Superficies mínimas y el problema de Plateau

SUPERFICIES MÍNIMAS Y EL PROBLEMA DE PLATEAU Trabajo de Fin de Grado realizado por: ALEJANDRO SERRANO DÍAZ Tutor: ALFONSO CARRIAZO RUBIO Universidad de Sevilla junio 2023 Dedicado a aquellos que estuvieron y a los que están. AGRADECIMIENTOS I A mi familia, por ser un pilar fundamental durante todos estos años. Por motivarme y apoyarme cuando las fuerzas flaqueaban, y enderezarme cuando me desviaba del camino. Por la paciencia y empatía que habéis mostrado siempre. Soy la persona que soy gracias a vosotros. A mi novia, mi otro pilar. Gracias por apoyarme siempre y escuchar todo lo que digo, aunque muchas veces sean desvarios. Gracias por los paseos casi diarios, sin ellos no seguiría cuerdo (si es que alguna vez lo he estado); por la confianza que depositas en mí todos los días, y que a veces me falta; por regalarme estos años. A mi tutor Alfonso Carriazo Rubio, por la ayuda prestada y saber guiarme. Por las conversaciones distendidas sobre cosas frikis y por conseguir que el decano lo deje tranquilo a ratos y dedicarme ese tiempo. Por último, dar gracias a mis amigos, tanto los forjados durante esta etapa como los que ya estaban de antes. Con vosotros este viaje ha sido aún más divertido y trepidante. RESUMEN III En este trabajo estudiaremos las superficies mínimas, un tipo de superficies que, a día de hoy, resultan muy interesantes. Para comenzar, aportaremos una definición geométrica de dichas superficies y veremos cómo esta se puede extender a otras ramas de las matemáticas de forma equivalente. Tras esto, trataremos con algunas de las superficies mínimas más relevantes desde el punto de vista histórico (catenoide, helicoide...). Pasaremos entonces a demostrar el problema de Plateau, un problema que, además de resultar esencial en el estudio de estas superficies, las relaciona con las pompas de jabón, como se verá al final. In this academic project, minimal surfaces will be studied, a sort of surface that in fact, nowadays becomes very interesting. First of all, we will provide a geometric definition of that, and then, we will work with them from different mathematical points of view. After that, some of the most historically relevant minimal surfaces will be discussed (such as catenoid or helicoid). Finally, we will deal with a very important problem of minimal surfaces: the problem of Plateau; and see how this associates them with soap films. ÍNDICE GENERAL V 1. Introducción. 1 2. Preliminares. 7 3. Superficies Mínimas. 27 3.1. Equivalencias. .................................. 27 3.2. Algunos ejemplos. ............................... 34 3.2.1. Catenoide. ................................ 35 3.2.2. Helicoide. ................................ 37 3.2.3. Superficie de Scherk. .......................... 41 3.2.4. Superficie de Enneper. ......................... 43 3.2.5. Superficie de Henneberg. ....................... 46 3.2.6. Superficie de Catalan .......................... 48 4. Problema de Plateau. 51 4.1. Preparación. ................................... 51 4.2. Solución para una frontera. .......................... 59 4.2.1. Existencia de solución. ......................... 60 4.2.2. La solución define una superficie mínima. ............. 61 4.3. Pompas de jabón. ................................ 64 A. Líneas de código. 67 A.1. Catenaria. .................................... 67 A.2. Catenoide. .................................... 67 A.3. Helicoide. .................................... 67 A.4. Isometría local catenoide y helicoide. ..................... 68 A.5. Superficie de Scherk. .............................. 68 A.6. Primera superficie de Scherk. ......................... 68 A.7. Segunda superficie de Scherk. ......................... 69 A.8. Superficie de Enneper. ............................. 69 El presente trabajo se estructura de la siguiente manera: Primero de todo, un capítulo donde veremos una serie de definiciones y resultados que nos serán de utilidad a lo largo de este. En el siguiente, trataremos las superficies mínimas desde distintas ramas de las matemáticas, no solo desde la Geometría Diferencial, y trabajaremos con algunas superficies de interés. A continuación, abordaremos el problema de Plateau desde el punto de vista del Análisis Matemático y la Teoría del Potencial, donde finalizaremos mostrando la relación que existe entre las superficies mínimas y las pompas de jabón. Terminamos este trabajo, mostrando al lector el código de SageMath empleado para la representación de las superficies. 5 2 PRELIMINARES. 7 El estudio de las matemáticas, como el Nilo, comienza con minuciosidad pero termina con magnificencia. CHARLES CALEB COLTON En el capítulo que nos ocupa se aportará una serie de definiciones y resultados que nos serán de utilidad para el cometido de este trabajo. Por ser unos meros preliminares, obviaremos las demostraciones de los mismos. Para ver estas o más información de la aquí ofrecida, el lector puede consultar [2,5,14] para las nociones sobre Geometría. En cambio, para los conceptos sobre Análisis Complejo puede consultar [17]. Por otra parte, para los resultados y definiciones sobre Teoría del Potencial véase [1,9]. Nota 2.1. Para nosotros los vectores irán representados en “negrita”, es decir; v. Además, escribiremos el producto escalar entre dos vectores cualesquiera, uyv, como ⟨u,v⟩. Comenzamos por lo básico, enunciando lo que entendemos por curva regular. Definición 2.1. Una curva parametrizada regular (que abreviamos como c.p.r.) en Rmes una aplicación α:(a,b)⊆R−→Rmtal que 1. Se tiene que α∈Ck), con k≥1. 2. Se verifica la condición α′(t) = dα dt ,0 para todo t∈(a,b). Nota 2.2. 1. La segunda condición se denomina Condición de Regularidad. 2. Si m=2 diremos que la curva es plana. En cambio, si m=3 se dice que la curva es alabeada. A veces, el mismo conjunto imagen puede describirse por diferentes parametrizaciones. Interesa saber cuándo al cambiar la forma de describir la curva como lugar de puntos, no se pierde la Condición de Regularidad. Definición 2.2. Sea α:(a,b)−→ Rmuna c.p.r. α=α(t). Una reparametrización regular ocambio de parámetros regular de αes una función f:(c,d)⊂R−→ (a,b), dada por f(r) = t, biyectiva y de clase Ck),k≥1, tal que d f dr =dt dr ,0 en todo (c,d). Definición 2.3. Un segmento de c.p.r. (arco regular) es una aplicación α:[a,b]−→ Rmtal que existe un intervalo (c,d)que contiene a [a,b]y existe una c.p.r. β:(c,d)−→ Rmcumpliendo que β|[a,b]=α. Así, es posible considerar α′(a) = β′(a)yα′(b) = β′(b). La longitud del arco regular αes: Lb a(α) = Zb a∥α′(t)∥dt. Dada una c.p.r. α:(a,b)−→ Rmy un punto t0∈(a,b), se considera la función s: (a,b)−→R, dada por: s(t) = Zt t0∥α′(σ)∥dσ. De esta forma, s=s(t)mide la longitud del arco regular de αcorrespondiente a [t0,t] ó[t,t0], naturalmente con signo. Por ello, a la función s=s(t)se le llama longitud de arco de la curva αcon referencia a t0. A raíz de este concepto, surge el siguiente teorema, que, pese a su simpleza, resulta primordial pues nos permitirá simplificar algunos cálculos, así como definir ciertas nociones de manera sencilla. Teorema 2.1. Toda c.p.r. puede ser reparametrizada regularmente por su longitud de arco. 8 Definición 2.4. La parametrización de una curva por su arco se llama parametrazación natural. Al parámetro longitud de arco se le llama parámetro natural oparámetro arco. Teorema 2.2. Una curva parametrizada α:(a,b)−→ Rmlo está por su longitud de arco (salvo constante) si y solo si ∥α′(t)∥=1, para todo t∈(a,b). Nota 2.3. Emplearemos “·” para denotar la derivación respecto del parámetro natural. Los siguientes conceptos que trataremos versan sobre los vectores asociados a una curva. Definición 2.5. Sean α:(a,b)−→ Rmuna c.p.r. yt0∈(a,b). Se llama vector velocidad de αen α(t0) al vector α′(t0). Al módulo del vector velocidad de αen α(t0)se le llama velocidad de αen α(t0). Se llama vector tangente aαen α(t0)al vector t(t0) = α′(t0) ∥α′(t0)∥. Se llama campo vectorial tangente de αa la aplicación t:(a,b)−→Rmdada por t7→t(t) = α′(t) ∥α′(t)∥. Definición 2.6. Sea α=α(s)una curva regular parametrizada naturalmente en R3. Se llama curvatura de αa la función κ=κ(s) = ∥¨ α(s)∥. Definición 2.7. Sea α=α(s)una curva regular parametrizada naturalmente en R3. Se define el vector normal principal de αen un punto α(s0)tal que κ(s0)>0 como n(s0) = ¨ α(s0) κ(s0). A la aplicación n=n(s) = ¨ α(s) κ(s)se le llama campo vectorial normal principal a lo largo de α. 9 Definición 2.8. Sea α=α(s)una curva regular parametrizada naturalmente en R3. Se define el vector binormal de αen un punto α(s0)como b(s0) = t(s0)×n(s0). A la aplicación b(s) = t(s)×n(s)se le llama campo vectorial binormal a lo largo de α. Definición 2.9. Dada una c.r.p.n.,α=α(s), en R3, se llama Triedro o Referencia de Frenet en el punto α(s)de αal triedro {t(s),n(s),b(s)}. Proposición 2.1. Sea α=α(t)una c.p.r. en R3. Entonces, se tiene que b(t) = α′(t)×α′′(t) ∥α′(t)×α′′(t)∥;n(t) = b(t)×t(t). Presentamos ahora lo que entendemos por superficie parametrizada: Definición 2.10. Sea U⊆R2abierto. Una superficie parametrizada (abreviadamente s.p.) en R3es una aplicación x:U−→R3tal que: 1. La aplicación xes de clase C∞). 2. Si x=x(u,v), entonces ∂x ∂u×∂x ∂v,0, (C.R.) en todos los puntos de U. Además, si xes inyectiva se llamará una superficie simple (que abreviamos como s.s.). 10 Nota 2.4. 1. La condición (C.R.) de esta definición se llama Condición de Regularidad. 2. En lo que sigue, para mayor simplicidad, escribiremos ∂x ∂u=X1,∂x ∂v=X2, ∂2x ∂u2=X11,∂2x ∂v2=X22 y X12 =∂2x ∂u∂v=∂2x ∂v∂u=X21. 3. Si x:U−→ R3es una s.s., por inyectividad, dado cualquier p∈U, existe un único punto (u0,v0)∈Utal que x(u0,v0) = p. Convendremos en decir que ptiene las coordenadas (u0,v0)(que, en realidad, son las de x−1(p)). Por ello, al vector Xi(u0,v0)∈R3lo escribiremos como Xi(p), para i=1,2. Definamos ahora un tipo de s.s. que será de interés posteriormente. Definición 2.11. Sea f=f(u,v)una función diferenciable, definida en un abierto U⊆R2y con valores en R. Se define el grafo de f ocarta de Monge como la s.s. x:U−→ R3definida por x(u,v) = (u,v,f(u,v)), para (u,v)∈U. Una vez que ya sabemos lo que es una s.p., necesitamos una noción más general de superficie, que es la siguiente: Definición 2.12. Sea M⊆R3. Se dice que Mes una superficie regular (lo abreviaremos como s.r.) o superficie inmersa de R3, si para cada p∈Mexisten U⊆R2abierto y una aplicación x:U−→R3, tales que: 1. El conjunto x(U)está contenido en My es entorno abierto de pen M. 2. La aplicación xes homeomorfismo sobre su imagen, dotada esta de la topología euclídea relativa de R3. 3. xes una s.p. (y, por la condición anterior, también s.s.). 11 Cualquier aplicación verificando estas condiciones se denomina parametrización local (abreviadamente p.l.) o parametrización regular de Men p. La aplicación inversa x−1: x(U)−→Use llama carta local en p(cuya existencia se garantiza por la condición 3). El entorno x(U)de pen Mse llama entorno coordenado y las coordenadas x−1(p)se denominan coordenadas locales de p. Vamos a tratar ahora algunos de los vectores más importantes ligados a una superficie regular. Definición 2.13. Sean Muna s.r. yx:U−→ Muna p.l. de Men un punto p∈M. Una curva diferenciable (de clase C∞)) en xes una aplicación α:(a,b)−→x(U)tal que x−1◦α:(a,b)−→U es una curva parametrizada de clase C∞). Definición 2.14. Sean Muna s.r. yx:U−→ Muna p.l. de Men un punto p∈M. Un vector tangente a xen pes un vector tangente a cualquier curva diferenciable αen xque pase por p. Definición 2.15. Sean Muna s.r. yx:U−→ Muna p.l. de Men un punto p∈M,p=x(u0,v0),(u0,v0)∈ U, con U⊆R2abierto. Se llama vector normal axen pal vector N(u0,v0) = X1(p)×X2(p) ∥X1(p)×X2(p)∥≡N(p)(lo notaremos de esta forma) que es unitario y, por (C.R.) está bien definido. Se llama aplicación de Gauss de xa la aplicación: N:x(U)−→R3dada por N(p) = X1×X2 ∥X1×X2∥(p), para todo p∈x(U). Observación 2.1. Es inmediato, a partir de la propia definición, ver que ⟨N(p),Xi(p)⟩=0, para i=1,2. Observación 2.2. Como el vector normal es unitario, ∥N∥2=⟨N(p),N(p)⟩=1. Derivando aquí, llegamos a que ⟨N(p),Ni(p)⟩=0, para i=1,2; donde hemos denotado por N1=∂N ∂uy N2=∂N ∂v. 12 Ligado al vector normal a la superficie xen un punto p∈x(U)tenemos el plano tangente a xen p, el cual denotamos por Tp(x)y está definido como el plano cuyo vector normal es N(p). Se tiene, además, que X1(p),X2(p)pertenecen a Tp(x). Más aún, todo vector de Tp(x)se puede expresar como combinación lineal de X1(p)yX2(p). Observación 2.3. Dados una p.l. de una s.r. x:U−→ R3y un punto p∈x(U), en virtud de (C.R.), sabemos que los vectores X1(p)yX2(p)son linealmente independientes. El siguiente es un concepto de suma importancia tanto para nuestro estudio como para la Geometría Diferencial en general: los coeficientes métricos. Definición 2.16. Se llaman coeficientes métricos de una p.l. de una s.r.,x:U−→R3, a las funciones gij = ⟨Xi,Xj⟩,i,j=1,2. Dichas funciones definen una matriz simétrica y definida positiva que denotamos por G= (gij)i,j=1,2. Definición 2.17. Dada una p.l. de una s.r. x:U−→R3, la regla que en cada p∈x(U)le asigna a cada par de vectores v1,v2∈Tp(x)su producto escalar se llama Primera Forma Fundamental (que abreviamos como P.F.F.) de la superficie en p. Observación 2.4. Como enunciamos antes, los vectores de Tp(x)pueden expresarse como combinación lineal de {X1,X2}. Por ello, es usual denominar a los coeficientes métricos como coeficientes de la Primera Forma Fundamental. Si consideramos la base {X1,X2,N}, podemos expresar los vectores Xij, para i,j=1,2, en función de ella. De esta forma tendríamos: Xij = 2 ∑ k=1 Γk ijXk+LijN, para todos i,j=1,2. Estas ecuaciones se denominan Ecuaciones de Gauss. Los coeficientes Γk ij, para i,j,k= 1,2, se llaman símbolos de Christoffel de la superficie y los coeficientes Lij, para i,j= 13 1,2, se llaman coeficientes de la Segunda Forma Fundamental y son funciones con valores reales en x(U). Además, estos verifican Γk ij = 2 ∑ h=1⟨Xij,Xh⟩ghk; Lij =⟨Xij,N⟩=−⟨Xi,Nj⟩, (2.1) para todos i,j,k=1,2; donde ghk =                          g22 det(G)si h=k=1, −g12 det(G)si h=1 ó k=1, g11 det(G)si h=k=2. Observación 2.5. Es fácil ver, a partir de la regularidad de x, que Lij =Lji. Como anunciamos anteriormente, el estudio de las superficies mínimas surge a raíz de la búsqueda de la superficie de menor área extendida a través de un entorno cerrado. Es por ello que debemos enunciar lo que entendemos por área de una región acotada, pero antes debemos aclarar el concepto de región acotada. Definición 2.18. Un dominio en una superficie es un abierto conexo en x(U)tal que su frontera es la imagen de una circunferencia del plano (u,v)bajo un difeomorfismo diferenciable a trozos. Una región es una unión de un dominio y su frontera. Una región R ⊆ x(U) se dice acotada si existe una bola de R3que la contiene (lo cual es equivalente a que x−1(R)sea acotada en el plano (u,v)). Ahora sí estamos en disposición de dar la definición de área. Definición 2.19. El área de una región acotada R⊆x(U)viene dada por: A(R) = Z Zx−1(R)∥X1×X2∥dudv =Z Zx−1(R)qg11g22 −g2 12 dudv. (2.2) 14 Lo siguiente que veremos será el término de función analítica y su relación con las funciones holomorfas. Definición 2.35. Una función fdefinida en un abierto Ω⊂Cse dice analítica en un punto z0∈Ωsi existe una serie de potencias ∞ ∑ n=0 an(z−z0)ntal que f(z) = ∞ ∑ n=0 an(z−z0)n, para todo z en un entorno de z0. Si fse puede expresar como la suma de una serie de potencias en todo punto de Ω, se dirá que fes analítica en Ω. Teorema 2.8. Toda función analítica en Ωes holomorfa en Ω. Recíprocamente, supongamos que fes holomorfa en un abierto Ω. Sea z0∈Ω. Si D es un disco centrado en z0cuya clausura está contenida en Ω, entonces f(z) = ∞ ∑ n=0 f(n)(z0) n!(z−z0)n, para todo z∈D. Otro concepto analítico que nos convendrá tener presente es el de serie de Fourier, el cual ha sido extraído de [8]. Definición 2.36. Sea funa función periódica de periodo T>0. Se define la serie de Fourier de fcomo f(t) = ∞ ∑ n=0 [ancos(2πωnt) + bnsin(2πωnt)], donde ωn=n T,an=2 TZT 0f(t)cos(2πωnt)dt ybn=2 TZT 0f(t)sin(2πωnt)dt. Procedamos ahora con los conceptos sobre Ecuaciones en Derivadas Parciales. Recordemos primero que el laplaciano de una función diferenciable u:U⊂RN−→ R, denotado por ∆u, es ∆u=∇·(∇u) = N ∑ i=1 ∂2u ∂x2 i . Ahora bien, sean Ω⊂RNabierto acotado (N≥2),f∈C0)(Ω)yΓ∈C0)(∂Ω). Vamos a considerar el problema de Dirichlet:   −∆u=fen Ω, u=Γsobre ∂Ω.(2.4) 21 Proposición 2.4. Bajo las condiciones precedentes, el Problema (2.4) posee a lo sumo una solución u∈C2)(Ω)∩C0)(Ω). Introduzcamos el concepto de función armónica, pues va a ser el hilo conductor que relacionará las funciones complejas con las superficies mínimas y, además, volverá a aparecer en la resolución del problema de Plateau. Definición 2.37. Sea u:U⊂RN−→ Runa función diferenciable. Se dice que ues armónica en Usi ∆u=0. Referente a este tipo de funciones tenemos el siguiente resultado: Proposición 2.5. Sea Ω⊂RN,N≥2, abierto y u∈C0)(Ω)armónica, entonces u∈C∞)(Ω). El siguiente resultado sobre funciones armónicas nos será de utilidad en la demostración del problema de Plateau: Teorema 2.9 - Primer teorema de Harnack. Sea Ω⊂RN,N≥2, un abierto acotado. Sea (un)una sucesión de funciones continuas en Ωy armónicas en Ω. Si (un)es uniformemente continua sobre ∂Ω, entonces también converge uniformemente en Ωa una función armónica u. Otro resultado importante de cara a la demostración del problema de Plateau es el que enunciamos a continuación: 22 Teorema 2.10. Sea Ω⊂RN,N≥2, un abierto acotado. Supongamos que (un)es una sucesión de funciones armónicas sobre Ωtal que converge uniformemente a una función uen cada subconjunto compacto de Ω. Entonces, ues armónica en Ω. Más aún, para cada α∈NN, la sucesión Dαun=∂kun ∂xα1 1···∂xαN N!, con k=∥α∥; converge uniformemente aDαuen cada subconjunto compacto de Ω. Los resultados que trataremos a continuación están destinados a probar la existencia de solución de (2.4). Definición 2.38. Un abierto Ω⊂RNes de clase C1)si para cualquier punto x0∈∂Ω, existe un abierto Utal que x0∈Uy una aplicación biyectiva Φ:B(0,δ)−→U 07−→x0 B(0,δ)∩{xN>0}7−→U∩Ω B(0,δ)∩{xN=0}7−→U∩∂Ω de clase C1)y su inversa también. Definición 2.39. Se define la solución fundamental del Laplaciano G:RN\{0}−→Rpor G(x) = Ψ(∥x∥), con Ψ(r) =              −1 (N−2)|SN|rN−2si N>2, log(r) |S2|si N=2. El primer resultado de relevancia sobre Ges el siguiente: 23 Teorema 2.11. Sea Ω⊂RN,N≤2, abierto, acotado, de clase C1)yu∈ C2)(Ω). Entonces para todo x∈Ωse cumple: u(x) = ZΩ ∆u(y)G(y−x)dy+Z∂Ω∂G(y−x) ∂nu(y)−∂u(y) ∂nG(y−x)ds(y), donde hemos denotado ∂f ∂n=⟨∇f,n⟩, con nel vector normal exterior a ∂Ω. Con el objetivo de mejorar ahora la expresión anterior, buscamos una fórmula que nos permita calcular uconociendo únicamente los valores de ∆uen Ωy los de usobre ∂Ω. Definición 2.40. Dado un conjunto abierto Ω⊂RN,N≥2, acotado de clase C1), se denomina función de Green en Ωa una función G:Ω×Ω\D−→R, con D=n(x,y)∈RN×RN:x=yo, tal que la función w:Ω×Ω−→Rdefinida por w(y,x) = G(y,x)−G(y−x), es solución del problema          w(·,x)∈C2)(Ω), para todo x∈Ω, −∆yw(y,x) = 0, para cualquier (y,x)∈Ω×Ω, w(y,x) = −G(y−x), para todo (y,x)∈∂Ω×Ω. Para el caso de abiertos muy simples, es posible dar una representación explícita de la función de Green: Teorema 2.12. Para Ω=B(0,R)⊂RN, la función de Green viene dada por G(y,x) =      G(y)−Ψ(R)si x=0, G(y−x)−G∥x∥ R(y−x∗)si x,0, donde x∗=R2 ∥x∥2x. 24 A partir de esta expresión de la función de Green, se tiene el siguiente resultado: Proposición 2.6. Sea H:B(0,R)×B(0,R)\D−→Rla función definida por H(y,x) = ∂G ∂n=R2−∥x∥2 |SN|R∥y−x∥N, para cualquier (y,x)∈B(0,R)×B(0,R)\D, entonces, para toda función u∈C2)B(0,R), se verifica u(x) = ZB(0,R) ∆u(y)G(y,x)dy+Z∂B(0,R)u(y)H(y,x)ds(y), para todo x∈B(0,R). Esta función Hque acabamos de definir se llama núcleo de Poisson y, si tomamos u∈C2)B(0,R)armónica en B(0,R), se tiene u(x) = Z∂B(0,R)u(y)H(y,x)ds(y), para cualquier x∈B(0,R), que es lo que se conoce como la fórmula integral de Poisson. Para finalizar, enunciamos el resultado de existencia y unicidad que requeríamos: Teorema 2.13. Para toda función Γ∈C0)(∂B(0,R))existe una única u∈C0)B(0,R)∩C∞)(B(0,R)) solución de   −∆u=0 en B(0,R), u=Γsobre ∂B(0,R), la cual viene dada por u(x) =   Z∂B(0,R) Γ(y)H(y,x)ds(y)si x∈B(0,R), Γ(x)si x∈∂B(0,R). Con esto, contamos ya con las herramientas necesarias para afrontar el tema de este trabajo. 25 3 SUPERFICIES MÍNIMAS. 27 Está bien trabajar en cualquier problema, siempre y cuando genere matemáticas interesantes en el camino, incluso si no lo resuelve al final del día. ANDREW WILES 3.1 EQUIVALENCIAS. Son varias las definiciones equivalentes que podemos encontrar de superficie mínima. El ver que todas ellas resultan equivalentes es el objetivo de esta sección. Para las matemáticas que se encontrarán aquí se han seguido los manuales [5,7]. Durante años, los matemáticos se encontraron en debate sobre qué curvatura de una superficie era más relevante (si la curvatura de Gauss o la curvatura media). El Teorema Egregio de Gauss sería el que pusiera fin a este dilema, pues demuestra que la curvatura de Gauss es una cantidad intrínseca y su significado, de alguna forma, contenía información sobre la geometría de la propia superficie, con independencia de su inclusión en el espacio euclídeo. Cabe preguntarse igualmente por qué este debate duró tantos años. La siguiente definición es la que otorgará verdadera importancia a la curvatura media Hde una superficie. Definición 3.1. Una superficie parametrizada se dice que es mínima si su curvatura media es nula en todos los puntos. Una superficie regular M⊆R3es mínima si cada una de sus parametrizaciones es mínima. Para entender la denominación mínima vamos a considerar x:U⊆R2−→R3superfi- cie mínima parametrizada regular. Sean D⊂Uun dominio acotado y h:D−→Runa CAPÍTULO 3. SUPERFICIES MÍNIMAS. función diferenciable, donde D=D∪∂D. Definimos la variación normal de x(D), determinada por h, como la siguiente aplicación: φ:D×(−ε,ε)−→R3 φ(u,v,t) = x(u,v) + th(u,v)N(u,v);(u,v)∈D,t∈(−ε,ε). Consideremos ahora la aplicación xt(u,v) = φ(u,v,t), para todo t∈(−ε,ε). Es una superficie parametrizada con Xt 1=∂xt ∂u=X1+th1N+thN1. Xt 2=∂xt ∂v=X2+th2N+thN2. Sus coeficientes de la Primera Forma Fundamental son: gt 11 =⟨Xt 1,Xt 1⟩=g11 +2th⟨X1,N1⟩+t2h2⟨N1,N1⟩+t2h1h1= =g11 −2thL11 +t2h2⟨N1,N1⟩+t2h1h1; gt 12 =⟨Xt 1,Xt 2⟩=g12 +th(⟨X1,N2⟩+⟨X2,N1⟩) + t2h2⟨N1,N2⟩+t2h1h2= =g12 −2thL12 +t2h2⟨N1,N2⟩+t2h1h2=gt 21; gt 22 =⟨Xt 2,Xt 2⟩=g22 +2th⟨X2,N2⟩+t2h2⟨N2,N2⟩+t2h2h2= =g22 −2thL22 +t2h2⟨N2,N2⟩+t2h2h2. Combinando esto con (2.3) y agrupando adecuadamente, tenemos que: gt 11gt 22 −(gt 12)2=g11g22 −g2 12 −2th(g11L22 −2g12L12 +g22L11) + R= = (g11g22 −g2 12)(1−4thH) + R, donde l´ ım t→0 R t=0. Luego, para εsuficientemente pequeño, xtes una superficie parametrizada. Además el área de xt(D)es A(t) = ZDqgt 11gt 22 −(gt 12)2dudv =ZDp1−4thH +Rqg11g22 −g2 12 dudv, donde R=R g11g22 −g2 12 . 28 3.1. EQUIVALENCIAS. Como εes pequeño, la función de área anterior es diferenciable y cumple A′(0) = ZD−2hHqg11g22 −g2 12 dudv. (3.1) Veamos ahora el motivo de la denominación mínima a las superficies de curvatura media nula gracias al siguiente resultado: Proposición 3.1. Sea x:U−→ R3una superficie parametrizada y sea D⊂Uun dominio acotado en U. Entonces xes mínima si y solo si A′(0) = 0 para todos los dominios D, en las condiciones precedentes, y todas las variaciones normales de x(D). Demostración. Si xes una mínima, es obvio que verifica la condición pues H≡0. Recíprocamente, admitamos que la condición se verifica y que H.0 para algún q∈D. Tomemos h:D−→ Rtal que h(q) = H(q), siendo hidénticamente nula fuera de un pequeño entorno de q. Realizando un procedimiento totalmente análogo al anterior, obtenemos que A′(0)<0 para la variación normal determinada por esta función hy llegamos así al absurdo. ■ De esta forma, cualquier región acotada x(D)de una superficie mínima xes un punto crítico de la función área para cualquier variación normal de x(D). Notemos, además, que dicho punto crítico no necesariamente es un mínimo, lo que hace que el término “mínima” resulte, en cierto sentido, inoportuno. El problema de minimizar el área también se aborda desde el punto de vista del Cálculo Variacional. Lagrange estudiaba grafos, superficies que globalmente pueden expresarse como una carta de Monge y, a partir de los cuales obtenemos la siguiente equivalencia: Proposición 3.2. Sea Muna superficie regular que, localmente, puede expresarse como la gráfica de una función diferenciable f:R2−→R. Entonces Mes mínima si y solo si fverifica la ecuación de Euler-Langrange, es decir; si verifica que: f11(1+f2 2)−2f12 f1f2+f22(1+f2 1) = 0. (3.1) 29 CAPÍTULO 3. SUPERFICIES MÍNIMAS. Demostración. Parametrizamos la superficie Mcomo sigue x(u,v) = (u,v,f(u,v)). De esta forma los coeficientes de la Primera y Segunda Formas Fundamentales, respectivamente, de xson: g11 =1+f2 1;g12 =f1f2;g22 =1+f2 2; L11 =f11 q1+f2 1+f2 2 ;L12 =f12 q1+f2 1+f2 2 ;L22 =f22 q1+f2 1+f2 2 . Gracias a (2.3), la curvatura media de xviene dada por: H=1 2 f11(1+f2 2) + f22(1+f2 1)−2f12 f1f2 (1+f2 1+f2 2)3 2 . Por consiguiente, H=0 si y solo si f11(1+f2 2) + f22(1+f2 1)−2f12 f1f2=0. ■ Años después de que Lagrange definiera de esta forma las superficies mínimas, Christoffel observó que la aplicación de Gauss de una superficie mínima era conforme y que este hecho, además, las caracterizaba junto con las esferas. Así tenemos la siguiente nueva equivalencia: Proposición 3.3. Sea Muna superficie regular sin puntos umbilicales, es decir; sin puntos tales que κ1=κ2. Entonces Mes mínima si y solo si Nes conforme. Demostración. Sean p∈My{X(1)(p),X(2)(p)}la base (ortonormal) de direcciones principales en Tp(M). Si H(p) = 0, entonces κ1(p) = −κ2(p), y por tanto, κ1(p)2=κ2(p)2. Sean v1,v2∈ Tp(M), con v1=α1X(1)(p) + β1X(2)(p)yv2=α2X(1)(p) + β2X(2)(p). De esta forma tenemos que dNp(vi) = −Lp(vi) = αiκ1(p)X(1)(p) + βiκ2(p)X(2)(p)para i,j=1,2. De aquí, haciendo un cálculo sencillo, llegamos a que ⟨dNp(v1),dNp(v2)⟩=α1α2κ1(p)2+β1β2κ2(p)2= = (α1α2+β1β2)κ1(p)2=κ1(p)2⟨v1,v2⟩. 30 3.2. ALGUNOS EJEMPLOS. la cual es equivalente a η(s)η′′(s)−η′(s)2=1. Resolviendo esta, llegamos a que η(s) = acoshs+b a, con a>0 y b≥0. Luego, β(s) = acoshs+b a,0,s, es decir; β(s)es una catenaria y, por consiguiente, Mes (un trozo) de catenoide. 3.2.2 Helicoide. Sea ahora el helicoide de ecuaciones: x(u,v) = (sinh(u)sin(v),−sinh(u)cos(v),v), con u∈(−1, 1)yv∈(0, 2π), cuya representación puede verse la Figura 3.3. Figura 3.3: Helicoide. Derivemos para calcular los coeficientes de la Primera Forma Fundamental. X1=(cosh(u)sin(v),−cosh(u)cos(v),0); X2=(sinh(u)cos(v),sinh(u)sin(v),1). Y dichos coeficientes serán entonces: g11 =cosh2(u); g12 =0; g22 =sinh2+1=cosh2(u). 37 CAPÍTULO 3. SUPERFICIES MÍNIMAS. Vemos nuevamente que la parametrización es isoterma. Calculemos entonces las derivadas segundas: X11 =(sinh(u)sin(v),−sinh(u)cos(v),0), X22 =(−sinh(u)sin(v),sinh(u)cos(v),0). Vemos fácilmente que X11 +X22 =0. Por tanto, el helicoide es una superficie mínima. El helicoide fue la segunda superficie mínima no trivial en ser encontrada. Detenta la propiedad de ser la única superficie mínima, obviando el plano, que también es una superficie reglada. Efectivamente, supongamos una superficie regular dada por x(u,v) = a(v) + uw(v), con a(v),w(v)∈R3, no plana y con curvatura media nula. Podemos asumir sin pérdida de generalidad que ∥w∥=1, ∥w′∥=1 y, por ello, ⟨w,w′⟩=0, ⟨w′,w′′⟩=0. Además, podemos asumir también que ⟨a′(v),w(v)⟩=0, ⟨a′(0),w′(0)⟩=0, pues podemos cambiar a(v)por la nueva directriz a(v)dada por a(v) = a(v)−λ(v)w(v), λ(v) = ⟨a′(0),w′(0)⟩+Zv 0⟨a′(t),w′(t)⟩dt. Esto implica que g12 =0 y L11 =0. Sumando esto al hecho de que H=0, deducimos que L22 =0. Luego det(X1,X2,X22)=0. Ahora bien, desarrollando este determinante y agrupando las potencias de u, obtenemos las tres relaciones siguientes: det(w,a′,a′′) = 0, det(w,a′,w′′) + det(w,w′,a′′) = 0, det(w,w′,w′′) = 0. Por un lado, como w′es perpendicular a wy a w′′, la última relación implica que w′′ =⟨w′′,w⟩w. Por consiguiente, (w×w′)′=0 y deducimos de ∥w∥=1 que la curva w(v)describe un círculo unidad en un plano fijo Π. Por otra parte, de la segunda relación obtenemos que det(w,w′,a′′) = 0 y, por tanto, a′′ ∈Πasí como a′′ =⟨a′′,w⟩w+⟨a′′,w′⟩w′. Sustituyendo esto en la primera relación, llegamos a que ⟨a′′,w′⟩det(w,a′,w′) = 0. Este determinante no se anula para valores de vcercanos a cero (pues sus columnas 38 3.2. ALGUNOS EJEMPLOS. son ortogonales en v=0 y xes una superficie regular). Luego ⟨a′′,w′⟩=0. Por consiguiente, ⟨a′,w′⟩′=0 y, puesto que ⟨a′(0),w′(0)⟩=0, tenemos que ⟨a′,w′⟩=0. Combinando esto con el hecho de que ⟨a′,w⟩=0, deducimos que a′es perpendicular a Π=span{w,w′}. Como Πno depende de v, obtenemos que a′′ es también perpendicular a Π. Pero hemos probado que a′′ ∈Π, por tanto, a′′ =0. Luego, la directriz a(v)es una recta y, ya que ⟨a′,w⟩=0, concluimos que la superficie xes una sección de helicoide. Observación 3.1. El catenoide y el helicoide no solo son mínimas, sino que también son localmente isométricas. Aún más general, podemos considerar la familia de superficies x(a,u,v) = (x(a,u,v),y(a,u,v),z(a,u,v)), donde x(a,u,v) = cos(a)cosh(u)cos(v) + sin(a)sinh(u)sin(v), y(a,u,v) = cos(a)cosh(u)sin(v)−sin(a)sinh(u)cos(v), z(a,u,v) = cos(a)u+sin(a)v−π 2, con a∈[0,2π). El catenoide corresponde al valor a=0 mientras que para el helicoide a=π 2. Veamos que todas ellas son isométricas entre sí y que, además, son mínimas. Puesto que X1(a,u,v) = (cos(a)cos(v)sinh(u) + sin(a)sin(v)cosh(u), cos(a)sin(v)sinh(u)−sin(a)cos(v)cosh(u),cos(a)), X2(a,u,v) = (sin(a)cos(v)sinh(u)−cos(a)sin(v)cosh(u), sin(a)sin(v)sinh(u) + cos(a)cos(v)cosh(u),sin(a)); los coeficientes de la Primera Forma Fundamental son: g11 =cosh2(u); g12 =0; g22 =cosh2(u). 39 CAPÍTULO 3. SUPERFICIES MÍNIMAS. Figura 3.4: Transformación isométrica (local) del catenoide al helicoide. Luego, en virtud del Teorema 2.3, todas las superficies son isométricas entre sí. Además, estamos en las condiciones del Corolario 3.1 y para ver que cada una de las su- 40 3.2. ALGUNOS EJEMPLOS. perficies es mínima bastará con probar que las funciones x,y,zson armónicas. Efectivamente, como X11 = (sin(a)sin(v)sinh(u) + cos(a)cos(v)cosh(u), cos(a)sin(v)cosh(u)−sin(a)cos(v)sinh(u),0), X22 = (−sin(a)sin(v)sinh(u)−cos(a)cos(v)cosh(u), sin(a)cos(v)sinh(u)−cos(a)sin(v)cosh(u),0); tenemos que X11 +X22 =0y por consiguiente las superficies son mínimas. Gracias a dicha familia, podemos visualizar de manera sencilla la ya mencionada transformación localmente isométrica entre el catenoide y helicoide (como puede apreciarse en la Figura 3.4). 3.2.3 Superficie de Scherk. Esta superficie viene dada por x(u,v) = argu+iv +i u+iv −i,argu+iv +1 u+iv −1,log (u+iv)2+1 (u+iv)2−1, con u+iv ,±1, u+iv ,±iy arg(z)∈(−π,π]el ángulo que forma zcon el eje real. Realizando los cálculos oportunos obtenemos argu+iv +i u+iv −i=arctg2u u2+v2−1; argu+iv +1 u+iv −1=arctg−2v u2+v2−1; log (u+iv)2+1 (u+iv)2−1=1 2log(u2−v2+1)2+4u2v2 (u2−v2−1)2+4u2v2. Con ellas, ya podemos representar la superficie, que se aprecia en la Figura 3.5. Estas mismas igualdades nos permiten construir las funciones (3.2): φ1=−2 1+ (u+iv)2; φ2=−2i 1−(u+iv)2; φ3=4(u+iv) 1−(u+iv)4. 41 CAPÍTULO 3. SUPERFICIES MÍNIMAS. Figura 3.5: Superficie de Scherk. Realizando una serie de cálculos, llegamos a que φ2 1+φ2 2+φ2 3≡0. Por consiguiente, la parametrización xes isoterma. Puesto que, además, las funciones φ1,φ2yφ3son analíticas, la superficie de Scherk es una superficie mínima. Esta superficie que acabamos de abordar, no es más un caso particular de la familia de superficies mínimas que descubrió Scherk. Estas vienen dadas por la ecuación implícita ezcos(y)−cos(x) = 0. Dicha familia cumple la particularidad de que puede ser definida sobre el tablero de ajedrez, como se puede observar en la Figura 3.6 (las casillas negras corresponderían a las superficies, mientras que las casillas blancas a los huecos vacíos). Figura 3.6: Primera superficie de Scherk. 42 3.2. ALGUNOS EJEMPLOS. La segunda familia de superficies descubiertas por Scherk tienen como ecuación implícita: sin(z)−sinh(x)sinh(y) = 0; y su representación puede verse en la Figura 3.7. Figura 3.7: Segunda superficie de Scherk. 3.2.4 Superficie de Enneper. Vamos a tomar la parametrización siguiente de la superficie de Enneper: x(u,v) = (u−u3 3+uv2,v−v3 3+vu2,u2−v2), donde u,v∈R(aunque para la representación hemos tomado u,v∈(−2′5,2′5)). La representación de esta superficie aparece en la Figura 3.8. Derivando llegamos a que X1= (v2−u2+1,2uv,2u), X2= (2uv,−v2+u2+1,−2v). De aquí se obtienen de manera sencilla los coeficientes de la Primera Forma Fundamental: g11 =v4+ (2u2+2)v2+u4+2u2+1; g12 =0; g22 =v4+ (2u2+2)v2+u4+2u2+1. 43 CAPÍTULO 3. SUPERFICIES MÍNIMAS. Figura 3.8: Superficie de Enneper. Luego, estamos en las condiciones de la Proposición 3.4. Veamos, por tanto, que X11 + X22 =0. Efectivamente, puesto que X11 = (−2u,2v,2); X22 = (2u,−2v,−2); tenemos que X11 +X22 =0. Observación 3.2. Esta superficie es también una superficie de Bézier, es decir; cada coordenada puede expresarse como combinación lineal de la base de Bernstein: x(u,v) = n ∑ i=0 m ∑ j=0 aijBn i(u)Bm j(v),n ∑ i=0 m ∑ j=0 bijBn i(u)Bm j(v),n ∑ i=0 m ∑ j=0 cijBn i(u)Bm j(v)!, donde Bn i(u) = n iui(1−u)n−iyBm j(v) = m jvj(1−v)n−j. Nos preguntamos ahora si existe una superficie mínima cuyas componentes sean polinomios de grado, a lo sumo, dos y, además, dicha parametrización sea isoterma. Supongamos pues una tal superficie cuyas ecuaciones paramétricas son: x(u,v) = (p1(u,v),p2(u,v),p3(u,v)), 44 3.2. ALGUNOS EJEMPLOS. donde pi(u,v) = ai+biu+civ+diuv +eiu2+fiv2. Derivando llegamos a que X1(u,v) = (b1+d1v+2e1u,b2+d2v+2e2u,b3+d3v+2e3u), X2(u,v) = (c1+d1u+2f1v,c2+d2u+2f2v,c3+d3u+2f3v). Así pues, imponiendo que sea isoterma y como g11 =b2 1+b2 2+b2 3+2(b1d1+b2d2+b3d3)v+4(b1e1+b2e2+b3e3)u+ +4(d1e1+d2e2+d3e3)uv +d2 1+d2 2+d2 3v2+4e2 1+e2 2+e2 3u2, g22 =c2 1+c2 2+c2 3+2(c1d1+c2d2+c3d3)u+4(c1f1+c2f2+c3f3)v+ +4(d1f1+d2f2+d3f3)uv +d2 1+d2 2+d2 3u2+4f2 1+f2 2+f2 3v2, g12 =(b1c1+b2c2+b3c3) + (b1d1+b2d2+b3d3+2(c1e1+c2e2+c3e3))u+ +(2(b1f1+b2f2+b3f3) + c1d1+c2d2+c3d3)v+ +d2 1+d2 3+d2 3+2(e1f1+e2f2+e3f3)uv +2(d1e1+d2e2+d3e3)u2+ +2(d1f1+d2f2+d3f3)v2; obtenemos el sistema:                                                              b2 1+b2 2+b2 3=c2 1+c2 2+c2 3, 2(b1d1+b2d2+b3d3) = 4(c1f1+c2f2+c3f3), 4(b1e1+b2e2+b3e3) = 2(c1d1+c2d2+c3d3), 4(d1e1+d2e2+d3e3) = 4(d1f1+d2f2+d3f3), d2 1+d2 2+d2 3=4(f2 1+f2 2+f2 3), b1c1+b2c2+b3c3=0, b1d1+b2d2+b3d3+2(c1e1+c2e2+c3e3) = 0, 2(b1f1+b2f2+b3f3) + c1d1+c2d2+c3d3=0, 2(d1e1+d2e2+d3e3) = 0, 2(d1f1+d2f2+d3f3) = 0, 4(e2 1+e2 2+e2 3) = d2 1+d2 2+d2 3, d2 1+d2 3+d2 3+2(e1f1+e2f2+e3f3) = 0. Supongamos que los coeficientes verifican estas ecuaciones y veamos qué deben cumplir para que cada polinomio de la parametrización sea armónico. Puesto que X11 =(2e1,2e2,2e3), X22 =(2f1,2f2,2f3); 45 CAPÍTULO 3. SUPERFICIES MÍNIMAS. la condición es ei=−fi, para cada i=1,2,3. Expresando las dos últimas ecuaciones del sistema anterior en forma vectorial:   ⟨d,d⟩=−2⟨e,f⟩, 4⟨e,e⟩=⟨d,d⟩; de las que deducimos que 2⟨e,e⟩=−⟨e,f⟩, que a su vez implica que 2⟨e,e⟩+⟨e,f⟩=2⟨e,e⟩−⟨e,e⟩=⟨e,e⟩=0. Tenemos entonces que e=0, es decir, ei=0, para cada i=1,2,3. Por tanto, fi=0, para cada i=1,2,3. Combinando esto con el hecho de que d2 1+d2 2+d2 3=4(e2 1+e2 2+ e2 3) = 0, obtenemos que di=0, para cada i=1,2,3. Luego la superficie que estamos considerando es una porción del plano. En relación con el problema de Plateau, podemos formular un problema similar pero restringiéndonos a las superficies de Bézier. Este se conoce como problema de Plateau- Bézier y reza así: Dado el borde, o de forma equivalente, los puntos de control de la frontera, de una superficie de Bézier, encontrar los puntos de control interiores tales que la correspondiente superficie de Bézier sea la de menor área entre todas las superficies de Bézier que tengan la misma frontera. Para conocer más sobre este problema, se puede consultar [10]. 3.2.5 Superficie de Henneberg. Muchas superficies mínimas se pueden encontrar al resolver el problema de Björling: Encontrar la superficie mínima que atraviese a una curva analítica real no cerrada dada, conocidos también los planos tangentes de la curva a lo largo de ella. Un aspecto interesante sobre este problema es que si la curva está contenida en un plano, entonces es una geodésica de la superficie resultante. La superficie que tratamos ahora es una solución de este para la curva c(t) = cosh(2t)−1,0,−sinh(t) + 1 3sinh(3t) 46 4.1. PREPARACIÓN. Observación 4.3. Las condiciones de contorno representan dos relaciones no lineales entre las funciones componentes xjsobre Cmientras que las dos relaciones adicionales (que la parametrización sea isoterma o, equivalentemente, que G(z) = 0), que tienen la apariencia de dos ecuaciones en derivadas parciales adicionales no lineales, equivalen a solo un requerimiento más del carácter de una condición de contorno. Observación 4.4. Para que esta función G(z)sea idénticamente nula, ya que es una función analítica con cualquier vector potencial, su parte real g11 −g22 debe tener valores de contorno nulos y, además, la parte imaginaria debe anularse en un punto. Para la resolución que trataremos, trabajaremos con un tipo de funciones para las que necesitamos introducir el siguiente concepto: Definición 4.1. Supongamos que Γes una curva de Jordan cerrada en R3orientada por el homeomorfismo γ:C−→Γ. Entonces se dice que la función φ:C−→Γes débilmente monótona si existe una función continua no decreciente τ:[0,2π]−→Rcon τ(2π) = τ(0)tal que φeiθ=γeiτ(θ)para 0 ≤θ≤2π. Ahora sí, las funciones con las que trataremos en la demostración son las siguientes: Definición 4.2. Dada una curva de Jordan Γen R3, una función x:B−→ R3es de clase C(Γ)respecto a una orientación fijada γ:C−→ Γde Γsi xpertenece al espacio de Sobolev H1(B)3=f∈L2(B)|Dαf∈L2(B), para todo α∈N2:∥α∥≤13y si su traza x|Cse puede representar por una función continua débilmente monótona φ:C−→Γ. Nota 4.1. Aquí por “traza” nos referimos a una aplicación ϕ:H1(B)−→ L2(C), la cual extiende a la aplicación lineal f∈C1)(B∪C)7→ f|C. Nota 4.2. Recordemos que el espacio L2(B)es el espacio cociente L2(B)/R, con L2(B)el conjunto de las funciones medibles definidas sobre Btales que Z ZB||f||2dm <∞yRes la relación de equivalencia f Rg si y solo si f=gsalvo un conjunto de medida nula es decir, Z ZB∥f−g∥2dm =0. 53 CAPÍTULO 4. PROBLEMA DE PLATEAU. En lo que sigue nos será de utilidad el siguiente lema elemental. Lema 4.1. Sea f(λ)una función no negativa y continua a trozos en el intervalo 0 ≤a≤λ≤b verificando que Zb af(λ)dλ≤L. Entonces existe, en todo subintervalo α≤λ≤tα, un valor λ0para el cual f(λ0)≤ ε λ0, donde ε=L log(t). Este εse puede puede tomar arbitrariamente pequeño y no dependiente de f(λ)sino únicamente de L, si tes suficientemente grande. Demostración. Si en α≤λ≤tαtenemos que f(λ)>ε λ, se seguiría que Ztα αf(λ)dλ>εlog(t) = L, llegando así a una contradicción. ■ Una consecuencia de suma importancia para el tratamiento que haremos del problema de Plateau es la siguiente: Lema 4.2 - de Courant-Lebesgue. Sea xde clase C0)(B∪C)∩C1)(B)y de forma que su integral de Dirichlet está acotada por L<∞. Sea Oun punto del plano, Arparte de una circunferencia de radio ralrededor de Ocontenida en B. Entonces, para todo δsuficientemente pequeño, existe un r0, con δ≤r0≤√δ, tal que, sobre todo arco conexo de Ar0, la oscilación de los vectores xno excede el valor ε(δ) = 4πL |log(δ)|1 2. (La oscilación del vector xse tomará nula si no existe un arco Aren B). En particular, para Osobre Cyδtan pequeño que Ares un único arco, existen dos puntos P1,P2sobre Ca la misma distancia r0de Ocon ∥x(P1)−x(P2)∥≤ε(δ). 54 4.1. PREPARACIÓN. Demostración. Consideremos las coordenadas polares alrededor de O(ρ,θ)y tomemos s= (r,θ), p(r) = ZAr X2 sds y definimos p=0 si la circunferencia de radio rno tiene un arco dentro de B. De aquí se deduce que Zb ap(r)dr ≤D(x)≤L, donde aybson límites arbitrarios. Tomando a=δyb=√δ, encontramos dos puntos arbitrarios P1,P2sobre Arde forma que, por la desigualdad de Hölder, se tiene ∥x(P1)−x(P2)∥2≤ZAr∥Xs∥ds 2 ≤ZAr∥Xs∥2dsZAr ds ≤2πrZAr X2 sds =2πrp(r). Por consiguiente, gracias al Lema 4.1,∥x(P1)−x(P2)∥2≤ε2para un valor r=r0ade- cuado con ε=4πL |log(δ)|1 2.■ Para ayudar en la visualización de esta prueba introducimos la Figura 4.1. Figura 4.1 Observación 4.5. Notemos que εsolo depende de Ly de δ. Esto implica que el lema se puede aplicar uniformemente a todos los vectores xcon D(x)≤Ly todos los dominios B. 55 CAPÍTULO 4. PROBLEMA DE PLATEAU. Observación 4.6. Si Bfuera un dominio cualquiera en el plano y su frontera fuera una curva de Jordan, no necesariamente una circunferencia, podríamos aportar un lema idéntico al anterior y cuya demostración es totalmente análoga a la que aquí vemos. Del Lema 4.2 podemos deducir otro lema que nos resultará esencial en la prueba del problema de Plateau. Para este se requerirá que Γsea una curva de Jordan, ya que este tipo de curvas verifican la siguiente propiedad: Proposición 4.1. Dada una curva de Jordan Γ, existe una función η(ε)que converge a 0 cuando εtiende a 0, de modo que, para dos puntos cualesquiera P1yP2de Γcuya distancia no exceda de ε,P1yP2son los puntos extremos de un arco sobre Γcon diámetro menor que η(ε). Recordemos el concepto de sucesión de funciones equicontinua, pero para las funciones que estamos manejando: Definición 4.3. Una sucesión de vectores (xn)bajo las condiciones del Lema 4.2 y transformando Cen Γde manera monótona, se dirá que es equicontinua sobre Csi para cualquier par de puntos P1yP2sobre C, con distancia menor que δ, se verifica que ∥xn(P1)−xn(P2)∥<ε(δ), donde ε(δ)converge a 0 cuando δtiende a 0 y, además, ε(δ)es independiente de n. Por otra parte, se dirá que Res un punto de no equicontinuidad si existen dos sucesiones de puntos (Pn)y(Qn)sobre C, ambas convergiendo a R, y una constante positiva α, tales que ∥xn(Pn)−xn(Qn)∥>αpara infinitos n. Si existe tal punto, se dirá que la sucesión (xn)es no equicontinua. Observación 4.7. Eligiendo una subsucesión adecuada y notándola nuevamente como (xn), podemos asumir que la desigualdad ∥xn(Pn)−xn(Qn)∥>αse cumple para todo n. 56 4.1. PREPARACIÓN. Lema 4.3. Sea (xn)una sucesión cumpliendo las condiciones de la Definición 4.3. Sea Run punto de no equicontinuidad para (xn)sobre C. Sea nuevamente D(xn)acotada por L. Sea bun arco de Cde extremos A,Bconteniendo a Rpero arbitrariamente pequeño y sea b′el arco complementario de C. Entonces, al menos para una subsucesión (xn), la imagen βde bpor xncubre todo Γ, excepto un arco β′cuyo diámetro tiende a cero cuando ncrece. Demostración. Por el Lema 4.2 hay, para todo n, dos puntos Pn,Qn(dependientes de n) sobre Ca igual distancia r0de Rcon δ≤r0≤√δtal que ∥xn(Pn)−xn(Qn)∥<ε(δ) = 2πL |log(δ)|1 2. Las imágenes P′ nyQ′ nde PnyQnsobre Γdividen por tanto a Γen dos arcos φyφ′, uno de ellos con diámetro menor que η(ε)(por la Proposición 4.1) y, por consiguiente, menor que cualquier cantidad para δsuficientemente pequeño. Elegido δ, seleccionamos ntan grande que la distancia de los puntos PnyQnaRes menor que δ. Ya que φ, tomado como la imagen del arco PnR Qn, debe, para δfijo y n suficientemente grande, estar contenido en la imagen βde by puesto que el diámetro de φexcede a α, pues Res un punto de no equicontinuidad, tenemos que el diámetro de φ′y, puesto que φ′es el complementario de φy, por tanto, contiene a β′; también el diámetro de la imagen β′de b′, es menor que ηy tiende a cero con δ.■ Para ayudar en la visualización de esta prueba introducimos la Figura 4.2. Corolario 4.1. El mismo enunciado y una prueba idéntica se mantienen si el vector xnno transforma Cen una curva fija Γ, sino en una curva continua Γnque tiende a Γcuando ncrece. Observación 4.8. La convergencia de la que hablamos en el resultado anterior debe ser tal que si dos puntos PnyQnde Γntienden a dos puntos AyBde Γ, entonces los puntos del arco PnQn sobre Γndeben tender también a los puntos del arco A B sobre Γcorrespondiente. Sin embargo, la curva Γnno necesariamente es inyectiva, puede tener autointersecciones, las cuales desaparecen en el límite. 57 CAPÍTULO 4. PROBLEMA DE PLATEAU. Figura 4.2 Observación 4.9. De igual manera, el lema sigue siendo cierto si los vectores xnno están definidos en un dominio Bfijado, sino en un dominio circular Bnque converja a B. El último concepto que nos va a resultar de interés es el de sucesión minimizante: 58 4.2. SOLUCIÓN PARA UNA FRONTERA. Definición 4.4. Consideremos el problema de encontrar el mínimo del funcional J(f)definido en un espacio Hde funciones admisibles f. Asumamos que hay funciones en Hpara las que J(f)<∞y, aún más, que ´ ınf f∈HJ(f):=µ>−∞. Entonces, por la definición de µ, existe una sucesión de funciones (fn), llamada sucesión minimizante, tal que l´ ım n→∞J(fn) = µ. De esta forma, si la sucesión tiene una función límite b fy podemos escribir Jb f= l´ ım n→∞J(fn), entonces Jb f=µyb fes la solución del problema variacional. Con esto, procedemos a “atacar” el problema de Plateau. 4.2 SOLUCIÓN PARA UNA FRONTERA. En la presente sección abordaremos finalmente la solución del problema de Plateau. Encontramos que esta se encuentra dividida en dos partes bien diferenciadas. La primera, sobre la existencia de solución del problema, para la que se ha seguido [3,4]. La segunda, la demostración de que dicha solución define efectivamente una superficie mínima. El lector interesado puede consultar [11,15] para obtener más información de la que aquí tratamos sobre esta última. Recordemos que nuestro problema es el siguiente: Sea Γuna curva de Jordan dada en el espacio tridimensional. Encontrar una superficie M cuyo borde es Γy venga dada, en ecuaciones paramétricas, por x(u,v)sobre el círculo unidad B, siendo su frontera C, y tal que xverifica que g11 =g22, g12 =0y transforma C monótonamente en Γ. Recordemos también que la integral de Dirichlet es invariante bajo parametrizaciones isotermas. Por tanto, todos los correspondientes problemas para otros dominios B′que son equivalentes a Bde manera conforme, son equivalentes. Es por ello que, en lo que resta, asumiremos que la condición de los tres puntos se satisface para los vectores xa considerar, es decir; para estos xse verifica: Para cualesquiera P1, P2, P3puntos distintos y fijos sobre C, y Q1, Q2, Q3puntos distintos y fijos sobre Γ, entonces xdebe transformar Pien Qi, para cada i =1,2,3. Procedamos con la demostración. 59 CAPÍTULO 4. PROBLEMA DE PLATEAU. 4.2.1 Existencia de solución. Sin saber a priori de la existencia de una solución para el problema variacional, sí que estamos seguros de que existe una sucesión minimizante (xn)∈C(Γ)de vectores admisibles verificando la regla de los tres puntos para la cual D(xn)converge a dcuando ntiende a infinito. Además, podemos asumir, sin pérdida de generalidad, que xnes una superficie de clase C0)(B∪C)∪C2)(B)que satisface ∆xn=0en B, para n=1,2,···. Si no fuera así, podemos sustituir la sucesión (xn)por la solución (yn)del problema de Dirichlet:    ∆yn=0en B, yn=xnsobre C, que sabemos que tiene solución y es única por el Teorema 2.13. Estas yntienen la misma regularidad que (x)y, puesto que minimizan D(x)para x∈H1(B)3con x−xn∈ int(H1(B))3, se tiene que D(yn)≤D(x). Por construcción, tenemos que y∈C(Γ)verificando la regla de los tres puntos, por ello d≤D(yn), y de aquí se sigue que D(yn) = d cuando ntiende a infinito. Notemos ahora que la sucesión (xn)es equicontinua sobre C. Efectivamente, supongamos por el contrario que, después de escoger una subsucesión adecuada, tenemos un punto de no equicontinuidad Rsobre C. Esto contradice, por el Lema 4.3, la condición de los tres puntos, pues esta condición excluye la posibilidad de que un arco arbitrariamente pequeño bde Csea transformado en toda la curva Γsalvo un segmento arbitrariamente pequeño. Teniendo en cuenta que la sucesión es minimizante, existe L>0 tal que D(xn)≤L, para todo n. Luego estamos en las condiciones del Lema 4.2 y, como xn(C) = Γ, encontramos una esfera S2 rde radio r>0 centrada en el origen de forma que Γ⊂S2 r. Por tanto, ∥xn|C∥<rpara todo n, es decir; (xn|C)es puntualmente acotada. De aquí se sigue, por el Teorema 2.6, que podemos tomar una subsucesión de (xn), que en un abuso de notación llamaremos nuevamente (xn), que converja uniformemente sobre la frontera C. Ahora bien, en virtud del Teorema 2.9, la convergencia uniforme de los valores de contorno de esta sucesión implica la convergencia uniforme de estos vectores en B∪ C. Definimos así el vector xcomo el límite de (xn)cuando ntiende a infinito. Como consecuencia, xes de clase C(Γ)y cumple la regla de los tres puntos. Por tanto, d≤ D(x). Combinando la convergencia uniforme de (xn)en B∪Ccon el Teorema 2.10, se deduce 60 4.2. SOLUCIÓN PARA UNA FRONTERA. que, en cada círculo concéntrico, las derivadas de (xn)convergen uniformemente a las derivadas de x. Denotando por Dra la integral de Dirichlet para un círculo concéntrico de radio r<1, tenemos que Dr(x) = l´ ım n→∞Dr(xn)≤l´ ım n→∞D(xn) = d. Ahora, tomando rtendiendo a 1, obtenemos que D(x)≤dy, por tanto, D(x) = d. Luego, xes solución del problema. 4.2.2 La solución define una superficie mínima. Debemos probar ahora que la superficie M={x=x(u.v):(u,v)∈B∪C}es, en realidad, una superficie mínima. Para ello, será suficiente ver que G(z) = G(u+iv) = (X1−iX2)2=g11 −g22 −2ig12 es idénticamente nula en B, ya que xes armónico por el razonamiento anterior. Consideremos el cambio de variables: (α=α(u,v) = ucos(ελ)−vsin(ελ) = ρcos(θ+ελ) β=β(u,v) = usin(ελ) + vcos(ελ) = ρsin(θ+ελ)), (4.1) donde λ(u,v)es una función con primeras y segundas derivadas continuas en B∪C. Debido a esto, en virtud del Teorema de Weierstrass,λ2 1yλ2 2son acotadas y alcanzan sus extremos absolutos en B∪C. Por tanto, existe L=m´ ax B∪Cλ2 1+λ2 21 2. Para |ε|<1 L, este cambio de variables define una transformación biyectiva del disco unidad u2+v2≤1 en α2+β2≤1 la cual lleva círculos concéntricos en círculos concéntricos. Sean u=u(α,β),v=v(α,β)la inversa de este cambio de variables y bx(α,β) = x(u(α,β),v(α,β)). Aplicando una transformación isoterma α=α(ξ,η),β=β(ξ,η)del disco α2+β2≤ 1 al disco ξ2+η2≤1, podemos hacer que los puntos z1=1, z2=e2πi 3yz3=e4πi 3 permanezcan fijos por la composición (u,v)→(ξ,η). Tomamos ahora x(ε)(ξ,η) = bx(α(ξ,η),β(ξ,η)). El vector x(ε)(u,v), donde hemos reemplazado ξyηpor uyv, es admisible. La invarianza de la integral de Dirichlet bajo transformaciones isotermas implica que 2Dx(ε)=Z ZB(ε)X(ε) ξ2+X(ε) η2dξdη=Z Zb Bb X2 α+b X2 βdαdβ= =Z ZBhg11(α2 2+β2 2)−2g12(α1α2+β1β2) + g22(α2 1+β2 1)idet(J)−1dudv, 61 CAPÍTULO 4. PROBLEMA DE PLATEAU. donde hemos denotado por B(ε),b ByBa los dominios ξ2+η2<1, α2+β2<1 y u2+ v2<1, respectivamente; Ja la matriz jacobiana de (4.1) y hemos aplicado el teorema general del cambio de variables. Trabajemos el primer término: g11(α2 2+β2 2) det(J)=g11 +2εg11uλ2+ε2g11(u2λ2 2+v2λ2 2) 1−εvλ1+εuλ2= =g11 +−εg11(uλ2−vλ1) + 2εg11uλ2+ε2g11(u2λ2 2+v2λ2 2) 1−εvλ1+εuλ2= =g11 +εg11(vλ1+uλ2) + ε2g11(u2λ2 2+v2λ2 2) 1−εvλ1+εuλ2= =g11 +εg11(vλ1+uλ2)+ +−ε2g11(vλ1+uλ2)(−vλ1+uλ2) + ε2g11(u2λ2 2+v2λ2 2) 1−εvλ1+εuλ2= =g11 +εg11(vλ1+uλ2) + ε2g11v2(λ2 1+λ2 2) 1−εvλ1+εuλ2= =g11 +εg11(vλ1+uλ2) + ε2g11v2(λ2 1+λ2 2) + ε3σ1, donde σ1=g11v2(λ2 1+λ2 2)(vλ1−uλ2) 1−εvλ1+εuλ2. Este mismo procedimiento nos sirve para obtener que g22(α2 1+β2 1) det(J)=g22 −εg22(vλ1+uλ2) + ε2g22u2(λ2 1+λ2 2) + ε3σ2, −2g12(α1α2+β1β2) det(J)=−2εg12(uλ1−vλ2)−2ε2g12uv(λ2 1+λ2 2) + ε3σ3, con σ2=g22u2(λ2 1+λ2 2)(vλ1−uλ2) 1−εvλ1+εuλ2yσ3=−2g12uv(λ2 1+λ2 2)(vλ1−uλ2) 1−εvλ1+εuλ2. Agrupando adecuadamente los términos se llega a que: 2Dx(ε)=D(x) + εZ ZB[(g11 −g22)(vλ1+uλ2)−2g12(uλ1−vλ2)]dudv+ +ε2Z ZB(g11v2−2g12uv +g22u2)(λ2 1+λ2 2)dudv+ +ε3Z ZB(σ1+σ3+σ3)dudv. Notemos ahora que 0 ≤Z ZB(g11v2−2g12uv +g22u2)(λ2 1+λ2 2)dudv ≤L2D(x). Además, el valor absoluto de la integral que acompaña a ε3se puede acotar por C(L)D(x), 62 A.7. SEGUNDA SUPERFICIE DE SCHERK. A.7 SEGUNDA SUPERFICIE DE SCHERK. var ( ’x , y , z ’ ) f = sin ( z )−sinh ( x) *sinh (y) implicit_plot3d ( f , (x , −7, 7) , (y , −7, 7) , (z , −7, 7) , mesh = False , frame = False , opacity = 9.25/10) A.8 SUPERFICIE DE ENNEPER. f = (lambda u , v : u−u^3/3+u*v^2 , lambda u , v : v−v^3/3+v*u^2 , lambda u, v : u^2− v^2) parametric_plot3d ( f , ( −2.5 , 2.5) , ( −2.5 , 2.5) , mesh = True , frame = False ) A.9 SUPERFICIE DE HENNEBERG f = (lambda u , v : −sinh (u) *cos (v) +1/3*sinh (3*u) *cos (3*v) , lambda u, v : sinh (u) *sin (v) +1/3*sinh (3*u) *sin (3*v) , lambda u, v : −1+cosh (2*u) *cos (2*v) ) parametric_plot3d ( f , (− pi /2 , pi /2) , (− pi /2 , pi /2) , frame = False , mesh = True , opacity = 9.75/10) A.10 CICLOIDE. g = (lambda t : t −sin ( t ) , lambda t : 1−cos ( t ) ) parametric_plot(g, (0 ,2*pi ) , thickness = 2.5 , gridlines = True ) 69 APÉNDICE A. LÍNEAS DE CÓDIGO. A.11 SUPERFICIE DE CATALAN. f = (lambda u , v : u−sin (u) *cosh (v) , lambda u, v : 4*sin (u/2) *sinh (v/2) , lambda u, v : 1−cos (u) *cosh (v) ) parametric_plot3d ( f , (0 ,4*pi ) , ( −2 ,2) , mesh = True , frame = False , opacity = 9/10) 70 BIBLIOGRAFÍA 71 [1] S. AXLEY, P. BOURDON, W. RAMEY.Harmonic Function Theory. Segunda edición. Springer-Verlag. Nueva York, 2001. [2] A. CARRIAZO, L. M. FERNÁNDEZ, M. T. VILLAR.Resumen de la Asignatura: Geometría Local de Curvas y Superficies. Departamento de Geometría y Topología. Universidad de Sevilla. [3] R. COURANT. «Plateau’s Problem and Dirichlet’s Principle». Annals of Mathematics,vol. 38, 679–724, 1937. https://www.jstor.org/stable/1968610. [4] U. DIERKES, S. HILDEBRANDT, F. SAUVIGNY.Minimal Surfaces. Segunda Edición. Springer-Verlag. Berlin, 2010. https://link.springer.com/book/10. 1007/978-3-642-11698-8 [5] M. P. DOCARMO.Geometría Diferencial de Curvas y Superficies. Primera edición. Alianza Universidad Textos. Madrid, 1990. [6] S. V. 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