratorio 78 Amplitud de la fuente A=1 Constante de pérdidas de acopladores 𝑎=0 Constante de acoplo de acopladores 𝑘=1 2 Constante de atenuación de la fibra 𝛼=0 Índice de refracción de la fibra 𝑛=1.452 Responsividad del fotodetector ℜ=1 Longitud del brazo del DUT 𝐿𝐷𝑈𝑇=110 𝑚𝑚 Longitud del brazo de referencia 𝐿𝑅𝐸𝐹=10 𝑚𝑚 Tabla 3- Parámetros modelado realista OFDR. Tras la ejecución del algoritmo se obtienen los siguientes resultados. Figura 7.3- Respuesta impulsiva FBG realista OFDR. 79 Implementación de técnica de medida basada en interferometría espectral para caracterización de componentes ópticos Figura 7.4- Función de transferencia FBG realista OFDR. Figura 7.5- Retardo de grupo FBG realista OFDR. Procesado de datos de laboratorio 86 Figura 7.16- Función de transferencia FBG realista HTSI fase no mínima. Figura 7.17- Retardo de grupo FBG realista HTSI fase no mínima. Por último, se va a probar la afirmación que indica que 𝐿𝐷𝑈𝑇 ≥𝐿𝑅𝐸𝐹. Con ese objetivo, se vuelve a realizar la simulación con los siguientes parámetros. 87 Implementación de técnica de medida basada en interferometría espectral para caracterización de componentes ópticos Constante de acoplo de acopladores 𝑘=1 3 Longitud del brazo del DUT 𝐿𝐷𝑈𝑇=110 𝑚𝑚 Longitud del brazo de referencia 𝐿𝑅𝐸𝐹 =210 𝑚𝑚 Tabla 7- Parámetros modelado realista HTSI con 𝐿𝑅𝐸𝐹 >𝐿𝐷𝑈𝑇. Figura 7.18- Respuesta impulsiva FBG realista HTSI con 𝑳𝑹𝑬𝑭>𝑳𝑫𝑼𝑻. Figura 7.19- Función de transferencia FBG realista HTSI con 𝑳𝑹𝑬𝑭 >𝑳𝑫𝑼𝑻. Procesado de datos de laboratorio 88 Figura 7.20- Retardo de grupo FBG realista HTSI con 𝑳𝑹𝑬𝑭>𝑳𝑫𝑼𝑻. 7.4. Comparación de fuente láser Para la excitación o estímulo del interferómetro podemos considerar tres posibilidades de fuentes de luz: 1. Fuente de luz blanca, por ejemplo, el espectro de emisión ASE de un EDFA. 2. Laser sintonizable (TLS) sintonizado en discreto punto a punto. 3. Laser sintonizable (TLS) sintonizado mediante un barrido continuo. Estos tres tipos de fuentes de luz no se han considerado a nivel de simulación. No obstante, sí se quiere modelar el caso 3, que, a priori, se presupone que ha de ser el que utiliza la empresa Luna Technologies en su Analizador Vectorial Óptico. En las simulaciones, se considera un vector con un determinado número de puntos, que presenta una cierta potencia óptica en cada uno de ellos. 7.4.1 Utilización de una fuente de luz blanca Empleando la primera posibilidad de fuente de luz, se caracterizó un filtro paso banda con la siguiente característica de transmitividad. 89 Implementación de técnica de medida basada en interferometría espectral para caracterización de componentes ópticos Figura 7.21- Transmitividad del DUT. Excitando el montaje mediante una fuente de luz blanca proveniente del espectro ASE de un EDFA, se obtienen las siguientes figuras a la salida del BOSA. Figura 7.22- Interferograma unidades logarítmicas luz blanca. Figura 7.23- Detalle de Interferograma unidades logarítmicas luz blanca. Procesado de datos de laboratorio 90 Figura 7.24- Interferograma unidades naturales luz blanca. Figura 7.25- Detalle de Interferograma unidades naturales luz blanca. Se puede observar que el interferograma es bastante denso, pero el BOSA es capaz de proporcionar la suficiente resolución espectral para reproducir las oscilaciones de dicho interferograma. Sin embargo, la forma obtenida del interferograma no es acorde a los obtenidos mediante simulación ya que, en unidades naturales, han de tener un valor medio, alrededor del cual realicen oscilaciones positivas y negativas. Con el objetivo de disminuir la densidad del interferograma, se llevó a cabo otra medida, intentando balancear las longitudes de los brazos del interferómetro. Figura 7.26- Interferograma unidades logarímicas luz blanca más balanceado. Figura 7.27- Detalle de Interferograma unidades logarímicas luz blanca más balanceado. 91 Implementación de técnica de medida basada en interferometría espectral para caracterización de componentes ópticos Figura 7.28- Interferograma unidades naturales luz blanca más balanceado. Figura 7.29- Detalle de Interferograma unidades naturales luz blanca más balanceado. Aplicando el método HTSI a los interferogramas anteriores no se obtienen resultados coherentes. Como ya se ha mencionado previamente, esto se debe a que los interferogramas no tienen la forma esperada. Por tanto, esto hace descartar la utilización de la fuente de luz blanca como estímulo para el aparato de medida. 7.4.2 Láser sintonizable en discreto punto a punto A continuación, se va a caracterizar un filtro paso de banda con la siguiente característica de transmitividad no normalizada. Figura 7.30- Transmitividad del DUT. Realizando la excitación del montaje mediante una fuente de luz TLS sintonizada en discreto punto a punto con los parámetros mostrados en Tabla 8 se obtienen los siguientes interferogramas. Procesado de datos de laboratorio 92 Constante de acoplo de acopladores 𝑘=1 2 Número de puntos de la representación 13000 Longitud de onda inicial del barrido 1544.8 𝑛𝑚 Longitud de onda final del barrido 1546.1 𝑛𝑚 Tabla 8- Parámetros modelado láser discreto punto a punto. 7.4.2.1 Caso 1 A continuación, se muestra el interferograma tanto en función de la longitud de onda como de la frecuencia. Figura 7.31- Interferograma unidades naturales longitud de onda láser discreto punto a punto. Caso 1. Figura 7.32- Detalle de Interferograma unidades naturales longitud de onda láser discreto punto a punto. Caso 1. Figura 7.33- Interferograma unidades naturales frecuencia láser discreto punto a punto. Caso 1. Figura 7.34- Detalle de Interferograma unidades naturales frecuencia láser discreto punto a punto. Caso 1. 93 Implementación de técnica de medida basada en interferometría espectral para caracterización de componentes ópticos Como se puede observar, el número de puntos no representa fielmente la evolución de la curva, es decir, la resolución espectral es suficiente. Para solucionarlo, se realiza una interpolación entre los puntos de medida con las muestras equiespaciadas en frecuencia. Figura 7.35- Interferograma unidades naturales frecuencia interpolada láser discreto punto a punto. Caso 1. Figura 7.36- Detalle de Interferograma unidades naturales frecuencia interpolada láser discreto punto a punto. Caso 1. Tras poner en práctica la interpolación, se procede a aplicar el método HTSI a la función interferométrica. Recordando el apartado 5, el primer paso de este algoritmo era obtener la función interferométrica normalizada. Para ello, ser requerirán los parámetros tanto de la constante de acoplo de los acopladores como de la amplitud de la fuente. Sin embargo, este último dato es desconocido para nosotros, por lo que, para normalizar, bastará con centrar la función interferométrica en torno a la unidad. Una vez normalizada, se procede con el resto de pasos del método HTSI. Los resultados alcanzados se muestran a continuación. Figura 7.37- Función de transferencia FBG láser discreto punto a punto HTSI. Caso 1. Procesado de datos de laboratorio 94 Figura 7.38- Transmitividad unidades naturales FBG láser discreto punto a punto HTSI. Caso 1. Figura 7.39- Transmitividad unidades logarítmicas FBG láser discreto punto a punto HTSI. Caso 1. Figura 7.40- Respuesta impulsiva FBG láser discreto punto a punto HTSI. Caso 1. 95 Implementación de técnica de medida basada en interferometría espectral para caracterización de componentes ópticos Figura 7.41- Retardo de grupo FBG láser discreto punto a punto HTSI. Caso 1. El tiempo de adquisición de la medida ha sido un intervalo temporal de dos horas. Esta puede ser la causa del excesivo ruido que se obtiene en la función de transferencia reconstruida, tanto en la respuesta en amplitud como en la respuesta en fase. Además, el valor de los coeficientes de acoplo escogidos, 0.5, es un caso límite que hace que la función interferométrica sea de fase mínima. De esta forma, sería más adecuado escoger un valor más pequeño. 7.4.2.2 Caso 2 Para trabajar con un interferograma menos denso, se intentan balancear los brazos del interferómetro y se ejecuta otra medida. Figura 7.42- Interferograma unidades naturales longitud de onda láser discreto punto a punto. Caso 2. Figura 7.43- Detalle de Interferograma unidades naturales longitud de onda láser discreto punto a punto. Caso 2. Procesado de datos de laboratorio 102 Figura 7.63- Retardo de grupo FBG láser discreto punto a punto HTSI. Caso 3. Comparando los resultados de los tres casos, se puede concluir que el ensayo cuyos resultados son mejores es el último. Por tanto, se infiere que los resultados mejoran a medida que se logra un mejor ajuste al balancear los brazos del interferómetro. 7.4.3 Láser sintonizable mediante barrido continuo En este apartado se va a realizar la caracterización con la última de las fuentes posibles, es decir, un láser sintonizable mediante barrido continuo, que, en un principio, es la fuente de luz que funcionará con nuestro sistema (por simetría con el método OFDR). Así, se pretende caracterizar un filtro óptico con la siguiente característica de transmitividad. Figura 7.64- Transmitividad del DUT. 103 Implementación de técnica de medida basada en interferometría espectral para caracterización de componentes ópticos El primer paso consiste en medir el interferograma, utilizando como fuente de luz, un TLS sintonizable mediante barrido continuo, y con velocidades de barrido 1nm/s, 5nm/s, 10nm/s, 20nm/s y 40nm/s. Figura 7.65- Interferograma láser barrido continuo 1nm/s. Figura 7.66- Interferograma láser barrido continuo 5nm/s. Figura 7.67- Interferograma láser barrido continuo 10nm/s. Figura 7.68- Interferograma láser barrido continuo 20nm/s. Procesado de datos de laboratorio 104 Figura 7.69- Interferograma láser barrido continuo 40nm/s. El resultado de la medida de todos los interferogramas es repetitivo y muy similar. Se supone que los interferogramas están dados mediante unidades normalizadas en potencia. La apariencia de los interferogramas es muy buena, y se asemeja a los resultados que se están buscando a partir de las simulaciones. No obstante, se deben hacer dos objeciones a la apariencia de estos interferogramas: 1. El valor medio de los interferogramas fuera de la banda del filtro debería ser en torno a 1, en vez del valor 0.3 que estamos obteniendo (este inconveniente se soluciona realizando la normalización en función de las pérdidas de los acopladores). 2. Dicho valor medio tendría que mantenerse constante fuera de la banda de paso del filtro, y no presentar una tendencia creciente en la zona espectral de las frecuencias ópticas más altas (este hecho sí puede ser perjudicial en el método de medida). Se parte del interferograma obtenido con el barrido de 40nm/s y se aplica el HTSI. Figura 7.70- Función de transferencia FBG láser barrido continuo HTSI. 105 Implementación de técnica de medida basada en interferometría espectral para caracterización de componentes ópticos Figura 7.71- Transmitividad unidades naturales FBG láser barrido continuo HTSI. Figura 7.72- Transmitividad unidades logarítmicas FBG láser barrido continuo HTSI. Figura 7.73- Retardo de grupo FBG láser barrido continuo HTSI. 7.5. Balanceo del interferómetro Para tener controlada la diferencia de retardos entre los dos brazos del interferómetro, se ha introducido una línea de retardo controlable en uno de los brazos. El esquema se ajustaría al siguiente diagrama. Procesado de datos de laboratorio 106 Figura 7.74- Esquema para balanceo del interferómetro. donde los símbolos   y ll corresponden a las terminaciones de latiguillos de fibra tipo APC o PC respectivamente. En la rama inferior, || representa el filtro fijo, mientras que en la superior se representa la línea de retardo controlable. Como consecuencia del número de conexiones habría que considerar unas pérdidas notables en todo el sistema. Asimismo, se ha medido con los acopladores 90:10, barriendo a una velocidad de 10nm/s a lo largo de un span de 20nm centrado en =1545nm. Lo casos medidos van del A al F, cuya distancia relativa es aproximadamente: Figura 7.75- Distancias relativas entre los casos medidos. Al mismo tiempo, se han desempeñado una serie de medidas sobre un montaje interferométrico, para ver la evolución en función del desbalanceo de los brazos del interferómetro con un dut con la siguiente transmitividad. Figura 7.76- Transmitividad del DUT. En todos ellos, la constante de acoplo será igual a 0.1. 107 Implementación de técnica de medida basada en interferometría espectral para caracterización de componentes ópticos Figura 7.77- Interferograma en longitud de onda Caso A. Figura 7.78- Interferograma en tiempo Caso A. Figura 7.79- Interferograma en longitud de onda Caso B. Figura 7.80- Interferograma en tiempo Caso B. Figura 7.81- Interferograma en longitud de onda Caso C. Figura 7.82- Interferograma en tiempo Caso C. Procesado de datos de laboratorio 108 Figura 7.83- Interferograma en longitud de onda Caso D. Figura 7.84- Interferograma en tiempo Caso D. Figura 7.85- Interferograma en longitud de onda Caso E. Figura 7.86- Interferograma en tiempo Caso E. Figura 7.87- Interferograma en longitud de onda Caso F. Figura 7.88- Interferograma en tiempo Caso F. 109 Implementación de técnica de medida basada en interferometría espectral para caracterización de componentes ópticos El punto B se puede considerar el más cercano al ajuste de tiempos de vuelo entre los brazos del sistema. Por lo tanto, los casos C y D deberían corresponderse a una longitud más corta en el brazo donde se dispone el DUT, es decir, 𝐿𝐷𝑈𝑇−𝐿𝑅𝐸𝐹<0; mientras que los casos F, E y A corresponderían a un retraso mayor en la línea del DUT, 𝐿𝐷𝑈𝑇−𝐿𝑅𝐸𝐹>0. Esta es la razón por la cual, en los interferogramas en C y D, la parte correspondiente al DUT aparece conjugada. 7.6. Comparación con OFDR Con el objetivo de comprobar que la obtención de la función interferométrica es correcta y, la conclusión de que la causa de que no se estén consiguiendo los resultados requeridos es del método HTSI, se procede a aplicar el método OFDR al interferograma. Para ello, se parte del interferograma llamado F del apartado anterior, ya que la respuesta impulsiva del DUT se puede identificar fácilmente en él. Figura 7.89- Enventanado Caso F OFDR. Procesado de datos de laboratorio 110 Figura 7.90- Función de transferencia Caso F OFDR. Figura 7.91- Transmitividad unidades naturales Caso F OFDR. Figura 7.92- Transmitividad unidades logarítmicas Caso F OFDR. 111 Implementación de técnica de medida basada en interferometría espectral para caracterización de componentes ópticos Figura 7.93- Retardo de grupo Caso F OFDR. A continuación, se aplica la técnica HTSI sobre la misma función interferométrica con los siguientes resultados: Figura 7.94- Función de transferencia Caso F HTSI. Procesado de datos de laboratorio 118 - Escenario solo con el brazo de referencia: se ha quitado el brazo correspondiente al filtro para realizar la medida de interferometría. Figura 7.108- Escenario interferométrico solo con brazo de referencia. El objetivo de estos escenarios es poder obtener medidas normalizadas. Realizando la medida del interferograma solo con el brazo correspondiente al DUT, se adquiere la siguiente imagen. Figura 7.109- Medida de potencia unidades naturales solo con brazo del DUT. Si se realiza la normalización con respecto a dicho brazo así como a la referencia, obtendremos las siguientes medidas de potencia. 119 Implementación de técnica de medida basada en interferometría espectral para caracterización de componentes ópticos Figura 7.110- Medida de potencia normalizada unidades naturales solo con brazo del DUT. 7.9. Estado de polarización de la luz Para analizar la influencia de la polarización, en primer lugar se analiza el interferograma medido para la caracterización del filtro, en el cual se ha ido variando el estado de polarización de la luz (SOP State Of Polarization) en uno de los brazos del interferómetro. Se parte de las siguientes características: Constante de acoplo de acopladores 𝑘=0.1 Estimación del retardo 𝐿𝐷𝑈𝑇−𝐿𝑅𝐸𝐹=17 𝑚𝑚 Tabla 10- Parámetros modelado estado de polarización. En la siguiente figura se muestra el interferograma obtenido así como la medida de potencia en el brazo de referencia, la cual será el punto de partida para normalizar el interferograma. Procesado de datos de laboratorio 120 Figura 7.111- Comparación de Interferogramas unidades logarítmicas del sistema y de la referencia. Realizando la normalización a partir de la potencia del brazo de referencia se obtiene: Figura 7.112- Interferograma normalizado unidades naturales FBG con estado de polarización. A continuación, se aplica el método OFDR a dicho interferograma normalizado. 121 Implementación de técnica de medida basada en interferometría espectral para caracterización de componentes ópticos Figura 7.113- Función de transferencia FBG con estado de polarización OFDR. Figura 7.114- Transmitividad unidades naturales FBG con estado de polarización OFDR. Figura 7.115- Transmitividad unidades logarítmicas FBG con estado de polarización OFDR. Procesado de datos de laboratorio 122 Figura 7.116- Respuesta impulsiva FBG con estado de polarización OFDR. Figura 7.117- Retardo de grupo FBG con estado de polarización OFDR. 123 Implementación de técnica de medida basada en interferometría espectral para caracterización de componentes ópticos Figura 7.118- Enventanado FBG con estado de polarización OFDR. Como se puede observar en esta última imagen, el enventanado de la señal evita la interferencia de otras señales, tales como pueden ser reflexiones internas que generan una respuesta como la que sale a la derecho de la figura. Al aparecer estas respuestas, es de esperar que el método HTSI no funcione tan bien como el OFDR, ya que el primero no emplea filtrado alguno que le ayude a eliminar dichas componentes. Figura 7.119- Función de transferencia FBG con estado de polarización HTSI. Procesado de datos de laboratorio 124 Figura 7.120- Transmitividad unidades naturales FBG con estado de polarización HTSI. Figura 7.121- Transmitividad unidades logarítmicas FBG con estado de polarización HTSI. Figrua 7.122- Respuesta impulsiva FBG con estado de polarización HTSI. 125 Implementación de técnica de medida basada en interferometría espectral para caracterización de componentes ópticos Figura 7.123- Retardo de grupo FBG con estado de polarización HTSI. Tal y como se podia preveer, en la Figura 7.122 se observa cómo la respuesta impulsiva recuperada incluye las reflexiones internas que se han mencionado, siendo no deseables en el comportamiento de nuestro sistema. En este apartado se muestra solo uno de los interferogramas obtenidos para un SOP dado. Si se analizan los distintos interferogramas con distintos estados de polarización, se puede observar una diversidad de valores en la amplitud, la cual es debida a un control no correcto del estado de polarización de la luz. Por tanto, es importante el control de dicho estado de polarización, ya que su influencia en el interferograma es muy acusada. 7.9.1 Presencia de aisladores Con el fin de comprobar la influencia de los aisladores en la polarización, se han realizado una serie de medidas con y sin la presencia de estos en el montaje. Las siguientes medidas se han realizado para un estado de polarización concreto con el objetivo de poder compararlas. 7.9.1.1 Sin Aisladores Realizando una medida del escenario sin la utilización de aisladores, se obtiene el siguiente interferograma normalizado. Procesado de datos de laboratorio 126 Figura 7.124- Interferograma normalizado unidades naturales FBG sin aisladores. Aplicando la técnica HTSI a dicha función interferométrica, se obtienen las siguientes características. Figura 7.125- Función de transferencia FBG sin aisladores HTSI. 127 Implementación de técnica de medida basada en interferometría espectral para caracterización de componentes ópticos Figura 7.126- Transmitividad unidades naturales FBG sin aisladores HTSI. Figura 7.127- Transmitividad unidades logarítmicas FBG sin aisladores HTSI. Figura 7.128- Respuesta impulsiva FBG sin aisladores HTSI.