Corrección de tensiones en redes eléctricas de distribución mediante técnicas heurísticas

i Equation Chapter 1 Section 1 Proyecto Fin de Grado Grado en Ingeniería de Tecnologías Industriales Corrección de tensiones en redes eléctricas de distribución mediante técnicas heurísticas Dep. de Ingeniería Eléctrica Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Autor: Francisco Javier Zarco Soto Tutor: José Luis Martínez Ramos Sevilla, 2017 iii Proyecto Fin de Grado Grado en Ingeniería en Tecnologías Industriales Corrección de tensiones en redes eléctricas de distribución mediante técnicas heurísticas Autor: Francisco Javier Zarco Soto Tutor: José Luis Martínez Ramos Catedrático de Universidad Dep. de Ingeniería Eléctrica Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2017 v Proyecto Fin de Grado: Corrección de tensiones en redes eléctricas de distribución mediante técnicas heurísticas Autor: Francisco Javier Zarco Soto Tutor: José Luis Martínez Ramos El tribunal nombrado para juzgar el Proyecto arriba indicado, compuesto por los siguientes miembros: Presidente: Vocales: Secretario: Acuerdan otorgarle la calificación de: Sevilla, 2017 El Secretario del Tribunal vii A mi familia, en especial a mis padres ix Agradecimientos Llegados a este punto, me gustaría dedicar unas palabras de agradecimiento a todas aquellas personas que, de un modo u otro, me han acompañado a lo largo de mi formación. En primer lugar, querría agradecer a mi tutor José Luis toda su disponibilidad y guía a lo largo de este trabajo, por atender todas mis dudas y aconsejarme en aquellos momentos en que me quedé atascado. Igualmente, gracias a todos los profesores de las Escuela y en concreto a los del departamento de Ingeniería Eléctrica, pues sin duda han conseguido entusiasmarnos con sus asignaturas. Gracias también a todos mis amigos, a los que desde pequeño me han acompañado y a los que he conocido en la Escuela, donde hemos pasado juntos incontables horas. Gracias a mis padres por su eterna dedicación, porque desde siempre lo han dado todo por sus hijos y por todas las personas que tienen a su alrededor. Gracias a mi familia, por acompañarme en todos los momentos de mi vida y ser un apoyo constante, porque continúan cuidándome y dándome todo el cariño. Y sin duda alguna, gracias a mi padre, que es una fuente de inspiración. Gracias porque me aconseja siempre y por la incansable ayuda que me presta en casa, porque con su inestimable experiencia siempre es capaz de enseñarme algo nuevo. Francisco Javier Zarco Soto Sevilla, 2017 Tabla 29. Líneas de red de distribución. 38 Tabla 30. Potencia activa de cargas tipo doméstica. 39 Tabla 31. Potencia reactiva de cargas tipo doméstica. 40 Tabla 32. Potencia activa de cargas tipo industria. 40 Tabla 33. Potencia reactiva de cargas tipo industria. 41 Tabla 34. Generación distribuida en red de distribución. 42 xvii ÍNDICE DE FIGURAS Figura 1. Perfil de tensiones en redes de distribución pasivas [5]. 4 Figura 2. Perfil de tensiones en redes de distribución activas [5]. 5 Figura 3. Diagrama de flujo básico del sistema. 7 Figura 4. Red ejemplo de 5 nudos. 13 Figura 5. Red IEEE 14 Bus Test Case [14]. 18 Figura 6. Red de distribución radial. 20 Figura 7. Demanda total de consumidores tipo doméstico de la red de distribución. 20 Figura 8. Demanda total de consumidores tipo industria de la red de distribución. 21 Figura 9. Generación total de fuentes de GD 24 xix Notación 𝑉𝑖 Módulo de la tensión en el nudo 𝑖. 𝑉𝑐𝑖, 𝑉𝑔𝑖 Módulo de la tensión en el nudo de consumo 𝑖 y en el nudo de generación 𝑖, respectivamente. 𝑉𝑖1, 𝑉𝑗2 Módulo de la tensión en el primario del transformador entre los nudos 𝑖 y 𝑗, y en el secundario del mismo transformador, respectivamente. ∆𝑉𝑘 Desviación de tensión en el nudo 𝑘. 𝜃𝑖 Desfase del nudo 𝑖. 𝜃𝑖𝑗 Desfase entre los nudos 𝑖 y 𝑗. 𝜃𝑖1, 𝜃𝑗2 Desfase del nudo 𝑖, que es el primario del transformador entre los nudos 𝑖 y 𝑗, y desfase del nudo 𝑗, que es el secundario del mismo transformador, respectivamente 𝜃𝑖𝑗 12 Desfase entre los nudos 𝑖 y 𝑗 que son el primario y el secundario del mismo transformador. 𝑃𝑖, 𝑄𝑖 Potencia activa y potencia reactiva inyectada en el nudo 𝑖, respectivamente. 𝑄𝑐𝑖, 𝑄𝑔𝑖 Potencia reactiva inyectada en el nudo de consumo 𝑖 y en el nudo de generación 𝑖, respectivamente. 𝑃𝑖1, 𝑃𝑗2 Potencia activa inyectada en el primario del transformador entre los nudos 𝑖 y 𝑗, y secundario del mismo transformador, respectivamente. 𝑄𝑖1, 𝑄𝑗2 Potencia reactiva inyectada en el primario del transformador entre los nudos 𝑖 y 𝑗, y en el secundario del mismo transformador, respectivamente. 𝑡 Ratio de la toma del transformador. 𝐺𝑖𝑗 Conductancia entre los elementos 𝑖 y 𝑗. 𝐵𝑖𝑗 Susceptancia entre los elementos 𝑖 y 𝑗. 𝐺𝑖𝑗 𝑐𝑐 Conductancia de cortocircuito del transformador entre los nudos 𝑖 y 𝑗. 𝐵𝑖𝑗 𝑐𝑐 Susceptancia de cortocircuito del transformador entre los nudos 𝑖 y 𝑗. 𝐵 (MVAr) Susceptancia indicada en MVAr para un valor unitario de la tensión. 𝑋 Reactancia. r, x Resistencia y reactancia en “por unidad”, respectivamente. 𝑛 Número de nudos del sistema. 𝑢 Variable de control genérica. ∆𝑢𝑃𝑟𝑜𝑝𝑖𝑜 Actuación máxima disponible de la variable de control 𝑢 según los límites propios. ∆𝑢𝑉𝑐 Actuación máxima disponible de la variable de control 𝑢 según los límites de las tensiones en nudos de consumo. ∆𝑢𝑄𝑔 Actuación máxima disponible de la variable de control 𝑢 según los límites de potencia reactiva en los generadores. 𝑆𝑉𝑐,𝑢, 𝑆𝑄𝑔,𝑢 Matriz de sensibilidad que relaciona las tensiones de consumo y las potencias reactivas de los generadores con la variable de control 𝑢, respectivamente. 𝑆𝑉𝑐,𝑢 𝑖, 𝑆𝑄𝑔,𝑢 𝑖 Sensibilidad de la tensión en el nudo de consumo 𝑖 y sensibilidad de la potencia reactiva en el generador del nudo 𝑖 respecto a la variable de control 𝑢, respectivamente. 𝐶𝐸𝑢 Coeficiente de Eficacia de la variable de control 𝑢. 𝐴𝑚𝑎𝑥,𝐴𝑚𝑖𝑛 Límites superior e inferior de la variable 𝐴. ∆𝑎 Incremento de la variable 𝑎. 𝜕𝑥/𝜕𝑦 Derivada parcial de 𝑥 respecto de 𝑦. 𝑠𝑒𝑛 Función seno. 𝑐𝑜𝑠 Función coseno. 𝑚𝑎𝑥 Función que determina el elemento de mayor valor de un vector. 𝑚𝑖𝑛 Función que determina el elemento de menor valor de un vector. ≈ Casi igual a (asintótico a). ≪ Mucho menor que. BT Baja tensión. FCDR Flujo de Cargas Desacoplado Rápido. FDLF Fast Decoupled Load Flow. GD Generación Distribuida. M Prefijo que indica un factor de 106. MT Media tensión. OPF Optimal Power Flow. pu Por unidad. VAr Voltio-amperio reactivo (unidad de potencia reactiva). W Watio (unidad de potencia activa). 1 1 INTRODUCCIÓN esde su concepción hace más de un siglo, el sistema eléctrico fue diseñado para transportar energía a grandes distancias, desde los grandes centros de producción hasta los consumidores finales. Alrededor de este planteamiento, se creó la gran infraestructura eléctrica que conocemos hoy, dividida en redes de más a menos tensión según la cantidad de energía transportada. La aparición de generación distribuida debido a la microgeneración, favorecida por el auge de las energías renovables, trae consigo indudablemente numerosas ventajas. Por un lado, se reducen las pérdidas del sistema al acercar los puntos de generación y consumo y, a largo plazo, se reduce la necesidad de invertir en la red. Para el caso de las energías renovables, se consigue una producción de energía respetuosa con el medio ambiente, la no dependencia de combustibles fósiles y, por tanto, una mayor independencia energética. El aprovechamiento de estos recursos, abundantes en nuestro país, es una meta que sin duda se debe alcanzar. Sin embargo, la penetración de la generación distribuida también trae consigo nuevos retos para el sistema eléctrico. En primer lugar, puesto que la mayoría de esta generación proviene de energías renovables y debido a la falta de desarrollo de las tecnologías de almacenamiento, no se puede controlar la energía inyectada en la red. Por otro lado, desde el punto de vista del operador del sistema, se tienen numerosos problemas de operación y planificación, tales como: explotación de la red y seguridad del personal de mantenimiento, impacto en la explotación de la red respecto al control de tensiones, los niveles de cortocircuito e interrupciones debidas a defectos de la red, y el impacto sobre los refuerzos de la red para adecuarse a las nuevas conexiones de generación distribuida [1]. En el caso concreto de las tensiones, al tener puntos de generación distribuida a lo largo de la red, se modifican los flujos de potencia activa y reactiva, que pasan a ser bidireccionales, y se modifica el perfil de la tensión. Esto puede hacer que la tensión aumente en puntos intermedios de la red sin conocimiento del operador del sistema y ocasionar numerosos problemas para la seguridad. Por tanto, no solo se deberá invertir en nuevos equipos de medida y protección, sino que será necesario desarrollar nuevos procedimientos de operación, que permitan explotar el sistema eléctrico acorde con la eficiencia energética que se demanda y sin poner en riesgo la seguridad personal y material. D 3 2 OPERACIÓN DE REDES ara realizar una buena explotación del sistema eléctrico, de forma que éste sea seguro y eficiente, se deben mantener todas las variables de funcionamiento dentro de unos límites relativamente estrictos. Las variables que más inciden en el consumidor final se refieren a las características de la onda de tensión a la que se realiza el suministro eléctrico, fundamentalmente: valor eficaz, frecuencia fundamental y pureza de la onda [2]. Estas variables no permanecen constantes al no hacerlo la demanda y, por tanto, las potencias activa y reactiva. Desde el punto de vista del usuario del sistema, algunas magnitudes exigen unos márgenes más estrictos que otras. Mientras que la frecuencia debe mantener su valor prácticamente constante en cada instante y nulo a lo largo del tiempo, el módulo de la tensión no deberá variar más allá de una banda del ±7% centrada en su valor nominal [3]. El problema de regulación de la tensión y de la frecuencia se debe resolver tanto a nivel de planificación, donde se prevén los requerimientos de control necesarios, como a nivel de operación, asignando los recursos disponibles para un buen funcionamiento del sistema eléctrico. Según cómo se efectúe la regulación, estos recursos pueden ser de carácter discreto, como la conexión o desconexión de condensadores y reactancias, o continuo, como la regulación llevada a cabo por un generador. En un sistema eléctrico, se supone una carga conectada a una línea eléctrica de parámetros concentrados. Suponiendo una inyección de potencia al principio de dicha línea y si se desprecia la resistencia de la línea frente a la componente inductiva, la potencia consumida por la carga se puede escribir como [4]: 𝑃𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎=𝑉1𝑉2 𝑋𝑠𝑒𝑛 𝜃12 ; 𝑄𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎=𝑉1𝑉2 𝑋𝑐𝑜𝑠 𝜃12−𝑉22 𝑋 (1) donde 𝑉1 denota el módulo de la tensión al inicio de la línea, 𝑉2 el módulo de la tensión al final de la línea, 𝜃12 el desfase entre las tensiones y 𝑋 la reactancia de la línea. En las redes de transporte, además de poder despreciar la resistencia, se puede suponer 𝑠𝑒𝑛 𝜃12≈𝜃12 y 𝑐𝑜𝑠 𝜃12≈1. Por tanto, los flujos de potencia no solo quedan desacoplados, sino que el flujo de potencia activa queda relacionado con la diferencia de los ángulos mientras que el flujo de reactiva queda ligado a la caída de tensión. Dado que el valor de los ángulos está directamente relacionado con el valor de la frecuencia y los valores relativos de los ángulos con el valor acumulado de las desviaciones de frecuencia, se puede concluir que los desequilibrios de potencia activa se traducen en modificaciones en la frecuencia [2]. Es por ello que, tradicionalmente en las redes de transporte, el control se divide en dos vertientes: el control potencia-frecuencia (P-f), de carácter global, y el control reactiva-tensión (Q-V), de carácter local. Sin embargo, las suposiciones antes hechas son válidas únicamente para tensiones relativamente altas, pues a partir de los 66 kV aproximadamente la resistencia empieza a ser no despreciable. Para el caso concreto de las tensiones, el control en las redes de distribución no será el mismo que en las redes de transporte. Habitualmente, estas últimas siempre han contado con una mayor inversión en equipos de control y medida, debido a los elevados flujos energéticos que manejan, y son explotadas de forma mallada. Por el contrario, las redes de distribución, antes de la penetración de la generación distribuida, eran generalmente pasivas y se explotaban de forma radial. Por tanto, era suficiente con controlar la tensión en el nudo inicial (y tal vez algunos intermedios) para garantizar niveles aceptables de tensión. 2.1 Control tradicional de tensiones en redes de distribución pasivas Como se explica en [5], tradicionalmente la tensión ha sido regulada en redes de media tensión (MT) mediante P Operación de redes 4 el cambio de tomas de los transformadores que alimentan dichas redes. El cambiador de tomas aumenta o disminuye el ratio de la tensión del devanado primario o secundario según se requiera. Para ello, devanados adicionales son conectados o desconectados a los básicos, pudiendo hacerse en carga. En general, el cambiador de tomas se encuentra en el primario del transformador (lado de alta tensión) pues las corrientes que circulan son menores. El modo de operación se basa principalmente en medir la tensión en las barras de MT de la subestación. Ésta se compara con una tensión de referencia, habitualmente tomada entre el 105% y el 110% de la tensión nominal, y actúa en consecuencia. Por otro lado, se tiene en cuenta la corriente medida, pues a mayor circulación de corriente, mayor será la caída de tensión a lo largo de la línea que el transformador alimenta. Por el contrario, demandas bajas implicarán menores caídas de tensión. Así, la tensión consigna aumentará en los picos de la demanda y disminuirá en horas valles. De esta forma, los clientes conectados cerca de las subestaciones tendrán una mayor tensión que los que se encuentren más lejos. Para que todos los clientes de baja tensión (BT) tengan tensiones aceptables, los transformadores MT/BT también necesitan de cambiadores de tomas. El ratio que estos proporcionen dependerá de su posición a lo largo de la línea y de la demanda. En la Figura 1 se muestra un perfil de tensiones tradicional para redes malladas. Figura 1. Perfil de tensiones en redes de distribución pasivas [5]. 2.2 Control de tensiones en redes de distribución con generación distribuida La penetración de la generación distribuida trae consigo numerosas ventajas, sin embargo, también trae nuevos retos al cambiar la configuración de la red de distribución, que pasa a ser activa. Tradicionalmente, en la planificación de estas redes, se estudian los dos casos extremos de la demanda, es decir, la hora punta y la hora valle. Sin embargo, este método no es válido con la aparición de generación distribuida, pues los flujos de potencia son bidireccionales, obteniéndose un nuevo perfil de tensiones. Ahora habrá que estudiar la situación de alta generación durante horas valle y baja generación durante horas punta (Figura 2). El control de tensiones es entonces más complejo, pues el problema de sobretensiones debe ser resuelto también 5 Corrección de tensiones en redes eléctricas de distribución mediante técnicas heurísticas para el caso de una fuerte generación durante horas valles, donde el perfil de tensiones será el inverso del tradicional. Será necesaria una coordinación entre las medidas de la tensión en la barra de MT de la subestación y las líneas de BT. Por tanto, se deberán instalar nuevos puntos de medida, al menos, en los dos extremos de la línea de BT, en el último punto de conexión y en los terminales del transformador de MT/BT. Figura 2. Perfil de tensiones en redes de distribución activas [5]. En el caso de sobretensiones a causa de una fuerte inyección de potencia (principalmente plantas fotovoltaicas al mediodía), es necesario disminuir la tensión y por ello se debe aumentar la potencia activa y/o la reactiva consumida cerca del punto de dicha inyección. Para ello se sugieren tres métodos: • El operador de la red de distribución puede influir en el consumo ofertando tarifas más baratas en los períodos que se prevea una mayor generación, como los días soleados o durante el mediodía. Un ejemplo es la ciudad de Mannheim, Alemania, donde se demostró la eficacia de este método utilizando el slogan “Lavando a la luz del sol” (“Washing with the sunshine” [6]). • Instalar baterías en los nudos más afectados para almacenar los excedentes de potencia generada y conseguir una disminución de la tensión. • Controlar el factor de potencia de los convertidores de potencia de las fuentes de energía distribuida para consumir potencia reactiva. En niveles bajos de tensión (400V) no será tan efectivo porque la resistencia de las líneas es mucho mayor que la reactancia. Por el contrario, si se tienen bajas tensiones a causa de una generación mínima en horas punta, se necesitará aumentar la tensión. La metodología a aplicar en este caso será la contraria a la anterior: ofertar tarifas caras, descargar las baterías y ceder potencia reactiva. Actuaciones correctivas para tensiones 12 ∆𝑄𝑐=𝜕𝑄𝑐 𝜕𝜃∆𝜃+𝜕𝑄𝑐 𝜕𝑉𝑐∆𝑉𝑐+𝜕𝑄𝑐 𝜕𝑉𝑔∆𝑉𝑔=0 (20) De nuevo, es necesario despejar ∆𝜃 de (14) concretizando para este caso. Sustituyendo en (20) y operando se obtiene: ∆𝑉𝑐=𝑆𝑉𝑐,𝑉𝑔 ∆𝑉𝑔 (21) donde: 𝑆𝑉𝑐,𝑉𝑔=−𝑆𝑉𝑐,𝑄𝑐[𝜕𝑄𝑐 𝜕𝑉𝑔−𝜕𝑄𝑐 𝜕𝜃[𝜕𝑃 𝜕𝜃]−1𝜕𝑃 𝜕𝑉𝑔 ] (22) De igual forma, a partir del desarrollo de ∆𝑄𝑔 en (17), particularizado para este caso y sustituyendo el valor anteriormente despejado de ∆𝜃, se obtiene: ∆𝑄𝑔=𝑆𝑄𝑔,𝑉𝑔 ∆𝑉𝑔 (23) donde: 𝑆𝑄𝑔,𝑉𝑔=−𝜕𝑄𝑔 𝜕𝜃[𝜕𝑃 𝜕𝜃]−1𝜕𝑃 𝜕𝑉𝑐𝑆𝑉𝑐,𝑉𝑔−𝜕𝑄𝑔 𝜕𝜃[𝜕𝑃 𝜕𝜃]−1𝜕𝑃 𝜕𝑉𝑔+𝜕𝑄𝑔 𝜕𝑉𝑐𝑆𝑉𝑐,𝑉𝑔+𝜕𝑄𝑔 𝜕𝑉𝑔 (24) 3.2.3 Matriz de sensibilidad según tomas de transformadores Se repiten de nuevo los cálculos anteriores, pero esta vez se tiene que ∆𝑄𝑐=0 y ∆𝑉𝑔=0. En este caso, la ecuación (12) queda como: ∆𝑄𝑐=𝜕𝑄𝑐 𝜕𝜃∆𝜃+𝜕𝑄𝑐 𝜕𝑉𝑐∆𝑉𝑐+𝜕𝑄𝑐 𝜕𝑡∆𝑡=0 (25) Una vez más, es necesario despejar ∆𝜃 de (14) y particularizar para este caso. Sustituyendo en (25) y operando se obtiene: ∆𝑉𝑐=𝑆𝑉𝑐,𝑡 ∆𝑡 (26) donde: 𝑆𝑉𝑐,𝑡=−𝑆𝑉𝑐,𝑄𝑐[𝜕𝑄𝑐 𝜕𝑡−𝜕𝑄𝑐 𝜕𝜃[𝜕𝑃 𝜕𝜃]−1𝜕𝑃 𝜕𝑡] (27) Igualmente, a partir del desarrollo de ∆𝑄𝑔 en (17), particularizando para este caso y sustituyendo el valor anteriormente despejado de ∆𝜃, se deduce: ∆𝑄𝑔=𝑆𝑄𝑔,𝑡 ∆𝑡 (28) donde: 𝑆𝑄𝑔,𝑡=−𝜕𝑄𝑔 𝜕𝜃[𝜕𝑃 𝜕𝜃]−1𝜕𝑃 𝜕𝑉𝑐𝑆𝑉𝑐,𝑉𝑔−𝜕𝑄𝑔 𝜕𝜃[𝜕𝑃 𝜕𝜃]−1𝜕𝑃 𝜕𝑡+𝜕𝑄𝑔 𝜕𝑉𝑐𝑆𝑉𝑐,𝑡+𝜕𝑄𝑔 𝜕𝑡 (29) 13 Corrección de tensiones en redes eléctricas de distribución mediante técnicas heurísticas 3.3 Ejemplo ilustrativo En esta sección se empleará el método de control de potencia reactiva basado en matrices de sensibilidades para corregir las tensiones en los nudos de consumo. Como ya se indicó, se tomarán como variables de control la potencia reactiva inyectada por baterías de condensadores en los nudos de consumo, la tensión en bornas de generadores y las tomas de los transformadores. Como límites de operación se tomará la tensión en otros nudos de consumo y la potencia reactiva en los generadores. Por simplificar, el control seleccionado será el de mayor sensibilidad hasta agotarlo. Para probar el método se utilizará la red que se muestra en la Figura 4, compuesta de 5 nudos, 2 generadores, 2 transformadores, 4 líneas y 1 batería de condensadores, cuyas características se muestran en las tablas 1 a 5. Cabe destacar que, para la batería de condensadores, el valor de la susceptancia se da en MVAr para una tensión unitaria. La potencia base del sistema es 100 𝑀𝑉𝐴 y se toman como tensiones límites: 𝑉𝑖𝑚𝑖𝑛=0,95 ; 𝑉𝑖𝑚𝑎𝑥=1,05 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑖=1,2,…,5 Figura 4. Red ejemplo de 5 nudos. Nudo P (MW) Q (MVAr) 1 1000 250 2 1000 250 Tabla 1. Cargas de red ejemplo 5 nudos. Nudo B inicial (MVAr) Escalones B (MVAr)/paso 2 120 9 20 Tabla 2. Batería de condensadores de red ejemplo 5 nudos. Nudo 𝑷𝒈 (MW) 𝑸𝒎𝒂𝒙 𝑸𝒎𝒊𝒏 4 1000 1000 -1000 5 (Slack) - - - Tabla 3. Generadores de red ejemplo 5 nudos. Nudo inicial Nudo final r x 𝑩𝒄𝒉 1 2 0,01 0,01 0,02 3 4 0,005 0,02 0,02 3 5 0,005 0,01 0,02 4 5 0,005 0,02 0,02 Tabla 4. Líneas de red ejemplo 5 nudos. Nudo inicial Nudo final r x 𝒕𝟏 𝒕𝒎𝒂𝒙 𝒕𝒎𝒊𝒏 Número posiciones tomas 1 3 0,001 0,015 1 1,1 0,9 21 2 4 0,001 0,01 1 1,1 0,9 33 Tabla 5. Transformadores de red ejemplo 5 nudos. Actuaciones correctivas para tensiones 14 En primer lugar, se debe conocer el estado del sistema. Para ello, se realiza un flujo de cargas cuyo resultado se muestra en la Tabla 6. Teniendo que los nudos de consumo son el 1, 2 y 3 (sombreados), se observa que la tensión del nudo1 se encuentra por debajo del límite inferior, por lo que el programa entra en el módulo de actuaciones correctivas. Nudo Tipo nudo Tensión (pu) Desfase (º) 1 PQ 0,9155 -11,80 2 PQ 0,9517 -11,12 3 PQ 0,9547 -4,17 4 PV 1,0000 -3,89 5 Slack 1 0,00 Tabla 6. Flujo de cargas inicial red ejemplo 5 nudos. Se comienza calculando el problema de tensiones más grave. En este caso sólo la tensión del nudo 1 se encuentra fuera de límites. Aplicando la ecuación (2) se obtiene: ∆𝑉1=0,95−0,9155=0,0345 A continuación, se define el vector de variables de control, 𝑢: 𝑢=[𝑄𝑐2 𝑉𝑔4 𝑡1 𝑡2] donde 𝑄𝑐2 Potencia reactiva inyectada en el nudo de consumo 2. 𝑉𝑔4 Tensión en bornas del generador del nudo 4. 𝑡1, 𝑡2 Ratio de las tomas de los transformadores en los nudos 1 y 2 respectivamente. Para cada variable de control disponible, se calcula la matriz de sensibilidades en el punto de trabajo según lo desarrollado en la sección 3.2. En las matrices 𝑆𝑉𝑐,𝑢, las filas se refieren a los nudos de consumo (nudos 1, 2 y 3) y en las 𝑆𝑄𝑔,𝑢, la fila es el nudo con el generador distinto al slack (nudo 4). Respecto a las columnas, en las matrices 𝑆𝑉𝑐,𝑄𝑐 y 𝑆𝑄𝑔,𝑄𝑐 se refieren a los nudos de consumo (nudos 1, 2 y 3), en las matrices 𝑆𝑉𝑐,𝑉𝑔 y 𝑆𝑄𝑔,𝑉𝑔 son los generadores disintos al slack (nudo 4) y en las matrices 𝑆𝑉𝑐,𝑡 y 𝑆𝑄𝑔,𝑡, son los nudos donde se encuentran las tomas de los transformadores (nudos 1 y 3). A continuación se muestran las matrices de sensibilidades: 𝑆𝑉𝑐,𝑄𝑐=[0,0126 0,0060 0,0038 0,0059 0,0086 0,0038 0,0020 0,0018 0,0061] 𝑆𝑉𝑐,𝑉𝑔=[0,7671 0,9262 0,4845] 𝑆𝑉𝑐,𝑡=[0,4472 0,5199 0,2125 −0,1524 0,7434 0,1704] 𝑆𝑄𝑔,𝑄𝑐=[−0,8147 −0,9434 −0,4926] 𝑆𝑄𝑔,𝑉𝑔=[90,6759] 𝑆𝑄𝑔,𝑡=[−14,6939 13,5994] Puesto que en este ejemplo se tienen únicamente 4 variables de control, no se descartará ninguna. Para elegir la actuación correctiva más eficiente, se calcularán los “Coeficientes de Eficacia”. Previamente, es necesario definir el sentido de las hipotéticas actuaciones de control antes de calcular los límites propios y de operación. Puesto que se busca aumentar la tensión, se muestra en la Tabla 7 el sentido de las actuaciones teniendo en cuenta el signo de las matrices de sensibilidad. 𝑸𝒄𝟐 𝑽𝒈𝟒 𝒕𝟏 𝒕𝟐 𝑺𝑽𝒄,𝒖 0,0060>0 0,7671>0 0,4472>0 0,5199>0 Sentido actuación Subir Subir Subir Subir Tabla 7. Sentido de las actuaciones. 15 Corrección de tensiones en redes eléctricas de distribución mediante técnicas heurísticas Aplicando (5) se calculan los límites propios y mediante (6) y (7) se calculan los de operación. En la Tabla 8 se muestran los resultados en “por unidad” de tensión para 𝑉𝑔4, 𝑡1 y 𝑡2 y en “por unidad” de potencia para 𝑄𝑐1. 𝑸𝒄𝟐 𝑽𝒈𝟒 𝒕𝟏 𝒕𝟐 Límites propios (∆𝒖𝑷𝒓𝒐𝒑𝒊𝒐) 0,6000 0,0500 0,1000 0,1000 Límites de operación Según 𝑽𝒄 (∆𝒖𝑽𝒄) 11,3827 0,1061 0,0308 0,1322 Según 𝑸𝒈 (∆𝒖𝑸𝒈) 18,3469 0,0297 1,1780 0,1979 Tabla 8. Límites propios y de operación red ejemplo 5 nudos. Así, para cada control se calcula la actuación máxima disponible (8): ∆𝑢𝑚𝑎𝑥=[0,6000 0,0297 0,0308 0,1000] Y su “Coeficiente de Eficacia” (9): 𝐶𝐸=[0,0036 0,0228 0,0138 0,0520] Finalmente se selecciona como variable de control la toma del transformador 2, pues tiene el mayor 𝐶𝐸, y se calcula la actuación necesaria (10), sumando 0,005 para tener en cuenta el error de la aproximación lineal y asegurar que se devuelve la tensión a dentro de límites. ∆𝑡2=0,0345+0,005 0,5199 =0,0760 Se tiene que la variación de tensión necesaria (0,0345+0,005) no es mayor que la disponible (indicada por 𝐶𝐸𝑡2=0,0520). Aplicando el nuevo valor a la toma del transformador, se obtiene el nuevo estado del sistema (Tabla 9). En caso de que la actuación disponible fuera menor que la necesaria, se aplicaría la disponible, se calcularía el nuevo estado del sistema y se repetiría el proceso para calcular la nueva actuación necesaria. Nudo Tipo nudo Tensión (pu) Desfase (º) 1 PQ 0,9530 -11,47 2 PQ 1,0055 -11,58 3 PQ 0,9669 -4,37 4 PV 1,0000 -4,11 5 Slack 1,0000 0,00 Tabla 9. Flujo de carga tras corrección en tomas de nudo 2. 3.4 Otras mejoras Anteriormente se ha explicado que se elige el control que corrija la tensión deseada con la mínima actuación posible. Dado el caso en que la variable de control no tenga suficiente margen para actuar, ya sea por límites propios o de operación, se pasará al siguiente con mayor 𝐶𝐸 hasta agotarlo y así sucesivamente. En [7] se explica que esto puede llevar a estados pobres desde el punto de vista del equilibrio de potencia reactiva y los márgenes de reserva (a pesar de estar todas las tensiones dentro de sus márgenes). Por ello, se plantea utilizar una solución de compromiso entre el elevado número de controles propuesto por un OPF y el uso exhaustivo de una variable hasta agotarla. Se propone usar una estrategia basada en el uso de las variables de control con elevadas Actuaciones correctivas para tensiones 16 sensibilidades, mantener buenos niveles en las reservas de potencia reactiva e intentar mantener las variables de control cercanas a sus valores nominales. Además, es posible trabajar con variables de control de distintos tipos y realizar actuaciones simultáneas, así se evita agotar el control con mayor sensibilidad y continuar con el siguiente más sensible. Por otro lado, en [8] se amplía el proceso de resolución de problemas añadiendo como nuevas variables de control reactancias, líneas y, en casos extremos, centrales de bombeo. También se incluye como factor a tener en cuenta la tendencia que se espera que siga la demanda, pues, por ejemplo, si la actuación sugerida es aumentar la tensión consigna de un generador, puede no parecer lógico si en 20 minutos se espera tener que disminuirla. Igualmente, se podría querer buscar una forma que permitiera ejecutar el módulo de actuaciones correctivas junto al de minimización de pérdidas, sin embargo, como se explica en [8], ambos objetivos son a veces contradictorios. En estos casos debe prevalecer la seguridad frente a lo económico. A pesar de este hecho, en general cuando se corrige una tensión mediante 2 o 3 elementos de control, el perfil de tensiones mejora localmente y las pérdidas tienden a disminuir. 17 4 APLICACIONES A REDES Y RESULTADOS n este capítulo se empleará el método de resolución de problemas desarrollado en la sección 3.1 del capítulo anterior para corregir las tensiones en los nudos de consumo. En primer lugar, se usará en una red de transporte, ya que es el entorno para el que fue concebido el método, y después se probará en una red de distribución, con y sin generación distribuida. Como se explicó en el capítulo anterior, una vez se ha determinado la actuación correctiva a aplicar, se actualiza el estado de la red para seguir corrigiendo las tensiones fuera de límites. Puesto que prima la velocidad de cálculo para poder usar el método en herramientas en “tiempo real” [8, 9] y éste fue concebido para redes de transporte, se emplea el flujo de cargas desacoplado rápido (FCDR o FDLF por sus siglas en inglés) [7]. El FDLF se basa [10] en el desacoplamiento existente entre las potencias activas y los módulos de tensiones, y entre las potencias reactivas y los ángulos de fase [11, 12]. Esta circunstancia proviene fundamentalmente de dos hechos: • Los desfases entre nudos adyacentes son relativamente pequeños, lo que implica que 𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑖𝑗≈1 y que 𝑠𝑒𝑛 𝜃𝑖𝑗≈0, donde 𝜃𝑖𝑗 es el desfase existente entre los nudos adyacentes 𝑖 y 𝑗. • En las líneas de transporte el cociente 𝑅/𝑋=𝐺/𝐵≪1 (para líneas de 220 y 400 kV dicho cociente oscila entre 1/5 y 1/10). Por tanto, la utilización de modelos desacoplados funciona peor cuando se trata de sistemas fuertemente cargados y/o correspondientes a niveles de tensión no muy elevados (en líneas de 50 kV el cociente 𝑅/𝑋≈1 y en líneas de 20 kV puede ser bastante mayor que 1). Para este trabajo, puesto que el objetivo es aplicar el método de resolución de problemas de tensiones basado en matrices de sensibilidades a redes de distribución, la resistencia de las líneas ya no es despreciable frente a la reactancia, por tanto, se utilizará el método de Newton-Raphson con formulación polar (ver Anexo, sección 6.1). 4.1 Suposiciones para la aplicación Se aplicarán las mismas suposiciones que en el ejemplo desarrollado en la sección 3.1. Esto es, suponer como variables de control la potencia reactiva inyectada por baterías de condensadores en los nudos de consumo, la tensión en bornas de generadores y las tomas de los transformadores. Como límites de operación se tomará la tensión en otros nudos de consumo y la potencia reactiva en los generadores. Por simplificar, el control seleccionado será el de mayor sensibilidad hasta agotarlo. 4.2 Red de transporte Para este primer ejemplo se utilizará la red IEEE 14 Bus Test Case [13], que representa parte del sistema eléctrico estadounidense de febrero de 1962 [14]. Se compone de 14 nudos, 2 generadores, 3 compensadores síncronos, 1 elemento shunt no controlable, 17 líneas, 2 transformadores de dos devanados y 1 de tres. Este último se encuentra entre los nudos 4, 9 y 8 y, para modelarlo, se crea el nudo ficticio 7, que se une al 4 mediante un transformador de dos devanados y a los nudos 8 y 9 mediante dos líneas de resistencia nula. Un esquema del sistema se presenta en Figura 5. Para ilustrar mejor el método de corrección de tensiones, se utilizarán los datos originales con las siguientes modificaciones: • En el nudo 9 se cambia el elemento shunt fijo por uno variable y de escalones discretos. E Aplicaciones a redes y resultados 18 • El transformador entre los nudos 5 y 6 permitirá variar las tomas, que se encuentran en el nudo 5. Así, en las tablas 21 a 26 de la sección 6.3 del Anexo se muestran los parámetros utilizados en la simulación. Se tomarán como tensiones límites en el caso de nudos con transformadores las indicadas en [13],: 𝑉𝑖𝑚𝑖𝑛=0,51; 𝑉𝑖𝑚𝑎𝑥=1,5; 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖=4,…,9 Mientras que para el resto de nudos serán: 𝑉𝑖𝑚𝑖𝑛=0,95; 𝑉𝑖𝑚𝑎𝑥=1,05; 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖=1,..,4,10,…,14 Figura 5. Red IEEE 14 Bus Test Case [14]. Se comienza el proceso calculando el estado del sistema mediante un flujo de cargas. En la Tabla 10 se muestra el resultado, siendo los nudos de consumo a controlar los sombreados. Teniendo en cuenta los márgenes de tensión, los nudos 10, 11, 12, 13 y 14 se encuentran por encima del límite superior, por tanto el programa entra en el módulo de actuaciones correctivas. El primer paso de la resolución de problemas es elegir el nudo cuya tensión está más alejada de los límites, que en este caso es el nudo 10. Tras ejecutar el proceso para calcular la actuación correctiva necesaria, se determina que la mejor opción es cambiar la inyección de reactiva por parte de la batería de condensadores del nudo 9. Se pasará de 45 𝑀𝑉𝐴𝑟 (escalón 9) a 10 𝑀𝑉𝐴𝑟 (escalón 2). De nuevo, se recalcula el estado del sistema (Tabla 11) y se estudia en qué nudos las tensiones incumplen los márgenes establecidos, que en este caso son los nudos 11 y 12. Para corregir la tensión en 12, por ser la más grave, se determina que la mejor actuación es variar la tensión en bornas del generador 6 a un valor de 1,0603. Finalmente, se vuelve a realizar el flujo de cargas para recalcular el estado del sistema (Tabla 12). Todas las tensiones están dentro de los márgenes establecidos y, por tanto, ninguna actuación correctiva adicional será requerida. 19 Corrección de tensiones en redes eléctricas de distribución mediante técnicas heurísticas Nudo Tipo nudo Tensión (pu) Desfase (º) 1 Slack 1,0600 0,00 2 PV 1,0450 -4,98 3 PV 1,0100 -12,71 4 PQ 1,0226 -10,41 5 PQ 1,0227 -8,80 6 PV 1,0700 -13,96 7 PQ 1,0776 -13,53 8 PV 1,0900 -13,53 9 PQ 1,0879 -15,11 10 PQ 1,0774 -15,20 11 PQ 1,0704 -14,74 12 PQ 1,0576 -14,83 13 PQ 1,0551 -14,97 14 PQ 1,0559 -16,02 Tabla 10. Flujo de cargas inicial de red IEEE 14 Bus Test Case. Nudo Tipo nudo Tensión (pu) Desfase (º) 1 Slack 1,0600 0,00 2 PV 1,0450 -4,98 3 PV 1,0100 -12,73 4 PQ 1,0160 -10,28 5 PQ 1,0184 -8,77 6 PV 1,0700 -14,31 7 PQ 1,0562 -13,31 8 PV 1,0900 -13,31 9 PQ 1,0453 -14,88 10 PQ 1,0422 -15,07 11 PQ 1,0524 -14,81 12 PQ 1,0544 -15,16 13 PQ 1,0488 -15,22 14 PQ 1,0287 -16,04 Tabla 11. Flujo de cargas tras corrección de reactiva inyectada en nudo 9 de red IEEE 14 Bus Test Case. Nudo Tipo nudo Tensión (pu) Desfase (º) 1 Slack 1,0600 0,00 2 PV 1,0450 -4,99 3 PV 1,0100 -12,75 4 PQ 1,0144 -10,28 5 PQ 1,0164 -8,74 6 PV 1,0603 -14,29 7 PQ 1,0539 -13,34 8 PV 1,0900 -13,34 9 PQ 1,0412 -14,94 10 PQ 1,0371 -15,12 11 PQ 1,0450 -14,83 12 PQ 1,0450 -15,16 13 PQ 1,0398 -15,23 14 PQ 1,0224 -16,09 Tabla 12. Flujo de cargas tras corrección de tensión en bornas del generador en nudo 6 de red IEEE 14 Bus Test Case. 4.3 Red de distribución En este ejemplo se probará el funcionamiento del método de corrección de tensiones en una red de distribución radial, para lo cual se utilizará la red expuesta en [15]. Ésta deriva de una red rural alemana de media tensión, que suministra energía a un pequeño pueblo y a sus alrededores. La red resultante (Figura 6) cuenta con dos ramas independientes, una radial y otra mallada, aunque ambas se explotan radialmente. Para facilitar el estudio, los nudos 1 a 11 formarán el subsistema 1, mientras que los nudos 12 a 14 serán el subsistema 2. La tensión nominal es de 20 kV y se alimenta de una red de 110 kV, que se modela como un generador de potencia infinita. La conexión se realiza a través de dos transformadores 110/20 kV (TR1 y TR2). Por otro lado, se cuenta con 14 líneas, dos de las cuales están abiertas, y con al menos una carga en cada nudo, excepto en los Aplicaciones a redes y resultados 20 nudos 0 y 2. Las cargas pueden tener perfil de demanda doméstico o perfil industrial, como se muestra en la Figura 7 y Figura 8. De esta forma, todos los nudos serán de consumo excepto el nudo 0, que será el de referencia. En las tablas 27 a 29 de la sección 6.4 del Anexo se muestran los parámetros del sistema, mientras que los márgenes de tensión de los nudos a controlar serán: 𝑉𝑖𝑚𝑎𝑥=1,02 ; 𝑉𝑖𝑚𝑖𝑛=0,98 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑖=1,2,…,14 En esta sección se estudiarán dos ejemplos, uno donde la red de distribución es pasiva y otro con generación distribuida (GD). Figura 6. Red de distribución radial. Figura 7. Demanda total de consumidores tipo doméstico de la red de distribución. 21 Corrección de tensiones en redes eléctricas de distribución mediante técnicas heurísticas Figura 8. Demanda total de consumidores tipo industria de la red de distribución. 4.4 Red de distribución pasiva En este primer ejemplo se simulará por horas el sistema suponiendo que no hay generación distribuida. Como se explicó en la sección 2.1 del capítulo 0, la situación donde la tensión puede presentar mayor problemática es para los extremos de a la demanda, que en este caso son las horas de 0 a 4 (horas valle) y la hora19 (hora punta). Siendo N el nudo y h la hora, si no se tiene implementado el control de actuaciones correctivas, se obtienen, para cada subsistema, los valores eficaces de tensión mostrados en la Tabla 13 y la Tabla 14 (sombreado en verde las tensiones fuera de límites). • Subsistema 1: N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 h 0 1,0007 1,0149 1,0197 1,0198 1,0198 1,0198 1,0201 1,0201 1,0201 1,0201 1,0201 1 1,0008 1,0153 1,0203 1,0203 1,0203 1,0203 1,0207 1,0207 1,0206 1,0207 1,0207 2 1,0008 1,0156 1,0208 1,0208 1,0209 1,0209 1,0212 1,0212 1,0212 1,0212 1,0212 3 1,0008 1,0155 1,0206 1,0207 1,0207 1,0207 1,0210 1,0210 1,0210 1,0210 1,0210 4 1,0008 1,0152 1,0201 1,0202 1,0202 1,0202 1,0205 1,0205 1,0205 1,0205 1,0205 5 1,0007 1,0142 1,0188 1,0188 1,0188 1,0188 1,0191 1,0191 1,0190 1,0190 1,0190 6 1,0000 1,0058 1,0068 1,0066 1,0063 1,0063 1,0066 1,0066 1,0062 1,0061 1,0060 7 0,9995 1,0000 0,9986 0,9982 0,9978 0,9977 0,9980 0,9981 0,9974 0,9972 0,9971 8 0,9988 0,9918 0,9869 0,9862 0,9855 0,9854 0,9859 0,9859 0,9850 0,9847 0,9845 9 0,9988 0,9918 0,9870 0,9863 0,9856 0,9855 0,9860 0,9860 0,9851 0,9848 0,9846 10 0,9987 0,9903 0,9849 0,9841 0,9834 0,9833 0,9838 0,9838 0,9828 0,9825 0,9823 11 0,9990 0,9941 0,9902 0,9895 0,9889 0,9888 0,9893 0,9894 0,9885 0,9883 0,9881 12 0,9986 0,9895 0,9837 0,9829 0,9821 0,9820 0,9826 0,9827 0,9817 0,9814 0,9812 13 0,9988 0,9920 0,9872 0,9865 0,9858 0,9857 0,9863 0,9863 0,9853 0,9851 0,9849 14 0,9991 0,9951 0,9917 0,9911 0,9905 0,9904 0,9909 0,9909 0,9901 0,9899 0,9897 15 0,9993 0,9972 0,9947 0,9942 0,9936 0,9936 0,9940 0,9940 0,9932 0,9930 0,9929 16 0,9993 0,9983 0,9963 0,9958 0,9953 0,9952 0,9956 0,9957 0,9950 0,9948 0,9946 29 5 CONCLUSIONES Y FUTURAS LÍNEAS DE INVESTIGACIÓN n este trabajo se ha realizado un primer acercamiento a un método de control de potencia reactiva, basado en matrices de sensibilidades, para la corrección de tensiones y así comprobar la viabilidad de aplicarlo a redes de distribución. Dicho método fue implementado como herramienta en “tiempo real” durante la década de los 90 en la red de transporte española, obteniéndose buenos resultados. Debido a los nuevos retos que se presentan en la red de distribución con la penetración de la generación distribuida, se busca un método fiable que permita mantener la tensión dentro de unos márgenes aceptables en todos sus nudos. El desarrollado a lo largo del trabajo, es un método que se ha demostrado que funciona correctamente en la red de transporte y que es fácilmente implementable para la red de distribución. Únicamente es necesario cambiar la forma en que se realiza el flujo de cargas, del método desacoplado rápido al de Newton- Raphson, lo cual es factible gracias al incremento de la potencia de cálculo respecto a la década de los 90. Por otro lado, existe un amplio abanico de energías renovables y no renovables integradas en el marco de la generación distribuida y por tanto un elevado número de variables de control en potencia. Gracias al uso de los “Coeficientes de Eficacia”, el método permite utilizarlas todas al crear un entorno adecuado para compararlas y determinar la actuación de control más adecuada. 5.1 Líneas futuras de investigación El trabajo realizado no ha sido más que un acercamiento al método desarrollado en la década de los 90 desde el punto de vista de la viabilidad para aplicarlo en la red de distribución. Aunque los resultados han sido positivos, pues se corrigen adecuadamente las tensiones, aún quedan, sin duda, numerosos elementos que desarrollar: • Consumir o ceder potencia reactiva utilizando los convertidores de potencia de baterías y generación distribuida. • Tener en cuenta la potencia activa como otra variable de control, usando baterías de continua para almacenar o ceder potencia. • Permitir corregir la tensión en un nudo mediante una actuación simultánea de diferentes variables de control en vez de usar una hasta agotarla. • Implementar como posibles variables de control, además de los elementos de la generación distribuida, reactancias y conectar o desconectar líneas que cambien la topología de la red. • Tener en cuenta otros factores a la hora de elegir la actuación de corrección necesaria aparte de la sensibilidad, como la evolución esperada de la demanda y de la generación, el coste económico de emplear cada variable o el desgaste sufrido en cada actuación (como es el caso de las tomas de los transformadores). • Los generadores empleados en la GD en general son de poca potencia, por tanto, no tienen capacidad suficiente para regular la tensión en sus nudos de conexión. En el ejemplo de la red de distribución de media tensión, como se explicó, ningún generador tiene capacidad suficiente para regular la tensión en un nudo en solitario. Por tanto, para aprovechar esta variable de control, se podrían utilizar todos los generadores cercanos para regular la tensión en un nudo. Por otro lado, podría bastar con acompañar ciertos generadores con baterías de condensadores. En cualquier caso, también se debe tener en cuenta que, al menos en el ejemplo estudiado, empleando únicamente las tomas de los transformadores se podía mantener las tensiones dentro de límites, tanto en el caso de la red activa como pasiva. E 31 6 ANEXO 6.1 Flujo de cargas Tal y como viene explicado en [16], el problema conocido como flujo de cargas (load flow o power flow en lengua inglesa) consiste en obtener las condiciones de operación en régimen permanente de un sistema de energía eléctrica. A partir de los consumos en cada nudo y la potencia generada por los alternadores, se trata de encontrar las tensiones en los nudos y los flujos de potencia por las líneas y transformadores. El flujo de cargas consta básicamente de dos etapas: la primera y más decisiva consiste en obtener las tensiones complejas en todos los nudos eléctricos. Debido a que las restricciones de contorno se especifican en términos de potencias, se deberá resolver un sistema de ecuaciones no lineales. La segunda etapa consiste en el cálculo de todas las magnitudes de interés, como los flujos de potencia activa y reactiva, las pérdidas, etc. 6.1.1 Planteamiento El estado de una red eléctrica de 𝑛 nudos queda determinado una vez se conocen las tensiones complejas en todos los nudos [17]. En cada nudo debe cumplirse: 𝒮𝑖=𝒮𝐺𝑖−𝒮𝐶𝑖=𝒰𝑖𝒥𝑖∗ (30) siendo 𝒮𝑖 la potencia compleja neta inyectada en el nudo 𝑖, 𝒮𝐺𝑖 y 𝒮𝐶𝑖 las potencias complejas generada y la consumida por la carga en dicho nudo, respectivamente. A partir de las leyes de Kirchhoff, los modelos de cada elemento de la red y teniendo en cuenta la ecuación anterior aplicada a todos los nudos, se obtiene el siguiente sistema no lineal de 𝑛 ecuaciones complejas: 𝑃+𝑗𝑄=𝑑𝑖𝑎𝑔(𝒰)[𝐺−𝑗𝐵]𝒰∗ (31) 𝑃𝑖+𝑗𝑄𝑖=𝒰𝑖∑[𝐺𝑖𝑗−𝑗𝐵𝑖𝑗]𝒰𝑗∗ 𝑛 𝑗=1 𝑖=1,2,…,𝑛 (32) Los métodos iterativos que habitualmente se utilizan, como es el de Newton-Raphson, no permiten trabajar con ecuaciones complejas porque las variables conjugadas impiden llevar a cabo derivadas en forma compleja. Es preciso, por tanto, separar dichas ecuaciones en 2𝑛 ecuaciones reales. Habitualmente, las tensiones se expresan en coordenadas polares, 𝒰=𝑉∟θ, lo que conduce a: 𝑃𝑖=𝑉𝑖∑𝑉𝑗(𝐺𝑖𝑗 𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑖𝑗+𝐵𝑖𝑗 𝑠𝑒𝑛 𝜃𝑖𝑗) 𝑛 𝑗=1 (33) 𝑄𝑖=𝑉𝑖∑𝑉𝑗(𝐺𝑖𝑗 𝑠𝑒𝑛 𝜃𝑖𝑗−𝐵𝑖𝑗 𝑠𝑒𝑛 𝜃𝑖𝑗) 𝑛 𝑗=1 (34) 𝑖=1,2,…,𝑛 Al trabajar con ecuaciones reales, cada nudo aporta dos ecuaciones y cuatro incógnitas, por lo que deben especificarse dos magnitudes por nudo para poder resolver las ecuaciones anteriores. En función de las Anexo 32 condiciones de contorno impuestas, pueden distinguirse dos tipos principales de nudos: • Nudos de consumo o nudos PQ: nudos donde se conoce el consumo de potencia activa (𝑃𝐶𝑖 𝑒𝑠𝑝) y reactiva (𝑄𝑐𝑖 𝑒𝑠𝑝), siendo nula la potencia generada (𝑃𝐺𝑖=𝑄𝐺𝑖=0). Las restricciones impuestas son, por tanto, 𝑃𝑖𝑒𝑠𝑝=−𝑃𝐶𝑖 𝑒𝑠𝑝 ; 𝑄𝑖𝑒𝑠𝑝=−𝑄𝐶𝑖 𝑒𝑠𝑝 (35) quedando como incógnitas las dos componentes de la tensión nodal, 𝑉𝑖 y 𝜃𝑖. La gran mayoría de nudos de una red, sobre todo en niveles de menor tensión, son de este tipo. • Nudos de generación o nudos PV: nudos donde un generador regula la tensión a un valor especificado (𝑉𝑖𝑒𝑠𝑝) e inyecta una potencia activa (𝑃𝑖𝑒𝑠𝑝) determinada previamente por consideraciones económicas. Las restricciones resultantes, que tienen en cuenta el posible consumo local, son: 𝑃𝑖𝑒𝑠𝑝=𝑃𝐺𝑖 𝑒𝑠𝑝−𝑃𝐶𝑖 𝑒𝑠𝑝 ; 𝑉𝑖=𝑉𝑖𝑒𝑠𝑝 (36) quedando 𝑄𝑖 y 𝜃𝑖 como incógnitas. Sin embargo, si sólo se consideran estos dos tipos de nudos, todas las potencias activas inyectadas deberían conocerse de antemano, lo cual es imposible pues las pérdidas en la red, que deben ser aportadas por los generadores, no se conocen hasta que se obtienen los flujos de potencia por cada elemento. Es decir, la potencia activa de al menos un generador, que asumirá las pérdidas del sistema, no puede ser especificada y deberá calcularse al final del proceso. Al estar trabajando con fasores, el origen de fases se puede tomar libremente, lo que permite compensar esta incógnita adicional. Por simplicidad de cálculo, se toma como origen de fases el nudo de generación cuya potencia se deja libre. Este nudo, que suele ser un generador importante con capacidad para regular frecuencia o un nudo de interconexión con el exterior, se denomina nudo de referencia, nudo oscilante o, más comúnmente, nudo slack. Siendo 𝑛𝐷 el número de nudos de consumo, el número de nudos de generación sin tener en cuenta el slack es 𝑛𝐺=𝑛−𝑛𝐷−1. Suponiendo que los 𝑛𝐷 primeros nudos son de consumo y que el nudo de referencia es el último, las ecuaciones a resolver en el problema de flujo de cargas serán: 𝑃𝑖𝑒𝑠𝑝=𝑉𝑖∑𝑉𝑗 (𝐺𝑖𝑗cos𝜃𝑖𝑗+𝐵𝑖𝑗sen𝜃𝑖𝑗) 𝑛 𝑗=1 (37) 𝑖=1,2,…,𝑛𝐷+𝑛𝐺 𝑄𝑖𝑒𝑠𝑝=𝑉𝑖∑𝑉𝑗 (𝐺𝑖𝑗sen𝜃𝑖𝑗−𝐵𝑖𝑗cos𝜃𝑖𝑗) 𝑛 𝑗=1 (38) 𝑖=1,2,…,𝑛𝐷 El problema queda solucionado una vez se conocen los desfases 𝜃𝑖, 𝑖=1,2,…,𝑛𝐷+𝑛𝐺, y los módulos de las tensiones 𝑉𝑖, 𝑖=1,2,…,𝑛𝐷. Posteriormente, a partir de éstos se podrá calcular cualquier magnitud del sistema, como las pérdidas, la potencia compleja en el nudo slack, la potencia reactiva inyectada o consumida por los generadores, o los flujos de potencia por las líneas. 6.1.2 Método de Newton-Raphson Dado que las ecuaciones a resolver, (37) y (38), son no lineales, su resolución debe ser forzosamente iterativa. Para ello, se emplea el método que se desarrolla a continuación y se parte del denominado perfil plano, esto es tomar 𝑉𝑖=1, para los nudos de consumo, y 𝜃𝑖=0, para todos los nudos. En este trabajo, se ha utilizado el método de Newton-Raphson para resolver los flujos de carga. Sin embargo, 33 Corrección de tensiones en redes eléctricas de distribución mediante técnicas heurísticas cabe destacar que existen otros muchos métodos como el de Gauss-Seidel [18], que tiene una convergencia lenta, aunque muy buena, y permite generar valores iniciales para el método de Newton-Raphson en aquellos casos donde haya problemas de convergencia partiendo de perfil plano. Otros métodos, desarrollados a partir del de Newton-Raphson, realizando ciertas hipótesis, son el flujo de cargas desacoplado rápido [10], válido para redes de transporte, y el flujo de cargas en continua [19], deducido a partir de una relación lineal bastante aproximada entre 𝑃 y 𝜃. El método de Newton-Raphson [20], se basa en obtener nuevos valores de las funciones no lineales mediante aproximaciones de primer orden. Para una función 𝑓(𝑥), se puede realizar una aproximación mediante su desarrollo en serie alrededor del punto 𝑥𝑘: 𝑓(𝑥)≅𝑓(𝑥𝑘)+𝐹(𝑥𝑘)(𝑥𝑘+1−𝑥𝑘)=0 (39) donde 𝐹=𝜕𝑓 𝜕𝑥 es el jacobiano de 𝑓(𝑥). Partiendo del valor inicial 𝑥0, se obtienen correcciones ∆𝑥𝑘 resolviendo el sistema lineal: −𝐹(𝑥𝑘) ∆𝑥𝑘=𝑓(𝑥𝑘) (40) y los nuevos valores 𝑥𝑘+1: 𝑥𝑘+1=𝑥𝑘+∆𝑥𝑘 (41) El proceso iterativo se detiene cuando se cumple: max 𝑖|𝑓𝑖(𝑥𝑘)|≤𝜀 Aplicando esto a lo desarrollado en la subsección anterior, el vector 𝑥, de dimensión 2𝑛𝐷+𝑛𝐺, viene dado por: 𝑥=[𝜃|𝑉]𝑇=[𝜃1,𝜃2,…,𝜃𝑛−1|𝑉1,𝑉2,…,𝑉𝑛𝐷]𝑇 Las ecuaciones que desean anularse son, en cada nudo, la diferencia entre la potencia especificada y la potencia en el estado actual: 𝑓(𝑥)=[∆𝑃|∆𝑄]𝑇=[∆𝑃1,∆𝑃2,…,∆𝑃𝑛−1|∆𝑄1,∆𝑄2,…,∆𝑄𝑛𝐷]𝑇 siendo: ∆𝑃𝑖=𝑃𝑖𝑒𝑠𝑝−𝑉𝑖∑𝑉𝑗 (𝐺𝑖𝑗cos𝜃𝑖𝑗+𝐵𝑖𝑗sen𝜃𝑖𝑗) 𝑛 𝑗=1 (42) 𝑖=1,2,…,𝑛𝐷+𝑛𝐺 ∆𝑄𝑖=𝑄𝑖𝑒𝑠𝑝−𝑉𝑖∑𝑉𝑗 (𝐺𝑖𝑗sen𝜃𝑖𝑗−𝐵𝑖𝑗cos𝜃𝑖𝑗) 𝑛 𝑗=1 (43) 𝑖=1,2,…,𝑛𝐷 Utilizando esta notación y dividiendo el jacobiano en submatrices como se ha hecho con los vectores anteriores, la ecuación (40), aplicada al problema del flujo de cargas, se convierte en [21, 22]: [𝐻 𝑁 𝑀 𝐿]𝑘[∆𝜃 ∆𝑉/𝑉]𝑘=[∆𝑃 ∆𝑄]𝑘 (44) y la (41): [𝜃𝑉]𝑘+1=[𝜃𝑉]𝑘+[∆𝜃 ∆𝑉]𝑘 (45) Anexo 34 La utilización de ∆𝑉/𝑉 en lugar de ∆𝑉, no afecta numéricamente al algoritmo, pero simplifica los términos del jacobiano haciéndolo numéricamente más simétrico. Teniendo en cuenta que −𝜕(𝑓𝑖𝑒𝑠𝑝−𝑓𝑖) 𝜕𝑥𝑗= 𝜕𝑓𝑖 𝜕𝑥𝑗 donde 𝑓 es indistintamente 𝑃 o 𝑄 y 𝑥 se refiere a 𝑉 o 𝜃, los términos del jacobiano son: 𝐻𝑖𝑗=𝜕𝑃𝑖 𝜕𝜃𝑗 ; 𝑁𝑖𝑗=𝑉𝑗𝜕𝑃𝑖 𝜕𝑉𝑗 𝑀𝑖𝑗=𝜕𝑄𝑖 𝜕𝜃𝑗 ; 𝐿𝑖𝑗=𝑉𝑗𝜕𝑃𝑖 𝜕𝑉𝑗 (46) Estando desarrollados en la siguiente sección. Entonces, la solución del flujo de cargas mediante el método de Newton-Raphson, se resume en: 1. Inicializar las tensiones y desfases con el perfil plano o a partir de una solución anterior. 2. Calcular los residuos, [∆𝑃|∆𝑄]𝑇. En caso de que todos los miembros del vector sean menores que 𝜀, se detiene el proceso. 3. Calcular los términos del jacobiano y obtener [∆𝜃|∆𝑉/𝑉]𝑇 resolviendo la ecuación (44). 4. Actualizar [𝜃|𝑉]𝑇 como en la ecuación (45) y volver al punto 2. Es importante destacar que, en los nudos PV, la tensión se mantiene constante siempre que el generador que la mantiene tenga suficiente potencia reactiva. Por tanto, [23] se deben tener en cuenta los límites de potencia reactiva, 𝑄𝑙𝑖𝑚, en estos nudos y, en caso de superarlos, la tensión pasa a ser desconocida, pues en el nudo regulado no puede mantenerse en 𝑉𝑒𝑠𝑝. Así, el nudo se convierte en PQ, cuya potencia reactiva será 𝑄𝑒𝑠𝑝= 𝑄𝑙𝑖𝑚. 6.2 Términos del jacobiano En este apartado se presentan los elementos de la matriz jacobiano, tanto los que se utilizan habitualmente en el flujo de cargas Newton-Raphson, como los necesarios para calcular las matrices de sensibilidades. 6.2.1 Elementos de la matriz Siendo: 𝑉𝑖 Módulo de la tensión en el nudo 𝑖. 𝑉𝑐𝑖, 𝑉𝑔𝑖 Módulo de la tensión en el nudo de consumo 𝑖 y en el nudo de generación 𝑖, respectivamente. 𝑉𝑖1, 𝑉𝑗2 Módulo de la tensión en el primario del transformador entre los nudos 𝑖 y 𝑗, y en el secundario del mismo transformador, respectivamente. 𝜃𝑖 Desfase del nudo 𝑖. 𝜃𝑖𝑗 Desfase entre los nudos 𝑖 y 𝑗. 𝜃𝑖1, 𝜃𝑗2 Desfase del nudo 𝑖, que es el primario del transformador entre los nudos 𝑖 y 𝑗, y desfase del nudo 𝑖, que es el secundario del mismo transformador, respectivamente. 𝜃𝑖𝑗 12 Desfase entre los nudos 𝑖 y 𝑗 que son el primario y el secundario del mismo 35 Corrección de tensiones en redes eléctricas de distribución mediante técnicas heurísticas transformador. 𝑃𝑖, 𝑄𝑖 Potencia activa y potencia reactiva inyectada en el nudo 𝑖, respectivamente. 𝑄𝑐𝑖, 𝑄𝑔𝑖 Potencia reactiva inyectada en el nudo de consumo 𝑖 y en el nudo de generación 𝑖, respectivamente. 𝑃𝑖1, 𝑃𝑗2 Potencia activa inyectada en el primario del transformador entre los nudos 𝑖 y 𝑗, y secundario del mismo transformador, respectivamente. 𝑄𝑖1, 𝑄𝑗2 Potencia reactiva inyectada en el primario del transformador entre los nudos 𝑖 y 𝑗, y en el secundario del mismo transformador, respectivamente. 𝑡 Ratio de la toma del transformador. 𝐺𝑖𝑗 Conductancia entre los elementos 𝑖 y 𝑗. 𝐵𝑖𝑗 Susceptancia entre los elementos 𝑖 y 𝑗. 𝐺𝑖𝑗 𝑐𝑐 Conductancia de cortocircuito del transformador entre los nudos 𝑖 y 𝑗. 𝐵𝑖𝑗 𝑐𝑐 Susceptancia de cortocircuito del transformador entre los nudos 𝑖 y 𝑗. 𝑛 Número de nudos del sistema. los elementos de la matriz jacobiano son los siguientes: • Elementos correspondientes a las potencias activas: 𝜕𝑃𝑖 𝜕𝜃𝑖=(∑𝑉𝑖 𝑉𝑗 (−𝐺𝑖𝑗 𝑠𝑒𝑛 𝜃𝑖𝑗+𝐵𝑖𝑗 𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑖𝑗) 𝑛 𝑗=1 )−𝑉𝑖2 𝐵𝑖𝑖 (47) 𝜕𝑃𝑖 𝜕𝜃𝑗=𝑉𝑖 𝑉𝑗(𝐺𝑖𝑗 𝑠𝑒𝑛 𝜃𝑖𝑗−𝐵𝑖𝑗 𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑖𝑗) (48) 𝜕𝑃𝑖 𝜕𝑉𝑐𝑖=(∑𝑉𝑗 (𝐺𝑖𝑗 𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑖𝑗+𝐵𝑖𝑗 𝑠𝑒𝑛 𝜃𝑖𝑗) 𝑛 𝑗=1 )+𝑉𝑐𝑖 𝐺𝑖𝑖 (49) 𝜕𝑃𝑖 𝜕𝑉𝑐𝑗=𝑉𝑖 (𝐺𝑖𝑗 𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑖𝑗+𝐵𝑖𝑗 𝑠𝑒𝑛 𝜃𝑖𝑗) (50) 𝜕𝑃𝑖 𝜕𝑉𝑔𝑖=(∑𝑉𝑗 (𝐺𝑖𝑗 𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑖𝑗+𝐵𝑖𝑗 𝑠𝑒𝑛 𝜃𝑖𝑗) 𝑛 𝑗=1 )+𝑉𝑔𝑖 𝐺𝑖𝑖 (51) 𝜕𝑃𝑖 𝜕𝑉𝑔𝑗=𝑉𝑖 (𝐺𝑖𝑗cos𝜃𝑖𝑗+𝐵𝑖𝑗 𝑠𝑒𝑛 𝜃𝑖𝑗) (52) 𝜕𝑃𝑖1 𝜕𝑡=−(𝑉𝑖1)2 2𝐺𝑖𝑗 𝑐𝑐 𝑡3+𝑉𝑖1 𝑉𝑗2(𝐺𝑖𝑗 𝑐𝑐 𝑡2 𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑖𝑗 12+𝐵𝑖𝑗 𝑐𝑐 𝑡2 𝑠𝑒𝑛 𝜃𝑖𝑗 12) (53) Anexo 36 𝜕𝑃𝑗2 𝜕𝑡 =𝑉𝑖1 𝑉𝑗2(𝐺𝑖𝑗 𝑐𝑐 𝑡2 𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑗𝑖21+𝐵𝑖𝑗 𝑐𝑐 𝑡2 𝑠𝑒𝑛 𝜃𝑗𝑖21) (54) • Elementos correspondientes a las potencias reactivas inyectadas en nudos de consumo: 𝜕𝑄𝑐𝑖 𝜕𝜃𝑖=(∑𝑉𝑐𝑖 𝑉𝑗 (𝐺𝑖𝑗 𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑖𝑗+𝐵𝑖𝑗 𝑠𝑒𝑛 𝜃𝑖𝑗) 𝑛 𝑗=1 )−(𝑉𝑐𝑖)2 𝐺𝑖𝑖 (55) 𝜕𝑄𝑐𝑖 𝜕𝜃𝑗=𝑉𝑐𝑖 𝑉𝑗(−𝐺𝑖𝑗 𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑖𝑗−𝐵𝑖𝑗 𝑠𝑒𝑛 𝜃𝑖𝑗) (56) 𝜕𝑄𝑐𝑖 𝜕𝑉𝑐𝑖=(∑𝑉𝑗 (𝐺𝑖𝑗 𝑠𝑒𝑛 𝜃𝑖𝑗−𝐵𝑖𝑗 𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑖𝑗) 𝑛 𝑗=1 )−𝑉𝑐𝑖 𝐵𝑖𝑖 (57) 𝜕𝑄𝑐𝑖 𝜕𝑉𝑐𝑗=𝑉𝑐𝑖 (𝐺𝑖𝑗 𝑠𝑒𝑛 𝜃𝑖𝑗−𝐵𝑖𝑗 𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑖𝑗) (58) 𝜕𝑄𝑐𝑖 𝜕𝑉𝑔𝑗=𝑉𝑐𝑖 (𝐺𝑖𝑗sen𝜃𝑖𝑗−𝐵𝑖𝑗 𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑖𝑗) (59) 𝜕𝑄𝑐𝑖 1 𝜕𝑡 =(𝑉𝑖1)2 2𝐵𝑖𝑗 𝑐𝑐 𝑡3+𝑉𝑖1 𝑉𝑗2(𝐺𝑖𝑗 𝑐𝑐 𝑡2 𝑠𝑒𝑛 𝜃𝑖𝑗 12−𝐵𝑖𝑗 𝑐𝑐 𝑡2 𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑖𝑗 12) (60) 𝜕𝑄𝑐𝑗 2 𝜕𝑉𝑔𝑗=𝑉𝑖1 𝑉𝑗2(𝐺𝑖𝑗 𝑐𝑐 𝑡2 𝑠𝑒𝑛 𝜃𝑗𝑖21−𝐵𝑖𝑗 𝑐𝑐 𝑡2 𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑗𝑖21) (61) • Elementos correspondientes a las potencias reactivas inyectadas en los nudos de generación: 𝜕𝑄𝑖𝑔 𝜕𝜃𝑖=(∑𝑉𝑔𝑖 𝑉𝑗 (𝐺𝑖𝑗 𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑖𝑗+𝐵𝑖𝑗 𝑠𝑒𝑛 𝜃𝑖𝑗) 𝑛 𝑗=1 )−(𝑉𝑔𝑖)2 𝐺𝑖𝑖 (62) 𝜕𝑄𝑖𝑔 𝜕𝜃𝑗=𝑉𝑔𝑖 𝑉𝑗(−𝐺𝑖𝑗 𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑖𝑗−𝐵𝑖𝑗 𝑠𝑒𝑛 𝜃𝑖𝑗) (63) 𝜕𝑄𝑖𝑔 𝜕𝑉𝑗𝑐=𝑉𝑔𝑖 (𝐺𝑖𝑗 𝑠𝑒𝑛 𝜃𝑖𝑗−𝐵𝑖𝑗 𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑖𝑗) (64) 𝜕𝑄𝑖𝑔 𝜕𝑉𝑖𝑔=(∑𝑉𝑗 (𝐺𝑖𝑗 𝑠𝑒𝑛 𝜃𝑖𝑗−𝐵𝑖𝑗 𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑖𝑗) 𝑛 𝑗=1 )−𝑉𝑔𝑖 𝐵𝑖𝑖 (65) 𝜕𝑄𝑖𝑔 𝜕𝑉𝑗𝑔=𝑉𝑔𝑖 (𝐺𝑖𝑗sen𝜃𝑖𝑗−𝐵𝑖𝑗 𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑖𝑗) (66) 𝜕(𝑄𝑖1)𝑔 𝜕𝑡 =(𝑉𝑖1)2 2𝐵𝑖𝑗 𝑐𝑐 𝑡3+𝑉𝑖1 𝑉𝑗2(𝐺𝑖𝑗 𝑐𝑐 𝑡2 𝑠𝑒𝑛 𝜃𝑖𝑗 12−𝐵𝑖𝑗 𝑐𝑐 𝑡2 𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑖𝑗 12) (67) 37 Corrección de tensiones en redes eléctricas de distribución mediante técnicas heurísticas 𝜕(𝑄𝑗2)𝑔 𝜕𝑉𝑗𝑔=𝑉𝑖1 𝑉𝑗2(𝐺𝑖𝑗 𝑐𝑐 𝑡2 𝑠𝑒𝑛 𝜃𝑗𝑖21−𝐵𝑖𝑗 𝑐𝑐 𝑡2 𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑗𝑖21) (68) 6.3 Parámetros red IEEE 14 Bus Test Case Nudo P (MW) Q (MVAr) 2 21,7 12,7 3 94,2 19 4 47,8 -3,9 5 7,6 1,6 6 11,2 7,5 9 29,5 16,6 10 9 5,8 11 3,5 1,8 12 6,1 1,6 13 13,5 5,8 14 14,9 5 Tabla 21. Cargas de red IEEE 14 Bus Test Case. Nudo B inicial Escalones B (MVAr)/paso 9 45 9 5 Tabla 22. Batería de condensadores de red IEEE 14 Bus Test Case. Nudo Pg (MW) Qmax Qmin 1 (Slack) - - - 2 40 50 -40 Tabla 23. Generadores de red IEEE 14 Bus Test Case. Nudo Pg (MW) Qmax Qmin 3 0 40 0 6 0 24 -6 8 0 24 -6 Tabla 24. Compensadores síncronos de red IEEE 14 Bus Test Case. Nudo inicial Nudo final r x 𝐁𝐜𝐡 1 2 0,01938 0,05917 0,0528 1 5 0,05403 0,22304 0,0492 2 3 0,04699 0,19797 0,0438 2 4 0,05811 0,17632 0,034 2 5 0,05695 0,17388 0,0346 3 4 0,06701 0,17103 0,0128 4 5 0,01335 0,04211 0 6 11 0,09498 0,1989 0 6 12 0,12291 0,25581 0 6 13 0,06615 0,13027 0 7 8 0 0,17615 0 7 9 0 0,11001 0 9 10 0,03181 0,0845 0 9 14 0,12711 0,27038 0 10 11 0,08205 0,19207 0 12 13 0,22092 0,19988 0 13 14 0,17093 0,34802 0 Tabla 25. Líneas de red IEEE 14 Bus Test Case. Nudo inicial Nudo final r x 𝐭𝟏 𝐭𝐦𝐚𝐱 𝐭𝐦𝐢𝐧 Número posiciones toma 4 7 0 0,20912 0,978 1,5 0,51 159 Referencias 44 [13] Information Trust Institute, «Illinois Center for a Smarter Electric Grid (ICSEG),» [En línea]. Available: http://icseg.iti.illinois.edu/ieee-14-bus-system/. [Último acceso: 28 junio 2017]. [14] University of Washington, «University of Washington, Electrical Engineering,» [En línea]. Available: https://www2.ee.washington.edu/research/pstca/pf14/pg_tca14bus.htm. [Último acceso: 28 junio 2017]. [15] K. Rudion, A. Orths, Z. A. Styczynski y K. Strunz, «Design of Benchmark of Medium Voltage Distribution Network for Investigation of DG Integration,» de Power Engineering Society General Meeting, 2006. IEEE, Montreal, Que., Canada, 18-22 June 2006 . [16] A. Gómez Expósito y F. L. Alvarado, «Flujo de cargas, Introducción,» de Análisis y operación de sistemas de energía eléctrica, McGraw-Hill, 2002, p. 139. [17] A. Gómez Expósito y F. L. Alvarado, «Flujo de cargas, Formulación del problema,» de Análisis y operación de sistemas de energía eléctrica, McGraw-Hill, 2002, pp. 140-144. [18] A. Gómez Expósito y F. L. Alvarado, «Flujo de cargas, Método de Gauss-Seidel,» de Análisis y operación de sistemas de energía eléctrica, McGraw-Hill, 2002, pp. 145-146. [19] A. Gómez Expósito y F. L. Alvarado, «Flujo de cargas, Flujo de cargas en continua,» de Análisis y operación de sistemas de energía eléctrica, McGraw-Hill, 2002, pp. 156-157. [20] A. Gómez Expósito y F. L. Alvarado, «Flujo de cargas, Método de Newton-Raphson,» de Análisis y operación de sistemas de energía eléctrica, McGraw-Hill, 2002, pp. 147-152. [21] W. Tinney y C. Hart, «Power Flow Solution by Newton's Method,» IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, vol. PAS 86, pp. 1449-1460, 1967. [22] W. F. Tinney y J. W. 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