Problemas de homogeneización con alto contraste

Problemas de Homogeneizaci´on con Alto Contraste Antonio Jes´us Pallares Mart´ın El objetivo de esta tesis es estudiar la homogeneizaci´on de sistemas de ecuaciones en derivadas parciales el´ıpticas. Principalmente, proporcionamos condiciones de integrabilidad sobre los coeficientes del sistema que nos permitan tener un resultado de homogeneizaci´on local. En el caso de ecuaciones, se sabe que es suficiente que los coeficientes est´en acotados en L1y sean equiintegrables para dimensiones N≥3 y solo acotaci´on en L1 para dimesi´on N= 2 ([7, 3, 4, 2]). Sin embargo, estos resultados se basan en el principio del m´aximo, resultado que no es cierto para sistemas. Por tanto, para poder abordar este problema necesitamos usar otras t´ecnicas y herramientas. Otro problema interesante en el marco de la homogeneizaci´on es la posibilidad de deducir ciertas propiedades de los problemas l´ımite, una cuesti´on que tambi´en tratamos en la ´ultima parte de la tesis. Esta tesis est´a dividida en 4 cap´ıtulos: En el Cap´ıtulo 1 consideramos el sistema el´ıptico lineal de M≥1 ecuaciones en derivadas parciales (−Div (AnDun) = fnen Ω, un= 0 sobre ∂Ω, donde Ω ⊂RNes un subconjunto abierto y acotado y los coeficientes An: Ω →L(RM×N) no est´an acotados uniformemente ni son uniformemente coercitivos. Suponemos acotaci´on de los Anen cierto espacio Lp(Ω; L(RM×N)) y una condici´on de coercitividad integral sobre los An ZΩ |Dϕ|qdx 1 q ≤CZΩ AnDϕ :Dϕ dx 1 2 ,∀ϕ∈C∞ c(Ω)M, para cierto q≥1. Recordamos que la coercitividad integral y la coercitividad puntual no son equivalentes en el caso de sistemas. Nuestras hip´otesis nos permiten aplicar nuestros resultados al sistema de la elasticidad. Adem´as, aunque no suponemos que los Anson sim´etricos, puesto que hacemos usos de algunas herramientas propias de la teor´ıa de la Γ-convergencia, necesitamos controlar de forma uniforme la parte antisim´etrica de An por su parte sim´etrica. Para probar el resultado usamos una generalizaci´on del Lemma del Div-Rot de Murat-Tartar obtenida en [5]. Por la naturaleza de las hip´otesis, si pes peque˜no, necesitamos que qsea grande, y rec´ıprocamente. Por ejemplo, para q=∞, solo necesitamos p≥N 2, mientras que si p=∞, entonces nos basta con q≥N 2. En el Cap´ıtulo 2 consideramos el caso de los sistemas el´ıpticos no lineales. Para ello, estudiamos el Γ-l´ımite de una sucesi´on de funcionales no lineales definidos sobre funciones vectoriales por Fn(v) := ZΩ Fn(x, Dv)dx para v∈W1,p 0(Ω)M,con p∈(1,∞),(0.1) donde Ω ⊂RNes un subconjunto abierto y acotado y M≥1. Por simplificar, en este caso s´ı imponemos una condici´on de elipticidad d´ebil uniforme sobre los coeficientes. En este marco, la no linealidad del problema nos impide usar la extensi´on del lema del Div-Rot que empleamos en el Cap´ıtulo 1. En cambio, nuestros resultados se apoyan en otra extensi´on del lema del Div-Rot obtenida en [1] y m´as concretamente en un lema anterior que aparece en dicha referencia. Se trata de un resultado de compacidad por compensaci´on para sucesiones acotadas en W1,q(Ω) que se basa en la inclusi´on W1,q(SN−1)⊂Lq∗(SN−1) (donde SN−1es la esfera unidad en RN−1). Puesto que el resultado que aparece en [1] es una generalizaci´on del que aparece en [5], mejoramos el resultado del Cap´ıtulo 1 mostrando que en el caso q=∞, es suficiente tener p > (N−1) 2. Tambi´en cabe destacar que las hip´otesis que hacemos en este cap´ıtulo no implican la convexidad de las energ´ıas con respecto a su segunda variable. Recordemos que si un funcional del tipo (0.1) es semicontinuo inferiormente con respecto a la topolog´ıa d´ebil de W1,p, entonces la aplicaci´on ξ∈RM×N7→ F(x, ξ) es rango-1 convexa. Como consecuencia, esta aplicaci´on es convexa si M= 1 (el caso de ecuaciones) pero no lo es, en general, si M≥2. En este cap´ıtulo tambi´en mostramos algunas aplicaciones que incluyen algunos materiales hiperel´asticos. 1 En el Cap´ıtulo 3 estudiamos el problema de homogeneizaci´on para el sistema de elasticidad con coeficientes no acotados cuando el dominio est´a siendo reducido a una dimensi´on. En concreto, consideramos el siguiente problema de elasticidad en el dominio Ωε:= (0,1) ×εω, donde ω⊂RN−1es un subconjunto abierto y regular,      −Div(Aεe(uε)) = fεen Ωε, Aεe(uε)·νε= 0 sobre ∂Ωε\Γε, uε= 0 sobre Γε, (0.2) con Γε:= {0} × εω. En este cap´ıtulo suponemos que los coeficientes Aεverifican las dos condiciones 1 |Ωε|ZΩε |Aε|dx ≤C, εkAεkL∞(Ωε;L(RN×N s)) cuando ε→0. Obtenemos un resultado de homogeneizaci´on que nos lleva a un sistema lineal de ecuaciones diferenciales ordinarias en el intervalo (0,1), permiti´endonos obtener una aproximaci´on de uεdel tipo de Bernouilli-Navier que tambi´en contiene un t´ermino de torsi´on. En el cap´ıtulo 4, para un tensor el´ıptico peri´odico L∈L∞ per(YN;L(RN×N)) (donde YNes el cubo unidad en RN, es decir, Yn:= [0,1)N), consideramos el problema (−Div(LεDuε) = fen Ω, uε= 0 sobre ∂Ω,(0.3) donde Lε(y) := L(y/ε). En este cap´ıtulo tenemos dos objetivos principales. En primer lugar, generalizamos los resultados existentes que dan condiciones sobre el tensor Lpara que se tenga la homogeneizaci´on de (0.3). El resultado m´as cl´asico afirma que si Les muy fuertemente el´ıptico, entonces la homogeneizaci´on es directa. Nosotros estudiamos este problema solo bajo hip´otesis de elipticidad fuerte. En [8] los autores prueban que, en este marco, se tiene el resultado de homogeneizaci´on (por medio de Γ-convergencia) suponiendo que la constante de coercitividad funcional cl´asica de Les no negativa y que la constante de coercitividad funcional peri´odica de Les positiva. Usando una perturbaci´on de Lfuertemente el´ıptica, obtenemos una mejora de este resultado y probamos que, de hecho, es suficiente que la constante de coercitividad funcional cl´asica de Lsea no negativa. Adem´as, siguiendo las ideas de [6] para dimensi´on 2, mostramos varios ejemplos en dimensi´on 3 para los que el resultado de [8] se aplican. En segundo lugar, para tensores Lfuertemente el´ıpticos que muestran una estructura laminada, es decir, L(y) = L(y1), damos justificaci´on desde el punto de vista de la homogeneizaci´on a la p´erdida de elipticidad fuerte mediante el proceso de laminaci´on de rango 2 llevado a cabo en [9] para dimensi´on 3. Con la intenci´on de aplicar el resultado principal de la primera parte del cap´ıtulo, probamos que es imposible perder la elipticidad fuerte a trav´es de una laminaci´on de rango 1 cuando la coercitividad funcional se puede probar por medio del m´etodo de translaci´on mediante los lagrangianos nulos. Esto nos conduce a una segunda laminaci´on en la direcci´on y2entre el tensor efectivo obtenido en la primera laminaci´on y un nuevo material muy fuertemente el´ıptico. Bajo ciertas condiciones obtenemos un tensor homogeneizado que pierde la elipticidad fuerte. El resultado es completamente diferente al que se tiene en dimensi´on 2, donde la elipticidad fuerte s´ı se puede perder por medio de una laminaci´on de rango 1 (v´ease [6]). References [1] M. Briane, J. Casado-Diaz: A new div-curl result. Applications to the homogenization of elliptic systems and to the weak continuity of the Jacobian, J. Differential Equations 260 (2016), 5678–5725. [2] M. Briane, J. Casado-Diaz,Homogenization of convex functionals which are weakly coercive and not equi-bounded from above. Ann. Inst. H. Poincar Anal. Non Linaire 30 (2013), 547–571. [3] M. Briane, J. Casado-Diaz,Asymptotic behaviour of equicoercive diffusion energies in dimension two, Calc. Var. Partial Differential Equations 29 (2007), 455–479. [4] M. Briane, J. Casado-Diaz,Two-dimensional div-curl results: application to the lack of nonlocal effects in homogenization, Comm. Partial Differential Equations 32 (2007), 935-969. 2 [5] Briane M, Casado-Diaz J, Murat F.The Div-Curl lemma ”trente ans apr`es”: an extension and an application to the G-convergence of unbounded monotone operators, J. Math. Pures Appl. 91 (2009), 476–494. [6] M. Briane, G. A. Francfort,Loss of ellipticity through homogenization in linear elasticity, Math. Models Methods Appl. Sci. 25 (2015), 905–928. [7] C. Carbone, C. Sbordone,Some properties of Γ-limits of integral functionals, Ann. Mat. Pura Appl. 122 (1979), 1–60. [8] G. Geymonat, S. M¨ uller & N. Triantafyllidis: Homogenization of non-linearly elastic materials, microscopic bifurcation and macroscopic loss of rank-one convexity, Arch. Rational Mech. Anal., 122 (1993), 231–290. [9] S. Guti´ errez,Laminations in Linearized Elasticity: The Isotropic Non-very Strongly Elliptic Case, Journal of Elasticity 53, (1999), 215–256. En Sevilla a 15 de septiembre de 2016 Fdo. Antonio Jes´us Pallares Mart´ın 3