La estructura de la matemática en Comte y su aplicación a la astronomía

© PENSAMIENTO, ISSN 0031-4749 PENSAMIENTO, vol. 80 (2024), núm. 311, pp. 1675-1697 doi: 10.14422/pen.v80.i311.y2024.029 LA ESTRUCTURA DE LA MATEMÁTICA EN COMTE Y SU APLICACIÓN A LA ASTRONOMÍA BLANCA LUQUE Universidade de Lisboa /Universidad de Sevilla MARÍA DE PAZ Universidad de Sevilla RESUMEN: El objetivo de este artículo es presentar la estructura de la matemática en el Cours de Philosophie Positive de Comte. A pesar de ser un autor muy influyente, cuya obra sobre sociología es ampliamente conocida, las contribuciones de Comte a la filosofía de las «ciencias duras» han sido a menudo descuidadas. La matemática, junto con su aplicación a la astronomía, ejemplifica lo que para Comte significaba el método positivo en la obtención del conocimiento, por lo que su consideración es relevante para una visión adecuada del sistema filosófico comteano. Así, esperamos contribuir a la comprensión de una de las corrientes filosóficas más significativas del siglo XIX. PALABRAS CLAVE. positivismo; filosofía de las matemáticas; historia; método. The Structure of Mathematics in Comte and its Application to Astronomy ABSTRACT: The aim of this paper is to present the structure of the mathematical sciences according to Comte’s Cours de Philosophie Positive. Despite being a very influential author, whose work regarding sociology is widely known, Comte’s contributions to the philosophy of the «hard sciences» have been often neglected. Mathematics, together with its application to astronomy, exemplifies the positive method in the attainment of knowledge, therefore, its consideration is relevant for a proper insight about Comte’s philosophical system. Thus, we expect to contribute to the understanding of one of the most significant philosophical strands in the nineteenth century. KEY WORDS. Positivism; Philosophy of mathematics; History; Method. introDucción La matemática conforma una de las partes más fundamentales del Cours de Philosophie Positive de Comte (1830-1842) una obra enciclopédica a través de la cual Comte pretendía establecer un sistema de conocimiento unificado que debía llevar a una regeneración social. El Cours convirtió a Comte en una de las figuras más célebres de la historia del pensamiento, constituyéndose en el impulsor del positivismo, la corriente por la que lo conocemos hoy. Sin embargo, pese a que la aplicación de su filosofía a la sociología ha sido objeto de numerosos estudios sistemáticos, muchas menos son las referencias que tenemos para la comprensión de su sistema de conocimiento y, en particular, en lo concerniente a las «ciencias duras»1. De hecho, Comte es un autor que, 1 Algunas excepciones: SchmauS (1982) escribe sobre la concepción comteana del análisis; bourDeau (2011) analiza la idea de matemática aplicada; blay (2018) discute la relevancia del cálculo diferencial e integral para la estructura del Cours; y el ya clásico DucaSSe (1934) recoge una breve exposición del pensamiento matemático del filósofo francés enlazado con su «biografía matemática». En español contamos apenas con uribe villegaS (1957) que se centra en tratar de aplicar la filosofía de la matemática a la sociología de los años 1950. 1676 LA FILOSOFÍA EN SU HISTORIA PENSAMIENTO, vol. 80 (2024), núm. 311 pp. 1675-1697 aunque muy referido, es mucho menos estudiado que otras figuras contemporáneas2. No obstante, su impacto en el desarrollo de las ciencias a lo largo del siglo XIX es innegable —pensemos en autores como Mach o Kirchhoff—, como también lo es su marca en la filosofía tanto del XIX como del XX —no en vano el positivismo lógico le debe parte de su nombre—. Esto refleja el interés que el análisis de su filosofía de la matemática pueda suscitar, ya que, en el núcleo de la concepción comteana «estaba la insistencia de que tenía que pensarse de manera más científica» (Pickering 2018, 300). Una forma de pensar que tiene especial relevancia en la actualidad. Convencido de que la estabilidad social dependía de la estabilidad de la ciencia (cf. Pickering 2018, 254), Comte centró sus esfuerzos en la creación de un sistema de conocimiento omnicomprensivo con el que combatir la fragmentación de los saberes, inminente tras la especialización y profesionalización de las ciencias en el siglo XIX. La matemática, debido a su carácter abstracto, es capaz de coordinar los diferentes conocimientos científicos, aportando la generalidad necesaria al conocimiento. Por ello, es la ciencia que posibilita el método positivo y la espina dorsal de su sistema, colocándose a la cabeza y siendo el punto de partida de la reforma del conocimiento, pues para Comte «toda educación científica que no comience por este estudio será errónea desde su base» (Comte 1830/1892, 108)3. No obstante, las posibilidades que los métodos matemáticos ofrecen están ligadas a su aplicación en ciencias como la astronomía, la segunda disciplina en la clasificación de las ciencias comteana. La interacción de ambas ciencias era para Comte un ejemplo de cómo se procede positivamente en la obtención del conocimiento, lo que también refiere la importancia de considerar el estudio de las ciencias expuesto en el Cours para la comprensión del positivismo comteano4. En los siguientes puntos acotaremos nuestro estudio, primero, a la filosofía de la matemática y luego, a su aplicación a la astronomía, siguiendo la estructura del Cours. Pero antes, dedicaremos un apartado a encuadrar de manera general la filosofía y el método positivo en lo relativo a la ciencia, dado que la concepción de Comte de ambas depende de su lugar dentro del sistema de conocimiento entendido como un todo. De hecho, bourDeau (2018) insiste en que la filosofía de las ciencias presentada en el Cours raramente se ha estudiado. 2 Esto parece estar cambiando en el mundo anglosajón, gracias a obras como la monumental biografía de pickering (1993-2009, en tres volúmenes), la recopilación de bourDeau, et al. (2018), o artículos como SchmauS (2020). 3 Todas las citas de Comte refieren a la edición de P. laffitte (5a) y las traducciones son nuestras. 4 Aunque, como se ha referido, Comte es principalmente conocido por ser el precursor del positivismo o uno de los padres de la sociología, no es menos relevante que su filosofía se desarrolló a través del análisis de las ciencias. heilbron (2016, 162) señaló esto cuando defendió que Comte «es más importante como teórico de las ciencias que como positivista o sociólogo», motivo por el que consideraba un error pasar por alto su teoría de las ciencias. PENSAMIENTO, vol. 80 (2024), núm. 311 pp. 1675-1697 B. LUQUE Y M. DE PAZ, LA ESTRUCTURA DE LA MATEMÁTICA EN COMTE Y SU APLICACIÓN… 1677 1. la filoSofía poSitiva y Su métoDo Comte nació el 20 de enero de 1798 (o el 1 de Pluvioso del año VI, de acuerdo con el calendario revolucionario), en un contexto marcado por el gran desarrollo de los métodos científicos en los siglos XVII y XVIII y que, para el XIX, se habría visto traducido en una especialización de los saberes. Pese a los avances que esa parcelación trajo para la ciencia, la generalidad en los métodos científicos era necesaria para establecer interconexiones entre las disciplinas y no perder de vista el conjunto del conocimiento. Con este fin, Comte presentó en el Cours una clasificación jerárquica de las seis ciencias teóricas que consideraba fundamentales para la organización del saber, estas son: matemática, astronomía, física, química, fisiología (biología), y física social (más tarde sociología) (cf. 1830/1892, 79) y la combinó con una exposición tanto histórica como dogmática. El principio de la clasificación5 se basa en la creciente complejidad de los fenómenos en las sucesivas ciencias: Este orden está determinado por el grado de simplicidad, o lo que es lo mismo, por el grado de generalidad de los fenómenos, de donde resulta su dependencia sucesiva y, consecuentemente, la mayor o menor facilidad para ser estudiados (1830/1892, 71). Una vez establecidas las dependencias jerárquicas, veremos que, a través de la exposición dogmática «se presenta el sistema de las ideas tal y como podría ser concebido hoy por una sola mente que, situada en el punto de vista conveniente y dotada de los conocimientos suficientes, se ocuparía de rehacer la ciencia en su conjunto» (1830/1892, 62). Sin embargo, con la finalidad de mostrar el carácter empírico por el que todo conocimiento comienza, las ciencias son también expuestas de manera histórica donde «se presenta sucesivamente el conocimiento en el mismo orden efectivo según el cual el espíritu humano lo ha obtenido realmente, adoptando, lo más posible, las mismas vías» (1830/1892, 62). En definitiva, el método dogmático consiste en una reconstrucción de las ciencias desde la perspectiva actual —del momento en época de Comte— mientras que el histórico obedece a la exposición cronológica de los contenidos y a la forma de su obtención. Esta compleja combinación metodológica tiene por objeto llevar a cada uno de los saberes a lo que Comte llama «estado positivo», el tercero y último de su conocida ley de los tres estados6. El estado positivo se caracteriza por el 5 Comte atribuye la posibilidad de este principio clasificatorio al trabajo filosófico realizado por los botánicos y zoólogos de la época, por haber mostrado cómo la clasificación procede del estudio de las cosas que se clasifican, es decir, de sus conexiones y relaciones naturales, y no de consideraciones a priori (comte 1830/1892, 49). 6 De acuerdo a Comte «esta ley consiste en que cada una de nuestras concepciones principales, cada rama de nuestros conocimientos, pasa sucesivamente por tres estados teóricos diferentes: el estado teológico o ficticio, el estado metafísico o abstracto, el estado científico o positivo» (comte, 1830/1892, 2-3). Comte refiere, en 1822, haber deducido esta ley de la reflexión histórica y, así, la considera probada por la historia. No obstante, la ley parece 1678 LA FILOSOFÍA EN SU HISTORIA PENSAMIENTO, vol. 80 (2024), núm. 311 pp. 1675-1697 abandono de las consideraciones teológicas y metafísicas para la explicación de los fenómenos naturales, que se sustituyen por el estudio de sus solas leyes, entendidas como «relaciones invariables de sucesión y semejanza» (Comte 1830/1892, 4)7. El método positivo, propio de este estado, se distingue por «el razonamiento y la observación, debidamente combinados» (1830/1892, 4). Comte consideraba que, una vez que todas las ciencias alcanzan este estado, es posible establecer sus relaciones e interdependencias, con el fin de asegurar su unidad. Una tarea que corresponde a la Filosofía Positiva, entendida como el conjunto de todos los conocimientos. No debemos, por tanto, confundir su intención con la de establecer una doctrina única, para Comte, la generalidad se encontraba en la coordinación y entendimiento entre los diferentes conocimientos científicos, cuyas dependencias mutuas debían ser racionalmente previstas (Comte 1830/1892, 45-46). De esta forma, el autor enfatizó en el Cours que pretendía la exposición de la Filosofía Positiva y no de las Ciencias Positivas. Es decir, la consideración de cada ciencia en relación al conjunto del sistema positivo, lo que incluye el estado de su desarrollo y sus métodos particulares: «Aquí se trata solo de considerar cada ciencia fundamental en sus relaciones con todo el sistema positivo en su conjunto y en cuanto al espíritu que la caracteriza, a saber, bajo la doble relación de sus métodos esenciales y de sus resultados principales.» (Comte 1830/1892, 20) La importancia de la matemática dentro de este sistema está directamente relacionada con su posición a la cabeza de la clasificación. Por un lado, está totalmente alejada de concepciones teológicas y metafísicas, y sus fenómenos son los más simples y generales, por lo que su estudio es preliminar y necesario para el resto. Pero, además, la tarea de la matemática consiste en permitir el paso de las relaciones empíricas que encontramos entre los fenómenos naturales a las teorías generales que conformamos para nuestra comprensión de estos o, de otro modo, en el paso de lo concreto a lo abstracto. Hasta cierto punto, los métodos analíticos desarrollados en la disciplina matemática permiten la tarea inicial de la filosofía positiva que debe establecer conexiones entre los fenómenos y los hechos generales. Al inicio de su exposición, Comte advierte que no hay investigación que en último término no pueda reducirse a una cuestión de números8 (Comte 1830/1892, 122). Por esto, su importancia reside más en su revelarse de manera sistemática en el estudio de la física social, como una ley del desarrollo intelectual y moral de la humanidad. 7 La invariabilidad de las leyes es un dogma fundamental de la Filosofía Positiva, característico del estado positivo, una vez que se ha abandonado el estudio de las causas y el origen de los fenómenos. 8 No obstante, es necesario mencionar que Comte no pretende que el método matemático pueda llevarse a cabo en estudios complejos, (comte, 1830/1892, 122), como, por ejemplo, la investigación de los fenómenos vivientes, tratados en la fisiología y la física social. Esto no modificará la importancia de la matemática como la primera ciencia en la clasificación, ya que, de su establecimiento y el de las siguientes ciencias (astronomía, física y química) PENSAMIENTO, vol. 80 (2024), núm. 311 pp. 1675-1697 B. LUQUE Y M. DE PAZ, LA ESTRUCTURA DE LA MATEMÁTICA EN COMTE Y SU APLICACIÓN… 1679 capacidad para funcionar como método de conocimiento que como ciencia en sí, y es más relevante por ser una herramienta para la mente humana que por su contenido como ciencia natural (Comte 1830/1892, 92). No obstante, la obtención de este carácter de madurez es producto de los grandes desarrollos que la disciplina ha experimentado a lo largo de la historia, donde los fenómenos astronómicos tuvieron un papel fundamental. La armonía que ambas ciencias presentan en el estudio de sus fenómenos supone para Comte un ejemplo sobre cómo funciona el método positivo, por lo que, en cierta forma, abordar, como haremos, su aplicación a la disciplina astronómica es también mostrar lo que Comte considera parte del carácter de la matemática. 2. la matemática en el cOurs de philOsOphie pOsitive Para Comte, la matemática es la ciencia más antigua y perfecta de todas (1830/1892, 96), sin embargo, enseguida resalta la dificultad de establecer su verdadero carácter. Así, indica como definición más común y generalizada la de «ciencia de la medición de magnitudes», pero añade que esta consideración no es lo suficientemente profunda como para expresar la verdadera tarea de la matemática, que es garantizar el paso de lo concreto a lo abstracto y, por tanto, induce a error sobre su naturaleza: «en lugar de una vasta cadena de razonamientos prolongados, que ofrecen a nuestra actividad intelectual un alimento inagotable, la ciencia parecería solamente consistir, así enunciada, en una simple serie de procedimientos mecánicos [...]» (1830/1892, 98). De este modo, la matemática es mucho más que una mecanización de procesos de medición, pues es la ciencia que organiza las relaciones entre lo empírico y lo lógico, por lo que mostrar cómo esto sucede será la tarea principal de Comte desde la tercera lección del Cours, así como la nuestra en lo que sigue. Para ello, divide la disciplina con base tanto en consideraciones históricas como dogmáticas, de acuerdo con el método arriba mencionado, y estas determinan las diferentes partes, así como su disposición. La primera división que encontramos es la de matemática abstracta y concreta; la abstracta está conformada por el cálculo ordinario, que a su vez se separa en álgebra y aritmética, y por el cálculo trascendental, que abarca dependerá la posibilidad de la biología (y también la sociología) como ciencia positiva, según el principio clasificatorio que establece sus dependencias jerárquicas. Sin embargo, su rechazo de los métodos matemáticos en lo que concierne a los fenómenos biológicos y sociales nos advierte del hecho de que «matematizar» o «formalizar» las ciencias no es el objetivo de Comte. Su objetivo será, como referimos, establecer las dependencias entre las diferentes ciencias, que cuentan con diferentes metodologías según su objeto de estudio. De esta forma, cada ciencia hace una aportación metodológica al método positivo, propio de la Filosofía Positiva. Así, este puede entenderse como el conjunto de los diferentes métodos, donde la importancia de la matemática reside, como veremos, en la aportación de los métodos analíticos. 1680 LA FILOSOFÍA EN SU HISTORIA PENSAMIENTO, vol. 80 (2024), núm. 311 pp. 1675-1697 los cálculos diferencial, integral y variacional. La concreta se compone de geometría, que se divide en geometría sintética o de los antiguos y general o de los modernos, y mecánica, que comprende estática y dinámica. La geometría y la mecánica son ciencias empíricas, pero Comte las incluye en el seno de la matemática porque su funcionamiento es más el de un método que el de una doctrina9: «La parte abstracta [de la matemática] es la única que es puramente instrumental [...]. La geometría y la mecánica, por el contrario, deben ser vistas como verdaderas ciencias naturales, fundadas, como todas las demás en la observación, aunque, por la extrema simplicidad de sus fenómenos, comportan un grado infinitamente más perfecto de sistematización, que ha podido a veces provocar el desconocimiento del carácter experimental de sus primeros principios. Pero estas dos ciencias físicas tienen esto de particular, a saber, en el estado presente del espíritu humano, son y serán siempre empleadas como método más que como doctrina directa» (Comte 1830/1892, 93). En los siguientes apartados, tomaremos como guía la propia división de Comte, analizando primero brevemente la matemática abstracta y, después, más en detalle, las subdivisiones de la concreta, por la relación que guarda con sus aplicaciones y, en particular con la astronomía. Pero antes, examinaremos la naturaleza de esta clasificación. En principio, la división se establece con base en el objeto de estudio. Así, la matemática abstracta es la encargada de tratar con las entidades numéricas o abstractas; la concreta, lo es por tratar de manera directa con los fenómenos del mundo empírico. El concepto de ecuación es el nexo entre ambas partes, que Comte se esfuerza en definir de manera precisa como una «relación de igualdad entre las funciones abstractas de las magnitudes consideradas» (1830/1982, 138). A partir de un número determinado de funciones, la matemática concreta descubre las ecuaciones subyacentes a los fenómenos naturales mediante la observación. Y tales ecuaciones serán el punto de partida de la matemática abstracta, que se encarga de las relaciones numéricas. De esta forma, definida con precisión, la tarea de la matemática es la determinación de magnitudes de acuerdo a sus relaciones. No obstante, ocurrirá que las funciones analíticas con las que contamos no serán suficientes para representar toda la variedad de relaciones que los fenómenos naturales presentan, es decir, no podrán efectuarse medidas directas al haber dificultades en el paso de lo concreto a lo abstracto; y entonces la labor de la matemática será efectuar mediciones indirectas (cf. Comte 1830/1892, 144- 145). Para ello debe conectar las magnitudes desconocidas con las conocidas con el fin de determinar las primeras a partir de su relación con las segundas. Es decir, en esta parte, el objetivo es idear métodos que permitan mediciones 9 En la primera lección Comte menciona esta separación entre método y doctrina (1830/1982, 10), que es básicamente la diferencia entre un procedimiento, concebido de manera instrumental, y una disciplina ya con contenido. PENSAMIENTO, vol. 80 (2024), núm. 311 pp. 1675-1697 B. LUQUE Y M. DE PAZ, LA ESTRUCTURA DE LA MATEMÁTICA EN COMTE Y SU APLICACIÓN… 1681 indirectas, y estos solo aparecen en el apartado de la matemática abstracta. Es- to significa que, llegado el momento, las relaciones que la matemática concreta sea capaz de descubrir estarán determinadas por el estado de desarrollo en que se encuentre el cálculo o la matemática abstracta. De esta forma, aunque históricamente el cálculo ha dependido de concepciones geométricas y mecánicas —si seguimos su desarrollo cronológico—, la ciencia matemática ha alcanzado un grado de madurez tal, que le dota de un carácter altamente general, lo que hace que la abstracta preceda a la concreta —lo cual es mostrado a partir de la reconstrucción hecha por el método dogmático. En este sentido, la división entre matemática concreta y abstracta es artificial, pero no arbitraria, es un recurso de Comte para enfatizar, por un lado, el carácter empírico por el que todo conocimiento comienza; y, por otro, el grado de abstracción y generalidad que ha alcanzado la matemática a lo largo de su desarrollo, y que permite concebirla como un todo. A este respecto, para Comte, es la matemática post-newtoniana la única que puede considerarse verdaderamente una ciencia (cf. Blay 2018, 57), pues cuenta con métodos analíticos, en lugar de únicamente sintéticos. En palabras de Comte (1830/1892, 96): es solo desde comienzos del pasado siglo [XVIII] que las diversas concepciones fundamentales que constituyen esta gran ciencia han obtenido cada una el desarrollo suficiente para que el verdadero espíritu de conjunto pueda manifestarse claramente10. A partir del siglo XVIII los métodos analíticos mostraron su capacidad de aplicarse a problemas concretos y deducir leyes generales. En concreto, Comte confiará en el trabajo de Lagrange, que fue después de Euler quien contribuyó a separar la fundamentación del análisis de la geometría y la mecánica, siendo así el ejemplo de cómo se consigue la generalidad de los métodos: «el carácter puramente abstracto de las nociones fundamentales se encuentra en el más al- to grado en la concepción de Lagrange y solo en ella. Es, por esta razón, la más racional y la más filosófica de todas» (Comte 1830/1892, 220). Su trabajo sigue así la línea de autores de la época, como Bolzano o Peacock, que separaron las concepciones aritméticas y algebraicas de la geometría con la intención de basar el cálculo en principios algebraicos, considerándose desarrolladores de Lagrange (cf. Fraser 1990, 251). Para entender la tarea y el carácter de la matemática, debemos pensarla como un todo en tanto que proporciona un método general mediante el cual es posible reducir los problemas geométricos y mecánicos a cuestiones de análisis, dotando así de máxima generalidad a la disciplina y facilitando el paso del ámbito empírico al lógico. O, lo que es lo mismo, debemos tratarla desde el método dogmático. Sin embargo, «cuando una ciencia se presenta de esta forma, 10 De hecho, Comte insiste en usar con frecuencia el singular «la mathématique», frente a lo común del plural francés («les mathématiques»), para enfatizar la unidad de esta ciencia. Por esta razón, hemos elegido también el singular en este artículo. 1682 LA FILOSOFÍA EN SU HISTORIA PENSAMIENTO, vol. 80 (2024), núm. 311 pp. 1675-1697 sus orígenes empíricos se oscurecen» (Schmaus 2018, 35) y es por esto que Comte se esmerará en separar lo lógico de lo empírico en cada una de sus divisiones mediante una representación histórica. A través de esta, consideramos también el desarrollo de los métodos, con el objetivo de no perder de vista los comienzos empíricos de cualquier investigación científica o positiva, y no caer en un desacertado estudio de las causas de los fenómenos. Consecuentemente, la matemática se divide, en principio, en dos grupos principales en función de la naturaleza del objeto que estudia, pero el método que proporciona trasciende finalmente dicha división. Para esclarecer esta cuestión nos adentramos en el estudio de cada una de las partes, manteniendo la estructura comteana. 2.1. La matemática abstracta: el cálculo Las cuestiones numéricas a las que Comte refiere cuando habla del dominio de la matemática abstracta son, por un lado, la resolución de ecuaciones y el descubrimiento de su modo de formación; y, por otro, la introducción de expresiones formales cuyo propósito es facilitar el cálculo. Para estas tareas contamos, en primer lugar, con el cálculo ordinario, divido en álgebra y aritmética. La primera transforma las ecuaciones dadas a partir de la matemática concreta para mostrar el modo de formación de las cantidades desconocidas a partir de las conocidas (cf. 1830/1892, 118). La segunda se encarga de resolver las ecuaciones, es decir, encontrar los valores de las fórmulas. Por eso Comte denomina cálculo de funciones al algebraico y cálculo de valores al aritmético (cf. 1830/1892, 148). Aún así, en último término, el de valores no es sino una aplicación del de funciones, siendo este el dominio fundamental de la matemática abstracta (cf. 1830/1892, 152). Sin embargo, cuando los elementos analíticos que los cálculos ordinarios son capaces de tratar resulten insuficientes para representar todas las relaciones que los fenómenos empíricos presentan, el cálculo trascendental es el único adecuado, porque es este el que proporciona métodos para la formación de ecuaciones de forma indirecta. Por eso, Comte llama al cálculo ordinario, cálculo de funciones directas y al trascendental, de funciones indirectas, a partir de una generalización de las ideas de Lagrange (cf. 1830/1892, 160). Así, el cálculo trascendental está formado por los cálculos integral, diferencial y de variaciones, y es aquí donde debemos hacer hincapié en la distinción entre estos tipos de cálculo y lo que Comte considera el método general, conocido como método infinitesimal. Para resolver ecuaciones de manera indirecta se necesitan métodos de integración y diferenciación que, para él, fueron principalmente desarrollados por Leibniz y Newton con la creación de los cálculos integral y diferencial. Ellos dotaron al cálculo de la generalidad que le faltaba al demostrar que consistía en operaciones inversas (cf. Comte 1830/1892, 223). Salvando las distancias, ambos métodos se basan en la introducción de elementos infinitesimales auxiliares entre los que encontraremos relaciones más simples que entre las magnitudes primitivas, PENSAMIENTO, vol. 80 (2024), núm. 311 pp. 1675-1697 B. LUQUE Y M. DE PAZ, LA ESTRUCTURA DE LA MATEMÁTICA EN COMTE Y SU APLICACIÓN… 1683 con el fin de facilitar el establecimiento de ecuaciones y, al final, eliminar mediante el cálculo infinitesimal los elementos auxiliares. Es decir, mientras el cálculo se refiere a métodos de integración y diferenciación, el método infinitesimal se refiere al procedimiento de reducir los problemas. Como explica Fraser (1990, 253) respecto de los métodos descritos por Comte, estos permiten «obtener expresiones analíticas adecuadas a partir de las relaciones proporcionadas por los fenómenos [...]. Estas expresiones contienen funciones construidas partiendo de funciones algebraicas y trascendentes elementales usando la composición. En el curso de la derivación puede ser necesario introducir “magnitudes”, tales como los imaginarios que no tienen una interpretación numérica directa». Estas magnitudes imaginarias se eliminan mediante el cálculo, una vez se haya obtenido la ecuación que puede ser resuelta de manera ordinaria. Los cálculos diferencial e integral fueron lo más parecido a unos fundamentos para el análisis en el siglo XVIII, sin embargo, seguían anclados en demostraciones geométricas y, para Comte, esto rompe la unidad de la matemática abstracta (cf. 1830/1892, 218). Es por ello que prefiere los métodos de Lagrange, quien trató de reducir el cálculo a un sistema puramente algebraico, basado en la introducción de un nuevo tipo de diferencial al que llamó «variaciones». Su objeto son los problemas relacionados con máximos y mínimos. En palabras de Comte, el método consiste en «los incrementos infinitamente pequeños que reciben los integrales, no en virtud de incrementos análogos por parte de las variables correspondientes como en el análisis trascendental común, sino suponiendo que la forma de la función situada bajo el signo de integración sufre un cambio infinitamente pequeño» (1830/1892, 264). Bajo el método de Lagrange, para establecer ecuaciones debemos introducir en lugar de las funciones primitivas, sus funciones derivadas. Estas derivadas son empleadas como auxiliares para deducir de sus relaciones las ecuaciones correspondientes entre las magnitudes primitivas. En efecto, Comte señalaba que el método de Lagrange era el más filosófico de todos y tenía además la virtud de hacer que «todas las diversas partes de la matemática abstracta, hasta ahora tan incoherentes, hayan podido concebirse, a partir de este momento, como formando un sistema único» (Comte 1830/1892, 220-221). Sin embargo, añade que resulta el menos adecuado para las aplicaciones por ser muy laborioso cuando el problema es complejo (1830/1892, 221). Por esto, alienta a usar los tres métodos —el de Newton, el de Leibniz y el de Lagrange11— de la manera que sea necesaria, en pos de salvar el paso de lo concreto a lo abstracto, de modo que en último término se puedan reducir las cuestiones geométricas y mecánicas al análisis. La ciencia requeriría el uso de las tres concepciones para conformar una noción suficiente del análisis, «sobre todo en lo relativo a sus aplicaciones» (1830/1892, 186). 11 Hoy sabemos que en realidad serían dos, pues el de Newton y el de Leibniz son equivalentes. 1690 LA FILOSOFÍA EN SU HISTORIA PENSAMIENTO, vol. 80 (2024), núm. 311 pp. 1675-1697 el uso continuo de la matemática abstracta sea absolutamente indispensable» (1835/1893, 12-13). Consecuentemente, las restricciones son relevantes en el cumplimiento de las exigencias del método positivo, en base al cual interesa ahora mostrar de qué manera la astronomía se relaciona con los métodos matemáticos en la búsqueda del conocimiento, sin estar condicionada por ninguna de las otras ciencias que la siguen y que dependen de ella. 3.1. Geometría celeste Los métodos geométricos son los únicos que garantizaron la astronomía en sus inicios, pues los geómetras estudiaron la forma y el tamaño de los cuerpos, junto con sus leyes geométricas antes de conocer las fuerzas que cambian sus posiciones. Por eso, la geometría celeste aún recibe el nombre de astronomía, «por haber tenido durante tanto tiempo, antes que la otra [la mecánica celeste] un carácter científico» (Comte 1835/1893, 28). En base a esto, su estudio se divide en fenómenos estáticos y dinámicos que pueden concebirse geométricamente: unos se refieren a cada astro inmóvil y comprenden su distancia, su figura, su tamaño, etc. [...]; los otros son relativos al astro considerado en sus desplazamientos y se reducen a la comparación matemática de las diversas posiciones que ocupa en las diferentes épocas de su curso periódico (1835/1893, 69). Incluye así una teoría geométrica sobre el movimiento de los cuerpos celestes que, aunque debería considerarse una parte de la dinámica celeste, se expone aquí por ser lo suficientemente simple, convirtiendo a la geometría celeste en la verdadera base de todo el estudio astronómico posterior. El primer lugar será, así, ocupado por los fenómenos más simples y generales, es decir, los estáticos; seguidos de las teorías geométricas de los movimientos y la gravitación, como un fenómeno dinámico. El estudio de los fenómenos estáticos se apoya principalmente en la observación directa y en la matemática más simple. Para determinar las distancias utiliza métodos de triangulación y paralaje originados en la geometría sintética o de los antiguos, aunque para cuerpos muy distantes no es suficiente y, por ello, la seguridad de las observaciones es proporcional a la cercanía (1835/1893, 80). Para la forma, la observación directa asegura que los planetas son esféricos con más o menos achatamiento en los polos y con la protuberancia en el ecuador según su velocidad de rotación (1835/1893, 82). En los cuerpos más grandes debe medirse su diámetro aparente en todas direcciones, que es otra medición angular; mientras en los más pequeños, la esfericidad solo se concluye por inducción. Finalmente, el tamaño debe calcularse a partir de la combinación del diámetro aparente con la determinación de la distancia (cf. 1835/1893, 83). Por su parte, la teoría geométrica de los movimientos se ocupa de la rotación y la traslación. Aunque el movimiento de traslación fue el primero en considerarse, el estudio de la rotación se expone en primer lugar por ser más PENSAMIENTO, vol. 80 (2024), núm. 311 pp. 1675-1697 B. LUQUE Y M. DE PAZ, LA ESTRUCTURA DE LA MATEMÁTICA EN COMTE Y SU APLICACIÓN… 1691 simple, ya que en él no influye la posición del observador ni el conocimiento de las órbitas planetarias (cf. Comte 1835/1893, 95). Se determina observando cualquier signo o mancha en la superficie del cuerpo y se sigue su movimien- to a partir de esta referencia; para cuerpos muy remotos se usa la analogía y la inducción. La demostración geométrica de la traslación conlleva una tarea más ardua, aunque finalmente puede realizarse su observación con ayuda de la consideración de la distancia respecto al Sol, que es la que permite establecer la verdad del movimiento (cf. 1835/1893, 99). Sin embargo, todos los fenómenos anteriores presentan una mayor dificultad cuando se trata de la Tierra ya que, aunque comenzaron a estudiarse de forma geométrica, poco puede averiguarse mediante observaciones directas. Para la forma y el tamaño solo podemos basarnos en la acumulación de observaciones indirectas y se requieren razonamientos matemáticos complejos que no forman parte de la geometría. Pero a pesar del atraso que suponía el desconocimiento de métodos matemáticos más abstractos y de que las predicciones fueran cortas en el tiempo, el conocimiento adquirido mediante el uso de la geometría siempre fue positivo y cumplió muchos propósitos prácticos. No obstante, no fue hasta Kepler que se encontró una armonía entre estos elementos esenciales. Con sus conocidas tres leyes, establecía una conexión entre todas las partes del sistema solar suponiendo una mayor generalidad y aplicación de la matemática más abstracta, y con ello influyendo notablemente en la matematización de la ciencia astronómica (Comte 1835/1893, 103). Sin embargo, su concepción no estaba lo suficientemente generalizada al comportamiento de todos los astros como para conformar la explicación de un sistema en clave unificada, faltaba hallar la correcta concepción de la fuerza que explicara los fenómenos celestes, una tarea que comenzó Newton con el estudio de la segunda ley de Kepler. Gracias al cálculo infinitesimal, Newton consiguió justificar dinámicamente las leyes cinemáticas de Kepler, deduciendo matemáticamente fuerzas a partir de trayectorias curvas o trayectorias curvas a partir de fuerzas, lo que supone hallar la ley de la gravitación universal. Desde entonces, la noción de gravedad pasó a ser la explicación de todos los movimientos celestes: Es para expresar brevemente esta asimilación fundamental entre la pesantez y la fuerza aceleradora de los astros que se ha creado el feliz término de gravitación [...]. El empleo de este término tiene la preciosa ventaja filosófica de indicar estrictamente un simple hecho general, matemáticamente constatado, sin ningún recurso vano a la naturaleza íntima de la causa primera de esta acción celeste ni de esta pesantez terrestre (Comte 1835/1893, 188). Aboga, así, por el uso del término «gravitación» frente al de «atracción», al que considera irracional y «un simple artificio del lenguaje» (189), para evitar especulaciones metafísicas y alusiones a causas, pues eliminando la idea de atracción, suprimimos la «causa» del movimiento y gravitar, que significa, en último término «caer», alude a un observable. Así, lo que Newton en el Escolio General de los Principia tomaba como una limitación de su teoría —el no haber encontrado la causa de la atracción, sino solo la relación matemática que 1692 LA FILOSOFÍA EN SU HISTORIA PENSAMIENTO, vol. 80 (2024), núm. 311 pp. 1675-1697 la rige—, Comte lo considera una virtud, pues evita alusiones metafísicas. En definitiva, la ley de gravitación newtoniana supone para Comte una muestra sobre cómo, sin intentar penetrar en la esencia de los fenómenos, estos pueden conectarse y asimilarse, con el fin de alcanzar la precisión y certeza que nos permita predecir acontecimientos futuros. Pero, aunque Newton llamó a esta ciencia general de las relaciones entre movimientos y fuerzas mecánica racional (cf. 1687/1987, 98), no es hasta la utilización del cálculo infinitesimal cuando se muestra todo el potencial de esta disciplina. Por eso Comte trata la gravitación, en principio, como un fenómeno dinámico perteneciente al ámbi- to de la geometría celeste y no lo incluye en la dinámica celeste. La verdadera construcción de una mecánica en clave analítica y no geométrica es una empresa reconocida a Lagrange, el héroe «filosófico» de Comte. De manera que las leyes de Kepler y Newton no forman parte de la dinámica celeste comteana, pero dan paso a la concepción mecánica. La mecánica celeste, a la que atendemos a continuación, se funda entonces en las tres leyes de Kepler y las reglas de la dinámica racional construidas por Newton. Es así que «lo que constituye toda la realidad de la mecánica celeste [...] es haber tomado su punto de partida del conocimiento exacto de los verdaderos movimientos, proporcionado por la geometría celeste» (Comte 1835/1893, 30). 3.2. Estática celeste Mediante las leyes de Kepler y Newton, los estudios sobre el peso en la Tierra, la forma de los planetas o las mareas se suman a la astronomía formando parte de la estática celeste. Esto significa que los fenómenos serán ahora estudiados en base a su estado de equilibrio, por lo que Comte no incluirá consideraciones dinámicas como la fuerza hasta la exposición de la dinámica celeste, estableciendo una perfecta armonía entre la estática celeste y las concepciones preliminares de la mecánica racional que veíamos en la matemática. Así, sin alusión a fuerzas, abordará los fenómenos del peso y la forma de los planetas y el estudio de las mareas. Comenzando por el estudio del peso, debemos tener en cuenta que este se relaciona con la medida de la fuerza que es causada sobre el cuerpo por la acción gravitatoria de otro, y para conocer la gravitación mutua de los cuerpos hay que conocer sus masas, por lo que, para estimar el peso, primero necesitamos la masa, que es la cantidad de materia que un cuerpo posee. En palabras de Comte, «si la masa de un astro conocido estuviera determinada exactamente, eso permitiría apreciar la pesantez en su superficie o a una distancia cualquiera y, recíprocamente, la medida directa de esta intensidad bastaría para estimar la masa» (Comte 1835/1893, 206). Menciona intentos previos para realizar esta estimación, pero finalmente, atribuye a Cavendish, gracias a la balanza de torsión, haber descubierto que la densidad media del globo terráqueo era cinco veces y media la del agua, de donde puede deducirse el peso de la Tierra en toneladas. A través de este tipo de estimaciones se consiguen algunos datos sobre la constitución de nuestro planeta. Por ejemplo, sabemos que la densidad de las PENSAMIENTO, vol. 80 (2024), núm. 311 pp. 1675-1697 B. LUQUE Y M. DE PAZ, LA ESTRUCTURA DE LA MATEMÁTICA EN COMTE Y SU APLICACIÓN… 1693 partes cerca de la superficie está muy por debajo del promedio y la densidad más cercana al centro debe ser muy superior a la media (Comte 1835/1893, 210-211). Para los demás planetas, estimamos su peso a través de medidas indirectas, como el estudio de las perturbaciones que sufren por su achatamiento polar (cf. Comte 1835/1893, 215-216). En cuanto a la forma de los planetas, Comte explica cómo varios fenómenos han probado verdadera la suposición de los geómetras de que los cuerpos celestes eran originariamente fluidos, pues su equilibrio es compatible con una sola forma, y no con varias, como corresponde a sólidos en rotación (Comte 1835/1893, 212). Mediante observación y teorías geométricas simples, se podían determinar esas formas, pero para hacerlo con precisión matemática, hace falta el análisis trascendental y cuenta con dificultades que nunca se superan por completo. A este respecto, Comte menciona el teorema de Maclaurin (1835/1892, 215) sobre cómo la forma elipsoide cumple con precisión las condiciones de equilibrio, y explica que, aunque implica la suposición de que la estructura del cuerpo es homogénea, y esto no es así, en el caso de la Tierra la regla matemática concuerda con la observación directa. La última consideración que pertenece a la estática es la de las mareas, porque consideramos a la Tierra inmóvil y desde el punto de vista matemático, tomaremos la figura del océano durante un periodo de equilibrio, sin pensar en los movimientos que lo produjeron. Es decir, se trata como una masa de agua uniforme y en equilibrio. Como sabemos, la teoría de la gravedad ofreció una explicación al establecer que la causa de las mareas estaba en el cielo y no en la tierra (Comte 1835/1893, 220), pero estáticamente, consideramos el efecto de un cuerpo celeste sobre las mareas sin tomar en cuenta cuál es la acción de tal cuerpo, es decir, sin referencia a consideraciones dinámicas como la gravitación. Para Comte, la teoría matemática de las mareas concuerda con la observación directa en alto grado. Pese a lo cual, aún faltarían muchos datos inabarcables para que fuera completamente precisa, «como la verdadera ley de la densidad en el interior de la Tierra» (Comte 1835/1893, 227). En definitiva, funciona como una buena aproximación, pues «aunque muchos datos de esta gran teoría presentan alguna incertidumbre inevitable [...], recibe en nuestra experiencia diaria, la confirmación más decisiva y la más útil, puesto que alcanza el fin definitivo de toda ciencia, a saber, una previsión exacta de los acontecimientos para guiar nuestra conducta» (1835/1893, 229). 3.3. Dinámica celeste La dinámica estudia el cambio de movimiento a partir de fuerzas continuas y en el siglo XVIII tuvo una aplicación especial en el problema de las perturbaciones planetarias, en las que Comte centra su exposición sobre dinámica celeste. La ley de gravitación universal había determinado que todos los cuerpos se hallan en interacción mutua, siendo afectados no solo por el cuerpo en torno al cual orbitan, sino también por el resto. Las perturbaciones refieren, así, a las desviaciones que sufre la trayectoria de un cuerpo sometido a la acción de 1694 LA FILOSOFÍA EN SU HISTORIA PENSAMIENTO, vol. 80 (2024), núm. 311 pp. 1675-1697 todos los demás. Tras Newton, esta cuestión fue una de las más relevantes en la transformación de la mecánica geométrica en analítica. Las perturbaciones debían abordarse matemáticamente si se pretendía que la mecánica celeste ofreciese exactitud en el cálculo. De nuevo, Comte encuentra en Lagrange el mejor ejemplo de cómo obtener generalidad en los métodos. De acuerdo con Lagrange, las perturbaciones pueden ser de dos tipos: choques o explosiones y cambios graduales referidos a los movimientos de rotación y traslación. Ahora bien, Comte decide centrarse en los segundos, porque el estudio de los primeros es relativamente simple, pues no afecta a las leyes principales del sistema, es decir, las de Kepler; y una vez haya ocurrido un choque, es fácil deducir los nuevos valores de los elementos del sistema tras la perturbación (cf. 1835/1893, 232-233). El conocimiento de las perturbaciones graduales, sin embargo, es mucho más complicado y es a un tiempo más importante, para el perfeccionamiento de las tablas astronómicas. Estas perturbaciones se distinguen también en dos tipos: las producidas en la rotación y en la traslación. Las alteraciones en la rotación son menos y solo nos preocupan para el caso de la Tierra, por lo que la verdadera dificultad se encuentra en la traslación (cf. Comte 1835/1893, 237). Cuando nos adentramos en el estudio de estas perturbaciones, el método más directo resulta impracticable. Este se basaría en calcular las ecuaciones diferenciales del movimiento de cualquier planeta bajo las influencias de todos los demás. Como se sabe, las ecuaciones diferenciales que resultan de los cálculos de las interacciones entre tres cuerpos no dan lugar a una solución analítica, lo que se conoce como el «problema de los tres cuerpos» (Comte 1835/1893, 238). Así, menos aún podrán calcularse las interacciones entre todos los cuerpos del sistema solar. De hecho, el problema es resoluble solo cuando consideramos dos cuerpos. Bernoulli y Euler desarrollaron el problema mediante la integración de un sistema de seis ecuaciones diferenciales de segundo orden. Lagrange obtuvo soluciones parciales para el caso de tres cuerpos, a partir del uso del cálculo de variaciones y de sus observaciones sobre las desigualdades de los satélites de Júpiter. Encontró que una forma de tratarlas era desglosando las diferentes desviaciones en términos independientes, que permitieran un tratamiento por separado, obteniendo así aproximaciones. Para Comte, la determinación de todos los movimientos debería ser un problema único, pero no puede serlo por la imperfección del cálculo, lo que obliga a dividirlo en el estudio de planetas, satélites y cometas. Además, para evitar la complejidad del problema, se procede al estudio de las perturbaciones mediante una abstracción, considerando al Sol como un punto inmóvil (Comte 1835/1893, 241). Entre los planetas, es la Tierra la que presenta mayores complicaciones, porque está enormemente influida por la Luna, responsable de sus principales perturbaciones; pero la dificultad aumenta cuando tratamos satélites, por la inestabilidad de su foco de gravedad; o cometas, a causa de la extrema elongación e inclinación de sus órbitas y de su tamaño, pues los hace extremamente sensibles a la influencia de aquellos cuerpos cuyas proximidades recorren. PENSAMIENTO, vol. 80 (2024), núm. 311 pp. 1675-1697 B. LUQUE Y M. DE PAZ, LA ESTRUCTURA DE LA MATEMÁTICA EN COMTE Y SU APLICACIÓN… 1695 Así, Comte aborda una de las cuestiones que más preocuparon en la época y que permearon la astronomía decimonónica hasta los análisis de Poincaré a final de siglo: si las perturbaciones eran acumulativas, pudiendo poner en peligro la continuidad del sistema solar, o si su estabilidad estaba garantizada. Para Comte, la estabilidad queda demostrada gracias a la abstracción y generalidad que alcanza la disciplina: «la mecánica celeste ha logrado finalmente asignar un plano necesariamente inmóvil en medio de todas las perturbaciones interiores de nuestro sistema» (1835/1893, 260), además de considerar que las grandes variaciones son periódicas. En último término, esto constituye para él una prueba de la verdad del sistema positivo y la necesidad de sus restricciones: «Los fenómenos más generales del universo no pueden ejercer ninguna influencia real sobre los fenómenos más particulares que suceden en el interior de nuestro sistema solar. Esta anomalía filosófica, desaparecerá inmediatamente para todos los espíritus que admitan que estos últimos fenómenos son los más lejanos que nuestras investigaciones positivas pueden verdaderamente alcanzar, y que el estudio del universo debe ser, desde ahora, radicalmente desligado de la verdadera filosofía natural» (1835/1893, 267). Esto significa, en definitiva, que los otros sistemas astronómicos no afectan de manera esencial al nuestro, lo que queda probado, según Comte (1835/1893, 240) por la conformidad de las tablas astronómicas con las observaciones y, al mismo tiempo, justifica la restricción esencial de Comte de limitar el estudio de la astronomía al sistema solar. Solo con estos límites puede considerar la astronomía una «ciencia positiva», disponiendo una barrera que, de no ser sobrepasada, habría impedido avances fundamentales en este campo. Consecuentemente, el precio para la positividad de una ciencia acaba por ser una acotación excesiva de su campo de investigación que no concuerda con lo que será el desarrollo de la ciencia posterior. conSiDeracioneS finaleS. A través del estudio de la astronomía hemos podido comprobar cómo una multitud de fenómenos concretos son investigados matemáticamente llevando a la creación de leyes generales, que son la base de todo nuestro conocimiento real, tal como la ley de gravitación. Gracias a su estatus de ciencia natural, la astronomía es capaz de mostrar los comienzos observacionales del conocimiento mejor que la disciplina matemática, razón por la que Comte puso en ella el énfasis como medio de divulgación y enseñanza del positivismo (cf. Schmaus 2018, 48), mientras que la importancia de la matemática reside en su capacidad como método para unificar los diferentes saberes. En este sentido, la matemática se establece a la cabeza de su sistema siendo la ciencia que posibilita la creación de un sistema unificado de conocimiento, y dando al sistema su robustez. Pero son las dependencias entre ambas ciencias —matemáticas y 1696 LA FILOSOFÍA EN SU HISTORIA PENSAMIENTO, vol. 80 (2024), núm. 311 pp. 1675-1697 astronomía— lo que muestra el propósito de Comte, a saber, la coordinación entre los diferentes saberes. No obstante, como indicó Brenner (2018, 90), ensimismado por el cumplimiento del método, Comte impuso demasiadas limitaciones a la ciencia. Como hemos visto con respecto a la astronomía, restringió demasiado el domino de los fenómenos dejando fuera direcciones de investigación prometedoras, como la relativa a la composición química de los astros o la exploración astronómica más allá de los límites del sistema solar. Pese a estas restricciones, al reconocer el valor empírico de la astronomía para la aplicación de la matemática, Comte se alinea con los grandes astrónomos de su época como Bessel, para el que «ninguna ciencia es tan rica en la aplicación de la matemática como la astronomía» (cf. Olesko 1991, 30). Con respecto a la matemática, Fraser (1990, 251) señala estudios relevantes en el siglo XIX que Comte habría pasado por alto, como los de Cauchy, que para 1821 habría desbancado la base lagrangiana para el cálculo, proporcionando una base aritmética rigurosa. Sin embargo, estos «descuidos» no significan que no prestase atención a su contemporaneidad y es relevante para entender en qué consiste su exposición sobre la matemática. Su modelo a seguir fue Lagrange, porque en él ve la concepción más «positiva» de la matemática, sin embargo, a menudo hace referencia a lo inacabado e imperfecto de sus métodos, mostrando que lo que verdaderamente le preocupa no es una exposición del conjunto del contenido matemático disponible hasta su momento, sino de cómo la matemática funciona como método de descubrimiento. En este sentido, Comte estaba especialmente interesado por separar en cada ciencia el apartado lógico del empírico —es decir, la reconstrucción de una disciplina desde el punto de vista y los métodos del presente, de su proceso real de emergencia—, demostrando la manera de proceder en la obtención del conocimiento, de manera tanto dogmática como histórica. La combinación de ambos modos de exposición aplicados, en este caso, a la matemática y la astronomía nos muestran que, el positivismo comteano, queda lejos de establecer una relación «con el empirismo, con una ciega imitación de las ciencias naturales y con el uso irreflexivo de métodos cuantitativos» (Heilbron, 2018, 159). Comte combinó racionalismo y empirismo en su análisis del conocimiento, al tiempo que estableció la filosofía positiva como aquella inseparable de la reflexión histórica sobre las ciencias. referenciaS Blay, M. (2018). «The Analytical Construction of a Positive Science in Auguste Comte», en Bourdeau et al., pp. 56-72. Bourdeau, M. (2011). «L’idée des mathématiques appliquées chez Comte», en: Mathématiques et Sciences Humaines, Centre de Mathématique Sociale et de statistique, EPHE, pp. 35-44. halshs-00595495. Bourdeau, M. (2018). «Comte’s Political Philosophy», en Bourdeau et al., 2018, 163-189. PENSAMIENTO, vol. 80 (2024), núm. 311 pp. 1675-1697 B. LUQUE Y M. DE PAZ, LA ESTRUCTURA DE LA MATEMÁTICA EN COMTE Y SU APLICACIÓN… 1697 Bourdeau, M., Pickering, M. & Schmaus, M. (2018). Love, Order, & Progress. Pittsburgh: University of Pittsburgh Press. Brenner, A. (2018). «Astronomical Science and Its Significance for Humankind», en Bourdeau et al., pp. 72-91. Heilbron, J. (2016). «Auguste Comte and Modern Epistemology», en Gjesdal, K. Debates in nineteenth century philosophy: essential readings and contemporary responses, Routledge, pp. 159-170. Comte, A. (1830/1892). Cours de Philosophie Positive, Vol. 1. Paris: Bachelier. Comte, A. (1835/1893). Cours de Philosophie Positive, Vol. 2. Paris: Bachelier. Comte, A. (1851). Système de politique positive, Vol. 1. Paris:, Bachelier. D’Alembert, J. (1743/1758). Tratité de Dynamique. Paris: David. Darrigol, O. (2020). «Deducing Newton’s second law from relativity principles: A forgotten history». Archive for History of Exact Sciences, 74, pp. 1-43. Ducassé, P. (1934). «La pensée mathématique d’Auguste Comte». Thalès, 1, pp. 133-143. Fraser, C. (1990). «Lagrange’s Analytical Mathematics, Its Cartesian Origins and Reception in Comte’s Positive Philosophy», Studies in History and Philosophy of Science, 21(2), pp. 243-256 Huygens, C. (1673). Horologium oscillatorium. Paris: Muguet. Kepler, J. (1858-1871). Joanis Kepleri astronomi opera omnia, 8 Vols. Frankfurt: Heyder & Zimmer. Newton, I. (1687/1987). Philosophiae naturalis Principia Mathematica, Trad. esp. E. Rada García, Principios matemáticos de la filosofía natural, 2 vol. Madrid: Alianza Editorial. Olesko, K. (1991). Physics as a Calling. Ithaca and London: Cornell University Press. Pickering, M. (1993-2009). Auguste Comte. An Intellectual Biography. Cambridge: Cambridge UniversityPress. Pickering, M. (2018). «The Legacy of Auguste Comte», en Bourdeau et al., pp. 250-305. Schmaus, W. (1982). «The Concept of Analysis in Comte’s Philosophy of Mathematics». Philosophy Research Archives, 8, pp. 205-222. Schmaus, W. (2018). «Comte’s General Philosophy of Science», en Bourdeau et al., pp. 27-56. Schmaus, W. (2020). «From Positivism to Conventionalism: Comte, Renouvier, and Poincaré», Studies in History and Philosophy of Science, 80, pp. 102-109. Uribe Villegas, O. (1957). «En Torno a la Filosofía de la Matemática en Auguste Comte y a sus Posibles Aplicaciones en la Ciencia Social de Hoy», Revista Mexicana de Sociología, 19 (3), pp. 823-239. Universidade de Lisboa /Universidad de Sevilla blanca luque [email protected] Universidad de Sevilla maría De paz [email protected] [Artículo aprobado para publicación en marzo de 2021]