Ecuaciones diferenciales con retardo: Aplicación a un modelo de quimiostato

Ecuaciones Diferenciales y An´alisis Num´erico Facultad de Matem´aticas Trabajo Fin de Grado Curso 2016-2017 Ecuaciones diferenciales con retardo: Aplicaci´on a un modelo de quimiostato Realizado por ´ Angeles Ruiz Gonz´alez Dirigido por Tom´as Caraballo Garrido yJos´e Antonio Langa Rosado Con amor a mis padres y a mis hermanos, en especial a mi hermano el mayor, Miguel ´ Angel, por la paciencia derrochada a lo largo de todos estos a˜nos. Agradecer, sin lugar a dudas, a mis magn´ıficos tutores Tom´as Caraballo Garrido y Jos´e Antonio Langa Rosado por ayudarme a crecer en todo y por creer en m´ı. Abstract In this work we will study the theory of dynamical systems with application to a chemostat. Starting with the autonomous models without delay where we will stop to analyze what happens in this model if we contemplate the possibility of having a microorganism or two. In each of these cases, we will see how the model behaves by taking also into account the wall growth. In the analysis of each model we will study the existence solutions, the stability and we will conclude with the existence of a global attractor. We continue with the non autonomous models without delay, where we will investigate the characteristics of this model with the same procedure. Summing up, these two blocks are needed to complete models with delay, where we will also see the characteristics of this model with growth of microorganisms with or without wall. This time, we will analyze the sign, the dimension of the solutions of the model and their stability. Nevertheless, we will not analyze the existence of the global attractor due to the complexity of the required techniques. Resumen En este trabajo vamos a profundizar sobre los sistemas din´amicos con aplicaci´on a un quimiostato. Comenzando por los modelos aut´onomos sin retardo, donde nos pararemos a analizar qu´e sucede en dicho modelo si contemplamos la posibilidad de tener un microorganismo o dos. En cada uno de estos casos veremos c´omo se comporta el modelo cuando hay o no crecimiento en pared. En el an´alisis de cada modelo veremos las soluciones, la estabilidad de las mismas, concluyendo con la existencia de atractor global. Continuamos con los modelos no aut´onomos sin retardo, donde indagaremos en las caracter´ısticas de este modelo con el mismo proceder. Estos dos bloques son necesarios para concluir con los modelos con retardo, en los cuales tambi´en veremos las caracter´ısiticas de este modelo con crecimiento de los microorganismos en pared o sin ella. En este caso, analizamos el signo, la acotaci´on de las soluciones del modelo y su estabilidad. A diferencia de los modelos anteriores, no llegamos a saber de la existencia del atractor global debido a la complejidad de las t´ecnicas requeridas. Cap´ıtulo 1 Introducci´on Figura 1.1: Imagen de un quimiostato natural, al aire libre. pueden ser los problemas de microorganismos gen´eticamente alterados [26, 27] y modelos de antibi´oticos [23]. En el modelo m´as simple de quimiostato, la disponibilidad de nutriente y su ratio de administraci´on se suponen fijados. Sin embargo, la disponibilidad de un nutriente en un sistema natural normalmente depende del ratio de consumo del nutriente y de la concentraci´on del mismo, lo que conduce a un sistema din´amico no aut´onomo. Otro supuesto b´asico en el modelo m´as simple de quimiostato es que el ratio de flujo sea suficientemente r´apido como para no permitir el crecimiento en las paredes del recipiente. Sin embargo, el crecimiento en la pared tiene lugar cuando el ratio de limpieza no es suficientemente r´apido, lo que da lugar a los problemas de bioreactores. Los estudios de los modelos de quimiostato tratados como sistemas din´amicos no aut´onomos est´an mucho m´as limitados hasta la fecha. Por ejemplo, Smith yThieme [24] introdujeron persistencia pr´actica para sistemas din´amicos no aut´onomos con el modelo m´as simple de quimiostato. Antes de resumir de lo que va a tratar el trabajo, vamos a hablar sobre la analog´ıa entre un quimiostato y un lago1, pues es una manera sencilla de entender mejor su funcionamiento. En efecto, los modelos de quimiostatos son usados extensamente para representar el 1Al final de este cap´ıtulo se adjunta un cuadro comparativo entre un quimiostato y el lago. ´ Angeles Ruiz Gonz´alez 8 crecimiento de especies en un lago donde los organismos, como por ejemplo pueden ser las algas, se alimentan de nutrientes con crecimiento limitado, como el nitr´ogeno y el f´osforo. La disponibilidad de un nutriente en un sistema natural como el de un lago depende de la afluencia de nutriente. Si lo aplicamos a nuestro ejemplo anterior, las algas sobreviven incluso con niveles muy bajos (casi indetectables) de nutrientes, en contra de la opini´on de que perecen debido a insuficiencias. Pero hay un crecimiento oscilatorio y bajo. Para representar este fen´omeno de crecimiento oscilatorio en las ecuaciones hay varias posibilidades de investigaci´on. En el primero de todos, se introducen una cantidad de nutrientes y un ratio de limpieza variables en el modelo, los cuales se asumen fijos en un principio, a pesar de que la disponibilidad de los nutrientes Iy tambi´en su ratio de aportaci´on Den un lago dependen de la estaci´on del a˜no en la que nos encontremos [4, 15, 25]. A continuaci´on, hemos variado los par´ametros IyDde forma peri´odica de acuerdo con el tiempo. Esto puede explicar el crecimiento oscilatorio y la coexistencia en caso de que hubiese competidores. Pero asumir periodicidad es muy sencillo, ya que la influencia puede variar continuamente durante una estaci´on concreta o puede mantenerse regulada. Es decir, los par´ametros IyDpueden variar sobre un ciclo o pueden estar fijados (constantes) o con variaciones marginales durante una parte espec´ıfica del ciclo. Por tanto, su influencia en el sistema debe entenderse para estaciones espec´ıficas o en periodos de tiempo. Figura 1.2: Imagen de un quimiostato de un ´unico recipiente; recipiente de cultivo. ´ Angeles Ruiz Gonz´alez 9 Cap´ıtulo 1 Introducci´on Otra posibilidad consiste en intentar introducir otros niveles tr´oficos2. As´ı, el modelo se modifica para incluir un nutriente, un microorganismo que se alimenta de tal nutriente, y los dos competidores se alimentan del microorganismo [5, 6, 7, 13, 17, 19, 20, 33]. Tambi´en est´a demostrado que hay coexistencia de todas las especies siempre que se establezca la presencia de ciclos l´ımite bajo condiciones apropiadas sobre los par´ametros, pero no es posible introducir un depredador3en un sistema cerrado tal como un quimiostato cuando estamos estudiando el crecimiento de un nutriente4s´olo. El modelo m´as b´asico con el que vamos a partir en este trabajo es el modelo aut´onomo sin retardo, sin pared y s´olo teniendo en cuenta un microorganismo. Tomando como variables xey, el nutriente y el microorganismo, respectivamente:        dx(t) dt =DI −Dx(t)−aU(x(t))y(t) dy(t) dt =aU(x(t))y(t)−Dy(t) donde: D(>0) : es el ratio de aportaci´on nutrientes y / eliminaci´on del medio. I(>0) : es la cantidad de nutriente disponible en el sistema. a(>0) : es el ratio de consumo m´aximo de nutrientes y de crecimiento de los microorg. U: es la funci´on de consumo U(x) = x m+x,con m > 0. A partir de ´el, sacamos soluciones y veremos propiedades sobre su signo, su acotaci´on seg´un las condiciones iniciales que tomemos; estabilidad, distinguiendo entre el equilibrio axial y los equilibrios positivos; finalizando el an´alisis del modelo con la existencia de un atractor global seg´un nos lo permita el modelo. 2Depredadores. 3Otro nivel tr´ofico. 4o un microorganismo o competidor ´ Angeles Ruiz Gonz´alez 10 Este trabajo est´a organizado en tres bloques fundamentales, claramente diferenciados; la primera parte5nos sumerge en el mundo de los modelos aut´onomos sin retardo; en la segunda6 profundizamos sobre los modelos no aut´onomos sin retardo; pasando por una tercera parte7 donde analizamos los modelos de los cap´ıtulos anteriores con retardo y aplic´andolos a un quimiostato. Concluyendo con tres ap´endices que nos ayudan a entender y aprofundizar en la teor´ıa utilizada en cada bloque. Figura 1.3: Imagen de un quimiostato al natural. El segundo cap´ıtulo est´a estructurado en tres secciones; en la primera se explican las nociones biol´ogicas necesarias sobre los quimiostatos y se construye un modelo que revela la din´amica que posee, en la segunda, introducimos al modelo un microorganismo m´as; en la tercera, vemos un modelo de quimiostato en el que tiene lugar el crecimiento de los microorganismos en la pared del recipiente donde se lleva a cabo la din´amica. En todas estas secciones estudiamos los puntos cr´ıticos o de equilibrio del modelo en cuesti´on, as´ı como la estabilidad de los mismos y la existencia de atractor global de ´este. El tercer cap´ıtulo est´a dividido en dos secciones; la primera nos permite hacer depender del ratio de consumo de nutriente Dcon respecto al tiempo; as´ı podremos estudiar el caso del modelo con o sin pared tratado en el cap´ıtulo 2; estudiando los puntos cr´ıticos, estabilidad y existencia del atractor global del sistema; en la segunda secci´on, de manera an´aloga, ahora permitimos, tanto en el modelo sin pared como en el con pared, que el par´ametro del ratio 5Cap´ıtulo 2. 6Cap´ıtulo 3. 7Cap´ıtulo 4. ´ Angeles Ruiz Gonz´alez 11 Cap´ıtulo 1 Introducci´on de concentraci´on de nutriente Itenga tambi´en dependencia temporal; analizando tambi´en dichos puntos cr´ıticos, estabilidad y existencia del atractor global. El cuarto cap´ıtulo est´a dividido en dos bloques bien diferenciados; el primero con el modelo m´as sencillo: el modelo sin pared; en el cual consideramos que posee un retardo variable y observamos su comportamiento; en el segundo introducimos retardos variables en el modelo con pared, donde tambi´en observamos su comportamiento. En ambos bloques, se estudiar´an los puntos cr´ıticos y estabilidad de los mismos, sin llegar a la existencia del atractor. Al final, para complementar las demostraciones de los cap´ıtulos, hemos decidido incorporar tres ap´endices correspondientes a cada uno de los bloques, colocados en el orden en el que se ha ido desarrollando la teor´ıa del trabajo. Con lo cual, comenzamos por A. Sistemas din´amicos aut´onomos, continuando por B. Sistemas din´amicos no aut´onomos y concluyendo con C. Sistemas din´amicos con retardo. Dichos ap´endices contienen m´as informaci´on que la estrictamente necesaria. Pues hemos cre´ıdo conveniente extenderlos y tener algo m´as completo, extendiendo nuestro aprendizaje. Uno de los objetivos de este trabajo, adem´as de extender la teor´ıa de sistemas din´amicos, es aplicarla a modelos reales y de gran impacto en el entorno de la Ciencia. Eg: Juegan un papel importante en estudios ecol´ogicos. Estos modelos se utilizan para procesos de tratamiento de aguas residuales. Puede considerarse como punto de partida para muchas variantes que cedan el paso a modelos m´as realistas: •Problemas de microorganismos gen´eticamente alterados. •Modelos de producci´on de antibi´oticos. •Modelos de fermentaci´on: vino, cerveza... Para concluir, veamos un cuadro comparativo entre un lago y el quimiostato, como anteriormente hab´ıamos anunciado: ´ Angeles Ruiz Gonz´alez 12 Propiedad Lago Quimiostato Nutriente Las especies en un lago reciben los nutrientes a trav´es de las corrientes que fluyen en/por la regeneraci´on durante la primavera. El nutriente se suministra a trav´es de una entrada puesta por el ser humano. Muerte Las especies se extinguen, ya que continuamente caen fuera de las capas luminosas a las capas inferiores de la columna de agua. El nutriente y la especie se lavan fuera del sistema a trav´es de una salida. Escasez de nutrientes Durante el verano no hay suficiente aportaci´on de nutrientes y debido a la sequ´ıa del lago, algunos nutrientes tales como f´osforo, nitr´ogeno o vitamina B12 est´an menos disponibles. La aportaci´on de uno o m´as nutrientes 8est´a controlada por el experimentador. Cuadro 1.1: Tabla comparativa entre un lago y el quimiostato. ´ Angeles Ruiz Gonz´alez 13 Cap´ıtulo 2 Modelo aut´onomo sin retardo 2.1. Inter´es del modelo en los quimiostatos Comenzamos con la relaci´on cl´asica que tiene lugar entre las matem´aticas y la biolog´ıa. Para ello comenzamos con uno de los problemas de origen como son los modelos Malthusianos y de Lotka-Volterra, entre otros. El modelo: x0(t) = rx(t), donde 0=d dt yres un coeficiente que refleja el ratio de crecimiento, describe el crecimiento exponencial de una poblaci´on xde individuos en cualquier instante de tiempo t. En el modelo tambi´en puede introducirse una constante de capacidad de carga del medio, k, como pudiera ser la comida, la luz, . . . ´ Estas toman el control sobre el crecimiento de las especies, y modifican dicho modelo: x0=rx 1−x k. Un modelo de Lotka-Volterra que describe la competici´on entre dos especies xey,depredadores, por la misma comida, presa,sin inteferencia viene dado por:        x0=rx 1−x k1 y0=ry 1−y k2. (2.1) Ahora, el modelo con interferencia, que var´ıa introduciendo dicho t´ermino de interferencia:       x0=rx 1−x k1−λ1y y0=ry 1−y k2−λ2x. (2.2) 15 Cap´ıtulo 2 Modelo aut´onomo sin retardo En estos modelos (2.1) y (2.2), tenemos dos constantes de capacidad de carga k1yk2y tambi´en dos constantes de interferecia λ1yλ2, todas ellas positivas. Es posible medir los coeficientes de interferencia que deciden el resultado de la competici´on s´olo cuando los organismos crecen juntos, es decir, mientras el experimento est´a siendo realizado. De esta forma, se descarta la posibilidad de anticipar el resultado del experimentos antes de llevarlo a cabo. Este es un inconveniente del modelo Lotka-Volterra. Adem´as, no hay representaci´on para el crecimiento de la comida1gracias a la cual la poblaci´on crece, debido a que se alimenta de ella. La inclusi´on de la ecuaci´on que describe el crecimiento de la fuente2nos permite predecir los cambios del crecimiento de la poblaci´on consumidora3. La importancia de los modelos de quimiostatos reside en la inclusi´on de la ecuaci´on que describe el crecimiento de la fuente junto con las ecuaciones que describen la competici´on entre los organismos que intervienen en la misma. ´ Esta misma observaci´on ha sido la que ha llevado a investigadores a estudiar ecuaciones de modelos de quimiostatos de forma intensiva. De esta forma, analizando las ecuaciones del modelo, el resultado de la competici´on que tiene lugar en un quimiostato se puede predecir, adem´as dichas predicciones pueden ser confirmadas a trav´es de experimentos. Llegados a este punto, podemos proceder a la construcci´on del modelo matem´atico. 2.2. Modelo con un microorganismo y con dos microorganismos 2.2.1. Principios basados en la biolog´ıa El primer modelo que vamos a tratar consiste en un microorganismo que se alimenta de un ´unico nutriente cuyo crecimiento es limitado. Vamos a denotar por xal nutriente (crecimiento acotado) y por y, al microorganismo que se alimentar´a del nutriente x. Para formular nuestro modelo necesitamos: * Todos los nutrientes, excepto x, se encuentran en total disponibilidad sin suplir la ausencia de x, si se diese el caso. 1Fuente o presa. 2Comida o presa. 3depredador ´ Angeles Ruiz Gonz´alez 16 2.2 Modelo con uno y dos microorganismos Figura 2.1: Recipiesnte de cultivo. * Contamos con una fuente externa desde la que el microorganismo yrecibe el nutriente xjunto con otros nutrientes. * El nutriente es administrado con un ratio. * El nutriente que ha sido aportado tiene una concentraci´on en el medio de crecimiento. * El nutriente es uniformemente distribuido en el medio de crecimiento, de tal forma que los microorganismos tiene igual acceso al nutriente disponible, esto es, no hay disparidad en la distribuci´on. * Si hay un excedente en el sistema donde el material que se encuentra en exceso, ya sean nutrientes, o bien microorganismos, y alg´un otro producto, es eliminado continuamente. Ahora enumeramos una serie de aspectos a tener en cuenta: 1. Los microorganismos consumen nutrientes continuamente y el ratio del consumo se mantiene constante. 2. El consumo posee una saturaci´on, es decir, la suplencia ilimitada de nutrientes no implica el consumo ilimitado de nutrientes por las especies. 3. El crecimiento de los microorganismos es proporcional al consumo de nutrientes. ´ Angeles Ruiz Gonz´alez 17 Cap´ıtulo 2 Modelo aut´onomo sin retardo Entonces, podemos deducir que para obtener un equilibrio positivo, el nivel de consumo debe alcanzar, al menos una vez, el valor D a, es decir, que ∃x∗∈(0,∞) tal que U(x∗) = D a. Tambi´en sabemos que U(x)≤L, para todo x∈(0,∞). Por tanto, (2.9) implica que D a≤Lque es una condici´on necesaria para la existencia de equilibrio positivo para (2.8). Si suponemos tambi´en que I > x∗entonces, como I=x∗+y∗, tenemos que x∗+y∗> x∗, de donde se deduce y∗>0 y x∗>0, con lo que (2.5) posee un equilibrio positivo denotado por (x∗, y∗). 2.2.5. An´alisis de estabilidad del modelo con un microorganismo En la secci´on anterior vimos los equilibrios que pose´ıa el sistema (2.5). Ahora nos disponemos a estudiar la estabilidad de cada uno de ellos. Antes de comenzar vemos que tendremos que trabajar en dos situaciones: * El equilibrio axial (I, 0), estable. Significa que los microorganismos ytienden a extinguirse. * Si buscamos conseguir la superviviencia de ambas variables xeydebemos establecer condiciones bajo las cuales el equilibrio (x∗, y∗) sea estable. El equilibrio (x∗, y∗) del sistema (2.5) ser´a globalmente asint´oticamente estable si toda soluci´on (x(t), y(t)) de (2.5), correspondiente a condiciones iniciales arbitrarias, satisface: l´ım t→∞ x(t) = x∗y l´ım t→∞ y(t) = y∗ Teorema 2.2.3 El equilibrio axial (I, 0) es globalmente asint´oticamente estable si se verifica la condici´on aL < D. Demostraci´on De la segunda ecuaci´on del sistema (2.5) se tiene: dy(t) dt =aU(x(t))y(t)−Dy(t). Ahora, como sabemos que U(x(t)) ≤L: dy(t) dt ≤aLy(t)−Dy(t)=(aL −D)y(t)<0, debido a que aL −D < 0, por hip´otesis. De esta forma, 0≤y(t)≤y(0)e(aL−D)t. ´ Angeles Ruiz Gonz´alez 24 2.2 Modelo con uno y dos microorganismos Tenemos que yes decreciente a cero, pues hemos visto que en virtud de que aL −D < 0, l´ım t→∞ y(t)=0. Veamos ahora que se tiene: l´ım t→∞ x(t) = I. Para ello, consideramos una funci´on vdada por: v(t) = x(t) + y(t). Derivando: v0=DI −Dx −  aU(x)y+  aU(x)y−Dy =DI −Dx −Dy =DI −D(x+y) = DI −DV. De esta forma, llegamos a la ecuaci´on diferencial lineal de primer orden v0=DI −DV , cuya soluci´on viene dada por: v= (v(0) −I)e−Dt +I. As´ı: l´ım t→∞ v(t) = l´ım t→∞[x(t) + y(t)] = l´ım t→∞ x(t) + *0 l´ım t→∞ y(t) = l´ım t→∞ x(t). Por otro lado: l´ım t→∞ v(t) = l´ım t→∞[(v(0) −I)e−Dt +I] = :0 l´ım t→∞(v(0) −I)e−Dt + l´ım t→∞ I=I. Entonces, concluimos que: l´ım t→∞ x(t) = I.  Teorema 2.2.4 El equilibrio positivo (x∗, y∗)de (2.5) es globalmente asint´oticamente estable, siempre que se verifique aL > D. La idea de la demostraci´on es similar a la del Teorema 2.2.6.6 Ahora hacemos uso directo de la funci´on de consumo que llevamos usando en este cap´ıtulo: U(x) = x m+x, 6Se ver´a posteriormente. ´ Angeles Ruiz Gonz´alez 25 Cap´ıtulo 2 Modelo aut´onomo sin retardo siendo mla constante de saturaci´on del medio, m > 0. Podemos reescribir nuestro sistema (2.5) como: dx dt =DI −Dx −ax m+xy, dy dt =ax m+xy−Dy. (2.10) Entonces un equilibrio positivo de (2.10) viene dado por: U(x∗) = x∗ m+x∗=D a.7Es decir, x∗ m+x∗=D a. Sacando factor com´un x∗nos queda: x∗=Dm a−D. Usando x∗+y∗=I, llegamos a: Dm a−D+y∗=I. Donde despejando y∗: y∗=I−Dm a−D. Luego, el equilibrio obtenido es: (x∗, y∗) = Dm a−D, I −Dm a−D. Ya hemos conseguido el conjunto de condiciones necesarias y suficientes para la existencia del equilibrio positivo para (2.10) es: a>DyI > x∗. Ahora bien, de I > x∗podemos deducir que: I > mD a−D, luego mD I< a −D, sacando factor com´un y tomando inversos obtenemos: I D(m+I)>1 a. Hemos obtenido una tercera condici´on que implica: a>D, debido a que I m+I<1 con lo que: D < aI m+I< a. Como contabamos con dos condiciones, a>DeI < x∗, y hemos probado que la segunda condici´on es equivalente a: D < aI m+I< a, 7Esto se debe al estudio que se ha hecho previamente para una funci´on de consumo gen´erica. En este punto, lo ´unico que se hace es particularizar lo anterior a la funci´on de consumo que estamos considerando. ´ Angeles Ruiz Gonz´alez 26 2.2 Modelo con uno y dos microorganismos y de ´esta hemos deducido la primera, entonces realmente la condici´on necesaria y suficiente para la existencia de equilibrios positivos para el problema tratado (2.10) viene dada por: D < aI m+I. Por lo tanto, los dos teoremas anteriores quedar´ıan modificados. Teorema 2.2.5 Supongamos a≤D, o bien, a > D ymD a−D≥I. Entonces: l´ım t→∞ x(t) = I, l´ım t→∞ y(t) = 0. Nota 2.1 Notemos que estas condiciones implican la no existencia de equilibrios positivos. La idea de la demostraci´on es similar a la que hemos hecho en el Teorema 2.2.6. En este caso podemos ilustrar la distinci´on de las zonas con una gr´afica: Figura 2.3: Distinci´on de zonas. Teorema 2.2.6 Supongamos a>DymD a−D< I. Entonces: l´ım t→∞ x(t) = x∗=mD a−D,l´ım t→∞ y(t) = y∗=I−x∗. Demostraci´on Consideramos la funci´on Vdada por: V(x, y) = 1 2(I−x−y)2+αy−y∗−y∗log y y∗. ´ Angeles Ruiz Gonz´alez 27 Cap´ıtulo 2 Modelo aut´onomo sin retardo Claramente tenemos que: V(x∗, y∗) = 1 2(I−x∗−y∗)2+αy∗−y∗−y∗log y∗ y∗= 0. As´ı, derivando Va lo largo de las soluciones del problema: dx dt =DI −Dx −ax m+xy dy dt =ax m+xy−Dy, (2.11) tenemos: ˙ V=−(I−x−y)DI −Dx −ax m+xy+ax m+xy−Dy +αaxy m+x−Dy −axy∗ m+x+Dy∗ =−(I−x−y)DI −Dx −a  x m+xy+a  x m+xy−Dy +α(y−y∗)ax m+x−D =−D(I−x−y)2+α(y−y∗)ax m+x−D =−D(x∗+y∗−x−y)2+α(y−y∗)ax m+x−D =−D([x−x∗]+[y−y∗])2+α(y−y∗)ax m+x−D= (~) Sabemos que: x∗=mD a−D, con lo que: (a−D)x∗=mD, entonces ax∗=Dx∗=mD, de donde: ax∗=D(m+x∗).Por tanto D=ax∗ m+x∗. De esta forma, continuamos la cadena de igualdades que dejamos en (~) como: ˙ V=−D([x−x∗]+[y−y∗])2+α(y−y∗)axm +  axx∗−amx∗−  axx∗ (m+x)(m+x∗) =−D([x−x∗]+[y−y∗])2+αam (m+x)(m+x∗)(y−y∗)(x−x∗). ´ Angeles Ruiz Gonz´alez 28 2.2 Modelo con uno y dos microorganismos Como sabemos que: D=ax∗ m+x∗=⇒D x∗=a m+x∗. Continuando la cadena de igualdades: ˙ V=−D([x−x∗]+[y−y∗])2+αDm x∗(m+x)(y−y∗)(x−x∗) =−D(x−x∗)2+ (y−y∗)2+ 2(y−y∗)(x−x∗)−αDm x∗(m+x)(y−y∗)(x−x∗) =−D(x−x∗)2+ (y−y∗)2+2−αm x∗(m+x)(y−y∗)(x−x∗). Nos hemos dado cuenta de que la ´ultima expresi´on es de la forma: AX2 1+BX1Y1+CY 2 1=: H(X1, Y1), con lo que ser´a definida positiva H(X1, Y1)⇔A > 0 y B2<4AC. De esta forma, para que nuestra Vsea definida negativa debe ocurrir que: 2−αm x∗(m+x)2 <4, desarroll´andolo: 4 + α2m2 x∗2(m+x)2−4αm x∗(m+x)<4⇔α2m2−4αmx∗(m+x) x∗2(m+x)2<0, es decir, α2m2<4αmx∗(m+x). En otras palabras tenemos que: αm < 4x∗(m+x)⇔αm x∗(m+x)⇔αm x∗(m+x)<4. De esta forma, ser´a Vdefinida negativa.  2.2.6. Existencia de atractor global del modelo con un microorganismo Consideramos el sistema (2.5) dado por: dx(t) dt =DI −Dx(t)−aU(x(t))y(t) dy(t) dt =aU(x(t))y(t)−Dy(t). ´ Angeles Ruiz Gonz´alez 29 Cap´ıtulo 2 Modelo aut´onomo sin retardo Notaci´on 2.2 Vamos a denotar de aqu´ı en adelante por u(t= 0) = u0a un dato inicial del sistema (2.5). Por otro lado, tambi´en denotaremos por u(t;u0)=(x(t, u0); y(t, u0)) a una soluci´on del sistema (2.5) y por S(t) al sistema din´amico o semigrupo de operadores que est´a definido por: S(t)u0=S(t)(x0, y0)=(x(t), y(t)) ≡u(t;u0). Consideremos Bc´omo un conjunto acotado a B⊂R2. De esta manera, ∃M > 0 tal que B⊂B(0; M), donde B(0; M) es la notaci´on de la bola de centro el origen y radio Men R2. Entonces, para todo dato inicial u0= (x0, y0)∈B, se tiene que |u0|2≤M2. Podemos definir entonces w(t) := x(t) + y(t); por tanto derivando w0(t) = x0(t) + y0(t). Sustituimos en el sistema (2.5): w0(t) = DI −DX − 0 z }| { ax x+my+ax x+my−Dy =DI −Dx −Dy =DI −Dw. Y con la condici´on inicial w(0) = x(0)+y(0) = x0+y0.Resolvemos el problema de Cauchy que nos ha quedado:        dw dt =−Dw +DI w(0) = w0=x0+y0. (2.12) Usando la demostraci´on del Teorema 2.2.1 tenemos que la soluci´on es: w(t) = Ce−Dt +I, C =x0+y0−I, como x(t), y(t)≥0, tenemos que: |S(t)u0|2=x2(t) + y2(t) ≤ |x(t) + y(t)|2 =|w(t)|2 ≤(Ce−Dt +I)2 = [(x0+y0)e−Dt +I−Ie−Dt]2 = [(x0+y0)e−Dt +I(1 −e−Dt)]2≤(∗). ´ Angeles Ruiz Gonz´alez 30 2.2 Modelo con uno y dos microorganismos La desigualdad de Young va a sernos muy ´util en los siguientes pasos que vamos a dar: 2ab ≤a2+b2. De ella, es f´acil deducir: (a+b)2≤a2+ (a2+b2) + b2= 2a2+ 2b2.(2.13) Por tanto, continuamos pues con la desigualdad anterior (∗): |S(t)u0|2≤2(x0+y0)2e−Dt + 2I2 ≤1 z }| { (I−e−Dt)2 ≤2(x2 0+y2 0)e2−Dt + 2I2 ≤4M2e−2Dt + 2I2. Denotamos por ρ2:= 1 + 2I2, como l´ım t→∞ 4M2e−2Dt = 0. Entonces ∃TB≥0 tal que ∀t≥TBse tiene 4M2e−2Dt ≤1. En efecto: 4M2e−2Dt ≤1⇔4M2≤e2Dt ⇔log(4M2)≤2Dt ⇔1 2Dlog(4M2)≤t, Por lo tanto, definimos: TB:= 1 2Dlog(4M2). Concluimos con que hemos demostrado que ∃un compacto, B(0, ρ), de tal forma que existe TB≥0 tal que ∀t≥TBse tiene |S(t)u0| ≤ ρ. Por lo tanto, ∃un compacto absorbente, con lo que existe un atractor global A. (Ver ap´endice A). √ 2.2.7. Modelo aut´onomo con dos microorganismos En el caso de tener dos microorganismos, el modelo es m´as sofisticado que el anterior. Pues ahora tenemos dos microorganismos y1,y2, que compiten por el mismo nutriente x. El modelo es de la siguiente forma:                    dx dt =DI −Dx −a1x m1+xy1−a2x m2+xy2 dy1 dt =a1x m1+xy1−Dy1 dy2 dt =a2x m2+xy2−Dy2. (2.14) ´ Angeles Ruiz Gonz´alez 31 Cap´ıtulo 2 Modelo aut´onomo sin retardo Las cantidades a1,a2son los ratios m´aximos espec´ıficos de crecimiento de ambos microorganismos y1,y2, tambi´en denominados los ratios de consumo, y las correspondientes constantes de saturaci´on de consumo del medio son m1ym2. Por analog´ıa a los apartados anteriores, obtenemos los puntos estacionarios o de equilibrio de este sistema (2.14). Haciendo el sistema igual a cero, claramente se obtiene como soluci´on inmadiata (I, 0,0), as´ı como otras soluciones no triviales: (x∗, y∗ 1,0), (x∗,0, y∗ 2). Las soluciones no triviales son las soluciones correspondientes al caso en el que el modelo s´olo posea un microorganismo, haciendo y=y1o bien y=y2, ambas ya est´an estudiadas. En el caso de querer encontrar los equilibrios positivos (x∗, y∗ 1, y∗ 2), debemos resolver el sistema: DI −Dx −a1x m1+xy1−a2x m2+xy2= 0 a1x m1+x−D= 0 a2x m2+x−D= 0, de donde obtenemos de la segunda y tercera ecuaci´on: a1x m1+x=D=a2x m2+x, quedando la primera ecuaci´on como : DI−Dx−Dy1−Dy2= 0, pudiendo quitar D. Quedando el siguiente sistema que nos dar´a los equilibrios positivos: I−x∗−y∗ 1−y∗ 2= 0 a1x∗ m1+x∗−D= 0 a2x∗ m2+x∗−D= 0, y obteniendo: x∗=Dm1 a1−D=Dm2 a2−D, y∗ 1+y∗ 2=I−x∗. As´ı, existir´a equilibrio positivo ⇔a1> D,a2> D,I > x∗. Para el estudio de la estabilidad en este caso, definimos unas nuevas cantidades de interferencias: λ1=m1D a1−D, λ2=m2D a2−D. Por analog´ıa con el caso de un microorganismo, tenemos un resultado para este modelo de dos microorganismos: ´ Angeles Ruiz Gonz´alez 32 2.2 Modelo con uno y dos microorganismos Teorema 2.2.7 Se verifican los siguientes resultados: 1oSi ai≤Dpara i= 1,2, ´o ai> D,i= 1,2eI < m´ın{λ1, λ2}, entonces cualquier soluci´on de (2.14) satisface: l´ım t→∞ x(t) = I, l´ım t→∞ y1(t)=0yl´ım t→∞ y2(t)=0. 2oSi ai> D,i= 1,2, y 0< λ1< λ2< I ´o 0< λ1< I < λ2, entonces cualquier soluci´on de (2.14) con datos iniciales positivos satisface: l´ım t→∞ x(t) = m1D a1−D≡λ1,l´ım t→∞ y1(t) = I−λ1yl´ım t→∞ y2(t) = 0. En el caso 0< λ2< λ1< I o0< λ2< I < λ1, entonces: l´ım t→∞ x(t) = λ2,l´ım t→∞ y1(t)=0 yl´ım t→∞ y2(t) = I−λ2. 3oSi ai> D yλ1=λ2=m1D a1−D, entonces: l´ım t→∞ x(t) = λ1yl´ım t→∞(y1(t) + y2(t)) = I−λ1. Demostraci´on 1oConsideramos la funci´on V, dada por V(x, y1, y2), como: V=x+y1+y2; Derivando Va lo largo de las soluciones del sistema tenemos que: ˙ V=DI −Dx −a1  xy1 m1+x−a2  xy2 m2+x+a1  xy1 m1+x−Dy1+a2  xy2 m2+x−Dy2 =DI −Dx −Dy1−Dy2 =DI −D(x+y1+y2) =DI −DV (t). As´ı, llegamos a ˙ V=−DV +DI, con lo que V= (V(0) −I)e−Dt +I, tal y como ya vimos en el Teorema 2.2.3. De esta forma: l´ım t→∞ V= l´ım t→∞[x(t) + y1(t) + y2(t)] = I. ´ Angeles Ruiz Gonz´alez 33 Cap´ıtulo 2 Modelo aut´onomo sin retardo 2.2.6, tenemos: ˙ V= (I−x−y1−y2)−DI +Dx +a1 x m1+xy1+a2 x m2+xy2 +(D−a1)x−λ1 m1+xy1+ (D−a2)x−λ2 m2+xy2 +α 2 X i=1 (ai−D)x−λ1 mi+xyi−y∗ i(ai−D)x−λi mi+x  yi 1 yi = (I−x−y1−y2)−DI +Dx + a1 x m1+xy1+ a2 x m2+xy2+Dx−λ1 m1+xy1 +Dx−λ2 m2+xy2+a1 λ1 m1+xy1+a2 λ2 m2+xy2− a1 x m1+xy1− a2 x m2+xy2 +α 2 X i=1 (yi−y∗ i)(ai−D)x−λi mi+x= (∗). Ahora bien, como sabemos que λi=miD ai−D, i = 1,2, entonces: Dx m1+xy1+Dx m2+xy2−Dλ1 m1+xy1−Dλ2 m2+xy2+a1 λ1 m1+x+a2 λ2 m2+xy2 = 2 X i=1 Dx mi+xyi+ (ai−D)miD (mi+x)(ai−D)yi = 2 X i=1 Dx mi+xyi+Dmi m1+xyi =D 2 X i=1 yi x+mi x+mi =D(y1+y2), entonces tenemos que: ˙ V= (I−x−y1−y2)(−DI +Dx +D(y1+y2)) + α 2 X i=1 (yi−y∗ i)(ai−D)x−λi mi+x. ´ Angeles Ruiz Gonz´alez 40 2.2 Modelo con uno y dos microorganismos Por lo tanto, nos centramos en la expresi´on: α 2 X i=1 (yi−y∗ i)(ai−D)x−λi mi+x =α 2 X i=1        (yi−y∗ i)(ai−D)x mi+x−(yi−y∗ i)(ai−D) Dmi ai−D mi+x       =α 2 X i=1 (yi−y∗ i)aix−Dx −Dmi mi+x =α 2 X i=1 (yi−y∗ i)aix mi+x−Dx mi+x−Dmi mi+x ai−D ai−D =α 2 X i=1 (yi−y∗ i)aix mi+x−Dx mi+x−(ai−D)x∗ mi+x =α 2 X i=1 (yi−y∗ i)(x−x∗)ai−D mi+x= (∗). Ahora bien, ai−D=aimi mi+x∗⇔ai−D=aimi mi+miD ai−D ⇔ ⇔ai−D=aimi mi(ai−D) + miD ai−D ⇔ai−D=aimi miai−  Dmi+  Dmi ai−D ⇔ ⇔ai−D=   aimi   aimi ai−D⇔ai−D=ai−D, llegando a que ai−D=aimi mi+x∗.Enlazando esto con la cadena de igualdades (∗): (∗) = α 2 X i=1 (yi−y∗ i)(x−x∗)aimi (mi+x)(mi+x∗). Por lo tanto, (∗) har´a que ˙ Vsea: ˙ V= (∗) = −D(I−x−y1−y2)2+α 2 X i=1 (yi−y∗ i)(x−x∗)aimi (mi+x)(mi+x∗). Sin embargo, sabemos que x∗=miD ai−Dyai−D=aimi mi+x∗. De esta forma: ´ Angeles Ruiz Gonz´alez 41 Cap´ıtulo 2 Modelo aut´onomo sin retardo x∗miD aimi mi+x∗⇔x∗=(mi+x∗)  miD ai  mi⇔ ⇔mi+x∗ ai =x∗ D⇔ai mi+x∗=D x∗; entonces a1 m1+x=D x∗=a2 m2+x∗.As´ı: ˙ V=−D(I−x−y1−y2)2+α 2 X i=1 miD mi+xx∗(x−x∗)(yi−y∗ i) =−D(I−x−y1−y2)2+αD x∗ 2 X i=1 mi mi+x(x−x∗)(yi−y∗ i) =−D(−I+x+y1+y2)2+αD x∗ 2 X i=1 mi mi+x(x−x∗)(yi−y∗ i) =−D(−x∗−y∗ 1−y∗ 2+x+y1+y2)2+αD x∗ 2 X i=1 mi mi+x(x−x∗)(yi−y∗ i) =−D[(x−x∗)+(y1+y2−y∗ 1−y∗ 2)]2+αD x∗ 2 X i=1 mi mi+x(x−x∗)(yi−y∗ i). Como mi mi+xes mon´otona creciente como funci´on de mi, y adem´as sabemos que es decreciente como funci´on de x, siendo: 0≤mi mi+x≤1,∀mi≥0, x ≥0, obteniendo: −D[(x−x∗)+(y1+y2−y∗ 1−y∗ 2)]2≤˙ V≤ −D[(x−x∗)+(y1+y2−y∗ 1−y∗ 2)]2+ +αD x∗(x−x∗)(y1+y2−y∗ 1−y∗ 2). √ Nos preguntamos ahora si la expresi´on: −D[(x−x∗)+(y1+y2−y∗ 1−y∗ 2)]2+αD x∗(x−x∗)(y1+y2−y∗ 1−y∗ 2) es definida negativa, por lo que tendr´ıamos que ˙ V < 0. Ahora bien: −D[(x−x∗)+(y1+y2−y∗ 1−y∗ 2)]2+αD x∗(x−x∗)(y1+y2−y∗ 1−y∗ 2) =−Dh(x−x∗)2+ (y1+y2−y∗ 1−y∗ 2)2+2−α x∗(x−x∗)(y1+y2−y∗ 1−y∗ 2)i. ´ Angeles Ruiz Gonz´alez 42 2.2 Modelo con uno y dos microorganismos Falta que veamos que (∆) es definido positivo, con: (∆) = h(x−x∗)2+ (y1+y2−y∗ 1−y∗ 2)2+2−α x∗(x−x∗)(y1+y2−y∗ 1−y∗ 2)i. Pero con el Teorema 2.2.6, ya sabemos que si α∈0,4m1D a1−Dentonces (∆) es definido positivo como quer´ıamos. Con lo cual concluimos nuestra demostraci´on.  Veamos que sucede con la existencia de atractor global. Estamos considerando el problema (2.14):                    dx dt =DI −Dx −a1x m1+xy1−a2x m2+xy2 dy1 dt =a1x m1+xy1−Dy1 dy2 dt =a2x m2+xy2−Dy2, como hicimos tambi´en el caso de un microorganismo, denotamos ahora por: u0= (x0, y1(t), y2(t)) al dato incial del sistema, y por u(t) = (x(t), y1(t), y2(t)) a la soluci´on del sistema (2.14). Al sistema din´amico o semigrupo de operadores lo denotamos tambi´en por S(t), est´a definido por: S(t)u0=S(t)(x0, y10, y20)=(x(t), y1(t), y2(t)) ≡u(t;u0). Volvemos a considerar como conjunto acotado a B⊂R3, entonces ∃M > 0 : B⊂ B(0; M), donde B(0; M) denota la bola unidad cuyo centro es el origen y tiene de radio M en R3. Con esto, para cualquier dato inicial u0= (x0, y10, y20)∈Bse tiene |u0|2≤M2. Definimos w(t) := x(t)+y1(t)+y2(t) y por tanto su derivada como: w0(t) := x0(t)+y0 1(t)+ y0 2(t). Sustituimos en el sistema (2.14) con la condici´on inicial w(0) := x(0) + y1(0) + y2(0) = x0+y10 +y20. Entonces, resolviendo el problema de Cauchy:      dw dt =Dw +DI w(0) = w0=x0+y10 +y20, tal y como vimos en el caso de un microorganismo, la soluci´on del problema de Cauchy es: w(t) = Ce−Dt +I C =x0+y10 +y20 −I. ´ Angeles Ruiz Gonz´alez 43 Cap´ıtulo 2 Modelo aut´onomo sin retardo Como sabemos que x(t), y1(t), y2(t)≥0 tendremos que: |S(t)u0|2=x2(t) + y2 1(t) + y2 2(t) ≤ |x(t) + y1(t) + y2(t)|2 =|w(t)|2 ≤(Ce−Dt +I)2 = [(x0+y10 +y20)e−Dt +I−Ie−Dt]2 ≤ |{z} Des.Y oung 2(x0+y10 +y20)2e−Dt + 2I2(1 −e−Dt)2 | {z } ≤1 por otro lado tenemos: (x0+y10 +y20)2=x2 0+y2 10 +y2 20 + 2y10y20 + 2x0y10 + 2x0y20 ≤ |{z} 2ab≤a2+b2 x2 0+y2 10 +y2 20 +y2 10 +y2 20 +x2 0+y2 10 +x2 0+y2 20 = 3(x2 0+y2 10 +y2 20) = 3|(x0, y10, y20)|2. Por tanto, podemos continuar con la desigualdad: |S(t)u0|2≤6|(x0, y10, y20)|2e−Dt + 2I2 ≤6M2e−2Dt + 2I2. Denotando ρ:= 1 + 2I2, y como: l´ım t→∞ 6M2e−2Dt = 0, entonces ∃TB≥0 tal que ∀t≥TB, se tiene: 6M2e−2Dt ≤1. En efecto: 6M2e−2Dt ≤1⇔6M2≤e2Dt ⇔log(6M2)≤2Dt ⇔1 2Dlog(6M2)≤t. Luego definimos como: TB:= 1 2Dlog 6M2. ´ Angeles Ruiz Gonz´alez 44 2.3 Modelo con crecimiento en pared Si recopilamos todo lo que tenemos, concluimos que hemos demostrado que existe un compacto B(0, ρ), de tal forma que existe TB≥0 tal que para todo t≥TB, se tiene |S(t)u0| ≤ ρ; por lo tanto existe un compacto absorbente, por lo que existe un atractor global que volveremos a denotar por A. 2.3. Modelo con crecimiento en pared Hemos estudiado modelos que s´olo ten´ıan en cuenta el crecimiento de un microorganismo o de dos pero s´olo teniendo en cuenta el medio de cultivo o medio de crecimiento. Es frecuente que los microorganismos no s´olo crezcan en el medio de crecimiento, sino que tambi´en en las paredes del recipiente en el que se encuentran. Esto se debe a la habilidad de los microorganismos para adherirse a las paredes del medio en el que se encuentran, o bien, a que el ratio de flujo no es suficientemente r´apido para limpiar y eliminar estos microorganismos del sistema. Podemos considerar la poblaci´on consumidora y(t), es un conjunto de dos categor´ıas de poblaciones, una en el medio de crecimiento, y1(t), y la otra sobre las paredes de dicho recipiente, y2(t). Estos individuos pueden modificar su categor´ıa en cualquier momento. Siendo r1yr2los ratios con los que las especies se adhieren o se despegan de las paredes, entonces r1y1(t) y r2y2(t) representan los t´erminos de especies que cambian su cateogor´ıa. Asuminos entonces que los nutrientes est´an distribuidos de manera equitativa para ambas categor´ıas y tambi´en asumimos que ambas categor´ıas consumen la misma cantidad de nutriente y con el mismo ratio. Cuando el ratio de flujo es bajo, los organismos pueden llegar a morir de forma natural antes de que el sistema los elimine, con lo que la limpieza del sistema deja de ser un principal factor de mortalidad. Denotamos como ν > 0 al coeficiente de mortalidad colectiva de y(t). 9 Por otro lado, cuando el ratio de flujo sigue siendo bajo, la biomasa muerta no se elimina del sistema, y ´esta a su vez est´a sujeta a una descomposici´on bacteriana, la cual produce una regeneraci´on del nutriente de manera inmediata. Luego, no se espera que el 100 % de la biomasa sea reciclada sino s´ola una peque˜na parte de ella, denotada por b∈(0,1). Cuando IyDson ambas constantes y no tenemos retardos en el sistema, el modelo se presenta como se describe en la din´amica de quimiostatos con crecimiento en pared. Y 9Representa factores como puede ser: enfermedades, edades. ´ Angeles Ruiz Gonz´alez 45 Cap´ıtulo 2 Modelo aut´onomo sin retardo nos damos cuenta de que s´olo y1(t) contribuye a ese material reciclado de la biomasa que est´a muerta en el medio. Adem´as, como los microorganismos que se encuentran adheridos a las paredes no se limpian del sistema, el t´ermino −Dy2(t) no se incluye en la ecuaci´on, el cual representa el crecimiento de y2(t). Todos los par´ametros que aparecen son los mismos que en el sistema (2.5)10 a diferencia de que 0 < c ≤areemplaza a acomo el ratio de crecimiento de las especies consumidoras. Entonces obtendremos el siguiente problema, siendo muy parecido al modelo de dos microorganismos:                dx dt =DI −Dx −ax m+xy1−ax m+xy2+bνy1 dy1 dt =−(ν+D)y1+cx m+xy1−r1y1+r2y2, dy2 dt =−νy2+cx m+xy2+r1y1−r2y2. (2.17) 2.3.1. Puntos estacionarios o de equilibrio En este caso los equilibrios del sistema (2.17) vuelven a salir de hacer cero dicho sistema, dando claramente una soluci´on trivial (I, 0,0). Sin embargo, si intentamos hacer el mismo procedimiento que hemos seguido hasta ahora para sacar los puntos estacionarios positivos no es posible encontrar dichos equilibrios. Veamos el porqu´e. Supongamos, sin p´erdida de generalidad, y2= 0, entonces la tercera ecuaci´on del sistema: DI −Dx −ax m+xy1−ax m+xy2+bνy1= 0 −(ν+D)y1+cx m+xy1−r1y1+r2y2= 0, −νy2+cx m+xy2+r1y1−r2y2= 0. (2.18) tenemos que r1y1= 0, siendo r1>0, con lo que deducimos que y1= 0 y por lo tanto x=I, y obtendr´ıamos el equilibrio (I, 0,0). Por el contrario, si suponemos que y1= 0, de la segunda ecuaci´on del sistema (2.18) tenemos r2y2= 0, siendo r2>0, con lo que deducimos que y2= 0 y entonces x=I, luego volvemos a obtener el mismo equilibrio (I, 0,0). Por lo tanto, (I, 0,0) es un equilibrio, trivial. 10Dicho sistema es el inicial, el sistema del modelo con un microorganismo sin crecimiento en pared del cap´ıtulo 2.2. ´ Angeles Ruiz Gonz´alez 46 2.3 Modelo con crecimiento en pared Ahora debemos buscar los equilibrios positivos. Pero antes de continuar, para facilitar el proceso vamos a hacer un cambio de variables: α(t) = y1(t) y1(t) + y2(t), z(t) = y1(t) + y2(t). Qued´andonos el sistema: dx dt =DI −Dx −ax m+xz+bναz dz dt =−νz −Dαz +cx m+xz dα dt =−Dα(1 −α)−r2α+r2(1 −α). (2.19) Donde la primera ecuaci´on se obtiene trivialmente al hacer el cambio, pero la segunda proviene de: z0=y0 1+y0 2 =−νy1−Dy1+cx m+xy1 0 z }| { −r1y1+r2y2+r1y1−r2y2−νy2+cx m+xy2 =−ν(y1+y2)−Dy1+cx m+x(y1+y2) =−νz −Dy1+cx m+xz. Como por definici´on de αtenemos que y1=α(y1+y2) = αz deducimos que: z0=νz +cx m+xz−Dαz. Finalizamos viendo de d´onde proviene la tercera ecuaci´on del sistema: α0=y0 1(y1+y2)−y1(y0 1+y0 2) (y1+y2)2 =y0 1y2+ 0 z }| { y0 1y1−y1y0 1−y1y0 2 (y1+y2)2 =y0 1y2−y1y0 2 (y1+y2)2. Adem´as como: y0 1y2=−(ν+D)y1y2+cx m+xy1y2−r1y1y2+r2y2 2, −y1y0 2=νy1y2−cx m+xy1y2−r1y2 1+r2y1y2. ´ Angeles Ruiz Gonz´alez 47 Cap´ıtulo 2 Modelo aut´onomo sin retardo Tenemos que: y0 1y2−y1y0 2= (y1+y2)2α0=−Dy1y2−r1(y1y2+y2 1) + r2(y2 2+y2y1). Concluyendo con: α0=−Dy1y2 (y1+y2)2−r1 y1y2+y2 1 (y1+y2)2+r2 y2 2+y2y1 (y1+y2)2. Pero nos damos cuenta que cada sumando puede expresarse de manera m´as sencilla porque: α(1 −α) = y1 y1+y21−y1 y1+y2=y1y2 y1+y2 y1y2+y2 1 (y1+y2)2=y1(y1+y2) (y1+y2)2=y1 (y1+y2)=α y2 2+y2y1 (y1+y2)2=y2(y1+y2) (y1+y2)2=y2 (y1+y2)= 1 −α. Por fin llegamos a la ecuaci´on diferencial para α: α0=−Dα(1 −α)−r1α+r2(1 −α), quedando as´ı justificadas todas las ecuaciones que forman el sistema (2.19). Para todas las soluciones positivas y1,y2de (2.19) se tiene que 0 < α(t)<1, por definici´on de α. Es m´as, si tomamos el intervalo (0,1) vemos que es una regi´on positivamente invariante para cualquier α(t) porque: α0|α=0 =r2>0 α0|α=1 =−r1<0. En cambio, la ecuaci´on que verifica αes independiente de xy de zy sus puntos de equilibrio son las soluciones de la ecuaci´on de segundo grado siguiente: −Dα(1 −α)−r1α+r2(1 −α) = 0. Resolvemos: α∗ ±=D+r1+r2±p(D+r1+r+2)2−4Dr2 2D, Podemos obtener dos soluciones, la positiva α∗ +que no pertenece al intervalo en cuesti´on y la negativa α∗ −que pertenece al (0,1). Adem´as su valor es mayor que el de la soluci´on ´ Angeles Ruiz Gonz´alez 48 2.3 Modelo con crecimiento en pared positiva. Porque: (D+r1+r2)2−4Dr2=D2+r2 1+r2 2−2r1r2+ 2Dr1+ 2Dr2−4Dr2= =D2+r2 1+r2 2−2r1r2+ 2Dr1−2Dr2> D2+r2 1+r2 2−2r1r2−2Dr1−2Dr2= = (D−(r1+r2))2= (D−r1−r2)2. Con lo que podremos comprobar lo dicho anteriormente. Pues: p(D+r1+r2)2−4Dr2>p(D−r1−r2)2=p(r1+r2−D)2=r1+r2−D. Haciendo un cambio de signo obtenemos: −p(D+r1+r2)2−4Dr2<−(r1+r2−D), equivalentemente: D+r1+r2−p(D+r1+r2)2−4Dr2< D +r1+r2−(r1+r2−D)=2D. En consecuencia, obtenemos α∗ −como: α∗ −=D+r1+r2−p(D+r1+r2)2−4Dr2 2D<2D 2D= 1. Comprobemos ahora que la soluci´on negativa efectivamente es mayor que la soluci´on positiva: p(D+r1+r2)2−4Dr2<p(D+r1+r2)2=D+r1+r2⇒ −p(D+r1+r2)2−4Dr2>−(D+r1+r2), llegando a: D+r1+r2−p(D+r1+r2)2−4Dr2> D +r1+r2−(D+r1+r2)=0. Luego: α∗ −>0 2D= 0. Deducimos seguidamente que α∗ +>1, pues: D+r1+r2−p(D+r1+r2)2−4Dr2 2D>1⇔p(D+r1+r2)2−4Dr2)> D −r1−r2, sabemos que equivalente a esta expresi´on tambi´en es cierta: (D+r1+r2)2−4Dr2>(D−+r1−r2)2. ´ Angeles Ruiz Gonz´alez 49 Cap´ıtulo 2 Modelo aut´onomo sin retardo Ahora bien, 0 < c ≤aentonces a c≥1 y b∈(0,1), entonces −b > −1, tenemos que a c(ν+D)−bν > 0. Podemos definir k:= m´ın na c(ν+D)−bν, aν co. Entonces w0≤DI − Dx −ky1−ky2. Ahora bk:= m´ın{D, k}. De esta forma w0≤DI −bkw. Usando la condici´on inicial w(0) = x0+y10 +y20, podemos sacar una cota superior para w(t) si resolvemos el problema de Cauchy que hemos formado:      dw dt ≤ −bkw +DI w(0) = w0=x0+y10 +y20. Multiplicando la EDO por un factor integrante eb kt e integrando en ambos lados, siendo t0≥0, −eb kt ≤ −1, obtenemos: eb ktw(t)−w(t0)≤Zt t0 DIeb kt ds =DI bk(eb kt −eb kt0)≤DI bk(eb kt −1). Por lo que w(t)≤Ce−b kt +DI bksiendo C=x0+y10 +y20 −DI bk. De esta manera, volviendo a usar la Desigualdad de Young y que x(t), y1(t), y2(t)≥0 llegamos a que: |S(t)u0| ≤ 2(x0+y10 +y20)2e−2b kt + 2 DI bk2 ≤1 z }| { (1 −e−2b kt)2. Adem´as, en la secci´on anterior vimos tambi´en que (x0+y10 +y20)2≤3|(x0, y10, y20)|2, lo que nos permite finalizar la cota: |S(t)u0|2≤1+2DI bk2 =: ρ2 porque l´ım t→∞ 6M2e−2b kt = 0.De tal forma que ∃TB≥0 tal que ∀t≥TB, 6M2e−2b kt ≤1.En efecto: 6M2e−2b kt ≤1⇔6M2≤e2b kt ⇔log(6M2)≤2bkt ⇔1 2bklog(6M2)≤t. Luego definimos como: TB:= 1 2bklog 6M2. En conclusi´on, hemos demostrado que existe un compacto B(0, ρ), de tal forma que existe TB≥0 tal que para todo t≥TB, se tiene |S(t)u0| ≤ ρ; por lo tanto existe un compacto absorbente, por lo que existe un atractor global que volveremos a denotar por A. ´ Angeles Ruiz Gonz´alez 56 Cap´ıtulo 3 Modelo no aut´onomo sin retardo 3.1. Ratio de consumo de nutriente variable En este cap´ıtulo vamos a estudiar el caso de un modelo de ratio de consumo de nutriente variable. Vamos a asumir que Dvar´ıa de forma continua en tiempo. Un ejemplo ser´ıa si cambiase de manera aleatoria o peri´odica en un intervalo acotado positivo D(t)∈(dm, dM) ∀t∈R. En el resto del cap´ıtulo trataremos en primer lugar el caso del modelo sin pared y concluiremos con el modelo con crecimiento en pared. Los resultados te´oricos sobre sistemas din´amicos no aut´onomos necesarios para desarrollar este cap´ıtulo est´an en el ap´endice B. 3.1.1. Modelo de crecimiento sin pared Para comenzar con este modelo necesitamos tomar Icomo constante positiva y variando en el tiempo D, resulta el sistema:          dx(t) dt =D(t)(I−x(t)) −ax(t) m+x(t)y(t) dy(t) dt =−D(t)y(t) + ax(t) m+x(t) (3.1) Lema 3.1.1 En las condiciones dadas anteriormente, para cualquier tiempo inicial t0∈R y cualesquiera condiciones iniciales x0, y0≥0, todas las soluciones del sistema (3.1) son no negativas y acotadas para todo t≥t0. Demostraci´on Los coeficientes son continuamente diferenciables para x, y ≥0. En particular, el t´ermino no lineal axy m+x=ay 1−m m+xes no negativo y acotado por la funci´on lineal,ay, en el cuadrante 57 Cap´ıtulo 3 Modelo no aut´onomo sin retardo positivo. En efecto, aymson constantes positivas y x, y ≥0, con lo que el t´ermino no lineal es no negativo; adem´as, sabemos que x(t) m+x(t)≤1 con lo que: axy m+x≤ay, en el primer cuadrante, por ser x, y ≥0. Esto nos asegura la existencia yunicidad de soluciones para todo tiempo que permanezca en el primer cuadrante. En virtud de la segunda ecuaci´on del sistema (3.1) y del hecho de que x(t) m+x(t)≤1 tenemos: dy(t) dt =−D(t)y(t) + ax(t) m+x(t)y(t) ≤ −D(t)y(t) + ay(t)=(a−D(t))y(t). De esta forma, si resolvemos la inecuaci´on diferencial resultante obtenemos que: y(t)−y(t0)≤Zt t0 (a−D(s))y(s)ds ≤(a−dm)Zt t0 y(s)ds. Por lo tanto, y(t)≤y(t0)+(a−dm)Zt t0 y(s)ds. Aplicando el Lema de Gronwall, obtenemos como consecuencia que: 0≤y(t)≤y(t0)e(a−dm)(t−t0). Entonces y(t) est´a definida para cual instante de tiempo y, por tanto, efectivamente, tenemos existencia de soluci´on. La unicidad del problema la tenemos gracias a la teor´ıa b´asica de ecuaciones difereciales ordinarias. Por continuidad de soluciones, con la condici´on inicial x(t0) = x0>0, tenemos que x(t) puede tomar valores negativos, pero antes ha tenido que tomar el valor 0, pero: dx dt x=0 =D(t)I > 0, con lo que x(t) no puede tomar esos valores negativos mencionados previamente. Con la condici´on inicial y(t0) = y0>0, existe t1> t0tal que y(t)>0 en [t0, t1]. Adem´as, para t∈[t0, t1]: y(t) = y0eZt t0−D(s) + ax(s) m+x(s)ds . ´ Angeles Ruiz Gonz´alez 58 3.1 Ratio de consumo de nutriente variable Debido a la unicidad de soluci´on y(t) es no negativa para todo t≥t0. Sumando las ecuaciones del sistema (3.1) deducimos inmediatamente que cuando x(t) + y(t)≥Ientonces I≤x(t) + y(t)≤x0+y0. De forma an´aloga, cuando x(t) + y(t)≤Itendremos 0 ≤x(t) + y(t)≤I. Luego 0 ≤ x(t) + y(t)≤m´ax{x0+y0, I}, con lo que x(t) y y(t) est´an acotadas.  Veamos ahora el comportamiento de las soluciones del sistema (3.1) a largo plazo. Espec´ıficamente, estableceremos condiciones bajo las cuales el atractor es una soluci´on completa oun ´unico punto.1 Teorema 3.1.1 Supongamos que D:R→[dm, dM], donde 0< dm< dM<∞, es continua. Entonces el sistema (3.1) tiene un atractor pullback A={A(t) : t∈R}en el cuadrante positivo R2 +:= {(x, y)∈R2:x≥0, y ≥0}. Adem´as, i) Si a<dmel equilibrio axial (I, 0), es asint´oticamente estable en el cuadrante positivo y el atractor pullback Atiene una ´unica componente que es el subconjunto A(t) = {(I, 0)} para todo t∈R. ii) Si lo que sucede es que: a > 1 + m IdM, entonces el atractor pullback Atambi´en contiene soluciones estrictamente dentro del cuadrante positivo, adem´as del punto (I, 0). iii) Cuando tenemos la hip´otesis de ii) y tambi´en: dm< a < dm(mdm+dMI)2 (mdm+dMI)2−mId2 m , el atractor pullback Aest´a formado por el punto de equilibrio axial (I, 0) y una soluci´on completa ξ∗que est´a uniformemente acotada fuera de los ejes, as´ı como soluciones completas heterocl´ınicas entre ellas, es decir, sus componentes para todo t∈Rson: A(t) = {(x, y)∈R2 +:x+y=I;ξ∗(t)≤x≤I}. 1Notemos que (I, 0) es el ´unico equilibrio del sistema para todos los valores de los par´ametros. Otras soluciones atrayentes no ser´an puntos de equilibrio. ´ Angeles Ruiz Gonz´alez 59 Cap´ıtulo 3 Modelo no aut´onomo sin retardo Demostraci´on Definamos w(t) = x(t) + y(t). Sumando las ecuaciones del sistema (3.1) obtenemos: dw(t) dt =D(t)I−D(t)x(t)−D(t)y(t)− 0 z }| { ax(t)y(t) m+x(t)+ax(t)y(t) m+x(t) =D(t)(I−w(t)). Esta ecuaci´on ordinaria posee un equilibrio dado por D(t)(I−w∗) = 0, que incluso cuando D(t) no es constante, el equilibrio sigue siendo I=w∗. Veamos ahora que es atrayente, tanto en el sentido pullback como en el forward. Sea w0:= w(t0) = x(t0) + y(t0), x(·), y(·) denotan la soluci´on del sistema (3.1) con datos iniciales (t0; (x0(t0), y0(t0))). Resolviendo la EDO: dw(t) dt =D(t)(I−w(t)), aplicando la f´ormula general de soluci´on para la resoluci´on de EDOS obtenemos : w(t) = w0e −Zt t0 D(s)ds +I, convergente a I en dos situaciones: (1) cuando t0→ −∞, tomando tfijo, (2) t→ ∞, estando t0fijo, ya que 0 ≤e −Zt t0 D(s)ds ≤e−dm(t−t0)→0 en ambos casos. Gracias al Lema 3.1.1 se tiene que, ∀ε > 0, el conjunto compacto no vac´ıo Bε:= {(x, y)∈R2 +:x+y≤I+ε}es positivamente invariante y absorbente en R2 +. Luego el sistema din´amico no aut´onomo en R2 +generado por el sistema (3.1) tiene un atractor pullback A={A(t) : t∈R}que est´a formado por subconjuntos compactos no vac´ıos de R2 +. Hay tres casos que se distinguen en dicho teorema y que ofrecen mucha m´as informaci´on sobre la estructura del atractor pullback: ´ Angeles Ruiz Gonz´alez 60 3.1 Ratio de consumo de nutriente variable Figura 3.1: Representaci´on gr´afica del conjunto Bε. (1) Debido a que w(t) = x(t) + y(t) tiende a Icuando t→ ∞ en el cuadrante positivo, es suficiente considerar puntos (x, y) sobre la recta x+y=Ique est´an en el primer cuadrante positivo. Como x(t) satisface la ecuaci´on correspondiente del sistema (3.1) con y(t) = I−x(t)>0, tenemos: dx(t) dt = (I−x(t)) D(t)−ax(t) m+x(t)). Adem´as tenemos x(t) + y(t) = I, luego dx(t) dt = (I−x(t)) D(t)−ax(t) m+x(t). Si dm> a,D≤dMyx(t) m+x(t)≤1, tenemos que: D−ax(t) m+x(t)≥D−a≥dm−a. Por tanto, dx(t) dt ≥(dm−a)(I−x(t)) >0, siempre que x(t)6=I. Como: m > 0; ax(t) m+x(t)≤a, para x≥0 entonces x(t) crece a Iey(t) decrece a 0 a lo largo de la recta. Es m´as, como dm> a,D≤dmtenemos D≤dm≤ −a, llegando entonces a que: dy(t) dt =−D(t)y(t) + ax(t) m+x(t)y(t)<−ay(t) + ay(t) = 0. ´ Angeles Ruiz Gonz´alez 61 Cap´ıtulo 3 Modelo no aut´onomo sin retardo Significa que y(t) es decreciente a 0. Por lo que todas las soluciones en el cuadrante positivo convergen hacia (I, 0) asint´oticamente. √ (2) Sea 0 < ε1< I suficientemente peque˜no; entonces tenemos aε1 m+ε1 < dmy cogiendo la informaci´on proporcionada por la primera ecuaci´on del sistema (3.1) sabemos que: dx(t) dt =D(t)−aε1 m+ε1(I−ε1) ≥dm−aε1 m+ε1(I−ε1) >aε1 m+ε1−aε1 m+ε1(I−ε1)=0. Tambi´en, gracias a la segunda ecuaci´on del sistema (3.1): dx(t) dt ≥(dm−a)(I−x(t)) >0, con lo que al restringirla a y=I−ε1llegamos a que: dy(t) dt y=I−ε1 =−D(t)−aε1 m+ε1(I−ε1). Ahora como I−ε1>0 y D(t)−aε1 m+ε1 >0, nuestra restricci´on es negativa, dy(t) dt y=I−ε1 <0. En este segundo caso, el atractor est´a formado por los subconjuntos A(t) = {(I, 0)}y tambi´en es asint´oticamente estable en sentido forward y en el sentido atrayente pullback. Por analog´ıa, por (ii) implica que dM< a y se tiene para 0 < ε2< I−ε1suficientemente peque˜no: a(I−ε2) m+I−ε2 > dM. De esta manera, de la primera ecuaci´on del sistema (3.1) obtenemos: dx(t) dt x=I−ε2≤dM−a(I−ε2) m+I−ε2ε2<0, gracias a la segunda ecuaci´on del sistema (3.1): dy(t) dt y=ε2≥−dM+a(I−ε2) m+I−ε2ε2>0. ´ Angeles Ruiz Gonz´alez 62 3.1 Ratio de consumo de nutriente variable Figura 3.2: Representaci´on gr´afica del conjunto Bε1,ε2. Con estos dos resultados, vemos que el subconjunto compacto Bε1,ε2:= {(x, y)∈R2 +: x+y=I, ε1≤x≤I−ε2}es positivamente invariante y absorbente para el sistema (3.1), restringido a la recta invariante x+y=Ien el cuadrante positivo. De esta forma, la teor´ıa de sistema no aut´onomos2asegura que existe un atractor pullback Ares ={Ares(t) : t∈R}en Bε1,ε2. Como la recta invariante es asint´oticamente atrayente para el sistema en todo el cuadrante positivo, es una variedad estable, Aes el atractor pullback para este sistema sin restringir. Y esto incluye la soluci´on de equilibrio axial (I, 0) y los subconjuntos A(t) = {(x, y) : x+y=I, ξ∗(t)≤x≤I},t∈R, en R2 +, donde (ξ∗(t), I −ξ∗(t)) es la soluci´on completa acotada y estrictamente positiva con los valores de xm´as peque˜nos. Por otro lado, podemos expandir Bε1,ε2hasta incluir una peque˜na banda que cubra a la recta invariante y tambi´en demostrar que este conjunto es absorbente para el sistema sin restringir. √ (3) Todas las soluciones del sistema (3.1) igualadas a cero con 0 ≤x≤Isatisfacen dmI− dMx(t)−aI ≤dx(t) dt ≤dMI−dmx(t). En efecto, de la primera ecuaci´on obtenemos que: dx(t) dt (I−x(t)) D(t)−ax(t) m+x(t)≥dmI−dMx(t)−aI, 2Ap´endice B ´ Angeles Ruiz Gonz´alez 63 Cap´ıtulo 3 Modelo no aut´onomo sin retardo y de la segunda dx(t) dt ≤dMI−dmx(t). Implicando que: (dm−a)I dM≤x(t)≤dMI dm .(3.2) Si consideramos la inecuaci´on dx(t) dt ≤dMI−dmx(t), la multiplicamos por un factor integrante edmte integramos, obtenemos: x(t)≤x(0)e−dmt+dMI dm (1 −e−dmt), tal y como vimos en la demostraci´on de existencia de atractor global del cap´ıtulo anterior, podemos acotar: x(t)≤Ie−dmt+dMI dm (1 −e−dmt)−→ −dMI dm , para un tsuficientemente grande. En consecuencia, x(t)≤dMI dm . Tratando exactamente igual la inecuaci´on: dx(t) dt ≥dmI−dMx(t)−aI, s´olo que ahora teniendo en cuenta x(0) ≥0 obtenemos x(t)≥(dm−a)I dM , tal y como quer´ıamos. De esta manera, por una parte suponiendo que aI > (I+m)dMtenemos que dmI− dMx(t)−aI < 0; por otra parte dMI−dmx(t) = dM(I−x(t)) + (dM−dm)x(t)>0. Entonces, para cualesquiera dos soluciones del sistema x1(t) y x2(t) de ∆(t) := x1(t)− x2(t), se satisface: ∆(t) dt =dx1(t) dt −dx2(t) dt = (I−x1(t)) D(t)−ax1(t) m+x1(t)−(I−x2(t)) D(t)−ax2(t) m+x2(t) =−D(t)(x1(t)−x2(t)) −aI x1(t)(m+x2(t)) −x2(t)(m+x1(t)) (m+x1(t))(m+x2(t)) +ax2 1(t)(m+x2(t)) −x2 2(t)(m+x1(t)) (m+x1(t))(m+x2(t)) =−D(t)∆(t)−aI m (m+x1(t))(m+x2(t))∆(t) +am(x1(t) + x2(t)) + x1(t)x2(t) (m+x1(t))(m+x2(t)) ∆(t), ´ Angeles Ruiz Gonz´alez 64 3.1 Ratio de consumo de nutriente variable pues (m(x1(t) + x2(t)) + x1(t)x2(t))∆(t) = mx2 1(t)−mx2 2(t) + x2 1(t)x2(t)−x1(t)x2 2(t). Adem´as, por (3.2) obtenemos: xI(t)≤dMI dm , i = 1,2, por lo tanto: −amI (m+x1(t))(m+x2(t)) ≤ − amI m+dMI dm2, con lo que m(x1(t) + x2(t)) + x1(t)x2(t)<(m+x1(t))(m+x2(t)). Por tanto: d∆(t) dt <−dm∆(t)−amI m+dMI dm2∆(t) + a∆(t), siempre y cuando tengamos dm+amI m+dMI dm2> a, cuando t→ ∞entonces ∆(t)→0. En efecto, a < dm+amId2 m d2 mm2+d2 MI2+ 2mdMdmI, operando, podemos concluir que: a < dm(d2 mm2+d2 MI2+ 2mdMdmI) d2 mm2+d2 MI2+ 2mdMdmI−mId2 m . Esto se cumple si a<dmcomo en el primer caso (1). Sin embargo, puede tambi´en cumplirse que si aes ligeramente mayor que dm, entonces el l´ımite pullback para condiciones iniciales estrictamente positivas del sistema escalar de los equilibrios es uniformemente estrictamente contractivo en (0, I) y existe una soluci´on completa ξ∗(t)∈(0, I) que es asint´oticamente estable en el sentido forward usual. El correspondiente atractor pulback A1de este sistema en [0, I] incluye el equilibrio Iy los conjuntos A1(t) = [ξ∗(t), I], para cada t∈R. En otras palabras, incluye las trayectorias heterocl´ınicas que unen los equilibrios ξ∗(t) eI. Para el sistema 2−dimensional (3.1) el atractor pullback Aest´a formado por los conjuntos A(t) = {(x, y) : x+y=I;ξ∗(t)≤x≤I}en R2 +, para t∈R.  ´ Angeles Ruiz Gonz´alez 65 Cap´ıtulo 3 Modelo no aut´onomo sin retardo Din´amica global de x(t)yz(t) Supongamos que α∗(t) es la ´unica soluci´on completa del atractor pullback de la EDO de Ricatti que aparece en la tercera ecuaci´on del sistema (3.7). Entonces α∗(t)∈[γ∗, β∗]⊂(0,1) para todo t∈R. Adem´as, para tsuficientemente grande tenemos que x(t) y z(t) satisfacen: dx(t) dt =D(t)(I−x(t)) −ax(t) m+x(t)z(t) + bνα∗(t)z(t), dz(t) dt =−νz(t)−D(t)α∗(t)z(t) + cx(t) m+x(t)z(t). (3.10) El sistema (3.10) tiene un equilibrio (I, 0). Por lo tanto (I, 0, α∗(t)) puede considerarse como un equilibrio no aut´onomo del sistema (3.7). Teorema 3.1.2 Supongamos que D:R→[dm, dM], con 0< dm< dM<∞, es continua, a≥c,b∈(0,1) yν > 0. Entonces, el sistema (3.10) tiene un atractor pullback A={A(t) : t∈R}dentro del cuadrante positivo. Adem´as, (i) Cuando ν+dmγ∗> c, el equilibrio axial (I, 0) es asint´oticamente estable en el cuadrante positivo y el atractor pullback Atiene una ´unica componente A(t) = {(I, 0)}para todo t∈R. (ii) Cuando: ν+dMβ∗<cdmI m(a−c+ν+dM−bνβ∗) + dmI el atractor pullback Atambi´en contiene puntos estrictamente dentro del cuadrante positivo, adem´as del punto {(I, 0)}. Demostraci´on (i) Cuando ν+dmγ∗≥c,z(t) satisface: dz(t) dt =−ν+D(t)α∗(t)−cx(t) m+x(t)z(t), donde: ν+D(t)α∗(t)−dx(t) m+x(t)> ν +dmγ∗−c≥0. As´ı, z(t) decrece a 0 a medida que ttiende a infinito. Como consecuencia tenemos que x(t) satisface dx(t) dt =D(t)(I−x(t)) para valores grandes de t. Entonces: x(t) = x(t0)e −Zt t0 D(s)ds +I, ´ Angeles Ruiz Gonz´alez 72 3.1 Ratio de consumo de nutriente variable que converge a Icuando t→ ∞ ot0→ −∞. Adem´as, en vista de la definici´on de la transformaci´on α, no es posible que z= 0 aunque este sistema tenga un equilibrio an´alogo (I, 0,0) en sus variables (x, y1, y2). √ (ii) Sea u(t) := x(t) + z(t), entonces: du(t) dt =dx(t) dt +dz(t) dt =D(t)(I−x(t)) −ax(t) m+x(t)z(t) + bνα∗(t)z(t) −νz(t)−D(t)α∗(t)z(t) + cx(t) m+x(t)z(t) =D(t)(I−x(t)) + (c−a)x(t) m+x(t)z(t) +bνα∗(t)z(t)−νz(t)−D(t)α∗(t)z(t). Por un lado, como c≤a, entonces: du(t) dt ≤D(t)(I−x(t)) −(ν+D(t)α∗(t)−bνα∗(t))z(t). Como 0 < α∗(t)<1y0< b < 1, entonces ν−bνα∗(t)> ν −bν > 0. Por un lado tenemos: du(t) dt < D(t)I−D(t)x(t)−D(t)α∗(t)z(t) < D(t)I−D(t)α∗(t)u(t) ≤dMI−dmγ∗u(t). Por otro lado: x(t) m+x(t)≤1y c ≤a, con lo que (c−a)x(t) m+x(t)≥(c−a), porque c−a≤0. De esta manera, como 0 < α∗(t)<1 y α∗(t)∈[γ∗, β∗], se tiene: du(t) dt ≥D(t)(I−x(t)) −(a−c+ν+D(t)α∗(t)−bνα∗(t))z(t) ≥D(t)I−D(t)x(t)−(a−c+ν+D(t)−bνβ∗(t))z(t). Podemos comprobar adem´as que −D(t)x(t)>−ax(t) + cx(t)−νx(t)−D(t)x(t) + bνβ∗x(t), pues −ax(t) + cx(t) = (c−a)x(t)≤0, con lo que: du(t) dt ≥dmI−(a−c+ν+dM−bνβ∗)u(t). ´ Angeles Ruiz Gonz´alez 73 Cap´ıtulo 3 Modelo no aut´onomo sin retardo Ahora, veamos que tenemos unas cotas superiores e inferiores para u(t): q1I:= dmI a−c+ν+dM−bνβ∗< u(t)<dMI dmγ∗=: q2I. (3.11) Notemos que q1<1 y q2>1. Para la primera de las desigualdades, comenzamos demostrando que: dm a−c+ν+dM−bνβ∗<1≡a−c+ν+dM−bνβ∗> dm. Como c≤a, 0 < b < 1, 0 < β∗<1, tenemos: a−c+ν+dM−bνβ∗> c +ν+dM−ν =a−c+dM≥dM≥dm, con lo que q1<1. √ Para demostrar ahora que q2>1, basta con tener en cuenta que 0 < γ∗<1; as´ı, dmγ∗< dm≤dM, entonces q2>dM dM = 1. Para ε > 0, definimos Tεcomo el trapezoide: Tε:= {(x, z)∈R2 +:x≥ε, z ≥ε, q1I≤x+z≤q2I}, entonces Tεes absorbente. Demostremos que es invariante. Figura 3.3: Representaci´on gr´afica del conjunto Tε. En primer lugar, notamos como fa la funci´on: f(x) = ax m+x,(3.12) ´ Angeles Ruiz Gonz´alez 74 3.1 Ratio de consumo de nutriente variable es creciente en [0,+∞); para ε > 0 suficientemente peque˜no, tenemos aε m+x< bνγ∗. Por tanto: dx(t) dt x=ε =D(t)(I−ε) + bνα∗(t)−aε m+εz(t)>0.(3.13) En segundo lugar, la soluci´on: ν+dMβ∗<cdmI m(a−c+ν+dM−bνβ∗) + dmI≡ν+dMβ∗<cq1I m+q1I. En efecto, q1=dm a−c+ν+dM−bνβ∗, con lo que: cq1I m+q1I=cIdm m(a−c+ν+dM−bνβ∗) + dMI. As´ı, para ε > 0 suficientemente peque˜no, tenemos: dz(t) dt z=ε =−ν−D(t)α∗(t) + cx(t) m+x(t)ε >−ν−dMβ∗+cq1I−ε m+q2I−ε>0. (3.14) Las desigualdades (3.13), (3.14) junto con: d(x(t) + z(t)) dt x+z=q1I >0d(x(t) + z(t)) dt x+z=q2I <0 (3.15) aseguran la invariancia positiva del conjunto compacto Tεy la existencia de un atractor pullback A={A(t) : t∈R}en Tε.√ Vamos a demostrar, para concluir la demostraci´on, las desigualdades (3.15). Por un lado: du(t) dt u=q1I > dmI−(a−c+ν+dM−bνβ∗)q1I =I[dm−(a−c+ν+dM−bνβ∗)q1] =I[dm−dm]=0. (3.16) De esta forma: x(t) + z(t) dt x+z=q1I =du(t) dt u=q1I >0. An´alogamente tenemos la segunda desigualdad: du(t) dt u=q2I < dMI−dmγ∗q2I=I(dM−dmγ∗q2) =I(dM−dM dmγ∗ dmγ∗) = 0 ´ Angeles Ruiz Gonz´alez 75 Cap´ıtulo 3 Modelo no aut´onomo sin retardo con total analog´ıa: d(x(t) + z(t)) dt x+z=q2I =du(t) dt u=q2I <0  Desafortunadamente, en esta ocasi´on no somos capaces de obtener la existencia de una soluci´on completa estable que atraiga a todas las soluciones completas positivas como se hizo en el caso del modelo sin crecimiento en pared. 3.2. Ratio de concentraci´on de nutriente variable Vamos a estudiar el caso en el que el ratio de consumo de nutriente es constante, pero el ratio de concentraci´on del mismo es variable. Aqu´ı vamos a suponer que el ratio de concentraci´on de nutriente Ipuede variar de forma continua con el paso del tiempo, por lo que denotaremos por I(t). De forma similar a como hemos hecho en la anterior secci´on, suponemos que I est´a acotada con valores positivos. En particular, I(t) ∈[im, iM] para todo t∈R, donde 0< im< iM<∞. En el resto de esta secci´on trataremos primero sobre el modelo sin pared y concluiremos introduciendo crecimiento en pared.3 3.2.1. Modelo de crecimiento sin pared Consideramos un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias:          dx(t) dt =D(I(t)−x(t)) −ax(t) m+x(t)y(t) dy(t) dt =−Dy(t) + ax(t) m+x(t)y(t). (3.17) Sea w(t) := x(t) + y(t). Entonces: dw(t) dt =D(I(t)−w).(3.18) Esta ecuaci´on no tiene equilibrios cuando I(t) no es constante, pero tiene un equilibrio no aut´onomo no trivial. De hecho, es una soluci´on especial que se construye usando una 3Debido a la anal´ogia de esta secci´on con la anterior, en las demostraciones de los teoremas omitiremos algunos detalles. ´ Angeles Ruiz Gonz´alez 76 3.2 Ratio de concentraci´on de nutriente variable t´ecnica pullback4: w(t) = w(t0)e−D(t−t0)+De−D(t−t0)Zt t0 I(s)eD(s−t0)ds =w(t0)e−D(t−t0)+De−Dt Zt t0 I(s)eDs ds, converge a: w∗(t) = De−Dt Zt t0 I(s)eDs ds, cuando t0→ −∞ y cuando t→ ∞, es decir, l´ım t→∞ |w(t)−w∗(t)|= l´ım t0→− ∞ |w(t)−w∗(t)|= 0. Observaci´on 3.2 Notar que w∗(t)∈[im, iM] para todo t∈Rdebido a las cotas para I. Lema 3.2.1 Para cualquier tiempo inicial t0∈Ry cualquiera de las condiciones iniciales x0, y0≥0, todas las soluciones del sistema (3.17) son no negativas y acotadas para todo t≥t0. Demostraci´on Los coeficientes son continuamente diferenciables para x, y ≥0. En particular, el t´ermino no lineal: axy m+x=ay 1−m m+x, es no negativo y acotado por la funci´on lineal ay en el cuadrante positivo, tal y como ya vimos en la demostraci´on del Lema (3.1.1). Esto asegura la existencia y unicidad de soluciones para cualquier tiempo para el que permanezcan en el primer cuadrante. Por continuidad de soluciones, la condici´on inicial x(t0) = x0>0 , x(t) tiene que tomar el valor 0 antes de tomar cualquier valor positivo. Pero: dx(t) dt x=0 =DI(t)=0, con lo que x(t) no puede tomar valores negativos. Con la condici´on inicial y(t0) = y0>0, existe t1> t0tal que y(t)>0 en [t0, t1]. Adem´as, y(t) = y0e −D(t−t0)+ Zt t0 ax(s) m+x(s)ds , 4Es tanto atrayente pullback como forward. ´ Angeles Ruiz Gonz´alez 77 Cap´ıtulo 3 Modelo no aut´onomo sin retardo para t∈[t0, t1]. Debido a la unicidad de soluci´on, esta expresi´on se cumple para todo t≤t0, as´ı y(t) es no negativa.  Teorema 3.2.1 El sistema din´amico no aut´onomo generado por el sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias (3.17) tiene un atractor pullback A={A(t) : t∈R}en R2 +. Adem´as, (1) cuando D > a, la soluci´on completa (x∗(t), y∗(t)) = (w∗(t),0) es asint´oticamente estable en R2 +y el atractor pullback tiene una ´unica componente A(t) = {(w∗(t),0)}; (2) cuando adem´as: aim> D(m+iM), el atractor pullback tiene componentes no triviales que incluyen (w∗(t),0) y puntos estrictamente positivos; (3) cuando tenemos la hip´otesis de (2) y, adem´as, D < a ya(m2+m(2iM−im) + i2 M)< D(m+iM)2, el atractor pullback contiene una soluci´on completa no trivial que atrae a todas las otras soluciones completas positivas. Demostraci´on En virtud del Lema 3.2.1 y del hecho de que w∗(t)∈[im, iM], el conjunto compacto no vac´ıo B:= {(x, y)∈R2 +:im≤x+y≤iM}es positivamente invariante y absorbente en R2 + para la EDO (3.18). El sistema din´amico no aut´onomo en R2 +generado por el sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias (3.17) tiene as´ı un atractor pullback A={A(t) : t∈R}formado por subconjuntos no vac´ıos de B. Entonces (w∗(t),0) ∈A(t) para todo t∈R, ya que el atractor pullback contiene a todas las soluciones completas acotadas. Para probar (1) notamos que la primera ecuaci´on del sistema (3.17) se puede acotar superiormente: dy(t) dt =−D−ax(t) m+x(t)y(t)≤ −(D−a)y(t), con lo que se tiene de forma inmediata que y(t)→0 cuando t→ ∞ para D > a. En cuanto a (2), del signo positivo en la derivada de la segunda ecuaci´on del sistema (3.17), tenemos que x(t) es creciente en la zona x= 0 del conjunto absorbente B. La zona ´ Angeles Ruiz Gonz´alez 78 3.2 Ratio de concentraci´on de nutriente variable Figura 3.4: Representaci´on gr´afica del conjunto B. y= 0 es invariante, pero para y=ε << imyim≤x≤iM, la primera ecuaci´on del sistema (3.17) da: dy(t) dt =−D+ax(t) m+x(t)y(t)≥aim m+iM−Dy(t)>0, cuando aim> D(m+iM). Esto significa que el interior positivo del conjunto absorbente tambi´en contiene puntos del atractor pullback. Finalmente, para ver (3) consideramos la primera EDO del sistema (3.17) restringida a la variedad estable x(t) + y(t) = w∗(t), sobre la cual adquiere la forma: dx(y) dt =D(I(t)−x(t)) −ax(t) m+x(t)(w∗(t)−x(t)).(3.19) Para cualquiera de las dos soluciones x1(t), x2(t) de (3.19) definimos ∆x(t) := x1(t)−x2(t). Entonces ∆xsatisface: d∆x(t) dt =dx1(t) dt −dx2(t) dt =−Dx1(t) + Dx2(t)−ax1(t)(m+x2(t)) −x2(t)(m+x1(t)) (m+x1(t))(m+x2(t)) w∗(t)+ +ax2 1(t)(m+x2(t)) −x2 2(t)(m+x1(t)) (m+x1(t))(m+x2(t)) =−D∆x(t)−amw∗(t) (m+x1(t))(m+x2(t))∆x(t) + am(x1(t) + x2(t)) + x1(t)x2(t) (m+x1(t))(m+x2(t)) ∆x(t), ´ Angeles Ruiz Gonz´alez 79 Cap´ıtulo 3 Modelo no aut´onomo sin retardo donde la ´ultima igualdad se obtiene por los razonamientos realizados en la demostraci´on de la tercera parte del Teorema 3.1.1. Como 0 ≤x(t)≤w∗(t)≤iMyw∗(t)≥im, tenemos: d∆x(t) dt =−D∆x(t)−aamw∗(t) (m+x1(t))(m+x2(t)) ∆x(t) + am(x1(t) + x2(t)) + x1(t)x2(t) (m+x1(t))(m+x2(t)) ∆x(t) <−D∆x(t)−amim (m+iM)2∆x(t) + a∆x(t), an´alogamente a la demostraci´on de la segunda parte del Teorema 3.1.1. As´ı, ∆x(t)→0 cuando t→ ∞, siempre y cuando: a(m2+m(2iM−im) + i2 M)< D(m+iM)2ya que a < D +amim (m+iM)2. Esto tambi´en se cumple si a<D, en cuyo caso estamos en la situaci´on (1) del Teorema. Sin embargo, puede tambi´en cumplirse si aes ligeramente mayor que a(m2+m(2iM−im)+i2 M)< D(m+im)2, en cuyo caso para las estimaciones anteriores con x1(t), x2(t) igual a w∗(t), el sistema es contractivo uniformemente estrictamente en el cuadrante positivo y entonces tiene una ´unica soluci´on completa como su atractor pullback en el cuadrante positivo. 3.2.2. Modelo de crecimiento con pared Estudiaremos en esta parte lo que ocurre cuando hacemos variar el ratio de concentraci´on de nutriente en el modelo con pared. Cuando Des constante e Ivar´ıa con el tiempo, el modelo es:                      dx(t) dt =D(I(t)−x(t)) −ax(t) m+x(t)(y1(t) + y2(t)) + bνy1(t) dy1(t) dt =−(ν+D)y1(t) + cx(t) m+x1(t)y1(t)−r1y1(t) + r2y2(t) dy2(t) dt =−νy2(t) + cx(t) m+x(t)y2(t) + r1y1(t) + r2y2(t). (3.20) Lema 3.2.2 Supongamos que (x0, y10, y20)∈R3 +. Entonces todas las soluciones del sistema (3.20) con datos iniciales (x(t0), y1(t0), y2(t0)) = (x0, y10, y20)son: (i) no negativas para todo t≥t0, (ii) uniformemente acotadas en R3 +. Adem´as, el sistema din´amico no aut´onomo en R3 +generado por el sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias (3.20) tiene un atractor pullback A={A(t) : t∈R}en R3 +. ´ Angeles Ruiz Gonz´alez 80 3.2 Ratio de concentraci´on de nutriente variable Demostraci´on (1) Por continuidad, cada soluci´on tiene que tomar el valor 0 antes de tomar cualquier valor negativo. Con x= 0, y1≥0, y2≥0, la EDO para x(t) se reduce a: dx(t) dt =DI(t) + bνy1>0, con lo que x(t) es estrictamente creciente en x= 0. Con y1= 0, x≥0, y2≥0, la EDO reducida para y1(t) es: dy1(t) dt =r2y2≥0, por tanto, y1(t) es no decreciente en y1= 0. De forma similar, con y2= 0, x≥0, y1≥0, la EDO para y2(t) es: dy2(t) dt =r1y1≥0, por lo que y2(t) es no decreciente en y2= 0. Adem´as, (x(t), y1(t), y2(t)) ∈R3 +para cualquier t∈R.√ (2) Definimos para (x(t), y1(t), y2(t)) ∈R3 +la norma: ||X(t)||1:= x(t) + y1(t) + y2(t). Entonces ||X(t)||1≤S(t)≤a c||X(t)||1, donde S(t) = x(t) + a c(y1(t) + y2(t)), an´alogamente a como se hac´ıa en la demostraci´on de la segunda parte del Lema 3.1.2. Derivando S(t) a lo largo del sistema (3.20), tenemos que: dS(t) dt =dx(t) dt +a c dy1(t) dt +a c dy2(t) dt ≤DiM−Dx(t)−ha c(ν+D)−bνiy1(t)−a cνy2(t). (3.21) Notemos que como a≥cy 0 < b < 1, entonces a c(ν+D)−bν ≥ν+D−bν > D. Sea µ:= m´ın{D, ν}, entonces: dS(t) dt ≤DiM−Dx(t)−ha c(ν+D)−bνiy1(t)−a cνy2(t) ≤DiM−Dx(t)−Dy1(t)−νy2(t) ≤DiM−µS(t). ´ Angeles Ruiz Gonz´alez 81 Cap´ıtulo 4 Modelo con retardo. Aplicaci´on en un quimiostato Podemos introducir entonces un retardo al modelo m´as sencillo que ya hemos estudiado: dx(t) dt =DI −Dx −aU(x(t))y(t) dy(t) dt =−Dy(t) + cU(x(t))y(t), llegando al siguiente modelo, siendo ρ(·) : R+−→ [0, h] una funci´on continua, con h > 0: dx(t) dt =DI −Dx −aU(x(t))y(t) dy(t) dt =−Dy(t) + cU(x(t−ρ(t)))y(t). (4.1) En este caso, hemos considerado un retardo variable en lugar de uno constante. CONSIDERACIONES PREVIAS: Para resolver el sistema (4.1), necesitamos fijar los valores de la soluci´on no s´olo en un tiempo inicial t0∈R, sino tambi´en un intervalo [t0−h, t0]. Realmente lo que necesitamos es encontrar las soluciones del sistema (4.1) para t≥t0tal que: x(t) = φ1(t−t0), y(t) = φ2(t−t0),para t∈[t0−h, t0],(4.2) donde (φ1, φ2)∈Ch:= C([−h, 0]; R2). Observemos que el sistema (4.1) se puede escribir como ecuaci´on diferencial funcional no aut´onoma: dz(t) dt =f(t, zt),(4.3) donde f(·,·) : R×Ch−→ R2est´a dada por: f(t, φ) =  DI −Dφ1(0) −aU(φ1(0))φ2(0) −Dφ2(0) + cU(φ1(−ρ(t))φ2(0)   para: φ= φ1 φ2 ∈Ch, zt∈Ch, que denota la funci´on: zt(θ) = z(t+θ),para θ∈[−h, 0], para cualquier funci´on continua z: [−h, +∞]−→ R2. Para resolver el problema de valores iniciales para (4.3), una posibilidad es considerar una condici´on inicial φ∈Chen el tiempo inicial t0∈R. Esto nos proporcionar´a, bajo ciertas ´ Angeles Ruiz Gonz´alez 88 4.2 Modelo sin crecimiento en pared condiciones adecuadas, la ´unica soluci´on z(·;t0, φ) de (4.3) tal que z0(·;t0, φ) = φ, lo que significa que: zt0(θ;t0, φ) := z(t0+θ;t0, φ) = φ(θ) para θ∈[−h, 0]. De esta forma, podemos construir un sistema din´amico no aut´onomo, como puede ser un proceso, en el espacio de fases Chen el siguiente sentido: para cualquier t≥t0, definimos el operador Z(t, t0) : Ch−→ Chcomo: Z(t, t0)φ=zt(·;t0, φ),para φ∈Ch.(4.4) 4.2.1. Signo y acotaci´on de soluciones Al igual que en los cap´ıtulos previos, la regi´on biol´ogicamente interesante en nuestro modelo es aquella donde las soluciones sean positivas y finitas. En el pr´oximo lema demostraremos que dichas soluciones del sistema (4.1) son no negativas y acotadas. Lema 4.2.1 Dada cualquier condici´on inicial φ≥0en [t0−h, t0], las soluciones de (4.1) son no negativas. Demostraci´on Lo primero que vamos a demostrar es que si una soluci´on comienza en el cuadrante: R2 +={(x, y) : x≥0, y ≥0}, permanece all´ı para siempre. Por continuidad, cada soluci´on debe tomar el valor 0 antes de alcanzar cualquier valor negativo. De hecho, como: dy(t) dt y=0 = [−Dy(t) + cU(x(t−ρ(t)))y(t)]y=0 = 0. entonces yno decrece en y= 0, con lo que nunca tomar´a valores negativos. Por otro lado: dx(t) dt x=0 = [DI −Dx(t)−aU(x(t))y(t)]x=0 =DI > 0, lo que implica que xes creciente en x= 0. En conclusi´on, las soluciones del sistema (4.1) son no negativas para cualquier t≥t0.  ´ Angeles Ruiz Gonz´alez 89 Cap´ıtulo 4 Modelo con retardo. Aplicaci´on en un quimiostato Teorema 4.2.1 Supongamos que: δ:= D−c > 0 (4.5) entonces para todo t>t0, las soluciones del sistema (4.1) est´an acotadas para cualquier condici´on inicial1. Demostraci´on Definimos el funcional u(t) := x(t)+y(t).Derivando ua lo largo de soluciones del sistema (4.1), donde 0 < δ < D definido como en (4.5): du(t) dt =dx(t) dt +dy(t) dt =DI −Dx(t)−aU(x(t))y(t)−Dy(t) + cU(x(t−ρ(t)))y(t) ≤DI −Dx(t)−ay(t)−Dy(t) + cy(t) ≤DI −Dx(t)−Dy(t) + cy(t) =DI −Dx(t)−(D−c)y(t) =DI −Dx(t)−δy(t). Definimos: Ω := {(x, y)∈R2 +:Dx +δy ≤DI}. Vamos a estudiar las cotas superiores de las soluciones caso por caso: a) Si una trayectoria comienza en t=t0en R2 +\Ω, entonces la funci´on u(x, y) a lo largo de las trayectorias que comienzan en este punto deben ser decrecientes para todo t≥t0 tal que (x, y)∈R2 +, pues en tal zona, Dx +δy > DI, con lo que: du(t) dt =DI −Dx(t)−δy(t)<0, es decir, udecrece. De esta forma, u(t) := u(x(t), y(t)) ≤u(x(t0), y(t0)) = x(t0) + y(t0)≤ |φ1|+|φ2|. As´ı: ||(x(t), y(t))|| := x(t) + y(t) = u(t)≤ |φ1|+|φ2|,(4.6) con lo que tenemos que xeyest´an acotadas. √ 1Notemos que tal condici´on inicial siempre est´a acotada porque φes continua en [−h, 0]. ´ Angeles Ruiz Gonz´alez 90 4.2 Modelo sin crecimiento en pared b) Si una trayectoria comienza o entra en la regi´on Ω en un tiempo t=t1≥t0, est´a all´ı para siempre, entonces por la definici´on de Ω tenemos que para t≥t1,Dx(t) + δy(t)≤DI, de donde se deduce: D δx(t) + y(t)≤DI δ. De esta forma, como 0 < δ < D, entonces D δ>1, con lo que: ||(x(t), y(t))|| := x(t) + y(t)<D δx(t) + y(t)≤DI δ,(4.7) de donde se tiene que xeyest´as acotadas. √ c) Si una trayectoria comienza y entra o vuelve a entrar despu´es de haber salido de la regi´on Ω en un tiempo t=t2i−1≥t0y sale en el tiempo t=t2i(i=1,2,...), entonces (4.6) se verifica para todos los tiempos (t2i−1, t2i). √ En resumen, para cualquier t>t0, las soluciones (x(t), y(t)) est´an acotadas por: ||(x(t), y(t))|| := x(t) + y(t)≤m´ax |φ1|+|φ2|,DI δ.  4.2.2. An´alisis de la Estabilidad Consideramos el modelo del quimiostato con retardo dado por el sistema (4.1) con una funci´on de retardo variable ρ(·)∈C1(R; [0, h]). Es f´acil darse cuenta de que (I, 0) es un equilibrio factible y asint´oticamente estable cuando D≥c. De hecho, cuando D≥c, se sigue directamente de la segunda ecuaci´on del sistema (4.1) que y0(t)<0 para todo t. Por tanto, y= 0 es un equilibrio asint´oticamente estable de la segunda ecuaci´on de (4.1), y haciendo y= 0 en la primera ecuaci´on del sistema (4.1) tenemos inmediatamente x=I. Cualquier otro equilibrio no trivial (x∗, y∗) debe satisfacer: DI −Dx∗−ax∗ m+x∗y∗= 0; (4.8) −Dy∗+cx∗ m+x∗y∗= 0.(4.9) Pues ahora, s´olo estamos interesados en los equilibrios positivos debido al significado de las soluciones de nuestro problema. Diviendo (4.9) por y∗y despejando x∗, obtenemos: cx∗ m+x∗=D⇔cx∗=mD +Dx∗⇔cx∗−Dx∗=mD ⇔ ⇔x∗(c−D) = mD ⇔x∗=mD c−D ´ Angeles Ruiz Gonz´alez 91 Cap´ıtulo 4 Modelo con retardo. Aplicaci´on en un quimiostato Por otro lado, de la ecuaci´on (4.8), tambi´en obtenemos: DI −Dx∗−ax∗ m+x∗y∗= 0 ≡ DI −DmD c−D−a mD c−D m+mD c−D y∗= 0.≡ DI −mD2 c−D=aD cy∗, de otra forma ser´ıa tambi´en equivalente: y∗= DI −mD2 c−D aD c =c2DI −cD2I−cmD2 (c−D)aD En resumen, tenemos que: x∗=mD c−D, y∗=c2DI −cD2I−cmD2 (c−D)aD .(4.10) Nos disponemos a analizar las propiedades de estabilidad del equilibrio positivo (x∗, y∗). Para ello, construiremos un funcional de Lyapunov adecuado y obtendremos condiciones suficientes sobre los par´ametros asociados a la funci´on de retardo y sobre el resto de par´ametros del modelo, con objetivo de asegurar la estabilidad de este punto estacionario. Teorema 4.2.2 Supongamos que ρ(·) : R−→ [0, h]tal que ρ0(t)≤M < 1. Entonces el equilibrio positivo (x∗, y∗)definido en (4.10) para el sistema (4.1) es globalmente asint´oticamente estable. Demostraci´on Primero introducimos la transformaci´on siguiente: ex(t) := x(t)−x∗ ey(t) := log y(t) y∗ e U(·) := U(·+x∗)−U(x∗). (4.11) ´ Angeles Ruiz Gonz´alez 92 4.2 Modelo sin crecimiento en pared Entonces, el sistema inicial (4.1) puede escribirse como: dex(t) dt =−Dex(t)−ay∗eey(t)e U(ex(t)) −ay∗U(x∗)(eey(t)−1) dey(t) dt =ce U(ex(t−ρ(t))). (4.12) En efecto, como de (4.8) se tiene DI −Dx∗=ax∗ m+x∗y∗=aU(x∗)y∗, entonces: dex(t) dt =DI −Dex(t)−Dx∗−ae U(ex(t)) + U(x∗)y∗eey(t) =−Dex(t)−ay∗eey(t)e U(ex(t)) −ay∗eey(t)U(x∗) + aU(x∗)y∗ =−Dex(t)−ay∗eey(t)e U(ex(t)) −ay∗U(x∗)(eey(t)−1). Por otro lado, de (4.9) deducimos −Dy∗=−cx∗ m+x∗y∗=−cU(x∗)y∗, con lo que: y∗eey(t)dey(t) dt =−Dy∗eey(t)+ce U(ex(t−ρ(t))) + U(x∗)y∗eey(t) =−Dy∗eey(t)+ce U(ex(t−ρ(t)))y∗eey(t)+cU(x∗)y∗eey(t) =ce U(ex(t−ρ(t)))y∗eey(t), (4.13) y por tanto dey(t) dt =−e U(ex(t−ρ(t))). Ahora construimos un funcional de Lyapunov, paso a paso, adecuado. Primero definimos: V1(ex) := Zex(t) 0e U(s)ds. Si x>x∗entonces ex > 0; de esta forma, como s∈(0,ex(t)), entonces s > 0. En consecuencia, s+x∗> x∗yUes una funci´on creciente respecto de xpor lo que e U(s) = U(s+x∗)−U(x∗)>0. En conclusi´on, V1(ex) := Zex(t) 0e U(s)ds > 0, siempre y cuando x6=x∗. An´alogamente, si x < x∗, entonces ex < 0; por lo tanto, como s∈(ex(t),0) entonces s < 0. Luego s+x∗< x∗yUes una funci´on creciente respecto de x, con lo que e U(s) = U(s+x∗)−U(x∗)<0. En conclusi´on, V1(ex) := Zex(t) 0e U(s)ds =−Zex(t)e U(s)ds > 0 ´ Angeles Ruiz Gonz´alez 93 Cap´ıtulo 4 Modelo con retardo. Aplicaci´on en un quimiostato siempre y cuando x6=x∗. Resumiendo, V1(ex)>0 para todo x6=x∗. Derivando V1a lo largo de soluciones del sistema (4.12) tenemos: dV1(t) dt =−Dex(t)e U(ex(t)) −ay∗eey(t)e U2(ex(t)) −ay∗U(x∗)(eey(t)−1) e U(ex(t)). Definimos ahora: V2(ey) := Zey(t) 0 (es−1) ds. Ahora bien, si y > y∗, entonces ey > 0; de esta forma, como s∈(0,ey(t)), entonces s > 0. En consecuencia, es−1>1−1 = 0, por lo que: V2(ey) := Zey(t) 0 (es−1) ds > 0, siempre y cuando y6=y∗. An´alogamente, si y(t)< y∗, entonces ey > 0; por tanto, como s∈(ey(t),0), entonces s < 0. Entonces es−1<1−1 = 0, con lo que: V2(ey) := Zey(t) 0 (es−1) ds =−Zey(t) (es−1) ds > 0, siempre y cuando y6=y∗. Resumiendo, V2(ey)>0 para todo y6=y∗. Derivando V2a lo largo de soluciones del sistema (4.12) tenemos: dV2 dt =c(eey(t)−1) e U(ex(t−ρ(t))). Y consideramos ahora el funcional: v(ex, ey) := V1(ex(t−ρ(t))) + λV1(ey(t)), con λ:= a c(1 −M)U(x∗)y∗, tenemos lo que quer´ıamos. Nota 4.1 Notemos que si (x, y)=(x∗, y∗), nos encontrarnos en el equilibrio, por lo tanto, por definici´on de punto estacionario no me mover´e de ´el. ´ Angeles Ruiz Gonz´alez 94 4.3 Modelo de crecimiento con pared Derivando va lo largo de soluciones del sistema (4.12) tenemos: v0=n−Dex(t−ρ(t))e U(ex(t−ρ(t))) −ay∗eey(t)e U2(ex(t−ρ(t))) −ay∗U(x∗)(eey(t)−1) e U(ex(t−ρ(t)))o(1 −M) +a c(1 −M)U(x∗)y∗c(eey(t)−1) e U(ex(t−ρ(t))) =n−Dex(t−ρ(t))e U(ex(t−ρ(t))) −ay∗eey(t)e U2(ex(t−ρ(t)))o(1 −M)<0 con lo que ves definida negativa, deduciendo que el equilibrio positivo (x∗, y∗) es globalmente asint´oticamente estable.  4.3. Modelo de crecimiento con pared El sistema (4.1) estudiado en la anterior secci´on representa el comportamiento de un quimiostato con retardo variable. Pero no refleja el crecimiento de microorganismos en la pared. Como ya sabemos, es muy frecuente que los microorganismos no s´olo crezcan en el medio de crecimiento, sino que tambi´en lo hagan en las paredes del recipiente donde est´an contenidos. De esta forma, el modelo con pared estudiado en cap´ıtulos previos, o sea: dx(t) dt =DI −Dx(t)−aU(x(t))(y1(t) + y2(t)) + bνy1(t) dy1(t) dt =−(ν−D)y1(t) + cU(x(t))y1(t)−r1y1(t) + r2y2(t) dy2(t) dt =−νy2(t) + cU(x(t))y2(t) + r1y1(t)−r2y2(t) queda, una vez introducido el correspondiente retardo variable, como:                  dx(t) dt =DI −Dx(t)−aU(x(t))(y1(t) + y2(t)) + bνy1(t−τ1(t)) dy1(t) dt =−(ν−D)y1(t) + cU(x(t−τ2(t)))y1(t)−r1y1(t) + r2y2(t) dy2(t) dt =−νy2(t) + cU(x(t−τ2(t)))y2(t) + r1y1(t)−r2y2(t), (4.14) donde τ1(·), τ2(·) : R+−→ [0, h], con h > 0, son funciones continuas. ´ Angeles Ruiz Gonz´alez 95 Cap´ıtulo 4 Modelo con retardo. Aplicaci´on en un quimiostato CONSIDERACIONES PREVIAS: Cuando el ratio de limpieza del quimiostato no es suficientemente r´apido, el crecimiento en la pared se convierte en un factor importante a tener en cuenta. Por ello, ahora vamos a estudiar el modelo de quimiostato con retardos variables y crecimiento en pared. Trabajaremos entonces con el sistema (4.14), que volvemos a escribirlo:                    dx(t) dt =DI −Dx(t)−aU(x(t))(y1(t) + y2(t)) + bνy1(t−τ1(t)) dy(t) dt =−(ν−D)y1(t) + cU(x(t−τ2(t)))y1(t)−r1y1(t) + r2y2(t) dz(t) dt =−νy2(t) + cU(x(t−τ2(t)))y2(t) + r1y1(t)−r2y2(t). Suponemos que: x(t) = φ1(t−t0), y1(t) = φ21(t−t0), y2(t) = φ22(t−t0),(4.15) para t∈[t0−h, t0], donde (φ1, φ21, φ22)∈C([−h, 0]; R3) =: e Ch. Denotamos por φ= (φ1, φ21, φ22), con lo que el sistema (4.14) puede escribirse como la siguiente ecuaci´on diferencial funcional no aut´onoma: dz(t) dt =g(t, zt),(4.16) donde g(·,·) : R×e Ch−→ R3est´a dada por: g(t, φ) =      DI −Dφ1(0) −aU(φ1(0))(φ21(t) + φ22(0)) + bνφ21(−τ(t)) −(ν+D)φ21(t) + cU(φ1(−τ2(0)))φ21(0) −r1φ21(0) + r2φ22(0) −νφ22(0) + cU(φ1(−τ(t)))φ22(0) + r1φ21(0) −r1φ22(0)     , yzt∈e Ches la funci´on zt(θ) = z(t+θ), θ ∈[−h, 0] para cualquier funci´on continua z: [−h, ∞)−→ R3. La existencia y unicidad de soluciones del (4.16) con condiciones iniciales (4.15) se puede establecer sencillamente bajo ciertos supuestos sobre la funci´on de consumo U. [9] Entonces tenemos que la ´unica soluci´on z(·;t0, φ) de (4.16) es tal que zt0(·;t0, φ), es decir, zt0(θ;t0, φ) := z(t0+θ;t0, φ) = φ(t),para θ∈[−h, 0]. En consecuencia, construimos un sistema no aut´onomo o proceso en el espacio de fases e Ch,Z(t, t0) : e Ch−→ e Chdefinida para todo t≥t0como: Z(t, t0)φ=zt(·;t0, φ), φ ∈e Ch. ´ Angeles Ruiz Gonz´alez 96 4.3 Modelo de crecimiento con pared En las siguientes secciones demostraremos que todas las soluciones de (4.16) son no negativas y acotadas para todo t≥t0correpondientes a condiciones iniciales (4.15) no negativas y acotadas. 4.3.1. Signo y acotaci´on de soluciones Vamos a dar resultados muy ´utiles para nuestro problema en cuesti´on. Lema 4.3.1 Dadas cualquieras condiciones iniciales (4.1) en [t0−h, t0], las condiciones iniciales del sistema (4.14) son no negativas. Demostraci´on Vamos a comenzar a demostrar que si una soluci´on que comienza en el cuadrante: R3 +={(x, y1, y2) : x≥0, y1≥0, y2≥0}, permanece all´ı siempre. De hecho, por continuidad cada soluci´on tiene que tomar el valor 0 antes de alcanzar cualquier valor negativo. Adem´as, cuando x= 0, y1≥0, y2≥0, la primera ecuaci´on del sistema (4.14) se reduce a: dx(t) dt =DI +bνy1(t−τ1(t)) >0, con lo que x(t) es estrictamente creciente en x= 0. Cuando y1= 0, x≥0, y2≥0, la EDO reducida para y1(t) ser´ıa: dy1(t) dt =r2y2≥0, con lo que y1(t) es no decreciente en y1= 0. De forma muy similar, y2es no decreciente en y2= 0, quedando la EDO reducida: dy2(t) dt =r1y1(t)≥0. Por tanto, (x(t), y1(t), y2(t)) ∈R3 +para cualquier t.  Ahora presentamos un resultado de acotaci´on de soluciones de (4.14). Teorema 4.3.1 Supongamos que τ0 1(t)≤M1<1, entonces las soluciones de (4.14) est´an acotadas para todas las condiciones iniciales, siempre y cuando: µ:= m´ın{δ, ν −c}>0,con δ:= D−νM1 1−M1−c. (4.17) ´ Angeles Ruiz Gonz´alez 97 Cap´ıtulo 4 Modelo con retardo. Aplicaci´on en un quimiostato Demotraci´on En primer lugar, consideraremos la transformaci´on: ex(t) := x(t)−x∗; eη:= log η(t) η∗; e U(·) := U(·+x∗)−U(x∗). De esta manera, el sistema (4.24) queda reescrito como: dex(t) dt =−Dex(t)−ae U(ex(t))η∗eeη(t)−aU(x∗)η∗(eeη(t)−1) + bνβ∗η∗(eeη(t−τ1(t)) −1) deη(t) dt =ce U(ex(t−τ2(t))). Veamos que es cierto. Sacando de (4.25) la expresi´on: DI −Dx∗=aU(x∗)η∗−bνβ∗η∗, entonces: dex(t) dt =DI −Dex(t)−Dx∗−a(e U(ex(t)) + U(x∗))η∗eeη(t)+bνβ∗η∗eeη(t−τ1(t)) =aU(x∗)η∗−bνβ∗η∗−Dex(t)−ae U(ex(t))η∗eeη(t)−aU(x∗)η∗eeη(t)+bνβ∗η∗eeη(t−τ1(t)) =−Dex(t)−ae U(ex(t))η∗eeη(t)−aU(x∗)η∗(eeη(t)−1) + bνβ∗η∗(eeη(t−τ1(t)) −1). Por otro lado, de (4.26) se tiene −ν−Dβ∗+cU(x∗) = 0, entonces: η∗eeη(t)deη(t) dt =−νη∗eeη(t)−Dβ∗η∗eeη(t)+c(e U(ex(t−τ2(t))) + U(x∗))η∗eeη(t) = (−ν−Dβ∗+cU(x∗))η∗eeη(t)+ce U(ex(t−τ2(t)))η∗eeη(t) =ce U(ex(t−τ2(t)))η∗eeη(t). As´ı: deη(t) dt =ce U(ex(t−τ2(t))). Vamos a definir un nuevo funcional de Lyapunov adecuado paso a paso. Definimos: V1(ex) := Zex(t) 0e U(s)sds. Ahora, si x>x∗, entonces ex > 0; de esta forma, como sabemos que s∈(0,ex(t)), entonces s > 0. En consecuencia, s+x∗> x∗yUes una funci´on creciente respecto de x, por lo que: e U(s) = U(s+x∗)−U(x∗)>0.En conclusi´on: V1(ex) = Zex(t) 0e U(s)ds > 0, ´ Angeles Ruiz Gonz´alez 104 4.3 Modelo de crecimiento con pared siempre y cuando x6=x∗. An´alogamente, si x < x∗, entonces ex < 0; por tanto, como s∈(ex(t),0), entonces s < 0. Entonces s+x∗< x∗yUes una funci´on creciente respecto de x, con lo que e U(s) = U(s+ x∗)−U(x∗)<0. En conclusi´on: V1(ex) = Zex(t) 0e U(s)ds =−Zex(t)e U(s)ds > 0, siempre y cuando x6=x∗. Resumiendo, V1(x∗)>0 para todo x6=x∗. Derivando V1a lo largo de las soluciones del sistema (4.24) tenemos: dV1(t) dt =dex(t) dt e U(ex(t)) =−Dex(t)e U(ex(t)) −ae U2(ex(t))η∗eeη(t)−aU(x∗)η∗(eeη(t)−1)e U(ex(t))+ +bνβ∗η∗(eeη(t−τ1(t)) −1) e U(ex(t)) =−Dex(t)e U(ex(t)) −ae U2(ex(t))η∗eeη(t)−aU(x∗)η∗(eeη(t)−1)e U(ex(t)) +bνβ∗η∗(eeη(t)−1) e U(ex(t)) ±bνη∗β∗(eeη(t)−1) e U(ex(t))− =−Dex(t)e U(ex(t)) −ae U2(ex(t))η∗eeη(t)−(aU(x∗)−bνβ∗)η∗(eeη(t)−1) e U(ex(t))+ +bνβ∗η∗(eeη(t)−eeη(t−τ1(t)))e U(ex(t)) =−Dex(t)e U(ex(t)) −ae U2(ex(t))η∗eeη(t)−(aU(x∗)−bνβ∗)η∗(eeη(t)−1) e U(ex(t)) −bνβ∗η∗(eeη(t)−eη(t−τ1(t))) e U(ex(t)) <−Dex(t)e U(ex(t)) −ae U2(ex(t))η∗eeη(t)−(aU(x∗)−bνβ∗)η∗(eeη(t)−1) e U(ex(t))+ +bνβ∗η∗|eeη(t)−eeη(t−τ1(t))|e U(ex(t)). ´ Angeles Ruiz Gonz´alez 105 Cap´ıtulo 4 Modelo con retardo. Aplicaci´on en un quimiostato Ahora bien: |eeη(t)−eeη(t−τ1(t))|=Zt t−τ1(t) d ds[eeη(s)]ds=Zt t−τ1(t) eeη(s)deη(s) ds ds =cZt t−τ1(t) eeη(s)e U(ex(s−τ2(s))) ds≤cZt t−τ1(t)|eeη(s)|e U(ex(s−τ2(s)))ds =cZt t−τ1(t) eeη(s)e U(ex(s−τ2(s)))ds utilizando la desigualdad de Young, ya recordada en el segundo cap´ıtulo, tenemos que: dV1(t) dt <−Dex(t)e U(ex(t)) −ae U2(ex(t))η∗eeη(t)−(aU(x∗)−bνβ∗)η∗(eeη(t)−1) e U(ex(t)) +bνβ∗η∗eeη(t)−eeη(t−τ1(t))e U(ex(t)) ≤ −Dex(t)e U(ex(t)) −ae U2(ex(t))η∗eeη(t)−(aU(x∗)−bνβ∗)η∗(eeη(t)−1) e U(ex(t)) +bcνβ∗η∗ Zt t−τ1(t) eeη(s)e U(ex(s−τ2(s)))ds!e U(ex(t)) =−Dex(t)e U(ex(t)) −ae U2(ex(t))η∗eeη(t)−(aU(x∗)−bνβ∗)η∗(eeη(t)−1) e U(ex(t)) +bcνβ∗η∗(Zt t−τ1(t) eeη(s)e U(ex(s−τ2(s))) e U(ex(t))ds) ≤ −Dex(t)e U(ex(t)) −ae U2(ex(t))η∗eeη(t)−(aU(x∗)−bνβ∗)η∗(eeη(t)−1) e U(ex(t)) +bcνβ∗η∗ 2(Zt t−τ1(t) eeη(s)ds ·e U2(ex(t)) + Zt t−τ1(t) eeη(s)e U(ex(s−τ2(s))) 2ds) =−Dex(t)e U(ex(t)) −ae U2(ex(t))η∗eeη(t)−(aU(x∗)−bνβ∗)η∗(eeη(t)−1) e U(ex(t)) +bcνβ∗η∗ 2(Zt t−τ1(t) eeη(s)ds ·e U2(ex(t)) + Zt t−τ1(t) eeη(s)e U2(ex(s−τ2(s))) ds). Adem´as, en segundo lugar podemos definir: V2(eη) := Zeη(t) 0 (es−1) ds. Con estas dos definiciones de V1yV2tenemos: ´ Angeles Ruiz Gonz´alez 106 4.3 Modelo de crecimiento con pared *En primer lugar, si η > η∗entonces eη > 0; de esta forma como s∈(0,eη(t)), entonces s > 0. En consecuencia, es−1>0, por tanto V2(eη) = Zeη(t) 0 (es−1) ds > 0, siempre y cuando se tenga que η6=η∗. *En segundo lugar y de manera an´aloga, si η < η∗entonces eη < 0; por lo tanto como s∈(eη(t),0), entonces s < 0. Entonces es−1<0 con lo que V2(eη)>0, siempre y cuando η6=η∗. Porque: V2(eη) = Zeη(t) 0 (es−1) ds =−Zeη(t) (es−1) ds > 0. En resumen, V2(η∗)>0 para todo η6=η∗. Derivando V2a lo largo de las soluciones del sistema (4.24) tenemos que: dV2(t) dt =deη(t) dt (eeη(t)−1) e U(ex(t−τ2(t))). Finalmente, damos el funcional V3: V3(ex, eη) := 1−M2 2(1 −M1)bcνβ∗η∗Zt t−τ1(t)Zt v eeη(s)e U2(ex(s−τ2(s))) ds dv. Obviamente V3>0 para todo η6=η∗yx6=x∗, ya que todas las constantes que aparecen, adem´as del integrando, son estrictamente positivas, teniendo tambi´en en cuenta los extremos de integraci´on. Derivando V3a lo largo de las soluciones del mismo sistema (4.24) tenemos: dV3(t) dt =1−M2 2(1 −M1)bcνβ∗η∗d dt "Zt t−τ1(t)Zt v eeη(s)e U2(ex(s−τ2(s))) ds dv# =1−M2 2(1 −M1)bcνβ∗η∗(Zt t−τ1(t)d dt Zt v eeη(s)e U2(ex(s−τ2(s))) dsdv − Zt t−τ1(t) eeη(s)e U2(ex(s−τ2(s)))!(1 −τ0 1(t))) =1−M2 2(1 −M1)bcνβ∗η∗neeη(s)e U2(ex(s−τ2(s)))τ1(t) − Zt t−τ1(t) eeη(s)e U2(ex(s−τ2(s)))!(1 −τ0 1(t))). Ahora consideramos el funcional vcomo: v(ex, eη) := V1(ex(t−τ2(t)))+κV2(eη(t))+V3(eη(t)) con κ=(aU(x∗)−bνβ∗)η∗ c(1−M2).(4.27) ´ Angeles Ruiz Gonz´alez 107 Cap´ıtulo 4 Modelo con retardo. Aplicaci´on en un quimiostato Derivando vy usando τ0 i(t)≤M1<1, i= 1,2, tenemos: v0≤(−Dex(t−τ2(t))e U(ex(t−τ2(t))) −ae U2(ex(t−τ2(t)))η∗eeη(t) −(aU(x∗)−bνβ∗)η∗(eeη(t)−1)e U(ex(t−τ2(t))) +bcνβ∗η∗ 2"Zt t−τ1(t) eeη(s)ds ·e U2(ex(t−τ2(t))) + Zt t−τ1(t) eeη(s)e U2(ex(s−τ2(s))) ds#)· ·(1 −τ2(t)) + (1 −M2)(aU(x∗)−bνβ∗)η∗ cc(eeη(t)−1) e U(ex(t−τ2(t))) (4.28) +1−M2 2(1 −M1)bcνβ∗η∗(eeη(t)e U2(ex(t−τ2(t)))τ1(t) − Zt t−τ1(t) eeη(s)e U2(ex(s−τ2(s))) ds!·(1 −τ0 1(t))) ≤(−Dex(t−τ2(t))e U(ex(t−τ2(t))) −ae U2(ex(t−τ2(t)))η∗eeη(t) ((((((((((((((((((((( ( −(aU(x∗)−bνβ∗)η∗(eeη(t)−1)e U(ex(t−τ2(t))) + bcνβ∗η∗ 2(Zt−τ1(t) eeη(s)ds ·e U2(ex(t−τ2(t))) +(((((((((((((( ( Zt−τ1(t) eeη(s)e U2(ex(s−τ2(s)))ds)· ·(1 −M2) + ((((((((((((((((((((((((( ( (1 −M2)(aU(x∗)−bνβ∗)η∗ c(eeη(t)−1) e U(ex(t−τ2(s))) +1−M2 2(1 −M1)bcνβ∗η∗(eeη(t)e U2(ex(t−τ2(t)))h−((((((((((((((((((( ( (1 −M1)Zt t−τ1(t) eeη(s)e U2(ex(s−τ2(s)))ds) =−Dex(t−τ2(t))e U(ex(t−τ2(t))) −ae U2(ex(t−τ2(t)))η∗eeη(t) +bcνβ∗η∗ 2Zt t−τ1(t) eeη(s)ds ·e U2(ex(t−τ2(t))) + 1−M2 2(1 −M1)bcνβ∗η∗eeη(t)e U2(ex(t−τ2(t)))h. ´ Angeles Ruiz Gonz´alez 108 4.3 Modelo de crecimiento con pared En virtud de la segunda ecuaci´on de (4.24), sabemos lo siguiente: dη(t) dt =−νη(t)−Dβ∗η(t) + cU(x(t−τ2(t)))η(t) ≥ −νη(t)−Dβ∗η(t) =−(ν+Dβ∗)η(t). De esta forma, como hemos hecho anteriormente en varias ocasiones anteriores, llegamos a que η(s)≤η(t)e(ν+Dβ∗)(t−s), con lo que: η∗Zt t−τ1(t) eeη(s)ds =Zt t−τ1(t) η∗eeη(s)ds =Zt t−τ1(t) η(s)ds ≤Zt t−τ1(t) η(t)e(ν+Dβ∗)(t−s)ds =η(t)Zt t−τ1(t) e(ν+Dβ∗)(t−s)ds =η(t) ν+Dβ∗Zt t−τ1(t) (ν+Dβ∗)e(ν+Dβ∗)(t−s)ds =η(t) ν+Dβ∗(e(ν+Dβ∗)(t−s)−1) ≤η(t) ν+Dβ (e(ν+Dβ∗)h−1). Introduciendo c´alculos nuevos en (4.28), llevamos inmediatamente a: v0≤−Dex(t−τ2(t))e U(ex(t−τ2(t))) −ae U2(ex(t−τ2(t)))η(t) +bcνβ∗η(t) 2(ν+Dβ∗)(e(ν+Dβ∗)h−1) e U2(ex(t−τ2(t)))(1 −M2) +1−M2 2(1 −M1)bcνβ∗η(t)e U2(ex(t−τ2(t)))h ≤ −a(1 −M2)e U2(ex(t−τ2(t)))η(t) +bcνβ∗(1 −M2) 2(ν+Dβ∗)(e(ν+Dβ∗)h−1) e U2(ex(t−τ2(t)))η(t) +1−M2 2(1 −M1)bcνβ∗he U2(ex(t−τ2(t)))η(t) =−a−bcνβ∗ 2(ν+Dβ∗)(e(ν+Dβ∗)h−1) −bcνβ∗h 2(1 −M1)(1 −M2)e U2(ex(t−τ2(t)))η(t) =−a−bcνβ∗ 21 ν+Dβ∗(e(ν+Dβ∗)h−1) −h 1−M1<0 ´ Angeles Ruiz Gonz´alez 109 Cap´ıtulo 4 Modelo con retardo. Aplicaci´on en un quimiostato con lo que la derivada del funcional v, es v0≤0, por lo tanto, el equilibrio positivo (x∗, η∗) es globalmente asint´oticamente estable.  Nota 4.2 Faltar´ıa analizar la existencia de atractor pero es desconocido por ahora; podr´a ser objeto para analizar en un futuro. ´ Angeles Ruiz Gonz´alez 110 Ap´endice A Sistemas din´amicos aut´onomos En esta primera parte vamos a dar las nociones necesarias para analizar todos aquellos modelos que vienen dados por ecuaciones de evoluci´on del tipo:      du dt =F(u(t)) u(0) = u0 (A.1) donde F:X→X, siendo Xun espacio m´etrico. Definici´on A.1 Un espacio m´etrico es un conjunto Mcon una funci´on distancia o m´etrica asociada, d:M×M→R. Decir que des una distancia sobre M, es decir, que para todo x, y, z ∈M, esta funci´on debe satisfacer las siguientes propiedades de una distancia: 1. d(x, y)≥0Positividad. 2. d(x, y) = 0 ⇔x=yIdentidad de los indiscernibles. 3. d(x, y) = d(y, x)Simetr´ıa. 4. d(x, z)≤d(x, y) + d(y, z)Desigualdad triangular. Primeras definiciones Como ya hemos definido Xcomo espacio m´etrico con distancia d:X×X→R, podemos comenzar con las definiciones. Ejemplo A.2 Consideramos du dt =F(u) 113 Cap´ıtulo A Sistemas din´amicos aut´onomos Conjuntos w-l´ımites El concepto de w-l´ımite tendr´a un papel fundamental en el desarrollo de la teor´ıa de atractores globales. Definici´on A.23 Dado un subconjunto Bde X, definimos su conjunto w-l´ımite y lo denotamos por w(B), como: w(B) := \ t≥0[ s≥t T(s)B=\ t≥0 γ+ t(B). Nota A.24 Es inmediato probar que el conjunto w-l´ımite de cualquier subconjunto Bde Xes un conjunto cerrado, por ser una intersecci´on de cerrados. Para demostrar los teoremas esta definici´on no es muy ´util; entonces la cambiamos por otra mucho m´as manejable en t´erminos de l´ımites de sucesiones, como vamos a mostrar en el siguiente lema, donde R+ 0indica el conjunto de n´umeros reales no negativos [0,∞): Lema A.0.4 El conjunto w-l´ımite de un subconjunto B⊂Xest´a caraterizado por: w(B) = {x∈X:existen sucesiones (tn)n∈Nen R+ 0con tn→ ∞ y(xn)n∈Nen B, tales que x= l´ımn→∞ T(tn)xn}. (A.4) Observaci´on A.25 Con la ayuda de este ´ultimo resultado es bastante sencillo ver que si B⊂Centonces w(B)⊂w(C) y si ξ:R→Xes una soluci´on global de T(·) de tiene que w(ξ(t)) = w(ξ(s)) cualesquiera que sean los n´umeros reales syt. En algunos casos, se puede tratar un concepto semejante al conjunto w-l´ımite, pero donde el tiempo corre hacia atr´as definiendo lo que se conoce como conjuntos α-l´ımite. Sin embargo, apenas consideraremos el caso de conjuntos α-l´ımite asociado a una soluci´on, o lo que es lo mismo, no consideraremos conjuntos α-l´ımites asociados a un subconjunto arbitrario Bde X. Definici´on A.26 Sea ξ:R→Xuna soluci´on global del semigrupo {T(T) : t≥0}. Definimos su conjunto α-l´ımite como: α(ξ) := nx∈X:∃(tn)n∈Nen Rcon tn→ −∞ tal que x= l´ım n→∞ ξ(tn)o. ´ Angeles Ruiz Gonz´alez 120 Las principales propiedades de los conjuntos w-l´ımites necesarias en el estudio de los atratores globales se verifican siempre para los semigrupos asint´oticamente compactos. Definici´on A.27 Definimos que un semigrupo no lineal {T(t) : t≥0}en un espacio m´etrico Xes asint´oticamente compacto, cuando para toda sucesi´on acotada de puntos de X, (xn)n∈N, y toda sucesi´on de n´umeros reales no negativos (tn)n∈Ncon tn→ ∞, se tiene que la sucesi´on de puntos de X,{T(tn)xn}n∈N, posee una subsucesi´on convergente. Definici´on A.28 Se dice que un semigrupo no lineal {T(t) : t≥0}en un espacio m´etrico Xes eventualmente compacto, si existe un t0>0tal que la aplicaci´on T(t0) : X→Xes una aplicaci´on compacta, es decir, si para cada subconjunto acotado Bde Xsu imagen por T(t0),T(t0)B, es un conjuntos relativamente compacto de X. Ahora supongamos que {T(t) : t≥0}es un semigrupo eventualemnte compacto y sea t0>0 tal que T(t0) : X→Xes una aplicaci´on compacta. Entonces, del hecho de que una aplicaci´on continua transforma conjuntos compactos en conjuntos compactos y de la propiedad de semigrupo, se deduce que para todo t≥t0,T(t) : X→Xes una aplicaci´on compacta, pues T(t) = T(t−t0)T(t0). Para ver que un semigrupo eventualmente compacto {T(t) : t≥0}y eventualmente acotado es asint´oticamente compacto, sean (tn)n∈Nuna sucesi´on de n´umeros con tn→ ∞ y (xn)n∈Nuna sucesi´on acotada de puntos de X. Sea, por la compacidad eventual, t0>0 tal que T(t0) : X→Xes una aplicaci´on compacta y, por la acotaci´on eventual de T(·), τ≥0 de manera que la semi´orbita, γ+ τ(B0), del subconjuntos acotado B0:= {xn:n∈N}, es acotada. Finalmente, escogiendo un n´umero real t0> t0+τ, consideremos n0∈Ntal que tn≥t0 para todo n≥n0. Definiendo el conjunto acotado B:= {T(tn−t0)xn:n≥n0} ⊂ γ+ τ(B0), de la observaci´on que sigue a la definici´on de compacidad eventual, resulta inmediato que T(t0)Bes relativamente compacto, siendo {T(tn)xn:n≥n0}un subconjunto de T(t0)B. Presentamos ahora las principales propiedades que tienen los conjuntos w-l´ımites para semigrupos asint´oticamente compactos, resumidas en el siguiente lema: Lema A.0.5 Sea {T(t) : t≥0}un semigrupo asint´oticamente compacto en un espacio m´etrico X. Para todo subconjunto acotado no vac´ıo B⊂Xse tiene que su conjuntos wl´ımite satisface las siguientes propiedades: i) w(B)es no vac´ıo, compacto, invariante y atrae a Bpor la acci´on de T(·). ´ Angeles Ruiz Gonz´alez 121 Cap´ıtulo A Sistemas din´amicos aut´onomos ii) w(B)es el menos conjunto cerrado de Xque atrae a B. iii) Si Bes conexo o existe un conexo Cque contiene a By que es atra´ıdo por w(B), entonces w(B)es conexo. Se puede demostrar para los conjuntos α-l´ımites de las soluciones globales acotadas de los semigrupos asint´oticamente compactos, y con demostraciones enteramente an´alogas, propiedades similares a las presentadas en el lema anterior, es decir, que se verifica este resultado: Lema A.0.6 Sea {T(t) : t≥0}un semigrupo ant´oticamente compacto en un espacio m´etrico Xyξ:R→Xuna soluci´on global acotada suya. Entonces, el conjunto α-l´ımite de ξ,α(ξ), es no vac´ıo, compacto, conexo, invariante y: l´ım t→−∞ d(ξ(t), α(ξ)) = 0.(A.5) Lema A.0.7 Sean {T(t) : t≥0}un semigrupo no lineal en un espacio m´etrico XyA⊂X cerrado e invariante por T(·). Entonces: w(A) = A. Existencia de atractores En esta parte vamos a probar que la existencia del atractor global para un sistema aut´onomo es un fen´omeno equivalente a la compacidad asint´otica con disipatividad. Teorema A.0.7 Sea {T(t) : t≥0}un semigrupo no lineal en un espacio m´etrico X. Entonces, {T(t) : t≥0}posee atractor global Asi y s´olo si es asint´oticamente compacto y disipativo. Adem´as, en ese caso si Bdenota la colecci´on de todos los subconjuntos acotados no vac´ıos de X, entonces el atractor viene dado por: A=[ B∈B w(B).(A.6) Teorema A.0.8 Supongamos {T(t)}t≥0un sistema din´amico en un espacio m´etrico (X, d) completo. Supongamos que es disipativo, es decir, ∃B0⊂Xabsorbente y compacto, entonces ∃Aatractor global del sistema din´amico y viene dado por A=w(B0). Adem´as, Aes maximal entre los conjuntos invariantes de Xy conexo si Xlo es[11]. ´ Angeles Ruiz Gonz´alez 122 Teorema A.0.9 Supongamos que T(t) = S(t) + U(t), donde S(t)verifica que para todo B⊂Xacotado, existe t0(B)tal que γt0(B)(B)es compacto, y U(t)verifica que para todo C⊂Xacotado: sup c∈C|U(t)x|X−→ 0, cuando t→+∞. Entonces, si existe B0⊂Xacotado y absorbente, existe Aatractor global[11]. Observaci´on A.29 En dimensi´on finita, demostrar la existencia de un compacto absorbente se reduce a demostrar que existe un acotado absorbente1. En cambio, en dimensi´on infinita las cosas son mucho m´as complicadas, pues ya no tenemos que un cerrado y acotado sea compacto como nos pasaba para las EDP’s. La estructura y las propiedades del atractor. Semigrupos gradientes. Conocer la estructura y las propiedades del atractor global es una cuesti´on fundamental, ya que el atractor global es el que determina todo el comportamiento futuro del sistema disipativo. Por lo tanto, cuanto m´as complicada sea su estructura m´as complejo podr´a resultar el comportamiento del sistema din´amico. Seguimos considerando T(t) un sistema din´amico y Asu atractor global. Teorema A.0.10 Si T(t)es inyectivo en A, es decir, si T(t)u0=T(t)v0para alg´un t > 0, entonces u0=v0, entonces por cada punto de Apara una ´unica ´orbita completa, que adem´as es acotada. En consecuencia Aest´a formado por todas las ´orbitas completas y acotadas. Existe una clase de sistemas din´amicos para lo que se puede conocer la estrutura de sus atractores con m´as profundidad. Son los sistemas tipo gradiente, es decir, para los que existe una funci´on de Lyapunov. Pero para dar el concepto de funci´on de Lyapunov necesitamos algunos conceptos previos. Definici´on A.30 Sean {T(t) : t≥0}un semigrupo no lineal en un espacio m´etrico XyΞ un conjunto invariante. 1Porque compacto es equivalente a cerrado y acotado, por el Teorema de H¨eine-Borel. ´ Angeles Ruiz Gonz´alez 123 Cap´ıtulo A Sistemas din´amicos aut´onomos Se dice que Xes un conjunto invariante aislado si existe δ > 0ta que ξes el conjunto invariante maximal de T(·)contenido en Oδ(Ξ), es decir, si Aes un conjuntos invariante por T(·)contenido en Oδ(Ξ), entonces A⊂Ξ. Sea S:= {Ξ1,Ξ2,...,Ξn}un conjunto finito de conjuntos invariantes por T(·). Se dice que Ses una familia finita disjunta de conjuntos invariantes aislados, cuando cada uno de sus elementos es un conjunto invariante aislado seg´un (i) y existe δ > 0 de manera que Oδ(Ξi)TOδ(Ξj) = Ø. No es dificil ver que si T(·) posee atractor global, entonces la clausura de un subconjunto invariante acotado suyo es tambi´en invariante, de donde resulta que para estos semigrupos sus invariantes aislados acotadas son conjuntos cerrados. Definici´on A.31 Diremos que una soluci´on global ξ:R→Xes una soluci´on estacionaria o un punto de equilibrio de {T(t) : t≥0}cuando es una aplicaci´on constante, es decir, cuando es de la forma ξ(t) = z∗para todo real Ty un cierto punto z∗∈X. Definici´on A.32 Sea {T(t) : t≥0}un semigrupo no lineal en un espacio m´etrico XyS= {Ξ1,...,Ξn}una familia finita de conjuntos invariantes aislados. Diremos que {T(t) : t≥0} es un semigrupo gradiente generalizado respecto de la familia S, cuando existe una funci´on V:X→Rsatisfaciendo las cuatro propiedades siguientes: 1. V:X→Res una funci´on continua. 2. V:x→Res no creciente a lo largo de las soluciones, es decir, para todo x∈Xla funci´on real [0,∞)3t→V(T(t)x)∈Res no creciente. 3. Si para alg´un x∈Xse tiene que V(T(t)x) = V(x)para todo t≥0, entonces x∈Ξ para alg´un Ξ∈R. 4. V:X→Res constante sobre cada subconjunto invariante aislado perteneciente a S, o sea, para cada Ξ∈Sexiste un n´umero real L=L(Ξ) tal que V(x) = Lcualquiera que sea x∈Ξ. Una funci´on V:X→Rque cumple estas cuatro propiedades se llama funci´on de Lyapunov generalizada para T(·)asociada a la familia S. En el caso especial en que S:= {z∗ 1, . . . , z∗ n}, el conjunto de puntos estacionarios de T(·)se dice simplemente que T(·)es un semigrupo gradiente y la funci´on V:X→Rasociada, una funci´on funci´on de Lyapunov. ´ Angeles Ruiz Gonz´alez 124 Observaci´on A.33 Un semigrupo gradiente es una terna (T(·),S, V ), donde T(·) representa el semigrupo no lineal, Sla familia finita disjunta de conjuntos invariantes aislados y Vla funci´on de Lyapunov correspondiente. Ilustramos la definici´on de funci´on de Lyapunov con el siguiente ejemplo: Ejemplo A.34 Sean N∈Nyf∈C2(RN,R). Consideremos el problema de Cauchy:        ˙x=−∇f(x), t > 0 x(0) = x0∈RN (A.7) donde ∇f(x) representa el gradiente de la funci´on fevaluada en el punto x∈RN. Supongamos tambi´en que l´ım |x|→∞ f(x) = ∞. Siendo ∇f:RN→RNun campo de clase C1, es localmente Lipschitz, por tanto sabemos que el operador soluci´on al problema (A.7) define un semigrupo no lineal en el espacio m´etrico RN. O sea, define para t≥0 y x0∈Rel valor T(t)x0:= x(t, x0), donde x(·, x0) : [0,∞)→ RNes la soluci´on del problema (A.7) y se tiene que {T(t) : t≥0}es un semigrupo no lineal en RN. Supongamos que ∇f:RN→RNposea solamente un n´umero finito de ceros en RN, denotados por ε:= {z∗ 1, . . . , z∗ n}. Con estas condiciones, la funci´on f:RN→Res una funci´on de Lyapunov para el semigrupo {T(t) : t≥0}. Demostraci´on Evidentemente, f:RN→Res una funci´on continua, ya que es de clase C2, y S= {z∗ 1, . . . , z∗ n}es el conjunto de todos los puntos de equilibrio de {T(t)t≥0}. Luego tambi´en se verifica la propiedad cuarta de la Definici´on A.32. Por tanto, s´olo hacen falta probar las propiedades dos y tres de la definici´on de funci´on de Lyapunov. En efecto, dado x0∈RN, tenemos que la funci´on real de una variable real [0,∞)3t→ f(T(t)x0) = f(x(t, x0)) ∈Res de clase C1y entonces, la regla de la cadena y el hecho de que x(·, x0) : [0,∞)→RNes la soluci´on del problema (A.7) nos conducen a que, para todo t > 0: d dt(f◦x(·, x0))(t) = ∇f(x(t, x0)) ·˙x(t, x0) = −|∇f(x(t, x0))|2≤0,(A.8) ´ Angeles Ruiz Gonz´alez 125 Cap´ıtulo A Sistemas din´amicos aut´onomos donde el punto ·representa el producto escalar eucl´ıdeo en RNy|·|su norma correspondiente. La igualdad (A.8) implica que la derivada de la funci´on: [0,∞)3t7→ f(T(t)x0) = f(x(t, x0)) ∈R, es no positiva, luego dicha funci´on debe ser no creciente, quedando establecida la condici´on segunda de la Definici´on A.32. Finalmente, supongamos que x0∈RNcumple que f(T(t)x0) = f(x0) para todo t≥0. Entonces (A.8) nos muestra que para todo t > 0 se tiene: 0 = d dtf(x0) = d dt(f◦x(·, x0))(t) = −|∇f(x, (t, x0))|2=−|˙x(t, x0)|2, o sea, que ˙x(t, x0) = 0 para todo t > 0, lo que implica que x(t, x0) = x0para todo t > 0, es decir, que x0∈S, completando la justificaci´on del ejemplo.  Propiedades de seguimiento sobre el atractor Esta propiedad nos viene a decir que toda trayectoria del sistema din´amico es seguida por otra sobre el atractor durante cierto tiempo finito. Es como si sobre el atractor uno pudiera observar la sombra de la trayectoria del sistema, o dicho de otra manera, las trayectorias del sistema din´amico van siguiendo lo que hacen las trayectorias sobre el atractor, lo que refleja c´omo la estructura del atractor es la responsable del comportamiento del sistema din´amico. Teorema A.0.11 Sea T(t)un sistema din´amico y sea Asu atractor global. Sea u0∈X y sea u(t) = T(t)u0una ´orbita del sistema din´amico. Dados ε > 0,τ > 0fijos, existen τ=τ(ε, τ)≥0,v0∈Atales que: |u(t−τ)−T(t)v0| ≤ ε, ∀0≤t≤τ. Si se quiere seguir toda una trayectoria durante un intervalo de tiempo infinito, entonces habr´a que usar diferentes ´orbitas sobre A, saltando de unas a otras. Corolario A.0.12 Sea {u(t)}t≥0una ´orbita del sistema din´amico y Asu atractor global. Entonces, existe εn→0, existe tncreciente tal que tn+1 −tn→+∞y existe vn∈Atales que |u(t)−T(t−tn)vn| ≤ ε. para tn≤t≤tn+1. M´as a´un, los saltos: |vn+1 −T(tn+1 −tn)vn| → 0cuando n→ ∞. ´ Angeles Ruiz Gonz´alez 126 Figura A.3: Representaci´on gr´afica de la propiedad de seguimiento de un sistema din´amico S. Estructura de semigrupos gradientes Los sistemas din´amicos gradientes constituyen unos de los pocos ejemplos de sistemas, que por ahora se conocen, en lo que se puede describir de manera bastante precisa la din´amica que poseen. Proposici´on A.0.13 Sean {T(t) : t≥0}un semigrupo gradiente generalizado respecto de la familia disjunta de conjuntos invariantes aislados acotados S:= {Ξ1,...,Ξn}, que posee atractor global AyV:x→Rsu funci´on de Lyapunov correspondiente. Entonces, se verifican las dos propiedades siguientes: (1) Si ξ:R→Xes una soluci´on global acotada de T(·)entonces, existen Ξl1,Ξl2∈S tales que: l´ım t→−∞ d(ξ(t),Ξl1) = 0 yl´ım t→∞ d(ξ(t),Ξl2)=0. (2) No existen estructuras homocl´ınas asociadas a S. Bas´andonos en la proposici´on anterior y el Colorario A.0.6 podemos obtener alguna informaci´on m´as sobre la estructura geom´etrica de los atractores de los semigrupos gradientes. Definici´on A.35 Sean {T(t) : t≥0}un semigrupo no lienal en un espacio m´etrico XyΞ un conjunto invariante por ´el. Se define: ´ Angeles Ruiz Gonz´alez 127 Cap´ıtulo A Sistemas din´amicos aut´onomos El conjunto inestable de Ξcomo: Wu(Ξ) := {x∈X:∃ξ:R→Xsoluci´on global con ξ(0) = x tal que l´ımt→−∞ d(ξ(t),Ξ) = 0}. El conjunto estable de ξcomo: Ws(Ξ) := nx∈X: l´ım t→∞ d(T(t)x, Ξ) = 0o. Figura A.4: Representaci´on gr´afica de una variedad inestable y una variedad estable. Observemos que si x∈Wu(Ξ) y ξ:R→Xes una soluci´on global para T(·) con ξ(0) = xy l´ım t→−∞ d(ξ(t),Ξ) = 0, entonces ξ(s)∈Wu(Ξ) para todo real s, puesto que, dado s∈R, definiendo que ξs:R→Xpor ξs(t) := ξ(t+s) para cada real t, es inmediato que ξs:R→Xes soluci´on global para T(·), y adem´as cumpliendo que: l´ım t→−∞ d(ξs(t),Ξ) = l´ım t→−∞ d(ξ(t+s),Ξ) = 0. Corolario A.0.14 Sean {T(t) : t≥0}un semigrupo gradiente generalizado respecto de la familia disjunta de conjuntos invariantes aislados S:= {Ξ1,Ξ2,...,Ξn}acotados. Si {T(t) : t≥0}posee un atractor global A, entonces Ase escribe como uni´on de los conjuntos inestables de los conjuntos invariantes aislados pertenecientes a S, o sea: A= n [ j=1 Wu(Ξj).(A.9) Si un semigrupo no lineal T(·) posee atractor global Ay una familia finita disjunta de conjuntos invariantes aislados S={Ξ1,Ξ1,...,Ξn}de manera que el atractor admite la representaci´on (A.9) decimos que T(·) posee atractor de tipo gradiente. ´ Angeles Ruiz Gonz´alez 128 Ap´endice B Sistemas din´amicos no aut´onomos En este ap´endice damos nociones sobre el an´alisis del comportamiento de sistemas din´amicos que se modelan por ecuaciones diferenciales no aut´onomas:        du dt =F(t, u(t)) u(t0) = u0. (B.1) En este caso, no s´olo es importante el valor de la soluci´on en el instante presente, como ocurr´ıa en el caso de los sistemas modelados por ecuaciones diferenciales aut´onomas, sino el instante inicial, es decir, la evoluci´on del sistema viene determinada no s´olo por el tiempo transcurrido. Por ejemplo si consideramos:        du dt =−2tu u(t0) = u0, se obtiene: u(t) = u0e−(t2−t2 0) y claramente t2−t2 0= (t−t0)2+ 2(t−t0)t0, por lo que resulta imposible escribir t2−t2 0en funci´on de t−t0s´olo, es decir, el tiempo transcurrido. As´ı, no es posible definir un semigrupo a partir de (B.1), sino que en este caso lo que se define es un proceso. Suponiendo que para cada (t0, u0) el problema (B.1) posee ´unica soluci´on u(t;t0, u0), t,t0∈R,u0∈X(espacio m´etrico), se puede definir una familia biparam´etrica. U(·,·)(·) : R×R×X−→ X definida como: U(t, s)u0=u(t;s, u0)t≥s, u0∈X, 129 Cap´ıtulo B Sistemas din´amicos no aut´onomos Definici´on B.12 Se dice que {U(t, s)}es pullback disipativo para acotados si existe {B(t)}t∈B con B(t)⊂Xacotado y absorbente pullback para acotados. Definici´on B.13 Sea {B(t)}t∈Buna familia de subconjuntos de X. Se dice que {B(t)}t∈B es invariante para el proceso {U(t, s)}si U(t, s)B(s) = B(t),∀t≥s,(t, s)∈R2 d. Definici´on B.14 Una familia {A(t)}t∈Rde conjuntos compactos se llama atractor pullback para el proceso {U(t, s)}si es invariante y atrae pullback a los acotados de X, y es minimal, es decir, si {C(t)}t∈Res otra familia invariante que atrae pullback a los acotados de X, entonces A(t)⊆C(t),∀t∈R. Observaci´on B.15 La condici´on de minimalidad garantiza la unicidad del atractor pullback, pero no es necesaria imponerla en situaciones m´as generales, como pueden ser universos de conjuntos, car´acter uniformemente acotado del atractor, etc. Veamos la relaci´on existente entre el atractor pullback y el atractor global. Obviamente, siempre podemos hablar del concepto de atractor global y pullback para un sistema din´amico. Esta condici´on no era necesaria en el caso aut´onomo, pero es crucial en este contexto no aut´onomo para garantizar la unicidad del atractor pullback. Ejemplo B.16 Como ejemplo trivial, podemos considerar: T(t)u0=e−tu0 y sus procesos asociados: U(t, s) = T(t−s) = e−(t−s), que provienen del problema:        du dt =−u, u(t0) = u0. Est´a claro que A={0}, aunque la familia {[−e−t, e−t]}t∈Res invariante para U(t, s) y atrae pullback a los acotados de R, es decir, ser´ıa un atractor pullback si no exigi´eramos minimalidad. En efecto, sea {T(t)}t≥0un sistema din´amico aut´onomo sobre X. Definamos {U(t, s)}(t,s)∈R2 dcomo U(t, s) = T(t−s). Es inmediato comprobar que {U(t, s)}es un proceso. Entonces, se verifica. ´ Angeles Ruiz Gonz´alez 136 Teorema B.0.15 El sistema din´amico {T(t)}posee atractor global Asi y s´olo si el proceso {U(t, s) = T(t−s)}posee atractor pullback {A(t)}t∈R. M´as a´un, A(t) = A,∀t∈R. Establecemos unos resultados que nos garantizar´an la existencia de atractor pullback, aunque ser´an necesarias algunas definiciones previas. Definici´on B.17 Sea {U(t, s)}un proceso y sea B⊂X. Se define el conjunto pullback w-l´ımite de B en el instante t como: Λ(B, t) := \ σ≤s[ s≤σ U(t, s)B. Se verifica: Λ(B, t) := ny∈X:∃{sn}n≥1⊂(−∞, t), sn→ −∞,∃{xn} ⊂ B, y = l´ım n→∞ U(t, sn)xno. Obviamente, si {T(t)}t≥0es un sistema din´amico y U(t, s) = T(t−s), t≥s, entonces: Λ(B, t) = \ σ≤s[ s≤σ U(t, s)B=\ σ≤s[ s≤σ T(t−s)B=\ 0≤t−σ[ σ−s≥0 T(t−s |{z} r )B =\ 0≤t−σ[ σ−s≥0 T(r)B=\ 0≤s[ r≥s T(r)B=w(B), luego en el caso aut´onomo ambos conceptos coinciden. El siguiente lema es la clave para demostrar la existencia del atractor pullback. Lema B.0.8 Sea U(t, s)un proceso. Si B⊂Xentonces U(t, s)Λ(B, s)⊂Λ(B, t), es decir, el w-l´ımite es positivamente invariante. Si B⊂Xtal que Λ(B, t) es compacto y atrae a Ben sentido pullback en el instante s, entonces U(t, s)Λ(B, s) = Λ(B, t),∀t≥s. M´as a´un, si Λ(B, t) atrae en sentido pullback al conjunto Cen el instante t, y Ces conexo y contiene a [ s≤t Λ(B, s), entonces Λ(B, t) es tambi´en conexo. Lema B.0.9 Sea U(t, s)un proceso. Si B⊂Xes no vac´ıo y [ s≤s0 U(t, s)Bes compacto para alg´un s0∈R, con s0≤t, entonces Λ(B, t)es un compacto, no vac´ıo, invariante y atrae pullback al conjunto Ben el instante t. ´ Angeles Ruiz Gonz´alez 137 Cap´ıtulo B Sistemas din´amicos no aut´onomos Observaci´on B.18 Notemos que estos lemas poseen, particularizando en procesos aut´onomos, es decir, U(t, s) = T(t−s), versiones aut´onomas que ya fueron enunciadas en el ap´endice A. Veamos los resultados que nos aseguran la existencia de atractor pullback. Teorema B.0.16 Sea {U(t, s)}un proceso en el espacio m´etrico X. Son equivalentes: 1. U(t, s)posee un atractor pullback {A(t), t ∈R}. 2. Existe una familia de conjuntos compactos {K(t)}t∈Rque atrae en sentido pullback a los acotados de X, en cuyo caso A(t)viene dado por: A(t) = [{Λ(B, t) : B⊂X, acotado } y{A(t)}es minimal en el sentido de que, si existe otra familia de conjuntos cerrados y acotados {e A(t) : t∈R}que atrae en sentido pullback a los acotados de X, entonces A(t)⊂e A(t), para ∀t∈R. A continuaci´on vamos a considerar otro concepto ´util en las aplicaciones de existencia del atractor pullback sin la necesidad de exhibir una familia de compactos que atrae a los acotados de Xen sentido pullback. ´ Esta es de una gran utilidad en el caso de EDP’s en dominios no acotados [10]. Definici´on B.19 Se dice que el proceso {U(t, s)}es pullback asint´oticamente compacto si, para cada t∈R, cada sucesi´on {sn} ⊂ (−∞, t)y cada sucesi´on acotada {xn} ⊂ Xtales que sn→ −∞ y{U(t, sk)xk}∞ k=1 est´a acotada, se verifica que {U(t, sk)xk}∞ k=1 posee una subsucesi´on convergente. Obtenemos el siguiente resultado: Lema B.0.10 Sea {U(t, s)}pullback asint´oticamente compacto y sea B⊂Xacotado tal que [ τ≤s0 U(t, s)Best´a acotado para alg´un s0∈(−∞, t). Entonces Λ(B, t)es un compacto, no vac´ıo, invariante y atrae a Ben el instante ten sentido pullback. Entonces podemos establecer el siguiente resultado: Teorema B.0.17 Supongamos que U(t, s)es pullback asint´oticamente compacto y que existe una familia {B(t)}t∈Rde acotados que absorbe en sentido pullback a los acotados de X. Entonces, la familia {A(t)}t∈Res minimal entre las familias {C(t)}t∈Rtales que C(t)es cerrado y atrae en sentido pullback los acotados de Xen el instante t. ´ Angeles Ruiz Gonz´alez 138 Observaci´on B.20 Una observaci´on interesante es darse cuenta de que los resultados que hemos visto se basan en la atracci´on de conjuntos acotados fijos, D⊂X. Sin embargo, el atractor pullback es una familia dependiente del tiempo de compactos. Una consecuencia inmediata de esto es que el atractor no pertence a la familia o universo de conjuntos que son atra´ıdos; en otras palabras, no podemos decir que el atractor se atraiga a s´ı mismo, lo que ha impedido obtener un resultado de unicidad sobre el mismo. Adem´as, suele ocurrir en las aplicaciones que el atractor pullback atraiga a clases de conjuntos m´as generales que los acotados, y de esta forma resulta interesante encontrar el atractor pullback dentro del universo de conjuntos que son atra´ıdos [10, 24, 32]. ´ Angeles Ruiz Gonz´alez 139 Ap´endice C Sistemas din´amicos con retardo Definici´on de la ecuaci´on con retardo Suponemos r∈R+,Rnes el espacio vectorial n-dimensional cuya norma es |·|, entonces C([a, b],Rn) es un espacio de Banach de funciones continuas aplicadas en [a, b] y uniformemente convergentes con la topolog´ıa de Rn. Si: σ∈R, A ≥0, x ∈C([σ−r, σ +A],Rn), entonces para t∈[σ, σ +A], definimos xt∈Ccomo: xt(θ) = x(t+θ),−r≤θ≤0. Si Des un subconjunto de R×C,f:D→Rnuna funci´on dada que representa la derivada derecha, decimos que la relaci´on existente: ˙x(t) = f(t, xt),(C.1) es una ecuaci´on diferencial funcional con retardo en D y ahora la denotaremos como RFDE1. Si queremos enfatizar que la ecuaci´on est´a definida por fescribimos la RFDE (f). Una funci´on xse dice que es una soluci´on de la ecuaci´on (C.1) en [σ−r, σ +A) si x∈C([σ− r, σ +A),Rn),(t, xt)∈Dyx(t) satisface la ecuaci´on (C.1) para t∈[σ, σ +A).Para σ∈R, φ∈C, decimos que x(σ, φ, f) es una soluci´on de la ecuaci´on (C.1) con valor inicial φen σo simplemente una soluci´on a trav´es de (σ, φ) si hay un A > 0 tal que x(σ, φ, f) es una soluci´on de la ecuaci´on (C.1) en [σ−r, σ +A) y xσ(σ, φ, f) = φ. 1Siglas en ingl´es. 141 Cap´ıtulo C Sistemas din´amicos con retardo La ecuaci´on (C.1) es un tipo de ecuaci´on muy general e incluye ecuaciones diferenciales con r= 0: ˙x(t) = F(x(t)) = f(t, x(t), x(t−τ1(t)), . . . , x(t−τp(t))), con 0 ≤τj(t)≤r,j= 1,2, . . . , p, y tambi´en su integral diferencial es una ecuaci´on diferencial con retardo: ˙x(t) = Z0 −r g(t, θ, x(t+θ))dθ. Adem´as, en (C.1) se incluyen ecuaciones mucho m´as generales. La ecuaci´on (C.1) es lineal si f(t, φ) = L(t)φ+h(t), donde L(t) es lineal; lineal homog´eneo si h≡0 y lineal no homog´eneo si h6≡ 0. Decimos que la ecuaci´on (C.1) es aut´onoma si f(t, φ) = g(φ) donde gno depende de t. Lema C.0.11 Si σ∈R,φ∈Cson dados, y f(t, φ)es continua, entonces encontrar una soluci´on de la ecuaci´on (C.1) a trav´es de (σ, φ)es equivalente a resolver la ecuaci´on integral:          xσ=φ, x(t) = φ(0) + Zt σ f(s, xs)ds, t ≥σ. (C.2) Existencia, unicidad y continuidad Vamos a enunciar un teorema de existencia b´asico para el problema de valor inicial de la Ecuaci´on (C.1) suponiendo que fes continua. Adem´as, veremos un resultado en la dependencia continua, as´ı como un simple resultado en la unicidad. Para probar la existencia de la soluci´on a trav´es de un punto (σ, φ)∈R×C, consideramos que σ > 0 y todas las funciones xen [σ−r, σ +A] que son continuas y coinciden con φ∈[σ−r, σ] que es xσ=φ. Los valores de estas funciones en [σ, σ +A] est´an restringidos en la clase de xtal que |x(t)−φ(0)| ≤ βpara t∈[σ, σ +A]. De la aplicaci´on usual Tobtenida de la correspondiente ecuaci´on integral, se define entonces que Ayβpueden ser elegidos de tal manera que Tlos manda en s´ı mismos y son completamente continuos. As´ı, el Teorema del punto fijo de Schauder2implica la existencia. La dependencia continua es un poco m´as dif´ıcil porque la aplicaci´on Tdepende de par´ametros y se debe discutir la dependencia de ellos. Si uno est´a intentando probar la dependencia 2Posteriormente enunciado ´ Angeles Ruiz Gonz´alez 142 en un valor λ0del par´ametro, entonces el procedimiento usual es asumir que el ´unico punto fijo es λ0y luego demostrar la compacidad, que es la la propiedad de que Tes uniforme con respecto a los conjuntos compactos que contienen λ0. Lema C.0.12 Si x∈C([σ−r, σ +A],Rn)entonces xtes una funci´on continua de tsi t est´a en [σ, σ +A]. Es conveniente introducir algunas notaciones para mejorar el entendimiento los lemas siguientes. Notaci´on C.1 Para cualquier (σ, φ)∈R×C, sea e φ∈C([σ−r, ∞),Rn) definido por: e φσ=φ, e φ(t+σ) = φ(σ), t ≥0.(C.3) Supongamos que xes una soluci´on de la ecuaci´on (C.1) a trav´es de (σ, φ). Si: x(t+σ) = e φ(t+σ) + y(t), t ≥ −r, entonces con el Lema C.0.12 se satisface:        y(t) = Zt 0 f(σ+s, e φσ+s+ys)ds, t ≥0 y0= 0 . (C.4) Por el contrario, si yes una soluci´on de esta ecuaci´on, entonces se obtiene una soluci´on x de la ecuaci´on (C.1) por esta transformaci´on. Por lo tanto, encontrar una soluci´on de (C.1) es equivalente a encontrar una funci´on α > 0 y una funci´on y∈C([−r, α),Rn) tal que la ecuaci´on (C.4) se satisface para 0 ≤t≤α. Si Ves un subconjunto de R×C, entonces C(V, Rn) es la clase de todas las funciones f:V→Rnque son continuas y C0(V, Rn)⊆C(V, Rn) es el subconjunto de las funciones continuas acotadas de VaRn. Entonces el espacio C0(V, Rn) se convierte en un espacio de Banach con la norma: |f|V= sup (t,φ)∈V|f(t, φ)|.(C.5) Para cualquier real αyβse define: Iα= [0, α], Bβ={ψ∈C:|ψ| ≤ β}, A(α, β) = {y∈C([−r, α],Rn) : y0= 0, yt∈Bβ, t ∈Iα}. (C.6) ´ Angeles Ruiz Gonz´alez 143 Cap´ıtulo C Sistemas din´amicos con retardo Lema C.0.13 Suponemos que Ω⊆R×Ces un abierto, W⊆Ωun compacto y f0∈ C(Ω,Rn)dados. Entonces existe un entorno V⊆Ωde Wtal que f0∈C0(V, Rn), existe otro entorno U⊆C0(V, Rn)de f0y constantes positivas M,α, y βtales que: |f(σ, φ)|< M para (σ, φ)∈Vyf∈U, (C.7) Adem´as, para cualquier (σ0, φ0)∈W, tenemos (σ0+t, yt+e φσ0+t0∈Vpara t∈Iα,y∈ A(α, β). El siguiente lema se utilizar´a para aplicar teoremas de punto fijo para la existencia y la dependencia continua de las soluciones de la ecuaci´on (C.1). Lema C.0.14 Suponemos que Ω⊆R×Ces abierto, W⊆Ωes compacto, f0∈C(Ω,Rn) dado, y dos entornos UyV, con constantes M,αyβobtenidas en el Lema C.0.13. Si: T:W×U×A(α, β)→C([−r, α],Rn) T(σ, φ, f, y)(t)=0, t ∈[−r, 0], T(σ, φ, f, y)(t) = Zt 0 f(σ+s, e φσ+s+ys)ds, t ∈Iα, entonces Tes continua y hay un conjunto compacto Ken C([−r, α],Rn)tal que: T:W×U×A(α, β)→K. Adem´as, si Mα ≤β, entonces: T:W×U×A(α, β)→A(α, β). Incluso despu´es de este lema, el operador Tes continuo bajo condiciones m´as d´ebiles que las establecidas en el Lema C.0.14. Para probar nuestro teorema b´asico de existencia, necesitamos el Teorema de punto fijo de Schauder. Si Ues un subconjunto de un espacio de Banach XyT:U→X, entonces Tes completamente continua si Tes continua y para cualquier conjunto acotado B⊆U, el cierre de T(B) es compacto. Teorema C.0.18 (Teorema del punto fijo de Schauder). Si Ues un convexo, cerrado, subconjunto de un espacio de Banach XyT:U→Ues completamente continuo, entonces T tiene un punto fijo en U. ´ Angeles Ruiz Gonz´alez 144 Teorema C.0.19 (Existencia). Supongamos que Ωes un subconjunto abierto en R×Cy f0∈C(Ω,Rn). Si (σ, φ)∈Ω, entonces hay una soluci´on del RFDE (f0)que pasa a trav´es de (σ, φ). M´as generalmente, si W⊆Ωes compacto y f0∈C(Ω,Rn)es dado, entonces hay un entorno V⊆Ωde Wtal que f0∈C0(V, Rn), hay otro entorno U⊆C0(V, Rn)de f0 y un A > 0tal que para cualquier (σ, φ)∈W f ∈U, existe una soluci´on x(σ, φ, f)de la RFDE (f)a trav´es de (σ, φ)que existe en [σ−r, σ +A]. Teorema C.0.20 (Continuidad). Suponemos que Ω⊆R×Ces abierto, (σ0, φ0)∈Ω,f0∈ C(Ω,Rn), y x0una soluci´on de RFDE(f0)a trav´es de (σ0, φ0)que existe y es ´unica en [σ0−r, b].Sea W0⊆Ωel conjunto compacto definido por: W0={(t, x0 t) : t∈[σ0, b]}, y sea V0un entorno de W0donde f0est´a acotado. Si (σk, φk, fk),k= 1,2, . . . satisface σk→σ0, φk→φ0, y |fk−f0|V0→0cuando k→ ∞, entonces existe un k0tal que la RFDE (fk)para k≥k0es tal que cada soluci´on xk=xk(σk, φk, fk)a trav´es de (σk, φk) existe en [σk−r, b]yxk→x0uniformemente en [σ0−r, β].3 Teorema C.0.21 Supongamos que Ωes un conjunto abierto en R×C,f: Ω →Rnes continua, y f(t, φ)es Lipschitziana en φen cada conjunto compacto de Ω. Si (σ, φ)∈Ω entonces hay una soluci´on ´unica de la ecuaci´on (C.1) a trav´es de (σ, φ). Continuaci´on de soluciones Supongamos que fen la ecuaci´on (C.1) es continua. Si xes una soluci´on de la ecuaci´on (C.1) en un intervalo [σ, a), a > σ, decimos xes una continuaci´on de xsi hay un b > a tal que xse define en [σ−r, b), coincide con xen [σ−r, a), y xsatisface la ecuaci´on (C.1) sobre [σ, b). Una soluci´on xes no-continuable si no existe tal continuidad, es decir, el intervalo [σ−r, a) es el intervalo m´aximo de existencia de la soluci´on x. Adem´as, el intervalo m´aximo de existencia debe ser abierto. Teorema C.0.22 Supongamos que Ωes un conjunto abierto en R×Cyf∈C(Ω,Rn). Si xes una soluci´on no-continuable de la ecuaci´on (C.1) en [σ−r, b), entonces, para cualquier conjunto compacto W⊂Ω, hay un tWtal que (t, xt)/∈Wpara tw≤t<b. 3Puesto que todo xkno puede ser definido en [σ0−r, b], por xk→x0uniformemente en [σ0−r, b], queremos decir que para cualquier ε > 0, hay una k1(ε) tal que xk(t), k≥k1(ε), definido en [σ0−r+ε, b] y xk→x0 uniformemente en [σ0−r+ε, b]. ´ Angeles Ruiz Gonz´alez 145