Aportaciones al diseño de máquinas eléctricas de inducción mediante el método de la celda: análisis térmico y electromagnético
Abstract
Programa de doctorado: Tecnología industrial
Full text
TESIS DOCTORAL Programa de doctorado: Tecnología Industrial Departamento de Ingeniería Eléctrica APORTACIONES AL DISEÑO DE MÁQUINAS ELÉCTRICAS DE INDUCCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE LA CELDA. ANÁLISIS TÉRMICO Y ELECTROMAGNÉTICO. Autor: Pablo Ignacio González Domínguez Las Palmas de Gran Canaria, España Noviembre 2015
Programa de doctorado: Tecnología Industrial A PORTACIONES AL DISEÑO DE MÁQUINAS ELÉCTRICAS DE INDUCCIÓN MEDIANTE EL M ÉTODO DE LA C ELDA . A NÁLISIS TÉRMICO Y ELECTROMAGNÉTICO . Autor: Director: Pablo Ignacio González Domínguez Dr. José Miguel Monzón Verona Las Palmas de Gran Canaria, España Noviembre 2015
A mi querida esposa Gladys por la paciencia que ha tenido conmigo. A mi querida hija Juanita porque espero algún día discutir con ella de su tesis. A mi querido hijo Gabi, que sé que nunca podré discutir con él de la suya, pero me queda el consuelo de su eterna sonrisa. A mi hermana Cari, que es mi apoyo incondicional. A mis difuntos padres. Para todo ellos, mi esfuerzo.
Agradecimientos A mi director de tesis, Dr. José Miguel Monzón Verona. Sin su apoyo, sobre todo anímico, yo no hubiese llegado aquí. A mis compañeros Guillermo, Poli, Jesús Romero y Eugenio por soportar mis malos humores y mis charlas sobre tetraedros mientras almorzábamos. A Carmen Rosa por su amistad y sus correcciones de estilo, que tanto me han ayudado en esta tesis. A José Santana, mi profesor en Formación Profesional, quién fue el que me introdujo en esto de la Ingeniería. A José Medina Padrón, Pepín, por ser mi tutor de proyecto de fin de carrera en Ingeniería Técnica Industrial. A Miguel Martínez Melgarejo por ser mi tutor de proyecto de fin de carrera de Ingeniería en Organización Industrial. A todos los que han hecho que yo pueda estar aquí. A todos muchas gracias. Reconocimientos A la Cátedra Endesa Red ULPGC por su ayuda a la realización de parte de esta tesis. Al Departamento de Ingeniería Eléctrica de la ULPGC por el apoyo recibido de parte de todos y cada uno de sus miembros.
XVI Símbolo Definición Unidades SI , Contorno de la línea primal o dual m grad Operador gradiente -·- curl Operador rotacional -·- di v Operador divergencia -·- Operador nabla -·- ,, Gradiente -·- Rotacional -·- ∙ Divergencia -·- ∝ “Proporcional a …” -·- Producto vectorial de dos vectores -·- ∙ Producto escalar de dos vectores -·- Operador frecuencia -·- ∗ ∗Conjugado de un número complejo -·- Característica de Euler para objetos topológicos -·- , Gradiente primal y dual Método Celda -·- , Rotacional primal y dual Método Celda -·- , Divergencia primal y dual Método Celda -·- Parte real de un número complejo -·- Parte imaginaria de un número complejo -·- ⊂ “Está incluido en …” -·- Acrónimos Abreviatura Término 3D Tridimensional, tres dimensiones 2D Dimension fundamental 2D Bidimensional, dos dimensiones Gmsh-GetDP A plicación de informática para cálculos de campos, basada en elementos finitos, uso libre Octave A plicación de informática para cálculos matemáticos varios, uso libre Matlab A plicación de informática para cálculos matemáticos varios, uso bajo licencia comercial Scilab A plicación de informática para cálculos matemáticos varios, uso libre FF Formulación Finita MC Método de la Celda FF-MC Formulación Finita y Método de la Celda A-V Un tipo de formulación en cálculo diferencial vectorial A- Un tipo de formulación en cálculo diferencial vectorial (a, (a, v)) Un tipo de formulación en FF-MC (a, (a, )) Un tipo de formulación en FF-MC RAE: Real Academia Española, de la Lengua
Índice general XVII INDICE GENERAL PÁG. 1.Estructuradelatesis..................................................................................................1 1.1Introducción............................................................................................................................1 1.2Planteamientodelproblema....................................................................................................1 1.3Motivaciónyobjetivos.............................................................................................................2 1.4Trabajorealizadoydescripcióndelametodologíausadaparallevarloacabo...........................2 1.5Organizacióndelamemoria.....................................................................................................4 1.6Resumendepublicaciones.......................................................................................................5 2.Resumendelestadodelarte......................................................................................9 2.1Introducción............................................................................................................................9 2.2Evolucióndelasmáquinaseléctricas........................................................................................9 2.3Elelectromagnetismoclásico.................................................................................................10 2.4Elelectromagnetismocomputacional.....................................................................................11 2.4.1ElmétododelosElementosFinitos.......................................................................................12 2.4.2ElgradienteconjugadocontransformadarápidadeFourier................................................13 2.4.3Elmétododelosmomentos..................................................................................................14 2.4.4Diferenciasfinitaseneldominiodeltiempo.........................................................................14 2.4.5Volúmenesfinitoseneldominiodeltiempo.........................................................................15 2.4.6Elmétododelamatrizdelalíneadetransmisión................................................................16 2.4.7Elmétododeloselementosdecontorno.............................................................................16 2.4.8Teoríauniformedeladifracción...........................................................................................17 2.4.9Técnicashíbridas...................................................................................................................17 2.4.10LaIntegraciónFinita..........................................................................................................17 2.4.11LaFormulaciónFinita........................................................................................................18 2.5Transferenciadecalorenlasmáquinaseléctricas...................................................................19 2.6Lamáquinaeléctricadeinducciónoasíncrona.......................................................................22 2.7Conclusiones..........................................................................................................................22 Bibliografía........................................................................................................................23 3.LasecuacioneselectromagnéticasytérmicasenlaFormulaciónFinita..................31 3.1Introducción..........................................................................................................................31
XVIII 3.2PlanteamientodelproblemafísicoenlaFormulaciónFinita...................................................37 3.3PrincipiosasociadosalaFormulaciónFinita...........................................................................38 3.4Ecuacionestopológicasdelelectromagnetismoensuformaglobal.........................................39 3.4.1LeydeGaussparaelcampoeléctrico...................................................................................40 3.4.2LeydeGaussparaelcampomagnético................................................................................41 3.4.3LeydeFaraday‐Lenz‐Neumann.............................................................................................42 3.4.4LeydeAmpere‐Maxwell........................................................................................................42 3.5Ecuacionesconstitutivaselectromagnéticas...........................................................................43 3.6DiagramadeTontidelElectromagnetismo.............................................................................45 3.7Ecuacionestérmicasenlasmáquinaseléctricas.AplicacióndelaFormulaciónFinita..............45 3.7.1Parámetroselectromagnéticosytérmicosdependientesdelatemperatura.......................46 3.7.2PérdidasporefectoJoule......................................................................................................47 3.7.3Pérdidasenlosdieléctricos...................................................................................................48 3.7.4Pérdidasenelhierro..............................................................................................................49 3.7.5Pérdidasmecánicas...............................................................................................................52 3.8Procesosdetransmisióndecalorymateriaenlasmáquinasasíncronas.................................53 3.8.1Transmisióndelcalorporconducción...................................................................................54 3.8.2Transmisióndelcalorporconvección...................................................................................56 3.8.3Transmisióndelcalorporradiación......................................................................................57 3.9LatransferenciadecalorporconducciónenlaFormulaciónFinita..........................................57 3.10Ecuacionestopológicasdelatransferenciadecalor...........................................................58 3.11Ecuacionesconstitutivasdelatransferenciadecalor.........................................................58 3.12Conclusiones.....................................................................................................................59 Bibliografía........................................................................................................................60 4.ElMétododelaCeldaaplicadoalelectromagnetismoylaconduccióntérmica.....65 4.1Introducción..........................................................................................................................65 4.2Generalidades........................................................................................................................65 4.2.1Conceptodecelda.................................................................................................................65 4.2.2Malladoestructuradoynoestructurado..............................................................................66 4.2.3Celdatetraédricayceldatriangular......................................................................................67 4.2.4Modolocalymodoglobal.....................................................................................................68 4.2.5Ordenamientodeloselementosdelasceldaseneldominiodiscretizado..........................69 4.2.6Elprocesodeeliminacióndeentidadesdelmalladorepetidas............................................71 4.2.7Matricesdeincidencia.Operadoresdiscretosdegradiente,rotacionalydivergencia.........73 4.3Operadoresdiscretosdegradiente,rotacionalydivergenciaenelprimalyeldual.................77
XIX 4.4MétododelaCeldaycampoelectromagnético......................................................................78 4.4.1LeydeGaussdelcampomagnéticoconFF‐MC....................................................................79 4.4.2LeydeAmperedelcampomagnéticoconFF‐MC.................................................................80 4.4.3LeydeFaraday‐Lenz‐NewmanparalainducciónconFF‐MC................................................82 4.4.4LaFormulaciónA‐enlaFF‐MC............................................................................................83 4.4.5Motivacióndelaformulación(a,(a‐v))y(a,)enlaFF‐MC.................................................84 4.5MétododelaCeldaycampotérmico.....................................................................................85 4.6ElsistemadeecuacioneslinealeselectromagnéticaspartiendodelMCenformulación(a,(a,v)) 88 4.7Conclusiones..........................................................................................................................92 Bibliografía........................................................................................................................92 5.Matricesconstitutivas[M]y[M]...........................................................................97 5.1Introducción..........................................................................................................................97 5.2Generalidades........................................................................................................................97 5.3Matrizconstitutivamagnética[M]........................................................................................98 5.4Matrizconstitutivaeléctrica[M]..........................................................................................105 5.5Conclusiones.........................................................................................................................108 Bibliografía......................................................................................................................109 6.Matricesconstitutivastérmicas.Variasaportacionesalaecuacióndetransmisión decalor...........................................................................................................................113 6.1Introducción.........................................................................................................................113 6.2Transmisióndecalorenlamáquinaasíncrona.......................................................................113 6.3La.adaptadade.Unaaportación...............................................................................117 6.4Otrapropuesta:lamatriz................................................................................................119 6.5Lamatrizconstitutivaparadominiosbidimensionales................................................122 6.6Lamatrizconstitutivaparadominiostridimensionales.................................................124 6.7Conclusiones.........................................................................................................................125 Bibliografía......................................................................................................................126 7.EcuacionesdeMaxwellycircuitalesenFF‐MCyelMNMen3D...........................129
XX 7.1Introducción.........................................................................................................................129 7.2ElmétododelaTabla............................................................................................................129 7.3ElMétododelaTablaReducido............................................................................................131 7.4ElMétodoNodalModificado.................................................................................................131 7.5Incorporacióndeelementoselectromagnéticosdedominiocontinuoalsistemadeecuaciones circuitalesdelMétodoNodalModificado.......................................................................................133 7.6Conclusiones.........................................................................................................................140 Bibliografía......................................................................................................................140 8.Experimentosnuméricosyvalidación....................................................................144 8.1Introducción.........................................................................................................................144 8.2Metodología.........................................................................................................................144 8.2.1Procesodeverificaciónyvalidación....................................................................................144 8.2.2Procedimientoseguidoenlosexperimentosnuméricos....................................................146 8.2.3Elaboracióndelinformedelexperimento...........................................................................146 8.3Experimentosnuméricosdetipotérmico..............................................................................147 8.3.1CalibracióndelFEMM..........................................................................................................147 8.3.2Experimentotérmico1........................................................................................................151 8.3.3Experimentotérmico2........................................................................................................155 8.3.4Experimentotérmico3........................................................................................................160 8.3.5Experimentotérmico4........................................................................................................163 8.4Experimentosnuméricosdetipoelectromagnético...............................................................168 8.4.1Experimentoelectromagnético1........................................................................................169 8.4.2Experimentoelectromagnético2........................................................................................177 8.4.3Experimentoelectromagnético3........................................................................................179 8.4.4Experimentoelectromagnético4........................................................................................183 8.5Experimentosnuméricosdetipoelectro‐térmico..................................................................184 8.5.1Experimentoelectro‐térmico1...........................................................................................185 8.5.2Experimentoelectro‐térmico2...........................................................................................192 8.6Conclusiones.........................................................................................................................196 Bibliografía......................................................................................................................197 9.Conclusionesylíneasfuturas.................................................................................199 9.1Conclusiones.........................................................................................................................199 9.2Líneasfuturasdeinvestigación..............................................................................................200
XXI 10.CálculodelamatrizconstitutivatérmicaA......................................................205 10.1Desarrollodelostérminosgx,gy,gz.................................................................................207 10.2ConstruccióndelamatrizA.............................................................................................209 10.3MatrizAdefinitiva..........................................................................................................218 11.Potenciacaloríficapartiendodeladensidaddecorrienteenrégimenarmónico 219 11.1Interpolacióndeladensidaddecorrienteencualquierpuntodeltetraedro......................220 11.2Parterealcuadráticadeladensidaddecorriente..............................................................220 11.3Obtencióndelapotenciaporintegraciónenelvolumendual...........................................221 11.4Obtencióndelapotenciaporintegraciónenelvolumendual...........................................222 11.4.1Distribucióndetemperaturayenergíainterna..............................................................223 11.4.2CálculodelapotenciacaloríficaproducidaporefectoJouley/ocorrientedeFoucault224 11.5Númerodecondicióndeunamatriz.................................................................................226 Bibliografía......................................................................................................................227 12.Verificaciónyvalidación.....................................................................................229 12.1Conceptodeincertidumbreyerror...................................................................................229 12.2Precisiónyexactitud.........................................................................................................230 12.3Estadísticosutilizadosparavalidarlosmodelospropuestos..............................................230 12.4Estadísticosempleadoenlavalidacióndelosexperimentosnuméricos............................231 Bibliografía......................................................................................................................237 13.Laimportanciadeutilizarvariablesglobalesfrenteavariableslocales.............239 13.1Variablesglobalesenelespacioyeltiempo......................................................................244 13.2Ecuacionestopológicas.....................................................................................................246 13.3Ecuacionesdediferenciaespacialodegradiente..............................................................247 13.4Ecuacionescircuitales.......................................................................................................247 13.5Ecuacionesdebalance......................................................................................................248 13.6Ecuacionesconstitutivas...................................................................................................249
XXII Bibliografía......................................................................................................................250 14.Publicaciones......................................................................................................251 15.Bibliografíageneral.............................................................................................259
Índice de figuras XXIII Índice de figuras PÁG. Figura 2-1 Principales métodos de electromagnetismo computacional. .......... 12 Figura 3-1 Primal y dual con orientación interna y externa. ............................ 33 Figura 3-2 Orientación del tiempo en la Formulación Finita. ........................... 33 Figura 3-3 Complejo simplicial. ....................................................................... 34 Figura 3-4 Dual cartesiano, tipo Voronoi y baricéntrico. .................................. 34 Figura 3-5. Campo térmico. ............................................................................. 35 Figura 3-6. Campo eléctrico. ........................................................................... 36 Figura 3-7 Campo eléctrico ortogonal al magnético (material isótropo). ......... 36 Figura 3-8 El campo magnético en la Formulación Finita. .............................. 37 Figura 3-9 Proceso de co-contorno (coboundary process). ............................ 38 Figura 3-10 Configuración espacial del campo. .............................................. 39 Figura 3-11. Ley de Gauss para el campo eléctrico. ....................................... 41 Figura 3-12: Ley de Gauss para el campo magnético. .................................... 41 Figura 3-13. Ley de Faraday-Lenz-Neumann. ................................................ 42 Figura 3-14. Ley de Ampere-Maxwell. ............................................................. 43 Figura 3-15. Ecuaciones constitutivas electromagnéticas. .............................. 43 Figura 3-16. Diagrama del electromagnetismo, (Tonti, 2013), pág. 312. ........ 45 Figura 3-17. Ciclo de histéresis. ...................................................................... 50 Figura 3-18. Transmisión del calor por conducción (a) y convección (b). ....... 55 Figura 3-19. Diagrama de transmisión del calor, (Tonti, 2013), pág. 398. ....... 58 Figura 3-20. Ecuaciones constitutivas térmicas. ............................................. 59 Figura 4-1. Relación entre la Topología, el Algebra y el Cálculo. .................... 65 Figura 4-2. Mallados estructurados y no estructurados. .................................. 66 Figura 4-3. Celdas primales y duales en 2D (triángulos) y en 3D (tetraedros). 67 Figura 4-4. Modo local y modo global. ............................................................ 69 Figura 4-5. Dos tetraedros que comparten una cara, tres aristas y 3 nudos. .. 70 Figura 4-6. Orientación positiva o negativa de una superficie. ........................ 71 Figura 4-7. Característica de Euler-Poincaré. ................................................. 72 Figura 4-8. Característica de Euler y discretización en máquinas asíncronas. 73 Figura 4-9. Proceso de co-contorno desde el punto de vista gráfico. .............. 74 Figura 4-10. Operadores discretos del primal y dual. Adaptado de (Alotto, et al., 2013). .............................................................................................................. 76 Figura 4-11. Tetraedro y triángulo de referencia utilizado en esta tesis. ......... 77 Figura 4-12. Operadores discretos para tetraedro y triángulo de referencia. .. 77
XXIV Figura 4-13. Diseño de una máquina eléctrica con formulación (A-V). ........... 78 Figura 4-14. Potencial magnético escalar en FF-MC. ..................................... 80 Figura 4-15. Comparación entre potencial magnético y eléctrico. ................... 83 Figura 4-16. Matriz local y global simétricas con formulación (a, ). ............... 84 Figura 4-17. Diseño de una máquina eléctrica con formulación (a, (a,v)). ...... 85 Figura 4-18. Transmisión de calor en un cuerpo. ............................................ 86 Figura 4-19. Potencias caloríficas estatórica y rotórica. .................................. 89 Figura 4-20. (a) Flujo de campo magnético. .................................................... 90 Figura 5-1. Concepto de ecuación y matriz constitutiva. ................................. 97 Figura 5-2. (a) Flujo magnético en caras primales. (b) Semi-aristas duales. .. 99 Figura 5-3. Celda con semi-aristas duales. ................................................... 104 Figura 5-4. Caras duales en tres y dos dimensiones. ................................... 106 Figura 5-5. Baricentros en el tetraedro .......................................................... 106 Figura 6-1. Simetría plana y axial de un cuerpo de revolución. ..................... 114 Figura 6-2. Rotor de jaula de ardilla (catálogo comercial). ............................ 115 Figura 6-3. Cabezasdebobina (catálogo comercial). ....................................... 115 Figura 6-4. Máquina asíncrona de rotor bobinado (a) y estator (b). .............. 116 Figura 6-5. Modelo para transmisión de calor con . ................................. 118 Figura 6-6. Distribuciones superficiales de temperatura. .............................. 122 Figura 6-7. Celda triangular de referencia. .................................................... 123 Figura 6-8. Celda triangular con sus respectivas aristas duales. .................. 123 Figura 7-1. Circuito genérico. ........................................................................ 130 Figura 7-2. Dominio discretizado con corrientes cohomológicas. ................. 135 Figura 8-1. Los caminos del conocimiento. Adaptado de (Oden, 2009). ....... 145 Figura 8-2. Aplicaciones informáticas desarrolladas. .................................... 146 Figura 8-3. Calibración de FEMM. ................................................................. 147 Figura 8-4. Calibración FEMM vs Sol. Analítica. ........................................... 149 Figura 8-5. FEMM vs analítica 2517 nudos. .................................................. 149 Figura 8-6. FEMM vs analítica 1013144 nudos. ............................................ 149 Figura 8-7. Experimento térmico 1. ............................................................... 151 Figura 8-8. Condiciones de contorno CILINDRO1λ. ...................................... 151 Figura 8-9. Cilindro de 1 conductividad térmica. ........................................... 153 Figura 8-10. Histograma FF-CM vs analítica. ................................................ 153 Figura 8-11. Experimento térmico 2. ............................................................. 155 Figura 8-12. Condiciones de contorno CILINDRO2λ. .................................... 156 Figura 8-13. Temperaturas de referencia (FEMM). ....................................... 157 Figura 8-14. Cilindro con 2 conductividades térmicas. .................................. 158 Figura 8-15. Comparativa de M con Mλ. ....................................................... 161 Figura 8-16. Cuadrado 2D con 3 huecos. ..................................................... 163 Figura 8-17. Condiciones de contorno cuadrado 3 huecos. .......................... 165 Figura 8-18. Temperaturas en cuadrado con 3 huecos. ................................ 166 Figura 8-19. 1CUBO y BICUBO. ................................................................... 169
XXV Figura 8-20. Experimento electromagnético 1. .............................................. 169 Figura 8-21. Circuito eléctrico con 1CUBO. .................................................. 170 Figura 8-22. Condiciones contorno 1CUBO. ................................................. 171 Figura 8-23. 1CUBO. (a) Dimensiones. (b) Corrientes. ................................. 171 Figura 8-24. Densidades de corriente en 1CUBO. ........................................ 172 Figura 8-25. Rectas regresión para J real y J imaginaria. ............................. 175 Figura 8-26. Histograma de errores. (a) J real. (b) J imaginaria. ................... 176 Figura 8-27. Análisis de 1CUBO con FEMM. ................................................ 177 Figura 8-28. Contratación 1CUBO con FF-MC, GetDP y FEMM................... 178 Figura 8-29. Campo magnético en 1CUBO. .................................................. 179 Figura 8-30. Campo magnético bidimensional equivalente al de 1CUBO en 3D. ................................................................................................................. 180 Figura 8-31. Convergencia de las componentes del campo magnético. ....... 181 Figura 8-32. BICUBO con corrientes entrantes y salientes. .......................... 183 Figura 8-33. Simetrías de corrientes I C1 e I C2 . ................................................ 184 Figura 8-34. Transitorio electro-térmico en 1CUBO. ..................................... 185 Figura 8-35. Dominios para 1CUBO .............................................................. 187 Figura 8-36. Transitorio térmico con Mλ. ....................................................... 187 Figura 8-37. Histogramas de errores para transitorio térmico. ...................... 189 Figura 8-38. Error 3D FFMC-GetDP vs 2D GetDP. Transitorio t: 0,01 s. ...... 190 Figura 8-39. Error 3D FFMC-GetDP vs 2D GetDP. Transitorio t: 5,07 s. ...... 190 Figura 8-40. Error 3D FFMC-GetDP vs 2D GetDP. Transitorio t: 9,91 s. ...... 190 Figura 8-41. Potencia calorífica generado por corriente a 400 Hz. ............... 192 Figura 8-42. Potencia en función de la frecuencia. ....................................... 193 Figura 10-1. Tetraedro de referencia. ............................................................ 205 Figura 11-1. Densidades de corriente en los nudos. ................................ 219 Figura 11-2. Sub-celdas duales y politopo dual. ........................................... 222 Figura 13-1. Campo eléctrico, magnético y térmico. ..................................... 240 Figura 13-2. Condición de continuidad en la Formulación Finita. .................. 241 Figura 13-3. Teorema de Gauss y teorema de Stokes .................................. 243 Figura 14-1. Elementos primales y duales con contornos respectivos. ......... 246 Figura 14-2. El gradiente. Formulación: (a) Finita, (b) Diferencial. ................ 247 Figura 14-3. Ecuación circuital. Formulación: (a) Finita, (b) Diferencial. ....... 248 Figura 14-4. Ecuación de balance. Formulación: (a) Finita, (b) Diferencial. .. 248 Figura 15-1. Tipos de constante K en las ecuaciones constitutivas. ............. 250
4 Capítulo 1 Se sabe que estas consideraciones son un caso ideal en las máquinas eléctricas, pues éstas tienen un comportamiento no lineal en sus materiales. Y, puestos a considerar, por ejemplo, los núcleos ferromagnéticos, laminados en frío, aparte de saturarse, tiene un comportamiento anisótropo. El objeto de esta tesis, en el caso de las ecuaciones constitutivas, no es modelar estos fenómenos. Se ha tratado de aplicar una simplificación de la realidad como es la de considerar dichos parámetros como constantes. Es decir, se desarrollan modelos matemáticos lineales de las máquinas, en especial de la máquina eléctrica asíncrona, objeto de estudio de esta tesis. 1.5 Organización de la memoria La organización y redacción de esta tesis se ha hecho siguiendo el criterio de avanzar de lo más general a lo más concreto, En el Capítulo 2 se hace un recorrido por el estado del arte, en cuanto a máquinas eléctricas se refiere, en especial a la máquina asíncrona; así como por los métodos numéricos más habituales aplicados al cálculo de fenómenos físicos concernientes a las mencionadas máquinas. En el Capítulo 3 se explica la teoría de la Formulación Finita. Se ha optado por hacer una comparativa entre la Formulación Finita y la formulación integral y diferencial, ya que en las escuelas de ingeniería estas dos últimas son las más habituales, en cuanto a enseñanza y uso se refiere. Se centraron las explicaciones en el campo electromagnético, la electrodinámica y la transmisión del calor, por ser estos los objetivos de esta tesis, centrándose, aún más, estas explicaciones en su aplicación a la máquina eléctrica asíncrona. En el Capítulo 4 se explica en que consiste el método de cálculo numérico conocido como Método de la Celda, el cual permite llevar a la práctica la teoría expuesta en la Formulación Finita. Se ha centrado en la formulación (a, (a, v)) y en la formulación (a, (a, )), que son las formulaciones que se han implementado en las aplicaciones informáticas utilizadas en esta tesis. En el Capítulo 5 se tratan las matrices constitutivas electromagnéticas y . Las matrices constitutivas son la piedra angular del Método de la Celda. Estas matrices permiten describir el medio material donde se desarrollan los campos físicos estudiados. En el Capítulo 6 se explican cómo se generan las matrices constitutivas térmicas y . Se destacan las aportaciones hechas en esta tesis como son la matriz constitutiva de transmisión térmica en tres dimensiones, y su variante para transmisión de calor bidimensional. La primera matriz es una adaptación de la matriz constitutiva de conducción eléctrica a la conducción térmica. La segunda es una transformación a la conducción bidimensional por un método novedoso, consistente en trabajar directamente en el espacio dual.
Capítulo 1 5 En este capítulo también se hace otra aportación a la conducción del calor como es la matriz , desarrollada a partir de métodos matriciales utilizando las relaciones geométricas de las caras duales. Por razones de economía computacional, esta aportación, aunque más rápida y precisa que la aportación , se recomienda sólo utilizarla en problemas exclusivos de transmisión de calor, ya que la estructura matricial de tiene doble uso: cálculo eléctrico y cálculo térmico. En el Capítulo 7 se explican las posibilidades de imbricar la Teoría de Circuitos con la Formulación Finita y el Método de la Celda en tres dimensiones. Se trata de conectar dominios continuos discretizables, tratados con el Método de la Celda, con circuitos de parámetros concentrados, tratados con el Método Nodal Modificado. Esto es de suma utilidad pues se pueden estudiar el comportamiento electromagnético y térmico de dominios continuos discretizables estimulados con corrientes y tensiones provenientes de circuitos de parámetros concentrados. Entre los muchos posibles casos de estudios, podemos hablar de corrientes y tensiones con alto contenido de armónicos, habituales en máquinas asíncronas estando sometidas a controles basados en electrónica de potencia. En el Capítulo 8 se describen los experimentos numéricos realizados para comprobar y validar el uso del Método de la Celda en el estudio de fenómenos electrotérmicos, los cuales afectan al funcionamiento de las máquinas asíncronas. En el Anexo 1 se describe como se obtuvo la componente matricial para obtener finalmente la matriz constitutiva térmica , aportación que se hace en esta tesis. En el Anexo 2 se describe como obtener la potencia calorífica generada por corrientes eléctricas a partir de la integración de las sub celdas duales del dominio discretizado. En el Anexo 3 contiene la explicación de conceptos concernientes al proceso de verificación y validación, al cual se han sometido los experimentos numéricos. En él se explican una serie de estadísticos utilizados en la validación de los experimentos numéricos. En el Anexo 4 se explican de las ventajas que presenta la utilización de las variables globales en la Formulación Finita, sobre todo en cuanto a salvar discontinuidades del medio material se refiere y otras cuestiones afines. En el Anexo 5 se compilan una serie de publicaciones donde ha participado el autor de esta tesis y que tienen un interés directo para el desarrollo de esta tesis. 1.6 Resumen de publicaciones Monzón Verona J.M.; Simón Rodríguez L.; González Domínguez P., ”Global Equation of Cell Method and Modified Nodal Method of Electromagnetic and Circuital Problems”, ISEF 2011 - XV International Symposium on
6 Capítulo 1 Electromagnetic Fields in Mechatronics, Electrical and Electronic Engineering, Funchal, Madeira, September 1-3, 2011. Simón Rodríguez L.; González Domínguez P., Monzón Verona J.M., “Computational Geometry applied to Finite Formulation.”, ISEF 2011 - XV International Symposium on Electromagnetic Fields in Mechatronics, Electrical and Electronic Engineering Funchal, Madeira, September 1-3, 2011. Simón Rodríguez L., González Domínguez P. I., Monzón Verona J.M.; Martínez Melgarejo, M.,” La Matriz Fundamental de Bucles B en el Método de la Celda. Aplicación a un Problema Electromagnético de Corrientes Inducidas en 3D.”, 12º Congreso Interamericano de Computación Aplicada a la Ingeniería de Procesos CAIP’2015. Cartagena de Indias, Colombia, Septiembre, 2015. Simón Rodríguez L., González Domínguez P. I., Monzón Verona J.M.; Martínez Melgarejo, M., “El Método de la Celda Aplicado al Análisis de Fallos en una Máquina de Inducción Magnética.”, 12º Congreso Interamericano de Computación Aplicada a la Ingeniería de Procesos CAIP’2015. Cartagena de Indias, Colombia, Septiembre 2015. González Domínguez P. I., Simón Rodríguez L., Monzón Verona J.M.; Martínez Melgarejo, M., “El Método de la Celda aplicado al Estudio de Campos Electromagnéticos y Transferencia de Calor en Motores de Inducción”, 12º Congreso Interamericano de Computación Aplicada a la Ingeniería de Procesos CAIP’2015. Cartagena de Indias, Colombia, Septiembre 2015.
7 Capítulo 2 Índice PÁG. 2. Resumen del estado del arte 9 2.1Introducción 9 2.2Evolucióndelasmáquinaseléctricas 9 2.3Elelectromagnetismoclásico 10 2.4Elelectromagnetismocomputacional 11 2.4.1ElmétododelosElementosFinitos.......................................................................................12 2.4.2ElgradienteconjugadocontransformadarápidadeFourier................................................13 2.4.3Elmétododelosmomentos..................................................................................................14 2.4.4Diferenciasfinitaseneldominiodeltiempo.........................................................................14 2.4.5Volúmenesfinitoseneldominiodeltiempo.........................................................................15 2.4.6Elmétododelamatrizdelalíneadetransmisión................................................................16 2.4.7Elmétododeloselementosdecontorno.............................................................................16 2.4.8Teoríauniformedeladifracción...........................................................................................17 2.4.9Técnicashíbridas...................................................................................................................17 2.4.10LaIntegraciónFinita..........................................................................................................17 2.4.11LaFormulaciónFinita........................................................................................................18 2.5Transferenciadecalorenlasmáquinaseléctricas19 2.6Lamáquinaeléctricadeinducciónoasíncrona22 2.7Conclusiones22 Bibliografía........................................................................................................................23 Síntesis Se describen las leyes electromagnéticas y termodinámicas aplicadas al estudio de las máquinas eléctricas. Se describen las principales escuelas de estudio de las máquinas eléctricas. Se describen brevemente los principales métodos de cálculo numérico aplicados al estudio del Electromagnetismo Computacional y la transferencia de calor.
9 2. Resumen del estado del arte 2.1 Introducción Se explica en este capítulo las principales escuelas existentes en el estudio de la máquina eléctrica y la evolución tecnológica de las mismas. Se explica brevemente la génesis del electromagnetismo desde un punto de vista clásico, donde las ecuaciones de Maxwell son el principal referente, para pasar luego da explicar lo que se conoce como Electromagnetismo Computacional. Se hace un breve recorrido por los principales método numéricos utilizados en el Electromagnetismo Computacional. Se hace una breve introducción a los procesos de transferencia de calor que aparecen en el funcionamiento de las máquinas eléctricas. Por último, se da una breve pincelada de la importancia que tiene la máquina eléctrica asíncrona en el mundo actual. 2.2 Evolución de las máquinas eléctricas Actualmente, la investigación en máquinas eléctricas se centra principalmente en la mejora estructural de éstas. Bien sea aplicando nuevos tipos de aislamiento, o bien en la utilización de superconductores, bien en la mejora de las características mecánicas de las mismas. Es de destacar como línea de investigación activa la búsqueda de modelos matemáticos para el estudio de máquinas eléctricas (Kost, 1995), (Sykulski, 2007). El modelado matemático de los fenómenos electromagnéticos para las máquinas eléctricas tradicionalmente sigue dos grandes escuelas, destacándose diversos tipos, a saber:
10 Capítulo 2 Modelos físico-matemáticos Modelos paramétricos-físicos Modelo en diferencias finitas Modelos en elementos finitos Modelos de Park y Ku Teoría de los fasores espaciales Tabla 2-1. Principales escuelas en máquinas eléctricas. Los modelos físico-matemáticos son empleados principalmente para el diseño y cálculo de las máquinas eléctricas. El modelo de máquina eléctrica en diferencias finitas está basado en la discretización de la ecuación diferencial de Poisson mediante la descomposición en una serie de Taylor. El modelo de máquina eléctrica basado en elementos finitos se fundamenta en la minimización de un funcional (energía) y en la descomposición en dominios de dimensión finita de la región en los que los la función incógnita es representada por una aproximación polinomial. Los modelos paramétrico-físicos permiten únicamente el estudio del comportamiento de las máquinas eléctricas. El modelo de máquinas eléctricas de Park y Ku logra, mediante transformaciones, hacer corresponder a las magnitudes reales una componente homopolar, otra inversa y otra directa, apoyándose para ello en la teoría de las componentes simétricas (Smith, 1990). El modelo de máquinas eléctricas basado en los fasores espaciales logra pasar magnitudes electromagnéticas del dominio temporal al dominio espacial. Este modelo es de una gran potencia, tanto conceptual como de cálculo, ya que no se pierde la visualización de las magnitudes físicas, tanto en su aspecto constructivo como electromagnético; permitiendo un planteamiento en forma matricial de las ecuaciones que definen la conversión energética, desarrollándose las mismas mediante técnicas de análisis numérico. Al ofrecer una representación espacial de las magnitudes electromagnéticas, este modelo puede ser utilizado, en ciertos aspectos, para la concepción y cálculo de la máquina eléctrica. Para una mayor profundización en la evolución histórica de las máquinas eléctricas se recomienda (Fraile, 2008), en el apéndice 1, página 759. 2.3 El electromagnetismo clásico El desarrollo de las máquinas eléctricas va parejo a los avances en electromagnetismo Un hito claro en la teoría electromagnética fue el enunciado de las leyes de James Clerk Maxwell en 1879. En estas cuatro leyes, originalmente eran dieciséis, se resumen los principales fenómenos del electromagnetismo. Oliver Heaviside junto con Willard Gibbs, en 1884, reformulan dichas leyes a su forma vectorial actual. Las leyes de Maxwell se formulan tanto en forma integral como diferencial. Para definir la naturaleza del medio donde se desarrollan los fenómenos electromagnéticos a estudiar, se definen las ecuaciones constitutivas del medio. Cuando se aplican las leyes de Maxwell, tanto en su forma integral como
Capítulo 2 11 diferencial, a casos concretos, estas ecuaciones terminan convirtiéndose en ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. Su resolución ha consistido clásicamente en idealizar los recintos de integración superficial (S) o de circulación vectorial (L) a formas geométricas en las cuales son conocidas sus expresiones matemáticas. Esto ha limitado, en gran medida, el uso de dichas ecuaciones en la Física, pero especialmente en la Ingeniería. Se han hecho hipótesis simplificativas para tratar de facilitar el cálculo de las mismas. La Teoría de Circuitos Lineales es uno de esos casos. Para el cálculo de las máquinas eléctricas se ha utilizado tradicionalmente una mezcla de expresiones empírica y de la teoría de circuitos. Este panorama cambia radicalmente con la aparición de los ordenadores. 2.4 El electromagnetismo computacional El Electromagnetismo Computacional surge por la dificultad de cálculo que presentan las ecuaciones de Maxwell en la mayoría de los casos prácticos. Las expresiones analíticas tanto de los campos escalares como vectoriales, así como los contornos geométricos de integración, en la mayoría de los casos son difíciles; o, simplemente, imposibles de obtener. Todo ello ha llevado al desarrollo de multitud de métodos matemáticos para obtener una solución aproximada a dichas ecuaciones. Con la irrupción de los ordenadores a finales de los años cincuenta del siglo XX, comienza a aparecer una serie de métodos matemáticos que se han venido, con el paso de los años, a llamar Métodos de Electromagnetismo Computacional – MEC -. Según sea el tipo de problema tratado, los MECs se han especializado en el dominio del tiempo o en el dominio de la frecuencia. Así mismo, dichos MECs pueden tomar como punto de partida las expresiones diferenciales o las expresiones integrales de las ecuaciones de Maxwell. Una excepción la constituyen los MECs aplicados a la alta frecuencia. En ellos, las ondas electromagnéticas son tratadas desde el enfoque de la Óptica. La idea fundamental de los MECs es convertir un domino continuo, abordable mediante cálculo infinitesimal, en un domino discreto, abordable mediante cálculo discreto. El dominio continuo Ω se discretiza en un número finito de celdas V i .
12 Capítulo 2 Figura 2-1 Principales métodos de electromagnetismo computacional. Por su trascendencia histórica o por su aplicación al diseño de las máquinas eléctricas, cabe destacar especialmente el método de las Diferencias Finitas y el de los Elementos Finitos, tanto en el dominio del tiempo como en el de la frecuencia (Reitich & Tamma, 2004), (Trowbridge & Sykulski, 2006), (Kost, 2011). Al estar esta tesis centrada en MECs aplicados al estudio de las máquinas eléctricas asíncronas, también llamadas de inducción, se explicarán algunos métodos basados en el dominio del tiempo y de la frecuencia, centrándose especialmente en la baja frecuencia. Para una mejor comprensión del tema a explicar, véase la Figura 2-1. 2.4.1 El método de los Elementos Finitos El método de los elementos finitos, MEF de aquí en adelante, consiste en dividir la configuración a analizar en pequeñas piezas homogéneas o elementos. El modelo contiene información acerca de la geometría, la naturaleza de los materiales que la forman, apareciendo éstas como constantes numéricas; además de las excitaciones del sistema y los valores de contorno o frontera del mismo. El tamaño de los elementos va a depender del detalle con que se desea hacer el análisis. A más detalle corresponden elementos más pequeños. La unión entre elementos se realiza en los nodos. El objetivo del método de los elementos finitos es determinar el valor de las magnitudes del campo electromagnético que se le han asignado a los nudos, aristas o caras.
Capítulo 2 13 Desde los trabajos de Winslow en 1963, la aplicación del método de los elementos finitos al electromagnetismo computacional no ha parado de crecer (Sykulski, 2006). El MEF se basa en la discretización de dominios, en los cuales deben existir ecuaciones que definan el problema físico a resolver. El requisito básico del MEF es que las ecuaciones constitutivas y las ecuaciones de evolución temporal sean conocidas previamente. El MEF permite obtener una solución aproximada en un domino (medio continuo) sobre el cual están establecidas diversas ecuaciones diferenciales en forma débil que caracterizan el comportamiento del sistema. El dominio se divide en diversos subdominios no intersectantes entre sí denominados elementos finitos (Zienkiewicz, et al., 1993), (Fonseca, 2011). La mayoría de los métodos de elementos finitos utilizan técnicas variacionales. Las técnicas variacionales tratan de minimizar o maximizar una función conocida que se vuelve estacionaria cerca de la solución verdadera (Zienkiewicz, et al., 1993). En el caso del electromagnetismo se utilizan funcionales de energía asociada al campo magnético, al campo eléctrico y a la disipación en forma de calor (Hubing, 1991). Uno de los mayores problemas que presenta el MEF aplicados al electromagnetismo es la dificultad para modelar regiones con configuraciones abiertas, donde el campo electromagnético no es conocido en todos los puntos de un contorno cerrado Una de las ventajas que presenta el MEF es la de poder definir las propiedades electromagnéticas y geométricas de cada elemento de forma independiente. Esto permite modelar regiones con elementos sumamente pequeños cuando, por su complejidad, se requiera gran precisión. Por otro lado, en regiones donde no sea necesario gran precisión en el cálculo, los elementos serán mucho más grandes. Cabe destacar la innovación que ha supuesto el empleo de la Descomposición de Dominios en el MEF para resolver problemas de electromagnetismo con circuitos magnéticos de materiales heterogéneos. Existen diversas técnicas de descomposición como son el algoritmo de Schwarz, los elementos finitos tipo cemento y los FETI (Finite Element Tearing and Interconneting) (Vouvakis, 2005) y (Marcsa & Kuczmann, 2013). En el campo del electromagnetismo computacional aplicando elementos finitos es de destacar la reinterpretación geométrica que ha hecho Alain Bossavit (Bossavit, 1998), (Bossavit, 2000), (Bossavit, 2005). 2.4.2 El gradiente conjugado con transformada rápida de Fourier El Gradiente Conjugado con Transformada Rápida de Fourier, MGC+FFT de aquí en adelante, se utiliza para el estudio de dispersión electromagnética (electromagnetic scattering, en inglés), de uso en tecnologías de radar. Al ser
20 Capítulo 2 De otra parte, al controlar la velocidad rotórica de la máquina, y siendo la intensión de disminuir dicha velocidad, se logra a la vez disminuir el flujo de aire frío que recorre el interior de la misma, como es el caso de las máquinas autoventiladas (máquinas que poseen ventiladores solidarios al eje del rotor). La disminución de la velocidad del flujo de aire hace que se empeore su ventilación, con el consiguiente aumento de temperatura interna. Así mismo, al variar la frecuencia, los fenómenos dependientes de ella varían (histéresis magnéticas y corrientes inducidas), así como las impedancias. Las variaciones de las impedancias darán lugar a una modificación del sistema de corrientes que rigen en la máquina. Un aumento de estas corrientes repercutirá en un aumento de calor por efecto Joule. Todos estos fenómenos llevan conjuntamente a lo mismo: a un aumento de la temperatura de la máquina eléctrica. Tal como se observa, existe un acoplamiento entre distintos fenómenos físicos que se dan en la máquina eléctrica. No solamente ésta presenta dichos acoplamientos, sino que se dan en multitud de procesos. Es por todo esto que ha aparecido una nueva corriente en la Física llamada Multifísica, donde se estudian acoplamientos electromagnéticos, térmicos, mecánicos, de fluidos, elásticos, etcétera. En el caso particular de las máquinas eléctricas, la Multifísica estudiaría los acoplamientos de fenómenos tales como: electromagnetismo-transferencia de calor, electromagnetismo-mecánica y electromagnetismo-transferencia de calor-mecánica-fluidodinámica. Quizás este último acoplamiento sea el más complejo pues trataría de estudiar el par electromagnético que da origen al movimiento mecánico en la máquina eléctrica rotativa. Así mismo, este movimiento mecánico, junto con los fenómenos de histéresis y corrientes inducidas, daría lugar a la aparición de campos de temperatura, los cuales trataríamos de regular (refrigerar) haciendo uso de la trasferencia de calor (ventilación o autoventilación, así como aletas de refrigeración). Todos estos sistemas de refrigeración conllevan la circulación de un fluido, normalmente aire. La complejidad matemática que tiene el acoplamiento electromagnetismotransferencia de calor-mecánica-fluidodinámica es motivadora de análisis y desarrollo tanto a nivel computacional como a nivel de diseño y desarrollo (Yatchev, 2003), (Bullo, et al., 2006), (Bullo, et al., 2007) y (Boglietti, et al., 2009). Merece una lectura detallada el artículo de Lavers (Lavers, 2008) sobre el estado del arte de los procesos de inducción, que son también afines al estudio que nos atañe: calor generado por corrientes inducidas en máquinas eléctricas. También es meritorio leer el pequeño artículo de Pantelyat (Pantelyat, 2013) donde se resume muy bien esta parte de la Multifísica
Capítulo 2 21 Ciñéndose estrictamente al estudio del calor generado por las corrientes inducidas, la parte más involucrada de la física sería el electromagnetismo y la transferencia de calor: ley de inducción de Faraday, ley de Gauss para el campo magnético, ley de Ohm, ecuación de continuidad del campo magnético y la ecuación de Fourier de transferencia de calor. El objetivo es encontrar el valor de las densidades de las corrientes inducidas (), pues con ellas se puede obtener el calor producido por las mismas. Una vez obtenido dicho calor, se introduce este valor en la ecuación de Fourier de transferencia de calor y, resolviendo dicha ecuación diferencial, se obtiene la distribución de temperatura en la máquina objeto de análisis. Siendo las temperaturas las incógnitas de dicha ecuación. Este calor se va a transmitir por toda la máquina, y de ésta al exterior, de tres formas diferentes: por conducción, por convección y por radiación. En las máquinas eléctricas, la conducción del calor se establece entre el medio conductor eléctrico (fundamentalmente los cables de los devanados, de cobre o aluminio) y otro medio, no tan buen conductor eléctrico, como es el núcleo ferromagnético. Las corrientes productoras de este calor, generado en los conductores, provienen de fuentes externas o de corrientes inducidas en dichos cables. Este calor producido se conoce como efecto Joule. Además, en los núcleos ferromagnéticos se inducen corrientes que también van a generar calor. Estas corrientes, que circulan por los núcleos, se conocen como corrientes parásitas, corriente de Foucault o corrientes eddy, según sea el autor de que se trate. El calor producido por ambos fenómenos se trasmite por los sólidos, conductores y núcleos, mediante la ley de conducción del calor de Fourier. Esto se produce tanto en el estator como en el rotor. El calor conducido llega a los bordes exteriores de ambos y, mediante el paso de un flujo de aire frio, se trasmite por convección al exterior. El aire, ahora caliente, es impulsado por un ventilador hacia el exterior, sucediéndose una nueva renovación de aire frío. En la parte externa de la máquina, donde las corrientes de aire son menores, el calor se evacua por radiación, haciendo uso de aletas de disipación. A nivel computacional, el mayor problema que presenta la simulación del acoplamiento electromagnético-térmico es la elección de los intervalos de tiempo. Se debe a que los fenómenos electromagnéticos se producen en intervalos mucho más corto de tiempo que los fenómenos térmicos. Para llevar a cabo la simulación de tal acoplamiento, también llamada co-simulación electromagnética-térmica, existen diversos métodos. Todos ellos consisten en utilizar diferentes escalas de tiempo, la más corta para la simulación electromagnética y la más larga para la simulación térmica. Uno de estos métodos es el de Método de la potencia media y la temperatura (Kaufmann, et al., 2014).
22 Capítulo 2 2.6 La máquina eléctrica de inducción o asíncrona La pregunta a formular es simple: ¿Hay algo más que investigar en las máquinas eléctricas de inducción o asíncronas? Quizás las respuesta se pueda encontrar en un sumario del estado del arte referente a máquinas eléctricas, que se encuentra en los artículos de (Capolino & Cavagnino, 2014A) y (Capolino & Cavagnino, 2014B) y en otro exhaustivo memorándum como es el de Gieras (Gieras & Gieras, 2001). Las máquinas asíncronas ocupan más de la mitad del mercado donde se requiere el uso de una máquina eléctrica. Con la aplicación de la Electrónica de Potencia y las técnicas electrónicas de regulación y control, la máquina síncrona ha desplazado a otro tipo de máquinas, en especial a la máquina de corriente continua. Es más, algún tipo de máquina asíncrona, que prácticamente estaba condenada a los museos, ha resurgido con fuerza. Este es el caso de la máquina asíncrona de rotor devanada y su aplicación a la producción de energía eléctrica haciendo uso de las energías renovables. Nos referimos al generador de inducción doblemente alimentado. En otros campos, la máquina de inducción puede compararse con otras y ser tan o más eficiente que éstas. Tal es el caso de los motores síncronos de imanes permanentes frente a los motores de inducción empleados en aviónica (Capolino & Cavagnino, 2014A), pág. 4282. Además, surgen nuevas soluciones tecnológicas para averías y problemas que aparecen en este tipo de máquinas (Capolino & Cavagnino, 2014B), página 4931 y 4935. Es recomendable leer el artículo de Riera-Guasp (Riera-Guasp, et al., 2015), apdo. 4 de la pág. 1749. Pero la evolución de otro tipo de máquinas puede afectar al futuro desarrollo o permanencia en el uso industrial de la máquina de inducción, tal como indica Boglietti (Boglietti, et al., 2014), en las pág. 20 y 21. Por todo esto, merece la pena emplear nuevos métodos de modelado, como puede ser la técnica de la Formulación Finita, para aproximar y mejorar resultados en modelos matemáticos de la máquina de inducción. Todo ello con objeto de tratar de mejorar, optimizar u eliminar dificultades técnicas que aún, a día de hoy, presenta la máquina de inducción. 2.7 Conclusiones Lo visto anteriormente borra la equívoca imagen de que el estudio de la máquina eléctrica asíncrona es un tema agotado y carente de valor. Nada más lejos de la realidad.
Capítulo 2 23 Bibliografía Bellini, A. y otros, 2006. Monitoring of Induction Machines currents by high frequency resolution analysis. Tampa, Fl, IEEE, pp. 2320-2325. Bettini, P. & Trevisan, F., 2003. Electrostatic analysis for plane problems with finite formulation. Magnetics, IEEE Transactions on, May, 39(3), pp. 1127-1130. Boglietti, A. y otros, 2009. Evolution and Modern Approaches for Thermal Analysis of Electrical Machines. Industrial Electronics, IEEE Transactions on, March, 56(3), pp. 871-882. Boglietti, A. y otros, 2014. Electrical Machine Topologies: Hottest Topics in the Electrical Machine Research Community. Industrial Electronics Magazine, IEEE, June, 8(2), pp. 18-30. Bommaraju, C., 2009. Investigating Finite Volume Time Domain Methods in Computational Electromagnetics, Darmstadt: TU Darmstadt. Bossavit, A., 1998. On the geometry of electromagnetism: Maxwell’s house. J. Japan Soc. Appl. Electromagn. Mech., 6(4), p. pp. 318–326. Bossavit, A., 2000. Computational electromagnetism and geometry: The" Galerkin hodge". J. Japan Soc. Appl. Electromagn. Mech., 8(2), pp. 203-209. Bossavit, A., 2005. Discretization of Electromagnetic Problems: The “Generalized Finite Differences” Approach. s.l.:Elsevier B.V.. Branin, F. H. (., 1966. The algebraic topological basis for Network analogies and the vector calculus. Symposium. on Generalized Networks, April.pp. 453-487. Bullo, M., D'Ambrosio, V., Dughiero, F. & Guarnieri, M., 2006. Coupled electrical and thermal transient conduction problems with a quadratic interpolation cell method approach. Magnetics, IEEE Transactions on, April, 42(4), pp. 10031006. Bullo, M., D'Ambrosio, V., Dughiero, F. & Guarnieri, M., 2007. A 3-D Cell Method Formulation for Coupled Electric and Thermal Problems. Magnetics, IEEE Transactions on, April, 43(4), pp. 1197-1200. Capolino, G.-A. & Cavagnino, A., 2014A. New Trends in Electrical Machines Technology; Part I. Industrial Electronics, IEEE Transactions on, Aug, 61(8), pp. 4281-4285. Capolino, G.-A. & Cavagnino, A., 2014B. New Trends in Electrical Machines Technology; Part II. Industrial Electronics, IEEE Transactions on, Sept, 61(9), pp. 4931-4936.
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29 CAPITULO 3 Las ecuaciones electromagnéticas y térmicas en la Formulación Finita Índice PÁG. 3. LasecuacioneselectromagnéticasytérmicasenlaFormulaciónFinita 31 3.1Introducción 31 3.2PlanteamientodelproblemafísicoenlaFormulaciónFinita 37 3.3PrincipiosasociadosalaFormulaciónFinita 38 3.4Ecuacionestopológicasdelelectromagnetismoensuformaglobal 39 3.4.1LeydeGaussparaelcampoeléctrico...................................................................................40 3.4.2LeydeGaussparaelcampomagnético................................................................................41 3.4.3LeydeFaraday‐Lenz‐Neumann.............................................................................................42 3.4.4LeydeAmpere‐Maxwell........................................................................................................42 3.5Ecuacionesconstitutivaselectromagnéticas43 3.6DiagramadeTontidelElectromagnetismo45 3.7Ecuacionestérmicasenlasmáquinaseléctricas.AplicacióndelaFormulaciónFinita 45 3.7.1Parámetroselectromagnéticosytérmicosdependientesdelatemperatura.......................46 3.7.2PérdidasporefectoJoule......................................................................................................47 3.7.3Pérdidasenlosdieléctricos...................................................................................................48 3.7.4Pérdidasenelhierro..............................................................................................................49 3.7.5Pérdidasmecánicas...............................................................................................................52 3.8Procesosdetransmisióndecalorymateriaenlasmáquinasasíncronas 53 3.8.1Transmisióndelcalorporconducción...................................................................................54 3.8.2Transmisióndelcalorporconvección...................................................................................56 3.8.3Transmisióndelcalorporradiación......................................................................................57 3.9LatransferenciadecalorporconducciónenlaFormulaciónFinita 57 3.10Ecuacionestopológicasdelatransferenciadecalor 58 3.11Ecuacionesconstitutivasdelatransferenciadecalor 58 3.12Conclusiones59
36 Capítulo 3 otra manera, 1-simplex primal. Como regla para el campo eléctrico: “El contenido de carga y el flujo eléctrico se sitúan en la celda dual. El potencial eléctrico en un punto primal y la diferencia de potencial o tensión se sitúa en las aristas de la celda primal”. Figura 3-6. Campo eléctrico. En la Figura 3-6, V i y V j son potenciales eléctricos en los nudos i y j del primal. La diferencia de potencial, o tensión U ij entre V i y V j , se mide en la arista primal L i . El contenido de carga eléctrica está situado en la celda dual. El flujo eléctrico atraviesa la cara dual . Campo magnético. Para entender el campo magnético en la Formulación Finita hay que tener en cuenta el siguiente fenómeno físico. “La circulación de cargas eléctricas, o corriente eléctrica, da lugar a la aparición de campo magnético en el espacio circundante a dicha circulación”. Figura 3-7 Campo eléctrico ortogonal al magnético (material isótropo). La fuerza magnetomotriz corresponde a la circulación del vector de campo magnético a lo largo de la trayectoria L. Por lo tanto, aplicando la ley de Ampere: ∙ Ec. 3.3 Pero la intensidad en cualquier conductor k se obtiene de la integración de la densidad de corriente J de dicho conductor en su sección transversal S . ∙ Ec. 3.4
Capítulo 3 37 Pasando de la formulación diferencial a la Formulación Finita, cualquier carga eléctrica está contenida en un espacio dual. La corriente eléctrica y la densidad de corriente eléctrica representan flujos de carga eléctrica atravesando la cara de la celda dual. Por lo tanto, la circulación del campo magnético estaría circunscrita a la circulación de dicho campo magnético en las aristas que delimitan dicha cara. Es decir, en el contorno , siguiendo la analogía de la ley de Ampere. Ec. 3.5 Por otro lado, baste recordar que el flujo magnético se relaciona con la intensidad de campo magnético de la siguiente manera: ∙ ∙ ∙ Ec. 3.6 Para poder definir el campo magnético en la Formulación Finita, según se observa en la Figura 3-8. Figura 3-8 El campo magnético en la Formulación Finita. Así, el flujo magnético es una magnitud asociada a las caras primales, siendo una variable de configuración. Mientras, la fuerza magnetomotriz está asociada a las aristas del dual, siendo una variable fuente, (Tonti, 2000a), (Tonti, 2000c). 3.2 Planteamiento del problema físico en la Formulación Finita Para resolver cualquier problema físico, vinculado a un campo escalar o vectorial, mediante cantidades discretas, siendo la Formulación Finita un método más de resolución tal como explica Tonti en (Tonti, 2001a), (Tonti, 2013) pág. 273, se parte de alguna de las siguientes premisas:
38 Capítulo 3 Se conoce la forma y dimensiones del problema. Se conoce la distribución espacial y temporal del campo. Se conoce la naturaleza de los materiales del dominio del campo. Se conocen las condiciones de contorno que afectan a las fuentes. externas al dominio del campo. El objetivo es obtener la configuración espacial y temporal del campo. La ecuación fundamental del campo trata de relacionar la fuente con el potencial de dicho campo. La ecuación fundamental de campo se obtiene al relacionar ecuaciones de campo con ecuaciones constitutivas. Las ecuaciones de campo relacionan variables de configuración entre sí, así como también variables fuente entre sí. Las ecuaciones constitutivas relacionan las variables fuentes con las variables de configuración. Ver (Tonti, 2001a) y (Tonti, 2013) pág. 8. Figura 3-9 Proceso de co-contorno (coboundary process). 3.3 Principios asociados a la Formulación Finita Tonti establece dos principios fundamentales asociados a la Formulación Finita (Tonti, 2002a). A saber: Primer Principio: “En cualquier teoría física las variable globales de configuración están asociadas a elementos de espacio y tiempo con orientación interna, mientras que las variables globales de fuente están asociada con elementos de espacio y tiempo con orientación externa” Segundo principio: “En cualquier teoría física, existen leyes físicas que enlazan elementos espacio-temporales orientados con otros referidos a su contorno orientado” Las afirmaciones de Tonti se corroboran en la Topología Algebraica y, sobre todo, en el Cálculo Diferencial Exterior. Consecuencia de ello será la obtención de operador discretos que permiten establece relaciones entre elementos espacio-temporales siguiendo los principios anteriormente expuestos. Observando la Figura 3-10 se explica el procedimiento para obtener la configuración espacial y temporal del campo a estudiar. Existe una relación con elementos geométricos de la celda y una perfecta dualidad en dicho procedimiento. En realidad se representan ecuaciones topológicas que
Capítulo 3 39 establecen las relaciones entre los elementos espacio-temporales, independientemente de su métrica. Figura 3-10 Configuración espacial del campo. En Álgebra Topológica, a este tipo de procedimientos se le conoce con el nombre de co-contorno (coboundary process) A través de estos procesos se desarrollan las operaciones de gradiente, rotacional y divergencia, tanto en forma continua como discreta. Ver Figura 3-9. 3.4 Ecuaciones topológicas del electromagnetismo en su forma global Las ecuaciones topológicas que se van a utilizar en el estudio de la máquina eléctrica asíncrona son las referidas al electromagnetismo. En especial electrodinámica. Es de destacar que para ciertos estudios relacionados con la rigidez dieléctrica de los aislamientos eléctricos o para cierto tipo de núcleos ferromagnéticos basados en imanes permanentes, se debe utilizar la electroestática y la magneto estática, respectivamente. Todo ello, a modo de resumen, se exponen las principales ecuaciones topológicas que rigen el campo electromagnético, desde el punto de vista de la Formulación Finita, en la tabla Tabla 3-1
40 Capítulo 3 Variables de configuración Espacio: orientación interna Tiempo: orientación externa Variables de fuente Espacio: orientación externa Tiempo: orientación interna Función auxiliar primal (gauge): Producción de carga eléctrica: Impulso de potencial eléctrico: Contenido de carga eléctrica: Potencial magnético escalar: ∙ Flujo de carga eléctrica: Impulso de fuerza electromotriz: Flujo eléctrico: Flujo magnético: Impulso de fuerza magnetomotriz: Flujo de carga magnética: Sin nombre: ∙ Contenido de carga magnética: Impulso de potencial magnético: Producción de carga magnética: Función auxiliar dual (gauge): Variables globales. Unidades SI: weber Variables globales. Unidades SI: culombio Tabla 3-1. Variables globales electromagnéticas, (Tonti, 2013), pág. 295. La piedra angular del electromagnetismo son las leyes de Maxwell. A continuación se enuncian dichas leyes desde el punto de vista de la Formulación Finita. 3.4.1 Ley de Gauss para el campo eléctrico La ley de Gauss para el campo eléctrico demuestra que el flujo de campo eléctrico a través de la superficie cerrada, que envuelve a la distribución de carga eléctrica, es causado por el contenido total de cargas en el interior de dicha superficie cerrada. La distribución puede ser una distribución volumétrica de cargas eléctricas ( V ), una distribución superficial de cargas eléctricas ( S ), o una distribución lineal de cargas eléctricas ( L ). De la ley de Gauss para el campo eléctrico se deduce que las líneas de dicho campo son abiertas.
Capítulo 3 41 Figura 3-11. Ley de Gauss para el campo eléctrico. Formulación Finita: , , Formulación integral: ∙ Formulación diferencial: ∙ ; ,,, 3.4.2 Ley de Gauss para el campo magnético La ley de Gauss para el campo magnético determina que el flujo que atraviesa la superficie cerrada que contiene al volumen donde está la fuente de campo magnético () es de carácter solenoidal. Es decir, el número de líneas de campo entrantes es igual al número de líneas salientes, con lo cual el flujo magnético neto es nulo. De ello se deduce que las líneas de campo magnético son cerradas. Figura 3-12: Ley de Gauss para el campo magnético. Formulación Finita: ,0 Formulación integral: ∙ 0 Formulación diferencial: ∙ 0; ,,,
42 Capítulo 3 3.4.3 Ley de Faraday-Lenz-Neumann. Esta ley permite establecer una relación entre campo eléctrico y campo magnético cuando este último campo varía en el tiempo. Si en la superficie existente en los bordes interiores de un hilo conductor se producen variaciones temporales del campo magnético que atraviesa dicha superficie, entonces, en los extremos de dicho hilo conductor, aparecerá una fuerza electromotriz inducida. Figura 3-13. Ley de Faraday-Lenz-Neumann. Formulación Finita: , , , Formulación integral: ∙ ∙ Formulación diferencial: ; ,,, Desde el punto de vista de la Formulación Finita el conductor está situado en el contorno ( ∂S ) de la superficie ( S ) perteneciente al espacio primal K . dicha superficie ( S ) está siendo sometida a las variaciones de un flujo magnético ( ) en un determinado intervalo de tiempo . El intervalo de tiempo es dual pues la fuente creadora de campo magnético son cargas eléctricas en movimiento. Un cambio de sentido del movimiento de dichas cargas eléctricas a través de las superficies duales implicaría un cambio de signo del flujo magnético que atraviesa la superficie primal. 3.4.4 Ley de Ampere-Maxwell La ley de Ampere-Maxwell relaciona el campo magnético con la circulación de cargas eléctricas por un medio conductor. Supongamos un conductor por el cual fluyen cargas eléctricas a lo largo del tiempo. Si esto es así, es evidente que existe una determinada producción de cargas eléctricas ,, que se produce en un intervalo de tiempo T . Dichas cargas van a atravesar superficies del espacio dual (variable de fuente). Instante a instante, estas caras duales estarán sometidas a un flujo eléctrico ,. Tanto la producción de cargas como la variación del flujo eléctrico justifican la
Capítulo 3 43 aparición del campo magnético ,. En la Formulación Finita dicho campo magnético se expresa en forma de impulso de fuerza magnetomotriz . Figura 3-14. Ley de Ampere-Maxwell. Formulación Finita: , , , , Formulación integral: ∙ ∙ ∙ Formulación diferencial: ; ,,, 3.5 Ecuaciones constitutivas electromagnéticas Las ecuaciones constitutivas electromagnéticas son las siguientes: Figura 3-15. Ecuaciones constitutivas electromagnéticas. Los parámetros R , σ , є , μ van a definir al medio material por donde está discurriendo el campo electromagnético. La naturaleza matemática de dichos parámetros va a depender de cómo se comporte el campo en dicho material (constante, función o tensor).
44 Capítulo 3 Medio Naturaleza matemática de R , σ , Є , μ Isótropo y lineal Constante Isótropo y no lineal Función dependiente: ; ; Anisótropo, lineal Tensor: Tabla 3-2. Parámetros de las ecuaciones constitutivas electromagnéticas. En la Tabla 3-2 se explica cómo pueden los mismos parámetros de las ecuaciones constitutivas electromagnéticas adoptar diferente naturaleza matemática, según el tipo de material electromagnético a modelar. Nota: La resistencia eléctrica R es dependiente de la temperatura τ . Cualquier dispositivo eléctrico, incluyendo las máquinas asíncronas, normalmente tiene un comportamiento no lineal. Por lo engorroso de los cálculos, se suele considerar un comportamiento lineal en ciertos tramos de su funcionamiento (linealización del funcionamiento). Así, lo normal es que los dieléctricos, entre ellos los aislamientos eléctricos de las máquinas, sufran polarizaciones de sus moléculas. Esto puede llevar a un estado de saturación y hacer que su comportamiento sea no lineal. Estos fenómenos son apreciables en máquinas eléctricas de alta tensión. De igual manera, los parámetros que afectarán a las corrientes, R y σ , tiene una notable dependencia de la temperatura, de ahí que, en ciertos rangos de funcionamiento, su comportamiento sea no lineal. Uno de los casos más notables en el funcionamiento de las máquinas eléctricas es la saturación de los núcleos ferromagnéticos. Normalmente, por cuestiones de optimización económica, las máquinas eléctricas se diseñan para trabajar en estado de saturación. La no linealidad del campo magnético en el entrehierro es manifiesta. Y, en el caso de los núcleos ferromagnéticos construidos con chapas laminadas en frío, se añade la circunstancia del desigual comportamiento del campo magnético según sea la dirección del mismo respecto a la orientación de los dominios magnéticos de la chapa a la hora de ésta laminarse en frío. El objeto de esta tesis, en el caso de las ecuaciones constitutivas, no es modelar estos fenómenos. Se ha tratado de aplicar una simplificación de la realidad como es la de considerar dichos parámetros como constantes. Es decir, se desarrollan modelos matemáticos lineales de las máquinas, en especial de la máquina eléctrica asíncrona, objeto de estudio de esta tesis.
Capítulo 3 45 3.6 Diagrama de Tonti del Electromagnetismo Los diagramas de Tonti son una forma esquemática de representar un fenómeno físico y sus interacciones utilizando la Formulación Finita. El diagrama de Tonti del electromagnetismo es el siguiente: Figura 3-16. Diagrama del electromagnetismo, (Tonti, 2013), pág. 312. 3.7 Ecuaciones térmicas en las máquinas eléctricas. Aplicación de la Formulación Finita Los procesos de transferencia de calor y materia que se dan en una máquina eléctrica asíncrona se deben a múltiples motivos. A partir de las variables J o I , se pueden obtener algunas de las fuentes de calor de la máquina eléctrica asíncrona. Cabe recordar que las fuentes de calor en una máquina eléctrica son: el calor en los conductores debido al efecto Joule, la histéresis magnética y las corrientes parásitas en los núcleos ferromagnéticos y, por último, cualquier fricción de las partes móviles de la máquina. Nos hemos centrado, por ahora, en el cálculo de las corrientes parásitas, postergando a un futuro inmediato el estudio de las otras dos fuentes de calor: histéresis magnética y fricciones mecánicas. Nuestro interés en el estudio térmico de la máquina radica en la disminución del rendimiento de la misma, el empeoramiento de la transmisión de calor al aumentar el aislamiento eléctrico en los conductores y en las chapas
52 Capítulo 3 silicio al acero ferromagnético, su tenacidad disminuye, pero también disminuyen las pérdidas por Foucault. Un modelo propuesto para calcular dichas pérdidas por corrientes de Foucault es el siguiente (Driesen, 2000): , 121 Ec. 3.21 Si se perdiese el aislamiento entre las chapas, este calor aumentaría, aproximadamente, de la siguiente manera (Driesen, 2000): , 6 Ec. 3.22 Si el campo magnético está distorsionado con respecto a una onda senoidal, su contenido en armónicos contribuiría de la siguiente manera (Driesen, 2000): , 6á, Ec. 3.23 Si se consideran las pérdidas de Foucault como pérdidas elípticas (Driesen, 2000), entonces: , 6á, í, Ec. 3.24 En esta tesis se estudiarán modelos de conductores donde aparecerán corrientes inducidas. Estos conductores pueden ser devanados de la máquina, sometidos a campo magnético alternativo y conectados a fuentes externas, tanto de tensión como de corriente. Así mismo se estudiarán modelos donde únicamente existirán corrientes de Foucault debidas a campos externos alternativos. 3.7.5 Pérdidas mecánicas Las pérdidas mecánicas están asociadas a máquinas eléctricas rotativas. Estrictamente las vibraciones de las chapas del núcleo, mayores o menores según el grado de acuñamiento, de los transformadores serían pérdidas mecánicas en dichas máquinas eléctricas. Por su dificultad para separarlas de las pérdidas en el hierro y en los devanados, se consideran incorporadas a ambos. En las máquinas eléctricas rotativas, las pérdidas mecánicas consisten básicamente en fricciones en las partes móviles. A saber, fricciones de:
Capítulo 3 53 Superficies externas del rotor y ventiladores solidarios al eje. Cojinetes de apoyo del eje rotórico con el estator. El estudio de las pérdidas mecánicas no es objeto de esta tesis. 3.8 Procesos de transmisión de calor y materia en las máquinas asíncronas Estudiadas las fuentes de calor en las máquinas eléctricas en general y, en la máquina asíncrona en particular, cabe hacerse la pregunta: ¿Qué importancia tiene la producción de calor y su transmisión? La respuesta se ha dado casi de antemano en las normas UNE mencionadas. Se trata de mantener una temperatura dada de funcionamiento. Esto sólo se consigue si hay equilibrio térmico: ⇒ Ec. 3.25 Visto y comprendido el equilibrio térmico, es condición necesaria conocer los mecanismos de transmisión del calor. Los principales mecanismos de transmisión del calor son: Conducción Convección Radiación Sea cual sea el medio de evacuación del calor, éste será transmitido siempre al ambiente que envuelve a la máquina. Los tres métodos anteriormente funcionan de forma pasiva o natural en la máquina eléctrica. Aún a pesar de esto, el calor generado, sobre todo en el interior de la máquina, en la zona del entrehierro que comparten estator y rotor, es difícil de evacuar. Por todo ello se recurre a la evacuación forzada de este calor. En términos técnicos a esta evacuación del calor generado en el interior de la máquina se le denomina ventilación forzada. Para llevarla a término se diseñan las máquinas con un ventilador solidario al eje de la misma. Al girar la máquina, el ventilador impulsa aire fresco desde el exterior al interior de la misma. Cada unidad de aire introducida en la máquina se caliente (evacúa el calor generado) y es desplazada de nuevo al exterior. Este flujo de masa transporta energía calorífica. A este tipo de máquinas se les denomina autoventiladas. Aun así hay regímenes de funcionamiento de la máquina que no permiten la evacuación necesaria de calor mediante el flujo de aire frío por su interior. Es entonces cuando se recurre a ventiladores externos a la máquina que permitan dicha ventilación. Este problema se agudizado con la mala utilización de reguladores de velocidad en máquinas autoventiladas, especialmente en las máquinas asíncronas. El aumento de temperatura fuera
54 Capítulo 3 de las condiciones nominales de la máquina por una no adecuada ventilación mientras opera, se conoce con el término de desclasamiento de la máquina. En esta tesis no se ha tenido en cuenta la transferencia de masa que supone el aire impulsado al interior de la máquina asíncrona con objeto de refrigerarla. 3.8.1 Transmisión del calor por conducción La conducción del calor es la modalidad de transmisión del calor que se ha estudiado en esta tesis. La ecuación que rige la conducción de calor en sólidos en régimen dinámico es la siguiente: ∙∙ Ec. 3.26 Es la llamada ecuación de transmisión del calor de Fourier. Esta ecuación representa un balance de energía calorífica que depende del flujo neto de energía calorífica ∙∙ , la energía calorífica generada y la energía calorífica almacenada en el material . Si se ha alcanzado un régimen estacionario, no habrá variaciones de temperatura, permaneciendo ésta constante. Con lo que la Ec. 3.26 queda como sigue: ∙∙ Ec. 3.27 Esto indicaría una correcta ventilación si la temperatura permanece en el rango de valores normalizado. Caso contrario, pudiera ser que se haya conseguido alcanzar el equilibrio térmico con una temperatura demasiado alta, fuera de norma. Pudiera ser que nos interesara solamente analizar cómo se trasmite el calor a través de los materiales. Esto es sumamente importante en los aislantes eléctricos, que como tales, suelen ser también buenos aislantes térmicos. Esto hace que se favorezca el aislamiento eléctrico pero empeore la transmisión del calor desde el elemento conductor hacia el exterior. De igual manera se puede estudiar como transmiten calor las masas que constituyen el rotor y el estator. Matemáticamente para realizar lo anteriormente descrito basta con anular las fuentes de calor y sólo considerar que se produce una transmisión simple desde el foco caliente hacia el foco frío. Entonces la expresión Ec. 3.27 queda como sigue: ∙∙ 0 Ec. 3.28 Desarrollada queda como una ecuación tipo Laplace:
Capítulo 3 55 0 Ec. 3.29 Donde λ es el coeficiente de transmisión del calor o conductividad térmica. La conductividad térmica puede permanecer constante o depender de la temperatura y las coordenadas del medio. Si el cuerpo es isótropo desde el punto de vista térmico, entonces la componente 0, con lo que: 0 Ec. 3.30 Sería el caso más simple de transmisión de calor a considerar. A lo largo de los anteriores desarrollos hemos de decir que el papel que juega es el de ser el calor producido por la fuente total de generación de calor (histéresis alternativa, histéresis rotativa, histéresis elíptica, corriente de Foucault). La expresión Ec. 3.31 viene a simbolizar esto. ∝, ,,,..;, Ec. 3.31 Se ha de destacar que, en la transmisión de calor, sea cual sea su modo, en la frontera Γ (pared o superficie por donde cruza el flujo de calor) el cruce de dicha frontera se hará en dirección a la normal a dicha superficie, siguiendo la condición de frontera de Neumann. ∙ Ec. 3.32 Es decir, se supone que el flujo de calor atraviesa la pared Γ , de superficie A, en dirección de la normal a dicha pared siguiendo el mayor gradiente de temperatura . Es preciso aclarar que, matemáticamente, es un escalar, pues ∙ (a) (b) Figura 3-18. Transmisión del calor por conducción (a) y convección (b).
56 Capítulo 3 Esta introducción a la transmisión de calor por conducción, su cálculo y sus aplicaciones se ha extraído de (Holman, 1999), pág.1-7, 51-67, 95-101, 109132; (Popescu, et al., March 26-27, 2015). En esta tesis se estudiará este tipo de transmisión de calor, en régimen dinámico y aplicado a la máquina asíncrona. 3.8.2 Transmisión del calor por convección En la transmisión del calor por convección, el calor se transmite entre la pared convectiva Γc y un fluido que discurre, tangente a la pared, y a una determinada velocidad . Ver Figura 3-18 (b). ∙ ⇔ Ec. 3.33 El flujo de calor depende del área A de la pared y de la diferencia de temperatura existente entre la temperatura de la pared y la temperatura del fluido , existiendo un coeficiente hc, llamado coeficiente de convección. En las máquinas eléctricas la velocidad del fluido, habitualmente aire, la impone el ventilador solidario al eje de la máquina, caso de las máquinas autoventiladas, o bien mediante ventiladores externos auxiliares. La temperatura será la del ambiente que rodea a la máquina. será la temperatura a estabilizar mediante al ventilación hasta conseguir los valores normalizados. hc dependerá de la superficie donde actúa el fluido. Así, en el caso de la máquina asíncrona de rotor bobina, el coeficiente de convección de la superficie rotórica será diferente que el de su superficie estatórica. De igual manera no tendrá el mismo valor de coeficiente de convección la superficie rotórica de una máquina de jaula de ardilla. La morfología superficial de ambos tipos de máquina impondrá coeficientes de convección diferentes. Recordar también que las aletas de refrigeración de la carcasa se ven sometidas a un proceso convectivo debido al aire circulante por ellas, normalmente impulsado por los ventiladores solidarios al eje rotórico. En esta tesis no se estudia el proceso convectivo de transmisión de calor. No obstante existen trabajos a este respecto como el de (Howey, et al., 2012) que, aunque tratan del el proceso convectivo en el entrehierro de motores de imanes permanentes (PM), por su aplicabilidad a los motores de inducción merece ser tenido en cuenta. Así mismo es de destacar el trabajo de (Jiang & Jahns, 2013) donde se estudia el proceso convectivo en estado permanente y transitorio, aportando además la técnica para estimar el parámetro convectivo de forma práctica en una máquina eléctrica prototipo. La introducción a la transmisión de calor por convección ha sido extraída de (Holman, 1999), pág. 7-8, 149-158, 193-215; (Popescu, et al., March 26-27, 2015).
Capítulo 3 57 3.8.3 Transmisión del calor por radiación La energía calorífica se transmite en forma de onda, cuya longitud de onda se sitúa entre el espectro infrarrojo y el espectro ultravioleta. El flujo de calor sigue la siguiente ley: ∙ ⇔ Ec. 3.34 Donde es el coeficiente de emisividad de la pared de radiación Γ , cuya superficie es A. La variable es el coeficiente de Stefan-Boltzman. Estrictamente hablando no existe una transmisión de calor puramente radiante en las máquinas eléctricas. El caso más próximo sería el de los transformadores sin ventilación forzada. Aun así el proceso no es una radiación pura pues existe un proceso convectivo natural en las aletas de refrigeración. En el caso de la máquina asíncrona se acercaría, aproximadamente, a un proceso de transmisión del calor por radiación cuando la máquina, aún caliente, se parase y se dejase enfriar en ausencia de fluidos refrigerantes externos e internos. En esta tesis no se estudia el proceso de transmisión de calor por radiación. Si se ha de desatacar a este respecto el trabajo de (Boglietti, et al., 2009), que, utilizando redes resistivas para modelar térmicamente a la máquina eléctrica, aporta una expresión para calcular la resistencia equivalente a la radiación térmica en una máquina eléctrica. La introducción a la transmisión de calor por radiación ha sido extraída de (Holman, 1999), pág. 9, 271-276; (Popescu, et al., March 26-27, 2015). 3.9 La transferencia de calor por conducción en la Formulación Finita La ecuación de transmisión del calor por conducción (Ec. 3.26) en términos de Formulación Finita queda como sigue: ,, , , Ec. 3.35 Análogamente, el flujo neto de energía calorífica es ,, la energía calorífica generada es , y la energía calorífica almacenada en el material es ,,. Son variables de fuente, por lo tanto están referidas a elementos espaciales duales y a elementos de tiempo primales. Se supone que las fuentes de calor están contenidas en volúmenes duales () y que el flujo de calor atraviesa las paredes de la celda dual ( o bien , que es lo mismo).
58 Capítulo 3 Figura 3-19. Diagrama de transmisión del calor, (Tonti, 2013), pág. 398. 3.10 Ecuaciones topológicas de la transferencia de calor La temperatura es una variable que define cómo es el campo térmico. Esto hace que sea una variable de configuración asignada a un punto o nudo primal. Físicamente lo medible son las diferencias de temperaturas (gradientes). Estos irán asociados a las líneas o aristas del espacio primal, siendo pues variables de configuración. El calor se transmite desde un foco caliente a uno frío, estando el dispositivo analizado inmerso en este flujo calorífico. Sería una conducción simple de calor. La fuente sería el calor , transmitido, constituyéndose en variable de fuente, y, por lo tanto, ubicada en el subespacio dual. Si el material del dispositivo analizado, por algún motivo a nivel físico-químico alterase su energía interna, entonces se constituiría en una nueva fuente de calor , ,. Por último, el dispositivo analizado pudiera poseer sus propias fuentes de calor ,, entonces también estas serían variables de fuente ubicadas en el dual. Para formarse mejor una idea de este ordenamiento ver la Figura 3-19. 3.11 Ecuaciones constitutivas de la transferencia de calor Autores como (Alotto, et al., 2008), (Bullo, et al., 2006a), (Bullo, et al., 2006b), (Bullo, et al., 2006c) y (Tonti, 2013) proponen diversos tipos de ecuaciones constitutivas. En este apartado de exponen unas ecuaciones constitutivas
Capítulo 3 59 térmicas genéricas que permitan entender el diagrama de Tonti referido a la transmisión del calor en sólidos, que será el caso de estudio. Figura 3-20. Ecuaciones constitutivas térmicas. La primera ecuación constitutiva, Figura 3-20, parte superior, relaciona una fuente de calor con la temperatura. Esto cuando la propia fuente de calor depende de la temperatura. Este caso no es apreciable en máquinas eléctricas, pero si en muchos procesos físicos en los dispositivos semiconductores. La segunda ecuación constitutiva, Figura 3-20, parte media, relaciona una fuente de calor con la temperatura. En este caso es la energía interna del material u que se ve modificada con la temperatura . La tercera ecuación constitutiva, Figura 3-20, parte inferior, el calor con el gradiente de temperatura mediante el coeficiente de transmisión del calor por conducción λ . En esta tesis se propone una nueva ecuación constitutiva para la transmisión por conducción. Por la importancia de esta aportación, este tema será tratado en capítulos posteriores con mayor amplitud. 3.12 Conclusiones Al usar la Formulación Finita, se cuenta con un nuevo marco teórico alternativo a la formulación diferencial e integral aplicado al campo electromagnético y a la conducción del calor. Se ha particularizado la Formulación Finita de las ecuaciones electromagnéticas y térmicas para aplicarlas al funcionamiento de la máquina eléctrica asíncrona.
60 Capítulo 3 Bibliografía Alotto, P., Bullo, M., Guarnieri, M. & Moro, F., 2008. A coupled thermoelectromagnetic formulation based on the cell method. Magnetics, IEEE Transactions on, 44(6), pp. 702-705. Boglietti, A. y otros, 2009. Evolution and Modern Approaches for Thermal Analysis of Electrical Machines. Industrial Electronics, IEEE Transactions on, March, 56(3), pp. 871-882. Bullo, M., D’Ambrosio, V., Dughiero, F. & Guarnieri, M., 2006c. A 3D Cell Method Formulation for Coupled Electric and Thermal Problems. s.l., s.n., pp. 7-7. Bullo, M., D'Ambrosio, V., Dughiero, F. & Guarnieri, M., 2006a. Coupled electrical and thermal transient conduction problems with a quadratic interpolation cell method approach. Magnetics, IEEE Transactions on, April, 42(4), pp. 1003-1006. Bullo, M., Dughiero, F., Guarnieri, M. & Tittonel, E., 2006b. Nonlinear coupled thermo-electromagnetic problems with the cell method. Magnetics, IEEE Transactions on, April, 42(4), pp. 991-994. Cardelli, E. & Faba, A., 2014. A Benchmark Problem of Vector Magnetic Hysteresis for Numerical Models. Magnetics, IEEE Transactions on, Feb, 50(2), pp. 1049-1052. Chaboudez, C. y otros, 1994. Numerical modelling of induction heating of long workpieces. Magnetics, IEEE Transactions on, Nov, 30(6), pp. 5028-5037. Driesen, J., 2000. Coupled Electromagnetic-Thermal Problems in Electrical Energy Transducers, Kardinaal Mercielaan 94-3001. Leuven (Haverlee): s.n. Dupre, L., Keer, R. V. & Melkebeek, J., 1998. A computational model for the iron losses in rotating electrical machines. International Journal of Engineering Science , 36(7–8), pp. 699-709. Holman, J. P., 1999. Transferencia de Calor. Octave en inglés. Priemra en español ed. s.l.:Mc Graw Hill. Howey, D., Childs, P. & Holmes, A., 2012. Air-Gap Convection in Rotating Electrical Machines. Industrial Electronics, IEEE Transactions on, March, 59(3), pp. 1367-1375. Jiang, W. & Jahns, T., 2013. Coupled electromagnetic-thermal analysis of electric machines including transient operation based on finite element techniques. s.l., s.n., pp. 4356-4363.
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68 Capítulo 4 En las celdas tetraédricas, las líneas de las sub-celdas duales se obtienen uniendo los baricentros de las caras primales con el baricentro del volumen dual. En las celdas triangulares, los baricentros de las sub-celdas duales se obtienen uniendo el baricentro del triángulo primal con el baricentro de la arista dual, que corresponde con el punto medio de dicha arista. La expresión Ec. 4.1 se utiliza calcular el baricentro del tetraedro ( B T ) y la expresión Ec. 4.2 para el calcular el baricentro de un triángulo en tres dimensiones ( B 3t ). Sí el triángulo está en dos dimensiones, la expresión Ec. 4.3 sería la utilizada para el cálculo del baricentro de dicho triángulo ( B 2t ). ,,14∙ ,14∙ ,14∙ Ec. 4.1 ,,13∙ ,13∙ ,13∙ Ec. 4.2 ,13∙ ,13∙ Ec. 4.3 Así ,, son las coordenadas de los nudos de un tetraedro o un triángulo, según corresponda. Analíticamente se considera que una superficie en , o un volumen en , están orientados positivamente si las expresiones S y V de Ec. 4.4, respetivamente, son mayores que cero 1 2!∙,,,112∙1 110 1 3!∙,,,,116∙ 1 1 1 10 Ec. 4.4 En el código de programación dónde se implemente estas expresiones, una vez determinado la orientación negativa, si la hubiere, simplemente con permutar dos filas o columnas, la celda quedaría orientada positivamente, siendo éste el objetivo. Así mismo, una vez positivado, el valor numérico de S o de V será utilizado en cálculos posteriores en el MC. 4.2.4 Modo local y modo global En el MC, prescindiendo de la necesidad del cálculo de las coordenadas absolutas del mallado (coordenadas cartesianas), el mallado en sí mismo no lleva métrica alguna, pues sus elementos realmente son etiquetas asociadas a
Capítulo 4 69 las coordenadas de los nudos: etiqueta n k x k ,y k ,z k . Entonces cada celda estará referida únicamente por sus etiquetas: triángulo ( n i, n j, n k ); tetraedro ( n i, n j, n k, n m . El dominio que afecta al problema a estudiar lo denominaremos Ω G . El mallado se hace sobre este dominio Ω G . Éste contendrá un número finito de celdas, triángulos o tetraedros según sea la dimensión. Si se ejecutan todos los cálculos sobre el número total de celdas simultáneamente, entonces se dice que se hacen los cálculos en modo global. Si por el contario, los cálculos se realizan celda a celda, para, una vez terminados, incorporarlos a una matriz global que interrelaciona a todo el dominio Ω G , entonces se dirá que los cálculos han sido realizados en modo local. Figura 4-4. Modo local y modo global. Normalmente se trabaja en modo local ya que el modo global requiere una gran capacidad computacional (memoria física del ordenador). Siendo esto así, la discretización conlleva un ordenamiento de los elementos de la celda para poder trabajar en modo local y evitar duplicidades erróneas a la hora de ensamblar el modo local en el modo global. 4.2.5 Ordenamiento de los elementos de las celdas en el dominio discretizado El espacio continuo a estudiar se discretiza con una herramienta adecuada (mallador). Con este procedimiento se obtienen los nudos o vértices, que son las entidades fundamentales, y las relaciones entre ellos (tetraedros o triángulos, o los elementos geométricos que se hayan utilizado para mallar). A partir de estos datos se obtienen las aristas, superficies y volúmenes. Si los nudos tienen etiquetas de asignación, entonces se pueden formar celdas tipo. En la Figura 4-5 se muestra la obtención de las entidades a partir de dos tetraedros.
70 Capítulo 4 Figura 4-5. Dos tetraedros que comparten una cara, tres aristas y 3 nudos. Los malladores, en este caso el Gmsh, aportan una serie de entidades: etiquetas de nudos y aristas, coordenadas cartesianas de los nodos, número de nudos, etiquetas de los tetraedros - o triángulos, cuadrángulos, etcétera; según sea elemento geométrico utilizado por el mallador -. A partir de estos datos, y mediante programas específicos, se obtienen los ficheros de datos que pretendemos. Un archivo tipo es el que se muestra en la Tabla 4-2. En ella se reflejan los datos obtenidos de los tetraedros de la Figura 4-5, siguiendo la secuencia que se indica a la derecha de la misma figura. Tetraedro nudos Aristas T 0 nudos Aristas T 1 0 nudos Caras T 0 nudos Caras T 1 0 nudos T 0 n01, n02, n03, n04 a 0 n 0 1 , n 0 2 a 0 n 0 2 , n 0 3 s 0 n 0 1 , n 0 2 , n 0 4 s 4 n 0 2 , n 0 3 , n 0 5 … a 1 n 0 1 , n 0 3 a 5 n 0 2 , n 0 4 s 1 n 0 1 , n 0 3 , n 0 2 s 5 n 0 3 , n 0 4 , n 0 5 T 1 0 n 0 2 , n 0 3 , n 0 4 , n 0 5 a 2 n 0 1 , n 0 4 a 7 n 0 2 , n 0 5 s 2 n 0 1 , n 0 4 , n 0 3 s 6 n 0 2 , n 0 5 , n 0 4 … a 3 n 0 2 , n 0 3 a 8 n 0 3 , n 0 4 s 3 n 0 2 , n 0 3 , n 0 4 s 3 n 0 2 , n 0 3 , n 0 4 … a 4 n 0 3 , n 0 4 a 4 n 0 4 n 0 5 a 5 n 0 2 , n 0 4 a 1 0 n 0 3 , n 0 5 Tabla 4-2. Almacenamiento de datos de una discretización de un dominio. Observando la tabla, las aristas a 0 , a 4 y a 5 son aristas compartidas por los dos tetraedros. La cara s 3 es una cara compartida por los tetraedros. Los nudos n 02 , n 03 y n 04 son compartidos por ambos tetraedros. Con objeto de no acumular errores, tanto si se trabaja en modo local, como si se trabaja en modo global, en el conjunto de datos finales, las repeticiones de elementos, aristas y caras, deben eliminarse, sólo dejando una en la orientación inicial. Este proceso no es sencillo, pues a medida que aumenta la dimensión del elemento, aumenta las combinaciones para determinar si está repetido o no. Esto conlleva algoritmos de ordenamiento, clasificación y eliminación que tienen un coste computacional relativamente alto (Simón-Rodríguez, et al., 2011), (González-Domínguez & Monzón Verona, 2013). Algoritmos que mejoran cuando se utilizan lenguajes como el C++, y que empeoran con aplicaciones interpretadas como Octave® o Matlab®.
Capítulo 4 71 Figura 4-6. Orientación positiva o negativa de una superficie. La orientación de los elementos de la celda es uno de los aspectos más importantes a tener en cuenta en el FF-MC. Según sea la secuencia de lectura de los nudos en el archivo informático, y siempre que se mantenga el mismo criterio, se pueden establecer orientaciones de los elementos con relativa facilidad. En la Figura 4-6 se muestra como se obtiene una orientación positiva o negativa de una superficie. Se hace notar que la permutación de un elemento cambia el signo de la orientación de orden superior. Así, si permutamos dos nudos, cambia la orientación de la arista, con lo cual cambia la orientación de la cara. 4.2.6 El proceso de eliminación de entidades del mallado repetidas El proceso de eliminación de aristas y caras repetidas consiste en un ordenamiento previo de dichas entidades. Cuando se comprueba que existen repeticiones del elemento (arista o cara), se procede a su eliminación. Una vez que ha concluido este proceso, el archivo, con los elementos ordenados y sin repetición, tiene que ser topológicamente equivalente al archivo original. ¿Cómo se puede comprobar la equivalencia topológica entre el archivo original y el modificado? La solución está en recurrir a la Fórmula de Euler-Poincaré Extendida: 2∙ Ec. 4.5 Donde es el número de nudos, es el número de aristas, es el número de caras, es el número de bucles que se pueden realizar sobre el objeto,
72 Capítulo 4 es el número de conchas o superficies cerradas que definen al objeto y es el número de agujeros topológicos del objeto. Figura 4-7. Característica de Euler-Poincaré. Cuando se aplica la fórmula de Euler-Poincaré a los objetos de la Figura 4-7, se observa que todos aquellos que tienen un agujero topológico, objeto 2, objeto 3 y toroide tienen la segunda parte de la fórmula igual a cero. A este segundo miembro 2∙se le denomina característica de Euler. La consecuencia de esto es inmediata: “Cualquier objeto topológico con un solo agujero y formado por una sola superficie cerrada, sea de la forma que sea el volumen formado, tiene la misma característica de Euler”. Esto se utilizará para confirmar que cualquier objeto que discretizemos, al ordenar y eliminar elementos de celda duplicados, debe tener la misma característica de Euler. Un caso especial lo constituye la geometría bidimensional, donde la fórmula de Euler-Poincaré Extendida es: 1∙1 Ec. 4.6 No obstante, desde un punto de vista práctico se puede recurrir a una forma simplificada de la fórmula de Euler-Poincaré Extendida como es el desarrollo de la misma mediante polinomios de números de Betti. ⋯∓ Ec. 4.7 En las máquinas eléctricas la dimensión espacial es, a lo sumo, . Entonces la expresión Ec. 4.7 queda reducida a:
Capítulo 4 73 Ec. 4.8 Donde es el número de volúmenes. En esta condición, para tres dimensiones, la característica de Euler será 1∙1, mientras que para dos dimensiones será 2∙1. Dicho lo cual, las expresiones a emplear en esta tesis serán: 3D 2D 1∙1 2∙1 Ec. 4.9 Si nos ceñimos a la topología de la máquina eléctrica asíncrona, los objetos topológicos principales tienen un agujero (estator) o cero agujero (rotor). Esto nos lleva a que la característica de Euler tome los valores1∙11 0, o bien que valga 1∙101, (Simón-Rodríguez, et al., 2011). Su aplicación a la discretización de las máquinas eléctricas se puede observar en la Figura 4-8. Figura 4-8. Característica de Euler y discretización en máquinas asíncronas. 4.2.7 Matrices de incidencia. Operadores discretos de gradiente, rotacional y divergencia Antes de explicar el proceso de construcción de los operadores gradiente, rotacional y divergencia, conviene hacer una breve introducción de ciertos conceptos del Álgebra Topológica. Se denomina p‐celda a una celda de dimensión 0,1,2,3. Las variables físicas están asociadas a un conjunto de p-celdas denominado p‐cadena . El llamado proceso de co‐contorno consiste en aumentar o disminuir la dimensión
74 Capítulo 4 de la p-cadena. Para llevarlo a cabo se utiliza el operador co-contorno . El proceso de co-contorno sería el siguiente: 0 → → → → →0Ec. 4.10 Gráficamente el proceso co-contorno sería aumentar de dimensión a la celda de cálculo (Desbrun, et al., 2008) pág. 296-299, 302-303. Se muestra claramente en la Figura 4-9. Figura 4-9. Proceso de co-contorno desde el punto de vista gráfico. En el Álgebra Topológica, cada operador de co-contorno , que permite pasar de dimensión a una p-cadena → está asociado a una expresión matricial. Concretando, cuando se aplica un operador como el gradiente, se hace sobre una función escalar (punto), obteniéndose un campo vectorial que sigue las trayectorias de máxima variación (línea). Si a este campo vectorial obtenido se le aplica el rotacional, da lugar a la aparición de circulaciones de dicho campo en los bordes del plano donde dicho campo circula (superficie). Si sobre dicho campo vectorial se aplica la divergencia, lo obtenido será un escalar (punto) indicando la existencia de fuente, sumidero o un simple cruce del campo por el volumen que encierra a dicho campo. Haciendo una mezcla entre el Álgebra Topológica y el Cálculo Diferencial, se puede obtener una expresión como la de Ec. 4.11 que permite aclarar estos conceptos, ya que en la ingeniería prevalece la formación diferencial frente a la formación topológica Ec. 4.11 De forma inmediata e intuitiva se aprecia que el operador gradiente debería relacionar nudos con aristas, el operador discreto rotacional relacionaría aristas
Capítulo 4 75 con superficies y el operador discreto divergencia relacionaría superficies con volúmenes. Al estar todos los elementos de la celda orientados, esto debe reflejarse en la relación de pertenencia entre elementos. Existen diversos operadores que permiten las operaciones de co-contorno. En el Cálculo Diferencial Discreto se utiliza el operador *deHodge (Desbrun, et al., 2008), pág. 311-313. Los operadores discretos que utiliza la FF-MC son las matrices de incidencia (Tonti, 2013) pág. 431-436, 464. Existen trabajos antiguos (Kaplan & Murnaghan, 1930) tratando de relacionar el Cálculo Diferencial con el Álgebra Lineal. Pero, es a finales de los años sesenta del siglo XX, con los trabajos de Branin (Branin, 1964) y (Branin, April, 1966), cuando se empieza a sistematizar el uso del Álgebra Topológica en la resolución de problemas electromagnéticos. Observando la Figura 4-10 se puede entender la construcción de las matrices de incidencia, de las cuales hace uso el MC. El signo indica la orientación del elemento. La pertenencia de un elemento de dimensión menor a otro de dimensión mayor se indica con 1, cuando pertenece y con 0 cuando no pertenece.
76 Capítulo 4 PRIMAL DUAL Figura 4-10. Operadores discretos del primal y dual. Adaptado de (Alotto, et al., 2013). Así, la matriz equivalente al operador discreto gradiente es una matriz de incidencias aristas (filas) y nudos (columnas), cuyos valores pueden ser ( ‐1,0, 1 ). 0 ⋯ 1 ⋱ ⋯0 ⋯1 ⋮ ⋮ 1 ⋯ ⋱⋮ ⋯1 Ec. 4.12 La matriz equivalente al operador discreto rotacional es una matriz de incidencias caras (filas) y aristas (columnas), cuyos valores pueden ser ( ‐1,0,1 ). 0 ⋯ 1 ⋱ ⋯0 ⋯1 ⋮ ⋮ 1 ⋯ ⋱⋮ ⋯1 Ec. 4.13 El operador discreto divergencia se construye a partir d una matriz de incidencias volúmenes (filas) y caras (columnas), cuyos valores pueden ser ( ‐1,0,1 ).
Capítulo 4 77 0 ⋯ 1 ⋱ ⋯0 ⋯1 ⋮ ⋮ 1 ⋯ ⋱⋮ ⋯1 Ec. 4.14 En esta tesis se ha utilizado un tetraedro y un triángulo de referencia. Dicha elección es arbitraria. Se han obtenido sus respectivos operadores discretos. Figura 4-11. Tetraedro y triángulo de referencia utilizado en esta tesis. Siguiendo las reglas de construcción anteriormente expuestas, los resultados obtenidos han sido los siguientes para: Tetraedro Triángulo Gradiente 1 1 1 0 1 0 00 10 01 01 00 011 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 Rotacional 1 0 1 1 1 0 0 1 01 00 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 11 1 1 1 Divergencia 1111 No se utiliza Figura 4-12. Operadores discretos para tetraedro y triángulo de referencia. 4.3 Operadores discretos de gradiente, rotacional y divergencia en el primal y el dual Observando la Figura 4-10, y siguiendo la metodología anteriormente expuesta, se establecen las siguientes relaciones entre operadores discretos del primal y del dual:
84 Capítulo 4 4.4.5 Motivación de la formulación (a, (a-v)) y (a, ) en la FF-MC La elección de la formulación (a, (a-v)) o de la formulación (a, ) obedece a criterios de cálculo numérico. Estos criterios son: Si se utiliza (a, (a-v)), la matriz global del sistema no sería simétrica. Si se utiliza (a, ), la matriz global del sistema sería simétrica. El objeto de hacer que las matrices locales y sean simétricas es lograr que la matriz global de sistema también lo sea. Figura 4-16. Matriz local y global simétricas con formulación (a, ). La importancia de la simetría de las matrices constitutivas y se puede consultar en (Trevisan, 2002), (Bettini & Trevisan, 2003), (Specogna & Trevisan, 2005), (Trevisan & Kettunen, 2006), (Codecasa & Trevisan, 2006) y (Alotto, et al., 2010). Por último, lo que se expuso para el diseño de una máquina utilizando la formulación A-V en forma diferencial en la Figura 4-13, ha quedado transformado en la formulación (a,(a, v)) para la FF-MC.
Capítulo 4 85 Figura 4-17. Diseño de una máquina eléctrica con formulación (a, (a,v)). 4.5 Método de la Celda y campo térmico El campo térmico, tanto vectorial como escalar, desde un punto de vista matemático es mucho menos restrictivo que el campo electromagnético. El campo térmico en la FF-MC su formulación sigue las siguientes reglas: Las temperaturas se asignan a los nudos primales, pues son variables de configuración. La diferencia de temperaturas se obtiene a partir de una operación de diferencias o gradiente, asignándose dichas diferencias de temperatura a las aristas primales. Las diferencias de temperatura se consideran variables de configuración. Las fuentes de calor están en los volúmenes duales, pues son variables de fuente. El flujo de calor atraviesa las superficies de los volúmenes duales. El flujo de calor es una variable de fuente. El análisis que se va a hacer en esta tesis es el de una transmisión de calor, excluyéndose la transmisión de calor por convección y por radiación. Se parte de una situación de equilibrio donde el calor que entra es igual al calor que sale
86 Capítulo 4 más el posible calor generado en el interior del cuerpo, que es máquina eléctrica asíncrona en nuestro caso. Figura 4-18. Transmisión de calor en un cuerpo. El balance de energía debe ser ∝. Se pueden dar varios casos. Si estaríamos ante un caso de transmisión pura de calor (no se gana ni pierde temperatura en un proceso estacionario). Si estamos ante un enfriamiento del cuerpo, no es el caso de una máquina eléctrica. Entonces, el caso de la máquina eléctrica coincide con . La explicación de este hecho es la siguiente: Ec. 4.33 Que viene a decir que conocida la energía calorífica trasmitida desde el exterior hacia el cuerpo E e , conocida la energía generada en el interior del cuerpo Eq g , y medida la energía de salida del cuerpo E s , si el balance no es cero se debe a una variación de su energía interna E i . Esta energía interna se relaciona con la capacidad que tienen los materiales del cuerpo para almacenar energía a lo largo de un tiempo determinado (Holman, 1999) pág. 1-7, 18-28. La ecuación analítica que explica este balance de energía es la ecuación de transmisión del calor: ∙∙ Ec. 4.34 En el capítulo 3 se han desarrollado las bases teóricas de este tema con la amplitud requerida para el objeto de esta tesis. Es por ello que, aprovechando los mecanismos explicados del MC aplicados al campo electromagnético, pasaremos directamente a aplicarlos al campo térmico. Fraccionando la Ec. 3.26 en cada una de sus componentes, las iremos trasladando a los términos del MC. La transmisión de calor por conducción ∙∙ , tipo Fourier, se correspondería en la FF-MC con la expresión siguiente: ≡ Ec. 4.35 ¿Por qué se le aplica una divergencia dual ? La explicación es sencilla: lo contenido en el paréntesis es una cantidad de calor, variable fuente, luego estará en el dual. Para ver esto más claro, volvamos a la formulación diferencial: ∙ Ec. 4.36
Capítulo 4 87 El vector representa el calor que fluye en la dirección de la normal siguiendo el gradiente de temperatura y las condiciones impuestas por la conductividad térmica λ . El signo menos indica que va de foco caliente a foco frío (opuesto a la máxima variación). Así pues es la fuente del campo térmico. El aplicarle la divergencia tiene el significado de determinar si existe una fuente de calor. Evidentemente, si existe debe dar un valor distinto de cero. Cuando la divergencia es nula se está en una transmisión simple de calor. El valor correspondería con la energía calorífica transmitida. La matriz es la parte más importante de esta parte de la Ec. 4.35. La determinación de las componentes de constituye la clave del éxito del modelo a diseñar. En esta tesis se han desarrollado dos propuestas de construcción de la matriz de conductividad térmica que se detallarán en capítulos siguientes. Aquí cabría hacer una valoración muy positiva de la Formulación Finita. En la literatura de formulación diferencial no se aclara bien el concepto de calor o energía calorífica, flujo térmico y densidad de flujo térmico. El calor o energía calorífica se trasmite a través de superficies que envuelven a la fuente calorífica (,,. El flujo de calor pasaría a través de una superficie ∙ , ya que , por lo tanto q tiene el carácter de flujo (escalar). Y lo que normalmente aparece en la bibliografía como tiene el carácter de densidad de flujo de calor, pues . Estas dudas quedan aclaradas en la Formulación Finita pues el calor es ,, el flujo de calor es , y la densidad de calor es , (Tonti, 2013) pág.387-388. El término corresponde a todas las posibles fuentes de energía calorífica que pueda tener la máquina: efecto Joule, histéresis, corrientes parásitas y fricciones mecánicas. En el MC se adoptará la expresión . El término se corresponde con la variación de energía interna en los materiales que constituyen la máquina eléctrica. En terminología de MC esta componente de la ecuación se expresa de la siguiente manera: Así pues, la expresión Ec. 3.26 , expresada en formulación diferencial, pasa a ser en la FF-MC de la siguiente manera: Ec. 4.37 Como conviene dejar todos los términos en operadores duales o primales, aprovechando las relaciones entre operadores primales y duales anteriormente explicadas, , la Ec. 4.37 pasa a ser: Ec. 4.38
88 Capítulo 4 Toda esta ecuación viene dada en [W·m-3], ya que son energía contenidas en un volumen. 4.6 El sistema de ecuaciones lineales electromagnéticas partiendo del MC en formulación (a, (a,v)) El MC ha permitido la construcción de un sistema de ecuaciones lineales tipo para resolver el problema electromagnético en una formulación global. La solución del vector de incógnitas permitirá obtener los valores de los potenciales escalares magnéticos y eléctricos: Ec. 4.39 El vector de constantes sería: 0 Ec. 4.40 La matriz de coeficientes sería una matriz de bloques tal que: Ec. 4.41 Las corrientes están asociadas a las superficies duales. Para el caso de la máquina eléctrica asíncrona se refiere a las corrientes estatóricas procedentes de fuentes externas y que se localizan en los devanados estatóricos, Figura 4-19. Estas corrientes se calculan por integración de las densidades de corriente de las superficies duales , debiendo cumplir la condición de continuidad 0, ver (Simón-Rodríguez, et al., 2015).
Capítulo 4 89 Figura 4-19. Potencias caloríficas estatórica y rotórica. Una vez obtenido el vector de incógnitas , la pregunta que cabe hacerse es: ¿Cuál es el motivo de calcular los potenciales a i y v i ? La respuesta es obtener los valores de campo y . A este procedimiento se le denomina postprocesado. El sistema global anterior se ha obtenido mediante el ensamble de las matrices locales en la matriz global. Ahora, con el post-procesado el camino es inverso. Cada a i y v i corresponden a las respectivas aristas y nudos de las celdas. Habrá que post-procesar cada celda individualmente, colocándoles sus seis potenciales magnéticos escalares a , ya que son seis aristas de cada tetraedro, y sus cuatro potenciales eléctricos v , por los cuatro nudos respectivos del tetraedro. El vector densidad de flujo magnético está vinculado a coordenadas espaciales y temporales. Recordemos que el flujo magnético en una celda se puede obtener de la siguiente manera: ∙Φ ΦΦΦΦΦEc. 4.42 Observando la Figura 4-20(a) y haciendo cumplir la ley de Gauss para el campo magnético, ΦΦΦΦ0, la única forma de que se cumpla es que uno de los flujos Φ sea combinación lineal de los otros tres. En el caso de la Figura 4-20(a) se observa que el flujo Φ tiene una orientación entrante respecto de su cara y los otros tres la tienen saliente. La consecencia práctica es que la restitución de los sólo se podrá hacer con tres de las componentes del flujo, siendo la cuarta combinación lineal de las otras tres.
90 Capítulo 4 (a) (b) Figura 4-20. (a) Flujo de campo magnético. En la Figura 4-20, en (a) se aprecia, que en el flujo de la celda, uno de ellos es combinación lineal de los otros tres. En (b) se indica la hipótesis de que el campo magnético es uniforme en toda la celda. La hipótesis de partida es considerar la densidad de flujo magnético uniforme en la celda, Figura 4-20(b). Esto permite que el flujo de cada cara k sea ∙. Los vectores que definen a las caras son del tipo , entonces se puede montar el siguiente sistema de ecuaciones: Φ Φ Φ ⇒ Φ Φ Φ Ec. 4.43 El post-procesado que se ha utilizado ha sido bajo el entorno GMSH. Este entorno tiene la particularidad de utilizar variables de campo y asignarlas a los nudos. Bajo la hipótesis de uniformidad, se puede asignar el valor de la densidad de flujo magnético, anteriormente calculada, a los cuatro nudos por igual. Pero para aumentar la precisión del cálculo, se recurre a una técnica de refinado denominada superconvergencia consistente en promediar todos los valores del campo que se han obtenido para un mismo nudo en cada una de la celdas que comparten dicho nudo, minimizándose el error cometido. El siguiente reto consiste en obtener el valor del campo eléctrico . En esta tesis se ha adoptado un régimen armónico de corrientes para hacer los experimentos numéricos, por lo tanto el operar pasa a ser . De esta manera la tensión inducida en la formulación global quedaría así: Ec. 4.44 Si se utilizase el vector de potenciales eléctricos , ver Ec. 4.31. Teniendo esto en cuenta, la formulación local sería:
Capítulo 4 91 Ec. 4.45 De otra forma, si se utiliza la formulación (a, (a, )), ver Ec. 4.32,entonces: Ec. 4.46 El campo eléctrico se debe tomar como una función de campo afín. Para ello se recurre a las funciones de Whitney de orden uno asociadas a las aristas del tetraedro, siendo el campo eléctrico afín en la celda el siguiente: ,..., Ec. 4.47 El post-procesado en GMSH asignará estos valores de campo a cada nudo k del tetraedro. Una vez obtenido el valor del campo eléctrico se procederá a obtener la densidad de corriente: ,..., Ec. 4.48 Las densidades de corriente J permitirán calcular el calor que producen los fenómenos de Joule y de Foucault en la máquina asíncrona. En la ecuación de transmisión de calor Ec. 4.38 será el término . Los valores de a partir de las densidades de corriente los obtendremos de las siguientes expresiones: Rotor Estator 12 ∗ 12 Ec. 4.49 Siendo el calor generado en el rotor por las corrientes parásitas, en [W·m3]; es la densidad de corriente en el rotor, en [A·m-2]; ∗ es el conjugado de , en [A·m-2]; es la conductividad eléctrica del material rotórico, en [Ω1·m-1]; es el calor generado en los conductores del estator, en [W·m-3]; es la densidad de corriente de los devanados estatóricos, en [A·m-2]; es la conductividad de los devanados estatóricos, en [Ω-1·m-1], ver (Lefik & Komeza, 2008) y (Komeza, et al., 2010). Ver Figura 4-19. Una vez obtenidas las fuentes de calor y las matrices térmicas y , se procede a resolver la ecuación diferencial planteada en Ec. 4.38. para ello se utiliza el método de Crank-Nicolson con un tipo Euler implícito (Bullo, et al., 2007) (Delprete, et al., 10-13 Settembre 2008), (Alotto, et al., 2008), (Delprete, et al., 2010).
92 Capítulo 4 El objetivo es obtener el vector de temperaturas ,⋯,. Estas temperaturas serán obtenidas en diversos experimentos numéricos que se proponen en esta tesis. Con ellas validaremos la metodología FF-CM frente a otras temperaturas obtenidas en esos mismos experimentos pero mediante el Método de los Elementos Finitos. 4.7 Conclusiones Se ha explicado el Método de la Celda y su adaptación a las ecuaciones electromagnéticas y térmicas formuladas bajo la teoría de la Formulación Finita. Se ha particularizado dichas ecuaciones la formulación (a, (a, v)), y, además, se ha matizado que significa físicamente cada miembro de dichas ecuaciones cuando están aplicadas al funcionamiento de una máquina eléctrica asíncrona. Bibliografía Alotto, P., Bullo, M., Guarnieri, M. & Moro, F., 2008. A Coupled ThermoElectromagnetic Formulation Based on the Cell Method. Magnetics, IEEE Transactions on, June, 44(6), pp. 702-705. Alotto, P., Freschi, F. & Repetto, M., 2010. Multiphysics Problems via the Cell Method: The Role of Tonti Diagrams. Magnetics, IEEE Transactions on, Aug, 46(8), pp. 2959-2962. Alotto, P., Freschi, F., Repetto, M. & Rosso, C., 2013. The Cell Method for Electrical Engineering and Multiphysics Problems: An Introduction. Primera ed. London, UK: Springer Science & Business Media. Bettini, P. & Trevisan, F., 2003. Electrostatic analysis for plane problems with finite formulation. Magnetics, IEEE Transactions on, May, 39(3), pp. 1127-1130. Branin, F. H., April, 1966. The algebraic-topological basis for network analogies and the vector calculus. Brooklyn, New York, USA, Polytechnic Institute of Brooklyn, pp. 453-491. Branin, J. F. H., 1964. D-C and Transient Analysis of Networks Using a Digital Computer. New York, NY, USA, ACM, pp. 4.1--4.23.
Capítulo 4 93 Bullo, M., D'Ambrosio, V., Dughiero, F. & Guarnieri, M., 2007. A 3-D Cell Method Formulation for Coupled Electric and Thermal Problems. Magnetics, IEEE Transactions on, April, 43(4), pp. 1197-1200. Codecasa, L. & Trevisan, F., 2006. Piecewise uniform bases and energetic approach for discrete constitutive matrices in electromagnetic problems. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 65(4), pp. 548-565. Delprete, C., Freschi, F., Repetto, M. & Rosso, C., 10-13 Settembre 2008. Metodo delle celle e approccio Multiphisics: applicazione alla termomeccanica. s.l., AIAS - Associazione Italiana per L'Analisi delle Sollecitazioni. Delprete, C., Freschi, F., Repetto, M. & Rosso, C., 2010. Experimental validation of a numerical multiphysics technique for electro thermo mechanical problem. COMPEL - The international journal for computation and mathematics in electrical and electronic engineering, 29(6), pp. 1642-1652. Desbrun, M., Kanso, E. & Tong, Y., 2008. Discrete differential forms for computational modeling. En: P. S. J. M. S. G. M. Z. Alexander I. Bobenko, ed. Discrete differential geometry. Berlin, Germany: Springer, pp. 287-324. Feliziani, M. y otros, 2008. Educational value of the algebraic numerical methods in electromagnetism. COMPEL-The international journal for computation and mathematics in electrical and electronic engineering, 27(6), pp. 1343-1357. Geuzaine, C. & Remacle, J.-F., 2009. Gmsh: A 3-D finite element mesh generator with built-in preand post-processing facilities. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 79(11), pp. 1309-1331. Giuffrida, C., Gruosso, G. & Repetto, M., 2006. Finite formulation of nonlinear magnetostatics with Integral boundary conditions. Magnetics, IEEE Transactions on, May, 42(5), pp. 1503-1511. González-Domínguez, P. I. & Monzón Verona, J. M., 2013. Contribution to improvement of the computing times for G, C, D matrix in the Cell Method. Las Palmas de Gran Canaria, España, EUROGEN 2013, Universidad de Las Palmas de Gran Canaria, pp. 201-203. Holman, J. P., 1999. Transferencia de Calor. Octava en inglés. Primera en español ed. Madrid, España: Mc Graw Hill. Kaplan, C. & Murnaghan, F. D., 1930. On the Fundamental Constitutive Equations in Electromagnetic Theory. Phys. Rev., Apr, Volumen 35, pp. 763-777. Komeza, K., Fernandez, X. M. L. & Lefik, M., 2010. Computer modelling of 3D transient thermal field coupled with electromagnetic field in three-phase induction
100 Capítulo 5 Cuando se realiza una simulación no se sabe a priori que cara del tetraedro se va a enfrentar con el campo magnético para producir la mayor incidencia (mayor flujo). Para resolver esto en el caso del tetraedro utilizado como celda, se hacen cuatro supuestos. Supuesto 1: La celda se enfrenta al campo por la cara 0. ∙ ∙ ∙ ∙ Supuesto 2: La celda se enfrenta al campo por la cara 1. ∙ ∙ ∙ ∙
Capítulo 5 101 Supuesto 3: La celda se enfrenta al campo por la cara 2. ∙ ∙ ∙ ∙ Supuesto 4: La celda se enfrenta al campo por la cara 3. ∙ ∙ ∙ ∙ Debido a la amplitud del desarrollo, sólo se desarrolla el supuesto 1. Los otros supuestos tienen desarrollos análogos. Ec. 5.7 Desarrollando: Ec. 5.8 Ec. 5.9 Luego: ≡ Ec. 5.10 Siguiendo los mismos procedimientos para los supuestos 2, 3 y 4:
102 Capítulo 5 ≡ Ec. 5.11 ≡ Ec. 5.12 ≡ Ec. 5.13 Como existe una combinación lineal con las expresiones de los flujos, para poderla salvar, procedemos de la siguiente manera para el supuesto 1: Ec. 5.14 Colocando adecuadamente vectores columna nulos, podemos expresar que las densidades de flujo son función de todos los flujos en cada supuesto. Supuesto 1 000 ≡ Ec. 5.15 Supuesto 2 0 0 0 ≡ Ec. 5.16 Supuesto 3 0 0 0 ≡ Ec. 5.17
Capítulo 5 103 Supuesto 4 0 0 0 ≡ Ec. 5.18 Como se pueden haber estado acumulando errores, entonces: ≅≅≅≅ Ec. 5.19 Convendría minimizar estos posibles errores. El procedimiento será el siguiente: Ec. 5.20 Siendo: 14 Ec. 5.21 Obteniéndose cada de la siguiente expresión: ,,, ,, ,,, Ec. 5.22 Una vez obtenido el campo , se puede obtener el valor de mediante su relación constitutiva: 1 . Pero la FF utiliza variables globales. En ese caso la relación sería: . El objetivo será determinar el valor de . Para ello se parte de que: ∙ Ec. 5.23 Está circulaciones del campo se efectuarán en las semi-aristas duales de la celda.
104 Capítulo 5 Figura 5-3. Celda con semi-aristas duales. Las circulaciones de estas fuerzas magnetomotrices, i0,1,2,3 , serán: ∙ ∙ Ec. 5.24 Las aristas duales están definidas como vectores de posición en la celda. El producto vectorial ∙ se puede considerar como variable global pues es un escalar. En forma matricial, el conjunto de fuerzas magnetomotrices en la celda sería: Ec. 5.25 Ec. 5.26 Pero: Ec. 5.27 Luego, sustituyendo la Ec. 5.27 en Ec. 5.26: Ec. 5.28 Se concluye pues que: Ec. 5.29 A este método de obtener la matriz constitutiva magnética se le denomina método geométrico. Para profundizar en este tema se recomienda leer a (Repetto & Trevisan, 2004).
Capítulo 5 105 Existe otra forma de construir la matriz con un campo magnético afín obtenido por la aplicación de funciones de Whitney de orden 1 (Trevisan & Kettunen, 2006). La matriz obtenida tiene la forma siguiente: ñ ñEc. 5.30 La matriz , en su desarrollo geométrico, puede ser consulta en (Trevisan, 2002). No se detalla el desarrollo matemático para llegar a ella, pero si existe la suficiente información como para desarrollarlo como anteriormente se ha hecho. Así mismo, advierte del inconveniente que tiene la matriz de reluctividad: no es simétrica. Esto se corrige en la formulación global pues al realizar la operación , la matriz local resultante si es simétrica, que es objetivo para poderse ensamblar en la matriz global. Existe otro trabajo de (Marrone, 2004) donde adecua para operar con Diferencias Finitas y con el Método de los Elementos Finitos. Esto demuestra la versatilidad del Método de la Celda. 5.4 Matriz constitutiva eléctrica [M] La matriz constitutiva eléctrica será la encargada de relacionar la variable de configuración tensión eléctrica U con la variable de fuente intensidad eléctrica I de la manera siguiente: Ec. 5.31 Para comprender la génesis de esta matriz constitutiva hay que recordar que las densidades de corriente eléctrica están asociadas a las seis semi-caras duales de la celda. Estas semi-caras duales aportarán la corriente de la celda, pero la totalidad de la corriente que aporte el complejo dual será la suma de las corrientes aportadas por las celdas adyacentes a la estudiada. En la Figura 5-4. Caras duales en tres y dos dimensiones. Se observan dos espacios duales. En Figura 5-4(a) correspondería a un espacio dual tridimensional. Las densidades de corriente irían en las semi-superficies duales y . En Figura 5-4(b) se muestra un dominio bidimensional, cuyas celdas son triángulos. Por motivos de claridad en la explicación, se escoge el dominio bidimensional, entendiéndose que en el caso tridimensional sucede de manera análoga. Escojamos el punto primal . Las semi-superficies duales (, , ) comparten este punto .
106 Capítulo 5 Serán las densidades de corrientes, asociadas a las semi-superficies duales las que aporten la corriente total del dual estudiado en Figura 5-4(b). Por analogía, en tres dimensiones, el papel que juega el punto , lo jugará la arista . Formándose la superficie dual con las semisuperficies duales que comparten la arista . 3D 2D (a) (b) Figura 5-4. Caras duales en tres y dos dimensiones. Hay dos criterios para situar en vector de densidades de corriente : Situar el vector en el baricentro de la cara () Calcular una densidades de corriente mediante un campo afín obtenido con funciones de Whitney de orden uno y situarlas en el baricentro promedio de las caras duales ( ñ ) En cuanto a baricentros se trata, en el complejo dual se hallan los baricentros de las caras duales , los baricentros de la celda primal B T y el promedio de los baricentros de las caras duales ñ Figura 5-5. Baricentros en el tetraedro En la Figura 5-5 Se muestran una serie de baricentros. El baricentro del tetraedro es B T .El baricentro de la cara dual es y el promedio de los baricentros de las caras duales es ñ . El promedio de los baricentros de las caras duales ñ se determina mediante la siguiente expresión:
Capítulo 5 107 ñ16 ,16 ,16 Ec. 5.32 En esta tesis se utilizará el baricentro ( ñ ). La corriente en una semi-cara del dual sería el producto vectorial ∙. Por lo tanto, en todo el dual sería ∙ . Aplicando las funciones de Whitney de orden 1 en la arista primal j , se puede crear un campo eléctrico afín . Siendo la función de Whitney de orden 1 para la arista primal j y evaluada en el baricentro de la cara primal i . Cada elemento de la matriz de conductividad eléctrica , según (Specogna & Trevisan, 2005), se puede obtener mediante la expresión siguiente: ∙ ,0,⋯,5 Ec. 5.33 Pero (Specogna & Trevisan, 2005) demuestran que se puede obtener una matriz de conductancia por otra vía más geométrica que la anterior. Proponen una matriz de conductancia eléctrica cuyos elementos sean se obtengan de la siguiente manera: ∙ ,0,⋯,5Ec. 5.34 Si se desarrolla dicha matriz, su aspecto es el siguiente: ⋮⋯ ⋱⋯ ⋮⋮ ⋮ ⋯⋯ ⋯⋯ ⋮ ⋱⋮⋮ ⋯⋱ ⋯⋮ Ec. 5.35 Esta matriz garantiza siempre su simetría. El procedimiento para construirla imposibilita que se sea singular, pues no existe ninguna cara dual de valor nulo. En realidad, desde el punto de vista matemático, lo que logra (Specogna & Trevisan, 2005) con esta operación es forzar la simetría de la matriz obtenida, en este caso . Esto se puede entender si se parte de la base que una matriz simétrica se puede obtener de la siguiente manera: é é∙ é Ec. 5.36 Teniendo esto en cuenta, la matriz de vectores de las caras duales, componente por componente, sería así:
108 Capítulo 5 Ec. 5.37 Operando: ∙ ⋮⋯ ⋱⋯ ⋮⋮ ⋮ ⋯⋯ ⋯⋯ ⋮ ⋱⋮⋮ ⋯⋱ ⋯⋮ Ec. 5.38 Tal como demuestran (Specogna & Trevisan, 2005), esto es posible porque la obtención de un campo eléctrico afín mediante la utilización de las funciones de Whitney de orden 1, evaluadas en la arista j con respecto al baricentro ñ , sería lo mismo que: ∙ ñ ∙1 ,0,⋯,5 Ec. 5.39 Ya que ñ= . A lo largo de experimentos numéricos hechos en esta tesis, se ha comprobado que ambas propuestas son válidas. 5.5 Conclusiones En esta tesis se han probado los tipos de matrices constitutivas propuestos en la literatura al respecto. Su validez ha quedado demostrada. La elección de cada una de ellas dependerá de la dificultad de cálculo, en cuanto a costo computacional se refiere. Hay modelos, como los basados en la funciones de Whitney que tienen un buen resultado en cuanto a precisión se refiere. Pero, cuando los mallados son muy densos, es obvio que se ralentice el proceso, pues la construcción de las funciones de Whitney puede ser laboriosa. En cambio, con la propuesta hecha en Ec. 5.35, el cálculo se acelera. Esto se evidencia viendo que los vectores que definen a las aristas duales tienen que ser calculados para todas las propuestas hechas. Una vez calculados, basta con realizar los productos escalares que se indican y construir la matriz, consiguiendo un notable ahorro de tiempo.
Capítulo 5 109 Es de destacar que las matrices no son simétricas, pero al operarlas, en el MC, siguiendo el criterio , se vuelven simétricas y semidefinidas (Specogna & Trevisan, 2005). En cambio las matrices garantizan, desde la formulación local, su simetría, sobre todo la propuesta en Ec. 5.35. Bibliografía Marrone, M., 2004. Properties of constitutive matrices for electrostatic and magnetostatic problems. Magnetics, IEEE Transactions on, May, 40(3), pp. 1516-1520. Repetto, M. & Trevisan, F., 2004. Global formulation of 3D magnetostatics using flux and gauged potentials. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 60(4), pp. 755-772. Specogna, R. & Trevisan, F., 2005. Discrete constitutive equations in A-Chi geometric eddy-current formulation. IEEE Trans. Magn, 41(4), pp. 1259-1263. Trevisan, F., 2002. The Cell method for the analysis of 3D static and quasi-static magnetic fields. Journal of Computational Physics (Elsevier Preprint). Trevisan, F. & Kettunen, L., 2006. Geometric interpretation of finite-dimensional eddy-current formulations. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 67(13), pp. 1888-1908.
116 Capítulo 6 En la Figura 6-3, las flecha rojiblancas señalan las cabezas de bobina en un rotor bobinado de una máquina eléctrica asíncrona. Se ha de señalar que una de las fuentes de calor que existe en el rotor son las fricciones mecánicas, las cuales transmiten calor al rotor. Son de especial importancia las generadas por las fricciones en los cojinetes. (a)(b) Figura 6-4. Máquina asíncrona de rotor bobinado (a) y estator (b). En caso del estator predomina como fuente de calor el efecto Joule en los conductores, por los cuales discurren las corrientes procedentes de la fuente energía eléctrica situada en el exterior de la máquina eléctrica. También existen otras fuentes de calor como son los fenómenos de histéresis magnética y las corrientes de Foucault. Descartamos el calor transmitido por los escudos anterior y posterior y generado por la fricción del eje en los rodamientos, pues no es objeto de esta tesis. El estator, compartido por ambos tipos de máquinas, se podría hablar de simetría axial o simetría plana en la zona del entrehierro, encontrándonos con el mismo problema cuando se llegase a la zona de las cabezas de bobinas, anterior y posterior del estator. Esta fue una de las causas, entre otras, para descartar como línea de actuación en esta tesis el buscar reducciones de objetos a simetría axiales o planas. Por lo tanto, la única forma de resolver este inconveniente es desarrollar la FFMC en dominios tridimensionales. Con lo expuesto anteriormente, debemos descartar las simetrías axiales y planas, y, si se pudiera, evitar cambios de coordenadas y proyección del sub espacio dual al primal, con el consiguiente ahorro de memoria y tiempo computacional. La hipótesis de trabajo fue: ¿Existe algún camino que pueda cumplir todos los requisitos que queremos? A continuación se intenta dar respuesta a esta pregunta.
Capítulo 6 117 6.3 La .adaptada de . Una aportación El primer paso a dar es trabajar de forma separada la ecuación de conducción de calor. Concretemos esta ecuación en la máquina eléctrica asíncrona. Ley de transmisión del calor de Fourier a través del rotor, entrehierro y estator Ec. 6.2 Fuentes de calor por efecto Joule, histéresis magnética y corrientes de Foucault Ec. 6.3 Cambios en la energía interna dependiendo de los materiales constructivos Ec. 6.4 Observamos que la ley de Fourier de conducción de calor tiene una analogía con la ley de conducción de la corriente eléctrica: Conducción de calor Corriente eléctrica 0 Tabla 6-1. Conducción térmica y conducción eléctrica (I). Son fenómenos físicos que presentan ciertas analogías. La aplicación de la divergencia a un cuerpo en el cual existe un campo de temperaturas, nos indicará si existen fuente de calor positivo o negativo (frío). Sólo indicaría cero cuando se estuviera ante un cuerpo que lo único que se limita a conducir calor. En este caso la distribución de temperaturas se mantiene estacionaria a lo largo del tiempo. En cambio, en el fenómeno de conducción eléctrica, hay que tener en cuenta que la aplicación de la divergencia a la ley de Ohm: , no puede dar un valor distinto de cero, pues incumpliría la ley de continuidad, o ley de Kirchhoff si estuviésemos aplicando la teoría de circuitos lineales. Pero una cosa es cierta, si operamos con la divergencia dual y buscamos su equivalente primal, entonces lo expuesto en la tabla Tabla 6-1 pasa a ser: Conducción de calor Corriente eléctrica 0 Tabla 6-2. Conducción térmica y conducción eléctrica (II). Salvo el cambio de signo y de operador, el resto permanece inalterado en ambas expresiones. Esto nos lleva a pensar que, operativamente, existe la siguiente analogía:
118 Capítulo 6 ⇔ Ec. 6.5 Por lo tanto, bajo la hipótesis de que pudiera existir tal equivalencia en la FF-MC, tomando la expresión propuesta por (Specogna & Trevisan, 2005), diremos que: ⋮⋯ ⋱⋯ ⋮⋮ ⋮ ⋯⋯ ⋯⋯ ⋮ ⋱⋮⋮ ⋯⋱ ⋯⋮ ⇔ ⋮⋯ ⋱⋯ ⋮⋮ ⋮ ⋯⋯ ⋯⋯ ⋮ ⋱⋮⋮ ⋯⋱ ⋯⋮ Ec. 6.6 Puede parecer un hecho trivial, pero creemos que no lo es. Y no lo es por una sencilla razón. Sea como fuere, cuando se han de realizar cálculos térmicos a partir de fenómenos electromagnéticos, la matriz habrá de calcularse obligatoriamente. Entonces, ¿Por qué calcular dos veces lo mismo? Las matrices y topológicamente son iguales: ⇔ . Para confirmar si esta suposición tiene validez, se diseñaron una serie de experimentos, que fueron contrastados con resultados cuya validez está asegurada, como pueden ser expresiones analíticas y software de reconocido prestigio. Este software está basado en el Método de los Elementos Finitos, tanto en dos como en tres dimensiones. Los experimentos partieron de un supuesto de conducción pura de calor, en ausencia de fuentes internas de calor y temperaturas estacionarias: Ec. 6.7 Se establecieron unas condiciones de contorno, tipo Dirichlet, donde se fijaron dos temperatura, T1 y T 2 , en dos caras del cuerpo, considerándose el resto de las caras, que no eran atravesadas por el flujo de calor, como aislantes perfectos. Figura 6-5. Modelo para transmisión de calor con .
Capítulo 6 119 El diseño tipo es el que se muestra en Figura 6-5. Los experimentos numéricos se llevaron a cabo en dos y tres dimensiones, con varios materiales de conductividades térmicas diferentes. El la Figura 6-5, se expone uno de los modelos matemáticos que se utilizó para comprobar la validez de la matriz constitutiva de transmisión de calor con [ M λ ]. El análisis de los resultados obtenidos en los experimentos numéricos, los cuales se expondrán en capítulos posteriores, nos lleva a pensar que esta hipótesis es perfectamente válida. Aun así, pudiendo pensar que tales suposiciones no fuesen correctas, hemos ideado una alternativa a la solución planteada. 6.4 Otra propuesta: la matriz Los resultados obtenidos con la matriz adaptada de la propuesta por (Specogna & Trevisan, 2005) fueron lo suficientemente buenos, que pudiera ser que no fuesen correctos del todo, o bien tuviesen singularidades que no se apreciaran en los diferentes experimentos que se llevaron a cabo. Basados en estos supuestos, se diseñó una nueva matriz de conductividades térmicas. Se parte que la temperatura se distribuye siguiendo una función lineal que depende de las coordenadas espaciales: ,, Ec. 6.8 Tal que los nudos de la celda, tetraedro, tengan las siguientes temperaturas: Ec. 6.9 El sistema de ecuaciones a resolver sería: 1111 Ec. 6.10 Ec. 6.11 No se calcula el término a pues: 0; 0; 0. En el Anexo 1 se calculan los términos g x , g y , g z .
120 Capítulo 6 Entonces, al aplicar el gradiente a la expresión de la distribución espacial de temperaturas expuesta en Ec. 6.8, se obtiene lo siguiente: ∙,, Ec. 6.12 Utilizando la matriz M, que hemos asimilado a una conducción eléctrica y que, supuestamente damos por válida, entonces podemos decir que el calor transmitido utilizando esta matriz es: M Ec. 6.13 Supongamos que existiese una matriz tal que: M Ec. 6.14 Siendo la matriz de caras duales de la celda: 0,….,5 Ec. 6.15 Si denominamos: Ec. 6.16 Con lo que: Ec. 6.17 Supongamos también que: Ec. 6.18 Llamando , entonces por dos caminos diferentes se debe llegar al mismo resultado: Ec. 6.19 Sustituyendo: M Ec. 6.20 Volviendo a sustituir la matriz y el valor dado a en la expresión Ec. 6.14, entonces: Ec. 6.21
Capítulo 6 121 Simplificando el término , queda: Ec. 6.22 Tenemos un sistema de ecuaciones resoluble: 1 1 1 0 1 0 00 10 01 01 00 011 0 1 1 01 Ec. 6.23 Ec. 6.24 Ec. 6.25 Ec. 6.26 Por lo amplio del desarrollo de Ec. 6.26, el cálculo de la matriz se explica en el Anexo 1. Una vez calculados los términos A ij , pasamos a exponerlos: Δ 2 Ec. 6.27 Donde Δ es el determinante del sistema de ecuaciones definido en Ec. 6.10. Se muestra que nuestra matriz es más complicada de operar que la propuesta por (Specogna & Trevisan, 2005). M Ec. 6.28
122 Capítulo 6 Queda evidenciado en los experimentos numéricos que existe más de una forma de construir las matrices constitutivas. 6.5 La matriz constitutiva para dominios bidimensionales Si bien hemos advertido que en esta tesis no se han tratado los cuerpos tridimensionales con reducciones a simetrías axiales o a simetrías planas, conviene destacar lo siguiente. Existen problemas físicos que, en sí mismo, deben ser tratados como un dominio bidimensional, tengan o no simetría. Concretando para el caso de las máquinas eléctricas asíncronas, el tratamiento de cualquier fenómeno superficial debe ser hecho en un dominio bidimensional. Como caso práctico, supongamos un estudio de la distribución de temperatura en los aislamientos – carlite - utilizados en las chapas de los núcleos ferromagnéticos (Evans & Von Holle, 1979). Si se tratase como un problema tridimensional, el modelado del baño de carlite en tres dimensiones tendría que ser muy denso comparado con el espesor de la chapa. Esto lejos de facilitar el procesado de datos, lo empeora, pues el mallado tridimensional del baño debe ser más denso que el de la chapa. Como de lo que se trata es de estudiar la distribución de temperaturas, no apartamos nada a la solución. Al contrario, bajamos el rendimiento computacional de la misma. En cambio si optamos por un dominio bidimensional para estudiar la distribución de temperaturas, esto hará que el gasto computacional, innecesario en tres dimensiones, lo empleemos en aumentar la densidad del mallado bidimensional. Este hecho hará que la solución gane en precisión. A más densidad de mallado, mayor número de nudos, mejor interpolación de los valores de temperatura a averiguar. Figura 6-6. Distribuciones superficiales de temperatura. Esto nos lleva a desarrollar la matriz propuesta y adaptada de la que propone (Specogna & Trevisan, 2005) aplicada a la conducción térmica para un dominio bidimensional.
Capítulo 6 123 En la bibliografía consultada en FF-MC, no parece una matriz de conductividad térmica basada en los baricentros de las caras duales. Los modelos que aparecen están basados en proyecciones a las caras primales o se consideran extrusiones cuando se hacen análisis con simetría axial. Por ello hemos decidido desarrollar el mismo procedimiento que se hizo en tres dimensiones, pero ahora de forma bidimensional. Para ello adoptamos los parámetros primales y duales para la celda triangular siguiente: (a) (b) Figura 6-7. Celda triangular de referencia. En la Figura 6-7, en (a) se indica cual es la celda de referencia bidimensional. En este caso es un triángulo. En (b) se explica cómo se obtiene la superficie del triángulo como la mitad del módulo del producto vectorial de dos vectores que describen sus lados. En un triángulo, el sub espacio dual está referido a las líneas que unen el baricentro del triángulo con las medianas de los lados del triángulo. Así mismo todas las aristas, tanto primales como duales, deberán estar orientadas. Figura 6-8. Celda triangular con sus respectivas aristas duales. Procediendo de manera análoga a lo realizado en los dominios tridimensionales, tenemos que, en dominios bidimensionales, la matriz de conductancias térmicas es: M Ec. 6.29
124 Capítulo 6 Desarrollando el producto vectorial entre los vectores que definen a las aristas duales, se obtiene la siguiente expresión para la matriz de conductancias térmicas bidimensionales: M ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ Ec. 6.30 En los experimentos en dos dimensiones que se ha realizado, se ha comprobado la validez de la matriz M siguiendo los criterios anteriormente expuestos. 6.6 La matriz constitutiva para dominios tridimensionales La matriz M se asocia a la capacidad que tiene un cuerpo de almacenar calor por variación de su energía interna. Dicha variación de energía interna está asociada a un cambio de temperatura . Además dependerá también de la cantidad de masa ( M ) del cuerpo en cuestión y del calor específico ( C p ) del material que lo constituye. Autores como (Bullo, et al., 2006a), (Bullo, et al., 2006b), (Bullo, et al., 2007) proponen una expresión para esta matriz, que es la siguiente: M 57675 23 23 23 23 75 23 23 23 23 75 23 23 23 23 75 Ec. 6.31 Donde es la masa del tetraedro primal, obtenida de como densidad volumétrica de masa del material del tetraedro y V T como volumen del mismo. Por la complejidad del desarrollo de la matriz M, éste se explica de forma detallada en el Anexo 2. Se trata básicamente trata de obtener los valores de los volúmenes de las celdas duales insertos en el tetraedro primal (Voitovich & Vandewalle, 2007). Se demuestra que esta matriz, conocida como matriz de masa, es más exacta que la que habitualmente se emplea en el método de los elementos finitos (Bullo, et al., 2007). Para mayor información leer el Anexo 2. La ecuación definitiva de la transmisión de calor en cualquier régimen quedaría como sigue: Ec. 6.32
Capítulo 6 125 Para resolver esta ecuación diferencial se utiliza el método de Crank-Nicolson (Crank & Nicolson, 1996). La ecuación Ec. 6.32 se transforma en Ec. 6.33 Siendo: Ec. 6.34 Quedando la ecuación Ec. 6.34 , dispuesta para ser integrada, de la siguiente forma: 1 ∆ 1 ∆1 1Ec. 6.35 No obstante se debe destacar que (Bullo, et al., 2007) indica que la matriz M desarrollada por FF-MC presenta un número de condición de valor 2,7692 mientras que la misma matriz, desarrollada por el Método de los Elementos Finitos, presenta un valor de 5. La solución final es mucho más aproximada en FF-MC que en el FEM, pues el número de condición está más próximo a 1. Ver Anexo 2. 6.7 Conclusiones La bibliografía sobre Formulación Finita y el Método de la Celda aplicada a la transmisión del calor es muy escasa. En el caso particular de las máquinas eléctricas es nula. La Formulación Finita y el Método de la Celda tienen una gran versatilidad en cuanto a la creación y transformación de matrices constitutivas se refiere. Se ha aportado una nueva forma de matriz constitutiva de transmisión de calor para la ecuación de Fourier basada en el promedio baricéntrico tetraédrico de las caras duales. Se ha diseñado una nueva matriz constitutiva de transmisión de calor para la ecuación de Fourier que permite una precisión equivalente a otras matrices aquí propuestas. Es más complicada de manipular informáticamente, pero permite comprobar la versatilidad que tiene el Método de la Celda en cuanto a matrices y ecuaciones constitutivas se refiere. Se comprueba que la energía interna depende de parámetros propios del material y de la geometría de la celda empleada. Se demuestra que se puede crear una matriz de conductividad eléctrica para análisis térmicos bidimensionales. Esta metodología puede aplicarse a un modelo térmico de máquina eléctrica, en particular a una máquina asíncrona
229 ANEXO 3 12. Verificación y validación 12.1 Concepto de incertidumbre y error Según la RAE: Incertidumbre: 1. f. Falta de certidumbre. Certidumbre: Del lat. tardío certitudo, -inis.1. f. certeza. 2. f. desus. Obligación de cumplir algo. Certeza: De cierto.1. f. Conocimiento seguro y claro de algo.2. f. Firme adhesión de la mente a algo conocible, sin temor de errar. De todas estas acepciones que nos da la RAE, la más próxima a nuestro interés es la de “Conocimiento seguro y claro de algo”, para el caso, incertidumbre, la ausencia de dicho conocimiento. La incertidumbre procedería de la deficiencia potencial no identificada en una o varias partes del proceso. Debe atribuirse a la falta de conocimiento. En el caso de esta tesis la incertidumbre pudiera ser atribuida a la falta de certidumbre de las aplicaciones desarrolladas y/o a las aplicaciones informáticas utilizadas como patrón de medida. Para limitar tal incertidumbre existen una serie de contrastes relativamente simples. El más claro y, posiblemente más eficaz, consiste en diseñar un experimento, resolverlo con las dos aplicaciones utilizadas como patrón y enfrentar los datos obtenidos para las mismas condiciones de contorno e iniciales. Estos datos se llevan a una gráfica enfrentando unos en el eje de abscisas y otros en el eje de ordenadas. Si ambos dan resultados muy próximos se debe formar una nube de puntos en torno a una recta de 45º que pasa por el origen de coordenadas. Otro método de eliminar incertidumbre es enfrentar, tanto los resultados obtenidos como los resultados patrón, a una expresión analítica que resuelve el mismo problema que las aplicaciones informáticas mencionadas. El inconveniente de este método es que rara vez existe una expresión analítica que resuelva el problema, de aquí la justificación de los métodos numéricos que estamos tratando. Según la RAE: Error: Del lat. error, -oris.1. m. Concepto equivocado o juicio falso.2. m. Acción desacertada o equivocada. 3. m. Cosa hecha erradamente. 4. m. Der. Vicio del consentimiento causado por equivocación de buena fe, que
230 Anexo 3 anula el acto jurídico si afecta a lo esencial de él o de su objeto. 5. m. Fís. y Mat. Diferencia entre el valor medido o calculado y el real. Evidentemente, la quinta acepción es la aplicable a nuestro caso. El error siempre procede de deficiencias identificables en una o varias partes del proceso. Conseguir un error cero es muy poco probable, pues todos los métodos numéricos son métodos aproximados. A esto hay que añadir los procesos de truncamiento numérico que existen en el propio funcionamiento aritmético de los ordenadores. Partiendo de que es prácticamente imposible conseguir un error cero, al menos trataremos de minimizar dicho error. Este error debe ser medido y cuantificado (Tedeschi, 2006) y (Martínez, 2008). 12.2 Precisión y exactitud La precisión se relaciona con la capacidad que tiene un instrumento o método de medida para detectar la menor variación de la magnitud a medir (Tedeschi, 2006), (Martínez, 2008) y (Paez, 2009). La exactitud es la concordancia que existe entre lo medido y el instrumento, o método de medida, respecto del patrón de medida utilizado (Tedeschi, 2006) y (Martínez, 2008). En nuestro caso cabe más hablar de exactitud que de precisión: La precisión es alcanzable en el grado que el procesador aritmético del ordenador lo permita, pero la exactitud la alcanzamos al comparar los resultados con los patrones GMSH-GetDp y FEMM. 12.3 Estadísticos utilizados para validar los modelos propuestos La bibliografía consultada al respecto es amplia y, en cierta manera existen controversias entre autores acerca de las bondades de los estadísticos que en ella se analizan. Pero una cosa queda clara: la validez de un estadístico dependerá del grado de correlación existente entre la medida y el patrón. Así, existen modelos matemáticos donde un valor de correlación del 60% es aceptable, frete a otro tipo de modelos donde se le exige una correlación superior al 90%. Muchos de estos autores recomiendan un análisis gráfico previo de los datos (Tedeschi, 2006), (Moriasi, et al., 2007) y (Paez, 2009). Al aplicar un modelo de regresión lineal entre los datos numéricos obtenidos del modelo propuesto y enfrentarlos con los datos obtenidos del patrón, cuanto más se acerque el coeficiente de determinación ( r 2 ) al valor 1, mejor se comporta el modelo propuesto frente al patrón. ¿Por qué utilizar el coeficiente de determinación ( r 2 ) frente al coeficiente de correlación ( r ), ya que el segundo es la raíz cuadrada del primero? Porque el
Anexo 3 231 coeficiente de correlación ( r ) miden el grado de relación entre variables aleatorias y el coeficiente de determinación ( r 2 ) mide el grado de relación entre una variable aleatoria con una variable fija (Mesple, et al., 1996). En nuestro caso la variable aleatoria son los datos numéricos experimentales de nuestro modelo y la variable fija son los datos numéricos de las aplicaciones informáticas patrones (GMSH-GetDp y FEMM). No obstante este estadístico debe ser usado como una primera aproximación y no la única para determinar la bondad del experimento (Martínez Rodríguez, 2005). A partir de esta contrastación simple se puede seguir con otras más sofisticadas. Es muy interesante tener un histograma de errores. Su utilidad reside en considerar que la fuente de errores tiene un origen aleatorio, no sistémico. Si esto es así, en el estado ideal, la distribución de errores debe coincidir con una distribución normal. Cuanto más se aleje de esta distribución normal, es más probable que el error sea sistémico y no aleatorio. En nuestro caso debe haber una mínima parte de error sistémico atribuible a la precisión del método, errores de truncamiento del ordenador, etcétera. La fuente de error aleatorio quedaría limitada a ruido del propio ordenador. Es decir, de existir error, la probabilidad más alta es que sea sistémico. Por ello, la aproximación a una distribución normal es un buen síntoma de la bondad de nuestro modelo. 12.4 Estadísticos empleado en la validación de los experimentos numéricos Se comentan de manera breve los diferentes estadísticos utilizados para la validación del modelo. La cantidad de ellos puede parecer excesiva, pero si todos convergen hacia la misma solución, nos dará “fuerza” a la bondad de nuestro modelo. R2: Coeficiente de determinación 1 Ec. 12.1 Valoración: 121 Cuanto más cerca de 1 mejor. Ventajas: Nos indica cuan cerca estamos de la recta de regresión. En nuestro caso la recta de regresión perfecta tiene pendiente de valor 1. Inconvenientes: No siempre indica una correlación lineal entre los datos. Si la muestra es pequeña, puede que los datos, al aumentarse, indique una correlación de tipo no lineal Consultar a: (Martínez Rodríguez, 2005), (Tedeschi, 2006), (Piñeiro, et al., 2008)
232 Anexo 3 MSE: Error medio cuadrático (Mean Square Error) 1 Ec. 12.2 Valoración: Cuanto más próximo a cero, mejor. Ventajas: Si los datos ( X i ,Y i ) son independientes, entonces el MSE es un buen indicador de la exactitud del modelo. Sensible a grandes errores. Inconvenientes: Puede subestimar la verdadera medida pues trata de reproducir los datos reales. Consultar a: (Tedeschi, 2006), (Moriasi, et al., 2007), (Gupta, et al., 2009), (Fullerton Jr, et al., 2010), (Jolliffe & Stephenson, 2012) RMSE: Raíz del error medio cuadrático (Root Mean Square Error) 1 Ec. 12.3 Valoración: Cuanto más próximo a cero, mejor. Ventajas: Presenta las mismas características que el MSE pero en las mismas unidades que las observaciones Xi, Yi Inconvenientes: Puede subestimar la verdadera medida pues trata de reproducir los datos reales Consultar a: (Willmott & Matsuura, 2005), (Jolliffe & Stephenson, 2012), (Chai & Draxler, 2014) RMSPE: Raíz del error medio cuadrático porcentual (Root M. S. Perceptual Error) 1 1 Ec. 12.4 N :Número de datos X i:Datos obtenidos Y i:Datos de referencia Y Media de los datos de referencia Ventajas: Es adimensional y se puede utilizar para comparar modelos Inconvenientes: Puede subestimar la verdadera medida pues trata de reproducir los datos reales Consultar a: (Hyndman & Koehler, 2006)
Anexo 3 233 MAE: Error Absoluto Medio (Mean Absolute Error) 1|| Ec. 12.5 Ventajas: Mide linealmente el error. Inconvenientes: Puede subestimar la verdadera medida pues trata de reproducir los datos reales Consultar a: (Willmott & Matsuura, 2005), (Moriasi, et al., 2007), , (Jolliffe & Stephenson, 2012), (Chai & Draxler, 2014) MAEP: Porcentaje de Error Absoluto Medio (Mean Absolute Percentage Error) 1|| 1 Ec. 12.6 Ventajas: Es una medida adimensional y robusta del error. Inconvenientes: Puede subestimar la verdadera medida pues trata de reproducir los datos reales Consultar a: (Hyndman & Koehler, 2006) IRM: Índice RMSE/MAE Ec. 12.7 Ventajas: Inconvenientes: Puede subestimar la verdadera medida pues trata de reproducir los datos reales Consultar a: (Moriasi, et al., 2007) PBIAS ∑ ∑ 100Ec. 12.8 Ventajas:Media de las desviaciones, o diferencia en los errores de sesgo, o, simplemente, error sistémico. El valor óptimo de PBIAS es 0. Detecta errores aberrantes o valores extremos. Si el valor es igual o superior a 1 es indicativo de la existencia de estos valores extremos. Mide la tendencia porcentual de los datos simulados a ser más grande o más pequeños que los datos de referencia. Inconvenientes:Puede subestimar la verdadera medida pues trata de reproducir los datos reales Consultar a: (Tedeschi, 2006), (Sanabria, et al., 2006), (Moriasi, et al., 2007), (Gupta, et al., 2009)
234 Anexo 3 NSEF: Eficiencia del modelo (Modelling Efficiency Nash & Sutcliffe) 1∑ ∑ Ec. 12.9 Ventajas: Su rango de variación es [-, 1]. Si el modelo es perfecto su valor es 1. El peor escenario teórico sería -, que conllevaría la invalidez completa del modelo. Inconvenientes: Al estar los errores elevados al cuadrado, se sobreestiman los errores grandes y se subestiman los pequeños. Consultar a: (Mathevet, et al., 2006), (Moriasi, et al., 2007), (Gupta, et al., 2009) U1: Coeficiente de desigualdad de Theil (Theil Inequality coefficient) 1 ∑ ∑ ∑ Ec. 12.10 La anterior expresión la propuso Theil en 1958. Pero, en 1966, Theil propuso la siguiente modificación: 2 ∑ ∑ Ec. 12.11 Ventajas: El modelo predice mejor cuanto más cerca de cero está el índice U de Theil. Permite comparar entre modelos Inconvenientes: Al estar los errores elevados al cuadrado, se sobreestiman los errores grandes y se subestiman los pequeños. Consultar a: (Bliemel, 1973), (Leuthold, 1975), (Fullerton Jr, et al., 2010) Descomposición del error cuadrático medio (MSE decomposition) El error medio cuadrático se puede descomponer en tres componentes: 1 2∙1∙∙Ec. 12.12 Dividiendo ambos lados de la igualdad por el término MSE, 1 1∑ 1∑ 2∙1∙∙ 1∑ Ec. 12.13
Anexo 3 235 1 2∙1∙∙ Ec. 12.14 Proporción de sesgo (Bias Proportion) o error sistémico (diferencias entre medias) ∑ Ec. 12.15 Proporción de la varianza (Variance proportion) o diferencias entre desviaciones típicas (error sistémico) ∑ Ec. 12.16 Proporción de la covarianza (Covariance proportion) o error no sistémico 2∙1∙∙ ∑ 2∙1∙∙ Ec. 12.17 Ventajas:Se puede detectar la fuente de errores; media, varianza o aleatorios. Se recomienda que el valor UC 1 y que UM = US 0. Permite comparar entre modelos por ser adimensional. Inconvenientes:Al estar los errores elevados al cuadrado, se sobreestiman los errores grandes y se subestiman los pequeños. Pero puede ser localizados por los tres componente Uj Consultar a: (Fullerton Jr, et al., 2010) d:Índice d de Willmott (d-Willmott index) 1 ∑ ∑| || | Ec. 12.18 Ventajas:El modelo predice mejor cuanto más cerca de uno está el índice d de Willmott. Permite comparar entre modelos por ser adimensional. Inconvenientes:Al estar los errores elevados al cuadrado, se sobreestiman los errores grandes y se subestiman los pequeños. Consultar a: (Willmott, et al., 2012) MEF: Coeficiente de determinación del modelo 1∑ ∑ Ec. 12.19 Ventajas:MEF indica la proporción de la variación total de los datos observados explicada por los datos predichos. El MEF, en un ajuste perfecto, valdría 1. Un valor de MEF cercano a 1 indica una mejora en las predicciones del modelo, MEF > 1 es un indicador de baja predicción y si MEF < 1 de sobre predicción.
236 Anexo 3 Inconvenientes:Se recomienda utilizar conjuntamente medidas de desviación y métodos gráficos para validar modelos. Consultar a: (Medina-Peralta, 2010) CD: Coeficiente de determinación del modelo ∑ ∑ Ec. 12.20 Ventajas:CD indica la proporción de la variación total de los datos observados explicada por los datos predichos. Al igual que la MEF, en un ajuste perfecto CD valdría uno. Un valor de CD cercano a uno indica una mejora en las predicciones del modelo, CD > 1 es un indicador de baja predicción y si CD < 1 de sobre predicción. Inconvenientes:Se recomienda utilizar conjuntamente medidas de desviación y métodos gráficos para validar modelos. Consultar a: (Medina-Peralta, 2010) C: Coeficiente de error del modelo Ec. 12.21 Ventajas:Un valor de C muy cercano a cero indica que el modelo cumple con su objetivo. Inconvenientes:Se recomienda utilizar conjuntamente medidas de desviación y métodos gráficos para validar modelos. Consultar a: (Medina-Peralta, 2010) N : Número de datos X i: Datos obtenidos Y i : Datos de referencia Media de los datos de referencia XMedia de los datos observados Desviación típica de los datos obtenidos Desviación típica de referencia Coeficiente de correlación entre los datos obtenidos y los de referencia
Anexo 3 237 Bibliografía Bliemel, F., 1973. Theil's Forecast Accuracy Coefficient: A Clarification. Journal of Marketing Research, 10(4), pp. pp. 444-446. Chai, T. & Draxler, R. R., 2014. Root mean square error (RMSE) or mean absolute error (MAE)? Arguments against avoiding RMSE in the literature. Geoscientific Model Development, 7(3), pp. 1247-1250. Fullerton Jr, T. M., Novela, G. & others, 2010. Metropolitan Maquiladora Econometric Forecast Accuracy. Romanian Journal of Economic Forecasting, 13(3), pp. 124-140. Gupta, H. V., Kling, H., Yilmaz, K. K. & Martinez, G. F., 2009. Decomposition of the mean squared error and performance criteria: Implications for improving hydrological modelling. Journal of Hydrology, 377(1), pp. 80-91. Hyndman, R. J. & Koehler, A. B., 2006. Another look at measures of forecast accuracy. International Journal of Forecasting , 22(4), pp. 679-688. Jolliffe, I. T. & Stephenson, D. B., 2012. Forecast verification: a practitioner's guide in atmospheric science. First ed. Sussex, UK: John Wiley & Sons. Leuthold, R. M., 1975. On the Use of Theil's Inequality Coefficients. American Journal of Agricultural Economics, 57(2), pp. pp. 344-346. Martínez Rodríguez, E., 2005. Errores frecuentes en la interpretación del coeficiente de determinación lineal. Anuario jurídico y económico escurialense, Issue 38, pp. 315-331. Martínez, L. S. y. R. B. P., 2008. Tratamiento de los errores en las mediciones mecánicas. [Online] Available at: http://monografias.umcc.cu/monos/2008/facultad%20QuimicaMecanica/m0885.pdf [Accessed 5 octubre 2015]. Mathevet, T., Michel, C., Andreassian, V. & Perrin, C., 2006. A bounded version of the Nash-Sutcliffe criterion for better model assessment on large sets of basins. IAHS PUBLICATION, Volume 307, p. 211. Medina-Peralta, S. a. V.-V. L. a. N.-A. J. a. C.-P. C. a. P.-R. S., 2010. Comparación de medidas de desviación para validar modelos sin sesgo, sesgo constante o proporcional. Universidad y ciencia, 12, Volume 26, pp. 255-263. Mesple, F., Troussellier, M., Casellas, C. & Legendre, P., 1996. Evaluation of simple statistical criteria to qualify a simulation. Ecological Modelling, 88(1-3), pp. 9-18.
244 Anexo 4 Para el calor , observado la Figura 13-3 (e), y aplicando el mismo razonamiento expuesto en Ec. 13.6, Ec. 13.7 y Ec. 13.8, se demuestra la continuidad del campo térmico. 13.1 Variables globales en el espacio y el tiempo Por propia definición serían variables globales que dependen del espacio y el tiempo. Ciñéndonos al objeto de esta tesis, estudio electromagnético y térmico de la máquina eléctrica asíncrona, definiríamos las siguientes variables globales en el espacio-tiempo Variable global Variable de campo equivalente Asociadas a volúmenes Generación de calor , Densidad volumétrica de calor , -- Asociadas a superficies Flujo Magnético , Densidad de flujo magnético , , Calor , Densidaddeflujocalorífico , , Flujo de carga eléctrica , Densidad de corriente eléctrica , , Asociadas a líneas Impulso de fuerza magnetomotriz , Intensidad de campo magnético , , Impulso de tensión eléctrica , Intensidad de campo eléctrico, , Impulso de fuerza electromotriz , Fuerza electromotriz ,-- Diferencia de temperatura , Gradiente de temperatura , ∙, Asociadas a puntos Termacidad Θ , Temperatura ,, Tabla 13-1. Tabla de variables globales empleadas. Una de las aportaciones de Tonti a la Formulación Finita fue la integración del tiempo en las variables globales. Esto permite saber si una variable es instantánea o se desarrolla en un intervalo de tiempo. Así mismo, respecto al espacio, la Formulación Finita permite saber si dicha variable global es dependiente de un volumen, superficie, línea o punto. Para asociar la variable a las mencionadas figuras geométricas es obvio que habrá que conocerse perfectamente el fenómeno físico a estudiar. En sí, el proceso de obtener una variable global consiste en integrar todas las magnitudes espacio-temporales de
Anexo 4 245 las cuales depende la variable para convertirla en una variable de tipo escalar, matemáticamente hablando. Con esto se garantiza su aditividad y la continuidad de la misma. Lo que Tonti define como impulsos, no es otra cosa que integrar una variable espacial con el tiempo y convertirla así en global, sinónimo de integral. Estas variables globales serán, a su vez, variables de configuración y de fuente. Variables de configuración (S.I.: weber = voltio×segundo) Variables de fuente (S.I.: culombio = amperio×segundo) Impulso de potencial eléctrico Flujo de carga eléctrica Impulso de tensión eléctrica Impulso de f. m. m Flujo Magnético Tabla 13-2. Variables de configuración y de fuente del campo electromagnético. Variables de configuración (S.I.: grados kelvin; grados kelvin×metros-1)Variables de fuente (S.I.: vatios; vatios×metros-3) Temperatura , Calor , Diferencia de temperatura (gradiente) , Generación de calor , Tabla 13-3. Variables de configuración y de fuente de la transmisión de calor. La termacidad es un concepto introducido por David van Dantzig (Rotterdam, Países Bajos, 1900-1959).Publicado por M. von Laue, Relativitätstheorie, Vol. 1 Vieweg, Braunschweig, en 1921. La termacidad equivale a la integral de la temperatura: Θ . Equivaldría al mínimo desplazamiento termodinámico. Es de destacar que las variables son referidas al tiempo de la siguiente manera: Cualquier variable física, que para medirse necesita un estado de equilibrio, está asociada a un intervalo de tiempo o , primal o dual según la variable. Si la variable física se puede medir sin alcanzar el estado de equilibrio, entonces dicha variable está asociada a un instante de tiempo o , primal o dual según la variable. Cualquier variable, para referirla al tiempo, también debe cumplir con el criterio que se indica a continuación.
246 Anexo 4 Variable física ¿Cambia de signo la variable al cambiar el sentido del movimiento? No Si Instante Intervalo Tabla 13-4. Criterios de tiempos dual y primal. 13.2 Ecuaciones topológicas Las variables físicas describen cuantitativamente un sistema físico, mientras que las ecuaciones físicas describen el comportamiento de dicho sistema. Las ecuaciones físicas tienen varias formas de clasificarse. Así, las ecuaciones topológicas describen como es el sistema o el campo físico relacionándolo con elementos espacio-temporales como el punto, la línea, la superficie, el volumen, el instante y el intervalo de tiempo. Las ecuaciones topológicas pueden clasificar en los siguientes tipos: ó Las ecuaciones topológicas relacionan elementos espaciales con sus respectivos contornos. Elemento primal Elemento dual Figura 13-4. Elementos primales y duales con contornos respectivos.
Anexo 4 247 Las ecuaciones topológicas son válidas para cualquier: Forma y tamaño del elemento espacio-temporal que define al fenómeno físico. Escala, tanto en la micro escala como en la macro escala. Medio que envuelva a la región donde se desarrolla el fenómeno físico. 13.3 Ecuaciones de diferencia espacial o de gradiente Las ecuaciones de diferencia o de gradiente son ecuaciones topológicas del tipo: Ec. 13.19 Se obtienen de la diferencia de la magnitud B que se desarrolla a lo largo de una línea y que se evalúa entre dos puntos P y Q . ∙ ⇒ ∙U (a) (b) Figura 13-5. El gradiente. Formulación: (a) Finita, (b) Diferencial. En la formulación diferencial corresponde con la expresión de un gradiente. Por ejemplo, el concepto de diferencia de potencial eléctrico o tensión eléctrica, Figura 13-6 (b). 13.4 Ecuaciones circuitales Las ecuaciones circuitales relacionan superficies con su contorno. Son del tipo: ∓ Ec. 13.20 Están asociadas a circulaciones. El teorema de Stokes, en superficie abierta, es una ecuación topológica de tipo circuital.
248 Anexo 4 ∓ ∙ ∙ (a) (b) Figura 13-6. Ecuación circuital. Formulación: (a) Finita, (b) Diferencial. 13.5 Ecuaciones de balance Las ecuaciones de balance define el estado de equilibrio, estático o dinámico, donde, aparte del elemento espacial, se ve involucrado un intervalo de tiempo. Las ecuaciones de balance relacionan un volumen con su contorno de la siguiente forma: ∓ Ec. 13.21 Las ecuaciones de balances están asociadas a flujos. Un ejemplo de ecuación de balance es el teorema de Ostrogradsky-Gauss o teorema de la divergencia. ∓ ∙ ∙ (a) (b) Figura 13-7. Ecuación de balance. Formulación: (a) Finita, (b) Diferencial. Las ecuaciones de balance son las ecuaciones más importantes de la Física. Nos indican la producción de cierta magnitud física en un sistema. Supongamos una determinada magnitud . Sus posibles ecuaciones de equilibrio serían las siguientes: ∆ Ec. 13.22 0∆ Ec. 13.23
Anexo 4 249 En Ec. 13.22 existe producción de, mientras que en Ec. 13.23 lo que entra es igual a lo que sale. El signo indica la dirección del flujo (- saliente, + entrante). 13.6 Ecuaciones constitutivas Las ecuaciones constitutivas describe el comportamiento de un fenómeno físico, desarrollándose éste en un medio material. Las ecuaciones constitutivas relacionan las variables de configuración con las variables de fuente. , ∙ , , ∙ ,Ec. 13.24 Las ecuaciones mostradas en Ec. 13.24 representan uno de los muchos ejemplos genéricos de ecuaciones constitutivas que pueden aparecer en la Física. A será la variable de configuración (elementos espaciales primales), B será la variable de fuente (elementos espaciales duales) y K será el parámetro que defina el comportamiento del material. Las ecuaciones constitutivas son fundamentales en la Física y, especialmente en la Ingeniería, pues describen el comportamiento de las variables a través de los materiales con los que se construyen los diversos dispositivos utilizados en todas las ramas de la ingeniería. El parámetro K puede tomar diferentes formas matemáticas. A saber: El material es isótropo y no se satura, permaneciendo constante a lo largo del tiempo. El material tiene un comportamiento lineal. El parámetro K es una constante matemática. Es el caso (1) de la Figura 13-8. El material es isótropo pero se modifica el valor de K dependiendo de los valores alcanzados por A . El material no es lineal. Se verifica que . Es el caso (2) de la Figura 13-8. El material es anisótropo. Dependiendo de la dirección de los ejes de coordenadas tiene un comportamiento diferente. Matemáticamente el parámetro K es un tensor. Es el caso (3) de la Figura 13-8.
250 Anexo 4 Figura 13-8. Tipos de constante K en las ecuaciones constitutivas. Bibliografía Tonti, E., 2000b. Formulazione finita delle equazioni di campo: Il Metodo delle Celle. Atti del XIII Convegno Italiano di Meccanica Computazionale, Brescia, Italy, Noovember. Tonti, E., 2001a. A direct discrete formulation of field laws: The cell method. CMESComputer Modeling in Engineering and Sciences, 2(2), pp. 237-258. Tonti, E., 2013. The Mathematical Structure of Classical and Relativistic Physics. first ed. s.l.:Birkhaüser.
251 ANEXO 5 14. Publicaciones
252 Anexo 5
Anexo 5 253
260 Bibliografía General Bossavit, A., 1998. On the geometry of electromagnetism: Maxwell’s house. J. Japan Soc. Appl. Electromagn. Mech., 6(4), p. pp. 318–326. Bossavit, A., 2000. Computational electromagnetism and geometry: The" Galerkin hodge". J. Japan Soc. Appl. Electromagn. Mech., 8(2), pp. 203-209. Bossavit, A., 2005. Discretization of Electromagnetic Problems: The “Generalized Finite Differences” Approach. s.l.:Elsevier. Branin, F. H. (., 1966. The algebraic topological basis for Network analogies and the vector calculus. Symposium. on Generalized Networks, April.pp. 453-487. Branin, J. F. H., 1964. D-C and Transient Analysis of Networks Using a Digital Computer. New York, NY, USA, ACM, pp. 4.1--4.23. Bullo, M., D'Ambrosio, V., Dughiero, F. & Guarnieri, M., 2006. A 3D Cell Method Formulation for Coupled Electric and Thermal Problems b). Miami, FL, USA, IEEE, pp. 7-7. Bullo, M., D'Ambrosio, V., Dughiero, F. & Guarnieri, M., 2006. Coupled electrical and thermal transient conduction problems with a quadratic interpolation cell method approach. Magnetics, IEEE Transactions on, April, 42(4), pp. 10031006. Bullo, M., D'Ambrosio, V., Dughiero, F. & Guarnieri, M., 2007. A 3-D Cell Method Formulation for Coupled Electric and Thermal Problems. Magnetics, IEEE Transactions on, April, 43(4), pp. 1197-1200. Bullo, M., Dughiero, F., Guarnieri, M. & Tittonel, E., 2006. Nonlinear coupled thermo-electromagnetic problems with the cell method. Magnetics, IEEE Transactions on, April, 42(4), pp. 991-994. Capolino, G.-A. & Cavagnino, A., 2014. New Trends in Electrical Machines Technology; Part I. Industrial Electronics, IEEE Transactions on, Aug, 61(8), pp. 4281-4285. Capolino, G.-A. & Cavagnino, A., 2014. New Trends in Electrical Machines Technology; Part II. Industrial Electronics, IEEE Transactions on, Sept, 61(9), pp. 4931-4936. Cardelli, E. & Faba, A., 2014. A Benchmark Problem of Vector Magnetic Hysteresis for Numerical Models. Magnetics, IEEE Transactions on, Feb, 50(2), pp. 1049-1052. Chaboudez, C. y otros, 1994. Numerical modelling of induction heating of long workpieces. Magnetics, IEEE Transactions on, Nov, 30(6), pp. 5028-5037.
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