Sumas exponenciales y funciones zeta

SUMAS EXPONENCIALES Y FUNCIONES ZETA Luis MªRabasco González SUMAS EXPONENCIALES Y FUNCIONES ZETA Estudiante: Luis MªRabasco González Memoria presentada como parte de los requisitos para la obtención del título de Grado en Matemáticas por la Universidad de Sevilla. Tutorizada por: Prof. Antonio Beato Caro Prof. Dr. Antonio Rojas León Departamento de Álgebra Facultad de Matemáticas Universidad de Sevilla Agradecimientos A los Antonios por la cantidad ingente de horas que han dedicado a resolver mis dudas por nimias o técnicas que fueran. A mis padres por todo, en especial al ayudarme y soportarme durante la realización de este trabajo. A mi familia y amigos que me han acompañado en estos seis largos años, sobre todo aquellos que me dieron fuerzas para seguir aún cuando no tuve tiempo para ellos. A todos los profesores que he tenido oportunidad de conocer y de aprender de ellos. Por último, a delegación y cultura, por hacer más fácil y llevadero el camino. De por siempre contaré que un día te hartaste de generalizar las sumas de Gauss a cuerpos finitos más generales, cogiste la puerta de tu cuarto a pulso y la plantaste en medio del salón. Antonio Beato Caro Índice general Introducción 1 English Abstract 3 1. El paper de Weil 5 1.1. Contextohistórico............................. 5 1.2. La función Zeta y las conjeturas según Weil . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3. De conjeturas a teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2. Sumas exponenciales 11 2.1. Caracteres multiplicativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2. SumasdeGauss .............................. 15 2.3. Las sumas de Gauss como una transformada de Fourier discretizada . 18 2.4. Dosaplicaciones.............................. 20 2.5. SumasdeJacobi .............................. 23 2.6. Todavía más caracteres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.7. De 𝔽𝑝a𝔽𝑞.................................. 33 3. Función Zeta y Conjeturas de Weil 39 iv sumas exponenciales y funciones zeta 3.1. FunciónZetadeWeil ........................... 39 3.2. Relación de Hasse-Davenport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.3. Conjeturas de Weil en hipersuperficies diagonales . . . . . . . . . . . 47 3.4. Laúltimaentrada ............................. 51 3.5. Función Zeta de una familia de curvas elípticas . . . . . . . . . . . . . 54 Introducción El objetivo principal de este trabajo es la demostración de las conjeturas de Weil en hipersuperficies diagonales. La relevancia del tema que trataremos llega hasta Gauss, que fue uno de los pioneros de la geometría algebraica, pasando por otros muchos matemáticos de los que hablaremos más adelante. Además, probaremos otros teoremas muy interesantes, aunque quizás no tanto como las conjeturas. El documento está estructurado en tres capítulos: En el primer capítulo nos centraremos en el paper en el que Weil expuso sus conjeturas al mundo matemático. También haremos una pequeña introducción de dichas conjeturas y de la función Zeta de Weil y veremos la relación que guardan las conjeturas con la Hipótesis de Riemann. Veremos también las primeras resoluciones de las conjeturas y las consecuencias que implicaron. En el segundo introduciremos los caracteres multiplicativos, las sumas de Gauss y las de Jacobi, y obtendremos muchas propiedades de estas sumas. También nos centraremos en el símbolo de Legendre y demostraremos la ley de reciprocidad cuadrática. De hecho, hasta veremos un ejemplo de si un número es residuo cuadrático en un cuerpo finito o no. Finalmente, calcularemos el número de puntos que tiene una hipersuperficie diagonal en el espacio proyectivo. En el último capítulo jugaremos un poco con la función Zeta y obtendremos alguna propiedad. Además, culminaremos este trabajo con la demostración de las conjeturas de Weil en hipersuperficies diagonales, demostraremos la relación de Hasse-Davenport así como la conjetura que hizo Gauss en la última entrada de su diario matemático. 8sumas exponenciales y funciones zeta Aunque el nombre puede confundir, Riemann no tuvo nada que ver con esta conjetura y se denomina así debido a la gran similitud que guarda con la Hipótesis de Riemann. De hecho, podemos ver que si hacemos el cambio 𝑢=𝑞−𝑠, los ceros de 𝑃𝑖tienen parte real 𝑖∕2. Demostraremos ahora un par de proposiciones que nos ayudarán en un futuro para demostrar las conjeturas. Proposición 1.1.Supongamos que se tienen las conjeturas de racionalidad y la hipótesis de Riemann. Entonces la ecuación funcional de la conjetura 1.2 se verifica si y solamente si el cambio 𝑢→𝑞−𝑛𝑢−1 intercambia los enteros algebraicos 𝛼𝑖,𝑗 de 𝑃𝑖con los de 𝑃2𝑛−𝑖contando multiplicidades. Demostración. La primera implicación se obtiene ya que los ceros y los polos deben mantenerse al multiplicarse por 𝑞𝑛𝐸 2𝑢𝐸(por la propia definición que hemos dado de 𝐸) y además manteniendo el orden de dicho cero o polo, por lo que las raíces de 𝑃𝑖 van a las de 𝑃2𝑛−𝑖. Para ver el recíproco vamos a definir 𝐺𝑖como el grado del polinomio 𝑃𝑖. Tenemos entonces que: 𝑃𝑖(1 𝑞𝑛𝑢)=∏ 𝑗(1 − 𝛼𝑖,𝑗 1 𝑞𝑛𝑢) =∏ 𝑗(1 − 𝑢𝑞𝑛 𝛼𝑖,𝑗 )(−1)𝐺𝑖(𝑞𝑛)−𝐺𝑖𝑢−𝐺𝑖∏ 𝑗 𝛼𝑖,𝑗 =𝑃2𝑛−1(𝑢)(−1)𝐺𝑖(𝑞𝑛)−𝐺𝑖𝑢−𝐺𝑖∏ 𝑗 𝛼𝑖,𝑗 = ±𝑃2𝑛−1(𝑢)𝑢−𝐺𝑖𝑞−1 2(2𝑛−1)𝐺𝑖 donde hemos usado en la última igualdad que ∏𝑗𝛼𝑖,𝑗 ∈ℤy que |||∏𝑗𝛼𝑖,𝑗|||=𝐺𝑖𝑞𝑖∕2. Tenemos entonces que: 𝑍(𝑋, 1 𝑞𝑛𝑢)= 𝑃1(1 𝑞𝑛𝑢)⋯𝑃2𝑛−1 (1 𝑞𝑛𝑢) 𝑃0(1 𝑞𝑛𝑢)⋯𝑃2𝑛(1 𝑞𝑛𝑢)= ±∏2𝑛 𝑖impar 𝑃2𝑛−𝑖(𝑢)𝑢−𝐺𝑖𝑞−1 2(2𝑛−1)𝐺𝑖 ∏2𝑛 𝑖par 𝑃2𝑛−𝑖(𝑢)𝑢−𝐺𝑖𝑞−1 2(2𝑛−1)𝐺𝑖 = ±𝑍(𝑋, 𝑢)𝑢𝐸𝑞1 2∑2𝑛 𝑖=0(−1)𝑖(2𝑛−1)𝐺𝑖. Usando ahora la condición inicial, tenemos que el grado de 𝑃𝑖y de 𝑃2𝑛−𝑖coinciden. Por tanto tenemos la ecuación funcional. 1. el paper de weil 9 Proposición 1.2.La función Zeta puede escribirse como cociente de dos polinomios con coeficientes enteros y término independiente 1(𝑍(𝑋, 𝑢) = 𝑅(𝑢) 𝑆(𝑢))si y sólo si existen dos conjuntos finitos de enteros algebraicos {𝛼𝑖}y{𝛽𝑖}respectivamente conjugados por la acción de Gal(ℚ∕ℚ)de manera que: 𝑁𝑠=∑ 𝑗 𝛽𝑠 𝑗−∑ 𝑖 𝛼𝑠 𝑖 Demostración. Supongamos primero que 𝑅(𝑢) = ∏𝑖(1 − 𝛼𝑖𝑢)y𝑆(𝑢) = ∏𝑗(1 − 𝛽𝑗𝑢). Como 𝑅y𝑆son polinomios con coeficientes enteros se tiene que tanto los 𝛼𝑖como los 𝛽𝑗son conjugados respectivamente por la acción del grupo de Galois. Tomando ahora derivada logarítmica tenemos: 𝑢𝑍′(𝑋, 𝑢) 𝑍(𝑋, 𝑢)= ∞ ∑ 𝑠=1 𝑁𝑠𝑢𝑠=∑ 𝑖 −𝛼𝑖𝑢 1 − 𝛼𝑖𝑢−∑ 𝑗 −𝛽𝑗𝑢 1 − 𝛽𝑗𝑢 Usando ahora la fórmula de la suma infinita de la serie geométrica tenemos que: ∞ ∑ 𝑠=1 𝑁𝑠𝑢𝑠= ∞ ∑ 𝑠=1 (∑ 𝑗 𝛽𝑠 𝑗−∑ 𝑖 𝛼𝑠 𝑖)𝑢𝑠 por lo que tenemos lo que buscábamos. Para el recíproco, si hay conjuntos finitos {𝛼𝑖}y{𝛽𝑗}tales que 𝑁𝑠=∑𝑗𝛽𝑠 𝑗−∑𝑖𝛼𝑠 𝑖 tenemos aplicando la definición y sustituyedo que: 𝑍(𝑋, 𝑢) = exp (∞ ∑ 𝑠=1 (∑ 𝑗 𝛽𝑠 𝑗−∑ 𝑖 𝛼𝑠 𝑖)𝑢𝑠 𝑠)= exp (∑ 𝑗 ∞ ∑ 𝑠=1 (𝛽𝑗𝑢)𝑠 𝑠−∑ 𝑖 ∞ ∑ 𝑠=1 (𝛼𝑖𝑢)𝑠 𝑠) = exp (−∑ 𝑗 log(1 − 𝛽𝑗𝑢) + ∑ 𝑖 log(1 − 𝛼𝑖𝑢))=∏𝑖(1 − 𝛼𝑖𝑢) ∏𝑗(1 − 𝛽𝑗𝑢) Como los conjuntos son respectivamente conjugados por la acción del grupo absoluto de Galois, los polinomios resultantes del numerador y denominador están en ℤ[𝑢](ya que además son enteros algebraicos). 1.3 De conjeturas a teoremas El matemático estadounidense Bernard Dwork fue el primero en hacer un avance significativo al probar la primera de las conjeturas de Weil en 1960. El siguiente gran 10 sumas exponenciales y funciones zeta avance vino de la mano de Alexander Grothendieck y su escuela de matemáticos en la década de los 60. Grothendieck introdujo muchas herramientas y conceptos nuevos en la geometría algebraica, como la teoría de esquemas y la cohomología étale, que fueron cruciales para abordar las conjeturas. Aunque Grothendieck no probó todas las conjeturas, su trabajo preparó el camino para futuros avances. Finalmente, el matemático belga Pierre Deligne completó la prueba de las conjeturas en 1974. Deligne utilizó las técnicas desarrolladas por Grothendieck, junto con algunas propias, para probar la conjetura restante, la hipótesis de Riemann para variedades sobre cuerpos finitos. 2 Sumas exponenciales 2.1 Caracteres multiplicativos En este capítulo vamos a ver las sumas de Gauss y de Jacobi, al igual que los caracteres multiplicativos. No obstante, veamos primero una motivación para crear dichos caracteres: Ejemplo 2.1.La suma de todas las raíces n-ésimas de la unidad es siempre nula para cualquier 𝑛 > 1. Sea 𝜉una raíz primitiva 𝑛−ésima de la unidad. Queremos ver cuanto vale: 𝑆= 1 + 𝜉+𝜉2+⋯+𝜉𝑛−1 Al multiplicar ambos lados por 𝜉tenemos lo siguiente: 𝜉𝑆 =𝜉+𝜉2+𝜉3+⋯+𝜉𝑛= =𝜉+𝜉2+𝜉3+⋯+ 1 = 𝑆 Por lo que 𝜉𝑆 =𝑆, y como 𝜉≠1, forzosamente 𝑆= 0. Esta idea de prueba se aplica a unos objetos más generales, a los que denominaremos caracteres multiplicativos: Definición 2.1 (Caracter multiplicativo). Un caracter multiplicativo es un homomorfismo 𝜒que va de 𝔽∗ 𝑝en ℂy satisface por tanto que 𝜒(𝑎𝑏) = 𝜒(𝑎)𝜒(𝑏)para todo 𝑎, 𝑏 ∈𝔽∗ 𝑝. Observación 2.1.Como 𝔽∗ 𝑝es cíclico, todo caracter está unívocamente determinado por la imagen de un generador 𝛼, ya que 𝜒(𝛼𝑖) = 𝜒(𝛼)𝑖. 12 sumas exponenciales y funciones zeta Ejemplo 2.2 (Símbolo de Legendre).Para 𝑝≥3, el símbolo de Legendre es la aplicación (⋅ 𝑝)∶𝔽∗ 𝑝→ℂ definida a partir del generador 𝛼como: (𝛼𝑖 𝑝)= (−1)𝑖 Esta operación nos indica qué números son cuadrados módulo 𝑝y cuáles no. Recordemos que, si 𝑝≥3, la mitad de los elementos de 𝔽∗ 𝑝son cuadrados. Esto se debe a que 𝑎2= (−𝑎)2, por lo que tenemos que como mucho la mitad son cuadrados. Sin embargo, si existen 𝑎, 𝑏 tales que 𝑎2=𝑏2, tenemos que 𝑎2−𝑏2= 0, es decir: (𝑎−𝑏)(𝑎+𝑏)=0, por lo que o bien 𝑎=𝑏o bien 𝑎= −𝑏; por lo que tenemos que la mitad exactamente son cuadrados. Gracias a esto, podemos deducir que los elementos de la forma 𝛼2𝑖son cuadrados siendo la otra mitad restante (esto es, los de la forma 𝛼2𝑖+1) elementos que no son cuadrados. Por último, para el caso (0∕𝑝), como 0no puede representarse como una potencia de 𝛼, le asignaremos por convenio el valor 0. En resumen, tenemos que, para 𝑎∈𝔽𝑝: (𝑎 𝑝)=⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 1si 𝑎es un cuadrado no nulo −1 si 𝑎no es un cuadrado no nulo 0si 𝑎= 0 Hay una vía alternativa de calcular el símbolo de Legendre debida a Euler. La utilizaremos más adelante en algunas pruebas así que la exponemos como lema. Lema 2.1 (Criterio de Euler).Se tiene que 𝑎(𝑝−1)∕2 ≡(𝑎∕𝑝)mod 𝑝 Demostración. Si 𝑎es un múltiplo de 𝑝, el resultado es trivial, ya que ambos lados de la ecuación se anulan. Si ahora 𝑎no es un múltiplo de 𝑝, usaremos la definición que dimos en el ejemplo 2.2; y es que, si cogemos un generador 𝛼y escribimos 𝑎=𝛼𝑖para un cierto 𝑖, tenemos que 𝑎(𝑝−1)∕2 =𝛼𝑖(𝑝−1)∕2. Ahora bien, sabemos que 𝛼(𝑝−1)∕2 ≡−1, ya que 𝛼es un generador. Por tanto, si elevamos esa última igualdad a 𝑖, tenemos que 𝑎(𝑝−1)∕2 =𝛼𝑖(𝑝−1)∕2 valdrá 1cuando 𝑖sea par, y valdrá −1 cuando 𝑖sea impar. Esta es exactamente la definición del símbolo de Legendre, por lo que se tiene que 𝑎(𝑝−1)∕2 ≡(𝑎∕𝑝)mod 𝑝 2. sumas exponenciales 13 En general, no podemos definir la imagen de un generador del grupo multiplicativo 𝛼∈𝔽∗ 𝑝como el número complejo que queramos, ya que, tenemos que respetar que 𝛼𝑝−1 = 1. La siguiente observación resume las características generales de estas aplicaciones. Observación 2.2.Si 𝜒es un caracter multiplicativo: a) 𝜒(1) = 1 b) 𝜒(𝑎)es una raíz (𝑝− 1)-ésima de la unidad c) 𝜒(𝑎−1) = 𝜒(𝑎)−1 =𝜒(𝑎) Demostración. a) 𝜒(1) = 𝜒(1 ⋅1) = 𝜒(1) ⋅𝜒(1), y como 𝜒(1) ≠0sólo es posible que 𝜒(1) = 1 b) Como tenemos que 𝑎𝑝−1 = 1, esto implica que 1 = 𝜒(1) = 𝜒(𝑎𝑝−1) = 𝜒(𝑎)𝑝−1 c) Igual que antes, tenemos 1 = 𝜒(1) = 𝜒(𝑎⋅𝑎−1) = 𝜒(𝑎)⋅𝜒(𝑎−1). También tenemos que 𝜒(𝑎)𝜒(𝑎) = |𝜒(𝑎)|2= 1. Por tanto, tenemos que 𝜒(𝑎)−1 =𝜒(𝑎−1) = 𝜒(𝑎) Ahora nos gustaría usar los caracteres para sumarlos recorriendo 𝔽𝑝, pero para ello necesitamos definir 𝜒(0), que será igual a 0para cualquier caracter excepto en el que vamos a ver a continuación: Definición 2.2. El caracter multiplicativo 𝜀es el caracter multiplicativo trivial que lleva todos los elementos de 𝔽𝑝al 1. Veamos ahora una proposición que generaliza el ejemplo 2.1: Proposición 2.1.Sea 𝜒un caracter multiplicativo. Si 𝜒≠𝜀, entonces ∑𝑡𝜒(𝑡) = 0 donde 𝑡recorre todos los elementos de 𝔽∗ 𝕡. Si el caracter es el trivial, la suma es igual a𝑝. Demostración. Si 𝜒=𝜀, el resultado es inmediato, así que supongamos 𝜒≠𝜀. Sea 𝑎∈𝔽∗ 𝑝un elemento tal que 𝜒(𝑎)≠1, y denotemos 𝑆∶= ∑𝑡𝜒(𝑡): 𝜒(𝑎)⋅𝑆=∑ 𝑡 𝜒(𝑎)𝜒(𝑡) = ∑ 𝑡 𝜒(𝑎𝑡) = 𝑆 Como teníamos que 𝜒(𝑎)≠1, forzosamente 𝑆= 0. Hemos usado que si 𝑡recorre los elementos de 𝔽𝑝,𝑎𝑡 recorre también todos los elementos de 𝔽𝑝. Esto se debe a que multiplicar por 𝑎(que es no nulo ya que se trata de una unidad) induce un automorfismo en 𝔽𝑝(el isomorfismo inverso sería multiplicar por 𝑎−1). 14 sumas exponenciales y funciones zeta Observación 2.3.Si 𝛼es un generador del grupo multiplicativo del cuerpo de 𝑞elementos: 𝔽∗ 𝑞=⟨𝛼⟩. Tomando ahora𝜒(𝛼𝑖) = 𝜉𝑖, la proposición 2.1 nos da una generalización del ejemplo 2.1. A partir de aquí denominaremos 𝑁(𝐸)al número de puntos racionales de la variedad definida por la ecuación 𝐸. Por ejemplo, 𝑁(𝑥𝑛=𝑎)es el número de soluciones de la ecuación 𝑥𝑛=𝑎. Proposición 2.2.Si 𝑛|𝑝− 1, entonces se tiene que 𝑁(𝑥𝑛=𝑎) = ∑𝜒𝑛=𝜀𝜒(𝑎), donde la suma recorre todos los caracteres tales que 𝜒𝑛=𝜀. Demostración. Veamos antes de nada que existen 𝑛caracteres distintos de orden dividiendo a 𝑛. Cojamos de nuevo un generador 𝛼y definamos 𝜒𝑘(𝛼) = 𝑒2𝜋𝑖𝑘∕𝑛=𝜒1(𝛼)𝑘. Como podemos ver, los 𝜒𝑘(𝛼)recorren todas las raíces 𝑛-ésimas una única vez y son los únicos caracteres de orden dividiendo a 𝑛. Estos son 𝜀, 𝜒1, 𝜒2 1, ..., 𝜒𝑛−1 1. Es decir, existen 𝑛caracteres distintos. Para probar la fórmula, supongamos primero que 𝑎= 0. Tenemos entonces una única solución, 𝑥= 0; y en la otra parte de la igualdad 𝜒0(0) = 𝜀(0) = 1. Para el resto de 𝜒𝑘 tenemos que 𝜒𝑘(0) = 0, por lo que conseguimos lo que queríamos. Supongamos ahora que 𝑎≠0y que 𝑥𝑛=𝑎tiene soluciones; es decir, existe un 𝑏tal que 𝑏𝑛=𝑎. Se tiene entonces que 𝜒𝑘(𝑎) = 𝜒𝑘(𝑏𝑛) = 𝜒𝑘(𝑏)𝑛=𝜀(𝑏)=1, por lo que ∑𝑛−1 𝑘=0 𝜒𝑘(𝑎) = 𝑛, que es el número de soluciones que tiene 𝑥𝑛=𝑎. Si ahora 𝑎≠0y𝑥𝑛=𝑎no tiene soluciones, vamos a definir 𝑎=𝛼𝜏para un cierto 𝜏. Como 𝑥𝑛=𝑎no tiene soluciones, 𝑛∤𝜏y, por tanto, 𝜒1(𝑎) = 𝑒2𝜋𝑖𝜏∕𝑛≠1. Definiendo ahora 𝑆=𝜀(𝑎) + 𝜒1(𝑎) + ... +𝜒1(𝑎)𝑛−1 y multiplicando por 𝜒(𝑎)en ambos términos tenemos que 𝑆𝜒(𝑎) = 𝜒1(𝑎) + 𝜒1(𝑎)2+... +𝜀=𝑆; y como 𝜒1(𝑎)≠1, forzosamente 𝑆= 0. Observación 2.4.La proposición anterior no es más que una generalización del hecho de que 𝑁(𝑥2=𝑎) = 1 + (𝑎 𝑝) Como acabamos de ver (y como adelantamos en el primer capítulo), las sumas de caracteres nos ofrecen expresiones alternativas para calcular el número de puntos racionales de variedades. Lo que haremos en las dos secciones siguientes es sofisticar nuestras sumas para calcular soluciones de ecuaciones más complejas. 2. sumas exponenciales 15 Todas las sumas que consideraremos pueden enmarcarse dentro de una misma familia, la de sumas exponenciales, esto es, sumas de números complejos de módulo 1de las que, habitualmente, nos interesa estimar el módulo. 2.2 Sumas de Gauss Gauss observó que si 𝜔es una raíz cúbica primitiva de la unidad, entonces se podía producir una raíz cuadrada de −3 como ±√−3 = 𝜔−𝜔2. Esto se puede ver usando el polinomio mínimo de 𝜔. Como tenemos que 𝑥3− 1 = (𝑥− 1)(𝑥2+𝑥+ 1), el polinomio mínimo de 𝜔es (𝑥2+𝑥+ 1), y por tanto: (𝜔−𝜔2)2=𝜔2− 2𝜔3+𝜔4=[𝜔3= 1] =𝜔2−2+𝜔=[𝜔2+𝜔= −1] =−3 Por lo que 𝜔−𝜔2= ±𝑖√3. Análogamente, Gauss observó que si 𝜔era una raíz quinta de la unidad, entonces se podía fabricar una raíz cuadrada de 5como ±√5 = 𝜔−𝜔2−𝜔3+𝜔4. Para más información ver [4]. En ambos casos hay un patrón en común, y es que: ⋅1es un residuo cuadrático módulo 3, y 2no lo es. ⋅1y4son residuos cuadráticos módulo 5, mientras que ni 2ni 3lo son. Por tanto, la suma es, en general: ∑ 𝑡∈𝔽∗ 𝑝(𝑡 𝑝)𝜉𝑡 siendo 𝜉una raíz primitiva 𝑝-ésima de la unidad. Es a estas sumas a las que, tradicionalmente, se les conoce como sumas de Gauss. Nosotros daremos una definición más general y a las expresiones del tipo anterior las denominaremos sumas cuadráticas de Gauss. Gauss estudió estas sumas cuadráticas y concluyó que: 16 sumas exponenciales y funciones zeta Teorema 2.1 (Gauss). Sea 𝑝 > 2primo y sea 𝜉una raíz primitiva 𝑝-ésima de la unidad. Entonces se tiene que: ∑ 𝑡∈𝔽∗ 𝑝(𝑡 𝑝)𝜉𝑡={±√𝑝si 𝑝≡1mod 4 ±𝑖√𝑝si 𝑝≡3mod 4 O, equivalentemente, como vamos a ver nosotros: ⎡⎢⎢⎣∑ 𝑡∈𝔽∗ 𝑝(𝑡 𝑝)𝜉𝑡⎤⎥⎥⎦ 2 =(−1 𝑝)𝑝 De hecho, Gauss probó que en ambos casos la suma era positiva, aunque nosotros no llegaremos tan lejos. Otra motivación más moderna para considerar este tipo de sumas se obtiene de la teoría de Galois. Si 𝜉𝑝una raíz primitiva 𝑝-ésima de la unidad. Se tiene entonces que: 𝐺𝑎𝑙(ℚ[𝜉𝑝] ∶ ℚ) ≃ ℤ ℤ(𝑝− 1) Si ahora consideramos un primo 𝑝≥3, entonces 𝑝− 1 es par. Ahora bien, como (𝑝−1)∕2 divide a 𝑝−1, usando el teorema fundamental de la teoría de Galois, se tiene que existe un único subgrupo 𝐻 ⊆ ℤ∕ℤ(𝑝− 1) tal que 𝐻es de orden (𝑝− 1)∕2 y, por tanto, un cuerpo intermedio de grado 𝑝−1 (𝑝−1)∕2 = 2. Por tanto se tiene que dentro de ℚ[𝜉𝑝]existe un subcuerpo 𝐾 ⊆ ℚ[𝜉𝑝]de grado 2; es decir, es de la forma 𝐾=ℚ[√𝑑]. En conclusión, siempre existe un racional 𝑑∈ℚ tal que √𝑑∈ℚ[𝜉𝑝]. La pregunta que nos hacemos ahora es: ¿Podemos saber el valor de 𝑑en función de 𝑝? El teorema anterior nos dice que sí y que 𝑑= ±𝑝. De hecho, los coeficientes de la combinación lineal que da √𝑝vienen dados por el símbolo de Legendre. Una vez dada una motivación para considerar este tipo de sumas, vamos a introducir la definición general con la que nosotros trabajaremos. 2. sumas exponenciales 17 Definición 2.3 (Suma de Gauss). Sea 𝜒un caracter en 𝔽𝑝y𝑎∈𝔽𝑝. Llamaremos suma de Gauss en 𝔽𝑝asociada al número 𝑎y al caracter 𝜒a: 𝑔𝑎(𝜒) = ∑ 𝑡 𝜒(𝑡)𝜉𝑎𝑡, donde la suma se hace para todo 𝑡∈𝔽𝑝, y donde 𝜉=𝑒2𝜋𝑖∕𝑝. Proposición 2.3.El valor de 𝑔𝑎(𝜒)viene dado por la siguiente tabla: 𝑎≠0𝑎= 0 𝜒≠𝜀 𝜒(𝑎−1)𝑔1(𝜒) 0 𝜒=𝜀0𝑝 Demostración. Supongamos que 𝑎≠0y que 𝜒≠𝜀. Se tiene entonces que: 𝜒(𝑎)𝑔𝑎(𝜒) = 𝜒(𝑎)∑ 𝑡 𝜒(𝑡)𝜉𝑎𝑡 =∑ 𝑡 𝜒(𝑎𝑡)𝜉𝑎𝑡 =𝑔1(𝜒) Aquí volvemos a usar lo que se utilizó en la demostración de la proposición 2.1, y es que tanto 𝑡como 𝑎𝑡 recorren todos los elementos de 𝔽𝑝. En el caso de que 𝑎≠0y que 𝜒=𝜀se tiene que: 𝑔𝑎(𝜀) = ∑ 𝑡 𝜀(𝑡)𝜉(𝑎𝑡) = ∑ 𝑡 𝜉(𝑎𝑡)=0 De nuevo, 𝑎𝑡 recorre todos los elementos de 𝔽𝑝y por tanto, al sumar todas las raíces de la unidad se tiene que el resultado es 0. Para finalizar la prueba, se observa que 𝑔0(𝜒) = ∑𝑡𝜒(𝑡)𝜉0𝑡=∑𝑡𝜒(𝑡). Usando ahora la proposición 2.1, se tiene inmediatamente el resultado deseado. Como hemos comentado en la sección anterior, las sumas de Gauss sirven para dar expresiones del número de puntos rancionales de ciertas variedades. Por ello, nos gustaría ver si tenemos una manera de estimar su módulo. Tradicionalmente, esto es un cálculo sencillo cuya demostración se puede ver en unos párrafos. Sin embargo, existe una demostración alternativa a la clásica que nos sirve como excusa para hablar un poco de una herramienta de importancia crucial en el campo de sumas exponenciales: la transformada de Fourier. 24 sumas exponenciales y funciones zeta Como la mitad de los elementos de 𝔽𝑝son residuos cuadráticos, tanto el segundo término de la suma como el tercero son 0. Para el último sumando usaremos que, por ser el símbolo de Legendre de orden 2,(𝑏∕𝑝)=(𝑏−1∕𝑝)(excepto para 𝑏= 0 que se tiene que (𝑏∕𝑝)=0). Haciendo el cambio de variable 𝑎= 1 − 𝑏tenemos lo siguiente: ∑ 𝑎+𝑏=1 𝑎,𝑏≠0(𝑎 𝑝)(𝑏 𝑝)= 𝑝−1 ∑ 𝑏=1 (1 − 𝑏 𝑝)(𝑏−1 𝑝)= 𝑝−1 ∑ 𝑏=1 (𝑏−1 − 1 𝑝) Como 𝑏−1 recorre todos los elementos de 𝔽∗ 𝑝,𝑏−1 − 1 recorrerá todos los elementos desde el 0hasta el 𝑝− 2. Finalmente, como la suma de todos los (𝑏∕𝑝)debe ser nula tenemos que: 𝑝−1 ∑ 𝑏=1 (𝑏−1 − 1 𝑝)= − (−1 𝑝) Y usando el lema 2.1 obtenemos finalmente que 𝑁(𝑥2+𝑦2= 1) = 𝑝−(−1)𝑝−1 2 Este cálculo no era muy complicado, pero para hemos visto que ha sido crucial hacer la estimación de una suma del tipo ∑𝑎+𝑏=1 (𝑎 𝑝)(𝑏 𝑝). Este tipo de sumas aparecerán continuamente al calcular el número de puntos racionales de las hipersuperficies diagonales. Jacobi fue el primeor en estudiar este tipo de expresiones en profundidad. Definición 2.5 (Suma de Jacobi). Sean 𝜒y𝜆dos caracteres multiplicativos en 𝔽𝑝. A la suma 𝐽(𝜒, 𝜆) = ∑𝑎+𝑏=1 𝜒(𝑎)𝜆(𝑏)se le denomina suma de Jacobi. Veamos ahora unas cuantas propiedades de estas sumas Observación 2.6.Sea 𝜒un caracter multiplicativo: a)𝐽(𝜀, 𝜀) = 𝑝 b)𝐽(𝜀, 𝜒)=0si 𝜒es no trivial c)𝐽(𝜒, 𝜒) = 𝐽(𝜒, 𝜒) d)𝐽(𝜒, 𝜒−1)=−𝜒(−1) si 𝜒es no trivial Demostración. Para demostrar tanto (a) como (b) sólo es necesario sustituir uno o los dos caracteres por 1y se tiene directamente por la proposición 2.1. Para el apartado (c) tan sólo hay que usar la definición de suma de Jacobi y aplicar que la suma y producto de conjugados son el conjugado de la suma y del producto. 2. sumas exponenciales 25 Para el último apartado tenemos usando la observación 2.2 que: 𝐽(𝜒, 𝜒−1) = ∑ 𝑎+𝑏=1 𝜒(𝑎)𝜒−1(𝑏) = ∑ 𝑎+𝑏=1 𝑎,𝑏≠0 𝜒(𝑎𝑏−1) = ∑ 𝑏≠0 𝜒((1 − 𝑏)𝑏−1)= 𝑝−1 ∑ 𝑏=1 𝜒(𝑏−1 − 1) Y por el mismo razonamiento que hemos hecho antes, el único elemento que no está en la suma es 𝜒(−1); y si estuviera ese elemento, la suma sería nula. Por tanto podemos concluir que 𝐽(𝜒, 𝜒−1)=−𝜒(−1). El resultado clave sobre este tipo de sumas es el de siempre cuando tratamos con sumas exponenciales: la estimación de su módulo. Lo calcularemos en este caso estudiando una relación no evidente entre las sumas de Jacobi y las sumas de Gauss. Teorema 2.6. Si 𝜒𝜆 ≠𝜀, entonces se tiene: 𝐽(𝜒, 𝜆) = 𝑔(𝜒)𝑔(𝜆) 𝑔(𝜒𝜆) Demostración. Para empezar, tenemos que: 𝑔(𝜒)𝑔(𝜆) = (∑ 𝑥 𝜒(𝑥)𝜉𝑥)(∑ 𝑦 𝜆(𝑦)𝜉𝑦) =∑ 𝑥,𝑦 𝜒(𝑥)𝜆(𝑦)𝜉𝑥+𝑦 =∑ 𝑡(∑ 𝑥+𝑦=𝑡 𝜒(𝑥)𝜆(𝑦))𝜉𝑡 Si 𝑡= 0, tenemos que ∑𝑥+𝑦=0 𝜒(𝑥)𝜆(𝑦) = ∑𝑥𝜒(𝑥)𝜆(−𝑥) = 𝜆(−1) ∑𝑥𝜒𝜆(𝑥). La suma, como habíamos supuesto que 𝜒𝜆 ≠𝜀, es nula. Si 𝑡≠0hacemos un cambio de variable, poniendo 𝑥=𝑡𝑥′y𝑦=𝑡𝑦′: ∑ 𝑥+𝑦=𝑡 𝜒(𝑥)𝜆(𝑦) = ∑ 𝑥′+𝑦′=1 𝜒(𝑡𝑥′)𝜆(𝑡𝑦′) = 𝜒𝜆(𝑡)𝐽(𝜒, 𝜆) Si sustituimos ahora este resultado en la ecuación de arriba obtenemos que 𝑔(𝜒)𝑔(𝜆) = ∑ 𝑡 𝜒𝜆(𝑡)𝐽(𝜒, 𝜆)𝜉𝑡=𝐽(𝜒, 𝜆)𝑔(𝜒𝜆) Y conseguimos el resultado que queríamos. 26 sumas exponenciales y funciones zeta Corolario 2.2.Si 𝜒y𝜆son no triviales y 𝜒𝜆 tampoco lo es, entonces se tiene que |𝐽(𝜒, 𝜆)|=√𝑝. Demostración. Se obtiene trivialmente del teorema anterior |𝐽(𝜒, 𝜆)|=|𝑔(𝜒)||𝑔(𝜆)| |𝑔(𝜒𝜆)|=√𝑝√𝑝 √𝑝=√𝑝 Vayamos ahora un paso más allá e intentemos calcular, como aplicación inmediata, el número de soluciones de (𝑥3+𝑦3= 1). Como hicimos antes para el caso de los cuadrados, tenemos: 𝑁(𝑥3+𝑦3= 1) = ∑ 𝑎+𝑏=1 𝑁(𝑥3=𝑎)𝑁(𝑥3=𝑏) Si 𝑝≡2mod 3tenemos que 𝑁(𝑥3=𝑎) = 1 para todo 𝑎, ya que (3, 𝑝 − 1) = 1 y por tanto 𝑁(𝑥3+𝑦3= 1) = 𝑝en este caso. Si 𝑝≡1mod 3tenemos por la proposición 2.2 que 𝑁(𝑥3=𝑎) = 1 + 𝜒(𝑎) + 𝜒2(𝑎), donde 𝜒es un caracter de orden 3, por lo que tenemos lo siguiente: 𝑁(𝑥3+𝑦3= 1) = ∑ 𝑎+𝑏=1 2 ∑ 𝑖=0 𝜒𝑖(𝑎) 2 ∑ 𝑗=0 𝜒𝑗(𝑏) = 2 ∑ 𝑖=0 2 ∑ 𝑗=0 (∑ 𝑎+𝑏=1 𝜒𝑖(𝑎)𝜒𝑗(𝑏)) Y aplicando la definición de sumas de Jacobi, y las observaciones 2.6 obtenemos: 𝑁(𝑥3+𝑦3= 1) = 2 ∑ 𝑖=0 2 ∑ 𝑗=0 𝐽(𝜒𝑖, 𝜒𝑗) =𝑝−𝜒(−1) − 𝜒2(−1) + 𝐽(𝜒, 𝜒)+𝐽(𝜒2, 𝜒2) Ahora bien, como −1 = (−1)3, tenemos que 𝜒(−1) = 𝜒(−1)3= 1. También podemos observar que 𝜒2=𝜒−1, y por la observación 2.2, 𝜒2=𝜒. Ahora podemos aplicar el apartado (c) de la observación 2.6 para obtener finalmente: 𝑁(𝑥3+𝑦3= 1) = 𝑝− 2 + 2 Re 𝐽(𝜒, 𝜒) Aunque de primeras parezca un resultado muy malo comparado con la exactitud que teníamos para 𝑁(𝑥2+𝑦2= 1), lo cierto es que gracias a esto obtenemos unas cotas inferior y superior muy buenas, ya que tenemos: |𝑁(𝑥3+𝑦3= 1) − 𝑝+ 2|≤2√𝑝, 2. sumas exponenciales 27 además que esto nos muestra que conforme aumenta 𝑝, aumenta el número de soluciones, lo cual es, a priori, nada evidente. Veamos ahora una segunda aplicación más "tangible" que no involucra ninguna suma exponencial (en su enunciado): Proposición 2.4.Si 𝑝≡1 (mod 4), entonces existen enteros 𝑎y𝑏tales que 𝑎2+𝑏2=𝑝. Si 𝑝≡1 (mod 3), entonces existen enteros 𝑎y𝑏tales que 𝑎2−𝑎𝑏 +𝑏2=𝑝. Demostración. Como 4es un número dividiendo a 𝑝− 1, existe un caracter de orden 4en 𝔽𝑝, al que llamaremos 𝜒. Los valores que puede tomar este caracter están en {±1,±𝑖}. Por tanto 𝐽(𝜒, 𝜒) = ∑𝑠+𝑡=1 𝜒(𝑠)𝜒(𝑡) ∈ ℤ[𝑖], por lo que existe un par de enteros 𝑎, 𝑏 ∈ℤtal que 𝐽(𝜒, 𝜒) = 𝑎+𝑏𝑖. Por lo que se tiene que |𝐽(𝜒, 𝜒)|2=𝑝= 𝑎2+𝑏2. Si 𝑝≡1 (mod 3), existe un caracter 𝜒de orden 3, que puede tomar los valores {1, 𝜔, 𝜔2}, donde 𝜔= (−1 + 𝑖√3)∕2. Como 𝜔2= −1 − 𝜔, tenemos entonces que 𝐽(𝜒, 𝜒) ∈ ℤ[𝜔]. Como antes, existe un par 𝑎, 𝑏 ∈ℤtales que 𝐽(𝜒, 𝜒) = 𝑎+𝑏𝜔. Finalmente se tiene que 𝑝=|𝐽(𝜒, 𝜒)|2=|𝑎+𝑏𝜔|2=𝑎2−𝑎𝑏 +𝑏2. La primera persona en descubrir que los primos 𝑝≡1 (mod 4) pueden ser escritos como suma de dos cuadrados fue Fermat. Además, tenemos la unicidad de este hecho si definimos 𝑎, 𝑏 > 0,𝑎impar y 𝑏par; y no es muy difícil comprobarlo. Desgraciadamente no hay unicidad para la segunda parte, ya que 𝑎2−𝑎𝑏+𝑏2=𝑎2−𝑎(𝑎−𝑏)+(𝑎−𝑏)2. Sin embargo, para primos de ese tipo tenemos la descomposición única de la forma 4𝑝=𝐴2+ 27𝐵2cuando 𝐴, 𝐵 > 0. 2.6 Todavía más caracteres Sí, todavía se puede complicar más la cosa y es que, en la sección anterior, estudiábamos el número de puntos racionales de la variedad definida por la ecuación 𝑥2+𝑦2= 1. Si tomamos más variables y tratamos de calcular 𝑁(𝑥2 1+…+𝑥2 𝑙= 1), obtendremos, con un razonamiento similar, una suma en la que aparecen 𝑙caracteres en vez de solamente 2. De ahí, nos queda esta definición. Definición 2.6 (Suma de Jacobi). Sean 𝜒1, 𝜒2, ..., 𝜒𝑙caracteres en 𝔽𝑝. Una suma de Jacobi asociada a los caracteres 𝜒1, 𝜒2,…, 𝜒𝑙es la dada por la expresión: 𝐽(𝜒1, 𝜒2, ..., 𝜒𝑙) = ∑ 𝑡1+⋯+𝑡𝑙=1 𝜒1(𝑡1)𝜒2(𝑡2)⋯𝜒𝑙(𝑡𝑙) 28 sumas exponenciales y funciones zeta Antes definimos exclusivamente un tipo de suma de Jacobi, cuando 𝑙= 2. Aparte de esta definición, también nos será útil esta de aquí: 𝐽0(𝜒1, 𝜒2, ..., 𝜒𝑙) = ∑ 𝑡1+⋯+𝑡𝑙=0 𝜒1(𝑡1)𝜒2(𝑡2)⋯𝜒𝑙(𝑡𝑙) Vemos que se preservan todas las propiedades que teníamos para 𝑙= 2. Proposición 2.5.Manteniendo la notación anterior: a) 𝐽0(𝜀, 𝜀, …, 𝜀) = 𝐽(𝜀, 𝜀, …, 𝜀) = 𝑝𝑙−1 b) Si alguno pero no todos los caracteres 𝜒𝑖son el trivial, entonces 𝐽0(𝜒1, 𝜒2,…, 𝜒𝑙) = 𝐽(𝜒1, 𝜒2,…, 𝜒𝑙)=0 c) Si 𝜒𝑙≠𝜀, entonces 𝐽0(𝜒1, 𝜒2,…, 𝜒𝑙) = {0si 𝜒1𝜒2⋯𝜒𝑙≠𝜀 𝜒𝑙(−1)(𝑝− 1)𝐽(𝜒1, 𝜒2,…, 𝜒𝑙−1)en caso contrario Demostración. Los apartados (a) y (b) pueden resolverse fácilmente al igual que se resolvían en el caso de dos caracteres en la observación 2.6. Para el tercer apartado, observemos que: 𝐽0(𝜒1, 𝜒2,…, 𝜒𝑙) = ∑ 𝑠(∑ 𝑡1+⋯+𝑡𝑙−1=−𝑠 𝜒1(𝑡1)⋯𝜒𝑙−1(𝑡𝑙−1))𝜒𝑙(𝑠) Como 𝜒𝑙≠𝜀tenemos que 𝜒𝑙(0) = 0 así que podemos quitar 𝑠= 0 de la suma. Como 𝑠≠0podemos definir 𝑡′ 𝑖como 𝑡𝑖= −𝑠𝑡′ 𝑖. Por lo que ∑ 𝑡1+⋯+𝑡𝑙−1=−𝑠 𝜒1(𝑡1)⋯𝜒𝑙−1(𝑡𝑙−1) = 𝜒1𝜒2⋯𝜒𝑙−1(−𝑠)∑ 𝑡′ 1+⋯+𝑡′ 𝑙−1=1 𝜒1(𝑡′ 1)⋯𝜒𝑙−1(𝑡′ 𝑙−1) =𝜒1𝜒2⋯𝜒𝑙−1(−𝑠)𝐽(𝜒1,…, 𝜒𝑙−1) Metiendo este resultado en la ecuación de arriba tenemos: 𝐽0(𝜒1, 𝜒2,…, 𝜒𝑙) = 𝜒1𝜒2⋯𝜒𝑙−1(−1)𝐽(𝜒1,…, 𝜒𝑙−1)∑ 𝑠≠0 𝜒1𝜒2⋯𝜒𝑙(𝑠) Finalmente obtenemos lo que buscabamos; si 𝜒1𝜒2⋯𝜒𝑙=𝜀, el caracter de la derecha es 𝜀y por tanto la suma es 𝑝− 1. Sin embargo; si el producto es otro caracter, la suma es nula y por tanto 𝐽0(𝜒1, 𝜒2,…, 𝜒𝑙)también es 0. 2. sumas exponenciales 29 Al igual que para dos caracteres, existe una fuerte relación entre las sumas de Jacobi y de Gauss. Teorema 2.7. Sean 𝜒1, 𝜒2,…, 𝜒𝑟caracteres no triviales y que cumplan que 𝜒1𝜒2⋯𝜒𝑟 tampoco sea trivial. Se tiene: 𝑔(𝜒1)𝑔(𝜒2)⋯𝑔(𝜒𝑟) = 𝐽(𝜒1, 𝜒2,…, 𝜒𝑟)𝑔(𝜒1𝜒2⋯𝜒𝑟) Demostración. La demostración es análoga a la usada para las sumas de Jacobi con dos caracteres en el teorema 2.6. Un par de corolarios que se desprenden de este resultado. Corolario 2.3.Sean 𝜒1, 𝜒2,…, 𝜒𝑟caracteres no triviales y que cumplan que 𝜒1𝜒2⋯𝜒𝑟 sí que sean el trivial. Se tiene: 𝑔(𝜒1)𝑔(𝜒2)⋯𝑔(𝜒𝑟) = 𝜒𝑟(−1)𝑝𝐽(𝜒1, 𝜒2,…, 𝜒𝑟−1) Demostración. Tenemos 𝑔(𝜒1)𝑔(𝜒2)⋯𝑔(𝜒𝑟−1) = 𝐽(𝜒1, 𝜒2,…, 𝜒𝑟−1)𝑔(𝜒1𝜒2⋯𝜒𝑟−1) por el teorema 2.7. Multiplicando ahora ambos términos por 𝑔(𝜒𝑟)obtenemos que 𝑔(𝜒1)𝑔(𝜒2)⋯𝑔(𝜒𝑟) = 𝐽(𝜒1, 𝜒2,…, 𝜒𝑟−1)𝑔(𝜒1𝜒2⋯𝜒𝑟−1)𝑔(𝜒𝑟). Como el producto de todos los caracteres es el trivial, tenemos que 𝜒1𝜒2⋯𝜒𝑟−1 =𝜒−1 𝑟y por tanto, y gracias al lema 2.3, tenemos que: 𝑔(𝜒1⋯𝜒𝑟−1)𝑔(𝜒𝑟) = 𝑔(𝜒−1 𝑟)𝑔(𝜒𝑟) = 𝜒𝑟(−1)𝑝 Sustituyendo en la primera igualdad se consigue el resultado deseado. Observación 2.7.El lema 2.4 que nos permitió probar la reciprocidad cuadrática en la sección 2.4 se puede obtener fácilmente del corolario anterior tomando 𝜒𝑖=(⋅ 𝑝) el símbolo de Legendre, dando así de nuevo una prueba de la reciprocidad cuadrática usando, esta vez, las propiedades elementales de las sumas de Jacobi. Corolario 2.4.Con las mismas hipótesis que en el corolario anterior tenemos: 𝐽(𝜒1, 𝜒2,…, 𝜒𝑟)=−𝜒𝑟(−1)𝐽(𝜒1, 𝜒2,…, 𝜒𝑟−1) Si 𝑟= 2 definimos 𝐽(𝜒1)=1 Demostración. Si 𝑟= 2 lo tenemos demostrado en el cuarto apartado de la observación 2.6. 30 sumas exponenciales y funciones zeta Para 𝑟 > 2tenemos que: 𝑔(𝜒1)𝑔(𝜒2)⋯𝑔(𝜒𝑟) = (∑ 𝑡1 𝜒1(𝑡1)𝜉𝑡1)⋯(∑ 𝑡𝑟 𝜒𝑟(𝑡𝑟)𝜉𝑡𝑟) =∑ 𝑠(∑ 𝑡1+𝑡2+⋯+𝑡𝑟=𝑠 𝜒1(𝑡1)𝜒2(𝑡2)⋯𝜒𝑟(𝑡𝑟))𝜉𝑠 Si separamos 𝑠= 0 y𝑠≠0tenemos 𝑔(𝜒1)𝑔(𝜒2)⋯𝑔(𝜒𝑟) = 𝐽0(𝜒1, ..., 𝜒𝑟) + ∑ 𝑠≠0(∑ 𝑡1+𝑡2+⋯+𝑡𝑟=𝑠 𝜒1(𝑡1)𝜒2(𝑡2)⋯𝜒𝑟(𝑡𝑟))𝜉𝑠 Veamos más detalladamente la segunda suma, haciendo el cambio de variable 𝑡𝑖=𝑠𝑡′ 𝑖: ∑ 𝑡1+𝑡2+⋯+𝑡𝑟=𝑠 𝜒1(𝑡1)𝜒2(𝑡2)⋯𝜒𝑟(𝑡𝑟) = ∑ 𝑡′ 1+𝑡′ 2+⋯+𝑡′ 𝑟=1 𝜒1𝜒2⋯𝜒𝑟(𝑠)𝜒1(𝑡′ 1)𝜒2(𝑡′ 2)⋯𝜒𝑟(𝑡′ 𝑟) =𝜒1𝜒2⋯𝜒𝑟(𝑠)𝐽(𝜒1, 𝜒2, ..., 𝜒𝑟) Por lo que tenemos usando lo anterior: 𝑔(𝜒1)𝑔(𝜒2)⋯𝑔(𝜒𝑟) = 𝐽0(𝜒1, ..., 𝜒𝑟) − 𝐽(𝜒1, ..., 𝜒𝑟) 𝐽(𝜒1, ..., 𝜒𝑟) = 𝐽0(𝜒1, ..., 𝜒𝑟) − 𝑔(𝜒1)𝑔(𝜒2)⋯𝑔(𝜒𝑟) Usando ahora el tercer apartado de la proposición 2.5 y el corolario 2.4 tenemos: 𝐽0(𝜒1, ..., 𝜒𝑟) = 𝜒𝑟(−1)(𝑝− 1)𝐽(𝜒1, ..., 𝜒𝑟−1) 𝑔(𝜒1)⋯𝑔(𝜒𝑟) = 𝜒𝑟(−1)𝑝𝐽(𝜒1, ..., 𝜒𝑟−1) Restando ahora la primera igualdad menos la segunda tenemos el resultado que queríamos demostrar. Finalmente, el resultado que nos permitirá calcular el módulo de las sumas de Jacobi. Corolario 2.5.Sean 𝜒1, 𝜒2,…, 𝜒𝑟caracteres no triviales. Se tiene que: 𝐽(𝜒1, 𝜒2,…, 𝜒𝑟) = ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 𝑔(𝜒1)⋯𝑔(𝜒𝑟) 𝑔(𝜒1⋯𝜒𝑟)si 𝜒1⋯𝜒𝑟≠𝜀 −𝑔(𝜒1)⋯𝑔(𝜒𝑟) 𝑝si 𝜒1⋯𝜒𝑟=𝜀 2. sumas exponenciales 31 Demostración. La demostración es trivial usando el teorema 2.7 y los corolarios 2.3 y 2.4. Únicamente hay que despejar y usar bien las fórmulas, dependiendo de si el producto de los caracteres es el trivial o no. Como conocemos el módulo de las sumas de Gauss, podemos deducir inmediatamente el tamaño de las sumas de Jacobi en cada caso. Lo resumimos en el teorema a continuación. Teorema 2.8. Sean 𝜒1, 𝜒2, ..., 𝜒𝑟caracteres no triviales. Si 𝜒1𝜒2⋯𝜒𝑟≠𝜀, entonces |𝐽(𝜒1, 𝜒2,…, 𝜒𝑟)|=𝑝(𝑟−1)∕2 Si 𝜒1𝜒2⋯𝜒𝑟=𝜀, entonces |𝐽(𝜒1, 𝜒2,…, 𝜒𝑟)|=𝑝𝑟∕2−1 |𝐽0(𝜒1, 𝜒2,…, 𝜒𝑟)|= (𝑝− 1)𝑝𝑟∕2−1 Demostración. Estas tres igualdades se pueden demostrar muy fácilmente tomando módulo en otras igualdades ya demostradas. La primera se obtiene de la igualdad del teorema 2.7. La segunda se puede obtener del corolario 2.4, y la tercera se puede obtener del tercer apartado de la proposición 2.5. Ahora que ya tenemos las propiedades fundamentales de las sumas de Jacobi, podemos evaluar el número de soluciones de la siguiente ecuación: 𝑎1𝑥𝑙1 1+𝑎2𝑥𝑙2 2+⋯+𝑎𝑟𝑥𝑙𝑟 𝑟=𝑏 donde 𝑎1, 𝑎2, ..., 𝑎𝑟∈𝔽∗ 𝑝y𝑏∈𝔽𝑝. A dicho número de soluciones lo llamaremos 𝑁 a partir de ahora. Al igual que ya hemos hasta ahora en este tipo de casos, tenemos para empezar que 𝑁=∑𝑁(𝑥𝑙1 1=𝑢1)𝑁(𝑥𝑙2 2=𝑢2)⋯𝑁(𝑥𝑙𝑟 𝑟=𝑢𝑟) donde la suma recorre todas las 𝑟-tuplas (𝑢1, 𝑢2, ..., 𝑢𝑟)tales que ∑𝑟 𝑖=1 𝑎𝑖𝑢𝑖=𝑏. A partir de aquí asumiremos que 𝑙1, 𝑙2, ..., 𝑙𝑟son divisores de 𝑝−1. No obstante, esto no es una condición necesaria pero hará más fácil los cálculos. Gracias a esta condición, podemos aplicar la proposición 2.2 para obtener 𝑁(𝑥𝑙𝑖 𝑖=𝑢𝑖) = ∑𝜒𝑖𝜒𝑖(𝑢𝑖), donde la suma recorre todos los caracteres 𝜒𝑖de orden dividiendo a 𝑙𝑖; o lo que es lo mismo, los 32 sumas exponenciales y funciones zeta caracteres 𝜒𝑖tales que 𝜒𝑙𝑖 𝑖=𝜀. Gracias a este resultado y sustituyendo en la igualdad de arriba obtenemos: 𝑁=∑ 𝜒1,𝜒2,...,𝜒𝑟∑ ∑𝑎𝑖𝑢𝑖=𝑏 𝜒1(𝑢1)𝜒2(𝑢2)⋯𝜒𝑟(𝑢𝑟) Podemos ver que la suma de dentro (a la que llamaremos 𝑆) se parece mucho a una suma de Jacobi. Dependiendo de si 𝑏= 0 o𝑏≠0, tendremos una suma tipo 𝐽0o tipo 𝐽respectivamente. Para 𝑏= 0, definimos 𝑡𝑖=𝑎𝑖𝑢𝑖y por tanto 𝑢𝑖=𝑡𝑖𝑎−1 𝑖; y obtenemos que: 𝑆0=∑ ∑𝑡𝑖=0 𝜒1(𝑡1𝑎−1 1)𝜒2(𝑡2𝑎−1 2)⋯𝜒𝑟(𝑡𝑟𝑎−1 𝑟) =𝜒1(𝑎−1 1)𝜒2(𝑎−1 2)⋯𝜒𝑟(𝑎−1 𝑟)∑ ∑𝑡𝑖=0 𝜒1(𝑡1)𝜒2(𝑡2)⋯𝜒𝑟(𝑡𝑟) =𝜒1(𝑎−1 1)𝜒2(𝑎−1 2)⋯𝜒𝑟(𝑎−1 𝑟)𝐽0(𝜒1, 𝜒2, ..., 𝜒𝑟) Si ahora 𝑏≠0, definimos 𝑡𝑖=𝑏−1𝑎𝑖𝑢𝑖y, de forma análoga al cálculo anterior, tenemos que la suma interna 𝑆en este caso es: 𝑆=𝜒1𝜒2⋯𝜒𝑟(𝑏)𝜒1(𝑎−1 1)⋯𝜒𝑟(𝑎−1 𝑟)𝐽(𝜒1, 𝜒2, ..., 𝜒𝑟) En cualquiera de los dos casos, si 𝜒1=𝜒2=⋯=𝜒𝑟=𝜀, se tiene que 𝑆=𝑆0= 𝐽(𝜀, ..., 𝜀) = 𝐽0(𝜀, ..., 𝜀) = 𝑝𝑟−1. Por otro lado, si alguno pero no todos los caracteres son el trivial, la suma es 𝑆=𝑆0= 0. Por último, sabemos que si 𝜒1𝜒2⋯𝜒𝑟≠𝜀 entonces 𝑆0= 0 debido a la proposición 2.5. Aglomeramos todos estos resultados en el siguiente teorema. Teorema 2.9. Si 𝑏= 0, entonces 𝑁=𝑝𝑟−1 +∑𝜒1(𝑎−1 1)𝜒2(𝑎−1 2)⋯𝜒𝑟(𝑎−1 𝑟)𝐽0(𝜒1, 𝜒2, ..., 𝜒𝑟) donde la suma recorre todas las 𝑟-tuplas de caracteres 𝜒1, 𝜒2, ..., 𝜒𝑟tales que 𝜒𝑙𝑖 𝑖=𝜀, 𝜒𝑖≠𝜀para 𝑖= 1, ..., 𝑟, y 𝜒1...𝜒𝑟=𝜀. Si 𝑀es el número de tales 𝑟-tuplas, tenemos que |𝑁−𝑝𝑟−1|≤𝑀(𝑝− 1)𝑝𝑟∕2−1 Si 𝑏≠0, entonces 𝑁=𝑝𝑟−1 +∑𝜒1𝜒2⋯𝜒𝑟(𝑏)𝜒1(𝑎−1 1)𝜒2(𝑎−1 2)⋯𝜒𝑟(𝑎−1 𝑟)𝐽(𝜒1, 𝜒2, ..., 𝜒𝑟) 2. sumas exponenciales 33 donde la suma recorre todas las 𝑟-tuplas de caracteres 𝜒1, 𝜒2, ..., 𝜒𝑟tales que 𝜒𝑙𝑖 𝑖=𝜀, 𝜒𝑖≠𝜀para 𝑖= 1, ..., 𝑟. Si 𝑀0es el número de tales 𝑟-tuplas que cumplen que 𝜒1...𝜒𝑟=𝜀, y𝑀1el número de tales 𝑟-tuplas que cumplen que 𝜒1...𝜒𝑟≠𝜀, tenemos que |𝑁−𝑝𝑟−1|≤𝑀0𝑝𝑟∕2−1 +𝑀1𝑝(𝑟−1)∕2 Demostración. Las cotas se obtienen restando en ambos lados el término líder 𝑝𝑟−1, tomando módulo y aplicando el teorema 2.8 que nos permite estimar el tamaño de las sumas de Jacobi. Lo que nos dice el teorema anterior es que, en esencia, la hipersuperficie que define la ecuación anterior tiene 𝑝𝑟−1 puntos racionales con un error del orden de √𝑝𝑟. Este resultado terminaremos de afinarlo cuando veamos la versión proyectiva de este teorema teniendo en cuenta los puntos del infinito. 2.7 De 𝔽𝑝a𝔽𝑞 Nuestro objetivo final es comparar los números 𝑁𝑠entre sí. Por tanto, no nos vale solamente con saber calcular el número de puntos racionales de nuestras variedades sobre 𝔽𝑝. Nos gustaría extender estos cálculos a 𝔽𝑞con 𝑞=𝑝𝑛. Todos los resultados que hemos utilizado son fácilmente generalizables a 𝔽𝑞reemplazando 𝑝por 𝑞. Sin embargo, hay un momento del documento donde la generalización que deberíamos hacer no es nada obvia: al definir las sumas de Gauss. Esto es debido a que estas sumas las obteníamos multiplicando un carácter multiplicativo por un término del tipo 𝜁𝑎𝑡, siendo esta última una raíz p-ésima de la unidad. Realmente, lo único que hemos utilizado es que la función 𝜁𝑡induce un homomorfismo de la estructura aditiva de 𝔽𝑝en la estructura multiplicativa de ℂ. Veamos qué podemos hacer para preservar esta propiedad. Digamos que buscamos un homomorfismo de 𝜓∶(𝔽𝑞,+)→(ℂ∗,⋅). Nos gustaría además que 𝜓preservase cierta estructura de 𝔽𝑞como cuerpo, por ejemplo, podemos pedir que sea invariante por la acción del grupo de Galois Gal(𝔽𝑞∕𝔽𝑝). Este grupo es muy bien conocido y está generado por el Frobenius, es decir: Gal(𝔽𝑝𝑛∕𝔽𝑝)={𝜎0, 𝜎, …, 𝜎𝑛−1} con 𝜎la aplicación 𝑥→ 𝑥𝑝. Si imponemos por tanto la invariancia de 𝜓por este 40 sumas exponenciales y funciones zeta donde hemos aplicado la derivada logarítmica y luego hemos multiplicado por 𝑢en ambos lados. Si queremos probar las conjeturas de Weil para las hipersuperficies diagonales, podemos aprovecharnos de que tenemos una fórmula explícita para 𝑁𝑠gracias al teorema 2.10 y sustituir directamente en 𝑁𝑠. Si las conjeturas se verificasen, deberíamos, por la racionalidad, esperar algún tipo de comportamiento "polinomial" entre los números 𝑁𝑠. De hecho, esto es obvio en al menos algunos términos que da el teorema 2.10, ya que, si trabajamos en el cuerpo con 𝑞𝑠elementos, los primeros términos de 𝑁𝑠son de la forma: 𝑞𝑠(𝑛−1) +𝑞𝑠(𝑛−2) +⋯+𝑞𝑠+ 1 que tiene un comportamiento claramente polinomial en 𝑠. El único problema es que, cuando llegamos a los términos que dependen de los caracteres, tenemos una serie de caracteres de 𝔽𝑞𝑠de orden dividiendo a 𝑚. Nuestro problema se reduce, esencialmente, a intentar encontrar una relación entre estos caracteres y los caracteres de 𝔽𝑞con la misma condición. Resulta que este es precisamente el contenido del teorema de Hasse- Davenport, el cual nos dirá, a grandes rasgos, que caracteres con estas condiciones se relacionan siempre a través de la función norma. En la siguiente sección trataremos de dar una idea de la prueba de la este teorema para después aplicarlo directamente a nuestro problema en la sección posterior. 3.2 Relación de Hasse-Davenport Nuestro objetivo es ahora hablar del número de elementos de una variedad 𝑋sobre un cuerpo finito con 𝑞𝑠elementos. Para ello, análogamente a como venimos haciendo, tenemos que hablar de la función traza (y de una función adicional, la norma) pero esta vez en el sentido relativo. Esto es, considerando ahora el cuerpo base sobre el que se toma la traza como 𝔽𝑞y no 𝔽𝑝. Utilizaremos de referencia el capítulo 11.4 de [9]. Definición 3.1 (Traza y norma). Para todo 𝛼∈𝔽𝑞𝑠se define la traza y la norma de 𝛼respectivamente de la siguiente manera: tr𝔽𝑞𝑠∕𝔽𝑞(𝛼) = 𝛼+𝛼𝑞+𝛼𝑞2+⋯+𝛼𝑞𝑠−1 N𝔽𝑞𝑠∕𝔽𝑞(𝛼) = 𝛼⋅𝛼𝑞⋅𝛼𝑞2 ⋯𝛼𝑞𝑠−1 Veamos ahora algunas propiedades de la traza y la norma. 3. función zeta y conjeturas de weil 41 Proposición 3.1.Si 𝛼, 𝛽 ∈𝔽𝑞𝑠y𝑎∈𝔽𝑞entonces: a) tr𝔽𝑞𝑠∕𝔽𝑞(𝛼) ∈ 𝔽𝑞 b) tr𝔽𝑞𝑠∕𝔽𝑞(𝛼+𝛽) = tr𝔽𝑞𝑠∕𝔽𝑞(𝛼) + tr𝔽𝑞𝑠∕𝔽𝑞(𝛽) c) tr𝔽𝑞𝑠∕𝔽𝑞(𝑎𝛼) = 𝑎tr𝔽𝑞𝑠∕𝔽𝑞(𝛼) d) La traza es una función sobreyectiva de 𝔽𝑞𝑠en 𝔽𝑞 Demostración. La demostración es análoga a la de la proposición 2.6. Proposición 3.2.Si 𝛼, 𝛽 ∈𝔽𝑞𝑠y𝑎∈𝔽𝑞entonces: a) N𝔽𝑞𝑠∕𝔽𝑞(𝛼) ∈ 𝔽𝑞 b) N𝔽𝑞𝑠∕𝔽𝑞(𝛼𝛽)=N𝔽𝑞𝑠∕𝔽𝑞(𝛼) N𝔽𝑞𝑠∕𝔽𝑞(𝛽) c) N𝔽𝑞𝑠∕𝔽𝑞(𝑎𝛼) = 𝑎𝑠N𝔽𝑞𝑠∕𝔽𝑞(𝛼) d) La norma es una función sobreyectiva de 𝔽∗ 𝑞𝑠en 𝔽∗ 𝑞 Demostración. a) Para esta prueba tenemos fácilmente que: N(𝛼)𝑞= (𝛼⋅𝛼𝑞⋯𝛼𝑞𝑠−1 )𝑞= (𝛼𝑞⋅𝛼𝑞2 ⋯𝛼𝑞𝑠) = N(𝛼) y por tanto N(𝛼) ∈ 𝔽𝑞. b) N(𝛼𝛽)=(𝛼𝛽)⋅(𝛼𝛽)𝑞⋯(𝛼𝛽)𝑞𝑠−1 = (𝛼⋅𝛼𝑞⋯𝛼𝑞𝑠−1 )⋅(𝛽⋅𝛽𝑞⋯𝛽𝑞𝑠−1 ) = N(𝛼) N(𝛽) c) Como 𝑎∈𝔽𝑞tenemos que 𝑎𝑞=𝑎. Por tanto tenemos que N(𝑎) = 𝑎⋅𝑎𝑞⋅𝑎𝑞2 ⋯𝑎𝑞𝑠−1 =𝑎⋅𝑎𝑞⋅(𝑎𝑞)𝑞⋯((𝑎𝑞)⋯)𝑞=𝑎𝑠 Aplicando ahora el apartado (b) tenemos el resultado que queríamos. d) Consideremos el kernel del homomorfismo N𝔽𝑞𝑠∕𝔽𝑞; es decir, el conjunto de los 𝛼 tales que N𝔽𝑞𝑠∕𝔽𝑞(𝛼)=1: 1 = 𝛼⋅𝛼𝑞⋯𝛼𝑞𝑠−1 =𝛼1+𝑞+⋯+𝑞𝑠−1 =𝛼𝑞𝑠−1 𝑞−1 Como (𝑞𝑠− 1)∕(𝑞− 1) ∣ 𝑞− 1 tenemos que 𝑥(𝑞𝑠−1)∕(𝑞−1) = 1 tiene (𝑞𝑠− 1)∕(𝑞− 1) soluciones en 𝔽𝑞𝑠y que N𝔽𝑞𝑠∕𝔽𝑞(𝔽∗ 𝑞𝑠)tiene 𝑛− 1 elementos, que son exactamente el número de elementos de 𝔽∗ 𝑞𝑠. Por lo que N𝔽𝑞𝑠∕𝔽𝑞es sobreyectiva. 42 sumas exponenciales y funciones zeta Proposición 3.3.Sean 𝐹 ⊂ 𝐸 ⊂ 𝐾 tres cuerpos finitos y 𝛼∈𝐾. Se tiene que: a) tr𝐾∕𝐹(𝛼) = tr𝐸∕𝐹(tr𝐾∕𝐸(𝛼)) b) N𝐾∕𝐹(𝛼)=N𝐸∕𝐹(N𝐾∕𝐸(𝛼)) Demostración. Probaremos el apartado (a), ya que el (b) es muy parecido. Sean 𝑑= [𝐸∶𝐹],𝑚= [𝐾∶𝐸], y 𝑛= [𝐾∶𝐹](obviamente 𝑛=𝑑𝑚). El número de elementos de 𝐸es 𝑞1=𝑞𝑑y, usando: tr𝐾∕𝐸(𝛼) = 𝛼+𝛼𝑞1+⋯+𝛼𝑞𝑚−1 1 tenemos que: tr𝐸∕𝐹(tr𝐾∕𝐸(𝛼)) = 𝑑−1 ∑ 𝑖=0 tr𝐾∕𝐸(𝛼)𝑞𝑖= 𝑑−1 ∑ 𝑖=0 tr𝐾∕𝐸(𝛼𝑞𝑖) = = 𝑑−1 ∑ 𝑖=0 𝑚−1 ∑ 𝑗=0 𝛼𝑞𝑗 1𝑞𝑖= 𝑑−1 ∑ 𝑖=0 𝑚−1 ∑ 𝑗=0 𝛼𝑞𝑑𝑗+𝑖= = 𝑛−1 ∑ 𝑘=0 𝛼𝑞𝑘= tr𝐾∕𝐹(𝛼) Con las mismas condiciones que en la anterior proposición, podemos coger un elemento 𝛼∈𝐾y definir 𝐸=𝐹(𝛼), con 𝑓(𝑥) ∈ 𝐹[𝑥]el polinomio mínimo de 𝛼sobre 𝐹. Proposición 3.4.Sea 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑑−𝑐1𝑥𝑑−1 +⋯+ (−1)𝑑𝑐𝑑. Entonces: a) 𝑓(𝑥)=(𝑥−𝛼)(𝑥−𝛼𝑞)⋯(𝑥−𝛼𝑞𝑑−1 ) b) tr𝐾∕𝐹(𝛼)=(𝑛∕𝑑)𝑐1 c) N𝐾∕𝐹(𝛼) = 𝑐𝑛∕𝑑 𝑑 Demostración. Como los coeficientes de 𝑓pertenecen a 𝐹, satisfacen que 𝑐𝑞 𝑖=𝑐1y que 𝑞𝑐𝑖= 0, por lo que: 𝑓(𝛼𝑞) = 𝑓(𝛼)𝑞= 0 Por lo tanto, 𝛼𝑞se trata también de una raíz de 𝑓. Este proceso se puede hacer recursivamente y obtener que 𝛼, 𝛼𝑞, 𝛼𝑞2,…, 𝛼𝑞𝑑−1 son todas raíces de 𝑓. Veamos ahora que todas son distintas entre ellas. 3. función zeta y conjeturas de weil 43 Cojamos 𝑖, 𝑗 tales que 0≤𝑖≤𝑗 < 𝑑 y supongamos que 𝛼𝑞𝑖=𝛼𝑞𝑗. Probemos ahora que 𝑘=𝑗−𝑖= 0: 𝛼𝑞𝑖=𝛼𝑞𝑗= (𝛼𝑞𝑘)𝑞𝑖, lo que implica que: (𝛼−𝛼𝑞𝑘)𝑞𝑖= 0, es decir: 𝛼=𝛼𝑞𝑘. Pero claro, recordemos que 𝛼era raíz de su polinomio mínimo 𝑓(𝑥); es decir, el primer exponente 𝜆(mayor que 1) que cumple que 𝛼𝜆=𝛼es 𝜆=𝑞deg(𝑓)= 𝑞𝑑. Pero de la forma en la que estaba definido 𝑘, este se mueve entre 0y𝑑− 1, por lo que solo puede tomar el valor 𝑘= 0, probando así el apartado (a). Usando ahora el apartado (a) tenemos que tr𝐸∕𝐹(𝛼) = 𝑐1y que N𝐸∕𝐹(𝛼) = 𝑐𝑑. Aplicando las definiciones de traza y norma, y como 𝛼∈𝐸, llegamos a que tr𝐾∕𝐸(𝛼) = [𝐾∶𝐸]𝛼= (𝑛∕𝑑)𝛼y que N𝐾∕𝐸(𝛼) = 𝛼𝑛∕𝑑. Usando la proposición 3.3 llegamos finalmente a que: tr𝐾∕𝐹(𝛼) = tr𝐸∕𝐹(tr𝐾∕𝐸(𝛼)) = tr𝐸∕𝐹(𝑛 𝑑𝛼)=𝑛 𝑑tr𝐸∕𝐹(𝛼)=𝑛 𝑑𝑐1, y a que: N𝐾∕𝐹= N𝐸∕𝐹(N𝐾∕𝐸(𝛼)) = N𝐸∕𝐹(𝛼𝑛∕𝑑)=N𝐸∕𝐹(𝛼)𝑛∕𝑑=𝑐𝑛∕𝑑 𝑑 Queremos ahora probar por fin el ingrediente final que nos falta para probar las conjeturas: la relación de Hasse-Davenport. Por lo que, como resultado importante, tendremos que demostrar muchos lemas antes. Si existe alguna duda con la notación, recomendamos revisar el capítulo anterior, ya que será muy similar. Definición 3.2. Sea 𝜒un caracter multiplicativo sobre 𝔽𝑞. Definimos 𝜒′como 𝜒′= 𝜒◦N𝔽𝑞𝑠∕𝔽𝑞. Es decir, para cualquier 𝛼∈𝔽𝑞𝑠, se tiene que 𝜒′(𝛼) = 𝜒(N𝔽𝑞𝑠∕𝔽𝑞(𝛼)). 𝔽𝑞𝑠𝔽𝑞ℂ N𝔽𝑞𝑠∕𝔽𝑞 𝜒′ 𝜒 44 sumas exponenciales y funciones zeta Proposición 3.5.Sean 𝜒y𝜌dos caracteres multiplicativos en 𝔽𝑞. Se tiene que: a) 𝜒′es un caracter en 𝔽𝑞𝑠 b) Si 𝜒≠𝜌entonces 𝜒′≠𝜌′ c) Si 𝜒𝑚=𝜀entonces 𝜒′𝑚=𝜀 d) 𝜒′(𝑎) = 𝜒(𝑎)𝑠para todo 𝑎∈𝔽𝑞 Demostración. Sean 𝛼, 𝛽 ∈𝔽𝑞𝑠: a) 𝜒′(𝛼𝛽) = 𝜒(N𝔽𝑞𝑠∕𝔽𝑞(𝛼𝛽)) = 𝜒(N𝔽𝑞𝑠∕𝔽𝑞(𝛼) N𝔽𝑞𝑠∕𝔽𝑞(𝛽)) = =𝜒(N𝔽𝑞𝑠∕𝔽𝑞(𝛼))𝜒(N𝔽𝑞𝑠∕𝔽𝑞(𝛽)) = 𝜒′(𝛼)𝜒′(𝛽), por lo que 𝜒′es un caracter multiplicativo. b) Por reducción al absurdo supongamos que 𝜒′=𝜌′. Tenemos entonces que: 𝜒(N𝔽𝑞𝑠∕𝔽𝑞(𝛼)) = 𝜒′(𝛼) = 𝜌′(𝛼) = 𝜌(N𝔽𝑞𝑠∕𝔽𝑞(𝛼)) Esto implica que 𝜒=𝜌para todo 𝛼∈𝔽𝑞𝑠, y supone una contradicción con lo que se suponía en el enunciado. c) 𝜒′(𝛼)𝑚=𝜒(N𝔽𝑞𝑠∕𝔽𝑞(𝛼))𝑚=𝜀(N𝔽𝑞𝑠∕𝔽𝑞(𝛼)) = 1 Por lo que 𝜒′manda todos los elementos de 𝔽𝑞𝑠al 1. Es decir, es el caracter trivial. d) 𝜒′(𝑎) = 𝜒(N𝔽𝑞𝑠∕𝔽𝑞(𝑎)) = 𝜒(𝑎𝑠) = 𝜒(𝑎)𝑠 Ahora queremos ver la relación que hay entre las sumas de Gauss 𝑔(𝜒)y𝑔(𝜒′). Recordemos que 𝑔(𝜒)la habíamos definido en 𝔽𝑞como: 𝑔(𝜒) = ∑ 𝑡∈𝔽𝑞 𝜒(𝑡)𝜓(𝑡) donde 𝜓(𝑡) = 𝜉tr(𝑡) 𝑝. En este caso, la función traza coincide con la función tr𝔽𝑞∕𝔽𝑝, pero tenemos que tener cuidado a partir de aquí con los subíndices, ya que usaremos muchos cuerpos distinos. Ahora bien, tenemos que: 𝑔(𝜒′) = ∑ 𝑡∈𝔽𝑞𝑠 𝜒′(𝑡)𝜓′(𝑡) 3. función zeta y conjeturas de weil 45 donde 𝜓′(𝑡) = 𝜉tr𝔽𝑞𝑠∕𝔽𝑝(𝑡). Como tr𝔽𝑞𝑠∕𝔽𝑝(𝑡) = tr𝔽𝑞∕𝔽𝑝(tr𝔽𝑞𝑠∕𝔽𝑞(𝑡)) tenemos que 𝜓′=𝜓◦tr𝔽𝑞𝑠∕𝔽𝑞. Definimos ahora para un polinomio 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛−𝑐1𝑥𝑛−1 +⋯+ (−1)𝑛𝑐𝑛∈𝔽𝑞[𝑥]la función 𝜆como 𝜆(𝑓) = 𝜓(𝑐1)𝜒(𝑐𝑛). Lema 3.1.𝜆(𝑓𝑔) = 𝜆(𝑓)𝜆(𝑔)para todos los polinomios mónicos 𝑓, 𝑔 ∈𝔽𝑞[𝑥]. Demostración. Si 𝑔(𝑥) = 𝑥𝑚−𝑏1𝑥𝑚−1 +⋯+ (−1)𝑚𝑏𝑚se tiene que 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) = 𝑥𝑛+𝑚− (𝑏1+𝑐1)𝑥𝑛+𝑚−1 +⋯+ (−1)𝑛+𝑚𝑏𝑚𝑐𝑛por lo que 𝜆(𝑓𝑔) = 𝜓(𝑏1+𝑐1)𝜒(𝑏𝑚𝑐𝑛) = 𝜓(𝑏1)𝜓(𝑐1)𝜒(𝑏𝑚)𝜒(𝑐𝑛) = 𝜆(𝑔)𝜆(𝑓). Lema 3.2.Sea 𝛼∈𝔽𝑞𝑠y sea 𝑓(𝑥)el polinomio mónico irreducible de 𝛼en 𝔽𝑞. Se tiene que: 𝜆(𝑓)𝑠∕𝑑=𝜒′(𝛼)𝜓′(𝛼), donde 𝑑es el grado de 𝑓. Demostración. Aplicando la proposición 3.4 tenemos que si llamamos 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑑− 𝑐1𝑥𝑑−1 +⋯+ (−1)𝑑𝑐𝑑obtenemos: tr𝔽𝑞𝑠∕𝔽𝑞(𝛼) = 𝑠 𝑑𝑐1N𝔽𝑞𝑠∕𝔽𝑞(𝛼) = 𝑐𝑠∕𝑑 𝑑 Aplicando que 𝜆(𝑓) = 𝜓(𝑐1)𝜒(𝑐𝑑)obtenemos: 𝜆(𝑓)𝑠∕𝑑=𝜓(𝑐1)𝑠∕𝑑𝜒(𝑐𝑑)𝑠∕𝑑=𝜓(𝑠 𝑑𝑐1)𝜒(𝑐𝑠∕𝑑 𝑑) = =𝜓(tr𝔽𝑞𝑠∕𝔽𝑞(𝛼))𝜒(N𝔽𝑞𝑠∕𝔽𝑞(𝛼)) = 𝜓′(𝛼)𝜒′(𝛼) Lema 3.3.𝑔(𝜒′) = ∑(deg 𝑓)𝜆(𝑓)𝑠∕ deg 𝑓, donde la suma recorre todos los polinomios mónicos irreducibles de 𝔽𝑞[𝑥]de grado dividiendo a 𝑠. Demostración. De teoría elemental de cuerpos finitos sabemos que sobre 𝔽𝑞𝑠se tiene que 𝑥𝑞𝑠−𝑥descompone como el producto de los polinomios irreducibles sobre 𝔽𝑞de grado 𝑑, por lo que todos los elementos de 𝔽𝑞𝑠son raíces de dicho polinomio. Sea 𝑓(𝑥)un polinomio mónico irreducible de grado 𝑑|𝑠, y sean 𝛼1, 𝛼2,…, 𝛼𝑑∈𝔽𝑞𝑠 sus raíces. Utilizando el lema 3.2 tenemos que: 𝑑 ∑ 𝑖=1 𝜒′(𝛼𝑖)𝜓′(𝛼𝑖) = 𝑑𝜆(𝑓)𝑠∕𝑑 Sumando ahora esto a lo largo de todos los polinomios obtenemos lo que queríamos: ∑ 𝑓 𝑑𝜆(𝑓)𝑠∕𝑑=∑ 𝑓 𝑑 ∑ 𝑖=1 𝜒′(𝛼𝑖)𝜓′(𝛼𝑖) = ∑ 𝑡∈𝔽𝑞𝑠 𝜒′(𝑡)𝜓′(𝑡) = 𝑔(𝜒′) 46 sumas exponenciales y funciones zeta Ya tenemos todo lo necesario para demostrar la relación. La demostración parte de esta igualdad (a la que haremos referencia en varias ocasiones a lo largo de la prueba): Lema 3.4.∑ 𝑓 𝜆(𝑓)𝑡deg 𝑓=∏ 𝑔 (1 − 𝜆(𝑔)𝑡deg 𝑔)−1, donde la suma recorre todos los polinomios mónicos y donde el producto recorre todos los polinomios mónicos irreducibles, ambos en 𝔽𝑞[𝑥]. Demostración. Aplicando la fórmula de la serie geométrica a un cierto polinomio 𝑔 mónico e irreducible tenemos que: (1 − 𝜆(𝑔)𝑡deg 𝑔)−1 = ∞ ∑ 𝑖=0 (𝜆(𝑔)𝑡deg 𝑔)𝑖= 1 + 𝜆(𝑔)𝑡deg 𝑔+𝜆(𝑔2)𝑡deg 2𝑔+⋯ Aplicando ahora el producto de todos los polinomios mónicos irreducibles a ambos lados tenemos que: ∏ 𝑔(1 − 𝜆(𝑔)𝑡deg 𝑔)−1 =(1 + 𝜆(𝑔0)𝑡deg 𝑔0+𝜆(𝑔2 0)𝑡deg 2𝑔0+⋯)(1 + 𝜆(𝑔1)𝑡deg 𝑔1+⋯)⋯ Ahora bien, todo polinomio mónico se expresa de manera única como producto de polinomios mónicos irreducibles. Además, 𝜆preserva multiplicaciones gracias al lema 3.1 y el grado del producto es la suma de los grados, por lo que obtenemos el resultado que queríamos. Reescribiendo la parte izquierda del lema 3.4 tenemos: ∑ 𝑓 𝜆(𝑓)𝑡deg 𝑓= ∞ ∑ 𝑠=0 (∑ deg 𝑓=𝑠 𝜆(𝑓))𝑡𝑠 Para el caso de 𝑓(𝑥)=1, definimos 𝜆(1) = 1. Tenemos entonces que para 𝑠= 1: ∑ deg 𝑓=1 𝜆(𝑓) = ∑ 𝑎∈𝔽𝑞 𝜆(𝑥−𝑎) = ∑ 𝑎∈𝔽𝑞 𝜒(𝑎)𝜓(𝑎) = 𝑔(𝜒) Y para 𝑠 > 1se tiene que: ∑ deg 𝑓=𝑠 𝜆(𝑓) = ∑ 𝑐𝑖∈𝔽𝑞 𝜆(𝑥𝑠−𝑐1𝑥𝑠−1 +⋯+ (−1)𝑠𝑐𝑠) = =𝑞𝑠−2 ∑ 𝑐1,𝑐𝑠∈𝔽𝑞 𝜒(𝑐𝑠)𝜓(𝑐1) = 𝑞𝑠−2 (∑ 𝑐𝑠∈𝔽𝑞 𝜒(𝑐𝑠))(∑ 𝑐1∈𝔽𝑞 𝜓(𝑐1))= 0 3. función zeta y conjeturas de weil 47 Tenemos entonces que la igualdad del lema 3.4 se reduce a: 1 + 𝑔(𝜒)𝑡=∏ 𝑔 (1 − 𝜆(𝑔)𝑡deg 𝑔)−1 Tomando derivada logarítmica con respecto a 𝑡y multiplicando ambos lados por 𝑡se obtiene que: 𝑔(𝜒)𝑡 1 + 𝑔(𝜒)𝑡=∑ 𝑔 𝜆(𝑔)(deg 𝑔)𝑡deg 𝑔 1 − 𝜆(𝑔)𝑡deg 𝑔 Expandiendo ahora los denominadores usando la fórmula de la serie geométrica tenemos que: ∞ ∑ 𝑠=1 (−1)𝑠−1𝑔(𝜒)𝑠𝑡𝑠=∑ 𝑔(∞ ∑ 𝑟=1 (deg 𝑔)𝜆(𝑔)𝑟𝑡𝑟deg 𝑔) Evaluando ahora el coeficiente que acompaña a cada 𝑡𝑠se obtiene que: (−1)𝑠−1𝑔(𝜒)𝑠=∑ deg 𝑔|𝑠 (deg 𝑔)𝜆(𝑔)𝑠∕ deg 𝑔 Aplicando el lema 3.3 en la parte derecha obtenemos finalmente el resultado que queríamos: Teorema 3.1 (Relación de Hasse-Davenport). Sea 𝜒un caracter multiplicativo y sea 𝜒′=𝜒◦N𝔽𝑞𝑠∕𝔽𝑞. Se tiene entonces que: (−𝑔(𝜒))𝑠= −𝑔(𝜒′) 3.3 Conjeturas de Weil en hipersuperficies diagonales Antes de meternos de lleno en las conjeturas tenemos que ver para qué variedades vamos a demostrarlas. Las probaremos para el caso de las hipersuperficies diagonales, que son aquellas que vienen dadas por la ecuación homogénea 𝑎0𝑥𝑚 0+𝑎1𝑥𝑚 1+⋯+ 𝑎𝑛𝑥𝑚 𝑛= 0. Vamos a seguir usando los mismos cuerpos que hemos usado a lo largo del capítulo. Recordemos que 𝔽𝑞𝑠es el cuerpo con 𝑞𝑠elementos, donde 𝑞=𝑝𝑛. Nosotros, además de imponer que se trate de una hipersuperficie diagonal, impondremos también que los coeficientes 𝑎𝑖pertenecen a 𝔽𝑞y además que 𝑚∣𝑞− 1 (esta última condición no es necesaria como se puede ver en [9], pero simplifica mucho la 48 sumas exponenciales y funciones zeta exposición y será suficiente para mostrar algunas aplicaciones al final del capítulo). Queremos investigar ahora el número 𝑁𝑠de elementos en 𝔽𝑞𝑠que pertenecen a la hipersuperficie. Usando ahora el teorema 2.10 tenemos que este número es: 𝑁𝑠=𝑞𝑠(𝑛−1) +𝑞𝑠(𝑛−2)+⋯+𝑞𝑠+ 1+ +1 𝑞𝑠∑ 𝜒(𝑠) 0,𝜒(𝑠) 1,…,𝜒(𝑠) 𝑛 𝜒(𝑠) 0(𝑎−1 0)⋯𝜒(𝑠) 𝑛(𝑎−1 𝑛)𝑔(𝜒(𝑠) 0)⋯𝑔(𝜒(𝑠) 𝑛), donde los caracteres 𝜒(𝑠) 𝑖son caracteres en 𝔽𝑞𝑠tales que (𝜒(𝑠) 𝑖)𝑚=𝜀,𝜒(𝑠) 𝑖≠𝜀y que 𝜒(𝑠) 0𝜒(𝑠) 1⋯𝜒(𝑠) 𝑛=𝜀. Cabe destacar que (𝑠)NO se trata de un exponente, sino de una nomenclatura (aunque, gracias a la relación de Hasse-Davenport, podemos casi interpretarlos como exponentes). Ahora tenemos que buscar un método de transformar los caracteres de 𝔽𝑞𝑠en caracteres de 𝔽𝑞. Lo haremos, como vimos en la sección anterior, a través de la función norma. Se tiene entonces gracias a la proposición 3.5, que conforme 𝜒varía a lo largo de los caracteres de 𝔽𝑞de orden dividiendo a 𝑚,𝜒′varía a lo largo de los caracteres de 𝔽𝑞𝑠de orden dividiendo a 𝑚. Gracias a esta observación clave, se puede reescribir la ecuación de 𝑁𝑠de la siguiente forma: 𝑁𝑠=𝑞𝑠(𝑛−1) +𝑞𝑠(𝑛−2)+⋯+𝑞𝑠+ 1+ +1 𝑞𝑠∑ 𝜒0,𝜒1,…,𝜒𝑛 𝜒0(𝑎−1 0)𝑠⋯𝜒𝑛(𝑎−1 𝑛)𝑠𝑔(𝜒′ 0)⋯𝑔(𝜒′ 𝑛), donde hemos usado el apartado (d) de la proposición 3.5 para 𝜒′y donde, de nuevo, se tiene que 𝜒0,…, 𝜒𝑛son caracteres de 𝔽𝑞satisfaciendo 𝜒𝑚 𝑖=𝜀,𝜒𝑖≠𝜀y𝜒0𝜒1⋯𝜒𝑛=𝜀. Ahora ya sólo nos queda analizar los términos 𝑔(𝜒′ 𝑖). Usaremos la relación de Hasse- Davenport para quitarnos de en medio los elementos 𝜒′. Recordemos que la relación nos dice que (−𝑔(𝜒))𝑠= −𝑔(𝜒′). Usando todo lo anterior obtenemos que: 𝑁𝑠= 𝑛−1 ∑ 𝑘=0 𝑞𝑘𝑠 + (−1)𝑛+1 ∑ 𝜒0,𝜒1,…,𝜒𝑛((−1)𝑛+1 𝑞𝜒0(𝑎−1 0)⋯𝜒𝑛(𝑎−1 𝑛)𝑔(𝜒0)⋯𝑔(𝜒𝑛))𝑠 , donde de nuevo los caracteres están sujetos a las mismas condiciones que siempre. Acabamos de conseguir una relación polinomial en los caracteres a medida que subimos el grado de la extensión. Estamos, por tanto, en condiciones de probar las conjeturas de Weil para hipersuperficies diagonales. 3. función zeta y conjeturas de weil 49 Teorema 3.2 (Racionalidad de la función Zeta). Sean 𝑎0, 𝑎1,…, 𝑎𝑛∈𝔽∗ 𝑞donde 𝑞≡1 mod 𝑚. Sea 𝑓(𝑥0,…, 𝑥𝑛) = 𝑎0𝑥𝑚 0+𝑎1𝑥𝑚 1+⋯+𝑎𝑛𝑥𝑚 𝑛. Tenemos entonces que la función 𝑍(𝑋, 𝑢)es una función racional de la forma: 𝑍(𝑋, 𝑢) = 𝑃(𝑢)(−1)𝑛 (1 − 𝑢)(1 − 𝑞𝑢)⋯(1 − 𝑞𝑛−1𝑢) donde 𝑃(𝑢)es el polinomio 𝑃(𝑢) = ∏ 𝜒0,𝜒1,…,𝜒𝑛(1 − (−1)𝑛+1 1 𝑞𝜒0(𝑎−1 0)⋯𝜒𝑛(𝑎−1 𝑛)𝑔(𝜒0)⋯𝑔(𝜒𝑛)𝑢), y los caracteres están sujetos a las mismas condiciones que en el teorema 2.10. Demostración. En la proposición 1.2 vimos que 𝑁𝑠pudiese escribirse como 𝑁𝑠= ∑𝑗𝛽𝑠 𝑗−∑𝑖𝛼𝑠 𝑖para todo 𝑠era equivalente a que la función Zeta pudiese expresarse como: 𝜁𝑓(𝑢) = ∏𝑖(1 − 𝛼𝑖𝑢) ∏𝑗(1 − 𝛽𝑗𝑢) Ahora bien, usando el valor que tiene 𝑁𝑠podemos ver que si 𝑛es impar, no hay ningún termino negativo, por lo que los 𝛼𝑖serían nulos y los 𝛽𝑗serían 𝑞𝑛−1,…, 𝑞, 1 junto con los sumandos, que son de la forma (−1)𝑛+1 𝑞𝜒0(𝑎−1 0)⋯𝜒𝑛(𝑎−1 𝑛)𝑔(𝜒0)⋯𝑔(𝜒𝑛). Como la suma y producto de enteros algebraicos es cerrada y todos los factores lo son, 𝛼𝑖y𝛽𝑖son todos enteros algebraicos. Por otra parte, si 𝑛es par, los 𝛼𝑖serían los términos de la suma y los 𝛽𝑗sólamente los 𝑞𝑛−1,…, 𝑞, 1. Tomando ahora 𝑃(𝑢)como dice el enunciado del teorema, el resultado es inmediato. Teorema 3.3 (Hipótesis de Riemann). Existen polinomios 𝑃0,…, 𝑃2𝑛∈ℤ[𝑢]con 𝑃0(𝑢) = 1 − 𝑢y𝑃2𝑛= 1 − 𝑞𝑛𝑢tal que se tiene lo siguiente: 𝑍(𝑋, 𝑢) = 𝑃1(𝑢)⋅𝑃3(𝑢)⋯𝑃2𝑛−1(𝑢) 𝑃0(𝑢)⋅𝑃2(𝑢)⋯𝑃2𝑛(𝑢) Además se tiene que: 𝑃𝑖(𝑢) = ∏ 𝑗 (1 − 𝛼𝑖,𝑗𝑢) con 𝛼𝑖,𝑗 enteros algebraicos de módulo |𝛼𝑖,𝑗|=𝑞𝑖∕2. Demostración. Como estamos en una hipersuperficie en ℙ𝑛(𝔽𝑞𝑠), su dimensión no es 𝑛, sino que es 𝑛−1, por lo que hay que hacer un pequeño ajuste en el enunciado y cambiar 𝑛por 𝑛− 1. Usando ahora la ecuación del teorema 3.2 sacamos inmediatamente que 𝑃2𝑘(𝑢) = (1 − 𝑞𝑘𝑢), y se cumple que |𝑞𝑘|=𝑞2𝑘∕2. 56 sumas exponenciales y funciones zeta donde 𝜌es el caracter de orden 2, por lo que tenemos que 𝜌𝜌 =𝜀y que 𝜌−1 =𝜌. Aplicando ahora el cuarto apartado de 2.6 tenemos que: 𝑁𝐶2=𝑝+𝜀(4𝐷)𝜌(−1)(−𝜌(−1)) = 𝑝− 1 Y como habíamos dicho antes, 𝑁=𝑁𝐶2+ 2, por lo que 𝑁=𝑝+ 1 en este caso. Para el caso 𝑝≡1 (mod 4) haremos lo mismo, y calcularemos el número de puntos finitos de 𝐶2. Aplicando el teorema 2.9 tenemos que este número es: 𝑁𝐶2=𝑝+𝜒𝜌(4𝐷)𝜒(−1)𝐽(𝜒, 𝜌)+ +𝜒2𝜌(4𝐷)𝜒2(−1)𝐽(𝜒2, 𝜌)+ +𝜒3𝜌(4𝐷)𝜒3(−1)𝐽(𝜒3, 𝜌) donde 𝜒es un caracter de orden 4y𝜌es el de orden 2, por lo que tenemos que 𝜒3=𝜒−1 =𝜒y que 𝜌=𝜒2. Sustituyendo y aplicando cosas triviales tenemos que: 𝑁𝐶2=𝑝+𝜒(4𝐷)𝜒(−1)𝐽(𝜒, 𝜌)+ + 1 ⋅𝜌(−1) ⋅(−𝜌(−1))+ +𝜒(4𝐷)𝜒(−1)𝐽(𝜒, 𝜌) y nos queda: 𝑁𝐶2=𝑝+𝜒(4𝐷)𝜒(−1)𝐽(𝜒, 𝜌) − 1 + 𝜒(4𝐷)𝜒(−1)𝐽(𝜒, 𝜌) = =𝑝−1+𝜒(−4)𝜒(𝐷)𝐽(𝜒, 𝜌) + 𝜒(−4)𝜒(𝐷)𝐽(𝜒, 𝜌) Casi tenemos lo que buscamos, vamos a intentar simplificar la expresión con este lema. Lema 3.6.Si 𝑝≡1 (mod 4),−4 ∈ 𝔽𝑝es una cuarta potencia de algún elemento de 𝔽𝑝. En particular, con la notación anterior, 𝜒(−4) = 1. Demostración. Para verlo, podemos escribir −4 = (2𝑖)2, donde 𝑖es un elemento de 𝔽𝑝tal que 𝑖2= −1 (sabemos que este elemento existe gracias al lema 2.1). Ahora solo tenemos que comprobar que: (2𝑖 𝑝)=(2 𝑝)(𝑖 𝑝)= 1 Para (2∕𝑝)ya tenemos el lema 2.5 y como 𝑝≡1 (mod 4) tenemos en este caso que: (2 𝑝)={1si 𝑝≡1 (mod 8) −1 si 𝑝≡5 (mod 8) }= (−1)𝑝−1 4 3. función zeta y conjeturas de weil 57 Para (𝑖∕𝑝)tenemos usando el lema 2.1: (𝑖 𝑝)=𝑖𝑝−1 2= (𝑖2)𝑝−1 4= (−1)𝑝−1 4 Por lo que tenemos que (2𝑖∕𝑝)=1, luego 𝜒(−4) = 1 Por tanto, podemos finalmente concluir que: 𝑁𝐶2=𝑝−1+𝜒(𝐷)𝐽(𝜒, 𝜌) + 𝜒(𝐷)𝐽(𝜒, 𝜌) Aplicando el mismo razonamiento que en el caso anterior, tenemos que 𝑁=𝑁𝐶2+2, por lo que en conclusión tenemos que: Teorema 3.6. Sea 𝐶la curva definida por la función 𝑦2𝑡−𝑥3+𝐷𝑥𝑡2. El número de puntos de dicha curva en ℙ2(𝔽𝑝)es: 𝑁={𝑝+ 1 si 𝑝≡3 (mod 4) 𝑝+1+𝜒(𝐷)𝐽(𝜒, 𝜌) + 𝜒(𝐷)𝐽(𝜒, 𝜌)si 𝑝≡1 (mod 4) Para finalizar, calcularemos la función Zeta para el caso 𝑝≡1 (mod 4). Aplicando la relación de Hasse-Davenport y teniendo en cuenta que 𝐷∈𝔽𝑝tenemos que: 𝑁𝑠=𝑝𝑠+1−𝜒(𝐷)𝑠𝜋𝑠−𝜒(𝐷)𝑠𝜋𝑠 por lo que veamos la siguiente suma: ∞ ∑ 𝑠=1 𝑁𝑠𝑢𝑠 𝑠= ∞ ∑ 𝑠=1 (𝑢𝑝)𝑠+𝑢𝑠− (𝜒(𝐷)𝜋)𝑠− (𝜒(𝐷)𝜋)𝑠 𝑠 = − ln(1 − 𝑢𝑝) − ln(1 − 𝑢) + ln(1 − 𝜒(𝐷)𝜋) + ln(1 − 𝜒(𝐷)𝜋) Aplicando la función exponencial, tenemos lo que queríamos. 𝑍(𝐶, 𝑢) = (1 − 𝑢𝑝)−1(1 − 𝑢)−1(1 − 𝜒(𝐷)𝜋)(1 − 𝜒(𝐷)𝜋) Esta función Zeta verifica todas las conjeturas de Weil (es una comprobación trivial). Así que hemos conseguido probar las conjeturas para algunas curvas que no son del tipo hipersuperficies diagonales. Más aún, si vemos la expresión que tenemos para 𝑁 en el teorema 3.6 y recordando que el módulo de las sumas de Jacobi es √𝑝, obtenemos uno de los resultados más importantes para curvas elípticas sobre cuerpos finitos: la cota de Hasse-Weil. 58 sumas exponenciales y funciones zeta Corolario 3.1 (Cota de Hasse-Weil).Sea 𝐶una curva elíptica sobre 𝔽𝑝. El número de puntos racionales de 𝐶, al que llamamos 𝑁verifica que: |𝑁− (𝑝+ 1)|≤2√𝑝 Esta cota resulta ser equivalente a la hipótesis de Riemann de la función Zeta de 𝐶. Observando la expresión para 𝑁que hemos obtenido en esta sección, hemos conseguido probar este resultado para el caso de curvas elípticas con 𝑏= 0. El resultado es cierto en general, pero la prueba de ese hecho requeriría otro trabajo de fin de grado sobre las conjeturas de Weil. Bibliografía [1] Weil, André. Numbers of solutions of equations in finite fields. Bulletin of the American Mathematical Society Volume 55 Number 5 [pp: 497-508]. [2] Gauss, Carl Friedrich. Disquisitiones arithmeticae. Apud G. Fleischer, Leipzig, 1798. [3] Jacobi, Carl Gustav Jakob: Brief an Gauss wom 8. Februar 1827. [Complete works: vol 7, pp. 393-400]. [4] Cornell University: Gauss sums https://e.math.cornell.edu/people/belk/numbertheory/GaussSums.pdf [5] Conrad, Keith. Characters of finite abelian groups. Lecture Notes 17. 2010. [6] Newbold Bracewell, Ronald: The Fourier Transform and its Applications. McGraw-Hill, Stanford. 1963. [7] Canal Richard E Borcherds: Introduction to number theory lecture 34. Gauss sums [Archivo de Vídeo]. Youtube. https://youtu.be/arL7oQV4asY (Fecha consulta: julio 2024). [8] Canal Richard E Borcherds: Introduction to number theory lecture 33. Quadratic reciprocity [Archivo de Vídeo]. Youtube. https://youtu.be/k8qJaV7qGL4 (Fecha consulta: julio 2024). [9] Ireland, Kenneth and Rosen, Michael Ira: A classical introduction to modern number theory. Second edition. Springer, USA. 1992. [10] Canal Michael Penn: Quadratic Reciprocity proof – Number Theory 23 [Archivo de Vídeo]. Youtube. https://youtu.be/2UlqaUZiyZ8 (Fecha consulta: julio 2024). [11] Klein, Felix: Gauß’ wissenschaftliches Tagebuch 1796–1814. [Mathematische Annalen: vol 7, pp. 1–34] 1903.