Acerca de "Sulla misura della concentrazione e della variabilitá" de Corrado Gini

ACERCA DE “SULLA MISURA DELLA CONCENTRAZIONE E DELLA VARIABILITÁ” DE CORRADO GINI. Basulto Santos, Jesús Departamento de Economía Aplicada I. Universidad de Sevilla. e-mail: [email protected] Romero García, José Enrique. Departamento de Economía Aplicada I. Universidad de Sevilla. e-mail: [email protected] Resumen Hemos realizado un análisis de este artículo de Corrado Gini (1884-1965) de 1914, principalmente de las secciones que contienen los resultados más interesantes. En el artículo, Gini define su coeficiente de concentración como una media aritmética ponderada de las denominadas desigualdades relativas. La formula que propone Gini la limita a datos desagregados y, posteriormente, la modifica tanto para datos agregados en frecuencias como para datos agregados en intervalos. En la sección 6 del trabajo, Gini estudia la relación de su fórmula con la curva de concentración de Lorenz (1905), señalando la aproximación entre su fórmula y el doble del área de Lorenz a medida que el número de observaciones, n, crece; y en la sección 8 relaciona el doble del área de Lorenz con su formula, observando que se diferencian en el factor n n1−. En la sección 9, Gini prueba la relación entre la medida media de las diferencias sin reposición con su coeficiente de concentración. Palabras clave: Lorenz, dispersión, concentración, Gini. 2 1. Introducción. Nuestro interés en Gini está justificado por ser un ejemplo de investigador en el que, en un primer período, trabajó la estadística como un instrumento y una metodología, para pasar, a partir de la primera guerra mundial, a trabajar la Estadística como Ciencia Estadística. Como señalamos, en la pequeña biografía que recogemos más abajo, los trabajos de Gini fueron realizados en los campos de la llamada ciencia social y de la estadística. También, Gini es de interés por contribuir a las primeras estimaciones de ciertas magnitudes económicas de los países o grupos de países, mucho antes de crearse la Contabilidad Nacional. Igualmente, Gini es reconocido como el inventor, en parte, del método estadístico para medir las paridades del poder de compra que usan los Institutos de Estadística Europeos. Gini también contribuyó a las largas discusiones sobre el uso del muestreo de poblaciones finitas, que tuvieron lugar en las distintas reuniones del Instituto Internacional de Estadística. Por último, la época que le tocó vivir en Italia, su preocupación por los problemas de la población y su concepción corporativista de la economía, plantean muchos interrogantes acerca de las relaciones de la Ciencia Estadística con la formación de los estados y sus sociedades. A continuación, como ya indicamos, recogemos una pequeña biografía de Gini. Corrado Gini nació el 23 de mayo de 1884 en Motta di Livenza, cerca de Treviso, en el seno de una familia de terratenientes, y falleció en las primeras horas del 13 de marzo de 1965. Estudió Derecho, Estadística y Economía en la Universidad de Bologna, también estudió Matemáticas y Biología. Sus trabajos científicos fueron realizados, principalmente, en los campos de las ciencias sociales y la estadística. Gini estudió a Bernoulli, Lexis y Czuber, así como a Bodio, Messedaglia y Benini, maestros italianos de la ciencia estadística. En 1910 accedió a la cátedra de estadística en la Universidad de Cagliari, y el período hasta el final de la primera guerra mundial será el más importante por la relevancia de sus contribuciones a la metodología estadística. En 1911 fue elegido miembro del Consejo Superior de Estadística, en 1913 Gini tomó posesión de la cátedra de estadística en Papua y en 1919 fue profesor en las Universidades de Cagliari y Padua, dando clases de Economía Política, Derecho 3 Constitucional, Demografía y Estadística Económica. En 1920 fundó METRON, la revista internacional de estadística, que dirigió hasta su muerte. En 1923 se trasladó a la Universidad de Roma, comenzando un período de nueve años dedicado a actividades públicas; así puso en marcha la Escuela de Estadística para la formación de funcionarios en estadística, y en este mismo año de 1923 fundó la Facultad de Estadística, Demografía y Ciencias Actuariales. En 1926 fundó la revista La Vita Economica Italiania que fue cerrada en 1943, en 1929 Gini fundó el Comité Italiano para el estudio de los problemas de la población, y fundó la revista GENUS en 1934. Gini fue uno de los más activos y distinguidos miembros del Instituto Internacional de Estadística, llegando a ser miembro honorario en 1939. Gini, el mismo año de su muerte, recogió en su artículo “On the Characteristics of Italian Statistics” (1965) lo que para él era la Ciencia Estadística. Este artículo venía a completar a otro, “The Contributions of Italy to Modern Statistical Methods”, de 1926. Destaquemos aquí algunas de sus frases, sin buscar mayor profundidad por no ser ahora nuestro objetivo. “Una característica especial de la Estadística Italiana es describir cuantitativamente, por medio de series de constantes, los aspectos del fenómeno, colectivo de forma completa…”; “para mí, el principio fundamental…, en formular métodos estadísticos, es, primero, tener en cuenta la naturaleza del fenómeno al que son aplicados con relación al objeto de la investigación y sólo, en segundo lugar, considerar sus propiedades formales…”; “…muchos de los índices introducidos por la escuela italiana, no dependen del tipo de modelos que sigan los datos…”. Buscando aproximarnos al pensamiento de Gini, nos ha parecido que nuestro avance sería más seguro si nos centramos en uno de los índices más conocidos de Gini, en concreto en el índice o razón de concentración de Gini. Con el riesgo de perder la visión de conjunto, hemos estudiado el artículo “Sulla misura della concentrazione e della variabilità dei caractteri” de 1913-1914. Este artículo surgió como consecuencia del artículo “Indici di Concentrazione e di dipendenza” (1910) y la memoria “Variabilità e Mutabilità” de 1912. 4 A partir de aquí, recogemos en la sección 2 la razón de concentración para datos desagregados en frecuencias unitarias, generalizando dicha razón a datos agregados en frecuencias no unitarias, sección 3, y a datos agregados en intervalos, sección 4. En la sección 5, relacionamos la razón de concentración con la curva de Lorenz. Por último, en la sección 6, relacionamos la razón de concentración con la diferencias de media. No hemos incluido la discusión de medir la concentración con datos truncados. Terminamos esta introducción indicando que hemos usado dos tipos de numeración de las fórmulas, una la ordinal habitual, (1), (2),...., que se corresponde con la dada por Gini, y otra, con números romanos, (I), (II),...., que es la usada por nosotros. 2. La Razón de Concentración, R. En la sección 1 de su artículo de 1914, Gini considera que disponemos de n valores ordenados {ai, i=1,..,n} de una variable estadística cuantitativa no negativa; es decir, a1...  an. Define las variables ∑ = = i k kiaA 1 , cantidad acumulada del carácter hasta el lugar iésimo. Con lo cual, la variable ∑ ∑ = = == n k k i k k n i i a a A A Q 1 1constituye la proporción que representa la cantidad acumulada del carácter hasta el lugar i, Ai, respecto a la cantidad total presente del carácter. Mientras que la variable n i Pi=denota la proporción de observaciones hasta el lugar i respecto al número de observaciones totales. Tomando dos rangos i,l, tal que i<l, se tiene que ai al, y evidentemente, por las propiedades de la media aritmética, ∑∑ == ≤ l k k i k ka l a i11 11 , 5 con lo que l i a a l k k i k k ≤ ∑ ∑ = = 1 1, y, tomando l=n, se verifica que n i a a n k k i k k ≤ ∑ ∑ = = 1 1; es decir, ii PQ≤ Gini afirma que “la concentración del carácter será tanto más fuerte cuanto más fuerte sean las n-1 desigualdades ii PQ<, i=1,..,n-1”. (4) La concentración del carácter será perfecta si sus intensidades son todas nulas, salvo una: ai=0, i=1,..,n-1 y an=An. Dicho de otra forma, cuando Qi=0, i=1,..,n-1; o también, cuando Pi -Qi= Pi , i=1,..,n-1. La concentración será nula cuando Qi= Pi , i=1,..,n-1; en tal caso se dirá que hay equidistribución del carácter. A continuación, Gini se plantea buscar una medida o índice de concentración del carácter, a partir de las n-1 desigualdades (4). Es en este momento, cuando Gini hace referencia a su trabajo “Indici di concentrazione e di dipendenza”, de 1910, y a varios trabajos donde se aplica el contenido de este último citado, como su “Variabilitá e Mutabilitá”, de 1912. En el trabajo de 1910, Gini define la medida de concentración basándose en la suposición de que la distribución del carácter sigue un modelo paramétrico 6 determinado; en concreto supone la existencia de ciertas relaciones entre los pares {(Pi, Qi), i=1,..,n}, como por ejemplo 1-Pi=(1-Qi)ä. Por el contrario, en este trabajo de 1914, que es del que nos ocupamos en este artículo, Gini afirma: “La presente nota tiene como objetivo el proponer una medida de concentración que sea independiente de la curva de distribución del carácter”. La desigualdad (4) es tanto más fuerte, en valor absoluto, cuanto mayor sea la diferencia Pi -Qi; y , dado que el valor máximo de Qi es Pi, tanto más fuerte en valor relativo cuanto más alta es la razón i ii iP QP R− =. Pero, ¿Cuál es el verdadero significado de Ri?. i ii iP QP R− = representa, en términos de proporción respecto a la intensidad media de todo el colectivo, la intensidad constante en que hay que aumentar la intensidad del carácter de cada uno de los Pi casos con intensidad más baja, para eliminar la desigualdad presente en los mismos respecto al conjunto del colectivo. En efecto: Si en lugar de considerar los valores a1,..,ai , que constituyen la proporción Pi de observaciones, se consideran los valores transformados b1,..,bi, donde ijMRab ijj ,..,1,=⋅+= , y donde M es la media de todas las intensidades originales del carácter, se verifica que la media de esos nuevos valores transformados coincide con M, pues 7 ( ) i i jj i i jj i jij i jj b MR i a i iMR i a i MRa i b M += ⋅ += = ⋅+ == ∑∑ ∑∑ == == 11 11 , de donde . 11 1 1 11 11 M i a M i a N i a a N a M i a P Q MM i a P QP M i a M i j j i j j N jj i jj N jj i jj i i i j j i ii i j j b =−+= =−+= =−+= − += ∑∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑∑ == = = == == En el caso de equidistribución, la proporción acumulada del carácter, Qi , sería igual a la proporción acumulada de individuos, Pi; luego el cociente i ii iP QP R− = tendría que ser cero. Por el contrario, en el caso de máxima desigualdad, la proporción acumulada del carácter, Qi, sería igual a cero, luego iii PQP=− y el cociente i ii iP QP R− = tendría que ser uno. Así pues, el valor de Ri varía entre 0, en caso de equidistribución, y uno, en caso de concentración perfecta; y, por ello, puede considerarse un indicador de la concentración del carácter que se presenta entre los Pi casos que presentan intensidad más baja en el carácter en estudio. Dado que ese indicador de la concentración del carácter afecta a la proporción Pi de casos, es por lo que Gini señala que “Como medida de la concentración del carácter 8 podremos asumir la media ponderada de los n-1 valores de Ri, donde cada uno de los Ri entra con un peso proporcional al valor Pi”. Tal medida será ( ) ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ − = − = − = − = − = − = − = − == 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n i i n i ii n i i n i i i ii n i i n i ii P QP P P P QP P PR R; es decir, ( ) ∑ ∑ − = − = − =1 1 1 1 n i i n i ii P QP R . (11) Esa medida es la que Gini denomina Razón de Concentración. También, para concentración perfecta, Qi=0, i=1,..,n-1, con lo que ( ) ∑∑ − = − = =− 1 1 1 1 n i i n i ii PQP, luego R=1. Para equidistribución, Pi=Qi, con lo que R=0. También, a medida que las desigualdades ii PQ< son más fuertes, entonces R aumenta. La razón de concentración es por lo tanto, un índice de concentración que verifica las condiciones siguientes: a) Crece al crecer la concentración, b) Toma como valor más alto uno en el caso de máxima concentración 9 c) Toma su valor más pequeño, 0, en el caso de mínima concentración. A continuación, veremos cómo se calcula en la práctica el valor de R. La formula que presentamos, equivalente a la mostrada en (11), es la que propone Gini al comienzo de su sección 3. Dado que ( ) ( ) 2 1 2 111 1 1 1 1 1 1 − = ⋅− === ∑∑∑ − = − = − = nnn n i nn i P n i n i n i i, se tiene que ( ) ( ) ( ) ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑− = − = − = − = − = − = − = − = − = − −= − −=−= − = − = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 11 n i i n n in i n i i n i i n i i n i i n i i n i i n i ii A An n A A P Q P QP P QP R , y obtenemos la siguiente formulación para R: ( ) ∑ − = − −= 1 1 1 2 1 n i i n A An R . (12) Si ahora tenemos en cuenta que 11 111 nni ik iik Aa −− === = ∑∑∑ , y que esa expresión , observando la tabla siguiente, i 1 i ik k Aa = =∑ 1 1 1 1 k k Aa = =∑ a1 16 ( ) ( ) 1 1 1 1 12 k k Nkkk iN NN in − − =+ +− −= ∑, y, por otro lado, por (IV): ( ) ( ) ( ) 11 11 1 1 11 1 11 1 1 12 1 2 , kk kk kk kk k k NN ll kikiki iNiN NN ll kikiki iNiN N kiki iN NN i NN δεδ εδδ εδ −− −− − − =+=+ − =+=+ =+ +−  −=+=   +− =+= = ∑∑ ∑∑ ∑ luego, ( ) 11 11 1 kk kk NN kikiki iNiN iδεδ −− =+=+ −= ∑∑ . Y, sustituyendo en (VI), se tiene: ( ) ( ) 11 1 11 2121 kk kk NN ikikikkk iNiN iaSNNεδ −− − =+=+ −=++− ∑∑ . Por consiguiente, la expresión (V), queda: ( ) ( ) ( ) ( ) 11 1 1 11111 1 111 212121 12; kr rk k k NN nrr iikikikkk ikiNkiN N rr kkkkiki kkiN iaiaSNN SNN εδ εδ −− − − ===+==+ − ===+  −=−=++−=    =+−+    ∑∑∑∑∑ ∑∑∑ es decir, ( ) ( ) 1 1 1111 2112 k k N nrr ikkkkiki ikkiN iaSNN εδ − − ====+  −=+−+    ∑∑∑∑ . Con esto, la fórmula (12 bis) se expresa en la forma: 17 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 111 1 12 21 11 11 k k N rr n kkkkiki ikkiN i nn SNN ia RnAnA εδ − − ===+ =  +−+  −  =−=− −− ∑∑∑ ∑. En conclusión, para el caso de valores agrupados en intervalos: ( ) ( ) 1 1 111 12 1 1 k k N rr kkkkiki kkiN n SNN RnA εδ − − ===+  +−+    =− − ∑∑∑ . (14) Como el término ( ) 1 11 2 1 k k N r kiki kiN n nA εδ − ==+    − ∑∑ es pequeño, la formula anterior conduce a esta otra fórmula aproximada: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 11 1 1 1 11 r r kkkn kkk k k nn SNNnA SNN RnAnA − −= =  +− +−    ′=−= −− ∑ ∑. (15) Y, si además n es grande, esa formula (15) puede aproximarse por ( ) 1 1 21 r kkk k n SNN RnA − = +   ′ =− ∑, (15 bis) verificándose que R n n R′ − =1 ' 2. Como tanto los ki δ, como los ki ε crecen dentro de cada clase Ik, se tiene que 11 0 k k N kiki iN εδ − =+ > ∑, y por tanto 1 11 0 k k N r kiki kiN εδ − ==+  >   ∑∑ ; de donde se obtiene que: R’<R. (16) A continuación Gini busca aproximar el término 18 ( ) 1 11 2 1 k k N r kiki kiN n nA εδ − ==+    − ∑∑ , (VII) y para ello, la primera hipótesis que considera es que los nk valores de la intensidad del carácter en la clase Ik siguen una progresión aritmética; lo cual es un caso particular de que los valores del carácter se distribuyan, dentro de cada clase, de forma Uniforme. Si llamamos b, aunque en realidad habría que llamarle bk, a la diferencia entre los términos de esa progresión aritmética, podemos considerar varias posibilidades: 1. Que ninguno de los dos extremos de cada intervalo sea un valor observado, con lo que se tendrá que 1 1 + − =− k kk n ll b 2. Que los dos extremos de cada intervalo sea un valor observado, con lo que se tendrá que 1 1 − − =− k kk n ll b 3. Que solo uno de los dos extremos de cada intervalo sea un valor observado, por ejemplo el superior, con lo que se tendrá que k kk n ll b1− − = Por simplificar los cálculos, nos ceñiremos a este caso (que es compatible con la forma Ik=(lk-1, lk] para los intervalos) , con lo cual el primer valor que aparece en el intervalo Ik será lk-1+b, y el último será lk-1+ nk b, que coincidirá con lk. Calcularemos los valores tanto de ki δ, como de los ki ε, para posteriormente sustituirlos en la expresión 1 11 k k N r kiki kiN εδ − ==+    ∑∑ , (VIII) que forma parte de (VII). 19 Por (III), k k iki n S a−= δ . Pero, a su vez, de la tabla siguiente, Ik=(lk-1, lk], i=Nk-1+1 ai=lk-1+b ai+1=lk-1+2b M ( ) 1−+ k ni a=lk-1+ nk b se deduce que Sk= lk-1nk+(1+2+..+nk)b= lk-1nk + b nk( nk+1)/2, y, por tanto, ( ) 2 1 1 + += −k k k knb l n S, luego ( ) 2 1 1 + −−=−= −k ki k k iki nb la n S a δ , i=Nk-1+1,..Nk-1+nk, y, en consecuencia, ( ) ( ) ( ) .,..,1, 2 1 2 1 2 1 11 1,11 k kk kk k klNlNk nl n lb nb llbl nb lakk =      + −= + −−+= = + −−= −− −++ −− δ Es decir, 20 k k lNknl n lb k,..,1, 2 1 1 ,=        + −= + − δ . (IX) Análogamente, por (IV): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 111 1 11 11 22 1 1, 2 kkkkk ki k k NNNNn ii n iN ε−−− − +−++− =−−=−−= − =−−− con lo que ( ) 1 1 12 k kik n iNε− − =−−− , i=Nk-1+1,..Nk-1+nk ; y, por tanto, ( ) 1 ,11 11 1,1,.., 22 k kk kNlkkk nn NlNlln ε−+−− −+ =+−−−=−= . Es decir, 1 , 1,1,.., 2 k k kNlk n lln ε−+ + =−= . (X) Por (IX) y (X), se verifica que: 11 ,, ,1,.., kk kNlkNlk bln εε −− ++ == . Luego, 11 1 1 11 ,, 1111 2, ,, 1111 ; kk kk k kk k kk Nnrr kikikNlkNl kiNkl nn rr kNl kNlkNl klkl bb εδεδ εεε −− − − −− ++ ==+== + ++ ====   ==      =⋅=   ∑∑∑∑ ∑∑∑∑ es decir, 1 1 2, 1111 kk k k Nn rr kNl kiki kiNkl b εδε − − + ==+==   =     ∑∑∑∑ . (XI) 21 Pero, como por (X): ( ) ( ) 1 , 11 11 22 1 1,1,..,, 2 k kk kNl kk nn ll n lln ε−+ ++ =−=−+−= − =−−= se tiene que ( ) 1 , 1 1,1,.., 2 k k kNlk n lln ε−+ − =−−= ; luego, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 22 2 2, 111 2 2 111 111 1121 222 1 111. 2 kkk k kkk nnn kkk kNl lll nnn kk lll nnn lll n lnl ε−+ === ===  −−−  =−−=−+−−=      −  =−+−−−   ∑∑∑ ∑∑∑ Y, como sabemos que ( )( ) 6 121 1 2++ = ∑ = NNN i N i , se tendrá que: ( ) ( ) ( ) ()() ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) 1 2 2 2, 1111 2 2 1 111 2 1211 1 11 622 142336611 1212 1; 12 kkkk k nnnn k kNl k llll kkk kk kkk kkkkkkkk kk n lnl nnn nn nnn nnnnnnnn nn ε−+ ==== −  =−+−−−=   −−+ − −   =+−−=   −−+−−+−+ === − = ∑∑∑∑ es decir, ( ) 1 2 2, 1 1 12 k k nkk kNl l nn ε−+ = − = ∑. Y sustituyendo esa expresión en (XI), se tiene que: 22 ( ) 1 1 2 2, 11111 1 12 kk k k Nn rrr kk kNl kiki kiNklk nn bb εδε − − + ==+=== −   ==     ∑∑∑∑∑ . (XII) Por tanto, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 11 2 1 1 1 221 12 1 1161 k k N rrkk kiki r kiN kkk k nnn nn b nnb nAnAnA εδ − ==+ = =  −   ==− −−− ∑∑ ∑∑. Así pues, si tomamos b bajo el supuesto que dijimos, k kk n ll b1− − =,se tendrá que ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 11 21 1 2 1 1 211 161 1 1. 61 k k N r kiki r kiN kk kk k nnk r kkk k n ll nn nAnAn nll nA εδ − ==+ − = − =   −  =−= −− =−− − ∑∑ ∑ ∑ Es decir, ( ) ( ) ( ) ( ) 1 11 2 1 1 211 161 k k N r kiki r kiN kkk k nn nll nAnA εδ − ==+ − =    =−− −− ∑∑ ∑, (XIII) y sustituyendo esa expresión en (14), se tiene que, en el caso de agrupación en intervalos, y bajo el supuesto establecido de progresión aritmética, la expresión aproximada de R, es: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 111 2 11 1 12 1 1 11 111. 16 k k N rr kkkkiki kkiN n r kkkkkk k n SNN RnA SNNnll nA εδ − − ===+ −− =  +−+    ′′ =−= −   =+−+−−−   −   ∑∑∑ ∑ Es decir, ( ) ( ) ( ) ( ) 2 11 1 11 111 16 r kkkkkk k n RSNNnll nA −− =   ′′ =+−+−−−   −   ∑. (17) 23 Igualmente, si n es suficientemente elevado, esa formula puede aproximarse por: ( ) ( ) 2 211 1 11 1 6 r kkkkkk k n RSNNnll nA −− =   ′′ =++−−     ∑, (17 bis) existiendo la siguiente relación entre ambas: ( ) n r An ll R n n R16 10 2− − + ′′ − = ′′ . Obsérvese, que las fórmulas (15), (15 bis), (17) y (17 bis) suponen que conocemos los totales, Sk, las frecuencias absolutas, nk, y los extremos de cada una de las clases Ik. Pero, a) En algunas aplicaciones, no se conoce el extremo inferior de la primera clase y tampoco el extremo superior de la última clase. En estos casos, una hipótesis que podemos usar es: 2 1kk k kll n S+ =−. b) En otras ocasiones, sucede que, para cada clase, solamente conocemos sus frecuencias absolutas y desconocemos los valores de Sk, en tal caso podemos usar también la hipótesis dada en a), con lo que k kk kn ll S2 1+ =− ( ) k r k kk r k knnllSA∑∑ = − = +== 1 1 12 1. Para tales situaciones, Gini, sustituyendo en (17) las expresiones anteriores, haya su última aproximación a R: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 111 1 1 1 1 11 31 1 r kkkkkkkk kr kkk k NNnllnll R nlln −−− = − =  +−++−−   ′′′ =− −+ ∑ ∑ , (18) 24 que a su vez, cuando n es muy elevado, puede aproximarse por: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 111 1 2 1 1 1 31 r kkkkkkkk kr kkk k NNnllnll R nlln −−− = − =  +++−   ′′′ =− + ∑ ∑ . (18 bis) A partir de este momento, Gini dedica su sección 4 a recoger varias aplicaciones de R en diferentes ciencias. En su sección 5, Gini plantea la situación en donde el carácter cuantitativo tiene un número v de nulos y un número n de valores positivos, estableciendo que ( ) 1 1 ,1−+ − =−+⋅=vn n mmmRR pt, (19) donde Rp es la razón de concentración calculada en los valores exclusivamente positivos del carácter, y donde Rt es la razón de concentración para el conjunto de todos los valores del carácter. 5. Relación entre R y la Curva de Concentración de Lorenz. En la sección 6 del artículo, Gini, trabajando con datos desagregados con frecuencias absolutas unitarias, prueba que ( ) n QP n i ii ∑ − = − 1 1 se aproxima al área de concentración, área entre la recta de equidistribución y la curva de concentración de Lorenz, cuando n es suficientemente elevado. Igualmente, demuestra que n P n i i ∑ − = 1 1 se aproxima, para n suficientemente grande, al área del triangulo formado por la recta de equidistribución y la base, y el lado derecho del cuadrado que delimita la curva de concentración. 25 Así pues, Gini prueba que, para n suficientemente grande, la razón de concentración, ( ) ∑ ∑ − = − = − =1 1 1 1 n i i n i ii P QP R, se aproxima al cociente entre las dos áreas citadas anteriormente. En sus secciones 7 y 8, Gini propone usar métodos aproximados para calcular el área de concentración. Pero recalca, que para al cálculo aritmético la fórmula de R’’ que aparece en (17) es una buena aproximación al valor de R. En la sección 8, construye una curva de concentración con datos agregados en intervalos de clase. A continuación une los puntos de cambio de la curva de concentración por segmentos; así aproxima la curva de concentración por una poligonal y luego calcula la aproximación al área de concentración como el área existente entre la recta de equidistribución y la poligonal. Veamos seguidamente la fórmula que obtiene. Puede comprobarse fácilmente que el área de concentración aproximada, ACA, para el caso que la curva de concentración se aproxime por una poligonal, tiene la siguiente expresión: ( ) ( ) 1 11 11 222 r r kkkn kkk k k nn SNNnA SNN ACA nAnA − −= =  +− +    =−= ∑ ∑. (20) Ahora, para calcular una media aproximada de la concentración Gini divide ese área entre el área del triangulo inferior que determina la gráfica de la curva de concentración, que como sabemos es ½, luego la medida aproximada de la concentración que obtiene Gini a partir de este método gráfico es: ( ) ( ) 1 11 1 21 12 r r kkkn kkk k k nn SNNnA SNN ACA ACM nAnA − −= =  +− +    ==−=∑ ∑,