Homogeneización, convergencia en dos escalas y espacios de Besicovitch generalizados

Bol. Soc. Esp. Mat. Apl. no20(2002), 57–75 Homogeneizaci´on, convergencia en dos escalas y espacios de Besicovitch generalizados I. Gayte Departamento de Ecuaciones Diferenciales y An´alisis Num´erico Universidad de Sevilla [email protected] Resumen En este trabajo resumir´e los resultados obtenidos con J. Casado D´ıaz sobre los espacios de Besicovitch generalizados y sus aplicaciones a la Homogeneizaci´on de problemas lineales y no lineales con coeficientes casi peri´odicos. Palabras clave: Homogeneizaci´on, convergencias d´ebiles, oscilaciones. Clasificaci´on por materias AMS: 34B05 1. Introducci´on. Un problema cl´asico en la teor´ıa de Homogeneizaci´on (ver [2], [20]) es encontrar la ecuaci´on en derivadas parciales que resuelve la funci´on l´ımite de una sucesi´on {uε}donde cada uεes la soluci´on de ½−div A(x ε)∇uε=fen Ω uε= 0 sobre ∂Ω.(1) El conjunto Ω es un abierto, acotado, de RN, las componentes de la matriz A(x) son funciones acotadas Y-peri´odicas, Asatisface una hip´otesis de coercividad, yfes un elemento de H−1(Ω). El problema (1) modeliza una gran diversidad de fen´omenos f´ısicos en un material heterog´eneo, de composici´on peri´odica cada vez m´as fina. La t´ecnica de los desarrollos asint´oticos, basada en suponer que uεtiene una expresi´on del tipo uε(x) = u(x) + εu1(x, x ε) + ε2u2(x, x ε) + . . . , (2) 57 58 I. Gayte permite encontrar de manera formal el problema que resuelve u, l´ımite de uε: ½−div ¯ A∇u=fen Ω u= 0 sobre ∂Ω,(3) donde ¯ Aes una matriz cuyos coeficientes no son el valor medio de los coeficientes de A, sino que ¯ Aij =1 |Y|ZY (Aij + N X l=1 Ail ∂Xj ∂yl ) yXles soluci´on de un problema en la microestructura, en el cubo de periodicidad Y:½−div (A(∇Xl+el)) = 0 Xl, Y −peri´odica. Sin embargo, este procedimiento no es una demostraci´on. Es el m´etodo de la energ´ıa de Tartar [21], [17] el que permite demostrar que uε* u d´ebilmente en H1 0(Ω) y A(x ε)∇uε*¯ A∇ud´ebilmente en L2(Ω)N, con usoluci´on de (3). Se trata, b´asicamente, de multiplicar (1) por funciones “test” particulares para las cuales sea f´acil pasar la l´ımite en las distintas integrales que aparecen. La convergencia en dos escalas para el caso peri´odico, desarrollada por G. Nguetseng [18] y posteriormente por G. Allaire [1], da rigor matem´atico al desarrollo asint´otico (2), consiguiendo en un mismo proceso tanto el problema homogeneizado como la convergencia de {uε}au. Es una noci´on de convergencia intermedia entre la convergencia d´ebil y la fuerte, aportando informaci´on sobre la microestructura del problema, informaci´on que no recoge el l´ımite d´ebil. Concretamente, la convergencia en dos escalas da el l´ımite de ZΩ uε(x)ψ(x, x ε)dx con {uε}acotada en L2(Ω) y ψregular y peri´odica en la segunda variable. Este l´ımite, dado por una funci´on de dos variables, u(x, y), peri´odica en la variable en microestructura y, esZΩ 1 |Y|ZY u(x, y)ψ(x, y)dy dx. Un resultado que da inter´es a esta noci´on de convergencia es el siguiente: Si {uε}es una sucesi´on acotada en L2(Ω), existe una subsucesi´on que converge en dos escalas, es decir, existe u∈L2(Ω ×Y) y existe una subsucesi´on que seguiremos denotando por {ε}, tales que ∃l´ım ε→0ZΩ uε(x)ψ(x, x ε)dx =ZΩ 1 |Y|ZY u(x, y)ψ(x, y)dy dx ∀ψ∈L2(Ω; C](Y)), Homogeneizaci´on, dos escalas, ... 59 donde C](Y) es el espacio de las funciones continuas Y-peri´odicas. Decimos entonces que {uε}converge en dos escalas a uy lo denotamos por uε 2e * u. Se trata, por tanto, de un teorema de compacidad secuencial para la convergencia en dos escalas. Supone, adem´as, una herramienta clave para desarrollar el llamado m´etodo de la convergencia en dos escalas en problemas de Homogeneizaci´on. Cabe plantearse entonces si el resultado sigue siendo cierto cuando ψes una funci´on casi peri´odica respecto a la segunda variable, a fin de extender el m´etodo a la homogeneizaci´on de problemas con coeficientes casi peri´odicos. Curiosamente, esta cuesti´on tan particular nos llev´o, a Juan Casado D´ıaz y a m´ı, a plantearnos otras preguntas al margen ya de la teor´ıa de la Homogeneizaci´on. 2. Convergencia en dos escalas con funciones casi peri´odicas. Nuestro inter´es estaba en extender el resultado de G. Nguetseng y G. Allaire a funciones casi peri´odicas. Concretamente busc´abamos el siguiente teorema: Teorema 1 Si {uε}es una sucesi´on acotada en L2(Ω), existe una subsucesi´on, que denotamos igual, y una funci´on u∈L2(Ω; B2(RN)), siendo B2(RN)el espacio de las funciones casi peri´odicas en el sentido de Besicovitch (ver [3]), tales que ∃l´ım ε→0ZΩ uε(x)ψ(x, x ε)dx =ZΩ M{u(x, ·)ψ(x, ·)}dx ∀ψ∈L2(Ω; CAP (RN)), donde CAP (RN)es el espacio de las funciones uniformemente casi peri´odicas. Si fes casi peri´odica, M{f}representa su valor medio y se define como M{f}= l´ım T→+∞ 1 (2T)NZ[−T,T ]N f(y)dy. La principal diferencia con el caso peri´odico es que el espacio de las funciones ψes ahora no separable, y el teorema de compacidad secuencial ∗-d´ebil en el dual de un espacio separable, que era el resultado esencial para demostrar el teorema de G. Nguetseng y G. Allaire, no se puede aplicar en este caso. En su lugar obtuvimos el teorema siguiente: Teorema 2 Si Hes un espacio prehilbertiano entonces satisface la siguiente propiedad: dada cualquier sucesi´on de funcionales lineales fε:H→K(Kes R oC), tal que l´ım sup ε→0|fε(x)| ≤ Ckxk ∀x∈H(4) existe una subsucesi´on, {fεk}, y existe un funcional lineal y continuo, f∈H0, verificando l´ım k→+∞fεk(x) =< f, x > ∀x∈H. 60 I. Gayte En [5] publicamos estos resultados, si bien la demostraci´on del Teorema 2 se encuentra en [6] y en una Nota remitida al comit´e evaluador de la revista C. R. Acad. Sci. Se trata de un resultado de compacidad puntual de funcionales fεa´un cuando ´estos no sean continuos y el espacio no sea completo. En su lugar satisfacen una “continuidad en el l´ımite” que es la ecuaci´on (4). N´otese que el resultado es inmediato si el espacio es separable. Donde verdaderamente tiene inter´es el teorema es en los espacios no separables. Como consecuencia se demuestra el Teorema 1. Consideramos el espacio L2(Ω; CAP (RN;C)), que es prehilbertiano para el producto escalar de L2(Ω; B2(RN;C)), i.e., (f, g) = ZΩ M{f(x, ·)¯g(x, ·)}, y fε(ψ) = ZΩ uε(x)¯ ψ(x, x ε)dx ∀ψ∈L2(Ω; CAP (RN;C)). La sucesi´on {fε}verifica (4) y, por tanto, existe un funcional flineal y continuo en L2(Ω; CAP (RN;C)) tal que l´ım ε→0ZΩ uε(x)¯ ψ(x, x ε)dx =< f, ψ > . Usando el hecho de que L2(Ω; CAP(RN;C)) es denso en L2(Ω; B2(RN;C)) y el teorema de representaci´on de Riesz-Fr´echet, se deduce que existe u∈ L2(Ω; B2(RN;C)) tal que < f, ψ >=ZΩ M{u(x, ·)¯ ψ(x, ·)}dx ∀ψ∈L2(Ω; CAP (RN;C)). Volviendo al problema cl´asico de Homogeneizaci´on (1), donde ahora los coeficientes de la matriz Ason funciones en CAP(RN), el m´etodo de la convergencia en dos escalas proporciona el problema l´ımite y los resultados de convergencia. Para ello hace falta caracterizar el l´ımite en dos escalas de {∇uε}, una sucesi´on acotada en L2(Ω)N. El Teorema 1 nos dice que para una subsucesi´on el l´ımite en dos escalas existe y es una funci´on ξ∈L2(Ω; B2(RN))N. Haciendo uso del desarrollo de Fourier de una funci´on de B2(RN;C) como una serie de exponenciales complejas, caracterizamos en [5] la funci´on ξcomo ξ=∇u(x) + ∇yu(x, y), donde ues el l´ımite d´ebil en H1 0(Ω) de {uε}yu1es una funci´on en el espacio W2(RN;C) = {X p∈RN\{0} αpeip·y:αp∈C,X p∈RN\{0}|αp|2|p|2<+∞}, que est´a constituido por series formales cuyas derivadas de primer orden son funciones de B2(RN;C) con media cero. Homogeneizaci´on, dos escalas, ... 61 Probamos entonces que si uεes soluci´on de (1) con los coeficientes de Afunciones de CAP (RN) y con Averificando las hip´otesis de acotaci´on habituales, para cualquier f∈H−1(Ω) existen dos funciones, u∈H1 0(Ω) y u1∈L2(Ω; W2(RN)), tales que uε* u en H1 0(Ω) y ∇uε 2e *∇u(x) + ∇yu1(x, y), donde uyu1resuelven el sistema    −divxMy{A(y)(∇u(x) + ∇yu1(x, y))}=fen H−1(Ω), −divy[A(y)(∇u(x) + ∇yu1(x, y))] = 0 en W2(RN)0,p.c.t. x ∈Ω, u∈H1 0(Ω), u1∈L2(Ω; W2(RN)). Conseguimos extender el m´etodo de la convergencia en dos escalas de G. Nguetseng y G. Allaire a problemas de Homogeneizaci´on casi peri´odicos lineales. Nos preguntamos entonces c´omo aplicarlo a problemas de homogeneizaci´on mon´otonos o pseudomon´otonos. Los desarrollos de Fourier ya no pod´ıamos usarlos. Los profesores E. Fern´andez Cara y J.L. Lions, que conocieron nuestro trabajo, intuyeron que el Teorema 2 deber´ıa de poderse extender a espacios m´as generales, en concreto, pensaban en espacios reflexivos. Tampoco puedo olvidar la ´util referencia que nos dio J.L Lions, un libro de V.V. Zhikov, S.M. Kozlov y O.A. Oleinik [14], donde se defin´ıan unos espacios de Hilbert construidos a partir de ´algebras de funciones, y que generalizaban a los espacios B2(RN;C). Estas consideraciones nos llevaron a buscar respuestas a otros problemas del An´alisis Funcional. 3. Un resultado de compacidad secuencial para funcionales no continuos. En mi Tesis Doctoral (1998), dirigida por J. Casado D´ıaz y J. Couce Calvo, presentamos un resultado de compacidad que extend´ıa el Teorema 2 a espacios reflexivos. Concretamente probamos el siguiente teorema: Teorema 3 Sea Xun subespacio vectorial (no necesariamente cerrado) contenido en un espacio vectorial Y, dotado de una seminorma tal que el espacio cociente sobre el n´ucleo de esa seminorma, N, es un espacio de Banach reflexivo. Sea fn:X→Runa sucesi´on de funcionales lineales (no necesariamente continuos) tales que existe C > 0verificando l´ım sup |fn(x)| ≤ C[x]∀x∈X. Entonces, existe una subsucesi´on {nk}de {n}y existe f∈(Y/N)0tales que ∃l´ım kfnk(x) =< f, ˆx > ∀x∈X. El elemento ˆxrepresenta la clase de equivalencia en Y/N de xy[·]es la seminorma en Y. 62 I. Gayte La clave para la demostraci´on est´a en un resultado de E. Asplund y J. Lindestrauss [15] por el que un espacio reflexivo tiene siempre una norma equivalente que lo hace regular, es decir, que para todo elemento del espacio existe un ´unico elemento del dual, de norma 1, alineado con ´el. Tambi´en aparece en mi Tesis un resultado m´as general que el Teorema 3, que es el que extiende los teoremas cl´asicos de compacidad secuencial en el dual de un espacio separable y en un espacio reflexivo, aunque para los resultados de convergencia en dos escalas el que necesitaremos es este ´ultimo. 4. Espacios de Besicovitch generalizados. Derivaci´on. En un principio, el marco funcional en el que quer´ıamos generalizar el teorema de G. Nguetseng y G. Allaire eran las funciones casi peri´odicas. Sin embargo, la referencia proporcionada por J.L. Lions y el hecho de que las dificultades de las funciones casi peri´odicas eran las mismas que si trabaj´abamos con espacios m´as generales, nos llevaron a estudiar estos ´ultimos y a desarrollar la convergencia en dos escalas en este marco. Lo importante era, a mi entender, que los resultados obtenidos no s´olo eran nuevos para estos espacios m´as generales, sino que muchos de ellos no se conoc´ıan tampoco, hasta donde yo puedo saber, para las funciones casi peri´odicas. Siguiendo a V.V. Zhikov, S.M. Kozlov y O.A. Oleinik [14], [22], part´ıamos de un ´algebra de Banach con valor medio, X. Este es un espacio de funciones f:RN→R, uniformemente continuas, acotadas, que poseen valor medio, i.e. ∃l´ım T→+∞ 1 |KT|ZKT f(x)dx =M{f}, donde Kes cualquier conjunto medible, acotado, de medida no nula, en RN, y KTes el homot´etico de Kde raz´on T. El espacio Xes completo con la norma infinito, sin embargo, su cierre en la seminorma [f]p=µl´ım sup T→+∞ 1 |BT|ZBT|f(x)|pdx¶1 p , p < +∞,(5) donde BTes la bola abierta en RNde centro cero y radio T, define lo que hemos llamado espacios de Besicovitch generalizados. En efecto, se define el espacio de Besicovitch Bp(X) de orden p(1 ≤p < +∞) generado por el ´algebra X, como sigue: Bp(X) = {f∈Lp loc(RN) : ∀ε > 0∃ϕε∈Xtal que [f−ϕε]p< ε}. Si p= +∞, ponemos B∞(X) = {f∈B1(X) : sup p≥1 [f]p<+∞}. Homogeneizaci´on, dos escalas, ... 63 Habitualmente es denotado por Bp, salvo cuando sea necesario indicar cu´al es el ´algebra que los genera. Cuando el ´algebra es CAP(RN) el espacio que se genera es el de las funciones casi peri´odicas en el sentido de Besicovitch, de ah´ı que hayamos llamado a estos espacios de Besicovitch generalizados. El caso de las funciones peri´odicas tambi´en est´a incluido en esta definici´on, basta considerar X=C](Y) y el espacio de Besicovitch que resulta es Lp ](Y), es decir, el espacio de las funciones de Lp(Y) extendidas por Y-periodicidad a todo RN. Definidos los espacios Bp, deb´ıamos estudiar sus propiedades, especialmente la reflexividad, hip´otesis esencial en la aplicaci´on del Teorema 3. Destacamos, entre otras propiedades, que cuando fpertenece a Bp, cualquiera que sea p < +∞, existe la media de fy [f]p=M{|f|p}1 p, lo que hace que Bptenga una estructura similar a Lpsobre un espacio de probabilidad, reemplazando integrales por medias. Probamos una desigualdad de tipo H¨older. M´as precisamente, dadas f∈Bpy g∈Bp0, se verifica que fg pertenece a B1y [fg]1≤[f]p[g]p0. Dadas f∈Bp yg∈B1∩L∞(RN), entonces fg pertenece a Bpy [fg]p≤[f]pkgkL∞(RN). Si p≤qyfpertenece a Bqentonces fpertenece a Bpy [f]p≤[f]q, etc. Respecto a la reflexividad, obtuvimos el siguiente resultado: Teorema 4 Si denotamos por Bpel espacio cociente de Bpcon el n´ucleo de la seminorma [·]p, se tiene que para todo pcon 1≤p < +∞la aplicaci´on F:Bp0→(Bp)0, definida por < F ˆu, ˆv >=M{uv}si 1 <p<+∞, < F ˆu, ˆv >=M{T[u]∞(u)v}si p= 1, es un isomorfismo isom´etrico. En particular, los espacios Bpcon 1<p<+∞ son reflexivos. El espacio B2es un espacio de Hilbert. La demostraci´on de este teorema usa esencialmente propiedades de las funciones truncadas de una funci´on de Besicovitch. As´ı, si Tr:R→R, con r > 0, es la funci´on truncada a la altura r, es decir, Tr(s) =    ssi |s| ≤ r, rsi s > r, −rsi s < −r, probamos que si fpertenece a Bp, entonces Tr(f) pertenece a B∞y l´ım[f− Tn(f)]p= 0. Estos resultados se tienen gracias a una propiedad fundamental que verifica todo ´algebra con valor medio: Que es cerrada para aplicaciones continuas, es decir, si fpertenece a Xyges continua en Rentonces g(f) pertenece a X. Es habitual que en los problemas de Homogeneizaci´on no interese solamente la convergencia en dos escalas de {uε}sino tambi´en la de {∇uε}. Esto fue lo que nos llev´o a definir el espacio W2(RN;C) en [5]. En este nuevo marco funcional deb´ıamos definir un espacio an´alogo que nos caracterizara el l´ımite en dos escalas 64 I. Gayte de {∇uε}. Fue entonces necesario desarrollar una teor´ıa de diferenciaci´on para los espacios de Besicovitch generalizados. El concepto fundamental de esta teor´ıa es el de derivada en media de una funci´on de B1, que es una definici´on an´aloga a la de derivada distribucional de una funci´on de L1 loc(RN). Para ello, hac´ıa falta definir en este contexto un espacio que jugara el papel que juega C∞ 0(RN) (funciones infinitamente derivables, de soporte compacto) en la teor´ıa distribucional. Este espacio fue definido as´ı: D∞={f∈C∞(RN) : Dαf∈X∀α∈(N∪{0})N}. La propiedad fundamental que verifica D∞es que es denso en Bppara p < +∞. Esto se demuestra haciendo uso de la convoluci´on. Definimos entonces la derivada i-´esima en media de f∈B1, que denotamos por ∂i,mf, como la aplicaci´on lineal de D∞en Rdada por ∂i,mf(ϕ) = −M{f∂ϕ ∂xi} ∀ϕ∈D∞, en claro paralelismo con la derivada distribucional. Llamamos gradiente en media de fa∇mf= (∂1,mf,...,∂N,mf), y divergencia en media de F∈(B1)N a divmF=PN i=1 ∂i,mFi. A partir de las derivadas en media se puede hacer una construcci´on similar a la de los espacios de Sobolev y definir B1,p ={f∈Bp:∃fi∈Bpcon ∂i,mf(ϕ) = M{fiϕ} ∀ϕ∈D∞,∀i, 1≤i≤N}. Para nuestros prop´ositos precis´abamos profundizar en la relaci´on entre este concepto de derivaci´on y el de derivada distribucional. Conseguimos una f´ormula de integraci´on por partes M{u∂v ∂xi}=−M{∂u ∂xi v}, v´alida cuando u,∂u ∂xi pertenecen a Bpyv,∂v ∂xi pertenecen a Bp0, que nos da una relaci´on entre los dos conceptos de derivaci´on: Si upertenece a Bpy su derivada distribucional respecto a xitambi´en, entonces ∂i,mu=∂u ∂xi en Bp. Para la relaci´on rec´ıproca es necesario introducir un nuevo espacio, que por otra parte ser´a el que nos d´e la caracterizaci´on del l´ımite en dos escalas de {∇uε}. Definimos para 1 <p<+∞ Wp={f∈W1,p loc (RN) : ∇f∈(Bp)NyM{∇f}= 0}, i.e. el espacio de las funciones que pueden no ser de Besicovitch pero s´ı sus gradientes, y adem´as, estos ´ultimos con media cero. Demostramos entonces un teorema esencial para todo lo que sigue: Homogeneizaci´on, dos escalas, ... 65 Teorema 5 El espacio ∇Wpes un subespacio vectorial cerrado de (Bp)N. La demostraci´on es bastante t´ecnica y requiere obtener previamente una desigualdad del tipo “Poincar´e-Wirtinger”. Esta propiedad de ∇Wpnos da la relaci´on rec´ıproca entre derivada en media y derivada distribucional: Si u∈Bpes tal que ∇mupertenece a (Bp)N, entonces existe v∈Wptal que [∇v−∇mu]p= 0, es decir, ∇vy∇muson iguales en (Bp)N. Para tratar un problema de Homogeneizaci´on con la t´ecnica de doble escala, es necesario pasar por la formulaci´on variacional del problema con funciones “test” regulares pertenecientes a un subespacio denso de un cierto espacio. Deb´ıamos obtener resultados de densidad en ∇Wp, lo que nos llev´o a definir el subespacio de Bpsiguiente para 1 ≤p < +∞: Sp={v∈Bp∩W1,p loc (RN) : ∇v∈(Bp)N}. Cuando al ´algebra Xse le pide una propiedad m´as, la ergodicidad, que en particular es satisfecha por CAP(RN), se puede demostrar que ∇Spes denso en ∇Wp. Este resultado, hasta donde nosotros conocemos, es tambi´en nuevo para las funciones casi peri´odicas. En la Homogeneizaci´on de problemas el´ıpticos lineales con coeficientes casi peri´odicos (ver [19]), O.A. Oleinik y V.V. Zhikov trabajan con la adherencia del espacio de gradientes de polinomios trigonom´etricos sin llegar a caracterizar ´esta, que no es sino ∇Wp, es decir, el espacio de las funciones casi peri´odicas que son el gradiente de otra funci´on. Otro resultado de densidad tambi´en ´util es que, cuando Xes erg´odica, ∇mB1,p es denso en ∇Wp. Que un ´algebra sea erg´odica significa que para toda f∈B1que satisfaga [f−f(·+s)]1= 0 ∀s∈RN(6) se tiene necesariamente que [f−M{f}]1= 0, es decir, que fes igual (en B1) a una constante. Una caracterizaci´on curiosa de las funciones que satisfacen (6) es que su gradiente en media es cero. 5. Resultados de compacidad para la convergencia en dos escalas. Con este estudio de los espacios de Besicovitch generalizados y de la derivaci´on, pod´ıamos ahora demostrar los teoremas de convergencia en dos escalas en este marco m´as general. El primer resultado que busc´abamos era un teorema de compacidad que nos permitiera pasar al l´ımite cuando εtiende a cero en expresiones del tipo ZΩ uε(x)ψ(x, x ε)dx 72 I. Gayte Teorema 9 Sea Kun espacio compacto, Wun espacio de Banach y Bun subespacio de C(K;W)con las propiedades: 1. Bcontiene a las funciones constantes. 2. Bsepara puntos de K. 3. Para todo funcional multilineal continuo de Wen R,ψ∈ Ln(W;R), para todo conjunto {ϕi}n i=1 ⊂By para todo w∈S, siendo Sun denso de W, se verifica que ψ(ϕ1(·),...,ϕn(·))wpertenece a B. Entonces Bes denso en C(K;W). La demostraci´on consiste en usar el teorema de la partici´on de la unidad y el teorema de Stone-Weierstrass. Dos consecuencias de la Proposici´on 8 son, de una parte, que si fpertenece a˜ XVentonces kf(·)kp Vpertenece a Xy por consiguiente existe M{kf(·)kp V}y, por otra, que si se define la funci´on Tr:V→V, con r > 0, como Tr(v) = (vsi kvk ≤ r, rv kvksi kvk> r, (una funci´on truncada pero en el caso vectorial), dada f∈˜ XVse verifica que Tr(f) pertenece a ˜ XV. Con el primer resultado se obtiene f´acilmente que si fpertenece a Bp V(X), p < +∞, entonces existe M{kf(·)kp V}y por tanto [f]p,V =M{kf(·)kp V}1 p. La segunda consecuencia permite demostrar la reflexividad de Bp H(X), para 1<p<+∞yHun espacio de Hilbert, siguiendo los pasos de la demostraci´on del caso escalar. Demostramos entonces que la aplicaci´on F:Bp0 H(X)→(Bp H(X))0 dada por < Fg, f >=M{(g, f)H} ∀f∈Bp H(X),∀g∈Bp0 H(X) es un isomorfismo isom´etrico. Con este resultado se demuestra el teorema de compacidad para la convergencia en dos escalas: Teorema 10 Sea {uε}una sucesi´on acotada en Lp(Ω; H),1<p<+∞. Entonces, existe una subsucesi´on, que seguiremos denotando por {uε}, y una funci´on u∈Lp(Ω; Bp H(X)) tal que ∃l´ım ε→0ZΩ (uε(x), ψ(x, x ε))Hdx =ZΩ My{(u(x, y), ψ(x, y))H}dx ∀ψ∈Lp0(Ω; ˜ XH). Homogeneizaci´on, dos escalas, ... 73 En [12] se aplica la t´ecnica de la doble escala a la Homogeneizaci´on de una ecuaci´on de transporte lineal, con campo de velocidades y dato inicial oscilando casi peri´odicamente. En concreto, consideramos el problema (uε t+∇x·(aε(x)uε) = 0 uε(x, 0) = u0(x, x ε),(13) donde aes un campo vectorial con divergencia nula respecto de xy respecto de y,aε(x) = (a1(x, x ε),...,aN(x, x ε)) y tanto las funciones ai(x, y) como u0(x, y) son casi peri´odicas en y. El m´etodo de la convergencia en dos escalas hab´ıa sido aplicado ya a este problema en [10] cuando los datos eran peri´odicos. Se tiene que {uε}, soluci´on de (13), converge en dos escalas a u, que es una funci´on de tres variables, (x, y, t), que con respecto a xpertenece a L2 loc, con respecto a yes casi peri´odica en el sentido de Besicovitch y con respecto a t est´a en L∞ loc y es la soluci´on de    ∂ ∂t My{u(x, y, t)}+ divxMy{a(x, y)u(x, y, t)}= 0, a(x, y)·∇m,yu= 0, My{u(x, y, 0)}=My{u0(x, y)}. Abordar otros problemas de evoluci´on donde aparezcan derivadas respecto de variables espaciales de orden dos requiere desarrollar con mayor profundidad la teor´ıa de la convergencia en dos escalas y de los espacios de Besicovitch para funciones con rango en un espacio de Banach. Ser´ıa interesante obtener un resultado de reflexividad para los espacios Bp V(X), sin tener que limitarnos a que Vsea un espacio de Hilbert. Para ello har´ıa falta formular una propiedad de Radon-Nikodym en este marco y hacer un estudio como el que se hace en [9] para los espacios Bp V(X). Esta es una de las cuestiones que estoy actualmente estudiando. Entiendo que desarrollar una teor´ıa de diferenciaci´on y caracterizar el l´ımite en dos escalas de ∇xuεcuando {uε}est´a contenida en Lp(Ω; V) es imprescindible para poder aplicar el m´etodo a problemas con derivadas espaciales de segundo orden. Y hay otras cuestiones que quedaron aparcadas en el caso escalar. Entre otras, estudiar la existencia de una “medida de Young en dos escalas” (hay un trabajo que analiza el caso peri´odico, v´ease [10]). Referencias [1] G. Allaire, Homogenization and two-scale convergence. SIAM J. Math. Anal., 23, 6 (1992), 1482-1518. 74 I. Gayte [2] A. Bensoussan, J. L. Lions, G. Papanicolaou, Asymptotic analysis for periodic structures. North-Holland, Amsterdam, 1978. [3] A. S. Besicovitch, Almost periodic functions. Dover, Cambridge, 1954. [4] A. 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