GeoGebra para introducir los fundamentos de la criptografía basada en retículos

GeoGebra para introducir los fundamentos de la criptograf´ ıa basada en ret´ ıculos ´ Edgar P´ erez-Ramos Universidad de La Laguna Tenerife, Espa˜ na [email protected] Pino Caballero-Gil Universidad de La Laguna Tenerife, Espa˜ na [email protected] H´ ector Reboso-Morales Universidad de La Laguna Tenerife, Espa˜ na [email protected] Resumen—El avance y la amenaza que representa la computaci´ on cu´ antica plantean desaf´ ıos significativos para la seguridad de la informaci´ on. Esta situaci´ on ha generado la necesidad imperiosa de desarrollar sistemas criptogr´ aficos capaces de resistir ataques cu´ anticos. En este contexto, la criptograf´ ıa postcu´ antica ha surgido como un campo de investigaci´ on crucial. Sin embargo, uno de los principales desaf´ ıos que enfrenta este campo es la escasez de recursos did´ acticos disponibles. El presente trabajo aborda esta problem´ atica mediante la creaci´ on de recursos did´ acticos centrados en ret´ ıculos utilizando GeoGebra. Se ha dise˜ nado una actividad que introduce y relaciona los ret´ ıculos con diversos conceptos matem´ aticos impartidos en el aula. La actividad desarrollada es totalmente novedosa y tiene como objetivo hacer m´ as accesible la comprensi´ on de la criptograf´ ıa post-cu´ antica al proporcionar herramientas visuales y manipulables que ayuden a los estudiantes a interiorizar los principios matem´ aticos y computacionales implicados en la seguridad de la informaci´ on en la era post-cu´ antica. Index Terms—Ret´ ıculos, GeoGebra, Criptograf´ ıa post-cu´ antica Tipo de contribuci´ on: Formaci´ on e innovaci´ on educativa I. INTRODUCCI´ ON En la actualidad, la criptograf´ ıa juega un papel esencial en todas las tecnolog´ ıas de la comunicaci´ on, ya que es necesaria para proteger la seguridad de los sistemas y mensajes. Entre las t´ ecnicas criptogr´ aficas m´ as relevantes, el cifrado se utiliza para proteger secretos, mientras que la firma digital se emplea para verificar la autenticidad e integridad de documentos y mensajes digitales. Sin embargo, con el posible despliegue futuro de la computaci´ on cu´ antica, se ha descubierto que muchos algoritmos criptogr´ aficos utilizados actualmente en diferentes tecnolog´ ıas, como RSA o ECDSA, ser´ an totalmente vulnerables, motivo por el cual emana la necesidad de nuevos esquemas criptogr´ aficos resistentes a la llamada amenaza cu´ antica. El Instituto Nacional de Normas y Tecnolog´ ıa (NIST) ha dedicado recientemente varios a˜ nos de esfuerzo a la b´ usqueda de algoritmos estandarizados capaces de resistir los retos que plantea la computaci´ on cu´ antica. En 2022, se dieron a conocer los cuatro finalistas de este exhaustivo proceso, entre los que destacaban algoritmos como CRYSTALS-Kyber, [1], dise˜ nado para el cifrado, y CRYSTALS-Dilithium, [2], destinado a las firmas digitales. Desde entonces, se han dedicado numerosos esfuerzos a verificar la solidez de estos esquemas, dada la importancia que adquirir´ an en los pr´ oximos a˜ nos. En particular, el NIST ha desarrollado recientemente los correspondientes borradores de los Est´ andares Federales de Procesamiento de la Informaci´ on (FIPS), FIPS 203 [3] y FIPS 204 [4], que especifican el Mecanismo de Encapsulaci´ on de Claves M´ odulo-Lattice (ML-KEM) y el Algoritmo de Firma Digital M´ odulo-Lattice (ML-DSA), derivados de CRYSTALS-Kyber y CRYSTALS- Dilithium, respectivamente. Los ret´ ıculos son el factor com´ un de la mayor´ ıa de los algoritmos resistentes a la cu´ antica (CRYSTALS-Kyber, CRYSTALS-Dilithium y FALCON, [5]). No obstante, la familiarizaci´ on con los fundamentos de la teor´ ıa de ret´ ıculos puede ser vista como una necesidad en diversos niveles educativos, con el fin de preparar de manera m´ as efectiva a los futuros ingenieros y cient´ ıficos. Este trabajo se estructura de la siguiente forma: En primer lugar, en la Secci´ on II se presentan las herramientas necesarias para comprender el trabajo. Se expone qu´ e es el GeoGebra, se justifica para qu´ e tipo de alumnado est´ a enfocada la actividad y se introducen los conceptos matem´ aticos que se trabajan en el ejercicio. En la Secci´ on III se desarrolla y explica la actividad, que puede consultarse en [6] y la secci´ on IV trata sobre una propuesta de cuestionarios para la evaluaci´ on de la actividad. Por ´ ultimo, se dedica una ´ ultima secci´ on a los trabajos futuros y las conclusiones. II. PRELIMINARES Los ret´ ıculos son el objeto algebraico m´ as predominante en los est´ andares tanto de cifrado como de firma actuales. En la literatura, el material did´ actico disponible sobre los ret´ ıculos suele ser escaso y en ocasiones puede llegar a ser complejo y abstracto para el alumnado poco experimentado. Es por ello que en este trabajo se ha desarrollado una serie de actividades con el software GeoGebra, [7]. GeoGebra es un proyecto de software de matem´ aticas libre que naci´ o en el a˜ no 2001 por parte de Markus Hohenwarter. GeoGebra combina aspectos de la geometr´ ıa, el ´ algebra, el c´ alculo y otros campos de las matem´ aticas. Es ampliamente utilizado en entornos educativos, desde escuelas primarias hasta niveles universitarios, as´ ı como por investigadores, profesionales en matem´ aticas y disciplinas relacionadas. Algunas caracter´ ısticas son: Interfaz din´ amica: GeoGebra proporciona una interfaz din´ amica que permite a los usuarios crear, manipular y explorar objetos matem´ aticos en tiempo real. Esto facilita la comprensi´ on de conceptos matem´ aticos abstractos al permitir la visualizaci´ on interactiva. Geometr´ ıa interactiva: Los usuarios pueden construir y manipular figuras geom´ etricas, como puntos, l´ ıneas, segmentos, pol´ ıgonos, c´ ırculos y mucho m´ as. Estas figuras JNIC 2024 ISBN:978-84-09-62140-8 149 pueden ser arrastradas, rotadas, escaladas y modificadas f´ acilmente. ´ Algebra din´ amica: GeoGebra permite trabajar con expresiones algebraicas, ecuaciones y funciones de manera interactiva. Los usuarios pueden graficar funciones, resolver ecuaciones, encontrar derivadas e integrales, y realizar manipulaciones algebraicas. Visualizaci´ on de datos: GeoGebra permite la visualizaci´ on de datos mediante la creaci´ on de gr´ aficos de funciones, diagramas de dispersi´ on, histogramas y otros tipos de representaciones visuales. Esto facilita el an´ alisis y la interpretaci´ on de datos en contextos matem´ aticos y cient´ ıficos. Herramientas adicionales: Adem´ as de sus capacidades principales en geometr´ ıa y ´ algebra, GeoGebra tambi´ en incluye herramientas para trabajar con c´ alculo diferencial e integral, estad´ ısticas, probabilidad, y m´ as. Por tanto, por todas las ventajas anteriormente mencionadas, se ha escogido GeoGebra por su alta eficiencia y utilidad en entornos did´ acticos, como por ejemplo se evidencia en [8] y [9]. Este trabajo puede encajar a partir de 4º de ESO, incluyendo el Bachillerato, puesto que, como aparece en [10] tanto Matem´ aticas A como Matem´ aticas B coinciden en: Criterios de evaluaci´ on: • Competencia espec´ ıfica 7.2 “ Seleccionar entre diferentes herramientas, incluidas las digitales, y formas de representaci´ on (pict´ orica, gr´ afica, verbal o simb´ olica) valorando su utilidad para compartir informaci´ on.” Saberes b´ asicos: • Sentido espacial: ◦Figuras geom´ etricas de dos y tres dimensiones. “Propiedades geom´ etricas de objetos matem´ aticos y de la vida cotidiana: investigaci´ on con programas de geometr´ ıa din´ amica.” ◦Movimientos y transformaciones. “Transformaciones elementales en la vida cotidiana: investigaci´ on con herramientas tecnol´ ogicas como programas de geometr´ ıa din´ amica, realidad aumentada...” • Sentido algebraico: ◦Pensamiento computacional. “Resoluci´ on de problemas mediante la descomposici´ on en partes, la automatizaci´ on y el pensamiento algor´ ıtmico.” Por otra parte, cabe destacar que una motivaci´ on fundamental para desarrollar este trabajo ha sido el ´ ultimo Informe PISA (se puede consultar en [11]), en el cual Espa˜ na ha obtenido su peor resultado desde que comenz´ o a realizarse dicha prueba. En particular, el alumnado espa˜ nol de ´ ultimo curso de ESO ha bajado 8puntos en matem´ aticas respecto a la edici´ on anterior. La evoluci´ on puede verse en Fig. 1 Por lo tanto, tras estos resultados crear material did´ actico ´ util sobre matem´ aticas se vuelve de car´ acter urgente. La aspiraci´ on es abordar las deficiencias identificadas y fortalecer las habilidades num´ ericas y conceptuales de los estudiantes. Figura 1. Evoluci´ on de las puntuaciones de matem´ aticas Conceptos matem´ aticos La actividad desarrollada en [6] tiene un doble prop´ osito: emplear los principios matem´ aticos ense˜ nados en Secundaria y Bachillerato para introducir la criptograf´ ıa post-cu´ antica a los estudiantes, o utilizar la criptograf´ ıa post-cu´ antica como herramienta para mejorar la comprensi´ on de diversos conceptos matem´ aticos abordados en el aula. Estos conceptos incluyen: Ret´ ıculos Producto escalar de dos vectores Ortogonalidad Sistema de referencia af´ ın y usual Distancia eucl´ ıdea y taxi A continuaci´ on se procede a definir de manera formar los conceptos previamente mencionados. Formalmente un ret´ ıculo se puede definir de la siguiente forma: Definici´ on 1: Sean Vun espacio vectorial sobre un cuerpo K,{v1, v2, . . . , vn}una base de un subespacio vectorial de V, y Aun anillo contenido en K. Entonces el ret´ ıculo L ⊂ V generado por la base {v1, v2,··· , vn}es el conjunto: L(v1, v2, . . . , vn) = { n X i=1 ai·vi:ai∈A}(1) Generalmente se considera que A=Zy para esta actividad V=Zm, de forma que el ret´ ıculo L(v1, v2, . . . , vn)definido a partir de una base vi∈Zm: L(v1, v2, . . . , vn) = { n X i=1 ai·vi:ai∈Z,}(2) Por tanto, un ret´ ıculo siempre se puede generar a partir de una base del espacio vectorial en el que se defina, mediante todas las combinaciones lineales de elementos de esa base. No obstante, lejos de esta formalidad, el mensaje que se quiere transmitir al alumnado es que un ret´ ıculo no es m´ as que las combinaciones lineales enteras de un conjunto de vectores y que distintas bases pueden dar lugar a un mismo ret´ ıculo. Definici´ on 2: En un espacio vectorial V, un producto interno (o producto escalar) es una aplicaci´ on tal que: ⟨·,·⟩ :V×V−→ K, (u, v)7−→ a=⟨u, v⟩ donde Ves un espacio vectorial y Kel cuerpo ordenado sobre el que est´ a definido, siendo R. Esta operaci´ on binaria E. P´erez-Ramos, P. Caballero-Gil and H. Reboso-Morales 150 debe satisfacer las siguientes condiciones siendo a, b ∈Ky u, v, w ∈V: Linealidad tanto por la izquierda como por la derecha. Es decir: ⟨au +bv, w⟩=a·⟨u, w⟩+b·⟨v, w⟩(3) y ⟨u, av +bw⟩= ¯a·⟨u, v⟩+¯ b·⟨u, w⟩(4) Hermiticidad: ⟨u, v⟩=¯ ⟨v, u⟩ Definida positiva: ⟨u, u⟩ ≥ 0y⟨u, u⟩= 0 ⇐⇒ u= 0, ∀u∈V Usualmente se suele representar a esta operaci´ on por “·”. Luego, si adem´ as consideramos V=R2yK=Rpodremos considerar el producto escalar com´ un que conocen los estudiantes de cursos de ESO y Bachillerato. Adem´ as, para conectar esta definici´ on con los ret´ ıculos sobre el plano, se recuerda la siguiente relaci´ on: u·v=∥u∥·∥v∥ ·cos(α)(5) siendo u, v ∈R2yαel ´ angulo formado entre los dos vectores. A continuaci´ on se recuerda la definici´ on de la norma, asociada a la Eq. 5. Para profundizar a´ un m´ as sobre ello se puede consultar [12]. Definici´ on 3: Un espacio vectorial Vse denomina espacio normado, si para cada x∈V, se define un n´ umero real, que se denota por ∥x∥y que satisface las siguientes propiedades: ∥x∥≥ 0,∀x∈V(Positividad) ∥x∥= 0 ⇐⇒ x= 0,∀x∈V(Definido) ∥α·x∥=|α|· ∥ x∥ ∀α∈Ry∀x∈V (Homogeneidad) ∥x+y∥≤∥ x∥+∥y∥,∀x, y ∈V(Desigualdad triangular) La cantidad ∥x∥es conocida como la norma de x. Generalmente, se denota como (V,·)al espacio vectorial normado. En el caso de que no se verifique la segunda condici´ on de la Def. 3 pero s´ ı las restantes, se dice que ∥·∥ es una seminorma. A partir de la Eq. 5 sabemos que si α= (2k+ 1) ·π 2, con k∈Zentonces u·v= 0. Es en este instante donde se relaciona los ret´ ıculos con el producto escalar y con la ortogonalidad, pudiendo as´ ı trabajar con ret´ ıculos de bases ortogonales. Definici´ on 4: Dado un espacio vectorial Vsobre un cuerpo Kcon un producto interno ⟨·,·⟩, dos vectores uy v en Vse dicen ortogonales si su producto interno es igual a cero, es decir: ⟨u, v⟩= 0 (6) A continuaci´ on, para poder enlazar los ret´ ıculos con bases ortogonales y el concepto tanto de sistema de referencia af´ ın como cartesiano, nos basaremos en [13], donde se pueden consultar todas las definiciones y ejemplos necesarios. Definici´ on 5: Una colecci´ on de puntos {p0, p1, . . . , pk}, con k∈Nen un espacio af´ ın Ase dice af´ ınmente independiente si los vectores {−−→ p0p1,−−→ p1p2, . . . −−−−→ pk−1pk}son linealmente independientes. Definici´ on 6: Dado un espacio af´ ın Acon dim(A) = n, siendo n∈N, un sistema de referencia Ren Aes un sistema de referencia ordenado {p0, p1, . . . , pn}de n+ 1 puntos af´ ınmente independientes o equivalentemente satisfaciendo: ⟨{p0, p1, . . . , pn}⟩ =A(7) Una vez definido un sistema de referencia af´ ın, se puede definir el sistema de referencia af´ ın euclidiano en Rno com´ unmente llamado el usual o cartesiano. Definici´ on 7: En el espacio af´ ın euclidiano Rndotado de estructura af´ ın can´ onica, el sistema de referencia R0={(0,0,...,0), B0}(8) donde B0={(1,0,0,...,0),...,(0,0,0,...,1)}es la base can´ onica de Rn, esto es, que todo punto x∈Rnse puede expresar en t´ erminos de R0 En general, en el aula se trabaja con el sistema de referencia definido por {(0,0),(1,0),(0,1)}en el caso del plano, y {(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}en el espacio. Cuando se trata de transmitir conceptos abstractos como la Def. 6 en el aula, el objetivo es ense˜ nar que el producto escalar, ya sea 0o distinto de 0, permite la creaci´ on de sistemas de referencia cartesianos o, alternativamente, la imposici´ on de un sistema de referencia af´ ın utilizando los puntos y vectores disponibles. Esto se hace con el fin de construir ret´ ıculos que pueden tener bases ortogonales (un escenario usual) o bases no ortogonales. A trav´ es de este enfoque, los alumnos no solo comprenden c´ omo construir ejes perpendiculares que sigan una unidad de medida, sino que tambi´ en aprenden a construir ejes que no sean perpendiculares utilizando puntos arbitrarios. Por ´ ultimo, y a ra´ ız de la Def. 8 introducimos la distancia taxi, la cu´ al sobre el plano puede tener una representaci´ on geom´ etrica similar a la de los ret´ ıculos. Este concepto permite tanto al docente como al alumnado agrupar las definiciones anteriores y acercarlas a la realidad, hacerlas un poco m´ as tangibles. Definici´ on 8: La distancia taxi, tambi´ en conocida como distancia de Manhattan o distancia rectil´ ınea, es una m´ etrica utilizada en geometr´ ıa para calcular la distancia entre dos puntos en un espacio euclidiano con coordenadas rectangulares. Formalmente, la distancia taxi entre dos puntos P(x1, y1)y Q(x2, y2)en un plano euclidiano se expresa como: dtaxi(P, Q) = |x1−x2|+|y1−y2|(9) Donde |x1−x2|representa la diferencia absoluta entre las coordenadas horizontales de los puntos y |y1−y2|representa la diferencia absoluta entre las coordenadas verticales de los puntos. La suma de estas diferencias absolutas proporciona la distancia taxi entre los dos puntos. En la Fig. 2 se puede observar un ejemplo ilustrativo sobre el siguiente concepto. III. ACTIVIDAD DE GEOGEBRA Como se mencion´ o anteriormente, la actividad desarrollada en [6] puede tener dos prop´ ositos: emplear los principios matem´ aticos ense˜ nados en Secundaria y Bachillerato para introducir la criptograf´ ıa post-cu´ antica a los estudiantes, o utilizar la criptograf´ ıa post-cu´ antica como herramienta para mejorar la comprensi´ on de diversos conceptos matem´ aticos abordados en el aula. Luego, a la hora de presentar dicho recurso, no es necesario que se impartan los contenidos matem´ aticos descritos en el GeoGebra para introducir los fundamentos de la criptograf´ıa basada en ret´ıculos 151 Figura 2. Ejemplo de la aplicaci´ on de la distancia taxi, [14] presente trabajo. En cambio, la actividad puede servir como una manera alternativa de introducir esos conceptos o como un complemento motivador para reforzar los temas ya abordados en el aula. Una breve introducci´ on a la teor´ ıa de ret´ ıculos La actividad de GeoGebra titulada “Una breve introducci´ on a la teor´ ıa de ret´ ıculos”, tiene por objetivo ofrecer nociones sobre la matem´ atica subyacente a la criptograf´ ıa post-cu´ antica, a trav´ es de breves definiciones y diferentes ejercicios, tanto de respuesta corta como respuesta larga y abierta. En un primer instante, se presenta el por qu´ e de la criptograf´ ıa post-cu´ antica y la amenaza de la computaci´ on cu´ antica, de modo que el alumno sienta curiosidad por el tema. Acto seguido, se hace una comparaci´ on entre dos definiciones de ret´ ıculo, tanto informal (ver Fig. 3) como formal (Def. 1). Figura 3. Definici´ on informal de ret´ ıculo ChatGPT es una herramienta relativamente novedosa. Se ha elegido utilizarla en esta actividad (en particular al principio, para no perder el inter´ es del lector) con el objetivo de generar un mayor compromiso por parte del alumnado. Dado que esta herramienta suele estar asociada a un estigma que la aleja de los entornos educativos convencionales, se busca presentar una definici´ on atractiva que despierte el inter´ es y la participaci´ on de los estudiantes. Una vez se han dado las definiciones correspondientes, para reforzar estos conceptos se presentan ejemplos simples, representaciones din´ amicas como se pueden ver en Fig. 4 y Fig. 5 y preguntas cortas y abiertas, como se puede observar en Fig. 6 y Fig. 7. Una de las principales ventajas de estas representaciones din´ amicas, es que el propio estudiante puede hacer variar los vectores y as´ ı ver reflejados los cambios. De esta manera, mediante el aprendizaje interactivo los estudiantes pueden manipular los conceptos y se involucran de manera directa Figura 4. Primer ejemplo de los elementos de un ret´ ıculo Figura 5. Ejemplo din´ amico de los elementos de un ret´ ıculo en la construcci´ on de su conocimiento. Es por ello, que tambi´ en se propone la construcci´ on de sus propios ret´ ıculos en preguntas abiertas. Figura 6. Primera pregunta corta Adem´ as, como se puede observar en Fig. 8 se emplean tambi´ en las representaciones din´ amicas para demostrar de manera emp´ ırica que el ´ unico ret´ ıculo nulo es aquel compuesto por los vectores nulos. De manera alternativa, el estudiante E. P´erez-Ramos, P. Caballero-Gil and H. Reboso-Morales 152 Figura 7. Pregunta abierta en la actividad aprende de forma interactiva que al utilizar vectores no nulos con coeficientes infinitos, el ret´ ıculo resultante ser´ a infinito. Figura 8. Ret´ ıculo compuesto por vectores cero En la segunda parte de la actividad, se busca intentar relacionar los conceptos mencionados anteriormente de forma que el lector pueda llegar a comprender sus conexiones con ´ exito. En este punto se hace menci´ on al producto escalar entre dos vectores y derivando del mismo, la ortogonalidad. As´ ı mismo, como se puede ver en Fig. 9 tambi´ en se introducen los sistemas de referencia afines y usuales. Figura 9. Ret´ ıculo no ortogonal Para completar la actividad y proporcionarle una conclusi´ on m´ as integradora y pr´ actica, se mencionan las diversas ramas de las matem´ aticas, con especial ´ enfasis en la geometr´ ıa y la topolog´ ıa. Este enfoque nos conduce a la ya mencionada distancia taxi en Def. 8. Para este ejemplo pr´ actico se ha propuesto una imagen de la ciudad de Barcelona con vista a´ erea, pues esta destaca por su disposici´ on urbana, ordenada y representativa. Se puede observar en Fig. 10. Figura 10. Barcelona desde el aire Para aprovechar las capacidades de GeoGebra, se integra la Fig. 10 en el software y se superpone elementos de un ret´ ıculo en cada intersecci´ on tanto de las calles verticales como horizontales (ver Fig. 11. Esto permite plantear al estudiante c´ omo llegar de un punto Aa un punto Bmovi´ endose ´ unicamente a trav´ es de los puntos del ret´ ıculo. De esta manera, se evidencia que la soluci´ on no es trazar una l´ ınea recta entre AyB, sino que existen m´ ultiples rutas posibles, resaltando as´ ı la naturaleza no ´ unica de la soluci´ on y la aplicaci´ on directa y tangible de los conceptos aprendidos. IV. DISE ˜ NO DE EVALUACI ´ ON Un primer estudio sobre el impacto del recurso did´ actico propuesto podr´ ıa realizarse con varias poblaciones, como puede ser un grupo de profesores y un grupo de alumnos. De este modo, podr´ ıa medirse con m´ as precisi´ on el alcance del trabajo desarrollado, consiguiendo la opini´ on de los profesionales que imparten el recurso y la opini´ on de quienes lo reciben, a esta metodolog´ ıa la denominamos “Enfoque de Doble Audiencia”. La metodolog´ ıa es la siguiente: Se llevan a cabo varios cuestionarios durante el proceso: un primer cuestionario demogr´ afico para comprender la composici´ on de la poblaci´ on, un segundo cuestionario intermedio y un ´ ultimo cuestionario para evaluar el progreso a lo largo del taller. GeoGebra para introducir los fundamentos de la criptograf´ıa basada en ret´ıculos 153 Figura 11. Distancia taxi sobre un ret´ ıculo Despu´ es del cuestionario inicial, se sugiere realizar una charla donde se exponen el desarrollo y los fundamentos te´ oricos de la criptograf´ ıa post-cu´ antica. Tras su finalizaci´ on, la cual puede tener una duraci´ on variable de 20 a 30 minutos, se administra el cuestionario intermedio. En la segunda parte del taller, se presenta el recurso did´ actico. Dependiendo de la audiencia (docentes o estudiantes), esta parte adopta un enfoque m´ as pragm´ atico, donde se muestra la utilidad de la herramienta para una mejor comunicaci´ on y explicaci´ on de los conceptos matem´ aticos, o m´ as formativo, donde simplemente se exponen las relaciones y los t´ erminos matem´ aticos directamente al alumnado. Las preguntas que se proponen para incluir en los cuestionarios son las siguientes: Preguntas a los docentes: •Q1 ¿Sabes algo sobre las bases de la criptograf´ ıa post-cu´ antica? •Q2 ¿Te parecen sencillos los conceptos asociados a la criptograf´ ıa post-cu´ antica? •Q3 ¿Consideras que la criptograf´ ıa post-cu´ antica puede tener inter´ es en el aula? •Q4 ¿Consideras que la criptograf´ ıa post-cu´ antica puede aplicarse en el aula para explicar conceptos matem´ aticos? •Q5 ¿Te parece ´ util la actividad desarrollada para comprender algunos conceptos de las matem´ aticas? •Q6 ¿Te gustar´ ıa aplicar estas actividades en el aula? •Q7 Indica el concepto que te parezca m´ as interesante: ◦Ret´ ıculo ◦Paralelep´ ıpedo ◦El problema de aprendizaje sobre errores ◦El problema del vector m´ as corto ◦El problema del vector m´ as cercano ◦Criptograf´ ıa de clave p´ ublica •Q8 ¿Qu´ e concepto crees que sale m´ as reforzado tras la actividad? ◦Producto escalar ◦Sistema de referencia ◦Combinaciones lineales de vectores ◦Ortogonalidad ◦Determinantes y matrices Preguntas al alumnado: •Q1 ¿Sabes algo sobre las bases de la criptograf´ ıa post-cu´ antica? •Q2 ¿Te parecen sencillos los conceptos asociados a la criptograf´ ıa post-cu´ antica? •Q3 ¿Te parece interesante la criptograf´ ıa postcu´ antica? •Q4 ¿Qu´ e nivel de abstracci´ on consideras que tiene la criptograf´ ıa post-cu´ antica? •Q5 ¿Te parece ´ util la actividad desarrollada para comprender algunos conceptos de las matem´ aticas? •Q6 ¿Te han ayudado las actividades de GeoGebra a comprender los conceptos? •Q7 Indica el concepto que te parezca m´ as interesante: ◦Ret´ ıculo ◦Paralelep´ ıpedo ◦El problema de aprendizaje sobre errores ◦El problema del vector m´ as corto ◦El problema del vector m´ as cercano ◦Criptograf´ ıa de clave p´ ublica ◦Polinomios •Q8 ¿Qu´ e concepto consideras que sale m´ as reforzado tras la actividad? ◦Producto escalar ◦Sistema de referencia ◦Combinaciones lineales de vectores ◦Ortogonalidad ◦Determinantes y matrices Se sugiere responder a las preguntas Q1 -Q6 utilizando la escala de Likert, mientras que las preguntas Q7 yQ8 se abordan con respuestas m´ ultiples. Cabe destacar que varias de las preguntas se repiten a lo largo de los cuestionarios que se realizan, de ese modo se permite medir la evoluci´ on y el impacto a lo largo del taller. CONCLUSIONES Este trabajo ha presentado una metodolog´ ıa innovadora para la ense˜ nanza de los ret´ ıculos utilizando GeoGebra. Durante la actividad, se han explorado conceptos fundamentales del tema, como la estructura del propio ret´ ıculo, mediante ejemplos din´ amicos, preguntas de distinto tipo y su relaci´ on con otros conceptos aparentemente dis´ ımiles, como el producto escalar, la ortogonalidad, referencias afines y la distancia taxi. Esta investigaci´ on se distingue por su originalidad, al no haber sido precedida por trabajos similares. Como trabajo futuro, se planea llevar a cabo talleres con estudiantes y docentes para recopilar resultados estad´ ısticos que permitan evaluar la utilidad de la actividad, as´ ı como contemplar posibles modificaciones en la misma para su mejora continua. AGRADECIMIENTOS Este trabajo ha sido posible gracias al acuerdo entre Atlantis SL y la Universidad de La Laguna, y a las C´ atedras de Ciberseguridad patrocinadas por Binter, y por INCIBE mediante iniciativa realizada en el marco de los fondos del Plan de Recuperaci´ on, Transformaci´ on y Resiliencia, financiada por E. P´erez-Ramos, P. Caballero-Gil and H. Reboso-Morales 154 la Uni´ on Europea (Next Generation). Adem´ as forma parte del proyecto PID2022-138933OB-I00 financiado por MCIN/AEI/ 10.13039/501100011033/FEDER, UE. REFERENCIAS [1] R. Avanzi, J. Bos, L. Ducas, E. Kiltz, T. Lepoint, V. Lyubashevsky, J. Schanck, P. Schwabe, G. Seiler, D. Stehl´ e, “CRYSTALS-Kyber algorithm specifications and supporting documentation”, NIST PQC Round, vol. 2, no. 4, pp. 1–43, 2019. [2] L. Ducas, E. Kiltz, T. Lepoint, V. Lyubashevsky, P. Schwabe, G. Seiler, D. Stehl´ e, “CRYSTALS-Dilithium: Algorithm specifications and supporting documentation (version 3.1)”, NIST Post-Quantum Cryptography Standardization Round, vol. 3, 2021. [3] National Institute of Standards and Technology (NIST), “FIPS 203 (Draft) Module-Lattice-based Key-Encapsulation Mechanism Standard”, 2023, https://nvlpubs.nist.gov/nistpubs/FIPS/NIST.FIPS.203.ipd. pdf [4] National Institute of Standards and Technology (NIST), “FIPS 204 (Draft) Module-Lattice-Based Digital Signature Standard”, 2023,https: //nvlpubs.nist.gov/nistpubs/FIPS/NIST.FIPS.204.ipd.pdf [5] P. Fouque, J. Hoffstein, P. Kirchner, V. Lyubashevsky, T. Pornin, T. Prest, T. Ricosset, G. Seiler, W. Whyte, Z. Zhang, “Falcon: Fast-Fourier lattice-based compact signatures over NTRU.” Submission to the NIST’s post-quantum cryptography standardization process, 2018, https://www. di.ens.fr/∼prest/Publications/falcon.pdf [6] P´ erez, ´ E. “Una breve introducci´ on a la teor´ ıa de ret´ ıculos”, 2024. Disponible en: https://www.geogebra.org/m/cm2e42fk [7] GeoGebra. (s/f). GeoGebra. Disponible en: https://www.geogebra.org/ [8] N. Arbain, Nurbiha A. Shukor. “The Effects of GeoGebra on Students Achievement”. Procedia - Social and Behavioral Sciences, vol. 172, pp. 208–214, 2015. Disponible en: https://doi.org/10.1016/j.sbspro.2015.01. 356 [9] Dogan, M., ˙ Ic¸el, R. “The role of dynamic geometry software in the process of learning: GeoGebra example about triangles”. Journal of Human Sciences, vol. 8, pp. 1441—1458. Disponible en: https://www. j-humansciences.com/ojs/index.php/IJHS/article/view/1547 [10] Ministerio de Educaci´ on y Formaci´ on Profesional. “Real Decreto 217/2022, de 29 de marzo, por el que se establece la ordenaci´ on y las ense˜ nanzas m´ ınimas de la Educaci´ on Secundaria Obligatoria”. BOE, n´ um. 76, de 30 de marzo de 2022. Referencia: BOE-A-2022-4975. [11] Instituto Nacional de Evaluaci´ on Educativa. “PISA 2022. Programa para la Evaluaci´ on Internacional de los Estudiantes. Informe espa˜ nol.”,2023. Disponible en: https://acortar.link/afkH6B [12] ´ Aguila Hern´ andez, E.J., “Algunos T´ opicos en Teor´ ıa de Aproximaci´ on”, Trabajo fin de grado, Universidad de La Laguna, 2023. [Online], Disponible en: https://riull.ull.es/xmlui/handle/915/33370 [13] L´ opez, Francisco J. Geometr´ ıa III. Departamento de Geometr´ ıa y Topolog´ ıa, Universidad de Granada. Granada, Espa˜ na. [Online], Disponible en: https://www.ugr.es/∼fjlopez/ private/Geometria III.pdf [14] El Pa´ ıs. “Manhattan, distancias y “el juicio de Pit´ agoras. Ciencia/Materia, 2016. Disponible en: https://acortar.link/8BQt7X GeoGebra para introducir los fundamentos de la criptograf´ıa basada en ret´ıculos 155