De la teoría cinética a la hidrodinámica

Trabajo de fin de grado DE LA TEORÍA CINÉTICA A LA HIDRODINÁMICA Daniel Téllez Calle Tutorizado por Pablo Maynar Blanco Facultad de física Universidad de Sevilla 1 de junio de 2022 A Miriam por ayudarme cuando estaba desanimado y a Pablo por guiarme cuando estaba animado. Índice general 1 Introducción 1 2 La ecuación de Boltzmann 3 2.1 La función de distribución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.2 La ecuación de evolución en ausencia de colisiones . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.2.1 Método de las trayectorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.2.2 Conservación local del número de partículas . . . . . . . . . . . . . . 6 2.3 Eltérminodecolisiones ............................. 7 2.3.1 La hipótesis del caos molecular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.3.2 Estudio del problema de colisiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.3.3 El término negativo de colisiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3.4 El término positivo de colisiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.4 La ecuación integro-diferencial de Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.5 Los invariantes colisionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.6 ElteoremaH ................................... 18 2.6.1 La ecuación de balance del funcional H . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.6.2 La aproximación al equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.6.3 La relación con la entropía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3 Las ecuaciones hidrodinámicas 25 3.1 Las relaciones microscópicas de conservación . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.1.1 Conservación de la masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.1.2 Conservación del momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.1.3 Conservación de la energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.2 La relación con la hidrodinámica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.3 El método de Chapman-Enskog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.3.1 Obtención de ecuaciones aproximadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.3.2 La función de distribución de orden cero . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.3.3 La función de distribución de orden uno . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.4 Propiedades del operador lineal de colisión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.4.1 Espectro.................................. 37 3.4.2 Isotropía.................................. 39 3.5 Estudio de las soluciones de Chapman-Enskog de orden uno . . . . . . . . . 40 3.5.1 Existencia y unicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.5.2 La componente de la densidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.5.3 La componente de la temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.5.4 La componente de las velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.6 El tensor de presiones y la viscosidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.7 El vector flujo de calor y la conductividad térmica . . . . . . . . . . . . . . . 45 4 Conclusiones 48 A Cálculo de la función de distribución de equilibrio 50 B Interpretación del funcional H 54 C Interpretación del tensor de presiones 57 D Interpretación del flujo de calor 59 E El teorema de Hilbert 60 F Forma reducida de las relaciones microscópicas de conservación 62 G Componente de las velocidades del tensor de presiones 64 Bibliografía 67 Introducción El principal objetivo de este trabajo será el estudio de la mecánica estadística del no equilibrio y la deducción de ecuaciones hidrodinámicas para el sistema más simple que podemos considerar, un gas diluido de esferas duras. Esto nos llevará a unos resultados relativamente simples y fáciles de interpretar intuitivamente, que son además generalizables a otros tipos de gases diluidos con potenciales de interacción algo más complejos. Con esto, pretendemos realizar una conexión entre la teoría cinética y la hidrodinámica, buscando derivar y fundamentar la segunda a partir de la primera, en concreto a través de la llamada ecuación de Boltzmann. Históricamente, la deducción de las ecuaciones de la hidrodinámica parte de la mecánica de los medios continuos de la mano de científicos como L. Euler [1], C. L. Navier o G. G. Stokes en los siglos XVIII y XIX, en una época en la que la existencia de componentes discretos de la materia (átomos, moléculas) no era aún un hecho aceptado por la física. En este contexto, surgen paralelamente modelos por los cuales los gases se pueden describir acertadamente bajo ciertas condiciones como un conjunto de partículas que siguen las leyes de la mecánica. Estas ideas, introducidas por científicos como D. Bernoulli en el siglo XVIII, acabarán madurando en lo que hoy conocemos como teoría cinética de los gases, en la cual la descripción macroscópica se hace en base a un análisis microscópico y estadístico de un sistema de muchos cuerpos, tomando la hipótesis atomista como punto de partida. Especialmente relevantes son las aportaciones de R. Clausius, J. C. Maxwell y L. Boltzmann durante el siglo XIX [2], las cuales a pesar de surgir también en un contexto en el que todavía no se consideraba a la materia como discreta, llevaban a predicciones en concordancia con lo observado expe- 1 rimentalmente y finalmente serían aceptadas con la implantación de la hipótesis atomista como nuevo marco de la física moderna a principios del siglo XX. Es en este contexto en el que nos proponemos estudiar la relación que existe entre la teoría cinética y la hidrodinámica, dos importantes ramas de la física, complementarias para el estudio de sistemas fluidos. En primer lugar, definiremos en el contexto de la teoría cinética la densidad de probabilidad de encontrar partículas en nuestro sistema con ciertas posiciones y velocidades dadas, y deduciremos una ecuación de evolución cerrada para esta densidad de probabilidad, la ecuación de Boltzmann. Haremos esto mediante el uso de argumentos cualitativos sobre las colisiones entre partículas, obteniendo finalmente una teoría que generaliza la mecánica estadística del equilibrio en este tipo de sistemas. Estos resultados nos permitirán adquirir cierta intuición respecto al concepto de entropía y el fenómeno macroscópico de la irreversibilidad, lo que nos permitirá además definir una entropía de no equilibrio y obtener un teorema de convergencia global hacia el equilibrio, en coherencia con lo esperable según la termodinámica. En segundo lugar, aplicaremos la teoría estudiada en la primera parte para obtener las ecuaciones de la hidrodinámica en el orden de Navier-Stokes mediante el método de Chapman- Enskog, haciendo un desarrollo perturbativo de las soluciones de la ecuación de Boltzmann en los gradientes de los campos hidrodinámicos. Esto nos permitirá obtener y justificar de forma teórica las leyes fenomenológicas de Newton y Fourier para los flujos hidrodinámicos de presión y calor, obteniendo además expresiones para los coeficientes de transporte implicados, calculables en función de las magnitudes microscópicas del sistema. Estos resultados, en concordancia con leyes ya establecidas desde hace más de dos siglos, servirán además como un importante argumento a favor de la validez de la teoría cinética desarrollada en la primera parte. 2 La ecuación de Boltzmann En este capítulo, nos centraremos en la obtención de la ecuación central de la teoría cinética de gases diluidos, la llamada ecuación de Boltzmann, y estudiaremos sus principales consecuencias. 2.1. La función de distribución Consideremos un gas diluido en el que las partículas interaccionan mediante fuerzas de corto alcance y que puede ser descrito mediante las leyes de la física clásica, ignorando cualquier efecto cuántico. Entendemos por gas diluido como un gas con una densidad muy baja en comparación con el alcance típico de las interacciones entre partículas. Si r0es una medida de tal alcance, admitimos que se cumple el límite nr3 0≪1en buena aproximación [3], siendo nla densidad volumétrica de partículas. Para este tipo de sistemas, definimos la función de distribución de una partícula,f(r,v, t)drdv, como el número medio de partículas que en el instante t, se encuentran con sus posiciones y velocidades en los elementos dr,dvcentrados alrededor de ryv, respectivamente. Un punto importante a la hora de definir esta función es aclarar a qué nos referimos exactamente con el promedio del número de partículas. Se proponen dos interpretaciones [4]: I. En primer lugar, podemos considerar como hipótesis de trabajo la existencia de elementos de volumen y velocidad lo suficientemente grandes (microscópicamente grandes) como para contener un número apreciable de partículas tal que exista un número medio bien defini- 3 do, evaluado en un intervalo de tiempo macroscópicamente pequeño pero microscópicamente grande, e independiente de la forma geométrica de los elementos considerados. A su vez, estos elementos de volumen y velocidad deben ser pequeños macroscópicamente, tal que podamos aplicar las manipulaciones usuales del análisis matemático como una buena aproximación. Entiéndase el término microscópico como la escala típica de las interacciones entre partículas ymacroscópico como la escala típica de observación experimental humana. II. Alternativamente, podemos definir el valor medio como el promedio sobre un conjunto de diferentes microestados que llevan sistemas macroscópicamente indistinguibles, en un instante de tiempo determinado. Con esta definición, no es necesario hacer ninguna suposición sobre las propiedades de los elementos de volumen y velocidad, y la consideraremos por hipótesis equivalente a la definición anterior. De la definición de función de distribución de una partícula, se siguen algunas definiciones fundamentales de gran utilidad a la hora de determinar las magnitudes macroscópicas del sistema. En primer lugar, consideremos la densidad local de partículas, n(r, t), definida como el número medio de partículas por unidad de volumen, sin importar su velocidad. Es evidente que por lo tanto, esta se obtiene integrando la función de distribución sobre v: n(r, t) = Zf(r,v, t)dv.(2.1) Sea ahora una magnitud microscópica función de las posiciones y velocidades de las partículas, A(r,v), entonces su valor medio local (macroscópico) en la posición ry el instante t, viene dado intuitivamente por la expresión: ⟨A⟩(r, t) = 1 n(r, t)ZA(r,v)f(r,v, t)dv,(2.2) siendo n(r, t)la densidad local de partículas ya definida en la expresión (2.1). Una aplicación inmediata de esta definición es el cálculo de la velocidad media local del gas, u(r, t), que es el análogo macroscópico de la velocidad de las partículas: u(r, t) = 1 n(r, t)Zvf(r,v, t)dv.(2.3) 4 2.2. La ecuación de evolución en ausencia de colisiones Nos centramos ahora en la obtención de una ecuación de evolución para la función de distribución. En primer lugar, consideremos como sistema un gas diluido sobre el que puede actuar, además, un campo de fuerzas externo independiente de las velocidades de las partículas, F. En primera aproximación, ignoraremos las colisiones entre partículas, ya que estas serán tenidas en cuenta en la siguiente sección. Trataremos dos perspectivas complementarias para obtener una ecuación de evolución [4], pues ambas nos proporcionan distintas visiones de gran utilidad en el contexto de la teoría cinética. 2.2.1. Método de las trayectorias Para un problema en dimensión arbitraria d, consideremos el espacio de configuraciones 2d- dimensional formado por las coordenadas espaciales más las componentes de la velocidad. El estado de cada partícula queda determinado por un punto en este espacio, y, al evolucionar temporalmente, este describe una trayectoria a través de tal espacio. Sea un elemento de volumen 2d-dimensional dΛ. Despreciando las colisiones, como ya hemos mencionado, la trayectoria de cada partícula vendrá dada por la segunda ley de Newton para el campo externo aplicado:        ˙ r(t) = v(t) ˙ v(t) = F m ,       r(t+dt) = r(t) + v(t)dt v(t+dt) = v(t) + F mdt .(2.4) Por lo tanto, las partículas que inicialmente se encontraban con sus estados en dΛ, se habrán desplazado hasta un nuevo elemento de volumen dΛ′tras un tiempo dt, donde la conservación del número de partículas implica que: f[r(t),v(t), t]dΛ = f[r(t+dt),v(t+dt), t +dt]dΛ′.(2.5) La relación entre dΛydΛ′viene determinada por el valor del determinante Jacobiano de la transformación (2.4): |J|= ∇r(t)⊗r(t+dt)∇v(t)⊗r(t+dt) ∇r(t)⊗v(t+dt)∇v(t)⊗v(t+dt) = I Idt O I  = 1 ⇒dΛ = dΛ′,(2.6) 5 Podemos considerar también el problema inverso, es decir, la determinación de las velocidades iniciales v∗ icomo función de unas velocidades finales dadas vi. Es evidente entonces que la transformación de reflexión de la velocidad relativa ya comentada nos lleva a: g=g∗−2 (g∗·ˆσ)ˆσ⇔g∗=g−2 (g·ˆσ)ˆσ,(2.24) y por lo tanto: v∗ i=V∓1 2g∗=V∓1 2g±(g·ˆσ)ˆσ=vi±(g·ˆσ)ˆσ=b−1 σvi≡bσvi,(2.25) donde se ha utilizado el operador inverso b−1 σ, que por comparación con la expresión (2.22), cumple b−1 σ≡bσ, pues las colisiones son simétricas bajo inversión. Explícitamente: v∗=bσv=v+ (g·ˆσ)ˆσ,v∗ 1=bσv1=v1−(g·ˆσ)ˆσ.(2.26) En último lugar, antes de continuar con la siguiente sección, vamos a justificar una propiedad que nos será útil más adelante. Consideremos el elemento de las velocidades iniciales dvdv1, el cual se relaciona con el elemento de las velocidades finales dv′dv′ 1según el determinante Jacobiano de las transformaciones (2.23). Nótese que debido a la simetría bajo inversión de las colisiones, estas transformaciones tienen la misma forma que las transformaciones inversas (2.26), y por lo tanto los resultados que obtengamos serán también válidos para el problema inverso. Calculemos, entonces: |J|= ∇v⊗v′∇v1⊗v′ ∇v⊗v′ 1∇v1⊗v′ 1  .(2.27) Si tomamos la dirección dada por ˆσcomo eje x, tras algunos cálculos, se tiene: |J|= I−(δixδxj) (δixδxj) (δixδxj)I−(δixδxj) = 1 ⇒dvdv1=dv′dv′ 1=dv∗dv∗ 1,(2.28) donde δij denota el tensor delta de Kronecker. El resultado obtenido demuestra que el elemento de las velocidades es invariante bajo colisiones. 2.3.3. El término negativo de colisiones Consideremos el sistema de esferas duras ya descrito anteriormente y centrémonos en una colisión entre esferas con valores dados de v,v1yˆσ. Desde un sistema de referencia anclado 12 a la partícula blanco, de velocidad v, observamos a la partícula incidente con una velocidad relativa g=v1−v, y, para que colisionen con un ˆσdado dentro del elemento dˆσen un intervalo de tiempo dt, la partícula incidente debe de encontrarse inicialmente a una distancia del blanco menor a |g|dt, en cierta región del espacio con forma de cilindro oblicuo llamada cilindro de colisión, como puede verse en la figura 2.2. Figura 2.2: representación del cilindro de colisión (tridimensional). Para una dimensión genérica d(nos centraremos en los casos de interés bidimensional y tridimensional), tenemos que la base del cilindro se corresponde a un elemento de superficie dS =σd−1dˆσ, donde dˆσse correspondería con un elemento de ángulo o ángulo sólido según estemos en el caso bidimensional o tridimensional, respectivamente. En cuanto a la altura, esta será la proyección de |g|dt sobre la dirección dada por ˆσ, es decir, h=|g·ˆσ|dt. Con todo esto, el volumen total del cilindro de colisión será: dS ·h=σd−1dˆσ|g·ˆσ|dt . (2.29) Aplicando lo ya comentado sobre la hipótesis del caos molecular, el número de partículas incidentes susceptibles de sufrir una colisión con el blanco con parámetros v,v1yˆσes: f(r,v1, t)dv1σd−1dˆσ|g·ˆσ|dt . (2.30) El número total de colisiones con estos parámetros dados se obtiene multiplicando por todas las partículas blanco presentes en el elemento de velocidad dvy el elemento de volumen dr, 13 siguiendo la expresión (2.17): f(r,v, t)drdvf(r,v1, t)dv1σd−1dˆσ|g·ˆσ|dt . (2.31) Finalmente, se tiene el número total de colisiones integrando sobre todos los valores posibles de los parámetros libres v1yˆσ. Aquí debemos tener en cuenta que solo se producirá una colisión si ˆσygapuntan en direcciones enfrentadas, es decir, si la proyección ˆσsobre ges negativa (ver figura 2.2). Imponemos esta condición multiplicando por la distribución escalón de Heaviside, Θ(−g·ˆσ). De esta forma obtenemos el término negativo de colisiones, es decir, el número de partículas que abandonan el elemento drdvdebido a las colisiones en un intervalo de tiempo dt: C−drdvdt =drdvdt σd−1Z Z f(r,v, t)f(r,v1, t)Θ(−g·ˆσ)|g·ˆσ|dv1dˆσ.(2.32) 2.3.4. El término positivo de colisiones Consideremos ahora el número de partículas de velocidad v∗que tras sufrir una colisión con otra de velocidad v∗ 1en un intervalo de tiempo dt, acaban en un elemento dado drdv. Por lo ya mencionando en el apartado anterior, este número vendrá dado por una expresión análoga a la (2.32), pero imponiendo la velocidad final de la partícula blanco, v, e integrando sobre todos los valores posibles del parámetro ˆσy la velocidad final de la otra partícula, v1. Es decir, debemos integrar sobre el conjunto Γde todas las velocidades iniciales que colisionan para dar lugar a una velocidad final vpara la partícula blanco. Explícitamente: drdt σd−1ZΓZf(r,v∗, t)f(r,v∗ 1, t)Θ(−g∗·ˆσ)|g∗·ˆσ|dv∗dv∗ 1dˆσ.(2.33) Podemos reescribir esta integral de una forma más conveniente si hacemos el cambio de variables de v∗,v∗ 1av,v1, tal que el nuevo conjunto de integración será todo el espacio de velocidades v1, con vdada. Para esto, introducimos las transformaciones (2.26) junto con la propiedad (2.28). En cuanto a la proyección de la velocidad relativa sobre ˆσ, podemos utilizar la expresión (2.24) para escribir g∗·ˆσ=−g·ˆσ. Con todo esto, la integral se reescribe como: drdvdt σd−1Z Z f(r,v∗, t)f(r,v∗ 1, t)Θ(g·ˆσ)|g·ˆσ|dv1dˆσ,(2.34) 14 donde se sobreentienden las dependencias v∗(v,v1,ˆσ),v∗ 1(v,v1,ˆσ). Finalmente, se tiene el término positivo de colisiones, es decir, el número de partículas que llegan al elemento drdv debido a las colisiones en un intervalo de tiempo dt, como: C+drdvdt =drdvdt σd−1Z Z f(r,v∗, t)f(r,v∗ 1, t)Θ(g·ˆσ)|g·ˆσ|dv1dˆσ.(2.35) 2.4. La ecuación integro-diferencial de Boltzmann Uniendo las dos contribuciones de las colisiones, obtenemos finalmente una ecuación de evolución para la función de distribución en presencia de colisiones. En primer lugar, consideremos la contribución positiva: C+drdvdt =drdvdt σd−1Z Z f(r, bσv, t)f(r, bσv1, t)Θ(g·ˆσ)|g·ˆσ|dv1dˆσ,(2.36) donde por simplicidad notacional hemos introducido el operador bσ. En cuanto a la contribución negativa: C−drdvdt =drdvdt σd−1Z Z f(r,v, t)f(r,v1, t)Θ(−g·ˆσ)|g·ˆσ|dv1dˆσ.(2.37) Pero evidentemente, por simetría, podemos reescribir: ZΘ(−g·ˆσ)|g·ˆσ|dˆσ=ZΘ(g·ˆσ)|g·ˆσ|dˆσ.(2.38) Con todo esto, estamos en disposición de escribir el término total de colisiones combinando las dos contribuciones bajo una misma integral. Introduciendo la notación f(r,v, t)≡f(v), donde se sobreentienden el resto de dependencias de la función de distribución, y eliminando el valor absoluto en |g·ˆσ|ya que la distribución de Heaviside impone g·ˆσ>0, se tiene: C drdvdt =drdvdt σd−1Z Z [f(bσv)f(bσv1)−f(v)f(v1)] Θ(g·ˆσ)g·ˆσdv1dˆσ.(2.39) Es conveniente definir la siguiente notación en función del operador bσ: bσf(v)≡f(bσv).(2.40) Finalmente, introducimos el término de colisiones calculado en la expresión (2.16) para obtener la ecuación de evolución: v· ∇rf+F m· ∇vf+∂f ∂t =σd−1Z Z [(bσ−1) f(v)f(v1)] Θ(g·ˆσ)g·ˆσdv1dˆσ,(2.41) 15 que es conocida como la ecuación integro-diferencial no lineal de Boltzmann, aplicada al caso particular de un sistema de esferas duras. Esta ecuación debe resolverse en un dominio espacial dado r∈Σ, con v∈R3y ciertas condiciones iniciales y de contorno dadas. Bajo estas condiciones, existen teoremas que garantizan la existencia y unicidad de soluciones en cierto intervalo temporal [6]. Para terminar, podemos reescribir la ecuación de Boltzmann en una forma más simple si denotamos por θal ángulo formado por los vectores g,ˆσ. En tal caso: v· ∇rf+F m· ∇vf+∂f ∂t =σd−1Z Z [(bσ−1) f(v)f(v1)] |g|Θ(cos θ) cos θ dv1dˆσ.(2.42) Es conveniente, además, definir el funcional no lineal Jpara funciones de la velocidad h(v), con la forma: J[h] = σd−1Z Z [(bσ−1) h(v)h(v1)] Θ(g·ˆσ)g·ˆσdv1dˆσ.(2.43) Con esto, la ecuación de Boltzmann se escribe: v· ∇rf+F m· ∇vf+∂f ∂t =J[f],(2.44) siendo J[f]el llamado término de colisiones, que contiene toda la no linealidad de la ecuación de Boltzmann. 2.5. Los invariantes colisionales Sea ϕ(v)una función de la velocidad que cumple ser invariante bajo colisiones, llamada invariante colisional. Es decir: ϕ(v) + ϕ(v1) = ϕ(v′) + ϕ(v′ 1) = ϕ(v∗) + ϕ(v∗ 1),(2.45) donde v′,v1denotan las velocidades finales de dos partículas que colisionan con velocidades iniciales v,v1, y v∗,v∗ 1denotan las velocidades iniciales de dos partículas que colisionan para dar lugar a velocidades finales v,v1. Podemos encontrar un total de d+ 2 invariantes colisionales linealmente independientes: ϕ1= 1 , ϕ2=v2, ϕ3=vx, ϕ4=vy, ϕ5=vz, . . . , (2.46) 16 donde el invariante 1 es el trivial y se relaciona con la conservación del número de partículas, el invariante 2 se relaciona con la conservación de la energía cinética y los invariantes a partir del 3 se relacionan con la conservación del momento lineal. La demostración matemática de que estos invariantes son los únicos linealmente independientes no es trivial, aunque se puede justificar mediante razonamientos físicos [3]. Dadas dos partículas con velocidades v, v1que colisionan según ˆσ, los invariantes 2,3,4, . . . , d + 2 nos proporcionan d+ 1 ecuaciones para determinar las 2dcomponentes de las velocidades finales v′,v′ 1. Esto junto con los d−1parámetros que caracterizan a ˆσ, determina totalmente las velocidades finales. De haber más invariantes colisionales linealmente independientes a los ya dados, podríamos determinar la solución del problema sin conocer algunas de las componentes de v,v1,ˆσ, lo cual es físicamente absurdo. En general, cualquier invariante colisional arbitrario ϕ(v) se podrá expresar como una combinación lineal de los d+ 2 invariantes fundamentales ya mencionados: ϕ(v) = X j ϕj(v), j = 1,2,3,4, . . . , d + 2 .(2.47) Los invariantes colisionales cumplen la importante propiedad de anular la integral: I(ϕ) = ZJ[f]ϕ(v)dv= =σd−1Z Z Z [f(v∗)f(v∗ 1)−f(v)f(v1)] ϕ(v)Θ(g·ˆσ)g·ˆσdvdv1dˆσ= 0 , (2.48) la cual se relaciona con el término de colisiones J[f]y, como veremos más adelante, con el cálculo de la función de distribución de equilibrio. Para demostrar la propiedad, hagamos el cambio de variables asociado al intercambio entre dos partículas que colisionan, v↔v1, v∗↔v∗ 1. En tal caso, es evidente que lo único que cambia en la expresión (2.48) es ϕ(v)→ ϕ(v1), de forma que: I=σd−1Z Z Z [f(v∗)f(v∗ 1)−f(v)f(v1)] ϕ(v1)Θ(g·ˆσ)g·ˆσdvdv1dˆσ.(2.49) Análogamente, podemos realizar el cambio de variables asociado a la inversión de colisión, v→v∗,v1→v∗ 1. Esto implica además que v∗→v,v∗ 1→v1, como se puede comprobar con las relaciones (2.23) y (2.26). Por lo tanto [f(v∗)f(v∗ 1)−f(v)f(v1)] → −[f(v∗)f(v∗ 1)−f(v)f(v1)]. Operando e introduciendo la propiedad (2.28), al final se obtiene que lo único que cambia en la expresión (2.48) es ϕ(v)→ −ϕ(v∗), de forma que: I=σd−1Z Z Z [f(v∗)f(v∗ 1)−f(v)f(v1)] [−ϕ(v∗)] Θ(g·ˆσ)g·ˆσdvdv1dˆσ.(2.50) 17 Finalmente, podemos realizar un cambio de variables asociado al intercambio entre dos partículas que colisionan más la inversión de la colisión, es decir, v↔v∗ 1,v1↔v∗. En este caso de nuevo [f(v∗)f(v∗ 1)−f(v)f(v1)] → − [f(v∗)f(v∗ 1)−f(v)f(v1)]. Operando e introduciendo una vez más la propiedad (2.28), se llega a que lo único que cambia en la expresión (2.48) es ϕ(v)→ −ϕ(v∗ 1), de forma que: I=σd−1Z Z Z [f(v∗)f(v∗ 1)−f(v)f(v1)] [−ϕ(v∗ 1)] Θ(g·ˆσ)g·ˆσdvdv1dˆσ.(2.51) Agrupando las cuatro expresiones alternativas que hemos obtenido para I, podemos reescribir I=1 4(I1+I2+I3+I4), donde para cada Iiusaremos una expresión distinta: I=1 4σd−1Z Z Z [f(v∗)f(v∗ 1)−f(v)f(v1)] · ·[ϕ(v) + ϕ(v1)−ϕ(v∗)−ϕ(v∗ 1)] Θ(g·ˆσ)g·ˆσdvdv1dˆσ= 0 , (2.52) y de este resultado obtenemos directamente que la integral Ise anula para cualquier función ϕ(v)que cumpla la definición de invariante colisional (2.45), como se pretendía demostrar. 2.6. El teorema H Nos centraremos ahora en una de las consecuencias más importantes de la ecuación de Boltzmann, el llamado teorema H, el cual nos proporciona un teorema de estabilidad global para la evolución de las funciones de distribución, así como una conexión directa con la termodinámica, permitiéndonos definir una entropía para casos de no equilibrio. Consideremos a partir de ahora un sistema aislado que no está sometido a fuerzas externas, confinado en un volumen Vy con un número total de partículas N. Nos centramos en un volumen espacial Σ, sobre el cual definimos el funcional H: H(t) = ZΣZfln fdrdv=ZΣh(r, t)dr,(2.53) el cual también se puede interpretar como la integral sobre Σdel funcional local h: h(r, t) = Zfln fdv.(2.54) 18 2.6.1. La ecuación de balance del funcional H Consideremos la derivada temporal de la función H: dH dt (t) = d dt ZΣZfln fdrdv=ZΣZ(1 + ln f)∂f ∂t drdv,(2.55) donde podemos utilizar la ecuación de Boltzmann en su forma (2.44) para sustituir la derivada temporal de la función de distribución. En tal caso: dH dt (t) = d dt ZΣZfln fdrdv=ZΣZ(1 + ln f) [J[f]−v· ∇rf]drdv.(2.56) Dividimos este cálculo en dos partes. En primer lugar: ZΣZ(1 + ln f)v· ∇rf drdv=ZΣZ∇r·(fln fv)drdv,(2.57) y aplicando el teorema de Gauss para la divergencia: ZΣZ(1 + ln f)v· ∇rf drdv=Z∂ΣZfln fv·dSdv,(2.58) siendo Sel vector normal a la superficie ∂Σ. Podemos relacionar esta integral con el flujo jh=˙ rhde la propiedad ha través de la frontera ∂Σde la forma: jh=˙ rh=˙ rZfln f dv≡vZfln f dv,(2.59) que como vemos coincide con el integrando de la expresión (2.58). Calculemos ahora la parte restante de la integral (2.56): ZΣZJ[f] (1 + ln f)drdv=ZΣI(ϕ1)dr+ZΣZJ[f] ln f drdv=ZΣZJ[f] ln f drdv,(2.60) donde se ha reescrito el primer sumando, que tiene la forma de la integral (2.48) con el invariante colisional trivial ϕ1= 1, por lo que debe de ser nulo. En cuanto al segundo sumando, lo podemos relacionar con una generación ωhde la propiedad hdentro del volumen Σde la forma: ωh=ZJ[f] ln f dv=I(ln f),(2.61) 19 donde se ha usado de nuevo la definición (2.48). Veamos además que se cumple que esta generación es siempre negativa o nula. Utilizando la expresión (2.52): ωh=I(ln f) = 1 4σd−1Z Z Z [f(v∗)f(v∗ 1)−f(v)f(v1)] · ·[ln f(v) + ln f(v1)−ln f(v∗)−ln f(v∗ 1)] Θ(g·ˆσ)g·ˆσdvdv1dˆσ= =1 4σd−1Z Z Z [f(v∗)f(v∗ 1)−f(v)f(v1)] ln f(v)f(v1) f(v∗)f(v∗ 1)Θ(g·ˆσ)g·ˆσdvdv1dˆσ, (2.62) donde es evidente que: [f(v∗)f(v∗ 1)−f(v)f(v1)] ln f(v)f(v1) f(v∗)f(v∗ 1)≤0,(2.63) ya que si [f(v∗)f(v∗ 1)−f(v)f(v1)] <0entonces ln f(v)f(v1) f(v∗)f(v∗ 1)>0y vice versa. El signo igual será para el caso: f(v∗)f(v∗ 1) = f(v)f(v1),(2.64) el cual se relaciona con el alcance del equilibrio termodinámico como veremos más adelante. En cuanto al resto de términos del integrando, son evidentemente positivos, lo cual implica que ωh≤0, como se quería demostrar. Con todo esto, la expresión (2.55) se puede reescribir como una ecuación de conservación con sumideros para H(t)de la forma: dH dt +Z∂Σ jh·dS=ZΣωhdr≤0.(2.65) Esta expresión nos recuerda a la entropía termodinámica, ya que como vemos, Hsolo puede decrecer intrínsecamente o intercambiarse con el entorno. En particular, si tomamos a Σ como el volumen total del sistema, V, entonces tenemos que la integral del flujo a través de su contorno debe de anularse por las condiciones de contorno de un sistema aislado, quedando así un resultado análogo al famoso resultado de que la entropía de un sistema aislado solo puede crecer: −dH dt =−ZVωhdr≥0.(2.66) 20 2.6.2. La aproximación al equilibrio En lo discutido anteriormente, hemos caracterizado el equilibrio termodinámico de un sistema aislado por la condición: dH dt =ZVω dr=ZVI(ln f)dr= 0 ,(2.67) de la cual podemos calcular la forma explícita de la función de distribución en el equilibrio en el anexo A, dando como resultado la llamada distribución de Maxwell-Boltzmann, de forma general: f(0)(r,v) = Ae−α(v−u)2=n mβ 2π!d/2 exp −1 2mβ(v−u)2.(2.68) En relación con la termodinámica, cabría esperar que todo sistema aislado evolucionara hacia esta distribución de equilibrio para tiempos largos, de forma independiente de las condiciones iniciales. Efectivamente, veamos que la distribución de Maxwell-Boltzmann nos lleva a una cota inferior para Hen sistemas aislados [4]. Sea la relación3: xln x≥x−1.(2.69) Si tomamos x=f/f(0), tenemos: f f(0) ln f f(0) ≥f f(0) −1⇒fln f≥f−f(0) +fln f(0) .(2.70) Introduciendo esto en la definición (2.53) con Σ = V: H(t)≥ZVZfdrdv−ZVZf(0)drdv+ZVZfln f(0)drdv=ZVZfln f(0)drdv,(2.71) donde las integrales de f,f(0) sobre todo el espacio de configuraciones son iguales a Npor normalización y se cancelan. Calculemos la cota explícitamente: ZVZfln f(0)drdv= ln AZVZfdrdv−αZVZfv2drdv.(2.72) La primera integral es de nuevo igual a Nln Apor normalización, mientras que la segunda coincide con la integral de la energía cinética total de la distribución f: αZVZfv2drdv=βZVZ1 2mv2fdrdv=βK(f).(2.73) 3Para demostrar esta relación, basta con derivar la función y(x) = xln x−x+1, que tiene un mínimo absoluto en x= 1, donde y(1) = 0. 21 definiendo la temperatura de no equilibrio de forma consistente con el teorema de equipartición en el equilibrio (A.10), y el flujo de calor, jQ, con la expresión microscópica: jQ=1 2ρD˜ v˜v2E=1 2mZ˜ v˜v2f(r,v, t)dv.(3.19) Podemos ver como la variación temporal de la energía se debe al flujo de tres contribuciones distintas [3], una asociada al flujo de convección macroscópico ρuu 2+e, otra asociada al trabajo realizado por las fuerzas de presión Pu y otro asociado al intercambio de calor (es decir, el intercambio microscópico de energía cinética entre partículas en un sistema de referencia de velocidad u) caracterizado por jQ. Se proporciona una interpretación intuitiva del flujo de calor en el anexo D. Finalmente, podemos utilizar la expresión (3.18) para reescribir la ecuación de la energía en términos de la temperatura: ∂ ∂t "1 2ρ u2+d mkBT!#+∇ · "1 2ρu u2+d mkBT!+Pu +jQ#= 0 ,(3.20) 3.2. La relación con la hidrodinámica Hasta ahora hemos sido capaces de deducir unas relaciones microscópicas de balance con la misma forma que las ecuaciones clásicas de la hidrodinámica1, utilizando para ello la ecuación de Boltzmann y las consideraciones microscópicas de los invariantes colisionales. Sin embargo, y aunque estas relaciones nos han proporcionado una imagen intuitiva sobre las interpretaciones microscópicas de diferentes magnitudes macroscópicas, aún no constituyen unas ecuaciones cerradas para los campos hidrodinámicos ρ,u,T. Efectivamente, para determinar las magnitudes P,jQque aparecen en estas relaciones, necesitamos primero resolver la función de distribución a través de la ecuación de Boltzmann, que a su vez nos determina los campos hidrodinámicos según las expresiones (3.6), (2.3), (3.18), por lo que las relaciones de balance que hemos obtenido no son de ningún uso de momento. 1Es interesante considerar que en la deducción ortodoxa de las ecuaciones hidrodinámicas, a través de la mecánica de medios continuos, no es necesario asumir que la materia está discretizada. Este hecho tiene importantes consecuencias históricas, pues de hecho, la teoría original de Boltzmann fue publicada antes de que la existencia de átomos y moléculas fuera ampliamente aceptada por la física. 28 En la hidrodinámica clásica, sin embargo, se utilizan una serie de leyes fenomenológicas que nos permiten expresar los flujos P,jQen función de los campos y sus gradientes y obtener así ecuaciones cerradas a partir de las relaciones de balance. Estas leyes son la ley de Newton: Pij =pδij −η ∂uj ∂xi +∂ui ∂xj −2 dδij∇ · u!−ζδij∇ · u,(3.21) y la ley de Fourier: jQ=−κ∇T , (3.22) donde se introducen los coeficientes de transporte fenomenológicos η,ζyκ, llamados viscosidad dinámica o de cizallamiento, viscosidad de volumen y conductividad térmica, respectivamente. Siguiendo este camino, nuestro objetivo será, por lo tanto, derivar unas expresiones para P,jQmotivadas por la teoría cinética, en las que aparezcan los gradientes de los campos y unos coeficientes de transporte η,ζ,κdados en función de las características microscópicas del sistema. Además, cabe esperar que estas expresiones coincidan en forma con las leyes fenomenológicas, justificando así su uso desde un punto de vista teórico. Para estos propósitos, haremos uso del llamado método de Chapman-Enskog, de gran importancia en el contexto de la teoría cinética. 3.3. El método de Chapman-Enskog Como ya se ha comentado previamente, la forma de obtener ecuaciones cerradas para los campos hidrodinámicos a partir de las relaciones de balance pasa por expresar los flujos P, jQen función de los propios campos y sus gradientes. Una forma de solucionar este problema es realizando un desarrollo perturbativo de las soluciones de la ecuación de Boltzmann en los gradientes de los campos, bajo la asunción de que la función de distribución depende de la posición y el tiempo únicamente a través de los campos hidrodinámicos y sus gradientes2. Este es el punto de partida del método de Chapman-Enskog, el cual explota este tipo de soluciones, llamadas soluciones normales, para dar lugar a ecuaciones recursivas para la función de distribución que pueden ser resueltas e introducidas en las relaciones microscópicas 2Considérese la distribución de Maxwell-Boltzmann como el ejemplo más simple de una función de distribución con esta forma. 29 de balance para obtener ecuaciones cerradas para los campos hidrodinámicos [3]. En el anexo E interpretamos y justificamos la existencia de las soluciones normales siguiendo el llamado teorema de Hilbert. Asumamos, por lo tanto, que la función de distribución depende de la posición y el tiempo únicamente a través de los campos hidrodinámicos y sus gradientes. Utilizaremos la notación usual en teoría clásica de campos [7] donde los 5 campos hidrodinámicos (densidad, temperatura y las tres componentes de la velocidad local) se denotarán por ξi. Por otro lado, sus gradientes vendrán dados por ξi,jkl..., donde los índices tras la coma indican derivadas parciales sobre las coordenadas espaciales j-ésima, k-ésima, etc. Es decir: ξi,jkl... ≡∂(...)ξi ∂xj∂xk∂xl. . . .(3.23) Asumimos que los gradientes son lo suficientemente pequeños respecto a las magnitudes características de la función de distribución y que además fes analítica en los mismos, por lo que podemos realizar el siguiente desarrollo en serie de potencias en los gradientes de los campos3: f(r,v, t) = f(v,{ξi(r, t)},{ξi,j(r, t)},{ξi,jk(r, t)}, . . .) = f(v,{ξi},0) + +X i,j ∂f ∂ξi,j (v,{ξi},0)ξi,j +X i,j,k ∂f ∂ξi,jk (v,{ξi},0)ξi,jk +. . . + +1 2X i,j,k,l ∂2f ∂ξi,j∂ξk,l (v,{ξi},0)ξi,jξk,l +. . . . (3.24) Por otro lado, la relación entre fy los campos hidrodinámicos vendrá dada por las funciones ψj(v), combinaciones lineales de los invariantes colisionales (2.46), tales que: Zψj(v)f(r,v, t)dv=ξj,(3.25) siendo la forma explícita de estas funciones: ρ↔ψ1=m=mϕ1, T↔ψ2=m2˜v2 dρkB =m2 dρkB u2ϕ1+ϕ2−2X i uiϕi!, u↔ψi=m ρϕi, i = 3,4, . . . . (3.26) 3Nótese que tratamos a los gradientes como variables independientes. 30 Si introducimos el desarrollo (3.24) en la definición (3.25) obtenemos: ξk=Zψk(v)f(r,v, t)dv=Zψk(v)f(v,{ξi},0)dv+ +X i,j ξi,j Zψk(v)∂f ∂ξi,j (v,{ξi},0)dv+X i,j,k ξi,jk Zψk(v)∂f ∂ξi,jk (v,{ξi},0)dv+. . . , (3.27) donde la única opción coherente es: ξk=Zψk(v)f(r,v, t)dv=Zψk(v)f(v,{ξi},0)dv,(3.28) ya que, en general, el campo ξk(v, t)será linealmente independiente de sus gradientes. Esto implica que para órdenes superiores a f(v,{ξi},0), todas las integrales de ψj(v)se deben anular: Zψk(v)∂f ∂ξi,j (v,{ξi},0)ξi,jdv,Zψk(v)∂f ∂ξi,jk (v,{ξi},0)ξi,jkdv, . . . = 0 .(3.29) 3.3.1. Obtención de ecuaciones aproximadas Podremos truncar el desarrollo (3.24) y realizar un desarrollo perturbativo si los gradientes siguen la siguiente relación jerárquica entre ellos: ξi≫ξi,j ≫ξi,jξk,l, ξi,jk ≫ξi,jξk,lξm,n, ξi,jkξl,m, ξi,jkl ≫. . . , (3.30) donde llamaremos orden cero a los términos del orden de {ξi}, orden uno a los de {ξi,j}, orden dos a los de {ξi,jξk,l, ξi,jk}, etc. Para los propósitos de este texto, tomaremos la aproximación de orden uno, es decir, la que llega hasta los gradientes de primer orden {ξi,j}, obteniendo así una expresión para la función de distribución del tipo: f≈f(v,{ξi},0) + X i,j ∂f ∂ξi,j (v,{ξi},0)ξi,j =f(0)(v,{ξi}) + f(1)(v,{ξi},{ξi,j}),(3.31) donde se ha introducido la notación habitual usada en el método de Chapman-Enskog, siendo f(0) una función independiente de los gradientes y como veremos, igual a la distribución de Maxwell-Boltzmann en coherencia con la notación utilizada hasta ahora, y f(1) una función lineal en los gradientes de primer orden. Esta aproximación se conoce como la aproximación de Navier-Stokes, y nos llevará hasta las ecuaciones hidrodinámicas de Navier-Stokes, incluyendo las leyes fenomenológicas (3.21) y (3.22) para los flujos. En un principio, podríamos 31 incluir términos de orden superior, los cuales nos llevarían a unas ecuaciones hidrodinámicas válidas para fenómenos con variaciones más rápidas4, donde la condición (3.30) se cumple de una forma más laxa. Introduciendo nuestro desarrollo de la función de distribución en la ecuación de Boltzmann (2.44) en ausencia de fuerzas externas obtenemos: v· ∇rf(0) +v· ∇rf(1) +∂f(0) ∂t +∂f(1) ∂t =Jhf(0) +f(1)i.(3.32) Analizando esta ecuación, podemos despreciar el término v· ∇rf(1), ya que al derivar f(1), el resultado será de orden dos en los gradientes. De la misma forma, podemos simplificar el término de colisiones: Jhf(0) +f(1)i= =σd−1Z Z (. . .)hf(0)(v) + f(1)(v)ihf(0)(v1) + f(1)(v1)idv1dˆσ= =σd−1Z Z (. . .)hf(0)(v)f(0)(v1) + f(0)(v)f(1)(v1) + f(1)(v)f(0)(v1)idv1dˆσ= =Jhf(0)i+Lf(1) , (3.33) donde se ha cancelado el término f(1)(v)f(1)(v1)por ser de orden dos en los gradientes y se ha introducido el operador lineal Lpara funciones de la velocidad h(v), con la forma: Lh(v) = σd−1Z Z n(bσ−1) hf(0)(v)h(v1) + f(0)(v1)h(v)ioΘ(g·ˆσ)g·ˆσdv1dˆσ.(3.34) Este operador se conoce como el operador lineal de colisión, en contraste con el funcional no lineal Jdefinido en (2.43). Finalmente, nos quedan por tratar los términos de las derivadas temporales, para esto consideramos: ∂f(0) ∂t +∂f(1) ∂t =X i ∂f(0) ∂ξi ∂ξi ∂t +X i ∂f(1) ∂ξi ∂ξi ∂t +X i,j ∂f(1) ∂ξi,j ∂ξi,j ∂t ,(3.35) donde se ha utilizado la regla de la cadena y las consideraciones sobre las dependencias de f(0) yf(1) ya comentadas anteriormente. Aquí podemos introducir las relaciones de balance 4Como ejemplo, el orden dos nos llevaría a las llamadas ecuaciones de Burnett [3], las cuales son una generalización de las ecuaciones de Navier-Stokes. 32 (3.5), (F.3) y (F.8), reescritas convenientemente en el anexo F, para sustituir las derivadas temporales de los campos y sus gradientes. Para ello, desarrollamos primero los flujos. Introduciendo la expresión (3.31) en la definición del tensor de presiones (3.12): Pij ≈P(0) ij +P(1) ij =mZ˜vi˜vjf(0)dv+mZ˜vi˜vjf(1)dv.(3.36) De la misma forma, desarrollamos el flujo de calor según la definición (3.19): jQ≈j(0) Q+j(1) Q=1 2mZ˜ v˜v2f(0)dv+1 2mZ˜ v˜v2f(1)dv.(3.37) Si ahora examinamos las tres ecuaciones de conservación microscópicas ya citadas, podemos ver que los flujos aparecen únicamente a través de sus divergencias en términos del tipo ∇ · P,∇ · jQ, o multiplicados por derivadas espaciales de los campos en un término del tipo P: (∇ ⊗ u). En ambos casos, el orden de estos términos será superior en una unidad al orden de los propios flujos, por lo que truncando las ecuaciones de conservación a orden uno, despreciaremos P(1) ij yj(1) Q. Con esto obtenemos unas ecuaciones del tipo: ∂ρ ∂t =−ρ∇ · u−u· ∇ρ , ∂u ∂t =−u(∇ ⊗ u)−ρ−1∇ · P(0) , ∂T ∂t =−u· ∇T−2m ρdkBhP(0) : (∇ ⊗ u) + ∇ · j(0) Qi. (3.38) las cuales podemos sustituir en (3.35). De nuevo, notemos que los segundos miembros de estas ecuaciones son todos de orden uno, por lo que el segundo sumatorio de la expresión (3.35) será de orden dos al ser ∂f(1)/∂ξide orden uno. En cuanto al tercer sumatorio, el término ∂ξi,j/∂t se obtiene de derivar respecto a xjlas ecuaciones (3.38) y por lo tanto será de orden dos. Con todo esto, está claro que solo debemos considerar el primer sumatorio, obteniendo finalmente la ecuación: v· ∇rf(0) +X i ∂f(0) ∂ξi ∂ξi ∂t =Jhf(0)i+Lf(1) ,(3.39) la cual podemos separar a su vez en dos ecuaciones, una para los términos de orden cero y otra para los términos de orden uno, ya que, en general, los campos hidrodinámicos serán linealmente independientes de sus gradientes. Para orden cero tenemos: Jhf(0)i= 0 ,(3.40) 33 ya que todos los demás términos implican derivadas de los campos o dependencias con la función f(1). Por otro lado, para orden uno tenemos: Lf(1) =v· ∇rf(0) +X i ∂f(0) ∂ξi ∂ξi ∂t .(3.41) 3.3.2. La función de distribución de orden cero Consideremos la ecuación (3.40) para f(0)(v,{ξi}). Esta ecuación se corresponde con la condición (2.64), y ya fue resuelta en la sección 2.6.2, dando como solución la distribución de Maxwell-Boltzmann de equilibrio local. Reescribiendo en función de los campos hidrodinámicos: f(0)(v,{ξi}) = md/2−1 (2π)d/2 ρ (kBT)d/2exp −m 2kBT(v−u)2.(3.42) Si introducimos esta expresión en el desarrollo (3.36) del tensor de presiones, este se reduce a: P(0) ij =mZ˜vi˜vjf(0)dv=δij ρ mkBT , (3.43) donde hemos usado la expresión (C.7) ya calculada en el anexo C. De la misma forma, si consideramos el desarrollo (3.37) del flujo de calor, tenemos: j(0) Q=1 2mZ˜ v˜v2f(0)dv= 0 ,(3.44) donde la integral se anula debido a que f(0)(v)≡f(0)(˜v)es isótropa cuando se expresa en función de ˜ v. Con todo esto, las ecuaciones (3.38) quedan: ∂ρ ∂t =−u· ∇ρ−ρ∇ · u, ∂u ∂t =−u(∇ ⊗ u)−kB ρm∇(ρT), ∂T ∂t =−u· ∇T−2T d∇ · u. (3.45) Estas son las ecuaciones hidrodinámicas de orden cero proporcionadas por el método de Chapman-Enskog, y coinciden con las llamadas ecuaciones de Euler. 34 3.3.3. La función de distribución de orden uno Consideremos ahora la ecuación (3.41), donde, en primer lugar, calcularemos el término inhomogéneo del segundo miembro: v· ∇rf(0) +X i ∂f(0) ∂ξi ∂ξi ∂t =X i ∂f(0) ∂ξi v· ∇ξi+∂ξi ∂t !.(3.46) Aquí podemos calcular el sumatorio sustituyendo las derivadas temporales con la ayuda de las ecuaciones (3.45). Para ρtenemos: ∂f(0) ∂ρ v· ∇ρ+∂ρ ∂t !=∂f(0) ∂ρ (v· ∇ρ−u· ∇ρ−ρ∇ · u) = ∂f(0) ∂ρ (˜ v· ∇ρ−ρ∇ · u),(3.47) para {ui}tenemos: ∂f(0) ∂ui v· ∇ui+∂ui ∂t !=∂f(0) ∂ui"v· ∇ui−u· ∇ui−kB ρm ∂ ∂xi (ρT)#= =∂f(0) ∂ui"˜ v· ∇ui−kBT ρm ∂ρ ∂xi −kB m ∂T ∂xi#, (3.48) y para Ttenemos: ∂f(0) ∂T v· ∇T+∂T ∂t !=∂f(0) ∂T v· ∇T−u· ∇T−2T d∇ · u= =∂f(0) ∂T ˜ v· ∇T−2T d∇ · u, (3.49) donde para los tres casos, la dependencia con vse convierte de forma natural en dependencia con ˜ v. Finalmente, agrupamos los términos según su relación con cada uno de los gradientes y desarrollamos las derivadas de f(0) en los campos. Para ∇ρ, se tiene: ∂f(0) ∂ρ ˜ v· ∇ρ−X i kBT ρm ∂f(0) ∂ui ∂ρ ∂xi =f(0) ρ˜ v· ∇ρ−X i f(0) ρ˜vi ∂ρ ∂xi = ="f(0) ρ˜ v−f(0) ρ˜ v#· ∇ρ=0· ∇ρ= 0 , (3.50) mientras que para ∇Tse tiene: ∂f(0) ∂T ˜ v· ∇T−X i kB m ∂f(0) ∂ui ∂T ∂xi =∂f(0) ∂T ˜ v· ∇T−X i f(0) T˜vi ∂T ∂xi = ="∂f(0) ∂T −f(0) T#˜ v· ∇T=f(0) T m˜v2 2kBT−2 + d 2!˜ v· ∇T=β· ∇T , (3.51) 35 donde para simplificar la notación se ha introducido el vector βcon la forma: β=f(0) T m˜v2 2kBT−2 + d 2!˜ v.(3.52) Finalmente, para {∂ui/∂xj}tenemos: −∂f(0) ∂ρ ρ∇ · u−∂f(0) ∂T 2T d∇ · u+X i ∂f(0) ∂ui ˜ v· ∇ui= =−f(0)∇ · u−f(0) m˜v2 dkBT−1!∇ · u+m kBTf(0) X i,j ˜vi˜vj ∂ui ∂xj = =−m˜v2 dkBTf(0) X i,j δij ∂uj ∂xi +m kBTf(0) X i,j ˜vi˜vj ∂uj ∂xi =X i,j Γij ∂uj ∂xi =Γ: (∇ ⊗ u), (3.53) donde para simplificar la notación se ha introducido el tensor Γcon la forma: Γ=f(0) m kBT˜ v⊗˜ v−1 d˜v2I,Γij =f(0) m kBT˜vi˜vj−1 d˜v2δij.(3.54) Con todo esto, el miembro inhomogéneo de la ecuación (3.41) queda: Lf(1) =v· ∇rf(0) +X i ∂f(0) ∂ξi ∂ξi ∂t =β· ∇T+Γ: (∇ ⊗ u).(3.55) Por otro lado, consideremos ahora el término homogéneo del primer miembro. En primer lugar, sabemos que por definición f(1) es lineal en los gradientes de los campos, por lo que podremos escribirla como: f(1) =a· ∇ρ+b· ∇T+X i,j Cij ∂uj ∂xi =a· ∇ρ+b· ∇T+C: (∇ ⊗ u),(3.56) siendo a(˜ v,{ξi}),b(˜ v,{ξi})ciertos vectores y C(˜ v,{ξi})un tensor5. Aplicando a esta expresión el operador Ltendremos: Lf(1) =L[a· ∇ρ+b· ∇T+C: (∇ ⊗ u)] = = (La)· ∇ρ+ (Lb)· ∇T+ (LC):(∇ ⊗ u) = β· ∇T+Γ: (∇ ⊗ u), (3.57) donde hemos considerado el hecho de que el operador Lno afecta a los gradientes de los campos. Teniendo en cuenta que los gradientes son además funciones en general linealmente 5Nótese que debido a la forma de las expresiones de βyΓ, donde aparece ˜ vde forma natural, nos será mas conveniente describir las dependencias de a,byCcon la velocidad a través de ˜ ven lugar de v. 36 independientes las cuales solo pueden cancelarse una a una, podemos agrupar las diferentes contribuciones y obtener finalmente ecuaciones para las componentes a,byCde f(1) en función del operador lineal de colisión: La=0,Lb=β,LC=Γ.(3.58) 3.4. Propiedades del operador lineal de colisión En la resolución de las ecuaciones (3.58), el operador lineal de colisión Ljuega un papel especialmente relevante, por lo que vamos a estudiar de forma previa algunas de las propiedades más relevantes de este operador6. 3.4.1. Espectro Consideremos la integral L(k, h)para dos funciones de las velocidades h(v),k(v), complejas en general: L(k, h) = Zk(v) f(0)(v)Lh(v)dv=σd−1Z Z Z k(v) f(0)(v)hf(0)(v∗)h(v∗ 1) + f(0)(v∗ 1)h(v∗)− −f(0)(v)h(v1)−f(0)(v1)h(v)iΘ(g·ˆσ)g·ˆσdvdv1dˆσ, (3.59) donde k(v)denota conjugado complejo y v∗ i=bσvi. Por los argumentos ya introducidos para la expresión (2.52), podemos reescribir esta integral como: L(k, h) = 1 4σd−1Z Z Z "k(v) f(0)(v)+k(v1) f(0)(v1)−k(v∗) f(0)(v∗)−k(v∗ 1) f(0)(v∗ 1)#hf(0)(v∗)h(v∗ 1) + +f(0)(v∗ 1)h(v∗)−f(0)(v)h(v1)−f(0)(v1)h(v)iΘ(g·ˆσ)g·ˆσdvdv1dˆσ, (3.60) y haciendo uso de la propiedad f(0)(v∗)f(0)(v∗ 1) = f(0)(v)f(0)(v1)ya discutida en (2.64), llegamos a: L(k, h) = −1 4σd−1Z Z Z f(0)(v)f(0)(v1)"k(v) f(0)(v)+k(v1) f(0)(v1)−k(v∗) f(0)(v∗)−k(v∗ 1) f(0)(v∗ 1)#· ·"h(v) f(0)(v)+h(v1) f(0)(v1)−h(v∗) f(0)(v∗)−k(v∗ 1) f(0)(v∗ 1)#Θ(g·ˆσ)g·ˆσdvdv1dˆσ. (3.61) 6El operador lineal de colisión también juega un papel fundamental en la llamada teoría de Boltzmann linealizada, donde el estudio de las propiedades de Lse toma como punto de partida [3]. 37 Sin embargo, la solución debe de ser ortogonal a las autofunciones de autovalor nulo, por lo que finalmente planteamos9: Cij =C∗ 1(˜v)˜vi˜vj+C∗ 2(˜v)δij =C∗(˜v)˜vi˜vj−1 d˜v2δij,(3.90) donde C∗(˜v)es una función de ˜vinvariante bajo rotaciones. Esta solución para Ccomo un tensor de traza nula garantiza su ortogonalidad a las autofunciones de autovalor nulo y por lo ya estudiado, debe de ser la única solución. La obtención de C∗(˜v)requeriría la resolución exacta de las ecuaciones (3.58). De nuevo, esto se puede hacer de forma exacta para las ya mencionadas moléculas de Maxwell, y de forma aproximada para nuestro caso. De la misma manera que para la función b∗(˜v), esto se escapa a los propósitos de este texto. 3.6. El tensor de presiones y la viscosidad Consideremos las expresiones (3.76), (3.82), (3.90) obtenidas para las componentes de la función de distribución de orden uno. Si las introducimos en la definición (3.36) del tensor de presiones de orden uno obtenemos: P(1) ij =mZ˜vi˜vja· ∇ρ dv+mZ˜vi˜vjb· ∇T dv+mZ˜vi˜vjC: (∇ ⊗ u)dv.(3.91) Para la primera integral, tenemos: mZ˜vi˜vja· ∇ρ dv=mZ˜vi˜vj0· ∇ρ dv= 0 .(3.92) Para la segunda: mZ˜vi˜vjb· ∇T dv=m∇T·Z˜vi˜vj˜ vb∗ 1(˜v)dv=mX k ∂T ∂xkZ˜vi˜vj˜vkb∗ 1(˜v)dv= 0 ,(3.93) donde la integral de ˜vi˜vj˜vkb∗ 1(˜v)se anula por ser esta producto de funciones impares para todo i,j,k. Por último, para la tercera integral, se tiene: mZ˜vi˜vjC: (∇ ⊗ u)dv=mX k,l ∂ul ∂xkZ˜vi˜vjC∗(˜v)˜vk˜vl−1 d˜v2δkldv.(3.94) 9Esta propuesta viene inspirada por la forma del tensor Γ, el cual sabemos que cumple la condición de ortogonalidad con las autofunciones de autovalor nulo. 44 El cálculo de esta integral es relativamente largo y se incluye en el anexo G, donde realizamos un desarrollo explícito de los casos no diagonal (G.2) y diagonal (G.8), (G.11), e introducimos el coeficiente de transporte η. Finalmente, podemos combinar los resultados obtenidos en una misma expresión para obtener el tensor de presiones de orden uno según el método de Chapman-Enskog: Pij ≈P(0) ij +P(1) ij =δij ρ mkBT−η ∂uj ∂xi +∂ui ∂xj −2 dδij∇ · u!.(3.95) Esta expresión será válida para los casos d= 2 yd= 3 considerados en el anexo G, y coincide en forma con la ley de Newton (3.21) para un coeficiente de transporte ζ= 0, y otro, η, llamado viscosidad dinámica, con la siguiente expresión: η=−mZ˜v2 i˜v2 jC∗(˜v)dv, i =j , (3.96) donde ˜vi,˜vjson dos componentes diferentes cualesquiera de ˜ vyC∗es una función que puede depender de los campos hidrodinámicos y de la velocidad ˜ vsolo a través de su módulo. Esta función, como ya se ha comentado, se puede obtener de forma aproximada para el caso de esferas duras y de forma exacta para las llamadas moléculas de Maxwell. La obtención de la ley de Newton con unos coeficientes de transporte relacionados con las magnitudes microscópicas del sistema de estudio es uno de los resultados más destacables del método de Chapman-Enskog. 3.7. El vector flujo de calor y la conductividad térmica Consideremos las expresiones (3.76), (3.82), (3.90) obtenidas para las componentes de la función de distribución de orden uno. Si las introducimos en la definición (3.37) del flujo de calor de orden uno obtenemos: j(1) Q=1 2mZ˜ v˜v2a· ∇ρ dv+1 2mZ˜ v˜v2b· ∇T dv+1 2mZ˜ v˜v2C: (∇ ⊗ u)dv.(3.97) Para la primera integral, tenemos: 1 2mZ˜ v˜v2a· ∇ρ dv=1 2mZ˜ v˜v20· ∇ρ dv= 0 (3.98) 45 Para la segunda integral tenemos: 1 2mZ˜ v˜v2b· ∇T dv=1 2mZ˜ v˜v2b∗ 1(˜v)˜ v· ∇T dv= =1 2mX i ∂T ∂xiZ˜ v˜v2˜vib∗ 1(˜v)dv=1 2mX i,j ∂T ∂xi ˆ xjZ˜v2˜vi˜vjb∗ 1(˜v)dv.(3.99) Sin embargo la integral de ˜v2˜vi˜vjb∗ 1(˜v)es no nula solo para el caso i=j, por lo que: 1 2mZ˜ v˜v2b· ∇T dv=1 2mX i,j δij ∂T ∂xi ˆ xjZ˜v2˜vi˜vjb∗ 1(˜v)dv= =1 2mX i ∂T ∂xi ˆ xiZ˜v2˜v2 ib∗ 1(˜v)dv=1 2mZ˜v2˜v2 ib∗ 1(˜v)dv∇T=−κ∇T , (3.100) donde se ha introducido el coeficiente de transporte κ, que por isotropía, tiene el mismo valor independientemente de la componente iconsiderada. Para la tercera integral tenemos: 1 2mZ˜ v˜v2C: (∇ ⊗ u)dv=1 2mX i,j ∂uj ∂xiZ˜ v˜v2C∗(˜v)˜vi˜vj+1 d˜v2δijdv= =1 2mX i,j ∂uj ∂xiZ˜ v˜v2˜vi˜vjC∗(˜v)dv+1 2dmX i,j δij ∂uj ∂xiZ˜ v˜v4C∗(˜v)dv= =1 2mX i,j ∂uj ∂xiZ˜ v˜v2˜vi˜vjC∗(˜v)dv+1 2dmX i ∂ui ∂xiZ˜ v˜v4C∗(˜v)dv= 0 , (3.101) donde las integrales de ˜ v˜v4C∗(˜v)y˜ v˜v2˜vi˜vjC∗(˜v)se anulan por ser estas funciones impares para todo i,j. Con esto podemos obtener finalmente la expresión del flujo de calor en orden uno según el método de Chapman-Enskog: jQ≈j(0) Q+j(1) Q=0−κ∇T=−κ∇T . (3.102) Esta expresión coincide en forma con la ley de difusión del calor de Fourier (3.22), con la siguiente expresión para el coeficiente de transporte κ, llamado conductividad térmica: κ=−1 2mZ˜v2˜v2 ib∗ 1(˜v)dv=−1 2mZ m˜v2 2kBT−2 + d 2!˜v2˜v2 ib∗(˜v)dv,(3.103) donde ˜vies una componente cualquiera de ˜ vyb∗es una función que puede depender de los campos hidrodinámicos y de la velocidad ˜ vsolo a través de su módulo. Esta función, como ya se ha comentado, se puede obtener de forma aproximada para el caso de esferas duras y de forma exacta para las llamadas moléculas de Maxwell. 46 De nuevo, la obtención de la ley de Fourier con unos coeficientes de transporte relacionados con las magnitudes microscópicas del sistema es uno de los resultados más destacables del método de Chapman-Enskog. 47 Conclusiones En este trabajo, hemos realizado un estudio de la dinámica de un gas diluido de esferas duras desde el punto de vista de la teoría cinética. En primer lugar, hemos podido derivar una ecuación cerrada para la función de distribución, que supone una generalización de la teoría de la mecánica estadística del equilibrio para estos sistemas, y es coherente con sus principales resultados en dicho límite. A la hora de realizar tal derivación, se han utilizado argumentos cualitativos sobre las colisiones entre partículas que nos han permitido interpretar de forma clara e intuitiva la ecuación de Boltzmann y en general, la teoría cinética de los gases diluidos. A partir de estos resultados, hemos podido estudiar el fenómeno de la irreversibilidad y de convergencia al equilibrio de forma independiente de las condiciones iniciales. Este es uno de los postulados fundamentales de la termodinámica, y el que hayamos sido capaces de reproducirlo e interpretarlo teóricamente en el caso particular de los gases diluidos supone un gran éxito para la teoría cinética. También hemos podido observar como la irreversibilidad macroscópica es compatible con las leyes reversibles de la mecánica en sistemas de muchos cuerpos. Evidentemente la evolución microscópica del sistema según las leyes de la mecánica siempre será reversible, y de hecho, incluso periódica bajo las condiciones del llamado teorema de recurrencia de Poincaré [10], pero, sin embargo, para sistemas de muchos cuerpos y tiempos razonables, estos hechos estadísticamente no se observarán en escalas de tiempo mucho mayores a la edad del universo y predominará la irreversibilidad según la ecuación de Boltzmann. La clave de la irreversibilidad reside por lo tanto en el único ingrediente no mecánico de la ecuación de Boltzmann, la hipótesis del caos molecular, que introduce consideraciones razonables sobre las colisiones entre partículas y como hemos visto, reproduce 48 hechos experimentales tan importantes como la convergencia al equilibrio. Podríamos decir que en este caso, la introducción de una aproximación como la hipótesis del caos molecular es más provechosa que un hipotético tratamiento completo del problema mecánico, el cual no sería capaz de reproducir la irreversibilidad observada experimentalmente como sí lo hace el formalismo de Boltzmann. En la segunda parte, hemos sido capaces de derivar las ecuaciones hidrodinámicas de Navier- Stokes a través de la ecuación de Boltzmann y del método de Chapman-Enskog. En el proceso, hemos podido reproducir de una forma teórica las leyes fenomenológicas de Newton y Fourier de los flujos hidrodinámicos, las cuales ya se conocían desde antes del surgimiento histórico de la ecuación de Boltzmann. También hemos sido capaces de poner de manifiesto cuáles son los límites de validez de estas leyes, esto es, gradientes de orden superior pequeños (campos que varían lentamente), según la condición (3.30), en concordancia con lo que ya se sabía también de forma fenomenológica. Finalmente, hemos podido obtener expresiones para los coeficientes de transporte, calculables en función de las magnitudes microscópicas del sistema, cosa que no proporcionan las leyes originales de Newton y Fourier. Todo esto supone un importante argumento a favor de la validez de la teoría cinética desarrollada en la primera parte, pues es capaz de reproducir estas importantes leyes fenomenológicas y sus coeficientes de transporte. 49 Anexos Cálculo de la función de distribución de equilibrio En este anexo nos disponemos a calcular la función de distribución de equilibrio, f(0)(r,v). Inspeccionando la ecuación (2.67), y sabiendo que ω=I(ln f)≤0, podemos ver que la única forma de tener la igualdad es si se cumple que I[ln f(0)]es idénticamente nulo para todo r, o, en otras palabras, ln f(0) es un invariante colisional según la expresión (2.52). Esto implica que ln f(0) se puede escribir como una combinación lineal de los invariantes colisionales fundamentales: ln f(0) =X j ϕj(v) = ln A−αv2−αv2 o+ 2αv0·v= ln A−α(v−v0)2,(A.1) donde se ha desarrollado explícitamente la combinación lineal usando unas constantes A,α, v0, las cuales nos permiten escribir de forma esclarecedora: f(0) =Ae−α(v−v0)2,(A.2) siendo A,α,v0en principio funciones de la posición r. Esta expresión tiene la misma forma que la distribución de Maxwell-Boltzmann, la cual sabemos que caracteriza el equilibrio de 50 un gas ideal, por lo que continuaremos nuestros razonamientos por este camino. Calculemos ahora las constantes: I. Calculemos la densidad local de partículas (2.1): n(r, t) = Zf(0)dv=ZAe−α(v−v0)2dv=   ˜vi=vi−v0i d˜ v=dv  = =AZe−α˜v2d˜ v=A d Y i=1 Z∞ −∞ e−α˜v2 id˜vi=Aπ αd/2 , (A.3) donde se ha utilizado la integral de Gauss: Z∞ −∞ e−αx2dx =π α1/2 .(A.4) El resultado obtenido implica que el valor de Aes: A(r, t) = α πd/2 n(r, t).(A.5) II. Calculemos la velocidad media local (2.3): u(r, t) = 1 n(r, t)Zvf(0)dv=1 n(r, t)ZvAe−α(v−v0)2dv=   ˜vi=vi−v0i d˜ v=dv  = =1 n(r, t)Z(˜ v+v0)Ae−α˜v2d˜ v=1 n(r, t)AZ˜ ve−α˜v2d˜ v+v0AZe−α˜v2d˜ v, (A.6) donde la primera integral es nula por simetría, ya que e−α˜v2no depende de la dirección de v0, y la segunda es la integral de la densidad (A.3). Por tanto: u(r, t) = 1 n(r, t)[0 + v0n(r, t)] = v0,(A.7) es decir, v0no es mas que la velocidad media local u(r, t). III. Calculemos la energía cinética media local en el sistema de referencia con velocidad u. Aplicando la definición (2.2): ⟨Ku⟩=1 n(r, t)Z1 2m(v−u)2f(0)dv=1 n(r, t)Z1 2m(v−u)2Ae−α(v−u)2dv= =   ˜vi=vi−ui d˜ v=dv  =mA 2n(r, t)Z˜ v2e−α˜v2d˜ v=mA 2n(r, t)ΩdZ∞ 0˜v2e−α˜v2˜vd−1d˜v= =mAΩd 2n(r, t) 1 2αd/2+1 Γ d 2+ 1!=mΩd 4πd/2αΓ d 2+ 1!, (A.8) 51 donde se han introducido coordenadas esféricas generalizadas y Ωdrepresenta la integral sobre las coordenadas angulares. Para la coordenada radial, se ha utilizado la siguiente expresión con la función Gamma de Euler: Z∞ 0xne−αx2dx =1 2α(n+1)/2Γn+ 1 2.(A.9) Además, según el teorema de equipartición, podemos definir la temperatura de equilibrio local en nuestro sistema como: ⟨Ku⟩=d 2kBT(r, t),(A.10) siendo kBla constante de Boltzmann. Por lo tanto, el valor de la constante αserá: α=mΩd 2πd/2dΓ d 2+ 1!1 kBT(r, t)=mΩd 2πd/2dΓ d 2+ 1!β(r, t),(A.11) donde se ha definido β= 1/kBTcomo es usual en el contexto de la física estadística. Pero se tiene que para una dimensión genérica d, el valor de Ωdes precisamente: Ωd=πd/2d"Γ d 2+ 1!#−1 ,(A.12) por lo que el valor de αresulta ser el mismo para toda dimensión: α=1 2mβ(r, t).(A.13) Con todo esto, las constantes en el caso bidimensional serán: A(r, t) = 1 2πm n(r, t)β(r, t),v0=u(r, t), α =1 2mβ(r, t).(A.14) Y por lo tanto: f(0) =nmβ 2πexp −1 2mβ(v−u)2,(A.15) Esta es la llamada distribución bidimensional de Maxwell-Boltzmann de equilibrio local, donde n,T,upueden depender de ryt. Para el caso tridimensonal, las constantes serán: A(r, t) = "mβ(r, t) 2π#3/2 n(r, t),v0=u(r, t), α =1 2mβ(r, t).(A.16) Y por tanto: f(0) =n mβ 2π!3/2 exp −1 2mβ(v−u)2,(A.17) 52 Esta es la llamada distribución tridimensional de Maxwell-Boltzmann de equilibrio local, donde de nuevo, n,T,upueden depender de ryt. Hasta ahora, hemos hablado solo de la condición necesaria (2.67), a la cual debemos añadirle la condición adicional de que f(0) sea efectivamente una solución estacionaria de la ecuación de Boltzmann1: ∂f(0) ∂t =−v· ∇rf(0) +J[f(0)]=0,(A.18) pero según la condición (2.64), sabemos que el término de colisiones se anula para la solución de equilibrio, por lo que: ∂f(0) ∂t =−v· ∇rf(0) = 0 .(A.19) Con esto tenemos un conjunto de condiciones necesarias y suficientes [4] que nos determinan de forma única la solución de la función de distribución en el equilibrio como la llamada distribución d-dimensional de Maxwell-Boltzmann de equilibrio global, en la que n,T,uson independientes de la posición y el tiempo [4], es decir, para dos dimensiones: f(0) =f(0)(v) = N V mβ 2πexp −1 2mβv2.(A.20) Y para tres dimensiones: f(0) =f(0)(v) = N V mβ 2π!3/2 exp −1 2mβv2,(A.21) donde en ambos casos se ha tenido en cuenta que si ues una constante, esta se refiere al movimiento del sistema como un todo, y siempre se puede tomar u=0. 1La introducción de esta segunda condición no es estrictamente necesaria y depende de si consideramos o no de equilibrio a una solución de entropía estacionaria cuya función de distribución depende del tiempo. Esto nos cierra la puerta a casos especiales como soluciones oscilantes, los cuales van más allá de los propósitos de este texto. Hablaremos de equilibrio local cuando nos refiramos solo a la primera condición y de equilibrio global cuando nos refiramos a ambas condiciones, ya que la introducción de la segunda convierte al sistema en totalmente homogéneo [4]. 53 El teorema de Hilbert El llamado teorema de Hilbert supone una primera aproximación al problema de resolver la ecuación de Boltzmann para sistemas hidrodinámicos. Este teorema plantea que si consideramos la ecuación de Boltzmann en ausencia de fuerzas externas con un parámetro perturbativo ε≪1, es decir: ε ∂f ∂t +v· ∇rf!=J[f],(E.1) tal que el término de colisiones es mucho menor que las derivadas de f, y si podemos expandir fen un desarrollo perturbativo de la forma: f= ∞ X n=0 εf(n),(E.2) entonces la solución viene determinada únicamente por las condiciones iniciales de los campos hidrodinámicos ρ(r,0),u(r,0),T(r,0). La demostración de este importante teorema y sus consecuencias se escapa a los propósitos de este texto, aunque puede ser revisada en la bibliografía [3]. Nos centraremos a continuación en discutir las principales consecuencias del teorema sin proporcionar una demostración formal: I. En primer lugar, asumamos un tiempo característico de relajación local τren el cual, debido a las colisiones de las partículas que se encuentran en una región dada del sistema, la función de distribución evoluciona rápidamente hacia una distribución de pseudequilibrio local en la que se suavizan las inhomogeneidades de la misma. Por otro lado, asumamos además una longitud característica de variación espacial lde la función de distribución. Bajo estos preceptos, dos regiones distintas del sistema con valores distintos de f, separadas por una distancia del orden de l, podrán intercambiar información en tiempos del orden de τ=l/q⟨v2⟩ ≫ τr, 60 donde q⟨v2⟩ ∼ qdkBT/m es la velocidad cuadrática media de las partículas del sistema, aproximada por el teorema de equipartición (A.10). Si escribimos la ecuación de Boltzmann para tiempos, distancias y velocidades del orden de l,τyq⟨v2⟩, se puede demostrar [3] que esta toma una forma similar a (E.1), con un parámetro perturbativo ε∼τr/τ ≪1. Esto nos indica que la forma especial (E.1) de la ecuación de Boltzmann y por lo tanto el teorema de Hilbert, solo se aplican a escalas de tiempo del orden de τ, en las que ya se ha alcanzado la relajación local. Esto tiene sentido ya que en un principio, para determinar la función de distribución necesitamos conocer todos sus momentos, y no solo los cinco asociados a los campos hidrodinámicos. Sin embargo, lo que nos asegura este teorema es que para t∼τ≫τr, la contribución del resto de momentos es despreciable frente a los campos. II. En segundo lugar, el teorema de Hilbert nos sugiere [3] que una vez alcanzado la relajación local, la función de distribución se puede describir a través de los campos hidrodinámicos: f(r,v, t) = f[r,v, t|ρ(r, t),u(r, t), T(r, t)] .(E.3) Este tipo de soluciones de la ecuación de Boltzmann se denominan soluciones normales, y son el punto de partida del método de Chapman-Enskog. 61 Forma reducida de las relaciones microscópicas de conservación Reescribamos las relaciones microscópicas de conservación para el momento y la energía, en una forma más simple y conveniente en función de los campos hidrodinámicos ρ(r, t),u(r, t), T(r, t): I. Consideremos la ecuación (3.11), donde podemos reescribir el término de convección macroscópico como: ∇ · (ρu⊗u) = ρu(∇ ⊗ u) + u∇ · (ρu).(F.1) Introduciendo esto en la ecuación (3.11) y desarrollando la derivada temporal por la regla del producto queda: u∂ρ ∂t +ρ∂u ∂t +ρu(∇ ⊗ u) + u∇ · (ρu) + ∇ · P= =u"∂ρ ∂t +∇ · (ρu)#+ρ∂u ∂t +ρu(∇ ⊗ u) + ∇ · P=0, (F.2) donde el término entre corchetes se anula por la ecuación de conservación de la masa (3.5). Finalmente, dividiendo por ρ, obtenemos la ecuación para la conservación del momento en una forma más conveniente: ∂u ∂t +u(∇ ⊗ u) + ρ−1∇ · P=0,(F.3) II. Consideremos ahora la ecuación de conservación de la energía (3.20), donde podemos escribir el término del trabajo de las fuerzas de presión como: ∇ · (Pu) = P: (∇ ⊗ u)+(∇ · P)·u,(F.4) 62 donde definimos la contracción de dos tensores con las mismas dimensiones como: A:B=X i,j AijBij .(F.5) Introduciendo esto en la ecuación (3.20) y desarrollando las derivadas mediante la regla de la cadena se llega a: 1 2u2∂ρ ∂t +1 2ρ∂ ∂t(u2) + dkB 2mT∂ρ ∂t +dkB 2mρ∂T ∂t +1 2u2∇ · (ρu) + 1 2ρu· ∇(u2) + +dkB 2mT∇ · (ρu) + dkB 2mρu· ∇T+P: (∇ ⊗ u)+(∇ · P)·u+∇ · jQ= =1 2u2"∂ρ ∂t +∇ · (ρu)#+dkB 2mT"∂ρ ∂t +∇ · (ρu)#+ +ρ"1 2 ∂ ∂t(u2) + 1 2u· ∇(u2) + ρ−1(∇ · P)·u#+ +dkB 2mρ∂T ∂t +dkB 2mρu· ∇T+P: (∇ ⊗ u) + ∇ · jQ= 0 , (F.6) donde los dos primeros corchetes se anulan por la ecuación de conservación de la masa (3.5) y el tercero, por la ecuación de conservación del momento (F.3), como demostramos a continuación. Partiendo de la expresión (F.3) y multiplicando por u: ∂u ∂t ·u+u(∇ ⊗ u)u+ρ−1(∇ · P)·u=1 2 ∂ ∂t(u2) + X i,j uiuj ∂uj ∂xi +ρ−1(∇ · P)·u= =1 2 ∂ ∂t(u2) + 1 2u· ∇(u2) + ρ−1(∇ · P)·u=0, (F.7) como se quería demostrar. Finalmente, dividiendo por ρdkB/2m, obtenemos la ecuación para la conservación de la energía en una forma más conveniente: ∂T ∂t +u· ∇T+2m ρdkB [P: (∇ ⊗ u) + ∇ · jQ]=0.(F.8) 63 Componente de las velocidades del tensor de presiones Consideremos la integral (3.94), donde es conveniente desarrollar por separado los casos diagonal y no diagonal. Para el caso no diagonal, con i=j, tendremos: mZ˜vi˜vjC: (∇ ⊗ u)dv= =mX k,l ∂ul ∂xkZ˜vi˜vj˜vk˜vlC∗(˜v)dv−m dX k,l δkl ∂ul ∂xkZ˜v2˜vi˜vjC∗(˜v)dv= =mX k,l ∂ul ∂xkZ˜vi˜vj˜vk˜vlC∗(˜v)dv, (G.1) donde la segunda integral se anula debido a que su integrando es un producto de funciones impares. En cuanto a la integral restante, esta será no nula solo cuando los índices k,l coincidan con i,j, de forma que: mZ˜vi˜vjC: (∇ ⊗ u)dv=mX k,l ∂ul ∂xkZ˜vi˜vj˜vk˜vlC∗(˜v)dv= =m ∂uj ∂xi +∂ui ∂xj!Z˜v2 i˜v2 jC∗(˜v)dv=−η ∂uj ∂xi +∂ui ∂xj!, (G.2) donde se ha introducido el coeficiente de transporte η, que por isotropía, tiene el mismo valor independientemente de las componentes i,jconsideradas (siempre que i=j). Consideremos 64 ahora el caso diagonal i=j. En tal caso: mZ˜v2 iC: (∇ ⊗ u)dv=mX k,l ∂ul ∂xkZ˜v2 iC∗(˜v)˜vk˜vl−1 d˜v2δkldv= =mX k,l ∂ul ∂xkZ˜v2 i˜vk˜vlC∗(˜v)dv−m dX k,l δkl ∂ul ∂xkZ˜v2 i˜v2C∗(˜v)dv= =mX k,l ∂ul ∂xkZ˜v2 i˜vk˜vlC∗(˜v)dv−m dX k,l δkl ∂ul ∂xkZ˜v2 i˜v2C∗(˜v)dv. (G.3) Para que la primera integral no sea nula, los índices k,ldeben coincidir, por lo que: mX k,l ∂ul ∂xkZ˜v2 i˜vk˜vlC∗(˜v)dv=mX k ∂uk ∂xkZ˜v2 i˜v2 kC∗(˜v)dv= =−η∇ · u+η∂ui ∂xi +m∂ui ∂xiZ˜v4 iC∗(˜v)dv. (G.4) En cuanto a la segunda integral: m dX k,l δkl ∂ul ∂xkZ˜v2 i˜v2C∗(˜v)dv=1 d∇ · u−η(d−1) + mZ˜v4 iC∗(˜v)dv.(G.5) Por último, intentemos relacionar la integral de ˜v4 i(independiente de ipor isotropía) con η. En este punto, es más conveniente considerar los dos casos de interés bidimensional y tridimensional para realizar cálculos explícitos: I. En el caso bidimensional, utilizando coordenadas polares y tomando i=x,j=y, tendremos la siguiente expresión para η: η=−mZ˜v2 x˜v2 yC∗(˜v)dv=−mZ˜v2 x˜v2 yC∗(˜v)d˜ v= =−mZ∞ 0˜v5C∗(˜v)d˜vZ2π 0sen2θcos2θdθ =−πm 4Z∞ 0˜v5C∗(˜v)d˜v . (G.6) Por otro lado, tomando coordenadas polares y i=x, tendremos para la integral de ˜v4 i: mZ˜v4 xC∗(˜v)dv=mZ˜v4 xC∗(˜v)d˜ v= =mZ∞ 0˜v5C∗(˜v)d˜vZ2π 0cos4θdθ =3πm 4Z∞ 0˜v5C∗(˜v)d˜v≡ −3η . (G.7) Con todo esto, para el caso bidimensional tendremos unas componentes diagonales de la forma: mZ˜v2 iC: (∇ ⊗ u)dv=−η 2∂ui ∂xi −∇·u!.(G.8) 65 II. En el caso tridimensional, utilizando coordenadas esféricas y tomando i=x,j=z, tendremos la siguiente expresión para η: η=−mZ˜v2 x˜v2 zC∗(˜v)dv=−mZ˜v2 x˜v2 zC∗(˜v)d˜ v= =−mZ∞ 0˜v6C∗(˜v)d˜vZπ 0sen3θcos2θdθ Z2π 0cos2φdφ =−4πm 15 Z∞ 0˜v6C∗(˜v)d˜v . (G.9) Por otro lado, tomando coordenadas esféricas y i=z, tendremos para la integral de ˜v4 i: mZ˜v4 zC∗(˜v)dv=mZ˜v4 zC∗(˜v)d˜ v= = 2πm Z∞ 0˜v6C∗(˜v)d˜vZπ 0cos4θsen θdθ =4πm 5Z∞ 0˜v6C∗(˜v)d˜v≡ −3η . (G.10) Con todo esto, para el caso tridimensional tendremos unas componentes diagonales de la forma: mZ˜v2 iC: (∇ ⊗ u)dv=−η 2∂ui ∂xi −2 3∇ · u!.(G.11) 66 Bibliografía [1] L. Euler. «Principes généraux du mouvement des fluides». En: Mémoires de l´académie des sciences de Berlin 11 (1757), pág. 274. [2] S. Brush. The Kinetic Theory of Gases: An Anthology of Classic Papers. Pergamon Press, Nueva York, 1966. [3] P. Résibois y M. Leener. Classical kinetic theory of fluids. John Wiley & Sons, Nueva York, 1977. [4] J. de la Rubia Pacheco y J. J. Brey Abalo. Introducción a la mecánica estadística. Ediciones del Castillo, Madrid, 1978. [5] L. Boltzmann. «Weitere studien über das warmegleich-gewicht unter gasmolekülen». En: Sitzungsberichte Akademie der Wissenschaften 66 (1872), pág. 275. [6] C. Cercignani, R. Illner y M. Pulvirenti. The mathematical theory of dilute gases. Springer New York, Nueva York, 2013. [7] H. Goldstein. Mecánica clásica. Reverté, Barcelona, 2010. [8] P. Dennery y A. Krzywicki. Mathematics for physicists. Dover Publications, Nueva York, 1996. [9] Y. Pao. «Boltzmann collision operator with inverse-power intermolecular potentials, I». En: Communications on Pure and Applied Mathematics 27 (1974), pág. 407. [10] J. W. Gibbs. Elementary principles in statistical mechanics: developed with especial reference to the rational foundations of thermodynamics. Hardpress Publishing, Nueva York, 2012. 67