Enseñar constantes con transformaciones: enfoque Hamiltoniano de las constantes de movimiento

1969 Enseñar constantes con transformaciones: enfoque Hamiltoniano de las constantes de movimiento Carlos Alberto Plata Ramos Esta obra se distribuye con la licencia Creative Commons Reconocimiento-NoComercial-SinObraDerivada 4.0 Internacional (CC BY-NC-ND 4.0.) Enseñar constantes con transformaciones: enfoque Hamiltoniano de las constantes de movimiento Teaching constants with transformations: Hamiltonian approach to constants of motion Carlos Alberto Plata Ramos ORCID: https://orcid.org/0000-0002-4116-6854 Universidad de Sevilla Departamento de Física Atómica Molecular y Nuclear cplat[email protected] DOI: http://dx.doi.org/10.12795/9788447222865.112 Pp.: 1969-1984 1970 Enseñar constantes con transformaciones: enfoque Hamiltoniano de las constantes de movimiento Carlos Alberto Plata Ramos Esta obra se distribuye con la licencia Creative Commons Reconocimiento-NoComercial-SinObraDerivada 4.0 Internacional (CC BY-NC-ND 4.0.) Resumen En este trabajo, se presenta el diseño, aplicación y evaluación de un Ciclo de Mejora en el Aula en la asignatura de Mecánica Teórica impartida simultáneamente en las titulaciones del Grado en Física, Doble Grado en Física y Matemáticas y Doble Grado en Física e Ingeniería de Materiales. El contenido a desarrollar es el formalismo hamiltoniano como herramienta del estudio de los sistemas mecánicas con una especial atención a las magnitudes conservadas y a la invarianza frente a transformaciones canónicas. En el aula, se ha trabajado en torno a dos problemas vertebradores del contenido y se han utilizado actividades que fomentan la participación directa y activa del estudiante, incluyendo: trabajo personal y/o en pequeños grupos con puesta en común, resolución de problemas en la pizarra por parte del alumno, visionado y discusión de simulaciones en software matemático. Palabras clave: Mecánica teórica, grado en física, docencia universitaria, desarrollo profesional docente. Abstract This work puts forward the design, application, and evaluation of an improvement cycle in classroom for the subject Analytical Mechanics, simultaneously taught in the Physics Degree, Physics and Mathematics Double Degree, Physics and Material Engineering Double Degree. The main content is the Hamiltonian formalism used to study mechanical systems with a special focus on constants of motion and the invariance when applying canonical transformations. In the classroom, two main problems have become in the structuring elements of the whole learning experience. Activities to encourage active participation of the students have been designed and employed, including working individually and/or in small groups with a sharing final phase, solving problems on the blackboard by the students, watching and discussion of simulations in mathematical software. Keywords: Analytical mechanics, physics degree, university teaching, teaching professional development. 1971 Enseñar constantes con transformaciones: enfoque Hamiltoniano de las constantes de movimiento Carlos Alberto Plata Ramos Esta obra se distribuye con la licencia Creative Commons Reconocimiento-NoComercial-SinObraDerivada 4.0 Internacional (CC BY-NC-ND 4.0.) Introducción En esta sección, se contextualiza brevemente la asignatura donde se ha aplicado el Ciclo de Mejora en el Aula (CIMA) (Delord, Hamed y otros, 2020). Esta asignatura es Mecánica Teórica, la cual se imparte simultáneamente en el Grado en Física (en tercer curso), en el Doble Grado en Física y Matemáticas (en cuarto curso) y en el Doble Grado en Física e Ingeniería de Materiales (en tercer curso) de la Universidad de Sevilla. Es una asignatura cuatrimestral de 6 créditos donde se estudia el enfoque más formal de la mecánica y sus leyes. Hay 65 matriculados, de los cuales en torno a 20 son repetidores y la asistencia fluctúa alrededor de 40. Las clases son, salvo en excepciones, de 1 hora de duración. Mecánica Teórica es una asignatura avanzada dentro del plan de estudios de todas las titulaciones donde se imparte. Esto es relevante desde el punto de vista de la madurez e interés por el campo disciplinar por parte de los alumnos, que, en términos generales, están cursando la asignatura con motivación y ganas de aprender. Dicho interés y madurez permite explorar enfoques formales no tan asequibles en niveles inferiores, en mi opinión, bien representados por los libros de Landau y Lifshitz (1994) o Lanczos (1986). Diseño previo del CIMA Mapa de contenidos El mapa de contenidos, presentado en la figura 1, sitúa en primer lugar un contexto global de la asignatura, donde el objetivo último es resolver el problema de cómo se mueven las cosas. Tenemos diferentes formulaciones: la formulación lagrangiana, la hamiltoniana y el formalismo de Hamilton-Jacobi. En particular, el ciclo de mejora propuesto se desarrolla para el aprendizaje del estudio de las propiedades del movimiento de los sistemas mecánicos desde el prisma del formalismo hamiltoniano. Todos los contenidos surgirán de la necesidad de resolver los dos problemas que planteamos, los cuales actuarán como elementos vertebradores del contenido: 1) ¿Cuáles son las leyes de conservación? y 2) ¿Qué trasformaciones dejan invariante las leyes de la mecánica? La resolución de ambos problemas nos ayudará a ahondar en la estrecha relación entre simetrías y leyes de conservación en la física, un concepto fundamental que ha impulsado el avance de la física teórica moderna. Los problemas con casos ilustrativos de sistemas físicos reales nos servirán para materializar el formalismo en aplicación, mejorando las destrezas e intuiciones sobre los sistemas mecánicos cotidianos. 1972 Enseñar constantes con transformaciones: enfoque Hamiltoniano de las constantes de movimiento Carlos Alberto Plata Ramos Esta obra se distribuye con la licencia Creative Commons Reconocimiento-NoComercial-SinObraDerivada 4.0 Internacional (CC BY-NC-ND 4.0.) Figura 1. Mapa de contenidos. 1973 Enseñar constantes con transformaciones: enfoque Hamiltoniano de las constantes de movimiento Carlos Alberto Plata Ramos Esta obra se distribuye con la licencia Creative Commons Reconocimiento-NoComercial-SinObraDerivada 4.0 Internacional (CC BY-NC-ND 4.0.) Se ha señalado la naturaleza principal de los contenidos conceptuales y procedimentales en el mapa. Pese a no estar incluidos explícitamente, existen contenidos actitudinales generales que son tratados de forma transversal a lo largo de la asignatura. Estos son: — Mantener un pensamiento crítico y científico. — Valorar los avances científicos y el papel de las personas en su desarrollo. Valorar que dichos avances son producidos en ocasiones por individuos inspiradores, pero mucho más a menudo por una comunidad que trabaja en estrecha colaboración. — Conservar una actitud honesta en el trabajo, reconociendo el mérito propio y ajeno. Modelo metodológico posible Para la asignatura de mecánica teórica, al igual que para un amplio espectro de materias de áreas científico-técnicas, creo que existen dos tipos de sesiones bastante diferentes: sesiones más centradas en la teoría y sesiones más centradas en la resolución de problemas. A continuación, en la figura 2, se detalla un modelo metodológico posible de cada tipo. Estos diseños están en parte basados en una visión constructivista del conocimiento a través del proceso investigativo (Bain, 2007). A pesar de las diferencias entre los dos tipos de sesiones, ambos tienen propiedades estructurales comunes. Comienzan con una introducción (I), conectando con la sesión anterior. En la fase de introducción puede aprovecharse para introducir el problema (Pr) al que se intentará dar respuesta durante la sesión. Especialmente en el contexto de la teoría, conviene motivar al alumno y conducirlo al planteamiento del problema. Queremos que este sea un sujeto activo con la curiosidad de resolver el problema (Finkel, 2008). Para ello, usaremos y partiremos de sus ideas (IA). En las clases de resolución de problemas, los problemas suelen estar definidos por el profesor para maximizar el aprendizaje práctico de aplicar los conocimientos teóricos ya impartidos. A continuación, se entra en el bloque central donde la teoría (o la resolución práctica de problemas) se desarrolla. Esta parte central debe estar focalizada en el alumno y por tanto necesitamos un feedback iterativo (tantas iteraciones como sean necesarias) con el mismo. En las clases de resolución de problemas, puede surgir la necesidad de refrescar o introducir algún contenido teórico dentro del bucle de iteración. En la parte central es donde se dan a su vez las actividades de contraste. En este CIMA, principalmente usaremos las siguientes actividades de contraste: explicaciones teóricas en la pizarra con interacción continua con el alumnado, resolución por parte del alumno o del profesor de problemas propuesto y discusión sobre simulaciones de ordenador que ilustran propiedades de interés de los contenidos relativos a la experiencia de aprendizaje. Por 1974 Enseñar constantes con transformaciones: enfoque Hamiltoniano de las constantes de movimiento Carlos Alberto Plata Ramos Esta obra se distribuye con la licencia Creative Commons Reconocimiento-NoComercial-SinObraDerivada 4.0 Internacional (CC BY-NC-ND 4.0.) último, conviene cerrar la sesión con una pequeña fase de síntesis (S), dudas y comentarios. Asimismo, afianzamos el mensaje para llevar a casa ¿qué se ha aprendido y cuál será el siguiente paso? Figura 2. Esquema del modelo metodológico posible. Secuenciación de actividades A continuación, describimos las actividades planificadas en el CIMA, que se han estructurado siguiendo los principios de De Alba y Porlán (2017) con una intención transformadora sobre los modelos mentales de los estudiantes. Con propósitos sintéticos, presentamos esta información en la tabla 1. Tabla 1. Secuenciación de actividades planificadas para el CIMA completo Sesión 1 (1 h) Actividad 1.1 Cuestionario 20 min Se dejará un tiempo razonable para afrontar el cuestionario de conocimientos previos que se volverá a pasar al final del ciclo de mejora. Actividad 1.2 Introducción del problema: constantes de movimiento (I/Pr) 10 min Después de haber estudiado las constantes de movimiento desde el prisma del formalismo lagrangiano en temas anteriores, estudiaremos las propiedades de las ecuaciones de movimiento inferidas desde la óptica del formalismo hamiltoniano. Comenzaremos por intentar caracterizar las constantes de movimiento desde el punto de vista de la formulación hamiltoniana. Los estudiantes de física, a estas alturas, son conscientes de la relevancia de las constantes de movimiento en esta disciplina. Por ello, el problema les es cercano e interesante. 1975 Enseñar constantes con transformaciones: enfoque Hamiltoniano de las constantes de movimiento Carlos Alberto Plata Ramos Esta obra se distribuye con la licencia Creative Commons Reconocimiento-NoComercial-SinObraDerivada 4.0 Internacional (CC BY-NC-ND 4.0.) Actividad 1.3 Explicación con interacción: Corchetes de Poisson, condición de constante de movimiento (T/IA) 20 min Partiendo de pilares comunes, las variables naturales en el formalismo hamiltoniano, y con participación del alumno, derivaremos la condición de constante de movimiento. Esto nos llevará a la introducción de los corchetes de Poisson. Actividad 1.4 Conclusiones / dudas / comentarios (S) 10 min En la fase final, extraeremos conclusiones, resolveremos dudas y generaremos comentarios sobre nuestro estado en el proceso de aprendizaje, así como sobre los pasos y objetivos próximos. Así procederemos en todas los finales de sesiones salvo que se diga lo contrario. Sesión 2 (1 h) Actividad 2.1 Reconexión con la clase anterior (I) 15 min Partir de una base sólida es fundamental, por lo que reconectaremos con los resultados de la clase anterior, resolviendo posibles dudas que hayan surgido. Así procederemos de forma general salvo que se diga lo contrario al inicio de las sesiones. Actividad 2.2 Explicación con interacción: Propiedades del álgebra de Lie y los corchetes de Poisson (T/P/IA) 30 min Los corchetes de Poisson, definidos por su utilidad en el contexto de las constantes de movimiento, poseen unas propiedades interesantes. Esto nos ayuda a definir qué es un álgebra de Lie. Dejaremos pequeños intervalos de tiempo para que de forma individual o en pequeños grupos, los alumnos vayan demostrando las propiedades que se enuncian. Al final de estos intervalos, haremos una puesta en común de contraste. Actividad 2.3 Explicación con interacción: Conexión con operaciones conocidas y por conocer (T/IA) 10 min Pese a que normalmente no son conscientes, no es la primera vez que los estudiantes usan un álgebra de Lie. Es el caso del producto vectorial, operación que ya conocen y manejan bien. También es el caso, de los conmutadores, herramienta fundamental en el contexto de la mecánica cuántica y que pronto empezarán a utilizar. Aprovecharemos para interconectar estos conocimientos Actividad 2.4 Conclusiones / dudas / comentarios (S) 15 min Sesión 3 (1 h) Actividad 3.1 Reconexión con la clase anterior (I) 10 min Actividad 3.2 Planteamiento del nuevo problema: transformaciones que dejan invariante las ecuaciones canónicas (Pr/T/IA) 20 min El segundo problema sobre el que se vertebra los contenidos que desarrollamos con este CIMA es de gran importancia en el desarrollo de la física. Los estudiantes están ya familiarizados sobre la relevancia de la invarianza de las leyes de la física (las leyes de la física no son diferentes en Sevilla o Nueva York, ni si quiera son diferentes en la Tierra o en Marte). Por ello, es importante conocer cuáles son las transformaciones (cambio de variables) que dejan invariantes las leyes físicas. En particular, el formalismo hamiltoniano (que usa un conjunto más amplio de variables) tiene mayor libertad a la hora de definir transformaciones. Por este motivo, es importante discernir qué transformaciones dejan invariantes las ecuaciones de Hamilton y qué información podemos obtener de estas transformaciones. ¿Serán únicas? ¿Cómo podremos generarlas? Todas estas preguntas suscitarán el interés del alumno medio de física, enganchando su atención. Este enfoque facilita al alumno una contextualización motivadora, en contraposición con una alternativa donde las transformaciones canónicas se definen sin ningún propósito aparente. 1976 Enseñar constantes con transformaciones: enfoque Hamiltoniano de las constantes de movimiento Carlos Alberto Plata Ramos Esta obra se distribuye con la licencia Creative Commons Reconocimiento-NoComercial-SinObraDerivada 4.0 Internacional (CC BY-NC-ND 4.0.) Actividad 3.3 Explicación con interacción: Transformaciones canónicas y funciones generatrices (T/IA) 20 min Introduciremos las funciones generatrices. Tras construir la función generatriz básica, plantearemos que pueden existir otros tipos. Buscaremos la complicidad del alumnado para ver cómo podemos llegar a esos otros tipos de función generatriz. Lo haremos recordando la transformada de Legendre (introducida en un momento anterior en el curso). Generaremos una dinámica de grupo donde los alumnos, de forma individual o en pequeños grupos, podrán generar su tipo preferido de función generatriz. Introduciremos algunos ejemplos de transformación canónica especialmente relevantes: la identidad, intercambio de coordenadas y momentos, y la evolución temporal. Actividad 3.4 Conclusiones / dudas / comentarios (S) 10 min Sesión 4 (1 h) Actividad 4.1Reconexión con los resultados de teoría (I) 5 min En esta sesión resolveremos problemas relativos a constantes de movimiento en el formalismo hamiltoniano y los corchetes de Poisson Actividad 4.2 Resolución de problemas planteados de antemano en la pizarra por parte de los alumnos (P/IA) 25 min Los boletines de problemas han sido entregados a principio del tema, marcando los problemas que se proponen para resolver en la pizarra por parte del alumno, suponiendo una puntuación extra, parte de la evaluación continua. Estos problemas han sido seleccionados como ejercicios que supongan un desafío (no sean triviales) siendo de una dificultad similar a la que cabría esperar en un examen de la asignatura (deben ser abordables con los contenidos vistos en clase sin necesidad de una idea feliz). Actividad 4.3 Resolución de problemas en la pizarra por parte del profesor con interacción del alumnado (P/IA) 20 min Los problemas resueltos por el profesor son tanto ilustraciones casi triviales de la teoría como aquellos problemas que necesitan de un desarrollo más fino en ocasiones con la necesidad de alguna idea feliz. En muchas ocasiones, estas ideas felices son difíciles de que se te ocurran en una primera ocasión, pero son reutilizables en problemas similares, por lo que son un aprendizaje interesante que trasciende a lo anecdótico. Actividad 4.4 Conclusiones / dudas / comentarios (S) 10 min Sesión 5 (1 h 30 min) Actividad 5.1 Reconexión con la clase anterior (I) 15 min Actividad 5.2 Explicación con interacción: Conservación del volumen fásico (T/IA) 30 min El uso del espacio de las fases, es algo que los alumnos han visto en asignaturas más elementales de mecánica y física general. En cualquier caso, conviene revisualizar con ellos la utilidad del espacio fásico. Una vez recordado, nos plantearemos la pregunta ¿cómo cambia el volumen fásico ante una transformación canónica? La transformación nos llevará a que el volumen fásico es invariante frente a transformaciones canónicas. En particular, aplicado para la transformación evolución temporal, la conservación del volumen fásico, se denomina teorema de Liouville. Dicho teorema es una un principio fundamental no solo de la mecánica sino también de la física estadística, es una buena oportunidad para establecer puentes entre disciplinas y valorar cómo algo desarrollado en un contexto puede ser fundamental para otras ramas. Actividad 5.3 Ejemplos visualizados con Mathematica (T/P/IA) 30 min Estudiaremos con los alumnos casos concretos (sencillos pero relevantes) del teorema de Liouville. Para una presentación atractiva, utilizaremos el software Mathematica. Iremos comentando de forma participativa cómo esperan que se comporte cada sistema e iremos realizando las simulaciones en el ordenador, constatando nuestras intuiciones y comprobando que el teorema de Liouville se verifica siempre. Actividad 5.4 Conclusiones / dudas / comentarios (S) 15 min 1977 Enseñar constantes con transformaciones: enfoque Hamiltoniano de las constantes de movimiento Carlos Alberto Plata Ramos Esta obra se distribuye con la licencia Creative Commons Reconocimiento-NoComercial-SinObraDerivada 4.0 Internacional (CC BY-NC-ND 4.0.) Sesión 6 (1 h 30 min) Actividad 6.1 Reconexión con la clase anterior (I) 15 min Actividad 6.2 Explicación con interacción: Transformaciones infinitesimales (T/IA) 30 min Introduciremos el concepto de transformación canónica infinitesimal partiendo de un cambio infinitesimal de la transformación identidad (vista ya como ejemplo en la sesión 3). Ello nos llevará a la definición del generador de una transformación infinitesimal (objeto equivalente a la función generatriz de las transformaciones finitas). Estudiaremos las relaciones entre las variables transformadas y el nuevo hamiltoniano. Actividad 6.3 Explicación con interacción: Ejemplos de transformaciones canónicas infinitesimales (T/P/IA) 15 min Utilizaremos como generador, diferentes magnitudes físicas de interés: el momento lineal, el propio hamiltoniano. Propondremos y daremos un pequeño tiempo para que los alumnos, aplicando las reglas de transformación introducidas en la explicación anterior, deriven qué transformaciones se generan. Actividad 6.4 Explicación con interacción: Conexión simetrías y conservaciones (T/ IA) 15 min Viendo las condiciones de invarianza del hamiltoniano, conseguiremos reconectar con la estrecha relación entre simetría y conservación (ya estudiada en el tema anterior a través del teorema de Noether). Actividad 6.5 Conclusiones / dudas / comentarios (S) 15 min Sesión 7 (1 h) Actividad 7.1 Reconexión con los resultados de teoría (I) 5 min En esta sesión resolveremos problemas relativos a transformaciones canónicas y el teorema de Liouville. Las actividades sucesivas son análogas a las propuestas en la sesión 4. Actividad 7.2 Resolución de problemas planteados de antemano en la pizarra por parte de los alumnos (P/IA) 25 min Actividad 7.3 Resolución de problemas en la pizarra por parte del profesor con interacción del alumnado (P/IA) 20 min Actividad 7.4 Conclusiones / dudas / comentarios (S) 10 min Cuestionario inicial-final Con la intención de evaluar los conocimientos sobre los contenidos trabajados en este CIMA, se pasó, tanto al inicio como al final del mismo, el siguiente cuestionario: — ¿Cuáles son las variables naturales del formalismo hamiltoniano? Un observable genérico en dicho formalismo será una función que depende de dichas variables. Derivar la condición de que un observable sea constante de movimiento. ¿Puede escribirse dicha condición de forma compacta? — ¿Son las ecuaciones de Hamilton invariantes frente a cualquier transformación de las coordenadas y momentos generalizados del sistema? 1984 Enseñar constantes con transformaciones: enfoque Hamiltoniano de las constantes de movimiento Carlos Alberto Plata Ramos Esta obra se distribuye con la licencia Creative Commons Reconocimiento-NoComercial-SinObraDerivada 4.0 Internacional (CC BY-NC-ND 4.0.) práctica docente. Pensar minuciosamente sobre el qué y el cómo debe ser la práctica docente resume la mayor parte de lo que ha supuesto este CIMA en mi experiencia. Esta reflexión me ha permitido planificar y adaptar las tres patas de mi modelo docente (metodología, contenidos y evaluación) en función de mi propósito concreto. El otro principio fundamental que ha sustentado la práctica docente durante mi CIMA ha sido el trabajar en torno a problemas. Esto no ha sido algo que confrontase con mi práctica docente más habitual, pues siempre me he interesado por intentar enseñar con un propósito. Aunque mi ámbito en investigación es fundamentalmente teórico y así sucede también con las materias que suelo impartir, la física teórica busca la descripción de realidades físicas, por lo que los problemas, en mi opinión, deben estar siempre presente tanto en su desarrollo como en su aprendizaje. Referencias bibliográficas Bain, K. (2007). Lo que hacen los mejores profesores universitarios. Publicacions de la Universitat de València De Alba, N. y Porlán, R. (2017). La metodología de enseñanza. En R. Porlán (Coord.), Enseñanza universitaria. Cómo mejorarla (pp. 37-53). Morata. Delord, G.; Hamed, S.; Porlán, R. y De Alba, N. (2020). Los Ciclos de Mejora en el Aula. En N. De Alba y R. Porlán (Coords.), Docentes universitarios. Una formación centrada en la práctica (pp. 128-162). Morata. Lanczos, C. (1986). The variational principles of mechanics. Ed. Dover. Landau, L. D. y Lifshitz, E. M. (1994). Mecánica (Volumen 1 del Curso de Física Teórica). Reverté. Finkel, D. (2008). Dar clase con la boca cerrada. Publicacions de la Universitat de València. Rivero, A. y Porlán, R. (2017). La evaluación en la enseñanza universitaria. En R. Porlán (Coord.), Enseñanza universitaria. Como mejorarla (pp. 73-91). Morata.