La cicloide

FACULTAD DE MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO DE GEOMETRÍA Y TOPOLOGÍA Trabajo Fin de Grado La cicloide Fernando Manuel Corcho Gutiérrez 2017 Resumen La definición más sencilla que podemos hacer de la cicloide es la de una curva plana descrita como la trayectoria de un punto fijado de una circunferencia que rueda sobre una recta horizontal sin deslizamiento. Teniendo en cuenta el punto de contacto de la circunferencia con la recta horizontal en un instante inicial, al comenzar el rodamiento observamos que este punto va describiendo un arco hasta que vuelve a posarse sobre dicha recta. Este arco estará encerrado en un área plana sobre la recta horizontal en el intervalo [0,2πr], siendo rel radio de la circunferencia descrita. En el primer capítulo ahondaremos en esta curva tan peculiar, explicando algunas de sus características más importantes. El segundo capítulo lo dedicaremos a hablar de sus parientes, algunas de ellas muy conocidas aunque pasen desapercibidas. Y en el tercer capítulo expondremos dos de sus aplicaciones más importantes e interesantes. Abstract We can define the cycloid as the plane curve whose path is the one that generates a fixed point of a circle that rolls on a horizontal line without slip. Taking the point of contact of the circumference with the horizontal line at an initial instant, at the beginning of the bearing we can observe that this point is describing an arc until it returns to rest on that line again. This arc will be limited in a plane area on the horizontal line in the interval [0,2π], with rthe radius of the circumference described. The first chapter will focus on this peculiar curve, explaining some of its most important characteristics and interesting properties. The second chapter we will dedicate to talk about their relatives, some of them well known although they go unnoticed. And in the last chapter we will discuss two of its most important and interesting applications. Índice general 1. La cicloide 1 1.1. Introducción................................ 1 1.2. Construcción de la cicloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3. Ecuación paramétrica de la cicloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4. Curvatura................................. 9 1.5. Tangente y normal a la cicloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.6. Definición geométrica de la cicloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.7. La “curva compañera” de la cicloide y su descubrimiento . . . . . . . 17 1.8. Áreadelacicloide ............................ 21 1.9. Otras propiedades de la cicloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2. Curvas relacionadas con la cicloide 29 2.1. Epicicloide................................. 30 2.2. Cardioide ................................. 35 2.3. Hipocicloide................................ 38 2.4. Evolventes y evolutas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.4.1. Propiedades fundamentales de la evolvente . . . . . . . . . . . 44 2.4.2. Evolvente de una circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.4.3. Evolvente de la cicloide. Longitud del arco de cicloide . . . . . 49 3. Aplicaciones: tautocrona y braquistocrona 53 3.1. Elmejorpéndulo ............................. 53 3.1.1. Christiaan Huygens y su invento . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.1.2. Curva tautocrona de Huygens . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.2. Problema de la braquistocrona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Conclusión 67 Bibliografía 69 Capítulo 1 La cicloide 1.1. Introducción Aunque los antiguos griegos fueron conscientes de un concepto similar al del movimiento, no hay evidencias de que supieran o estudiaran la cicloide. Esta curva tuvo la “suerte” de aparecer en un momento en que las matemáticas se estaban desarrollando muy rápidamente y tal vez los matemáticos fueron afortunados con la aparición de una curva tan útil en ese momento. Una nueva y poderosa herramienta para el estudio de las curvas fue proporcionada por la geometría analítica. Nuevos métodos para encontrar tangentes a curvas, áreas bajo curvas y volúmenes de sólidos delimitados por superficies curvas, fueron descubiertos rápidamente, y un nuevo tema, el cálculo, estaba en proceso. El descubridor original de la cicloide parece ser desconocido. John Wallis en una carta de 1679, atribuyó el descubrimiento a Nicolas Cusanus en 1450 y también mencionó a Bouelles como quien en 1500 avanzó el estudio de esta curva. En el caso de Cusanus, sin embargo, los historiadores están de acuerdo en que Wallis estaba equivocado a menos que, según Cantor, tuviera acceso a algún manuscrito ahora perdido. Bouelles menciona que observó una rueda rodante, pero parece haber considerado el arco generado como parte de un círculo cuyo radio era de cinco cuartos el del círculo generador. La historia de la cicloide se vuelve más clara cuando llegamos a Galileo. Este científico y profesor, famoso por su telescopio y microscopio, descubridor del isocronismo 1, intentó la cuadratura de un arco cicloidal en 1599, o al menos eso escribió su discípulo Torricelli en una publicación de 1644. 1Igualdad de duración de las oscilaciones de un péndulo 1 Figura 1.3: Obtención de las ecuaciones paramétricas de la cicloide Las coordenadas (x, y)de Pvienen dadas por: x(t) = at −asent =a(t−sent) y(t) = a−acost =a(1 −cost) Es decir, la posición de Pviene dada por: α(t) := x(t) = at −asent =a(t−sent) y(t) = a−acost =a(1 −cost) Se ha supuesto, que en t=0,Pcoincide con I, y con el origen de coordenadas. El vector velocidad se escribe: α0(t) := x0(t) = a−acost y0(t) = asent que se anula en t= 0, 2π, 4π,...,etc. Cerca de estos puntos singulares (denominados también puntos de retroceso) se ve a Pcaer (casi verticalmente) sobre el eje Xy llegando al momento de contacto (P=I)con velocidad nula, elevándose luego (casi verticalmente). La razón de esto es que: l´ım t→πα0(t) t= (0, a) 8 1.4. Curvatura En primer lugar, recordemos la definición de curvatura 2: Si α:I→R2es una curva plana α(t)=(x(t), y(t)), la curvatura con signo de α en tes k(t) = x0(t)y00(t)−x00(t)y0(t) ((x0(t))2+ (y0(t))2)3/2. La parametrización como ya vimos en la sección anterior, viene dada por: α(t) := x(t) = at −asint =a(t−sint) y(t) = a−acost =a(1 −cost) Luego, calculando las derivadas de primer y segundo orden        x0(t) = a(1 −cost) x00(t) = a(sint) y0(t) = a(sint) y00(t) = a(cost) Y sustituyendo obtenemos: k(t) = a2(1 −cost)cost −a2(sint)2 ((a(1 −cost))2+ (asint)2)3/2. 1.5. Tangente y normal a la cicloide Tiene sentido pensar que la definición más natural de circunferencia es la siguiente: se llama circunferencia a la trayectoria de una partícula de un cuerpo sólido que rota alrededor de un eje fijo. Esta definición es ilustrativa, a partir de ella es fácil deducir todas las propiedades de la circunferencia, y lo principal, nos presenta inmediatamente la circunferencia como una curva continua. 2En caso de duda consultar el libro [4] de la bibliografía 9 Esto último no se aprecia en la definición clásica: la circunferencia es el lugar geométrico3de los puntos del plano que se encuentran a una misma distancia de un punto. Comencemos con el análisis de la tangente y la normal a la cicloide. Para ello, recordemos previamente la definición de tangente para nuestro caso: Sea α:I→R2una curva parametrizada diferenciable. Para cada t∈Ien donde α0(t)6=0 existe una recta bien definida, que pasa por el punto α(t)y contiene al vector α0(t). Esta recta se denomina recta tangente aαen t. Por otro lado, se denomina normal a la perpendicular a la tangente en el punto de tangencia. Figura 1.4: Tangente a la cicloide El círculo rueda por la recta AB. Supongamos que el radio vertical del círculo, que pasó en el instante inicial por el punto de retroceso de la cicloide, giró un ángulo ϕ y tomó la posición OM. O lo que es lo mismo, consideramos que el segmento M0T representa la misma parte del segmento M0M1que el ángulo ϕrepresenta de 360◦ (una vuelta entera). Además, el punto M0llegó al punto My de este modo, Mes justo un punto de la cicloide. La flecha OH muestra la velocidad conque se mueve el centro del círculo que rueda. Todos los puntos del círculo, incluido M, tienen esta misma velocidad horizontal. Pero, además, el punto Mtoma parte en la rotación del círculo. La velocidad MC que adquiere el punto Mde la circunferencia durante el movimiento de rotación está dirigida por la tangente MC1a dicha circunferencia, es decir, es perpendicular 3El conjunto de todos los puntos que cumplen una condición dada (en el caso de la circunferencia, encontrarse a una misma distancia de un punto dado). 10 al radio OM. La velocidad MC es igual en valor absoluto a la velocidad MP (es decir, a la velocidad OH). Por eso, en este caso el paralelogramo de velocidad será un rombo (el rombo MCKP en la figura 1.4). Precisamente la diagonal MK de este rombo nos dará la tangente a la cicloide. Dada la recta directriz AB de la cicloide, el radio rdel círculo generador y el punto Mde la cicloide (figura 1.4), se necesita construir la tangente MK a la cicloide. Teniendo el punto M, construyamos el círculo generador en la posición en la que un punto de la circunferencia coincide con M. Para esto hallemos antes el centro Ocon ayuda del radio MO =r(el punto Odebe yacer en una recta paralela a AB a una distancia rde ella). Ahora construyamos el segmento MP de longitud arbitraria, paralelo a la recta directriz. Tracemos la recta MC1perpendicular a OM y tomemos en ella, a partir del pun- to M, el segmento MC, igual al segmento MP. Construyamos entonces un rombo tomando MC yMP como lados: la diagonal de este rombo será la tangente a la cicloide en el punto M. Esta construcción es puramente geométrica y obtenemos algunas conclusiones, comenzando con este sencillo teorema: Teorema 1. El ángulo entre la tangente a la cicloide (en cualquier punto) y la recta directriz es igual al ángulo complementario (hasta 90◦) de la mitad del ángulo de giro del radio del círculo generador. Es decir, en la figura 1.4, el ángulo KNT es igual a 90◦-∠MOT 2ó∠KMP = 90◦-ϕ/2. Tratemos de demostrar esta igualdad. Como ya hemos citado previamente, notaremos por ϕal ángulo principal del círculo generador. De este modo el ángulo MOT en la figura 1.4 es un ángulo principal. Consideremos que el ángulo principal es agudo (también puede estudiarse el caso de ángulo obtuso, es decir, estudiar el caso en el que el círculo que rueda realiza más de un cuarto de vuelta completa). Consideremos el ángulo CMP. El lado CM es perpendicular a OM (la tangente a la circunferencia es perpendicular al radio). El lado MP (horizontal) es perpendicular a OT (la vertical). Pero el ángulo MOT, por condición, es agudo (acordando considerar el primer cuarto de vuelta, y el ángulo CMP es obtuso. 11 Esto significa que los ángulos MOT yCMP suman 180◦(ángulos con lados mutuamente perpendiculares, uno de los cuales es agudo, y el otro, obtuso). Así, el ángulo CMP es igual a 180◦-ϕ. Pero como es sabido, la diagonal del rombo divide el ángulo del vértice por la mitad. Por consiguente, ∠KMP = 90◦- ϕ/2, que es lo que se quería demostrar. Ahora prestemos atención a la normal a la cicloide. Para ello, observemos la figura 1.5 en la que también hemos trazado la normal ME (ME⊥MK). Figura 1.5: Explicación del Teorema 2 Deducimos pues que el ángulo EMP es igual a la diferencia de los ángulos KME yKMP, es decir, es igual a 90◦-∠KMP. Acabamos de demostrar que el propio ángulo KMP es igual a 90◦-ϕ/2. Así obtenemos: ∠PME = 90◦−∠KMP = 90◦−90◦−ϕ 2=ϕ 2 Hemos demostrado un teorema simple pero útil. Demos ahora su formulación. Teorema 2. El ángulo entre la normal a la cicloide (en cualquiera de sus puntos) y la recta directriz es igual a la mitad del ángulo principal. Unamos el punto Mcon el punto de contacto del círculo generador con la recta directriz, T. Es evidente que el triángulo MOT es isósceles (OM yOT son radios del círculo generador). La suma de los ángulos de la base de este triángulo es 180◦-ϕ, y cada uno es igual a la mitad de esta suma. Así pues, ∠OMT = 90◦-ϕ/2. 12 Centrémonos ahora en el ángulo PMT, igual a la diferencia de los ángulos OMT yOMP. Hemos visto que ∠OMT es igual a 90◦-ϕ/2 y el ángulo OMP es igual al ángulo DOM (son ángulos alternos internos entre paralelas). Es evidente que ∠DOM es igual a 90◦-ϕy por tanto, ∠OMP = 90◦-ϕ. De este modo obtenemos: ∠PME =∠OMT −∠OMP = 90◦−ϕ 2−(90◦−ϕ) = ϕ 2 Por tanto llegamos a que el ángulo PMT es igual al ángulo PME (véase el Teorema 2). Por tanto, podemos formular el siguiente teorema: Teorema 3 (primera propiedad fundamental de la cicloide). Toda normal a la cicloide pasa por el punto inferior del círculo generador. Es sabido que el ángulo entre la tangente y la normal es un ángulo recto. Este es un ángulo inscrito en la circunferencia del círculo generador por lo que debe apoyarse en el diámetro de este círculo. Así, TT1es el diámetro y T1es el punto superior del círculo generador. Y por tanto, podemos formular un corolario a partir del teorema anterior. Corolario (segunda propiedad fundamental de la cicloide). La tangente a la cicloide pasa por el punto superior del círculo generador. Llevemos a cabo la construcción de la cicloide por puntos, como hicimos en la figura 1.1. En la figura 1.6 la base de la cicloide se ha dividido en seis partes iguales (como sabemos, cuanto mayor sea la cantidad de divisiones, tanto más precisa será nuestra construcción). En cada punto construido se ha trazado una tangente uniendo el pun- to de la curva con el punto superior del círculo generador. En el gráfico considerado se obtienen siete tangentes (dos de ellas verticales). Tracemos ahora la cicloide intentando que sea tangente a cada una de estas tangentes. Además, la propia cicloide “envolverá” a todas las tangentes4. Tracemos en la misma figura 1.6 las normales a todos los puntos de la cicloide (en total serán cinco, sin contar la recta directriz). A continuación construyamos la envolvente de estas normales. Si en lugar de 6 tomáramos 12 ó 16 puntos de división, entonces en el gráfico tendríamos más normales y la envolvente se vería con más claridad. 4Una línea de este tipo se denomina envolvente. Toda curva es una envolvente de sus tangentes. 13 Esta envolvente de todas las normales desempeña un papel importante en el estudio de las propiedades de cualquier curva. En el caso de la cicloide se pone de manifiesto un hecho curioso: como envolvente de las normales se puede tomar la misma cicloide, sólo que desplazada 2aunidades hacia abajo y πa unidades hacia la derecha. Más adelante volveremos a mencionar este resultado característico de la cicloide. Figura 1.6: La cicloide es la envolvente de sus tangentes 1.6. Definición geométrica de la cicloide Consideremos la recta arbitraria AB (asumiremos que es horizontal) y el punto M0que pertenece a AB. A continuación, consideremos todos los círculos de radio determinado, tangentes a esta recta y ubicados a un lado de la misma. En cada círculo, a partir del punto Tde tangencia con la recta AB, tomemos (en dirección hacia el punto M0) el arco TM, de longitud igual al segmento M0T. El lugar geométrico de los puntos M(tomados en todos los círculos considerados) será la cicloide. Si quisiéramos deducir la propiedad de la tangente y la normal a la cicloide utilizando sólo esta definición, nos enfrentaríamos a grandes dificultades: no en vano ni Torricelli ni Roberval pudieron superarlas y se remitieron a la mecánica. 14 Descartes, en su análisis puramente geométrico de la cicloide, se apoyó en un eficaz método de investigación gemétrica inventado por él mismo: el método de coordenadas5. Intentemos establecer otra propiedad importante de la cicloide y utilizarla como base para investigar esta curva. Consideremos el triángulo MTT1(figura 1.7), formado por el diámetro vertical del círculo generador, la tangente y la normal a la cicloide. El ángulo MT1T, como ángulo inscrito, es igual a la mitad del ángulo central que se apoya en ese mismo arco, es decir, es igual a ϕ/2. Tracemos MK kAB yME ⊥AB. En lo sucesivo el segmento ME desempeñará un importante papel, por lo que le daremos nombre y notación: lo denominaremos altura del punto Mde la cicloide y lo denotaremos con la letra h. De esta manera, la altura del punto Mde la cicloide es igual a la distancia que lo separa de la recta directriz. Figura 1.7: Relación entre la altura y la pendiente de la tangente 5Para mas información acerca de este método se recomienda el libro [8] de la bibliografía 15 Prestemos atención al ángulo KMT que es igual al ángulo MT1T. Del triángulo TMT1obtenemos: MT = 2asenϕ 2 y del triángulo TKM: KT =MT senϕ 2 Comparando estos resultados y puesto que KT =h, obtenemos finalmente h= 2asen2ϕ 2. Hemos expresado la altura del punto Mmediante el ángulo entre la tangente en el punto My la vertical (seguimos considerando que la recta AB es horizontal). Ahora expresemos el seno de este ángulo mediante la altura. Obtenemos de forma evidente: senϕ 2=rh 2a=k√h, donde k=r1 2aes una constante para la cicloide dada. Lo que da pie al siguiente teorema: Teorema 4. El seno del ángulo formado por la tangente a la cicloide en el punto My la vertical, es proporcional a la raíz cuadrada de la altura del punto M. Toda cicloide posee, evidentemente, esta propiedad, pero es posible demostrar que además es la única curva que lo cumple, de modo que el siguiente teorema es recíproco: Teorema 5. Dados una recta AB y un punto M, la única curva que cumple las condiciones del Teorema 4 y pasa por el punto Mes la cicloide. Además, el radio del círculo generador de esta cicloide está relacionado con el coeficiente k(del que se habla en el Teorema 4), mediante la expresión: k=r1 2a Como es lógico, la distancia desde el punto Mhasta AB debe ser menor que 2a. 16 La demostración rigurosa de este teorema mediante el uso de matemática elemental es muy voluminosa, por lo que no ha sido incluida. Si en las condiciones del Teorema 5 no se aclara que la curva investigada pasa por el punto M, entonces se obtiene no una6, sino un número infinito de cicloides, que se obtienen una de otra por desplazamiento paralelo en dirección de la recta AB (una pasa por el punto M; otra por M1, otra por M2, y así sucesivamente). Este conjunto es conocido como familia de cicloides. Otra propiedad de la cicloide que merece ser destacada es que su arco es simétrico respecto a la perpendicular trazada por el centro de la base. En la siguiente sección pasaremos a analizar brevemente otra notable curva investigada por Roberval, quien la denominó curva compañera de la cicloide. 1.7. La “curva compañera” de la cicloide y su descubrimiento Consideremos la cicloide mostrada en la figura 1.8. Desde el punto Mtracemos la perpendicular hasta el diámetro vertical del círculo generador: obteniendo el punto P. Llevemos a cabo el mismo procedimiento con todos los puntos de la cicloide, sin excepción (así, al punto M2le corresponderá el punto P2, al vértice de la cicloide, el propio vértice P1, etcétera). Cuando el punto Mdescribe un arco completo de la cicloide, el punto Ptambién describe cierta curva. Precisamente esta curva se denomina curva compañera de la cicloide. Sus propiedades fueron investigadas por Gilles de Roberval, quien las utilizó para el cálculo del área limitada por el arco de la cicloide y su base. Tomemos el punto Mde la cicloide y el correspondiente punto Pde la curva compañera (figura 1.9). Denotemos el centro del círculo generador con la letra Q. Entonces, tendremos QP =QMcos∠MQP =acos(180◦−ϕ) = =−acosϕ =−asen(90◦−ϕ) = =asen(ϕ−90◦). 6Incluso cuando se cumplen rigurosamente las condiciones del Teorema 5, no se obtiene una, sino dos cicloides. 17 Llegamos a: A=a23 2t−2sen(t) + 1 4sen(2t)dt Que al evaluarlo en 0 y 2π: A= 3πa2 Tal y como esperábamos. 1.9. Otras propiedades de la cicloide Una vez hemos calculado el área, es natural hablar sobre la longitud del arco de la cicloide y sobre los volúmenes de los cuerpos generados por el giro de este arco. Analicemos primero los volúmenes. Figura 1.15: Cuerpo de revolución en forma de melón generado por la cicloide Cuando un arco de la cicloide gira alrededor de su base, genera una superficie que limita un cuerpo con forma de melón (figura 1.15). Para obtener el volumen de este cuerpo, Roberval lo dividió en un número infinito de finas capas, inscribió un cilindro en cada una y luego sumó los volúmenes de todos los cilindros. En la actualidad la matemática superior permite calcular este volumen con facilidad. En primer lugar, recordemos cómo calcular tanto el área como el volumen de sólidos de revolución: 24 Si una curva está definida por las funciones x(t)ey(t), perteneciendo ta un intervalo [a, b]y siendo el eje de revolución el eje X, el área Aestará dada por la integral: A= 2πZb a y(t)sdx dt 2 +dy dt 2 dt Y si se gira una figura plana comprendida entre y=f(x),y= 0,x=ayx=balrededor del eje OX, el volumen del sólido de revolución viene generado por la fórmula: V=πZb a f2(x)dx Enunciemos el resultado: el volumen del cuerpo generado por la rotación del arco de la cicloide alrededor de su base es igual a 5π2a3. Y el área de este cuepo: 64 3πa2, es decir, supera en más de 21 veces el área del círculo generador. Guilles de Roberval consideró también otra superficie generada por la rotación de la cicloide: construyó la reflexión de un arco de la cicloide respecto a la base e hizo girar respecto al eje KT la figura oval obtenida de la cicloide y su reflexión (figura 1.16). Las fórmulas para el cálculo del área y volumen de este nuevo cuerpo de revolución varían de las anteriores, pero no tienen mayor dificutad. El área de la superficie de revolución obtenida es igual a 32π2a2y el volumen del cuerpo en forma de “paraguaya” limitado por esta superficie es igual a 12π3a3. Figura 1.16: Cuerpo de revolución en forma de paraguaya generado por la cicloide Poco tiempo después, el notable físico Blaise Pascal determinó el volumen y el centro de gravedad de los cuerpos generados por la rotación de las partes de la cicloide alrededor de diferentes ejes. 25 En 1658, el arquitecto y matemático inglés Christopher Wren, constructor de la famosa cúpula de la catedral de San Paul en Londres, determinó la longitud de la cuerda de la cicloide. Su descubrimiento provocó una gran impresión ya que en aquella época el problema del cálculo de la longitud de los arcos de las curvas era considerado de extrema dificultad y había sido resuelto sólo para contadas curvas (la circunferencia, la parábola y algunas espirales). Figura 1.17: Idea aproximada del razonamiento de Wren Wren comenzó su cálculo a partir de razonamientos de la mecánica, lo que nos recuerda los primeros trabajos de Torricelli y Roberval. Él analizó el giro en un ángulo muy pequeño αde un círculo (generador) que rueda cerca del punto T(figura 1.17). Además, el centro de este círculo se mueve del punto Oal punto O1de modo que el ángulo OTO1es exactamente igual a α. En este mismo ángulo gira la cuerda TM, y de manera simultánea el punto Mdescribe un pequeño arco de la cicloide y llega al punto M1. Consideraremos, como Wren, que el ángulo αes tan pequeño que resulta imposible diferenciar el arco de la cicloide MM1del arco de la circunferencia de radio TM y centro T. Esto significa que consideraremos la longitud del arco MM1de la cicloide igual a MT·α(se supone que el ángulo αestá dado en radianes). Aquí estamos cometiendo un error premeditado, pero cuanto menor sea el ángulo α, tanto menor será el error y por tanto en el límite será despreciable. Además, como resultado de este pequeño giro, el triángulo OMT coincide con el triángulo O1M1T. El lado OM gira en el mismo ángulo que el lado MT. De este modo, el ángulo entre OM yM1O1, es decir, el ángulo MQM1, será igual a α. 26 Construyamos en el círculo de la izquierda, de centro Py radio igual a OT, los radios PK kOM yPK1kO1M1. Evidentemente el ángulo K1PK es igual a α. La cuerda KH1es paralela e igual al segmento tangente a la cicloide en el punto M. La cuerda K1H1no puede diferenciarse mucho del segmento tangente a la cicloide en el punto M1, pues al pasar del punto Mal punto M1el círculo generador se desplaza muy poco. Wren supuso (aunque esto conduce a cierta imprecisión) que esta cuerda es igual al segmento tangente a la cicloide en el punto M1. El ángulo KHK1es un ángulo inscrito que se apoya en el mismo arco que el ángulo central KPK1, igual a α, por lo que ∠KHK1=α 2. La disminución de la longitud de la cuerda MT1=KH1cuando el punto Mpasa a la posición M1es igual, con diferencia insignificante, al segmento KL, el cual a su vez se puede considerar igual al radio HK multiplicado por el ángulo KHK1(expresado en radianes), es decir, igual a HK·α 2óMT·α 2. A esta disminución de la longitud de la cuerda del círculo generador le corresponde un aumento del arco de la cicloide igual a MM1, es decir, como ya se dijo, igual a MT·α. Hemos obtenido que para un pequeño giro del círculo generador, la disminución de la longitud de la cuerda MT1es dos veces menor que el aumento de la longitud del arco de la cicloide. Desde luego, esta proporción no es del todo exacta; pero si tomamos un giro de 180◦ del círculo generador, lo dividimos en partes muy pequeñas (giros elementales α), calculamos las correspondientes disminuciones de las cuerdas y los aumentos de los arcos, calculamos la suma de las disminuciones y de los aumentos y analizamos el comportamiento en el límite, entonces veremos que la disminución total de la longitud de la cuerda es exactamente dos veces menor que la longitud del semiarco de la cicloide. Además, la cuerda varía desde 2a(cuando el punto Mocupa la posición inferior) hasta 0 (cuando el punto Mllega a la posición superior). La disminución de la longitud de la cuerda es 2a, por tanto, la longitud del semiarco de la cicloide es 4a, y la longitud de todo el arco 8a. Así pues, estos razonamientos indican que la longitud de un arco de la cicloide debe igualarse a ocho radios del círculo generador. Este resultado es sorprendente, pues incluso para la longitud de una curva tan simple como la circunferencia, fue necesario introducir el número irracional π, cuyo cálculo no es sencillo. 27 Wren realizó una demostración de la rectificación de la cicloide que fue recogida en el libro Tractus duo, publicado por Wallis y dándole a Wren la prioridad sobre la prueba. Las demostraciones de los teoremas dadas por los científicos del Renacimien- to, o bien son muy complejas y voluminosas, o bien tienen carácter de razonamientos intuitivos en lugar de demostraciones matemáticas rigurosas; con frecuencia se utilizaba la mecánica, aunque ya en aquella época se consideraba preferible una exposición geométrica independiente de la mecánica. También hay que tener en cuenta que los trabajos de los científicos del siglo XVII dedicados a cualquier otra curva adaptan sus razonamientos a casos concretos, es decir, en aquella época no existían métodos generales y cada investigación requería de procedimientos nuevos y, en ocasiones, muy ingeniosos. Podemos comprobar el resultado gracias a la matemática de nuestros días de una manera rápida y sencilla. Sabemos que si una curva plana viene dada en paramétricas, la longitud de su arco se calcula mediante la fórmula: L=Zb asdx dt 2 +dy dt 2 dt Donde, sustituyendo obtenemos: L=Z2π 0p(a(1 −cos(t)))2+ (a·sen(t))2dt =Z2π 0p2a2(1 −cost)dt Teniendo en cuenta la fórmula del ángulo mitad: L=aZ2π 0s4sen2t 2dt = 2aZ2π 0 sen t 2dt =−4cos t 2 Que al evaluarlo en 0 y 2πnos da: L= 8a Como era de esperar. 28 Capítulo 2 Curvas relacionadas con la cicloide Imaginemos un círculo generador “preparado para comenzar a rodar”. En breve, el punto M0situado en la circunferencia describirá una elegante cicloide. Supongamos que existe un punto C0que se encuentra en el interior de la circunferencia del círculo generador y un punto E0que es un punto exterior, rígidamente fijado al círculo generador. Podemos suponer, por ejemplo, que E0está en el borde exterior (reborde) de la rueda de un tren. Tanto C0(punto interior) como E0(punto exterior) se moverán junto con la rueda y describirán ciertas curvas. En este capítulo nos dedicaremos al estudio de las curvas que describen los puntos exteriores e interiores de un círculo que rueda. Mientras el círculo generador rueda, el punto interior describe una curva que llamaremos cicloide acortada. Tracemos por el punto C0una circunferencia auxiliar (figura 2.1). Cuando el círculo generador rueda por la recta AB, la circunferencia pequeña se desplazará por la recta A0B0, pero su movimiento se acompañará de deslizamiento. De este modo, se puede decir que la cicloide acortada es la curva que describe un punto de la circunferencia de un círculo que rueda con deslizamiento por la recta directriz. Figura 2.1: Cicloide acortada 29 De forma análoga, el punto exterior del círculo generador describe la curva denominada cicloide alargada. La cicloide alargada se puede considerar como una curva generada por un punto de la circunferencia de un círculo que rueda, pero cuando el movimiento se acompaña de un deslizamiento en dirección contraria. Figura 2.2: Cicloide alargada La cicloide acortada nos recuerda vagamente a una sinusoide y la cicloide alargada es una curva con bucles. En la actualidad, ambas curvas conservan el nombre de trocoide, con el que en el pasado los matemáticos franceses nombraban a todas las curvas relacionadas con el desplazamiento con rotación de un círculo por una recta, entre ellas, a la cicloide común. Torricelli, Cavalieri, Roberval y Descartes también investigaron las tangentes a las cicloides acortada y alargada. Wren estableció que la longitud del arco de estas curvas era igual a la longitud del arco de algunas elipses cuya construcción resulta fácil si se tienen la base y el círculo generador de la cicloide. Como un ejemplo cotidiano y sencillo, observemos el juguete conocido como “tentetieso”. La parte inferior del juguete tiene forma de semiesfera (la parte superior nos resulta indiferente) y en su interior tiene un cierto peso que provoca que su centro de gravedad se encuentre muy bajo. Si inclinamos el “tentetieso”, su centro de gravedad describirá un arco de cicloide acortada, pues, en esencia, estamos ante el movimiento de un punto interno de un círculo que rueda por una recta. Si inclinamos el juguete y después lo soltamos, entonces se moverá de modo que su centro de gravedad descienda lo más posible, lo que significa que el tentetieso regresará a su posición inicial (se pondrá de pie). 2.1. Epicicloide Continuaremos haciendo rodar el círculo generador, pero ahora no lo haremos por una recta, sino por la parte exterior de la circunferencia de otro círculo. 30 Dependiendo de la razón entre los radios de los círculos móvil y fijo (generador y directriz), se obtendrán diferentes curvas: todas pertenecen a la misma familia y se denominan epicicloides. Comencemos la descripción de las epicicloides con el caso en que el radio del círculo generador es dos veces menor que el radio del círculo directriz: obtenemos una curva con dos puntos de retroceso. Figura 2.3: Epicicloide con dos puntas Si el radio del círculo “fijo” es tres, cuatro o seis veces mayor, entonces se obtienen figuras parecidas a flores con tres, cuatro o seis pétalos, respectivamente. Los mismos científicos que investigaron la cicloide común establecieron las reglas para la construcción de la tangente a diferentes epicicloides, así como también las propiedades métricas de estas curvas (es decir, las propiedades relacionadas con la medición de la longitud de los arcos, las áreas que estos limitan, etcétera). Las deducciones de estas propiedades son muy parecidas a las correspondientes a la cicloide común. Aquí expondremos los resultados1. 1Para conocer mejor a estas curvas, se aconseja el libro [7] de la bibliografía 31 Figura 2.4: La tangente y la normal a la epicicloide Consideremos el círculo directriz con centro O(figura 2.4). Sea M0el punto de retroceso de una epicicloide de tres puntas (los razonamientos casi no varían cuando la cantidad de puntas es otra). Sea también O1el centro del círculo móvil, es decir, del círculo generador (el propio círculo se muestra en la figura con línea discontinua). Construyamos el punto Mde la epicicloide correspondiente a esta posición del círculo generador. Si denotamos el ángulo O1OM0mediante ϕ, entonces es necesario tomar el ángulo OO1Migual a 3ϕ(desde luego, estamos considerando la rodadura sin deslizamiento). El centro O1se mueve en dirección perpendicular a OO1; en este movimiento también participa el punto M, que además participa en la rotación alrededor del centro O1. Los mismos razonamientos que tuvimos en cuenta para el caso de la cicloide común conducen al siguiente resultado: la tangente a la epicicloide pasa por el punto “superior” (A), y la normal pasa por el punto “inferior” (B) del círculo generador. Al igual que hicimos en el caso de la cicloide común denotaremos con la letra a el radio del círculo generador. En el caso de la cicloide común, el número adetermina totalmente a la curva (como, por ejemplo, el radio determina completamente a la circunferencia). En el caso de la epicicloide, es necesario indicar otro número: en cuántas veces es mayor el radio del círculo fijo que el radio del círculo móvil. Denotaremos este número con n. Si n= 2 obtenemos una epicicloide con dos puntas, si n= 10 la epicicloide posee diez puntas, etcétera. 32 Teniendo en cuenta esta notación, se obtiene la siguiente fórmula para calcular la longitud de un arco de epicicloide de npuntas: l1=8(n+ 1)a n La cicloide común, al igual que la recta, es infinita, por lo que no es posible hablar de su longitud total. Por el contrario, la epicicloide es acotada (como la circunferencia), por lo que junto con la longitud de su arco, se puede indicar su longitud total, la cual, evidentemente, es nveces mayor que la longitud de un arco. La longitud de toda la epicicloide es: l=n·l1= 8a(n+ 1) Del mismo modo, con respecto al área, es posible obtener las fórmulas tanto para el área entre un arco y el círculo fijo, como para toda el área limitada por la epicicloide. La cicloide común, a diferencia de la epicicloide, no es una curva cerrada, por lo que no limita ningún área. Denotemos con S1el área entre el círculo generador y un arco, y el área total abarcada por toda la epicicloide, mediante S. Es evidente que Ses igual a nveces el área de S1más el área del círculo fijo. Las fórmulas para S1ySson S1=3n+ 2 nπa2 S= 3πa2(n+ 1) Modifiquemos ligeramente las condiciones tomadas en consideración para generar la epicicloide. Supongamos que tenemos un círculo directriz y que por él se mueve uniformemente el centro de otro círculo que rota también de manera uniforme. La construcción indicada nos conduce a la epicicloide de Tolomeo, que resulta no ser una epicicloide “verdadera” ya que sería necesario elegir una proporción específica entre la velocidad en el centro y la velocidad angular de rotación del círculo móvil. Si la relación entre estas velocidades es otra, el círculo móvil rodará con deslizamiento por el círculo directriz, y en lugar de epicicloides comunes, se obtendrán epicicloides acortadas o alargadas. 33 Generalmente, la astroide no se determina por la longitud del radio del círculo fijo, que comúnmente se denota con R. Si en las fórmulas que acabamos de mostrar suponemos n= 4 y sustituimos apor R/4 (de igual valor que a), obtendremos para la astroide: l1=3 2R l= 6R S1=5 32πR2 S=3 8πR2 Así pues, obtenemos el siguiente teorema: Teorema. La longitud de toda la astroide es igual a seis radios del círculo fijo y el área que ella limita, a tres octavos del área de este círculo. Observemos con atención la tangente AB a la astroide en el punto M(figura 2.10) que, como en todas las hipocicloides, pasa por el punto T, diametralmente opuesto al punto de tangencia Kde los círculos móvil y fijo. Si denotamos el ángulo O1OM0 mediante ϕ, entonces el ángulo MO1Kserá igual a 4ϕ. La suma de los ángulos de la base del triángulo isósceles TO1Mtendrá el valor del ángulo exterior no adyacente a ellos 4ϕ, y cada uno de estos ángulos será igual a 2ϕ(por el mismo teorema sobre el ángulo exterior de un triángulo). Pero el ángulo TOB es igual a ϕ(según la notación que hemos tomado), por tanto, también el ángulo TBO será igual a ϕ, y puesto que el triángulo OTB es isósceles obtenemos que OT =BT. Exactamente de la misma manera, comprobaremos que TA =OT =TB. Pero OT, que es la diferencia entre el radio del círculo fijo y el diámetro del círculo móvil, es igual a la mitad del radio del círculo fijo, es decir, R/2. Por consiguiente, el segmento tangente a la astroide, contenido entre dos radios del círculo fijo perpendiculares entre sí y trazados en las puntas de la astroide, es igual al radio de este círculo fijo independientemente de cómo se tome el punto M. 40 Figura 2.10: Tangente a la astroide En la figura 2.11 se muestra el cuerpo limitado por la superficie generada por la rotación de la astroide alrededor del segmento que une sus puntas opuestas. el volumen de este cuerpo es igual a 32 105πR3y el área de su superficie es 12 5πR2. Figura 2.11: Cuerpo de revolución generado por la astroide 41 Ahora, analizaremos el caso de n= 2, es decir, la hipocicloide de dos puntas. Supongamos que el centro del círculo móvil ocupó la posición arbitraria O1. Figura 2.12: Teorema de Copérnico Para obtener el correspondiente punto de la hipocicloide es necesario construir el ángulo KO1M, dos veces mayor que el ángulo O1OM0. Pero el círculo móvil pasará todo el tiempo por el centro del círculo fijo. El ángulo KOM =αestá inscrito en la circunferencia del círculo móvil, y el ángulo KO1M, igual a 2α, es dos veces mayor que el inscrito, es decir, es central para la misma circunferencia. Por eso, el punto Mdebe encontrarse en el segmento OM0. Esto es válido para cualquier posición del centro O1. De este modo, hemos obtenido un interesante resultado, que ya era conocido por Nicolás Copérnico. Teorema (Copérnico). El punto de una circunferencia que rueda sin deslizamiento por el interior de una circunferencia fija de radio dos veces mayor se mueve por el diámetro de esta circunferencia fija. En este caso, el punto Mrecorre el diámetro de extremo a extremo en las dos direcciones. Si en las fórmulas de la página 39 suponemos n= 2, entonces para el área Sobtenemos 0, y para la longitud de toda la “curva” obtenemos 8a, es decir, el doble de la longitud del diámetro del círculo generador. Esto es precisamente lo que cabía esperar. 42 Supongamos ahora que el radio adel círculo móvil está definido, y el radio del círculo fijo na aumenta infinitamente. Dicho de otro modo, supongamos que ntoma una serie creciente de valores: 3, 4, 5 y así hasta el infinito. En este caso, el círculo fijo se irá “enderezando” cada vez más y tenderá a la posición límite: la recta. Además, la hipocicloide irá perdiendo curvatura y en el límite se transformará en una cicloide común. Analicemos qué sucede en este caso con las fórmulas para calcular la longitud del arco de una hipocicloide y el área correspondiente. Tenemos: l1=8(n−1) na= 8an−1 n= 8a1−1 n Cuando ntiende a infinito, 1−1 ntiende a 1 ya que 1/ntiende a 0. Por tanto, en este caso la longitud del arco tiende a 8a, es decir, a la longitud del arco de la cicloide común. Para el cálculo del área tenemos la fórmula: S1=3n−2 nπa2=3−2 nπa2 Cuando ntiende a infinito, el segundo miembro tenderá a 3πa2, es decir, al área limitada por el arco de la cicloide común y su base. La ecuación paramétrica que define a la hipocicloide se asemeja bastante a la de la epicicloide, con la que no hay que confundir: α(t) :=        x(t)=(r1−r2)cos(t) + r2cos t1−r1 r2 y(t) = (r1−r2)sen(t) + r2sen t1−r1 r2 Su derivada es: α0(t) :=        x0(t) = (r1−r2)sen t(r2−r1) r2−sen(t) y0(t)=(r1−r2)cos(t)−cos t(r2−r1) r2 E igualando a cero obtendríamos los puntos singulares. En el caso de la astroide, r1 = 4ryr2=r, los puntos singulares se dan en t= 0, π/2,πy3π/2. 43 2.4. Evolventes y evolutas Consideremos un arco convexo de una curva. Supongamos que en uno de los extremos del arco se ha fijado un hilo flexible y no elástico de la misma longitud que el arco; además este hilo está enrollado alrededor de la curva considerada, de modo que su otro extremo coincide con el punto final del arco. Si “enderezamos” el hilo manteniéndolo tenso de modo que su parte libre sea todo el tiempo tangente al arco. La curva que describe el extremo del hilo en estas condiciones se denomina evolvente de la curva inicial. Si el arco no es convexo hacia un mismo lado en toda su extensión, es decir, si el arco posee un punto en el que la tangente a la curva pasa de un lado a otro (tal punto se denomina punto de inflexión), entonces también en este caso se puede hablar de la evolvente de la curva, pero los razonamientos serán más complejos. Supongamos que el hilo está fijo justo en el punto de inflexión. Entonces, “desenrollándose” del arco, describirá la curva que será la evolvente. Ahora consideremos el hilo ceñido al arco de la curva inicial. Este hilo ya está alargado, pues en el punto de inflexión se le une un trozo de hilo. Enderezando el hilo alargado de la curva (desde el inicio del arco hasta el punto de inflexión), obtendremos otro arco que, junto con el anterior formará una sola curva continua. Esta curva, aunque continua, no es diferenciable en todas partes: al punto de inflexión de la curva inicial le corresponderá el punto de retroceso de la nueva curva. Esta curva será la evolvente de la curva inicial. 2.4.1. Propiedades fundamentales de la evolvente La evolvente se puede representar como una circunferencia cuyo radio varía todo el tiempo y cuyo centro se desplaza por una curva AB. Pero en cada instante el punto de tangencia se puede considerar como el centro de un arco infinitésimo de una circunferencia que coincide con un arco infinitésimo de desarrollo. 44 Figura 2.13: Propiedad fundamental de la evolvente Por eso, el punto Cse denomina centro instantáneo ocentro de curvatura de la evolvente. De este modo, obtenemos el siguiente teorema: Teorema. Toda curva es el lugar geométrico de los centros de curvatura de su propia evolvente. Debido a que el arco infinitésimo MK se “fusiona” con el arco infinitésimo de la circunferencia de radio CM y centro C, la tangente a la evolvente en el punto M será perpendicular al radio instantáneo CM. Este es un resultado importante: la dirección de la evolvente (es decir, de la tangente a ella) es perpendicular a la tangente a la curva inicial. De esto se deduce el siguiente resultado: Teorema. La normal a la evolvente es tangente a la curva inicial. O lo que es lo mismo, la evolvente corta todas las tangentes a una curva dada bajo un ángulo recto. Esta es una propiedad fundamental de la evolvente y tiene sentido estudiarla con más detalle. 45 Figura 2.14: Familia de evolventes En la figura superior se muestra la curva AB (línea continua) y algunas de sus tangentes (en diferentes puntos). Vemos que existe no sólo una, sino un conjunto infinito de curvas (líneas discontinuas) que cortan todas estas tangentes formando un ángulo recto: cada una de estas curvas sirve como evolvente de la curva AB. Todas estas curvas de líneas discontinuas son equivalentes y cada una de ellas se puede considerar como evolvente de la curva AB. Este resultado se puede formular de la siguiente manera: Teorema. Una curva diferenciable no posee una, sino un conjunto infinito de evolventes. Si observamos con atención la figura 2.14, notaremos que todas las evolventes de la curva dada son “paralelas” entre sí, es decir, son paralelas en el sentido de que los segmentos de la tangente a la curva AB entre dos evolventes son todos iguales entre sí, de la misma manera que son iguales los segmentos de las perpendiculares entre rectas paralelas. Prácticamente, la propiedad fundamental de la evolvente es la que se deduce de manera directa de la propia construcción de esta curva: 46 Teorema. La longitud del arco AB de una curva es igual al segmento de la tangente en el punto Acomprendido entre el punto de tangencia y la evolvente que pasa por el punto B. Hasta ahora nos hemos dedicado al siguiente problema: dada una curva, se requiere hallar (es decir, construir) su evolvente. Sin embargo, tiene sentido plantear el problema inverso: hallar una curva para la cual la curva dada sea su evolvente. Para la solución de este problema nos apoyaremos en el hecho de que la normal a la evolvente es tangente a la curva inicial. Tracemos algunas normales a la curva dada, es decir, a la evolvente de cierta curva que aún no conocemos. Cuanto más normales construyamos, tanto más precisa será la curva que se obtenga. Debemos construir la curva que sea tangente a todas ellas, es decir, la envolvente de estas normales. Está claro que la curva dada será la evolvente de la curva construida. De este modo hemos resuelto el problema planteado: a partir de una curva dada construimos una nueva curva para la cual la curva dada es evolvente. La envolvente de las normales se denomina evoluta y reviste una gran importancia en el estudio de las propiedades de las curvas. Así, cada curva es la evoluta de su propia evolvente, y viceversa, toda curva es una de las evolventes de su evoluta. Los científicos del siglo XVII demostraron que todas las curvas que ellos investigaron tienen evoluta. Más adelante demostraremos que la cicloide tiene una evoluta totalmente determinada. La matemática superior permite demostrar que cada curva diferenciable tiene una única evoluta. La excepción la constituyen sólo las líneas cuyas normales o bien todas se cortan en un punto, o bien todas son paralelas entre sí. La curva en la cual todas las normales se cortan en un punto es la circunferencia (las normales a la circunferencia son los radios, que, como se sabe, son perpendiculares a las tangentes). La curva en la cual todas las normales son paralelas entre sí es la recta. Ella coincide con su propia tangente en cualquier punto, y como normales a ella sirven las perpendiculares paralelas entre sí tomadas en diferentes puntos de dicha recta. Para finalizar, a esta afirmación general se le puede dar la siguiente formulación: Teorema. Toda curva diferenciable, excepto la circunferencia y la recta, posee una evoluta única. 47 2.4.2. Evolvente de una circunferencia Como ahora sabemos, la circunferencia no tiene evoluta: todas sus normales se cortan en un punto, el centro. En ocasiones se dice que la evoluta de una circunferencia se “degenera” en un punto. En cambio, la circunferencia si posee evolvente. Esta evolvente es una “pariente” muy cercana de las curvas cicloidales. Figura 2.15: Desplazamiento de una recta por un círculo Consideremos un círculo fijo de radio ay la recta AB, tangente a este círculo en el punto M0. Si la recta AB se desplaza sin deslizamiento por la circunferencia, entonces, evidentemente, el punto M0describirá la evolvente de la circunferencia. En efecto, para cualquier punto Mde esta curva, la recta KM en movimiento sirve como normal y la longitud del segmento KM es igual a la longitud del arco M0PK de la circunferencia fija. De este modo, la evolvente del círculo es una “cicloide del revés”. En el caso de la cicloide, el círculo rueda sin deslizamiento por una recta mientras que en el caso de la evolvente de un círculo, la recta se desplaza sin deslizamiento por una circunferencia fija. Existe otro camino que permite descubrir el “parentesco” de la evolvente de la circunferencia con las curvas cicloidales. Anteriormente mencionamos que, en el caso de las epicicloides o las hipocicloides, el aumento infinito del radio del círculo móvil cuando mantenemos constante el radio del círculo fijo nos conduce a la cicloide. 48 Si nos imaginamos la pericicloide, que ya comentamos, notaremos que al dejar invariable el radio del círculo fijo y aumentar infinitamente el radio del círculo móvil, esta curva se transforma en la evolvente del círculo. 2.4.3. Evolvente de la cicloide. Longitud del arco de cicloide Los problemas analizados nos han permitido familiarizarnos con los conceptos de evoluta y evolvente: ya estamos preparados para comenzar la investigación de las evolventes de las curvas cicloidales. Al investigar una u otra curva, a menudo hemos considerado una curva auxiliar, la llamada curva compañera de la curva dada: así construimos la evolvente de la circunferencia y la sinusoide (la curva compañera de la cicloide). Ahora, partiendo de una cicloide dada, construiremos una cicloide auxiliar, estrechamente relacionada con la primera: la investigación de este par de cicloides resulta, en ciertos aspectos, más fácil que la investigación de una cicloide por separado. Esta cicloide auxiliar es llamada cicloide acompañante. Consideremos la mitad del arco de la cicloide, AMB (figura 2.16). No nos debe confundir el hecho de que en la figura la cicloide se muestra volteada hacia arriba. Tracemos cuatro rectas paralelas a la recta directriz AK a distancias a, 2a, 3ay 4a, respectivamente. Construyamos el círculo generador en la posición correspondiente al punto M, denotemos con Oel centro de este círculo y el ángulo de giro MOH mediante ϕ. Entonces, el segmento AH será igual a aϕ (el ángulo ϕse expresa en radianes). Figura 2.16: La cicloide y su acompañante 49 Pero en virtud de la ley de conservación de la energía, la energía potencial consumida por la bola se transforma en energía cinética de su movimiento, la cual, como se sabe, es igual a mv2 2, donde con vdenotamos la velocidad de la bola, por ahora desconocida. Al igualar esta energía cinética con la energía potencial consumida, obtenemos la ecuación: mv2 2=mg ·HM De donde hallamos el valor de la velocidad de la bola: v=p2g·HM Tampoco resulta difícil determinar la dirección de esta velocidad: estará dirigida por la tangente a la cicloide, es decir, por la cuerda ML, donde Les el punto “inferior” del círculo generador. Prestaremos atención no tanto a la velocidad ven sí, sino a su proyección vertical, es decir, a la “velocidad de descenso” de la bola o velocidad de variación de su altura. Esta proyección vertical se calcula con facilidad: es igual a vcosα, donde αes el ángulo entre la cuerda ML y la vertical. Evidentemente, la cuerda AT del círculo de centro Oes igual y paralela a la cuerda ML; por tanto, el ángulo LMP es igual al ángulo KAT. Así pues, vvert =MP =v·cosα =p2g·HM ·cosα Comparemos el movimiento no uniforme por la cicloide, que por ahora desconocemos, con el movimiento uniforme por una circunferencia estudiado detalladamente en la escuela. Para esto, construyamos una circunferencia auxiliar y según la propuesta de Huygens lo haremos del siguiente modo: por el vértice Ade la cicloide se traza la perpendicular AD (el diámetro del círculo de centro O), y por el punto inicial del movimiento de la bola M1se traza la paralela M1Brespecto a su base. Supongamos que se denota con Bel punto de intersección de la paralela y la perpendicular. La circunferencia construida tomando AB como diámetro, será la circunferencia auxiliar que se necesita. Por ahora no sabemos en qué radica la superioridad de esta circunferencia respecto a otras, esto se aclarará a continuación y gradualmente con la exposición de los razonamientos de Huygens. Comencemos relacionando la componente vertical de la velocidad del movimiento de la bola con los elementos de la circunferencia auxiliar. Entonces, tenemos: MP =p2g·HMcosα =p2g·BKcosα 56 pues HM =BK. A partir del triángulo AKT obtenemos: cosα =KA AT pero AT = 2acosα, por lo cual: cosα =KA 2acosα cos2α=KA 2a de donde cosα =√KA √2a Sustituyendo en la primera fórmula obtenemos: MP =p2g·BKcosα =p2g·BK ·√KA √2a=rg a·√BK ·KA La última raíz cuadrada es igual a la media proporcional entre los segmentos BK y AK, es decir, entre los segmentos de la hipotenusa AB del triángulo ABC en los que dicha hipotenusa es dividida por la altura CK. Pero esta media proporcional, según el conocido teorema sobre los segmentos proporcionales en un triángulo rectángulo, es precisamente igual a la altura CK: BK ·KA = (CK)2 Por tanto, para la componente vertical MP de la velocidad del movimiento de la bola por la cicloide obtenemos finalmente: MP =rg a·CK Las magnitudes aygestán dadas desde un inicio y no están relacionadas ni con el punto Mni con la posición inicial M1. De este modo, el movimiento de la bola por la cicloide se determina totalmente por la cuerda KC de la circunferencia auxiliar, es decir, por la posición del punto Cen esta circunferencia. Consideremos el movimiento uniforme del punto Cpor la circunferencia auxiliar con velocidad angular de rg aradianes por segundo, es decir, 360 2πrg a 57 grados por segundo. Además, la velocidad del punto Cpor la circunferencia es igual al producto del radio de la circunferencia por la velocidad angular, expresada en radianes por segundo, es decir, igual a AB 2·rg a La velocidad wdel movimiento del punto de la circunferencia está dirigida por la tangente a la circunferencia, es decir, es perpendicular al radio. Su proyección sobre la vertical es igual a la propia velocidad wmultiplicada por el coseno del ángulo β. Pero es evidente que el ángulo βes igual al ángulo KCO1: ambos se obtienen si se sustrae el ángulo O1CE del ángulo recto. El coseno del ángulo KCO1es igual a KC :1 2AB Para la proyección vertical del movimiento uniforme por la circunferencia hallamos: wcosβ =AB 2·rg a·KC 1 2AB =rg a·KC =MP Hemos obtenido un importante resultado: cuando el punto se mueve uniformemente por la circunferencia, su proyección sobre la vertical se mueve de la misma manera que la proyección sobre la vertical de la bola que se desplaza por la cicloide. Las proyecciones de ambas velocidades en cualquier instante son iguales entre sí. De esto se deduce que el punto de la circunferencia (partiendo desde B) y la bola en la cicloide (partiendo desde M1) llegarán hasta Aal mismo tiempo. No es difícil calcular este tiempo. Anteriormente dijimos que un punto de la circunferencia auxiliar se mueve a rg aradianes por segundo, es decir, gira 1 radián en ra gsegundos, y π radianes (media circunferencia) en πra g. Se requiere exactamente el mismo tiempo para que la bola se desplace por la cicloide desde el punto M1hasta el punto A. El mismo tiempo será necesario para que por inercia se eleve hasta el punto M0 1; el mismo tiempo, para bajar de nuevo hasta A; el mismo tiempo, para volver otra vez a la posición inicial M1. Por tanto, el tiempo de la oscilación completa de la bola (período de oscilación) será igual a 4πra g. 58 Esta es una fórmula muy interesante. Notemos que el período del movimiento de la bola por la ranura cicloidal se determina totalmente mediante las dimensiones del canal (radio del círculo generador de la cicloide) y la aceleración de la gravedad. La posición del punto M1en la cicloide y su distancia hasta la recta M0M0 0no son importantes: independientemente del punto de la cicloide a partir del cual la bola comience a moverse, su período será el mismo. 3.2. Problema de la braquistocrona Para facilitar la comprensión, iremos haciendo un ejercicio a medida que avanzamos en la teoría acerca de la braquistocrona. Consideremos el triángulo ABC. Su hipotenusa AB es una rampa de 20 metros y su altura BC es de 12 metros. Calculemos el tiempo que tardará un coche de juguete en descender desde el vértice Bhasta la base Ade la rampa. Como es usual, no tendremos en cuenta el rozamiento. Figura 3.2: En busca del descenso más rápido Tras minuciosas observaciones, Galileo estableció la siguiente ley: el tiempo del movimiento de un cuerpo por un plano inclinado sometido sólo a la acción de la fuerza de gravedad se relaciona con la longitud del camino como el tiempo de su caída vertical desde la misma altura se relaciona con dicha altura. Esta formulación se puede sustituir por otra equivalente: el tiempo en el que el cuerpo se desliza por un plano inclinado bajo la acción de la fuerza de gravedad, es igual al tiempo de caída libre desde la misma altura, dividido por el seno del ángulo entre el plano inclinado y el horizonte. 59 Galileo estableció esta ley de forma experimental, pero no resulta difícil deducirla a partir de la ley de caída libre aplicando la regla de descomposición de las fuerzas. Así pues, comencemos por calcular el tiempo de caída libre de un cuerpo desde el punto Bhasta el punto C. Sabemos que la trayectoria de la caída libre BC se expresa mediante la aceleración de la gravedad (g= 9,81 m/s) y el tiempo t, de la siguiente forma: BC =1 2gt2 De donde, para el tiempo t, obtenemos: t=s2BC g=1 √g·2√6 = 0,32 ·4,90 = 1,57 Ahora no es difícil hallar el tiempo Tque tarda el cochecito en descender por el plano inclinado: es suficiente dividir el valor de t(1,57) por el seno del ángulo α (12/20 = 3/5) o, lo que es lo mismo, multiplicar tpor 5/3. Entonces obtenemos: T= 1,57 ·5 3= 2,61 De este modo, el coche descenderá por la rampa en 2,61 segundos. Ahora supongamos que el coche se desliza desde Bhasta Ano por la rampa, sino por el camino más complejo: primero lo hace por una rampa más abrupta BE y después continúa su desplazamiento por inercia por el tramo EA con la velocidad adquirida al descender. Recorrer la trayectoria desde Bhasta Ele toma un tiempo igual al tiempo de caída desde la altura de 12 metros dividido por el seno del ángulo β(multiplicado por 5/4), es decir, 1,57 ·5 4= 1,96 segundos. A este tiempo se debe añadir el tiempo del movimiento por inercia (en el segmento EA = 7 m). La velocidad que adquiere el coche cuando llega al punto Ese calcula comparando la energía potencial perdida (mgh) y la energía cinética adquirida mv2 2: mgh =mv2 2 de donde v=p2gh =√g·√24m/s 60 Para hallar el tiempo del movimiento por inercia del coche desde Ehasta A, es necesario dividir la trayectoria recorrida (7 metros) por la velocidad (√g·√24), pues el movimiento por inercia es uniforme: tEA = 7 : v=7 √g·2·√6= 0,32 ·7 12 ·√6 = 0,46 Al sumar el tiempo de descenso por la pendiente BE (1,96s) y el tiempo del movimiento por inercia (0,46 s), obtenemos el tiempo total del movimiento por la línea quebrada BEA, igual a 1,96s + 0,46s = 2,42s, es decir, resulta menor que el tiempo de descenso por la pendiente BA. A pesar de que la recta AB es la “distancia más corta” entre AyB, no es la trayectoria del “tiempo mínimo”: desde este punto de vista la línea quebrada BEA resulta “la más corta”. Esto es comprensible: la pérdida que supone una trayectoria más larga se compensa con creces con el aumento de velocidad obtenido debido a una mayor pendiente del plano inclinado. Estos razonamientos sugieren que lo más ventajoso para economizar tiempo sería la trayectoria por la línea quebrada BCA: primero el coche descendería por la recta BC, y después, pasando por una pequeña curvatura que le haría cambiar de dirección lo más suavemente posible, continuaría su movimiento, ahora por inercia, por la recta CA, manteniendo una elevada velocidad. Ya determinamos el tiempo de caída libre del coche por el cateto BC :t= 1,57s. La velocidad en el punto Cse calcula comparando la pérdida de energía potencial y la adquisición de energía cinética: v=√g·√24, como ya se calculó. Dividiendo la trayectoria CA (16m) por la velocidad, obtendremos el tiempo tCA: tCA = 16 : (√g·√24) = 0,32 ·4 3·2,45 = 1,04s Sumando a tCA el tiempo de caída libre (1,57s), obtendremos el tiempo total del movimiento por la línea quebrada BCA: tBCA = 1,57s+ 1,04s= 2,61s Resulta que esta trayectoria no es la óptima: el tiempo necesario para recorrerla es igual al tiempo en que se recorre la trayectoria por la recta BA, y por tanto, es notablemente mayor que el tiempo por la línea quebrada BEA. De las tres trayectorias consideradas, la línea quebrada BEA resultó ser la de menor duración (aunque no es la de menor longitud). 61 Surge el problema: por los puntos ByAque se encuentran a diferentes alturas sobre la superficie de la Tierra, trazar una curva a lo largo de la cual el movimiento de un cuerpo desde Bhasta A, bajo la acción de la gravedad, transcurra en el menor tiempo posible. La curva buscada se denominó “braquistocrona”, es decir, “curva del tiempo más corto”. Si los puntos ByAyacen en una misma vertical, entonces la “braquistocrona” es, evidentemente un segmento recto. En caso de no estar situados en una misma vertical la solución no es trivial, por lo cual analizaremos la braquistocrona más detalladamente. Para ello, como paso previo, supongamos que una partícula se mueve en forma rectilínea desde el punto Ahasta la recta HK, y después, desde HK hasta el punto B; además, desde Ahasta la recta HK la partícula se mueve con velocidad v, y desde la recta HK hasta B, con velocidad w. Demostremos que la trayectoria más breve en lo que al tiempo se refiere es aquella en la que la razón entre el seno del ángulo PCA y el seno del ángulo BCM es igual a la razón entre las velocidades v yw. Figura 3.3: Deducción de la ley de Snell 62 Sea ACB la trayectoria necesaria, es decir, sea la condición: senα senβ =v w Tomemos en HK el punto arbitrario Fy demostremos que el tiempo necesario para recorrer la trayectoria AFB es mayor que para recorrer ACB. Hagamos una construcción preliminar que nos facilite el análisis posterior. Tracemos perpendiculares desde el punto Fhasta el rayo incidente y hasta la dirección del rayo refractado (la terminología óptica es útil para la solución del problema sobre una partícula en movimiento). Dicho de otro modo, construyamos FD ⊥CA yFE ⊥BC. El ángulo DFC es igual a PCA (ángulo α), pues poseen lados perpendiculares entre sí. Por la misma razón, el ángulo CFE es igual BCM (ángulo β). Por tanto: senα =CD CF senβ =CE CF Al dividir estas expresiones una por la otra, reagruparlas y recordar que senα senβ =v w (según la ley de Snell2), obtenemos: CD CE =senα senβ =v w O bien: CD v=CE w Este es el resultado preliminar que necesitábamos. Comparemos ahora los tiempos que se emplean en el movimiento por las trayectorias ACB yAFB. Para las trayectorias ACB yAFB tenemos, correspondientemente: t=AC v+CB w t1=AF v+FB w 2Si la luz parte del medio Ae incide en el medio B, entonces la razón entre el seno del ángulo de incidencia y el seno del ángulo de refracción es una magnitud constante (igual a la razón entre el índice de refracción del medio By el índice de refracción del medio A). 63 (para determinar el tiempo en cada tramo rectilíneo del movimiento uniforme dividimos la trayectoria entre la velocidad). Es necesario demostrar que t<t1, es decir. AC v+CB w<AF v+FB w Transformaremos ahora la expresión para t. Sustituyamos el segmento AC por la suma AD +DC y obtenemos: t=AD +DC v+CB w=AD v+DC v+CB w Si sustituimos ahora CD vpor la expresión igual CE w, obtenemos: t=AD v+CE w+CB w=AD v+BE w pues CE +CB =BE. Queda un último paso: comparar los segmentos AD yAF. El primero es perpendicular, y el segundo, oblicuo con respecto a DF. Por tanto, AD <AF. Del mismo modo, EB <BF. Pero, si AD <AF, entonces AD v<AF v. Del mismo modo, BE w <BF w. Finalmente obtenemos: AD v+BE w<AF v+BF w Es decir, que t<t1. Así pues, hemos demostrado que el tiempo necesario para recorrer la trayectoria ACB es menor que el tiempo necesario para recorrer cualquier otra trayectoria. Así que ya estamos preparados para resolver el problema de la braquistocrona. A continuación mostraremos la solución dada por Jacob Bernoulli a este problema. Él comenzó por sustituir un problema difícil por una gran cantidad de problemas simples, es decir, elementales: dividió la diferencia de las alturas de los puntos Ay Ben una gran cantidad de partes iguales y trazó imaginariamente por los puntos de división planos paralelos, de modo que todo el espacio resultó “dividido en capas”. Si denotamos el grosor de cada capa con c, y el número de capas con n, entonces, evidentemente, el producto cn es igual a la magnitud h, la diferencia de las alturas 64 de los puntos AyB. Supongamos ahora que la velocidad de la partícula al pasar de una capa a otra no varía continuamente, sino a saltos. Además, en la primera capa (superior) esta velocidad es v1=√2gc, es decir, la velocidad que tendría la partícula bajo la acción de la gravedad al final de la primera capa. En la segunda capa la velocidad es v2=√2g·2c, es decir, la velocidad que tendría la partícula al final de la segunda capa en su movimiento natural. Análogamente, se deduce la velocidad que tendrá la partícula en cualquier capa. Como resultado, la partícula se moverá bajo la acción de la gravedad por una línea quebrada; además, si nes grande (paralelamente, el grosor de las capas será pequeño), el movimiento por la línea quebrada se aproximará al movimiento natural por un canal poligonal. Para determinar la forma de la línea quebrada que forma la trayectoria de la partícula en el caso aproximado del movimiento “a saltos”, es necesario determinar todos los ángulos en los vértices de esta línea quebrada. Es posible calcular también los ángulos que cada tramo de la línea quebrada forma con la vertical: es cómodo denotar estos ángulos mediante α1,α2,α3, etcétera, donde el índice de αindica el número de la capa. Analicemos el comportamiento de la partícula en la frontera de cualesquiera dos capas, por ejemplo, entre la quinta y la sexta; los razonamientos y los resultados serán los mismos para cualquier par de capas adyacentes. Para que el tiempo de recorrido por la quinta y la sexta capas sea el menor, es necesario que los senos de los ángulos correspondientes se relacionen como las velocidades en la quinta y sexta capas. Así pues, se debe cumplir la igualdad: senα5 senα6 =v5 v6 Pero v5=√2g·5cyv6=√2g·6c; por tanto: senα5 senα6 =√2g·5c √2g·6c=√5c √6c O bien: senα5 √5c=senα6 √6c Repitiendo este razonamiento para todos los pares de capas adyacentes, obtendremos una serie de igualdades: senα1 √c=senα2 √2c=senα3 √3c=senα4 √4c=... 65