Sistemas de dos cuerpos en Física Nuclear: 7 3 Li4 y 7 4Be3

UNIVERSIDAD DE SEVILLA FACULTAD DE FÍSICA DEPARTAMENTO DE FÍSICA ATÓMICA, MOLECULAR Y NUCLEAR Sistemas de dos cuerpos en Física Nuclear: 7 3Li4y7 4Be3 Juan Romero Sánchez Curso 2023-2024 Doble Grado en Física y Matemáticas Tutorizado por D. Jesús Casal Berbel D. José Miguel Arias Carrasco 2 Resumen La Física Nuclear es un campo de la física cuyo estudio requiere en muchas ocasiones de un enfoque fenomenológico. En este trabajo se aborda uno de estos fenómenos en el que se pretende modelar dos núcleos atómicos (7Be y 7Li) mediante una aproximación de dos cuerpos resolviendo la ecuación de Schrödinger de manera matricial. A partir de un potencial fenomenológico que incluirá un término central, una interacción espín-órbita y un término Coulombiano, se obtendrán los autoestados del sistema en bases conocidas (oscilador armónico y oscilador armónico transformado) y se realizarán cálculos de la energía, función de onda de los estados y algunos observables de interés como son la probabilidad de transición eléctrica E2o el momento cuadrupolar. El uso de métodos numéricos computacionales es indispensable para obtener una solución aproximada a la real. Por ello, se hará un estudio de la convergencia de estos resultados en función de parámetros como el número de elementos de la base o el tipo de funciones de la base en el software MATLAB. 3 Abstract Nuclear physics is a field of physics whose study often requires a phenomenological approach. In this work we deal with one of these phenomena in which we try to model two atomic nuclei (7Be and 7Li) by means of a two-body approximation solving the Schrödinger equation in a matrix way. From a phenomenological potential that will include a central term, a spin-orbit interaction and a Coulomb term, the self states of the system will be obtained in known bases (harmonic oscillator and transformed harmonic oscillator) and calculations of the energy, wave function of the states and some observables of interest such as the probability of electrical transitions E2or the quadrupole momentum will be carried out. The use of computational numerical methods is essential to obtain an approximate solution to the real one. Therefore, a study will be made of the convergence of these results as a function of parameters such as the number of elements in the basis or the type of basis functions in MATLAB software. 4 Agradecimientos Gracias a mi madre, zona segura y reflejo del amor de Dios. Gracias a mi padre, apoyo y discernimiento. Gracias a mi hermana, sencillez y sinceridad. Gracias a mis amigos de la facultad. Sin ellos, no habría llegado tan lejos: Fernando, Jorge, Raquel, Ana, Claudia, Eva. Gracias a mis tutores y a todos los que me han enseñado en la vida, he aprendido y me he sentido muy cómodo con vosotros. Gracias a mi comunidad, mis hermanos en la fe y todos los que rezan por mí. Son la brújula de mi vida. Gracias sobre todo a Dios y a María Auxiliadora. 5 6 Índice general 1. Introducción 9 1.1. Generalidades sobre los núcleos atómicos: estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2. Generalidades de la interacción nuclear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3. Modelodecapas ......................................... 12 1.4. Aproximaciones: núcleos y clusters ............................... 14 1.5. Núcleos de 7Be y 7Li....................................... 14 1.6. Probabilidad de transición eléctrica y momento cuadrupolar . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.7. Solución de la ecuación de Schrödinger de dos cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.7.1. Resoluciónmatricial ................................... 19 2. Aproximación de dos cuerpos para 7Be y 7Li 22 2.1. Potencialfenomenológico .................................... 22 2.2. Basedefunciones......................................... 24 2.2.1. BaseHO ......................................... 24 2.2.2. BaseTHO......................................... 26 2.2.3. Características de la base de autofunciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3. NivelesprohibidosdePauli ................................... 29 2.4. Estudio del 7Be.......................................... 30 2.4.1. Selección de parámetros de las bases y convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.4.2. Estadofundamental ................................... 34 2.4.3. Primerestadoexcitado.................................. 38 2.4.4. Probabilidad de transición E2y momento cuadrupolar Q.............. 41 2.5. Estudio del 7Li .......................................... 44 2.5.1. Selección de parámetros de las bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.5.2. Estadofundamental ................................... 46 2.5.3. Primerestadoexcitado.................................. 47 2.5.4. Probabilidad de transición E2y momento cuadrupolar Q.............. 51 3. Resumen y conclusiones 54 Bibliografía ............................................... 57 7 8 Capítulo 1 Introducción "The idea of quantum mechanics that I want to describe now is a positive thing. It’s a way that we actually use to make calculations and understand nature. Excuse me, to make calculations! We really don’t understand it very well... Understanding real nature, we are unable to do." Richard Feynman (1983) [1]. En este trabajo, vamos a estudiar núcleos atómicos usando la Física Nuclear procedente de la Física Moderna de principios y mediados del siglo XX. Para ello, haciendo honor a esta cita del gran Richard Feynman, propondremos un modelo aproximado que describa la interacción nuclear a bajos niveles de excitación para el caso de 7Be y 7Li y realizaremos cálculos mediante programas numéricos que validen dicho modelo frente a los resultados experimentales. En concreto, nos sumergimos en la Física nuclear, acercándonos al límite explorado. Así, trabajaremos con partículas como el protón y el neutrón compuestas por otras partículas elementales cuya existencia y comportamiento se obviarán en este trabajo. Estas dos partículas son las que componen el núcleo atómico (los llamados nucleones). Entre ellas presentan grandes similitudes como son su carácter fermiónico (tienen espín 1/2) y su masa, aproximadamente igual. Sin embargo, la principal diferencia radica en la carga eléctrica asociada a cada una de ellas. El protón es una partícula cargada positivamente mientras el neutrón tiene carga nula. Los nucleones están ligados en el núcleo por la interacción nuclear fuerte, la predominante dentro del núcleo. Se trata de uno de los cuatro tipos de interacciones entre partículas, que domina a pequeñas distancias (del orden de fm) en el núcleo atómico. A diferencia de las interacciones más conocidas, como la electromagnética y la gravitatoria, la interacción nuclear fuerte no es analítica, por lo que no podemos describirla mediante una expresión exacta. Como consecuencia, debemos utilizar modelos aproximados. Por ello, en este trabajo pretendemos hacer un estudio del núcleo atómico y de la interacción base que permite su existencia (la interacción nuclear fuerte). Este estudio conlleva una parte cualitativa en la que para unos núcleos en concreto (7Be y 7Li) propondremos un modelo (fenomenológico) que permita describirlos. Mediante esta descripción, pretendemos calcular numéricamente haciendo uso del software MATLAB algunas características como: el estado fundamental y el primer excitado, las energías correspondientes a estos estados, las probabilidades de transición eléctrica entre estados ligados, el momento cuadrupolar de los núcleos y el radio cuadrático medio. Todos los códigos necesarios para los cálculos y resultados presentados en este trabajo son originales y están hechos en MATLAB. En conclusión, pretendemos dar una modelización válida a unos núcleos que presentan unas ciertas características para obtener observables mediante modelos matemáticos y herramientas numéricas modernas. 9 Figura 1.5: A la izquierda, el diagrama de estados nucleares en función de la energía de excitación (en MeV) respecto al estado fundamental del 7Li. A la derecha,el diagrama de estados nucleares en función de la energía de excitación (en MeV) respecto al estado fundamental del 7Be. Extraído de [17]. Por otro lado, el núcleo de 7Li también posee 7 nucleones, con la salvedad de tener 3 protones y 4 neutrones. Es el isótopo de litio más abundante y uno de sus dos isótopos estables junto con el 6Li4. Si estudiamos su configuración nuclear obtenemos para el estado fundamental π: (1s1/2)2(1p3/2)1(1p1/2)0, ν: (1s1/2)2(1p3/2)2,(1.5.4) mientras que para el primer estado excitado obtenemos π: (1s1/2)2(1p3/2)0(1p1/2)1, ν: (1s1/2)2(1p3/2)2.(1.5.5) El estado fundamental también sería un estado 3/2−con un estado excitado 1/2−a una energía de 0,4776 MeV. La energía de separación en dos clusters de 4He + 3H en su estado fundamental es de 2,467 MeV. Al igual que en el caso del 7Be, suponemos que tanto el 4He como el 3H se encuentran en su estado fundamental. Por tanto, también sería necesario realizar el estudio con un movimiento relativo de L= 1. Se muestra información sobre algunos estados excitados que se han medido experimentalmente en la figura 1.5, incluyendo algunos por encima del umbral de ruptura aunque, en este trabajo, nos centraremos solo en los estados ligados. La información se ha obtenido de [17]. 4El caso del 6Li también es interesante pues su estructura nuclear también puede ser descrita por dos clusters (4He + d). Sin embargo, no la abordaremos en este trabajo. 16 1.6. Probabilidad de transición eléctrica y momento cuadrupolar La probabilidad de transición eléctrica entre dos estados ligados discretos es un observable de interés que es posible calcular a partir de las funciones de onda de dichos estados [18]. Los niveles de excitación de un núcleo son autoestados del Hamiltoniano del núcleo más el Hamiltoniano de la radiación [3], por lo que, en teoría, habría probabilidad cero de transición entre ellos, sin embargo, esto no se da experimentalmente dado que tenemos núcleos que decaen de estados excitados a estados menos energéticos mediante la emisión de radiación5y viceversa. Este hecho puede ser explicado mediante la adición de otro término al Hamiltoniano que describa el acoplamiento de la carga nuclear con la radiación. Así, tenemos un proceso nuclear en el que un estado inicial (i) con momento angular total Jπ iy energía Eipasa a un estado final (f) con momento angular total Jπ fy energía Ef. Mayoritariamente se producirá mediante la emisión de fotones. Durante este proceso debe conservarse el momento angular y la energía. Podemos describir este proceso según estas leyes de conservación. La probabilidad de transición eléctrica Eλ (Ede eléctrica y λ el número de unidades que cambia el momento J) se define como B(Eλ, Ji−→ Jf) = X µMf|⟨JfmMf|Mµ(Eλ)|JiMi⟩|2=2Jf+ 1 2Ji+ 1 |⟨Jf||M(Eλ)||Ji⟩|2,(1.6.1) siendo JiyJfel valor del momento angular total del estado inicial y final respectivamente, Mµ(Eλ) es el operador multipolar que permite cambiar el momento angular entre el estado inicial y final en λ unidades como máximo mediante una transición eléctrica (transforma el estado |JiMi⟩a un estado |JfMf⟩ mediante una transición Eλ) y |⟨Jf||M(Eλ)||Ji⟩| un elemento de matriz reducido como viene definido en [19]. En concreto, podemos describir el operador multipolar eléctrico para dos cuerpos o clusters como Mµ(Eλ) = eZ1rλ 1Yλµ(ˆr1) + eZ2rλ 2Yλµ(ˆr2),(1.6.2) donde eZies la carga de cada uno de los clusters yrila coordenada del i-ésimo cluster con respecto al centro de masas del sistema. De hecho, podemos simplificar este sistema de dos cuerpos mediante una carga efectiva de forma similar a como se calcula la masa reducida del problema de los dos cuerpos. Z(λ) eff =Z2m1 m1+m2λ +Z1−m2 m1+m2λ ,(1.6.3) con lo que quedaría el operador multipolar como Mµ(Eλ) = eZ(λ) eff rλYλµ(r).(1.6.4) Por ello, el elemento de matriz reducido se puede expresar como |⟨Jf||M(Eλ)||Ji⟩| =eZ(λ) eff ⟨f|rλ|i⟩⟨(Lfsf)Jf||Yλ||(Lisi)Ji⟩,(1.6.5) siendo ⟨f|rλ|i⟩la integral radial entre las funciones de onda final e inicial que toma la forma ⟨f|rλ|i⟩=Z∞ 0 u∗ final(r)rλuinicial(r)dr, (1.6.6) y el elemento reducido del armónico esférico viene dado en función de los momentos angulares [20] y el espín: 5También es posible que se den procesos de emisión de electrones de conversión, aunque son casos muy particulares. 17 ⟨(Lfsf)Jf||Yλ||(Lisi)Ji⟩=δsisfp(2Ji+ 1)      JfJiλ LiLfsi     ×(−1)λ+Lf+Ji+siq(2Lf+ 1) ⟨Lf||Yλ||Li⟩, (1.6.7) con LiyLfel momento angular relativo entre los cuerpos para la onda inicial y final respectivamente, siysfel espín total acoplado para los cuerpos en el estado inicial y final respectivamente. El término      JfJiλ LiLfsi      ,(1.6.8) es un símbolo 6-J [19] mientras que el término final viene dado por ⟨Lf||Yλ||Li⟩=s(2Li+ 1)(2λ+ 1) 4π(2Lf+ 1) ⟨λ0Li0|Lf0⟩,(1.6.9) donde ⟨λ0Li0|Lf0⟩es un coeficiente de Clebsch-Gordan [19]. Tanto para el caso del 7Be como para el del 7Li, estudiaremos la transición entre el primer estado excitado y el estado fundamental. En concreto, se trata de una transición entre estados con misma paridad (negativa) y con momento angular J= 3/2yJ= 1/2respectivamente, por ello, es posible una transición magnética del tipo M1o una transición eléctrica E2. A priori, no podemos aclarar qué transición es la más probable que ocurra. En este trabajo estudiaremos la transición de tipo E2. La expresión analítica de esta probabilidad se mostrará en secciones posteriores mientras que aquí solo exponemos la expresión general. El momento cuadrupolar Qproporciona una medida de la deformación nuclear, la rotación y la estructura colectiva del núcleo [21]. Para observar los aspectos asimétricos de la deformación nuclear, se necesitan observables cuadrupolares tanto de protones como de neutrones. Por ejemplo, en una descripción de un núcleo como una esfera, un momento cuadrupolar anormalmente grande para una de los tipos de nucleones puede interpretarse como un indicador de núcleo con estructura de halo [22, 23]. Del mismo modo, este observable puede funcionar también como indicador de estructuras nucleares proclives a modelización como conjunto de clusters. Podemos describir el momento cuadrupolar como [20] Q=r16π 5⟨JJ|M(E2)|JJ⟩,(1.6.10) siendo Jel momento angular total del estado en cuestión. Usando el Teorema de Wigner-Eckard [24] podemos expresar el elemento de matriz como un Clebsch-Gordan por un elemento de matriz reducido [19] ⟨JJ|M(E2)|JJ⟩=   J2J −J0J  √2J+ 1 ⟨J||M(E2)||J⟩,(1.6.11) ⟨JJ|M(E2)|JJ⟩=2J2−J p(2J−1)J(J+ 1)(2J+ 3) ⟨J||M(E2)||J⟩.(1.6.12) De esta forma, con el cálculo del elemento de matriz reducido anterior para el operador multipolar 18 correspondiente es posible obtener dos observables como la probabilidad de transición eléctrica y el momento cuadrupolar. Ambos son observables interesantes para el estudio de un núcleo y su comportamiento cuando interacciona con otros sistemas cuánticos así como para la caracterización de éste como un posible sistema compatible con la aproximación de clusters. 1.7. Solución de la ecuación de Schrödinger de dos cuerpos Si quisiéramos resolver el problema de interacción de dos cuerpos (el llamado problema de los dos cuerpos), simplemente tendríamos que hacer uso de la solución de la mecánica clásica. Dicha solución consiste en la escisión del problema en dos subproblemas independientes. Por un lado, el movimiento de traslación libre del centro de masas. Por otro lado, el movimiento de un cuerpo de masa reducida µ=m1m2 m1+m2 ,(1.7.1) moviéndose en un potencial V(r)donde r es la coordenada relativa entre ambos cuerpos r =r1−r2. Si asumimos que el potencial V(r)es central y similar al potencial de Woods-Saxon propuesto en la sección 1.2, entonces V(r) = V(r). La solución correspondiente a la parte angular es conocida: los armónicos esféricos. De esta forma, solo sería preciso centrarse en la solución radial de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo [25] para un cuerpo de masa µbajo un potencial V(r): −ℏ2 2µ d2 dr2+V(r) + L(L+ 1)ℏ2 2µr2u(r) = εu(r).(1.7.2) En esta ecuación encontramos un primer término que es el referente a la energía cinética de un cuerpo de masa µ, un segundo término donde se introduce un potencial central que será fenomenológico y un tercer término centrífugo que depende del momento angular relativo entre ambos clusters y que tiene asociado un número cuántico L. La energía asociada al movimiento relativo es ε. Se trata de una ecuación de autovalores, donde los εson los autovalores asociados a las autofunciones u(r). De este modo, podemos expresar los autoestados del sistema como Ψ(r) = R(r)Y(ˆr) = 1 ru(r)YLsJM (ˆr, ξ),(1.7.3) siendo Yel resultado del acoplamiento del armónico esférico en los ángulos de r con los espines relevantes. En nuestro caso, una de las dos partículas del cluster (4He) tiene espín nulo (como hemos visto en la sección 1.5), con lo que la base acoplada podemos expresarla como YLsJM (ˆr, ξ)=[YL(ˆr)⊗κs(ξ)]JM ,(1.7.4) donde ses el espín de la otra partícula y Jel momento angular total. Además, dado que la interacción fuerte es atractiva y predominante dentro del núcleo pero despreciable a mayores distancias, tomaremos el potencial V(r)como nulo para r−→ ∞. Consecuentemente, las soluciones ligadas tendrán valores ε < 0mientras que las que tendrán una estructura continua serán para ε > 0. 1.7.1. Resolución matricial La ecuación de Schrödinger (1.7.2) propuesta en la sección anterior es una ecuación diferencial que se puede resolver mediante integración numérica, sin embargo, nosotros la resolveremos de manera matricial, es decir, diagonalizando el Hamiltoniano en una base cuyas soluciones son conocidas. 19 Supongamos que tenemos un operador ˆ A:V−→ Vdonde Ves un espacio vectorial de dimensión Ny queremos resolver el problema de autovalores dado por ˆ Ar =λr. (1.7.5) Consideramos una base Bde nuestro espacio vectorial Vcompuesta por {u1, u2, ..., uN}, de tal forma que para cualquier v ∈V=⇒v =b1u1+b2u2+... +bNuN. Como podemos expresar cualquier vector v ∈Vcomo combinación de elementos de la base B, bastaría averiguar cómo actúa el operador ˆ Asobre dichos elementos de B. Por tanto, calcular los autovectores de ˆ Aes equivalente a obtener los coeficientes {b1, b2, ..., bN} en una base B. Con todo ello, tendríamos para cualquier elemento de la base Bque ˆ Auj= n X i=1 aijui;j= 1, ..., N. (1.7.6) Mientras que para los autovectores rjde ˆ Ase tiene rj= n X i=1 rijui;j= 1, ..., N. (1.7.7) Escrito de manera matricial obtenemos Arj=          a11 a21 ··· aN1 a12 a22 ··· aN2 . . .. . ..... . . a1Na2N··· aNN                   r1j r2j . . . rNj          =λj          r1j r2j . . . rNj          ;j= 1, ..., N. (1.7.8) Por tanto, resolver el problema de autovalores en cuestión de la ecuación (1.7.2) es equivalente a diagonalizar la matriz Aen una cierta base. En concreto, queremos resolver la ecuación dada por Hψk=Ekψk,(1.7.9) donde, en este caso, el operador sería el Hamiltoniano del sistema y los autovalores son los valores de la energía. Por tanto, dada una base {ϕn} con n= 1,2, ... del espacio de Hilbert del problema, los autoestados ψkvendrán dados por ψk=∞ X n=1 cnkϕn,(1.7.10) que sustituyendo en (1.7.9) obtenemos H∞ X n=1 cnkϕn=Ek ∞ X n=1 cnkϕn.(1.7.11) Si obtenemos los coeficientes del desarrollo {cnk}, habremos determinado los autoestados {ψk}. Por tanto, haciendo uso de la ortogonalidad y la normalización entre autoestados [26] podemos escribir 20 ∞ X n=1 cnk ⟨m|H|n⟩=Ek ∞ X n=1 ⟨m|n⟩=Ekcmk,(1.7.12) donde hemos introducido además la notación de Dirac. Esta expresión puede escribirse de manera matricial como       H1,1H1,2··· H2,1H2,2··· . . .. . ....             c1k c2k . . .       =Ek      c1k c2k . . .       ,(1.7.13) siendo el término Hnm ≡ ⟨n|H|m⟩. De esta forma, resolver la ecuación (1.7.9) es equivalente a la resolución de una ecuación matricial lineal en la que para obtener los autovectores y autovalores solo es necesario escoger una base completa {ϕn} del espacio problema y diagonalizar la representación de dicho Hamiltoniano en la base {ϕn}. En el siguiente capítulo se elegirán los parámetros del problema y se llevarán a cabo los cálculos pertinentes a través del software MATLAB. Cabe destacar que todos los scripts, gráficas y cálculos realizados mediante este software se han desarrollado de manera individual y son originales, por lo que a todos los conceptos y desarrollos de física también se añade trabajo de programación, optimización de cálculos y planificación de estrategias. Todos los scripts desarrollados en este trabajo están disponibles y se pueden solicitar al autor del mismo. 21 Capítulo 2 Aproximación de dos cuerpos para 7Be y7Li 2.1. Potencial fenomenológico Como hemos visto en la sección 1.4, podemos aproximar nuestros núcleos de 7Be y 7Li por dos clusters de partículas que interaccionan entre sí. Es decir, en realidad, es similar a tener dos cuerpos en el que uno será un núcleo de 4He y en el otro caso sería un núcleo de 3He o 3H en función de si es el 7Be o el 7Li. Cada cluster tendrá una carga y masa total condicionada por las partículas por las que está compuesto. Así, se propone un potencial intercluster efectivo que será la suma de un potencial central, una interacción espín-órbita y un término Coulombiano [27, 28]: VA1−A2(r) = VC(r) + Vso(r) L·s +Vcoul(r),(2.1.1) donde A1yA2hacen referencia a un cluster cada uno. El objetivo de este potencial sería el de modelar la interacción nuclear entre dos clusters de masas y cargas similares aproximando cada conglomerado por la suma de las propiedades de sus partículas. Por un lado, es necesario incluir en toda interacción nuclear el término relativo a la interacción nuclear fuerte: un término central. Como hemos visto en el modelo de capas, la interacción debe ser atractiva y muy intensa a corto alcance así como cero de manera asintótica. Una primera aproximación puede ser el potencial del oscilador armónico, sin embargo, este potencial no se hace cero asintóticamente lo que tiene efecto sobre la forma asintótica de las funciones de onda por lo que conviene usar un potencial que sí cumpla esa condición. Por ello, introducimos el conocido como potencial de Woods-Saxon visto en la sección 1.2. Destacamos que, como vimos anteriormente, es un potencial de corto alcance, que modela una interacción atractiva y respeta la estructura fermiónica de un sistema cuántico. Además, dependerá de tres parámetros a seleccionar como son la profundidad del pozo de potencial V0, la difusividad relacionada con ay la constante radial r0. Este primer término será la base de nuestro potencial pues será el término con mayor influencia. Esto es lógico puesto que a distancias nucleares y con el número de nucleones que trabajamos, la interacción nuclear fuerte es la predominante y nuestro potencial adoptará una forma muy similar al que tendría un Woods-Saxon puro. Por otro lado, se ha introducido en la ecuación 2.1.1 el término de interacción espín-órbita Vso(r) L·s. 22 Este término contribuye al mejor ajuste de la estructura del modelo de capas y permite explicar la ruptura en la degeneración existente en L. En concreto, la capa original 1psufre una ruptura en la degeneración pudiendo diferenciar dos subcapas con energías diferentes. En el estado fundamental el nucleón desapareado ocupa la capa 1p3/2y en el primer estado excitado el nucleón ocupa la capa 1p1/2. Así, tenemos un estado de excitación distinto en función del momento angular total J. Todo ello se vió en la sección 1.5. De esta forma, podremos modelar la interacción espín-órbita de ambos clusters teniendo a  Lcomo el momento angular relativo entre ambos y s como el espín total acoplado. Ya se razonó anteriormente en 1.5 que para ambos casos (7Be y 7Li) se tendrá L= 1 ys=St= 1/2. La forma que adopta esta interacción consta, por tanto, de un operador  L·s que actúa sobre la función de onda y que es dependiente del momento angular total J. Por otro lado, el Hamiltoniano de espín-órbita trata de describir la interacción del espín interno de los clusters con el momento angular relativo entre ambos provocado por la existencia de la interacción nuclear fuerte. Por ello, se suele modelar como un término proporcional a la derivada del potencial que describe dicha interacción, el potencial de Woods-Saxon, de ahí que adopte la forma final de Vso(r) L·s =Vso  L·s r2 0 r dζW S(r) dr ,(2.1.2) donde Vso es un parámetro y r0es la constante radial nuclear proveniente del término de Woods-Saxon. Podemos expresar el momento angular total  Jcomo la suma del momento angular orbital  Ly el espín s de manera que  J2= L2+ 2 L·s +s 2,  L·s =1 2 J2− L2−s 2, (2.1.3) siendo el término  L·s diagonal en la base acoplada. Así, si el operador actúa sobre un estado |LsJM⟩se obtiene  L·s |LsJM⟩=1 2[J(J+ 1) −L(L+ 1) −s(s+ 1)]ℏ2|LsJM⟩,(2.1.4) donde se observa la dependencia del operador en función del valor del momento angular total J. De modo que las capas y subcapas pueden ser caracterizadas por n,LyJ. Por último, dado que ambos clusters son conglomerados cargados, pues tienen protones en su interior, la interacción Coulombiana está presente en el interior del núcleo y es relevante pese a no ser la más intensa. Por ello, al añadir este término podremos estimar mejor las energías y los observables. Este término debe comportarse como 1/r a largas distancias (pues a largas distancias, ambos clusters serán aproximadamente como cargas puntuales entre sí). No obstante, a pequeñas distancias, usaremos el potencial Coulombiano generado por una esfera cargada uniformemente. Para ello, definiremos el potencial Coulombiano como una función a trozos continua. A partir de una cierta distancia RCtomada como parámetro, la función estará definida de distinta forma. Este término queda como [29] Vcoul(r) =    Z1Z2e2 r;si r > RC, Z1Z2e2 2RC3−r2 R2 C;si 0< r ≤RC,(2.1.5) siendo eZila carga del i-ésimo cluster. La elección de los parámetros del potencial (r0,a,V0,Vso yRC) condicionará los resultados que obtengamos. Como es obvio, es importante obtener valores que se aproximen a los experimentales aunque 23 lo esencial es validar que las variables de las que depende este potencial sean las variables bases de las que depende nuestro sistema real y que, a raíz de ahí podamos reproducir este modelo en otros sistemas parecidos. Estas variables son las cargas Zi, los momentos angulares JyL, el espín sy el número de nucleones Ade los clusters. 2.2. Base de funciones Para poder resolver la ecuación (1.7.13), necesitamos varias herramientas. Una de ellas es la elección de una base completa de funciones de nuestro espacio de Hilbert sobre la cual proyectaremos nuestro problema. Dentro de las posibles elecciones, hemos decidido usar la base formada por los autoestados solución de la ecuación de Schrödinger para un potencial central como es el del oscilador armónico (HO, harmonic oscillator) y una transformación de dicha base, la denominada THO (transformed harmonic oscillator) [28]. 2.2.1. Base HO El oscilador isótropo en tres dimensiones viene dado por un potencial central de la forma VHO(r) = 1 2µω2r2,(2.2.1) que escrito en términos del parámetro o longitud de oscilador b=qℏ µω queda: VHO(r) = 1 2 ℏ2 µb4r2,(2.2.2) por lo que la forma del potencial depende de la longitud de oscilador bque es del orden de fm y de la masa µque introduzcamos. Las autofunciones están caracterizadas por la parte radial: uHO nl (r) = Nnl rl+1e−r2 2b2Ll+1 2 nr2 b2;n, l = 0,1,2, ..., (2.2.3) en la que Ll+1 2 nson los polinomios generalizados de Laguerre y Nnl es una constante de normalización: Nnl =s2n+l+2 n! b2l+3√π(2n+ 2l+ 1)!!.(2.2.4) En la figura 2.1 podemos observar dos ejemplos de autofunciones radiales del oscilador armónico. Para esta representación se ha utilizado un valor de b= 1,4fm y l= 1 los cuales serán utilizados para cálculos en secciones posteriores, variando únicamente el número cuántico n. Estas autofunciones tienden asintóticamente a cero presentando nceros intermedios entre el origen y el infinito (sin contar el cero del origen y del infinito). Cuanto mayor sea el número n, más extensa será la función de onda por lo que exploraremos más espacio. Además, dichas autofunciones están normalizadas a la unidad y son ortogonales entre sí dado que corresponden a distintos autovalores solución de la ecuación de Schrödinger para el potencial armónico. Así, observamos que la autofunción uHO 2,1(r)de la figura 2.1 tiene dos ceros intermedios y se anula como una gaussiana a partir de r= 8 fm mientras que la autofunción uHO 10,1(10) tiene diez ceros intermedios y se anula como una gaussiana a partir de r= 11 fm. 24 02468 r (fm) -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 u2,1(r) (fm-1/2) HO b = 1.4 fm 0 2 4 6 8 10 12 r (fm) -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 u10,1(r) (fm-1/2) HO b = 1.4 fm Figura 2.1: Representación de dos autofunciones de la base HO, ambas con b= 1,4fm y l= 1. A la izquierda, autofunción radial correspondiente a n= 2. A la derecha, autofunción correspondiente a n= 10. 0 2 4 6 8 10 r (fm) -1 -0.5 0 0.5 1 u1,1(r) (fm-1/2) b = 0.8 fm b = 1.4 fm b = 2.0 fm HO Figura 2.2: Representación de la autofunción uHO 1,1(r)para tres valores de la longitud de oscilador b. En línea continua, b= 0,8fm, en línea discontinua, b= 1,4fm y en línea punteada, b= 2,0fm. Cuanto menor sea b, menos extensa es la autofunción. La longitud del oscilador bcontrola la extensión de las autofunciones armónicas. En la figura 2.2 observamos cómo para los mismos números cuánticos nylla autofunción tiende a cero asintóticamente a partir de valores distintos de r. Para valores más pequeños de b, la autofunción se encuentra concentrada en valores más pequeños de ry viceversa. En función de la longitud de oscilador bque escojamos, la autofunción explorará distintas extensiones radiales. Destacamos que esta base HO es conveniente por ser analítica. Tiene un comportamiento asintótico de 25 Para el caso de b= 1,1fm, observamos que es la curva que peor converge asintóticamente a medida que aumenta N, es decir, la serie converge al valor Eg.s. conv pero necesita más elementos de la base para conseguirlo. Si recordamos la figura 2.5, nos encontramos en el caso en el que el potencial del oscilador armónico es menos extenso que el potencial fenomenológico del 7Be en su estado fundamental. Así, interpretamos que las primeras autofunciones utilizadas en esta base no consiguen explorar toda la extensión del sistema nuclear lo que desemboca en la necesidad de incluir más elementos en la base para cubrir la extensión de todo el potencial al completo. Los casos de b= 1,7fm y b= 1,9fm son cualitativamente equivalentes. Si bien no aproximan bien el resultado para Npequeño, alcanzan la estabilidad cerca del valor de convergencia con relativa rapidez. En concreto, la base con b= 1,7fm la alcanza antes que b= 1,9fm. Volviendo a la figura 2.5, nos encontramos en el caso de potenciales armónicos cuya extensión es mayor que el potencial fenomenológico de manera significativa. Por ello, encontramos por un lado que los autovalores para b= 1,7fm convergen más rápidamente que para b= 1,9fm pues su curva de potencial sería menos extensa que ésta y, como consecuencia, más parecida al potencial de estudio. Cabe mencionar que queda evidenciado que es preferible escoger una longitud de oscilador bcuyo valor implique autofunciones demasiado extensas que lo contrario. Prueba de ello es que mientras que en los dos casos para bgrande se ha estabilizado la serie cerca del valor de convergencia, la serie para b= 1,1 fm no lo ha hecho. Es preferible tener autofunciones en la base que cubran la extensión del sistema desde pequeños N. Finalmente, destacamos el caso b= 1,4fm como el de mejor convergencia por tres razones. En primer lugar, es una base que efectivamente converge al valor esperado con relativa rapidez, al igual que b= 1,7fm yb= 1,9fm. En segundo lugar, porque presenta el mejor comportamiento cuando el número de elementos de la base es pequeño y esto es beneficioso por el simple hecho de si fuera necesario hacer cálculos en bases pequeñas (tiempos cortos). Esta característica no lo tiene ninguno de los casos anteriores. Por último, porque la curva de su potencial HO es la que más se asemejaría a la del potencial fenomenológico según la figura 2.5. Escogeremos este valor de b= 1,4fm para estudiar la convergencia en la base THO en función de γ. Este procedimiento no nos asegura obtener los parámetros óptimos para la base THO dado que se trata de un método heurístico, sin embargo, esto no resulta crítico para el estudio del sistema y su convergencia. Base THO La base THO consta de una simple transformación de escala de la base HO en la cual se añade un parámetro γ. Fijado b= 1,4fm, en la figura 2.7 podemos ver la convergencia de los resultados en función de γy compararla con una base HO de b= 1,4fm. Los valores de la energías convergen exactamente a autovalores negativos que se van aproximando a un valor de convergencia Eg.s. conv a medida que aumentamos N, como pasa en el caso de la base HO. De hecho, el comportamiento de los resultados sigue a grandes rasgos la misma estructura que la argumentada para la gráfica anterior 2.6. Sin embargo, es preciso fijarnos en dos aspectos. Por un lado, nos fijaremos en la diferencia existente entre la curva de la base HO b= 1,4fm y las tres curvas THO b= 1,4fm de distinto γ. Es evidente destacar que las tres curvas de la base THO convergen mejor que la curva de la base HO. En primer lugar, aunque las cuatro series presentan los mismos valores a partir de N > 14, se observa cómo la curva HO posee resultados menos satisfactorios para valores de Npequeños e intermedios. Esto es fácilmente argumentable con lo visto en la sección 2.2.2 en la que describíamos que el comportamiento asintótico de las autofunciones THO era exponencialmente 32 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Elementos de la base, N -1.6 -1.55 -1.5 -1.45 -1.4 -1.35 -1.3 E (MeV) HO b = 1.4 fm THO . = 2.0 fm1/2 THO . = 2.5 fm1/2 THO . = 3.0 fm1/2 Econv g.s. = -1.5554 MeV Figura 2.7: Representación de la convergencia del valor de la energía del estado fundamental de 7Be con una base THO en función del número de elementos de la base Npara distintos valores de γyb= 1,4fm. Se añade, con triángulos, la representación de la convergencia en la base HO con b= 1,4fm. Con cruces diagonales, γ= 2,0fm1/2, con cruces verticales, γ= 2,5fm1/2, con círculos, γ= 3,0fm1/2. Con línea discontinua horizontal, el valor de convergencia de nuestros resultados Eg.s. conv. γ(fm) γ b(fm1/2) 2,0 2,14 2,5 1,79 3,0 1,43 Tabla 2.2: Comparación del factor que controla la extensión para las autofunciones radiales de la base THO dado b= 1,4fm para distintos valores de γ. decreciente y no gaussiano como en la HO y, por tanto, cumplía la condición de tener la misma tendencia asintótica que las funciones de onda para potenciales atractivos de corto alcance (interacción nuclear). Así, esta diferencia en la cola de las autofunciones radiales cobra importancia para bases pequeñas, en la que la aproximación de la solución como combinación finita de elementos de una base completa infinita no es exactamente consistente. Por ello, esta característica desaparece gradualmente a medida que aumentamos N. Por otro lado, en el estudio del mejor valor de γdebemos destacar el valor de γ= 2,5fm1/2. Elegimos este valor con el argumento de que es el que mejor comportamiento tiene con pocos elementos en la base, siendo en los demás aspectos similares a los otros. Fijada la longitud del oscilador b= 1,4fm, sabemos que γes inversamente proporcional a la extensión de las autofunciones radiales según la sección 2.2.2. En este caso, el factor que controla dicha extensión es γ b. En la tabla 2.2, se recogen los distintos valores calculados para los tres casos. Como hemos mencionado que γ= 2,5fm1/2es la mejor elección, consideramos que los otros dos valores corresponden a autofunciones que o bien van a ser algo más extensas de lo óptimo (γ= 2,0fm1/2) pues el factor γ bes mayor que el óptimo o bien no explorarán todo el espacio de manera eficaz (γ= 3,0fm1/2) pues este factor es menor. El hecho de que las autofunciones de las bases presenten distinta extensión en función de los parámetros byγtiene otro efecto: la variación en la densidad de niveles energéticos de estados no ligados que se 33 concentran alrededor del umbral de separación. Teóricamente, tendríamos un espectro continuo de energía para todos los estados no ligados, sin embargo, dado que tendremos a lo sumo Nautovalores, pues la base es finita, obtendremos un espectro discreto. En las figuras 2.8 y 2.9 se han representado las energías obtenidas alrededor del umbral (E= 0) como solución de la diagonalización del Hamiltoniano en función de los parámetros bpara HO y γ(fijado b) para THO. Este cálculo se ha llevado a cabo con N= 15 elementos de la base, por lo que obtenemos 15 autovalores al diagonalizar de los cuales solo nos centramos en aquellos que hacen referencia a estados no ligados (E > 0) y que se encuentran cercanos al umbral de ruptura. Este efecto aquí evidenciado no lo vamos a utilizar para ningún cálculo, solo lo discutiremos de manera ilustrativa. Por un lado, a medida que aumentamos el tamaño de la base, los autovalores de la zona no ligada se van acumulando en el umbral de ruptura, acercándose progresivamente al concepto de continuo a medida que la aproximación de base infinita a finita se hace más consistente. En la figura 2.8 comparamos los espectros de energía en una base HO para b= 1,1fm, b= 1,4fm y b= 1,9fm. La tendencia observada es clara, la base de HO que presenta las autofunciones más extensas (b= 1,9fm) tiene una mayor densidad de estados alrededor del límite de ruptura. Esto es fácilmente argumentable con la curva de potencial de la figura 2.5. Las curvas de potencial más extensas exploran energías más bajas puesto que la separación entre niveles energéticos es inversamente proporcional a b. De esta forma, encontramos más autovalores cercanos a E= 0 cuanto mayor sea b. Por otro lado, en la figura 2.9 se representan tres espectros de energías para la base THO fijado b= 1,4 fm y dado γ= 2,0fm1/2,γ= 2,5fm1/2yγ= 3,0fm1/2. El argumento es el mismo que el utilizado para el caso HO: Las bases con las autofunciones más extensas presentan mayor densidad de niveles energéticos cercanos al mínimo. La diferencia radica en que fijado b= 1,4fm, la extensión radial es controlada por el factor γ. Cuanto menor sea γ(i.e. γ= 2,0fm1/2), más extensas son las autofunciones y hay mayor densidad de estados en esta zona. Cabe destacar que en los espectros de las figuras 2.8 y 2.9 no se recoge la energía del estado prohibido de Pauli comentado en la sección 2.3. Esto se debe a que la energía de dicho estado es aproximadamente Eforb. ≈ −34 MeV, con lo cual no aparece en dichos espectros. Recordamos que la función de onda que representa dicho estado prohibido sería una función con un solo lóbulo dado que no presenta nodos intermedios, solo en el origen y en el infinito. Con todo lo argumentado anteriormente, esperamos que la convergencia en una base THO sea más suave y rápida presentando un mejor comportamiento en los límites de pequeños e intermedios valores de Ny obteniendo convergencia para bases menores, lo que conllevaría un menor tiempo de cálculo del autovalor, la autofunción y los observables. Por tanto, se escoge a la base THO como la más adecuada para obtener resultados empleando el menor tiempo de cálculo y asegurando la convergencia. En adelante, se realizarán los cálculos para el 7Be con esta base, tomando los parámetros para los que hemos valorado que la base es óptima: b= 1,4fm y γ= 2,5fm1/2. 2.4.2. Estado fundamental Los resultados de los valores de la energía para el estado fundamental del 7Be ya se han obtenido en el apartado anterior durante el estudio de la convergencia y la selección de la mejor base para su cálculo. En la tabla 2.3 recogemos estos resultados y el valor del número de elementos de la base Na partir del cual consideramos la serie como convergida. Estos han sido calculados con b= 1,4fm y γ= 2,5fm1/2. Cabe recordar que los valores de la energía recogidos en dicha tabla tienen que ser interpretados poniendo el origen de energía en el umbral de separación de nuestro núcleo en los dos clusters independientes (por ello, son negativos). 34 (a) HO, b= 1,1fm. -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 E (MeV) -1.53 6.13 16.37 (b) HO, b= 1,4fm. -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 E (MeV) -1.55 3.51 9.34 17.71 (c) HO, b= 1,9fm. -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 E (MeV) -1.55 1.76 4.46 8.64 14.43 Figura 2.8: Representación ampliada de los autovalores obtenidos tras diagonalizar el Hamiltoniano del 7Be con el potencial fenomenológico relativo al estado fundamental para la base HO usando N= 15 elementos. A la izquierda b= 1,1fm, en el centro b= 1,4fm y a la derecha b= 1,9fm. (a) THO, γ= 2,0fm1/2. -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 E (MeV) -1.56 0.48 1.11 2.13 3.68 5.89 9.08 13.66 (b) THO, γ= 2,5fm1/2. -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 E (MeV) -1.56 1.11 2.63 5.04 8.55 13.41 (c) THO, γ= 3,0fm1/2. -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 E (MeV) -1.56 1.76 4.46 8.63 14.42 Figura 2.9: Representación ampliada de los autovalores obtenidos tras diagonalizar el Hamiltoniano del 7Be con el potencial fenomenológico relativo al estado fundamental para la base THO fijado b= 1,4fm usando N= 15 elementos. A la izquierda γ= 2,0fm1/2, en el centro γ= 2,5fm1/2y a la derecha γ= 3,0 fm1/2. 35 Eg.s. conv(MeV )Egs exp.(MeV )δE NHO NT HO −1,5554 −1,5866 1,97 % 17 9 Tabla 2.3: Comparación de la energía obtenida con el valor experimental y el valor Ndel número de elementos de la base a partir del cual la serie se ha considerado convergida en las bases HO y THO (b= 1,4fm, γ= 2,5fm1/2). También se recoge el error relativo δE del valor de convergencia respecto del experimental. Todo ello para el estado fundamental del 7Be. 0 2 4 6 8 10 12 14 r (fm) -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 Ag:s:(r) (fm1=2) N = 4 N = 6 N = 9 N = 12 Figura 2.10: Representación de la función de onda radial del estado fundamental de 7Be ψ(r)en función del número de elementos de la base Nusando la base THO b= 1,4fm y γ= 2,5fm1/2. Con línea discontinua N= 4, con línea punteada N= 6, con línea de puntos y rayas N= 9, con línea continua N= 12. 2.5 3 3.5 4 r (fm) 0.5 0.55 0.6 0.65 Ag:s:(r) (fm1=2) N = 4 N = 6 N = 9 N = 12 6 7 8 9 10 11 12 13 14 r (fm) 0 0.05 0.1 0.15 0.2 Ag:s:(r) (fm1=2) N = 4 N = 6 N = 9 N = 12 Figura 2.11: Representación ampliada de la función de onda del estado fundamental de 7Be (ψg.s.(r)) en función del número de elementos Nde la base THO b= 1,4fm, γ= 2,5fm1/2. Con línea discontinua N= 4, con línea punteada N= 6, con línea de puntos y rayas N= 9, con línea continua N= 12. A la izquierda, representación ampliada del segundo lóbulo de la función de onda. A la derecha, representación de la cola asintótica de la función de onda. 36 La representación de la función de onda para distinto número de elementos Nde la base THO b= 1,4 fm γ= 2,5fm1/2se recoge en las figuras 2.10 y 2.11. En la figura 2.10 se recoge la función de onda completa (ψg.s.(r)) mientras que en la figura 2.11 se detallan algunas zonas ampliadas. La función de onda posee un nodo intermedio. Esto cobra sentido tras lo mencionado en secciones como 2.2 y 2.3 donde concluimos que el número cuántico m= 1 es el que indica la cantidad de nodos intermedios de la onda. En la figura 2.10 se ha representado cómo cambia el perfil de la función de onda radial del estado fundamental en función del número de elementos de la base para N= 4,6,9y12. Existen dos zonas concretas donde se pone en evidencia la variación de la función de onda a medida que nos acercamos a la función de onda convergida. Estas dos zonas son el segundo lóbulo y la cola asintótica, ambas recogidas en la figura 2.11. Por un lado, para un número menor de elementos de la base (N= 4,N= 6) observamos que la cola asintótica cae más rápidamente a cero que para bases mayores. Según lo visto en la sección 2.2, sabemos que a medida que seleccionamos elementos de la base con mayor número cuántico n, obtenemos autofunciones más extensas que las anteriores, como se pudo ver en la figura 2.1, con lo que si queremos observar la convergencia del perfil de la función de onda en algún lugar de manera significativa, será en la zona más alejada del origen, aquella en la cual cada vez que aumentamos la base, añadimos elementos que la van explorando aún más. De esta forma, explicamos la mayor rapidez en la llegada a la asintoticidad de estas bases con Nmenor. Una cola más pronunciada obliga a un ajuste en la altura y anchura de los lóbulos, dado que son funciones de onda normalizadas a la unidad. Esto es lo que se observa que ocurre con claridad en el segundo lóbulo. El efecto se ve reducido a medida que aumentamos el número de elementos de la base (N= 9 yN= 12), de tal forma que solo es apreciablemente significativo en la parte final de la cola asintótica de la figura 2.11. Por ello, haremos uso de otra herramienta para describir de manera más precisa la convergencia de la función de onda: el radio cuadrático medio (RMS). 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Elementos de la base, N 3.1 3.15 3.2 3.25 3.3 3.35 3.4 3.45 3.5 RMS, p< r2>(fm) RMS Figura 2.12: Representación del radio cuadrático medio (RMS) de la función de onda del estado fundamental del 7Be respecto al número de elementos Nde la base THO b= 1,4fm, γ= 2,5fm1/2. Es posible observar el fenómeno de la convergencia de la función de onda mediante el estudio de su radio cuadrático medio (RMS) en función del número de elementos de la base N. En la figura 2.12 podemos observar dicha tendencia. El RMS es una medida de la dispersión de la función de onda. A medida que 37 aumentamos el número de elementos de la base N, la cola de la función de onda se va suavizando (como hemos visto anteriormente) lo que provoca que la función de onda sea más extensa y, por tanto, en muchos casos más dispersa. El hecho de que la serie de los valores de RMS no sea monótona no es incongruente. Al ir aumentando N, por una parte estamos añadiendo en el desarrollo funciones que son más extensas, por lo que se podría pensar que el RMS debería ir creciendo de forma suave. Pero por otra parte, con Ncreciente el estado se va haciendo más ligado pues va decreciendo su energía, como pudimos ver en la figura 2.7, lo cual implica una extensión más reducida. Estos dos efectos de alguna manera se van compensado hasta alcanzar la convergencia. Cuando el valor del RMS converge, podemos concluir que la función de onda se encuentra, a su vez, convergida. En nuestro caso, consideramos que para N= 12 la serie de la figura 2.12 ha convergido, por lo que la función de onda representada en la figura 2.10 para N= 12 es la función de onda convergida del estado fundamental de 7Be. Como consecuencia, destacamos que la convergencia de la energía no implica necesariamente la convergencia de la función de onda que representa. Este resultado es muy importante pues a la hora de calcular los observables necesitaremos hacer uso de la función de onda convergida, que no será para el mismo valor de Nque la energía convergida. A continuación estudiaremos el primer estado excitado. 2.4.3. Primer estado excitado Para el caso del primer estado excitado del núcleo de 7Be, la única diferencia reseñable en nuestra modelización con respecto al estado fundamental es el valor de Jtotal que afecta al término del acoplamiento espín-órbita del potencial fenomenológico. Los parámetros del potencial fenomenológico son los mismos que los usados en el estado fundamental y recogidos en la tabla 2.1, sin embargo, el valor del momento angular total Jes distinto según se comentó en la sección 1.5 (en este caso, J= 1/2frente a J= 3/2del estado fundamental), de forma que el término espín-órbita definido en la ecuación 2.1.2 tiene un comportamiento distinto dado por el operador  L·s en la ecuación 2.1.4. En la figura 2.13 se representan los resultados de la convergencia de la energía Een función del número de elementos de la base Npara la base HO b= 1,4fm y la base THO b= 1,4fm γ= 2,5fm1/2. El valor de la energía convergida Eex1 conv, el experimental Eex1 exp. tomado de [17], el error relativo y el número de elementos de la base para los que la serie ha convergido se recogen en la tabla 2.4. Cabe destacar que los valores aquí recogidos corresponden a la diferencia entre la energía del primer estado excitado del 7Be y la energía de ruptura del núcleo en los dos clusters correspondientes, teniendo como origen de energía este último valor. Eex1 conv (MeV) Eex1 exp. (MeV) δE NHO NT HO −1,1287 −1,1575 2,49 % 21 9 Tabla 2.4: Comparación de la energía obtenida con los valores experimentales y el valor Ndel número de elementos de la base a partir del cual la serie se ha considerado convergida en las bases HO y THO (b= 1,4fm, γ= 2,5fm1/2). También se recoge el error relativo δE del valor de convergencia respecto del experimental. Todo ello para el primer estado excitado del 7Be. Comparamos los datos de la convergencia del estado fundamental con el primer estado excitado de 7Be mediante las tablas 2.3 y 2.4. En primer lugar, ambos errores relativos están por debajo del umbral del 5 %, por lo que hemos obtenido medidas aceptables en comparación con los valores experimentales. En segundo lugar, el valor Na partir del cual consideramos la serie como convergida difiere en algunos casos. Para el uso de la base THO, ambas series convergen en N= 9, sin embargo, para la base HO la energía del estado fundamental se considera convergida para N= 17 mientras que para el primer estado 38 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Elementos de la base, N -1.15 -1.1 -1.05 -1 -0.95 -0.9 -0.85 E (MeV) Eex1 HO Eex1 THO Econv ex1 = -1.1287 MeV Figura 2.13: Representación de la convergencia del valor de la energía del primer estado excitado de 7Be en función del número de elementos de la base N. Con círculos, la base THO b= 1,4fm γ= 2,5fm1/2. Con cruces, la base HO b= 1,4fm. Con línea discontinua horizontal, el valor de convergencia de nuestros resultados Eex1 conv. excitado se da para N= 21. Este fenómeno puede ser argumentado por la elección de los parámetros de las bases. En la sección 2.4.1 hemos seleccionado el valor de bcuya base presenta mejor convergencia o cuya curva de potencial tenga más parecido al potencial fenomenológico del estado fundamental del 7Be. No obstante, el potencial fenomenológico para el primer estado excitado es ligeramente distinto a causa de la interacción espín-órbita como hemos mencionado anteriormente. Así, el valor de bóptimo puede variar ligeramente, lo que provocaría un ligero empeoramiento en la convergencia del primer estado excitado. En las figuras 2.14 y 2.15 se recogen los detalles de la función de onda del primer estado excitado del 7Be. El perfil de la onda es similar al recogido en la figura 2.10 para el estado fundamental (como el hecho de tener dos lóbulos y un cero intermedio), por lo que su discusión es equivalente. Tras estudiar el RMS de la función de onda en función del número de elementos de la base Nen la figura 2.16, consideramos que está convergida para N= 12, representado en línea continua en la figura 2.14. La discusión de la figura 2.15 es similar a la dada para el estado fundamental. Para pocos elementos de la base, N= 4 yN= 6 (en línea discontinua y punteada respectivamente), la principal diferencia viene dada por la extensión final de la función de onda. La cola tiende a cero con mayor rapidez, como podemos ver en la zona ampliada al inicio de la cola de la onda. Esto es debido a que las autofunciones que forman las bases no tienen la suficiente extensión como para ajustar las zonas más alejadas del origen. Esto provoca en ambos casos que la curva sea distinta en el primer y segundo lóbulo, manteniendo normalizada la función. La dispersión de la onda (RMS) es menor pues se encuentra concentrada mayoritariamente en un espacio menor. A medida que aumentamos el número de elementos de la base (N= 9), la función de onda se estabiliza cerca del origen y solo encontramos diferencias en la parte final de la cola asintótica como se puede ver en la figura inferior derecha de 2.15 donde aparece ampliada la cola de la onda. Por otro lado, el valor de RMS de la función de onda del primer estado excitado es mayor que la del estado fundamental. Esto podemos verlo comparando las figuras 2.12 y 2.16. Como consecuencia, la función de onda excitada presenta ligeramente más dispersión. Esto podemos interpretarlo como si la distancia intercluster entre el 4He y el 3He fuera ligeramente mayor en el estado excitado. A continuación, haremos uso de ambas funciones de onda para calcular algunos observables. 39 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 r (fm) -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 Aex1(r) (fm1=2) N = 4 N = 6 N = 9 N = 12 Figura 2.14: Representación de la función de onda radial del primer estado excitado de 7Be ψ(r)en función del número de elementos de la base Nusando la base THO b= 1,4fm y γ= 2,5fm1/2. Con línea discontinua N= 4, con línea punteada N= 6, con línea de puntos y rayas N= 9, con línea continua N= 12. 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 r (fm) -0.55 -0.5 -0.45 -0.4 -0.35 -0.3 Aex1(r) (fm1=2) N = 4 N = 6 N = 9 N = 12 2.5 3 3.5 4 r (fm) 0.48 0.5 0.52 0.54 0.56 0.58 0.6 0.62 0.64 Aex1(r) (fm1=2) N = 4 N = 6 N = 9 N = 12 6 7 8 9 10 11 r (fm) 0 0.05 0.1 0.15 0.2 Aex1(r) (fm1=2) N = 4 N = 6 N = 9 N = 12 11 12 13 14 15 16 17 18 r (fm) -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 Aex1(r) (fm1=2) N = 4 N = 6 N = 9 N = 12 Figura 2.15: Representación ampliada de la función de onda del primer estado excitado de 7Be (ψex1(r)) en función del número de elementos Nde la base THO b= 1,4fm, γ= 2,5fm1/2. Con línea discontinua N= 4, con línea punteada N= 6, con línea de puntos y rayas N= 9, con línea continua N= 12. Arriba a la izquierda, representación ampliada del primer lóbulo de la onda. Arriba a la derecha, representación ampliada del segundo lóbulo de la onda. Abajo a la izquierda, representación del inicio de la cola de la onda. Abajo a la derecha, representación ampliada de la cola asintótica. 40 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Elementos de la base, N 3.35 3.4 3.45 3.5 3.55 3.6 RMS, p< r2>(fm) RMS Figura 2.16: Representación del radio cuadrático medio (RMS) de la función de onda del primer estado excitado del 7Be respecto al número de elementos Nde la base THO b= 1,4fm, γ= 2,5fm1/2. 2.4.4. Probabilidad de transición E2y momento cuadrupolar Q En esta sección calcularemos la probabilidad de transición eléctrica E2del estado fundamental (J= 3/2−) al primer estado excitado (J= 1/2−) del 7Be. Esta probabilidad viene dada por la ecuación 1.6.1 vista en la sección 1.6. En la tabla 2.5 se recogen los valores de los parámetros dado el estado inicial fundamental (i) y final excitado (f). λ JiLisiJfLfsf 2 3/211/2 1/211/2 Tabla 2.5: Valores usados para el cálculo de la transición eléctrica E2del estado fundamental al primer estado excitado del 7Be. En concreto, se tiene que B(E2,3/2−−→ 1/2−) = 2·1 2+ 1 2·3 2+ 1 ⟨1 2||M(E2)||3 2⟩ 2 ,(2.4.2) que haciendo uso de las expresiones 1.6.5, 1.6.6 y 1.6.7 obtenemos B(E2,3/2−−→ 1/2−) = 15 2π eZ(2) eff      1 2 3 22 1 1 1 2     ×⟨2010|10⟩Z∞ 0 ψ∗ ex1(r)r2ψg.s.(r)dr 2 .(2.4.3) El valor calculado de la carga reducida es Z(2) eff = 1,0198,(2.4.4) 41 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Elementos de la base, N 3.28 3.3 3.32 3.34 3.36 3.38 RMS, p< r2>(fm) RMS Figura 2.21: Representación del radio cuadrático medio (RMS) de la función de onda del estado fundamental del 7Li respecto al número de elementos Nde la base THO b= 1,4fm, γ= 2,5fm1/2. 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 r (fm) 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 jAg:s: 14 (r)!Ag:s: N(r)j(fm1=2) N = 4 N = 7 N = 11 Figura 2.22: Representación de la diferencia en valor absoluto de la función de onda del estado fundamental de 7Li, ψg.s. N(r)para N= 4 (línea discontinua), N= 9 (línea punteada) y N= 11 (línea de puntos y rayas) respecto de la función de onda convergida ψg.s. 14 (r)(N= 14). Todo ello calculado con una base THO b= 1,4fm, γ= 2,5fm1/2. 48 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Elementos de la Base, N 0 2 4 6 8 10 12 Error relativo, /E (%) /E(N)HO /E(N)THO /Econv ex1 = 1.31 % Figura 2.23: Representación de la convergencia del error relativo de la energía del primer estado excitado de 7Li en función del número de elementos de la base N. Con cruces verticales, resultados con una base THO b= 1,4fm γ= 2,5fm1/2. Con cruces diagonales, resultados con una base HO b= 1,4fm. Con línea discontinua horizontal, error relativo del valor de convergencia de nuestros resultados δE. de ruptura del núcleo en los clusters 4He y 3H. El error relativo es de δE = 1,31 % que se encuentra por debajo del umbral del 5 %. En esta tabla también se recogen los valores de Npara los cuales se considera la serie convergida. Volvemos a destacar que la base THO converge más rápidamente que la base HO. En la figura 2.23 podemos observar la convergencia del error relativo del valor Eex1 conv respecto a Eex1 exp a medida que aumentamos N. Este valor tiende al valor constante δE = 1,31 % comentado anteriormente. Eex1 conv (MeV) Eex1 exp. (MeV) δE NHO NT HO −1,9634 −1,9894 1,31 % 16 9 Tabla 2.10: Comparación de la energía obtenida con los valores experimentales y el valor Ndel número de elementos de la base a partir del cual la serie se ha considerado convergida en las bases HO y THO (b= 1,4fm, γ= 2,5fm1/2). También se recoge el error relativo δE del valor de convergencia respecto del experimental. Todo ello para el primer estado excitado de 7Li. En la figura 2.24 viene representada la función de onda del primer estado excitado en función del número de elementos de la base Ncon la base THO b= 1,4fm γ= 2,5fm1/2. Como esperábamos tiene un nodo intermedio y dos lóbulos bien diferenciados. Podemos observar la convergencia de la función de onda con claridad en la cola asintótica. Como se ha nombrado en secciones anteriores, a medida que aumentamos N, las autofunciones de la base son más extensas y exploramos una mayor extensión radial, de forma que obtenemos una mejor tendencia lejos del origen que se ve reflejada en la cola asintótica. En la figura 2.25 podemos observar lo que acabamos de comentar y cómo a medida que nos acercamos a la función de onda convergida, esta diferencia es menos notable. En la figura 2.25 también podemos ver la convergencia del RMS. Consideramos que la función de onda se encuentra convergida para N= 14, pues el valor de RMS se encuentra estabilizado. Por tanto, el perfil de la onda en línea continua de la figura 2.24 es la función de onda convergida del primer estado excitado de 7Li. 49 0 2 4 6 8 10 12 14 16 r (fm) -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 Aex1(r) (fm1=2) N = 4 N = 7 N = 11 N = 14 Figura 2.24: Representación de la función de onda radial del primer estado excitado de 7Li ψ(r)en función del número de elementos de la base Nusando la base THO b= 1,4fm y γ= 2,5fm1/2. Con línea discontinua N= 4, con línea punteada N= 7, con línea de puntos y rayas N= 11, con línea continua N= 14. 7 8 9 10 11 12 13 14 r (fm) -0.1 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0 Aex1(r) (fm1=2) N = 4 N = 7 N = 11 N = 14 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Elementos de la base, N 3.34 3.36 3.38 3.4 3.42 3.44 3.46 3.48 RMS, p< r2>(fm) RMS Figura 2.25: A la izquierda, representación ampliada de la cola asintótica de la función de onda del primer estado excitado de 7Li (ψex1(r)) en función del número de elementos Nde la base THO b= 1,4 fm, γ= 2,5fm1/2. Con línea discontinua N= 4, con línea punteada N= 7, con línea de puntos y rayas N= 11, con línea continua N= 14. A la derecha, representación del radio cuadrático medio (RMS) de la función de onda en función del número de elementos Nde la base THO b= 1,4fm, γ= 2,5fm1/2. 50 2.5.4. Probabilidad de transición E2y momento cuadrupolar Q Al igual que con el núcleo de 7Be, calcularemos la probabilidad de transición eléctrica E2entre el estado fundamental (inicial i) y el primer estado excitado (final f). Los valores usados para este cálculo están recogidos en la tabla 2.11, que son los mismos que para el 7Be si comparamos con la tabla 2.5. λ JiLisiJfLfsf 2 3/211/2 1/211/2 Tabla 2.11: Valores usados para el cálculo de la transición eléctrica E2del estado fundamental al primer estado excitado del 7Li. La probabilidad de transición del estado fundamental (J= 3/2−) al primer estado excitado (J= 1/2−) viene dada por la ecuación 1.6.1 vista en la sección 1.6. Dado que los valores que usaremos para esta predicción son muy similares a los usados en la sección 2.4.4, la mayoría de cálculos ya los hemos expuesto. La principal diferencia se encuentra en el valor de la carga efectiva Z(2) eff y en la integral radial de las funciones de onda inicial y final. Hacemos uso de la ecuación 2.4.3 que describe la probabilidad de transición E2. A su vez, hacemos uso de los resultados del símbolo 6-J y el coeficiente Clebsch-Gordan de las ecuaciones 2.4.5 y 2.4.6. El valor de la carga efectiva es Z(2) eff = 0,6945,(2.5.1) mientras que el valor de la integral radial es Z∞ 0 ψ∗ ex1(r)r2ψg.s.(r)dr = 11,6082 fm2,(2.5.2) donde se ha utilizado la función de onda convergida (con N= 14 elementos de la base THO b= 1,4fm γ= 2,5fm1/2) tanto para el estado fundamental como para el excitado. El resultado final se recoge en la tabla 2.12. 7Li Este trabajo Experimental Otros trabajos B(E2,3/2−−→ 1/2−)(e2fm4)5,173 8,3(0,6)[39]7,55[38] 8,3(0,5)[39]6,86[40] 7,59(0,12)[40]7,75[41] 7,27(0,12)[40]7,74[41] 10,57[42] Tabla 2.12: Comparativa de valores de la probabilidad de transición B(E2) entre el estado fundamental y el primer excitado de 7Li. Se recoge la predicción de nuestro trabajo, los obtenidos experimentalmente y los predichos por otros autores en otros trabajos. Nuestro resultado se ha obtenido tras usar la función de onda convergida N= 14 con la base THO b= 1,4fm γ= 2,5fm1/2. Como en el caso del berilio, el resultado obtenido es de la misma magnitud que los experimentales, por lo que representa un buen valor de predicción pese a las aproximaciones que hemos llevado a cabo. La probabilidad de transición es ligeramente menor que en el caso del 7Be y esto se debe principalmente a que la carga efectiva del dicluster de 7Li es menor al tener un protón menos. La predicción llevada a cabo por otros autores en otros trabajos dista, en algún caso, de manera similar al nuestro. Este es el caso del trabajo [42]. Esto refuerza nuestra predicción como una buena aproximación. Pese a ello, 51 observamos que nuestro valor no se encuentra comprendido en el interior del intervalo de error de ningún dato experimental. Podemos decir que el resultado obtenido es bueno como primera predicción pero no interpretable de manera precisa. Para el cálculo del momento cuadrupolar Qen el estado fundamental del 7Li hacemos uso de la ecuación 2.4.9. El coeficiente de Clebsch-Gordan viene dado en la ecuación 2.4.6, la carga efectiva en la ecuación 2.5.1 y el símbolo 6-J en 2.4.10. La integral radial no es más que el cuadrado del radio cuadrático medio de la función de onda del estado fundamental. Esta integral da un valor de RMS2=Z∞ 0 ψ∗ g.s.(r)r2ψg.s.(r)dr = 11,2708 fm2,(2.5.3) donde se ha utilizado a la función de onda con N= 14 de la base THO b= 1,4fm γ= 2,5fm1/2. Los resultados se recogen en la tabla 2.13. 7Li Este trabajo Experimental Otros trabajos Q(efm2)−3,13 −3,70(0,08)[40]−3,71[40] −3,4(0,6)[40]−3,70[40] −3,63(0,12)[40]−3,43[40] −4,00(3)[43]−4,0(1)[44] Tabla 2.13: Comparativa de valores del momento cuadrupolar Qpara el estado fundamental de 7Li. Se recoge la predicción de nuestro trabajo, datos experimentales y la predicción de otro trabajo. Nuestro resultado se ha obtenido tras usar la función de onda convergida N= 14 con la base THO b= 1,4fm γ= 2,5fm1/2. Al igual que para la probabilidad de transición eléctrica, obtenemos un valor del mismo orden de magnitud que los experimentales, lo que indica que nuestro modelo es capaz de predecir satisfactoriamente los observables pese a las aproximaciones realizadas. Destacamos que, aún así, el valor obtenido no se encuentra en el intervalo de confianza de la mayoría de valores experimentales. El hecho de que el momento cuadrupolar sea un valor lejano a cero nos indica que efectivamente la distribución de carga del núcleo (los protones) se encuentra desviada del modelo de núcleo esférico. El núcleo tendría forma de prolato o esferoidal. Por tanto, deducimos que esta desviación está provocada por los dos clusters reflejados en la figura 1.4 que inducen esta deformación. Si comparamos el valor del momento cuadrupolar del 7Be en la tabla 2.7 y el 7Li observamos que el momento cuadrupolar de berilio es mayor. Esto tiene sentido puesto que para un mismo número de nucleones A= 7, el 7Be posee una unidad de carga más, por lo que uno de los clusters (el correspondiente al 3He) tiene una carga positiva mayor que el 3H, lo que contribuye a una mayor repulsión Coulombiana entre clusters para una misma interacción nuclear fuerte. Así, al haber más repulsión, ambos clusters se encontrarían algo más alejados el uno del otro. Esto mismo puede evidenciarse en los valores de convergencia del RMS de las funciones de onda del estado fundamental de ambos núcleos. En la tabla 2.14 se recoge dicha comparativa. Un valor del RMS mayor (como es el caso del berilio) indica una función de onda más dispersa, lo que podemos interpretar como una mayor separación o distancia media entre clusters del núcleo. Por ende, un mayor momento cuadrupolar. RMS Estado fundamental 7Be 3,4657 7Li 3,3557 Tabla 2.14: Comparativa de los valores de convergencia del radio cuadrático medio (RMS) del estado fundamental de 7Be y 7Li en una base THO b= 1,4fm γ= 2,5fm1/2. 52 Con todo esto concluimos el estudio del 7Li. Al igual que para el 7Be, en primer lugar hemos elegido unos parámetros que caractericen el potencial fenomenológico. A raíz de ahí, hemos razonado que los valores óptimos de byγpara las autofunciones de las bases HO y THO son aproximadamente iguales a los elegidos para el 7Be. Hemos calculado la energía y las funciones de onda del estado fundamental y el primer excitado observando cuándo y cómo convergían. Por último, hemos calculado la probabilidad de transición eléctrica E2del estado fundamental al primer excitado y el momento cuadrupolar Q, interpretando las similitudes y diferencias presentes entre estos resultados y los obtenidos para el 7Be. Así, se ha observado que aunque ambos núcleos presentan su distribución de carga desviada en forma de prolato, la diferencia de un neutrón y un protón provoca una ligera diferencia en los resultados. Por último, también podemos sugerir que la estructura de tipo cluster es factible para modelar este sistema nuclear. 53 Capítulo 3 Resumen y conclusiones El contenido de este trabajo se encuadra dentro de la Física Nuclear. El estudio de este área es predominantemente fenomenológico. En este marco, decidimos estudiar la interacción nuclear fuerte en el interior de dos núcleos concretos como son el 7Li y el 7Be. En primer lugar, modelamos el núcleo de estos átomos como un sistema de dos conglomerados de nucleones o clusters bien diferenciados. La justificación de este modelado la encontramos en la peculiar estructura interna nuclear de este sistema descrita mediante el modelo de capas y en la energía de ligadura que presentan estos nucleones en el núcleo. Mediante este modelado somos capaces de aproximar la resolución de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo de Acuerpos interaccionantes a la de dos cuerpos (clusters) con una interacción efectiva. Resolvemos este problema de manera matricial mediante la solución clásica al problema de los dos cuerpos y un potencial fenomenológico. Este potencial tiene tres términos: el término central de Woods-Saxon correspondiente a la interacción nuclear atractiva y de corto alcance, el acoplamiento espín-órbita que nos permite añadir un término no central y el Coulombiano. Para la resolución matricial es necesario la elección de una base sobre la que proyectar el Hamiltoniano. Por ello, hacemos uso de scripts, funciones originales y figuras propias en MATLAB para realizar los cálculos y sus representaciones. El hecho de que no sea posible calcular la proyección completa de la solución sobre una base (es un cálculo infinito), nos obliga a realizar una aproximación: se elige un número finito de elementos de la base. Cuantos más elementos tenga la base, más cercana es la solución a la real. Así, escogemos dos bases de autofunciones para realizar los cálculos. Por un lado, las autofunciones del oscilador armónico (HO). Por otro lado, una transformación de esta base (THO) que por sus características permite obtener resultados satisfactorios con un menor número de elementos en la base respecto a la base HO. En este caso, decimos que converge más rápidamente. De esta forma, reducimos el coste computacional. Además, como se trata de una base finita y no completa, la elección de los parámetros de los que dependen las autofunciones es relevante para mejorar esta convergencia. Por ello, realizamos un estudio del valor de los parámetros óptimos byγa partir de los cuales el cálculo implica el menor coste computacional posible. A raíz de todo ello, podemos calcular la energía, la función de onda del estado fundamental y del primer estado excitado, la probabilidad de transición eléctrica E2entre ellos y el momento cuadrupolar Q. En las tablas 3.1 y 3.2 se recogen los resultados obtenidos para el 7Be y el 7Li respectivamente. En la figura 3.1 se recoge el espectro de energías que hemos obtenido en este trabajo para las energías más bajas de excitación del 7Be y el 7Li. Este espectro es muy parecido al descrito en la figura 1.5 para bajas energías. 54 7Be Este trabajo Experimental Otros trabajos Eg.s. (MeV) −1,5554 −1,5856 - Eex1(MeV) −1,1287 −1,1575 - B(E2,3/2−−→ 1/2−)(e2fm4)12,4-18,3[27] Q(efm2)−4,83 -−6,7(1)[5] −4,79[27] Tabla 3.1: Resultados obtenidos para el modelo de dicluster del núcleo de 7Be en 4He +3He. 7Li Este trabajo Experimental Otros trabajos Eg.s. (MeV) −2,4395 −2,4670 - Eex1(MeV) −1,9634 −1,9894 - B(E2,3/2−−→ 1/2−)(e2fm4)5,173 8,3(0,6)[39]7,55[38] 8,3(0,5)[39]6,86[40] 7,59(0,12)[40]7,75[41] 7,27(0,12)[40]7,74[41] 10,57[42] Q(efm2)−3,13 −3,70(0,08)[40]−3,71[40] −3,4(0,6)[40]−3,70[40] −3,63(0,12)[40]−3,43[40] −4,00(3)[43]−4,0(1)[44] Tabla 3.2: Resultados obtenidos para el modelo de dicluster del núcleo de 7Li en 4He +3H. (a) 7Be 0 0.5 1 1.5 2 2.5 E (MeV) 1.5554 3He + 4He 0.4267 J = 1/2- J = 3/2- (b) 7Li 0 0.5 1 1.5 2 2.5 E (MeV) 2.4395 3H + 4He 0.4761 J = 1/2- J = 3/2- Figura 3.1: Espectro de energías obtenido en este trabajo para el núcleo de 7Be y 7Li con el origen de energías en el estado fundamental. 55 En conclusión, consideramos exitoso el estudio realizado para ambos núcleos así como la modelización y las aproximaciones realizadas puesto que obtenemos resultados coherentes mediante interpretaciones físicas bastante descriptivas. Destacamos la capacidad de encontrar sentido físico a las distintas aproximaciones que hemos ido necesitando añadir (como en el potencial fenomenológico) y a la diferencia de resultados obtenidos en función de los parámetros (convergencia en función de características de la base). Concluimos que el modelo de clusters es un modelo válido y muy útil para la descripción de sistemas nucleares complejos que presentan una estructura interna de clusters y que puede ser extrapolado a sistemas de núcleos con halo como el 11Be u otros nombrados anteriormente. Recordando la cita del gran Richard Feynman recogida en la introducción [1], no hemos utilizado un fundamento estrictamente detallado de cómo funciona un sistema nuclear pero sí hemos conseguido modelarlo y aproximarlo de tal forma que podemos hacer cálculos y predicciones de sus características y su comportamiento en otros sistemas físicos y, todo ello, mediante el desarrollo personal y original de código en el programa MATLAB (∼1000 líneas de código efectivo). 56 Bibliografía [1] Youtube,“https://www.youtube.com/watch?v=Ec03o-7rHLw&t=119s, Nov 1983, Big Sur CA EEUU, 23 Mar 2024. [2] Nudat3,"https://www.nndc.bnl.gov/nudat3/", 11 Jun 2024. [3] K. S. Krane: Introductory nuclear physics, John Wiley and Sons, (1988). 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