Interacción neutrino-nucleón: relevancia en el estudio de la estructura interna del nucleón y en el estudio de las oscilaciones de neutrinos

TRABAJO DE FIN DE GRADO Interacci´ on neutrino-nucle´ on: relevancia en el estudio de la estructura interna del nucle´ on y en el estudio de las oscilaciones de neutrinos Alejandro Nicol´ as Gaci˜ no Olmedo Tutorizado por Guillermo Daniel Meg´ ıas V´ azquez Grado en F´ ısica - Departamento de F´ ısica At´ omica, Molecular y Nuclear Curso 2021-2022 Abstract Desde la hip´ otesis de Pauli, los neutrinos han sido objeto de investigaci´ on en distintas partes del mundo para caracterizar sus propiedades, as´ ı como por sus implicaciones en distintas cuestiones de la F´ ısica como la asimetr´ ıa materia-antimateria del universo, la producci´ on de energ´ ıa en el Sol o el estudio de las explosiones de supernovas. Son capaces de cambiar entre estados de sabor a trav´ es del fen´ omeno de oscilaci´ on de neutrinos y ´ unicamente interaccionan mediante la fuerza nuclear d´ ebil, siendo capaces de atravesar grandes distancias sin ser perturbados. En este sentido, este documento presenta una introducci´ on a la F´ ısica de neutrinos a partir de un estudio detallado de la interacci´ on neutrino-nucle´ on. Con ello, se pretende estudiar el fen´ omeno de la interacci´ on d´ ebil en el contexto de la mec´ anica cu´ antica relativista. Para ello, se obtendr´ a de forma anal´ ıtica la secci´ on eficaz tanto para el caso del neutrino como para el de su antipart´ ıcula. El tema elegido posee actualmente gran relevancia experimental en grandes instalaciones como el CERN, FermiLab (EE.UU.) y Jap´ on (T2K, SuperKamiokande). Como punto de partida en el an´ alisis de medidas experimentales, se comparar´ an las expresiones te´ oricas obtenidas con algunos datos procedentes de interacciones mediadas por corrientes cargadas entre neutrinos/antineutrinos mu´ onicos y blancos ligeros, los cuales servir´ an, asimismo, para ampliar conocimientos sobre la estructura interna de los hadrones, y en concreto de la estructura axial de los mismos. ´ Indice 1. Motivaci´ on, objetivos y metodolog´ ıa 1 2. Introducci´ on 2 2.1. Proceso de decaimiento beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2.2. Primera detecci´ on experimental de neutrinos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.3. Fen´ omeno de oscilaci´ ondeneutrinos......................... 5 2.3.1. Problema de neutrinos solares. Hip´ otesis de oscilaci´ on de neutrinos . . . . 5 2.3.2. Detecci´ on experimental. Neutrinos tipo 1, 2 y 3 . . . . . . . . . . . . . . . 7 3. Formalismo de la interacci´ on EM. Estudio de la dispersi´ on el´ astica electr´ on-nucle´ on 11 3.1. Cinem´ aticadelproceso................................ 11 3.2. Descripci´ on matem´ atica de la dispersi´ on....................... 13 3.2.1. Matriz de colisi´ onS ............................. 13 3.2.2. Secci´ on eficaz diferencial dσ......................... 15 4. Formalismo de la interacci´ on electrod´ ebil. Estudio de la dispersi´ on el´ astica neutrinonucle´ on 18 4.1. Consideraciones previas al estudio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4.2. Cinem´ atica del proceso de dispersi´ on......................... 19 4.3. C´ alculo de la matriz colisi´ on S en interacci´ on d´ ebil ................. 20 4.4. C´ alculo de la secci´ oneficazdiferencial........................ 23 5. An´ alisis de resultados 28 5.1. Factores de forma hadr´ onicos ............................ 28 5.2. An´ alisis te´ orico de la secci´ oneficaz ......................... 30 5.3. Comparaci´ on con datos experimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 6. Conclusiones 42 A. Fundamentos de la mec´ anica cu´ antica relativista 44 A.1. Ecuaci´ on de Dirac. Soluciones libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 A.2. ´ Algebra de Clifford.................................. 46 A.2.1. Matrices del espacio de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 A.2.2. Teoremadetrazas .............................. 48 B. C´ alculo de la amplitud invariante |Mf i|249 B.1.Tratamiento...................................... 49 B.2. Dispersi´ on electr´ on-nucle´ on sin estructura interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 B.3. Dispersi´ on neutrino-nucle´ on con estructura interna . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 B.3.1. Tensor lept´ onico Lαβ ............................. 51 B.3.2. Tensor hadr´ onico Hαβ ............................ 52 B.3.3. Contracci´ ondetensores ........................... 56 C. Experimentos de interacci´ on neutrino-n´ ucleo 58 Referencias 64 1. Motivaci´ on, objetivos y metodolog´ ıa Para poder entender la f´ ısica detr´ as de los neutrinos, debemos comprender primero qu´ e son y por qu´ e tienen relevancia en el estudio de la teor´ ıa electrod´ ebil. Es por ello que en el segundo cap´ ıtulo desarrollaremos su contexto hist´ orico desde la hip´ otesis inicial de Pauli (con el fin de entender el decaimiento beta) hasta los experimentos de oscilaci´ on de neutrinos (Kamiokande en Jap´ on). Entendiendo las propiedades de los neutrinos a trav´ es de la mec´ anica cu´ antica relativista, seremos capaces de estudiar c´ omo interact´ uan con los nucleones mediante la fuerza nuclear d´ ebil, describiendo previamente en el cap´ ıtulo tres la interacci´ on electr´ on-nucle´ on con el fin de partir de un problema conocido y m´ as sencillo. Para todo ello, realizaremos un c´ alculo te´ orico del proceso el´ astico en el formalismo matem´ atico de la teor´ ıa electrod´ ebil con el fin de obtener la secci´ on eficaz del proceso neutrino-nucle´ on y antineutrino-nucle´ on en el cap´ ıtulo cuatro. El cap´ ıtulo cinco incluye el resultado gr´ afico de estas expresiones te´ oricas, pues se pretende analizar la dependencia de la secci´ on eficaz con la energ´ ıa de incidencia de neutrino, el ´ angulo de dispersi´ on y el cuadrimomento transferido. Esto supone considerar la estructura interna hadr´ onica haciendo uso de los factores de forma d´ ebiles y la parametrizaci´ on dipolar de Galster. Finalmente, se compara el comportamiento de la secci´ on eficaz con datos experimentales de interacciones cuasiel´ asticas entre neutrinos/antineutrinos y n´ ucleos ligeros con el fin de ver las diferencias relativas a la ausencia de efectos nucleares en la descripci´ on te´ orica neutrino-nucle´ on empleada, las cuales adquieren m´ as importancia conforme m´ as pesado sea el n´ ucleo. 1 2. Introducci´ on 2.1. Proceso de decaimiento beta A principios del siglo XX, se sab´ ıa que los n´ ucleos at´ omicos eran capaces de decaer en otros m´ as ligeros emitiendo part´ ıculas. Por lo tanto, fue de inter´ es estudiar estas reacciones para comprender mejor su estructura interna y su transformaci´ on en otros n´ ucleos. Estos procesos se resumen principalmente en tres decaimientos: alfa, beta y gamma; siendo el segundo el inter´ es principal de este proyecto. En 1930 [1], el decaimiento beta se entend´ ıa por la transformaci´ on de un n´ ucleo A en un n´ ucleo B m´ as ligero, desprendiendo un electr´ on: A−→ B+e−,(2.1) teniendo el n´ ucleo B una unidad de carga positiva m´ as que A. En ese sentido, este proceso era equivalente a la desintegraci´ on de un neutr´ on en un prot´ on y un electr´ on: n−→ p+e−.(2.2) Por conservaci´ on de la energ´ ıa y momento1, se obtiene la siguiente expresi´ on para la energ´ ıa cin´ etica del electr´ on: E= m2 A−m2 B+m2 e 2mA!c2.(2.3) Sin embargo, los resultados experimentales mostraban un continuo de energ´ ıa cin´ etica de electrones, siendo el resultado te´ orico (2.3) la cota m´ axima (figura 1). Esto implicaba una violaci´ on de la conservaci´ on de la energ´ ıa, evidenciando que deb´ ıa de estar perdi´ endose energ´ ıa por alg´ un proceso desconocido. En 1930, Pauli propuso como soluci´ on a este problema que la energ´ ıa restante estaba asociada a part´ ıculas muy ligeras y el´ ectricamente neutras emitidas en el proceso, las cuales Fermi acab´ o denominando posteriormente ”neutrinos” de sabor electr´ onico νe(la cualidad de sabor indica 1Se ha empleado din´ amica relativista y se ha usado un modelo simplificado donde A est´ a en reposo y B y e−se mueven en la misma direcci´ on pero sentidos contrarios. 2 a) Datos te´oricos [2]. b) Datos experimentales ajustados [3]. Figura 1: Comportamiento continuo de la energ´ıa cin´etica de los electrones salientes en un proceso de decaimiento beta. a qu´ e lept´ on est´ a asociado). Por lo tanto, (2.1) se transforma en: Emisi´ on de electrones o β−: (Z,N)−→ (Z+1,N−1) +e−+νe,(2.4) Emisi´ on de positrones o β+: (Z,N)−→ (Z−1,N+1) +e++νe,(2.5) donde e+yνeson el positr´ on y el antineutrino electr´ onico (correspondientes antipart´ ıculas del electr´ on y del neutrino electr´ onico). En resumen, el decaimiento beta qued´ o resumido en el proceso de interacci´ on que representa la figura 2. a) β−caracterizado por bos´on W−. b) β+caracterizado por bos´on W+. Figura 2: Diagramas Feynman de decaimiento beta, estando la evoluci´on temporal representada verticalmente [4]. 3 2.2. Primera detecci´ on experimental de neutrinos Aunque Pauli postulase la idea te´ orica de los neutrinos en torno a 1930, no fue hasta 1956 cuando se detectaron por primera vez por los f´ ısicos Reines y Cowan [5,6]. Este estudio experimental consisti´ o en hacer pasar antineutrinos producidos por la fisi´ on del uranio (2.6) y el posterior decaimiento β−(2.4) a trav´ es de largos tanques de agua con cadmio para que reaccionasen con protones y se diese as´ ı la reacci´ on (2.7): n+235 U−→ F+Xn +γ, (2.6) ν+p−→ n+e+,(2.7) donde F denota los fragmentos de fisi´ on y X es un n´ umero entero que oscila entre 0 y 8 neutrones por reacci´ on. Sin embargo, estos antineutrinos sal´ ıan con un recorrido libre medio de 106km, por lo que fue necesario conseguir un flujo muy intenso2para poder darse un n´ umero suficientemente alto de interacciones de estas part´ ıculas. Lo interesante en esto es que los positrones interactuaban con los electrones dando lugar a dos fotones y los neutrones iban siendo capturados por los n´ ucleos de cadmio, emitiendo tambi´ en fotones. En consecuencia, como se aprecia en la figura 3, solo fue necesario detectar esos fotones para as´ ı obtener la evidencia experimental de los antineutrinos involucrados en el proceso [7]. La relevancia de estos resultados condujo, en 1995, a la concesi´ on del Premio Nobel a Cowan y Reines. La complicaci´ on de la detecci´ on de estas part´ ıculas se reflej´ o en su gran recorrido libre medio, pues solo interact´ uan mediante fuerza nuclear d´ ebil cuya intensidad es tan peque˜ na que la probabilidad de interacci´ on es extremadamante reducida3. Posteriormente, se obtuvo evidencia experimental del neutrino mu´ onico νµmediante un estudio 2Del orden de 1017 part´ ıculas m−2s−1. 3En el cap´ ıtulo cinco se aprecia muy bien esta probabilidad, pues para 1 GeV de energ´ ıa incidente, sale una secci´ on eficaz del orden de 10−13 fm2. 4 3. Formalismo de la interacci´ on EM. Estudio de la dispersi´ on el´ astica electr´ on-nucle´ on En este cap´ ıtulo se detallar´ a tanto la cinem´ atica del proceso como el c´ alculo matem´ atico de la secci´ on eficaz de una dispersi´ on electromagn´ etica. El inter´ es de estudiar la interacci´ on electr´ onprot´ on reside en entender los conceptos empleados propios de un proceso de dispersi´ on y de esta manera poder aplicarlo en el cap´ ıtulo siguiente en la interacci´ on neutrino-nucle´ on, pues existen similitudes entre ambos casos que permiten simplificar el c´ alculo te´ orico. 3.1. Cinem´ atica del proceso Es bien conocido que un electr´ on puede interactuar con un prot´ on mediante fuerza electromagn´ etica, de manera que el mediador es el fot´ on. Se adjunta en la figura 6el diagrama de Feynman correspondiente a esta situaci´ on. Figura 6: Diagrama Feynman de la interacci´on electromagn´etica entre un electr´on y un prot´on. Para simplificar el estudio de la dispersi´ on electromagn´ etica, vamos a considerar que estamos en un sistema donde un prot´ on libre de masa M se encuentra originalmente en reposo, de manera que un electr´ on de masa m interacciona con un cierto momento y energ´ ıa iniciales. Parte de estos se transfieren modificando la trayectoria y la cinem´ atica de ambos en general. Asimismo, al tratarlo en el marco de la mec´ anica cu´ antica relativista, ser´ a necesario implementar los cuadrivectores momento, resultando en consecuencia: 11  ki| Ki|=0  kfθ | Kf|,0 Figura 7: Representaci´on gr´afica de nuestro sistema de referencia, siendo θel ´angulo de desviaci´on del electr´on al sufrir la interacci´on. Electr´ on inicial: pi=(εi, ki). Prot´ on inicial: Pi=(Ei,0), con energ´ ıa Eiequivalente al reposo: Ei=M. Electr´ on final: pf=(εf, kf). Prot´ on final: Pf=(Ef, K). Fot´ on: q=(ω,  q), con ω=εi−εfy q= ki− kf. Para el estudio de la secci´ on eficaz se va a emplear el sistema natural de unidades, el cual considera que ℏ=c=µ0=ϵ0=1, simplificando los c´ alculos en secciones posteriores. Aparte, se va a considerar en el electr´ on procesos de muy altas energ´ ıas en comparaci´ on a su energ´ ıa en reposo (del orden del GeV cuando la masa del lept´ on es de 511 keV), siendo as´ ı posible aplicar la aproximaci´ on ultrarrelativista: | ki| ≈ εi;| kf| ≈ εf(3.1) Por ´ ultimo, con el fin de entender a nivel b´ asico el proceso de dispersi´ on electromagn´ etica entre electr´ on y prot´ on, no consideramos estructura interna del hadr´ on8por simplicidad. En consecuencia, se modela el prot´ on como un fermi´ on puntual de esp´ ın 1/2. 8El prot´ on al estar conformado por quarks, ser´ ıa m´ as preciso considerar el comportamiento en conjunto de estas subpart´ ıculas en lo que se entiende como estructura interna hadr´ onica. Aqu´ ı se tendr´ a en cuenta el caso m´ as b´ asico al interesarnos solo las ideas claves del procedimiento, pero en el proceso neutrino-nucle´ on se estudiar´ a esta estructura en mayor profundidad. 12 3.2. Descripci´ on matem´ atica de la dispersi´ on En esta subsecci´ on se detallar´ a el c´ alculo te´ orico de la secci´ on eficaz empleando teor´ ıa de propagadores y el formalismo de la teor´ ıa cu´ antica de campos9. En particular, se considerar´ a el orden m´ as bajo en teor´ ıa de perturbaciones en el c´ alculo de la matriz de colisi´ on S, con el que se obtendr´ a una expresi´ on para la secci´ on eficaz. 3.2.1. Matriz de colisi´ on S Sea la expresi´ on gen´ erica de la matriz de colisi´ on S que relaciona el estado inicial i del sistema con su estado final f: Sf i =∞ X n=0 (−i)nZ+∞ −∞ dt1Zt1 −∞ dt2... Ztn−1 ∞ dtn{HI(t1)HI(t2)...HI(tn)},(3.2) donde n representa el orden de la perturbaci´ on y HIreferencia el hamiltoniano de interacci´ on actuando en un tiempo ti. Por simplificaci´ on de c´ alculo, se estudiar´ a el caso del orden m´ as bajo (n=1) y se resumir´ an los aspectos m´ as importantes del desarrollo realizado en la referencia [21]. En consecuencia, con el hamiltoniano de interacci´ on electromagn´ etico asociado a esta dispersi´ on10 se obtiene la siguiente expresi´ on para la matriz de colisi´ on: Sf i =−ie Zd4x¯ Ψf(x)/ AΨi(x),(3.3) donde se ha necesitado emplear de manera impl´ ıcita en la deducci´ on de esta experesi´ on el gauge de Lorentz: ∂µAµ(x)=0. De esta manera y tras varias manipulaciones algebraicas manejando 9Se emplear´ an expresiones directas sin discutir previamente el origen de las mismas. Para una descripci´ on m´ as completa de teor´ ıa de propagadores se recomienda el cap´ ıtulo 1 del libro [19] y para una introducci´ on a teor´ ıa cu´ antica de campos, los apuntes del curso de Mec´ anica Cu´ antica Relativista [20]. 10Sea el hamiltoniano de interacci´ on HI=−e:¯ Ψ(x)γνΨ(x)Aµ(x) :, indicando la expresi´ on entre : el producto normal generalizado, entonces es posible demostrar que la expresi´ on completa de la matriz de colisi´ on es: Sf i =P∞ n=0 (ie)n n!R+∞ −∞ d4x1R+∞ −∞ d4x2... R+∞ −∞ d4xnTn:¯ Ψ/ AΨx1: : ¯ Ψ/ AΨx2:... :¯ Ψ/ AΨxn:o; denotando T el producto cronol´ ogico de Wick. 13 transformadas de Fourier, llegamos a una expresi´ on para el propagador: / A(x)=γµAµ(x)=γµZd4yDµν F(x−y)Jp ν(y),(3.4) con: Dµν F(x−y)=gµν Zd4q (2π)4e−iq(x−y) −4π q2+iϵ!,(3.5) donde gµν es el tensor m´ etrico y se ha a˜ nadido en el denominador un infinitesimal positivo iϵdebido al polo que se presenta en q2=0. Se puede reordenar la ecuaci´ on (3.3) para obtener: S=−iZd4xd4y[e¯ Ψf(x)γµΨi(x)]Dµν F(x−y)Jp ν(y) (3.6) Destacamos lo siguiente: Ψ(x) hace referencia a la funci´ on de onda de una part´ ıcula con un determinado momento, energ´ ıa y esp´ ın. Esta se obtiene como soluci´ on de la ecuaci´ on de Dirac, siendo tratada en detalle en el anexo Aal final del documento. La expresi´ on entre corchetes se entiende como la cuadricorriente electr´ onica: Je µ=e¯ Ψe f(x)γµΨe i(x). Asimismo, al no considerar estructura interna, se relaciona el ´ ultimo t´ ermino con la corriente hadr´ onica, tal que: Jp µ(y)=ep¯ Ψp f(y)γµΨp i(y), con ep=−e. El siguiente paso es resolver la ecuaci´ on (3.6). Para ello, se tiene en cuenta la siguiente propiedad: δ4(x−y)=Zd4q (2π)4e−iq(x−y).(3.7) En el espacio de Dirac11, las funciones de onda para cada part´ ıcula se definen: Ψp δ(y)=rM EδVU(Pδ,Sδ)e−iPδy;Ψe δ(x)=rM εδVu(pδ,sδ)e−ipδx,(3.8) 11El formalismo matem´ atico de este espacio viene detallado en el ap´ endice A. 14 con el sub´ ındice δreferenciando al estado antes y despu´ es de la dispersi´ on y el super´ ındice poe, a la part´ ıcula considerada. Finalmente, resulta: Sf i =−i V2(2π)4δ4(Pf−Pi+pf−pi)sm2 εfεisM2 EfEi Mf i,(3.9) donde Mf i representa la denominada amplitud invariante12: Mf i =[¯u(pf,sf)γµu(pi,si)] 4πe2 (pf−pi)2+iε[¯ U(Pf,Sf)γµU(Pi,Si)].(3.10) 3.2.2. Secci´ on eficaz diferencial dσ Con la matriz de colisi´ on, podemos calcular la matriz de transici´ on W por unidad de volumen y tiempo: Wf i =|Sf i|2 VT ,(3.11) con: |S|2=[(2π)4δ4(Pf+pf−Pi−pi)]21 V4 m2 εfεi M2 EfEi|Mf i|2.(3.12) Aqu´ ı aplicamos varias consideraciones: Hacemos uso de la relaci´ on (2πδ(Ef−Ei))2=2πTδ(Ef−Ei) y an´ alogamente (2πδ( pf− pi))2= 2πVδ( pf− pi) [21], tenemos que: [2πδ4(pf−pi)]2=TV(2π)4δ4(pf−pi).(3.13) El c´ alculo de |Mf i|2se encuentra detallado en el anexo B, cuyo resultado final se muestra a continuaci´ on: |Mf i|2=(4π)2 2(q2)2m2M2(2M2εfεi−(pf·pi)(M2+M(εf−εi)) +m2M2).(3.14) 12Los elementos de matriz de esta expresi´ on consisten en el producto escalar de cuadrivectores, dando lugar a un invariante Lorentz. De ah´ ı el nombre que recibe. 15 En consecuencia, para la secci´ on eficaz hacemos uso de la densidad de estados finales de momento: dσ=V2d3 pf (2π)3 d3 Pf (2π)3 V | Jinc| Wf i,(3.15) donde | Jinc|es el flujo de part´ ıculas incidentes. Vamos a suponer que estamos en un caso de colisi´ on colineal, es decir, la direcci´ on de las velocidades de las part´ ıculas iniciales es la misma. | Jinc|=| vi− Vi| V−→ mM εiEiV| Jinc| =mM p(piPi)2−m2M2 =m qε2 i−m2 =m0 | pi|.(3.16) En resumen, nuestra expresi´ on de la secci´ on eficaz diferencial resulta: dσ=(2π)4δ4(Pf−Pi+pf−pi)m | pi| md3 pf εf(2π)3 Md3 Pf Ef(2π)3|Mf i|2.(3.17) Para cerrar este cap´ ıtulo, debido a que el objetivo del trabajo se centra en la descripci´ on del proceso neutrino-nucle´ on, se termina aqu´ ı el an´ alisis del caso electromagn´ etico al tener una relevancia m´ as secundaria en el trabajo. Sin embargo, por completitud, se muestra la expresi´ on de la secci´ on eficaz diferencial una vez desarrollado el c´ alculo de la amplitud invariante para el caso electr´ on-prot´ on sin estructura interna [22]. Introducimos primero la secci´ on eficaz de Mott: dσ dΩMott =α2 4ε2 isin4θ 2 εf εi cos2θ 2,(3.18) con αla constante de estructura final tal que α=e2 4π. No se ha tenido en cuenta la polarizaci´ on del esp´ ın de las part´ ıculas, por lo que una expresi´ on m´ as completa se obtiene con la relaci´ on siguiente: dσ dΩ=α2 4ε2 isin4θ 2 εf εi cos2θ 2−Q2 2Msin2θ 2!,(3.19) donde Q2es el m´ odulo cuadrado del cuadrimomento transferido (Q2=−q2). Finalmente, si queremos considerar estructura interna hadr´ onica, el resultado final es lo que se denomina como f´ ormula 16 de Rosenbluth: dσ dΩRosenbluth =α2 4ε2 isin4θ 2 εf εi" (FV 1)2−Q2 4M2(FV 2)2!cos2θ 2−(F1+F2)2Q2 2Msin2θ 2#,(3.20) siendo F1yF2los denominados factores de forma isovectores de Pauli y Dirac, que ser´ an detallados en secciones posteriores. 17 4. Formalismo de la interacci´ on electrod´ ebil. Estudio de la dispersi´ on el´ astica neutrino-nucle´ on En este cap´ ıtulo se detalla el desarrollo matem´ atico para obtener la secci´ on eficaz en un proceso de dispersi´ on el´ astica neutrino-nucle´ on mediada por corrientes cargadas. Para ello, se har´ a uso del procedimiento empleado en la interacci´ on electr´ on-prot´ on como base para entender esta situaci´ on, siendo m´ as compleja por un doble motivo: se considerar´ a la estructura interna hadr´ onica y la interacci´ on d´ ebil presenta una componente axial. Finalmente, se estudiar´ an las diferencias con respecto al caso del antineutrino. 4.1. Consideraciones previas al estudio Los procesos que involucran a neutrinos solo se ven afectados por la fuerza nuclear d´ ebil debido a que estos el´ ectricamente neutros y al ser leptones, no sufren interacci´ on nuclear fuerte. En consecuencia, se estudiar´ a dispersi´ on d´ ebil mediada por corrientes cargadas, implicando el intercambio de un bos´ on cargado W tal y como se observa en la figura 8: νl+n−→ l+p,(4.1) ¯νl+p−→ ¯ l+n,(4.2) donde l implica el lept´ on asociado y la notaci´ on ¯aimplica la antipart´ ıcula de a. Por otra parte, el c´ alculo de la interacci´ on de antineutrinos es totalmente an´ alogo al caso de su antipart´ ıcula, a excepci´ on de un cambio de signo en la parte axial de la corriente lept´ onica al ser su helicidad contraria al neutrino, como se ver´ a en la ecuaci´ on (4.9). Esto implica que se abordar´ an ambos procesos (4.1)y(4.2), aunque de manera general se considerar´ a el caso neutrino. Para una descripci´ on m´ as ajustada a la realidad, se considerar´ a la contribuci´ on de la estructura interna del hadr´ on. 18 a) Interacci´on neutrinos [23]. b) Interacci´on antineutrinos [24]. Figura 8: Diagramas de Feynman de las dispersiones d´ebiles mediadas por corrientes cargadas consideradas en este cap´ıtulo. En realidad, el bos´ on W modifica la naturaleza de los quarks de los que se compone el neutr´ on o prot´ on, de manera que un quark down (neutr´ on) que emita un bos´ on W+se transformar´ a en un quark up (prot´ on), lo cual es equivalente a que un quark down absorba un bos´ on W-. Una consideraci´ on de la interacci´ on mediada por el bos´ on Z supondr´ ıa no solo una mayor complejidad en el c´ alculo, sino una dificultad muy importante en el an´ alisis experimental al no poder detectarse los leptones cargados13, por lo que nos centraremos en los procesos de la figura 8. Por ´ ultimo, se considerar´ a en el desarrollo un lept´ on gen´ erico, pues de esta manera se podr´ an particularizar las expresiones resultantes a las caracter´ ısticas del lept´ on deseado (electr´ on, mu´ on o tau´ on). Esto implica que el sabor del neutrino no quedar´ a especificado. 4.2. Cinem´ atica del proceso de dispersi´ on Al igual que en el caso electr´ on-prot´ on, se comienza asumiendo por simplicidad un sistema de referencia en donde el nucle´ on est´ a originalmente en reposo. Como el neutr´ on se transforma en un 13Si la dispersi´ on d´ ebil est´ a mediada por corrientes neutras, entonces las part´ ıculas incidentes no se transforman, tal que para el caso νl−Nresultar´ ıa: νl+N−→ νl+N. En consecuencia, no ser´ ıa tan sencillo de detectar experimentalmente este proceso a diferencia de los experimentos detallados en el ap´ endice C. 19 prot´ on y la masa de ambos son similares, se asume: Mp≈Mn≡M.(4.3) Respecto al neutrino, el Modelo Est´ andar consider´ o originalmente su masa nula mν=0. Sin embargo, aqu´ ı se prefiere optar por el razonamiento de que su masa es despreciable en comparaci´ on a la cinem´ atica que manejamos. De cara a ser coherentes con los resultados experimentales, se considerar´ an energ´ ıas de incidencia del orden del GeV, lo cual implica que al igual que en el caso electr´ on-nucle´ on, se aplicar´ a la aproximaci´ on ultrarrelativista14, cuya implicaci´ on queda resumida en la relaci´ on (3.1). Por tanto, se procede a la notaci´ on correspondiente a la descripci´ on de los cuadrimomentos de cada part´ ıcula: Neutrino lept´ onico: pν=(εν, kν). Neutr´ on: Pn=(En,0), recordando que inicialmente se encuentra en reposo. Lept´ on saliente: pl=(εl, kl). Prot´ on: Pp=(Ep, K). Bos´ on W cargado: q=(ω,  q), con ω=εν−εly q= kν− kl. Se define su m´ odulo Q2=|q|2= −q2. 4.3. C´ alculo de la matriz colisi´ on S en interacci´ on d´ ebil Siguiendo los pasos de la dispersi´ on electr´ on-prot´ on, primero calcularemos la matriz de colisi´ on S considerando ahora que el hamiltoniano de interacci´ on asociado al proceso d´ ebil mediado por 14Para estos procesos, la aproximaci´ on ultrarrelativista tiene sentido aplicarlo para neutrinos y electrones, pero no es una aproximaci´ on demasiado adecuada para muones y tauones al tener de energ´ ıa en reposo 0.106 GeV y 1.777 GeV respectivamente, pues son cantidades no despreciables para trabajar con energ´ ıas del orden del GeV. 20 habi´ endose usado la dependencia de la energ´ ıa del lept´ on con el cosθtal que: dεl dcosθ=| kl| 1+M εν−εl | kl|cosθ.(4.34) En consecuencia, el diferencial simple respecto del ´ angulo s´ olido Ωresulta dividiendo por el factor 2π: dσ dΩ=1 2π dσ dcosθ=G2 F 8π2 M εl 1 1+M εν−cosθ|Mf i|2cosθ=cosθ0 .(4.35) De hecho, con (4.33) es posible integrar esta expresi´ on para obtener la secci´ on eficaz completa σ para la interacci´ on: σ=ZdΩdσ dΩ=2πZ1 −1 d(cosθ)dσ dcosθ.(4.36) 27 5. An´ alisis de resultados Este cap´ ıtulo tiene por objetivo la construcci´ on de distintas representaciones gr´ aficas con un doble fin: analizar la dependencia de la secci´ on eficaz respecto de la cinem´ atica del lept´ on final y compararlo con datos experimentales procedentes de experimentos en c´ amaras de burbujas para la dispersi´ on de neutrinos y antineutrinos con n´ ucleos ligeros, permitiendo analizar las diferencias respecto a la casos reales. Sin embargo, para ello previamente es necesaria una descripci´ on formal de la estructura interna hadr´ onica, la cual vendr´ a dada por la parametrizaci´ on de Galster y los factores de forma de Sachs. 5.1. Factores de forma hadr´ onicos La contribuci´ on de la estructura interna hadr´ onica se describe empleando los factores de forma vectores y axiales seg´ un la ecuaci´ on (4.11) del ap´ endice B. Para construir las expresiones pertinentes a los factores de forma d´ ebil de tipo vector FV 1yFV 2se propone la parametrizaci´ on dipolar de Galster [27], permitiendo expresarlos en funci´ on de los factores de forma electromagn´ etico a partir de la hip´ otesis de conservaci´ on de la corriente vector (CVC). Por otra parte, resulta m´ as conveniente trabajar con los factores de forma el´ ectrico y magn´ etico d´ ebiles de Sachs [28]: GV E(Q2)=FV 1(Q2)−τFV 2(Q2),GV M(Q2)=FV 1(Q2)+FV 2(Q2),(5.1) donde se introduce el t´ ermino: τ=Q2 4M2.(5.2) Recurriendo a la CVC, es posible reescribir estos factores de Sachs d´ ebiles en funci´ on de los electromagn´ eticos [29]: GV E≡1 2(Gp E−Gn E),GV M=1 2(Gp M−Gn M).(5.3) 28 Reordenando (5.1) en funci´ on de los par´ ametros de (5.3), resulta: FV 1=(Gp E−Gn E)+τ(Gp M−Gn M) 2(1 +τ),FV 2=(Gp M−Gn M)−(Gp E−Gn E) 2(1 +τ).(5.4) La parametrizaci´ on de Galster expresa los factores de forma electromagn´ eticos de Sachs dependientes de un factor dipolar GV Dtal que: Gp E=GV D,Gn E=−µnτGV Dεn,Gp M=µpGV D,Gn M=µnGV D,(5.5) defini´ endose GV Dcomo: GV D=1 (1 +Q2 M2 v)2, εn=(1 +λnτ)−1,(5.6) donde los momentos magn´ eticos del prot´ on y del neutr´ on valen respectivamente µp=2,793 y µn=−1,913, la masa vector Mv=0,843 GeV y λn=5,6. Respecto a la parte axial, se propone una parametrizaci´ on del tipo dipolar an´ aloga al caso vector, de manera que: GA=g0 (1 +Q2 M2 a)2,(5.7) introduci´ endose la masa axial Ma=1,03 GeV20 y la constante vector-axial g0=−1,267. El factor pseudoaxial, GP21, se puede definir a partir de la relaci´ on Goldberger-Treiman: GP=4M2 Q2+m2 π GA,(5.8) emple´ andose la masa del pion mπ. Al ser par´ ametros dependientes de Q2, se muestra una gr´ afica representando la evoluci´ on de 20Hasta hace pocos a˜ nos, existi´ o cierto debate sobre la veracidad de este valor, pues algunos experimentos apuntaban a que los datos experimentales se ajustan mejor a un valor ligeramente mayor de la constante vector-axial. Finalmente se concluy´ o que realmente dicho incremento se deb´ ıa a canales de reacci´ on multinucle´ onicos no inclu´ ıdos en el an´ alisis experimental. Para un estudio m´ as detallado de esto, v´ ease cap´ ıtulo 3.5 de [25]. 21En las relaciones referentes a los t´ erminos Widependientes de los factores de forma (4.16), (4.17) y (4.18) no se hace uso del factor GPporque se ha despreciado la masa del lept´ on frente al resto de t´ erminos. Sin embargo, por completitud se detalla igualmente en esta subsecci´ on la expresi´ on del factor pseudoaxial. 29 estos coeficientes frente a este par´ ametro en la figura 10. Figura 10: Evoluci´on de los factores de forma en la parametrizaci´on considerada frente a Q2. 5.2. An´ alisis te´ orico de la secci´ on eficaz Una vez entendidas las parametrizaciones empleadas, es cuesti´ on de representar gr´ aficamente las expresiones te´ oricas para obtener as´ ı la dependencia de la secci´ on eficaz frente a los distintos par´ ametros caracter´ ısticos de un proceso de dispersi´ on. Para ello, tomaremos distintas energ´ ıas de incidencia Eνy tendremos en cuenta que Q2yθest´ an relacionados entre s´ ı, tal y como se ha visto en la parte te´ orica. Por coherencia con los datos experimentales que estudiaremos posteriormente, se particularizar´ a para el caso en el que el lept´ on considerado sea un mu´ on. En consecuencia, se toman los siguientes valores est´ andar para las constantes de nuestra situaci´ on (adem´ as de los mostrados en secciones anteriores): 30 GF=1,166 ·10−5GeV−2. M=0,938 GeV. mµ=0,106 GeV. En primer lugar, se analizar´ a la dependencia de la secci´ on eficaz frente al ´ angulo de dispersi´ on θ. Para ello, el proceso ν-N se muestra en la figura 11, donde se aprecian varias cosas: 1. El orden de magnitud de la diferencial simple es menor que 10−10 fm2, lo cual es coherente una magnitud tan baja teniendo en cuenta que la intensidad de la interacci´ on d´ ebil es muy peque˜ na respecto a la electromagn´ etica22 o la nuclear fuerte. 2. En la figura 11 se observa que la forma que presenta la secci´ on eficaz diferencial simple frente al par´ ametro θvar´ ıa con la energ´ ıa de incidencia Eν: a valores bajos se aprecia una forma m´ as plana tal que no es despreciable la secci´ on eficaz a ´ angulos muy grandes (retrodispersi´ on), mientras que para valores altos de energ´ ıa, se centra en ´ angulos m´ as peque˜ nos adquiriendo as´ ı una forma m´ as picuda (v´ ease figura 12 para observar mejor la diferencia entre casos extremos). Por otra parte, se compara en la figura 13 el diferencial simple respecto al caso del antineutrinonucle´ on para observar una asimetr´ ıa debido a la diferencia en la helicidad. adem´ as, se aprecia que el proceso con la antipart´ ıcula es el que tiene una probabilidad menor de interacci´ on. Sin embargo, esta disparidad entre procesos se reduce conforme aumenta la energ´ ıa incidente. Si analizamos la expresi´ on (4.18) en profundidad, se puede ver que las observaciones del p´ arrafo anterior son consistentes. Para demostrarlo, hay que analizar la dependencia de Q2con εν, por lo que si empleamos (4.28) y la conservaci´ on de energ´ ıa de la expresi´ on (4.27), entonces se obtiene: Q2=4ε2 νsin2θ/2 1+2εν Msin2θ/2,(5.9) 22Por tener una referencia, en el caso de la dispersi´ on electromagn´ etica la secci´ on eficaz ser´ ıa mayor en 7-8 ´ ordenes de magnitud. En la figura 3.14 del estudio [30] se aprecia en detalle esta comparaci´ on para procesos con electrones. 31 Figura 11: Evoluci´on de dσ dΩfrente al valor del ´angulo de dispersi´on θa distintos valores de energ´ıa εν. y como el factor dipolar GAdisminuye conforme aumenta Q2, entonces tiene sentido que para el l´ ımite ενtendiendo a infinito, el factor de forma axial se anule porque Q2tiende a infinito tambi´ en, implicando que W3se hace nulo y as´ ı la dispersi´ on con neutrinos ser´ ıa equivalente al caso de su antipart´ ıcula. Asimismo, se puede observar en la figura 14 la evoluci´ on del diferencial simple respecto a Q2. Se aprecia c´ omo la secci´ on eficaz aumenta conforme el cuadrimomento transferido decrece, pues esto implica valores muy pr´ oximos entre s´ ı23 de | q|2yω2, lo cual est´ a asociado a ´ angulos de dispersi´ on cercanos a cero. En consecuencia, el resultado es consistente con las gr´ aficas previas en funci´ on de θ. Comparando con el caso del antineutrino en la figura 15, se observa que la asimetr´ ıa entre procesos crece conforme aumenta el cuadrimomento transferido, de manera que se tiende a la 23Se recuerda que Q2=−q2=−(ω2−| q|2)=| q|2−ω2. 32 a) εν=0.3 GeV. b) εν=9 GeV. Figura 12: Dependencia del diferencial simple de σen casos extremos de energ´ıa de incidencia. 33 a) εν=0.5 GeV. b) εν=1 GeV. c) εν=2 GeV. d) εν=3 GeV. Figura 13: Comparaci´on entre el proceso con neutrinos (curva roja) y con antineutrinos (curva azul) a diferentes energ´ıas de incidencia. simetr´ ıa completa cuanto menor cuadrimomento que se transfiera del neutrino al lept´ on. Para un cierto valor de energ´ ıa incidente, Q2cercano a cero implica ´ angulos de dispersi´ on pr´ acticamente nulos, por lo que el t´ ermino de asimetr´ ıa entre ambos procesos es despreciable seg´ un la expresi´ on (4.15). En consecuencia, se llegan a las mismas conclusiones analizando tanto para θcomo para Q2. Por otra parte, a trav´ es de la integral (4.36) se puede estimar la secci´ on eficaz total en funci´ on de la energ´ ıa de incidencia. Por tanto, se puede observar la dependencia que tiene esta magnitud respecto a ενen los dos procesos y as´ ı ver su evoluci´ on. Para ello, se ha hecho uso de integraci´ on 34 Figura 14: Evoluci´on de dσ dΩfrente a Q2para εν=1 GeV Figura 15: Cociente de dσ dΩdel caso ν-N frente al caso ¯ν-N respecto al valor de Q2para εν=1 GeV. num´ erica respecto a θ24 emple´ andose el m´ etodo del trapezoide mediante la funci´ on trapz de Matlab. 24En sentido estricto, la expresi´ on (4.36) implica una integraci´ on en la variable cosθ. Sin embargo, por comodidad en el c´ alculo de la amplitud invariante (4.15), nuestra variable de integraci´ on ser´ a el ´ angulo de dispersi´ on al ser equivalente el m´ etodo: Z−1 1 d(cosθ)f(cosθ)=Z2π 0 dθsinθf(θ). 35 Es especialmente importante tener una subdivisi´ on de valores de θmuy peque˜ na entre s´ ı para garantizar precisi´ on en estos c´ alculos, lo cual se ha observado en la figura 11 que a mayor εν, la curva presentar´ a una pendiente m´ as acusada a ´ angulos muy peque˜ nos. El resultado de la secci´ on eficaz total se muestra en la figura 16, viendo que esta magnitud se anula en procesos donde la energ´ ıa saliente εles menor que la energ´ ıa en reposo de la part´ ıcula saliente ml25, pues no est´ an permitidos al tener la energ´ ıa del lept´ on saliente esta cota m´ ınima (no tiene sentido considerar un mu´ on que tenga una energ´ ıa menor que en reposo). Adem´ as, se observa un m´ aximo en el caso ν-N cuando εν=1,23 GeV, mientras que para ¯ν-N crece con la energ´ ıa de incidencia hasta alcanzar asint´ oticamente a la curva del neutrino para energ´ ıas cada vez mayores, donde W3va tendiendo a cero. Asimismo, se aprecia en la figura 17 que el m´ aximo de asimetr´ ıa en un proceso el´ astico se da cuando εν=0,485 GeV, tendiendo a la simetr´ ıa para energ´ ıas muy altas tal y como se compar´ o en la figura 13. Figura 16: Secci´on eficaz σfrente energ´ıa incidente ενen procesos de dispersi´on el´astica de neutrinos y antineutrinos. 25Se recuerda que en la subsecci´ on siguiente se manejan datos experimentales de procesos con neutrinos mu´ onicos, por lo que se particulariza la figura 16 para el caso del mu´ on. 36 a dicho an´ alisis. En resumen, este trabajo de fin de grado constituye un estudio detallado de la interacci´ on neutrino-nucle´ on, as´ ı como una introducci´ on al an´ alisis de la dispersi´ on neutrino-n´ ucleo. Estos procesos son de gran importancia desde hace varias d´ ecadas para la descripci´ on de la estructura interna de los hadrones y la din´ amica nuclear, as´ ı como para el estudio de las propiedades de los neutrinos cuya relevancia se ha puesto de manifiesto m´ as recientemente con el descubrimiento de las oscilaciones de neutrinos, siendo de enorme inter´ es para resolver algunas de las grandes cuestiones de la Cosmolog´ ıa, la F´ ısica de Part´ ıculas y la Astrof´ ısica. 43 A. Fundamentos de la mec´ anica cu´ antica relativista A.1. Ecuaci´ on de Dirac. Soluciones libres Todos los desarrollos matem´ aticos pertinentes a las dispersiones tratadas se realizan bajo el marco de la mec´ anica cu´ antica relativista. Dirac, a principios de los a˜ nos 30 [42], impuso varios requisitos fundamentales para formular su ecuaci´ on: Se tiene que tratar de una ecuaci´ on relativista de primer orden en t, considerando simetr´ ıa entre las variables espaciales y temporales. La norma conservada debe ser definida positiva o, en otras palabras, el operador Hamiltoniano debe ser herm´ ıtico para la relaci´ on: i∂tΨ = ˆ HΨ. La ecuaci´ on en cuesti´ on debe ser manifiestamente covariante, es decir, debe describir el mismo fen´ omeno f´ ısico para cualquier sistema de referencia. Por lo tanto, debe ser invariante ante transformaciones Lorentz. Debe ser coherente con la expresi´ on de la energ´ ıa relativista: E2=M2+p2. En consecuencia, se propuso la siguiente expresi´ on: i∂tΨ = ( ˆαˆp+βM)ψ≡ˆ HΨ,(A.1) donde los coeficientes αyβson matrices 4x4 que deben satisfacer las relaciones de hermiticidad del operador ˆ Hy de energ´ ıa-momento. De esta manera, se tienen las siguientes relaciones: {αi, αj}=2δi j1,(A.2) {αi, β}=0,(A.3) α2 j=β2=1.(A.4) 44 Sin embargo, todo esto se puede escribir de una forma m´ as compacta introduciendo las matrices gamma de Dirac y la notaci´ on slash en los cuadrivectores ( / A=γµAµ): (/ P−M)Ψ = 0,(A.5) en la cual las matrices gamma ser´ an explicadas en la subsecci´ on siguiente, donde se introduce el ´ algebra de Clifford. Una consecuencia importante de (A.5) es que se puede deducir la cuadricorriente asociada a las part´ ıculas de Dirac, la cual se emplea en el desarrollo de la expresi´ on de la matriz de colisi´ on S: Jµ=¯ ΨγµΨ,(A.6) tal que ¯ Ψes la funci´ on de onda adjunta de Dirac, definida como: ¯ Ψ=Ψ†γ0.(A.7) Respecto a las soluciones de la ecuaci´ on, se diferencian entre las asociadas a energ´ ıa positiva +y energ´ ıa negativa -: Ψ+(Xµ)=rM EV u(p,s)e−iPµXµ,(A.8) Ψ−(Xµ)=rM EV v(p,s)eiPµXµ,(A.9) siendo u(p,s) y v(p,s) los espinores de Dirac que corresponden a energ´ ıas positivas y negativas respectivamente con cuadrimomento Pµ=(E,p) y cuadriesp´ ın Sµ=(s0,s), emple´ andose la notaci´ on  a≡a. Las soluciones de energ´ ıa negativa se relacionan directamente con las antipart´ ıculas. Los espinores cumplen: (/ P−M)u(p,s)=0,(A.10) (/ P+M)v(p,s)=0.(A.11) 45 Obteni´ endose: u(p,s)=rE+M 2M χs σp E+Mχs ,(A.12) v(p,s)=rE+M 2M σp E+Mχs χs ,(A.13) donde χs= 1 0 en caso de proyecci´ on de esp´ ın positiva o ξs= 0 1 si la proyecci´ on es negativa. Se aprecia que los espinores dependen del estado del esp´ ın, por lo tanto se introduce otra expresi´ on ´ util: X ±s uα(p,s)¯uβ(p,s)= / P+M 2M!αβ .(A.14) Esto ´ ultimo se demuestra a partir de la relaci´ on de normalizaci´ on: ¯uα(pα,sα)uβ(pβ,sβ)=δαβ.(A.15) A.2. ´ Algebra de Clifford A.2.1. Matrices del espacio de Dirac En el apartado anterior se introdujeron las matrices gamma γµen el contexto de ecuaci´ on de Dirac. Estas se definen como: γ0≡β;γi≡βαi,i=1,2,3.(A.16) 46 Las matrices gamma son matrices 4x4 en el espacio de Dirac. Sin embargo, existen m´ as matrices que en su conjunto conforman el espacio entero, el cual viene dado por el ´ algebra de Clifford: ΓS=1; Escalar (1), ΓV µ=γµ; Vector (4), Γµν T=σνµ =i 2[γµ, γν]; Tensor (6), ΓP=γ5=γ5; Pseudoescalar (1), ΓA µ=γ5γµ; Pseudovector o Axial (4), donde el n´ umero despu´ es del t´ ermino indica el n´ umero de matrices de ese tipo que conforma el espacio de Dirac. Estos elementos son especialmente ´ utiles en la definici´ on de covariantes bilineales, es decir, cuando se opera con ¯ ΨΓΨ. Al aplicar una transformaci´ on Lorentz impropia al elemen- to anterior, solo los t´ erminos pseudoescalar y pseudovector cambian de signo por el determinante (det(Λ)=−1). Adem´ as, son ´ utiles para la descripci´ on de las corrientes lept´ onicas y hadr´ onicas en la interacci´ on neutrino-nucle´ on. An´ alogamente, se define el pseudoescalar γ5: γ5=iγ0γ1γ2γ3.(A.17) Por ´ ultimo, las relaciones que se establecen entre las matrices gamma son las siguientes: {γµ, γν}=2gνµ1,(A.18) (γi)−1=(γi)†=−γi,(γ0)−1=(γ0)†=γ0,(A.19) {γµ, γ5}=0,[γ5, σνµ]=0.(A.20) 47 A.2.2. Teorema de trazas Las matrices del espacio de Dirac en general cumplen una serie de relaciones en el c´ alculo de sus trazas. Esto es lo que se conoce como Teorema de Trazas, una herramienta muy pr´ actica que en la secci´ on siguiente ahorrar´ a bastantes pasos en el proceso [43]: TrF =0,(A.21) Tr1=4,(A.22) Tr(γµγν)=4gµν,(A.23) Tr(/ a/ b)=4ab,(A.24) Tr(γµγνγαγβ)=4(gνµgαβ −gµαgνβ +gµβgνα),(A.25) Tr(/ a/ b/ c/ d)=4[(ab)(cd)−(ac)(bd)+(ad)(bc)],(A.26) Tr(γ5)=0,(A.27) Tr(γ5/ a/ b)=0,(A.28) Tr(γ5/ a/ b/ c/ d)=4iϵµναβaµbνcαdβ,(A.29) donde Fdefine un producto impar de matrices gamma en A.21 y adem´ as se cumple que: ϵµναβϵµνλσ =−2(δα λδβ σ−δα σδβ λ).(A.30) 48 B. C´ alculo de la amplitud invariante |Mf i|2 B.1. Tratamiento En este apartado se expondr´ an las ideas b´ asicas para expresar |Mf i|2en funci´ on de trazas para aplicar todo lo comentado en el ap´ endice A.2.2. La idea clave consiste en que ante una expresi´ on como (3.10) y (4.15), hay que sumar sobre todos los estados finales del esp´ ın y promediarlos sobre los iniciales, siempre que no consideremos polarizaci´ on en el proceso [21]. Para ello, partimos de una expresi´ on gen´ erica de la forma: |Mf i|2=X si,sf,Si,Sf|(¯ufΓαui)( ¯ UfΓβUi)|2,(B.1) siendo ΓαyΓβexpresiones gen´ ericas distintas dependiente de matrices de Dirac que est´ an asociadas a la corriente lept´ onica y hadr´ onica respectivamente. Se sabe que el m´ odulo al cuadrado es multiplicar esa expresi´ on por su complejo conjugado. El resto es cuesti´ on de aplicar (A.14), tal que: |Mf i|2=X si,sf,Si,Sf [(¯ufΓαui)( ¯ UfΓβUi)(uf¯ Γα¯ui)(Uf¯ Γβ¯ Ui)] = =X sf ¯ufΓαuf¯ ΓαX si ui¯uiX Sf ¯ UfΓβUf¯ ΓβX Si Ui¯ Ui = =X sf (¯ufuf)λ1λ2 Γα/ pi+mi 2mi ¯ Γα!λ1λ2X Sf (¯ Ufuf)λ3λ4 Γβ / Pi+Mi 2Mi ¯ Γβ!λ3λ4 = =Tr "/ pf+mf 2mf Γα/ pi+mi 2mi ¯ Γα#Tr "/ Pf+Mf 2Mf Γα/ Pi+Mi 2Mi ¯ Γα#,(B.2) donde los sub´ ındices λihacen referencia al estado de esp´ ın de una part´ ıcula, de manera que al tener que coincidir los estados para dar lugar a un resultado no nulo, es equivalente tomar la traza de las expresiones resultantes al solo ser no nulos los elementos diagonales. En consecuencia, se particularizar´ a para cada dispersi´ on y se desarrollar´ a cada proceso estudiado en detalle. 49 B.2. Dispersi´ on electr´ on-nucle´ on sin estructura interna Partiendo de la expresi´ on (3.10) y usando (B.2), se obtiene tras varias manipulaciones algebraicas: |Mf i|2=(4π)2 (q2)2 e2e2 p 64m2M2Tr[(/ pf+m)γµ(/ pi+m)γν]Tr[(/ Pf+M)γµ(/ Pi+M)γν]≡(4πeep)2 (q2)2m2M2LµνHµν, (B.3) con Lµν defini´ endose como el tensor lept´ onico y Hµν, el tensor hadr´ onico: Lµν ≡1 8Tr[(/ pf+m)γµ(/ pi+m)γν],(B.4) Hµν ≡1 8Tr[(/ Pf+M)γµ(/ Pi+M)γν].(B.5) Con calcular uno de ellos usando los teoremas de trazas, el otro es cuesti´ on de cambiar la notaci´ on: Lµν =1 8Tr[/ pfγµ/ piγν+m2γµγν]=1 8(Tr[/ pfγµ/ piγν]+m2Tr[γµγν]) = =1 2[pf µpi ν−pfpigµν +pf νpi µ+m2gαβ].(B.6) An´ alogamente: Hµν =1 2[Pµ fPν i−PfPigµν +Pν fPµ i+M2gαβ].(B.7) En consecuencia, realizamos la contracci´ on correspondiente: LµνHµν =1 4[pf µpi ν+pf νpi µ+gµν(m2−pi·pf)][Pµ fPν i+Pν fPµ i+gµν(M2−Pf·Pi)] = =1 2[(pf·Pf)(pi·Pi)+(pf·Pi)(pi·Pf)−(Pf·Pi)(pi·pf)+2m2M2−m2(Pf·Pi)−M2(pf·pi)] = =M 2((pf·Pf)(pi·Pi)+(pf·Pi)(pi·Pf)−M2(pf·pi)−m2(Pf·Pi)+2m2M2)= =1 2(2M2εfεi−(pf·pi)(M2+M(εf−εi)) +m2M2),(B.8) donde se ha tenido en cuenta que el neutr´ on est´ a inicialmente en reposo y se han desarrollado los productos escalares de los cuadrivectores que aparecen en esta ´ ultima expresi´ on. 50 B.3. Dispersi´ on neutrino-nucle´ on con estructura interna Sea la expresi´ on que define para este caso |Mf i|2(4.15), se tiene que: Γβ=FV 1γβ+iFV 2 2Mσβλqλ+GAγβγ5+GP 2Mqβγ5,(B.9) donde en este caso, la corriente hadr´ onica d´ ebil se compone de una parte vector y otra axial. La parte vector de la estructura interna est´ a asociado a los factores de forma FV 1yFV 2 27, mientras que la parte axial se corresponden con los factores de forma GAyGP. Siguiendo un desarrollo an´ alogo al caso anterior respecto a la amplitud invariante, resulta: |Mf i|2=1 64mlmνM2Tr[(/ pl+ml)γα(1−γ5)(/ pν+mν)γα(1−γ5)]Tr[(/ Pp+M)Γβ(/ Pn+M)¯ Γβ]≡1 M2mνml LαβHαβ, (B.10) siendo ahora las expresiones del tensor lept´ onico y hadr´ onico respectivamente: Lαβ ≡1 8Tr[(/ pl+ml)γα(1 −γ5)(/ pν+mν)γα(1 −γ5)],(B.11) Hαβ =1 8Tr[(/ Pp+M)Γβ(/ Pn+M)¯ Γβ].(B.12) A continuaci´ on, se procede a calcular el tensor lept´ onico y hadr´ onico de manera separada. B.3.1. Tensor lept´ onico Lαβ Desarrollaremos ahora el c´ alculo del tensor lept´ onico haciendo uso de (A.21), que indica que la traza del producto de un n´ umero impar de matrices gamma da lugar a un resultado nulo. Aplicando linealidad se puede expresar (B.11) como la suma de dos trazas, tal que: Lαβ =1 8{Tr[/ plγα(1 −γ5)/ pνγβ(1 −γ5)] +mlmνTr[γα(1 −γ5)γβ(1 −γ5)]},(B.13) 27En el cap´ ıtulo cinco se expresan siguiendo la parametrizaci´ on dipolar de Galster, de manera que empleando los factores de forma electromagn´ etico de Sachs, se podr´ an expresar estos factores de forma d´ ebiles. An´ alogamente para la parte axial, se puede expresar GAsiguiendo una parametrizaci´ on dipolar y GP, mediante la relaci´ on Goldberger- Treiman. 51 con: Tr[/ plγα(1 −γ5)/ pνγβ(1 −γ5)] =Tr[/ plγα/ pνγ5]−Tr[/ plγαγ5/ pνγβ]−Tr[/ plγα/ pνγβγ5]+Tr[/ plγα/ pνγβ]= =2(Tr[/ plγα/ pνγβ]−Tr[γ5/ plγα/ pνγβ]) = =8(pl αpν β+pl βpν α−plpνgαβ +iϵαβλ1λ2pλ1 lpλ2 ν),(B.14) Tr[γα(1 −γ5)γβ(1 −γ5)] =Tr[γαγβ]−Tr[γαγ5γβ]−Tr[γαγβγ5]+Tr[γαγ5γβγ5]= =Tr[γαγβ]+Tr[γαγβγ5]−[Trγαγβγ5]−Tr[γαγβ]=0.(B.15) Por lo tanto, al anularse este ´ ultimo t´ ermino, resulta finalmente: Lαβ =pl αpν β+pl βpν α−plpνgαβ +iϵαβλ1λ2pλ1 lpλ2 ν,(B.16) donde la parte real es sim´ etrica y la parte imaginaria, antisim´ etrica por el tensor de Levi-Civita28. B.3.2. Tensor hadr´ onico Hαβ El c´ alculo del tensor hadr´ onico supone una mayor complejidad tanto por la estructura de la corriente hadr´ onica d´ ebil como de la definici´ on de Γβen funci´ on de los factores de formas (4.11). En consecuencia, se mostrar´ an resultados directos al emplearse teorema de trazas o propiedades de conmutaci´ on entre matrices gamma. Por lo tanto, sea el tensor hadr´ onico: Hαβ =1 8Tr[(/ Pp+M)Γβ(/ Pn+M)¯ Γβ],(B.17) por linealidad se puede expresar como la suma de tres contribuciones: Hαβ =1 8(Hαβ V+Hαβ A+Hαβ VA),(B.18) 28Esto hace referencia a que si se cambia el orden de los sub´ ındices αyβ, entonces o bien se quedan invariantes (sim´ etrico) o bien cambia de signo (antisim´ etrico), que justo esto ´ ultimo lo cumple el tensor de Levi-Civita. 52 Figura 21: Diagrama del proceso de interacci´on prot´on con un n´ucleo, de manera que el prot´on es capturado por el n´ucleo emiti´endose un pi´on saliente. Los t´erminos p,q hacen referencia al momento del prot´on y del pi´on respectivamente, e I, I’ al esp´ın inicial y final del n´ucleo [45]. procesos con neutrinos y finalmente se usaron 166 para obtener resultados como secci´ on eficaz a distintas energ´ ıas de incidencia o el n´ umero de eventos registrados seg´ un Q2. Finalmente, se determin´ o que el valor de masa axial que mejor se ajustaba a las medidas experimentales era MA= 0,94 ±0,18 GeV. Argonne National Laboratory 1977 [33] Este estudio pretende dar un paso m´ as all´ a que el anterior y analizar en profundidad procesos de interacci´ on de neutrinos mu´ onicos con deuterio e hidr´ ogeno, persiguiendo el mismo objetivo de ampliar conocimientos sobre la parte axial de la estructura interna hadr´ onica. Esta vez, se realiz´ o un barrido de energ´ ıa de los neutrinos en un rango de valores hasta εν=6 GeV. Los resultados de la figura 22 muestran que el valor MA=0.95 GeV es coherente a energ´ ıas bajas con los datos obtenidos. Adem´ as, a partir de los 2 GeV las medidas se alejan respecto de la expresi´ on te´ orica asumiendo dispersi´ on cuasiel´ astica. El an´ alisis de los datos experimentales permiti´ o determinar un valor de MA=0,95 ±0,09 GeV. Respecto al procedimiento experimental, se utiliz´ o un haz de protones que colisionaba con ´ atomos de berilio para producir piones que deca´ ıan posteriormente en neutrinos, tal y como suced´ ıa con su predecesor. Sin embargo, el filtro de las fotograf´ ıas fue m´ as estricto para delimitar la cantidad 59 Figura 22: Ajuste de datos ANL77 de la secci´on eficaz σfrente εν[33]. N´otese que 10−38 cm2= 10−12 fm2. de detecciones v´ alidas y precisas para el proceso. En ese sentido, analizaron todos los registros al menos dos veces e iban modificando esta depuraci´ on conforme iban obteniendo resultados en cada tanda de medidas. Gargamelle Freon Experiment 1977 [35] En este estudio, se analiz´ o el proceso de dispersi´ on cuasiel´ astica de neutrinos mu´ onicos con n´ ucleos m´ as pesados respecto a experimentos anteriores, concretamente n´ ucleos de CF3Br en un rango de cuadrimomento transferido 0,3 GeV ≤Q2≤1 GeV. En esta ocasi´ on, se emple´ o un recubrimiento adicional de la c´ amara de burbujas para reducir la contaminaci´ on de fondo tanto de la interacci´ on de rayos c´ osmicos como del haz de protones. Otro aspecto importante a remarcar es que se hac´ ıa uso de flujos de antineutrinos debido a que 60 se empleaban kaones que decaen en piones negativos y estos a su vez generaban antineutrinos: K+−→ π++π++π−,(C.3) π−−→ µ−+¯νµ.(C.4) Por ´ ultimo, se usaron simulaciones previas de las detecciones con m´ etodos MonteCarlo, modelando los n´ ucleos como un Gas de Fermi para para comprobar que efectivamente aproximar´ ıan los datos obtenidos al comportamiento esperado. Gargamelle Experiment 1979 [36] En 1979 se propuso este estudio con una doble finalidad: medir la secci´ on eficaz diferencial simple en procesos (C.1) frente a Q2y estimar un valor m´ as preciso de la masa axial MA. Al igual que su antecesor, se emple´ o un l´ ıquido compuesto por n´ ucleos m´ as pesados que el deuterio, siendo esta vez un blanco de C3H8. Haciendo un an´ alisis de la secci´ on eficaz y de la diferencial simple respecto a Q2, se obtuvieron los siguientes valores de MAseg´ un la magnitud considerada: MA(σ)=0,87 ±0,22 GeV,MA dσ dQ2!=0,99 ±0,12 GeV,(C.5) por lo que acab´ o corroborando las conclusiones de otros experimentos y resultados te´ oricos anteriores. Brookhaven National Laboratory 1981 [34] En este estudio realizado en el Brookhaven National Laboratory (BNL, New York) se analiz´ o experimentalmente la dispersi´ on entre neutrinos mu´ onicos y deuterio en un rango de 0.06 GeV≤ Q2≤3 GeV con un promedio de energ´ ıa incidente de εν=1.6 GeV. Ten´ ıa por objetivo el mismo que 61 a) σfrente εν(MA=0,87 GeV). b) dσ dQ2frente Q2(MA). Figura 23: Comparaci´on de datos experimentales del Gargamelle Freon Experiment en 1977 [35] con curvas te´oricas que se corresponden con distintos valores de la masa axial. los experimentos anteriores: precisar un valor de la masa axial MAasumiendo una parametrizaci´ on dipolar en el factor de forma axial GA. Se fotografiaron la interacci´ on de neutrinos mu´ onicos con deuterio hasta conseguir un total de 106detecciones, de las cuales a trav´ es de un filtro muy exigente29 1500 fueron consideradas procedentes de procesos neutrino-deuterio. De esta manera, se muestra en la figura 24 el ajuste te´ orico a datos experimentales seg´ un el valor de la masa axial y as´ ı concluir con el resultado MA=1,07 ±0,06 GeV. Finalmente, se recoge en la figura 25 una recopilaci´ on de valores obtenidos para la masa axial a lo largo de distintos experimentos realizados en el siglo XX para observar la evoluci´ on que ha tenido la determinaci´ on de esta magnitud. Se incluyen los resultados de algunos de los estudios descritos anteriormente. 29Algunos de los requisitos fueron que el m´ odulo del vector momento visible deber´ ıa ser mayor de 150 MeV o que el ´ angulo entre el haz de neutrinos y el vector momento visible deber´ ıa ser inferior a 50º. Para m´ as informaci´ on sobre este filtro de detecciones, se detalla en profundida en la primera y segunda p´ agina del art´ ıculo [34]. 62 Figura 24: Ajuste de datos BNL81 del n´umero de detecciones frente a Q2para distintas distribuciones dependientes de MA[34]. Se aprecia que el mejor ajuste se tiene con MA=1,07 GeV Figura 25: Valores experimentales obtenidos de la masa axial MAen GeV en distintos estudios [34]. 63 Referencias [1] David Griffiths. 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