Análisis de bifurcaciones en modelos de calidad ambiental

UNIVERSIDAD DE LAS PALMAS DE GRAN CANARIA DEPARTAMENTO DE INFORM´ ATICA Y SISTEMAS DEPARTAMENTO DE MATEM´ ATICAS AN´ ALISIS DE BIFURCACIONES EN MODELOS DE CALIDAD AMBIENTAL JES´ US GARC´ IA QUESADA Tesis Doctoral Las Palmas 2005 A Ana y Eva Agradecimientos Quiero agradecer a mi director de tesis, Jos´e Miguel Pacheco Castelao, el haberme sugerido el tema objeto de esta tesis, su constante apoyo y su extraordinaria paciencia y saber hacer que ha mostrado en todas las etapas de la realizaci´on. A Mat´ıas Garc´ıa Quesada, Antonio Quesada Quesada, y los compa˜neros Jos´e Fortes G´alvez y Mario Hern´andez Tejera, por su constante est´ımulo. Al personal de la Biblioteca de Inform´atica y Matem´aticas y del Servicio de Obtenci´on de Documentos de la Biblioteca Universitaria por el excelente servicio. A varios investigadores a los que he solicitado material de dif´ıcil obtenci´on y que han mostrado generosamente su disposici´on y amabilidad, en especial a Emilio Freire, Alejandro Rodr´ıguez-Luis y E. Ponce del Departamento de Matem´atica Aplicada 2 de la Universidad de Sevilla, y a Andrew Edwards, A.J. Homburg, Jean Della Dora, Guoting Chen y Vincent Naudot, de diferentes universidades europeas. ´ Indice general 1. INTRODUCCI´ ON Y OBJETIVOS 1 1.1. Un enfoque por sistemas din´amicos ...................... 1 1.2. Objetivos .................................... 2 1.3. Resumen de la tesis ............................... 3 2. ALGUNOS RESULTADOS ACERCA DE SISTEMAS NO LINEALES 5 2.1. INTRODUCCI´ ON ............................... 5 2.2. RESULTADOS ANAL´ ITICOS ......................... 6 2.2.1. Algunos teoremas ............................ 6 2.2.2. M´ ETODOS DE SIMPLIFICACI´ ON DE SISTEMAS ........ 8 2.2.2.1. LA VARIEDAD CENTRAL ................. 9 2.2.2.2. LA FORMA NORMAL ................... 13 2.3. TAXONOMIA DE LAS BIFURCACIONES EN SISTEMAS CONTINUOS 18 2.3.1. Bifurcaciones uniparam´etricas ..................... 19 2.3.1.1. Bifurcaci´on tipo silla-nodo .................. 21 2.3.1.2. Bifurcaci´on transcr´ıtica ................... 22 2.3.1.3. Bifurcaci´on tipo tridente ................... 23 2.3.1.4. Bifurcaci´on de Hopf o Poincar´e-Andronov-Hopf ...... 24 i 2.3.2. Bifurcaciones en dos par´ametros .................... 25 2.4. ASPECTOS NUM´ ERICOS .......................... 29 2.4.1. Continuaci´on .............................. 31 2.4.1.1. Continuaci´on en el par´ametro ................ 32 2.4.1.2. Continuaci´on con pseudo-longitud de arco ......... 32 3. UNA CLASE DE MODELOS MATEM´ ATICOS DE LA CALIDAD AMBIENTAL 37 3.1. Introducci´on ................................... 37 3.2. Los diferentes modelos ............................. 38 3.3. Sobre la definici´on de calidad ......................... 41 3.4. Modelos sobre la evoluci´on de la calidad ................... 43 3.4.1. El modelo m´as simple ......................... 43 3.4.2. Una hip´otesis m´as realista ....................... 46 3.4.3. La poblaci´on destruye la calidad. Algunas bifurcaciones existentes . 49 3.4.4. La calidad y su precio. An´alisis de bifurcaciones ........... 53 3.4.5. ¿Es calidad siempre sin´onimo de buena calidad? ........... 67 4. ESTUDIO DEL QUINTO MODELO 73 4.1. Introducci´on ................................... 73 4.2. Puntos singulares y estabilidad ........................ 76 4.3. An´alisis de bifurcaciones ............................ 83 4.4. Series temporales y diagramas de fase ..................... 87 4.5. Bifurcaciones dependientes de un par´ametro ................. 90 4.6. Comportamiento respecto a otros par´ametros ................ 95 4.7. Bifurcaciones en dos par´ametros ........................ 105 4.8. Bifurcaciones de ciclos l´ımite. ......................... 112 4.9. Diagrama de bifurcaciones completo ...................... 112 5. CONCLUSIONES 115 6. REFERENCIAS Y BIBLIOGRAF´ IA 117 ´ Indice de figuras 2.3.1.Grafo de adyacencias de las bifurcaciones de sistemas continuos. ...... 20 2.4.1.Interpretaci´on gr´afica de la continuaci´on en un par´ametro .......... 31 2.4.2.Interpretaci´on gr´afica del m´etodo de Keller [Kel77]............. 33 2.4.3.Gr´afica de continuaci´on del CONTENT ................... 34 3.4.1.Plano de fases del primer modelo(α= 0,5): ambas variables, poblaci´on y calidad, tienden al l´ımite 1 independientemente de las condiciones iniciales y del par´ametro α................................ 45 3.4.2.Series temporales para el primer modelo(α= 0,5) .............. 45 3.4.3.Plano de fases del segundo modelo(α= 0,5, β = 1): obs´ervese la misma conducta cualitativa que la de la figura 3.4.1. ................. 48 3.4.4.Series temporales para el segundo modelo(α= 0,5, β = 1) .......... 48 3.4.5.Plano de fases del tercer modelo(α= 0,5, β = 1, γ = 0,4) .......... 50 3.4.6.Series temporales para el tercer modelo(α= 0,5) ............... 51 3.4.7.Diagramas de puntos singulares al variar el par´ametro α(otros par´ametros con valores β= 0,5, γ = 0,35, δ = 0,2). Las lineas de trazo discontinuo denotan puntos inestables, siendo estables en las continuas. ......... 60 v Objetivos linealidad de las ecuaciones hace que en general no se puedan obtener todos los estados de equilibrio. Entonces se hacen necesarios m´etodos num´ericos para su obtenci´on. Estos requieren la especificaci´on de valores para los par´ametros, y se dar´an unos valores tomados “por defecto”, as´ı como tambi´en se determinar´an unos rangos realistas de variaci´on (v´ease cap´ıtulo 4) de tales par´ametros. Los detalles matem´aticos sobre la teor´ıa de sistemas din´amicos se pueden encontrar en [GH90], [Wig90b], [Wig88] y [Kuz98b]. Los estudios num´ericos de esta tesis han supuesto una combinaci´on de los paquetes num´ericos sobre bifurcaci´on AUTO ([DCF+97], [DPC+01], [DK86]), LOCBIF ([KKLN93]) y CONTENT ([Kuz98a]) para examinar las bifurcaciones, y los paquetes Dstool ([BGMW]) y CONTENT ([Kuz98a]) para integrar y observar las trayectorias. Ocasionalmente, tambi´en se han usado XPPAUT [Erm01] y CANDYS/QA [Jan95]. El paquete simb´olico y num´erico Mathematica c , as´ı como los paquetes Maple c y Maxima1 se han usado para realizar algunos de los c´alculos anal´ıticos m´as complicados, tales como la determinaci´on de variedades centrales y la obtenci´on auxiliar de la forma normal de Poincar´e con diferentes grados de precisi´on, o la obtenci´on anal´ıtica de curvas de bifurcaci´on. 1.2. Objetivos Los objetivos propuestos y que nos hemos marcado en esta tesis son: 1. Presentar los conceptos, resultados y m´etodos fundamentales de la teor´ıa de sistemas diferenciales no lineales, pertinentes para el estudio de una categor´ıa de problemas 1Maxima es un descendiente del DOE Macsyma, que tuvo sus or´ıgenes a finales de los a˜nos sesenta en el MIT. Para m´as informaci´on ver la p´agina web: http://maxima.sourceforge.net. 2 Resumen de la tesis aplicados. 2. Obtener la din´amica total que pueden presentar cada uno de los modelos matem´aticos propuestos en Fern´andez-Pacheco [FP01] , mediante estudio anal´ıtico, num´erico o una combinaci´on de ambos, culminando as´ı los trabajos realizados en [GQP02] y en [GQPlN04]. 1.3. Resumen de la tesis Esta tesis contiene resultados sobre la conducta din´amica de cinco modelos matem´aticos de complejidad creciente sobre calidad ambiental de asentamientos urbanos. Los modelos fueron propuestos en Fern´andez-Pacheco [FP01] y en el presente trabajo se completan los estudios sobre bifurcaciones que se iniciaron en dicha publicaci´on. A continuaci´on viene una breve descripci´on del contenido de los cap´ıtulos de la tesis. As´ı, en el cap´ıtulo 2se relacionan algunos resultados fundamentales de la teor´ıa de sistemas din´amicos y se ven algunos m´etodos de simplificaci´on de estudio de dichos sistemas. Posteriormente se establece una taxonom´ıa de las bifurcaciones conocidas de los sistemas continuos, se caracterizan las uniparam´etricas y por ´ultimo se introducen los aspectos num´ericos involucrados en el estudio de un sistema, exponiendo brevemente el algoritmo fundamental que permite construir las gr´aficas de continuaci´on. En el siguiente cap´ıtulo sobre los modelos (3) se presentan los diferentes modelos y se estudia la din´amica que presentan los cuatro modelos planares introducidos en Fern´andezPacheco [FP01] , dando los diagramas de bifurcaci´on donde son necesarios. En la mayor´ıa de los casos es suficiente el estudio anal´ıtico, que permite precisar el comportamiento que presentan. En el cap´ıtulo 4se estudia detalladamente el quinto modelo. En este modelo tridimensional 3 Resumen de la tesis las variables de estado x, y, z representan la calidad, poblaci´on y mala calidad respectivamente. Consiste en tres ecuaciones diferenciales acopladas. Para cada uno de los par´ametros del modelo, se establece un rango de valores num´ericos “razonables”. Estos rangos reflejan la incertidumbre presente en la estimaci´on de los par´ametros, y forman la base de los estudios num´ericos. Inicialmente se realiza una aproximaci´on anal´ıtica para intentar obtener los puntos de equilibrio y sus estabilidades sin especificar los valores num´ericos de los par´ametros. Este an´alisis solo proporciona informaci´on limitada sobre el sistema, de forma que se hace necesaria una aproximaci´on num´erica. Simulaciones realizadas del sistema prueban que a medida que el tiempo aumenta, x,y, y zpueden o bien converger a un punto de equilibrio, o bien presentar oscilaciones, dependiendo de un cierto par´ametro δ. Esto sugiere la presencia de alguna clase de bifurcaci´on de Hopf en uno de los puntos de equilibrio, lo cual se confirma por la obtenci´on de los diagramas de bifurcaci´on. Otros diagramas de igual clase ilustran c´omo la regi´on de conducta oscilante (tal como viene definida por la localizaci´on en el espacio de par´ametros de la bifurcaci´on de Hopf) persiste cuando los otros par´ametros se hacen variar, junto con δ. Se obtienen los puntos singulares y se hace un estudio de su estabilidad. A continuaci´on se estudian las bifurcaciones uniparam´etricas y las de ciclos l´ımite resultantes de la bifurcaci´on de Hopf, para posteriormente obtener el comportamiento del sistema respecto al resto de par´ametros no vistos hasta el momento. Despu´es de estudiar las bifurcaciones biparam´etricas se obtiene el diagrama de bifurcaciones completo respecto al plano de par´ametros elegido. Finalmente, en el cap´ıtulo 5se relacionan las conclusiones del presente trabajo, referidas al estudio realizado en los cinco modelos matem´aticos planteados como objetivos en el presente cap´ıtulo. 4 Cap´ıtulo 2 ALGUNOS RESULTADOS ACERCA DE SISTEMAS NO LINEALES 2.1. INTRODUCCI´ ON Se dice que un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias es lineal si tiene la forma: ˙x =dx dt =           dx1 dt dx2 dt . . . dxn dt           =Ax(2.1.1) donde x∈RnyA= (aij)n×nes una matriz de tama˜no n×nde coeficientes reales constantes o dependientes de t. Para el caso aut´onomo -el m´as estudiadoen que los elementos de Ason constantes, la 5 RESULTADOS ANAL´ ITICOS soluci´on de un sistema lineal del tipo 2.1.1, considerando la condici´on inicial x(0) = x0 viene dada por la expresi´on siguiente, que define el semigrupo de transformaciones de Rn asociado al sistema din´amico: 1 x(t) = eA t x0(2.1.2) donde eA t es una matriz de funciones de tama˜no n×ndefinida por su serie de Taylor: eAt = ∞ X k=0 Aktk k!,donde t∈R(2.1.3) Se demuestra que esta soluci´on al problema de valores iniciales es ´unica, lo cual es un tema cl´asico de los cursos de EDO. V´eanse por ejemplo Perko [Per01] o el cl´asico CoddingtonLevinson [CL55]. Si en lugar de tener en la parte derecha la expresi´on Ax, se tiene una funci´on general f(x) en la que intervienen funciones arbitrarias no lineales estamos entonces ante un sistema no lineal. 2.2. RESULTADOS ANAL´ ITICOS 2.2.1. Algunos teoremas Sea el problema de valores iniciales: ˙x=f(x), x ∈Rn, x(0) = x0(2.2.1) y sea ¯xun punto singular de (2.2.1), esto es, f(¯x) = 0, y queremos caracterizar la conducta de las soluciones en puntos cercanos al ¯x. 1el flujo φtasociado al sistema din´amico viene definido por las propiedades: φt(φs(x)) = φt+s(x); φ0(x) = x;φ−1 t=φ−t. 6 RESULTADOS ANAL´ ITICOS Podemos hacerlo linealizando (2.2.1) en ¯x, mediante el sistema lineal: ˙ ξ=Df(¯x)ξ, ξ ∈Rn,(2.2.2) donde Df = [∂fi/∂xj] es la matriz jacobiana de la funci´on: f= (f1(x1, . . . , xn), f2(x1, . . . , xn), . . . , fn(x1, . . . , xn))T, yx= ¯x+ξ, |ξ|  1. El siguiente teorema afirma que dado un punto singular de un sistema din´amico, si este punto singular es hiperb´olico2, el comportamiento cualitativo en las proximidades de este punto es el mismo que el del sistema linealizado (2.2.2). Teorema 2.2.1 (Hartman-Grobman [Kuz98b]). Si Df(¯x)no tiene autovalores en el eje imaginario existe un homeomorfismo local de alg´un entorno U de ¯xen Rnque transforma ´orbitas del flujo no lineal φtde (2.2.1) en ´orbitas del flujo lineal etDf(¯x)de (2.2.2). El homeomorfismo preserva el sentido de las ´orbitas y se puede elegir de forma que conserva la parametrizaci´on en el tiempo. Otro teorema importante en la teor´ıa cualitativa de las ecuaciones diferenciales ordinarias es el teorema de la variedad estable, que demuestra la existencia de variedades diferenciables no lineales tangentes a las variedades lineales (asociadas a los vectores propios de la matriz de Jacobi) del sistema (2.2.2) en un punto singular hiperb´olico de (2.2.1). Las dimensiones respectivas de dichas variedades coinciden con las de las variedades lineales, o sea, con el n´umero de autovalores con parte real negativa y positiva respectivamente de la matriz de Jacobi que aparece en (2.2.2). 2un punto singular se denomina hiperb´olico si la matriz de Jacobi en este punto no tiene autovalores con parte real nula. 7 RESULTADOS ANAL´ ITICOS Definimos previamente las variedades estable(s) e inestable(u): Ws loc(¯x) = {x∈U/φt(x)→¯xcuando t→ ∞,yφt(x)∈U, t ≥0}(2.2.3) Wu loc(¯x) = {x∈U/φt(x)→¯xcuando t→ −∞,yφt(x)∈U, t ≤0}(2.2.4) Teorema 2.2.2 (Teorema de la variedad estable [GH90]). Si Df(¯x)no tiene autovalores en el eje imaginario, existen variedades locales estable e inestable Ws loc yWu loc tangentes a las variedades lineales Es ¯xyEu ¯xde Df(¯x)en el punto ¯xy de iguales dimensiones que ´estas, siendo ambas variedades Ws loc yWu loc diferenciables de la misma clase Ck que la funci´on f. 2.2.2. M´ ETODOS DE SIMPLIFICACI´ ON DE SISTEMAS En esta secci´on se ver´an algunas t´ecnicas necesarias para el an´alisis de problemas de bifurcaci´on. El teorema de la variedad central proporciona un medio para reducir sistem´aticamente la dimensi´on del espacio de estados proyectando la din´amica sobre una variedad adecuada llamada “variedad central” y que se corresponde con los autovalores de parte real nula. Por otra parte, el c´alculo de las formas normales permite simplificar los t´erminos no lineales presentes en el sistema diferencial, de forma que el nuevo sistema mantiene s´olo aquellos t´erminos que son fundamentales a efectos de determinar la din´amica del sistema. Supongamos un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias del tipo (2.2.1) tal que f(0) = 0. Si la linealizaci´on de fen el origen no tiene autovalores imaginarios puros, el teorema de Hartman-Grobman (2.2.1) establece que el n´umero de autovalores con partes reales positivas y negativas determina la equivalencia topol´ogica del flujo cerca del origen. Sin embargo, si la parte lineal tiene autovalores en el eje imaginario, el comportamiento del sistema viene dado por el sistema reducido que se obtiene mediante el c´alculo de la variedad 8 RESULTADOS ANAL´ ITICOS central en el punto singular estudiado. 2.2.2.1. LA VARIEDAD CENTRAL La teor´ıa de la variedad central permite reducir la dimensi´on de un problema de bifurcaci´on en el entorno de un punto singular, y adem´as se puede probar que es suficiente restringir el an´alisis de bifurcaci´on al flujo en la variedad central [Van89]. Consideremos un sistema din´amico no lineal dependiente de varios par´ametros: ˙z =F(z, µ),z∈Rn, µ ∈Rp,(2.2.5) donde zes el vector de las variables de estado y µes el vector de par´ametros. Suponemos que Fes una funci´on de clase Cry (0,0) es un punto singular que satisface F(0,0) = DF(0,0) = 0. Podemos considerar al par´ametro µcomo una nueva variable independiente y convertir el sistema (2.2.5) en otro sin par´ametros en dimensi´on n+p: ˙µ= 0 (2.2.6) ˙z =F(z, µ).(2.2.7) Las partes lineales de este ´ultimo sistema se pueden simplificar calculando su forma can´onica de Jordan, y el sistema resultante se puede escribir como un sistema particionado: ˙ x=Jcx+f(x,y) (2.2.8) ˙y =Jsy+g(x,y),(x,y)∈Rc×Rs,(2.2.9) donde JcyJsson la formas can´onicas de Jordan asociadas a los autovalores con parte real nula y los autovalores con parte real no nula respectivamente. Las funciones fygson de 9 RESULTADOS ANAL´ ITICOS clase Cry satisfacen f(0,0) = 0, Df(0,0) = 0,g(0,0) = 0, Dg(0,0) = 0. Una curva y=h(x), definida para |x|peque˜no, se llama variedad invariante local para el sistema anterior si la soluci´on (x(t),y(t)) que pasa por (0,0) permanece en la curva y=h(x) para tpeque˜no, o sea, vale localmente la representaci´on y=h(x(t)). La variedad central es un caso particular de variedad invariante local. Su definici´on es la siguiente: Definici´on 1. La variedad central del sistema (2.2.8),(2.2.9) se define localmente como: Wc(0) = {(x,y)∈Rc×Rs/y=h(x),h(0) = 0, Dh(0) = 0,|x|< δ}(2.2.10) para δsuficientemente peque˜no. La variedad central es tangente al subespacio vectorial Ecengendrado por los autovectores asociados a los autovalores con parte real nula. El teorema de existencia es: Teorema 2.2.3 (Existencia [Car81]). Existe una variedad central de clase Crdel sistema (2.2.8) y (2.2.9) que denotaremos por Wc(0). El flujo sobre ella viene dado por el sistema de dimensi´on c: ˙ x=Jcx+f(x,h(x)) (2.2.11) El siguiente teorema nos dice que (2.2.11) contiene la informaci´on necesaria para determinar el comportamiento asint´otico de las soluciones de (2.2.8)y(2.2.9): Teorema 2.2.4 (Estabilidad [Car81]). Si la soluci´on nula de (2.2.11) es estable, asint´oticamente estable, o inestable, tambi´en lo ser´a del mismo tipo la soluci´on nula de (2.2.8) y (2.2.9). Adem´as, supongamos que la soluci´on nula de (2.2.11) es estable. Entonces si 10 RESULTADOS ANAL´ ITICOS (x(t),y(t)) es una soluci´on de (2.2.8) y (2.2.9) con valor inicial (x(0),y(0)) suficientemente peque˜no, existen una soluci´on u(t)de (2.2.11) y una constante γ > 0tales que cuando t→ ∞ se verifica: x(t) = u(t) + O(e−γt) y(t) = h(u(t)) + O(e−γt). Por tanto, todas las soluciones de (2.2.8) y (2.2.9) tienden a una soluci´on en la variedad central, de forma exponencial. El sistema original formado por (2.2.8)y(2.2.9) es topol´ogicamente equivalente al sistema (2.2.11) en la variedad central, localmente y cerca del punto singular. Si sustituimos y=h(x(t)) en (2.2.9) obtenemos: h0(x)[Jcx+f(x,h(x))] = Jsh(x) + g(x,h(x)) (2.2.12) La ecuaci´on anterior, junto con h(0) = 0,h0(0) = 0, define el sistema necesario para obtener la variedad central. A efectos de calcular la variedad central, sea: y=h(x) (2.2.13) Diferenciando respecto al tiempo tenemos: ˙y =Dh(x)˙x sustituyendo las ecuaciones (2.2.8)y(2.2.9) y teniendo en cuenta (2.2.13) obtenemos: Dh(x)[Jcx+f(x,h(x))] = Jsh(x) + g(x,h(x)) 11 TAXONOMIA DE LAS BIFURCACIONES EN SISTEMAS CONTINUOS El teorema nos garantiza que los t´erminos no lineales que nos quedan despu´es de los cambios de variable son (y se pueden elegir as´ı) elementos (generadores) de los subespacios vectoriales suplementarios en Hn kde los subespacios imagen Lk A(Hn k). Como en general la elecci´on de esos elementos que constituyen base de Skno es ´unica, la forma normal no ser´a ´unica. Para detalles se pueden consultar [GH90], [Wig90b], as´ı como [CH82] y [CK89]. La literatura sobre formas normales es vasta y los enfoques de resoluci´on tambi´en variados. A modo de s´ıntesis, como referencias generales est´an [Nay93,GH90,Arn88], [CH82, CDW90,Wig90b] y [CLW94]. Los excelentes art´ıculos que recogen la evoluci´on del concepto son [Tak73a,Tak74b,Ush84,CK88,CK89]. Todas estas referencias parten en general de la forma normal de Jordan y utilizan los corchetes de Lie como motor de resoluci´on. M´as recientemente se han publicado trabajos con otros enfoques, como [Gae99] y sobre todo [CD99], que utiliza la linealizaci´on de Carleman [Car32] y la forma normal de Frobenius [Oze87] como elementos de c´alculo. Trabajos posteriores que contin´uan esta l´ınea son [CD00b,CD00a,Che01,CWW02]. 2.3. TAXONOMIA DE LAS BIFURCACIONES EN SISTEMAS CONTINUOS El an´alisis de la din´amica de las formas normales nos proporciona el comportamiento cualitativo de los flujos para cada tipo de bifurcaci´on. En esta secci´on se ver´an algunos tipos de bifurcaciones de puntos singulares, y sus formas normales cuando sea posible. S´olo se ver´an bifurcaciones de sistemas continuos. El diagrama que aparece en la figura (2.3) representa las dependencias entre los tipos de bifurcaciones, 18 TAXONOMIA DE LAS BIFURCACIONES EN SISTEMAS CONTINUOS en el sentido de que es posible detectar un tipo determinado de bifurcaci´on si se “contin´ua” alguna de las curvas que aparecen en el nivel inferior kde codimensi´on. La continuaci´on es el procedimiento b´asico que permite construir diagramas de bifurcaci´on, y para su puesta en marcha es necesario disponer de elementos previamente calculados: por ejemplo, para obtener una curva de puntos singulares al variar uno de los par´ametros se necesita conocer un valor del par´ametro y de las variables de estado para los cuales hay un punto singular. A medida que se construye la curva por continuaci´on (ver apartado m´as adelante), se exploran simult´aneamente la existencia de posibles bifurcaciones uniparam´etricas, como la del tipo silla-nodo (si se anula el jacobiano) o de Hopf (si aparecen dos autovalores conjugados imaginarios puros). Estos c´alculos se realizan para cada nuevo punto que se obtiene en la curva, lo que garantiza que se trata de una bifurcaci´on del punto singular del cual se parti´o. Despu´es, partiendo de los posibles valores en los cuales hay bifurcaci´on, se pueden construir otras curvas (de sillas-nodo, Hopf, o de codimensi´on superior), etc. Al estar orientado a la exploraci´on num´erica, en el diagrama aparecen algunos tipos de bifurcaciones que no son tal, sino casos particulares en que se anulan determinadas funciones llamadas “test”, que son las que nos informan del valor de sus autovalores (o combinaciones de ellos) de cada nuevo punto calculado. La figura aparece en [KKLN93] y tambi´en parcialmente en [Khi90]. 2.3.1. Bifurcaciones uniparam´etricas Las bifurcaciones m´as sencillas son las que dependen de un solo par´ametro, y son las siguientes: 19 TAXONOMIA DE LAS BIFURCACIONES EN SISTEMAS CONTINUOS Punto de equilibrio Nodo−foco Cuspide Gravrilov Guckenheimer Takens Bogdanov GG degen. BT+NT GG+NT Hopf Hopf+NT BT degen. Bautin / Hopf degen. Punto limite / Silla−nodo Silla−nodo+NT Figura 2.3.1: Grafo de adyacencias de las bifurcaciones de sistemas continuos. 20 TAXONOMIA DE LAS BIFURCACIONES EN SISTEMAS CONTINUOS 2.3.1.1. Bifurcaci´on tipo silla-nodo Es el tipo de bifurcaci´on que se presenta cuando al cruzar el par´ametro un determinado valor aparecen dos nuevos puntos singulares. Est´a representada por la ecuaci´on diferencial: ˙x=µ−x2 y como se ha dicho, representa la desaparici´on o aparici´on simult´anea de dos nuevos puntos singulares al cruzar el par´ametro un determinado valor(cero, en la forma normal). En el caso de la ecuaci´on diferencial anterior, no existen puntos singulares si µ < 0, uno si µ= 0 y dos si µ > 0. Sea un sistema de ecuaciones de la forma: ˙ x=f(x, µ),x∈Rn, µ ∈R(2.3.1) yfsuficientemente diferenciable. Supongamos que en µ=µ0,x=x0, la ecuaci´on (2.3.1) tiene un punto singular para el cual la matriz de la linealizaci´on tiene un autovalor nulo. Generalmente, este cero es simple, y el teorema de la variedad central nos permite reducir el estudio de este tipo de bifurcaci´on a otro donde xes unidimensional. El siguiente teorema establece las condiciones bajo las que existe la bifurcaci´on. Teorema 2.3.1 (silla-nodo). Sea ˙ x=f(x, µ)un sistema de ecuaciones diferenciales en Rnque depende de un solo par´ametro µ. Supongamos que cuando µ=µ0, existe un equilibrio en x=x0que satisface las siguientes condiciones: (SN1) Dxf(x0, µ0)tiene un autovalor simple nulo, kautovalores con parte real negativa y(n−k−1) autovalores con parte real positiva (contando multiplicidades). (SN2) (∂f/∂µ)(x0, µ0)6= 0 21 TAXONOMIA DE LAS BIFURCACIONES EN SISTEMAS CONTINUOS (SN3) D2 xf(x0, µ0)6= 0 Entonces existe una curva de puntos singulares en Rn×Rque pasa por (x0, µ0)tangente al hiperplano Rn×{µ0}. Dependiendo de los signos de las expresiones en (SN2) y (SN3), no existen equilibrios cerca de (x0, µ0)cuando µ<µ0(µ>µ0)y dos equilibrios cerca de (x0, µ0)para cada valor del par´ametro µ>µ0(µ<µ0). Los dos equilibrios de ˙ x= f(x, µ)cerca de (x0, µ0)son hiperb´olicos y tienen variedades estables de dimensiones ky k+ 1 respectivamente. El conjunto de ecuaciones ˙ x=f(x, µ)que satisface (SN1)-(SN3) es abierto y denso en el espacio de clase C∞de las familias uniparam´etricas de campos vectoriales con un equilibrio en (x0, µ0)y con un autovalor nulo. La bifurcaci´on de tipo silla-nodo est´a asociada con el hecho de que uno de los autovalores “cruza” el valor cero. Existen otras dos bifurcaciones que tienen esta misma caracterizaci´on: son la bifurcaci´on transcr´ıtica y la bifurcaci´on tipo tridente. Ambas pueden darse s´olo en condiciones especiales. 2.3.1.2. Bifurcaci´on transcr´ıtica Este tipo de bifurcaci´on s´olo se da cuando el sistema tiene un punto singular que existe para todos los valores del par´ametro y que nunca puede ser destru´ıdo. Cuando este punto singular “colisiona” con otro tambi´en singular, ambos puntos intercambian sus estabilidades respectivas, y contin´uan existiendo ambos despues de la bifurcaci´on. La ecuaci´on diferencial es en este caso: ˙x=µx −x2 y representa el cambio de estabilidad del punto singular cuando el par´ametro pasa por un determinado valor. Verifica las condiciones: 22 TAXONOMIA DE LAS BIFURCACIONES EN SISTEMAS CONTINUOS (T1) Dxf(x0, µ0) tiene un autovalor simple nulo, kautovalores con parte real negativa y (n−k−1) autovalores con parte real positiva (contando multiplicidades). (T2) (∂/∂µ)Dxf(x0, µ0)6= 0 (T3) D2 xf(x0, µ0)6= 0 2.3.1.3. Bifurcaci´on tipo tridente Este tipo de bifurcaci´on s´olo existe cuando hay simetr´ıa respecto a la variable x, o sea, sustituyendo xpor −x, se obtiene la misma ecuaci´on. Ahora la ecuaci´on diferencial es: ˙x=µx ±x3 y representa el cambio de estabilidad del punto singular junto con la aparici´on de dos nuevos puntos singulares. Verifica las condiciones: (P1) Dxf(x0, µ0) tiene un autovalor simple nulo, kautovalores con parte real negativa y (n−k−1) autovalores con parte real positiva (contando multiplicidades). (P2) (∂/∂µ)Dxf(x0, µ0)6= 0 (P3) (∂3f/∂x3)(x0, µ0)6= 0 Cuando el t´ermino c´ubico es −x3, decimos que es una bifurcaci´on tipo tridente supercr´ıtica; mientras que cuando es +x3decimos que es subcr´ıtica. 23 TAXONOMIA DE LAS BIFURCACIONES EN SISTEMAS CONTINUOS 2.3.1.4. Bifurcaci´on de Hopf o Poincar´e-Andronov-Hopf Estas bifurcaciones s´olo pueden aparecer cuando la dimensi´on del sistema es al menos dos. En este tipo de bifurcaci´on4un punto singular estable cambia su estabilidad y aparece un ciclo l´ımite estable rodeando el punto singular (caso supercr´ıtico). Est´an en el origen del desencadenamiento de comportamientos peri´odicos de los sistemas. Consideremos un sistema de la forma (2.3.1) y un valor del par´ametro µ0y un punto x0(µ0) donde Dfµ0tiene un par (simple) de autovalores imaginarios puros ±iω, y no tiene otros autovalores con parte real nula. Teorema 2.3.2. [Hop42] Supongamos que el sistema ˙ x=fµ(x),x∈Rn, µ ∈Rtiene un equilibrio (x0, µ0)en el que se satisfacen las siguientes condiciones: (H1) Dxfµ0(x0)tiene s´olo un par de autovalores imaginarios puros, y no tiene otros autovalores con parte real nula. Entonces existe una curva de equilibrios (x(µ), µ)con x(µ0) = x0. Los autovalores λ(µ),¯ λ(µ)de Dxfµ0(x(µ)) que son imaginarios en µ=µ0var´ıan diferenciablemente con µ. Si adem´as se verifica: (H2) d dµ(Reλ(µ))|µ=µ0=d6= 0,(2.3.2) entonces existe una variedad central tridimensional que pasa por (x0, µ0)∈Rn×Ry un cambio de coordenadas diferenciable (preservando los planos µ=constante) para 4Seg´un Wiggins[Wig03]: Usualmente el resultado se ha conocido con el nombre “teorema de bifurcaci´on de Hopf”. Sin embargo, Arnold [Arn88] ha insistido en que ejemplos de este tipo se pueden encontrar en Poincar´e(1892). El primer estudio espec´ıfico y la primera formulaci´on se debi´o a Andronov(1929), aunque sus trabajos y los de Poincar´e se hicieron para dimensi´on dos, el teorema debido a Hopf [Hop42] es v´alido en ndimensiones, y adem´as se hizo antes de que se conociera el teorema de la variedad central. 24 TAXONOMIA DE LAS BIFURCACIONES EN SISTEMAS CONTINUOS los que el desarrollo de Taylor de orden 3 en la variedad central viene dado por: ˙x= (dµ +a(x2+y2))x−(ω+cµ +b(x2+y2))y(2.3.3) ˙y= (ω+cµ +b(x2+y2))x+ (dµ +a(x2+y2))y(2.3.4) Estas dos ecuaciones se pueden expresar en coordenadas polares como: ˙r= (dµ +ar2)r(2.3.5) ˙ θ= (ω+cµ +br2) (2.3.6) y como en la primera ecuaci´on de 2.3.5 no aparece la variable θ, vemos que existen ´orbitas peri´odicas de 2.3.3 que son circunferencias r= constante obtenidas de las soluciones no nulas de ˙r= 0 en 2.3.5. 2.3.2. Bifurcaciones en dos par´ametros Consideramos ahora un sistema bi-param´etrico: ˙ x=f(x, µ),(2.3.7) donde x= (x1, x2, . . . , xn)t∈Rn,µ= (µ1, µ2)t∈R2, y funa funci´on suficientemente diferenciable. Supongamos que en µ=µ0, el sistema (2.3.7) tiene un punto singular en x=x0para el que se cumplen las condiciones de existencia de una bifurcaci´on silla-nodo o bien de tipo Hopf. Entonces, existe una “curva de bifurcaci´on” Ben el plano (µ1, µ2) a lo largo de la cual el sistema tiene un equilibrio del mismo tipo. Entonces, si los par´ametros (µ1, µ2) se hacen variar simult´aneamente con la intenci´on de trazar la curva de bifurcaci´on B, y se observa lo que ocurre con el punto singular no hiperb´olico, puede ocurrir que para algunos valores de los par´ametros: 25 TAXONOMIA DE LAS BIFURCACIONES EN SISTEMAS CONTINUOS 1. otros autovalores se aproximen al eje imaginario, cambiando de esta forma la dimensi´on de la variedad central Wc, 2. puedan incumplirse algunas de las condiciones gen´ericas para la existencia de una bifurcaci´on de codimensi´on 1. Sigamos en primer lugar una curva de bifurcaci´on de sillas-nodo. Un punto de esta curva define un equilibrio con un autovalor simple λ1= 0 y no hay m´as autovalores sobre el eje imaginario. La restricci´on del sistema (2.3.7) a la variedad central Wctiene la forma: ˙ ξ=aξ2+O(ξ3) (2.3.8) en la que el coeficiente a6= 0 si se trata de una bifurcaci´on silla-nodo no degenerada. Mientras se calcula la curva, se pueden dar las siguientes singularidades: 1. Otro autovalor real λ2se aproxima al eje imaginario, y Wcse convierte en bidimensional: λ1,2= 0 Estas son las condiciones para la bifurcaci´on de Bogdanov-Takens o tambi´en doblecero. Para que se d´e, es necesario que n⩾2. 2. Otros dos autovalores complejos λ2,3se acercan al eje imaginario, y Wcse convierte en tridimensional: λ1= 0, λ2,3=±iω0 con ω0>0. Estas condiciones corresponden a la bifurcaci´on de Gavrilov-Guckenheimer o tambi´en cero-par osilla-nodo-Hopf (fold-Hopf). Para que se produzca, se ha de verificar que n⩾3. 26 TAXONOMIA DE LAS BIFURCACIONES EN SISTEMAS CONTINUOS 3. El autovalor λ1permanece simple y es el ´unico sobre el eje imaginario (dimWc= 1), pero el coeficiente ade la forma normal en (2.3.8) se anula: λ1= 0, a = 0 Estas son las condiciones de una bifurcaci´on tipo c´uspide que es posible en sistemas con n⩾1. Sigamos ahora una curva de bifurcaciones de Hopf del sistema (2.3.7). En un punto cualquiera de esta curva, el sistema tiene un equilibrio con s´olo un par de autovalores imaginarios puros λ1,2=±iωo, ωo>0, y no hay m´as autovalores con parte real nula. La variedad central es por tanto bidimensional y en coordenadas polares (ρ, θ), la restricci´on de (2.3.7) a esta variedad se puede expresar como: ˙ρ=l1ρ3+O(ρ4) (2.3.9) ˙ θ= 1 + O(ρ3) (2.3.10) siendo l1por definici´on el primer coeficiente de Lyapunov, 5no nulo si se trata de una bifurcaci´on de Hopf no degenerada. Mientras nos movemos por la curva de puntos de Hopf, nos podemos encontrar con las siguientes posibilidades: 1. Otros dos autovalores complejos conjugados λ3,4se aproximan al eje imaginario, y Wcse convierte en tetra-dimensional: λ1,2=±iω0, λ3,4=±iω1 con ω0,1>0. Estas condiciones definen a la bifurcaci´on de tipo doble-Hopf oHopf-Hopf. Es posible s´olo si n⩾4. 5v´ease Kuznetsov [Kuz98b] por ejemplo; en el c´alculo de la forma normal de la bifurcaci´on de Hopf no todos los autores optan por el mismo enfoque. 27 ASPECTOS NUM´ ERICOS nuevo vector de direcci´on ha de ser reescalado para que sea unitario. En la pr´actica, el paso ∆sse actualiza durante el c´alculo de la rama de soluciones. En el caso m´as simple, la elecci´on del nuevo paso ∆sse basa en la convergencia de la iteraci´on de Newton (2.4.3). V1 Y1 Y0 V2 v(k+1) y(k) Y2 V0 v(k) y(k+1) Figura 2.4.3: Gr´afica de continuaci´on del CONTENT Por ´ultimo, en la figura 2.4.3 aparece el m´etodo predictor-corrector usado en el software CONTENT [KL97],[Kuz98a] para la continuaci´on. Dado un punto y(k)de la curva de continuaci´on y el vector tangente normalizado v(k)en este punto, el punto siguiente y(k+1) y su vector asociado v(k+1) se calculan de la siguiente forma: En la etapa de predicci´on se hacen Y0=y(k)+hkv(k), V 0=v(k) donde hkes el tama˜no de paso actual. Luego se realizan una serie de correcciones Yi, V i para i= 0,1, . . . , N, donde Nes el n´umero m´aximo de iteraciones por Newton (fijado de antemano), lo que supone que en cada etapa de la correcci´on hay que reevaluar la matriz de Jacobi del sistema. Para los detalles se pueden consultar los manuales y la ayuda en l´ınea de CONTENT. El m´etodo de discretizaci´on para problemas de contorno en ecuaciones diferenciales ordi34 ASPECTOS NUM´ ERICOS narias que m´as se usa es el de colocaci´on ortogonal con polinomios a trozos, ya que su alta precisi´on [dBS73] y sus t´ecnicas adaptativas del mallado de discretizaci´on [RC78] lo hacen particularmente conveniente para problemas que presentan dificultades en su resoluci´on. Este m´etodo se usa en los paquetes de continuaci´on que se han usado en la elaboraci´on de esta memoria AUTO [DK86], [DCF+97], y CONTENT [KL97]. 35 ASPECTOS NUM´ ERICOS 36 Cap´ıtulo 3 UNA CLASE DE MODELOS MATEM´ ATICOS DE LA CALIDAD AMBIENTAL 3.1. Introducci´on La mayor parte de este cap´ıtulo es una reelaboraci´on del trabajo de Fern´andez-Pacheco [FP01] , donde se establecen varios modelos matem´aticos de complejidad creciente sobre la calidad ambiental urbana. En cada nuevo modelo se introducen aspectos no contemplados en los modelos anteriores, de forma que se enriquece la din´amica encontrada hasta el momento. Se plantean cinco modelos sobre la calidad ambiental, los primeros cuatro de dimensi´on dos y el ´ultimo de dimensi´on tres. En todos los casos se realiza un escalado de forma que se reduzca el n´umero de par´ametros que aparecen en el modelo y que sea suficiente estudiar las variables de estado en el intervalo unidad [0,1]. 37 Los diferentes modelos Para los primeros cuatro modelos se realiza un estudio completo de la din´amica que presentan, mientras que el quinto y ´ultimo modelo s´olo se plantea y se dan algunas gr´aficas, dejando su estudio para el siguiente cap´ıtulo. 3.2. Los diferentes modelos Estudiaremos la relaci´on entre las ideas de ecosistema, calidad y “mala” calidad como un instrumento para la comprensi´on del desarrollo de los asentamientos urbanos. La relaci´on se presenta como una familia de modelos matem´aticos de complejidad creciente, cuyo estudio constituye la l´ınea conductora de este trabajo. Desde los a˜nos 1920 la llamada escuela de Chicago [Bet98], [Bru97] ha defendido la teor´ıa de que el desarrollo urbano, su crecimiento y su evoluci´on pueden describirse con los instrumentos de la ecolog´ıa. En este sentido, afirman que las ciudades son casos particulares de ecosistemas. M´as recientemente, a mediados de los a˜nos 1990 se desarroll´o la ecolog´ıa urbana [Bet98] como ciencia m´as o menos independiente (v´ease tambi´en [FPZ+98]) para el an´alisis urbano. Con vistas a clarificar nuestro prop´osito, comentaremos brevemente la definici´on de un ecosistema. Desde un punto de vista funcional existen cuatro caracter´ısticas principales [Fer98] de un ecosistema: 1. Tiene una duraci´on espacio-temporal definida. 2. En su interior existen flujos de energ´ıa. 3. El flujo de nutrientes se da dentro del sistema y entre el sistema y el exterior. 4. Existe una variedad de procesos que establecen las relaciones entre los diferentes (sub)sistemas. 38 Los diferentes modelos Estas caracter´ısticas est´an ´ıntimamente relacionadas y lo corroboran ejemplos muy conocidos proporcionados por el estudio de las ecolog´ıas insulares o por el dise˜no de reservas naturales y parques. Bajo hip´otesis apropiadas, la mayor´ıa de los ecosistemas naturales se las arreglan m´as o menos para mantenerse a s´ı mismos en un cierto equilibrio din´amico. Por otra parte, sistemas artificiales como la distribuci´on urbana y las actividades en las ciudades y ´areas muy urbanizadas son candidatos naturales a denominarse ecosistemas. En efecto, existen fuertes opiniones que afirman que incluso estos artefactos hechos por el hombre son tambi´en sistemas naturales [MB99]. Puede establecerse una analog´ıa con los ecosistemas naturales mediante una traducci´on adecuada de las caracter´ısticas citadas antes: 1. Abarcan un ´area y permanecen durante alg´un tiempo. 2. La distribuci´on de las rentas desempe˜na el papel de los flujos de energ´ıa. 3. La contrapartida a la circulaci´on de nutrientes viene dada por el intercambio de actividades funcionales heterog´eneas. 4. Se pueden establecer conexiones de varios tipos entre ´estos y otros sistemas, tanto artificiales como naturales. Sin embargo, la analog´ıa dista de ser completa salvo si se modula por algunas definiciones n´ıtidas en la teor´ıa de ecosistemas naturales y sus correspondientes para sistemas urbanos. La diferencia esencial entre ecosistemas naturales y sistemas urbanos est´a en la habilidad del hombre de explotar y gestionar cantidades considerables de energ´ıa de una forma consciente, con vistas a superar y modificar la conducta de la Naturaleza. Desde una perspectiva global, esto podr´ıa ser una actividad despreciable en los tiempos pasados, pero ya no es el caso. Surgen serias interferencias por el hecho de que sistemas creados por el hombre 39 Los diferentes modelos crecen y evolucionan independientemente de su entorno natural. El descubrimiento de las primeras t´ecnicas de agricultura hace unos 20000 a˜nos fu´e la primera intervenci´on a gran escala del hombre sobre los asuntos de la Naturaleza, y el resultado fu´e que aparecieron muchos sistemas de poca diversidad en forma de ´areas cultivadas o de campos de pasto para reba˜nos de ganado. Algunas veces la influencia del hombre se invirti´o: cultivos y campos de pasto fueron abandonados una vez su diversidad fu´e demasiado baja, para producir nuevas direcciones de evoluci´on [Mar64]. Un ejemplo bien conocido de un gran ecosistema natural con origen humano son las ´areas de sabana en Africa [TK75]. En cualquier caso, ´areas de poca diversidad pueden sobrevivir s´olo si existen algunos flujos entrantes de energ´ıa y nutrientes. La sobreespecializaci´on es s´olo factible bajo la hip´otesis de que la supervivencia est´a garantizada, una idea que est´a en el centro del siguiente argumento: Un n´umero de ´areas de baja diversidad pueden sobrevivir si se complementan entre s´ı y construyen una entidad m´as compleja en la cual est´e asegurada una diversidad superior. Este es el nacimiento de los primeros asentamientos urbanos como espacios para el intercambio de mano de obra, ganado, semillas y habilidades de oficios [SdM99]. Por tanto, originalmente las ´areas urbanas fueron resultado de la b´usqueda de una mayor heterogeneidad y, en cierto sentido, podr´ıan ser as´ı consideradas como ecosistemas. Por otra parte, la presente evoluci´on de ´areas urbanas hacia n´ucleos aislados y conectados muy homog´eneamente (y tambi´en separados unos de otros) por una complicada red de comunicaciones muestra muy poca disposici´on para llegar a ser verdaderos ecosistemas. M´as bien, encontramos sistemas casi par´asitos cuyo rango de influencia puede ser mucho m´as lejano que el entorno geogr´afico usual [Bru97]. Adem´as de las consideraciones expuestas, observamos que la mayor´ıa de los habitantes urbanos suelen pensar en sus viviendas en t´erminos de una cierta calidad para sus vidas. Esta es una idea compleja que merece alguna atenci´on. 40 Sobre la definici´on de calidad 3.3. Sobre la definici´on de calidad Intuitivamente, la calidad es una medida de la posibilidad de que un gran n´umero de procesos influyan en la evoluci´on y desarrollo de los constituyentes del sistema. Por lo tanto, un gran n´umero de procesos disponibles significa un sistema m´as rico. En t´erminos biol´ogicos, esta idea de calidad es representada por una gran diversidad bioqu´ımica, hecho que ha sido se˜nalado antes. La idea tras este concepto de calidad es que con muchas especies bioqu´ımicas se pueden construir redes m´as complejas, robustas y estables ( [RCM98], [Smi96]). Hasta ahora, el an´alogo de la diversidad bioqu´ımica podr´ıa ser la heterogeneidad urbana, pero la analog´ıa no es completa debido a varios aspectos o dimensiones que se pueden apreciar cuando intentamos establecer una noci´on de calidad para ´areas urbanas. Podemos identificar cuatro dimensiones principales [Fer98]: 1. la dimensi´on legal: viene dada una lista de par´ametros ambientales relevantes y sus valores umbral. 2. la dimensi´on cient´ıfica: un conjunto de acuerdos obtenido a partir de las opiniones de los especialistas: esta es la m´as ampliamente aceptada para la definici´on de calidad de ´areas urbanas. 3. la dimensi´on econ´omica: las regulaciones sobre la disponibilidad de recursos y sus usos. El suelo es el recurso principal, cuya gesti´on econ´omica es la piedra angular del desarrollo urbano. 4. la dimensi´on de la realizaci´on objetiva: la eficacia y la eficiencia forman la base de una definici´on operativa de la calidad urbana. Esta es la dimensi´on m´as empleada por pol´ıticos y planificadores. 41 Sobre la definici´on de calidad En la pr´actica, los habitantes de ´areas urbanas definen la calidad por la dimensi´on de la satisfacci´on de objetivos, mientras que las dimensiones legal y econ´omica proporcionan instrumentos de planificaci´on; y la dimensi´on cient´ıfica actuar´ıa como una especie de control externo. As´ı, supondremos que “la calidad de un sistema urbano viene dada por el conjunto de las caracter´ısticas que aseguran la satisfacci´on de las necesidades de la ciudadan´ıa”. Aqu´ı incluimos las necesidades b´asicas de supervivencia tales como alojamiento, agua, alimentos, energ´ıa, etc. y tambi´en otras condiciones est´eticas y espirituales. La definici´on anterior es cualitativa, y en orden a realizar un proceso razonable de modelizaci´on, hay que traducirlo a una tabla cualitativa ([Kau95], [Mer96]) con varias entradas que permitan la comparaci´on entre diferentes sistemas urbanos. Como regla general, todas las caracter´ısticas son reducidas a una unidad com´un[Fer94], en t´erminos de ´area o cantidad de suelo. Por ejemplo, la legislaci´on espa˜nola establece los siguientes est´andares de calidad: 1. n´umero de casas/viviendas por hect´area: entre 32 y 100. 2. equipamiento urbano tal como aparece en la tabla 3.1. 3. ´areas de aparcamiento: 1 autom´ovil/100 m2 de vivienda. Estos valores, aunque permiten grandes variaciones en densidad de poblaci´on, pueden ser considerados razonables. Podemos reducir la tabla a un solo ´ındice sumando todos los items y suponiendo una composici´on porcentual an´aloga a la descrita por la tabla. La suma ideal, 60 m2/unidad de vivienda, ser´a considerada como el ´optimo deseable. Las unidades de vivienda pueden ser traducidas en poblaci´on considerando que una unidad de vivienda iguala a kpersonas, donde kse encuentra entre 3 y 6. Un valor aceptable para la mayor´ıa de los casos es k= 4. 42 Modelos sobre la evoluci´on de la calidad Item m2/unidad de vivienda ´ Areas de jardin 15 Patios de recreo 6 ´ Areas educacionales 14 Canchas deportivas 8 ´ Areas comerciales 4 Equipamiento social 6 Otras 7 Tabla 3.1: Regulaciones espa˜nolas sobre la definici´on de calidad urbana, expresada en metros cuadrados por unidad de vivienda 3.4. Modelos sobre la evoluci´on de la calidad Una vez ha sido expresada cuantitativamente la calidad, podemos comenzar el proceso de modelizaci´on. En lo que sigue, desarrollaremos una sucesi´on de modelos de complejidad creciente sobre la interacci´on entre poblaci´on y calidad. 3.4.1. El modelo m´as simple Nuestro primer modelo refleja una aproximaci´on puramente legislativa: la evoluci´on en el tiempo de la calidad (medida en m2de servicios por unidad de vivienda) es independiente del crecimiento de la poblaci´on. En ´areas suburbanas modernas, planificadas como nuevos asentamientos urbanos, esto es un ejemplo frecuente. As´ı escribiremos dos ecuaciones de variables separadas describiendo las evoluciones en el tiempo de la calidad y la poblaci´on. De aqu´ı en adelante x(t) representar´a la calidad e y(t) la poblaci´on. Nuestro modelo ser´a entonces: 43 Modelos sobre la evoluci´on de la calidad forma de lograr la m´axima calidad es prohibir a la gente asentarse en las nuevas urbanizaciones! 2. En ausencia de calidad (x= 0), la poblaci´on tender´a nuevamente al valor l´ımite 1. 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 y 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 x Figura 3.4.5: Plano de fases del tercer modelo(α= 0,5, β = 1, γ = 0,4) 3. El sistema tiene cuatro puntos de equilibrio: P1(0,0), P2(1,0), P3(0,1), y P4(1−γ(1+ β),1). Como en el caso anterior, las trayectorias con condiciones iniciales en el primer cuadrante no pueden salir de ´el. El origen es un nodo inestable(α > 0), (1,0) y (0,1) son puntos de silla cuyas variedades estables son respectivamente, el eje−xy el eje−y. La variedad inestable de (0,1) es la recta x= 1, pero la variedad inestable en (1,0) es una curva tangente a la variedad inestable lineal y= 0 en (1,0). El cuarto punto P= (1−γ(1+β),1) requiere un an´alisis especial. Para Pinterior al primer cuadrante, 50 Modelos sobre la evoluci´on de la calidad debe satisfacerse la condici´on γ(1 + β)<1, o de forma equivalente, γ < 1 1 + β. Podr´ıamos restringirnos al producto cartesiano [0,1] ×[0,1] en el espacio de fases y observar de nuevo que cualquier condici´on inicial en el interior de este cuadrado evoluciona hacia el nodo estable. La principal diferencia con el modelo anterior es que las trayectorias son heterocl´ınicas s´olo si la condici´on inicial est´a en la variedad inestable de (1,0) o bien a su izquierda. V´eanse las figuras 3.4.5 y3.4.6. Figura 3.4.6: Series temporales para el tercer modelo(α= 0,5) 4. El siguiente an´alisis de bifurcaci´on es interesante: Cuando γ(1 + β)→1, Pcoalesce con (0,1) y todas las trayectorias, cualesquiera que sean sus puntos iniciales, tender´an hacia (0,1). Esto significa que si permitimos crecer a γ(lo que significa una pol´ıtica de protecci´on ambiental descuidada) la calidad desaparecer´a mientras la poblaci´on se acerca a su capacidad de carga en un entorno cada vez m´as degradado. Por otra parte, disminuir el valor de γ(una pol´ıtica ambiental m´as protectora) trasladar´a P a lo largo de la recta y= 1 hacia (1,1). En el caso de que γno pueda ser adecuadamente modificada, entonces a´un podemos hacer β→0 para impedir que Pse 51 Modelos sobre la evoluci´on de la calidad aproxime a (0,1): esto significa que se ha de llevar a cabo alg´un tipo de pol´ıtica de educaci´on ambiental: Es interesante hacer notar que este modelo indica que endurecer la protecci´on ambiental es mucho m´as efectivo que la educaci´on ambiental. La matriz de Jacobi del sistema resulta ser:   −yγ +1−2x 1+y β −xγ −(−1+x)x β (1+y β)2 0α(1 −y)−αy    con autovalores simples: −(βy + 1)βγ + 2x−1 βy + 1 , α(1 −2y) que en los puntos Pi,1⩽i⩽4 resultan ser, respectivamente: {α, 1},{α, −1},{−(β+ 1)γ−1 β+ 1 ,−α},{(β+ 1)γ−1 β+ 1 ,−α} Dado que: α > 0 (3.4.2) se deduce entonces de inmediato que P1(0,0) es un nodo inestable, y que P2(1,0) es un punto de silla. Por otra parte, como P4(1 −γ(β+ 1),1) ha de estar en el primer cuadrante, se hab´ıa impuesto la condici´on: γ(β+ 1) <1 (3.4.3) y por tanto P3(0,1) tiene autovalores de signo contrario, con lo que tambi´en es un punto de silla. Por la misma raz´on, al tener ahora ambos autovalores negativos, queda P4como el ´unico punto estable del sistema. Continuando con el estudio, como polinomio caracter´ıstico se obtiene: 52 Modelos sobre la evoluci´on de la calidad λ2+ (yγ +2x−1 βy + 1 + 2αy −α)λ+ (2αy2γ−αyγ +4αxy −2αy −2αx +α βy + 1 ) que evaluado en los cuatro puntos cr´ıticos obtenidos, tienen como t´ermino independiente (coincide con el valor del jacobiano) los valores: α, −α, αγ −α β+ 1,−α(β+ 1)γ−α β+ 1 y de nuevo, al verificarse tanto 3.4.2 como 3.4.3, tendremos que no se anula ninguno de ellos, con lo que el sistema no presenta bifurcaciones de tipo silla-nodo, transcr´ıticas o de tipo tridente en ninguno de los puntos de equilibrio. Un estudio an´alogo para intentar determinar las posibles bifurcaciones de Hopf al variar alguno de los par´ametros (resolviendo para α, por ejemplo) prueba que es imposible si se dan ambas relaciones 3.4.2 y3.4.3, dando lugar a condiciones contradictorias del tipo α < 0, entre otras. Por tanto, el sistema no presenta bifurcaciones de codimensi´on uno en el espacio de par´ametros, partiendo de cualquiera de los puntos de equilibrio del sistema. Y por tanto, tampoco pueden darse bifurcaciones de codimensi´on superior. La din´amica completa del sistema es la descrita en los p´arrafos anteriores. 3.4.4. La calidad y su precio. An´alisis de bifurcaciones Hasta ahora, los modelos han sido formulados suponiendo que la poblaci´on siempre alcanza su capacidad de crecimiento con independencia de la evoluci´on de la calidad. Desde un punto de vista te´orico esto puede parecer no realista, aunque existen ejemplos reales de ´areas urbanas que confirman este hecho. Incluso peor, a menudo la capacidad l´ımite de crecimiento es superada con creces. Supondremos que para mantener la calidad en un 53 Modelos sobre la evoluci´on de la calidad nivel razonable, se han de pagar algunos impuestos. Si ´estos son elevados, esto puede ser considerado como un disuasivo para disminuir la poblaci´on. Nuestro siguiente modelo incorpora esto con un t´ermino de interacci´on−g x y a˜nadido a la ecuaci´on de la poblaci´on. x0=r1 1 1 + My x(1 −x K)−d x y y0=r2y(1 −y C)−g x y El mismo escalado usado antes en el modelo anterior produce la forma no dimensional dependiente de tres par´ametros adimensionales, α=r2/r1,β=M C,γ=d C r1 yδ=g K r1 : x0=x1 1 + βy (1 −x)−γ x y y0=α y (1 −y)−δ x y Un an´alisis lineal del plano de fases prueba que: 1. Como en los modelos anteriores, en ausencia de poblaci´on y= 0, la calidad, nuevamente, tiende a su valor m´aximo 1 (adimensional), y tambi´en en ausencia de calidad (x= 0), la poblaci´on tender´a nuevamente a la capacidad de crecimiento 1. 2. El sistema tiene como puntos de equilibrio: los habituales P1(0,0), P2(1,0), P3(0,1) y posiblemente otros dos no triviales P4(x1, y1) y P5(x2, y2) que son las soluciones del sistema: (1 −x) 1 + βy −γ y = 0 α(1 −y)−δ x = 0 54 Modelos sobre la evoluci´on de la calidad Resolviendo este sistema, tenemos que reordenando y asociando convenientemente, las dos soluciones se pueden expresar como: x1,2=±α√A+ (2αβ +α)δγ −α2/(Bδ) (3.4.4) y1,2=∓√A−δγ +α/B (3.4.5) siendo A= (δγ −α)2+ 4βδγ(δ−α), B= 2βδγ. Si es α=δ, se obtiene como punto P5: x2=γ(β+ 1) −1 βγ = 1 −1−γ βγ , y2=1−γ βγ que define un punto v´alido s´olo si 0 < γ < 1< γ(1 + β). Adem´as, en este caso se da la circunstancia de que el punto P4coincide con el P2(1,0). Si adem´as es γ= 1 se tiene P4=P5= (1,0). Si γ=1 1 + β, uno de los puntos no triviales, el P4, se convierte en el (0,1). 3. La matriz de Jacobi de este sistema resulta ser: J(x, y) =   −βy2γ+yγ+2 x−1 1+y β −x(β2y2γ+2βyγ+γ−βx+β) (1+y β)2 −δy −(2αy +δx −α)   (3.4.6) con polinomio caracter´ıstico: λ2−tr(J)λ+ ∆ = 0 (3.4.7) siendo tr(J) la traza de la matriz de Jacobi: tr(J) = yγ +2x−1 βy + 1 + 2αy +δx −α(3.4.8) 55 Modelos sobre la evoluci´on de la calidad y ∆ su determinante: ∆ = 2αy2γ−αyγ +βδxy(x−1) (βy + 1)2+4αxy −2αy + 2δx2−δx −2αx +α βy + 1 (3.4.9) 4. En el caso del punto P1(0,0), sus autovalores son {α, 1}y al ser α > 0, se trata de un nodo inestable. 5. Para el P2(1,0), ´este tiene los autovalores {α−δ, −1}, por lo que ser´a un punto de silla en el caso α > δ, siendo un punto estable si α < δ. Si α=δ, deberemos construir la variedad central que nos permita la determinaci´on de la estabilidad. Llevamos primeramente el punto al origen realizando el cambio de variables: u=x−1, v =y con lo que el sistema queda: u0=−(u+ 1)(βv2γ+vγ +u) 1 + βv v0=−α v (v+u) Tomando la aproximaci´on lineal u= 0 para la variedad central, tenemos que el flujo resultante ser´ıa: dv dt =−αv2 por lo que el punto es estable para δ=α, supuesto que α > 0 y que las condiciones iniciales est´an en el primer cuadrante. 56 Modelos sobre la evoluci´on de la calidad 6. El an´alisis del punto P3(0,1) es parecido: sus autovalores son {−α, 1−(β+1)γ β+1 }. Por tanto, se trata de un punto estable si (β+1)γ > 1 y de un punto silla si (β+ 1)γ < 1. Entonces, la curva γ=1 β+ 1 es de bifurcaciones transcr´ıticas en el plano de par´ametros β−γ. Esto quedar´a patente m´as adelante cuando se obtengan las curvas de bifurcaci´on correspondientes (v´eanse las gr´aficas 3.4.8 y3.4.10). Si es (β+ 1)γ= 1 necesitamos de nuevo obtener una estimaci´on del flujo en la variedad central para determinar su estabilidad. Llevando el punto al origen mediante el cambio de variables: u=x, v =y−1 el sistema queda, despu´es de algunas operaciones: u0=−u(βv2+ 2βv +v+βu +u) (1 + β)(βv +β+ 1) v0=−(v+ 1)(α v +δu) Tomando la aproximaci´on lineal v= 0 para la variedad central, tenemos que el flujo resultante ser´ıa: du dt =−u2 β+ 1 por lo que el punto es estable para γ= 1/(β+ 1), supuesto que β > −1 y que las condiciones iniciales est´an en el primer cuadrante. Si γ= 1/(β+ 1) el punto no trivial P4coincide con el (0,1). 7. Dependiendo de los diferentes valores que pueden adoptar los par´ametros es preciso decir que en la pr´actica s´olo uno de los puntos P4oP5es un punto cr´ıtico, cayendo 57 Modelos sobre la evoluci´on de la calidad el otro fuera del rango significativo de valores de las variables de estado, o bien coincidiendo con uno de los puntos cr´ıticos triviales. An´alisis de bifurcaciones Partiendo de la expresi´on de la matriz de Jacobi J(x, y) obtenida en 3.4.6 y de los valores de la traza y el determinante dados respectivamente por 3.4.8 y3.4.9, queremos inicialmente obtener condiciones para la existencia de bifurcaciones de codimensi´on uno del tipo sillanodo, transcr´ıticas o de tipo tridente, para lo cual la matriz de Jacobi ha de admitir un autovalor nulo. Aplicando entonces la condici´on necesaria ∆ = 0, con los puntos cr´ıticos obtenidos resultan las siguientes condiciones: Para P1(0,0) la matriz de Jacobi ser´ıa: J(0,0) =    1 0 0α    la condici´on ser´ıa α= 0, con lo cual este punto no presenta bifurcaciones de codimensi´on uno. Para P2(1,0) tenemos: J(1,0) =   −1−γ 0α−δ    y la condici´on nos resulta δ−α= 0 con lo que en el plano de par´ametros α−δ, la recta δ=αes de bifurcaciones transcr´ıticas para este punto; ya visto con anterioridad porque al cruzar la recta cambia la estabilidad del punto. An´alogamente, para P2(0,1) obtenemos: J(0,1) =    1 β+1 −γ0 −δ−α    y resulta: 58 Modelos sobre la evoluci´on de la calidad α γ −α β+ 1 = 0 de donde es α= 0 ´o γ=1 β+1 y por tanto la curva γ=1 β+1 es de bifurcaciones transcr´ıticas en el plano de par´ametros β−γ. Para las bifurcaciones de Hopf, con el polinomio caracter´ıstico dado por 3.4.7, la condici´on de existencia es tr(J) = 0, y ∆ >0. Pues bien, ninguno de los puntos presenta bifurcaciones de Hopf, ya que las condiciones de existencia originan contradicciones en relaciones o bien en rangos de valores de los par´ametros. Por ejemplo, para P3(0,1) se tiene la expresi´on matricial de J(0,1) que aparece anteriormente y las condiciones son: −α−γ+1 β+ 1 = 0 y −α(1 β+ 1 −γ)>0 y como α > 0 por la segunda condici´on, ha de ser 1 β+1 −γ < 0 =⇒ −α−γ+1 β+1 <0, en contradicci´on con la primera de las condiciones. Esto completa el estudio anal´ıtico del sistema. Un estudio num´erico intensivo s´olo corrobora los resultados obtenidos en el anal´ıtico, como se ve en el p´arrafo siguiente. Las figuras 3.4.7,3.4.8,3.4.10 y3.4.9 se han obtenido variando cada uno de los cuatro par´ametros del sistema a efectos de obtener las curvas de puntos singulares no triviales. En dichas figuras se puede observar claramente c´omo aparecen las bifurcaciones transcr´ıticas que sufre el punto (1,0) para el caso de las curvas 3.4.7 y3.4.9 que involucran a loa par´ametros αyδy la que sufre el punto (0,1) en el caso de las figuras 3.4.8 y3.4.10, que se refieren a los par´ametros βyγ. En cada caso, el punto trivial (1,0) ´o (0,1) intercambia su estabilidad con uno de los puntos no triviales obtenidos. Aparecen otras bifurcaciones transcr´ıticas en alguna de las figuras, pero son de puntos singulares fuera del cuadrado unidad. 59 Modelos sobre la evoluci´on de la calidad Figura 3.4.13: Series temporales para el cuarto modelo(α= 0,5, β = 1, γ = 0,4, δ = 0,3) 66 Modelos sobre la evoluci´on de la calidad 3.4.5. ¿Es calidad siempre sin´onimo de buena calidad? Desde el punto de vista psicol´ogico existe un esquema de valoraci´on positiva tras la palabra “calidad”. Aunque se tenga la tentaci´on de hacerla equivalente a “buena calidad”, se ha de considerar tambi´en el concepto de “mala calidad”. Esta nueva idea est´a relacionada ´ıntimamente con la obsolescencia, inadecuaci´on, o tambi´en con viviendas y equipamiento construidos sin cuidado. La mala calidad no es lo opuesto de calidad: por ejemplo, un patio de recreo puede tener algunos columpios mal instalados (por ahorrar tiempo o dinero) as´ı que el patio, aunque existe y se extiende a lo largo de algunos metros, es in´util. Podemos introducir la mala calidad en nuestros modelos a˜nadiendo la evoluci´on de una nueva variable z(t) a las ecuaciones de la calidad y de la poblaci´on. Aqu´ı est´a el nuevo modelo: x0=r1 1 1 + My x(1 −x K)−d x y y0=r2y(1 −y C)−g y (x−z) z0=d∗x y −h y z p+z donde hemos introducido la ecuaci´on de la mala calidad y tambi´en una peque˜na modificaci´on en el ´ultimo t´ermino de la ecuaci´on de la poblaci´on. La tasa de crecimiento lineal r1 de la calidad es modulada por la expresi´on 1 1 + My y tiene un significado educacional.K es la calidad est´andar fijada por ley, y el t´ermino de interacci´on d∗xy se interpreta como un t´ermino destructivo debido al uso del equipamiento por la poblaci´on. Tambi´en r2es la tasa de crecimiento lineal de la poblaci´on, Csu capacidad de carga, mientras que la expresi´on −gy(x−z) representa el coste de mantenimiento de la calidad. El t´ermino d∗x y significa que alguna parte de la calidad destru´ıda se vuelve mala calidad (por lo tanto 67 Modelos sobre la evoluci´on de la calidad d∗< d) mientras que el t´ermino −h y z p+zdenota que alguna parte de la poblaci´on puede a´un considerar que la mala calidad es utilizable si est´a gestionada adecuadamente. La pes una constante de semi-saturaci´on. Hemos cambiado g x y por g y (x−z) en la ecuaci´on de la poblaci´on para se˜nalar que alguna poblaci´on puede ser atra´ıda por el hecho de que la mala calidad suele implicar menores impuestos ambientales y una vida m´as barata. Si escalamos xyzpor K,ypor C, y el tiempo por 1 r1 , el sistema se puede escribir en forma adimensional como: x0=x1 1 + βy (1 −x)−γ x y y0=α y (1 −y)−δ y (x−z) z0=ξ x y −η y z φ+z con los siete par´ametros adimensionales α=r2/r1,β=M C,γ=d C r1 ,ξ=d∗C r1 ,δ=g K r1 , η=h C r1K, y φ=p K. Es inmediato ver que en el espacio xyz el punto (0,0,1) es un punto de equilibrio: un barrio de chabolas continuar´a como tal. Tambi´en, todo punto de las rectas {x= 0, y = 0}y{x= 1, y = 0}es singular. La interpretaci´on es sencilla. Un argumento m´as complicado prueba que existe un punto singular (x∗, y∗, z∗) en el cubo unidad y que es estable, como se ver´a en el pr´oximo cap´ıtulo. Por lo tanto, la calidad absoluta es deseable, aunque sea un ideal inalcanzable: siempre se va a producir alguna mala calidad, y la calidad no significa siempre buena calidad, v´ease 3.4.5. El valor relativo de las variables xyzes, por tanto, un ´ındice de calidad m´as fino que cualquiera de ellos por s´ı mismos. El siguiente cap´ıtulo est´a dedicado ´ıntegramente al estudio de este modelo. 68 Modelos sobre la evoluci´on de la calidad Figura 3.4.15: Series temporales para el quinto modelo (α= 0,5, β = 1, γ = 0,4, δ = 0,3, ξ = 0,3, η = 0,5, φ = 0,4), partiendo de (0,22,0,4,0,0). 69 Modelos sobre la evoluci´on de la calidad 0 0.2 0.4 0.6 0.8 y 0.2 0.4 0.6 0.8 x (a) Proyecci´on en el plano xy 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 z 0 0.2 0.4 0.6 0.8 x (b) Proyecci´on en el plano xz 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 z 0 0.2 0.4 0.6 0.8 y (c) Proyecci´on en el plano yz Figura 3.4.14: Curvas 3D descritas por el sistema (α= 0,5, β = 1, γ = 0,4, δ = 0,3, ξ = 0,3, η = 0,5, φ = 0,4) 70 Modelos sobre la evoluci´on de la calidad 0.2 0.4 0.6 0.8 x 0.2 0.4 0.6 0.8 y 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 z (a) Obtenida con Maple (b) Obtenida con Dstool[BGMW] Figura 3.4.16: Curvas integrales 3D descritas por el sistema (α= 0,5, β = 1, γ = 0,4, δ = 0,3, ξ = 0,3, η = 0,5, φ = 0,4) 71 Modelos sobre la evoluci´on de la calidad (a) Quinto modelo con δ= 0,28 Figura 3.4.17: Curvas 3D descritas por el sistema obtenidas con Dstool (α= 0,5, β = 1, γ = 0,4, ξ = 0,3, η = 0,5, φ = 0,4) 72 Cap´ıtulo 4 ESTUDIO DEL QUINTO MODELO 4.1. Introducci´on Ahora investigaremos el comportamiento din´amico del quinto modelo formulado en el cap´ıtulo anterior. Procederemos inicialmente de forma anal´ıtica, sin sustituir los par´ametros por sus valores por defecto en las ecuaciones del sistema. Los puntos de equilibrio del sistema ser´an calculados en la secci´on 4.2, algunos de ellos se pueden dar expl´ıcitamente y de otros, sin embargo, se puede probar su existencia, pero ser´an necesarios m´etodos num´ericos para su obtenci´on. Cuando sea posible, en la secci´on 4.3 se har´a un an´alisis de bifurcaciones de codimensi´on uno en los puntos singulares obtenidos en la secci´on 4.2, obteniendo expresiones anal´ıticas para la existencia de bifurcaciones de tipo silla-nodo y de Hopf. En la secci´on 4.4 comienza el estudio num´erico partiendo de los valores por defecto dados de los par´ametros que intervienen en el sistema, partiendo de uno de los puntos singulares no triviales obtenidos en la secci´on 4.2. Aumentando lo suficiente el valor del par´ametro δ, se determina la existencia de una bifurcaci´on de Hopf al variar dicho par´ametro y encontrarnos 73 Introducci´on con comportamiento peri´odico en las series temporales de las variables de estado cuando se traspasa el valor en el que se produce la bifurcaci´on. A continuaci´on, en la secci´on 4.5 se estudia la localizaci´on de puntos singulares al variar el par´ametro δ, quedando patente en primer lugar la existencia de una bifurcaci´on de tipo silla-nodo a partir de la cual surgen dos puntos singulares no triviales, obteni´endose para un valor posterior del par´ametro una bifurcaci´on de Hopf supercr´ıtica que engendra una familia de ciclos l´ımite estables hasta un cierto valor del par´ametro en el cual se produce una coalescencia con uno de los puntos silla triviales, gener´andose un ciclo homocl´ınico. En la siguiente secci´on 4.6 se construyen el resto de diagramas uniparam´etricos, obteni´endose el comportamiento del sistema al variar los otros par´ametros, as´ı como las posibles bifurcaciones de codimensi´on uno que se producen. En la secci´on 4.7 se estudia c´omo var´ıan los diagramas uniparam´etricos obtenidos en la secci´on 4.5 cuando se considera la variaci´on simult´anea de otros par´ametros del sistema, obteni´endose tambi´en las bifurcaciones de codimensi´on dos. En el plano de par´ametros δ−φaparece en particular una bifurcaci´on de Bogdanov-Takens alrededor de la cual se organiza la din´amica del sistema. Por ´ultimo, en la secci´on 4.9 se construye el diagrama de bifurcaciones completo a la luz de los resultados te´oricos sobre despliegue de bifurcaciones del tipo Bogdanov-Takens y del estudio num´erico simult´aneo que permite la construcci´on de determinadas curvas de bifurcaciones de codimensi´on uno y de tipo homocl´ınico. Se obtiene as´ı el comportamiento local y global en el plano de par´ametros elegido. Las ecuaciones del modelo, tal como se formularon en el cap´ıtulo 3son: 74 Introducci´on Definici´on Valor Rango αratio de crecimiento relativo de la poblaci´on 0.1 0–1 βpar´ametro educacional 0.5 0–2 γratio de destrucci´on de la calidad 1.0 0–1.5 δefecto de los impuestos 0.16667 0–2 ηusable por cierta parte de la poblaci´on 1.0 0–2 φconstante de semi-saturaci´on media 0.1 0–0.5 ξfracci´on de calidad destru´ıda que se vuelve inusable o de mala calidad 1.0 0–1 Tabla 4.1: Par´ametros adimensionales, valores por defecto y rango de variaci´on. x0=x 1 + βy (1 −x)−γxy (4.1.1) y0=αy (1 −y)−δy(x−z) (4.1.2) z0=ξxy −ηyz φ+z(4.1.3) en las que aparecen siete par´ametros adimensionales con el siguiente significado: αes la tasa de crecimiento relativo de la poblaci´on, βes el par´ametro educacional, γes la tasa de destrucci´on de la calidad, δmide el efecto de los impuestos, ηindica que una parte de la mala calidad se puede considerar usable por cierta parte de la poblaci´on, φes una constante de semi-saturaci´on, y ξes obviamente la fracci´on de calidad destru´ıda que se vuelve inusable o de mala calidad. 75 Puntos singulares y estabilidad o tambi´en:       x1 x2 x3       =       0−ξz∗−ηz∗+φξ (z∗+φ)(δz∗−δ+α)1 1γ δz∗−δ+α+1 0 0−γ δz∗−δ+α+1 0             u v w       (4.2.20) con lo que el sistema 4.2.16 -4.2.18 queda con su parte lineal en forma can´onica de Jordan, y como antes, se verifica que la recta de puntos (1,0, z∗) es de puntos silla-nodo. Un tercer punto de equilibrio trivial es (0,1,0), tambi´en para cualesquiera valores de los par´ametros. La matriz de Jacobi es en ´este caso:         1 1+β−γ0 0 −δ−α δ ξ0−η φ         (4.2.21) con polinomio caracter´ıstico: λ3+p1λ2+p2λ+p3= 0 (4.2.22) donde: p1=−(1−γ(β+ 1) β+ 1 −α−η φ) p2=−(η φ (1 −γ−βγ) β+ 1 −αη φ+α β+ 1(1 −γ−βγ)) p3=−αη φ(1−γ−βγ β+ 1 ) que tiene por autovalores {−(−1+γ+γβ) 1+β,−α, −η φ}, siendo entonces su estabilidad estable si se verifican las condiciones: α, β, γ, η, φ > 0, γ(1 + β)>1 82 An´alisis de bifurcaciones y un punto de silla si γ(1+β)<1. Por tanto, se produce un cambio de estabilidad al cruzar la curva γ=1 1 + βpor lo que esta curva es de bifurcaciones transcr´ıticas en el plano de par´ametros β−γ(v´eanse en la siguiente secci´on 4.3 el an´alisis de bifurcaci´on y las gr´aficas que aparecen m´as adelante en las figuras 4.6.2 y4.6.3). 4.3. An´alisis de bifurcaciones En primer lugar estudiaremos la posibilidad de bifurcaciones de tipo silla-nodo en alguno de los puntos cr´ıticos obtenidos. La condici´on necesaria de existencia de un bifurcaci´on gen´erica de tipo silla-nodo viene dada por la anulaci´on del t´ermino independiente del polinomio caracter´ıstico. Por bifurcaci´on gen´erica de este tipo se entiende una bifurcaci´on silla-nodo propiamente dicha, y tambi´en las de tipo transcr´ıtico y tipo tridente. En el caso de uno de los puntos triviales del tipo (x, y, z) = (0,0, z∗), ya se vi´o que su matriz de Jacobi viene dada por 4.2.3, siendo su polinomio caracter´ıstico el dado por 4.3.1: λ3−(δz∗+1+α)λ2+ (α+δz∗)λ= 0 (4.3.1) Por otra parte, dado el polinomio caracter´ıstico general de grado tres: λ3+p1λ+p2λ+p3= 0 (4.3.2) la condici´on necesaria de existencia de bifurcaci´on de Hopf en el caso tridimensional viene dada por las condiciones: p2>0, p1p2=p3(4.3.3) lo cual se traduce en las relaciones: 83 An´alisis de bifurcaciones α+δz∗>0,(δz∗+1+α)(α+δz∗) = 0 por lo cual δz∗+1+α= 0 de donde la componente zdel punto singular donde se produzca la bifurcaci´on ha de cumplir: z∗=−α+ 1 δ<0 ya que se suponen positivos los par´ametros que intervienen en el sistema. Esto se contradice con el hecho de que las componentes han de estar en el cuadrante positivo. Por tanto, no existen bifurcaciones de Hopf. Para el caso de los puntos singulares triviales del tipo (1,0, z∗) se obtuvo en 4.2.11 su matriz de Jacobi siendo su polinomio caracter´ıstico el dado por 4.3.4: λ3−(δ z∗−δ+α−1)λ2−(δ z∗−δ+α)λ= 0 (4.3.4) que tambi´en admite siempre el autovalor nulo. Aplicando las condiciones necesarias de existencia de la bifurcaci´on de Hopf 4.3.3 tenemos: δ z∗−δ+α > 0,y (δ z∗−δ+α−1)(δ z∗−δ+α) = 0 con lo cual: δ z∗−δ+α−1 = 0, z∗>1−α δ de donde: z∗= 1 + 1−α δ 84 An´alisis de bifurcaciones y para que z∗est´e en el cubo unidad debe ser 1−α δ<0 y entonces α > 1, lo cual no es realista para el modelo planteado, ya que supondr´ıa una tasa de crecimiento de la poblaci´on desmesurada. Por tanto, no se dan bifurcaciones de Hopf para este punto singular. Otro punto singular es el (0,1,0), se obtuvo su matriz de Jacobi en 4.2.21 y el polinomio caracter´ıstico correspondiente 4.2.22: λ3+p1λ2+p2λ+p3= 0 donde: p1=−(1−γ(β+ 1) β+ 1 −α−η φ) p2=−(η φ (1 −γ−βγ) β+ 1 −αη φ+α β+ 1(1 −γ−βγ)) p3=−αη φ(1−γ−βγ β+ 1 ) con lo que se produce una bifurcaci´on gen´erica de tipo silla-nodo para los valores: α= 0 (4.3.5) η= 0 (4.3.6) γ=1 β+ 1 (4.3.7) Las dos primeras curvas no las consideramos por ser valores no admisibles para los par´ametros y nos quedamos s´olo con la tercera de ellas. Se trata de una curva de bifurcaciones transcr´ıticas en el plano de par´ametros β−γ, lo que supone que el punto (0,1,0) intercambia su estabilidad con otro punto singular, que ha de ser forzosamente uno de los no triviales ya que hasta ahora no han aparecido bifurcaciones de los puntos singulares triviales, siendo el actual (0,1,0) el ´ultimo de los triviales a considerar. 85 An´alisis de bifurcaciones En efecto, esto quedar´a patente m´as adelante cuando se estudien las curvas de continuaci´on de puntos singulares no triviales, en particular, en las que se haga variar el par´ametro β(ver figura 4.6.2) o el par´ametro γ(ver figura 4.6.3). Cuando el par´ametro que se hace variar alcanza el valor que verifica la ecuaci´on γ=1 β+ 1, se aprecia claramente un intercambio de estabilidades con el punto singular no trivial (recu´erdese que el otro par´ametro tiene en ese momento el valor fijo por defecto: 0.5 para βy 1 para δ). Para la obtenci´on de las bifurcaciones de Hopf, aplicando de nuevo las condiciones necesarias 4.3.3 obtenemos: η φ (1 −γ−βγ) β+ 1 +αη φ−α β+ 1(1 −γ−βγ)) >0 (4.3.8) (αφ +η)[(β+ 1)γ+α(β+ 1) −1][φ((β+ 1)γ−1) + η(β+ 1)] (β+ 1)2φ2= 0 (4.3.9) Resolviendo inicialmente 4.3.9 para φy para γse obtienen las soluciones: φ=−(β+ 1)η (β+ 1)γ−1(4.3.10) φ=−η α(4.3.11) γ=−α(β+ 1) −1 β+ 1 (4.3.12) y evaluando la expresi´on 4.3.8 con estos tres valores se obtienen, respectivamente: −((β+ 1)γ−1)2 (β+ 1)2⩽0 −α2<0 −α2<0 y al no ser ninguna de las expresiones estrictamente positiva se puede asegurar que en el punto (0,1,0) no existen bifurcaciones de Hopf. 86 Series temporales y diagramas de fase Para los puntos singulares no triviales obtenidos, el estudio de las bifurcaciones de codimensi´on uno lo haremos num´ericamente al resultar intratables anal´ıticamente las expresiones correspondientes. 4.4. Series temporales y diagramas de fase En la figura 4.4.1 se presentan las series temporales y la trayectoria en xyz del sistema con la condici´on inicial (0,48,0,23,0,27), con todos los par´ametros fijos en sus valores por defecto. Se puede ver que x, y yzconvergen a un punto de equilibrio no trivial con los valores (0,734780,0,237109,0,277046) tras un per´ıodo transitorio de 20–25 unidades de tiempo adimensional. Comenzando en un cierto rango de otras condiciones iniciales, las trayectorias tambi´en convergen al mismo punto de equilibrio despu´es de haber transcurrido aproximadamente el mismo tiempo. Sustituyendo los valores por defecto de los par´ametros en las ecuaciones 4.1.1,4.1.2 y4.1.3 y resolviendo num´ericamente la ecuaci´on de cuarto grado resultante 4.2.1 se puede ver que ´este es uno de los dos puntos de equilibrio existentes con valores estrictamente positivos para x,yyz, siendo el otro (0,333730,0,527266,0,0500893). En la figura 4.4.2 incrementamos el valor del par´ametro δdesde 1/6 hasta 0,28 y rearrancamos el sistema con los mismas condiciones iniciales. Se aprecia ahora que tras un per´ıodo de tiempo el sistema converge a una ´orbita peri´odica o ciclo l´ımite. Se aprecia claramente en las gr´aficas de las series temporales el comportamiento peri´odico que presentan las variables de estado, y dado que el ciclo l´ımite es estable, la din´amica es capturada por este ciclo en una determinada cuenca de atracci´on, mientras que el punto singular estable que presenta la bifurcaci´on es ahora un punto de silla inestable, tal como predicen y establecen los teoremas de Hopf. 87 Series temporales y diagramas de fase 0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400 425 450 475 500 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 t x 0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400 425 450 475 500 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 t x 0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400 425 450 475 500 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 t y 0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400 425 450 475 500 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 t y 0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400 425 450 475 500 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 t z 0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400 425 450 475 500 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 t z Figura 4.4.1: Series temporales y ´orbita 3D para δ= 1/6. 88 Series temporales y diagramas de fase 0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400 425 450 475 500 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 t x 0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400 425 450 475 500 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 t x 0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400 425 450 475 500 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 t y 0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400 425 450 475 500 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 t y 0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400 425 450 475 500 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 t z 0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400 425 450 475 500 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 t z Figura 4.4.2: Series temporales y ´orbita 3D para δ= 0,28. Obs´ervense las oscilaciones de relajaci´on que presenta el comportamiento de la componente z, en las que se produce un paulatino crecimiento de su valor, para luego darse una r´apida ca´ıda desde su valor m´aximo. 89 Bifurcaciones dependientes de un par´ametro 4.5. Bifurcaciones dependientes de un par´ametro Claramente existe una diferencia cualitativa entre las figuras 4.4.1 y4.4.2: en el primer caso existe convergencia hacia un punto de equilibrio y en el segundo tenemos una conducta oscilante por la cual el sistema describe peri´odicamente ´orbitas cada vez m´as pr´oximas al ciclo l´ımite a medida que se aumentan los valores del tiempo t. Este cambio de comportamiento del sistema sugiere la existencia de una bifurcaci´on de Hopf para alg´un valor de δentre 1/6 y 0.28. Vamos a construir, pues, diagramas de bifurcaci´on en los que δvar´ıe de forma continua, indicando el valor exacto para el cual ocurre la bifurcaci´on de Hopf y se˜nalando los valores de los puntos de equilibrio y rangos de ciclos l´ımite de x,yyzsiendo δel ´unico par´ametro variable. En la figura 4.5.1 aparecen las gr´aficas de localizaci´on de puntos singulares del sistema cuando se hace variar al par´ametro δ, manteni´endose el resto de par´ametros a los valores por defecto. En las gr´aficas se observa que para valores de δinferiores a donde se produce la bifurcaci´on de tipo silla-nodo (δ= 0,1453) no existen puntos cr´ıticos no triviales, teniendo uno en dicho punto y dos para valores superiores del par´ametro δ. De estos dos, uno de ellos es estable y el otro inestable, hasta llegar al punto en que se produce la bifurcaci´on de Hopf, para δ= 0,2722. Surge entonces un ciclo l´ımite estable y el punto cr´ıtico pasa a ser inestable, existiendo entonces dos puntos singulares inestables, que se mantienen para valores superiores de δ. Las ecuaciones que representan a las coordenadas (x, y, z) en funci´on del par´ametro δ vienen dadas por la particularizaci´on de las ecuaciones 4.2.1 y4.2.2 para los valores por defecto dados del resto de par´ametros que aparecen en la tabla 4.1. La figura 4.5.1(a) indica, en un punto singular, c´omo se comporta la variable de estado que 90 Bifurcaciones dependientes de un par´ametro representa a la calidad, definida como x, cuando se hace variar al par´ametro δ, mientras el resto de par´ametros se mantiene a sus valores por defecto. Para δ= 1/6, uno de sus valores es x1= 0,73478 como se indic´o anteriormente y es un punto estable seg´un indica la l´ınea continua, siendo el otro x2= 0,33373, que es inestable y viene reflejado por la l´ınea de puntos. Cuando disminuye el valor de δ, el punto x1se mantiene estable hasta alcanzar el valor de δ= 0,1453 (an´alogamente, partiendo de x2e incrementando el valor del par´ametro, se alcanza el mismo punto, ya que ambos colapsan en uno s´olo). Este valor de δrepresenta la existencia de una bifurcaci´on de tipo silla-nodo y representa el valor m´ınimo del par´ametro para que exista un punto singular no trivial, existiendo dos para valores superiores y ninguno para valores inferiores. El valor que proporciona CONTENT [KL97] para el valor que aparece en la forma normal de este tipo de bifurcaciones es a= 0,1391 (v´ease [Kuz98b]). De forma an´aloga, cuando se incrementa el valor de δ, el punto x1se mantiene estable hasta alcanzar el valor δ= 0,2722 (cuadrado macizo en la gr´afica) en el cual se produce una bifurcaci´on de Hopf, a partir de la cual el punto ya se mantiene inestable para valores superiores del par´ametro. La bifurcaci´on de Hopf es supercr´ıtica (primer coeficiente de Lyapunov, `1=−1,75648), lo que significa que la familia de ciclos l´ımite que surge del punto singular es estable, y coexisten con el punto singular que cambia su estabilidad a inestable. En la figura 4.5.1(a) aparecen con puntos circulares negros algunas soluciones calculadas por AUTO [DK86], [DCF+97], [DPC+01] de los ciclos l´ımite que surgen a partir de la bifurcaci´on. Las figuras 4.5.1(b) y 4.5.1(c) son los diagramas equivalentes para la poblaci´on y la mala calidad, que tienen valores iniciales respectivamente de y1= 0,2371; z1= 0,2770 y y2= 91 Comportamiento respecto a otros par´ametros −1.00 −0.75 −0.50 −0.25 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 (a) Componente xdel punto singular −1.00 −0.75 −0.50 −0.25 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 (b) Componente ydel punto singular −1.00 −0.75 −0.50 −0.25 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 −0.50 −0.25 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 (c) Componente zdel punto singular −2.0 −1.5 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 (d) Variaci´on de la norma eucl´ıdea L2 Figura 4.6.1: Localizaci´on de puntos singulares al variar el par´ametro α. 98 Comportamiento respecto a otros par´ametros −2. −1. 0. 1. 2. 3. −0.50 −0.25 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 (a) Componente xdel punto singular −2. −1. 0. 1. 2. 3. 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 (b) Componente ydel punto singular −2. −1. 0. 1. 2. 3. −0.50 −0.25 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 (c) Componente zdel punto singular −2. −1. 0. 1. 2. 3. 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 (d) Variaci´on de la norma eucl´ıdea L2 Figura 4.6.2: Localizaci´on de puntos singulares al variar el par´ametro β. 99 Comportamiento respecto a otros par´ametros −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 −0.50 −0.25 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 (a) Componente xdel punto singular −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 (b) Componente ydel punto singular −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 −0.50 −0.25 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 (c) Componente zdel punto singular −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 (d) Variaci´on de la norma eucl´ıdea L2 Figura 4.6.3: Localizaci´on de puntos singulares al variar el par´ametro γ. 100 Comportamiento respecto a otros par´ametros −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 −0.50 −0.25 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 (a) Componente xdel punto singular −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 (b) Componente ydel punto singular −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 −0.50 −0.25 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 (c) Componente zdel punto singular −3. −2. −1. 0. 1. 2. 3. 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 (d) Variaci´on de la norma eucl´ıdea L2 Figura 4.6.4: Localizaci´on de puntos singulares al variar el par´ametro γ, sin puntos l´ımite 101 Comportamiento respecto a otros par´ametros −6. −5. −4. −3. −2. −1. 0. 1. 2. 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 (a) Componente xdel punto singular −6. −5. −4. −3. −2. −1. 0. 1. 2. −1.5 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 (b) Componente ydel punto singular −6. −5. −4. −3. −2. −1. 0. 1. 2. −0.10 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 (c) Componente zdel punto singular −6. −5. −4. −3. −2. −1. 0. 1. 2. 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 2.25 (d) Variaci´on de la norma eucl´ıdea L2 Figura 4.6.5: Localizaci´on de puntos singulares al variar el par´ametro ξ. 102 Comportamiento respecto a otros par´ametros 0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 (a) Componente xdel punto singular 0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. −1.5 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 (b) Componente ydel punto singular 0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 (c) Componente zdel punto singular 0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 (d) Variaci´on de la norma eucl´ıdea L2 Figura 4.6.6: Localizaci´on de puntos singulares al variar el par´ametro η. 103 Comportamiento respecto a otros par´ametros −0.50 −0.40 −0.30 −0.20 −0.10 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 (a) Componente xdel punto singular −0.50 −0.40 −0.30 −0.20 −0.10 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 −1.00 −0.75 −0.50 −0.25 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 (b) Componente ydel punto singular −0.50 −0.40 −0.30 −0.20 −0.10 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 (c) Componente zdel punto singular −0.50 −0.40 −0.30 −0.20 −0.10 0.00 0.10 0.20 0.30 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 (d) Variaci´on de la norma eucl´ıdea L2 Figura 4.6.7: Localizaci´on de puntos singulares al variar el par´ametro φ. 104 Bifurcaciones en dos par´ametros 4.7. Bifurcaciones en dos par´ametros En las gr´aficas que aparecen a continuaci´on se ha realizado una continuaci´on en dos de los par´ametros: uno fijo, el par´ametro δ, que es nuestro principal par´ametro de bifurcaci´on a lo largo del estudio del quinto modelo, y del resto de par´ametros del modelo. As´ı, partiendo de la bifurcaci´on de tipo silla-nodo que se presenta para el valor del par´ametro δ= 0,1453, se realiza la continuaci´on de ´esta bifurcaci´on haciendo variar simult´aneamente al resto de par´ametros. El resultado son las curvas de localizaci´on de puntos silla-nodo al variar los par´ametros α, β, γ que aparecen en la gr´afica 4.7.1 y las curvas de situaci´on de puntos l´ımite en los par´ametros η, φ, ξ que aparecen en la gr´afica 4.7.2. Con respecto al par´ametro αse observa que el punto l´ımite existe para cualquier valor positivo del par´ametro δ, de forma que se podr´ıa decir que ambos par´ametros “van a la par” en el sentido que dado un valor para δsiempre vamos a encontrar un valor para α que establezca los l´ımites de existencia de los puntos singulares no triviales del sistema. La situaci´on es diferente para los par´ametros βyγ, ya que ahora las curvas de puntos silla-nodo tienen forma parab´olica y est´an restringidos los valores del par´ametro δpara los que existe curva, ya que s´olo existe curva para valores de δcomprendidos entre 0 y 0,2 aproximadamente (salvo que se var´ıen los otros valores por defecto del resto de par´ametros). Por otra parte, para cada valor fijo de los par´ametros βyδes posible encontrar dos valores de δpara los cuales existe un punto silla-nodo. En el caso del par´ametro ηse observa que si bien existe un valor de este par´ametro para cualquier valor de δque determine la bifurcaci´on de tipo silla-nodo, ocurre que para valores superiores a δ= 1, los valores de ηse van acercando progresivamente a cero. Sin embargo, si se hace disminuir a δhasta aproximarlo a cero, el valor del punto l´ımite se dispara y existe para valores grandes del par´ametro η. 105 Bifurcaciones en dos par´ametros La forma de las curvas de puntos l´ımite para los par´ametros φyξes bastante parecida, aunque el crecimiento para el mismo rango de valores de δes mucho mayor en el caso del par´ametro ξ. En ambos casos, si se aumenta δes posible obtener un valor para el que existe una bifurcaci´on de tipo silla-nodo, tendiendo hacia el valor 0,9 en el caso del par´ametro φ y hacia el valor aproximado de 7 en el caso del par´ametro ξ, dados los valores por defecto del resto de par´ametros. En cualquier caso, est´a claro que no es posible encontrar un δ razonable dado un valor cualquiera de los par´ametros φ´o ξ. Para la obtenci´on de curvas de Hopf se ha procedido como en la situaci´on anterior: partiendo de la bifurcaci´on de Hopf que existe para el valor del par´ametro δ= 0,2722, se contin´uan a partir de aqu´ı el resto de par´ametros. El resultado son las curvas de bifurcaciones de Hopf en los par´ametros α, β, γ que aparecen en la gr´afica 4.7.3 y las curvas correspondientes para los par´ametros η, φ, ξ que aparecen en la gr´afica 4.7.4. Con respecto al par´ametro α, si se fija el valor del par´ametro δ, podemos obtener un valor para el que existe una bifurcaci´on de Hopf. Y rec´ıprocamente, fijado αpodremos siempre obtener un valor de δen el que se produce una bifurcaci´on de Hopf. Ambos par´ametros est´an relacionados de tal forma que existe una expresi´on pr´acticamente lineal que los liga. Esto significa que se podr´a siempre obtener comportamiento peri´odico del sistema (si se desea as´ı), una vez fijado uno de estos par´ametros. En los par´ametros βyγla situaci´on es diferente ya que presentan comportamiento hiperb´olico respecto al par´ametro δ: si δtiende a cero, los valores de ambos par´ametros han de ser grandes para que exista presencia de una bifurcaci´on de Hopf, mientras que si el valor del par´ametro δes grande (mayor que 1, por ejemplo) es necesario disminuir el valor de γa valores pr´oximos a cero o incluso a valores negativos pr´oximos a −2,5 en el caso del par´ametro β. Para el par´ametro ηla curva de Hopfs es parecida, aunque tiende a cero m´as r´apidamente 106 Bifurcaciones en dos par´ametros para valores de δmayores que 1. Y para valores de δpr´oximos a cero, el valor de ηse incrementa r´apidamente hasta alcanzar el valor 0,9 aproximadamente, a partir del cual comienza de nuevo a crecer pero de forma mucho m´as lenta. En el caso del par´ametro φpodemos encontrar una bifurcaci´on de Hopf para valores del par´ametro δ > 0,1, aunque los valores de φcrecen de forma m´as lenta que los de δ, hasta alcanzar aproximadamente de 0,7 que ejerce de cota en la pr´actica, si se consideran los rangos usuales para los par´ametros. Para los valores δ= 1,0416, φ = 0,6572 el sistema presenta una bifurcaci´on de Bogdanov-Takens que determina la din´amica local y global (v´ease la secci´on 4.9). Por ´ultimo, la curva de bifurcaciones de Hopf para el par´ametro ξtiene un comportamiento parecido a la de φ, aunque el crecimiento de ξes sensiblemente mayor. Existe para valores mayores para el que se produce la bifurcaci´on de Hopf para el par´ametro δ(0.2722) y en la pr´actica valores ξ≥1, existiendo una bifurcaci´on de este tipo cuando se ha fijado el valor de uno de los par´ametros con las restricciones expuestas. 107 Diagrama de bifurcaciones completo En la regi´on II la situaci´on es la misma que la de la regi´on I salvo que ahora existen dos puntos singulares adicionales no triviales, uno de ellos es un nodo espiral estable y el otro es un punto de silla. En la curva H de bifurcaciones de Hopf el punto estable se vuelve inestable y surge un ciclo l´ımite estable. En la regi´on III los dos puntos singulares no triviales son inestables, existiendo una familia de ciclos l´ımite estables para cada valor fijo de φy haciendo variar δen un cierto intervalo, hasta que se encuentra con la curva Hom de bifurcaciones homocl´ınicas. En esta curva Hom se produce la destrucci´on del ciclo l´ımite estable y aparece un curva de per´ıodo infinito, desapareciendo entonces el movimiento peri´odico estable. Por ´ultimo, en la regi´on IV ya no existe comportamiento homocl´ınico, estando la din´amica determinada solamente por los puntos singulares existentes. 114 Cap´ıtulo 5 CONCLUSIONES 1. Se ha realizado el an´alisis completo de la din´amica que presentan los cuatro modelos planares. Se concluye que para rangos admisibles de valores de los par´ametros que intervienen en dichos modelos, s´olo se dan bifurcaciones transcr´ıticas que involucran a un par de puntos singulares en el cuarto de los modelos, mediante la cual ambos puntos se intercambian sus respectivas estabilidades. Se da la circunstancia de que uno de dichos puntos singulares es siempre el origen. 2. Se ha realizado el estudio anal´ıtico y num´erico del quinto modelo, tridimensional. Se comprueba que presenta una gran riqueza de comportamientos al variar la mayor´ıa de los par´ametros del sistema. 3. Una vez elegido δcomo principal par´ametro de bifurcaci´on, se han determinado los valores para los cuales presenta bifurcaciones de codimensi´on uno, resultando una bifurcaci´on de tipo silla-nodo, que determina el valor a partir del cual surgen los dos puntos singulares no triviales. Para un valor ligeramente mayor del par´ametro, se produce una bifurcaci´on de tipo Poincar´e-Andronov-Hopf, que da origen a un ciclo 115 CAP´ ITULO 5. CONCLUSIONES l´ımite estable y comportamiento peri´odico del sistema. 4. Partiendo de la bifurcaci´on de Hopf supercr´ıtica, se ha determinado la familia de ciclos l´ımite estables que resultan y su posterior desaparici´on al colapsar con otro punto singular trivial. 5. Se ha comprobado que entonces desaparece el movimiento peri´odico estable en una bifurcaci´on de “per´ıodo infinito” que representa la transici´on a la inexistencia de movimiento estable en las proximidades [CK94]. 6. Se ha comprobado que la aparici´on de la bifurcaci´on del tipo Bogdanov-Takens a lo largo de la curva de bifurcaciones de Hopf (y tambi´en a lo largo de la curva de sillas-nodo) determina el punto de organizaci´on de la din´amica en el plano de par´ametros. Tanto partiendo de la forma normal que obtuvo Bogdanov como de la que obtuvo Takens, este tipo de bifurcaci´on permite un estudio anal´ıtico detallado (v´eanse [GH90],[Kuz98b],[Wig90b]) que se conoce con el nombre de despliegue (“unfolding”) que determina las curvas de bifurcaci´on existentes, las regiones de inter´es y la din´amica existente en las mismas. 7. No se ha observado comportamiento ca´otico durante el estudio num´erico del sistema. 116 Cap´ıtulo 6 REFERENCIAS Y BIBLIOGRAF´ IA 117 CAP´ ITULO 6. REFERENCIAS Y BIBLIOGRAF´ IA 118 Bibliograf´ıa [AFGRL98] A. Algaba, E. Freire, E. Gamero, y A.J. Rodr´ıguez-Luis, Analysis of Hopf and Takens-Bogdanov bifurcations in a modified van der Pol-Duffing oscillator, Nonlinear Dynamics 16 (1998), no. 4, 369–404. [AG90] E. Allgower y K. Georg, Numerical continuation methods. An introduction, Springer-Verlag, New York, 1990. [AG93] , Continuation and path following, Acta Numerica, Cambridge University Press (1993), 1–64. [AP90] D. K. Arrowsmith y C. M. Place, An introduction to dynamical systems, Cambridge University Press, Cambridge, 1990, (reprinted 1994). [Arn88] V. I. Arnold, Geometrical methods in the theory of ordinary differential equations, second ed., Springer-Verlag, Berlin, 1988. [BCD+02] W. J. Beyn, A. Champneys, E. Doedel, W. Govaerts, Yu. A. Kuznetsov, y B. Sandstede, Numerical continuation and computation of normal forms, Handbook of Dynamical Systems: Vol 2 (B. Fiedler, G. Iooss, y N. Kopell, editores lit.), Elsevier, 2002, pp. 149–219. [Bet98] V. Bettini, Elementos de ecolog´ıa urbana, Ed. Trotta, Madrid, 1998. 119 BIBLIOGRAF´ IA BIBLIOGRAF´ IA [Bey84] W.-J. Beyn, Defining equations for singular solutions and numerical applications, Numerical Methods for Bifurcation Problems (Basel) (T. K¨upper, H.D. Mittelmann, y H. Weber, editores lit.), ISNM 70, Birkh¨auser Verlag, 1984, pp. 42–56. [Bey90a] , Global bifurcations and their numerical computation, Continuation and Bifurcations: Numerical Techniques and Applications (Dordrecht) (D. Roose, B. De Dier, y A. Spence, editores lit.), NATO ASI Series C, Vol. 313, Kluwer Academic Publishers, 1990, pp. 169–182. [Bey90b] , The numerical computation of connecting orbits in dynamical systems, IMA J. Numer. Anal. 9(1990), 379–405. [Bey91] , Numerical methods for dynamical systems, Advances in Numerical Analysis, Vol. I, Nonlinear Partial Differential Equations and Dynamical Systems (W. Light, editor lit.), Oxford University Press, 1991, pp. 175–236. [Bey94] , Numerical analysis of homoclinic orbits emanating from a TakensBogdanov point, IMA J. Numer. Anal. 14 (1994), 381–410. [BG94] L. Brenig y A. Goriely, Painlev´e analysis and normal forms, Computer Algebra and Differential Equations (E. Tournier, editor lit.), Cambridge University Press, 1994, pp. 143–184. [BGMW] A. Back, J. Guckenheimer, M. Myers, y P. Worfolk, Dstool: Dynamical systems toolkit with interactive graphic interface, user’s manual, Cornell University. [Bog81a] R. Bogdanov, Bifurcations of a limit cycle for a family of vector fields on the plane, Selecta Math. Soviet. 1(1981), 373–388. 120 BIBLIOGRAF´ IA BIBLIOGRAF´ IA [Bog81b] , Versal deformations of a singular point on the plane in the case of zero eigenvalues, Selecta Math. Soviet. 1(1981), 389–421. [BR89] G. Birkhoff y G.-C. Rota, Ordinary differential equations, fourth ed., John Wiley & Sons, New York, N.Y., 1989. [Bra93] M. Braun, Differential equations and their applications, fourth ed., SpringerVerlag, New York, 1993. [Bru97] J. Bru, Medio ambiente: poder y espect´aculo, Icaria, Barcelona, 1997. [BS90] L. Belyakov y L. Shil’nikov, Homoclinic curves and complex solitary waves, Selecta Mathematica Sovietica 9(1990), 219–228. [BY98] Q. Bi y P. Yu, Computation of normal forms of differential equations associated with non-semisimple zero eigenvalues, International Journal of Bifurcation and Chaos 8(1998), no. 12, 2279–2319. [Car32] T. Carleman, Application de la th´eorie des ´equations int´egrales lin´eaires aux syst`emes d’´equations diff´erentielles nonlin´eaires, Acta Math. 59 (1932), 63– 68. [Car81] J. Carr, Applications of centre manifold theory, Springer-Verlag, New York, 1981. [CC01] J. Chattopadhday y S. Chatterjee, Cross diffusional effect in a Lotka-Volterra competitive system, Nonlinear Phenomena in Complex Systems 4(2001), no. 4, 364–369. 121 BIBLIOGRAF´ IA BIBLIOGRAF´ IA [CD99] G. Chen y J. Della Dora, Rational normal form for dynamical systems via Carleman linearization, Proceedings of ISSAC-99 (Vancouver), ACM PressAddison Wesley, 1999, pp. 165–172. [CD00a] , An algorithm for computing a new normal form for dynamical systems, J. Symbolic Computation 29 (2000), 393–418. [CD00b] , Further reductions of normal forms for dynamical systems, J. Differential Equations 166 (2000), 79–106. [CDW90] S.N. Chow, B. Drachman, y D. Wang, Computation of normal forms, J. Comput. Appl. Math. 29 (1990), 129–143. [CH82] S.N. Chow y J. K. Hale, Methods of bifurcation theory, Springer-Verlag, New York, 1982. [Che01] G. Chen, Further reduction of normal forms for vector fields, Numerical Algorithms 25 (2001), 1–33. [CK88] L. O. Chua y H. Kokubu, Normal forms for nonlinear vector fields, Part I:theory and algorithm, IEEE Trans. Circuits and Systems 35 (1988), no. 7, 863–880. [CK89] , Normal forms for nonlinear vector fields, Part II:applications, IEEE Trans. Circuits and Systems 36 (1989), no. 1, 51–70. [CK94] A. R. Champneys y Yu. A. Kuznetsov, Numerical detection and continuation of codimension-two homoclinic bifurcations, Int. J. of Bifurcation and Chaos 4(1994), no. 4, 785–822. 122 BIBLIOGRAF´ IA BIBLIOGRAF´ IA [CKS96] A. R. Champneys, Yu. A. Kuznetsov, y B. Sandstede, A numerical toolbox for homoclinic bifurcation analysis, Int. J. of Bifurcation and Chaos 6(1996), no. 5, 867–887. [CL55] E. A. Coddington y N. Levinson, Theory of ordinary differential equations, Krieger Publishing Co., Malabar, Florida,1984, 1955, (reprint of McGraw-Hill edition). [CLW94] S.N. Chow, C. Li, y D. Wang, Normal forms and bifurcation of planar fields, Cambridge University Press, New York, 1994. [CWW02] G. Chen, D. Wang, y X. Wang, Unique normal forms for nilpotent planar vector fields, International Journal of Bifurcation and Chaos 12 (2002), 2159– 2174. [dBS73] C. de Boor y B. Swartz, Collocation at gaussian points, SIAM J. Numer. Anal. 10 (1973), no. 4, 582–606. [DCF+97] E. J. Doedel, A.R. Champneys, T. F. Fairgrieve, Yu. A. Kuznetsov, B. Sanstede, y X. Wang, AUTO97: Continuation and bifurcation software for ordinary differential equations (with HomCont): User’s Manual, Concordia University, Montreal, Canada, 1997. [Den90] B. Deng, Homoclinic bifurcations with nonhyperbolic equilibria, SIAM J. Math. Anal. 21 (1990), 693–720. [DFM94] E. J. Doedel, M. Friedman, y A. Monteiro, On locating connecting orbits, Applied Mathematics and Computation 65 (1994), 231–239. 123 BIBLIOGRAF´ IA BIBLIOGRAF´ IA Numerical Methods for Bifurcation Problems (Basel) (T. K¨upper, H.D. Mittelmann, y H. Weber, editores lit.), ISNM 70, Birkh¨auser Verlag, 1984, pp. 181– 194. [HK93] P. Hirschberg y E. Knobloch, Shil’nikov-Hopf bifurcations, Physica D 62 (1993), 202–216. [HKK93] A. Homburg, H. Kokubu, y M. Krupa, The cusp horseshoe and its bifurcations in the unfolding of an inclination-flip homoclinic orbit, (technical report) Department of Math., Univ. of Groningen, 1993. [HKK94] , The cusp horseshoe and its bifurcations in the unfolding of an inclination-flip homoclinic orbit, Erg. Th. Dyn. Syst. 14 (1994), 667–693. [HKW81] B. D. Hassard, N. D. Kazarinoff, y Y.-H. Wan, Theory and applications of Hopf bifurcation, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1981. [Hol65] C. S. Holling, The functional response of predators to prey density and its role in mimicry and population regulation, Mem. Entomol. Soc. Can. 45 (1965), 5–60. [Hop42] E. Hopf, Bifurcation of a periodic solution from a stationary solution of a system of differential equations, Ber. Math. Phys. Klasses Sachs. Akad. Wiss. 94 (1942), 3–22. [HS74] M. Hirsch y S. Smale, Differential equations, dynamical systems and linear algebra, Academic Press, New York, 1974. [Jan95] W. Jansen, CANDYS/QA algorithms, programs and user’s manual, Interdisziplin¨ares Zentrum f¨ur Nichtlineare Dynamik, Universit¨at Potsdam, 1995. 130 BIBLIOGRAF´ IA BIBLIOGRAF´ IA [JS99] D. W. Jordan y P. Smith, Nonlinear ordinary differential equations, third ed., Oxford University Press, Oxford, 1999. [Kau95] R. Kaufmann, The economic multiplier of environmental life support: can capital substitute for a degraded environment?, Ecol. Econ. 12 (1995), no. 1, 67–79. [KDFR01] Yu. A. Kuznetsov, O. De-Feo, y S. Rinaldi, Belyakov homoclinic bifurcations in a tritrophic food chain model, SIAM J. Appl. Math. 62 (2001), no. 2, 462–487. [Kel67] A. Kelley, The stable, center stable, center, center unstable and unstable manifolds, J. Differential Equations 3(1967), 546–570. [Kel77] H. B. Keller, Numerical solution of bifurcation and nonlinear eigenvalue problems, Applications of bifurcation theory (P. Rabinowitz, editor lit.), Academic Press, New York, 1977, pp. 359–384. [KH84] M. Kubiˇcek y M. Holodniok, Numerical determination of bifurcation points in steady state and periodic solutions-numerical algorithms and examples, Numerical Methods for Bifurcation Problems (Basel) (T. K¨upper, H.D. Mittelmann, y H. Weber, editores lit.), ISNM 70, Birkh¨auser Verlag, 1984, pp. 247– 270. [Khi90] A. I. Khibnik, LINLBF:A program for continuation and bifurcation analysis of equilibria up to codimension three, Continuation and Bifurcations: Numerical Techniques and Applications (Dordrecht) (D. Roose, B. De Dier, y A. Spence, editores lit.), NATO ASI Series C, Vol. 313, Kluwer Academic Publishers, 1990, pp. 283–296. 131 BIBLIOGRAF´ IA BIBLIOGRAF´ IA [KJ84] H.B. Keller y A.D. Jepson, Steady state and periodic solution paths: their bifurcations and computations, Numerical Methods for Bifurcation Problems (Basel) (T. K¨upper, H.D. Mittelmann, y H. Weber, editores lit.), ISNM 70, Birkh¨auser Verlag, 1984, pp. 219–246. [KKK90] M. Kleczka, W. Kleczca, y E. Kreuzer, Bifurcation analysis: a combined numerical and analytical approach, Continuation and Bifurcations: Numerical Techniques and Applications (Dordrecht) (D. Roose, B. De Dier, y A. Spence, editores lit.), NATO ASI Series C, Vol. 313, Kluwer Academic Publishers, 1990, pp. 123–138. [KKLN92] A. I. Khibnik, Yu. A. Kuznetsov, V. V. Levitin, y E. V. Nikolaev, Interactive LOCcal BIFurcation analyzer, Computer Algebra Netherlands, 1992, (LOCBIF version 2.2). [KKLN93] , Continuation techniques and interactive software for bifurcation analysis of ODEs and iterated maps, Physica D 62 (1993), 360–371. [KL97] Yu. A. Kuznetsov y V.V. Levitin, CONTENT-a multiplataform environment for analyzing dynamical systems, Dynamical Systems Laboratory, Centrum voor Wiskunde en Informatica, Amsterdam, 1997. [KLSD90] J. P. Kernevez, Y. Lui, M.L. Seoane, y E.J. Doedel, Optimization by continuation, Continuation and Bifurcations: Numerical Techniques and Applications (Dordrecht) (D. Roose, B. De Dier, y A. Spence, editores lit.), NATO ASI Series C, Vol. 313, Kluwer Academic Publishers, 1990, pp. 349–362. 132 BIBLIOGRAF´ IA BIBLIOGRAF´ IA [KMR92] Yu. A. Kuznetsov, S. Muratori, y S. Rinaldi, Bifurcations and chaos in a periodic predator-prey model, Int. J. of Bifurcation and Chaos 2(1992), no. 1, 117–128. [KR95] Yu. A. Kuznetsov y S. Rinaldi, Remarks on food chains dynamics, Tech. report, CWI Report AM-R9513, 1995. [KS97] H. Kantz y Th. Schreiber, Nonlinear time series analysis, Cambridge Univ. Press, Cambridge, UK, 1997. [Kuz90] Yu. A. Kuznetsov, Computation of invariant manifold bifurcations, Continuation and Bifurcations: Numerical Techniques and Applications (Dordrecht) (D. Roose, B. De Dier, y A. Spence, editores lit.), NATO ASI Series C, Vol. 313, Kluwer Academic Publishers, 1990, pp. 183–196. [Kuz98a] , CONTENT-integrated environment for analysis of dynamical systems. Tutorial, Institute of Mathematical Problems of Biology, Russian Academy of Sciences, 1998. [Kuz98b] Yu. A. Kuznetsov, Elements of applied bifurcation theory, second ed., vol. 112 of Applied Mathematical Sciences, Springer, New York, 1998. [Kuz99] , Numerical normalization techniques for all codim 2 bifurcations of equilibria in ODE’s, SIAM J. Numer. Anal. 36 (1999), no. 4, 1104–1124. [Lin90] X.-B. Lin, Using Melnikov’s method to solve Shil’nikov’s problems, Proc. Roy. Soc. Edinburgh A, vol. 116, 1990, pp. 295–325. [Lor63] E. N. Lorenz, Deterministic nonperiodic flow, J. Atmos. Sci. 20 (1963), 130– 141. 133 BIBLIOGRAF´ IA BIBLIOGRAF´ IA [Lor64] , The problem of deducing the climate from the governing equations, Tellus 16 (1964), no. 1, 1–11. [LT85] P. Lancaster y M. Tismenetsky, The theory of matrices, Academic Press, S. Diego, 1985. [Mar64] G. Marsh, Man and nature, The Belknap Press, Cambridge, Mass., 1864, 1965 edition. [MB99] G. McIsaac y M. Br¨un, Natural environment and human culture: defining terms and understanding world views, J. Environ. Qual. 28 (1999), 1–10. [MC79] A. I. Mees y L. O. Chua, The Hopf bifurcation theorem and its applications to nonlinear oscillations in circuits and systems, IEEE Trans. Circ. and Systems CAS 26 (1979), 235–254. [Mer96] J. Merrifield, A market approach to conserving biodiversity, Ecol. Econ. 16 (1996), no. 3, 217–226. [Mey94] K. R. Meyer, Perturbation analysis of nonlinear systems, Computer Algebra and Differential Equations (E. Tournier, editor lit.), Cambridge University Press, 1994, pp. 103–140. [MGS90] G. Moore, T.J. Garrat, y A. Spence, The numerical detection of Hopf bifurcations points, Continuation and Bifurcations: Numerical Techniques and Applications (Dordrecht) (D. Roose, B. De Dier, y A. Spence, editores lit.), NATO ASI Series C, Vol. 313, Kluwer Academic Publishers, 1990, pp. 227– 246. 134 BIBLIOGRAF´ IA BIBLIOGRAF´ IA [Mit84] H.D. Mittelmann, Continuation near simmetry-breaking bifurcation points, Numerical Methods for Bifurcation Problems (Basel) (T. K¨upper, H.D. Mittelmann, y H. Weber, editores lit.), ISNM 70, Birkh¨auser Verlag, 1984, pp. 319– 334. [MM78] J. E. Marsden y M. McCracken, The Hopf bifurcation and its applications, Springer-Verlag, New York, 1978. [Moo80] Moore, The numerical treatment of non-trivial bifurcation point, Numer. Funct. Anal. and Optimiz. 2(1980), no. 6, 441–472. [Moo95] G. Moore, Computation and parametrisation of periodic and connecting orbits, IMA J. Numer. Anal. 15 (1995), 319–331. [MS77] K.R. Meyer y D.S. Schmidt, Entrainment domains, Funkcialaj Ekvacioj 20 (1977), 171–192. [Mul93] T. Mullin, A multiple bifurcation point as an organizing centre for chaos, The Nature of Chaos, Oxford University Press, 1993, pp. 51–68. [MY95] K. MacCann y P. Yodzis, Bifurcation structure of a three-species food chain model, Theoretical Population Biology 48 (1995), no. 2, 93–125. [Nay93] A. H. Nayfeh, Method of normal forms, John Wiley & Sons, New York, 1993. [NR95] P. Nijkamp y A. Regiani, Non-linear evolution of dynamic spatial systems: the relevance of chaos and ecologically based models, Reg. Sci. Urban Econ. 25 (1995), no. 2, 183–210. [Oze87] P. Ozello, Calcul exact des formes de Jordan et de Frobenius d’une matrice, Tesis Doctoral, Universit´e de Grenoble 1, France, 1987. 135 BIBLIOGRAF´ IA BIBLIOGRAF´ IA [Pac96] J.M. Pacheco, Reaction-diffusion equations and economic cycles, J. Inst. Math. Comp. Sci. 9(1996), no. 2, 137–144. [Pat01] A. K. Pattanayak, Characterizing the metastable balance between chaos and diffusion, Physica D 148 (2001), 1–19. [Pav85] R. Pavelle, editor lit., Applications of computer algebra, Kluwer Academic Publishers, Boston, 1985. [Per01] L. Perko, Differential equations and dynamical systems, 3 ed., Springer-Verlag, New York, 2001. [PRF97] J. M. Pacheco, C. Rodr´ıguez, y I. Fern´andez, Hopf bifurcations in a predatorprey model with social predator behaviour, Ecological Modelling 105 (1997), 83–87. [RA87] R. H. Rand y D. Ambruster, Perturbation method, bifurcation theory and computer algebra, Appl. Math. Sci, no. 65, Springer-Verlag, 1987. [Rad98] B. Radtke, Bifurkationen in einem modell mariner planktondynamik, Master’s thesis, Universit¨at Osnabr¨uck, 1998. [RC78] R. D. Russell y J. Christiansen, Adaptive mesh selection strategies for solving boundary value problems, SIAM J. Numer. Anal. 15 (1978), 59–80. [RCM98] D. Rapport, R. Costanza, y A. McMichael, Assesing ecosystem health, Trends Ecol. Evol. 13 (1998), no. 10, 397–402. [RL91] A. J. Rodr´ıguez-Luis, Bifurcaciones multiparam´etricas en osciladores aut´onomos, Tesis Doctoral, 1991. 136 BIBLIOGRAF´ IA BIBLIOGRAF´ IA [RLFP90] A. J. Rodr´ıguez-Luis, E. Freire, y E. Ponce, A method for homoclinic and heteroclinic continuation in two and three dimensions, Continuation and Bifurcations: Numerical Techniques and Applications (Dordrecht) (D. Roose, B. De Dier, y A. Spence, editores lit.), NATO ASI Series C, Vol. 313, Kluwer Academic Publishers, 1990, pp. 197–210. [Rod99] J. Rodr´ıguez, Ecolog´ıa, Ediciones Pir´amide, Madrid, 1999. [RRS90] W.C. Rheinboldt, D. Roose, y R. Seydel, Aspects of continuation software, Continuation and Bifurcations: Numerical Techniques and Applications (Dordrecht) (D. Roose, B. De Dier, y A. Spence, editores lit.), NATO ASI Series C, Vol. 313, Kluwer Academic Publishers, 1990, pp. 261–268. [RS01] V. Rai y W. M. Schaffer, Chaos in ecology, Chaos, Solitons and Fractals 12 (2001), 197–203. [RSD90] D. Roose, A. Spence, y B. De Dier, editores lit., Continuation and bifurcations: Numerical techniques and applications, Kluwer, Dordrecht, 1990. [San94] J. Sanders, Versal normal form computation and representation theory, Computer Algebra and Differential Equations (E. Tournier, editor lit.), Cambridge University Press, 1994, pp. 185–210. [San97] B. Sandstede, Convergence estimates for the numerical approximation of homoclinic solutions, IMA J. Numer. Anal. 17 (1997), 437–462. [SdM99] I. S´anchez de Madariaga, Introducci´on al Urbanismo, Alianza Editorial, Madrid, 1999. 137 BIBLIOGRAF´ IA BIBLIOGRAF´ IA [Sey79] R. Seydel, Numerical computation of branch points in nonlinear equations, Numer. Math. 33 (1979), 339–352. [Sey84] , A continuation algorithm with step control, Numerical Methods for Bifurcation Problems (Basel) (T. K¨upper, H.D. Mittelmann, y H. Weber, editores lit.), ISNM 70, Birkh¨auser Verlag, 1984, pp. 480–494. [Sey91] , Tutorial on continuation, Int. J. of Bifurcation and Chaos 1(1991), no. 1, 3–11. [Shi65] L. Shil’nikov, A case of existence of a countable number of periodic motions, Soviet Math. Dokl 6(1965), 163–166. [Shi66] , On the generation of a periodic motion from a trajectory which leaves and re-enters a saddle-saddle state of equilibrium, Soviet Math. Dokl. 7(1966), 1155–1158. [Shi67a] , The existence of a denumerable set of periodic motions in fourdimensional space in a extended neighborhood of a saddle-focus, Soviet Math. Dokl. 8(1967), 54–58. [Shi67b] , On a Poincar´e-Birkhoff problem, Math. USSR-Sb 3(1967), 353–371. [Shi69] , On a new type of bifurcation of multidimensional dynamical systems, Soviet Math. Dokl 10 (1969), 1368–1371. [Shi76] I. P. Shil’nikov, Theory of the bifurcation of dynamical systems and dangerous boundaries, Sov. Phys. Dokl. 20 (1976), no. 10, 674–676. [Sij85] J. Sijbrand, Properties of center manifolds, Trans. Amer. Math. Soc. 289 (1985), 431–464. 138 BIBLIOGRAF´ IA BIBLIOGRAF´ IA [Sma67] S. Smale, Differentiable dynamical systems, Bull. Am. Math. Soc. 73 (1967), 747–817. [Smi96] F. Smith, Biological diversity, ecosystem stability and economic development, Ecol. Econ. 16 (1996), no. 3, 191–203. [Son01] M. Sonis, Socio-spatial dynamics and control of bifurcations, Nonlinear Phenomena in Complex Systems 4(2001), no. 3, 264–279. [SPM+01] W. M. Schaffer, B.S. Pederson, B.K. Moore, O. Skarpans, A.A. King, y T.V. Bronnikova, Sub-harmonic resonance and multi-annual oscillations in northern mammals: a non-linear dynamical systems perspective, Chaos, Solitons and Fractals 12 (2001), 251–264. [Str94] S. H. Strogatz, Nonlinear dynamics and chaos, Perseus Publishing, Cambridge, Massachussets, 1994. [SWW01] K. Sznajd-Weron y R. Weron, A new model of mass extinctions, Physica A 293 (2001), 559–565. [Tak73a] F. Takens, Normal forms for certain singularities of vector fields, Ann. Inst. H. Fourier 23 (1973), 163–195. [Tak73b] , Unfoldings of certain singularities of vector fields : Generalized Hopf bifurcations, J. Differential Equations 14 (1973), 476–493. [Tak74a] , Forced oscillations and bifurcations, Com. Math. Inst., Rijk Universiteit Utrecht 3(1974), 1–59. [Tak74b] F. Takens, Singularities of vector fields, Publ. Math. IHES 43 (1974), 47–100. 139