Densidades de probabilidad en núcleos de tres cuerpos
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Densidades de probabilidad en n´ucleos de tres cuerpos Teodoro Jim´enez Lepe Tutores: Jes´us Casal Berbel Jos´e Antonio Lay Valera Trabajo de Fin de Grado Departamento de F´ısica At´omica, Molecular y Nuclear Mayo 2022
´ Indice 1. Introducci´on 4 1.1. N´ucleos halo y sistemas Borromeos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2. Objetivos .................................... 6 2. Metodolog´ıa y desarrollo de contenidos 6 2.1. Sistemas de coordenadas de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.2. Hamiltoniano de un sistema de tres cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.3. Autoestados del hamiltoniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.3.1. Parte angular y de esp´ın . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3.2. Partehiperradial ............................ 19 2.4. Densidades de probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.4.1. Densidades de probabilidad en coordenadas hiperesf´ericas . . . . . . 24 2.4.2. Densidades de probabilidad en coordenadas de Jacobi . . . . . . . . 27 2.5. Observables ................................... 28 2.5.1. Contenido de dineutr´on y cigar-like .................. 28 2.5.2. Radios cuadr´aticos medios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.5.3. Comparaci´on con el deuter´on (2H) .................. 30 3. Resultados 32 3.1. Estado fundamental de 6He (0+)........................ 33 2
3.2. Estado fundamental de 11Li (0+) ....................... 40 4. Resumen y conclusiones 46 Bibliograf´ıa 48 3
1. Introducci´on En este trabajo vamos a estudiar algunas propiedades de n´ucleos ex´oticos que admiten una descripci´on de tres cuerpos. En particular, nos centraremos en sus densidades de probabilidad. En esta secci´on se introduce el problema a tratar y se resumen los objetivos del trabajo. 1.1. N´ucleos halo y sistemas Borromeos Los n´ucleos at´omicos son sistemas constituidos por Anucleones: Zprotones y Nneutrones. Seg´un su ZyN, a un n´ucleo se le puede asignar una posici´on en la carta de Segr`e. Los m´as de tres mil n´ucleos conocidos que la componen est´an confinados entre las l´ıneas de evaporaci´on de neutrones y protones. No pueden existir n´ucleos ligados m´as all´a de estas. S´olo algunos cientos tienen vidas medias y energ´ıas de ligadura elevadas, los cuales se consideran estables y definen el llamado valle de estabilidad, que es una franja central alejada de ambas l´ıneas de evaporaci´on. El resto de n´ucleos son inestables y se suelen denominar ex´oticos. En la figura 1 se muestra la carta de Segr`e para Z≤10 y N≤16 [1]. Los n´ucleos ex´oticos en la zona de n´ucleos ligeros pueden presentar uno o m´as neutrones (o protones) d´ebilmente ligados y un subn´ucleo o estructura mucho m´as ligada que se denomina core. Los nucleones d´ebilmente ligados, llamados nucleones de valencia, presentan funciones de onda con largas colas, lo que implica una probabilidad de presencia mayor de lo habitual en zonas alejadas del core. En ese caso se habla de n´ucleos halo, llamados as´ı por el tenue halo de materia que representa su peculiar distribuci´on de densidad [2, 3]. Para tener un halo apreciable, los nucleones tienen que ocupar estados de bajo momento angular, cuyas funciones de onda son m´as extensas. Los n´ucleos halo presentan propiedades cualitativa y cuantitativamente diferentes a los n´ucleos estables, llegando a cuestionar los enfoques convencionales del Modelo de Capas y Hartree-Fock [4]. Algunas de estas propiedades son: gran secci´on eficaz de interacci´on [1, 5], nuevos n´umeros m´agicos [6] y la extremadamente peque˜na energ´ıa de separaci´on de uno o dos nucleones. Mientras que cerca del valle de estabilidad esta es de 6 −8 MeV, en 4
n 1H2H3H4H5H6H7H 3He 4He 5He 6He 7He 8He 9He 10He 3Li 4Li 5Li 6Li 7Li 8Li 9Li 10Li 11Li 12Li 13Li 5Be 6Be 7Be 8Be 9Be 10Be 11Be 12Be 13Be 14Be 15Be 16Be 6B7B8B9B10B11B12B13B14B15B16B17B18B19B20B 8C9C10C11C12C13C14C15C16C17C18C19C20C21C22C 10N11N12N13N14N15N16N17N18N19N20N21N22N23N 12O13O14O15O16O17O18O19O20O21O22O23O24O 14F15F16F17F18F19F20F21F22F23F24F25F 16Ne 17Ne 18Ne 19Ne 20Ne 21Ne 22Ne 23Ne 24Ne 25Ne 26Ne 0 2 4 6 8 10 12 14 16 0 2 4 6 8 10 N Z p-rich 1phalo 2phalo n-rich 1nhalo 2nhalo stable unbound Figura 1: Carta de Segr`e para Z≤10 y N≤16. Se muestran n´ucleos estables (gris), no ligados (amarillo) y ricos en protones (rojo) y neutrones (azules). Se marcan con uno o dos anillos los n´ucleos halo de uno o dos nucleones respectivamente [1]. estos n´ucleos se pueden encontrar valores inferiores a 1 MeV [2]. Adicionalmente, los n´ucleos halo suelen presentar una probablidad de excitaci´on dipolar el´ectrica al continuo anormalmente grande [7, 8]. Ejemplos de n´ucleos halo ligeros son 11Be, que tiene un neutr´on d´ebilmente ligado, y 6He y11Li, que cuentan con dos de ellos. Los n´ucleos halo de dos neutrones, gracias a su estructura core +n+n, pueden modelarse como un sistema Borromeo de tres cuerpos, evitando abordar el problema m´as complejo de Anucleones. Un sistema Borromeo es un sistema ligado de tres cuerpos cuyos subsistemas binarios son no ligados [1, 4]. Cabe mencionar que no todos los n´ucleos Borromeos han de ser halo, d´ebilmente ligados y/o ex´oticos. Ejemplos de ello son 12C (α+α+α) y 9Be (α+α+n), que son n´ucleos estables. El n´ucleo 11Li fue el primer caso observado de n´ucleo con un halo asociado neutrones d´ebilmente ligados [2]. Tanto 6He (α+n+n) como 11Li (9Li + n+n) son ejemplos claros de n´ucleos halo de dos neutrones y han sido modelados como sistemas de tres cuerpos durante d´ecadas. Adicionalmente, se trata de los n´ucleos halo m´as estudiados experimentalmente [9]. Por ello, constituyen ejemplos ideales para familiarizarse con el formalismo de los arm´onicos hiperesf´ericos (m´etodo que se introducir´a en la secci´on 2) 5
y con las herramientas utilizadas en sistemas cu´anticos de tres cuerpos en general. Para simplificar el trabajo, se supondr´a que el core de 6He y 11Li es inerte. En el caso de 6He, esta aproximaci´on es v´alida ya que la part´ıcula alfa tiene una energ´ıa de excitaci´on muy elevada (≈20 MeV). Para el 11Li, en principio esta simplificaci´on no est´a tan justificada, pero sigue siendo razonable por la escala de energ´ıas: sus dos neutrones de valencia tienen una energ´ıa de separaci´on inferior a 0,5 MeV, y para excitar el core se necesitar´ıan aproximadamente 2,7 MeV[10, 11]. 1.2. Objetivos Este trabajo tiene dos partes. La primera consiste en familiarizarse con el formalismo de arm´onicos hiperesf´ericos para la soluci´on de la Ecuaci´on de Schr¨odinger en sistemas de tres cuerpos y su aplicaci´on a n´ucleos at´omicos. Se busca utilizar procedimientos an´alogos a los conocidos en Mec´anica Cu´antica de sistemas de dos cuerpos para obtener densidades de probabilidad en sistemas de tres cuerpos. En la segunda parte, m´as pr´actica, se pretende estudiar y comparar densidades de probabilidad y observables de 6He y 11Li a partir funciones de onda dadas. Para ello, se plantea generar programas de Matlab®para tratar con las densidades de probabilidad asociadas a diferentes coordenadas. Dado que los escogidos son n´ucleos halo, se espera que estas densidades de probabilidad concuerden con funciones de onda extensas. Veremos que en estos n´ucleos la funci´on de onda presenta un m´aximo asociado a distancias peque˜nas entre los neutrones de valencia, que llamamos dineutr´on, y que podemos cuantificar y comparar. 2. Metodolog´ıa y desarrollo de contenidos 2.1. Sistemas de coordenadas de Jacobi Para abordar un problema de tres cuerpos en un espacio tridimensional, se puede comenzar planteando un sistema de nueve coordenadas: tres para cada cada una de las tres part´ıculas estudiadas; una por cada grado de libertad del conjunto. Sin embargo, tres grados de 6
libertad pueden asociarse al movimiento del centro de masas, que no nos interesa en este caso. Se enfoca el problema, entonces, con seis coordenadas espaciales. En Mec´anica Cu´antica se utiliza el sistema de coordenadas de Jacobi para describir dichos seis grados de libertad restantes. En la figura 2, se observa que el sistema de coordenadas de Jacobi ise caracteriza por describir la posici´on relativa de los cuerpos jyka trav´es de rxi, y la posici´on del cuerpo icon respecto al centro de masas de jyka trav´es de ryi. Las posiciones de los tres cuerpos con respecto a un origen de coordenadas com´un cualquiera son ri,rjyrk, siendo i, j, k una permutaci´on par de 1,2,3. Estas est´an relacionadas con las posiciones relativas a trav´es de las siguientes expresiones: rxi = (rj−rk),(1a) ryi = ri−mjrj+mkrk mj+mk!.(1b) A partir de estas definiciones, se pueden introducir las coordenadas de Jacobi. Como se ha dicho anteriormente, se trata de dos sets de coordenadas esf´ericas: {xi,yi} ≡ {xi, θxi, ϕxi, yi, θyi, ϕyi}. Puede observarse un paralelismo con las coordenadas esf´ericas habituales, pues las coordenadas θxi, ϕxi, θyi, ϕyi se corresponden con los ´angulos polares y azimutales convencionales referidos a los ejes a los que pertenecen rxi yryi respectivamente. Sin embargo, xieyino son las distancias relativas rxi yryi. Est´an relacionadas con ellas seg´un xi=rxiraxi m,(2a) yi=ryirayi m,(2b) donde msuele tomarse como con la unidad at´omica de masas y axi yayi son las masas Figura 2: Sistemas de coordenadas de Jacobi 1, 2 y 3 [1]. 7
reducidas de los subsistemas (constantes de escala): axi=mjmk mj+mk ,(3a) ayi=mi(mj+mk) mi+mj+mk .(3b) A partir de las coordenadas de Jacobi se definen nuevas coordenadas que permiten expresar el hamiltoniano y las funciones de onda del sistema de una forma conveniente. Se trata de las coordenadas hiperesf´ericas: {ρ, αi, θxi, ϕxiθyi, ϕyi}, que conservan las cuatro coordenadas angulares del sistema de Jacobi, pero convierten las dos coordenadas radiales, xie yien una coordenada hiperradial, ρ(hiperradio), y otra angular, αi(hiper´angulo). Estas son las ecuaciones que describen la transformaci´on: ρ2=x2 i+y2 i,(4a) tan αi=xi yi ,(4b) xi=ρsen αi,(4c) yi=ρcos αi.(4d) Cabe aclarar que ρ∈[0,+∞) y no depende del sistema de Jacobi, mientras que αi∈ (0, π/2). Se define un conjunto Ωipara englobar todas las coordenadas angulares: Ωi≡ {αi, θxi, ϕxiθyi, ϕyi}. Es conveniente definir la forma del elemento de volumen, que ser´a necesario para integrar posteriormente: d3xid3yi≡x2 iy2 isen θxisen θyidxidyidθxidθyidϕxidϕyi≡ ≡ρ5(sen αi)2(cos αi)2sen θxisen θyidρdαidθxidθyidϕxidϕyi≡ ≡ρ5(sen αi)2(cos αi)2dρdαidˆxidˆyi≡ρ5(sen αi)2(cos αi)2dρdΩi. (5) En la expresi´on anterior se han usado las ecuaciones (4) y la expresi´on que relaciona dxidyi con dρdαia trav´es del Jacobiano de la transformaci´on: dxidyi= ∂yi ∂ρ ∂y ∂αi ∂xi ∂ρ ∂xi ∂αi dρdαi=ρdρdαi.(6) An´alogamente, a partir de las ecuaciones (2), se pueden relacionar dxidyiydrxidryi: dxidyi=√axiayi mdrxidryi.(7) Los sistemas estudiados en este trabajo, 6He y 11Li, son del tipo core +n+n, por lo que es ´util utilizar un sistema de coordenadas de Jacobi en el que rxconecte a los neutrones 8
entre s´ı, y ry, al centro de masas del subsistema de dos neutrones con el core. Por este motivo, durante el resto de la memoria se utilizar´a el sistema de Jacobi 3, y se omitir´an los sub´ındices que lo distinguen de los sistemas 1 y 2. 2.2. Hamiltoniano de un sistema de tres cuerpos Para analizar las densidades de probabilidad y los observables de inter´es de los sistemas estudiados, es necesario calcular las funciones de onda resolviendo la ecuaci´on de Schr¨odinger. Por ello, es necesario obtener los autoestados y los autovalores del hamiltoniano del sistema. Un desarrollo extenso sobre sistemas de tres cuerpos en coordenadas hiperesf´ericas puede encontrarse en las referencias [1] y [12]. En coordenadas de Jacobi, con ˆ Toperador energ´ıa cin´etica y ˆ Voperador potencial, el hamiltoniano se expresa como: ˆ H(x,y) = ˆ T(x,y) + ˆ V(x,y).(8) El operador energ´ıa cin´etica se puede expresar como una suma de las energ´ıas cin´eticas asociadas a cada uno de los sets de coordenadas esf´ericas de Jacobi, xey[1]: ˆ T(x,y) = ˆ tx(x) + ˆ ty(y) = −ℏ2 2m" 1 x d2 dx2x−ˆ l2 x x2!+ 1 y d2 dy2y− ˆ l2 y y2!#,(9) donde ˆ l2 xyˆ l2 yson los operadores momentos angular orbital asociados a {θx, ϕx}y{θy, ϕy} respectivamente. N´otese que con la presente definici´on, los autovalores de ˆ l2 xyˆ l2 yno incluyen ℏ2. Consequentemente tampoco los autovalores de sus proyecciones incluir´an ℏ. Se puede expresar el operador energ´ıa cin´etica en coordenadas hiperesf´ericas mediante las ecuaciones (4) aplicando la regla de la cadena para funciones multievaluadas [1]: ˆ T(ρ, Ω) = −ℏ2 2m"∂2 ∂ρ2+5 ρ ∂ ∂ρ +1 ρ2 ∂2 ∂α2+1 ρ24 cot (2α)∂ ∂α −ˆ l2 x ρ2sin2α− ˆ l2 y ρ2cos2α#.(10) Se introduce el operador hipermomento, ˆ K(Ω), cuyo cuadrado viene dado por ˆ K2(Ω) = −∂2 ∂α2−4 cot (2α)∂ ∂α +ˆ l2 x sin2α+ ˆ l2 y cos2α,(11) y permite reescribir el operador energ´ıa potencial de una forma m´as compacta: ˆ T(ρ, Ω) = −ℏ2 2m"∂2 ∂ρ2+5 ρ ∂ ∂ρ −1 ρ2ˆ K2(Ω)#.(12) 9
Con estas ´ultimas definiciones, toda la parte angular de la funci´on de onda queda descrita, y se puede avanzar hacia los ´ultimos acoplamientos necesarios para obtener la parte angular y de esp´ın al completo. El n´umero cu´antico jab est´a asociado a los autovectores del operador jab, que es la suma de lySx: jab =l+Sx≡l⊗I+I⊗Sx,(41a) |Ω, σx⟩=|Ω⟩⊗|σx⟩.(41b) El operador jab act´ua sobre el espacio de coordenadas {Ω, σx}. Para generar este subespacio, se puede usar la base de autovectores comunes del CCOC {ˆ K2,ˆ l2 x,ˆ l2 y,ˆ l2,ˆ S2 1,ˆ S2 2,ˆ S2 x, ˆ lz,ˆ Sxz}: |KlSx;mlmSx⟩ ≡ |K(lxly)l(s1s2)Sx;mlmSx⟩ ≡ |Klxly;lml⟩⊗|s1s2;SxmSx⟩.(42) Sin embargo, se usar´a la base acoplada, formada por autovectores comunes del CCOC {ˆ K2,ˆ l2 x,ˆ l2 y,ˆ l2,ˆ S2 1,ˆ S2 2,ˆ S2 x,ˆ j2 ab,ˆ jabz}, que puede desarrollarse en funci´on de los vectores de la ecuaci´on (42) mediante los coeficientes de Clebsch-Gordan implicados: |KlSx;jabmjab ⟩≡|K(lxly)l(s1s2)Sx;jabmjab ⟩= =X mlX mSx ⟨KlSx;mlmSx|KlSx;jabmjab ⟩|KlSx;mlmSx⟩.(43) El n´umero cu´antico jab y su proyecci´on, mjab , han de cumplir |l−Sx| ≤ jab ≤(l−Sx),(44a) mjab =ml+mSx.(44b) En la representaci´on de posiciones, se tiene que "Υlxly Kl (Ω) ⊗ϕSx(σx)#jabmjab =⟨Ω, σx|KlSx;jabmjab ⟩(45) El momento angular total del n´ucleo estudiado viene dado por j, y su proyecci´on, por µ. El n´umero cu´antico jest´a asociado a los autovectores del operador j, que es la suma de jab yS3: j=jab +S3≡jab ⊗I+I⊗S3,(46a) |Ω, σ⟩=|Ω, σx⟩⊗|σ3⟩.(46b) 16
El operador jact´ua sobre el espacio de coordenadas {Ω, σ}. Para generar este subespacio, se puede usar la base de autovectores comunes del CCOC {ˆ K2,ˆ l2 x,ˆ l2 y,ˆ l2,ˆ S2 1,ˆ S2 2,ˆ S2 x, ˆ j2 ab,ˆ S2 3,ˆ jabz,ˆ S3z}: |Kjabs3;mjab ms3⟩ ≡ |K(lSx)jabs3;mjab ms3⟩≡|KlSx;jabmja,b ⟩⊗|s3ms3⟩.(47) Sin embargo, se usar´a la base acoplada, formada por autovectores comunes del CCOC {ˆ K2,ˆ l2 x,ˆ l2 y,ˆ l2,ˆ S2 1,ˆ S2 2,ˆ S2 x,ˆ j2 ab,ˆ S2 3,ˆ j2,ˆ jz}, que puede desarrollarse en funci´on de los vectores de la ecuaci´on (47) mediante los coeficientes de Clebsch-Gordan implicados: |Kjabs3;jµ⟩≡|K(lSx)jabs3;jµ⟩= =X mjab X ms3 ⟨Kjabs3;mjab ms3|Kjabs3;jµ⟩|Kjabs3;mjab ms3⟩.(48) En las ecuaciones (42) y (47) se han introducido abreviaturas para simplificar la forma de los vectores en notaci´on de Dirac. Conviene deshacer esas abreviaturas moment´aneamente para apreciar que todos los n´umeros cu´anticos que caracterizan los canales, β= K, lx, ly, l, Sx, jab, est´an ya incluidos en la base acoplada final. Asimismo, se introduce una nueva notaci´on m´as intuitiva que tiene esto en cuenta. La base de autovectores comunes del CCOC {ˆ K2,ˆ l2 x,ˆ l2 y,ˆ l2,ˆ S2 1,ˆ S2 2,ˆ S2 x,ˆ j2 ab,ˆ S2 3,ˆ j2,ˆ jz}se expresa como: |β;jµ⟩=|Kjabs3;jµ⟩=|K((lxly)l(s1s2)Sx)jabs3;jµ⟩(49) Se puede observar que todos los n´umeros c´uanticos que aparecen en la forma extendida de la base, |K((lxly)l(s1s2)Sx)jabs3;jµ⟩, pertenecen a β, a excepci´on de s1,s2ys3, que se omiten por ser constantes en los casos abordados en este trabajo. El n´umero cu´antico jy su proyecci´on, µ, han de cumplir |jab −s3| ≤ j≤(jab −s3),(50a) µ=mjab +ms3.(50b) En la representaci´on de posiciones, se puede finalmente expresar la parte angular y de esp´ın de la funci´on de onda al completo como se indicaba inicialmente en la ecuaci´on 17: Yjµ β(Ω, σ) = ("Υlxly Kl (Ω) ⊗ϕSx(σx)#jab ⊗κS3(σ3))jµ =⟨Ω, σ|β;jµ⟩.(51) Estas funciones, por ser autovectores de los operadores asociados a los n´umeros cu´anticos de β, cumplen la propiedad de ortonormalidad: ⟨β;jµ|β′;jµ⟩=δββ′.(52) 17
Para los casos estudiados en este trabajo, estados jπ= 0+de 6He y 11Li, se considerar´a que el esp´ın del core (4He y 9Li) es s3= 0. Es conocido que 9Li no puede tener espin nulo, al ser un n´ucleo con n´umero impar de protones (Z= 3) y par de neutrones (N= 6). Sin embargo, se hace esta aproximaci´on para simplificar el desarrollo y los c´alculos [13]. Al asumir s3= 0, el acoplamiento dado por la ecuaci´on (46) se reduce a j=jab ymjab =µ. Ya que los estados estudiados son 0+, se cumplir´a j=jab =mjab = 0. Esto es de esperar porque las dos part´ıculas restantes, dos neutrones, tienden a acoplarse a la configuraci´on de menor energ´ıa, es decir, a esp´ın cero y momento angular orbital cero. El acoplamiento con el momento angular de la tercera part´ıcula, nulo, da lugar al momento angular total nulo del nucleo. Podr´ıa haber, sin embargo, contribuci´on al estado fundamental por parte de otros estados de acoplamiento. Los canales compatibles con los sistemas estudiados cumplir´an β={K, lx, ly, l, Sx, jab}= {K, lx, ly, l, Sx,0}. Dado que j=jab = 0 y que jab =l+Sx,lySxtienen que acoplarse a cero. Por otro lado, paridad positiva (π= 1) implica: (−1)lx+ly= 1.(53) A estas condiciones se les debe a˜nadir el principio de Pauli, que impone que la funci´on de onda sea antisim´etrica ante el intercambio de neutrones (fermiones) id´enticos. Siendo Tx= 1 el isosp´ın de la pareja de neutrones, se tiene: (−1)lx+Sx+Tx=−1 =⇒(−1)lx+Sx= 1.(54) Las condiciones dadas por las expresiones (53) y (54) y la necesidad de acoplar lySxa cero limitan los canales compatibles con los estados estudiados. Si se tiene en cuenta que Sxs´olo puede ser 0 ´o 1 (al provenir del acoplamiento de s1= 1/2 y s2= 1/2), se puede separar el problema en dos m´as sencillos. El caso Sx= 0 implica, teniendo en cuenta l∈N0, que l= 0. Adem´as, la ecuaci´on (54), con Sx= 0, da lugar a que lxsea par. Acoplar lxylyal= 0 s´olo es posible con lx=ly. Por ´ultimo, aplicar π= 1 (ecuaci´on (53)) permite deducir que lyha de ser par, al igual que lx. El caso Sx= 1 implica l= 1. La ecuaci´on (54) s´olo deja disponibles los valores impares de lx. Acoplar lxylyal= 1 conlleva |lx−ly| ≤ 1, y la ecuaci´on (53) obliga a lya ser 18
impar (por ser lximpar). Como consecuencia, |lx−ly| = 1, luego de nuevo |lx−ly|= 0. Este conjunto de condiciones, tanto para Sx= 0 como para Sx= 1, dan lugar a un n´umero infinito de canales compatibles con el problema estudiado, debido a que K= 2n+lx+ly, con n∈N0. En la tabla 1, a modo de ejemplo, se muestran todos los canales compatibles con los estados 0+de 6He y 11Li para un valor m´aximo de Kdado por Kmax = 10. K lxlyl Sxjab 0, 2, ..., 10 0 0 0 0 0 4, 6, 8, 10 2 2 0 0 0 8, 10 4 4 0 0 0 2, 4,...,10 1 1 1 1 0 6, 8, 10 3 3 1 1 0 10 5 5 1 1 0 Tabla 1: Canales (β) compatibles con los estados 0+de 6He y 11Li con Kmax = 10. 2.3.2. Parte hiperradial La parte hiperradial de funci´on de onda no tiene una expresi´on anal´ıtica, a diferencia de la parte angular. Sin embargo, existen m´etodos para estimar estas funciones. Uno de ellos consiste en resolver un sistema de ecuaciones acopladas que se puede obtener a partir de la ecuaci´on de Schr¨odinger, ˆ H(ρ, Ω)ψνjµ(ρ, Ω, σ) = ενjψνjµ(ρ, Ω, σ).(55) Separando las partes de energ´ıa cin´etica y potencial del hamiltoniano y utilizando la funci´on de onda de la forma que indica la ecuaci´on (15), se obtiene: ˆ T(ρ, Ω)ρ−5/2X β′ χνj β′(ρ)Yjµ β′(Ω, σ) + ˆ V(ρ, Ω)ρ−5/2X β′ χνj β′(ρ)Yjµ β′(Ω, σ) = =ενj ρ−5/2X β′ χνj β′(ρ)Yjµ β′(Ω, σ). (56) La forma expl´ıcita del operador energ´ıa cin´etica, que se muestra en la ecuaci´on (12), y la relaci´on ˆ K2(Ω)Yjµ β′(Ω, σ) = K(K+ 4)Yjµ β′(Ω, σ) permiten reorganizar el t´ermino cin´etico 19
de la ecuaci´on de Schr¨odinger: ˆ T(ρ, Ω)ρ−5/2X β′ χνj β′(ρ)Yjµ β′(Ω, σ)=ρ−5/2X β′ ˆ TU(ρ)χνj β′(ρ)Yjµ β′(Ω, σ),(57) con ˆ TU(ρ) = −ℏ2 2m"d2 dρ2−15/4 + K(K+ 4) ρ2#.(58) Se puede continuar el desarrollo aplicando la ecuaci´on (57) en la expresi´on (56), y operando sobre el resultado con el bra asociado a la parte angular, ⟨β;jµ|, por la izquierda. La parte angular de las funciones mostradas en la ecuaci´on (56), por tanto, tambi´en tendr´a que escribirse en notaci´on de Dirac: ⟨β;jµ|ρ−5/2X β′ ˆ TU(ρ)χνj β′(ρ)|β′;jµ⟩+⟨β;jµ|ˆ V(ρ, Ω)ρ−5/2X β′ χνj β′(ρ)|β′;jµ⟩= =⟨β;jµ|ενj ρ−5/2X β χνj β(ρ)|β;jµ⟩. (59) Esta ecuaci´on es una suma de tres elementos de matriz, que constituyen tres integrales sobre todo el subespacio angular, {Ω}. Por tanto, las funciones y operadores que dependen exclusivamente del hiperradio, ρ, se comportan como constantes: ρ−5/2X β′ ˆ TU(ρ)χνj β′(ρ)⟨β;jµ|β′;jµ⟩+ρ−5/2X β′ χνj β′(ρ)⟨β;jµ|ˆ V(ρ, Ω) |β′;jµ⟩= =ενj ρ−5/2X β′ χνj β′(ρ)⟨β;jµ|β;jµ⟩. (60) Aplicando las relaciones de ortonormalidad indicadas en la ecuaci´on (52), reorganizando los t´erminos, y expresando ˆ TU(ρ) seg´un (58), se llega a la expresi´on "−ℏ2 2m d2 dρ2−15/4 + K(K+ 4) ρ2!−ενj#χνj β(ρ) + X β′ χνj β′(ρ)Vjµ ββ′(ρ) = 0,(61) que describe un sistema de tantas ecuaciones acopladas como canales compatibles con jµ tenga el estado estudiado. El hipermomento, K, define una barrera centr´ıfuga en tres cuerpos, an´aloga a la que define el momento angular orbital en problemas de dos cuerpos. Se ha introducido la abreviatura Vjµ ββ′(ρ) = ⟨β;jµ|ˆ V(ρ, Ω) |β;jµ⟩.(62) Resolver el sistema de ecuaciones acopladas (61) num´ericamente permite calcular las funciones hiperradiales, pero resulta m´as sencillo aplicar el conocido como m´etodo de los pseudoestados. 20
En general, el m´etodo de los pseudoestados (PS) consiste en expresar los autovectores {|ek⟩} del hamiltoniano de un sistema como un desarrollo en serie de vectores de una base ortonormal conocida, {|un⟩}, cuyas funciones sean de cuadrado integrable: |ek⟩= ∞ X n=1 c(k) n|un⟩.(63) Si se sustitutye esto en la ecuaci´on de Schr¨odinger, se obtiene: ˆ H ∞ X n=1 c(k) n|un⟩=Ek ∞ X n=1 c(k) n|un⟩.(64) Por ´ultimo, si se aplica el bra ⟨um|por la izquierda, queda: ∞ X n=1 c(k) n⟨um|ˆ H|un⟩=Ek ∞ X n=1 c(k) n⟨um|un⟩=Ekc(k) m.(65) Se pude expresar esta ´ultima ecuaci´on en forma matricial: H1,1H1,2. . . H2,1H2,2. . . . . .. . .... c(k) 1 c(k) 2 . . . =Ek c(k) 1 c(k) 2 . . . ,(66) donde Hm,n =⟨um|ˆ H|un⟩. Conocer los coeficientes {c(k) n}y los vectores de la base {|un⟩}, permite conocer los vectores de la base {|ek⟩}. Resolver este problema es equivalente a diagonalizar la matriz del hamiltoniano. Se puede hacer un desarrollo an´alogo al seguido en las ecuaciones (63)-(66) para calcular las funciones hiperradiales del problema de tres cuerpos. Cada una de ellas puede expresarse como un desarrollo en serie de funciones de la base de oscilador arm´onico transformado (THO). Las funciones de esta base, UTHO iβ (ρ), son funciones de cuadrado sumable que surgen de la transformaci´on de las funciones del oscilador arm´onico (HO). Una de las consecuencias de esta transformaci´on es un cambio en el comportamiento asint´otico. Las funciones HO tienen un comportamiento asint´otico gaussiano, mientras que las THO tienen un decaimiento exponencial, que es el comportamiento conocido de los sistemas f´ısicos ligados [1, 14]. Para que los desarrollos se correspondan exactamente con las funciones hiperradiales, cada canal necesitar´ıa un n´umero infinito de funciones UT HO iβ (ρ) de la base THO. Sin embargo, se hace una aproximaci´on truncando el n´umero de sumandos en imax, donde ise denomina 21
excitaci´on hiperradial [1]. Las funciones hiperradiales, por tanto, se pueden expresar de la siguiente forma: χνj β(ρ) = imax X i=0 Cνj iβ UTHO iβ (ρ).(67) Conociendo la base de funciones de cuadrado integrable, {UT HO iβ (ρ)}, y los coeficientes del desarrollo, {Cνj iβ }, tambi´en se conocer´ıa el conjunto de funciones hiperradiales, {χνj β(ρ)}. Sin embargo, el n´umero de canales que contribuyen a la funci´on de onda del sistema es infinito, como se ve en la ecuaci´on (39), y es necesario, en la pr´actica, limitar el c´alculo. Se establece un valor m´aximo de K,Kmax, que limita el n´umero de canales que describen el sistema. Previamente se ha indicado que el n´umero de excitaciones hiperradiales, (imax+1), tambi´en es finito. Bajo estas aproximaciones, el n´umero de coeficientes, Cνj iβ , necesarios para determinar todas las funciones hiperradiales del sistema es finito. Las funciones de la base de oscilador arm´onico transformado son reales y cumplen la siguiente relaci´on [1]: ZdρUT HO i′β(ρ)UTHO iβ (ρ) = δi′i.(68) La ecuaci´on (67) puede trasladarse a la expresi´on de la funci´on de onda (15): ψνjµ(ρ, Ω, σ) = ρ−5/2 βmax X β imax X i=0 Cνj iβ UTHO iβ (ρ)Yjµ β(Ω, σ),(69) donde se puede ver que el sumatorio asociado a los canales se ve limitado por βmax. No se ha establecido un criterio para ordenar los canales; se intenta expresar que el n´umero de canales est´a limitado por Kmax. Escribiendo (69) en notaci´on de Dirac, obtenemos una ecuaci´on an´aloga a (63): |ν;jµ⟩= βmax X β imax X i=0 Cνj iβ |iβ;jµ⟩,(70) Donde se ha aplicado (16) y |iβ;jµ⟩ → ρ−5/2UT HO iβ (ρ)Yjµ β(Ω, σ). Se puede aplicar el operador hamiltoniano para obtener una ecuaci´on similar a (64), ˆ H(ρ, Ω) β′ max X β′ i′ max X i′=0 Cνj i′β′|i′β′;jµ⟩=ενj β′ max X β′ i′ max X i′=0 Cνj i′β′|i′β′;jµ⟩,(71) en la que se utilizan β′ei′arbitrariamente en lugar de βeipara simplificar el siguiente 22
paso, que consiste en operar con el bra ⟨iβ;jµ|por la izquierda: X β′ i′ max X i′=0 ⟨iβ;jµ|ˆ H(ρ, Ω) |i′β′;jµ⟩Cνj i′β′=ενj X β′ i′ max X i′=0 ⟨iβ;jµ|i′β′;jµ⟩Cνj i′β′.(72) Las relaciones de ortogonalidad de |iβ;jµ⟩son necesarias para continuar con el desarrollo. Pasando a la representaci´on de posiciones, aplicando las relaciones (52) y (68),, se tiene: ⟨iβ;jµ|i′β′;jµ⟩=⟨β;jµ|β′;jµ⟩Zρ5ρ−5/2UTHO iβ (ρ)∗ρ−5/2UTHO i′β′(ρ)= =⟨β;jµ|β′;jµ⟩ZdρUT HO iβ (ρ)∗ UTHO i′β(ρ) = δii′δββ′. .(73) La ecuaci´on (72), por tanto, puede simplificarse: X β′ i′ max X i′=0 Hii′ ββ′Cνj i′β′=ενjCνj iβ ,(74) donde Hii′ ββ′son los elementos de matriz del hamiltoniano en la base de vectores {|iβ;jµ⟩}: Hii′ ββ′=⟨iβ;jµ|ˆ H(ρ, Ω) |i′β′;jµ⟩.(75) Conocer estos elementos de matriz, que pueden calcularse integrando num´ericamente (pues la base {|iβ;jµ⟩} es conocida) da acceso a los coeficientes Cνj iβ resolviendo el problema de autovalores que esboza la ecuaci´on (74) y que se detallar´a a continuaci´on. Se definen las matrices Hββ′yCνj β: Hββ′= H1,1 ββ′. . . Hi,i ββ′. . . H1,imax ββ′ . . ..... . ..... . . Hi,1 ββ′. . . Hi,i ββ′. . . Hi,imax ββ′ . . ..... . ..... . . Himax,1 ββ′. . . Himax,i ββ′. . . Himax,imax ββ′ ,(76a) Cνj β= Cνj 1β . . . Cνj iβ . . . Cνj imaxβ .(76b) 23
El problema de autovalores de la ecuaci´on (74) puede expresarse en forma matricial: Hβ1β1Hβ1β2. . . Hβ1βmax Hβ2β1Hβ2β2. . . Hβ2βmax . . .. . ..... . . Hβmaxβ1Hβmaxβ2. . . Hβmaxβmax Cνj β1 Cνj β2 . . . Cνj βmax =ενj Cνj β1 Cνj β2 . . . Cνj βmax ,(77) donde las matrices que representan al hamiltoniano y al vector de coeficientes se han estructurado en bloques dados por las expresiones (76). 2.4. Densidades de probabilidad Las densidad de probabilidad asociada a la funci´on de onda total del estado del sistema permite conocer la configuraci´on espacial de los tres cuerpos del n´ucleo, es decir, da informaci´on sobre sus posiciones relativas. A su vez, permite calcular, integrando sobre los subespacios adecuados, las densidades de probabilidad relacionadas con magnitudes y probabilidades de inter´es. En este apartado, por simplicidad, se eliminar´a la parte de esp´ın de la funci´on de onda del estado del sistema, luego la ecuaci´on (15) es adaptada sustituyendo las funciones Yjµ β(Ω, σ) por los arm´onicos hiperesf´ericos, que almacenan toda la dependencia angular. La funci´on de onda total se expresar´ıa de la siguiente forma: ψνjµ(ρ, Ω) = ρ−5/2X β χνj β(ρ)Υlxly Klml(Ω).(78) Conviene, para hacer m´as sencilla la notaci´on en los siguientes desarrollos, redefinir el conjunto de n´umeros cu´anticos que constituyen el canal. En este apartado, el canal vendr´a dado por β={K, lx, ly, l, ml}. De esta forma, la ecuaci´on (40) puede reescribirse como ZdΩ(sen α)2(cos α)2Υlxly Klml(Ω)∗ Υl′ xl′ y K′l′m′ l(Ω) = δββ′.(79) 2.4.1. Densidades de probabilidad en coordenadas hiperesf´ericas Para calcular la densidad de probabilidad total, es ´util partir de la probabilidad asociada al elemento de volumen. Se ha de tener en cuenta que cada sistema de coordenadas 24
lleva asociado su propio elemento de volumen, afectando a la expresi´on de la densidad de probabilidad total. La densidad de probabilidad total en coordenadas hiperesf´ericas, Dνj ρ,Ω(ρ, Ω), cumple: Dνj ρ,Ω(ρ, Ω)dρdΩ = |ψνjµ(ρ, Ω)|2ρ5(sen α)2(cos α)2dρdΩ.(80) Utilizando la ecuaci´on (15), se puede expresar la densidad de probabilidad total en funci´on de las partes hiperradial y angular de la funci´on de onda: Dνj ρ,Ω(ρ, Ω) = |ψνjµ(ρ, Ω)|2ρ5(sen α)2(cos α)2= = (sen α)2(cos α)2X β′X βχνj β′(ρ)∗χνj β(ρ)Υl′ xl′ y K′l′m′ l(Ω)∗Υlxly Klml(Ω).(81) Conviene estudiar la norma de la funci´on de onda total. Esto puede hacerse integrando directamente sobre todo el espacio, pero es m´as interesante integrar primero sobre subespacios, para obtener densidades de probabilidad asociadas a los subespacios complementarios. Integrar sobre el subespacio de coordenadas angulares excluyendo la coordenada hiperangular, {θx, ϕx, θy, ϕy}≡{ˆx, ˆy}, permite obtener la densidad de probabilidad en el plano dado por las coordenadas {ρ, α},Dνj ρ,α(ρ, α): Dνj ρ,α(ρ, α) = ZdˆxZdˆyDνj ρ,Ω(ρ, Ω) = = (sen α)2(cos α)2X β′X βχνj β′(ρ)∗χνj β(ρ)ZdˆxZdˆyΥl′ xl′ y K′l′m′ l(Ω)∗Υlxly Klml(Ω). (82) Para obtener una expresi´on expl´ıcita de Dνj ρ,α(ρ, α), ayuda estructurar los canales de una forma distinta: β={K, lx, ly, l, ml}={K, γ}, con γ={lx, ly, l, ml}. Reorganizar los sumatorios e ´ındices de acuerdo con este cambio y utilizar la forma extensa de los arm´onicos hiperesf´ericos (ecuaci´on (18)), permite escribir la ecuaci´on (82) de la siguiente manera: Dνj ρ,α(ρ, α) = ZdˆxZdˆyDνj ρ,Ω(ρ, Ω) = (sen α)2(cos α)2X K′,γ′X K,γ χνj K′,γ′(ρ)∗χνj K,γ(ρ) ×ZdˆxZdˆy"φl′ xl′ y K′(α)Ym′ x l′ x(ˆx)⊗Ym′ y l′ y(ˆyl′m′ l#∗ φlxly K(α)"Ylx(ˆx)⊗Yly(ˆy)#lml . (83) Aplicando las relaciones de ortonormalidad de la ecuaci´on (33), se eliminan los t´erminos del sumatorio que no coinciden en γ, y se llega a una expresi´on compacta para la densidad 25
3. Resultados En esta secci´on, se muestran los resultados de aplicar el fundamento te´orico introducido en la secci´on 2 para los estados fundamentales de n´ucleos de 6He y 11Li. Se estudian cualitativamente las densidades de probabilidad en diferentes subespacios y se extraen magnitudes de inter´es que permiten comparar estos n´ucleos entre s´ı y con la literatura. Dado que las densidades de probabilidad ser´an la herramienta fundamental para visualizar las propiedades estudiadas, necesitaremos conocer las funciones de onda y tratarlas adecuadamente. Las partes hiperradiales de estas, χνj β(ρ), no se calculan en este trabajo. En ambos casos (6He y 11Li), son facilitadas por los tutores, siendo calculadas mediante un programa que hace uso del m´etodo de los pseudoestados [1]. La interacci´on coreneutr´on en 6He est´a ajustada para describir la resonancia p3/2en el subsistema no ligado 5He [7, 17, 18], mientras que en 11Li est´a ajustada seg´un se indica en la referencia [19], bas´andose en los par´ametros de Thompson y Zhukov [17]. En ambos casos, la interacci´on neutr´on-neutr´on se modela utilizando el potencial GPT [20]. La parte pr´actica, que s´ı forma parte de este trabajo, comienza con 66 canales para 6He y 136 canales para 11Li. El n´umero de canales viene directamente limitado por Kmax. Tanto Kmax como imax son los valores (finitos) m´as peque˜nos que ofrecen una convergencia adecuada de la funci´on de onda y la energ´ıa del n´ucleo [1]. No es arbitrario, por tanto, que se parta de un n´umero diferente de canales para 6He y 11Li. De cada uno de los canales, β, se dan como datos sus n´umeros cu´anticos y su funci´on hiperradial. Para cada uno de los n´ucleos, el esquema de trabajo que se ha seguido es el siguiente: Ordenar los canales, β, en conjuntos de canales, γ, que tienen todos los n´umeros cu´anticos comunes excepto K. Calcular los polinomios de Jacobi (Plx+1/2,ly+1/2 n) (ecuaci´on (37)), y constantes de normalizaci´on (Nlxly K) (ecuaci´on (38)) para generar las funciones φlxly K(ecuaci´on (36)). Construir una malla que genere el plano (rx, ry) de una forma coherente con los 32
valores conocidos de χνj ρ(ρ), y que permita calcular la densidad de probabilidad (total y de cada uno de los conjuntos de canales, γ) en este plano. Generar las densidades de probabilidad hiperradiales (total y de cada uno de los canales, β). Integrar adecuadamente la densidad de probabilidad en el plano (rx, ry) para calcular las densidades de probabilidad asociadas a rxyry. Calcular probabilidades, valores medios y par´ametros de inter´es a partir de las densidades de probabilidad obtenidas, as´ı como comprobar que las funciones de onda est´an normalizadas. 3.1. Estado fundamental de 6He (0+) Funciones y densidades hiperradiales. Se representan las funciones hiperradiales de los canales de mayor contribuci´on a la norma en la figura 5. La densidad de probabilidad hiperradial total se muestra en la figura 6, junto a las densidades de probabilidad hiperradiales parciales correspondientes a los canales (β) con mayor contribuci´on. Es conveniente recordar que la densidad hiperradial total puede expresarse como una suma de densidades de probabilidad de cada canal a trav´es de la ecuaci´on (85). Los canales de mayor contribuci´on se presentan en la tabla 2. A partir del conjunto de ecuaciones (98) se pueden obtener el hiperradio medio, la ra´ız cuadrada del hiperradio cuadr´atico medio K lxlyl Sxjab Norma ( %) 2 0 0 0 0 0 78,6 2 1 1 1 1 0 12,2 0 0 0 0 0 0 4,9 6 2 2 0 0 0 1,5 Tabla 2: Canales (β) con contribuci´on superior al 1 % la norma para 6He. 33
Figura 5: Funciones hiperradiales de los canales (β) con mayor contribuci´on a la norma para 6He (l´ıneas continuas). Figura 6: Densidad de probabilidad hiperradial total (l´ına continua roja) y densidades parciales asociadas a los canales (β) con mayor contribuci´on a la norma (l´ıneas discontinuas) para 6He. 34
y la desviaci´on t´ıpica del hiperradio: ⟨ρ⟩= 5,12 fm,(104a) ⟨ρ2⟩1/2= 5,53 fm,(104b) ∆ρ= 2,10 fm,(104c) que son magnitudes relacionadas con el radio de materia del n´ucleo [1]. Densidad de probabilidad en el plano (rx, ry). La densidad de probabilidad en el plano (rx, ry) del estado fundamental de 6He se muestra en la figura 7. Esta densidad de probabilidad puede entenderse como una suma de las densidades de probabilidad asociadas a cada uno de los conjuntos de canales (γ), como se indica en la ecuaci´on (91). Es posible calcular la contribuci´on a la norma de cada uno de estos conjuntos de canales integrando en el plano las densidades de probabilidad parciales correspondientes. En la tabla 3 se muestran los conjuntos con contribuci´on superior al 1 % de la norma total. Se puede observar concordancia con la tabla 2: los canales (β) de mayor contribuci´on pertenecen a los conjuntos (γ) m´as relevantes. Asimismo, estas densidades de probabilidad parciales se muestran en la figura 9 (con la misma escala de color para comparar adecuadamente). Se puede apreciar que el conjunto γ={0,0,0,0,0}predomina y que su densidad de probabilidad parcial es cualitativamente muy similar a la densidad de probabilidad total. El conjunto γ={2,2,0,0,0}no se representa porque, manteniendo la escala de color, no es apreciable (2,4 % de la norma). La densidad de probabilidad s´olo es distinta de cero en un rango relativamente peque˜no de valores de (rx, ry). En la figura 7 se observan dos zonas del espacio con densidad de probabilidad considerable. Se identifican dos picos que se pueden asignar a configuraciolxlyl Sxjab Norma ( %) 0 0 0 0 0 84,0 1 1 1 1 0 12,4 2 2 0 0 0 2,4 Tabla 3: Conjuntos (γ) de canales con contribuci´on superior al 1 % la norma (6He). 35
Figura 7: Densidad de probabilidad total en el plano (rx, ry) para 6He. L´ınea blanca discontinua marcando la recta α=π/4 Figura 8: Densidades de probabilidad parciales en el plano (rx, ry) asociadas a los dos conjuntos γcon mayor contribuci´on a la norma para 6He. L´ıneas blancas discontinuas marcando las rectas α=π/4 36
nes dineutr´on (x≤y) y cigar-like (x>y). Modelar estos picos por separado e integrarlos podr´ıa ser una forma de calcular las probabilidades de dineutr´on y cigar-like. Sin embargo, parte del pico de dineutr´on penetra en la zona de cigar-like, y viceversa. Para determinar las probabilidades de dineutr´on (Pd) y cigar-like (Pc) es conveniente adherirse a las definiciones del conjunto de ecuaciones (97). As´ı, estas probabilidades se obtienen integrando en dos zonas complementarias del plano por separado. Para visualizar que los picos de dineutr´on y cigar-like se solapan y penetran en las zonas opuestas, se representa la densidad de probabilidad, D00 rxry(rx, ry), en tres dimensiones y separando el plano en las dos secciones de inter´es (Figura 9). Las probabilidades de dineutr´on y cigar-like calculadas integrando la densidad en estas regiones son: Pd= 0,65,(105a) Pc= 0,35,(105b) η= 0,30.(105c) Se puede comprobar que el estado fundamental de 6He presenta una configuraci´on mayoritariamente dineutr´on, al ser η > 0 (Pd > Pc). Figura 9: Comparativa de la densidad de probabilidad en las regiones dineutr´on (izquierda) ycigar-like en el plano (rx, ry) para 6He. Densidad de probabilidad asociada a la distancia core-dineutr´on (ry). La densidad de probabilidad asociada a rypara 6He se muestra en la figura 10. Utilizando expresiones an´alogas a las del conjunto de ecuaciones (98) se pueden calcular (para el sistema core-dineutr´on de 6He) el radio medio, la ra´ız cuadrada del radio 37
cuadr´atico medio y la desviaci´on t´ıpica del radio: ⟨ry⟩= 3,27 fm,(106a) ⟨r2 y⟩1/2= 3,76 fm,(106b) ∆ry= 1,86 fm.(106c) Se puede estimar la energ´ıa de ligadura efectiva del sistema core-dineutr´on de 6He mediante un procedimiento an´alogo al que se ha llevado a cabo para el deuter´on en la secci´on 2.5. La representaci´on del logaritmo de la densidad de probabilidad y el ajuste lineal an´alogo a la ecuaci´on (102) se muestran en la figura 11. N´otese que la recta de regresi´on se representa para todo el dominio de la gr´afica, pero s´olo se ajusta a log(Dry(ry)) para el intervalo ry∈[10,25] fm. Este es un intervalo en el que se estima que la densidad de probabilidad ya presenta su comportamiento asint´otico te´orico, pero no se adentra en la zona en la que existen m´as desviaciones. Estas desviaciones se producen debido a que que se ha truncado la base. Aumentar el tama˜no de esta ofrecer´ıa una descripci´on adecuada a distancias mayores. A partir de la pendiente de la recta de mejor ajuste, utlizando la ecuaci´on (103), se puede calcular la energ´ıa de ligadura efectiva asociada a ry: εy= (1,38 ±0,04) MeV.(107) La incertidumbre de εyes el resultado de propagar linealmente la incertidumbre asociada al intervalo de 95 % de confianza de la pendiente de la recta de regresi´on lineal. Es conveniente aclarar que todos los valores de energ´ıa de ligadura efectiva que se mostrar´an en esta memoria, a excepci´on de ε2H x, que puede calcularse anal´ıticamente, llevan asociada una incertidumbre calculada de esta forma. Adicionalmente, las rectas de mejor ajuste de las que se obtienen las pendientes tienen un coeficiente de correlaci´on de Pearson tal que R2≥0,9994 en todos los casos. La energ´ıa de ligadura efectiva de 6He es εy= 1,38 MeV ≈1,6 MeV, que se obtiene en la referencia [21] como un valor adecuado de la energ´ıa de ligadura de un modelo α+dineutr´on para reproducir los resultados de un c´alculo realista de tres cuerpos en el caso de 6He. 38
Figura 10: Densidad de probabilidad asociada a rypara 6He (l´ınea roja continua). Figura 11: Logaritmo en base ede la densidad de probabilidad asociada a rypara 6He (l´ınea roja continua). Ajuste lineal (l´ınea negra discontinua). 39
Densidad de probabilidad asociada a la distancia neutr´on-neutr´on (rx). La densidad de probabilidad asociada a rxpara 6He se muestra en la figura 12. Empleando las mismas herramientas que para la coordenada ry, se pueden obtener, para el subsistema neutr´on-neutr´on, el radio medio, la ra´ız cuadrada del radio cuadr´atico medio, la desviaci´on t´ıpica del radio y la energ´ıa de ligadura efectiva: ⟨rx⟩= 4,15 fm,(108a) ⟨r2 x⟩1/2= 4,85 fm,(108b) ∆rx= 2,52 fm,(108c) εx= (2,47 ±0,12) MeV.(108d) Figura 12: Densidades de probabilidad asociadas a rxpara 6He (l´ınea roja continua). 3.2. Estado fundamental de 11Li (0+) Funciones y densidades hiperradiales. En la figura 13 se muestran las funciones hiperradiales m´as relevantes de 11Li. La densidad de probabilidad hiperradial de 11Li se presenta en la figura 14, junto con la de los canales de mayor contribuci´on y la de 6He. Asimismo, en la tabla 4 se listan sus canales (β) junto con el porcentaje de la norma que aportan. En la tabla 5 se muestra una comparativa de 11Li y 6He en cuanto al 40
Figura 13: Funciones de onda hiperradiales asociadas a los canales (β) con mayor contribuci´on a la norma del estado fundamental de 11Li. Figura 14: Densidad de probabilidad hiperradial total (l´ınea verde continua) y densidades parciales asociadas a los canales (β) con mayor contribuci´on a la norma (l´ıneas discontinuas) del estado fundamental de 11Li. Comparaci´on con la densidad de probabilidad hiperradial de 6He (l´ınea roja continua). 41
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