Libro del modo di diuidere le superficie

CL/'/ IXBRQt^"" \io DEL MODO DJIVIDERB LE SVPERPlcIE ATTRIBVITO A'MACHOMETO BAGDEDINO- Mandato in luce la prima volta da M- Giouami Dee da Londra, eda M. Federico Commandino da Orbino, Convnbreue trattato intorno alla fteflàrmatcri» del medefimo M. Federico Tradotti dì latino in volgare da Fuluio yiatn de’MalateJìì da Montefiore UCJ.DF.MICQ YFJtllt^JTté Enouamenie dati in luce. In Tcfaro del MDLXX Trejfo Girolamo Concordia con licenza de Superiori .1] ALL’ ILLVSTRISS IMO ET ECCELLENTISSIMO SIGNORE IL SIG. FRANCESCO MARIA II. PRINCIPE D’VRIUNO* VELVoperetta mcdefima llluftrì/timo, &Ecccllentiflìmo Prìncipe, che alli giorni pallati fù prefentatada M, Federico Commandino àV. Ej fe ne vie nc di nuouo àcrollarla, fperan do di Kaucre àpiacerle ancora la feconda volta, tutto che fia per fàuellar feco in differente maniera .Pregarci V. E. àvoler accettarla, efauorìrla conia folita benignità ftiajs*io non credeffi ,che conofccndo ella molto bene per la coninone c’hà delle Mathematiche il merito, ela bellezza cll’operaj non fia fe non per haucr caro,chequel bene, ilquale era prima d’alcuui poch ,horafi fia fatto maggior bene commanicandoli àmolci:c che Come tale fe nc Labbia àgire per le mani de Itudiofi .Or perfuadendomi adunque che ella fec piacititaàV. fc.ne’rhabito latino, non habbiaàdiijpiacerkin quello noiho vulgarejpoiche Aain ha- in baiato diuerfo da quello di prima èia medcfimt che prima; vengo Colo àpregarla ciienonfi (degnidi accetta le infieme con ella vn picciolo tributo deU’affetion grati de ch'io,porto, &hò portato femprtàlei,&à (ha calajllulhilfima, &àvoler tener quella per vnminimo fcgno delladeuotion (ingoiare verfa lei deU’animomio.Non la feio di fupplicarla ancora con.non minore Humìltà, che non le diìpiaccia ch’io mi fia procurato in quella prima ficca mia ri ucren te pròtemone dal' nome fuo; attefo che quelloàche non giungano! meriti miei ;arriuano,c pa£ lano la benigniti di V. h., eia miaaflèttionete conque< fto baciandèdehumilmentele mani prego, nollro (ignore che doni prolpero adempimento à’nobili luoi doli*, derii . Di V. E, iUulhidìm». Humile edenoto fornitore Fuluio Viani delMalatelK. . AM.FEDERICOCOMMANDINO ECCELLENTISSIMO MATH EMA T ICO* UVE'ìfD 0MI io motianni fono, prefafatica DottiJJìmo M. Federico mio di voler mantener vini nelle mani de gli buomini, in quel maggior numero ch'io po tejjìy ichiarijjìmiferini lafciatì cida'maggiorinoflrì intorno ad ognigenere della piti fceltafilo fofia :àfine che buominì co/è grandi non rimaneffo'offoglut li dellagloria chefi delie loro ;ònoi refiaffimo •priuipià lon go tempo de icopiofifjìmi frutti di cosìfatti libri :tinnendo io dico poflo ,in qneflo lo Hudio mio ;fragli altri anticbijju miferini de'filofofi mi capitò dopò motianni alle' mani qneflo libretto,ferino intiero in vn carattere troppo defome,&à penalegibile pla vecchiezza. Màfeci per leggerlo gli ocelùdi Linceo, ccofpeffìfjìmè volte cofiderarlo ,efami prati cash,mififecefacile il leggcrlo.Onde certificatomi meglioin qncHo modo della dignità &eccellenza del libro,defide*, ratto grademente dìfarne partecipi quanto primaglifiudiofi di quefiefilofofia :ementre àpunto io miflutto su quefto pen fiero ;voi Eccelletijjimo Comandino mio in qttefla età noflra tnifete parfo degno più dogni altro digoderai qtiefle noflre fdtiche»poi che voi ancorahmcte ritornati in vita parte de doùjfmifermidi Mrchìmede, edi Tolomeo cb'homai veniturno vano ameno, egli hauetemandatial coietto de gli bitumi- ni honoreudijjmamente vefiiti .QueHolibretto adunq; co. meperpetuopegno ancora dell'affettió/iugulate ch'io vipor to ,raccomando alla cura,eJedevoftra/evoglio pregami, e Jcongiurami ,ànon lafciarvficirfiore queftano/ira comunefaticajenga quell'ornamelo,co'lqudejetejòlito àmandar gli altri in luce. ^ingì pure tengofermafierdga (fé conofio bene evoi,& il valor Voftro )cheaccrefcerete di modo que Jla materia-, chene anche la lafciaretefermarcJUU'area péta gonale :ne diporterete molto, cheifidi perì pianifiano prilli it[mulifemori. QueHcperfeHeffe purchevoivogliate puntarili vnpaco,paleranno allefietti delle JUperficie che vi rcjlano :ma. perapplicarle di fidi, fi ricercherà poi la voftra foda eruditione, efrugolar inditflria nelle mathematiche. Maquelio uoglio chcfappiate del nome dcll’Muttore * “fieli’originale ìftejfio antichìffimo di douelo canai era Jcrit- to co lettere àCifra (come dicono) il nome di MM.CHOME TO BMCDEDIfiO, fittalenonfon ben chiaro anchoraòfie fia stato quell\Albatenio, il quale nelle cofie di agronomiafiua le effiere citatofiejje mite dal Copernico come teftimouio cfiUtborità tòpure quel Macbomcto chefi dice efiereSìato dì ficpolo dì tifando ,il quale dicono ancora batterfrìtto non tò che intorno all'arte del dtmoSìrare; òpii tofto fia da tener fi quello libretto per opera del noftro EucbideMegarefe, tut ti ilibri del qualegiàgrantempo bn ,furono tradotti dalla linguagrecanellafiuella Siria, &Mr.ibica:& perciò ejcn do/i trottato preffo gli-àrabi,ài Sirifingali tìtolo fio, facilmente dagliMmamtefiferàfiato attribuito àMachomec- (o eccellente Matematicofràloro .Ilchc pofio io prouarer per molti teflimonii ejfirefieffe volte attenuto in moltificritti degli 'antichi :efimo alcuni amicimei(per pornere vntv mangifra molti) che io per qitefio rifletto medefimo ho rew fiituito ad Unaffagora quell’antiebi/fimo ,&Eccelleutiffi- , mofilofiofit vn libretto raro intorno alla filafofia occulta mifiica H'iitautjottaitnome d'^rifiotelcjen'erdandatogil moltifbcotìperlémanidellegenti: equefio per ccrtiffimi argomenti .Inoltre da’ fcrittl di nìffunMacbometto chehabbia. mo,battano ancharapotuto conofiere tanta acutezza, quait ta dapertuttofi vede aperiam. iti quefti problemi, -aggiun- gafi che Euclide medefimofcrìffe vnlibro delle diuifioni,comefi può chiaramente conofiere da Tracio ne comentarifa pnilprimodefiioiElementitnefitpemo chealtro uerurn ve nefiafotta quefio titolo,nepotemo ritrouarneahmo che pii ragioneuolmente per l'eccellenza del difcorere, fi pojfaafcri veread Euclide .Finalmente mi ricordo hauerleto in vn ce r toframmento antìchiffimo dellafacoltà digeometria,vnlua-, ga citato con le paroleformali di quefio lìbretto,come di ope ra certiffima di Euclide.[Or breuemente quanto il tempo coni fortuna lié raccolte infiemequelle congetture mìe], lequali iefidem cbabbiamo tanto di pefo,quanto infefieffe abbraca imito di verità Efi alcuno mi fi vaglia opporre con dire queltùtolo Delle diuifioni non dinotaref emonidìgrandezze nette parti loro;ma diuifioni dìgeneriperielórodifferenze nellefilettòloro; come delle diuifioni methodiche de’punti,del le linee,degliangoli, delle figure, efilmili, quali io in numero maggiore ìli foo. bò datofinora in vnmio trattato dell'ecce lenza, ecertezza1delie mathematiche;confejfo certo que * fio ancorapoterfi dire probabilmenteimà però quanto vera* mmt»fi.Mfiuidire,>ioneirere.tataticboratià noto àme,che fifia chiara àluilatnta cógetfura.Màfìafifiata qualfinoglià quel libro delle diuifioni d‘Euclidei, quefio in vero évnlibro talefilquale epuò ejfire vtiUJJìmo àglifiudii di molti, eche à qualfiitoglia nobìlìjjìmq Mathematica degli anitichi può recale affaldigloria, edi bollóre per 1acutezza grandifsim^ dcll‘imentione,eper teff amine acuratifsimo di tutti icafi in dafebedmo de'problemiie tanto bafli intorno àciò. \Ayptinò volto tutto il mìo parlare, co’lqnale intendo di pregami,firettijjiriiamentc di quefio, che iche vogliate man dar LE SVTEKJICIE goto ABDper la preludia con rna linea equidiftante al lato ADfecondo la proportione della KLalla LG: 'ela linea laqual tìmide il triangolo in quello modo fiala FH. Dico adunqj che la proportione del triangolo “li i: dc JF BEalla fuperficie AFEC, ècomela proportione della ICL alla L M. La ragione* Perciòche la proportione del triangolo ADC al triangolo ABDècome la proportione della MGalla GK. Conginngendo aditnqueper la 18. del quinto la proportione del triangolo ABCal triangolo ABD*> ècomela proportionedella MKalla KG. Mà la proportione del triangolo AP*D al triangolo FBE, èco mela proportione della KGalJaKL!. adunquefecondo la proportionalità eguale per la z-> .del quin to ,Ièri la proportione del triangolo ABC al triangolo FBH> comejapropórrione.della MK alla K!.. Diuidendq, adunque la proportione della fuperficie AF!Cal triangolo FBE,, ccomela proportione della MLalla KL, Connettendo,, adunque la proportione della KL alla LMècome quella del triangolo F B Ealla fuperficie AFEC: il che haueua da prouarfi. Tergo cafo. Sia la proportione della KIT.alla IIM, coni equella della BDalla DC; talmente clic il pun- to HZìa fiài punti KSe L. Di iriderò poi per la premellà il triangolo ADC fecondo la prò portione della HLalla LM, con la linea NO cquidiEantcal lato AD. Dico adunque clic la proportione della fuperficie NABO al triangolo NOC) ècome DEI MODO DIDIVIDERE 4 come la proporrione della KL alla LM. La ragione- Perciòchela jpportionc del cnagolo ABDal triangolo A DC,è come quella della KH alla HM,p la prima del 6.e pla 11del 5. Congiungédo adunqj per la 18 del 5. la jp portionc del triangolo ABCal triangolo ADC> ècomela proportione della KMalla HM. Mà la propor rione del triangolo ADCal triangolo NOC, ecome la proportionc della HMalla LM.fecondo la propor tionalità eguale adunque la proportene del triangolo ABC ai triangolo NOC, ècome quella della KM alla LM. Dmietendo adunque la proportion della fuperficie NABO al triangolo NOC, ecomela proportion. della KLalla LM: die fu il proposto. Tl^OTOSITIOISti V- TJ {0 ÈLEMJL V, Diuidere vii triangolo noto ,con vna linea èquidift3te ad vna linea tirata da vn’ango lo fuo,laquale ne Ha equidiftante ad alcuno de’fuoi lati» ne ad alcuna delle fuc per pédicolari fecondo vnadata proportionc. Quella conchiufidpe lì può protiare comela premt f fa :eli pftò, 5rrreh«mo^ altramente in quello modo. Sia la proporti^ data quella del la Malla N: elia il triangolo ABC, ilqualc io voglio diuide re fecondo la proportionc della Malia N, con vna linea equ idiftante alla AD,laquale cada dall’ angolo A•ne Ila perpendicolare, ne equidiftante ad alcuno dolati del triangolo, Diuidcrò adunque la linea BCfecondo la prò- J» Et MÒ DO Dt DITtDE\E la proporti onc della Mall iN: ecada (per dìèmpio)prt maladiiiifionenel punto D. la linea ADadunque per la prima del Ièlla diuideil triangolo fecondo laproportion datali della Malla N. Secondo cafò'- Cada poi la tinnitone frà ipunti BeD* nel punto Ej talché la proponione delia li Ealla EC> fia come quella della Malla N. Aihora porrò la linea BF mezzana proporttonalc frà le linee BDySe BE: etiratali la linea EGcquidiftante alla linea ADj dico ch’ella diuide il triangolo fecondo che li proponc.L<t ragione .Perciòche tirarò la linea AE. la proportione adunque del triangolò ABD al triàgolo GBF, ccome quella della BDalla BFduplicata5per la 17del fello, èadunqj comela proportione della BOalla BE, JVlà fecondo la proportione della BDalla BE, ela pvolendone del triangolo ABD, al triangolo ABfi. è adunque la medefima proportione del triangolo ABl) al triangolo GBF, &al triangolo AB E. Adunque i triangoli GB.F, Se AB Efono eguali.Poftali adunque la lineila fetti 'me delle linee AE,G F, fi vede chiaro chei triangoli AGH Se EFHfono eguali :àiq itali aggiuntali lafuperficie AHFC feràil triangolo Ali C eguale alla fuperficic AGFC. La medehma proportionc adunque cdel triangolo ABEal triangolo ÀEC che del triangolo BFGalla fuperficic AGFC: (vàia proportione del triangolo ABal triangolo AEC, è come laproportion datali della Malla N;cmanifette adunque il propofito. Tcr^ocafo. Cada la diuifione frà ipunti DSe C. nel punto JE; talché fia la proportione della BE alla EC, come quella della Malla N. Porrò adunque la linea Ck mezzana zi srTExjr ni ? mezzana proportionale frà la DCela EC. Àlhora tiratali la linea KLequidiftate alla linea 1 ADi dico ch’ella diuide il man golo fecondo cheli propone. Perriòche li come prima la prò portionedel triangolo ADvJ al triangolo LKC, ècomela pròportione della DCalla K0dm plicata: cper confeguenz&èco mela proportion della D/O alla EC: efecondo la medeli maproportiohe èla proportiòn del triangolo ADCal triangolo AEC. Adunque itriangoli LKC, &AEG lo no eguali. llperche itriangoli A H L, eKHEancora fono eguali. La fuperficieL A15 Kadimq; èvguale al triangolo ABE. Adiiiiq, la medelìma^pportione èqlla della iuperfi cieL ABKal. triangoloLKG; cheqlla del triangolo ABE al triangolo AEC. Màquella proportione ècome quella della Malla N: Manifello èadunque il propofieo. Nota che àquello modo medefimo fi può anche protiare la con chiufion premetta ,equella cproua’ più facile clic le polle di (opra . OSTT lO^Vt. TVJÌBLIMJ. V U Diuiderevn triangolo noto con vna linea equidiftante àqualunque linea tiratali in effo, otirili da angolo, ono', fecondo vna da ta proportione, Perciòche fc la linea legnata fia cquidiltante>à qualche lato del triangolo ,fi hauerà l’intènto, perla ?di quello. Se anche la detta linea cada da qualche angolo fi. haueràil Cpropolito DEL MODO DI' DirIDEILE proposto perla premelIà.Chefe la linea allignatali ne dì ìcenda da angolo veruno del triangolò ,ne ila equidiftante ad alcun lato fuo,c0tne nel triangolo ABG,- allignili la linea DE laqualenon fiaequidiltaiite alla linea A0;.mà concorrebbe con ella gialla parte Cjfe l’vna el’altra s'alhm galle. Albora dall’angolo dalla parte del quale farcbbeil còcorfo, come dal angolo Ctirili la linea CF nel triangolo, equidi fiante alla linea allignatali ,ciò è alla linea DE: Et alhora per la : premdlà diùidafi .iicriaùgolo.coji vna linea equidiftame alla linea CFfecondo la propoition datali.' 1 Chiara colà èper laj.o del primo ch’ellò alhorà vien' diiiifo. coli vna linea’ cqnidi/tantealla linea DE, edoli èmnnile/to ilpropollto tirili guanto li voglia drauagantcmentc la linea. .; • : >{ TIlO'POSlTLQ'X.rit' TApKLEMJ. VII. Con vna linea tirata da vn’angolo dVtt quadrangolo noto ,diujdepe quel quadrangolo fecondo vna data proportionc . Sia la proportion datali quella della Malla N, eHa il quadrangolo ABCD: dall angolo Adel quale voglio tirare vna linea, che diirida il quadràngolo lecondo laproportione della MallaN. Perciòche ti tarò il diandro A,C, edal punto Dtirare la lineaDF equidiftantc alla linea AC, fin che concorra con la linea 11 Cnel punto E.Diuidefò poilalinea J5 Ffecondo la proportionc della Malla N: e prima cada la diuilìvnc nel punto Cj talché fiala medefima LE .SVTEVJ1CIE ma^ppórtione qlladella BC alla CFjche qlla della Malla N.rico adunque che la linea AC diuide -il quadrangolo fecoiido clic lì è .propollo. Lampione. Perciòche il triangolo ADC èivgiiale al triangolo AF.C.per la *7 del. primo .Mà la proportionfc del triangolo ABCal triangolo' ACFècome la proportio ne della Malla N.per la primn delfefto.La proportione adunque de 1triangolo ABCal triangolo ACDècome la proportione della Mallja N, che fu il propolito . Secondo cafo. Cada la diuifi.onc nel punto Efrà gli pun tiB &C;talché fìa l(i proportione della Blì alla EFcomequella della Malla N. Alhorà tiratali la linea ÀEjdi-» co che la-propoiitionc-del ttiangolo ABEalla fup.eriìcle AECD, ècomela proportione della Malla N, La ragione. Eerciòcl>e;tifaròìavlmefl^A;Fci in ' jor^adunque il triangolo ADC eguale al triangolo AFCper la 37 del primo. Aggiuntoli adun qui* il.triarigòlo. AECcòmmu-' ne aU’yno tk aH’altroj l'era la fuperfièic AECD eguale al tritili golo A£E,Aduqj la rùedefima- ->* '’ proportione equella"elei tijmngolo'A BEalla fuperfieie AECD, &al triangolo ÀEF. EÌIèndo adunque per la prima del (cito la proportione del triangolo ABEal trian golo AEpi copiequella.della MalJaN.;chiaramqnteii vede,chela proppmone|dcl.triangolo ABlì ;dlafupprfin eie AE'C L>i. etomequellajdellaM alla. N: jlchedoueua proivar/i.’ .. ,;»• ..' . Ter^o cafo. Cada la diidfionpiiài punti Còc F, nel pulito Gj talché Ha la proportione della BGalla CE, co- Cxmequella *DEL Mona Dt DIVIDERE «ne quella della Malla N. Alhora tirarò la lin ea GHequi Pillante alla linea DF, finche concorra con la linea I)C nel punto H. Tiratali poi la linea AH; dico che la proportione della fuperficie A15 C. Hal triangolo ADHcco me la proportione della Malla N. La ragione. Perciòche tirarò la linea AG. $erà adunque il triangolo AHCegira le al triangolo AQC: ma tutto il triangolo Al-> Cancora èvguale àtutto il triangolo AFCj" Adunque il triangolo ADHreftante èvguale al trian gotareftante AFG. Aggiuntoli adunque il triangolo ABCcom muneà iduo triangoli ACH&r AC G eguali ;Ieri la fiipcrficie ABCH-eguale al triangolo ABG* Ieri adunque la proportion della fuperficie ABGH al triJ goto. ADHjComcqlla del triangolo ABG al triagolo AGF* Mi la proportione del triangolo AB Gal triangolo AGF ècomela proportione della Malla N3Xlpcrche èmanifo fto il propofito. i“ TI{pTQSIT10'l{ Vlht* TRfrZLEMjl VII*. Diuidere vn quadrangolo noto di duo Iati e~ quidi danti con vna linea tirata da vri pun- to adeguato in uno de’duo Iati equidiftauti fecondo una data proportione. Sia ^quadrangolo noto ABCD ,&il ptin to afiègnatofi nel lato BCeqnidiftantc allato AD, fia E. Alhora voglio tirare vna linea dal punro Fthe (lùrida il quadrati gota (eco ndo la proportione della Lalla M. Perciòche allunghili la BCper lo dritto fino al punto F:talché la linea CFfia eguale alla linea AI). etirili la linea AF, che MSli LÉ sr'P'EÈjlCtE. <f ragli la linea DCnel punto G. fono adunque itriangoli ADG GCFlimili, &eguali ilati ADCF. Quci triangO li adunquefono eguali. Aggiuntali adunque la fuperficic ABCG commune alPuno &all’altro ;Fi vede chiaro che il quad rangolo ABCD èvguale al triangolo ABF. Tieniti a mente quefio .Ditiiderò poi la linea BFfecodo la pioportione della Lalla M;eprima cada la diuifione nel punto E talché la proportione della BEalla EF> lia come quella della Lalla M:Alhora tiratali la EA, dicoch’ella diuiderà il quadrangolo fecondo che lì propone. Perciòche per •l’ vgùaglianza de triangoli ADG eCGF lalupcrfificie AECD èvguale al triangolo AEF. èadunque la medelima prò portione del triangolo AB E alla luperficie AECD Se al triangolo AEF.Màla proportione dello ABEallo AEF, ècòme Iaproportione della L alla M. la proportione aditnqj dello aBE ahello del quadrangolo; ècome la proportione della Lalla M: che cil propolito. Secondo cafo. Cada la diuilione frà ipunti B&r Enel puntoli; tale che fiala proportione della BHallaHF comequella della Lalla M, Alhora tirarò la linea HKequidillate alla linea AE: etagli la linea AB nel punto K. Dopoi tiratali la linea KE,dico ch’ella diuide il quagrangolo fecondo che fi propone.. Perciòche tirarò la linea AH. Perche adunque le linee AEKFI fono equidiftanti ,féranno itriangoli KAH tk KEH eguali. Aggiuntoli adunque il KB Hall'uno &altro; feti il triangolo ABH eguale DELMODO DI DIVIDERE eguale al piangolo KB E. Mail triangolo AKEancora èvguale al triangolo AHE; Aggiuntali adunqj la Tufficie AECD comune aU’vno, &airaltto;lèràlafupcrfLcieÀ 1C ECD eguale al quadragolo AH j CD. Mà il quadrangolo AHCD èvguale al triagolo AHF,come il èmoftrato di l'opra. Adtinq; la : mededma^portione cquella del triagolo KBBalla iiiperficie AK ECD;che quella del triangolo ABH al triagolo AH1::epcon feguéza che quella della Lalla M: il chehaucua da guarii. Terzo cafo. Cada ladiuillone frà ipunti E&E: efattafi la figura legare dalla linea EFla linea EP eguale al la linea DA. Taglierò in oltre la linea BFfecondo la propordone della L. alla ecadaprimaiadiuilione nel punto Pj Talché fa la proportione della BP alla PF come quella della Xalla M. Alhora tirato la linea ED: laquale dico di uideré il quadragolo fecondo la forma piopollaci . Larctgione.Perciòche tira^ò la linea PA;eperche la linea EPcvguale alla linea AD> &cquidiftate addila.*, feràfl triagolo . ADp. eguale al triagolo APE Aggiutoui achìq; il triagoloABE coni une -, ferà il quadragolo AB EDeguale al triagolo ABP: cco legiicn temente il triagolo,recali, te DEC, fcr;\ eguale al triangolo i reflante APE, per quelloche lì eprciuato di fopn\: cioè cheil quadrangolo ABCDò.VgUplè al triangolo AB P. c manifedo adunq; che la mecidima prophr.tione cdel qua drangolo AB ED al triangolp DEC; che del triangolo A al triangolo AP.F, per la 19 del quinto. Mala proporzione del .triangolo ABP altriangolo APE ècomequella della LE SVVEEJ1C1E e dèlia Lalla M: la proportione adunque del quadrangolo ABEDal triangolo DECccome quella della Lalla M:il che haueua da prouarfi, Secondo cafo Cada la dittinone fri ipunti £&P, nel punto Q^-, talché la proportione della Balla Q.F, fia come quella della Lalla M. Dopoi fegarò dalla linea AD la linea AReguale alla linea EQ. Alhora tiratali la linea ER, dico ch’ella diuide il quadrangolo fecondo che fi prò pone.Perciòche tirare la linea AQ^eperche le linee AR &Efono eguali ,&equididanti jferanno itriangoli ARE, Se AQJE eguali: ài quali aggiuntoli il triagolo ABE eoe; ferà il quadragoloAtfEReguale al triagolo ABQ.Màfi èjpuato di l'oprache tutto il quadragolo ABCDcvgualeàtuttoiltrianL < golo ABE. adunq; tlcptadfan-l golo RECO rellanteè vgual$ : al triangolo reftantè AQ.F. la medefimaproportionè adttn'q; è al quadrangolo RECD; che del triagolo ÀBQjdtriago lo AQF:c pcofeguèza che della LallaM: che fu il,ppofiro. Ter%p ca/ò. Cada la diui fionc fri ipunti P. ‘i&J’F nel punto S; talché la proportiope della BSglia oFha co mequella della LallaM. Di uìderò mò la linea DCfecondo la proportione della .,,, iv\x PSalla SFnel punto T, cti »** 5F: rarò la linea EI. Dicoch’cl , làdiuìde il quddragolo féefidò cheli propone .Perci^àu tirarcela linea hS. Perch'eiidunquclc linee AD&;ÈP fo no eguali, de equidiftànti *. ftràimd itrianguli' A D E, d APE DEL MODO DI DIVIDE KJ*. affa EB, fecondala proportiooedella FH alia K: Alhor». tiratali la CDequidifhmtealla linea ABy dico: che la fuperficie Mèvgixale al quadrangtilo ABC D.. Laragione. Perciòchelaproponionedei triangolo CD Eal trian, golo BAE, è(come fi èinoltrato di lopra )co me la proportion della EHallaG H.Comicitcndoadiiquela propor rione del triangolo CD Ealqitadragolo CDA BèCome la proporrione della FHalla.F G> .-i, •.i . Umidendoadunq.uek proporti,one del trifingqlo, À'ft Ef al quadrangolo ABC,D ècome kpropqrtioq disila G ajla GF:cper confcguenza come la proportlpne dcl medefimo triangolo ABEalla fuperficiè M,Adunque il quadrangolo ABCD,cla fuperficie M.fono,eguali, c“ tanto hauemo voluto dimolirare .-, TJlOpos.tTIQ'K XI*TEOELEMJ. XI. tv' j^,,j. , Diuidere vh quadrangòla: di lati qon vna lifiea-equidiftante ad latù fecondo, vna data proportionc. Sia il quadrangolo di lati equicl't ftan te AB. GD,ilqualp foglio ,r-r~T~ diaidsveft^Adq, ^p^opaniQ- a! ,_ Bedfll^^R qop,yii1a.„fmeà *f . equidiftanreal ktpÀB. di elfo ,k' Jpersfàchedi itidprò laltpea B,C l nelpun tp, jE?l feppndo la proppr j? tioncdclla.Ci alla H,ctirarò la U equiAiÓanti vnò de’fuoi LE SVVE\F ICÌE a* rrea EFcquidilìante alla linea A15 .clìllà riiitcnto. Perciòchep là prima del fedo la mede(Imajpporrione èquelli, dclquadvanao’o AHE Eal quadragolo FEC i>jchequelLt del IalitieaB Ealla linea E- C:eper confc’guenza che quel la dèlia Galla Hrch'cifu'il propóiìto . : T1{0VQS LTIOV^ Xl'L TJ^OBLEMJ. XIL Diuidere vn quadrangole) di duo lari io-làmen re equidiftanti con vtia linea .equidi dante a (boi lati equidiftanti fecondo vna data. prò portione. ; :- Sia il quadrangolo Ali CD* dclqualci duo lati AD Se. B'pfoktfrtèntei .jfrafto itiqvùdifeftrii* :Voglipj quedividere fa ptójiqniqn^ 4ella >M•alteiMi*jedr»»|ijijii\éa gqpjdùt&a # •ite'B &gfiemiaehfiij fù9Ì,faf>r: of nJ/wiq .1 l.T rii* J>’ ri •ci A' B1 Se .D €Cioncòrreraìnr.t.4 ! tip E, C)fe fo&J?~ ‘ *no nécellàriàra elite. Ponirt-.' mo chetio Hìa nel; pmito E*.; ’c 'potrò' La pirApoi'tiop© della .!.d.i H Oalla LOfecondo la prò j L\< \t|, j • j ,J•ò,. portione del triagolo DA& opmnj_ •alfriingolòBiffi8SPjfflPeS !171 ‘01'V i ?0" 0 a<; tendo 3echiùdendo adunque ièràlapropofrioné dé triàngolo (C BE, al .quacfotiigolp .E) ABCicpme quella della LOalla LH.Diuiderò mo la lìnea H. L<n$ putito k‘ ,fecondo la proportioilc della M dllsiN'i talchéllià-ìa piópòrtio'ne della H'ivaUa'K L, comequella della Malla Ne-fiala linea Pn)czz^q|^opor rionale frà le linee KO & ÒL*. «imporrò la pròpornone della FEalla CE, fecondo la propottione della KOalla P. Dopoitirarò la linea FGcquidiftantc alla linea DEL MODO DI DIVIDERE', nea DA.Dico adunque ch’ella diuide il quadrangolo iocondo che fi propone .La ragione. Perciòche la proportione del triangolo FGE ai triangolo CBE, ècomela proportione della FEalla CE duplicata .Adunqj ècome fa proportione ancora della KOalla Pduplicata;c per con leguenza la proportione dei triangolo FGEal triangolo CBE, ècome la proportione della KOalla LO. Diuidendo adunque la proportione del quadrangolo FGBC al triangolo CBE»ècome la propor-. tione della KLalla LO. la prò portion poi del triangolo C- JB Eal quadrangolo ABCO(come fi èmoftrato di fopra) ccomela proportione della LO alla LH. Per la proporti» Haliti eguale adunquela proportion del quadrangolo F* GBC al quadrangolo ABCD, ccome la proportione del* la KL alla LH. Diuidendo adunqj la proportione del quadrangolo FGBCal quadrangolo AG FD ccome la proportione della KLalla KH. Conuertendo adunque la pr® portionc dell’ AGFDal GBCF.ccome quella della H1C alla KL: eper confluenza comequella della Malla Ni che fu ilpropofito. TJ{OT OSITI07<L XIII. TEjOBLEM^i KllU Diuidere vn quadrangolo di duo lati equidiftanti folamcte .con una linea cquidiftante ad vno de’fuoi lati non cquidi danti fecondo vna data proportione. LE srVEEjlCtE i* Siano {blamente iduo lati AD BC del quadrangolo ABCD equidiftanti. Voglio adunque diuidere quel quadrangolo fecondo la proportionc della Malla N, con vna linea equidiftante al lato di elio AB. Dava deduo angoli adunque òCòDtirato vna linea dentro al qua drangolo cquidiftante alla linea AB, efia per elfempio la linea DE. Dopoi tirarò la BEpc’l dritto fino al plinto E, tanto chela BF fia eguale alla BE* ediffiderò la linea FCfecondo la proportionc della Malla N. eprima cada la diui(ione nel punto Ej talché fia la proportionc della FEalla EC> come quella della Malla N. Dico adunqj che klinea DEdiuide il quadrangolo fecondo che fi propone. La ragione. Tirarò la linea DF. cadun quela ^porrione del trian golo FDEal triangolo EDC,come la proportio ne della FEalla EC: adun que comela proportene della Malla Nancora-Mà per la prima del (erto ,epcrla 4r.del pri mo il quadrangolo AB EDèvguale al triangolo FDE. Adunque la propor rione del quadrangolo ABE Dal triangolo l3 EC, ecome quella della Malla N, che fu il propofito . Secondò ca/ò.CadApoihdiiimoncftài punti FA: E^alche fia maggiore la proportione della FEalla EC, che laproportione della Malla N. Diuifafi adunque la linea ECin parti eguali nel puuto Gferà maggior proport/one quella della BEalla EG, che quella della Malla N: per quello chela linea BEcla metà della linea FE: lì eia DEL MODO VI DÌVIDE 1{E. ela linea EGèla metà della linea EC Di uifafi adunque la linea BG fecondo la proportione della Malla N, caderà ladiuifionefràiputi B&r E:efia nel punto Hjtalche fiala medefima^pportione qlla della BH alla HG che cjlla della Malia N. Alhora tiratali la linea HKeqdiilante alla linea BA; dico ch’élla diuide il qua drangolo fecondo che fi propone .Perciòche tirato pel dritto la linea ADfino alpun to L; fin tanto che concorra conia linea GL equidiftantemente alla linea DE. Perche adunque la linea EC èdoppia alla linea EG, ferà il parallelogrammo DEGLeguale al triangolo DEC. Aggiuntoli adunque all’vnQ‘&: all’altro il quadrangolo KHED; ferà il quadrangolo KRGL, eguale al quadrangolo KHCD. La medcfima proportione aditqj cquella delquadràgolo. ABHK alquadragolo K HGL, al quadrangolo KHCD: la proportionpoi del quadrangolo ABHKal quadrangolo KHGL ècome la prò. portione della BHaLla HG:e per confeguenza come quel la della Malia N. Adunque la proportione del quadrangolo ABHKal quadrangolo KHGDj ècomelaproportione della Malla N: che èil pr opofito. Ter^oca/Q, Cada mò la diuifionefrài punti F&Cnel punto R; talché fia la proportione. della FRalla RC, comequella della Malla N. Alhora tirar© la linea; DR :c perla 3di quello chiuderò il triangolo DEC fecondo la proportipne del triangolo DE.R al triangolo D R C,con la linea PQ^quidiftante al lato di elio DE; talché fia il quadrangolo DEPQ^ eguale al triangolo DER, &anche il triangolo QPCeguale al triangolo-DRC. Dicoadunque. che la linea PQ_ diuide il quadrangolo fecondo che fi prò pone. Perciòche la proportione del triangolo FDR al triangolò. tt srTÉxjt'icìs: 14 triangolo RDC, ècome la proportione della MallaN» Mà il quadrangolo ABED èvguale al triangolo IDEj& il quadrangolo DEPQè vgua le al triangolo DER. Adua queil pentagono aBPQD è vguale al triangolo FDR. Màil triangolo DKC ancoraci vguale al triangololo P- Q_C. Adunque laproportio ne del pentagono aBPQJJ al triangolo QFC, ècomela proporzione del triangolo F- DK. al triangolo DRC; eper confegucnza come la proporzione della MallaN, che fu il propolito. Nel medefimo modo opcraremmo con vna linea equidiflante al lato DCdi elio •eli vcdcmanifefto tutto ciò che proponemmo. 11Zì\ 1 1 zL fB£-PR c TJ^OTOSITIO^l XIIII. TJ^OBLEMJ. XII11. ; Diuidere vn quadrangolo che non habbia la- to veruno equidiftame con vna linea equi dinante ad vno deTuoi Iati,fecondo vna da ta propordone. Verbi gratia il quadratigol oABCDnon habbia vermi lato equidifeante: màperò voglio di uiderlo fecondo la pro portione della Valla X3con vna linea cquidiftante rtllub dato AB. Perciòche tirarò da vno deduo angoli'G òD tvnaiineaequìdillate allalincaAB,chc palli dentro al qua .drangolojdia per ellempio la linea DE: e' tirarò le diteli neeEA BD 3che fi taglino inficimene! plinto O: &al lungherò hi linea CBpe’l dritto finoalpuntoFj finche dia la proporzione della !• Balla BE, coma la proponionc ,. ;jE2della DEL MODO DI D1VÌD 2*1# della AOall OE> ètirarò la linea FD. FVopòi diuidcrfl» la linea FCfecondo la proportione della Valla X: eprima cadala diuilìone nel punto E; talché fiala proportione della 1- Ealla EC, tom’è la proportione della Valla X. Dico adunque che la linea DE diuide il quadrangolo fe condo che fi propone. La ragione Perciòche la proportione del triangolo A1)0 al triangolo ODE, ècome la proportione della AOalla Ot: ela proportione del.trian golo ABOancora al triangolo OB tr» ècomela proporti® ne della AO alla OE. Congiungendo adunq; la proportione del triangolo BADal . triangolo BE D,è .ome la prò prtione della AOalla OE: ti per confeguenza come lajp- - portione della FBalla BE :eAXV, fecondo la medefima propor rione cil triangolo FDB rilpetto al triangolò;BED„ Adunque il triangolo BAD èvguale al triangolo FBD. Aggiuncofi adunque il triangolo BDE comrnuneairvno ik all’altro; (era il triangolo FDEeguale al quadrangolo ARED. Mà la proportione del^triangolo FD Eal mango lo EDC, ècomela prapórtione della Fe alla'ECrepercon feguenza ome la proportione della Valla X. Adunque la proportione del quadrangolo ABEDal triangolo EDC c comela proportione della V' alla X:chefuilprcpofito. Secondo cafo. Cda poiladiuifione frài punti F&: E (òfia di dentro,òfia di fuore del quadrangolo, che di ciò ronfi tien cura )eponiamo che lìa nel punto.G; talché Ila la proportione della FGalla OC, come la proportione della Valla X: ètirarò la linea GD. ferà adunquela proportione del triangolo FGo al triangolo GDC, coinè quel la della Valla X. Applicherò adunque per la decima di quello alla linea ABvna liiperlicie eguale al triangola 1/ // /1/ \/'H D!1 • CV> LE SVTESJlClE. FC.D, laquale venga contenuta da iduo angoli ABC & 3AD, ispirandola con la linea HK eqmdi (tante alla linea AB: Dico adunque ch'ella cliuide il quadrangolo fecondo che (ì propone .Perci òche pillerà dentro al qu adrangolo \li Dper quefto, c!i .il triangolo FDE èvgua le al quadrangol >ABED,& il triangolo t-DG èminore del ce__hl triangolo F.)I..ilendo aduli queil triangolo FDE eguale al quadrandolo AB ED, &il triangolo FDG vgtialeal quadrangolo ABHKjbi fogna clic il triangolo G)EIh eguale al quadrangolo KHfi D. Aggiuntoui adunque il triangolo EDCcomiminejtc àft triango lo GDCeguale al quadrati gólo KKCD.la inede.i’iTiaJpportioneàduq, )èqlla del qua drangolo ABHiCal quadràgoloKHCD che quelladel tuia golo FG Dal'triangolo GUC, epconfegUenza ècome la plo portione della Valla X: che fuil propòfito Ter^o cct/o .Cada mò la di nifi me frà ipunti E&r Cnel punto Li talché fia la proportione della l" Lalla LC,c©mc quella della Valla X:ferà adunqj la proportionc del Miagolo ED al triangolo LDC, come la proportione della Val la \.Taglierò poi per lagcrz&di quefto dal triangolo DE Gvn triangolo fimilc àlui, &; eguale al triangolo LDC, con. la linea MNequidi dante alla ED, Dico adunq; ch'ella diuide il quadrangolo fecondo che fi propone.Perci oche il trian®olo FJE èvgualeal quadragolo ARE 0:&il triagolo FD Lèvgu ile al quadrangolo DEMN: prquefto, che i triangoli MNC» &LDC lbno eguali. Adunqueil penta gono bit MODO DI DiribÈKZ gono ABMNDè vguale al triangolo F DL. èadunquela medelìma proportione quella del pentagono ABMND al triagolo MNQ che qlla del triangolo EDL al mugolo LDC :eper confegnenza che quella della Valla X3che fu il propofito. Si come mòlì diuide il quadrangolo fecondo laproportio ne data con la linea equidiftante al fuo lato AB; coli può dilli derJfl con vna linea equidiftante àqualunque altro lato fuo, Se èmanifello il propofìto. TBJJTOSlTIOll XV. TI{QBLEMiA XV. Dividere qualfiuoglia quadrangolo con vna linea equidiftante ad vno de’fuoi diametri , fecondo vna data proportione Verbi grada voglio diuidere il quadrangolo ABCD,' fecondo la propoytiòne della Malla N» con vna linea cquidiftante al diametro fuo AC. Perciòche tirarò il diametro BD, ad nel punto Jsj talclieliaia mecleli- »cMM maproportione quella della BE alla ED,che quella della Malla N'. Dico adunque che il diametro ACdiuide ^quadrangolo fecóndo elicli prò pone .Perciòche la proportione del triangolo ABLal •triangolo AED,ècomela proportione della BE alla ED, Similmente che tagli la ACnel punto E:edi uiderò la linea BDlècon do la pio portionc della Malla N. Primiera mente adunque cada la diuifioft'e LE SVTEEJ ICIE \6 Similmente la proportione del triangolo BEC al triangolo EDC ècome la proportione della Bfi alla ED.Con. giungendo adunque ieràia proportione del triangolo *- BC al triangolo ADC, come la proportione della BE alla ED: eperconfeguenza comela proportione della M alla N:che fu il propofito. Secondo cafo. Cada la diuifione frà ipunti BSe Enel punto Ej talché fia la medefima proportione quella della BF alla FD, che quella della Malla N. Alhora tirano le duelinee FA, FC: eferà la proportione de’duo triangoli ABF, CBF congiunti infieme al quadrangolo AFCD; come la proportione della BFalla FD. Dal triangolo A- BC adunque taglierò per la ter za di quello il triangolo GBHa• Jfimilc àlui, tk eguale ài duo :i v' triangoli ABF,CBF congiunti infieme, con la linea GHequi dittante alla linea AC. Dico adunquequella linea.dimette il -1 quadrangolo fecodo che fi prò- ... pone. Perciòcheefiendo il triangolo GBHeguale alla luperficie ABCF; ferà il triangolo AFC eguale al quadra golo AGHC. Aggiuntomi! adunque il triangolo ADC commline ferà il quadrangolo AFCD eguale al pentagono AGHCD. Ea proportioneadunque del triangolo GB FI al pentagono AGF1CD òcome la proportione della iuperficie ABCF alquadrangolo AFCD: eper confeguenzacomcla proportione della MallaN: chefuil propofito. Tcr^ocafo. Cada mòla diuifione frà ipunti E&D nel punto Oj talché la proportione della BO alla O D fia come quella della Malla N. Alhora tirarò le due lince OAOC. ferà adunque la proportione ilei quadrango lo ABCQallafupcrfieic AOCD, come la proportione" della •DEL MODO DI DIVIDERE queTàH Kcquidiftante alla linea BF, finche toccherà la linea BCnel puro IC. eadiìq; la meddìmajpportione cjl— la della BKalla KC; che quella della FHalla HCper la feconda del fello .Tiratali poi la linea AK-, dico ella diuiderc il pentagono fecondo che fi propone .Pcrciòchc tirato la li nea AH. Perche adunque il triangolo Ali D èvguale al triangolò AG D: aggi untoni fi lo ACDcornimi 'ne jferà il quadragolo ACDE eguale al triàngolo ACG. Similmente perche il triangolo A KCèvguale al triangolo AHC per lcquidiftaza delle linee I\ H &AC;feti il pctagono AKC DEeguale al triangolo ÀFI G.Similmcnte perche la me defilila própórtionc èquella ddlla BCalla li K, che quel la della FCalla F- Buferà la medefima proportionc quel la del triangolo ABCal triangolo ABKj che quella dei triangolo AFCai triangolo AFH.Permutando adunque la medefima proportionc c* quella del triangolo A1> Cal triangolo AFC\che quella del triangulo ABKal triangolo AFH.Elicmelo adunque itriangoli ABCSe AFCeguali ,feranno eguali itr.àgoli AIvKy&rAFH . Fa medefima proportione adunque èquella del rriagolo /VBI-C al pctagono AKCDF3die quella del triagolo AFH al triagolo AFI G. Adunqueècome quella della FFI alla HGancora ,eper confègucnza coni cquella della Palla che fu il propofito. Secondo cafo. Cadapoi la diuifiòne nel plinto Cj talthè fiala medefima proportionc quella della FCalla F G,che quella della Palla Q^Alhora dico clic la linea AC diuide il pentagono fecondo clic fi propone .Pcrciòchc come fi èmoflrato di /opra ,il quadrangolo AC1.) F. c vguale al triangolo ACG:Se il triangolo ABCèvguale al LE SKVEEJ1 CI E. io le al triangolo AFC. Adunque la mcdefima proporti©? ne. èquella del triangolo ABCal quadrangolo AC DE;che" quella del triangolo AFCal triangolo A CG. Adunque ècome quella della FCalla CG,cpcr conièguenza come quella della Palla Qj che fu il piopofito Terzo cafo. Cada mò la ili uifione nel punto Lfra i putiC &D; calche fìa la proportionc della FLallaL G,. come quella della Palla Q.Tirarò aduqiie la linea AL: laquale dico di uidcrc il pentagono fecodo che fi propo-t ne .Pcrciòche eilèndo il triangolo ABCeguale al triangolo A'F C;aggi untonifi lo ACLcomune jfera il quadragoIo ABCLeguale al triangolo AFL 'Similmé te pollo il triangolo AL D inficine con i’vno e. confai tro triagolo ÀED, ÀGD, ferà il quadragolo ALDE eguale al triangolo AEG .fclp<=• Ea medefima proporti one adunque cquella del quadrangolo ABC Lal quadriigo lo aLDe3che quella del triangolo AFLal triangolo ALG. Adunque ccomequella della FLalla LG, eper confcgucnza.comc quella .della P;alla Qj_ chefu il pro- POlìtO, ’y' -, • Quarto cafo Cada poiladiuifìoncnel piinijoD: AjJio ra dico clic la linea Ajd diuide il pen tagono fecondo che, fi propone, &c èmaniFcfto il propolito,' comefìruntaifeffcò quando cadde Iadiuiifìone nel punto C. Quìnto'cajb. Cada mò la diuifione fra ipunti D^,G, nel punto M,talché fiala mcdelimaproportionequellpL della FMalla MG, che quella dcllaP alla -.Aliwa -dlizzpr# lalineaHN equidiftante.al la UnèaQE5hnchp toccherà la linea DEnel punto Ni. cturerò la; ÀN* 3EL M03 031 DIVIDERE l.aquale dico diuidereil pentagono fecondo che fi ptopo ne .Perciòche tiratali la linea AMs’arguifce come di lo pra nel primo cafo ,che il triangolo AENcvguale al triangolo AGM: eche ilpcntagono aBCDN ape. cvguale al triangolo x. AFM. èadunquela A medefima proportionè quella del pétitagonò aBCDN al triango lo A NE, che quella del triangolo AFMal triangolo AMG. Adunque ècomtf laproportione della FM ancora alla MG:eper cófegueti za comequella della Palla Qj che fu il propofito. TUPTOSITIOI^XMI. TI&BLEMJ XV11L Diuidere con vna linea tirata da vn punto af legnato in vnlato d’un noto pentagono, il detto pentagono fecondo vna nota prò portione. Verbi gradi voglio diuidere il pentagono ABCDEfc Condo la proportiotie della Valia X, con vna linea tirata dal puto Fafiègna tofi nel lato fuo AB. Perciòche tirare» le lince FC,FD, FE: c tirare» la linea BGequidillànte alla linea FC, cla linea EH equid ifiantc alla Uuea FDj finche concorrano con la linea CD allungatali •eia ìe srTznjptcìE cla vna parte edairaltra^ne’punti G«Se H:c tirato la linea ADlaqual leghila linea FE nel punto L. Dopoi marò la linea DH uno al punto K; finche fia la proportione della DHalla HK,come quella della DL alla LA :equello fi farà 1magnandolila linea AK tirarli e<£uidittante al la linea LH. Alhora tirat ole lineeFG,Ftf, FK. Diitiderò adun quela linea GKfecon do la jpportione della Valla X: ecada pri ma la di ui fione frà i pitti G«Se Cnel puto M; tal; he fia la mede lima jpportio ne quella della GMallaM K,che quella del la Valla X. DiEliderò poi la linea BC nel piìto Nacon la li neaMNequidiftanteallalineaBG: eferàla proportione della BN alla NGcome la proportione della GMalla M C. Alhora tiratali la linea FN; dico ch'ella diuide il pentagono fecondo che fi propone .Laragione. Pcrciòchc la proportione del triangolo FDE ai triangolo FAEè come la proportione della DLalla LA. Adutiq; ècome laproportione della DH alla HK ancora: laquale ècome la proportione del triangolo DFHal triangolo HFK". La pioportioneadunqj del triangolo FDE al triangolo FAE ècome la proportione del triangolo DFH al triangolo HFK.Permutando adunque la proportione del triangolo DFE al triangolo DFH, ccome la proportione ;del triangolo FAEal triangolo FHK. Mà itriangoli DFH&DFEfono eguali per l'equidillanza delle linee FDEH. Adunque itriangoli FA E«Se FHKfo no eguali. Il quadrangolo FDE Aadunqj èvgualeal triangolo FDK. Aggiuntouifi adunque lo 1CD comuncjferà il pentagono FCDEA eguale al triangolo FCK. GPo nia- DEL MODO DI DIVIDERE Toniamoci àmente.qùéfìo .Dall’altra patte; tirato la linea FMi Perche adunq; il triangolo FBC civguale al tfiango IòÈGC: ^lamedefima jpportioneèq.udln della bN al la KQ che auella della GiVi alla MQlerà il triangolo FB Neguale al triangolo FGM, ìk, il triangolo FNG eguale al triangolo FMC. Congi ungcndO'adunq -, mahifclta colli èche 1heflagono FNCl5 EA.èvguale al triangolo MFK: &itriangoli ;BN&FGM Ibrio eguali.La me defima jpportioneaducj; èqlladel triiigoló FBNaU’hcifagono FISCD FA, cheqlla del tringolo FGM al tri ago lo IMK. Adunque ccome quella della linea GM alia li - neaMK ancora: eperconlèguenza come quella della V alla X:che fu ilpropofito. Secondo ca/o. Cada poi la diuifione nel punto C; talché fia la medefi ma^pportione quella della GC alla CK» che quella della Valla X. Dico adunquela lineai Cdiuà dere il pentagono lèconcio che fi appone. Perciòeheellendofi già di inoltrato che il pentagono FCOEA evguale al triangolo FCK, eche il triangolo FBC ancora e vgua’e al triangolo FG C. cperciò la medefima pròportione que'la del triangolo FBC al pentagono FCD» EA‘eh quella de! triangolo FGC al triangolo FCK. è adunque come qnel’a del alinea GCancoraalla CK: cpcrconfcguenzatomequelladellaValla X: che fiuil propofito. Ter^o cafò Cadi mòla diuifione frà ipunti C&rD ne' punto Ò}ta'chc fiala medefima próportione qtielfa de la GOalla OK, cheque'la della VaiaX. Dicoadtm yucche la linea FOdiuidei) pentagono fecondo cheli propone. \ IJE SVTEXmcIEl li propone.Percickhe aggiuntofi il triangolo FOD*. orniti unc al quadrangolo FDEal triangolo eguale àlui FÌ)kJ ferà il pentagono FODE A^gualcai triangolo FOX. Aggiuntoli .Umilmenteil triangolo FCC conimmie àiduo triogòli'egunli FIìG& ; rGC; ferà il qua drangolo FBCO eguale ai triangolo FGO. cadunqj la mede/ìmaproportione cjlla del quadrangolo FUCO al pentagono FODEA; die quell* del triangolo FGO al triangolo FOK. Adunque ccome <juella dellar'.GQtaitcofa alla OK: eper confeguenza contequelladella Valla X:che Fu il propofito. jQuarto cafo. Cadapoi ladmikonenel punto D;talclie;(iala medefim.i pxoportione quella della GDalla D K; che. quella della Valla X,. Dico adunque che la linea FDdiiiidc il pentagono fecondo che fi propone.Perciòche aggiuntofi il triangolo FCD .coni mime àitriangoli «eguali Klì C, Se FGC; lì vede. maaifcflamentc la ingioile . Quinto caj'o. Cada mò la diuifione fra ipunti DSe H nel punto Pj tal che ila la medefima proportione quella delia GPalla P%chw *' quella della Valla X,. Alhora diuidcrò la li nea DEnel punto Q con la linea PQ equi dittate ajlalinea EFI. ferà adunquela mede firn aprqportione ql*? la della DQjilla QE; die quella delia DP alla PFI, Tiratali adunque Ja linea G1 DEL MODO pi DIVIDERE'. EDico ch’ella diiiide il pecagono fecondo che fi pr® pone. Perciòche tutto il quadrangolo FDE Aèvguale àtutto il triangolo FDK.Mail triangolo FDQ^ancora cvguale al triangolo FDP. Adunqueil quadrangolo FQJi Areftante èvguale al triangolo reftantc FPK. Il quadrangolo FBCDancora èvguale al triangolo F GD. Aggiuntoli aduque il triangolo FD Qal quadrangolo F BCD :&c aggi utoli il triangolo FL)P c. gualcal triagolo FD Q*al triàngolo FG Diè inani fello che il pentagono FBCDQ^èvguale al triangolo F6P. Lai medclìma proporriorre adunque èquella del pentagono FBC I) Q_al quadràgolo FQ. EA;che quelladel criagoloFGPal triangolo FPK:cper cólègucnza èCome la proportione della Valla X:che fu ilpropolico . Scflo cafo. Cada poi la diuifionc nel punto H- Dico adunque che la linea FHdiuide il pentagono fecondo che fi propone. Perciòche elfen doil quadragolo FBC Deguale al triangolo FGD: Se il triangolo AFÉ( comcs’è detto di fppra)egunlenl triagolo FHK:il mugolo FDEeguale al triangolo FDH; Il pentagono FB CDEèperciò eguale al triangolo FGH. èadunque la jmedefìma proportione quella del pentagono FRODE al triangolo FA E; che quella del triangolo FGHal triangolo FHK. Adunqueèanche come quel la della GHal la HK:eper cófeguenza comequella della Valla X:che fii il propofito. Settimo cafo. Cada mò la diuifionefrài punti H&rK nel punto R;talché fiala medefima proportione quella della GKalla RK, che quella della Valla X.Alhora di tiidcrò LE SrVEEJ1CIE. uideròlalinea EÀnel punto S;talmente che fi ala medefilila proportione quella della E$alla SA,che quella della HRallaR K.Dico adunque che la linea FSdiuide il pentagono fecondo clic fi propone. Ferriòche effondo il triangolo AFEeguale al triangolo FHKj ela proportione della ESalla SA» ècome la proportione della I-I Ralla RKjferà il triangolo FESeguale al trian golo fhK:& anco il triangolo FSAeguale al triangolo F RK. Mà ilpentago no FBCDEancora c vguale al triangolo FG H. Adunque Dicifingono FB CDEScvguale al triangolo FGR. La medefima pioportionc adunque cquella deli’heflàgono FBCD ESai triangolo FSA;che quella del triangolo FGRal triangolo FKKtAdunque èanco còme quella déllalinea G Ralla linea RK:eper cófegucnzacome quella della V alla X:che fu il propofito. Tl\0T0SITJ07i XIX. TÌ{OBLEM^t XIX Diuìdere vn' pentagono di duo Iati equidifta te con vna lìnea equidi ftante àìTuoi Iati equidiftati,fecódo vna data proportione» Verbi gratia voglio diuidere il pentagono ABCDE fecondo la proportione della Qjilla R, oon vna linea cquidiftante al fu olato AB:ilqnale lato poi ouero è equidiftante al lato CD, ouero al lato DE.Sia prima cquidiftante adunque al lato CD .Alhora tirato la linea DEL MODO DI DIV1D ERE linea EF equidillante al lato AB: ctirato le linee EP* &EC l'opoi tirarò la linea AGeqc.idiflante alla linea EB: elaiineaDHequidiitante alla,linea ECj finche con corrano con la linea BCallungatali daU’v.na parte edalL* altra,ne punti G(k H. Dopoi. diu.icterò là linea t-H fecon do la proporrióne della Qjilla R;eprima cada la dilli fio ncnel punto, F.‘ Dico adunque che la;linea EF diuideil pentagono fecondo che fi propone. Laragione. Pcrciòche ellcndo la linea AGequidillante alla linea EB ,tiratali la linea EG; lerà il triangolo EAB eguale al triangolo EGB. Aggiutouifiadun que il triangolo EBF com- £u numererà il triangolo EGF Jl '^s, eguale al quadrangolo EAA// \V D‘ BF. Similmente perche la /v !‘.* linea DH èequidiflariteal-- j/y \\' 1• la linea EC, tiratali la linea et* fch EH;ferà il tri angolo EDC eguale al triangolo EHC Aggiuntouifi adunque il triait goloEFC communc ferà il triangolo EFHeguale al qua ciangolò EFCD; eprima fu eguale al quadrangolo AB- pEil triangolo EGF. ha medefima proportione adunq; èquella del quadrangolo .A BFE al quadrangolo EFCD, che quella del triangolo EGFal triangolo EFH. caduli que coniequella della Un ea CFalla FI I: cper confegucu Zìi comequella dellaQajla R,chc fu il propoli to. Secondo enfo. Cadapoi la diluitone fri ipunti Gik F nel punto Kj talché Ha la proportione della GKalla KH, come quella della Qalla R.Alhora tirato la linea EK. Perche adunque il triangolo EGKcminore del triango lo EGF: ik il triangolo EGF evgualcalquadrango'o ABFE; ferii il triangolo EGK minore del quadrangolo ABFE. Applicherò adunque alla linea AB perla lodi quello la fupcrficie ABEM eguale al triangolo EGK, eoa LE SWEVJICIE. *4 fon la linea LMequidittante alla linea A15. Dico aduti tjué chela linea LMdiuide il pentagono fecondo che lì pro‘pone.Perciò che il trogolo £GKèvguale al quadrati golo ABLMje tutto il trian goto EGHèvguale àtutto il pentagono ABCDE. A- dunque il triangolo EKH Tettante, èvguale al pentagono MLCDE reftante. !a medcfima proportiotte adunq; equella del quadrati golo aBLM al’pentaganoMLCDE;che quella del trian golo EGX al triangolo EHK, eper conleguenza ècome quella della Qjdla K. che fu il proposto. Ter^o cafò Cada mòla di uifionc frài punti V&H, nel punto Si :ctirili la linea EN. ferà adunqueil triango lo EHN minore del quadrangolo EFCDj perquellocli egli èminóre del triangola- EH Fegualead etlo.e perciò per la t:odi quello applicherò alla linea. DC la fuperficie POCD eguale al triangolo EHN con la linea OP eq ilici ifrante alla linea CD. Dico adunque che la linea OP eli nule il petagono fccodo che fi propone .Peiciòche elidic;. mu do il quadrangolo POCD cgualc al triangolo ENH:e tutto il triangolo EGH egua le atutto il pentagono ABC DE-, ferà i' petagono ABOP Eretiate eguale al tringolo re (late EGN.è aduq; la medchina proportione quella del pentagono BOPE al quadrangolo P0CD,cho quella del triangolo EGN al triangolò eNH,c per confcgucn/.a che quella della Qalla R: eh? fu il propoliio .Similmente poi fi come fi diuide il "" '< pentagono» DEL MODO DI D IFIDERJE •triangolo EKO, aggiuntouifi il triangolo Elì Ccomma ne ;lerà il pentagono Afi C0Eeguale al miagolo EH K:£qucfto ha da tener fi dmente .Tiraro anche la linea GEcquidiftàte alla linea EC:eti raro la linea EL. AIlio ra diùiderò la linea HKfecondo la proportione della Y allaZ .Ouero adunque caderà la diuifione nel punto F» ònel punto L,ouero frà ipunti H&: F, òfra ipunti F Se L>òfrà ipunti LSe K. Cada adunque prima nel pun to FjTalché fiala medefima proportioe quei ,la delia H9alla FH,che fi .L que la della Yalla Z. Di ^/'/( ^jV'\d ..co adunque che la linea ly /\\V/À .EFdiuide il pentagono j/\ \jy(\A fecondo che li propone. LJ r—_ — Perciòcheil quadragolo Hb1CL EABFcvgualeal rria golo EHF:Se il quadrangolo EDCFèvguale al tria golo EK F. èadunque la medefima proportione quella del quadragolo EABFal quadragolo EDCFache quella del triangolo EHFai triangolo EKF.Adunque ccome quella della HFalla FKancora :eper confegucn^a come quella della YallaZ :chéfii ilpropofito. Secondo ca/ò. Cada polla diuifione nel plinto L.Dico adunque che la linea CGdiuide il pen tagono fecódo che fi proponc. Petciòche eflendp le linee EC Se GLequidi {tarici jlcranfio itriangoli EGC, Se EX Ceguali. Ma itriangoli rotali EDC, Se EKC fono egriali .Adunque il triangolò'GC Dancora cvguale al triangolo EL K•Uqtvddrijn'go oAfi.C Eancora eygualqàl tiiangoiò‘F, A‘d un qfie il ;p ! ^tfigóno fAII C(Ì Ecyguàìg al ‘tria,ngoIóJ|É ML.JLa mède ,piajppdrtione aduriq; eqlta ^òipcfqgBho ARÒ 1É hi rijiagolo OciiLe/ql là cj ajnL |o tHlMcriangòló' fe X 1K.catìnque cómciq nella,dp!- LE syPEBJICIE. ** laHL alla LKancorale per confeguenza come quella della YallaZt chefu il propofito. Ter7^0 cafo .Cada mòla diuifione frà ipunti H&F nel punto M:etirili la linea EM.Perche adunque il triangolo EHFèvgualeal quadrangolo EABF: &il triangolo EHMèminore del triangolo EHPjferà per ciò il triangolo EH Mminore dei quadrangolo EABF. Applicherò adunque per la io. di quello alla linea AE la l'upficic ABNO eguale al triangolo EHMcon la linea NO equidiftante alla linea AB.Dico adiiquelalinea NO diuidere il pentagono fecondo che fi appone .Pcrciòche il pentàgono ABCDEè vgualeal triangolo EHK: &ilquadrangolo ABNO è vgiiale al triangolo EHM. Adunqueilpentagono OM CDEreftante èvguale al triangolo EMKreftante. La medcfima ptoportioneadunque èquella del quadrango Io ABNO al pentagono ONCDE ;chcquelladcl tringo 10 EHMal triangolo EMK. Adunque ècome quella, ancora della HMalla MK: cper cofegucnza come quel la della Yalla Z:che fu il propofito . Quarto cafo* Cada poi la diuilióe frà ^«YZ ipunti F,& Lnel pii to P:etirili la linea EP. Perche adiique 11 triangolo EFLè vguale al quadrango lo EFCG:&il tria golò EFPcminore del triangolo EFl;feri il triangolo £FPminore del quadrangolo EFCG. Applicherò adunque DEL MODO Dt DIVIDERE* dunque alla linea EF periato di quello ilquadrango 10 EFQHL eguale al triangolo EFP, con la linea QJK equidiflante alla linea EF. Dico adunque che la linea QIC diuideilpentagonoTecondo che fi propone. Perciòché 11 triangolo EHP èvguale al pentagono ABQREj e tutto il pentagono ABCDEèvguale à^vY tiVtto il triangolo EAa HK. Adunque il Af/7 quadrangolo Iv /'A\ CD reftante cv- !/ /J\\ ^ guale al triangolo EkBraP~i, K. PK. Lamedefima proportione adun- ... qitec quella del pentagono ABQR.E al quadrangolo R QCDj che quella del triangolo EHP al triangolo ÉPK- Adunque è.comequella ancora della HP alla P1C3e pér conièguenza come quella delia Yalla Z: che fu il propofito; jQuintocafo. Cada mòladiuifionefrà ipunti L&K, nel punto S. Perche adunque per Tequidiftanza delle lincee EC Se GLitriangoli EGC&v £JL Cfono eguali» •Sri trrà'rigoii totali .EDC, Se ’EKC fono anco eguali ;feranno per cibi triangoli GDC, Se EKL recanti eguali .Mà tiratafi la linea ÈS> il triangolo FK V Scminore del triangolo EKL. Il triangolo E KS adunqueèminore del triangolo GDC. Perla terza di quello adunque taglierò da’ triango lo G\;C il triangolo TDVfintile àfc,Se eguale al triango lo EKS, con la linea T, Veqiudiltan tc alla linea ,GC. Dico IE SVEEEElCIEl 99 Dico adunque che la linea TVdiuide il pentagono lecon dochefipropone. Perciòche tutto il pentagono ABG. DEcvgualcà tuttoil triangolo EHK,&.il triangolo T- DVeguale al triangolo EKS. Adunque l’heflà. Yz gono ABCVTEreftan 1| tee eguale al triangolo I* EHS reftante. La mede fimaptoportioneadun que equella dell’heiligono ABCVTE al tria golo TOV, che qlla del triangolo EHS,al triagoIoEKS. Adunq; ècome quella della HS alla SK ancoratepconlè guenzacomequelladellaYalla Z: che fu il propolito, Màfele due linee EF &CGjlequalilànoequidiftau ti alla linea ABcaderanno in mo do; che la linea EFcada iu'llato CU.ela linea CGippraillato A E; 4lhora voltaremo in ful’arigo lo C,e foi'maremo la dimoftratio ne fopra la linea AE;fi come la formammo lòprala linea BCjC verremo fui noilropropofito comeprima. Mi Ce le due linee lequali fi fono tirate equidillanti allinea AB cddatialbpra vnòemedefimolatojalhoralor mero la dimollrationc fopra quel lato. ComeVerbigratiapongafichenelpentagono ABC DE leduelinee EF &DG tirateli equidillanti alla linea AB> cadano fopra il lato BC.Alhora tirato la AH equidiftantc all» linea EB» eia DK eqùidiftantc alla linea EC. Tirarò ancorala linea EGt&eqdiftaread ella la linea DL: étirarèpoi lelineeEH,EI.,&EK.èmanifeftoaduqjplc premetfcjche il magalo EHKèvgualcal pctagono ABC . DE;e chefi triagoloEHLcvgualcalpétagonoABGDE: Iecoli DEL MODO DIDÌVIDE 1{E eCofi rimine che il triangolo DGC èvgualeal triangolai EIX Equefle cofedeùonfìtenéreàmem.ori? rDiiriderò, adunque la linea HKfecondo la proppr.tionè della Yalla Z: ecaderà la diuilìoncò nel punto F, ònel punto L: oue rofrà quelli, òfrà quelli egli direnai. Cada prima adunque la di uifione nel punto Fj talché ria la propomone della HFalla FtC, coinè quella della Yzy^zY alla Z. Dico adunque che la linea EFdiuide ilpefitagono fecondo che fi propone.Perciò che il quadrangolo A. BFE èvguale al triati golo EHF, &il qua- ._. r. drangolo-EFCD èvgualeal triangolo ,eFK. Lamedeli majpportione aduqj èqlla del quadratolo AB^E al qua dragolo EF CD,che qlla del triagolo EHFal triagolo eF K: epcófegueza che qlladella YallaZtchcfu il ^ppori tp. Secondo cafo. Cada poi la diui rione nel punto L.Dico adunque che la linea DG diuide il pentagono fecondo che fi propone. Perciòche elìèndo'^f ^riangplp ,-Cr* gitale al triangolo EGL: 5c*iTqudHhngólb egua le al triangolo EHG; ferà il pentagono A BGDEeguale al triangolo EHL.Mà il triangolo DG Cancóra èvguale al triangolo GLK La medelimaproportione adunqj èquel la del pentagono ABGDE al triangolo DGC; che quella del rnnagolo EHL al triangolo ELK. Adunque ècome quella della HLallaLKapcora: epér confluenza come, quelia della Yalla %\ che Iuil pròpofitol Ter^o cafo. Cada tnÒ la dinirione nel punto M,frà i punti H&tF: etiratali la linea EM, formili il qnadrango lo ABNOper la iodi quello eguale al triangolo EHM con la linea NO equidillante alla linea ÀB.Manifdlo è it 30 adtinq; (come anco di fopra) che la proportionc del qua drangolo AB NO al pentagono O- s. Y NCDEjecome la proporcione del triangolo EHM al triangolo e.M K: eper cófeguen za come quella della Yalla Z. La ONadunque diuide il pentagono fecondo che fi prop one. jQuarto cafo. Cada poi la diuifionc rrà fpuri F&Lnel punto P. Alhora tiratali la linea EP facciali il quadrango lo EFQj< per la io di quello eguale al triangolo EFP. il pentagono AJi QRe adunque y cviglia le al trian golo' Ètifi. La medefima proportione adunque cquella del peragono iBQ^ REal quadrago lo RQC Di che duella del triangolo PHP al triangolo EPK. Adunq; ecome qlìb della HPàllaPK ancora: èper cofeguenza come qlla dèlia Yalla Z:'ehefu il propofito. .Quinto cajò . Cada mòla diui (ione nel punto Sy ftà ipunti L &K; talché fia la medefima ^pportioneque la della. Hi alla l1SIC; ,T X)YÌ MODO DI DiriDEBjZ SrK-, che quella della Yalla 7. Perche adunque (coinè se detto di (opra) il triangolo DGC èvguale al triangolo ELK-, feràil triangolo ESK minore del triangolo DG C. Taglierò adunque per la terza di quefto dal triangolo DGC il triangolo TVClimile kfe,Sc vguale al triangolo ESK, con la linea ìVequidiftante alla linea DG. «ico adunque che la linea TV diuide il pentagono fecondo che lì propone- PerciòcheelTèn. do il triangolo T VC eguale al tri angolo eSK, c tutto il pentago no ABCDE cguale àtutto il triangolo EHK; fcrà perciò l’hdlagono ABVTDE eguale h. tutto il trianì golo EHS. La medelima proportione adunq; cquella dell* hellàgono ABVTDEal triangolo iVC; che quella del triangolo EHSal triangolo ESK: eper confeguenta ccome quella della Yalla Z: che fu il proposto . Mi fcle due linee ,che fi feranno tirate eqtiidiftantl alla linea AB, cadano fopra il lato AH,fecondo che cado nolelineeCF, DG;Alhora voltare moin fu l’angolo C, eformarono la dimoflratipne fopra la lineaAE» come la formammo fopra la linea #C, everremo fui noftro ^polito come prima .cmanifefto adunq* quanto volemmo dimoiare. IL fin» “'7 Breue breve trattato DI M. FEDERICO COMMANDI NO DA VRBINO INTORNO ALLA MEDESIM A MATERIA TRADOTTO DAL MEDESIMO. •P 1^0 8LEMJ. TH.I M0'. Da vn punto prefofi nell’ambito d’vna figuri rettilinea ,òin vn’angolo ,òin qualfiuoglia lato ,tirare vna linea retta ,che la cliuida in parti c’habbiano vna data proportione . Intendo pero hora per figura rettilinea quellajlaqnale da altretanti lati tda quanti angoli vien contenuta. Siail triangolo A- BC: ela proportiòn datafia cjlla cne hàìa DallaEtebifognipri ma tirar dal punto A vna linea retta, laquah diulda il triangolo fecondo la proportionc BEL MODO DI DIVIDERE della Dalla E. Taglili la BCnel punto Fperla rodel fe- Cco degli clementi di £uclidej talmentecheHa la BFalla FC conicela Dalla E:e congiungali la AF. Dico di già ellcrli Fitto' quanto Il proponeua .Perciòche per la prima del fello li com’c il triangolo ABFal triangolo AFC;coll c la JBF alla £E: ciò èlaD alla E. Piglili dopoi nel Iato ACdel medefimo triangolo il punto G, dalquale bifogni tirare vna linea, che diuidail mango'ofecondo la proportione della i> alla Cógiun gali la GB,eHai pulito-A ii'illà’linea rètta GB'àl! tingatali, ti ili la AFequidiftan ead ella.GB: etiratali la GF,taglili la FCiiél pittò Hjtàlmen tò che la, IH alla HGjhàb- • biala medelima proportione chela Dal aE. Onero adun que ilpunto.Hcade nel pun- to B,ouerò lià ipintiF, &_.r... pure frà.i, punti B, &£. e/e, cade nfePpunfo B,la IU nea retta GBfarà il JpblEmà! Pérti&chè il triangolo OPB al triangolo GBG, ècome la FJFall.i BC, ciò ècomela DaIla fc .Mà i 1 1riangolo ABG cwguale al tri’an golo G FB: dièndo ehi filila medelima baie,efràle medesime pa rallele. Adunque itriangolo A1Gal trjagoloGBC hà a medelima prop rtionecheil tringoio fi {Pàdl ctfoiGIK ì> ciò eia medelima che la Dalla E. ;,inv.j.id ttl Mà(c il punto H. cade frà ipuntj F&B, tji£Ìb JaBncii retta H a equidiftantead ella GJ> :laqualcfpghi la [A B mlpunto x: econgiunganlilcGH, GK. Dico In; liqeaG Kdiuiderc il triangolo come Lilognaua ,,Perciòelle di. bnuouo LE SVT E1{FI CIE•s» nuouoil triangolo ABGèvguale al triangolo GFB; & aggnimolili GBC commune all'vno& all altro jferà il triangolo ABCeguale il triangolo GFC. Mà il triàngolo GKB ancora cvgualeal triangolo GHB: onde il reftante ancora è vguale al reftate: ciò èil triangolo AKG al triangolo GFH: eper ciò il quadrilatero G KBCeguale al triangolo GHC. Il triangolo AKG adun queèal quadrilatero GKBC,comeil triangolo GFH al triangolo GHC; ciò è come la 1) alla E. Che fe il plinto Hcade irà ipunti Bite Qtirili la GH: laquale tattilmente farà il problema .Perciòche elfendo itriangoli GFB, Ai>G eguali :aggiuntoli alluno* &C all’altro il triangolo GBHcollimane jferà il triangolo GFH eguale al quadrilatero AB- H-ì. Adunque il coniò il triangolo GFH al triangolo '/'\ • GHCj ciò è come "\ .i. la Dalla Eicofi è.hc il quadrilatero ABHGal triangolo GHC. Che fe il punto fi pigli in vn altro angolo,òin vn’al tre» lato ,ci vaieremo della medefima ragione àconchiudere il propo (ito. 5ia il quadrilatero òquadrangolo ABcF: chifogni diuiderlo con ynaJinea retta tirata dall’angolo A: calmeli teche le parti fra di loro habbiano la mede/ima proporlonc che hà la Dalla E. CongiungaiìlaAC; cdal punta Etirili *bEL MODO Ùi DIVIDERE egualeai quadrilatera ApGHperle coledianzi dimoi .Arateli Scià rutto il triangolo AKM egualeairheflàgano liCFGH. Taglili adunque i&'KM nelpunto N; tal fchc lìa la KN alla X\M comela Dalla £. cle il punto H cade lidia linea K>»diuideremo il quadrilatero ABCF convna linea retta triacafi dall’angolo A-, talmentechc le parti riabbiano amedefinu jpportionc che hàla KN alla NF. feil pun Co Ncada filila FM; diuicTcremo il quadrilatero AfGH fecondo la proporrionc della FN alla NM:ecoli l'hcilarno aBCFGH ferà diuifo fecondo la proporrionedfl KNalla NM: ciòèfecondo la proportionedella Dal la Edatali. .• <-, .. .,.. v Piglili il punto L, nel lato AH» dalqualc vogliamo ti® fare vna linea ree fa, laqui le diui<la i’hcllàgo no fccoti jrio-U pto portion :ah s ' V./L datàri Congiungali la’LF :<5r. airi: nghtàrilaCF ; fòrmì7 :|l triangolo LKF eguale alpcnca^ório LAIICF :ik il cria golo UMegualeal quadrilatcìolf GHitali he tmtqil *w triangolo .trvzK*i a t•, s c triagolo LKMfu.eguale àcucco l’hdlàgono A!1CFGKì , Taglili dinuouoi.aKM.nel punto Nfecondo la propor-, tiorie clellà 0rflla fi datali: eie il punto Ncade fullalinea . Kfidi^idafi.ilpentagono LABCF con una. linea retta . tiratali dall’angolo Llécondo la proporzione della KN al la NF :ele cade fulla linea FM, diuidalì il quadrilatero ; LFGH fecondo la proportione della Fdalla NM •eferà , tutto Thcllàgono diuilò dalla linea retta tiratali dal pun- , to Lfecondo ia proportione della KNalla NM: ciò fecondo la proportione della Dalla £. !i Sia TheptagonoABGFGHK.il quale debbia diuidcrlv , con vnalinea retta tiratali dall’angolo afecondo la prò, ( portione della Dalla E. Congumgalila AG, efacciali il., triangola A guale al pctagono . AJfiGFGi&il crji'.* goio AGN.egual.e al quadrilatero A- GHKj talché; .ila , tutto il triangolo JV MNeguale all* heptagono ABC- fGHK: Taglili la MNnel punto Ofecondo la proportione della L) alla E:e le il punto Qcade fulla linea MG; diuideralli il pentagono aBCFG fecondolaproporrtio ne dela MOalla OGcon la linearctta AP tiratali, efc cade filila GNj diuifleraffi il quadrilatero A.GHK fecondo la proportione della GO alla ()N;e ferà diuilpflieptaj gono fecondo laproportioncd^lla.MO alla GN. Piglili vltimamentc il punto Lnel lato AK; cdalpuri to Lhabbiali dà tirare vna linea ree tacile diuida l’heptagono fecondo la proportion datali .Congiunga/i la LG; cformili il triangolo LMGeguale all hcllàgono LA BCFG: St il triangolo LGNeguale al ijiudiUwto LGHK; «alche io—eou **£ Jifoa» af Dtrtnzus talché tutto il triangolo LMNfia eguale àll'heptagono A’ BCFGHK. Taglili di nuouola mN fecondo la proportione datali nel punto O:eie dlòcade fulla linea MGdi» uideremo l'hcflagono fecondo la proportione della MO alla OC. Màfc cade filila GN;di uideremo il qua drilatero fecondo la proportione; della GOalla ON:e ferì tutto l’heptagono diuifo fecondo la proportionedellaMO alla ON: cii èfecódola propor, tion datali della Dalla E. enei medelimo modo procederemo nell'altre figure, contengano pure quanti lati •uero angoli li vogliano: ilche bifognaua farli . T1^0 BtEM A II. Diuidere vna figura rettilinea fecondo vna data proportione con vna linea retta cquidiftante ad vn’altra data linea retta . Sia il triangolo ABC;e la linea retta fia data fi): e Infogni dinidere il triangolo fecondo la proportio ne della Ealla Econ vna linea retta equidifante ad ella D. Tagliti la BG nel punto G;talmenteche la BG alla GC habbi» la medefima Proportione che la E alla r.r LE SVTEXJPlCtz: $ > itila P. òcheadunquela 1> cequidittante advno de'iatì del triangolo ;ònon ècquidiftante àveruno .Sia prima cquidiftanteal lato AB: epiglili la CHmezzana propor rionale frà le li neeBC> CG: edalpuntoHtirifila HKequidiftante ad ella BA.Dico la lirica retta HKdiuidere il triangolo fecondo che il propone .Peròche congiuntali la AG; ieràil triangolo ABGal triangolo AGC>come la BGalla GC:ciò ccom’è la Ealla Fj ecomponendo fcrà il triangolo ABCad elio AGC, conv'èla BCalla CG. Mà cornicia BCalla CG, cosi èil triangolo ABCal trian golo KHCper la 19 del fèllo degli elementi:perciòcheil hi&Hgòli A* bC?KH^ f• Gfonò filmili ;èUBCalla CGhà dupla-propórtionc àquella che èdella BCallaCH. onde il triangoIoK HCò'vgualc al triangolo AGC: Se il quadrilatero reltanreÀBHk evguale al trian golo ABC. Il quadrilatero AIjjRK adunque hà la medelima propor tione al triangolo KHC; che il triangolo AB Gal triangolo AGC,ciò èchehàla Ealla F. Similmeti te fi dimoftrerà il medefimo quando la linea DIciicqUi dittante allato BC,ò CA. .jr Chéi^: nò fiiicqUidt veluno; rinfila " ALcquidiftante adef. fa t). Ónde ouero il pu to Gtade frai putì L, e CjouCI'o fràgli'B ò£E>. Clvefe»fràgUXi stampi 1 glifila CMtnefczaiìayp' 1r pòAióhalbrfrà/ledihee; 1'J' ‘ ;? LC, Có:c tirili la MN *- ''' a:/:. L«guidi» ^$ •• DEL MQP0,0 IDIVI DEI{X fqttidiftantè alla AH»., Saperle cofe chè dianzi dim«* temmoii triangolo NMCegualeal triangolo AGGijfle il quadrilatero ALMN,al triangolo ALG. Uperche ag*. giuntoh airuno ik all* . :' altro il triangolo,- AB|*.' :•.i. .v .^-‘..1 A:} roramunej riquadrila- ;j•; .y|v ’T• temABMN èvguaiéal • triangolo. ABGs eper- :djj;aN.' 'rcifri! quadri!arerò. AB- ./><• oV-V.i i MN al tribolo NMC —fc? uc hà la medeinna propor rione che hà la. Ballai?.. .>. .i Se poi il punto, Gcade frà !pt&iB.Sr. I»; figlili di nuo vio la BM mezzana proportion^le frà le linfre LB, BG:< tirili la MNequidiftante ad eftì Ai,;Per la mcdclima ragione il triangolo. NBM •' .•••«' • ferà eguale al triangolo A:,•>. ' ' BG: &il quadrilatero A- rT ' NM&al triangolo AGL. \u * Aggiuntoli adunque ali* \/y \\ «no &all altro,il triango A/AV\ lo :AJu Gì il quadrilatero \J^\. 1'• * ANMOèAguale al triap-. •VV/.’ ,j goloAGC.il triangolo A.!j BCaduque fi di uide fecondo la proponibile' dataff jcon vna linea retta equidiftante ad ella, D:. ilche bilogrtar ua farli.. *.h•, /. Sia il quadrilatero ABCGj il quale debbia diuiderli fecondo la prpportione che hà la Éalla F, convnalinea retta equidiftàte ad e(là Onde ouero la D, ècquidiham te. ad alcuno delati detquadrilaterop,;ouero nonfrequid* lkante. Siaprima equidiftante allatOi AB:econgiuntali la AC tirili dal punto Gla GHequidiftante ad cita AC^ laqualc concorra con la linea BCallungatali nelpuntQ H:ct srTxtunctà H*. tcongiungafi la AH. Il triangolo ACH acfunquè per le cofe di già detteli èvguale al triangolo ACG: &c ag giuntoli all’uno &r all’altro lo AB Ccommune feràil triangolo ABH eguale al quadrilatero ABCG .Tàglifi la BH nel punto Kj talmen teche la BK alla KHhabbia la medelìma proprotionechela Ealla F: econgiungafi la AK. Ouero adunque il lato CGdel quadrilatero èequi* diftante ad «elio BAjònò: efe Ila equidiftantc cada come fi voglia il punto K; applichili p la io del libro prece*- dente aliali Aca ABlalit pèrfide AB MLeguale al triangolo ABK; talmenteche la linea LM1fin cquidiftante ad ella AB.Dico la LMfare il probicmi.Perciòche cftèndoil triangolo ABH eguale al quadrilatero ABCG: &il triangolo ABK al quadrilatero ABMLj fcrà il triangolo AKHrellante eguale al quadrilatero reftante LMC G. il quadrilatero ABML adunque èal qiiadrihterot LMGQ,carn eil triangolo ABKal triangolo AKH. Mà il triangolo ÀBK ad^ft AKH ècomela B’K Alla HK, ciò ècome la Ealla F.Adunqueil quadrilàtero ABML •al quadrilkteiÒ LMCGeCoin èla Ealla F. Sedilato Ciò poi nonèequidiftantc al lato- BAjtirili da tino de duo plinti C> G.;dentro al quadrilatero unali tieà retta ‘equidiftan tt?nd ella BA:efià notala CN: edal punto Ntirili li NOcquidiftànteilla AC,e congiungafi la ÀO. lèià il triàngolo ABOeguale al quadril atero AB GN'. Se adlinqueil punto Kcadefànel punto O, la linea CNfaràil problcma.Pcrciòche ferà il quadrilatero AB- JLaCNal §£ ET>tl MODO DJ BIVIDESj: CN al trini- Auw ,itir.i i!! ' . ' ; golo CN.GV :ifc .la: , ;.f*: ; folli!? il trian ,.j gòlo'ABO al, '.-- ' triangolo AO i: :V-- xdV- ,\ Hiciò.ècome ì\ 'vXy\\ . la BK. alla ghi '.Il,: i t}, e.eome la ..U.. ••'» Ealiai?* '*•-*// j\ ChelcilpuntoKcadafràipunti B, Oapplicheremo, perla io (òuradetta alia linea AB vna fuperfìcieeguale aj miagolo ABK:laquaIefiaABMI.;talmétedieU linea LM Ila eqdiflatead’efla ABrlaqualefimilméte dimoftraremQ diuidere il quadrangolo ABCGcome fi propoiieha ., Finalmente ie cada fidi ipunti O,Hi diuìderemo.co;i lalineaPQ,equidifi:ante adefiàNC., il triangolo NC G fecondo la proportione che hà la OKalla KH: ciò pquel, la clic lui il ti;iù :[’ goltì AOKal triangolo, A- KH. Eteflèn. . dolitriangolo ; NCG degù»- ., le al triangolo AOH;fe ,rà la fuperfi- \ ;x-, ; , eie NCQJ’. eguale a] triangolo, AOK:’ &il triaiw golo PQ.G eguale, al triangol9 A, KH„. , il petv(3gqn,q A- BCQP adunqjè vgualc al.triangolo -ABg'.t; §r hàh> medefitna proportione al fi-iangolq PQGj che hà la B.R allaKH: riòè.chehàla EalIaF. : Nel medefimo modo orneremoFintento, fe dal punto Gfi tiri dentro al quadrilatero la GNcquidiftanté ideila ÀB: comeapparetfell’altta figura. Perciòchecon .giunteli li srvr.njicig: •» giùnteli le A,N> ACie tifatala la GOdal punto Gt1?; .q itale liàeqùidiftatc ad eflà.AN: etiratali la GH, lagnale Ita equidi,ftante alla AC: Se Viti inamente congi un tefi le AOAH; feràil triangolo ABOeguale al quadrilatero ABNG, &il triangolo Ab Heguale al quadrilatero ABCG. efe'il puntoKcade rànelipùtcìO, , là lima -retta NGfarà il fiblema. Se Irà gli B, Ofaremo nel mede lìmo modo detto di fopra. Che (è fra gli Oj Htagliaremo dal mango.' lo GNClafuperficie GnQJ^eguale al triangolo AOK ti lutali la PCf eqnidiftante ad ella GN.e(èli di già fitto quello che li proponeua. Mà fe la Dnon fa equidiftan tt ad alcuno rifilati del quadrilatero ABCG; tirili da vno de’dtlo punti A,B dentro al quadrilatero vna linea retta eqnidiftante ad erta D.elia prima là AH:e congiuntali 1» AG tirili del punto Gla GLcquidillamc ad ella aC: laquale DKX MO Q.O .DI DlPlDUXJt laquàte concorra Ad pùnto tconla.iCìaBanga'fttfi il tóngiuugafi la ÀL, ferì il triangolo Afit égualed^ua^ drilateroyUìCG. ©iuidàfila Blnel fluito K;’talmen techéla BK alla KLhabhiaquellapraportione, chelià la EallaF. Onero adunque il punto Kcadènti punto H, ouero filigli Hj L, òfra gli B,H. efe cade nel punto H> la linea retta AHfarà il problema. Mà fe cade fià gli H,L per le cofe poco hà dimoftrateft diuìderemo il quadrilatero AHCG fecondolaproportione chefiàla HKàllft EL, con là linea MNequidiftantead ella AH, ciò èequi dittante ad ella D:laquale certo diuiderà il quadrilatero ABCGcome lì propone. Petciòche eilèndoil triangolò ABHal triangolo AHK,com cla BH alla HE; fericotn- --’•i..•J,.j.m*iet/.. H.An ! ponendo il triangolo ABKal triangolo AHK, com'd k BKalla KH. Mà il triangolo AHKal triangolo AKL cco mela HKalla KL. Adunqueperlegnai proportionalità il triangolo ABKal.triangolo AKL, ècome la BK alla K- L,Màal triangolo ABK evguale il quadrilatero ABNM, «Seal triangolo AKLeguale il quadrilatero MNCG.ll qua drilatero ABNMadunque al quadrilatero MNCG èCO mela BKalla KLciò ccomela Ealla F. Finalmentefe il pùnto Kcadairà gli BaHj tifatali la A *K taglieremo dal tritòlo ABHla! fiipérfiiie AOPHegùa 4e al tringoio AKH con la linea l'erta OPèquidiihntdad Cllà; AH. Serà il triangolorcftante tOBP eguale al trian golo -,.LZi!tr,T.ZA.riClgi Lii4* goloABK reftahtt.,Adwntjiie.il triangolaQBPf4pens* gdno A0PCGdomeilìtriarìj|ola;ABKaAwÌ4Wg»to!AKljé! ciòècomelaBKhlIaKLrciòecomela Ealla P.. : Sepoi la BH tiratali lìa equidiftante ad dìi D; ponga, fi il triangolò HQBeguale al triangolo A^HiSe-il triauj goto H- l> :::!'• 7.1''7 r:'.'li llLegua i.. ' .i.. '/ nel1putì ''* "- toK: feilKcadenerpuntoB.Ulinei BHfinì ffprobità ma. Se fi-àgli B, L, òQ> II faremoi nel mcdefimo raod* ches’è detto di fopra.. Clic fé laA- Ccon giun-i tali fin - tediti- ;- ftante .. ... ... ,... addìi- •'. -i., ... , .... ,i i* D;por - rema il trite'; i: gotoA C-t'tk-' - guata- DEL MODO DI DlFIDMtiJEÌ Vigono come bi lògnaua uà . Sia P haptago no AP.C 1 GHilC il quale habbia da dììiide1:fi fecondo la ^'poutione della EallaF, co vnalinea equiftitte ad ella- D.Tirifidaqualcfeputo alla bafe vna linea retta equidi* ftatead.ellà D. laquale òtagli vn petagono dall’vnaparte edall'altra; òda vna parte vn triangolo ,òvn quadriate . ro,ò vnpétago no/c dalla' tra j_ tl (,^ poi viiiiellàgo noj ouero da vnavn quadri latero, dall’altra vnpentago no. Còme nella prima figura, nella quale la LMèequi dittate ad ella Diformare mo il triangolo LNM eguale al pentagono LAF>CM :SfaU* helfàgorio LMCH11C eguale il triangolo LMO :etaglili la NO fecòdo la fppòrtionè della Ealla Fnciprito P: it il puto Pcade nel pitto Mj'la linea rètta LMfarà il jpb'lè ma. LE $VTZ\E1C1 E, 44 ma. Se fra ipunti NMifimilmcnte diuideremo il pcnt^- gonoLABCM fecondola proportione della NPallaP- Mcon la linea retta QJl equiftiftantead ella LM.Se poi frà ipunti M, Ojdiuideiemo per le cofe dette'» di (opra Fheilàgono LMGHIK fecondo bproport onedeilaM- P:illa PO con vna linea retta eqnidiftante ad efiàLM. Che fe la linea LCtiratali ha equidiftante ad ella Dj /ormaremoil triangolo LNCeguale a! quadrilatero LA BC> &il triangolo LCO eguale all’hellàgono LCGHi- E_ ,r, Kje faremo il rcfto fi come fi èfitto di fopra:e fcràFhept* gono diuifo come bifògnaua: Se il fimile faremo ne gli al tri heptagoni. Nel medefimo modo diuideremo Falere figure rettili nec ancora lecódo vna data proportione habbianfi quali ti lati fi vogliano con una linea equidiftante ad una data linea retta alche nera propofto da farfi . IL FINE,