Povrchové javy na trojfázových vedeniach nízkoohmových pecí

Povrchové javy na trojfázových vedeniach nízkoohmových pecí 29 POVRCHOVÉ JAVY NA TROJFÁZOVÝCH VEDENIACH NÍZKOOHMOVÝCH PECÍ SURFACE EFFECT ON THREE PHASE LINES OF LOW-OHMIC FURNACES Pavel Novák Katedra elektroenergetiky, FEI TU Košice, Vysokoškolská 4, 042 00 Košice Abstrakt V lánku je prezentovaná alšia možnos použitia numerickej metódy elementárnych vodiov pri analýze povrchových javov na trojfázových prívodoch energie do nízkoohmových pecí. V nadväznosti na autorom publikovaný lánok v tomto asopise (Ro. 2/2003, . 2, str. 42) je analyzovaná impedanná asymetria trojfázových prívodov o rôznom tvare vodiov a rôznej priestorovej konfigurácie. Sú naznaené možnosti znižovania nepriaznivého javu tzv. živej a mtvej fázy a ich využitie pri projektovaní a konštrukcii predmetných vedení. Summary The article another option of using numerical method of elementary conductors in surface effect three-phase supply lines for low-ohmic furnaces. Impedance asymmetry of three-phase supply lines of different conductor profiles and various space configurations is analysed following to the author`s article published in this journal (Vol. 2/2003, No. 2, pg. 42). Options of reducing unfavourable effect of so called live and dead phase and their utilization in design and construction of mentioned lines are outlined. 1. ÚVOD Princíp a využitie numerickej metódy elementárnych vodiov sme už publikovali v lánku [1], podrobnejšie je popísaná napr. v odkazoch [2, 3]. K uplatneniu metódy treba zdôrazni požiadavku dostatone hustého delenia vyšetrovaného vodia na elementárne, ktorá vychádza z dodržania konštantnej prúdovej hustoty na ich jednotlivých prierezoch. Inými slovami, charakteristický rozmer každého elementárneho vodia musí by menší ako zodpovedajúca hbka vniku elektromagnetickej vlny do deleného vodia. Vplyv hbky vniku na delenie vodia, resp. na poet elementárnych vodiov vidie z nasledujúceho príkladu. Predpokladajme plný Cu-vodi valcového tvaru ( µ r = 1; γ = 5,5.10 7 S.m -1 ) napr. o polomere r v = 10 mm, ktorý je pretekaný striedavým prúdom s frekvenciou f = 50 Hz. Zodpovedajúca hbka vniku vlnenia do vodia je mma r 602,9 ... 2 0 50 == ωγµµ Ak by rovnaký vodi bol pretekaný prúdom s frekvenciou f = 500Hz, potom hbka vniku bude mma 036,3 500 = Predmetným hbkam vniku zodpovedajú nasledujúce poty elementárnych vodiov [2, 3]: - pre a 50 v smere osi r: ( ) 08,2.2 50 =≥ a r n v r ; zaokrúhlene ( ) 4 50 = r n o je nutný minimálny poet vodiov. - pre a 50 v smere osi ϕ : ( ) 08,13 ..2 .2 50 =≥ a r n v π ϕ ; zaokrúhlene ( ) 14 50 = ϕ n Vodi bude rozdelený na 4 x 14 = 56 elementárnych. - pre a 500 v smere osi r: ( ) 58,6.2 500 =≥ a r n v r ; zaokrúhlene ( ) 7 500 = r n - pre a 500 v smere osi ϕ : ( ) 3,41 ..2 .2 500 =≥ a r n v π ϕ ; zaokrúhlene ( ) 42 500 = ϕ n Vodi bude rozdelený na 7 x 42 = 294 elementárnych. Stanovený poet elementárnych vodiov zabezpeuje dostatonú presnos výpotu (hustejším delením vodia sa zmenšujú charakteristické rozmery elementárnych). Okrem požadovanej presnosti výpotu metóda elementárnych vodiov (v programovacom prostredí MATLAB) poskytuje fyzikálne názornú predstavu o rozložení prúdu vo vodii vplyvom povrchových javov. Na obr. 1 sú znázornené elementárne prúdy v sieti elementárnych vodiov s potom 56, resp. 294 vodiov, t.j. pre f = 50 Hz, resp. 500 Hz a plný Cu-vodi r v = 10 mm. Rozloženie prúdov zodpovedá vplyvu skinefektu. Advances in Electrical and Electronic Engineering 30 Obr. 1 Elementárne prúdy siete elementárnych vodiov pre Cu-vodi rv = 10 mm pri frekvencii 50 Hz a 500 Hz Fig. 1 Elementary currents of elementary conductors network for copper conductor rv = 10 mm at frequency of 50 Hz and 500 Hz V lánku [1] sme zdôraznili pôvod povrchových javov na osamotenom vodii (skinefekt) a zväzku vodiov (proximity efekt), ako dôsledok pôsobenia vlastného elektromagnetického poa alebo cudzích polí od susedných vodiov. Pretože polia sú generované pretekajúcimi prúdmi vo vodioch, s ich intenzitou silnejú a vplyv povrchových javov na ich impedanciu sa stáva výraznejší. Preto problematika povrchových javov na prívodoch k elektrickým peciam pracujúcich v tzv. nízkoohmovom režime je stále aktuálna. Obsah lánku [1] bol venovaný vyšetrovaniu proximity efektu predmetnou metódou elementárnych vodiov v jednofázových sústavách. Prirodzene analogický vplyv silných elektromagnetických polí na impedanciu jednotlivých vodiov zaznamenávame aj na trojfázových vedeniach k nízkoohmovým peciam (oblúkové oceliarske pece, sklárske taviace pece a iné). Odpor jednotlivého vodia nie je ovplyvovaný len skinefektom a proximity efektom od uvedených vodiov tej istej fázy, ale k jeho zmene prispievajú aj susedné fázy. Zdrojom tejto zmeny je tzv. komplexná reaktancia vedenia, ktorej pôvod je v pôsobení všeobecne rôznych vzájomných indukností medzi fázami. Dôsledkom ich priestorovej asymetrie teda je impedanná asymetria trojfázového vedenia, spôsobujúca nerovnomerný prenos výkonu jednotlivými fázami. Tento nepriaznivý jav strune popíšeme v nasledujúcich astiach a naznaíme možnosti jeho potláania. 2. IMPEDANCIE VODIOV V TROJFÁZOVEJ SÚSTAVE Pre vyšetrenie impedanných pomerov uvažujme trojfázový, trojvodiový systém prívodov v zapojení do hviezdy (obr. 2). Fázové odpory a vlastné induknosti jednotlivých fáz sú rovnaké. Systém je pripojený na symetrický zdroj napätí. Obr. 2 Jednoduchý trojfázový systém vodiov Fig. 2 Simple three phase conductors system Pri všeobecne rôznych vzdialenostiach fáz sú vzájomné induknosti M i,k rôzne, rôzne budú aj fázové úbytky napätia, ktoré pri harmonických prúdoch I Li vyjadruje stpcová matica fázorov: ( ) ( ) ( )           ×           + + + =           ∆ ∆ ∆ 3 2 1 3231 2321 1312 ,3 ,2 ,1 ..;..;.. ..;..;.. ..;..;.. L L L jL jL jL LjRMjMj MjLjRMj MjMjLjR I I I U U U ωωω ωωω ωωω (1) priom M 12 = M 21 ; M 13 = M 31 ; M 23 = M 32 . Ak idealizovane budeme predpoklada symetrické fázové prúdy, potom s využitím operátorov natoenia medzi ich fázormi platí 11 2 2 . 2 3 . 2 1 . LLL jIIaI         −−== 123 . 2 3 . 2 1 LLL jIIaI         +−== (2) a matica (1) sa transformuje na tvar ( ) ( ) ( )           ×             +++ +++ +++ =           ∆ ∆ ∆ 3 2 1 3231 2 2123 2 1312 2 ,3 ,2 ,1 .....00 0;.....;0 00;...... L L L jL jL jL MMjLjR MMjLjR MMjLjR I I I aa. ; ; aa. ; aa U U U ωω ωω ωω (3) Z matice (3) je zaujímavá zložka úbytkov napätí od vzájomných indukností, t.j. ( ) ( ) LiLi IaaU ..... 2,1, 2 ++ +=∆ iiii M MMj ω (4) resp. s využitím (2) zodpovedajúca reaktancia ( ) ( ) 2,1,2,1, .. 2 3 ... 2 1 ++++ −−+−= iiiiiiiipi MMjMMX ωω (5) ktorá je komplexným íslom. Má fyzikálny význam „prídavnej“ reaktancie v jednotlivých fázach, takže celkové impedancie fáz sú: Povrchové javy na trojfázových vedeniach nízkoohmových pecí 31 ( ) ( )      +− +−+=+= ++ ++ 2,1, 2,1, . 2 1 .. .. 2 3 . iiii iiiiiii MMLj MMRXjR ω ω Z (6) Reálna as týchto impedancií pozostáva okrem konštantného odporu R tiež zo zložiek ( ) 2,1, .. 2 3 ++ −= iiiipi MMR ω (7) ktoré sú všeobecne rozdielne a závislé od priestorovej konfigurácie fáz. Sú to prídavné odpory fáz, pre ktoré prirodzene platí, že 0 3 1 =  =i pi R (8) z oho vyplýva, že ich prítomnos nespôsobuje zvýšenie celkových inných strát trojfázového systému, len ich prerozdelenie medzi fázami. Táto skutonos sa zvykne oznaova ako jav medzifázového prenosu výkonu. Pre jednoduchú ukážku vplyvu odporov R pi na celkové fázové odpory uvažujme trojfázový jednoduchý systém s koplanárnym uložením fáz, symetrický vzhadom k osi strednej fázy, napr. poda obr. 3 Obr. 3 Koplanárny trojfázový systém vodiov Fig. 3 Coplanar three-phase conductors system S ohadom na fázové vzdialenosti d 13 > d 12 = d 23 prirodzene platí, že M 12 = M 23 > M 13 , teda poda zápisu (7) bude R p1 = -R p3 ; R p2 = 0 (9) a teda pre celkové fázové odpory platí nerovnos R L1 > R L2 > R L3 (10) Záver je jednoznaný, systém je odporovo znane asymetrický. Fáza L1 vykazuje najväší odpor, prenáša najmenší výkon, fáza L3 sa správa opane. Tento povrchový jav je známy pod názvom jav živej a mtvej fázy (živá fáza je tá, ktorá prenáša najväší výkon a naopak). Uplatuje sa na ubovonom priestorovom systéme vodiov, pri ktorom je d 12 ≠ d 23 ≠ d 31 , priom sa vždy zachováva podmienka (8), pri možných zmenách (9) a (10). Inak sa prejavuje imaginárna zložka reaktancie v impedancii (6). Príspevok od vzájomných indukností má zápornú hodnotu, teda znižuje celkovú fázovú reaktanciu. To prirodzene znižuje jalové straty pri prenose energie, pretože celkový súet vyplývajúci zo (6) je vždy kladný M 12 + M 23 + M 31 > 0 (11) Pre prípad poda obr. 3, t.j. znovu M 12 = M 23 > M 31 pre jednotlivé fázy platí ( ) ( ) [ ] 2 23 3 3231 1 1312 . 2 1 . 2 1 L LL MMMMM <      +=      + (12) t.j. celkové fázové reaktancie sú X L1 = X L3 > X L2 (13) Poda (13) systém je reaktanne symetrický vzhadom k strednej fáze. Spôsob naznaenej analýzy prirodzene nie je dokonalý, nakoko vychádza z predpokladu symetrických fázových prúdov. Je však akceptovatený, pretože jednoznane poukazuje na príinu impedannej asymetrie, ktorá je v priestorovej asymetrii vodiov. Zárove je východiskom pre potlaenie tejto príiny. 3. POTLÁANIE IMPEDANNEJ ASYMETRIE VODIOV ZMENOU ICH TVARU A PRIESTOROVEJ KONFIGURÁCIE Všeobecným výrazom pre výpoet induknosti prúdového vlákna so zanedbateným prierezom je Neumannov dvojitý integrál [4]. Tento sa dá použi pri uritých zjednodušujúcich predpokladoch aj na vodie reálnych prierezov. Ak medzi dvoma nemagnetickými rovnobežnými vodimi i a k rovnakej džky l je tzv. stredná geometrická vzdialenos x i,k , priom l >> x ik , potom vzájomnú induknos medzi nimi vyjadruje vzah [5] 7 , , 10.1 .2 ln..2 −         −= ki ki x l lM [H; m] (14) Vzah (14) sa dá aplikova aj na výpoet vlastnej induknosti vodia, ak x ik nahradíme strednou geometrickou vzdialenosou vodia samého od seba x 0 (závislou od tvaru prierezu vodia). Predmetný vzah využijeme pri výpote impedancií (6) a jej zložiek. Napr. dosadením (14) do (7) dostaneme prídavné odpory priestorovo asymetrického trojfázového systému vodiov (x 12 ≠ x 23 ≠ x 31 ): 12 13 11 ln. x x kR p =; 23 21 12 ln. x x kR p =; 31 32 13 ln. x x kR p = (15) priom x 12 = x 21 ; x 23 = x 32 ; x 31 = x 13 a konštanta 7 1 10...3 − =lk ω [Ω; m]. Súet rovníc (15) potvrdzuje platnos (8). Celkové fázové reaktancie, t.j. imaginárnu zložku v rovnici (6) vypoítame rovnako dosadením (14) pre tú istú podmienku x 12 ≠ x 23 ≠ x 31 a x 11 = x 22 = x 33 = x 0 (vodie rovnakých prierezov). Potom je Advances in Electrical and Electronic Engineering 32 0 1312 21 . ln. x xx kX C =; 0 2123 22 . ln. x xx kX C =; 0 3231 23 . ln. x xx kX C = (16) kde 7 2 10..2. − =lk ω [Ω; m]. Aplikujme výsledky (15) a (16) na konkrétne priestorové konfigurácie trojfázových systémov. 1. Koplanárny systém vodiov, symetrický vzhadom k strednej fáze, t.j. x x xx === 2 13 2312 . Pre prídavné odpory jednoducho zistíme, že R p1 = - R p3 = k 1 .ln(2); R p2 = 0 (17) o potvrdzuje nerovnos (10). Pre celkové fázové reaktancie dostaneme 0 231 .2 ln. x x kXX CC == ; 0 22 ln. x x kX C = (18) Ak na výpoet zložiek impedancií systému (obr. 3) aplikujeme metódu elementárnych vodiov, získame pohad na ich závislos od geometrických parametrov. Na obr. 4 je znázornená závislos celkových fázových odporov a indukností od pomernej hrúbky vodiov z Cu-rúr konštantného prierezu. Na obr. 5 je závislos rovnakých zložiek od medzifázových vzdialeností. Priebehy potvrdzujú znanú asymetriu odporov koplanárneho systému, teda nerovnos (10) a zárove skutonos, že zmenou predmetných nezávisle premenných sa asymetria nedá potlai. Potvrdzujú tiež zápis (13), t.j. reaktannú symetriu vodiov systému vzhadom k strednej fáze. Obr. 4 Závislosti RLi = f(h/rv) and LLi = f/(h/rv) koplanárneho systému Fig. 4 Dependencies RLi = f(h/rv) and LLi = f/(h/rv) of coplanar system Obr. 5 Závislosti RLi = f(d12 = d23) and LLi = f/(d12 = d23) koplanárneho systému Fig. 5 Dependencies RLi = f(d12 = d23) and LLi = f/(d12 = d23) of coplanar system 2. Triangulárny systém vodiov, t.j. x 12 = x 23 = x 31 = x. Prídavné odpory sú nulové R p1 = R p2 = R p3 = 0 (19) teda systém je odporovo symetrický. To isté platí aj pre reaktancie, nakoko 0 2321 ln. x x kXXX CCC === (20) Na obr. 6 je naznaená transformácia koplanárneho systému na triangulárny zdvihom strednej fázy, na obr. 7 výsledok tejto premeny. Pri výške y 2 zodpovedajúcej rovnostrannosti trojuholníka, sa systém stáva impedanne symetrický. Obr. 6 Triangulárny trojfázový systém vodiov Fig. 6 Triangular three-phase conductors system Povrchové javy na trojfázových vedeniach nízkoohmových pecí 33 Obr. 7 Závislosti RLi = f(y2) a LLi = f/(y2) triangulárneho systému Fig. 7 Dependencies RLi = f(y2) a LLi = f/(y2) of triangular system Z uvedených príkladov je možné vyslovi záver: Každý priestorovo asymetrický trojfázový systém vodiov je zárove impedanne asymetrický. Najjednoduchším prostriedkom pre dosiahnutie úplnej impedannej symetrie je priestorová triangulácia vodiov, spravidla vytiahnutím strednej fázy nad úrove krajných tak, aby sa získal rovnostranný trojuholník. Praktická realizácia takej úpravy môže ma dve obmedzenia: - nedostatok priestoru vo vertikálnom smere (napr. nad pecným držiakom elektród) - pri peciach s pohyblivým prívodom narušenie triangularity v prevádzke (napr. oblúkové oceliarske pece) Koplanárne trojfázové systémy sa bežne konštruujú symetrické vzhadom k strednej fáze, pre ktoré platia závery (17) a (18). Poda (17) priestorovou modifikáciou nie je možné dosiahnu symetriu prídavných odporov, teda systém sa nedá odporovo symetrizova. Vychádzajúc zo vzahov (18) je však možné realizova reaktannú symetrizáciu a to napr. úpravou (zmenšením) prierezu vodia strednej fázy konkrétne tak, aby platilo 2 0/ 0 x x= (21) V tomto zmysle koplanárne modifikovaný systém je reaktanne symetrický, teda impedanne iastone symetrický. Predmetné úvahy a závery prirodzene platia aj pre zložitejšie trojfázové systémy zo zväzkových vodiov. Z dôvodu strunosti matematického zápisu uvažujme v každej fáze len dvojvodiový zväzok, s vodimi rovnakého prierezu poda obr. 8. Obr. 8 Dvojvodiový zväzok v trojfázovom systéme Fig. 8 Two-conductors bundle in three-phase system Rovnakou metodikou ako v predchádzajúcej asti dostaneme výsledky [5, 6]: - prídavný odpor jednotlivých vodiov anam asar pa xx xx kR . . ln. 1 =; bnbm bsbr pb xx xx kR . . ln. 1 = msmr mbma pm xx xx kR . . ln. 1 =; nsnr nbna pn xx xx kR . . ln. 1 = rbra rnrm pr xx xx kR . . ln. 1 =; sbsa snsm ps xx xx kR . . ln. 1 = (22) - celkovú reaktanciu jednotlivých vodiov ab asaranam ca xx xxxx kX . ... ln. 0 2 = ba bsbrbnbm cb xx xxxx kX . ... ln. 0 2 = mn mbmamsmr cm xx xxxx kX . ... ln. 0 2 = nm nbnansnr cn xx xxxx kX . ... ln. 0 2 = rs rnrmrbna cr xx xxxx kX . ... ln. 0 2 = sr snsmsbsa cs xx xxxx kX . ... ln. 0 2 = (23) kde konštanty k 1 a k 2 majú rovnakú hodnotu ako v (15) a (16), a x 0 = x aa = x bb = x mm = x nn = x rr = x ss . Rovnice (22) a (23) majú analogický význam a uplatnenie ako (15) a (16). Ako ukážku aplikácie metódy elementárnych vodiov na výpoet parametrov týchto sústav uvádzame: - sústavu dvoch Cu-rúr v každej fáze poda obr. 9a - sústavu dvoch Cu-pásov v každej fáze poda obr. 9b Advances in Electrical and Electronic Engineering 34 a) b) Obr. 9 Zväzkový koplanárny trojfázový systém Fig. 9 Bundled coplanar three-phase system Zodpovedajúce charakteristiky vyjadrujú zmeny celkových fázových odporov a indukností v závislosti od medzifázových vzdialeností (obr. 10) [7]: Obr. 10 Závislosti RLi = f(d23 = d45) and LLi = f/(d23 = d45) zväzkového koplanárneho systému pre vodie v tvare Cu-rúr a v tvare Cu-pásov Fig. 10 Dependencies RLi = f(d23 = d45) and LLi = f/(d23 = d45) of bundled coplanar system for conductors of copper pipes and onductos strips Porovnávajúc predmetné jednoduché a zväzkové trojvodiové systémy nie je potrebné zvláš zdôrazova, že vplyv elektromagnetických polí susedných fáz na aktuálnu je prirodzene analogický. Z uvedených príkladov túto podobnos dokumentuje porovnanie obr. 5 a obr. 10. Preto aj systémy zo zväzkových vodiov sa dajú rovnako impedanne symetrizova zmenou tvaru jednotlivých vodiov a zmenou ich priestorovej konfigurácie, bu vo zväzku alebo jednotlivých fáz. 4. ZÁVER Cieom autora bolo poukáza na príiny astej impedannej asymetrie na jednoduchých a zväzkových sústavách vodiov k trojfázovým nízkoohmovým peciam. astej preto, že prevažná skupina týchto pecí sa prevádzkuje s prívodmi v elektrickom zapojení do hviezdy, najmä z dôvodu menej náronej konštrukcie a menšej spotreby medeného materiálu. Z týchto aspektov sú náronejšie zapojenia do trojuholníka, najmä ak sa má zabezpei úinná bifilarita vedenia. lánok zárove poukazuje na jednoduché možnosti zníženia, i úplného odstránenia impedannej asymetrie predmetných napájacích sústav relatívne nenáronými zásahmi do geometrie vodiov. V každom prípade to zlepší kvalitu prenosu výkonu do pecí s pozitívnym dosahom na technologickú a ekonomickú stránku ich prevádzky. Prezentované výsledky, aj ke sú len prierezové, zárove dostatone dokumentujú použitenos metódy elementárnych vodiov pre riešenie úloh tohto typu. Obsah lánku súvisí s problematikou v rámci výskumného projektu VEGA SR . 1/10063/04 s názvom „Zvyšovanie spoahlivosti a prenosovej schopnosti silových vedení.“ LITERATÚRA: [1] NOVÁK, P.: Proximity efekt na vedeniach nízkoohmových pecí. Advances in Electrical and Electronic Engineering. Vol. 2/2003, No.2. ISSN 1336-1376 [2] BABARÍK, P., NOVÁK, P.: Numerical Determining Electrical Resistance and Reactance of Transmission Line. EPQU – Electrical Power Quality and Utilization. Vol. 7, No. 2/2001. ISSN 1234-6799 [3] WINKLER, G.: VEM – Handbuch Hochstromtechnik: Grundlagen. Dimensionierung und Ausführung von Hochstromanlagen. Berlin, WEB Verlag Technik, 1987 [4] KLUSS, E.: Die Probleme des Elektrischen Lichtbogenung. Berlin. Verlag, 1951 [5] NOVÁK, P.: Elektrické teplo, skriptá. Ediné stredisko VŠT Košice, 1983 [6] KURBIEL, A.: Elektrotermiczne urzadzenia lukove. Warszawa, WNT, 1988 [8] BABARÍK, P.: Analýza impedanných pomerov prívodov nízkoohmových pecí. Dizertaná práca. FEI TU Košice, 1999 [9] DAKO, G.: Optimalizácia krátkych sietí nízkoohmových pecí. Diplomová práca. TU FEI Košice, 2004