Aportaciones al diseño de micromáquinas de inducción electrostáticas

Universidad de Las Palmas de Gran Canaria Departamento de Ingenier´ ıa El´ ectrica Tesis Doctoral Aportaciones al Dise˜ no de Microm´ aquinas de Inducci´ on Electrost´ aticas AUTOR : D. Francisco Jorge Santana Mart´ ın Las Palmas de Gran Canaria, Septiembre de 2011. 2 Universidad de Las Palmas de Gran Canaria Departamento de Ingenier´ ıa El´ ectrica Programa de doctorado de Tecnolog´ ıa Industrial Tesis Doctoral Aportaciones al Dise˜ no de Microm´ aquinas de Inducci´ on Electrost´ aticas Autor: Fdo.: Francisco Jorge Santana Mart´ ın Directores: Fdo.: Dr.D. J.M. Monz´ on Verona Fdo.: Dr.D. J.A. Montiel–Nelson Las Palmas de Gran Canaria, Septiembre de 2011. ii iii “El pesimista se queja del viento; el optimista espera que cambie; el realista ajusta las velas.” William George Ward (21 March 1812 - 6 July 1882) was an English Roman Catholic theologian and mathematician. Dedico esta tesis doctoral a mi esposa Margot, y a mis hijos Jorge y Mar´ıa Eugenia. iv Presentaci´on El Real Decreto 1393/2007 de fecha 29 de octubre de 2007 del Ministerio de Educaci´on y Ciencia (BOE n´umero 260 de martes 30 de octubre de 2007) establece la ordenaci´on de las ense˜nanzas universitarias oficiales.Este Real Decreto tiene como objetivo desarrollar la estructura de las ense˜nanzas universitarias oficiales, de acuerdo con las l´ıneas generales emanadas del Espacio Europeo de Educaci´on Superior de conformidad de con lo previsto en el art´ıculo 37 de la Ley Org´anica 6/2001, de 21 de diciembre, de Universidades, en su nueva redacci´on dada por la Ley Org´anica 4/2007, de 12 de abril, por la que se modifica la anterior. La disposici´on transitoria tercera del Real Decreto 1393/2007 establece para aquellos estudiantes que ya hab´ıan iniciado sus estudios de tercer ciclo, lo siguiente: A los estudiantes que en la fecha de entrada en vigor de este real decreto, hubiesen iniciado los estudios de Doctorado, les ser´an de aplicaci´on las disposiciones reguladoras del doctorado y de expedici´on del t´ıtulo de Doctor por las que hubieran iniciado dichos estudios. En todo caso el r´egimen relativo a elaboraci´on, tribunal, defensa y evaluaci´on de la tesis doctoral ser´a aplicable a dichos estudiantes a partir de un a˜no de su entrada en vigor. En lo referente a la elaboraci´on, tribunal, defensa y evaluaci´on de tesis doctorales, el Real Decreto 1393/2007 habilita a las universidades espa˜nolas para el desarrollo reglamentario dentro del ´ambito de sus respectivas competencias en su art´ıculo 21: La Universidad establecer´a procedimientos con el fin de garantizar la calidad de las tesis doctorales tanto en su elaboraci´on como en el proceso de evaluaci´on. Estos procedimientos incluir´an las previsiones relativas a la elecci´on y al registro del tema de la tesis doctoral y a la lengua en la que se redactar´a y en la que se defender´a la tesis doctoral. El reglamento para la elaboraci´on, tribunal, defensa y evaluaci´on de tesis doctorales de la Universidad de Las Palmas de Gran Canaria (ULPGC), desarrolla los art´ıculos 21 y22 del vi Real Decreto 1393/2007, en virtud de dicha habilitaci´on. Respecto al formato y al contenido de la tesis doctoral, el reglamento especifica claramente: Art. 10o. Formato de la tesis En los ejemplares de la tesis doctoral deber´an figurar los siguientes datos: 1. En la tapa de todos los ejemplares, el logotipo o escudo y nombre de la Universidad de Las Palmas de Gran Canaria, el ´organo responsable del Programa de Doctorado, t´ıtulo, autor, fecha y lugar. 2. El ejemplar original contendr´a una primera p´agina en blanco donde los servicios administrativos de la Universidad har´an constar, en su momento, el tribunal, calificaci´on global otorgada, fecha y firmas. La segunda p´agina, contendr´a la certificaci´on del ´organo responsable del Programa de Doctorado con la autorizaci´on para su presentaci´on a dep´osito. 3. En todos los ejemplares, la tercera p´agina contendr´a los siguientes datos: el logotipo o escudo y nombre de la Universidad de Las Palmas de Gran Canaria, el nombre del Programa de Doctorado cursado, el nombre del ´organo responsable del Programa de Doctorado donde se ha realizado la tesis doctoral, el t´ıtulo de la misma, los nombres del autor y director/es, y el lugar y fecha de finalizaci´on. Art. 1o. Contenido de las tesis doctorales La tesis doctoral consistir´a en un trabajo original de investigaci´on elaborado por el candidato en una disciplina relacionada con el Programa de Doctorado cursado. El reglamento especifica en su art´ıculo 5oel procedimiento para tramitar la tesis una vez concluida su redacci´on. Art. 5o. Autorizaci´on y dep´osito de la tesis 1. Finalizada la elaboraci´on de la tesis doctoral, el doctorando entregar´a una copia de la misma, acompa˜nada de la autorizaci´on de el/los director/es, al ´organo responsable del Programa de Doctorado. 2. El ´organo responsable del Programa de Doctorado, en el plazo m´aximo de quince d´ıas, dar´a o no la conformidad para su tramitaci´on. 3. El alumno que haya obtenido la conformidad para el dep´osito de la tesis doctoral, entregar´a en los servicios administrativos de la Universidad 10 ejemplares encuadernados de la misma y una copia en formato digital, acompa˜nado de un folio con un resumen de la tesis a una cara y a doble espacio y la autorizaci´on de el/los director/es. vii Habiendo obtenido la conformidad para el dep´osito de la tesis doctoral por el ´organo responsable del Programa de doctorado, y cumpliendo con los requisitos establecidos en la legislaci´on vigente, se depositan los 10 ejemplares de este documento “Memoria de tesis doctoral” con el fin de proceder al acto de su lectura y defensa. xiv pues presenta m´as ventajas para su fabricaci´on por su geometr´ıa planar. Para la medida de sus prestaciones, y en particular, para obtener el valor de la densidad de esfuerzos del micromotor, se utilizan m´etodos num´ericos. La validaci´on de los resultados realiza por comparaci´on con la ecuaci´on anal´ıtica. Un aspecto de especial inter´es es la dualidad que existe entre el micromotor de inducci´on electrost´atico en la microescala con el motor de inducci´on electromagn´etico en la macroescala. De esta dualidad, cabe derivar el modelo circuital de par´ametros concentrados de dicho micromotor. El ajuste de los par´ametros del modelo para un caso particular se puede realizar con la herramienta de optimizaci´on basada en algoritmos gen´eticos. Como an´alisis avanzado del modelo propuesto, se estudia la influencia que tienen los arm´onicos espaciales sobre la densidad de esfuerzos. La originalidad de esta tesis doctoral tambi´en reside en la metodolog´ıa que se ha empleado para su elaboraci´on. El trabajo de investigaci´on realizado en torno al micromotor de inducci´on electrost´atico ha sido desarrollado de forma progresiva; se ha partido de las leyes f´ısicas que gobiernan su funcionamiento y para, finalmente, culminar con la obtenci´on de un modelo circuital de par´ametros concentrados que lo simula con precisi´on incluso a nivel de arm´onicos espaciales. Se han obtenido los valores de los par´ametros concentrados del modelo circuital para un ejemplo concreto de micromotor. Se ha procedido a su simulaci´on y los resultados han sido coincidentes con los obtenidos aplicando las ecuaciones anal´ıticas. Las conclusiones obtenidas como consecuencia de esta tesis pueden ser de utilidad en los procesos de dise˜no, optimizaci´on y verificaci´on de micromotores de inducci´on electrost´aticos. Se cubre as´ı un aspecto del estado del arte relativo al c´alculo de la densidad de esfuerzos que proporciona este tipo de micromotores. Esta tesis doctoral proporciona una herramienta que permite la simulaci´on y optimizaci´on de estos dispositivos de forma eficiente y con gran precisi´on. Las aportaciones que se realizan en esta tesis doctoral permiten el acceso a nuevos m´etodos y procesos que facilitan la resoluci´on de forma eficaz de determinados problemas relacionados con el dise˜no, optimizaci´on y verificaci´on de micromotores de inducci´on electrost´aticos as´ıncronos de flujo axial. Estas aportaciones se pueden resumir en los siguientes puntos: a) obtenci´on de la ecuaci´on anal´ıtica para el c´alculo de la densidad de esfuerzos del micromotor de inducci´on electrost´atico, b) estudio de la dualidad que existe entre el micromotor de inducci´on electrost´atico en la microescala y el motor de inducci´on electromagn´etico en la macroescala, c) obtenci´on de la curvas caracter´ısticas y sus modos xv de funcionamiento, d) obtenci´on de un modelo circuital de par´ametros concentrados para el micromotor que pueda ser utilizado para el c´alculo de la tensi´on y la densidad de esfuerzos en la interfaz, e) obtenci´on de los valores de los par´ametros concentrados del modelo circuital mediante algoritmos gen´eticos, f) utilizaci´on del modelo circuital para el c´alculo de la densidad de esfuerzos teniendo en cuenta los arm´onicos espaciales, g) aplicaci´on del m´etodo de la celda como m´etodo num´erico alternativo al de elementos finitos. xvi Glosario de T´erminos S´ımbolo Nombre Unidad WEDensidad de energ´ıa el´ectrica J/m3 WMDensidad de energ´ıa magn´etica J/m3 εPermitividad el´ectrica del medio F/m ε0Permitividad el´ectrica del vac´ıo F/m σsConductividad el´ectrica superficial 1/Ω σaConductividad el´ectrica lado a del diel´ectrico 1/Ωm σbConductividad el´ectrica lado b del diel´ectrico 1/Ωm εaPermitividad el´ectrica del lado a del diel´ectrico F/m εbPermitividad el´ectrica del lado b del diel´ectrico F/m JEnerg´ıa J VTensi´on V FFuerza N BInducci´on magn´etica Wb/m2 ECampo el´ectrico V/m LLongitud m pPresi´on N/m2 µPermitividad magn´etica del medio H/m EBCampo el´ectrico de ruptura (Ley Paschen) V/m dDistancia m WBDensidad de energ´ıa el´ectrica ruptura N m xviii ℜReluctancia del circuito magn´etico A/Wb µ0Permitividad magn´etica del vac´ıo H/m AiSecci´on del circuito magn´etico m2 NN´umero de espiras del arrollamiento − iCorriente el´ectrica A ϕFlujo magn´etico Wb JDensidad de corriente el´ectrica volum´etrica A/m2 AωSecci´on del conductor m2 FvDensidad de fuerza J/m3 ApSuperficie de la placa del condensador m2 ωPulsaci´on de la tensi´on rad/s ρeDensidad de carga libre volum´etrica C/m3 v(t)Fuente de tensi´on alterna senoidal V i(t)Fuente de intensidad alterna senoidal A lLongitud de la placa de diel´ectrico m cVelocidad de la luz m/s v0Valor m´aximo de la tensi´on alterna senoidal V i0Valor m´aximo de la intensidad alterna senoidal A ExComponente normal del campo el´ectrico V/m EzComponente tangencial del campo el´ectrico V/m FxComponente normal de la fuerza N FzComponente tangencial de la fuerza N DDesplazamiento el´ectrico C/m2 DxComponente normal del desplazamiento el´ectrico C/m2 DzComponente tangencial del desplazamiento el´ectrico C/m2 −→ nxVector unitario eje x− xix Re Parte real de una magnitud compleja − RKF45 Runge–Kutta–Felberg de orden 4 y 5 − ΨFunci´on objetivo − C1Capacidad F/m2 C2Capacidad F/m2 G′ rConductancia variable S/m2 G2Conductancia S/m2 aAncho del lado a del diel´ectrico m bAncho del lado b del diel´ectrico m TnComponente normal del tensor de Maxwell N/m2 TtComponente tangencial del tensor de Maxwell N/m2 kfDensidad de corriente superficial A/m σfDensidad de carga libre superficial C/m2 σvol Densidad de carga volum´etrica C/m3 vzComponente tangencial de la velocidad m/s jUnidad imaginaria − ˜ V0Valor m´aximo tensi´on aplicada al micromotor V σeff Sigma eficaz 1/Ωm εeff Epsilon eficaz F/m SDeslizamiento − sSeparaci´on entre planos paralelos m ˜ ϕbPotencial el´ectrico en la interfaz en cartesianas V ⟨Tz⟩zValor promedio de la densidad de esfuerzos N/m2 ⟨Tzmax ⟩zValor m´aximo de la densidad de esfuerzos N/m2 PrPotencia de p´erdidas en el rotor W/m2 ηRendimiento del micromotor de inducci´on electrost´atico − xx tTiempo s ggrueso placa met´alica m cVelocidad de la luz m/s vVelocidad lineal m/sg Dα xComponente vector desplazamiento lado αdiel´ectrico C/m2 Dβ xComponente vector desplazamiento lado βdiel´ectrico C/m2 pmm Parte m´ovil del micromotor − ppm Partes por mill´on − MEMS Micro–Electro–Mechanical–System − FEM M´etodo de los Elementos Finitos − C.I. Circuitos Integrados − TMPar motor Nm TRPar resistente Nm TDPar viscoso Nm knLongitud onda de cada arm´onico m−1 VnTensi´on de cada arm´onico V ωrVelocidad angular rpm vLVelocidad lineal m/s τERelaci´on entre σeff yεeff S/F −→ nzVector unitario eje z− ln Logaritmo neperiano − sinh Seno hiperb´olico − cosh Coseno hiperb´olico − GConductancia S/m2 ρCoeficiente de resistividad Ωm ´ Indice 1 Introducci´on 1 1.1 Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Motivaci´onyobjetivos............................ 3 1.3 Oganizaci´on de la memoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4 Resumen de publicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2 Estado del arte 7 2.1 Introducci´on ................................. 8 2.2 Sensores ................................... 8 2.3 Actuadores.................................. 10 2.4 Micromotores ................................ 10 2.5 Clasificaci´on de micromotores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.6 Conclusiones................................. 23 3 Principios de funcionamiento del micromotor de inducci´on electrost´atico 25 3.1 Introducci´on ................................. 26 3.2 Microm´aquinas vs. macrom´aquinas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.3 Densidad de energ´ıa el´ectrica y electromagn´etica en la macroescala . . . . 28 3.4 Densidad de energ´ıa el´ectrica y electromagn´etica en la microescala . . . . 29 3.5 Estudio del micromotor electromagn´etico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.6 Densidaddefuerza.............................. 37 3.7 Desacoplo entre los campos el´ectricos y magn´eticos . . . . . . . . . . . . 39 3.8 Conclusiones................................. 47 4 Modelado del micromotor de inducci´on electrost´atico en 2D 49 4.1 Introducci´on ................................. 51 xxii ´ INDICE 4.2 Desarrollo del modelo anal´ıtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4.3 Placa delgada de diel´ectrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.4 Ley de conservaci´on de la carga en la interfaz . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.5 Evaluaci´on de los t´erminos de la ecuaci´on de la conservaci´on de la carga . 64 4.6 Evaluaci´on de la ecuaci´on de la conservaci´on de la carga en la interfaz . . . 65 4.7 Expresi´on del campo el´ectrico tangencial en la interfaz . . . . . . . . . . . 67 4.8 Densidad superficial de carga en la interfaz . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 4.9 Par´ametros f´ısicos y geom´etricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 4.10 Tensi´on y densidad de carga en funci´on de la distancia . . . . . . . . . . . 68 4.11 Expresi´on anal´ıtica de la densidad de esfuerzos promedios . . . . . . . . . 72 4.12 Modos de funcionamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 4.13 An´alisis de sensibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 4.14Conclusiones................................. 93 5 Modelo de par´ametros concentrados de un micromotor 97 5.1 Introducci´on ................................. 98 5.2 Estructura de un algoritmo gen´etico simple . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 5.3 Ventajas de los algoritmos gen´eticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 5.4 Desventajas de los algoritmos gen´eticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 5.5 T´ecnica para el uso de un algoritmo gen´etico . . . . . . . . . . . . . . . . 104 5.6 Algoritmos gen´eticos: aplicaciones en MEMS . . . . . . . . . . . . . . . . 104 5.7 Aplicaci´on al micromotor de inducci´on electrost´atico . . . . . . . . . . . . 105 5.8 Modelo de par´ametros concentrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 5.9 Ajuste de los par´ametros del circuito equivalente . . . . . . . . . . . . . . 109 5.10 Par´ametros del algoritmo gen´etico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 5.11Resultadosobtenidos............................. 113 5.12 Validaci´on del modelo circuital de par´ametros concentrados . . . . . . . . 115 5.13 Estudio del r´egimen transitorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 5.14 Comparaci´on de resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 5.15Conclusiones................................. 125 6 Estudio de los arm´onicos espaciales 127 6.1 Introducci´on ................................. 128 ´ INDICE xxiii 6.2 Alimentaci´on polif´asica del micromotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 6.3 Modelo tridimensional del micromotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 6.4 Modeloen2D ................................ 131 6.5 Modelocircuital ............................... 132 6.6 An´alisis de arm´onicos espaciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 6.7 Zonas de an´alisis de arm´onicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 6.8 Arm´onicos en los electrodos (Zona A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 6.9 Arm´onicos en el aire (Zona B) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 6.10 Arm´onicos en la interfaz (Zona C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 6.11 Conclusiones del an´alisis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 6.12 Tensi´on y densidad de esfuerzos en la interfaz . . . . . . . . . . . . . . . . 140 6.13 Tensiones y densidades de esfuerzos en la interfaz . . . . . . . . . . . . . 143 6.14Conclusiones................................. 149 7 An´alisis de un micromotor utilizando el m´etodo de la celda 151 7.1 Introducci´on ................................. 152 7.2 Formulaci´on finita del micromotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 7.3 Resultados .................................. 164 7.4 Conclusiones................................. 170 8 Conclusiones y l´ıneas futuras 173 8.1 Conclusiones................................. 173 8.2 L´ıneas futuras de investigaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 A Resumen de publicaciones realizadas 179 Bibliograf´ıa 191 xxx ´ INDICE DE TABLAS Cap´ıtulo 1 Introducci´on ´ Indice 1.1 Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.1 Metodolog´ ıadeTrabajo ...................... 2 1.1.2 Elecci´ on del tipo de micromotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Motivaci´ onyobjetivos........................... 3 1.3 Oganizaci´ ondelamemoria........................ 4 1.4 Resumen de publicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Resumen: El objetivo de esta tesis doctoral es aportar conocimiento para el desarrollo de herramientas que puedan ser utilizadas para el an´alisis, el dise˜no y la optimizaci´on de micromotores de inducci´on electrost´aticos. El campo de los MEMS y en particular el ´area de micromotores, es deficitario en este tipo de instrumentos que son cada vez m´as necesarios para el estudio de estos dispositivos. Como la tecnolog´ıa actual est´a orientada al desarrollo de dispositivos de reducido tama˜no, bajo consumo y tambi´en se dedican esfuerzos al an´alisis, dise˜no y simulaci´on de otros dispositivos no conocidos en la macroescala, se hace fundamental impulsar este tipo de t´ecnicas. Para ello, en esta tesis se ha planteado el desarrollo de un modelo circuital de par´ametros concentrados que simula el comportamiento del micromotor. El modelo propuesto es una aportaci´on novedosa de esta tesis a este campo de investigaci´on. 2 Introducci´on 1.1 Planteamiento del problema Es este apartado es donde se van a resumir los criterios que han de ser tenidos en cuenta para el dise˜no del modelo y la hoja de ruta a seguir para su obtenci´on. 1.1.1 Metodolog´ıa de Trabajo La metodolog´ıa utilizada para la elaboraci´on de esta tesis ha consistido en analizar los campos el´ectricos y magn´eticos y las densidades de esfuerzos que producen ambos campos en la microescala. Se estudian los principios f´ısicos que rigen el funcionamiento de los dispositivos en la microescala y se analizan las leyes de escala. Se analizan distintas topolog´ıas y se elige el micromotor lineal de inducci´on electrost´atico as´ıncrono de flujo axial en la microescala ya que presenta m´as ventajas para su fabricaci´on dada su geometr´ıa planar. Se deduce la ecuaci´on anal´ıtica y se calcula la densidad de esfuerzos, se realiza el mismo c´alculo aplicando m´etodos num´ericos y se comparan ambos resultados. Se realiza un estudio exhaustivo acerca de la dualidad que existe entre el micromotor de inducci´on electrost´atico en la microescala y el motor de inducci´on electromagn´etico en la macroescala. Se hace la elecci´on del modelo circuital de par´ametros concentrados de dicho micromotor y se procede a su validaci´on. Se calculan los valores de los componentes del modelo circuital de par´ametros concentrados para un determinado micromotor aplicando la t´ecnica de los algoritmos gen´eticos. Con el modelo obtenido se calcula la densidad de esfuerzos del micromotor teniendo en cuenta la influencia de los arm´onicos espaciales. El modelo se valida por comparaci´on con los resultados obtenidos al aplicar las ecuaciones anal´ıticas. Las aportaciones de esta tesis son de utilidad para el dise˜no de micromotores de inducci´on electrost´atico as´ıncronos de flujo axial ya que proporciona nuevos m´etodos y procesos que facilitan la resoluci´on de forma eficaz de determinados problemas. Se cubre as´ı un vac´ıo que existe en este campo ya que proporciona una herramienta para la simulaci´on y optimizaci´on de los mismos con una gran reducci´on del tiempo y esfuerzo de computaci´on. 1.1.2 Elecci´on del tipo de micromotor Para la elecci´on del micromotor lineal de inducci´on electrost´atico as´ıncrono de flujo axial aparte de otras ventajas, se tuvo en cuenta la facilidad que existe para su fabricaci´on ya que pueden emplearse las t´ecnicas usadas para los C.I. dada su geometr´ıa planar. Como 1.2 Motivaci´on y objetivos 3 consecuencia del estudio realizado acerca de la dualidad entre el micromotor de inducci´on electrost´atico en la microescala y el motor de inducci´on electromagn´etico en la macroescala, la selecci´on del modelo circuital se hizo teniendo en cuenta las distintas topolog´ıas conocidas en las m´aquinas electromagn´eticas. Realizada esta fase de an´alisis, la selecci´on se inspir´o en los modelos por fase ampliamente descritos y citados en numerosas publicaciones para la m´aquina electromagn´etica. El modelo circuital por fase de par´ametros concentrados elegido para dicho micromotor en la microescala, tiene su fundamento en el modelo circuital de la m´aquina en la macroescala de donde fueron reemplazadas las bobinas por condensadores. 1.2 Motivaci´on y objetivos Esta tesis doctoral es fruto de un dilatado trabajo de investigaci´on realizado por el autor en los ´ultimos a˜nos en la divisi´on de MEMS del Instituto de Microelectr´onica Aplicada (IUMA) de la Universidad de Las Palmas de G.C. bajo la direcci´on de los Doctores Montiel–Nelson y Monz´on–Verona. En ella se analiza en profundidad un tipo micromotor de inducci´on electrost´atico as´ıncrono de flujo axial. La elecci´on de este tipo de micromotor est´a plenamente justificada ya que al tratarse de una m´aquina as´ıncrona, no existen problemas de control de velocidad, su densidad de esfuerzos es constante y es el tipo de m´aquina m´as extendida. La motivaci´on del autor para la elaboraci´on de esta tesis, puede ser entendida desde el punto de vista de su formaci´on acad´emica. En la macroescala, el motor de inducci´on electrost´atico no ha sido tenido en cuenta debido a las elevadas tensiones necesarias para su funcionamiento y la precisi´on que se requiere para su fabricaci´on, sin embargo, teniendo en cuenta los efectos de las magnitudes electromagn´eticas en la microescala y utilizando la tecnolog´ıa microelectr´onica para su fabricaci´on, este tipo de micromotor resulta ser el id´oneo en esta escala. Una vez expuestos estos argumentos se procede a exponer la metodolog´ıa de trabajo seguida en el desarrollo de esta tesis: 1. Obtenci´on de la ecuaci´on anal´ıtica para calcular la densidad de esfuerzos del micromotor de inducci´on electrost´atico. 2. Obtenci´on de las curvas de funcionamiento, punto de reposo, sensibilidad, entre otras, del micromotor. Estudio de la dualidad que existe entre el micromotor de inducci´on electrost´atico en la microescala con el motor de inducci´on electromagn´etico en la macroescala. 4 Introducci´on 3. Obtenci´on de un modelo circuital de par´ametros concentrados del micromotor. 4. Calcular los par´ametros del modelo circuital mediante algoritmos gen´eticos. 5. Utilizaci´on del modelo circuital para el c´alculo de la densidad de esfuerzos considerando los arm´onicos espaciales. 6. Uso del m´etodo de la celda como m´etodo de c´alculo num´erico alternativo al FEM. 1.3 Oganizaci´on de la memoria Esta tesis se ha organizado en ocho cap´ıtulos. El cap´ıtulo 1, ´este, corresponde a la introducci´on. Se hace el planteamiento de la tesis, se expone la motivaci´on y objetivos de la misma, y se relata la organizaci´on de la memoria. Tambi´en se hace un resumen de las publicaciones realizadas relacionadas con la tesis. En el cap´ıtulo 2 se hace una revisi´on del estado del arte dentro del ´area de los micromotores. Se analizan los diferentes tipos seg´un el principio en el que se basa su funcionamiento. En el cap´ıtulo 3, se estudian los principios f´ısicos de funcionamiento de las microm´aqinas —tanto las electrost´aticas como las electromagn´eticas. Se hace un an´alisis de ambas en la micro y en la macroescala. Se comparan los resultados obtenidos. Se concluye que la supremac´ıa corresponde a la microm´aquina electrost´atica en la microescala como contrapartida a la supremac´ıa de la electromagn´etica en la macroescala. Se hace un estudio de las densidades de energ´ıa y de fuerza en ambas escalas. Se estudia el desacoplo entre los campos el´ectricos y magn´eticos en la microescala y se demuestra que el campo el´ectrico es conservativo. Se justifica la construcci´on de la microm´aquina electrost´atica en la microescala. En el cap´ıtulo 4, se procede a desarrollar un modelo para el micromotor de inducci´on electrost´atico siguiendo un estudio paralelo al motor de inducci´on electromagn´etico en la macroescala. Se analizan las leyes en las que basa su funcionamiento, leyes de Maxwell, y se calcula la densidad de esfuerzos que es capaz de proporcionar. Se propone un modelo f´ısico y se calcula la ecuaci´on anal´ıtica. Se obtienen las curvas de tensi´on y las de densidades de carga en la interfaz. Se calcula la densidad de esfuerzos promedios y su valor m´aximo. Tambi´en se calcula la resistividad del metal para una densidad m´axima de esfuerzos en el arranque. Se estudian los diferentes modos de funcionamiento y a continuaci´on se realiza un an´alisis de sensibilidad frente a determinados par´ametros. Se finaliza realizando el c´alculo de la potencia ´util, la de 1.4 Resumen de publicaciones 5 p´erdidas y el rendimiento del micromotor. En el cap´ıtulo 5, se propone el desarrollo de un circuito equivalente de par´ametros concentrados que modele al micromotor de inducci´on electrost´atico. Se procede a la elecci´on de una determinada topolog´ıa para dicho circuito. Los par´ametros de dicho circuito equivalente se ajustan aplicando la t´ecnica de los algoritmos gen´eticos. A continuaci´on se procede a su validaci´on. Se realiza un an´alisis transitorio en el circuito equivalente con los valores de los par´ametros que se han obtenido en el estado estacionario. Este an´alisis refrenda la validaci´on del modelo. El cap´ıtulo 6, se realiza el c´alculo de la densidad de esfuerzos de un micromotor de inducci´on electrost´atico teniendo en cuenta los arm´onicos espaciales. Para ello se utiliza el modelo circuital desarrollado en el cap´ıtulo 5. Los par´ametros concentrados para cada circuito se obtienen utilizando los m´etodos desarrollados en el cap´ıtulo 5 de esta tesis. Se representan gr´aficamente los resultados obtenidos para las densidades de esfuerzos en la interfaz, as´ı como las tensiones en las diferentes zonas de la estructura y en particular en la interfaz. Se estudia la atenuaci´on de los arm´onicos espaciales debido al efecto capacitivo del micromotor. Se estudia la disminuci´on de la densidad de esfuerzos en la interfaz a medida que el orden del arm´onico aumenta. El an´alisis de estos resultados sugiere la validaci´on del modelo. En el cap´ıtulo 7, se procede a analizar un micromotor de inducci´on electrost´atico empleando la formulaci´on finita de las leyes electromagn´eticas. Para la resoluci´on de las ecuaciones se usa el m´etodo de la celda. El dominio se ha discretizado utilizando el tipo denominado baric´entrico–dual. Se ha considerado que las inc´ognitas est´an situadas en los nodos del mallado primario. El cap´ıtulo 8 est´a dedicado a repasar las conclusiones que se han obtenido tras la culminaci´on de esta tesis doctoral y se sugieren algunas l´ıneas de trabajo futuras. En esta memoria tambi´en se incluyen en un Ap´endice los art´ıculos publicados. 1.4 Resumen de publicaciones En el per´ıodo de tiempo transcurrido entre el comienzo del trabajo de investigaci´on hasta la fecha actual, se han ido realizando una serie de publicaciones. En ellas se han comunicado las aportaciones de esta tesis doctoral de inter´es en el campo de los micromotores de inducci´on electrost´aticos y que se relacionan a continuaci´on: 1. Analysis and Modelling of an Electrostatic Induction Micromotor, expuesta en el ICEM 2008, (International Conference on Electrical Machines), en Septiembre de 6 Introducci´on 2008. Villamoura (Portugal). 2. Finite Formulation in 2D for the Analysis of an Electrostatic Induction Micromotor, expuesta en el 2009 IEEE/ASME, (International Conference on Advanced Intelligent Mechatronics), en Julio 2009. Singapore. 3. Operation Modes of an Electrostatic Induction Micromachine, expuesta en el DCIS 2008, (Conference on Design of Circuits and Integrated Systems), en Septiembre de 2009. Grenoble (Francia). 4. Cell Method Analysis of an Electrostatic Induction Micromotor, expuesta en el ISEF 2009, (International Symposium on Electromagnetic Fields in Mechatronics, Electrical and Electronic Engineering), en Septiembre de 2009. Arras (Francia). 5. Lumped Parametric Model for an Electrostatic Induction Micromotor Using GA’s Methods, expuesta en el ISEF 2009, (International Symposium on Electromagnetic Fields in Mechatronics, Electrical and Electronic Engineering), en Septiembre de 2009. Arras (Francia). 6. Lumped Parametric Model for an Electrostatic Induction Micromotor Using GA, expuesta en el IECON 2009 the 35th Annual Conference of the IEEE Industrial Electronics Society, en Noviembre de 2009. Oporto (Portugal). 7. Electro–Quasistatic Analysis of an Electrostatic Induction Micromotor Using the Cell Method, art´ıculo publicado en la revista Sensors 2010, 10, 9102-9117; doi 10.3390/s 101009102 . ISSN 14224-8220. Factor de impacto 5 a˜nos 1.917 (2010). 8. Analysis of Spatial Harmonics in a Polyphase Electrostatic Induction Micromotor, expuesta en el ICEM 2010, (International Conference on Electrical Machines), en Septiembre de 2010. Roma (Italia). 9. Lumped Parametric Model of an Electrostatic Induction Micromotor, Cap´ıtulo 17, Libro Studies in Computational Intelligence. 2010 Springer–Verlag Berl´ın Heidelberg. ISBN 978-3-642-16224-4. e-ISBN 978-3-642-16225-1. 10. Dynamic Analysis of an Electrostatic Microswitch Using Rayleigh–Ritz Method, expuesta en el MASCOT10-IMACS/ISGG Workshop en Octubre de 2010. Roma (Italia). Cap´ıtulo 2 Estado del arte ´ Indice 2.1 Introducci´ on ................................ 8 2.2 Sensores .................................. 8 2.3 Actuadores................................. 10 2.4 Micromotores ............................... 10 2.5 Clasificaci´ on de micromotores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.5.1 Micromotores electromagn´ eticos.................. 15 2.5.2 Micromotor de capacidad variable . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.5.3 Micromotor de inducci´ on electrost´ atico .............. 17 2.5.4 Micromotor wobble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.5.5 Micromotor de efecto corona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.6 Conclusiones................................ 23 Resumen: En este cap´ıtulo se hace una revisi´on del estado del arte sobre la evoluci´on de los Sistemas Micro-Electro-Mec´anicos (MEMS), desde los sensores hasta los convertidores electromec´anicos de energ´ıa, centrando nuestra atenci´on en estos ´ultimos. Los convertidores electromec´anicos de energ´ıa ocupan un lugar importante dentro de las tecnolog´ıas emergentes basadas en MEMS. 8 Estado del arte 2.1 Introducci´on El precursor de este ´area de conocimientos fu´e el Dr. Richard Feynman cuando pronuncia la conferencia titulada There’s Plenty of Room at the Bottom [Feynman, 1992] en el a˜no 1959. En ella estableci´o las bases que conduc´ıan a la ciencia de la escala microsc´opica. Era un nuevo campo de la f´ısica donde no se hab´ıa investigado y en el que Feynman pensaba que exist´ıa un gran potencial por la gran cantidad de aplicaciones t´ecnicas que este campo tendr´ıa en el futuro. Estas t´ecnicas avanzadas no se reducen a un simple proceso de miniaturizaci´on sino al aprovechamiento de las leyes de escala, esto es, la utilizaci´on de las magnitudes f´ısicas dominantes de la materia a escalas microsc´opicas, que son diferentes a las que tienen en la macroescala. Los dispositivos que pueden ser materializados usando esta t´ecnica deben satisfacer determinados requisitos. ´ Estos son, existencia de tecnolog´ıa para su fabricaci´on, condici´on suficiente, y que las propiedades f´ısicas en la microescala sean superiores a las que tienen en la macroescala, condici´on necesaria. 2.2 Sensores En las ´ultimas d´ecadas la industria microelectr´onica ha utilizado la tecnolog´ıa del silicio para la fabricaci´on de MEMS lo que ha supuesto un notable avance cient´ıfico e industrial; las primeros materializaciones realizadas con ´exito de esta t´ecnica, se han obtenido en el campo de los actuadores y sensores. Los sensores MEMS, son usados en automoci´on como aceler´ometros [Mukherjee et al., 2011], sensores de presi´on [Tian et al., 2009; Gupta and Senturia, 1997; Burns et al., 1995] y sistemas de airbag [Kim et al., 1995]; en sistemas [Feynman, 1992] Feynman, R. (1992). There’s Plenty of Room at the Bottom. Microelectromechanical Systems, Journal of, 1(1):60 –66. [Mukherjee et al., 2011] Mukherjee, B., Swamy, K. B. M., Kar, S., and Sen, S. (2011). Effect of Voltage Induced Electrostatic Forces on MEMS Capacitive Accelerometer. In Students’ Technology Symposium (TechSym), 2011 IEEE, pages 253 –258. [Tian et al., 2009] Tian, B., Zhao, Y., Jiang, Z., Zhang, L., Liao, N., Liu, Y., and Meng, C. (2009). Fabrication and Structural Design of Micro Pressure Sensors for Tire Pressure Measurement Systems (TPMS). Sensors, 9(3):1382–1393. [Gupta and Senturia, 1997] Gupta, R. and Senturia, S. (1997). Pull-in Time Dynamics As a Measure of Absolute Pressure. In Micro Electro Mechanical Systems, 1997. MEMS ’97, Proceedings, IEEE., Tenth 2.2 Sensores 9 ´opticos [Fan and Kahrizi, 2003], localizaci´on y navegaci´on [Renaudin et al., 2008; Hung et al., 2010], en perif´ericos de ordenadores donde los MEMS est´an siendo utilizados como llaves codificadas sustituyendo a la codificaci´on software [Zhang et al., 2009]. Tambi´en son usados en medicina para la realizaci´on de pruebas anal´ıticas [Laiwattanapaisal et al., 2009], en cirug´ıa [Rebello, 2004], industria farmac´eutica [Howe and Muller, 1986] y en electr´onica donde son usados como filtros [Nguyen et al., 1998] e interruptores y/o conmutadores de se˜nales de alta frecuencia [Kundu et al., 2010]. En la actualidad, se est´an realizando Annual International Workshop on, pages 290 –294. [Burns et al., 1995] Burns, D., Zook, J., Horning, R., Herb, W., and Guckel, H. (1995). Sealed-cavity Resonant Microbeam Pressure Sensor. Sensors and Actuators A: Physical, 48(3):179 – 186. [Kim et al., 1995] Kim, K. H., Ko, J. S., Cho, Y.-H., Lee, K., Kwak, B. M., and Park, K. (1995). A Skew-symmetric Cantilever Accelerometer for Automotive Airbag Applications. Sensors and Actuators A: Physical, 50(1-2):121 – 126. [Fan and Kahrizi, 2003] Fan, Y. and Kahrizi, M. (2003). An Optical MEMS Sensor System. In Electrical and Computer Engineering, 2003. IEEE CCECE 2003. Canadian Conference on, volume 1, pages 315 – 318. [Renaudin et al., 2008] Renaudin, V., Merminod, B., and Kasser, M. (2008). Optimal Data Fusion for Pedestrian Navigation Based on UWB and MEMS. In Position, Location and Navigation Symposium, 2008 IEEE/ION, pages 341 –349. [Hung et al., 2010] Hung, H.-Y., Chang, D.-R., and Shih, W.-P. (2010). Design and Simulation of a CMOS-MEMS Gyroscope with a Low-noise Sensing Circuit. In Computer Communication Control and Automation (3CA), 2010 International Symposium on, volume 2, pages 253 –256. [Zhang et al., 2009] Zhang, W., Chen, W., Tang, J., Xu, P., Li, Y., and Li, S. (2009). The Development of a Portable Hard Disk Encryption/Decryption System with a MEMS Coded Lock. Sensors, 9(11):9300– 9331. [Laiwattanapaisal et al., 2009] Laiwattanapaisal, W., Songjaroen, T., Maturos, T., Lomas, T., Sappat, A., and Tuantranont, A. (2009). On-Chip Immunoassay for Determination of Urinary Albumin. Sensors, 9(12):10066–10079. [Rebello, 2004] Rebello, K. (2004). Applications of MEMS in Surgery. Proceedings of the IEEE, 92(1):43 – 55. [Howe and Muller, 1986] Howe, R. and Muller, R. (1986). Resonant-microbridge Vapor Sensor. Electron Devices, IEEE Transactions on, 33(4):499 – 506. [Nguyen et al., 1998] Nguyen, C.-C., Katehi, L., and Rebeiz, G. (1998). Micromachined Devices for Wireless Communications. Proceedings of the IEEE, 86(8):1756 –1768. [Kundu et al., 2010] Kundu, A., Sethi, S., Mondal, N., Gupta, B., Lahiri, S., and Saha, H. (2010). Analysis and Optimization of Two Movable Plates RF MEMS Switch for Simultaneous Improvement in Actuation 16 Estado del arte Este motor miniatura de inducci´on electromagn´etico es s´ıncrono y no entra dentro de la clasificaci´on estricta de MEMS debido a sus dimensiones, sin embargo su menci´on es importante dado el tipo de excitaci´on que requiere para su funcionamiento. ´ Este se basa en la interacci´on que existe entre una onda electromagn´etica viajera generada por una serie de microbobinas colocadas en el est´ator y los correspondientes imanes permanentes situados sobre el rotor. En [Koser and Lang, 2006] se estudia una microm´aquina de inducci´on electromagn´etica de cierta potencia dentro de este tipo de dispositivos. 2.5.2 Micromotor de capacidad variable El esfuerzo mec´anico que realiza este micromotor se debe a la falta de alineaci´on que existe entre los electrodos del est´ator y los polos del rotor; conceptualmente es el m´as sencillo de los micromotores electrost´aticos y su estructura mec´anica es muy simple [Mehregany et al., 1990a; Mehregany et al., 1990b]. El principio de funcionamiento de este tipo de micromotor est´a basado en la variaci´on de la capacidad que existe entre dos placas planas y paralelas, que son el ´organo fijo y el ´organo m´ovil, respectivamente, estando dichas placas constru´ıdas con alg´un tipo de material diel´ectrico. En una m´aquina s´ıncrona, el par mec´anico de salida depende del promedio de la cantidad de carga almacenada en esa capacidad variable y se mantiene constante cuando se alcanza el estado estacionario. La tensi´on de alimentaci´on se aplica entre el rotor y el est´ator, estando el rotor a potencial cero mientras que a los electrodos que forman el est´ator se le aplican los pulsos de tensi´on. Como consecuencia de la tensi´on aplicada, aparece un campo electrost´atico entre ambos ´organos que d´a origen a unas fuerzas de origen el´ectrico que tratan de mantener alineados los polos del rotor con los electrodos del est´ator, produciendo as´ı el movimiento de arrastre siendo la velocidad de rotaci´on igual a la velocidad del campo estat´orico. La ventaja de este tipo de micromotores es que pueden ser excitados con tensiones alternas o continuas, siendo una [Koser and Lang, 2006] Koser, H. and Lang, J. (2006). Magnetic Induction Micromachine-part I: Design and Analysis. Microelectromechanical Systems, Journal of, 15(2):415 – 426. [Mehregany et al., 1990a] Mehregany, M., Bart, S., Tavrow, L., Lang, J., Senturia, S., and Schlecht, M. (1990a). A Study of Three Microfabricated Variable-capacitance Motors. Sensors and Actuators A: Physical, 21(1-3):173 – 179. [Mehregany et al., 1990b] Mehregany, M., Senturia, S., and Lang, J. (1990b). Friction and Wear in Microfabricated Harmonic Side-drive Motors. In Solid-State Sensor and Actuator Workshop, 1990. 4th Technical Digest., IEEE, pages 17 –22. 2.5 Clasificaci´on de micromotores 17 desventaja las limitaciones mec´anicas que presentan con respecto a los problemas derivados de rozamientos mec´anicos. Seg´un el movimiento que realicen los micromotores de capacidad variable se dividen en dos tipos, el rotativo y el lineal, los primeros que propusieron las bases conceptuales de los micromotores lineales y rotativos de capacidad variable en 1987 fueron los investigadores [Trimmer and Gabriel, 1987]. La primera generaci´on de micromotores de capacidad variable fueron desarrollados por dos grupos diferentes en la d´ecada de los 80 en la Universidad de California, Berkeley [Fan et al., 1989], y en el Massachusetts Institute of Technology [Mehregany and Tai, 1991]. La fabricaci´on se llev´o a cabo utilizando los procedimientos est´andares procedentes de la fabricaci´on de circuitos integrados conocido como surface micromachining [Bustillo et al., 1998]. Este es un proceso en el que uno de los pasos de fabricaci´on consiste en eliminar de forma selectiva una capa de sacrificio de tal forma que se pueda dar forma a una estructura en el espacio. Otra generaci´on de micromotores de capacidad variable fu´e presentada en 1992, por M. Mehregany et al. donde las distancias interelectr´odicas fueron disminuyendo y se situaron en el rango entre 1 10−3 y2 10−3(m) [Mehregany et al., 1992a]. 2.5.3 Micromotor de inducci´on electrost´atico El motor electrost´atico en la macroescala ha tenido un uso industrial muy restringido [Moon and Lee, 1993]. Siempre fu´e tratado como tema de estudio te´orico [Mognaschi and Calder- [Trimmer and Gabriel, 1987] Trimmer, W. S. N. and Gabriel, K. J. (1987). Design Considerations for a Practical Electrostatic Micro-motor. Sensors and Actuators, 11(2):189 – 206. [Fan et al., 1989] Fan, L.-S., Tai, Y.-C., and Muller, R. (1989). IC-processed Electrostatic Micromotors. Sensors and Actuators, 20(1-2):41–47. [Mehregany and Tai, 1991] Mehregany, M. and Tai, Y.-C. (1991). Surface Micromachined Mechanisms and Micromotors. Journal of Micromechanics and Microengineering, 1(2):73. [Bustillo et al., 1998] Bustillo, J., Howe, R., and Muller, R. (1998). Surface Micromachining for Microelectromechanical Systems. Proceedings of the IEEE, 86(8):1552 –1574. [Mehregany et al., 1992a] Mehregany, Mehran, Senturia, Stephen, D., Lang, Jeffrey, H., Nagarkar, and Pradnya (1992a). Micromotor Fabrication. IEEE Transactions on Electron Devices, 39(9):2060–2069. [Moon and Lee, 1993] Moon, J.-D. and Lee, D.-H. (1993). A Miniature Size Electrostatic Induction Motor. In Industry Applications Society Annual Meeting, 1993., Conference Record of the 1993 IEEE, pages 1754 –1760 vol.3. 18 Estado del arte wood, 1991]. Sin embargo, es el que se considera ´optimo en la microescala. Este hecho se debe a las reducidas dimensiones de la m´aquina ya que tienen dimensiones de micras y las fuerzas electrost´aticas aventajan a las electromagn´eticas en la microescala. En [Martin et al., 2008] se analiza este tipo de micromotor. Por tener una estructura plana se pueden usar las t´ecnicas de fabricaci´on de los circuitos integrados. Estos micromotores por las referencias que se tienen [Fan et al., 1988; Fan et al., 1989; Tai et al., 1989] fueron fabricados a finales de los a˜nos 80 como una alternativa a los motores de capacidad variable. Este tipo de micromotor est´a clasificado como una m´aquina as´ıncrona de flujo axial [Frechette et al., 2001] y su funcionamiento est´a basado en las fuerzas electrost´aticas que aparecen entre el est´ator y el rotor. El dise˜no de este tipo de micromotores tiene mayor complejidad que los de capacidad variable y sin embargo tanto los micromotores de inducci´on electrost´aticos [Bart and Lang, 1989] como los relacionados con microgeneradores [Frechette et al., 2005] han sido desarrollados con ´exito. La tensi´on de alimentaci´on de este tipo [Mognaschi and Calderwood, 1991] Mognaschi, E. and Calderwood, J. (1991). A Dielectric Induction Motor Employing a Rotating Electric Field . In Industry Applications Society Annual Meeting, 1991., Conference Record of the 1991 IEEE, pages 562 –564. [Martin et al., 2008] Martin, F., Montoya, S.-A., Verona, J., and Montiel-Nelson, J. (2008). Analysis and Modeling of an Electrostatic Induction Micromotor. In Electrical Machines, 2008. ICEM 2008. 18th International Conference on, pages 1 –5. [Fan et al., 1988] Fan, L.-S., Tai, Y.-C., and Muller, R. (1988). IC-processed Electrostatic Micro-motors. In Electron Devices Meeting, 1988. IEDM ’88. Technical Digest., International, pages 666 –669. [Fan et al., 1989] Fan, L.-S., Tai, Y.-C., and Muller, R. (1989). IC-processed Electrostatic Micromotors. Sensors and Actuators, 20(1-2):41–47. [Tai et al., 1989] Tai, Y.-C., Fan, L.-S., and Muller, R. (1989). IC-processed Micro-motors: Design, Technology, and Testing. In Micro Electro Mechanical Systems, 1989, Proceedings, An Investigation of Micro Structures, Sensors, Actuators, Machines and Robots. IEEE, pages 1 –6. [Frechette et al., 2001] Frechette, L., Nagle, S., Ghodssi, R., Umans, S., Schmidt, M., and Lang, J. (2001). An Electrostatic Induction Micromotor Supported on Gas-lubricated Bearings. In Micro Electro Mechanical Systems, 2001. MEMS 2001. The 14th IEEE International Conference on, pages 290 –293. [Bart and Lang, 1989] Bart, S. and Lang, J. (1989). Electroquasistatic Induction Micromotors. In Micro Electro Mechanical Systems, 1989, Proceedings, An Investigation of Micro Structures, Sensors, Actuators, Machines and Robots. IEEE, pages 7 –12. [Frechette et al., 2005] Frechette, L., Jacobson, S., Breuer, K., Ehrich, F., Ghodssi, R., Khanna, R., Wong, C. W., Zhang, X., Schmidt, M., and Epstein, A. (2005). High-speed Microfabricated Silicon Turbomachinery and Fluid Film Bearings. Microelectromechanical Systems, Journal of, 14(1):141 – 2.5 Clasificaci´on de micromotores 19 de dispositivos es polif´asica y en la mayor´ıa de las comunicaciones cient´ıficas se relatan la utilizaci´on de inversores hexaf´asicos [Neugebauer et al., 2004]. Estos inversores presentan una gran complejidad por lo que es motivo de variados estudios con el fin de evitar la aparici´on de arm´onicos temporales que perturben su funcionamiento. Esta onda de tensi´on que es dependiente del tiempo y que viaja en el espacio se le aplica a los electrodos del micromotor que conforman el est´ator. Esta onda de tensi´on viajera es la que justifica el funcionamiento de este tipo de micromotor [Melcher et al., 1989a; Woodson and Melcher, 1985]. Este potencial el´ectrico aplicado en el est´ator, induce cargas el´ectricas en la superficie del rotor. Estas cargas se mueven en sincron´ıa con la onda de tensi´on aplicada al est´ator pero con un cierto retraso temporal. Este retraso es consecuencia de la baja conductividad de los materiales con los que se fabrica el rotor. El desfase existente entre la tensi´on aplicada y la carga inducida hace que las fuerzas que aparecen sobre el rotor tengan sus dos componentes no nulas. Las componentes tangenciales producen el movimiento de arrastre, y las componentes normales tratan de separar o unir a ambos ´organos, rotor y est´ator. La magnitud del par o densidad de esfuerzos, depende del tiempo de relajaci´on de la carga, que a su vez, depende de la conductividad del rotor; conductividades muy altas o muy bajas del material con el que se ha constru´ıdo el rotor tiene consecuencias en el valor de la magnitud de la densidad de esfuerzos del micromotor seg´un se demuestra en el cap´ıtulo 4. Los primeros micromotores de inducci´on electrost´aticos que centraron los trabajos de investigaci´on fueron los micromotores lineales [Frangoul and Sundaram, 1995]. Los resultados obtenidos de tales trabajos fueron generalizados y de esa forma se di´o paso al desarrollo y dise˜no de los micromotores rotativos. No obstante lo relatado tambi´en se han 152. [Neugebauer et al., 2004] Neugebauer, T., Perreault, D., Lang, J., and Livermore, C. (2004). A Six-phase Multilevel Inverter for MEMS Electrostatic Induction Micromotors. Circuits and Systems II: Express Briefs, IEEE Transactions on, 51(2):49 – 56. [Melcher et al., 1989a] Melcher, J., Warren, E., and Kotwal, R. (1989a). Theory for Finite-phase Traveling-wave Boundary-guided Transport of Triboelectrified Particles. Industry Applications, IEEE Transactions on, 25(5):949 –955. [Woodson and Melcher, 1985] Woodson, H. H. and Melcher, J. R. (1985). Fields, Forces and Motion. In Electromechanical Dynamics Part II, Malabar, FL: Krieger Pub. Co. [Frangoul and Sundaram, 1995] Frangoul, A. G. and Sundaram, K. B. (1995). Design and Fabrication Process for Electrostatic Side-drive Motors. Journal of Micromechanics and Microengineering, 5(1):11. 20 Estado del arte fabricado micromotores de inducci´on electrost´aticos usando otro tipo de tecnolog´ıa [Samper et al., 1999]. En [Frechette et al., 2001] se referencia un micromotor de inducci´on electrost´atico que gira apoyado sobre microesferas, su velocidad de funcionamiento es de 15,000 revoluciones por minuto —tres (m/s) de velocidad en el extremo del rotor—, la tensi´on de alimentaci´on se realiza con una se˜nal sinusoidal de 100 (V) de valor m´aximo y una frecuencia de 1.8 (MHz), el par m´aximo referenciado es de 0.3 (µNm) y una potencia de 0.5 (mW). Tambi´en en [Livermore et al., 2004] se recoge la fabricaci´on y pruebas de un micromotor capaz de producir un par de 3.5 (µNm) y una potencia de 20 (mW) siendo alimentado con una tensi´on de 90 (V) y una frecuencia de 200 (kHz), la velocidad de rotaci´on es de 55.000 (rpm). En [Nagle et al., 2005] se publica un trabajo sobre el proceso de dise˜no y fabricaci´on de un micromotor hexaf´asico lineal de 131 pares de polos con una distancia de entrehierro de 3 (µm), el valor de la tensi´on aplicada es de 90 (V), a una frecuencia de 300 (kHz). En [Ghalichechian et al., 2007] y [Frechette et al., 2001] presentan la fabricaci´on y modelado de micromotores donde sus ´organos m´oviles se apoyan sobre microesferas. M´as recientemente y para resolver los problemas que surgieron con este tipo de rodamientos se presenta un dispositivo que contiene a las microesferas en su interior [Hergert et al., 2010]. Estas nuevas t´ecnicas que tratan sobre micromotores y microgeneradores tambi´en [Samper et al., 1999] Samper, V., Sangster, A., Reuben, R., and Wallrabe, U. (1999). Torque Evaluation of a LIGA Fabricated Electrostatic Micromotor. Microelectromechanical Systems, Journal of, 8(1):115 –123. [Frechette et al., 2001] Frechette, L., Nagle, S., Ghodssi, R., Umans, S., Schmidt, M., and Lang, J. (2001). An Electrostatic Induction Micromotor Supported on Gas-lubricated Bearings. In Micro Electro Mechanical Systems, 2001. MEMS 2001. The 14th IEEE International Conference on, pages 290 –293. [Livermore et al., 2004] Livermore, C., Forte, A., Lyszczarz, T., Umans, S., Ayon, A., and Lang, J. (2004). A High-power MEMS Electric Induction Motor. Microelectromechanical Systems, Journal of, 13(3):465 – 471. [Nagle et al., 2005] Nagle, S., Livermore, C., Frechette, L., Ghodssi, R., and Lang, J. (2005). An Electric Induction Micromotor. Microelectromechanical Systems, Journal of, 14(5):1127 – 1143. [Ghalichechian et al., 2007] Ghalichechian, N., Modafe, A., Lang, J. H., and Ghodssi, R. (2007). Dynamic Characterization of a Linear Electrostatic Micromotor Supported on Microball Bearings. Sensors and Actuators A: Physical, 136(2):496 – 503. [Hergert et al., 2010] Hergert, R., Ku, I., Reddyhoff, T., and Holmes, A. (2010). Micro Rotary Ball Bearing with Integrated Ball Cage: Fabrication and Characterization. In Micro Electro Mechanical Systems (MEMS), 2010 IEEE 23rd International Conference on, pages 687 –690. 2.5 Clasificaci´on de micromotores 21 han dado paso a otros estudios para resolver temas relacionados con la optimizaci´on del dise˜no. En [Johansson et al., 1994] se hace referencia a la optimizaci´on de la geometr´ıa y en [Dufour et al., 1995] se estudian la optimizaci´on de las dimensiones. Las expectativas de desarrollo en el ´area de los micromotores hacen que estas t´ecnicas de optimizaci´on sean consideradas de inter´es, y en el futuro pueden contribuir a la apertura de nuevas l´ıneas de investigaci´on. 2.5.4 Micromotor wobble Son llamados as´ı porque el principio de operaci´on por el que giran est´a basado en un movimiento de rodadura. En este micromotor cuando ejecuta su movimiento de rotaci´on alrededor de su eje, ´este se balancea ligeramente. La acci´on de rotaci´on con ese ligero balanceo, sigue un patr´on que viene dado por la secuencia y frecuencia de la tensi´on aplicada a los electrodos del est´ator. Es un motor de geometr´ıa plana siendo el rotor un disco circular liso. Para su funcionamiento los electrodos que est´an situados bajo el rotor han de ser alimentados de forma consecutiva. As´ı el disco rot´orico es atra´ıdo por cada electrodo del est´ator utilizando esta atracci´on para producir el movimiento. La parte exterior del disco del rotor entra en contacto con el aislante que est´a situado sobre dichos electrodos. De esta forma el rotor, ligeramente apoyado sobre el aislante, gira describiendo un movimiento circular. En este tipo de m´aquinas pueden aparecer problemas de funcionamiento si los materiales aislantes que se colocan sobre los electrodos del est´ator se desgastan por el rozamiento o debido a su rugosidad frenan al rotor. Otra causa de problemas provienen de la forma geom´etrica del rotor o los apoyos, si ´estos no son circulares, el rotor puede atascarse desde el inicio del movimiento. Este motor presenta ciertas ventajas ya que se reduce la fricci´on y tiene una densidad de esfuerzos elevada a baja velocidad. En algunas aplicaciones la utilizaci´on de este micromotor presenta ciertas dificultades para conectarle una carga debido al balanceo del eje. Este eje puede estar apoyado bi´en sobre un punto o [Johansson et al., 1994] Johansson, T., Van Dessel, M., Belmans, R., and Geysen, W. (1994). Technique for Finding the Optimum Geometry of Electrostatic Micromotors. Industry Applications, IEEE Transactions on, 30(4):912 –919. [Dufour et al., 1995] Dufour, I., Sarraute, E., Abbas, A., and Allano, S. (1995). Optimisation des Dimensions d’un Micromoteur ´ Electrostatique `a L’aide d’une Mod´elisation Analytique du Couple Statique. Les Editions de Physique, pages 2059 – 2074. 22 Estado del arte sobre unos soportes. Se debe tener en cuenta que este eje no se mantiene paralelo al eje geom´etrico del est´ator sino que forman un cierto ´angulo con ´el. En [Daniau et al., 1995] se referencia un micromotor wobble de 6 polos, con un di´ametro interior de 300 (µm) y una altura de 15 (µm) capaz de producir un par de 25 (µNm). 2.5.5 Micromotor de efecto corona Este es un tipo de micromotor que utiliza las fuerzas de repulsi´on electrost´aticas que existen entre los electrodos del est´ator y el rotor para generar un movimiento giratorio. Las tensiones de alimentaci´on son aplicadas a los electrodos del est´ator que presentan unos bordes puntiagudos, de esta forma se generan campos el´ectricos intensos y no uniformes. Como las puntas de los electrodos est´an muy pr´oximas a la superficie del rotor los campos el´ectricos ionizan a las mol´eculas de aire produciendo el efecto corona, de esa manera, estas part´ıculas cargadas que son repelidas por los electrodos del est´ator saltan al rotor y se depositan sobre su superficie fabricada con un material aislante. La superficie del rotor puede ser cargada mediante una descarga parcial de los electrodos del est´ator. Su funcionamiento como motor tiene su origen en esta descarga constante que se produce entre los electrodos del est´ator y el rotor, donde casi toda su superficie aparece cubierta de cargas. T´engase en cuenta que alrededor de la superficie del est´ator los electrodos tienen diferentes polaridades dando lugar a que los sectores alternados del mismo repelan a los sectores del rotor pr´oximos que est´an cargados. A medida que el rotor gira, la carga que est´a situada sobre ´el se enfrenta al siguiente electrodo, se v´e repelido por ´este y realiza un movimiento, con lo que el proceso se repite dando origen al movimiento continuo. Este tipo de micromotor puede ser alimentado con tensi´on continua o alterna. Estos micromotores de efecto corona no son los m´as usados en la microescala por problemas sobre las descargas y la dificultades para su fabricaci´on. Sin embargo, s´ı se han realizado investigaciones sobre micro descargas en MEMS desde finales de 1990. En el a˜no 2003, en [Lee et al., 2005] se present´o un [Daniau et al., 1995] Daniau, W., Ballandras, S., Kubat, L., Hardin, J., Martin, G., and Basrour, S. (1995). Fabrication of an Electrostatic Wobble Micromotor Using Deep-etch UV Lithography, Nickel Electroforming and a Titanium Sacrificial Layer. Journal of Micromechanics and Microengineering, 5(4):270. [Lee et al., 2005] Lee, S., Kim, D., Bryant, M. D., and Ling, F. F. (2005). A Micro Corona Motor. Sensors and Actuators A: Physical, 118(2):226 – 232. 2.6 Conclusiones 23 micromotor de efecto corona siendo la tensi´on de alimentaci´on aplicada de 1300 (V), que alcanz´o una velocidad de rotaci´on de 15.000 (rpm), proporcionado un par de 20 (µNm) siendo su potencia pr´oxima a los 31 (mW). 2.6 Conclusiones En este cap´ıtulo se recoge una revisi´on de los distintos tipos de micromotores que han sido publicados. Se ha comprobado que el tipo de micromotor m´as usado es el de inducci´on electrost´atico. Una conclusi´on que se extrae es la poca investigaci´on que se realiza sobre herramientas de optimizaci´on y test dentro del ´area de micromotores. Para su desarrollo se necesita de la colaboraci´on de otras materias relacionadas con las ciencias de los materiales para analizar las propiedades mec´anicas, el´ectricas, y otras de los materiales tradicionales en la microescala. Otra conclusi´on que se extrae es la necesidad de investigar sobre materiales emergentes que dispongan de nuevas propiedades que cubran ciertas limitaciones que presenta la tecnolog´ıa del silicio [Cimalla et al., 2007; Wilson et al., 2007]. [Cimalla et al., 2007] Cimalla, V., Pezoldt, J., and Ambacher, O. (2007). Group III Nitride and SiC Based MEMS and NEMS: Materials Properties, Technology and Applications. Journal of Physics D: Applied Physics, 40(20):6386. [Wilson et al., 2007] Wilson, S. A., Jourdain, R. P., Zhang, Q., Dorey, R. A., Bowen, C. R., Willander, M., Wahab, Q. U., Willander, M., Al-hilli, S. M., Nur, O., Quandt, E., Johansson, C., Pagounis, E., Kohl, M., Matovic, J., Samel, B., van der Wijngaart, W., Jager, E. W., Carlsson, D., Djinovic, Z., Wegener, M., Moldovan, C., Iosub, R., Abad, E., Wendlandt, M., Rusu, C., and Persson, K. (2007). New Materials for Micro-scale Sensors and Actuators: An Engineering Review. Materials Science and Engineering: R: Reports, 56(1-6):1 – 129. 24 Estado del arte Cap´ıtulo 3 Principios de funcionamiento del micromotor de inducci´on electrost´atico ´ Indice 3.1 Introducci´ on ................................ 26 3.2 Microm´ aquinas vs. macrom´ aquinas................... 27 3.3 Densidad de energ´ ıa el´ ectrica y electromagn´ etica en la macroescala . 28 3.4 Densidad de energ´ ıa el´ ectrica y electromagn´ etica en la microescala . . 29 3.5 Estudio del micromotor electromagn´ etico................ 33 3.6 Densidaddefuerza ............................ 37 3.7 Desacoplo entre los campos el´ ectricos y magn´ eticos . . . . . . . . . . 39 3.7.1 Ondas electromagn´ eticas...................... 40 3.7.2 Condiciones para el desacoplo electromagn´ etico . . . . . . . . . 40 3.7.3 Placas a circuito abierto y excitaci´ on por fuente de tensi´ on . . . . 45 3.7.4 Justificaci´ on de campo el´ ectrico irrotacional . . . . . . . . . . . . 46 3.8 Conclusiones................................ 47 Resumen: En este cap´ıtulo, se estudian los principios f´ısicos de funcionamiento de las microm´aquinas, tanto las accionadas por campos el´ectricos como por campos magn´eticos. Se realiza un estudio de las mismas en la microescala, se comparan los resultados obtenidos y se concluye que en esta escala, predomina la microm´aquina electrost´atica sobre la electromagn´etica, al contrario que en la macroescala. Se realiza un estudio sobre las densidades de energ´ıa electrost´atica 32 Principios de funcionamiento del micromotor de inducci´on electrost´atico 4−5µm. Distancias (m) 1.500 Voltios Voltios (V) 100 1000 10000 1e−06 1e−05 1e−04 0.001 100 1000 10000 1e−06 1e−05 1e−04 0.001 Figura 3.3: Tensi´on de ruptura. µ 4 m ´ Mejor caso magnetico (1T) ´ Densidad de Energia (J/m ) 3 1500V. 5V. 10V. 50V. 100V. Distancias (m) 1e−04 0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 10000 100000 1e+06 1e−05 1e−04 0.001 Figura 3.4: Densidades energ´ıa vs. tensiones. 3.5 Estudio del micromotor electromagn´etico 33 ruptura, impuesta y gobernada por la ley de Paschen [Greason, 2009], y la cota inferior cuyo valor es la tensi´on disponible en el circuito. En general, la tensi´on elegida para la alimentaci´on del mismo tendr´a que ser adecuada a la que pueda soportar el dispositivo, y es un factor a tener en cuenta dado que la densidad de esfuerzos que se obtiene depende del valor de esta tensi´on [Martin et al., 2008]. 3.5 Estudio del micromotor electromagn´etico En este caso, se estudia un micromotor electromagn´etico para compararlo con el micromotor electrost´atico. El micromotor electromagn´etico necesita para su funcionamiento un campo magn´etico de una intensidad dada. Para crearlo se har´a circular una corriente por un conductor. En este caso, la densidad m´axima de energ´ıa, est´a limitada por consideraciones de tipo t´ermico. La densidad m´axima de corriente que admite un conductor de cobre es de 107(A/m2) [Chapman and Krein, 2001] en condiciones normales, despreciando la correcci´on a la misma en funci´on de la temperatura. Para proceder a este estudio se debe dise˜nar una cierta geometr´ıa para cada uno de los dos casos. Para el caso el´ectrico, se parte de un condensador formado por dos placas planas y paralelas separadas por una distancia d, siendo aire el diel´ectrico de separaci´on entre ellas. Para el caso electromagn´etico, se toma una bobina formada por un arrollamiento de hilo conductor sobre un n´ucleo de material ferromagn´etico, al que se le ha practicado una apertura de longitud d, siendo el aire el medio de separaci´on entre extremos de la apertura. En la figura 3.5 se presentan ambas estructuras. En los dos casos el estudio se va a centrar en la evaluaci´on del orden de magnitud de la distancia dde separaci´on entre las placas del condensador, y la distancia d de separaci´on entre las armaduras del n´ucleo de la bobina. De esta forma se comprobar´a si son factibles las microm´aquinas basadas en principios electromagn´eticos. Para calcular la [Greason, 2009] Greason, W. (2009). Effect of Charge Injection Due to ESD on the Operation of MEMS. Industry Applications, IEEE Transactions on, 45(5):1559 –1567. [Martin et al., 2008] Martin, F., Montoya, S.-A., Verona, J., and Montiel-Nelson, J. (2008). Analysis and Modeling of an Electrostatic Induction Micromotor. In Electrical Machines, 2008. ICEM 2008. 18th International Conference on, pages 1 –5. [Chapman and Krein, 2001] Chapman, P. and Krein, P. (2001). Micromotor Technology: Electric Drive Designer’s Perspective. In Industry Applications Conference, 2001. Thirty-Sixth IAS Annual Meeting. Conference Record of the 2001 IEEE, volume 3, pages 1978 –1983. 34 Principios de funcionamiento del micromotor de inducci´on electrost´atico F Vd N i dF B Figura 3.5: Condensador y bobina. densidad de flujo es importante conocer el valor de la reluctancia del circuito magn´etico. Para simplificar se van a despreciar los efectos de borde, es decir, se supone que el ancho de las aperturas de cada uno de los dispositivos mencionados son en los dos casos mayores que las distancias de separaci´on. Se puede expresar, con buena aproximaci´on, que la reluctancia del circuito magn´etico se debe en mayor grado al aire y puede ser formulada mediante la expresi´on siguiente: ℜ=d µoAi (A/Wb)(3.5) siendo dla distancia de separaci´on, µ0la permeabilidad magn´etica del aire, y Aies el ´area de la secci´on perpendicular del circuito magn´etico por donde se cierran las l´ıneas de flujo. El hecho de despreciar los efectos de borde implica que la reluctancia que se va a calcular ser´a menor que la exacta. El flujo total, viene dado por la siguiente expresi´on: ϕ=BAi=Ni ℜ(Wb)(3.6) donde ies el valor de la intensidad de la corriente el´ectrica que circula por el conductor, y Nes el n´umero de espiras del arrollamiento que constituye la bobina. El producto de Ni, se expresa como una densidad de corriente J, que se puede asociar a la que circula por el conductor cuya secci´on sea Aω. Es decir se hace que Ni =JAωy con ello se deduce: BAi=JAω ℜ(Wb)(3.7) P- ' .Lf-- - 3.5 Estudio del micromotor electromagn´etico 35 Como ℜviene dado por la expresi´on 3.5, si se sustituye este valor en la ecuaci´on 3.7, se tiene la expresi´on siguiente: BAi=JAω d/µoAi =JAωµ0Ai d(Wb)(3.8) simplificando y ordenando se obtiene: B=µ0 JAω d(Wb)(3.9) En esta ´ultima expresi´on se observa que no aparece el t´ermino Ai, es decir, se ha conseguido que el valor de la inducci´on sea independiente de la secci´on del circuito magn´etico y dependa de la secci´on del conductor con el que se ha realizado tal arrollamiento, y de una densidad de corriente. Se comprende que en adelante, y por las anteriores consideraciones, siempre ser´a necesario especificar el valor de Aω, que es el ´area del conductor. Con motivo de establecer una comparaci´on, sup´ongase que se quiere generar un campo magn´etico cuya intensidad sea igual a 1 (T) extendido a una distancia de 10 (µm) m´aximo. Se utilizar´a para ello, un conductor que soporta una densidad m´axima de corriente de 107(A/m2) [Chapman and Krein, 2001], sin entrar en consideraciones sobre electromigraci´on. El ´area del conductor requerido, se calcula a partir de la expresi´on siguiente: B=µ0 J Aω d(3.10) Si se sustituyen en la ecuaci´on 3.10 los valores correspondientes a cada una de las variables se tiene: 1 = 12.566 10−71 107Aω 10 10−6 y de aqu´ı se despeja el valor de la secci´on: Aω=10−5 12.566 = 0.0795 10−5= 7.95 10−7≃8 10−7(m2) Esta secci´on es equivalente a la de un cuadrado de √80 10−8≃9 10−4= 900 10−6= 900 (µm) de lado. Este valor del lado del conductor, se puede considerar en principio peque˜no, aunque se advierte, no se ha tenido en cuenta hasta ahora, ning´un factor de relleno — cociente entre la secci´on neta del cobre y la secci´on que ocupa el mismo conductor incluyendo su aislamiento—, lo que l´ogicamente aumentar´ıa este grosor. Es interesante [Chapman and Krein, 2001] Chapman, P. and Krein, P. (2001). Micromotor Technology: Electric Drive Designer’s Perspective. In Industry Applications Conference, 2001. Thirty-Sixth IAS Annual Meeting. Conference Record of the 2001 IEEE, volume 3, pages 1978 –1983. 36 Principios de funcionamiento del micromotor de inducci´on electrost´atico observar que s´olo por el uso de tal conductor se tendr´ıa un micromotor cuyo di´ametro exceder´ıa de 1 (mm). En este punto, se conoce c´omo determinar la secci´on del conductor, y la corriente necesaria que tiene que circular por el mismo. A partir de aqu´ı se puede, te´oricamente, alcanzar la densidad de flujo magn´etico deseado a una distancia dada. Sin embargo, hay problemas para una correcta ejecuci´on de la miniaturizaci´on de todo el conjunto, por lo que la implementaci´on magn´etica presenta bastante dificultad. Existe otro obst´aculo, y no es de naturaleza te´orica, sino que viene impuesto por los l´ımites pr´acticos de las tecnolog´ıas usadas en la fabricaci´on de circuitos integrados. Volviendo al ejemplo que se est´a tratando, se observa que para una distancia de 10 (µm) se necesita que N i = 1 107(A/m2) 8 10−7(m2) = 8 (A). En las m´aquinas macrosc´opicas, el valor de la intensidad que circula por los conductores normalmente es baja, y lo usual es darle a Nun valor muy elevado. Sin embargo, en la literatura publicada hasta la fecha [Chapman and Krein, 2003], no se habla en ning´un caso de valores de Nsuperiores a 20 en cualquiera de los prototipos existentes. Como se v´e, es un valor muy bajo para el n´umero de espiras, siendo este l´ımite impuesto por los procesos de fabricaci´on de estos dispositivos. Por otro lado, hay que contar con las corrientes que pueden soportar los dispositivos, que es tambi´en funci´on de la tecnolog´ıa de fabricaci´on. Por ejemplo, el m´aximo valor permitido y que corresponde al l´ımite t´ermico de la tecnolog´ıa de 5 (µm) es una corriente de, aproximadamente, 1 (mA). Si se considera N=10 como un valor razonable, entonces N i = 10 (mA) que est´a bastante alejado de los 8 (A) que se requieren. A continuaci´on, se muestra en la figura 3.6, que para varias corrientes y un valor de Nigual a 10, las densidades de energ´ıa que se obtienen son mucho m´as peque˜nas al haber restringido el n´umero de espiras. No obstante todo lo expuesto, en [Barbic et al., 2001] se plantea el desarrollo de un micromotor electromagn´etico y en [Barbic, 2002] se hace referencia a las microbobinas. [Chapman and Krein, 2003] Chapman, P. and Krein, P. (2003). Smaller is Better ? . Industry Applications Magazine, IEEE, 9(1):62 – 67. [Barbic et al., 2001] Barbic, M., Mock, J. J., Gray, A. P., and Schultz, S. (2001). Electromagnetic Micromotor for Microfluidics Applications. Applied Physics Letters, 79(9):1399 –1401. [Barbic, 2002] Barbic, M. (2002). Magnetic Wires in MEMS and Bio-medical Applications. Journal of Magnetism and Magnetic Materials, 249(1-2):357 – 367. 3.6 Densidad de fuerza 37 ´ Densidad de Energia (J/m ) 3 1 mA. 10 mA. 100 mA. 1 A. N=10 espiras Distancias (m) 1e−08 1e−06 1e−04 0.01 1 100 10000 1e−05 1e−04 0.001 Figura 3.6: Densidad energ´ıa frente a la distancia. 3.6 Densidad de fuerza Hasta este momento, se ha considerado s´olo la densidad relativa de energ´ıa, ahora se va a considerar, de igual o mayor inter´es para este estudio, las densidades de fuerza que pueden ser producidas por cualquiera de los dos dispositivos, bi´en el electromagn´etico o el electrost´atico [Davey and Klimpke, 2002]. Una vez analizadas ´estas, se pasar´a a una fase posterior de evaluaci´on para despu´es proceder a la comparaci´on de los resultados obtenidos con el objetivo de tener en cuenta las conclusiones finales. Para el caso electromagn´etico v´ease la figura 3.5 y obs´ervese el circuito magn´etico de la misma. Se sabe que un conductor de longitud L, que transporta una corriente de intensidad i, y que est´a situado en un campo magn´etico cuya densidad de flujo vale B, el campo ejerce una fuerza sobre el conductor [Chapman and Krein, 2001] que viene dada por la siguiente expresi´on: F=i L B (3.11) [Davey and Klimpke, 2002] Davey, K. and Klimpke, B. (2002). Computing Forces on Conductors in the Presence of Dielectric Materials. Education, IEEE Transactions on, 45(1):95 –97. [Chapman and Krein, 2001] Chapman, P. and Krein, P. (2001). Micromotor Technology: Electric Drive Designer’s Perspective. In Industry Applications Conference, 2001. Thirty-Sixth IAS Annual Meeting. Conference Record of the 2001 IEEE, volume 3, pages 1978 –1983. 38 Principios de funcionamiento del micromotor de inducci´on electrost´atico Si se divide por el volumen los dos miembros de la anterior igualdad, se tiene la fuerza por unidad de volumen y se expresa como sigue: Fν=i L B L3=i B L2=J B (3.12) siendo Jla densidad de corriente. La densidad de fuerza, est´a limitada por la capacidad t´ermica del conductor, y por el valor de saturaci´on del campo. Para un campo m´aximo de 1 (T), valor de saturaci´on, y una densidad de corriente igual a la m´axima admisible para un conductor de cobre, que es de 107(A/m2), se comprueba que la densidad volum´etrica de fuerza vale 107(A/m3). De la misma forma se procede para el caso electrost´atico y haciendo referencia a la misma figura 3.5 se puede observar el condensador formado por dos placas planas y paralelas, separadas por una distancia, y cuya energ´ıa [Chapman and Krein, 2001] viene dada por la expresi´on siguiente: W=1 2 ε0Ap dV2(3.13) donde Ap, es el ´area de las placas del condensador, y des la distancia que existe entre las mismas. Como la fuerza es la variaci´on de la energ´ıa con respecto de la distancia, esta se puede expresar de la siguiente forma: F=−1 2 ε0Ap d2V2(3.14) Y la fuerza por unidad de volumen viene dada por la ecuaci´on siguiente: Fv=−ε0V2 2d3(3.15) De aqu´ı, se puede observar que para una determinada tensi´on, la fuerza se incrementa muy r´apidamente conforme la distancia disminuye. La distancia a partir de la cual se produce una igualdad de fuerzas, se determina a partir de la ecuaciones 3.12 y 3.15, aplicando un campo de 1 (T) a un conductor que transporte la densidad m´axima de corriente, y un campo el´ectrico de valor m´aximo como se indica en la figura 3.7. Como se observa, se produce a una distancia de 4 (µm) y a una tensi´on de 12 (V). Por debajo de esta distancia, la densidad de fuerza electrost´atica ser´a mayor que la densidad de fuerza electromagn´etica con las restricciones que se han impuesto. [Chapman and Krein, 2001] Chapman, P. and Krein, P. (2001). Micromotor Technology: Electric Drive Designer’s Perspective. In Industry Applications Conference, 2001. Thirty-Sixth IAS Annual Meeting. Conference Record of the 2001 IEEE, volume 3, pages 1978 –1983. 3.7 Desacoplo entre los campos el´ectricos y magn´eticos 39 (12 V, 4 m ) µ Distancias (m) Tensiones (V) 1 10 100 1000 10000 100000 1e−06 1e−05 1e−04 0.001 Figura 3.7: Densidad de fuerzas. 3.7 Desacoplo entre los campos el´ectricos y magn´eticos Las leyes de Maxwell del electromagnetismo se expresan a continuaci´on por medio de las siguientes ecuaciones: Ley de Gauss del campo el´ectrico: ∇·ε0 E=ρe(3.16) Ley de conservaci´on de la carga: ∇·  J+∂ρe ∂t = 0 (3.17) Ley de Amp´ere generalizada: ∇×  B=µ0 J+µ0 ∂(ε0 E) ∂t (3.18) Ley de Faraday de la inducci´on electromagn´etica: ∇×  E=−∂ B ∂t (3.19) Ley de Gauss del campo magn´etico: ∇·  B= 0 (3.20) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ; - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ; - ------------------------- - ~ -- 40 Principios de funcionamiento del micromotor de inducci´on electrost´atico El acoplamiento que existe entre los campos el´ectricos y magn´eticos variables con el tiempo es de inter´es en el estudio del micromotor de inducci´on electrost´atico. Las ondas el´ectricas y magn´eticas variables en el tiempo, en un rango de frecuencias que pueden ir desde las ondas de radio hasta los rayos gamma, pueden ser expresados por las ecuaciones 3.16 a la 3.20. No es corriente estudiar la propagaci´on de ondas electromagn´eticas cuando se tratan fen´omenos electromec´anicos, pero esto no significa que estas interacciones sean inexistentes a cualquier escala de frecuencias. A continuaci´on, se va a realizar un planteamiento acerca de estos fen´omenos de tal forma, que se puedan discriminar los principios esenciales en las interacciones de los campos y su medio. Como paso previo, se proceder´a a una breve descripci´on sobre la propagaci´on de las ondas electromagn´eticas con el fin de encontrar simplificaciones que se puedan aplicar a las microm´aquinas electrost´aticas. 3.7.1 Ondas electromagn´eticas Sup´ongase una regi´on libre del espacio donde no circule corriente (J= 0), y existan campos a los que se puede suponer de aplicaci´on las ecuaciones 3.18 y 3.19. A efectos de simplificaci´on, se restringe la dependencia de los campos a las variables tyx, temporal y de desplazamiento sobre el eje de las x, respectivamente. De la ecuaci´on 3.18, se deduce que la componente en yviene dada por la ecuaci´on siguiente: ∂Bz ∂x =µ0ε0 ∂Ey ∂t (3.21) y de la ecuaci´on 3.19, se deduce que la componente en zviene expresada por la ecuaci´on: ∂Ey ∂x =−∂Bz ∂t (3.22) Estas dos ecuaciones, ponen en evidencia el acoplamiento existente entre los campos el´ectricos y magn´eticos din´amicos y son suficientes para calcular las componentes zey de los campos magn´eticos y el´ectricos, respectivamente. 3.7.2 Condiciones para el desacoplo electromagn´etico Es interesante conocer si en determinadas situaciones ambos campos est´an desacoplados, ya que as´ı fuera, el planteamiento de las ecuaciones se simplificar´ıan y los c´alculos a realizar se ejecutar´an de forma m´as r´apida. Sean dos placas planas y delgadas, fabricadas con un material perfectamente conductor, cuyas dimensiones son dylcorrespondientes al 3.7 Desacoplo entre los campos el´ectricos y magn´eticos 41 largo y ancho, respectivamente. Est´an situadas en el espacio, son paralelas entre si y est´an separadas por una distancia; sea sel valor de la distancia de separaci´on. Para despreciar los efectos de borde, se dimensionan de forma que sus medidas, dylsean muy grandes con respecto a la distancia sde separaci´on. En la figura 3.8 se muestran estas dos placas, y se puede observar que existe un cortocircuito entre las mismas en el punto de abscisa x= 0, y se les excita en el punto de abscisa x=−lcon una fuente de corriente sinusoidal i=i0cos ωt (A). En la figura 3.9 se muestran de nuevo las mismas placas, x z y i(t) d l sEy Bz Figura 3.8: Placas planas cortocircuitadas. pero obs´ervese que est´an en este caso a circuito abierto, y en el punto de abscisa x=−l ahora se les excita con una fuente de tensi´on sinusoidal v=v0cos ωt (V). Se supone + − v(t) d l y z s x Ey Bz Figura 3.9: Placas planas a circuito abierto. adem´as que las excitaciones est´an uniformemente distribuidas a lo largo del eje z. Debido a 48 Principios de funcionamiento del micromotor de inducci´on electrost´atico existe entre los campos el´ectricos y magn´eticos en la microescala y las condiciones necesarias para que exista este desacoplo. Comparando los resultados obtenidos se concluye que en la microescala predomina la microm´aquina electrost´atica sobre la electromagn´etica como contrapartida de la macroescala. Otra conclusi´on de inter´es es la viabilidad que existe para construir la microm´aquina electrost´atica en la microescala —utilizando la t´ecnica de fabricaci´on de los circuitos integrados— mientras que la electromagn´etica presenta dificultades para su construcci´on por lo que se queda fuera del concepto de microm´aquina. Cap´ıtulo 4 Modelado del micromotor de inducci´on electrost´atico en 2D ´ Indice 4.1 Introducci´ on ................................ 51 4.2 Desarrollo del modelo anal´ ıtico...................... 52 4.2.1 C´ alculo de la densidad de esfuerzos. Tensor de Maxwell . . . . . 54 4.3 Placa delgada de diel´ ectrico........................ 56 4.3.1 Componente normal del vector desplazamiento el´ ectrico . . . . . 58 4.3.2 Prototipo de micromotor de inducci´ on electrost´ atico . . . . . . . 59 4.3.3 Principio de funcionamiento del motor de inducci´ on electrost´ atico 60 4.4 Ley de conservaci´ on de la carga en la interfaz . . . . . . . . . . . . . . 62 4.5 Evaluaci´ on de los t´ erminos de la ecuaci´ on de la conservaci´ on de la carga 64 4.5.1 C´ alculo de la (∂σf ∂t )........................ 64 4.5.2 C´ alculo de la divergencia superficial de la densidad de corriente superficial ∇S·(σs Ez+vzσf)................. 64 4.5.3 C´ alculo de n· ∥ σ E∥........................ 64 4.6 Evaluaci´ on de la ecuaci´ on de la conservaci´ on de la carga en la interfaz 65 4.6.1 Expresi´ on del potencial en funci´ on del deslizamiento . . . . . . . 65 4.6.2 Expresi´ on del potencial en funci´ on de τE............. 65 4.7 Expresi´ on del campo el´ ectrico tangencial en la interfaz . . . . . . . . 67 4.8 Densidad superficial de carga en la interfaz . . . . . . . . . . . . . . . 68 50 Modelado del micromotor de inducci´on electrost´atico en 2D 4.9 Par´ ametros f´ ısicos y geom´ etricos..................... 68 4.10 Tensi´ on y densidad de carga en funci´ on de la distancia . . . . . . . . . 68 4.10.1 Curvas de tensiones y densidades de carga frente a distancias . . . 69 4.10.2 Curvas de tensiones y densidades de carga frente a distancias en funci´ on de S............................ 70 4.11 Expresi´ on anal´ ıtica de la densidad de esfuerzos promedios . . . . . . 72 4.11.1 Ecuaci´ on anal´ ıtica de la densidad m´ axima de esfuerzos . . . . . 73 4.11.2 C´ alculo de la conductividad del metal para obtener la densidad de esfuerzos m´ axima en el arranque . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.12 Modos de funcionamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 4.12.1 Funcionamiento como motor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.12.2 Funcionamiento como generador . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 4.12.3 Funcionamiento en modo freno . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4.12.4 Punto de funcionamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.13 An´ alisis de sensibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 4.13.1 Familia de curvas de densidades de esfuerzos frente al deslizamiento para distintos valores de la conductividad . . . . . . . . . 82 4.13.2 Efectos de la variaci´ on del grueso de la capa de aire sobre la densidaddeesfuerzos ......................... 83 4.13.3 Efectos de la variaci´ on del ancho de la capa de material aislante de la parte m´ ovil sobre la densidad de esfuerzos . . . . . . . . . . . 85 4.13.4 Efectos combinados de la variaci´ on del ancho de la capa de aire y la del material aislante de la parte m´ ovil sobre la densidad de esfuerzos .............................. 85 4.13.5 Efecto de la variaci´ on de la conductividad sobre la densidad de corrientesuperficial......................... 86 4.13.6 Optimizaci´ on de la densidad de esfuerzos frente a la conductividad 88 4.13.7 Densidad de potencia mec´ anica producida . . . . . . . . . . . . . 88 4.13.8 Densidad de potencia de p´ erdidas en la parte m´ ovil del micromotor 90 4.13.9 Rendimiento de un micromotor de inducci´ on electrost´ atico . . . . 92 4.1 Introducci´on 51 4.14Conclusiones................................ 93 Resumen: El modelado de un m´aquina de inducci´on electromagn´etica siempre ha sido de inter´es para los ingenieros el´ectricos, ya que es una herramienta sencilla de utilizar y proporciona un gran ahorro de tiempo en la fase dise˜no y test. En esta tesis se aporta un estudio paralelo en el mundo de la microescala, del micromotor de inducci´on electrost´atico. Para lograr este objetivo, en este cap´ıtulo se realiza un estudio detallado siguiendo la siguiente estructura. En la secci´on 4.2 se propone el desarrollo de un modelo anal´ıtico y se calcula la densidad de esfuerzos. En la secci´on 4.3 se realiza un estudio sobre una placa delgada de diel´ectrico, se propone un prototipo para el micromotor de inducci´on electrost´atico y se estudia el fundamento de su funcionamiento. En la secci´on 4.4, para llegar a la expresi´on anal´ıtica del modelo matem´atico se estudia la ley de conservaci´on de la carga en la interfaz. En la secci´on 4.5 se procede a la evaluaci´on de los t´erminos que la componen. En la secci´on 4.6 se procede a calcular la expresi´on del potencial en la interfaz en funci´on del deslizamiento. A continuaci´on, en la secci´on 4.7 se realiza el c´alculo de la expresi´on del campo el´ectrico tangencial en la interfaz y en la 4.8 se estudia la densidad superficial de carga en la interfaz en funci´on de los diversos parar´ametros f´ısicos y geom´etricos del mismo. En la secci´on 4.9 se indican los par´ametros f´ısicos y geom´etricos. En la secci´on 4.10 se obtienen las curvas de tensi´on y densidades de carga frente a la distancia. En la secci´on 4.11 se calculan las expresiones anal´ıticas de la densidad de esfuerzos promedios, la densidad m´axima de esfuerzos y la expresi´on para calcular la conductividad del metal para obtener la densidad de esfuerzos m´axima en el arranque. En la secci´on 4.12 se analizan los diferentes modos de funcionamiento del micromotor —como motor, generador y freno. En la secci´on 4.13 se hace un an´alisis de sensibilidad frente a determinados par´ametros, tanto f´ısicos como dimensionales. Se finaliza realizando el c´alculo de la potencia entregada y la de p´erdidas as´ı como el rendimiento del micromotor. En la secci´on 4.14 se rese˜nan las conclusiones de este cap´ıtulo. 4.1 Introducci´on En este cap´ıtulo se estudia el micromotor de inducci´on electrost´atico y su modelado. Este micromotor presenta mejores caracter´ısticas en la microescala que el micromotor de in- 52 Modelado del micromotor de inducci´on electrost´atico en 2D ducci´on electromagn´etico como se demostr´o en el cap´ıtulo 3. Para obtener las ecuaciones anal´ıticas [Dufour et al., 1996; Martin et al., 2008] que modelan al micromotor de inducci´on electrost´atico es necesario realizar un estudio amplio de los principios f´ısicos en los que basa su funcionamiento. Un aspecto que hay que tener en cuenta es el efecto despreciable del campo magn´etico frente al el´ectrico por el desacoplo que existe entre ambos campos en la microescala v´ease el cap´ıtulo 3. El micromotor a estudiar est´a constituido por dos partes, una fija y otra m´ovil que est´an separados por una distancia y en su interior hay un diel´ectrico —que puede ser aire— entre los que se aplica una onda de tensi´on como excitaci´on. Por la similitud existente entre ambos, se va a realizar el estudio de un problema m´as sencillo utilizando una l´amina rectangular y delgada de un material diel´ectrico cuya altura es despreciable con respecto a su longitud —para que sean de aplicaci´on los criterios que se han discutido en el cap´ıtulo 3— y entre cuyas bases se aplica una onda viajera de tensi´on para su excitaci´on [Dunn et al., 1969; Melcher et al., 1989a]. Este es el caso del micromotor de inducci´on electrost´atico ya que f´ısicamente son an´alogos y las condiciones de contorno son las mismas. Toda la informaci´on y las conclusiones que se extraigan, ser´an tenidas en cuenta en el dise˜no del micromotor. 4.2 Desarrollo del modelo anal´ıtico El desarrollo de modelos matem´aticos ha sido de inter´es para el estudio de m´aquinas el´ectricas [Charpentier et al., 1995; Martin et al., 2008; Yamazaki et al., 2011; Hameyer, [Dufour et al., 1996] Dufour, I., Sarraute, E., and Abbas, A. (1996). Optimization of the Geometry of Electrostatic Micromotors Using Only Analytical Equations. Journal of Micromechanics and Microengineering, 6(1):108. [Martin et al., 2008] Martin, F., Montoya, S.-A., Verona, J., and Montiel-Nelson, J. (2008). Analysis and Modeling of an Electrostatic Induction Micromotor. In Electrical Machines, 2008. ICEM 2008. 18th International Conference on, pages 1 –5. [Dunn et al., 1969] Dunn, D., Wallace, R., and Choi, S. (1969). Waves in a Moving Medium with Finite Conductivity. Proceedings of the IEEE, 57(1):45 – 57. [Melcher et al., 1989a] Melcher, J., Warren, E., and Kotwal, R. (1989a). Theory for Finite-phase Traveling-wave Boundary-guided Transport of Triboelectrified Particles. Industry Applications, IEEE Transactions on, 25(5):949 –955. [Charpentier et al., 1995] Charpentier, J., Lefevre, Y., Sarraute, E., and Trannoy, B. (1995). Synthesis and Modelling of an Electrostatic Induction Motor. Magnetics, IEEE Transactions on, 31(3):1404 4.2 Desarrollo del modelo anal´ıtico 53 1999; Ho et al., 1999]. De forma similar si se quiere desarrollar un modelo matem´atico del micromotor de inducci´on electrost´atico se necesita conocer el principio en el que se basa su funcionamiento. En este caso, est´a fundamentado en la interacci´on que existe entre un potencial el´ectrico y las cargas el´ectricas inducidas por el mismo. Para efectuar un estudio detallado del mismo es necesario plantear una serie de consideraciones que permitan calcular determinadas magnitudes. Entre las m´as relevantes son el conocimiento de la densidad de esfuerzos [Bart and Lang, 1989] que puede producir, la densidad m´axima de esfuerzos en el arranque, sus modos de funcionamiento y otros. En la figura 4.1, se muestra un conCONVERTIDOR ELECTROMECANICO DE ENERGIA V I vLωr o TD TR TM 00000 00000 00000 00000 00000 11111 11111 11111 11111 11111 MUNDO ELECTRICO ´ MUNDO MECANICO ´ ´ ´ PEI ω Micromaquina ´ Figura 4.1: Convertidor electromec´anico de energ´ıa. vertidor electromec´anico de energ´ıa, donde se observa c´omo se produce la transformaci´on –1407. [Yamazaki et al., 2011] Yamazaki, K., Suzuki, A., Ohto, M., Takakura, T., and Nakagawa, S. (2011). Equivalent Circuit Modeling of Induction Motors Considering Stray Load Loss and Harmonic Torques Using Finite Element Method. Magnetics, IEEE Transactions on, 47(5):986 –989. [Hameyer, 1999] Hameyer, K. (1999). Quasi Static Field Computation by Finite Elements: Recent Developments with Respect to the Modeling of Electrical Machines. Computational Methods in Engineering’99, pages 1 – 20. [Ho et al., 1999] Ho, S., Fu, W., and Li, H. (1999). The State of Art on Dynamic Mathematical Models of Induction Machines: Circuit-field Coupled Models. In Power Electronics and Drive Systems, 1999. PEDS ’99. Proceedings of the IEEE 1999 International Conference on, volume 1, pages 525 –530. [Bart and Lang, 1989] Bart, S. and Lang, J. (1989). Electroquasistatic Induction Micromotors. In Micro Electro Mechanical Systems, 1989, Proceedings, An Investigation of Micro Structures, Sensors, Actuators, Machines and Robots. IEEE, pages 7 –12. 54 Modelado del micromotor de inducci´on electrost´atico en 2D de energ´ıa el´ectrica en energ´ıa mec´anica y viceversa. Se ha representado por un cuadripolo, que recibe a su entrada una cierta potencia de energ´ıa el´ectrica, consumiendo una cierta corriente I, cuando se le aplica una tensi´on V. A la salida del cuadripolo, se obtiene un par el´ectrico interno que hace mover al rotor con una cierta velocidad wrovL, seg´un sea este convertidor rotativo o lineal. En dicha figura se muestran los pares resistentes y los de fricci´on viscosa. 4.2.1 C´alculo de la densidad de esfuerzos. Tensor de Maxwell El c´alculo de la densidad de esfuerzos en MEMS es realizada siguiendo diferentes m´etodos [Hui et al., 2000; Johansson et al., 1995; Grabner and Schmidt, 2003; Delfino and Rossi, 2002]. En este caso, se ha elegido el m´etodo del tensor de Maxwell como se expresa en la ecuaci´on matricial tal y como sigue: ε E2 x−1 2E2ExEz EzExE2 z−1 2E2 (4.1) con lo cual las componentes de las densidades de fuerzas (N/m2) vendr´an dadas por las ecuaciones: −→ Fx=ε[(E2 x−1 2E2)−→ nx+ExEz−→ nz](4.2) −→ Fz=ε[ExEz−→ nx+(E2 z−1 2E2)−→ nz](4.3) En el micromotor se tratan de estudiar los esfuerzos que contribuyen al desplazamiento de la placa en la direcci´on del eje z. Con este fin se aplican las ecuaciones 4.2 y 4.3, a las l´ıneas de contorno nombradas como e, f, g yhde la geometr´ıa mostrada en la figura 4.2, y que rodean a la que se ha llamado placa met´alica. En las l´ıneas laterales (fyh), el [Hui et al., 2000] Hui, C.-Y., Yeh, J.-L. A., and Tien, N. C. (2000). Calculation of Electrostatic Forces and Torques in MEMS Using Path-independent Integrals. Journal of Micromechanics and Microengineering, 10(3):477. [Johansson et al., 1995] Johansson, T., Hameyer, K., and Beimans, R. (1995). Automated 3D Mesh Generation for Efficient Torque Computation of Electrostatic Micromotors. In Computation in Electrostatics, IEE Colloquium on, pages 1 –2. [Grabner and Schmidt, 2003] Grabner, C. and Schmidt, E. (2003). Torque Calculation of Electrical Machines Based on Distributions of Surface Forces Along the Stator Boundary as Well as Volume Forces Inside Conducting and Iron Domains. In Electric Machines and Drives Conference, 2003. IEMDC’03. 4.2 Desarrollo del modelo anal´ıtico 55 0000000000000000000000000 0000000000000000000000000 0000000000000000000000000 0000000000000000000000000 0000000000000000000000000 1111111111111111111111111 1111111111111111111111111 1111111111111111111111111 1111111111111111111111111 1111111111111111111111111 0000000000000000000000000 0000000000000000000000000 0000000000000000000000000 0000000000000000000000000 0000000000000000000000000 1111111111111111111111111 1111111111111111111111111 1111111111111111111111111 1111111111111111111111111 1111111111111111111111111 b c v x z ne gfh n−n −n zz x x εa,σa ε, b σf,s σ b σ Figura 4.2: Aplicaci´on del tensor de Maxwell a la placa met´alica. valor de los campos el´ectricos y los desplazamientos el´ectricos tienen por simetr´ıa el mismo valor, sin embargo, las normales a dichas l´ıneas tienen signo contrario. De esta forma, sus esfuerzos se cancelan y no contribuyen al desplazamiento de la placa seg´un el eje z. Para la l´ıneas superior e inferior, sus normales s´olo tienen componentes sobre el eje x, y no tiene componente sobre el eje z. Esto, significa que con respecto a la ecuaci´on 4.2 los t´erminos correspondientes a −→ nzson nulos. Sin embargo, los t´erminos en −→ nx, que no son nulos, se van a despreciar ya que se trata de unas componentes que en todo momento son perpendiculares a la direcci´on de desplazamiento de la placa. Se puede pues resumir diciendo que no existe ninguna resultante sobre el eje x, es decir: −→ Fx= 0 (4.4) Si se hace el mismo razonamiento para las mismas l´ıneas, esta vez con respecto a la ecuaci´on 4.3, el t´ermino correspondiente a −→ nzse anula porque sus normales no tienen componentes sobre el eje z, y solo contribuye a los esfuerzos en la direcci´on del eje zel IEEE International, volume 1, pages 595 – 600. [Delfino and Rossi, 2002] Delfino, F. and Rossi, M. (2002). A New FEM Approach for Field and Torque Simulation of Electrostatic Microactuators. Microelectromechanical Systems, Journal of, 11(4):362 – 371. 56 Modelado del micromotor de inducci´on electrost´atico en 2D t´ermino que viene indicado por la ecuaci´on siguiente: −→ Fz=ε[ExEz−→ nx] = Et−→ Dx(4.5) En dicha ecuaci´on al t´ermino Ezse le llama componente tangencial y se ha representa por Et, y el t´ermino εEx−→ nxes el desplazamiento el´ectrico −→ Dxo densidad de flujo el´ectrico (C/m2). Procede, por lo tanto, calcular las magnitudes que intervienen en esta ecuaci´on proponiendo el siguiente orden. 1. Calcular el potencial escalar en el diel´ectrico para lo que es necesario resolver la ecuaci´on de Laplace. 2. Calculado el potencial el´ectrico, se procede al c´alculo de una magnitud derivada como es la componente normal del vector desplazamiento el´ectrico en el diel´ectrico. 3. Plantear un prototipo de motor de inducci´on electrost´atico y explicar los principios de funcionamiento. 4. Aplicar la ley de la conservaci´on de la carga en la interfaz con el fin de obtener el valor del potencial y la densidad superficial de carga en ella. 5. Calcular la densidad de esfuerzos aplicando el c´alculo tensorial, introducir el concepto de deslizamiento Sde uso generalizado en los motores de inducci´on electromagn´eticos de la macroescala y expresar el par en funci´on del deslizamiento. 6. Representar gr´aficamente las expresiones que se han desarrollado para la realizaci´on del modelo y hacer un an´alisis de sensibilidad. 4.3 Placa delgada de diel´ectrico Se parte de una placa plana de material diel´ectrico de espesor despreciable frente a su longitud y su altura, sea ´esta de valor ∆, como se indica en la figura 4.3. El material con el que est´a construida es un diel´ectrico [Castle and Inculet, 1995] que presenta propiedades [Castle and Inculet, 1995] Castle, G. and Inculet, I. (1995). The Electrostatic Properties of Insulating Sheets Close to a Conductor: A Review. In Industry Applications Conference, 1995. Thirtieth IAS Annual Meeting, IAS ’95., Conference Record of the 1995 IEEE, volume 2, pages 1237 –1241. 4.3 Placa delgada de diel´ectrico 57 isotr´opicas, es decir, sus caracter´ısticas el´ectricas de permitividad y resistividad son constantes en cualquier direcci´on dentro del mismo; sean sus valores εyσrespectivamente. La superficie est´a limitada, por su parte inferior por la l´ınea x= 0 y por su parte superior por la l´ınea x= ∆, que de ahora en adelante ser´an referenciadas como αyβ. Los potenciales D ~α x D ~β x ∆ Φ ~α Φ ~β z x dielectrico ´ Figura 4.3: Placa delgada de diel´ectrico. que se aplican entre ambos lados de estas fronteras vienen dados por las expresiones que se indican a continuaci´on: ϕα(∆, z, t) = Re (˜ ϕαejωte−jkz)=Re (˜ ϕαej(ωt−kz)) ϕβ(0, z, t) = Re (˜ ϕβejωte−jkz)=Re (˜ ϕβej(ωt−kz))(4.6) estos potenciales corresponden a una onda de tensi´on, que es variable en el tiempo y en la distancia [Washabaugh et al., 1988; Melcher et al., 1989a; Melcher et al., 1989b; Haus and Melcher, 1990]. La variaci´on temporal de la tensi´on es de tipo senoidal, y con respecto a su variaci´on espacial se efectuar´a a lo largo del eje z. Esta variaci´on temporal y espacial indica que es una onda de naturaleza viajera y cuya velocidad es ω/k (m/s). [Washabaugh et al., 1988] Washabaugh, A., Zahn, M., and Melcher, J. (1988). Electrokinetic Pumping Using Traveling Wave High Voltages. In Industry Applications Society Annual Meeting, 1988., Conference Record of the 1988 IEEE, volume 2, pages 1563 –1569. [Melcher et al., 1989a] Melcher, J., Warren, E., and Kotwal, R. (1989a). Theory for Finite-phase Traveling-wave Boundary-guided Transport of Triboelectrified Particles. Industry Applications, IEEE Transactions on, 25(5):949 –955. [Melcher et al., 1989b] Melcher, J., Warren, E., and Kotwal, R. (1989b). Traveling-wave Delivery of Single-component Developer. Industry Applications, IEEE Transactions on, 25(5):956 –961. [Haus and Melcher, 1990] Haus, H. and Melcher, J. (1990). Fields That Are Always Dynamic. Education, IEEE Transactions on, 33(1):35 –46. 64 Modelado del micromotor de inducci´on electrost´atico en 2D 4.5 Evaluaci´on de los t´erminos de la ecuaci´on de la conservaci´on de la carga en la interfaz Para resolver la ecuaci´on de la conservaci´on de la carga en la interfaz, se tendr´an que evaluar todos y cada uno de los t´erminos de la ecuaci´on 4.18. En las siguientes subsecciones, se procede a su c´alculo, y los valores que se obtengan para cada uno de ellos ser´an posteriormente sustituidos en la misma. 4.5.1 C´alculo de la (∂σf ∂t ) Se ha demostrado que el valor de ∂σf ∂t viene dado por la expresi´on: ∂σf ∂t =jω (Db x−Dc x)ej(ωt−kz)(4.19) 4.5.2 C´alculo de la divergencia superficial de la densidad de corriente superficial ∇S·(σs Ez+vzσf) Para evaluar la divergencia superficial de la densidad de corriente superficial ∇S·(σs Ez+vzσf), se debe observar que por la geometr´ıa del modelo, la divergencia s´olo tiene componente seg´un el eje zy viene dada por la ecuaci´on siguiente: ∇S·(σs Ez+vzσf)=σs ∂Ez ∂z +vz ∂σf ∂z (4.20) Como ∂Ez ∂z =k2ϕby∂σf ∂z =−j k (Db x−Dc x)ej(ωt−kz)se tiene que la divergencia de la densidad de corriente viene dada por la expresi´on siguiente: ∇S·(σs Ez+vzσf)=σsk2ϕb−vzj k (Db x−Dc x)ej(ωt−kz)(4.21) 4.5.3 C´alculo de n· ∥ σ E∥ El vector desplazamiento el´ectrico es  D=ε E. Si se despeja el valor de  E=σ D εse tiene que la componente normal a la superficie es E=σD εy la magnitud neta de la carga dentro de la superficie de control vendr´a dada por la ecuaci´on tal y como sigue: n· ∥ σ E∥=(σa εa Db x−σb εb Dc x)(4.22) 4.6 Evaluaci´on de la ecuaci´on de la conservaci´on de la carga en la interfaz 65 4.6 Evaluaci´on de la ecuaci´on de la conservaci´on de la carga en la interfaz Si se sustituyen todos estos t´erminos dados por las ecuaciones 4.19, 4.20, 4.21 y 4.22, en la ecuaci´on 4.18 se tiene la ecuaci´on siguiente: jω (Db x−Dc x)+σsk2ϕb−vzjk (Db x−Dc x)+(σa εa Db x−σb εb Dc x)= 0 (4.23) Una vez evaluada la ecuaci´on 4.23, se tiene que la ecuaci´on para el c´alculo del potencial escalar se puede escribir tal y como sigue: ˆ ϕb=ˆ V0 sinh (ka) σa+εa(ω−kv)j σeff +εeff (ω−kv)j(4.24) donde σeff yεeff vienen dadas por las expresiones que se indican a continuaci´on: σeff =σacoth (ka) + coth (kb)σb+σsk(4.25) εeff =εakcoth (ka) + εbkcoth (kb)(4.26) 4.6.1 Expresi´on del potencial en funci´on del deslizamiento Si se desarrolla la ecuaci´on 4.24 y se sustituye la expresi´on (1−kv w)por una nueva variable Sa la que se denomina deslizamiento y que viene dada por la ecuaci´on que sigue: S= (1 −k v w)(4.27) se tiene que el potencial en la interfaz en funci´on del deslizamiento Sviene dado por la siguiente expresi´on: ˆ ϕb=ˆ V0 sinh (ka) σa σeff +εef f εeff εa σeff ωSj (1 + εeff σeff ωSj)(4.28) donde el significado de las variables se indican en la tabla 4.1: 4.6.2 Expresi´on del potencial en funci´on de τE Se define otro t´ermino como cociente entre εeff yσeff y se le denomina τE. Se tiene que τE=εeff /σeff , y si se sustituye en la ecuaci´on 4.28 se tiene la ecuaci´on siguiente: ˆ ϕb=ˆ V0 sinh (ka) σa σeff +εef f εeff εa σeff ωSj (1 + εeff σeff ωSj)=ˆ V0 sinh (ka) σa σeff +εa εeff τEωSj (1 + τEωSj)(4.29) 66 Modelado del micromotor de inducci´on electrost´atico en 2D Tabla 4.1: Significado de las variables S´ımbolo Significado Unidad V0Tensi´on de alimentaci´on (V) kN´umero de ondas por metro − aAltura diel´ectrico 2 (m) bAltura diel´ectrico 1 (m) σaConductividad diel´ectrico 2 (S/m) σbConductividad diel´ectrico 1 (S/m) σeff Conductividad efectiva (S/m) εaPermitividad diel´ectrico 2 (F/m) εbPermitividad diel´ectrico 1 (F/m) εeff Permitividad efectiva (F/m) ωFrecuencia angular (Hz) SDeslizamiento − jUnidad imaginaria − ϕbTensi´on en la interfaz (V) σSConductividad superficial (S) vVelocidad de la pmm (m/s) 4.7 Expresi´on del campo el´ectrico tangencial en la interfaz 67 y la expresi´on para calcular el potencial en la interfaz se puede escribir tal y como sigue: ˆ ϕb= σa σeff +εa εeff τEωSj (1 + τEωSj) ˆ V0 sinh (ka)(4.30) Finalmente, si se toma el t´ermino (τEω S)como una nueva variable y se le llama SE, al sustituir la misma en la expresi´on 4.30, se concluye que el potencial en la interfaz viene dado en funci´on de la nueva variable por la expresi´on siguiente: ˆ ϕb=ˆ V0 sinh (ka)(σa σeff +εa εeff SEj) (1 + SEj)(4.31) 4.7 Expresi´on del campo el´ectrico tangencial en la interfaz El campo el´ectrico es igual a menos el gradiente del potencial, y se formula por la expresi´on  E=−∇ˆ ϕb, luego para calcular el valor del campo el´ectrico en la interfaz se necesita hacer el desarrollo de esta expresi´on; para ello se parte del potencial escalar en la interfaz dado por la siguiente ecuaci´on: ˆ ϕb=ˆ V0 sinh (ka)(σa σeff +εa εeff SEj) (1 + SEj)ej(ωt−kz)(4.32) la derivada de ˆ ϕbcon respecto a z, es el valor del campo el´ectrico como se indica en la ecuaci´on siguiente: E=−ˆ V0 sinh (ka)(σa σeff +εa εeff SEj) (1 + SEj)ej(ωt−kz)j(−k) = jk ˆ ϕb(4.33) Como el valor del campo el´ectrico se ha calculado seg´un la direcci´on del eje z, ´este es el valor del campo el´ectrico tangencial en la interfaz Et. Si se desarrolla la expresi´on 4.33 se tiene que el valor del campo el´ectrico tangencial en la interfaz viene dado por la ecuaci´on que sigue: Et=kˆ V0 sinh (ka)(−εa εeff SE+σa σeff j) (1 + SEj)(4.34) 68 Modelado del micromotor de inducci´on electrost´atico en 2D 4.8 Densidad superficial de carga en la interfaz La densidad superficial de carga, viene dada por la diferencia que existe entre las mismas a ambos lados de la interfaz y puede ser formulada por la expresi´on: σf=−εakˆ V0 sinh (ka)+ˆ V0kεeff (σa+εa(ω−kv)j) sinh (ka) (σeff +εeff (ω−kv)j)(4.35) Si se reordena la ecuaci´on 4.35, se concluye que la expresi´on para el c´alculo de la densidad de carga libre en la interfaz, se puede escribir tal y como sigue: σf=−ˆ V0k(εaσeff −εeff σa) σeff sinh (ka) (1 + SEj)(4.36) donde τEse define como cociente entre εeff yσeff ySEviene dado por la expresi´on τEω(1−kv ω). 4.9 Par´ametros f´ısicos y geom´etricos En la tabla 4.2 se indican los valores correspondientes a las constantes f´ısicas, par´ametros el´ectricos de los materiales, y los dimensionales relacionados con la geometr´ıa que se han adoptado para el desarrollo del modelo. Todas las gr´aficas se han construido usando estos valores y las expresiones anal´ıticas obtenidas. 4.10 Tensi´on y densidad de carga en funci´on de la distancia Se considera de inter´es efectuar una representaci´on gr´afica de la tensi´on y la densidad de carga en funci´on de la distancia para distintos valores del tiempo, es decir, interesa ver las gr´aficas de σfyˆ V0donde la densidad de carga viene dada por la ecuaci´on 4.36 que se muestra: σf=−ˆ V0k(εaσeff −εeff σa) sinh (ka)σeff (1 + SEj)(4.37) A continuaci´on, se muestran una serie de gr´aficas que han sido construidas para los distintos tiempos que se indican en las mismas. A efectos de representar estas curvas, se ha cambiado la nomenclatura y a la variable ˆ V0se le ha llamado Vpara mayor claridad. En dichas gr´aficas se deben observar dos aspectos importantes: 4.10 Tensi´on y densidad de carga en funci´on de la distancia 69 Tabla 4.2: Par´ametros f´ısicos y geom´etricos del micromotor Dimensi´on Definici´on Valor Unidad LLongitud de la estructura 44 10−6(m) hmAltura de las placas met´alicas 0.01 10−6(m) aAltura del diel´ectrico a 3 10−6(m) bAltura del diel´ectrico b 10 10−6(m) kN´umero de ondas por metro (2 π)/L (m−1) vVelocidad lineal de la parte m´ovil 0(0) fFrecuencia temporal tensi´on excitaci´on 2.6 106(Hz) V0Valor m´aximo tensi´on de excitaci´on 200 (V) σaConductividad el´ectrica diel´ectrico a 1/1012 (1/Ωm) σbConductividad el´ectrica diel´ectrico b 0(1/Ωm) σSConductividad el´ectrica de la placa met´alica 1/(600 106)(1/Ω) εaPermitividad el´ectrica diel´ectrico a 1ε0(F/m) εbPermitividad el´ectrica diel´ectrico b 3.9ε0(F/m) ε0Permitividad el´ectrica vac´ıo 8.854187 10−12 (F/m) 1. El desfase que existe entre la tensi´on aplicada y la carga inducida en la interfaz. 2. El movimiento de la tensi´on aplicada a lo largo de la estructura. 4.10.1 Curvas de tensiones y densidades de carga frente a distancias En las figuras 4.7(a), 4.7(b), 4.7(c) y 4.7(d), se representa la tensi´on aplicada y las densidades de carga inducida en la interfaz para diferentes valores del tiempo. Se observa que el desfase αque existe entre ambas magnitudes se mantiene constante a lo largo de toda la secuencia y c´omo avanza la onda de tensi´on seg´un el eje horizontal —onda viajera en el espacio—, todo esto constituye el principio b´asico de funcionamiento del micromotor de inducci´on electrost´atico. 70 Modelado del micromotor de inducci´on electrost´atico en 2D ´ Tension (V0) ´ Densidad Carga (C/m ) 2 Distancias (m) 0e+00 1e−05 2e−05 3e−05 4e−05 5e−05 −200 −160 −120 −80 −40 0 40 80 120 160 200 0e+00 1e−05 2e−05 3e−05 4e−05 5e−05 −200 −160 −120 −80 −40 0 40 80 120 160 200 Tension 0e+00 1e−05 2e−05 3e−05 4e−05 5e−05 −4e−04 −3e−04 −2e−04 −1e−04 0e+00 1e−04 2e−04 3e−04 4e−04 Densidad Carga α (a) Para t= 0(s). Tension (V) ´ Densidad Carga (C/m ) 2 ´ Distancias (m) 0e+00 1e−05 2e−05 3e−05 4e−05 5e−05 −200 −160 −120 −80 −40 0 40 80 120 160 200 0e+00 1e−05 2e−05 3e−05 4e−05 5e−05 −200 −160 −120 −80 −40 0 40 80 120 160 200 Tension 0e+00 1e−05 2e−05 3e−05 4e−05 5e−05 −4e−04 −3e−04 −2e−04 −1e−04 0e+00 1e−04 2e−04 3e−04 4e−04 Densidad Carga α (b) Para t= 5 10−9(s). Tension (V) ´ Densidad Carga (C/m ) 2 ´ Distancias (m) 0e+00 1e−05 2e−05 3e−05 4e−05 5e−05 −200 −160 −120 −80 −40 0 40 80 120 160 200 0e+00 1e−05 2e−05 3e−05 4e−05 5e−05 −200 −160 −120 −80 −40 0 40 80 120 160 200 Tension 0e+00 1e−05 2e−05 3e−05 4e−05 5e−05 −4e−04 −3e−04 −2e−04 −1e−04 0e+00 1e−04 2e−04 3e−04 4e−04 α Densidad Carga (c) Para t= 10 10−9(s). Tension (V) ´ Densidad Carga (C/m ) 2 ´ Distancias (m) 0e+00 1e−05 2e−05 3e−05 4e−05 5e−05 −200 −160 −120 −80 −40 0 40 80 120 160 200 0e+00 1e−05 2e−05 3e−05 4e−05 5e−05 −200 −160 −120 −80 −40 0 40 80 120 160 200 Tension 0e+00 1e−05 2e−05 3e−05 4e−05 5e−05 −4e−04 −3e−04 −2e−04 −1e−04 0e+00 1e−04 2e−04 3e−04 4e−04 α Densidad Carga (d) Para t= 15 10−9(s). Figura 4.7: Tensi´on y densidad de carga para distintos instantes de tiempo. 4.10.2 Curvas de tensiones y densidades de carga frente a distancias en funci´on de S Se considera de inter´es realizar una representaci´on gr´afica de la tensi´on aplicada y la densidad de carga inducida en la interfaz para un tiempo igual a cero (t= 0) y diferentes valores del deslizamiento S. En la figura 4.8(a), el deslizamiento Ses igual a 0. En este caso, la onda viajera de tensi´on aplicada al est´ator y la parte m´ovil del micromotor se mueven con la misma velocidad y se dice que est´an en sincron´ıa. Se observa que el desfase entre la tensi´on aplicada y la densidad de carga inducida en la interfaz es de 180ono existiendo en este caso la componente tangencial del campo el´ectrico. Esto implica que la densidad de esfuerzos es nula y no se produce arrastre sobre la parte m´ovil del micromotor. En la figura 4.8(b) el deslizamiento Ses igual a 0.5. Esto significa que la velocidad de n ........ . ...... · 1 . ·· 1 : 1 -- -- -- ~ . --- ~ -- -- . -~ \······· .1' ······· 1 .......... ··· 1 ········· 1 ······· 1 ......... c ... ...... 1 r······ 1 -- -- -- ~ ---- ~ -- ~ ~ ~ j .. ::: : 1 , .•... f .................. [. -r-I ,: ••••••••• '---. ----'- ____ --' c_ ... . .. .. _ ... ""- . L<' .... . j •.••.•. B .•.•.•.•. •.•. I.. .. ·1····c··········I. I . 1+·· ; ····· 1 /' \ ··-+ / ········· 1 ................ ··········· 1 L. __ ~ ~ _ ~ ___ . __ ~ . ___ ~ _~ 4.10 Tensi´on y densidad de carga en funci´on de la distancia 71 la onda viajera de tensi´on es el doble de la velocidad de la parte m´ovil del micromotor. En este caso se dice que est´an a mitad de sincron´ıa. Obs´ervese que el desfase entre la tensi´on aplicada y la densidad de carga inducida en la interfaz es distinto de 180o. Esto significa que la componente tangencial del campo el´ectrico es distinta de cero y existe arrastre. Finalmente en la figura 4.8(c) el deslizamiento Ses igual a la unidad. En esta condici´on la velocidad de la parte m´ovil es cero y est´a en el momento del arranque. Aqu´ı se observa que el desfase entre ambas magnitudes es igual a αy por lo tanto existe arrastre sobre la parte m´ovil del micromotor. Densidad carga (C/m ) 2 Tension ´ Tension (V) ´ Distancias (m) Densidad carga 0e+00 1e−05 2e−05 3e−05 4e−05 5e−05 −200 −160 −120 −80 −40 0 40 80 120 160 200 0e+00 1e−05 2e−05 3e−05 4e−05 5e−05 −6e−04 −4e−04 −2e−04 0e+00 2e−04 4e−04 6e−04 α = 0 (a) Para S= 0. Densidad Carga (C/m ) 2 Tension ´ Tension (V) ´ Distancias (m) Densidad carga 0e+00 1e−05 2e−05 3e−05 4e−05 5e−05 −5e−04 −4e−04 −3e−04 −2e−04 −1e−04 0e+00 1e−04 2e−04 3e−04 4e−04 5e−04 0e+00 1e−05 2e−05 3e−05 4e−05 5e−05 −200 −160 −120 −80 −40 0 40 80 120 160 200 α (b) Para S= 0.5. Densidad Carga (C/m ) 2 Tension (V) ´ Tension ´ Distancias (m) Densidad carga 0e+00 1e−05 2e−05 3e−05 4e−05 5e−05 −5e−04 −4e−04 −3e−04 −2e−04 −1e−04 0e+00 1e−04 2e−04 3e−04 4e−04 5e−04 0e+00 1e−05 2e−05 3e−05 4e−05 5e−05 −200 −160 −120 −80 −40 0 40 80 120 160 200 α (c) Para S= 1. Figura 4.8: Tensi´on y densidad de carga en el instante t= 0 (S) para distintos valores de deslizamiento S. 72 Modelado del micromotor de inducci´on electrost´atico en 2D 4.11 Expresi´on anal´ıtica de la densidad de esfuerzos promedios Como en las m´aquinas de inducci´on electromagn´eticas [Cacciato et al., 2007; Vorel et al., 2010], en la microescala tambi´en es de inter´es calcular la densidad de esfuerzos que un micromotor puede proporcionar [Martin et al., 2008]. La densidad de esfuerzos viene dada por la expresi´on 4.5 y es una magnitud de tipo senoidal. Sin embargo, a efectos de c´alculo, interesa trabajar con un valor de esfuerzos medios. Para evaluar el valor promedio temporal y espacial de una expresi´on en el campo de los n´umeros complejos, es de utilidad el uso de la ecuaci´on siguiente: ⟨Re e A e−j k z Re e B e−j k z⟩z=1 2Re e Ae B∗(4.38) Para mayor claridad, se reescribe la expresi´on de la densidad de esfuerzos, que viene dada por la expresi´on 4.5 y que se expresa a continuaci´on: −→ Fz=ε[ExEz−→ nx] = Et−→ Dx(4.39) Si en 4.39 se sustituyen los valores calculados para la componente tangencial del campo el´ectrico en la superficie, ecuaci´on 4.33, la diferencia del vector desplazamiento entre ambos lados de la placa met´alica, ecuaci´on 4.36, y se aplica la transformaci´on dada por la 4.38, se obtiene la expresi´on que da el valor promedio de la densidad de esfuerzos y que se puede expresar por la ecuaci´on siguiente: ⟨Tz⟩z=1 2Re  jk ˆ V0 sinh (ka)(σa σeff +εa εeff SEj) (1 + SEj) [−ˆ V0k(εaσeff −εeff σa) sinh (ka)σeff (1 + jSE)]∗ (4.40) [Cacciato et al., 2007] Cacciato, M., Consoli, A., Scarcella, G., and Scelba, G. (2007). Indirect Maximum Torque per Ampere Control of Induction Motor Drives. In Power Electronics and Applications, 2007 European Conference on, pages 1 –10. [Vorel et al., 2010] Vorel, P., Hutak, P., and Prochazka, P. (2010). Maximum Efficiency of an Induction Machine Operating in a Wide Range of Speed and Torque - part 1 (theoretical analysis). In Industrial Electronics (ISIE), 2010 IEEE International Symposium on, pages 1364 –1371. [Martin et al., 2008] Martin, F., Montoya, S.-A., Verona, J., and Montiel-Nelson, J. (2008). Analysis and Modeling of an Electrostatic Induction Micromotor. In Electrical Machines, 2008. ICEM 2008. 18th International Conference on, pages 1 –5. 4.11 Expresi´on anal´ıtica de la densidad de esfuerzos promedios 73 que se convierte en la: ⟨Tz⟩z=1 2(kV0) (kV ∗ 0)εa(εaσeff −εeff σa)SE 1 + S2 E K(4.41) siendo K=1 εeff σeff sinh2(ka)(4.42) 4.11.1 Ecuaci´on anal´ıtica de la densidad m´axima de esfuerzos La densidad de esfuerzos promedios viene dada por la ecuaci´on 4.41 en la que Kse eval´ua con la expresi´on 4.42. En ellas se observa que la ´unica variable independiente es SE, y los dem´as t´erminos son constantes relacionadas con las propiedades de los materiales o con las dimensiones f´ısicas. Derivando con respecto a esa variable e igualando a cero la expresi´on resultante se obtiene el valor de SEque hace que la funci´on sea m´axima. El valor obtenido para SEes igual a ±1, y la densidad m´axima de esfuerzos vendr´a dada por la ecuaci´on: ⟨Tzmax ⟩z=1 4(kV0) (kV ∗ 0)εa(εaσeff −εeff σa)K(4.43) 4.11.2 C´alculo de la conductividad del metal para obtener la densidad de esfuerzos m´axima en el arranque En el proceso de an´alisis del micromotor es importante conocer la conductividad del material de la interfaz para obtener la m´axima densidad de esfuerzos en el arranque. En 4.11.1 se ha deducido que la densidad de esfuerzos es m´axima cuando el t´ermino SEvale m´as o menos la unidad. Por otro lado, tambi´en se sabe que SE—como se indic´o en 4.6.2—, viene dado por la siguiente expresi´on: SE=τEωS (4.44) donde el t´ermino S(deslizamiento) viene dado por la expresi´on 4.27 y como en el arranque la velocidad vvale cero, esto implica que S= 1. Teniendo en cuenta la ecuaci´on 4.44, se tiene que 1 = τEω1y como τE=εeff /σeff . Operando, se llega a la ecuaci´on siguiente: σeff =εeff ω(4.45) Como tambi´en se conocen las expresiones de σeff y de εeff , si se reordena y se despeja σsse llega a la expresi´on que permite conocer la conductividad del material con el que se 80 Modelado del micromotor de inducci´on electrost´atico en 2D la velocidad. Si existe un acoplamiento entre ambos, el sistema mec´anico estar´a en equilibrio cuando la suma algebraica de la densidad de esfuerzos actuando como motor y la densidad de esfuerzos resistentes sea cero, o lo que es lo mismo, se alcance un punto que satisfaga a las ecuaciones de ambos esfuerzos. Esto significa que ser´a la soluci´on del sistema formado por las ecuaciones anal´ıticas que definen ambos esfuerzos, y gr´aficamente vendr´a dado por la existencia de un punto com´un a ambas curvas, —el punto de intersecci´on de las mismas. A este punto de funcionamiento se le llama punto de reposo o de equilibrio, y se denotar´a en adelante como punto Q. Si el sistema realiza un movimiento lineal, se debe cumplir que ∑Fext =m a, siendo a= dv/dt, y cuando se alcance una velocidad constante, esta aceleraci´on ser´a cero y el sistema estar´a en equilibrio. Obs´ervese la figura 4.10 en la que se indica la posici´on del punto Q, que est´a situado en la intersecci´on de la recta que define la densidad de esfuerzos resistentes y la curva de la densidad de esfuerzos actuando como motor. La situaci´on del punto Qse ha elegido en la regi´on comprendida entre la abscisa correspondiente al m´aximo de la densidad de esfuerzos y la abscisa cero donde la densidad de esfuerzos es cero y que corresponde a la velocidad de sincronismo. A esta zona de trabajo, se le denomina zona estable. Esta zona presenta una caracter´ıstica muy importante y es que tiene una pendiente muy marcada o r´ıgida. Al situar en esa zona al punto de equilibrio se asegura que ligeras variaciones de la densidad del esfuerzo resistente hace que la velocidad del dispositivo no var´ıe de forma apreciable movi´endose con una velocidad as´ıncrona, pr´acticamente, constante. Al contrario, una elecci´on err´onea ser´ıa situarlo en la zona inestable, ya que ligeras variaciones de la densidad del esfuerzo resistente producir´ıa grandes variaciones de velocidad en el dispositivo que en algunas aplicaciones podr´ıa ser inaceptable. Si la densidad del esfuerzo resistente aplicado a un micromotor trabajando en la llamada zona estable, en un momento dado, aumenta por encima del valor correspondiente a la densidad de esfuerzos m´aximos que el mismo puede suministrar, hace que la recta que define a la densidad del esfuerzo resistente var´ıe su pendiente y por consiguiente el punto Qse desplaza de su posici´on cuasiest´atica y el equilibrio se destruye. Al no poder vencer la resistencia aplicada, el motor comienza a disminuir su velocidad siguiendo la trayectoria de su curva de esfuerzos en la direcci´on que indica la flecha situada sobre el punto Jhasta su parada en el punto de arranque inicial A, donde, v= 0. 4.13 An´alisis de sensibilidad 81 Motor Generador par_resistente δ Densidad de esfuerzos (N/m ) 2 2e8 1 σs= Deslizamiento Q A H I J D.esfuerzo maximo ´ −1.0 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 −1400 −1000 −600 −200 600 1000 1400 200 0.0 Zona Inestable Zona Estable 1351 Zona Estable Zona Inestable Figura 4.13: Punto de funcionamiento. 4.13 An´alisis de sensibilidad Los an´alisis de sensibilidad [Sanchez and Pillay, 1994; Yoo et al., 2000] siempre han proporcionado informaci´on de inter´es en el estudio de las m´aquinas el´ectricas. Es conveniente introducir en esta tesis algunas representaciones gr´aficas con el fin de tener una visi´on m´as general de los resultados que se obtienen. As´ı se podr´an estudiar las variaciones que se producen en estos resultados cuando se var´ıe alg´un par´ametro —dimensional o f´ısico— de dise˜no del micromotor [kyu Byun et al., 2002]. De esta forma, se pueden evaluar estos [Sanchez and Pillay, 1994] Sanchez, I. and Pillay, P. (1994). Sensitivity Analysis of Induction Motor Parameters. In Southeastcon ’94. ’Creative Technology Transfer - A Global Affair’., Proceedings of the 1994 IEEE, pages 50 –54. [Yoo et al., 2000] Yoo, J., Kikuchi, N., and Volakis, J. (2000). Structural Optimization in Magnetic Devices by the Homogenization Design Method. Magnetics, IEEE Transactions on, 36(3):574 –580. [kyu Byun et al., 2002] kyu Byun, J., han Park, I., and yop Hahn, S. (2002). Topology Optimization of Electrostatic Actuator Using Design Sensitivity. Magnetics, IEEE Transactions on, 38(2):1053 –1056. D • , , -----T---~-T-----T-- 1 --T-----T-----'----- : , , , ----- T ~---- T ----- T -- l -- T ----- T -----,----- : I I I I I I --T-----T-----T-- , , , ----T-----T-----T-- , , , -----T-----T-----T-- 1 __ -- - - t- - - - - - t- - ---- t- -- , ----- T ----- T ----- T -- , - - T - - - - - T - - - - -, - - - -- , I I I I __ ~ _____ ! _____ ! ____ J I I I I --,-----,-----,----- , , --,-----,----- -- , - -- -- , - -;- - -, -- -----~-----~-----~-- 1 --~---¡r~----!~----- -----~----- ~ -----~-- 1 -- ~ ----~-1---~----- -- 82 Modelado del micromotor de inducci´on electrost´atico en 2D resultados efectuando comparativas entre ellas. A continuaci´on se van a analizar los efectos que se producen sobre las curvas de densidades de esfuerzos frente al deslizamiento cuando var´ıan: la conductividad del material, el ancho de la capa de aire o cuando esta variaci´on se produce sobre el grueso de la capa del material aislante de la parte m´ovil del micromotor. En p´arrafos sucesivos se ir´an exponiendo estos supuestos, de los que una vez analizados, se obtendr´an una serie de resultados y conclusiones que deben ser interpretadas y validadas. 4.13.1 Familia de curvas de densidades de esfuerzos frente al deslizamiento para distintos valores de la conductividad En la figura 4.14 se muestra la representaci´on gr´afica de la expresi´on anal´ıtica de la densidad de esfuerzos que se ha obtenido anteriormente y que viene dada por la ecuaci´on 4.41. Las conductividades utilizadas han sido de 1/(1.44 108),1/(2 108),1/(4 108)y1/(6 108), respectivamente, expresadas en (1/Ω). En ellas se destacan las siguientes conclusiones: 1. El valor m´aximo de la densidad de esfuerzos es el mismo para todas las curvas representadas para distintos valores de la conductividad. 2. El valor m´aximo de la densidad de esfuerzos se produce en cada curva para distintos valores del deslizamiento S. Esto significa que la densidad de esfuerzos se produce a distintas velocidades dependiendo del valor de la conductividad de la placa met´alica. 3. Las curvas presentan una pendiente m´as r´ıgida en la zona estable cuanto menor es la conductividad de la placa met´alica. Esto confiere una mejor caracter´ıstica en esta zona de funcionamiento, ya que ligeras variaciones en la densidad de esfuerzos resistentes hace que la velocidad del micromotor pr´acticamente no var´ıe. En la figura 4.14 se han numerado como 1, 2, 3 y 4 a las curvas cuyos valores para σsson de 1/(6 108),1/(4 108),1/(2 108),y 1/(1.44 108), respectivamente, expresados en (1/Ω). Se observa que la numerada como 4 produce el valor m´aximo de la densidad de esfuerzos en el momento del arranque y a medida que la conductividad aumenta. Este valor m´aximo se produce con mayor retraso con respecto al momento del arranque. Se puede identificar a la misma curva con la que se obtuvo en la figura 4.9, cuando se calcul´o la conductividad para obtener la m´axima densidad de esfuerzos en el arranque. 4.13 An´alisis de sensibilidad 83 2e8 1 4e8 1 6e8 1 1.44e 8 1 1 2 3 4 Densidad de esfuerzos (N/m ) 2 Esfuerzo maximo ´ Deslizamiento 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1351 Figura 4.14: Densidad de esfuerzos en funci´on de la conductividad. 4.13.2 Efectos de la variaci´on del grueso de la capa de aire sobre la densidad de esfuerzos En la figura 4.15, se muestra la gr´afica de la densidad de esfuerzos frente al deslizamiento para un valor de la conductividad de la placa met´alica de σs= 1/(6 108) (1/Ω). En la misma, est´an representadas las tres curvas de densidades de esfuerzos frente al deslizamiento Scorrespondientes a otros tantos valores del grueso de la capa de aire. Al grueso de la capa de aire se le han ido asignando sucesivamente los valores de 2, 3, y 4 (µm) respectivamente. De su observaci´on es importante destacar tres hechos relevantes: 1. Conforme la distancia de la capa de aire disminuye, la densidad de esfuerzos del micromotor que se est´a analizando aumenta, o lo que es lo mismo, la densidad de esfuerzos es inversamente proporcional a la distancia de la capa de aire. Este hecho fu´e constatado en el cap´ıtulo 3, ley de Paschen [Greason, 2009]. [Greason, 2009] Greason, W. (2009). Effect of Charge Injection Due to ESD on the Operation of MEMS. [ -----r- , :0 -----T--~T--- , b ~---- r 01 , -----~-----~--~-~-~--~-----~--~~---\ ~ -----r-----T-----T---~-T---- -----r-----T-----T-----T--- I I I I -----r-----T-----T-----T-----,- -----r-----T-----T-----T--- I I I I -----r-----T-----T- , , , 84 Modelado del micromotor de inducci´on electrost´atico en 2D 2. Los puntos de m´axima densidad de esfuerzos, que se encuentran sobre cada curva, no est´an alineados entre s´ı con respecto al eje de abscisas o de deslizamiento. La situaci´on de los mismos, es entonces funci´on del grueso de la capa de aire. Obs´ervese que el mismo estar´a m´as pr´oximo a la velocidad de sincron´ıa cuanto m´as delgada sea esta capa. 3. Las curvas presentan una pendiente m´as r´ıgida en la zona estable cuanto menor es el grueso de la capa de aire. Esto significa una mejor caracter´ıstica en esta zona de funcionamiento, ya que ligeras variaciones en la densidad de esfuerzos resistentes hace que la velocidad del micromotor pr´acticamente no var´ıe. 2 m.µ 3 m.µ 4 m.µ 2 Deslizamiento δ1 δ2 Densidad de esfuerzos (N/m ) 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 0 400 800 1200 1600 2000 2400 2800 1351 787 2702 Figura 4.15: Variaci´on del grueso de la capa de aire sobre la densidad de esfuerzos para σs= 1/(600 106) (1/Ω). Industry Applications, IEEE Transactions on, 45(5):1559 –1567. 4.13 An´alisis de sensibilidad 85 4.13.3 Efectos de la variaci´on del ancho de la capa de material aislante de la parte m´ovil sobre la densidad de esfuerzos En la figura 4.16 se muestra la densidad de esfuerzos frente al deslizamiento para un valor de la conductividad de la placa met´alica de σs= 1/(6 108) (1/Ω). En ella se han representado tres curvas correspondientes a otros tantos valores del ancho de la capa de aislante de la parte m´ovil del micromotor, correspondiendo estas distancias a los valores de 8, 10, y 12 (µm). De la figura 4.16 se puede deducir que: 1. Conforme el grueso de la capa de material aislante disminuye, la densidad de esfuerzos del micromotor que se analiza tambi´en lo hace. Esto quiere decir que la densidad de esfuerzos es directamente proporcional al grueso de la capa del material aislante. 2. Los puntos de m´axima densidad de esfuerzos, que se encuentran sobre cada curva, no est´an alineados entre s´ı con respecto al eje de abscisas o de deslizamiento. La situaci´on de los mismos, es entonces funci´on del grueso de la capa del material aislante. Obs´ervese que el mismo estar´a m´as pr´oximo a la velocidad de sincron´ıa cuanto m´as delgada sea esta capa. 3. Las curvas presentan una pendiente m´as r´ıgida en la zona estable cuanto mayor sea el grosor de la capa de aire. Esto significa una mejor caracter´ıstica en esta zona de funcionamiento, pues, ligeras variaciones en la densidad de esfuerzos resistentes hace que la velocidad del micromotor pr´acticamente no var´ıe. 4. El grosor de esta capa de material aislante como se puede ver en la gr´afica, no tiene una importancia relevante sobre el valor de la m´axima densidad de esfuerzos. 4.13.4 Efectos combinados de la variaci´on del ancho de la capa de aire y la del material aislante de la parte m´ovil sobre la densidad de esfuerzos En los apartados anteriores, se han estudiado algunos de los efectos que se producen sobre la m´axima densidad de esfuerzos. Entre ellos, los debidos a las variaciones del grueso de 86 Modelado del micromotor de inducci´on electrost´atico en 2D δS 3 1 2 10 m. µ 12 m. µ 08 m. µ Densidad de esfuerzos (N/m ) 2 Deslizamiento 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 Figura 4.16: Variaci´on del grueso de la capa del material aislante sobre la densidad de esfuerzos para σs= 1/(600 106) (1/Ω). la capa de aire y los que se producen por la variaci´on del grueso de la capa del material aislante de la parte m´ovil del micromotor. Si se observan detenidamente las figuras 4.15 y 4.16, correspondientes a la representaci´on gr´afica de estos dos casos, se llega a la conclusi´on que el efecto que se produce sobre la m´axima densidad de esfuerzos producido por un micromotor es m´as sensible a las variaciones del ancho de la capa de aire que a las variaciones del ancho de la capa del material aislante del mismo. 4.13.5 Efecto de la variaci´on de la conductividad sobre la densidad de corriente superficial En este apartado, se va a representar la componente tangencial de la densidad de corriente superficial frente al deslizamiento para cuatro conductividades distintas de la placa met´alica de la parte m´ovil del micromotor, siendo estos valores de 1/(1.44 108),1/(2 108),1/(4 108) 11 -----r-----T-----T-----T-----T-----,- I I I I I _ j -----r-----T-----T-----T-----,-----, -----,-----T-----T-----T-----,-- I I I I -----r-----T-----T-----T---- , :0 , , -----r-----T-----T-----T , - / --,------ -----,------ -----~-----~-----~- ¡ -Jh -----~-----~------ -----r-----T----- 1 -~ ~ --T-----T-----'------ 4.13 An´alisis de sensibilidad 87 y1/(6 108), respectivamente, expresados en (1/Ω). En la figura 4.17, se procede a la representaci´on gr´afica de las densidades superficiales de corriente, que viene dada por la expresi´on 4.15 y que se escribe a continuaci´on: kf=σSEt+vαf(4.47) que tambi´en se expresa por la ecuaci´on siguiente: kf=σSEt=σS kˆ V0 sinh (ka)(−εa εeff SE+σa σeff j) (1 + SEj)(4.48) se debe observar que sus valores m´aximos se producen en el momento del arranque (S= 1) y que estos valores son tanto mayores cuanto mayor es la conductividad, y cuando se alcanza la velocidad de sincron´ıa (S= 0) estos valores se anulan. 1/6.00e8 1/4.00e8 1/2.00e8 1/1.44e8 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 Deslizamiento Densidad de corriente superficial A/m. Figura 4.17: Variaci´on de la densidad de corriente superficial con la conductividad. 88 Modelado del micromotor de inducci´on electrost´atico en 2D 4.13.6 Optimizaci´on de la densidad de esfuerzos frente a la conductividad Se considera de inter´es realizar una representaci´on gr´afica de la curva de densidades de esfuerzos en el arranque en funci´on de la conductividad del material de la placa met´alica seg´un se ilustra en la figura 4.18. Se observa que la curva presenta un m´aximo en el punto de abscisa 6.95 10−9(1/Ω), y que este valor de la conductividad coincide con el que ya hab´ıa sido calculado para obtener la m´axima densidad de esfuerzos en el arranque. Este valor de la conductividad es ´unico y es el ´optimo para el material a utilizar en el modelo del micromotor objeto de este estudio en funci´on de su geometr´ıa y dimensiones f´ısicas del mismo. Tomando a este punto de m´aximos como de referencia se puede analizar a la curva a ambos lados del mismo. Los puntos situados en la curva y a su izquierda corresponden a unos valores de conductividades que son los caracter´ısticos de un material aislante. Esto significa que un aislante perfecto no produce densidad de esfuerzos en el arranque. Asimismo los puntos situados en la curva y a su derecha corresponden a unos valores de conductividades que son los caracter´ısticos de un material conductor. Obs´ervese la tendencia a cero de la conductividad, y que en el l´ımite ser´a la de un conductor perfecto. Esto implica que la densidad de esfuerzos en el arranque usando un material conductor tambi´en es nula. En la figura 4.19 se ha representado la misma gr´afica utilizando una escala semilogar´ıtmica. En ella se puede observar con mayor nitidez la tendencia a cero de la densidad m´axima de esfuerzos para un conductor. Como conclusi´on, se puede afirmar que la placa met´alica de un micromotor de inducci´on electrost´atico deber´a estar constituida por alg´un material cuya conductividad sea finita y distinta de cero. 4.13.7 Densidad de potencia mec´anica producida La potencia mec´anica producida en la parte m´ovil de una microm´aquina viene dada por la expresi´on Pm=Ttv, siendo Ttel esfuerzo tangencial —el que se produce seg´un el eje z— yvla velocidad en la misma direcci´on y sentido que el movimiento. La expresi´on de la densidad de esfuerzos promedios viene dada por la ecuaci´on: ⟨Tz⟩z=1 2(kV0) (kV0)εa(εaσeff −εeff σa)SE 1 + S2 E K(4.49) 4.13 An´alisis de sensibilidad 89 ´ Tendencia a conductor perfecto Tendencia a aislante perfecto Conductividad optima Conductividad ( 1/ ) Ω 0.0e+00 2.0e−09 4.0e−09 6.0e−09 8.0e−09 1.0e−08 1.2e−08 1.4e−08 1.6e−08 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 Densidad esfuerzos arranque ( N/m² ) Densidad esfuerzos en el arranque en funcion conductividad Valor maximo densidad esfuerzos arranque Figura 4.18: Densidad de esfuerzos en el arranque en funcion de la conductividad. Densidad de esfuerzos en el arranque (N/m ) 2 Conductividad (1/ ) Ω AISLANTE CONDUCTOR −10 10 −9 10 −8 10 −7 10 −6 10 −5 10 0 200 400 800 1000 1200 1400 600 Figura 4.19: Densidad de esfuerzos m´axima en funci´on de la conductividad. 96 Modelado del micromotor de inducci´on electrost´atico en 2D Cap´ıtulo 5 Modelo de par´ametros concentrados de un micromotor de inducci´on electrost´atico ´ Indice 5.1 Introducci´ on ................................ 98 5.2 Estructura de un algoritmo gen´ etico simple . . . . . . . . . . . . . . . 100 5.2.1 Poblaci´ oninicial .......................... 101 5.2.2 Reproducci´ onocruce ....................... 101 5.2.3 Mutaci´ on .............................. 102 5.2.4 Selecci´ on.............................. 103 5.2.5 Convergencia............................ 103 5.3 Ventajas de los algoritmos gen´ eticos ................... 103 5.4 Desventajas de los algoritmos gen´ eticos ................. 103 5.5 T´ ecnica para el uso de un algoritmo gen´ etico .............. 104 5.6 Algoritmos gen´ eticos: aplicaciones en MEMS . . . . . . . . . . . . . . 104 5.7 Aplicaci´ on al micromotor de inducci´ on electrost´ atico . . . . . . . . . 105 5.8 Modelo de par´ ametros concentrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 5.9 Ajuste de los par´ ametros del circuito equivalente . . . . . . . . . . . . 109 5.9.1 Funci´ onobjetivo .......................... 109 5.10 Par´ ametros del algoritmo gen´ etico.................... 111 98 Modelo de par´ametros concentrados de un micromotor 5.11 Resultados obtenidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 5.12 Validaci´ on del modelo circuital de par´ ametros concentrados . . . . . 115 5.12.1 Validaci´ on por valor de la tensi´ on en la interfaz . . . . . . . . . . 115 5.12.2 Validaci´ on por densidades de esfuerzos en la interfaz . . . . . . . 115 5.13 Estudio del r´ egimen transitorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 5.13.1 Introducci´ on al an´ alisis del transitorio . . . . . . . . . . . . . . . 118 5.13.2 Estudio del r´ egimen transitorio utilizando el circuito equivalente . 119 5.13.3 Estudio del r´ egimen transitorio utilizando el m´ etodo de los elementosfinitos............................ 121 5.14 Comparaci´ onderesultados........................ 124 5.15Conclusiones................................ 125 Resumen: En este cap´ıtulo, se propone el desarrollo de un circuito el´ectrico equivalente de par´ametros concentrados que modela al micromotor de inducci´on electrost´atico. Para comenzar se procede a la elecci´on de una topolog´ıa para dicho circuito, a continuaci´on se efect´ua su an´alisis y posteriormente se procede a su validaci´on. Los par´ametros del circuito equivalente se van a calcular utilizando la t´ecnica de los algoritmos gen´eticos. Tambi´en se realiza un an´alisis del r´egimen transitorio en el circuito equivalente con los valores de los par´ametros concentrados obtenidos en el estado estacionario. Con este an´alisis se refrenda la validaci´on del modelo. 5.1 Introducci´on En esta tesis, se propone una topolog´ıa para un circuito el´ectrico de par´ametros concentrados equivalente para el micromotor de inducci´on electrost´atico. Este modelo se decidi´o en base a la dualidad que existe entre el micromotor de inducci´on electrost´atico en la microescala y el motor de inducci´on electromagn´etico en la macroescala [Martin et al., 2008]. Para la obtenci´on de los valores de los par´ametros de dicho circuito se decide utilizar, de [Martin et al., 2008] Martin, F., Montoya, S.-A., Verona, J., and Montiel-Nelson, J. (2008). Analysis and Modeling of an Electrostatic Induction Micromotor. In Electrical Machines, 2008. ICEM 2008. 18th International Conference on, pages 1 –5. 5.1 Introducci´on 99 entre otros, la t´ecnica de los algoritmos gen´eticos. Se usa como funci´on de ajuste el error cuadr´atico que existe entre los valores de la tensi´on en la interfaz, calculada en funci´on de dichos par´ametros en el modelo circuital, y la misma tensi´on calculada mediante las ecuaciones anal´ıticas en el modelo f´ısico. Las ecuaciones anal´ıticas para calcular los valores de las densidades de esfuerzos en el modelo f´ısico se deducen de las ecuaciones de campo de Maxwell [Martin et al., 2008]. En el modelo circuital se aplican las ecuaciones cl´asicas de la teor´ıa de circuitos que permiten el c´alculo de los valores de las densidades de esfuerzos en funci´on de dichos par´ametros. Los resultados obtenidos utilizando ambos modelos se comparan y se comprueba la coincidencia que existe entre ellos. De esta forma se valida el modelo propuesto. Tambi´en se realiza un estudio del r´egimen transitorio, para ello, se utiliza el circuito equivalente con los valores de los par´ametros concentrados obtenidos en el estado estacionario. En este estudio se demuestra c´omo los valores obtenidos en el estado transitorio tienden hacia los valores del estado estacionario. As´ı se ratifica la validaci´on del modelo. La elecci´on del m´etodo de los algoritmos gen´eticos para el c´alculo de los par´ametros del circuito ha sido de arbitraria, ya que seg´un el teorema conocido como No Free Lunch Theorem (NFLT), no existe ning´un m´etodo de b´usqueda que sea superior a otro para la resoluci´on de cualquier problema [Wolpert and Macready, 1995; Wolpert and Macready, 1997]. Este cap´ıtulo se estructura de la siguiente forma. En la secci´on 5.1, ´esta, se hace una introducci´on al cap´ıtulo. En la secci´on 5.2 se estudia el principio de funcionamiento de los algoritmos gen´eticos, en ella se estudian los conceptos de poblaci´on inicial, la reproducci´on o cruce —por un punto, o por dos puntos—, las ideas de mutaci´on, selecci´on y convergencia del algoritmo gen´etico. En las secciones 5.3 y 5.4 se estudian las ventajas y desventajas de los algoritmos gen´eticos, y en la secci´on 5.5 se estudian las t´ecnicas para el uso de un algoritmo gen´etico. En la secci´on 5.6 se analizan los algoritmos gen´eticos y sus aplicaciones en MEMS. En la secci´on 5.7 se estudia su aplicaci´on al micromotor de inducci´on electrost´atico. En la secci´on 5.8 se propone un modelo de par´ametros concentrados [Wolpert and Macready, 1995] Wolpert, D. H. and Macready, W. G. (1995). No Free Lunch Theorems for Search. Technical Report SFI-TR-95-02-010, Santa Fe, NM. [Wolpert and Macready, 1997] Wolpert, D. and Macready, W. (1997). No Free Lunch Theorems for Optimization. Evolutionary Computation, IEEE Transactions on, 1(1):67 –82. 100 Modelo de par´ametros concentrados de un micromotor para el micromotor de inducci´on electrost´atico. En la secci´on 5.9 se hace un ajuste de los par´ametros concentrados del circuito equivalente mediante algoritmos gen´eticos y se define la funci´on objetivo. En la secci´on 5.10 se definen los par´ametros del algoritmo gen´etico y en la secci´on 5.11 se analizan los resultados obtenidos. En la secci´on 5.12 se valida el modelo circuital de par´ametros concentrados utilizando dos criterios. El primero es utilizando el valor de la tensi´on en la interfaz. El segundo es calculando la densidad de de esfuerzos en la interfaz. En la secci´on 5.13 se plantea el estudio del r´egimen transitorio, donde se hace una breve introducci´on, a continuaci´on se hace el estudio del r´egimen transitorio utilizando el circuito equivalente y el m´etodo de los elementos finitos. En la secci´on 5.14 se procede a comparar los resultados obtenidos y a continuaci´on en la secci´on 5.15 se plantean las conclusiones. 5.2 Estructura de un algoritmo gen´etico simple Para la resoluci´on de un problema aplicando esta t´ecnica, se necesita que se cumplan ciertas condiciones. Sus posibles soluciones deben estar codificadas y se tiene que definir una funci´on de ajuste o de adaptaci´on que ha de ser dise˜nada de forma espec´ıfica para cada problema. El alfabeto utilizado para codificar a los individuos no debe necesariamente estar constituido por el {0, 1}, sin embargo, gran parte de la teor´ıa en que se fundamentan los algoritmos gen´eticos utiliza dicho alfabeto. Los individuos, pueden representarse como un conjunto de par´ametros denominados genes. Durante la ejecuci´on del algoritmo, los padres deben ser seleccionados para la reproducci´on. A continuaci´on, ´estos se cruzar´an generando dos o m´as hijos, sobre cada uno de los cuales podr´a actuar un operador de mutaci´on. El resultado de la combinaci´on de las anteriores acciones, ser´a un conjunto de individuos que son las posibles soluciones al problema. En la evoluci´on del algoritmo gen´etico, ´estas formar´an parte de la siguiente poblaci´on. Este proceso, continuar´a hasta que se cumpla la condici´on de parada que se haya establecido. El algoritmo gen´etico simple ha sido bien estudiado por [Goldberg, 1989]. En la figura 5.1 se muestra un diagrama de flujo que explica el funcionamiento de un algoritmo gen´etico simple o can´onico. [Goldberg, 1989] Goldberg, D. E. (1989). Genetic Algorithms in Search, Optimization and Machine Learning. Addison-Wesley Longman Publishing Co., Inc., Boston, MA, USA. 5.2 Estructura de un algoritmo gen´etico simple 101 Criterio Parada ? Cruce Inicial Población Evaluación Selección Mutación Nueva Población No Mejores Soluciones Sí Figura 5.1: Diagrama de flujo de un algoritmo gen´etico simple. 5.2.1 Poblaci´on inicial La poblaci´on inicial es aconsejable que sea generada aleatoriamente con el fin de obtener una gran variedad de posibles soluciones. Una inicializaci´on no aleatoria de la poblaci´on inicial puede acelerar la convergencia del algoritmo gen´etico hacia ´optimos locales. No existe ning´un m´etodo para determinar el n´umero ´optimo de individuos de una poblaci´on. La alternativa es realizar diversas ejecuciones del algoritmo utilizando diferentes tama˜nos de poblaci´on inicial. El ´optimo se produce cuando un aumento de individuos de la poblaci´on no implica una variaci´on significativa en los resultados que se obtienen. 5.2.2 Reproducci´on o cruce El objetivo de este operador es obtener individuos con mejores aptitudes que sus antecesores. En esta fase se seleccionan determinados individuos de la poblaci´on para obtener descendencia, y una vez que hayan mutado, formar´an la siguiente generaci´on. Esta selecci´on de padres se efect´ua al azar mediante alg´un procedimiento que favorezca a los individuos mejor adaptados. El operador de cruce es el encargado de combinar la informaci´on de los mismos y de esta manera, se produce la b´usqueda en otros puntos del espacio de dise˜no. La probabilidad de cruce determina con qu´e frecuencia debe ser realizada la recombinaci´on. Existen diversos m´etodos de cruce, entre otros se mencionan el cruce por un punto o Simple I I I I 102 Modelo de par´ametros concentrados de un micromotor Point Crossover (SPX), por dos puntos o Dual Point Crossover (DPX), el cruce uniforme y el adaptativo. El m´as com´un es el llamado cruce por un punto que es usado por el algoritmo gen´etico simple dado por [Goldberg, 1989]. 5.2.2.1 Cruce por un punto. SPX El operador de cruce denominado SPX o cruce por un punto es el m´etodo m´as sencillo. Consiste en tomar dos padres de los seleccionados y cortar sus cadenas de cromosomas en una posici´on escogida al azar. As´ı se generan dos subcadenas. A continuaci´on se intercambian las subcadenas finales de los padres formando as´ı dos nuevos descendientes. 5.2.2.2 Cruce por dos puntos. DPX El cruce por dos puntos o DPX, es una generalizaci´on del cruce por un punto y aporta ciertas mejoras con respecto a ´este. En vez de cortar por un ´unico punto los cromosomas de los padres, se realizan dos cortes. Al a˜nadir m´as puntos de cruce se consigue que el espacio de b´usqueda sea explorado con mayor profundidad. 5.2.3 Mutaci´on Es un operador b´asico que proporciona una cierta aleatoriedad entre los individuos de la poblaci´on, tiene lugar despu´es de efectuarse el cruce. El m´as conocido es la mutaci´on de bit, donde el algoritmo elige aleatoriamente un bit y lo invierte. En t´erminos de evoluci´on, la mutaci´on se produce de forma extraordinaria y evita que las soluciones se vean falseadas por ´optimos locales. Es usado con una probabilidad peque˜na y ´esta se define en la fase de dise˜no del algoritmo gen´etico. El operador de cruce proporciona una exploraci´on del espacio de b´usqueda mientras que el operador de mutaci´on es el que asegura que ning´un punto del espacio de b´usqueda tenga probabilidad cero de ser examinado y este hecho es fundamental para conseguir la convergencia en un algoritmo gen´etico. [Goldberg, 1989] Goldberg, D. E. (1989). Genetic Algorithms in Search, Optimization and Machine Learning. Addison-Wesley Longman Publishing Co., Inc., Boston, MA, USA. 5.3 Ventajas de los algoritmos gen´eticos 103 5.2.4 Selecci´on Este proceso tiene por objeto seleccionar las mejores soluciones eliminando aquellas cuya aptitud sea inferior. El operador de selecci´on no depende del tipo de codificaci´on utilizada, s´olo tiene en cuenta el valor de la aptitud y su cometido es asignar a cada individuo una probabilidad de selecci´on proporcional a su funci´on de adaptaci´on. La presi´on de este operador es muy importante. Si esta es elevada, la b´usqueda termina de forma prematura y si es insuficiente, el algoritmo evoluciona lentamente. Este procedimiento as´ı dise˜nado se dice que est´a basado en el m´etodo de la ruleta, fu´e propuesto por [Goldberg, 1989] y es el proceso m´as usado como estrategia de selecci´on. 5.2.5 Convergencia Como criterio de convergencia para un algoritmo gen´etico simple se puede tener en cuenta la definici´on dada por De Jong en su tesis doctoral [De Jong, 1975]. El concepto de convergencia est´a relacionado con la progresi´on hacia la uniformidad. 5.3 Ventajas de los algoritmos gen´eticos Pueden operar de forma simult´anea con varias soluciones, son menos afectados que otras t´ecnicas por los m´aximos locales, no necesitan conocimientos espec´ıficos del problema a resolver y son algoritmos f´aciles de implementar en ordenadores. 5.4 Desventajas de los algoritmos gen´eticos Es necesario tener una soluci´on codificada del problema. Pueden tardar mucho en converger o no converger nunca. Tambi´en puede converger de forma prematura en cuyo caso las soluciones son aleatorias. [De Jong, 1975] De Jong, K. A. (1975). An Analysis of the Behavior of a Class of Genetic Adaptive Systems. PhD thesis, Ann Arbor, MI, USA. 104 Modelo de par´ametros concentrados de un micromotor 5.5 T´ecnica para el uso de un algoritmo gen´etico Es una t´ecnica que puede ser usada con cualquier tipo de funci´on objetivo. Se pueden aplicar todo tipo de restricciones, lineales o no; est´en definidas sobre espacios de b´usqueda discretos o continuos. No obstante se debe tener en cuenta determinados criterios antes de su uso. 1. El espacio de b´usqueda o el n´umero de soluciones deben estar limitados. 2. Se debe poder definir una funci´on de aptitud para medir la bondad de una soluci´on. 3. Las posibles soluciones, se han de poder codificar dentro de un programa inform´atico. 4. No usar para resolver problemas de los que se pueda obtener su soluci´on anal´ıtica. 5.6 Algoritmos gen´eticos: aplicaciones en MEMS Existe una amplia informaci´on acerca de la teor´ıa de algoritmos gen´eticos [Mitchell, 1996; Mitchell, 1997; Davis and Mitchell, 1991]. Informaci´on sobre las aplicaciones de los algoritmos gen´eticos en la t´ecnica se puede ver en [Man et al., 1996] y una referencia universal acerca del algoritmo gen´etico can´onico es el escrito por Goldberg [Goldberg, 1989]. En el campo de las m´aquinas el´ectricas de inducci´on electromagn´eticas, los algoritmos gen´eticos han sido utilizados desde hace d´ecadas, en labores de optimizaci´on [Mohammed, 1997], dise˜no [Uler et al., 1995; Wurtz et al., 1997] y caracterizaci´on [Souza Filho et al., [Mitchell, 1996] Mitchell, M. (1996). An Introduction to Genetic Algorithms. Cambridge (Massachusetts): MIT, 1996. [Mitchell, 1997] Mitchell, T. (1997). Machine Learning. McGraw Hill. [Davis and Mitchell, 1991] Davis, L. D. and Mitchell, M. (1991). Handbook of Genetic Algorithms. Van Nostrand Reinhold. [Man et al., 1996] Man, K., Tang, K., and Kwong, S. (1996). Genetic Algorithms: Concepts and Applications. Industrial Electronics, IEEE Transactions on, 43(5):519 –534. [Goldberg, 1989] Goldberg, D. E. (1989). Genetic Algorithms in Search, Optimization and Machine Learning. Addison-Wesley Longman Publishing Co., Inc., Boston, MA, USA. [Mohammed, 1997] Mohammed, O. (1997). GA Optimization in Electric Machines. In Electric Machines and Drives Conference Record, 1997. IEEE International, pages TA1/2.1 –TA1/2.6. [Uler et al., 1995] Uler, G., Mohammed, O., and Koh, C.-S. (1995). Design Optimization of Electrical 5.7 Aplicaci´on al micromotor de inducci´on electrost´atico 105 1999]. Los algoritmos gen´eticos tambi´en han despertado inter´es en el ´area donde se centra esta tesis y ya han sido usados en el campo de los MEMS como herramientas de optimizaci´on de dispositivos como microactuadores electrost´aticos y microvigas [Behjat and Vahedi, 2007; Leu et al., 2004]. M´as recientemente, han sido aplicados en trabajos de investigaci´on sobre optimizaci´on de la geometr´ıa de nanopart´ıculas [Dugan and Erko¸c, 2009] y en micromotores electrost´aticos [Lin et al., 2009]. Con esta tesis doctoral se ha contribuido a la aplicaci´on de los algoritmos gen´eticos en el campo de los MEMS. Esta contribuci´on est´a incluida en un cap´ıtulo del libro [Wiak and Napieralska-Juszczak, 2010]. 5.7 Aplicaci´on al micromotor de inducci´on electrost´atico En esta tesis, se propone desarrollar un modelo matem´atico parametrizado del micromotor de inducci´on electrost´atico proporcionando una herramienta eficaz para realizar el estudio Machines Using Genetic Algorithms. Magnetics, IEEE Transactions on, 31(3):2008 –2011. [Wurtz et al., 1997] Wurtz, F., Richomme, M., Bigeon, J., and Sabonnadiere, J. (1997). A Few Results for Using Genetic Algorithms in the Design of Electrical Machines. Magnetics, IEEE Transactions on, 33(2):1892 –1895. [Souza Filho et al., 1999] Souza Filho, E., Lima, A., and Jacobina, C. (1999). Characterization of Induction Machines with a Genetic Algorithm. In Electric Machines and Drives, 1999. International Conference IEMD ’99, pages 446 –448. [Behjat and Vahedi, 2007] Behjat, V. and Vahedi, A. (2007). Analysis and Optimization of MEMS Electrostatic Microactuator. In Industrial and Information Systems, 2007. ICIIS 2007. International Conference on, pages 465 –472. [Leu et al., 2004] Leu, G., Simion, S., and Serbanescu, A. (2004). MEMS Optimization Using Genetic Algorithms. In Semiconductor Conference, 2004. CAS 2004 Proceedings. 2004 International, volume 2, pages 475 –478. [Dugan and Erko¸c, 2009] Dugan, N. and Erko¸c, S¸. (2009). Genetic Algorithms in Application to the Geometry Optimization of Nanoparticles. Algorithms, 2(1):410–428. [Lin et al., 2009] Lin, Z.-W., Li, J., Zhang, B.-H., and Di, X. (2009). Design Optimization of Polysilicon Electrostatic Micromotor Based on Genetic Algorithm. Information and Computing Science, International Conference on, 3:130–133. [Wiak and Napieralska-Juszczak, 2010] Wiak, S. and Napieralska-Juszczak, E. (2010). Computational Methods for the Innovative Design of Electrical Devices. Studies in Computational Intelligence. Springer Verlag. 112 Modelo de par´ametros concentrados de un micromotor 106 s σ =1/(1800 ) (1/Ω) Error absoluto función objetivo Max. error función objetivo Min. error función objetivo Número de generaciones 0 10 20 30 40 50 −5 10 −3 10 −1 10 1 10 3 10 Figura 5.3: Error absoluto de la funci´on objetivo. comienzo de forma arbitraria de acuerdo a criterios te´oricos y posteriormente se fueron ajustando a medida que se iban realizando las simulaciones. Los valores indicados en dicha tabla son v´alidos para todas las simulaciones que se realizaron para las distintas conductividades superficiales del material. Es de inter´es indicar que el tiempo de ejecuci´on del algoritmo en ning´un caso fu´e superior a 2 minutos en cualquiera de las simulaciones realizadas. Se utiliz´o un ordenador port´atil Toshiba, con un procesador Intel(R) Core(TM)2 Duo CPU P8600 @ 2.40GHz con doble n´ucleo. La memoria disponible era de 3,7 GB para la RAM y de 8,1 GB para la de intercambio. El sistema operativo usado fu´e Linux 2.6.27.29-0.1-pae i686, distribuci´on OpenSUSE versi´on 11.1 (i586) y el entorno gr´afico elegido el KDE 3.5.10 version 21.9. Nelson, J. (2009b). Lumped Parametric Model for an Electrostatic Induction Micromotor Using GA’s Methods. In ISEF 2009 International symposium on Electromagnetic Field in Mechatronics, Electrical and Electronic Engineering, pages 209 –210. [Santana et al., 2009] Santana, F., Monzon, J., Garcia-Alonso, S., and Montiel-Nelson, J. (2009). Lumped Parametric Model for an Electrostatic Induction Micromotor Using GA. In Industrial Electronics, 2009. IECON ’09. 35th Annual Conference of IEEE, pages 4029 –4033. 5.11 Resultados obtenidos 113 Tabla 5.2: Par´ametros utilizados para la ejecuci´on del algoritmo gen´etico Nombre Valor Tama˜no de la poblaci´on 400 Probabilidad de cruzamiento 0.7 Probabilidad de mutaci´on 0.05 N´umero de generaciones 50 N´umero de emparejamientos 150 5.11 Resultados obtenidos En las columnas 2, 3 y 4 de la tabla 5.3 se muestran los resultados obtenidos para los valores de los par´ametros concentrados C1,C2, y G′ 2del modelo f´ısico propuesto en funci´on de las diferentes conductividades del material como se indican en la columna 1 de la misma tabla. En dicha tabla se puede observar que al aumentar la conductividad del material de la placa met´alica con la que se ha fabricado la parte m´ovil del micromotor, los valores de las capacidades C1yC2permanecen aproximadamente constantes. Sin embargo, se debe resaltar el aumento que se produce en los valores de la conductancia G′ 2. La constancia de valores en las capacidades era esperada ya que no se modific´o ning´un par´ametro dimensional ni la permitividad el´ectrica de los diel´ectricos. Tambi´en se esperaba que afectara a la conductancia como se ha podido confirmar. Tabla 5.3: Valores de los par´ametros concentrados calculados mediante algoritmos gen´eticos σSC1C2G′ 2 (1/Ω) (F/m2) (F/m2) (Ω−1/m2) 1/(1800 106) 238.718574 10−9483.966268 10−99.450601574 10−1 1/(600 106) 238.580749 10−9483.283814 10−928.32159067 10−1 1/(200 106) 238.587240 10−9483.306312 10−984.96622695 10−1 1/(144 106) 238.585078 10−9483.294363 10−9118.0077947 10−1 Se han analizado los valores encontrados para C1,C2, y G′ 2que se muestran en la tabla 5.3 para comprobar si existe alguna relaci´on entre la conductividad superficial y la 114 Modelo de par´ametros concentrados de un micromotor conductancia. Para ello se han representado, en el eje de abscisas, los valores de las conductividades que vienen dados en la columna 1 y, en el eje de ordenadas, los valores de las conductancias que vienen dados en la columna 4 de la misma tabla 5.3. Se obtiene as´ı Ω −1 0e+00 1e−09 2e−09 3e−09 4e−09 5e−09 6e−09 7e−09 0 2 4 6 8 10 12 Ω Conductancia ( /m ) Conductividad superficial (1/ ) Figura 5.4: Relaci´on de linealidad observada entre la conductividad superficial y la conductancia. la figura 5.4 donde se puede observar que los puntos marcados en la misma se encuentran alineados. Esto implica una notable conclusi´on y es la existencia de una relaci´on lineal entre la conductividad superficial de la placa met´alica resistiva con la que se ha fabricado la parte m´ovil del micromotor de inducci´on electrost´atico y la conductancia del modelo circuital de par´ametros concentrados equivalente. Es importante tratar de encontrar un significado f´ısico a esta relaci´on. La expresi´on de la conductancia viene dada por la relaci´on siguiente: G=1 LσS La conductancia de un conductor de la misma longitud viene dada por la expresi´on: Gc=1 L s ρ=1 L 1 ρ/s -------~--------~--------I--------~-------- ~ ------ ~ -------- -------~--------~--------I--------~----- --~------- ~ -------- -------~--------~--------I---- ---~--------~------- ~ -------- -------~--------~-- -----I--------~--------~------- ~ -------- -------~- ------ ~ --------I-------- ~ --------~-------~-------- 5.12 Validaci´on del modelo circuital de par´ametros concentrados 115 se deduce entonces que la conductividad superficial de la placa met´alica es equivalente a la que presenta un conductor de resistividad ρy cuya secci´on sea igual a ρ σS. 5.12 Validaci´on del modelo circuital de par´ametros concentrados Una vez desarrollado el modelo circuital de par´ametros concentrados y calculados los valores de dichos par´ametros para una determinada configuraci´on de un micromotor, es fundamental proceder a la validaci´on de dicho modelo. Para ello se van a utilizar dos procedimientos. El primero es calcular la tensi´on en la interfaz, y el segundo es calcular la densidad de esfuerzos en la misma zona. Los mismos procedimientos se resuelven utilizando las ecuaciones anal´ıticas. Finalmente se compararan los resultados obtenidos y como consecuencia se procede a validar el modelo. 5.12.1 Validaci´on por valor de la tensi´on en la interfaz En la figura 5.5, se ha representado el valor del potencial en la interfaz en funci´on del deslizamiento Spara un valor de la conductividad superficial de la placa met´alica de σS= 1/(1800 106) (1/Ω). Los valores del potencial en la interfaz se han obtenido utilizando el modelo circuital equivalente de par´ametros concentrados y se han representado por una l´ınea de trazos continuos como se muestra en la figura 5.5. Tambi´en se calcularon los valores del potencial en la interfaz aplicando la ecuaci´on anal´ıtica deducida de las ecuaciones de campo de Maxwell para el modelo f´ısico. Estos resultados tambi´en se han representado en la figura 5.5 y se indican mediante la l´ınea de estilo de marcas triangulares. Los resultados obtenidos son coincidentes, como se puede observar en estas curvas. 5.12.2 Validaci´on por densidades de esfuerzos en la interfaz La ecuaci´on anal´ıtica que proporciona la densidad de esfuerzos en un micromotor de inducci´on electrost´atico plano, ha sido deducida en el cap´ıtulo 4 aplicando los principios de la f´ısica que regulan su funcionamiento y en particular las leyes de Maxwell. Viene dada por las ecuaciones 4.41 y 4.42, obs´ervese que la densidad de esfuerzos es funci´on de la tensi´on aplicada. Esta expresi´on fu´e utilizada en un modelo elemental de micromotor de inducci´on 116 Modelo de par´ametros concentrados de un micromotor Modelo circuital Ecuaciones de Maxwell s σ =1/(1800 10 ) (1/Ω) 6 0.0 0.2 0.4 0.6 10 20 30 40 50 60 0.8 1.0 Deslizamiento (S) Potencial interface (V) Figura 5.5: Validaci´on del modelo. Potencial en la interfaz calculado con el modelo circuital y mediante las ecuaciones de campo. electrost´atico de geometr´ıa plana ya estudiado y que se ha representado en la figura 5.2. Las propiedades f´ısicas, el significado de las variables y las dimensiones del micromotor son conocidas y se muestran en las tablas 4.1 y 4.2, respectivamente. La tensi´on en la interfaz se calcula aplicando la ecuaci´on 5.6 en el modelo circuital de par´ametros concentrados. Los valores de los par´ametros de dicho circuito que se muestran en la tabla 5.3 se obtuvieron aplicando el m´etodo de los algoritmos gen´eticos, para un valor de la conductividad de 1/(1800 106) (1/Ω). Con esta tensi´on se realiza el c´alculo de la densidad de esfuerzos. Los datos obtenidos se representan en la figura 5.6 donde pueden ser visualizados como una l´ınea de estilo de marcas triangulares. Con el modelo f´ısico, se realiz´o el mismo estudio aplicando el c´alculo num´erico, (FEM). Los datos obtenidos se representaron en la figura 5.6, donde se pueden observar como una l´ınea de trazo continuo. Es interesante ver la superposici´on de los valores correspondientes a las densidades de esfuerzos obtenidas por ambos m´etodos. Se demuestra as´ı que al ajustar la tensi´on en la interfaz tambi´en se ajusta la densidad de esfuerzos. El error existente entre los valores de ambas curvas es del orden , 1 , , , - T ----------- ~ ------------:------------r---------- I I I I ___________ + ___________ ~------------:------------L---- _____ _ I I : ----------- ~ ------------:------------r---------- , , , --------·-----------~-----------ll-----------"---------- ----------- ; ----------- I ________ L _______ _ , -----------1---------1 , 5.13 Estudio del r´egimen transitorio 117 de 15.16 ppm. Esto confirma una vez m´as la validez del modelo circuital de par´ametros concentrados propuesto en esta tesis. 106 s σ =1/(1800 ) (1/Ω) Modelo circuital Ecuaciones Maxwell 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1200 800 1000 600 400 200 0 Densidad esfuerzos (N/m ) 2 Deslizamiento (S) Figura 5.6: Validaci´on del modelo. Densidad de esfuerzos calculado con el modelo circuital y mediante las ecuaciones de campo. 5.13 Estudio del r´egimen transitorio El an´alisis durante el per´ıodo transitorio de las m´aquinas de inducci´on electromagn´eticas ha sido motivo de numerosos estudios [Balamurugan et al., 2004]. Es interesante estudiar el r´egimen transitorio del micromotor de induccci´on electrost´atico siguiendo un cierto paralelismo. El modelo circuital de par´ametros concentrados propuesto en esta tesis ha sido analizado en r´egimen estacionario. En esta secci´on se quiere comprobar si los resultados que se obtienen con dicho modelo en estado transitorio tienden a los obtenidos en estado [Balamurugan et al., 2004] Balamurugan, S., Arumugam, R., Paramasivam, S., and Malaiappan, M. (2004). Transient Analysis of Induction Motor Using Finite Element Analysis. In Industrial Electronics Society, 2004. IECON 2004. 30th Annual Conference of IEEE, volume 2, pages 1526 – 1529. ---i ------- -L"I L=L=L=- ______ ~ ·-----------'-------1-------------------------1- ----------- ~ -- --------~------- ----------- _1__________ _ , , -----------T-----------,------ ----------------r---------- -----------+ ----------- -1 ----------- -1- -----------f- --------- 118 Modelo de par´ametros concentrados de un micromotor estacionario —una vez transcurrido el per´ıodo transitorio. El estudio del r´egimen transitorio es una importante fuente de informaci´on para verificar esta propuesta [Santana-Mart´ın et al., 2009b]. 5.13.1 Introducci´on al an´alisis del transitorio El an´alisis del r´egimen transitorio de un sistema, requiere la resoluci´on de una ecuaci´on o de un sistema de ecuaciones diferenciales. Para ello existen diversos m´etodos y en esta tesis se va a utilizar la integraci´on num´erica [Kashima and Yamamoto, 2007] y [Skvortsov, 2010]. Los m´etodos de integraci´on num´erica proporcionan soluciones aproximadas y de buena calidad. Para que su uso sea aconsejable deben ser estables, convergentes y f´aciles de implementar en un ordenador. Los m´etodos de Runge–Kutta reunen estas caracter´ısticas y gozan de gran aceptaci´on. Son una importante familia de m´etodos iterativos desarrollados en 1900 por Runge y Kutta y han sido aplicados sistem´aticamente en simulaciones de transitorios en problemas electromagn´eticos [Noda et al., 2009]. En esta tesis se ha optado por un m´etodo de paso adaptativo por ser m´as exacto y eficiente que los de paso fijo [Wang et al., 2001]. Se ha elegido el Runge–Kutta–Fehlberg conocido como RKF45 [Nicolet and Delince, 1996]. Su t´ecnica consiste en el uso de dos [Santana-Mart´ın et al., 2009b] Santana-Mart´ın, F., Monz´on-Verona, J., Garc´ıa-Alonso, S., and MontielNelson, J. (2009b). Lumped Parametric Model for an Electrostatic Induction Micromotor Using GA’s Methods. In ISEF 2009 International symposium on Electromagnetic Field in Mechatronics, Electrical and Electronic Engineering, pages 209 –210. [Kashima and Yamamoto, 2007] Kashima, K. and Yamamoto, Y. (2007). System Theory for Numerical Analysis. Automatica, 43(7):1156 – 1164. [Skvortsov, 2010] Skvortsov, L. (2010). Diagonally Implicit Runge–Kutta Methods for Differential Algebraic Equations of Indices Two and Three. Computational Mathematics and Mathematical Physics, 50:993–1005. [Noda et al., 2009] Noda, T., Takenaka, K., and Inoue, T. (2009). Numerical Integration by the 2-Stage Diagonally Implicit Runge-Kutta Method for Electromagnetic Transient Simulations. Power Delivery, IEEE Transactions on, 24(1):390 –399. [Wang et al., 2001] Wang, H., Taylor, S., Simkin, J., Biddlecombe, C., and Trowbridge, B. (2001). An Adaptive-step Time Integration Method Applied to Transient Magnetic Field Problems. Magnetics, IEEE Transactions on, 37(5):3478 –3481. [Nicolet and Delince, 1996] Nicolet, A. and Delince, F. (1996). Implicit Runge–Kutta Methods for Transient Magnetic Field Computation. Magnetics, IEEE Transactions on, 32(3):1405 –1408. 5.13 Estudio del r´egimen transitorio 119 m´etodos de Runge–Kutta de distinto orden, uno de orden 4 (RK4), y otro de orden 5 (RK5), con los mismos tama˜nos de paso. En cada paso de integraci´on, se comparan sus resultados, y si la diferencia entre ellos es mayor o menor que una tolerancia prefijada, el tama˜no del paso se vuelve a redimensionar. Este m´etodo tiene la ventaja de consumir menos tiempo de computaci´on para obtener el error estimado ya que no es necesario repetir simulaciones con distintos tama˜nos de pasos para, posteriormente, comparar sus resultados y calcular los errores cometidos. 5.13.2 Estudio del r´egimen transitorio utilizando el circuito equivalente Se ha realizado el an´alisis del r´egimen transitorio en el circuito el´ectrico equivalente de la figura 5.2. Los valores de los componentes C1,C2, y G′ 2de dicho circuito son los que se indican en la tabla 5.3 y que han sido calculados previamente usando la t´ecnica de los algoritmos gen´eticos para un valor de la conductividad de 1/(1800 106) (1/Ω). El c´alculo del r´egimen transitorio ha sido realizado aplicando el m´etodo de la variable de estado. Este m´etodo es el m´as utilizado en software de simulaci´on de transitorios en fen´omenos el´ectricos [Wang et al., 2010; Yu and Fei, 2010]. En este circuito se han tomado como variables de estado las tensiones en los condensadores C1yC2de la figura 5.2. Operando en el mismo y aplicando las ecuaciones circuitales, se obtiene una ecuaci´on diferencial del tipo con condiciones iniciales. La siguiente ecuaci´on permite obtener el potencial a la salida del citado circuito el´ectrico en funci´on del tiempo: dVC2(t) dt =−G2 C1+C2 VC2(t) + C1 C1+C2 dV (t) dt (5.10) El tratamiento del problema, conduce a una ecuaci´on diferencial de primer orden (ODE). Para su resoluci´on se ha aplicado el c´alculo num´erico con el fin de obtener una soluci´on aproximada con un alto grado de precisi´on. Como se conoce la derivada de la inc´ognita y [Wang et al., 2010] Wang, L., Jatskevich, J., Dinavahi, V., Dommel, H., Martinez, J., Strunz, K., Rioual, M., Chang, G., and Iravani, R. (2010). Methods of Interfacing Rotating Machine Models in Transient Simulation Programs. Power Delivery, IEEE Transactions on, 25(2):891 –903. [Yu and Fei, 2010] Yu, H. and Fei, W. (2010). A New Modified Nodal Analysis for Nano-scale Memristor Circuit Simulation. In Circuits and Systems (ISCAS), Proceedings of 2010 IEEE International Symposium on, pages 3148 –3151. 120 Modelo de par´ametros concentrados de un micromotor el valor de la misma en un cierto instante de tiempo, se identifica a ´este como un cl´asico Problema de Valor Inicial (IVP). Esta ecuaci´on se ha resuelto aplicando el algoritmo de paso adaptativo de RungeKutta-Fehlberg (RKF45) [Nicolet and Delince, 1996]. Se ha utilizado un m´etodo de paso adaptativo por ser estable, m´as r´apido, m´as exacto y eficiente que los de paso fijo [Wang et al., 2001]. El resultado obtenido ha sido representado gr´aficamente como se indica en la figura 5.7, donde se muestra el transitorio de la tensi´on de salida en el modelo circuital equivalente y la tendencia de esa tensi´on hacia su valor en r´egimen permanente V2(t). En la -120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 0 100 200 300 400 500 600 700 800 Potencial (V) Tiempo (n s) V2(t) Figura 5.7: Transitorio del potencial de salida del modelo de par´ametros concentrados. figura 5.8 se ha representado gr´aficamente la variaci´on temporal del paso de integraci´on en el algoritmo de paso adaptativo RKF45 que se ha usado para la resoluci´on de esta ecuaci´on. Este gr´afico, ayuda a comprobar la adecuaci´on del paso de integraci´on que se ha usado para la cota de error establecida en las sucesivas simulaciones realizadas. [Nicolet and Delince, 1996] Nicolet, A. and Delince, F. (1996). Implicit Runge–Kutta Methods for Transient Magnetic Field Computation. Magnetics, IEEE Transactions on, 32(3):1405 –1408. [Wang et al., 2001] Wang, H., Taylor, S., Simkin, J., Biddlecombe, C., and Trowbridge, B. (2001). An Adaptive-step Time Integration Method Applied to Transient Magnetic Field Problems. Magnetics, IEEE Transactions on, 37(5):3478 –3481. 5.13 Estudio del r´egimen transitorio 121 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 0 100 200 300 400 500 600 700 Incremento tiempo (n s) Tiempo (n s) Figura 5.8: Variaci´on temporal del paso de integraci´on del algoritmo de Runge-KuttaFehlberg (RKF45). 5.13.3 Estudio del r´egimen transitorio utilizando el m´etodo de los elementos finitos En este apartado se proceder´a al estudio del r´egimen transitorio en el modelo f´ısico de la figura 5.2 aplicando el c´alculo num´erico. En este caso se ha elegido la utilizaci´on del m´etodo de los elementos finitos. Se parte de la ecuaci´on de definici´on que viene dada por la siguiente expresi´on: ∇·σ∇Φ + ∂ ∂t∇·ε∇Φ = 0 (5.11) Esta ecuaci´on una vez discretizada conduce a un sistema algebraico de ecuaciones diferenciales (DAE), que no puede ser tratada como si fuese una ecuaci´on diferencial ordinaria. Este sistema de ecuaciones diferenciales algebraicas tambi´en puede ser escrito como se indica mediante la siguiente ecuaci´on: M∂Φ ∂t +NΦ = f(t)(5.12) donde MyNson las matrices de coeficientes, ϕes el potencial en la interfaz y f(t) es la tensi´on de excitaci´on sobre cada electrodo, que son las condiciones de contorno de Dirichlet usadas para resolver el sistema de ecuaciones como resultado de aplicar el FEM. Para calcular la soluci´on num´erica del sistema dado por la ecuaci´on 5.12, es necesario