La Superficie Polar de Gaspard Monge. Una aproximación desde el pensamiento gráfico aumentado

274 LA SUPERFICIE POLAR DE GASPARD MONGE. UNA APROXIMACIÓN DESDE EL PENSAMIENTO GRÁFICO AUMENTADO GASPARD MONGE’S POLAR SURFACE. AN APPROACH FROM AUGMENTED GRAPHIC THINKING Andrés Martín-Pastor; orcid 0000-0002-5588-2886 Universidad de sevilla Francisco González-Quintial; orcid 0000-0001-6600-6024 Universidad del País vasco doi: 10.4995/ega.2024.19729 La Superficie polar de una línea curva se define como la envolvente de los planos normales que recorren la curva y se enmarca en el conjunto de las tres superficies desarrollables que se generan por el movimiento de los planos del triedro de Frenet, junto con las superficies tangenciales y las rectificantes. La idea de una superficie formada por los ejes polares de una curva lo debemos a Gaspard Monge que describió sus propiedades en Mémoire sur les développées, les rayons de courbure et les différents genres d’inflexions des courbes … (1785). Estas superficies, aunque aparecen mencionadas en algunos manuales de Geometría Descriptiva, no han sido descritas desde el punto de vista del pensamiento gráfico. Este artículo hace una revisión del texto primigenio de Monge, sacando a relucir algunas aplicaciones poco conocidas de las mismas y de gran interés para el diseño arquitectónico. PALABRAS CLAVE: SUPERFICIES POLARES, SUPERFICIES DESARROLLABLES, GASPARD MONGE, GEOMETRÍA DESCRIPTIVA, CURVAS PARALELAS, TRIEDRO DE FRENET, GEOMETRÍA ARQUITECTÓNICA, PENSAMIENTO GRÁFICO AUMENTADO The polar surface of a curve is defined as the envelope of the normal planes along the curve. It is part of the set of three developable surfaces generated by the movement of the Frenet frame, together with torsal and rectifying surfaces. The idea of a surface formed by the polar axes of a curve is the brainchild of Gaspard Monge who described its properties in Mémoire sur les développées, les rayons de courbure et les différents genres d’inflexions des courbes (1785). Polar surfaces, despite having been mentioned in several manuals of Descriptive Geometry, have yet to be described from the point of view of graphic thinking. This article reviews Monge’s original text, bringing to light their little-known applications which present great interest for architectural design. KEYWORDS: POLAR SURFACES, DEVELOPABLE SURFACES, GASPARD MONGE, DESCRIPTIVE GEOMETRY, OFFSET CURVES, FRENET FRAME, ARCHITECTURAL GEOMETRY, AUGMENTED GRAPHIC THINKING Gaspard Monge is well-known in the area of Architectural Graphic Expression as the creator of Descriptive Geometry. This academic discipline was created at the beginning of the 19th century under the same name as his work, Géométrie Descriptive (1799), which has enjoyed a position of prime importance in architecture and engineering studies. It should be borne in mind, however, that Monge’s first scientific studies were related to developable surfaces: a puzzle that remained unsolved in his era and for which the French geometrician gained merit for its ordering and systematising (Lawrence 2011). In 1769, Monge published his first “Mathematical Note” related to developables: Sur les développées des courbes à double courbure et leurs inflexions. This small study was the prelude to two later texts of enormous interest where the germ of the polar surface is already exposed (Taton 1966). In 1771, Monge presented the Mémoire sur les développées, les rayons de courbure et les différents genres d’inflexions des courbes a double courbure at the Royal Academy of Sciences in Paris. The text was published in 1785 in the Memoirs of Mathematics and Physics. The first graphic representations of the polar surface are collected in six figures at the end of this work (Fig. 1). This study addresses the concept of the involute of a 3D curve and its relationship with developable surfaces, which forms the centre of our discussion on polar surfaces and their applications. In 1780, the Mémoire sur les propriétés de plusieurs genres de surfaces courbes, particulièrement sur celles des surfaces développables was published. The text addresses the correspondence between developable surfaces with the phenomena of shadow and penumbra: a topic of enormous interest due to its relationship with the graphic mechanisms to produce developable surfaces 1. Curiously, this second memoir was published before the first memoir and, perhaps for that reason, the text begins by mentioning the work presented at the Academy nine years earlier with its main contributions. In this text, the polar surface is described as “the loci of all the evolutes of the same curve, which forms a surface endowed with the property of being able to extend on a plane”. A few years later, Monge collected all of his contributions on developable surfaces 275 expresión gráfica arquitectónica 50 Gaspard Monge es bien conocido en nuestra área de Expresión Gráfica Arquitectónica como el creador de la Geometría Descriptiva –la disciplina académica creada a principios del xix de igual título que su obra Géométrie Descriptive (1799)– que tanta importancia ha tenido en los estudios de arquitectura e ingeniería. Pero debemos recordar que los primeros estudios científicos de Monge estuvieron relacionados con las superficies desarrollables, un rompecabezas no resuelto en su época y que el gran geómetra francés tuvo el mérito de ordenar y sistematizar (Lawrence 2011). En 1769, Monge publica su primera ”Nota matemática” relacionada con las desarrollables: Sur les développées des courbes à double courbure et leurs inflexions. Se trata de un pequeño estudio que fue el preludio de dos textos posteriores de enorme interés y donde ya se recoge el germen de la superficie polar (Taton 1966). En 1771, Monge presenta en la Academia Real de Ciencias de París la Mémoire sur les développées, les rayons de courbure et les différents genres d’inflexions des courbes a double courbure. El texto se publicó en 1785 en las Memorias de Matemáticas y Física. En esta obra aparecen las primeras representaciones gráficas de la superficie polar, que fueron recogidas en seis figuras al final del trabajo (Fig. 1). En este estudio se abordan los conceptos de evoluta de una línea curva alabeada y su relación con las superficies desarrollables que es el centro de nuestra discusión sobre las superficies polares y sus aplicaciones. En 1780, se publica su Mémoire sur les propriétés de plusieurs genres de surfaces courbes, particulièrement sur celles des surfaces développables…. El texto aborda la correspondencia entre las superficies desarrollables con los fenómenos de la sombra y de la penumbra, un tema de enorme interés por su relación con los mecanismos gráficos para producir superficies desarrollables 1. Curiosamente, esta segunda memoria se publica antes que la primera y –quizás por ese motivo– el texto comienza mencionando el trabajo presentado en la Academia nueve años antes junto a sus principales aportaciones. En ella se describe como “el lugar geométrico de todas las evolutas de una misma curva y que tiene la propiedad [la superficie polar] de poder extenderse sobre un plano”. Unos años más tarde, Monge recogerá el conjunto de sus aportaciones sobre las superficies desarrollables en Application de l’Analyse a la Géométrie… (1807), donde vuelve a exponer las mismas seis figuras que su primera memoria, pero ahora reelaboradas en una sola lámina (Fig. 2). Las investigaciones de Monge sobre las superficies desarrollables serán posteriormente recogidas por algunos de sus seguidores, que las ampliaron y completaron, como Lacroix (1790), Fourier (1801) y Lancret (1806) 2. Las superficies polares en Geometría Descriptiva Los principales estudios sobre la obra de Monge coinciden en situarlo como el creador de una nueva manera de entender la Geometría, donde la concepción sintética y gráfica toma el protagonismo sobre el álgebra. No hablamos aquí de las virtudes del sistema de doble proyección defendido 276 in Application de l’Analyse a la Géométrie (1807), where he exhibits the same six figures as in his first memoir, but now reworked into a single sheet (Fig. 2). Monge’s research on developables would be subsequently collected by several of his followers, such as Lacroix (1790), Fourier (1801), and Lancret (1806), who expanded and completed his research 2. Polar surfaces in Descriptive Geometry The main studies on Monge’s work coincide in placing him as the creator of a new way of understanding Geometry, where the synthetic and graphic conception takes centre stage over algebra. This does not focus on the virtues of the double orthogonal projection system defended in his Géométrie Descriptive, but on how, in Monge’s mathematical style, geometric ideas first go through their graphic and even dynamic conception, such as planes that rotate around an axis, surfaces that roll up, and curves that are set in motion, to later seek their analytical formulation (Dupin 1819; Cajori 1929; Tatoon 1951). In the area of Architectural Graphic Expression, within Spain and related countries, the torsal, rectifying, and polar surfaces are all known thanks to the classic manuals of Descriptive Geometry. In the work of Izquierdo Asensi (1985) and Taibo Fernández (1983), it can be observed that these surfaces are described as a special group of developable surfaces. Although sufficiently elaborate graphic and synthetic explanations can be found for torsal and rectifying surfaces, in the case of polar surfaces (at least in the field of Descriptive Geometry) poorly elaborated graphic material and sometimes contradictory comments are uncovered 3. “Polar surfaces” are mentioned by certain authors in the field of mathematics, such as Glaeser and Gruber (2007) and Krivoshapko and Ivanov (2015). However, these surfaces only appear stated and almost never described in relation to other more complex geometric problems. In this respect, they are not included in the fields of Computer Aided Design, Parametric Geometry, or Architectural Geometry 4. 2 1 277 expresión gráfica arquitectónica 50 1 Monge 1785 (1771). Planchas XI y XII 2. Monge 1850. Plancha III 1. Monge 1785 (1771). Plates XI and XII 2. Monge 1850. Plate III For all these reasons we think that, at least in our area of Architectural Graphic Expression, an update of the general concepts of developable surfaces in general and polar surfaces in particular is necessary, for them to be incorporated into the architect’s palette of graphic and operational resources. In line with that which we have expressed on other occasions, geometric control based on digital graphic tools represents an opportunity to update the contents of Descriptive Geometry from Augmented Graphic Thinking (Martin- Pastor 2019). A review of the Mémoire sur les développées Three-dimensional generalisation of the planar involute concept As Jean Delcourt (2011) comments, the initial problem that Monge wants to solve in his Mémorie is the generalisation of the planar involute to space. It is known that every planar curve has infinite offset curves (involutes) and one curve (the evolute) enveloping the orthogonal planes of the initial curve. When the involutes are planar, the curves also coincide with the orbit formed by the centres of curvature of said offset curves (Fig. 3. Left-hand-side). Monge, in his Mémoire, states that every plane curve also has infinite non-planar evolutes (i.e., 3D evolutes) and that together they all make up a developable surface called the surface of the poles or polar surface (Fig. 3. Right-hand-side). Said surface is defined as the surface that is tangent to all the orthogonal planes that go over the curve, that is, the envelope of all these planes. Graphic and synthetic description of the polar surface The same approach is applicable to 3D curves. The polar surface of 3D curve, C, is formed by a set of generatrices that are the successive intersections of two adjacent orthogonal planes to C (Fig. 4) 5. If a plane tangent is rolled on the polar surface, whereby said plane is understood as formed of paper or inextensible material, then any point contained in said plane describes a trajectory in space: curve C. Monge proposes a physical model for this: the tangent plane is en su Géométrie Descriptive sino de cómo, en el estilo matemático de Monge, las ideas geométricas pasan primero por su concepción gráfica e incluso dinámica: planos que se abaten, superficies que se enrollan, curvas que se ponen en movimiento, etc., para luego encontrar su formulación analítica (Dupin 1819), (Cajori 1929), (Tatoon 1951). En el área de Expresión Gráfica Arquitectónica en España tenemos conocimiento de las superficies tangenciales, las rectificantes y las polares gracias a los manuales clásicos de Geometría Descriptiva. Vemos en la obra de Izquierdo Asensi (1985) y Taibo Fernández (1983) que estas superficies están descritas como un grupo especial de superficies desarrollables. Si bien para las superficies tangenciales y las rectificantes encontramos unas explicaciones sintéticas y gráficas suficientemente elaboradas, para el caso de las superficies polares –al menos en el campo de la Geometría Descriptiva– nos encontramos con un material gráfico escasamente elaborado y a veces contradictorio 3. Podemos encontramos que las “superficies polares” aparecen mencionadas en algunos autores del campo de las matemáticas, como Glaeser y Gruber (2007) y Krivoshapko e Ivanov (2015), entre otros. Sin embargo, estas superficies solo aparecen enunciadas y casi nunca descritas en relación con otros problemas geométricos más complejos. En ese sentido, no aparecen recogidas en los campos del Computer Aided Design, Parametric Geometry, ni el Architectural Geometry 4. Por todo ello pensamos que, al menos en nuestra área de Expresión Gráfica Arquitectónica, es necesaria una actualización de los conceptos generales de las superficies desarrollables en general y las superficies polares en particular, para incorporarlas a la paleta de recursos gráficos y operatorios del arquitecto. En la línea de lo que hemos expresado en otras ocasiones, el control geométrico basado en las herramientas gráficas digitales representa una oportunidad para la actualización de los contenidos de la Geometría Descriptiva desde el pensamiento gráfico aumentado (Martin-Pastor 2019). Una revisión de la Mémoire sur les développées Generalización tridimensional del concepto de evoluta plana Tal como comenta Jean Delcourt (2011), el problema inicial que quiere resolver Monge en su Mémoire es la generalización de la evoluta plana al espacio. Es sabido que toda línea curva plana tiene infinitas curvas paralelas –involutas– y una línea curva –la evoluta– envolvente de las normales de la curva inicial. Cuando las involutas son curvas planas también coinciden con la línea que forman los centros de curvatura de dichas curvas paralelas. (Fig. 3 izquierda). Monge, en su Mémoire, plantea que toda curva plana tiene también infinitas evolutas no planas –es decir, alabeadas– y que todas ellas conforman una superficie desarrollable denominada superficie de los polos o superficie polar (Fig. 3 derecha). Dicha superficie se define como la superficie tangente a todos los planos normales que recorren la curva, es decir, la envolvente de todos ellos. conceived as two threads that are rolled on the polar surface, and it is deduced that the rolled threads correspond to a 3D evolute 6. This demonstrates, according to Monge, the possibility of generating a 3D curve C by a continuous movement, by means of two threads that are tied at one of their ends at point U and these are then rolled over the surface (...) by the fact of extending the tangent threads over the surface, without slipping, the movement of the two threads will coincide with that of the tangent plane to the surface and the point U, the common end of the two threads, will describe the curve C in space. (Izquierdo Asensi 1985: 301) Monge’s theorems The main concepts of Monge’s Mémorie can be summarised in five theorems. • Theorem I. Any plane or double curvature curve has an infinite number of evolutes, whose geometric locus is also the surface of the poles of this curve, (Fig. 1. Images 2, 3, 4 by Monge). • Theorem II. One of the evolutes of any curve, planar or double curvature, is obtained if, from one of its points and following an arbitrary direction, we throw a tangent to the developable surface that is the geometric locus of its poles and we freely bend the prolongation of this tangent on this surface. • Theorem III. The curve formed by a straight line bent freely on a curved surface is the Descripción gráfica y sintética de la superficie polar El mismo planteamiento es aplicable a curvas alabeadas. La superficie polar de la curva alabeada C está formada por un conjunto de generatrices que son las intersecciones sucesivas de dos planos normales a C consecutivos (Fig. 4) 5. Si enrollamos sobre la superficie polar un plano que permanece tangente a la superficie –entendiéndose dicho plano formado por papel o tejido inextensible– entonces cualquier punto contenido en dicho plano describirá una trayectoria en el espacio –la curva C– a medida que el plano se enrolla totalmente sobre la polar. Monge nos propone para ello un modelo físico: El plano tangente es concebido por dos hilos en tensión que se enrollan sobre la superficie polar, deduciendo que el hilo enrollado corresponde con una evoluta alabeada 6. Los dos hilos parten de una misma generatriz de la superficie polar y sus dos extremos están conectados entre sí en un punto U cualquiera. La curva C se genera mediante el movimiento del punto U, a medida que los hilos se enrollan sobre la polar (Fig. 5). Esto demuestra, según Monge, la posibilidad de engendrar una curva alabeada C por un movimiento continuo, por medio de dos hilos que se atan por uno de sus extremos a punto U y luego se les extiende sobre la superficie (…) al ir extendiendo los hilos tangentes a la superficie, sin que se produzca deslizamiento, el movimiento de los dos hilos coincidirán con el del plano tangente a la superficie y su extremo común U describirá en el espacio la curva C. (Izquierdo Asensi 1985: 301) Teoremas de Monge Los conceptos principales de la Mémoire de Monge podemos encontrarlos sintetizados en cinco teoremas: • “Teorema I. Cualquier curva plana o de doble curvatura tiene una infinidad de evolutas, cuyo lugar geométrico es también la superficie de los polos de esta curva.” (Fig 1. Imágenes 2, 3, 4 de Monge) • “Teorema II. Tendremos una de las evolutas de cualquier curva, plana o de doble curvatura, 3 278 shortest between its extremes that can be drawn on this surface (Fig. 1. Images 4, 5 by Monge). • Theorem IV. Any developable surface [if considered as an involute] can be generated by another developable surface, which must consequently be considered as its evolute, and these two surfaces always intersect at the edge of regression of the involute surface. • Theorem V. When a developable surface is such that its involute is a cylindrical surface si por uno de sus puntos –y siguiendo una dirección arbitraria– trazamos una tangente a la superficie desarrollable que es el lugar geométrico de sus polos, y doblamos libremente sobre esta superficie la prolongación de esta tangente.” (Fig 1. Imágenes 2, 3, 4 de Monge) • “Teorema III. La curva formada por una línea recta doblada libremente sobre una superficie curva es la más corta entre sus extremos que se puede dibujar sobre esta superficie.” (Fig 1. Imágenes 4, 5 de Monge) • “Teorema IV. Cualquier desarrollable [si la consideramos involuta] puede ser generada por otra superficie desarrollable, que en consecuencia debe considerarse como su evoluta, y estas 4 5 3. Izquierda: La evoluta plana de un conjunto de curvas planas paralelas o involutas. Derecha: Diferentes evolutas alabeadas de una misma curva plana 4. Generación de la superficie polar (azul) de una curva C (roja) como la envolvente de los planos normales a lo largo de ella 5. Generación de la curva C asociada a una superficie polar, mediante dos hilos que se enrollan 3. Left-hand-side: The plane evolute of a set of offset plane curves or involutes. Right-hand-side: Different 3D evolutes of one planar curve (involute) 4. Generation of the polar surface (blue) of a 3D curve C (red) as the envelope of the normal planes along it 5. Generation of C (curve linked to the initial polar surface) using two rolled threads 279 expresión gráfica arquitectónica 50 280 with an arbitrary base, then any part of its surface is in relation to its projection on the plane of the base of the cylinder. Discussion. From the polar surface to offset curves Two ways of understanding the relationship between a curve C and its polar surface emerge from Monge’s text. Case 1: Starting from any curve C: – A taut thread that starts from a point on curve C, and touches an arbitrary point on its polar, is wound on said curve according to a curve G. This curve is one of the many 3D evolutes of the curve C and has the property of being a geodesic line G of the polar surface (Fig. 6). – The movement of the thread in space generates a developable torsal surface whose edge of regression is the 3D evolute G. All the straight lines contained dos superficies siempre se cruzan en la arista de retroceso de la superficie involuta.” • “Teorema V. Cuando una superficie desarrollable es tal que su evoluta es una superficie cilíndrica de base arbitraria, cualquier parte de su superficie está en relación con su proyección sobre el plano de la base del cilindro.” Discusión. De la superficie polar a las curvas paralelas Del texto de Monge se desprende dos maneras de entender la relación entre una curva alabeada C y su superficie polar. Caso 1: Si partimos de una curva C cualquiera. – Un hilo tenso que parte de un punto de C –y toca en un puto arbitrario de su polar– se enrolla sobre esta según una curva G. Dicha curva es una de las muchas evolutas alabeadas de la curva C y tiene la propiedad de ser una línea geodésica G de la superficie polar (Fig. 6). – El movimiento del hilo en el espacio genera una superficie tangencial desarrollable que tiene como arista de retroceso la evoluta alabeada G. Todas las rectas contenidas en el plano normal a C generan una serie de evolutas G1, G2, ..., Gn, de C, así como una serie de superficies tangenciales diferentes (Fig. 7). Cada una de estas superficies de- 6 7 281 expresión gráfica arquitectónica 50 6. La evoluta alabeada como curva geodésica en la superficie polar 7. Dos superficies desarrollables tangenciales cuyas generatrices se apoyan en C y en su polar. Sus regladas son perpendiculares a C y sus aristas de retroceso son evolutas alabeadas 6. The 3D evolute as a geodesic curve on the polar surface 7. Two torsal developable surfaces whose generatrices rest on C and its polar. Its rules are perpendicular to C and its edges of regression are 3D evolutes on the normal plane to C generate a series of evolutes G1, G2, ..., Gn of C, as well as a series of different torsal surfaces (Fig. 7). Each of these torsal developable surfaces has the property of “lying on curve C and having all its rules perpendicular to curve C”. This is one of the most important properties of the polar surface. Case 2: Starting from any developable surface, understood as a polar surface: By rolling a plane that remains tangent to the polar surface over said polar surface, any point contained in this plane describes a trajectory C in space. – Offset curves. Since the position of the point in the rolling plane is random, by changing the position of the point we generate not one, but a set of offset curves C1, C2, …, Cn, that share the same polar surface. Therefore, not only curve C but all the offset curves associated with the trajectories of any point on the tangent plane, define the polar surface (Fig. 8). This graphic process synthetically explains the generation of 3D offset curves. – Perpendicular rules. From the previous cases it can be deduced that two offset curves always define a developable surface with the rules perpendicular to both curves (Fig. 9). From the point of view of the concepts of involute and evolute, the polar surface would be the three-dimensional generalisation of the concept of a planar evolute and the set of 3D offset curves would be the three-dimensional generalisation of the planar involutes. Other implications of the Mémoire: rectifying surfaces and principal curvature lines Since all 3D evolutes are geodesic lines of the polar surface, which is developable, then the polar is the rectifying surface of all the evolutes 7 (Fig. 10). For this reason, Monge’s Mémorie has been considered as the precursor of the idea of a rectifying surface 8. The polar surface can be generated not only from a C curve, but also from any developable surface. The polar is then defined as the envelope of the planes perpendicular to the initial developable surface that passes through its rules (Fig. 11). sarrollables tangenciales tienen la propiedad de apoyar en la curva C y tener todas sus regladas perpendiculares a la curva C. Se trata de una de las propiedades más importantes de la superficie polar. Caso 2: Si partimos de una superficie desarrollable cualquiera, entendida ésta como una superficie polar. Al enrollar sobre la superficie polar un plano que permanece tangente a ella, cualquier punto contenido en dicho plano describirá una trayectoria C en el espacio a medida que se enrolla. – Curvas paralelas. Como la posición del punto en el plano que se enrolla es aleatoria, al cambiar la posición del punto generamos no una, sino un conjunto de curvas paralelas C1, C2, …, Cn, que comparten la misma superficie polar. Por ello, no solo la curva C sino todas las curvas paralelas a ella –asociadas a la trayectoria de cualquier punto del plano tangente– definen la superficie polar (Fig. 8). Dicho proceso gráfico explica de forma sintética la generación de curvas paralelas alabeadas. – Regladas perpendiculares. De los casos anteriores se deduce que dos líneas curvas paralelas entre sí definen siempre una desarrollable con las regladas perpendiculares a ambas curvas (Fig. 9) Desde el punto de vista de los conceptos de evoluta e involuta, la superficie polar sería la generalización tridimensional del concepto de evoluta plana y el conjunto de líneas curvas alabeadas paralelas a C, sería la generalización tridimensional de las involutas planas. Otras implicaciones de la Mémoire: superficies rectificantes y líneas de curvatura principal Como todas las evolutas alabeadas son líneas geodésicas de la superficie polar, y ésta es desarrollable, entonces la polar es la superficie rectificante de todas las evolutas 7 (Fig. 10). Por este motivo se ha considerado a la Mémoire de Monge como la precursora de la idea de superficie rectificante 8. Podemos generar la superficie polar no solo desde una curva C, sino también a partir de una superficie desarrollable cualquiera. La polar se define entonces como la envolvente de los planos perpendiculares a la superficie desarrollable inicial que pasa por sus regladas (Fig.11). Tal como hemos comentado, cualquier superficie desarrollable que se apoye en la curva C y que tenga sus regladas tangentes a la superficie polar tiene la propiedad de tener todas sus regladas perpendiculares a C. Si tenemos en cuenta que las dos familias de líneas de curvatura principal de una superficie desarrollable se definen por: 1.- la familia de las regladas. 2.- la familia de líneas perpendiculares a las regladas en todos sus puntos; podemos deducir que la curva C es una línea de curvatura principal de la superficie desarrollable inicial (Fig. 11). Ya que una curva C admite infinitas superficies desarrollables tangenciales a su polar, podemos generalizar que todas las curvas C1, C2, …, Cn, paralelas entre sí, son las familias de líneas de curvatura principal de todas las superficies desarrollables posibles asociadas a la polar (Fig. 12). De esta forma, quedan vinculados los conceptos de línea de curvatura principal de una superfi- 8 9