El espacio de Minkowski. la relatividad especial

EL ESPACIO DE MINKOWSKI. LA RELATIVIDAD ESPECIAL Silvia González Galindo Trabajo Fin de Grado Doble Grado en Física y Matemáticas Universidad de Sevilla Índice general Resumen 1 Abstract 2 Introducción 3 Preliminares 5 0.1. Espacios vectoriales de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 0.2. VariedadesdeLorentz............................... 6 0.3. Conexioneslineales................................ 7 1. Matrices de Lorentz 9 1.1. Definición y Primeras Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2. Matrices de Lorentz ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3. Matrices de Lorentz propias y ortócronas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4. Matrices de Lorentz especiales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.5. Subgrupos de L.................................. 18 2. Propiedades básicas de la Relatividad Especial 19 2.1. EspaciodeMinkowski .............................. 19 2.2. Transformaciones de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3. Grupo de Poincaré. Subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3. Estructuras en el espacio de Minkowski 26 3.1. Estructura de espacio vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.2. Topología en el espacio de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4. Vectores tangentes en el espacio de Minkowski 30 4.1. Vectores de tipo temporal y de tipo espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.2. Coordenadas que no son de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 5. Orientabilidad 37 5.1. Orientabilidad en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 5.2. Orientabilidad de los vectores de la base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 5.3. Orientación en M................................. 43 ÍNDICE GENERAL I 6. Cinemática en un espacio-tiempo de Minkowski 46 6.1. Líneas de universo, señales y observadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 6.2. Relojes en el espacio de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 6.3. VelocidadNewtoniana .............................. 53 6.4. Dilatacióneneltiempo.............................. 56 6.5. Contracción de la longitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Bibliografía 62 Resumen En 1905, Einstein publicó la teoría de la Relatividad Especial, que describía satisfactoriamente el movimiento de partículas en sistemas de referencias inerciales. Para el posterior desarrollo de la teoría fue crucial que Minkowski unificara espacio y tiempo en una única entidad, el espacio-tiempo. Desde este punto de vista matemático, los sucesos físicos son representados por puntos en el espacio de Minkowski. El objetivo de este trabajo es describir el espacio de Minkowski como una variedad de Lorentz de cuatro dimensiones en la que se pueden deducir algunas consecuencias de la Relatividad Especial, como la dilatación del tiempo y la contracción de la longitud. Para conseguir este objetivo, se definirán las transformaciones de Lorentz a partir de las cartas de Minkowski para dotar al espacio de Minkowski de estructura de espacio vectorial. Además, se estudiará la estructura causal del mismo, así como su orientabilidad. Por último, se definirán algunos conceptos físicos como los observadores y sus relojes. 1 Abstract In 1905 Einstein published his theory about Special Relativity, which successfully explained the motion of particles in inertial reference frames. It was decisive for the further development of the theory that Minkowski unified space and time into one single entity, the spacetime. From this mathematical point of view, physical events are treated as points in Minkowski spacetime. The aim of this work is to describe Minkowski spacetime as a fourth-dimensional Lorentz manifold in which some consequences from Special Relativity can be developed, as time dilation and length contraction. In order to achieve this objetive, Lorentz transformations will be defined based on Minkowski charts to endow Minkowski space with a vector space structure. Indeed, its causal structure will be studied, as well as orientability. Finally, some physical notions will be defined, as observers and its clocks. 2 Introducción En 1905, Albert Einstein publicó su trabajo “Sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento”, en el que se desarrollaba la teoría de la Relatividad Especial. Ésta se basaba en dos suposiciones: el principio de la relatividad (independencia de las leyes con respecto a la elección del sistema inercial) y la constancia de la velocidad de la luz. Bajo estas condiciones, eran necesarias unas nuevas transformaciones que dejaran invariantes las ecuaciones de Maxwell ante un cambio de sistema de referencia inercial: las transformaciones de Lorentz. Uno de los grandes impactos que tuvo la teoría de la Relatividad Especial fue la pérdida del carácter absoluto del espacio y del tiempo. Fue en 1908 cuando Hermann Minkowski dio la formulación de la Relatividad Especial en un espacio de cuatro dimensiones, tres espaciales y una temporal, conocido como espacio de Minkowski. Aunque Henri Poincaré, en 1906, fue el primero en dar una interpretación geométrica a las transformaciones de Lorentz como rotaciones en un espacio cuatridimensional, con el tiempo como cuarta componente, fue Minkowski quien consiguió explicar satisfactoriamente las consecuencias del postulado de la relatividad sobre la dimensión del espacio considerado. Las ideas de Minkowski tuvieron tal impacto en la física del siglo veinte que la física moderna no puede imaginarse sin la noción de espacio-tiempo. Minkowski se refería al espacio-tiempo como “el mundo”. De esta forma, los eventos son puntos del mundo, un conjunto de eventos asociados a una partícula constituyen una línea de universo o de mundo y las leyes físicas de la interacción de las partículas se consideran como las relaciones geométricas entre sus líneas de universo. El objetivo de este trabajo es describir matemáticamente el espacio de Minkowski para, posteriormente, poder estudiar el movimiento de partículas puntuales masivas en el contexto de la Relatividad Especial y obtener conclusiones de ello. En particular, se van a deducir los fenómenos de dilatación en el tiempo y contracción de la longitud. En primer lugar, se definirá en qué consiste un espacio-tiempo de Minkowski a partir de una serie de axiomas, viendo que se trata de un caso particular de variedad de Lorentz y se presentarán las cartas de Minkowski, así como las transformaciones de Lorentz, previo estudio de las matrices de Lorentz. Esto nos permitirá deducir que el espacio de Minkowski tiene estructura de espacio vectorial en sí mismo, por lo que en lugar de tomar como vectores los elementos del espacio tangente pueden considerarse los propios puntos del espacio de Minkowski. Este hecho, junto con la definición de un producto escalar, lo dota de estructura de espacio vectorial de Lorentz. Además, se estudiará la topología del espacio y su independencia respecto de la carta de Minkowski elegida dentro de un atlas de la variedad. La estructura de espacio vectorial de Lorentz nos permitirá hacer una clasificación de los vectores y determinar si tienen carácter causal y la estructura de variedad de Lorentz, probar la orientabilidad en el tiempo de un espacio de Minkowski y dar condiciones para determinar su orientabilidad a partir de los vectores de una base. Una vez hecha esta construcción 3 ÍNDICE GENERAL 4 matemática, definiremos los conceptos físicos necesarios, como pueden ser las líneas de universo, los observadores, sistemas de referencias y relojes, para medir tiempos y coordenadas espaciales respecto de un observador (los conceptos de tiempo y espacio no son absolutos en la Relatividad Especial, dependen del observador). Por último, veremos como cambia la velocidad Newtoniana de un observador a otro debido a la pérdida del carácter absoluto del espacio y el tiempo. En este punto, se obtendrán fácilmente los resultados buscados: la dilatación del tiempo y la contracción de la longitud. Preliminares Para el desarrollo de este trabajo se suponen conocidos todos los antecedentes y resultados concernientes a un curso general de "Variedades Diferenciables", que pueden encontrarse en los libros [3, 6, 7]. En concreto, seguiremos las notaciones empleadas en [7]. Otros resultados que necesitaremos los listamos a continuación sin demostración. 0.1. Espacios vectoriales de Lorentz Sea Vun espacio vectorial real de dimensión n. Denotaremos por V∗a su espacio vectorial dual. Definición 0.1.1. Un producto escalar en Ves una forma bilineal, simétrica y no degenerada, es decir, una aplicación bilineal g:V×V→Rtal que g(u, v) = g(v, u), para todos u, v ∈V y tal que si g(u, v)=0para todo v∈V, entonces se implica que u= 0. Definición 0.1.2. Una forma bilineal simétrica gsobre Vse dice que es definida positiva si g(v, v)>0para todo v∈V, v 6= 0. En caso contrario, se denomina indefinida. Definición 0.1.3. Sea guna forma bilineal simétrica sobre V. Si existe una base de V, {e1, . . . , en}, tal que: g(eα, eβ) = n−1 X j=1 δαjδβj −δαnδβn,(0.1) con α, β = 1, . . . , n, entonces el par (V, g)se denomina espacio vectorial de Lorentz. En ese caso, la base {e1,· · · , en}se denomina base de Minkowski. Proposición 0.1.4. Una forma bilineal gsobre Vcumpliendo (0.1) es un producto escalar en V. Proposición 0.1.5. Sean (V, g)un espacio vectorial de Lorentz y {e1, . . . , en}una base de Minkowski. Sea {ε1, . . . , εn}la correspondiente base dual de V∗. Entonces: g= n X α,β=1 ηαβεα⊗εβ, siendo η= (ηαβ)= diag(1,1,1,-1). 5 ÍNDICE GENERAL 6 0.2. Variedades de Lorentz Una versión más desarrollada de esta sección puede encontrarse en [7]. Notación 0.2.1. Sea Muna Ck-variedad, con k≥1, de dimensión ny sea p∈M. El espacio tensorial formado por q+rfactores, de los cuales qson TpMyrson TpM∗, se representa por Tp(q, r). Sea (U, ϕ)una carta local de la estructura de M, con coordenadas (x1, . . . , xn)tal que p∈U. Entonces, cada elemento S∈Tp(q, r)se puede escribir como: S= n X α1,··· ,αq,β1,··· ,βr=1 Sα1,··· ,αq β1,··· ,βr∂xα1⊗ · · · ⊗ ∂xαq⊗dxβ1⊗ · · · ⊗ dxβr y se dice que Ses un (q, r)-tensor en p, donde ∂xαdenota al vector tangente en p: ∂ ∂xα(p). Definición 0.2.2. Sea Muna Ck-variedad, con k≥1, de dimensión ny sea Aun atlas de M. Un (q, r)-campo tensorial en Mes una aplicación Fque a cada punto p∈Mle hace corresponder un (q, r)-tensor en p. Si para cada carta local (U, ϕ)∈ A, con coordenadas (x1, . . . , xn), F(p) = n X α1,··· ,αq,β1,··· ,βr=1 Fα1,··· ,αq β1,··· ,βr∂xα1⊗ · · · ⊗ ∂xαq⊗dxβ1⊗ · · · ⊗ dxβr, para todo p∈U, es decir, si F= n X α1,··· ,αq,β1,··· ,βr=1 Fα1,··· ,αq β1,··· ,βr∂xα1⊗ · · · ⊗ ∂xαq⊗dxβ1⊗ · · · ⊗ dxβr, en U(donde, salvo que haya lugar a equívocos, de aquí en adelante utilizaremos la misma notación para funciones-valores, campos tensoriales-vectores tangentes y 1-formas-covectores, respectivamente), se dice entonces que Fes un Cj-campo tensorial, con j≤k, en Msi Fα1,··· ,αq β1,··· ,βr◦ϕ−1está en Cj. Definición 0.2.3. La signatura sde una matriz se define como s=n−2m, donde nes la dimensión de la matriz y mel número de autovalores negativos. Definición 0.2.4. Sea Muna Ck-variedad, con k≥1, de dimensión n. Se dice que un (0,2)- campo tensorial gen Mes una métrica si se verifica que: 1. ges un Ck-campo tensorial simétrico y no degenerado, es decir, dado p∈M, para todos u, v ∈TpMse cumple que g(p)(u, v) = g(p)(v, u)y dado w∈TpM, si se verifica que g(p)(w, v) = 0 para todo v∈TpM, entonces w= 0. 2. Dado p∈My(U, ϕ)∈ A con p∈Utal que: g(p) = n X k,λ=1 gkλ(p)dxk p⊗dxλ p, CAPÍTULO 1. MATRICES DE LORENTZ 13 Observación 1.2.3. Las matrices de la forma (1.6) tienen las siguientes propiedades: 1. El producto de dos matrices de la forma (1.6) tiene también esta forma ya que el producto de dos matrices ortogonales es ortogonal. 2. Como L·LT=14, se deduce que L−1=LTy, por tanto, L−1es también de la forma (1.6). Las matrices de la forma (1.6) se denominan matrices rotacionales. Observación 1.2.4. Sea Luna matriz generérica 4x4 escrita de la siguiente forma L=K q p r , donde Kes una matriz 3x3, pyqvectores fila y columna respectivamente y run número real. Para que Lsea una ML se tiene que cumplir (1.1). En forma matricial: LTηL =KT·K−pT·p KT·q−r·pT qT·K−r·p−qT·q−r2=130T 3 03−1, es decir, se tienen que dar las igualdades: KT·K−pT·p=13, KT·q−r·pT= 0T 3, qT·q+r2= 1.(1.7) 1.3. Matrices de Lorentz propias y ortócronas El grupo de las matrices de Lorentz, L, se puede clasificar en cuatro subgrupos disjuntos y cuya unión conforman el grupo total. Para ello, definimos los siguientes conceptos: Definición 1.3.1. Sea Luna ML. Entonces: 1. Lse dice propia si y sólo si det L= 1. En caso contrario (det L= -1), Lse dice impropia. 2. Lse dice ortócrona si y sólo si L4 4≥1. Por (1.3), esta condición es equivalente a que L4 4>0. Por el contrario, si L4 4≤1(o, equivalentemente, L4 4<0), Lse dice no ortócrona. Proposición 1.3.2. Sea Luna ML. Se tiene que: 1. Si Les propia o impropia, LTyL−1heredan esta propiedad. 2. Si Les ortócrona o no ortócrona, LTyL−1lo son. Demostración. 1. De (1.2) se deduce que det L−1= det LT. Además, es conocido que det LT= det L. Por tanto, si el determinante de Les 1 (o -1), el de LTyL−1también. CAPÍTULO 1. MATRICES DE LORENTZ 14 2. Trivialmente se tiene que (LT)4 4=L4 4. Por otra parte, de (1.4) se deduce que (L−1)4 4=L4 4. Como la cuarta componente de estas matrices coinciden, si la de Les 1 (o -1), la de LTy L−1también lo serán. Proposición 1.3.3. Sea Luna ML. Se verifica que: 1. Si L1yL2son propias, entonces su producto también lo es. 2. Si L1yL2son ortócronas, entonces su producto también lo es. 3. Si L1yL2son no ortócronas, entonces su producto es ortócrono. 4. Si L1es ortócrona y L2es no ortócrona, entonces su producto es no ortócrono. Demostración. 1. Se tiene que det (L1·L2)= det L1·det L2= 1. 2. Sea L=L1·L2. Hay que probar que L4 4= (L1)4 κ(L2)κ 4>0. Desarrollando la suma en κ se tiene: (L1)4 κ(L2)κ 4= (L1)4 4(L2)4 4+ 3 X i=1 (L1)4 i(L2)i 4.(1.8) Por otro lado, por la desigualdad de Cauchy-Schwartz, tenemos que: | 3 X i=1 (L1)4 i(L2)i 4|2≤ 3 X i=1 [(L1)4 i]2 3 X i=1 [(L2)i 4]2= ([(L1)4 4]2−1)([(L2)4 4]2−1).(1.9) Por tanto, como L1yL2son ortócronas, se cumple: | 3 X i=1 (L1)4 i(L2)i 4|<(L1)4 4(L2)4 4.(1.10) Sustituyendo en (1.8), se obtiene: (L1)4 κ(L2)κ 4≥(L1)4 4(L2)4 4− | 3 X i=1 (L1)4 i(L2)i 4|>0.(1.11) 3. Si L1yL2son no ortócronas, se sigue cumpliendo (1.10) y, por tanto, (1.11). 4. Ahora, si una de ellas es ortócrona y la otra no ortócrona, de (1.9) se deduce: | 3 X i=1 (L1)4 i(L2)i 4|<|(L1)4 4(L2)4 4|=−(L1)4 4(L2)4 4. CAPÍTULO 1. MATRICES DE LORENTZ 15 Sustituyendo esta desigualdad en (1.8), se obtiene: (L1)4 κ(L2)κ 4≤(L1)4 4(L2)4 4+| 3 X i=1 (L1)4 i(L2)i 4|<0. Observación 1.3.4. Observemos que cambiar el signo de L4 4convierte una ML ortócrona en una no ortócrona y recíprocamente. Consideramos ahora una ML, L, y una matriz L0definida de la siguiente manera: L0α β=Lα βsi (α, β)6= (4,4), L0α β=−Lα βsi (α, β) = (4,4). De esta definición se deducen los siguientes resultados: Proposición 1.3.5. L0es una ML si y sólo si Les de la forma (1.6). Demostración. Si Les de la forma (1.6), entonces L0también lo es, ya que L0sólo se diferencia de Len el signo de la componente (4,4) y, por el Corolario 1.2.2, es una ML. Veamos el recíproco. Si L0es una ML, entonces se cumple (1.7) para LyL0, siendo r=L4 4para Lyr0=L04 4= −rpara L0. De la condición: KT·q−r·pT=0T 3=KT·q+r·pT, se deduce que r·pT=0T 3. Como L0es una ML, |r|>1, luego p=03. Por tanto, KT·K=13 y, al cumplirse también para la traspuesta, se obtiene que Kes ortogonal. Por último, como r2>1yqT·q≥0, de la condición qT·q+r2= 1 se deduce que q=0T 3yr=±1. Proposición 1.3.6. Sean L,L0dos ML de la forma (1.6) con componente (4,4) igual a 1. Entonces: 1. LyL−1son propias y ortócronas si det Q = 1. 2. L·L0es de la forma (1.6) y es propia y ortócrona si det L= det L0=±1. Demostración. Por las hipótesis del enunciado, la matriz Les de la forma: L=Q0 0 1  y, por tanto, L−1es igual pero con QTen lugar de Q. Entonces, det L−1= det L= det Q= det QT= 1. Como tanto Lcomo L−1tienen componente (4,4) igual a 1 y determinante 1, ambas son propias y ortócronas. Para la segunda parte de la prueba, consideramos el producto de L con L0 L·L0=Q·Q00 0 1 , CAPÍTULO 1. MATRICES DE LORENTZ 16 que efectivamente es de la forma (1.6) y ortócrona. Por último, falta ver que det (L·L0) = 1. Como la cuarta componente de L,L0yL·L0es 1, det (L·L0) = det (Q·Q0) = det Q·det Q0= det L·det L0= 1. 1.4. Matrices de Lorentz especiales. En esta sección vamos a considerar matrices de la forma: Sν=    k0 0 −νk 0 1 0 0 0 0 1 0 −νk 0 0 k     ,(1.12) donde ν∈(−1,1) yk= (1 −ν2)−1/2>0. Definición 1.4.1. Las matrices de la forma (1.12) se denominan matrices de Lorentz especiales. Proposición 1.4.2. Se verifica que Sνes una ML propia y ortócrona, para cualquier ν∈ (−1,1). Demostración. Se observa que Sν=ST ν. Veamos que se verifica la condición (1.1.1): Sν·η·Sν=    k0 0 −νk 0 1 0 0 0 0 1 0 −νk 0 0 k     ·    1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 −1     ·    k0 0 −νk 0 1 0 0 0 0 1 0 −νk 0 0 k     = =    k2−ν2k20 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ν2k2−k2     =η. La última igualdad se deduce de que k2−ν2k2=k2(1 −ν2)=1, teniendo en cuenta la definición de k. Además, det Sν=k2−ν2k2= 1, luego Sνes propia y, como (Sν)4 4=k > 0, es ortócrona. Proposición 1.4.3. Si Sν1ySν2son ML especiales, de la forma (1.12), entonces su producto también lo es. Demostración. El producto Sν1·Sν2queda: Sν1·Sν2=    k1k2(1 + ν1ν2) 0 0 −k1k2(ν1+ν2) 0 1 0 0 0 0 1 0 −k1k2(ν1+ν2) 0 0 k1k2(1 + ν1ν2)     .(1.13) CAPÍTULO 1. MATRICES DE LORENTZ 17 Por analogía con (1.12) definimos los elementos (1,1) y (1,4) como: k=k1k2(1 + ν1ν2), νk =k1k2(ν1+ν2). Entonces: ν=ν1+ν2 1 + ν1ν2 . Basta comprobar que ν∈(−1,1) y que k= (1 −ν2)−1/2. Para ver que ν∈(−1,1), consideramos la función f(ν1, ν2) = ν1+ν2 1 + ν1ν2 , con ν1, ν2∈(−1,1). Estudiando la derivada parcial respecto de ν1para cada ν2fijo, ∂f ∂ν1 =1−ν2 2 (1 + ν1ν2)2>0, se obtiene que ésta es positiva, y por tanto fes creciente en ν1, para ν2fijo. Como f(−1, ν2) = −1 + ν2 1−ν2 =−1 y f(1, ν2) = 1 + ν2 1 + ν2 = 1, deducimos que f(ν1, ν2)∈(−1,1). Puesto que las variables ν1yν2son intercambiables, se obtiene lo mismo para ν2y, por tanto, ν∈(−1,1). Por otro lado, 1−ν2=(1 + ν1ν2)2−(ν1+ν2)2 (1 + ν1ν2)2=1 + ν2 1ν2 2−ν2 1−ν2 2 (1 + ν1ν2)2 y 1 k2=1 k2 1k2 2(1 + ν1ν2)2=(1 −ν2 1)(1 −ν2 2) (1 + ν1ν2)2=1−ν2 1−ν2 2+ν2 1ν2 2 (1 + ν1ν2)2, luego, efectivamente, 1/k2= 1 −ν2, es decir, k= (1 −ν2)−1/2. Observación 1.4.4. De (1.13) se deduce que Sν1·Sν2=Sν2·Sν1, para cualesquiera ν1yν2. Observación 1.4.5. De (1.12) se deduce que S0=14, y, haciendo ν2=−ν1=−νen (1.13), se tiene que S−ν=S−1 ν. CAPÍTULO 1. MATRICES DE LORENTZ 18 1.5. Subgrupos de L Dentro del grupo de Lorentz, L, hay ciertos subgrupos de especial interés cuyas propiedades hemos analizado a lo largo de este capítulo. Estos subgrupos son: Propio :Lp={L∈ L : det L= 1} Ortócrono :Loc ={L∈ L :L4 4>0} Especial :Ls={L∈ L :L=Sν, ν ∈(−1,1)} Ortogonal :Log ={L∈ L :Les de la forma (1.6)} (1.14) Estos conjuntos son grupos por las siguientes propiedades ya estudiadas (en todos los casos la asociatividad se hereda de Ly la identidad pertenece a todos ellos trivialmente): 1. Lppor las Proposiciones 1.3.2 (1) y 1.3.3 (1). 2. Loc por las Proposiciones 1.3.2 (2) y 1.3.3 (2). 3. Lspor la Proposición 1.4.3 y la Observación 1.4.5. 4. Log por la Observación 1.2.3. Observación 1.5.1. 1. Lses un grupo Abeliano por la Observación 1.4.4. 2. Ls⊂ Lp∩ Loc. 3. Todos los grupos de (1.14) son infinitos. Lslo es porque νtoma valores de forma continua entre -1 y 1, LpyLoc porque contienen a Ls, y Log porque existen infinitas matrices ortogonales 3x3. Capítulo 2 Propiedades básicas de la Relatividad Especial En este capítulo se van a introducir los espacio-tiempo de Minkowski, que es el objeto de estudio de este trabajo. En particular, se van a definir las cartas y coordenadas de Minkowski, herramienta imprescindible para el posterior desarrollo de otros conceptos. En el espacio de Minkowski se van a definir las transformaciones de Lorentz, para lo que previamente se han desarrollado en el Capítulo 1 las matrices de Lorentz, y se va a establecer la relación que existe entre ellas. 2.1. Espacio de Minkowski La definición de un espacio de Minkowski consta de cinco axiomas que se presentan a continuación. Los dos últimos se entenderán más fácilmente consultando la sección 0.3 de los Preliminares. Definición 2.1.1. Un espacio-tiempo de Minkowski es un triplete M= (M, A, g)tal que: 1. Mes una variedad diferenciable de dimensión 4. 2. Aes un Ck-atlas de Mcon k ≥3. 3. Existe una carta global (M, ϕ)en A, es decir, existe una aplicación ϕ:M→R4 biyectiva tal que ϕ(M)(= R4)es un abierto de R4. 4. ges un (0,2)-campo tensorial en M,Ckdiferenciable, llamado métrica de Minkowski. 5. En las coordenadas (x1, . . . , x4)de ϕ, la métrica toma la forma: g=dx1⊗dx1+dx2⊗dx2+dx3⊗dx3−dx4⊗dx4.(2.1) Observación 2.1.2. Un espacio de Minkowski es una variedad de dimensión 4 cuya métrica tiene un autovalor negativo. Por tanto, es una variedad semi-Riemanniana (puesto que el número de autovalores negativos es no nulo) y, en particular, una variedad de Lorentz (en concreto tiene un sólo autovalor negativo). 19 CAPÍTULO 2. PROPIEDADES BÁSICAS DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL 20 Definición 2.1.3. Sea Mun espacio de Minkowski. Se llama carta de Minkowski en Ma cualquier carta global (M, ϕ0). A las funciones coordenadas de dicha carta se le llaman coordenadas de Minkowski. Nota 2.1.4. La propia carta global (M, ϕ)de la Definición 2.1.1 es una carta de Minkowski. Por tanto, siempre existe una carta de Minkowski. De hecho, más adelante se verá que existe más de una. Observación 2.1.5. Las cartas y coordenadas de Minkowski pueden existir también en variedades que no sean espacio-tiempos de Minkowski. En una variedad Semi-Riemannniana M= (M, A, g)de dimensión 4 con métrica gy signatura 2, si existe una carta (U, ϕ)con U⊂My coordenadas (x1, x2, x3, x4)en Utal que g=dx1⊗dx1+dx2⊗dx2+dx3⊗dx3−dx4⊗dx4, dicha carta se denomina carta de Minkowski en M. 2.2. Transformaciones de Lorentz Las transformaciones de Lorentz son las relaciones que cumplen uno de los dos principios básicos de la relatividad especial: la velocidad de la luz es constante en cualquier sistema de referencia inercial, algo que no verificaban las transformaciones de Galileo. Estas transformaciones también se conocen como transformaciones de Lorentz-Einstein ya que, aunque Lorentz fue el primero en formularlas, fue Einstein quien las interpretó correctamente. En este apartado, se va a trabajar en un espacio-tiempo de Minkowski, M, con una carta global, (M, ϕ). Cuando aparezca la función ϕ, nos estaremos refiriendo a dicha carta. Definición 2.2.1. Sean Mun espacio de Minkowski y ϕ0una carta de Minkowski. Sea φ= ϕ0◦ϕ−1. Entonces, φ:R4→R4es biyectiva y de clase Ck. La función φse denomina transformación de Lorentz (TL) en M. Lema 2.2.2. Sea M= (M, A, g)una Ck-variedad de dimensión 4 con k ≥2. 1. Consideramos dos cartas de Minkowski (V,ψ) y (V’,ψ’) de Atales que U:= V∩V06=∅, es decir, tales que ψ(U)yψ0(U)son abiertos y φ=ψ0◦ψ−1:ψ(U)→ψ0(U) es Ckdiferenciable. Entonces, existe una única ML Ly un único escalar a∈R4tales que para todo x∈ψ(U)se tiene: x0=φ(x) = L·x+a, (2.2) mientras que para todo x0∈ψ0(U)se cumple: x=φ−1(x0) = L−1·x0−L−1·a. (2.3) CAPÍTULO 2. PROPIEDADES BÁSICAS DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL 21 2. Sea (W, ϕ)una carta de Minkowski de A,Luna ML y b∈R4. Sea ϕ’ definida de forma que: ϕ0(p) = L·ϕ(p) + b, (2.4) para todo p∈W. Entonces, (W, ϕ0)es una carta de Minkowski de A. Demostración. En primer lugar, sea φ=ψ0◦ψ−1la aplicación considerada en el enunciado. A partir de la expresión de transformación de vectores cotangentes se obtiene que: dx0λ= 4 X ρ=1 ∂φλ ∂xρdxρ, para λ= 1,2,3,4. Como la métrica es la misma en ambos casos, dada por (2.1), sustituyendo la expresión anterior en la expresión de la métrica asociada a ψ0queda la igualdad: 4 X λ,µ,ρ,σ=1 ηλµ ∂φλ ∂xρ ∂φµ ∂xσdxρ⊗dxσ= 4 X ρ,σ=1 ηρσdxρ⊗dxσ. Como los tensores dxρ⊗dxσson linealmente independientes, para todo ρ, σ = 1,2,3,4, la igualdad anterior se reduce a: 4 X λ,µ=1 ηλµ ∂φλ ∂xρ ∂φµ ∂xσ=ηρσ,(2.5) para todo ρ, σ = 1,2,3,4. La matriz definida por: L=∂φλ ∂xρ cumple la relación (1.1) y, por tanto, es una matriz de Lorentz. Veamos que esta matriz es independiente de x. Diferenciando la Ecuación (2.5), resulta: 4 X λ,µ=1 ηλµ ∂2φλ ∂xρ∂xk ∂φµ ∂xσ+∂φλ ∂xρ ∂2φµ ∂xσ∂xk= 0. A continuación introducimos las abreviaciones: Aρkσ = 4 X λ,µ=1 ηλµ ∂2φλ ∂xρ∂xk ∂φµ ∂xσ, Bρσk =Aρkσ +Aσkρ. Como η= diag(1,1,1,-1), se cumple que Aρkσ =Aσkρ. La ecuación que se obtiene de diferenciar (2.5) con esta nueva notación resulta Bρσk = 0. Una permutación cíclica de los índices ρ, σ, k no cambia la Ecuación (2.5), luego: Bρσk +Bkρσ −Bσkρ = 0, CAPÍTULO 2. PROPIEDADES BÁSICAS DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL 22 ya que cada término es 0. Esto implica: 0 = Aρkσ +Aσkρ +Akσρ +Aρσk −Aσρk −Akρσ = 2Aσkρ, es decir, que: Aσkρ = 4 X λ,µ=1 ηλµ ∂2φλ ∂xσ∂xk ∂φµ ∂xρ= 0. Usando que P4 ρ=1 ∂φµ ∂xρ ∂φ−1ρ ∂x0ν=δµ ν, se deduce la expresión: 4 X ρ=1 Aσkρ ∂φ−1ρ ∂x0ν= 4 X λ=1 ηλν ∂2φλ ∂xσ∂xk= 0. Como ηno es singular, entonces lo que debe ser 0 es: ∂Lλ k ∂xσ=∂2φλ ∂xσ∂xk= 0, para todo k, λ, σ = 1,2,3,4y todo x∈φ−1(U). De esta forma hemos deducido que la matriz Lno depende de xy que φes lineal respecto de x, es decir, que x0=φ(x) = L·x+a. Ahora, para ver que (W, ϕ0)es una carta de Minkowski, hay que probar que la métrica tiene la forma (2.1). Sean x0=ϕ0(p)yx=ϕ(p). Por hipótesis, x0=φ(x) = L·x+bpara todo x∈ϕ(W), siendo φla transformación de Lorentz ϕ0◦ϕ−1. De esta expresión se sigue que: ∂φα ∂xk=Lα k. Como, además, (W, ϕ)es una carta de Minkowski, que cumple (2.1), gαρ =ηαρ. Esto implica que en las coordenadas x0: gj kλ = 4 X α,β=1 ∂φα ∂xk ∂φβ ∂xληαβ = 4 X α,β=1 Lα kLβ ληαβ =ηkλ, es decir, que (W, ϕ0)es una carta de Minkowski. Teorema 2.2.3. Toda transformación de Lorentz φestá definida por una matriz de Lorentz Ly un escalar a∈R4de la siguiente forma: φ(x) = L·x+a. (2.6) Además, para toda ML Ly todo a∈R4, la función φdefinida como en (2.6) es una transformación de Lorentz para toda carta de Minkowski (M, ϕ). Esto implica, por tanto, que existe otra carta de Minkowski (M, ϕ’) tal que φ=ϕ0◦ϕ−1. Demostración. Para probar este teorema, haremos uso del Lema 2.2.2, aplicándolo a un espacio de Minkowski. CAPÍTULO 3. ESTRUCTURAS EN EL ESPACIO DE MINKOWSKI 29 Como la topología inicial de ϕes la única topología que convierte a ϕen homeomorfismo, ésta debe coincidir con la topología natural del atlas. Efectivamente, observando la expresión de ambas topologías se deduce que son la misma. Si consideramos ahora otra carta de Minkowski (M, ϕ0)de la misma estructura generada por el atlas considerado anteriormente, siguiendo un razonamiento análogo se deduce que la topología inicial asociada a ϕ0también coincide con la topología natural del atlas. Por tanto, se puede concluir que la topología de un espacio de Minkowski es independiente de la carta de Minkowski, siempre y cuando la estructura diferenciable sea la misma. Capítulo 4 Vectores tangentes en el espacio de Minkowski Uno de los principales objetivos en la representación de un espacio-tiempo relativista es plasmar la estructura causal del mismo. Esta estructura especifica qué eventos, es decir, qué puntos del espacio-tiempo, pueden estar conectados por trayectorias con velocidad menor o igual que la de la luz y cuáles no. Los eventos que pueden estar conectados por trayectorias a velocidad inferior a la de la luz se denominan de tipo temporal, los que pueden conectarse por trayectorias a la velocidad de la luz se llaman de tipo luminoso y aquellos que no pueden relacionarse por ninguno de los dos anteriores, de tipo espacial. Como es físicamente imposible que ningún proceso causal exceda la velocidad de la luz, esta clasificación permite conocer si un evento puede influenciar a otro. Más generalmente, se puede hacer la siguiente clasificación entre los vectores de un espacio vectorial de Lorentz (V, g), de forma que Vse descomponga en tres partes disjuntas. Sea v∈V, entonces: vse dice de tipo temporal o, simplemente, temporal si g(v, v)<0, vse dice de tipo luminoso o, simplemente, luminoso si g(v, v) = 0 yv6= 0, vse dice de tipo espacial o, simplemente, espacial si g(v, v)>0ov= 0 Entonces, un vector vse dice causal si no es de tipo espacial. Los vectores causales son aquellos que pueden conectar dos puntos del espacio de Minkowski de forma que uno tenga un efecto sobre otro. Es importante resaltar que esto no significa que uno sea la causa de otro (a pesar de que el nombre lo sugiera), sino que uno puede (no necesariamente) influir sobre el otro. En este capítulo se va a considerar un espacio de Minkowski My un punto en él, p∈My se van a estudiar las propiedades de los vectores de su espacio tangente, TpM, desde el punto de vista de la clasificación anterior. Sin embargo, son válidas en cualquier espacio vectorial de Lorentz. En particular, se van a encontrar cartas en las que el vector sólo tiene componentes del tipo referente a la clasificación anterior, es decir, sólo temporales (cuarta componente) en caso de que el vector sea temporal, o sólo espaciales (tres primeras componentes) en el caso en que el vector sea espacial. Por último, se van a estudiar cartas que no son de Minkowski, ya que permiten encontrar nuevas representaciones de los vectores (ya no tienen por qué ser tres coordenadas espaciales y una temporal). 30 CAPÍTULO 4. VECTORES TANGENTES EN EL ESPACIO DE MINKOWSKI 31 4.1. Vectores de tipo temporal y de tipo espacial Que un vector sea temporal no implica que sólo tenga la cuarta componente no nula, al igual que el hecho de que un vector sea espacial no implica que la componente temporal sea nula. Sin embargo, dado un vector v∈TpMes posible encontrar coordenadas de Minkowski para las que sí se cumplan ciertas características relativas al tipo de vector. Buscamos, por tanto, transformaciones de Lorentz que cambien unas coordenadas en otras particulares. Para los vectores temporales podemos encontrar unas coordenadas en las que sólo tengan componente cuarta no nula: Proposición 4.1.1. Sea u∈TpMun vector temporal. Entonces, existe una carta de Minkowski ϕ0y un número u046= 0 tal que: u=u04∂x04.(4.1) Demostración. Sea (M, ϕ)una carta de Minkowski con coordenadas (x1, x2, x3, x4)y supongamos que: u= 4 X α=1 uα∂xα(p). Sea w=qP3 j=1(uj)2>0(si fuese cero se cumpliría (4.1) para la propia ϕ). Como ues temporal, g(u, u)<0y, como g(u, u) = w2−(u4)2, se tiene que |u4|> w. Buscamos ahora una carta ϕ0tal que la transformación de Lorentz ϕ0◦ϕ−1transforme las coordenadas xiniciales a las x0deseadas o, lo que es lo mismo, buscamos una tranformación de Lorentz Ltal que x0=ϕ0◦ϕ−1(x) = L·x. Vamos a buscar la matriz de Lorentz de la siguiente forma: Sean los vectores de R3: a1=1 w(u1, u2, u3), a2ya3, de manera que {a1, a2, a3}formen una base ortogonal de R3. Entonces, construimos la matriz rotacional: A=Q0T 3 031,(4.2) siendo Q= (a1, a2, a3)Tuna matriz ortogonal. De esta forma: A·u=Q0T 3 031·    u1 u2 u3 u4     =    w 0 0 u4     . Construimos ahora una matriz de Lorentz especial Sνtal que ν=w/u4, con k= (1 − CAPÍTULO 4. VECTORES TANGENTES EN EL ESPACIO DE MINKOWSKI 32 ν2)−1/2, y ponemos r=−νk. Por tanto, Sνes de la forma: Sν=    k0 0 r 0 1 0 0 0 0 1 0 r0 0 k     (4.3) y queda que Sν·A·uvale: Sν·A·u=    k0 0 r 0 1 0 0 0 0 1 0 r0 0 k     ·    w 0 0 u4     =    wk +ru4 0 0 wr +ku4     =    u01 u02 u03 u04     . Ahora bien: u01=wk +ru4=k(w−νu4) = 0, u04=wr +u4k=ku4(1 −ν2) = ((u4)2−w2)1/2= (−g(u, u))1/2. Es decir, hemos encontrado una matriz de Lorentz L=Sν·A, con SνyAde la forma descrita anteriormente, que hace que el vector utenga todas sus coordenadas nulas, excepto la última. Del mismo modo que todo vector temporal podemos escribirlo en unas coordenadas en las que sólo tenga componente temporal, si tenemos un vector de tipo espacial es posible encontrar unas coordenadas en las que sólo tenga componentes espaciales (esto es, componente temporal nula). Es más, se pueden encontrar unas coordenadas en las que sólo tenga una componente (de las tres espaciales) no nula. Proposición 4.1.2. Sea u un vector espacial con u= 4 X α=1 uα∂xα para un carta de Minkowski ϕtal que 0<|u4|<|u1|. Entonces, existe una carta de Minkowski ϕ0tal que u04= 0. Demostración. Consideramos una matriz de Lorentz especial Sν, con ν=u4/u1. Por hipótesis, ν∈(−1,1). Entonces: Sν·u=    ku1+ru4 u2 u3 ru1+ku4     , de donde se deduce que la cuarta componente es nula. En efecto: ru1+ku4=−νku1+ku4=−u4(u1)−1ku1+ku4= 0. CAPÍTULO 4. VECTORES TANGENTES EN EL ESPACIO DE MINKOWSKI 33 Las componentes segunda y tercera permanecen invariantes, mientras que la primera viene dada por: ku1+ru4=k(u1−νu4) = ku1(1 −(u1)−2(u4)2) = u1(1 −ν2)1/26= 0. La prueba puede hacerse de modo totalmente análogo para las componentes segunda y tercera. Proposición 4.1.3. Sea u un vector espacial con u= 4 X α=1 uα∂xα para un carta de Minkowski ϕ. Entonces, para todo n∈ {1,2,3}existe una carta de Minkowski ϕ0 ntal que u=P4 n=1 u0n∂x0n. Demostración. Sea u6= 0. Se va a probar el caso n= 1, ya que la prueba es análoga para n= 2,3. Definimos de nuevo w=qP3 j=1(uj)2>0y, al ser uun vector espacial (es decir, g(u, u)>0), se tiene que w > |u4|. De forma análoga a la Proposición 4.1.1, buscamos una transformación de Lorentz (o equivalentemente una matriz de Lorentz) que transforme las coordenadas (x1, x2, x3, x4)en las coordenadas buscadas. La matriz de Lorentz la buscamos de la forma L=Sν·A, con AySνdefinidas como en (4.2) y (4.3), salvo que, ahora, cogemos ν=u4/w. Así, queda que L·uvale: L·u=Sν·    w 0 0 u4     =    wk +ru4 0 0 wr +ku4     . Nos queda, por tanto, que el vector uen las nuevas coordenadas tiene componentes segunda y tercera nulas y las componentes primera y cuarta como sigue: u01=wk +ru4=k(w−νu4) = kw(1 −(u4)2w−2) = w(1 −v2)1/26= 0, u04=wr +u4k=−wu4w−1k+u4k= 0. Es decir, el vector uvendría definido por u=u01∂x01. A partir de la clasificación de los tipos de vector según su producto escalar es posible deducir algunas propiedades como las que siguen. Proposición 4.1.4. Sean u, v ∈TpM, siendo u un vector temporal. Entonces, si se cumple que g(u, v) = 0, v es un vector espacial. Demostración. Como ues un vector temporal, existe una carta de Minkowski ϕtal que u= u4∂x4, con u46= 0. Sea v=P4 α=1 vα∂xαel vector ven esas coordenadas. Entonces, g(u, v) = u4v4= 0, por lo que se deduce que v4= 0. Por tanto, o bien v= 0, o bien g(v, v) = P3 j=1(vj)2>0, es decir, ves un vector espacial. CAPÍTULO 4. VECTORES TANGENTES EN EL ESPACIO DE MINKOWSKI 34 Definición 4.1.5. Sea u∈TpM. El conjunto de todos los v∈TpMtales que g(u, v) = 0 se denomina complemento ortogonal de u u uy se denota por u⊥. Proposición 4.1.6. Sea u∈TpMun vector temporal. Entonces, u⊥es un espacio vectorial con un producto escalar definido positivo h=g|u⊥, es decir, u⊥es un espacio vectorial Euclídeo de dimensión 3. Demostración. Sean v1, v2∈u⊥ya1, a2∈R. Entonces, por ser gun producto escalar se tiene que g(u, a1v1+a2v2)=0, es decir, a1v1+a2v2∈u⊥. Además, g(u, 0) = 0, luego 0∈u⊥ (nótese que no es necesario que usea de tipo temporal para que u⊥sea un espacio vectorial). Por último, ges definido positivo porque los elementos de u⊥son espaciales, tal y como se demuestra en la Proposición 4.1.4 y, por tanto, se cumple que g(v, v) = P3 j=1(vj)2>0. Proposición 4.1.7. Si dado u∈TpM,u6= 0, el complemento ortogonal u⊥sólo contiene vectores de tipo espacial, entonces u⊥es un espacio vectorial y u es temporal. Demostración. Como se ha visto en la demostración de la Proposición 4.1.6, u⊥es un espacio vectorial. Supongamos que ues luminoso. Entonces, g(u, u)=0y, por tanto, u∈u⊥, pero todos los elementos de u⊥son espaciales por hipótesis, luego uno puede ser luminoso. Supongamos ahora que ues espacial. Entonces, existe una carta de Minkowski para la que u=P3 j=1 uj∂xj. Consideramos un vector vtemporal que, en unas ciertas coordenadas, se puede expresar como v=v4∂x4. Si hacemos el producto escalar de ucon v, da 0 y, por tanto, v pertenecería a u⊥, llegando de nuevo a una contradicción, ya que por hipótesis se ha supuesto que todos los vectores de u⊥son espaciales. Por tanto, sólo nos queda una opción: ues un vector temporal. Por la Proposición 4.1.6 se tiene, además, que u⊥es un espacio vectorial Euclídeo de dimensión 3. Hasta ahora, sólo se han estudiado propiedades de los vectores espaciales y temporales. De los vectores luminosos se puede deducir fácilmente lo que sigue: Proposición 4.1.8. Un vector u=P4 α=1 uα∂xαes luminoso si y sólo si u46= 0 yP3 j=1(uj)2= (u4)2. Además, no existe ninguna carta de Minkowski ϕ0tal que el vector ∂x0α, α = 1,2,3,4, sea luminoso. Demostración. El producto escalar de uconsigo mismo viene dado por: g(u, u) = 3 X j=1 (uj)2−(u4)2. El vector ues luminoso si y sólo si g(u, u)=0, es decir, si y sólo si P3 j=1(uj)2= (u4)2y u46= 0 (si u4= 0, entonces u= 0 y sería espacial). Por otro lado, se tiene que g(∂xα, ∂xα) = ηαα, con α= 1,2,3,4, siendo η= diag(1,1,1,-1). Por tanto, el vector ∂xαno puede ser luminoso. CAPÍTULO 4. VECTORES TANGENTES EN EL ESPACIO DE MINKOWSKI 35 4.2. Coordenadas que no son de Minkowski Hasta ahora sólo hemos trabajado con cartas de Minkowski. Los vectores de la base que se generan con esas cartas, (∂1 x, ∂2 x, ∂3 x, ∂4 x), siempre son tres espaciales, uno temporal y ninguno luminoso. Sin embargo, es posible encontrar otras bases con vectores de los tres tipos. Sea ϕuna carta de Minkowski. Se consideran los vectores u1, u2, u3, u4∈TpMen función de los vectores ∂xα,α= 1,2,3,4, generados por la carta ϕcomo sigue: uj=∂xj+b∂x4, j = 1,2,3, u4=−∂x1+b∂x4,(4.4) donde bes un número real positivo. Proposición 4.2.1. Los vectores {u1, u2, u3, u4}anteriores forman una base de TpMpara todo b > 0. Además, uα, para α= 1,2,3,4, es un vector espacial si b < 1, luminoso si b= 1 y temporal si b > 1. Demostración. Como el espacio tangente es un espacio de dimensión 4, basta ver que los vectores u1, u2, u3yu4son linealmente independientes para probar que forman una base. Sean a1, a2, a3, a4∈Rtales que: a1u1+a2u2+a3u3+a4u4= 0. Sustituyendo uαpor su definición queda: a1u1+a2u2+a3u3+a4u4= (a1−a4)∂x1+a2∂x2+a3∂x3+ (a1+a2+a3+a4)∂x4= 0. Por tanto, se deduce directamente que a2=a3= 0 y, en consecuencia, se tiene que a1=a4 ya1=−a4, es decir, que a1=a4= 0, por lo que los vectores u1, u2, u3yu4son linealmente independientes y, por tanto, forman una base de TpM. Por otro lado, se tiene que g(uα, uα)=1−b2para α= 1,2,3,4. De aquí y de la clasificación de los tipos de vectores en función del valor de gse deduce la clasificación del enunciado en función de b. Veamos ahora que la base {u1, u2, u3, u4}en las condiciones anteriores está determinada por una carta. Proposición 4.2.2. Sean pun punto de M,ϕuna carta de Minkowski y T la matriz definida por T=    1 0 0 b 0 1 0 b 0 0 1 b −1 0 0 b     . Definimos la función χ:R4→R4como χ(y) = T·y, y consideramos ψ=χ−1◦ϕ. Entonces, los vectores definidos anteriormente vienen dados por uα=∂yα,α= 1,2,3,4. Demostración. Observando (4.4), vemos que Tes la matiz que representa la transformación e=T·∂x, siendo e= (u1, u2, u3, u4)y∂x= (∂x1, ∂x2, ∂x3, ∂x4). La matriz T tiene rango CAPÍTULO 4. VECTORES TANGENTES EN EL ESPACIO DE MINKOWSKI 36 máximo, puesto que su determinante vale 2by que al definir la transformación (4.4) se tomó breal y positivo. Por tanto, la función χ(y) = Ty =xes biyectiva y diferenciable, con inversa χ−1(x) = T−1x=y, que también es diferenciable. Así, χes una transformación de coordenadas, que cumple: ∂yβ= 4 X α=1 ∂χα ∂yβ∂xα= 4 X α=1 Tα β∂xα=uβ, es decir, uβ=∂yβ. Como ψ=χ−1◦ϕ, se obtiene que ψ(p) = T−1ϕ(p)=(y1, y2, y3, y4), es decir, que (y1, y2, y3, y4)son las coordenadas asociadas a la carta ψ, que definen la nueva base {u1, u2, u3, u4}. Capítulo 5 Orientabilidad Sea una variedad de Lorentz My una carta de Minkowski (M, ϕ)con coordenadas dadas por (x1, x2, x3, x4). Hasta ahora, hemos considerado que la cuarta componente, x4, jugaba un papel diferente que el resto, aunque en la práctica se trata como una componente espacial más. Sin embargo, como puede observarse en el capítulo anterior, ésta se interpreta como el tiempo. La experiencia nos dice que el tiempo está orientado, es decir, que tiene una dirección, con dos posibles sentidos: pasado o futuro, lo que lleva a pensar que el conjunto de los vectores causales se divide en dos subconjuntos disjuntos que representan estos dos sentidos del tiempo. Dada un variedad de Lorentz M, vamos a introducir el concepto de orientabilidad en el tiempo, así como los conjuntos representantes del pasado y del futuro. Todo el desarrollo es igualmente válido para un espacio de Minkowski (aunque lo hacemos para el caso más general que lo cumple, las variedades de Lorentz), ya que es un caso particular de variedad de Lorentz con dimensión n= 4, como se vio en la Observación 2.1.2. Además, a partir de los vectores de la base daremos una noción de orientabilidad en M. 5.1. Orientabilidad en el tiempo Definición 5.1.1. Sea Muna variedad de Lorentz y sea Cel conjunto de vectores tangentes causales de M. La variedad Mse dice orientable en el tiempo si existen dos subconjuntos de C,C+yC−, disjuntos, cuya unión es el total, es decir, tales que C+∪C−=CyC+∩C−=∅. Una consecuencia de la orientabilidad en el tiempo es que, bajo transporte paralelo, no es posible que un vector de C+se convierta en uno de C−, ya que los conjuntos son disjuntos y una curva es diferenciable, y recíprocamente. Esta idea nos proporciona una definición alternativa de la orientabilidad en el tiempo (ver [7]). Para más detalles sobre el concepto de transporte paralelo se puede consultar la referencia [2]. Definición 5.1.2. Los elementos de C+se denominan dirigidos hacia el futuro y los de C−, dirigidos hacia el pasado. Una vez hecha esta introducción, vamos a estudiar en más profundidad el conjunto de vectores causales de M, dando una definición explícita de los conjuntos C+yC−. Además, vamos a probar que Mes orientable en el tiempo. Para los sucesivos resultados que se van a desarrollar introducimos las siguientes notaciones. 37 CAPÍTULO 5. ORIENTABILIDAD 38 Sea u∈C∩TpMy sea ϕuna carta de Minkowski. Podemos escribir ucomo u= 4 X i1 uα∂xα, con |u4|>0, ya que si u= 0 no sería un vector causal (sería espacial). Sea r= 3 X i=1 (uj)2!1/2 ≥0. Para r > 0, definimos ei=ui·r−1tales que P3 i=1(ei)2= 1 y, para r= 0, definimos e1, e2, e3como tres números reales de forma que cumplan lo mismo que en el caso anterior. Por último, definimos a=u4, de forma que podemos reescribir ucomo: u=re1∂x1+re2∂x2+re3∂x3+a∂x4.(5.1) Proposición 5.1.3. El vector u representado como en (5.1) es temporal si y sólo si 0≤r < |a| y es luminoso si y sólo si 0< r =|a|. Demostración. Gracias a la reescritura de ucomo en (5.1) es fácil ver que: g(u, u) = r2−a2. Así, se tiene que: ues de tipo temporal si y sólo si g(u, u)<0si y sólo si r < |a|, ues de tipo luminoso si y sólo si g(u, u)=0 si y sólo si r=|a|. Proposición 5.1.4. Sea u un vector causal definido como en (5.1) para una cierta carta de Minkowski ϕ. Entonces, si dada otra carta de Minkowski ϕ0, la transformación de Lorentz φ=ϕ0◦ϕ−1es ortócrona, la cuarta componente de u no cambia de signo. Si por el contrario φ es no ortócrona, entonces la cuarta componente de u tiene signo opuesto tras la transformación. Demostración. Sea u=P4 i=1 uα∂xαen las coordenadas de ϕyu=P4 i=1 u0β∂x0βen las coordenadas de ϕ0. Entonces: a0=u04=∂φ4 ∂xαuα=L4 αuα. Reescribiendo ahora las componentes uαcomo en (5.1) queda: a0=rL4 1e1+rL4 2e2+rL4 3e3+L4 4a=r 3 X j=1 L4 jej+L4 4a. (5.2) CAPÍTULO 5. ORIENTABILIDAD 45 Demostración. Para ver que la relación ≤es de orden parcial hay que probar que es reflexiva, antisimétrica y transitiva. 1. Es reflexiva porque p−p= 0, luego p≤p. 2. Si p≤p0yp0≤p, entonces p−p0yp0−pson dirigidos hacia el futuro. Sin embargo, esto no es posible, ya que la cuarta componente de cada uno serían opuestas. Esto implica que p=p0y, por tanto, ≤es antisimétrica. 3. Supongamos que p1≤p2y que p2≤p3, es decir, que p2−p1yp3−p2son causales y dirigidos hacia el futuro. Supongamos además que p16=p26=p3(si no, estaríamos en un caso trivial). Esto implica que p4 2−p4 1, p4 3−p4 2>0y que: p4 2−p4 1≥(P3 j=1(pj 2−pj 1)2)1/2, p4 3−p4 2≥(P3 j=1(pj 3−pj 2)2)1/2, lo que implica que p4 3−p4 1>0y que: p4 3−p4 1≥(P3 j=1(pj 3−pj 2)2)1/2+ (P3 j=1(pj 2−pj 1)2)1/2. Usando la desigualdad triangular, queda: p4 3−p4 1≥(P3 j=1(pj 3−pj 1)2)1/2. Por tanto, p3−p1es causal y dirigido hacia el futuro. Para ver que es transitiva, consideramos p1p2yp2p3, es decir, que p2−p1y p3−p2son temporales y dirigidos hacia el futuro. Por un lado, p4 2−p4 1, p4 3−p4 2>0y, sumando ambas expresiones, queda que p4 3−p4 1>0, luego p3−p1es dirigido hacia el futuro. Por otra parte: p4 2−p4 1>(P3 j=1(pj 2−pj 1)2)1/2, p4 3−p4 2>(P3 j=1(pj 3−pj 2)2)1/2. Análogamente al caso ≤, sumando ambas expresiones y aplicando la desigualdad triangular se deduce que: p4 3−p4 1>(P3 j=1(pj 3−pj 1)2)1/2, es decir, que p3−p1es temporal. Por lo tanto, p1p3. Capítulo 6 Cinemática en un espacio-tiempo de Minkowski En los capítulos anteriores se han desarrollado todas las estructuras y resultados necesarios para describir el espacio de Minkowski: en el Capítulo 2 se han definido las cartas de Minkowski y las transformaciones de Lorentz, en el Capítulo 3, se ha demostrado la estructura de espacio vectorial de Lorentz del espacio de Minkowski y se ha comentado su topología, y en los Capítulos 4 y 5 se ha hablado de los vectores tangentes del espacio de Minkowski, introduciendo el concepto de causalidad y de los conceptos de orientabilidad y orientabilidad en el tiempo. El objetivo de este capítulo es describir dos fenómenos conocidos en la Relatividad Especial: la dilatación del tiempo y la contracción de la longitud. Para poder realizar las medidas de las magnitudes físicas correspondientes es necesario introducir una serie de herramientas. Se van a definir los sistemas de referencia y los observadores, así como los relojes de un observador. Además, dado que espacio y tiempo no son absolutos en Relatividad Especial, se van a describir las transformaciones de la velocidad de un sistema de referencia a otro. 6.1. Líneas de universo, señales y observadores En esta sección se van a introducir las líneas de universo, que son las trayectorias que siguen las partículas en el espacio-tiempo, las señales, que es lo que se envía cuando ocurre un suceso y, por tanto, lo que se mide, y los observadores, que son los que realizan la medida de las magnitudes físicas. Para ello consideramos un espacio de Minkowski M. Definición 6.1.1. Una curva de universo es una aplicación Ck,k≥2,γ:I→Mdefinida en un intervalo abierto I⊂ R no acotado, tal que ˙γes de tipo temporal y dirigida hacia el futuro para todo σ∈I. Su imagen, γ(I)se denomina línea de universo. En ocasiones nos referiremos a la propia γcomo línea de universo. Definición 6.1.2. La restricción de una curva de universo a un subconjunto finito [σ1, σ2]⊂I se denomina señal de p1ap2, siendo p1=γ(σ1)yp2=γ(σ2). En las condiciones de las definiciones anteriores, se obtiene el siguiente resultado: Proposición 6.1.3. Sean p1, p2∈M. Si p1p2, entonces existe una señal de p1ap2. 46 CAPÍTULO 6. CINEMÁTICA EN UN ESPACIO-TIEMPO DE MINKOWSKI 47 Demostración. Sea ϕla carta de Minkowski elegida. Como antes, pongamos p1=P4 i=1 pi 1eiy p2=P4 i=1 pi 2ei, con respecto a dicha carta. Como p1p2, por definición p2−p1es de tipo temporal y dirigido hacia el futuro. Por tanto, según la Definición 5.3.1, p4 2−p4 1>0y 3 X j=1 (pj 2−pj 1)2!1/2 < p4 2−p4 1.(6.1) Se definen la curva ¯γ:I−→ R4, dada en coordenadas por: ¯γα(σ) = pα 1+ (pα 2−pα 1)σ, α = 1,2,3,4(6.2) y la curva en M,γ=ϕ−1◦¯γ. Así, γ(0) = p1,γ(1) = p2y se obtiene que: ˙γ(σ) = 4 X α=1 (pα 2−pα 1)∂xα∈Tγ(σ)M, siendo (x1, x2, x3, x4)las coordenadas de ϕ. Como cada componente se corresponde con la respectiva de p2−p1, se cumple (6.1) y, por tanto, ˙γes temporal y dirigido hacia el futuro, para todo σ∈[0,1]. De aquí se deduce que γes una señal de p1ap2. Corolario 6.1.4. La curva γ=ϕ−1◦¯γes una geodésica con parámetro afín. Demostración. Las componentes de ¯γvienen dadas por (6.2). Como dependen linealmente de σ, la derivada segunda se anula, y se obtiene que: ∇˙γ˙γ=¨ ¯γ∂xα= 0. De la expresión y razonamiento del corolario anterior se deduce que para un curva ζ,∇˙ ζ˙ ζ se anula si y sólo si la curva ¯ ζ=ϕ◦ζes una función lineal de su parámetro. Corolario 6.1.5. La curva γ=ϕ−1◦¯γ, con ¯γdefinida como en la proposición anterior, es una función lineal en σ: γ(σ) = p1+ (p2−p1)σ. Demostración. Las componentes de ¯γvienen dadas por ¯γα(σ) = pα 1+(pα 2−pα 1)σ,α= 1,2,3,4 y, al aplicarle ϕ−1, llegamos a la expresión buscada. Ahora, cabe preguntarse si se cumple el recíproco de la Proposición 6.1.3, es decir, si existe una señal de p1ap2, ¿se verifica que p1p2? Para responder a esta pregunta son necesarios una serie de resultados previos. En primer lugar, se va a considerar la estructura de espacio vectorial de M(además de su topología), ya que nos permite diferenciar curvas en M. Así, si consideramos γ:I→Muna curva Ck, k ≥1, se puede definir ˚γ=d dσ γ(σ), donde “ o” representa la derivada de la curva respecto de su parámetro. Sea ¯γ=ϕ◦γ. Entonces, por la linealidad de ϕ, resulta que: ˚γ(σ) = ϕ−1◦˙ ¯γ(σ) = 4 X α=1 ˙ ¯γα(σ)ϕ−1(zα) = 4 X α=1 ˙ ¯γα(σ)eα, CAPÍTULO 6. CINEMÁTICA EN UN ESPACIO-TIEMPO DE MINKOWSKI 48 donde zα=ϕ(eα)y tiene componentes δβ α. Hemos obtenido que˚γ(σ)tiene las mismas componentes que ˙γ(σ), pero con la diferencia de que ˚γ(σ)es un vector asociado al punto γ(σ). Sea ahora una aplicación f:M×M×R+−→ Rdefinida como: f(s, p, q) = g(p−q, p −q) + s= 4 X α,β=1 ηαβ(pα−qα)(pβ−qβ) + s, donde p=P4 α=1 pαeαyq=P4 β=1 qβeβ. Como η= diag(1,1,1,-1), la función fse puede reescribir como: f(s, p, q) = 3 X α,β=1 (pi−qi)2−(p4−q4)2+s. Para un valor fijo de q, si p∈ J + p, entonces qp, es decir, p−qes temporal y dirigido hacia el futuro. Esto implica que p4−q4>0y que: 3 X j=1 (pj−qj)2<(p4−q4)2. Por tanto, existe un s > 0tal que f(p, q, s)=0. El recíproco se obtiene haciendo el mismo razonamiento a la inversa: dado qfijo y s > 0, si f(p, q, s) = 0,p−qdebe ser temporal y se obtiene que p4−q4>0. Así, fijado q, para cada s≥0definimos el conjunto Fs={p∈M:f(p, q, s)=0}. Estos conjuntos son hipersuperficies y verifican que J+(q) = [ s>0 Fs. Como consecuencia del teorema de la función implícita, para cada ptal que f(p, q, s) = 0, la diferencial de f es un vector normal a la hipersuperficie Fs. Normalizándolo, se obtiene que el vector normal a Fsen un punto pviene dado por n= 4 X α=1 nαeα, con nα= 4 X κ,λ,β=1 −ηκλ ∂f ∂pκ ∂f ∂pλ−1/2 ηαβ ∂f ∂pβ. Como ∂f ∂pi= 2(pi−qi)para i=1,2,3, ∂f ∂p4=−2(p4−q4), se obtiene que: 4 X κ,λ=1 ηκλ ∂f ∂pκ ∂f ∂pλ= 4(f−s), 4 X β=1 ηαβ ∂f ∂pβ= 2(pα−qα). Por tanto, para p∈Fs⊂ J +(q)con s > 0, esto es, para f(p, q, s)=0, el vector normal resulta n=s−1/2(p−q). En consecuencia, el vector normal, que resulta ser p−qpor una constante, es temporal y dirigido hacia el futuro. Todos los vectores tangentes de Fsen pestán en n⊥. Esto implica que gaplicada a esos vectores y nes 0 y, al ser ntemporal, se obtiene que CAPÍTULO 6. CINEMÁTICA EN UN ESPACIO-TIEMPO DE MINKOWSKI 49 dichos vectores son espaciales, como se probó en la Proposición 4.1.4. En este contexto, podemos probar el siguiente resultado: Proposición 6.1.6. Sea γ:I→Muna curva de universo y sea γ(σ0),σ0∈I. Entonces, γ(σ)∈ J +(γ(σ0)), para todo σ≥σ0, σ ∈I. Demostración. Se tiene que˚γ(σ0)es temporal y dirigido hacia el futuro, ya que γes una curva de universo. Sea q=γ(σ0)y sea la función hq:I→Rdada por: hq(σ) = −g(γ(σ)−q, γ(σ)−q). Observando la definición de f, para una curva de universo γ, dicha función se puede escribir como hq(σ) = s−f(γ(σ), q, s). Por tanto, γ(σ)∈Fs⊂ J +(q)si y sólo si hq(σ) = s > 0. Por otro lado, probemos que hqes estrictamente monótona creciente. Supongamos que hq no es estrictamente monótona creciente para algún σ. Entonces, ˚γ(σ)sería tangente a Fscon s=hq(σ)y, por tanto, ˚γ(σ)sería de tipo espacial, en contradicción con la hipótesis de que sea temporal. Por tanto, hqes estrictamente monótona creciente y existe su inversa, h−1 q. Así, para todo s∈hq(I)existe un σtal que hq(σ) = s, lo que asegura que γ(σ)∈ J +(q). Corolario 6.1.7. Toda curva de universo γes inyectiva. Demostración. Sea σ16=σ2. Entonces, como hqes inyectiva, s1=hq(σ1)6=s2=hq(σ2). Además, de la definición de Fsse deduce que Fs1∩Fs2=∅y, como γ(σj)∈Fsj, se tiene que γ(σ1)6=γ(σ2), es decir, γes inyectiva. Corolario 6.1.8. Sea γuna curva de universo y sea σ1< σ2. Entonces, γ(σ1)γ(σ2). Demostración. Este resultado se deduce de manera inmediata de la Proposición 6.1.6, ya que dada una curva de universo γy un punto γ(σ1), se cumple que γ(σ)∈ J +(γ(σ1)) para todo σ > σ1. Como σ2> σ1, se obtiene que γ(σ2)∈ J +(γ(σ1)), es decir, que γ(σ1)γ(σ2). A continuación se van a estudiar las curvas de universo de tipo luminoso, que son de especial interés porque se utilizan para describir pulsos de luz en el vacío. Definición 6.1.9. Sea γ:I→Muna función Ck, k ≥3, definida en un intervalo abierto I⊂M. Una curva de este tipo se dice curva de luz si es una geodésica y ˙γ(σ)es de tipo luminoso y dirigida hacia el futuro, para todo σ∈I. El conjunto γ(I)se llama línea de universo de luz o rayo de luz. Definición 6.1.10. La restricción de una curva de luz a un intervalo finito [σ1, σ2]⊂Ise denomina señal de luz o señal luminosa de p1ap2, siendo p1=γ(σ1)yp2=γ(σ2). De forma análoga a las curvas de universo, para las curvas de luz se pueden obtener una serie de resultados que relacionan una señal luminosa de p1ap2con la relación ≤. Proposición 6.1.11. Sea γ:I→Muna curva luminosa con σ0∈I. Entonces, γ(σ)∈ H+(γ(σ0)) = K+(γ(σ0)) \ J +(γ(σ0)) para todo σ≥σ0. CAPÍTULO 6. CINEMÁTICA EN UN ESPACIO-TIEMPO DE MINKOWSKI 50 Demostración. Por definición, si γes una curva luminosa, es una geodésica (con parámetro afín) y por lo tanto es una función lineal de su parámetro σ. Así, se puede escribir: γ(σ) = γ(σ0) + u(σ−σ0)(6.3) y, por tanto, ˚γ(σ) = u, para todo σ∈I, siendo u∈M. El conjunto H+(γ(σ0)) se ha definido como el de aquellos puntos ptales que p≤γ(σ0)(esto es, p−γ(σ0)causal y dirigido hacia el futuro, suponiendo que es no nulo) menos los que cumplan pγ(σ0)(equivalente a que p−γ(σ0)sea temporal y dirigido hacia el futuro), es decir, tales que p−qsea de tipo luminoso y dirigido hacia el futuro. Por tanto, para probar que γ(σ)∈ H+(γ(σ0)) si σ > σ0, hay que ver que γ(σ)−γ(σ0)es luminoso y dirigido hacia el futuro. Como ˚γ(σ)es de tipo luminoso y dirigido hacia el futuro por definición, utambién lo es. Así, si σ > σ0, se cumple que γ(σ)− γ(σ0) = u(σ−σ0)es luminoso y dirigido hacia el futuro, ya que estamos multiplicando upor un número real y positivo, como queríamos probar. Proposición 6.1.12. La función γ:I→Mes inyectiva. Demostración. Al igual que en la proposición anterior podemos escribir γcomo (6.3), con σ0∈Ifijo. Sean σ1, σ2∈Iy supongamos que γ(σ1) = γ(σ2). Para que γsea inyectiva hay que probar que entonces σ1=σ2. A partir de (6.3) se obtiene que: γ(σ1) = γ(σ0) + u(σ1−σ0), γ(σ2) = γ(σ0) + u(σ2−σ0). Como γ(σ1) = γ(σ2), se deduce que u(σ1−σ2)=0. Tal y como se ha visto en la demostración anterior, ˚γ(σ) = upara todo σ∈I, luego ues luminoso y dirigido hacia el futuro, por lo que: 0< 3 X j=1 (uj)2!1/2 =u4, es decir, u6= 0, y por tanto se deduce que σ1=σ2. Proposición 6.1.13. Sean p1, p2dos puntos de Mtales que p1≤p2con p16=p2yp2/∈ J +(p1). Entonces, existe una curva luminosa γ:R→Mtal que la restricción de γal intervalo [0,1] es una señal luminosa de p1ap2. Demostración. Las hipótesis p1≤p2con p16=p2yp2/∈ J +(p1)conducen a que p2−p1sea luminoso y dirigido hacia el futuro. Consideramos una curva γ:R→Mtal que: γ(σ) = p1+ (p2−p1)σ. Esta curva es lineal en su parámetro y, por tanto, es una geodésica. Además,˚γ(σ) = p2−p1, por lo que es luminoso y dirigido hacia el futuro. Por último, se verifica que γ(0) = p1yγ(1) = p2. Por tanto, esta curva cumple lo que buscamos. Proposición 6.1.14. Para toda curva de luz γ:I→Mse cumple que ¯γ4(σ1)<¯γ4(σ2)si σ1< σ2. Por tanto, ¯γ4es inyectiva. CAPÍTULO 6. CINEMÁTICA EN UN ESPACIO-TIEMPO DE MINKOWSKI 51 Demostración. Como γes una curva de luz, es una geodésica y, por tanto, lineal respecto de su parámetro, por lo que se puede escribir: γ(σ)−γ(σ1) = u(σ−σ1), con u∈Myσ1, σ ∈I. Como ˚γ(σ) = upara todo σ∈Iy es dirigida hacia el futuro por definición, se cumple que u4>0. La curva ¯γviene definida por ¯γ=ϕ◦γ, luego ¯γα=ϕα◦γ. Aplicando ϕa la expresión anterior, la cuarta componente queda: ¯γ(σ)4−¯γ(σ1)4=ϕ(u)4(σ−σ1)>0, para todo σ > σ1. Por tanto, ¯γ4es inyectiva. Definición 6.1.15. En el contexto físico, las curvas de universo reciben el nombre de observadores. Al par (p, u)con p∈Myu∈TpMtal que ues un vector temporal y dirigido hacia el futuro se le denomina observador intantáneo. Definición 6.1.16. Sea p∈My sea ϕuna carta de Minkowski. Consideremos otra carta de Minkowski ψcon coordenadas (y1, y2, y3, y4), tal que la transformación de Lorentz ψ◦ϕ−1es ortócrona. Dados σ∈I,y0∈R4, definimos: ¯µj(σ) = yj 0j= 1,2,3 ¯µ4(σ) = y4 0+aσ a > 0. Así, la curva definida por µ(σ) = ψ−1◦¯µ(σ)es inyectiva, temporal y dirigida hacia el futuro. Por tanto, esta curva es un observador, denominado observador inicial o de Minkowski. La curva µes lineal en su parámetro σy, por tanto, µes una geodésica con parámetro afín. Definición 6.1.17. Un conjunto de observadores con líneas de universo disjuntas dos a dos se llama sistema de referencia. Un conjunto de observadores de Minkowski definidos a partir de la misma carta ψpero con diferentes (y1, y2, y3)se denomina sistema de referencia inercial o de Minkowski. En las secciones siguientes serán de especial interés los sistemas de referencia inerciales con los mismos y4ya. 6.2. Relojes en el espacio de Minkowski Una vez definido en qué consiste un observador, es necesario dotarlo de un instrumento que permita realizar medidas. Este instrumento son los relojes. De nuevo, consideramos como punto de partida un espacio de Minkowski, M, así como todas las definiciones y resultados de la sección anterior. Definición 6.2.1. Sea γun observador con línea de universo γ(I). Sea U:γ(I)→Runa función Ck, k ≥3, tal que f=U◦γes estrictamente creciente. Esta función Urecibe el nombre de reloj de γ γ γoreloj en γ(I) γ(I) γ(I). El número t=U(γ(σ)) se denomina parámetro temporal de γ γ γ otiempo en γ(I) γ(I) γ(I). CAPÍTULO 6. CINEMÁTICA EN UN ESPACIO-TIEMPO DE MINKOWSKI 52 Para toda curva de universo γ, existe su inversa γ−1, como hemos visto anteriormente, ya que γes inyectiva. Por tanto, es posible definir un reloj Ude γpara toda función festrictamente creciente Ck, k ≥3, como U=f◦γ−1. El ejemplo más sencillo es considerar f=id, de forma que σes el parámetro temporal de γ. Por tanto, γsiempre tiene un reloj, γ−1. Sin embargo, para el desarrollo de este capítulo se va a utilizar la función fque se define a continuación. Definición 6.2.2. Sea la función f(σ) = Zσ σ0 (−g(˙γ(λ),˙γ(λ))1/2dλ, cuyo integrando es positivo, y por tanto es estrictamente creciente. Entonces, UE=f◦γ−1es un reloj y se denomina reloj de tiempo propio de γ γ γ. El parámetro temporal de UEse denomina tiempo propio y se denota por τ. Si consideramos por ejemplo el observador de Minkowski µde la Definición 6.1.16, como ˙µ(σ) = a∂y4, se obtiene que f(σ) = aσ para σ0= 0. Por tanto, τ=U(γ(σ)) = f(σ) = aσ = y4es el tiempo propio de un observador de Minkowski. Proposición 6.2.3. Toda curva γparametrizada por su tiempo propio verifica que: g(˙γ(τ),˙γ(τ)) = −1. Demostración. Por definición, τ=UE(γ(τ)) = f(τ). Como τ=f(τ) = Zτ τ0 (−g(˙γ(τ0),˙γ(τ0)))1/2dτ0, se tiene que cumplir que τ0= 0 y que (−g( ˙γ(τ0),˙γ(τ0)))1/2= 1, es decir, g( ˙γ(τ0),˙γ(τ0)) = −1. Sea γun observador con dos relojes U=f◦γ−1, U0=f0◦γ−1. Si definimos la función h=f0◦f−1=U0◦U−1, ésta nos da la relación entre los parámetros temporales tyt0de UyU0, ya que t0=U0(γ(σ)) = U0U−1U(γ(σ)) = h(t). Esta función hes estrictamente creciente, ya que fyf0lo son. Así, a partir de un reloj Upodemos construir relojes U0a partir de funciones monótonas crecientes como hy establecer relaciones entre ellos. Definición 6.2.4. Sean γun observador, Uun reloj de γ,tsu parámetro temporal y sea U0otro reloj de γ. Entonces, se dice que: Ues más rápido que U0si ˙ h(t)<1, Ues más lento que U0si ˙ h(t)>1, UyU0son igual de rápidos si ˙ h= 1. La curva de universo γde un observador puede parametrizarse con cualquiera de sus relojes sin cambiar su carácter causal. Sea γ:I→Muna curva de universo y Uun reloj de ese CAPÍTULO 6. CINEMÁTICA EN UN ESPACIO-TIEMPO DE MINKOWSKI 53 observador. Entonces, f=U◦γ:I→I0⊂Ry para todo σ∈Iexiste t∈I0tal que σ=f−1(t). Sea γ0:I0→Mdefinida por γ0(t) = γ(f−1(t)). Entonces: ˙γ0(t) = d dtf−1˙γ(f(t)). Como fes estrictamente creciente, d dt f−1(t)>0para todo t∈I0y, por tanto, ˙γ0(t)es temporal y dirigida hacia el futuro, ya que ˙γlo es. 6.3. Velocidad Newtoniana La física Newtoniana se caracteriza por tener un tiempo y espacio absolutos. En Relatividad Especial, no existen dichos conceptos absolutos. Por tanto, lo único que podemos describir es el espacio y el tiempo respecto de un observador. Así, la velocidad también depende del observador y en esta sección se va a estudiar cómo se transforma de uno a otro. Definición 6.3.1. El tiempo de un observador γviene dado por el parámetro temporal del reloj γ−1, mientras que el espacio de un observador γen un tiempo σ∈Ise define como R˚γ(σ)= (˚γ(σ))⊥. Observamos que el tiempo se define para un observador, mientras que el espacio, para un observador instantáneo. Para definir la velocidad, vamos a trabajar en el espacio (M, +,·, g), dotado de la estructura de espacio vectorial de Lorentz. La carta de Minkowski necesaria para definir esta estructura la denotaremos por ϕ. Este desarrollo se puede hacer análogamente en TpM. Consideremos dos curvas γ:I→Myζ:I0→M, siendo γcausal y dirigida hacia el futuro y ζtemporal y dirigida hacia el futuro. Supongamos que existen dos parámetros temporales, τ0∈Iyσ0∈I0, tales que γ(τ0) = ζ(σ0) = p∈M. Sean además u= ˚γ(τ0)yv=˚ ζ(σ0). Entonces, si (p, v)es un observador instantáneo, ¿cómo se define la velocidad uNde γque mide el observador (p, v)con su reloj? Para responder a esta pregunta necesitamos una serie de elementos previos. En primer lugar, consideramos un carta ψ, relacionada con ϕa través de una transformación de Lorentz ortócrona (L, 0), es decir, dada por ψ=L·ϕ. Así, se puede definir la base e={e1, e2, e3, e4}, donde eα=ψ−1(zα)yzαtiene como componentes zβ α=δβ α. Notaremos por θ={θ1, θ2, θ3, θ4}la base dual de e, cuyas componentes son θκ=P4 λ=1 ηκλg(eλ,·). Por último, para que (p, v)sea un observador instantáneo se tiene que cumplir que vsea temporal y dirigido hacia el futuro, es decir, que se pueda escribir como v=we4, con w > 0. Proposición 6.3.2. La aplicación P:M→e⊥ 4definida como P=P3 j=1 ej⊗θjes una proyección. Demostración. Para demostrar que Pes una proyección hay que probar que P2=P. Por la definición de P, es lineal y se cumple que Pe4= 0 yPej=ejpara j= 1,2,3.Por tanto: P2= 3 X j,k=1 ej⊗θj(ek)θk=P, CAPÍTULO 6. CINEMÁTICA EN UN ESPACIO-TIEMPO DE MINKOWSKI 54 ya que θj(ek) = δj kpara j= 1,2,3. Como se ha mencionado anteriormente, suponemos que v=we4con w > 0para que (p, v)sea un observador instantáneo. Por tanto, el espacio v⊥está generado por {e1, e2, e3} (normalmente se denota v⊥=he1, e2, e3i). Como la velocidad debe ser un vector espacial, debe estar en v⊥. Por definición, u=P4 α=1 uαeα, con uα=˙ ¯γα(τ0)y¯γ=ψ◦γ. Entonces: Pu = 3 X j=1 ˙ ¯γj(τ0)ej, que es lo que se conoce como velocidad Newtoniana. Definición 6.3.3. La velocidad Newtoniana uNde una curva γcausal y dirigida hacia el futuro medida mediante el parámetro de tiempo τde γen el instante de tiempo τ0es: uN=P˚γ(τ0), donde P es la proyección en el espacio Rvdefinido por un observador instantáneo (γ(τ0), v). Proposición 6.3.4. La velocidad Newtoniana uNde γen un punto p=γ(τ0)medida por un observador instantáneo (p, v)con su reloj propio está dada por: uN=aPu, donde a=g(v, v)g(v, u)−1, siendo u= ˚γ(τ0). Demostración. Por los resultados probados en la Sección 6.1, las funciones ¯γ4y¯ ζ4son inyectivas, siendo ¯γ=ψ◦γy¯ ζ=ψ◦ζ. Entonces, la función χ:I0→Idada por χ: (¯γ4)−1◦¯ ζ4 transforma el parámetro temporal σde ζal parámetro temporal τde γ. Así, la transformación de un parámetro a otro es τ=χ(σ)y la curva γreparametrizada viene dada por ˜γ=γ◦χ. De aquí se obtiene que: d dσ ˜γ(σ) = d dτ γ(τ)·d dσχ(σ). Si definimos t= ¯γ4(τ), entonces: ˙χ(σ) = d dt(¯γ4)−1(t)·˙ ¯ ζ4(σ), y la expresión anterior resulta ˚ ˜γ(σ) = u(τ)·˙χ(σ), siendo u(τ) = ˚γ(τ). Si definimos uNcomo la velocidad Newtoniana parametrizada por σ, por la Definición 6.3.3, se deduce que: uN=P˚γ(σ0) = ˙χ(σ0)Pu(τ0). Para probar el resultado ya sólo queda ver que ˙χ(σ0) = a. Una de las hipótesis establecidas al comienzo de la sección es que v=we4con w > 0, lo que nos lleva a que g(v, v) = −w2 yg(v, u) = −wu4. Por tanto, a=w(u4)−1. Además, ˙ ¯ ζ4(σ0) = wy, recordando que se ha CAPÍTULO 6. CINEMÁTICA EN UN ESPACIO-TIEMPO DE MINKOWSKI 61 Como ya se mencionó al estudiar las transformaciones de Lorentz, las matrices de Lorentz especiales fueron las primeras en describir unas transformaciones que dejaban invariantes las ecuaciones de Maxwell en el contexto de la relatividad especial. Hoy en día, estas matrices son las que se utilizan para describir dichas transformaciones. Si un sistema de referencia ¯ S se mueve con velocidad νen la dirección xrespecto de otro sistema de referencia S, ambos inerciales, la transformación en esa dirección viene dada por ¯x=k(x−νt). Si además la varilla cuya longitud queremos medir está en esa dirección y se mueve con ¯ S, su longitud vendrá dada por ¯ l= ¯x2−¯x1=k(x2−x1) = kl. Así, la longitud que mide el sistema S, que sería nuestro MR’ moviéndose con velocidad νrespecto de ¯ S, el sistema respecto del que la varilla está quieta (esto es, MR), viene dada por l=1 k¯ l, expresión que coincide con la que hemos deducido. Como k−1= (1 −ν2)1/2yν∈(−1,1), se cumple que k≥1, y por tanto l0 medido en el sistema MR’ es menor que les medido en el sistema MR, es decir, la longitud de la varilla se contrae al medirla en un sistema de referencia que se mueve respecto del que está en reposo para la varilla. Por esta razón este fenómeno se conoce en Relatividad Espacial como contracción de la longitud. Bibliografía [1] Choquet-Bruhat Y, de Witt-Morette C. Analysis, Manifolds and Physics. Oxford-North- Holland (1996). [2] Do Carmo, M.P. Geometría Diferencial de Curvas y Superficies. Alianza Universidad Textos (1990). 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