Estudio de efectos de interacción estructura-suelo-estructura sobre la respuesta sísmica de edificios pilotados en función del tipo de onda sísmica y su ángulo de incidencia

M´aster en Sistemas Inteligentes y Aplicaciones Num´ericas en Ingenier´ıa TFM Estudio de los efectos de interacci´on estructurasuelo-estructura sobre la respuesta s´ısmica de edificios pilotados en funci´on del tipo de onda s´ısmica y su ´angulo de incidencia. Autor: Guillermo Manuel ´ Alamo Meneses Tutores: Luis A. Padr´on Hern´andez Juan J. Azn´arez Gonz´alez Las Palmas de Gran Canaria, Junio 2014 Agradecimientos Agradecer el enorme trabajo realizado por mis dos tutores. A los Drs. D. Luis A. Padr´on Hern´andez y D. Juan J. Azn´arez Gonz´alez, quienes han hecho posible el presente documento mediante su experiencia y sus grandes explicaciones. Agradecerles el haberme iniciado en el mundo de la investigaci´on y haber puesto todos los recursos a mi alcance para que pudiera realizar con ´exito el presente trabajo; sin ninguna duda, han afianzado mi inter´es por la docencia y la investigaci´on y espero poder seguir trabajando junto a ellos los pr´oximos a˜nos de mi formaci´on. Este trabajo ha sido posible gracias a la financiaci´on obtenida del Ministerio de Econom´ıa y Competitividad (MINECO), la Agencia Canaria de Investigaci´on, Innovaci´on y Sociedad de la Informaci´on (ACIISI) del Gobierno de Canarias y el Fondo Europeo de Desarrollo Regional (FEDER) a trav´es de los Proyectos de Investigaci´on BIA2010-21399-C02-01 y ProID20100224. I II ´ Indice de contenidos 1. Introducci´on 1 1.1. Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3. Revisi´on bibliogr´afica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.4. Estructura del documento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2. Modelo MEC-FEM para el an´alisis din´amico de cimentaciones y estructuras pilotadas 5 2.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.2. Ecuaciones de elementos de contorno para el suelo . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.3. Ecuaciones de elementos finitos para la cimentaci´on pilotada . . . . . . . . . . 8 2.3.1. Ecuaci´on de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.3.2. Definici´on del elemento viga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.3.3. Fuerzas sobre el pilote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.3.4. Sistema de ecuaciones para el pilote simple . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.4. Acoplamiento MEC-MEF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.5. Formulaci´on del encepado r´ıgido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.5.1. Restricciones cinem´aticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.5.2. Ecuaciones de equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.6. Modelo para las estructuras pilotadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.6.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.6.2. Relaciones cinem´aticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.6.3. Matriz de rigidez de entreplanta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.7. Ensamblaje de la matriz global del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3. Campo incidente producido por ondas SH y SV con un ´angulo de incidencia gen´erico 23 3.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.2. Fundamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.3. Onda SH incidente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.4. Onda SV incidente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.5. Implementaci´on del campo incidente en la formulaci´on . . . . . . . . . . . . . 30 3.6. Implementaci´on del modelo en el c´odigo. Tratamiento de la simetr´ıa . . . . . . 31 4. Resultados 35 4.1. Definici´on del problema tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.1.1. Tratamiento de la simetr´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.1.2. Par´ametros del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.1.3. Discretizaci´on de la superficie libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.1.4. Obtenci´on del valor de cortante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 III ´ INDICE DE CONTENIDOS 4.2. Definici´on del problema bidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.2.1. Modelo de validaci´on. M´etodo de los Elementos de Contorno bidimensional. ................................... 43 4.3. Variaci´on del cortante m´ax. sin amortiguamiento en el campo incidente . . . . 44 4.3.1. Grupo de tres edificios iguales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4.3.2. Grupo de tres edificios, edificio central distinto . . . . . . . . . . . . . 58 4.3.3. Grupo de dos edificios iguales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.4. Influencia de la distancia de separaci´on (D) ................... 71 4.4.1. Ondas SH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4.4.2. Ondas SV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 4.5. Efectos en los desplazamientos de la superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.5.1. Modelo en 2 dimensiones. Problema de un elemento enterrado . . . . . 79 4.5.2. Efecto en la superficie de la presencia de los elementos de cimentaci´on y superestructura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 5. Conclusiones y desarrollo futuro 93 5.1. Resumen y conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 5.2. L´ıneas futuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Referencias 98 I Ap´endices 99 A. M´etodos para eliminar el amortiguamiento del campo incidente 101 B. Variaci´on de la frecuencia de pico en funci´on de la distancia de separaci´on 109 C. Respuesta de los encepados 115 D. Resultados obtenidos empleando una cimentaci´on de menor dimensi´on 127 IV ´ Indice de figuras 2.1. Representaci´on de las l´ıneas de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.2. Definici´on del elementos finito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.3. Fuerzas puntuales externas (izquierda) y tensiones a lo largo de la interfase pilote-suelo, definidas sobre un elemento gen´erico . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.4. Pilote de referencia (r) y pilote perif´erico (p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.5. Esquema bidimensional del modelo de estructuras pilotadas . . . . . . . . . . . 16 2.6. Grados de libertad para el acoplamiento entre pilares y encepado . . . . . . . . 17 2.7. Estructura de la matriz de coeficientes Adel sistema . . . . . . . . . . . . . . 21 3.1. Representaci´on de los ejes en el semiespacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.2. Par´ametros para definir el problema de incidencia inclinada . . . . . . . . . . . 24 3.3. Definici´on de la direcci´on de propagaci´on y desplazamientos de los tipos de onda 25 3.4. ´ Angulos y amplitudes para el caso de onda SH incidente . . . . . . . . . . . . 27 3.5. ´ Angulos y amplitudes para el caso de onda SV incidente . . . . . . . . . . . . 28 3.6. Fen´omenos de reflexi´on de ondas para pilotes embebidos en el terreno . . . . . 31 4.1. Grupo de edificios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.2. Par´ametros y grados de libertad del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.3. Discretizaci´on del problema. En sombreado la parte que se discretiza, en discontinuo el resultado de aplicar las simetr´ıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.4. Casos de simetr´ıa para la onda SH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.5. Casos de simetr´ıa para la onda SV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.6. Mallado de la superficie libre para diferentes distancias de separaci´on entre edificios h/b = 2. ................................. 41 4.7. Par´ametros del problema bidimensional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.8. Variaci´on del cortante m´aximo en funci´on del ´angulo de incidencia. Tomando como referencia al edificio solo bajo el mismo ´angulo de incidencia. Edificios de esbeltez h/b = 2. ................................. 47 4.9. Variaci´on del cortante m´aximo en funci´on de la posici´on dentro del grupo. Tomando como referencia al edificio solo bajo el mismo ´angulo de incidencia. Edificios de esbeltez h/b = 2. .......................... 48 4.10. Variaci´on del cortante m´aximo en funci´on del ´angulo de incidencia. Tomando como referencia al edificio solo bajo el mismo ´angulo de incidencia. Edificios de esbeltez h/b = 5. ................................. 51 4.11. Variaci´on del cortante m´aximo en funci´on de la posici´on dentro del grupo. Tomando como referencia al edificio solo bajo el mismo ´angulo de incidencia. Edificios de esbeltez h/b = 5. .......................... 52 4.12. Variaci´on del cortante m´aximo en funci´on del ´angulo de incidencia. Tomando como referencia al edificio solo bajo incidencia vertical. Edificios de esbeltez h/b = 2....................................... 54 V ´ INDICE DE FIGURAS 4.13. Variaci´on del cortante m´aximo en funci´on de la posici´on dentro del grupo. Tomando como referencia al edificio solo bajo incidencia vertical. Edificios de esbeltez h/b = 2. ................................. 55 4.14. Variaci´on del cortante m´aximo en funci´on del ´angulo de incidencia. Tomando como referencia al edificio solo bajo incidencia vertical. Edificios de esbeltez h/b = 5....................................... 56 4.15. Variaci´on del cortante m´aximo en funci´on de la posici´on dentro del grupo. Tomando como referencia al edificio solo bajo incidencia vertical. Edificios de esbeltez h/b = 5. ................................. 57 4.16. Variaci´on del cortante m´aximo en funci´on del ´angulo de incidencia. Tomando como referencia al edificio solo bajo el mismo ´angulo de incidencia. Edificios exteriores de esbeltez h/b = 2, edificio central de esbeltez h/b = 3. . . . . . . 59 4.17. Variaci´on del cortante m´aximo en funci´on del ´angulo de incidencia. Tomando como referencia al edificio solo bajo el mismo ´angulo de incidencia. Edificios exteriores de esbeltez h/b = 2, edificio central de esbeltez h/b = 5. . . . . . . 60 4.18. Variaci´on del cortante m´aximo en funci´on del ´angulo de incidencia. Tomando como referencia al edificio solo bajo el mismo ´angulo de incidencia. Edificios exteriores de esbeltez h/b = 5, edificio central de esbeltez h/b = 2. . . . . . . 62 4.19. Variaci´on del cortante m´aximo en funci´on del ´angulo de incidencia. Tomando como referencia al edificio solo bajo el mismo ´angulo de incidencia. Edificios exteriores de esbeltez h/b = 5, edificio central de esbeltez h/b = 4. . . . . . . 63 4.20. Variaci´on del cortante m´aximo en funci´on del ´angulo de incidencia. Tomando como referencia al edificio solo bajo incidencia vertical. Edificios exteriores de esbeltez h/b = 2, edificio central de esbeltez h/b = 3. . . . . . . . . . . . . . 65 4.21. Variaci´on del cortante m´aximo en funci´on del ´angulo de incidencia. Tomando como referencia al edificio solo bajo incidencia vertical. Edificios exteriores de esbeltez h/b = 2, edificio central de esbeltez h/b = 5............... 66 4.22. Variaci´on del cortante m´aximo en funci´on del ´angulo de incidencia. Tomando como referencia al edificio solo bajo incidencia vertical. Edificios exteriores de esbeltez h/b = 5, edificio central de esbeltez h/b = 2. . . . . . . . . . . . . . 67 4.23. Variaci´on del cortante m´aximo en funci´on del ´angulo de incidencia. Tomando como referencia al edificio solo bajo incidencia vertical. Edificios exteriores de esbeltez h/b = 5, edificio central de esbeltez h/b = 4............... 68 4.24. Variaci´on del cortante m´aximo en funci´on del ´angulo de incidencia. Tomando como referencia al edificio solo bajo el mismo ´angulo de incidencia. Comparaci´on entre dos edificios h/b = 2 (continuo) y edificios exteriores de esbeltez h/b = 2, edificio central de esbeltez h/b = 5 (discontinuo). . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.25. Variaci´on del cortante m´aximo en funci´on de la distancia de separaci´on entre estructuras. Tomando como referencia al edificio solo bajo el mismo ´angulo de incidencia. Edificios de esbeltez h/b = 2. Ondas SH . . . . . . . . . . . . . . 72 4.26. Variaci´on del cortante m´aximo en funci´on de la distancia de separaci´on entre estructuras. Tomando como referencia al edificio solo bajo el mismo ´angulo de incidencia. Edificios de esbeltez h/b = 2. Ondas SH . . . . . . . . . . . . . . 73 4.27. Variaci´on del cortante m´aximo en funci´on de la distancia de separaci´on entre estructuras. Tomando como referencia al edificio solo bajo el mismo ´angulo de incidencia. Edificios de esbeltez h/b = 2. Ondas SV . . . . . . . . . . . . . . 75 4.28. Variaci´on del cortante m´aximo en funci´on de la distancia de separaci´on entre estructuras. Tomando como referencia al edificio solo bajo el mismo ´angulo de incidencia. Edificios de esbeltez h/b = 2. Ondas SV . . . . . . . . . . . . . . 76 VI ´ INDICE DE FIGURAS 4.29. Variaci´on del cortante m´aximo en funci´on de la distancia de separaci´on entre estructuras. Tomando como referencia al edificio solo bajo incidencia vertical. Edificios de esbeltez h/b = 2. Ondas SV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 4.30. Desplazamientos horizontales de los puntos de la superficie debidos a la presencia de un elemento enterrado. Valor de frecuencia a0= 0.05. . . . . . . . . 81 4.31. Desplazamientos horizontales de los puntos de la superficie debidos a la presencia de un elemento enterrado. Valor de frecuencia a0= 0.125. . . . . . . . . 82 4.32. Desplazamientos horizontales de los puntos de la superficie debidos a la presencia de un elemento enterrado. Valor de frecuencia a0= 0.225. . . . . . . . . 83 4.33. Desplazamientos horizontales de los puntos de la superficie debidos a la presencia de un elemento enterrado. Valor de frecuencia a0= 0.425. . . . . . . . . 84 4.34. Desplazamientos horizontales de los puntos de la superficie debidos a la presencia de un elemento enterrado. Valor de frecuencia a0= 0.825. . . . . . . . . 85 4.35. Desplazamientos horizontales de los puntos situados en la l´ınea central de la superficie debidos a la presencia de la cimentaci´on. Estudio del efecto de la presencia de superestructura. Valor de frecuencia inferior a la natural de la estructura: a0= 0.05................................ 87 4.36. Desplazamientos horizontales de los puntos situados en la l´ınea central de la superficie debidos a la presencia de la cimentaci´on. Estudio del efecto de la presencia de superestructura. Valor de frecuencia igual a la natural de la estructura: a0= 0.078. .................................... 88 4.37. Desplazamientos horizontales de los puntos situados en la l´ınea central de la superficie debidos a la presencia de la cimentaci´on. Estudio del efecto de la presencia de superestructura. Valor de frecuencia superior a la natural de la estructura: a0= 0.1. ............................... 89 4.38. Desplazamientos horizontales de los puntos situados en la l´ınea central de la superficie debidos a la presencia de la cimentaci´on. Estudio del efecto de la presencia de superestructura. Valor de frecuencia muy superior a la natural de la estructura: a0= 0.6. .............................. 90 A.1. Variaci´on del cortante m´aximo en funci´on del ´angulo de incidencia. Tomando como referencia al edificio solo bajo el mismo ´angulo de incidencia. Edificios de esbeltez h/b = 2. Correcci´on mediante un campo incidente no amortiguado. . . 102 A.2. Variaci´on del cortante m´aximo en funci´on del ´angulo de incidencia. Tomando como referencia al edificio solo bajo el mismo ´angulo de incidencia. Edificios de esbeltez h/b = 2. Correcci´on mediante el edificio solo en su misma posici´on. . . 103 A.3. Variaci´on del cortante m´aximo en funci´on del ´angulo de incidencia. Tomando como referencia al edificio solo bajo incidencia vertical. Edificios de esbeltez h/b = 2. Correcci´on mediante un campo incidente no amortiguado. . . . . . . 104 A.4. Variaci´on del cortante m´aximo en funci´on del ´angulo de incidencia. Tomando como referencia al edificio solo bajo incidencia vertical. Edificios de esbeltez h/b = 2. Correcci´on mediante el edificio solo en su misma posici´on. . . . . . . 105 A.5. Variaci´on del cortante m´aximo en funci´on del ´angulo de incidencia. Tomando como referencia al edificio solo bajo el mismo ´angulo de incidencia. Tres edificios de esbeltez h/b = 5 y grupo de laterales h/b = 2 con central h/b = 5. Comparaci´on entre metodolog´ıas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 A.6. Variaci´on del cortante m´aximo en funci´on del ´angulo de incidencia. Tomando como referencia al edificio solo bajo incidencia vertical. Tres edificios de esbeltez h/b = 5 y grupo de laterales h/b = 2 con central h/b = 5. Comparaci´on entre metodolog´ıas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 VII 1Introducci´on el edificio central distinto a los exteriores, para poder estudiar como afecta la presencia de estructuras con caracter´ısticas diferentes a los efectos de interacci´on. A raz´on de los resultados obtenidos de los anteriores casos de estudio, se realizar´a un an´alisis pormenorizado de la influencia de la distancia de separaci´on en los efectos de interacci´on entre estructuras. Este an´alisis permitir´a obtener la evoluci´on de los efectos de interacci´on conforme la distancia entre estructuras se va incrementando. Este estudio de los efectos de interacci´on entre estructuras en funci´on del tipo e inclinaci´on de la onda, hasta donde los autores tienen conocimiento, no ha sido abordado anteriormente. Su importancia radica en que, al obtenerse las variaciones de los esfuerzos debidas a la presencia de otras estructuras y del tipo de onda incidente con respecto al que presenta el edificio solo en el terreno bajo incidencia vertical (consideraciones comunes en los c´alculos din´amicos), estas variaciones pueden aplicarse como un coeficiente corrector al m´etodo de c´alculo est´andar haciendo que sus resultados se ajusten en mayor medida a la configuraci´on real. 1.2 Objetivos Como se ha comentado, el objetivo principal de este documento es profundizar en el conocimiento de los efectos de interacci´on estructura-suelo-estructura que se presentan en agrupaciones de edificaciones y que modifican la respuesta din´amica de las mismas en comparaci´on a la que presentar´ıan en el caso de encontrarse de forma individual sobre el terreno, mediante el an´alisis de la influencia del ´angulo de incidencia del tren de ondas sobre esta respuesta. De una forma m´as detallada, los objetivos planteados para este Trabajo Fin de M´aster son: Eliminar los efectos del amortiguamiento del campo incidente en los resultados obtenidos con anterioridad para estudiar ´unicamente los efectos de la interacci´on estructura-sueloestructura entre los edificios del grupo. Analizar la respuesta en forma de cortante que presentan las diferentes edificaciones dentro de una configuraci´on estructural compuesta por tres edificios iguales en l´ınea, cimentados sobre pilotes verticales, ante trenes de ondas con ´angulos de incidencia variable. Analizar la respuesta en forma de cortante que presentan las diferentes edificaciones dentro de una configuraci´on estructural compuesta por tres edificios en l´ınea cimentados sobre pilotes verticales, donde los edificios laterales son diferentes al central, ante trenes de ondas con ´angulos de incidencia variable. Analizar la influencia del ´angulo de incidencia y del tipo de onda en la respuesta del sistema en relaci´on con la presencia de edificaciones cercanas. Analizar dicha influencia en funci´on de la distancia de separaci´on entre las estructuras y de la frecuencia natural de las mismas. Sin olvidar el car´acter acad´emico de este trabajo, se plantean tambi´en una serie de objetivos que permitan al autor del presente trabajo ampliar su formaci´on en el campo de la din´amica de estructuras y los m´etodos num´ericos; as´ı como estar en disposici´on de utilizar y modificar adecuadamente el software ya disponible para la obtenci´on de resultados. M´as detalladamente estos objetivos son: 2 1.3 Revisi´on bibliogr´afica Repasar y ampliar los conocimientos te´oricos y pr´acticos relacionados con la din´amica de estructuras y elastodin´amica lineal vistas en las asignaturas optativas del M´aster ‘Din´amica de Estructuras’ y ‘Simulaci´on Num´erica en Elastodin´amica’ Estudiar las bases del M´etodo de los Elementos de Contorno y el M´etodo de los Elementos Finitos, que han servido para el desarrollo del software aplicable al an´alisis din´amico de estructuras pilotadas. Familiarizarse con el lenguaje de programaci´on FORTRAN90, que es el lenguaje empleado en la implementaci´on de los modelos matem´aticos que utilizar´a y modificar´a. Deber´a ser capaz de escribir, compilar y ejecutar sus propios programas en este lenguaje. Estudiar con un alto nivel de detalle el programa inform´atico vinculado al modelo acoplado MEC-MEF. Como se ha comentado anteriormente, en el momento actual este c´odigo permite el estudio din´amico de estructuras de edificaci´on pilotadas ante trenes de ondas s´ısmicas con incidencia general. Formular e implementar los c´odigos necesarios para la gesti´on y tratamiento de los resultados que pretenden obtenerse, tareas necesarias debido al volumen de casos posibles y a las caracter´ısticas del an´alisis param´etrico que desea realizarse. 1.3 Revisi´on bibliogr´afica El problema de la interacci´on entre estructuras cercanas a trav´es del terreno comenz´o a estudiarse por Lee y Wesley en un trabajo pionero [10] en el que investigaron la influencia de la interacci´on estructura-suelo-estructura en la respuesta din´amica de varios reactores nucleares adyacentes, empleando para ello un modelo tridimensional y una soluci´on aproximada para la interacci´on din´amica a trav´es de bases circulares r´ıgidas. Poco despu´es, Luco y Contesse [12], seguidos por Wong y Trifunac [25], abordaron el problema bidimensional de la interacci´on entre paredes infinitas bajo ondas SH empleando una soluci´on para la interacci´on a trav´es de cimentaciones semicirculares semiinfinitas. Posteriormente, Wang y Schmid [24] y Lehmann y Antes [11] emplearon dos modelos acoplados de elementos finitos-elementos de contorno diferentes para investigar la interacci´on din´amica entre estructuras tridimensionales cimentadas sobre losas cuadradas, siendo el primer estudio para cargas puntuales sobre los nodos estructurales y el segundo para cargas verticales en el terreno entre las dos estructuras. Recientemente, se han publicado art´ıculos sobre la influencia de grandes grupos de edificios, adem´as de la configuraci´on del subsuelo, sobre la respuesta s´ısmica del sistema total a trav´es de modelos tanto num´ericos como experimentales [5,9,22]. En lo referente a la incidencia no vertical, los primeros estudios sobre la respuesta de pilotes embebidos en el terreno frente a ondas inclinadas fueron realizados por Mamoon y Ahmad [14] mediante los factores de interacci´on cinem´atica de la cimentaci´on. Este art´ıculo fue la base para el siguiente trabajo de Mamoon y Banerjee [15], donde se investig´o la respuesta de pilotes individuales y grupos de pilotes a ondas SH. Makris y Badoni [13] tambi´en estudiaron el problema de ondas Rayleigh y ondas SH inclinadas mediante el empleo de una aproximaci´on tipo Winkler. Sin embargo, un estudio m´as exhaustivo fue el realizado por Kaynia y Novak [8], donde se obtuvieron los factores de interacci´on cinem´atica de diferentes configuraciones de cimentaciones de pilotes tanto para ondas volum´etricas inclinadas como para ondas Rayleigh. 3 1Introducci´on 1.4 Estructura del documento A continuaci´on, se expondr´a un resumen de los diferentes cap´ıtulos del presente documento resaltando los aspectos m´as destacados de los mismos, as´ı como el contenido general de cada uno de ellos. De este modo, en el cap´ıtulo 2 se introducir´a el modelo acoplado de elementos de contorno - elementos finitos que se emplear´a para obtener los resultados. Se describir´an las ecuaciones de elementos de contorno empleadas para modelar el terreno, as´ı como el tratamiento mediante elementos finitos de los pilotes; realizando posteriormente el acoplamiento de ambas formulaciones. Por ´ultimo, se expondr´a la forma en la que se incluir´an las cimentaciones y las superestructuras dentro del sistema global. En el cap´ıtulo 3, se analizar´an las diferentes expresiones del campo incidente en funci´on del tipo de onda y de la inclinaci´on de la misma. Estas expresiones anal´ıticas ser´an las empleadas para incluir la excitaci´on s´ısmica dentro de la formulaci´on anterior. Finalmente, se comentar´a el tratamiento de la simetr´ıa empleado en el c´odigo. Una vez introducidas las herramientas empleadas para el an´alisis, el cap´ıtulo 4 muestra los resultados obtenidos para los diferentes casos. En primer lugar se definir´a el problema a estudiar, as´ı como el problema bidimensional empleado para validar determinados resultados. A continuaci´on, se estudiar´an los casos centrales del trabajo, mostrando las variaciones en los valores de cortante m´aximo obtenidos para las diferentes configuraciones, analizando la influencia de los diferentes par´ametros variables del problema. Debido a los resultados obtenidos, se realizar´a para una de las configuraciones estudiadas un an´alisis param´etrico de la distancia de separaci´on entre estructuras. Finalmente, y con ´animo de explicar los resultados, se estudia la influencia de la presencia de la superestructura en los desplazamientos de los puntos de la superficie de su entorno. Por ´ultimo, en el cap´ıtulo 5 se presentan una serie de conclusiones y an´alisis de los resultados obtenidos en el cap´ıtulo anterior, as´ı como las l´ıneas de investigaci´on futuras que nacen a partir de dichos resultados. Adicionalmente se incluyen una serie de anexos en los que se complementan los resultados obtenidos. 4 Modelo MEC-FEM para el an´alisis din´amico de cimentaciones y estructuras pilotadas Cap´ıtulo2 2.1 Introducci´on A lo largo de este cap´ıtulo, se presentar´an las l´ıneas generales del modelo empleado para el c´alculo del comportamiento din´amico de las distintas estructuras y cimentaciones de pilotes en este trabajo. Dicho modelo consiste en un acoplamiento entre los m´etodos de elementos de contorno y elementos finitos, siendo el primero el empleado para modelar el terreno y el segundo para los pilotes. Este modelo ha sido previamente desarrollado y validado por los tutores [17] y se ha empleado en diversos estudios de estructuras pilotadas [18,19,26]. A la hora de plantear el m´etodo directo de los elementos de contorno aplicado al problema elastodin´amico en el dominio de la frecuencia, la ecuaci´on integral en el contorno es generalmente obtenida a partir del teorema de reciprocidad de la elastodin´amica, teniendo en cuenta la fuerzas por unidad de volumen. Sin embargo, antes del proceso de discretizaci´on que permite plantear el sistema lineal de ecuaciones del m´etodo de los elementos de contorno, se asume, en la mayor parte de las aplicaciones, que dichas fuerzas por unidad de volumen son nulas en todo el dominio, lo que permite cancelar el ´ultimo t´ermino de la ecuaci´on integral. Por contra, el enfoque utilizado en este trabajo, similar al presentado por Matos Filho et al [16] en un modelo est´atico previo, incluye este t´ermino al considerar que las tensiones que aparecen en la interfase pilote-suelo pueden entenderse como fuerzas de volumen que act´uan en el interior del dominio. Por otro lado, la rigidez aportada por los pilotes es tenida en cuenta a trav´es de elementos finitos longitudinales que relacionan los desplazamientos de distintos puntos internos del suelo alineados a lo largo del eje del pilote. De este modo, no hay necesidad de discretizar la interfase pilote-suelo utilizando elementos de contorno, con el consiguiente ahorro en grados de libertad. As´ı, no se considera un vaciado en el suelo, que se modela como un medio continuo. La secci´on 2.2 presenta la ecuaci´on integral de contorno para el suelo, donde las fuerzas y las tensiones que aparecen en la interfase pilote-suelo son consideradas como l´ıneas de carga y fuerzas internas que aparecen en el interior del dominio. A continuaci´on, la secci´on 2.3 expone la formulaci´on de elementos finitos utilizada para modelar los pilotes, con lo que ya es posible realizar el acoplamiento entre los elementos finitos y los elementos de contorno, tal y como se hace en la secci´on 2.4. Posteriormente, la agrupaci´on de pilotes por medio de encepados r´ıgidos es presentada la secci´on 2.5, y a partir de ah´ı, la secci´on 2.6 aborda el modo en que se introducen en el modelo estructuras cimentadas sobre los grupos de pilotes formulados en los apartados anteriores. La exposici´on del modelo num´erico de elementos de contorno y elementos finitos termina en la secci´on 2.7, donde se aborda el proceso de ensamblaje del sistema de ecuaciones final. 5 2Modelo para el an´alisis din´amico de cimentaciones y estructuras pilotadas 2.2 Ecuaciones de elementos de contorno para el suelo El terreno es modelado a trav´es del m´etodo de los elementos de contorno como una regi´on lineal, homog´enea, is´otropa, viscoel´astica y no acotada, con un m´odulo de elasticidad transversal complejo µdel tipo µ=Re[µ](1 + 2iβ), donde βes el coeficiente de amortiguamiento. La ecuaci´on integral en el contorno para un estado elastodin´amico definido en un dominio Ω con un contorno Γpuede ser escrito de forma general y condensada como cιuι+ZΓ p∗udΓ = ZΓ u∗pdΓ + ZΩ u∗XdΩ(2.1) donde cιes el tensor del t´ermino libre en el punto de colocaci´on xι,Xson las fuerzas de volumen en el dominio Ω,uypson los vectores de desplazamientos y tensiones, y u∗yp∗ son los tensores de la soluci´on fundamental elastodin´amica, que representan la respuesta de una regi´on no acotada a una carga arm´onica unitaria concentrada en un punto xιy con una variaci´on temporal del tipo eiωt. En gran n´umero de aplicaciones se considera que la fuerzas de volumen Xson nulas. De aqu´ı en adelante, por contra, se considerar´a que la interacci´on pilote-suelo se produce, desde el punto de vista de la ecuaci´on integral, a trav´es de fuerzas internas puntuales situadas en la punta de los pilotes y de l´ıneas de carga repartidas a lo largo del eje de los pilotes. Se considera, por tanto, que la continuidad del suelo no se ve alterada por la presencia de los pilotes. Las l´ıneas de carga dentro del suelo, las tensiones a lo largo de la interfase pilote-suelo, actuando sobre el pilote y en el interior del suelo (qpj=−qsj), y las fuerzas internas puntuales Fpjen la punta de los pilotes, est´an representadas en la fig. 2.1, donde se muestra un esquema del modelo. Figura 2.1: Representaci´on de las l´ıneas de carga De acuerdo a las hip´otesis enumeradas anteriormente, la ec. (2.1) puede ser escrita como: cιuι+ZΓ p∗udΓ = ZΓ u∗pdΓ + np X j=1 "ZΓpj u∗qsjdΓpj−δjΥj kFpj#(2.2) donde Γpjes la interfase pilote-suelo a lo largo de la l´ınea de carga jen el interior del dominio Ω;npes el n´umero total de l´ıneas de carga en el dominio Ω;δjtoma valor unitario si la l´ınea de carga jcontiene a la punta de un pilote flotante, o toma el valor cero en caso contrario; y Υj kes un vector de tres componentes que representa la contribuci´on de la fuerza axial Fpjen la punta de la l´ınea de carga j-´esima. Los contornos Γson discretizados por medio de elementos cuadr´aticos triangulares o cuadril´ateros con seis o nueve nodos, respectivamente. Cuando los contorno han sido discretizados, la 6 2.2 Ecuaciones de elementos de contorno para el suelo ec. (2.2) puede ser escrita para la regi´on Ω, en todos los nodos sobre Γcon el fin de obtener una ecuaci´on matricial del tipo: Hssus−Gssps− np X j=1 Gspjqsj+ np X j=1 δjΥsjFpj= 0 (2.3) donde usypsson los vectores de desplazamientos y tensiones nodales de los elementos de contorno; Hss yGss son las matrices de coeficientes obtenidas de la integraci´on num´erica sobre los elementos de contorno del producto de la soluci´on fundamental por las funciones de forma correspondientes; y Gspjes la matriz de coeficientes obtenida de la integraci´on num´erica sobre la l´ınea de carga jdel producto de la soluci´on fundamental por las funciones de interpolaci´on (2.12), cuando la carga unitaria est´a aplicada sobre Γ. Por otro lado, la ec. (2.2) ser´a tambi´en aplicada sobre los puntos internos que pertenecen a la l´ınea de carga Γpi, lo que lleva a la siguiente expresi´on: c upi+Hpisus−Gpisps− np X j=1 Gpipjqsj+ np X j=1 δjΥpijFpj= 0 (2.4) donde HpisyGpisson matrices de coeficientes obtenidas a trav´es de la integraci´on num´erica sobre los elementos de contorno del producto de la soluci´on fundamental por las funciones de forma correspondientes; y Gpipjes la matriz de coeficientes obtenida a trav´es de la integraci´on num´erica sobre la l´ınea de carga jdel producto de la soluci´on fundamental por las funciones de interpolaci´on (2.12), cuando la carga unitaria est´a aplicada sobre la l´ınea de carga Γpi. Aqu´ı, upies el vector de desplazamientos nodales de la l´ınea de carga i, el cual es multiplicado por el vector c, que toma el valor 1/2en posiciones correspondientes a nodos del pilote localizados sobre un contorno suave (como en el caso de las cabezas de los pilotes) o toma un valor unitario en los puntos internos. Hay que tener en cuenta que la posici´on del nodo que define la cabeza del pilote puede coincidir con la posici´on de alg´un nodo de la superficie. En este caso existir´an dos nodos con id´enticas coordenadas espaciales. Entonces, dos de las ecuaciones del sistema, la escrita para el nodo de la superficie y la escrita para el nodo de la l´ınea de carga, ser´an equivalentes, pero el t´ermino libre ocupar´a diferentes posiciones en la matriz de coeficientes, lo que evitar´a que se tenga un sistema de ecuaciones singular. Por otro lado, dado que para pilotes flotantes se considera la existencia de una fuerza axial actuando en la punta, es necesario escribir una ecuaci´on extra. Para ello, la carga puntual debe ser aplicada en la direcci´on x3en alg´un punto no nodal. Dado su cercan´ıa a la punta del pilote, el punto m´as id´oneo es el de coordenada elemental adimensional ξ=−1/2del elemento inferior (v´ease la secci´on 2.3.2). De este modo, la ecuaci´on extra es 1 83ubk 3+ 6ubl 3−ubm 3+ZΓ ˆ p∗udΓ = =ZΓ ˆ u∗pdΓ + np X j=1 "ZΓpj ˆ u∗qsjdΓpj−δjΥj b3Fpj#(2.5) donde ubk 3,ubl 3yubm 3son los desplazamientos verticales de los nodos k,lymdel elemento inferior, ˆ p∗={p∗ 31, p∗ 32, p∗ 33}yˆ u∗={u∗ 31, u∗ 32, u∗ 33}. De forma matricial, la ec. (2.5) puede ser escrita como DTupi b+Hpis eus−Gpis eps− np X j=1 Gpipj eqsj+ np X j=1 δjΥpij b3Fpj= 0 (2.6) 7 2Modelo para el an´alisis din´amico de cimentaciones y estructuras pilotadas donde upi bes el vector de desplazamientos nodales en los nodos del elemento inferior de la l´ınea de carga i(que corresponde al extremo inferior de un pilote flotante) donde la carga unitaria est´a aplicada; Hpis eyGpis eson vectores obtenidos por integraci´on num´erica sobre Γ del producto de la soluci´on fundamental elastodin´amica por las funciones de forma de los elementos de contorno; y Gpipj ees el vector obtenido de la integraci´on sobre Γpjdel producto de la soluci´on fundamental elastodin´amica por las funciones de forma definidas en (2.12), cuando la carga unitaria est´a aplicada en el punto extra de la l´ınea de carga i. Finalmente, DT= 1/8{0,0,3,0,0,6,0,0,−1}. 2.3 Ecuaciones de elementos finitos para la cimentaci´on pilotada 2.3.1 Ecuaci´on de movimiento El comportamiento de un pilote sometido a cargas din´amicas puede ser descrito a trav´es de la siguiente ecuaci´on diferencial: M ¨u(t) + C ˙u(t) + K u(t) = f(t)(2.7) donde M,CyKson las matrices de masa, amortiguamiento y rigidez del pilote, u(t)es el vector de desplazamientos nodales y f(t)es el vector de fuerzas nodales sobre el pilote. Considerando ahora que el pilote est´a sujeto a cargas arm´onicas, los vectores de desplazamientos y fuerzas nodales pueden ser expresados como: u(t) = upeiωt yf(t) = Feiωt (2.8) donde upes el vector que contiene las amplitudes de las traslaciones y rotaciones nodales, Fes el vector que contiene las amplitudes de las fuerzas y momentos nodales, ωes la frecuencia angular de la excitaci´on, e i = √−1. De este modo, y considerando un pilote con amortiguamiento interno nulo, la ec. (2.7) puede expresarse ahora como (K−ω2M)up=F(2.9) 2.3.2 Definici´on del elemento viga Los pilotes son modelados, haciendo uso del m´etodo de los elementos finitos, como elementos verticales de acuerdo a la teor´ıa de vigas de Euler-Bernoulli, y son discretizados utilizando elementos de tres nodos (como se muestra en la fig. 2.2) que han sido definidos de manera que sea posible aproximar la deformada del pilote con un n´umero bajo de elementos. Se definen 13 grados de libertad sobre dicho elemento: un desplazamiento vertical y dos desplazamientos horizontales en cada nodo, y adem´as, dos rotaciones θen cada uno de los nodos extremos, uno alrededor del eje x1y otro alrededor del eje x2. Los desplazamientos laterales u1yu2a lo largo del elemento son aproximados a trav´es de un conjunto de funciones de forma de cuarto grado, mientras que los desplazamientos verticales u3son aproximados por funciones de segundo grado. De este modo, sus expresiones quedan: ui=ϕ1uki+ϕ2θki+ϕ3uli+ϕ4umi+ϕ5θmi;i= 1,2(2.10a) u3=φ1uk3+φ2ul3+φ3um3(2.10b) 8 2.3 Ecuaciones de elementos finitos para la cimentaci´on pilotada Figura 2.2: Definici´on del elementos finito donde ϕ1=ξ(−3 4+ξ+1 4ξ2−1 2ξ3) ϕ2=1 4ξ(−1 + ξ+ξ2−ξ3) ϕ3= 1 −2ξ2+ξ4(2.11) ϕ4=ξ(3 4+ξ−1 4ξ2−1 2ξ3) ϕ5=1 4ξ(−1−ξ+ξ2+ξ3) y φ1=1 2ξ(ξ−1) φ2= 1 −ξ2(2.12) φ3=1 2ξ(ξ+ 1) siendo ξla coordenada adimensional elemental que var´ıa desde ξ=−1hasta ξ= +1. Las submatrices de rigidez que definen el comportamiento lateral y axial del elemento (indicadas por los super´ındices lyarespectivamente), pueden ser obtenidas haciendo uso de las funciones de forma arriba indicadas y del principio de los desplazamientos virtuales como: kl ij =ZL ϕ′′ iEIϕ′′ jdx3;i, j = 1, ..., 5(2.13) y ka ij =ZL φ′ iEAφ′ jdx3;i, j = 1,2,3(2.14) 9 2Modelo para el an´alisis din´amico de cimentaciones y estructuras pilotadas donde las primas indican derivada respecto de la coordenada x3. De este modo, las submatrices de rigidez son: Kl=EI 5L           316 L294 L −512 L2196 L2 −34 L 94 L36 −128 L 34 L−6 512 L2 −128 L 1024 L2 −512 L2128 L 196 L234 L −512 L2316 L2 −94 L −34 L−6−128 L −94 L36           ,Ka=EA 3L    7−8 1 −8 16 −8 1−8 7     (2.15) donde Ees el m´odulo de Young del pilote, AeIson el ´area y el momento de inercia de la secci´on del pilote, y Les la longitud del elemento. Se considera que los momentos de inercial respecto a ambos ejes principales de inercia son iguales. De manera similar, los coeficientes de influencia que constituyen la matriz de masa de un elemento, y que representan las fuerzas de inercia que se oponen a la aceleraci´on experimentada por un cierto grado de libertad, pueden ser evaluadas de manera similar como: ml ij =ZL ϕi¯mϕjdx3;ma ij =ZL φi¯mφjdx3(2.16) De este modo, y considerando un viga con una masa ¯muniformemente distribuida, las matrices de masa consistente que rigen los comportamientos lateral y axial son, respectivamente: Ml=L¯m           13 63 L 63 4 63 −23 630 L 180 L 63 L2 630 2L 315 −L 180 L2 1260 4 63 2L 315 128 315 4 63 −2L 315 −23 630 −L 180 4 63 13 63 −L 63 L 180 L2 1260 −2L 315 −L 63 L2 630           ;Ma=L¯m 15     2 1 −1 2 1 8 1 −1 21 2     (2.17) 2.3.3 Fuerzas sobre el pilote Dentro de las fuerzas externas actuando sobre el pilote, se considera la existencia de fuerzas y momentos puntuales en la cabeza del pilote, fuerzas distribu´ıdas a lo largo del fuste debidas a la interacci´on pilote-suelo, y una fuerza axial sobre la punta del pilote. De este modo, el vector de fuerzas nodales Fpuede ser descompuesto como: F=Fext +Feq =Ftop +Fp+Feq (2.18) donde Fext incluye las fuerzas en la cabeza Ftop y la fuerza axial en la punta del pilote Fp; y Feq es el vector de fuerzas nodales equivalente debido a la interacci´on pilote-suelo, que puede ser calculado como Feq =Q·qp, donde Qes la matriz que transforma las tensiones en fuerzas nodales equivalentes. Las fuerzas externas que se definen sobre un elementos gen´erico est´an esquematizadas en la fig. 2.3. Las tensiones qpa lo largo de la interfase pilote-suelo son aproximadas como: qi=φ1qki+φ2qli+φ3qmi;i= 1,2,3(2.19) 10 2.3 Ecuaciones de elementos finitos para la cimentaci´on pilotada Figura 2.3: Fuerzas puntuales externas (izquierda) y tensiones a lo largo de la interfase pilotesuelo, definidas sobre un elemento gen´erico utilizando el conjunto de funciones de forma definidos por la ec. (2.12). La distribuci´on de tensiones a lo largo de la interfase pilote-suelo es continua entre elementos. De nuevo, los coeficientes de la matriz Qpara la computaci´on de las fuerzas laterales pueden ser obtenidos utilizando el principio de los desplazamiento virtuales: ql ij =ZL ϕiφjdx ;i= 1, ..., 5 ; j= 1,2,3(2.20) mientras que los coeficientes de la matriz correspondiente a las fuerzas axiales se obtienen haciendo: qa ij =ZL φiφjdx ;i, j = 1,2,3(2.21) resultando en las siguientes matrices: Ql=           23L 140 11L 105 −L 28 L2 84 L2 105 −L2 210 4L 105 16L 35 4L 105 −L 28 11L 105 23L 140 L2 210 −L2 105 −L2 84           ,Qa=L 30     4 2 −1 2 16 2 −1 2 4     (2.22) 2.3.4 Sistema de ecuaciones para el pilote simple Una vez que todas las matrices elementales han sido obtenidas para el pilote completo, es posible escribir, para cada pilote, la siguiente expresi´on: ¯ K up=Fext +Q qp(2.23) donde ¯ K=K−ω2M. Dado que cada pilote es discretizado utilizando tantos elementos como sea necesario para poder seguir de forma precisa su deformada, las matrices ¯ KyQdeben ser 11 2Modelo para el an´alisis din´amico de cimentaciones y estructuras pilotadas         ucg1 ucg2 ucg3 αcg Θcg1 Θcg2         =          1−rcg rrp sin βcg sin βrp 0 0 0 0 rcg rrp sin βcg sin βrp rcg rrp cos βcg sin βrp 1 0 0 0 −rcg rrp cos βcg sin βrp 0 0 1 −drp1−drp20 1 rrp sin βrp 0 0 0 0 −1 rrp sin βrp 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 −1 0                  ur1 ur2 ur3 θr1 θr2 up1         (2.35) y         ucg1 ucg2 ucg3 αcg Θcg1 Θcg2         =          1rcg rrp sin βcg cos βrp 0 0 0 −rcg rrp sin βcg cos βrp 01−rcg rrp cos βcg cos βrp 0 0 0 rcg rrp cos βcg cos βrp 0 0 1 −drp1−drp20 0−1 rrp cos βrp 0 0 0 1 rrp cos βrp 000−1 0 0 0 0 0 0 −1 0                  ur1 ur2 ur3 θr1 θr2 up2         (2.36) donde drpi=xpi−xri. 2.6.3 Matriz de rigidez de entreplanta La submatriz elemental de rigidez de un pilar i, modelado como una viga de Euler-Bernoulli, de dimensi´on 10 ×10, puede ser definida como: "fj−1 i fj i#=                  ax10 0 −bx10−ax10 0 −bx10 ax20 0 −bx20−ax20 0 −bx2 c0 0 0 0 −c0 0 dx10bx10 0 dx1 20 dx20bx20 0 dx1 2 ax10 0 bx10 ax20 0 bx2 sim c 0 0 dx10 dx2                  "Yj−1 i Yj i# (2.37) donde axi= 12E Ixi L3;bxi= 6E Ixi L2;c=E A L;dxi= 4E I L siendo fij=fx1i, fx2i, fx3i, mx1i, mx2ijTlas reacciones en la conexi´on entre el pilar y el forjado. Con el objetivo de construir una matriz elemental equivalente Kipara la entreplanta que relacione directamente los grados de libertad de los forjados superior e inferior, la submatriz de rigidez correspondiente a cada extremo del pilote ies post-multiplicada por la ec. (2.34), obteni´endose las submatrices de rigidez expresadas en t´erminos de los grados de libertad asociados a los centros de gravedad de forjados y encepados. Del mismo modo, se opera tambi´en con 18 2.6 Modelo para las estructuras pilotadas las filas para definir las fuerzas resultantes respecto a los centros de gravedad de los forjados. Este proceso lleva a la obtenci´on de la siguiente matriz de rigidez elemental del pilar ipara la entreplanta situada entre los niveles j−1yj: "Fi j−1 Fi j#="Ki 11(6x6) Ki 12(6x6) Ki 21(6x6) Ki 22(6x6) #" Xj−1 Xj#(2.38) donde K11 =              12 EIx1 L30 0 −12EIx1 L3xb 2−6EIx1 L20 012 EIx2 L3012 EIx2 L3xb 10−6EIx2 L2 0 0 EA L0EA Lxb 1 EA Lxb 2 −12EIx1 L3xb 212EIx2 L3xb 1012 E L3IXb6EIx1 L2xb 2−6EIx2 L2xb 1 −6EIx1 L20EA Lxb 16EIx1 L2xb 24EIx1 L+EA Lxb 1 2EA Lxb 2xb 1 0−6EIx2 L2 EA Lxb 2−6EIx2 L2xb 1 EA Lxb 2xb 14EIx2 L+EA Lxb 2 2              K12 =              −12EIx1 L30 0 12EIx1 L3xa 2−6EIx1 L20 0−12 EIx2 L30−12 EIx2 L3xa 10−6EIx2 L2 0 0 −EA L0−EA Lxa 1−EA Lxa 2 12 EIx1 L3xb 2−12 EIx2 L3xb 10−12 E L3IXab 6EIx1 L2xb 2−6EIx2 L2xb 1 6EIx1 L20−EA Lxb 1−6EIx1 L2xa 22EIx1 L+EA Lxa 1xb 1−EA Lxa 2xb 1 06EIx2 L2−EA Lxb 26EIx2 L2xa 1−EA Lxa 1xb 22EIx2 L−EA Lxa 2xb 2              K21 =              −12 EIx1 L30 0 12 EIx1 L3xb 26EIx1 L20 0−12 EIx2 L30−12EIx2 L3xb 106EIx2 L2 0 0 −EA L0−EA Lxb 1−EA Lxb 2 12 EIx1 L3xa 2−12 EIx2 L3xa 10−12 E L3IXab −6EIx1 L2xa 26EIx2 L2xa 1 −6EIx1 L20−EA Lxa 16EIx1 L2xb 22EIx1 L−EA Lxa 1xb 1−EA Lxb 2xa 1 0−6EIx2 L2−EA Lxa 2−6EIx2 L2xb 1−EA Lxb 1xa 22EIx2 L−EA Lxb 2xa 2              K22 =              12 EIx1 L30 0 −12 EIx1 L3xa 26EIx1 L20 012EIx2 L3012EIx2 L3xa 106EIx2 L2 0 0 EA L0EA Lxa 1 EA Lxa 2 −12EIx1 L3xa 212 EIx2 L3xa 1012 E L3IXa−6EIx1 L2xa 26EIx2 L2xa 1 6EIx1 L20EA Lxa 1−6EIx1 L2xa 24EIx1 L+EA Lxa 12EA Lxa 2xa 1 06EIx2 L2 EA Lxb 26EIx2 L2xa 1 EA Lxa 2xa 14EIx2 L+EA Lxa 22              19 2Modelo para el an´alisis din´amico de cimentaciones y estructuras pilotadas siendo IXa=Ix1xa 22+Ix2xa 12 IXab =Ix1xa 2xb 2+Ix2xa 1xb 1 IXb=Ix1xb 2 2+Ix2xb 1 2 En estas expresiones, xa k=xik−xcga kyxb k=xik−xcgb kson las coordenadas horizontales relativas del eje del pilar respecto al centro de gravedad del forjado superior o inferior, respectivamente, y FjT={Fx1, Fx2, Fx3, Mα, Mx1, Mx2}jcorresponde a las reacciones que aparecen en la conexi´on entre el pilar y el forjado, expresadas tambi´en respecto al centro de gravedad correspondiente. Habiendo definido una matriz de rigidez de la entreplanta con car´acter gen´erico, puede seguirse el procedimiento de ensamblaje usual del m´etodo de los elementos finitos para obtener la ecuaci´on de movimiento de la estructura una vez discretizada, quedando de la forma K−ω2MX=F(2.39) donde Kes la matriz de rigidez global de la estructura, Xes el vector de desplazamientos y rotaciones en los forjados, Fes el vector de fuerzas externas sobre la estructura y Mes la matriz de propiedades inerciales de la estructura, definida para cada forjado. 2.7 Ensamblaje de la matriz global del sistema La manera en que las ecuaciones (2.23), (2.3), (2.4), (2.6) y (2.39) son reorganizadas en un ´unico sistema de ecuaciones depende de la configuraci´on de estructuras, cimentaciones y suelos, y de las condiciones de contorno. Sin embargo, siempre deben aplicarse las condiciones de equilibrio y de compatibilidad, considerando contacto soldado entre las diferentes interfases del sistema. En la situaci´on m´as general, existen m´ultiples estructuras cimentadas sobre diferentes grupos de pilotes que est´an embebidos en el terreno, y el sistema est´a siendo sometido a fuerzas externas o a ondas s´ısmica. En tal caso, el sistema de ecuaciones es: Aus,ps,qs,Fp,up,Xj,Ftop,foT=B(2.40) donde A, cuya estructura est´a esquematizada en la fig. 2.7, es la matriz de coeficientes, y B es el vector del lado derecho, ambos obtenidos despu´es de aplicar las condiciones de contorno y de reordenar las ecuaciones. El vector de inc´ognitas incluye los desplazamientos usy/o las tensiones psen los nodos correspondientes a los elementos de contorno, las tensiones en la interfase pilote-suelo qs, las fuerzas en la punta de los pilotes Fp, las traslaciones y rotaciones nodales a lo largo del pilote up, los grados de libertad definidos en las superestructuras Xj, las reacciones en las uniones pilote-encepado Ftop, y las fuerzas en la base de la estructura fo. 20 2.7 Ensamblaje de la matriz global del sistema Ec. MEC sobre los contornos Ec. MEC sobre las l´ıneas de carga Ec. MEF de los pilotes Ec. MEF de las estructuras Equilibrio us|psqsFp upXjFtop fo Figura 2.7: Estructura de la matriz de coeficientes Adel sistema 21 2Modelo para el an´alisis din´amico de cimentaciones y estructuras pilotadas 22 Campo incidente producido por ondas SH y SV con un ´angulo de incidencia gen´erico Cap´ıtulo3 3.1 Introducci´on En el presente cap´ıtulo se expondr´an brevemente las diferentes expresiones y consideraciones empleadas en el campo incidente y que permiten realizar el estudio del comportamiento del medio al verse sometido a una onda s´ısmica de tipo SH y SV con un ´angulo de incidencia gen´erico. El desarrollo y obtenci´on de las diferentes expresiones puede consultarse en trabajos previos de los tutores [26]. Primero, en la secci´on 3.2, se establecen las consideraciones generales respecto a los fen´omenos asociados a la propagaci´on de ondas a trav´es del terreno. Una vez planteados los datos de partida, se analizar´a en las secciones 3.3 y 3.4 las caracter´ısticas propias de las ondas SH y SV respectivamente. Finalmente, la secci´on 3.5 indica el modo en el que se incluye el campo incidente en la formulaci´on general explicada en el cap´ıtulo anterior. 3.2 Fundamentos Considerando un semiespacio con propiedades mec´anicas homog´eneas, constantes con la profundidad y definidas por medio del m´odulo de elasticidad Ey su coeficiente de Poisson ν. Se asume que por el medio se propaga un tren de ondas cuya direcci´on de propagaci´on se encuentra contenida en un plano perpendicular a la superficie del semiespacio (plano x2x3en la figura 3.1) formando un ´angulo θ0con el eje x2, medido en sentido trigonom´etrico. Este tren de ondas puede suponerse formado por ondas volum´etricas de tipo P o S, polarizadas estas ´ultimas bien horizontal (ondas SH) o verticalmente (ondas SV). La propagaci´on del tren de ondas a trav´es del medio produce en ´este una perturbaci´on en forma de campo de desplazamientos que es funci´on del ´angulo de incidencia θ0y de las propiedades mec´anicas del terreno. A continuaci´on se definen mediante la figura 3.2 el conjunto de par´ametros necesarios para una total definici´on de las expresiones expl´ıcitas del campo de desplazamientos que provoca el campo incidente. Se observan los distintos ´angulos: θ0el ´angulo de la onda incidente y los ´angulos θ1yθ2 de las ondas reflejadas. Esto se debe a que, al llegar el frente de ondas a la superficie libre del semiespacio, se produce un proceso de reflexi´on que provoca la generaci´on de dos ondas adicionales en el caso m´as gen´erico. La cantidad de onda reflejadas depende del tipo de onda incidente, siendo una ´unica onda cuando incide un tipo SH o dos si la onda incidente es SV (ve´ase, por ejemplo, [1]). 23 3Campo incidente producido por ondas SH y SV con un ´angulo de incidencia gen´erico Figura 3.1: Representaci´on de los ejes en el semiespacio Figura 3.2: Par´ametros para definir el problema de incidencia inclinada 24 3.2 Fundamentos Figura 3.3: Definici´on de la direcci´on de propagaci´on y desplazamientos de los tipos de onda Se puede definir, en funci´on de estos ´angulos, los vectores sydque contienen a los cosenos directores de las direcciones de propagaci´on y de los desplazamientos de las part´ıculas que cada una de las ondas que intervienen en el problema provocan, siendo estas direcciones ortogonales en ondas S y coincidentes en ondas P, tal y como muestra la figura 3.3. Con lo anterior, las expresiones del campo de desplazamientos se pueden representar en notaci´on subindicada del modo siguiente: ui= n X j=1 dj iAje−ikj(s(j)·r)(3.1) donde uies la componente en la direcci´on idel desplazamiento, nes el n´umero de ondas total del problema analizado, dj ies la componente en la direcci´on idel vector que contiene los cosenos directores de los desplazamientos que la onda jprovoca en las part´ıculas del medio, Aj ykjson la amplitud de la onda jy su n´umero de onda respectivamente; siendo el n´umero de onda el cociente entre la frecuencia ωy la velocidad de propagaci´on de la onda en el medio cj, kj=ω/cj;s(j)·rrepresenta el producto escalar del vector de la direcci´on de propagaci´on de la onda jpor el vector de posici´on del punto donde se pretenden determinar los desplazamientos (s(j)·r=s(j) 1x1+s(j) 2x2+s(j) 3x3, siendo x1,x2yx3las coordenadas de punto analizado). Por ´ultimo, la icorresponde a la unidad imaginaria (i=√−1). Obtenidas las expresiones del campo de desplazamientos en las tres direcciones del espacio para cualquier punto del medio, el tensor de peque˜nas deformaciones puede obtenerse, para cada punto, mediante la aplicaci´on directa de las ecuaciones de compatibilidad: εij =1 2(ui,j +uj,i); i, j = 1,2,3(3.2) donde las comas indican derivaci´on con respecto a las coordenadas espaciales. Una vez obtenido el tensor de deformaciones para cada caso, las componentes del tensor de tensiones se pueden determinar empleando la ecuaci´on constitutiva que, considerando el suelo 25 3Campo incidente producido por ondas SH y SV con un ´angulo de incidencia gen´erico como un medio el´astico, lineal, homog´eneo e is´otropo, se establece por la ley de Hooke: σij =λεkkδij + 2µεij (3.3) donde δij es la delta de Kronecker (δij = 1 si i=j;δij = 0 sino), λyµson las constantes de Lam´e y el m´odulo de cizalladura que se relacionan con el m´odulo de Young Ey el coeficiente de Poisson νseg´un: µ=E 2(1 + ν);λ=νE (1 + ν)(1 −2ν)(3.4) Una vez obtenidos los tensores de tensi´on para los puntos del semiespacio, es posible establecer las condiciones de contorno que permitir´an, una vez aplicadas, determinar las relaciones existentes entre la amplitud de la onda incidente y la reflejada (o reflejadas). Estas condiciones de contorno son las condiciones de superficie libre, esto es, que la tensi´on normal σ33 y las tensiones tangenciales σ31 yσ32 sean nulas en los puntos de coordenada x3= 0. As´ı como independencia de esta condici´on con la variable x2. Estas consideraciones se han realizado sin tener en cuenta el tipo de onda incidente en concreto. En las siguientes secciones se muestran las expresiones obtenidas de su aplicaci´on a los dos tipos de ondas estudiados. El desarrollo completo se encuentra en [26]. 3.3 Onda SH incidente En esta secci´on se resumir´an las expresiones necesarias para abordar el problema de una onda de tipo SH incidente en un semiespacio que se propaga con un ´angulo de incidencia gen´erico. En este caso, se puede demostrar (ver [6]) que la llegada del frente de ondas a la superficie libre del semiespacio provoca un fen´omeno de reflexi´on que genera una ´unica onda del mismo tipo que la onda incidente. La figura 3.4 muestra este hecho, adem´as de definir los ´angulos y amplitudes de inter´es del problema. Al aplicar las condiciones de contorno, se obtiene que la onda SH reflejada presenta el mismo valor de amplitud que la incidente (se les impondr´a un valor unitario) y, adem´as, se refleja con el mismo ´angulo de propagaci´on: Ainc SH =Aref SH = 1 θ0=θ1 (3.5) Los vectores syd, como ya se ha comentado, contienen, respectivamente, los cosenos directores de las direcciones de propagaci´on y desplazamientos de cada una de las ondas que intervienen en el problema. Sus valores, una vez aplicadas las condiciones de contorno, son los siguientes (El super´ındice 0 indica que pertenece a la onda incidente, mientras que el 1 es el de la onda reflejada): s(0) =h0, s(0) 2, s(0) 3i= [0, cos(θ0), sen(θ0)] d(0) = [1,0,0] s(1) =h0, s(1) 2, s(1) 3i= [0, cos(θ0),−sen(θ0)] d(1) = [1,0,0] (3.6) As´ı, las expresiones del campo de desplazamientos, en funci´on de dichos vectores y seg´un lo definido en 3.1, son las siguientes: 26 3.4 Onda SV incidente Figura 3.4: ´ Angulos y amplitudes para el caso de onda SH incidente u1=d(0) 1Ainc SH e−iks(s(0)·r)+d(1) 1Aref SH e−iks(s(1)·r) u2= 0 u3= 0 (3.7) Se comprueba que una onda SH incidente con un ´angulo θ0cualquiera provoca en el semiespacio por el que se propaga desplazamientos solo en la direcci´on del eje x1, siendo nulas el resto de las componentes del desplazamiento. Adem´as el desplazamiento no nulo se obtiene de la suma de las contribuciones de los desplazamientos provocados por las ondas SH incidente y reflejada. 3.4 Onda SV incidente En el presente apartado se expondr´an las expresiones que gobiernan el campo de desplazamientos cuando la onda incidente es de tipo SV. Este tipo de onda en el semiespacio genera al reflejarse otra onda SV y una onda P, tal y como se representa en la figura 3.5. Aplicando condiciones de contorno, se obtienen las siguientes relaciones entre los ´angulos de la onda incidente y reflejadas (empleando nuevamente los ´ındices 0 para la onda incidente SV, 1 para la reflejada del mismo tipo y 2 para la onda P reflejada): θ0=θ1 cos(θ2) = 1 κcos(θ0)(3.8) siendo κla relaci´on entre las velocidades de propagaci´on de las ondas S y P. Su valor solamente depende del coeficiente de Poisson del medio y presenta valores siempre inferiores a la unidad: cs cp =kp ks =s1−2ν 2(1 −ν)=κ < 1(3.9) 27 3Campo incidente producido por ondas SH y SV con un ´angulo de incidencia gen´erico 34 Resultados Cap´ıtulo4 4.1 Definici´on del problema tridimensional El objetivo de este trabajo es profundizar en el estudio de la influencia de la interacci´on estructura-suelo-estructura en la respuesta de un grupo de edificios sometidos a ondas s´ısmicas con un ´angulo de incidencia variable. El problema principal corresponde al estudiado por los autores en [2]: una configuraci´on de tres edificios alineados a lo largo de la direcci´on de propagaci´on de la onda, tal y como se muestra en la figura 4.1. Figura 4.1: Grupo de edificios Las estructuras son las correspondientes a edificios a cortante de una sola planta sobre una cimentaci´on formada por un grupo 3×3de pilotes embebidos en un semiespacio de naturaleza viscoel´astica. Se estudiar´an los casos correspondientes a: tres edificios iguales y edificio central distinto a los exteriores. Adem´as de edificios de una sola planta, las estructuras empleadas pueden representar un modo concreto de vibraci´on de edificios de varias plantas. La geometr´ıa de la cimentaci´on viene definida por la longitud de los pilotes L, el di´ametro de los mismos d, la distancia de separaci´on entre centros de pilotes s, el semiancho del encepado by la distancia de separaci´on entre los centros de las cimentaciones D. Los diferentes par´ametros que definen el comportamiento din´amico del sistema son: la masa del encepado m0, la inercia del encepado I0, la masa de la planta m, la altura del edificio hy el periodo fundamental, T, y el coeficiente de amortiguamiento estructural, ζ, para la estructura sobre base r´ıgida. As´ı pues, cada subsistema estructura-cimentaci´on estar´a definido por un total de 8 grados de libertad: dos desplazamientos horizontales de la base del encepado uccorrespondientes a los desplazamientos a lo largo de los ejes xey; dos giros alrededor de estos mismos ejes ϕ; el desplazamiento vertical de la base del encepado uz c; un giro entorno a este eje vertical φ; y los dos desplazamientos transversales de la planta respecto a su cimentaci´on u. Al elegirse un 35 4Resultados modelo de estructura a cortante, el desplazamiento vertical de la planta, as´ı como los diferentes giros de la misma, coinciden con los de la base de la cimentaci´on. La figura 4.2 muestra una representaci´on bidimensional del problema a estudiar, reflejando todos los par´ametros anteriores que definen el sistema. Hay que considerar tambi´en el ´angulo θcon el que se propaga la onda incidente. Figura 4.2: Par´ametros y grados de libertad del problema Se ha elegido la alineaci´on de los edificios a lo largo del eje yal ser esta la direcci´on horizontal de propagaci´on de las ondas inclinadas. De esta forma, se podr´a comprobar el efecto ‘sombra’ que puede producir la presencia de un edificio al interponerse en el camino de la onda, adem´as del resto de efectos de interacci´on entre estructuras cercanas. Los dos tipos de ondas seleccionadas para el an´alisis (ondas SH y ondas SV) se han elegido de forma que la primera produce desplazamientos de campo libre perpendiculares a la direcci´on de alineaci´on de los edificios (problema antiplano), mientras que la onda SV produce desplazamientos de campo libre paralelos a la direcci´on de alineaci´on de las estructuras (problema plano). 4.1.1 Tratamiento de la simetr´ıa Como se ha comentado en la secci´on 3.6, la formulaci´on empleada exige la representaci´on del problema mediante la simetr´ıa. Por ello, el campo incidente y reflejado suponen la superposici´on de diferentes casos de simetr´ıa. En las situaciones planteadas, dos de los cuatro casos posibles se anular´an al encontrarse las estructuras estudiadas sobre uno de los ejes de simetr´ıa geom´etrica. Por tanto, el problema real se descompondr´a en la suma de dos subproblemas que se diferencian ´unicamente en el tipo de simetr´ıa que presentan. Los casos estudiados variar´an en funci´on del tipo de onda incidente. La figura 4.3 representa el cuarto de la simetr´ıa empleado para el estudio. ´ Unicamente se discretizan dos edificios: el central (ucen) y el exterior (uext); obteni´endose los desplazamientos del otro edificio externo en funci´on de la simetr´ıa considerada. Como se ha comentado, s´olo dos de los cuatro casos de simetr´ıa producen desplazamientos no nulos en los grados de libertad contemplados para el an´alisis. Estos casos se denominar´an, de aqu´ı en adelante, caso 1 ycaso 2. El caso 1 ser´a aquel caso de simetr´ıa que produce despla36 4.1 Definici´on del problema tridimensional Figura 4.3: Discretizaci´on del problema. En sombreado la parte que se discretiza, en discontinuo el resultado de aplicar las simetr´ıas zamientos en el edificio central, mientras que el caso 2 ser´a el que produzca desplazamientos ´unicamente en los edificios exteriores. En los siguientes apartados se definir´an estos casos, concret´andose la simetr´ıa de cada uno de ellos en funci´on del tipo de onda incidente: 4.1.1.1 Onda SH La onda SH origina desplazamientos a lo largo del eje x. Por ello, los edificios estudiados, al estar situados sobre el eje y, ´unicamente se ver´an afectados en los casos correspondientes a antisimetr´ıa en dicho eje (ya que para los casos con el eje ysim´etrico, el desplazamiento en x de los puntos sobre dicho eje debe ser nulo). As´ı se tiene, por una parte, el caso sim´etrico respecto xy antisim´etrico respecto a yy, por otro lado, el caso doblemente antisim´etrico, como se refleja en la figura 4.4. ´ Unicamente el primer caso (sim´etrico respecto a x) produce desplazamientos en el edificio central, por lo que es este caso el denominado caso 1; mientras que el caso 2 ser´a el correspondiente al caso doblemente antisim´etrico. Con esto, los desplazamientos de los edificios para el problema real se obtendr´an de la siguiente forma: (ue1)x=uext sim −uext antis; (ue2)x=ucen sim; (ue3)x=uext sim +uext antis; (4.1) 37 4Resultados Figura 4.4: Casos de simetr´ıa para la onda SH 4.1.1.2 Onda SV La onda SV con incidencia inclinada se propaga en el plano yz originando desplazamientos en una direcci´on perpendicular a la de propagaci´on, pero contenida en el mismo plano; su componente horizontal, que ser´a la estudiada, es, por tanto, a lo largo del eje y. Como ocurre para la onda anterior, s´olo dos de los cuatro casos de simetr´ıa posibles no se anulan para las estructuras situadas sobre el eje y; estos casos son los correspondientes a simetr´ıa respecto a este eje (ya que si el eje yfuese de antisimetr´ıa, los desplazamientos en la direcci´on de dicho eje ser´ıan nulos). As´ı tendremos para esta onda los casos correspondientes a antisim´etrico respecto xy sim´etrico respecto yy el caso doblemente sim´etrico (figura 4.5). En este caso, el caso 1 corresponde al antisim´etrico respecto al eje x(ya que este tipo de simetr´ıa es la que permite desplazamientos en ya lo largo del eje x), mientras que el caso 2 ser´a el correspondiente al doblemente sim´etrico. Figura 4.5: Casos de simetr´ıa para la onda SV De la misma forma que para la onda anterior, los desplazamientos de los edificios para el problema real se obtendr´an mediante las expresiones: (ue1)y=uext antis −uext sim; (ue2)y=ucen antis; (ue3)y=uext antis +uext sim; (4.2) 38 4.1 Definici´on del problema tridimensional En este caso, el edificio central, al situarse sobre el eje x, no tendr´a desplazamiento horizontal en direcci´on ypara el caso sim´etrico respecto a x. 4.1.2 Par´ametros del problema Se exponen a continuaci´on los diferentes valores adimensionales que definen el problema estudiado. Estos valores se han elegido por ser valores representativos de la realidad y que presentan un grado apreciable de interacci´on suelo-estructura. Valores similares han sido empleados por otros autores en [3,4,23]. Los valores de los par´ametros que definen las propiedades mec´anicas del suelo y la cimentaci´on considerados en el problema a estudiar son los siguientes: ratio entre los m´odulos de Young de los pilotes y el suelo Ep/Es= 100, ratio entre las densidades del suelo y los pilotes ρs/ρp= 0.7, coeficiente de Poisson de los pilotes νp= 0.2, coeficiente de Poisson del suelo νp= 0.4y coeficiente de amortiguamiento del suelo β= 0.05. Como se ha comentado, la cimentaci´on se trata de una configuraci´on cuadrada de 3×3pilotes con la cabeza empotrada en un encepado r´ıgido que no est´a en contacto con el terreno. Su geometr´ıa vendr´a determinada por: relaci´on de esbeltez de los pilotes L/d = 15, distancia de separaci´on entre los pilotes s/d = 5, valor del semiancho del encepado b= 3s/2. Estos valores son independientes de las caracter´ısticas de la superestructura. Los par´ametros relacionados con el comportamiento din´amico del sistema ser´an: relaci´on de esbeltez de la estructura h/b = 2 y5, tambi´en se emplear´an valores de h/b = 3 y4para la estructura central; ratio entre las rigideces de la estructura y del suelo 1/σ =h/(csT) = 0.25, donde cses la velocidad de propagaci´on de la onda de corte en el suelo; este par´ametro 1/σ es el que gobierna la magnitud de los efectos de la interacci´on suelo-estructura: un valor de 1/σ = 0 implica base r´ıgida (por lo que no existen efectos de interacci´on), mientras que valores crecientes representan una reducci´on de la rigidez relativa del suelo llegando a valores de 1/σ = 0.5en los que el suelo es muy blando en relaci´on a la estructura. El resto de par´ametros son: coeficiente de amortiguamiento de la estructura ζ= 0.05; ratio entre las masas de la estructura y del suelo δ=m/(4ρsb2h) = 0.15; ratio entre las masas del encepado y de la estructura m0/m = 0.25; ratio entre la inercia del encepado y la correspondiente a la estructura I0/(mh2) = 0.05. Se estudiar´an diferentes casos que corresponden a distintas separaciones entre las estructuras (D). Esta separaci´on se expresar´a en funci´on de λ, defini´endose λcomo la longitud de onda a la frecuencia fundamental del sistema constituido por un edificio solo: λ=cs˜ Tsiendo ˜ Tel periodo fundamental de dicho sistema. N´otese que el valor de ˜ T/T refleja la variaci´on de la frecuencia fundamental de la estructura al encontrarse sobre una base no r´ıgida. Los diferentes ´angulos de incidencia a considerar se muestran en la tabla 4.1. La elecci´on de un ´angulo m´as para onda SV, se debe a que el ´angulo cr´ıtico correspondiente a un coeficiente de Poisson de νp= 0.4es de θcr = 65.9◦. SV 60 ° 65 ° 67 ° 70 ° 75 ° 90 ° SH 60 ° 65 ° - 70 ° 75 ° 90 ° Tabla 4.1: ´ Angulos de incidencia estudiados seg´un el tipo de onda Por ´ultimo, destacar que los resultados obtenidos se representar´an frente a la frecuencia adi39 4Resultados mensional a0que se define como: a0=ω d cs (4.3) donde ωes la frecuencia de la excitaci´on, del di´ametro de los pilotes y csla velocidad de propagaci´on de la onda cortante en el terreno. 4.1.3 Discretizaci´on de la superficie libre La figura 4.6 muestra la tipologia de mallas empleada para la discretizaci´on de la superficie libre del terreno en los problemas a estudiar. Para dimensionarlas se realizan las siguientes consideraciones: La longitud de la superficie libre despu´es del ´ultimo elemento constructivo es aproximadamente de 3L(siendo Lla longitud de los pilotes). Se realiza un mallado m´as fino para representar mejor el campo de desplazamientos de los puntos de la superficie libre cercanos a las estructuras, as´ı como los situados entre ellas. El tama˜no m´aximo de cada elemento es tal que pueda captar las ondas que se propagan en el medio. Esto se podr´a realizar siempre que el tama˜no del elemento sea al menos la mitad de la longitud de onda de la excitaci´on, ya que se emplean elementos cuadr´aticos: Lmax =λmin 2(4.4) donde la longitud de la onda se obtiene, para cada valor de frecuencia, de la expresi´on: λmin =csT=cs 2π ω=cs 2πd a0cs =2πd a0 (4.5) Se pretenden obtener las funciones de respuesta en frecuencia hasta un valor de la frecuencia adimensional de a0= 2.5, por tanto, la longitud de onda m´ınima que se debe captar es de λmin = 5.024, quedando el tama˜no m´aximo del elemento Lmax = 2.512. Para el mallado fino se emplear´an elementos de tama˜no 2.5, mientras que para la superficie m´as alejada de los elementos constructivos los tama˜nos de los elementos ser´an mayores. En cualquier caso, el rango de frecuencias en los que se encuentran los periodos fundamentales de las estructuras a estudiar es muy inferior al considerado en el c´alculo anterior (a0n∈[0.02,0.1]) por lo que no existir´an problemas con los tama˜nos de los elementos empleados. En la figura 4.6 se observa como, al estudiar mayores distancias de separaci´on entre estructuras, es necesario incrementar el tama˜no del mallado, con el consiguiente aumento del n´umero de nodos y elementos debidos principalmente a la superficie con mallado fino. La tabla 4.2 recoge los valores de diferentes par´ametros de las mallas empleadas en el presente trabajo. Se muestran la longitud de la malla en direcci´on y(la longitud en direcci´on xes constante para todas las mallas e igual a 110), el n´umero de nodos y n´umero de elementos empleados en la discretizaci´on de la superficie libre, as´ı como una aproximaci´on del tiempo de c´omputo que se requiere para resolver el problema para cada valor de frecuencia. Atendiendo a los tiempos de c´alculo requeridos por las mallas de mayor tama˜no, y teniendo en cuenta que para obtener de forma adecuada la funci´on de respuesta en frecuencia son necesarias unas 40 frecuencias en cada uno de los dos casos de simetr´ıa, el n´umero de configuraciones 40 4.1 Definici´on del problema tridimensional y D=λ 4D=λ 2D=λ Figura 4.6: Mallado de la superficie libre para diferentes distancias de separaci´on entre edificios h/b = 2. DTama˜no(y) N º Nodos N º Elem. Tiempo c´alc. (s) h/b=2 λ/4150 2343 596 750 λ/3170 2766 704 900 λ/2190 3471 884 1550 λ270 5727 1460 5200 h/b=5 λ/4220 4317 1100 2650 λ/3270 5727 1460 5200 λ/2345 7842 2000 9350 λ575 14328 3656 35900 Tabla 4.2: Datos de las mallas empleadas para las distintas configuraciones. distintas a estudiar se ve altamente limitado por los recursos de c´alculo disponibles. Por ello, en el presente trabajo se ha empleado un m´etodo para eliminar el amortiguamiento del campo incidente a partir de los resultados obtenidos con anterioridad, con el consiguiente ahorro de tiempo de c´omputo. 4.1.4 Obtenci´on del valor de cortante La aplicaci´on del modelo MEC-MEF permite obtener los valores de los distintos desplazamientos en los grados de libertad considerados, a partir de los cuales puede obtenerse el esfuerzo cortante en la base. Este proyecto se centrar´a en la evoluci´on del esfuerzo cortante que presenta la base de la estructura ante diferentes solicitaciones s´ısmicas. Se ha elegido esta variable para el estudio al ser uno de los esfuerzos m´as cr´ıticos a la hora del dise˜no estructural. El presente trabajo se centrar´a en estudiar los valores m´aximos de la funci´on de respuesta en frecuencia del cortante de las estructuras en funci´on de los diferentes par´ametros variables del problema: ´angulo de incidencia de la onda, separaci´on entre edificios, esbeltez del edificio 41 4Resultados y posici´on del edificio en el grupo. Este cortante m´aximo se expresar´a como una variaci´on del cortante que experimentar´ıa el sistema suelo-estructura (un edificio solo de las mismas caracter´ısticas sobre el terreno) ya sea bajo la misma solicitaci´on s´ısmica o bajo incidencia vertical. Como se vio en [2], hay que tener en cuenta que los valores de cortante m´aximo no se producen siempre a la misma frecuencia debido a la distinta participaci´on de los numerosos modos de vibraci´on del sistema; por tanto, los valores que se comparan pueden producirse en valores de frecuencia diferentes. El valor del cortante se estudiar´a a trav´es del factor de amplificaci´on din´amico, obtenido a partir de los resultados primarios del modelo MEC-MEF: D=k u Feq =Ω2m u ω2m uff =Ω2u ω2uff (4.6) siendo Ωla frecuencia natural del sistema, uff el desplazamiento horizontal de la superficie libre y ula deflecci´on lateral de la estructura: u=uplanta −uc−h ϕc(4.7) Este factor de amplificaci´on din´amica, D, se define como la relaci´on entre el desplazamiento producido por una acci´on din´amica y su valor en el caso de una acci´on est´atica de la misma magnitud. Multiplicado por la masa de la estructura y por la aceleraci´on horizontal a nivel del suelo, proporciona el valor del cortante. Al realizar una comparaci´on en t´erminos relativos y ser este factor proporcional al cortante, las variaciones de ambos son id´enticas. 4.2 Definici´on del problema bidimensional Con el fin de validar los resultados obtenidos y comprobar que los efectos que se aprecian en el modelo tridimensional no son propios de dicho modelo, se aplicar´a una formulaci´on bidimensional del modelo de elementos de contorno (secci´on 4.2.1). El problema a estudiar con este modelo corresponde al de elementos de dimensi´on infinita enterrados en el terreno. Se trata de un problema similar al de cimentaciones cercanas, si bien los efectos en el terreno de estos cuerpos s´olidos se espera sea superior a los de los pilotes. La figura 4.7 muestra una representaci´on del problema, as´ı como los par´ametros que lo definen. Los valores de los diferentes par´ametros se han elegido para que representen un problema similar al tridimensional estudiado. La geometr´ıa del elemento enterrado viene definida por su ancho by su altura L. Los valores que toman corresponden a la envolvente de los pilotes de las cimentaciones del problema tridimensional (con un di´ametro de los pilotes de d= 2): L= 30 yb= 22. Las propiedades del terreno coinciden con las empleadas en el problema tridimensional estableciendo Ep= 2.5yρp= 1, por tanto ser´an: m´odulo de elasticidad del terreno Es= 0.025, densidad del terreno ρs= 0.7, m´odulo de Poisson del terreno νs= 0.4y coeficiente de amortiguamiento del terreno βs= 0.05. Las propiedades del elemento enterrado buscan ser representativas de la combinaci´on pilotesuelo a la que corresponde: m´odulo de elasticidad del elemento Ee= 0.25, densidad del elemento ρe= 0.7818, coeficiente de Poisson del elemento enterrado νe= 0.25 y coeficiente de amortiguamiento del elemento βe= 0.05. La distancia de separaci´on entre los dos elementos enterrados corresponde a D=λ/4para el caso estudiado edificios de esbeltez h/b = 2 que, con las propiedades empleadas, corresponde aD≃40. 42 4.2 Definici´on del problema bidimensional Al tratarse de un problema plano, ´unicamente se emplear´an ondas SV (desplazamiento horizontal paralelo a la alineaci´on de los elementos y a la direcci´on horizontal de propagaci´on de la onda). Los valores del ´angulo de incidencia θ0ser´an los mismos que los empleados para el problema tridimensional (60,65,67,70,75 y90o). La formulaci´on del campo incidente se emplea sin considerar el amortiguamiento del mismo y sin realizar simplificaciones de simetr´ıa. Los resultados obtenidos se expresar´an en funci´on de la frecuencia adimensional a0, empleando el mismo valor de dpara adimensionalizar que el utilizado para el problema tridimensional (ec. 4.3). Figura 4.7: Par´ametros del problema bidimensional. 4.2.1 Modelo de validaci´on. M´etodo de los Elementos de Contorno bidimensional. Con el objetivo de verificar los resultados obtenidos en el presente trabajo, y comprobar que los fen´omenos que aparecen no se deben a posibles problemas con el modelo empleado, se utilizar´a un modelo de elementos de contorno bidimensional creado a partir del c´odigo disponible en [6]. Este modelo parte nuevamente del teorema de la reciprocidad de la elastodin´amica, pero no considera las fuerzas de volumen en el interior del dominio. La formulaci´on integral de partida para cualquier punto idel contorno o del dominio es: ciui+ZΓ p∗udΓ = ZΓ u∗pdΓ(4.8) La discretizaci´on del contorno se realiza mediante elementos cuadr´aticos, empleando tres nodos por elemento para interpolar tanto la geometr´ıa como los valores de las variables uyp. Las funciones de interpolaci´on escritas en funci´on de la variable homog´enea ξ∈[−1,1] son: φ1=1 2ξ(ξ−1) φ2= (1 −ξ2) φ3=1 2ξ(ξ+ 1) (4.9) Empleando la discretizaci´on y aplicando la ecuaci´on sobre cada nodo del contorno se obtiene 43 4Resultados con los que se obtienen en la figura 4.28; as´ı como con los desplazamientos que se observan en los puntos de la superficie libre a una distancia ±λen la figura 4.36 cuando se excita al edificio solo sobre el terreno a su frecuencia natural. En dicha figura se aprecia como para incidencia vertical los desplazamientos de estos puntos pr´acticamente coinciden con los de campo libre, mientras que para incidencias inclinadas presentan valores superiores a este. Para ondas SH, en cambio, no se aprecia este efecto sombra debido a la naturaleza de las ondas de la excitaci´on. Las ondas SV, al presentar en su campo total diferentes tipos ondas (SV, P, Superficiales) que act´uan en la direcci´on horizontal de alineaci´on de las estructuras se ven m´as afectadas por la presencia de elementos de cimentaci´on en el terreno que las ondas SH (las cuales ´unicamente presentan ondas de este tipo que act´uan perpendiculares a la alineaci´on de las estructuras) y es precisamente la presencia de los elementos de cimentaci´on lo que origina el efecto de apantallamiento del campo incidente. Esta diferencia entre la presencia o no de un obst´aculo en la propagaci´on de la onda se ver´a en la secci´on 4.3.3, comprob´andose que ´unicamente las ondas SV var´ıan su respuesta en funci´on de su existencia. Las figuras 4.10 y 4.11 muestran los resultados correspondientes a estructuras de esbeltez h/b = 5. El comportamiento de esta tipolog´ıa de edificaci´on sigue la misma tendencia que para edificios menos esbeltos, aunque la magnitud de las variaciones es mucho menor en este tipo de estructuras: el rango de valores en el que se encuentran las variaciones es desde una reducci´on del 8 % a un incremento del 4 %, mientras que para edificios m´as chatos las variaciones van de un -30 % a un 23 %. Otro aspecto a considerar es que este tipo de edificaci´on presenta un valor del periodo fundamental superior a las anteriores, por lo que el valor de λ es superior en esta tipolog´ıa de edificaci´on. Esto se traduce en mayores separaciones entre las estructuras y, por tanto, un mayor amortiguamiento del campo reflejado por los elementos constructivos. Resaltando las principales diferencias con los resultados anteriores, estas se encuentran para las menores distancias de separaci´on entre estructuras (λ/4yλ/3). Se aprecia m´as claramente como el primer edificio del grupo experimenta, para la ondas SV de incidencia inclinada, incrementos en su valor de cortante m´aximo. Siguiendo con este tipo de ondas, para una distancia de separaci´on D=λ/3e incidencia vertical, el edificio central sufre una disminuci´on en su valor de cortante m´aximo, mientras que para estructuras de esbeltez h/b = 2 sufr´ıa un incremento en esta misma situaci´on; de la misma forma que los edificios extremos experimentan un aumento en su valor de cortante, mientras que para edificios menos esbeltos lo ve´ıan reducidos. Finalmente, para una separaci´on de D=λ/4y ondas SH, no se observan grandes variaciones en el ´ultimo edificio del grupo para ´angulos peque˜nos; encontr´andose siempre las variaciones de este edificio con valores inferiores a los correspondientes al primer edificio del grupo. Como se ha comentado, en general, ambos tipos de estructuras presentan las mismas variaciones en su valor de cortante para las diferentes distancias de separaci´on expresadas en funci´on de la longitud de onda en el terreno correspondiente a su frecuencia natural sobre base el´astica (λ). Las diferencias que se producen a peque˜nas distancias de separaci´on se deben a que para el caso de h/b = 2 los edificios del grupo est´an significativamente m´as juntos que para h/b = 5. 50 4.3 Variaci´on del cortante m´ax. sin amortiguamiento en el campo incidente -10 0 10 diferencia cort. ma´x (%) SV ed1 ed2 ed3 -10 0 10 diferencia cort. ma´x (%) -10 0 10 diferencia cort. ma´x (%) -10 0 10 60o65o70o75o90o diferencia cort. ma´x (%) a´ngulo de incidencia SH D=λ/4 D=λ/3 D=λ/2 60o65o70o75o90o a´ngulo de incidencia D=λ Figura 4.10: Variaci´on del cortante m´aximo en funci´on del ´angulo de incidencia. Tomando como referencia al edificio solo bajo el mismo ´angulo de incidencia. Edificios de esbeltez h/b = 5. 51 4Resultados -10 0 10 diferencia cort. ma´x (%) SV 60° 65° 67° -10 0 10 diferencia cort. ma´x (%) 70° 75° 90° -10 0 10 diferencia cort. ma´x (%) -10 0 10 1ed 2ed 3ed diferencia cort. ma´x (%) posicio´n del edificio SH D=λ/4 D=λ/3 D=λ/2 1ed 2ed 3ed posicio´n del edificio D=λ Figura 4.11: Variaci´on del cortante m´aximo en funci´on de la posici´on dentro del grupo. Tomando como referencia al edificio solo bajo el mismo ´angulo de incidencia. Edificios de esbeltez h/b = 5. 52 4.3 Variaci´on del cortante m´ax. sin amortiguamiento en el campo incidente 4.3.1.2 Variaci´on del cortante m´aximo respecto al edificio solo bajo incidencia vertical En la presente secci´on se realizar´a la comparaci´on entre el valor de cortante m´aximo que presenta cada uno de los edificios del grupo en comparaci´on al que presentar´ıan en caso de encontrarse solos sobre el terreno y sometidos a una incidencia vertical. El motivo de realizar esta comparaci´on es que esta configuraci´on (edificio solo en el terreno e incidencia vertical) es la hip´otesis com´unmente utilizada para el c´alculo din´amico de estructuras. Los resultados presentados pueden entenderse como un factor a aplicar a los obtenidos por el m´etodo tradicional de c´alculo para incorporar los efectos de incidencia inclinada y la presencia de otras estructuras en el grupo. Los resultados de esta secci´on corresponden a las gr´aficas de la secci´on anterior, incorporando el efecto sobre el cortante m´aximo del edificio solo sobre el terreno que tiene una incidencia no vertical. Para ondas SH, los resultados no variar´an puesto que el valor del cortante m´aximo es pr´acticamente independiente del ´angulo de incidencia de la excitaci´on. Por otra parte, para ondas de tipo SV y recordando que el ´angulo cr´ıtico para las propiedades del suelo empleadas es de θcr = 65.9o, tenemos que para valores por debajo de este el valor de cortante m´aximo se ve enormemente reducido. En el entorno del ´angulo cr´ıtico, se produce un pico en el incremento del cortante m´aximo debido a la inclinaci´on de la onda que se va reduciendo hasta anularse para incidencia vertical (valor tomado como referencia). Las figuras 4.12 y 4.13 muestran las variaciones en el cortante m´aximo con respecto al edificio solo sometido a incidencia vertical para edificios de esbeltez h/b = 2. Los incrementos del cortante en torno al ´angulo cr´ıtico producen que estos valores del ´angulo de incidencia sean los m´as desfavorables en la mayor´ıa de configuraciones para la onda SV. Superando valores del 20% para el primer edificio del grupo en el caso de D=λ/2o para el edificio central en D=λ. De la misma forma, la gran reducci´on que produce un ´angulo de incidencia de θ0= 60ohace que para esta inclinaci´on todos los edificios experimenten reducciones en su cortante m´aximo al compararlo con el edificio solo bajo incidencia vertical, aunque este ´angulo fuera la situaci´on m´as desfavorable cuando se realizaba la comparaci´on con el edificio solo bajo el mismo ´angulo de incidencia. Esta gran reducci´on del cortante independiente de la posici´on de la estructura en el grupo se observa con m´as claridad en la figura 4.13. Los resultados correspondientes a estructuras de esbeltez h/b = 5 se encuentran en las figuras 4.14 y 4.15. En esta tipolog´ıa, para ondas SV el efecto del ´angulo de incidencia domina al de los efectos de interacci´on estructura-suelo-estructura. Se producen grandes reducciones del cortante m´aximo para un ´angulo de incidencia de θ0= 60o, llegando al 30 %. Como en la tipolog´ıa anterior, tambi´en se aprecia un incremento en el valor del cortante en el entorno del ´angulo cr´ıtico. 53 4Resultados -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 diferencia cort. ma´x (%) SV ed1 ed2 ed3 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 diferencia cort. ma´x (%) -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 diferencia cort. ma´x (%) -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 60o65o70o75o90o diferencia cort. ma´x (%) a´ngulo de incidencia SH D=λ/4 D=λ/3 D=λ/2 60o65o70o75o90o a´ngulo de incidencia D=λ Figura 4.12: Variaci´on del cortante m´aximo en funci´on del ´angulo de incidencia. Tomando como referencia al edificio solo bajo incidencia vertical. Edificios de esbeltez h/b = 2. 54 4.3 Variaci´on del cortante m´ax. sin amortiguamiento en el campo incidente -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 diferencia cort. ma´x (%) SV 60° 65° 67° -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 diferencia cort. ma´x (%) 70° 75° 90° -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 diferencia cort. ma´x (%) -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 1ed 2ed 3ed diferencia cort. ma´x (%) posicio´n del edificio SH D=λ/4 D=λ/3 D=λ/2 1ed 2ed 3ed posicio´n del edificio D=λ Figura 4.13: Variaci´on del cortante m´aximo en funci´on de la posici´on dentro del grupo. Tomando como referencia al edificio solo bajo incidencia vertical. Edificios de esbeltez h/b = 2. 55 4Resultados -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 diferencia cort. ma´x (%) SV ed1 ed2 ed3 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 diferencia cort. ma´x (%) -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 diferencia cort. ma´x (%) -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 60o65o70o75o90o diferencia cort. ma´x (%) a´ngulo de incidencia SH D=λ/4 D=λ/3 D=λ/2 60o65o70o75o90o a´ngulo de incidencia D=λ Figura 4.14: Variaci´on del cortante m´aximo en funci´on del ´angulo de incidencia. Tomando como referencia al edificio solo bajo incidencia vertical. Edificios de esbeltez h/b = 5. 56 4.3 Variaci´on del cortante m´ax. sin amortiguamiento en el campo incidente -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 diferencia cort. ma´x (%) SV 60° 65° 67° -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 diferencia cort. ma´x (%) 70° 75° 90° -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 diferencia cort. ma´x (%) -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 1ed 2ed 3ed diferencia cort. ma´x (%) posicio´n del edificio SH D=λ/4 D=λ/3 D=λ/2 1ed 2ed 3ed posicio´n del edificio D=λ Figura 4.15: Variaci´on del cortante m´aximo en funci´on de la posici´on dentro del grupo. Tomando como referencia al edificio solo bajo incidencia vertical. Edificios de esbeltez h/b = 5. 57 4Resultados 4.3.2 Grupo de tres edificios, edificio central distinto En la presente secci´on se ha estudiado la variaci´on del cortante m´aximo de los edificios del grupo con respecto a encontrarse solo en el terreno (bajo la misma excitaci´on o incidencia vertical) para los casos en los que el edificio central no presenta la misma esbeltez que los edificios laterales. La distancia de separaci´on entre las estructuras del grupo se expresa en funci´on de la longitud de onda en el terreno a la frecuencia fundamental (λ) correspondiente a los edificios exteriores. Por lo que los casos de estudio corresponden a los casos anteriores sustituyendo el edificio central por otro edificio con diferente esbeltez. Se estudiar´an los casos con gran diferencia entre estructuras, combinando esbelteces h/b = 2 y5; as´ı como menores variaciones en la esbeltez del edificio central empleando un edificio de esbeltez h/b = 3 para el caso en el que los exteriores son h/b = 2 y un central con relaci´on h/b = 4 situado entre edificaciones de esbeltez h/b = 5. No hay que olvidar que los resultados obtenidos son las variaciones del cortante m´aximo con respecto al que presenta edificio solo (de las mismas caracter´ısticas) sometido al mismo ´angulo de incidencia o a incidencia vertical. Este valor de cortante m´aximo se presenta a frecuencias diferentes en funci´on del periodo fundamental de cada tipo de estructura, adem´as de las variaciones que pueden producir los efectos de interacci´on entre estructuras para edificaciones poco esbeltas. 4.3.2.1 Variaci´on del cortante m´aximo respecto al edificio solo bajo el mismo ´angulo de incidencia En esta secci´on, con el objetivo de sintetizar los resultados, se presentan ´unicamente las gr´aficas de las variaciones del cortante m´aximo en funci´on del ´angulo de incidencia para cada una de las posiciones de los edificios en el grupo. As´ı, las figuras 4.16 y 4.17 muestran estas variaciones para las configuraciones que correspondes a edificios de esbeltez h/b = 2 en los extremos y edificios centrales de esbeltez h/b = 3 yh/b = 5 respectivamente. Atendiendo a estas figuras, se observa como cuando el edificio central presenta una esbeltez diferente a la de los exteriores, el comportamiento de los edificios externos es independiente de la esbeltez del edificio central; pero variando del caso en el que las tres estructuras son id´enticas. La magnitud de la variaci´on del cortante para la estructura central es muy inferior a la de la variaci´on correspondiente a los edificios extremos, presentando el edificio central valores de variaci´on superiores para edificios menos esbeltos. Atendiendo a la distancia de separaci´on entre estructuras, las variaciones en el edificio central son mayores para menores distancias. Para ondas de tipo SV, el edificio central experimenta una reducci´on en el valor de su cortante m´aximo en comparaci´on al que presentar´ıa en caso de encontrarse sin estructuras en su entorno. Para ondas SH, y distancias de separaci´on peque˜nas, el edificio central experimenta un incremento en su cortante m´aximo; mientras que para distancias superiores este se ve ligeramente reducido. Atendiendo a los edificios laterales, y con independencia del tipo de estructura central, se tiene que para distancias de separaci´on de D=λ/4y ondas SV, el cortante m´aximo incrementa su valor conforme la incidencia es m´as vertical. Para ondas SH, las variaciones disminuyen conforme el ´angulo de incidencia aumenta, acabando en una ligera reducci´on para incidencia vertical. Para distancias D=λ/3y ondas SV, el comportamiento coincide con el anterior, el incre58 4.3 Variaci´on del cortante m´ax. sin amortiguamiento en el campo incidente -30 -20 -10 0 10 20 30 diferencia cort. ma´x (%) SV ed1 ed2 ed3 -30 -20 -10 0 10 20 30 diferencia cort. ma´x (%) -30 -20 -10 0 10 20 30 diferencia cort. ma´x (%) -30 -20 -10 0 10 20 30 60o65o70o75o90o diferencia cort. ma´x (%) a´ngulo de incidencia SH D=λ/4 D=λ/3 D=λ/2 60o65o70o75o90o a´ngulo de incidencia D=λ Figura 4.16: Variaci´on del cortante m´aximo en funci´on del ´angulo de incidencia. Tomando como referencia al edificio solo bajo el mismo ´angulo de incidencia. Edificios exteriores de esbeltez h/b = 2, edificio central de esbeltez h/b = 3. 59 4Resultados -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 diferencia cort. ma´x (%) SV ed1 ed2 ed3 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 diferencia cort. ma´x (%) -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 diferencia cort. ma´x (%) -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 60o65o70o75o90o diferencia cort. ma´x (%) a´ngulo de incidencia SH D=λ/4 D=λ/3 D=λ/2 60o65o70o75o90o a´ngulo de incidencia D=λ Figura 4.21: Variaci´on del cortante m´aximo en funci´on del ´angulo de incidencia. Tomando como referencia al edificio solo bajo incidencia vertical. Edificios exteriores de esbeltez h/b = 2, edificio central de esbeltez h/b = 5. 66 4.3 Variaci´on del cortante m´ax. sin amortiguamiento en el campo incidente -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 diferencia cort. ma´x (%) SV ed1 ed2 ed3 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 diferencia cort. ma´x (%) -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 diferencia cort. ma´x (%) -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 60o65o70o75o90o diferencia cort. ma´x (%) a´ngulo de incidencia SH D=λ/4 D=λ/3 D=λ/2 60o65o70o75o90o a´ngulo de incidencia D=λ Figura 4.22: Variaci´on del cortante m´aximo en funci´on del ´angulo de incidencia. Tomando como referencia al edificio solo bajo incidencia vertical. Edificios exteriores de esbeltez h/b = 5, edificio central de esbeltez h/b = 2. 67 4Resultados -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 diferencia cort. ma´x (%) SV ed1 ed2 ed3 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 diferencia cort. ma´x (%) -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 diferencia cort. ma´x (%) -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 60o65o70o75o90o diferencia cort. ma´x (%) a´ngulo de incidencia SH D=λ/4 D=λ/3 D=λ/2 60o65o70o75o90o a´ngulo de incidencia D=λ Figura 4.23: Variaci´on del cortante m´aximo en funci´on del ´angulo de incidencia. Tomando como referencia al edificio solo bajo incidencia vertical. Edificios exteriores de esbeltez h/b = 5, edificio central de esbeltez h/b = 4. 68 4.3 Variaci´on del cortante m´ax. sin amortiguamiento en el campo incidente 4.3.3 Grupo de dos edificios iguales En este apartado se estudiar´a una configuraci´on de dos edificios iguales de esbeltez h/b = 2 situados en las posiciones que corresponden a los edificios extremos en la configuraci´on anterior de tres edificios. Este an´alisis se ha realizado debido a obtenerse para los edificios laterales resultados independientes de la esbeltez del edificio central en los casos en los que este es diferente a los exteriores; adem´as de encontrarse cierta similitud (sobre todo para ondas tipo SH) con las gr´aficas correspondientes a tres edificios con la misma distancia de separaci´on entre estructuras iguales. El estudio se ha realizado ´unicamente para edificios de esbeltez h/b = 2, ya que se han obtenido en todas las configuraciones anteriores resultados coincidentes para ambos tipo de estructuras. Se comparar´an los resultados correspondientes a dos estructuras con los obtenidos para la configuraci´on de edificios laterales h/b = 2 y estructura central h/b = 5; aunque, como se vio en la secci´on 4.3.2, los resultados para los edificios laterales son independientes de la esbeltez del edificio central. La distancia de cada configuraci´on se expresa en t´erminos de la mitad de la distancia entre los edificios exteriores Dext/2que coincide con la distancia entre edificios (D) para el caso de dos edificios. Los resultados se presentan en la figura 4.24. Las curvas para los edificios de ambas configuraciones presentan el mismo comportamiento. En el caso de ondas SH, las variaciones que se producen en los edificios laterales son pr´acticamente las mismas exista o no un edificio entre ambos, siempre que este tenga un valor de esbeltez diferente. Para ondas de tipo SV, s´ı se aprecian ligeras diferencias en los valores de la variaci´on de cortante m´aximo debido a la presencia de la edificaci´on central. Las mayores diferencias se encuentran para ´angulos muy tumbados en el caso de una distancia entre edificios exteriores de Dext/2 = λ/4y a lo largo de todos los ´angulos de incidencia para el caso de Dext/2 = λ/2. Hay que recordar que las ondas SV son las que producen desplazamientos horizontales en la misma direcci´on horizontal de su propagaci´on y paralelos a alineaci´on de los edificios; pudiendo verse m´as afectadas por la presencia de elementos de cimentaci´on en su trayectoria. Los resultados obtenidos confirman que los efectos de interacci´on entre estructuras se producen en mayor medida entre estructuras con frecuencias fundamentales pr´oximas. Esto se debe principalmente a dos fen´omenos que tienen lugar para frecuencias en el entorno de la fundamental: primero, debido a que las amplitudes de la deflecci´on son m´aximas, el campo total (incidente m´as refractado) en sus alrededores se ve sensiblemente modificado por la vibraci´on de la estructura. Estas modificaciones se amplifican en gran medida ya que para este rango de frecuencias, la relaci´on entre la respuesta de la estructura con los desplazamientos de la superficie es m´axima (pico de la FRF de la estructura). Para verificar las modificaciones en el campo total debido a la vibraci´on estructural, en la secci´on 4.5 se estudiar´an los efectos de la presencia de una estructura sobre los desplazamientos de los puntos de la superficie libre. 69 4Resultados -30 -20 -10 0 10 20 30 diferencia cort. ma´x (%) SV ed1 ed2 ed1 (3) ed3 (3) -30 -20 -10 0 10 20 30 diferencia cort. ma´x (%) -30 -20 -10 0 10 20 30 60o65o70o75o90o diferencia cort. ma´x (%) a´ngulo de incidencia SH Dext/2=λ/4 Dext/2=λ/2 60o65o70o75o90o a´ngulo de incidencia Dext/2=λ Figura 4.24: Variaci´on del cortante m´aximo en funci´on del ´angulo de incidencia. Tomando como referencia al edificio solo bajo el mismo ´angulo de incidencia. Comparaci´on entre dos edificios h/b = 2 (continuo) y edificios exteriores de esbeltez h/b = 2, edificio central de esbeltez h/b = 5 (discontinuo). 70 4.4 Influencia de la distancia de separaci´on (D) 4.4 An´alisis param´etrico de la distancia de separaci´on entre estructuras (D) Vistos los distintos comportamientos que presentan los edificios del grupo para valores diferentes de la distancia de separaci´on entre los mismos, en la presente secci´on se realizar´a un estudio de los valores de cortante m´aximos en funci´on de la distancia de separaci´on entre las estructuras. Con este estudio, se pretende clarificar tambi´en aquellas configuraciones donde el tercer edificio del grupo presentaba valores de incremento del cortante m´aximo superiores a los que ten´ıa el primero de los edificios. Los valores de la distancia de separaci´on entre estructuras se expresar´a en t´erminos de λ, al igual que se hac´ıa en la secci´on 4.3. De esta forma, y como se pudo comprobar en dicha secci´on, las curvas obtenidas presentar´an la misma tendencia con independencia del valor de esbeltez de las estructuras. Esto se comprueba, para otra tipolog´ıa de edificios, en el apartado correspondiente del anexo D. El problema a estudiar corresponde al de tres edificios iguales de esbeltez h/b = 2, con distancias de separaci´on entre los centros de edificios contiguos Dcon valores entre 0.2λyλ (el paso empleado es de λ/40). Los efectos del amortiguamiento del campo incidente se han eliminado empleando directamente la formulaci´on del mismo sin amortiguamiento. Al igual que ocurre con los diferentes casos estudiados en la secci´on 4.3, las frecuencias a las que se producen los valores m´aximos de cortante var´ıan en funci´on de la posici´on de los edificios y del ´angulo de incidencia. Esto se produce debido a los diferentes modos propios de vibraci´on del sistema estudiado, que se excitan en mayor o menor medida en funci´on de la onda incidente. Las gr´aficas mostrando las variaciones de la frecuencia a la que se produce el cortante m´aximo se encuentran en el anexo B. 4.4.1 Ondas SH Para este tipo de ondas se estudiar´an tres valores del ´angulo de incidencia: 60o,75oy90o. Los resultados corresponden a la variaci´on del cortante m´aximo de cada uno de los edificios del grupo con respecto al edificio solo sometido al mismo ´angulo de incidencia. Estos resultados coinciden pr´acticamente con los correspondientes al edificio solo bajo incidencia vertical, al no existir para este tipo de onda una influencia apreciable del ´angulo de incidencia sobre el valor del cortante m´aximo del edificio solo. En la figura 4.25 se presentan, para cada uno de los ´angulos de incidencia estudiados, diferentes curvas que corresponden a las tres posiciones de las estructuras en el grupo. Por otra parte, en la figura 4.26, cada gr´afica corresponde a una posici´on diferente, represent´andose curvas distintas para cada ´angulo de incidencia. En l´ıneas generales, se aprecia que el valor del cortante m´aximo depende tanto de la distancia de separaci´on entre estructuras como del ´angulo de incidencia. Las curvas comienzan con grandes reducciones, que van disminuyendo conforme la distancia aumenta. Estas reducciones a peque˜nas distancias de separaci´on no se deben ´unicamente a los efectos de interacci´on entre estructuras, sino tambi´en a las modificaciones en el terreno que produce la presencia de cimentaciones cercanas. Para ´angulos de incidencia inclinados, las curvas correspondientes a los dos primeros edificios que encuentra la onda en su propagaci´on presentan un car´acter m´as oscilatorio que la del ´ultimo edificio. Este efecto coincide con el comportamiento en desplazamientos que presentan los puntos de la superficie libre que se estudia en la secci´on 4.5. Atendiendo a las curvas correspondientes a incidencia vertical, donde el comportamiento de 71 4Resultados -30 -20 -10 0 10 var. cortante ma´x. (%) θ0=60o1er ed 2o ed 3er ed -30 -20 -10 0 10 var. cortante ma´x. (%) θ0=75o -30 -20 -10 0 10 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 var. cortante ma´x. (%) D/λ θ0=90o Figura 4.25: Variaci´on del cortante m´aximo en funci´on de la distancia de separaci´on entre estructuras. Tomando como referencia al edificio solo bajo el mismo ´angulo de incidencia. Edificios de esbeltez h/b = 2. Ondas SH 72 4.4 Influencia de la distancia de separaci´on (D) -30 -20 -10 0 10 var. cortante ma´x. (%) 1er edif. 60o 75o 90o -30 -20 -10 0 10 var. cortante ma´x. (%) 2o edif. -30 -20 -10 0 10 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 var. cortante ma´x. (%) D/λ 3er edif. Figura 4.26: Variaci´on del cortante m´aximo en funci´on de la distancia de separaci´on entre estructuras. Tomando como referencia al edificio solo bajo el mismo ´angulo de incidencia. Edificios de esbeltez h/b = 2. Ondas SH 73 4Resultados los edificios laterales es el mismo debido a la simetr´ıa del problema, se aprecian reducciones en el valor del cortante m´aximo de todos los edificios del grupo para distancias de separaci´on menores a λ/2, correspondiendo las mayores reducciones para el edificio central. A partir de 0.5λpara el edificio central y 0.6λpara los laterales, el valor del cortante m´aximo se incrementa debido a la presencia de las estructuras cercanas, llegando a incrementos superiores al 10 % para el edificio central. Las distancias de separaci´on a las que se producen los valores m´aximos de variaci´on corresponden a D= 0.75λpara la estructura central y D= 0.8λpara las laterales. Para una incidencia de θ0= 75o, la curva que corresponde a los edificios laterales para incidencia vertical, se divide en dos curvas, la correspondiente al primer y ´ultimo edificio. Ambas siguen la misma tendencia que la anterior, la curva del primer edificio aumenta su car´acter oscilatorio, adelantando los picos (el m´aximo se produce para 0.65λen lugar de 0.8); mientras que la curva del tercer edificio se suaviza, produciendo mayores valores de cortante m´aximo conforme la distancia de separaci´on aumenta. El edificio central mantiene su comportamiento, si bien las variaciones son menores que las correspondientes a incidencia vertical, sobre todo para valores elevados de D. Finalmente, para θ= 60o, el primer edificio adelanta a´un m´as sus picos (el m´aximo se produce para D= 0.55λ) y contin´ua con su car´acter oscilatorio. El edificio central experimenta para todas las distancias de separaci´on reducciones en su valor de cortante m´aximo, produci´endose las mayores reducciones para distancias de separaci´on peque˜nas y para el entorno de D= 0.8λ. El tercer edificio tambi´en ve reducido su cortante m´aximo para todas las separaciones estudiadas, tendiendo a coincidir con el valor que presenta en caso de encontrarse solo sobre el terreno para valores de D > 0.7λ. Para esta ´ultima estructura, los menores valores se producen en el entorno de D= 0.4λ. Atendiendo a la figura 4.26, para el primer edificio del grupo se ve como conforme el ´angulo de incidencia disminuye, la oscilaci´on que presenta la curva se va adelantando e incrementado ligeramente sus valores. Para el segundo edificio, una incidencia de θ0= 75ono supone un gran cambio con respecto a incidencia vertical; mientras que para un ´angulo de 60o, la curva presenta un car´acter m´as oscilatorio y con valores ´unicamente de reducci´on del cortante m´aximo. Para el ´ultimo edificio, los valores de cortante disminuyen conforme el ´angulo disminuye, excepto para distancias de separaci´on muy peque˜nas, donde ocurre lo contrario. Tambi´en, conforme la onda es m´as tumbada, la curva pierde su car´acter oscilatorio en el sentido de que los picos son menos definidos. 4.4.2 Ondas SV Para este tipo de ondas se estudiar´a, adem´as de los tres ´angulos de incidencia anteriores, un ´angulo de incidencia igual al ´angulo cr´ıtico (para las propiedades del terreno empleadas: θcr = 65.9o). En las figuras 4.27 y 4.28 se presentan los resultados de las variaciones del cortante m´aximo para cada uno de los edificios del grupo con respecto al edificio solo bajo el mismo ´angulo de incidencia. Al igual que ocurr´ıa con las curvas correspondiente a una excitaci´on de tipo SH, para peque˜nas distancias de separaci´on se producen grandes reducciones en el cortante m´aximo de los edificios, estas reducciones van disminuyendo conforme la distancia entre estructuras aumenta. Tambi´en se aprecia un car´acter oscilatorio con la distancia para las curvas de los dos primero edificios del grupo cuando la incidencia es inclinada. Comenzando con incidencia vertical, los valores m´aximos de incremento de cortante se producen para una distancia D= 0.6λ, reduci´endose el valor de cortante para valores peque˜nos de 74 4.4 Influencia de la distancia de separaci´on (D) -30 -20 -10 0 10 20 var. cortante ma´x. (%) θ0=60o1er ed 2o ed 3er ed -30 -20 -10 0 10 20 var. cortante ma´x. (%) θ0=θcr=65.9o -30 -20 -10 0 10 20 var. cortante ma´x. (%) θ0=75o -30 -20 -10 0 10 20 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 var. cortante ma´x. (%) D/λ θ0=90o Figura 4.27: Variaci´on del cortante m´aximo en funci´on de la distancia de separaci´on entre estructuras. Tomando como referencia al edificio solo bajo el mismo ´angulo de incidencia. Edificios de esbeltez h/b = 2. Ondas SV 75 4Resultados 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 u/uff θ0=60o superf. sup. muro 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 u/uff θ0=65o 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 u/uff x2/λ θ0=67o θ0=70o θ0=75o -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 x2/λ θ0=90o Figura 4.31: Desplazamientos horizontales de los puntos de la superficie debidos a la presencia de un elemento enterrado. Valor de frecuencia a0= 0.125. 82 4.5 Efectos en los desplazamientos de la superficie 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 u/uff θ0=60o superf. sup. muro 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 u/uff θ0=65o 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 u/uff x2/λ θ0=67o θ0=70o θ0=75o -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 x2/λ θ0=90o Figura 4.32: Desplazamientos horizontales de los puntos de la superficie debidos a la presencia de un elemento enterrado. Valor de frecuencia a0= 0.225. 83 4Resultados 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 u/uff θ0=60o superf. sup. muro 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 u/uff θ0=65o 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 u/uff x2/λ θ0=67o θ0=70o θ0=75o -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 x2/λ θ0=90o Figura 4.33: Desplazamientos horizontales de los puntos de la superficie debidos a la presencia de un elemento enterrado. Valor de frecuencia a0= 0.425. 84 4.5 Efectos en los desplazamientos de la superficie 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 u/uff θ0=60o superf. sup. muro 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 u/uff θ0=65o 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 u/uff x2/λ θ0=67o θ0=70o θ0=75o -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 x2/λ θ0=90o Figura 4.34: Desplazamientos horizontales de los puntos de la superficie debidos a la presencia de un elemento enterrado. Valor de frecuencia a0= 0.825. 85 4Resultados 4.5.2 Efecto en la superficie de la presencia de los elementos de cimentaci´on y superestructura. El problema estudiado en la secci´on anterior es mucho m´as invasivo que el caso de la presencia de una cimentaci´on en el terreno, por lo que los efectos en la superficie debidos a la existencia de la cimentaci´on en el suelo ser´an inferiores a los obtenidos en la secci´on anterior. De cualquier forma, para los valores de frecuencia a los que se producen los m´aximos en el cortante de las estructuras no se aprecian grandes variaciones en los desplazamientos de los puntos de la superficie debido a la existencia del elemento enterrado; por lo que tampoco existir´an grandes variaciones debido a la presencia de la cimentaci´on. Esto induce a pensar que es la vibraci´on de la superestructura lo que origina un campo de desplazamientos en el terreno que se superpone al campo incidente, modificando la respuesta de los puntos de la superficie. Para verificar esto, en las figuras de la 4.35 a la 4.38 se representan los desplazamientos horizontales de los puntos de la superficie situados sobre el eje sobre el que se sit´uan los centros de los diferentes edificios (x1= 0) en relaci´on con el desplazamiento del campo libre. Se representan las curvas correspondientes a la existencia de una ´unica cimentaci´on constituida por un grupo 3×3de pilotes unidos por un encepado sin masa, as´ı como las correspondientes a la existencia de un ´unico edificio de esbeltez h/b = 2 cimentado sobre el grupo anterior unido por un encepado con los valores de masa e inercia definidos en 4.1.2. Las diferentes figuras corresponden a diferentes valores de frecuencia: un valor inferior a la frecuencia natural del edificio sobre base el´astica, la frecuencia natural, y dos valores superiores, uno ligeramente superior y otro mucho mayor. En funci´on de la relaci´on con la frecuencia natural tenemos que: para valores por debajo de la misma, la presencia de la superestructura afecta ´unicamente a los puntos muy pr´oximos a la cimentaci´on, experimentando desplazamientos ligeramente superiores; mientras que los puntos m´as alejados no se ven afectados. Cuando la frecuencia coincide con la natural de la estructura, la existencia de la misma produce grandes modificaciones en los puntos de la superficie; mientras que si simplemente estuviera la cimentaci´on, los desplazamientos de los puntos de la superficie coincidir´ıan pr´acticamente con los del campo libre (ya que nos encontramos en un valor peque˜no de frecuencia). Los resultados para esta frecuencia se comentar´an con m´as detalle a continuaci´on. Para frecuencias superiores a la natural, se vuelve a obtener respuestas similares para los puntos alejados de la cimentaci´on independientemente de la existencia o no de la superestructura. No obstante, los puntos cercanos al encepado experimentan menores valores de desplazamientos en el caso de que se encuentre la estructura sobre la cimentaci´on. Finalmente, para frecuencias muy por encima de la natural, el comportamiento de los puntos de la superficie coincide en ambos casos, y presenta una forma an´aloga a la estudiada para el problema bidimensional: con oscilaciones para los puntos anteriores a la cimentaci´on si la onda es inclinada, mientras que los puntos situados despu´es de esta presentan curvas m´as suaves. En este caso, se comprueba que si la onda es de tipo SH, las oscilaciones son mayores que para ondas SV. Analizando m´as detenidamente la figura 4.36, que corresponde a la frecuencia natural de la estructura. Se observa que, para ondas inclinadas, los puntos que se encuentran antes de la estructura presentan una mayor oscilaci´on en el valor de su desplazamiento m´aximo con la distancia. El primer m´aximo de estos puntos se encuentra m´as adelantado (m´as pr´oximo a la cimentaci´on) conforme el ´angulo de incidencia es menor. Esto ocurr´ıa tambi´en con los cortantes m´aximos de la primera estructura en la secci´on 4.4, adem´as estos m´aximos se producen en ambos casos para el mismo valor de distancia con respecto al edificio m´as cercano. Comparando nuevamente con los resultados obtenidos en la secci´on 4.4 y centr´andose en los puntos que se encuentran a ±λ. Para ondas SV, los desplazamientos de los puntos que se 86 4.5 Efectos en los desplazamientos de la superficie 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 usup/uff SV sin edif. con edif. 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 usup/uff 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 -1 -0.5 0 0.5 1 usup/uff x2/λ SH θ0=60o θ0=75o -1 -0.5 0 0.5 1 x2/λ θ0=90o Figura 4.35: Desplazamientos horizontales de los puntos situados en la l´ınea central de la superficie debidos a la presencia de la cimentaci´on. Estudio del efecto de la presencia de superestructura. Valor de frecuencia inferior a la natural de la estructura: a0= 0.05. 87 4Resultados 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 usup/uff SV sin edif. con edif. 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 usup/uff 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 -1 -0.5 0 0.5 1 usup/uff x2/λ SH θ0=60o θ0=75o -1 -0.5 0 0.5 1 x2/λ θ0=90o Figura 4.36: Desplazamientos horizontales de los puntos situados en la l´ınea central de la superficie debidos a la presencia de la cimentaci´on. Estudio del efecto de la presencia de superestructura. Valor de frecuencia igual a la natural de la estructura: a0= 0.078. 88 4.5 Efectos en los desplazamientos de la superficie 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 usup/uff SV sin edif. con edif. 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 usup/uff 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 -1 -0.5 0 0.5 1 usup/uff x2/λ SH θ0=60o θ0=75o -1 -0.5 0 0.5 1 x2/λ θ0=90o Figura 4.37: Desplazamientos horizontales de los puntos situados en la l´ınea central de la superficie debidos a la presencia de la cimentaci´on. Estudio del efecto de la presencia de superestructura. Valor de frecuencia superior a la natural de la estructura: a0= 0.1. 89 4Resultados 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 usup/uff SV sin edif. con edif. 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 usup/uff 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 -1 -0.5 0 0.5 1 usup/uff x2/λ SH θ0=60o θ0=75o -1 -0.5 0 0.5 1 x2/λ θ0=90o Figura 4.38: Desplazamientos horizontales de los puntos situados en la l´ınea central de la superficie debidos a la presencia de la cimentaci´on. Estudio del efecto de la presencia de superestructura. Valor de frecuencia muy superior a la natural de la estructura: a0= 0.6. 90 4.5 Efectos en los desplazamientos de la superficie encuentran a una distancia −λy los valores de cortante m´aximo del primer edificio de la figura 4.28 para D=λpresentan mayor valor conforme el ´angulo de incidencia es menor. Tambi´en se ve el mismo comportamiento si comparamos los puntos situados en λy la variaci´on de cortante m´aximo para el segundo edificio en D=λ. Para ondas SH, y volviendo a comparar los puntos en −λcon las variaciones del primer edificio (fig. 4.26) y los puntos en λcon las del ´ultimo, se ve que el primer edificio presenta el menor valor de cortante si la incidencia es de 75o, mientras que el tercero presenta su mayor incremento para esta incidencia. Esto ocurre tambi´en para los puntos situados a una distancia ±λsi comparamos los diferentes ´angulos de incidencia. Si bien el comportamiento de los puntos de la superficie no es exactamente el mismo a los obtenidos en el estudio param´etrico de la distancia de separaci´on entre estructuras, s´ı se aprecian grandes similitudes y mismas tendencias entre los puntos y estructuras situadas a la misma distancia. Hay que tener en cuenta que las diferencias se deben a que, adem´as de las perturbaciones en la superficie, existe un campo de desplazamientos refractado en el interior del terreno que afecta a las cimentaciones cercanas. Tambi´en hay que considerar que en el caso complejo de tres estructuras, la vibraci´on de cada una de ellas se ve afectada por la presencia de las otras, por lo que los efectos de cada una sobre la superficie libre no ser´an exactamente iguales a los del edificio solo. 91 REFERENCIAS [14] S M Mamoon and S Ahmad. Seismic response of piles to obliquely incident sh, sv and p waves. J Geotech Eng, ASCE, 116(2):186–204, 1990. [15] S M Mamoon and P K Banerjee. Response of piles and pile groups to travelling sh-waves. Earthquake Eng Struct Dyn, 19:597–610, 1990. [16] R Matos Filho, A V Mendon¸ca, and J B Paiva. Static boundary element analysis of piles submitted to horizontal and vertical loads. Eng Anal Boundary Elem, 29:195–203, 2005. [17] L A Padr´on. Numerical Model for the Dynamic Analysis of Pile Foundations. PhD thesis, Universidad de Las Palmas de Gran Canaria, 2009. [18] L A Padr´on, J J Azn´arez, and O Maeso. 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La segunda metodolog´ıa consiste en emplear como valor de referencia el cortante correspondiente al edificio solo en la misma posici´on que el edificio estudiado, incluyendo, por tanto, los efectos del amortiguamiento del campo incidente en este valor de referencia. En las siguientes figuras se muestran comparaciones entre ambos m´etodos, comprob´andose que los resultados obtenidos son pr´acticamente independientes del procedimiento empleado para eliminar los efectos del amortiguamiento del campo incidente en las variaciones del cortante m´aximo de las estructuras del grupo. 101 AM´etodos para eliminar el amortiguamiento del campo incidente -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 diferencia cort. ma´x (%) SV ed1 ed2 ed3 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 diferencia cort. ma´x (%) -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 diferencia cort. ma´x (%) -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 60o65o70o75o90o diferencia cort. ma´x (%) a´ngulo de incidencia SH D=λ/4 D=λ/3 D=λ/2 60o65o70o75o90o a´ngulo de incidencia D=λ Figura A.1: Variaci´on del cortante m´aximo en funci´on del ´angulo de incidencia. Tomando como referencia al edificio solo bajo el mismo ´angulo de incidencia. Edificios de esbeltez h/b = 2. Correcci´on mediante un campo incidente no amortiguado. 102 AM´etodos para eliminar el amortiguamiento del campo incidente -30 -20 -10 0 10 20 30 diferencia cort. ma´x (%) SV ed1 ed2 ed3 -30 -20 -10 0 10 20 30 diferencia cort. ma´x (%) -30 -20 -10 0 10 20 30 diferencia cort. ma´x (%) -30 -20 -10 0 10 20 30 60o65o70o75o90o diferencia cort. ma´x (%) a´ngulo de incidencia SH D=λ/4 D=λ/3 D=λ/2 60o65o70o75o90o a´ngulo de incidencia D=λ Figura A.2: Variaci´on del cortante m´aximo en funci´on del ´angulo de incidencia. Tomando como referencia al edificio solo bajo el mismo ´angulo de incidencia. Edificios de esbeltez h/b = 2. Correcci´on mediante el edificio solo en su misma posici´on. 103 AM´etodos para eliminar el amortiguamiento del campo incidente -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 diferencia cort. ma´x (%) SV ed1 ed2 ed3 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 diferencia cort. ma´x (%) -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 diferencia cort. ma´x (%) -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 60o65o70o75o90o diferencia cort. ma´x (%) a´ngulo de incidencia SH D=λ/4 D=λ/3 D=λ/2 60o65o70o75o90o a´ngulo de incidencia D=λ Figura A.3: Variaci´on del cortante m´aximo en funci´on del ´angulo de incidencia. Tomando como referencia al edificio solo bajo incidencia vertical. Edificios de esbeltez h/b = 2. Correcci´on mediante un campo incidente no amortiguado. 104 AM´etodos para eliminar el amortiguamiento del campo incidente -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 diferencia cort. ma´x (%) SV ed1 ed2 ed3 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 diferencia cort. ma´x (%) -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 diferencia cort. ma´x (%) -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 60o65o70o75o90o diferencia cort. ma´x (%) a´ngulo de incidencia SH D=λ/4 D=λ/3 D=λ/2 60o65o70o75o90o a´ngulo de incidencia D=λ Figura A.4: Variaci´on del cortante m´aximo en funci´on del ´angulo de incidencia. Tomando como referencia al edificio solo bajo incidencia vertical. Edificios de esbeltez h/b = 2. Correcci´on mediante el edificio solo en su misma posici´on. 105 AM´etodos para eliminar el amortiguamiento del campo incidente -30 -20 -10 0 10 20 30 diferencia cort. ma´x (%) Sin amortig. en el campo incidente 1ed 2ed 3ed -30 -20 -10 0 10 20 30 diferencia cort. ma´x (%) -30 -20 -10 0 10 20 30 diferencia cort. ma´x (%) -30 -20 -10 0 10 20 30 60o65o70o75o90o diferencia cort. ma´x (%) a´ngulo de incidencia Empleando edif. solo en su misma posicio´n hb5 - λ/4 - SH hb5 - λ/3 - SV hb2 y hb5 - λ/4 - SV 60o65o70o75o90o a´ngulo de incidencia hb2 y hb5 - λ/2 - SH Figura A.5: Variaci´on del cortante m´aximo en funci´on del ´angulo de incidencia. Tomando como referencia al edificio solo bajo el mismo ´angulo de incidencia. Tres edificios de esbeltez h/b = 5 y grupo de laterales h/b = 2 con central h/b = 5. Comparaci´on entre metodolog´ıas. 106 AM´etodos para eliminar el amortiguamiento del campo incidente -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 diferencia cort. ma´x (%) Sin amortig. en el campo incidente 1ed 2ed 3ed -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 diferencia cort. ma´x (%) -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 diferencia cort. ma´x (%) -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 60o65o70o75o90o diferencia cort. ma´x (%) a´ngulo de incidencia Empleando edif. solo en su misma posicio´n hb5 - λ/4 - SH hb5 - λ/3 - SV hb2 y hb5 - λ/4 - SV 60o65o70o75o90o a´ngulo de incidencia hb2 y hb5 - λ/2 - SH Figura A.6: Variaci´on del cortante m´aximo en funci´on del ´angulo de incidencia. Tomando como referencia al edificio solo bajo incidencia vertical. Tres edificios de esbeltez h/b = 5 y grupo de laterales h/b = 2 con central h/b = 5. Comparaci´on entre metodolog´ıas. 107 BVariaci´on de la frecuencia de pico en funci´on de la distancia de separaci´on 114 Respuesta de los encepados Ap´endiceC En este anexo se recogen los desplazamientos horizontales de los diferentes encepados del grupo sin la presencia de superestructura. Estos desplazamientos se estudian para ver los efectos debidos ´unicamente a los encepados, eliminando la vibraci´on de la estructura. Las propiedades de masa e inercia de los encepados corresponden a las de las estructuras h/b = 2, al igual que la distancia entre ambos se expresa en t´erminos de la longitud de onda a la frecuencia natural de dicha tipolog´ıa estructural sobre el terreno. El amortiguamiento del campo incidente se ha eliminado directamente en su formulaci´on. Grupo de 3 encepados Las figuras de la C.1 a la C.4 muestran los valores de los desplazamientos de los diferentes encepados en relaci´on al desplazamiento de la superficie libre para los diferentes ´angulos de incidencia. Se muestran diferentes curvas que corresponden a los tres edificios del grupo, as´ı como la curva correspondiente a un encepado solo en el terreno que se utilizar´a como referencia en la comparaci´on. Se observa que los dos primeros encepados presentan un comportamiento oscilatorio con la frecuencia, mientras que el ´ultimo tiene una curva m´as suave, semejante en forma a la del encepado solo. La curva de la primera cimentaci´on oscila en torno a la correspondiente al encepado solo; mientras que las curvas de los dos ´ultimos encepados presentan valores de desplazamientos inferiores a los que presentar´ıan si estuviesen solos en el terreno. Conforme el ´angulo de incidencia aumenta, las curvas se asemejan m´as a la del encepado solo y la oscilaci´on de las dos primeras se ve disminuida en amplitud. Conforme el ´angulo de incidencia es menor, la oscilaci´on de las dos primeras curvas aumenta su frecuencia, es decir, se producen m´as picos y en frecuencias menores. Conforme la distancia de separaci´on entre estructuras aumenta los efectos de interacci´on entre los encepados disminuyen, tendiendo todas las curvas a la del encepado solo. Finalmente, para ondas de tipo SH las diferencias entre las curvas de las distintas posiciones es mucho menor, coincidiendo pr´acticamente todas con la del encepado solo en el terreno; no obstante, tambi´en se aprecian los fen´omenos anteriormente comentados. 115 CRespuesta de los encepados 0.25 0.5 0.75 1 1.25 uenc/uff θ0=60o solo 1enc 2enc 3enc 0.25 0.5 0.75 1 1.25 uenc/uff θ0=65o 0.25 0.5 0.75 1 1.25 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 uenc/uff a0 θ0=67o SV - D=λ/4 θ0=70o θ0=75o 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 a0 θ0=90o Figura C.1: Desplazamientos horizontales de los encepados para distintos ´angulos de incidencia. Propiedades correspondientes a estructuras h/b = 2. Ondas SV y distancia de separaci´on D=λ/4. 116 CRespuesta de los encepados 0.25 0.5 0.75 1 1.25 uenc/uff θ0=60o solo 1enc 2enc 3enc 0.25 0.5 0.75 1 1.25 uenc/uff θ0=65o 0.25 0.5 0.75 1 1.25 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 uenc/uff a0 θ0=67o SV - D=λ/3 θ0=70o θ0=75o 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 a0 θ0=90o Figura C.2: Desplazamientos horizontales de los encepados para distintos ´angulos de incidencia. Propiedades correspondientes a estructuras h/b = 2. Ondas SV y distancia de separaci´on D=λ/3. 117 CRespuesta de los encepados 0.25 0.5 0.75 1 1.25 uenc/uff θ0=60o solo 1enc 2enc 3enc 0.25 0.5 0.75 1 1.25 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 uenc/uff a0 θ0=65o SH - D=λ/4 θ0=70o θ0=75o 0.25 0.5 0.75 1 1.25 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 uenc/uff a0 θ0=90o Figura C.3: Desplazamientos horizontales de los encepados para distintos ´angulos de incidencia. Propiedades correspondientes a estructuras h/b = 2. Ondas SH y distancia de separaci´on D=λ/4. 118 CRespuesta de los encepados 0.25 0.5 0.75 1 1.25 uenc/uff θ0=60o solo 1enc 2enc 3enc 0.25 0.5 0.75 1 1.25 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 uenc/uff a0 θ0=65o SH - D=λ/3 θ0=70o θ0=75o 0.25 0.5 0.75 1 1.25 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 uenc/uff a0 θ0=90o Figura C.4: Desplazamientos horizontales de los encepados para distintos ´angulos de incidencia. Propiedades correspondientes a estructuras h/b = 2. Ondas SH y distancia de separaci´on D=λ/3. 119 CRespuesta de los encepados Grupo de 2 encepados De la misma forma que se hizo con el grupo de tres encepados, se analiz´o los efectos de interacci´on que se producen en un grupo de dos encepados. Los valores de desplazamientos se muestran en las figuras de la C.5 a la C.8. Las conclusiones obtenidas son las mismas que para el grupo de tres: el primero oscila entorno a la curva del encepado solo, mientras que el segundo (que en este caso es el ´ultimo) presenta un comportamiento similar al del solo pero con valores de desplazamientos menores. 120 CRespuesta de los encepados 0.25 0.5 0.75 1 1.25 uenc/uff θ0=60o solo 1enc 2enc 0.25 0.5 0.75 1 1.25 uenc/uff θ0=65o 0.25 0.5 0.75 1 1.25 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 uenc/uff a0 θ0=67o SV - D=λ/4 θ0=70o θ0=75o 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 a0 θ0=90o Figura C.5: Desplazamientos horizontales de los encepados para distintos ´angulos de incidencia. Propiedades correspondientes a estructuras h/b = 2. Ondas SV y distancia de separaci´on D=λ/4. 121 CRespuesta de los encepados 0.25 0.5 0.75 1 1.25 uenc/uff θ0=60o solo 1enc 2enc 0.25 0.5 0.75 1 1.25 uenc/uff θ0=65o 0.25 0.5 0.75 1 1.25 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 uenc/uff a0 θ0=67o SV - D=λ/2 θ0=70o θ0=75o 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 a0 θ0=90o Figura C.6: Desplazamientos horizontales de los encepados para distintos ´angulos de incidencia. Propiedades correspondientes a estructuras h/b = 2. Ondas SV y distancia de separaci´on D=λ/2. 122 CRespuesta de los encepados 0.25 0.5 0.75 1 1.25 uenc/uff θ0=60o solo 1enc 2enc 0.25 0.5 0.75 1 1.25 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 uenc/uff a0 θ0=65o SH - D=λ/4 θ0=70o θ0=75o 0.25 0.5 0.75 1 1.25 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 uenc/uff a0 θ0=90o Figura C.7: Desplazamientos horizontales de los encepados para distintos ´angulos de incidencia. Propiedades correspondientes a estructuras h/b = 2. Ondas SH y distancia de separaci´on D=λ/4. 123 DResultados obtenidos empleando una cimentaci´on de menor dimensi´on -10 -5 0 5 10 diferencia cort. ma´x (%) SV 60o - s/d=2.5 60o - s/d=5 -10 -5 0 5 10 diferencia cort. ma´x (%) -10 -5 0 5 10 diferencia cort. ma´x (%) -10 -5 0 5 10 1ed 2ed 3ed diferencia cort. ma´x (%) posicio´n del edificio 75o SH D=λ/4 D=λ/3 D=λ/2 1ed 2ed 3ed posicio´n del edificio D=λ Figura D.2: Variaci´on del cortante m´aximo en funci´on de la posici´on dentro del grupo. Tomando como referencia al edificio solo bajo el mismo ´angulo de incidencia. Edificios de esbeltez h/b = 5. Comparaci´on entre s/d = 2.5ys/d = 5. 130 DResultados obtenidos empleando una cimentaci´on de menor dimensi´on Variaci´on del cortante m´aximo en funci´on de la distancia de separaci´on (D) Siguiendo la metodolog´ıa empleada en la secci´on 4.4, se ha realizado un estudio param´etrico de la distancia de separaci´on entre estructuras D. Se han empleado ondas SV con ´angulos de incidencia de θ0= 60oy75o, y estructuras de esbeltez h/b = 2 y5. Las figuras D.3 (h/b = 2) y D.4 (h/b = 5) presentan las variaciones del cortante m´aximo de las diferentes estructuras del grupo en relaci´on al cortante m´aximo del edificio solo bajo el mismo ´angulo de incidencia en funci´on de la distancia de separaci´on entre dos edificios contiguos. Las diferentes gr´aficas corresponden a diferentes ´angulos de incidencia y se muestran las curvas correspondientes a las tres posiciones de las estructuras. En las figuras D.5 y D.6 se presentan los mismos resultados, separados por las posiciones de las estructuras en el grupo y representando para cada una de ellas curvas distintas en funci´on del ´angulo de incidencia. Se observa que, al expresarse la distancia de separaci´on en funci´on de λ, ambos tipos de estructuras tienen el mismo comportamiento. ´unicamente se aprecian diferencias para peque˜nas distancias de separaci´on donde, como se ha comentado, las cimentaciones correspondientes a edificios de esbeltez h/b = 2 est´an muy pr´oximas entre s´ı. En relaci´on con los resultados obtenidos en la secci´on 4.4, las curvas siguen un comportamiento similar (mayores oscilaciones en los primeros edificios mientras que el ´ultimo sigue una curva m´as suave para ´angulos de incidencia peque˜nos, adelanto en los picos conforme el ´angulo disminuye, etc.) si bien los valores de la distancia a la que se producen los picos no son exactamente los mismos, aunque s´ı se presentan en el mismo entorno. Finalmente, para el caso de estructuras de esbeltez h/b = 2 se realizo un estudio con mayores distancias de separaci´on, tal y como muestra la figura D.7. En ella se aprecia como las oscilaciones en los valores m´aximos de cortante contin´uan con valores cada vez m´as pr´oximos a cero conforme la separaci´on entre estructuras aumenta, debido a que con el aumento de la distancia, el campo reflejado por los elementos constructivos se amortigua en mayor medida, lo que hace que los efectos de interacci´on entre ellos disminuyan. 131 DResultados obtenidos empleando una cimentaci´on de menor dimensi´on -30 -20 -10 0 10 20 var. cortante ma´x. (%) θ0=60o1er ed 2o ed 3er ed -30 -20 -10 0 10 20 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 var. cortante ma´x. (%) D/λ θ0=75o Figura D.3: Variaci´on del cortante m´aximo en funci´on de la distancia de separaci´on entre estructuras. Tomando como referencia al edificio solo bajo el mismo ´angulo de incidencia. Edificios de esbeltez h/b = 2. Ondas SV 132 DResultados obtenidos empleando una cimentaci´on de menor dimensi´on -30 -20 -10 0 10 20 var. cortante ma´x. (%) θ0=60o1er ed 2o ed 3er ed -30 -20 -10 0 10 20 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 var. cortante ma´x. (%) D/λ θ0=75o Figura D.4: Variaci´on del cortante m´aximo en funci´on de la distancia de separaci´on entre estructuras. Tomando como referencia al edificio solo bajo el mismo ´angulo de incidencia. Edificios de esbeltez h/b = 5. Ondas SV 133 DResultados obtenidos empleando una cimentaci´on de menor dimensi´on -30 -20 -10 0 10 20 var. cortante ma´x. (%) 1er edif. 60o 75o -30 -20 -10 0 10 20 var. cortante ma´x. (%) 2o edif. -30 -20 -10 0 10 20 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 var. cortante ma´x. (%) D/λ 3er edif. Figura D.5: Variaci´on del cortante m´aximo en funci´on de la distancia de separaci´on entre estructuras. Tomando como referencia al edificio solo bajo el mismo ´angulo de incidencia. Edificios de esbeltez h/b = 2. Ondas SV 134 DResultados obtenidos empleando una cimentaci´on de menor dimensi´on -30 -20 -10 0 10 20 var. cortante ma´x. (%) 1er edif. 60o 75o -30 -20 -10 0 10 20 var. cortante ma´x. (%) 2o edif. -30 -20 -10 0 10 20 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 var. cortante ma´x. (%) D/λ 3er edif. Figura D.6: Variaci´on del cortante m´aximo en funci´on de la distancia de separaci´on entre estructuras. Tomando como referencia al edificio solo bajo el mismo ´angulo de incidencia. Edificios de esbeltez h/b = 5. Ondas SV 135 DResultados obtenidos empleando una cimentaci´on de menor dimensi´on -30 -20 -10 0 10 20 var. cortante ma´x. (%) θ0=60o1er ed 2o ed 3er ed -30 -20 -10 0 10 20 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 var. cortante ma´x. (%) D/λ θ0=75o Figura D.7: Variaci´on del cortante m´aximo en funci´on de la distancia de separaci´on entre estructuras. Tomando como referencia al edificio solo bajo el mismo ´angulo de incidencia. Edificios de esbeltez h/b = 2. Ondas SV 136 DResultados obtenidos empleando una cimentaci´on de menor dimensi´on Desplazamientos de los encepados sin presencia de superestructuras. Presentando resultados an´alogos a los del anexo C, se ha estudiado los desplazamientos de los diferentes encepados sin la presencia de superestructuras. En esta ocasi´on, se han eliminado la masa e inercia de los encepados, por lo que los resultados corresponden a los factores de interacci´on cinem´atica de los mismos. Las figuras D.8 y D.9 presentan, para ondas SV y SH respectivamente, los desplazamientos horizontales de los diferentes encepados del grupo en relaci´on al desplazamiento del campo libre frente a la frecuencia adimensional. El ´angulo de incidencia corresponde a θ0= 60o. Se incluye tambi´en la curva correspondiente al encepado solo sobre el terreno para realizar la comparaci´on. Las diferentes gr´aficas corresponden a diferentes distancias de separaci´on entre encepados. Se observan los mismos efectos que para las cimentaciones con s/d = 5: la curva del primer edificio oscila en torno a la correspondiente al encepado solo, la del segundo encepado tambi´en presenta una oscilaci´on con valores inferiores al anterior y la de la ´ultima cimentaci´on del grupo sigue una tendencia parecida a la del encepado solo pero con valores inferiores de desplazamientos. Se aprecia tambi´en como las diferencias entre las curvas disminuyen conforme la distancia aumenta; as´ı como, a mayores distancias de separaci´on, se incrementa la oscilaci´on en frecuencia. Las figuras D.10 y D.11, presentan los mismos resultados para un ´angulo de incidencia de θ0= 75o. ´unicamente se incluyen las distancias en las que se estudio dicho ´angulo, y se representan las curvas de θ0= 60opara realizar la comparaci´on. Se observa como para un ´angulo de 75olas oscilaciones son mucho menores que para incidencias m´as inclinadas; incluso para ondas SV todas las curvas presentan valores similares. Hay que tener en cuenta que los casos en los que se ha estudiado la incidencia de θ0= 75ocorresponden a D=λ, es decir, la mayor distancia de separaci´on en ambos tipos de estructuras; por lo que las oscilaciones que presenta son mucho menores que las correspondientes a distancias de separaci´on m´as peque˜nas. 137 DResultados obtenidos empleando una cimentaci´on de menor dimensi´on 0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 KI (u/uff) D=15 (h/b=2 λ/3) solo 1ed 2ed 3ed 0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 KI (u/uff) D=21.25 (h/b=2 λ/2) 0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 KI (u/uff) D=27.5 (h/b=5 λ/4) 0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 KI (u/uff) a0 D=36.25 (h/b=5 λ/3) onda SV D=43.75 (h/b=2 λ) D=55 (h/b=5 λ/2) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 a0 D=110 (h/b=5 λ) Figura D.8: Desplazamientos horizontales de los encepados para distintas distancias de separaci´on. Ondas SV con un ´angulo de incidencia de θ0= 60o. 138 DResultados obtenidos empleando una cimentaci´on de menor dimensi´on 0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 KI (u/uff) D=15 (h/b=2 λ/3) solo 1ed 2ed 3ed 0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 KI (u/uff) D=21.25 (h/b=2 λ/2) 0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 KI (u/uff) D=27.5 (h/b=5 λ/4) 0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 KI (u/uff) a0 D=36.25 (h/b=5 λ/3) onda SH D=43.75 (h/b=2 λ) D=55 (h/b=5 λ/2) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 a0 D=110 (h/b=5 λ) Figura D.9: Desplazamientos horizontales de los encepados para distintas distancias de separaci´on. Ondas SH con un ´angulo de incidencia de θ0= 60o. 139