Seudosuperficies y economía

SEUDOSUPERFICIES Y ECONOM´ IA. Luis Boza Prieto1 Eugenio M. Fedriani Martel2 Flor MaGuerrero Casas2 1Departamento de Matem´atica Aplicada I. Universidad de Sevilla. 2Departamento de Econom´ıa y Empresa. Universidad Pablo de Olavide. Resumen: Por su propia naturaleza, la Topolog´ıa presenta dificultades de comprensi´on que se acompa˜nan a menudo de cr´ıticas por su supuesta poca utilidad. Sin embargo, la aplicaci´on de la Teor´ıa de Grafos a la Econom´ıa (como en Inform´atica, Arquitectura,...) empieza a resultar ´util y transformadora, convirti´endose en una herramienta vers´atil y con amplias posibilidades. De momento, no obstante, las aplicaciones econ´omicas de la Teor´ıa de Grafos son poco conocidas y se centran, casi exclusivamente, en los resultados que se relacionan directamente con las redes neuronales o con el modelo de Leontief. La Teor´ıa de Grafos se est´a desarrollando ampliamente hacia la resoluci´on de nuevos problemas que surgen de diferentes ´areas de conocimiento. De hecho, en ocasiones, se ha visto desbordada por las previsiones al presentarse insuficiente para modelizar algunas situaciones, que pueden aparecer al enfrentarse con modelizaciones econ´omicas. Al menos, ´esa es la impresi´on que puede sacarse al utilizar los grafos en Econom´ıa. En esta comunicaci´on, se propone un modo original y novedoso de solventar algunas de estas dificultades. Adem´as, se motiva el planteamiento de un problema topol´ogico (la clasificaci´on de las seudosuperficies compactas) y se resuelve parcialmente, utilizando las conclusiones de un Teorema cl´asico (la clasificaci´on de las superficies compactas). Palabras clave: grafos, seudosuperficies, flujo circular de la renta. 41 1 Introducci´on (topol´ogica). Todo el que estudia Topolog´ıa debe plantearse su relaci´on con la abstracci´on. Una comprensi´on superficial de lo abstracto puede impedir el desarrollo del pensamiento l´ogico matem´atico. No obstante, el que se deja seducir por su apariencia de perfecci´on, suele alejarse de las aplicaciones de lo que investiga. La palabra topolog´ıa proviene de la griega τoπoς, que significa lugar.En Matem´aticas, se define la Topolog´ıa como el estudio de la situaci´on, emple´andose tambi´en el t´ermino An´alisis situs. Esta materia surgi´o como una rama de la Geometr´ıa; por esto, no nos debe extra˜nar que le corresponda estudiar, por ejemplo, las superficies y clasificarlas (cuesti´on, ´esta, que ha ocupado a los ge´ometras durante toda la Historia). Esta clasificaci´on (de “tipos” o “clases” de superficies) se basa en la equivalencia topol´ogica u homeomorfismo, que se pasa a explicar someramente: Una secci´on importante de la Geometr´ıa Eucl´ıdea Elemental trata de la congruencia de tri´angulos y otras figuras. La congruencia es un tipo de equivalencia entre figuras geom´etricas y expresa el hecho de que dos figuras sean id´enticas exceptuando su posici´on en el espacio. Una clasificaci´on general utilizando la congruencia es, evidentemente, una p´erdida de tiempo, ya que siempre tropezaremos con el problema de la infinitud de formas, tama˜nos,... La semejanza es otro tipo de equivalencia que se encuentra en la Geometr´ıa Eucl´ıdea Elemental. Las figuras que son semejantes tienen la misma forma, pero no tienen necesariamente el mismo tama˜no. La semejanza es una forma m´as d´ebil de equivalencia que la congruencia, pues todo par de figuras semejantes son equivalentes, pero no al contrario. En Geometr´ıa Proyectiva, una forma completamente distinta de equivalencia, basada en las perspectividades, es fundamental. En este caso, las formas y dimensiones de las figuras equivalentes no necesitan ser las mismas, pero las figuras tienen determinadas propiedades comunes; por ejemplo, una l´ınea recta en una figura corresponde a una l´ınea recta en una figura equiva- 42 lente. Finalmente, el tipo fundamental de equivalencia en Topolog´ıa se llama homeomorfismo. Dos figuras geom´etricas se dicen topol´ogicamente equivalentes u homeomorfas (tambi´en se dice que son del mismo tipo topol´ogico), si cada una de ellas puede ser transformada en la otra, v´ıa deformaciones continuas. Por ejemplo, si se moldea un trozo de plastilina en diferentes formas sin producir roturas ni uniones, entonces todas las figuras obtenidas ser´an homeomorfas. As´ı, las superficies de una esfera, de un elipsoide, de un cubo y de un tetraedro son todas homeomorfas, pero ninguna de estas figuras es topol´ogicamente equivalente a la superficie de un toro (figura en forma de rosquilla). Se sabe que la Topolog´ıa trata de las propiedades intr´ınsecas de las figuras; es decir, de las propiedades de las figuras mismas y no de las propiedades concernientes a su relaci´on con el espacio circundante en el que puedan estar incluidas. Conviene decir esto porque los experimentos descritos en el p´arrafo anterior se han realizado en el espacio f´ısico, que desempe˜na un papel esencial y dan, por tanto, una descripci´on incompleta de la idea de equivalencia topol´ogica. Por ejemplo, aunque no es posible dar una demostraci´on pr´actica de la deformaci´on continua de una circunferencia en cualquier lazo (1-dimensional), los dos son homeomorfos pues, en un espacio cuatridimensional, el lazo se puede deformar en una circunferencia de forma continua (representaciones de lazos se pueden encontrar en cualquier texto b´asico de Topolog´ıa general, como el de Patterson (1961)). 2 Modelizaci´on mediante grafos. Resulta absolutamente natural e intuitivo representar situaciones de la realidad econ´omica mediante diagramas, de modo an´alogo a como se tiende a hacer en cualquier otra materia digna de estudio (un ejemplo bastante representativo lo conforman los organigramas -diagramas de flujo- en Inform´atica). En estos diagramas, lo m´as habitual es que se asigne a cada entidad (sector, 43 empresa, proveedor, organizaci´on, factor productivo, bien...) una figura (por ejemplo, un c´ırculo) en cuyo interior se escribir´a su nombre (o un signo que lo identifique). Si dos de estos elementos est´an relacionados (habr´a que determinar en cada caso la naturaleza de las relaciones a considerar), pueden unirse por una l´ınea (o, en ocasiones, por una flecha). La explicaci´on anterior puede parecer innecesaria, pero ayuda a caer en la cuenta de que un diagrama es un objeto eminentemente topol´ogico, por cuanto prescinde del significado de caracter´ısticas de ´ındole geom´etrica (en qu´e lugar se ha colocado cada elemento o a qu´e distancia est´an unos de otros). Tambi´en se prescinde de la cuantificaci´on de las relaciones, pero esto es algo que puede solucionarse etiquetando cada relaci´on (ver los textos de Kauffmann (1995) y de Morillas (1983)). As´ı, se justifica la introducci´on del lenguaje formal en el estudio de diagramas: Definici´on 2.1 Un grafo es un conjunto de puntos (a los que se llama v´ertices) y unas l´ıneas que unen algunos de esos puntos (llamadas aristas). Formalmente, un grafo Ges un par de conjuntos G=(V,A), donde Atiene por elementos pares de elementos distintos elegidos en el conjunto V. Asignando un v´ertice a cada elemento y una arista a cada relaci´on, el diagrama (que modelizaba nuestra situaci´on) se puede haber convertido en un grafo. Pero, en ocasiones, se necesita del concepto de multigrafo e, incluso, del de seudografo: Definici´on 2.2 Un multigrafo Ges un par (V,A), donde Ves el conjunto de v´ertices de GyAes el conjunto de aristas de G, las cuales est´an formadas por dos v´ertices distintos entre s´ı. Se permite que varias aristas distintas tengan los mismos v´ertices. Cuando entre dos v´ertices hay m´as de una arista, se dice que hay una arista m´ultiple. Definici´on 2.3 Un seudografo Ges un par (V,A), donde Ves el conjunto de v´ertices de GyAes el conjunto de aristas de G, las cuales est´an formadas 44 por dos v´ertices (o uno repetido). Cuando una arista s´olo tiene un v´ertice, se la llama bucle. Es m´as, puede que nos interese conservar el sentido en el que se produc´ıan las relaciones (cuando las represent´abamos necesariamente por flechas). Para esos casos en que los elementos relacionados no juegan el mismo papel, se utilizan los digrafos: Definici´on 2.4 Un grafo dirigido odigrafo,D, es un conjunto (V(D)) de elementos que llamaremos v´ertices y otro conjunto de pares ordenados (A(D)) que llamaremos aristas dirigidas. 3 Limitaciones de la modelizaci´on. De lo que se ha expuesto hasta ahora, se deducen varias limitaciones, aunque subsanables, de las representaciones de relaciones binarias mediante grafos. Sin embargo, hay situaciones en las que la soluci´on no parece tan sencilla: Utilizando la representaci´on que hemos considerado natural, intentemos representar una situaci´on en la que dos empresas (AyB) mantienen sendas relaciones con una tercera empresa (C). En este caso, las relaciones de Acon CydeBcon Cpueden ser de igual naturaleza o de ´ındole muy distinta y el grafo utilizado ser´a el mismo: G=(A(G),V(G)), con V(G)={A, B, C} yA(G)={AC, BC}. Pero ´este no es el principal problema. Supongamos ahora que las empresas AyBposeen una relaci´on conjunta con C. En este caso, el grafo anterior de aristas A(G) no representa que la relaci´on con Ces s´olo una y no dos (como antes); el grafo de aristas {AB, AC, BC}parece representar que Ay Btienen una relaci´on fuera de la conjunta con Cy ni siquiera esta ´ultima queda bien representada; si se introduce un nuevo v´ertice (D), el grafo de aristas {AD, BD, CD}, adem´as de otorgar a las tres empresas el mismo papel en la relaci´on (aunque esto podr´ıa arreglarse utilizando digrafos), utiliza un 45 v´ertice que no representa a una empresa (sino una relaci´on), por lo que no es un v´ertice con las mismas propiedades de los dem´as... Estos problemas, que se acaban de describir, se deben a que en el paso de un diagrama de flujo econ´omico (por ejemplo) a un grafo, se contraen a puntos (v´ertices) los c´ırculos que representaban a los elementos; as´ı, se identifican los puntos del mismo c´ırculo, aunque varios puntos reflejasen la existencia de varias relaciones diferentes. Fracasan las posibles soluciones que puedan orientarse hacia la representaci´on de la situaci´on real mediante grafos cuyos v´ertices sean las relaciones y de forma que exista una arista entre dos de estos v´ertices cuando comparten al menos uno de los elementos que participan de ella. Aunque esto puede parecer suficiente para resolver nuestras dificultades, surgen otras nuevas de semejante importancia y desaparece (en gran parte) la facilidad con la que se interpretaban las representaciones m´as intuitivas. Esto no quiere decir que no se pueda modelizar colocando las relaciones como v´ertices y los elementos como aristas, sino que tampoco se resuelven las dificultades que se han descrito. La soluci´on que se va a proponer, se basa en la contracci´on de las aristas de los diagramas y en la sustituci´on de sus c´ırculos por esferas. Se sigue perdiendo informaci´on, pues no se distingue entre la situaci´on que reflej´abamos por los grafos de aristas {AC, BC}y{AB, AC, BC}(cuando ambos representaban una ´unica relaci´on, por lo que el problema no es tal), pero se abren nuevas posibilidades en la representaci´on y se evitan los inconvenientes m´as importantes (desde el punto de vista econ´omico, al menos) de los ya se˜nalados. Por contra, se est´a dando lugar a unos nuevos entes topol´ogicos cuya naturaleza no est´a suficientemente estudiada, por el momento. Nuestro siguiente objetivo, por eso, ser´a estudiarlos (clasific´andolos, incluso) utilizando Topolog´ıa (en la secci´on siguiente) y, posteriormente, Teor´ıa de Grafos. Finalmente, se propone el estudio de los resultados topol´ogicos a fin de obtener informaci´on adicional de la modelizaci´on inicial y justificar su utilizaci´on. 46 4 Clasificaci´on de superficies compactas. Definici´on 4.1 Dado un entero positivo, n, una variedad n-dimensional (o n-variedad) es un espacio de Haussdorf, T2, tal que cada punto tiene un entorno abierto homeomorfo a la bola abierta n-dimensional Un={x∈IR n: |x|<1}. A las 2-variedades conexas se las suele llamar superficies. Esfera, S2; toro, B0, y plano proyectivo, P2(IR), son superficies. De hecho, a partir de estos tres ejemplos, podemos construir todas las superficies compactas mediante la suma conexa. Una descripci´on de la suma conexa y la demostraci´on de los 4 teoremas que siguen puede encontrarse en el texto de Massey (1972). Teorema 4.2 (Teorema de clasificaci´on de superficies compactas): Toda superficie compacta Mes homeomorfa a una esfera, a una suma conexa de toros, o a una suma conexa de planos proyectivos. Teorema 4.3 Toda superficie compacta orientable es homeomorfa a una esfera o a la suma conexa de ntoros. Toda superficie compacta no orientable es homeomorfa a la suma conexa de una superficie compacta orientable, bien con un plano proyectivo, o bien con una botella de Klein. A continuaci´on, se da una breve referencia sobre la clasificaci´on de las superficies compactas con borde: Definici´on 4.4 Una variedad n-dimensional con borde es un espacio de Hausdorff (i.e., T2), tal que todo punto tiene un entorno abierto homeomorfo al disco abierto Uno, en su defecto, al espacio {(x1,...,x n)∈Un:x1≥0}. El conjunto de todos los puntos que tienen un entorno abierto homeomorfo aUnse denomina el interior de la variedad1; y el conjunto de puntos pque tienen un entorno abierto Vtal que existe un homeomorfismo hde Vsobre {x∈Un:x1≥0}con h(p)=(0,...,0), se llama el borde de la variedad. As´ı, se tiene: 1Evidentemente, se trata de una n-variedad, en el sentido ya explicado. 47 Teorema 4.5 Sean M1yM2superficies compactas con borde. Supongamos que sus bordes tienen el mismo n´umero de componentes conexas. Entonces, M1yM2son homeomorfas si y s´olo si lo son las superficies M∗ 1yM∗ 2 (obtenidas pegando un disco a cada componente del borde). Teorema 4.6 Dos superficies con borde compactas son homeomorfas si y s´olo si tienen el mismo n´umero de componentes del borde, son ambas orientables o ambas no orientables y tienen la misma caracter´ıstica de Euler2. Nota 4.7 An´alogamente, se puede enunciar un teorema de clasificaci´on de superficies compactas con borde. 5 Concepto de seudosuperficie. No se debe confundir el concepto de seudosuperficie con el de seudovariedad (seudovariedades 0-dimensionales son un ´unico punto, las seudovariedades 1-dimensionales son poligonales de aristas cerradas y sin puntos dobles, las seudovariedades 2-dimensionales son la triangulaci´on de las superficies cerradas, la 2-esfera, el toro, etc.). Se puede encontrar una definici´on rigurosa de seudovariedad en el manual de Franz (1968). Tampoco se trata de cuasi-superficies (poliedros de dimensi´on2enque cada punto tiene un entorno de uno de tres tipos caracter´ısticos: un disco, un libro con 3 hojas o un libro de 3 hojas con una nueva hoja ortogonal a las anteriores). En cuanto a lo que s´ı se llama seudosuperficie, normalmente es una superficie salvo por “unos cuantos” puntos (llamados puntos singulares) en los que no existe un entorno homeomorfo a una bola abierta. 2La caracter´ıstica de Euler de una superficie triangulable con borde se define exactamente igual que en el caso de una superficie sin borde, verificando, a su vez, la independencia por triangulaciones. Este invariante puede utilizarse para demostrar, por ejemplo, el Teorema 4.2, aunque resultan mucho m´as atractivas demostraciones como la de Massey (1972). 48 Conviene aclarar que estos puntos singulares no son los que aparecen habitualmente en ´ Algebra (puntos en los que se intenta resolver un sistema de ecuaciones a pesar de que no se verifiquen las hip´otesis del Teorema de las Funciones Impl´ıcitas) ni en Geometr´ıa (donde se produce una perturbaci´on de la tangencia que, en superficies, “se ve” en que hay puntos en los que no hay un ´unico plano tangente a la seudosuperficie). Ejemplos b´asicos de seudosuperficies son los toros “estrangulados” por n puntos: Definici´on 5.1 Si n∈IN , Bnes la seudosuperficie obtenida al contraer a puntos nmeridianos distintos de un toro. En general, Bnposee npuntos singulares. Pero es f´acil generar otras seudosuperficies identificando puntos de varias superficies o seudosuperficies. Ejemplos de esto son los que resultan de unir dos esferas por tres puntos o tres esferas por dos puntos que pertenecen a todas ellas. No se encuentran, en la literatura especializada, descripciones de los tipos de seudosuperficies, aunque algunas de ellas se utilicen en resoluci´on de problemas concretos. Con relaci´on a los grafos, ´estos se pueden “dibujar” en superficies y seudosuperficies (inmersiones de grafos) y, adem´as, se pueden utilizar propiedades de los grafos y trasladarlas al problema modelizado. Pero ahora no se trata de esto, sino de intentar resolver nuestras dificultades de modelizaci´on utilizando las seudosuperficies: A cada elemento del problema econ´omico le asociaremos una esfera (aunque, posiblemente, fuera m´as interesante asociar cualquier superficie permitiendo la representaci´on de varios tipos de elementos) y a dos elementos relacionados les asociaremos dos esferas pegadas por un punto. De este modo, una relaci´on que implique a varios elementos no ser´am´as que un punto que pertenece a varias esferas. Las empresas A,ByCde los ejemplos anteriormente expuestos pasan a 49