Una explicación de las regularidades detectadas por Pascal en su tabla de valores de las partidas

C apítulo 2 4 Una explicación de las regularidades detectadas por Pascal en su tabla de valores de las partidas Francisco Javier Ortega Irizo José Antonio Camúñez Ruíz Jesús Basulto Santos Universidad de Sevilla Introducción Entre el verano y el otoño de 1654 tuvo lugar la correspondencia entre los sabios franceses Blaise Pascal (1623-1662) y Pierre de Fermat (1601-1665), donde se abordan, además de otros problemas sobre aritmética y geometría, la resolución de tres problemas sobre juegos de azar: El problema del dado con partidas no jugadas, el problema de los dados del Caballero de Méré y el Problema de los Puntos, siendo este último el que consideraremos en nuestro trabajo. De forma resumida, el Problema de los Puntos se presenta en la siguiente situación: dos jugadores, A y B, se ponen de acuerdo en jugar una serie de juegos justos, que llamaremos partidas, hasta que uno de ellos haya ganado un número especificado de ellas, por ejemplo, n. Por alguna razón, los jugadores deciden interrumpir el juego cuando el jugador A ha ganado ga partidas y B ha ganado gb, donde ga y gh son menores que n, o sea, el juego ha sido interrumpido antes de la conclusión del mismo. Si los jugadores A y B han apostado la misma cantidad monetaria, k, surge entonces el problema de cómo repartir la cantidad total apostada, 2k, entre ambos. La forma de hacer el reparto es lo que se conoce como Problema de los Puntos. Aunque hubo soluciones anteriores a este problema (en algunos manuscritos medievales de Italia y Francia y las proporcionadas por los matemáticos italianos del Renacimiento como Pacioli, Tartaglia, Forestani, Peverone o Cardano) las más conocidas son las que aportaron Pascal y Fermat en su famosa correspondencia de 1654 y en la publicación postuma, en 1665, del Triángulo Aritmético de Pascal. Estos autores lo abordan acotando el mismo dentro de los 383 Historia de la Probabilidad y la Estadística (IV) siguientes supuestos: (1) Por juego justo entienden que los jugadores tengan la misma habilidad y, también, que sus apuestas sean proporcionales a sus habilidades, es decir, deben apostar la misma cantidad monetaria. En lenguaje actual, el supuesto sería que la probabilidad de que el jugador A gane una partida es igual a 0.5. (2) Los jugadores “ni se cansan ni aprenden en el desarrollo del juego”, es decir, sus habilidades permanecen constantes y, así, no les afectan los resultados obtenidos en partidas anteriores. Este último supuesto corresponden a lo que entendemos en el campo de las probabilidades como independencia, es decir, supone que los distintos juegos son conjuntamente independientes. Por último, el supuesto (3) se refiere a que al interrumpirse el juego la información relevante es el número de partidas que le restan por ganar a cada jugador y, así, están suponiendo que el juego interrumpido puede reanudarse hasta finalizar con un ganador. La situación existente al interrumpirse el juego la representaremos por (a, b), donde los valores a y b son el número de partidas que le restarían por ganar a los jugadores A y B respectivamente para ser proclamados vencedores del juego. Bajo los tres supuestos anteriores, Pascal y Fermat resuelven el problema de los puntos mediante los siguientes métodos: (a) Fermat sumerge el problema de los puntos en un nuevo problema con un número máximo de partidas y lo resuelve mediante combinatoria; (b) Pascal propone su regla de la esperanza y a partir de su trabajo sobre el Triángulo Aritmético, que hoy denominamos, Triángulo de Pascal, resuelve el problema a partir de la binomial simétrica y (c), ante las dudas que planteó Pascal a su primera propuesta, Fermat resuelve el problema a partir de lo que hoy denominamos binomial negativa. Para el caso genérico de juego interrumpido en la situación (a,b), es decir, al jugador A le faltan a partidas y b al jugador B, si 2k es el total apostado por ambos jugadores, Pascal calcula la probabilidad de que el jugador A ganase el juego, si éste continuase, por la siguiente fórmula: y, por tanto, dicho jugador debe recibir la cantidad 2k ■ PA [( a, ¿>)] . Uno de los problemas particulares que aborda Pascal dentro de este contexto es el siguiente. Partiendo de la situación (b,b), es decir, a ambos jugadores les restan el mismo número de partidas para ganar el juego, consideramos los juegos {(¿-y,ó); j = 1,2,...,ó}, o sea, juegos en los que el jugador A va ganando partidas de forma sucesiva, mientras que B no gana ninguna. Bajo esta premisa, Pascal compara las situaciones (b-r + \,b) con (b -r,b ), es decir, el jugador A al que le faltaban b -r + l partidas ha ganado una más (la partida résima) y, por tanto, ahora le faltan b -r partidas. El interés de Pascal consiste en calcular el valor que tiene la partida r-ésima ganada por el jugador A, valoración que se hace sobre la apuesta del otro jugador. O sea, Pascal calcula la proporción de apuesta del jugador B que le aporta al jugador A al ganar la partida r-ésima. Si llamamos a esta proporción WA [(r,¿>)], entonces por ejemplo, WÁ [(2,6)] es la diferencia entre la proporción que el primer jugador se lleva del otro al haber alcanzado el juego (b-2,b) y esta misma cuando llegó al juego (b -1,b) . En este caso, usando el lenguaje de Pascal, diríamos que WA [(2,¿)] mide “e/ valor de la segunda partida”. Pascal demuestra el siguiente resultado: 384 Historia de la Probabilidad y la Estadística (IV) WA[(r,b)] = b -r cuya demostración con notaciones más actuales puede verse en Basulto y Camúñez (2007,a). Esta fórmula le permite calcular WA [(r,h)] para distintos valores de b y r . En su carta del 29 de julio 1654, Pascal incluye la siguiente tabla de valores de las sucesivas partidas ganadas por el primer jugador como proporción de lo apostado por el segundo. Tabla I. Tabla de Pascal: Valor de las partidas Número de partidas del juego 6 5 4 32 1 Ia 0’2461 0’2734 0’3125 0’375 0’5 1 —2a 0’2461 0’2734 0’3125 0’375 0’5 -o T3 3a 0’2188 0’2344 0’250 0’250 s ÿ ~ C'. 4a 0’ 1641 0’ 1563 0’125 >5a 0’0938 0’0625 6a 0’0313 En esta tabla las filas son los valores de las partidas, de la primera a la sexta, y las columnas corresponden a valores de b. Pascal presenta esta tabla multiplicada por 256 para operar con enteros, nosotros hemos trabajado con los valores calculados de las partidas. Sobre esta tabla, Pascal escribe a Fermat en la citada carta: “Veréis igualmente que los números de la primera línea aumentan siempre, lo mismo los de la segunda, lo mismo los de la tercera. Pero a continuación, los de la cuarta disminuyen, los de la quinta, etc. Esto es lo que resulta extraño ”. Igual que Pascal se extrañaba de las regularidades encontradas en su tabla, a nosotros nos extraña que ninguno de los autores que hemos investigado, posteriores a Pascal y Fermat, hayan abordado esta cuestión más particular que se presenta de forma colateral a la resolución del Problema de los Puntos. Por ejemplo, Huygens (1629-1695) recoge, en su conocida obra De Ratiociniis in Ludo Alea (1657, versión latina, 1660, versión holandesa, la primera obra impresa sobre este cálculo), los resultados de Pascal y Fermat sobre la resolución del Problema de los Puntos, sin añadir nada nuevo sobre este asunto. Igual ocurrirá con Jacob Bernoulli que en su obra, The Art of Conjecturing, publicada en 1713, y cuya traducción en el 2006, se debe a Edith Dudley Sylla, recoge en las páginas 106-110 los mismos resultados que Huygens, a pesar que en un trabajo sobre Lettre a un Amy, sur les Parties du Jeu de Paume, Jacob Bernoulli introduce jugadores con distintas habilidades en un juego de Tenis. Para el caso de que las habilidades de los jugadores sean distintas, sean estas p y q, con p + q = 1, p > 0, q >0. si mantenemos que las probabilidades son proporcionales a dichas habilidades en cada partida, Johann Bernoulli, un primo de Jacob Bernoulli aportará una generalización de la fórmula de Pascal para el cálculo de la probabilidad de que el jugador A gane el juego, si éste continuase: pÁ M ) ] = X a + b- 1 P<1 385 Historia de la Probabilidad y la Estadística (IV) Esta formula aparece, sin demostración, por primera vez en una carta de fecha 17 de marzo de 1710 que Johann Bernoulli envió a P. R. Montmort, el cual la recoge en la segunda edición de su obra, Essay d ’analyse sur les jeux de hazard, 1713 second edition, en las páginas 232-248. En este fragmento, Montmort prueba esta formula de Johann Bernoulli, añadiendo otra equivalente que generaliza la solución última de Fermat mediante la Binomial Negativa (Basulto el al, 2005). De forma independiente, A. de Moivre resolverá el problema de los puntos para desigual habilidad de los jugadores y para más de dos jugadores en sus obras de De Mensura Sortis (1712) y The Doctrine of Chances. Como ya se ha dicho, en ninguna de las obras citadas que siguieron al trabajo de Pascal hemos encontrado el estudio y valoración individualizada de cada partida ganada por un jugador. Así pues, el objeto del presente trabajo es explicar el “comportamiento extraño” detectado por Pascal en base a propiedades de la distribución de probabilidad binomial (obsérvese que WA[(r,bj\ = P[X2b_r_¡ = b-r], donde X2br , es una variable aleatoria que sigue un modelo binomial de con 2 b -r-\ pruebas independientes y probabilidad de éxito p = 0.5). Asimismo, extenderemos los resultados obtenidos por Pascal para el caso de jugadores con igual habilidad a la situación genérica en que las habilidades de los jugadores sean p y q , donde ( p + q = 1 ). A partir de aquí, en la sección 2 generalizamos la fórmula de valoración de las partidas al caso de jugadores con distinta habilidad; en la sección 3 analizamos las propiedades de la distribución binomial que nos permitirán, en la sección 4, explicar el comportamiento de la tabla construida por Pascal. En la sección 5, exponemos las principales conclusiones de este trabajo. Valoración de las partidas ganadas en el caso de jugadores con distinta habilidad. Para un juego interrumpido en la situación (a,b), donde suponemos que las habilidades de los jugadores A y B son p y q, respectivamente, que son valores del intervalo (0,1), con p + q = 1, la probabilidad de que el jugador gane el juego, suponiendo que éste continuase, como ya hemos señalado viene dada por la fórmula PA[(a,b)]= £ a + b -\ \p‘qa+b-'-‘. Ahora, nuestro interés se centra en obtener el valor de cada partida en la situación descrita en el epígrafe primero, cuando las habilidades de los jugadores son distintas. En este caso, no supondremos que cada jugador apuesta una cantidad monetaria K, sino que trabajaremos bajo el supuesto de que cada jugador hace una apuesta proporcional a su habilidad. El hecho de trabajar bajo esta suposición de apuesta proporcional a la habilidad, nos va a permitir generalizar los resultados obtenidos por Pascal con la binomial simétrica (de parámetro /; = 0'5 ) a la binomial general de parámetro p . O, en otras palabras, los resultados obtenidos por Pascal para el caso simétrico pueden generalizarse al caso general siempre que supongamos que las apuestas sean proporcionales a las habilidades. Concretamente, sin pérdida de generalidad, supondremos que el total apostado es la unidad, con lo que las cantidades apostadas por los jugadores A y B serán p y q respectivamente. 386 Historia de la Probabilidad y la Estadística (IV) En esta situación, el siguiente lema generaliza la relación encontrada por Pascal entre los valores de las distintas partidas con las probabilidades de una variable aleatoria binomial. r2 b -r -Ú Lema 1: WA[(r,b)\- -r- b -r pbrqb~x. La demostración de este lema se recoge en el apéndice I. Como podemos comprobar, el valor de la partida r-ésima se corresponde con la probabilidad de que una variable aleatoria binomial con 2 b -r -\ pruebas independientes cada una de ellas con probabilidad de éxito p tome el valor b -r , es decir, WA [(r, ¿>)] = P[ Xn = b - r], donde X n ~ Bi(n,p), siendo n = 2 b -r-\. Pascal encontró el comportamiento “extraño” al analizar su tabla por filas. Así, lo que hace es comparar el valor de una de las partidas (por ejemplo la primera, la segunda, etc.) cuando el número inicial de partidas que le restaban a cada jugador era b y b- 1 respectivamente. Es decir, Pascal se interesa por las comparaciones del tipo WA[{r,b)] con WA[(r,b-1)]. El encuentra que cuando r = 1,2,3, WÁ[(r,b)\ siempre es mayor (en un caso igual) que WA[(r,b-1)], mientras que se da la situación contraria para r = 4,5. Puesto que el valor de cada par (r,b) puede identificarse con la probabilidad de un valor concreto de una variable binomial con probabilidad de éxito p , utilizaremos esta correspondencia para explicar el comportamiento de la tabla de Pascal y generalizarlo también al caso de distintas habilidades. Ahora bien, el valor b -r, por conveniencia, vamos a expresarlo en la forma ~ - l o para lo que resulta conveniente distinguir los casos en que r es par de aquellos en los que es impar. Concretamente, cuando r es impar, entonces n = 2b - r -1 es par y en este caso nos interesa relacionar el par (r,b) con la probabilidad del valor — / de Xn ; ahora bien, como n r — 1 sabemos que dicho valor es b - r , entonces debe cumplirse — l = b - r , y por tanto / = ----- , pudiendo escribir ahora WA [(r,ú)] = Pdonde n = 2b - r -1 y. Por ejemplo, la primera partida, r = 1, la relacionamos con el valor —, que al ser n par (n = 2b-2) corresponde al valor mediano o central del conjunto de posibles valores que toma la variable Xn, es decir, las situaciones |(l,6),(1,5),(1,4),(1,3),(1,2)} se corresponden siempre con los valores {5,4,3,2,1} de una distribución binomial en la que n va tomando los valores {10,8,6,4,2} respectivamente. Para la partida tercera, r = 3, 1 = 1, y, por tanto, el valor relacionado es — — 1, el primer valor a la izquierda del valor central (n = 2b-A), y así sucesivamente. Para las partidas pares,r = 2,4,6,..., se tendrá que n = 2 b -r -l es impar y ahora relacionamos la partida r-ésima con el valor b -r = ^-^--1 de una variable binomial con 387 Historia de ia Probabilidad y la Estadística (IV) . Por parámetros (n,p), donde / = ~~~ y> Por e* Lema I, WA [(r,è)] = P X n= ^-^--l n — 1 ejemplo, la segunda partida, r = 2, la relacionamos con el valor — , que al ser n impar (n = 2b -3 ) corresponde al menor de los dos valores centrales del conjunto {0,1,2,...,/?}, valores que toma la variable Xn. Para la partida cuarta, r = 4, tendremos n = 2b -3 y el valor relacionado es ——- -1, y así sucesivamente. 2 La anterior correspondencia entre partidas y valores de una variable binomial, no superiores al mínimo de los valores medianos, permite pasar de estos valores de una variable binomial a las partidas de juegos interrumpidos. Así, si consideramos la familia de variables binomiales (n,p), con n par, los valores Xn= — /, con / = 0,1,...,—, los podemos relacionar con las partidas impares r = 2/ + l, para juegos con b = n + \ - \ — — / 1, siendo X = —- / 2= WA [(r,Z>)] ; mientras que si consideramos la familia de variables binomiales («,/?), con n impar, los valores Xn ', con / =0,1,...,^—, los podemos relacionar con las partidas pares r = 2Í+2, para juegos con b = n + \ - n — 1 ■t , siendo PK = — ~ í " 2 = WÁ[(r,b)\ Propiedades de las probabilidades de la familia binomial (n,p) con n par detectadas en los valores X„ = — - /, con / = 0,1,—. " 2 2 En este epígrafe consideraremos dos situaciones del tipo (r,b) y (r,b — 1). Para comparar los valores de estas partidas, dados por WA[(r,b)\ y WA[(r,b-1)], establecemos la correspondencia de cada partida con un valor concreto de una distribución binomial, y entonces procederemos a comparar las probabilidades de ambos valores. Vamos a considerar inicialmente valores de r impares (que se asocian a distribuciones binomiales de parámetro par), siendo todo el desarrollo similar en el caso de partidas pares. Como hemos descrito, el valor de la partida (r,b) cuando r es impar, es igual a la probabilidad del valor x = (donde l =—— ), en una distribución binomial de parámetros n = 2 b -r -\ y p. Así, fVA[(r,b)] = P X = - - l " 2 ; análogamente, el valor de la partida (r,b -1) será la probabilidad del valor *' = - - / en una distribución binomial de parámetros 388 Historia de la Probabilidad y la Estadística (IV) n' = 2 b -r-3 y p. Así, WÁ[(r,b-\)\ = P n - 2 Xn. = - - l " 2 ; Puesto que n '= n -2, también tendremos x'= ^ ■ = jc —1. De esta forma, la comparación de WA[(r,b)\ con WA[(r,b-1)], podemos llevarla a cabo comparando P[Xn = y] con P[Xnl = y -1], donde n es un entero par. Para comparar estas dos probabilidades, consideramos el polinomio mU) P[x.-j] Í"_21 J - K p'-Y -'-' pjr j . i n{n-\)pq ’ y ahora tendremos qué ver cuándo este polinomio es mayor, menor o igual a 0. Las raíces de este polinomio son — ±Ar, donde An = + - pqn(n - 1) ; Para el problema que nos ocupa, solo nos interesa el recorrido 0 < y < n/2, ya que los valores que se corresponden con la valoración de las partidas siempre son menores o iguales que ni 2. Es fácil comprobar que el polinomio es negativo en el intervalo [0,«/2-/í.n) , positivo en el intervalo (n /2 -Àn,n/2\ e igual a cero en el punto n/2-Án. Diremos que un valor de la distribución binomial está “en la zona centrar si pertenece al intervalo (n/2-An,n/2]; el valor está “en la cola” si pertenece al intervalo [0,n/2-/tn) ; si el valor coincide con n/2-An, diremos que es ‘frontera”. Así, podemos encontramos tres situaciones, que recogemos enunciadas en forma de lema (de demostración inmediata). Lema 2: En la situación descrita con anterioridad, se verifica: i) Si j< n/2-A n, entonces P„(j)< 0, es decir, P \Xn_2= j-\]< P \X n= j]. Como consecuencia, obtenemos que si el valor asociado a la partida (r,b) está “en la cola”, entonces WA[(r,b-1)] < WA[(r,b)], es decir, al disminuir b , disminuye el valor de la partida r - ésima. ii) Si n/2- An < y < n/2, entonces Pn(j) > 0, es decir, P\Xn_2= j-\]> P \X n= y'].Como consecuencia, obtenemos que si el valor asociado a la partida (r,b) está “en la zona central”, entonces WA[(r,b-V)\ > WA[(r,b)\, es decir, al disminuir b, aumenta el valor de la partida r - ésima. iii) Si j = n/2-An, entonces P„(j) = 0, es decir, P[Xn_2 = j-l] = P[Xn =y]. Como consecuencia, obtenemos que si el valor asociado a la partida (r,b) está “en la frontera”, entonces WA[(r,b-1)] = iVA[(r,b)], es decir, al disminuir b, se mantiene el valor de la partida r - ésima. 389 Historia de la Probabilidad y la Estadística (IV) Ejemplo 1: En el caso de la primera partida, r = I, sabemos que los valores asociados siempre son de la forma n/2, por lo que siempre están “en la zona centrar, y por tanto, el valor de la primera partida va aumentando a medida que b disminuye (como observó Pascal en su tabla para el caso p = 0'5 ). Ejemplo 2: Vamos a considerar el caso p = 0'65, y la partida quinta (es decir, r = 5 ), cuando inicialmente restaban por ganar 5,6,7,8 y 9 partidas (es decir, consideramos los valores b e {5,6,7,8,9} ). Comparemos la valoración de la partida quinta para cada uno de los valores de b. Tabla II: Valor de la partida quinta ( 6e{5,6,7,8,9}, /j = 0'65j. b98 7 6 5 n = 2b - r - \ = 2b - 6 12 10 8 6 4 _ n r — \_ n X” 2 2 2 4 3 2 10 n 26 5 4 3 2 -~A„ 2y 551 2’872 2’194 E525 0’873 P[Xn=x„\ = WA[(r,b)\ 0’0199 0’0212 0’0217 0’0205 0’0150 Para la partida (5,9), vemos que el valor xn = 4 está “en la zona central', pues pertenece al intervalo (n/2-An,n/2] = (3’557,6] ; estamos en la situación ii) y por tanto, al disminuir b , el valor de la partida quinta debe aumentar, como se observa en la tabla, ya que el valor pasa de 0’0199 a 0’0212. Para la partida (5,8), vemos que el valor xn = 3 también está “en la zona central', pues pertenece al intervalo (n/2-An,n/2] = (2'%12,5]-, de nuevo estamos en la situación ii) y por tanto, al disminuir b , el valor de la partida quinta debe aumentar, como se observa en la tabla, ya que el valor pasa de 0’0212 a 0’0217. Sin embrago, en la situación (r,b) = (5,7), el valor xn=2 queda “en la cola" pues no pertenece al intervalo (n/2- An,n/2] = (2'194,4], por lo que estaríamos en la situación i) y así el valor de la partida quinta debe disminuir al disminuir b , como también podemos observar en la tabla. Idéntica situación ocurre para la partida (5,6). Aplicación al caso de la binomial simétrica: explicación del comportamiento de la tabla de Pascal. Vamos a aplicar los resultados obtenidos en la sección 3 al caso particular de la binomial simétrica (p = 0'5) y a los valores de r y b analizados por Pascal en su tabla, al objeto de explicar el “comportamiento extraño" observado por el autor. Indiquemos en primer lugar que para el caso p = 0'5, el polinomio que hemos usado para comparar las probabilidades sería P.U) = 4 j(n - j) t n(n 1) 390 Historia de la Probabiudad y la Estadística (IV) cuyas raíces son n/2±An, donde „ = + J~ñ/2 ; Así, el punto ‘ frontera”, que distingue la “zona centrar de la cola sería en este caso h/2-V«/2 (que coincide con la esperanza de la distribución menos una vez la desviación típica de la misma). Comencemos con el caso de las partidas impares (es decir, r = l,3,5). El comportamiento de la partida primera, ya ha sido explicado en el ejemplo 1 de la sección tercera. Recordemos que en este caso los valores asociados coinciden siempre con n i2 y por tanto siempre están en la “zona centrât' (situación ii) del Lema 2), con lo que el valor de la partida primera aumenta a medida que disminuye b . Para la tercera partida, cuando b = 6, tenemos que considerar el valor x = 3 en la distribución binomial para n = 8. En esta distribución, el punto ‘‘frontera” es 2’586, por lo que estaríamos en la “zona centrar (situación ii)) y por tanto la probabilidad debe aumentar al pasar al caso b = 5, como efectivamente ocurre en la tabla. Idéntica situación se da al analizar el juego (3,5), en el que n = 6, x = 2 y el punto ‘‘frontera” es 1 ’7753. Sin embargo, en el juego (3,4), en el que n = 4, el valor de la binomial correspondiente, x = 1, coincide con el punto “frontera” , por lo que estaríamos en la situación iii) del Lema 2 y por tanto la probabilidad (o valoración de la partida) debe mantenerse al pasar al valor b = 3 ; efectivamente, vemos que en los casos b = 4 y b = 3 la valoración de la tercera partida es igual a 0’25. Para la quinta partida, sólo tiene sentido ocuparse del caso b = 6. Este juego se corresponde con el valor x = 1 de una distribución binomial simétrica con « = 6, en la que el “punto frontera” sería 1 ’7752; así, el valor asociado está “en la cola” de la distribución (situación i) del Lema 2), por lo que el valor de la partida quinta debe disminuir al pasar al caso b = 5, como efectivamente ocurre. Aunque solo hemos analizado el caso de partidas impares (que se corresponden con binomiales en las que n es par), todos los resultados pueden extenderse sin mayor dificultad cuando la partida sea par, teniendo en cuenta las observaciones efectuadas en la sección segunda. Vamos a considerar el caso concreto de la tabla de Pascal, para explicar también el comportamiento de las partidas pares (r = 2,4). En este caso, el intervalo que define la “zona centrar sería n n- 1 -- p q n (n - l) ,— - 4 2 (observemos que las raíces del polinomio P„(j) no dependen de que n sea par o impar; por otra parte, el extremo superior lo definimos como (« -1)/2 porque al ser n impar sólo estamos interesados en el recorrido 0< j< [n —1)/2), u — \ K — 2 mientras que el valor a considerar sería x = b -r = ------- /', donde /' = — . 2 2Para el caso particular p = q = 0'5, el intervalo de la “zona centrât’ es n \[ñ n- 1 ~2~^l'~ T Para la segunda partida, r = 2, la situación es similar a lo que ocurre con la partida primera, ya que el valor asociado sería (« —1)/2, que siempre está en la “zona centrât aplicando la situación ii) del lema 2, obtenemos que al disminuir b, el valor de la segunda partida siempre debe aumentar, como así se observa en la tabla de Pascal. Para la cuarta partida, r = 4, cuando b = 6, tendríamos que considerar el valor 2 de una binomial simétrica con « = 7, para la que la zona central es (2'177,3] y por tanto el valor 391