Modelo transitorio de compresor: Análisis de la respuesta para variaciones en las condiciones de salida
Abstract
En este documento se pretende arrojar un poco de luz sobre el estudio del transitorio de un compresor y la simulación matemática del mismo. Se ha desarrollado, por este motivo, un modelo capacitivo con la intención de tener una respuesta temporal que se aproxime lo suficiente a la realidad como para poder sacar conclusiones válidas. Se ha analizado este modelo matemático sometiéndolo a perturbaciones que modifican su punto de operación, obteniendo así una respuesta en el transitorio. A partir de este estudio se podrá obtener: • Predicciones sobre el comportamiento y operatividad del compresor ante diversas maniobras, que estarán relacionadas con las perturbaciones a las que se somete al modelo. • Un estudio de la aproximación al fenómeno de bombeo en un compresor real a partir del modelo matemático que se propone. • La creación de leyes de control que suavicen o modifiquen las perturbaciones impuestas sobre el sistema en caso de que los requerimientos (entendidos por maniobras que se ejercen sobre el motor) provoquen que el compresor entre en línea de bombeo o pase por puntos de no operatividad. Todo esto se conseguirá a partir de un modelo analítico-matemático que implementa las ecuaciones físicas que rigen el paso del fluido por volúmenes, conductos, válvulas y el compresor. Se hará uso, de este modo, de recursos numéricos como la integración numérica, resolución de ecuaciones diferenciales por el método Runge-Kutta, interpolación, entre otros. Como se extrae del estudio, el modelo matemático capacitivo resulta insuficiente para el estudio del comportamiento del compresor, necesitando de la ecuación del momentum para recrear una evolución lo suficientemente realista. Aún así, las conclusiones sacadas en este documento son aplicables y queda representada parte de la operación transitoria de un compresor axial.
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Proyecto Fin de Carrera Ingeniería de Telecomunicación Formato de Publicación de la Escuela Técnica Superior de Ingeniería Autor: F. Javier Payán Somet Tutor: Juan José Murillo Fuentes Dep. Teoría de la Señal y Comunicaciones Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2013 Trabajo Fin de Grado Grado en Ingeniería Aeroespacial Modelo transitorio de compresor: Análisis de la respuesta para variaciones en las condiciones de salida Autor: Jesús Benito López Moreno Tutor: Francisco José Jiménez-Espadafor Aguilar Dpto. Ingeniería Energética Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2020
Trabajo Fin de Grado Grado en Ingeniería Aeroespacial Modelo transitorio de compresor: Análisis de la respuesta para variaciones en las condiciones de salida Autor: Jesús Benito López Moreno Tutor: Francisco José Jiménez-Espadafor Aguilar Catedrático de Universidad Dpto. Ingeniería Energética Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2020
Trabajo Fin de Grado: Modelo transitorio de compresor: Análisis de la respuesta para variaciones en las condiciones de salida Autor: Jesús Benito López Moreno Tutor: Francisco José Jiménez-Espadafor Aguilar El tribunal nombrado para juzgar el trabajo arriba indicado, compuesto por los siguientes profesores: Presidente: Vocal/es: Secretario: acuerdan otorgarle la calificación de: El Secretario del Tribunal Fecha:
Agradecimientos Co n este proyecto pongo fin a mis estudios de grado y con ello cierro una etapa de duro pero gratificante trabajo para formarme como ingeniero y como persona. Es por ello que me gustaría agradecer dedicando este trabajo a las personas que me han acompañado durante esta etapa y me han ayudado a mejorarme día a día haciendo posible que hoy esté en la posición de entregar el presente documento. En primer lugar, me gustaría mostrar mi agradecimiento a la Escuela Técnica Superior de Ingeniería de la Universidad de Sevilla por la oportunidad que me está brindando para formarme. También me gustaría agradecer a las personas que han estado a mi alrededor, por el apoyo que he recibido, no solo en la realización de este trabajo, sino también en el tiempo que ha durado mi formación en la escuela. En especial a mis padres, por el esfuerzo que han hecho para que sea capaz de alcanzar las metas que me he propuesto, a mis amigos y a mis compañeros que me han apoyado en los mejores y peores momentos. Por último, me gustaría hacer una mención especial a Pablo, mi compañero de proyecto, con el que ha sido posible desarrollar este trabajo. Jesús Benito López Moreno Sevilla, 2020 I
Resumen En este documento se pretende arrojar un poco de luz sobre el estudio del transitorio de un compresor y la simulación matemática del mismo. Se ha desarrollado, por este motivo, un modelo capacitivo con la intención de tener una respuesta temporal que se aproxime lo suficiente a la realidad como para poder sacar conclusiones válidas. Se ha analizado este modelo matemático sometiéndolo a perturbaciones que modifican su punto de operación, obteniendo así una respuesta en el transitorio. A partir de este estudio se podrá obtener: • Predicciones sobre el comportamiento y operatividad del compresor ante diversas maniobras, que estarán relacionadas con las perturbaciones a las que se somete al modelo. • Un estudio de la aproximación al fenómeno de bombeo en un compresor real a partir del modelo matemático que se propone. • La creación de leyes de control que suavicen o modifiquen las perturbaciones impuestas sobre el sistema en caso de que los requerimientos (entendidos por maniobras que se ejercen sobre el motor) provoquen que el compresor entre en línea de bombeo o pase por puntos de no operatividad. Todo esto se conseguirá a partir de un modelo analítico-matemático que implementa las ecuaciones físicas que rigen el paso del fluido por volúmenes, conductos, válvulas y el compresor. Se hará uso, de este modo, de recursos numéricos como la integración numérica,resolución de ecuaciones diferenciales por el método Runge-Kutta,interpolación, entre otros. Como se extrae del estudio, el modelo matemático capacitivo resulta insuficiente para el estudio del comportamiento del compresor, necesitando de la ecuación del momentum para recrear una evolución lo suficientemente realista. Aún así, las conclusiones sacadas en este documento son aplicables y queda representada parte de la operación transitoria de un compresor axial. III
Notación πCRelación de compresión ˙mCGasto circulante por el compresor ηCRendimiento del compresor TTemperatura estática T0Temperatura de remanso PPresión estática P0Presión de remanso VVolumen AÁrea ρDensidad CPCapacidad calorífica del gas a presión constante CVCapacidad calorífica del gas a volumen constante RConstante de los gases ideales γCoeficiente de dilatación adiabática hEntalpía estática del fluido h0Entalpía de remanso del fluido sEntropía vVolumen específico CVelocidad absoluta CdCoeficiente de descarga KCoeficiente de carga MNúmero de Mach Gin Gasto entrante Gout Gasto saliente β Parámetro de avance en las líneas a NC constante. No tiene sentido físico. F.E.πCFactor de escalado en la relación de compresión F.E.˙mCFactor de escalado en el gasto F.E.ηCFactor de escalado en el rendimiento dP dt Variación de la presión con el tiempo dT dt Variación de la temperatura con el tiempo dm dt Variación de la masa con el tiempo XI
1 Introducción En los distintos cursos de grado en Ingeniería que versan sobre el análisis de los comportamientos de aerorreactores se suele focalizar el estudio en el comportamiento del motor en régimen permanente. Si bien este estudio es bastante amplio y necesario para comprender y diseñar un motor que deba dar unas prestaciones específicas, no un análisis completo de los mismos ya que pasa por alto el régimen transitorio de los mismos. El comportamiento de los motores en su arranque o en operaciones donde varíe su punto de operación no es menos importante que el régimen permanente, ya que en esos periodos de operación el motor puede llegar a zonas de diseño peligrosas que puede comprometer fuertemente su operación. Por ejemplo, pueden llegarse a zonas de bombeo (Surge) de compresor, en donde el flujo dentro del mismo se revierte y puede dar a una destrucción completa del motor. Es crucial analizar en qué casos y cómo se puede llegar a esas condiciones para evitarlas, y son muy probables que se den en la operación transitoria de un motor, con lo que el análisis de la misma cobra mucha más importancia. A su vez, es importante analizar las causas de esos problemas para saber diseñar un motor y elegir un punto de diseño correcto lo suficientemente alejado de esas zonas. Cabe decir que aunque el estudio de la operación transitoria de motores es perfectamente factible en laboratorios con los medios adecuados, es perfectamente posible realizarlas también a través de computación matemática , lo que evita que se tenga que disponer, primero de una zona de ensayos válida para realizarlos, y de un motor que ensayar, con lo que se gana mucho en experimentación. Si bien no hay que olvidar que los resultados no son reales, aunque serán próximos a ellos. Solo hay que disponer de datos experimentales derivados del régimen permanente del motor y obtener un modelo lo suficientemente realista para que se puedan obtener resultados significativos. Para llevar a cabo el estudio mediante computación es necesario desarrollar un modelo matemático que implementar en un programa de cálculo. El método que se va a utilizar es el Inter-Component Volume Method, basado en la introducción de varios volúmenes de control que servirán, por un lado para imitar el volumen del compresor en el que se acumulará el aire, y otro para imitar el resto del motor, en caso de que estuviera integrado en un motor real. Este método se implementará en el programa de cálculo MATLAB, tal y como se desarrollará en posteriores apartados. La presente memoria surge de la necesidad de comprender qué tipo de comportamientos sufren las máquinas y motores térmicos durante su operación transitoria. Si bien el estudio del comportamien- to de un aerorreactor en régimen permanente se puede modelar en toda su complejidad solo por ecuaciones algebraicas o sistemas de ecuaciones algebraicas, el periodo de operación transitoria de 1
2Capítulo 1. Introducción los motores, al ser dependiente del tiempo debe incluir este aspecto en sus ecuaciones, con lo que el estudio de estos solo es posible mediante ecuaciones diferenciales. Dicho análisis no es trivial y solo se puede llevar a cabo a través de una serie de métodos numéricos. Gracias a la tecnología actual estos problemas son perfectamente abordables y se puede resolver con un margen de error lo suficientemente aceptable, con lo que sus resultados son perfectamente extrapolables a la realidad, o por lo menos válidos para llegar a conclusiones que sí lo sean. También se decide abordar este estudio debido a que hay mucha menos información disponible respecto a los análisis de motores en operación transitoria que en operación permanente. Este hecho es comprensible, ya que es un problema que no se ha podido abordar hasta hace relativamente poco tiempo, y que a ojos de un diseñador, creará un motor que se amolde a las prestaciones requeridas, pero por supuesto que cumpla con un comportamiento válido en régimen transitorio. Con el presente trabajo también se quiere arrojar un poco de luz a las investigaciones de este tipo de operaciones, aun con las limitaciones en las que se encuentra por tratarse de un Trabajo Final de Grado. Un último aspecto a considerar es la posibilidad de instalar algoritmos de control que se basen en este método en motores de aeronaves. Como bien es sabido, actualmente los motores están equipados con unidades electrónicas de control (ECU) que se encargan de medir parámetros y monitorizar la operación del motor. Dichas unidades llevan integradas leyes de control y de comportamiento de los motores y por supuesto, métodos numéricos que a partir de los datos experimentales y de los que vaya midiendo, prevén el funcionamiento del motor. Poder implementar un método que pueda prevenir el fallo del compresor o del motor en su conjunto es una gran ventaja a la hora de evitar accidentes. En la presente memoria, sin embargo, no se va a analizar el comportamiento de un motor por completo, sino únicamente de compresores axiales. Es interesante observar el comportamiento del motor en su conjunto, pero se entiende que el alcance de ese estudio es demasiado para un trabajo de estas características. Aún así, se obtendrán conclusiones igual de interesantes que podrán complementarse a las de otros estudios de otros componentes de motor. Aunque solo se vayan a analizar compresores, se hará un estudio lo suficientemente completo como para obtener dichas conclusiones y en el que se intentará introducir todas las casuísticas más comunes de operación de compresores.
1.1 Estado del arte 3 1.1 Estado del arte Durante los últimos 60 años la operación de compresores axiales ha sido objetos de diferentes estudios para comprender qué es lo que sucede en su transcurso. Sobre todo, han sido estudios centrados en analizar la entrada en pérdida (Stall) del compresor, y en analizar el fenómeno denominado Surge que puede dar lugar a la pérdida. Es más, muchos de los análisis orientados a analizar el bombeo se ha centrado en la operación en régimen permanente de compresores, pero pocos se han dedicado a analizar la operación transitoria de ellos, debido a la no linealidad del proceso y la complejidad del problema y de la instrumentación necesaria. De hecho, la mayoría de técnicas usadas se basaban en obtener cuantos la mayor cantidad de datos de operación posible, modelar el fenómeno y empezar a obtener conclusiones. Por supuesto, los análisis que se realizaban sobre compresores centrífugos eran similares a los que se hacían sobre compresores axiales. El primer trabajo que se centró en crear un modelo que recreara el bombeo y la pérdida asociada data de 1955 (Emmons, et al). Distintos trabajos e investigaciones se han desarrollado desde entonces: Takata y Nagano en 1972 [ 3 ] crearon uno de los primeros modelos no lineales para analizar la pérdida en compresores. Y de ahí en adelante distintos proyectos que intentaban analizar el bombeo y la pérdida en base a distintas técnicas, con mejor y peor resultado. Además, gran parte de los estudios sobre compresores se realiza junto a turbinas. Por supuesto, en la gran mayoría de esos estudios se pueden encontrar conclusiones que afectan al diseño de álabes y áreas de los compresores. Sin embargo, aquí no se profundizará en ese aspecto, si no que el diseño de compresor ya vendrá dado. Aunque aún se siguen realizando ensayos en laboratorios de compresores cuando es posible, en los últimos años se han empezado a desarrollar modelos computacionales que representen el funcionamiento de compresores axiales, integrados a su vez en un mismo conjunto con una turbina y una cámara de combustión, de manera que se modele el funcionamiento completo de un generador de gas. Por supuesto, estos modelos, como el introducido en [ 6 ] incluyen modelos termodinámicos de combustión que intentan acercarse lo máximo posible a la realidad, si bien es un proceso harto complejo por la cantidad de irreversibilidades que pueden encontrarse en ese punto. Por ello, intentan integrar modelos analíticos con modelos empíricos, de manera que puedan aproximarse aún más a la realidad. Sin embargo, aún se pueden encontrar investigaciones que abarcan exclusivamente el estudio de la operación de compresores, como puede ser la que llevaron a cabo Marcin Plis y Henryk Rusinowski en 2016[1]. Es interesante observar que dichos modelos que se usan actualmente se basan en modelos matemáticos ideados durante el siglo pasado, que sus creadores incluso llegaron a implementar en computadoras y que sentaron la base para que otros lo hicieran y que efectivamente eran funcionales. Aún siendo modelos poco pulidos, basados en operaciones matriciales para resolver las ecuaciones diferenciales, daban muy buenos resultados. Es más, estos modelos incluso se llegaron a implementar en ámbitos como la climatización, para el diseño de aires acondicionados, o para el diseño de plantas energéticas térmicas de producción de electricidad. Si bien existe un estudio relativamente amplio de la simulación de motores y turbocompresores, en este proyecto se pretende obtener desde cero un modelo funcional con el que se pueda extraer información y, en su caso, sirva como precedente a proyectos que abarquen un estudio más detallado del motor.
4Capítulo 1. Introducción 1.2 Descripción general del modelo Como se ha mencionado anteriormente, el objetivo de este proyecto es realizar un análisis matemático descriptivo de un compresor en transitorio, con el que se puedan extraer conclusiones sobre la variación de parámetros con el tiempo y los efectos que estos tienen sobre el compresor. Para realizar este análisis, se ha hecho uso de un modelo matemático, en este apartado se mencionarán las partes que tiene y, en general, la función de cada una de estas partes. También se mencionarán las ecuaciones que se utilizan con la intención de tener una visión global de cómo funciona el sistema sin entrar en detalle. El esquema que se presenta a continuación consta de diferentes componentes. Cada uno de ellos representa un elemento físico que ha sido sustituido por un módulo matemático que se asemeja a su comportamiento real. El dimensionamiento y caracterización de los parámetros físicos que describen cada componente es fundamental para la interacción entre estos. Figura 1.1 Esquema del modelo completo. Como se observa, existe una numeración de partes y componentes. Cada uno de ellos representa una etapa por la que pasa el fluido o elementos de control de parámetros determinantes para un componente. Se presenta una descripción sencilla de los componentes del modelo, en futuros apartados se entrará en detalle sobre cada uno de ellos. •Motor: Su función es la regulación activa de la velocidad de giro del compresor. Es un elemento sobre el que se ejerce un control que afecta a los parámetros del mapa de compresor y será analizado en el apartado correspondiente, siendo uno de los parámetros principales de análisis. •Compresor: El elemento sobre el que se centra el objeto del presente documento y el proyecto. Su comportamiento se genera a partir de unas tablas que proporcionan las curvas características (adaptadas al punto de diseño que se adopte) y, como consecuencia, determinan la evolución del fluido a través de este componente. Sus parámetros más importantes serán el gasto circulante ( ˙mc), la relación de compresión (πc) y el rendimiento (ηc). En las curvas características aparece lo que se denomina línea de bombeo, que es una medida empírica por la que el comportamiento del motor es impredecible.
1.2 Descripción general del modelo 5 •Punto 1 - Condiciones ambiente: Condiciones de entrada del fluido, determinadas por la presión y la temperatura de remanso antes del compresor. Diferentes condiciones ambientes afectarán al funcionamiento del compresor y, por consiguiente, al resto del modelo •Punto 2 - Salida del compresor: Representado a través de un conducto de área adaptada al diseño, recoge las condiciones de salida del compresor tras aplicar sus factores correspondientes. •Punto 3 - Volumen de compresor: Recoge el efecto transitorio del compresor. Gracias al mismo, se podrá estudiar la dependencia temporal de la presión, temperatura y masa dentro del compresor cuando se aplican actuaciones sobre elementos de control. Su diseño geométrico (determinado a través de la variable volumen) vendrá dado por diseños encontrados en bibliografía. •Punto 4 - Válvula de conexión: La conexión entre los dos volúmenes se hace a través de una válvula. El diseño de esta válvula está sujeto a un Mach máximo restringido de 0,4 o 0,5. Mediante este componente, se conseguirá la interacción entre los volúmenes a través del gasto circulante. •Punto 5 - Plenum: Este es el volumen de descarga del compresor. El valor de este volumen es estimativo y está sujeto a ser parte de análisis paramétrico. •Punto 6 - Válvula de regulación: Esta válvula permite regular la salida de gasto modificando el área de paso y puede llegar a condiciones de bloqueo. Representa una regulación en las condiciones de salida del compresor, siendo una variable de control cuya actuación determinará el cambio de condiciones para uno de los casos de estudio de transitorio. La interconexión de estos componentes hace posible un estudio en el tiempo de las características del compresor y las variables principales de cada uno de los mismos. Con este modelo simple se pretende representar la operación transitoria del compresor. Esto se consigue a través del volumen situado en el punto 3, ya que se podrán representar (si el modelo es suficientemente realista) los efectos en el volumen fluido interior al compresor. El conducto que une el compresor con este volumen constituye simplemente una herramienta matemática que permite la conexión entre ambos módulos y su dimensionamiento vendrá dado por las condiciones de operación del compresor. Para conseguir este estudio, sobre el sistema se introducirán perturbaciones en elementos de control que, como ya se han mencionado se harán actuando sobre: el motor que regulará la velocidad de giro del compresor y la válvula de salida del plenum , con la que se regulará el gasto circulante por el sistema completo.
Parte I MODELO MATEMÁTICO DEL SISTEMA 7
14 Capítulo 2. Modelo capacitivo de la evolución del flujo 2.2.2 Diseño de válvulas. Restricciones físicas y consideraciones La única variable libre de diseño es el área de garganta del modelo representativo. No obstante, en el dimensionamiento del sistema hay que tener en cuenta dos restricciones. Una de ellas relacionada con las condiciones que debe cumplir el fluido en ese punto para que sea aceptable el modelo, y la segunda relacionada con la determinación del punto de operación del sistema. • Válvula 4 limitada en número de Mach en la garganta. La válvula 4 en nuestro modelo, es la conexión del compresor con el volumen de descarga, por lo que es fundamental que para su correcto funcionamiento, el Mach de salida en operación estacionaria esté controlado y su valor entre en el rango: Mv4kest <0.5 Siendo un Mach de diseño típico de un Compresor de 0.4-0.5. Figura 2.4 Comprobación de Mv4<0.5. Se podrán dar situaciones en las que el Mach de la válvula 4 se salga de esta restricción siempre que se llegue a un estable que la cumpla, si esto no ocurre, se debe redimensionar el sistema para que se cumpla. • Punto de diseño a estudiar. En el modelo que se presenta, el gasto está regulado por las válvulas/conducto que conectan unos elementos con otros. Así pues, si se considera un punto de diseño a estudiar de un gasto ˙mc solicitado sobre el que se hagan perturbaciones, el sistema completo debe suministrar ese gasto. Esto implica dimensionar el área de paso de cada válvula en torno a este valor sin olvidar la restricción de Mach anterior.
2.2 Válvulas y conducto 15 Figura 2.5 Ejemplo de estable a ˙mc=70kg/ssobre el que se genera una perturbación. Como se observa, se parte de un estable con un gasto de 70 kg/s circulante por todo el sistema y al introducir la perturbación se llega a un segundo gasto estable. 2.2.3 Ecuaciones del modelo Como se ha mencionado anteriormente, el flujo a través de una válvula será modelado por el paso por una tobera convergente. Por lo cual, se pueden aplicar las ecuaciones de cálculo de las variables estáticas en la garganta (punto 2). Se obtendrán los valores de Velocidad absoluta,Mach,Temperatura estática,Presión estática y, por último, el gasto circulante. Por un lado, la expresión del gasto a la salida de la válvula: ˙m2=ρ2C2A2Cd(2.11) La expresión del Mach en la garganta: M2=C2 qCP(T2) CP(T2)−RRT2 (2.12) La entalpía de remanso a la salida: teniendo en cuenta la ecuación 2.4. Esta ecuación se utilizará para el cálculo de la temperatura estática en la garganta. ZT02 Tre f CP(T)dT =ZT2 Tre f CP(T)dT +C2 2 2(2.13) La última de las ecuaciones se obtiene teniendo en cuenta la ecuación 2.7 para un proceso a entropía constante y la ecuación de estado para gases ideales, teniéndose: Z02 2 CP(T) TdT =Z02 2 Rdp ρ+C2 2 2(2.14) donde se ha tenido en cuenta: CP(T)dT =RT ρdp (2.15)
16 Capítulo 2. Modelo capacitivo de la evolución del flujo Sin embargo, aún queda por establecer la relación que existe en cada estado entre la presión estática y de remanso. Dicha relación viene dada por la expresión: ZT0 T CP(T) TdT =Rln P0 P(2.16) que se deriva de la expresión 2.5. Es momento de explicar que son cada una de las variables que se indican en las expresiones: •Chace referencia a la Velocidad del flujo. •ρies la Densidad del flujo en cada estado i. •Aies el área de paso de la válvula en la sección donde se calcule el estado i. •T2hace referencia a la Temperatura Estática de salida del flujo. •PyP0son las presiones estática y de remanso de cada estado. •Cdes el coeficiente de descarga La resolución del proceso a través de las válvulas difiere según si el flujo a la salida, que en adelante se supondrá la garganta del conducto es adaptado o se produce el bloqueo sónico. A continuación se van a presentar los procedimientos de resolución según cada caso: Flujo adaptado En principio todas las válvulas del modelo podrán presentar esta situación, aunque dependiendo de la evolución temporal puedan llegar a bloquearse o no. Los datos de partida para afrontar la resolución son: Temperatura y Presión de remanso en la garganta: T0 , P0 , presión estática en la garganta: P , y área de garganta. El procedimiento para calcular la velocidad de salida de gases C , el Mach de salida M , el Gasto ˙m y la Temperatura estática T, es secuencial: Se empieza calculando la temperatura estática a partir de la temperatura de remanso y de la relación entre presión de remanso y estática, con la expresión 2.16, y a continuación, la velocidad de salida de gases a partir de la ecuación 2.13: C=s[ZT0 Tre f CP(T)−ZT Tre f CP(T)] (2.17) El Mach de salida es fácil obtenible a partir de la expresión 2.12: M=C qRT CP(T) CP(T)−R (2.18) Por último, el gasto de salida se obtiene con la ecuación 2.11: ˙m=Cd P RT A(2.19) Estas ecuaciones resuelven el paso del fluido por la válvula, no obstante, no se contempla el caso en el que la válvula llega a condiciones de bloqueo. Entonces, a diferencia de este procedimiento, la presión en la garganta deja de ser la presión de remanso en la descarga a ser desconocida, imponiéndose M=1.
2.2 Válvulas y conducto 17 Flujo bloqueado Es posible que en la operación del compresor algunas de las válvulas puedan bloquearse. De hecho en algunos casos se buscará que se bloqueen para poder analizar como opera el compresor en ese caso. Salvo la válvula que comunica los dos volúmenes, el resto podrán llegar a esta situación, cuya resolución no es secuencial. Los datos de partida para resolver el flujo son: la Temperatura y Presión de remanso, T0 y P0 , el área de garganta, A , y el Mach de salida de gases, M , que por tratarse de un flujo bloqueado se sabe que unidad. Sabiendo esto se llega a un sistema de ecuaciones algebraico no lineal cuyas ecuaciones están acopladas entre sí: 1=C sRT CP(T) CP(T)−R C2 2=ZT0 Tre f CP(T)dT −ZT Tre f CP(T)dT Rln P0 P=ZT0 Tre f CP(T) TdT −ZT Tre f CP(T) TdT (2.20) de donde se obtiene la velocidad C , y la presión y temperaturas estáticas: P y T . El gasto se calcula nuevamente con la ecuación 2.19, de manera similar al caso anterior. Es relativamente sencillo que se alcancen las condiciones de bloqueo en una válvula, ello sólo depende de dos magnitudes características del flujo: La relación de presiones antes y después de la válvula P01 P02 y la temperatura de remanso de donde proviene el fluido T01. Figura 2.6 Variables que determinan las condiciones de bloqueo.
18 Capítulo 2. Modelo capacitivo de la evolución del flujo Como se observa, el salto de presiones para que se produzca un bloqueo se encuentra en el rango de [1.8−1.9]. Todas estas magnitudes se pueden representar frente al tiempo, de manera que es perfectamente posible observar su evolución. A modo de ejemplo, se presentan la evolución de la Temperatura estática, el Gasto, el Mach y la Velocidad de salida de gases para nas válvulas cuyas áreas de garganta son: •Conducto compresor(2): A2=0.166 m2 •Válvula unión volúmenes(4): A4=0.13 m2 •Válvula control(6): A6=0.1 m2 A su vez los volúmenes tienen las siguientes características: •Volumen de compresor: V=0.8m3,Pini =90 kPa,Tini =685 K. •Volumen de descarga (plenum): V=2m3,Pini =70 kPa,Tini =685 K. Con todas las consideraciones y la aplicación de las ecuaciones al modelo matemático se pretende obtener una evolución de las variables de cada uno de los elementos que se comportan físicamente como se ha descrito de la siguiente forma. Figura 2.7 Evolución temporal obtenida de las válvulas y conducto. donde la evolución se ha obtenido para un estudio de velocidad de giro variable del compresor. Como se puede apreciar, la salida del flujo al exterior es en todo momento supersónica, aspecto que se ha tenido en cuenta anteriormente.
2.3 Volúmenes de trabajo 19 2.3 Volúmenes de trabajo A continuación se van a mostrar los componentes fundamentales para implementar el modelo transitorio del compresor. Son estos volúmenes los que permiten implementar el régimen transitorio en el modelo y a su vez son pieza fundamental en los ensayos físicos en laboratorios. En el modelo se van a usar dos volúmenes de control: uno asociado al volumen del compresor, que simulará la acumulación de aire dentro del mismo; y otro mayor de descarga del compresor, el plenum, cuya misión es recrear los componentes aguas abajo del compresor si este estuviera inserto dentro de un motor real. De esta manera no es necesario tener disponible el aerorreactor para estudiar un compresor, sino que con materiales más versátiles y sencillos se puede conseguir el mismo efecto. Ambos volúmenes son adiabáticos, rígidos y la presión, temperatura y masa dentro de ellos se considerarán uniformes en su interior (no hay estratificación). 2.3.1 Dimensionamiento de los volúmenes Este valor determina la cantidad de fluido que habrá dentro de cada volumen, influyendo directamente en las ecuaciones que se consideran. Por ello, para realizar un análisis que se acerque a la realidad se ha recurrido a valores encontrados en la literatura de estudios similares. • Volumen del compresor: Este valor está relacionado directamente con el compresor concreto que se está analizando. Dado que este componente representa el volumen de aier interior al compresor, el valor es intrínseco al modelo de compresor que se quiera utilizar . El valor que se ha estimado a partir de dimensiones de compresores axiales de aviación y estudios de simulación de compresores ha sido: Vcomp =0.8m3 • Volumen del plenum: Al tratarse del volumen de descarga del compresor, su valor es más libre, teniendo en cuenta que debe ser considerablemente mayor. Si bien este dimensionamiento será fijo al estudiar una evolución temporal está sujeto a ser parte de un estudio paramétrico. El valor con el que se realizarán los primeros análisis ha sido: Vplwnum =2m3 2.3.2 Ecuaciones del modelo El flujo dentro del compresor estará gobernado por 3 ecuaciones diferenciales acopladas entre ellas: la ecuación de Estado del gas, en su forma diferencial, el Primer Principio de la Termodinámica y la ecuación de la continuidad. La integración temporal de todas ellas dará la evolución de la temperatura T, la presión P y la masa m dentro del volumen, que serán variables de salida del volumen y del modelo. Ecuación de estado y su forma diferencial: P=ρRT (2.21) dp dt =R V(Tdm dt +mdT dt )(2.22)
20 Capítulo 2. Modelo capacitivo de la evolución del flujo Primer Principio de la Termodinámica aplicado al volumen: dm dt u(T)−ure f +mCV(T)dT dt =Gin hin +C2 in 2−Gout hout +C2 out 2(2.23) Siendo: u(T)−ure f =ZT Tre f Cv(T)dT =ZT Tre f CP(T)dT −R(T−Tre f ) hout =ZTout 0 CP(T)dT hin =ZTin 0 CP(T)dT La tercera ecuación diferencial es la Ecuación de la continuidad de Navier-Stokes: dm dt =Gin −Gout (2.24) donde los subíndices in se refieren a la entrada al volumen y out a la salida, y G se refiere a Gasto. Se trabajará teniendo en cuenta que los volúmenes solo tienen una entrada y una salida. Respecto al mayor de los volúmenes (plenum), las ecuaciones que lo gobiernan son las mismas. Su misión es imitar al resto del motor cuando el compresor está integrado en él. A priori, dado que es un modelo capacitivo y se considera que los volúmenes no sufren de estratificación, la ecuación del momentum de Navier-Stokes no se aplicará en el modelo. A modo de ejemplo de lo que se está hablando, se presenta la evolución de la Temperatura, presión y masa dentro de cada volumen, para el caso en el que el volumen de compresor tenga una capacidad Vcompresor =0.8m3, y el volumen de plenum, Vplenum =2m3, con valores iniciales de T y P: •V. Compresor: Tini =685 K,Pini =9bar •V. Plenum: Tini =685 K,Pini =7bar La masa inicial se calcula según la ecuación 2.21. La respuesta del compresor obtenida en este caso se presenta a continuación, donde se ha aplicado un aumento a la velocidad de giro del compresor a partir del instante t=1,5 segundos:
2.3 Volúmenes de trabajo 21 Figura 2.8 Evolución temporal obtenida de los volúmenes de trabajo. Como se observa, el modelo responde ante las perturbaciones de manera satisfactoria, aportando los valores de masa, temperatura y presión en ambos depósitos. Los cuales, al considerarse homogéneos, tendrán un sólo valor de cada magnitud en todo el volumen.
22 Capítulo 2. Modelo capacitivo de la evolución del flujo 2.4 Compresor El compresor es el componente principal del modelo y el objeto de estudio del presente análisis. La caracterización del compresor vendrá dada por el mapa del mismo que está definido a través de unas tablas que se pueden visualizar en el Anexo A: Tablas de compresores. 2.4.1 Descripción En esencia, los compresores axiales son un tipo especial de turbomaquinaria , cuya función es la de aumentar la presión del flujo de aire entrante de forma continua y en dirección axial, es decir, paralela al eje de rotación. De esta forma los procesos que ocurren en las etapas siguientes al compresor, como podrían ser la combustión de un fluido o la extracción de potencia, se pueden llevar a cabo de forma más eficaz. Los compresores axiales son una parte integral del diseño de grandes turbinas de gas como los motores de aviación, motores de barcos de alta velocidad y estaciones de potencia de pequeña escala. También se usan en aplicaciones industriales como en plantas donde se deban separar grandes volúmenes de aire, aire de altos hornos, craqueo catalítico, y deshidrogenación de propano. Por ello, se hace necesario un estudio de sus características y funcionamiento. Figura 2.9 Compresor axial genérico. En turbomáquinas como aerorreactores utilizados en aviación, el compresor axial es un elemento asociado a la adición de energía al fluido. Esto se consigue aumentando la presión del mismo mediante el giro de un eje asociado a unos álabes cuya geometría hace que se aumente la presión y disminuya la velocidad ( rótor ). Este giro unido al paso a través de unos álabes estáticos que hacen
2.4 Compresor 23 que aumente la velocidad del fluido ( estátor ) hace posible la adición de energía a través de un aumento de la presión. Figura 2.10 Evolución de variables variables termodinámicas a través del compresor. Como se observa en la figura de la derecha, tras el paso por unos elementos que adaptan el fluido a la entrada del compresor (llamados IGV ), se comienza una sucesión de etapas de rótor y estátor que aumentan la presión del fluido y, consecuentemente, su entalpía a través de la temperatura. Dada la caracterización del proceso, se consigue un aumento de presión en cada etapa manteniendo la velocidad del fluido en un rango admisible. Gracias a esto, se produce una adaptación del fluido para continuar el ciclo correspondiente a la turbomáquina en estudio. Como resulta evidente, esta adición de energía, se realiza desde un generador de potencia. En el caso de estudio que se presenta, esta potencia vendrá dada por un motor que suministrará la velocidad de rotación necesaria para que el compresor tenga una operativa concreta. No obstante, en el acoplamiento en una turbomáquina completa, esta energía está suministrada por una turbina axial , elemento que se encuentra aguas abajo y con el que se consigue completar el ciclo de potencia que se muestra abajo. (a) Turbomáquina completa (ejemplo turbina generadora de potencia). (b) Diagrama T-s. Ciclo completo de turbomáquina. Figura 2.11 Conexión del compresor con el resto de componentes. En el diagrama general de la figura (2.10)(b) se representa la evolución de la temperatura (intercambiable por la entalpía a través de la ecuación mencionada en el fluido de trabajo) con la entropía, describiendo el ciclo termodinámico completo por el que circula el fluido. El compresor se encarga de la evolución entre los puntos 2t y 3t, aumentando claramente la presión representado con el salto de las líneas de isóbaras. Aunque el diseño del compresor axial es de vital importancia para la operativa de una turbomáquina y está ampliamente abordado, este proyecto no se adentra en el diseño de este elemento. Se usarán compresores ya diseñados y cuya operativa está determinada.
30 Capítulo 2. Modelo capacitivo de la evolución del flujo ˙mC con el tiempo ante una perturbación en las condiciones de salida. Pero es de la segunda gráfica de la que se obtiene más información, ya que se observa que el cambio de condiciones conlleva superar la línea de margen de seguridad quedando un punto de operación que es peligrosamente cercano a la línea de surge. El análisis se hace posible a través de estas gráficas, así que se hará un uso recurrente de estas aplicando diferentes condiciones y casos de estudio.
3 Implementación numérica. Interacción entre componentes Una vez definido el modelo que se va a utilizar de cada componente es necesario explicar su planteamiento numérico y la interacción entre ellos, ya que en conjunto, los componentes están interconectados con los circundantes y se tiene una interacción entre ellos a través de las variables que apliquen en cada caso. Así, el hecho de tener que resolver el sistema completo en cada instante de tiempo requiere conocimientos de resolución de problemas de cálculo numérico y la consecuente optimización de códigos para la resolución en tiempo razonable de la evolución en el tiempo. En este capítulo se recogen tanto los métodos numéricos utilizados para la resolución de cada módulo como los pasos seguidos para el dimensionamiento y análisis del sistema. De esta forma, queda totalmente definido el problema y la forma de abordarlo. 3.1 Implementación matemática/numérica Es de vital importancia que para la descripción de un sistema físico modelado mediante un análisis matemático/numérico se detalle la implantación de las ecuaciones en un solver numérico. Con ello se permite un detalle completo del modelo utilizado y una posible utilización de los medios para futuras mejoras y continuación del trabajo en un modelo más exacto. Como se ha ido detallando anteriormente, el software utilizado para la resolución de las ecuaciones ha sido MATLAB . Se trata de una herramienta de programación con lenguaje propio enfocada a la resolución de problemas ingenieriles. Esta herramienta permite la implantación de absolutamente todo el sistema y no ha sido necesario la adición de ningún otro solver. No obstante, sí que es posible la implantación de este sistema en otra herramienta como Python para obtener resultados del mismo sistema. En esencia, la tarea que se requiere para realizar el estudio es la siguiente: 31
32 Capítulo 3. Implementación numérica. Interacción entre componentes Figura 3.1 Esquema de resolución. Se trata de desarrollar el módulo medio del esquema anterior: un modelo de la evolución del flujo y, a partir de él obtener unas gráficas de la evolución de variables de los componentes del sistema , sacando conclusiones sobre esta evolución. Las variables de mayor importancia serán aquellas que determinan la operación del compresor, junto con el propio mapa del compresor. Para operar el modelo y obtener un análisis, este necesita de ciertos parámetros que determinan el caso de estudio concreto: •Características del sistema: Para conocer la evolución del sistema, primero se debe determinar las variables geométricas necesarias. Además, se debe concretar el compresor estudiado a través del mapa correspondiente. •Punto de diseño: Junto con el mapa del compresor estudiado, indica el punto de operación del mapa desde el que se efectúa una perturbación y se estudia la evolución. •Ley de Control: Se trata de la propia perturbación que se quiere provocar sobre el sistema. Av6(t)kNc(t) Como ya se ha mencionado, se trata del área de la válvula de control o el régimen de giro del compresor. Ambas funciones serán detalladas en el caso de estudio cuando aplique. Para la adecuación del sistema y sus ecuaciones al modelo numérico es necesario hacer uso de herramientas de resolución de problemas matemáticos. Los recursos que aquí se mencionan son aquellos que permiten obtener una solución numérica a un problema no directo. Para la explicación del funcionamiento del modelo se separará el mismo en módulos, tratándose cada uno de forma independiente, cada uno con variables de entrada y salida. Tras esto, se expondrá la forma en la que todos se unen e interaccionan.
3.1 Implementación matemática/numérica 33 3.1.1 Fluido de trabajo En primer lugar, la forma de tratar el fluido es particularmente sencilla. Esto se debe al carácter polinómico de la variación de los parámetros termodinámicos con la temperatura. Así pues, aunque en algunos casos hay que hacer uso de integrales, no se utilizan métodos de cuadratura o cálculo numérico, ya que trivialmente se pueden conseguir las integrales que se usan en el resto de ecuaciones. A continuación se expone el cálculo de las integrales de las que se harán uso posteriormente. h(T) = ZT Tre f CP(T)dT =Rai1T+ai2 2T2+ai3 3T3+ai4 4T4+ai5 5T5+ai6 T−... (3.1) Φ(T) = ZT Tre f CP(T) TdT =Rai1ln T+ai2T+ai3 2T2+ai4 3T3+ai5 4T4−... (3.2) La consideración del fluido se hará en cualquier caso a través de la Capacidad calorífica a presión constante y la entalpía. 3.1.2 Módulo válvula-conducto Como ya se ha expuesto, tanto las válvulas (puntos 4 y 6) como el conducto harán uso del mismo modelo matemático siguiendo las mismas ecuaciones y, por tanto, tratándose de igual forma en la implementación numérica. Figura 3.2 Módulo de válvula. A partir del esquema anterior, puede entenderse la función del módulo válvula y las variables que necesita para operar. De los resultados obtenidos del módulo, las variables más importantes serán el gasto y el número de Mach en la garganta, ya que el primero establece la interacción con el resto de componentes y el segundo supone restricciones en la válvula 4. Se deben tomar ciertas consideraciones en la implantación de las ecuaciones, ya que la forma con la que se trata este elemento depende de las condiciones en las que se encuentre el fluido. Así pues, existe diferente casuística en la operación del módulo y debe ser tratada correctamente para la obtención de un modelo robusto.
34 Capítulo 3. Implementación numérica. Interacción entre componentes Dirección del flujo La dirección en la que evoluciona el fluido está determinada por la diferencia de presiones, ya que este siempre evoluciona de mayores a menores presiones. En operación normal del compresor, las válvulas pertenecientes al mismo ven mayores presiones a la izquierda, produciéndose un flujo de izquierda a derecha. No obstante, dada la propia naturaleza del efecto que se intenta estudiar (surge), se pueden dar casos en los que el flujo encuentre mayores presiones a la derecha de la válvula, teniendo casos de flujo revertido. En tal caso, considerando esta casuística, el programa de cálculo ha sido implementado para tener la inversión del flujo cuando sea aplicable. (a) Válvula en operación normal. (b) Válvula con flujo revertido. Figura 3.3 Esquema de casos del flujo a través de una válvula. En la figura anterior pueden verse esquemáticamente los dos casos en los que opera la válvula. Si bien para tratar el módulo válvula-conducto, este efecto sólo hace que se tengan que cambiar de sentido los parámetros de entrada al módulo; al tratarse de 3 elementos que funcionan de esta forma, induce una casuística de importancia. No obstante, cada uno de los casos que se pueden dar han sido aplicados para asegurar un funcionamiento correcto en cualquier circunstancia. Mach en la garganta Dependiendo de las condiciones que encuentre la válvula a la entrada y a la salida, puede ocurrir que llegue a punto de bloqueo . Esto es, en la garganta de la válvula, la velocidad del fluido llega a ser igual a la velocidad del sonido, cambiando la operación de la misma. De esta forma, y como ya se ha mencionado, existen dos formas de tratar las ecuaciones que rigen el flujo a través de la válvula: •Flujo adaptado: Dado por las ecuaciones 2.16 - 2.19. La primera ecuación se resuelve a través de un Newton-Raphson, ya que de ella se extrae la Temperatura estática en la garganta; en cambio, el resto puede resolverse de forma secuencial, obteniendo el resto de parámetros. •Flujo bloqueado: El flujo en este caso se resuelve a partir del sistema de ecuaciones acopladas 2.20. Estas se resuelven con el método de Newton-Raphson para sistemas de ecuaciones. Una vez se obtengan los parámetros del sistema, el gasto circulante se calcula trivialmente a través de la ecuación 2.19. El procedimiento que se sigue para contemplar esta casuística es: en primer lugar, calcular las variables considerando el caso adaptado; comprobar que el Mach es menor que 1 y, si esto no ocurre, se calculan las variables en caso bloqueado, tal como se muestra en la figura esquemática de inicio de este apartado ??.
3.1 Implementación matemática/numérica 35 3.1.3 Módulo volumen En este módulo, se introducen las evoluciones temporales, permitiendo así tener una función del tiempo de todas las variables del sistema. Figura 3.4 Módulo de volumen. Para que este módulo funcione, es necesario tener un dimensionamiento de los volúmenes en su parámetro geométrico, unas condiciones iniciales en ambos depósitos, dados por la presión y la temperatura Pd1(t0) , Pd2(t0) , Td1(t0) y Td2(t0) (la masa inicial que habrá dentro de los depósitos es fácilmente calculable a través de la ecuación de estado) y el gasto circulante a través de las válvulas o el conducto, que serán también una función del tiempo dependiente de las condiciones de los volúmenes. Las ecuaciones que se resuelven en este módulo, son la Ecuación de estado en su forma diferencial, el Primer Principio de la Termodinámica y la Ecuación de la continuidad del paquete 2.22 - 2.24 aplicadas a los dos volúmenes, quedando un sistema de 6 ecuaciones diferenciales. El método de resolución que se ha seguido para resolver el sistema de ecuaciones de forma numérica ha sido la implementación de un ode45. Esta herramienta incluida en el software MATLAB permite la resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales´, obteniéndose una evolución en el tiempo. Este solver permite la resolución de problemas del siguiente tipo: y0=f(t,y) y(t0) = yo Es por ello que, para adaptar las ecuaciones 2.22 - 2.24 y resolver el problema numéricamente, se deben separar las diferenciales de las funciones de estado y tiempo. Tal y como se hace a continuación:
36 Capítulo 3. Implementación numérica. Interacción entre componentes dmd1 dt =Gin,d1−Gout,d1 dTd1 dt =1 md1Cv,d1(Td1)"Gin,d1 hin,d1+C2 in,d1 2!−Gout,d1 hout,d1+C2 out,d1 2! −(Gin,d1−Gout,d1)(ud1(Td1)−ure f ) dpd1 dt =R Vd1((Gin,d1−Gout,d1)Td1 +1 Cv,d1(Td1)"Gin,d1 hin,d1+C2 in,d1 2! −Gout,d1 hout,d1+C2 out,d1 2!−(Gin,d1−Gout,d1)(ud1(Td1)−ure f )#) dmd2 dt =Gin,d2−Gout,d2 dTd2 dt =1 md2Cv,d2(Td2)"Gin,d2 hin,d2+C2 in,d2 2!−Gout,d2 hout,d2+C2 out,d2 2! −(Gin,d2−Gout,d1)(ud2(Td2)−ure f ) dpd2 dt =R Vd2((Gin,d2−Gout,d2)Td2 +1 Cv,d2(Td2)"Gin,d2 hin,d2+C2 in,d2 2! −Gout,d2 hout,d2+C2 out,d2 2!−(Gin,d2−Gout,d2)(ud2(Td2)−ure f )#) (3.3) Se han resaltado tanto los términos diferenciales como las variables de estado. Como puede apreciarse, sólo las dos primeras ecuaciones están acopladas , ya que las variables relacionadas con la presión ( Pd1 y Pd2 ) no se encuentran asociadas a ninguna ecuación en la parte derecha. Gracias a esto, la evolución de las presiones podría calcularse una vez se resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales asociado a la temperatura y la masa a través de la ecuación de estado. No obstante, se ha preferido el sistema de 6 ecuaciones diferenciales sin hacer uso de esta separación porque la resolución es más rápida y la herramienta permite de este modo la visualización de las presiones a medida que el programa realiza la simulación. El uso de la herramienta ode45 hace necesaria una determinación de unos parámetros para la convergencia y resolución del sistema en un tiempo aceptable. Por ello, se han considerado válidos los siguientes valores de tolerancia: TOLrel =1e−5 TOLabs =1e−5 MAXstep =1
3.1 Implementación matemática/numérica 37 Como último apunte sobre este módulo, en el sistema 3.3 no se presenta explícitamente ninguna función del tiempo en la parte derecha de las ecuaciones. No obstante, hay que ser consciente que las variables con subíndices in y out dependen de las condiciones de los volúmenes y vienen dadas por otros módulos contiguos. Por lo tanto, aunque no se explicite, estas variables son funciones del tiempo. 3.1.4 Módulo compresor Aunque en el análisis que se lleva a cabo es el módulo de mayor importancia, el trato que recibe es característicamente sencillo, ya que sólo se necesita extraer información de los mapas (tablas) de compresores. Figura 3.5 Módulo de compresor. Este módulo funciona a través del sistema de ecuaciones de 2.28, que proporciona la información de las tablas, y las ecuaciones de salto de presiones 2.29 y del rendimiento del compresor 2.30 que determinan la evolución del flujo una vez se ha extraído la información de la operación del compresor a través de las tablas. Como se extrae de las ecuaciones, estas dependen de los parámetros NC (Velocidad de giro del compresor) y β . No obstante, la velocidad de giro en el modelo que se contempla siempre está determinado previamente, ya sea porque el motor que mueve el compresor proporcione una velocidad invariable o esta sea controlada (NC(t)). La herramienta numérica necesaria en este caso es la interpolación, que podrá ser lineal o cuadrática. Dados los datos y la exactitud que alcanza, se ha considerado suficiente una interpolación lineal de las tablas para encontrar los valores necesarios. Este módulo debe funcionar para varios casos: •Obtención de la evolución del punto de operación del compresor . Ello se consigue compatibilizando el gasto saliente del compresor (que depende de las condiciones aguas abajo del compresor) con las tablas del mismo, Por lo tanto, se necesita de la utilización del módulo conducto para resolver el flujo con las condiciones del compresor.
38 Capítulo 3. Implementación numérica. Interacción entre componentes ˙mC=Modulo −conducto(πC,ηC,Condiciones volumen) πC=fCπ(βC,NC) ηC=fCn(βC,NC) ˙mC=fC˙m(βC,NC) (3.4) Resolviendo este sistema de ecuaciones a través de un método de Newton-Raphson que implica la compatibilización con el resto del modelo, se pretende obtener el punto de operación dado por las variables Gasto ˙mC y Relación de compresión πC . Una vez se tiene el punto de operación, se pueden obtener las variables presión de remanso y Temperatura de remanso después del compresor a través de las ecuaciones de salto de presiones 2.29 y del rendimiento del compresor 2.30. Este caso se dará en la simulación del transitorio. •Dado un punto de operación del compresor (πCy˙mC), obtener la evolución del fluido a través del compresor. Se trata de encontrar el punto en el mapa y obtener la evolución tras el compresor. Esto se logra resolviendo el sistema de la primera y tercera ecuación de 2.28 y añadiendo la ecuación de salto de presiones 2.29 y del rendimiento del compresor 2.30 para la evolución del flujo. Este caso se dará en el estudio del punto de diseño que se quiere estudiar.
3.2 Interacción y funcionamiento del conjunto. Dimensionamiento y análisis 39 3.2 Interacción y funcionamiento del conjunto. Dimensionamiento y análisis Una vez detallado el funcionamiento de los módulos por separado y su implementación numérica, se requiere una explicación de la implementación en su conjunto y de la interconexión entre los módulos. Como se puede extraer fácilmente de las explicaciones anteriores, existe una fuerte interconexión entre los componentes. Buena muestra de ello es la resolución del sistema de ecuaciones diferenciales 3.3, para la que se necesita de los módulos de válvulas/conducto y estos, a su vez del punto de operación del compresor. Esto hace que la resolución de todo el sistema diste de ser secuencial que, a priori, parecería lo más razonable dada la evolución del flujo. Por el contrario, se necesita de una resolución del conjunto completo para cada instante de tiempo, utilizando de los recursos de bucles y condiciones (por la casuística implicada en la reversión del flujo) que ya se han ido exponiendo. Para la explicación del funcionamiento del sistema se muestran dos esquemas: El primero de ellos se utilizará para dimensionar el sistema en sus variables geométricas ( Av6 , Av4 y Ac ); El segundo se centra en la obtención del comportamiento del sistema tras la aplicación de una perturbación al estacionario. 3.2.1 Dimensionamiento del sistema Para realizar el análisis del transitorio primero es necesario dimensionar el sistema. Esto es, dar las variables geométricas para que el modelo funcione correctamente en el punto de diseño deseado y con ello, estudiar una perturbación en este punto. En primer lugar, es necesario mencionar que para esta tarea no se emplea el modelo completo , ya que no se estudia la evolución del compresor sino que se pretende dar valor al resto de elementos para que funcionen debidamente en torno al punto de operación que se quiere estudiar. Figura 3.6 Modelo para el dimensionamiento del conjunto. Tal como se muestra en la figura anterior, se sustrae el módulo de compresor y este se sustituye por unas condiciones fijas antes de la entrada en el conducto (Punto 2), obtenidas a través del sistema de ecuaciones que interpola el mapa de compresor y las ecuaciones de salto de presión y rendimiento del mismo.
46 Capítulo 3. Implementación numérica. Interacción entre componentes Figura 3.15 Esquema funcionamiento para la resolución de una perturbación.
Parte II ANÁLISIS DEL RÉGIMEN TRANSITORIO 47
4 Introducción En este epígrafe se va a presentar la exposición del sistema a una serie de perturbaciones comenzando desde distintos puntos de operación. 4.1 Dimensionamiento general de los casos a estudiar En primer lugar, es necesario saber los puntos desde los que se parte en el mapa y el dimensionamiento del sistema en su conjunto para cada uno de los puntos. 4.1.1 Dimensionamiento general Como ya se ha expuesto, para analizar el sistema se necesitan de unas variables constantes que hagan que el sistema funcione correctamente. Estos son: Factores de escalado , para que los puntos de operación se encuentren dentro del sistema en posiciones aceptables; valores geométricos tanto de los volúmenes como de las áreas de paso que se mantendrán para todo el estudio del conducto y la válvula 4. Los factores de escalado son los siguientes: •F.E de Relación de Compresión =πcnuevo−1 πcgeneralizado−1=2.22 •F.E de gasto corregido =˙mcnuevo ciclo ˙mcciclo generalizado =4.2 •F.E de Rendimiento =ηnuevo ηgeneralizado =1 Estos valores han sido elegidos para que una operación normal de (πC,˙mC) = (10[−],70[kg/s]) esté situada cerca de la línea de surge a un número de revoluciones relativamente elevado. Los valores geométricos elegidos son los siguientes: •Vcomp. =0.4m3 •VPLENUM =2m3 •Acond. =0.1666 m2 •Aválv. 4 =0.175 m2 Los volúmenes son valores de referencia tomados de la literatura, en concreto, el valor de 0.4m3 corresponde un estudio de un modelo de motor matemático en el que se ha utilizado este valor como volumen representativo del compresor. Los valores de áreas han sido estimados en conjunto para que el sistema cumpla con los requisitos de gasto y la restricción de Mach en la garganta de la válvula 4 para todos los valores de operación desde los que se parte. Los valores de Aválv. 6 y NC vendrán dados por el caso concreto que se estudie formando una relación biunívoca entre el punto de operación y las variables de control del sistema. 49
50 Capítulo 4. Introducción 4.1.2 Casos de estudio Los casos de estudio corresponden a los puntos estables desde los que parte el sistema y se introduce una perturbación. Se han elegido para que se cubra casi la totalidad del mapa. Se estudiarán 3 velocidades de giro del compresor y, para cada una de ellas, 2 puntos de partida variando la relación de compresión que produce el compresor para cada una de las velocidades de giro. Figura 4.1 Casos de estudio sobre el mapa de compresor escalado. En la figura anterior se muestran todos los casos sobre el mapa del compresor. Como se puede ver, los casos cubren buena parte del compresor. De esta forma, se puede analizar distinta operativa del propio compresor (aceleración, deceleración, ... ) que estará relacionada con diferentes actuaciones sobre el motor durante maniobras requeridas por el piloto del avión. Estos puntos de operación, como se ha dicho, corresponden a un par [ Nc,Av6 ] específico, que se determinan en la fase de dimensionamiento del sistema, lo cual se ha tratado en el capítulo anterior: Tabla 4.1 Datos de operación de los casos de estudio. ˙ mC[kg s]πC[−]NC[−]Av6 [m2] Caso 1 44 5.3 0.7 0.086 Caso 2 48.35 3.75 0.7 0.153 Caso 3 70 10 0.9 0.076 Caso 4 71.68 6.5 0.9 0.137 Caso 5 82.12 12 0.98 0.0762 Caso 6 82.46 7.5 0.98 0.1455
4.2 Definición de perturbaciones. Leyes de control 51 4.2 Definición de perturbaciones. Leyes de control Una vez definidos los casos que se van a estudiar, es necesario explicar las perturbaciones a las que se va a someter el sistema. Estas son, las leyes horarios NC(t)yAv6(t). 4.2.1 Rango de variación posible. Mapa de control En primer lugar, se trata el rango en el que pueden variar los parámetros de control. En el caso de la velocidad de giro, este rango viene dado en el mapa del compresor. Sin embargo, se necesita un estudio del mapa en su conjunto para la obtención del rango de Av6. El rango de NCes: 0.45 −1.08. El rango que se ha impuesto para Av6 ha sido: 0−0.3m2 . No obstante, existen dos restricciones por las que la válvula no puede cerrarse por completo y dependiendo de la posición del compresor en el mapa, podrá o no abrirse por completo. Estas restricciones son: •Entrada en bombeo , por el cual se determina un área mínima de la válvula que no puede traspasar sin que entre el compresor en régimen de bombeo. •Área máxima de la válvula . Para altas velocidades de giro, existe un límite de áreas que determina un máximo de apertura de la válvula debido a que se sale del mapa de compresor, por lo que se opta por no superar este área de válvula. Así pues, si existe un rango admisible de área de válvula 6 para cada velocidad de giro del motor. Resulta conveniente representar esta función en lo que se ha definido como Mapa de control . En este se muestran los rangos disponibles y en el caso de análisis que corresponda se representarán los puntos por los que se pasa en la simulación que se estudie. Figura 4.2 Mapa de control general. Para el primer caso de análisis ( NC constante) se tendrán líneas verticales de variación de área de paso para los 3 casos de velocidad de giro que se estudia. Por otro lado, cuando se varíen los dos parámetros se obtendrán descripciones sobre este mapa de cualquier tipo y dependerá de las leyes horarias que se utilicen en cada caso.
52 Capítulo 4. Introducción 4.2.2 Ley horaria: NC(t)yAv6(t) Una vez determinado el rango en el que pueden cambiar las variables de control queda explicar cómo se van a realizar estas variaciones. Esto se hará a partir de la definición de una sigmoide. Aunque en la exposición real del compresor a una maniobra se demanden variaciones más diversas, ahora se van a estudiar evoluciones entre dos puntos. Por ello, se ha encontrado que la función sigmoide es la representación que mejor se adapta al modelo, ya que es fácil de definir y no proporciona problemas cuando se aumenta mucho la pendiente, obteniéndose evoluciones cercanas al escalón sin proporcionar problemas computacionales. La función sigmoide se define de la siguiente forma: f(x) = 1 1+e−a∗(x−c)(4.1) • a: Define la pendiente que se aplica a la variación. Valores bajos ( a∼5 ) hacen que la variación sea suave y, por el contrario, valores altos ( a∼50 ) hacen que se tengan variaciones abruptas. • c: Determina el punto en el eje de abscisas donde se centra la sigmoide. En el caso que aplica, será el instante de tiempo en la mitad de la variación de la sigmoide. Figura 4.3 Función sigmoide.
5Av6variable y NCconstante 5.1 Caso 1: Régimen bajo de giro, alto valor de compresión El primer caso de estudio se hará a una velocidad de giro baja en el mapa de compresor. Para esta velocidad de giro se ha escogido un inicio del estudio a alta relación de compresión. ˙ mC[kg s]πC[−]NC[−]Av6,ini [m2] Caso 1 44 5.3 0.7 0.086 5.1.1 Abrir válvula Ley de variación En primer lugar, se define la ley de variación que se aplica al caso. Para este caso se ha utilizado: •a=50 •c=1.5 •Av6,ini =0.086 •Av6,fin =0.3 Tal como se muestra en el mapa de control: Figura 5.1 Mapa de control en el CASO 1 abriendo la válvula. 53
54 Capítulo 5. Av6variable y NCconstante Esta ley de variación de la válvula será la mayor apertura a la que se someterá el sistema. Siendo una variación en la apertura del 28.67 % al 100 %. Variación en el mapa del compresor Figura 5.2 Evolución del mapa de compresor en el CASO 1 abriendo la válvula. Como se muestra, es una variación considerable en las prestaciones del motor, ya que se recorre gran parte del mismo (dado el rango de apertura de la válvula). Esto se muestra en las gráficas de la siguiente página, que determinan la variación de los parámetros del compresor: • Relación de compresor πC : Su variación es de 5.294 ⇒3.054 siendo una disminución en la relación de compresión. Esta relación de compresión es anormalmente baja y no se suele diseñar para trabajar en estas condiciones. • Rendimiento ηC : Su variación es de 0.7434 ⇒0.674 que corresponde también a una disminución en su valor. En la gráfica se aprecia un pico en ηC=0.7549 debido a que pasa por una curva de nivel superior hasta alcanzar su valor en el nuevo estable. El resto de variables se corresponden directamente con la variación del punto de operación y no son de relevancia su estudio en este caso. También se observa que el compresor responde instantáneamente a la perturbación que se ejerce sobre el mismo . Este comportamiento será común a todos los casos, por lo que no la respuesta no dependerá de la velocidad con la que se ejerza la perturbación, dada por el parámetro a en la función sigmoide.
5.1 Caso 1: Régimen bajo de giro, alto valor de compresión 55 Figura 5.3 Evolución de las variables del compresor en el CASO 1 abriendo la válvula.
62 Capítulo 5. Av6variable y NCconstante Variación en el mapa del compresor Figura 5.12 Evolución del mapa de compresor en el CASO 2 abriendo la válvula. Como se observa, aunque se produzca un cambio en la apertura del 51 % al 100 %, la variación que ocurre en el mapa es poco perceptible y, por tanto, también lo serán sus parámetros. De este caso se puede concluir que el compresor No es sensible a la apertura de la válvula 6 para valores de Relación de Compresión y Gasto lo suficientemente bajos.
5.2 Caso 2: Régimen bajo de giro, bajo valor de compresión 63 Figura 5.13 Evolución de las variables del compresor en el CASO 2 abriendo la válvula.
64 Capítulo 5. Av6variable y NCconstante Variación de parámetros del resto del sistema Figura 5.14 Evolución de los volúmenes en el CASO 2 abriendo la válvula. Figura 5.15 Evolución de los válvulas en el CASO 2 abriendo la válvula. Como adición al comentario anterior, cabe decir que para una apertura de la válvula 6 tan repentina, se produce un cambio en el gasto de esta que reacciona de forma instantánea pero que regresa de igual forma al nuevo estable que, dado que el compresor no es muy sensible a estas variaciones, no estará muy alejado del primer estable.
5.2 Caso 2: Régimen bajo de giro, bajo valor de compresión 65 5.2.2 Cerrar válvula Ley de variación En primer lugar, se define la ley de variación que se aplica al caso. Para este caso se ha utilizado: •a=50 •c=1.5 •Av6,ini =0.153 •Av6,fin =0.0772 Tal como se muestra en el mapa de control: Figura 5.16 Mapa de control en el CASO 2 cerrando la válvula. Esta ley de válvula corresponde a un cierre de la misma de un 51 % a un 25.73 %.
66 Capítulo 5. Av6variable y NCconstante Variación en el mapa del compresor Figura 5.17 Evolución del mapa de compresor en el CASO 2 cerrando la válvula. A diferencia del caso anterior, es notable que para un cierre de un 25 % (la mitad que la variación de la apertura) aproximadamente, se produce un movimiento destacable en el punto de operación. Esto podría traer la conclusión contraria al caso de apertura (el compresor sí que es sensible al cierre de la válvula). No obstante, se estudiarán más casos para poder concluir esta suposición. En cuanto a las variables del compresor, como se pueden ver, se tiene un cambio perceptible en la relación de compresión del mismo, pasando de 3.752 a 5.655. No obstante, es en la variable β en la que se puede observar el cambio más agudo en la posición del punto de operación.
5.2 Caso 2: Régimen bajo de giro, bajo valor de compresión 67 Figura 5.18 Evolución de las variables del compresor en el CASO 2 cerrando la válvula.
68 Capítulo 5. Av6variable y NCconstante Variación de parámetros del resto del sistema Figura 5.19 Evolución de los volúmenes en el CASO 2 cerrando la válvula. Figura 5.20 Evolución de los válvulas en el CASO 2 cerrando la válvula.
5.3 Caso 3: Régimen medio de giro, alto valor de compresión 69 5.3 Caso 3: Régimen medio de giro, alto valor de compresión En este caso se comienzan a estudiar las velocidades medias del compresor, en concreto, se comenzará estudiando una relación de compresión alta para este rango de velocidad de giro. Este caso es el que se ha tomado como referencia para el escalado del sistema, por lo que este punto sería el estado más normal de operación del compresor. ˙ mC[kg s]πC[−]NC[−]Av6,ini [m2] Caso 3 70 10 0.9 0.076 5.3.1 Abrir válvula Ley de variación En primer lugar, se define la ley de variación que se aplica al caso. Para este caso se ha utilizado: •a=50 •c=1.5 •Av6,ini =0.076 •Av6,fin =0.181 Tal como se muestra en el mapa de control: Figura 5.21 Mapa de control en el CASO 3 abriendo la válvula. Para este caso de apertura empiezan a aplicar la restricción en apertura máxima, ya que se llega al límite inferior del sistema. Se produce una apertura del 25.33 % al 60.33 %, siendo esta una apertura considerable pero no tanto como en el primero de los casos.
70 Capítulo 5. Av6variable y NCconstante Variación en el mapa del compresor Figura 5.22 Evolución del mapa de compresor en el CASO 3 abriendo la válvula. Como se observa, el mapa recorre buena parte de la línea de NC constante, lo que se puede observar en la variación del parámetro β de la siguiente figura. Ello trae consigo un cambio igual de considerable para las demás variables más importantes del compresor (πCyηC). Se comienza a observar la verticalidad de las líneas con respecto a los casos anteriores, ya que un pequeño cambio en el gasto hace que se produzcan cambios importantes en las variables del compresor. También se corrobora que se parte del punto de operación de diseño del compresor, ya que el rendimiento parte de su máximo.
5.3 Caso 3: Régimen medio de giro, alto valor de compresión 71 Figura 5.23 Evolución de las variables del compresor en el CASO 3 abriendo la válvula.
78 Capítulo 5. Av6variable y NCconstante Variación en el mapa del compresor Figura 5.32 Evolución del mapa de compresor en el CASO 4 abriendo la válvula. La apertura es considerablemente menor que en el caso anterior, por lo que no será necesario ningún comentario sobre esta evolución.
5.4 Caso 4: Régimen medio de giro, bajo valor de compresión 79 Figura 5.33 Evolución de las variables del compresor en el CASO 4 abriendo la válvula.
80 Capítulo 5. Av6variable y NCconstante Variación de parámetros del resto del sistema Figura 5.34 Evolución de los volúmenes en el CASO 4 abriendo la válvula. Figura 5.35 Evolución de los válvulas en el CASO 4 abriendo la válvula.
5.4 Caso 4: Régimen medio de giro, bajo valor de compresión 81 5.4.2 Cerrar válvula Ley de variación En primer lugar, se define la ley de variación que se aplica al caso. Para este caso se ha utilizado: •a=50 •c=1.5 •Av6,ini =0.137 •Av6,fin =0.0611 Tal como se muestra en el mapa de control: Figura 5.36 Mapa de control en el CASO 4 cerrando la válvula. Para esta velocidad de giro, es el cierre más pronunciado, siendo una evolución del 45.67 % al 20.33 %.
82 Capítulo 5. Av6variable y NCconstante Variación en el mapa del compresor Figura 5.37 Evolución del mapa de compresor en el CASO 4 cerrando la válvula. Este cierre conlleva una gran variación en las variables πC y β pero, sin embargo, el gasto circulante por el compresor apenas cambia.
5.4 Caso 4: Régimen medio de giro, bajo valor de compresión 83 Figura 5.38 Evolución de las variables del compresor en el CASO 4 cerrando la válvula.
84 Capítulo 5. Av6variable y NCconstante Variación de parámetros del resto del sistema Figura 5.39 Evolución de los volúmenes en el CASO 4 cerrando la válvula. Figura 5.40 Evolución de los válvulas en el CASO 4 cerrando la válvula.
5.5 Caso 5: Régimen alto de giro, alto valor de compresión 85 5.5 Caso 5: Régimen alto de giro, alto valor de compresión 5.5.1 Abrir válvula Ley de variación En primer lugar, se define la ley de variación que se aplica al caso. Para este caso se ha utilizado: •a=50 •c=1.5 •Av6,ini =0.0762 •Av6,fin =0.168 Tal como se muestra en el mapa de control: Figura 5.41 Mapa de control en el CASO 5 abriendo la válvula. Será la mayor apertura para esta velocidad de giro, siendo del 56 % al 25.4%.
86 Capítulo 5. Av6variable y NCconstante Variación en el mapa del compresor Figura 5.42 Evolución del mapa de compresor en el CASO 5 abriendo la válvula. Para esta velocidad de giro no habrá cambios apreciables en el gasto circulante por el compresor, dado que las líneas de NC constante son casi verticales en este entorno. Como se observa, sí que se producen cambios en las demás variables, conllevando una reducción importante en la relación de compresión y el rendimiento del mismo.
5.5 Caso 5: Régimen alto de giro, alto valor de compresión 87 Figura 5.43 Evolución de las variables del compresor en el CASO 5 abriendo la válvula.
94 Capítulo 5. Av6variable y NCconstante Variación en el mapa del compresor Figura 5.52 Evolución del mapa de compresor en el CASO 6 abriendo la válvula.
5.6 Caso 6: Régimen alto de giro, bajo valor de compresión 95 Figura 5.53 Evolución de las variables del compresor en el CASO 6 abriendo la válvula.
96 Capítulo 5. Av6variable y NCconstante Variación de parámetros del resto del sistema Figura 5.54 Evolución de los volúmenes en el CASO 6 abriendo la válvula. Figura 5.55 Evolución de los válvulas en el CASO 6 abriendo la válvula.
5.6 Caso 6: Régimen alto de giro, bajo valor de compresión 97 5.6.2 Cerrar válvula Ley de variación En primer lugar, se define la ley de variación que se aplica al caso. Para este caso se ha utilizado: •a=50 •c=1.5 •Av6,ini =0.1455 •Av6,fin =0.0595 Tal como se muestra en el mapa de control: Figura 5.56 Mapa de control en el CASO 6 cerrando la válvula. Es el mayor cierre para esta velocidad de giro, siendo del 48.5% al 19.83 %.
98 Capítulo 5. Av6variable y NCconstante Variación en el mapa del compresor Figura 5.57 Evolución del mapa de compresor en el CASO 6 cerrando la válvula. Como se observa y se muestra en las siguientes gráficas, el punto de operación recorre casi toda la línea de NCconstante, produciendo un cambio importante en las variables del compresor.
5.6 Caso 6: Régimen alto de giro, bajo valor de compresión 99 Figura 5.58 Evolución de las variables del compresor en el CASO 6 cerrando la válvula.
100 Capítulo 5. Av6variable y NCconstante Variación de parámetros del resto del sistema Figura 5.59 Evolución de los volúmenes en el CASO 6 cerrando la válvula. Figura 5.60 Evolución de los válvulas en el CASO 6 cerrando la válvula.
6 Estudio cruzado: Av6 y Nc variables A continuación se hará un estudio cruzado de las variables de control. Para ello se ha expuesto el sistema a variaciones de la función sigmoide en ambas variables y se ha dejado evolucionar hasta llegar a un estables. Se propone el cambio entre los casos 2 y 5: Figura 6.1 Presentación de los casos que se van a analizar en el estudio cruzado. Como se muestra en la figura, estos dos casos se encuentran en las operaciones más alejadas del compresor. Con ello se podrá estudiar tanto un aumento como una relajación de los requerimientos que se hace al compresor, que podría relacionarse con una aceleración o deceleración del motor. Se proponen dos velocidades de cambio en las variables de control ya que en este caso sí es apreciable su efecto. También se propone un estudio para la variación de estas variables desfasada, es decir, primero un cambio en la velocidad de giro y después en el área de la válvula 6 y viceversa. Se suprimirán las gráficas de las variables del sistema (volúmenes, válvulas y conducto) ya que se consideran irrelevantes para este estudio. 101
102 Capítulo 6. Estudio cruzado: Av6 y Nc variables 6.1 Caso 2 a caso 5: Aumento en los requerimientos del compresor En primer lugar, se considera una evolución desde el caso 2 al caso 5, que bien podría relacionarse con una maniobra en la que se necesite que al compresor se le demande más trabajo. ˙ mC[kg s]πC[−]NC[−]Av6,ini [m2] Caso 2 48.35 3.75 0.7 0.153 Caso 5 82.12 12 0.98 0.0762 Como se observa, el caso de estudio es un aumento en la velocidad de giro del compresor y un decremento en el área de paso de la válvula 6. Es un cambio apreciable en la compresión que se requiere al compresor, pasando de 3.75 a 12. Se procede a analizar cada perturbación. 6.1.1 Variación simultánea Para la variación simultánea de los parámetros se han elegido dos velocidades de variación distinta para ver cómo evoluciona el sistema dependiendo de la velocidad con la que se efectúen las variaciones Ley de variación En primer lugar, se define la ley de variación que se aplica al caso. Para este caso se ha utilizado: •apronunciada =50 •asuave =5 •c=1.5 •Av6,ini =0.137 •Av6,fin =0.181 •NC,ini =0.7 •NC,fin =0.98 Tal como se muestra en el mapa de control: Figura 6.2 Mapa de control en el paso de operación en el punto 2 al punto 5. En la figura se representa en azul la evolución suave de los parámetros y en naranja la evolución pronunciada. Dado que la evolución está centrada en el mismo instante de tiempo, el gráfico en el mapa de control es el mismo para los dos casos.
6.1 Caso 2 a caso 5: Aumento en los requerimientos del compresor 103 Variación en el mapa del compresor Figura 6.3 Evolución del mapa del compresor. En esta figura se puede observar que la respuesta del compresor depende de la velocidad con la que se produzcan las variaciones. La curva de evolución sobre el mapa es más suave mientras más suave sea la variación de los parámetros de control. En las siguientes gráficas se muestran las variables del compresor. Esta dependencia con la velocidad no se muestra en los valores estables, pues el compresor pasa de un estado a otro sin perturbar estos valores. No obstante, sí que se obtiene una variación diferente en las variables β y ηC , pues son las más afectadas por el movimiento que tenga el punto de operación en cada instante. Se observa entonces que el compresor responde mejor para variaciones lentas de los parámetros de control ya que evoluciona por las curvas de nivel de mayor rendimiento.
110 Capítulo 6. Estudio cruzado: Av6 y Nc variables 6.2 Caso 5 a caso 2: Relajación en los requerimientos del compresor Ahora se muestra la evolución inversa: desde el punto de operación 5 hasta el punto de operación en 2. Se ha tratado como una relajación en los requerimientos del compresor pues se pasa de una relación de compresión casi máxima (12) a una relación de compresión de 3,75. ˙ mC[kg s]πC[−]NC[−]Av6,ini [m2] Caso 5 82.12 12 0.98 0.0762 Caso 2 48.35 3.75 0.7 0.153 Para este estudio también es necesario reducir la velocidad de variación de parámetros, ya que en la reducción se puede entrar en zona de bombeo debido al cambio brusco en la velocidad de giro del compresor. 6.2.1 Variación simultánea Ley de variación En primer lugar, se define la ley de variación que se aplica al caso. Para este caso se ha utilizado: •apronunciada =20 •asuave =5 •c=1.5 •Av6,ini =0.0762 •Av6,fin =0.153 •NC,ini =0.98 •NC,fin =0.7 Tal como se muestra en el mapa de control: Figura 6.10 Mapa de control en el paso de operación en el punto 5 al punto 2. De nuevo se observa que esta variación se produce en una línea recta dado que la perturbación se provoca simultáneamente.
6.2 Caso 5 a caso 2: Relajación en los requerimientos del compresor 111 Figura 6.11 Evolución del mapa de compresor para dos velocidades de variación de parámetros. En la figura anterior se muestran las dos variaciones posibles, siendo la más abrupta la mayor de ellas y la más relajada la inferior. A continuación, se muestran también las variaciones de los parámetros concretos del compresor.
112 Capítulo 6. Estudio cruzado: Av6 y Nc variables Figura 6.12 Evolución de las variables del compresor con una perturbación más brusca en las variables de control.
6.2 Caso 5 a caso 2: Relajación en los requerimientos del compresor 113 Figura 6.13 Evolución de las variables del compresor con una perturbación más suave en las variables de control.
114 Capítulo 6. Estudio cruzado: Av6 y Nc variables 6.2.2 Variación desfasada Al igual que en el caso anterior, es interesante obtener la respuesta para una variación desfasada en cada uno de los parámetros. De nuevo es limitante la variación en la velocidad de giro, por lo que se opta por la exposición de una variación con a=20. Se vuelven a presentar dos casos superpuestos, alternando el desfase entre cada uno de ellos. Ley de variación En primer lugar, se define la ley de variación que se aplica al caso. Para este caso se ha utilizado: •a=20 •c=1yc=2 •Av6,ini =0.0762 •Av6,fin =0.153 •NC,ini =0.98 •NC,fin =0.7 Tal como se muestra en el mapa de control: Figura 6.14 Mapa de control en el paso de operación en el punto 5 al punto 2.
6.2 Caso 5 a caso 2: Relajación en los requerimientos del compresor 115 Variación en el mapa del compresor Figura 6.15 Evolución del mapa de compresor para perturbaciones desfasadas. Como se observa, teniendo una perturbación antes en la velocidad de giro, el mapa responde metiéndose dentro de la línea de surge. Por este motivo, debería existir un control que se aplicara al sistema y que impidiera la respuesta automática del mismo ante perturbaciones muy acusadas.
116 Capítulo 6. Estudio cruzado: Av6 y Nc variables Figura 6.16 Evolución de las variables del compresor con la perturbación a la salida primero.
6.2 Caso 5 a caso 2: Relajación en los requerimientos del compresor 117 Figura 6.17 Evolución de las variables del compresor con la perturbación en la velocidad de giro primero.
Parte III CONCLUSIONES Y LÍNEAS DE TRABAJO FUTURAS 119
126 Capítulo A. Tablas de compresores Tabla A.2 Tabla compresor 1: Eficiencia. η β 0 0,125 0,25 0,375 0,5 0,625 0,75 0,875 1 Nc 0,45 0,62 0,64 0,64 0,64 0,63 0,62 0,6 0,58 0,56 0,5 0,63 0,66 0,665 0,66 0,645 0,63 0,615 0,595 0,58 0,6 0,645 0,69 0,705 0,705 0,69 0,67 0,65 0,63 0,61 0,7 0,66 0,715 0,745 0,755 0,755 0,74 0,72 0,695 0,665 0,8 0,675 0,735 0,77 0,8 0,82 0,82 0,805 0,78 0,755 0,85 0,68 0,74 0,78 0,82 0,86 0,86 0,85 0,82 0,8 0,9 0,68 0,745 0,785 0,835 0,865 0,875 0,87 0,855 0,83 0,92 0,68 0,745 0,785 0,835 0,87 0,875 0,875 0,865 0,84 0,94 0,675 0,74 0,785 0,835 0,865 0,875 0,875 0,87 0,845 0,955 0,67 0,735 0,78 0,83 0,86 0,875 0,875 0,87 0,845 0,98 0,665 0,73 0,77 0,82 0,85 0,87 0,875 0,865 0,835 1 0,655 0,72 0,76 0,805 0,84 0,86 0,87 0,85 0,82 1,04 0,64 0,7 0,73 0,78 0,81 0,84 0,85 0,81 0,78 1,08 0,625 0,68 0,7 0,75 0,78 0,8 0,8 0,75 0,72 Tabla A.3 Tabla compresor 1: Relación de compresión. πc β 0 0,125 0,25 0,375 0,5 0,625 0,75 0,875 1 Nc 0,45 0,9397 1,1824 1,28015 1,355 1,445 1,5226 1,582 1,6005 1,553 0,5 1,02335 1,3184 1,42465 1,52275 1,64 1,7278 1,78 1,8279 1,8038 0,6 1,346 1,6992 1,8726 1,9955 2,16 2,2579 2,356 2,41535 2,4099 0,7 1,78815 2,2432 2,4506 2,636 2,82625 2,959 3,094 3,1923 3,2041 0,8 2,3498 2,9368 3,21645 3,47475 3,76875 4,0021 4,192 4,3293 4,4581 0,85 2,67245 3,3176 3,6355 3,93225 4,2725 4,5322 4,768 5,0115 5,3568 0,9 3,0907 3,78 4,1268 4,45075 4,825 5,1307 5,434 5,71265 6,0883 0,92 3,258 3,984 4,34355 4,6795 5,085 5,4385 5,758 6,0727 6,5481 0,94 3,43725 4,1744 4,54585 4,893 5,32875 5,695 6,046 6,4138 6,987 0,955 3,55675 4,324 4,71347 5,076 5,5075 5,866 6,226 6,6033 7,2169 0,98 3,70015 4,4872 4,89265 5,27425 5,735 6,1225 6,496 6,9065 7,6558 1 3,736 4,528 4,936 5,32 5,8 6,208 6,6292 7,06568 7,9484 1,04 3,79575 4,596 5,00825 5,39625 5,88125 6,2935 6,73 7,19075 8,12396 1,08 3,8555 4,664 5,0805 5,4725 5,9625 6,379 6,82 7,2855 8,241
A.1 Tabla Compresor 1 127 Tabla A.4 Surge table 1. Surge Line Mass Flow 2,015 5,37436 6,18947 8 10,05 12,96842 14,4 PR 1 1,60026 1,80711 2,356 3,094 4,22997 5,0115 Tabla A.5 Surge table 2. Surge Line Mass Flow 15,83974 16,80769 17,77692 18,25 19,13333 19,73077 20,12462 20,4 PR 5,8762 6,30035 6,68514 6,94 7,4095 7,72295 7,98054 8,241
Índice de Figuras 1.1 Esquema del modelo completo 4 2.1 Coeficientes de propiedades termodinámicas para distintos gases 10 2.2 Diagrama del proceso real del flujo a través de la válvula 12 2.3 Diagrama del proceso isoentrópico del flujo a través de la válvula 13 2.4 Comprobación de Mv4<0.514 2.5 Ejemplo de estable a ˙mc=70kg/ssobre el que se genera una perturbación 15 2.6 Variables que determinan las condiciones de bloqueo 17 2.7 Evolución temporal obtenida de las válvulas y conducto 18 2.8 Evolución temporal obtenida de los volúmenes de trabajo 21 2.9 Compresor axial genérico 22 2.10 Evolución de variables variables termodinámicas a través del compresor 23 2.11 Conexión del compresor con el resto de componentes 23 2.12 Mapa de compresor típico 24 2.13 Mapas de varios compresores 26 2.14 Esquema de flujo en operación normal/surge 27 2.15 Ejemplo de la variación de variables del compresor 29 2.16 Ejemplo de la variación del punto de diseño 29 3.1 Esquema de resolución 32 3.2 Módulo de válvula 33 3.3 Esquema de casos del flujo a través de una válvula 34 3.4 Módulo de volumen 35 3.5 Módulo de compresor 37 3.6 Modelo para el dimensionamiento del conjunto 39 3.7 Evolución de las variables de las válvulas/conducto hasta llegar al estable 41 3.8 Evolución de las variables de los volúmenes hasta llegar al estable 41 3.9 Esquema de funcionamiento para el dimensionado 42 3.10 Modelo para el análisis ante perturbaciones 43 3.11 Evolución del mapa del compresor ante una perturbación 44 3.12 Evolución del compresor ante una perturbación 44 3.13 Evolución de los volúmenes ante una perturbación 45 3.14 Evolución de las válvulas/conducto ante una perturbación 45 3.15 Esquema funcionamiento para la resolución de una perturbación 46 4.1 Casos de estudio sobre el mapa de compresor escalado 50 4.2 Mapa de control general 51 129
130 Índice de Figuras 4.3 Función sigmoide 52 5.1 Mapa de control en el CASO 1 abriendo la válvula 53 5.2 Evolución del mapa de compresor en el CASO 1 abriendo la válvula 54 5.3 Evolución de las variables del compresor en el CASO 1 abriendo la válvula 55 5.4 Evolución de los volúmenes en el CASO 1 abriendo la válvula 56 5.5 Evolución de los válvulas en el CASO 1 abriendo la válvula 56 5.6 Mapa de control en el CASO 1 cerrando la válvula 57 5.7 Evolución del mapa de control en el CASO 1 cerrando la válvula 58 5.8 Evolución de las variables del compresor en el CASO 1 cerrando la válvula 59 5.9 Evolución de los volúmenes en el CASO 1 cerrando la válvula 60 5.10 Evolución de los válvulas en el CASO 1 cerrando la válvula 60 5.11 Mapa de control en el CASO 2 abriendo la válvula 61 5.12 Evolución del mapa de compresor en el CASO 2 abriendo la válvula 62 5.13 Evolución de las variables del compresor en el CASO 2 abriendo la válvula 63 5.14 Evolución de los volúmenes en el CASO 2 abriendo la válvula 64 5.15 Evolución de los válvulas en el CASO 2 abriendo la válvula 64 5.16 Mapa de control en el CASO 2 cerrando la válvula 65 5.17 Evolución del mapa de compresor en el CASO 2 cerrando la válvula 66 5.18 Evolución de las variables del compresor en el CASO 2 cerrando la válvula 67 5.19 Evolución de los volúmenes en el CASO 2 cerrando la válvula 68 5.20 Evolución de los válvulas en el CASO 2 cerrando la válvula 68 5.21 Mapa de control en el CASO 3 abriendo la válvula 69 5.22 Evolución del mapa de compresor en el CASO 3 abriendo la válvula 70 5.23 Evolución de las variables del compresor en el CASO 3 abriendo la válvula 71 5.24 Evolución de los volúmenes en el CASO 3 abriendo la válvula 72 5.25 Evolución de los válvulas en el CASO 3 abriendo la válvula 72 5.26 Mapa de control en el CASO 3 cerrando la válvula 73 5.27 Evolución del mapa de compresor en el CASO 3 cerrando la válvula 74 5.28 Evolución de las variables del compresor en el CASO 3 cerrando la válvula 75 5.29 Evolución de los volúmenes en el CASO 3 cerrando la válvula 76 5.30 Evolución de los válvulas en el CASO 3 cerrando la válvula 76 5.31 Mapa de control en el CASO 4 abriendo la válvula 77 5.32 Evolución del mapa de compresor en el CASO 4 abriendo la válvula 78 5.33 Evolución de las variables del compresor en el CASO 4 abriendo la válvula 79 5.34 Evolución de los volúmenes en el CASO 4 abriendo la válvula 80 5.35 Evolución de los válvulas en el CASO 4 abriendo la válvula 80 5.36 Mapa de control en el CASO 4 cerrando la válvula 81 5.37 Evolución del mapa de compresor en el CASO 4 cerrando la válvula 82 5.38 Evolución de las variables del compresor en el CASO 4 cerrando la válvula 83 5.39 Evolución de los volúmenes en el CASO 4 cerrando la válvula 84 5.40 Evolución de los válvulas en el CASO 4 cerrando la válvula 84 5.41 Mapa de control en el CASO 5 abriendo la válvula 85 5.42 Evolución del mapa de compresor en el CASO 5 abriendo la válvula 86 5.43 Evolución de las variables del compresor en el CASO 5 abriendo la válvula 87 5.44 Evolución de los volúmenes en el CASO 5 abriendo la válvula 88 5.45 Evolución de los válvulas en el CASO 5 abriendo la válvula 88 5.46 Mapa de control en el CASO 5 cerrando la válvula 89 5.47 Evolución del mapa de compresor en el CASO 5 cerrando la válvula 90 5.48 Evolución de las variables del compresor en el CASO 5 cerrando la válvula 91
Índice de Figuras 131 5.49 Evolución de los volúmenes en el CASO 5 cerrando la válvula 92 5.50 Evolución de los válvulas en el CASO 5 cerrando la válvula 92 5.51 Mapa de control en el CASO 6 abriendo la válvula 93 5.52 Evolución del mapa de compresor en el CASO 6 abriendo la válvula 94 5.53 Evolución de las variables del compresor en el CASO 6 abriendo la válvula 95 5.54 Evolución de los volúmenes en el CASO 6 abriendo la válvula 96 5.55 Evolución de los válvulas en el CASO 6 abriendo la válvula 96 5.56 Mapa de control en el CASO 6 cerrando la válvula 97 5.57 Evolución del mapa de compresor en el CASO 6 cerrando la válvula 98 5.58 Evolución de las variables del compresor en el CASO 6 cerrando la válvula 99 5.59 Evolución de los volúmenes en el CASO 6 cerrando la válvula 100 5.60 Evolución de los válvulas en el CASO 6 cerrando la válvula 100 6.1 Presentación de los casos que se van a analizar en el estudio cruzado 101 6.2 Mapa de control en el paso de operación en el punto 2 al punto 5 102 6.3 Evolución del mapa del compresor 103 6.4 Evolución de las variables del compresor en el caso Brusco 104 6.5 Evolución de las variables del compresor en el caso Suave 105 6.6 Mapa de control en el paso de operación en el punto 5 al punto 5 106 6.7 Evolución del mapa de compresor para perturbaciones desfasadas 107 6.8 Evolución de las variables del compresor con la perturbación a la salida primero 108 6.9 Evolución de las variables del compresor con la perturbación en la velocidad de giro primero 109 6.10 Mapa de control en el paso de operación en el punto 5 al punto 2 110 6.11 Evolución del mapa de compresor para dos velocidades de variación de parámetros 111 6.12 Evolución de las variables del compresor con una perturbación más brusca en las variables de control 112 6.13 Evolución de las variables del compresor con una perturbación más suave en las variables de control 113 6.14 Mapa de control en el paso de operación en el punto 5 al punto 2 114 6.15 Evolución del mapa de compresor para perturbaciones desfasadas 115 6.16 Evolución de las variables del compresor con la perturbación a la salida primero 116 6.17 Evolución de las variables del compresor con la perturbación en la velocidad de giro primero 117
Índice de Tablas 2.1 Gases en el aire y sus fracciones molares 11 4.1 Datos de operación de los casos de estudio 50 A.1 Tabla compresor 1: Gasto 125 A.2 Tabla compresor 1: Eficiencia 126 A.3 Tabla compresor 1: Relación de compresión 126 A.4 Surge table 1 127 A.5 Surge table 2 127 133
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