Estudio de la importancia relativa de las condiciones de contorno sobre las prestaciones de una cascada de álabes de compresor axial operando con fluidos ideales y no ideales

Equation Chapter 1 Section 1 Trabajo Fin de Grado Ingeniería en Tecnologías Industriales Estudio de la importancia relativa de las condiciones de contorno sobre las prestaciones de una cascada de álabes de compresor axial operando con fluidos ideales y no ideales Autor: Enrique Sánchez Abril Tutor: David Tomás Sánchez Martínez Grupo de Máquinas y Motores Térmicos Dpto. Ingeniería Energética Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2020 iii Trabajo Fin de Grado Ingeniería de Tecnologías Industriales Estudio de la importancia relativa de las condiciones de contorno sobre las prestaciones de una cascada de álabes de compresor axial operando con fluidos ideales y no ideales Autor: Enrique Sánchez Abril Tutor: David Tomás Sánchez Martínez Catedrático de Universidad Grupo de Máquinas y Motores Térmicos Dpto. de Ingeniería Energética Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2020 v Trabajo Fin de Grado: Estudio de la importancia relativa de las condiciones de contorno sobre las prestaciones de una cascada de álabes de compresor axial operando con fluidos ideales y no ideales Autor: Enrique Sánchez Abril Tutor: David Tomás Sánchez Martínez El tribunal nombrado para juzgar el Proyecto arriba indicado, compuesto por los siguientes miembros: Presidente: Vocales: Secretario: Acuerdan otorgarle la calificación de: Sevilla, 2020 El Secretario del Tribunal vii A mis padres, a mi familia. Y al Cielo, donde viven los ángeles. ix Agradecimientos Con la dedicación, apoyo constante y transmitiéndome siempre los valores que un ingeniero debe llevar consigo, agradezco con enorme afecto y sinceridad al director de este trabajo, el profesor Dr. David Sánchez Martínez, quien no dudó en acogerme y ayudarme en la realización de uno de los proyectos hasta ahora más importantes de mi vida y de quien siempre agradeceré su atención en los tiempos difíciles en los que desarrollamos este trabajo fin de grado. A los ingenieros D. Carlos Tello, D. Rafael González y al doctor D. Francesco Crespi, quienes desinteresadamente me cedieron su tiempo y me trasmitieron sus conocimientos para caminar seguro en el desarrollo de este reto. Gracias de corazón, por aportarme a mi y, sobre todo, a la Ciencia. Reconozco aquí la importancia de mi familia en este trabajo, nunca podré terminar de agradecer todo lo que han sacrificado para que mi carrera fuera lo más cómoda y fructífera posible. La vida acaba dándote lo que verdaderamente necesitas en esos momentos, y ellos estuvieron allí siempre. Me gustaría dar las gracias a Dios, por ponerme en el camino a personas maravillosas que por casualidades de la vida acaban dándote su mano para que proyectos como éste salgan adelante. Gracias por todo, amigos míos. Enormente agradecido a mi banda de La Oliva, mi tertulia El Muñidor y mis “curritos”. Siempre a mi lado cuando más necesité de su presencia. No quiero dejar atrás a mi pueblo, La Puebla de los Infantes, donde se han concentrado todas las fuentes de felicidad, apoyo e inspiración que han marcado mis pasos, desde mi infancia hasta el final de este ciclo que cierro con este trabajo. Enrique Sánchez Abril Sevilla, 2020 Figura 28. Diagrama de flujo de la aplicación de la metodología de los subespacios activos al compresor axial caracterizado) 51 Figura 29. Superficie de interpolación de los datos de la matriz X|Q 52 Figura 30. Autovalores de una función objetivo con tres variables independientes 53 Figura 31. Autovalores del coeficiente de pérdida de presión de remanso operando con aire 54 Figura 32. Autovalores del coeficiente de pérdida de presión de remanso operando con CO2 54 Figura 33. Autovalores del coeficiente de pérdida de presión de remanso operando con CO2 supercrítico 55 Figura 34. Autovalores del coeficiente de aumento de presión estática operando con aire 55 Figura 35. Autovalores del coeficiente de aumento de presión estática operando con CO2 56 Figura 36. Autovalores del coeficiente de aumento de presión estática operando con CO2 supercrítico 56 Figura 37. Autovalores del coeficiente de pérdida de presión total con menor rango de operación trabajando con CO2 supercrítico 57 Figura 38. Autovalores del coeficiente de aumento de presión estática con menor rango de operación trabajando con CO2 supercrítico 57 Figura 39. Código: Generación de la matriz de casos 59 Figura 40. Matriz de casos normalizada 59 Figura 41. Código: Generación de la matrix X|Q 59 Figura 42. Código: Selección de los parámetros de muestreo, grado del polinomio y número de variables activas 60 Figura 43. Gráficas de la función de aplicación de la metodología de los Subespacios Activos 61 Figura 44. Código: Llamada a la función de aplicación de la metodología y cálculo del error medio de los puntos 61 Figura 45. Representación de la actuación de cascada para los tres fluidos (Aire, CO2, sCO2) para el caso de Re=23675 y Mach=0’083. 68 Figura 46. Representación de la actuación de cascada para los tres fluidos (Aire, CO2, sCO2) para el caso de Re=23675 y Mach=0’2. 69 Figura 47. Representación de la actuación de cascada para los tres fluidos (Aire, CO2, sCO2) para el caso de Re=23675 y Mach=0’4. 70 Figura 48. Representación de la actuación de cascada para los tres fluidos (Aire, CO2, sCO2) para el caso de Re=23675 y Mach=0’6. 71 Figura 49. Representación de la actuación de cascada para los tres fluidos (Aire, CO2, sCO2) para el caso de Re=236750 y Mach=0’083. 72 Figura 50. Representación de la actuación de cascada para los tres fluidos (Aire, CO2, sCO2) para el caso de Re=236750 y Mach=0’2. 73 Figura 51. Representación de la actuación de cascada para los tres fluidos (Aire, CO2, sCO2) para el caso de Re=236750 y Mach=0’4. 74 Figura 52. Representación de la actuación de cascada para los tres fluidos (Aire, CO2, sCO2) para el caso de Re=236750 y Mach=0’6. 75 Figura 53. Representación de la actuación de cascada para los tres fluidos (Aire, CO2, sCO2) para el caso de Re=2367500 y Mach=0’083. 76 Figura 54. Representación de la actuación de cascada para los tres fluidos (Aire, CO2, sCO2) para el caso de Re=2367500 y Mach=0’2. 77 Figura 55. Representación de la actuación de cascada para los tres fluidos (Aire, CO2, sCO2) para el caso de Re=2367500 y Mach=0’4. 78 Figura 56. Representación de la actuación de cascada para los tres fluidos (Aire, CO2, sCO2) para el caso de Re=2367500 y Mach=0’6. 79 xvii Notación α Ángulo ξ Ángulo de calado θ Curvatura δ Desviación ε Deflexión e número e Y Fuerza de par X Fuerza de empuje ω Coeficiente de pérdida de presión de remanso cP Coeficiente de aumento de presión estática CL Coeficiente de sustentación CD Coeficiente de arrastre c Velocidad del fluido s Paso entre álabes ρ Densidad μ Viscosidad dinámica a01 Velocidad del sonido γ Exponente isentrópico, relación de calores específicos Re M Número de Reynolds Número de Mach i Incidencia CFD Computational Fluids Dynamics GCI Grid Convergence Index tan(α) Tangente del ángulo alfa Cp Capacidad calorífica a presión constante T01 Temperatura de remanso E Esperanza matemática Xac Variables activas Λ Matriz diagonal con autovalores W Matriz con autovectores Λac Matriz diagonal con autovalores más grandes ∇xf Vector de derivadas parciales (gradiente) AS Active Subspaces X|Q Matriz de casos y resultados 1 INTRODUCCIÓN 1.1 Contexto del trabajo 1.1.1 Marco europeo La situación ambiental actual nos alerta de la necesidad de un cambio en los perfiles de consumo energético, a la vista del incremento de consumo experimentado en las últimas décadas, la fuerte dependencia de la sociedad contemporánea respecto de dicho recurso vital y, de manera muy especial, el impacto medioambiental asociado. Por ello, Europa pone en su horizonte el objetivo de reforzar la conciencia y responsabilidad de la población a la hora consumir energía, reduciendo los consumos y haciéndolos más seguros y responsables. Una de las claves para conseguir alcanzar estos objetivos es la producción de las energías finales (combustibles en el transporte, electricidad en el consumo doméstico e industial) que debe ser lo más estable, segura, sostenible y competitiva posible. Este es el objetivo que la Unión Europea propone en su estrategia 20-20, donde plantea llegar al momento en el que nos encontramos con un 20% de aumento en la eficiencia en la producción energética respecto a la década pasada, pero además siendo capaz de producir hasta un 20% de la producción anual de los países de la unión con fuentes de origen renovable. Este último aspecto del plan de estrategia se encuentra fuertemente impulsado por la propuesta de la Comisión Europea de establecer un mercado de la energía más eficaz, fomentando la interconexión de redes energéticas, que abarcando todas las fuentes, centra su atención en zonas estratégicas donde las renovables son fuente abundante de recursos para su desarrollo [1]. Figura 1. Ratio de interconexión energética entre países de la Unión Europea entre 2011 y 2020. [1] Texto elaborado por Marísa Balsa, de la Biblioteca de la Escuela Técnica Superior de Ingeniería de la Universidad de Sevilla 1 Introducción 22 1.1.2 Energía en España La generación de potencia eléctrica a nivel nacional se encuentra dividida según las distintas tecnologías de producción, destacando en los últimos años la producción renovable. Se encuentra generada en casi un 50% por fuentes de energía no renovable como la nuclear o procedente de combustibles fósiles como el carbón y el gas natural. No obstante, la producción eólica y solar juegan un papel importante con un 40% de la generación en los últimos cinco años, según datos de Red Eléctrica Española. La mayoría de estas fuentes (renovables y no renovables) requieren de tecnologías específicas para poder transformar la energía térmica que adquieren de los recursos y generar energía eléctrica. Las más destacadas entre los sistemas de producción de potencia son los motores térmicos de turbina de vapor o turbina de gas, basados en ciclos termodinámicos de producción de potencia mecánica que luego es transformada por un generador en electricidad, abasteciendo a la red eléctrica nacional. Tecnologías como la nuclear, la procedente del carbón, o la biomasa utilizan turbinas de vapor, mientras que en centrales de gas, ciclo combinado con gas natural, sistemas de cogeneración, el motor térmico principal es una turbina de gas. Estas fuentes de energía, que requieren de ciclos de potencia como el ciclo Rankine en Turbina de Vapor o el ciclo Brayton en Turbina de Gas, representan en torno a un 65% de la generación anual, es decir, que la turbina de vapor o la turbina de gas son parte imprescindible del abastecimiento eléctrico de este país. La situación geográfica de la península ibérica presenta fuertes recursos naturales no fósiles que ayudan considerablemente a poder generar energía limpia, reduciendo emisiones de gases contaminantes y cumpliendo con los objetivos del plan de la Unión Europea. Los más de 8000 kilómetros de costa y las casi 3000 horas de sol que goza la nación a lo largo del año, hacen que, más allá del turismo, tengamos la posibilidad de expandir por nuestro territorio las mayores infraestructuras de captación de energía limpia y transformarlas en electricidad. Por ello, la fuente más atractiva, predecible y aprovechable es la radiación solar. Una de las tecnologías más destacadas en el desarrollo de la energía solar, gracias a su carácter gestionable (a diferencia de la energía solar fotovoltaica y la energía eólica) son los sistemas solares de concentración, que aprovechan la energía térmica del sol, concentrándola en un receptor que transfiere dicha energía a un fluido caloportador que acciona una turbina de vapor. Los sistemas CSP (Concentrated Solar Power) presentan aplicaciones más allá únicamente de la producción de electricidad; la producción del vapor mediante energía solar también resulta atractiva a industrias como las de refino, procesamiento de comidas, carpintería, desalinización y productos químicos o incluso en sistemas de refrigeración. 1.1.3 Objetivos de futuro Centrando la atención en la efectividad de estos sistemas se observa relativamente poco aprovechamiento de las capacidades térmicas que ofrece el sol, en términos de potencia instalada, así como un bajo rendimiento en la operación de las turbinas de vapor empleadas en dichas centrales, en torno al 40%. En algunos casos, como sistemas de refuerzo se combinan con turbinas de gas, llegando a aumentar su eficiencia hasta un 60%; no obstante, ello requiere el uso de gas natural como combustible. Una línea de investigación llevada a cabo a finales de los sesenta del siglo pasado proponía el uso del CO2 en condiciones de presión y temperatura por encima de su punto crítico como un fluido químicamente estable, seguro, barato, no tóxico, no inflamable y fácilmente disponible. Este fluido presentaba características perfectas para ser introducido como fluido de trabajo en ciclos de potencia, lo que hizo que la comunidad científica e industrial centraran, desde hace más de una década, su atención en el estudio y desarrollo de ciclos que operen con CO2 supercrítico. Una de las características más interesantes de estos ciclos es su capacidad de obtener altas eficiencias en un amplio campo aplicaciones a distintos niveles de temperatura como son sistemas de energía solar térmica, sistemas de recuperación de calor o para el sector nuclear [7]. Infinidad de artículos de investigación sobre los ciclos de sCO2, entre los que se encuentran los desarrollados por el grupo de Máquinas y Motores Térmicos de la Universidad de Sevilla [6] entre otras univeridades y centros de investigación, llegan a la conclusión de que existen hasta ochenta tipos de ciclos, simples y combinados, de sCO2 según su aplicación y características, pero que presentan una alta eficiencia, versatilidad y destacadas prestaciones en un amplio campo de aplicaciones. Tabla 3. Ciclos combinados operando con CO2 supercrítico [6] Tabla 4 Ciclos simples operando con CO2 supercrítico [6] Las turbinas de gas y las turbinas de vapor como elementos esenciales a día de hoy para la producción de energía eléctrica, implícita en tantos campos de aplicación, renovable o no renovable, de mayor o menor desarrollo en la aportación de energía al país, están compuestas por turbomáquinas como marcan los ciclos que las gobiernan. No obstante, los ciclos de sCO2 no iban a ser menos. Luego, como resaltan varios artículos, el conocimiento del comportamiento y eficiencia de las turbomáquinas que compondrán el ciclo, es también uno de los grandes temas de investigación en el ámbito del sCO2. 1.1.4 Utilización de dióxido de carbono supercrítico en turbomáquinas Los ciclos termodinámicos de sCO2 ofrecen la posibilidad de un beneficio económico y competitivo respecto a los ciclos de vapor, principalmente en eficiencia y en coste de material. Sin embargo, este beneficio termodinámico sólo puede obtenerse si se dispone de los equipos que permiten materializar los ciclos [7]. En este sentido, en ocasiones se suele subestimar la singularidad de las turbomáquinas y las necesidades de desarrollos complejos asociadas a estos equipos. Por ello, es necesario conocer el comportamiento de las turbomáquinas y sus capacidades para afrontar las condiciones de operación del ciclo con criterios de tamaño, tipología y eficiencia de las turbinas o turbocompresores que se incluyan. El CO2 supercrítico influirá en el diseño de la misma, por lo que habrá que 1 Introducción 24 emplear especial atención en las cargas aerodinámicas de los álabes y la velocidad de giro del eje, así como en los materiales, la fabricación y las solicitaciones mecánicas de los distintos elementos que componen la máquina. [5] La utilización de ciclos sCO2 va a suponer, además de un aumento en la eficiencia, en la compacidad y en las prestaciones, ciertas restricciones en el diseño que deben conocerse a la hora de abordarlo. Pueden considerarse las altas cargas aerodinámicas sobre el álabe, posibles inversiones de flujo (bombeo), las consideraciones mecánicas del material del álabe, así como las propiedades que el fluido supercrítico tiene como gas no ideal. [8] [9] En este último aspecto se han centrado diversos estudios sobre el impacto del cambio de fluido de trabajo en turbomáquinas, evaluando el comportamiento de distintas turbinas y compresores operando con fluidos ideales y estableciendo una comparativa con fluidos no ideales, como el CO2 supercrítico, bajo las mismas condiciones de operación. Servirá para poder evaluar y comparar los parámetros característicos de la turbomáquina o sus elementos para distintas condiciones de conorno y geometrías, estableciendo similitudes entre el comportamiento con un fluido convencional o con un fluido como sCO2. [3] En definitiva, el diseño de turbomáquinas para uso en ciclos de CO2 supercrítico introduce elementos novedosos respecto del de turbomáquinas convencionales debido a las altas presiones y temperaturas del fluido y al comportamiento del mismo como gas no ideal. Es necesario por tanto estudiar el impacto de la sustitución del fluido de trabajo sobre el comportamiento de la turbomáquinas para, posteriormente, modificar las reglas y metodologías de diseño de manera adecuada. 1.2 Objetivo del trabajo Dada la necesidad de desarrollar componentes eficientes para estos nuevos sistemas de producción de potencia para aprovechamiento de fuentes renovables, este proyecto centra su atención en el estudio del comportamiento de una turbomáquina operando con CO2 supercrítico; concretamente estudiaremos el impacto que supone en las características esenciales de un turbocompresor axial el cambio de fluido de trabajo, de ideal a no ideal. En este trabajo se analizará en un primer bloque el estudio de la actuación de cascada de compresor axial, viendo cómo se comporta el flujo a través de las variaciones que sucedan del campo de velocidades del fluido en la corona. En el estudio se va a utilizar una herramienta de dinámica de fluidos computacional, con la que obtendremos resultados de un análisis numérico de los parámetros que tiene el fluido a la salida de la cascada, consiguiendo asi una evaluación cualitativa de las irreversibilidades y prestaciones del compresor axial que operará con la geometría y las condiciones impuestas en el cálculo. Con esta relación de resultados obtendremos datos suficientes para proceder a una comparativa del comportamiento entre las caracterísiticas convencionales de una cascada de álabes de compresor operando con aire o CO2 en condiciones ideales (cuando sus valores de presión o temperatura están suficientemente alejados de la zona crítica en los diagramas termodinámicos) y las obtenidas cuando se emplea CO2 supercrítico. Un segundo bloque de este TFG presenta un estudio preliminar para determinar si la aplicación de la metodología matemática de los subespacios activos es posible, con el objetivo de establecer el número de variables independientes que dominan el comportamiento de la cascada antedicha. Esta metodología, desarrollada por Paul Constantine, está basada en detectar el número de variables indpendientes que domina un determinado problema matemático o físico complejo mediante la evaluación de los autovalores y autovectores de las relaciones funcionales entre condiciones de operación y prestaciones. [12] [13] Con este trabajo, el autor quiere poner de manifiesto su intención de contribuir al desarrollo de la aplicación del CO2 supercrítico en los compresores axiales, realizando una simulación virtual de los experimentos que se llevarían a cabo en el túnel de viento y siendo consciente de la complejidad que supone la implementacion de un fluido con características especiales que, a priori, resultan de especial interés en la aplicación a las turbomáquinas. 1.3 Motivación del trabajo La motivación que ha llevado al autor a realizar este trabajo es doble. La primera es una motivación particular del alumno, ya que gracias al desarrollo de este proyecto, se complementa la formación adquirida durante el grado universitario, perfeccionando los conocimientos en el ámbito de la termodinámica, los motores térmicos, los sistemas de producción de potencia y, más destacadamente en el mundo de las turbomáquinas térmicas. Esta línea de aprendizaje supone un mejor y más detallado conocimiento de las cascadas de álabes y de las características del comportamiento de las mismas, así como una introducción al cálculo de simulaciones con herramientas de cálculo numérico computacional de las turbomáquinas. Y otra motivación es la contribución que el autor quiere hacer a la línea de investigación que se está desarrollando entorno al CO2 supercrítico como alternativa eficaz a otros fluidos de trabajo en los sistemas de producción de potencia. La contribución se basa en, sobre un estudio previo sobre cascadas de compresor axial, aumentar el número de casos evaluados aumentando el número de condiciones de contorno diferentes para el studio de dicha turbomáquina. Se busca aportar nuevas visiones sobre las características del turbocompresor al operar con sCO2 contribuyendo al trabajo que el Grupo de Máquinas y Motores Térmicos de la Universidad de Sevilla está llevando a cabo desde hace más de diez años. Figura 2. Diagrama temperatura-entropía del dióxido de carbono Caracterización de cascada de álabes 32 Figura 7. Perfil de álabe NACA-65 con mallado [3] El sistema de cómputo numérico comercial utilizado para relacionar los anteriores programas será Matlab®, mediante el cual se ha establecido un algoritmo para el cálculo de los límites de difusión, desarrollado por José María Rodríguez [4] y adaptado al estudio de diferentes fluidos por Carlos Tello [3] en anteriores trabajos de fin de carrera. Este código de Matlab se basa en un proceso iterativo mediante el cual se modifican las condiciones de contorno directas en Ansys Fluent (presiones, temperaturas y velocidades) para obtener las condiciones de operación indirectas deseadas (Mach, Reynolds, factor de compresibilidad), dada una cascada con una cierta geometría. El criterio de convergencia en este trabajo, a fin de contener los tiempos de computación, se establece en 10-2 para los parámetros de operación indicados, por lo que el bucle irá operando hasta alcanzar el error máximo deseado y presentar estos últimos resultados como lo definitivos. Una vez presentada la forma de cálculo que se va a llevar a cabo, se describen a continuación cuáles han sido los diferentes casos y las diferentes condiciones de contorno tomadas para efectuar los cálculos. 2.3.1 Tipo de fluido Como se ha comentado en la descripción del proyecto, la comparativa de actuaciones en la cascada será mediante la implementación de fluidos ideales y no ideales, por lo que el valor de γ, exponente isentrópico definido como el cociente entre capacidades caloríficas a presión y volumen constante, se ha modificado para tres casos distintos. - Aire. 𝜸𝟏= 𝟏′𝟒 - Dióxido de carbono. 𝜸𝟐= 𝟏′𝟑𝟑 - Dióxido de carbono en condiciones supercríticas. 𝜸𝟑= 𝟏′𝟑𝟑. (Este último apartado varía poco ya que se está refiriendo al mismo tipo de fluido) 2.3.2 Número de Reynolds Se ha establecido también un cambio en el número de Reynolds basado en la cuerda del álabe, número adimensional que hace referencia al nivel de turbulencia, es decir, a la relación entre las fuerzas inerciales y las fuerzas viscosas de que aparecen durante el movimiento del fluido. Para garantizar el nivel de turbulencia deseado en cada caso, se modificará la longitud característica del álabe. Se ha variado el orden de magnitud de Re en relación al valor crítico de este considerado en torno a 105. Los valores establecidos, tomados arbitrariamente de estudios anteriores sobre turbocompresores axiales, han sido. - 𝑅𝑒1=𝟐𝟑𝟓𝟔𝟕 (𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 𝑑𝑒 104) - 𝑅𝑒2=𝟐𝟑𝟓𝟔𝟕𝟎 (𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 𝑑𝑒 105,𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜) - 𝑅𝑒3=𝟐𝟑𝟓𝟔𝟕𝟎𝟎 (𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 𝑑𝑒 106) 33 Estudio de la importancia relativa de las condiciones de contorno sobre las prestaciones de una cascada de álabes de compresor axial operando con fluidos ideales y no ideales 2.3.3 Número de Mach Dado que los resultados de salida de cascada están fundamentados en el cálculo del error relativo de la velocidad del fluido, la velocidad de referencia o velocidad objetivo está implementada por el número de Mach absoluto a la entrada Este número se expresa en función de una velocidad del sonido definida según los parámetros de presión y temperatura de remanso medidos en las inmediaciones de la cascada. Los valores tomados para el cálculo de cada fluido y cada número de Reynolds han sido: - 𝑀1= 𝟎′𝟎𝟖𝟑 - 𝑀2= 𝟎′𝟐 - 𝑀3= 𝟎′𝟒 - 𝑀4= 𝟎′𝟔 2.3.4 Ángulo de entrada (incidencia) Por último, los datos calculados dependían de una última variable independiente para terminar de definir el comportamiento según la aplicación del teorema Pi de Buckingham. Se trata del ángulo de entrada del flujo, representado por la incidencia. Este parámetro resulta relevante tanto en la deflexión del flujo afectando a la carga aerodinámica, como en el estudio del desprendimiento de la capa límite, y por tanto, en las irreversibilidades de la cascada, Los valores de incidencia tomados, positivos y negativos, son estos: 𝑖 = [−𝟏𝟐′𝟓º; −𝟕′𝟓º; −𝟓º; −𝟐′𝟓º; 𝟎º; 𝟐′𝟓º; 𝟓º; 𝟕′𝟓º] Se añaden nueve casos dentro de cada fluido, cada valor de turbulencia y cada velocidad de entrada. En resumen se llegan a obtener hasta 324 casos diferentes entre los tres fluidos, los tres Reynolds, los cuatro número de Mach y las nueve incidencias. Se presenta a continuación el árbol de casos para los cuales se han obtenido resultados. Figura 8. Árbol de casos estudiados Caracterización de cascada de álabes 34 2.4 Resultados Los resultados obtenidos mediante el uso de CFD se van a presentar y evaluar mediante unas gráficas donde se representarán los valores del coeficiente adimensional de pérdida de presión de remanso (reflejando las irreversibilidades y, por tanto, la eficiencia del compresor) y del coeficiente de aumento de presión (donde se establece una medida de la compresión llevada a cabo y, en resumen, de las prestaciones) correspondientes a los tres fluidos frente a los nueve valores del ángulo de incidencia para cada valor de Reynolds y Mach de la tabla de casos. Los valores generados en Fluent se han recogido en tablas donde figuran todas las variables termodinámicas en cada ángulo de incidencia, según el Mach y el Reynolds en cuestión. A modo de ejemplo, se muestran en la siguiente tabla para las incidencias del caso del CO2 en condiciones ideales para un Reynolds de 235670 y un Mach de 0’2. -10 -7,5 -5 -2,5 0 Temperatura [K] 298 298 298 298 298 Presion estática a la entrada [kPa] 101,2 101,2 101,2 101,2 101,2 Presión de remanso a la entrada [kPa] 103,9 103,9 103,9 103,9 103,9 Densidad [kg/m3] 1,796 1,796 1,796 1,796 1,796 Gasto másico [kg/s] 2,86 2,77 2,67 2,57 2,46 Velocidad a la entrada [m/s] 53,88 53,88 53,88 53,88 53,88 Cuerda [mm] 36,74 36,74 36,74 36,74 36,74 Viscosidad [kg/m· s] 13’7·10-5 13’7·10-5 13’7·10-5 13’7·10-5 13’7·10-5 Angulo de entrada del flujo [º] 36,26 38,76 41,26 43,76 46,26 Ángulo de calado[º] 31,26 31,26 31,26 31,26 31,26 Reynolds 2,3·105 2,3·105 2,3·105 2,3·105 2,3·105 Mach 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 Gamma (exponente isentrópico) 1,29 1,29 1,29 1,29 1,29 K_s 1,287 1,287 1,287 1,287 1,287 Factor de compresibilidad 0,99 0,99 0,99 0,99 0,99 Presión estática a la salida [kPa] 101,8 101,9 102 102,2 102,3 Presión de remanso a la salida [kPa] 103,8 103,8 103,8 103,8 103,8 Angulo salida del flujo [º] -7 -6,9 -6,7 -6,3 -5,8 Coef. De aumento de presión 0,201 0,254 0,303 0,351 0,398 Coef. De pérdida de presión de remanso 0,0187 0,017 0,0169 0,0173 0,0184 Tabla 5. Tabla de resultados para el caso de CO2 operando con Re=235670 y M=0’2 35 Estudio de la importancia relativa de las condiciones de contorno sobre las prestaciones de una cascada de álabes de compresor axial operando con fluidos ideales y no ideales Si hacemos lo mismo para el CO2 en condiciones supercríticas (315 K y 7’55 bar): -10 -7,5 -5 -2,5 0 Temperatura [K] 312,9 312,9 312,9 312,9 312,9 Presion estática a la entrada [kPa] 7403,2 7403,3 7403,2 7403,4 7403,4 Presión de remanso a la entrada [kPa] 761,4 761,4 761,4 761,4 761,4 Densidad [kg/m3] 225,56 225,56 225,56 225,56 225,56 Gasto másico [kg/s] 3,88 3,75 3,62 3,47 3,33 Velocidad a la entrada [m/s] 43,05 43,05 43,05 43,05 43,05 Cuerda [mm] 0, 495 0, 495 0, 495 0, 495 0, 495 Viscosidad[kg/m· s] 2,022·10-5 2,022·10-5 2,022·10-5 2,022·10-5 2,022·10-5 Angulo de entrada del flujo [º] 36,28 38,78 41,28 43,78 46,28 Ángulo de calado[º] 31,26 31,26 31,26 31,26 31,26 Reynolds 2,38·105 2,38·105 2,38·105 2,38·105 2,38·105 Mach 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 Gamma (exponente isentrópico) 3,339 3,339 3,34 3,34 3,34 K_s 1,38 1,38 1,38 1,38 1,38 Factor de compresibilidad 0,56 0,56 0,56 0,56 0,56 Presión estática a la salida [kPa] 74,43 74,55 74,66 74,76 74,85 Presión de remanso a la salida [kPa] 76,1 76,1 76,1 76,1 76,1 Angulo salida del flujo [º] -6,73 -6,77 -6,55 -6,09 -5,34 Coef. De aumento de presión 0,193 0,249 0,299 0,346 0,388 Coef. De pérdida de presión de remanso 0,022 0,0191 0,0185 0,0192 0,0217 Tabla 6. Tabla de resutado para el caso de CO2 supercrítico operando con Re=235670 y M=0’2 Se observa que, para las mismas condiciones de Re y Mach y con los mismos ángulos de incidencia, al no tratarse de un fluido ideal, el factor de compresibilidad es menor que la unidad, como lo es en el caso anterior en condiciones ideales en la tabla 3 En términos de densidades, como se explicó en el apartado 2.2, también se puede apreciar la diferencia significativa que sucede al estar en presiones y temperaturas más altas. Se muestran, a modo de resumen, algunas de las variables que reflejan los beneficios mencionado en la introducción sobre el CO2 supercrítico, como por ejemplo, longitudes de cuerda menores favoreciendo una compactabilidad mayor o viscosidades menos acusadas, disminuyendo las irreversibilidades por esfuerzos viscosos. Figura 9. Representación del facto de compresibilidad en función del fluido y de la incidencia 0.994977094 0.55516046 0 0.3 0.6 0.9 1.2 -15 -12.5 -10 -7.5 -5 -2.5 0 2.5 5 7.5 10 Indicencia [-] Factor de compresibilidad Aire y CO2 sCO2 Caracterización de cascada de álabes 36 Por tanto, estableciendo el cálculo para los 324 casos posibles, se obtienen los valores de 𝑐𝑝 𝑦 𝜔 y que se procede a evaluar mediante las siguientes gráficas donde se analizarán las características del comportamiento del turbocompresor axial que estamos evaluando para valores fijos de Mach y Reynolds. Sirvan estas tablas representativas de los resultados de especial interés para este estudio, y a partir de las cuales se han elaborado los gráficos y figuras con los que se evidencian algunas conclusiones. ω Re 235670 y Mach 0,083 Re 235670 y Mach 0,2 i Aire CO2 sCO2 i Aire CO2 sCO2 -12,5 0,027286 0,027232 0,027933 -12,5 0,029465 0,029263 0,032768 -10 0,018061 0,01797 0,01851 -10 0,018884 0,01874 0,022016 -7,5 0,016874 0,01679 0,017183 -7,5 0,017397 0,017283 0,0191 -5 0,016608 0,016522 0,016938 -5 0,017083 0,016984 0,01846 -2,5 0,016915 0,016834 0,017268 -2,5 0,017428 0,017322 0,019249 0 0,017917 0,017836 0,018388 0 0,018566 0,018422 0,021661 2,5 0,020228 0,020085 0,020909 2,5 0,021165 0,020948 0,028928 5 0,025709 0,025518 0,026863 5 0,027399 0,027038 0,043611 7,5 0,038081 0,037784 0,039476 7,5 0,040614 0,040119 0,065498 ω Re 235670 y Mach 0,4 Re 235670 y Mach 0,6 i Aire CO2 sCO2 i Aire CO2 sCO2 -12,5 0,040791 0,039726 0,045086 -12,5 0,085844 0,10825 -24,6022 -10 0,02332 0,022687 0,028465 -10 0,049194 0,043827 0,041411 -7,5 0,019809 0,01939 0,023482 -7,5 0,028231 0,026272 0,026002 -5 0,019127 0,018838 0,022054 -5 0,025347 0,024 0,024149 -2,5 0,019647 0,01931 0,023202 -2,5 0,026177 0,024783 0,024977 0 0,021356 0,020919 0,02676 0 0,029705 0,027993 0,028232 2,5 0,025495 0,024791 0,037125 2,5 0,037376 0,035177 0,035911 5 0,034708 0,033611 0,056228 5 0,051494 0,048707 0,049776 7,5 0,051417 0,049884 0,0833 7,5 0,076741 0,071969 0,074718 Tabla 7. Tablas de valores de 𝜔 para el caso de Re=235670 para el análisis de resultados 37 Estudio de la importancia relativa de las condiciones de contorno sobre las prestaciones de una cascada de álabes de compresor axial operando con fluidos ideales y no ideales 2.4.1 Análisis de resultados 2.4.1.1 Influencia de la composición del fluido Para el análisis de los valores obtenidos en el cálculo de la actuación de cascada, se considerará la comparativa entre los comportamientos de los distintos fluidos dejando el resto de variables independientes constantes. El estudio de estos cálculos se centrará en la zona de pérdidas mínimas, rango de incidencias [𝑖𝑠−,𝑖𝑠+] dentro del cual el coeficiente de pérdida de presión de remanso no excede del doble del valor mínimo de 𝜔. Si se estudia el comportamiento de la gráfica observamos que los valores de los tres fluidos, para el mismo Reynolds y misma velocidad, son muy similares. Figura 10. Actuación de cascada para el caso de Re=235670 y M=0’083 para los tres fluidos Aunque se sitúen alrededor de valores muy cercanos los tres fluidos, existen diferencias entre ellos tanto por tener distinto exponente isentrópico 𝛾 como, al tratarse de gas real en el caso del sCO2, en torno al factor de compresibilidad, factor que mide cuánto se acerca el comportamiento de un cierto gas a un gas ideal. En el caso del fluido supercrítico nos situamos en torno a 0’55 aproximadamente (siendo cercano a la unidad en fluidos ideales), causando cierta diferenciación entre ellos en la figura. Por tanto, es posible afirmar que la cascada apenas presenta cambios ni en las prestaciones ni en sus irreversibilidades si efectuamos un cambio de fluido, ideal o supercrítico para las mismas condiciones en el resto de parámetros (Re, M e incidencia). La figura anterior ha sido obtenida en condiciones de semejanza hidráulica (mismo Re y M), confirmando que estos parámetros dominan el comportamiento de la cascada a pesar de las diferencias en la composición del fluido. No obstante, la semejanza en Re y 𝑐𝑃 genera diferencias en las condiciones reales de operación de la cascada en términos de parámetros absolutos:  Dada la definición del número de Reynolds y la diferencia tan acusada de densidad entre los fluidos ideales y el fluido supercrítico considerados en este trabajo, el único modo de garantizar la igualdad de Re es a través de la modificación de la cuerda del álabe (𝑐) en función de la composición del fluido: 𝑅𝑒 =𝜌 · 𝑐1· 𝑐 𝜇  El coeficiente de incremento de presión estática está adimensionalizado por la energía cinética del fluido a la entrada de la cascada. Como consecuencia de la diferencia de densidad entre los fluidos considerados en este trabajo, el incremento de presión asociado a un cierto valor de 𝑐𝑝 es mucho mayor en el caso del fluido supercrítico que en cualquiera de los fluidos ideales: Caracterización de cascada de álabes 38 𝑐𝑝=𝑝2− 𝑝1 1 2𝜌 · 𝑐1 2 Esto se puede comprobar en las dos figuras siguientes, las cuales muestran la distribución de presión estática en torno al álabe para una cascada operando con dióxido de carbon en condiciones supercríticas y a baja presión y temperatura (gas ideal). Las condiciones de operación son semejantes. Se aprecia que el cambio en el tipo de fluido, y por tanto de propiedades termodinámicas, va a afectar a factores geométricos como la cuerda. Figura 11. Distribución de presión estática en torno al álabe para la cascada que opera con sCO2 Figura 12. Distribución de presión estática en torno al álabe para la cascada que opera con CO2 en condiciones de gas ideal Del mismo modo, diferencias significativas entre las densidades de fluidos ideales y supercrítico, hacen que las fuerzas por unidad de longitud del álabe (ya que se está realizando un estudio bidimensional) sean notoriamente más altas en el gas real que en el ideal (225 kg/m3 frente a 1’2 kg/m3, respectivamente). Si analizamos el mismo comportamiendo que en las figuras 11 y 12 pero desde un punto de vista adimensional, es decir, estableciendo la distribución de coeficiente de incremento de presión estática respecto de la coordenada axial adimensionalizada por la cuerda, observamos en la figura 13 que tanto en CO2 en condiciones de gas ideal como en CO2 supercrítico ambos fluidos se comportan igual.. Figura 13. Representación adimensional de la distribución de presiones en la cara de presión del álabe 39 Estudio de la importancia relativa de las condiciones de contorno sobre las prestaciones de una cascada de álabes de compresor axial operando con fluidos ideales y no ideales A continuación se presenta en la figura 14 un análisis cuantitativo de este fenómeno en magnitudes absolutas, con la distribución de presiones estáticas en la cara de presión frente la posición del álabe a lo largo de la cuerda de éste. Se observa que, debido a la diferencia de densidades, las cargas aerodinámicas sobre el álabe por unidad de longitud serán mucho mayores en el caso de CO2 supercrítico que del CO2 como gas en condiciones ideales. Por tanto, para que esa fuerza por unidad de cuerda sobre el álabe sea la misma en ambos fluidos, el área encerrada por la distribución de presiones en las caras de succión y presión (es decir, la diferencia de presiones entre las dos caras) en cada uno de los dos fluidos debe ser la misma, resultando por tanto un álabe que opere con sCO2 con mucha menos longitud de cuerda. Figura 14. Representación de la distribución de presiones frente a la longitud de la cuerda en la cara de presión del álabe. No obstante lo anterior, la abricación de álabes de cuerdas tan pequeñas (1 cm) presenta diicultades mecánicas notables y por tanto resulta difícil mantener la semejanza en número de Reynolds desde un punto de vista práctico. En el apartado anterior se estudia el efecto de variaciones de Re. 2.4.1.2 Influencia del número de Reynolds El presente trabajo se desarrolla sobre la hipótesis de rugosidad superficial nula por lo que el incremento del número de Reynolds tiene el efecto de una reducción monótona del coeficiente de pérdida de presión de remanso. Esto puede apreciarse en la Figura 15 donde se muestra la distribución de la pérdida de presión total en el borde de estela del álabe para un caso de Reynolds bajo (23567) y otro de Reynolds alto (2356700). Se aprecia que cuando Re es bajo, las fuerzas de viscosidad cobran mayor importancia y la región de baja velocidad en torno al álabe y en la estela del mismo cubre una superficie mayor. Por el contrario, cuando Re aumenta, la zona de baja velocidad queda confinada en la proximidad del álabe y la estela pierde espesor. Figura 15. Representación de la presión de remanso en el álabe para distinto número de Reynolds: bajo en la izquierda y alto en la derecha. Caracterización de cascada de álabes 40 Se ve como la estela ha disminuido su espesor por la reducción del espesor de la capa límite. Esto disminuye la zona del fluido que se ve afectada por bajas velocidades y pérdidas de presión de remanso a la vez que favorece la transformación de energía cinética en presión estática. En el caso de bajo número de Reynolds, el mayor espesor de la capa límite reduce la sección de paso del flujo, disminuyendo la variación de área asociada al tubo de corriente por el que discurre el núcleo isentrópico del flujo. En consecuencia, las prestaciones de la cascada son menores al conseguir menos presión a la salida. Luego podemos confirmar que las irreversibilidades de la cascada dependen inversamente del número de Reynolds. Cabe destacar que, volviendo al apartado referente a la rugosidad del álabe, en el caso de no trabajar con álabes lisos, la rugosidad superficial condicionaría las pérdidas hasta alcanzar un valor crítico del Reynolds crítico para el cual 𝜔 dejaría de depender de este parámetro. Para confirmar lo establecido en el párrafo anterior, se muestra en la figura 16 la pérdida de presión de remanso en el borde estela, siendo menores los valores de presión total en las zonas con colores más fríos. Se observa que, aumentando el Reynolds desde 104 a 106 para un Mach constante, la caída de presión total se hace cada vez menor y el borde de estela es más delgado. En la figura de la representación de la actuación de cascada (figura 16) para cada valor del Reynolds se confirma lo anterior para las irreversibilidades, así como un aumento de las prestaciones del compresor (incremento del coeficiente de incremento de presión estático y reducción de las pérdidas de presión de remanso) tras un aumento en el nivel de turbulencia. Figura 17. Actuación de cascada para tres valores de Reynolds, por orden de magnitud: 104 (1), 105 (2) y 106 (3). Figura 16. Representación de la presión de remanso en el borde de estela para tres valores de Reynolds: menor Re en la izquierda y mayor Re en la derecha 41 Estudio de la importancia relativa de las condiciones de contorno sobre las prestaciones de una cascada de álabes de compresor axial operando con fluidos ideales y no ideales Según se comentó, otra de las consecuencias del aumento de un borde de estela con mayor anchura era una menor presión de salida, puesto que se reduce el efecto difusor por una menor sección de paso del flujo. Esto se corrobora en la figura 18 donde se representa la magnitud de la velocidad a distinto Reynolds y Mach constante fuera de la zona de desprendimiento, que la velocidad reduce cada vez más (hacia colores más amarillentos) al aumentar el Re, puesto que el área de paso del flujo se ensancha y, por tanto, se produce un aumento de la presión estática de salida gracias a una mayor difusión. 2.4.1.3 Influencia del número de Mach En este punto se realiza el análisis sobre los efectos que supone aumentar el número de Mach. Se ve que suceden dos aspectos destacables: un aumento de la 𝜔 y una reducción del rango de variación de incidencias donde se dan las pérdidas mínimas. Respecto a la primera reacción que ocurre a altos Mach vemos que las prestaciones también aumentan al considerar velocidades mayores y que los valores de pérdida de presión de remanso aumentan entorno a un 30% al variar el Mach desde 0’083 hasta 0’6. Es decir, la presión aumenta más a alta velocidad que a baja velocidad pero el proceso es más irreversible. El segundo de los aspectos, la reducción del intervalo de pérdida mínima (rango de la cascada) se da porque, a más altas velocidades, las incidencias positivas son más propensas a producir desprendimiento. Luego el intervalo que encierran las incidencias de desprendimiento será cada vez menor mientras aumente el número de Mach. Se representa en la figura 19 la actuación de cascada para distinto números de Mach en un mismo fluido y a Reynolds contante, donde se observan los efectos que genera un aumento en la velocidad de entrada. Figura 19. Actuación de cascada para cuatro números de Mach: 0’083 (1), 0’2 (2), 0’4 (3) y 0’6 (4). Figura 18. Velocidad del flujo para tres Reynolds a Mach constante: Re aumenta de izquierda a derecha Metodología de Subespacios Activos 48 3 METODOLOGÍA DE SUBESPACIOS ACTIVOS Es bloque consistirá en la comparación y evaluación de las características del comportamiento del compresor axial entre fluidos ideales y no ideales. Para ello, haremos uso de la metodología de los subespacios activos, consistente en identificar el número de variables adimensionales con mayor peso relativo entre las variables independientes del problema., basado en un análisis de autovalores y autovectores, para poder llegar a definir un nuevo modelo que sólo va a depender de un pequeño número variables no físicas, llamadas variables activas. 3.1 Desarrollo teórico del método La metodología de los subespacios activos desarrollada por el estadounidense Paul Constantine se basa en “un método para detectar primero las direcciones de la variabilidad más fuerte de un campo escalar, empleando evaluaciones del gradiente para, posteriormente, explotar estas direcciones para construir una superficie de respuesta en un subespacio de dimensión reducida (es decir, el subespacio activo) en cuanto al número de variables independientes que lo definen. Se desarrolla un marco teórico con límites de error y se vinculan las cantidades teóricas a los parámetros de una superficie de respuesta por interpolación Kriging en el subespacio activo.” [12] Para poder desarrollar la metodología, la base matemática necesita de una función objetivo. En nuestro caso, para poder aplicarla al funcionamiento de turbomáquinas usaremos la ecuación del modelo de estado que rige el comportamiento de la cascada, donde se incluyen las propiedades del fluido de trabajo. La función objetivo tendrá la forma: Esta función objetivo será un valor escalar a determinar, como el coeficiente de aumento de presión estática o el coeficiente de pérdida de presión de remanso de nuestro problema. Los valores que englobe la variable independiente, X en este ejemplo, pertenecen un vector normalizado y centrado de orden m, dimensión determinada. El valor de normalización del vector aplicado a las distintas variables independientes de nuestro modelo se llevará a cabo con el árbol de casos que se usó en la Herramienta 1. A continuación se aproxima la función objetivo de la siguiente manera: Esta nueva función permitirá obtener una superficie de respuesta de orden n, menor que la definida previamente como modelo, donde ahora las variables independientes, Xac, son las llamadas variables activas. Las superficies que se podrán representar serán la evolución de las variables dependientes de la ecuación del modelo de estado de la cascada: ω y cp. Como se muestra en la función objetivo, es necesario determinar el orden de magnitud, es decir, conocer el espacio que ocupan las variables. En el caso de la función reducida a las variables activas, las dimensiones se han reducido mediante combinación lineal de las variables de entrada X. 49 Estudio de la importancia relativa de las condiciones de contorno sobre las prestaciones de una cascada de álabes de compresor axial operando con fluidos ideales y no ideales Se ha llevado a cabo mediante la matriz de transformación B de orden nxm. Por tanto, el método de los subespacios se basará en buscar esa matriz, y lo hará mediante operaciones estadísticas de probabilidad en una matriz C, como es la esperanza matemática aplicada a la matriz generada mediante el vector de las derivadas parciales de la función objetivo y su vector traspuesto, es decir: Donde E es la esperanza matemática y se define como la media ponderada de los valores que puede tener la variable a estudiar, y ρ la densidad de probabilidad. Si C no se puede determinar mediante la integración en varias dimensiones, puede ser expresada como la covarianza del vector en derivadas parciales, utilizando el sumatorio discreto de los componentes de la matriz para un número M de muestras tomadas: Las muestras, al no ser continuas, afectarán sensiblemente a la precisión de aproximación en el cálculo, ya que como vimos en las secciones anteriores, usaremos ciertas discretizaciones con amplios rangos de variación entre ellas para elaborar los cálculos. Como es sabido, el método se basa un cálculo numérico mediante autovalores y autovectores. Por eso, siendo la matriz C la que usaremos para establecer la relación de variables activas respecto a las variables iniciales, la descompondremos de forma real y simétrica, una vez definida ésta, en autovalores reales. Donde en W se encuentran esos autovalores y la matriz Λ representa una matriz diagonal. Los autovalores van a representar la cantidad de variación del vector de derivadas a lo largo de la dirección que marque su autovector, lo que nos lleva a apreciar, para autovalores más altos, una mayor pendiente de ciertos autovectores, es decir, cambios más acusados en ciertas variables. Si quedan definidos todos los autovalores y autovectores, podemos establecer una separación de estos en columnas de una matriz de autovalores y otra de autovectores, considerando en cada columna aquellos de mayor magnitud (a la que llamaremos subconjunto activo, ac) y de menor magnitud (inactivos, ic). La matriz Λ diferencia los autovalores activos e inactivos en sus columnas, mientras que la matriz W, toma en la misma distribución los autovectores correspondientes de esos autovalores. Por tanto, si consideramos como matriz de transformación del espacio de entrada a Wac, podemos destacar aquellas direcciones de mayor variabilidad, despreciando en magnitud las de menor cambio. Se crea así la nueva dimensión de datos Xac de variables activas. Luego la primera matriz B de transformación pasa ahora a llamarse Wac, matriz de autovectores activos. Dado que se requiere una simplificación para aproximar C, como se seleccionaron M muestras, habrá M trasformaciones del subespacio activo (𝑓 󰆹:𝑥𝑎𝑐 → 𝑓), utilizado para obtener un modelo de orden inferior al anterior. En el caso de existir menor número de soluciones en ciertas regiones, será posible establecer un muestreo mayor para reproducir con mayor exactitud ese déficit que se nos pueda presentar. Esto se pondrá de manifiesto en la aplicación concreta de este Trabajo Fin de Grado más adelante. [10] Metodología de Subespacios Activos 50 Como pudimos observar en la definición de la caracterización del comportamiento de una turbomáquina, el número de variables independientes que lo definían era de hasta diez valores distintos. Sin embargo, con la aplicación del teorema Pi de Buckingham, la caracterización de la cascada quedó simplificada en 4 variables independientes y adimensionales: el exponente isentrópico, el número de Reynolds, el número de Mach y la incidencia. No obstante, esa caracterización resultaba eficaz pero en cierta forma tediosa a la hora de realizar un análisis comparativo, puesto que se observaban similitudes y diferencias considerables en ciertos aspectos entre los fluidos. Por ello, aplicar la metodología servirá para poder establecer en la caracterización de la cascada un menor número de parámetros independientes, calculándose las direcciones de mayor magnitud del autovalor y el peso relativo que tienen entre ellas. Conseguimos así conocer si existen variables con mayor peso que otras y cuánto distan entre sí en importancia, con el objetivo de poder realizar simulaciones más eficaces y prestar más atención a ciertos parámetros a la hora del estudio de actuaciones de cascada de álabes. [11][13] 3.2 Aplicación de la metología de los subespacios activos Con la idea de implantar esta metodología en la cascada bajo estudio, veremos cómo introducirla dentro del sistema de referencia, caracterizado ya en apartados anteriores. Con ella buscamos la posibilidad de establecer diferencias en el número de variables independientes que puedan ser cruciales en la experimentación con fluidos ideales y no ideales, en nuestro caso, aire, CO2 y CO2 supercrítico. Como los cálculos han ido en relación la eficiencia en la pérdida de presión de remanso, y en relación a las prestaciones del compresor con el coeficiente de aumento de presión estática, aplicaremos la metodología dos veces, una para cada objetivo. 𝜔 = 𝑓(𝛾, 𝑅𝑒𝑦𝑛𝑜𝑙𝑑𝑠, 𝑀𝑎𝑐ℎ, 𝛼2) 𝑐𝑝= 𝑓(𝛾, 𝑅𝑒𝑦𝑛𝑜𝑙𝑑𝑠, 𝑀𝑎𝑐ℎ, 𝛼2) Estamos trabajando con método numérico, puesto que será necesaria la importación de muchos casos, en nuestra situación contamos con 324 en total, con 108 para cada fluido. Estos casos están determinados por unos valores concretos de gamma, Mach, Reynolds e incidencia. Según el desarrollo algebraico, la metodología de aplicación parte de una matriz aleatoria con tantas filas como número de casos y tantas columnas como variables independientes disponga el modelo, que tiene sus valores normalizados y centrados entre -1 y 1, siendo este uno de los primeros pasos que habría que llevar a cabo. Dado que la aplicación se llevará a cabo por cada fluido, el número de variables se reducirá a 3, consiguiendo hasta 108 casos por fluido. Se generará por tanto una matriz de 108 filas y 3 columnas. A partir de aquí “desnormalizamos”, es decir, introducimos los valores máximos y mínimos de las variables para que se establezcan valores intermedios proporcionales a los creados en la matriz normalizada. Resulta por tanto una nueva situación completamente aleatoria de valores de Reynols, Mach e incidencia generada de manera arbitraria aunque dentro de los límites establecidos. Ya por último, se introducirán los datos que, para cada situación planteada en la matriz anterior, resultan del cálculo de los límites de difusión, adjuntando una columna de 108 valores de 𝜔 o de 𝑐𝑝. Creada ya la matriz normalizada se procede a la aplicación de la metodología mediante el código de Matlab desarrollado por S. Bahamonde [10] y Francesco Crespi [11] donde se encuentra implicíto el desarrollo algebraico dentro del código de programación. Por tanto cabe destacar la importancia de una correcta distribución aleatoria de datos en la matriz de transformación. Se muestra a continuación un diagrama de flujo, elaborado por el doctor Francesco Crespi, donde se resume la secuencia de actuaciones necesarias previas a la aplicación del método. 51 Estudio de la importancia relativa de las condiciones de contorno sobre las prestaciones de una cascada de álabes de compresor axial operando con fluidos ideales y no ideales Figura 27. Diagrama de flujo de la aplicación de la metodología de los subespacios activos a la función objetivo (CRM) [11] Sin embargo, dado que el objetivo de este proyecto es poder caracterizar el comportamiento mediante simulaciones para llevar a cabo una experimentación real en el túnel de viento, la configuración del árbol de casos calculados en Fluent está compuesta por saltos discretos y concretos de los valores de las variables, lo que dificulta la formación de una matriz de casos continua y aleatoria para la aplicación de la metodología. Para ello se establece una corrección en la herramienta de aplicación de la metodología en este trabajo, que consiste en y, se diseña la nueva matriz con los casos generados y ya calculados para cada fluido con tres columnas y 108 filas, añadiendo la columna de resultados generados en Fluent en cada función objetivo, 𝜔 o 𝑐𝑝. La secuencia de casos con la que construimos la matriz de las variables deberá ser normalizada para poder aplicar la metodología, como se indica en la figura 28. Figura 28. Diagrama de flujo de la aplicación de la metodología de los subespacios activos al compresor axial caracterizado Metodología de Subespacios Activos 52 Utilizar la metodología, según el estudio original, requeriría una aproximación con mayor precisión basada en el uso de en torno a 500 o 600 casos para obtener una precisión y fiabilidad satisfactorias. Como es lógico, la generación de este número de casos de estudio excede el alcance de un trabajo como este y por tanto no se ha realizado en el presente Trabajo Fin de Grado. No obstante, se destaca que no hay dificultades conceptuales para la obtención del mismo. Este número de casos sería de hecho abarcable de no ser por el tiempo que la herramienta 1, que estaba basada en múltiples iteraciones con varios software en paralelo, requiere para conocer el valor de cada parámetro. En nuestro caso, llegó a oscilar sobre las cuatro horas por caso. Esta situación y la discretización de las simulaciones frente a la continuidad en los datos que marca la metodología para establecer una superficie de operación segura, harán que la metodología no pueda aplicarse con total rigurosidad en nuestro trabajo. Sin embargo, nos permite poder llegar a establecer conclusiones con resultados admisibles. 3.3 Cálculo y resultados Los resultados de la aplicación de la metodología a este proyecto serán mostrados a continuación mediante una serie de gráficas y datos numéricos que serán evaluados por comparación de sus características, ya que realizaremos los cálculos para cada fluido y por cada objetivo de análisis. Los resultados que aparecerán serán fruto, como se mencionaba en el apartado anterior, de una aplicación discreta a una cantidad de datos relativamente baja y, aun así, podremos llegar a establecer algunas conclusiones significativas. Para ello los resultados gráficos se obtendrán mediante la aplicación de una adaptación del código desarrollado por Sebastian Bahamonde [10] y Francesco Crespi [11], donde aplicando la metodología establecemos una serie de gráficas para el análisis de resultados. Se representarán en estas gráficas los siguientes aspectos:  Como se verá en la herramienta de este capítulo, con la matriz X|Q se genera una nube de puntos que son evaluados mediante una superficie de interpolación basada en la aplicación de los espacios activos. Esta superficie nos indicará, según el grado del polinomio de interpolación, si los puntos se encuentran más o menos cerca de la tendencia creada, para caracterizar la influencia en el resultado de una variable. En la figura 29 se respresenta una superficie de forma genérica de la función objetivo f, que en nuestro caso corresponderá con los valores de ω o cp. Figura 29. Superficie genérica de interpolación de los datos de la matriz X|Q  Otras de las gráficas que se presentan para la evaluación de los resultados es el peso relativo de las variables, y por tanto la existencia, de autovectores con mayor o menor relevancia relativa entre las tres variables. Veremos cómo existen una o dos variables cuyo autovector es claramente superior a los demás (véase la escala logarítmica de la figura). 53 Estudio de la importancia relativa de las condiciones de contorno sobre las prestaciones de una cascada de álabes de compresor axial operando con fluidos ideales y no ideales Figura 30. Autovalores de una función objetivo con tres variables independientes Respecto a esta última se destaca la conclusión de que es posible evaluar el comportamiento mediante una sola variable independiente en el grupo de tres dado su peso en importancia, pero que es desconocida su identidad. La búsqueda del parámetro será objeto de trabajos e investigaciones futuras.  Ya por último, una consideración final del estudio es cómo de buena o aproximada es la distribución de valores al aplicarle el método. Por ello, además del grado del polinomio de aproximación, el estudio se realiza mediante la evaluación del muestreo y los puntos de integración sobre este, es decir, cuántos casos del total tomo para el análisis y con cuántos de su alrededor realizo la comparativa. Se observa, normalmente, que a mayor grado de interpolación, menor será la desviación típica media respecto a la superficie de tendencia. Sin embargo, para estudios de aplicación de la metodología a otras funciones, no siempre es así, ya que se puede alcanzar el grado óptimo por encima del cual los errores vuelven a crecer. Este aspecto carece de relevancia física en turbomáquinas pero sí de cierta importancia matemática al poder acercar una función polinómica al comportamiento de la máquina. 3.3.1 Presentación de resultados 3.3.1.1 Coeficiente de pérdida de presión de remanso de turbocompresor axial - Aire y CO2. Analizando los errores medios según el polinomio de interpolación de las variables, se observa que el error se va reduciendo con el aumento del grado del polinomio, puesto que la solución polinómica se aproxima más a los valores introducidos. Analizaremos la solución con el quinto grado, ya que el error baja de un 5%. (4’598%). Las gráficas de la superficie interpolación van a tener zonas de muy mala aproximación de la función, ya que los valores que toma la superficie son poco fiables (grandes oscilaciones) según la distribución que siguen los puntos. Los datos originales del muestreo sugieren que la curva no presentará oscilaciones tan grandes, pero dado que los datos son muy discretos y con mucha distancia entre ellos, la gráfica responderá de forma errónea al verdadero comportamiento de los resultados de la función. Si nos quedamos, dada la poca información que nos aporta la superficie de interpolación de los puntos, con la representación de los autovalores a escala logarítmica, la información que nos presenta será más relevante, pues la gráfica muestra la presencia de una variable activa con dirección preferente y con peso relativo superior al resto. Metodología de Subespacios Activos 54 Figura 31. Autovalores del coeficiente de pérdida de presión de remanso operando con aire Sin embargo, en la aplicación al CO2, en condiciones de gas ideal, el error que nos muestra la desviación típica media es inferior al 1% (0’3667%), lo que hace que, como marca la figura 32 de los autovalores de este fluido, la presencia de una variable activa con mayor peso es más significativa que en el caso del aire al evaluar las irreversibilidades del compresor. Figura 32. Autovalores del coeficiente de pérdida de presión de remanso operando con CO2 - CO2 supercrítico. Si calculamos los errores según el polinomio de interpolación de las variables, podemos observar, el error se va reduciendo cada vez más, luego analizaremos la solución con el quinto grado, ya que el error baja de un 4%. (3’3248 %). Por ello, y del mismo modo que en el caso de los fluidos ideales, la figura 33 de los autovalores de la función de las pérdidas de presión total muestran la presencia de una variable activa con dirección preferente y con peso relativo superior al resto. 55 Estudio de la importancia relativa de las condiciones de contorno sobre las prestaciones de una cascada de álabes de compresor axial operando con fluidos ideales y no ideales Figura 33. Autovalores del coeficiente de pérdida de presión de remanso operando con CO2 supercrítico En consecuencia, respecto al coeficiente de pérdida de presión de remanso, comparando los tres fluidos podemos afirmar que en los tres hay una variable independiente que destaca en importancia relativa respecto a las otras dos. 3.3.1.2 Coeficiente de aumento de presión estática de turbocompresor axial - Aire y CO2. Tanto el aire como el CO2 en condiciones de gas ideal van a tener un comportamiento similar, y analizando la desviación típica media vemos que el error que se produce para un grado 2 del polinomio de interpolación no supera el 4%. Luego evaluando las soluciones de la aplicación de los subespacios activos en las gráficas del peso relativo de los autovalores de las matrices de cada uno de los fluidos, nos damos cuenta de que en este caso, hasta dos de las tres variables independientes resultan predominantes en la caracterización del problema. Figura 34. Autovalores del coeficiente de aumento de presión estática operando con aire Metodología de Subespacios Activos 56 Figura 35. Autovalores del coeficiente de aumento de presión estática operando con CO2 - CO2 supercrítico. Tras la intrepretación de varios grados del polinomio, la solución con mayor aproximación es la del quinto grado, ya que en este caso el error es incluso menor al 1% (0’6025%), una aproximación bastante buena a pesar de las restricciones de nula continuidad en la distribución de puntos en la superficie generada. De nuevo, la gráfica de autovalores vuelce a mostrar que exiten dos direcciones preferentes para determinar el comportamiento del compresor. Figura 36. Autovalores del coeficiente de aumento de presión estática operando con CO2 supercrítico. Por tanto, se llega a la conclusión de que en el caso de la aplicación de la metodología a la 𝑐𝑝, hasta dos variables independientes llegan a ser más influyentes que el resto en la caracterización de las prestaciones del compresor axial. 3.3.1.3 Reducción del rango de operación Este apartado considera la opción de, si se redujéran la distancia entre puntos de muestreo de algunas de las variables (dado que algunas varían por órdenes de magnitud), conseguiríamos más precisión en la aplicación de la metodología. Estudiremos los resultados de la aplicación a un conjunto de datos que englobe un solo salto del orden de magnitud en el número de Reynolds (de 105 a 106). Aunque tengamos menos casos, obtendremos más cercanía entre estos y por tanto, mayor continuidad. Analizando el error para distintos grados del polinomio interpolador 57 Estudio de la importancia relativa de las condiciones de contorno sobre las prestaciones de una cascada de álabes de compresor axial operando con fluidos ideales y no ideales utilizando CO2 supercrítico para evaluar la eficiencia (𝜔) resultan un error de entorno al 5%, y con un autovalor destacable, según la figura 37. Figura 37. Autovalores del coeficiente de pérdida de presión total con menor rango de operación trabajando con CO2 supercrítico Sin embargo, este análisis específico reduciendo el rango de operación destaca en la caracterización de la 𝑐𝑝 del sCO2, puesto que ahora el error será menor al 1% (0’7357 %) y la determinación de los autovalores resalta con enorme diferencia la presencia de una variable independiente por encima del resto, que en comparación a los resultados anteriores para el mismo fluido y las mismas prestaciones se tenían que expresar con dos variables. Figura 38. Autovalores del coeficiente de aumento de presión estática con menor rango de operación trabajando con CO2 supercrítico En cuanto se refiere al cp, queda destacadísima la presencia de una variable activa sobre el resto, que presentan la misma participación como indica la figura de los autovectores. Se confirma entonces que, incluso teniendo de nuevo errores promedio un tanto mayor que en los casos con más valores en la matriz de casos, los datos se muestran en este apartado más repartidos para configurar una superficie más homogénea en la figura y que la aplicación de la metodología sea más rigurosa. 64 65 Estudio de la importancia relativa de las condiciones de contorno sobre las prestaciones de una cascada de álabes de compresor axial operando con fluidos ideales y no ideales REFERENCIAS [1] Red Eléctrica de España, 2012. «Interconexiones eléctricas: un paso para el mercado único de la energía en Europa» https://www.ree.es/sites/default/files/jgk4byy3ukct.pdf [2] Sánchez Lencero, T., Muñoz Blanco, A. & Jiménez-Espadafor Aguilar, F., 2004. Turbomáquinas térmicas. Síntesis, Madrid [3] Tello, C., Sánchez D., Savill M., Muñoz A. & Kipouros T., 2020. Impact of Fluid Substitution on the Performance of an Axial Compressor Blade Cascade Working With Supercritical Carbon Dioxide. ASME. 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Tassou, Leroux, A. & Jouhara, H. 2017. Design of radial turbomachinery for supercritical CO2 systems using theoretical and numerical CFD methodologies. Energy Procedia,Volume 123. [10] Bahamonde, S., Pini, M., De Servi, C. & Colonna, P. 2017. Active subspaces for the optimal meanline design of unconventional tubomachiner. Propulsion and Powe, Delf University of Technology, The Netherlands Flemish Institute for Technological Research (VITO), Mol, Belgium. [11] Crespi, F., Sánchez, D., Rodríguez, J., & Gavagnin, G. 2020. A thermo-economic methodology to select sCO2 power cycles for CSP applications. Renewable Energy, 147, 2905–2912. [12] Constantine, P. 2015. Active subspaces : emerging ideas for dimension reduction in parameter studies . Society for Industrial and Applied Mathematics [13] Barbasán Arcos, E. 2019. Aplicación de la metodología de los Subespacios Activos al estudio de las curvas características de turbomáquinas térmicas.Universidad de Sevilla. Anexo 66 ANEXO Resultados del estudio de actuación de cascada  Reynolds= 23675 y Mach=0’083 Tabla 6. Resultados del cálculo de ω y cp de los tres fluidos (Aire, CO2, sCO2) para cada incidencia operando con Re=23675 y Mach=0’083. Figura 45. Representación de la actuación de cascada para los tres fluidos (Aire, CO2, sCO2) para el caso de Re=23675 y Mach=0’083. ω Re 23675 y Mach 0,083 Cp Re 23675 y Mach 0,083 -12.5 0.06015434 0.05941002 0.05838737 -12.5 0.0190097 0.02236251 0.027156 -10 0.05387607 0.05304148 0.05163089 -10 0.08216605 0.08558408 0.09106927 -7.5 0.05356926 0.05273005 0.05177705 -7.5 0.1247805 0.12866511 0.13499693 -5 0.05804818 0.05707121 0.05556233 -5 0.16271567 0.16678522 0.17411003 -2.5 0.06457208 0.0634188 0.06117521 -2.5 0.19709654 0.20144493 0.21018638 0 0.07391928 0.07250297 0.06921408 0 0.22474732 0.22949362 0.2405825 2.5 0.08807319 0.08641907 0.08153039 2.5 0.24155181 0.2467212 0.26089912 5 0.10899342 0.10757143 0.10050321 5 0.2413941 0.24551537 0.26511783 7.5 0.13423325 0.13302256 0.12790587 7.5 0.22737203 0.23093338 0.24533421 67 Estudio de la importancia relativa de las condiciones de contorno sobre las prestaciones de una cascada de álabes de compresor axial operando con fluidos ideales y no ideales  Reynolds= 23675 y Mach=0’2 Tabla 7. Resultados del cálculo de ω y cp de los tres fluidos (Aire, CO2, sCO2) para cada incidencia operando con Re=23675 y Mach=0’2 Figura 46. Representación de la actuación de cascada para los tres fluidos (Aire, CO2, sCO2) para el caso de Re=23675 y Mach=0’2. ω Re 23675 y Mach 0,2 Cp Re 23675 y Mach 0,2 -12.5 0.06319172 0.06222086 0.06334505 -12.5 0.01228489 0.01640938 0.01540262 -10 0.05623179 0.05517536 0.05550292 -10 0.07911135 0.08324126 0.08435488 -7.5 0.05530942 0.05426711 0.0541234 -7.5 0.12447911 0.12912558 0.1340712 -5 0.05962023 0.05846888 0.05734875 -5 0.16330978 0.16804547 0.17517553 -2.5 0.06609761 0.06474435 0.06291714 -2.5 0.19828088 0.20328719 0.21158644 0 0.07546372 0.07374776 0.07140441 0 0.22637608 0.23190794 0.24068596 2.5 0.08971062 0.08772503 0.08501118 2.5 0.24313147 0.24919606 0.25753539 5 0.11002517 0.10791417 0.10625957 5 0.2445916 0.25076122 0.25562138 7.5 0.13668294 0.13485158 0.13415762 7.5 0.22862125 0.23397009 0.23822758 Anexo 68  Reynolds= 23675 y Mach=0’4 ω Re 23675 y Mach 0,4 Cp Re 23675 y Mach 0,4 -12.5 0.07900923 0.07712048 0.07955037 -12.5 -0.0335622 -0.0249933 -0.0341 -10 0.0682216 0.06640426 0.06764471 -10 0.05385947 0.06117643 0.05919754 -7.5 0.06432556 0.06272171 0.06354515 -7.5 0.11334726 0.120403 0.12350578 -5 0.06811828 0.06640631 0.0658616 -5 0.15550485 0.16250981 0.1694345 -2.5 0.07475892 0.07282709 0.07137893 -2.5 0.19236874 0.19968252 0.20858613 0 0.08510675 0.08271675 0.08047132 0 0.21998541 0.2281195 0.23791692 2.5 0.10064379 0.09807603 0.095827 2.5 0.23483743 0.2429884 0.25176099 5 0.12234532 0.11970752 0.11837431 5 0.23329364 0.24166301 0.24753934 7.5 0.14970889 0.14722967 0.14752395 7.5 0.21866999 0.22640199 0.2277612 Tabla 8. Resultados del cálculo de ω y cp de los tres fluidos (Aire, CO2, sCO2) para cada incidencia operando con Re=23675 y Mach=0’4 Figura 47. Representación de la actuación de cascada para los tres fluidos (Aire, CO2, sCO2) para el caso de Re=23675 y Mach=0’4. 69 Estudio de la importancia relativa de las condiciones de contorno sobre las prestaciones de una cascada de álabes de compresor axial operando con fluidos ideales y no ideales  Reynolds= 23675 y Mach=0’6 ω Re 23675 y Mach 0,6 Cp Re 23675 y Mach 0,6 -12.5 0.15705364 0.13811037 0.12389507 -12.5 -0.3976844 -0.2835202 -0.2635323 -10 0.10923528 0.1023384 0.09722405 -10 -0.0825167 -0.0485299 -0.0237129 -7.5 0.09143058 0.08706642 0.08223987 -7.5 0.05646075 0.07437286 0.09394199 -5 0.08828614 0.08497722 0.08022926 -5 0.1247694 0.13855405 0.15981982 -2.5 0.09446905 0.09089356 0.08494509 -2.5 0.17002162 0.18308938 0.205872 0 0.10652047 0.10440973 0.09509331 0 0.19858591 0.20737699 0.23611755 2.5 0.12435669 0.12029999 0.11238241 2.5 0.20997079 0.22293439 0.24699927 5 0.14777092 0.1438243 0.13640752 5 0.20604348 0.21883675 0.23993983 7.5 0.17627546 0.17272236 0.16642283 7.5 0.1908973 0.20241614 0.21996394 Tabla 9. Resultados del cálculo de ω y cp de los tres fluidos (Aire, CO2, sCO2) para cada incidencia operando con Re=23675 y Mach=0’6 Figura 48. Representación de la actuación de cascada para los tres fluidos (Aire, CO2, sCO2) para el caso de Re=23675 y Mach=0’6. Anexo 70  Reynolds=236750 y Mach=0’083 ω Re 236750 y Mach 0,083 Cp Re 23670 y Mach 0,083 -12.5 0.027286 0.027232 0.027933 -12.5 0.132642 0.132927 0.130928 -10 0.018061 0.01797 0.01851 -10 0.199081 0.199395 0.197865 -7.5 0.016874 0.01679 0.017183 -7.5 0.249699 0.24995 0.248799 -5 0.016608 0.016522 0.016938 -5 0.29882 0.299071 0.297802 -2.5 0.016915 0.016834 0.017268 -2.5 0.346789 0.347049 0.345677 0 0.017917 0.017836 0.018388 0 0.392968 0.393256 0.391527 2.5 0.020228 0.020085 0.020909 2.5 0.435111 0.435504 0.432982 5 0.025709 0.025518 0.026863 5 0.467873 0.468446 0.464506 7.5 0.038081 0.037784 0.039476 7.5 0.480513 0.481252 0.476659 Tabla 10. Resultados del cálculo de ω y cp de los tres fluidos (Aire, CO2, sCO2) para cada incidencia operando con Re=236750 y Mach=0’083 Figura 49. Representación de la actuación de cascada para los tres fluidos (Aire, CO2, sCO2) para el caso de Re=236750 y Mach=0’083. 71 Estudio de la importancia relativa de las condiciones de contorno sobre las prestaciones de una cascada de álabes de compresor axial operando con fluidos ideales y no ideales  Reynolds=235760 y Mach=0’2 ω Re 236750 y Mach 0,2 Cp Re 23670 y Mach 0,2 -12.5 0.029465 0.029263 0.032768 -12.5 0.130586 0.131245 0.122317 -10 0.018884 0.01874 0.022016 -10 0.201168 0.201643 0.192523 -7.5 0.017397 0.017283 0.0191 -7.5 0.253191 0.253568 0.248564 -5 0.017083 0.016984 0.01846 -5 0.302911 0.303244 0.299455 -2.5 0.017428 0.017322 0.019249 -2.5 0.351126 0.351487 0.346321 0 0.018566 0.018422 0.021661 0 0.397186 0.397631 0.388491 2.5 0.021165 0.020948 0.028928 2.5 0.438579 0.439219 0.416664 5 0.027399 0.027038 0.043611 5 0.469369 0.470379 0.423496 7.5 0.040614 0.040119 0.065498 7.5 0.479911 0.481247 0.410187 Tabla 11. Resultados del cálculo de ω y cp de los tres fluidos (Aire, CO2, sCO2) para cada incidencia operando con Re=236750 y Mach=0’2 Figura 50. Representación de la actuación de cascada para los tres fluidos (Aire, CO2, sCO2) para el caso de Re=236750 y Mach=0’2. Anexo 72  Reynolds=236750 y Mach=0’4 ω Re 236750 y Mach 0,4 Cp Re 236750 y Mach 0,4 -12.5 0.040791 0.039726 0.045086 -12.5 0.112747 0.116322 0.093385 -10 0.02332 0.022687 0.028465 -10 0.206183 0.208 0.188635 -7.5 0.019809 0.01939 0.023482 -7.5 0.26631 0.267324 0.25442 -5 0.019127 0.018838 0.022054 -5 0.318917 0.319634 0.310754 -2.5 0.019647 0.01931 0.023202 -2.5 0.367998 0.368786 0.358456 0 0.021356 0.020919 0.02676 0 0.413107 0.414162 0.398298 2.5 0.025495 0.024791 0.037125 2.5 0.450598 0.45234 0.418524 5 0.034708 0.033611 0.056228 5 0.472868 0.475719 0.412845 7.5 0.051417 0.049884 0.0833 7.5 0.473515 0.477581 0.387293 Tabla 12. Resultados del cálculo de ω y cp de los tres fluidos (Aire, CO2, sCO2) para cada incidencia operando con Re=236750 y Mach=0’4 Figura 51. Representación de la actuación de cascada para los tres fluidos (Aire, CO2, sCO2) para el caso de Re=236750 y Mach=0’4. 73 Estudio de la importancia relativa de las condiciones de contorno sobre las prestaciones de una cascada de álabes de compresor axial operando con fluidos ideales y no ideales  Reynolds=236750 y Mach=0’6 ω Re 236750 y Mach 0,6 Cp Re 236750 y Mach 0,6 -12.5 0.085844 0.10825 0.060222 -12.5 -0.10873 -0.04276 0.015166 -10 0.049194 0.043827 0.041411 -10 0.15896 0.177672 0.182724 -7.5 0.028231 0.026272 0.026002 -7.5 0.281337 0.286513 0.284437 -5 0.025347 0.024 0.024149 -5 0.345497 0.34824 0.344368 -2.5 0.026177 0.024783 0.024977 -2.5 0.395806 0.398456 0.394351 0 0.029705 0.027993 0.028232 0 0.436676 0.440064 0.436437 2.5 0.037376 0.035177 0.035911 2.5 0.464027 0.468943 0.466447 5 0.051494 0.048707 0.049776 5 0.471842 0.478381 0.479182 7.5 0.076741 0.071969 0.074718 7.5 0.45006 0.461635 0.468741 Tabla 13. Resultados del cálculo de ω y cp de los tres fluidos (Aire, CO2, sCO2) para cada incidencia operando con Re=236750 y Mach=0’6 Figura 52. Representación de la actuación de cascada para los tres fluidos (Aire, CO2, sCO2) para el caso de Re=236750 y Mach=0’6.