Expresiones explícitas de los autovectores ortonormalizados para materiales transversalmente isótropos en el formalismo de Stroh. Aplicación al análisis de singularidades en uniones adhesivas

MATERIALES COMPUESTOS 03 819 Expresiones explícitas de los autovectores ortonormalizados para materiales transversalmente isótropos en el formalismo de Stroh. Aplicación al análisis de singularidades en uniones adhesivas A. Barroso, V. Mantič y F. París Escuela Superior de Ingenieros, Universidad de Sevilla, España RESUMEN La resolución de problemas de elasticidad lineal anisótropa, utilizando el formalismo de Stroh, se basa en el conocimiento de los autovalores y autovectores de la matriz de elasticidad fundamental N. En el presente trabajo se presenta el conjunto completo de expresiones explícitas de dichos autovalores y autovectores para materiales transversalmente isótropos. Puesto que el comportamiento de las láminas unidireccionales de materiales compuestos fibrosos es típicamente transversalmente isótropo, los resultados obtenidos permiten el análisis de problemas con este tipo de materiales. Se presentan aplicaciones para uniones adhesivas entre metales y materiales compuestos. 1. INTRODUCCIÓN Para abordar el diseño y análisis de estructuras construidas con materiales compuestos (fibra larga y continua) se asume con frecuencia, en el marco de la teoría de la elasticidad lineal, un comportamiento transversalmente isótropo u ortótropo para los mismos. En el presente estudio se va a considerar un comportamiento transversalmente isótropo para las láminas unidireccionales de fibra. El objetivo final del presente estudio es analizar la estructura del campo de tensiones singulares que típicamente aparece en uniones adhesivas entre materiales compuestos y metales, donde la estructura de apilado de los materiales compuestos da lugar a la aparición de puntos críticos - esquinas multimateriales - donde confluyen materiales de distinta naturaleza. El formalismo de Stroh (Stroh, 1958, 1962), herramienta fundamental para el análisis de problemas de elasticidad anisótropa, se basa en el problema de autovalores de la matriz de elasticidad fundamental N (real, 6x6) del material bajo análisis, Ting (1996). Por eso, el primer objetivo del presente trabajo es deducir las expresiones explícitas de los autovectores y autovalores, para materiales transversalmente isótropos, incluyendo todos los casos posibles de degeneración matemática. El conjunto completo de MATERIALES COMPUESTOS 03 820 expresiones explícitas de los autovectores normalizados se presenta en este trabajo por primera vez para materiales transversalmente isótropos. Tanuma (1996) obtuvo expresiones explícitas de la matriz de impedancia de superficie para estos materiales, obteniendo en algunos casos, como resultados intermedios, expresiones de los autovectores de dichos materiales, aunque no para todos los casos posibles y además no se presentan "normalizados", propiedad importante en la estructura del formalismo. 2. EL FORMALISMO DE STROH La solución general en términos de desplazamientos, ui, y de la función de tensiones, ϕ i, para problemas de elasticidad lineal anisótropa, bajo un estado de deformación plana generalizada (DPG en adelante) ( ),( 21 xxuu ii = , i=1,2,3), se puede expresar, para N simple o semisimple, como: {} ∑ = + += 3 1 3)()( α α α α ααα zfzf aau , {} ∑ = + += 3 1 3)()( α α α α ααα zfzf bbφ, (1) donde 21 xpxz αα += , siendo p α los autovalores complejos de N. Las tensiones se obtienen de 2,1 ii ϕ σ −= , 1,2 ii ϕ σ = . El vector [ ] TTT baξ,=, con ( ) T aaa 321 ,,=a y () T bbb 321 ,,=b, es un autovector de N, quedando el problema de autovalores: )6,...,1( = = α ααα ξNξp. Para una explicación detallada del formalismo de Stroh y particularidades de expresiones análogas para N no-semisimple, véase Ting (1996). 3. MATERIALES TRANSVERSALMENTE ISÓTROPOS Y SISTEMAS DE COORDENADAS EN EL FORMALISMO DE STROH En el presente trabajo, el sistema de referencia (xi, i=1,2,3) se fija a los ejes que definen el estado de DPG. Un material con comportamiento elástico transversalmente isótropo tiene un plano en el que todas las direcciones contenidas en él tienen las mismas propiedades elásticas, o lo que es lo mismo, un plano de comportamiento isótropo. Definamos un sistema de coordenadas solidario al material ( i x ˆ, i=1, 2, 3), con el eje 3 ˆ x perpendicular a este plano. En materiales compuestos fibrosos, con comportamiento transversalmente isótropo, 3 ˆ x coincide con la dirección de la fibra y es un eje de simetría elástica de rotación. El tensor de constantes elásticas ijks C ˆ (i,j,k,s=1,2,3) expresado en notación contraida ij C ˆ (i,j=1,...,6), en los ejes del material i x ˆ toma la forma (2) (en la nomenclatura de Tanuma, 1996). Las 5 constantes elásticas que                     − = )(00000 00000 00000 000 000 000 ˆ 2 1NA L L CFF FAN FNA Cij (2) MATERIALES COMPUESTOS 03 821 definen el comportamiento elástico de un material transversalmente isótropo (A, N, C, F y L) deben cumplir las siguientes condiciones, que aseguran que la energía de deformación es definida positiva: 0)(,0 2 1> − >NAL , 0> + + NCA y 2 2)( FCNA >+ . Las matrices [] 321 ,, aaaA = y [] 321 ,, bbbB = y los autovalores p α para un material transversalmente isótropo con una orientación genérica definida por los ángulos φ y θ respecto al sistema de coordenadas i x, ver Figura 1a, se pueden evaluar partiendo de las matrices A y B, y los autovalores del mismo material, asociados a una orientación φ y θ =0, ver Figura 1b y 1a, debido al hecho de que A y B se comportan como tensores de orden 1 girando alrededor del eje 3 x, Ting (1982). a) Posición final del eje x 3 respecto del sistema de deformación plana generalizada x i ^ x 2 x 1 x 3 * x 3 = θ θ θ φ Posición final del eje x 3 respecto del sistema de deformación plana generalizada x i ^ Posición final del eje x 3 respecto del sistema de deformación plana generalizada x i ^ x 2 x 1 x 3 * x 3 = θ θ θ φ x 2 x 1 x 3 * x 3 * x 3 = θ θ θ φ b) x2 * x1 * x3 * = φ x2 ^ x2 * x2 * x1 * x1 * x3 * x3 * = φ x2 x2 ^ Fig. 1 - Sistemas de referencia a) con φ y b) θ genéricos y con θ =0 Definiendo por simplicidad a estas matrices como A* y B*, las relaciones se expresan: * 33 )()0,()(),( AΩAΩA θφθθφ == , * 33 )()0,()(),( BΩBΩB θφθθφ == , (3) 4. EXPRESIONES ORTONORMALIZADAS DE A Y B Centrando, por las razones anteriormente expuestas, el estudio en materiales con orientación 0= θ , los tres autovalores del material, en función del ángulo φ y las constantes elásticas del material, quedan: 2 1 22 1sin 2 cos       − += φφ NA L ip , (4) () [] 2 1 2 1 )())2((2sincos 22222 2     −+−+−−+= AL FACLFACFLFACip φφ , (5) () [] 2 1 2 1 )())2((2sincos 22222 3     −+−−−−+= AL FACLFACFLFACip φφ . (6) Siguiendo la clasificación de Ting (1999) de la matriz N, y en función de los valores concretos de φ y A, N, C, F y L, los siguientes casos son posibles (Tanuma 1996): 1. N es no-semisimple si y sólo si: 1.a) φ =0 o φ =±π,(7) MATERIALES COMPUESTOS 03 822 1.b) 02 =−− LFAC , 1.b.1) A C NA L≠ − 2, 1.b.2.) A C NA L= − 2.(8) 2. Con φ ≠0, π y 02 ≠−− LFAC , N es semisimple si y sólo si: 0 2 )2( 22 2 =+ − −−−       −CL NA L FLFAC NA L AL . (9) 3. En cualquier otro caso, N es simple. En lo que sigue, a* y b* definen las componentes de A*=A( φ ,0) y B*=B( φ ,0). Sólo es necesario aplicar el giro recogido en las relaciones (3) a las matrices A* y B*, para obtener A( φ , θ ) y B( φ , θ ). Caso 1.a. ( φ =0 o φ =±π). Se cumple: ipppp = = = = 321 con dos autovectores linealmente independientes asociados. Para este caso particular, las expresiones de a* y b* quedan:             = iL2 1 0 0 * 1 a,          ± = 0 1 * 2ika,           −         + − = 0 1 )(2 3 * 3 i NA NA k m a, (10)             = iL iL 2 0 0 * 1 b,           − ± −= 0 1)( * 2 i NAkb,           − ±      − = 0 1 2 * 3i NA kb, (11) El signo ± depende del valor de cos φ =±1 y se define 0 )(4 2 1 >       − + =NAA NA k. Caso 1.b.1 ( 02 =−− LFAC y A C NA L≠ − 2). Los autovalores (22-24) son: 2 1 22 1sin 2 cos       − += φφ NA L ip , 2 1 22 32 sincos        +== φφ A C ipp . (12) Para este caso sólo existe un autovector linealmente independiente asociado a 32 pp =. Los autovectores una vez normalizados son:             −= φ φ φ sin cos cos 1 1 * 1p k a,           = 0 1 22 * 2pka,           ∆− ∆+ + = φφ φ φ sincos4 cos4 )(sin2 2 2 2 22 2 2 2 2 * 3 Ap p Ap LFp k a (13) []             −− −−= 1)1( 2 cot 1)(cos 22 1 1 1 1 * 1 φ φ φ tgp p p NAkb,                      + − −= 2 1 2 2 2 12 * 21 1cot 1)( p p p NApk φ b, (14) MATERIALES COMPUESTOS 03 823                          +∆ + −      +− +− + − = )2( 2 )1( sincot )( 2 sin cos )( 2 sin cos sin)( )( 2 2 2 1 22 2 22 1 22 22 22 1 22 2 2 2 * 3 Ap p Ap LF p App LF p Ap LF NAk φφ φ φ φ φ φ b, (15) L p i k2sin 1 1 φ =, AL LF p i k+ = 2 22, 2 2 22 sincos ApLA −+=∆ φφ . (16) Caso 1.b.2 ( 02 =−− LFAC y A C NA L= − 2). En este caso, 1 p se hace igual a 32 pp = , ver (4)-(6), de manera que aparece un autovalor triple con dos autovectores linealmente independientes asociados. Este caso es como el Caso 1a, con la diferencia de que en este caso el autovalor triple no es la unidad imaginaria i. 2 1 22 321 sin 2 cos       − +==== φφ NA L ipppp , (17)             −= φ φ φ sin cos cos 1 * 1p ka, []             −− −−= 1)1( 2 cot 1)(cos 22 1 * 1 φ φ φ tgp p p NAkb, (18)           = 0 1 2 * 2pkka,                      + − −= 2 2 2 * 21 1cot 1)( p p p NAkpk φ b, (19)                   −Ψ−        ++Ψ = φ φ φ sin 2 cos 2 1 1cos 2 2 * 3p p p ka,                   ++ +      − + −      − − + −      − = Ap pLNA p NA A LNANA A LpNA p NA k 4 sin)1()( sin 2 cos4 sin)( cos 2 cos4 sin)( cos 2 2 2 2 2 * 3 φ φ φ φ φ φ φ φ b, (20) φ φ cos2 sin2 Ap L NA NA k      − + =,L p i k2sin 1 1 φ =,NA NAA L i k+ − =)( sin cos 2 2 φ φ , φ φ cos4)( sin)3( 2 2 ApNA LNA − − =Ψ (21) Casos 2.1 y 3.1 (Casos simple y semisimple con 0 = + LF ). Para los casos simple (1321 pppp ≠≠≠ ) y semisimple ( 321 ppp ≠ = ), se tiene respectivamente: 2 1 22 21 sin 2 cos       − +== φφ NA L ipp , 2 1 22 3sincos      += φφ A L ip . (22) 2 1 22 1sin 2 cos       − += φφ NA L ip ,2 1 22 2sincos      += φφ L C ip ,2 1 22 3sincos      += φφ A L ip (23) MATERIALES COMPUESTOS 03 824 Y para ambos casos, utilizando (22) ó (23), según corresponda:           − − = φ φ φ tg pk 1 2 1 * 11 1 sin cos a,               −+ − − = φφ φ φ φ sincos2 )21(cos 1 sin cos)( 1 2 1 2 1 2 1 2 1 * 1 p pp p NA kb, (24)           − = φ φ cos 0 sin 2 * 2ka,           − −= φ φ φ cos sin sin 2 2 2 * 2 Lp L Lp kb, (25)           = φφ φ cossin cos 3 2 3 * 3pka,                      − − −      − −= 1 cos 2 cot 1 2 )(cos 2 1 2 3 3 2 1 2 3 * 3 p p p NA pk φ φ φ b, (26) L p i k2cos 1 1 φ =, 2 22 1 Lp k=, Lp i k 3 32sin φ =. (27) Casos 2.2 y 3.2 (Casos simple y semisimple con 0 ≠ + LF ). Los autovalores son los de (4)-(6), con 21 pp = para el caso semisimple. Los vectores * α a y * α b se pueden obtener de Ting (1996) o Tanuma (1996) y tras la normalización, se obtiene, con L p i k2cos 1 1 φ =:           − − = φ φ φ tg pk 1 2 1 * 11 1 sin cos a,               −+ − − = φφ φ φ φ sincos2 )21(cos 1 sin cos)( 1 2 1 2 1 2 1 2 1 * 1 p pp p NA kb, (28) y para i=2,3, con: () 2 1 )2(sin2}sin2)(cos){(cos2 422222 − +−+++= LFFLpLpApALpk iiiii φφφφ , (29)           −+−+− +− ++++− = φφφφφφ φ φφφφφ 2222 3222 * sincos)(coscossincos)( sin)( sin)(cossinsincos)( LpALF pLF LpALF k i i i ii a, (30) []           −−++−− −++− −−−+−− = )cossin(cossincos))(( sinsincos})({ )cossin(sinsincos))(( 2222 222 2222 * iii i iii ii ApAFLppLFNA ALpFLNLFAF ApAFLppLFNA k φφφφφ φφφ φφφφφ b. (31) Una vez evaluados A* y B* para todos los casos posibles en un material transversalmente isótropo, sólo queda aplicar la ley de giro alrededor de 3 x, usando (3), para obtener las expresiones finales de A=A( φ , θ ) y B=B( φ , θ ) para cualquier orientación genérica del material respecto a los ejes que definen el estado de DPG. MATERIALES COMPUESTOS 03 825 5. APLICACIÓN: ANÁLISIS DE SINGULARIDADES EN UNIONES ADHESIVAS En uniones adhesivas entre materiales compuestos y de éstos con metales, uniones que típicamente aparecen en la industria aeronáutica, existen numerosos ejemplos de esquinas multimateriales con materiales transversalmente isótropo (las láminas unidireccionales de los laminados). Se presenta el análisis del estado singular de tensiones que se induce en este tipo de esquinas, utilizando los resultados previamente obtenidos. El campo de desplazamientos y tensiones se puede obtener de (1), sin más que calcular a α y b α y los órdenes de singularidad en tensiones. Para la obtención de los órdenes de singularidad en tensiones δ -1 ( )(),( 1 θθσ δ ijij frr − ≈+ →0r) en el entorno de esquinas multimateriales anisótropas, se va a hacer uso de una herramienta de cálculo, desarrollada por los autores del presente trabajo, Barroso et al. (2002) que necesita del conocimiento de a α y b α , que se van a tomar del presente estudio. Consideremos (Figura 2) una unión a solape simple entre un metal y un material compuesto. El compuesto tiene tres láminas de orientaciones (0º,45º,90º) y se une al metal mediante una capa de adhesivo. Los círculos indican las esquinas multimateriales. 90 o dirección de la fibra x 3 x 1 x 2 Adherente metálico Material Compuesto 90 o dirección de la fibra x 3 x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 Adherente metálico Material Compuesto Adherente metálico Material Compuesto 90 o 45 o 0 o Adhesivo Adherente metálico Material Compuesto 90 o 45 o 0 o Adhesivo Fig. 2 - Unión adhesiva entre un metal y un material compuesto Las constantes elásticas del compuesto (un AS4/8552) con la fibra en la dirección 1, se han considerado transversalmente isótropas: E11=141 GPa, E22=E33=E=9.58 GPa, ν12=ν13=0.3, ν23=ν=0.32, G12=G13=5 GPa, G23=E/2(1+ν)=3.629 GPa. Para el metal (aluminio) E=68.6 GPa y ν=0.3, y el adhesivo E=3 GPa y ν=0.3. Desde el punto de vista del tratamiento matemático del problema, existe una gran diferencia entre considerar las láminas transversalmente isótropas u ortótropas (con una G23 ligeramente diferente a la del caso transversalmente isótropo), puesto que en el primer caso, la lámina orientada a 0º (según la dirección x3) sería un caso degenerado (caso 1.a, con φ =0) mientras que en el segundo sería un caso simple (caso 3.1). En la Figura 3 se presentan los órdenes de singularidad en tensiones de una esquina tri-material del esquema de la Figura 2. MATERIALES COMPUESTOS 03 826 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 0 102030405060708090 φ Re Re Im Re x 2 x 1 x 3 φ φ x 2 x 1 x 3 φ φ φ 0º φ 0º φ 1− δ 0º 0 10º 0.0532816 ± 0.00222833 i 20º 0.00922223 ± 0.0075044 i 30º 0.0146046 ± 0.010804 i 40º 0.0213159 ± 0.00392423 i 50º 0.0470748, 0.0104001 60º 0.0661068, 0.0410502 70º 0.0817215, 0.00410502 80º 0.092199, 0.00224818 90º 0.0959142 Fig. 3 - Problema de esquina con material transversalmente isótropo Se puede apreciar en la Figura 3, que para φ=0º, no existe formalmente una esquina, por lo que no se obtienen singularidades, después aparecen dos modos singulares hasta φ=5.5º, que se transforman en una pareja de valores complejos conjugados, hasta φ=40.5º. Finalmente aparecen de nuevo dos valores reales hasta la configuración cross-ply (0º-90º), donde se obtiene sólo un modo singular. 6. CONCLUSIONES Se han obtenido expresiones explícitas para los autovectores de la matriz de elasticidad fundamental N para todos los casos de materiales transversalmente isótropos en el marco del formalismo de Stroh, sin limitación en el valor de las constantes elásticas ni la orientación del material. En todos los casos, los resultados han sido ortogonalizados y normalizados para cumplir las importantes relaciones de ortogonalidad de Stroh. Los resultados son directamente utilizables en la resolución de cualquier problema de elasticidad lineal anisótropa usando el formalismo de Stroh, donde la representación de las variables se realiza en los ejes definidos por el estado de deformación plana generalizada (Ting, 1996), lo que es típico en los problemas ingenieriles. Finalmente, como aplicación práctica, los órdenes de singularidad de tensiones se han obtenido en el entorno de una esquina con materiales transversalmente isótropos, en una unión adhesiva a solape simple. AGRADECIMIENTOS Los autores agradecen a K. Tanuma, el envío de copia de su trabajo. El estudio está financiado por el Ministerio de Ciencia y Tecnología (PROFIT 2001, Proy. EUREKA Σ!1882) y (Proy. No. 2000-1115). También se agradece la ayuda recibida por SACESA. REFERENCIAS BARROSO, A., MANTIČ, V. Y PARÍS, F., (2002) Singularity analysis of anisotropic multimaterial corners, Int. J. of Fracture, (aceptado para su publicación). STROH, A.N., (1958), Dislocations and cracks in anisotropic elasticity, Phil. Mag. 3, pp. 625-646. MATERIALES COMPUESTOS 03 827 STROH, A.N., (1962), Steady state problems in anisotropic elasticity, J. Math. Phys. 41, pp. 77-103. TANUMA, K., (1996), Surface-impedance tensors of transversely isotropic elastic materials, Q. J. Mech. Appl. Math. 49, pp. 29-48. TING, T.C.T., (1982), Effects of change of reference coordinates on the stress analyses of anisotropic elastic materials, Int. J. Solids Structures 18, pp. 139-152. TING, T.C.T., (1996), Anisotropic Elasticity - Theory and Application, Oxford University Press, New York. TING, T.C.T., (1999), A modified Lekhnitskii formalism à la Stroh for anisotropic elasticity and classifications of the 6×6 matrix N, Proc. R. Soc. Lond. A 455, pp.69-89.