Inflação – impacto no desenvolvimento dos sinistros

Universidade do Minho Escola de Ciências Raquel Sofia Rodrigues Barros Inflação – impacto no desenvolvimento dos sinistros outubro 2023 Inflação – impacto no desenvolvimento dos sinistros Raquel Barros UMinho | 2023 Universidade do Minho Escola de Ciências Raquel Sofia Rodrigues Barros Inflação – impacto no desenvolvimento dos sinistros Dissertação de Mestrado Trabalho efetuado sob a orientação da Professora Inês Pereira Silva Cunha de Sousa e do Atuário Filipe Alexandre Carvalho Teixeira Gonçalves outubro 2023 Mestrado em Estatística para Ciência de Dados DIREITOS DE AUTOR E CONDIÇÕES DE UTILIZAÇÃO DO TRABALHO POR TERCEIROS Este é um trabalho académico que pode ser utilizado por terceiros desde que respeitadas as regras e boas práticas internacionalmente aceites, no que concerne aos direitos de autor e direitos conexos. Assim, o presente trabalho pode ser utilizado nos termos previstos na licença abaixo indicada. Caso o utilizador necessite de permissão para poder fazer um uso do trabalho em condições não previstas no licenciamento indicado, deverá contactar o autor, através do RepositóriUM da Universidade do Minho. Licença concedida aos utilizadores deste trabalho Atribuição-NãoComercial-CompartilhaIgual CC BY-NC-SA https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/ Agradecimentos Para os meus orientadores do Grupo AGEAS Portugal, o atu´ario Filipe Alexandre Carvalho Teixeira Gon¸calves e o atu´ario Lu´ıs Manuel Maranh˜ao Ferreira, devo um especial obrigada pela valiosa partilha de conhecimentos e pela disponibilidade e apoio demonstrado ao longo da realiza¸c˜ao desta disserta¸c˜ao. Obrigada `a Professora Inˆes Pereira Silva Cunha de Sousa pela imprescind´ıvel orienta¸c˜ao e pelos conselhos e recomenda¸c˜oes prestadas. Obrigada `a minha fam´ılia por todo o apoio incondicional, pela paciˆencia demonstrada e pelas oportunidades que, generosamente, sempre me foram proporcionadas e me permitiram chegar `a pessoa que sou hoje em dia. Obrigada por estarem sempre l´a para mim e me incentivarem a tornar-me numa pessoa melhor. Obrigada aos meus colegas e amigos da Universidade do Minho que me acompanharam em todos os altos e baixos desta jornada. Obrigada por toda a ajuda, conv´ıvio e parceria ao longo destes 5 anos, n˜ao teria conseguido sem o vosso apoio. Obrigada aos meus amigos por todo o apoio, motiva¸c˜ao, amizade e companheirismo que demonstraram durante esta fase, e por me lembrarem que a vida vai muito al´em do trabalho, sendo vivida e apreciada ao m´aximo. Por ´ultimo, gostava de agradecer a todos aqueles que n˜ao foram mencionados, mas que, de alguma maneira, tamb´em contribu´ıram para uma boa realiza¸c˜ao desta disserta¸c˜ao. iii DECLARAÇÃO DE INTEGRIDADE Declaro ter atuado com integridade na elaboração do presente trabalho académico e confirmo que não recorri à prática de plágio nem a qualquer forma de utilização indevida ou falsificação de informações ou resultados em nenhuma das etapas conducente à sua elaboração. Mais declaro que conheço e que respeitei o Código de Conduta Ética da Universidade do Minho. Resumo Uma companhia de seguros tem o objetivo de garantir a sua estabilidade e a capacidade de cumprir com as suas obriga¸c˜oes contratuais. Desta forma, o c´alculo da estimativa das provis˜oes para sinistros desempenha um papel de extrema importˆancia nas opera¸c˜oes de uma seguradora do ramo ‘N˜ao Vida’. A manuten¸c˜ao adequada das provis˜oes para sinistros ajuda a preservar a solvˆencia da empresa, evitando problemas financeiros ou insolvˆencia. A presente disserta¸c˜ao, realizada no ˆambito do Mestrado em Estat´ıstica para Ciˆencia de Dados, ´e o resultado de um projeto elaborado em contexto empresarial, na empresa AGEAS Portugal, com o principal objetivo de estimar provis˜oes para sinistros do setor de seguros ‘N˜ao Vida’ e analisar de que forma fatores externos, como a infla¸c˜ao, exercem influˆencia sobre esse valor. Com este prop´osito, nesta disserta¸c˜ao, ir˜ao ser apresentados alguns m´etodos determin´ısticos para o c´alculo da provis˜ao para sinistros, nomeadamente o m´etodo Chain Ladder, o m´etodo Grossing Up, o m´etodo Bornheutter-Ferguson e o m´etodo Double Chain Ladder. Adicionalmente, ser´a apresentado um novo m´etodo para a estima¸c˜ao da provis˜ao de sinistros que integra a taxa de infla¸c˜ao passada e futura, denominado de m´etodo de estima¸c˜ao das provis˜oes de sinistros com atualiza¸c˜ao da infla¸c˜ao. Estes m´etodos ir˜ao ser aplicados a dois conjuntos de dados reais referentes a ramos de seguros ‘N˜ao Vida’ da empresa AGEAS Portugal, o ramo Multirriscos Habita¸c˜ao e o ramo Responsabilidade Civil Autom´ovel. Em seguida, ser˜ao realizadas an´alises detalhadas e compara¸c˜oes dos resultados obtidos para a estimativa das provis˜oes, com o prop´osito de avaliar e comparar a efic´acia e a precis˜ao destas metodologias. Palavras-chave: Provis˜ao de Sinistros, Seguro ‘N˜ao Vida’, Triˆangulo de Sinistros, M´etodos de Previs˜ao, M´etodos Determin´ısticos, Chain Ladder,Grossing Up, Bornheutter-Ferguson,Double Chain Ladder, Modelos Lineares Generalizados, Infla- ¸c˜ao, Atualiza¸c˜ao da Infla¸c˜ao, Triˆangulo Trimestral, Triˆangulo Mensal v vi Abstract The aim of an insurance company is to guarantee its stability and its ability to meet its contractual obligations. Therefore, calculating the estimated provisions for claims plays an extremely important role in the operations of a non-life insurance company. The proper maintenance of claims reserves helps to preserve the company’s solvency, avoiding financial problems or insolvency. This dissertation, carried out as part of the Master’s Degree in Statistics for Data Science, is the result of a project carried out in a business context, at the company AGEAS Portugal, with the main objective of estimating provisions for claims in the ’Non-Life’ insurance sector and analyzing how external factors, such as inflation, influence this value. To this end, this dissertation will present some deterministic methods for calculating the provision for claims, namely the Chain Ladder method, the Grossing Up method, the Bornheutter-Ferguson method and the Double Chain Ladder method. In addition, a new method will be presented for estimating the claims provision that integrates the past and future inflation rate, called the method for estimating claims provisions with inflation adjusted. These methods will be applied to two sets of real data relating to AGEAS Portugal’s ’Non-Life’ insurance lines, the Home Multi-Risk line and the Motor Third Party Liability line. Detailed analyses and comparisons of the results obtained for estimating provisions will then be carried out in order to assess and compare the effectiveness and accuracy of these methodologies. Keywords: Claims Provision, ‘Non-Life’ Insurance, Claims Triangle, Forecasting Methods, Deterministic Methods, Chain Ladder, Grossing Up, BornheutterFerguson, Double Chain Ladder, Generalized Linear Models, Inflation, Inflation Adjusted, Quarterly Triangle, Monthly Triangle vii xiv Lista de Tabelas 3.1 Estrutura¸c˜ao de um triˆangulo de sinistros. . . . . . . . . . . . . . . . 12 5.1 F´ormulas para a estima¸c˜ao dos parˆametros referentes ao triˆangulo do n´umero de sinistros declarados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 5.2 F´ormulas para a estima¸c˜ao dos parˆametros referentes ao triˆangulo dos montantespagos. ............................. 22 6.1 Fun¸c˜oes de liga¸c˜ao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 8.1 Medidas descritivas do valor dos pagamentos efetuados nos sinistros para os dois ramos em quest˜ao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 8.2 Triˆangulo de sinistros incremental para o ramo Multirriscos Habita¸c˜ao. 37 8.3 Triˆangulo de sinistros acumulativo para o ramo Multirriscos Habita¸c˜ao. 37 8.4 Triˆangulo de sinistros incremental para o ramo Responsabilidade Civil Autom´ovel. ................................ 38 8.5 Triˆangulo de sinistros acumulativo para o ramo Responsabilidade CivilAutom´ovel................................ 38 8.6 Triˆangulo de sinistros incremental para o n´umero de sinistros declarados no ramo Multirriscos Habita¸c˜ao. . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 8.7 Triˆangulo de sinistros acumulativo para o n´umero de sinistros declarados no ramo Multirriscos Habita¸c˜ao. . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 xv 8.8 Triˆangulo de sinistros incremental para o n´umero de sinistros declarados no ramo Responsabilidade Civil Autom´ovel. . . . . . . . . . . . 39 8.9 Triˆangulo de sinistros acumulativo para o n´umero de sinistros declarados no ramo Responsabilidade Civil Autom´ovel. . . . . . . . . . . . 39 8.10 Valor dos coeficientes de desenvolvimento λjaplicando o m´etodo Chain Ladder................................ 40 8.11 Aplica¸c˜ao do m´etodo Chain Ladder no ramo Multirriscos Habita¸c˜ao. 40 8.12 Valores das responsabilidades atuais e da reserva aplicando o m´etodo Chain Ladder................................ 40 8.13 Coeficientes de desenvolvimento individuais λi,j para o ramo MultirriscosHabita¸c˜ao. ............................. 41 8.14 Coeficientes de desenvolvimento individuais λi,j para o ramo Responsabilidade Civil Autom´ovel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 8.15 Valores previstos dos coeficientes de desenvolvimento anuais λjutilizando uma regress˜ao linear sobre os coeficientes individuais. . . . . . 42 8.16 Valores das responsabilidades atuais e da reserva aplicando o m´etodo Chain Ladder com o ajuste dos coeficientes de desenvolvimento individuais. .................................. 43 8.17 Valor dos fatores grossing up ˆgi,j para o ramo Multirriscos Habita¸c˜ao. 43 8.18 Valor dos fatores grossing up ˆgi,j para o ramo Responsabilidade Civil Autom´ovel. ................................ 44 8.19 Valores das responsabilidades atuais e da reserva aplicando o m´etodo Grossing Up. ............................... 44 8.20 Aplica¸c˜ao do m´etodo Bornhuetter-Ferguson no ramo Multirriscos Habita¸c˜ao. .................................. 45 8.21 Aplica¸c˜ao do m´etodo Bornhuetter-Ferguson no ramo ResponsabilidadeCivilAutom´ovel. .......................... 46 xvi 8.22 Valor dos coeficientes de desenvolvimento ˆ λjaplicando o m´etodo Chain Ladder ao triˆangulo de sinistros do n´umero de sinistros declarados................................... 46 8.23 Valor dos coeficientes de desenvolvimento ˆ ˜ λjaplicando o m´etodo Chain Ladder ao triˆangulo de sinistros dos montantes pagos. . . . . . 47 8.24 Valores das estimativas dos parˆametros ˆαieˆ βjreferentes ao triˆangulo de sinistros do n´umero de sinistros declarados. . . . . . . . . . . . . . 47 8.25 Valores das estimativas dos parˆametros ˆ ˜αieˆ ˜ βjreferentes ao triˆangulo de sinistros dos montantes pagos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 8.26 Valor das estimativas para o parˆametro πl= (π0,··· , πn−1) e para o atraso de pagamento pl= (p0,··· , pd−1, pd) com o per´ıodo m´aximo para o atraso de pagamento de daplicando o m´etodo Double Chain Ladder.................................... 48 8.27 Valor da estimativa para a m´edia dos pagamentos individuais no ano 2010 ˆµe para a infla¸c˜ao ˆγiaplicando o m´etodo Double Chain Ladder. 49 8.28 Valor da provis˜ao do RBNS e IBNR, valores das responsabilidades atuais e da provis˜ao total aplicando o m´etodo Double Chain Ladder. . 49 8.29 Compara¸c˜ao do valor das provis˜oes obtidas a partir dos m´etodos de previs˜ao................................... 50 8.30 Valores utilizados para a taxa de infla¸c˜ao em Portugal para os anos 2010a2022................................. 52 8.31 Estimativa dos valores da taxa de infla¸c˜ao futura em Portugal para osanos2023a2034. ........................... 52 8.32 Triˆangulo de sinistros incremental atualizado para a taxa de infla¸c˜ao de 2022 para o ramo Multirriscos Habita¸c˜ao. . . . . . . . . . . . . . . 55 8.33 Triˆangulo de sinistros incremental atualizado com as taxas de infla¸c˜ao passadas e futuras para o ramo Multirriscos Habita¸c˜ao. . . . . . . . . 56 xvii 8.34 Valores das responsabilidades atuais e da reserva aplicando o m´etodo Chain Ladder com atualiza¸c˜ao da infla¸c˜ao. . . . . . . . . . . . . . . . 56 8.35 Aplica¸c˜ao do m´etodo Bornhuetter-Ferguson (θ= 60%) com atualiza- ¸c˜ao da infla¸c˜ao passada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 8.36 Triˆangulo de sinistros incremental atualizado com as taxas de infla¸c˜ao passadas e futuras com o m´etodo Bornhuetter-Ferguson para o ramo Multirriscos Habita¸c˜ao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 8.37 Valores das responsabilidades atuais e da reserva aplicando o m´etodo Bornhuetter-Ferguson com atualiza¸c˜ao da infla¸c˜ao. . . . . . . . . . . 58 8.38 Compara¸c˜ao do valor das provis˜oes obtidas entre m´etodos com e sem a atualiza¸c˜ao da infla¸c˜ao e o seu respetivo impacto inflacion´ario. . . . 59 8.39 Valor dos coeficientes de desenvolvimento obtidos para cada per´ıodo de desenvolvimento japlicando o alisamento dos dados no triˆangulo Mensal. .................................. 61 8.40 Valor dos coeficientes de desenvolvimento obtidos para cada per´ıodo de desenvolvimento japlicando o alisamento dos dados no triˆangulo Trimestral.................................. 61 8.41 Valor dos coeficientes de desenvolvimento obtidos para cada per´ıodo de desenvolvimento japlicando o alisamento dos dados no triˆangulo Anual. ................................... 61 8.42 Compara¸c˜ao do valor das provis˜oes obtidas com o m´etodo Chain Ladder nos triˆangulos de sinistros Mensal, Trimestral e Anual. . . . . . . 61 9.1 Resumo de todos os valores obtidos para a provis˜ao dos sinistros com um triˆangulo de sinistros Anual ao longo da disserta¸c˜ao. . . . . . . . 63 A.1 Resumo dos coeficientes de desenvolvimento obtidos para o calculo da provis˜ao dos sinistros, ao longo da disserta¸c˜ao, no ramo Multirriscos Habita¸c˜ao. ................................ 69 xviii A.2 Resumo dos coeficientes de desenvolvimento obtidos para o c´alculo da provis˜ao dos sinistros, ao longo da disserta¸c˜ao, no ramo Responsabilidade Civil Autom´ovel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 A.3 Valor dos coeficientes de desenvolvimento ˆ λjaplicando o m´etodo Chain Ladder ao triˆangulo de sinistros do n´umero de sinistros declarados utilizados no m´etodo Double Chain Ladder........... 70 A.4 Valor dos coeficientes de desenvolvimento ˆ ˜ λjaplicando o m´etodo Chain Ladder ao triˆangulo de sinistros dos montantes pagos utilizados no m´etodo Double Chain Ladder. .................... 70 A.5 Resumo de todos os valores obtidos para a provis˜ao dos sinistros ao longodadisserta¸c˜ao. ........................... 70 B.1 Triˆangulo de sinistros Trimestral incremental para o ramo MultirriscosHabita¸c˜ao................................ 71 B.2 Triˆangulo de sinistros Trimestral incremental para o ramo Responsabilidade Civil Autom´ovel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 B.3 Triˆangulo de sinistros Mensal incremental para o ramo Multirriscos Habita¸c˜ao.................................. 72 B.4 Triˆangulo de sinistros Mensal incremental para o ramo ResponsabilidadeCivilAutom´ovel. .......................... 73 B.5 Triˆangulo de sinistros Anual acumulativo para o ramo Multirriscos Habita¸c˜ao.................................. 74 B.6 Triˆangulo de sinistros Anual acumulativo para o ramo ResponsabilidadeCivilAutom´ovel. .......................... 74 B.7 Valores das responsabilidades atuais e da reserva aplicando o m´etodo Chain Ladder ao triˆangulo de sinistros Anual. . . . . . . . . . . . . . 75 B.8 Valores das responsabilidades atuais e da reserva aplicando o m´etodo Chain Ladder ao triˆangulo de sinistros Trimestral. . . . . . . . . . . . 75 xix B.9 Valores das responsabilidades atuais e da reserva aplicando o m´etodo Chain Ladder ao triˆangulo de sinistros Mensal. . . . . . . . . . . . . . 76 xx Lista de abreviaturas IBNR -Incurred But Not Reported (em portuguˆes, provis˜ao para sinistros ocorridos mas n˜ao declarados) RBNS -Reported But Not Settled (em portuguˆes, provis˜ao para sinistros declarados mas que ainda n˜ao foram encerrados) CBNI -Covered But Not Incurred (em portuguˆes, provis˜ao para sinistros cobertos mas n˜ao incorridos pela seguradora) UWY -Underwriting Year (em portuguˆes, ano de subscri¸c˜ao) AY -Accident Year (em portuguˆes, ano do acidente) RY -Reporting Year (em portuguˆes, ano de reporte) CL -Chain Ladder BF -Bornhuetter-Ferguson DCL -Double Chain ladder MLG - Modelos Lineares Generalizados IPC -´ Indice de Pre¸cos ao Consumidor INE - Instituto Nacional de Estat´ıstica BCE - Banco Central Europeu MH - Multirriscos Habita¸c˜ao RCA - Responsabilidade Civil Autom´ovel. xxi xxii Cap´ıtulo 1 Introdu¸c˜ao Qualquer individuo est´a sujeito a eventos aleat´orios que podem afetar tanto a sua vida como a das pessoas ao seu redor. Com vista a amenizar os preju´ızos decorrentes desses eventos, v´arios contratos de seguro s˜ao estabelecidos. Um contrato de seguro ´e um acordo entre a seguradora e o tomador de seguro onde este ´ultimo tem a responsabilidade de pagar um pr´emio para que a seguradora assuma a cobertura de determinados riscos. Caso ocorra uma perda e sejam cumpridas todas as condi¸c˜oes contratuais, o tomador de seguro pode prosseguir com uma reclama¸c˜ao para um pedido de indemniza¸c˜ao. Assim, cabe `a seguradora garantir o pagamento de todas as indemniza¸c˜oes. As provis˜oes s˜ao criadas com o objetivo de refletir com precis˜ao a situa¸c˜ao financeira da empresa e garantir que ela esteja preparada para enfrentar futuras despesas que possam surgir como resultado de eventos passados ou presentes. Neste contexto, o estado de solvˆencia ´e de extrema importˆancia para uma seguradora. Em 2016, foi implementada na Uni˜ao Europeia a Solvˆencia II com o principal objetivo de garantir a solvˆencia e a estabilidade financeira das seguradoras. O principal objetivo desta disserta¸c˜ao foca-se no c´alculo da estimativa de provis˜oes para sinistros, analisando tamb´em como fatores externos, como a infla¸c˜ao, influenciam esse valor. Existem diversos m´etodos estat´ısticos que se baseiam na experiˆencia passada para a previs˜ao das provis˜oes para sinistros, nomeadamente o m´etodo Chain Ladder, o m´etodo Grossing Up, o m´etodo Bornheutter-Ferguson e o m´etodo Double Chain Ladder. Al´em disso, ser´a introduzido um m´etodo inovador para calcular a provis˜ao de sinistros, conhecido como m´etodo de estima¸c˜ao de provis˜oes de sinistros com atualiza¸c˜ao da infla¸c˜ao, que leva em considera¸c˜ao tanto a taxa de infla¸c˜ao passada quanto a futura. Os seguros ‘N˜ao Vida’ referem-se a um tipo de seguro que oferece cobertura 1 Cap´ıtulo 2. S´eries temporais 8 Cap´ıtulo 3 Conceitos b´asicos Neste cap´ıtulo, ser˜ao apresentadas algumas no¸c˜oes fundamentais sobre contratos de seguro ‘N˜ao Vida’, o conceito do triˆangulos de sinistros bem como o desenvolvimento de um processo de sinistro, que s˜ao elementos essenciais para a compreens˜ao desta disserta¸c˜ao. 3.1 Contratos de seguro ‘N˜ao Vida’ O que ´e um seguro ‘N˜ao Vida’? Os seguros do ramo ‘N˜ao Vida’ tˆem como objetivo a indemniza¸c˜ao de uma pessoa ou organiza¸c˜ao por perdas, danos f´ısicos ou danos materiais sofridos nos seus bens patrimoniais. Este tipo de seguro tamb´em tem a responsabilidade de indemnizar terceiros por perdas ou danos que advenham de contingˆencias espec´ıficas, como por exemplo, incˆendio, roubo, les˜ao, negligˆencia, entre outros. As circunstˆancias que resultam da perda ou dano de um bem patrimonial abrangido por um contrato de seguro e capaz de acionar um pedido de indemniza¸c˜ao ´e tamb´em designado como sinistro. Uma seguradora tem que garantir o pagamento das indemniza¸c˜oes ou o pagamento do capital seguro em caso de ocorrˆencia de sinistro nos termos do contrato. Desta forma, a seguradora constitui provis˜oes t´ecnicas, da qual a que tem mais peso ´e a provis˜ao para sinistros. Faz parte das fun¸c˜oes de um Atu´ario estimar estas provis˜oes de forma a evitar alguma consequˆencia financeira adversa para as pessoas ou a empresa. 9 Cap´ıtulo 3. Conceitos b´asicos 3.2 Sinistro Como j´a foi referido, um sinistro ´e um evento ou s´erie de eventos resultantes de uma causa, como a perda ou dano de um bem patrimonial, capaz de acionar as garantias de um ou mais contratos de seguro. O desenvolvimento do processo de um sinistro, aplicado pelas seguradoras para o seu tratamento, ´e ilustrado atrav´es da Figura 3.1. Figura 3.1: Evolu¸c˜ao de um processo de sinistro. onde, •t1: Momento em que ocorre o sinistro; •t2: O tomador de seguro participa o sinistro na seguradora; •t3,t4et5: Instantes de pagamentos de indemniza¸c˜oes por parte da seguradora; •t6: Conclus˜ao do sinistro; •t7: Reabertura do processo (surge devido a novas informa¸c˜oes relevantes relacionadas com o sinistro, por exemplo, devido ao surgimento de informa¸c˜ao incompleta e/ou incoerente `a data de encerramento) ; •t8: Regulariza¸c˜ao das indemniza¸c˜oes; •t9: Novo encerramento do sinistro. Tendo em conta as etapas de um processo de sinistro, uma provis˜ao pode classificar-se como uma provis˜ao para sinistros ocorridos mas n˜ao declarados, designados por IBNR (Incurred But Not Reported), como uma provis˜ao para sinistros declarados mas que ainda n˜ao foram encerrados, designados por RBNS (Reported But Not Settled) e, por fim, como uma provis˜ao para sinistros cobertos mas n˜ao incorridos pela seguradora, designados por CBNI (Covered But Not Incurred). Desta 10 Infla¸c˜ao - impacto no desenvolvimento dos sinistros forma, uma provis˜ao que ainda esteja pendente divide-se em 3 categorias: IBNR, CBNI ou RBNS. Existem v´arias formas de distribuir os sinistros em per´ıodos de tempo distintos conforme seja feita a sua reclama¸c˜ao da indemniza¸c˜ao. Desta forma, podemos dividir os sinistros por data de subscri¸c˜ao do contrato, isto ´e, pela data do contrato ao qual o sinistro est´a vinculado (”UWY - Underwriting Year”), pela data em que ocorreu o evento de perda que deu origem ao sinistro (”AY - Accident Year”) ou pela data de reporte do sinistro, isto ´e, pela data em que o sinistro ´e comunicado `a seguradora (”RY - Reporting Year”). [AGEAS Portugal, 2023] 3.3 Triˆangulos de Sinistros Um triˆangulo de sinistros ´e uma representa¸c˜ao em matriz para a informa¸c˜ao relativa aos sinistros onde cada entrada representa essa informa¸c˜ao tendo em conta o per´ıodo de ocorrˆencia e o per´ıodo de desenvolvimento at´e ao seu encerramento. Desta forma, um triˆangulo de sinistros ir´a ser uma matriz triangular superior em rela¸c˜ao `a anti-diagonal onde os valores a baixo desta diagonal ser˜ao desconhecidos, as linhas representam o per´ıodo de ocorrˆencia i, isto ´e, o ano em que ocorreu o sinistro, e as colunas o per´ıodo de desenvolvimento jque representa o tempo decorrido entre o momento da ocorrˆencia do sinistro e o seu encerramento (normalmente avaliado em anos). Na tabela 3.1 pode-se observar a estrutura¸c˜ao de um triˆangulo de sinistros onde Xi,j, com 1 ≤i≤ne 0 ≤j≤n−1, representa o hist´orico fornecido pela seguradora e no per´ıodo de ocorrˆencia mais recente. Os valores desconhecidos desta matriz, ou seja, o triˆangulo inferior direito, s˜ao os valores previstos Xi,j onde i+j > n que eventualmente irar-se-˜ao prever `a custa dos m´etodos que ir˜ao ser mencionados nesta disserta¸c˜ao. O n´umero de per´ıodos de desenvolvimento pode nem sempre ser o mesmo que o n´umero de per´ıodos de ocorrˆencia. A estrutura¸c˜ao para o triˆangulo de sinistros pode variar dependendo da informa¸c˜ao que estiver dispon´ıvel sobre os sinistros. Se houver um maior ou menor hist´orico da informa¸c˜ao conhecida, o triˆangulo de sinistros pode n˜ao tomar o formato de um triˆangulo superior esquerdo. ´ E de notar que a utiliza¸c˜ao da informa¸c˜ao hist´orica em demasia pode levar `a introdu¸c˜ao de eventuais tendˆencias passadas nas previs˜oes que n˜ao explicariam a realidade atual ou a utiliza- ¸c˜ao em baixas quantidades pode comprometer a significˆancia dos m´etodos utilizados. Desta forma, procura-se obter uma base de dados com caracter´ısticas semelhantes e dimens˜oes adequadas permitindo obter estimativas futuras mais consistentes. 11 Cap´ıtulo 3. Conceitos b´asicos Tabela 3.1: Estrutura¸c˜ao de um triˆangulo de sinistros. Per´ıodo de desenvolvimento Per´ıodo de ocorrˆencia 0 1 2 ··· j··· n−2n−1 1X1,0X1,1X1,2··· X1,j ··· X1,n−2X1,n−1 2X2,0X2,1X2,2··· X2,j ··· X2,n−2 3X3,0X3,1X3,2··· X3,j ··· . . .. . .. . .. . .··· . . .··· i Xi,0Xi,1Xi,2··· Xi,j . . .. . .. . .··· ··· n−1Xn−1,0Xn−1,1 n Xn,0 O hist´orico fornecido pela seguradora pode ser referente ao n´umero de sinistros declarados ou ao montante efetuado no sinistro. Posto isto, a vari´avel Xi,j pode adotar v´arias nomenclaturas e esta informa¸c˜ao pode ser representada sobre a forma de dados incrementais ou dados acumulativos: •Ni,j, quando os dados se referem ao n´umero de sinistros declarados de forma incremental ou Ai,j = j P k=0 Ni,k, para a forma acumulativa; •Ci,j , quando os dados se referem a montantes efetuados nos sinistros de forma incremental ou Di,j = j P k=0 Ci,k, para a forma acumulativa. 3.4 Previs˜ao em Triˆangulos de Sinistros Como j´a foi mencionado, o objetivo fundamental ´e prever os valores de Xi,j, onde i+j > n, do triˆangulo de sinistros, ou seja, prever as estimativas para os valores do triˆangulo inferior direito. Tendo em m˜ao a matriz completamente preenchida, podese estimar o valor para as responsabilidades atuais ˆ Ripor cada per´ıodo de ocorrˆencia i, ou seja, realizando a diferen¸ca entre a estimativa da quantidade acumulada do ´ultimo per´ıodo de desenvolvimento isto ´e, ˆ Di,n−1, e o ´ultimo valor observado no mesmo per´ıodo. A equa¸c˜ao 3.1 apresenta o c´alculo para os valores das responsabilidades atuais. ˆ Ri=ˆ Di,n−1−Di,n−i,1≤i≤n(3.1) A partir dos valores de ˆ Riestimados, pode-se partir para o c´alculo do custo 12 Infla¸c˜ao - impacto no desenvolvimento dos sinistros total estimado que a seguradora ter´a de suportar para regularizar todos os sinistros ocorridos at´e ao final do exerc´ıcio. Este custo ´e denominado por provis˜ao total para sinistros ou montante total da reserva, denotando-se por ˆ R: ˆ R= n X i=1 ˆ Ri,(3.2) Em diversas situa¸c˜oes, os sinistros podem n˜ao estar completamente declarados e ou encerrados ao fim dos n−1 per´ıodos de desenvolvimento. Daqui surge a necessidade de integrar na estima¸c˜ao um fator cauda. Este fator cauda consiste na representa¸c˜ao do montante que se estima efetuar depois do ´ultimo ano de desenvolvimento em causa, ou seja, as estimativas para os anos de desenvolvimento n,n+ 1 at´e n+konde krepresenta um instante de tempo qualquer. Desta forma, o valor para as responsabilidades atuais ˆ Ripor cada per´ıodo de ocorrˆencia i toma a forma representada em 3.3: ˆ Ri=ˆ Di,∞−Di,n−i, i = 1,··· , n (3.3) onde ˆ Di,∞representa a estimativa total dos montantes acumulados que v˜ao ser efetuados, incluindo os pagamentos que ocorrer˜ao ap´os o ´ultimo per´ıodo de desenvolvimento considerado no triˆangulo, relativamente ao ano de ocorrˆencia i. Nesta disserta¸c˜ao, uma vez que se trata de sinistros de cauda curta, ir´a considerarse que o triˆangulo de sinistros ´e encerrado, isto ´e, que os sinistros ser˜ao todos declarados e encerrados ap´os os n−1 per´ıodos de desenvolvimento, dispensando assim a necessidade de utilizar um fator de cauda. 13 Cap´ıtulo 3. Conceitos b´asicos 14 Cap´ıtulo 4 Modelos Determin´ısticos Para prever futuros pagamentos de sinistros, os modelos determin´ısticos s˜ao frequentemente aplicados aos triˆangulos sinistros. Estes modelos assumem que os padr˜oes observados nos dados do passado continuar˜ao a se repetir no futuro, sem levar em conta a aleatoriedade ou incerteza inerentes aos sinistros. Desta forma, obt´em-se estimativas pontuais. Essas estimativas fornecem apenas um valor estimado, sem fornecer informa¸c˜oes sobre a variabilidade da estimativa ou sobre poss´ıveis erros associados a ela. Ao longo deste capitulo, ser˜ao abordadas algumas metodologias determin´ısticas amplamente utilizadas na pr´atica atuarial para a estima¸c˜ao da provis˜ao para sinistros, nomeadamente, o m´etodo Chain Ladder, o m´etodo Bornhuetter-Ferguson e o m´etodo Grossing Up. Esses m´etodos ter˜ao como ponto de partida um triˆangulo de sinistros. 4.1 M´etodo Chain Ladder O m´etodo de Chain Ladder, criado por Harnek em 1966, ´e uma das t´ecnicas atuariais mais antigas e populares pelas seguradoras na estima¸c˜ao da provis˜ao para sinistros devido, principalmente, `a sua simplicidade. Este m´etodo oferece uma abordagem de previs˜ao para completar o triˆangulo inferior onde utiliza um conjunto de r´acios que relacionam os montantes de um determinado ano com os montantes do ano seguinte. O m´etodo Chain Ladder parte do pressuposto de que existe proporcionalidade entre os per´ıodos de desenvolvimento. Al´em disso, considera os diferentes anos de sinistros como independentes e sup˜oe que os estimadores dos coeficientes de desenvolvimento permane¸cam constantes ao longo dos anos. 15 Cap´ıtulo 4. Modelos Determin´ısticos Desta forma, o fator que determina o aumento m´edio dos montantes pagos entre os anos de desenvolvimento consecutivos ´e denominado por coeficiente de desenvolvimento ou fator de proporcionalidade, λj. Este coeficiente ´e estimado a partir do quociente entre a soma dos pagamentos conhecidos e realizados no per´ıodo de desenvolvimento j+ 1 com a soma dos pagamentos realizados no per´ıodo de desenvolvimento anterior jpara os mesmos anos de ocorrˆencia i. ˆ λj= n−j−1 P i=0 Di,j+1 n−j−1 P i=0 Di,j onde j= 0, .., n −1 (4.1) Para determinar as estimativas dos pagamentos futuros Di,j com i+j > n ser´a necess´ario as estimativas dos coeficientes de desenvolvimento para cada per´ıodo de desenvolvimento je os montantes conhecidos. O seu c´alculo ´e obtido atrav´es do produto destes dois valores, representado pela equa¸c˜ao 4.2, considerando que, para estimar a primeira diagonal desconhecida do triˆangulo de sinistros utiliza-se o ´ultimo valor conhecido do pagamento no per´ıodo de ocorrˆencia em causa. A partir das estimativas de Di,j completa-se a parte inferior do triˆangulo de sinistros. ˆ Di,j =ˆ Di,j−1׈ λj−1onde i+j > n (4.2) Para estimar o valor para as responsabilidades atuais Ripor cada per´ıodo de ocorrˆencia i, aplica-se a equa¸c˜ao 3.1. A partir dos valores obtidos, isto ´e, dos valores de ˆ Ri, pode-se partir para o c´alculo da provis˜ao total para sinistros, aplicando a equa¸c˜ao 3.2. 4.1.1 Limita¸c˜oes Apesar de ser um m´etodo bastante simples, fornecer bons resultados e adaptar-se bem aos dados, o m´etodo Chain Ladder apresenta algumas limita¸c˜oes importantes. Primeiramente, ´e sens´ıvel a outliers, ou seja, sinistros at´ıpicos ou incomuns podem provocar grandes varia¸c˜oes nas estimativas. Al´em disso, o m´etodo n˜ao considera a incerteza inerente aos sinistros, pois n˜ao fornece medidas de variabilidade ou intervalos de confian¸ca. Outro ponto a ser considerado ´e que, este m´etodo depende fortemente dos dados hist´oricos dispon´ıveis, o que pode limitar sua aplica¸c˜ao em triˆangulos com poucos dados ou com padr˜oes de sinistros n˜ao lineares e pode nem sempre ser realista, pois sup˜oe que sejam os mesmos coeficientes de desenvolvimento ao longo dos per´ıodos de ocorrˆencia dos sinistros. 16 Infla¸c˜ao - impacto no desenvolvimento dos sinistros ´ E importante considerar essas limita¸c˜oes ao utilizar o m´etodo Chain Ladder e complementar a an´alise com outras t´ecnicas e abordagens de forma a obter resultados mais robustos e confi´aveis em rela¸c˜ao `as estimativas de sinistros. Cabe aos atu´arios a responsabilidade do ajuste desta metodologia de acordo com as particularidades do neg´ocio. Nesse sentido, em vez de considerar todo o hist´orico dispon´ıvel, eles podem optar por utilizar coeficientes de desenvolvimento referentes a um n´umero reduzido de anos, tendo em conta a relevˆancia e representatividade de cada ano, bem como recorrer `a m´edia dos coeficientes de desenvolvimento em vez de utilizar valores individuais para cada ano, conforme adequado, visando obter estimativas mais precisas. 4.2 M´etodo Grossing Up Quando ocorre um sinistro, ´e comum que nem todos os danos sejam imediatamente vis´ıveis ou avaliados. Em muitos casos, h´a partes ocultas danificadas que s´o ser˜ao descobertos mais tarde. O m´etodo de grossing up ´e uma abordagem que permite estimar o valor total de um sinistro, levando em considera¸c˜ao tanto os danos conhecidos quanto os danos desconhecidos/ n˜ao avaliados. Esta metodologia baseia-se em percentagens para estimar o montante total pago para cada per´ıodo de ocorrˆencia atrav´es da subtra¸c˜ao da propor¸c˜ao da parte vis´ıvel, ou seja, dos sinistros pagos at´e ao momento, `a propor¸c˜ao da parte invis´ıvel, isto ´e, os montantes que faltam pagar. Desta forma, ´e poss´ıvel estabelecer uma propor¸c˜ao ou fator de grossing up, denominado por ˆgi,j. Considerando o primeiro per´ıodo de ocorrˆencia i= 1 e sabendo o valor total dos montantes acumulados que v˜ao ser pagos nesse per´ıodo, D1,n−1, calcula-se a percentagem de montantes pagos em cada ano de desenvolvimento para o primeiro per´ıodo de ocorrˆencia a partir da equa¸c˜ao 4.3. ˆg1,j =D1,j D1,n−1 onde j= 0,··· , n −1.(4.3) Para o segundo per´ıodo de ocorrˆencia, ou seja, i= 2, aplica-se respetivamente as equa¸c˜oes 4.4, 4.5 e 4.6. ˆg2,n−2= ˆg1,n−2(4.4) 17 Cap´ıtulo 5. M´etodo Double Chain ladder Figura 5.1: Divis˜ao da matriz de ´ındices, assumindo um atraso m´aximo de d=n−1. Desta forma, podemos obter o valor estimado da provis˜ao para o RBNS e para IBNR, para cada ano de ocorrˆencia i, a partir, respetivamente, das equa¸c˜oes 5.9 e 5.10. As estimativas dos valores das responsabilidades atuais ˆ Ripara o ano de ocorrˆencia i´e dado pela equa¸c˜ao 5.11. ˆ RRBNS i= m X j=n+1−i ˆ CRBNS i,j (5.9) ˆ RIBNR i= m X j=n+1−i ˆ CIBNR i,j (5.10) ˆ Ri=ˆ RRBNS i+ˆ RIBNR i(5.11) 24 Cap´ıtulo 6 Modelos Lineares Generalizados Os modelos lineares generalizados, designados por MLG, foram apresentados pela primeira vez em um artigo cl´assico de Nelder e Wedderburn, intitulado ”Generalized Linear Models”, publicado em 1972. Estes s˜ao considerados uma extens˜ao importante dos modelos lineares de regress˜ao m´ultipla, permitindo a an´alise de uma ampla variedade de tipos de resposta. A aplica¸c˜ao destes modelos estoc´asticos na estima¸c˜ao da provis˜ao para sinistros permite obter estimativas semelhantes aos m´etodos determin´ısticos Chain Ladder eBornhuetter-Ferguson e ´e capaz de modelar outros efeitos. Neste cap´ıtulo, ser´a realizada uma apresenta¸c˜ao dos modelos lineares generalizados, abordando os seus componentes fundamentais e fornecendo uma an´alise sobre a defini¸c˜ao da Fam´ılia Exponencial. 6.1 Fundamentos essenciais Um modelo linear generalizado assenta sobre trˆes componentes fundamentais: a componente aleat´oria, a componente sistem´atica e a fun¸c˜ao de liga¸c˜ao. A componente aleat´oria ´e representada pela distribui¸c˜ao de probabilidade da vari´avel resposta Y, que deve pertencer `a fam´ılia exponencial de distribui¸c˜oes. A componente sistem´atica refere-se `a parte determin´ıstica do modelo, ou seja, esta componente estabelece uma combina¸c˜ao linear das vari´aveis explicativas em fun¸c˜ao da vari´avel resposta. A liga¸c˜ao entre as componentes aleat´orio e sistem´atico ´e feita atrav´es de uma fun¸c˜ao designada por fun¸c˜ao de liga¸c˜ao. Essa rela¸c˜ao ´e representada na equa¸c˜ao 6.1 por meio do preditor linear, denotado por η. 25 Cap´ıtulo 6. Modelos Lineares Generalizados η=g(µ) = g(E[Y]) = X B= p X j=1 xjβj(6.1) onde g(.) ´e a fun¸c˜ao de liga¸c˜ao, µ=E[Y] o valor esperado da vari´avel resposta Y, X´e uma matriz com pvari´aveis explicativas e  B´e o vetor de parˆametros a estimar de dimens˜ao p. Com base na equa¸c˜ao 6.1, ´e poss´ıvel inferir tamb´em a rela¸c˜ao descrita na equa¸c˜ao 6.2. E[Y] = µ=g−1(X B) = g−1 p X j=1 xjβj!(6.2) A fun¸c˜ao de liga¸c˜ao tem o objetivo de garantir que a rela¸c˜ao entre as vari´aveis explicativas e a vari´avel resposta seja expressa de forma apropriada, permitindo uma interpreta¸c˜ao significativa dos coeficientes estimados. Desta forma, a sua escolha depende do tipo de resposta que se pretende obter, ou seja, depende da natureza dos dados e dos objetivos da an´alise. Na tabela 6.1 est˜ao representadas as fun¸c˜oes de liga¸c˜ao mais utilizadas e as suas respetivas caracter´ısticas. Tabela 6.1: Fun¸c˜oes de liga¸c˜ao. Designa¸c˜ao Distribui¸c˜ao Fun¸c˜ao de Liga¸c˜ao Identidade Normal/ Gaussiana µ Logit Binomial ln(µ/(1 −µ)) Logar´ıtmica Poisson ln(µ) Rec´ıproca Gama 1/µ Quadr´atica inversa Normal inversa 1/µ2 Conforme mencionado anteriormente, a componente aleat´oria ´e representada pela distribui¸c˜ao de probabilidade da vari´avel resposta Y, podendo ser qualquer distribui¸c˜ao numa classe designada fam´ılia exponencial de distribui¸c˜oes. Diz-se que uma vari´avel aleat´oria Ytem distribui¸c˜ao pertencente `a fam´ılia exponencial se a sua fun¸c˜ao densidade de probabilidade se puder escrever na forma apresentada em 6.3. f(y|θ, ϕ) = expy.θ −b(θ) a(ϕ)+c(y, ϕ)(6.3) onde θ´e o parˆametro de localiza¸c˜ao e ϕ´e o parˆametro de dispers˜ao ou de escala. As fun¸c˜oes a(.), b(.) e c(.) s˜ao fun¸c˜oes reias conhecidas e especificas para cada distribui¸c˜ao. Em muitas situa¸c˜oes de interesse, observa-se que a fun¸c˜ao a(.) ´e da forma 26 Infla¸c˜ao - impacto no desenvolvimento dos sinistros a(ϕ) = ϕ wonde w ´e uma constante conhecida (peso da observa¸c˜ao). Daqui resulta que, E[Y] = b′(θ) (6.4) e que, V ar[Y] = a(ϕ)b′′(θ) = ϕ wb′′(θ) (6.5) A fun¸c˜ao de variˆancia, representada por b′′(θ) e denotado por V(µ), desempenha um papel importante na fam´ılia exponencial, uma vez que a mesma caracteriza a distribui¸c˜ao. Isto ´e, cada distribui¸c˜ao pertencente `a fam´ılia exponencial tem a sua particular fun¸c˜ao de variˆancia e vice-versa. 6.1.1 GLM com distribui¸c˜ao de Poisson Quando o objetivo ´e modelar a distribui¸c˜ao de uma vari´avel resposta referente a contagens ou ao n´umero de ocorrˆencias de um evento em uma unidade de tempo ou espa¸co, os modelos lineares generalizados com distribui¸c˜ao Poisson s˜ao a escolha mais apropriada. A distribui¸c˜ao de Poisson com fun¸c˜ao de liga¸c˜ao logar´ıtmica ´e comumente utilizada para modelar vari´aveis de contagem, fornecendo uma estrutura flex´ıvel para relacionar as vari´aveis explicativas `a m´edia das contagens. Supondo que Ysegue uma distribui¸c˜ao de Poisson de valor m´edio µ, ent˜ao a sua fun¸c˜ao de probabilidade pertence `a Fam´ılia Exponencial, dada pela forma 6.3, assumindo que, •θ=ln(µ); •a(ϕ) = 1; •b(θ) = eθ=µ; •c(y, ϕ) = −ln(y!); •b′(θ) = eθ=µ=b′′(θ). Desta forma o valor esperado e a variˆancia da vari´avel resposta Ys˜ao dados, respetivamente, por 6.6 e 6.7. ´ E de notar que estes dois valores s˜ao constantes e iguais a µ, resultado que j´a seria de esperar visto se estar a trabalhar com a distribui¸c˜ao de Poisson. 27 Cap´ıtulo 6. Modelos Lineares Generalizados E[Y] = b′(θ) = µ(6.6) V ar[Y] = a(ϕ)b′′(θ) = µ(6.7) 28 Cap´ıtulo 7 Infla¸c˜ao Tal como referido anteriormente, uma seguradora tem que garantir o pagamento das indemniza¸c˜oes ou o pagamento do capital de seguro em caso de ocorrˆencia de um sinistro nos termos do contrato. Este pagamento vai estar sujeito a fatores externos, tais como, a taxa de infla¸c˜ao em vigor no ano de ocorrˆencia do sinistro. A infla¸c˜ao ocorre quando se verifica, a n´ıvel econ´omico, um aumento geral e continuo dos pre¸cos dos bens e servi¸cos. Desta forma, num processo inflacion´ario, o valor do custo dos sinistros sofre alguma altera¸c˜ao. Se existir uma subida de pre¸cos estamos perante uma infla¸c˜ao, caso contr´ario trata-se de uma defla¸c˜ao (infla¸c˜ao negativa). Assim, dada a possibilidade de grandes flutua¸c˜oes deste ´ındice ao longo dos anos, ´e importante ter em considera¸c˜ao a taxa de infla¸c˜ao do mercado em qualquer um dos m´etodos de estima¸c˜ao das provis˜oes que se ir´a tratar nesta disserta¸c˜ao, visto que a sua altera¸c˜ao implica varia¸c˜oes no montante a pagar o que pode levar a uma estima¸c˜ao errada da reserva para sinistros caso n˜ao seja considerado. 7.1 Infla¸c˜ao em Portugal Em Portugal, a infla¸c˜ao ´e monitorizada e medida pelo ´ Indice de Pre¸cos ao Consumidor (IPC) que ´e calculado pelo Instituto Nacional de Estat´ıstica, tamb´em conhecido como INE. O IPC, considerado a medida oficial da infla¸c˜ao em Portugal, consiste numa medida estat´ıstica utilizada para calcular as varia¸c˜oes de pre¸cos de um conjunto espec´ıfico de bens e servi¸cos tipicamente habituais em uma popula¸c˜ao. Desta forma, o c´alculo da infla¸c˜ao baseia-se na compara¸c˜ao percentual do IPC de um per´ıodo espec´ıfico com o mesmo per´ıodo do ano anterior. Assim, ´e poss´ıvel determinar se estamos diante de uma situa¸c˜ao de infla¸c˜ao ou defla¸c˜ao. 29 Cap´ıtulo 7. Infla¸c˜ao Existem v´arias entidades que est˜ao envolvidas no c´alculo e fornecimento desses dados. Tanto o Banco Central Europeu (BCE) quanto o Banco de Portugal desempenham pap´eis complementares e cruciais na gest˜ao e controlo da infla¸c˜ao em Portugal. Estas institui¸c˜oes contribuem para a monitoriza¸c˜ao e an´alise da infla¸c˜ao no pa´ıs, fornecendo informa¸c˜oes e an´alises sobre a evolu¸c˜ao dos pre¸cos e suas implica¸c˜oes econ´omicas. Desta forma, ambas as institui¸c˜oes trabalham para manter a estabilidade de pre¸cos e, assim, promover um crescimento econ´omico saud´avel e sustent´avel. Para efeitos pr´aticos, os valores utilizados na parte pr´atica desta disserta¸c˜ao sobre a taxa de infla¸c˜ao s˜ao provenientes do Instituto Nacional de Estat´ıstica, obtidos a partir da plataforma PORDATA, conhecida por fornecer estat´ısticas oficiais e indicadores socioecon´omicos confi´aveis. 7.2 Efeito do ano do calend´ario Os valores ao longo das diagonais de um triˆangulo de sinistros correspondem a valores realizados no mesmo per´ıodo de ocorrˆencia i, com i= 1,··· , n. Estes valores s˜ao dependentes entre si estando sujeitos a influˆencias comuns, denominadas de efeitos do ano do calend´ario, onde a infla¸c˜ao de sinistros representa uma parte significativa. Para compreender e projetar adequadamente os pagamentos de sinistros ao longo do tempo, ´e essencial considerar os efeitos do ano do calend´ario e a influˆencia da infla¸c˜ao de sinistros. Os efeitos da diagonal referem-se `as varia¸c˜oes ou padr˜oes que ocorrem ao longo das diagonais de um triˆangulo de sinistros, podendo revelar informa¸c˜oes importantes sobre tendˆencias ou mudan¸cas sistem´aticas que se repetem em per´ıodos regulares. Desta forma, o termo ”efeitos do ano do calend´ario”para descrever os efeitos da diagonal ´e prefer´ıvel em rela¸c˜ao ao termo ”infla¸c˜ao de sinistros”devido `a compreens˜ao de que nem todos os efeitos observados em um triˆangulo de sinistros est˜ao relacionados exclusivamente `a infla¸c˜ao de sinistros. Estes podem ser influenciados por uma variedade de fatores como, por exemplo, mudan¸cas nas pol´ıticas de subscri¸c˜ao, estimativas de reserva, flutua¸c˜oes nas tendˆencias de sinistros e condi¸c˜oes econ´omicas. Nesta disserta¸c˜ao, ser´a abordado o efeito do ano do calend´ario com foco na taxa de infla¸c˜ao econ´omica. Nesta an´alise, outros fatores n˜ao ser˜ao tratados como efeitos da diagonal com o objetivo de se concentrar a analise na quantifica¸c˜ao do impacto da infla¸c˜ao na dinˆamica ao longo das diagonais do triˆangulo de sinistros. 30 Infla¸c˜ao - impacto no desenvolvimento dos sinistros 7.3 M´etodo de Estima¸c˜ao das Provis˜oes de Sinistros com Atualiza¸c˜ao da Infla¸c˜ao De acordo com o mencionado anteriormente, ´e importante ter em considera¸c˜ao a taxa de infla¸c˜ao do mercado antes de aplicar qualquer um dos m´etodos de estima¸c˜ao das provis˜oes abordados nesta disserta¸c˜ao pois a infla¸c˜ao tem um impacto significativo nos custos dos sinistros ao longo do tempo, afetando diretamente as provis˜oes necess´arias para cobrir esses sinistros. Daqui surge a necessidade de adotar uma nova t´ecnica, como o m´etodo de estima¸c˜ao das provis˜oes de sinistros com atualiza¸c˜ao da infla¸c˜ao. Este m´etodo ´e uma abordagem comumente utilizada em seguros que leva em considera¸c˜ao o efeito da infla¸c˜ao ao estimar as provis˜oes em um triˆangulo de sinistros. Para tal, essa abordagem divide-se em trˆes etapas onde considera tanto a infla¸c˜ao passada como tamb´em as proje¸c˜oes de infla¸c˜ao futura, obtendo uma estimativa mais precisa e realista dos custos futuros dos sinistros. 1. A primeira etapa deste m´etodo consiste na aplica¸c˜ao da taxa de infla¸c˜ao correspondente ao ´ultimo per´ıodo de ocorrˆencia a todos os valores do triˆangulo de sinistros incremental. Para tal, considerando o efeito do ano do calend´ario de cada per´ıodo de ocorrˆencia i, com i= 1,··· , n, ou seja, para cada diagonal do triˆangulo de sinistros, ´e multiplicada taxa de infla¸c˜ao associada. Este passo ´e fundamental para atualizar os valores observados do triˆangulo de sinistros de forma a refletir os custos atuais devido `a infla¸c˜ao (triˆangulo a pre¸cos correntes). 2. De seguida, utilizando o triˆangulo de sinistros obtido a partir da primeira etapa na forma cumulativa, aplica-se um m´etodo de estima¸c˜ao para a provis˜ao dos sinistros, como por exemplo, o m´etodo Chain Ladder. Este m´etodo ir´a fornecer uma estimativa para a provis˜ao e preencher a parte desconhecida do triˆangulo de sinistros. ´ E de notar que, como os valores observados do triˆangulo de sinistros possuem todos a mesma taxa de infla¸c˜ao, ou seja, ´e constante, o m´etodo Chain Ladder projeta estimativas tamb´em com a mesma taxa de infla¸c˜ao [Brydon and Verrall, 2009]. Neste contexto, uma vez que a taxa ´e constante, podemos assumir que n˜ao h´a infla¸c˜ao no triˆangulo. 3. Por fim, coloca-se o triˆangulo preenchido na forma incremental e ajusta-se os valores estimados com as proje¸c˜oes futuras da taxa de infla¸c˜ao. Isso leva em 31 Cap´ıtulo 7. Infla¸c˜ao considera¸c˜ao as expectativas de infla¸c˜ao futura e, desta forma, ajuda a obter uma estimativa da provis˜ao para sinistros mais precisa e realista onde reflete os custos futuros esperados dos sinistros. A taxa de infla¸c˜ao futura ´e determinada por meio de uma estimativa que leva em considera¸c˜ao o hist´orico e uma an´alise abrangente da economia. 32 Cap´ıtulo 8 Aplica¸c˜ao pr´atica Neste cap´ıtulo ser´a apresentada a aplica¸c˜ao pr´atica das metodologias abordadas nesta disserta¸c˜ao, utilizando uma base de dados real baseada em sinistros de contratos de seguros ‘N˜ao Vida’, e estudar a influˆencia da infla¸c˜ao neste contexto. Nesse sentido, ser´a tamb´em apresentada uma an´alise descritiva da base de dados e os respetivos triˆangulos de sinistros associados. 8.1 Apresenta¸c˜ao da base de dados Os dados utilizados neste estudo foram disponibilizados pela AGEAS Seguros, marca do Grupo AGEAS Portugal, durante o est´agio, com o objetivo de analisar e avaliar as provis˜oes necess´arias para certos setores de seguros da empresa. A base de dados ´e composta por 948673 observa¸c˜oes, que dizem respeito a montantes pagos em dois ramos distintos de seguros ‘N˜ao Vida’, o ramo Seguro Multirriscos Habita¸c˜ao e o ramo Seguro Responsabilidade Civil Autom´ovel (danos materiais), desde 2010 a 2022 (13 anos). O seguro Multirriscos Habita¸c˜ao ´e um tipo de seguro para habita¸c˜oes projetado para proteger os bens materiais e financeiros dos segurados em caso de eventos inesperados, como por exemplo, danos `a propriedade por incˆendio, roubo e furto, inunda¸c˜oes e acidentes dom´esticos. Desta forma, abrange a responsabilidade civil familiar, o seguro de conte´udo, o seguro residencial e a assistˆencia domiciliar, protegendo assim a propriedade contra v´arios riscos em um ´unico contrato. Este seguro ´e de especial importˆancia para propriet´arios e inquilinos. O seguro de Responsabilidade Civil Autom´ovel ´e um tipo seguro que diz respeito a acidentes autom´oveis. Este seguro tem como objetivo proteger o segurado, quando este ´e considerado culpado em um acidente de trˆansito, cobrindo as indemniza¸c˜oes e 33 Cap´ıtulo 8. Aplica¸c˜ao pr´atica Tabela 8.10: Valor dos coeficientes de desenvolvimento λjaplicando o m´etodo Chain Ladder. Coeficientes de desenvolvimento Ramo ˆ λ0ˆ λ1ˆ λ2ˆ λ3ˆ λ4ˆ λ5ˆ λ6ˆ λ7ˆ λ8ˆ λ9ˆ λ10 ˆ λ11 MH 1,437 1,038 1,017 1,013 1,005 1,004 1,002 1,001 1,000 1,001 1,001 1,000 RCA 1,571 1,038 1,020 1,009 1,004 1,003 1,002 1,002 1,001 1,001 1,001 1,000 Tabela 8.11: Aplica¸c˜ao do m´etodo Chain Ladder no ramo Multirriscos Habita¸c˜ao. Per´ıodo de desenvolvimento Per´ıodo de ocorrˆencia 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Ri 2010 2011 0 2012 14 397 2013 73 125 2014 63 278 2015 71 749 2016 139 148 2017 299 811 2018 515 275 2019 861 986 2020 1 405 210 2021 2 636 775 2022 8 670 694 Reserva 14 751 449 De seguida, a partir da equa¸c˜ao 4.2 completa-se a parte inferior do triˆangulo de sinistros. Para estimar o valor das responsabilidades atuais Riutiliza-se a equa¸c˜ao 3.1 e o valor da reserva ´e obtido a partir de 3.2. Tabela 8.12: Valores das responsabilidades atuais e da reserva aplicando o m´etodo Chain Ladder. Ramo Responsabilidades atuais MH RCA ˆ R1- - ˆ R20 10 509 ˆ R314 397 54 565 ˆ R473 125 100 927 ˆ R563 278 172 539 ˆ R671 749 270 939 ˆ R7139 148 351 239 ˆ R8299 811 577 759 ˆ R9515 275 901 835 ˆ R10 861 986 1 426 152 ˆ R11 1 405 210 2 043 614 ˆ R12 2 636 775 4 381 490 ˆ R13 8 670 694 19 048 910 Reserva 14 751 449 29 340 475 Na tabela 8.11 s˜ao apresentados todos os valores obtidos nestes passos para o 40 Infla¸c˜ao - impacto no desenvolvimento dos sinistros ramo de Multirriscos Habita¸c˜ao. Seguindo exatamente a mesma metodologia, ´e poss´ıvel encontrar os valores associados ao ramo Responsabilidade Civil Autom´ovel. Na tabela 8.12 s˜ao apresentados os valores das estimativas ˆ Ri, com i= 1,··· ,13, e a estimativa da reserva ˆ Rpara o ramo MH e o ramo RCA. Desta forma, segundo o m´etodo Chain Ladder, o custo total estimado que a seguradora ter´a de suportar para regularizar todos os sinistros ocorridos at´e ao final do exerc´ıcio, ou seja, o valor estimado da provis˜ao ´e cerca de 14 751 449= C para o ramo Multirriscos Habita¸c˜ao e de 29 340 475= C para o ramo Responsabilidade Civil Autom´ovel. Aplica¸c˜ao do m´etodo Chain Ladder com recurso aos coeficientes de desenvolvimento individuais e ao GLM A equa¸c˜ao 8.1 calcula as estimativas para os coeficientes de desenvolvimento individuais ˆ λi,j, onde j= 0,··· ,12, e i= 1,··· ,12. A tabela 8.13 apresenta os valores dos coeficientes de desenvolvimento individuais relativos ao ramo MH, enquanto a tabela 8.14 apresenta os valores dos coeficientes de desenvolvimento individuais relativos ao ramo RCA. ˆ λi,j =Di,j+1 Di,j onde j= 0,··· , n −1, i = 1,··· , n −1 (8.1) Tabela 8.13: Coeficientes de desenvolvimento individuais λi,j para o ramo Multirriscos Habita¸c˜ao. Per´ıodo de desenvolvimento Per´ıodo de ocorrˆencia 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2010 1,37 1,04 1,01 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 2011 1,38 1,02 1,01 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 2012 1,49 1,02 1,01 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 2013 1,37 1,03 1,02 1,02 1,00 1,01 1,00 1,00 1,00 2014 1,38 1,02 1,01 1,00 1,01 1,00 1,01 1,00 2015 1,51 1,05 1,01 1,00 1,01 1,00 1,00 2016 1,44 1,02 1,02 1,05 1,01 1,02 2017 1,50 1,05 1,05 1,02 1,00 2018 1,48 1,03 1,01 1,02 2019 1,71 1,05 1,02 2020 1,42 1,09 2021 1,31 2022 O objetivo aqui ´e obter uma estimativa para o valor do coeficiente de desenvolvimento anual λjpara cada per´ıodo de desenvolvimento jtendo em conta todos os coeficientes individuais desse mesmo per´ıodo. Desta forma, recorrendo ao software estat´ıstico R e aplicando um modelo GLM, ´e poss´ıvel estimar o valor futuro dos coeficientes de desenvolvimento anuais ˆ λjapli41 Cap´ıtulo 8. Aplica¸c˜ao pr´atica Tabela 8.14: Coeficientes de desenvolvimento individuais λi,j para o ramo Responsabilidade Civil Autom´ovel. Per´ıodo de desenvolvimento Per´ıodo de ocorrˆencia 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2010 1,66 1,06 1,02 1,01 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 2011 1,63 1,04 1,02 1,00 1,01 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 2012 1,50 1,04 1,02 1,01 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 2013 1,57 1,04 1,02 1,01 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 2014 1,51 1,03 1,02 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 2015 1,47 1,03 1,01 1,01 1,00 1,00 1,00 2016 1,54 1,03 1,01 1,01 1,01 1,00 2017 1,57 1,03 1,03 1,02 1,01 2018 1,65 1,05 1,03 1,02 2019 1,65 1,04 1,02 2020 1,51 1,02 2021 1,57 2022 cando uma regress˜ao linear sobre os coeficientes individuais do mesmo per´ıodo de desenvolvimento. Na tabela 8.15 est˜ao apresentados os valores previstos dos coeficientes de desenvolvimento anuais λjobtidos a partir da regress˜ao linear, com exce¸c˜ao do valor λ11 que se ajustou para o valor 1,00 (pela regress˜ao linear, o valor λ11 era 0 para cada um dos ramos). Tabela 8.15: Valores previstos dos coeficientes de desenvolvimento anuais λjutilizando uma regress˜ao linear sobre os coeficientes individuais. Coeficientes de desenvolvimento Ramo ˆ λ0ˆ λ1ˆ λ2ˆ λ3ˆ λ4ˆ λ5ˆ λ6ˆ λ7ˆ λ8ˆ λ9ˆ λ10 ˆ λ11 MH 1,446 1,051 1,018 1,014 1,003 0,994 1,003 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 RCA 1,561 1,032 1,020 1,014 1,005 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 Com estes novos valores apresentados na tabela 8.15, aplica-se o m´etodo Chain Ladder para os dois ramos em quest˜ao (an´alogo `a tabela 8.11). Na tabela 8.16 encontram-se os resultados da aplica¸c˜ao do m´etodo Chain Ladder. Segundo esta nova metodologia, estima-se um valor para a provis˜ao de 12 515 959= C para o ramo Multirriscos Habita¸c˜ao enquanto que para o ramo Responsabilidade Civil Autom´ovel a estimativa da provis˜ao ´e de 25 791 671= C . Note-se que estes valores s˜ao bastante pr´oximos das provis˜oes obtidas com o m´etodo Chain Ladder b´asico sem nenhum ajuste e inferiores aos mesmos, o que indica que este ajuste melhora o valor da estimativa para a provis˜ao. 42 Infla¸c˜ao - impacto no desenvolvimento dos sinistros Tabela 8.16: Valores das responsabilidades atuais e da reserva aplicando o m´etodo Chain Ladder com o ajuste dos coeficientes de desenvolvimento individuais. Ramo Responsabilidades atuais MH RCA ˆ R1- - ˆ R20 0 ˆ R30 0 ˆ R40 0 ˆ R50 0 ˆ R60 0 ˆ R762 149 0 ˆ R8-105 145 0 ˆ R9-34 146 346 701 ˆ R10 395 894 1 245 861 ˆ R11 934 445 1 914 619 ˆ R12 2 525 895 3 899 618 ˆ R13 8 736 866 18 384 873 Reserva 12 515 959 25 791 671 8.4.2 M´etodo Grossing Up Com base nesta t´ecnica, ´e poss´ıvel determinar o valor estimado das percentagens relativas ao valor total do montante pago para cada per´ıodo de ocorrˆencia i. Utilizando os triˆangulos de sinistros dos montantes acumulativos, na tabela 8.17 e 8.18 est˜ao apresentadas estas percentagens para o ramo Multirriscos Habita¸c˜ao e para o ramo Responsabilidade Civil Autom´ovel, respetivamente, obtidas a partir das equa- ¸c˜oes 4.3, 4.4, 4.5, 4.6, 4.7, 4.8 e 4.9. Na tabela 8.19 est˜ao apresentados os valores obtidos para ˆ Di,12, com i= 1,··· ,13. Tabela 8.17: Valor dos fatores grossing up ˆgi,j para o ramo Multirriscos Habita¸c˜ao. Per´ıodo de desenvolvimento Per´ıodo de ocorrˆencia 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2010 0,69 0,94 0,98 0,98 0,99 0,99 0,99 0,99 0,99 0,99 1,00 1,00 1,00 2011 0,70 0,96 0,98 0,99 0,99 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 2012 0,64 0,96 0,98 0,99 0,99 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 2013 0,67 0,92 0,95 0,97 0,99 0,99 1,00 1,00 1,00 1,00 2014 0,68 0,94 0,96 0,97 0,98 0,99 0,99 1,00 1,00 2015 0,62 0,93 0,98 0,99 0,99 0,99 0,99 1,00 2016 0,61 0,88 0,90 0,92 0,96 0,97 0,99 2017 0,58 0,87 0,92 0,97 0,99 0,99 2018 0,62 0,92 0,96 0,97 0,98 2019 0,53 0,91 0,96 0,97 2020 0,62 0,88 0,96 2021 0,71 0,92 2022 0,64 43 Cap´ıtulo 8. Aplica¸c˜ao pr´atica Tabela 8.18: Valor dos fatores grossing up ˆgi,j para o ramo Responsabilidade Civil Autom´ovel. Per´ıodo de desenvolvimento Per´ıodo de ocorrˆencia 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2010 0,54 0,90 0,96 0,98 0,99 0,99 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 2011 0,57 0,93 0,97 0,99 0,98 0,99 0,99 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 2012 0,62 0,93 0,97 0,98 0,99 0,99 0,99 0,99 1,00 1,00 1,00 2013 0,59 0,93 0,97 0,98 0,99 0,99 0,99 0,99 1,00 1,00 2014 0,62 0,94 0,97 0,99 0,99 0,99 0,99 1,00 1,00 2015 0,64 0,94 0,97 0,98 0,99 0,99 0,99 1,00 2016 0,61 0,94 0,97 0,97 0,98 0,99 0,99 2017 0,58 0,91 0,93 0,96 0,98 0,99 2018 0,54 0,90 0,94 0,97 0,99 2019 0,56 0,92 0,96 0,98 2020 0,63 0,94 0,96 2021 0,59 0,93 2022 0,59 A partir da an´alise da tabela 8.17, observa-se que, no primeiro per´ıodo de ocorrˆencia, ou seja, para o ano 2010, assume-se que ao fim de 10 anos todos os sinistros estar˜ao pagos (1,00 = 100%), sendo que 69% desses pagamentos ser˜ao efetuados no primeiro per´ıodo de desenvolvimento, isto ´e, ainda em 2010. A mesma interpreta¸c˜ao pode ser aplicada na tabela 8.18 e para qualquer per´ıodo de ocorrˆencia i. O valor das responsabilidades atuais Ri´e obtido a partir da equa¸c˜ao 3.1 e o valor da reserva a partir de 3.2. Tabela 8.19: Valores das responsabilidades atuais e da reserva aplicando o m´etodo Grossing Up. Ramo MH RCA iˆ Di,12 ˆ Riˆ Di,12 ˆ Ri 1 28 408 013 - 85 761 561 - 2 25 654 601 0 78 367 212 10 509 3 25 909 317 13 699 68 151 257 54 271 4 36 344 002 68 877 64 967 845 102 932 5 29 122 081 59 329 67 055 237 173 422 6 21 245 828 69 604 64 051 312 276 276 7 24 996 074 136 375 60 992 655 358 358 8 30 210 043 296 836 66 414 186 580 800 9 33 871 217 518 866 70 249 748 909 456 10 30 548 217 855 616 67 067 601 1 435 916 11 31 342 560 1 379 974 50 677 867 2 036 889 12 32 836 192 2 591 375 58 165 507 4 312 048 13 24 103 463 8 680 464 46 115 961 18 845 881 Reserva 14 671 013 29 096 759 Assim, aplicando o m´etodo Grossing Up, estima-se um valor para a provis˜ao de 14 671 013= C para o ramo Multirriscos Habita¸c˜ao e de 29 096 759= C para o ramo 44 Infla¸c˜ao - impacto no desenvolvimento dos sinistros Responsabilidade Civil Autom´ovel. 8.4.3 M´etodo Bornhuetter-Ferguson Utilizando os triˆangulos de sinistros dos montantes acumulativos, 8.3 e 8.5, e a f´ormula apresentada em 4.1, estima-se os coeficientes de desenvolvimento λj, com j= 0,··· ,11, para cada ramo. Estes coeficientes s˜ao exatamente iguais aos coeficientes obtidos pelo m´etodo Chain Ladder, apresentados na tabela 8.10 Na aplica¸c˜ao deste m´etodo, foram considerados os montantes de pr´emios emitidos peipara cada per´ıodo de ocorrˆencia iapresentados em 8.20 e 8.21 e uma taxa de sinistralidade θconstante de 60%, a fim de obter uma estimativa final da provis˜ao equivalente `a obtida pelo m´etodo Chain Ladder. A partir das equa¸c˜oes 4.10 e 4.11, aplica-se o m´etodo Bornhuetter-Ferguson e obtˆem-se os resultados apresentados na tabela 8.20 e 8.21. Assim, segundo esta metodologia, estima-se um valor para a provis˜ao de 14 751 449= C para o ramo Multirriscos Habita¸c˜ao e de 29 340 475= C para o ramo Responsabilidade Civil Autom´ovel. Tabela 8.20: Aplica¸c˜ao do m´etodo Bornhuetter-Ferguson no ramo Multirriscos Habita¸c˜ao. θipeiˆ Mi=ˆ Di,12 ˆ Ri 60% 1 47 346 688 28 408 013 - 2 42 757 668 25 654 601 0 3 43 183 358 25 910 015 14 397 4 60 580 417 36 348 250 73 125 5 48 543 385 29 126 031 63 278 6 35 413 290 21 247 974 71 749 7 41 664 745 24 998 847 139 148 8 50 355 029 30 213 018 299 811 9 56 446 044 33 867 626 515 275 10 50 924 311 30 554 586 861 986 11 52 279 660 31 367 796 1 405 210 12 54 802 654 32 881 592 2 636 775 13 40 156 154 24 093 693 8 670 694 Reserva 14 751 449 ´ E importante ressaltar que, para qualquer ramo, os valores obtidos para as responsabilidades atuais ˆ Rie para a estimativa da provis˜ao s˜ao idˆenticos aos do m´etodo Chain Ladder, exatamente conforme pretendido. Mas, devido `a disponibilidade de informa¸c˜ao adicional sobre os prˆemios emitidos, este m´etodo demonstra maior credibilidade em rela¸c˜ao aos m´etodos apresentados anteriormente. 45 Cap´ıtulo 8. Aplica¸c˜ao pr´atica Tabela 8.21: Aplica¸c˜ao do m´etodo Bornhuetter-Ferguson no ramo Responsabilidade Civil Autom´ovel. θipeiˆ Mi=ˆ Di,12 ˆ Ri 60% 1 142 935 934 85 761 561 - 2 130 612 020 78 367 212 10 509 3 113 585 918 68 151 551 54 565 4 108 276 401 64 965 841 100 927 5 111 757 257 67 054 354 172 539 6 106 743 290 64 045 974 270 939 7 101 642 559 60 985 535 351 239 8 110 685 241 66 411 145 577 759 9 117 070 210 70 242 126 901 835 10 111 763 061 67 057 837 1 426 152 11 84 474 319 50 684 592 2 043 614 12 97 058 248 58 234 949 4 381 490 13 77 198 315 46 318 989 19048910 Reserva 29 340 475 8.4.4 M´etodo Double Chain ladder Para iniciar este m´etodo ir´a aplicar-se o m´etodo de Chain Ladder aos triˆangulos de sinistros acumulados do n´umero de sinistros declarados (tabela 8.7 e 8.9) e aos triˆangulos de sinistros acumulados com os montantes pagos (tabela 8.3 e 8.5). Neste processo s˜ao determinados, respetivamente, os coeficientes de desenvolvimento ˆ λj eˆ ˜ λj, apresentados nas tabelas 8.22 e 8.23, e obt´em-se o preenchimento da parte desconhecida dos triˆangulos de sinistros mencionados. Transformando esses triˆangulos acumulados na sua forma incremental e utilizando as equa¸c˜oes indicadas nas tabelas 5.1 e 5.2, estimam-se os parˆametros ˆαi, ˆ ˜αi,ˆ βjeˆ ˜ βjnecess´arios para a aplica¸c˜ao deste m´etodo. Nas tabelas 8.24 e 8.25 s˜ao indicados os valores obtidos para cada um desses parˆametros tendo em conta o triˆangulo e o ramo em quest˜ao. Tabela 8.22: Valor dos coeficientes de desenvolvimento ˆ λjaplicando o m´etodo Chain Ladder ao triˆangulo de sinistros do n´umero de sinistros declarados. Coeficientes de desenvolvimento Ramo ˆ λ0ˆ λ1ˆ λ2ˆ λ3ˆ λ4ˆ λ5ˆ λ6ˆ λ7ˆ λ8ˆ λ9ˆ λ10 ˆ λ11 MH 1,099 1,003 1,001 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 RCA 1,042 1,002 1,001 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 46 Infla¸c˜ao - impacto no desenvolvimento dos sinistros Tabela 8.23: Valor dos coeficientes de desenvolvimento ˆ ˜ λjaplicando o m´etodo Chain Ladder ao triˆangulo de sinistros dos montantes pagos. Coeficientes de desenvolvimento Ramo ˆ ˜ λ0ˆ ˜ λ1ˆ ˜ λ2ˆ ˜ λ3ˆ ˜ λ4ˆ ˜ λ5ˆ ˜ λ6ˆ ˜ λ7ˆ ˜ λ8ˆ ˜ λ9ˆ ˜ λ10 ˆ ˜ λ11 MH 1,437 1,038 1,017 1,013 1,005 1,004 1,002 1,001 1,000 1,001 1,001 1,000 RCA 1,571 1,038 1,020 1,009 1,004 1,003 1,002 1,002 1,001 1,001 1,001 1,000 Tabela 8.24: Valores das estimativas dos parˆametros ˆαieˆ βjreferentes ao triˆangulo de sinistros do n´umero de sinistros declarados. Ramo MH RCA i ˆαijˆ βji ˆαijˆ βj 1 10 137 0 0,90553 1 4 563 0 0,95560 2 11 117 1 0,08972 2 4 585 1 0,04057 3 12 085 2 0,00292 3 4 429 2 0,00242 4 19 026 3 0,00084 4 5 714 3 0,00103 5 17 547 4 0,00038 5 6 923 4 0,00008 6 13 734 5 0,00027 6 14 764 5 0,00012 7 16 571 6 0,00015 7 32 064 6 0,00004 8 16 685 7 0,00000 8 33 711 7 0,00002 9 29 212 8 0,00010 9 36 983 8 0,00004 10 29 185 9 0,00004 10 52 269 9 0,00000 11 28 146 10 0,00000 11 40 626 10 0,00007 12 33 921 11 0,00005 12 43 454 11 0,00000 13 20 789 12 0,00000 13 25 870 12 0,00000 De seguida, pretende-se estimar o valor dos parˆametros para o atraso de pagamento pl= (p0,··· , pd−1, pd) onde l= 0,··· , d, e d´e o per´ıodo m´aximo para o atraso de pagamento. Para tal, resolvendo a equa¸c˜ao 5.1, utilizando os parˆametros ˆ βjeˆ ˜ βjindicados nas tabelas 8.24 e 8.25, obt´em-se as estimativas para o parˆametro πl= (π0,··· , πn−1) em cada ramo. Este parˆametro tem que ser ajustado a partir do valor dque satisfa¸ca a condi¸c˜ao 5.2, assim, a partir das equa¸c˜oes 5.3, 5.4 e com o conhecimento do valor dpara cada ramo, encontram-se as estimativas do valor dos parˆametros para o atraso de pagamento pl= (p0,··· , pd−1, pd). Os valores obtidos dos parˆametros ˆπle ˆpl, assim como o valor de dem rela¸c˜ao a ambos os ramos considerados, est˜ao apresentados na tabela 8.26. 47 Cap´ıtulo 8. Aplica¸c˜ao pr´atica Tabela 8.25: Valores das estimativas dos parˆametros ˆ ˜αieˆ ˜ βjreferentes ao triˆangulo de sinistros dos montantes pagos. Ramo MH RCA iˆ ˜αijˆ ˜ βjiˆ ˜αijˆ ˜ βj 1 28 408 013 0 0,64013 1 85761561 0 0,58875 2 25 654 601 1 0,27968 2 78367212 1 0,33602 3 25 910 015 2 0,03539 3 68151551 2 0,03492 4 36 348 250 3 0,01659 4 64965841 3 0,01905 5 29 126 031 4 0,01300 5 67054354 4 0,00843 6 21 247 974 5 0,00529 6 64045974 5 0,00414 7 24 998 847 6 0,00436 7 60985535 6 0,00294 8 30 213 018 7 0,00219 8 66411145 7 0,00153 9 33 867 626 8 0,00120 9 70242126 8 0,00166 10 30 554 586 9 0,00016 10 67057837 9 0,00102 11 31 367 796 10 0,00146 11 50684592 10 0,00075 12 32 881 592 11 0,00056 12 58234949 11 0,00067 13 24 093 693 12 0,00000 13 46318989 12 0,00013 Tabela 8.26: Valor das estimativas para o parˆametro πl= (π0,··· , πn−1) e para o atraso de pagamento pl= (p0,··· , pd−1, pd) com o per´ıodo m´aximo para o atraso de pagamento de d aplicando o m´etodo Double Chain Ladder. Ramo MH RCA d= 11 d= 12 l ˆπlˆpll ˆπlˆpl 0 0,70691 0,70691 0 0,61610 0,61610 1 0,23882 0,23882 1 0,32547 0,32547 2 0,01314 0,01314 2 0,02116 0,02116 3 0,01559 0,01559 3 0,01755 0,01755 4 0,01225 0,01225 4 0,00762 0,00762 5 0,00425 0,00425 5 0,00384 0,00384 6 0,00414 0,00414 6 0,00281 0,00281 7 0,00193 0,00193 7 0,00143 0,00143 8 0,00103 0,00103 8 0,00163 0,00163 9 0,00000 0,00000 9 0,00098 0,00098 10 0,00159 0,00159 10 0,00069 0,00069 11 0,00041 0,00035 11 0,00064 0,00064 12 -0,00006 12 0,00011 0,00010 Neste ponto apenas falta definir dois parˆametros importantes para a estima¸c˜ao das reservas, o parˆametro da m´edia dos pagamentos individuais no primeiro ano de 48 Infla¸c˜ao - impacto no desenvolvimento dos sinistros ocorrˆencia 2010, ˆµ, e o parˆametro que representa a infla¸c˜ao presente no per´ıodo de ocorrˆencia i, γi, com i= 1,··· ,13. Assim, a partir das equa¸c˜oes 5.5 e 5.6 obt´em-se, respetivamente, as estimativas para esses parˆametros. Os resultados obtidos est˜ao indicados na tabela 8.27. Tabela 8.27: Valor da estimativa para a m´edia dos pagamentos individuais no ano 2010 ˆµe para a infla¸c˜ao ˆγiaplicando o m´etodo Double Chain Ladder. Ramo ˆµˆγ1ˆγ2ˆγ3ˆγ4ˆγ5ˆγ6ˆγ7ˆγ8ˆγ9ˆγ10 ˆγ11 ˆγ12 ˆγ13 MH 2802 1,000 0,823 0,765 0,682 0,592 0,552 0,538 0,646 0,414 0,374 0,398 0,346 0,414 RCA 18795 1,000 0,909 0,819 0,605 0,515 0,231 0,101 0,105 0,101 0,068 0,066 0,071 0,095 Depois de obtidos todos os parˆametros necess´arios para a aplica¸c˜ao deste m´etodo, o ´ultimo passo ´e calcular o valor da provis˜ao necess´aria, obtendo uma estimativa para a provis˜ao do RBNS, aplicando as equa¸c˜oes 5.7 e 5.9, e uma estimativa para a provis˜ao do IBNR a partir das equa¸c˜oes 5.8 e 5.10. Para este passo s˜ao utilizados os triˆangulos de sinistros para o n´umero de sinistros declarados, preenchido pelo m´etodo Chain Ladder, na forma incremental. Para estimar o valor total das responsabilidades atuais Riutiliza-se a equa¸c˜ao 5.11 e o valor da reserva ´e obtido a partir de 3.2. Tabela 8.28: Valor da provis˜ao do RBNS e IBNR, valores das responsabilidades atuais e da provis˜ao total aplicando o m´etodo Double Chain Ladder. Ramo MH RCA i RBNS IBNR ˆ Rii RBNS IBNR ˆ Ri 1 436 - 436 1 1 540 - 1 540 2 1 012 0 1 012 2 10 816 0 10 816 3 13 287 1 219 14 506 3 52 257 0 52 257 4 70 901 1 710 72 611 4 98 616 4 785 103 401 5 60 151 2 483 62 634 5 166 028 4 939 170 967 6 67 488 3 939 71 427 6 263 630 7 160 270 790 7 132 288 4 634 136 922 7 338 841 8 307 347 148 8 288 225 10 123 298 347 8 560 103 11 773 571 877 9 487 070 20 618 507 688 9 889 131 21 006 910 137 10 859 062 30 312 889 374 10 1 402 476 25 186 1 427 662 11 1 348 881 57 422 1 406 304 11 1 965 108 71 271 2 036 379 12 2 230 714 156 199 2 386 913 12 4 093 614 222 904 4 316 518 13 6 394 590 2 276 104 8 670 694 13 16 992 463 2 056 446 19 048 910 Total 11 954 105 2 564 763 14 518 867 Total 26 834 623 2 433 778 29 268 401 Assim, segundo esta metodologia, para o ramo Multirriscos Habita¸c˜ao estima-se 49 Cap´ıtulo 8. Aplica¸c˜ao pr´atica a partir de 3.2. Na tabela 8.34 s˜ao apresentados os valores das estimativas ˆ Ri, com i= 1,··· ,13, e a estimativa da reserva ˆ Rrelativamente a cada ramo. Tabela 8.33: Triˆangulo de sinistros incremental atualizado com as taxas de infla¸c˜ao passadas e futuras para o ramo Multirriscos Habita¸c˜ao. Per´ıodo de desenvolvimento Per´ıodo de ocorrˆencia 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 Tabela 8.34: Valores das responsabilidades atuais e da reserva aplicando o m´etodo Chain Ladder com atualiza¸c˜ao da infla¸c˜ao. Ramo Responsabilidades atuais MH RCA ˆ R1- - ˆ R20 10 715 ˆ R315 701 57 843 ˆ R481 914 109 593 ˆ R573 038 193 140 ˆ R682 753 306 452 ˆ R7159 001 400 907 ˆ R8334 048 657 076 ˆ R9579 272 1 023 546 ˆ R10 969 327 1 615 229 ˆ R11 1 589 059 2 321 299 ˆ R12 2 927 747 4 861 132 ˆ R13 9 038 880 19 871 038 Reserva 15 850 740 31 427 969 56 Infla¸c˜ao - impacto no desenvolvimento dos sinistros M´etodo Bornhuetter-Ferguson Com a aplica¸c˜ao do m´etodo Bornhuetter-Ferguson ao triˆangulo de sinistros 8.32 na sua forma acumulativa e com recurso a uma regra de trˆes simples, ´e poss´ıvel preencher a parte desconhecida desse mesmo triˆangulo. Na tabela 8.35 est˜ao apresentados os valores utilizados para os montantes de pr´emios emitidos peipara cada per´ıodo de ocorrˆencia ie os resultados obtidos utilizando uma taxa de sinistralidade θconstante de 60%, para cada um dos ramos em quest˜ao. Tabela 8.35: Aplica¸c˜ao do m´etodo Bornhuetter-Ferguson (θ= 60%) com atualiza¸c˜ao da infla¸c˜ao passada. Ramo MH RCA ipeiˆ Mi=ˆ Di,12 ˆ Riipeiˆ Mi=ˆ Di,12 ˆ Ri 1 56 489 867 33 893 920 - 1 169 519 277 101 711 566 - 2 49 431 216 29 658 729 0 2 150 415 302 90 249 181 10 204 3 48 911 772 29 347 063 14 954 3 128 608 476 77 165 086 54 739 4 68 476 379 41 085 827 77 176 4 122 450 587 73 470 352 102 030 5 54 885 848 32 931 509 66 562 5 126 370 564 75 822 338 177 869 6 39 814 193 23 888 516 75 220 6 120 008 616 72 005 170 280 710 7 46 321 497 27 792 898 144 748 7 113 249 035 67 949 421 363 087 8 55 395 697 33 237 418 304 959 8 121 717 758 73 030 655 594 738 9 61 599 498 36 959 699 527 006 9 127 712 121 76 627 273 924 846 10 55 418 861 33 251 317 887 041 10 121 647 592 72 988 555 1 466 225 11 56 396 207 33 837 724 1 448 848 11 91 566 271 54 939 763 2 124 701 12 57 880 905 34 728 543 2 677 375 12 101 652 201 60 991 321 4 460 958 13 39 831 344 23 898 806 8 475 808 13 76 602 759 45 961 656 18 691 576 Total 14 699 698 Total 29 251 682 Por ´ultimo, a terceira etapa deste m´etodo consiste em atualizar as estimativas com as proje¸c˜oes futuras da taxa de infla¸c˜ao. Assim, utilizando as estimativas para a taxa de infla¸c˜ao futura apresentadas em 8.31, aplica-se, por diagonal, as taxas ao triˆangulo de sinistros preenchido na sua forma incremental e obt´em-se o triˆangulo de sinistros incremental atualizado com as taxas de infla¸c˜ao passadas e futuras para os respetivos ramos. Na tabela 8.36 ´e apresentado o triˆangulo de sinistros incremental atualizado com as taxas de infla¸c˜ao passadas e futuras obtido para o ramo Multirriscos Habita¸c˜ao. Transformando este triˆangulo de sinistros (tabela 8.36) na sua forma acumulativa e utilizando as equa¸c˜oes 3.1 e 3.2 obt´em-se, respetivamente, o valor das responsabilidades atuais Rie o valor da provis˜ao. Na tabela 8.37 s˜ao apresentados os valores obtidos das estimativas ˆ Ri, com i= 57 Cap´ıtulo 8. Aplica¸c˜ao pr´atica Tabela 8.36: Triˆangulo de sinistros incremental atualizado com as taxas de infla¸c˜ao passadas e futuras com o m´etodo Bornhuetter-Ferguson para o ramo Multirriscos Habita¸c˜ao. Per´ıodo de desenvolvimento Per´ıodo de ocorrˆencia 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 1,··· ,13, e a estimativa da provis˜ao ˆ Rpara cada um dos ramos em estudo. Tabela 8.37: Valores das responsabilidades atuais e da reserva aplicando o m´etodo BornhuetterFerguson com atualiza¸c˜ao da infla¸c˜ao. Ramo Responsabilidades atuais MH RCA ˆ R1- - ˆ R20 10 715 ˆ R316 329 58 181 ˆ R486 804 108 251 ˆ R575 276 197 528 ˆ R684 194 314 877 ˆ R7161 857 411 234 ˆ R8268 250 662 733 ˆ R9545 412 985 187 ˆ R10 928 274 1 481 667 ˆ R11 1 568 436 2 261 112 ˆ R12 2 648 890 5 039 863 ˆ R13 9 375 195 20 179 939 Reserva 15 758 918 31 711 285 Assim, segundo esta metodologia de atualiza¸c˜ao da infla¸c˜ao, estima-se um valor para a provis˜ao de 15 850 740= C para o ramo Multirriscos Habita¸c˜ao e de 31 427 969= C para o ramo Responsabilidade Civil Autom´ovel utilizando o m´etodo Chain Ladder e um valor para a provis˜ao de 15 758 918= C para o ramo Multirriscos Habita¸c˜ao e de 31 711 285= C para o ramo Responsabilidade Civil Autom´ovel utilizando o m´etodo Bornhuetter-Ferguson. 58 Infla¸c˜ao - impacto no desenvolvimento dos sinistros 8.7 An´alise comparativa entre m´etodos com e sem a atualiza¸c˜ao da infla¸c˜ao Para poder analisar o impacto inflacion´ario nos custos futuros dos sinistros, ´e necess´ario calcular a diferen¸ca entre as provis˜oes de sinistros obtidas sem a atualiza¸c˜ao da infla¸c˜ao e as provis˜oes de sinistros obtidas com a considera¸c˜ao da infla¸c˜ao. Na tabela 8.38 est˜ao apresentados os valores obtidos no capitulo 8.4 para as provis˜oes de sinistros com o m´etodo Chain Ladder eBornhuetter-Ferguson, tamb´em apresenta os valores obtidos para as provis˜oes de sinistros com a atualiza¸c˜ao da infla¸c˜ao, calculados na sec¸c˜ao 8.6.2, e o respetivo impacto inflacion´ario. Tabela 8.38: Compara¸c˜ao do valor das provis˜oes obtidas entre m´etodos com e sem a atualiza¸c˜ao da infla¸c˜ao e o seu respetivo impacto inflacion´ario. Ramo M´etodo Multirriscos Habita¸c˜ao Responsabilidade Civil Autom´ovel Chain Ladder 14 751 449 29 340 475 Chain Ladder com atualiza¸c˜ao da infla¸c˜ao 15 850 740 31 427 969 Impacto inflacion´ario 1 099 291 2 087 494 Bornhuetter-Ferguson 14 751 449 29 340 475 Bornhuetter-Ferguson com atualiza¸c˜ao da infla¸c˜ao 15 758 918 31 711 285 Impacto inflacion´ario 1 007 469 2 370 810 Da an´alise da tabela 8.38, observa-se que, para qualquer um dos m´etodos, as provis˜oes obtidas a partir da atualiza¸c˜ao da infla¸c˜ao s˜ao superiores `as provis˜oes obtidas sem a sua atualiza¸c˜ao. Isto demonstra que est´a a ser incorporado o aumento dos custos futuros devido `a infla¸c˜ao, refor¸cando, assim, a importˆancia da infla¸c˜ao como um fator que deve ser levado em considera¸c˜ao. ´ E importante observar que, em todas as situa¸c˜oes, obteve-se um impacto inflacion´ario significativo. A diferen¸ca entre estimar com ou sem infla¸c˜ao ´e de cerca de 7%, com exce¸c˜ao do ramo Responsabilidade Civil Autom´ovel com o m´etodo de Bornhuetter-Ferguson onde ´e de 8%. Ou seja, ao considerar a atualiza¸c˜ao da infla- ¸c˜ao, estima-se que os custos futuros dos sinistros sejam aproximadamente 7% a 8% mais elevados do que se n˜ao a considerar. Isso sugere que as estimativas para a provis˜ao, obtidas pelos m´etodos que n˜ao levavam em conta a infla¸c˜ao, n˜ao consideram adequadamente essa taxa. 59 Cap´ıtulo 8. Aplica¸c˜ao pr´atica 8.8 Triˆangulo Mensal, Trimestral e Anual A t´ıtulo de curiosidade, elaborou-se trˆes novos triˆangulo de sinistros, um mensal, um trimestral e um anual, considerando apenas o per´ıodo de ocorrˆencia entre 2019 a 2022. O intuito desta analise ´e comparar os triˆangulos entre si e o resultado obtido para a provis˜ao tendo em conta as diferen¸cas no n´ıvel de granularidade. Inicialmente, construiu-se o triˆangulo de sinistro incremental mensal. Mas, conforme mencionado em 8.1, a base de dados apenas cont´em informa¸c˜oes at´e setembro de 2022, o que resulta numa limita¸c˜ao dos dados dispon´ıveis para os triˆangulos, abrangendo apenas 45 colunas e 45 linhas no triˆangulo de sinistro incremental mensal (representando os meses ocorridos de 2019 a 2022) e 15 colunas e 15 linhas no triˆangulo de sinistro incremental trimestral (representando os trimestres ocorridos de 2019 a 2022). O triˆangulo de sinistro anual incremental ´e constitu´ıdo por 4 colunas e 4 linhas (representando os anos ocorridos de 2019 a 2022). No Apˆendice B s˜ao apresentados os trˆes triˆangulos de sinistros incrementais utilizados, ou seja, o Mensal, o Trimestral e o Anual. Antes de entrar diretamente para o c´alculo da provis˜ao dos sinistros em cada um dos triˆangulos, efetuou-se primeiramente um alisamento dos dados. Assim, para cada c´elula no triˆangulo de sinistros acumulado, calculou-se os coeficientes de desenvolvimento individuais (8.1) e, utilizando a equa¸c˜ao 2.1 com um n´ıvel de significˆancia de 5%, verificou-se quais coeficientes est˜ao dentro do intervalo de confian¸ca para cada per´ıodo de desenvolvimento j. De seguida, calculou-se a m´edia entre os coeficientes de desenvolvimento que se encontravam dentro do intervalo de confian¸ca e encontrou-se um novo valor, mais est´avel, para cada per´ıodo de desenvolvimento j, o que ajuda a suavizar as flutua¸c˜oes nos dados originais. Nas tabelas 8.39, 8.40 e 8.41 est˜ao apresentados os valores obtidos para a m´edia dos coeficientes de desenvolvimento em cada per´ıodo de desenvolvimento j, respetivamente, para cada um dos triˆangulo de sinistros, para o Mensal, o Trimestral e o Anual. Ap´os o processo de alisamento dos dados e da obten¸c˜ao dos novos valores dos coeficientes de desenvolvimento ˆ λj, aplicou-se o m´etodo Chain Ladder para calcular a estimativa da provis˜ao para os sinistros. Na tabela 8.42 est˜ao apresentados os resultados obtidos para a provis˜ao dos sinistros nos triˆangulos Mensal, Trimestral e Anual acumulados utilizando o m´etodo Chain Ladder. O valor obtido para as estimativas das responsabilidades atuais Ripode ser consultado no Apˆendice B.4. 60 Infla¸c˜ao - impacto no desenvolvimento dos sinistros Tabela 8.39: Valor dos coeficientes de desenvolvimento obtidos para cada per´ıodo de desenvolvimento japlicando o alisamento dos dados no triˆangulo Mensal. Ramo Coeficientes de desenvolvimento ˆ λj ˆ λ0ˆ λ1ˆ λ2ˆ λ3ˆ λ4ˆ λ5ˆ λ6ˆ λ7ˆ λ8ˆ λ9ˆ λ10 ˆ λ11 MH 4,921 1,611 1,249 1,130 1,083 1,064 1,038 1,031 1,024 1,017 1,019 1,014 RCA 33,310 3,668 1,680 1,231 1,104 1,060 1,039 1,029 1,021 1,020 1,016 1,022 ˆ λ12 ˆ λ13 ˆ λ14 ˆ λ15 ˆ λ16 ˆ λ17 ˆ λ18 ˆ λ19 ˆ λ20 ˆ λ21 ˆ λ22 ˆ λ23 MH 1,007 1,007 1,009 1,007 1,005 1,003 1,007 1,003 1,003 1,003 1,002 1,005 RCA 1,011 1,010 1,006 1,009 1,004 1,004 1,004 1,005 1,003 1,002 1,002 1,001 ˆ λ24 ˆ λ25 ˆ λ26 ˆ λ27 ˆ λ28 ˆ λ29 ˆ λ30 ˆ λ31 ˆ λ32 ˆ λ33 ˆ λ34 ˆ λ35 MH 1,001 1,002 1,001 1,001 1,001 1,000 1,000 1,000 1,001 1,002 1,001 1,000 RCA 1,002 1,001 1,002 1,001 1,002 1,003 1,002 1,002 1,002 1,001 1,001 1,002 ˆ λ36 ˆ λ37 ˆ λ38 ˆ λ39 ˆ λ40 ˆ λ41 ˆ λ42 ˆ λ43 MH 1,000 1,000 1,001 1,000 1,001 1,002 1,001 1,000 RCA 1,003 1,003 1,002 1,001 1,001 1,002 1,002 1,000 Tabela 8.40: Valor dos coeficientes de desenvolvimento obtidos para cada per´ıodo de desenvolvimento japlicando o alisamento dos dados no triˆangulo Trimestral. Ramo Coeficientes de desenvolvimento ˆ λj ˆ λ0ˆ λ1ˆ λ2ˆ λ3ˆ λ4ˆ λ5ˆ λ6ˆ λ7ˆ λ8ˆ λ9ˆ λ10 ˆ λ11 ˆ λ12 ˆ λ13 MH 2,336 1,204 1,072 1,040 1,023 1,015 1,010 1,011 1,008 1,002 1,007 1,003 1,003 1,003 RCA 4,586 1,257 1,071 1,047 1,026 1,016 1,009 1,007 1,009 1,006 1,006 1,007 1,004 1,005 Tabela 8.41: Valor dos coeficientes de desenvolvimento obtidos para cada per´ıodo de desenvolvimento japlicando o alisamento dos dados no triˆangulo Anual. Ramo Coeficientes de desenvolvimento ˆ λj ˆ λ0ˆ λ1ˆ λ2 MH 1,480 1,067 1,015 RCA 1,575 1,044 1,019 Tabela 8.42: Compara¸c˜ao do valor das provis˜oes obtidas com o m´etodo Chain Ladder nos triˆangulos de sinistros Mensal, Trimestral e Anual. Ramo Granularidade temporal Multirriscos Habita¸c˜ao Responsabilidade Civil Autom´ovel Mensal 15 780 358 46 639 354 Trimestral 14 746 443 34 292 145 Anual 12 284 541 22 752 737 Analisando os valores obtidos para a provis˜ao, apresentados em 8.42, facilmente se observa que utilizando um n´ıvel de granularidade mais alto, ou seja, utilizando 61 Cap´ıtulo 8. Aplica¸c˜ao pr´atica o triˆangulo de sinistros mensal, obt´em-se uma estimativa para a provis˜ao mais alta do que se considerar um dos outros n´ıveis de granularidade mais baixos. Isto devese ao facto de, com um n´ıvel de granularidade mais alto, o triˆangulo de sinistros ´e mais detalhado e sens´ıvel `as varia¸c˜oes sazonais enquanto que com um n´ıvel de granularidade mais baixo o triˆangulo n˜ao consegue capturar todos os detalhes das flutua¸c˜oes que ocorrem em um n´ıvel mensal. Desta forma, o triˆangulo de sinistros mensal ´e o que apresenta maior volatilidade. Este triˆangulo fornece uma vis˜ao mais precisa das oscila¸c˜oes nos sinistros ao longo do tempo, ´e tamb´em mais sens´ıvel aos efeitos da infla¸c˜ao e reflete flutua¸c˜oes imprevistas. J´a o triˆangulo de sinistros trimestral, tamb´em ´e sens´ıvel `a volatilidade mas, como agrupa essas flutua¸c˜oes em per´ıodos mais longos, suaviza as varia¸c˜oes, sendo menos vol´atil que o triˆangulo mensal. O triˆangulo de sinistros anual ´e o menos vol´atil. ´ E importante mencionar que, como a base de dados n˜ao tem informa¸c˜ao para os ´ultimos 3 meses do ano 2022, ´e necess´ario a an´alise do triˆangulo de sinistros trimestral para poder comparar com o mensal. O triˆangulo de sinistros anual n˜ao ´e o mais fi´avel pois existe a quest˜ao de faltar os ´ultimos 3 meses, e ´e neste per´ıodo que ele fornece mais peso na sua an´alise, o que influencia de forma negativa. Assim, ao usar o triˆangulo de sinistros trimestral em vez do anual obt´em-se uma melhoria. A maior diferen¸ca entre as estimativas da provis˜ao obtidas pelo triˆangulo de sinistros trimestral e pelo anual deve-se ao facto da base de dados n˜ao possuir informa¸c˜oes do ´ultimo trimestre do ano 2022. Fazendo agora uma an´alise mais especifica para os ramos em quest˜ao, ´e no ramo Multirriscos Habita¸c˜ao que se analisa melhor a rela¸c˜ao entre o n´ıvel de granularidade e o valor da provis˜ao obtida. Ou seja, aumentando ao n´ıvel de granularidade, isto leva a um aumento da volatilidade que se traduz num aumento do valor obtido para a provis˜ao. No triˆangulo de sinistros mensal, obteve-se um valor para a provis˜ao de 15 780 358= C , enquanto no triˆangulo trimestral, esse valor foi de 14 746 443= C , o que n˜ao evidencia que tenha havido discrepˆancias substanciais nem desvios significativos dos parˆametros desejados. 62 Cap´ıtulo 9 Conclus˜ao Como j´a foi referido na introdu¸c˜ao, a principal obriga¸c˜ao de uma seguradora ´e garantir o pagamento de todas as indemniza¸c˜oes. Desta forma, encontrar uma boa estimativa para a provis˜ao dos sinistros torna-se algo de extrema importˆancia para garantir a solvabilidade da seguradora e o cumprimento de todas as suas obriga¸c˜oes sem colocar em causa a sua rentabilidade. Assim, um dos principais objetivos desta disserta¸c˜ao centrou-se no c´alculo e an´alise da estimativa das provis˜oes para sinistros de ramos de seguros ‘N˜ao Vida’ atrav´es da aplica¸c˜ao de diversos m´etodos de previs˜ao tais como, o m´etodo Chain Ladder, o m´etodo Bornhuetter-Ferguson, o m´etodo Grossing Up e o m´etodo Double Chain ladder. Al´em disso, foi realizada uma an´alise do impacto que fatores externos, como a infla¸c˜ao, exercem sobre essa estimativa. Tabela 9.1: Resumo de todos os valores obtidos para a provis˜ao dos sinistros com um triˆangulo de sinistros Anual ao longo da disserta¸c˜ao. Ramo M´etodo Multirriscos Habita¸c˜ao Responsabilidade Civil Autom´ovel Chain Ladder 14 751 449 29 340 475 Chain Ladder com ajuste 12 515 959 25 791 671 Grossing Up 14 671 013 29 096 759 Bornhuetter-Ferguson 14 751 449 29 340 475 Double Chain ladder 14 518 867 29 268 401 Chain Ladder com atualiza¸c˜ao da infla¸c˜ao 15 850 740 31 427 969 Bornhuetter-Ferguson com atualiza¸c˜ao da infla¸c˜ao 15 758 918 31 711 285 Na Tabela 9.1, est˜ao apresentados de forma completa todos os valores obtidos para a estimativa das provis˜oes para sinistros ao longo desta disserta¸c˜ao a partir de um triˆangulo de sinistros anual. H´a muitos fatores que influenciam a escolha do m´etodo a utilizar. ´ E necess´ario 63 Cap´ıtulo 9. Conclus˜ao ter em conta diversos fatores tais como a qualidade hist´orica dos dados, a agilidade da seguradora na regulariza¸c˜ao dos sinistros, a dimens˜ao do ramo em estudo, a presen¸ca de sinistros at´ıpicos, entre outros. Portanto, ´e a finalidade da an´alise que determina qual o melhor m´etodo a aplicar. De acordo com a tabela 9.1, para qualquer um dos m´etodos, as provis˜oes obtidas a partir da atualiza¸c˜ao da infla¸c˜ao s˜ao superiores `as provis˜oes obtidas sem a sua atualiza¸c˜ao. Isto demonstra que, dada a possibilidade de grandes flutua¸c˜oes deste ´ındice ao longo dos anos, ´e importante ter em considera¸c˜ao a taxa de infla¸c˜ao do mercado em qualquer um dos m´etodos de estima¸c˜ao das provis˜oes, a fim de incorporar o aumento dos custos futuros e realizar as provis˜oes de forma adequada e precisa. Assim, ap´os uma discuss˜ao com a companhia sobre a an´alise efetuada, concluiu-se que a infla¸c˜ao exerce um impacto significativo na estimativa da provis˜ao, tornandose um fator fundamental a ser considerado. Portanto, a abordagem mais adequada a aplicar ´e o m´etodo Chain Ladder com atualiza¸c˜ao da infla¸c˜ao, com uma estimativa da provis˜ao para sinistros de 15 850 740= C para o ramo Multirriscos Habita¸c˜ao e de 31 427 969= C para o ramo Responsabilidade Civil Autom´ovel, resultando em um impacto inflacion´ario de 1 099 291= C e 2 087 494= C , respectivamente. Salienta-se ainda que, a partir do estudo da provis˜ao para sinistros tendo em conta as diferen¸cas no n´ıvel de granularidade do triˆangulo de sinistros utilizado, concluiu-se que, com um n´ıvel de granularidade mais alto, o triˆangulo de sinistros torna-se mais sens´ıvel `as varia¸c˜oes sazonais e origina uma estimativa para a provis˜ao mais alta do que se considerar um dos outros n´ıveis de granularidade mais baixos, onde o triˆangulo de sinistros n˜ao consegue capturar todos os detalhes das flutua¸c˜oes que ocorrem em um n´ıvel mensal. 9.1 Trabalho futuro Outro facto importante e que deve ser considerado em rela¸c˜ao a pesquisas futuras, ´e que nem sempre se pode considerar que, em um determinado triˆangulo, todos os sinistros ser˜ao encerrados ao fim de nper´ıodos de desenvolvimento. Nestes casos deve-se incluir um fator de cauda que consiste na representa¸c˜ao do montante que se estima efetuar depois do ´ultimo per´ıodo de desenvolvimento considerado. Portanto, para aplicar fatores de cauda em estudos futuros, ´e essencial considerar o contexto espec´ıfico do neg´ocio, a dimens˜ao dos dados dispon´ıveis (preferencialmente em conjuntos de dados maiores) e a natureza do risco em quest˜ao, garantindo assim um c´alculo mais preciso da provis˜ao para sinistros. 64 Infla¸c˜ao - impacto no desenvolvimento dos sinistros Para aprimorar ainda mais esta disserta¸c˜ao, pesquisas futuras podem se aprofundar nos m´etodos utilizados para estimar a provis˜ao para sinistros, optando por t´ecnicas estoc´asticas que lidam com a variabilidade e a incerteza inerente aos sinistros. Al´em disso, pesquisas futuras podem utilizar a infla¸c˜ao dos sinistros em vez da infla¸c˜ao econ´omica. Os valores para a taxa de infla¸c˜ao futura poderiam ser estimados e, al´em disso, poderiam realizar estudos de sensibilidade mudando determinados valores dessa estimativa, a fim de avaliar o impacto dessas varia¸c˜oes nos resultados obtidos. 65 Apˆendice B. Triˆangulo Mensal, Trimestral e Anual B.2 Triˆangulo de sinistros Mensal Tabela B.3: Triˆangulo de sinistros Mensal incremental para o ramo Multirriscos Habita¸c˜ao. Per´ıodo de desenvolvimento Per´ıodo de ocorrˆencia 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2019 - Jan 2019 - Fev 2019 - Mar 2019 - Abr 2019 - Mai 2019 - Jun 2019 - Jul 2019 - Ago 2019 - Set 2019 - Out 2019 - Nov 2019 - Dez 2020 - Jan 2020 - Fev 2020 - Mar 2020 - Abr 2020 - Mai 2020 - Jun 2020 - Jul 2020 - Ago 2020 - Set 2020 - Out 2020 - Nov 2020 - Dez 2021 - Jan 2021 - Fev 2021 - Mar 2021 - Abr 2021 - Mai 2021 - Jun 2021 - Jul 2021 - Ago 2021 - Set 2021 - Out 2021 - Nov 2021 - Dez 2022 - Jan 2022 - Fev 2022 - Mar 2022 - Abr 2022 - Mai 2022 - Jun 2022 - Jul 2022 - Ago 2022 - Set Per´ıodo de ocorrˆencia 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 2019 - Jan 2019 - Fev 2019 - Mar 2019 - Abr 2019 - Mai 2019 - Jun 2019 - Jul 2019 - Ago 2019 - Set 2019 - Out 2019 - Nov 2019 - Dez 2020 - Jan 2020 - Fev 2020 - Mar 2020 - Abr 2020 - Mai 2020 - Jun 2020 - Jul 2020 - Ago 2020 - Set 2020 - Out 2020 - Nov 2020 - Dez 2021 - Jan 2021 - Fev 2021 - Mar 2021 - Abr 2021 - Mai 2021 - Jun 2021 - Jul 2021 - Ago 2021 - Set 2021 - Out 2021 - Nov 2021 - Dez 2022 - Jan 2022 - Fev 2022 - Mar 2022 - Abr 2022 - Mai 2022 - Jun 2022 - Jul 2022 - Ago 2022 - Set 72 Infla¸c˜ao - impacto no desenvolvimento dos sinistros Tabela B.4: Triˆangulo de sinistros Mensal incremental para o ramo Responsabilidade Civil Autom´ovel. Per´ıodo de desenvolvimento Per´ıodo de ocorrˆencia 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2019 - Jan 2019 - Fev 2019 - Mar 2019 - Abr 2019 - Mai 2019 - Jun 2019 - Jul 2019 - Ago 2019 - Set 2019 - Out 2019 - Nov 2019 - Dez 2020 - Jan 2020 - Fev 2020 - Mar 2020 - Abr 2020 - Mai 2020 - Jun 2020 - Jul 2020 - Ago 2020 - Set 2020 - Out 2020 - Nov 2020 - Dez 2021 - Jan 2021 - Fev 2021 - Mar 2021 - Abr 2021 - Mai 2021 - Jun 2021 - Jul 2021 - Ago 2021 - Set 2021 - Out 2021 - Nov 2021 - Dez 2022 - Jan 2022 - Fev 2022 - Mar 2022 - Abr 2022 - Mai 2022 - Jun 2022 - Jul 2022 - Ago 2022 - Set Per´ıodo de ocorrˆencia 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 2019 - Jan 2019 - Fev 2019 - Mar 2019 - Abr 2019 - Mai 2019 - Jun 2019 - Jul 2019 - Ago 2019 - Set 2019 - Out 2019 - Nov 2019 - Dez 2020 - Jan 2020 - Fev 2020 - Mar 2020 - Abr 2020 - Mai 2020 - Jun 2020 - Jul 2020 - Ago 2020 - Set 2020 - Out 2020 - Nov 2020 - Dez 2021 - Jan 2021 - Fev 2021 - Mar 2021 - Abr 2021 - Mai 2021 - Jun 2021 - Jul 2021 - Ago 2021 - Set 2021 - Out 2021 - Nov 2021 - Dez 2022 - Jan 2022 - Fev 2022 - Mar 2022 - Abr 2022 - Mai 2022 - Jun 2022 - Jul 2022 - Ago 2022 - Set 73 Apˆendice B. Triˆangulo Mensal, Trimestral e Anual B.3 Triˆangulo de sinistros Anual Tabela B.5: Triˆangulo de sinistros Anual acumulativo para o ramo Multirriscos Habita¸c˜ao. Per´ıodo de desenvolvimento Per´ıodo de ocorrˆencia 0 1 2 3 2019 2020 2021 2022 Tabela B.6: Triˆangulo de sinistros Anual acumulativo para o ramo Responsabilidade Civil Autom´ovel. Per´ıodo de desenvolvimento Per´ıodo de ocorrˆencia 0 1 2 3 2019 2020 2021 2022 74 Infla¸c˜ao - impacto no desenvolvimento dos sinistros B.4 Resultados da aplica¸c˜ao do m´etodo Chain Ladder aos triˆangulos Anual, Trimestral e Mensal Tabela B.7: Valores das responsabilidades atuais e da reserva aplicando o m´etodo Chain Ladder ao triˆangulo de sinistros Anual. Ramo Responsabilidades atuais MH RCA ˆ R1- - ˆ R2462 191 903 557 ˆ R32 518 959 3 426 901 ˆ R49 303 391 18 422 280 Reserva 12 284 541 22 752 737 Tabela B.8: Valores das responsabilidades atuais e da reserva aplicando o m´etodo Chain Ladder ao triˆangulo de sinistros Trimestral. Ramo Responsabilidades atuais MH RCA ˆ R1- - ˆ R218 826 72 922 ˆ R336 877 140 669 ˆ R4117 227 300 845 ˆ R5117 833 264 195 ˆ R6121 051 252 079 ˆ R7196 309 506 958 ˆ R8347 989 642 575 ˆ R9458 081 530 006 ˆ R10 470 380 1 014 384 ˆ R11 627 329 1 453 750 ˆ R12 836 063 2 321 143 ˆ R13 1 480 766 3 024 043 ˆ R14 2 496 212 6 276 923 ˆ R15 7 421 501 17 491 654 Reserva 14 746 443 34 292 145 75 Apˆendice B. Triˆangulo Mensal, Trimestral e Anual Tabela B.9: Valores das responsabilidades atuais e da reserva aplicando o m´etodo Chain Ladder ao triˆangulo de sinistros Mensal. Ramo Ramo Responsabilidades atuais MH RCA Responsabilidades atuais MH RCA ˆ R1- - ˆ R24 84 066 207 133 ˆ R20 1 533 ˆ R25 112 098 173 635 ˆ R32 486 13 085 ˆ R26 105 349 128 098 ˆ R46 554 25 150 ˆ R27 105 564 177 650 ˆ R57 508 33 258 ˆ R28 102 000 233 569 ˆ R67 411 36 459 ˆ R29 100 752 320 200 ˆ R79 057 48 423 ˆ R30 162 228 365 848 ˆ R810 246 56 490 ˆ R31 134 166 389 022 ˆ R98 773 72 647 ˆ R32 165 083 420 010 ˆ R10 13 122 99 438 ˆ R33 222 991 509 371 ˆ R11 15 694 108 696 ˆ R34 192 326 640 398 ˆ R12 61 225 122 124 ˆ R35 235 467 800 766 ˆ R13 30 000 83 578 ˆ R36 307 773 781 275 ˆ R14 21 164 111 217 ˆ R37 406 933 835 823 ˆ R15 17 944 79 824 ˆ R38 357 980 930 448 ˆ R16 18 375 52 087 ˆ R39 623 168 1 236 646 ˆ R17 30 711 96 729 ˆ R40 640 087 1 529 850 ˆ R18 24 922 115 429 ˆ R41 838 455 2 044 767 ˆ R19 34 544 145 320 ˆ R42 906 112 2 407 945 ˆ R20 35 610 148 855 ˆ R43 1 746 780 4 643 772 ˆ R21 40 166 163 851 ˆ R44 2 244 585 5 981 894 ˆ R22 77 708 192 232 ˆ R45 5 457 946 19 905 609 ˆ R23 55 232 169 197 Reserva 15 780 358 46 639 354 76