Aplicación del método de los elementos de contorno a problemas de contacto no hertzianos

- ANALES DE INGENIERIA MECANICAAÑO 3 - NUM. 2-1985 APLICACION DEL METODO DE LOS ELEMENTOS DE CONTORNO A PROBLE~~S DE CONTACTO NO HERTZIANOS (*) (**) J.A. Ga rr ido y F. París (*) E.T.S.I.I. Universidad Politécnica de Las Palmas (**) E.T,S.I.I. Universidad de Sevilla Resumen,- Se presentan resultados de problemas en los que la dimensión de la zona IIñal de contacto no es despreciable frente a otras diMensiones características de los dominios implicados . El problema se resuelve mediante un proceso incremental - sobre una formulación de elementos de contorno. l. INTRODUCCION El contacto entre cuerpos elástico~ fu~ ~s tudíado por vez primera por Hertz, Ref, /1/, en 1881. Hertz desarrolló la formulación analítica para la determinación de la distribución de ten siones en la superficie de contacto , apoyándose en la función potencial de Newton. Los resultados obtenidos , fu eron avalados por experimenta - ciones con superficies esféricas y cilíndricas, Tomás y Hoersch, Ref, /2/ , determinaron la máxí ma tensión tangencial en el eje de simetría al - comprimir un disco sobre un semiplano , mediante la transformación de la solución de Hertz en in tegrales elípticas. La formulación Hertziana ha sido punto de partida para l a resolución de mu - chos problemas en los que, en alguna medida , puede establecerse la hipótesis básica de la -- teoría, que supone la magnitud de la zona de -- contacto muy pequeña comparada con el radío de curvatura de los cuerpos en contacto. Los traba jos analíticos orientados a la resolución de - ~ problemas no Hertzianos, se enmarcan siempre en el terreno de la resolución de casos concretos, Así, Míndlin, Ref, /9/, analizó el efecto de-- las solicitaciones laterales sobre el desliza-- miento relativo de los cuerpos , limitando el va lor de la tensión tangencial con la ley de Amoñ tons-Coulomb, Kalker, Ref. /14/, utiliza prínci píos varíacíonales para abordar ciertos proble~ mas no Hertzianos, El mayor énfasis puesto en los últimos años, en la utilización de métodos numéricos, ha con - tribuido a la realización de formulaciones gene rales sobre modelos discretos, que permiten --= abordar una gran variedad de problemas con distintas formas y geometrías, 81 Así , las Refs . /4/ , /5/ , /6/ y /15/ , r epre -- sentan algunos ejemplos de la formulación con -- Elementos Finitos . El Método de los El e me nt os de Contorno, ha sido utilizado más r ecientemente , - mostrándose como una herramienta eficaz para re - solver éste tipo de problemas . Las Refs . /3/, /7/, /10/ y /12/ representan algunos ejem pl os -- con el M,E,C, En este trabajo se van a estudia r d os típi-- cos problemas no Hertzianos. El segundo co rr es -- ponde al caso en que la superficie de cont ac t o - no depende de la carga aplicada , pu die n do tener una dimensión similar a las caracte rí s t ic as de - los cuerpos en estudio. El primero , co rre spon de al caso en que la zona de con t acto sí d epende de la carga aplicada , pero la forma local de l a c ur va permite que también aparezca una zona de con ~ tacto final de longitud comparable a las di men -- siones características iniciales . Ambos casos -- pueden corresponder, entre otros, a plac as de -- apoyo comúnmente utilizados en estruct ur as me t álicas (Ref , 1 13/). El método que se utiliza para el análisis es el descrito en las Refs. /10/ y /12/ , es decir , Elementos de Contorno con variación lineal no -- conforme de las variables . 2, RESUNEN DEL NETODO Se trata de estudiar el estado tensional y - l a configuración deformada de dos o más dominio s que interaccionan entre sí a lo largo del proc eso de carga. En esta superficie de contacto se - genera un estado tensional que para un punto - - - cualquiera, puede representarse por un vector - - te n sión asociado a un sistema local de coordena - das, Fig. 1, que lleva asociados los correspon - dientes desplazamientos, Fig. 1.- Definición de las variables en la zona de contacto. Las 8 variables asociadas a cada par de pun tos en contacto no pueden tomar valores cuales ~ quiera por cuanto deben satisfacer relaciones - de compatibilidad, quedando solamente 4 varia-- bles independientes que diferirán según se -- considere o no la presencia de fricción (ref. - 1 10/). El Método de los Elementos de Contorno jun - to con la aplicación de estas relaciones lleva a la generación de una serie de ecuaciones alge braicas que pueden representarse esquemáticameñ te, para cada dominio K, en la forma: - Donde: - H,G representan integraciones sobre el con- - torno de K de la soluc ión fundamental de Kelvin en tensiones y desplazamientos - - respectivamente. - El superrndice e es utilizado para represen-- tar variables asociadas a la zona de contacto , El carácter incremental de las variables in dica que el problema puede no ser lineal debido al desconocimiento de la superficie final de -- contacto y/o a la presencia de la fricción, Esto hace que el problema haya que r esolverlo incrementalmente. Algunos autores , Andersson ref , /16/ resuelven el caso en que se desconoce la - zona de contacto mediante un proceso de pruebas ajustando en cada una de ellas la supuesta zona en función de los resultados erróneos obtenidos en 1~ prueba anterior. Sin embargo, este proceso puede no ser convergente , Panagiotopoulus, - ref. /17/. El conjun to de ecuaciones (1) para lo s domi nios K que se consideren co~ducen, una vez r eor denadas las variables , a: K X = F (2) 82 donde: K, matriz de coeficientes del sistema que - Incluye valores de H y e según que las in- - cógnitas sean desplazamientos o tensiones, respectivamente. Por supuesto He y ce están en K. x, vector de incógnitas que incluye valores Incrementales de la tensión y los desplazamientos desconocidos fuera de la zona de -- contacto y todas las variables de la misma. F, vector de cargas que recoge el efecto de tensiones y desplazamientos prescritos (tam bien en valor incremental) en los contorno~. En la ecuación (2) ya se han introducido -- las condiciones que definen el estado de la in - terfase: compatibilidad de tensiones y desplaza mientes normales en toda la zona y además posi~ bilidad de desplazamientos tangenciales relativos en la zona de deslizamiento y valores de la tensión tangencial inferiores a los definidos - por el coeficiente de rozamiento en la zona de adhesión. El proceso incremental se describe en la Fig. 2. Cada incremento está definido por el me nor de los valores de las solicitaciones que mantiene las cond i ciones de contacto supuestas para la aplicación de la solicitación, La erroneidad de dicha suposición es detectada una vez resuelto el sistema (2) , comprobando que las condiciones descritas en el párrafo anterior no se han violado . [ S~LVER (2) CON ONDICIONES DE CONTACTO SUPUESTAS DEFINIR CONDICIONES 1 DE CONTACTO PARA EL INCREMENTO N + 1 SUPERPONER RESULTADOS A INCRE}1EN TOS PREVIOS NO Fig . 2,- CALCULAR EL NENOR VALOR DE LA SOLICITACION QUE MANTI ENE LA VALIDEZ DE LAS CONDICIO -- NES SUPUESTAS En los casos en que la superficie de contac to varíe con la carga, para establecer un crite rio de entrada en contacto de dos puntos hay -~ que definir un sistema de coordenadas interme-- dio , puesto que el establecido en la Fig. 1 para cada par de puntos candidatos a entrar en -- contacto no es suficiente. Se han probado dife - rentes opciones asociadas tanto a nudos como a elementos para evitar de esta forma posibles in compatibilidades geométricas en el proceso de ~ contacto nodo a nodo, En todos los casos , y de - bido a la hipótesis de pequeños desplazamientos que se está manejando los resultados no han diferido de los que se obtienen con la opción pro puesta en la ref. /12/ , incluso para los proble mas no Hertzianos en que la superficie de con -~ tacto toma un valor importante, Finalmente, cabe señalar que en el proceso de solución del sistemas de ecuaciones se ha -- aplicado una técnica de condensación estática - que permite el manejo de sistemas de tamaño con siderablemente menor, A menudo, l a resolución de un cierto proble ma requiere la consideración de varios capítu -~ los de solicitaciones , los cuales, a su vez, -- han de ser tratados en varios incrementos. En - cada uno de estos , las condiciones de contorno se modifican cuantitativamente, sólo en el va -- lor de la solicitación que actúa en el capítulo y cualitativamente, en el cambio que corresponde a la condición de contacto que ha definido - su tamaño. Si en cada capítulo , se considera to da la zona candidata a contactar y la región 1I bre de contacto que alberga la solicitación - prescrita no nula que corresponde al mismo, pue de deducirse un sistema de menor tamaño que (2), conformado por coeficientes que afectan a gra-- dos de libertad que permanecen activos en el ca pítulo de carga , entendiendo por activos los ~ asociados a las zonas anteriormente definidas . Puede, por tanto establecerse la siguiente par - tición que conlleva a que el sistema (1) se con figure en: (3) por lo que sólo es preciso resolver (4) ~ K X F (4) - a a -a -a con: K (~aa K K1 ~pa) y -a a -ap -pp ~ K-1 F = (F -K F ) -a -a -ap -pp -p ~a' representa el vector de grados de libertad y F el vector que contiene los términos inde-- -p pendientes que corresponden a las ecuaciones re lativas a nodos pasivos. El significado de los restantes conjuntos puede ser interpretado sencillamente . Es de interés destacar, que el - - 1 producto K K puede ser evaluado al inicio -ap -pp 83 de cada capítulo, al incluir coeficientes que - se obtienen de la integración sobre regiones de finidas como pasivas (Ó DK) , desde nodos activo: p (~ap) y pasivos (~pp) . 3. EJEMPLOS 3.1. Apoyo mediante placas de asiento curvo En la Fig, 3 , se representa un dispositivo de apoyo para una viga mediante una placa de -- asiento curvo . Los tornillos que unen las alas de la viga a las dobles Tes soldadas a la placa de asiento, no tienen ninguna función resiste nte en el plano de la figura, Sólo evitan el des plazamiento transversal del perfil, De hecho no deben quedar muy apretadas , pues en ese caso se trataría de un empotramiento, De esta forma la carga vertical p se transmite íntegramente a -- través de un elemento curvo, Para cargas de compresión poco importantes se utilizan , generalmente , contornos cilíndri -- cos en la pieza de sustentación , que pueden ser calculadas aplicando la solución Hertziana, Un análisis detallado con y sin fricción de este - tipo de superficies con el M,E,C., puede encon - trarse en ref, / 7/, Fig. 3,- Apoyo mediante placa de asiento curva. La utilización de contornos no cilíndricos es frecuente cuando se han de transmitir cargas de compresión altas , a fin de obtener una dis -- tribución de tensiones más uniforme sobre una - superficie de contacto mayor que la que corres - pondía a un contorno cilíndrico . Con objeto de analizar mediante elementos - de contorno un caso concreto del que se dispone solución numérica, se considera el modelo repre sentado en la fi g ura 4, resuelto con Elementos - Finitos por Marks, refs. /4/ y / 5/ y Mahmoud, - Narks y Salamon, ref. / 6/ . A efectos de la comparación con dic h os autores se considera el ca - so sin fricción. El contorno del punzón , descrito por la -- - ecuación Y= 0.05 x4, hace que el problema sea de naturaleza no Hertziana . El modelo con ele- - mentos lineales discontinuos se representa en la figura 5, habiéndose considerado implícita -- mente la simetría respecto del eje Y (ref. / 7/ ). D1m (l ) a =4 b:6 c=2 d :0. 95 d a "' f p ¡ V y:0.05x ' ..t _., e E"• : 10'(F 1 ~) E 8 : 1<f(F / ~ ) ·l :.f: 0. 25 b fig. 4.- Definición del modelo. P/2S(F/Ll A o Fig. 5.- Discretización utilizada. X El contorno de cada cuerpo se modela con 21 elementos, estando representada la zona candida ta a contactar por siete elementos, Los nodos ~ se han situado a una distancia de los extremos igual a un cuarto de la longitud de l elemento a que pertenecen. La solicitación se ap l ica en -- forma de distribución constante sobre el elemen te de élDA próximo al eje de sime t ría, La condensación de grados de l ibertad supo - ne, en este problema , un ahorro muy importante tanto en la capacidad de memoria que se requiere como en el tiempo de ejecución , al tener tan sólo 30 nodos de la estructura carácter activo (los 14 que c or r esponden a la zona de contacto de cada cuerpo y los 2 nodos sobre l os que se - aplica la solicitació n) . Por tanto, sólo 60 va - riables de las 168 involucradas en el problema , corresponden a grados activos a considerar en - los 13 incrementos en los que se va a cubrir la solicitaci6n. En la fig , 6, se rep r esentan l os desliza- -- mientos relat i vos habidos en la su perficie de - contacto desde que se produce la unión en el - - sexto par hasta que el contacto se pr oduce en - la totalidad de la zona candidata , si t uacion es ta que ocurre para un valor de la carga : P = 25060 (F), Para mayor claridad en la representacion, - se omiten las distribuciones que corresponden a 84 S2 :> ..l v - =2 . 689 . ~ (L) o x= 0.475 (l) > P: 25060(Fl ¡:::. 125 j 1 w a:: o 115 z w ~ <{ !::::! Q75 ....1 Vl w Cl S EMILONGITUD DE CONTAC T O(L) Fig . 6.- Deslizamientos relativos en De. los cinco primeros elementos. La evolución de la zona de contacto con la progresión de la carg a se representa en la Fig. 7 que , como puede apreciarse, está en perfecto acuerdo con la que encuentran Nahmoud, Harks y Salamon con el H. E,F. ref, /6/. o - E~C . D.I 1 1 1 . ME¿;~il~2~- ' 1 ul- /r ' !{ o Ql Ql 4l •• •• Qf SEMI LON G. DE CO NT AC TO( L) Fig. 7.- Evolución de la zona de contacto con la aplicación progresiva de la carga . Para valores muy pequeños de la carga se -- producen incrementos importantes de la zona de contacto. Esto hace que no sea necesaria una -- discretización muy fina en el entorno del eje - de simetría. Además, se permite desde pequeños vitlcres de p que las tensiones normales se re -- par t an sobre una zona relativamente grande . No ocur r e esto así en problemas Hertzianos donde - para una misma carga exist e menor zona de con-- tacto y consecuentemente tensiones normales ma - yores, y peor dist ribuidas. Así, como puede ve;:, se en la Fig. 8 , que está en acuerdo con la so - lución de Marks, ref. /5/, con Elementos Fini-- to s , las tensiones se distribuyen de modo suave sobre la zona de contacto , presentando los vale res máximos (no muy acusados) en el espacio co; prendido entre el centro y el extremo de la se ~ milongitud de contacto que corresponden en cada instante a la carga aplicada, En cambio en el - problema Hertziano, ref. /7/, el máximo se produce sobre el eje y no hay una gran zona trabajando cerca de este nivel de tensiones. SEMILONGIT UD DE CO NTACT O ( L) Fig. 8,- Evoluciónincremental de las tensio nes de contacto, Si la carga alcanzase un nivel tal que toda l a zona curva de la placa de asiento entrara en contacto, aparecería un cambio cualitativo en - la forma de trabajo de la misma, para cargas su periores a dicho nivel, A partir de ese instan ~ te la placa funcionaría corno un punzan (Ejemplo 2) y puede verse, fig. 11, que los máximos se - producen en los puntos extremos por lo que puntos muy descargados alcanzarían con incrementos muy pequeños de carga por encima de dicho lími - te , valores muy altos de la tension normal. La placa debe pues ser dimensionada en funcion de la carga que actúa, para que esta situación no se produzca. 3.2. Aplicacion de solicitaciones laterales aun punzón precomprirnido sobre una cimenta - cien elástica Se considera la estructura de la figura 9, somet ida a las solicitaciones p0 y p1, las cuales se aplica n sucesivamente en dos capítulos, Inicialmente se considera p0 y posteriormen t e - se aplica p1 progresivamente, hasta alcanzar la situacion (que denominaremos límite), en la que no existe ningún punto adherido , El estudio se to ., 1 o ~ 1 1 ! 1 1 P. l o" DB y 1 ____. ____. P. -< E ~~ 4. ()))~~1 J~.r=o. J s P._1Nw .-mm' X Fig. 9. - a) Definición del problema, b) Discretización utilizada , 85 realiza con diferentes coeficientes de fricci6n. Las características de discretizacion y de resolucion (condensaci6n), se describen en latabla l. Tabla 1. - Elementos Nodos G, d.l, Nodos G. d.l. activos activos a nA 18 36 72 20 40 aoB 18 36 72 12 24 anA+ aoB 36 72 144 32 64 Las especificaciones relativas a la r esolu - ción permanecen válidas para ambos capí t ul os , - al albergarse las distribuciones p0 y p1 en --- ig u al número de elementos (cuatro) de élDA , por t a nto , el número de grados de libertad ac tivos es e l mismo en el tratamie n to de cada sol ic it aci en, Los nodos se situan a una distancia de los extremos igual a (1/4). L, siendo L la longitud del elemento a que pertenecen. La zona de con -- tacto se modela con seis elemen t os de igual l en gitud en el contorno de cada cuerpo. En la fig. 10 , se representa los desliza --- mientos relativos que se producen en éloc' tras la aplicación de cada capítulo de cargas , para ~ = 0.1 y~= 0. 2. La carga que produce la si -- tuación límite en cada caso se especifica t am -- bién en la figura, E E S? " > o > ~ <( ...J UJ a: o ~ z UJ i <( N ...J Vl UJ a LONGitUD DE CON TACTO(mm) Fig . 10.- Deslizamientos relativos tras la aplicación de cada capítulo. Cuando~= 0.1, el segundo capítulo proporciona la carga límite en sólo dos incrementos, dado que la solicitud de compresión p ya produ ce deslizamientos en todos los pares 0a excep -~ ción de los dos que se encuentran a uno y otro lado del eje de simetría (x = ± 2.5 mm) que per manecen adheridos. Aplicando una solicitación ~ p1 suficientemente alta, el primer límite de -- aplicación lineal de las condiciones de contacto (establecidas tras la aplicación de p0) se - define al alcanza r el par adherido situado a la derecha del eje (x = 2,5 mm), la superficie de deslizamiento, El val or de p1 que corresponde a -2 2 este escalado es p1 = 0.792 , 10 Nw/mm . El - último par adherido (x = 2.5 n~), alcanza la re lación t2 = ~ t1, para el · valor de la carga lí= mite que se especifica en la figura 10. Cuando~: 0.2, los deslizamientos relati-- vos que corresponden a (pl)lim' son mucho mayores, dado que esta solicitación es superior a - la que se requiere con~= 0,1, al ser más gran de la zona adherida tras la aplicación del cap? tulo de compresión (p ). Para alcanzar p) . = o 1 l~m en este caso se requiere de ocho incrementos -- que se corresponden con los nodos adheridos tras la aplicación de la carga p , El hecho de o que las curvas en la situación límite sean cualitativamente diferentes se debe a la diferen- - cia en el tamaño de la zona de adhesión que qu~ da después de aplicar p . o Las figuras 11 y 12 recogen las distribucio nes de tensiones normales y tangenciales, cuan= do~= 0.1 y~= 0.2, La figura 11, contiene-- las representaciones que corresponden a p o (p 1 = 0), mientras que en la figura 12, se re-- presentan las tensiones que se producen con Po+ (p1)lim (aoca=~). Puede observarse que el coeficiente de roza miento no altera la distribución de tensiones - normales en el primer capítulo de carga , fig. - 11. En el segundo , se puede llegar a un mayor - valor de p1 para ~ = 0.2 lo que provoca mayores variaciones de la tensión normal para este caso , cargando la zona derecha de la cimentación y -- descargando la izquierda, de acuerdo con el sen tido de la carga horizonta l aplicada, H~ H~ 1 ..... ~ 'l )O z í( .:: V1 -¡ UJ V1 ..J UJ < ..J ü < z :X UJ a: <..:> o z z :5 V1 V1 UJ UJ z z o o V1 V1 1 z z: UJ UJ l, 1-- 1-- LON61 TUD DE CONTACTO (m m.) Fig. 11 . -Distribuciones de tensión (p =1 Nw/ /mm2; pl = O). o 86 "E ~ ~ 1 E z ..... J:"" ~ :::::. z )( ~ - V1 1 ~ V1 <( UJ u ...J z < UJ ;[ <..:> a: z o < .lO z 1-- " Vl Vl UJ w z z o o iii iii z z UJ UJ .... .... ·' ---+----+----- · ·- LONGITUD DE CONTAC TO(mm) Fig. 12 .- Distribuciones de tensión ( p o = 1 Nw 1 mm 2 ; p 1 = ( p 1) lim' En la Figura 13 se representan los deslizamientos relativos que corresponden al proceso - incremental compl~to con~= 0,2, Estos progresan desde la distribución inferior (antimétrica) cuando actua solamente p0, hasta la distribución superior relativa al estado límite , Los valores correspondientes a la solicitación aplicada en - cada incremento, así como el número del par que se incorpora a 3 Dcd en cada uno de ellos, se -- presentan en la tabla 2, ~1 "> o > ;: < ..J w a: o 1-- z UJ ~ <( N ..J V1 w o LONGITUD DE CONTACTO(mm.) Fis, 13.- Progresión del deslizamiento relativo (~ = 0.2) La numeración de pares en la tabla 2, es tal que el par 1 co rr e sponde al situado más próximo a la esquina izquierda (x = -27,5) y el 12 el más próximo a l a es quina opuesta (x = 27.5) . Tabla 2.- Nw/mm 2 D -+ D ca cd Po p1 Par o. l. - 0.0313 " 10 0.0617 " 9 0.0897 " 8 0.1069 " 7 0.1234 " 3 0.1235 " 6 o' 135 7 " 5 0.13946 " 4 4. CONCLUSIONES Partiendo de la formulación mediante ecua-- ciones integrales del comportamiento elástico - de sólidos deformables que entran en contacto - establecida en (10) y (12) se han resuelto dos problemas no Hertzianos en los que la superfi-- cie de contacto no es despreciable frente a las dimensiones del problem a . En el primero de ellos, que representa placas de apoyo curvas se pone de manifiesto la im portancia de la forma del contorno en orden a ~ provocar una distribución casi uniforme de la - tensión a lo largo de toda la zona de contacto, En contornos circulares esto no se consigue , A efectos de diseño, el análisis realizado permite determinar el tamaño de l a placa de apoyo pa ra evitar que la placa trabaje como un punzón,- provocandose tensiones muy altas en los extre- - mos de la placa, En el segundo ejemplo tratado se han incluí do dos capítulos de carga , en presencia de roza miento y extendiendo el se gundo hasta la pérdi~ da de adherencia total en la superficie de contacto, estableciendo la evolución de tensiones y desplazamientos en todo el proceso , Este caso cubre todas las posibilidades de evolución cualitativa de los puntos de la zona de contacto - durante la carga. Se confirma que las tensiones normales son prácticamente independientes del - coeficiente de rozamiento , La importancia de és te, sin embargo, radica en que de él depende el tamaño de las subzonas de adhes i ón y desliza--- miento en la zona de contacto, Por ello las situaciones con mayor coe f iciente de rozamiento - quedan, obviamente, en mejor disposición para - soportar cargas laterales, al ser mayor la zona de adhesión. Desde un punto de vista numérico, se han -- us ado di fe r e nt es s i s t emas de co or d ena da s par a - definir el cr i ter i o de c ontact o no enc ontr andose di fer en ci a entre el lo s ni in c ompatibilidad es 87 en el tipo de problemas analizados. La condensación estática, eliminando nodos - pasivos en cada capítulo de carga, se ha revelado como una herramienta importante de cara a dis minuir los tiempos de cálculos, considerab lemen= te elevados por tratarse de un problema no line - al, 5. REFERENCIAS l. 1!. Hertz, Hiscellaneous Papers , on the Con-- tact of Elastic Solids, Translation by Jones D.E. HcMillan, London (1896). 2. H.A. Tomas y V.A. Hoershc, Stresses due tothe pressure on one elastic solid on another Bull, Engng, Experiment Station No 212 . Uni - versity of Illinois (1930). 3, T, Anderson , The second generation Boundary Element Contact Program. Bo un dary Element Methods in Engineering, Springer-Verlag , 1982. 4. W,R, Marks "~iolution of frictionless contact problems by a conjugate gradien t technique" , M.S. Thesis, Univ , of Wisconsin - Milwaukee , Wi (1979). 5, W,R. Marks "A modified Conjugare Gradient -- Method for frictionless Contact problems", ASME, Vo l. 105. April 1983. 6, F.F. Mahmoud, N.J. Salamon, and W.R. Marks. "A direct automated procedure for frictionless contact problems" , Int, J. Num. M, Eng, Vol. 18, pp . 245-257, (1982). 7, F, París and J.A. Garrido "On the use of -- Discontinuous Elements on two Dimension al - C ontact Probl e ms". Boundary Elements VII Ed. Brebbia and Maier. Springer - Verlag (1985). 8, F, París, J.A. Garrido "Elementos lineales discontinuos en el análisis elástico bidimen sional con el Método de los Elementos de Co; torno" . Anales de Ingeniería Mecánica. Año T No. 1, pp, 20-25, 1983, 9, R.D. Mindlin, Compliance of elastic bodies - in contact, J. Appl. Mech, 16, 259-268 (1949). 10. F, París, J,A. G arrido "Análisis del problema de contacto con fricción de Coulomb con - el Método de los Elementos de Contorno". Ana les de Ingeniería Mecánica, Año 2, No. 1, pp 38-44 (1984). 11, F, París, "El método de los Elementos de Con torno en la teoría del potencial y la Elasti ciclad", Tesis. U niv, Madrid (1979). 12, F. París, J,A, Garrido "Análisis del proble - ma de contacto sin fricción con el Método de lo s Elementos de Contorno". Anales de Inge-- niería Hecánica, Año 2, No, 1, pp, 2229, (1984). 13, R. A rgu el l es , La es tru c tur a hoy. Tomo 1 (E. T. S ,I,M.) Ma drid 197 0. 14 . J.J. Kalker, Variational principles of contact elastostatics. J. Inst. Maths. Applies 20, 199-219. (1977). 15 . P.H.B. Boddington, K, Chen y C. Ruiz, "The nurnerical analysis of dovetail joints" . Corn puters and Structures, Vol, 20, No, 4, pp. 731-735. (1985). 16. T. Andersson, B. Fredricksson y B,G, Allan Persson, "The Boundary Elernent Method ap-- plied to two-dirnensional Contact Problerns", New Developments in Boundary Element Me-- - thods, Ed. by C.A. Brebbia, C.M.L, Publica tions (1980), 17. P.D. Panagiotopoulos . "Boundary Integral- "Equation" Methods for the Signorini-Fichera Problern", Boundary Elernents VII. Ed. Brebbia and Maier. Springer-Verlag, (1985), 88