Estudio de la unión adhesiva fibra de carbono – aluminio en secciones tubulares

i Equation Chapter 1 Section 1 Trabajo Fin de Grado Grado en Ingeniería de las Tecnologías Industriales Estudio de la unión adhesiva fibra de carbono – aluminio en secciones tubulares. Autor: Javier Muñiz Anarte Tutor: Luis Távara Mendoza Jesús Justo Estebaranz Dep. de Mecánica de Medios Continuos y Teoría de Estructuras Escuela Técnica Superior de Ingeniería Sevilla, 2016 iii Trabajo Fin de Grado Grado en Ingeniería de las Tecnologías Industriales Estudio de la unión adhesiva fibra de carbono – aluminio en secciones tubulares. Autor: Javier Muñiz Anarte Tutor: Luis Távara Mendoza Profesor Contratado Doctor Jesús Justo Estebaranz Profesor Ayudante Doctor Dep. de Mecánica de Medios Continuos y Teoría de Estructuras Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2016 v Trabajo Fin de Grado: Estudio de la unión adhesiva fibra de carbono – aluminio en secciones tubulares. Autor: Javier Muñiz Anarte Tutor: Luis Távara Mendoza Jesús Justo Estebaranz El tribunal nombrado para juzgar el Trabajo arriba indicado, compuesto por los siguientes miembros: Presidente: Vocales: Secretario: Acuerdan otorgarle la calificación de: Sevilla, 2016 El Secretario del Tribunal vii A mi padre, mi ídolo desde que tengo uso de razón y culpable de cuanto soy. ix Agradecimientos Dice el sabio refrán, que “es de bien nacido, ser agradecido”, y el presente proyecto no se podría haber llevado a cabo sin la ayuda de muchísimas personas. Personalmente considero el Trabajo Fin de Grado como el culmen del grado que estudiamos, por lo que como toda gran obra no puede ser hecha por una persona. Por ello, me dispongo a expresarles mi más sincera gratitud a las siguientes personas: A mi tutor, Luis Távara, no solamente por su interés, ayuda y sus sabios consejos para enfocar el proyecto, sino también por escucharme en todo momento y confiar en mi palabra. A mi otro tutor, Jesús Justo, por la ayuda prestada y la confianza depositada en mí para los ensayos experimentales del proyecto. Al ARUS Andalucía Racing Team, y en especial a mi jefe del departamento de suspensión Miguel Ángel Gilabert, por darme la oportunidad de iniciarme en el mundo de los materiales compuestos y confiar en mí para realizar este estudio para el equipo. Espero que en el futuro este estudio sea de aplicación y así poder seguir avanzando y cumpliendo metas. A Alejandro Estefani, por la ayuda prestada en el modelado en Abaqus del problema, y por su implicación e interés en el proyecto. A Enrique Romero, cofundador de Racormance, empresa que se ha prestado para hacer la fabricación de los tubos de fibra de carbono para los ensayos experimentales, por sus datos, interés y ayuda prestadas. A Ángel Hernández, Director Técnico de Resilux Ibérica Packaging, por las facilidades dadas para hacer los ensayos del proyecto en mi periodo de prácticas en dicha empresa. Por último, pero no menos importante, a mi familia y amigos, tanto de aquí como de allí, por haber sido el empujón que me obligaba a seguir hacia adelante en los momentos que uno no encuentra respuestas. Y son en esos momentos en los que ellos te hacen ver que la vida son más cosas. A todos, gracias de verdad. Javier Muñiz Anarte. Estudiante del Grado en Ingeniería de las Tecnologías Industriales. Sevilla, 2016 5.2.5 Gráfica de la degradación del elemento cohesivo del Al................................................................ 32 5.3 Modelo M2. ................................................................................................................................................ 33 5.3.1 Gráfica fuerza de reacción – desplazamiento. ................................................................................. 33 5.3.2 Gráfica σ22 a lo largo de la superficie. .............................................................................................. 33 5.3.3 Gráfica σ12 a lo largo de la superficie. .............................................................................................. 34 5.3.4 Gráfica de la degradación del elemento cohesivo del C. ................................................................ 35 5.3.5 Gráfica de la degradación del elemento cohesivo del Al................................................................ 35 5.4 Modelo M3. ................................................................................................................................................ 36 5.4.1 Gráfica fuerza de reacción – desplazamiento. ................................................................................. 36 5.4.2 Gráfica σ22 a lo largo de la superficie. .............................................................................................. 36 5.4.3 Gráfica σ12 a lo largo de la superficie. .............................................................................................. 37 5.4.4 Gráfica de la degradación del elemento cohesivo del C. ................................................................ 38 5.4.5 Gráfica de la degradación del elemento cohesivo del Al................................................................ 38 6 Ensayos experimentales. ................................................................................................................................ 39 6.1 Procedimiento............................................................................................................................................ 39 6.1.1 Ensayo tubos de carbono. ................................................................................................................. 39 6.1.2 Probeta de aluminio. .......................................................................................................................... 40 6.2 Ensayos. ..................................................................................................................................................... 42 6.2.1 Unión carbono-carbono. ................................................................................................................... 42 6.2.2 Unión aluminio-aluminio. ................................................................................................................. 44 7 Correlación numérico-experimental. ........................................................................................................... 47 7.1 Propiedades extraídas de la correlación. ................................................................................................ 47 7.2 Resultados del Modelo M4. ...................................................................................................................... 48 7.2.1 Gráfica fuerza de reacción – desplazamiento. ................................................................................. 48 7.2.2 Gráfica σ22 a lo largo de la superficie. .............................................................................................. 48 7.2.3 Gráfica σ12 a lo largo de la superficie. .............................................................................................. 49 7.2.4 Gráfica de la degradación del elemento cohesivo del C. ................................................................ 49 7.2.5 Gráfica de la degradación del elemento cohesivo del Al................................................................ 50 8 Conclusiones y trabajo futuro. ...................................................................................................................... 51 8.1 Conclusiones. ............................................................................................................................................. 51 8.2 Trabajo futuro. .......................................................................................................................................... 52 9 Bibliografía. ...................................................................................................................................................... 53 10 Anexos ........................................................................................................................................................... 55 10.1 Anexo I: hoja técnica del adhesivo Permabond ES5681. ....................................................................... 55 10.2 Anexo II: código de Matlab para la obtención de las propiedades de la fibra de carbono. ............... 57 xvii ÍNDICE DE TABLAS Tabla 1. Propiedades del aluminio. 12 Tabla 2. Propiedades del adhesivo. 12 Tabla 3. Características elásticas del cohesivo del aluminio. 13 Tabla 4. Características de máxima tensión para el cohesivo del aluminio. 13 Tabla 5. Características de evolución del daño del cohesivo del aluminio. 13 Tabla 6. Características elásticas del cohesivo de la fibra de carbono. 14 Tabla 7. Características de máxima tensión en el cohesivo de la fibra de carbono. 14 Tabla 8. Características de la evolución del daño en el cohesivo de la fibra de carbono. 14 Tabla 9. Configuración del paso de carga. 16 Tabla 10. Datos geométricos del ensayo de pegado sobre fibra de carbono. 43 Tabla 11. Datos geométricos del ensayo sobre probetas de aluminio. 46 Tabla 12. Propiedades corregidas del cohesivo del aluminio. 47 Tabla 13. Propiedades corregidas del cohesivo de la fibra de carbono. 47 xix ÍNDICE DE FIGURAS Figura 1. ARUS Andalucía Racing Team. 1 Figura 2. SAE International. 2 Figura 3. ART-15 en la Formula Student Spain. 2 Figura 4. Horquilla de Fibra de Carbono con pieza de Aluminio. 3 Figura 5. Caña de fibra de carbono y aluminio. 3 Figura 6. Palo de Golf. 4 Figura 7. Capó en fibra de carbono. 4 Figura 8. Comportamiento de la grieta basada en la energía de rotura. 5 Figura 9. Detalle del mallado del problema. 6 Figura 10. ART-16 en la Formula Student Germany. 7 Figura 11. Sección del problema. 7 Figura 12. Aluminio 7075. 8 Figura 13. Adhesivo Epoxi Permabond ES5681. 9 Figura 14. Tubos de fibra de carbono. 10 Figura 15. Esquema y medidas del modelo. 12 Figura 16. División de las capas de fibra de carbono dentro de Abaqus. 15 Figura 17. Ensamblado del conjunto modelado. 15 Figura 18. Vista detallada del ensamblaje. 16 Figura 19. Esquema de los contactos reales. 17 Figura 20. Esquema de los contactos propios. 18 Figura 21. Esquema del punto MPC. 19 Figura 22. Esquema de las restricciones de tipo tie utilizadas. 19 Figura 23. Configuración de las cargas en el modelo. 20 Figura 24. Ejemplo de mallado del insert de aluminio. 21 Figura 25. Mallado de los elementos cohesivos. 22 Figura 26. Mallado de la fibra de carbono. 22 Figura 27. Mallado del adhesivo. 23 Figura 28. Materiales presentes en el Modelo M1. 24 Figura 29. Materiales presentes en el Modelo M2. 24 Figura 30. Vista en perspectiva del inserto triangular. 25 Figura 31. Vista lateral del inserto triangular. 25 Figura 32 Situación de maeriales y geométrica en el modelo M3. 26 Figura 33. Longitud de pegado de los tubos. 39 Figura 34. Tubos con el limpiador de Loctite SF 7063. 40 Figura 35. Tubos pegados con el adhesivo Permabond ES5681 40 Figura 36. Probetas de aluminio. 41 Figura 37. Las dos probetas a pegar con el limpiador Loctite SF 70993 y el adhesivo ES5681. 41 Figura 38. Maquina del departamento donde se hizo el ensayo. 42 Figura 39. Estado de unas de las parejas de tubos después del ensayo. 44 Figura 40. Ensayo de las probetas de aluminio en la máquina del departamento. 45 xxi Notación MPa Megapascal mm Milímetro km N Kilómetro Newton. 1 1 INTRODUCCIÓN l estudio de las uniones adhesivas entre la fibra de carbono y el aluminio nace de la necesidad de buscar el empleo de los materiales más ligeros y resistentes posibles en la ingeniería. Como veremos más adelante, dicha unión está presente en muchos aspectos de la industria y del mundo de la ingeniería de competición, donde dicha búsqueda es aún más importante. Desde el equipo ARUS Andalucía Racing Team de la Universidad de Sevilla (figura 1), perteneciente a la Formula SAE, se tiene como uno de los múltiples objetivos a desarrollar para el ART-16 y posteriores versiones, el reducir el peso del monoplaza, por lo que una opción para cumplir dicho objetivo es pasar de una suspensión de acero a una de fibra de carbono. Para ello, se propuso estudiar en el departamento de suspensión del equipo dos proyectos: por una parte, el desarrollo de una herramienta para el cálculo de los tubos de carbono (proyecto llevado aparte por compañeros del departamento de suspensión del equipo con el presente departamento) y por otra, el presente proyecto que trata la unión adhesiva entre dichos tubos y las piezas de aluminio que se colocarían al final de los mismos. Figura 1. ARUS Andalucía Racing Team. 1.1 Fórmula SAE. La Fórmula SAE [1] es una competición de diseño de monoplazas de competición de corte universitario, organizada por la SAE International 1 (figura 2). Dicha competición se basa en el concepto de que una factoría contrata a un equipo de diseño estudiantil para desarrollar un pequeño monoplaza de estilo Fórmula. Cada equipo debe de diseñar, construir y probar el prototipo basado en una serie de reglas cuyo doble propósito es certificar la seguridad del mismo en pista y promover soluciones inteligentes a los distintos problemas que se puedan plantear. 1 Society of Automotive Engineers. E Introducción 2 2 Figura 2. SAE International 2 . Los prototipos (figura 3) son juzgados en diferentes eventos, clasificados en estáticos y dinámicos. Sin embargo, no todos los coches pueden acceder a los elementos dinámicos, ya que antes el monoplaza debe de pasar la Inspección Técnica. En dicha inspección es donde se presentan la mayoría de problemas, ya que los jueces revisan exhaustivamente el monoplaza, para certificar que cumpla con la normativa vigente. Además, en esta inspección se pasan pruebas tales como la capacidad de frenado (el monoplaza debe de ser capaz de bloquear las 4 ruedas), el nivel de ruido provocado por el coche o la prueba anti-vuelco, donde se vuelca lateralmente el monoplaza a 60º y se revisa que no caiga ningún elemento líquido ni sólido del mismo. Figura 3. ART-15 en la Formula Student Spain. En los elementos estáticos podemos encontrar pruebas como el Cost Report, que consiste en un desglose del coste de todo el monoplaza entero hasta la última tuerca, o el Business Plan, donde se debe de mostrar un plan de negocio y una distribución en una planta industrial para la fabricación del mismo en serie. Estos elementos se producen con el coche parado, por lo que el mismo no entra en juego en esta categoría. Sin embargo, los elementos dinámicos son donde el monoplaza juega el papel principal. En esta categoría podemos encontrar 4 pruebas tales como el skidpad (una serie de “ochos” donde se evalúa el paso por curva del monoplaza), el acceleration (donde se mide la aceleración pura y la tracción del coche), el autocross (lo que se podría asemejar a la clasificación en un GP al uso) y la endurance, donde se evalúa la resistencia y fiabilidad del monoplaza al tener que recorrer una distancia de 22 km. 2 http://www.zds.com.co/wp-content/uploads/2015/01/Screen-Shot-2015-02-04-at-4.46.13-p.m..png 3 1.2 Unión fibra de carbono – aluminio: ¿dónde se usa? La unión entre la fibra de carbono (en sus múltiples formas, tanto laminada como en forma tubular) y el aluminio está presente en muchos aspectos de la ingeniería, desde la fabricación de bicicletas hasta palos de golf, y fundamentalmente en la aeronáutica. Por ello, vamos a pasar a enumerar varios casos en la ingeniería donde estos dos materiales son usados conjuntamente, aunque la explicación de dichos usos sean siempre los mismos: la ligereza y resistencia de la fibra de carbono, y la ligereza y la capacidad de mecanizado del aluminio.  En ciclismo (figura 4), esta unión está presente entre la pieza que soporta el buje de las ruedas y los tubos de fibra de carbono que componen el cuadro de dicha bicicleta. Con ello se consiguen dos objetivos: utilizar la resistencia y la ligereza de la fibra de carbono en el cuadro de la bicicleta y así aligerar el conjunto sin perder resistencia estructural del mismo, y utilizar las propiedades mecánicas del aluminio como elemento de unión con el resto del eje. Figura 4. Horquilla de Fibra de Carbono con pieza de Aluminio. 3  En la pesca (figura 5) también se utiliza este dúo de materiales. Al igual que en el cuadro de la bicicleta, la fibra de carbono aporta la resistencia y sobretodo la ligereza (se han llegado a fabricar cañas de apenas 100 gramos, pesando sólo los tubos) y el aluminio es el elemento con el que se unen el resto de componentes de la caña, escogido también por su ligereza. Figura 5. Caña de fibra de carbono y aluminio 4 . 3 http://cicloslauniversal.com/wp-content/uploads/2015/01/Horquilla-Columbus-Straight-Destacada.jpg 4 http://kechollazo.com/wp-content/uploads/2015/05/chollo-ca%C3%B1a-de-pescar-fibra-de-carbono-1.jpg Definición del problema. 10 10 Figura 14. Tubos de fibra de carbono 10 . En nuestro caso, la fabricación de los tubos de carbono ensayados ha sido hecha por la empresa Racormance. La fibra utilizada ha sido la Tenax-J UMS45, caracterizada como fibra de carbono de alto módulo, con la resina de curado a temperatura ambiente Epolam 2017. Esta combinación tiene las siguientes propiedades:  E11 = 228,41 GPa.  E22 = 6,283 GPa.  ν12 = 0,3.  G12 = 5,6 GPa.  G12 = G23 = 5,6 GPa.  Densidad del compuesto: 1,504 g/cm3 Todos estos datos, tanto de la fibra de carbono, como del adhesivo y el aluminio ha sido utilizados en el modelo numérico, que se describe a continuación. 10 http://cdn5.andro4all.com/wp-content/blogs.dir/28/files/2013/06/fibra-de-carbono.jpg 11 4 MODELO NUMÉRICO. ara el modelado numérico de este proyecto, se ha utilizado el programa comercial Abaqus, en su versión 12. Dicho programa se basa en los elementos finitos para el cálculo no sólo de elementos mecánicos, sino también para el cálculo de problemas con distribuciones de temperatura, de presiones, cálculos electromagnéticos, … En el planteamiento de este proyecto, se buscó el poder hacer un modelo base, llamado modelo M0. En él, se modela la situación real del conjunto. Los demás modelos (M1, M2 y M3), son ligeras variaciones de éste, teniendo en los dos primeros una variante en la asignación de los materiales, y teniendo en el tercero una pequeña variante en cuanto a geometría. Por ello, procederemos a explicar detalladamente cómo se ha hecho el modelado del M0, y en los siguientes se indicarán los cambios realizados. Todas las medidas estarán en mm, y las tensiones y propiedades en MPa. También partimos de la hipótesis que dice que entre los cohesivos y los parts a los que están asignados hay una adhesión perfecta. La comprobación de esta hipótesis y la búsqueda de unos valores más precisos que caractericen las dos uniones que se producen en el modelo motivan los ensayos experimentales que se detallan en el presente proyecto. 4.1 Modelo numérico base: M0. Este modelo y los siguientes, se basan en el concepto del modelo axisimétrico. Como lo que estamos modelando es un tubo, utilizando el modelo axisimétrico nos ahorramos modelar todo el tubo entero, y lo hacemos solo de una de las partes simétricas. Además, como ya se ha comentado, en este modelo no modelaremos la parte que tiene en cuenta a la rótula alojada en la pieza de aluminio. Aquí solo nos interesará la interacción carbonoaluminio. El modelado de los distintos elementos se hará siguiendo la propia división que tiene Abaqus. 4.1.1 Módulo Part. En el módulo part se modelan los sólidos a analizar en el modelo de elementos finitos. En este caso, todos los elementos utilizados son axisimétricos y deformables. El elemento cohesivo se utiliza para modelar la adhesión del adhesivo a los dos materiales a los que une, por lo que tenemos dos elementos cohesivos absolutamente iguales. Las medidas utilizadas son las siguientes (figura 15): P Modelo numérico. 12 12 Figura 15. Esquema y medidas del modelo. 4.1.2 Módulo Property. En el módulo property le asignamos a cada part su material y su sección. A priori, según vemos el esquema del análisis, tenemos 3 elementos elástico lineales y dos elementos cohesivos. Sin embargo, por la configuración del conjunto, y al ser un problema axisimétrico, en el part que modela la fibra de carbono debemos de hacer un estudio aparte para luego incluirlo en el modelo. Así pues: 4.1.2.1 Aluminio. El aluminio se modela como un material elástico lineal con sección de sólido homogéneo, con las siguientes propiedades: Tabla 1. Propiedades del aluminio. Módulo de Young Coeficiente de Poisson 72000 MPa 0,3 4.1.2.2 Adhesivo. La parte perteneciente al adhesivo se modela como un material elástico lineal con sección sólida homogénea con las siguientes propiedades, consultadas en la hoja técnica (Anexo 1) y la marca del adhesivo: Tabla 2. Propiedades del adhesivo. Módulo de Young Coeficiente de Poisson 2757 MPa 0,38 13 4.1.2.3 Cohesivo del Al. El cohesivo del Aluminio es la parte que modela la adhesión entre el adhesivo y el aluminio. Para definir este material y su homólogo del carbono debemos de establecer tres características y sus propiedades correspondientes. Además, a este part y el otro cohesivo hay que asignarles una sección cohesiva, para que el programa a la hora de mallar y de mostrar resultados tenga en cuenta el crecimiento de la grieta. Primeramente, definimos la parte elástica, pero de tipo tracción: Tabla 3. Características elásticas del cohesivo del aluminio. E/Knn G1/Kss G2/Ktt 300000 600000 600000 Ahora debemos definir los criterios de rotura. En este caso escogemos el de máxima tensión, definido por los siguientes parámetros: Tabla 4. Características de máxima tensión para el cohesivo del aluminio. Tensión nominal Modo I Tensión nominal primera dirección tangencial Tensión nominal segunda dirección tangencial 16,33 32,66 32,66 Por último, para poder seguir la evolución de la grieta en el elemento cohesivo, y saber así cuando se despega, debemos incluir las características de la evolución del daño. Dichas propiedades son:  Tipo: Energía.  Ablandamiento: Lineal.  Degradación: Máxima.  Comportamiento en modo mixto: BK.  Ratio modo mixto: energía.  Coeficiente BK: 2.284.  Valores energéticos (definidos en J/mm2): Tabla 5. Características de evolución del daño del cohesivo del aluminio. Energía normal de fractura Energía de fractura a cortante en la primera dirección tangencial. Energía de fractura a cortante en la segunda dirección tangencial. 0,75 1,5 1,5 4.1.2.4 Cohesivo de la Fibra de carbono. El cohesivo de la fibra de carbono es exactamente igual al del aluminio (incluyendo la sección de tipo cohesivo), aunque obviamente cambian sus propiedades. Dichas propiedades son: Modelo numérico. 14 14 Tabla 6. Características elásticas del cohesivo de la fibra de carbono 11 . E/Knn G1/Kss G2/Ktt 300000 600000 600000 Tabla 7. Características de máxima tensión en el cohesivo de la fibra de carbono. Tensión nominal Modo I Tensión nominal primera dirección tangencial Tensión nominal segunda dirección tangencial 2,5 5 5 Por último, procedemos a definir los parámetros de evolución del daño, como se ha hecho anteriormente:  Tipo: Energía.  Ablandamiento: Lineal.  Degradación: Máxima.  Comportamiento en modo mixto: BK.  Ratio modo mixto: energía.  Coeficiente BK: 2.284.  Valores energéticos (definidos en J/mm2): Tabla 8. Características de la evolución del daño en el cohesivo de la fibra de carbono. Energía normal de fractura Energía de fractura a cortante en la primera dirección tangencial. Energía de fractura a cortante en la segunda dirección tangencial. 0,75 1,5 1,5 4.1.2.5 Fibra de carbono. El modelado de la fibra de carbono (figura 16) en este proyecto no ha sido algo trivial. Tanto en el modelado 2D como el axisimétrico, Abaqus entiende que la dirección de apilado de las capas de fibra de carbono es la perpendicular al plano de dibujo. Sin embargo, en nuestro modelo, la secuencia de apilado sigue una normal que está dentro del plano de dibujo, por lo que no podemos utilizar las herramientas para material compuesto que trae el programa. Como solución a dicho problema, ideamos el caracterizar nuestro material de fibra de carbono como anisótropo y dividirlo en dos, para así tener las capas a ±20º. Posteriormente, dentro del mismo part, creamos geométricamente 10 franjas iguales, donde aplicamos alternativamente los dos materiales, para así crear las 10 capas de las que dispone el tubo real de fibra de carbono. El código de obtención se puede consultar en el anexo 2, donde además se ha utilizado la teoría del laminado explicada en el libro de los profesores de este departamento [5]. 11 Como podemos observar, coincide con el valor equivalente en el aluminio. 15 Figura 16. División de las capas de fibra de carbono dentro de Abaqus. Para definir nuestro material como anisótropo, partimos de las propiedades de la fibra + resina proporcionadas por la empresa Racormance. Todo el procedimiento está en el anexo 2 (hecho en un código de Matlab), sin embargo, sí se quiere explicar que dentro de este part tenemos dos secciones, una asignada a cada parte: las franjas de color rojo son a las que se les ha asignado las propiedades de la fibra a 20º de orientación, mientras que a las de color azul son las que están a -20º. Dichas secciones son sólidas y homogéneas. Por último, tenemos que destacar que, para el correcto modelado de las propiedades de las láminas, se les ha asignado un sistema coordenado cilíndrico para que así funcionen en el modelo axisimétrico. 4.1.3 Módulo Assembly. En el módulo assembly lo único que se hace es situar geométricamente los diferentes parts dentro del modelo, pero no se establecen relaciones entre ellos. De esta manera, la situación que queda es la mostrada en la figura 17: Figura 17. Ensamblado del conjunto modelado. En la figura 18, donde tenemos una vista más aumentada y detallada del ensamblaje, se ven, de abajo a arriba los siguientes parts: aluminio, cohesivo del aluminio, adhesivo, cohesivo del carbono y fibra de carbono. Modelo numérico. 16 16 Figura 18. Vista detallada del ensamblaje. 4.1.4 Módulo Step. En el módulo step se configura el paso de carga. Es importante configurar un paso que permita la correcta resolución del problema, pero también que ahorre el máximo coste computacional posible. Sin embargo, la anterior propuesta es una de las tantas estrategias que hay a la hora de configurar el step. La estrategia seguida finalmente en el proyecto ha sido la de aumentar los puntos de cálculo (por eso se ha limitado el paso a 0.01) a base de subir el coste computacional del cálculo. El step que se ha configurado en este proyecto, y que ha funcionado correctamente de acuerdo a lo que se requería es el siguiente: Inicial Mínimo Máximo 0.001 1E-005 0.01 Tabla 9. Configuración del paso de carga. En la pestaña “Otros” se le ha puesto que el almacenamiento en la matriz sea no-simétrico. Al poner unos pasos de carga tan pequeños, se le ha puesto como número máximo de pasos posibles 1000000, para que así tenga posibilidades de cálculo de sobra. Por último, para que Abaqus nos pueda mostrar la degradación de los elementos cohesivos, se le ha pedido que nos muestre la variable “maxscrt”, que simboliza la iniciación de grieta según el criterio de máxima tensión. Esta variable sólo es mostrada en ambos elementos cohesivos, que son los que se pueden degradar. 4.1.5 Módulo Interaction. El módulo interaction es uno de los más importantes a la hora de hacer este modelo, pues tenemos muchos sólidos en contacto, y es muy importante a la hora de obtener unos resultados fiables el que todos los sólidos estén correctamente relacionados. Definimos dos categorías de interacciones, las referidas a los contactos en sí, y las que están referidas a las restricciones. Los contactos son contactos físicos que se producirían en la realidad y las restricciones están asociadas a la plena adhesión entre los cohesivos y el aluminio/fibra de carbono y los cohesivos y el part adhesivo intermedio que modela la elasticidad del adhesivo. También se modela como una 17 restricción (en este caso de tipo cinemático) al MPC que se utiliza para sólo tener que aplicar un desplazamiento en el punto MPC y que éste se transmita al part fibra de carbono emulando así el desplazamiento del tubo al intentar despegarse. 4.1.5.1 Contactos. Dentro de la categoría de las interacciones por contacto podemos establecer otras dos sub-categorías: los contactos reales y los contactos propios entre los sólidos. Definimos como contacto real el contacto entre, por ejemplo, el adhesivo y la parte del aluminio que se pone de “tope” para que el adhesivo no salga hacia afuera del tubo. Si no se definiera un contacto entre esas superficies, el problema no entendería que ahí hay una limitación física y podría darse el caso de una interpenetración entre ambas superficies. Por otro lado, defino como contacto propio el hecho de que un sólido no puede interpenetrarse a sí mismo. Si tomamos como ejemplo uno de los dos cohesivos, ese part podrá deformarse de múltiples maneras, pero lo que no puede hacer es “desdoblarse”, esto es, si tiene forma rectangular, el lado de la derecha debe de permanecer siempre en la derecha, aunque la variación de la superficie del cohesivo sea negativa o positiva. Para poder modelar ambos contactos, es necesario establecer qué tipo de contacto tenemos. En este modelo se ha optado por un contacto de tipo normal, que ha sido aplicado a todos los contactos. Los contactos que se han modelado del tipo contacto real han sido los siguientes, figura 19: 1. Cohesivo Al con el tope de aluminio. 2. Cohesivo FC con el tope de aluminio. 3. Adhesivo con el tope de aluminio. 4. Part aluminio con el part fibra de carbono, para impedir que se interpenetren. Figura 19. Esquema de los contactos reales. Modelo numérico. 18 18 Por la otra parte, los contactos que se han modelado como contacto propio son los dos lados longitudinales de ambos cohesivos. De forma esquemática, figura 20: 1. Cohesivo Al. 2. Cohesivo FC. Figura 20. Esquema de los contactos propios. 4.1.5.2 Restricciones. En las restricciones también encontramos dos tipos de ellas: el MPC y los tie. Con el MPC lo que queremos es que el desplazamiento o la carga que se aplique en un punto se traslade a la superficie esclava. Así, podemos utilizarlo para poner sólo un desplazamiento en ese punto y no tener que asignarlo a toda la superficie. Con los de tipo tie, lo que hacemos es forzar una adhesión perfecta entre varios parts, es decir, vinculamos los modos del mallado de esas superficies para que no se puedan separar. El MPC aplicado puede verse en la figura 21. Relaciona el punto fuera del part fibra de carbono con la superficie superior, simulando el desplazamiento que ocurriría si el tubo se despegase. Esta es la condición de contorno que origina las cargas en nuestro modelo. 19 Figura 21. Esquema del punto MPC. Con los tie forzamos una perfecta adhesión entre el cohesivo y el elemento a pegar (hipótesis en la que se basa el presente modelo de elementos finitos y sus distintas variantes). También forzamos una cohesión perfecta entre los cohesivos y el adhesivo, ya que en la realidad forman parte del mismo sólido, que es el pegamento aplicado. Los tie que están aplicados en este modelo son los siguientes, figura 22: 1. Entre el Al y el cohesivo Al. 2. Entre el cohesivo Al y el adhesivo. 3. Entre la fibra de carbono y el cohesivo FC. 4. Entre el cohesivo FC y el adhesivo. Figura 22. Esquema de las restricciones de tipo tie utilizadas. Modelo numérico. 26 26 Figura 32 Situación de maeriales y geométrica en el modelo M3. 27 5 RESULTADOS DE LOS MODELOS NUMÉRICOS. na vez modelados y simulados los 4 modelos numéricos, se va a proceder a mostrar los resultados de los mismos. Para ello, se ha creído conveniente mostrar una gráfica de fuerza en las reacciones frente al desplazamiento aplicado en el punto MPC, y cuatro gráficas basadas en los nodos que corresponden a los elementos cohesivos utilizados: dos con el estado del mismo cohesivo (el porcentaje en tanto por uno de degradación) en la superficie correspondiente al aluminio y otra a la fibra de carbono y otras dos con σ22 y σ12 en dichas superficies. 5.1 Modelo M0. Los resultados obtenidos en el modelo M0 (modelo base) han sido los siguientes: 5.1.1 Gráfica fuerza de reacción – desplazamiento. En esta gráfica se relaciona la fuerza de reacción obtenida en el punto MPC junto a su desplazamiento. 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,012 Reacción en el punto MPC [N] Desplazamiento [mm] RF2 U Resultados de los modelos numéricos. 28 28 5.1.2 Gráfica σ22 a lo largo de la superficie. En esta gráfica se puede observar la evolución de σ22 a lo largo de la superficie de los elementos cohesivos, en el momento de la rotura del adhesivo. 5.1.3 Gráfica σ12 a lo largo de la superficie. En esta gráfica se puede observar la evolución de σ12 a lo largo de la superficie de los elementos cohesivos, en el momento de la rotura del adhesivo. -15 -10 -5 0 5 10 15 0 5 10 15 20 25 30 Tensión en la superficie cohesiva [MPa] Lontitud del inserto [mm] Tensión σ22 en las superficies cohesivas. C Al 0 1 2 3 4 5 6 7 0 5 10 15 20 25 30 Tensión en la superficie cohesiva [MPa] Lontitud del inserto [mm] Tensión σ12 en las superficies cohesivas. C Al 29 5.1.4 Gráfica de la degradación del elemento cohesivo del C. Degradación del elemento cohesivo asociado a la fibra de carbono a lo largo de la superficie de unión, en distintos estados de carga. 5.1.5 Gráfica de la degradación del elemento cohesivo del Al. Degradación del elemento cohesivo asociado al aluminio a lo largo de la superficie de unión, en distintos estados de carga. 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 0 5 10 15 20 25 30 Degradación Longitud del inserto [mm] Degradación del cohesivo en el C 20% 40% 60% 80% 100% 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 0 5 10 15 20 25 30 Degradación Longitud del inserto [mm] Degradación del cohesivo en el Al 20% 40% 60% 80% 100% Resultados de los modelos numéricos. 30 30 5.2 Modelo M1. Los resultados obtenidos en el modelo M1 (con ambos cohesivos con las propiedades de adhesión al aluminio) han sido los siguientes: 5.2.1 Gráfica fuerza de reacción – desplazamiento. En esta gráfica se relaciona la fuerza de reacción obtenida en el punto MPC junto a su desplazamiento. Al tener ambos elementos cohesivos las propiedades de la adhesión del aluminio, la fuerza de reacción final en la rotura es mucho mayor, y el desplazamiento que ha admitido la unión también. 5.2.2 Gráfica σ22 a lo largo de la superficie. En esta gráfica se puede observar la evolución de σ22 a lo largo de la superficie de los elementos cohesivos, en el momento de la rotura del adhesivo. 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,012 0,014 0,016 Reacción en el punto MPC [N] Desplazamiento [mm] RF2 31 5.2.3 Gráfica σ12 a lo largo de la superficie. En esta gráfica se puede observar la evolución de σ12 a lo largo de la superficie de los elementos cohesivos, en el momento de la rotura del adhesivo. 5.2.4 Gráfica de la degradación del elemento cohesivo del C. Degradación del elemento cohesivo asociado a la fibra de carbono a lo largo de la superficie de unión, en distintos estados de carga. -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 0 5 10 15 20 25 30 Tensión en la superficie cohesiva [MPa] Lontitud del inserto [mm] Tensión σ22 en las superficies cohesivas. C Al -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 0 5 10 15 20 25 30 Tensión en la superficie cohesiva [MPa] Lontitud del inserto [mm] Tensión σ12 en las superficies cohesivas. C Al Resultados de los modelos numéricos. 32 32 5.2.5 Gráfica de la degradación del elemento cohesivo del Al. Degradación del elemento cohesivo asociado al aluminio a lo largo de la superficie de unión, en distintos estados de carga. 33 5.3 Modelo M2. Los resultados obtenidos en el modelo M2 (con las propiedades de los elementos cohesivos cambiadas a la inversa) han sido los siguientes: 5.3.1 Gráfica fuerza de reacción – desplazamiento. En esta gráfica se relaciona la fuerza de reacción obtenida en el punto MPC junto a su desplazamiento. Se puede observar que la fuerza de reacción en la rotura es similar a la obtenida en el modelo M0. 5.3.2 Gráfica σ22 a lo largo de la superficie. En esta gráfica se puede observar la evolución de σ22 a lo largo de la superficie de los elementos cohesivos, en el momento de la rotura del adhesivo. 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,012 Reacción en el punto MPC [N] Desplazamiento [mm] RF2 Resultados de los modelos numéricos. 34 34 5.3.3 Gráfica σ12 a lo largo de la superficie. En esta gráfica se puede observar la evolución de σ12 a lo largo de la superficie de los elementos cohesivos, en el momento de la rotura del adhesivo. -15 -10 -5 0 5 10 15 20 0 5 10 15 20 25 30 Tensión en la superficie cohesiva [MPa] Lontitud del inserto [mm] Tensión σ22 en las superficies cohesivas. -4 -2 0 2 4 6 8 10 0 5 10 15 20 25 30 Tensión en la superficie cohesiva [MPa] Lontitud del inserto [mm] Tensión σ12 en las superficies cohesivas. C Al 35 5.3.4 Gráfica de la degradación del elemento cohesivo del C. Degradación del elemento cohesivo asociado a la fibra de carbono a lo largo de la superficie de unión, en distintos estados de carga. 5.3.5 Gráfica de la degradación del elemento cohesivo del Al. Degradación del elemento cohesivo asociado al aluminio a lo largo de la superficie de unión, en distintos estados de carga. En esta gráfica se puede ver, que como se han intercambiado las propiedades los dos elementos cohesivos, ahora el más débil es el asociado al aluminio. Ensayos experimentales. 42 42 Posteriormente al primer ensayo, hubo que limpiar el cilindro exterior y el interior. Para ello se dispusieron de distintos papeles de lija y del limpiador industrial. Aun así, es probable que las impurezas que quedaron en los cilindros y los restos de adhesivo hayan influido en los resultados de los ensayos, que se incluyen en el siguiente punto del presente proyecto. 6.2 Ensayos. Con las probetas anteriormente preparadas, se hicieron dos ensayos para comprobar las propiedades de adhesión del pegamento a tales materiales. 6.2.1 Unión carbono-carbono. Una vez pegados y curados los tubos, se hicieron en la máquina de la figura 38 tres pruebas. Figura 38. Maquina del departamento donde se hizo el ensayo. 43 De las tres pruebas posibles, en la primera de ellas se cometió el error de aplicar carga de compresión al inicio, por lo que los resultados salieron falseados. Además, la máquina no registró bien los valores, por lo que en la hoja de cálculo final con todos los datos no aparece. Así, de los dos ensayos que se pudieron hacer correctamente pudimos sacar las siguientes curvas: Como se puede observar, en el tercer ensayo, el pegamento aguantó sobre la fibra de carbono mucha más carga y desplazamiento. Achacamos la disminución de propiedades del adhesivo en la segunda de las pruebas a un pegado deficiente. La geometría de las probetas, medidas en tres tramos diferentes han sido (en milímetros): Tabla 10. Datos geométricos del ensayo de pegado sobre fibra de carbono. L1 L2 L3 Media Área de pegado en mm2 Barra 2 22,4 21,7 21,6 21,90 3440,0 Barra 3 22 22 21,9 21,97 3450,5 Los demás datos de los ensayos han sido:  Longitud del pegado: 50 mm. Por lo que las tensiones de cortadura que se han obtenido son de:  Tensión máxima ensayo 1: 9,72 MPa.  Tensión máxima ensayo 2: 11,32 MPa. -10 0 10 20 30 40 50 0 0,5 1 1,5 2 2,5 Carga [kN] Desplazamiento [mm] Gráfica obtenida del ensayo sobre tubos carbono/carbono Ensayo 2 Ensayo 3 Ensayos experimentales. 44 44 Si tomamos la media de las máxima tensiones como tensión representativa del global del ensayo (y con la que se corregirá el modelo M0), obtenemos que:  Tensión máxima media del ensayo: 10,52 MPa. Por último, en la siguiente imagen se muestra el estado de los tubos una vez terminado el ensayo (figura 39). Como se puede observar, el despegue de los tubos no fue limpio: quedaron restos de adhesivos en ambas probetas. Figura 39. Estado de unas de las parejas de tubos después del ensayo. 6.2.2 Unión aluminio-aluminio. Para el ensayo de las probetas de aluminio una vez pegadas, se tuvieron que llevar antes al horno del departamento para el curado del adhesivo. En ambos casos curó 20 minutos a 150º C. Tras el curado y un posterior tiempo de espera para el enfriado del aluminio, se ensayaron como se puede observar en la figura 40: 45 Figura 40. Ensayo de las probetas de aluminio en la máquina del departamento. La evolución de la carga con respecto del desplazamiento en estos dos ensayos ha sido la siguiente: 0 10000 20000 30000 40000 50000 60000 0123456 Carga [N] Desplazamiento [mm] Gráfica obtenida del ensayo sobre tubos aluminio/aluminio Ensayo1 Ensayo2 Ensayos experimentales. 46 46 Los datos geométricos de este ensayo son los siguientes: Tabla 11. Datos geométricos del ensayo sobre probetas de aluminio. Longitud Ensayo 1: 25 mm Longitud Ensayo 2: 14 mm Diámetro: 27,1 mm Superficie ensayo 1: 2128,43 mm2 Superficie ensayo 2: 1191,92 mm2 Y los datos obtenidos del mismo son los siguientes:  Carga máxima del ensayo 1: 45488,97 N.  Carga máxima del ensayo 2: 51473,07 N.  Tensión máxima del ensayo 1: 21,37 MPa.  Tensión máxima del ensayo 2: 43,18 MPa. Si tomamos como representativa del ensayo la tensión media de las máximas del mismo:  Tensión máxima media del ensayo: 32,28 MPa. Los datos de las tensiones máximas medias de los dos ensayos se tendrán en cuenta en la corrección del modelo numérico que se hará en los siguientes puntos del siguiente proyecto. También hay que comentar la disparidad de los resultados obtenidos. En el primer ensayo, con más superficie de pegado, se ha obtenido más desplazamiento, pero menor resistencia. Y en el segundo totalmente lo contrario, con menor superficie de pegado. Se piensa que es posible que las impurezas y los restos de pegamento existentes en el segundo ensayo debido a la reutilización de la probeta hayan podido afectar a los resultados. Por último, en el estado después del despegado de los tubos se pudo observar que quedaron restos de adhesivo en ambos cilindros, en los dos ensayos realizados. 47 7 CORRELACIÓN NUMÉRICO-EXPERIMENTAL. na vez realizado los ensayos, se deben de utilizar los resultados para poder ajustar a la realidad el modelo numérico realizado con Abaqus. De esta manera, se tomarán los resultados de las máximas tensiones medias a cortadura obtenidas en cada ensayo, y serán utilizadas para sustituir los valores correspondientes en las propiedades de los elementos cohesivos del modelo M0, por lo que se pasará a tener un 5º modelo, llamado modelo M4. También se ha aumentado el desplazamiento que excita el modelo, para conseguir la rotura del mismo, pues al mejorar las propiedades es previsible que rompa a más desplazamiento. Por último, se han incluido las gráficas resultado del modelo, como en los anteriores. 7.1 Propiedades extraídas de la correlación. Las propiedades de los materiales en el modelo M4 pasan a ser las siguientes:  Cohesivo del aluminio: Tabla 12. Propiedades corregidas del cohesivo del aluminio. Tensión nominal Modo I Tensión nominal primera dirección tangencial Tensión nominal segunda dirección tangencial 16,14 32,28 32,28  Cohesivo de la fibra de carbono: Tabla 13. Propiedades corregidas del cohesivo de la fibra de carbono. Tensión nominal Modo I Tensión nominal primera dirección tangencial Tensión nominal segunda dirección tangencial 5,26 10,52 10,52 Por último, se ha cambiado la carga que se imponía al modelo. Hemos pasado de un desplazamiento longitudinal de 0,01 mm en la dirección que forzaba el despegue del tubo, a un desplazamiento de 0,03 mm. Como se puede comprobar, si bien las propiedades del elemento cohesivo del aluminio han mejorado de forma imperceptible, las propiedades del elemento cohesivo asociado a la fibra de carbono han mejorado sustancialmente. Con los resultados de los ensayos, se ha podido comprobar que la adhesión en el caso de la fibra de carbono es el doble de buena de lo que presuponíamos. U Correlación numérico-experimental. 48 48 7.2 Resultados del Modelo M4. Los resultados obtenidos en el modelo M4 (modelo final, con las propiedades de los cohesivos corregidas por los resultados experimentales) han sido los siguientes: 7.2.1 Gráfica fuerza de reacción – desplazamiento. En esta gráfica se relaciona la fuerza de reacción obtenida en el punto MPC junto a su desplazamiento. En este modelo vemos que al mejorar las propiedades del cohesivo de la fibra de carbono la fuerza reacción obtenida en la rotura y el desplazamiento admisible aumentan considerablemente. 7.2.2 Gráfica σ22 a lo largo de la superficie. En esta gráfica se puede observar la evolución de σ22 a lo largo de la superficie de los elementos cohesivos, en el momento de la rotura del adhesivo. 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 Reacción en el punto MPC [N] Desplazamiento [mm] RF2 49 7.2.3 Gráfica σ12 a lo largo de la superficie. En esta gráfica se puede observar la evolución de σ12 a lo largo de la superficie de los elementos cohesivos, en el momento de la rotura del adhesivo. 7.2.4 Gráfica de la degradación del elemento cohesivo del C. Degradación del elemento cohesivo asociado a la fibra de carbono a lo largo de la superficie de unión, en distintos estados de carga. En el último estado de carga se produce la rotura total de la unión. -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 0 5 10 15 20 25 30 Tensión en la superficie cohesiva [MPa] Lontitud del inserto [mm] Tensión σ22 en las superficies cohesivas. 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 5 10 15 20 25 30 Tensión en la superficie cohesiva [MPa] Lontitud del inserto [mm] Tensión σ12 en las superficies cohesivas. C Al Correlación numérico-experimental. 50 50 7.2.5 Gráfica de la degradación del elemento cohesivo del Al. Degradación del elemento cohesivo asociado al aluminio a lo largo de la superficie de unión, en distintos estados de carga. 51 8 CONCLUSIONES Y TRABAJO FUTURO. n este punto del proyecto, ya se cuenta con toda la información que se ha recabado de los 5 modelos de elementos finitos hechos y de las dos tandas de ensayos experimentales realizadas. Ya que este proyecto es un estudio, que además debe de aportar información y experiencia al ARUS Andalucía Racing Team, este punto contendrá una serie de conclusiones que han sido extraídas de dicho estudio y una serie de ideas para un trabajo futuro que creemos que es importante poder continuar para seguir intentando introducir esta tecnología en el diseño de los siguientes prototipos del equipo. 8.1 Conclusiones. Las conclusiones extraídas de este proyecto son varias, pero casi todas están centralizadas en la parte más débil que tiene esta unión: la adhesión entre el adhesivo y la fibra de carbono. Si bien los ensayos realizados demostraron que la adhesión entre dichos materiales es el doble de resistente de lo que presuponíamos, sigue siendo la parte limitante de la unión y la que antes rompe. De hecho, se ha comprobado con los modelos de elementos finitos que en el modelo M1 ha roto a más carga (ya que ambos cohesivos tenían las propiedades de la adhesión con el aluminio) y que el modelo M2 ha roto al desplazamiento usual de rotura, entorno a 0,01007 mm, ya que, aunque se han intercambiado las propiedades del cohesivo, el de la fibra de carbono es claramente menos resistente. La segunda conclusión que hemos extraído es que, con los materiales y la tecnología de los que dispone el equipo, la suspensión de fibra de carbono (al menos las uniones) hubieran sido viables. En el modelo M4, el más ajustado a la realidad, la carga final de rotura está entorno a los 9000 N, prácticamente el doble de lo que por cálculos estructurales debería de ocurrir en la barra más crítica en el caso más crítico durante una competición. Si bien es cierto que al alcanzar esos valores máximos el adhesivo como tal sufriría una degradación, quedaría lejos de poder significar una rotura de la suspensión. También se ha detectado en los ensayos y en los cálculos del modelo de elementos finitos que la rotura del adhesivo es una frágil y súbita, por lo que no tiene una deformación que pueda servir de testigo. Este hecho hace que, si se implementara la suspensión de fibra de carbono, habría que adoptar un método de inspección de las uniones adhesivas para que en ningún caso pudiese el coche salir a pista con un brazo de la suspensión despegado. La última conclusión extraída es que el moleteado del inserto de fibra de carbono no aporta nada a la mejora de la resistencia de la unión. Este mecanizado mejora las propiedades de la adhesión con el aluminio al añadir más superficie de pegado (aunque por el contrario aumenta el espesor, factor que es contraproducente en las uniones adhesivas). Sin embargo, el factor limitante de la unión en este caso volvería a ser la adhesión con la fibra de carbono, que se mantiene en los niveles anteriores y hace que la carga de rotura del modelo M3 sea igual que la de los modelos M0 y M2. Se descarta hacerle un moleteado interior a la fibra de carbono o cualquier operación de mecanizado parecida ya que no es posible mecanizar de esta forma dicho material. E Anexos 58 58 alfa1=20; alfa2=-20; v=[0 0 1]; Cmas20=girocij(v, alfa1,C) Cmenos20=girocij(v, alfa2,C) C20=extrae(Cmas20) Cm20=extrae(Cmenos20) Donde la función girocij es la siguiente: function C_ij_new=girocij(v, alfa, C_ij); V=[0 v(3) -v(2); -v(3) 0 v(1); v(2) -v(1) 0]; Theta=eye(3)+sind(alfa)*V+(1-cosd(alfa))*V*V; %de Ting 2.8-4 %Giro de la matriz K1=Theta.^2; K2=[Theta(1,2)*Theta(1,3), Theta(1,3)*Theta(1,1), Theta(1,1)*Theta(1,2); Theta(2,2)*Theta(2,3), Theta(2,3)*Theta(2,1), Theta(2,1)*Theta(2,2); Theta(3,2)*Theta(3,3), Theta(3,3)*Theta(3,1), Theta(3,1)*Theta(3,2)]; K3=[Theta(2,1)*Theta(3,1), Theta(2,2)*Theta(3,2), Theta(2,3)*Theta(3,3); Theta(3,1)*Theta(1,1), Theta(3,2)*Theta(1,2), Theta(3,3)*Theta(1,3); Theta(1,1)*Theta(2,1), Theta(1,2)*Theta(2,2), Theta(1,3)*Theta(2,3)]; K4=[Theta(2,2)*Theta(3,3)+Theta(2,3)*Theta(3,2), Theta(2,3)*Theta(3,1)+Theta(2,1)*Theta(3,3), Theta(2,1)*Theta(3,2)+Theta(2,2)*Theta(3,1); Theta(3,2)*Theta(1,3)+Theta(3,3)*Theta(1,2), Theta(3,3)*Theta(1,1)+Theta(3,1)*Theta(1,3), Theta(3,1)*Theta(1,2)+Theta(3,2)*Theta(1,1); Theta(1,2)*Theta(2,3)+Theta(1,3)*Theta(2,2), Theta(1,3)*Theta(2,1)+Theta(1,1)*Theta(2,3), Theta(1,1)*Theta(2,2)+Theta(1,2)*Theta(2,1)]; KT=[K1 2*K2; K3 K4]; C_ij_new=KT*C_ij*KT'; end Y la función extrae: function D=extrae(C) D=zeros(1,21); D(1)=C(1,1); D(2)=C(1,2); D(3)=C(2,2); 59 D(4)=C(1,3); D(5)=C(2,3); D(6)=C(3,3); D(7)=C(1,4); D(8)=C(2,4); D(9)=C(3,4); D(10)=C(4,4); D(11)=C(1,5); D(12)=C(2,5); D(13)=C(3,5); D(14)=C(4,5); D(15)=C(5,5); D(16)=C(1,6); D(17)=C(2,6); D(18)=C(3,6); D(19)=C(4,6); D(20)=C(5,6); D(21)=C(6,6); end