Pierre Deligne

La Gaceta de la RSME, Vol. 16 (2013), Núm. 3, Págs. 575–592 575 Las Medallas Fields Sección a cargo de Leovigildo Alonso Tarrío y Ana Jeremías López Pierre Deligne por Antonio Rojas León∗ 1. Nota biográfica Pierre Deligne. Pierre Deligne nació en Bruselas en 1944 y realizó sus estudios en la Universidad Libre de Bruselas. Obtuvo su doctorado por dicha universidad en el 1968, y por la Universidad de Paris-Sud en 1972, con una tesis realizada bajo la supervisión de Alexander Grothendieck. En 1968 comenzó a trabajar en el Institut des Hautes Études Scientifiques como miembro visitante y, a partir de 1970, como miembro permanente, siendo el matemático más joven en conseguir dicha posición. En 1984 se trasladó al Instituto de Estudios Avanzados (IAS) de Princeton, Nueva Jersey, del cual ha sido miembro permanente desde entonces y es actualmente profesor eméri- to. Saltó a la fama gracias a su demostración, en 1974, de la última de las conjeturas de Weil que quedaba por probar (el análogo de la hipótesis de Riemann), lo cual le valió la concesión de la medalla Fields en 1978, así como del premio Crafoord (conjuntamente con Grothendieck) en 1988. Ha sido galardonado con numerosos otros premios y distinciones a lo largo de su carrera, como la medalla ∗Financiado por los proyectos MTM2010-19298 (Ministerio de Ciencia e Innovación) y P08- FQM-03894 (Junta de Andalucía). 576 Las Medallas Fields Henri Poincaré en 1974, el premio Balzan en 2004 y el premio Wolf (conjuntamente con P. Griffiths y D. Mumford) en 2008. La última condecoración recibida ha sido el premio Abel 2013 a toda su trayectoria, otorgado «por sus contribuciones fundamentales a la geometría algebraica y su impacto transformador en teoría de números, teoría de representaciones y áreas relacionadas».1Es miembro honorario de la Sociedad Matemática de Londres y la de Moscú, así como de la Academia Americana de Artes y Ciencias y la Real Academia Sueca de Ciencias, y miembro asociado de la Academia de Ciencias de París. 2. Las conjeturas de Weil 2.1. Un poco de historia Las conjeturas de Weil son sin duda uno de los resultados matemáticos más impresionantes del siglo XX, tanto por su importancia matemática como, sobre todo, por el tremendo desarrollo que experimentó la Geometría Algebraica guiado por el objetivo de encontrar una demostración. Estas conjeturas, enunciadas por primera vez por Weil en 1949 [33], relacionan las propiedades aritméticas de una variedad definida sobre un cuerpo finito con las propiedades topológicas de dicha variedad (o más bien de un levantamiento) vista sobre el cuerpo Cde los números complejos. Denotemos por Fqel (único, salvo isomorfismo) cuerpo finito con qelementos, donde q=pnes una potencia entera de un número primo, y sea Xuna variedad lisa proyectiva de dimensión dsobre Fq. Es decir, Xes el conjunto de ceros, en el espacio proyectivo PN, de un conjunto de polinomios homogéneos F1, . . . , Fs∈ Fq[X0, . . . , XN], de manera que no existen puntos singulares en Xcon coordenadas en la clausura algebraica de Fq. Por supuesto, el número de puntos de Xcon coordenadas en cualquier extensión finita de Fqes finito. Por «propiedades aritméticas» de Xse entiende el número de puntos de X, no solo en el espacio proyectivo sobre Fq, sino sobre cualquiera de sus extensiones finitas. Recordemos que, si fijamos una clausura algebraica Fde Fq, para cada entero r≥ 1existe una única extensión Fqrde Fqen Fde grado r, que está formada exactamente por los elementos x∈Ftales que xqr=x. Denotemos por Nrel número de puntos de Xcon coordenadas en Fqr, es decir, el número de (x0:. . . :xN)∈PN(Fqr) tales que Fi(x0, . . . , xN)=0para todo i= 1, . . . , s. Con esta sucesión de enteros se construye la serie de potencias Z(X, T) = exp  X r≥1 Nr rTr  llamada la función zeta de X. Dar esta serie de potencias equivale a dar la sucesión N1, N2, . . . Aunque en principio no lo parezca, existe una estrecha relación entre esta 1For seminal contributions to algebraic geometry and for their transformative impact on number theory, representation theory, and related fields. La Gaceta ?Secciones 577 función y la (más conocida) función ζde Riemann: realizando el cambio de variable T=q−s, la función zeta puede expresarse en la forma Z(X, T) = ζX(s) = Y p (1 −Np−s)−1 donde precorre el conjunto de puntos cerrados de X, es decir, el conjunto de órbitas de la acción del automorfismo de Frobenius (x0:. . . :xN)7→ (xq 0:. . . :xq N) sobre el conjunto X(F)de puntos de Xcon coordenadas en F(que, en el caso afín, corresponde al conjunto de ideales maximales de su anillo de coordenadas), y Npes el cardinal del menor cuerpo sobre el que están definidos los puntos de la órbita p. Esta fórmula es similar al desarrollo en producto de la función zeta de Dedekind ζK asociada a un cuerpo de números K: ζK(s) = Y p (1 −NK/Qp−s)−1 donde aquí precorre el conjunto de ideales maximales del anillo de enteros de K. Cuando K=Q, se obtiene la función zeta de Riemann clásica. Inspirado por sus resultados para curvas [31] y para variedades abelianas [32], Weil conjeturó que la función zeta asociada a una variedad lisa proyectiva Xdebería verificar las siguientes propiedades, que pasaron a ser conocidas como las conjeturas de Weil: 1. Z(X, T)es una función racional. 2. Existe una descomposición Z(X, T) = P1(T)· · · P2d−1(T) P0(T)· · · P2d(T) donde los Pi(T)∈Z[T]son polinomios con término independiente 1, de manera que todas las raíces recíprocas complejas de Pi(T)tienen valor absoluto qi/2 (hipótesis de Riemann). 3. La involución α7→ qn/α intercambia las raíces recíprocas de Piy de P2d−ipara todo i(equivalentemente, Z(X, T)satisface una cierta ecuación funcional). 4. Si Xproviene de una variedad Xdefinida sobre el anillo de enteros Rde un cuerpo de números Kmediante reducción módulo un ideal maximal pde R, entonces el grado de Pies el i-ésimo número de Betti de Xvista como variedad compleja. El propio Weil ya previó que la resolución de las conjeturas debía pasar por la construcción de una teoría de cohomología adecuada para variedades sobre cuerpos finitos, con coeficientes en un cuerpo de característica cero [34]. Suponiendo que existiera una tal teoría cohomológica, con propiedades similares a las de la cohomología singular para las variedades topológicas, las conjeturas (excepto la hipótesis de Riemann) se deducirían de resultados bien conocidos de topología algebraica. La 578 Las Medallas Fields primera conjetura es una consecuencia formal de la fórmula del punto fijo de Lefschetz, aplicada al endomorfismo Fde Frobenius geométrico (inverso del usual) de Xy sus potencias: los puntos fijos de la potencia r-ésima de Fson justamente los puntos racionales de Xsobre Fqr, por lo que se obtiene una descomposición Z(X, T) = 2d Y i=0 det(1 −T·F|Hi(X))(−1)i+1 (1) que implica, en particular, que Z(X, T)es racional. La tercera conjetura es consecuencia de la fómula de dualidad de Poincaré, mientras que la última se deduciría de un cierto resultado de comparación entre la «nueva» cohomología de Xy la cohomología singular de X/Cvista como variedad topológica. Los esfuerzos para lograr probar las conjeturas se centraron, por tanto, en intentar construir una teoría de cohomología adecuada. Y este fue el motor que alimentó el tremendo desarrollo experimentado por la Geometría Algebraica en la segunda mitad del siglo XX. Inesperadamente, el primer avance importante se logró fuera de este programa: Dwork consiguió probar en 1960 [19] la racionalidad de Z(X, T)sin usar métodos cohomológicos (solo aparentemente, porque sus herramientas fueron el germen de lo que más tarde se convirtió en la cohomología de Monsky-Washnitzer). Finalmente, y tras varios intentos previos infructuosos, a principios de los años 1960 Artin y Grothendieck [2] dieron con la clave y construyeron una teoría de cohomología (de hecho, una para cada primo `6=p, con coeficientes en el cuerpo Q`de los números `-ádicos) con las propiedades buscadas, lo que permitió completar la demostración de las conjeturas 1, 3 y 4. La construcción de esta teoría se basa en ampliar el concepto de topología, de manera que los abiertos de la topología clásica se sustituyen por morfismos étale (es decir, finitos y no ramificados). Esto permite sortear la rigidez intrínseca de la Geometría Algebraica y definir una categoría de haces suficientemente flexible como para ser comparable a la de las variedades topológicas clásicas. 2.2. Weil I: La prueba de la hipótesis de Riemann Quedaba pues por demostrar la segunda conjetura, conocida como la hipótesis de Riemann (HR). La justificación de tal nombre puede verse haciendo el cambio de variable T=q−s; la conjetura implica entonces que todos los ceros y polos complejos de la función ζX(s)tienen parte real k 2para algún k= 0,...,2d. Esta conjetura, a diferencia de las demás, no se deducía directamente de las propiedades formales de la teoría `-ádica construida por Artin y Grothendieck: era necesario un estudio mucho más profundo de los aspectos arquimedianos de esta teoría. Grothendieck había enunciado una serie de conjeturas sobre ciclos algebraicos en variedades, las conocidas como Conjeturas estándar, con el objetivo de probar que la categoría abeliana de motivos puros es semisimple. Una de las consecuencias de estas conjeturas era justamente la hipótesis de Riemann para variedades sobre cuerpos finitos. Anteriormente a la publicación de la prueba de Deligne, era creencia generalizada en la comunidad matemática que la demostración de la HR pasaba La Gaceta ?Secciones 579 necesariamente por la de las conjeturas estándar [18]. Afortunadamente (dado que, a día de hoy, las conjeturas estándar siguen abiertas [1]), Deligne encontró la manera de evitarlas. Como puede comprobarse a partir de la descomposición (1), la hipótesis de Riemann es equivalente al siguiente resultado cohomológico: para cada i= 0,1,...,2d, todos los autovalores de la acción del endomorfismo de Frobenius geométrico sobre el espacio vectorial Hi(X, Q`)tienen valor absoluto qi/2. Aquí nos encontramos ya con una dificultad: los Hi(X, Q`)son espacios vectoriales sobre el cuerpo Q`de números `-ádicos, por tanto, ¿qué entendemos por «valor absoluto» de los autovalores de un endomorfismo suyo? Para darle significado, es necesario considerar inmersiones de Q`en el cuerpo Cde los números complejos. La HR implica, a posteriori, que los polinomios característicos det(1 −T·F|Hi(X)) de la acción del endomorfismo de Frobenius en los Hi(X, Q`)tienen coeficientes enteros y, por tanto, sus raíces recíprocas son enteros algebraicos. Diremos que un número algebraico αes un número de Weil de peso i∈Zsi todas las raíces complejas de su polinomio mínimo tienen valor absoluto qi/2. La HR se traduce entonces como el siguiente resultado, que es el teorema fundamental del artículo La conjecture de Weil, I [9]: Teorema 1.Sea Xuna variedad proyectiva lisa sobre Fqde dimensión d. Entonces, para cada i= 0,...,2d, los autovalores de la acción del endomorfismo de Frobenius geométrico sobre el espacio vectorial Hi(X, Q`)son enteros de Weil de peso i. Usando el teorema débil de Lefschetz y la dualidad de Poincaré, el resultado se deduce del caso particular i=d. Para resolver este último caso, Deligne hace uso de la teoría clásica de Lefschetz, trasladada al marco de la cohomología `-ádica tal y como se construye en [13]. Modificando Xconvenientemente, se puede transformar en una variedad ˜ Xpara la que existe un pincel de Lefschetz de secciones hiperplanas, que define un morfismo ˜ X→P1. La cohomología relativa de este morfismo es un sistema local sobre un abierto U⊆P1dotado de una forma simpléctica no degenerada, y un resultado de Kazhdan y Margulis muestra que la monodromía de este sistema local es el grupo simpléctico entero. Esto permite acotar los valores absolutos de los autovalores de la acción de Frobenius en Hd(X, Q`)entre d−1 2yd+1 2, y el resultado final se obtiene aplicando esta cota a los productos sucesivos de copias de X. Como indica Deligne en su artículo, la consecuencia más inmediata de la hipótesis de Riemann es la obtención de una estimación (en cierto sentido óptima) para el número de puntos racionales de una variedad proyectiva lisa sobre Fq. En particular, si Xes una intersección completa no singular de dimensión dy multigrado e1, . . . , er, se tiene la cota |#X(Fq)−#Pd(Fq)| ≤ C(d;e1, . . . , er)·qd/2, donde C(d;e1, . . . , er)es el d-ésimo número de Betti topológico primitivo β0 d(es decir, el d-ésimo número de Betti topológico βdsi des impar, o βd−1si des par) de una intersección completa lisa de dimensión dy multigrado e1, . . . , ersobre C. Por ejemplo, si Xes una hipersuperficie lisa de grado een Pd+1, se tiene C(d;e) = (e−1)d+2 + (−1)d(e−1) e. 580 Las Medallas Fields 2.3. Weil II: La teoría de los pesos A pesar de la indiscutible repercusión que tuvo la publicación de la primera prueba de la hipótesis de Riemann, es su segunda parte [11] la que ha resultado ser mucho más importante y fructífera en cuanto a sus aplicaciones. En La conjecture de Weil II, Deligne prueba una amplia generalización del resultado principal de Weil I (en particular, se demuestra la HR para variedades propias lisas, no necesariamente proyectivas). Para poder enunciar esta generalización, Deligne usa el lenguaje de los pesos y construye las categorías de haces `-ádicos puros y mixtos. La categoría de haces `- ádicos constructibles fue definida por Grothendieck como la categoría de coeficientes natural para el desarrollo de la cohomología `-ádica: cada variedad Xsobre Fqtiene asociada su categoría de haces `-ádicos correspondiente, de manera que se satisface el formalismo conocido como las seis operaciones de Grothendieck (los funtores ⊗, Hom yf∗,f!,f∗,f!para cada morfismo f:X→Y, con sus correspondientes funtores derivados). No describiremos aquí con precisión los objetos de esta categoría, simplemente diremos que contiene una subcategoría formada por los llamados haces `-ádicos lisos, que juegan el papel de los sistemas locales de espacios vectoriales sobre una variedad compleja. En particular, la categoría de haces `-ádicos lisos sobre Xes equivalente a la categoría de representaciones continuas `-ádicas (es decir, definidas sobre una extensión finita de Q`) del grupo fundamental algebraico π1(X, x)para cualquier punto base prefijado x∈X. Además, para cada haz constructible Fsobre Xexiste una estratificación de Xmediante subconjuntos localmente cerrados de manera que la restricción de Fa cada estrato es un haz liso. Dado un haz constructible Fen una variedad Xdefinida sobre Fq, a cada punto x∈Xcon coordenadas en una extensión finita Fqrde Fqle corresponde una fibra Fx, que es un espacio vectorial `-ádico de dimensión finita dotado de una acción continua del grupo de Galois de Fqr. Esta acción está completamente determinada por la del automorfismo de Frobenius geométrico Fx(inverso del usual). Un haz `-ádico Fse dice puro de peso w∈Zsi, para cada r≥1y cada punto x∈X(Fqr), todos los autovalores de la acción de Fxsobre la fibra Fxson números de Weil de peso wr, y se dice mixto de pesos ≤w∈Zsi tiene una filtración cuyos cocientes son puros de pesos respectivos ≤w. Con este lenguaje, el resultado principal de [11] se enuncia así: Teorema 2.Sea f:X→Yun morfismo entre variedades algebraicas sobre Fq. Si Fes un haz `-ádico constuctible en Xmixto de pesos ≤w, entonces, para cada i≥0, el haz `-ádico Rif!Fen Yes mixto de pesos ≤w+i. La HR se deduce aplicando el teorema anterior al morfismo estructural X→ Spec Fqy al haz constante F=Q`(que es puro de peso 0), ya que, en tal caso, por ser Xpropio, Rif!F= Rif∗F«es» simplemente el grupo de cohomología Hi(X, Q`) dotado de la acción correspondiente del automorfismo de Frobenius. La dualidad de Poincaré permite transformar la desigualdad ≤ien una igualdad. La prueba de Deligne fue más adelante simplificada por Laumon [26] (basándose en la transformación de Fourier `-ádica) y Katz [24]. Con la introducción de los haces La Gaceta ?Secciones 581 perversos `-ádicos en [3], Deligne refinó su resultado dando información más precisa sobre la pureza de las imágenes directas de un haz en X(lo cual, en el caso de haces clásicos, solo se cumple si fes propio y liso). Recientemente, Kedlaya [25] dio la primera prueba basada en otro tipo de construcción de una teoría de cohomología, las cohomologías p-ádicas. Además del teorema principal, el artículo esconde también otros resultados muy importantes obtenidos en el transcurso de la demostración, entre los que destacan el teorema duro de Lefschetz (otra de las consecuencias de las conjeturas estándar de Grothendieck) y el teorema de equidistribución, que ofrece un marco muy general en el que probar cuestiones relacionadas con la distribución de puntos en familias paramétricas de variedades o de sumas exponenciales. 2.4. La conjetura de Ramanujan-Petersson Ramanujan, motivado por el estudio del número de formas de expresar un número entero como suma de 24 cuadrados, definió la sucesión τ(n), conocida como función τde Ramanujan, de la siguiente forma: X n≥1 τ(n)qn=qY n≥1 (1 −qn)24. Mordell probó, en [29], que esta sucesión verifica las siguientes propiedades: (τ(mn) = τ(m)τ(n)si mcd(m, n)=1, τ(pn+1) = τ(p)τ(pn)−p11τ(pn−1)si pes primo, con lo cual τviene determinada por su valor en los números primos. Ramanujan probó que se tiene la cota |τ(n)|< n6, y conjeturó que |τ(n)| ≤ d(n)·n11/2para todo n≥1, donde d(n)denota el número de divisores positivos de n. Equivalentemente, |τ(p)| ≤ 2p11/2para todo primo p. La importancia de esta sucesión se hace patente cuando se comprueba su conexión con las formas modulares, un tipo de funciones holomorfas fundamentales por sus aplicaciones en la Teoría de Números moderna. Una forma modular de peso k∈N (asociada al grupo SL2(Z)) es una función holomorfa fdefinida en el semiplano complejo H={z∈C| =z > 0}cumpliendo las siguientes condiciones de simetría: a) f(z+ 1) = f(z), b) f(−1/z) = zkf(z). Denotando q=e2πiz, la primera condición implica que fadmite un desarrollo en serie de Fourier del tipo f(z) = P∞ n=−∞ anqn. La tercera condición que debe cumplir una forma modular (holomorfa en las cúspides) se puede enunciar como c) an= 0 para n < 0. Si, además, se cumple que a0= 0, la función fse denomina una forma cuspidal. Las formas modulares (respectivamente, cuspidales) de peso kforman un C-espacio vectorial de dimensión finita. El menor entero positivo kpara el que el espacio de 582 Las Medallas Fields formas cuspidales de peso kes distinto de cero es k= 12, y en ese caso el espacio es de dimensión 1y tiene por generador precisamente a la función ∆(z) = ∞ X n=1 τ(n)qn, llamada función discriminante. Sobre el espacio de formas cuspidales de peso kactúa una sucesión Tnde operadores lineales, llamados operadores de Hecke. La conjetura de Ramanujan-Petersson generalizada, probada por Deligne en [9], se aplica a las formas cuspidales que son autovectores simultáneos de todos los Tn(la existencia de tales formas está garantizada por el hecho de que los operadores de Hecke conmutan entre sí): Teorema 3.Sea f(z) = P∞ n=1 anqnuna forma cuspidal de peso knormalizada (es decir, a1= 1) que sea autovector de todos los operadores de Hecke. Entonces, para todo primo pse tiene la acotación |ap| ≤ 2p(k−1)/2. Sello belga emitido en 2007 en honor a Deligne, con la conjetura de Ramanujan. En particular, el resultado se aplica a la función discriminante (puesto que el espacio de formas cuspidales de peso 12 tiene dimensión 1), lo que demuestra la conjetura de Ramanujan. El resultado de Deligne es mucho más general que el enunciado aquí, ya que considera formas cuspidales asociadas a subgrupos aritméticos Γ0(N)⊆SL2(Z)para Narbitrario (cuya definición es similar a la anterior). La relación entre este resultado y las conjeturas de Weil es difícil de apreciar a primera vista. Deligne había establecido previamente esta relación en [4] inspirándose en el trabajo anterior de Kuga y Shimura. Esencialmente, se muestra que el polinomio 1−apT+pk−1T2divide al polinomio característico de la acción del automorfismo de Frobenius en el (k−1)-ésimo grupo de cohomología de una variedad proyectiva lisa Xde dimensión k−1sobre Fp. La hipótesis de Riemann implica entonces que apes la suma de dos números de Weil de peso k−1, de donde se tiene la cota |ap| ≤ 2p(k−1)/2. La variedad Xse construye como un producto simétrico de la curva elíptica universal sobre el dominio fundamental del subgrupo aritmético Γ0(N)considerado. 2.5. Acotación de sumas exponenciales Otra aplicación importante de los resultados de [9] y [11] consiste en obtener acotaciones para sumas exponenciales. Fijado el cuerpo Fq, sea ep(t) = exp(2πit/p), y definamos ψ(x) = ep(TrFq/Fpx). La aplicación ψ:Fq→Ces un carácter del grupo aditivo de Fq, es decir, se cumple que ψ(x+y) = ψ(x)ψ(y). Dada una variedad X La Gaceta ?Secciones 583 sobre Fqy una función regular f:X→A1, la suma exponencial asociada a fse define como S(X, f) = X x∈X(Fq) ψ(f(x)). Haciendo variar el carácter ψ, estas sumas contienen información sobre la distribución de los valores de la función f. En [9], Deligne prueba el siguiente resultado como corolario a la hipótesis de Riemann: Teorema 4.Sea f∈Fq[x1, . . . , xn]un polinomio de grado dno divisible por ptal que la hipersuperficie definida en Pn−1por la forma homogénea de grado dde fsea lisa. Entonces se tiene la acotación |S(An, f)| ≤ (d−1)nqn/2. Es fácil ver que el estudio de la suma exponencial S(An, f)es equivalente al del número de puntos racionales en la hipersuperficie de tipo Artin-Schreier de An+1 definida por la ecuación yq−y=f(x1, . . . , xn). Aunque esta hipersuperficie no es proyectiva, Deligne consigue aplicar la HR a una compactificación adecuada para obtener la acotación buscada. Con los resultados de [11] se simplifica enormemente el estudio de estas sumas, debido a la existencia de un haz liso Lde rango 1en la recta afín A1sobre Fq(construido por Deligne en [10]) de manera que el automorfismo de Frobenius geométrico Factúa sobre su fibra en un punto x∈A1(Fq)mediante la multiplicación por el escalar ψ(x). Por tanto, el estudio de la suma exponencial S(X, f)se reduce al estudio de la cohomología del haz Lf=f∗Len Xobtenido a partir de Ltomando la imagen inversa por la aplicación f. Para probar las acotaciones, basta simplemente con probar la anulación de los grupos de cohomología de orden superior a dim(X) de este haz y aplicar el teorema principal de [11]. Si tomamos como Xla hipersuperficie afín de Andefinida por x1· · · xn=a para algún a6= 0 y como fla aplicación suma, se obtienen las llamadas sumas de Kloosterman generalizadas Kn,a =X x1···xn=a ψ(x1+· · · +xn). Estas sumas aparecen, por ejemplo, al estudiar la distribución de las sumas de Gauss asociadas a distintos caracteres multiplicativos de Fq. En [10], Deligne prueba que en este caso se tiene la cota |Kn,a| ≤ n·q(n−1)/2. Los resultados de [11] revolucionaron por completo el estudio de las sumas exponenciales, pudiéndose obtener a partir de entonces acotaciones, en muchos casos óptimas, que habían estado fuera del alcance de los métodos disponibles anteriormente. Muchos avances se han logrado a partir de entonces en el estudio de estas sumas y sus generalizaciones, debidos fundamentalmente al trabajo de Katz [27]. 3. Teoría de Hodge Era sabido que una consecuencia de las conjeturas de Weil (que sería desarrollada por Deligne más adelante en [11]) es la existencia de una filtración natural (la 590 Las Medallas Fields Como hemos comprobado, el trabajo de Deligne abarca innumerables áreas de las matemáticas, y en todas ellas ha realizado contribuciones importantes, y en muchos casos fundamentales, usando puntos de vista originales que han contribuido posteriormente a la resolución de muchos problemas y al desarrollo de nuevas teorías. Para los lectores que quieran profundizar en el tema, los artículos [21, 22, 23] contienen información adicional sobre gran parte de los resultados de Deligne aquí mencionados. Reconocimientos El autor agradece a Luis Narváez sus sugerencias y comentarios durante la elaboración de este artículo. Referencias [1] Y. André, Une introduction aux motifs (motifs purs, motifs mixtes, périodes), Panoramas et Synthèses 17, Société Mathématique de France, Paris, 2004. [2] M. Artin, A. Grothendieck y J.L. Verdier, Théorie des topos et cohomologie étale des schémas (SGA 4), Lecture Notes in Mathematics 269 (Tome 1, 1972), 270 (Tome 2, 1973), 305 (Tome 3, 1973), Springer-Verlag, Berlin-New York. [3] A. Beilinson, J. Bernstein y P. Deligne, Faisceaux pervers, Analysis and topology on singular spaces, I (Luminy, 1981), Astérisque 100, Soc. Math. France, Paris, 1982. [4] P. Deligne, Formes modulaires et représentations `-adiques, Séminaire N. Bourbaki, 1968-1969, exp. no355, 139–172. [5] P. Deligne, Equations différentielles à points singuliers réguliers, Lecture Notes in Mathematics 163, Springer-Verlag, Berlin-New York, 1970. [6] P. Deligne, Théorie de Hodge I, Actes du Congrès International des Mathématiciens (Nice, 1970), Tome 1, 425–430, Gauthier-Villars, Paris, 1971. [7] P. Deligne, Théorie de Hodge II, Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 40 (1971), 5–57. [8] P. Deligne, Théorie de Hodge III, Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 44 (1974), 5–77. [9] P. Deligne, La conjecture de Weil I, Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 43 (1974), 273–307. [10] P. Deligne, Cohomologie étale (SGA 41 2), Lecture Notes in Mathematics 569, Springer-Verlag, Berlin-New York, 1977. [11] P. Deligne, La conjecture de Weil II, Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 52 (1980), 137–252. [12] P. Deligne, Catégories tannakiennes, The Grothendieck Festschrift, Vol. II, Progr. Math. 87, 111–195, Birkhäuser Boston, Boston, MA, 1990. La Gaceta ?Secciones 591 [13] P. Deligne y N. Katz, Groupes de monodromie en géométrie algébrique (SGA 7) II, Lecture Notes in Mathematics 340, Springer-Verlag, Berlin-New York, 1973. [14] P. Deligne y G. Lusztig, Representations of reductive groups over finite fields, Ann. of Math. 103 (1976), no. 1, 103–161. [15] P. Deligne y G.D. Mostow, Monodromy of hypergeometric functions and nonlattice integral monodromy, Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 63 (1986), 5–89. [16] P. Deligne y G.D. Mostow, Commensurabilities among lattices in P U(1, n), Annals of Mathematics Studies 132, Princeton University Press, Princeton, NJ, 1993. [17] P. Deligne y D. Mumford, The irreducibility of the space of curves of given genus, Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 36 (1969), 75–109. [18] J. Dieudonné, Cours de Géométrie Algébrique I-II, Presses Universitaires de France, Paris, 1974. [19] B. Dwork, On the rationality of the zeta function of an algebraic variety, Amer. J. Math. 82 (1960), 631–648. [20] E.L. Ince, Ordinary Differential Equations, Dover Publications, New York, 1944. [21] N. Katz, An overview of Deligne’s proof of the Riemann hypothesis for varieties over finite fields, Mathematical developments arising from Hilbert problems (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XXVIII), 275–305, Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1976. [22] N. Katz, An overview of Deligne’s work on Hilbert’s twenty-first problem, Mathematical developments arising from Hilbert problems (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XXVIII), 537–557, Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1976. [23] N. Katz, The work of Pierre Deligne, Proceedings of the International Congress of Mathematicians (Helsinki, 1978), 47–52, Acad. Sci. Fennica, Helsinki, 1980. [24] N. Katz,L-functions and monodromy: four lectures on Weil II, Adv. Math. 160 (2001), no. 1, 81–132. [25] K. Kedlaya, Fourier transforms and p-adic ‘Weil II’, Compos. Math. 142 (2006), no. 6, 1426–1450. [26] G. Laumon, Transformation de Fourier, constantes d’équations fonctionnelles et conjecture de Weil, Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 65 (1987), 131–210. [27] G. Laumon, Exponential sums and `-adic cohomology: a survey, Israel J. Math. 120 (2000), part A, 225–257. [28] G. Lusztig, Characters of reductive groups over a finite field, Annals of Mathematics Studies 107, Princeton University Press, Princeton, NJ, 1984. [29] L. Mordell, On Mr. Ramanujan’s empirical expansions of modular functions, Cambr. Phil. Soc. Proc. 19 (1917), 117–124. [30] J.P. Serre, Géométrie algébrique et géométrie analytique, Ann. Inst. Fourier, Grenoble 6(1955-56), 1–42. 592 Las Medallas Fields [31] A. Weil, Sur les courbes algébriques et les variétés qui s’en déduisent, Publ. Inst. Math. Univ. Strasbourg 7(1945). [32] A. Weil, Variétés abéliennes et courbes algébriques, Publ. Inst. Math. Univ. Strasbourg 8(1946). [33] A. Weil, Numbers of solutions of equations in finite fields, Bull. Amer. Math. Soc. 55 (1949), 497–508. [34] A. Weil, Abstract versus classical algebraic geometry, Proceedings of the International Congress of Mathematicians (Amsterdam, 1954), Vol. III, 550–558, North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1956. Antonio Rojas León, Departamento de Álgebra, Universidad de Sevilla Correo electrónico: [email protected] Página web: http://personal.us.es/arojas