Polinomio de Alexander y Homología Knot Floer a partir de diagramas de rejilla

Polinomio de Alexander y Homología Knot Floer a partir de diagramas de rejilla Pablo Regalado García Polinomio de Alexander y Homología Knot Floer a partir de diagramas de rejilla Pablo Regalado García Memoria presentada como parte de los requisitos para la obtención del título de Máster Universitario en Matemáticas por la Universidad de Sevilla. Tutorizada por Marithania Silvero Casanova Índice general Resumen 1 Introducción 3 1. Teoría de nudos 7 1.1. Nudos y enlaces equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2. Diagramas ................................. 10 1.3. Teorema de Reidemeister e invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2. Diagramas de rejilla 19 2.1. Diagramasderejilla............................ 19 2.2. Movimientos de rejilla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3. Polinomioderejilla ............................ 29 2.3.1. Invariancia del polinomio de rejilla . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.3.2. Equivalencia con polinomio de Alexander . . . . . . . . . . . 39 3. Homología de rejilla 45 3.1. Índices de Maslov y Alexander . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.2. La homología de rejilla fully blocked ................... 54 ii polinomio de alexander, homología knot floer y diagramas de rejilla 3.3. Cálculos para el enlace de Hopf y el nudo 41.............. 58 3.3.1. EnlacedeHopf .......................... 58 3.3.2. Nudo 41.............................. 62 3.4. La homología de rejilla: versiones unblocked ysimply blocked ..... 67 4. Polinomio y homología de rejilla: propiedades 71 4.1. Relación entre el polinomio de rejilla y la homología de rejilla fully blocked ................................... 71 4.2. Propiedades principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 4.2.1. Simetrías.............................. 79 4.2.2. Género............................... 79 4.2.3. Fibración ............................. 80 4.2.4. Mutaciones ............................ 81 Apéndices 83 Apéndice A. El polinomio de Alexander 85 A.1. Superficies de Seifert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 A.2. MatricesdeSeifert............................. 89 A.3. Polinomio de Alexander . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Apéndice B. Código para el cálculo de índices de Maslov y Alexander 99 Resumen La Teoría de nudos es una rama de las matemáticas que centra su estudio en los nudos y enlaces matemáticos. Su origen está ligado al problema de la clasificación de enlaces, siendo los invariantes las herramientas utilizadas para distinguirlos. Este trabajo se centra en dos invariantes de nudos y enlaces: el polinomio de Alexander y su categorificación, la homología knot Floer. Apoyados en la teoría de diagramas de rejilla, se presenta una aproximación combinatoria a ambos invariantes (conocidos como polinomio y homología de rejilla). Se describe la relación entre ambos invariantes y sus propiedades principales, presentando algunos ejemplos con cálculos explícitos. Abstract Knot Theory is a branch of Mathematics devoted to the study of mathematical knots and links. Its origin is related to the classification of links, where link invariants were introduced as a tool allowing to distinguish different links. This study focuses in two link invariants: Alexander polynomial and its categorification, knot Floer homology. Using grid diagrams, we present a combinatorial approach to both invariants (known as grid polynomial and grid homology). We also describe the relation between both invariants and their main properties, showing some examples with explicit computations. Introducción La Teoría de nudos comenzó a desarrollarse a finales del siglo XIX, motivada por la necesidad de descubrir y estudiar las propiedades topológicas de los nudos y enlaces. Lord Kelvin, físico y matemático del siglo XIX, sostenía que los distintos átomos se correspondían con vórtices anudados inmersos en éter, y que las propiedades químicas de los átomos podían estudiarse a través de la topología. Fue Peter Tait, también físico y matemático del siglo XIX, cercano a Lord Kelvin, quien comenzó un primer estudio sistemático de los nudos con este fin, estableciendo una primera clasificación de enlaces que abarcó nudos de hasta siete cruces. Sin embargo, Tait no contaba con las herramientas matemáticas adecuadas para realizar esta tarea. El primer catálogo que realizó agrupaba nudos equivalentes bajo la idea de poder “deformar” los nudos de manera suave, con argumentos empíricos. Pese a la falta de formalismo matemático y herramientas para el estudio, su catálogo fue exahustivo y únicamente se encontró un nudo duplicado posteriormente. Fue ya en el siglo XX cuando empezaron a establecerse las bases matemáticas de la Teoría de nudos, que permitieron definir los objetos de estudio y trabajar con ellos de manera formal. En particular, el problema de distinguir varias familias entre sí pudo abordarse gracias a la noción de invariante. En este trabajo estudiaremos algunos invariantes de gran importancia en el desarrollo de la Teoría de nudos. El polinomio de Alexander fue el primer invariante polinómico descubierto. En 1928, James Alexander publicó un artículo [1] en el que describía cómo asignar a cada enlace un polinomio a partir de un diagrama suyo. Este invariante supuso un gran avance por su capacidad para distinguir enlaces: solo ocho de entre los nudos con número de cruce menor o igual que nueve comparten polinomio con otro de la lista. Otros invariantes polinómicos fueron encontrados posteriormente. En particular, John Conway encontró un polinomio que resultó coincidir con el polinomio de Alexander, pero para el que se hacía explícita una relación de madeja [5], que permitía 10 polinomio de alexander, homología knot floer y diagramas de rejilla Por último, hablaremos de una forma particular de representar enlaces que aparecerá más adelante, los enlaces poligonales. En lugar de representar los enlaces como una cuerda flexible y curvada, podemos pensar en una sucesión de segmentos unidos por sus puntos extremos. Por ejemplo, diremos que la Figura 1.4 muestra un representante poligonal de un nudo. En particular, en el próximo capítulo necesitaremos el siguiente resultado: Figura 1.4: Representación poligonal del nudo trébol. Teorema 1.1 ([7]). Todo enlace admite un representante poligonal. Gracias a este teorema, podremos abordar una noción más rígida de los diagramas de enlaces de la que se definirá en la próxima sección, a través de los diagramas de rejilla. 1.2 Diagramas A la hora de especificar un enlace, debemos tratar de proporcionar toda la información relativa al objeto que estemos considerando. Los enlaces son objetos en un espacio tridimensional, y la manera concreta en que se encuentran embebidos es importante para poder distinguirlos entre sí. Pero no dejan de ser objetos geométricos, que nos gustaría poder visualizar de manera cómoda, en muchas ocasiones sobre un papel. ¿Cómo podemos representar un enlace entonces? En esta sección hablaremos de diagramas, que serán representaciones planas de enlaces que contienen toda la información necesaria para describirlos. Dado un plano Πen ℝ3, podemos considerar la proyección ortogonal 𝜋∶ℝ3→Π. 1. teoría de nudos 11 Figura 1.5: Una misma proyección, sin información adicional, puede dar lugar a nudos distintos. Es posible proyectar todo enlace sobre Πde manera que la proyección sea una curva cerrada sobre el plano, que puede presentar autointersecciones. Un punto 𝑥∈𝐿 se dice regular si 𝜋−1(𝑥)es un único punto, y singular en caso contrario. Un punto singular cuya preimagen sean dos puntos se denomina punto doble. La proyección de un enlace sobre un plano no ofrece una representación precisa del mismo, ya que los puntos singulares impiden distinguir qué arco se encuentra más cerca del plano en el que estamos proyectando. Por ejemplo, en el centro de la Figura 1.5 se muestra la proyección de un nudo. Se puede ver que la elección de la posición relativa de los arcos en un entorno de un punto singular puede dar lugar a distintos nudos: mientras que el nudo de la izquierda es el nudo trivial, el nudo de la derecha se corresponde con el nudo 41. Para poder hacer una representación precisa de un enlace 𝐿utilizaremos diagramas, con un convenio que permite sortear esta dificultad. En primer lugar, nos aseguraremos de que la proyección que utilizamos sea regular: esto significa que |𝜋−1(𝑥)|≤2para todo punto 𝑥∈𝐿, que no haya puntos de tangencia, y que además solo haya una cantidad finita de puntos singulares. No es una hipótesis restrictiva, en realidad, pedir que tomemos una proyección regular de un enlace, ya que siempre podemos encontrar un representante de la misma clase que sea poligonal, y colocarlo en posición general. Esto es equivalente a que la dirección de proyección no contenga aristas paralelas a ella y que los puntos singulares sean puntos dobles interiores a las aristas. Por tanto, todos los enlaces admiten proyecciones regulares. Definición 1.4. Un diagrama de un enlace 𝐿es una proyección regular 𝜋∶ℝ3→Πsobre un plano Π⊂ℝ3donde se ofrece información sobre la altura relativa en los puntos dobles, indicando mediante un trazo discontinuo el arco más cercano al plano en el que estamos proyectando. Los puntos dobles de un diagrama se denominan cruces. 12 polinomio de alexander, homología knot floer y diagramas de rejilla Figura 1.6: Dos nudos equivalentes. Dos diagramas se dicen equivalentes cuando representan enlaces equivalentes. Observación 1.1.Todo enlace admite infinitos diagramas. En la Figura 1.6 se muestran dos diagramas de un mismo nudo. Si el enlace de partida era un enlace orientado, podemos hablar también de diagramas orientados: basta con indicar la orientación de cada componente del enlace mediante una flecha en el sentido de recorrido. Los cruces de un diagrama nos permitirán definir en la próxima sección algunos invariantes muy útiles para clasificar nudos, como el número de cruces o el número de enlazamiento, necesarios para el desarrollo de los capítulos posteriores. Figura 1.7: Tabla de Rolfsen, extraída de [24]. 1. teoría de nudos 13 De hecho, el número de cruces es muy relevante para la creación de catálogos de enlaces, donde estos se etiquetan y clasifican en función del mismo, así como la multiplicidad del enlace y otro índice necesario para distinguir aún algunas clases de equivalencia. Por ejemplo, la Figura 1.7 muestra una clasificación de todos los nudos distintos que pueden representarse mediante diagramas con un número de cruces menor o igual que 7. La importancia de los diagramas va más allá de obtener una forma de representar los enlaces. Terminaremos la sección con algunos tipos particulares de diagramas, que recuperaremos en la Sección 4.2, al explorar algunas propiedades de los invariantes que se tratan en esta memoria. Definición 1.5. Un diagrama de un enlace se dice alternante si al recorrer cada componente, cada vez que nos encontramos con un cruce vamos alternando entre pasar por el arco superior de un cruce y pasar por el arco inferior. Un enlace se dice alternante si puede representarse mediante un diagrama alternante. Por ejemplo, los diagramas de la Figura 1.7 son alternantes. Notemos que un enlace alternante puede tener diagramas no alternantes. Definición 1.6. Dado un enlace 𝐿y un diagrama suyo 𝐷, definimos su imagen especular 𝐿∗como el enlace representado por el diagrama 𝐷∗, obtenido a partir de 𝐷 intercambiando la posición relativa de los arcos en cada cruce. En la Sección 4.2 se probará que el nudo 31no es equivalente a su imagen especular. 1.3 Teorema de Reidemeister e invariantes Para terminar con el capítulo, vamos analizar el problema de la clasificación de enlaces. El primer catálogo de nudos, creado por Peter Tait, agrupaba los nudos en diferentes familias de la misma clase de equivalencia. Sin embargo, no podía llegar a distinguir las familias entre sí: quedaba abierta la posibilidad de que varias familias, en realidad, fueran la misma. Como es habitual en Matemáticas, en este contexto se ve la necesidad no solo encontrar formas de identificar objetos similares, sino también de distinguir los que no lo son. ¿Podemos asegurar, por ejemplo, que hay nudos no triviales? Con los contenidos presentados hasta este punto, no es posible responder a esta pregunta. En esta sección vamos a enunciar el Teorema de Reidemeister, que 14 polinomio de alexander, homología knot floer y diagramas de rejilla Figura 1.8: Movimientos de Reidemeister. da una solución teórica al problema planteado, y posteriormente introduciremos el concepto de invariante, que permitirá distinguir enlaces no equivalentes. El Teorema de Reidemeister es uno de los pilares fundamentales de la Teoría de nudos. Dado un diagrama 𝐷de un enlace, podemos obtener otro diagrama equivalente al realizar ciertos movimientos concretos, que llamaremos movimientos de Reidemeister. Los movimientos de Reidemeister se muestran en la Figura 1.8 y consisten en modificaciones en un entorno del diagrama, manteniendo el resto del diagrama inalterado (en la figura, el entorno considerado se marca con un línea discontinua). Para distinguirlos, los denotaremos como movimientos de Reidemeister de tipo I, II y III, respectivamente. La importancia de estos movientos radica en que son los únicos necesarios para demostrar que dos diagramas son equivalentes, como indica el siguiente resultado: Teorema 1.2 (Teorema de Reidemeister, [21]). Dos diagramas son equivalentes si y solo si existe una sucesión finita de movimientos de Reidemeister que permite pasar de un diagrama al otro. Una demostración del teorema, que puede consultarse en [12, Capítulo 6], se basa en la posibilidad de trabajar con diagramas poligonales de enlaces, en los que se realizan una serie de movimientos equivalentes a los movimientos de Reidemeister. 1. teoría de nudos 15 Es evidente la importancia del teorema anterior para el estudio de la equivalencia de enlaces. Si tenemos dos enlaces 𝐿1y𝐿2, ¿podemos determinar si son equivalentes? El teorema nos garantiza que la pregunta tiene respuesta (es resoluble), pero no que sepamos responderla (¿es decidible?). Si no encontramos la sucesión de movimientos que nos permita pasar de un diagrama a otro, ¿se debe a que los dos enlaces son distintos, o simplemente no hemos dado con una sucesión de movimientos adecuada? Podría parecer que la respuesta es sencilla: tomamos dos diagramas 𝐷1y𝐷2de los enlaces, donde suponemos que 𝐷1tiene más cruces que 𝐷2, y aplicamos todas las sucesiones posibles de movimientos de Reidemeister que disminuyan el número de cruces a 𝐷1. Si en algún punto obtenemos 𝐷2, entonces se trata de enlaces equivalentes. Pero si esto no ocurre, aún no podemos asegurar que sean distintos, ya que para encontrar la sucesión de movimientos podría ser necesario, en algún momento, aumentar el número de cruces de 𝐷1. A finales de la década de 1990, se encontró una cota superior al número de movimientos que había que realizar que aumentaban el número de cruces de un diagrama [11], de manera que se puede encontrar una cota superior al número de posibles secuencias de movimientos, y por tanto el problema es decidible. La cota, sin embargo, es muy elevada, de forma que en la práctica no es viable un algoritmo exahustivo, que trate de encontrar la sucesión correcta. Como ejemplo, para ver si un diagrama con un cruce representa al nudo trivial, la cota es superior al número de átomos en el universo observable, pese a que podemos fácilmente comprobar la equivalencia. Es por esta razón que recurrimos a los invariantes cuando queremos distinguir enlaces. Vamos a comenzar definiendo qué son: Definición 1.7. Un invariante es una aplicación 𝑓∶→𝑆que tiene como conjunto de partida el conjunto de enlaces, , y como llegada un conjunto arbitrario, 𝑆, con la propiedad de que si tomamos 𝐿1y𝐿2enlaces equivalentes, entonces 𝑓(𝐿1)y𝑓(𝐿2) coinciden. Los invariantes pueden ser de muchos tipos: un número (como el número de cruces), una propiedad que se puede verificar o no (como la tricoloreabilidad), un polinomio (el polinomio de Alexander), o una familia de grupos (como la homología de rejilla). Dado un enlace, su multiplicidad es claramente un invariante (así, el nudo trivial y el enlace de Hopf no son equivalentes). También podemos definir el índice poligonal como el menor número de aristas que tiene un representante poligonal del enlace, y el número de cruces como el menor número de cruces tomado entre todos los diagramas 16 polinomio de alexander, homología knot floer y diagramas de rejilla Figura 1.9: Cruce positivo (izquierda) y cruce negativo (derecha). de que representan al enlace. En este caso es sencillo comprobar que ambas cantidades son invariantes, ya que existen y estamos minimizando una cantidad dentro de la clase de equivalencia. No obstante, demostrar que una determinada aplicación es un invariante puede ser complejo, en general. Gracias al Teorema de Reidemeister, podemos encontrar nuevos invariantes definidos en términos de diagramas, ya que probar que una determinada aplicación toma el mismo valor para diagramas equivalentes se reduce a probar que toma el mismo valor cuando realizamos cada uno de los tres movimientos de Reidemeister. Para terminar el capítulo, introducimos un invariante que utilizaremos más adelante: el número de enlazamiento. Sea 𝐷un diagrama de un enlace orientado 𝐿y consideremos un cruce 𝑐en el diagrama (que denotamos por 𝑐∈𝐷). La orientación de los arcos en un entorno del cruce permite asignar un signo al cruce, 𝜀(𝑐), como se muestra en la Figura 1.9. Diremos que un cruce es positivo (respectivamente negativo) si al desplazarnos por el arco superior en el sentido de la orientación, vemos el arco inferior orientado hacia la izquierda (respectivamente hacia la derecha). Definición 1.8. Sea 𝐿=𝐾1∪𝐾2un enlace orientado con multiplicidad dos, y sea 𝐷=𝐷1∪𝐷2un diagrama orientado de 𝐿, donde 𝐷1y𝐷2son diagramas respectivos de los nudos 𝐾1y𝐾2. Denotemos por 𝑐∈𝐷1∩𝐷2los cruces en 𝐷donde los arcos que se cruzan pertenecen a componentes distintas (uno en 𝐷1y otro en 𝐷2). Se define el número de enlazamiento del diagrama: 𝑙𝑘(𝐷1, 𝐷2) = 1 2∑ 𝑐∈𝐷1∩𝐷2 𝜀(𝑐). En general, si 𝐿=𝐾1∪⋯∪𝐾𝑟es un enlace de multiplicidad 𝑟 > 2y tenemos un diagrama 𝐷=𝐷1∪⋯∪𝐷𝑟suyo, se define el número de enlazamiento del diagrama como: 𝑙𝑘(𝐷) = ∑ 𝑖<𝑗 𝑙𝑘(𝐷𝑖, 𝐷𝑗). 1. teoría de nudos 17 Figura 1.10: Número de enlazamiento para el enlace de Hopf con dos orientaciones distintas y el enlace trivial de dos componentes. Ejemplo 1.1.En la Figura 1.10 se han representado el enlace de Hopf (izquierda), el enlace trivial de dos componentes (centro) y el enlace de Hopf donde se ha invertido la orientación de una de sus componentes (derecha). Podemos ver que cada uno de ellos tiene un número de enlazamiento distinto. Para el diagrama de la izquierda, vemos dos cruces producidos por la intersección de dos arcos en dos componentes distintas del enlace. Por tanto, para calcular el número de enlazamiento de las dos componentes, debemos sumar el signo de los dos cruces y dividir por dos. Utilizando el convenio ilustrado en la Figura 1.9 vemos que ambos cruces son negativos, por lo que el número de enlazamiento es −1. Para el diagrama central, los dos cruces se producen de nuevo entre las dos componentes del enlace. Ahora, sin embargo, el cruce superior tiene signo negativo, mientras que el inferior tiene signo positivo. Por consiguiente, al sumar sus signos obtenemos un número de enlazamiento nulo. Para el diagrama de la derecha, los dos cruces se producen entre las dos componentes del enlace y esta vez tienen ambos signo positivo, según lo hemos definido. Por tanto, su número de enlazamiento es +1. Haremos uso del Teorema de Reidemeister para probar el siguiente resultado: Proposición 1.1.El número de enlazamiento es un invariante de enlace. Demostración. Gracias al Teorema 1.2, solo necesitamos comprobar que el número de enlazamiento no cambia al realizar un movimiento de Reidemeister. Figura 1.11: Signo de los cruces al aplicar un movimiento de Reidemeister de tipo II. 18 polinomio de alexander, homología knot floer y diagramas de rejilla Figura 1.12: Signo de los cruces al aplicar un movimiento de Reidemeister de tipo III. Para los movimientos de Reidemeister de tipo I es evidente, puesto que el único cruce que se introduce o se elimina es de una componente consigo misma, así que no contribuye al número de enlazamiento. Para un movimiento de Reidemeister de tipo II, es evidente que el número de enlazamiento no varía si los arcos pertenecen a la misma componente. En caso contrario, hay cuatro posibilidades distintas en función de las orientaciones de los arcos (que puede reducirse a dos por simetría). En todos los casos, los dos cruces a los que da lugar tienen signos opuestos, así que el número de enlazamiento no varía, como se puede observar en la Figura 1.11. Para los movimientos de Reidemeister de tipo III nos encontramos con ocho casos, ya que tenemos dos posibles orientaciones para los tres arcos que intervienen en el movimiento. En la Figura 1.12 se ilustra uno de los casos: como puede comprobarse los signos de los cruces y las componentes a las que pertenencen los arcos que se cruzan se preservan en todo momento, así que no se modifica el número de enlazamiento. Esto es general y ocurre para todas las posibles orientaciones de los arcos, de manera que el número de enlazamiento permanece inalterado al realizar un movimiento de Reidemeister de tipo III. 2 Diagramas de rejilla En este capítulo se presentará una nueva forma de representar los nudos y enlaces: los diagramas de rejilla, que fueron utilizados por primera vez en [22] por Brunn, donde el enfoque topológico de la Teoría de nudos toma un carácter más combinatorio. El objetivo de este capítulo será describir varios resultados clásicos desde este nuevo punto de vista. En particular, se analizará la equivalencia de diagramas de rejilla mediante los llamados movimientos de rejilla, y se introducirá un invariante polinómico construido a partir de estos diagramas, que coincidirá con el polinomio de Alexander. A partir de este capítulo, se utilizará como referencia principal el libro de Ozsváth, Stipsicz y Szabó [19]. 2.1 Diagramas de rejilla Comenzaremos el capítulo explicando qué es un diagrama de rejilla. La idea subyacente es codificar la información de un diagrama de un enlace dentro de una cuadrícula (rejilla), pero necesitaremos imponerle algunas condiciones adicionales para no encontrarnos con dificultades a la hora de desarrollar esta teoría. Definición 2.1 (Diagrama de rejilla). Un diagrama de rejilla odiagrama grid 𝔾 es una tabla con 𝑛filas y 𝑛columnas, cuyas celdas contienen marcas ×y marcas ○, de manera que en una misma celda no puede haber dos marcas distintas, y en cada fila y columna hay una única marca de cada tipo. Al conjunto de todas las marcas ○ (respectivamente, ×) lo denotaremos por 𝕆(respectivamente, 𝕏). Decimos que el índice de rejilla de un diagrama de rejilla 𝔾es el número 𝑛de filas (o columnas) en 𝔾. En la Figura 2.1 se muestra un ejemplo de un diagrama de rejilla. Es posible asociar 26 polinomio de alexander, homología knot floer y diagramas de rejilla Los intercambios podemos interpretarlos como una especie de “caso límite” de una conmutación (Definición 2.2), donde permitimos que los extremos de los segmentos coincidan. Como tal, son cambios que preservan la clase de equivalencia del enlace, al igual que las conmutaciones. En la Figura 2.5 se muestra un ejemplo de este movimiento. Figura 2.5: Ejemplo de intercambio de dos columnas especiales. La invariancia de un enlace ante intercambio puede comprobarse directamente, como hemos hecho con las conmutaciones. Sin embargo, el Teorema 2.1 nos da una prueba alternativa, haciendo uso de los movimientos de rejilla. Proposición 2.2.Los intercambios preservan la clase de equivalencia de un enlace. Demostración. La demostración de esta proposición consiste en escribir el movimiento como sucesión de conmutaciones, estabilizaciones y desestabilizaciones. Para ello, basta con realizar una estabilización para lograr separar las dos marcas que coinciden en una misma fila o columna (por ser especiales, en el sentido de la Definición 2.4), aplicar una conmutación, y luego una desestabilización para recuperar el diagrama original. La Figura 2.6 ejemplifica esta sucesión de movimientos necesaria para llevar a cabo un intercambio, ilustrando la demostración. Definición 2.5. Un cambio de cruces es una permutación de dos filas (respectivamente dos columnas) contiguas que no es una conmutación ni un intercambio; es decir, cuyos segmentos horizontales (respectivamente verticales) entre marcas ni son disjuntos ni están contenidos uno en el otro. Es fácil encontrar ejemplos en los que un cambio de cruces da lugar a dos diagramas que representan nudos distintos, a partir de rejillas de tamaño mayor o igual a 2. diagramas de rejilla 27 Figura 2.6: Un intercambio como el de la Figura 2.5 se puede escribir como una estabilización ×:NE, una conmutación y una desestabilización ○:SE. Figura 2.7: Cambio de cruces y cambio de signo. cuatro. De hecho, es fácil comprobar que los enlaces representados por dos diagramas que difieren en un cambio de cruces se distinguen únicamente en el cambio de signo de uno de sus cruces. Un ejemplo de esto puede verse en la Figura 2.7, donde el cruce del diagrama de la izquierda es positivo, mientras que el de la derecha es negativo. Esta transformación es la primera y única de las que trataremos en el trabajo que cambia la clase de equivalencia del enlace. Pese a esto, será fundamental a la hora de comprobar que el polinomio de rejilla coincide con el polinomio de Alexander, ya que nos permite interpretar el signo de un cruce de manera combinatoria, como la posición relativa de dos filas o columnas que no conmutan. La última transformación que falta por estudiar nos ayudará a definir la homología de rejilla, para la que es conveniente considerar los diagramas sobre una superficie tórica, donde no existen primera ni útima fila, en lugar de sobre un plano. Para ello haremos uso de una transformación que preserva la clase de equivalencia del enlace y que llamaremos permutación cíclica. 28 polinomio de alexander, homología knot floer y diagramas de rejilla Figura 2.8: Descomposición de una permutación cíclica como sucesión de movimientos de rejilla. Definición 2.6. Una permutación cíclica consiste en permutar cíclicamente todas las filas o columnas de un diagrama; es decir, llevar la fila (o columna) 𝑖-ésima a la fila (o columna) (𝑖+ 1)-ésima (módulo 𝑛), para todo 𝑖∈ {1,…𝑛}. Las permutaciones cíclicas nos permiten de cierta forma identificar los extremos superior e inferior de la cuadrícula, así como los extremos derechos e izquierdo. Esto es, podemos considerar que las rejillas sobre las que dibujamos los enlaces son la superficie de un toro, donde los puntos con coordenadas (𝑛, 𝑦)y(𝑥, 𝑛)se identifican con los puntos (0, 𝑦)y(𝑥, 0), respectivamente. Proposición 2.3.Las permutaciones cíclicas preservan la clase de equivalencia del diagrama de rejilla. Demostración. Para realizar esta prueba trataremos de llevar la fila superior a la fila inferior mediante una sucesión de movimientos de rejilla, que elevarán el resto de filas en una posición (si trabajamos por columnas, el razonamiento es análogo). Sin pérdida de generalidad, partiremos de un diagrama de índice de rejilla 𝑛, como el de la Figura 2.8, en el que hay dos marcas ×en las posiciones (𝑙, 𝑘)y(𝑛, 𝑖), y dos marcas ○ en las posiciones (𝑛, 𝑘)y(𝑗, 𝑖). El primer paso consiste en realizar una estabilización de tipo ○∶𝑁𝑊 , tomando como referencia la marca en la posición (𝑗, 𝑖). Siempre que realizamos una estabilización, una de las dos filas (y columnas) nuevas que obtenemos verifica que las marcas ×y○se encuentran en posiciones adya- 2. diagramas de rejilla 29 centes (en la Figura 2.8, esto sucede en la fila 𝑗). Cuando esto ocurre podemos “desplazar” con libertad dicha fila por el diagrama mediante una sucesión de conmutaciones o intercambios, sin alterar la clase de equivalencia del diagrama. De esta forma, podemos llevar la fila 𝑗a la fila primera, como se muestra en el segundo paso. Al hacer esto, vemos ahora que la columna 𝑖tiene una marca en la fila superior y otra en la fila inferior. Al igual que antes, cuando esto sucede, podemos “desplazar” dicha columna por el diagrama mediante intercambios y conmutaciones. Así, llevamos la columna 𝑖a la 𝑘+ 1, como se muestra en el tercer paso. A continuación, como la fila 𝑛tiene sus marcas en columnas adyacentes, realizamos conmutaciones e intercambios para llevar esta fila a la fila 𝑙+2, como se muestra en el cuarto paso. Por último, se realiza una desestabilización para recuperar la dimensión original del diagrama, tomando como referencia la marca ○en la posición (𝑘, 𝑙 + 2). El resultado es una permutación cíclica, ya que todas las filas han aumentado en uno su posición, al ir conmutando las filas con marcas adyacentes, y hemos llevado la fila 𝑛a la fila primera. Esto completa la prueba. Con estas transformaciones, tenemos ya todas las herramientas que necesitaremos para abordar los invariantes de enlace que trataremos en las próximas secciones. 2.3 Polinomio de rejilla El objetivo de esta sección es, dado un diagrama de rejilla 𝔾, definir un polinomio 𝐷(𝔾) ∈ ℤ[𝑡1∕2, 𝑡−1∕2], llamado polinomio de rejilla, y demostrar que es un invariante de enlace. Al final de la sección, se comprobará que el polinomio de rejilla coincide con el polinomio de Alexander, el primer invariante polinómico introducido en [1]. Por completitud, en el Apéndice A se presenta una aproximación geométrica a este invariante. Comenzaremos con algunas definiciones previas. Definición 2.7. Sea 𝛾 ⊂ ℝ2una curva cerrada y sea 𝑝∈ℝ⧵𝛾un punto no contenido en 𝛾. Se define el índice o winding number de 𝛾en 𝑝, denotado por 𝑤𝛾(𝑝), como el número de vueltas (con signo) que la curva da alrededor del punto 𝑝, donde se toma como sentido de giro positivo el sentido antihorario. 30 polinomio de alexander, homología knot floer y diagramas de rejilla Figura 2.9: Curva 𝛾y puntos 𝑃y𝑄ilustrando el Ejemplo 2.1. En general, se suprimirá el subíndice si no hay confusión con la curva que estamos considerando. El cálculo del winding number se puede realizar como se indica a continuación. En primer lugar, trazamos una semirrecta partiendo del punto 𝑝, en una dirección arbitraria. La intersección de esta semirrecta y la curva será un número finito de puntos. A continuación, calculamos la intersección algebraica de la semirrecta con la curva: para esto, sumamos las contribuciones de cada punto en la intersección de la semirrecta y la curva (que será +1 si el sentido de la curva en un entorno del punto es antihorario, y −1 en caso contrario). El resultado de esta operación coincide con el winding number en 𝑝y se puede demostrar que el valor obtenido no depende de la dirección de la semirrecta seleccionada (ver [4] para una prueba). Ejemplo 2.1.Sea 𝛾la curva cerrada que se muestra en la Figura 2.9, y sean 𝑃y𝑄los puntos indicados en la misma figura. Vamos a calcular el winding number de ambos puntos. Para el punto 𝑃vamos a trazar una semirrecta partiendo del punto, en una dirección arbitraria, como se ilustra en la Figura 2.9. Encontramos dos puntos de corte de la semirrecta con 𝛾. En un entorno del primero, la curva tiene orientación negativa (sentido horario), mientras que en un entorno del segundo la orientación es positiva (sentido antihorario). Por tanto, su winding number es 𝑤(𝑃) = −1 + 1 = 0. Por otro lado, para el punto 𝑄trazamos una semirrecta como en la figura y encontramos únicamente un punto de corte de la semirrecta y 𝛾. Como el sentido de recorrido de la curva en un entorno del punto es antihorario, su winding number es 𝑤(𝑄) = −1. De manera similar a la definición geométrica del polinomio de Alexander para enlaces clásicos (que puede consultarse en el Apéndice A), el polinomio de Alexander 2. diagramas de rejilla 31 para diagramas de rejilla se calcula a partir del determinante de cierta matriz, que hace uso del winding number del diagrama (visto como curva cerrada) para distintos puntos de la rejilla. Recordemos que habíamos definido unas coordenadas para estos puntos, de manera que situábamos el origen de coordenadas sobre la esquina inferior izquierda, con la distancia entre líneas paralelas igual a uno. Definición 2.8. Dado un diagrama de rejilla 𝔾con índice de rejilla 𝑛, su matriz de rejilla 𝑀(𝔾)asociada es una matriz cuadrada de orden 𝑛, en la que la entrada (𝑖, 𝑗) toma el valor 𝑡−𝑤(𝑝𝑖,𝑗), donde el punto 𝑝𝑖,𝑗 es el de coordenadas (𝑗− 1, 𝑛 −𝑖). Los índices de la matriz están asignados de manera que las entradas de la matriz se correspondan “visualmente" con las esquinas de las casillas de la rejilla, suprimiendo la fila superior y la columna de la derecha (que, como ya vimos en la sección anterior, podíamos identificar con la fila inferior y columna izquierda). De este modo, por ejemplo, la entrada (1,1) de la matriz se asocia al punto de coordenadas (0, 𝑛 − 1). A partir de la matriz grid de un diagrama y junto a un factor que dependerá del tamaño de la rejilla, podemos calcular un polinomio en la variable 𝑡, pero en principio solo será invariante salvo una potencia de 𝑡y salvo un signo. Para evitar esta ambigüedad a la hora de determinar el polinomio de un enlace concreto, vamos a introducir dos cantidades que nos permitirán fijar ambos datos, para conseguir que el polinomio sea simétrico y que esté normalizado (es decir, sea el polinomio constante igual a uno para el nudo trivial). Dado un diagrama 𝔾, denotaremos por 𝑎(𝔾)al valor obtenido al sumar el winding number de la curva cerrada a la que da lugar el diagrama para los cuatro vértices de todas las celdas sobre las que se encuentre una marca, y dividir el resultado por ocho. Es decir, si en un diagrama tenemos una marca en la fila 𝑖y columna 𝑗, tendremos que sumar las contribuciones del winding number para los puntos (𝑖− 1, 𝑗 − 1),(𝑖− 1, 𝑗),(𝑖, 𝑗 −1),(𝑖, 𝑗). En caso de que dos o más celdas que contienen marcas compartan alguna esquina, habrá que sumar las contribuciones de los puntos en común tantas veces como marcas haya. Por último, para evitar la ambigüedad respecto del signo, utilizaremos la permutación 𝜎𝕆que caracteriza cada diagrama, viendo cómo se relaciona con otra permutación fija. Dado un diagrama 𝔾, denotaremos por 𝜀(𝔾)al signo de la permutación 𝜏 tal que 𝜏𝜎𝕆= (𝑛, 𝑛 − 1,…,1). Definición 2.9. Dado un diagrama 𝔾con índice de rejilla 𝑛, definimos el polinomio 32 polinomio de alexander, homología knot floer y diagramas de rejilla Figura 2.10: Diagrama para el nudo 41. Se han trazado dos semirrectas para calcular el índice de los puntos de coordenadas (2,2) y(3,4). de rejilla de 𝔾,𝐷(𝔾), de la siguiente manera: 𝐷(𝔾) = 𝜀(𝔾)⋅𝑑𝑒𝑡(𝑀(𝔾)) ⋅(𝑡−1∕2 −𝑡1∕2)1−𝑛⋅𝑡𝑎(𝔾).(2.1) Más adelante veremos que el polinomio 𝐷(𝔾)así definido coincide con el polinomio de Alexander del enlace orientado que representa 𝔾. No obstante, antes de enunciar y demostrar ese teorema vamos a hacer un cálculo de este polinomio a modo de ejemplo, para ver cómo se obtienen las diversas cantidades involucradas en la ecuación (2.1) (con las que será útil familiarizarnos de cara a la prueba del próximo teorema). Ejemplo 2.2.Sea 𝔾el diagrama de rejilla del nudo 41mostrado en la Figura 2.10. Vamos a empezar viendo, por ejemplo, cómo se obtienen algunos valores de la matriz de rejilla 𝑀(𝔾), que serán las entradas (4,3) y(2,4). La entrada (4,3) proviene del punto de coordenadas 𝑃= (2,2). Si trazamos una semirrecta vertical hacia arriba partiendo de 𝑃, vemos que se producen dos puntos de intersección con la curva dada por 𝔾: estos puntos se encuentran en la tercera y sexta fila. En ambas intersecciones vemos que el arco de nudo correspondiente está orientado en sentido horario, y por tanto contribuyen como un −1. Al sumar las dos contribuciones obtenemos un winding number de −2, y por tanto la entrada 𝑚4,3=𝑡2. 2. diagramas de rejilla 33 Para la entrada (2,4) de la matriz, debemos fijarnos en el punto de coordenadas 𝑄= (3,4). Podemos trazar una semirrecta hacia arriba partiendo de 𝑄, cuya intersección con el diagrama son dos puntos situados en la quinta y sexta fila. En un entorno del punto de intersección en la quinta fila nos encontramos un arco de nudo que está orientado positivamente (sentido antihorario), mientras que en un entorno del punto de intersección en la sexta fila, el arco de nudo está orientado negativamente (sentido horario), de modo que el winding number en ese punto será nulo, así que la entrada de la matriz será 𝑚2,4=𝑡0= 1. Haciendo el cálculo del resto de índices, obtenemos la siguiente matriz cuadrada de orden 6. 𝑀(𝔾) = ⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝ 1𝑡 𝑡 𝑡 1 1 1𝑡 𝑡 1𝑡−1 1 1𝑡 𝑡 1 1 𝑡 1𝑡 𝑡2𝑡 𝑡 𝑡 1 1 𝑡 𝑡 𝑡 𝑡 1 1 1 1 1 1 ⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ , cuyo determinante es el polinomio: 𝑑𝑒𝑡(𝑀(𝔾)) = −𝑡6+ 8𝑡5− 26𝑡4+ 45𝑡3− 45𝑡2+ 26𝑡−8+𝑡−1. Respecto al signo 𝜀(𝔾), recordemos que si tenemos una marca ○en la fila 𝑗y columna 𝑖, entonces 𝜎𝕆(𝑖) = 𝑗. Ahora debemos encontrar una permutación 𝜏tal que 𝜏𝜎𝕆= (6,5,4,3,2,1). Como para el diagrama de la figura 𝜎𝕆= (16)(23) = (6,3,2,4,5,1), la permutación que buscamos es 𝜏= (3524), así que 𝜀(𝔾) = sgn(𝜏) = −1. Ya solo nos falta calcular valor de 𝑎(𝔾), para el que sumaremos primero los índices de las esquinas de las casillas con marca ○(empezando de izquierda a derecha) y luego los de las esquinas de las casillas con marca ×. Podemos ver, por ejemplo, que la marca ○en la segunda columna (posición (3,2)) aporta un término −5. Trazando cuatro semirrectas verticales hacia arriba que parten de las cuatro esquinas de esta celda, es sencillo comprobar que las dos esquinas superiores tienen un valor del winding number de −1 cada una (solo hay un punto en la intersección de la semirrecta y el nudo, en la sexta fila, y en un entorno del punto el arco de nudo tiene orientación en sentido horario); la esquina inferior izquierda también tiene winding number −1 por la misma razón, y la esquina inferior derecha tiene winding number −2 (dos puntos de intersección en la tercera y sexta fila, donde las contribuciones son negativas). 34 polinomio de alexander, homología knot floer y diagramas de rejilla Considerando las contribuciones de las 12 marcas de 𝔾, obtenemos: 𝑎(𝔾) = −1−5−5+1+1−1−1−1−3−1−3−1 8= −5 2. Así, sustituyendo en la expresión (2.1), obtenemos: 𝐷(𝔾) = (−1)⋅(−𝑡6+8𝑡5−26𝑡4+45𝑡3−45𝑡2+26𝑡−8+𝑡−1)⋅(𝑡−1∕2−𝑡1∕2)−5⋅𝑡−5∕2 = −𝑡+3−𝑡−1. 2.3.1 Invariancia del polinomio de rejilla En esta sección probaremos que el polinommio de rejilla es un invariante de enlace. Teorema 2.2 (Invariancia del polinomio 𝐷(𝔾)). El polinomio 𝐷(𝔾)es un invariante de enlaces. Demostración. En virtud del Teorema 2.1, únicamente tendremos que probar que 𝐷(𝔾)es invariante ante conmutaciones, estabilizaciones y desestabilizaciones. Invariancia ante conmutaciones: Vamos a realizar la prueba para el primer caso de la Definición 2.2, en el que uno de los segmentos verticales de una de las filas está contenido en el segmento vertical de la otra fila al proyectarlos sobre una misma recta vertical, ya que el segundo caso se comprueba de manera similar y es más sencillo de tratar. Además, la demostración depende de la posición de las marcas ×y○, así que solo se tratará uno de los casos (para el resto la demostración es idéntica, sin más que cambiar algunos signos). Supongamos que partimos de un diagrama 𝔾y conmutamos las columnas 𝑖e𝑖+ 1 para obtener un diagrama 𝔾′, como se muestra en la Figura 2.11. Supongamos que la columna cuyo segmento es menor (en el diagrama 𝔾, la columna 𝑖+ 1) tiene sus marcas en las filas 𝑘1y𝑘2, mientras que la columna cuyo segmento es mayor (en el diagrama 𝔾, la columna 𝑖) tiene sus marcas en las filas 𝑘′ 1y𝑘′ 2. Veamos cómo difieren 𝑀(𝔾′), 𝜀(𝔾′)y𝑎(𝔾′)de las mismas cantidades para 𝔾. En primer lugar, las únicas entradas de la matriz 𝑀(𝔾′)distintas de las de 𝑀(𝔾) son las que provienen de los puntos con primera coordenada 𝑥=𝑖, ya que estamos 2. diagramas de rejilla 35 Figura 2.11: Conmutamos las filas 𝑖e𝑖+ 1 en 𝔾para obtener un diagrama 𝔾′. Se ha indicado en rojo la primera coordenada de los vértices de las celdas. conmutando las columnas 𝑖e𝑖+1 del diagrama original y por tanto solo modificamos el diagrama 𝔾en un entorno de dichas columnas. Es más, si consideramos puntos con segunda coordenada 𝑦mayor que 𝑘′ 2o menor que 𝑘′ 1, entonces la entrada de la matriz correspondiente tampoco se ve modificada ante la conmutación, ya que al trazar semirrectas horizontales hacia la derecha vemos que el winding number en esos puntos es el mismo para los diagramas 𝔾y𝔾′. Nos preocuparemos únicamente, por tanto, de los puntos con coordenadas 𝑥=𝑖y𝑘′ 1<𝑦<𝑘′ 2. Durante la prueba, denotaremos por 𝑤(𝑥,𝑦)al winding number en el punto de coordenadas (𝑥, 𝑦)en el diagrama 𝔾, y por 𝑤′ (𝑥,𝑦)al winding number en el mismo punto para el diagrama 𝔾′. Vamos a ver cómo son las entradas de la matriz de rejilla en las que se diferencian 𝑀(𝔾)y𝑀(𝔾′). Podemos encontrarnos con dos casos. El primero se corresponde con entradas de la matriz de rejilla asociadas a puntos donde la coordenada 𝑦∈ [𝑘′ 1, 𝑘1]∪[𝑘2, 𝑘′ 2]. Un ejemplo de este caso es la entrada asociada al punto 𝑃en la Figura 2.11. En estos puntos, los winding numbers verifican las siguientes relaciones: 𝑤(𝑖,𝑦)=𝑤(𝑖−1,𝑦)+ 1 = 𝑤(𝑖+1,𝑦), 𝑤′ (𝑖,𝑦)=𝑤′ (𝑖+1,𝑦)− 1 = 𝑤′ (𝑖−1,𝑦). 42 polinomio de alexander, homología knot floer y diagramas de rejilla Figura 2.15: Diagramas para 𝔾+,𝔾−,𝔾0y𝔾′ 0. realizando un cambio de cruce en el diagrama 𝔾+(Definición 2.5), en las dos primeras columnas. 𝔾−es un diagrama de rejilla que representa a 𝐿−, ya que los diagramas de 𝔾+y𝔾−solo se diferencian en el signo del cruce en que difieren 𝐿+y𝐿−. A continuación, obtenemos otro diagrama 𝔾0a partir de 𝔾+, intercambiando la posición de las marcas ○en las dos primeras columnas. Este diagrama representa al enlace 𝐿0, ya que el efecto que se produce es el suavizado del cruce preservando la orientación, como se puede ver en la Figura 2.15. Por último, obtenemos un cuarto diagrama 𝔾′ 0, también del enlace 𝐿0, al realizar una conmutación en las dos primeras columnas de 𝔾0. De la definición de 𝑀(𝔾), se deduce rápidamente que a partir de la segunda columna, las entradas de las cuatro matrices asociadas a los cuatro diagramas de rejilla son similares, como podemos ver trazando semirrectas horizontales hacia la derecha. También ocurre para la primera columna de las cuatro matrices, pues esta siempre es una columna de unos. Así, la segunda columna es la única en la que puede existir una diferencia entre las cuatro matrices. Podemos comprobar, por otro lado, que la suma de la segunda columna de 𝑀(𝔾+) y𝑀(𝔾−)es igual a la misma suma para 𝑀(𝔾0)y𝑀(𝔾′ 0). Denotemos por 𝑘1y𝑘2 las filas en las que se encuentran las marcas en la primera columna de 𝔾0, y 𝑘′ 1y 𝑘′ 2y las filas en las que se encuentran las marcas en la segunda columna del mismo diagrama, como se muestra en la Figura 2.15. Trazando semirrectas horizontales hacia la izquierda, podemos ver que la suma de las entradas de la segunda columna de las matrices 𝑀(𝔾+)y𝑀(𝔾−)serán o bien 1 + 𝑡−1, para puntos del diagrama con su segunda coordenada 𝑦∈ [𝑘1, 𝑘′ 1]∪[𝑘′ 2, 𝑘2], o bien 2𝑡−1 para puntos del diagrama con su 2. diagramas de rejilla 43 segunda coordenada 𝑦∈ [𝑘′ 1, 𝑘′ 2]. Lo mismo ocurre para las matrices de los diagramas 𝔾0y𝔾′ 0. De tal modo, 𝑑𝑒𝑡(𝑀(𝔾+)) + 𝑑𝑒𝑡(𝑀(𝔾−)) = 𝑑𝑒𝑡(𝑀(𝔾0)) + 𝑑𝑒𝑡(𝑀(𝔾′ 0)). Pasamos a analizar los signos de las permutaciones que conectan 𝜎𝕆con la permutación (𝑛, 𝑛−1,…,1) en cada uno de los cuatro diagramas de rejilla: los diagramas 𝔾+y𝔾′ 0tienen las marcas ○en la misma posición, así que 𝜀(𝔾+) = 𝜀(𝔾′ 0), mientras que 𝔾0y𝔾−cambian la posición de dos marcas ○(una trasposición). Comprobamos que 𝜀(𝔾+) = 𝜀(𝔾′ 0)=−𝜀(𝔾0)=−𝜀(𝔾−). Finalmente, calculando las contribuciones de las cuatro marcas involucradas en la Figura 2.15, deducimos que 𝑎(𝔾+) = 𝑎(𝔾′ 0) + 1 2=𝑎(𝔾0) − 1 2=𝑎(𝔾−). Por ejemplo, vamos a comprobar que 𝑎(𝔾+) = 𝑎(𝔾′ 0) + 1 2. La suma de los índices de esquinas de las marcas ×en el diagrama 𝔾+valen 1y5(de izquierda a derecha), mientras que para las marcas ○valen 1y1. En cuanto a 𝔾′ 0, las marcas ×contribuyen 1y1(también de izquierda a derecha), y las marcas ○contribuyen 1y1. Por tanto, 𝑎(𝔾+) − 𝑎(𝔾′ 0) = 4 8=1 2, como queríamos verificar. Combinando estos resultados, obtenemos la ecuación (2.4): 𝐷(𝐿+) − 𝐷(𝐿−) = 𝜀(𝔾+)⋅𝑑𝑒𝑡(𝑀(𝔾+)) ⋅(𝑡−1∕2 −𝑡1∕2)1−𝑛⋅𝑡𝑎(𝔾+) −𝜀(𝔾−)⋅𝑑𝑒𝑡(𝑀(𝔾−)) ⋅(𝑡−1∕2 −𝑡1∕2)1−𝑛⋅𝑡𝑎(𝔾−) =𝜀(𝔾+)⋅(𝑑𝑒𝑡(𝑀(𝔾+)) + 𝑑𝑒𝑡(𝑀(𝔾−))) ⋅(𝑡−1∕2 −𝑡1∕2)1−𝑛⋅𝑡𝑎(𝔾+) =𝜀(𝔾′ 0)⋅(𝑑𝑒𝑡(𝑀(𝔾′ 0)) + 𝑑𝑒𝑡(𝑀(𝔾0))) ⋅(𝑡−1∕2 −𝑡1∕2)1−𝑛⋅𝑡𝑎(𝔾+) =𝜀(𝔾′ 0)⋅𝑑𝑒𝑡(𝑀(𝔾′ 0)) ⋅(𝑡−1∕2 −𝑡1∕2)1−𝑛⋅𝑡𝑎(𝔾′ 0)+1∕2 −𝜀(𝔾0)⋅𝑑𝑒𝑡(𝑀(𝔾0)) ⋅(𝑡−1∕2 −𝑡1∕2)1−𝑛⋅𝑡𝑎(𝔾0)−1∕2 = (𝑡1∕2 −𝑡−1∕2)𝐷(𝐿0), que coincide con la relación de madeja del Teorema 2.3 bajo el cambio de variable 𝑡→ 𝑥2, y por tanto concluye la demostración. 3 Homología de rejilla En este capítulo seguiremos explorando los diagramas de rejilla y un invariante homológico que puede definirse a partir de ellos, para lo que nos apoyaremos de nuevo en [19] como referencia principal. En particular, veremos la versión combinatoria de la homología knot Floer: la homología de rejilla, introducida por Manolescu, Ozsváth y Sarkar en [14]. La homología de rejilla no solo es conceptualmente más sencilla que la homología knot Floer, sino que también presenta ventajas desde un punto de vista computacional. La homología knot Floer parte de diagramas de Heegaard para nudos, sobre los que se definen los generadores del complejo de cadenas como ciertos puntos en la intersección de dos familias de curvas. Por otro lado, las diferenciales son aplicaciones basadas en el cómputo de discos pseudoholomorfos en una variedad construida a partir del diagrama de Heegaard. Uno de los problemas que presenta esta definición radica en que, en general, no existe un algoritmo que permita contar discos pseudoholomorfos, dificultando el cálculo de los grupos de homología. En este capítulo vamos a introducir la homología de rejilla, definida para nudos (el estudio de enlaces requiere de una adaptación de la homología: la homología link Floer). En primer lugar, se definirán los índices que darán lugar a los grados de la homología, y posteriormente se presentará esta homología. Durante este desarrollo, se mostrarán algunos ejemplos de cómo se pueden calcular las distintas herramientas que utilizamos, mostrando cómo, pese a ser computacionalmente muy costosa, la homología de rejilla nos proporciona una forma de obtener los grupos de homología de este invariante de manera puramente combinatoria. 46 polinomio de alexander, homología knot floer y diagramas de rejilla 3.1 Índices de Maslov y Alexander La homología de rejilla es una homología bigraduada. En esta sección se introducen los dos índices (grados) de este invariante: el índice de Maslov (homológico) y el índice de Alexander. Para ello, primero hablaremos de los estados grid, que darán lugar a los generadores de los grupos de cadena. Recordemos que un diagrama de rejilla podía verse como una superficie tórica al identificar en el diagrama los extremos superior e inferior, e izquierdo y derecho. Tras esta identificación, las líneas verticales y horizontales del diagrama, pueden interpretarse como una colección de meridianos y paralelos en el toro, que denotaremos por 𝜶= {𝛼𝑖}y𝜷= {𝛽𝑖}, respectivamente, con el índice 𝑖variando desde 1hasta el índice de rejilla del diagrama, 𝑛. Las intersecciones de estas curvas dan lugar a las esquinas de las distintas celdas. Definición 3.1. Dado un diagrama de rejilla, un estado grid es una colección de puntos 𝒙= {𝑥1,…𝑥𝑛}sobre el diagrama, donde cada punto es la intersección de un paralelo con un meridiano: 𝑥𝑖=𝛼𝑗∩𝛽𝑘, con 𝑖, 𝑗, 𝑘 ∈ {1,…, 𝑛}, que además verifica la propiedad de que dos puntos distintos del estado no pueden situarse sobre el mismo paralelo ni el mismo meridiano. Al conjunto de todos los estados grid de un diagrama 𝔾lo denotamos por 𝑆(𝔾). La condición de que dos puntos distintos no puedan compartir el mismo paralelo ni el mismo meridiano indica que por cada estado grid 𝒙tenemos es una biyección entre el conjunto de paralelos y meridianos. Podemos pensar que esta biyección viene dada por una permutación, 𝜎𝒙. En cada meridiano 𝛼𝑗encontramos un único punto 𝑥𝑖∈𝒙. Estos puntos, además, deberán ser la intersección del meridiano 𝛼𝑗correspondiente con algún paralelo, digamos 𝛽𝑘. La permutación 𝜎𝒙vertifica entonces que 𝜎𝒙(𝑗) = 𝑘, o equivalentemente, que existe un 𝑥𝑖∈𝒙con 𝑥𝑖=𝛼𝑗∩𝛽𝜎𝒙(𝑗). El conjunto de los estados grid de un diagrama puede identificarse, por consiguiente, con el conjunto de permutaciones de 𝑛elementos. Ejemplo 3.1.En la Figura 3.1 se ilustra un estado grid 𝒙para un diagrama del nudo 51, que representamos como un conjunto de puntos sobre la rejilla. El estado grid esta compuesto por los puntos: 𝒙={(0,6),(1,5),(2,0),(3,2),(4,1),(5,4),(6,3)}. 3. homología de rejilla 47 Figura 3.1: Estado grid correspondiente a la permutación 𝜎𝒙= (6,5,7,2,1,4,3) para el diagrama de la Figura 2.1. Para ver cuál es su permutación asociada 𝜎𝒙, empezamos a numerar los meridianos 𝜶por el lado izquierdo del diagrama, y los paralelos 𝜷por la segunda línea horizontal del diagrama (empezando a contar desde el lado inferior), como se muestra en la Figura 3.1. De este modo, la permutación asociada al estado grid es: 𝜎𝒙= (6,5,7,2,1,4,3). Esta permutación se corresponde con las coordenadas 𝑦de los puntos del estado, al identificar los puntos de coordenadas 𝑦= 0 con los puntos de coordenadas 𝑦= 7. Podemos encontrar una manera de relacionar dos estados grid 𝒙e𝒚cualesquiera, mediante unos ciertos rectángulos en la rejilla, si cumplen que #(𝒙∩𝒚) = 𝑛− 2. Supongamos que dos estados únicamente difieren en dos puntos y unámoslos con dos líneas horizontales y dos líneas verticales. Vemos que dejamos un rectángulo en el “interior” de la rejilla. Pero debemos recordar que hemos hecho una identificación de la rejilla con un toro, de manera que no es el único: existen otros tres rectángulos (que se pueden ver en la Figura 3.2 para un ejemplo concreto). A estos rectángulos, además, les podemos dar una orientación. Si al recorrer un rectángulo en sentido antihorario, y avanzar por un lado horizontal comenzamos por un punto de 𝒙y terminamos en un punto de 𝒚, decimos que el rectángulo va de 𝒙a𝒚. Esto es equivalente a decir que al recorrer un lado vertical en sentido antihorario empezamos en un punto de 𝒚y terminamos en uno de 𝒙. 48 polinomio de alexander, homología knot floer y diagramas de rejilla (a) Rectángulo de 𝒚a𝒙. (b) Rectángulo de 𝒙a𝒚. (c) Rectángulo de 𝒙a𝒚. (d) Rectángulo de 𝒚a𝒙. Figura 3.2: Dos estados grid que coinciden en todos los puntos salvo en dos dan lugar a cuatro rectángulos. Se ha pintado el estado grid 𝒙en rojo y el estado grid 𝒚azul. Por ejemplo, los rectángulos de la Figura 3.2a y 3.2d van de 𝒚a𝒙(del estado azul al estado rojo), mientras que los de la Figura 3.2b y 3.2c van de 𝒙a𝒚. Dos estados grid que formen rectángulos siempre formarán cuatro rectángulos, dos de ellos en cada sentido. Al conjunto de rectángulos que van de un estado grid 𝒙a un estado grid 𝒚lo denotaremos por 𝑅𝑒𝑐𝑡(𝒙,𝒚), y este podrá ser vacío o tener dos elementos. Observación 3.1.Una manera de caracterizar si dos estados forman o no rectángulos es mediante sus permutaciones. Si coinciden en todos sus puntos menos dos, eso significa que la permutación 𝜎−1 𝒙𝜎𝒚deja fijos a todos los elementos menos dos, y por tanto es una trasposición. Además, como las trasposiciones generan el grupo de permutaciones, dos estados grid arbitrarios pueden conectarse mediante una sucesión de estados 𝒙=𝒙𝟏,𝒙𝟐,…,𝒙𝒏=𝒚de manera que 𝒙𝒊y𝒙𝒊+𝟏 formen rectángulos. Este hecho es especialmente interesante, ya que para definir la homología de rejilla 3. homología de rejilla 49 utilizaremos complejos de cadenas que tendrán por generadores los posibles estados grid para un diagrama, y para eso necesitaremos asignarles índices, que serán los índices de los grupos de cadenas. Vamos a introducir el primer índice a continuación, con el siguiente resultado: Proposición 3.1.Para cualquier diagrama de rejilla 𝔾, existe una única aplicación 𝑀○∶𝑆(𝔾)→ℤ, llamada aplicación de Maslov, que satisface estas dos condiciones: 1. Sea 𝒙𝑁𝑊 ○el estado grid en el que los puntos se sitúan sobre la esquina noroeste de cada casilla con una marca ○. Entonces 𝑀○(𝒙𝑁𝑊 ○)=0. 2. Sea 𝑟un rectángulo que va de un estado 𝒙a un estado 𝒚. Entonces, se cumple que: 𝑀○(𝒙) − 𝑀○(𝒚) = 1 − 2#(𝑟∩𝕆) + 2#(𝐼𝑛𝑡(𝑟) ∩ 𝒙)(3.1) donde 𝑟∩𝕆es el conjunto de marcas ○en el rectángulo 𝑟e𝐼𝑛𝑡(𝑟) ∩ 𝒙es el conjunto de puntos de 𝒙en el interior de 𝑟. Al valor 𝑀○(𝒙)para cada estado grid 𝒙lo llamaremos índice de Maslov del estado. Demostración. La unicidad de la aplicación 𝑀○∶𝑆(𝔾)→ℤes fácil de probar gracias a la Observación 3.1: si existe una aplicación que satisface ambas condiciones, podemos encontrar el valor de la imagen para cualquier estado 𝒙sin más que encontrar una sucesión de estados intermedios que formen rectángulos que lo conecten con 𝒙𝑁𝑊 ○. Para ver la existencia, vamos a encontrar una aplicación que verifique ambas condiciones y que permitirá calcular el índice de manera directa. Recordemos que habíamos definido coordenadas sobre los puntos de la rejilla, identificando el lado inferior y el lado izquierdo con los ejes 𝑥e𝑦. También podemos definir coordenadas semienteras para las marcas, de manera que si una marca se encuentra en la columna 𝑖y fila 𝑗, entonces tendrá coordenadas (𝑖−1 2, 𝑗 −1 2). Para definir una aplicación que satisfaga los dos requisitos, recurriremos a una relación de orden parcial entre puntos de ℝ2, en la que decimos que un punto (𝑝1, 𝑝2)<(𝑞1, 𝑞2) si y solo si 𝑝1< 𝑞1y𝑝2< 𝑞2. Dados dos conjuntos de puntos 𝑃y𝑄, definimos la función (𝑃 , 𝑄)como el número de pares de puntos (𝑝, 𝑞) ∈ 𝑃×𝑄con 𝑝 < 𝑞. A partir de ella, definimos: (𝑃 , 𝑄) = (𝑃 , 𝑄) + (𝑄, 𝑃 ) 2.(3.2) 50 polinomio de alexander, homología knot floer y diagramas de rejilla Vamos a demostrar la existencia proponiendo una aplicación candidata para 𝑀○ y comprobando que satisface las dos condiciones de la proposición. Propondremos la siguiente aplicación: 𝑀○(𝒙) = (𝒙,𝒙)−2(𝒙,𝕆) + (𝕆,𝕆)+1.(3.3) Por comodidad, lo escribiremos como 𝑀○(𝒙) = (𝒙−𝕆,𝒙−𝕆)+1, donde se extenderá por bilinealidad (notemos que es simétrica). Vamos a comprobar que la aplicación 𝑀○(𝒙) = (𝒙−𝕆,𝒙−𝕆)+1verifica las condiciones de la Proposición 3.1. Lo primero que debemos ver, para ello, es que 𝑀○(𝒙𝑁𝑊 ○)=0. Recordemos que 𝕆= {○𝑖}es el conjunto de todas las marcas ○de 𝔾. Sea 𝑁𝑊 (○𝑖)la esquina superior izquierda de la celda con la marca ○𝑖. Desarrollando la expresión de la aplicación (𝒙−𝕆,𝒙−𝕆)+1para el estado 𝒙𝑁𝑊 ○, obtenemos la siguiente suma, donde los índices 𝑖y𝑗)varían entre 1y𝑛: 𝑀○(𝒙𝑁𝑊 ○) = #{(𝑖, 𝑗)|𝑁𝑊 (○𝑖)< 𝑁𝑊 (○𝑗)} −#{(𝑖, 𝑗)|𝑁𝑊 (○𝑖)<○𝑗} −#{(𝑖, 𝑗)|○𝑖< 𝑁𝑊 (○𝑗)} +#{(𝑖, 𝑗)|○𝑖<○𝑗}+1. (3.4) Podemos distinguir ahora cuatro casos para contar las parejas de índices para los que se verifica alguna desigualdad: Si ni ○𝑖ni ○𝑗se encuentran en la fila 𝑛, entonces las desigualdades ○𝑖<○𝑗, 𝑁𝑊 (○𝑖)<○𝑗,○𝑖< 𝑁𝑊 (○𝑗)y𝑁𝑊 (○𝑖)< 𝑁𝑊 (○𝑗)son equivalentes. Si ○𝑖se encuentra en la fila 𝑛(la superior) y 𝑗≠𝑖, entonces nunca se puede verificar ○𝑖<○𝑗ni ○𝑖< 𝑁𝑊 (○𝑗), y las desigualdades 𝑁𝑊 (○𝑖)<○𝑗y 𝑁𝑊 (○𝑖)< 𝑁𝑊 (○𝑗)son equivalentes. Si ○𝑗se encuentra en la fila 𝑛y𝑗≠𝑖, entonces no se pueden verificar las desigualdades ○𝑖< 𝑁𝑊 (○𝑗)ni 𝑁𝑊 (○𝑖)< 𝑁𝑊 (○𝑗), y son equivalentes ○𝑖<○𝑗y𝑁𝑊 (○𝑖)<○𝑗. Si ○𝑖se encuentra en la fila 𝑛y𝑗=𝑖, entonces solo se satisface la desigualdad 𝑁𝑊 (○𝑖)<○𝑖. Los tres primeros casos tienen contribuciones que cancelan por parejas, por la equivalencia de las desigualdades mencionadas (unas aparecen con signo positivo y 3. homología de rejilla 51 otras con signo negativo en la ecuación (3.4)). El cuarto caso solo contribuye al sumando #{(𝑖, 𝑗)|𝑁𝑊 (○𝑖)<○𝑗}como un −1. El resultado total es nulo, como se quería demostrar. La segunda condición que hay que verificar es que si tenemos dos estados 𝒙,𝒚y 𝑟∈𝑅𝑒𝑐𝑡(𝒙,𝒚), entonces: 𝑀○(𝒙) − 𝑀○(𝒚) = (𝒙−𝕆,𝒙−𝕆) − (𝒚−𝕆,𝒚−𝕆) =(𝒙,𝒙) − (𝒚,𝒚)−2(𝒙,𝕆)+2(𝒚,𝕆) = 1 − 2#(𝑟∩𝕆) + 2#(𝐼𝑛𝑡(𝑟) ∩ 𝒙). (3.5) Para probar la última igualdad, elegiremos un rectángulo como el de la Figura 3.2a, contenido en el interior de la rejilla, y posteriormente probaremos que el valor es independiente de cuál de los dos rectángulos hayamos escogido. Sean 𝑥1y𝑥2los vértices suroeste y noreste del rectángulo respectivamente (esto es, los dos puntos de 𝒙que no están en 𝒚), e 𝑦1e𝑦2los vértices noroeste y sureste. Sea 𝒑=𝒙∩𝒚, y sean 𝒙= {𝑥1, 𝑥2} ∪ 𝒑e𝒚= {𝑦1, 𝑦2} ∪ 𝒑. Calculemos el valor de (𝒙,𝒙) − (𝒚,𝒚). Notemos que si hay un par de puntos 𝑥𝑖, 𝑥𝑗∈𝒑tales que 𝑥𝑖< 𝑥𝑗, entonces esa contribución cancela al sumar y restar el mismo término en (𝒙,𝒙)y(𝒚,𝒚)(ya que los dos puntos pertenecerán a 𝒙y a 𝒚). Por tanto, para 𝒙solo debemos contar pares de puntos donde alguno de los dos sean 𝑥1o𝑥2para el primer término (y análogamente para los puntos de 𝒚). En particular, como 𝑥1< 𝑥2(que aportará un +1), tendremos que: (𝒙,𝒙) − (𝒚,𝒚) =1 + #{𝑥∈𝒑|𝑥1< 𝑥} + #{𝑥∈𝒑|𝑥<𝑥1} + #{𝑥∈𝒑|𝑥2< 𝑥} + #{𝑥∈𝒑|𝑥<𝑥2} − #{𝑥∈𝒑|𝑦1< 𝑥} − #{𝑥∈𝒑|𝑥<𝑦1} − #{𝑥∈𝒑|𝑦2< 𝑥} − #{𝑥∈𝒑|𝑥<𝑦2}. (3.6) Si reagrupamos los términos, vemos que: #{𝑥∈𝒑|𝑥<𝑥2} − #{𝑥∈𝒑|𝑥<𝑦1} − #{𝑥∈𝒑|𝑥<𝑦2} +#{𝑥∈𝒑|𝑥<𝑥1} = #{𝑥∈𝒑|𝑥1< 𝑥 < 𝑥2} = #(𝐼𝑛𝑡(𝑟) ∩ 𝒙).(3.7) Esta igualdad se ilustra en la Figura 3.3. Cada sumando está asociado a una región sombreada: al sumar el número de puntos en el interior de las regiones en rojo y restar el número de puntos en el interior de las regiones azules, obtenemos el número de puntos en el interior del rectángulo 𝑟sombreado en gris. 58 polinomio de alexander, homología knot floer y diagramas de rejilla 3.3 Cálculos para el enlace de Hopf y el nudo 41 En la práctica, el cálculo de los grupos homología fully blocked no es sencillo. El desarrollo de esta homología se realiza para nudos, y si nos fijamos en el catálogo de la Figura 1.7, el nudo no trivial más simple que podemos encontrar es el 31. Para representarlo en un diagrama grid necesitamos una rejilla de índice cinco. Como los generadores de los grupos de cadenas se identifican con permutaciones de orden el índice de rejilla, esto da lugar a 5! = 120 generadores, para los que se deben calcular índices de Maslov y Alexander (junto con las matrices de las diferenciales posteriormente para la homología). A medida que aumentamos el número de cruces, el número de estados grid crece enormemente, haciendo que los cálculos se vuelvan impracticables. Con el fin de ilustrar cómo se realizan estos cálculos, vamos a estudiar algunos ejemplos sencillos en esta sección. 3.3.1 Enlace de Hopf En esta sección calcularemos los índices de Maslov y Alexander para los estados grid asociados al diagrama 𝔾del enlace de Hopf de la Figura 3.6. Figura 3.6: Diagrama de rejilla para el enlace de Hopf. El diagrama tiene un índice de rejilla igual a cuatro, lo que significa que tenemos un total de 4! = 24 posibles estados grid. Vamos a calcular el índice de Maslov para todos ellos. Vamos a comenzar, por ejemplo, calculando el índice de Maslov del estado dado por la permutación 𝜎𝒙= (1,3,2,4), mostrado en la Figura 3.7 en color rojo. Utilizare- 3. homología de rejilla 59 mos para ello la expresión (3.3): 𝑀○(𝒙) = (𝒙,𝒙)−2(𝒙,𝕆) + (𝕆,𝕆)+1. Recordemos que la aplicación (𝑃 , 𝑄)cuenta el número de pares de puntos (𝑝, 𝑞) ∈ 𝑃×𝑄que verifican 𝑝<𝑞o𝑞 < 𝑝, dividido entre dos. Figura 3.7: Estado grid (1,3,2,4). El estado grid viene dado por los puntos de coordenadas: 𝒙={(0,1),(1,3),(2,2),(3,0)} . El conjunto 𝕆de marcas ○viene dado por puntos de coordenadas semienteras: 𝕆={(1 2,5 2),(3 2,7 2),(5 2,1 2),(7 2,3 2)}. En este caso, tenemos (𝒙,𝒙)=2, ya que únicamente se verifican dos relaciones de orden entre puntos del estado grid: El punto de coordenadas (0,1) es menor que el punto de coordenadas (1,3). El punto de coordenadas (0,1) es menor que el punto de coordenadas (2,2). Si miramos únicamente la Figura 3.7, podría parecer que hay otros puntos que podemos ordenar: por ejemplo, podríamos pensar que el punto (2,2) es menor que el punto (3,4). Debemos recordar que a la hora de tomar coordenadas, identificamos el lado superior del diagrama con el inferior (y el lado derecho con el izquierdo), de manera 60 polinomio de alexander, homología knot floer y diagramas de rejilla que el segundo punto realmente se corresponde con unas coordenadas (3,0), y por tanto no se verifica la relación de orden entre ambos. Ahora vamos a ver cuántos puntos son menores que las marcas ○, y viceversa. Hay un total de seis pares de puntos del estado y marcas ○que verifican la relación de orden: El punto de coordenadas (0,1) es menor que la marca de coordenadas (1 2,5 2). El punto de coordenadas (0,1) es menor que la marca de coordenadas (3 2,7 2). El punto de coordenadas (0,1) es menor que la marca de coordenadas (7 2,3 2). El punto de coordenadas (1,3) es menor que la marca de coordenadas (3 2,7 2). El punto de coordenadas (3,0) es menor que la marca de coordenadas (7 2,3 2). La marca de coordenadas (1 2,5 2)es menor que el punto de coordenadas (1,3). Esto genera una contribución total de (𝒙,𝕆)=3. Por último, para calcular (𝕆,𝕆), vemos que solo hay dos relaciones de orden entre marcas ○: La marca de coordenadas (1 2,5 2)es menor que la marca de coordenadas (3 2,7 2). La marca de coordenadas (5 2,1 2)es menor que la marca de coordenadas (7 2,3 2). Por tanto, (𝕆,𝕆)=2. Sustituyendo los resultados obtenidos, tenemos: 𝑀○(𝒙) = (𝒙,𝒙)−2(𝒙,𝕆) + (𝕆,𝕆) + 1 = 2 − 6 + 2 + 1 = −1, es decir, el índice de Maslov del estado es 𝑀○(𝒙) = −1. A continuación, vamos a calcular el valor del índice de Maslov para el estado asociado a la permutación 𝜎𝒚= (1,4,2,3), que viene dado por los puntos de coordenadas: 𝒚={(0,1),(1,0),(2,2),(3,3)}. En esta ocasión, aprovecharemos la expresión (3.1) y el hecho de que el estado anterior 𝒙forma rectángulos con 𝒚, como se muestra en la Figura 3.8. 3. homología de rejilla 61 Figura 3.8: Se ha representado en rojo el estado 𝒙y en azul el estado 𝒚. Además, se ha destacado uno de los dos rectángulos que se forman de 𝒚a𝒙. En nuestro caso, hemos seleccionado un rectángulo de 𝒚a𝒙, así que la expresión (3.1) resulta en: 𝑀○(𝒚) = 𝑀○(𝒙) + 1 − 2#(𝑟∩𝕆) + 2#(𝐼𝑛𝑡(𝑟) ∩ 𝒙). En el interior del rectángulo encontramos: Una marca ○, con coordenadas (5 2,1 2). Un punto común de los dos estados grid, con coordenadas (2,2). Se deduce por tanto: 𝑀○(𝒚) = −1 + 1 − 2 + 2 = 0. Como podemos ver, los cálculos de los índices son conceptualmente sencillos, pero muy tediosos, debido al elevado número de estados grid. Por este motivo, se ha programado un código en MatLab, de elaboración propia, para poder realizar los cálculos de manera más eficiente. El código se incluye en el Apéndice B. Los datos de entrada que toma el programa son las posiciones de las marcas ○y×en el diagrama. Tras compilar el código, se calculan dos matrices, donde se recogen los índices de Maslov y los índices de Alexander de todos los estados. Con ayuda del código creado, obtenemos los índices de Maslov de los 24 estados grid asociados al diagrama 𝔾: 𝑀−1 ○(1) = {(4,1,2,3)}, 𝑀−1 ○(0) = {(1,2,3,4),(1,4,2,3),(3,1,2,4),(3,4,1,2),(4,1,3,2),(4,2,1,3)}, 62 polinomio de alexander, homología knot floer y diagramas de rejilla 𝑀−1 ○(−1) = {(1,2,4,3),(1,3,2,4),(1,4,3,2),(2,1,3,4),(2,4,1,3),(3,1,4,2), (3,2,1,4),(3,4,2,1),(4,2,3,1),(4,3,1,2)}, 𝑀−1 ○(−2) = {(1,3,4,2),(2,1,4,3),(2,3,1,4),(2,4,3,1),(3,2,4,1),(4,3,2,1)}, 𝑀−1 ○(−3) = {(2,3,4,1)}. Vemos que los índices de Maslov de los estados asociados a las permutaciones 𝜎𝒙= (1,3,2,4) y𝜎𝒚= (1,4,2,3) son −1 y0, respectivamente, como habíamos calculado. Observación 3.3.Para terminar con este ejemplo, veamos el efecto de trabajar con un enlace en lugar de un nudo. De la ecuación (3.15) se deduce que si el valor del índice de Alexander para algún estado es un número entero, entonces todos los estados tomarán valores enteros. En caso contrario, será un número semientero, por la Definición 3.2. En el caso de los nudos, como ya se había comentado, puede asegurarse que 𝐴(𝒙𝑁𝑊 ×) ∈ ℤ, pero para enlaces de multiplicidad mayor, esto no es cierto en general. En este ejemplo, el estado 𝒙𝑁𝑊 ×se corresponde con la permutación (1,2,3,4), que según el código, toma el valor 𝑀○(𝒙𝑁𝑊 ×)=0. Como por definición 𝑀×(𝒙𝑁𝑊 ×)=0, el índice de Alexander de dicho estado se puede calcular de manera sencilla, y vemos que es 𝐴(𝒙𝑁𝑊 ×)=−3 2, un valor semientero. 3.3.2 Nudo 41 A continuación, vamos a ver un ejemplo del cálculo de la homología de rejilla fully blocked para el nudo 41. El diagrama 𝔾que utilizaremos será el mismo que el utilizado para ilustrar el cálculo del polinomio de Alexander, representado en la Figura 3.9. Como vemos, el índice de rejilla es 𝑛= 6, por lo que el complejo de rejilla tiene 6! = 720 generadores. El cálculo manual de los índices asociados es tedioso, y por consiguiente se utilizará nuevamente un programa de elaboración personal. Tras compilar el cógido con los datos de este nuevo diagrama, se obtienen los índices de Maslov (para ambas marcas) y los índices de Alexander de todos los estados. Los índices de Maslov asociados a las marcas ○varían entre 2y−6, y para las marcas ×entre 1y−7. El índice de Alexander máximo obtenido vale 1, y el mínimo −6. Para calcular el espacio vectorial  𝐺𝐻(𝔾)(o al menos su dimensión, de la que extraer un invariante), deberíamos calcular los ocho complejos de cadenas asociados 3. homología de rejilla 63 Figura 3.9: Diagrama de rejilla para el nudo 41. a cada valor del índice de Alexander, y posteriormente la homología de cada uno (aplicando el algortimo de la Forma Normal de Smith [8] a matrices de tamaños muy elevados). El cálculo excede los objetivos del ejemplo, así que, como la diferencial del complejo de rejilla  𝜕𝑑∶ 𝐺𝐶𝑑(𝐺, 𝑠)→ 𝐺𝐶𝑑−1(𝐺, 𝑠)preserva el índice de Alexander, se va a trabajar con el complejo de cadenas asociado a un valor fijo de este índice. El código utilizado, tras contar el número de estados grid con un determinado valor del índice de Alexander, muestra los siguientes resultados: |𝐴−1(1)|= 1, |𝐴−1(0)|= 24, |𝐴−1(−1)|= 170, |𝐴−1(−2)|= 261, |𝐴−1(−3)|= 197, |𝐴−1(−4)|= 58, |𝐴−1(−5)|= 8, |𝐴−1(−6)|= 1. Por tener un cardinal manejable, trabajaremos con  𝐺𝐶𝑑(𝔾,0), para el que contamos con 24 generadores. Dentro del conjunto de estados con índice de Alexander 64 polinomio de alexander, homología knot floer y diagramas de rejilla nulo, debemos ahora clasificarlos en función del índice de Maslov. El código muestra que hay que considerar tres valores posibles: −1,0y1, de manera que para índice de Alexander 0, el complejo de rejilla tiene la forma: 0// 𝐺𝐶1(𝔾) 𝜕1// 𝐺𝐶0(𝔾) 𝜕0// 𝐺𝐶−1(𝔾)//0, con los siguientes grupos:  𝐺𝐶1(𝔾,0) = ⟨(3,4,2,5,6,1),(4,5,2,6,1,3),(6,3,4,5,1,2),(6,4,5,1,2,3)⟩,  𝐺𝐶0(𝔾,0) = ⟨(1,4,2,5,6,3),(3,4,2,5,1,6),(4,3,2,5,6,1),(4,5,2,1,6,3),(4,6,2,5,1,3), (5,4,2,6,1,3),(6,2,4,5,1,3),(6,3,2,5,1,4),(6,3,4,5,2,1),(6,4,1,5,2,3),(6,4,2,1,5,3), (6,4,2,5,3,1),(6,4,3,5,1,2),(6,4,5,2,1,3),(6,5,2,4,1,3),(6,5,4,1,2,3)⟩,  𝐺𝐶−1(𝔾,0) = ⟨(4,3,2,5,1,6),(5,4,2,1,6,3),(6,4,3,5,2,1),(6,5,4,2,1,3)⟩. Este complejo tiene por tanto dos diferenciales no nulas,  𝜕1y 𝜕0, que serán matrices de orden 16 × 4 y4 × 16, respectivamente (donde estamos utilizando el orden lexicográfico para los generadores). Vamos a centrarnos en una de estas matrices, la de  𝜕0, y vamos a calcular sus entradas. Para esto, sea {𝒙1,…,𝒙16}el conjunto de generadores de  𝐺𝐶0(𝔾,0) (ordenados lexicográficamente), y sean {𝒚1,…,𝒚4}el conjunto de generadores de  𝐺𝐶−1(𝔾,0), donde los generadores son: 𝒚1={(0,4),(1,3),(2,2),(3,5),(4,1),(5,0)}. 𝒚2={(0,5),(1,4),(2,2),(3,1),(4,0),(5,3)}. 𝒚3={(0,0),(1,4),(2,3),(3,5),(4,2),(5,1)}. 𝒚4={(0,0),(1,5),(2,4),(3,2),(4,1),(5,3)}. De nuevo, este es el orden lexicográfico de las permutaciones asociadas, pero se explicitan los estados para trabajar con ellos de forma más cómoda. En primer lugar, vamos a calcular la imagen por la diferencial del estado 𝒙7, que se corresponde con la permutación (6,2,4,5,1,3), y por tanto con los puntos de coordenadas: 𝒙7={(0,0),(1,2),(2,4),(3,5),(4,1),(5,3)}. 3. homología de rejilla 65 (a) 𝒙7e𝒚1. (b) 𝒙7e𝒚2. (c) 𝒙7e𝒚3. (d) 𝒙7e𝒚4. Figura 3.10: El estado 𝒙7se ha representado en rojo, mientras que los estados 𝒚𝑖, con 1≤𝑖≤4, se han representado en azul. Se han sombreado los rectángulos que se forman de 𝒙7a𝒚𝑖, con 1≤𝑖≤4. En la Figura 3.10 se muestra el estado 𝒙7(en rojo) junto con los cuatro generadores de  𝐺𝐶−1(𝔾,0) (en azul). La ecuación (3.16) nos indica que un generador 𝒚𝑖, con 1≤ 𝑖≤4, aparecerá en la imagen por la diferencial si solo uno de los rectángulos de 𝒙7a 𝒚𝑖es vacío. En la figura podemos comprobar que: 𝒙7no forma rectángulos con 𝒚1,𝒚2ni 𝒚3. Ninguno de estos tres estados aparecerá en la imagen  𝜕0(𝒙7). 𝒙7forma rectángulos con 𝒚4. Sin embargo, ninguno de los dos rectángulos de 𝒙7a𝒚4son vacíos (todos ellos contienen marcas y otros puntos de los estados en su interior). En conclusión,  𝜕0(𝒙7)=0, y por tanto la séptima columna de la matriz de  𝜕0será una 66 polinomio de alexander, homología knot floer y diagramas de rejilla columna de ceros. Pasemos ahora al generador 𝒙11, asociado a la permutación (6,4,2,1,5,3) y calculemos su imagen por  𝜕0. El estado 𝒙11 viene dado por los siguientes puntos: 𝒙11 ={(0,0),(1,4),(2,2),(3,1),(4,5),(5,3)}. Una vez más, vamos a analizar los coeficientes de los estados 𝒚𝑖, con 1≤𝑖≤4. (a) 𝒙11 e𝒚1. (b) 𝒙11 e𝒚2. (c) 𝒙11 e𝒚3. (d) 𝒙11 e𝒚4. Figura 3.11: El estado 𝒙11 se ha representado en rojo, mientras que los estados 𝒚𝑖, con 1≤𝑖≤4, se han representado en azul. Se han sombreado los rectángulos que se forman de 𝒙11 a𝒚𝑖, con 1≤𝑖≤4. De nuevo, en la Figura 3.11 se muestra el estado 𝒙11 en rojo, y los cuatro generadores de  𝐺𝐶−1(𝔾,0) en azul. Vamos a buscar los rectángulos vacíos que se forman. En la figura podemos comprobar que: 3. homología de rejilla 67 𝒙11 no forma rectángulos con 𝒚1,𝒚3ni 𝒚4. Ninguno de estos tres estados aparecerá en la imagen por la diferencial. 𝒙11 forma rectángulos con 𝒚2. Solo uno de los dos rectángulos de 𝒙11 a𝒚2es vacío. Por consiguiente, el coeficiente de 𝒚2en  𝜕0(𝒙11)será 1. En conclusión,  𝜕0(𝒙11) = 𝒚2, y por tanto la onceava columna de la matriz de  𝜕0tendrá un 1en la segunda fila, y el resto de entradas nulas. Continuamos realizando estos cálculos a mano, contando los rectángulos vacíos entre generadores, para completar el resto de entradas de la matriz, obteniendo:  𝜕0=⎛⎜⎜⎜⎜⎝ 0101000100000000 0000110000100000 0000000010011000 0000000000000111 ⎞⎟⎟⎟⎟⎠ . Tras calcular las matrices de las dos diferenciales, podemos calcular los rangos de los núcleos y las imágenes de las mismas. Obtenemos los siguientes resultados: 𝑟𝑔(𝐾𝑒𝑟( 𝜕1)) = 0 𝑟𝑔(𝐾𝑒𝑟( 𝜕0)) = 12 𝑟𝑔(𝐼𝑚( 𝜕1)) = 4 𝑟𝑔(𝐼𝑚( 𝜕0)) = 4 Por tanto, los homología de rejilla del nudo 41en índice de Alexander 0es:  𝐺𝐻𝑑(𝔾,0) = {(ℤ∕2ℤ)8si 𝑑= 0 0en otro caso. 3.4 La homología de rejilla: versiones unblocked y simply blocked Para finalizar con el capítulo, abordaremos la descripción de dos versiones distintas de la homología de rejilla. En la versión fully blocked explicada en la Sección 3.2 construimos un complejo de cadenas mediante grupos abelianos libres generados por los estados grid de un determinado diagrama. Estos grupos se veían como espacios vectoriales con coeficientes sobre ℤ∕2ℤ, y los estados se relacionaban entre sí mediante una diferencial que contaba los rectángulos vacíos que formaban dos estados; 74 polinomio de alexander, homología knot floer y diagramas de rejilla rectángulos con 𝒚. De este modo, podemos definir una sucesión de estados: 𝒙𝑁𝑊 ○=𝒙0,𝒙1,…,𝒙𝑚=𝒙; que conecta 𝒙𝑁𝑊 ○con 𝒙, definidos por las permutaciones 𝜎𝒙𝑖=𝜏𝑖…𝜏1𝜎𝒙𝑁𝑊 ○, para 1≤𝑖≤𝑚. Además, cada estado intermedio 𝒙𝑖verifica que 𝑀(𝒙𝑖)≡1 + 𝑀(𝒙𝑖−1)al tomar reducción módulo dos (ya que en la ecuación (3.1) solo el primer término es no nulo). Por tanto, 𝑀(𝒙)≡𝑚módulo dos, y se verifica: sgn(𝜏) = (−1)𝑚= (−1)𝑀(𝒙), como queríamos probar. Por comodidad, definiremos 𝐴′(𝒙), donde 𝒙={𝑥1,…, 𝑥𝑛}∈𝑆(𝔾)es un estado grid, como la suma de los winding number del diagrama en los puntos del estado, con signo negativo: 𝐴′(𝒙)=− 𝑛 ∑ 𝑖=1 𝑤(𝑥𝑖)=−(𝒙,𝕆−𝕏), donde la segunda igualdad es consecuencia del Lema 4.1. Esto nos permite dar una expresión del índice de Alexander del estado en términos del winding number del diagrama, junto con 𝑎(𝔾), que habíamos definido como un octavo de la suma del winding number en las esquinas de las celdas marcadas, gracias a la siguiente proposición: Proposición 4.1.Todo estado grid 𝒙de un diagrama 𝔾de índice de rejilla 𝑛verifica la igualdad: 𝐴(𝒙) = 𝐴′(𝒙) + 𝑎(𝔾) − 𝑛− 1 2. Demostración. Si desarrollamos la expresión de 𝐴(𝒙)para un estado grid usando la Definición 3.2 y la ecuación (3.3), obtenemos: 𝐴(𝒙) = 1 2(𝑀○(𝒙) − 𝑀×(𝒙)) − 𝑛−1 2 =1 2(−2(𝒙,𝕆) + (𝕆,𝕆)+2(𝒙,𝕏) − (𝕏,𝕏)) − 𝑛−1 2 = −(𝒙,𝕆−𝕏) + 1 2((𝕆,𝕆) − (𝕏,𝕏)) − 𝑛−1 2 =𝐴′(𝒙) + 1 2(𝕆+𝕏,𝕆−𝕏) − 𝑛−1 2. Denotemos por 𝑝1, 𝑝2,…, 𝑝8𝑛las esquinas de las 2𝑛celdas marcadas en el diagrama con ○o×(donde es posible que haya repeticiones). Lo único que debemos probar, por tanto, es la igualdad: 4. polinomio y homología de rejilla: propiedades 75 1 2(𝕆+𝕏,𝕆−𝕏) = 1 8 8𝑛 ∑ 𝑖=1 𝑤(𝑝𝑖) = 𝑎(𝔾).(4.3) Para ello, sea ○𝑖∈𝕆una marca en el diagrama, y sean 𝑧1, 𝑧2, 𝑧3y𝑧4las cuatro esquinas de la celda en que se encuentra. Vamos a comprobar que se verifica: (○𝑖,𝕆−𝕏) = 1 4(𝑧1+𝑧2+𝑧3+𝑧4,𝕆−𝕏) + 1 4.(4.4) En primer lugar, si ○𝑗es una marca con 𝑖≠𝑗, entonces las desigualdades ○𝑖<○𝑗 y𝑧𝑘<○𝑗son equivalentes entre sí, para 1≤𝑘≤4. También son equivalentes entre sí las desigualdades ○𝑗<○𝑖y○𝑗< 𝑧𝑘, lo que implica: (○𝑖,○𝑗) = 1 4(𝑧1+𝑧2+𝑧3+𝑧4,○𝑗).(4.5) Por otro lado, si ×𝑗es una marca que no se encuentra en la misma fila ni en la misma columna que ○𝑖, las desigualdades ○𝑖<×𝑗y𝑧𝑘<×𝑗son equivalentes de nuevo (y también son equivalentes las desigualdades inversas entre sí). Es decir: (○𝑖,×𝑗) = 1 4(𝑧1+𝑧2+𝑧3+𝑧4,×𝑗).(4.6) Falta estudiar el caso en que comparemos los puntos 𝑧𝑘con ○𝑖o con las marcas ×𝑗1en la misma fila o ×𝑗2en la misma columna que ○𝑖. La configuración del diagrama puede ser de cuatro tipos, en función de las posiciones relativas de ×𝑗1y de ×𝑗2 respecto de ○𝑖. Vamos a estudiar solo uno de los casos, ilustrado en la Figura 4.2, en el que ×𝑗1se encuentra a la derecha de ○𝑖y×𝑗2se encuentra debajo (el resto de casos se tratan de manera análoga). Para estas marcas, se puede ver que (○𝑖,○𝑖) = (○𝑖,×𝑗1) = (○𝑖,×𝑗2) = 0. Sin embargo, en la Figura 4.2 puede comprobarse que: (𝑧1+𝑧2+𝑧3+𝑧4,○𝑖)=1, (𝑧1+𝑧2+𝑧3+𝑧4,×𝑗1)=1, (𝑧1+𝑧2+𝑧3+𝑧4,×𝑗2)=1. (4.7) Combinando las igualdades (4.5), (4.6) y (4.7), obtenemos (4.4). 76 polinomio de alexander, homología knot floer y diagramas de rejilla Figura 4.2: Las marcas ×𝑗1y×𝑗2se encuentran en la misma fila y misma columna (respectivamente) que la marca ○𝑖. De manera similar, puede demostrarse, para una marca ×𝑖∈𝕏(donde denotamos por 𝑧′ 𝑘las esquinas de su celda): (×𝑖,𝕆−𝕏) = 1 4(𝑧′ 1+𝑧′ 2+𝑧′ 3+𝑧′ 4,𝕆−𝕏) − 1 4.(4.8) Finalmente, al sumar las expresiones (4.4) y (4.8) para todas las marcas del diagrama, vemos que los sumandos ±1 4cancelan, y únicamente nos quedan sumandos de la forma 1 4(𝑦1+𝑦2+𝑦3+𝑦4,𝕆−𝕏), donde los puntos 𝑦𝑘son las esquinas de las casillas marcadas (y por tanto se corresponden con algún 𝑝𝑖). Gracias al Lema 4.1, sabemos que estos términos se corresponden con la suma de los winding numbers en los puntos 𝑝𝑖. Por tanto, se deduce la expresión (4.3), concluyendo la demostración. Nos encontramos ya en condiciones de demostrar el teorema principal de esta sección. Definición 4.1. Sea 𝑋=⨁𝑠,𝑑 𝑋𝑠,𝑑 un espacio vectorial bigraduado. Se define la característica de Euler graduada de 𝑋como el polinomio en ℤ[𝑡, 𝑡−1]: 𝜒(𝑋) = ∑ 𝑑,𝑠 (−1)𝑑𝑑𝑖𝑚(𝑋𝑠,𝑑)⋅𝑡𝑠. Teorema 4.1 ([18, 20]). Sea 𝔾un diagrama de rejilla de un nudo 𝐾, con índice de rejilla 𝑛. El polinomio de rejilla de 𝐾se puede obtener a partir de la característica de Euler graduada de  𝐺𝐻(𝔾)de la siguiente manera: 𝐷(𝐾) = (1 − 𝑡−1)1−𝑛⋅𝜒( 𝐺𝐻(𝔾)).(4.9) Demostración. Es un hecho conocido que la característica de Euler graduada para una homología coincide con la característica de su complejo de cadenas asociado. 4. polinomio y homología de rejilla: propiedades 77 Podemos escribir, por tanto: 𝜒( 𝐺𝐻(𝔾)) = 𝜒( 𝐺𝐶(𝔾)) = ∑ 𝑥∈𝑆(𝔾) (−1)𝑀(𝒙)𝑡𝐴(𝒙), donde el coeficiente de cada potencia 𝑡𝑠se obtiene como la suma (con signo) de las dimensiones de  𝐺𝐶𝑑(𝔾, 𝑠)para todos los valores de 𝑑∈ℤ, que obtenemos al sumar sobre todos los estados grid (puesto que forman una base de  𝐺𝐶(𝔾)). Vamos a desarrollar esta suma, usando la Proposición 4.1: ∑ 𝑥∈𝑆(𝔾) (−1)𝑀(𝒙)𝑡𝐴(𝒙)=∑ 𝑥∈𝑆(𝔾) (−1)𝑀(𝒙)𝑡𝐴′(𝒙)+𝑎(𝔾)+ 1−𝑛 2=𝑡𝑎(𝔾)⋅𝑡1−𝑛 2⋅∑ 𝑥∈𝑆(𝔾) (−1)𝑀(𝒙)𝑡𝐴′(𝒙). (4.10) Cada potencia 𝑡𝐴′(𝒙)=𝑡−∑𝑛 𝑖=1 𝑤(𝑥𝑖)puede relacionarse con la matriz de rejilla 𝑀(𝔾). Recordemos que en esta matriz, la entrada (𝑖, 𝑗)se corresponde con la potencia 𝑡−𝑤(𝑝𝑖,𝑗 ), donde 𝑝𝑖,𝑗 es el punto de coordenadas (𝑗− 1, 𝑛 −𝑖). Por tanto, al sumar 𝑡𝐴′(𝒙)para todos los estados grid (que podemos asociar a permutaciones), estamos desarrollando el determinante de 𝑀(𝔾), salvo un signo. Veamos cómo podemos determinarlo. Dado un estado 𝒙, su permutación asociada 𝜎𝒙se puede relacionar con la permutación 𝜏𝒙asociada al producto 𝑡𝐴′(𝒙)en el desarrollo del determinante de 𝑀(𝔾). En un diagrama de rejilla, comenzamos a numerar las filas empezando por la inferior, mientras que en una matriz comenzamos a numerarlas por la superior. Por tanto, para obtener 𝜏𝒙a partir de 𝜎𝒙lo primero que debemos hacer es multiplicar por la permutación (𝑛, 𝑛 − 1,…,2,1), que permite revertir este cambio en el orden de las filas. Sin embargo, solo este cambio no es suficiente. Cuando definimos la matriz de rejilla, sus entradas se corresponden a las esquinas de las celdas del diagrama, a excepción de los lados superior y derecho del diagrama. Al considerar las permutaciones 𝜎𝒙asociadas a estados grid, por la elección que hacemos de los paralelos y meridianos, estamos considerando el lado superior del diagrama en vez del inferior, de modo que tenemos que “desplazar” todos los índices de la permutación; esto es, necesitamos encontrar una permutación 𝜎′ 𝒙que verifique que 𝜎′ 𝒙(𝑖) = 𝜎𝒙(𝑖)+1 (donde la expresión se entiende módulo 𝑛). Sea 𝜋la permutación que conecta 𝜎𝒙con 𝜎′ 𝒙. Ahora sí podemos establecer la igualdad: 𝜏𝒙=𝜎′ 𝒙⋅(𝑛, 𝑛 − 1,…,2,1) = 𝜎𝒙⋅𝜋⋅(𝑛, 𝑛 − 1,…,2,1). El signo que necesitamos en el determinante será el de 𝜏𝒙. Como el signo de 𝜋 es (−1)𝑛−1 (ya que es el producto de 𝑛− 1 trasposiciones), gracias al Lema 4.2 y a la 78 polinomio de alexander, homología knot floer y diagramas de rejilla Observación 3.2, podemos escribir: sgn(𝜏𝒙) = (−1)𝑛−1 sgn(𝜎𝒙)⋅sgn((𝑛, 𝑛 − 1,…,2,1)) = (−1)𝑛−1(−1)𝑀(𝒙)⋅sgn(𝜎𝕆)⋅sgn((𝑛, 𝑛 − 1,…,2,1)) = (−1)𝑛−1+𝑀(𝒙)𝜀(𝔾). (4.11) Podemos ahora utilizar la expresión (4.11) para justificar el signo en (4.10) al desarrollar el determinante, y obtenemos: 𝜒( 𝐺𝐻(𝔾)) = (−1)𝑛−1𝑡𝑎(𝔾)⋅𝑡1−𝑛 2⋅𝜀(𝔾)⋅∑𝑥∈𝑆(𝔾)𝑠𝑔𝑛(𝜏𝑥)⋅𝑡𝐴′(𝒙) = (−1)𝑛−1𝜀(𝔾)⋅𝑑𝑒𝑡(𝑀(𝔾)) ⋅𝑡𝑎(𝔾)⋅𝑡1−𝑛 2. Finalmente, de la Definición 2.9 y el Teorema 2.4 se deduce: 𝜒( 𝐺𝐻(𝔾)) = (−1)𝑛−1(𝑡−1∕2 −𝑡1∕2)𝑛−1 ⋅(𝑡−1∕2)𝑛−1 ⋅𝐷(𝐾) = (1 − 𝑡−1)𝑛−1 ⋅𝐷(𝐾), lo que prueba el enunciado. 4.2 Propiedades principales El Teorema 4.1 nos muestra que la homología de rejilla categorifica el polinomio de rejilla. Así, la homología de rejilla refina las propiedades geométricas y topológicas de los nudos que pueden deducirse a partir del poliomio de rejilla. Esta sección pretende mostrar este hecho, recopilando varios resultados asociados al polinomio de Alexander y a la homología knot Floer. Apoyándose en esos resultados, se establecerá una comparativa entre la información geométrica y topológica que proporciona el primer inviariante frente al segundo. La demostración de la mayoría de los resultados no se incluirá en el trabajo, puesto que fueron probados con la definición original de la homología knot Floer, y no con su definición combinatoria. En esta sección hablaremos de cuatro propiedades de nudos sobre las que los invariantes estudiados proporcionan información. Para ello, primero hablaremos de simetrías de nudos, y veremos cómo podemos relacionar la homología knot Floer de un nudo con su imagen especular [18]. Posteriormente, hablaremos del género de un nudo y de cómo recuperarlo a partir de la homología knot Floer [17], así como de la cota que ofrece el polinomio de Alexander [23]. En tercer lugar, abordaremos una caracterización para nudos fibrados que podemos obtener de los grupos de homología [10], [16]. Finalmente, se verá cómo cambian estos invariantes ante mutaciones de nudos [2]. 4. polinomio y homología de rejilla: propiedades 79 4.2.1 Simetrías Vamos a comenzar comparando la eficacia de ambos invariantes para detectar simetrías. Las siguientes proposiciones nos muestran cómo cambian los invariantes estudiados ante cambios de orientación y reflexiones especulares: Proposición 4.2 ([7]).Sean 𝐾un nudo orientado, −𝐾el mismo nudo con la orientación opuesta y𝐾∗su imagen especular. Entonces: Δ(𝐾) = Δ(−𝐾) = Δ(𝐾∗). Proposición 4.3 ([18]).Sean 𝐾un nudo orientado, −𝐾el mismo nudo con la orientación opuesta y𝐾∗su imagen especular. Entonces:  𝐺𝐻𝑑(𝐾, 𝑠) =  𝐺𝐻𝑑(−𝐾, 𝑠) =  𝐺𝐻−𝑑(𝐾∗, 𝑠), donde la cohomología  𝐺𝐻∗se relaciona con la homología  𝐺𝐻∗a través del teorema de coeficientes universales. Las Proposiciones 4.2 y 4.3 muestran una primera diferencia entre el polinomio de Alexander y la homología knot Floer: el primero no detecta imágenes especulares, mientras que la homología knot Floer puede distinguir algunos nudos de su reflejo. Aunque no abordaremos la demostración de las Proposiciones 4.2 ni 4.3, el Teorema 4.4 mostrará un ejemplo para el que la homología knot Floer permite distinguir un nudo de su imagen especular. 4.2.2 Género Los invariantes estudiados en este trabajo pueden aportar información sobre propiedades geométricas y topológicas de los nudos. En particular, existe relación entre estos y el género 𝑔(𝐿)de un enlace 𝐿(que definimos como el mínimo de los géneros de todas sus superficies de Seifert, ver Definición A.1). Veamos los siguientes resultados: Teorema 4.2 ([23]). El polinomio de Alexander Δ(𝐾)de un nudo 𝐾proporciona una cota inferior para el género 𝑔(𝐾)del nudo: 𝑑𝑒𝑔(Δ(𝐾)) ≤𝑔(𝐾). Teorema 4.3 ([17]). La homología de rejilla  𝐺𝐻𝑑(𝐾, 𝑠)de un nudo 𝐾determina su género: 𝑔(𝐾)=m ax {𝑠≥0| 𝐺𝐻∗(𝐾, 𝑠)≠0}. 80 polinomio de alexander, homología knot floer y diagramas de rejilla Así, es evidente que la homología knot Floer proporciona más información que el polinomio de Alexander frente al género de un nudo (puesto que lo determina). A partir de este resultado, además, puede extraerse una consecuencia muy relevante: la homología knot Floer detecta el nudo trivial. Corolario 4.1.Sea 𝐾un nudo y 𝑈el nudo trivial. Si  𝐺𝐻𝑑(𝐾, 𝑠) ≅  𝐺𝐻𝑑(𝑈, 𝑠), para todo 𝑑, 𝑠 ∈ℤ, entonces 𝐾es el nudo trivial. Demostración. Si 𝐾tiene grupos de homología isomorfos a 𝑈, el Teorema 4.3 muestra que 𝑔(𝐾) = 𝑔(𝑈) = 0. Como toda superficie con borde compacta y conexa es homeomorfa a un disco, el único nudo con género cero es el nudo trivial. No es posible establecer un resultado análogo al Corolario 4.1 para el polinomio de Alexander. Existen, de hecho, infinitos nudos con polinomio de Alexander igual a Δ(𝑈)=1, como por ejemplo el nudo Kinoshita-Terasaka (1142). En la Sección 4.2.4 retomaremos este ejemplo. 4.2.3 Fibración Otra propiedad topológica relevante de un nudo que podemos relacionar con los invariantes estudiados es la de ser fibrado: un nudo 𝐾se dice fibrado si existe una fibración de su complemento 𝑆3⧵𝐾sobre 𝑆1, de manera que la clausura de cada fibra sea una superficie de Seifert para 𝐾. El polinomio de Alexander, en este caso, únicamente nos proporciona obstrucciones a ser fibrado, mientras que la homología knot Floer permite caracterizar si un nudo es fibrado o no, como muestran los siguientes resultados: Proposición 4.4.Si 𝐾un nudo fibrado, su polinomio de Alexander es mónico y además se tiene la igualdad: 𝑑𝑒𝑔(Δ(𝐾)) = 𝑔(𝐾). Teorema 4.4 ([10, 16]). Un nudo 𝐾es fibrado si y solo si  𝐺𝐻∗(𝐾, 𝑔(𝐾)) ≅ ℤ. El Teorema 4.4 no solo permite caracterizar los nudos fibrados: P. Ghiggini demostró en [10] que la homología knot Floer también es capaz de detectar el nudo 31, el nudo 3∗ 1y el nudo 41, a consecuencia de ser los únicos nudos fibrados de género uno (y tener homologías distintas). Este hecho ejemplifica cómo la homología knot Floer puede distinguir en algunos casos un nudo de su imagen especular, como se había expuesto en la Proposición 4.3. 4. polinomio y homología de rejilla: propiedades 81 Figura 4.3: Los nudos Kinoshita-Terasaka (1142) y Conway (1134) son mutantes. El caso del nudo 31es especialmente interesante, puesto que es un nudo alternante (podemos encontrar un diagrama alternante suyo). En estos casos, se puede demostrar que el polinomio de Alexander, junto con la signatura del enlace (un invariante definido a partir de las matrices de Seifert), proporcionan la misma información sobre el nudo que la homología knot Floer. Aunque el nudo 31y su imagen especular tengan el mismo polinomio de Alexander, sus signaturas son distintas, lo que permite que sean distinguidos por su homología knot Floer. 4.2.4 Mutaciones Para concluir el trabajo, veremos el efecto de una mutación en un nudo a la hora de calcular el polinomio de Alexander y la homología knot Floer. Vamos a definir primero qué entendemos por una mutación. Definición 4.2. Sea 𝐾un nudo y 𝐷un diagrama suyo. Consideremos un disco en 𝐷, cuyo borde interseca al diagrama en exactamente cuatro puntos (que podemos suponer equiespaciados tras una isotopía ambiente). Una mutación en 𝐾consiste en rotar el disco seleccionado 180ºrespecto de su centro, mientras se mantiene el resto del diagrama inalterado. Las mutaciones son un tipo de operación que, en general, no preservan la clase de equivalencia del diagrama en que se realizan. Por ejemplo, en la Figura 4.3 se muestran los nudos de Kinoshita-Terasaka y Conway, que son mutantes. Ambos nudos tienen polinomio de Alexander igual a 1, y por tanto no podemos distinguirlos con dicho invariante. Esto es un hecho general para mutaciones: Proposición 4.5 ([2]).Si 𝐾1y𝐾2son dos nudos mutantes, entonces Δ(𝐾1) = Δ(𝐾2). 82 polinomio de alexander, homología knot floer y diagramas de rejilla Sin embargo, la homología knot Floer permite distinguirlos. En [3] se realizan cálculos para estos nudos, y se obtienen los siguientes grupos de homología:  𝐺𝐻𝑑(𝐾1142 , 𝑠)𝑑= −4 𝑑= −3 𝑑= −2 𝑑= −1 𝑑= 0 𝑑= 1 𝑑= 2 𝑑= 3 𝑠= −3 0 0 0 0 0 0 0 0 𝑠= −2 0 ℤ∕2ℤ ℤ∕2ℤ0 0 0 0 0 𝑠= −1 0 0 (ℤ∕2ℤ)4(ℤ∕2ℤ)40 0 0 0 𝑠= 0 0 0 0 (ℤ∕2ℤ)6(ℤ∕2ℤ)70 0 0 𝑠= 1 0 0 0 0 (ℤ∕2ℤ)4(ℤ∕2ℤ)40 0 𝑠= 2 0 0 0 0 0 ℤ∕2ℤ ℤ∕2ℤ0 𝑠= 3 0 0 0 0 0 0 0 0  𝐺𝐻𝑑(𝐾1134 , 𝑠)𝑑= −4 𝑑= −3 𝑑= −2 𝑑= −1 𝑑= 0 𝑑= 1 𝑑= 2 𝑑= 3 𝑠= −3 ℤ∕2ℤ ℤ∕2ℤ0 0 0 0 0 0 𝑠= −2 0 (ℤ∕2ℤ)3(ℤ∕2ℤ)30 0 0 0 0 𝑠= −1 0 0 (ℤ∕2ℤ)3(ℤ∕2ℤ)30 0 0 0 𝑠= 0 0 0 0 (ℤ∕2ℤ)2(ℤ∕2ℤ)30 0 0 𝑠= 1 0 0 0 0 (ℤ∕2ℤ)3(ℤ∕2ℤ)30 0 𝑠= 2 0 0 0 0 0 (ℤ∕2ℤ)3(ℤ∕2ℤ)30 𝑠= 3 0 0 0 0 0 0 ℤ∕2ℤ ℤ∕2ℤ Con este último ejemplo se muestra, una vez más, cómo la homología knot Floer es un invariante más fuerte que el polinomio de Alexander. Concluimos aquí el objetivo del trabajo, con el que se ha pretendido dar una introducción al polinomio de Alexander y la homología knot Floer a partir de los diagramas de rejilla. El estudio tanto de los diagramas de rejilla como de ambos invariantes, sin embargo, es mucho más extenso de lo que se recoge en esta memoria, jugando un papel muy importante a la hora de definir y determinar otros invariantes (como por ejemplo el invariante 𝜏, a partir de la homología knot Floer), o mediante la posibilidad de detectar el nudo trivial a partir de diagramas de rejilla [9]. Apéndices 90 polinomio de alexander, homología knot floer y diagramas de rejilla interpretar en 𝐹𝐷: estos generadores serán ciclos (caminos cerrados no triviales) en la superficie. Conocer unos generadores de la homología será necesario para calcular una matriz de Seifert asociada a una superficie de Seifert, ya que la matriz dependerá de estos. Vamos ahora a construir estas matrices. Sea 𝐹una superficie orientable, y consideremos un embebimiento 𝜙∶𝐹×[0,1] → ℝ3, de manera que 𝜙(𝐹× {0}) = 𝐹. Queremos realizar este engrosamiento para generar una “copia” de nuestra superficie ligeramente desplazada de la cara positiva de la superficie, que denotaremos por 𝐹+=𝜙(𝐹× {1}). Sea 𝐵= {𝑏1,…, 𝑏𝑛}una base de 𝐻1(𝐹)(denotaremos por 𝑏+ 𝑖=𝜙(𝑏𝑖× {1}), y por 𝐵+la base de 𝐻1(𝐹+) asociada a estos generadores). Los generadores de 𝐵y𝐵+no son más que curvas simples cerradas y orientadas en ℝ3, y por tanto un elemento de 𝐵y otro de 𝐵+ pueden tratarse como un enlace de dos componentes. La matriz de Seifert 𝑀de la superficie 𝐹asociada a la base 𝐵será una matriz cuya entrada (𝑖, 𝑗)viene dada por 𝑀𝑖,𝑗 = Θ(𝑏𝑖, 𝑏𝑗), donde Θes una aplicación bilineal denominada emparejamiento de Seifert, definida de la siguiente manera: Θ∶ 𝐻1(𝐹) × 𝐻1(𝐹)→ℤ (𝑏𝑖, 𝑏𝑗)→ 𝑙𝑘(𝑏𝑖, 𝑏+ 𝑗) Para calcular estas matrices debemos hacer una elección de una base para el primer grupo de homología de la superficie. Por otra parte, si queremos obtener resultados de invariancia para enlaces, debemos entender cómo cambian las matrices al utilizar distintas superficies de Seifert para un enlace. ¿Cómo cambian las matrices de Seifert en estos casos? El cambio de base es sencillo, ya que el emparejamiento de Seifert es una forma bilineal, y por tanto se corresponde con conjugar la matriz 𝑀por una matriz 𝑃invertible sobre ℤde forma que 𝑀→ 𝑃𝑡𝑀𝑃 (una congruencia). Para ver el efecto de realizar un entubado o un compresión nos apoyaremos en el siguiente resultado clásico: Proposición A.1.Sea 𝑀una matriz de Seifert asociada a una superficie 𝐹conexa, y sea 𝐹′otra superficie obtenida a partir de 𝐹mediante un entubado. Entonces existen bases de 𝐹y de 𝐹′tales que la matriz de Seifert de 𝐹′es de una de las siguientes formas (que denotaremos por aumento de 𝑀): a. el polinomio de alexander 91 ⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝ 𝑀 ∗ ⋮ ∗ 0 ⋮ 0 0 … 0 0 1 0 … 0 0 0 ⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠ ⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝ 𝑀 0 ⋮ 0 0 ⋮ 0 ∗ … ∗ 0 0 0 … 0 1 0 ⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠ La demostración de esta proposición consiste en ampliar una base de 𝐻1(𝐹)a una de 𝐻1(𝐹′)añadiendo dos nuevos generadores: el meridiano del tubo y el ciclo que atraviesa el tubo y vuelve al punto inicial por la superficie. Posteriormente, se hace un cambio de base donde se suman combinaciones lineales de estos dos nuevos generadores, de manera que no varíe la forma de 𝑀. Pueden consultarse los detalles en [7, Lema 6.6.1]. A partir de estos dos hechos, decimos que dos matrices son 𝑆-equivalentes si podemos obtener una a partir de la otra mediante una sucesión finita de aumentos o reducciones como los de la Proposición A.1 y congruencias de la forma 𝑀→ 𝑃𝑡𝑀𝑃 . Como consecuencia, tenemos el siguiente resultado, que será necesario para probar la invariancia del polinomio de Alexander: Proposición A.2.Dos superficies orientables conexas 𝑆-equivalentes tienen matrices de Seifert 𝑆-equivalentes. Antes de pasar a la definición del polinomio de Alexander, ilustraremos los conceptos de esta sección con el ejemplo del nudo 41, que continúa el Ejemplo A.1. Ejemplo A.2.Partimos de la superficie de proyección 𝐹𝐷que se muestra en la Figura A.4. El grafo de Seifert de esta superficie se muestra en la Figura A.6: cuenta con tres vértices asociados a los tres círculos de Seifert, donde el vértice central se corresponde con el disco a altura cero del que parten cuatro bandas (en la Figura A.4, el de mayor tamaño), mientras que los otros dos vértices se corresponden con los dos círculos de Seifert restantes. Para este grafo, podemos escoger como base del primer grupo de homología los dos ciclos marcados en la Figura A.6. Estos dos ciclos, en la superficie, se corresponden con dos curvas cerradas: la primera de ellas comienza en el disco pintado de rojo, atraviesa la banda de la derecha hasta llegar al círculo mayor, y luego vuelve por la otra banda al círculo rojo; la segunda comienza en el círculo de altura uno, baja por la banda en la parte inferior del dibujo hasta el círculo mayor, y luego vuelve a subir por la otra banda hasta el punto de partida. Vamos a calcular ahora la matriz de Seifert para esta base, aunque en este caso será sencillo, ya que únicamente trabajamos con dimesión dos. Sean 𝑏1y𝑏2los dos 92 polinomio de alexander, homología knot floer y diagramas de rejilla Figura A.6: Grafo de Seifert para la superficie del nudo 41: dos generadores de la homología en dimensión uno pueden ser los dos ciclos marcados en rojo. Figura A.7: Curvas cerradas asociadas a una base de 𝐻1(𝐹𝐷). generadores que se muestran en la Figura A.7, en el orden descrito anteriormente. Supongamos que la copia 𝐹+consiste en desplazar la superficie hacia arriba por la cara pintada de rojo (la positiva). Podemos ver que la configuración a la que dan lugar los dos generadores es la que se muestra en la Figura A.8. Para calcular ahora los números de enlazamiento debemos “levantar” una de las componentes del enlace, como se muestra en la misma figura. Estas configuraciones indican que la matriz de Seifert asociada será: 𝑀=(−1 −1 0 1 ) Veamos cómo se calculan estas entradas. Por ejemplo, la entrada (1,2) se obtiene como el número de enlazamiento de 𝑏1con 𝑏+ 2. Vemos que estos dos generadores tienen dos cruces: el que se encuentra a la derecha en el diagrama de la Figura A.8 siempre es negativo, ya que independientemente de qué generador consideremos en 𝐹+, el cruce se produce a distinta altura (el generador 𝑏1pasa a altura cero y 𝑏2a altura uno). Ahora bien, el cruce de la izquierda depende de qué generador y qué cara de la a. el polinomio de alexander 93 Figura A.8: Configuraciones de 𝑏1y𝑏2producidas al “levantar” un generador. superficie estemos “levantando”: en este caso, se trata de la cara roja y el generador 𝑏2, así que su componente pasará por debajo en el cruce. Por tanto, tendremos dos cruces negativos entre las dos componentes del enlace, de modo que 𝑙𝑘(𝑏1, 𝑏+ 2) = −1. De manera similar se razona el valor de la entrada (2,1). Para los números de enlazamiento de un generador consigo mismo, es más complicado visualizar la configuración, pero podemos utilizar un truco, siempre que hayamos “levantado” la cara positiva de la superficie: el valor de la entrada será la mitad de la suma de los signos de las bandas que atraviesa el generador (y el signo de la banda será el del cruce correspondiente en el diagrama inicial). Por consiguiente, la entrada (1,1) vale −1, puesto que las dos bandas tienen signo negativo. Estamos ya en condiciones de definir algunos invariantes asociados a las matrices de Seifert. Gracias a todos estos resultados previos, comprobar que una determinada aplicación que depende una matriz de Seifert es invariante para enlaces se reduce a probar que es invariante ante 𝑆-equivalencia de matrices. El invariante que buscamos definir como objetivo principal será el polinomio de Alexander, al que dedicaremos la próxima sección. 94 polinomio de alexander, homología knot floer y diagramas de rejilla A.3 Polinomio de Alexander Terminaremos este apéndice definiendo el polinomio de Alexander. Definición A.5. Sea 𝐿un enlace orientado y sea 𝑀una matriz de Seifert asociada a una superficie de Seifert de 𝐿. Se define el polinomio de Alexander de 𝐿, denotado por Δ(𝐿), como el determinante de la matriz 𝑥𝑀 −𝑥−1𝑀𝑡. Teorema A.3. El polinomio de Alexander es un invariante de enlaces orientados. Demostración. Vamos a comprobar que este polinomio, definido en ℤ[𝑥, 𝑥−1], es un invariante para enlaces. Como está definido a partir de una matriz de Seifert de una superficie de Seifert 𝐹, tenemos que comprobar que si elegimos otra superficie de Seifert para 𝐿o elegimos otra base para 𝐻1(𝐹), el polinomio no cambia. En primer lugar, veamos qué ocurre si elegimos otra base para 𝐻1(𝐹). Como una matriz de Seifert 𝑀viene dada por una aplicación bilineal (el emparejamiento de Seifert), un cambio de base se reduce a una congruencia: 𝑀→ 𝑃𝑡𝑀𝑃 , donde la matriz 𝑃debe ser invertible sobre los números enteros. Por consiguiente, se tiene que 𝑑𝑒𝑡(𝑃) = ±1, y por tanto: 𝑑𝑒𝑡(𝑃𝑡(𝑥𝑀)𝑃−𝑃𝑡(𝑥−1𝑀𝑡)𝑃) = 𝑑𝑒𝑡(𝑃𝑡(𝑥𝑀 −𝑥−1𝑀𝑡)𝑃) =𝑑𝑒𝑡(𝑃𝑡)⋅𝑑𝑒𝑡(𝑥𝑀 −𝑥−1𝑀𝑡)⋅𝑑𝑒𝑡(𝑃) =𝑑𝑒𝑡(𝑥𝑀 −𝑥−1𝑀𝑡). A continuación, veamos qué ocurre si elegimos otra superficie de Seifert 𝐹′. En este caso, basta comprobar cómo cambian las matrices de Seifert ante operaciones de entubado y compresión, que se reduce a estudiar cómo cambia una matriz 𝑀ante aumentos. Supongamos que la nueva matriz 𝑀′, de dimensión 𝑛, tiene la siguiente forma respecto de una base adecuada: 𝑀′=⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝ 𝑀 ∗ ⋮ ∗ 0 ⋮ 0 0 … 0 0 1 0 … 0 0 0 ⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠ Entonces la matriz 𝑥𝑀′−𝑥−1𝑀′𝑡tendrá la siguiente forma: a. el polinomio de alexander 95 ⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝ 𝑥𝑀 −𝑥−1𝑀𝑡 ∗ ⋮ ∗ 0 ⋮ 0 ∗ … ∗ 0𝑥 0 … 0 −𝑥−1 0 ⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠ Puesto que la entrada −𝑥−1 de la última fila está en la posición (𝑛, 𝑛 − 1), al desarrollar el determinante por ese elemento se introduce un signo. Como al suprimir la fila y columna correspondiente, la entrada 𝑥se encontrará en la posición (𝑛−1, 𝑛−1), volvemos a desarrollar el determinante, ahora por la última columna, y el resultado final será: 𝑑𝑒𝑡(𝑥𝑀′−𝑥−1𝑀′𝑡) = (−1)2𝑛−1⋅(−1)2𝑛−2⋅(−𝑥−1)𝑥⋅𝑑𝑒𝑡(𝑥𝑀−𝑥−1𝑀𝑡) = 𝑑𝑒𝑡(𝑥𝑀−𝑥−1𝑀𝑡). Por tanto el polinomio de Alexander es un invariante de enlace. Ejemplo A.3.Volvamos al ejemplo que hemos estado tratando a lo largo de la sección. Habíamos calculado una superficie de Seifert para el nudo 41, y con ella una matriz de Seifert, que resultaba ser la siguiente: 𝑀=(−1 −1 0 1 ) El polinomio de Alexander para el nudo será, por tanto: Δ(41) = 𝑑𝑒𝑡 (−𝑥+𝑥−1 −𝑥 𝑥−1 𝑥−𝑥−1)= −𝑥2+3−𝑥−2. Observemos que tal y como lo hemos definido, el polinomio de Alexander está normalizado, de manera que vale uno para el nudo trivial (ya que es el determinante de una matriz de dimensión 0). Podemos aprovechar este hecho para calcular el polinomio de Alexander de otra forma, mediante una recursión que relacionará este invariante con el de dos enlaces relacionados. Teorema A.4 (Relación de madeja). Sea (𝐿+, 𝐿−, 𝐿0)una tripleta orientada; esto es, tres enlaces orientados con diagramas 𝐷+, 𝐷−y𝐷0similares que únicamente difieren 96 polinomio de alexander, homología knot floer y diagramas de rejilla Figura A.9: Entorno en el que se diferencian los tres diagramas de los enlaces de una tripleta orientada. en un entorno de un cruce tal y como se muestra en la Figura A.9 (𝐷+tiene un cruce positivo, 𝐷−tiene un cruce negativo y 𝐷0se obtiene de los anteriores suavizando el cruce de la única manera en que se preserva la orientación). Entonces se verifica la siguiente relación: Δ(𝐿+) − Δ(𝐿−)=(𝑥−1 −𝑥)Δ(𝐿0).(A.1) La demostración del teorema puede consultarse en la referencia [7] y hace uso de que el polinomio de Alexander para enlaces con diagramas no conexos es nulo. En el caso de diagramas conexos, si denotamos por 𝑀+, 𝑀−y𝑀0tres matrices de Seifert para 𝐿+, 𝐿−y𝐿0(asociadas a superficies de Seifert respectivas 𝐹+, 𝐹−,y𝐹0), simplemente se trata de ver cómo se relacionan los determinantes de las matrices 𝑥𝑀0−𝑥−1𝑀𝑡 0,𝑥𝑀+−𝑥−1𝑀𝑡 +y𝑥𝑀−−𝑥−1𝑀𝑡 −, extendiendo una base de 𝐻1(𝐹0)a una base de 𝐻1(𝐹±). A esta relación la denominaremos relación de madeja, y caracteriza al polinomio de Alexander, junto con la condición de normalización (el polinomio de Alexander para el nudo trivial 𝑈es Δ(𝑈)=1). Dado un enlace cualquiera, podemos calcular su polinomio de Alexander suavizando y cambiando el signo de los cruces. Suavizar cruces disminuye la cantidad de estos, y por tanto siempre acabamos llegando al enlace trivial (cuyo polinomio toma el valor 1si se trata del nudo trivial y 0si es un enlace de multiplicidad mayor). Al cambiar los signos de los cruces, conseguimos “desanudar” el enlace, hasta convertirlo en un enlace trivial. Para concluir el apéndice, volvamos al ejemplo del nudo 41, para el que calcularemos su polinomio de Alexander mediante la relación de madeja. Ejemplo A.4.Vamos a comprobar el cálculo del Ejemplo A.3 utilizando la relación de madeja, de forma recursiva. Comenzamos con el diagrama del nudo 41que se muestra en la raíz del árbol de la Figura A.10, seleccionamos un cruce, y consideramos dos a. el polinomio de alexander 97 diagramas de enlaces similares pero donde modificamos dicho cruce para formar una tripleta orientada. Figura A.10: Árbol de resolución ilustrando el Ejemplo A.4. Como el cruce que hemos seleccionado es negativo, nuestro enlace será 𝐿1 −, y por tanto su polinomio de Alexander, despejando de (A.1), será: Δ(𝐿1 −) = Δ(𝐿1 +)−(𝑥−1 −𝑥)Δ(𝐿1 0). El nudo 𝐿1 +es el nudo trivial, como podemos ver realizando un movimiento de Reidemeister de tipo II en el arco superior, acompañado de dos movimientos de Reidemeister de tipo I, y por tanto Δ(𝐿1 +)=1. Para calcular Δ(𝐿1 0)volvemos a utilizar la relación de madeja, fijando otro cruce, como se muestra en la Figura A.10. El cruce que elegimos ahora es positivo, así que el enlace 𝐿1 0será el enlace 𝐿2 +en la nueva tripleta orientada. Despejando en A.1, obtenemos: Δ(𝐿2 +) = Δ(𝐿2 −)+(𝑥−1 −𝑥)Δ(𝐿2 0)=(𝑥−1 −𝑥). Al cambiar de signo el cruce obtenemos un enlace con dos componentes disjuntas, así que Δ(𝐿2 −)=0. Al suavizar el cruce, obtenemos el nudo trivial. Por tanto, Δ(𝐿2 +) = (𝑥−1 −𝑥)Δ(𝐿2 0)=(𝑥−1 −𝑥). 98 polinomio de alexander, homología knot floer y diagramas de rejilla Combinando estos resultados, obtenemos: Δ(𝐿1 −)(𝑥) = 1 − (𝑥−1 −𝑥)(𝑥−1 −𝑥)=−𝑥2+3−𝑥−2, que coincide con los cálculos efectuados en el Ejemplo A.3. Este proceso se representa al completo con un árbol de resolución en la Figura A.10, donde cada nivel se asocia con una iteración de la recursión. Para recuperar el polinomio de Alexander del diagrama en la raíz del árbol, partimos de cada una de las hojas (cuyos polinomios conocemos) y ascendemos multiplicando su polinomio de Alexander (de cada hoja) por los factores que se encuentran sobre las ramas que unen dicha hoja con la raíz del árbol. Finalmente, sumamos las contribuciones de todas las hojas para obtener el polinomio buscado. B Código para el cálculo de índices de Maslov y Alexander En este apéndice se detallará la elaboración de un código con el lenguaje de programación MatLab para calcular los índices de Maslov y Alexander de los distintos estados grid de un diagrama de rejilla dado. Esto se realizará de la siguiente manera: Input: Posición de las marcas ○y×de un diagrama de rejilla y sus coordenadas. La posición de las marcas se implementa como una lista ordenada de las filas que ocupan. El elemento 𝑣𝑖en la posición 𝑖de la lista será la marca en la posición (𝑣𝑖, 𝑖) en el diagrama. Creamos un vector vcon la dimensión del índice de rejilla 𝑛, representando un estado grid. Las coordenadas de los puntos se implementan como una lista ordenada, donde el elemento 𝑣𝑖en la posición 𝑖representa el punto de coordenadas (𝑖− 1, 𝑣𝑖). Generamos una matriz Sg de 𝑁=𝑛!filas y 𝑛columnas, donde en cada fila se recoge un estado grid, permutando el vector 𝑣. Generamos una matriz IndMas de 𝑁filas y 2columnas. En cada fila se recogen los valores de los índices de Maslov para las marcas ○y×para un estado grid. Generamos un vector columna IndAlex de dimensión 𝑁. En cada fila se recoge el índice de Alexander de un estado grid. Output: Matrices IndMas eIndAlex. Para el cálculo del índice de Alexander, únicamente se utiliza la expresión (3.14), tras haber obtenido previamente los índices de Maslov. Para calcular los índices de Maslov de un estado grid, recurrimos a una función auxiliar MO, que calcula los índices a partir de la expresión (3.3). Esta función toma las 106 polinomio de alexander, homología knot floer y diagramas de rejilla [13] Ciprian Manolescu. “An introduction to knot Floer homology”. En: Physics and mathematics of link homology 680 (2016), págs. 99-135. [14] Ciprian Manolescu, Peter Ozsváth y Sucharit Sarkar. “A combinatorial description of knot Floer homology”. En: Annals of Mathematics (2009), págs. 633-660. [15] Ciprian Manolescu et al. “On combinatorial link Floer homology”. En: Geometry & Topology 11.4 (2007), págs. 2339-2412. [16] Yi Ni. “Knot Floer homology detects fibred knots”. En: Inventiones mathematicae 170.3 (2007), págs. 577-608. [17] Peter Ozsváth y Zoltán Szabó. “Holomorphic disks and genus bounds”. En: Geometry & Topology 8.1 (2004), págs. 311-334. [18] Peter Ozsváth y Zoltán Szabó. “Holomorphic disks and knot invariants”. En: Advances in Mathematics 186.1 (2004), págs. 58-116. [19] Peter S Ozsváth, András I Stipsicz y Zoltán Szabó. Grid homology for knots and links. Vol. 208. American Mathematical Soc., 2015. [20] Jacob Andrew Rasmussen. Floer homology and knot complements. Harvard University, 2003. [21] Kurt Reidemeister. “Elementare begründung der knotentheorie”. En: Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg 5 (1927), págs. 24-32. [22] Ferdinand Rudio. Verhandlungen des ersten Internationalen Mathematiker-Kongresses in Zurich. Teubner, 1898. [23] Herbert Seifert. “Über das geschlecht von knoten”. En: Mathematische Annalen 110.1 (1935), págs. 571-592. [24] The Rolfsen Knot Table.url:https://katlas.org/wiki/The_Rolfsen_ Knot_Table.