Mecánica de fluidos newtonianos. Ecuaciones de conservación

Mecánica de fluidos newtonianos. Ecuaciones de conservación Trabajo de Fin de Grado Doble grado en Física-Matemáticas. Universidad de Sevilla. 10 de septiembre de 2020. Manuel A. Vázquez Barroso Tutelado por: D. Álvaro Domínguez Álvarez Resumen El objetivo principal de este trabajo es presentar las ecuaciones que gobiernan la cinemática y dinámica de los fluidos newtonianos, tanto en ausencia de efectos disipativos como incluyendo términos correspondientes al flujo de calor o a la viscosidad. Se analizarán el campo de velocidades del fluido y la conservación de masa, momento lineal y energía total, además de los balances de energías cinética e interna y de entropía. Las soluciones a la ecuación de Navier-Stokes, correspondiente a la conservación del momento lineal en presencia de efectos viscosos, se estudiarán en algunos casos de interés que posibilitan su resolución, primero en régimen estacionario y posteriormente en régimen transitorio. I Abstract The main purpose of this paper is to introduce the equations governing kinematics and dynamics of newtonian fluids, both in the absence of dissipative effects and including terms corresponding to heat flux or visosity. It will be analysed the velocity field of the fluid and the conservation of mass, linear momentum and total energy, in addition to the balances of kinetic and internal energies and entropy. The solutions of the Navier-Stokes equations, corresponding to the conservation of linear momentum with viscosity effects, will be study in some cases of interest which enable it resolution, at first in stationary regime and then in transient regime. II Índice Introducción 3 1. Cinemática de fluidos 5 1.1. Descripciones del fluido. Hipótesis del continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2. Deformaciones en un fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3. Conservación de la masa. Ecuación de continuidad . . . . . . . . . . . . . . . 10 2. Dinámica de fluidos ideales 12 2.1. Ecuación de la cantidad de movimiento o ecuación de Euler . . . . . . . . . . 12 2.2. Ecuaciones de la energía y de la entropía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2.1. Balance de energía cinética. Ecuación de Bernoulli . . . . . . . . . . . 15 2.2.2. Balance de energía interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2.3. Balancedeentropía............................ 17 3. Efectos disipativos: viscosidad y conductividad térmica 18 3.1. Fuerzas viscosas en fluidos newtonianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.2. Ecuación general de la conservación de la cantidad de movimiento . . . . . . . 21 3.2.1. La ecuación de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.2.2. NúmerodeReynolds........................... 23 3.2.3. EcuacióndeStokes............................ 24 3.3. Transferencia de calor. Ley de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.4. Balances de energía y de entropía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.4.1. Energíacinética.............................. 27 3.4.2. Energíainterna.............................. 28 3.4.3. Entropía.................................. 29 4. Soluciones particulares de la ecuación de Navier-Stokes para fluidos incompresibles bajo la acción de la gravedad 30 4.1. Flujo rectilíneo unidimensional entre planos paralelos . . . . . . . . . . . . . . 30 4.1.1. Flujo plano de Couette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 4.1.2. Flujo plano de Poiseuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.1.3. Flujo plano de Couette-Poiseuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4.2. Flujo axisimétrico unidireccional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.2.1. Fujo axisimétrico rectilíneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.2.2. Fujo axisimétrico torsional o flujo de remolino . . . . . . . . . . . . . 39 4.2.3. Fujo axisimétrico radial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.3. Flujo esférico radial simétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.4. Régimen transitorio entre planos paralelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.4.1. Flujo plano de Couette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.4.2. Flujo plano de Poiseuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Anexo I: Sistemas de coordenadas 49 Coordenadas cartesianas (x,y,z) ............................ 49 1 Coordenadas cilíndricas (r, θ, z)............................. 50 Coodenadas esféricas (r, θ, ϕ).............................. 51 Anexo II: Ecuación de Stokes 52 Unicidad......................................... 52 Mínimo en disipación de energía por efectos viscosos . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2 Mecánica de fluidos newtonianos. Ecuaciones de conservación. 3 Introducción Ya en la Antigua Grecia se encuentran los primeros estudios acerca de los fluidos a manos de Tales de Mileto y Anaxímenes, que posteriormente continuarían los romanos durante siglos. Grandes científicos como Da Vinci, Galileo, Torricelli, Pascal, Bernoulli, Euler, Navier, Stokes, Kelvin o Reynolds han realizado numerosos e importantes aportes teóricos a lo que entonces se conocía como Hidrodinámica. A pesar de poseer una base matemática sólida, era necesario modelar el fluido y ello conllevaba una serie de simplificaciones que impedían que se aplicara en fluidos reales. Del mismo modo, otros muchos científicos como Poiseuille, sobre todo en el siglo XIX, realizaron numerosos aportes prácticos en el campo de la Hidráulica experimental. Sin embargo, esta teoría no presentaba una formulación matemática rigurosa. El origen de la Mecánica de Fluidos moderna se establece a principios del siglo XX, con el alemán Prandtl como principal fundador, buscando unificar los estudios teórico-prácticos desarrollados desde el siglo XVI en adelante. Durante el siglo XX han sido muchos los avances realizados en este ámbito, destacando la intervención de mujeres matemáticas como Polubarinova-Koˇ cina y su Theory of motion of ground water [Teoría del movimiento del agua subterránea] (1952) o Ladýzhenskaya, que propone la primera demostración rigurosa de la convergencia de un método de diferencias finitas para las ecuaciones de Navier-Stokes. El presente texto pretende describir los aportes teóricos principales en el campo de la hidrodinámica de fuidos simples relacionados con la conservación o el balance de magnitudes y con efectos disipativos, así como la presentación de algunos casos particulares que pueden servir de ejemplo o aclaración para éstos. En la primera sección se estudiará la cinemática de los fluidos, comenzando por definir las posibles descripciones que se pueden adoptar (euleriana y lagrangiana) y posteriormente analizando el campo de velocidades de un fluido y su relación con las deformaciones del mismo. Para finalizar, se expone la ecuación de continuidad del fluido, que establece la conservación de la masa. En la segunda sección se analiza la dinámica de los fluidos en ausencia de efectos disipativos, exponiendo la ecuación de conservación para la cantidad de movimiento (ecuación de Euler) y para la energía total junto con los balances de energías cinética e interna y de entropía. La sección tercera introduce los efectos viscosos y la tranferencia de calor en las ecuaciones desarrolladas en la sección anterior. El estudio de la viscosidad en la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento conduce a la ecuación de Navier-Stokes, cuya demostración de existencia y unicidad de solución para unas condiciones de contorno dadas está considerada uno de los Problemas Matemáticos del Milenio. Por otra parte, éstos efectos viscosos se suman a la transferencia de calor a la hora de realizar los nuevos balances energéticos y entrópico. Manuel A. Vázquez Barroso Mecánica de fluidos newtonianos. Ecuaciones de conservación. 4 Finalmente, la cuarta sección se centra en proponer casos particulares de interés para mostrar las soluciones de la ecuación de Navier-Stokes para fluidos incompresibles bajo la acción de la gravedad. Se escogen ejemplos que utilizan los sistemas de referenciamás comunes: cartesiano, cilíndrico y esférico. Para el desarrollo del marco teórico correspondiente a las tres primeras secciones se han seguido principalmente los manuales Physical hydrodynamics de Guyon, Hulin, Petit y Mitescu (2001) [1] y An introduction to Fluid Dynamics de Batchelor (2002) [2], pues ambos plantean un marco general en el que se muestran los conceptos mencionados en estas secciones. El primero proporciona aclaraciones y ejemplos a la vez que se detiene tanto en la cinemática del fluido (especialmente las deformaciones) como en la dinámica y las fuerzas viscosas. No obstante, el segundo, aunque posee un mayor nivel de complejidad y menciona brevemente algunos aspectos, se detiene en cuestiones matemáticas interesantes que completan las secciones. Otras referencias como Producción de Entropía en Fluidos Viscosos de Ramírez (1980) [3] oMecánica de Fluidos de Sámano y Sen (2009) [4] se han utilizado en puntos concretos. El primero, como indica el título, profundiza en el apartado del balance de entropía; mientras que el segundo complementa a los dos manuales principales ya mencionados realizando el desarrollo matemático completo de las ecuaciones. La sección restante, dedicada al estudio de casos particulares, se apoya principalmente en el capítulo 6 del manual Viscous Fluid Flow de Papanastasiou, Georgiou y Alexandrou (2000) [6]; respaldado de nuevo por los dos manuales ya citados. Para terminar, me gustaría agradecer este trabajo a mi tutor Álvaro Domínguez, que a pesar de los contratiempos vividos este año, ha mantenido el contacto y el interés por su desarrollo; a mi pareja, por apoyarme y ofrecer su ayuda en la edición de imágenes y en la elaboración de la bibliografía; y a mi familia, por haber hecho posible llegar hasta aquí y seguir preocupándose por mi futuro. Manuel A. Vázquez Barroso Manuel A. Vázquez Barroso Mecánica de fluidos newtonianos. Ecuaciones de conservación. 5 1. Cinemática de fluidos 1.1. Descripciones del fluido. Hipótesis del continuo A escala microscópica, un fluido se compone de moléculas con vacío entre ellas que se mueven e interaccionan entre sí. Un análisis que tenga en cuenta todas estas variables resulta inmanejable, incluso un tratamiento simplificado que recurra a la Mecánica Estadística es demasiado complejo. No obstante, el interés en hidrodinámica se focaliza en una serie de manifestaciones macroscópicas resultado de la acción conjunta de muchas moléculas. Esto lleva a plantear como una simplificación importante el considerar un medio continuo de materia como causa de estas manifestaciones para poder utilizar funciones continuas definidas en todo el espacio en la descripción matemática de las propiedades de dicho medio. Por lo tanto, para estudiar las propiedades de un fluido, consideraremos elementos infinitesimales de volumen (partículas fluidas) con un tamaño macroscópicamente pequeño (relativo a la escala de longitud característica del flujo) y microscópicamente grande (relativo al recorrido libre medio de una molécula del fluido). La primera consideración nos permitirá usar el cálculo diferencial para el desarrollo de las ecuaciones y la segunda sugiere que las partículas fluidas pueden ser consideradas como sistemas termodinámicos en equilibrio local, lo cual conlleva poder definir magnitudes como temperatura, entropía o potencial químico. Bajo estas hipótesis, es posible modelar el fluido como un medio continuo en el cual se pueden definir campos relacionados con los valores medios de las variables de las partículas que se encuentran en la partícula fluida. Figura 1: Descripciones del fluido. Elaboración propia. Se encuentran dos descripciones predominantes según el sistema de referencia escogido, como se muestra en la Figura 1. En la primera de ellas, llamada descripción euleriana descripción euleriana descripción euleriana descripción euleriana descripción euleriana descripción euleriana descripción euleriana descripción euleriana descripción euleriana descripción euleriana descripción euleriana descripción euleriana descripción euleriana descripción euleriana descripción euleriana descripción euleriana descripción euleriana, se da una representación de las magnitudes fluidas especificadas en cada punto definido por un vector posición xen un instante t, es decir, se estudia un volumen fijo que permite el flujo de fluido a través de sus fronteras (volumen de control). El sistema de referencia adecuado para esta descripción es uno en reposo respecto al volumen de control. En la otra, denominada descripción lagrangiana descripción lagrangiana descripción lagrangiana descripción lagrangiana descripción lagrangiana descripción lagrangiana descripción lagrangiana descripción lagrangiana descripción lagrangiana descripción lagrangiana descripción lagrangiana descripción lagrangiana descripción lagrangiana descripción lagrangiana descripción lagrangiana descripción lagrangiana descripción lagrangiana, las magnitudes se refieren a partículas fluidas determinadas por su posición en un instante t0, las cuales conforman un volumen deformable (volumen de sistema). Manuel A. Vázquez Barroso Mecánica de fluidos newtonianos. Ecuaciones de conservación. 12 2. Dinámica de fluidos ideales 2.1. Ecuación de la cantidad de movimiento o ecuación de Euler Por la ley de acción-reacción, en un volumen Vdel fluido las interacciones que tienen lugar entre elementos infinitesimales en el interior se compensan, permaneciendo las interacciones con los elementos fuera del volumen. Si suponemos las interacciones de corto alcance, podemos restringirnos a los primeros vecinos en la superficie. Este carácter local sugiere expresar dichas fuerzas como un gradiente. Además, pueden existir fuerzas actuando sobre el volumen total (fuerzas volúmicas) como son la gravitatoria o la electromagnética. Supongamos que las fuerzas en la superficie son debidas exclusivamente a la presión hidrostática (isotrópica). Por la segunda ley de Newton, la variación temporal de la cantidad de movimiento en el volumen V,P=#VρudV, es igual a la suma de las fuerzas de interacción (volúmicas y a través de la superficie Ωpor la ley de acción-reacción), PF=#VρfdV −ΩpdΩ, donde fes la fuerza volúmica por unidad de masa en el interior del volumen. Puede existir una corriente de cantidad de movimiento jp=jp(t,r)=ρuu que caracteriza el flujo de cantidad de movimiento debido al transporte macroscópico del fluido (observamos que esta corriente es un tensor simétrico donde cada fila o columna describe el flujo de cada componente de la cantidad de movimiento a través de la superficie del volumen de fluido considerado). Así, la cantidad de movimiento que atraviesa un elemento de superficie dΩ=ndΩ por unidad de tiemp viene dada por dΩ·jp. Establecemos pues la ecuación de conservación: ∂P ∂tV =∂ ∂tV$V ρudV =$V ∂ρu ∂trdV =$V ρfdV −Ω dΩ·(jp+p¯ ¯ 1) =$V ρfdV −Ω dΩ·(ρuu +p¯ ¯ 1) = =$Vhρf−∇·(ρuu +p¯ ¯ 1)idV (17) donde hemos aplicado el teorema de la divergencia de Gauss (12) en la última igualdad y hemos introducido el tensor identidad como ¯ ¯ 1. El signo menos hace referencia a la pérdida de cantidad de movimiento a través de la superficie. Tenemos por lo tanto la relación: $V"∂(ρu) ∂tr −ρf+∇ · (ρuu)+∇ · (p¯ ¯ 1)#dV =0∀V(18) pues el volumen escogido es arbitrario. Deducimos que el integrando se anula y, utilizando la identidad matemática ∇ · (p¯ ¯ 1) :=∇p, obtenemos que ∂(ρu) ∂tr =ρf−∇·(ρuu)− ∇p.(19) Manuel A. Vázquez Barroso Mecánica de fluidos newtonianos. Ecuaciones de conservación. 13 Esta ecuación describe la evolución de la densidad de cantidad de movimiento bajo la descripción euleriana. Integrando sobre el volumen, se obtiene que los cambios en la cantidad de movimiento se deben al transporte convectivo (segundo término) y a la acción de fuerzas volúmicas (primer término) y de la presión (último término). Aplicando ahora la relación (1) para f=ρu, obtenemos la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento en el fluido en la descripción lagrangiana: d(ρu) dt =∂(ρu) ∂tr +(u· ∇)(ρu)=ρf−ρu(∇ · u)− ∇p⇒ ⇒d(ρu) dt +ρu(∇ · u)+∇p−ρf=0. (20) Al igual que ocurre con la densidad de masa, la densidad de cantidad de movimiento en la descripción lagrangiana varía en el tiempo por razones cinemáticas debido a cambios en el volumen, como indica el término ∇ · u, junto con la presencia de fuerzas externas que se manifiestan a traves de una presión sobre la superficie y de fuerzas volúmicas. Observamos que, por la ecuación de conservación de la masa (16), podemos reescribir el segundo término como ρu(∇ · u)=−udρ dt . Desarrollando la derivada del primer término en la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento (20) y aplicando esta igualdad, llegamos a la ecuación para el campo de velocidades en la descripción lagrangiana ρdu dt +∇p−ρf=0.(21) Esta ecuación puede reescribirse para un elemento infinitesimal de volumen δVdel fluido de masa δm, de manera que expresa claramente la segunda ley de Newton: δmdu dt =δV(ρf− ∇p)=δF.(22) Manuel A. Vázquez Barroso Mecánica de fluidos newtonianos. Ecuaciones de conservación. 14 2.2. Ecuaciones de la energía y de la entropía La energía EVcontenida en un volumen Vde fluido es la integral en dicho volumen de la densidad volumétrica de energía. Ésta se define como la suma de una contribución debida al movimiento asociado al flujo macroscópico y otra a la energía interna de cada partícula fluida: EV=Eint +Ec=$V (+ec)dV (23) donde es la densidad volumétrica de energía interna del fluido y ec=1 2ρu·u=1 2ρu2es la densidad volumétrica de energía cinética debida al flujo. Los cambios en la energía del sistema bajo la descripción euleriana en ausencia de efectos disipativos se deben al transporte macroscópico del flujo de energía determinado por una corriente je=je(r,t)=jint(r,t)+jc(r,t)=u+ecu, junto con el intercambio de trabajo por unidad de tiempo ˙ Wefectuado por las fuerzas volúmicas y superficiales (asociadas a la presión hidrostática) según el primer principio de la Termodinámica. ∂EV ∂tV =$V ∂ ∂tr(+ec)dV =−Ω dΩ·je+˙ W.(24) La variación del trabajo de las fuerzas en el tiempo está relacionada con el campo de velocidades del fluido como sigue: ˙ W=$V ρf·udV −Ω dΩ·pu.(25) Sustituyendo la relación (25) en la ecuación (24) y aplicando el teorema de la divergencia de Gauss (12), se llega a que $V ∂ ∂tr(+ec)dV =$V ρf·u−Ω dΩ·je+pu= =$Vρf·u−∇·je+pudV. (26) Esta relación se cumple para un volumen arbitrario, por lo que los integrandos deben ser iguales: ∂ ∂tr(+ec)=ρf·u−∇·je+pu.(27) Manuel A. Vázquez Barroso Mecánica de fluidos newtonianos. Ecuaciones de conservación. 15 2.2.1. Balance de energía cinética. Ecuación de Bernoulli La ecuación de evolución para la densidad de energía cinética puede obtenerse a partir de las ecuaciones de conservación ya deducidas anteriormente. dec dt = d1 2ρu2 dt =1 2u2dρ dt +u·ρdu dt .(28) Aplicando ahora las relaciones (16) y (21), se llega a la ecuación de balance para la densidad volumétrica de energía cinética en la descripción lagrangiana: dec dt =−1 2ρu2(∇ · u)+u·(ρf− ∇p).(29) Esta ecuación establece que la variación en el tiempo de la densidad volumétrica energía cinética se debe a los cambios en el volumen, como indica el término ∇·u, y al trabajo mecánico realizado por las fuerzas volúmicas y la presión. El paso a la descripción euleriana se tiene por la relación (1) con f=ec=1 2ρu2: ∂ec ∂tr =dec dt −(u·∇)ec=−∇ · 1 2ρu2u!+u·(ρf− ∇p)= =ρf·u−∇·" 1 2ρu2+p!u#+p(∇ · u), (30) es decir, se obtiene que ∂ec ∂tr =ρf·u−∇·" 1 2ρu2+p!u#+p(∇ · u).(31) Se puede apreciar en esta descripción claramente que el segundo término corresponde al transporte convectivo de energía cinética junto con el trabajo total realizado por unidad de tiempo por las fuerzas de presión, al que hay que descontarle el trabajo de compresión (no mecánico) por unidad de tiempo representado por el último término, pues dicho trabajo contribuye a la variación en el tiempo de la energía interna del fluido, como veremos en la siguiente sección. El término asociado a las fuerzas volúmicas permanece inalterado, pues es puramente mecánico. A partir de esta última relación se puede deducir la ecuación de Bernoulli, que expresa la conservación de energía en un fluido ideal incompresible cuyas fuerzas de volumen provienen de un potencial: f=−∇ϕ. Teniendo en cuenta que ∇ · u=0 y que ρ=cte para el caso incompresible, la ecuación (31) se convierte en ρu·∂u ∂tr =−u· ∇ 1 2ρu2+p+ρϕ!.(32) Manuel A. Vázquez Barroso Mecánica de fluidos newtonianos. Ecuaciones de conservación. 16 Para el caso particular de un flujo estacionario, la ecuación de Bernoulli (32) nos afirma que las superficies donde la cantidad 1 2ρu2+p+ρϕ es constante son paralelas a las líneas de corriente (líneas paralelas a la velocidad en todos sus puntos), pues su gradiente es perperdicular a u. El término 1 2ρu2, con dimensiones de presión, se denomina presión dinámica, mientras que su suma con la presion hidrostática pse denomina presión total. 2.2.2. Balance de energía interna Sustituyendo lo obtenido en la sección de la energía cinética en la ecuación (27), podemos deducir una ecuación para la densidad de energía interna del fluido. En particular, aplicando la relación (31) se obtiene que ∂ ∂tr +∂ ∂tr 1 2ρu2!=∂ ∂tr +ρf·u−∇·" 1 2ρu2+p!u#+p(∇ · u)=ρf·u−∇·je+pu.(33) Teniendo en cuenta la expresión de je, se deduce que la ecuación de balance para la densidad volumétrica de energía interna del fluido bajo la descripción euleriana es ∂ ∂tr =−∇ · (u)−p(∇ · u).(34) Esta ecuación muestra que la variación en el tiempo de la densidad de energía interna del elemento del fluido se debe a un flujo convectivo que transporta energía interna macroscópicamente y al trabajo de compresión por unidad de tiempo de las fuerzas de presión sobre la superficie que, como se puede apreciar en la ecuación para la energía cinética (31), transforma ésta en energía interna. Además, la suma de estas dos ecuaciones de balance proporciona la ecuación de conservación de energía total (27). Aplicando ahora la relación (1) para f=, se obtiene la ecuación de balance para la densidad volumétrica de energía interna del fluido bajo la descripción lagrangiana: d dt =∂ ∂tr +(u· ∇)⇒d dt =−(+p)(∇ · u).(35) En esta descripción, el término ∇ · uindica que la variación en el tiempo de la densidad volumétrica de energía interna del fluido depende de los cambios del volumen, además del trabajo de compresión por unidad de tiempo de las fuerzas de presión sobre la superficie. Es interesante notar que, para un fluido incompresible (∇ · u=0), la ecuación (35) nos lleva a concluir que la energía interna no varía en este caso (d/dt =0), lo cual es de esperar por el primer principio de la Termodinámica para un sistema en equilibrio en ausencia de intercambios de calor y trabajo. Manuel A. Vázquez Barroso Mecánica de fluidos newtonianos. Ecuaciones de conservación. 17 2.2.3. Balance de entropía De acuerdo con la hipótesis de equilibrio termodinámico local para las partículas fluidas, el segundo principio de la Termodinámica se expresa como dEint =TdS +µdN −pdV (36) donde Ses la entropía, Nel número de partículas en un elemento de volumen y µel potencial químico. En la descripción lagrangiana, Npermanece constante, por lo que se tiene que dEint dt =TdS dt −pdV dt (37) En esta expresión, las derivadas representan derivadas materiales o lagrangianas. Para las densidades volúmicas (=Eint/Vpara la energía interna y s=S/Vpara la entropía), esta última ecuación se convierte en d dt =Tds dt +1 V(T s −p−)dV dt (38) Aplicando ahora la relación (5) para la derivada temporal del volumen y teniendo en cuenta el balance de la densidad volumétrica de energía interna (35), se tiene que el balance de la densidad volumétrica de entropía bajo la descripción lagrangiana es ds dt =−s(∇ · u).(39) Esta ecuación establece que los cambios en la densidad de entropía del elemento de volumen se deben únicamente a cambios en el volumen, como muestra el término cinético ∇ · u. Pasando a la descripción euleriana mediante la relación (1) con f=s, se obtiene que ∂s ∂tr =ds dt −(u· ∇)s=−∇ · (su)⇒∂s ∂tr =−∇ · (su).(40) Las variaciones en el tiempo de la densidad volumétrica de entropía del fluido vienen descritas por un flujo convectivo debido al transporte macroscópico de esta magnitud. Si integramos en todo el espacio para calcular la entropía total del fluido y aplicamos el teorema de la divergencia de Gauss (12) al término de la derecha, se obtiene una integral de superficie que se anula por ser un sistema aislado, es decir, la velocidad en la superficie frontera es tangencial para evitar que escape masa. En consecuencia, la entropía total es constante, acorde con un proceso reversible según el segundo principio de la Termodinámica, lo cual es de esperar al no considerar efectos disipativos en el desarrollo. Manuel A. Vázquez Barroso Mecánica de fluidos newtonianos. Ecuaciones de conservación. 18 3. Efectos disipativos: viscosidad y conductividad térmica 3.1. Fuerzas viscosas en fluidos newtonianos En la sección 2.1 mencionamos el carácter local de las interacciones que tienen lugar en un volumen Vdel fluido. Su corto alcance, junto con la ley de acción-reacción, llevaban a considerarlas sólo a través de la superficie. Ahora bien, en general las fuerzas sobre la superficie no se deben exclusivamente a la presión hidrostática, pues aparecen esfuerzos tangenciales a la superficie (p.ej. fricción) que dependen de la orientación definida por el vector normal n. Como la fuerza (vector) es distinta a priori en cada dirección, la elección de un tensor para modelizar los esfuerzos resulta adecuada. Tenemos por lo tanto que dg dS =σn=¯ ¯σ·n(41) donde σin=σi jnj. Podemos interpretar σi j como la i-ésima componente de la fuerza en una unidad de área con vector normal en la dirección j, como se muestra en la Figura 6. Cuando i= jdecimos que es un esfuerzo normal, y cuando i,j,esfuerzo tangencial o de cizalladura. Figura 6: Componentes del tensor de esfuerzos ¯ ¯σ. Adaptado de Mulders (como se cita en Mirzaahmadian, 2011). Podemos separar del tensor de esfuerzos la parte correspondiente a la presión hidrostática, de manera que la parte restante ¯ ¯σ0definirá el tensor de esfuerzos viscosos σi j =σ0 i j −pδi j.(42) Las fuerzas de viscosidad no vienen descritas por la termodinámica, pues están asociadas a efectos dinámicos. Por esta razón, deben anularse cuando el sistema se encuentra estático (¯ ¯σ0u→0 −−−→ 0). Además, el carácter local de las interacciones en el espacio-tiempo se traduce en una dependencia del tensor de esfuerzos de viscosidad con la posición y el tiempo (a través de Manuel A. Vázquez Barroso Mecánica de fluidos newtonianos. Ecuaciones de conservación. 19 u(t,r)) lo suficientemente regular como para admitir un desarrollo de Taylor como función de u: ¯ ¯σ0(t,r)=f(u(t,r)) ⇒¯ ¯σ0(u)=¯ ¯σ0 * (u=0) +∂¯ ¯σ0 ∂uu=0 ·u+... (43) Para pequeñas desviaciones del equilibrio, es aceptable considerar hasta el primer orden del desarrollo. No obstante, ¯ ¯σ0no puede depender linealmente de upues no respetaría la invarianza Galileana (dos observadores con una determinada velocidad relativa entre ellos determinarían distintos valores para el tensor). Esto nos conduce a considerar las derivadas de ucomo candidatas a ser las variables de las que depende el tensor: ¯ ¯σ0=A:∇u, donde Aes un tensor de cuarto rango que define la proporcionalidad entre las componentes del tensor de esfuerzos de viscosidad y las derivadas de la velocidad. Comprobemos que el tensor ¯ ¯σ0es simétrico. Para ello, consideramos el balance de momentos de fuerza Γen un elemento infinitesimal cúbico de volumen dxdydz =dV solidario a los ejes de coordenadas (Figura 7). Por una parte, esta fuerza se puede definir a partir del tensor de esfuerzos viscosos y por otra, como el producto del momento de inercia Iy la aceleración angular d2Λ/dt2. Igualando ambas expresiones y considerando que los elementos del tensor de esfuerzos viscosos no dependen del volumen, obtenemos (en la componente xpor ejemplo) que Γx=(σ0 zy −σ0 yz)dV =dIx d2Λx dt2.(44) Figura 7: Momentos de fuerza asociados a la viscosidad. Adaptado de Guyon et al. (2001) [1]. Tomando límite para dV tendiendo a cero, encontramos que el momento de inercia tiende a cero como dV5/3(I∼ML2=ρL5=ρV5/3, donde LyMdenotan factores de escala característicos de las magnitudes longitud y masa respectivamente), por lo que si la aceleración angular es finita, la igualdad sólo puede ser cierta si se anula la parte que tiende como dV, es decir, σ0 zy =σ0 yz. Se dice que un fluido es newtoniano si las componentes del tensor de esfuerzos viscosos σ0 i j dependen linealmente de los valores instantáneos de las deformaciones, descritas a través de las componentes del campo gradiente de velocidades. Utilizando la relación (3) se llega a que Manuel A. Vázquez Barroso Mecánica de fluidos newtonianos. Ecuaciones de conservación. 20 σ0 i j =Ai jkl ∂uk ∂xl =Ai jklekl −1 2Ai jklklmωm(45) donde Aes un tensor de cuarto rango que puede depender de las variables de estado local del fluido diferentes del campo de velocidades (densidad y energía interna). Consideraremos el fluido isotrópico, es decir, los esfuerzos generados sobre un elemento del sistema por un campo gradiente de velocidades dado son independientes de la orientación del elemento. En este caso, el tensor Adebe ser también isotrópico. Se tiene que para los tensores cartesianos isotrópicos existe una base de tensores delta de Kronecker δαβ (Batchelor, 2002 [2]), por lo que podemos expresar el tensor Acomo Ai jkl =µδikδjl +µ0δilδjk +µ00δi jδkl.(46) La simetría de ¯ ¯σ0conlleva que Adebe ser simétrico respecto al intercambio de iyj, con lo cual se deduce que µ=µ0. Esto implica además la simetría respecto al intercambio de kyl, por lo que el término de vorticidad no contribuye. Sustituyendo en la relación (45), se obtiene que σ0 i j =µ(δikδjlekl +δilδjkekl)+µ00δi jδklekl =µ(ei j +eji)+µ00∆δi j =2µei j +µ00∆δi j.(47) Reescribiendo las componentes de ei j en la ecuación (47) según la relación (7), se tiene finalmente la condición sobre el tensor de esfuerzos viscosos para los fluidos newtonianos σ0 i j =2µdi j +(2µ+3µ00)ti j ⇒σ0 i j =2ηdi j +ζti j (48) donde hemos introducidos dos coeficientes (positivos): ηes el coeficiente de viscosidad dinámica, que corresponde a deformaciones isocóricas (sin cambios en el volumen). ζes la segunda viscosidad oviscosidad volumétrica, que corresponde a dilataciones isotrópicas (contribución nula en fluidos incompresibles pues ti j =¯ ¯ 0). Manuel A. Vázquez Barroso Mecánica de fluidos newtonianos. Ecuaciones de conservación. 21 3.2. Ecuación general de la conservación de la cantidad de movimiento Teniendo en cuenta las fuerzas viscosas presentes en el fluido, podemos generalizar la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento aplicando la segunda ley de Newton (la ecuación de conservación de la masa no se ve alterada respecto al caso sin viscosidad pues se trata de una relación puramente cinemática). A diferencia del procedimiento seguido en la sección 2.1, ahora partiremos de la descripción lagrangiana del fluido, es decir, el volumen se deforma con las partículas. De este modo, podemos omitir el término de corriente convectiva jp pues no hay volumen de fluido que atraviese la superficie, quedando que la variación temporal de la cantidad de movimiento en el volumen se debe a las fuerzas, representadas por el tensor de esfuerzos ¯ ¯σ, y volúmicas, dadas por ρf. Se tiene por lo tanto que dP dt =d dt $V ρudV =$V ρfdV +Ω dg dΩdΩ = $V ρfdV +Ω σndΩ.(49) Utilizando que, en esta representación, el producto ρdV (masa de un elemento diferencial de volumen) se mantiene constante, pues contiene el mismo número de partículas en todo momen- to, podemos concluir que $V ρdu dt dV =$V ρfdV +Ω σndΩ.(50) El segundo término de la derecha representa el flujo de las componentes de σna través de la superficie Ω, por lo que la podemos transformar a través del teorema de la divergencia de Gauss (12) y queda "Ω σndΩ#i =Ω σi jnjdΩ = $V ∂σi j ∂xj dV =⇒Ω σndΩ = $V ∇ · ¯ ¯σdV.(51) Sustituyendo en la euación (50) y pasando todos los términos a la misma integral, se llega a $V ρdu dt −ρf−∇· ¯ ¯σ!dV =0∀V=⇒ρdu dt =ρf+∇ · ¯ ¯σ. (52) Introduciendo el tensor de esfuerzos viscosos a partir de la descomposición dada en la relación (42), se llega finalmente a la ecuación de conservación general para la densidad volumétrica cantidad de movimiento en la descripción lagrangiana: ρdu dt =ρf− ∇p+∇ · ¯ ¯σ0.(53) Aplicando la relación (1) para f=u, se obtiene esta misma ecuación de conservación en la descripción euleriana: ρ∂u ∂tr +ρ(u· ∇)u=ρf− ∇p+∇ · ¯ ¯σ0(54) Manuel A. Vázquez Barroso Mecánica de fluidos newtonianos. Ecuaciones de conservación. 28 3.4.2. Energía interna Con un procedimiento análogo al seguido en la sección 2.2.2, buscamos expresar el balance de la densidad volumétrica de energía del flujo teniendo en cuenta los efectos disipativos (viscosidad y flujo de calor). La relación equivalente a (27) pero incluyendo el trabajo realizado por las fuerzas viscosas y el flujo de calor dado por la ley de Fourier es ∂ ∂tr(+ec)=ρf·u−∇·je+pu−¯ ¯σ0·u+jq.(80) Sustituiyendo la ecuación de conservación para la densidad volumétrica de energía cinética bajo la descripción euleriana (77), se obtiene que para la densidad volumétrica de energía interna ∂ ∂tr =−∇ · (u)−p(∇ · u)+¯ ¯σ0· ∇u+∇ · (k∇T).(81) Observamos que, en ausencia de flujo (u=0), la ecuación anterior se reduce a la ecuación de Fourier (75), como cabe esperar si no tienen lugar cambios en el volumen considerado (d= ρcVdT). Aplicando ahora la relación (1) para f=, se obtiene la ecuación de balance para la densidad volumétrica de energía interna del fluido bajo la descripción lagrangiana d dt =−(+p)(∇ · u)+¯ ¯σ0· ∇u+∇ · (k∇T).(82) Comparando estas ecuaciones con las mostradas en el caso sin efectos disipativos (34) y (35), aparecen un término asociado a la viscosidad, que transforma la energía cinética en interna (pues es definido positivo como se muestra en (78)), y otro asociado al flujo de calor, que puede aumentar o disminuir la energía interna. Integrando la ecuación (81) sobre todo el volumen y aplicando el teorema de la divergencia de Gauss (12), se obtiene la variación total de energía interna del fluido dEint dt =$V (¯ ¯σ0· ∇u−p(∇ · u))dV +Ω k∇T·dΩ.(83) Observamos que, si el gradiente de temperatura apunta hacia fuera del fluido, es decir, se encuentra a menor temperatura que el medio que lo rodea, el término de calor supondrá una ganancia de energía interna, mientras que si se encuentra a mayor temperatura, ocurre lo contrario. Además, esta ecuación junto con (79) permiten deducir que la variación total de energía del fluido se debe a la acción de las fuerzas volúmicas y al intercambio de calor a través de la superficie, y que el trabajo de las fuerzas vicosas y de compresión describen un intercambio irreversible entre energía cinética e interna. dE dt =dEc dt +dEint dt =$V ρf·udV +Ω k∇T·dΩ.(84) Manuel A. Vázquez Barroso Mecánica de fluidos newtonianos. Ecuaciones de conservación. 29 3.4.3. Entropía Con el mismo procedimiento usado en la sección 2.2.3, ahora utilizando la ecuación de balance para la densidad volumétrica de energía interna del fluido (82) y el flujo de calor dado por la ley de Fourier, se deduce una ecuación de balance para la densidad de entropía bajo la descripción lagrangiana ds dt =−s(∇ · u)+1 T¯ ¯σ0· ∇u+1 T∇ · (k∇T).(85) Aplicando ahora la relación (1) para f=s, se obtiene la ecuación de balance para la densidad volumétrica de entropía del fluido bajo la descripción euleriana ∂s ∂tr =−∇ · (su)+1 T¯ ¯σ0· ∇u+1 T∇ · (k∇T).(86) Observamos que el carácter definido positivo del término que involucra viscosidad, como se muestra en (78), provoca un aumento de la entropía total del fluido, lo cual es compatible con un proceso irreversible según el segundo principio de la Termodinámica. Esto mismo ocurre con el término de calor a través de la superficie. Integrando sobre un volumen tendiendo a infinito (engloba el fluido), se obtiene que es un término definido positivo: $V dV 1 T∇ · (k∇T)=$V * dV∇ 1 Tk∇T!−$V dVk(∇T)∇ 1 T!= =−$V dVk(∇T) −1 T2∇T!=$V dVk ∇T T!2(87) donde el término que se anula es debido a que se trata de una corriente a través de una superficie en el infinito, como se muestra al aplicarle el teorema de la divergencia de Gauss (12). Manuel A. Vázquez Barroso Mecánica de fluidos newtonianos. Ecuaciones de conservación. 30 4. Soluciones particulares de la ecuación de Navier-Stokes para fluidos incompresibles bajo la acción de la gravedad En primer lugar, vamos a establecer algunas condiciones de contorno para el flujo del fluido que nos permitan evaluar las soluciones de la ecuación de Navier-Stokes (58) en casos particulares. Consideramos un fluido rodeado de un recipiente sólido. Asumiendo que el fluido no puede penetrar en las paredes del recipiente, se llega a que las componentes de la velocidad normales a la superficie deben coincidir para el fluido y el sólido: us·n=uf·n.(88) En un fluido ideal sin viscosidad, la componente tangencial de la velocidad no presenta ninguna restricción. No obstante, en un fluido real, las fuerzas viscosas impiden el libre deslizamiento del fluido respecto al sólido. De hecho, las componentes tangenciales de la velocidad deben coincidir, pues una discontinuidad llevaría a una disipación infinita de energía en la superficie debido a la viscosidad. De este modo, teniendo en cuenta la relación (88), se concluye la denominada condición de contorno de no deslizamiento us=uf.(89) A continuación, se van a exponer una serie de casos particulares en los que es posible resolver de manera sencilla la ecuación de Navier-Stokes en régimen estacionario y, en algunos casos, en régimen transitorio. 4.1. Flujo rectilíneo unidimensional entre planos paralelos Consideremos un flujo unidmensional de un fluido incompresible en la dirección Xen un sistema cartesiano. Las componentes de la velocidad en las otras direcciones son idénticamente cero: uy(x,y,z)=uz(x,y,z)=0. La relación de incompresibilidad (11) implica además que ∂ux/∂x=0. Por lo tanto, se tiene que la componente no nula de la velocidad depende de las otras dos coordenadas y, en consecuencia, el término no lineal de la ecuación de Navier-Stokes se anula: (u· ∇)u=0. La geometría particular del flujo unidimensional anula los términos convectivos (al igual que ocurre a bajo número de Reynolds) independientemente del valor de la velocidad. La ecuación de Navier-Stokes (58) para la componente Xde la velocidad se reduce a ρ∂ux ∂t=− ∂p ∂x−ρgx!+η ∂2ux ∂y2+∂2ux ∂z2!(90) Manuel A. Vázquez Barroso Mecánica de fluidos newtonianos. Ecuaciones de conservación. 31 Cuando además el flujo es estacionario (∂u/∂t=0), el movimiento de las partículas fluidas surge del balance entre los gradientes de presión y las fuerzas viscosas. Formalmente, la ecuación en este flujo es la misma que la ecuación de Stokes (64) en el caso de que las fuerzas de volumen se deban a la gravedad, y la ecuación (90) se reduce a una ecuación en derivadas parciales ∂2ux ∂y2+∂2ux ∂z2=1 η ∂p ∂x−ρgx!=−G η(91) donde G(t)=−(∂p/∂x−ρgx) representa el gradiente de presión (constante en régimen estacionario) provocado por fuerzas de volumen en la dirección positiva del movimiento. Normalmente, por razones de simetría o de elección de la orientación del sistema de referencia, en el caso unidimensional se asume que ∂2ux/∂y2∂2ux/∂z2. Observamos que las únicas componentes distintas de cero del tensor de esfuerzos viscosos son σ0 xy =σ0 yx =η(∂ux/∂y), por lo que la ecuación (91) se puede expresar como −∂p ∂x+dσ0 xy dy +ρgx=0.(92) Esta ecuación puede ser integrada directamente si ∂p/∂x−ρgx=cte, siendo la solución general ux(y)=1 2η ∂p ∂x−ρgx!y2+c1y+c2(93) donde c1yc2son dos constantes de integración determinadas por las condiciones de contorno. Además, se tiene que la componente no nula del tensor de esfuerzos viscosos es lineal: σ0 xy =ηdux dy = ∂p ∂x−ρgx!y+ηc1.(94) Por otra parte, la ecuación de Navier-Stokes (58) para las otras componentes, que es simplemente ∂p/∂xi−ρgi=0, xi=y,z; permite dar una expresión para la presión p=∂p ∂xx+ρgyy+ρgzz+c(95) donde ces una constante de integración que puede evaluarse con la presión de un punto concreto en el flujo particular. Consideramos dos planos paralelos infinitos normales a la dirección Yen un sistema cartesiano seprados una distancia a. Aceptaremos que la entrada de fluido está suficientemente alejada como para establecer un flujo independiente de la posición en el plano (unidimensional). Manuel A. Vázquez Barroso Mecánica de fluidos newtonianos. Ecuaciones de conservación. 32 4.1.1. Flujo plano de Couette Estudiemos en primer lugar el denominado flujo plano de Couette. Supongamos que el plano inferior se encuentra fijo en la opsición y=0 y el superior, en la posición y=a, se mueve a velocidad constante u0en la dirección X, como se muestra en la Figura 9. En condiciones de flujo estacionario incompresible y en ausencia de gravedad, la velocidad del fluido varía linealmente en la región entre los planos en ausencia de gradientes de presión externos; ésto se deduce aplicando las condiciones de contorno de no deslizamiento (89) ux(y=0) =0 y ux(y=a)=u0en la expresión para la velocidad en flujo unidimensional (93): c1=u0 a;c2=0⇒ux(y)=u0 y a.(96) Figura 9: Perfil de velocidades en flujo plano de Couette. Adaptado de Papanastasiou et al. (2000) [6]. Por otra parte, la componente no nula del tensor de esfuerzos viscosos es, según la expresión (94), σ0 xy =ηu0 a.(97) Observamos que las fuerzas viscosas η(∂2ux/∂y2) sobre un elemento del fluido son cero. Las fuerzas ejercidas localmente sobre distintos elementos de superficie se cancelan globalmente, pues σ0 xy es independiente de la distancia a los planos debido a la ausencia de gradientes de presión externos. Es interesante observar que, si ambos planos se mueven con velocidad constante u0(Figura 10), aplicando ahora las condiciones de contorno ux(y=±a/2) =u0, la expresión anterior se reduce a ux(y)=u0(flujo de tapón). Figura 10: Perfil de velocidades en flujo de tapón. Adaptado de Papanastasiou et al. (2000) [6]. Manuel A. Vázquez Barroso Mecánica de fluidos newtonianos. Ecuaciones de conservación. 33 4.1.2. Flujo plano de Poiseuille A continuación, vamos a analizar el denominado flujo plano de Poiseuille. Consideramos un fluido incompresible entre dos planos infinitos estacionarios situados en y=±a/2 que se mueve en la dirección postitiva del eje Xprovocado por un gradiente de presión ∂p/∂xen esta dirección, como se muestra en la Figura 11. Aplicando las condiciones de contorno de no deslizamiento (89) ux(y=±a/2) =0 en la expresión general de la velocidad en el flujo unidimesional (93), se obtiene que c1=0 ; c2=−a2 8η ∂p ∂x−ρgx!⇒ ⇒ux(y)=−1 2η ∂p ∂x−ρgx! −y2+a2 4!=u0 1−4y2 a2!. (98) El resultado es un perfil de velocidades parabólico, con un máximo u0en el eje de simetría entre los planos con un valor u0=−a2 8η ∂p ∂x−ρgx!.(99) Figura 11: Perfiles de velocidades y de esfuerzos viscosos en flujo de Poiseuille con gradiente de presión constante. Adaptado de Papanastasiou et al. (2000) [6]. La componente no nula del tensor de esfuerzos viscosos varía linealmente con la posición, como se aprecia aplicando la relación (94): σ0 xy = ∂p ∂x−ρgx!y.(100) El caudal por unidad de longitud del canal en la dirección Zse obtiene integrando la velocidad entre los planos, por lo que tiene la expresión Qu=Za/2 −a/2 ux(y)dy =− ∂p ∂x−ρgx!a3 12η.(101) Manuel A. Vázquez Barroso Mecánica de fluidos newtonianos. Ecuaciones de conservación. 34 A partir del caudal, se puede definir una velocidad media del flujo Ucomo sigue: U=Qu/a=− ∂p ∂x−ρgx!a2 12η=2u0 3.(102) 4.1.3. Flujo plano de Couette-Poiseuille Estos dos casos descritos anteriormente pueden generalizarse con el denominado flujo plano de Couette-Poiseuille, en el cual el plano inferior se encuentra fijo en la posición y=0 y el otro, en la posición y=a, se mueve a velocidad constante u0en la dirección positiva del eje X. El flujo se mueve en el mismo sentido debido a un gradiente de presión ∂p/∂xen esa dirección (Figura 12). Aplicando las condiciones de contorno de no deslizamiento (89) ux(y=0) =0 y ux(y=a)=u0en la expresión general de la velocidad del flujo unidimensional (93), se obtiene que c1=u0 a−1 2η ∂p ∂x−ρgx!a;c2=0⇒ux(y)=u0 ay−1 2η ∂p ∂x−ρgx!y(a−y).(103) Es inmediato comprobar que, en ausencia de gradientes de presión, se tiene la expresión de la velocidad del flujo plano de Couette (96) y, para u0=0, se tiene la expresión del flujo de Poiseuille (98) realizando un cambio de sistema de referencia al que sitúa y=0 en el eje de simetría entre los planos. La solución es, por tanto, una superposición de las soluciones de los casos por separado. Figura 12: Perfil de velocidades en flujo plano de Couette-Poiseuille. Adaptado de Papanastasiou et al. (2000) [6]. Del mismo modo, la componente no nula del tensor de esfuerzos viscosos tiene, según (94), la expresión dada por la suma de los casos aislados σ0 xy =ηu0 a−1 2 ∂p ∂x−ρgx!(a−2y).(104) Manuel A. Vázquez Barroso Mecánica de fluidos newtonianos. Ecuaciones de conservación. 35 El plano donde la velocidad es máxima ahora no se encuentra en el eje de simetría entre los planos, sino que está desplazado hacia el plano móvil. Igualando la derivada de la velocidad dada por (103) en el eje Xa cero, se tiene que la coordenada Yde dicho plano es: 0=u0 a−1 2η ∂p ∂x−ρgx!(a−2˜y)⇒˜y=a 2+ηu0 a∂p ∂x−ρgx.(105) 4.2. Flujo axisimétrico unidireccional Para el estudio de los flujos con un eje de simetría es conveniente el uso de coordenadas cilíndricas (r, θ, z), haciendo coincidir el eje Zcon el de simetría (consultar Anexo I). Así, la condición de axisimetría se reduce a la independencia de la velocidad con el ángulo θ, de modo que ∂u ∂θ =0.(106) La condición de incompresibilidad ∇ · u=0 en coordenadas cilíndricas, teniendo en cuenta (106), se traduce en 1 r ∂ ∂r(rur)+∂uz ∂z=0.(107) Encontramos tres grandes tipos de flujos axisimétricos unidireccionales (solamente una de las componentes de la velocidad u=(ur,uθ,uz) es no nula): flujo axisimétrico rectilíneo, donde la componente axial de la velocidad uzes no nula (flujo en tubos); flujo axisimétrico torsional, donde la componente azimutal de la velocidad uθes no nula (rotaciones de cuerpo rígido, tornados); y flujo axisimétrico radial, donde la componente radial urde la velocidad es no nula (medios porosos, succión). Manuel A. Vázquez Barroso Mecánica de fluidos newtonianos. Ecuaciones de conservación. 36 4.2.1. Fujo axisimétrico rectilíneo Estos flujos presentan ur=uθ=0. La condición de incompresibilidad (107) se satisface si ∂uz/∂z=0 y, por la condición de axisimetría (106), se tiene que uz=uz(r,t). Así, el término no lineal (u· ∇)ude la ecuación de Navier-Stokes para fluidos incompresibles (58) se anula y queda ρ∂uz ∂t=−∂p ∂z+η1 r ∂ ∂r r∂uz ∂r!+ρgz.(108) En el caso estacionario (∂uz/∂t=0) se tiene formalmente la ecuación de Stokes (64), y queda para la componente uzde la velocidad una ecuación diferencial ordinaria −∂p ∂z+η1 r ∂ ∂r r∂uz ∂r!+ρgz=0.(109) Las únicas componentes distintas de cero del tensor de esfuerzos viscosos son σ0 rz =σ0 zr =η∂uz ∂r.(110) Cuando el gradiente de presión ∂p/∂zes constante, la ecuación (109) tiene como solución general uz(r)=1 4η ∂p ∂z−ρgz!r2+c1lnr+c2(111) donde c1yc2son constantes de integración que se determinan con las condiciones de contorno del flujo. Aplicando esta relación en (110), se tiene que σ0 rz =1 2 ∂p ∂z−ρgz!r+ηc1 r.(112) La ecuación de Navier-Stokes para el fluido incompresible (58) en las componentes ryθnos permite dar una expresión para la presión de la forma p=∂p ∂z+ρgr+ρrgz+c(113) donde ces una constante de integración que puede evaluarse con la presión de un punto concreto en el flujo particular. Para analizar un caso concreto, consideraremos el flujo de Hagen-Poiseuille de un fluido en un tubo cilíndrico infinito de sección circular de radio Rdebido a gradientes de presión en la dirección del eje de simetría del recipiente (Figura 13). Además de las condiciones de contorno de no deslizamiento (89) uz(r=R)=0, hemos de imponer una condición adiccional en el eje de simetría para asegurar que no diverja, es decir, uz(r=0) debe ser finita. Aplicándolas en Manuel A. Vázquez Barroso Mecánica de fluidos newtonianos. Ecuaciones de conservación. 37 la solución general de la velocidad para el flujo axisimétrico rectilíneo (111), se tiene que la velocidad presenta un perfil parabólico: c1=0 ; c2=−1 4η ∂p ∂z−ρgz!R2⇒ ⇒uz(r)=−1 4η ∂p ∂z−ρgz!(R2−r2)=u0 1−r2 R2!. (114) Figura 13: Perfiles de velocidades y de esfuerzos viscosos en flujo de Hagen-Poiseuille. Adaptado de Papanastasiou et al. (2000) [6]. El valor máximo de la velocidad se tiene en el eje de simetría (r=0), con un valor u0=−1 4η ∂p ∂z−ρgz!R2.(115) La componente no nula del tensor de esfuerzos viscosos es, según (112), σ0 rz =1 2 ∂p ∂z−ρgz!r.(116) Es interesante calcular el caudal por unidad de longitud del canal en el eje Z: Qu=ZR 0 uz2πrdr =−π 8η ∂p ∂z−ρgz!R4.(117) A partir del caudal, se puede calcular una velocidad media en el canal normalizando en la sección del tubo: U=Qu πR2=−1 8η ∂p ∂z−ρgz!R2=u0 2.(118) Otro caso interesante es el flujo en un anillo cilíndrico infinito de radios RykR (k<1) debido a gradientes de presión en la dirección del eje de simetría, como se muestra en la Figura 14. Aplicando las condiciones de contorno de no deslizamiento (89) uz(r=R)=uz(r=kR)=0 sobre la ecuación general de la velocidad en un flujo axisimétrico (111), se tiene que Manuel A. Vázquez Barroso Mecánica de fluidos newtonianos. Ecuaciones de conservación. 44 Figura 17: Perfil de velocidades en función del tiempo en flujo plano de Couette transitorio. Adaptado de Papanastasiou et al. (2000) [6]. Sustituyendo en la ecuación (141) y en las condiciones de contorno e iniciales (142), se obtiene que ∂u0 x ∂t=ν∂2u0 x ∂y2; (144) u0 x=0 si y=0,t>0 u0 x=0 si y=a,t>0 u0 x=u01−y asi 0 ≤y≤a,t=0              (145) Ahora las condiciones de contorno (145) son homogéneas, al igual que la ecuación (144), que permanece invariante. Considerando una solución factorizada del tipo u0 x(y,t)=Y(y)T(t) y sustituyendo en la ecuación (144) para aplicar el método de separación de variables, se llega a 1 νT dT dt =1 Y d2Y dy2=−α2 a2(146) donde αes una constante adimensional escogida por conveniencia. Se obtienen así dos ecuaciones diferenciales ordinarias: dT dt +να2 a2T=0 ; d2Y dy2+α2 a2Y=0.(147) La solución para T(t) es T(t)=c0exp −να2 a2t!(148) donde c0es una constante de integración que se determinará con la condición inicial de (145). Por otra parte, la solución general para Y(y) es de la forma Y(y)=c1sen αy a+c2cos αy a(149) Manuel A. Vázquez Barroso Mecánica de fluidos newtonianos. Ecuaciones de conservación. 45 donde c1yc2son constantes determinadas por las condiciones de contorno de (145). Teniendo en cuenta que T(t),0 (caso estacionario), estas condiciones de contorno se reducen a Y(y= 0) =Y(y=a)=0, lo cual implica que c2=0⇒Y(y)=c1sen αy a; sen(α)=0⇒αk=kπ,k∈N.(150) Cada una de las raíces αkcorresponde a un par de soluciones YkyTk. La solución general será una combinación lineal de las soluciones para cada k, es decir, u0 x(y,t)= ∞ X k=1 Bksen αky aexp −να2 k a2t!= ∞ X k=1 Bksen kπy a!exp −k2π2 a2νt!(151) donde Bk=c0kc1kse determina con la condición inicial (t=0) de (145) como sigue: ∞ X k=1 Bksen kπy a!=u01−y a.(152) Observamos que, debido a que el conjunto de soluciones {Yk}k∈Nforma una base completa del espacio al que pertenecen, se tiene la relación de ortogonalidad Z1 0 sen(kπx) sen(nπx)dx =1 2δkn.(153) Multiplicando a ambos lados de la ecuación (152) por sen(nπy/a) e integrando entre y=0 e y=a, se tiene que ∞ X k=1 BkZa 0 sen kπy a!sen nπy ady =u0Za 01−y asen nπy ady.(154) Aplicando el cambio de variable ξ=y/ay la condición de ortogonalidad (153), la relación anterior se convierte en Bk 2=u0Z1 0 (1 −ξ)sen(kπξ)dξ=u0 kπ⇒Bk=2u0 kπ.(155) Sustituyendo en la solución general (151), se obtiene finalmente que u0 x(y,t)=2u0 π ∞ X k=1 1 ksen kπy a!exp −k2π2 a2νt!.(156) Por último, el campo de velocidades original solución del problema es, según (143), ux(y,t)=u0       1−y a−2 π ∞ X k=1 1 ksen kπy a!exp −k2π2 a2νt!       .(157) Manuel A. Vázquez Barroso Mecánica de fluidos newtonianos. Ecuaciones de conservación. 46 4.4.2. Flujo plano de Poiseuille Por otra parte, analizaremos el flujo plano de Poiseuille, en el cual se aplica un gradiente de presión constante ∂p/∂xen el instante t=0+induciendo movimiento en el fluido (Figura 18). Por la simetría del problema, situamos el eje Xsolidario al eje de simetría entre los planos (situados en y=±a/2) y estudiaremos el perfil de velocidades para y>0. La ecuación (90) se traduce en ρ∂ux ∂t=− ∂p ∂x−ρgx!+η∂2ux ∂y2.(158) Las condiciones de contorno e inicial son ux=0 si y=a/2,t>0 ∂ux/∂y=0 si y=0,t>0 ux=0 si 0 ≤y≤a/2,t=0         (159) Al igual que en el ejemplo anterior, proponemos una descomposición en un término estacionario dado por (98) y otro transitorio u0 x(y,t), es decir, ux(y,t)=u0 1−4y2 a2!−u0 x(y,t) ; u0=−a2 8η ∂p ∂x−ρgx!.(160) Figura 18: Perfil de velocidades en función del tiempo en flujo de Poiseuille en régimen transitorio. Adaptado de Papanastasiou et al. (2000) [6]. Sustituyendo en la ecuación (158) y en las condiciones de contorno e iniciales (159), se obtiene por una parte la ecuación (144) y por otra una nueva condición inicial: ∂u0 x ∂t=ν∂2u0 x ∂y2; (161) u0 x=0 si y=a/2,t>0 ∂u0 x/∂y=0 si y=0,t>0 u0 x=u0 1−4y2 a2!si 0 ≤y≤a/2,t=0                (162) Manuel A. Vázquez Barroso Mecánica de fluidos newtonianos. Ecuaciones de conservación. 47 Observamos que la ecuación para el término transitorio es idéntica a la obtenida para el flujo plano de Couette salvo las condiciones de contorno e inicial, por lo que considerando de nuevo una solución factorizada u0 x(y,t)=Y(y)T(t) y aplicando el método de separación de variables, se obtienen las mismas soluciones salvo el valor de las constantes de integración (148 y 149). Por comodidad, redefiniremos la constante αde manera que T(t)=c0exp −4να2 a2t!;Y(y)=c1sen 2αy a!+c2cos 2αy a!.(163) Teniendo en cuenta que T(t),0 (caso estacionario), las condiciones de contorno de (162) se reducen a Y0(y=0) =Y(y=a/2) =0, lo cual implica que c1=0⇒Y(y)=c2cos 2αy a!; cos(α)=0⇒αk=(2k−1)π 2,k∈N.(164) Cada una de las raíces αkcorresponde a un par de soluciones YkyTk. La solución general será una combinación lineal de las soluciones para cada k, es decir, u0 x(y,t)= ∞ X k=1 Bkcos 2αky a!exp −4να2 k a2t!= = ∞ X k=1 Bkcos (2k−1)πy a!exp −(2k−1)2π2 a2νt!(165) donde Bk=c0kc2kse determina con la condición inicial (t=0) de (162) como sigue: ∞ X k=1 Bkcos (2k−1)πy a!=u0 1−4y2 a2!.(166) Observamos que, debido a que el conjunto de soluciones {Yk}k∈Nforma una base completa del espacio al que pertenecen, se tiene la relación de ortogonalidad Z1 0 cos(kπx) cos(nπx)dx =1 2δkn.(167) Multiplicando a ambos lados de la ecuación (166) por cos((2n−1)πy/a) e integrando entre y=0 e y=a/2, se tiene que ∞ X k=1 BkZa/2 0 cos (2k−1)πy a!cos (2n−1)πy a!dy = =u0Za/2 0 1−4y2 a2!cos (2n−1)πy a!dy. (168) Aplicando el cambio de variable ξ=2y/ay la condición de ortogonalidad (167), la relación anterior se convierte en Bk 2=u0Z1 0 (1 −ξ2)cos (2k−1)πξ 2!dξ=16(−1)k+1 (2k−1)3π3u0⇒Bk=32(−1)k+1 (2k−1)3π3u0.(169) Manuel A. Vázquez Barroso Mecánica de fluidos newtonianos. Ecuaciones de conservación. 48 Sustituyendo en la solución general (165), se obtiene finalmente que u0 x(y,t)=32u0 π3 ∞ X k=1 (−1)k+1 (2k−1)3cos (2k−1)πy a!exp −(2k−1)2π2 a2νt!.(170) Por último, el campo de velocidades original solución del problema es, según (160), ux(y,t)=u0       1−4y2 a2−32 π3 ∞ X k=1 (−1)k+1 (2k−1)3cos (2k−1)πy a!exp −(2k−1)2π2 a2νt!       .(171) Manuel A. Vázquez Barroso Mecánica de fluidos newtonianos. Ecuaciones de conservación. 49 Anexo I: representación del tensor de esfuerzos, la ecuación de continuidad y la ecuación de Navier-Stokes para fluidos newtonianos incompresibles en distintos sistemas de coordenadas Coodenadas cartesianas (x,y,z) Tensor de esfuerzos σxx =−p+2η∂ux ∂xσyy =−p+2η∂uy ∂yσzz =−p+2η∂uz ∂z σxy =η ∂ux ∂y+∂uy ∂x!σyz =η ∂uy ∂z+∂uz ∂y!σzx =η ∂uz ∂x+∂ux ∂z! Ecuación de continuidad ∂ux ∂x+∂uy ∂y+∂uz ∂z=0 Ecuaciones de Navier-Stokes ρ ∂ux ∂t+ux ∂ux ∂x+uy ∂ux ∂y+uz ∂ux ∂z!=ρfx−∂p ∂x+η ∂2ux ∂x2+∂2ux ∂y2+∂2ux ∂z2! ρ ∂uy ∂t+ux ∂uy ∂x+uy ∂uy ∂y+uz ∂uy ∂z!=ρfy−∂p ∂y+η ∂2uy ∂x2+∂2uy ∂y2+∂2uy ∂z2! ρ ∂uz ∂t+ux ∂uz ∂x+uy ∂uz ∂y+uz ∂uz ∂z!=ρfz−∂p ∂z+η ∂2uz ∂x2+∂2uz ∂y2+∂2uz ∂z2! Manuel A. Vázquez Barroso Mecánica de fluidos newtonianos. Ecuaciones de conservación. 50 Coodenadas cilíndricas (r, θ, z) Tensor de esfuerzos σrr =−p+2η∂ur ∂rσθz=η ∂uθ ∂z+1 r ∂uz ∂θ ! σθθ =−p+2η 1 r ∂uθ ∂θ +ur r!σzr =η ∂uz ∂r+∂ur ∂z! σzz =−p+2η∂uz ∂zσrθ=η 1 r ∂ur ∂θ +∂uθ ∂r−uθ r! Ecuación de continuidad 1 r ∂(rur) ∂r+1 r ∂uθ ∂θ +∂uz ∂z=∂ur ∂r+ur r+1 r ∂uθ ∂θ +∂uz ∂z=0 Ecuaciones de Navier-Stokes ρ ∂ur ∂t+ur ∂ur ∂r+uθ r ∂ur ∂θ +uz ∂ur ∂z−u2 θ r!= =ρfr−∂p ∂r+η ∂2ur ∂r2+1 r2 ∂2ur ∂θ2+∂2ur ∂z2+1 r ∂ur ∂r−2 r2 ∂uθ ∂θ −ur r2! ρ ∂uθ ∂t+ur ∂uθ ∂r+uθ r ∂uθ ∂θ +uz ∂uθ ∂z+uruθ r!= =ρfθ−1 r ∂p ∂θ +η ∂2uθ ∂r2+1 r2 ∂2uθ ∂θ2+∂2uθ ∂z2+1 r ∂uθ ∂r+2 r2 ∂ur ∂θ −uθ r2! ρ ∂uz ∂t+ur ∂uz ∂r+uθ r ∂uz ∂θ +uz ∂uz ∂z!=ρfz−∂p ∂z+η ∂2uz ∂r2+1 r2 ∂2uz ∂θ2+∂2uz ∂z2+1 r ∂uz ∂r! Manuel A. Vázquez Barroso Mecánica de fluidos newtonianos. Ecuaciones de conservación. 51 Coodenadas esféricas (r, θ, ϕ) Tensor de esfuerzos σrr =−p+2η∂ur ∂rσθϕ =η 1 rsenθ ∂uθ ∂ϕ +1 r ∂uϕ ∂θ −vϕcotθ r! σθθ =−p+2η 1 r ∂uθ ∂θ +ur r!σϕr=η ∂uϕ ∂r+1 rsenθ ∂ur ∂ϕ −uϕ r! σϕϕ =−p+2η 1 rsenθ ∂uϕ ∂ϕ +∂ur ∂r+uθcotθ r!σrθ=η 1 r ∂ur ∂θ +∂uθ ∂r−uθ r! Ecuación de continuidad 1 r2 ∂(r2ur) ∂r+1 rsenθ ∂(senθuθ) ∂θ +1 rsenθ ∂uϕ ∂ϕ =∂ur ∂r+2ur r+1 r ∂uθ ∂θ +uθcotθ r+1 rsenθ ∂uϕ ∂ϕ =0 Ecuaciones de Navier-Stokes ρ      ∂ur ∂t+ur ∂ur ∂r+uθ r ∂ur ∂θ +uϕ rsenθ ∂ur ∂ϕ −u2 θ+u2 ϕ r      = =ρfr−∂p ∂r+η ∇2ur−2ur r2−2 r2 ∂uθ ∂θ −2uθcotθ r2−2 r2senθ ∂uϕ ∂ϕ ! ρ      ∂uθ ∂t+ur ∂uθ ∂r+uθ r ∂uθ ∂θ +uϕ rsenθ ∂uθ ∂ϕ +uruθ r−u2 ϕcotθ r      = =ρfθ−1 r ∂p ∂θ +η ∇2uθ+2 r2 ∂ur ∂θ −uθ r2sen2θ−2cosθ r2sen2θ ∂uϕ ∂ϕ ! ρ ∂uϕ ∂t+ur ∂uϕ ∂r+uθ r ∂uϕ ∂θ +uϕ rsenθ ∂uϕ ∂ϕ +uruϕ r+uθuϕcotθ r!= =ρfϕ−1 rsenθ ∂p ∂ϕ +η ∇2uϕ−uϕ r2sen2θ+2 r2senθ ∂ur ∂ϕ +2cosθ r2sen2θ ∂uθ ∂ϕ ! donde ∇2=1 r2 ∂ ∂r r2∂ ∂r!+1 r2senθ ∂ ∂θ senθ∂ ∂θ!+1 r2sen2θ ∂2 ∂ϕ2 Manuel A. Vázquez Barroso Mecánica de fluidos newtonianos. Ecuaciones de conservación. 52 Anexo II: unicidad y mínimo de disipación de energía por efectos viscosos para la ecuación de Stokes con unas condiciones de contorno dadas Dadas unas condiciones de contorno, la ecuación de Stokes (64) presenta unicidad de solución y los flujos que obedecen dicha ecuación corresponden a un mínimo de la tasa de disipación de energía debido a efectos viscosos respecto a otros flujos que no cumplen la ecuación con las mismas condiciones de contorno. Unicidad Supongamos que existen dos campos de velocidades u(r) y ˜ u(r) solución de la ecuación de Stokes (64) con las mismas condiciones de contorno. Con el fin de demostrar que ui=˜ui, basta probar que sus derivadas coinciden en todos los puntos (∂ui/∂xj=∂˜ui/∂xj∀i,j) e integrar respecto a xj. Para ello, veamos que $V ∂ui ∂xj −∂˜ui ∂xj!2 dV =0 donde la integral se toma sobre todo el volumen del fluido. Desarrollando, se obtiene que $V ∂ui ∂xj −∂˜ui ∂xj!2 dV =$V ∂ ∂xj"(ui−˜ui) ∂ui ∂xj −∂˜ui ∂xj!#dV −$V (ui−˜ui)(∇2ui− ∇2˜ui)dV. El primer término de la derecha puede transformarse mediante el teorema de la divergencia de Gauss (12) en una integral de superficie que se anula debido a las condiciones de contorno de no deslizamiento (ui=˜uien las paredes). Como ambos campos de velocidades son solución de la ecuación de Stokes (64), el segundo término se puede reescribir como 1 η$V (ui−˜ui) ∂p ∂xi −∂xi!dV =1 η$V ∂ ∂xi [(ui−˜ui)(p−˜p)]dV −1 η$V (p−˜p)∂ ∂xi (ui−˜ui)dV. De nuevo, el primer término de la derecha puede transformarse mediante el teorema de la divergencia de Gauss (12) en una integral de superficie que se anula debido a las condiciones de contorno de no deslizamiento. Por otra parte, el segundo término también se anula pues en un fluido incompresible ∇ · u=∇ · ˜ u=0. Queda así demostrada la igualdad buscada. Manuel A. Vázquez Barroso Mecánica de fluidos newtonianos. Ecuaciones de conservación. 53 Mínimo en disipación de energía por efectos viscosos Para unas condiciones de contorno dadas en las paredes y en el infinito, un flujo cuyo campo de velocidades ucumple la ecuación de Stokes (64) corresponde a un mínimo de la tasa de disipación de energía λdebido a efectos viscosos. Utilizando la expresión (78) para un fluido incompresible (∇ · u=0), se tiene que λ=$V σ0 i j ∂ui ∂xj dV =2η$V e2 i jdV donde la integral se toma sobre todo el volumen del fluido. Supongamos que existe otro tensor ˜ei j correspondiente a un flujo que obedece las mismas condiciones de contorno y la condición de incompresibilidad ∇ · ˜ u=0 pero no es solución de la ecuación de Stokes (64). Su tasa de disipación de energía ˜ λpuede expresarse como ˜ λ=2η$V ˜e2 i jdV =2η$V e2 i jdV +2η$V (˜ei j −ei j)2dV +4η$V (˜ei j −ei j)ei jdV =λ+2η$V (˜ei j −ei j)2dV +4η$V (˜ei j −ei j)ei jdV. Dado que el segundo término de la derecha es definido positivo, basta demostrar que el último término se anula para probar que λ < ˜ λ. Para ello, reescribimos éste último como 2$V (˜ei j −ei j)ei jdV =$V ∂˜ui ∂xj −∂ui ∂xj!∂ui ∂xj dV +$V ∂˜ui ∂xj −∂ui ∂xj!∂ui ∂xj dV =I1+I2. Para la primera integral I1tenemos que I1=$V ∂ ∂xj"(˜ui−ui)∂ui ∂xj#dV −$V (˜ui−ui)∂2ui ∂x2 j dV. El primer término de la derecha puede transformarse mediante el teorema de la divergencia de Gauss (12) en una integral de suferficie que se anula debido a las condiciones de contorno de no deslizamiento (ui=˜uien las paredes). Aplicando la ecuación de Stokes (64) al segundo término, se llega a $V (˜ui−ui)∂2ui ∂x2 j dV =1 η$V (˜ui−ui)∂p ∂xi dV = =$V ∂ ∂xi (p(˜ui−ui))dV −$V p∂(˜ui−ui) ∂xi dV. De nuevo, el primer término de la derecha puede transformarse mediante el teorema de la divergencia de Gauss (12) en una integral de superficie que se anula debido a las condiciones de contorno de no deslizamiento. Por otra parte, el segundo término también se anula pues en Manuel A. Vázquez Barroso